Matematika | Analízis » Gráff József - Laplace transzformáció

 2006 · 26 oldal  (415 KB)    magyar    256    2007. július 05.  
    
Értékelések

Nincs még értékelés. Legyél Te az első!

Tartalmi kivonat

BME GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR GÉPÉSZETI INFORMATIKA TANSZÉK GRÄFF JÓZSEF Laplace transzformáció KÉZIRAT BUDAPEST, 2006 Bevezetés 1 1 Bevezetés Ez az összeállítás a BME Gépészmérnöki karán a Rendszertechnika (BMEGERI2054, BMEGERI30XX) című tárgyat felvett hallgatók számára készült, és a témakörnek csak azon területeivel foglalkozik, amelyek a Rendszertechnika tárgy keretein belül felhasználásra kerülnek. Célja, hogy a más tárgyakból szerzett ismereteket összefoglalja. A rendszeranalízis egyik alapfeladata az átmeneti folyamatok vizsgálata, amely alapvetően differenciálegyenletek, illetve egyenletrendszerek megoldásain nyugszik. E feladat egyszerűsítésének egyik lehetősége (mivel korábban nem álltak rendelkezésre számítógépek!), ha a kiindulást képező matematikai modellt célszerű transzformációnak vetjük alá és a feladatmegoldást a transzformált tartományban végezzük el, majd visszatérünk az eredeti –

esetünkben idő – tartományba Ábrázolva: Megoldás Matematikai modell (leírás) Probléma IDŐ tartomány (független változó az idő) Transzformáció Vissza transzformálás (inverz transzformáció) matematikai műveletek Transzformált modell Transzformált tartomány (új független változó) Transzformált megoldás A rendszertechnikában alkalmazott legfontosabb transzformációk: − − Fourier transzformáció Laplace transzformáció 2 A FOURIER 1-transzformáció Adott valamely f(t) időfüggvény, amelyről feltételezzük, hogy abszolút integrálható, azaz eleget tesz az alábbi konvergencia feltételnek: +∞ ∫ f (t ) dt < K , ahol K elegendően nagy szám (1) −∞ tehát integrálja korlátos. Ez esetben az f(t) időfüggvény definíció szerinti FOURIER transzformációja: F (ω) = +∞ ∫ f (t )⋅ e − jωt dt , (2) −∞ illetve a transzformáció általánosan alkalmazott jelöléseivel: (3) F (ω) = F{ f (t )}

Minthogy a (2) transzformációs összefüggés a Fourier-integrálból származik, ez esetben a transzformált tartományban a független változó az ω körfrekvencia, F(ω) pedig komplex függvény. Ha adott valamely F(ω) transzformált függvény, a hozzá tartozó f(t) időfüggvény az alábbi inverz transzformációs összefüggéssel határozható meg: f (t ) = +∞ 1 F (ω)e jωt dω = F −1 {F (ω)} ∫ 2π −∞ (4) A rendszertechnikai gyakorlatban előforduló fontos vizsgáló jelfüggvényekre ( 1(t), t·1(t), eαt stb.) nem teljesül az (1) alatti feltétel, ezért általában a Laplace-transzformációt alkalmazzuk 1 Francia matematikus 1768-1830. (Fourier - sor, - analízis) Bevezetés 2 3 A LAPLACE-transzformáció LAPLACE (francia matematikus, 1749-1827) javaslata alapján a függvények konvergenciára kényszeríthetők, ha azokat a t ∞ esetén erősen nullához tartó e −σt függvénnyel szorozzuk, és vizsgálatunkat csupán t ≥ 0

időtartományra terjesztjük ki, vagy feltételezzük, hogy idő függvényünk: f (t ) = 0 , a t< 0 tartományban. Ha az f (t )e −σt , ahol σ > 0 szorzatfüggvényre alkalmazzuk a (2) szerinti egyoldalas F transzformációt a Laplace-transzformáció definíciós összefüggéséhez jutunk: F (s ) = lim ∞ ε 0 ∫ f (t ) ⋅ e − σt ⋅ e − jωt dt = lim ε0 −ε az s=σ+jω új komplex változóval: ∞ F (s ) = lim ∫ ε0 f (t )e − st dt = ∞ ∫ f (t )e ∞ ∫ f (t )e − (σ + jω)t dt (5) −ε − st dt = £{ f (t )}. (6) −0 −ε Amennyiben f(t) a 0-ban folytonos, vagy t<0 esetén 0: ∞ F (s ) = ∫ f (t )e − st dt = £{ f (t )} (7) 0 Ha valamely F(s) transzformált függvény adott, a hozzá tartozó időfüggvény a következő inverz transzformációs összefüggéssel határozható meg:  1 σ + j∞  F (s )e st ds = £ -1{F (s )} , t ≥ 0 (8) f (t ) =  2πj ∫ σ − j∞  0 ,t < 0  ahol £ -1

az inverz Laplace-transzformáció. 3.1 Néhány egyszerű függvény Laplace-transzformáltja 3.11 Az egységugrás Laplace transzformáltja 1 f(t)=1(t) F(s)=? t ∞ F (s ) = £{1(t )} = ∫1(t ) ⋅ e 0 miután feltételünk volt, hogy Re{s}=σ > 0. ∞ − st  e − st   1 1 dt =   = 0 −−  =  s s  − s  0 (9) 3.12 Az egységnyi sebességugrás Laplace transzformáltja 1 f(t)=1(t)⋅t 1 t F(s)=? ∞ F (s ) = ∫ t ⋅ e − st dt 0 A LAPLACE-transzformáció 3 Az alábbi parciális integrálási szabályt alkalmazva: ∫ u ⋅ v′dt = u ⋅ v − ∫ u ′ ⋅ vdt  (u ⋅ v )′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′    u ⋅ v = ∫ u ′ ⋅ vdt + ∫ u ⋅ v ′dt   u ⋅ v − ∫ u ′ ⋅ vdt = ∫ u ⋅ v ′dt  Behelyettesítve: ∞ F (s ) = ∫ t ⋅ e − st 0 / ∫       ,ahol u (t ) = t v ′(t ) = e − st e − st u ′(t ) = 1 v(t ) = − s ∞ ∞ ∞  e

− st  e − st 1 − st 1 1 1 dt = 0 − (− 0) + ∫ e dt = ⋅ = 2 dt = t ⋅  − ∫1⋅ s0 s s s  − s  0 0 − s (10) 3.13 Az exponenciális függvény Laplace transzformáltja Az f (t ) = e −t T időfüggvény Laplace transzformáltja:  −(s + 1T )t  ( ) e  = 1 = T , = F (s ) = ∫ e T ⋅ e − st dt = ∫ − s + 1  1 + sT s+ 1 0 0 T 0 T  tehát az exponenciális függvénynek is algebrai függvény felel meg! ∞ −t ∞ ∞ − s+ 1 t T dt e ( ) (11) Hasonlóképpen járunk el bonyolultabb függvények esetén is, ami gyakran jelentős munkát igényelhet. Ezért igen nagyszámú függvény Laplace-transzformáltját előállították, és külön kézikönyvekben közrebocsátották. A rendszertechnikai vizsgálatok során szinte kivétel nélkül megoldhatók a feladatok e kézikönyvek alkalmazásával. Elmélet: FODOR GYÖRGY: A Laplace-transzformáció műszaki alkalmazása. Műszaki Könyvkiadó, Bp.

1962 Táblázatok: OBERHETTINGER,F. - BADII,L: Tables of Laplace Transzforms SPRINGER-Verlag. 1973 Berlin-Heidelberg-New-York. A LAPLACE-transzformáció 4 3.2 Fontosabb alkalmazási szabályok (műveletek) A Laplace transzformáció tehát az f(t) valós változójú függvényhez a transzformációs összefüggés szerint az s komplex változójú függvényt rendeli. Kérdés: az f(t) függvényen végzett alapvető műveletek miként érvényesülnek a transzformált tartományban? 3.21 LINEARITÁSI szabály − − Adott f(t), amelynek Laplace transzformáltja £{f(t)}=F(s) akkor £{K·f(t)}=K·£{f(t)}=K·F(s). Adott f1(t), f2(t), amelyeknek Laplace transzformáltjai F1(s), F2(s) akkor £{f1(t)+f2(t)}= £{f1(t)}+ £ {f2(t)}=F1(s)+F2(s). Mindkét törvényszerűség azzal igazolható, hogy a Laplace transzformáció tulajdonképpen határozott integrál. 3.22 ELTOLÁSI szabály Adott f(t), amelynek Laplace transzformáltja £{f(t)}=F(s), ekkor f(t-τ) esetén a L

aplace-transzformáció eredménye: f(t) τ Legyen t-τ=z, ekkor t=z+τ, amiből dt=dz következik. £{ f (t − τ)} = ∞ ∫ f (t − τ)e − st dt = 0 ∞ ∫ f (z )e f(t-τ) t −( z + τ )s dz = 0 ∞ ∫ f (z )e − zs − τs e dz = 0 (12) ∞ = e −τs ∫ f ( z )e − zs dz = e −τs ⋅ F (s ) 0 3.23 HASONLÓSÁGI szabály Adott f(t), amelynek Laplace transzformáltja £{f(t)}=F(s), ekkor f(a·t) esetén a L aplace-transzformáció eredménye: z 1 Legyen at=z, ekkor t = , és dt = dz . a a £{ f (a ⋅ t )} = ∞ ∫ f (a ⋅ t )e − st dt = 0 ∞ ∫ f (z ) ⋅ e − s az 0 1 1 dz = a a ∞ ∫ f (z ) ⋅ e 0 − as z dz = 1 s F  a a (13) 3.24 DIFFERENCIÁLÁS időtartományban Adott f(t), amelynek lace-transzformáltja: £{ f ′(t )} = ∞ ∫ f ′(t )⋅ e −0 − st d f (t ) = f ′(t ) , dt deriváltja [ dt = f (t ) ] ∞ ⋅ e − st − 0 ∞ − ∫ f (t )⋅ (− s )⋅ e és − st

£{f(t)}=F(s). Ennek dt = 0 − f (− 0 ) + s ⋅ F (s ) Lap- (14) −0 Első lépésként, a már bemutatott, parciális integrálást alkalmaztuk a következő helyettesítéssel: v ′ = f ′(t ), és u = e − st , ⇒ v = f (t ), u ′ = − s ⋅ e − st . Mivel létezik f(t) Laplace-transzA LAPLACE-transzformáció 5 formáltja, ezért f (∞ ) ⋅ e −s∞ = 0 . Az integrálból -s kiemelhető, ami marad az pedig f(t) Laplace-transzformáltja   d n Általánosan: £  n f (t ) = s n F (s ) − s n −1 f (− 0 ) − s n − 2 f ′(− 0 ). − f (n −1) (− 0)  dt  Általában a kezdeti feltételeket 0-nak választjuk, így csak snF(s) marad. Néhány esetben azonban probléma adódhat. Mi lesz a deriváltja például az 1(t) függvénynek? Megoldás: 1(t )′ = δ(t ) , azaz a Dirac delta függvény. A következő ábra szemlélteti a függvény egy lehetséges származtatását: +∞ ahol a függvény alatti terület

egységnyi, és τ0. Így adódik, hogy ∫ δ(t )dt = 1, ezért ∫ δ(t )dt = 1(t ). −∞ ∞ ∞ 1 Az előzőekben leírtak alapján: £{δ(t )} = ∫ δ(t ) ⋅ e − st dt = ∫ 1(t )′ ⋅ e − st dt = s ⋅ £{1(t )}− δ(− 0 ) = s = 1 s 0 0 3.25 INTEGRÁLÁS időtartományban Adott f(t), amelynek létezik a primitív függvénye, és £ {f(t)}=F(s). Mi lesz az időtartománybeli integrál Laplace-transzformáltja? ∞ t ∞  t  ∞ t  t 1 − st  1 1 − st (15) £ ∫ f (τ )dτ = ∫ ∫ f (τ )dτe dt = − ∫ f (τ )dτ e  + ∫ f (t )e − st dt = −0 + 0 + F (s ) s s 0  0 0  0 s 0  0 A feladatot parciális integrálással oldottuk meg, a következő helyettesítéseket alkalmazva: u = ∫ f (τ )dτ , v ′ = e − st . A kapott eredmény általánosítható, akkor 0 1 sn F (s ) lesz az eredmény. Fontos következtetés: mivel a differenciálásnak illetve integrálásnak s-el való szorzás illetve

osztás felel meg, a differenciál egyenletek helyébe a transzformált tartományban algebrai egyenletek lépnek. Így a feladatok megoldása lényegesen egyszerűsödik A LAPLACE-transzformáció 6 Néhány függvény Laplace-transzformáltja Sorszám 1 2 3 Időfüggvény F(t) t > 0 δ(t) δ(t-τ) Laplace-transzformált F(s) 1 1(t) 1 s 1(t-τ) 1 − sτ e s t 1 s2 7 e − a⋅t 1 a+s 8 1 −t T e T 1 1 + Ts 9 1− e 4 5 6 1 10 T 2 −t te 1 s (1 + Ts ) T −t e −sτ 1 T (1 + Ts )2 11 −t  1  −t T1 T2  − e e   T1 − T2   1 (1 + T1s )(1 + T2 s ) 12 tn n! n +1 − 15 18 A LAPLACE-transzformáció α 2 s + α2 s cos αt 14 17 s sinαt 13 16 1 1 T s2 + α2 1 1 t sh   T T  (T − t )e 3 −t T t  −t  T  e T + − 1 T   T + t −t T e 1− t 1− T 2s2 s (1 + Ts )2 1 s 2 (1 + Ts ) 1 s (1 + Ts )2 7 4 Alkalmazási példa 1. Oldjuk meg a T dv dt + v

= K ⋅ u inhomogén elsőrendű differenciál egyenletet, a, ha u(t)=δ(t) és v(-0)=0 a kezdeti feltétel. Vessük Laplace-transzformáció alá a differenciál egyenletet, és rendezzük: £ T dv + v = £{K ⋅ u} dt { } }+ £{v} = K £{u} T £{dv dt Ts£{v}+ £{v} = K £{u} £{v} = 1+KTs £{u} Mivel u(t)=δ(t) (Dirac delta), ezért Laplace-transzformáltja 1. (táblázat 2 sor) v(t ) = £ −1{V (s )} = £ −1 {1+KTs }= K ⋅ £ −1{1+1Ts }= KT e− t T Az időfüggvény meghatározásához a táblázat 8. sorát használhatjuk fel v (t ) K T 0 T t b, u(t)=1(t) ugrásfüggvény. Ennek transzformáltja: 1/s Behelyettesítve, és felhasználva a táblázat 9 sorát: t  −  1 1 -1 -1  K -1  1  T v(t ) = £ {V (s )} = £  ⋅  = K ⋅£  ⋅  = K 1− e    1 + Ts s  1 + Ts s    v(t) T K 0 t Látható, hogy az u függvényében egészen más eredményt kaptunk. Ez a példa lehetőséget biztosít arra, hogy

alapvető rendszertechnikai ismereteket bemutassunk Tegyük fel például, hogy az egyenlet egy autómotor erősen leegyszerűsített leíróegyenlete, amely a gázadás (u(t)) és a fordulatszám (v(t)) kapcsolatát modellezi. Az a, esetben csak egy „gázfröccsöt” adtunk, ennek következményeként a fordulatszám hirtelen felugrott, majd visszaállt az alapjárati értékre Rendszertechnikai szóhasználattal: a rendszert leíró egyenlet a d ifferenciálegyenlet, u(t) a bemenő jel, v(t) pedig a rendszer válasza (lsd. ábra) Esetünkben a bemenőjel δ(t), ekkor a válaszfüggvényt súlyfüggvénynek nevezzük, és w(t) a jelölése. Mint a konvolúciónál majd láthatjuk, ennek ismeretében tetszőleges bemenőjelre meghatározhatjuk a kimenőjelet. A b, esetben a bemenőjel az 1(t) volt (hirtelen gázadás). Ekkor v(t) neve átmeneti függvény, és jelölése: v a (t). Ennek ismerete is lehetőséget biztosít a kimenő jel meghatározására, hiszen ∫ δ(t ) = 1(t ) .

A rendszervizsgálatok tipikus bemenő jelei közé tartozik a δ(t) és az 1(t) Alkalmazási példa 8 5 Konvolúciós szorzás időtartományban Az u(t) bemenő jelet bontsuk fel dτ szélességű egymást követő impulzusok sorozatára. Ekkor u(τ)δ(t-τ) bemenőjel hatására (mivel u(τ) t-re konstans!) u(τ)w(t-τ) kimenőjel keletkezik, ahol w(t-τ) a súlyfüggvény. Ezen súlyfüggvények szuperpozíciója viszont az u(t)-re adandó v(t) válaszfüggvényt adja: t v(t ) = ∫ w(t − τ ) ⋅ u (τ)dτ. (16) 0 Más jelöléssel v(t)=w(t)*u(t), amelyet konvolúciós szorzásnak nevezünk. Általánosan igaz a következő összefüggés: t t 0 0 f (t ) ∗ g (t ) = ∫ f (τ ) ⋅ g (t − τ )dτ = ∫ f (t − τ ) ⋅ g (τ )dτ. (17) A rendszertechnikában a konvolúciónak kiemelkedő szerepe van mivel bizonyítható, hogy ha f(t) Laplace-transzformáltja F(s), g(t)-é pedig G(s), akkor: £ −1{F (s ) ⋅ G (s )} = f (t ) ∗ g (t ), (18) azaz két

függvény Laplace tartománybeli szorzata az időtartományban konvolúciós szorzásnak felel meg. A bizonyítás röviden, felhasználva, hogy többes integráloknál bizonyos kikötések mellett az integrálok felcserélhetők, valamint a nemrég bemutatott eltolási szabályt alkalmazva: ∞t ∫∫ 00 t∞ t ∞ 0 0 f (τ)g (t − τ)dτ ⋅ e − st dt = ∫ ∫ f (τ)g (t − τ)e − st dtdτ = ∫ f (τ )∫ g (t − τ )e − st dtdτ = 00 t t 0 0 = ∫ f (τ)e − sτG (s )dτ = G (s )∫ f (τ)e − sτ dτ, ha t ∞, akkor = G (s )F (s ). 6 Alkalmazási példák 2. Határozza meg az alábbi transzformált függvényhez tartozó időfüggvényt: 2 F (s ) = (s + 1)(s + 2)(s + 4) A kiosztott transzformációs táblázatban ilyen alakú függvényt nem találunk. Viszont tudjuk, hogy minden racionális törtfüggvény ún. résztörtekre bontható az alábbiak szerint: c c c 2 F (s ) = = 1 + 2 + 3 (s + 1)(s + 2)(s + 4) s + 1 s + 2 s + 4 Ez esetben (mivel a

nevező egyszeres valós gyökökkel rendelkezik) a számláló együtthatók a következőképpen határozhatók meg: ci = lim (s − α i ) ⋅ F (s ) , s αi ahol az αi-k a nevező gyökei. Esetünkben a gyökök: -1, -2, -4 c1 = (s + 1) ⋅ F (s ) s = −1 = 2 (s + 2)(s + 4) s = −1 = 2 3 c2 = (s + 2 ) ⋅ F (s ) s = −2 = 2 = −1 (s + 1)(s + 4) s = −2 c3 = (s + 4 ) ⋅ F (s ) s = −4 = 2 1 = (s + 1)(s + 2) s = −4 3 Konvolúciós szorzás időtartományban 9 A linearitási szabály értelmében az inverz transzformációt tagonként végezhetjük el. Ehhez átalakítva az egyes tagokat: 2 1 1 1 1 1 F (s ) = ⋅ − ⋅ + ⋅ 1 3 1 + s 2 1 + 2 s 12 1 + 14 s Felhasználva a transzformációs táblázatot (7. sor): 2 1 f (t ) = ⋅ e −t − e −2t + ⋅ e −4t 3 3 3. Határozza meg az alábbi transzformált függvényhez tartozó időfüggvényt: Ap F (s ) = s(1 + T1s )(1 + T2 s )(1 + T3 s ) A transzformációs táblázatban ez az összefüggés nem

szerepel, de felbontható olyan tényezők szorzatára, amelyek külön-külön már szerepelnek: Ap 1 ⋅ F (s ) = F1 (s ) ⋅ F2 (s ) = (1 + T1s )(1 + T2 s ) s(1 + T3 s ) E szorzatnak időtartományban konvolúciós szorzat felel meg, tehát: t f (t ) = f1 (t ) ∗ f 2 (t ) = ∫ f1 (τ ) ⋅ f 2 (t − τ)dτ, ahol 0 t  −t − A  p f1 (t ) = £ −1{F1 (s )} = e T1 − e T2 T1 − T2   f 2 (t ) = £ −1 {F2 (s )} = 1 − e − t T3      . t −τ  τ  −τ − −     T1 T2   f (t ) = ∫ e −e ⋅ 1 − e T3 dτ   T − T2     0 1     Összeszorzás és kiemelés után: T −T T −T t  τ τ − −τ 3 1 −τ 3 2 − Ap t − T  T T T T2T3 T 1 3 −e f (t ) = e 1 − e 2 − e 3 ⋅e ∫ T1 − T2 0   t Ap    dτ =   t T −T T −T t  τ τ  − −τ 3 1 − τ 3 2  − − Ap    T T T T = − T1e T1 + T2 e T2 − e T3

⋅  − 1 3 e T1T3 + 2 3 e T2T3  = T3 − T2 T1 − T2   T3 − T1     0 t t t −  − − A p  T32 (T2 − T1 ) T12 T22 T3  T1 T2 (T1 − T2 ) + e e e = − +  (T3 − T1 )(T3 − T2 ) T1 − T2  T3 − T1 T3 − T2   Ha pl. Ap=2, T1=10sec, T2=20sec, T3=30sec, akkor az időfüggvénybe való behelyettesítés után a következő eredményt kapjuk: t t t 2  100 −10 400 − 20 900 ⋅ 10 − 30  f (t ) = e e e − 10 + − + 20 10 20 ⋅ 10 − 10     t t  1 −t − 9 − 30  10 20   + 4e − e f (t ) = 2 1 − e 2  2    Alkalmazási példák 10 4. Ha egy tömegpontra, amely csillapítatlan rezgőmozgást végez periodikus erőhatást gyakorolnak, a pont kényszerrezgést végez. Legyen a periodikus gerjesztő erő F=F0sinωgt, ekkor a mozgást leíró differenciálegyenlet: F y + ω2 y = 0 sin ω g t m Legyenek a kezdeti feltételek: y (0 ) = 0, y (0

) = v0 , azaz a tömegpont középen van. Határozzuk meg a kitérést, mint az idő függvényét. Jelenlegi ismereteink szerint ezt a feladatot megoldhatjuk időtartományban is, operátoros tartományban is. Hasonlítsuk össze a két megoldási módszert a, A kapott differenciálegyenlet egy állandó együtthatós, inhomogén másodrendű lineáris egyenlet. Általános megoldását a homogén rész általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának összegeként kaphatjuk meg. A megfelelő homogén y + ω2 y = 0 egyenlet megoldását keressük yh=Asinωt+Bcosωt alakban *. A kezdeti feltételeket ugyan később kell csak figyelembe venni, de célszerűségi okokból ettől most eltérünk. Kihasználjuk, hogy y(0)=0, ezért a m egoldásban cos-os tag biztosan nem lesz, azaz B=0. Ellenőrizzük most, hogy yh valóban megoldása a homogén egyenletnek: y h = Aω cos ωt , yh = − Aω2 sin ωt. Behelyettesítve: − Aω 2 sin ωt +

ω 2 A sin ωt = 0. Látható tehát, hogy yh valóban a homogén egyenlet megoldása. Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását keressük y = y h + a sin ω g t + b cos ω g t = A sin ωt + a sin ω g t + b cos ω g t ( ) próbafüggvény felhasználásával. Az y(0)=0 kezdeti feltétel miatt most is megállapítható, hogy b=0 Helyettesítsük be a próbafüggvényt a differenciálegyenletbe, és rendezzük: y = − Aω2 sin ωt − aω2g sin ω g t − Aω 2 sin ωt − aω 2g sin ω g t + ω 2 A sin ωt + ω 2 a sin ω g t = ( a (ω ) Fm sin ω t ) = Fm a sin ω g t ω 2 − ω 2g = a= 2 − ω 2g ( F0 2 m ω − ω 2g 0 F0 sin ω g t m g 0 ) A homogén rész megoldása két egymástól lineárisan független partikuláris megoldás összegeként kapható. A differenciál egyenlet partikuláris megoldását y=eλt alakban keressük, mert ez az egyetlen függvény, amely arányos a deriváltjaival Behelyettesítve a differenciál egyenletbe: λ2

e λt + ω2 e λt = 0⇒λ2 + ω2 = 0 λ1, 2 = ± jω * y1 = e jωt , y 2 = e − jωt Ez két lineárisan független megoldás, hiszen c1y1+c2y2=0 csak akkor áll fenn, ha c1=c2=0. A homo- gén rész általános megoldása tehát: y h = c1e jωt + c2 e − jωt Alkalmazva az EULER-féle formulát: y h = A sin ωt + B cos ωt , ahol A = c1 + c2 , és B = c1 − c2 . Alkalmazási példák 11 Ahogy az várható is volt, a megoldás egy része (a homogén egyenlet megoldása) kiesett így az egyik paramétert meg lehetett határozni. Az egyik (y(0)=0) kezdeti feltételt már felhasználtuk, vegyük most a másikat A meghatározásához: F0 ω g y = Aω cos ωt + cos ω g t m ω2 − ω2g ( y (0 ) = Aω + A= ( ) F0 ω g m ω2 − ω2g )=v 0 F0 ω g v0 . − ω mω ω2 − ω2g ( ) Behelyettesítés után nyerjük a differenciálegyenlet megoldását: F0 ω g v F0 y = 0 sin ωt − sin ω t + sin ω g t. ω mω ω2 − ω2g m ω2 − ω2g ( ) ( ) b, Oldjuk meg

ugyanezt a f eladatot Laplace-transzformációval. A differenciálegyenlet Laplace-transzformáltja * : ωg F s 2Y (s ) − v0 + ω2Y (s ) = 0 ⋅ 2 m s + ω2g Ezt Y(s)-re rendezve: Y (s ) = ωg F0 v 1 ⋅ 2 ⋅ 2 + 2 0 2. 2 2 m s + ωg s + ω s +ω A Laplace-transzformáció tulajdonságait figyelembe véve az inverz transzformációt tagonként végezhetjük el a táblázat segítségével. Az első tag visszatranszformálását részlettörtekre bontással is elvégezhetjük – ekkor elegendő a kiosztott segédlet – vagy felhasználhatjuk a következő kiegészítő összefüggést: 1 1 (a sin bt − b sin at ) F (s ) = 2 ⇒ f (t ) = 2 2 2 2 s +a s +b ab a − b 2 amellyel az első tag inverz transzformáltja:   F0ω g F0ω g F0 1 = ω − t £ −1  sin sin ωt , ⋅ 2  g s + ω2g s 2 + ω2  m ω2 − ω2g m ω2 − ω2g ω  m a második tag inverz transzformáltja a táblázat segítségével  v  v £ −1  2 0 2  = 0 sin ωt , s

+ ω  ω a differenciálegyenlet megoldása tehát: F0ω g F0 v0 y (t ) = sin ω t − sin ω t + sin ωt. g ω m ω2 − ω2g mω ω2 − ω2g ( )( ) ( )( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) Látható, hogy ezzel a módszerrel is ugyan azt az eredményt kaptuk. * A kezdeti feltételeket itt kell figyelembe venni! Alkalmazási példák 12 7 Átviteli függvény Folytonos, lineáris, koncentrált paraméterű rendszerek esetén a rendszert leíró differenciálegyenlet állandó együtthatós, lineáris, közönséges inhomogén differenciálegyenlet lesz, melynek általános alakja: du d nv dv d mu + b0u (t ) , (19) an n +  + a1 + a0v(t ) = bm m +  + b1 dt dt dt dt ahol u(t) a rendszert érő hatást leíró-, v(t) pedig a rendszer válaszát leíró függvény. Tegyük fel, hogy v(0) = 0, v(0) = 0, v (n −1) (0 ) = 0, valamint u (0 ) = 0, u (0 ) = 0,u (m −1) (0 ) = 0. Ezen feltételek mellett állítsuk elő a differenciálegyenlet Laplace

transzformáltját *: (20) an ⋅ s n ⋅ V (s ) +  + a1 ⋅ s ⋅ V (s ) + a0 ⋅ V (s ) = bm ⋅ s m ⋅ U (s ) +  + b1 ⋅ s ⋅ U (s ) + b0 ⋅ U (s ) Kiemelve V(s)-t és U(s)-t: V (s ) ⋅ an ⋅ s n +  + a1 ⋅ s + a0 = U (s ) ⋅ bm ⋅ s m +  + b1 ⋅ s + b0 . Az átviteli függvény definíció szerint a kimenet Laplace transzformáltja osztva a bemenet Laplace transzformáltjával, tehát: V (s ) bm ⋅ s m +  + b1 ⋅ s + b0 Y (s ) = = . (21) U (s ) an ⋅ s n +  + a1 ⋅ s + a0 Ha egy rendszernek ismerjük az átviteli függvényét, akkor könnyen meghatározhatjuk a különböző bementekhez tartozó válaszokat, hiszen: ( ) ( ) V (s ) = Y (s ) ⋅ U (s ) (22) Problémát csak az inverz transzformáció okozhat, ami nem minden esetben végezhető el. A rendszer vizsgálatok során több un. tipikus vizsgálójelet alkalmaznak Ezek közül most kettőnek, az egység impulzusnak (u(t)=δ(t)) és az egységugrásnak (u(t)=1(t)) a használatát

vizsgáljuk meg. 7.1 Válasz egységimpulzus bemenet esetén Ebben az esetben a választ súlyfüggvénynek hívjuk és a jele w(t). Az egységimpulzus Laplace transzformáltja 1, így a válasz: (23) W (s ) = Y (s ) Elmondhatjuk tehát, hogy az átviteli függvény a súlyfüggvény Laplace transzformáltja. 7.2 Válasz egységugrás bemenet esetén Ebben az esetben a választ átmeneti függvénynek hívjuk és a jele v a (t). Az egységugrás Lap1 lace transzformáltja , így a válasz: s 1 (24) Va (s ) = ⋅ Y ( s ) s Felhasználva az előző (súlyfüggvényre vonatkozó) megállapításunkat: 1 (25) Va (s ) = ⋅ W ( s ) s Ha f(t) Laplace transzformáltja F(s), akkor df Laplace transzformáltja s·F(s)-f(-0). A feltételekre azért van szükség, dt hogy az f(-0) értéke zérus legyen. * Átviteli függvény 13 Tudjuk azonban azt is, hogy ha az operátoros tartományban s-el osztunk, akkor az az időtartománybeli integrálásnak felel meg, így: t va (t ) = ∫

w(τ) ⋅ dτ , (26) 0 azaz az átmeneti függvényt a súlyfüggvény integrálásával kapjuk. Természetesen igaz ennek fordítottja is: dv (27) w(t ) = a . dt Hasonló kapcsolat határozható meg a – ritkábban használt – egységnyi sebességugrás (t·1(t)), t2 és az egységnyi gyorsulásugrás ( ·1(t)) esetén is: 2 d 3vt 2 2 d 2v dv (28) = 2t = a = w(t ) 3 dt dt dt 8 Példák átviteli függvény alkalmazására 1. Legyen a rendszert leíró differenciálegyenlet: T ⋅ v + v(t ) = K ⋅ u (t ), és v(0 ) = 0 rendszer válaszát u (t ) = δ(t ); 1(t ); t ⋅1(t ); sin αt és 1(t − τ) esetén. Határozzuk meg a Első lépésként állítsuk elő a rendszer átviteli függvényét: T ⋅ s ⋅ V (s ) + V (s ) = K ⋅ U (s ) V (s ) K Y (s ) = = U (s ) 1 + T ⋅ s Ebből már könnyen felírható a válasz transzformált alakja: K V (s ) = ⋅ U (s ) 1+ T ⋅ s a, u (t ) = δ(t ) ⇒ U (s ) = 1 1 V (s ) = K 1+ T ⋅ s A táblázat alapján: t 1  1 −T £ 

 = e , ezért 1 + T ⋅ s  T −1  t t 1 − K − v(t ) = K ⋅ e T = e T = w(t ) T T K T w 0 Példák átviteli függvény alkalmazására T t 14 b, u (t ) = 1(t ) ⇒ U (s ) = 1 s V (s ) = K 1 s ⋅ (1 + T ⋅ s ) A táblázat alapján: t −   1 £ −1   = 1 − e T , ezért  s ⋅ (1 + T ⋅ s ) t  −   T v(t ) = K ⋅ 1 − e  = va (t )     K Va 0 T t Ellenőrzésre felhasználhatjuk a súlyfüggvény és az átmeneti függvény közötti kapcsolatot: ′ t t ′    1 −t  K −t −  −  dva       T T = K − K ⋅e w(t ) = = 0 − K ⋅− ⋅e T  = e T = K ⋅ 1− e   T  T    dt          Mint láthatjuk, a deriválás eredményeként tényleg a súlyfüggvényt kaptuk. c, u (t ) = t ⋅1(t ) ⇒ U (s ) = 1 s2 V (s ) = K 1 s ⋅ (1 + T ⋅ s ) 2 A táblázat alapján:  −t t  

 e T + − 1 , ezért £  2 T =   T   s ⋅ (1 + T ⋅ s )   t   −  T v(t ) = K ⋅ T ⋅ e + t − T ⋅1 = vt (t )     Ellenőrzésre felhasználhatjuk azt a tényt, hogy az eredményünk deriválásával az átmeneti függvényt kell kapnunk: ′ t t t      − −  dvt    1  −T    T T =  K ⋅ T ⋅ e + t − T  = K ⋅ T ⋅  −  ⋅ e + K − 0 = K ⋅ 1 − e  = va (t )    dt    T      Mint láthatjuk, a deriválás eredményeként tényleg az átmeneti függvényt kaptuk. −1  Példák átviteli függvény alkalmazására 1 15 Vt T 0 d, u (t ) = sin αt ⇒ U (s ) = t α 2 s + α2 K 1 α ⋅ 2 1  s + α2 T  s +   T Mivel a táblázat most nem segít, ezért nekünk kell meghatározni az inverz függvényt. A V(s) azonban két olyan függvény szorzataként van felírva, amelyek benne vannak

a táblázatban. Ilyen esetben a konvolúciós szorzással próbálkozhatunk. A későbbiekben – más paraméterekkel – elő fog még fordulni ez a függvény, ezért egy általánosabb alak visszatranszformálását végezzük el: α2 1 F (s) = ; G(s) = 2 a+s s + α2 V (s ) = f (t ) = e − at ; g (t ) = sin αt Alkalmazva a konvolúciót, miszerint: t £ −1{F ( s ) ⋅ G ( s )} = ∫ f (t − τ) ⋅ g (τ)dτ 0 esetünkben az t I = ∫ e − a (t − τ ) ⋅ sin ατ dτ 0 integrált kell meghatározni. Mivel ebben a f ormában nem szerepel integrál táblázatban, ezért nekünk kell meghatároznunk Alkalmazzuk a parciális integrálás módszerét v = e − a (t − τ ) , és u = sin ατ helyettesítésekkel: t t  e − a (t − τ )  α t − a (t − τ ) sin αt α I = sin ατ − ∫ e cos ατ dτ = − 0 − ∫ e − a (t − τ ) cos ατ dτ a a0  0 a 0  a Ismét parciális integrálást kell alkalmazni, de most u = cos ατ : t

 α t − α − a (t − τ ) sin αt α  e − a (t − τ ) cos ατ + ∫ sin ατ dτ = −  I= e a a  a  0 a 0 a t α α2 sin αt α = − 2 cos αt + 2 e − at − 2 ∫ e − a (t − τ ) sin ατ dτ a a a a 0 Vegyük észre, hogy a megmaradt integrál éppen a kiinduló integrálunk, amit I-vel jelöltünk, ezért: sin αt α α α2 − 2 cos αt + 2 e − at − 2 I I= a a a a Példák átviteli függvény alkalmazására 16 Ebből az egyenletből I-t kifejezve kapjuk a keresett eredményt: α α a (29) sin αt − 2 cos αt + 2 I= 2 e − at . 2 2 2 α +a α +a α +a K 1 Esetünkben a = és -vel szorozni kell, így a megoldás a lehetséges kiemelések után: T T t  −  K  v(t ) = sin αt − αT cos αt + αTe T  2 2  1+ α T   v t A megoldás helyességét legegyszerűbben a differenciálegyenletbe való visszahelyettesítéssel ellenőrizhetjük. 1 e, u (t ) = 1(t − τ) ⇒ U (s ) = e − τs s 1 V (s ) = K e

− τs s ⋅ (1 + T ⋅ s ) Ha egy visszatranszformálandó függvény e − τs -el van szorozva, akkor csak azt kell visszatranszformálni, ami szorozva van, de t helyett a t-τ helyen kell venni a függvényt (eltolási szabály), így a megoldás: t −τ   − v(t ) = K ⋅ 1 − e T  = va (t − τ) .     K Va 0 Példák átviteli függvény alkalmazására τ T+τ t 17 2. Legyen a rendszert leíró differenciálegyenlet: v + 4 ⋅ v + 3 ⋅ v(t ) = u (t ), és v(0 ) = 0; v(0 ) = 0 Határozzuk meg a rendszer válaszát u (t ) = δ(t ); 1(t ); t ⋅1(t ); sin αt és 1(t − τ) esetén Első lépésként állítsuk elő a rendszer átviteli függvényét: s 2 ⋅ V ( s ) + 4 ⋅ s ⋅ V (s ) + 3 ⋅ V (s ) = U (s ) V (s ) 1 1 Y (s ) = = = 2 (1 + s )(3 + s ) U (s ) 3 + 4 ⋅ s + s A nevezőben lévő másodfokú polinomot a gyöktényezős alak segítségével szorzat formájában is felírhatjuk. Ebből már könnyen felírható a

válasz transzformált alakja: 1 V (s ) = ⋅ U (s ) (1 + s )(3 + s ) a, u (t ) = δ(t ) ⇒ U (s ) = 1 1 V (s ) = W (s ) = (1 + s )(3 + s ) A kiosztott transzformációs táblázatban ilyen alakú függvényt nem találunk. Viszont tudjuk, hogy minden racionális törtfüggvény ún. résztörtekre bontható az alábbiak szerint: 1 c c W (s) = = 1 + 2 (1 + s )(3 + s ) 1 + s 3 + s A c 1 , c 2 konstansok meghatározására használhatjuk a 6. fejezet 2 példájában bemutatott módszert, vagy közös nevezőre hozva, majd összeadva a törteket, a számláló alapján felállíthatunk egy lineáris egyenletrendszert: c c c (3 + s ) + c2 (1 + s ) (3c1 + c2 ) + s (c1 + c2 ) 1 W (s) = = 1 + 2 = 1 = (1 + s )(3 + s ) 1 + s 3 + s (1 + s )(3 + s ) (1 + s )(3 + s ) 3c1 + c2 = 1 a konstans tagra c1 + c2 = 0 az s - t tartalmazó tagokra 1 1 Az egyenletrendszer megoldása: c1 = , c2 = − , így 2 2 1 1 1 1 W ( s) = ⋅ − ⋅ 2 1+ s 2 3 + s A táblázat alapján:  1  − α⋅t , ezért

£ −1  =e α + s  1 1 w(t ) = e −t − e −3t 2 2 (30) w 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 t 0 0 Példák átviteli függvény alkalmazására 1 2 3 4 18 b, u (t ) = 1(t ) ⇒ U (s ) = 1 s 1 s (1 + s )(3 + s ) Hasonlóan járunk el, mint az előző feladatnál a részletszámításokat mellőzve: V (s ) = Va (s ) = Va (s ) = c c c 1 3c + s(4c1 + 3c2 + c3 ) + s 2 (c1 + c2 + c3 ) = 1+ 2 + 3 = 1 s (1 + s )(3 + s ) s 1 + s 3 + s s (1 + s )(3 + s ) 3c1 = 1 4c1 + 3c2 + c3 = 0 c1 + c2 + c3 = 0 1 1 1 c1 = ; c2 = − ; c3 = 3 2 6 1 1 1 1 1 1 Va (s ) = ⋅ − ⋅ + ⋅ 3 s 2 1+ s 6 3 + s 1 1 1 va (t ) = ⋅1(t ) − ⋅ e −t + ⋅ e −3t 3 2 6 va 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 2 4 6 t Oldjuk meg a feladatot másként is. Kihasználhatjuk, hogy már ismerjük a rendszer súlyfüggvényét, és amit keresünk, az az átmeneti függvény Ezen két függvény között azonban ismert a kapcsolat: t t  t t  e −3t 1  1   e − τ   e

−3τ   1  −t  1 − τ 1 − 3τ  = − + + − = − va (t ) = ∫ w(τ)dτ = ∫  e − e dτ =   e 1      − − 2 2 2 1 3 2 3 3          0   0  0 0  1 1 1 = ⋅1(t ) − ⋅ e −t + ⋅ e −3t 3 2 6 1 c, u (t ) = t ⋅1(t ) ⇒ U (s ) = 2 s 1 V (s ) = Va (s ) = s (1 + s )(3 + s ) Hasonlóan járunk el, mint az előző feladatnál, de mivel itt többszörös gyök is van (s=0), ezért az ebből adódó törtet minden – a gyök multiplicitásánal kisebb – kitevővel szerepeltetni kell. A részletszámításokat mellőzve: Példák átviteli függvény alkalmazására 19 Vt (s ) = = 1 s (1 + s )(3 + s ) 2 = c1 c2 c c + 2+ 3 + 4 = s s 1+ s 3 + s 3c2 + s (3c1 + 4c2 ) + s 2 (4c1 + c2 + 3c3 + c4 ) + s 3 (c1 + c3 + c4 ) s 2 (1 + s )(3 + s ) 3c2 = 1 3c1 + 4c2 = 0 4c1 + c2 + 3c3 + c4 = 0 c1 + c3 + c4 = 0 4 1 1 1 c1 = − ; c2 = ; c3 = ; c4 = − 9 3 2 18 4 1 1 1 1 1 1 1 Vt

(s ) = − ⋅ + ⋅ 2 + ⋅ − ⋅ 9 s 3 s 2 1 + s 18 3 + s 4 1 1 1 vt (t ) = − ⋅1(t ) + t + ⋅ e −t − ⋅ e −3t 9 3 2 18 vt 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 1 Ellenőrizzük a kapott eredményt a d, u (t ) = sin αt ⇒ U (s ) = α 2 3 4 t dvt = va (t ) összefüggés felhasználásával. dt s2 + α2 1 s 2 + α (1 + s )(3 + s ) A 2.a, feladatnál kapott (30) eredmény alapján: α α 1 1 1 1 1  V (s ) = 2 ⋅ = 2 ⋅ − ⋅ = 2 (1 + s )(3 + s ) 2  2 1+ s 2 3 + s  s +α s +α   1 α 1 1 α 1 1 1 = ⋅ 2 ⋅ − ⋅ 2 ⋅ = ⋅ V1 (s ) − ⋅ V2 (s ) 2 2 2 s + α 1+ s 2 s + α 3 + s 2 2 V 1 (s) és V 2 (s) hasonló szerkezetű, és inverz transzformáltjukat általános alakban az 1.d, feladatnál már meghatároztuk, így (29) alapján – V 1 (s) esetén a=1, V 2 (s) esetén pedig a=3 – helyettesítéseket alkalmazva: α α α α 1 1  1 3  v(t ) =  e −t  −  e −3t  = sin αt − cos αt + sin αt − cos αt + 2 2 2 2 2 2

2 1+ α 1+ α 1+ α 9+α 9+α  29+α  V (s ) = = 3 − α2 2 2 (1 + α )(9 + α ) sin αt − α ⋅ 2 α α 1 1 e −t − ⋅ e −3t cos αt + ⋅ 2 2 2 9+α 2 1+ α (1 + α )(9 + α ) Példák átviteli függvény alkalmazására 4α 2 2 20 0,035 0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0 -0,005 0 -0,01 -0,015 2 4 1 e, u (t ) = 1(t − τ) ⇒ U (s ) = e − τs s V (s ) = 6 8 10 1 e − τs s (1 + s )(3 + s ) Ha egy visszatranszformálandó függvény e − τs -el van szorozva, akkor csak azt kell visszatranszformálni, ami szorozva van, de t helyett a t-τ helyen kell venni a függvényt (eltolási szabály), így a megoldás (2.b, alapján): 1 1 1 va (t − τ) = ⋅1(t − τ ) − ⋅ e − (t − τ ) + ⋅ e −3(t − τ ) 3 2 6 va 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 τ 2 4 6 t 3. Méréssel meghatároztuk egy rendszer átmeneti függvényét: 10 va t 0 0 2 4 6 8 10 Határozzuk meg a rendszer közelítő átmeneti

függvényét, súlyfüggvényét, átviteli függvényét, és a leíró differenciálegyenletet. Példák átviteli függvény alkalmazására 21 Első lépésként keresnünk kell olyan függvényt, amely az ábrán láthatóhoz hasonló jellegű. Leginkább megfelelőnek a 2,b és 1,e megoldások ábrája tűnik. A 2,b-vel az a baj, hogy túl meredeken indul, így válasszuk az 1,e-t 10 0 va t 0 0,4 2 2,62 4 6 8 10 Az ábrán vékony vonallal jelöltük az eredeti, mért görbét, vastaggal pedig a közelítést. Jól látható, hogy lényeges eltérés csak az elején van, később a közelítő görbe vastagabb vonala teljesen eltakarja az eredeti görbét. K Va 0 τ T+τ t Olvassuk le a paramétereket az ábráról: K=10; τ=0,4; T=2,22. Ezek felhasználásával a közelítő átmeneti függvény: t − 0, 4  t −τ    − −     va (t ) ≈ K ⋅ 1 − e T = 10 ⋅ 1 − e 2, 22          A

súlyfüggvény: t − 0, 4 dva 10 − 2, 22 = w(t ) ≈ e dt 2,22 Az átviteli függvény: t − 0, 4   1 − 2, 22  1 Y (s ) = £ 10 ⋅ e ⋅ e 0, 4 s  = 10 ⋅ 1 + 2,22 s  2,22  A rendszert leíró differenciálegyenlet: v(s ) 10 e 0, 4 s = u (s ) 1 + 2,22s −1  2,22 ⋅ s ⋅ v(s ) + v(s ) = 10 ⋅ u (s ) ⋅ e 0, 4 s dv 2,22 + v(t ) = 10 ⋅ u (t − 0,4 ) dt Példák átviteli függvény alkalmazására 22 9 Példák konvolúció alkalmazására 1. Egy rendszer súlyfüggvénye: w(t ) = 16 ⋅ e −2t Határozzuk meg u (t ) = sin 2t esetén a rendszer válaszát, valamint az átviteli függvényt Alkalmazzuk a konvolúciós tételt: t t t 0 0 0 v(t ) = ∫ w(t − τ) ⋅ u (τ)dτ = ∫ 16e − 2(t − τ ) ⋅ sin 2τ dτ = 16∫ e − 2(t − τ ) ⋅ sin 2τ dτ A (29) összefüggés alapján a=α=2 helyettesítéssel: 2 2 − 2t   2 sin 2t − cos 2t + v(t ) = 16 e  = 4 sin 2t − 4 cos 2t + 4e − 2t 4+4 4+4 4+4

 Az átviteli függvényt a súlyfüggvényből lehet meghatározni: 1 Y (s ) = w(s ) = 16 2+s Ellenőrzésként állítsuk elő a rendszert leíró differenciálegyenletet, majd behelyettesítéssel győződjünk meg róla, hogy v(t) tényleg megoldása. v(s ) 16 = u (s ) 2 + s s ⋅ v(s ) + 2 ⋅ v(s ) = 16 ⋅ u (s ) dv + 2 ⋅ v(t ) = 16 ⋅ u (t ) dt Behelyettesítve: 8 cos 2t + 8 sin 2t − 8e −2t + 8 sin 2t − 8 cos 2t + 8e −2t = 16 sin 2t = 16u (t ) 1 1 1 2. Egy rendszer átmeneti függvénye: va (t ) = − ⋅ e −t + ⋅ e −3t Határozzuk meg u (t ) = sin t esetén 3 2 6 a rendszer válaszát, valamint az átviteli függvényt, a súlyfüggvényt és a rendszert leíró differenciálegyenletet. a, Tetszőleges bemenethez meghatározható a kimenet a konvolúciós tétel felhasználásával, ha ismerjük a súlyfüggvényt. Most az átmeneti függvény adott, amelynek deriválásával azonban a súlyfüggvény előállítható: 1 1 dva = w(t ) = ⋅ e −t −

⋅ e −3t 2 2 dt Alkalmazzuk a konvolúciós tételt: t v(t ) = ∫ w(t − τ ) ⋅ u (τ )dτ = 0 t t 1 − (t − τ ) e ⋅ sin τ − e −3(t − τ ) ⋅ sin τ dτ = ∫ 20 t 1 1 = ∫ e − (t − τ ) ⋅ sin τ dτ − ∫ e −3(t − τ ) ⋅ sin τ dτ 20 20 A (29) összefüggés alapján a=α=1 és a=3, α=1 helyettesítéssel: 11 1 1 1 1  1 3  v(t ) =  sin t − cos t + e −t  −  sin t − cos t + e −3t  = 22 2 2 2 10 10 10    1 1 1 1 1 1 1 3  1 1  =  −  sin t −  −  cos t + e −t − e −3t = sin t − cos t + e −t − e −3t 4 20 10 5 4 20  4 20   4 20  b, Az átviteli függvény a súlyfüggvény Laplace transzformáltja, így: 1 1 1 1 1 3 + s −1− s 1 − ⋅ = ⋅ Y ( s ) = w( s ) = ⋅ = 2 1 + s 2 3 + s 2 (1 + s )(3 + s ) (1 + s )(3 + s ) Példák konvolúció alkalmazására 23 1 −t 1 −3t ⋅e − ⋅e 2 2 d, A differenciálegyenletet az átviteli

függvényből kaphatjuk: v( s ) 1 1 Y (s) = = = u ( s ) (1 + s )(3 + s ) 3 + 4 s + s 2 c, A súlyfüggvényt már meghatároztuk: w(t ) = s 2 ⋅ v( s ) + 4 s ⋅ v( s ) + 3 ⋅ v( s ) = u ( s ) d 2v dv + 3 ⋅ v(t ) = u (t ) dt dt 2 Ellenőrzés: ha a, megoldást a differenciálegyenlet bal oldalába helyettesítjük, akkor sint-t kell kapni eredményül: 1 1 1 1 v(t ) = sin t − cos t + e −t − e −3t 10 5 4 20 dv 1 1 1 3 = cos t + sin t − e −t + e −3t dt 10 5 4 20 d 2v +4 1 1 1 −t 9 −3t + + sin cos t t e − e 10 5 4 20 dt 2  1 4 3 1 4 3  1 4 3  −t  9 10 3  −3t − e =  − + +  sin t +  + −  cos t +  + + e +  − +  10 5 10   5 10 5  4 4 4  20 20 20  10 = sin t + 0 ⋅ cos t + 0 ⋅ e −t + 0 ⋅ e −3t = sin t 10 =− 3. Egy rendszer átmeneti függvénye: va (t ) = e −2t + 2t − 1 Határozzuk meg u (t ) = sin 2t esetén a rendszer válaszát, valamint az átviteli

függvényt, a súlyfüggvényt és a rendszert leíró differenciálegyenletet. a, Tetszőleges bemenethez meghatározható a kimenet a konvolúciós tétel felhasználásával, ha ismerjük a súlyfüggvényt. Most az átmeneti függvény adott, amelynek deriválásával azonban a súlyfüggvény előállítható: dva = w(t ) = −2 ⋅ e − 2t + 2 dt Alkalmazzuk a konvolúciós tételt: t t 0 0 ( ) v(t ) = ∫ w(t − τ) ⋅ u (τ)dτ = ∫ 2 − 2 ⋅ e − 2t ⋅ sin 2τ dτ = t t t t  cos 2τ  = 2∫ sin 2τ dτ − 2 ∫ e − 2(t − τ ) ⋅ sin 2τ dτ = 2 − − 2 ∫ e − 2(t − τ ) ⋅ sin 2τ dτ =  2 0  0 0 0 t = − cos 2t + 1 − 2 ∫ e − 2(t − τ ) ⋅ sin 2τ dτ 0 A (29) összefüggés alapján a=α=2 helyettesítéssel: 1 1 1 1 1 1  v(t ) = 1 − cos 2t − 2 sin 2t − cos 2t + e − 2t  = 1 − sin 2t − cos 2t − e − 2t 4 4 2 2 2 4  b, Az átviteli függvény a súlyfüggvény Laplace

transzformáltja, így: 1 2 2+s−s 4 Y ( s ) = w( s ) = −2 ⋅ = + = 2⋅ 2+s s s (2 + s ) s (2 + s ) c, A súlyfüggvényt már meghatároztuk: w(t ) = −2 ⋅ e −2t + 2 Példák konvolúció alkalmazására 24 d, A differenciálegyenletet az átviteli függvényből kaphatjuk: v( s ) 4 1 Y ( s) = = = u ( s) s(2 + s) 2s + s 2 s 2 ⋅ v( s ) + 2 s ⋅ v( s ) = 4 ⋅ u ( s ) d 2v dv + 2 = 4 ⋅ u (t ) 2 dt dt Ellenőrzés: ha a, megoldást a differenciálegyenlet bal oldalába helyettesítjük, akkor 4 ⋅ sin 2t -t kell kapni eredményül: 1 1 1 v(t ) = 1 − sin 2t − cos 2t − e − 2t 2 2 2 dv = − cos 2t + sin 2t + e − 2t dt d 2v dt 2 = 2 sin 2t + 2 cos 2t − 2e − 2t (2 + 2)sin 2t + (2 − 2)cos 2t + (− 2 + 2)e − 2t = 4 sin 2t = 4u (t ) Példák konvolúció alkalmazására 25 Tartalomjegyzék 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bevezetés . 2 A FOURIER-transzformáció . 2 A LAPLACE-transzformáció. 3 3.1 Néhány egyszerű függvény Laplace-transzformáltja. 3

3.11 Az egységugrás Laplace transzformáltja . 3 3.12 Az egységnyi sebességugrás Laplace transzformáltja . 3 3.13 Az exponenciális függvény Laplace transzformáltja . 4 3.2 Fontosabb alkalmazási szabályok (műveletek) . 5 3.21 LINEARITÁSI szabály . 5 3.22 ELTOLÁSI szabály. 5 3.23 HASONLÓSÁGI szabály . 5 3.24 DIFFERENCIÁLÁS időtartományban . 5 3.25 INTEGRÁLÁS időtartományban . 6 Alkalmazási példa . 8 Konvolúciós szorzás időtartományban . 9 Alkalmazási példák . 9 Átviteli függvény . 13 7.1 Válasz egységimpulzus bemenet esetén . 13 7.2 Válasz egységugrás bemenet esetén . 13 Példák átviteli függvény alkalmazására . 14 Példák konvolúció alkalmazására . 23