Fizika | Felsőoktatás » Modern Fizika jegyzet, 1999

TARTALOM 1. A Galilei-féle relativitási elv, éterhipotézis, a Michelson-kísérlet A speciális relativitás elve 2. A Lorentz-transzformáció, kinematikai következmények 3. Relativisztikus dinamika: tömegnövekedés, mozgásegyenlet, tömeg-energia ekvivalencia., a Cockroft-Walton kísérlet 4. A hőmérsékleti sugárzás 5. A kvantummechanika néhány egyéb kísérleti előzménye: szilárdtestek fajhője alacsony hőmérsékleten, fotoeffektus, Compton-szórás 6. Radioaktivitás, α-,β- és γ-bomlás, radioaktív bomlástörvény, bomlási sorok Ionizáló sugárzások dozimetriája 7. Az atommag felfedezése, a Rutherford-formula, az atommag főbb tulajdonságai 8. Gázok és gőzök színképe, Bohr-posztulátumok, Franck-Hertz-kísérlet A Hatom Bohr-modellje 9. Az anyag hullámtermészete: de Broglie-hipotézis, hullámcsomag, fázis- és csoportsebesség, elektron-interferencia 10.Határozatlansági reláció, kapcsolat a hullámcsomaggal, mikroszkópos mérés,

zérusponti energia, gerjesztett állapot élettartama 11.A kvantummechanika alapelvei: a hullámfüggvény tulajdonságai, operátorok és fizikai mennyiségek, sajátérték egyenlet, a Heisenberg-féle felcserélési törvények, Schrödinger-féle reprezentáció 12.Az időfüggő Schrödinger egyenlet, középérték a kvantum-mechanikában, Ehrenfest-tétele, a kvantummechanika és a klasszikus mechanika kapcsolata. A stacionárius állapotok 13.Az energiasajátérték-egyenlet megoldása: a kötött részecske kvalitatív tárgyalása. A (0,a) intervallumra korlátozott részecske 14.A szabad részecske, áthaladás potenciállépcsőn és -gáton, alagúteffektus 15.Az impulzumomentum sajátértéke, iránykvantálás, a kvantumszámok rendszere az egyelektronos atomban 16.A mágneses momentum, Zeeman-effektus, Stern-Gerlach kísérlet, az elektronspin 17.A többelektronos atomok, független részecske közelítés, Pauli-elv, periódusos rendszer. A röntgen sugárzás

18.Kvantumstatisztikák A klasszikus-, a Bose-Einstein- és a Fermi-Dirac statisztika 19.A lézer: indukált emisszió, populációinverzió, tükörrezonátor, a rubinlézer és a He-Ne gázlézer 20.A nukleáris kölcsönhatás, kötési energia, a cseppmodell Az α- és a β-bomlás értelmezése 21.Maghasadás, láncreakció, atomreaktorok Magfúzió 2 8 14 22 31 38 46 52 59 64 71 75 81 87 94 99 105 112 117 123 131 Miskolci Egyetem Gépészmérnöki Kar Fizikai Tanszék MODERN FIZIKA Jegyzet Dr. Paripás Béla előadásai alapján lejegyezték a harmadéves informatikus hallgatók Ajánlott irodalom: Firkó:Fizika 3(jegyzet) Budó-Mátrai : Kisérleti fizika 3 Marx György : Kvantummechanika Simonyi Károly : Elektronfizika Tóth Eszter : Fizika 4(gimnáziumi tankönyv) Bevezetés : A féléves anyag felépítése : -Speciális relativitáselmélet(20%) -Kvantummechanika és atomfizika(60%) -Atommagfizika(20%) sebesség méret nagy l>>a0 kicsi l≈a0 kicsi

v<<c nagy v≈c klasszikus mechanika kvantummechanika relativisztikus mechanika relativisztikus kvantummechanika c : Fénysebesség a0 : Atomi méret Relativisztikus mechanika⇒v⇒0⇒Klasszikus mechanika(Asszimptótikus határeset) Kvantummechanika⇒l⇒0⇒Klasszikus mechanika(Asszimptótikus határeset) 1. tétel: A Galilei-féle relativitási elv, éterhipotézis, a Michelson-kísérlet A speciális relativitás elve Speciális relativitáselmélet Azért speciális a relativitáselmélet,mert inerciarendszereket vizsgálunk.(V állandó) Galilei transzformáció(Galilei féle relativitási elv) K y K y V x x O x(t)=x(t)-V⋅t O x Deriválva x dx , dx = −V dt dt 2 y(t)=y(t) ahol vx= dx dt és vx= dx , stb. dt z(t)=z(t) A fentiekből a sebbességekre kapjuk: vx=vx-V vy=vy vz=vz A fenti képletek a hely- és sebességkoordinátákra vonatkozó Galilei-transzformáció képletei.Ezek a klasszikus mechanikában érvényesek. A gyorsulások: dv dv

, x dv x De (mivel V=állandó) ax= x = dt dt dt dv , x ax= Ezért ⇒ ax=ax dt ay=ay az=az A dinamika alapegyenlete:   ma = F ⇑ ⇑ rendszerfüggetlenek   F = F (relatív hely, relatív sebesség, idő) A dinamika alapegyenlete bármely inerciarendszerben ugyanolyan alakú. A klasszikus mechanika egyenletei minden inerciarendszerben ugyanolyan alakúak (Galilei-féle relativitási elv). Az elektrodinamikában azonban abszolút sebességek is bejönnek, pl: c= 1 µ 0ε 0 Éter: az a feltételezett közeg, amelyben a fénysebesség minden irányban c. Kísérlet e rendszer megkeresésére, illetve arra, hogy a Föld az éterhez képest milyen sebességgel mozog (Michelson-kísérlet, 1887-től). 3 A mai napig használják a Michelson interferométert preciziós távolság- és sebességmérésre. A féligáteresztő tükörtől az egyes tükörig a fény terjedési sebessége c-V. A tükörről visszaverődve ez a sebesség c+V lesz. Kérdés: Mennyi idő

szükséges ahhoz, hogy a fény ezt az oda-vissza utat megtegye ? t1 = l1 l1 l 1 ( c + V + c − V) 2cl 1 2l 1 = 2 ⋅ + = 2 2 2 = c−V c+V c c −V c −V 1 V2 1− 2 c Vt l 2 ct l2 2 + V 2 t 2 = c 2 t 2 l 2 2 = t 2 (c 2 − V 2 ) l2 l2 t= = ⋅ 2 2 c c −V t2 = 2l 2 ⋅ c 1 V2 1− 2 c 1 V2 1− 2 c 4 Az időkülönbség tehát : ∆t = t 2 − t1 = 2 c ( l2 1− V2 c2 − l1 ) V2 1− 2 c Az interferométert 90 fokkal elforgatjuk a rajzra merőleges tengely körül. Ekkor : ∆t = l2 l1 − ) 2 2 c V V 1− 2 1− 2 c c 2 ( Nyilvánvaló, hogy ∆t ≠ ∆t . Más interferenciaképet hoz létre, interferenciacsík eltolódás lenne várható. Azonban, a kísérlet eredménye: nincs csíkeltolódás! Ebből következik, hogy az interferométer az éterhez képest nem mozog (bárhol vizsgáljuk). Új elméletre volt szükség: EINSTEIN (1905) A speciális relativitás elve : 1. Nincs abszolút vonatkoztatási rendszer (éter), az inerciarendszerek

egyenértékűek minden fizikai kísérlet szempontjából. 2. A fény minden rendszerben izotrop módon minden irányban ugyanolyan c sebességgel terjed Ez szöges ellentétben áll a GALILEI-féle transzformációval ! A fénysebesség pontos értéke : c=299792458 m/s. Ez rögzített, ezért hibamentes érték, ezen alapszik a távolság egysége. Magyar vonatkozás: BAY ZOLTÁN kezdeményezésére 1983-ban újradefiniálták a méter fogalmát: 1 Egy méter az a távolság, amit a fény másodperc alatt befut. 299792458 Mi lehet a hiba a GALILEI-transzformációban ? x = x − Vt nyilvánvalóan igaz vx=vx-V pedig már nyilvánvalóan hibás dx dx Hibát tehát a kettő között vétünk. A v x = képlet helyes, de a v x = nem mivel az idő a két dt dt rendszerben esetleg másképpen telhet. Az, hogy t ≠ t , azaz az idő a különböző rendszerekben nem feltétlenül telik egyformán, tehát a speciális relativitási elvből következik. Mivel az idő rendszerfüggő egy

pont helyzetének leírásához 4 koordináta kell: a K rendszerben x, y, z, t a K rendszerben x, y, z, t. Új kinematikát kell kialakítani. 5 Az idő fogalmának újragondolása Az események időadatai nem abszolút jelentésűek, vagyis függenek a vonatkoztatási rendszer mozgásállapotától. Az órák szinkronizálása Egy esemény időadata minden koordináta-rendszerben más. Az inerciarendszer helyi óráinak szinkronizálása a fénysebesség állandóságának az elvén történik. y K A r1 B r2 x 0 A K rendszer pontjaiban azonos szerkezetű órákkal rendelkező megfigyelők vannak. Előre megmérjük minden helyi órának a 0 ponttól való távolságát. Fényjelet bocsájtunk ki a 0-ban lévő óra t=0 állásakor és meghagyjuk, hogy az A pontbeli megfigyelő az óráját a fényjel megérkezésekor állítsa a t=r/c időre. Ennyi idő kellett a fénynek az r1 távolság megtételéhez A K rendszer összes helyi óráit összeigazíthatjuk egy és ugyanazon

fényjellel és így az egységes rendszeridőt mérni tudjuk. Az esemény helyszínén leolvasható mutatóállás az esemény időpontja A és B pontban lévő órák egymás közt is szinkronok, ha az 0 pontban lévő órával szinkronizálva vannak. K y K y V A r r 0 0 x x Két különböző koordináta-rendszer óráit is szinkronizálhatjuk ugyanazzal a fényjellel. K rendszer a K rendszerhez képest állandó V sebességgel mozog az x tengely mentén, x tengely egybeesik x tengellyel, ezért K rendszer szintén inerciarendszer. Minden irányban c a terjedési sebessége a fénynek a K rendszerben. Amikor a két rendszer 0 és 0 origói összeesnek, t=t=0 fényjelet 6 bocsájtunk ki. A fény terjedése közben a két rendszer távolodik egymástól Amikor a fényjel megérkezik A pontba, akkor ebben a pontban lévő megfigyelő: - ha K rendszerhez tartozik, akkor óráját t=r/c időre - ha K rendszerhez tartozik, akkor óráját t=r/c időre állítja be. Mivel r

és r nem egyezik meg, ezért t sem lehet egyenlő t-vel A rendszeridők tehát különbözőek. Egységes világidőt nem tudunk mérni, nem lehet értelmezni 7 2. tétel: A Lorentz-transzformáció, kinematikai következmények A speciális relativitás elvének megfelelő transzformáció A Lorentz transzformáció ( A lényegét Einstein ismerte fel. ) K y K y V x x O A keresendő alak: Feladat: α , β , χ , δ meghatározása I. O meghatározása K-ban O x x x = αx + βt y = y z = z t = γt + δx x = 0; x = Vt 0 = αVt + βt ⇒ β = -αV (*) II. O mozgása K - ben A rendszerek egyenértékűségéből: ez a sebességfüggvény. x = 0; x = -Vt Ezeket felhasználva: t = γt + 0 x = βt = − Vt = − Vγt β = − Vγ (*) (*), () ⇒ α = γ x = γ ( x − Vt ) (*) δ t = γ ( t − x) γ III. Fényjel a +x tengely irányába 8 c= x x = ( II.elv ) t t x −V c−V x x − Vt t = = =c (*) - ot felhasználva: c = = δ δx δ t 1+ c t + x 1+ γ γt γ

δ c − V = c + c2 γ V δ =− 2 ⇒ γ c x = γ (x - Vt) V t = γ (t - 2 x) Itt már csak γ ismeretlen c K és K egyenéertékűsége miatt a „visszatranszformáció” alakja is ugyanolyan kell legyen V x = γ ( x+ Vt ) x = [ γ ( x − Vt ) + Vγ ( t − 2 x)] = c ⇒ V γ 2 V2 x t = γ ( t + 2 x ) 2 2 2 = γ x − Vγ t + Vγ t − c c2 x = γ 2 x(1 − γ2 = V2 ) c2 1 1 2 ⇒ γ = V V2 1− 2 1− 2 c c A mínusz előjel rossz lenne, ezt onnan látjuk, hogyha a V=0 esetet nézzük. Megjegyzés: c=299792458 x’= γ (x - Vt) γ = m m ≈ 3 ⋅ 108 s s 1 V2 1- 2 c : Lorentz faktor y’= y z’= z t’= γ (t - V x) c2 V ≈0 c2 A transzformáció visszafelé: ha V << c γ ≈ 1 , 9 x = γ (x+Vt) y = y z = z V t = γ (t+ 2 x ) c Lorentz transzformáció lineáris (változók helyébe differenciáljukat írhatjuk): dx = γ (dx - Vdt) dy = dy dz = dz V dt = γ (dt - 2 dx) c Kinematikai következmények 1. sebességtranszformáció: dx −v v −V dx dx -

vdt dt vx = = = = x V v v dx dt 1- 2 v x dt - 2 dx 1- 2 c c c dt v y = dy = dt vy dy = v v γ (dt - 2 v x ) γ (1- 2 v x ) c c y irányú sebességet befolyásolja az x irányú sebesség Példa: Két repülőgép egymással szembe mozog, a fölről nézve mindkettőnek 1000 m/s a sebessége. Mekkora a relatív sebességük ? K K y y V v = -V x x 10 Legyen: V = 10 3 m m c = 3 ⋅ 108 s s V 10 3 1 = ⋅ 10 −5 8 = c 3 ⋅ 10 3 v x = V2 1 = ⋅ 10 −10 ~ 10 −11 9 c2 -V-V 2V V 2 m =− ) ) = 1,99999999998 ⋅ 10 3 2 ≈ −2 V(1- ( V c s V 1- 2 ( − V) 1+ 2 c c 2. Idődilatáció: sajátrendszer : amiben a részecske áll K egy részecske sajátrendszere ⇒ ∆x ′ = 0 (a részecskén bekövetkező két esemény távolsága 0) ∆t ′ = τ : a két esemény közt eltelt idő a részecske saját rendszerében V ∆t = γ ⋅ ( ∆t ′ + 2 ⋅ ∆x ′) c γ > 1 ha V ≠ 0 ∆t = γ ⋅ τ Ha nem a sajátrendszerből nézzük a két eseményt, akkor az eltelt

idő hosszabbnak tűnik. Példa : a müon esete (µ − ) A magaslégkörben keletkezett müon elbomlik. µ − e− + ~ νe + ν µ ~ ν : elektron anti-neutrínó e ν µ : müon-neutrínó τ = 2 ⋅ 10 −6 s élettartama a saját rendszerében c-vel haladva s = c ⋅ τ = 3 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 10 −6 = 600m Ennél messzebb nem juthatna. Kísérlet alapján : 20 km-t megtéve a többségük még nem bomlik el. (a magaslégkörből a Föld felszínére érnek) Ez az idődilatáció első kísérleti bizonyítéka. 3. Távolságkontrakció: 11 egy rúd áll (nem mozog ;) ∆x ′ = l 0 A mozgó rúd hosszának megmérése : K ′ -ben A főóra (F) akkor áll meg, ha a rúd eleje odaér. A többi óra (A), akkor, ha a rúd vége ér oda. Kiválasztjuk az egyforma állású órákat. ∆t = 0 ∆x ′ = γ ⋅ ( ∆x − V ⋅ ∆t ) l0 ∆x = l 0 = γ ⋅ ∆x γ ∆x < l 0 Tehát más rendszerből nézve rövidebb lesz. Probléma : két vonatról nézve mindig a másik

látszik rövidebbnek. Feloldás : V ∆t = γ ⋅ ( ∆t ′ + 2 ⋅ ∆x ′) c V ∆t ′ = − 2 ⋅ l 0 c Magyarázat : a másik rendszerben nem ugyanakkor nyomták le az órákat. (legalábbis az első rendszerből úgy látszott) 4. Egyidejűség: V ∆t ′ = γ ⋅ ( ∆t + 2 ⋅ ∆x) c Ha ∆t = 0 ≠> ∆t ′ = 0 csak ha ∆x = 0 is teljesül. Példa : a., 1987A (amely 1987-ben fénylett föl a Nagy Magellán Felhőben) jelű szupernova 60000 fényévre van tőlünk, azaz 60.000 évvel ezelőtt robbant fel a Föld rendszerében b., A régészek találtak egy 60000 éves csontvázat (Ez azt jelenti, hogy a csontvázhoz tartozó ember 60 ezer éve halt meg.) A Föld rendszerében a két esemény (a robbanás és az ősember halála) egyidejűleg történt, más rendszerben lehet, hogy más időpontban. 5. Az ok-okozat időrendje: Legyen adott két esemény: 1. esemény: ok (pl: felrobbant a szupernova a Nagy Magellán felhőben) paraméterei: x1 , t1 2. esemény: okozat

(pl: megírták a Földön az újságok) 12 paraméterei: x2 , t2 Képezzük: ∆ x=x2 - x1 ∆ t=t2 - t1 } a Föld rendszerében. ∆ x: két esemény távolsága ∆ t: a két esemény időtávolsága ∆x ≤ c , (mert a jel odaért) 1. feltétel: A fény sebességénél nincs nagyobb sebességű jel ∆t A vesszős rendszerben (tetszőleges másik rendszer) is először az ok, majd az okozat következik. Lássuk miért: V ∆t = ( ∆t − 2 ∆x) , c ∆ x≤c∆ t V V V V V ∆t = γ ( ∆t − 2 ∆x) ≥ γ ( ∆t − 2 c∆t ) = γ ( ∆t − ∆t ) = γ ⋅ ∆t (1 − ) , 1 − > 0 c c c c c V<c 2. feltétel Figyelembe vesszük, hogy koordináta rendszer csak anyagi ponthoz rögzíthető. ∆ t ′ >0, (ugyanúgy, mint ∆ t) azaz bármely inerciarendszerben az ok megelőzi az okozatot. 13 3. tétel: Relativisztikus dinamika: tömegnövekedés, mozgásegyenlet, tömegenergia ekvivalencia, a Cockroft-Walton kísérlet Előzmény: • A Maxwell egyenletek

invariánsak a Lorentz-transzformációval szemben. ⇒ Minden inerciarendszerben ugyanolyan alakúak. • A Newton törvények a Galilei-transzformációval szemben invariánsak. ⇒ Nem invariánsak a Lorentz-transzformációval szemben. ⇒ A Newton törvények különböző inerciarendszerekben másként néznek ki. A Newton törvények nem helyes természeti törvények, mert a helyes természeti törvények minden inerciarendszerben azonos alakúak. Feladat: • A Newton törvények helyett helyes természeti törvények keresése. • Minél több fogalmat, törvényt szeretnénk a régiekből megtartani. Ragaszkodunk a következőkhöz: ha nincs erőhatás , akkor a lendület maradjon állandó( a lendület megmaradás zárt rendszerben igaz )    Nyilt rendszerben igaz a F = p összefüggés, ahol p = mv de elvetjük a tömeg állandóságát : m=m (v) Egy speciális esetben levezetjük az m(v) összefüggést : K y K y V p p* V x x K -ben a sebesség

ütközés ütközés előtt után K- ban a sebesség ütközés ütközés előtt után K- ban a tömeg ütközés ütközés előtt után p V 0 v V m m p* -V 0 0 -V m0 m * p és p * egyforma részecske a saját rendszerében. Tökéletesen rugalmatlan ütközés ( közös sebességük lesz ütközés után ) K -ben a két részecske tömege egyforma volt. m0 : a részecske tömege a saját rendszerében , nyugalmi tömeg Tömegmegmaradásban hiszünk : * ( K -ban ) m + m0 = m + m 14 Lendületmegmaradás : ( K - ban ) * mv = mV+ m V = ( m + m 0 ) V mv − mV = m 0 V m V m0 m= 0 = v v − V −1 V m=m(v)=? v x + V Emlékeztető : A sebességtranszformációs képlet : v x = V 1 + 2 v x c Itt : 1 2V ′ alakot keressük v > V ′ , mert V ′ < c v= 2 V′ V′ 1+ 2 c 2 ′ V v + 2 v = 2V ′ / : V ′ 2 c v v 2 1 másodfokú egyenlet -re − + 2 =0 2 V′ c V′ V′ 1 = V′ 2± 4−4 2v v2 c2 1± 1− = v v2 c2 v v =1± 1− 2 V′ c a - (minusz )

jel csak V ′ > c esetén ; a természetben nem fordul elő , mert V ′ < c . 2 v v2 = 1+ 1− 2 V′ c m0 m= = m0γ v2 1− 2 c m = m 0 ha V << c m ∞ ha V c m m0 1 c 3 2 c 3 c v 15 Ha a tömeg sebességfüggő lesz , akkor fenntartható az impulzusmegmaradás és a tömegmegmaradás . MOZGÁSEGYENLET RELATIVISZTIKUSAN: Mivel a relativisztikus dinamikában is ragaszkodunk az F = Hiba!p és p = m*v összefüggésekhez , ezért felírhatjuk az     (1) F = p = (m * v ) ′ = ma + mv egyenletet. Ahol meg kell jegyeznünk, a gyorsulás általában nem párhuzamos az erő irányával Tudjuk azt is, hogy m0 m = m0 γ= (2) v2 1− 2 c Ezt behelyettesítve kapjuk magát a relativisztikus mozgásegyenletet:   F= Hiba!  m0 v 1− v 2  c  (3) 2 Példaként tekintsük az állandó erő hatása alatt mozgó tömegpontot! F = F0 (időben állandó). Klasszikusan: F0 = ma ==> a = Hiba! (gyorsulás) kezdőfelvétel: V(t=0) = 0

V= at = F0t / m (4) Relativisztikusan: Mivel egyenes vonalú egyenletes mozgásról van szó, a (3) egyenletből a vektorjelek elhagyhatók.  F0 =   m0 v 1− v 2   c  2 • (5) Az idő szerint integrálva, és a kapott egyenletre a Newton-Leibniz tételt alkalmazva   m0 v   dt = (6) F0t = Hiba!  2 2  1− v c  = m0 v( t ) 1− v F0t= 1− 2 c − m0 0 1 − 0 c2 m0 v( t ) 1 − v 2 ( t ) c2 2 v2 ( t ) m 0 v2 ( t ) = c2 F02 t 2  m 20  m 20 c2  1 2 2 ( ) +  = v t c  2 2 + 1  F02 t 2 c2   F0 t  c v( t ) = m 2 c2 1 + 20 2 F0 t 1 = v ( t ) 2 2 (7) (8) (9) (10) (11) 16 V(t) c t A c -t soha nem lépheti át ez a görbe.==> A nyugalmi tömegű részecske a fény sebességet soha nem érheti el. Ha m0=0, akkor V=c. Ha m0 nem egyenlő 0-val, akkor V< c. Ha nyugalmi tömeggel nem rendelkező részecskét mozgásba hozunk, akkor az fénysebességgel mozog. Relativisztikus

teljesítménytétel: Klasszikus fizikában: // Ezt a részt meg szeretnénk tartani P = T P=teljesítmény T= 1 m V2 2 // Ez a rész nem fog megmaradni T=kinetikus energia   P = F ⋅ V = FV // Ha a mozgás egyenes vonalú ( ) • V  = 1 P2 = // β = : relatív sebesség mP = FmV = pp C 2 • 1 2 2 2 2 m0 γ β c Nevezzük ezt az (1)-es egyenletnek. = 2 ( ) Segédtétel: β2 γ 2 = γ 2 − 1 (γ= 1 V2 1− 2 c = 1 1− β 2 ) Biz: 17 β2 1− β 2 = β2 − 1 + 1 1− β 2 = 1 γ2 −1 2 −1= 1− β A segédtételt felhasználva az (1)-es egyenletre: = ( ( ) ) 1 2 2 2 m c γ −1 2 0 • // Csak a γ függvénye az időnek ,ezért a másik tag = deriváltja nulla. ( 1 2 2 2 m c γ = 2 0 = ) • ( ) 1 2 2 2 m c γ 2 0 = • = m 20 c2 γ γ mP = m 0 γm 0 γ c2 // így a (2)-es egyenlet egyszerüsíthető m-el m0 γ = m  m 0 γ = m P = m 0 γ C2  2 = P = mc P= (2) // így d ( mc 2 ) dt d ( mc2 ) dt

A tömegpontra ható erők teljesítménye egyenlő a tömegpont tömegének a sebesség négyzetének szorzatának az idő szerinti deriváltjával. T = mc 2 + K T=kinetikus energia Feltétel: // Figyelembe véve a hogy P = T T=0 ha V=0 0 = m 0 c2 + K m( V = 0) = m 0 K = − m 0 c2 T = m c2 − m 0 c2 = ( m − m 0 ) c2 = m 0 c2 ( γ − 1) T = m0 c2 ( γ − 1) Relativisztikus kinetikus energia 18 Azt várjuk, hogy ebből a képletből kijön a klasszikus kinetikus energia képlete, miszerint 1 T = m V2 . 2 ( ( )) V γ − 1 = 1− c 1 2 −2 −1= A Taylor sorfejtést akarjuk használni,melynek általános alakja: (1 − x) m = 1 − mx + m(m − 1) 2 x −. 2! Ezt használva az egyenletre: ( ( )) γ − 1 = 1− V c 1 2 −2 ()  1 V − 1 = 1/ −  −  ⋅  2 c () () 1 V γ −1≈ 2 c 2 3 V + 8 c 2 ()  1   3 1 V + −  ⋅−  ⋅ ⋅  2   2  2! c 4 −.−1/ 4 Nem elégszünk meg az

első el nem tűnő taggal, 2 is kell.  1 V2 3 V4  1 3 V4 2 = + + m m T ≈ m 0 c2  V   2 c2 8 c4  2 0 8 0 c2 1 1 ha V<<c T > m 0 V2 T m 0 V2 2 2 /:c 2 m c2 = m 0 c 2 + T m c2 = teljes relativisztikus energia m 0 c2 = nyugalmi energia m = m0 + T c2 E = mc2 m : teljes tömeg m0 : nyugalmi tömeg T : kinetikus tömeg c2 Tömeg - energia ekvivalencia E 0 = m 0 c2 T = kinetikustömeg ⋅ c2 Bármely energia megkapható ha a tömeget megszorozzuk a c2 -el. Az energiamegmaradás mostantól csak a teljes relativisztikus energiára igaz. Tömegmegmaradás a teljes tömegre érvényes. 19 Ez kisérleti tapasztalatból ismert. Megjegyzés: - A szén égése C+O2=CO2 A kémikusok a múlt évszázadban közönséges - tehát nem precíziós a mai értelemben - mérleggel végzett méréssel azt tapasztalták ,hogy a reakció során a kezdeti tömegek megegyeznek a végtömegekkel, azaz: m(C)+m(O2)≈ m(CO2). Napjainkban -pontos- szupermérleggel végzett

mérés során azonban azt tapasztaljuk,hogy a tömegmegmaradás nem áll fenn,ugyanis a fény is elvisz egy bizonyos tömeget, azaz: m(C)+m(O2)>m(CO2). A kezdeti tömeg mk=m(C)+m(O2) és a végtömeg mv=m(CO2) esetén ∆m=mv-mk. A ∆ m a tömeghiány vagy más néven a tömegdefektus,melyre igaz hogy: 0>∆m. A tömegdefektus és a kezdeti tömeg aránya: ∆m ≈ 10 − 9 nagyságrendű,ami a kémia módszereivel kimutathatatlan. mk - Atommagfizikai kísérlet Cockroft - Walton kísérlet /1932,ők gyorsítottak először töltött részecskéket/. A kísérlet lényege ,hogy protont gyorsítottak fel néhány százezer volt feszültséggel, és Lítiumnak ütköztették. 1 1 H + 73 Li 2 42 He . Tapasztalatuk a következő volt: m 0 ( 11 H ) + m 0 ( 73 Li) > 2 m 0 ( 42 He) m 0 k = m 0 ( 11 H ) + m 0 ( 73 Li) m 0 v = 2 m 0 ( 42 He) ∆m 0 = m 0 v − m 0 k ∆m 0 < 0 A reakció során tehátnyugalmi tömeg tűnik el.A tömeghiány és a kezdeti tömeg aránya: ∆m 0

> 10 − 3 ,amely a mai műszerekkel már igen pontosan mérhető. m0 k - Kinetikus energiák T( 11 H ) + T( 73 Li) < 2T( 42 He) 20 ∆T = Tv − Tk a reakció során keletkezett kinetikus energia. T ∆T Mint tudjuk m = m 0 + 2 , tehát ∆m = ∆m 0 + 2 mivel a fénysebessége /c/ állandó. c c ∆m=0 azaz a reakció során megmaradt az össztömeg. Helytelen tehát azt mondani, hogy tömegből energiát csináltunk a folyamatban. Helyesen azt mondhatjuk, hogy a nyugalmi tömeg kinetikus tömeggé alakul vagy másképpen fogalmazva a nyugalmi energia kinetikus energiává. nyugalmi tömeg kinetikus tömeg, nyugalmi energia kinetikus energia. -Párkeltés, szétsugárzás A γ sugárzásból elektron - pozitron pár keletkezik és az összes energia tömeg és impulzus megmarad,csak némileg átalakul. A kinetikus energia részben (vagy teljesen) nyugalmi energiává alakul. A párképződés ellentétét a szétsugárzást (annihilációt) is megfigyelték.Ekkor

elektron és pozitron ütközik, midkettő eltűnik és tömegükkel megegyező energiájú γ - sugárzás keletkezik. Itt a nyugalmi energia kinetikus energiává alakul. Záró megjegyzés A speciális relativitáselmélet tulajdonképpen a klasszikus fizika betetőzése. Lényegében nem tesz mást mint kiküszöböli a klasszikus fizika kiépítése során elkövetett hibákat. Hasonlat: A klasszikus fizika egy lapostetős tízemeletes ház. A lapostető azonban tökéletlen és az épület beázik. A beázást ház legfelső szintjén lakó fizikusok észlelik, ám a földszinten lakó mérnökök nem. A relativitáselmélet magastetőt tesz a klasszikus fizika épületére A beázás ezzel megszünik. 21 4. tétel: A hőmérsékleti sugárzás A kvantummechanika kísérleti alapjai Bevezetés A következőkben azokat a századforduló táján kutatott főbb jelenségeket tekintjük át, amelyek megértése a klasszikus fizika alapján nem volt lehetséges. E jelenségek

vizsgálata vezette a fizikusokat a mikrovilág, az atomok törvényszerűségeinek felismeréséhez, igy ezek alkotják az új tudományág, a kvantumelmélet kisérleti alapjait. Történeti és didaktikai szempontok alapján is célszerű e jelenségek vizsgálatát a hőmérsékleti sugárzással kezdeni. Ezzel a jelenséggel a klasszikus tárgyak (termodinamika, elektrodinamika) keretében nem foglalkoztunk, bár számos jellemzője jól megérthető lenne ezeken a tudományágakon belül is. Igy vizsgálatainkat a hőmérsékleti sugárzásra vonatkozó klasszikus eredményekkel kezdjük. A hőmérsékleti sugárzás Alapjelenségek Mindennapi tapasztalat, hogy a melegitett testek hősugárzást (infravörös sugárzást) bocsájtanak ki. Például a forró kályha melegét a bőrünk a fűtőtesttől távol akkor is érzékeli, ha a szoba levegője egyébként még hideg. A testeket tovább melegítve azok egyre nagyobb frekvenciájú elektromágneses sugárzást bocsájtanak

ki (vörös- majd fehér izzás), miközben a kibocsájtott összenergia a hőmérséklettel rohamosan növekszik. Mivel ezzel az elektromágneses sugárzás kibocsájtó képességgel minden melegített test rendelkezik, ennek az oka nyilvánvalóan a test hőmérséklete és nem különleges összetétele. Igy ezt a sugárzást hőmérsékleti sugárzásnak nevezzük. Nyilvánvaló, hogy vannak különleges összetételű testek (fénycső, szentjánosbogár, stb.), amelyek hidegen is képesek fényt kibocsájtani és sugárzásuk nem ebbe a kategóriába tartozik (lumineszcencia sugárzások). Már a múlt század első felében ismertté vált az a tény is, hogy hőmérsékleti sugárzást a környezetüknél hidegebb testek is kibocsájtanak, ennek a mennyisége azonban kisebb annál, mint amit e tárgyak a környezet sugárzásából elnyelnek. Ehhez hasonlóan a hőmérsékleti egyensúly nem a hősugárzás hiányát jelenti, hanem csak azt, hogy a környezetével

hőmérsékleti egyensúlyban lévő tárgy pontosan annyi energiát sugároz ki, mint amennyit elnyel. Szintén több mint egy évszázados az a felismerés, hogy a tárgyak sugárzás kibocsájtó képessége (emisszióképesség) és sugárzás elnyelő képessége (abszorpcióképesség) egymással szigorúan arányos mennyiségek. Spektrális emisszióképesség: e ( ν, T ) A T hőmérsékletű test egységnyi felülete által egységnyi idő alatt a ν körüli egységnyi frekvenciatartományban kisugárzott elektromágneses energia. Anyagfüggő [teljesítménysűrűség / frekvencia] Spektrális abszorpcióképesség: a ( ν, T ) Megadja hogy a T hőmérsékletű test a ν körüli egységnyi frekvencia-tartományban a ráeső elektromágneses sugárzás hányad részét nyeli el. Anyagfüggő 0 < a ( ν, T ) < 1 ( dimenziótlan ) KIRCHHOFF törvény : e( ν, T) : anyagi minőségtől független univerzális függvény. E( ν, T) = a( ν,T) 22 Azaz bár a test

emisszióképessége és abszorpcióképessége anyagfüggő, a hányadosuk független az anyagi minőségtől. A fizikában arra törekszünk, hogy anyagi minőségtől független egyenleteket alkossunk, ezért E(ν,T)-t akarjuk használni. Ha a(ν,T)=1 akkor a test abszolút fekete test. Ekkor e(ν,T) = E(ν,T) Az abszolút fekete test modellje: Legjobb modellje egy üreg falán lévő lyuk. Az üregbe a lyukon belépő sugárzás a szemközti falon szóródva igen kis eséllyel tud a lyukon visszamenni. A modell akkor jó, ha a lyuk mérete igen kicsi az üreghez képest. Még tökéletesebb a modell, ha az üreg fala maga is jó sugárzás elnyelő, tehát pl. kormozott detektor : eszköz, melyben egy hőmérő a bejövő sugárzást méri Izzítsuk a testet T hőmérsékletre, majd blendézzük ( blende = pici rések sorozata ). Bármely közeg törésmutatója függvénye a frekvenciának ⇒ DISZPERZIÓ / n = n (ν) / Eredmény : Az abszolút fekete test sugárzásának

spektrális eloszlása. e( ν , T) ν νmax1 νmax2 νmax1 : a maximális spektrális emisszióhoz tartozó frekvencia T1 hőmérsékleten. 23 νmax2: a maximális spektrális emisszióhoz tartozó frekvencia T2 hőmérsékleten. T2 > T1 Állítások : 1. Melegebb fekete test minden frekvencián jobban sugároz ( több sugárzást bocsájt ki ) 2. A kibocsátott összenergia ( egységnyi felület által kibocsátott összes energia ) : ∞ E(T) = ∫ e( ν, T)dν 0 E(T) a hőmérséklet növelésével rohamosan növekszik. Az ehhez tartozó kvantitatív képlet : E(T)= σ T4 Stefan - Boltzmann törvény ( a kibocsátott összenergia az abszolút hőmérséklet negyedik hatványával arányos ) W σ : Stefan - Boltzmann konstans, értéke : 5,67 ⋅ 10 −8 2 4 m K ( ez az érték kísérletileg és elméletileg is bizonyított ) pl: T2=2 T1 E(T2)=16 E(T1) Tehát kétszer magasabb hőmérsékletű test tizenhatszor több energiát bocsájt ki. 3. Ha a hőmérséklet ( T

) nő, akkor a maximális spektrális emisszióhoz tartozó frenvencia (νm) is nő. Minél jobban melegítjük annál nagyobb frekvenciájú a sugárzás. ν m2 T2 WIEN - törvény ( Wien - féle eltolódási törvény ) = ν m1 T1  ν m2 ν m1    ( Másik alakja) = T1   T2 A spektrális eloszlásfüggvény E(ν,T) levezetése: (Planck 1900. December 14 a Porosz Akadémián 17 nappal a századunk előtt) 1.Lépés Rayleigh-Jeans törvény(levezetése) A klasszikus termodinamika nem tudta megmagyarázni az eloszlásfüggvény alakját, ez csak a kvantummechanika segítségével látható be. U(ν,T) : spektrális energiasűrűség: ez a 3. spektrális mennyiség Jelentése: A ν körüli egységnyi frekvenciatartományra eső elektromágneses sugárzás energiasűrűsége. Bizonyítható: U(ν,T) ~ e(ν,T) ( e( ν, T) = c / 4 ⋅ U( ν, T) ) U(ν,T) = Z(ν,T)ε Ahol Z a ν körüli egységnyi frekvenciatartományban, egységnyi térfogatban lévő állóhullám

módusok száma, ε pedig az egy állóhullám módusra jutó átlagos energia. 24 Az üregben az elektromágneses sugárzás (energia) nyílvánvalóan elektromágnese állóhullámok formájában van jelen, hisz a sugárzás kitölti az üreget. 1 dimenzióban: n jelenti azt, hogy hány félhullám fér el. 3 dimenzióban: n1, n2, n3 jellemzi az állóhullámot ( 1 dimenzióban csak n jellemezte ). Egy ilyen számhármassal jellemzett állóhullám az állóhullám módus. Mivel ilyen számhármas végtelen sok lehet ezért végtelen sok állóhullám alakulhat ki, a módusok száma is végtelen. Állítás: z(ν,T) ~ ν2 z(ν,T) = Kν2 ahol K az arányossági tényező, természeti állandó Bizonyítás: Kiindulunk 1 dimenzióból: λ c tudjuk: λ = L=n 2 ν c c kifejezve n L=n   ν = 2ν 2L 3 dimenzióban: c ilyen frekvenciájú állóhullám módusok alakulhatnak ki ν= n 2 + n 22 + n 23 2L 1 átalakítjuk: 2  2 Lν  2 2 2 n1 + n 2 + n 3 =  2  

c  Az érdekel minket, hogy a ν körüli egységnyi frekvenciatartományba hány állóhullám módus esik. 25 Annyi állóhullám módus létezik ahány pozitív helykoordinátákkal jellemzett pont van. Azon pontok melyeknek koordinátáinak négyzetösszege megegyezik, azok frekvenciája is megegyezik. 2Lν Megvizsgáljuk, hogy a sugarú gömbnyolcad egységnyi vastagságú héja hány pontot c tartalmaz. Következtetés: annyit amennyi a térfogata ( ez jó közelítés ha a gömbök nagyok ) 1  2 Lν  2 L A nyolcad gömb térfogata: V = 4 π  . 8  c  c 2 dR = 2L 2L , mert dν=1 dν = c c L2 ν 2 2 L 4 L3 ν 2 az állóhullám módusok száma ennek 2V = 2π 2 . = c c c3 szerese, mert az elektromágneses hullámban 2-féle polarizáció létezik. L3 z( ν, T) = 8π 3 ν 2 c Z( ν, T) 8π 2 = 3 .ν z( ν, T) = V c 8 π U( ν, T ) = Kν 2 ε ; K= 3 c ε : Egy állóhullám módusra jutó átlagos energia. Klasszikus fizika szerint: Egy állóhullám

módus a termodinamika szerint két termodinamikai szabadsági fokú rendszer. 1 2 ε = 2 ⋅ kT ε = kT U( ν,T) = Kν kT 2 Rayleigh-Jeans törvény k: Boltzmann-állandó 26 A parabolák csak kezdetben írják le jól. Ez csak kis frekvenciánál igaz 2.Lépés 1900 dec. 14 Planck: A termodinamikában van a hiba. Nem jó az ekvipartíció minden körülmények között Átlagos osszcillátor energia= összes energia összes osszcillator osszcillátor=módus Igaz a Boltzmann-féle energia eloszlás! : e N( E i ) = − Ei kT ∑e - Ei kT = N 0e − Ei kT i ∑ E N( E ) ε= ∑ N( E ) i i i i i Diszkrét energiák összegeként képzeljük el! Ezeket a diszkrét cellákat kicsinyítjük, hogy folyamatos legyen. E n = nε 1 n: egész szám n= 0,1,2,. Ha ε 0 tartana a 0-hoz, akkor visszakapnánk a folytonos energia esetét. Mindig ezt csináljuk a klasszikus statisztikában. N (ε n ) = N 0 e − nε 1 kT Képezzük a nevezőt! 27 ε nevezője :

ε1   − kT N (ε n ) = N 0 ∑  e  = ∑  n=0  n=0 ∞ ∞ Bevezetem a ξ = ∞ ∑N e nε1ξ 0 = n=0 N0 1- e εi − kT 1 változót. kT N0 1- e ε1ξ 1. Ezt deriváljuk ξ szerint: ∞ ∑N e nε1ξ 0 nε 1 = n=0 N 0 e ε1ξ ε 1 nε 1 : energia 2. (1 − e ) ε1ξ 2 ε számlálója Az 1.-t és a 2-t visszahelyettesítjük: ε= N 0 ε 1e ε1ξ (1 − e ε1ξ ) (1- e ) ε1ξ 2 N0 = ε 1e ε1ξ ε1 ε1ξ = - ε1ξ 1- e e −1 ε1 ε= ε1 e kT − 1 Kijön-e a klasszikus fizika eredménye? (Azaz ha ε1 0 ) ε1 e kT ε ε 1ε  =1+ 1 +  1  +. 2 !  kT  kT 2 ε1 ε 1 + 1 +.−1 kT sorfejtés = kT Ha a feltételezett ugrások kicsik , akkor visszakapjuk a klasszikus fizika eredményét. ε1 0 - ebbe kötött bele Planck. Planck feltételezése: Az átadható energiaadag egy véges érték egész számú többszöröse. 28 ε1 0 annál inkább téves , minél nagyobb a frekvencia. Tehát kézenfekvő,

hogy ε1=h⋅ν Planck bevezetett egy új változót : h - Planck állandó A kísérleti adatokkal akkor a legjobb az egyezés, ha h=6,63⋅10-34 Js Az adag neve idegen szóval kvantum. Behelyettesítünk: h ⋅ν u(ν,Τ)= K⋅ν2⋅ ε = K⋅ν2⋅ e h⋅ν k ⋅T −1 h ⋅ ν3 u(ν,T)=K⋅ e h⋅ν k⋅T −1 Ez a Planck-féle sugárzási törvény A Planck-féle sugárzási törvényből integrálással levezethető a StefanBoltzmann törvény , deriválással a Wien törvény. Megjegyzés: a fényforrások hatásfoka 29 T1=3000 K T2=6000 K T1-nél láthatóra esik 5% T2-nél láthatóra esik 39% Célszerű a 6000 K hőmérsékletű fényforrást használni , körülbelül ennek a hatásfoka optimális. A 3000 K hőmérsékletű fényforrás főleg hőt bocsájt ki. ( pl izzólámpa ) A Nap optimális fényforrás , pontosan 6000 K-es. Összefoglalva: ε = hh⋅ν⋅ ν kT ha T ∞ és ν állandó vagy ν 0 és T állandó e k⋅T − 1 ↓ 0 ha ν ∞ és T

állandó vagy T 0 és ν állandó A nagyfrekvenciás módusok általában nem léteznek. 30 5. tétel: A kvantummechanika néhány egyéb kísérleti előzménye: szilárdtestek fajhője alacsony hőmérsékleten, fotoeffektus, Comptonszórás Szilárd testek, kristályok fajhője alacsony hőmérsékleten Kiindulásként megvizsgáljuk mennyi a kristály energiája. A kristályt úgy kezeljük mint helyhez kötött oszcilláló pontok halmazát. Az energia tehát: E = N⋅ε - ahol N az atomok száma, ε pedig térbeli oszcillátor energiája. A térbeli oszcillátor 3 db. lineáris oszcillátorral helyettesíthető ( ε 1 ) Egy ilyen oszcillátor energiája: 1 1 ε1= m⋅v2+ D⋅x 2 2 A képletből adódik, hogy két szabadsági fok van, amelyre jutó átlagos energiát jelölje ε . Ezek ismeretében kapjuk az energiára a következő összefüggést: E = N⋅3⋅ ε 1 = 6⋅N⋅ ε = 6⋅N⋅ Korábbi tanulmányaink alapján a mólhő: c= 1 ⋅k⋅T = 3⋅N⋅k⋅T 2 1

dE ⋅ n dT behelyettesítve az energiára kapott eredményt, majd deriválva azt T szerint: c= J N 1 ⋅3⋅N⋅k = 3⋅ ⋅k = 3⋅R ≈ 25 n mól ⋅ K n N = NA az avogadró szám (6 ⋅ 1023 ), R pedig az egyetemes gázállandó. n J A klasszikus fizika szerint tehát minden kristály mólhője 25 . mól ⋅ K ahol Dulong és Petit mérései (1815) a legtöbb kristály mólhőjét kb. 25 J/mól⋅K értékűnek mutatták A kristályok zömére széles hőmérséklet-tartományon jó közelítés a Dulong-Petit szabály, azonban alacsony hőmérsékletek felé tartva a mólhő meredeken leesik. A mérési adatok alapján az ólom és a gyémánt mólhőjét 50 és 400 K közti hőmérsékletre vonatkoztatva, a mellékelt grafikon mutatja. Jól látható, a gyémánt mólhője már szobahőmérsékleten is jóval kisebb mint 25 J/mól⋅K . 31 c [J/K] Bevezetjük a 30 25 h⋅ν = T0 k karakterisztikus hőmérsékletet illetve felhasználjuk Einstein 1906-ban született

képletét a kristályban, elemi rezgésekre jutó energiára vonatkozólag: k ⋅ T0 ε = T0 e T −1 20 15 10 Ólom 5 Gyémánt 0 50 100 150 200 250 T0 1 d dε c = ⋅ ⋅ 3⋅ N ⋅ ε = 3⋅ NA ⋅ n dt dT dε = dT 300 k ⋅ T0 ⋅ ( − 1) ⋅ e T ⋅ ( − 1) ⋅ T0 ⋅  TT0   e − 1   350 400 T [K] 1 T2 2 A mólhőre kapott összefüggésben megtaláljuk a 3 NA k = 3 R tényezőt, amely a klasszikus fizika eredménye volt, a másik tag felelős tehát az eltérésekért amelyeket alacsony hőmérsékleten tapasztalunk. 2 c=3⋅ N A ⋅ k ⋅ T0  T0  T ⋅ e    T  e  T0 T  − 1  2 3R ha T ∞ T0 0 T ↓ 0 ha T 0 T0 ∞ T Az Einstein-kristályban rezgő atom erőtörvénye: F=-Dx; ahol ω= a rezgés mozgásegyenlete: ma = - D x , amiből x = A⋅sin(ωt) adódik, D = 2⋅π⋅ν m A gyémántban erős kovalens kötések tartják együtt a viszonylag kis tömegű szénatomokat, így tehát D

nagy, m kicsi. Az elemi rezgés frekvenciája, ν ezáltal nagy és így a T0 is Az ólomkristályban a fémes kötés gyengébben rögzíti az atomokat, amelyeknek tömege sokszorosa a szénatomokénak. Itt a a rezgések frekvenciája sokkal kisebb mint a gyémántban Az ólomra szobahőmérsékleten érvényesnek mutatkozik a Dulong-Petit szabály, a T0 << T. A gyémántra ugyanakkor nem érvényes a fenti szabály, itt T0 >> T. 32 Fotoeffektus Kísérlet (Lénárd Fülöp, 1902): Folyamatos fény esetén a kondenzátor feltöltődik (feszültség mérhető igen jó voltmérő és kondenzátor esetén). Fény hatására: · fotokatódból elektronok lépnek ki, azok az anódra feljutnak, az anódot negatívra töltik fel, · tart ez mindaddig, míg az elektronok az ellentéren át tudnak jutni, munkatételből: 1 energia szükséges az u ∞ e = m e v 2max 2 ellentéren átjutásához, ahol e: az elektron töltésének nagysága, · az elektronok piros fény

hatására kisebb sebességgel lépnek ki, mint kék fény hatására, · a fény intenzitásától a kilépő elektronok száma függ, sebessége nem, · bizonyos frekvencia elektronkilépés, alatt · elektronkilépés azonnal indul (10 belül). nincs -8 s-on Einstein, 1905: fényelektromos egyenlet: 1 hν = Wkilépési + mv 2max , 2 ahol hν: a fényrészecske (foton) energiája. A foton kölcsönhatásba lép egy atommal a katódban, 1 db atomi elektronnak hν energia adódik át. Kilép az elektron, Wkilépési energiagáton kell áthaladnia, a maradék kinetikus energia. A fény a fémbe mélyen be tud hatolni, de elektron csak kis mélységből tud kijutni csak a felszínen lévő elektronoknak van vmax sebessége, ν és vmax egymásnak lineáris függvénye. 33 hν határ = Wkilépési ν határ = Wkilépési h Wkilépési anyagfüggő, alkálifémekre ez kicsi ezekből látható fény is kivált elektront, más fémekből csak az UV. Az energia adagokban

érkezik, ez az adag a foton. 2. fém 3. fém alkáli fém U∞ piros kék ν Compton-effektus /1922/ Kisérlet: Vegyünk egy röntgen forrást ! A röntgencső által kibocsátott röntgen sugarak a céltárgyon szóródnak. Ezt követően röntgen analizátor és detektorral sugarakat fogunk fel. Tapasztalatok: 1. A detektor l és l hullámhosszon jelez λ = λ + ∆λ 2. ∆λ független λ-tól és a céltárgy anyagától 34 3. ∆λ függ υ-tól Magyarázat: a röntgen sugárzás szóródása az atomok külső, alig kötött elektronjain történik.ez az alapfeltevés A szóródás vizsgálatára azért nem látható fényt alkalmazunk, mert a fény szempontjából nincs szabadnak tekinthető elektron. A Compton-effektus tehát csak akkor igaz, ha a foton energiája elég nagy az elektron kötési energiájához képest, ezért alkalmazunk magas frekvenciájú röntgen fotont. Rugalmas ütközés: a., kinetikus energia megmaradás b., lendület a., A fotonnak

csak kinetikus energiája van / álló foton nem létezik / h ⋅ ν = h ⋅ ν ′ + m 0 c 2 ( γ − 1) beeső foton kinetikus energiája szórt foton kin. energiája meglökött elektron kinetikus energiája A meglökött elektron energiáját azért relativisztikusan számoljuk, mert az igy egyszerübb. b., A foton lendülete / impulzusa / p f = mf ⋅ c = foton tömege Ef h⋅ν h = 2 ⋅c = λ c c tömeg-energia ekvivalencia c = ν ⋅λ foton energiája 35 a fényelektromos egyenletből Tehát: pf = h λ A 2. egyenlet skalár Nem detektálható (legalábbis nehéz detektálni), hogy az elektron merre megy, υ nem mérhető. Az ütközés előtti lendület egyenlő az ütközés utáni lendületek vektori összegével. Az impulzusok alkotta háromszög: Cosinus tétel alkamazásával: p e − 2 = p f 2 + p ′f 2 − 2 p f ⋅ p ′f ⋅ cosυ Az elektron lendülete : pe- = mv = m0γβc ahol m0γ a relativisztikus tömegnövekedés. (b) h2 h2 h2 m c β γ = 2 +

2 − 2 cos ϑ λ λ λλ 2 0 2 2 2 (a ) ν= c λ hc hc − = m 0 c 2 ( γ − 1) λ λ /: m 0 c 2 ( meg kell oldani (a)-t és (b)-t) (a) h 1 1  −  = γ −1 m 0 c  λ λ  Λc = h ; az e- Compton hullámhossza. m0c 36 (a) 1 1 Λc  −  = γ − 1 λ λ  (b) 1 2  1  β 2 γ 2 = Λ2c  2 + 2 − cos ϑ = γ 2 − 1 λ  λ λλ (a’) 1 2   1 Λ2c  2 + 2 −  = γ 2 + 1 − 2 γ λ λ λλ  Vonjuk ki (b)-ből (a’)-t: Λ2c Λ2c 2 λλ ′ λλ ′ (1 − cos ϑ ) = 2γ −2 (1 − cos ϑ ) = γ − 1 Λ2c 1 − cos ϑ 1 1 = Λc  −   λ λ λλ Λc 1 − cos ϑ λ − λ = λλ λλ / ⋅ λλ λ − λ = Λ c (1 − cos ϑ ) ∆λ = Λ c (1 − cosϑ ) A ∆λ csak a szóródási szögtől függ és a Compton állandótól. Minél nagyobb a részecske tömege, annál kisebb a hullámhosszváltozás. Megj.: Ez az egyetlen ütközési folyamat, amit

relativisztikusan végigszámolunk A Compton effektust nem sikerült más elmélettel megmagyarázni Ez az egyik oka a kvantumelmélet győzelmének más alternatív elméletek fölött. 37 6. tétel: Radioaktivitás, α-,β- és γ-bomlás, radioaktív bomlástörvény, bomlási sorok. Ionizáló sugárzások dozimetriája Az anyag felépítése: 1895. rönteg sugárzás felfedezése 1896. radioaktivitás felfedezése 1897. elektron felfedezése Radioaktivitás: BECQUEREL (1896) Ha egy fényképezőlemezt uránvegyület fölé helyezünk, az megfeketedik, minden külső tényezőtől függetlenül. Ez a sugárzás intenzitás nem csökken. Úgy gondolták, hogy ezzel a végtelenségig lehet energiát termelni. néhány évig azt hitték, hogy felfedezték perpetum mobilet Kísérlet: a sugárzások a rajz síkjára merőleges mágneses téren haladnak át α γ β Ólomtömbbe uránt helyezünk. Tapasztalat: Lesznek olyan sugárzások, amik nem veszik figyelembe a mágneses

mezőt, felfelé tartanak (γ), lesz ami kicsit vagy nagyon eltérül (α, β, γ nevet kaptak aszerint, hogy hogyan térülnek el. α-sugárzás: + 2e töltésű nehéz részecskékből áll, kicsi áthatoló képesség (még egy papírlap is megfogja). Később kiderítették, hogy az α sugárzás nem más, mint He atommag. Ha az α sugárzást elnyeletik, akkor ott He keletkezik Úgy gondolják, a Földön megtalálható He jelentős részben az α sugárzásból származik. β-sugárzás: -e töltése, könnyű részcskékből áll. Közepes az áthatoló képessége (üveglap megfogja). 38 γ-sugárzás: ez az elektromágneses sugárzás. Nagy áthatoló képessége van (fémlapon is áthatol, csak vastag ólomlap fogja fel, de az sem teljesen). Nagy frekvenciájú Az α, β, γ a leggyakoribb sugárzások, de más sugárzás is létezik a természetben. A sugárzások kibocsátása bomlási folyamatban történik: α - bomlás: A Z X  AZ−−42 Y + 42 He x: vegyjel

y: tömegszám z: rendszám Az α-bomlás során kémiai átalakulás történik. Példa: Egy fémből két nemesgáz keletkezik 226 4  222 88 Ra  86 Rn + 2 He Megjegyzés: Fizikusok hamar megtalálták azokat a módszereket, hogy milyen módon lehet aranyat előállítani, de ez a módszer sokkal költségesebb. β - bomlás: A Z ~ ) X  ZA+1Y + e − ( + υ e Elektron antineutrino : ~ νe A β - bomlás is kémia átalakulással jár. Példa: ~  23 He + e − + υ H e Hidrogénből lesz egy nemesgáz ez β- bomlás. 3 1 γ - bomlás: A Z  AZ X + γ X*  Itt nem történik kémiai átalakulás. Legerjesztődéssel jár. Általában követi az α- vagy β- bomlást. Radioaktív bomlástörvény N : radioaktív atomok száma Az időegység alatt bekövetkező bomlások száma: − dN dt Az aktivitás mértékegysége: [A]=Bq (becquerel) 1 Bq=1 bomlás/sec 39 dN dN =− dt dt Korábbi egysége: 1Ci (curie) 1Ci = 3,7 ⋅ 1010 Bq ( = 1g Ra

radioaktivitása) A= Kísérleti tapasztalat: Az aktivitás az idő függvényében A=A0e-λt fv. szerint változik A t A radioaktivitása minden anyagnak exponenciálisan csökken. Az időegység a µs és a milliárd év között van. Magyarázat: Az időegység alatt bekövetkező bomlások száma arányos a még meglévők számával: dN − = − λN dt λ : bomlási állandó független attól, hogy a radioaktív anyag mikor keletkezett, továbbá független minden külső körülménytől is. λ tehát csak az anyagi minőségtől függ dN ∫ dt = − λ ∫ dt LnN= -λt+C N=e-λt+C=N0e-λt (kezdőfeltétel: N (t=0)=N0) Aktivitás: dN A=− = N 0 λ e − λt = A 0 e − λt dt Kezdőfeltétel az aktivitásra: A(t=0)=A0 A0=λN0 A=λN Felezési idő: T˝ Az az idő, ami alatt a radioaktív anyag fele elbomlik. A=A0e-λt N=N0e-λt Radioaktív bomlástörvény 40 N0/2=N0 e-λT˝ -ln2=-λT˝ λ=ln2/ T˝ A radioaktív bomlás statisztikus jellege A fentiek csak nagy

aktivitású anyagra igazak. Kis aktivitásoknál kidomborodik a bomlás statisztikus jellege, amiről ez a tárgyalás nem ad számot. A fenti módon számított aktivitás valójában a mérés várható értékét jelenti, amitől a konkrét mérési eredmények eltérhetnek. Nagy elemszámnál (nagy aktivitásnál) a konkrét mérési eredmény és annak várható értéke gyakorlatilag egyezik, de kis aktivitásnál jelentős eltérések adódhatnak. A mért kis aktivitás az idő függvényében tehát ingadozik. A t A bomlások egymástól független események, ezért használható a POISSON –eloszlás. Bomlási sorok α-bomlás: A 4-gyel csökken β,χ-bomlás: A nem változik A radioaktív anyagok 4 osztályba sorolhatók: A = 4n tórium sor A = 4n+1 (a természetben már nem létezik) A = 4n+2 Urán rádium sor A = 4n+3 Aktínium sor, ebből is kevés van, de az 235 92 U bomlása miatt fontos Urán rádium sor β− α β− α α α α 238 92 U  23490Th

 234  234  23090Th   226  222  91 Pa  92 U  88 Ra  86 Rn  218 54  82 Pb  83 Bi  84 Po   82 Pb   206 Po  82 Pb α 214 β− 214 β− 214 α 210 α Ionizáló sugárzások dozimetriája ( dozimetria: a különféle sugárzások által az élő testben leadott és elnyelt energiamennyiség mérési módszertana ) 41 1. Az eddig vizsgált α, β és γ sugárzás ionizáló sugárzás, mert az α és β részecske a pályája mentén ionpárokat kelt (a γ sugárzással egy kicsit más a helyzet, amint majd látni fogjuk) : ( pozitív ion és elektron együtt ionpárt alkot) Levegőben egy ilyen pár keletkezéséhez kb: 34 eV energia szükséges. Eα ≈ 5 MeV akkor 5 ⋅ 10 6 keletkezik N = ≅ 1,47 ⋅ 105 ionpár. Például az α részecskének a levegőben megtett útja kb: 34 5cm. Ezen a hosszon fog tehát keletkezni ennyi ionpár Ami azt jelenti, hogy hozzávetőlegesen 3000 db ionpár keletkezik

milliméterenként. Természetesen ezeket nem lehet látni, de láthatóvá tehetők. A lehetőségek a következők: 1. Az ionpárok láthatóvá tehetők, ha a kisérletett túltelített gőzben végezzük Túltelített gőzben bármilyen kis szennyeződésre kicsapódás történik. Ilyenek - úgynevezett ködmagvak - lehetnek az ionpárok is. A telitett gőzben így a sugárzás "ködfonalat" hoz létre, ami már jól megfigyelhető Ezt az eljárást nevezzük a ködkamra elvnek. Ehhez hasonló játszódik le a sugárhajtóműves repülőgépek által húzott kondenz csík esetén is. 2. Másik lehetőség az ionpárok megfigyelésére, hogy a keltett töltéseket összegyűjtjük Ilyenek az ionizációs kamrák. Ezek nehéz, körülményes mérések 3. Ezeknél egyszerűbb a harmadik lehetőség az ionpárok megfigyelésére és mérésére: a Geiger Müller számlálócső Lényege, hogy a részecske áthaladásakor egy impulzust ad Ami már feldolgozható. γ-

sugárzás: ahol elhalad nem keletkezik ionpár. A γ sugárzás az anyaggal való kölcsönhatásának formái: 1. Compton szórás ( foton foton + e- ) 2. Foto effektus ( foton e- ) 3. Párkeltés (foton e- + e+ ) Következtetés: Előbb utóbb a γ energiája elektron energiává válik. Azaz dozimetria szempontjából β és γ sugárzás közt nincs lényeges különbség. Elnyelt dózis: Elnyelt dózis = Az anyagban elnyelt ionizáló sugárzás energiája / tömeg 42 Dózis: D = dE dm [ D] = J = Gy (gray) kg Megjegyzés: 1. A Gy nagyon kicsi elnyelt energiasűrűség De mivel ionizáló hatású, ezért kis mennyiségben is károsodást idézhet elő az élőlényekben. 2. A Gy - ben csak az elnyelt energia van benne Azok az energiák melyek áthaladnak a szöveten (pl: neutrínó ) azok nincsenek benne, és nem is számít biológiailag. Dózis egyenérték (egyenérték-dózis): Jele: H H = DQ Q: minőségi tényező Értéke: Q = 1, ha β vagy γ , és Q = 20, ha

α a sugárzás A dózis egyenérték közvetlen kapcsolatban van a sugárzás károsító hatásával. Mértékegysége: [H] = Sv (sievert) Hatások típusai: Két alapvető típusa van: 1. Determinisztikus 2. Sztochasztikus 1. Determinisztikus hatás: A függőleges tengelyen felvett hatás az egyedek halálozása, de ez lehet más vizsgált hatás is, pl. fehérvérsejt pusztulás, csontvelő pusztulás. A halálozási arány nagy mértékben függ az egyeden alkalmazott gyógykezeléstől. 43 Küszöbdózis: az az érték, amely alatt nincs semmiféle hatás (≈1Sv) Félhalálos dózis: az emberek fele meghal, a másik fele túléli (≈5Sv) A determinisztikus hatás tulajdonságai: - Küszöbdózis alatt nem jelenik meg - Küszöbdózis fölött minden egyednél megjelenik, az eset súlyossága a dózistól függ (a dózisnak egy monoton függvénye(sigmoid)) - A besugárzás után rövid időn belül (pl: egy hónapon belül) megjelennek a tünetei ( a sejtek egy része

elpusztul) Oka minden esetben a sejtpusztulás !!! 2. Sztochasztikus hatás: A sztohasztikus hatás tulajdonságai: - Nincs dózisküszöb, küszöb nélkül jelentkezik - Csak néhány egyednél jelentkeznek, és annál nagyobb valószínűséggel, minél nagyobb a dózis - Az előfordulás valószínűsége arányos H-val - Az eset súlyossága nem függ a dózistól - Hosszú lappangási idő (10-20 év) - Legújabb eredmények szerint: a halálos rák valószínűsége = 5 ⋅ 10 −2 halálos rák/Sv - A háttérsugárzás tartományánál nem tudjuk, hogyan alakul a függvény, csak feltételezzük, hogy továbbra is lineáris - A sugárzás által keltett rákeset megkülönböztethetetlen a spontántól A függőleges tengelyen felvett valószínűség lehet például halálos végű rák előfordulási valószínűsége. Oka minden esetben a sejtek megváltozott működése !!! 44 Megjegyzés : 1. Az embert érő dózisnak több, mint 80%-a természetes forrásból

származik Magyarországon. A 80% több, mint fele a 222 86 Rn bomlástermékből származik. a levegőben lebegő aeroszolokra tapadt Po izotópok a "főbűnösök" az ember természetes sugárterhelésében. Radioaktív bomlás : a mag állapotából nem következik, hogy az mikor fog elbomlani. Tehát nincs determinizmus, ha a determinizmus alatt azt értjük, hogy a kezdeti feltételek + mozgásegyenlet egyértelműen meghatározza a későbbi állapotokat. Pl. A=50 Bq ⇒ átlagosan 1 sec alatt 50 bomlás Nem lehet megmondani, hogy melyik 50 mag bomlik és merre mennek az α-részecskék. 3 mSv évente természetes forrásokból Magyarországon 0,5 mSv évente mesterséges forrásokból 0,2-0,3 mSv Csernobil hatása (összesen 50 év alatt) 45 7. tétel: Az atommag felfedezése, a Rutherford-formula, az atommag főbb tulajdonságai Atommag Előzmény : 1897-ben J.J Thomson felfedezte az elektronokat Az atom modellje egy „mazsolás puding” volt. atommodell

(+) puding az atomtörzs, (-) mazsolák az elektronok Rutherford kísérlet (1911) : Felvették az I (ϑ ) függvényt ZuS : 1 db α rész 1 db fényfelvillanást okoz (szcintilláció) Kvalitatív tapasztalatok : 1. Az α sugarak több, mint 99,9%-a nem térül el 2. Kb 0,1% jelentősen eltérül 3. Néhány α rész visszaszóródik Klasszikus analógia: szalmakazal golyószórózása: Meg akarjuk tudni, hogy van-e valami a szalmakazalban. Elkezdjük egyenletesen megszórni golyókkal. A szalmakazal mögött felfogjuk a golyókat, és azt tapasztaljuk, hogy a lövedékek legnagyobb hányadának pályája nem változott, de néhány golyó mozgásának iránya nagymértékben megváltozott. Emiatt arra következtetünk, hogy a szalmakazalban valamilyen kicsi, kemény tárgy van. A szalmakazalt megfeleltethetjük az atomnak, a kis tárgyat az atommagnak, a golyókat pedig az α - részecskéknek. 46 Az új atommodell: Középen, a kis térrészben helyezkedik el az anyag

legnagyobb része, több, mint 99,9 %-a, ez az atommag. A Rutherford-formula levezetése: 1. geometriai megfontolások: Az α-részecske pályája kúpszelet, pontosabban hiperbola, melynek fókuszában helyezkedik el az atommag. A Kepler probléma tárgyalása során kapott eredmény itt is használható, mivel a Coulomb-törvény a gravitációs erőtörvényhez hasonló alakú. Az atommag rögzítettségének feltételezése jó közelítés, mert tömege jóval nagyobb, mint az α-részecskéé. hiperbola esetén ismert, hogy (lineáris excentritás)2= (fél kistengely)2+(fél nagytengely)2 a: fél nagytengely b: fél kistengely c: lin. excentricitas ϑ: az eltérülés szöge p: ütközési paraméter ( ilyen messze ment volna el az atom mellett. ) Az ábrán látható háromszögek hasonlóságának következménye, hogy b=p, és így:  ϑ b p ctg  = =  2 a a 2. fizikai megfontolások: 47 Mivel az atommag körül kialakult elektrosztatikus tér

konzervatív, ezért érvényes benne a mechanikai energia megmaradására vonatkozó tétel. Másrészt mivel centrális, érvényes a perdületmegmaradás. Alkalmazzuk a két fönt említett tételt az ábrán 1.-gyel illetve 2-vel jelölt pontok ( egy, az atommagtól távoli pont, és az A pont ) között. qq 1 1 mv 20 + 0 = mv 2A + k 1 2 2 rmin 2 mv 0 p = mv A rmin  p 2  2 kz e 2 1 mv 20  1 − 2  = rmin 2 rmin   2 rmin − p 2 = ( a + c) − p 2 = a 2 + c 2 + 2ac − b 2 mivel: c 2 − b 2 = a 2 ⇒ 1 2 − p 2 ) = 2 kz e 2 rmin mv 20 ( rmin 2 1 ⇒ mv 20 2armin = 2 kz e 2 rmin 2 2 2 − p 2 = 2a( a + c) = 2armin rmin 2 kz e 2 a= mv 20 2  ϑ  2 kz e  ϑ p = a ⋅ ctg  =  2 ⋅ ctg  2  2 mv 0 3.Statisztikus megfontolások Minden pont felé ugyanolyan valószínűséggel halad α részecske. dn1: annak a valószínűsége, hogy az α részecske a (p,p+dp) ütközési tartományba esik n: az összes α részecske száma

2pπdp: a körgyűrű területe Geometriai valószínűség egy célpont esetén: dn 1 2 pπdp = n A atom Célpontok száma : NAs, N = térfogat Összes céltárgy :  ϑ ctg    2 kz e   2 1 dn 2 pπdp dn ⋅ ⋅ dϑ = NAs 1 = NAs ⋅ = 2 Nspπdp = 2 Nsπ  ⋅ 2 n n A  mv0  2  ϑ 2 sin    2 2 dp 2 kze 2 = ⋅ dϑ mv 20 2 (*) 1 1 ⋅  ϑ 2 sin 2    2 48 Nem lehet biztosítani, hogy a (ϑ, ϑ+dϑ) szóródási tartományt figyeljük. Műszerrel csak a következő ábrán mutatott vastag vonallal jelölt kis szakaszt lehet figyelni. (Ez a körgyűrű egy része.) 4. Áttérés térszögre teta : ϑ (*)  ϑ cos   2 kz e   2 dn = Nsπ ⋅ dϑ 2  ⋅ n  mv 0  3 ϑ sin    2 dΩ = térszög = 2π sin( ϑ ) dϑ  ϑ  ϑ tudjuk hogy: sin( ϑ ) = 2 sin  cos   2  2 2 2 (*) (*)  2kz e dn = Nsπ  2 n  mv0 2 

  2 ϑ  cos   kz e 2  2  ⋅ dΩ = Ns ⋅ 2  ϑ  2π sin (ϑ )  mv0 sin 3   2 Ez a Rutherford-formula 2  1  ⋅ ⋅ dΩ  sin 4  ϑ  2 A kísérlet eredménye A szórasi kép (az egységnyi térszögbe jutó α-részek száma), azaz a mért I(ϑ) egyezik a 1 modell által szolgáltatott összefüggéssel . 4  ϑ sin    2 Ez a kísérlet volt az első bizonyítek az atommag létezésére. 2. n ismeretében z’ meghatározható. Az atommag töltése egyezik a rendszámmal. Eredmény: z’ = z 1. A rendszám hármas jelentése 1. sorszám a periódusos rendszerben 2. az atommag töltése +e egységben 3. a semleges atomban levő elektronok száma Az atommag mérete Kísérlet: ugyanez a szóras alumínium céltárgyon (Marsden-kísérlet) Eredmény: eltérés van a Rutherford-formulától ϑ=180° körül. 49 Következmény: az α-részek ténylegesen el is érik az

atommagot, melyeknek ütközési paramatérük kicsi volt. Tehat: rmin(Au) > RAu rmin(Al) < Ral R: atommag Az ehhez hasonló, csak pontosabb mérések eredménye: 1 3 R0 = (1,4-1,5)⋅10-15 m R = R0 A Megjegyzések (I) (II) 4 3 4 R π = πR R03 A 3 3 a térfogat arányos a tömegszámmal Vatommag = Vatommag ~ A Az atomi méret 10-10 nagyságrendű Az atommag-atom arány 100000-es nagyságrendű R atommag ~ 10-4 - 10-5 R atom Az atommag összetétele 1932: Chadwich felfedezi a neutront Módszer: α-részekkel Beriliumot bombáztak. A sugárzás energiáját a Compton-effektus alapján akarták mérni, de mindig különbözö eredményeket kaptak; Feltételezésük: 4 9 13 2 He + 4 Be ≠ 6 C + γ (igen nagy áthatoló képességű) Valójában a következő igaz: 4 9 12 2 He + 4 Be 6 C + n n=neutron mn ≈ mp de mn > mp (0,5% különbség) Heisenberg es Ivanyenko rájön arra, hogy az atommag áll: Z db protonból és A-Z db neutronból Izotópia Egy kémiai elem

különböző tömegszámú változatait izotópoknak nevezzük. A Z X és A Z X ahol A’ ≠ A izotópok A radioaktív bomlás vizsgálata során derült rájuk fény. Minden elem a természetben különbözô izotópok keveréke. 50 Néhány példa: 22 1. A természetes neon a 20 10 Ne és 10 Ne izotópok keveréke. Ezek aránya a természetben mindig azonos. Ezek arányát határozták meg először (J J Thomson, 1913) 2. 11 H és 21 H összetételű a természetes hidrogén Itt az arány nem mindig egyforma ( 21 H a nehézhidrogén, deutérium; ez nem vesz részt a víz körforgásában) Megjegyzések: 1.; A Rutherford-szórás ma is az egyik legkorszerűbb anyagvizsgálati, felületvizsgálati módszer, azonban ma már nem α-részecskéket, hanem felgyorsított ionokat használnak. 2.; A labor neutronforrások is a fenti reakcióval működnek : 4 9 12 2 He + 4 Be 6 C + n 51 8. tétel: Gázok és gőzök színképe, Bohr-posztulátumok, Franck-Hertz-kísérlet A

H-atom Bohr-modellje Atomfizika: Atomok ( lehetnek gázok, gőzök ) színképe : 1, Emissziós ( kibocsájtási ) színkép : izzó gáz, vagy gőz prizma ernyő Ez a színkép vonalas : csak bizonyos frekvenciák fordulnak elő - a felfogó ernyőn szíines vonalak jelennek meg. e(ν,T) A vonalaknak van vastagságuk, de nem jelentős. ν Elnyelési ( abszorpciós ) színkép : Veszünk egy jó közelítéssel fekete testet pl.: ívfény, napfény izzó gáz prizma ernyő 52 e(ν,T) ν A folytonos színképben sötét vonalak lesznek: amely frekvenciákat kibocsájt a gáz, azt a fehér fényből el is nyeli. e( ν, T) Ez a Kirchoff- törvényből következik: E( ν, T) = a ( ν, T) e( ν,T ): spektrális emisszióképesség a( ν,T ): spektrális abszorpcióképesség A Nap belső része fekete testnek tekinthető, ennek színképe ilyen abszorpciós színkép. A Nap koronáját vizsgálva ennek színképe vonalas színkép. Magyarázat a Bohr-posztulátumok

segítségével: Niels Bohr dán fizikus nevéhez fűződik (1913) Posztulátum = alapigazság. A posztulátumok levezethetők más axiómákból Előzmény : a Rutherford atommodell : A modell szerint az elektronok körpályákon keringenek bolygók módjára. E szerint az elektronok centripetális gyorsulással endelkeznek. Az elektronoknak elektromágneses energiát kellene kibocsátani, vagyis folyamatosan veszíteni kellene az energiájukból, tehát előbb-utóbb az atommagba kellene zuhanniuk. A tapasztalat ezzel ellentétes : egyetlen kémiai elem szerkezete sem változik meg magától. 1. Posztulátum: Az atomban az elektronok csak meghatározott energiájú állapotokban tartózkodhatnak stacionáriusan (időben nem változó módon). Ekkor nem sugároznak E1 E2 energiaszintek E3 2. Posztulátum: Az elektronok akkor sugároznak, amikor az egyik stacionárius állapotból átugranak a másikra. 53 A sugárzás frekvenciája : ν = E1 | ∆E| , ahol h a

Planck-állandó. Ez a frekvencia-feltétel h E 2 E1 ν E2 E 2 = E 1 + hν E3 keletkező sugárzás ν= E 1 − E 2 | ∆E| (kibocsátás) = h h Ha sugárzás éri az elektront, akkor az elnyeli az energiát és egy magasabb energiaszintre kerül E 1 + hν = E 2 E − E 1 ∆E ν= 2 = h h E1 ν E2 E3 beérkező sugárzás ν 21 = E 2 − E1 h ν 31 = E 3 − E1 h ν 32 = E3 − E2 h ⇒ ν 31 = ν 21 + ν 32 RITZ-féle kombinációs elv A Franck-Hertz kísérlet (a Bohr posztulátumok kísérleti igazolása, 1913) A kísérleti elrendezés: Fizikai folyamatok a berendezésben: 1. az izzított katódból elektronok lépnek ki 54 2. az elektronok gyorsulnak a rács felé 3. az elektronok átjutnak az ellentéren 4. az árammérő áramot jelez Az anódáram leesésének értelmezése: Kis Ukr esetén csak rugalmas ütközés van. Ekkor az elektron a nagy tömegkülönbség miatt gyakorlatilag nem veszít energiát és átjut az ellentéren is. Nagyobb Ukr

esetén azonban a rugalmatlan ütközés is energetikailag lehetségessé válik. Hg E2= E1+4,9eV A beérkező e(1)- hatására az e(2)- az E2 állapotba kerül. E ütk.után (1) = E ütkelőtt (1) -∆E e(1)E1 e(2)- Ha például : E ütk.előtt (1) =55eV, akkor E ütkután (1) =5.5eV-49eV=04eV Ez kevés arra, hogy a rács után az ellentéren áthaladjon e(1)- Tehát a Hg-ban létezik egy energiaszint 4.9eV energiával az alapállapot felett Azt tapasztalták, hogy amikor az anódáram leesett. a Hg gőz is elkezdett világítani 4.9eV az ultraibolya tartományba esik a fény csak segédeszköz segítségével látható. Mivel a ν = h A hidrogén atom Bohr-modellje: A Bohr-féle posztulátumok arról szólnak, hogy az atomban bizonyos energiaszinteken az elektronok stacionáriusan tartózkodhatnak anélkül, hogy sugároznának, illetve hogy akkor sugároznak, ha az egyik ilyen energiaszintről egy másikra "ugornak át". Arról azonban nem szólnak, hogy hogyan lehet

ezen energiaszinteket kiszámolni. A kvantummechanikát megelőzően csak a hidrogén atomra sikerült ezt elérni. Balmer, egy svájci középiskolai fizika tanár, 1885-re kísérletei eredményeképp a hidrogén atom színképében megtalálható frekvenciákra az alábbi összefüggést találta : 1  1 νm = R∗  − 2  4 m  3 4 5 6 m=3,4,5,. frekvencia 55 Persze nem ilyen alakban írta le Balmer, de ma már így fogalmaznánk meg. A legmegdöbbentőbb az volt, hogy az egyenlet a későbbi, pontosabb technikát alkalmazó kísérletek során is megállta a helyét, 1 1 az benne mindig egzaktul maradt. Ezt Rydberg is alátámasztotta Az R* a Rydberg állandó, 4 4 értéke : R*=3.29⋅1015 Hz (végtelen, nem szakaszos tizedes tört) A jelenség szélesebb körű magyarázatával 1913-ban a Bohr-féle kvantumfeltétel próbálkozott. Azt mondja ki, hogy a hidrogén atomban az elektron körpályán kering, amely körpályán az elektron perdülete (vagy

impulzus-nyomatéka) : = L = n h 2π Ez alapján a hidrogén atom Bohr-féle modellje : n=1,2,3,.  v e−  r atommag A klasszikus fizika szerint az elektront a körpályán az atommag és őközötte fennálló Coulomberő tartja körpályán. Az elektron mozgásegyenlete : (1) Fc = k ⋅ ze ⋅ e r2 Ez a Coulomb-erő törvénye, ahol a z·e az atommag, az e az elektron töltése, r a köztük lévő távolság. v2 az elektron centripetális gyorsulása. (2) Fc = m ⋅ a cp a cp = r Ha (1)=(2) : ze 2 v2 = ⋅ m r r2 A Bohr-féle kvantumfeltételt figyelembe véve a (3) egyenlet : (3) Fc = k ⋅ (4) kze 2 = mvr ⋅ v = nv Ahol az elektron impulzusnyomatéka :   Mivel r ⊥v :    L = r × mv 56  L = L = m⋅ v⋅ r Átrendezve a (4) egyenlet : (5) v= kze 2 n Ez az elektron sebessége. A hidrogén atom esetében z=1, de az egyenlet minden egyelektronos ionra is igaz, bár akkor z≠1. Most tekintsük az elektron energiáját, ami

a kinetikus (T) és potenciális energiájának (V) az összege : E = T+V 1 ze ⋅ e E = mv 2 − k ⋅ 2 r (6) Mivel vonzó kölcsönhatás van az elektron és az atommag között, ezért a potenciális energia negatív. Ezt követően (3) és (6) alapján : (7) E= 1 1 mv 2 − mv 2 = − mv 2 2 2 Ez az összefüggés minden körpályán mozgó testre igaz ilyen jellegű erőtérben, hogy az energiája a kinetikus energia (T) -1-szerese. (5) és (7) alapján : 1 m k 2 z2e4 E = − mv 2 = − ⋅ 2 2 2 2 n  Ha z=1 : E * = mk 2 e 4 1 , akkor E = − E * 2 , ahol E=2.18 aJ (a:atto;1 aJ=10-18 J) 2 2 n Vizsgáljunk egy olyan átmenetet, ahol az m. szintről az n szintre történik az átmenet : m E nő n Nézzük meg erre az esetre a 2. Bohr-féle posztulátumot : ν m n = ∆E E m − E n Em,En : adott szint energiája = h h 1  E*  1 1  E*  1 ν m n = −  2 − 2 =  2 − 2 h n h m m  n  57 E* = R * egyenlet épp fennáll

(h=6.63·10-34) h Balmer a XIX. századi technikával csak a látható fény tartományába történő átmenetet volt 1 1 képes vizsgálni, ami épp az n=2 pályára való átmenet, amikor 2 = , ezért nem csoda, hogy ilyen jól 4 n kiállta az idő próbáját az egyenletének ezen törtje. Persze az átmenet történhet n=1 vagy n=3 pályára is, de azt már Lyman és Paschen vizsgálta. Ekkor H atom energia szintek: E0 n=8 n=7 n=6 n=5 n=3 Paschen sorozat n=2 Balmer sorozat Lyman sorozat n=1 Kibocsátott frekvenciák: infravörös Lyman: Balmer: Paschen: látható ultraibolya 1   ν m1 = R*  1 − 2  m = 2,3,4,  m  1 1  ν m 2 = R *  − 2  m = 3,4,5, 4 m  1 1  ν m 3 = R *  − 2  m = 4,5,6, 9 m  A Bohr modell Előnye: - a frekvenciákat igen pontosan megadja Hátrányai: - önkényes a kvantumfeltétel - korong alakú H atom a valóságos gömb helyett 58 - más atomra nem jó - a perdületet is

rosszul adja 59 9. tétel: Az anyag hullámtermészete: de Broglie-hipotézis, hullámcsomag, fázis- és csoportsebesség, elektron-interferencia Az anyag hullámtermészete (de Broglie (1923)) Ha fotonra: p = h és E = hν akkor minden anyagi részecskéhez λ és ν rendelhető: λ h E és ν = p h "jó" következmény: megértjük a kvantumfeltételt h h L = n mvr = n 2rπ = n = nλ 2π mv λ= Stabil állóhullám módus: a λ egész számszor fér rá a kerületre n = 6 a megütött karika ötödik felharmonikusa E h E mc2 c2 "rossz" következmény: v f = νλ = = = = >c h p p mv v de Broglie: Ne egyetlen síkhullámot rendeljünk a részecskéhez, hanem hullámcsomagot. Reϕ "sima" hullám x ϕ = Aei ( ωt − kx ) A hullámtanból ismert, hogy két igen közeli frekvenciájú hullám összetevése lebegést eredményez. Végtelen sok szinuszhullámból véges hosszúságú hullámvonulat (véges számú lebegés) is felépíthető.

Hullámcsomag: 59 k 0 + ∆k ϕ= ∫ A( k ) e ( i ω ( k ) t − kx ) dk = Cei ( ω 0 t − k 0 x ) k 0 − ∆k ahol a második tényező egy átlagos frekvenciájú és hullámhosszú sima hullám Reϕ burkoló P x sok sima hullám integrálása esetén ilyen görbealakot kapunk k 0 + ∆k C= ∫ A( k ) e [ i (ω(k )−ω 0 )t −( k − k 0 )x ]dk ⇐ burkoló k 0 − ∆k Vizsgáljuk meg a burkoló egy pontjának (P pont) sebességét! P-re nézve: (ω( k ) − ω 0 )t − ( k − k 0 )x = állandó dE dx ω( k ) − ω 0 dω dE vp = = = =  = =v dt k − k0 dk dP dP  2π 2π p E E mert: ν= ω = 2πν = k= = p= λ h   h 2 p A klasszikus fizika szerint: E = 2m dE 2 p = =v dp 2 m állandó ω − ω0 x= k t− k − k0 k − k0 p 2 = m 20 c 2 γ 2 β 2   m 20 c 2 ( γ 2 − 1) E és p relativisztikus kapcsolata: p = mv = m 0 cβγ segédtétel p 2 c 2 = m 20 c 4 γ 2 − m 20 c 4 = ( mc 2 ) − ( m 0 c 2 ) = E 2 − ( m 0 c 2 ) 2 2 2 2

pc 2 dp = 2 EdE dE p mv = c2 = c2 =v dp E mc 2 /tehát ugyanazt az eredményt adja a relativitás elmélet is mint a klasszikus fizika/ Az, hogy a fázissebesség meghaladja a fénysebességet nem mond ellent a relativitáselméletnek, mert az információt a hullámcsomag burkolója viszi. 60 Kisérleti bizonyítékok az elektron hullámtermészetére elektronágyú ϑ elektron detektor egykristály Devisson-Germer kisérlet / 1927 / G. P Thomson / 1928 / I elektron intenzitás ϑm ϑ ϑ ϑ ∆s d a körök atomok a kristályban (természetes rács) d A két szórt elektron hullám akkor erősíti egymást, ha: ∆s = nλ ϑ ∆s d=0,2158 nm ϑm = 50o E=54 eV d ∆s = sin ϑ d Az erősítés feltétele: ∆s = d sin ϑ = nλ (n=1 /ebben a kísérletben/ ) 61 λ= h = p h 2 mE sin ϑ m = λ h = d d 2 mE Kétréses kisérlet / fényre: Young 1801, elektronra: Jöhnson 1961 / d elektron y y1 I D / a rések távolsága 1µm / yd ∆s = 1 = nλ (itt n=1) D D

y 1 = λ y1, D, d ismeretében λ számítható. d A kisérlet kis energiás elektronokkal végezhető. Az eredmény teljesen hasonló mindkét rés nyitott csak a felső rés nyitott csak az alsó rés nyitott Az intenzitás eloszlása alapvetően különbözik, ha egyszerre csak egy-egy rés van nyitva, illetve ha egyszerre mindkettő. Ha mind a két rés nyitva van, akkor értelmetlen a kérdés, hogy az elektron melyik résen jött át. Az e lektronnak hul lámtermészete v an A z e lektron hul lám mind a két r ésen eg yszerre halad át . A z e lektronnak a k ét r ésen át haladt r észei i nterferálnak e gymással D etektáláskor az elektront mindig egészben detektáljuk. Ebben a k ísérletben az e lektron hul lám i s ( a r éseken v aló 62 áthaladáskor) és r észecske i s ( detektáláskor). A f oton és a z el ektron eb ben a kí sérletben t eljesen hasonlóan viselkedik! Különbség a két hullám leírásában van:   fényre: E = E 0 e i ( ωt −

kx ) elektronra: ϕ = Ae i ( ωt − kx ) Mit jelent az intenzitás ? fény esetén: energia/ (felület ⋅ idő) I ≈ E2 Ha kevés foton hozza létre a képet, akkor ez az értelmezés már nem tartható. Ekkor az intenzitás az egységnyi felületre beérkező fotonok átlagos számával arányos. Másképpen fogalmazva a foton becsapódásának valószínűségével. Elektron esetén csak annyi a különbség, hogy a ϕ önmagában nem bír fizikai jelentéssel, de a 2 ϕ mennyiség az analógia alapján az elektron intenzitással (elektronok száma/ (felület ⋅ idő) ) arányos. tehát ϕ2 a becsapódás valószínűségével arányos mennyiség 63 10. tétel: Határozatlansági reláció, kapcsolat a hullámcsomaggal, mikroszkópos mérés, zérusponti energia, gerjesztett állapot élettartama A Heisenberg-féle határozatlansági reláció A hullámcsomagtól fogunk eljutni idáig. ∆x: a részecske helyzetének bizonytalansága ∆x1 > ∆x2 /

ez a 2. részecske jobban lokalizált, mint az előző lapon lévő 1 részecske / (legalábbis ezt akarta a szerző, de ez nem igazán sikerült neki) ∆k1 kicsi hullámszámtartományból felépíthető ∆k2 nagy hullámszámtartomány szükséges a felépítéshez ∆k1 < ∆k2 ∆k1 ⋅ ∆x1 ≅ ∆k2 ⋅ ∆x2 ≅ 1 Furier analízissel a hullámtanból nyerhető összefüggés ∆x ⋅ ∆k ≈ 1 ∆p ≈1 ∆x h ∆x ⋅ ∆p ≈ h Jól lokalizált részecske ∆x kicsi ∆k nagy ∆p nagy Jól lokalizált részecske: ∆x ≈ 0 ⇒ ∆p ∞ 64 Nem lokalizált részecske: k = k0 ⇒ ∆k = 0 ⇒ ∆p = 0 ⇒ ∆x ∞ Közbülső eset /gyakorlatban a részecskék ilyenek/: ∆: a kérdéses fizikai mennyiség SZÓRÁSA. 2 ∆x = ( x − x ) a középértéktől való eltérések négyzete átlagának a gyöke. Az egzakt levezetés eredménye:  ∆x∆p x ≥  2   ∆y∆p y ≥ 2  Heisenberg féle határozatlansági összefüggés 

∆z∆p z ≥ 2    ∆E∆t ≥ 2  (x, p ) x (y, p ) egymáshoz kanonikusa konjugált változók: y (z, p )  egyszerre nem mérhetők terszőleges pontossággal z  ( E,− t )  A határozatlansági reláció igen szépen mutatja, hogy a m akrofizikai fogalmak a m ikrovilág leírására csak korlátozottan al kalmasak. A k apható v álasz pont osságát a k ísérleti k örülmények e leve behatárolják. Egy fizikai mennyiség m érési pont osságának ne m l esz e lvi hat ára, ha a k ísérleti körülményeket meg tudjuk úgy választani, hogy a m ért m ennyiség k onjugált pár ja a m érés s orán határozatlan marad. Visszatérés a kétréses kísérlethez: a. egyik rés nyitva: ∆x ≈ 0 ∆px ∞ (azaz a szórási képből nem határozható meg a hullámhossz) b. mindkét rés nyitva: ∆x nagy ∆px kicsi (azaz a szórási képből meghatározható a hullámhossz) 65 A határozatlansági relációk néhány

következménye: 1. Trajektóriák kérdése: Klasszikus fizikában: 1. a mákszem m = 10-6 kg ∆x ≈ 10-6 m - helyét µm pontossággal tudjuk meghatározni  ∆x ⋅ m ⋅ ∆v x ≥ ≈ 10− 34 2 m 10−34 a mákszem sebességét 10-22 − 22 s ∆v x ≈ − 6 = 10 10 ⋅ 10− 6 pontossággal tudjuk meghatározni Azonban ez nem igazi megszorítás, mert nincs olyan műszer amivel ilyen pontosan lehetne sebességet mérni. Tehát a mákszemnek van trajektóriája 1. b ∆x ≅ 10 −10 m m ≅ 10 −30 kg ∆v x ≅ 10 −34 6 m −10 − 30 = 10 s 10 ⋅ 10 A H atomban az elektron sebessége ebbe a nagyságrendbe esik a klasszikus fizika szerint. Az atomban az elektronnak nincs trajektóriája. 2. Mikroszkóppal való mérés: A fotonok α kúpszögben léphetnek a mikroszkópba. A mikroszkóp felbontóképessége az optika tudomány szerint: λ ∆x = sin α 66 h λ * Pf = Pf sin ε Pf = A megfigyelt részecske impulzusa is ennyit változik a foton

szóródásakor ≈ Pf sin ε Az impulzusok az ütközés után: h  h  spektrum  − sin α; sin α   λ  λ ∆p x : legyen egyenlő a középértéktől való max eltéréssel. h ∆p x ≈ sin α λ λ h h ∆x∆p x = Pf sin α = λ = h > teljesül a határozatlansági reláció! sin α λ 2 Megjegyzés: Ez a kísérlet azt sugallja, hogy a bizonytlalanság annak a következménye, hogy a méréssel beleavatkoztunk a rendszerbe. 3, Zérusponti energia: 67 Határozatlansági képlet: ∆x∆p x ≥ =  2 h 2π ∆x ⋅ m ⋅ ∆v x ≥ ∆v x ≥  2  2 m∆x Kérdés, hogy a kinetikus energiának minél kell nagyobbnak lennie. Megjegyzés: a különböző részecskéknek különböző sebességük van, tehát van spektruma. ∆v x ~ v x Mi lehet az x koordináták szórása ? A szórás nagyságrendileg egyezik a középértéktől való maximális eltéréssel. ( ettől kisebb ) A kinetikus energia 1 dimenzióban: Tkin. = 1 1 2 mv x

2 = m∆v x 2 ≥ 2 2 8m∆x 2 Példa: Csapda Klasszikus esetben az érkező részecske "beleesik". Tkin. 2 ≥ 8m∆x 2 Az a legkisebb energia amivel a részecske a gödörben rendelkezik, zérusponti energia. Hűtéssel nem vehető el a rendszertől. ( Semmilyen más módon sem vehető el ) Hogyan érhető el, hogy ne jöjjön létre kötött állapot ? 2 > V0 8m∆x Ez megtörténhet, ha: a, túl keskeny a verem b, túl sekély c, m nagyon kicsi Nyilván nincs kötött állapot, ha Tmin = a, ∆x<<∆x Tmin. = 2 < V0 8m∆x 2 68 Nem jön létre kötött állapot. b) Sekély mélyű csapda. V0 < V0 ha V0 < Tmin akkor sem jön létre kötött állapot c) ha (például m e − << m p ) m<<m Túl nagy csapdába belefér a proton de az elektron már lehet, hogy nem. Az elektron minimális kinetikus energiája kb. 2000-szer nagyobb Az atommagba a proton "belefér" az elektron nem. Tehát például a béta

bomláskor a magból kijövő elektronnak a bomlás pillanatában kell keletkeznie. Paradoxon: Minél nagyobb a részecske tömege annál kisebb csapdába is "belefér". 4.) Hidrogén atom: e2 Coulomb-energia Vc = − k r 2 T min = 8mr 2 „kvantumos nyüzsgés” energiája: ennél kisebb energiával nem rendelkezhet a csapdában a részecske E = Vc + Tmin 5.) ∆E∆z ≥  2 a Heisenberg-féle határozatlansági összefüggés minden kanonikusan konjugált változó párra fennáll. 69 E és –t is kanonikus konjugált Jelentése : a teljes energia (E) rövid idejű méréssel nem határozható meg tetszőleges pontossággal. Példa: gerjesztett állapot élettartama. ∆t 2 < ∆t 1 ⇒ ∆E 2 > ∆E 1 ⇒ ∆ν 2 > ∆ν1  élettartam:∆t 1 ∆E 1 ≥ 2 ∆t 1 energiája pontosan meghatározható A gerjesztett állapotokon rövid ideig tartózkodik az e-, utána visszamegy az alapállapotra. A gerjesztett állapot energiája nem lehet pontosan

meghatározott, Az alapállapot energiája pontosan meghatározott. Következmény a spektrumokra: E = hν ∆E 1  1 ≥ = ∆ν1 = h h2 ∆t 1 4π∆t 1 pl.: ∆t 1 ≈ 10 −8 s ∆ν1 ≈ 10 7 Hz Szélesebb spektrumvonal rövidebb életidejű gerjesztett állapothoz tartozik. Összegzés Schrödinger (bécsi fizikus) : ha a részecske hullám, akkor alkalmazható a hullámegyenlet.   1 ∂2ϕ  ∆ϕ − 2 2 = 0  c ∂t hullámme ch enika  Dirac egyesítette a két  Schrödinger egyenlet   leírási módot:  kvantummechanika Heisenberg mérhető mennyiségekből  mátrixme ch anika  felépített mátrixokkal irta le az atomot   70 13. tétel: Az energiasajátérték-egyenlet megoldása: a kötött részecske kvalitatív tárgyalása. A (0,a) intervallumra korlátozott részecske. Energia sajátérték - egyenlet megoldása ( időfüggetlen Schrődinger egyenlet )   H ⋅ ϕ (r ) = E ⋅ ϕ (r ) h2    

∆ϕ (r ) + V (r ) ⋅ ϕ (r ) = E ⋅ ϕ (r ) − 2m Bármely probléma során fellépő energia sajátfüggvény és értékek kiszámítására alkalmas. Egy dimenzióban: h 2 d 2ϕ ( x) − ⋅ + V ( x) ⋅ ϕ ( x) = E ⋅ ϕ ( x) 2m dx2 A kötött állapot kvalitatív tárgyalása Rendezzük az egyenletet: d 2ϕ ( x) 2m = 2 ⋅ (V ( x) − E ) ⋅ ϕ ( x) h dx2 A „gödör” amelyben a tetszőleges részecske kötve van. A vízszintes vonal a teljes energiát, a görbe a potenciális energiát jelenti. A két energia az x1 és x2 értékeknél egyezik. Ha: x1 ≤ x ≤ x2 : klasszikus mozgástartomány Az összenergia nagyobb mint a potenciális: (V(x)-E)<0 ⇒ d 2ϕ és dx 2 ϕ E > V ( x) ellentétes előjelűek. 81 (A másodrendű derivált a görbülettel van összefüggésben.) második eset: x < x1 vagy x > x2 : ezeket a tartományokat a klasszikus részecske nem érheti el. Az összenergia kisebb mint a potenciális: E<V(x) (V(x)-E)>0

⇒ ϕ d 2ϕ és azonos előjelűek. dx 2 Ilyen függvények irhatják le. Hullámfüggvényt látván el lehet dönteni, hogy melyek a klasszikus részecske számára elérhető és melyek az elérhetetlen tartományok. A hullám két fontos tulajdonsága: 1. Regularitás ⇒ négyzetes integrálhatóság ∫ |ϕ˛| dV= véges itt t .t ∞ ∫ |ϕ(x)|˛dx= véges −∞ lim ϕ(x)=0 x∞ azaz a hullámfüggvénynek a végtelenben nullához kell tartania. 2. dϕ ( x ) folytonos, kivéve, ha V(x)-nek végtelen szakadása van. dx 82 a.)   b.) c.)   folytonos V(x) véges szakadású ∞, x < 0  V(x)= V0 ,0 ≤ x ≤ a ∞, x > a  végtelen szakadású Ezek után térjünk vissza az eredeti problémára: a kötött állapot kvalitatív tárgyalására ! A hullámfüggvény menete, figyelembe véve a görbületekre tett észrevételeket és a folytonosság követelményét: x1 , x 2 helyen inflexiós pont mert a görbület

elöjelet vált. x1 x2 A fizikai rendszert csak a ϕ(x) irja le, mert a ∞-ben csak ez tünik el. Azaz a ∞-ben való eltünést nem lehet tetszőleges E értéknél biztosítani. Az energia sajátérték egyenlet megoldása azt jelenti, hogy meg kell keresni azokat az E értékeket, melyekkel a megoldásfüggvény ϕ(x) reguláris. − h 2 d 2ϕ +V(x)ϕ=Eϕ 2m dx 2 ϕ=ϕ(x) A fenti tipusú görbékből csak egy darab lesz reguláris. Vannak azonban más, az x tengelyt metsző görbék is. ϕ3 ϕ3 1. gerjesztett állapot ϕ1 alapállapot ϕ2 2. gerjesztett állapot 83 Következtetések: 1. Bármilyen kötött állapot esetén az energia sajátértékek diszkrét sorozatot alkotnak. E1 < E2 < E3 Szabad állapotban bármiféle energiaérték elöfordulhat. Sekély gödörben véges a sorozat, csak néhány kötött állapot jön létre. pl.: 3 kötött állapot Végtelen mély gödörben végtelen sok kötött állapot van. pl.: Vx Z x V=−k e r En =−E* 1 n2

2. ϕ(x) tulajdonságai: ϕ 1 -nek nincs zérushelye ϕ 2 -nek 1 zérushelye van ϕ 3 -nak 2 zérushelye van  ϕ n -nek (n-1) zérushelye van zérushely = csomópont Minél nagyobb az E annál cifrább a ϕ , nagyobb görbületek vannak rajta. 3. Tartózkodási valószinüségek: |ϕ|˛ A részecske véges valószinüséggel tartózkodik a klasszikus mozgástartományon kivül.⇒ negativ kinetikus energia 84 Gerjesztett állapotban a klasszikus mozgástartomány egyes pontjairól viszont kiszorul a részecske. pl.: 1 gerjesztett állapotban az intervallum közepén a részecske sohasem található meg. Példa: A (0,a) intervallumra korlátozott részecske: ∞, x < 0  V(x)= 0,0 ≤ x ≤ a ∞, x > a  − h 2 d 2ϕ +V(x) ϕ =E ϕ 2m dx 2 ha x<a vagy x>a akkor ϕ ≡ 0 , hisz a részecske a (0,a) intervallumra van korlátozva. Ezt csak végtelenül nagy potenciállal lehet megtenni folytonosság ⇒ ϕ (0)= ϕ (a)=0 0≤x≤a − h 2 d 2ϕ =E ϕ

2m dx 2 2 mE d 2ϕ =− 2 ϕ 2 h dx 2mE=p˛ (jelölés) p d 2ϕ =−   ϕ 2  h dx 2 Megoldás: ϕ =Asin p p x+Bcos x h h ,mert ez az alak illeszthetö legkönnyebben a határfeltételekhez. ϕ (0)=0 Asin p p 0+Bcos 0=0 h h B*1=0 B=0 ϕ (a)=0 0=Asin p p a ⇔ a=nπ h h A≠0 2mE a = nπ h 85 h2 2mEa = n π h = n π 4π 2 2 2 h2 E= n2 2 8 ma 2 2 2 2 ϕ n = A sin nπ x a 86 14. tétel: A szabad részecske, áthaladás potenciállépcsőn és -gáton, alagúteffektus Emlékeztető: −  ∂ψ 2  =− ∆ψ + V (r )ψ i ∂t 2m Stacionárius esetben:   ψ (r , t ) = ϕ(r )e − i − Et  2     ∆ϕ ( r ) + V ( r ) ϕ ( r ) = Eϕ ( r ) 2m Szabad részecske: V=const. V konstanst válasszuk 0-nak. Ekkor stacionárius esetben igaz hogy: − 2   ∆ϕ ( r ) = Eϕ ( r ) 2m Descartes-féle koordinátarendszerben: ∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ  ∆ϕ ( r ) = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z A megoldást

szeparált alakban keressük:  ϕ ( r ) = X ( x)Y( y) Z ( z) ∂2 X ∂ 2Y ∂2 Z p + XZ 2 + XY 2 = −( ) 2 XYZ YX 2  ∂x ∂y ∂z 2 2 2 1 ∂ X 1∂Y 1∂ Z p + + = −( ) 2 2 2 2  X ∂x Y ∂y Z ∂z Az egyenlet jobb oldalán álló tag konstans.Ez csak akkor lehetséges,ha a bal oldalon lévő tagok nem függenek a helykoordinátáktól. A bal oldali összeg tagjai konstans értékek: 2 2 1 ∂2 X 2 1 ∂ Y 2 1 ∂ Z = − ; = − ; = −c2 a b 2 2 2 X ∂x Y ∂y Z ∂z p p −a 2 − b2 − c2 = −( ) 2 a 2 + b2 + c2 = ( ) 2   Megoldás x az irányra(a többi irányra hasonló az eredmény): ∂2 X = − a 2 X X = Ae iax Az előjel a -ban benne van. ∂x2 Állítás: X(x) sajátfüggvénye px -nek A megfelelő sajátérték egyenlet: p x X( x) = p x X( x) , ahol p operátor , p sajátérték. x x 87 azaz  ∂ Aeiax = px Aeiax i ∂x Aaeiax = px Aeiax , ebből a = Elvégezve a deriválást: px  Ez hasonlóan elvégezhető Y-ra

és Z-re: Ezek szerint: Y = Be iby , ahol b = Z = Ce icz , ahol c =  ϕ (r ) = ABCe i px  py  pz  x i e py  y i e pz  z Legyen ABC=K � p x+ p y+ p z ) ϕ (r ) = Ke ( = Ke i  � így: x y z i  � � � pr A szabad részecske stacionárius állapotban tehát a következő függvénnyel leírt állapotban tartózkodik:     − i Et − i ( Et − pr ) (mivel ψ (r , t ) = ϕ (r )e ) ψ (r , t ) = Ke Ez pedig egy síkhullámot ír le. Megjegyzések: 1. Stacionárius állapotban a részecske mindig energia sajátállapotban tartózkodik, ez egyúttal impulzus sajátállapot is. Tehát a részecske egyidejűleg rendelkezik meghatározott energiával és meghatározott impulzussal. Ez így van a klasszikus fizikában is 2. Az energiára nem kaptunk feltételt, vagyis az energia (E) értéke tetszőleges lehet Tehát míg kötött állapotban a részecske diszkrét energiaértékkel rendelkezik, addig szabad

állapotban bármilyen, vagyis a szabad állapotú részecske energiaspektruma folytonos. 3. Vajon ennek a síkhullámnak mekkora a hullámhossza és frekvenciája? A síkhullám –mint tudjuk- felírható a következő alakban is:   ψ (r , t ) = Ke −i (ω t − kr ) , ahol ω : frekvencia,  k : hullámszámvektor Tehát: ω= E ⇒ 2πν = 2π E ⇒ ν=  h Visszakaptuk a de Broglie 1. összefüggését E h 88 k= p  ⇒ 2π λ = 2π p ⇒ λ= h h p Visszakaptuk de Broglie 2. összefüggését Ez nem meglepő, hiszen az anyag hullámtermészetéből következnek ezek az egyenletek, de ahogy felírtuk ezeket, az még nem következett közvetlenül. Most viszont láthatjuk, hogy ezek az egyenletek teljesen megfelelnek annak, amit de Broglie állított. 4. A hullámcsomag nem stacionárius megoldás Egy hullámcsomag mindig „szétfolyik” 5. A síkhullámban tartózkodási valószínűség helytől független érték ρ = ψ ∗ ψ = K∗ K

= K 2 konstans. A síkhullámban a részecske egyáltalán nincs lokalizálva, bárhol ugyanolyan eséllyel tartózkodik. Potenciállépcső egy dimenzióban Legyen a potenciállépcső a következő: 0, ha V( x) =  V0 , ha x ≤ 0 (1) x > 0 ( 2) Általános megoldás az (1) tartományra: ϕ1 ( x) = Ae i  px x + Be −  p x x , i px > 0 Általános megoldás a (2) tartományra: −  2 d 2ϕ2 ( x) + V0ϕ2 ( x) = Eϕ2 ( x) 2m dx2 ( időtől független egyenlet) Átrendezve: d 2ϕ2 ( x) 2m = 2 (V0 − E )ϕ2 ( x)  dx2 89 Tárgyaljuk azt az esetet, ha V0 >E : Legyen q = 2m(V0 − E ) , ami valós, hiszen V0 >E . d 2ϕ2( x)  q  =   ϕ2 ( x)   dx2 2 ϕ2 ( x) = Ce − x + De q  e de D=0 kell, hogy legyen, mivel így a megoldás ϕ2 ( x) = Ce q �  x q x ∞ , ha x ∞ q − x  B és C visszavezethető A-ra a határfeltételek figyelembe vételével: ϕ1(0)= ϕ2(0) A+B=C 1. ϕ folytonos 2.

dϕ 2 dϕ (0) = 2 (0) dx dx i*px(A-B)=-qC ⇒ kifejezhető C=C(A) dϕ folytonos dx tartózkodási valószínűségsűrűség a 2. tartományban ρ( x ) = ϕ ( x ) * ϕ( x ) = C C e * * −2 q x  = C *e 2 − 8 m ( V0 − E )  x a részecske valamelyest behatol a 2. tartományba, előbb-utóbb a részecske visszafordul; a visszaverődés teljes lesz. Behatolási mélység: xb az a távolság amelyen a tartózkodási valószínûségsûrûség e-ed részére csökken ρ(0) ρ( x b ) = e 2 C e − 8 m(V0 − E) ⋅x b  8m(V0 − E) ⋅ xb = 1  = e -1 C ;a kitevőknek meg kell egyezni. ⇒ 2 xb =  8m(V0 − E ) 90 A részecske annál jobban be tud hatolni a klasszikus fizika szerint számára tiltott tartományba minél kisebb a tömege és minél kisebb a hiányzó energia. Véges vastagságú gát: E feltétel: legyen a>>b V0 E<V0 E 0 ha x ≤ 0 vagy x ≥ a V( x ) =   V0 ha 0 < x < a 0 a G: annak a valószínűsége

hogy a részecske átjuthat a gáton Jó közelítéssel G ≈ − ρ (a ) =e ρ (0) 8 m(V0 − E )  a . Ez a kvantummechanikai alagúteffektus. (A klasszikus mechanikában ez az effektus hiányzik.) A részecske jó eséllyel átjut a gáton (G nagy), ha • m kicsi • V0-E kicsi, és • a kicsi. Megjegyzés: ha E > V0 , akkor az áthaladás valószínűsége (T) sőt visszaverődhet, a V0 < 0 esetben is. 91 Itt is van esély a visszaverődésre. Van hasonlóság az elektromágneses hullámok fémről való visszaverődésével. E Példák az alagúteffektusra 1. Vékony oxidréteg vezet 1 eV = 1,6 ⋅ 10 −19 J xb =  ≈ ≈1 eV 10 −34 = 10 −10 8m(V0 − E ) 10 ⋅ 10 - ez kb. egy oxidréteg vastagsága Körülbelül egy réteg oxid csökkenti e-vel az elektronsűrűséget. − 29 −19 V0 E fém 1 oxid fém 2 2. Hidegemisszió Az elektronok a fém belsejében egy potenciálgödörben vannak, a gát végtelen hosszúnak tekinthető ⇒ az

elektron kijutási valószínűsége zérus. Feszültséget kapcsolva a fémre, az így kialakult gáton az elektron véges valószínűséggel átjuthat. Gyakorlati alkalmazás: pásztázó alagútmikroszkóp. Wkilépés vákuum fém vákuum E ( külső elektromos tér) 92 Pásztázó alagútmikroszkóp (scanning tunnel microscope) az egykristály hegyet mozogatják a felület egykristály hegy felett, ahol domborulat van a tűhegy a végén egy atommal közelebb kerül a felülethez csökken a gát nő a G felület 3. Minden energiatermelő reakció küszöb alatt indul V0 Ha V 0 < E, de V0-E kicsi, akkor a reakció igen lassan már folyik Ek E Ev . 4. α - bomlás: Z⋅e⋅2⋅e r Az α részecske előbb-utóbb átjut a gáton. E r Eα U (r ) = k vákuum mag vákuum 93 15. tétel: Az impulzumomentum sajátértéke, iránykvantálás, a kvantumszámok rendszere az egyelektronos atomban Az impulzusmomentum (perdület) a kvantummechanikában

Pályaimpulzus momentum:    L = r × P a klasszikus fizikában. Lz = xPy − yPx Lx = yPz − zPy L y = zPx − xPz A fizikai mennyiségekhez operátort kell rendelni: h∂ h ∂ h ∂   − yP  = x L = xP −y = z y x i∂ y i ∂x i ∂ϕ Lz előállítása gömbi polár rendszerben ezt az alakot ölti. A többiben igen bonyolult lenne Mivel egyenlő a perdület nagysága? Venni kell a koordináták négyzetösszegét: L2 = L2x + L2y + L2z L2 = L2x + L2y + L2z Az operátor négyzete azt jelenti, hogy kétszer kell alkalmazni. Állítás: Ha két operátornak szimultán sajátfüggvényei vannak, akkor a két operátor felcserélhető. Ez az állítás visszafelé is igaz. Mi a szimultán sajátfüggvény? Legyen két operátor: O1 és O 2 Akkor vannak szimultán sajátfüggvényei, ha: O1ϕ = c1ϕ O 2ϕ = c2ϕ ebből következik, hogy: O1O 2 = O 2 O1 Szorozzuk most meg a felső egyenletet O 2 -vel az alsót pedig O1

-el. 94 O 2 O1ϕ = O 2 c1ϕ = c1O 2ϕ = c1c2ϕ O1O 2ϕ = O1c2ϕ = c2 O1ϕ = c2 c1ϕ Ezzel beláttuk, hogy a két operátor egymással felcserélhető, ha szimultán saját függvényei vannak. Állítás: Lx , L y , Lz egymással nem felcserélhető, de L2 bármenyikkel felcserélhető. Pld: L x L y − L y L x = ?  z − zP   y ) * ( zP  x − xP  z ) − ( zP  x − xP  z ) * ( yP  z − zP  y ) ( yP  z zP  x − zP y zP  x − yP  z xP  z + zP   y xP  z − zP  x yP  z + xP  z yP  z + zP  x zP   y − xP  z zP  y yP Csak a kanonikusan konjugált változók operátorai nem cserélhetők fel.  x − xP   y − zP  z * Px y − P y x Pz z * yP ( ) ( )  z ) * ( yP  x − xP  y ) ( Pz z − zP Mivel a szorzat első tagja egyenlő h -vel, a

masodik pedig − L z így a megoldás: i h − L z = ihL z i Ez az operátorok kommutátora. Következmény: • Lx , Ly és Lz egyidejűleg nem határozhatók meg ( mert nincs szimultán sajátfüggvényük, ezért nem lehet mindhárom mennyiségre nézve sajátállapot ) viszont L2 és valamelyik komponens ( pl.: Lz ) egyidejűleg meghatározható • Szimultán sajátfüggvényekkel egyszerre két sajátérték-egyenletet is felírhatunk : L2ϕ = L2ϕ amelyek egyidejűleg megoldhatók. L ϕ = L ϕ z z Megoldás nélkül a végeredmény : L2 = h 2 l (l + 1) l = 0,1,2,. m = − l ,− l + 1,., l szimultán sajátértékek Lz = hm szimultán sajátfüggvények ( gömbfüggvények ) , ahol ϑ azimut , ϕ ϕ = Ylm (ϑ , ϕ ) polárszög. 95 Pl.: a) legyen l = 0 ekkor L2 = 0 és Lz = 0 egyáltalán nincs impulzus momentum. b.) legyen l = 1 ekkor L2 = h 2 2 és Lz = −h ,ha m = −1 Lz = 0 ,ha m = 0 Lz = h ,ha m = 1. A kapott eredményeket bal oldalt

ábrázoltuk 2h sugarú gömb amelyben • a felső kúp alkotóvektorainak hossza megfelel az Lz = h ha m = 1 esetnek 2h , ennek függőleges vetülete h , ez éppen az alsó kúp alkotóvektorainak hossza 2h , függőleges vetülete −h , ez megfelel Lz = −h ha m = −1 esetnek a középkör pedig a Lz = 0 ha m = 0 esetnek felel meg. • Következtetés:  a kitüntetett iránnyal az L impulzusvektor nem zárhat be akármilyen szöget. Pl.: ϑ 1 =? Lz h 1 2 ⇒ ϑ 1 = 45° = = = L 2 2h 2 hasonlóan elvégezve a többi esetben is ϑ = 45° m=1 ϑ = 90° m=0 m = −1 ϑ = 135° cosϑ 1 = IRÁNYKVANTÁLÁS : tetszőlegesen felvett iránnyal a rendszer impulzusvektora nem zárhat be akármilyen szöget. (Nobel-díj a beigazolásáért)  Határozatlanság itt is van! Ha ismert az L vektor egy komponense, a többi ( a másik kettő ) már bizonytalan. A vektort jellemző 3 adatból ( x , y , z ) vagy (r,ϑ ,ϕ ) csak kettő határozható meg egyidejűleg. Itt meghatároztuk

r -t , ϑ -t , de ϕ határozatlan maradt. ⇒ Impuzus momentum nem határozható meg teljes pontosággal! 96 Mi a helyzet centrális mezőben?  A potencális energia csak a centrumtól mért r távolság függvénye. V( r ) = V( r ) Ekkor E és bármelyik L impuzusmomentum-komponens-operátor L , L , L ( x y z ) felcserélhető. Ennek következménye: vannak szimultán sajátfüggvényei, sajátállapotaik egyszerre léteznek. A korábbiakat is hozzávéve: E , L2 , L z operátorok szimultán sajátfüggvényekkel rendelkeznek, azaz egyidejűleg meghatározottak a rendszerre nézve. Ennek következménye: E , L2 és Lz egyidejűleg meghatározott értékekkel rendelkeznek.  A sajátfüggvény alakja: ϕ (r ) = f (r , ϑ )Yl ,m (ϑ , ϕ ) , ahol Yl,m(ϑ,ϕ) gömbfüggvényeket jelöl. Ez bármiyen centrális mezőben igaz.  (Megjegyzés: klasszikus fzikában E és L állandó a centrális mezőben). Az egyelektronos atom: (Hidrogenatom, ha

Z=1, más esetben ion) elektron mag töltése: +Ze r Ze 2 r (Vonzó kölcsönhatás esetén a Coulomb-potenciál negatív). Az időfüggetlen Schrödinger-egyenlet a következö: Ze 2 h2 − ∆ϕ − k = Eϕ ; r 2m ϕ = ϕ (r , ϑ , ϕ ). és ∆ = ∆ r ,ϑ ,ϕ V (r) = − k Ahol r,ϑ,ϕ gömbi polár koordináták. A megoldások a következő alakban állanak elő: (szeparált alakban) ϕ (r , ϑ , ϕ ) = Rn ,l (r , ϑ )Yl ,m (ϑ , ϕ ) n,l,m kvantumszámok: n: Főkvantumszám: meghatározza az energiát. E∗ E = − Z 2 2 ; n = 1,2,. n l: Mellékvantumszám: meghatározza L2-et. L2 = h� 2 l( l + 1); l = 0,1,., n − 1 97 m: Mágneses kvantumszám: meghatározza Lz-t. Lz = hm; m = − l ,− l + 1,.,0,, l ϕ alakja: ϕ 100 = Ke − Ar pl: n= 1 l= 0 m= 0 a hidrogén alapállapotban 0 impulzusmomentummal rendelkezik. n= 2 l= 0 m= 0 vagy l= 1 m= -1 vagy m= 0 vagy m= 1 , ez az állapot négyszeresen degenerált! 98 17. tétel: A többelektronos atomok,

független részecske közelítés, Pauli-elv, periódusos rendszer. A röntgen sugárzás Többelektronos atomok: Az egyelektronos atomot elméletileg tárgyaltuk, egzakt eredmény kapható. Kételektronos atom esetén csak numerikus közelítéssel oldható meg, de tetszőleges pontossággal.  (∆ + ∆ )ϕ − k Z e ϕ − k Z e ϕ + k e ϕ = Eϕ r r r 2m 2 2 − 1 2 2 1 2 (∆1 + ∆ 2 )ϕ 2m Ze 2 Ze 2 ϕ −k ϕ −k r2 r1 − −k 2 e2 ϕ r1, 2 2 1, 2 kinetikus energia a mag és elekrton kölcsönhatás elektron − elektron kölcsönhatás Még több elektron esetén:   N N N  2 N 1 1 2 2 − + ke ∑ ∑ ϕ = Eϕ ∑ ∆ i − ke Z∑  2 m i =1 i =1 ri i =1 j =1 rij      i> j  ahol ( ϕ = ϕ r1 , r2 ,., rN ) ϕ : a helykoordináták függvénye 3 N darab változó szerepel a függvényben. Például vas esetén N=26 Ha egy-egy változó 100 pontjában tároljuk a függvényértékeket (ennyi a

megfelelő pontossághoz feltétlenül szükséges), akkor összesen 100 3 N = 100 3*26 = 100 78 100156 darab 105 függvénypontról van szó. Mekkora számítógép kell ennyi adat tárolásához ? 1 kg ≈ 1026 atomból áll 1 naprendszer ≈ 1030 kg 1 galaxis ≈ 1011 naprendszer 1 világ ≈ 1011 galaxist tartalmaz tehát 1 világ ≈ 1078 atomból áll Mivel egy függvényérték tárolásához legalább egy atom kell (sőt sokkal több), ezért ekkora számítógép elvileg sem építhető. Tehát N>26 esetén csak numerikus közelítő módszerrel nem oldható meg a probléma. Másfajta, hatékonyabb, fizikai alapokon álló közelítés szükséges ! Közelítés egyrészecske hullámfüggvényekkel (független részecske közelítés). A hullám fgv-t egyrészecske hullámok szorzataként képzeljük el.       ϕ ( r1 , r2 ,., rN ) = ϕ1 ( r1 )ϕ2 ( r2 )ϕ N ( rN ) Ezt a függvényt már könnyebben tudjuk tárolni. Így ha egy darab ϕ -t 1003=106

ponton ábrázolunk, az összesen N*106 pont. A számítás azonban nem egyszerű A közelítésben a Schrödinger-egyenlet szétesik N darab különálló egyenletre.   N   1 1   − ⋅ ∆ i − ke 2 Z + ke 2 ∑ ϕi (ri ) = Eϕi (ri ) ri  2m j =1 rij      i≠ j  A számítások elvégezhetősége érdekében további közelítéseket kell tennünk: N 1 2 A 0. közelítésben a ke ∑ tagot, ami az elektronok közötti kölcsönhatást jelenti, r j =1 ij elhanyagoljuk. Így megkapjuk az egyelektronos atomra vonatkozó eredményt: 2 z    ∆ iϕ i ( ri ) + ke2 ϕ i ( ri ) = Eϕ i (ri ) − 2m ri Ez az egyelektronos atom sajátértékproblémája: Minden elektron hasonló állapotot formáz mint a H atom, tehát minden elektron az n=1, l=0, m=0 állapot felé törekedne. Ez ellentétben áll a tapasztalattal ! Ez a közelítés még akkor sem lesz elég jó, ha figyelembe vesszük a Pauli-féle kizárási elvet

(lásd később) Az elektronok közötti kölcsönhatások elhanyagolása miatt ez eléggé rossz közelítés, nem írja le a valóságot. 106 1. közelítés: Hartree-módszer A többi elektron hatását egy centrális árnyékoló potenciállal vesszük figyelembe: zi ( ri ) e2 Vi(ri) = +k ri Az adott elektronon belül lévő töltések árnyékolják a magot, de a kívül lévők nem. A zi(ri) az sugárral rajzolt gömbön belüli többi elektron számát jelenti, amit nyilván a hullámfüggvények integrálásával nyerünk. Az i. elektron Schrödinger egyenlete: Z (r )e 2 Z ϕi = Eiϕi ∆ iϕi − ke 2 ϕi + k i i 2m ri ri 2 − (*) Ilyen típusú egyenleteket kell megoldanunk. Iterációs eljárással meghatározható  egyszerre az N db Zi (ri ) és az N db ϕi (ri ) . A megoldás menete pl.: 1. Kiindulunk H szerű hullámfüggvényből ϕi0 2. Ebből kiszámítjuk az árnyékoló potenciálokat zi0(ri) 3. zi0(ri)-val megoldjuk a (*)-os egyenletet.Megkapjuk

belőle ϕi1-t 4. Összehasonlítjuk, hogy jelentősen eltér-e ϕi0-tól Ha igen akkor ki kell számítanunk újból az árnyékoló potenciált zi1(ri) -t és abból ϕi2-t. Ezt addig kell csinálnunk amig az eltérés elenyésző nem lesz. Ha az eltérés nem nagy akkor viszont megkaptuk a végeredményt. Igy k lépésben egy önmagának nem ellentmondó (self-consistent) ϕik és Ek megkapható. Eredmény: néhány százalékra pontos energiaértékek kaphatók. Új dolog, hogy az energiaértékek n mellett l-től is függenek ( E n ,l < E n ,l +1 ) ! 107 E(2s)< E(2p)< E(3s)< E(3p)< E(4s)< E(3d) Oka: a magasabb l értékű elektronok könnyebben leárnyékolhatók. Megjegyzés: ma már ezreléknél is pontosabb közelítések is vannak, amelyek számos itt nem tárgyalt hatást is figyelembe vesznek. Ezek ismertetése meghaladja e tátgy kereteit. A periódusos rendszer Alapelvek: 1. Közelítés: Maradunk a Hartree-féle független részecske

közelítésnél Centrális mezőben hidrogénszerű impulzusmomentum sajátállapotok valósulnak meg. ϕ szögtől függő része ugyan olyan mint a hidrogén atomban. ( ϕ = Ylm (ϑ , ϕ ) gömbfüggvények) ϕ r - től függő része jelentősen eltér. Léteznek 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, stb állapotok 2. Pauli-elv: (független részecske közelítésben) ugyanazzal a n,l,m, ms kvantumszám négyessel nem rendelkezhet két elektron egy atomon belül. (Nem vezethető le a kvantummechanikából .) 3.Energiaminimumra való törekvés, azaz a létező energiaszintek alulról kezdve töltődnek fel. 4.Hund-szabály: azonos energiájú szintek közül a térbelileg különbözőek töltődnek be először. Így vannak az elektronok a legmesszebb egymástól Elem Elektronkonfiguráció Utolsó elektron Eredő spin vetülete 108 H He Li Be B C N O F Ne Na 1s (1s) 2 (1s) 2 2s (1s) 2 (2 s) 2 (1s) 2 (2 s) 2 2 p (1s) 2 (2 s) 2 (2 p) 2 (1s) 2 (2 s) 2 (2 p) 3 (1s) 2 (2 s) 2 (2 p) 4 (1s) 2

(2 s) 2 (2 p) 5 (1s) 2 (2 s) 2 (2 p) 6 (1s) 2 (2 s) 2 (2 p) 6 3s kvantumszáma n l m 1 0 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0 2 1 1 2 1 0 2 1 -1 2 1 1 2 1 0 2 1 -1 3 0 0 ms pl .:1/2 -1/2 1/2 -1/2 1/2 1/2 1/2 -1/2 -1/2 -1/2 1/2 1/2 0 1/2 0 1/2 1 3/2 1 1/2 0 1/2 Ei ionizációs potenciál: az az energia, amellyel a leglazábban kötött elektron leszakítható a semleges atomból. Az ionizációs potenciál, mint a legtöbb atomi tulajdonság a rendszámnak periódikus függvénye. Ezek a tulajdonságok a legkülső elektrontól függnek. Röntgensugárzás (1895) : A világon sok helyen X-sugárzásnak is nevezik. Előállítása: izzó katód vákuum anód 109 20-200kV 1.) A katódból kilépő elektronok az anód felé gyorsulnak 2.) Az anódba becsapódó elektronok váltják ki az anódból a röntgensugárzást 3.) Az elektronok energiájának csak ≈1%-a lesz a röntgensugárzás energiája, a többi az anódban nyelődik el. Emiatt szükséges, hogy az anód nagy darab, nehezen

olvadó fém (pl.: wolfram)legyen, lehetőleg vízzel hűtött vagy forgatott 4.) A röntgensugárzás nagyenergiájú elektromágneses sugárzás (hasonlóan a γsugárzáshoz) A röntgensugárzás spektrális eloszlása: a.) folytonos rész: fékezési röntgensugárzás Az elektron lefékeződik az anód anyagában, és fékezés során bocsát ki 1 vagy több fotont. U a gyorsító feszültség U ⋅e h ⋅ ν max = U ⋅ e ν max = h b.) diszkrét vonalak: karakterisztikus röntgensugárzás (mert jellemző az anód anyagára). A karakterisztikus vonalak helye független a gyorsító feszültségtől. Moseley-törvény:(1913) A Kα-vonalra vonatkozik (a legnagyobb energiájú sorozat legintenzívebb vonala). 3 E* ν Kα = ( z − 1) 2 , ahol E*=2,18aJ 4 h z : az anód anyagának rendszáma W = U ⋅e E * = 2 ,18aJ 110 hυ 21 = E2 − E1 E* 2 E n = − 2 ( Z ) behelyettesítve ⇒ n 1  E* 2 E* 2  υ 12 = − 2 ( Z ) + − 2 ( Z )  h 2 1  υ 12 1  3

E* 2 E2 * 2 1 = 2 (Z )  2 − 2  = (Z ) 1  4 h 2 h   3 4 Z ≈ Z − 1 minden Z -re, erre az átmenetre. * Nem biztos, hogy az 1. lépés után rögtön a 2 következik, lehetséges alternatív folyamat a 2. lépésre: a végállapot 2 lyukat tartalmaz ⇒ kétszeres pozitív ion lesz. Auger elektron A rendszámtól függ, hogy a röntgen sugárzás vagy az Auger elektron lesz domináns. Ha Z értéke nagy akkor a röntgen sugár lesz a domináns ha kicsi akkor az Auger elektron. A karakterisztikus röntgensugárzás kémiai analízisre használható. Egyik legjobb roncsolásmentes vizsgálat. Elektron bombázás: elektron mikroszonda. Röntgen bombázás: RFA - röntgen fluoresszencia analízis. 111 Proton bombázás: PIXE - proton induced X-ray emission. 112 18. tétel: Kvantumstatisztikák A klasszikus-, a Bose-Einstein- és a Fermi-Dirac statisztika Azonos részecskék: pl.: atom tartalmaz N -db elektront    Ψ( r1 , r2 , rN )

az atomban felcserélünk két elektront: 1. ⇔ 2    Ψ(r2 , r1 , r N ) két elektron felcserélése semmilyen mérhető fizikai mennyiségre nincs semmilyen hatással. 2 2 (Ψ(r1 , r2 ,., rN )) = Ψ(r2 , r1 ,, rN ) ⇒       eiα =1 visszacseréljük a két elektront. Ψ(r2 , r1 , r N ) = eiα Ψ(r1 , r2 , r N ) ; 2          Ψ(r1 , r2 , r N ) = eiα Ψ(r2 , r1 , r N ) = ( eiα ) Ψ(r1 , r2 , r N ) tehát ⇒  ( ) 1 e =±1 ha eiα =1 akkor a hullámfvüggvény szimmetrikus a 2. részecske felcserélésére iα ⇒ bozonok, a spinvetületük  egész számú többszöröse. (Pl: fotonok,egyes atomok He). Ha eiα = -1 akkor a hullámfüggvény antiszimetrikus a két részecske felcserélésére.   ⇒ fermionok spinvetületük illetve - lehet (pl.: elektron, proton, neutron) 2 2 Pauli elv általános alak: A természetben csak antiszimmetrikus elektronállapotok valósulnak meg. Ebből

következik a független részecske közelítésére érv. Pauli elv Ugyanis tegyük fel, hogy két elektron ugyanabban az állapotban van:          Ψ1 (r1 )Ψ1 (r2 ),., ΨN (rN ) = − Ψ1 (r2 )Ψ1 (r1 ),, ΨN (rN ) = − Ψ1 (r1 )Ψ1 (r2 ),, ΨN (rN ) A függvény nem lehet azonosan 0, így az előző egyenlet ellentmondást takar. Bármely két Ψ-nek különböznie kell, mert különben az antiszimmetria nem teljesül. Emlékeztető A Boltzmann statisztika alapfeltevései voltak: 1., A részecskék megkülönböztethetõek 2., A fáziscella tetszõlegesen kicsire választható 3., Egy cellában tetszõlegesen sok részecske elhelyezhetõ A kvantummechanikának mindhárom alapfeltevéssel szemben ellenvetései vannak: 1 ↔ A mikrorészecskék megkülönböztethetetlenek Nem hordoznak ismertetőjegyeket, nem követhető a pályájuk 112 3   2 ↔ ∆Ω = ∆U∆V = ∆p x ∆p y ∆p z ⋅ ∆x∆y∆z = ∆p x ∆x ⋅ ∆p y ∆y ⋅

∆p z ∆z ≥    2  ∆p x ∆x ≥ 2  ∆p y ∆y ≥ 2  ∆p z ∆z ≥ 2 3  a fáziscella nem lehet tetszőlegesen kicsi. ∆Ω ≥ 8 3 igaz a szimmetrikus hullámfüggvényű részecskékre (bozonokra) Bose-Einstein statisztika igaz rájuk nem igaz az antiszimmetrikus hullámfüggvényű részecskékre (fermionokra) Fermi-Dirac statisztika igaz rájuk pl.: 2 részecske 3 cellában: Hány lehetőség van? Boltzmann ab Bose-Einstein * ab * ab a b b a Fermi-Dirac * * b b a a b b a * * * * * a * * * * * * Az energia-eloszlásfüggvények megkonstruálása: Vannak energiarétegek (rétegen belül a cellák energiája azonos) az i. rétegben van zi cella és Ni részecske 1. réteg z1 cella N1 részecske 2. réteg z2 cella N 2 részecske pl: az impuzustérben egy origó középpontú végtelenül vékony gömbhéj belsejében azonos az energia . . ∑i Ni = N Hányféleképpen helyezhetők el a részecskék? Boltzmann-statisztika:

113 W= N! ∏i ( ziNi ) N ! ∏ i pl: Ni = 2 zi = 3 32 = 9 i N! ez fejezi ki azt hogy a részecskék megkülönböztethetőek. ∏ Ni ! i Bose-Einstein: (ismétléses kombináció) ( Ni + zi − 1)! pl.: W=∏ Ni !( zi − 1)! i Fermi-Dirac: (ismétlés nélküli kombináció) zi ! pl.: W=∏ i N i !( zi − N i )! Ni = 2 4 ! =6 zi = 3 2! 2! Ni = 2 zi = 3 3! =3 2 !1! A fentiekből származtathatóak a megfelelő eloszlásfüggvények (lásd: Fizika I.), felhasználva az alábbiakat: - Stirling-formula n! = (n/e)n ha n igen nagy - részecskeszám állandó N = ∑ Ni =állandó i - az összenergia állandó E = ∑ Ni E i =állandó i - S = k ⋅ ln W entrópia maximumának keresése a fenti két mellékfeltételekkel Az eloszlásfüggvények: Boltzmann: zi − kE⋅Ti Ni = e A A : a részecskeszámra vonatkozó mellékfeltételből számolható Bose-Einstein: Ni = Fermi-Dirac: Ni = zi Ei A⋅ e k⋅T − 1 zi Ei A⋅ e k⋅T + 1 Megjegyzések: Ei k⋅T 1, Ha zi

>> Ni akkor A⋅ e >> 1 azaz a három statisztika ugyanarra az eredményre vezet. Ebben az esetben a kvantumstatisztikák tartanak a klasszikushoz. A klasszikus (Boltzmann) akkor jó közelítés, ha E i nem nagyon kicsi, és a részecskék nincsenek nagyon sűrűn. Most már érthető, hogy miért adott helyes eredményt a Boltzmann statisztika nem túl szélsőséges állapotú gázokra. 2, Ha E i kicsi vagy igen nagy a sűrűség, akkor nem alkalmas a Boltzmann statisztika ( a gáz nem tekinthető ideálisnak - elfajult gáz) Az atomok Bose-Einstein kondenzációja (az, hogy igen alacsony hőmérsékleten az összes atom egyetlen fáziscellába rakható) a 90-es évek atomfizikájának igen lényeges eredménye. 114 Lényegében a Bose-Einstein kondenzáció témakörébe tartozik néhány makroszkópikusan is megnyilvánuló kvantummechanikai effektus: a szuperfolyékonyság és a szupravezetés. (Most nincs idő tárgyalni őket) 3. Bose–Einstein-statisztika

alkalmazása fotongázra Fotonok: egymástól megkülönböztetetlenek, egy fáziscellába tetszőleges számú kerülhet. Nincs részecskeszám megmaradás előírva (keletkezhetnek, eltűnhetnek szabadon).Ez utóbbi következménye, hogy A = 1 (bizonyítás nélkül) Továbbá ismert, hogy Ei = hν Ebből levezethető a Planck-féle sugárzási törvény, ha megadom 1924.) -et. (Bose 4. Fermi-Dirac-statisztika alkalmazása "elektrongázra" Az a részecskeszámra vonatkozó mellékfeltételből kijön EF neve : Fermi-energia Nézzük meg, hogy általában egy fáziscellában hány részecske lesz ! Azaz mivel egyenlő 115 EF – nél a fáziscellák éppen 50 % -a van betöltve esetben a Fermiszint alatti állapotok betöltve, fölötte üresek. Az elektronok többségének az energiája nem változik “elektrongáz” – a szabadon lévő elektronok nem tekinthetők annak, csak akkor, ha az elektronok kölcsönhatását (taszítást) a pozitív ionok

leárnyékoklják. Következmény: A fémek fajhőjéhez a szabad elektronok csak elhanyagolható járulékot adnak. (pl.: 1000K –nél a járulék 2 %) A fémben lévő szabad elektronokra nem érvényes az ekvipartíció tétel !!! 116 19. tétel: A lézer: indukált emisszió, populációinverzió, tükörrezonátor, a rubinlézer és a He-Ne gázlézer Előzmények : 1. Bohr-posztulátumok 2. Boltzmann-eloszlás ( N i = N 0 * e 3. Planck-féle sugárzási törvény − Ei kT ) Ei>>EF (a) ν= (b) E 2 − E1 h - atom gerjesztése - foton abszorpciója - atom "legerjesztődése" - foton spontán emissziója. (magától, külső kényszer nélkül) (c) - indukált emisszió - atom legerjesztődése - foton emissziója (indukált) egy másik u.o foton hatására Einstein jött rá, hogy ezt a 3 előzményt úgy lehet összeegyeztetni, hogy van egy harmadik folyamat, az indukált emisszió. (a) folyamat valószínűsége ~ I(ν), N1 ∆N1a = -B12*I(ν)N1

(b) folyamat valószínűsége ~ N2 ∆N1b = A12*N2 (c) folyamat valószínűsége ~ I(ν), N2 ∆N1c = B12*I(ν)N2 Termikus egyensúlyban ∆N1 = 0 ∆N1a + ∆N1b + ∆N1c = 0 117 -B12*I(ν)N1 + A21N2 + B21I(ν)N2 = 0 N1=N0* e − E1 kT N2=N0* e − E2 kT E 2 − E1 hν N1 kT =e = e kT N2 − B12 ⋅ I (ν ) ⋅ e hν kT + A21 + B21 ⋅ I (ν ) = 0 hν   A21 I (ν ) ⋅  B21 − B12 ⋅ e kT  + A21 = 0 ⇒ I (ν ) = hν   B12 ⋅ e kT − B21 I (ν ) = A21 B21 hν B12 kT ⋅e B21     Összehasonlítjuk a Blanck - féle sugárzási törvénnyel : − 1  Következmények : 1. A21 ∝ν 3 B21 Az indukált emisszió kis frekvencián jellemző 2. B21 = B12 Az indukált emisszió valószínűsége megegyezik az abszorpció valószínűségével. Einstein képletek : ∆N 1a = − B12 ⋅ I (ν ) ⋅ N 1 Abszorpció valószínűsége. ∆N 1c = B21 ⋅ I (ν ) ⋅ N 2 Indukált emisszió valószínűsége. Kis frekvencián

a spontán emisszió elhanyagolható (egyébként nagyobb frekvencián is - lézerek) ∆N 1b << ∆N 1a , ∆N 1c Akkor is fennáll, ha I (ν ) nagy. Ez esetben hasonlítsuk össze N 1a - t és N 1c - t. Az a nagyobb, amelyik állpotban több az elektron 1. Ha N 1 > N 2 , akkor ∆N 1a > ∆N 1c - Valószínűbb az elnyelődés, mint a duplázódás : a ν frekvenciájú sugárzás elnyelődik (általános eset). 2. Ha N 2 > N 1 , akkor ∆N 1c > ∆N 1a - Valószínűbb a duplázódás, mint az elnyelődés : a ν frekvenciájú sugárzás erősödik az anyagban. Azt kell elérni, hogy N 2 > N 1 legyen. Ni = N0 ⋅ e − Ei kT 118 1. eset: Termodinamikus egyensúlyban N1>N2 mindig (normál populáció) 2. eset: Inverz populáció (populáció inverzió) Minden lézer alapvető követelménye Sugárzás erősítésének feltétele a populáció inverzió. LASER: Light Amplification by the Stimulated Emission of Radiation (fényerősítés a sugárzás

indukált emissziója révén). a.) Rubinlézer (Maiman, 1960) Al2O3 ( + Cr szennyezés ) Működése : 1.) fényimpulzus 2.) sugárzásmentes átmenet 3.) visszajutás alapállapotba Ha (1) fényimpulzus elég nagy (villanólámpa) akkor egy pillanatra N2 > N1 lehet. fényerősítő Egyszeri átalakítással csak kis egyszerűsítés érhető el. Induljon egy foton ⇒ két foton ⇒ három foton ⇒ . A nem irányba haladó fotonok számunkra elvesznek. Visszacsatolás tükörrezonátor segítségével : 119 Az interferencia miatt stabil állóhullám alakul ki ha L = n ⋅ λ . 2 A tükörrezonátor javítja a lézerfény teljesítményét. A rezonátor hatására a lézerfény ∆ν frekvencia kiszélesedése sok nagyságrenddel kisebb lehet, mint a természetes vonalszélesség. természetes vonalszélesség ∆νnat ≈107 Hz A Doppler-effektus hatására ez kiszélesedik ∆νDoppler ≈109 Hz a longitudinális lézermódusok frekvencia távolsága ∆νlong ≈108

Hz egy módus kiszélesedése tipikusan ∆νlézer ≈106 Hz megfelelnek az L = n ⋅ λ feltételnek 2 A jó lézernek csak egyetlen módusa van. Az egyetlen keresztirányú (transzverzális) módus alapkövetelmény a jó fókuszálhatósághoz, az egyetlen hosszirányú (longitudinális) módus a nagy koherenciahosszhoz. A tükörrezonátor nem elengedhetetlen feltétel. Vannak olyan lézerek, amelyek nem tartalmazzák (pl. röntgen-lézer) A teljesítmény kicsatolása például a bal oldali tükrön keresztül. A reflexiós tényező : R ~ 0.9 ( Általában 9 visszaverődés után átjut rajta a foton. ) Ez a lézer impulzus üzemű lézer. ( Újabb lézer villanás újabb lámpavillanást igényel. ) Egy villanólámpa villanás egyetlen lézerimpulzust kelt. 120 b) Hélium-neon gázlézer (folytonos üzemű) p≈1 mbar, a nyomás a csőben He:Ne=7:1, a gázok aránya Az ablakok Brewster-szöget zárnak be a fotonok haladási irányával, így lineárisan poláros

lézerfényt állíthatunk elő. Általában jelen van a tükörrezonátor (1) a hélium gerjesztése elektron ütközéssel A 2s1s átmenet fotonkibocsátással "tiltott" (azaz nagyon kicsi a valószínűsége, illetve is idő rá sűrűbb gázokban). A hélium 1s2s állapota metastabil Metastabilalapállapot átmenetek igen ritka gázokban végbemehetnek, mert ott ritkák az ütközések, így van idő kivárni ezt az átmenetet. (Erre utalnak például az északi fény, vagy a napkorona fényének elemzései.) (2) másodfajú üt közés: a gerjesztett He atom átadja a gerjesztési energiát a Ne atomnak (mert pontosan abban a "magasságban" van egy gerjesztett állapota a neonnak is). (A valóságban áthidalható különbség van köztük) He* + Ne He + Ne (3) E2 E1 átmenet lézerátmenet, mert N2 > N1 (populáció-inverzió). A kibocsátott fény vörös: ν21=633 nm. 121 Az E2 nívón sokáig tartózkodnak az elektronok, míg az E1 szint (4) igen

gyorsan kiürül az alacsonyabb szintek felé. A populáció-inverzió tartósan fennáll, tehát folytonos üzemű lézerről van szó. A lézerfény tulajdonságai A lézer összes fotonja ugyanabban a kvantumállapotban van (koherensek) - ugyanaz a  frekvenciájuk (ν), és a terjedési irányuk ( k ). a) Nagy spektrális teljesítménysűrűség Nem önmagában a teljesítmény a nagy (bár a CO2 lézer 1000W-os teljesítménye azért jelentős), hanem az adott frekvencián kibocsátott energia adott térszögben nagy: de (ν = ν l ) nagy, (νl=νlézer) dν Kb. 106-szor nagyobb, mint a Nap felszínén, mert egy szűk (néhány 100 Hz-es) frekvenciatartományban (-ablakban) bocsát ki fényt, szemben a Nap kb. 1015 Hz-es frekvenciatartományával. Felhasználása: lézeres megmunkálások, műtétek. b) Nagyfokú párhuzamosság, azaz kis nyalábdivergencia : a lézerfény igen kis foltra fókuszálható Elvi határok: D2 = f θ1 ahol D2 a fókuszált lézernyaláb minimális

átmérője, f a lencse fókusztávolsága, θ1 a nyalábdivergencia A nyalábdivergencia elvi minimuma a fizikai optika szerint: θ1= λ/( πD1) ahol D1 a lézernyaláb eredeti átmérője, λ a hullámhossz Összességében: D2 = f λ /( πD1) kb. a azaz realisztikus f és D1 adatokkal a fókuszált lézernyaláb minimális átmérője hullámhosszal egyezik, tehát 1 µm körüli érték. Használata : iránykitűzés , anyagmegmunkálás, CD, printer c) Nagy koherenciahossz : kis tartományon beluli a frekvenciája , ezért a koherenciahossza nagy Lkoh= c ∆t = c/(4π∆ν) ≈ 107/∆ν = 10 m (felhasználva a határozatlansági relációt és a ∆ν = 106 Hz értéket) Használata : precíziós távolság és sebességmérés ( az interferencia révén ) , holográfia . 122 A lézerek mérete erősen változó , vannak köztük gombostűfejnyi (optikai rendszerekben erôsítésként), vagy egészen nagy ( pl.: több km-es szabadelektronlézer - harcaszati célokra )

alkotások is . 123 20. tétel: A nukleáris kölcsönhatás, kötési energia, a cseppmodell Az α- és a βbomlás értelmezése A nukleáris kölcsönhatás Előzmény : Az atommag főbb tulajdonságai : az atommmag töltése , rendszám : Z tömegszám ( protonok és neutronok száma ) : A 1 az atommag mérete ( sugara ) : R = R 0 ·A 3 , ahol R 0 ~ 14 . - 15 . ·10-15 Kérdés : mi tartja össze az atommagot ? A nukleonok minimalis kinetikus energiája az atommagon belül ( a becslést a határozatlansági relációval tesszük meg ) :  , ahol ∆x ~ R ~ 5 ⋅ 10 -15 m ∆x ⋅ ∆p x ≥ 2 Itt ∆p x szóras nagyságrendileg egyezik a nukleon impulzusával : ∆p x ~ pnukleon Ennélfogva : �  h = R · p nukleon ≥ 2 4 ⋅π p nukleon ≥ 2·m·E ≥ h 4 ⋅π ⋅ R h 4 ⋅π ⋅ R h2 , ahol m a nukleon tömege : m ~ 2000 · me- ~ 2 ·10-27 kg 2 2 32 ⋅ π ⋅ R ⋅ m ahol me- az elektron tömege . E ≥ E ≥ 1MeV A gravitációs túl gyenge, attól kb. 35

nagyságrenddel nagyobb energia jöhet csak szóba Igen magas a nukleonok kinetikus energiája , mégis kötve vannak . Kell lennie egy ennél erősebb kölcsönhatásnak , ennek a neve : Nukleáris kölcsönhatás A kölcsönhatás energiája abszolút értékben nagyobb mint 5MeV , mert a mag kötött rendszert alkot . ( Kötött rendszer : összenergiája negatív .) Ez a harmadik kölcsönhatásfajta . ( Az első kettő a gravitációs és az elektromágneses , a negyedik az un. gyenge kölcsönhatás lesz - késobbiekben Jelenleg ezt a négy kölcsönhatást fogadja el a tudomány , de ez a jövőben valtozhat - az aktuális ismeretek birtokában . ) 123 A nukleáris kölcsönhatás tulajdonságai : 1) Nagyon erôs vonzó kölcsönhatás ( a másik nevét ezért kapta : erős kölcsönhatás ) . 2) Nukleonok között hat : az n-n , p-p , n-p kölcsönhatások ugyanolyan erősek . De az erős kölcsönhatás spinfuggő . Az első és második pár sohasem alkot kötött

rendszert , mert spinjeik ellentétes irányba mutatnak, de a harmadik pár (a deutérium) létezik, mert a Pauli-elv nem zárja ki, hogy a protonok és neutronok ugyanazt az állapotot egyező spinnel betöltsék. 3) Nagyon rövid hatótávolságú kölcsönhatás ( gyakorlatilag csak a szomszéd - egymással érintkező nukleonok hatnak így kölcsön ). A nukleáris kölcsönhatás telített : bizonyos hatásgömbön belüli nukleonokat kell csak figyelembe venni a kölcsönhatás során . ( Hasonlít a Van der Waals kölcsönhatáshoz . ) 4.) Másodlagos erő, mint a Van der Waals erő, amely az atomon belüli töltések kölcsönhatásának maradéka, ami a semleges atomok között lép fel. Ez a kölcsönhatás a nukleonokat alkotó részecskék a kvarkok kölcsönhatásának maradéka Kötési energia: Ek Az az energianagyság, amivel össze vannak kötve a nukleonok. Az atommag energiájának és az azt alkotó nukleonok energiájának különbsége. Ezt az energiát kell

befektetni, hogy kiszabadítsuk a nukleont az atommagból. Kötési energia és tömegdefektus / tömeghiány / Legyen M(A,Z) A tömegszámú, Z rendszámú atom atommagjának a tömege. Legyen m p a proton tömege, mn a neutron tömege. ∆m = M(A,Z) - Z ⋅ m p - (A - Z) ⋅ mn ez egy negatív érték ∆m : tömegdefektus : a protonok és neutronok egyesítésekor felszabadult energia eltávozott, és elvitt egy bizonyos tömeget. Tömegspektrométerrel az atommagok tömege mérhető, így a tömegdefektus is meghatározható. A relativitáselméletbõl következik : ∆m ⋅ c2 = E k E k -t csak néhány atommagra lehet közvetlenül meghatározni, de azokra nagy pontosággal. Ezekre a magokra a tömeg-energia ekvivalencia kísérletileg igazolható. A magok többségére a kötési energia a tömegdefektusból határozható meg. 124 A potenciálkád modell (kvalitatív modell a potenciál helyfüggésére) A nukleáris kölcsönhatáshoz pontos analitikus függvényt nem

tudunk rendelni. Közelítés: átlagos potenciáltér, amelyben a nukleonok mozognak. A potenciálkád a proton és a neutron számára eltérő, mert a proton a nukleáris kölcsönhatás mellett az elektromágnesesben is részt vesz (taszítják egymást). A potenciálkádban kötött állapotok alakulnak ki, amelyet a nukleonok párosával tölthetnek ki. Töltött folyadékcsepp modell (Weizsäcker) (kvantitatív modell a kötési energiára) Alapötlet: a maganyag hasonlít a folyadékra, mert a nukleáris kölcsönhatás és a Van der Waals kölcsönhatás hasonló jellegű. Minden atommagnak ugyanaz a sűrűsége (mint ahogy a folyadékcseppnek sem függ a sűrűsége a méretétől). 1 3 ( R = R0 ⋅ A ) Különbség: A magot alkotó részek töltöttek, és feles spinűek. ( Pauli-elv érvényes rájuk ) 125 ( Z − 2A ) 2 −2 +η⋅ A 3 E k = −α ⋅ A + β ⋅ A + γ ⋅ 1 + δ ⋅ A A3 Z2 2 3 1 2 ( R ≈ A 3 ==> F ≈ A 3 ; V ≈ A ) A kötési energia

képlet első két tagja u.o alakú, mint a folyadékcsepp energiája (csak nyilván sok nagyságrenddel nagyobb energiákról van szó). A magban lévő nukleonok a szomszéd nukleonok potenciálterében vannak: -α ⋅ A térfogati energia A felületen lévőknek kevesebb a szomszédja 2 β ⋅ A3 felületi energia A protonok töltése miatt azonban elektrosztatikus energia is van Z2 Coulomb-energia γ⋅ 1 3 A Az eddigi energiatagokat a klasszikus fizika alapján magyaráztuk. A többit már csak a kvantummechanika tudja. A ( Z − )2 2 Pauli-energia (A Pauli-energia a Pauli-elv miatt lép fel.) δ⋅ A Ha csak az első 3 energiatag lenne, akkor a mag csak neutronokból állna. De a Pauli-elv miatt a később betett neutron részére már csak magasabb szintek állnak rendelkezésre. Így a Coulomb taszítás ellenére a protonok is beépülnek. Minnél jobban eltér a proton- és a neutronszám, annál eltérőbb energiaszintekre épülnek be. 126 A db. nukleon van

magasabb energián / nem szimmetrikus az atommag / 2 A másrészt Z − -vel arányos 1 db. nukleon többletenergiája ; 2 harmadrészt az A a nevezőben van, mert nagyobb magban sűrűbbek az energiaszintek) Z− η⋅ A η= − 3 2 anti-Hund energia |η| , ha a mag proton- és neutronszáma páratlan - páratlan (igen ritka a 2 6 természetben, csak a periódusos rendszer elején fordul elő ( H, Li,10B,14N) 0 , ha a mag proton- és neutronszáma közül az egyik páros a másik páratlan (45+51 fajta) , ha a mag proton- és neutronszáma páros - páros (igen gyakori a természetben (141 fajta)) -|η| Páratlan rendszámú elemeknek páros tömegszámú izotópjai a természetben nem nagyon valósulnak meg (mert az páratlan - páratlan). A nukleonokra érvényes az anti-Hund szabály: a nukleonok szeretnek egyforma térbeli állapotokat betölteni, mert így tudnak legközelebb lenni egymáshoz. (Ha egy bizonyos állapotot egy proton vagy neutron már betölt, egy

ugyanolyan nukleon ellentétes spinnel szivesen csatlakozik hozzá.) A nukleáris kölcsönhatás vonzó és erősebb mint az elektrosztatikus kölcsönhatás. α, β, γ, δ, η konstansok a mérési eredményekre való illesztéssel határozhatók meg, ezért a képletet gyakran nevezik "félempirikusnak" . Egy nukleonra jutó kötési energia: ε = E A k = −α + β ⋅ A − 1 3 + γ ⋅Z2 ⋅ A − 4 3 + δ ⋅( Z − 5 − A 2 −2 ) A + η⋅ A 2 2 127 A legjobb illesztéshez tartozó paraméterek : α=15,75 MeV β=17,8 MeV γ=0,7 MeV δ=94,8 MeV η=34 MeV A görbe jellemzői : 1., Az illesztés nagyon jó, kivéve a nagyon könnyű elemeket és néhány mágikus számot: Z, vagy A-Z=2,8,20,50,82,126 Oka : Ezek a magban lezárt nukleonhéjakat jelentik, amelyet a folyadékcsepp modell nem vesz figyelembe. 2., Optimális ε nagyjából A ~50 környékén : Ha A<<50, akkor túl nagy a felületi energia (túl sok nukleon van a felületen.) Ha

A>>50, akkor túl nagy a Coulomb energia 3., Különösen erős kötés van a 4He és az 16 O esetében (4=2+2, 16=8+8 => ezek kétszer mágikusak) A β bomlás magyarázata: „A” adott és páratlan 128 A parabola alján levõ atommagok stabilisak és az atomok igyekeznek β bomlással a parabola mélyére jutni. β- : negatív β bomlás: Ez magában álló neutronnal is megtörténik. β+ : pozitív β bomlás: Ez csak atommagban történhet meg, magában nem. A β bomlás beállítja az optimális proton – neutron arányt. 129 A β bomlásért felelõ kölcsönhatás az ún. gyenge kölcsönhatás Ez a 4 kölcsönhatási forma a természetben. /nincs több/ A Z*(A) függvény: A görbevonal feletti nukleonok β+ bomlók, míg az alattiak β- bomlók. Így juthatnak a stabil vonalra. Az α-bomlás magyarázata T* : az α részecske kinetikus energiája az atommagon belül. T* + V > 0, ezért alagúteffektussal az α részecske kijuthat az atommagból.

Tα : az α részecske kinetikus energiája az atommagtól távol. 130 A kijutás valószínűsége a bevonalkázott területtõl függ igen erõsen. 4 MeV < Tα < 9 MeV A gát annál kisebb, minél nagyobb a részecske kinetikus energiája, ezért a kilépés valószínűsége és a felezési idő is az energiától függ. Ha Tα ≅ 4 MeV T1/2 ≅ 109 év T α ≅ 9 MeV Geiger – Nuttal szabály: T1/2 ≅ 10-8 s ln λ = A + B ⋅ ln Tα Ez az első kvantitatív bizonyíték az alagúteffektusra. /Gamow/ 131 21. tétel: Maghasadás, láncreakció, atomreaktorok Magfúzió Előzmények: 1934-ben: Szilárd Leó atommag + neutron ------> atommag’ + több neutron magfizikai láncreakció ötlete (atommag besugárzása neutronnal) Kérdés, hogy van-e ilyen magreakció egyáltalán ? 1937-ben: β− β− 239 239 U + n 239 92 U 93 Np 94 Pu 238 92 nem stabil neptunium plutónium neptunium, plutónium: TRANSZURÁNOK (uránon túliak) Hahn és

Strassman: 1939-ben: a fenti reakción kivűl neutronbesugárzáskor más is történik (az urán másik izotópjával) 235 92 U+ n 96 X + 137 Y + 2n (+Q) ↑ És ez újból hasíthat A maghasadás tulajdonságai 1.)A hasadványok tömegeloszlása: Q ≈ 200 MeV a kémiai energiának a 10 8 -szerese 2 db különböző részre hasad (kvantummechanikai okai vannak, hogy nem 2 egyforma részre hasad) 131 2, A hasadás mechanizmusa: A keletkezett két rész igen erősen taszítja egymást -> a reakcióhő (Q) a Coulomb taszítás következménye. Gyors hasitás : Kritikus deformációhoz szükséges energia ~ 6 MeV. 235 U-ban a befogott neutron kötési energiája (236U lesz belőle) ~ 6.4 MeV a 235U-t bármilyen energiájú neutron elhasítja, de a kisenergiájúaknak van erre nagy esélyük. 238 U által befogott urán kötési energiája ~ 5 MeV a U-t csak azok a neutronok hasítják, amelyek kinetikus energiája nagyobb 1 MeV –nál. (gyors hasítás) 3.) Az α

bomlás és a maghasadás 2 különböző folyamat, de az 235U mindkettőt tudja Az α bomlás spontán, a maghasadás neutron hatására jön létre. (A kettő nem keverhető!!) 238 132 4., hasadványok A stabilitási vonalat negatív β bomlások sorozatával tudjuk elérni. A hasadványok erősen β- radioaktívak. A nehéz hasadvány messzebb van a stabilitási vonaltól, ezért annál több β- bomlás következik egymás után. 1. púp: Kr, Sr, Y, stb. kémiai elemek 2. púp: Cs, I, Xe, stb. kémiai elemek A hasadás után keletkező hasadványok az igazán veszélyes radioaktív dolgok. Pl az urán önmagában “ártatlan” , a hasadványok radioaktív sugárzása az urán 108-109 –szorosa. Csak néhány évvel a reaktorból való kiemelése után lesz szállítható állapotban. Cs, Sr, I : szublimálnak 1000 °C környékén Ezek több száz évig felügyeletet igénylő anyagok. Ebben rejlik a radioaktív sugárzás felhasználásának legnagyobb veszélye. A

láncreakció k: kritikusság (a reaktoré) k kifejezi, hogy 1 db hasadás során keletkezett neutronok közül hány fog újra hasítani. ha k=1 a reakció önfenntartó, stabil állapot. Azt mondjuk, hogy a rendszer kritikus k<1 a reakció leáll. szubkritikus k>1 a reakció erősödik. szuperkritikus Mi lehet a keletkezett neutronok sorsa? 133 1., Kiszöknek a rendszerből (ez attól függ, hogy mekkora tömegű a hasadóanyag) van egy kritikus tömeg, amely alatt a láncreakció nem következik be. (ez sűrűségfüggő) Ha nagyon összenyomunk egy anyagot, elérhető a megfelelő sűrűség, kritikus tömeg, így is bekövetkezhet a láncreakció. nagy anyagdarabban (k∞) természetes uránra (99.3% 238U és 07% 235U): k∞<1 Természetes uránnal bármit tehetünk, akkor sem lesz kritikus. viszont tiszta 235U–ra: k∞>1 Trükk: neutronok lassítása Az 238U a transzurános reakcióval elfogyasztja a neutronok többségét. Ez közepes (~1 MeV) nagyságrendű

energiákon zajlik. Ahhoz, hogy kikerüljük, igen gyorsan ez alá a szint alá kell vinni a neutronok energiáját: moderáció A moderáció a neutronok lassításához szükséges, minél jobban moderálunk, annál gyorsabb lesz a láncreakció folyamata. Négyfaktoros formula végtelen (∞) közegben: K∞=ň*ε(1-p1)η ň : Hasadás során keletkezett átlagos neutronszám. ň ? 2-2.5 neutron/hasadás ε : A gyors hasitαs miatti növekmény (a 238U gyors neutronok által történt hasítása ) ε ~ 1.03 p1 : annak a valószínűsége, hogy a közepes energiájú neutronok, hasítás nélkül befogódnak. (transzuránok képződése 238U-ból) 1- p1 : annak a valószínűsége, hogy ezt elkerülik. η : a termikus neutron ilyen valószínűséggel hasít. K∞ : azt adja meg, hogy végtelen közegben egy hasadás során keletkezett neutronok közül hány fog újra hasítani. ha K∞ = 1 akkor a láncreakció önfenntartó 134 A természetes uránra ( 0.7% 235U és 993% 238U

)  K∞ < 1 tiszta 235U-ra K∞ > 1 ( ez a természetben az egyetlen anyag, amelyben önfenntartó láncreakció lehet.) Mit lehet tenni a természetes uránnal, hogy mégis legyen láncreakció? Válasz: a neutronokat hatékonyan kell lassítani. Moderátor anyagok: olyan anyagok, amik könnyűek, és nem nyelik el a neutronokat. a) Vegytiszta szén, azaz grafit ( gyémánt is jó lenne :) ) b) Nehézvíz ( a deutérium-tartalma miatt ) c) Könnyűvíz ( közönséges víz ) Moderátor hatása K ∞ -re: K∞ = n ⋅ ε ⋅ (1 − p1, ) ⋅ (1 − p2 ) ⋅ η P1 << P1. P2 annak a valószínűsége, hogy a neutron a moderátorba befogódik (P2 nagyon kicsi ). Közönséges uránra + könnyűvízre: K∞ < 1. Közönséges uránra + grafitra: K∞ > 1 . Közönséges uránra + nehézvízre: K∞ > 1 . Példa: K∞garfit = 1,06 (Az optimális grafit mellett. ) (1942. Chicago, Fermi ) 135 A paksi atomerőmű: Hőátadás (gőzfejlesztő) reaktortartály

turbina Szekunder kör Aktív zóna Primer kör Könnyűvizes reaktor, enyhén dúsított uránnal üzemel. Nyomottvizes. p=125 bar T=300 °C Teljesítmény adatok: 4 db reaktor 1 db reaktor: 440 MW elektromos teljesítmény hőteljesítmény: 1375 MW hatásfok = 32 % összes elektromos teljesítmény: 1760 MW (az ország elektromos-energia termelésének közel a fele) p=40 bar (a szekunder körben) vasbeton fal Mind a primer, mind a szekunder kör zárt. A tartályon belül nagy kb. 125bar nyomás uralkodik, ami ahhoz szükséges, hogy a reaktor 300 o C-os hőmérsékletén se forrjon fel a moderátorként használt víz. Emiatt az ilyen rendszert szokták nyomottvizesnek is nevezni. A reakciótartályt a víz teljesen kitölti, és különböző szabályzó anyagokat is tartalmaz. Ezek a szabályzó anyagok a bór és a kadmium A bór mint bórsav van jelen oldott állapotban a rendszerben, és mikor a fűtőelem még új akkor kell belőle több, míg később egyre kevesebb.

A kadmium pediglen rudacska ként szerepel a rendszerben Fontos körülmény, hogy mechanikus mozgatással is lehet szabályozni, mivel a neutronok néhány százaléka késő neutron. A késő neutronok tehát nem közvetlenül a hasadáskor, hanem az után néhány másodperc-perc késéssel jönnek a hasadványokból. Ennek következménye a viszonylag lassú teljesítményváltozás, minek folytán mechanikusan is lehet a kadmium rudacskákkal szabályozni.- A csernobili típusú grafitos reaktorokat nem lehet ily módon befolyásolni, és ezért sem engedélyezik azok használatát a gyártó országon kívül.- A nyomottvizes reaktorok egyik másik fontos tulajdonsága az, hogy a rendszer jelentős részben önszabályzó. Mit is jelent ez? Ha egy ponton „megszalad” (hirtelen teljesítmény növekedés) a moderátor (víz) lokálisan megritkul, vagy felforr, ezért lassul a reakció. Vagyis éppen ott, ahol megszalad, ott csökken a reaktivitás, míg ha valahol egészében

eltűnik a moderátor (gőzzé lesz), ott a reakció azonnal leáll. Így a teljesítmény közel azonos sűrűségű a reakciótartályban. Fontos, hogy a moderátor gyorsítja a reakciót a neutronok lassításával, nem pedig fordítva! A szekunder kör nyomása már kisebb kb. 40bar A szekunder kör is zárt rendszer, és azt is hűteni kell. Ezt a feladatot a Duna vize látja el A rendszert felügyelik. A primer körből nem tűnhet el belőle dl-nyi mennyiség sem, míg a szekunder körrel is el kell számolni. A biztonság megköveteli a nagyon vastag vasbeton falat, amelyet még egy páncélréteg is borít, így a PAKSI ATOMERŐMŰ nem sérülékeny nincs fegyver, mely átlőné, sőt még a legnagyobb repülő is ráeshetne, a környezetet radioaktív szennyezés nem fenyegetné akkor sem. 136 Az erőmű 4 reaktorból áll, melyek egyenként 440MW elektromos teljesítményt adnak le. A rektorok hőteljesítménye 1375MW, tehát a hatásfok 29 %-os. Ez persze nem túl jó

hatásfok, de ennek ellenére is összesen 1760MW teljesítményt ad az erőmű, ami az ország termelésének közel a fele. Ismétlés: Energiát nemcsak nehéz atommagok szétesésével, hanem könnyű magok fúziójával is nyerhetünk. Ekkor a fajlagos felület csökkenése nagyobb energianyereséggel jár, mint amennyit a Coulomb-energia növekszik. A fúzió végterméke minden esetben egy igen erősen kötött mag, elsősorban 4He. Fúzió égen és földön Égen: a Nap belsejében Hidrogén ciklus (kis csillagoknál pl.: Nap) (nagy csillagokban inkább C-N ciklus van) (a) +H + +H => 2H + e+ + υ + 0,42MeV Magas hőmérséklet kell kb. 15 millió oK szükséges hozzá! Ezen átlag nagyságrendileg 100 millió évente történik egy protonnal.(elég lassú) Ha a két proton kötött lenne (azaz a 2He létezne), akkor ez csak percekbe telne. (b) 2H + 1H => 3He + γ + 5,5MeV (másodpercek alatt megy végbe) (c) 3He + 3He => 4He + 2 1H + 12,8MeV Végeredményben 4

protonból ( 1 H) lett egy hélium ( 4 He) mag. Atomokról ilyen hőmérsékleten nem, csak plazma állapotról beszélhetünk. Itt történik a fúzió. A Nap 137 A nyomás nem engedi, hogy a hőmérséklet emelkedjen. Ma még vitatott, hogy a fúzió folyamatosan vagy szakaszosan zajlik le. A napon belül vertikális keveredés gyakorlatilag nincs, a gravitációs nyomással a gázok és a fotonok nyomása egyensúlyt tart (nagyobbrészt a gázok). Eddig a pontig a nap egy szabályozott fúziós reaktorként viselkedik, de ha a hidrogén kiég, zavar keletkezik a szabályozásban ⇒ a belseje összeesik ⇒ a hőmérséklet nő, majd 100 millió K-en beindul a 4 H fúziója nehezebb elemekké (pl 12C és 160 elemekké)⇒ a csillag felfúvódik és vörös óriás keletkezik. A vörös óriások instabilak és ritkák, mert ez a periódus rövid ideig tart. Az Orion csillagképben található az egyik legszebb példája. Kis tömegű csillagok esetén (pl. a Nap) a vörös

óriás állapottal megszünik a magfúzió, a csillag évmilliárdok alatt lassan kihűl (fehér törpe). Nagyobb tömegű csillagok esetén további izgalmas folyamatok történnek (szupernova robbanás, neutroncsillag, fekete lyuk), ezek tárgyalása azonban nem tananyag. Fúzió a földön: Nekünk nincs időnk 100 millió évet várni, valamilyen 3 H + 2He ⇒ 4 He + n + 17,6 MeV Az energia nagy részét a neutron viszi. eltérő módszerre van szükség: Előidézése: Gyorsítókkal vagy magas hőmérsékleten történik.  ε - az egy szabadsági fokra jutó átlagos energia. Az átlagos energiát alapul véve elmondhatjuk, hogy körülbelül 1010 K-nél indulna be a folyamat. Szerencsére egyes atommagok az átlagos energiától sokkal nagyobb energiával rendelkeznek (Boltzmann-eloszlás) és az alagút effektus is segít. Ezek miatt már lényegesen alacsonyabb hőmérsékleten is lehetséges a fúzió. Már nagyságrendileg 50 millió K-en beindul, tehát ez a folyamat

lényegesen eltér attól, ami a Napban zajlódik. A folyamat történhet A., robbanásszerűen: hidrogénbomba (körülbelül 100 milliószor nagyobb energia mint a kémiai égésnél (tömegegységre vonatkoztatva)) A magas hőmérséklet előállítása: hasadási bombával. Ha itt megállunk (neutronbomba) A keletkezett gyors neutronok az 238U hasításával még több energiát szolgáltathatnak. B., szabályozottan: így is működik de az energia mérlege egyenlőre még negatív, mert a gyorsításhoz rengeteg energia kell és kizárólag elektromágneses falakkal lehet a minimum 50 millió K-es plazmát egyben tartani. Angliában most épül egy fúziós erőmű ami állítólag pozitív energiamérlegű lesz. Ez a jövő energiaforrása lehet hiszen egy fúziós erőmű nem termel radioaktív szennyező anyagokat. 138