Fizika | Áramlástan » Dr. Baranyi László - Áramlástan előadásvázlat

Áramlástan Előadásvázlat Áramlás és Hőtechnikai Gépek Tanszéke Miskolci Egyetem Gépészmérnöki kar Gépészmérnöki szak Áramlástan Előadásvázlat Dr. Baranyi László Miskolc, 2004 1 Áramlástan Előadásvázlat HIDROSZTATIKA Folyadékok és gázok tulajdonságai: • Csekély ellenállást fejtenek ki az alakváltozással szemben. (egymáshoz képest könnyen elmozdíthatóak) A legkisebb nyírófeszültség hatására elmozdulás. • A részecske relatív helyére közömbös, azaz mindig a határolóedény alakját veszik fel. • Kontinuum; fizikailag homogén anyag; a fizikai tulajdonsága nem részecskékhez kötött. (meteorológia!) ∆m ; ∆V0 ∆V ⇒ ρ = lim ∆Fn ∆A 0 ∆A valóság: ∆V ε 3 ; ∆A ε 2 p = lim ε >> molekulák közti átlagos távolság • A mozgás- és termodinamikai állapot, hely és idő függvényeként leírható. Ideális (súrlódásmentes) folyadék: 0 nyírófeszültség – súrlódási

határrétegen kívül jó közelítés húzófeszültség 0 Összenyomhatatlan folyadék: • cseppfolyós • kis sebességű gáz Összenyomható folyadék: gáz; kivétel: kis sebességösszenyomhatatlan (p=1bar; t=0˚C; v=50m/s; Δƍ/ƍ0 < 1%) Ideális gáz: amely kielégíti a gáztörvényt. p ρ =RT (R= C p − CV ) izobár (p=const) ρT =const izochor ( ρ =const) p =const T 2 Áramlástan Előadásvázlat izoterm (T=const.) p izentropikus ρ κ p politropikus ρn p ρ =const. (κ = =áll. Cp CV ) =áll. Folyadékáramlásnál az alakváltozás sebessége játszik fontos szerepet, nem maga az alakváltozás. • ellenállás a véges sebességű alakváltozással szemben ⇒ súrlódás • a súrlódás függ az alakváltozás sebességétől és az η viszkozitástól τ =η ⋅ dV ; dn ν= η ρ kinematikai viszkozitás dv dr ne w to n if ol y. gáz (molekulák mozgása okozza) nem newtoni foly. folyadék

(kohézió okoza) Bingham plasztikus anyag (nem folyadék) Folyadéknyomás A legkisebb τ hatására alakváltozás lépne fel. nyugvó folyadékban nincs τ nyírófeszültség! felületre merőleges erők csupán 3 Áramlástan Előadásvázlat • az elemi folyadékrészt elkülönítve vizsgáljuk, akkor a környezet hatását a felületén ható erőkkel vehetjük figyelembe. • ∆Fn ∆A0 ∆A nyomás: felületegységre ⊥ -en ható erő. p = lim (∆F = ∆Fn ) (∆A ε ) 2 ahol ε >> molekulák közötti átlagos távolság. p skaláris mennyiség (iránytól független) Bizonyítás: – ék alakú térfogatra bizonyítjuk. (3D-ra hasonlóan belátható) y y ps. ds 1 px. y 1 x x. y 1 g 2 indirekt bizonyítás: x py. dx 1 feltesszük, hogy p x , p y és p s különbözőek δ x = δ s cos Θ δ y = δ s sin Θ 4 , Áramlástan Előadásvázlat δ x: y:  y  p xδ y ⋅ 1 − ps δ s sin Θ = 0 (1) δx   

 δδ p yδ x ⋅ 1 − ps δ s cosΘ − ρg x y = 0 2  (2) 0 δ x ,δ y ,δ s 0 (1) miközben: Θ=const. ( 1 ) p x ps   ⇒ ps = p x = p y = p ( 2 ) p y ps  Θ tetszőleges volt a nyomás egy pontban mindenirányban azonos. 3D – hasonló bizonyítás. px + p y + pz • áramló folyadék: τ ≠ 0; p iránytól függ: p = • álló folyadék: τ = 0; p iránytól független (skalár) egység: p. 1 N = 1Pa ; m2 3 10 5 Pa = 1bar A hidrosztatika alapegyenlete • A vizsgált folyadék tömeg az f térerősséggel jellemzett erőtérben van • Tetszőlegesen választott (V) folyadéktérfogat egyensúlyban van 5 Áramlástan Előadásvázlat ∫ ρfdV − ∫ pdA = 0 Elemi tömegerő: ρ ⋅ f ⋅ dV V A Elemi felületi erő: − pdA Gauss tétel ∫ [ρf − ∇p ] dV = 0 V V tetszőleges f − 1 ρ grad p = 0 Speciális esetek: Barotrop közeg ∇P = 1 ρ  p dp  f − grad  ∫ =0  p0 ρ  [ρ =

ρ ( p)] ; p dp p0 ρ P= ∫ nyomáspotenciál ∇p p dp p0 ρ Potenciál erőtér: f = − grad U −∇(U + P) = 0 U + ∫ Gravitációs erőtér: U=gz p dp p0 ρ gz+ ∫ Összenyomhatatlan közeg: ρ=const.; P= p ρ gz + p ρ = const. = const. = const. Felhajtóerő, úszás: V teljes térfogat VF kiszoritott foly. térfogat AF A VF V 6 Áramlástan Előadásvázlat Ha a (V) térfogatot ρV ≠ ρ F sűrűségű anyaggal töltjük ki, akkor az eredeti egyensúlyi állapot megszűnik. felhajtóerő térerő      eredő  ρ ⋅ f dV − pd A = F ∫ V ∫ V ∫ (ρ V − ρ F ) fdV − (v) (1)–(2) (1) A ∫ pdA = 0 (2) a folyadék egyensúlyi egyenlete ( A) ∫ (ρ V f irányú eredő erő : − f irányú − ρ F ) fdV = F (V ) 0 Felhajtóerő= a kiszorított folyadéktömegre ható térerővel (súlyával) ArchimedesHEUREKA!!! Úszás: Test: ∫ ρV fdV − ∫ ρ F fdV − (VF )

Folyadék: ∫ pdA = 0 (*) ∫ pdA = 0 (*) ( AF ) (VF ) ( AF ) ⇓ ∫ρ V fdV = (V ) ∫ρ F fdV (VF ) Test súlya = kiszorított folyadék súlya h hs z=0 dF F S (X,Y) Y dA S( XS ,YS ) (A) Y Q(XQ,YQ) 7 X Áramlástan Előadásvázlat F merőleges a felületre p ρ + gz = const. x, y .súlyponton átmenő koordináta rendszer peremfeltétel: z=0; p= p 0 p − p 0 = − ρ ⋅ gz = ρ ⋅ gh dF=( p − p 0 )dA= ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ dA = ρ ⋅ g ⋅ y sin Θ ⋅ dA F= y ⋅ sin Θ ⋅ A = ( p − p ) ∫ ( p − p ) dA = ρ ⋅ g ⋅ sin Θ ∫ y ⋅ dA = ρg ⋅    0 ( A) 0 s s ( A) hs F= ρ ⋅ g ⋅ hs ⋅ A = ( p − p 0 )s ⋅ A • Megoszló terhelés a Q pontba helyezett F erővel helyettesíthető. xQ ⋅ F = ∫ ( p − p )x ⋅ dA 0 ( A) yQ ⋅ F = ∫ ( p − p )y ⋅ dA 0 ( A) xQ ⋅ ρ ⋅ g ⋅ y ⋅ s sin Θ ⋅ A = ρg ⋅ sin Θ ∫ xy ⋅ dA = ρg ⋅ I xy ⋅ sin Θ ( A)    I xy ⇓

vegyes másodrendű tehetetlenségi nyomaték xQ = I xy A ⋅ ys yQ ⋅ ρg ⋅ ys ⋅ sin Θ ⋅ A = ρg ⋅ sin Θ ∫ y 2 ⋅ dA = ρg ⋅ I x ⋅ sin Θ ( A)    Ix ⇓ x tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték yQ = Ix A ⋅ ys 8 ⋅A Áramlástan Előadásvázlat Steiner tétel: I x = I x + Ay s xQ = x s + Így: Ix > 0; I xy > 0 < 2 I xy = I xy + A ⋅ x s y s ; I xy > xs ; A ⋅ ys < yQ = y s + Ix > ys A ⋅ ys ( I xy =0 ha már egyetlen szimmetriatengely van) A pont, ahol a megoszló terhelés egyetlen erővel helyettesíthető (Q) mélyebben van a ??? alatt, mint a síkidom S súlypontja. Görbült felületre ható erő: elemi erők nem párhuzamosak egymással. 9 Áramlástan Előadásvázlat z z B B` Fx` A` G B -Fz -Fx A A x x A folyadék irányú egyensúlya: z irányú egyensúlya: ′ Fx − Fx = 0 − Fz + G = 0 Fx = Fx′ a felület Fz = G ↓ Függőleges síkba vetített vetületre

ható erő a fölötte lévő folyadék súlya Speciális eset: -Fz` Fz = −G a fölé képzelt víz súlya felfelé!! Felhajtóerő (a görbült felületre ható erő alapján): FF = − ∫ p ⋅ dA ( A) 10 Áramlástan Előadásvázlat R H A dA Fx = 0  szimmetria Fzn = − ρg ⋅ b( HRR − R 2π )k 2 R 2π Fzn = ρg ⋅ b( HRR + )k 2 Felül: F f = Fz = ρg ⋅ b ⋅ R 2π ⋅ k = felhajtóerő Kapillaritás adhézió Kohézió alulról > adhézió (levegő molekulák vonzása) felületi kohézió feszültség Pl: vízi rovarok a víz felszínén. • Mélyen a folyadék felszíne alatt a folyadékmolekulák minden irányba azonos erővel hatnak egymásra (a kohéziós erők kiegyenlítődnek) 11 Áramlástan Előadásvázlat • A folyadékfelszín a folyadékmolekulák közti kohézió következtében összehúzódni igyekszik: felületi feszültség keletkezik. (mint egy megfeszített gumilemez) folyadék szabad felszíne+szilárd

felület érintkezése (adhézió+kohézió) Ha a fal molekuláinak vonzó (adhézió) hatása > folyadék vonzó (kohézió) hatása a folyadék felkúszik a falra; nedvesíti a felületet. Gondolatkísérlet a felületi feszültség δ mérésére: foly. hártya keret A eredeti L végzett α munka felületnöveléssel F ⋅ ∆s = δ ⋅ 2∆s ⋅ L s megnyílt hártya 2 felület van! F δ= F (N/m) felületi feszültség 2L δ csak a két érintkező anyagtól függ víz – levegőre δ≈0.073 N/mszobahőmérsékleten Görbült folyadékfelület esetén: a felületi feszültségből származó erő felület konkáv része felé mutat. Egyensúly esetén erre a konkáv oldali nagyobb nyomás tart egyensúlyt Belátható, hogy:  1   1  p1 − p2 = δ   +    R1   R2  ahol R1 , R2 a két főgörbületi sugár. 12 Laplace-egyenlet Áramlástan Előadásvázlat R Speciális eset: 1 R R p1 p1 p2 2

esöcsepp síkfal mentés R2 = ∞; R1 = R p1 − p 2 = R1 = R2 = R δ p1 − p 2 = R p2 szappanbuborék R1 ≅ R2 = R 2δ R p1 − p 2 = kis R nagy ∆ p! s z síküvegfal s = 0.5 mm h=? v Roberson/Crowe P.26 folyadék súlya=felületi erő egyensúly: 1 ⋅ s∆h ⋅ ρV ⋅ g = 2 ⋅ 1 ⋅ δ 2 érintkező felület ∆h = 2δ 2 ⋅ 0.073 = 3 = 0.0298m = 298mm δ V ⋅ g ⋅ s 10 ⋅ 9.81 ⋅ 5 ⋅ 10 − 4 13 4δ 2 felület R Áramlástan Előadásvázlat δ ⋅ 2 R ⋅ π = ∆p ⋅ R 2π ∆p = 2δ R kis R-nél igen nagy lehet N m pl: δ ≅ 0.073 F p d=1mm esőcsepp ∆p = 2δ 4δ 4 ⋅ 0.073 = = = 292 Pa R d 10 −3 Pl: Üvegcsövet nedvesítő folyadék emelkedése a csőben. az üveg erős adhéziós erővel hat a vízre felületi erö felemelkedés v l egyensúly: d po h 1 δ cos α ⋅ dπ − (ρV − ρ l )g ⋅ ρV :súlyerő; 2 v pz´ = po * ∆h ≈ 4δ ⋅ cos α 4δ ≅ ρV ⋅ g ⋅ d ρV ⋅ g ⋅ d ρ l

:felhajtóerő ρV >> δ l cos α ≈ 1 (üveg+víz) kis d nagy ∆ h pl: d=1.6mm; ρV = 10 3 ∆h ≅ kg ; m3 δ=0.073N/m; g=9.81m/ s 2 4 ⋅ 0.073 = 0.0186m = 186mm 10 ⋅ 9.81 ⋅ 16 ⋅ 10 3 3 14 d 2π ∆h = 0 4 Áramlástan Előadásvázlat Üvegcsövet nem nedvesítő folyadék süllyedése a csőben: üvegcső δ függ a folyadék és a súrlódó felület tisztaságától, h Higany minőségétől is. (adhézió<kohézió) csapvíz [ mm] d 25 mérési eredmények 20 15 desztillált víz 10 0 0 1 Hg 2 3 4 5 h [ mm] kapilláris emelkedése vagy sülyedése * (*) tejesen tiszta üveg esetén α ≅ 0,de a műszaki gyakorlatban általában sem az üveg, sem a folyadék nem tiszta. Házi feladat: s=0.5mm δ=0.073N/m ρ = 10 3 kg / m 3 15 ∆h = ? Áramlástan Előadásvázlat síküveg h=? (*) R.L Dougherty, „Hidraulics” McGraw-Hill Book Company, New York, 1937. KINEMATIKA (a mozgás geometriája) Joseph, Louis,

Lagrange (1736-1813) féle leírásmód x = x(ξ ,η , ζ , t ) ; vx = ∂x ; ∂t ax = ∂2x ∂t 2 y = y (ξ ,η , ζ , t ) ; vy = ∂y ; ∂t ay = ∂2 y ∂t 2 z = z (ξ ,η , ζ , t ) ; vz = ∂z ; ∂t az = ∂2z ∂t 2 ξ ,η , ζ Lagrange változók Hátrány: külön egyenlet minden részecskére. Leonard Euler: (1707-1783) féle tárgyalásmód. • mozgásjellemzők megadása a térkoordináták és idő függvényében. 16 Áramlástan Előadásvázlat pl: v x = v x ( x, y, z , t ) ; v y = v y ( x, y, z , t ) ; v z = v z ( x, y, z , t )} ; v = v (r, t ) instacionárius v = v (r ) stacionárius sebességtér i j k v × dr = 0 = v x v y v z = dx dy dz áramvonal v dr pályavonal nyomvonal v y ⋅ dz − v z ⋅ dy = 0  dx dy dz  v x ⋅ dz − v z ⋅ dx = 0  ⇒ = = vx v y vz  v x ⋅ dy − v y ⋅ dx = 0 áramcső gyorsulástér: a= dF = dv y dv dv dv x = i+ j+ t k dt dt dt dt ∂F ∂F ∂F dt + dx +  = dt + (dr ⋅ D) F

∂t ∂x ∂t dF ∂F  dr  ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F + vx + vy + vz + (v ⋅ ∇) F = = +  ⋅ ∇ F = dt dt ∂t ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t    v dv ∂v ∂v ∂v + D( v ) v + ( v  ∇) v = + ( v ⋅ D) v = =      dt ∂t v (∇⋅v )=( v∇ ) v ∂t ∂t  D( v ) D( v ) = v  ∇ sebességtenzor derivált tenzora Skaláregyenletek: 17 Áramlástan Előadásvázlat  ∂vx  ∂x  ∂v D( v ) = v  ∇ =  y  ∂x  ∂v  z  ∂x ∂vx ∂y ∂v y ∂y ∂vz ∂y ∂vx  ∂z   ∂v y  ∂z  ∂vz   ∂z  a derivált tenzor transzponáltja: DT ( v ) = ∇  v Mozgásfajták: sebesség tér: v = v (r, t ) rögzített időpontban: v ′ = v + dv = v + (dr ⋅ ∇) v dv = (dr ⋅ ∇) v = v (dr ⋅ ∇) = v (∇ ⋅ dr ) = ( v  ∇)dr = D ⋅ dr v = v + D ⋅ dr D= 1 1 (D + DT ) + (D − DT ) ; 2   2   szimm. D = v∇ ;

DT = ∇  v antiszimm. 1 (D − DT ) ⋅ a = d × a) (a szimmetria tengely ilyen alakban felírható) 2 d vektortér (az antiszimmetrikus tengely ~a) a tetszőleges vektor d=? (∇ × ⋅v ) × a = (a ⋅ ∇) v − ∇( v ⋅ a) 1 1 1 1 1 (D − DT )a = ( v  ∇ − ∇  v)a = v (a ⋅ ∇) − ∇( v ⋅ a) = (rot v ) × a 2 2 2 2 2 . .  ( a⋅∇ ) v d= 1 rot v 2 18 Áramlástan Előadásvázlat 1 1 (D − DT )a = rot v × a 2 2 tehát: 1 1 v ′ = v + (D − DT )dr + (D + DT )dr 2 2 így: 1 1 v = v + rot v × dr + (D + DT )dr 2 2 ↓ ↓ ↓ transzláció merev testszerű Kopás.  ∂v x  ∂x   1  ∂v y ∂v x  1  S = (D + DT ) =   + 2 2 ∂ x ∂ y     1  ∂v z ∂v x  +    ∂z   2  ∂x alakváltozás. 1  ∂v x ∂v y  + 2  ∂y ∂x ∂v y    ∂y 1  ∂v z ∂v y  + 2  ∂y ∂z    1  ∂v x ∂v z +

 2  ∂z ∂x 1  ∂v y ∂v z  + 2  ∂z ∂y ∂v z ∂z          S : alakvált. sebesség tenzor főátlólineáris alakváltozás (nyúlás, összehúzódás) főátlón kívül: szögtorzulás S I = div v I. skalárinvariáns Örvényes áramlás: rot v ≠ 0 ; ω= 1 rot v 2 szögsebesség vektor/örvényvektor minden pontba ω × dr = 0 Örvényvonal: dx ωx = dy ωy = dz ωz örvénycső A2 örvénycső Stokes-tétel egy örvénycső palástjára dA tv (A) ro palástban A1 19 rot v ⋅ dA = 0 Áramlástan Előadásvázlat Stokes tétel: ∫ rot v ⋅ dA = 0 = ∫ ( A) ∫ v ⋅ dr + ( L1 ) ∫ v ⋅ dr = 0 v ⋅ dr + ( L1 ) ∫ v ⋅ dr ( L2 ) ( L2 )  − ∫ v ⋅ dr ( L2 ) ∫ v ⋅ dr = ∫ v ⋅ dr = Γ ( L1 ) ( L2 ) Helmholz (1821-1894) első örvénytétele örvénycső mentén a г cirkuláció konstans. Örvénymentes áramlás: rot v = 0

∫ rot v ⋅ dr = 0 = ∫ v ⋅ dr = 0 ( L1 + L2 ) ( A) B ∫ B v ⋅ dr = A ( L1 ) v ⋅ dr = dΦ ∫ A ( L2 ) B v ⋅ dr = ∫ dΦ = Φ ( B) − Φ ( A) A -totális differenciál dΦ = ∂Φ dx +  = (dr ⋅ ∇)Φ = grad Φ ⋅ dr ∂x v ⋅ dr = dΦ = grad Φ ⋅ dr ⇒ v = grad Φ vx = ∂Φ ; ∂x -sebességi potenciál vy = ∂Φ ; ∂y 20 vz = ∂Φ ∂z Áramlástan Előadásvázlat Térfogati integrál idő szerinti deriváltja Avagy, kapcsolat térfogati integrál rendszerhez kötött, ill. ellenőrző térfogaton értelmezett deriváltjai között. Tömeg,-energia megmaradás,-impulzus tétel, véges térfogatra történő felírásával, különböző mennyiségek térfogati integráljának szubsztanciális deriváltját kell kiszámítanunk. Adott: F (r, t ); v (r, t ) sebesség tér; Vt , At .rendszer térfogat/felület rendszer: Vt .együttmozgó folyadéktérfogat (mindig ugyanazokat a folyadék részeket tartalmazza) At .

együttmozgó folyadékfelszín ( Vt -t határolja) Vt , At . együttmozgó térfogatrendszer/felületnehéz kezelni, célszerű térben és időben rögzített térfogatot és felületet használni. V Vt A t (t) A Vt (t) V A t (t+ t) V.ellenörző térfogat Vt (t+ t) A.ellenörző felület térben rögzített – nyitott rendszer (közeg-átáramlás) Levezetés nélkül: d ∂F F (r, t )dV = ∫ dV + ∫ F ( v ⋅ dA) ∫ dt (Vt ) ∂ t (V ) ( A) Gauss-tétel ∫ F ( v ⋅ dA) = ∫ (F  v )dA = ∫ ( F  v)∇dV ( A) ( A) (V ) 21 (*) Áramlástan Előadásvázlat vektor (diadikus szorzás) F is lehet skalár (általános szorzás) ( F  v )∇ = F ( v ⋅ ∇) + F ( v ⋅ ∇) = ( v ⋅ ∇) F + F ⋅ div v Tehát: ∫ F ( v ⋅ dA) = ∫ ( v ⋅ ∇)F ⋅ dV + ∫ F ⋅ div v ⋅ dV ( A) (V ) (V ) dF ∂F = + ( v ⋅ ∇) F , dt ∂t mivel, így d  − dF  + F ⋅ div v  dV FdV = ∫  ∫ dt dt (Vt )  (V )  (*) (*)

Kontinuitási egyenlet: (tömegmegmaradás) 0 d  ρdV =  ρdV ∫ dt (Vt ) (V∫t ) 0, ha a Vt térfogatban nincsenek források ∫ ρdV , ha a Vt térf.-ban vannak források (Vt ) (*) F=ρ d  dρ  ρdV = ∫  + ρ ⋅ div v  dV = 0 ∫ dt (Vt ) dt  (V )  dρ + ρ ⋅ div v = 0 dt mivel V tetszőleges: ∂ρ dρ ∂ρ + ( v ⋅ ∇) ρ + div( ρ ⋅ v ) = 0 = ∂t ∂t dt a kontinuitási egyenlet differenciális alakja Stacionárius esetben: A2 A palást 22 Áramlástan Előadásvázlat ∫ div( ρ ⋅ v)dV = 0 = ∫ ρ ⋅ v ⋅ dA div( ρ ⋅ v ) = 0 (V ) ( A) (A)= ( A1 ) + ( A2 ) + ( Apal . )  v⋅dA = 0 ∫ ρv ⋅ dA = ( A1 ) ∫ ρv ⋅ dA különböző irányítású dA vektorok. ( A2 ) dA és v hegyesszöget zárnak be. középérték tétel: ρ1v1 A1 = ρ 2 v2 A2 = m n n ρ ⋅ vn ⋅ A = const. = m (kg/s) ρ=áll. Következmény: v n ⋅ A = áll. = Q = v1n ⋅ A1 = v 2 n ⋅ A2 legyen:

F=ρf d  d ( ρf )  ρf ⋅ dV = ∫  + ρf ⋅ div v dV = ∫ dt dt (Vt )  (V )  = ∫ (V )    df df   dρ + f + ρ ⋅ div v  dV = ∫ ρ dV ρ dt dt (V )  ft  kontinuitás   d df ρf ⋅ dV = ∫ ρ dV ∫ dt (Vt ) dt (V ) Általános mozgásegyenlet: 23 (*) Áramlástan Előadásvázlat • F = ρv f erőtér; a folyadék valóságos; d ρvdV = ∫ ρf dV + ∫ FdA dt (V∫t ) (V ) ( A)  dv 1 F .feszültség tenzor  ∫  ρ − f − ρ div FdV = 0 ( )  dt V 1 dv = f + div F ρ dt V tetszőleges Euler-féle mozgásegyenlet: a közeg súrlódás mentes F = − pI ; div F = (− pI ) ⋅ ∇ = −∇p div F = − grad p 1 ∂v + ( v ⋅ ∇) v = f − grad p ρ ∂t így: (*) Euler I. komponens egyenletek: ∂v x ∂v ∂v ∂v 1 ∂p + vx x + v y x + vz x = f x − ρ ∂x ∂t ∂x ∂y ∂z ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y 1 ∂p + vx + vy + vz = fy

− ρ ∂y ∂t ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v z ∂v 1 ∂p + vx z + v y z + vz z = f z − ∂x ∂y ρ ∂z ∂t ∂z  v2  (rot v) × v = (∇ × v) × v = ( v ⋅ ∇) v − ∇( v ⋅ v) = ( v ⋅ ∇) v − ∇   2  v2  ( v ⋅ ∇) v = ∇  + (rot v ) × v  2 (*) v2 1 ∂v + rot v × v = f − grad − grad p 2 ρ ∂t Euler II. Speciális esetek: • barotróp közeg potenciálos erőtérben p  v2 dp  ∂v − v × rot v = − grad U + + ∫  2 p0 ρ  ∂t  24 Euler III. Áramlástan Előadásvázlat • örvénymentes áramlás, összenyomhatatlan közeg, potenciálos erőtér  ∂v v2 p  = − grad U + +  ∂t 2 ρ  • ha az áramlás még stacionárius is mozgási energia integrálható U+ • v2 p + = const. (Bernoulli egyenlet) 2 ρ v = 0 helyettesítéssel a hidrosztatika alapegyenlete f− 1 ρ grad p = 0 Bernoulli egyenlet: Daniel Bernoulli (1700-1782);

svájci matematikus. Az Euler-féle mozgásegyenlet első integrálja. A) Örvénymentes egyenlet: p potenciális erőtér: f = −∇U ; barotróp közeg: ρ = ρ ( p ) ; P= ∫ dp p0 p  v2 dp  ∂v = −∇ U + + ∫ ; 2 p0 ρ  ∂t  ∇ p v2 dp  ∂Φ  + U + + ∫  = 0 2 p0 ρ  ∂t  ρ v = grad Φ ∂v ∂ ∂Φ = ∇Φ = ∇ ∂t ∂t ∂t v2 dp ∂Φ +U + + ∫ = k (t ) ∂t 2 p0 ρ p k(t).Bernoulli konstans; csak t-től függ Mindig egy adott időpontban írjuk fel, tehát k(t) tényleges konstansként kezelhető! 25 Áramlástan Előadásvázlat Speciális eset – stacionárius áramlás: p v2 dp U + +∫ = const.  ρ 2 helyzeti  p0  mozgési nyomási Ez a Bernoulli egyenlet energetikai jelenléte. • nehézségi erőtér, összenyomhatatlan közeg (U=97; P=p/ρ) v2 p + = const. 2 ρ gz + • potenciális erőtér, stacionárius áramlás, izentropikus állapotváltozás. p ρ p P= ∫ p0 dp

ρ = p 01 / κ ρ0 p ∫p p0 −1 / κ κ = p0 κ ρ0 1 = ρ p 01 / κ ρ0 p −1 / κ κ −1  p 01 / κ  κκ−1 κ  p p0   p − p0 κ  =  −  ⋅ dp =   κ −1  ρ0   κ −1  ρ ρ0  κ p1 / κ ρ p ∫ Tehát: dp p0 ρ U+ Így: = p p  ⋅  − 0  κ −1  ρ ρ0  κ v2 p κ + ⋅ = const. 2 κ −1 ρ adiabatikus (izentropikus) hangsebesség: a2 = p p p dp p p = κ = κ0 ; p = κ0 ρ κ = κ0 κ ⋅ ρ κ −1 = κ dρ ρ ρ ρ0 ρ0 ρ0   p ρκ U+ B) v2 a2 + = const. 2 κ −1 Örvényes áramlás: potenciális erőtér, örvényes áramlás, barotrop közeg; Az Euler-féle mozgásegyenlet: 26 RT Áramlástan Előadásvázlat p  v2 dp  ∂v − v × rot v = − grad U + + ∫  2 p0 ρ  ∂t  Integráljuk ezt az egyenletet egy áramvonal mentén: p 2 2  v2 dp  ∂v ( ) d r v rot v d r U − × = − ∇ + +  ∫1

∂t ∫1  ∫1  2 p∫ ρ dr 0   0 , mivel 2 v és dr párhuzamos ∂v ∂v v 1 ∂v ∂v 1 ∂  v2  1 ∂v  ds = v ds = ds dr = ds = v ⋅ ds = v v ∂t v ∂t  2  ∂t v ∂t ∂t ∂t  v ∂v ds + U + ∫1 ∂t  2 2 2  p + ∫ p0 dp   ρ 2 =0 1 Csak ugyanazon áramvonal két pontja között írható fel. Speciális esetek: a) p v2 dp U+ +∫ = const. 2 p0 ρ formailag ugyanaz, mint az örvénymentes áramlásnál Lényeges különbség: örvénymentes áramlás: a Bernoulli konstans az egész áramlástérben azonos. (két ponttetszőleges) örvényes áramlás: a Bernoulli konstans minden áramvonalra más állandó (két pontegy áramvonal) b) U=gz; P=p/ρ (ρ=const.) 2  v2 p  ∂v + + ds gz ∫1 ∂t  2 + ρ  = 0 1 2 A Bernoulli egyenlet néhány alkalmazása 27 Áramlástan Előadásvázlat 1. Testek párhuzamos áramlásban: K Pk 8 V Vk T áramkép

megváltozik a sebesség és a nyomáseloszlás is. Súrlódásmentes Bernoulli egyenlet: v∞2 p K v K2 + = + ρ ρ 2 2 p∞ p K = p∞ + ρ (v 2 2 ∞ − v K2 ) ha v K > v∞ p K < p ∞ p= p − p∞ ρ 2    2 vT = 0 p T = p ∞ + torlópontban: (k=T) v 2 0 v = 1 −  K  v0 nyomástényező ρ 2 v∞2 a legnagyobb nyomás a felületen ρ p.statikus nyomás; 2 p+ v 2 dinamikus nyomás; ρ 2 v 2 összenyomás Szimmetrikus, áramvonalas test körüli súrlódásmentes szimmetrikus áramlás. (0 meghívási szög) F=0 F 28 T S N Áramlástan Előadásvázlat nem szimmetrikus test: p s < p N felhajtóerőrepülés Nem áramvonalas testek nagy meghívási szög leválás 2. Prandtl-erő: Ludwig Prandtl (1875-1953) p A = p B hidrosztatika az U csőben lévő v folyadékra. T H C z z=0 T- A p A = p + ρg ⋅ H + ρ ⋅ m ⋅ g ⋅ ∆h = p B = p ö + ρg ( H + ∆h) p ö − p = ( ρ m − ρ ) g∆h

h B másrészt az előbb láttuk: m p ö = pT = p + ρ így: 2 v = 2g v 2 = ( ρ m − ρ ) g∆h ρm − ρ ∆h ρ -pontbeli sebesség mérésére. Impulzus tétel Newton II. axiómája: 29 ρ 2 v2 Áramlástan Előadásvázlat d ρv dV  = ∫ ρfdV + ∫ FdA dt (V∫t )  (A) (V ) impulzus (Vt ) −ben (Vt) és (V) a vizsgált időpontban egybeesik (F ≡ ρv ) A korábbiak alapján: d ∂ (ρv ) ρvdV = ∫ dV + ∫ ρv ( vdA) ∫ dt (Vt ) ∂t (V ) ( A) ∂ (ρv ) dV + ∫ ρv(v ⋅ dA ) = ∫ ρfdV − ∫ pdA + ∫ σdA ∂t (V ) ( A) (V ) ( A) ( A) ∫ így súrlódás mentes súrlódásos σsúrlódási feszültségi tenzor I F  = − p + σ fesz . tenzor súrl . fesz . tenzor Az impulzusnyomaték tétel az előzőhöz hasonló ∫ r× (V ) ∂ (ρv ) dV + ∫ ρ (r × v )(v ⋅ dA ) = ∫ ρ (r × f )dV − ∫ pr × dA + ∫ r × σdA ∂t ( A) (V ) ( A) ( A) r helyvektor, attól a ponttól mérve, amelyre a nyomatékot

számítjuk. Alkalmazás: könyökcsőre ható erő stacionárius áramlás esetén. súrlódásmentes eset dA2 dA pa l 2 impulzus 2 2 tétel (V)-ben lévő folyadékra: 1 ∫ ρv(vdA ) = ∫ ρfdV − ∫ pdA v1 ( A) K dA1 K 1 30 (V ) ( A) Áramlástan Előadásvázlat ∫ ρv(v ⋅ dA ) = ∫ ( A) ρv(v ⋅ dA ) + ( A1 ) = v1 ∫ ∫ ρv(v ⋅ dA ) + ∫ ( A2 ) ρ ⋅ v 1 dA + v 2  <0   ( A1 ) ∫ ( Ap ) ρv( v ⋅ dA ) =  0 ρ v 2 dA = m (v 2 − v1 )  >0   ( A2 ) − m m P pal     − ∫ pdA = − ∫ pdA − ∫ pdA − ∫ pdA = P1 + P2 + P pal ( A) ( A1 ) ( A2 ) Ap           P1 −Rb P2 ↓ a könyök belső faláról a folyadékra ható erő ∫ ρfdV + P m ( v 2 − v 1 ) = Így: 1 + P2 + P pal (*) (V )  G a környezet statikus egyensúlya (mintha (V) a környezeti közeggel

lenne kitöltve) 0 = ∫ fρ K dV − (V )    GK ∫p K (*) dA ( A)    PK 1 + PK 2 + PKPal m (v 1 − v 2 ) = − ∫ (ρ − ρ K )fdV − (P1 − PK 1 ) − (P2 − PK 2 )− P pal + PKpal    (V ) (*)-() R R = m (v 1 − v 2 ) + −P +P −P ∫ (ρ − ρ )fdV + P   1 K (V )   felhajtóerővel csökkentett foly . súlya K1 2 K2 környezeti .nyomás feletti túnyomásból származó erö R = −P pal + PKpal = ∫ ( p − p K )dA = ∫ (ρ − ρ K )fdV − ∫ ( p − p K )dA − ∫ ( p − p K )dA + m (v1 − v 2 ) ( Apal ) ) A1 ) A2 ) (V (  (  paláston .lévő tú ln yomásból p − p K = p * túlnyomás bevezetésével és Pi* = − ∫ p dA; * (i=1,2) ( Ai ) 31 Áramlástan Előadásvázlat R = m (v 1 − v 2 ) + G − G K + P1 + P2 1 .

v2 -m R G - GK P1 - PK1 P2 - PK2 Az impulzus tétel előnye, hogy a folyadék és szilárd test köztikölcsönhatást akkor is megtudjuk határozni, ha az áramlást csak az ellenőrző felület azon a részein ismerjük, amely átáramlás van. (Egyébként a nyomás és nyírófeszültség meghatározása/és integrálása/ igen bonyolult lenne) Amennyiben az 1, és 2, keresztmetszetekben ismerjük a nyomást, akkor a levezetett összefüggés súrlódásos áramlása is érvényes. A Bernoulli egyenlet és impulzus tétel alkalmazásai 1. nagy méretű tartály (stacionárius) z 1 adott: p1 , p 2 , ρ , h, A2 h 1 v=? 2 2 x v A2 1–2Bernoulli 32 R x =? Áramlástan Előadásvázlat gh + p1 ρ = p2 ρ + v2 2 p − p2  v = 2 gh + 1 ρ     p1 = p 2 = p 0 v = 2 gh   ha nyitott tartály: Torricelli képlet szabadesés Impulzus tétel: R = m (v 1 − v 2 ) + G − G K + P1 − PK1 + P2 − PK 2  

   /i 0 p − p2  R x = − m v = − ρA2 ⋅ v 2 = −2 ρA2  gh + 1 ρ     a kiáramlás irányával ellentétes Az a kifolyó folyadéksugár keresztmetszete!!! 2. Berda-Canot veszteség: 2 2 v1 1 2 v2 2 1 1 1 ρ ≅ const. leváló örvények energiacsökkenés p 2 < p 2id Bernoulli egyenletből: p 2id = p1 + imp. tétel(x): ρ 2 (v 2 1 − v 22 ) m (v 2 − v1 ) = A2 p1 − A2 p 2 33 (1) (2) Áramlástan Előadásvázlat m = ρA1 ⋅ v1 = ρA2 ⋅ v 2 kontinuitás: (3) (2),(3) ρA2 ⋅ v 2 (v 2 − v1 ) = A2 ( p1 − p 2 )    m p 2 = p1 + ρv 2 (v1 − v 2 ) ∆p ′ = p 2id (1)-(4) (4)      2  2 2 2   v v v v − + 2 2 − p2 = ρ  1 − v 2 (v1 − v 2 ) = ρ  1 − v1v 2   2   2    v22 − v v1   1   (v1 − v2 )2 2   ∆p ′ = ρ 2 (v1 − v2 )2 Ferde falnak

ütköző szabadsugár 3. v adott: A0 , v0 , ρ , α s 1 1 A 0 y 1 Rn , A1 , A2 = ? v x 0 n A p1 = p = p 0 v1 = v 2 = v0 = v (a veszteségektől eltekintve) A 2 2 v 2 impulzus tétel: ∫ ρv(v ⋅ dA ) = ∫ ρf ⋅ dV − ∫ pdA ( A) (V ) )  ( A   ≈0 34 Áramlástan Előadásvázlat * * − m v 0 + m 1 v1 + m 2 v 2 = G + P0* + P + P * + P pal  1 2  0 0 −R 0 mivel, p1 = p 2 = p 0 R = m v 0 − m 1 v 1 − m 2 v 2 (1) m = m 1 + m 2 (2) kontinuitás: ρA0 ⋅ v0 = ρA1 ⋅ v0 + ρA2 ⋅ v0 A0 = A1 + A2 (v1 = v 2 = v0 ) (2a) (1) e r = sin α i − cos α j Rn = R = − ρA0 v 2⋅ i (sin α i − cos α j) = ρA0 v 2 sin α R = ρA0 v 2 sin α a felületre merőleges (súrlódásmentes) (1) e s = cos α i + sin α j 0 = ρA0 ⋅ v 2 i (cos α i + sin α j) − ρA1v 2 + ρA2 v 2 súrl mentes A0 cos α = A1 − A2 (3) A0 = A1 + A2 (2a) (2a ) − (3) 2 4. A1 =

1 + cos α A0 2 A2 = 1 − cos α A0 2 Folyadéksugár által az elterelő lemezre ható erő 35 / ρv 2 Áramlástan Előadásvázlat y A v x 1 p o 2 v súrlódásmentes folyadék; v1 = v 2 = v Adott: v, ρ , Θ = 180° − β ; R = ? ,Θ A  sugár ker metszete stac. imptétel: ∫ ρv(vdA ) = ∫ ρfdV − ∫ pdA ( A) m (v 2 − v1 ) = (V ) (A ∫ ρfdV + P + P + P * 1 (V ) 0 * 2 0 * pal −R R = m (v1 − v 2 ) = ρAv 2 [i − (− cos β i − sin β j)] R = ρAv 2 [( A + cos β )i + sin β j] ; 3. A folyadékoszlop lengése: 36 R x = ρAv 2 (1 + cos β ) R y = ρAv 2 sin β Áramlástan Előadásvázlat 2 2y 1 súrlódásmentes L hossz 2  ∂v p v2  + + ds gz ∫1 ∂t  ρ + 2  = 0 1 2 nyitott erő p1 = p 2 = p 0 y(t) kitérés; v(t).sebesség mivel állandó keresztmetszetű a cső V1 = V2 = V dV d 2 y ∂V =a= = dt ∂t dt d2y L 2 + 2g ⋅ y = 0 dt 2g y + y=0 L  2g  2g t t 

+ B cos y = A sin  L  L  Kezdeti feltétel: t = 0: y = h B = h y = v=0 A=0 y = h ⋅ cos 2g t L Harmónikus lengőmozgás: 2g T = 2π L 37 Áramlástan Előadásvázlat L 2g T= súrlódásos áramlás lengésidő; állandó amplitúdó csökkenő amplitúdó; megáll y súrlódásmentes t T Síkbeli potenciális áramlás Síkbeli áramlás: – kiválaszthatók olyan egymással párhuzamos síkok, amelyen az áramképek egybevágóak. Ilyenkor elég az áramlást egyetlen síkon vizsgálni Tekintsünk stacionárius 2D áramlást! Legyen: v = v x ( x, y ) i + v y ( x, y ) j örvénymentes áramlás: rot v = 0 ⇒ összenyomhatatlan folyadék: div v = 0 ⇒ (1) Φ seb. pot fgv; vx = (2) Ψ áramfgv. vx ∂Φ ; ∂x ∂Ψ ; ∂y ∂v y ∂v x =0 ∂y (1) ∂v x ∂v y + =0 ∂x ∂y (2) ∂x − vy = ∂Φ ( 2 )  ∇ 2Φ = 0 ∂y vy = − 38 ∂Ψ (1)  ∇ 2Ψ = 0 ∂x harmadfokú fgv. harmadfokú fgv.

Áramlástan Előadásvázlat Így állnak a Cauchy-Riemann egyenletek: (v x =) ∂Φ ∂Ψ = ∂x ∂y így Φ,Ψ segítségével definiálható egy és ∂Φ ∂Ψ =− ∂y ∂x (= v y ) reguláris komplex függvény, amelyet komplex potenciálfüggvénynek fogunk hívni: W( z ) = Φ ( x, y ) + iΨ ( x, y ) ahol: z=x+iy : komplex helyvektor; i = −1 : képzetes egység     dW ∂W 1 ∂Φ ∂Ψ  ∂W ∂Φ ∂Ψ = v x − iv y = v +i = = +i = = ∂y  ∂y dz ∂x ∂ (iy ) i   ∂x ∂x      iránytól vx vy −i  v vx   y független dW = v = v x − iv y dz konjugált komplex sebesség. Bármely reguláris komplex függvénynek megfeleltethető egy (összenyomhatatlan közeg) örvénymentes síkbeli áramlás. Áramvonal: ψ(x,y)=const. ∂ψ ∂ψ dx + dy = 0 ∂x ∂y dy ψ x vy (=tgα) = − = dx dv ψ y vx dψ = valóban áramvonal 39 Áramlástan Előadásvázlat Potanciál nívóvonal:

Ф(x,y)=const dФ= Φx dx+ Φ y dy=0 Φx v 1 =− x =− ortogonális trajektóriák dy Φx vy dx dv -áramvonalon nincs átáramlás ⇒ 2 áramvonal között a térfogatokban minden keresztmetszetben azonos v= v x j+ v y j dy dx pot =− felbontható v n és vt -re 40 Áramlástan Előadásvázlat B Q= ∫ vn ds = vn = v x sin α − v y cos α B α ds = ∫ v x sin     A ∂Ψ ∂y A dy B ∫ v y A − ∂Ψ ∂x ∂ψ ∂ψ cos α ds = ∫ ( dx + dy ) =    ∂x ∂y B dx A B = ∫ dψ = ψ B − ψ A A B Q= ∫ v n ds = ψ B − ψ A A Térfogatáram = az áramfüggvény értékeinek különbsége a két áramvonalon. Alapáramlások: 1, Párhuzamos áramlás komplex potenciál W(z) W(z)= v∞ e − iα z dW v= = v∞ e − iα dz v= v∞ e iα áramvonalon: Φ ( x, y ) ψ ( x, y )       W= v∞ (cosα – i sinα)(x + i y) = v∞ ( x cos α + y sin α ) + i (

y cos α − x sin α )v∞ ψ(x,y) = v∞ (y cosα – x sinα) = К Κ y = x tgα + egyenes sereg v∞ cos α belátható , hogy a Ф = áll. görbék ezen görbékre merőleges egyenes sereg 41 Áramlástan Előadásvázlat 2, Forrás: Q ln z 2π dW Q 1 Q − iϕ v= = = e dz 2π z 2r Q iϕ v= e 2πr W(z) = W(z) = Q Q Q Q ln(r eiϕ ) = ϕ (ln r + ln e iϕ ) = ln r + i  2π 2π 2π 2π iϕ   ψ Φ Áramvonal: ψ= y Q 2πΚ = ϕ = К arctg x 2π Q y ∕ tg arctg x y 2πΚ = tg x Q 2πΚ y = x tg origón átmenő sugárban Q ( áramvonal ) potenciál nívóvonal: Ф = const. Ф= ln x 2 + y 2 = 2πΚ Q Q ln r = К 2π ∕ e . 42 Áramlástan Előadásvázlat x 2 + y 2 = exp( 2πΚ ) Q 4πΚ ) körszelet (origó középponttal) Q ∂Φ 1 ∂Φ Q iϕ Q er + ln r ; v = ∇Φ = Ф= eϕ = e  2πr ∂r iϕ r  2π ∂ϕ  x 2 + y 2 = exp( Q 2π e 0 Q ; vϕ = 0 sugár irányú sebességek 2πr Q > 0 forrás . áramlás az origóból

kifelé Q < 0 nyelő áramlás az origó felé vr = 3, Potenciálos örvény: forgószél, tornádó, a részecskék forgó mozgást végeznek, de ω = 0 ( nem forognak )! iΓ W(z) = ln z 2π v= iϕ π dW iΓ 1 z = reπ Γi Γ − i (ϕ − 2 ) = = = = e i dz 2π z i = e 2 2πre iϕ 2πr v= Γ i (ϕ − 2 ) e 2πr π W= iΓ iΓ Γ Γ ln(re iϕ ) = (ln r + iϕ ) = − ϕ + i ln r 2π 2π 2π 2π   Φ ψ= ψ 4π Γ Γ ln r = ln x 2 + y 2 = k x 2 + y 2 = exp( k ) kör. Γ 2π 2π Nívóvonalφ = constsugárral ⇒ szerepcsere a forráshoz képest 43 Áramlástan Előadásvázlat Ф=- Γ ∂Φ 1 ∂Φ Γ ϕ ; v = ∇Φ ; v r = = 0 ; vϕ = =− r ∂ϕ 2πr ∂r 2π 4, Dipólus: a 0 és Q ∞ úgy, hogy lim aQ = véges érték = Mπ M.dipólus erőssége a 0 Q ∞ W(z) = M z M = lim a 0 Q ∞ Qa π π v= dW M M M − 2 i (ϕ − 2 ) = − 2 = − 2 2 iϕ = 2 e dz z r e r iπ /-1 = e / π M 2 i (ϕ − 2 ) v= 2 e r W= M x − iy x − iy

Mx My = Ф+iψ =M 2 = 2 −i 2 2 2 x + iy x − iy x +y x +y x + y2 ψ(x,y) = - My =Κ x + y2 2 x2 + y2 + x2 + ( y + M 2 M2 ) = 2Κ 4Κ 2 К( x 2 + y 2 )+My = 0 M y=0 Κ origón átmenő körök, középpontok az y tengely mentén 44 Áramlástan Előadásvázlat φ 2φ-π (visszafordítás) Elemi áramlások összegzése ( szuperpozíció ): Dipólus párhuzamos áramlásban: W(z) = v∞ z + M z v = v ∞x − M z2 W= M x − iy x − iy v∞x ( x + iy ) + = v∞x ( x + iy ) + M 2 = x + iy x − iy x + y2 Ф+iψ M ψ (x,y) = y( v∞x − 2 )=0 x + y2 45 Áramlástan Előadásvázlat 〈 M M = 0 x 2 + y 2 = = R 2 .kör v ∞x x2 + y2 y = 0.egyenews v ∞x − M ; M = v ∞x R 2 v ∞x így, R2 W(z) = v∞x ( z + ) z dW R2 v= = v∞x (1 − 2 ) dz z R= torló pontok: z=±R Sebesség a kör kerületén: zkör = Reiϕ R2 − 2 iϕ ϕ + i sin ϕ ) = 2v∞x sin ϕ (sin ϕ + i cos ϕ ) = 2 −cos v kör = v∞x (1 − 2 2iϕ ) = v∞x (1 − e ) =

v∞x (1  2 R e 2 2 sin ϕ cos ϕ 2 sin ϕ = 2v∞x sin ϕ i (cos ϕ − i sin ϕ ) v kör = 2v∞x sin ϕ e π − i (ϕ − ) 2 π i (ϕ − ) 2 v kör = 2v∞x sin ϕ e szimmetrikus áramlás nincs felhajtóerő D’Alambert féle paradoxon W(z)= v∞x (r +  R2 R 2 ( x + iy )  R2 R2 v x iv y ) = v∞x  x + iy + 2 ( 1 ( 1 ) = + + − ∞x  ∞x  z x + y2  r2) r2 r cos ϕ   Φ 2 R ) cosφ ; v = ∇Φ r2 ∂Φ R2 = v∞x (1 − 2 ) cos ϕ v r = vr ( r , ϕ ) = ∂r r Ф = v ∞x ( r + 46 Áramlástan Előadásvázlat vϕ = vϕ (r , ϕ ) = 1 ∂Φ R2 = −v∞x (1 + 2 ) sin ϕ r ∂ϕ r felületen: vr ( R, ϕ ) = 0 érintőleges vϕ ( R, ϕ ) = −2v∞ sin ϕ Kör körüli cirkulációs áramlás: R2 iΓ )+ ln z z 2π R2 iΓ v = v∞x (1 − 2 ) + 2πz z W = v ∞x ( z + torlópontok: v( zT )=0 R2 iΓ ∕ zT2 =0 v∞x (1 − 2 ) + 2πzT zT iΓ v∞x zT2 + zT − vℵx R 2 = 0 2π zT = − iΓ Γ 2 ±

−( ) + R2 4πv∞x 4πv∞x 47 Áramlástan Előadásvázlat Γ < R két a kör kerületén 4πv∞x Γ = R egy a kör kerületén b, 4πv∞x Γ c, > R két torlópont képz. tengelye 4πv∞x (képzetes) a, u.i a, és b, esetben zT2 = z + zT = (− =( Γ 2 Γ 2 iΓ iΓ ± −( ± −( ) + R 2 )( ) + R2 = 4πv∞x 4πv∞x 4πv∞x 4πv∞x  Γ 2  Γ 2 ) + − ( ) + R 2  = R 2 = zT2 4πv∞x  4πv∞x  Sebesség a kör kerületén: zkör = Reiϕ v kör = v∞x (1 − e −i 2ϕ π Γ − i (ϕ − 2 ) i Γ − iϕ )+ e = v∞x (1 − cos 2ϕ + i sin 2ϕ ) + e   2πr 2πR π 2 v∞x sin ϕe v kör = (2v∞ sin ϕ + π Γ − i (ϕ − 2 ) )e 2πR ; −i (ϕ − Γ 2πR nem szimmetrikusáramlás 48 ) v kör = (2v∞ sin ϕ + v kör = 2v∞ sin ϕ + a henger felett nagyobb a sebesség mint alatta a henger felett kisebb a nyomás mint alatta F f = ρΓv∞ [N∕m] ⇒ felhajtóerő 2 π Γ i (ϕ

− 2 ) )e 2πr Áramlástan Előadásvázlat Ha megfúvási szög van,akkor Γ 2πR F f = ρΓv∞ v kör = 2v∞ sin(ϕ − α ) + felhajtóerő: v ∞ -re ┴ Konform leképzés Riemann: Minden egyenesen összefüggő tartomány egy alkalmasan választott reguláris komplex függvénnyel körre leképezhető. Konformis leképezés : szög- és aránytartó leképezés. A leképezés geometriai oldala : kör kívánt profil Fizikai leképezés : a két sík egymásnak megfelelő pontjaiban a komplex pot. azonos áramvonal áramvonal elemi pot. vonal elemi pot vonal 49 Áramlástan Előadásvázlat ζ síkon W ∗ (ζ ) = W [h(ζ )] = Φ ∗ (ξ ,η ) + iψ ∗ (ξ ,η ) dW ∗ dW dz dW 1 = = ⇒ dζ dz dζ dz f ( z ) v (ζ ) = v( z ) f ( z) A leképezés szinguláris pontja ott van , ahol f (z ) = 0 ; f (z ) = ∞ v(ζ ) = v( z ) és 1 f ( z) A z síkon ismert a kör körüli cirkulációs áramlás v(z) sebességtere, amiből a ς sík megfelelő

pontjaiban a w(ς) sebesség meghatározható, amennyiben f(z) leképző függvényt ismerjük. Olyan leképző függvényt célszerű választani , amelynek a végtelenben a z szerinti deriváltja egységnyi ; így a két síkon a ∞ -beli sebesség arányos. Zsukovszkij-féle leképezés: lim f ( z ) = 1 z ∞ f ( z) = z + a 2a a1 a1 + 2 +  f ( z ) = 1 − 12 − 32  z z z z A Zsukovszkij-féle leképezés: a2 ζ = f ( z) = z + 3 −  z f ( z) = dζ a2 = 1− 2 dz z 50 Áramlástan Előadásvázlat szinguláris pontok: z= ± a ; illetve a ς – síkon a ς = ± 2a ζ = z+ a2 a2 x − iy = x + iy + = x + iy + a 2 2 z x + iy x + y2 a2x ξ = x+ 2 x + y2 ; 51 a2 y η = y− 2 x + y2 Áramlástan Előadásvázlat Kutta- Zsukovszkij feltétel : A sima leáramlás feltétele: f ( z = a ) = 0 v( z = 0 ) = 0 legyen (Г célszerű választása) 0 legyen v(ζ ) =    belátható, hogy véges határérték 0 v kör = 2v∞

sin(ϕ − α ) Γ Γ = 4 Rπv∞ sin(α + β ) 2πR ahol R = (a + c) 2 + b 2 52 Áramlástan Előadásvázlat v kör (φ = -β) =0 0 = 2 v∞ sin (-β – α ) + Γ 2πR ahol Γ = 4Rπv∞ sin( α + β ) Felhajtóerő: Ff = ρ v∞ Γ = 4 πρv2∞ R sin( α + β ) Zsukovszkij- profilnál: L ≈ 4R Ff ≈ L π ρ v2∞ sin ( α+ β ) [N/m] Ez az erő nagy fizikai jelentősséggel bír ; ez az alapja ugyanis a repülőgépek szárnyprofil kialakításainak( felszállás / leszállás). Felhajtóerő tényező : Cf = Ff ρ 2 ≅ 2π sin( α +β) 2 v∞ L (itt Ff az egységnyi szélességű szárnyszelvényre ható erő) Példa a konform leképzésre : Síklap menti áramlás Példa: p∞ , v∞ , L , α , ρ; sima leáramlás teljesül vlap = ? plap = ? Δp = pA - pB Ff / b= ? . egységnyi szelvényű felületre ható erő 53 Áramlástan Előadásvázlat Zsukovszkij-féle leképzés : ζ = f(z)= z + a2 a2 a 2 ( x − iy ) =ξ + iη = + + = + x iy x

iy x + iy z2 x2 + y2 a2 a2 ξ = x(1 + 2 ) ; η = y (1 − 2 ) x + y2 x + y2 ha az x2+y2 = a2 kört képezzük le , akkor a leképző függvény ξ = 2x és η = 0 adódik ( geometriai leképzés) kör körüli cirkulációs áramlás: Γ  -i(φ-π/2)  e v ( z kör ) = 2v∞ sin(α − β ) + 2 Rπ   Fizikai leképzés : W*( ζ ) = W.(z) dW dW * dζ 1 = v(ζ ) = v( z ) dz dζ dz f ( z)    v( z ) v( z ) v (ζ ) 54 Áramlástan Előadásvázlat dζ a2 = f ( z) = 1 − 2 dz z tehát a leképezés szinguláris pontjai: z = ± a ; és z = 0 z kör = a e i φ f’ (z kör)=1- 1 e 2 iϕ = 1- e −2iϕ = 1 − cos 2ϕ + i sin 2ϕ =2sin φ(sin φ + i cos φ) =   2 sin 2 ϕ 2 sin ϕ cos ϕ = 2 sin ϕ i (cos ϕ − i sin ϕ ) = 2sin φ e-i(φ-π/2)  iπ / 2 e Sima leáramlás : e − iϕ v kör(φ = 0) = 0 2v∞sin (-α) + Γ =0 2 Rπ Γ = 2v∞sinα 2 Rπ v kör = 2v ∞[sin(φ -α) + sin α] e

−i (ϕ −π / 2 ) v lap = v kör 2v [sin (ϕ − α ) + sin α ]e − i (ϕ −π / 2 ) = ∞ f ( z kör ) 2 sin ϕe −i (ϕ −π / 2 ) v lap (ϕ ) = v∞ sin (ϕ − α ) + sin α = vlap (ϕ ) sin ϕ ahol: φ ≠ 0, π Mert a φ = 0, π a leképzés szinguláris pontjai ! 55 Áramlástan Előadásvázlat sin (ϕ − α ) + sin α  0  cos(ϕ − α ) = v∞ cos = v∞ =   = v∞ lim ϕ 0 ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 lim vlap = v∞ lim lim vlap (ϕ ) = v∞ cos α tehát : –sima leáramlás esetén ϕ 0 φ 0<φ<π π < φ< π + 2α π+2 α<φ<2π sin( φ - α) + sin α sin φ >0 >0 >0 <0 <0 vlap (ϕ ) = v∞ <0 sin (ϕ − α ) + sin α sin ϕ v lap >0 <0 >0 ahol: φ ≠ 0, π vlap (ϕ ) = v∞ cos α φ =π A Bernoulli – egyenlet : 2 plap vlap v∞ + = + 2 2 ρ ρ p∞ plap = p ∞ + (v 2 ρ 2 ∞ − vlap 2 2 )   sin (ϕ − α ) + sin α  2  plap (ϕ )

= p ∞ + v∞ 1 −    2 sin ϕ     ρ 2 2    π    sin  − − α  + sin α    π ρ 2    2     plap (ϕ A ) = plap  ϕ = −  = p ∞ + v∞ 1 − 2 2  π      sin  −        2    56 Áramlástan Előadásvázlat  plap (ϕ B ) = plap  ϕ  ∆p = 2   π    sin  − α  + sin α    π ρ 2    2    =  = P∞ + V∞ 1 − 2 2 π      sin        2    ρ   π  π  π π 2 v∞ sin 2  − α  + sin 2 α + 2 sin α sin  − α  − sin 2  + α  − sin 2 α + 2 sin α sin  + α  2   2  2  2 2  sin(π/2-α ) = cos α ; sin(π/2+α) = cos α ahol : ∆p =  2 v∞ cos 2 α + sin 2 α +

2sin α cos α − cos 2 α − sin 2 α + 2 sin α cos α    2 sin 2α   ρ ∆p = ρv∞ sin 2α = p A − p B 2 A felhajtóerő : Ff = ρ Γ v∞ =ρ 4 R π sin α v∞2 = ρ L π sin α v∞2 [N/m] L Ff = ρ L π sin α v∞2 [N/m] Navier – Stokes – féle mozgásegyenlet : Sir Gabriel Stokes (1819 - 1903) brit matematikus, fizikus L. M Navier (1785 - 1836) Eddig : súrlódásmentes folyadék – a felületi erők merőlegesek a felületre(nincs tangenciális komponens )! Valóság : ellenállás a véges sebességű alakváltozással szemben folyadék súrlódás( -nak nevezzük) Fal menti áramlás: 57 Áramlástan Előadásvázlat vx = vx (y) ; vy = vz = 0 v│fal = 0 A faltól távolodva először rohamosan nő a sebesség , később egyre kisebb mértékben. Ahol erőteljesen változik sebesség, ott nagy az alakváltozás sebessége jelentős súrlódási ellenállás. Ennek mértékéül a nyírófeszültségek szolgálnak

Tekintsük egy síkfal menti AD lamináris áramlást (a folyadékrészecskék ugyanabban a rétegben maradnak a mozgásuk során.) Mint láttuk – a súrlódási törvény ; Newton (1643 - 1727) A Newton - féle súrlódási törvény τ = τ xy = η dv x dv y Newtoni folyadék : amely eleget tesz a fenti összefüggéseknek τ = τ (T) η dinamikai viszkozitási tényező υ= η kinematikai viszkozitási tényező [m/s] ρ 58 Áramlástan Előadásvázlat Newtoni súrlódási törvény kiterjesztése térbeli (3 D) esetre: G.G Stokes (1819-1903) (Novier: 1827 ρ=állandó eset; Stokes: 1845 ρ≠állandó) A rugalmasságtanhoz analóg módon ( ~ Hook törvény) Stokes-féle viszkozitási törvény: ∂v τ xy =τ yx =η ( ∂v x + y ) ∂y ∂x (1) τ xz =τ zx =η ( ∂v x + ∂v z ) ∂z τ yz =τ zy =η ( ∂v y ∂z (2) ∂x + ∂v z ) ∂y (3) Normális irányú feszültségek ( Hook analógia ) Stokes-féle viszkozitási törvény σx=2η σy=2η

σz=2η ∂v x ∂v ∂v + η’( x + y ∂x ∂x ∂y + ∂v z ) ∂z (4) ∂v x ∂v y + ∂x ∂y + ∂v z ) ∂z (5) ∂v ∂v ∂v z + η’( x + y ∂z ∂x ∂y + ∂v z ) ∂z (6) ∂v y ∂y + η’( η’. második viszkozitási tényező 59 Áramlástan Előadásvázlat p def.: p= - Fxx + Fyy + Fzz 3 viszont: −p F= -pI + σ= 0 0 σ x τ xy τ xz σx − p τ xy τ xz − p 0 + τ yx σ y τ yz = τ yx σy − p τ yz 0 −p τ zx τ zy σ z τ zx τ zy σz − p 0 0 F első skalárinvariánsa ( főátlóban lévő elemek összege): Fxx + Fyy + Fzz = -3p= σx + σy + σz - 3p σx + σy + σz= 0 (4) + (5) + (6) σx + σy + σz = 2η ( ∂v x ∂x + ∂v y ∂y + ∂v ∂v z ) + 3η ’ ( x ∂z ∂x + ∂v y így 2 η ’=- η 3 így a súrlódási tenzor: σ=2 η S- 2 η div v I 3 ahol: S= 1 ( v  ∇ + ∇  v) . alakváltozási sebesség tenzor 2 Feszültségtenzor: F=-pI+σ F=-pI + 2 η S - 2 η div v 3 Stokes-féle

viszkozitási törvény Az általános mozgásegyenlet: dv 1 = f + div F dt δ η =állandó feltevéssel: 60 (7) ∂y + ∂v z )= 0 ∂z Áramlástan Előadásvázlat 2 div F=- ∇p + 2η div S − η grad (div v ) 3 1 1 div S= ( v  ∇ + ∇  v) ∇ = [ ∇ v+ ∇ ( ∇ v)] 2 2 ∆ = ∇ * ∇ . Laplace operátor így 2 div F=- ∇p + η∆v + η (1 − ) grad (div v ) 3 így (7): dv υ 1 = f + ∇p + υ∇v + grad (div v ) dt 3 δ a Navier- Stokes egyenlet. Másodrendő parciális differenciál egyenlet (PDE) (Euler elsőrendű volt) mindkét egyenlet nem lineáris. dv ∂v =  + ( v∇ ) v dt ∂t a turbulens áram leírására is alkalmas ρ = állandó div v = 0 (const. egyenlet) ha ∂v 1 + (v∇)v = f − ∇p + υ∆v ∂t ρ részletesebben: x, y ,z koordináta rendszerben: ∂v x ∂v x + vx ∂t ∂x + vy ∂v y ∂v x + vx ∂x ∂t + vy ∂v z ∂t + vy + vx ∂v z ∂x 1 ∂p ∂v x ∂ 2v ∂v x = fx + υ ( 2x + vz ρ ∂x ∂y

∂z ∂x ∂v y ∂y ∂v z ∂y + vz + vz ∂v y ∂z = fy - + ∂ 2v 1 ∂p + υ ( 2y ρ ∂y ∂x 1 ∂p ∂ 2v ∂v z = fz + υ ( 2z ρ ∂z ∂z ∂x 61 ∂ 2vx ∂y 2 + + υ ∂ ∂v x ∂ 2vx )+ ( 3 ∂x ∂x ∂z 2 + ∂ 2v y ∂y 2 ∂ 2vz ∂y 2 + + ∂ 2v y ∂z 2 )+ + ∂v y ∂y + ∂v z ) ∂z υ ∂ ∂v x ∂v y ∂v z ( ) + + 3 ∂y ∂y ∂x υ ∂ ∂v x ∂ 2vz )+ ( 2 3 ∂z ∂x ∂z + ∂v y ∂y ∂z + ∂v z ) ∂z Áramlástan Előadásvázlat peremfeltétel: v fal= 0 (illetve a fal sebességgel mozog a fallal érintkező folyadék részecske) Navier- Stokes egyenlet zárt alakú néhány esetbe. 1 ∂v = f − ∇p ρ ∂t Navier- Stokes zárt mentes eset: υ = 0 v = 0 hidrosztatika: 0 = f − 1 ρ (Euler féle mozgás egyelnet) ∇p Energia egyenlet A termodinamika I. főtétele mozgó zárt rendszerre ( Ugyanazok a folyadékrészek vannak benne) dE Q − W = dt • dQ . a rendszerbe időegységalatt

bevezetett hő (<0, ha leadtott hő) Q = dt • dW . a rendszer által a környezetén időegység alatt végzett munka W = dt • E= ∫ ρedV . energia; Vt együtmozgó térfogat; V ellenőrző térfogat (Vt ) • dE ∂ = ρedV + ∫ ρevdA . E szubsztanciális deriváltja dt ∂t (V∫) ( A) • • v2 e = u + gz + fajlagos energia 2 u . belső energia • gz . potenciális energia • v2 . kinetikus energia 2 Itt V az ellenőrző (fix) térfogat, A az ellenőrző felület, így: 62 Áramlástan Előadásvázlat v2 v2 ∂ Q − W = ρ ( u + + gz ) dV + ρ ( u + + gz ) vdA ∫ ∂t (V∫) 2 2 ( A) (*) W két részre bontható: W=Wt+Wp • • Wp - az áramló közegnek a nyomás révén a környezeten végzett munka –ÁTTOLÁSI MUNKA Wt tengelyen - bevezetett vagy kivett munka (Wt=-Wtechnikai) Turbina: - energiakivétel, Wt > 0 a rendszer végez munkát (pl.: turbina lapáton) Szivattyú, kompresszor: -energia bevitel Wt < 0 a gép

végez munkát a rendszeren ( a rendszer negatív munkavégzése) (Wt minden bevezetett vagy elvitt munka, ami nem tartozik Wp- hez) ( pl.:a veszteségi erők munkája is) kilépés: a környezetre ható erő: p2 A 2= F 2 Az A2 felület ∆ t idő alatt ∆ s 2= v 2 ∆ t elmozdulást végez. A kilépésnél a környezeten ∆t alatt végzett munka: ∆W p 2 = F2 ∆s 2 = p2 v 2 A 2 ∆t ∆W p 2 W p 2 = = p2 v 2 A 2 ∆t belépés: a környezetre ható erő: p1 A 1= F 1 Az A1 felület ∆ t idő alatt ∆ s 1= v1 ∆ t elmozdulást végez. 63 Áramlástan Előadásvázlat A belépésnél a környezeten ∆t alatt végzett munka: ∆W 1 = F1∆s1 = p1 v1 A1∆t W p1 = ∆W p1 ∆t = p1 v1 A1 <0 a környezet végez munkát a  rendszeren a belépésnél ( v1 A 1<0) Mivel az ellenőrző felület 1 és 2-es keresztmetszetétől eltérő helyein (palástAp) nincs átáramlás , így és mivel: (A)=(A1)+(A2)+(Ap) pvdA = 0 ; így: W p = lim ∆t 0 ∆W p

∆t = ∫ pvdA = ∫ ( A) ( A) p ρ ρvdA Ahol, A a teljes mozgó V(t) térfogat A(t) határoló felületét jelenti; ∆t 0 esetben ez az (A1), (A2) és (Apalást) felületeket tartalmazza. (*) energiaegyenletek: Q − W t − ∫ ( A) p ρ ρvdA = v2 v2 ∂ ρ ρ + + + + + gz ) vdA ( ) ( u gz dV u ∫( A) ∂t (V∫) 2 2 v2 p v2 ∂ ρ ρ Q − W t = ( u + + gz ) dV + ( u + + + gz ) vdA ∫ ρ 2 ∂t (V∫) 2 ( A) h=u+ p ρ . fajlagos entalpia v2 v2 ∂ ρ ( + + ) + ρ ( + + gz ) vdA energiaegyenlet Q − W t = u gz dV h ∫( A) ∂t (V∫) 2 2 A rendszerbe bevezetett hő illetve a rendszeren végzett időegység alatti munka egyrészt a rendszerben lévő közeg energiájának időbeli változását, valamint a rendszerhatárokon átáramló közeg energiaváltozását okozza. Stacionárius energiaegyenlet : Q − W t = v2 ∫ ρ (h + 2 + gz ) vdA ( A) 64 Áramlástan Előadásvázlat Itt a tartomány belsejében lévő

„dolgokkal” nem kell foglalkoznunk, elég a tartomány be és kilépő részein lévő jellemzőket vizsgálni. Példa: kJ ) fajlagos kg entalpiájú túlhevített gőz érkezik. A turbinát elhagyó gőz p2( 101 kPa ) nyomású és T2 ( m kJ 100 ° C ) hőmérsékletű, h2( 2676 ) fajlagos entalpiájú. A gáz belső sebessége v1( 15 ), s kg m kilépő sebessége v2( 60 ). A turbina be és kilépő pontja közötti szintkülönbség s kJ ), a gáz tömegárama elhanyagolható. A turbinafalon fellépő hőveszteség Q ( -7600 h kg ). m ( 0,5 s Egy gőzturbinába p1( 1.4MPa ) nyomású és ( 400 ° C ) hőmérsékletű h1( 3121 Mekkora a turbina teljesesítménye? Q − W t = ∫ ρ (h + ( A) v v v − v22 v2 + gz ) vdA = (h2 + 2 + gz ) ρ 2 A2V2 − ( 1 + h1 + gz1 ) ρ1V1 A1 = m ( 1 + h2 − h1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 15 2 − 60 2  v − v 22 − 7,6 * 10 6 J + 0,5 + (3121 − 2676)10 3  = W t = Q + m ( 1 + h2 − h1 ) = 3600 s 2 2  

=-2,11kW + 0,5[-1,69 kJ kJ +445 ] kg kg kJ W t =220 = 220kW kg A kinetikus energiaváltozás gőzturbinában általában elhanyagolható az entalpiaváltozáshoz képest ( lásd e példa is ). Energiaegyenlet stacionárius csőáramra: Q − W t = v2 p v3 p v3 ∫ ρ (u + ρ + 2 + gz ) vdA = ( A∫ () u + ρ + gz ) ρvdA + ( A∫ ) 2 dA − ( A∫ )(u + ρ + gz ) ρvdA − ( A∫ ) 2 dA ( A) 2 2 1 1 p A be és kilépő (1-2) keresztmetszetekben a jellemzők átlagértékeit véve: p Q − W t + ( 1 + gz1 + u1 ) ∫ ρvdA + ρ1 ( A1 ) ∫ ( A11 ) ρ p v3 v3 dA = ( 2 + gz 2 + u 2 ) ∫ ρvdA + ∫ ρ dA ρ2 2 2 ( A12 ) ( A2 ) 65 Áramlástan Előadásvázlat ∫ ρvdA = ρvA = m ( A) ahol v . az átlagsebesség a keresztmetszetben ∫ρ ( A) v3 v3 dA = αρ A 2 2 α . A kinetikus energia korrekciós tényezője A keresztmetszetben ρ − t állandónak véve: 3 1 v α = ∫   dA A ( A)  ∇  Speciális esetek: α = 1, ha a

sebesség állandó a keresztmetszetben a.) (v=v) α > 1, ha sebesség nem állandó b.) Lamináris csőáramlás: α=2 c.) Turbulens csőáramlás: α = 1.01 ÷ 111 α = 1.06 (gyakorlatban α ≅ 1) • Így az energiaegyenletet m -al elosztva: v2 v12 p 2 q − wt + ρ + gz1 + u1 + α1 = + gz 2 + u 2 + α 2 2 2 ρ2 1 2 p1 q= Q m J   kg  a rendszerbe bevezetett fajlagos, tömegegységre vonatkoztatott hő q > 0 bevezetett q < 0 elvezetett ⋅ Wt wt = ⋅ m J   kg  a tengelyen elvitt (vagy bevezetett) fajlagos munka wt > 0 turbina wt < 0 szivattyú, kompresszor 66 Áramlástan Előadásvázlat Összenyomhatatlan közeg: ρ1 = ρ 2 = ρ v2 p v2 p q − wt + ρ1 + gz1 + u1 + α1 1 = ρ2 + gz 2 + u 2 + α 2 2 2 2 átrendezve: p2 v12 v22 p1 + gz + α − w = + gz + α u 2 − u1 − q) t 1 1 2 2 2 2 + ( ρ ρ    em1 Y´ em 2 Y ´ = u 2 − u1 − q

fajlagos mechanikai energiaveszteség fajlagos mechanikai energia em1 − wt = em 2 + Y ´ Y ´ = u 2 − u1 − q a rendszer belső energiájának növekedése illetve a rendszert elhagyó hő növeli a fajlagos energiaveszteséget. Mivel az esetek többségénél az áramlás turbulens α 1 = α 2 ≈ 1 p 2 v22 v12 ´ gz w + + − = t 1 ρ 2 ρ + 2 + gz 2 + Y p1 Példa: A d(500mm) átmérőjű cső ρ [1000 ] sűrűségű vizet szállít az ábrán vázolt rendszerben. Az kg m3 1 és 2 keresztmetszetekben az abszolút nyomás 67 (1.7 bar) illetve Áramlástan Előadásvázlat ⋅ p2 (4.5 bar), az áramló közeg tömegárama m (500 kg/s) (40m) (30m) adott. Az 1 és 2 pontok között fellépő fajlagos mechanikai energiaveszteség Y ´ (29,43 kgJ ) . Mekkora teljesítményt kell a rendszerbe szivattyúval betáplálni az adott szállítási feladat megvalósításához? α 1 = α 2 = 1 v12 Psz = p2 + v22 + gz + Y ´ + + gz + ⋅ 1 2 ρ 2 ρ 2 m  p1 − wt ⋅

 p − p v2 −v2  Psz = m  2ρ 1 + 2 1 + g ( z 2 − z1 ) + Y ´  2      Y fajlagos energia növekmény a szivattyún ⋅ m = ρA1v1 = A2v2 ρ v2 −v2 2 A1 = A2 = d π v1 = v2 2 1 = 0 4 2 (4.5−17)105 Psz = 500 + 9.81(40 − 30) + 2943  = 204kW 3 10   Példa: 3 Egy vízerőmű víznyelése 141 ms . A csőben fellépő fajlagos veszteség Y ´ (152 ⋅ 981 Szintkülönbség: z1 − z2 = 610m α1 = α 2 = 1 68 j ) kg Áramlástan Előadásvázlat kg Mekkora vízerőmű teljesítménye? ( ρ = 1000 m ) v12 Pt p2 v22 ´ + + + gz ⋅ = ρ + 2 + gz 2 + Y 1 ρ 2 m p1 ⋅  p −p  v2 −v2 Pt = m  1 ρ 2 + 1 2 + g ( z1 − z 2 ) − Y ´  2     p1 ≈ p2 = p0 v1 = v2 = 0 (a szintkülönbség miatti nyomásváltozás elhanyagolható) ⋅ [ ] [ ] Pt = m g ( z1 − z2 ) − Y ´ = ρQ g ( z1 − z2 ) − Y ´ = 1000 ⋅ 141 ⋅ [9.81 ⋅ (610 − 152)] = 842 MW

További speciális eset: Ha a rendszerben nincs erő vagy munkagép wt = 0 A.) v12 p2 v22 ´ + + = gz 1 ρ 2 ρ + 2 + gz 2 + Y p1 Így, J kg Y ´ = gh´ .h´ súly egységre vonatkoztatott energiaveszteség v12 p2 v22 ´ z + + = 1 ρ 2 ρg + 2 g + z 2 + h p1 B.) [m] Amennyiben az áramlás súrlódásmentes Y ´ = 0 kapjuk az összenyomhatatlan közeg stacionárius áramlására érvényes Bernoulli egyenletet. v12 p2 v22 + + gz = 1 ρ 2 ρ + 2 + gz 2 p1 Áramlások hasonlósága: Feltételek: • tökéletes geometriai hasonlóság (érdesség is) • dinamikai hasonlóság 69 Áramlástan Előadásvázlat mozgásegyenletek egyetlen . átvihetők a másik áramlásra Súrlódási f. mozgásegyenlet: [ dv = f − 1 ∇p + ν ∆v + 1 ∇(∇v ) ρ 3 dt ] Átszámítások: r = M rr∗ v = M v v∗ t= Mr Mv t∗ ρ = M ρ ρ∗ p = M p p∗ ν = Mνν ∗ f = M gf ∗ A * adataival a mozgásegyenlet [ M v2 dv∗ ∗ − M p 1 ∇∗ p ∗ + Mν M v

∆∗ v ∗ + ∇∗ (∇∗ v ∗ ) M f = g M r dt∗ M ρ M r ρ∗ M r2 ] dinamikai hasonlóság, ha két egyenlet csak egy konstans számban különbözik egymástól. Mp M v2 M M = Mg = = ν 2v Mr MρMr Mr Így, M v2 : tehetetlenségi erők Mr átszámítási tényezője M g : tömegerők átszámítási tényezője Mp : nyomóerők MρMr átszámítási tényezője Mν M v : súrlódási erők M r2 átszámítási tényezője a.) A tehetetlenségi és tömegerők aránya 70 Áramlástan Előadásvázlat M v2 Mv = Mg =1 Mr MrM g Fr = v v∗ = 1 l g l∗ g ∗ v Froude szám l ⋅g Szabad felszíni áramlás, (pl.: hullámhossz) b.) A tehetetlenségi és súrlódási erők aránya M v2 Mν M v M M = v r =1 2 Mr Mν Mr v l v∗ l∗ = 1 υ υ∗ vl = v∗l∗ υ υ∗ Re = νvl Reynolds szám c.) A tehetetlenségi és nyomóerők viszonya azonos Mp M v2 = Mr MρMr ∆p ∆p d ∆p∗ d ∗ v2 d ∗ = ∆p∗ l = l∗ ρ l ρv2 ρ ∗v∗2 v∗2 d ρ ∗ l∗

∆p d Eu = l 2 Euler szám ρv ∆p : nyomásesés az l hosszon; d az l-re merőleges hossz (átmérő) 2 ∆p = 2 Euρ l v csősúrlódás D 2 λ: csősúrlódás tényező d.) A nyomóerők és a súrlódóerők viszonya azonos Mp M M = ν 2v MρMr Mr 71 Áramlástan Előadásvázlat ∆p ρ ∗ l∗ ν v d ∗2 = ∆p∗ ρ l ν ∗ v∗ d 2 ∆p d 2 ∆p∗ d ∗2 = l ρνv l∗ ρ ∗ν ∗v∗ ∆p d 2 Ha = lηv Hagen szám ∆p d ∆p d 2 Eu Re = l 2 vd = lηv = Ha = Eu Re ρv ν e.) A lokális és konvektív gyorsulás aránya azonos M v M v2 Mr = =1 Mt M r M vM t l = l∗ vT v∗T ∗ St = l Strouhall szám vT T= 1 f f: frekvencia lf St = v Lamináris áramlás párhuzamos falak közti résben Stacionárius 1D-s áramlás 72 Áramlástan Előadásvázlat Teljesen kialakult áramlás (fully developed flow) vx = v ( y ) v y = vz = 0 térerőt elhanyagoljuk [ ∂v + ( v ⋅ ∇) v = f − 1 ∇p + ν ∆v + 1 ∇(∇v ) ρ ∂t 3 ] Kontinuitás: div v =

0 ∂vx ∂v y ∂vz + + =0 ∂x ∂y ∂z vx = v ( y ) ∂vx ∂v ∂v ∂v 1 ∂p + ν d 2v + ν ∂ (div v ) + vx x + v y x + vz x = − ρ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x dy 2 3 ∂x d 2v = 1 ∂p = const = − 1 ∆p η l dy 2 η ∂x V =− ∆p 2 y + C1 y + C 2 2ηL Peremfeltétel: V ( h ) = V (− h ) = 0 2 2 0=− ∆p h2 + C1 h + C 2 2ηL 4 2 0=− ∆p h2 − C1 h + C 2 2ηL 4 2 C2 = ∆ph2 8ηL C1 = 0 A befejezés hiányzik 73 Áramlástan Előadásvázlat Lamináris áramlás kör keresztmetszetű csőben: jól lekerekített belépés: • közel homogén sebesség profil • fal hatása: súrlódás, fal menti sebesség csökkenése, a mag sebességének növekedése (kontinuitás) vastagodó határréteg • adott hossz után – teljes határréteg áramlás – Le=0.058RedLanghaar (1942) Mi az x > Le esettel foglalkozunk 74 Áramlástan Előadásvázlat Feltevések: ρ = áll, stacionárius, teljesen kifejlett áramlás vz = v(r ) vx = v y

= 0 [ ∂v + ( v ⋅ ∇) v = f − 1 ∇p + ν ∆v + 1 ∇(∇v ) ρ ∂t 3 ] Kontinuitás: div v = ∂vx ∂v y ∂vz ∂v + + =0 z =0 ∂x ∂y ∂z ∂z vz = v(r ) Le ≈ 0.058 Re (laminur (Langhaar elmélete)) d (Sheeter, V. L –Wylie, E B fluid mechanica p193) Szélcsatorna L << Le – ne legyen teljes a határ rétegáramlás a csatornában; súrlódás – csak a csatornafal közelében vizsgált lesz – közel homogén áramlás van. Energia egyenlet: v2 p v2 α1 21 + gh1 + ρ1 = α 2 22 + gh2 + ρ2 + e′s 75 p Áramlástan Előadásvázlat p −p e′s = 1 ρ 2 + g (h1−h2 ) 0=f − 1 ρ ∇p + ν∆v  p ∇p = ∇  ρ ρ  1 p így f − ∇p = −∇ gh +  = −∇Y ρ ρ  f = −∇(gh ) ; 1  p Vegyük észre: Y =  gh +  ez a tömegegységre vonatkozó fajlagos helyzeti + nyomási ρ  energia. 0 = −∇Y + ν∆v ∂Y  0=−  ∂y  ∂Y dY ∂Y  0=− =

 Y = Y (z ) tehát Y csak z - tõl függhet, ezért írhatjuk ∂z dz ∂y   ∂Y 0=− + ν∆v  ∂z  1 dY ∆ = const v = dz ν f (r )  g(z) h − h1 dY ∆Y p 2 − p1 = = +g 2 = −J L ∆z dz ρL J ∆v = − ν Nézzük a kapott egyenletet HKR-ben, ne felejtsük el, hogy Δv r függvénye volt! Mindenki 1 ∂  ∂φ  1 ∂ 2φ ∂ 2φ emlékszik a Laplace operátorra HKR-ben: ∆φ = + + r r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2 1 d  dv  J r  = − r dr  dr  ν d  dv  J / ∫ dr r  = − r dr  dr  ν dv J r = − r 2 + C1 dr 2ν dv J 1 = − r + C1 / ∫ dr dr 2ν r J v(r ) = − r 2 + C1 ln r + C 2 4ν A kapott egyenlethez tartozó peremfeltételek: 76 Áramlástan Előadásvázlat • r=R • r=0 J 2 R 4ν   C1 = 0   C 2 = v=0 v véges (tapasztalat) J ( v(r ) = R 2 − r 2 ) parabolikus eloszlás 4ν Hagen-Poiseuille áramlás e p − p2 h − h2 ahol J = s = 1 +g 1 L ρL L

Nézzük meg vízszintes csőre hogyan alakul a képlet?! p − p 2 ∆p ∆p 2 és így v(r ) = R − r2 J= 1 = 4ηL ρL ρL ( ) Térfogatáram: R J Q = 2π ∫ v(r )rdr = 2π 4ν 0 Q= πJ ∫0 (R − r )rdr = 2ν R 2 2 πJ 4 R Hagen-Poiseuille törvény 8ν Nézzük meg vízszintes csőre hogyan alakul a Hagen-Poiseuille törvény Ekkor J = p1 − p 2 ∆p = ρL ρL melyet behelyettesítve πJ 4 π∆p 4 π∆pd 4 Q= R = R = 8ν 8η 128ηL Q= π∆pd 4 128ηL Q Q JR 2 c= = 2 = A R π 8ν v max = v(r = 0) = 77 JR 2 = 2c 4ν R  2 r2 r4  −  R 2 4 0  Áramlástan Előadásvázlat Energiaegyenlet: c12 p1 c2 p + + gh1 = α 2 2 + 2 + gh2 + es 2 ρ 2 ρ p − p2 8ν + g (h1 − h2 ) = LJ = L 2 c es = 1 R ρ α1 e s = L 8ν c R2 es = λ L c2 d 2 Turbulens áramlásnál: λ értéke lamináris áramlás esetén: L c2 32ν λ c = lam d 2 d2 ν 64 = 64 = dc Re  es = L λlam 1 Re TURBULENS ÁRAMLÁS Osborne REYNOLDS kísérletei (1883)

• • • kis áramlási sebességnél a festék egy rétegben marad lamináris áramlás a sebességet egy bizonyos érték felé növelve instabillá válik az áramlás – átmenet tovább növelve a sebességet a festék teljes keresztmetszetben elkeveredik turbulens áramlás 78 Áramlástan Előadásvázlat kereskedelmi cső: Re krit ≅ 2300 ha Re < Re krit ha Re > Re krit stabilan lamináris lehet lamináris de kis megzavarás hatására turbulenssé válik (nagyon finoman megmunkált (nagyon sima) cső: Re krit ≅ 40000 is lehet) Peter BRADSHAW (1994) „Turbulence is the invention of the devil on the 7th day of creation” magyarul „A tubulenciát az ördög találta ki a teremtés 7. napján” Turbulens áramlás: • • • • folyadékrészecskék állandó keveredése, véletlenszerű mozgása (Brown-féle hőmozgáshoz hasonló) szigorúan véve mindig instacionárius f = 1 ÷ 10000Hz nagy Re szélcsatorna áramlás ; turb L = 0,1 ÷ 4000mm

(hullámhossz) a műszerek általában átlagértéket mérnek (sebesség, nyomás) (hődrótos anemométer ingadozást is képes) A turbulens áramlások vizsgálatára számos módszert dolgoztak ki, használnak. Probléma: erősen ingadozó nyomás és sebességértékek. Nem ismerünk olyan, az időben véletlenszerűen változó függvényt, amely kielégítené a mozgásegyenletet. A) Direkt Numerikus Szimuláció (DNS) (legmagasabb szint) • A Navier-Stokes egyenlet megoldása az ingadozó sebesség és nyomásértékekre • Nincs turbulencia modell 79 Áramlástan Előadásvázlat • Nagyon finom térbeli háló és időlépcső kell, hogy a nagyon különböző méretű és frekvenciájú örvényeket is le tudja írni szélcsatorna f = 1 ÷ 10000Hz • • Óriási gépidő, pl. repülőgép körüli áramlás DNS-s több ezer év CPU time lenne Kisebb Re számú csatornaáramlásokra használják – igen pontos lehet (akár műszerek kalibrálása) 2002. CFD

konferencia Toulouse – japán kutató 109 számítási pont (3D) L = néhány tized mm   több m • B) Nagy Örvények Szimulációja (LES – Large Eddy Simulation) • Gazdaságosabb mint a DNS • Csak közepes és nagy méretű örvények közvetlen számítása • Megfontolás: a közepes és nagy méretű örvények határozzák meg a turbulencia transzportját, a kis örvények a turbulens energia disszipációjáért felelősek • Térbeli szűrő alkalmazása a Navier-Stokes egyenletre • Kiszűri a kis örvényeket ; a kapott egyenlet direkt megoldás • Kis örvények hatásának figyelembevétele egy általános érvényű turbulencia modellel (amely nem tartalmaz feladattól függő empirikus állandókat) • Még mindig nagy gépidő ; Ma divatos sok helyen használják C) Időátlagolt Navier-Stokes egyenlet – Reynolds egyenlet (RANS – Reynolds Avaraged Navier-Stokes Equations) Megjegyzés: A mérnököket általában az időben átlagolt értékek

érdeklik (nem az ingadozás) Pillanatnyi értékek: vT ( x , y , z , t ) pT ( x, y , z , t ) Időátlag: T 1 v = ∫ v T dt T 0 T p= 1 pT dt T ∫0 T>> mint a turbulens áramlás ingadozására jellemző időállandó, de T<< mint az instacionárius áramlás időállandója T ≈ 5s Ingadozás: v = vT − v p = pT − p 80 Áramlástan Előadásvázlat vT = v + v   vTx = v x + u  (1) vTy = v y + v   vTz = v z + w  Navier-Stokes egyenlet érvényes a pillanatnyi értékekre ( ρ = const )! ∂v T  1 + ( v T ∇) v T = f − ∇pT + ν∆v T (2) ∂t ρ  Kontinuitás: mivel div( v T ) = 0 és div( v ) = 0   div( v ) = 0  ∂u ∂v ∂w + + = 0(3) ∂x ∂y ∂z  (1-2) [ ] ∂v ∂v 1 1 + + ( v + v )∇ ( v + v ) = f − ∇p − ∇p + ν∆v + ν∆v ∂t ∂t ρ ρ  ∂v ∂v 1 1 + + ( v∇) v + ( v∇) v + ( v ∇) v + ( v ∇) v = f − ∇p − ∇p + ν∆v + ν∆v (3!) ∂t

∂t ρ ρ  itt: ∂v ∂v ∂v + vy + vz ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v ( v ∇) v = u + v + w ∂x ∂y ∂z ( v∇ ) v = v x ( v ∇) v = u ∂v ∂v ∂v + v + w ∂x ∂y ∂z (3) időátlagolása, feltételek: f +h= f +h fh = f h cf = c f (c = const) t+ f (t ) = 1 T T 2 ∫ f (t )dt t− T 2 81 Áramlástan Előadásvázlat (3) átlagosan: ∂v ∂v = ∂t ∂t ∂v =0 ∂t ( v∇) v = ( v∇) v ( v∇) v = ( v∇)  v = 0 =0 ( v ∇) v = (  v ∇) v = 0 =0 1 ρ ∇( p + p ) = 1 ρ ∇p ν∆( v + v ) = ν∆v Ezen időátlagolt tagokat visszaírjuk az időátlagolt (3)-ba:  ∂v 1 + ( v∇) v = f − ∇p + ν∆v − ( v ∇) v (4) ∂t ρ  Mivel: div( v  v ) = ( v  v )∇ = ( v  v )∇ + ( v  v )∇ = ( v ∇) v ↑   ↑  ( v ∇ ) v v div v  ↑ Így: − ( v ∇) v = −div( v  v ) = 1 =0 [ ] 1 div − ρ ( v  v ) = div σ T ρ

 ρ σT Tehát a (4) egyenlet: 1 1 ∂v + ( v∇) v = f − ∇p + ν∆v + div σ T ρ ρ ∂t Ami nem más mint a Reynolds-féle mozgásegyenlet. ahol:  u 2  σ T = − ρ ( v  v ) = − ρ  v u  wu  u v u w   v 2 v w  a Reynolds-féle turbulens feszültségtenzor wv w 2   A tenzor szimmetrikus: v u = u v ; v w = w v ; w u = u w 82 Áramlástan Előadásvázlat Tehát 6 független elemet tartalmaz.  u 2  1 1 div σ T = − ρ v  v ∇ = − v  v ∇ = −  v u ρ ρ  wu   ∂ 2 ∂ ∂  uv uw   ∂x u y z ∂ ∂   1 ∂ ∂ 2 ∂   div σ T = − vu v vw   ∂x ρ ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ 2  wv w   w u ∂y ∂z   ∂x ( ( ) ( ) ( ) ) ( u v v 2 wv ) ( ) ( ) ( ) ( ) u w  ∂ ∂x   v w  ⋅ ∂ ∂y  w 2   ∂ ∂z   ( ) ( ) mivel v u = u v ; v w

= w v ; w u = u w , ezért 6 ismeretlen kifejezés van az 1 div σ T vektorban. ρ Koordináta-egyenletek: ( ) ( ) ( ) ∂v x ∂v ∂v ∂v 1 ∂p ∂ 2 ∂ ∂ uv − uw u − + vx x v y x + vz x = f x − + ν∆v x − ρ ∂x ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y 1 ∂p ∂ ∂ 2 ∂ vu − v − vw vy + vx + vz = fy − + ν∆v y − ρ ∂y ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v z ∂v 1 ∂p ∂ ∂ ∂ 2 + ν∆v z − uw − vw − w + vx z v y z + vz z = f z − ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ρ ∂z ∂t ∂x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Emlék kontinuitás: ∂u x ∂u y ∂u z + + =0 ∂x ∂y ∂z 3D eset: 4 egyenlet 10 ismeretlen v x , v y , v z , p, u v , v w , u 2 , v 2 , w 2 így a turbulens áramlás egzakt megoldása a Reynolds-féle egyenlet felhasználásával lehetetlen. 2D eset: 3 egyenlet 6 ismeretlen v x , v y , p, u v , u 2 , v 2 83 Áramlástan Előadásvázlat Turbulencia modellek: 2

egyenletes k − ε ; k − ω 1 egyenletes 0 egyenletes keveredési úthosszon alapuló Ludwig Prandtl (1875-1953) Síkbeli áramlás: Prandtl: τ = τ xy = − ρ u v = ρ ⋅ l 2 ⋅ l =κ⋅y dv x dv x ⋅ dy dy y = faltól mért távolság ; κ ≅ 0,4 Kármán T.(1881-1963): dv x dy l =κ 2 d vx dy 2 Turbulens csőáramlás: Impulzustétel a jelölt térfogatra, és kapjuk (levezetést mellőzve):   2 dv dv ρ⋅J    − ρ ⋅ l 2 ⋅   = 0(1) r+ η dr dr   2    τ - fajl. viszkózus erő fajl. tehetet  turbulens impulzus τ − lenségi erő cserébős származó fajl. erő  84 Áramlástan Előadásvázlat ahol, J= p1 − p 2 h − h2 . esés +g 1 ρL L Prandtl megoldása: l =κ⋅y y = R − r (faltól mért távolság) ; κ ≅ 0,4 a.)Lamináris alapréteg: fal közelében: τ ′ << τ τ ′ = 0 r ≈ R τ ≈ τ 0 (lamináris megoldásból nyerhető) vlam (r ) = J (R2

− r 2 ) 4v dv ρJ |r = R = − R dr 2 τ0 = η súrlódási sebesség bevezetése: v∗ = ρJ 2 τ0 = ρ R +η JR 2 dv =0 dr dv v*2 =− dr v v=− v*2 r +C v peremfeltétel: v( R) = 0 C = 85 v*2 R v Áramlástan Előadásvázlat v(r ) v* = (R − r) v* v b.) Turbulens határréteg: τ ′ << τ τ ≈ 0 l = κy = κ ( R − r ) tehetetlenségi erőben: r≈R ρJ 2 ) =0 R − ρκ 2 ( R − r ) 2 ( dv dr 2  dv  v = κ (R − r)    dr  2 ∗ 2 /⋅ ρ 2 2  dv  ± v∗ = κ ( R − r )   dr  dv <0− dr dv v 1 =− * dr κ R−r v= v* κ ln( R − r ) + K ′ v 1 = ln( R − r ) + K K: integrációs állandó v* κ K: a lamináris alapréteghez való csatlakoztatás feltételéből nyerjük δ Lamináris alapréteg vastagsága vlam ( R − δ ) = v( R − δ ) v∗ v∗ vlam v∗ | R−δ = ν [R − ( R − δ )] = ν δ v∗ v∗ 1 1 ν δ = κ ln δ + K ν δ − κ ln δ 86 Áramlástan

Előadásvázlat Prandtl feltevése: δ = B vν Nikuradse mérései igazolták ezt. ∗ v K = ν∗ B vν − κ1 ln( B vν ) = B − κ1 ln B − κ1 ln( vν ) ∗ ∗  ∗  Így, K = C + κ1 ln( vν ) ∗ v 1 v 1 v∗ = κ ln ν + κ ln( R − r ) + C v 1 v v∗ = κ ln ν + C Nikuradse mérései: Κ = 0.4, C = 5.5 v∗ v v∗ = 5.75 lg ν ( R − r ) + 55 Csövek hidraulikai ellenállása: 87 Áramlástan Előadásvázlat energiaegyenlet 1-2 közé: c12 p2 c22 + gh + α = + gh + α + es′ 1 1 2 2 ρ ρ 2 2 p1 e′s = p1− p2 ρ + g (h1 − h2 ) = JL τ0 JR 2 2 ρ = 2 bevezetésével J = R v∗ v∗ = Így: 2 v 2 e′s = JL = 2 L v∗2 = 8 ∗  L c λ csősúrlódási tényező R 2 C d   e′s = λ L c univerzális ellenállástörvény turbulens áramlásra d 2 2 lamináris: λ = 64 Re Hidraulikus sima cső- felületi érdesség a lamináris alaprétegben λ = λ (Re) elméletileg és kísérletileg: 1 = 2 lg( λ

Re) − 0.8 λ Re > 3000 különböző közelítések: λ = 0.3164 4⋅ Re 2300 < Re < 8 ⋅10 4 (Blasias) λ = 0.0054 + 0396 Re −03 2 ⋅10 4 < Re < 2 ⋅105 (Schiller) λ = 0.032 + 0221 Re −0237 105 < Re < 108 (Nikuradse) Érdes cső: Nikuradse (1933)- homokkal érdesített csők: egyenértékű homokérdesség 88 Áramlástan Előadásvázlat hidraulikailag sima: k << δ lam λ = λ (Re) átmeneti: k ∼ δ lam λ = λ (Re, R ) k hidraulikailag érdes: k > δ λ = λ( R ) k Nikuradse mesterségesen érdesített csövek Moody – kísérletek kereskedelemben kapható „természetes” érdességű csövek – ma inkább ezt használják. Csőidomok és szerelvények ellenállása: 2 e′s = ζ c 2 ζ veszteségtényező ζ meghatározása méréssel helyenként analitikus megoldás(Borda-Carnot) 89 Áramlástan Előadásvázlat Áramlás nem kör keresztmetszetű csövekben: Dh = 4 A K hidraulikai átmenő 2 e′s

= λ L c kiterjesztett ellenállástörvény Dh 2 λ = λ (Re, Dk ) h cD Re = ν h 64 λlam = cD h ν Speciális esetek: • kör: 2 A= D π 4 K = Dπ Dh = 4 A = D K • téglalap: –füstgázcsatorna: K = 2(a + b) 90 Áramlástan Előadásvázlat A = ab Dh = 4 A = 4ab = 2ab K K (a+b) a+b • négyzet: 2 a = b : Dh = 2a = a 2a Egyenértékű csőhossz. Összetett rendszer vesztesége: M c2j Li ci2 N ′ + ζ es = ∑ λi Di 2 ∑ j 2 i =1 j =1 Le. Egyenértékű csőhossz; de; λe e′s = λe Le ce2 De 2 Ai ci = Ae ce L c2 c2 L c2 λe De 2e = ∑ λi Di 2i + ∑ ζ j 2j e i j i 2 λi De  ci  2 De  cj  Le = ∑ λe Di Li  ce  + λe ∑j ζ j  ce  i 2  ci  =  De   ce   Di  4 2 D   cj   c  =  De   e  j 4 D λi  De  5 D  Le = ∑   Li + e ∑ ζ j  e  λe  Di  λe j  D j  i 91 4 Áramlástan

Előadásvázlat Csőáramlási feladatok megoldása: 1.) Adott: Q,D,L,k/D,ρ,ν, es′ = ? C= 4Q D2π Re = CD ν k ) diagramból λ = λ (Re, D 2 e′s = λ L C D 2 2 ∆p ′ = ρe′s = ρλ L C D 2 2.) Adott: D, L, k/D, ρ, ν, es′ ,Q=? Kezdet: k ) teljesen érdes (Moody diagram) λ0 = λ ( D 2 C e′s = λ0 L 0 D 2 C0 = 2e′s D λ0 L C0 D0 Re 0 = ν k) λ1 = λ (Re 0 , D C1 = 2e′s D λ1L CD Re1 = ν1 1 k) λ2 = λ (Re1 , D konvergencia: 3.) Adott: Q=C D π 4 2 Q, k, L, ρ, ν, es′ max ,D = ? 92 Áramlástan Előadásvázlat 2 e′s = λ L C D 2 2 4Q  Q2 = λ 8L e′s = λ L 1   D 2  D2π  π 2 D5 4Q Re = CD ν = Dπν D0 felvétele: Re = 4Q Dπν k λ = λ (Re , k ) 0 0 D D0 0 e′s = λ0 8L2 Q2 összehasonlítás e′s max -al π D05 Ha e′s > e′s max D1 < D0 választása Re1 = 4Q D1πν k λ = λ (Re , k ) 1 1 D D1 1 e′s = λ1 8L2 Q2 összehasonlítás e′s max -al 5 π D1 Ha es′ > es′ max D

növelése (szabványos csőátmérők) 3.) Feladat másik megoldása: Q2 = C1λ1 π e′s D 5 = λ1 8 L2 (1) C 4Q Re = πν 1 = 2 D D (2) 93 Áramlástan Előadásvázlat A konvergált Di-hez legközelebb eső, annál nagyobb szabványos átmérő választása. 94