Fizika | Áramlástan » Dr. Baranyi László - Áramlástan előadásvázlat

Adatlap

Év, oldalszám:2004, 94 oldal
Nyelv:magyar
Letöltések száma:418
Feltöltve:2007. július 19
Méret:1 MB
Intézmény:-

Csatolmány:-

Letöltés PDF-ben:Kérlek jelentkezz be!

Értékelések

Ezt a doksit egyelőre még senki sem értékelte. Legyél Te az első!


Új értékelés

Tartalmi kivonat

Áramlástan Előadásvázlat Áramlás és Hőtechnikai Gépek Tanszéke Miskolci Egyetem Gépészmérnöki kar Gépészmérnöki szak Áramlástan Előadásvázlat Dr. Baranyi László Miskolc, 2004 1 Áramlástan Előadásvázlat HIDROSZTATIKA Folyadékok és gázok tulajdonságai: • Csekély ellenállást fejtenek ki az alakváltozással szemben. (egymáshoz képest könnyen elmozdíthatóak) A legkisebb nyírófeszültség hatására elmozdulás. • A részecske relatív helyére közömbös, azaz mindig a határolóedény alakját veszik fel. • Kontinuum; fizikailag homogén anyag; a fizikai tulajdonsága nem részecskékhez kötött. (meteorológia!) ∆m ; ∆V→0 ∆V ⇒ ρ = lim ∆Fn ∆A →0 ∆A valóság: ∆V→ ε 3 ; ∆A→ ε 2 p = lim ε >> molekulák közti átlagos távolság • A mozgás- és termodinamikai állapot, hely és idő függvényeként leírható. Ideális (súrlódásmentes) folyadék: 0 nyírófeszültség –

súrlódási határrétegen kívül jó közelítés húzófeszültség→ 0 Összenyomhatatlan folyadék: • cseppfolyós • kis sebességű gáz Összenyomható folyadék: gáz; kivétel: kis sebesség→összenyomhatatlan (p=1bar; t=0˚C; v=50m/s; Δƍ/ƍ0 < 1%) Ideális gáz: amely kielégíti a gáztörvényt. p ρ =RT (R= C p − CV ) izobár (p=const) → ρT =const izochor ( ρ =const) → p =const T 2 Áramlástan Előadásvázlat izoterm (T=const.) p izentropikus ρ κ p politropikus ρn p → ρ =const. (κ = =áll. Cp CV ) =áll. Folyadékáramlásnál az alakváltozás sebessége játszik fontos szerepet, nem maga az alakváltozás. • ellenállás a véges sebességű alakváltozással szemben ⇒ súrlódás • a súrlódás függ az alakváltozás sebességétől és az η viszkozitástól τ =η ⋅ dV ; dn ν= η ρ kinematikai viszkozitás dv dr ne w to n if ol y. gáz (molekulák mozgása okozza) nem

newtoni foly. folyadék (kohézió okoza) Bingham plasztikus anyag (nem folyadék) Folyadéknyomás A legkisebb τ hatására alakváltozás lépne fel. →nyugvó folyadékban nincs τ nyírófeszültség! → felületre merőleges erők csupán 3 Áramlástan Előadásvázlat • az elemi folyadékrészt elkülönítve vizsgáljuk, akkor a környezet hatását a felületén ható erőkkel vehetjük figyelembe. • ∆Fn ∆A→0 ∆A nyomás: felületegységre ⊥ -en ható erő. p = lim (∆F = ∆Fn ) (∆A → ε ) 2 ahol ε >> molekulák közötti átlagos távolság. p skaláris mennyiség (iránytól független) Bizonyítás: – ék alakú térfogatra bizonyítjuk. (3D-ra hasonlóan belátható) y y ps. ds 1 px. y 1 x x. y 1 g 2 indirekt bizonyítás: x py. dx 1 feltesszük, hogy p x , p y és p s különbözőek δ x = δ s cos Θ δ y = δ s sin Θ 4 , Áramlástan Előadásvázlat δ x: y:  y  p xδ y ⋅ 1 − ps δ s

sin Θ = 0 (1) δx     δδ p yδ x ⋅ 1 − ps δ s cosΘ − ρg x y = 0 2  (2) →0 δ x ,δ y ,δ s → 0 (1) → miközben: Θ=const. ( 1 ) → p x → ps   ⇒ ps = p x = p y = p ( 2 ) → p y → ps  Θ tetszőleges volt → a nyomás egy pontban mindenirányban azonos. 3D – hasonló bizonyítás. px + p y + pz • áramló folyadék: τ ≠ 0; p iránytól függ: p = • álló folyadék: τ = 0; p iránytól független (skalár) egység: p. 1 N = 1Pa ; m2 3 10 5 Pa = 1bar A hidrosztatika alapegyenlete • A vizsgált folyadék tömeg az f térerősséggel jellemzett erőtérben van • Tetszőlegesen választott (V) folyadéktérfogat egyensúlyban van 5 Áramlástan Előadásvázlat ∫ ρfdV − ∫ pdA = 0 Elemi tömegerő: ρ ⋅ f ⋅ dV V A Elemi felületi erő: − pdA Gauss tétel → ∫ [ρf − ∇p ] dV = 0 V V tetszőleges → f − 1 ρ grad p = 0 Speciális esetek: Barotrop közeg ∇P = 1

ρ  p dp  f − grad  ∫ =0  p0 ρ  [ρ = ρ ( p)] ; p dp p0 ρ P= ∫ nyomáspotenciál ∇p p dp p0 ρ Potenciál erőtér: f = − grad U → −∇(U + P) = 0 → U + ∫ Gravitációs erőtér: U=gz → p dp p0 ρ gz+ ∫ Összenyomhatatlan közeg: ρ=const.; P= p ρ → gz + p ρ = const. = const. = const. Felhajtóerő, úszás: V teljes térfogat VF kiszoritott foly. térfogat AF A VF V 6 Áramlástan Előadásvázlat Ha a (V) térfogatot ρV ≠ ρ F sűrűségű anyaggal töltjük ki, akkor az eredeti egyensúlyi állapot megszűnik. felhajtóerő térerő      eredő  ρ ⋅ f dV − pd A = F ∫ V ∫ V ∫ (ρ V − ρ F ) fdV − (v) (1)–(2) (1) A ∫ pdA = 0 (2) a folyadék egyensúlyi egyenlete ( A) ∫ (ρ V f irányú eredő erő : − f irányú − ρ F ) fdV = F (V ) 0 Felhajtóerő= a kiszorított folyadéktömegre ható térerővel (súlyával)

ArchimedesHEUREKA!!! Úszás: Test: ∫ ρV fdV − ∫ ρ F fdV − (VF ) Folyadék: ∫ pdA = 0 (*) ∫ pdA = 0 (*) ( AF ) (VF ) ( AF ) ⇓ ∫ρ V fdV = (V ) ∫ρ F fdV (VF ) Test súlya = kiszorított folyadék súlya h hs z=0 dF F S (X,Y) Y dA S( XS ,YS ) (A) Y Q(XQ,YQ) 7 X Áramlástan Előadásvázlat F merőleges a felületre p ρ + gz = const. x, y .súlyponton átmenő koordináta rendszer peremfeltétel: z=0; p= p 0 p − p 0 = − ρ ⋅ gz = ρ ⋅ gh dF=( p − p 0 )dA= ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ dA = ρ ⋅ g ⋅ y sin Θ ⋅ dA F= y ⋅ sin Θ ⋅ A = ( p − p ) ∫ ( p − p ) dA = ρ ⋅ g ⋅ sin Θ ∫ y ⋅ dA = ρg ⋅    0 ( A) 0 s s ( A) hs F= ρ ⋅ g ⋅ hs ⋅ A = ( p − p 0 )s ⋅ A • Megoszló terhelés a Q pontba helyezett F erővel helyettesíthető. xQ ⋅ F = ∫ ( p − p )x ⋅ dA 0 ( A) yQ ⋅ F = ∫ ( p − p )y ⋅ dA 0 ( A) xQ ⋅ ρ ⋅ g ⋅ y ⋅ s sin Θ ⋅ A = ρg ⋅ sin

Θ ∫ xy ⋅ dA = ρg ⋅ I xy ⋅ sin Θ ( A)    I xy ⇓ vegyes másodrendű tehetetlenségi nyomaték xQ = I xy A ⋅ ys yQ ⋅ ρg ⋅ ys ⋅ sin Θ ⋅ A = ρg ⋅ sin Θ ∫ y 2 ⋅ dA = ρg ⋅ I x ⋅ sin Θ ( A)    Ix ⇓ x tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték yQ = Ix A ⋅ ys 8 ⋅A Áramlástan Előadásvázlat Steiner tétel: I x = I x + Ay s xQ = x s + Így: Ix > 0; I xy > 0 < 2 I xy = I xy + A ⋅ x s y s ; I xy > xs ; A ⋅ ys < yQ = y s + Ix > ys A ⋅ ys ( I xy =0 ha már egyetlen szimmetriatengely van) A pont, ahol a megoszló terhelés egyetlen erővel helyettesíthető (Q) mélyebben van a ??? alatt, mint a síkidom S súlypontja. Görbült felületre ható erő: elemi erők nem párhuzamosak egymással. 9 Áramlástan Előadásvázlat z z B B` Fx` A` G B -Fz -Fx A A x x A folyadék irányú egyensúlya: z irányú egyensúlya: ′ Fx − Fx = 0 − Fz + G = 0

→ Fx = Fx′ a felület Fz = G ↓ Függőleges síkba vetített vetületre ható erő a fölötte lévő folyadék súlya Speciális eset: -Fz` Fz = −G a fölé képzelt víz súlya felfelé!! Felhajtóerő (a görbült felületre ható erő alapján): FF = − ∫ p ⋅ dA ( A) 10 Áramlástan Előadásvázlat R H A dA Fx = 0  szimmetria Fzn = − ρg ⋅ b( HRR − R 2π )k 2 R 2π Fzn = ρg ⋅ b( HRR + )k 2 Felül: F f = Fz = ρg ⋅ b ⋅ R 2π ⋅ k = felhajtóerő Kapillaritás adhézió Kohézió alulról > adhézió (levegő molekulák vonzása) → felületi kohézió feszültség Pl: vízi rovarok a víz felszínén. • Mélyen a folyadék felszíne alatt a folyadékmolekulák minden irányba azonos erővel hatnak egymásra (a kohéziós erők kiegyenlítődnek) 11 Áramlástan Előadásvázlat • A folyadékfelszín a folyadékmolekulák közti kohézió következtében összehúzódni igyekszik: felületi feszültség

keletkezik. (mint egy megfeszített gumilemez) folyadék szabad felszíne+szilárd felület érintkezése (adhézió+kohézió) Ha a fal molekuláinak vonzó (adhézió) hatása > folyadék vonzó (kohézió) hatása → a folyadék felkúszik a falra; nedvesíti a felületet. Gondolatkísérlet a felületi feszültség δ mérésére: foly. hártya keret A eredeti L végzett α munka felületnöveléssel F ⋅ ∆s = δ ⋅ 2∆s ⋅ L s megnyílt hártya 2 felület van! F δ= F (N/m) felületi feszültség 2L δ csak a két érintkező anyagtól függ víz – levegőre δ≈0.073 N/mszobahőmérsékleten Görbült folyadékfelület esetén: a felületi feszültségből származó erő felület konkáv része felé mutat. Egyensúly esetén erre a konkáv oldali nagyobb nyomás tart egyensúlyt Belátható, hogy:  1   1  p1 − p2 = δ   +    R1   R2  ahol R1 , R2 a két főgörbületi sugár. 12 Laplace-egyenlet

Áramlástan Előadásvázlat R Speciális eset: 1 R R p1 p1 p2 2 esöcsepp síkfal mentés R2 = ∞; R1 = R p1 − p 2 = R1 = R2 = R δ p1 − p 2 = R p2 szappanbuborék R1 ≅ R2 = R 2δ R p1 − p 2 = kis R → nagy ∆ p! s z síküvegfal s = 0.5 mm h=? v Roberson/Crowe P.26 folyadék súlya=felületi erő egyensúly: 1 ⋅ s∆h ⋅ ρV ⋅ g = 2 ⋅ 1 ⋅ δ 2 érintkező felület ∆h = 2δ 2 ⋅ 0.073 = 3 = 0.0298m = 298mm δ V ⋅ g ⋅ s 10 ⋅ 9.81 ⋅ 5 ⋅ 10 − 4 13 4δ 2 felület R Áramlástan Előadásvázlat δ ⋅ 2 R ⋅ π = ∆p ⋅ R 2π → ∆p = 2δ R kis R-nél igen nagy lehet N m pl: δ ≅ 0.073 F p d=1mm esőcsepp ∆p = 2δ 4δ 4 ⋅ 0.073 = = = 292 Pa R d 10 −3 Pl: Üvegcsövet nedvesítő folyadék emelkedése a csőben. az üveg erős adhéziós erővel hat a vízre→ felületi erö felemelkedés v l egyensúly: d po h 1 δ cos α ⋅ dπ − (ρV − ρ l )g ⋅ ρV :súlyerő; 2 v pz´ =

po * ∆h ≈ 4δ ⋅ cos α 4δ ≅ ρV ⋅ g ⋅ d ρV ⋅ g ⋅ d ρ l :felhajtóerő ρV >> δ l cos α ≈ 1 (üveg+víz) kis d → nagy ∆ h pl: d=1.6mm; ρV = 10 3 ∆h ≅ kg ; m3 δ=0.073N/m; g=9.81m/ s 2 4 ⋅ 0.073 = 0.0186m = 186mm 10 ⋅ 9.81 ⋅ 16 ⋅ 10 3 3 14 d 2π ∆h = 0 4 Áramlástan Előadásvázlat Üvegcsövet nem nedvesítő folyadék süllyedése a csőben: üvegcső δ függ a folyadék és a súrlódó felület tisztaságától, h Higany minőségétől is. (adhézió<kohézió) csapvíz [ mm] d 25 mérési eredmények 20 15 desztillált víz 10 0 0 1 Hg 2 3 4 5 h [ mm] kapilláris emelkedése vagy sülyedése * (*)→ tejesen tiszta üveg esetén α ≅ 0,de a műszaki gyakorlatban általában sem az üveg, sem a folyadék nem tiszta. Házi feladat: s=0.5mm δ=0.073N/m ρ = 10 3 kg / m 3 15 ∆h = ? Áramlástan Előadásvázlat síküveg h=? (*) R.L Dougherty, „Hidraulics” McGraw-Hill Book

Company, New York, 1937. KINEMATIKA (a mozgás geometriája) Joseph, Louis, Lagrange (1736-1813) féle leírásmód x = x(ξ ,η , ζ , t ) ; vx = ∂x ; ∂t ax = ∂2x ∂t 2 y = y (ξ ,η , ζ , t ) ; vy = ∂y ; ∂t ay = ∂2 y ∂t 2 z = z (ξ ,η , ζ , t ) ; vz = ∂z ; ∂t az = ∂2z ∂t 2 ξ ,η , ζ Lagrange változók Hátrány: külön egyenlet minden részecskére. Leonard Euler: (1707-1783) féle tárgyalásmód. • mozgásjellemzők megadása a térkoordináták és idő függvényében. 16 Áramlástan Előadásvázlat pl: v x = v x ( x, y, z , t ) ; v y = v y ( x, y, z , t ) ; v z = v z ( x, y, z , t )} ; v = v (r, t ) → instacionárius v = v (r ) → stacionárius sebességtér i j k v × dr = 0 = v x v y v z = dx dy dz áramvonal v dr pályavonal nyomvonal v y ⋅ dz − v z ⋅ dy = 0  dx dy dz  v x ⋅ dz − v z ⋅ dx = 0  ⇒ = = vx v y vz  v x ⋅ dy − v y ⋅ dx = 0 áramcső gyorsulástér: a= dF = dv y dv

dv dv x = i+ j+ t k dt dt dt dt ∂F ∂F ∂F dt + dx +  = dt + (dr ⋅ D) F ∂t ∂x ∂t dF ∂F  dr  ∂F ∂F ∂F ∂F ∂F + vx + vy + vz + (v ⋅ ∇) F = = +  ⋅ ∇ F = dt dt ∂t ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t    v dv ∂v ∂v ∂v + D( v ) v + ( v  ∇) v = + ( v ⋅ D) v = =      dt ∂t v (∇⋅v )=( v∇ ) v ∂t ∂t  D( v ) D( v ) = v  ∇ sebességtenzor derivált tenzora Skaláregyenletek: 17 Áramlástan Előadásvázlat  ∂vx  ∂x  ∂v D( v ) = v  ∇ =  y  ∂x  ∂v  z  ∂x ∂vx ∂y ∂v y ∂y ∂vz ∂y ∂vx  ∂z   ∂v y  ∂z  ∂vz   ∂z  a derivált tenzor transzponáltja: DT ( v ) = ∇  v Mozgásfajták: sebesség tér: v = v (r, t ) rögzített időpontban: v ′ = v + dv = v + (dr ⋅ ∇) v dv = (dr ⋅ ∇) v = v (dr ⋅ ∇) = v (∇ ⋅ dr ) = ( v  ∇)dr = D ⋅ dr v = v + D ⋅ dr D= 1 1 (D

+ DT ) + (D − DT ) ; 2   2   szimm. D = v∇ ; DT = ∇  v antiszimm. 1 (D − DT ) ⋅ a = d × a) (a szimmetria tengely ilyen alakban felírható) 2 d vektortér (az antiszimmetrikus tengely ~a) a tetszőleges vektor d=? (∇ × ⋅v ) × a = (a ⋅ ∇) v − ∇( v ⋅ a) 1 1 1 1 1 (D − DT )a = ( v  ∇ − ∇  v)a = v (a ⋅ ∇) − ∇( v ⋅ a) = (rot v ) × a 2 2 2 2 2 . .  ( a⋅∇ ) v → d= 1 rot v 2 18 Áramlástan Előadásvázlat 1 1 (D − DT )a = rot v × a 2 2 tehát: 1 1 v ′ = v + (D − DT )dr + (D + DT )dr 2 2 így: 1 1 v = v + rot v × dr + (D + DT )dr 2 2 ↓ ↓ ↓ transzláció merev testszerű Kopás.  ∂v x  ∂x   1  ∂v y ∂v x  1  S = (D + DT ) =   + 2 2 ∂ x ∂ y     1  ∂v z ∂v x  +    ∂z   2  ∂x alakváltozás. 1  ∂v x ∂v y  + 2  ∂y ∂x ∂v y   

∂y 1  ∂v z ∂v y  + 2  ∂y ∂z    1  ∂v x ∂v z +  2  ∂z ∂x 1  ∂v y ∂v z  + 2  ∂z ∂y ∂v z ∂z          S : alakvált. sebesség tenzor főátlólineáris alakváltozás (nyúlás, összehúzódás) főátlón kívül: szögtorzulás S I = div v I. skalárinvariáns Örvényes áramlás: rot v ≠ 0 ; ω= 1 rot v 2 szögsebesség vektor/örvényvektor minden pontba ω × dr = 0 → Örvényvonal: dx ωx = dy ωy = dz ωz örvénycső A2 örvénycső Stokes-tétel egy örvénycső palástjára dA tv (A) ro palástban A1 19 rot v ⋅ dA = 0 Áramlástan Előadásvázlat Stokes tétel: ∫ rot v ⋅ dA = 0 = ∫ ( A) ∫ v ⋅ dr + ( L1 ) ∫ v ⋅ dr = 0 v ⋅ dr + ( L1 ) ∫ v ⋅ dr ( L2 ) ( L2 )  − ∫ v ⋅ dr ( L2 ) ∫ v ⋅ dr = ∫ v ⋅ dr = Γ ( L1 ) ( L2 ) Helmholz (1821-1894) első

örvénytétele örvénycső mentén a г cirkuláció konstans. Örvénymentes áramlás: rot v = 0 → ∫ rot v ⋅ dr = 0 = ∫ v ⋅ dr = 0 ( L1 + L2 ) ( A) B → ∫ B v ⋅ dr = A ( L1 ) → v ⋅ dr = dΦ ∫ A ( L2 ) B v ⋅ dr = ∫ dΦ = Φ ( B) − Φ ( A) A -totális differenciál dΦ = ∂Φ dx +  = (dr ⋅ ∇)Φ = grad Φ ⋅ dr ∂x v ⋅ dr = dΦ = grad Φ ⋅ dr ⇒ v = grad Φ vx = ∂Φ ; ∂x -sebességi potenciál vy = ∂Φ ; ∂y 20 vz = ∂Φ ∂z Áramlástan Előadásvázlat Térfogati integrál idő szerinti deriváltja Avagy, kapcsolat térfogati integrál rendszerhez kötött, ill. ellenőrző térfogaton értelmezett deriváltjai között. Tömeg,-energia megmaradás,-impulzus tétel, véges térfogatra történő felírásával, különböző mennyiségek térfogati integráljának szubsztanciális deriváltját kell kiszámítanunk. Adott: F (r, t ); v (r, t ) sebesség tér; Vt , At .rendszer térfogat/felület

rendszer: Vt .együttmozgó folyadéktérfogat (mindig ugyanazokat a folyadék részeket tartalmazza) At . együttmozgó folyadékfelszín ( Vt -t határolja) Vt , At . együttmozgó térfogatrendszer/felület→nehéz kezelni, célszerű térben és időben rögzített térfogatot és felületet használni. V Vt A t (t) A Vt (t) V A t (t+ t) V.ellenörző térfogat Vt (t+ t) A.ellenörző felület térben rögzített – nyitott rendszer (közeg-átáramlás) Levezetés nélkül: d ∂F F (r, t )dV = ∫ dV + ∫ F ( v ⋅ dA) ∫ dt (Vt ) ∂ t (V ) ( A) Gauss-tétel → ∫ F ( v ⋅ dA) = ∫ (F  v )dA = ∫ ( F  v)∇dV ( A) ( A) (V ) 21 (*) Áramlástan Előadásvázlat vektor (diadikus szorzás) F is lehet skalár (általános szorzás) ( F  v )∇ = F ( v ⋅ ∇) + F ( v ⋅ ∇) = ( v ⋅ ∇) F + F ⋅ div v Tehát: ∫ F ( v ⋅ dA) = ∫ ( v ⋅ ∇)F ⋅ dV + ∫ F ⋅ div v ⋅ dV ( A) (V ) (V ) dF ∂F = + ( v ⋅ ∇) F , dt ∂t

mivel, így d  − dF  + F ⋅ div v  dV FdV = ∫  ∫ dt dt (Vt )  (V )  (*) → (*) Kontinuitási egyenlet: (tömegmegmaradás) 0 d  ρdV =  ρdV ∫ dt (Vt ) (V∫t ) 0, ha a Vt térfogatban nincsenek források ∫ ρdV , ha a Vt térf.-ban vannak források (Vt ) (*) → F=ρ d  dρ  ρdV = ∫  + ρ ⋅ div v  dV = 0 ∫ dt (Vt ) dt  (V )  dρ + ρ ⋅ div v = 0 dt mivel V tetszőleges: ∂ρ dρ ∂ρ + ( v ⋅ ∇) ρ → + div( ρ ⋅ v ) = 0 = ∂t ∂t dt a kontinuitási egyenlet differenciális alakja Stacionárius esetben: A2 A palást 22 Áramlástan Előadásvázlat ∫ div( ρ ⋅ v)dV = 0 = ∫ ρ ⋅ v ⋅ dA div( ρ ⋅ v ) = 0 (V ) ( A) (A)= ( A1 ) + ( A2 ) + ( Apal . )  v⋅dA = 0 ∫ ρv ⋅ dA = ( A1 ) ∫ ρv ⋅ dA különböző irányítású dA vektorok. ( A2 ) dA és v hegyesszöget zárnak be. középérték tétel: ρ1v1 A1 = ρ 2 v2 A2 = m n n ρ ⋅ vn ⋅

A = const. = m (kg/s) ρ=áll. → Következmény: v n ⋅ A = áll. = Q = v1n ⋅ A1 = v 2 n ⋅ A2 legyen: F=ρf d  d ( ρf )  ρf ⋅ dV = ∫  + ρf ⋅ div v dV = ∫ dt dt (Vt )  (V )  = ∫ (V )    df df   dρ + f + ρ ⋅ div v  dV = ∫ ρ dV ρ dt dt (V )  ft  kontinuitás   d df ρf ⋅ dV = ∫ ρ dV ∫ dt (Vt ) dt (V ) Általános mozgásegyenlet: 23 (*) Áramlástan Előadásvázlat • F = ρv f erőtér; a folyadék valóságos; d ρvdV = ∫ ρf dV + ∫ FdA dt (V∫t ) (V ) ( A)  dv 1 F .feszültség tenzor  ∫  ρ − f − ρ div FdV = 0 ( )  dt V 1 dv = f + div F ρ dt V tetszőleges → Euler-féle mozgásegyenlet: a közeg súrlódás mentes → F = − pI ; div F = (− pI ) ⋅ ∇ = −∇p div F = − grad p 1 ∂v + ( v ⋅ ∇) v = f − grad p ρ ∂t így: (*) Euler I. komponens egyenletek: ∂v x ∂v ∂v ∂v 1

∂p + vx x + v y x + vz x = f x − ρ ∂x ∂t ∂x ∂y ∂z ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y 1 ∂p + vx + vy + vz = fy − ρ ∂y ∂t ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v z ∂v 1 ∂p + vx z + v y z + vz z = f z − ∂x ∂y ρ ∂z ∂t ∂z  v2  (rot v) × v = (∇ × v) × v = ( v ⋅ ∇) v − ∇( v ⋅ v) = ( v ⋅ ∇) v − ∇   2  v2  → ( v ⋅ ∇) v = ∇  + (rot v ) × v  2 (*) → v2 1 ∂v + rot v × v = f − grad − grad p 2 ρ ∂t Euler II. Speciális esetek: • barotróp közeg potenciálos erőtérben p  v2 dp  ∂v − v × rot v = − grad U + + ∫  2 p0 ρ  ∂t  24 Euler III. Áramlástan Előadásvázlat • örvénymentes áramlás, összenyomhatatlan közeg, potenciálos erőtér  ∂v v2 p  = − grad U + +  ∂t 2 ρ  • ha az áramlás még stacionárius is → mozgási energia integrálható U+ • v2 p + = const. (Bernoulli egyenlet) 2 ρ v

= 0 helyettesítéssel a hidrosztatika alapegyenlete f− 1 ρ grad p = 0 Bernoulli egyenlet: Daniel Bernoulli (1700-1782); svájci matematikus. Az Euler-féle mozgásegyenlet első integrálja. A) Örvénymentes egyenlet: p potenciális erőtér: f = −∇U ; barotróp közeg: ρ = ρ ( p ) ; P= ∫ dp p0 p  v2 dp  ∂v = −∇ U + + ∫ ; 2 p0 ρ  ∂t  ∇ p v2 dp  ∂Φ  + U + + ∫  = 0 2 p0 ρ  ∂t  ρ v = grad Φ ∂v ∂ ∂Φ = ∇Φ = ∇ ∂t ∂t ∂t v2 dp ∂Φ +U + + ∫ = k (t ) ∂t 2 p0 ρ p k(t).Bernoulli konstans; csak t-től függ Mindig egy adott időpontban írjuk fel, tehát k(t) tényleges konstansként kezelhető! 25 Áramlástan Előadásvázlat Speciális eset – stacionárius áramlás: p v2 dp U + +∫ = const.  ρ 2 helyzeti  p0  mozgési nyomási Ez a Bernoulli egyenlet energetikai jelenléte. • nehézségi erőtér, összenyomhatatlan közeg (U=97; P=p/ρ) v2 p + =

const. 2 ρ gz + • potenciális erőtér, stacionárius áramlás, izentropikus állapotváltozás. p ρ p P= ∫ p0 dp ρ = p 01 / κ ρ0 p ∫p p0 −1 / κ κ = p0 → κ ρ0 1 = ρ p 01 / κ ρ0 p −1 / κ κ −1  p 01 / κ  κκ−1 κ  p p0   p − p0 κ  =  −  ⋅ dp =   κ −1  ρ0   κ −1  ρ ρ0  κ p1 / κ ρ p ∫ Tehát: dp p0 ρ U+ Így: = p p  ⋅  − 0  κ −1  ρ ρ0  κ v2 p κ + ⋅ = const. 2 κ −1 ρ adiabatikus (izentropikus) hangsebesség: a2 = p p p dp p p = κ = κ0 ; p = κ0 ρ κ = κ0 κ ⋅ ρ κ −1 = κ dρ ρ ρ ρ0 ρ0 ρ0   p ρκ U+ B) v2 a2 + = const. 2 κ −1 Örvényes áramlás: potenciális erőtér, örvényes áramlás, barotrop közeg; Az Euler-féle mozgásegyenlet: 26 RT Áramlástan Előadásvázlat p  v2 dp  ∂v − v × rot v = − grad U + + ∫  2 p0 ρ  ∂t 

Integráljuk ezt az egyenletet egy áramvonal mentén: p 2 2  v2 dp  ∂v ( ) d r v rot v d r U − × = − ∇ + +  ∫1 ∂t ∫1  ∫1  2 p∫ ρ dr 0   0 , mivel 2 v és dr párhuzamos ∂v ∂v v 1 ∂v ∂v 1 ∂  v2  1 ∂v  ds = v ds = ds dr = ds = v ⋅ ds = v v ∂t v ∂t  2  ∂t v ∂t ∂t ∂t  v ∂v ds + U + ∫1 ∂t  2 2 2  p + ∫ p0 dp   ρ 2 =0 1 Csak ugyanazon áramvonal két pontja között írható fel. Speciális esetek: a) p v2 dp U+ +∫ = const. 2 p0 ρ formailag ugyanaz, mint az örvénymentes áramlásnál Lényeges különbség: örvénymentes áramlás: a Bernoulli konstans az egész áramlástérben azonos. (két ponttetszőleges) örvényes áramlás: a Bernoulli konstans minden áramvonalra más állandó (két pontegy áramvonal) b) U=gz; P=p/ρ (ρ=const.) 2  v2 p  ∂v + + ds gz ∫1 ∂t  2 + ρ  = 0 1 2 A Bernoulli

egyenlet néhány alkalmazása 27 Áramlástan Előadásvázlat 1. Testek párhuzamos áramlásban: K Pk 8 V Vk T áramkép megváltozik a sebesség és a nyomáseloszlás is. Súrlódásmentes Bernoulli egyenlet: v∞2 p K v K2 + = + ρ ρ 2 2 p∞ p K = p∞ + ρ (v 2 2 ∞ − v K2 ) ha v K > v∞ → p K < p ∞ p= p − p∞ ρ 2    2 vT = 0 → p T = p ∞ + torlópontban: (k=T) v 2 0 v = 1 −  K  v0 nyomástényező ρ 2 v∞2 a legnagyobb nyomás a felületen ρ p.statikus nyomás; 2 p+ v 2 dinamikus nyomás; ρ 2 v 2 összenyomás Szimmetrikus, áramvonalas test körüli súrlódásmentes szimmetrikus áramlás. (0 meghívási szög) → F=0 F 28 T S N Áramlástan Előadásvázlat nem szimmetrikus test: → p s < p N felhajtóerőrepülés Nem áramvonalas testek nagy meghívási szög → leválás 2. Prandtl-erő: Ludwig Prandtl (1875-1953) p A = p B hidrosztatika az U csőben lévő

v folyadékra. T H C z z=0 T- A p A = p + ρg ⋅ H + ρ ⋅ m ⋅ g ⋅ ∆h = p B = p ö + ρg ( H + ∆h) p ö − p = ( ρ m − ρ ) g∆h h B másrészt az előbb láttuk: m p ö = pT = p + ρ így: 2 v = 2g v 2 = ( ρ m − ρ ) g∆h ρm − ρ ∆h ρ -pontbeli sebesség mérésére. Impulzus tétel Newton II. axiómája: 29 ρ 2 v2 Áramlástan Előadásvázlat d ρv dV  = ∫ ρfdV + ∫ FdA dt (V∫t )  (A) (V ) impulzus (Vt ) −ben (Vt) és (V) a vizsgált időpontban egybeesik (F ≡ ρv ) A korábbiak alapján: d ∂ (ρv ) ρvdV = ∫ dV + ∫ ρv ( vdA) ∫ dt (Vt ) ∂t (V ) ( A) ∂ (ρv ) dV + ∫ ρv(v ⋅ dA ) = ∫ ρfdV − ∫ pdA + ∫ σdA ∂t (V ) ( A) (V ) ( A) ( A) ∫ így súrlódás mentes súrlódásos σsúrlódási feszültségi tenzor I F  = − p + σ fesz . tenzor súrl . fesz . tenzor Az impulzusnyomaték tétel az előzőhöz hasonló ∫ r× (V ) ∂ (ρv ) dV + ∫ ρ (r × v )(v ⋅ dA

) = ∫ ρ (r × f )dV − ∫ pr × dA + ∫ r × σdA ∂t ( A) (V ) ( A) ( A) r helyvektor, attól a ponttól mérve, amelyre a nyomatékot számítjuk. Alkalmazás: könyökcsőre ható erő stacionárius áramlás esetén. súrlódásmentes eset dA2 dA pa l 2 impulzus 2 2 tétel (V)-ben lévő folyadékra: 1 ∫ ρv(vdA ) = ∫ ρfdV − ∫ pdA v1 ( A) K dA1 K 1 30 (V ) ( A) Áramlástan Előadásvázlat ∫ ρv(v ⋅ dA ) = ∫ ( A) ρv(v ⋅ dA ) + ( A1 ) = v1 ∫ ∫ ρv(v ⋅ dA ) + ∫ ( A2 ) ρ ⋅ v 1 dA + v 2  <0   ( A1 ) ∫ ( Ap ) ρv( v ⋅ dA ) =  0 ρ v 2 dA = m (v 2 − v1 )  >0   ( A2 ) − m m P pal     − ∫ pdA = − ∫ pdA − ∫ pdA − ∫ pdA = P1 + P2 + P pal ( A) ( A1 ) ( A2 ) Ap           P1 −Rb P2 ↓ a könyök belső faláról a folyadékra ható erő ∫ ρfdV + P

m ( v 2 − v 1 ) = Így: 1 + P2 + P pal (*) (V )  G a környezet statikus egyensúlya (mintha (V) a környezeti közeggel lenne kitöltve) 0 = ∫ fρ K dV − (V )    GK ∫p K (*) dA ( A)    PK 1 + PK 2 + PKPal m (v 1 − v 2 ) = − ∫ (ρ − ρ K )fdV − (P1 − PK 1 ) − (P2 − PK 2 )− P pal + PKpal    (V ) (*)-()→ R R = m (v 1 − v 2 ) + −P +P −P ∫ (ρ − ρ )fdV + P   1 K (V )   felhajtóerővel csökkentett foly . súlya K1 2 K2 környezeti .nyomás feletti túnyomásból származó erö R = −P pal + PKpal = ∫ ( p − p K )dA = ∫ (ρ − ρ K )fdV − ∫ ( p − p K )dA − ∫ ( p − p K )dA + m (v1 − v 2 ) ( Apal ) ) A1 ) A2 ) (V (  (  paláston .lévő tú ln yomásból p − p K = p * túlnyomás

bevezetésével és Pi* = − ∫ p dA; * (i=1,2) ( Ai ) 31 Áramlástan Előadásvázlat R = m (v 1 − v 2 ) + G − G K + P1 + P2 1 . v2 -m R G - GK P1 - PK1 P2 - PK2 Az impulzus tétel előnye, hogy a folyadék és szilárd test köztikölcsönhatást akkor is megtudjuk határozni, ha az áramlást csak az ellenőrző felület azon a részein ismerjük, amely átáramlás van. (Egyébként a nyomás és nyírófeszültség meghatározása/és integrálása/ igen bonyolult lenne) Amennyiben az 1, és 2, keresztmetszetekben ismerjük a nyomást, akkor a levezetett összefüggés súrlódásos áramlása is érvényes. A Bernoulli egyenlet és impulzus tétel alkalmazásai 1. nagy méretű tartály (stacionárius) z 1 adott: p1 , p 2 , ρ , h, A2 h 1 v=? 2 2 x v A2 1–2Bernoulli 32 R x =? Áramlástan Előadásvázlat gh + p1 ρ = p2 ρ + v2 2 p − p2  v = 2 gh + 1 ρ     p1 = p 2 = p 0 → v = 2 gh

  ha nyitott tartály: Torricelli képlet szabadesés Impulzus tétel: R = m (v 1 − v 2 ) + G − G K + P1 − PK1 + P2 − PK 2      /i 0 p − p2  R x = − m v = − ρA2 ⋅ v 2 = −2 ρA2  gh + 1 ρ     a kiáramlás irányával ellentétes Az a kifolyó folyadéksugár keresztmetszete!!! 2. Berda-Canot veszteség: 2 2 v1 1 2 v2 2 1 1 1 ρ ≅ const. leváló örvények → energiacsökkenés → p 2 < p 2id Bernoulli egyenletből: p 2id = p1 + imp. tétel(x): ρ 2 (v 2 1 − v 22 ) m (v 2 − v1 ) = A2 p1 − A2 p 2 33 (1) (2) Áramlástan Előadásvázlat m = ρA1 ⋅ v1 = ρA2 ⋅ v 2 kontinuitás: (3) (2),(3) → ρA2 ⋅ v 2 (v 2 − v1 ) = A2 ( p1 − p 2 )    m p 2 = p1 + ρv 2 (v1 − v 2 ) ∆p ′ = p 2id (1)-(4) → (4)      2  2 2 2   v v v v − + 2 2 − p2 = ρ  1 − v 2 (v1 − v 2 ) = ρ  1 − v1v 2

  2   2    v22 − v v1   1   (v1 − v2 )2 2   ∆p ′ = ρ 2 (v1 − v2 )2 Ferde falnak ütköző szabadsugár 3. v adott: A0 , v0 , ρ , α s 1 1 A 0 y 1 Rn , A1 , A2 = ? v x 0 n A p1 = p = p 0 → v1 = v 2 = v0 = v (a veszteségektől eltekintve) A 2 2 v 2 impulzus tétel: ∫ ρv(v ⋅ dA ) = ∫ ρf ⋅ dV − ∫ pdA ( A) (V ) )  ( A   ≈0 34 Áramlástan Előadásvázlat * * − m v 0 + m 1 v1 + m 2 v 2 = G + P0* + P + P * + P pal  1 2  0 0 −R 0 mivel, p1 = p 2 = p 0 R = m v 0 − m 1 v 1 − m 2 v 2 (1) m = m 1 + m 2 (2) kontinuitás: ρA0 ⋅ v0 = ρA1 ⋅ v0 + ρA2 ⋅ v0 → A0 = A1 + A2 (v1 = v 2 = v0 ) (2a) (1)→ e r = sin α i − cos α j Rn = R = − ρA0 v 2⋅ i (sin α i − cos α j) = ρA0 v 2 sin α R = ρA0 v 2 sin α a felületre merőleges (súrlódásmentes) (1)→ e

s = cos α i + sin α j 0 = ρA0 ⋅ v 2 i (cos α i + sin α j) − ρA1v 2 + ρA2 v 2 súrl mentes A0 cos α = A1 − A2 (3) A0 = A1 + A2 (2a) (2a ) − (3) → 2 4. A1 = 1 + cos α A0 2 A2 = 1 − cos α A0 2 Folyadéksugár által az elterelő lemezre ható erő 35 / ρv 2 Áramlástan Előadásvázlat y A v x 1 p o 2 v súrlódásmentes folyadék; v1 = v 2 = v Adott: v, ρ , Θ = 180° − β ; R = ? ,Θ A  sugár ker metszete stac. imptétel: ∫ ρv(vdA ) = ∫ ρfdV − ∫ pdA ( A) m (v 2 − v1 ) = (V ) (A ∫ ρfdV + P + P + P * 1 (V ) 0 * 2 0 * pal −R R = m (v1 − v 2 ) = ρAv 2 [i − (− cos β i − sin β j)] R = ρAv 2 [( A + cos β )i + sin β j] ; 3. A folyadékoszlop lengése: 36 R x = ρAv 2 (1 + cos β ) R y = ρAv 2 sin β Áramlástan Előadásvázlat 2 2y 1 súrlódásmentes L hossz 2  ∂v p v2  + + ds gz ∫1 ∂t  ρ + 2  = 0 1 2 nyitott erő → p1 = p 2 = p

0 y(t) kitérés; v(t).sebesség mivel állandó keresztmetszetű a cső → V1 = V2 = V dV d 2 y ∂V =a= = dt ∂t dt d2y L 2 + 2g ⋅ y = 0 dt 2g y + y=0 L  2g  2g t t  + B cos y = A sin  L  L  Kezdeti feltétel: t = 0: y = h → B = h y = v=0 → A=0 y = h ⋅ cos 2g t L Harmónikus lengőmozgás: 2g T = 2π L 37 Áramlástan Előadásvázlat L 2g T= súrlódásos áramlás→ lengésidő; állandó amplitúdó csökkenő amplitúdó; megáll y súrlódásmentes t T Síkbeli potenciális áramlás Síkbeli áramlás: – kiválaszthatók olyan egymással párhuzamos síkok, amelyen az áramképek egybevágóak. Ilyenkor elég az áramlást egyetlen síkon vizsgálni Tekintsünk stacionárius 2D áramlást! Legyen: v = v x ( x, y ) i + v y ( x, y ) j örvénymentes áramlás: rot v = 0 ⇒ összenyomhatatlan folyadék: div v = 0 ⇒ (1) → Φ seb. pot fgv; vx = (2) → Ψ áramfgv. vx ∂Φ ; ∂x ∂Ψ ; ∂y ∂v y

∂v x =0 ∂y (1) ∂v x ∂v y + =0 ∂x ∂y (2) ∂x − vy = ∂Φ ( 2 ) → ∇ 2Φ = 0 ∂y vy = − 38 ∂Ψ (1) → ∇ 2Ψ = 0 ∂x harmadfokú fgv. harmadfokú fgv. Áramlástan Előadásvázlat Így állnak a Cauchy-Riemann egyenletek: (v x =) ∂Φ ∂Ψ = ∂x ∂y így Φ,Ψ segítségével definiálható egy és ∂Φ ∂Ψ =− ∂y ∂x (= v y ) reguláris komplex függvény, amelyet komplex potenciálfüggvénynek fogunk hívni: W( z ) = Φ ( x, y ) + iΨ ( x, y ) ahol: z=x+iy : komplex helyvektor; i = −1 : képzetes egység     dW ∂W 1 ∂Φ ∂Ψ  ∂W ∂Φ ∂Ψ = v x − iv y = v +i = = +i = = ∂y  ∂y dz ∂x ∂ (iy ) i   ∂x ∂x      iránytól vx vy −i  v vx   y független dW = v = v x − iv y dz konjugált komplex sebesség. Bármely reguláris komplex függvénynek megfeleltethető egy (összenyomhatatlan közeg) örvénymentes síkbeli áramlás.

Áramvonal: ψ(x,y)=const. ∂ψ ∂ψ dx + dy = 0 ∂x ∂y dy ψ x vy (=tgα) = − = dx dv ψ y vx dψ = valóban áramvonal 39 Áramlástan Előadásvázlat Potanciál nívóvonal: Ф(x,y)=const dФ= Φx dx+ Φ y dy=0 Φx v 1 =− x =− ortogonális trajektóriák dy Φx vy dx dv -áramvonalon nincs átáramlás ⇒ 2 áramvonal között a térfogatokban minden keresztmetszetben azonos → v= v x j+ v y j dy dx pot =− felbontható v n és vt -re 40 Áramlástan Előadásvázlat B Q= ∫ vn ds = vn = v x sin α − v y cos α B α ds = ∫ v x sin     A ∂Ψ ∂y A dy B ∫ v y A − ∂Ψ ∂x ∂ψ ∂ψ cos α ds = ∫ ( dx + dy ) =    ∂x ∂y B dx A B = ∫ dψ = ψ B − ψ A A B Q= ∫ v n ds = ψ B − ψ A A Térfogatáram = az áramfüggvény értékeinek különbsége a két áramvonalon. Alapáramlások: 1, Párhuzamos áramlás komplex potenciál W(z) W(z)= v∞ e − iα z dW v= = v∞ e

− iα dz v= v∞ e iα áramvonalon: Φ ( x, y ) ψ ( x, y )       W= v∞ (cosα – i sinα)(x + i y) = v∞ ( x cos α + y sin α ) + i ( y cos α − x sin α )v∞ ψ(x,y) = v∞ (y cosα – x sinα) = К Κ y = x tgα + egyenes sereg v∞ cos α belátható , hogy a Ф = áll. görbék ezen görbékre merőleges egyenes sereg 41 Áramlástan Előadásvázlat 2, Forrás: Q ln z 2π dW Q 1 Q − iϕ v= = = e dz 2π z 2r Q iϕ v= e 2πr W(z) = W(z) = Q Q Q Q ln(r eiϕ ) = ϕ (ln r + ln e iϕ ) = ln r + i  2π 2π 2π 2π iϕ   ψ Φ Áramvonal: ψ= y Q 2πΚ = ϕ = К → arctg x 2π Q y ∕ tg arctg x y 2πΚ = tg x Q 2πΚ y = x tg origón átmenő sugárban Q ( áramvonal ) potenciál nívóvonal: Ф = const. Ф= ln x 2 + y 2 = 2πΚ Q Q ln r = К 2π ∕ e . 42 Áramlástan Előadásvázlat x 2 + y 2 = exp( 2πΚ ) Q 4πΚ ) körszelet (origó középponttal) Q ∂Φ 1 ∂Φ Q

iϕ Q er + ln r ; v = ∇Φ = Ф= eϕ = e  2πr ∂r iϕ r  2π ∂ϕ  x 2 + y 2 = exp( Q 2π e 0 Q ; vϕ = 0 sugár irányú sebességek 2πr Q > 0 forrás . áramlás az origóból kifelé Q < 0 nyelő áramlás az origó felé vr = 3, Potenciálos örvény: forgószél, tornádó, a részecskék forgó mozgást végeznek, de ω = 0 ( nem forognak )! iΓ W(z) = ln z 2π v= iϕ π dW iΓ 1 z = reπ Γi Γ − i (ϕ − 2 ) = = = = e i dz 2π z i = e 2 2πre iϕ 2πr v= Γ i (ϕ − 2 ) e 2πr π W= iΓ iΓ Γ Γ ln(re iϕ ) = (ln r + iϕ ) = − ϕ + i ln r 2π 2π 2π 2π   Φ ψ= ψ 4π Γ Γ ln r = ln x 2 + y 2 = k → x 2 + y 2 = exp( k ) kör. Γ 2π 2π Nívóvonalφ = constsugárral ⇒ szerepcsere a forráshoz képest 43 Áramlástan Előadásvázlat Ф=- Γ ∂Φ 1 ∂Φ Γ ϕ ; v = ∇Φ ; v r = = 0 ; vϕ = =− r ∂ϕ 2πr ∂r 2π 4, Dipólus: a → 0 és Q → ∞ úgy, hogy lim aQ = véges érték = Mπ M.dipólus

erőssége a →0 Q →∞ W(z) = M z M = lim a →0 Q →∞ Qa π π v= dW M M M − 2 i (ϕ − 2 ) = − 2 = − 2 2 iϕ = 2 e dz z r e r iπ /-1 = e / π M 2 i (ϕ − 2 ) v= 2 e r W= M x − iy x − iy Mx My = Ф+iψ =M 2 = 2 −i 2 2 2 x + iy x − iy x +y x +y x + y2 ψ(x,y) = - My =Κ x + y2 2 → x2 + y2 + x2 + ( y + M 2 M2 ) = 2Κ 4Κ 2 К( x 2 + y 2 )+My = 0 M y=0 Κ origón átmenő körök, középpontok az y tengely mentén 44 Áramlástan Előadásvázlat φ → 2φ-π (visszafordítás) Elemi áramlások összegzése ( szuperpozíció ): Dipólus párhuzamos áramlásban: W(z) = v∞ z + M z v = v ∞x − M z2 W= M x − iy x − iy v∞x ( x + iy ) + = v∞x ( x + iy ) + M 2 = x + iy x − iy x + y2 Ф+iψ M ψ (x,y) = y( v∞x − 2 )=0 x + y2 45 Áramlástan Előadásvázlat 〈 M M = 0→ x 2 + y 2 = = R 2 .kör v ∞x x2 + y2 y = 0.egyenews v ∞x − M ; M = v ∞x R 2 v ∞x így, R2 W(z) = v∞x ( z + ) z dW R2 v= =

v∞x (1 − 2 ) dz z R= torló pontok: z=±R Sebesség a kör kerületén: zkör = Reiϕ R2 − 2 iϕ ϕ + i sin ϕ ) = 2v∞x sin ϕ (sin ϕ + i cos ϕ ) = 2 −cos v kör = v∞x (1 − 2 2iϕ ) = v∞x (1 − e ) = v∞x (1  2 R e 2 2 sin ϕ cos ϕ 2 sin ϕ = 2v∞x sin ϕ i (cos ϕ − i sin ϕ ) v kör = 2v∞x sin ϕ e π − i (ϕ − ) 2 π i (ϕ − ) 2 v kör = 2v∞x sin ϕ e szimmetrikus áramlás → nincs felhajtóerő D’Alambert féle paradoxon W(z)= v∞x (r +  R2 R 2 ( x + iy )  R2 R2 v x iv y ) = v∞x  x + iy + 2 ( 1 ( 1 ) = + + − ∞x  ∞x  z x + y2  r2) r2 r cos ϕ   Φ 2 R ) cosφ ; v = ∇Φ r2 ∂Φ R2 = v∞x (1 − 2 ) cos ϕ v r = vr ( r , ϕ ) = ∂r r Ф = v ∞x ( r + 46 Áramlástan Előadásvázlat vϕ = vϕ (r , ϕ ) = 1 ∂Φ R2 = −v∞x (1 + 2 ) sin ϕ r ∂ϕ r felületen: vr ( R, ϕ ) = 0 érintőleges vϕ ( R, ϕ ) = −2v∞ sin ϕ Kör körüli

cirkulációs áramlás: R2 iΓ )+ ln z z 2π R2 iΓ v = v∞x (1 − 2 ) + 2πz z W = v ∞x ( z + torlópontok: v( zT )=0 R2 iΓ ∕ zT2 =0 v∞x (1 − 2 ) + 2πzT zT iΓ v∞x zT2 + zT − vℵx R 2 = 0 2π zT = − iΓ Γ 2 ± −( ) + R2 4πv∞x 4πv∞x 47 Áramlástan Előadásvázlat Γ < R két a kör kerületén → 4πv∞x Γ = R egy a kör kerületén → b, 4πv∞x Γ c, > R két torlópont képz. tengelye → 4πv∞x (képzetes) a, u.i a, és b, esetben zT2 = z + zT = (− =( Γ 2 Γ 2 iΓ iΓ ± −( ± −( ) + R 2 )( ) + R2 = 4πv∞x 4πv∞x 4πv∞x 4πv∞x  Γ 2  Γ 2 ) + − ( ) + R 2  = R 2 = zT2 4πv∞x  4πv∞x  Sebesség a kör kerületén: zkör = Reiϕ v kör = v∞x (1 − e −i 2ϕ π Γ − i (ϕ − 2 ) i Γ − iϕ )+ e = v∞x (1 − cos 2ϕ + i sin 2ϕ ) + e   2πr 2πR π 2 v∞x sin ϕe v kör = (2v∞ sin ϕ + π Γ − i (ϕ − 2 ) )e 2πR ; −i (ϕ −

Γ 2πR nem szimmetrikusáramlás 48 ) v kör = (2v∞ sin ϕ + v kör = 2v∞ sin ϕ + a henger felett nagyobb a sebesség mint alatta a henger felett kisebb a nyomás mint alatta F f = ρΓv∞ [N∕m] ⇒ felhajtóerő 2 π Γ i (ϕ − 2 ) )e 2πr Áramlástan Előadásvázlat Ha megfúvási szög van,akkor Γ 2πR F f = ρΓv∞ v kör = 2v∞ sin(ϕ − α ) + felhajtóerő: v ∞ -re ┴ Konform leképzés Riemann: Minden egyenesen összefüggő tartomány egy alkalmasan választott reguláris komplex függvénnyel körre leképezhető. Konformis leképezés : szög- és aránytartó leképezés. A leképezés geometriai oldala : kör → kívánt profil Fizikai leképezés : a két sík egymásnak megfelelő pontjaiban a komplex pot. azonos → áramvonal → áramvonal → elemi pot. vonal → elemi pot vonal 49 Áramlástan Előadásvázlat ζ síkon W ∗ (ζ ) = W [h(ζ )] = Φ ∗ (ξ ,η ) + iψ ∗ (ξ ,η ) dW ∗ dW dz dW 1 = = ⇒ dζ dz dζ

dz f ( z ) v (ζ ) = v( z ) f ( z) A leképezés szinguláris pontja ott van , ahol f (z ) = 0 ; f (z ) = ∞ v(ζ ) = v( z ) és 1 f ( z) A z síkon ismert a kör körüli cirkulációs áramlás v(z) sebességtere, amiből a ς sík megfelelő pontjaiban a w(ς) sebesség meghatározható, amennyiben f(z) leképző függvényt ismerjük. Olyan leképző függvényt célszerű választani , amelynek a végtelenben a z szerinti deriváltja egységnyi ; így a két síkon a ∞ -beli sebesség arányos. Zsukovszkij-féle leképezés: lim f ( z ) = 1 z ∞ f ( z) = z + a 2a a1 a1 + 2 +  → f ( z ) = 1 − 12 − 32  z z z z A Zsukovszkij-féle leképezés: a2 ζ = f ( z) = z + 3 −  z f ( z) = dζ a2 = 1− 2 dz z 50 Áramlástan Előadásvázlat szinguláris pontok: z= ± a ; illetve a ς – síkon a ς = ± 2a ζ = z+ a2 a2 x − iy = x + iy + = x + iy + a 2 2 z x + iy x + y2 a2x ξ = x+ 2 x + y2 ; 51 a2 y η = y− 2 x + y2

Áramlástan Előadásvázlat Kutta- Zsukovszkij feltétel : A sima leáramlás feltétele: f ( z = a ) = 0 → v( z = 0 ) = 0 legyen (Г célszerű választása) 0 legyen v(ζ ) =    belátható, hogy véges határérték 0 v kör = 2v∞ sin(ϕ − α ) Γ → Γ = 4 Rπv∞ sin(α + β ) 2πR ahol R = (a + c) 2 + b 2 52 Áramlástan Előadásvázlat v kör (φ = -β) =0 → 0 = 2 v∞ sin (-β – α ) + Γ 2πR → ahol Γ = 4Rπv∞ sin( α + β ) Felhajtóerő: Ff = ρ v∞ Γ = 4 πρv2∞ R sin( α + β ) Zsukovszkij- profilnál: L ≈ 4R → Ff ≈ L π ρ v2∞ sin ( α+ β ) [N/m] Ez az erő nagy fizikai jelentősséggel bír ; ez az alapja ugyanis a repülőgépek szárnyprofil kialakításainak( felszállás / leszállás). Felhajtóerő tényező : Cf = Ff ρ 2 ≅ 2π sin( α +β) 2 v∞ L (itt Ff az egységnyi szélességű szárnyszelvényre ható erő) Példa a konform leképzésre : Síklap menti áramlás Példa:

p∞ , v∞ , L , α , ρ; sima leáramlás teljesül vlap = ? plap = ? Δp = pA - pB Ff / b= ? . egységnyi szelvényű felületre ható erő 53 Áramlástan Előadásvázlat Zsukovszkij-féle leképzés : ζ = f(z)= z + a2 a2 a 2 ( x − iy ) =ξ + iη = + + = + x iy x iy x + iy z2 x2 + y2 a2 a2 ξ = x(1 + 2 ) ; η = y (1 − 2 ) x + y2 x + y2 ha az x2+y2 = a2 kört képezzük le , akkor a leképző függvény ξ = 2x és η = 0 adódik ( geometriai leképzés) kör körüli cirkulációs áramlás: Γ  -i(φ-π/2)  e v ( z kör ) = 2v∞ sin(α − β ) + 2 Rπ   Fizikai leképzés : W*( ζ ) = W.(z) dW dW * dζ 1 = → v(ζ ) = v( z ) dz dζ dz f ( z)    v( z ) v( z ) v (ζ ) 54 Áramlástan Előadásvázlat dζ a2 = f ( z) = 1 − 2 dz z tehát a leképezés szinguláris pontjai: z = ± a ; és z = 0 z kör = a e i φ f’ (z kör)=1- 1 e 2 iϕ = 1- e −2iϕ = 1 − cos 2ϕ + i sin 2ϕ =2sin φ(sin φ + i cos φ) =

  2 sin 2 ϕ 2 sin ϕ cos ϕ = 2 sin ϕ i (cos ϕ − i sin ϕ ) = 2sin φ e-i(φ-π/2)  iπ / 2 e Sima leáramlás : e − iϕ v kör(φ = 0) = 0 2v∞sin (-α) + Γ =0 2 Rπ Γ = 2v∞sinα 2 Rπ → v kör = 2v ∞[sin(φ -α) + sin α] e −i (ϕ −π / 2 ) v lap = → v kör 2v [sin (ϕ − α ) + sin α ]e − i (ϕ −π / 2 ) = ∞ f ( z kör ) 2 sin ϕe −i (ϕ −π / 2 ) v lap (ϕ ) = v∞ sin (ϕ − α ) + sin α = vlap (ϕ ) sin ϕ ahol: φ ≠ 0, π Mert a φ = 0, π a leképzés szinguláris pontjai ! 55 Áramlástan Előadásvázlat sin (ϕ − α ) + sin α  0  cos(ϕ − α ) = v∞ cos = v∞ =   = v∞ lim ϕ 0 ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 lim vlap = v∞ lim lim vlap (ϕ ) = v∞ cos α tehát : –sima leáramlás esetén ϕ 0 φ 0<φ<π π < φ< π + 2α π+2 α<φ<2π sin( φ - α) + sin α sin φ >0 >0 >0 <0 <0 vlap (ϕ ) = v∞ →

<0 sin (ϕ − α ) + sin α sin ϕ v lap >0 <0 >0 ahol: φ ≠ 0, π vlap (ϕ ) = v∞ cos α φ =π A Bernoulli – egyenlet : 2 plap vlap v∞ + = + 2 2 ρ ρ p∞ plap = p ∞ + (v 2 ρ 2 ∞ − vlap 2 2 )   sin (ϕ − α ) + sin α  2  plap (ϕ ) = p ∞ + v∞ 1 −    2 sin ϕ     ρ 2 2    π    sin  − − α  + sin α    π ρ 2    2     plap (ϕ A ) = plap  ϕ = −  = p ∞ + v∞ 1 − 2 2  π      sin  −        2    56 Áramlástan Előadásvázlat  plap (ϕ B ) = plap  ϕ  ∆p = 2   π    sin  − α  + sin α    π ρ 2    2    =  = P∞ + V∞ 1 − 2 2 π      sin        2    ρ   π  π  π

π 2 v∞ sin 2  − α  + sin 2 α + 2 sin α sin  − α  − sin 2  + α  − sin 2 α + 2 sin α sin  + α  2   2  2  2 2  sin(π/2-α ) = cos α ; sin(π/2+α) = cos α ahol : ∆p =  2 v∞ cos 2 α + sin 2 α + 2sin α cos α − cos 2 α − sin 2 α + 2 sin α cos α    2 sin 2α   ρ ∆p = ρv∞ sin 2α = p A − p B 2 A felhajtóerő : Ff = ρ Γ v∞ =ρ 4 R π sin α v∞2 = ρ L π sin α v∞2 [N/m] L Ff = ρ L π sin α v∞2 [N/m] Navier – Stokes – féle mozgásegyenlet : Sir Gabriel Stokes (1819 - 1903) brit matematikus, fizikus L. M Navier (1785 - 1836) Eddig : súrlódásmentes folyadék – a felületi erők merőlegesek a felületre(nincs tangenciális komponens )! Valóság : ellenállás a véges sebességű alakváltozással szemben folyadék súrlódás( -nak nevezzük) Fal menti áramlás: 57 Áramlástan Előadásvázlat vx = vx (y) ; vy

= vz = 0 v│fal = 0 A faltól távolodva először rohamosan nő a sebesség , később egyre kisebb mértékben. Ahol erőteljesen változik sebesség, ott nagy az alakváltozás sebessége → jelentős súrlódási ellenállás. Ennek mértékéül a nyírófeszültségek szolgálnak Tekintsük egy síkfal menti AD lamináris áramlást (a folyadékrészecskék ugyanabban a rétegben maradnak a mozgásuk során.) Mint láttuk – a súrlódási törvény ; Newton (1643 - 1727) A Newton - féle súrlódási törvény τ = τ xy = η dv x dv y Newtoni folyadék : amely eleget tesz a fenti összefüggéseknek τ = τ (T) η dinamikai viszkozitási tényező υ= η kinematikai viszkozitási tényező [m/s] ρ 58 Áramlástan Előadásvázlat Newtoni súrlódási törvény kiterjesztése térbeli (3 D) esetre: G.G Stokes (1819-1903) (Novier: 1827 ρ=állandó eset; Stokes: 1845 ρ≠állandó) A rugalmasságtanhoz analóg módon ( ~ Hook törvény) Stokes-féle

viszkozitási törvény: ∂v τ xy =τ yx =η ( ∂v x + y ) ∂y ∂x (1) τ xz =τ zx =η ( ∂v x + ∂v z ) ∂z τ yz =τ zy =η ( ∂v y ∂z (2) ∂x + ∂v z ) ∂y (3) Normális irányú feszültségek ( Hook analógia ) Stokes-féle viszkozitási törvény σx=2η σy=2η σz=2η ∂v x ∂v ∂v + η’( x + y ∂x ∂x ∂y + ∂v z ) ∂z (4) ∂v x ∂v y + ∂x ∂y + ∂v z ) ∂z (5) ∂v ∂v ∂v z + η’( x + y ∂z ∂x ∂y + ∂v z ) ∂z (6) ∂v y ∂y + η’( η’. második viszkozitási tényező 59 Áramlástan Előadásvázlat p def.: p= - Fxx + Fyy + Fzz 3 viszont: −p F= -pI + σ= 0 0 σ x τ xy τ xz σx − p τ xy τ xz − p 0 + τ yx σ y τ yz = τ yx σy − p τ yz 0 −p τ zx τ zy σ z τ zx τ zy σz − p 0 0 F első skalárinvariánsa ( főátlóban lévő elemek összege): Fxx + Fyy + Fzz = -3p= σx + σy + σz - 3p → σx + σy + σz= 0 (4) + (5) + (6) → σx + σy + σz = 2η ( ∂v x ∂x

+ ∂v y ∂y + ∂v ∂v z ) + 3η ’ ( x ∂z ∂x + ∂v y így 2 η ’=- η 3 így a súrlódási tenzor: σ=2 η S- 2 η div v I 3 ahol: S= 1 ( v  ∇ + ∇  v) . alakváltozási sebesség tenzor 2 Feszültségtenzor: F=-pI+σ F=-pI + 2 η S - 2 η div v 3 Stokes-féle viszkozitási törvény Az általános mozgásegyenlet: dv 1 = f + div F dt δ η =állandó feltevéssel: 60 (7) ∂y + ∂v z )= 0 ∂z Áramlástan Előadásvázlat 2 div F=- ∇p + 2η div S − η grad (div v ) 3 1 1 div S= ( v  ∇ + ∇  v) ∇ = [ ∇ v+ ∇ ( ∇ v)] 2 2 ∆ = ∇ * ∇ . Laplace operátor így 2 div F=- ∇p + η∆v + η (1 − ) grad (div v ) 3 így (7): dv υ 1 = f + ∇p + υ∇v + grad (div v ) dt 3 δ a Navier- Stokes egyenlet. Másodrendő parciális differenciál egyenlet (PDE) (Euler elsőrendű volt) mindkét egyenlet nem lineáris. dv ∂v =  + ( v∇ ) v dt ∂t a turbulens áram leírására is alkalmas ρ = állandó → div v =

0 (const. egyenlet) ha → ∂v 1 + (v∇)v = f − ∇p + υ∆v ∂t ρ részletesebben: x, y ,z koordináta rendszerben: ∂v x ∂v x + vx ∂t ∂x + vy ∂v y ∂v x + vx ∂x ∂t + vy ∂v z ∂t + vy + vx ∂v z ∂x 1 ∂p ∂v x ∂ 2v ∂v x = fx + υ ( 2x + vz ρ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂v y ∂y ∂v z ∂y + vz + vz ∂v y ∂z = fy - + ∂ 2v 1 ∂p + υ ( 2y ρ ∂y ∂x 1 ∂p ∂ 2v ∂v z = fz + υ ( 2z ρ ∂z ∂z ∂x 61 ∂ 2vx ∂y 2 + + υ ∂ ∂v x ∂ 2vx )+ ( 3 ∂x ∂x ∂z 2 + ∂ 2v y ∂y 2 ∂ 2vz ∂y 2 + + ∂ 2v y ∂z 2 )+ + ∂v y ∂y + ∂v z ) ∂z υ ∂ ∂v x ∂v y ∂v z ( ) + + 3 ∂y ∂y ∂x υ ∂ ∂v x ∂ 2vz )+ ( 2 3 ∂z ∂x ∂z + ∂v y ∂y ∂z + ∂v z ) ∂z Áramlástan Előadásvázlat peremfeltétel: v fal= 0 (illetve a fal sebességgel mozog a fallal érintkező folyadék részecske) Navier- Stokes egyenlet zárt alakú néhány esetbe. 1 ∂v = f − ∇p ρ ∂t

Navier- Stokes zárt mentes eset: υ = 0 → v = 0 hidrosztatika: 0 = f − 1 ρ (Euler féle mozgás egyelnet) ∇p Energia egyenlet A termodinamika I. főtétele mozgó zárt rendszerre ( Ugyanazok a folyadékrészek vannak benne) dE Q − W = dt • dQ . a rendszerbe időegységalatt bevezetett hő (<0, ha leadtott hő) Q = dt • dW . a rendszer által a környezetén időegység alatt végzett munka W = dt • E= ∫ ρedV . energia; Vt együtmozgó térfogat; V ellenőrző térfogat (Vt ) • dE ∂ = ρedV + ∫ ρevdA . E szubsztanciális deriváltja dt ∂t (V∫) ( A) • • v2 e = u + gz + fajlagos energia 2 u . belső energia • gz . potenciális energia • v2 . kinetikus energia 2 Itt V az ellenőrző (fix) térfogat, A az ellenőrző felület, így: 62 Áramlástan Előadásvázlat v2 v2 ∂ Q − W = ρ ( u + + gz ) dV + ρ ( u + + gz ) vdA ∫ ∂t (V∫) 2 2 ( A) (*) W két részre bontható: W=Wt+Wp • • Wp

- az áramló közegnek a nyomás révén a környezeten végzett munka –ÁTTOLÁSI MUNKA Wt tengelyen - bevezetett vagy kivett munka (Wt=-Wtechnikai) Turbina: - energiakivétel, Wt > 0 a rendszer végez munkát (pl.: turbina lapáton) Szivattyú, kompresszor: -energia bevitel Wt < 0 a gép végez munkát a rendszeren ( a rendszer negatív munkavégzése) (Wt minden bevezetett vagy elvitt munka, ami nem tartozik Wp- hez) ( pl.:a veszteségi erők munkája is) kilépés: a környezetre ható erő: p2 A 2= F 2 Az A2 felület ∆ t idő alatt ∆ s 2= v 2 ∆ t elmozdulást végez. A kilépésnél a környezeten ∆t alatt végzett munka: ∆W p 2 = F2 ∆s 2 = p2 v 2 A 2 ∆t ∆W p 2 W p 2 = = p2 v 2 A 2 ∆t belépés: a környezetre ható erő: p1 A 1= F 1 Az A1 felület ∆ t idő alatt ∆ s 1= v1 ∆ t elmozdulást végez. 63 Áramlástan Előadásvázlat A belépésnél a környezeten ∆t alatt végzett munka: ∆W 1 = F1∆s1 = p1 v1 A1∆t W p1 = ∆W p1

∆t = p1 v1 A1 <0 a környezet végez munkát a  rendszeren a belépésnél ( v1 A 1<0) Mivel az ellenőrző felület 1 és 2-es keresztmetszetétől eltérő helyein (palástAp) nincs átáramlás , így és mivel: (A)=(A1)+(A2)+(Ap) pvdA = 0 ; így: W p = lim ∆t →0 ∆W p ∆t = ∫ pvdA = ∫ ( A) ( A) p ρ ρvdA Ahol, A a teljes mozgó V(t) térfogat A(t) határoló felületét jelenti; ∆t → 0 esetben ez az (A1), (A2) és (Apalást) felületeket tartalmazza. (*) energiaegyenletek: Q − W t − ∫ ( A) p ρ ρvdA = v2 v2 ∂ ρ ρ + + + + + gz ) vdA ( ) ( u gz dV u ∫( A) ∂t (V∫) 2 2 v2 p v2 ∂ ρ ρ Q − W t = ( u + + gz ) dV + ( u + + + gz ) vdA ∫ ρ 2 ∂t (V∫) 2 ( A) h=u+ p ρ . fajlagos entalpia v2 v2 ∂ ρ ( + + ) + ρ ( + + gz ) vdA energiaegyenlet Q − W t = u gz dV h ∫( A) ∂t (V∫) 2 2 A rendszerbe bevezetett hő illetve a rendszeren végzett időegység alatti munka egyrészt a

rendszerben lévő közeg energiájának időbeli változását, valamint a rendszerhatárokon átáramló közeg energiaváltozását okozza. Stacionárius energiaegyenlet : Q − W t = v2 ∫ ρ (h + 2 + gz ) vdA ( A) 64 Áramlástan Előadásvázlat Itt a tartomány belsejében lévő „dolgokkal” nem kell foglalkoznunk, elég a tartomány be és kilépő részein lévő jellemzőket vizsgálni. Példa: kJ ) fajlagos kg entalpiájú túlhevített gőz érkezik. A turbinát elhagyó gőz p2( 101 kPa ) nyomású és T2 ( m kJ 100 ° C ) hőmérsékletű, h2( 2676 ) fajlagos entalpiájú. A gáz belső sebessége v1( 15 ), s kg m kilépő sebessége v2( 60 ). A turbina be és kilépő pontja közötti szintkülönbség s kJ ), a gáz tömegárama elhanyagolható. A turbinafalon fellépő hőveszteség Q ( -7600 h kg ). m ( 0,5 s Egy gőzturbinába p1( 1.4MPa ) nyomású és ( 400 ° C ) hőmérsékletű h1( 3121 Mekkora a turbina teljesesítménye? Q − W

t = ∫ ρ (h + ( A) v v v − v22 v2 + gz ) vdA = (h2 + 2 + gz ) ρ 2 A2V2 − ( 1 + h1 + gz1 ) ρ1V1 A1 = m ( 1 + h2 − h1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 15 2 − 60 2  v − v 22 − 7,6 * 10 6 J + 0,5 + (3121 − 2676)10 3  = W t = Q + m ( 1 + h2 − h1 ) = 3600 s 2 2   =-2,11kW + 0,5[-1,69 kJ kJ +445 ] kg kg kJ W t =220 = 220kW kg A kinetikus energiaváltozás gőzturbinában általában elhanyagolható az entalpiaváltozáshoz képest ( lásd e példa is ). Energiaegyenlet stacionárius csőáramra: Q − W t = v2 p v3 p v3 ∫ ρ (u + ρ + 2 + gz ) vdA = ( A∫ () u + ρ + gz ) ρvdA + ( A∫ ) 2 dA − ( A∫ )(u + ρ + gz ) ρvdA − ( A∫ ) 2 dA ( A) 2 2 1 1 p A be és kilépő (1-2) keresztmetszetekben a jellemzők átlagértékeit véve: p Q − W t + ( 1 + gz1 + u1 ) ∫ ρvdA + ρ1 ( A1 ) ∫ ( A11 ) ρ p v3 v3 dA = ( 2 + gz 2 + u 2 ) ∫ ρvdA + ∫ ρ dA ρ2 2 2 ( A12 ) ( A2 ) 65 Áramlástan Előadásvázlat

∫ ρvdA = ρvA = m ( A) ahol v . az átlagsebesség a keresztmetszetben ∫ρ ( A) v3 v3 dA = αρ A 2 2 α . A kinetikus energia korrekciós tényezője A keresztmetszetben ρ − t állandónak véve: 3 1 v α = ∫   dA A ( A)  ∇  Speciális esetek: α = 1, ha a sebesség állandó a keresztmetszetben a.) (v=v) α > 1, ha sebesség nem állandó b.) Lamináris csőáramlás: α=2 c.) Turbulens csőáramlás: α = 1.01 ÷ 111 α = 1.06 (gyakorlatban α ≅ 1) • Így az energiaegyenletet m -al elosztva: v2 v12 p 2 q − wt + ρ + gz1 + u1 + α1 = + gz 2 + u 2 + α 2 2 2 ρ2 1 2 p1 q= Q m J   kg  a rendszerbe bevezetett fajlagos, tömegegységre vonatkoztatott hő q > 0 bevezetett q < 0 elvezetett ⋅ Wt wt = ⋅ m J   kg  a tengelyen elvitt (vagy bevezetett) fajlagos munka wt > 0 turbina wt < 0 szivattyú, kompresszor 66 Áramlástan Előadásvázlat Összenyomhatatlan

közeg: ρ1 = ρ 2 = ρ v2 p v2 p q − wt + ρ1 + gz1 + u1 + α1 1 = ρ2 + gz 2 + u 2 + α 2 2 2 2 átrendezve: p2 v12 v22 p1 + gz + α − w = + gz + α u 2 − u1 − q) t 1 1 2 2 2 2 + ( ρ ρ    em1 Y´ em 2 Y ´ = u 2 − u1 − q fajlagos mechanikai energiaveszteség fajlagos mechanikai energia em1 − wt = em 2 + Y ´ Y ´ = u 2 − u1 − q a rendszer belső energiájának növekedése illetve a rendszert elhagyó hő növeli a fajlagos energiaveszteséget. Mivel az esetek többségénél az áramlás turbulens α 1 = α 2 ≈ 1 p 2 v22 v12 ´ gz w + + − = t 1 ρ 2 ρ + 2 + gz 2 + Y p1 Példa: A d(500mm) átmérőjű cső ρ [1000 ] sűrűségű vizet szállít az ábrán vázolt rendszerben. Az kg m3 1 és 2 keresztmetszetekben az abszolút nyomás 67 (1.7 bar) illetve Áramlástan Előadásvázlat ⋅ p2 (4.5 bar), az áramló közeg tömegárama m (500 kg/s) (40m) (30m) adott. Az 1 és 2 pontok

között fellépő fajlagos mechanikai energiaveszteség Y ´ (29,43 kgJ ) . Mekkora teljesítményt kell a rendszerbe szivattyúval betáplálni az adott szállítási feladat megvalósításához? α 1 = α 2 = 1 v12 Psz = p2 + v22 + gz + Y ´ + + gz + ⋅ 1 2 ρ 2 ρ 2 m  p1 − wt ⋅  p − p v2 −v2  Psz = m  2ρ 1 + 2 1 + g ( z 2 − z1 ) + Y ´  2      Y fajlagos energia növekmény a szivattyún ⋅ m = ρA1v1 = A2v2 ρ v2 −v2 2 A1 = A2 = d π → v1 = v2 → 2 1 = 0 4 2 (4.5−17)105 Psz = 500 + 9.81(40 − 30) + 2943  = 204kW 3 10   Példa: 3 Egy vízerőmű víznyelése 141 ms . A csőben fellépő fajlagos veszteség Y ´ (152 ⋅ 981 Szintkülönbség: z1 − z2 = 610m α1 = α 2 = 1 68 j ) kg Áramlástan Előadásvázlat kg Mekkora vízerőmű teljesítménye? ( ρ = 1000 m ) v12 Pt p2 v22 ´ + + + gz ⋅ = ρ + 2 + gz 2 + Y 1 ρ 2 m p1 ⋅  p −p  v2 −v2 Pt = m 

1 ρ 2 + 1 2 + g ( z1 − z 2 ) − Y ´  2     p1 ≈ p2 = p0 v1 = v2 = 0 (a szintkülönbség miatti nyomásváltozás elhanyagolható) ⋅ [ ] [ ] Pt = m g ( z1 − z2 ) − Y ´ = ρQ g ( z1 − z2 ) − Y ´ = 1000 ⋅ 141 ⋅ [9.81 ⋅ (610 − 152)] = 842 MW További speciális eset: Ha a rendszerben nincs erő vagy munkagép wt = 0 A.) v12 p2 v22 ´ + + = gz 1 ρ 2 ρ + 2 + gz 2 + Y p1 Így, J kg Y ´ = gh´ .h´ súly egységre vonatkoztatott energiaveszteség v12 p2 v22 ´ z + + = 1 ρ 2 ρg + 2 g + z 2 + h p1 B.) [m] Amennyiben az áramlás súrlódásmentes Y ´ = 0 kapjuk az összenyomhatatlan közeg stacionárius áramlására érvényes Bernoulli egyenletet. v12 p2 v22 + + gz = 1 ρ 2 ρ + 2 + gz 2 p1 Áramlások hasonlósága: Feltételek: • tökéletes geometriai hasonlóság (érdesség is) • dinamikai hasonlóság 69 Áramlástan Előadásvázlat mozgásegyenletek egyetlen . átvihetők a másik áramlásra

Súrlódási f. mozgásegyenlet: [ dv = f − 1 ∇p + ν ∆v + 1 ∇(∇v ) ρ 3 dt ] Átszámítások: r = M rr∗ v = M v v∗ t= Mr Mv t∗ ρ = M ρ ρ∗ p = M p p∗ ν = Mνν ∗ f = M gf ∗ A * adataival a mozgásegyenlet [ M v2 dv∗ ∗ − M p 1 ∇∗ p ∗ + Mν M v ∆∗ v ∗ + ∇∗ (∇∗ v ∗ ) M f = g M r dt∗ M ρ M r ρ∗ M r2 ] dinamikai hasonlóság, ha két egyenlet csak egy konstans számban különbözik egymástól. Mp M v2 M M = Mg = = ν 2v Mr MρMr Mr Így, M v2 : tehetetlenségi erők Mr átszámítási tényezője M g : tömegerők átszámítási tényezője Mp : nyomóerők MρMr átszámítási tényezője Mν M v : súrlódási erők M r2 átszámítási tényezője a.) A tehetetlenségi és tömegerők aránya 70 Áramlástan Előadásvázlat M v2 Mv = Mg → =1→ Mr MrM g Fr = v v∗ = 1 l g l∗ g ∗ v Froude szám l ⋅g Szabad felszíni áramlás, (pl.: hullámhossz) b.) A tehetetlenségi és

súrlódási erők aránya M v2 Mν M v M M = → v r =1 2 Mr Mν Mr v l v∗ l∗ = 1 υ υ∗ vl = v∗l∗ υ υ∗ Re = νvl Reynolds szám c.) A tehetetlenségi és nyomóerők viszonya azonos Mp M v2 = Mr MρMr ∆p ∆p d ∆p∗ d ∗ v2 d ∗ = ∆p∗ → l = l∗ ρ l ρv2 ρ ∗v∗2 v∗2 d ρ ∗ l∗ ∆p d Eu = l 2 Euler szám ρv ∆p : nyomásesés az l hosszon; d az l-re merőleges hossz (átmérő) 2 ∆p = 2 Euρ l v csősúrlódás D 2 λ: csősúrlódás tényező d.) A nyomóerők és a súrlódóerők viszonya azonos Mp M M = ν 2v MρMr Mr 71 Áramlástan Előadásvázlat ∆p ρ ∗ l∗ ν v d ∗2 = ∆p∗ ρ l ν ∗ v∗ d 2 ∆p d 2 ∆p∗ d ∗2 = l ρνv l∗ ρ ∗ν ∗v∗ ∆p d 2 Ha = lηv Hagen szám ∆p d ∆p d 2 Eu Re = l 2 vd = lηv = Ha = Eu Re ρv ν e.) A lokális és konvektív gyorsulás aránya azonos M v M v2 Mr = → =1 Mt M r M vM t l = l∗ vT v∗T ∗ St = l Strouhall szám vT T= 1 f f: frekvencia lf St = v

Lamináris áramlás párhuzamos falak közti résben Stacionárius 1D-s áramlás 72 Áramlástan Előadásvázlat Teljesen kialakult áramlás (fully developed flow) vx = v ( y ) v y = vz = 0 térerőt elhanyagoljuk [ ∂v + ( v ⋅ ∇) v = f − 1 ∇p + ν ∆v + 1 ∇(∇v ) ρ ∂t 3 ] Kontinuitás: div v = 0 ∂vx ∂v y ∂vz + + =0 ∂x ∂y ∂z vx = v ( y ) ∂vx ∂v ∂v ∂v 1 ∂p + ν d 2v + ν ∂ (div v ) + vx x + v y x + vz x = − ρ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x dy 2 3 ∂x d 2v = 1 ∂p = const = − 1 ∆p η l dy 2 η ∂x V =− ∆p 2 y + C1 y + C 2 2ηL Peremfeltétel: V ( h ) = V (− h ) = 0 2 2 0=− ∆p h2 + C1 h + C 2 2ηL 4 2 0=− ∆p h2 − C1 h + C 2 2ηL 4 2 C2 = ∆ph2 8ηL C1 = 0 A befejezés hiányzik 73 Áramlástan Előadásvázlat Lamináris áramlás kör keresztmetszetű csőben: jól lekerekített belépés: • közel homogén sebesség profil • fal hatása: súrlódás, fal menti sebesség csökkenése, a

mag sebességének növekedése (kontinuitás) → vastagodó határréteg • adott hossz után – teljes határréteg áramlás – Le=0.058RedLanghaar (1942) Mi az x > Le esettel foglalkozunk 74 Áramlástan Előadásvázlat Feltevések: ρ = áll, stacionárius, teljesen kifejlett áramlás vz = v(r ) vx = v y = 0 [ ∂v + ( v ⋅ ∇) v = f − 1 ∇p + ν ∆v + 1 ∇(∇v ) ρ ∂t 3 ] Kontinuitás: div v = ∂vx ∂v y ∂vz ∂v + + =0→ z =0 ∂x ∂y ∂z ∂z vz = v(r ) Le ≈ 0.058 Re (laminur (Langhaar elmélete)) d (Sheeter, V. L –Wylie, E B fluid mechanica p193) Szélcsatorna L << Le – ne legyen teljes a határ rétegáramlás a csatornában; súrlódás – csak a csatornafal közelében → vizsgált lesz – közel homogén áramlás van. Energia egyenlet: v2 p v2 α1 21 + gh1 + ρ1 = α 2 22 + gh2 + ρ2 + e′s 75 p Áramlástan Előadásvázlat p −p e′s = 1 ρ 2 + g (h1−h2 ) 0=f − 1 ρ ∇p + ν∆v  p

∇p = ∇  ρ ρ  1 p így f − ∇p = −∇ gh +  = −∇Y ρ ρ  f = −∇(gh ) ; 1  p Vegyük észre: Y =  gh +  ez a tömegegységre vonatkozó fajlagos helyzeti + nyomási ρ  energia. 0 = −∇Y + ν∆v ∂Y  0=−  ∂y  ∂Y dY ∂Y  0=− =  Y = Y (z ) tehát Y csak z - tõl függhet, ezért írhatjuk ∂z dz ∂y   ∂Y 0=− + ν∆v  ∂z  1 dY ∆ = const v = dz ν f (r )  g(z) h − h1 dY ∆Y p 2 − p1 = = +g 2 = −J L ∆z dz ρL J ∆v = − ν Nézzük a kapott egyenletet HKR-ben, ne felejtsük el, hogy Δv r függvénye volt! Mindenki 1 ∂  ∂φ  1 ∂ 2φ ∂ 2φ emlékszik a Laplace operátorra HKR-ben: ∆φ = + + r r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2 1 d  dv  J r  = − r dr  dr  ν d  dv  J / ∫ dr r  = − r dr  dr  ν dv J r = − r 2 + C1 dr 2ν dv J 1 = − r + C1 / ∫ dr dr 2ν r J v(r )

= − r 2 + C1 ln r + C 2 4ν A kapott egyenlethez tartozó peremfeltételek: 76 Áramlástan Előadásvázlat • r=R • r=0 J 2 R 4ν  → C1 = 0  → C 2 = v=0 v véges (tapasztalat) J ( v(r ) = R 2 − r 2 ) parabolikus eloszlás 4ν Hagen-Poiseuille áramlás e p − p2 h − h2 ahol J = s = 1 +g 1 L ρL L Nézzük meg vízszintes csőre hogyan alakul a képlet?! p − p 2 ∆p ∆p 2 és így → v(r ) = R − r2 J= 1 = 4ηL ρL ρL ( ) Térfogatáram: R J Q = 2π ∫ v(r )rdr = 2π 4ν 0 Q= πJ ∫0 (R − r )rdr = 2ν R 2 2 πJ 4 R Hagen-Poiseuille törvény 8ν Nézzük meg vízszintes csőre hogyan alakul a Hagen-Poiseuille törvény Ekkor J = p1 − p 2 ∆p = ρL ρL melyet behelyettesítve πJ 4 π∆p 4 π∆pd 4 Q= R = R = 8ν 8η 128ηL Q= π∆pd 4 128ηL Q Q JR 2 c= = 2 = A R π 8ν v max = v(r = 0) = 77 JR 2 = 2c 4ν R  2 r2 r4  −  R 2 4 0  Áramlástan Előadásvázlat Energiaegyenlet: c12 p1 c2 p +

+ gh1 = α 2 2 + 2 + gh2 + es 2 ρ 2 ρ p − p2 8ν + g (h1 − h2 ) = LJ = L 2 c es = 1 R ρ α1 e s = L 8ν c R2 es = λ L c2 d 2 Turbulens áramlásnál: λ értéke lamináris áramlás esetén: L c2 32ν λ c = lam d 2 d2 ν 64 = 64 = dc Re  es = L λlam 1 Re TURBULENS ÁRAMLÁS Osborne REYNOLDS kísérletei (1883) • • • kis áramlási sebességnél a festék egy rétegben marad lamináris áramlás a sebességet egy bizonyos érték felé növelve instabillá válik az áramlás – átmenet tovább növelve a sebességet a festék teljes keresztmetszetben elkeveredik turbulens áramlás 78 Áramlástan Előadásvázlat kereskedelmi cső: Re krit ≅ 2300 ha Re < Re krit ha Re > Re krit stabilan lamináris lehet lamináris de kis megzavarás hatására turbulenssé válik (nagyon finoman megmunkált (nagyon sima) cső: Re krit ≅ 40000 is lehet) Peter BRADSHAW (1994) „Turbulence is the invention of the devil on the 7th day of creation”

magyarul „A tubulenciát az ördög találta ki a teremtés 7. napján” Turbulens áramlás: • • • • folyadékrészecskék állandó keveredése, véletlenszerű mozgása (Brown-féle hőmozgáshoz hasonló) szigorúan véve mindig instacionárius f = 1 ÷ 10000Hz nagy Re szélcsatorna áramlás ; turb L = 0,1 ÷ 4000mm (hullámhossz) a műszerek általában átlagértéket mérnek (sebesség, nyomás) (hődrótos anemométer ingadozást is képes) A turbulens áramlások vizsgálatára számos módszert dolgoztak ki, használnak. Probléma: erősen ingadozó nyomás és sebességértékek. Nem ismerünk olyan, az időben véletlenszerűen változó függvényt, amely kielégítené a mozgásegyenletet. A) Direkt Numerikus Szimuláció (DNS) (legmagasabb szint) • A Navier-Stokes egyenlet megoldása az ingadozó sebesség és nyomásértékekre • Nincs turbulencia modell 79 Áramlástan Előadásvázlat • Nagyon finom térbeli háló és időlépcső kell, hogy

a nagyon különböző méretű és frekvenciájú örvényeket is le tudja írni szélcsatorna f = 1 ÷ 10000Hz • • Óriási gépidő, pl. repülőgép körüli áramlás DNS-s több ezer év CPU time lenne Kisebb Re számú csatornaáramlásokra használják – igen pontos lehet (akár műszerek kalibrálása) 2002. CFD konferencia Toulouse – japán kutató 109 számítási pont (3D) L = néhány tized mm  → több m • B) Nagy Örvények Szimulációja (LES – Large Eddy Simulation) • Gazdaságosabb mint a DNS • Csak közepes és nagy méretű örvények közvetlen számítása • Megfontolás: a közepes és nagy méretű örvények határozzák meg a turbulencia transzportját, a kis örvények a turbulens energia disszipációjáért felelősek • Térbeli szűrő alkalmazása a Navier-Stokes egyenletre • Kiszűri a kis örvényeket ; a kapott egyenlet direkt megoldás • Kis örvények hatásának figyelembevétele egy általános érvényű

turbulencia modellel (amely nem tartalmaz feladattól függő empirikus állandókat) • Még mindig nagy gépidő ; Ma divatos sok helyen használják C) Időátlagolt Navier-Stokes egyenlet – Reynolds egyenlet (RANS – Reynolds Avaraged Navier-Stokes Equations) Megjegyzés: A mérnököket általában az időben átlagolt értékek érdeklik (nem az ingadozás) Pillanatnyi értékek: vT ( x , y , z , t ) pT ( x, y , z , t ) Időátlag: T 1 v = ∫ v T dt T 0 T p= 1 pT dt T ∫0 T>> mint a turbulens áramlás ingadozására jellemző időállandó, de T<< mint az instacionárius áramlás időállandója T ≈ 5s Ingadozás: v = vT − v p = pT − p 80 Áramlástan Előadásvázlat vT = v + v   vTx = v x + u  (1) vTy = v y + v   vTz = v z + w  Navier-Stokes egyenlet érvényes a pillanatnyi értékekre ( ρ = const )! ∂v T  1 + ( v T ∇) v T = f − ∇pT + ν∆v T (2) ∂t ρ  Kontinuitás: mivel div( v T ) = 0 és

div( v ) = 0  → div( v ) = 0  ∂u ∂v ∂w + + = 0(3) ∂x ∂y ∂z  (1-2) [ ] ∂v ∂v 1 1 + + ( v + v )∇ ( v + v ) = f − ∇p − ∇p + ν∆v + ν∆v ∂t ∂t ρ ρ  ∂v ∂v 1 1 + + ( v∇) v + ( v∇) v + ( v ∇) v + ( v ∇) v = f − ∇p − ∇p + ν∆v + ν∆v (3!) ∂t ∂t ρ ρ  itt: ∂v ∂v ∂v + vy + vz ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v ( v ∇) v = u + v + w ∂x ∂y ∂z ( v∇ ) v = v x ( v ∇) v = u ∂v ∂v ∂v + v + w ∂x ∂y ∂z (3) időátlagolása, feltételek: f +h= f +h fh = f h cf = c f (c = const) t+ f (t ) = 1 T T 2 ∫ f (t )dt t− T 2 81 Áramlástan Előadásvázlat (3) átlagosan: ∂v ∂v = ∂t ∂t ∂v =0 ∂t ( v∇) v = ( v∇) v ( v∇) v = ( v∇)  v = 0 =0 ( v ∇) v = (  v ∇) v = 0 =0 1 ρ ∇( p + p ) = 1 ρ ∇p ν∆( v + v ) = ν∆v Ezen időátlagolt tagokat visszaírjuk az időátlagolt (3)-ba:  ∂v 1 + (

v∇) v = f − ∇p + ν∆v − ( v ∇) v (4) ∂t ρ  Mivel: div( v  v ) = ( v  v )∇ = ( v  v )∇ + ( v  v )∇ = ( v ∇) v ↑   ↑  ( v ∇ ) v v div v  ↑ Így: − ( v ∇) v = −div( v  v ) = 1 =0 [ ] 1 div − ρ ( v  v ) = div σ T ρ  ρ σT Tehát a (4) egyenlet: 1 1 ∂v + ( v∇) v = f − ∇p + ν∆v + div σ T ρ ρ ∂t Ami nem más mint a Reynolds-féle mozgásegyenlet. ahol:  u 2  σ T = − ρ ( v  v ) = − ρ  v u  wu  u v u w   v 2 v w  a Reynolds-féle turbulens feszültségtenzor wv w 2   A tenzor szimmetrikus: v u = u v ; v w = w v ; w u = u w 82 Áramlástan Előadásvázlat Tehát 6 független elemet tartalmaz.  u 2  1 1 div σ T = − ρ v  v ∇ = − v  v ∇ = −  v u ρ ρ  wu   ∂ 2 ∂ ∂  uv uw   ∂x u y z ∂ ∂   1

∂ ∂ 2 ∂   div σ T = − vu v vw   ∂x ρ ∂y ∂z ∂ ∂ ∂ 2  wv w   w u ∂y ∂z   ∂x ( ( ) ( ) ( ) ) ( u v v 2 wv ) ( ) ( ) ( ) ( ) u w  ∂ ∂x   v w  ⋅ ∂ ∂y  w 2   ∂ ∂z   ( ) ( ) mivel v u = u v ; v w = w v ; w u = u w , ezért 6 ismeretlen kifejezés van az 1 div σ T vektorban. ρ Koordináta-egyenletek: ( ) ( ) ( ) ∂v x ∂v ∂v ∂v 1 ∂p ∂ 2 ∂ ∂ uv − uw u − + vx x v y x + vz x = f x − + ν∆v x − ρ ∂x ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y 1 ∂p ∂ ∂ 2 ∂ vu − v − vw vy + vx + vz = fy − + ν∆v y − ρ ∂y ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂v ∂v ∂v z ∂v 1 ∂p ∂ ∂ ∂ 2 + ν∆v z − uw − vw − w + vx z v y z + vz z = f z − ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ρ ∂z ∂t ∂x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Emlék kontinuitás: ∂u x ∂u y ∂u z + +

=0 ∂x ∂y ∂z 3D eset: 4 egyenlet 10 ismeretlen v x , v y , v z , p, u v , v w , u 2 , v 2 , w 2 így a turbulens áramlás egzakt megoldása a Reynolds-féle egyenlet felhasználásával lehetetlen. 2D eset: 3 egyenlet 6 ismeretlen v x , v y , p, u v , u 2 , v 2 83 Áramlástan Előadásvázlat Turbulencia modellek: 2 egyenletes k − ε ; k − ω 1 egyenletes 0 egyenletes keveredési úthosszon alapuló Ludwig Prandtl (1875-1953) Síkbeli áramlás: Prandtl: τ = τ xy = − ρ u v = ρ ⋅ l 2 ⋅ l =κ⋅y dv x dv x ⋅ dy dy y = faltól mért távolság ; κ ≅ 0,4 Kármán T.(1881-1963): dv x dy l =κ 2 d vx dy 2 Turbulens csőáramlás: Impulzustétel a jelölt térfogatra, és kapjuk (levezetést mellőzve):   2 dv dv ρ⋅J    − ρ ⋅ l 2 ⋅   = 0(1) r+ η dr dr   2    τ - fajl. viszkózus erő fajl. tehetet  turbulens impulzus τ − lenségi erő cserébős

származó fajl. erő  84 Áramlástan Előadásvázlat ahol, J= p1 − p 2 h − h2 . esés +g 1 ρL L Prandtl megoldása: l =κ⋅y y = R − r (faltól mért távolság) ; κ ≅ 0,4 a.)Lamináris alapréteg: fal közelében: τ ′ << τ → τ ′ = 0 r ≈ R → τ ≈ τ 0 (lamináris megoldásból nyerhető) vlam (r ) = J (R2 − r 2 ) 4v dv ρJ |r = R = − R dr 2 τ0 = η súrlódási sebesség bevezetése: v∗ = ρJ 2 τ0 = ρ R +η JR 2 dv =0 dr dv v*2 =− dr v v=− v*2 r +C v peremfeltétel: v( R) = 0 → C = 85 v*2 R v Áramlástan Előadásvázlat v(r ) v* = (R − r) v* v b.) Turbulens határréteg: τ ′ << τ → τ ≈ 0 l = κy = κ ( R − r ) tehetetlenségi erőben: r≈R ρJ 2 ) =0 R − ρκ 2 ( R − r ) 2 ( dv dr 2  dv  v = κ (R − r)    dr  2 ∗ 2 /⋅ ρ 2 2  dv  ± v∗ = κ ( R − r )   dr  dv <0→− dr dv v 1 =− * dr κ R−r v= v* κ ln( R − r )

+ K ′ v 1 = ln( R − r ) + K K: integrációs állandó v* κ K: a lamináris alapréteghez való csatlakoztatás feltételéből nyerjük δ Lamináris alapréteg vastagsága vlam ( R − δ ) = v( R − δ ) v∗ v∗ vlam v∗ | R−δ = ν [R − ( R − δ )] = ν δ v∗ v∗ 1 1 ν δ = κ ln δ + K → ν δ − κ ln δ 86 Áramlástan Előadásvázlat Prandtl feltevése: δ = B vν Nikuradse mérései igazolták ezt. ∗ v K = ν∗ B vν − κ1 ln( B vν ) = B − κ1 ln B − κ1 ln( vν ) ∗ ∗  ∗  Így, K = C + κ1 ln( vν ) ∗ v 1 v 1 v∗ = κ ln ν + κ ln( R − r ) + C v 1 v v∗ = κ ln ν + C Nikuradse mérései: Κ = 0.4, C = 5.5 v∗ v v∗ = 5.75 lg ν ( R − r ) + 55 Csövek hidraulikai ellenállása: 87 Áramlástan Előadásvázlat energiaegyenlet 1-2 közé: c12 p2 c22 + gh + α = + gh + α + es′ 1 1 2 2 ρ ρ 2 2 p1 e′s = p1− p2 ρ + g (h1 − h2 ) = JL τ0 JR 2 2 ρ = 2 bevezetésével → J =

R v∗ v∗ = Így: 2 v 2 e′s = JL = 2 L v∗2 = 8 ∗  L c λ csősúrlódási tényező R 2 C d   e′s = λ L c univerzális ellenállástörvény turbulens áramlásra d 2 2 lamináris: λ = 64 Re Hidraulikus sima cső- felületi érdesség a lamináris alaprétegben → λ = λ (Re) elméletileg és kísérletileg: 1 = 2 lg( λ Re) − 0.8 λ Re > 3000 különböző közelítések: λ = 0.3164 4⋅ Re 2300 < Re < 8 ⋅10 4 (Blasias) λ = 0.0054 + 0396 Re −03 2 ⋅10 4 < Re < 2 ⋅105 (Schiller) λ = 0.032 + 0221 Re −0237 105 < Re < 108 (Nikuradse) Érdes cső: Nikuradse (1933)- homokkal érdesített csők: egyenértékű homokérdesség 88 Áramlástan Előadásvázlat hidraulikailag sima: k << δ lam → λ = λ (Re) átmeneti: k ∼ δ lam → λ = λ (Re, R ) k hidraulikailag érdes: k > δ → λ = λ( R ) k Nikuradse mesterségesen érdesített csövek Moody – kísérletek kereskedelemben

kapható „természetes” érdességű csövek – ma inkább ezt használják. Csőidomok és szerelvények ellenállása: 2 e′s = ζ c 2 ζ veszteségtényező ζ meghatározása méréssel helyenként analitikus megoldás(Borda-Carnot) 89 Áramlástan Előadásvázlat Áramlás nem kör keresztmetszetű csövekben: Dh = 4 A K hidraulikai átmenő 2 e′s = λ L c kiterjesztett ellenállástörvény Dh 2 λ = λ (Re, Dk ) h cD Re = ν h 64 λlam = cD h ν Speciális esetek: • kör: 2 A= D π 4 K = Dπ Dh = 4 A = D K • téglalap: –füstgázcsatorna: K = 2(a + b) 90 Áramlástan Előadásvázlat A = ab Dh = 4 A = 4ab = 2ab K K (a+b) a+b • négyzet: 2 a = b : Dh = 2a = a 2a Egyenértékű csőhossz. Összetett rendszer vesztesége: M c2j Li ci2 N ′ + ζ es = ∑ λi Di 2 ∑ j 2 i =1 j =1 Le. Egyenértékű csőhossz; de; λe e′s = λe Le ce2 De 2 Ai ci = Ae ce L c2 c2 L c2 λe De 2e = ∑ λi Di 2i + ∑ ζ j 2j e i j i 2 λi De 

ci  2 De  cj  Le = ∑ λe Di Li  ce  + λe ∑j ζ j  ce  i 2  ci  =  De   ce   Di  4 2 D   cj   c  =  De   e  j 4 D λi  De  5 D  Le = ∑   Li + e ∑ ζ j  e  λe  Di  λe j  D j  i 91 4 Áramlástan Előadásvázlat Csőáramlási feladatok megoldása: 1.) Adott: Q,D,L,k/D,ρ,ν, es′ = ? C= 4Q D2π Re = CD ν k ) diagramból λ = λ (Re, D 2 e′s = λ L C D 2 2 ∆p ′ = ρe′s = ρλ L C D 2 2.) Adott: D, L, k/D, ρ, ν, es′ ,Q=? Kezdet: k ) teljesen érdes (Moody diagram) λ0 = λ ( D 2 C e′s = λ0 L 0 D 2 C0 = 2e′s D λ0 L C0 D0 Re 0 = ν k) λ1 = λ (Re 0 , D C1 = 2e′s D λ1L CD Re1 = ν1 1 k) λ2 = λ (Re1 , D konvergencia: 3.) Adott: Q=C D π 4 2 Q, k, L, ρ, ν, es′ max ,D = ? 92 Áramlástan Előadásvázlat 2 e′s = λ L C D 2 2 4Q  Q2 = λ 8L e′s = λ L 1   D 2

 D2π  π 2 D5 4Q Re = CD ν = Dπν D0 felvétele: Re = 4Q Dπν k → λ = λ (Re , k ) 0 0 D D0 0 e′s = λ0 8L2 Q2 összehasonlítás e′s max -al π D05 Ha e′s > e′s max D1 < D0 választása Re1 = 4Q D1πν k → λ = λ (Re , k ) 1 1 D D1 1 e′s = λ1 8L2 Q2 összehasonlítás e′s max -al 5 π D1 Ha es′ > es′ max D növelése (szabványos csőátmérők) 3.) Feladat másik megoldása: Q2 = C1λ1 π e′s D 5 = λ1 8 L2 (1) C 4Q Re = πν 1 = 2 D D (2) 93 Áramlástan Előadásvázlat A konvergált Di-hez legközelebb eső, annál nagyobb szabványos átmérő választása. 94