Matematika | Diszkrét Matematika » Kovács Zoltán - Lineáris algebra I.

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán Előadásvázlat (2003) Tartalomjegyzék 1. A szabadvektorok vektortere 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása 2. Vektorrendszerek függetlensége, bázis . 3. Szabadvektorok skaláris szorzata . 4. Külső szorzás, vegyes szorzás . 5. Egyenesek és síkok . 6. Térelemek távolsága és szöge . 2. Vektorterek 7. A vektortér definíciója . 8. Lineáris kombinációk, bázis, dimenzió 9. Alterek direkt összege . 10. Lineáris sokaság, faktortér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Mátrixok, lineáris egyenletrendszerek és determinánsok 11. Műveletek mátrixokkal 12. A Gauss elimináció, elemi mátrixok 13. Négyzetes mátrixok invertálhatósága 14. Mátrix rangja 15. Lineáris egyenletrendszerek 16. A determinánsfüggvény

tulajdonságai 17. Aldeterminánsok, kofaktorok 4. Lineáris leképezések 18. Lineáris leképezések alaptulajdonságai 19. Lineáris leképezés képtere és magtere 20. A lineáris leképezések mátrix-reprezentációja 21. Báziscsere 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 7 10 15 21 23 . . . . 24 24 27 35 38 . . . . . .

. 41 41 46 49 52 55 58 62 . . . . 67 67 71 74 75 1. fejezet A szabadvektorok vektortere 1. Szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása Középiskolai tanulmányainkban vektor alatt a tér vagy sík szabadvektorát értettük, azaz egy vektor irányított szakasz volt, de nem téve különbséget az egymásba eltolással átvihet ő irányított szakaszok között. (Azaz, ha nagyságuk, irányításuk és irányuk megegyezik) A lineáris algebra tárgyban (mint ahogyan általában a felsőbb matematikában) a vektor egy olyan absztrakt fogalom, mely sokkal általánosabb, mint a szabadvektor. (Erre a tárgyalásunk második fejezetében térünk vissza.) vektor
szabadvektor
irányított szakasz A szabadvektorok elmélete tehát a geometriához kapcsolódik, s a szabatos felépítést is a Geometria c. tárgyunkban adjuk meg A lineáris algebra tárgyban nagymértékben támaszkodunk a középiskolás geometriai ismeretekre, mindenekelőtt az eltolás

tulajdonságaira. néhány geometriai jelölést vezetünk be. A tér pontjainak halmazát  jelöli  Először   Az  és  pontok távolsága. vagy        és  végpontokkal rendelkező szakasz. -t és -t tartalmazó egyenes.    kezdőpontú és  -t tartalmazó félegyenes. Megjegyezzük még, hogy ebben a tárgyban az egybees ő egyeneseket is párhuzamosaknak nevezzük.   1.1 Definíció Irányított szakaszon egy   értünk.  -nak  rendezett pontpárt    szakasz a  irányított szakaszba  a kezdőpontja, a végpontja. Ha az   irányított  ekvivalens -val és ezt úgy jelöljük, eltolással átvihető, akkor azt mondjuk, hogy       !   . Az   irányított szakasz szemléltetése: 11 ábra hogy  1.2 Tétel Az irányított szakaszok ekvivalenciája ekvivalenciareláció, azaz: 1    " %& $# ) %&) .   ,  ! 2.    " $# %&+*
( %,
+  $# $#

- . ; 3.  3  "    , 4 A SZABADVEKTOROK VEKTORTERE 0 1 /32 045 687 6 / 1.1 ábra Az irányított szakasz szemléltetése továbbá teljesül, hogy   " $ 
+ 4.     "  9 . Bizonyítás: Az első három  tulajdonság a definíció nyilvánvaló következménye. A 4 állítás on  : nan következik, hogy ha    , akkor    paralelogramma (esetleg elfajuló) melynek szemközti oldalpárjai párhuzamosak és egybevágók. < 0 ; / 1.2 ábra   " $ 
+    "  9 .  = 1.3 Definíció. Definiáljuk a tér irányított szakaszain az alábbi, -el jelölt relációt.       ekvivalenciareláció, mely ekvialen , ha   -ba eltolással átvihető. Ez a reláció     reprezenciaosztályait szabadvektoroknak nevezzük. Azaz, ha és pontok, akkor az  tánsú szabadvektor: ?> 
A@ $  B C  8DE  " $  GFIH Az összes halmazát J -vel jelöljük.

K>  szabadvektorok ?>      L hosszán  -t értjük. Ez a definíció független a reprezentáns választáAz vektor L sától. Az összes olyan irányított szakaszok, melyek kezdő- és végpontja megegyezik, egy szabadvektort reprezentálnak. Ezt a szabadvektort nullvektornak nevezzük Jele: M J N J elemeit kövér kisbetűkelemeinek jelölésekor olykor nem utalunk reprezentánsra, ilyenkor   J ,a J . kel, írásban pedig aláhúzott kisbetűkkel is jelöljük: O 5 SZABADVEKTOROK ÖSSZEADÁSA ÉS SKALÁRRAL VALÓ SZORZÁSA 1.4 Definíció Az   O QRP összegén az   # 9 -vel reprezentált O illetve a  # -vel reprezentált -vel reprezentált szabadvektort értjük. Azaz P szabadvektor  ?>  Q S > #
 T > # H A szabadvektorok összegét definiáló előbbi összefüggést háromszögszabálynak is nevezik. 1.5 Tétel A szabadvektorok összege független a reprezentánsok választásától    UVUW 9 

Bizonyítás: Ld. 13 bizonyítani, hogy ha  és   #  U # U , akkor  # ábra. X  Azt  U # kell U . Atehát reláció ki (megelőző  Y   U  U
+    U Y  Z U 3.; és Z4.# tulajdonságát Y   U # U használjuk
+  Z U Y $# # U . tétel):      U !  9 U [*  9 U I $# # U
+    U " # # U
+   # " $# # U . ] ] 0 / 0 /Y 1.3 ábra A szabadvektorok összege független a reprezentánsok választásától 1.6 Tétel L^O QRP L`aL^OLIQbL^PcL L^O QdPcL
L^OLIQbL^PcL , akkor és csakis akkor teljesül, ha O és P olyan szabadvektorok, hogy közös kezdőpontból induló reprezentánsaik végpontjai a közös kezdőpontból induló ugyanazon félegyenesre illeszkednek. Ha O és P közös kezdőpontból induló reprezentánsaik végpontjai a közös kezdőpontból induló ellentétes félegyenesekre illeszkednek,  L^PcL ee . akkor L^OQRPcL
aee L^OL Bizonyítás: Az állítás a háromszög egyenlőtlenség és a az

összeadás definíciójának közvetlen következménye.   1.7 Definíció Az  reprezentánsú szabadvektor   , míg ha f h
g
tán nullvektort értünk, ha f vagy  szabadvektort, amelyre fnm g .  U
Dif"DTj  és  U   f valós számmal (skalárral) való szorza  U , akkor azt az  reprezentánsú  
hg , ha fdk g illetve  U   l  , ha Megjegyzés.Egyszerűen látható, hogy a definíció független a reprezentáns választásától q  p Egy  reprezentánsú o szabadvektor és f skalár szorzatát a következ őképpen   xw y w U tetszőleges is megkaphatjuk. Legyen rtsvu centrumú, f előjeles arányú  U U középpontos hasonlóság. Ekkor fzo -t  reprezentálja. (14 ábra) 6 A SZABADVEKTOROK VEKTORTERE {}|~ / 0 {}€~ 0 / 0 0 1.4 ábra Szabadvektor szorzása skalárral A definíció közvetlen következménye az alábbi állítás: 1.8 Tétel L‚fƒOL
D„f)Dzj L^OL Ha egy

nemzéró szabadvektort osztunk a hosszával (azaz szorozzuk a hossza reciprokával), akkor az így kapott szabadvektor hossza 1 (Az 1 hosszúságú szabadvektorokat egységvektoroknak nevezzük, jelölésük gyakran: o!† .) 1.9 Tétel A szabadvektorok összeadása és skalárral való szorzása rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: ‡J Q kommutatív csoport (Abel csoport), továbbá (1) (2) (3) (4) fˆ$O QRP f QR‰ O fƒ‰ O ŠtO
Sf O d Q fƒP
fSO R Q ‰+O
fˆ$‰+O ,
O. , , Bizonyítás: Az összeadás tulajdonságait közvetlen geometriai módszerekkel is beláthatjuk (megtalálható pl. a Hajós könyvben: 302, 303) A skalárral való szorzás tulajdonságai: f‹ŒOQŽP
fƒO&QA P : Egy tetszőlegesen rögzített centrumú f előjeles arányú középponw fƒpont w U . Tekintsük tos hasonlóságnál az képét jelölje a szabadvektorok egy-egy tetszőleges  B 9  B reprezentánsát:  O , # P . Ekkor K>  z> > ‘U > U

 K’U  > U “U > U ?>  S>     




f‹ŒOQRP ‹f  Q # f # # Q # f Q”f #
fSOQdfƒP H f+Q‰ O
fƒOGQx‰+O : Nullvektorra az állítás triviális. Legyen a továbbiakban O
M ! Ha f és ‰ azonos előjelűek, akkor f"QZ‰ O , továbbá fSOQZ‰+O közös kezdőpontből induló reprezentánsainak végpontjai ugyanarra a félegyenesre illeszkednek. Továbbá L•fQC‰ OL
DifQR‰BDtjzL^OL
^D„f)D‚QvD ‰BD jzL^OL H Másrészt 1.6 alapján: L‚fƒO QC‰+OL
L‚fƒOL"QAL^‰+OL
D„f)D‘jEL^OL"QvD ‰BD–jzL^OL
^Dif"D^QvD ‰YD jzL^OL H Ez azt jelenti, hogy f&QŽ‰ O továbbá fƒO,Q—‰+O közös kezdőpontből induló reprezentánsainak végpontjai ugyanazon a félegyenesen, a kezdőponttól ugyanakkora távolságra vannak. 7 VEKTORRENDSZEREK FÜGGETLENSÉGE, BÁZIS Legyen f és ‰ előjele különböző. Ismét 16-ra hivatkozva: L‚fSO R Q ‰+O‹L
ee L‚fSOL  L^‰+OL ee


ee D„f)D–jzL^OL  D ‰YD–jzL^OL ee
ee Dif"D  D ‰BD ee jzL^OL
D„fQC‰BD‘jEL^OL
L•fQR‰ OL >  ˜
tehát f=Q‰ O hossza és fSO=Q‰+O hossza , és reprezentáljuk az ‹˜  megegyezik. Legyen fƒO f‹Q=‰ O , fƒOˆQ=‰+O szabadvektorokat az™ egyenesen! š Mindkét szabadvektor reprezentánsának  ˜ ˜ -ra vagy ellentétes félegyenesére, hogy Dif"D‹›œD ‰BD végpontja attól függően illeszkedik vagy Dif"DK`D ‰BD , amivel az állítást bizonyítottuk. >   ˜

! fˆ$‰+O végpontjának meghatározásához -ra előbb ˜ fƒ‰ O f‹Œ‰+O : Legyen O ˜ egy centrumú ‰ előjeles arányú középpontos hasonlóságot, majd egy centrumú f el őjeles ˜ arányú középpontos hasonlóságot kell alkalmaznunk. Ez ugyanazt jelenti, mintha -ra egy centrumú, f=jž‰ arányú középpontos hasonlóságot hajtanank végre, mert közös centrumú f ill. ‰ előjeles arányú középpontos

hasonlóságok szorzata ugyanolyan centrumú, f,j•‰ el őjeles arányú középpontos hasonlóság. ŠtO
O triviális. A továbbiakban OQŽ  P -t (ahol  P
  Š j–P a P additív inverze) O  P -nek írjuk. 2. Vektorrendszerek függetlensége, bázis tH HtH OE¡ vektorrendszerének az $¢!Ÿ tHtHtH‚ ¢ ¡ 2.1 Definíció Szabadvektorok egy $O+Ÿ kal való lineáris kombinációján az skalárok- ¢"ŸOŸ Q tH HtH R Q ¢ˆ¡žOz¡ szabadvektort HtHtHžértjük. Oz¡ vektorrendszert lineárisan függetlennek nevezzük, ha a tér bármely vektora Az $OGŸ legfeljebb egyféleképpen állítható elő lineáris kombinációjukként. Szabadvektorok egy véges vektorrendszerét lineárisan függőnek nevezünk, ha nem lineárisan független. 2.2 Tétel Szabadvektorok egy véges rendszere akkor és csakis akkor lineárisan független, ha a zérusvektor csak triviálisan, azaz csak csupa nulla együtthatóval kombinálható belőlük. Szabadvektorok egy

véges rendszere akkor és csakis akkor lineárisan függő, ha a zérusvektor triviálistól különböző módon is kombinálható belőlük. Bizonyítás: Ha a vektorrendszer lineárisan független, akkor bármely szabadvektor, s így a zérusvektor is legfeljebb egyféleképpen kombinálható belőlük. Mivel a triviális kombináció mindig zérusvektort ad, így ez az egyetlen olyan lineáris kombináció, melynek eredménye a zérusvektor. tH t H ‚ H Megfordítva, tegyük fel, hogy az ŒO+Ÿ OE¡ vektorrendszerből a zérusvektor csak triviálisan kombinálható. Ha a tér valamely szabadvektorára o
¢"Ÿ™OŸ Q£j–j–j‘Q”¢ ¡ Oz¡ 8 A SZABADVEKTOROK VEKTORTERE o
¤ Ÿ™OGŸ[Qj–j–j‘Q ¤ ¡ Oz¡ egyaránt teljesül, akkor a két relációt kivonva: M
 ¢)Ÿ  ¤ Ÿ OGŸ[Qj–j–j–QŽ¢ ¡  ¤ ¡ Oz¡ H ¢ ¦
¤ ¦[$§
Š HttH Hž^¨z következik. Innen a feltételünk miatt ˆ A másik állítás az előzőnek tisztán logikai

következménye (kontrapozíció). Szabadvektorok lineáris függőségének szép geometriai jelentése van: tHtHtH‚ 2.3 Következmény Szabadvektorok egy $O+Ÿ Oz¡ vektorrendszere akkor és csakis akkor lineárisan függő, ha van olyan valódi (azaz nem csak egyetlen pontból álló), de esetleg degenerált tHtHtH‚ Oz¡ reprezentánsait oldalt is tartalmazó zárt töröttvonal, amelynek szakaszai rendre az O[Ÿ tartalmazó egyeneseken vannak. 2.4 Tétel Szabadvektorok egy véges rendszere akkor és csakis akkor lineárisan függő, ha valamelyikük lineárisan kombinálható a többiből HtHtH Oz¡ vektorrendszer valamelyik vektora lineáriBizonyítás: Először tegyük fel, hogy az ŒO+Ÿ san kombinálható a többiből! (Az egyszerűség kedvéért legyen ez O¡ !) OE¡
¢"ŸOŸ Q£j–j–j–Q”¢ ¡‚ƒŸ™OE¡‚ƒŸ H Ezt rendezve: M
 Oz¡YQ”¢)Ÿ™OGŸ[Qj–j–j–Q”¢ ¡‚ƒŸ™Oz¡‚ƒŸ H  A jobb oldalon a zérusvektor olyan lineáris

kombinációja van, melyben szerepel Š mint együttható, azaz ez a lineáris kombináció triviálistól különböző. Másodjára tegyük fel, hogy az előbbi vektorrendszer lineárisan függő, azaz a zérusvektor triviálistól különbözően is kombinálható belőlük: M
¢"ŸªOGŸ Q£j–j–j‘Q”¢ ¡žOz¡ miközben az együtthatók között van zérustól különböző. Legyen ez a zérustól különböző együttható pl ¢ˆ¡ Ez azt jelenti, hogy Oƒ¡ kifejezhető a többi szabadvektor segítségével: Oz¡
 ˆ¢¢)¡ Ÿ OGŸ  j–j–j  ¢ ¢ ¡‚ƒ¡ Ÿ Oz¡‚ƒŸ H 2.5 Tétel (A lineáris függőség geometriai jelentése) Egy szabadvektor önmagában akkor és csakis akkor alkot lineárisan függő rendszert, ha nullvektor. Két szabadvektor akkor és csakis akkor alkot lineárisan függő rendszert, ha egy egyenesen reprezentálhatók. Három szabadvektor akkor és csakis akkor alkot lineárisan függő rendszert, ha egy síkon

reprezentálhatók A szabadvektorok bármely legalább négytagú vektorrendszere lineárisan függő. VEKTORRENDSZEREK FÜGGETLENSÉGE, BÁZIS 9 Bizonyítás: A zéróvektort tetszőleges számmal szorozva zéróvektort kapunk, tehát az egyetlen zéróvektorból álló vektorrendszer lineárisan függő. Legyen ¢ˆO
M , de ¢
Žg Ekkor D ¢ Dj‚L^OL
g , ami csak úgy lehet, ha O
M . A továbbiakban tegyük fel, hogy a megadott vektorrendszerben nincs lineárisan függ ő részrendszer. (Ha van, akkor az állítások triviálisak)  pontjaira    Ha két vektor közös egyenesen reprezentálható, akkor ezen egyenes 
nyilván megfelelő töröttvonal. Megfordítva, legyen a kéttagú vektorrendszer lineárisan függ ő. A kétoldalú nemelfajuló töröttvonal két csúcspontot tartalmaz. Az ezekre illeszked ő egyenesen mindkét szabadvektor reprezentálható. Legyen három vektor közös síkban reprezentálható! Ebben a síkban jelöljük ki az egyik 

 szabadvektor reprezentánsát: $ .  -n keresztül húzzunk párhuzamost a második, míg n keresztül a harmadik szabadvektorral Mivel feltettük, hogy az utóbbi két  vektor lineárisan független, ezért a két egyenes metszi egymást egy « (síkbeli) pontban.  «Ž a keresett töröttvonal. A megfordítás onnan következik, hogy háromoldalú zárt töröttvonalnak három csúcsa van, melyekre illeszkedő mindhárom vektor reprezentálható. ¬z ­ síkban ) szabadvektorok négytagú vektorrendszere. ®"Ÿ legyen olyan sík, melyben Legyen (O P ²’´ ² ¯ ° ± ²³ 1.5 ábra Nincs négy lineárisan független szabadvektor $O P ¬z­‹ , míg ®(µ olyan sík, melyben  reprezentálhatók (1.5 ábra) A két sík metszésvonalán  pontokat.  -n kereszjelöljük ki a 
 -keresztül húzzunk párhuzamost O -val ( ¶ egyenes),  ®‹Ÿ .  -n keresztül húzzunk párhuzamost ¬ -vel (º egyenes), tül P -vel (· egyenes). ¶¸¹·
« ­  -n

keresztül -vel ( egyenes.) º)¸8
»  ®[µ «  »  a keresett töröttvonal 2.6 Tétel Bármely három lineárisan független szabadvektorból álló vektorrendszerből a tér tetszőleges vektora egyértelműen kombinálható. Ha adott két lineárisan független szabadvektor, akkor ezekből mindazon vektorok egyértelműen lineárisan kombinálhatók, melyek velük egy síkban reprezentálhatók. 10 A SZABADVEKTOROK VEKTORTERE Bizonyítás: A lineáris függetlenség miatt a tér bármely szabadvektora legfeljebb egyféleképpen kombinálható 3 lineárisan független szabadvektorból. Azt kell belátnunk, hogy legalább egyféleképpen is ¾½T ¿ Legyen ¼ a tér 3 lineárisan független szabadvektora, o pedig a tér tetsz őleges vektora. ¾½ T  ¿ o lineárisan függő rendszer az előző tétel miatt, tehát belőlük a zérusvektor triviEkkor ¼ álistól különbözően is kombinálható: ¢)Ÿ¼ƒQ”¢ µ ½ ” Q ¢ À¿ Q ¤ o
M H ½T

¿[ A ¤ együttható biztosan zérótól különböző, ellenkező esetben ugyanis az ¼™Á vektorrendszer¤ —
g ből a½T zérusvektor triviálistól különbözően is kombinálható lenne. Ha , akkor o kifejezhető ¿ a $¼ªÁ lineáris kombinációjaként: o
 ¢"¤ Ÿ ¼  ¢ˆ¤ µ ½  ¢ ¤ À ¿)H A második állítást analóg módon bizonyítjuk. 2.7 Definíció A térben szabadvektorok háromtagú lineárisan független rendszerét bázisnak ne¾½T ¿ egy bázis Egy o szabadvektornak erre a bázisra vonatkozó koordinátáin vezünk. Legyen ¼ azt az egyértelmű $ÂKŸ ’µ ’À számhármast értjük, melyre ÂKŸ™¼ƒQR’µ ½ QR’À ¿
o H V½T ¿ 2.8 Tétel (Műveletek és koordináták kapcsolata) Legyen $¼ bázis a szabadvektorok terében, à és Ä két tetszőleges vektor, melyek koordinátái az előző bázisra vonatkozóan ¾ÅŸ ÅSµ ÅSÀ és $ÆKŸ ƕµ ÆTÀ . Legyen ¢ np tetszőleges skalár! Ekkor

ÃcQZÄ koordinátái ŒÅ Ÿ•Q9Æ?Ÿ ÅSµKQ9ÆTµ ÅSÀQ9ÆTÀ ; ¢ˆÃ koordinátái pedig ¢ˆÅ[Ÿ ¢ ÅSµ ¢ ÅSÀ . Bizonyítás: Ã&QÇÄ

¾Å+ŸÈ¼zQCÅSµ ½ QCÅSÀ ¿ Q—$ÆKŸ¼zQCÆTµ ½ QCÆTÀ ¿
¾Å+Ÿ QCÆ?Ÿ ¼zQ—¾ÅSµ)QCÆTµ ɽ QŽŒÅSÀQRƕÀ ¿)H Továbbá: ¢ˆÃ

¢Ê¾Å+Ÿ¼ƒQÇÅSµ ½ ½ QÇÅSÀ ¿ ¿
H ¢ˆÅ+Ÿ™¼ƒQ”¢ ÅSµ QR¢ˆÅSÀ 3. Szabadvektorok skaláris szorzata A középiskolából is ismert skaláris szorzat bevezetéséhez és tanulmányozásához szükségünk lesz az (egyenesre ill. irányra) vonatkozó merőleges vetítés fogalmára, s mindenek előtt vektorok szögének definiálására. 11 SZABADVEKTOROK SKALÁRIS SZORZATA ˜  3.1 Definíció Az O és P vektorok közös kezdőpontból induló reprezentánsai legyenek  és ˜ Az O és P szögén derékszöget értünk, ha a vektorok valamelyike nullvektor, egyébként az  ˜  Ë . szöget (Mely szög független a

reprezentánsok választásától). Két vektort merőlegesnek mondunk, ha szögük derékszög. Egy vektort merőlegesnek mondunk egy síkra, ha van a síkra merőleges reprezentánsa. 3.2 Tétel (Szabadvektor felbontása adott szabadvektorral párhuzamos és arra merőleges komponensekre) Legyen Ì
M tetszőlegesen rögzített szabadvektor A tér bármely à vektorához egyértelműen léteznek olyan Ã!Í -vel és à Π-el jelölt vektorok, hogy Ã
Ã Í QÇà Πahol Ã Í L^Ì és à ÎnÏ Ì H Az Ã)Í vektort az à vektor Ì vektorral párhuzamos összetevőjének, míg az Ã)Î vektort az à vektor Ì vektorra merőleges összetevőjének mondjuk. ÃIÍ -re használjuk még az à vektor Ì -re vonatkozó merőleges vetülete elnevezést is. Bizonyítás: Feltehetjük, hogy Ã
M . A felbontás létezését egyszerű geometriai úton könnyen )˜ ™ } } ˜ ˜ ˜ bizonyíthatjuk. Legyen   à , Ì , ® legyen "˜ ª az pontra illeszkedő, s

- -re U U U merőleges sík,  a  merőleges vetülete ® -re,  pedig - -re: ld. 16 ábra Ñ ; ; \ Ð ; 1.6 ábra Szabadvektor felbontása adott szabadvektorral párhuzamos és arra mer őleges komponensekre ™> U ˜
à  T Q‘> ˜  nyilván megfelelő felbontás, tehát à Í
 U> > U ˜ ‘> U U ˜
   ª > Q    UU, Ã Î
˜  U. A felbontás egyértelműsége. Tegyük fel, hogy Ã
ß[QCċÒ
Ã+µ)QÇÄ[µ Ekkor: ß Ã[µTL^Ì ÃŸ  Ã[µ
ÄŸ  Ä[µ H ÄŸ Ä[µ Ï Ì H Mivel a bal oldalon Ì -vel párhuzamos, ugyanakkor a jobb oldalon arra mer őleges vektor áll, ezért mindkét oldal nullvektor, ahonnan következik az állítás. 12 A SZABADVEKTOROK VEKTORTERE  3.3 Definíció Legyen Ì
M , az à J vektor Ì -vel párhuzamos össztevője Ã)Í . Legyen ÓSԏŒÃ
az a szám, melyre Ã)Í ÓƒÔ¾Ã j“Ì?† . A ӃԐ¾Ã számot az à vektor Ì -re vonatkozó

merőleges vetülete előjeles hosszának nevezzük. 3.4 Tétel ÓSԏŒÃ
LÃÊLBj–Ղ֏×Ø , ahol Ø az à és Ì szöge. Bizonyítás: A 1.7 ábra alapján könnyen látható Ñ Ù \ Ñ Ù Ù \ Ù 1.7 ábra 3.5 Tétel Legyen Ì
M . A ÓSÔ+uEJ továbbá  p leképezés additív és homogén, azaz Úà ӃԏŒÃ9QCÄ
ӃԏŒÃ QCӃԏŒÄ žÛ Ä  J : Ӄԏ¢ Ã
¢njtӃԏŒÃ žH Bizonyítás: Az additivitás: Ã
Ä
ӃԐ¾Ã –j Ì † QÇà ΠH ӃԐ¾Ä j–Ì † C Q Ä Î Adjuk össze a két sort: Ã,QÇÄ
¾ÓƒÔ¾Ã QCӃԏŒÄ È Ì † QŽŒÃ Î QCÄ Î ^H Mivel Ã Î Ï Ì és Ä‹Î Ï Ì , ezért à Πés ċΠugyanabban az Ì -re merőleges síkban reprezentálhatók, tehát šezek összege is ebben a síkban reprezentálható. Megállapíthatjuk tehát, hogy ŒÓƒÔŒÃ QCӃԏŒÄ ÌK†TL^Ì míg ŒÃ Î9Q”Ä‹Î Ï Ì , tehát az ÍQ”Ä vektort az Ì -vel

párhuzamos és arra merőleges összetevőre bontottuk. Azaz ӃԏŒÃ9QCÄ
ӃԏŒÃ QCӃԏŒÄ žH 13 SZABADVEKTOROK SKALÁRIS SZORZATA A homogenitás: Ã
ӃԏŒÃ j–Ì † QÇà ΠH Szorozzuk mindkét oldalt ¢ -val: ¢ Ã
ˆ¢ ӃԏŒÃ –j Ì † Q”¢ à ΠH Itt ¢ ӃÔTŒÃ j?ÌK†L^Ì , továbbá ¢ˆÃ Î Ï Ì , azaz az ¢ à vektort Ì -vel párhuzamos, s arra merőleges összetevők összegére bontottuk. Tehát Óԏ¢ Ã
¢ ӃԐ¾Ã 3.6 Definíció Az O és P szabadvektorok belső szorzat án vagy skaláris szorzatán azt az OjP -vel jelölt számot értjük, amely egyenlő O és P hosszának és két vektor által bezárt szög cosinusának a szorzatával. Vektorok skaláris szorzatának jelölésére használatos még a OzP (pont nélkül), a $O P jelölés is. A definíció közvetlen következménye az alábbi tétel: ÜO PÝ , illetve a Úo  J : LocL µ
o+o . Az O
M és P
M szabadvektorok

által bezárt Ø szögre OGÞ , továbbá fenáll az ún. Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség: fenáll, hogy Õ ÖT×(Ø
^L OLL^P L D OzPcD“`L^O‹LL^P L ahol egyenlőség akkor és csakis akkor teljesül, ha ß és P lineárisan függők. Két vektor akkor és 3.7 Tétel csakis akkor merőleges egymásra, ha skaláris szorzatuk zérus. 3.8 Tétel OzP
ÓSàS$O jzL^PcL . Ha Ì egységvektor, akkor OzÌ
ÓSԏŒO . Bizonyítás: Következik 3.4-ból 3.9 Tétel Vektorok belső szorzása azaz a JáâJ  cp Œ O P Iy zO P belsőszorzat függvény rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal. Minden szám esetén (1) Szimmetrikus: OzP
PˆO (2) Mindkét változóban additív: ŒOQCP ¬
O ¬ QÞ z¬ O $PâQ K¬
zO PâQ”ß ¬ (3) Mindkét változóban homogén: fƒO P
fˆ$OzP ,O fSP
fƒOzP O P ã vektor és f 14 A SZABADVEKTOROK VEKTORTERE (4) Pozitív definit: OzOn› g , OzO
ŽgAä9 ß
M H Bizonyítás: (1): Az O és P

vektorok Ø szöge a definíció szerint nyilván ugyanaz, mint a P vektorok szöge. OzP
L^OLÊjEL^PcLYj–Õ ֏×Ø
L^PcLBjEL^O‹LÊjtՂ֏×GØ
P‹O H és O (2): Az (1) miatt elegendő az egyik oldali, mondjuk a baloldali additivitást belátni. ŒOQCP ¬
ÓSåTŒOQRP jzL ¬ L
¾ ÓSå•$O QÇÓSåTŒP È jzL ¬ L
SÓ åOZjzL ¬ LQCÓSå•ŒP jzL ¬ L
O ¬ QRP ¬zH (3): Elegendő csak az egyik oldali homogenitást ellenőrizni. fƒO P
ÓSàfƒO L^PcL
fƒÓSàSŒO L^PcL
fZjtOzP H (4) következik 3.7-ból 3.10 Definíció A szabadvektorok vektorterében egy bázist ortonormáltnak mondunk, ha egymásra merőleges egységvektorok alkotják 3.11 Tétel Létezik ortonormált bázis V½– Bizonyítás: Legyen $¼ két egymásra merőleges egységvektor. Reprezentáljuk ezt a két vektort egy síkban, s tekintsünk egy olyan egységvektort, mely erre a síkra mer őleges egyenesen reprezentálható. (Geometriailag látható, hogy

két ilyen vektor van; ezek közül kell az egyiket ¿ ¾½ T š¿ kiválasztani.) Jelölje ezt a vektort ! ¼ egymásra merőleges egységvektorokból álló bázis. Az ortonormáltság definíciójából látható, hogy
g ‹¿+¿
Š ¼ ¿ —
gH ¼$¼
Š ¼ ½
—g z½½
Š z½ ¿ — ªç ^è 3.12 Tétel bázist alapulvéve az ß
¢IŸ™æ3á Q ¢ µç v Q ¢ˆÀ ç U¢ æ"QR¢ U ç QREgy U¢ ç æ vektorokortonormált belső szorzata Ÿ µ À OEO U
¢"ŸÈ¢ UŸ Q”¢ µ^¢ Uµ QR¢ˆÀ^¢ UÀ H és az ß U
3.13 Tétel Alkalmazzuk a belső szorzás műveleti tulajdonságait, valamint az előbbi megjegyzést: OzO U
$ ¢"ŸÈ¼EU Q”¢ µ ½ QR¢ˆU À½ ¿ $¢ UŸ ¼EUQ”¿ ¢ µU ½ QR¢ UÀ ¿
¢)ŸÈ¢ Ÿ ¼¼“Q”¢)ŸÈ¢ µ ¼ Q”¢)Ÿ¢ À ¼ Q
¢ µ^¢ UŸ ½ ¼ƒQ”¢ µ¢ Uµ ½é½ Q”¢ µ^¢ UÀ ½ ¿ Q
¢ À^¢ UŸ ¿ ¼zQR¢ˆÀ^¢ Uµ ¿½ Q”¢ À¢ ÀU ¿+¿

¢)ŸÈ¢ UŸ QR¢ˆµ^¢ Uµ Q”¢ À^¢ UÀ

(3.13) KÜLSŐ SZORZÁS, VEGYES SZORZÁS 15 ªçˆ^è‹ 3.14 Tétel. Ha $æ ortonormált bázis a szabadvektorok vektorterében, akkor tetszőleges  o J vektor egyértelműen előállítható a következő alakban: o
¾ o‹æ æ"QŽŒo ç+$ç Q—Œo è šè"H ¾½T ¿ ortonormált bázisra ÂEŸ , •µ , ’À , azaz Bizonyítás: Jelölje o koordinátáit az ¼ o
Ÿ¼EQR’µ ½ QC•À ¿H Szorozzuk az előbbi egyenlőség mindkét oldalát skalárisan ¼ -vel: o ¼
ÂKŸH j‘¼$¼EQC•µIj ½ ¼zQC•ÀIj ¿ ¼

ÂKŸ Hasonlóan kapjuk a második és harmadik koordinátát. 4. Külső szorzás, vegyes szorzás A skaláris szorzás két szabadvektorhoz számot rendel. Egy másik szorzástípus két szabadvektorhoz szabadvektort rendel, ez az ún vektoriális, vagy küls ő szorzás Ennek először szemléletes fogalmát adjuk meg, mely egy fizikai szabályra, a jobbkézszabályra támaszkodik. A továbbiakban tisztázzuk

majd a vektoriális szorzás olyan bevezetését is, mely fizikai fogalmakra nem támaszkodik. Bevezetünk még egy harmadik szorzást, az ún vegyes szorzást, ez három vektorhoz rendel számot 4.1 Definíció (A vektoriális szorzás szemléletes fogalma) vektoriális szorzás on egy olyan u•JbâJ  J J -ben adott külső szorzáson, vagy ŒO P !y 8 O ¹P műveletet értünk, mely eleget tesz az alábbi tulajdonságoknak: 1. Ha a tényezők lineárisan függők, akkor a szorzat értéke nullvektor Egyébként: 2. Az O8nP szorzat mindkét tényezőjére merőleges 3. L^O:êPcL megegyezik O és P egy pontból indulóË reprezentánsai által kifeszített paralelo^H gramma területével: L^Oâ¹PcL
L^OLBjzL^PcLYj–ךë‡ì $O P 4. Jobbkézszabály: $O P OíêP egy pontból iduló reprezentánsai úgy következnek,mint a jobbkéz (hüvelyk, mutató, középső) ujja. (Miközben a középső ujj a tenyérre merőlegesen áll.) A harmadik tulajdonság

egyszerűen átfogalmazható a következ őképpen: 4.2 Tétel (Lagrange azonosság) Bizonyítás: L^OnnPcL µ
L^O‹L µ L^P L µI $OEP µ H L^OL µ L^P L µ  $OEP µ
^L O‹L µ L^P L µ  L^OL µ L^PcL µ j–Õ Ö× µ Ë $O P

L^OLÊj“L^P LBjtךëîì Ë $OEP È µ
^L^Oâ¹PcL µ H 16 A SZABADVEKTOROK VEKTORTERE Másod- és harmadrendű determinánsok Mielőtt rátérünk a vektoriális szorzás olyan bevezetésére, mely a jobbkézszabályt nem használja, szükségünk lesz néhány algebrai jellegű segédeszközre. 4.3 Definíció Legyenek ¶ számot értjük. Legyenek ¶zŸ · º  np . ï ee ¶ ee º ¶Kµ K¶ À · Ÿ ·µ ·À tº Ÿ º^µ ee ¶EŸœ¶µñ¶KÀ ee ee · Ÿ ·µ ·^À ee
z¶ Ÿj ee ºtŸ º^µ ºžÀ ee ï -es determinánson a · ee
 e e ¶ j–  ·Ij‘º º^À np . = ð ¹ð -as determinánson a ee ·µò·À ee º^µóºžÀ ee · Ÿô·À ee ºtŸôº^À ee  e ¶ µ!j e ee ee

Q”¶À!j ee · Ÿô·µ ee ºtŸœº^µ ee ee számot értjük. 4.4 Tétel A ð=¹ð -as determináns kiszámítása Sarrus szabállyal . 4.5 Definíció Legyen rögzítve J -ben egy  J , vektoriális szorzaton a JbâJ õ
$¼ ¾½• ¿ ortonormált bázis. A õ -re vonatkozó ee ¼ ½ ¿ e e e e e e !y ½ ¿ $ O P  jel.
n O 8P
ee ¶· µ µö¶·À À ee j‘¼  ee ¶E· Ÿ Ÿœ¶·À À ee j Q ee ¶z·tŸ Ÿ÷¶·µ µ ee j jel.
ee z¶ Ÿœ¶µñ¶À e e e e e e ee t· Ÿ ·µ ·À ½ ¿ ½ ¿ leképezést értjük, ahol O
¶ƒŸÈ¼zQR¶µ QR¶À és P
·tŸÈ¼EQ”·µ Q”·À .  p , A õ -re vonatkozó vegyes szorzaton a JbâJbâJ ŒO P ¬K!y jel.
D O P ¬ D
ŒOâ¹P ¬K leképezést értjük. ee ee ee N Hangsúlyozzuk, hogy a bevezetett két szorzás definíciója pillanatnyilag függ a rögzített ortonormált bázistól. Később belátjuk, hogy valójában csak az előjel függ a bázistól, azaz mindkét

szorzás előjeltől eltekintve egyértelmű. Először azt látjuk be, hogya definiált vektoriális szorzás a jobbkézszabálytól eltekintve visszaadja a vektoriális szorzás szemléletes fogalmát. 4.6 Tétel 1 O}j?$Oâ¹P
Pj?$Oâ¹P
Žg , azaz O8nP merőlegesH mind O -ra, mind P -re µ µ µY $OzP µ 2. Teljesül a Lagrange-azonosság: L^Oâ¹P L
L^OL L^PcL 17 KÜLSŐ SZORZÁS, VEGYES SZORZÁS Bizonyítás: A definíció szerint ki kell számolni. 4.7 Tétel Oâ¹P
M äZ O és P lineárisan függők. Bizonyítás: Az állítás nyilván igaz, ha O vagy P valamelyike zérusvektor. Egyébként: Oâ¹P
M ä9 L^Oâ¹PcL
gAä9 L^OL µ jzL^PcL µ
$OzP µ használva a Lagrange azonosságot. Ez utóbbi reláció csak akkor állhat fönn, ha Õ‚Ö× Š äZ Ë ŒO P
Žg3ø Ë ŒO P
Ó . µ  Ë Œ O P
4.8 Tétel A szabadvektorok vektoriális szorzása rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: ÚGO J vektorokra és ¢ np

skalárra: (1) Ferdén szimmetrikus: P ¬Z O8nP
 PCnO (2) Mindkét változójában lineáris: $OQCP  ¬¬K
O8 ¬ QCPÇ ¬z¬z $¢‹O ¹P
¢Ê$O8nP ž OâC$P&Q
O8¹PQRO8 OâC$¢‹P
¢ÊŒO8¹P ½ ¿ ½ ¿ ¬ ½ ¿ Bizonyítás: Legyen O
¶zŸÈ¼(Qù¶µ Q¶À , P
· ŸÈ¼GQ·µ Q£·À ,
ºtŸÈ¼(Qùº^µ Qº^À . Az első tulajdonság bizonyításához használjuk ki a ï9êï -es determináns alábbi, könnyen ellen őrizhető tulajdonságát: ee ¶ · ee
 ee º  ee H ee º  ee ee ¶ · ee Tehát: e e e e e e PǹO
ee ¶·µ µñ¶·À À ee ¼  ee ¶E· Ÿ Ÿœ¶·À À ee ½ Q ee ¶z· Ÿ Ÿ÷¶·µ µ ee ¿
e e e e e e e e e e e e
 ee ¶µñ¶KÀ ee ¼ƒQ ee ¶zŸ÷¶À ee ½  ee ¶EŸô¶µ ee ¿
 OnnP H e ·µ ·^À e e ·tŸ ·À e e · Ÿ ·µ e A linearitást szintén egyszerű determináns-tulajdonságok alapján látjuk be: ee ¶ · ee º"QRú Q”û ee
ee ¶ ·

ee ee ¶ ee ee º  ee Q ee ú illetve: ee ¢¶ ¢· ee
ee ¶ · ee
ee ¶ ee º  ee ee ¢‹ºö¢ ee ¢ ee º e e e O8ÇŒPâQ K¬
ee ·^µ¶Q”µ º^µó·^À)¶ Q”À º^À ee ¼  ee · Ÿ ¶zQRŸ º–Ÿ÷·À)¶KQRÀ ºžÀ e e e HtHtH · ee Û û ee · ee H  ee ee ½ ee z¶ Ÿ ¶µ ee Q ee · Ÿ R Q º–Ÿœ·^µQ”º^µ e ee ¿
e 18 A SZABADVEKTOROK VEKTORTERE $¼ V½T ¿ ½  ¿
¼ 4.9 Tétel Vonatkozzon a vektoriális szorzás az ¼  ½
¿ Bizonyítás: Egyszerű számolás. ortonormált bázisra. Ekkor: ¿ ¼
½TH $ ¼ ¾½• ¿ ortonormált bázisra. Legyen O
¶EŸÈ¼EQ”¶µ ½ ” Q ¶À ½ P ¬
· ŸÈ¼EQd·µ ½½ QR· À ½•½ H
ºtŸÈ¼zQRºžµ QRºžÀ 4.10 Tétel Vonatkozzon a vegyes szorzás az Ekkor ee ¶zŸœ¶µñ¶À ¬ D O P D
ee t· Ÿ ·µ ·À ee º–Ÿ º^µ º^À ee ee H ee Bizonyítás: Ki kell számolni. 4.11 Tétel A vegyes szorzás mindhárom változóban lineáris

Bizonyítás: Következik a vektoriális szorzat és a skaláris szorzat bilineáris tulajdonságából. 4.12 Tétel A vegyes szorzás alternáló, azaz D O P ¬ D
D P ¬z OD
D z¬ O PcD D O P ¬ D
 D P O ¬ D
 D O ¬z cP D
 D ¬z P OD H Bizonyítás: Először azt vegyük észre, hogy ha a vegyes szorzatban két tényez ő ugyanaz, akkor a vegyes szorzat értéke 0. ¬ D
D P O ¬ D következik a vektoriális szorzás Térjünk rá az alternálás bizonyítására! D O P ferde szimmetriájából. gx
D O PQ ¬z PQ ¬ D
D O P PcD‚QvD O P ¬ DžQAD O ¬z P D‚QAD O ¬z ¬ D
D O P ¬ DžQvD O ¬z PcD H ¬ D
Žg akkor és csakis akkor teljesül, ha $O P ¬K lineárisan függő vektorrend4.13 Tétel D O P szer. ¬K lineárisan független vektorrendszer, akkor e D O P ¬ D e , megegyezik ŒO P ¬K egy Ha $O P e e pontból induló reprezentánsai által kifeszített paralelepipedon térfogatával. ¬K Bizonyítás: Ha $O P ¬ lineárisan

függő vektorrendszer, akkkor valemelyik lineárisan kombinálható a többiből, pl.
¢‹OQ ¤ P Ekkor D O P ¬ D
D O P ¢‹OQ ¤ PcD
¢ D O P OD‚Q ¤ D O P PcD
Žg H ¬K lineárisan függetlenek: Legyenek most $O P $O8¹P j ¬
Ó+üþý•ÿ
à  ¬K jEL^O8nPcL H L^O:PcL a paralelepipedon egyik lapja területe, Ó üþý•ÿ
à š ¬K pedig előjeltől eltekintve pontosan a hozzá tartozó magasság. 19 KÜLSŐ SZORZÁS, VEGYES SZORZÁS 4.14 Tétel (A vektoriális¾½•szorzás meghatározottsága.) A vektoriális és vegyes szorzás vonat¿ •
kozzon a rögzített õ $¼ ortonormált bázisra. Ha  o tetszőleges ortonormált bázis, 
 D Š , továbbá ha akkor D  o O
)¢ Ÿ&Q”¢ šµ oQR¢ˆÀ  P
¤ Ÿ&Q ¤ µ oQ ¤ À K akkor Oâ¹P
D  o ee  o  D–j ee ¢"Ÿœ¢ˆµó¢ˆÀ ee ¤ Ÿ ¤ µ ¤ À  ee ee H ee Azaz a különböző ortonormált bázisokra vonatkozó vektoriális szorzatok

legfeljebb előjelben különböznek. Bizonyítás: Az első állítás onnan következik, hogy egy ortonormált bázis egy pontból induló reprezentánsai által kifeszített paralelepipedon speciálisan egységkocka. 
A következő lépésben azt látjuk be, ha D  o D Š , akkor a következő szorzótábla érvényes:  }> BBB B  }}} o o azaz míg D  o  D
 Š íno
K ê o   esetén }}  }~ } azaz 
   `B BB B /  
o Û o êno
 K oê 
    
 o H 
 Csak annyit látunk be, hogy esetén teljesül, a többi állítás igazolása D  o D Š Co
• analóg. Mivel  o bázis: KH êno
¢ &Q ¤ o,Q  Szorozzuk mindkét oldalt skalárisan rendre -el,  -val, o -vel: 
Š , ¢
g , ¤
g . 
Legyen D  o D Š . O,&P kiszámításához használjuk ki a vektoriális szorzás linearitását és  az előbbi szorzótáblát: On8P
 ¢)ŸQ”¢ µšo&Q”¢ À • C ¤ ŸQ ¤

µšoQ ¤ À T

¢"Ÿ ¤ Ÿê &Q”¢)Ÿ ¤ µÇ8o&Q”¢)Ÿ ¤ ÀÇ  Q Q”¢ µ ¤ Ÿ™oÇ QR¢ˆµ ¤ µ oêno&Q”¢ µ ¤ À oÇ  Q Q”¢ À ¤ Ÿ   QR¢ˆ À ¤ µ  8o&Q”¢ À ¤ À   

¢)Ÿ ¤ µ  ¢ˆµ ¤ Ÿ  $¢"Ÿ ¤ À  ¢ À ¤ Ÿ o,Q—$¢ˆµ ¤ À  ¢ À ¤ µ 
20 A SZABADVEKTOROK VEKTORTERE ee  o 
ee ¢)Ÿô¢ µñ¢ À ee ¤ Ÿ ¤ µ ¤ À ee ee H ee 4.15 Definíció Azt mondjuk, hogy J -t egy irányítással láttuk el, ha a két vektoriális szorzás közül kijelöltük az egyiket. (Azaz rögzítettünk egy ortonormált bázist, s a vektoriális szorzás erre vonatkozik.) • Egy  o lineárisan független vektorhármast jobbsodrásúnak vagy jobbrendszernek ne vezünk, ha D  o Dk g , balsodrásúnak vagy balrendszernek, ha D  o  Dm g . Felhívjuk a figyelmet, hogy a jobbsodrás előbbi definíciója nem támaszkodik a jobbkézszabályra, s nem is alkalmas arra,

hogy a jobbkezet és a balkéztől matematikai módon megkülönböztessük. A most definiált jobbsodrás fizikailag pusztán annyit jelent, hogy amilyen kéz szabályát követi • is. (Tehát az irányítást definiáló rögzített ortonormált bázis, ugyanolyan szabályt követ  o ha a rögzített ortonormált bázis történetesen „balkézszabályt” követ, akkor a jobbsodrás éppen • azt jelenti, hogy  o is balkézszabályt követ.) Œ O P vektorrendszer lineárisan független, akkor $O P Oâ¹P ŒO P O8¹P
Œ Oâ¹P j?ŒOnnP
L^Oâ¹P L µ k g . GÚ O P ¬} J szabadvektorokra fenáll az ún. kifejtési szabály: Onê$PC ¬K
O ¬ jtP  OEPj ¬zÛ 4.16 Tétel Ha az Bizonyítás: 4.17 Tétel jobbsodrású. és az ún. Jacobi azonosság: Onê$PC K¬ C Q PCÇ ¬ ¹O Q ¬ C$O8nP
M H Bizonyítás: Mindkét állítást be lehet úgy látni, hogy ortonormált bázis felvétele után koordinátákkal kiszámítjuk mindkét oldalt.

Ez a hosszadalmas számolás azonban teljesen elkerülhet ő a Jacobi azonosságnál, s lényegesen egyszerűsíthető¬ a kifejtési szabálynál. Kezdjük a kifejtési ¬
M , s így a bal oldalon M áll. A függőség szabállyal. Ha P és lineárisan függők, akkor PC ¬ ¬ miatt P és közül egyik a másiknak skalárszorosa, pl.
 P Számítsuk ki a jobb oldalt: O ¬ j–P  OzP¹j ¬
 jtOEPj–P  jtOEPj–P
M H ¬ lineárisan függetlenek. Vegyünk fel úgy ¼ ¾½T ¿[ pozitív ortonormált bázist, Legyenek most és P ¬ ¿ ¿ ½ ¬ hogy
?À , és ugyanabban a síkban legyen reprezentálható, mint és P , tehát P
¤ µ ½ Q ¤ À ¿H Ebben a bázisban fejezzük ki O -t:  O
¢"ŸÈ¼EQ”¢ µ ½ R Q ¢ˆÀ ¿)H 21 EGYENESEK ÉS SÍKOK Ezek után O8Ç$PC K¬
 ¢)ŸÈ¼zQR¢ˆµ ½ Q”¢ À ¿ C   ¤ µ?À ¼
 ¢ µ ¤ µ ?À ¿ Q”¢ À ¤ µ ?À ½TH A jobb oldal: O ¬ –j P  zO Pj ¬

¢ˆÀ“šÀ P  ¢

µ ¤ µ)QR¢ˆÀ ¤ À Ȭ

¢ˆÀ“À ¤ µ ½ R Q ¢ˆÀ?À ¤ À ¿  ¢ µ ¤ µ ?À ¿  ¢ À ¤ À ?À ¿
¢ˆÀ ?À ¤ µ ½  ¢ µ ¤ µ ?À ¿)H A Jacobi azonossághoz alkalmazzuk a kifejtési szabályt: O CŒPÇ K¬ R 8 Q PêC ¬ n  O Q ¬ Ç  $O8¹P
¬ ¬ ¬ ¬ ¬
O jtP  OzPj QC‹P O}j  P –j OQ n P j–O  ¬ O}–j P
M H 4.18 Tétel Legyen Ì egységvektor Az à vektor Ì vektorra merőleges összetevője à Î
ŒÌ,nà ¹Ì H Bizonyítás: Alkalmazzuk a kifejtési tételt: ŒÌ,8à 8Ì
 Ì,C$Ì9nÃ
 ̐Ãnj–ÌQRÌKÌj Ã
 Ã Í Ç Q Ã azaz Ã
Ã Í Q—ŒÌ,nà ¹Ì tehát a jobb oldali második tag valóban ÃÎ . 5. Egyenesek és síkok ˜ pontjának rögzítése után a    5.1 Definíció  egy ˜ szabadvektort értjük. -t origónak is mondjuk E>  ˜ pont helyzetvektorán a  J 5.2 Definíció Egy egyenes irányvektorán az egyenesen reprezentálható nem zéróvektort értünk 5.3

Tétel (Az egyenes paraméteres előállítása) Origó rögzítése után egy egyenes pontjainak helyzetvektorai és csakis ezek előállíthatók Ã
à † Q o  8p N alakban, ahol à az egyenes egy pontjának helyzetvektora, o pedig az egyenes egy irányvektora. † Megfordítva, ha à és o
M adottak, akkor  N egy egyenes pontjai helyzetvektorainak halmazát † állítja elő. 22 A SZABADVEKTOROK VEKTORTERE w pontjának helyzetú egyenes, melynek egy irányvektora o , az S  “  > † w  wnw az egyenesen reprezentálható vektor. vektora pedig à . S?> ú äZ Ez pontosan azt † wnw † jelenti, hogySo E> és lineárisan függők, vagyis az egyik a másiknak skalárszorosa. Mivel † ¹ w w o
M ezért †
 o bizonyosan fennáll valamely  8p -re. Tehát “w > Œ> ’> wó ú äZ w¹
w ˜ Q ˜ w
à  à 
o H † † † ’w > w šw Ê  w zwK ˜
Megfordítva, legyen à , . Ekkor az első rész állítása

szerint, az † Ÿ † N†  † Ÿ o Bizonyítás: Legyen adott az egyenes paraméteres előállítása ( ). 5.4 Tétel (A sík paraméteres előállítása) Origó rögzítése után tetszőleges sík pontjainak helyzetvektorai és csakis ezek előállíthatók Ã
à † Q”fƒo&QR‰ f ‰ np N alakban, ahol à a sík egy tetszőleges pontjának helyzetvektora, o és  a síkon reprezentálható † lineárisan független vektorok. Megfordítva, tetszőlegesen adott à és lineárisan független o ,  † szabadvektorok mellett  N egy sík pontjainak helyzetvektorai halmazát állítja elő.  ¢ , továbbá legyenek o és  az ¢ síkban reprezentálható ƒ?> w † äZ w S“> w ö w  w ¢ lineárisan független vektorok. az ¢ síkban reprezentálható, azaz o  † † lineárisan függők, azaz valamelyikük a másik kettő lineáris kombinációjaként. Mivel w S“>kifejezhető o  lineárisan függetlenek, ezért † w biztosan kifejezhető o

és  lineáris kombinációjaként, n  p N ami pontosan azt jelenti, hogy léteznek olyan f ‰ skalárok, hogy ( ) teljesül. Megfordítva, legyenek adva à , o ,  , és ráadásul o és  lineárisan függetlenek. Reprezen† táljuk a vektorokat a következőképpen: Bizonyítás: Tekintsük az ¢ síkot, w Èw šw w  ˜ šw †  à †  w † šw Ÿ Ê o  w † šw µ B  H Az † Ÿ µ pontok nem kollineárisak, ellenkező esetben ugyanis o és  egy egyenesen lennének reprezentálhatók. Erre a három pontra egyértelműen illeszkedik tehát egy sík, melyet jelöljön ¢ . Az első állítas alapján ¢ paraméteres előállítása pontosan ( N ) 5.5 Definíció Egy sík normálvektorán egy síkra merőleges nem zéróvektort értünk 5.6 Tétel (A sík Hesse féle egyenlete) Origó rögzítése után tetszőleges sík pontjainak helyzetvektorai és csakis ezek kielégítik az  ŒÃ  à †
—g N összefüggést, ahol à a sík egy tetszőleges

pontjának helyzetvektora,  pedig a sík egy normál† vektora. Megfordítva, tetszőlegesen adott à -ra és 
M -ra  N egy sík egyenlete † TÉRELEMEK TÁVOLSÁGA ÉS SZÖGE w Bizonyítás: S“> Az adott ¢ síkSE> pontjának helyzetvektora legyen à , egy normálvektora  . 23 w  † w w† j  —
gK ,’ami pontosan ( N )-ot jelenti. > † ˜ w esetén tekintsük az Megfordítva, adott 
M és Ã
† † ƒ“> w w  w á
@ ¢  D † Ï  F S?> w w ˜  Ï  feltétel azt halmazt. Legyen  az irányvektorú, -ra illeszkedő egyenes. Az )  ƒ  ª   † w
w , vagy w w Ï  . Mivel az  egyenesre az w pontban állított jelenti, hogy vagy w † † † merőlegesek mind egy síkban vannak és ez a sík az  egyértelmű -ra illeszkedő normálsíkja, † ezért megállapíthatjuk, hogy a megkonstruált ¢ halmaz sík. Ennek az egyenlete az els ő állítás ¢ äZ w w Ï †  äZ szerint pontosan a megadott egyenlet. 6. Térelemek

távolsága és szöge Hajós: 24.§, 25§ 2. fejezet Vektorterek 7. A vektortér definíciója 7.1 Definíció Legyen  egy test,   leképezés úgy, hogy Ú(¢ ¤  Abel csoport. Ha értelmezve van egy Ç  A és ÚG    Q ¢  "y ˆ¢   : ¢ÊŒÂXQ 
$¢Q ¤ Â
$¢ ¤ Â
ŠtÂ
 ¢‹ÂQ”¢  ¢‹ÂQ ¤  ¢Ê ¤  akkor azt mondjuk, hogy  vektortér  felett.  elemeit skalároknak,  elemeit pedig vektoroknak nevezzük A vektortér definíciójában szereplő 4 tulajdonságot gyakran vektortér axiómáknak is mondjuk össze ne keverjük – Ügyeljünk arra, hogy a test additív neutrális elemét és  neutrális elemét p , vagy 
! . mindkettőt ugyanúgy, g -val jelöljük! Ebben a jegyzetben kizárólag 
A vektortérfogalom hasznosságát az mutatja, hogy nagyon sok, gyakran el őforduló struktúra kielégíti a definíciót: Példa. A szabadvektorok vektortere: J vektortér p felett. Példa. Egy

tetszőleges a klasszikus euklideszi ponttér (azaz  ) is p pont (origó) rögzitése után ˜ ! Két pont összegét(!) értelmezzük a vektortérré tehető felett. Jelölje“> a rögzített pontot z> ?> âQ z >
!" , ha ˜ âQ ˜ 
˜ " , továbbá egy pont számmal való szorzata(!): ¢ 
 , ha ¢ ˜ 
˜  . Az így kapott vektorteret gyakran $# -val jelöljük, s a kötöttvektorok következőképpen: “> vektorterénk mondjuk. 24 25 A VEKTORTÉR DEFINÍCIÓJA Példa. Legyen % Q j test  vektortér önmaga fölött, ahol a skalárral való szorzás a testben R p p & értelmezett szorzás. Speciálisan felett, felett. Példa. p felett is vektortér. Példa. A skalár  -esek tere: $( Q vektortér  felett, ahol az összeadás és skalárral való szorzás komponensenként van értelmezve Példa. Az összes komplex (valós) együtthatós polinomok ) halmaza adást és a skalárral való szorzást az algebra

tárgyban értelmeztük. p ( ) felett, ahol az össze- Példa. A legfeljebb  -edfokú komplex (valós) együtthatós polinomok )*( tere. p Példa. Az -en értelmezett összes valós értékű függvények vektorteret alkotnak függvény összegét és skalárszorosát az analízis tárgyban értelmeztük.) p felett. (Két ˜ F
ó@’g tetPélda. Az ún triviális vektortér egyetlen elemb ől a zéróvektorból áll. Legyen ˜ szőleges egyelemű halmaz,  tetszőleges test. -ban az összeadást, ill a skalárral való szorzás értelmezzük az egyedüli lehetséges módon: g Q g
g , ¢ gx
—g . špB Példa. Legyen  valós vektortér. +a, szorzást a következőképpen értelmezzük: vektortér, ha az összeadást és skalárral való
¶EŸ ¶µ QŽ· Ÿ · µ ¢QC§ ¤ $¶EŸ ¶µ ¶EŸ[Q”¶µ · Ÿ[Q”·µ
¢‹¶zŸ  ¤ ¶µ ¢‹¶Kµ‹Q ¤ ¶EŸ ^H  ¶zŸ K¶ µ helyébe formálisan z¶ Ÿ QA§é¶µ -t, így könnyű

megjegyezni a skalárral való (Képzeljünk szorzás definícióját.) Ezt a vektorteret a  7.2 Tétel Legyen  ÚG A  : komplexifikáltjának mondjuk. vektortér az  test felett. Ekkor teljesülnek a következők g  Š  ¢ g ¢‹Â
Žg

g
+
g  Â ahol ¢
Žg   vagy  Ú(¢ ¤   , a  additív inverze  -ben
—g Bizonyítás: A következő gondolatsor minden egyenlőségénél valamelyik vektortér axiómát használjuk, kivéve az utolsó előtti egyenlőséget, ahol azt használjuk, hogy g a test additív neutrális eleme. g ÂQRÂ
g ÂXQ£ŠtÂ
 g QŠ Â
ŠtÂ
 tehát: Â
—g ÂQR H 26 VEKTORTEREK   -t: g
 g ÂQR — x Q   Â
Žg ÂQ—ŒÂXQ—   È
g X Â Q gx
—g  H Adjuk hozzá mindkét oldalhoz  additív inverzét, azaz A második állításnál már az előbb bizonyított formulát is használjuk: ÂXQŽ  Š Â
ŠtÂXQŽ  Š Â
Š  Š Â
g Â
—g  azaz Â

additív inverze valóban  Š  . A harmadik állításra rátérve: ¢ gx
¢B$Â  Â
‹¢   ˆ¢ Â
g H Végezetül az utolsó állítás. Tegyük fel, hogy ¢ˆÂ
g , és ¢
g Belátjuk, hogy ekkor csak Â
Žg teljesülhet. Â
ŠtÂ
¢ Š ¢ .nÂ
¢ Š ¢ˆÂ
¢ Š gx
—g H 7.3 Definíció A / hogy ˜ 0 és 20 a  01 nemüres részhalmazt a    ÚG A / és ¢ triviális alterei. vektortér alterének nevezzük, ha teljesül,  Ç   A  uÂXQ /  és ¢‹Â  / H
—g is / -ben van. Az összeadás Mivel / nemüres, ezért van benne egy  / vektor, tehát g és a skalárral való szorzás nem vezet ki / -ből, továbbá az összeadás és a skalárral való szorzás tulajdonságai öröklődnek, azaz kimondhatjuk az alábbi tételt:  7.4 Tétel Egy vektortér altere maga is vektortér ugyanazon test felett (az öröklött összeadással és skalárral való szorzással.) Példa. A szabadvektorok J vektorterében

rögzítsünk egy 3 vektort Legyen
@4 5j 3êD  8p F3 íŸ v
@
6 D 6 Ï 3 FIH /µ A / Igazoljuk, hogy /ǟ és /µ altér a szabadvektorok vektorterében. Ezeknek az altereknek egyszerű geometriai jelentése van: ha rögzítünk  -ben egy pontot (origó) és /RŸ ill. /µ elemeit az origóból kiindulva reprezentáljuk, akkor a reprezentánsok végpontjai egy origóra illeszked ő egyenest ill. síkot alkotnak. Példa. Legyen / p ¾Å[Ÿ tHtH H Å ( Ênp ( rögzített vektor. Legyen tH HtH Æ 8p ( D‚Å+ŸÆKŸ+Qj–j–j‘QÇÅ Æ
—g FIH /
á@ ŒÆ?Ÿ ( ( ( altér ( -ben. 27 LINEÁRIS KOMBINÁCIÓK, BÁZIS, DIMENZIÓ Példa. Az összes p  p függvények terében a folytonos függvények alteret alkotnak. 7.5 Tétel Legyenek 7 és / alterei a  vektortérnek Ekkor 7Ǹ8/ szintén altér, amit 7 és / metszetének nevezünk. Jelölje továbbá 7”Q9/ a következő vektorhalmazt: ”Q&/
á@
: Q Ekkor 7”Q&/ szintén altér, amit az 7 és

/ D:   7 A  7 FBH / összegének nevezünk.
< , mert a zéróvektor mindkét altérben benne van. Teljesüljön, hogy 7á¸;/ Bizonyítás:  Å Æ 7£¸/ . Ekkor Å  Æ  7 * Å Æ  / , azaz Å9QdÆ ¢ Å  7 ÅZQùÆ ¢ˆÅ  / , ami azt 7”¸= . jelenti, hogy Å QRÆ ¢ Å  g 7ŽQ/ tartalmazza a vektort, mert g Q gn
g . Teljesüljön, hogy : Ÿ"Q Ÿ  7ŽQ/ és   : µ‹Q µ 7”Q9/ . Ekkor  : Ÿ+Q  Ÿ Q— : µ‹Q µ
 : Ÿ+Q  továbbá ¢B : Ÿ+Q  : µ QŽ  Ÿ+Q  µ Ê R 7 Q9/ H Ÿ
¢ : +Ÿ Q”¢  Ÿ  C 7 Q9/ 8. Lineáris kombinációk, bázis, dimenzió tHtHtH‚ •¡   8.1 Definíció Legyen  vektortér  felett, Â?Ÿ ’µ vektorok, ¢!Ÿ ¢ˆµ HtHtH ¢ˆ¡  )¢ Ÿ™ÂŸ QR¢ˆµ ’µQj–j–j–QR¢ˆ¡‚•¡   tHtHtH‚ ’ ¡ vektorok ¢"Ÿ tH HtH‚ ¢ˆ¡ skalárokkal való lineáris kombinációjának nevezzük. vektort a ÂKŸ skalárok. Az  8.2 Tétel (A lineáris kombináció

tranzitív tulajdonsága.) Ha egy vektortér > vektora lineát H t H H risan kombinálható az Å Ÿ továbbá minden § -re Ŧ lineárisan kombinálható tHtH H ÆBA vektorokból, akkorÅ@>? vektorokból, tHtHtHž ÆBA vektorokból is. az Æ?Ÿ lineárisan kombinálható az ÆEŸ Bizonyítás: Legyen > továbbá
C ? ¤ ¦VѦ ¦EDGŸ ÚG§"Š`ù§!`F uѦ
CG A Ekkor >
C ? ¦EDGŸ ¤ ¦‡Åƒ¦
C ? ¦EDGŸ ¤¦ CG A GŸ D GŸ D G G K¦ Æ
 G G K¦ Æ H  C ? CG A ¦EDGŸ GD Ÿ G G ¤ ¦HK¦ Æ 28 VEKTORTEREK CG A
ami valóban az ƓŸ HtHtHž ÆLA G G C ? GŸ ¦EDGŸ D ¤ ¦HK¦ Æ
CG A GŸ C ? ¦ GŸ D JI ED ¤ ¦HK¦ GK G Æ vektorok lineáris kombinációja. tH HtH 8.3 Tétel Egy  vektortér Â?Ÿ vektorainak összes lineáris kombinációi alteret ’¡ rögzített tH t H H tH HtH‚  vektorok által generált alkotnak  -ben. Ezt az alteret, melyet jelöl, a M$Â?Ÿ ’  ¡

K  Ÿ tHtHtH‚  vektorok lineáris lezártjának nevezzük. ( altérnek, vagy a ÂKŸ ( Bizonyítás: tH HtH ’¡
MX$ÂKŸ nyilván nemüres, mert például a / g ÂKŸ[Qj–j–jtQ g ’¡
—g vektort tartalmazza. Továbbá ¢)ŸÂKŸ+Q£j–j–j‘Q”¢ ¡ ’¡ QŽ ¤ ŸŸ Q£j–j–j–Q ¤ ¡ H ’¡

$¢"Ÿ[Q ¤ Ÿ Ÿ Q£j–j–j–Q—$¢ˆ¡IQ ¤ ¡ •¡ Bebizonyítottuk, hogy két / szorosa: -beli vektor összege szintén / -beli. A / ¢Ê ¤ Ÿ™ÂKŸ+Q£j–j–j‘Q ¤ ¡‚•¡
¢ ¤ Ÿ™ÂŸ[Qj–j–j–QR¢ ¤ ¡žÂ•¡  8.4 Definíció A  N vektortér Â?Ÿ tH HtH ’¡ / -b ől vett vektor skalár- H vektorrendszerét a  generátorrendszerének nevezzük, ha  bármely vektora legalább egyféleképpen lineárisan kombinálható belőlük; N lineárisan független vektorrendszerének nevezzük, ha bármely vektor legfeljebb egyféleképpen kombinálható belőlük; N bázisának nevezzük, ha bármely vektor

pontosan egyféleképpen kombinálható bel őlük. HatHtegy véges vektorrendszer nem lineárisan független, akkor lineárisan függőnek nevezzük. Ha t H ž H  tH t H H Ÿ ’¡ bázis akkor tehát tetszőleges   vektorhoz egyértelműen léteznek olyan ¢IŸ ¢ ¡ skalárok, hogy Az ¢)Ÿ tHtH H ¢ ( skalár  Â
"¢ ŸŸ+Qj–j–j‘QR¢ (  ( H tHtH H  bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük. -est a  vektor ÂKŸ ( Megjegyzés. Az definíciót megelőző tételben véges sok vektor lineáris lezártjáról beszéltünk A fogalmat ki lehet terjeszteni tetszőleges / 0 részhalmaz esetére: / lineáris lezártja a / -beli vektorokkal képzett összes véges lineáris kombinációk halmaza. Az így értelmezett MO/ halmaz szintén a  altere. Erre szintén mondhatjuk, hogy a / által van generálva A továbbiakban a LINEÁRIS KOMBINÁCIÓK, BÁZIS, DIMENZIÓ 29 generátorrendszer elnevezést mindig csak véges vektorrendszerre

használjuk, és ezt hangsúlyozandó gyakran véges generátorrendszerről beszélünk. Megemlítjük, hogy nem minden vektortér végesen generált (azaz nem minden vektortérnek létezik véges generátorrendszere), de a továbbiakban csak olyan vektorterekről lesz szó, amelyek véges sok vektorral generálhatóak. ˜ Megállapodunk abban, hogy az üres vektorrendszer által generált vektortér a , melyet tehát g számú vektorral generált vektortérnek tekintünk. tHtHtH‚ ha 8.5 Tétel Egy  vektortér Â?Ÿ ’¡ vektorrendszere akkor és csakis akkor lineárisan tHtHtH‚ ¢ˆ¡ függő, a zérusvektor nemtriviálisan is kombinálható belőlük, azaz: léteznek olyan ¢BŸ skalárok, hogy van közöttük zérustól különböző, és ¢)ŸÂKŸ[Qj–j–jtQ”¢ ¡ ’¡
—g H tHtH H Bizonyítás: Ha ÂKŸ ’¡ lineárisan függő rendszert alkotnak, akkor definíció szerint van olyan vektor, amely legalább kétféleképpen kombinálható belőlük:

ƒŸ™ÂŸ+Qj–j–j‘Q,?¡‚Â’¡
¤ ŸŸ[Q£j–j–j‘Q ¤ ¡žÂ’¡  és az együtthatók között vannak különbözők. Rendezve:  ¤ Ÿ Ÿ Q£j–j–j–QŽP?¡  ¤ ¡ •¡
g H P ƒŸ Mivel van olyan § , hogy “¦
Ž¤ ¦ , ezért a baloldali együtthatók között van zérótól különböző. tH HtH ’¡ vektorMegfordítva, ha a zéróvektor triviálistól különbözően is kombinálható a Â?Ÿ rendszerből, akkor a zérusvektor legalább kétféleképpen kombinálható, mert triviálisan minden vektorrendszerből kombinálható a zéróvektor. HtHtH 8.6 Tétel Egy  vektortér Â?Ÿ •¡ vektorrendszere akkor és csakis akkor lineárisan független, ha a zérusvektor csak triviálisan kombinálható belőlük, azaz, ha ¢"ŸªÂKŸ[Qj–j–jš¢ˆ¡‚•¡
—g akkor ¢"Ÿ
j–j–j
¢ˆ¡
Žg H Bizonyítás: Az előző állítás kontrapozíciójáról van szó. 8.7 Tétel A bázis nem más, mint N lineárisan

független generátorrendszer; N maximális független vektorrendszer (azaz tetszőleges vektort hozzávéve már nem független); N minimális generátorrendszer (azaz tetszőleges vektort elvéve, már nem lesz generátorrendszer). 30 VEKTORTEREK Bizonyítás: Az első állítás közvetlenül a definíció következménye. t H t H H tHtHtH‚ ú  már nem Legyen most úTŸ ú ( bázis,  tetszőleges vektor. Belátjuk, hogy úŸ tH t t H ‚ H ( ú ( bázis, ezért a  vektor lineárisan kombinálható lineárisan független. Valóban, mivel úŸ belőlük: Â
¢)Ÿú•Ÿ[Qj–j–j‘QR¢ ( ú ( illetve teljesül is. Másrészt  az úTŸ tHtH H ú  ( Â
¢"Ÿú•Ÿ[Qj–j–jtQ”¢ ( ú ( Q g  vektorrendszerből másképpen is kombinálható: Â
—g ú•Ÿ[Q£j–j–j‘Q g ú ( QŠt tH tHtH H A  vektornak tehát kétféle lineáris kombinációját is megadtuk: úŸ ú (  már nem lineárisan független vektorrendszer. Végezetül a

harmadik állítás. A bizonyítás indirekt Az el őbbi bázisból tetszőleges vektort, például ú -et vegyük el, s tegyük fel, hogy még mindig bázist kapunk Az ú vektor tehát ( ( lineárisan kombinálható belőlük: ú (
¢)ŸÈú•Ÿ Q HtHtH Q”¢ ( ƒŸÈú ( ƒŸ H Ez azt jelenti, hogy az eredeti bázisban az ú vektornak kétféle lineáris kombinációja is van: ( ú (
¢)Ÿú•Ÿ[Q HtHtH Q”¢ ( ƒŸú ( ƒŸ[Q g ú ( és Ez ellentmondás. ú (
Žg ú•Ÿ[Q tH H H Q g ú ( ƒŸ+QŠ–ú ( H tHtHtH‚ 8.8 Tétel A ÂKŸ •¡ vektorok akkor és csakis akkor lineárisan függők, ha valamelyikük lineárisan kombinálható a többiből tHtHtH‚ •¡ vektorrendszer valamelyik tagja lineárisan ÂEŸ . Tehát ÂKŸ
¢ µ•µ‹Q HtHtH QR¢ˆ¡‚•¡ H Bizonyítás: Először tegyük fel, hogy a Â?Ÿ kombinálható a többi vektorból. Legyen ez pl Rendezve:  ŠtŸ QR¢ˆµ ’µQ HtHtH Q”¢ ¡‚Â’¡
Žg H  Ez a zéróvektor

nemtriviális lineáris kombinációja, mert az együtthatók között szerepel Š . tH t H H Megfordítva, tegyük fel, hogy a Â?Ÿ ’¡ vektorrendszer lineárisan függő. Ez azt jelenti, hogy a zérusvektort nemtriviálisan is lehet lineárisan kombinálni bel őlük: ¢)ŸÂKŸ+Q H HtH ” Q ¢ ¡ ’¡
—g és az együtthatók között van zérustól különböző, pl. ¢"Ÿ Ekkor Ÿ
 ¢¢)µŸ •µ  j–j–j  ¢¢)¡ Ÿ ’¡ azaz a zérustól különböző együtthatóval rendelkező tag lineárisan kombinálható a többiből. 31 LINEÁRIS KOMBINÁCIÓK, BÁZIS, DIMENZIÓ 8.9 Következmény Ha egy vektorrendszer tartalmazza a zérusvektort, akkor az lineárisan függő Valóban, a zérusvektor csupa g együtthatóval lineárisan kombinálható a többi vektorból. tHtHtHž ¨ 8.10 Tétel A ÂKŸ ’¡ zérusvektort nem tartalmazó vektor -as akkor és csakis akkor lineárisan függő, ha valamelyik vektora lineárisan kombinálható a

megelőző vektorokból. Bizonyítás: Ha a •¦ vektor ( Š`ù§I` ¨ ) lineárisan kombinálható a megelőző tagokból: ’ ¦
)¢ Ÿ™ÂŸ Q HtHtH QR¢ ¦îƒŸ™Â’¦îƒŸ HtHtH RQ’ ¦ HtH H ’¡ vektorrendszerből is (a kalap a vektor hiányát akkor lineárisan kombinálható a “Ÿ jelenti): ’¦
¢)Ÿ™ÂŸ Q HtHtH QR¢ ¦‡ƒŸªÂ’¦‡ƒŸ[Q g ’¦ESGŸ+Q HtHtH Q g •¡ tehát a vektorrendszer valamely tagja lineárisan kombinálható a többib ől. Ez az előző tétel szerint azt jelenti, hogy a vektorrendszertHtlineárisan függő. t H ‚ H  ( vektorrendszer lineárisan függő. Ekkor a zérusvektor Most tegyük fel, hogy a ÂKŸ triviálistól különbözően is kombinálható belőlük: ¢)ŸÂKŸ+Q H HtH ” Q ¢ ¡ ’¡
—g H Az együtthatók között van nullától különböző, a legnagyobb indexű nullától különböző együttható legyen ¢ ¦ . Tehát HtHtH ¢[¦ESGŸ

¢ ¡
g (vagy esetleg

egyetlen együttható sem nulla, ekkor az utolsó nullától különböz ő együttható ¢ˆ¡ ). Ekkor ’¦ lineárisan kombinálható a megelőzőekből: ‘¦
 ¢)[¢ Ÿ¦ ÂKŸ  j–j–j  ¢ ¢ ¦‡ƒ¦ Ÿ ’¦‡ƒŸ H ¨ Egy vektorral generált vektortér minden lineárisan független 8.11 Tétel (Kicserélési tétel) ¨ vektorrendszere legfeljebb tagú. tHtH H tHtHtH‚ Bizonyítás: Legyen ¶zŸ ¶¡ generátorrendszer, ·tŸ ·T pedig lineárisan független vektor¨ . Feltehetjük, hogy rendszer. Azt állítjuk, hogy U` ¶?¦
qg . (Ha mégis, akkor ezt a vektort elhagyva még mindig generátorrendszert kapunk.) Tekintsük a ·T ¶zŸ tHtHtH‚ ¶¡ N HtHtH vektorrendszert. Ez lineárisan függő vektorrendszer, mert ·VT lineárisan kombinálható az ¶ƒŸ ¶K¡ generátorrendszerből. Ez a vektorrendszer zérusvektort nem tartalmaz, tehát valamelyik tagja lineárisan kombinálható a megelőzőekből Legyen ez a vektor ¶K¦ Hagyjuk el ezt

a vektort az előbbi vektorrendszerből: ·T ¶EŸ tHtH H WQ¶¦ HtHtHž ¶¡ NN 32 VEKTORTEREK (a kalap a vektor hiányát jelenti.) Mivel N mindegyik vektora lineárisan kombinálható NN vektoraiból, ezért a lineáris kombináció tranzitív tulajdonságát használva adodik, hogy NN is generátorrendszer Most NN vektoraihoz balról vegyük hozzá ·XT ƒŸ -et: N N N ·YT ƒŸ ·T ¶EŸ tHtH H BQ¶¦ HtHtH ¶K¡ H NN N Az előző gondolatmenet megismételhető, tehát lineárisan függő, ezértG valamelyik vektora litH t H H neárisan kombinálható az előtte levő vektorokból. Ez a vektor nem lehet ·XT , mert a ·tŸ ·T vektorrendszer lineárisan független a feltevésN szerint. Ezért valamely ¶ vektort tudjuk kombinálni a megelőző vektorokból Elhagyva a NN vektorrendszerből ezt a vektort, még mindig getHtHtHž ·T vektorrendszer vektorait sorra nerátorrendszert kapunk.tH Az eljárást tovább folytatva a ·‘Ÿ t H H

ki tudjuk cserélni az ¶ƒŸ ¶¡ vektorrendszer valamely vektorával. Ezért az ¶ZA vektorok nem fogyhatnak el hamarabb, mint a ·Y? vektorok, ami pontosan a kívánt állítás. 8.12 Következmény Egy lineárisan függő. ¨ vektorral generált vektortérben minden ¨ ¨ QŽŠ 8.13 Tétel Egy vektorral generált vektortérnek létezik legfeljebb bázisa azonos tagszámú. ¨ tagú vektorrendszer tagú bázisa, s minden tHtHtH‚ ¶¡ legyen generátorrendszer. Bizonyítás: ¶EŸ Először hagyjuk el belőle az esetleg előforduló ¨ nullvektorokat, így egy legfeljebb tagú generátorrendszerhez jutunk: ¶EŸ tH HtH ¶[AY+` ¨zžH N ¶EŸ tHtHtHžBQ¶¦ tH HtH‚ ¶]A NN Ha a N vektorrendszer lineárisan független, akkor ez bázis, s a bizonyítás kész. Ha lineárisan függő vektorrendszerrel állunk szemben, akkor van olyan ¶?¦ vektor N -ban, mely a többiből kifejezhető. Ezt elhagyva a kapott vektorrendszer még mindig generátorrendszer a

lineáris kombináció tranzitív tulajdonságát használva: N minden vektora lineárisan kombinálható NN -ból. Az eljárást addig folytatjuk, míg lineárisan független vektorrendszerhez (lineárisan független generátorrendszerhez) nem jutunk Az eljárás megszakad legkésőbb akkor, amikor egyetlen vektor marad, mert egyetlen nemnullvektor ¨ lineárisan független rendszert alkot. Van tehát legfeljebb tagú bázis Hátra van még annak belátása, hogy bármely két bázis azonos tagszámú. Legyen ^
tH t H ‚ H tH t t H ž H ¶EŸ ¶R? illetve õ
· Ÿ ·YA két bázis ugyanabban a végesen generált vektortérben. Tekintsük először ^ -t generátorrendszernek, õ -t pedig lineárisan független vektorrendszernek Alkalmazva a kicserélési tételt: C` F Most fordítva, tekintsük õ -t generátorrendszernek, ^ -t lineárisan független vektorrendszernek: F ` . Ez azt jelenti, hogy F
33 LINEÁRIS KOMBINÁCIÓK, BÁZIS, DIMENZIÓ 8.14 Definíció

Egy végesen generált  vektortér dimenzióján bázisainak közös tagszámát ért˜ jük, s ezt `EëHa9 -vel jelöljük. A triviális vektortér dimenzióján definíció szerint g -t értünk Az t H t H H MŒÂKŸ •¡ dimenzióját a $ÂKŸ HtHtH •¡ vektorrendszer rangjának nevezzük. Példa. A szabadvektorok vektortere ð dimenziós vektortér p Példa. A skalár  -esek ( tere  dimenziós vektortér, s benne bázis a következő vektorrendszer: bc cd g g p e5f bc f cd Š c f . g . g c g Š e5f bc f cd f . g . c g e5f f f BHtHtH g Š . g . H Ezt a bázist ( kanonikus bázisának nevezzük. Példa. ) nem végesen generált, míg a legfeljebb  -edfokú polinomok ) ( tere  Benne bázis: tHtH H Š Šŵ Å Bizonyítás: / dimenziós. ( A bázissal kapcsolatosan megfogalmazhatunk néhány további egyszerű állítást. 8.15 Tétel Legyen / QdŠ az  dimenziós  vektortér  dimenziós altere. Ekkor /
 . bázisa egyben 

bázisa, mert  tagú lineárisan független vektorrendszer. tH HtH Â
? lineárisan füg8.16 Tétel Legyen h dimenziós vektortér, Fmi pozitív és ÂEŸ tHtHtH‚ egész  ( vektorok, hogy ÂKŸ tHtH H  ( bázis getlen vektorrendszer  -ben. Ekkor léteznek olyan ÂL?jSGŸ  -ben. HtHtH Bizonyítás: ÂKŸ Âk? nem lehet bázis, mert F”ml . Ez azt jelenti, hogy ez a vektorrendszer nem maximális lineárisan független rendszer, azaz bővíthető úgy egy Âk?SGŸ vektorral, hogy még mindig lineárisan független vektorrendszert kapjunk. Ha F QŠ
 , akkor a bizonyítással készen tHtH H‚   tagú lineárisan független vektorrendszer egy  dimenziós vektorvagyunk, mert ÂKŸ ( térben. Ha FQáŠ
 , akkor ismételjük meg az előző gondolatmenetet, míg  tagú lineárisan független vektorrendszert kapunk. 8.17 Tétel Egy  dimenziós vektortér minden altere legfeljebb  dimenziós vektortér 0  altér csak a zéróvektort tartalmazza, akkor ennek a

Bizonyítás: Ha a szóban forgó / ˜ . Ekkor / -ben van nemzéró vektor, dimenziója definíció szerint g . Tegyük fel, hogy /
amelyet bővítsünk / -ben maximális független vektorrendszerré (esetleg már a felvett nemzéró vektor is maximális független vektorrendszer). Ez véges sok vektor hozzávételével megtehet ő mert / vektorai egyben  vektorai is, s  -ben legfeljebb  lineárisan független vektor vehet ő fel. Tehát / is végesen generált, s bázisa legfeljebb  tagú 34 VEKTORTEREK 8.18 Tétel Egy  vektortér bármely két  Ÿ és Sµ alterére: zë 8 +Ÿ+¸ (Ÿ Qm`EëHa8+(Ÿ+Q9ƒµ
`zëHa9(Ÿ[Q`zëHa9ƒµ H Bizonyítás: Gyakorlat. Legyen `zëHa9[Ÿ
 Ÿ , `EëHa9Sµ
(µ , `zëHaâ+Ÿc¸;Sµ
n Legyen tH t H ‚ H ú•Ÿ ú5op(Ÿ ¸ ƒµ bázisa. Ezek a vektorok [Ÿ -ben és Sµ -ben is benne vannak Egészítsük ki ezt a vektorrendszert először (Ÿ bázisává: ú•Ÿ HtHtH 5ú o ¶zŸ HtHtH ¶K¡ ¨ Q n


Ÿ ž illetve Sµ bázisává: ú•Ÿ HtHtHž 5ú o ·tŸ HtHtHž · T( UƒQ n
Gµ žH Azt látjuk be, hogy ú•Ÿ tHtHtH‚ ú5o ¶EŸ tHtHtHž ¶¡ ·tŸ HtHtHž ·T ¨ ¨ žH bázis +ŸQ,ƒµ -ben. (Ez valóban az állítást jelenti, mert: n Qù Q n QpU
 Q n QùUKQ n ) ` Ha  Először azt látjuk be, hogy N ú•Ÿ tHtHtH‚ ú5o E¶ Ÿ tHtHtHž ¶¡ ·tŸ HtHtHž ·T generátorrendszer [Ÿ‹Qƒµ -ben. Valóban [ŸQƒµ minden vektora felbontható egy [Ÿ -beli ÂKŸ és tHtHtH‚ ú5o ¶EŸ tHtHtH‚ ¶¡ vektorokból, egy ƒµ -beli ’µ vektor összegére. Â?Ÿ lineárisan kombinálható a T ú Ÿ ’µ pedig lineárisan kombinálható az úŸ HtHtH ú5o ·tŸ HtHtH ·YT vektorokból. Tehát Â?Ÿ‹Q”Â’µ lineárisan kombinálható a N vektorrendszerből. Hátra van annak belátása, hogy a N vektorrendszer lineárisan független. Állítsuk el ő a zérusvektort N lineáris kombinációjaként! q gx
¢)Ÿ¶EŸ Q£j–j–j–Qd¢ ¡

¶¡I, Q SŸ™ú•Ÿ Q£j–j–j– Q [oB5ú oQ ¤ Ÿ™·tŸ[Qj–j–jtQ ¤ TÉ· T H Legyen q  miatt · +Ÿ is teljesül. következőképpen is: ·
Ž¤ Ÿ· Ÿ[Qj–j–j‘Q ¤ Tî·T  Sµ r  Ez azt jelenti, hogy · [ŸI¸mƒµ , azaz lineárisan kombinálható a ·
ts Ÿú•Ÿ[Qj–j–j–Q s oBú5o H u Kivonva a r -ból -ot: u gx
Ž¤ Ÿ· Ÿ Q£j–j–j‘Q ¤ ÉT ·T   s ŸÈú•Ÿ+Qj–j–j–Q s oBú5o adódik. Itt a nullvektort bázisból kombináltuk, tehát mindegyik kombinációs együttható g : q ¤ Ÿ
H HtH Ž
¤ T
s Ÿ
tH HtH t
s o
Žg H Írjuk vissza az eredményt -ba: g
¢)ŸÈ¶zŸ+Q£j–j–j‘Q”¢ ¡t¶¡IQƒŸú•Ÿ+Q£j–j–j‘Q[oYú5o H ¶EŸ tHtHtHž ¶¡ ú•Ÿ tHtHtH‚ ú5o azonban lineárisan független rendszer, tehát q -ben valamennyi kombinációs együttható g . A nullvektort N -ból tehát csak triviálisan tudtuk kombinálni ami azt jelenti, hogy N lineárisan független rendszer. 35 ALTEREK DIREKT

ÖSSZEGE 9. Alterek direkt összege tHtHtHž ƒ¡ 9.1 Definíció Akkor mondjuk, hogy a  vektortér a  Ÿ  -nek minden  vektora előáll egy és csakis egyféleképpen altereinek a direkt összege, ha Â
ÂKŸ[Qj–j–jtQR’¡  Ÿ  (Ÿ tHtHtH‚ ’Â ¡  S¡ . Jelölése: 
+wŸ v—j–j–jxvS¡ alakban, ahol ? 9.2 Tétel A  vektortér akkor és csakis akkor direkt összege a ˆŸ ƒµ ezen alterek (tetszőleges) bázisainak egyesítése  bázisa. tH HtH yo altereinek, ha Bizonyítás: Előadáson csak két összeadandóra, egyszerűbb jelölésekkel. (Ekkor nincs szükség kettős indexekre, lehet más betűt használni. Teljesüljön először, hogy
(Ÿzvj–j–j
v;yo (9.2) HtHtH ú•Ÿ A{ legyen +Ÿ ,.,ú5oIŸ HtHtH ú5o|A} pedig @o bázisa Előtovábbá ƒ¦ dimenziója legyen –¦ úTŸªŸ ször belátjuk, hogy ú•ŸªŸ HtHtH ú5o|A }   tetszőleges vektor. 92 miatt Å előáll z¦ -ből vett generátorrendszere  -nek.

Legyen Å  vektorok összegeként: Å
Å+Ÿ[Qj–j–jtQCÅ@o ahol Ѧ  ƒ¦ H Tehát: Å
+Å Ÿ[Qj–j–j‘QÇÅ@o

¢)ŸªŸú•ŸªŸ Q£j–j–j‘Q”¢)ŸA{™ú•ŸA{+Q Q”¢ µšŸÈútµšŸ Q£j–j–j–Q”¢ µ A+~šútµ A+~ˆQ . . Q”¢woIŸÈú5o!Ÿ Q£j–j–j–QR¢zoA}ú5o|A} azaz beláttuk, hogy a bázisok egyesítése generátorrendszer. Most belátjuk, hogy a bázisok egyesítése lineárisan független rendszer is. Kombináljuk ehhez a vektorokból a zérusvektort: ¤ ŸªŸ™ú•ŸªŸ Q£j–j–j‘Q ¤ ŸAj{ú•ŸA{+Qj–j–jtQ ¤ !o ŸÈú5oIŸ[Qj–j–jtQ ¤ Itt ú oA } 5o|A } ÆKŸ
£¤ ŸªŸÈú•ŸªŸ Q£j–j–j–Q ¤ ŸAj{ú•ŸA{  ( Ÿ ÆWo
¤ !o ŸÈú5oIŸ Qj–j–j–Q ¤ ú o|A } 5oA }  . . yo
Žg H 36 VEKTORTEREK és Æ?Ÿ+Q£j–j–j‘QRÆko
—g H 9.2 miatt azonban a zéróvektort a S¦ alterekből vett vektorok összegeként egyértelműen lehet felírni, azaz ƕ¦
—g , tehát minden ¤

¦H€ € € együttható zéró. Ez a kívánt lineáris függetlenséget jelenti Megfordítva, tegyük fel, hogy az tH HtH
v@ ú•ŸªŸ tH HtH ú•ŸAj{ ÛtH HtH Û ú5o!Ÿ tHtH H ú5oA } F ^ vektorrendszer a +Ÿ yo bázisainak egyesítése (az előbbiekben alkalmazott jelölések szerint),   egyértelműen felírható és ^ egyben  bázisa is. Ekkor minden Å Å

"¢ ŸªŸÈúK™ŠŠ Qj–j–jtQ”¢)ŸA{ú•ŸAj{+Q”¢ µšŸÈútµšŸ Q£j–j–j–Q”¢ µA+~šútµA+~ˆQj–j–jš¢zo!ŸÈú5oIŸ[Qj–j–jtQ”¢wo|A } ú5oA }
Å+Ÿ Q£j–j–j‘QCÅ@o alakban, ahol ¢)ŸªŸÈú•ŸªŸ[Qj–j–j‘QR¢"ŸAj{™ú•ŸA{
Azaz minden Å egy   . . Å+Ÿ ¢zo!ŸÈú5oIŸ[Qj–j–jtQ”¢wo|A})ú5oA}
Å@o H tH HtH yo -ből vett vektorok összegeként. Tekintsünk vektort előállítottunk +Ÿ összeget. Ekkor Å
Å UŸ Qj–j–j–QCÅ Uo Å Å UŸ
o U
. . ahol Å U  z¦ ¦ ¢ UŸªŸ ú•ŸªŸˆQj–j–jtQ”¢ UŸA

{ ú•ŸAj{ U U ¢ o!Ÿ ú5o!Ÿ Q£j–j–j–Q”¢ oA } ú5oA } és ¢ UŸªŸ úK™ŠŠ Qj–j–jtH Q”¢ UŸA{ ú•ŸAj{+Q”¢ µšU Ÿ útµšŸ Q£j–j–j–Q”¢ UµA+~ útµA+~ˆQj–j–jš¢ o!U Ÿ ú5oIŸ[Qj–j–jtQ”¢ o|U A } ú5oA }

Å+Ÿ Q£j–j–j‘QCÅ@o G G U U Ezt 9.2-el összehasonlítva ¢ˆ¦
¢ ¦ , aza ÅS¦
Å ¦ adódik H 9.3 Következmény 
+Ÿwv—j–j–jxvS¡
+ `zëHa9+Ÿ[Qj–j–jtQm`zëa;ƒ¡
`zëa; Å
9.4 Tétel Egy vektortér akkor és csakis akkor  dimenziós, ha  számú egydimenziós alterének direkt összege. 37 ALTEREK DIREKT ÖSSZEGE Bizonyítás: Ha a  vektortér  számú egydimenziós alterének direk összege, akkor ezen alterekből vett bázisok egyesítése az előző tétel miatt  bázisa is, tehát 9 dimenziós. Megfordítva, tHtHtH‚ ú bázis  -ben. Ekkor legyen úŠ ( 
 M $ú•Ÿ — v j–j–j4v&MXú ( triviálisan teljesül, hiszen ez pontosan azt jelenti, hogy 

tetszőleges vektora egyértelműen előáll HtHtH ú vektorok lineáris kombinációjaként. az úTŸ ( 9.5 Tétel Ha  Q 
 és    alterei a   ¸
˜ . és
 vektortérnek, akkor     v  ekvivalens azzal, hogy  
 . Q 0t azért teljesül, mert és Bizonyítás: Először tegyük fel, hogy teljesül v   részhalmazai,    v  garantálja, hogy minden  -beli pedig azért, mert ‚0 Q 
   
 . Ha Å £ és vektor felbontható -ból és -ből vett vektorok összegére. Tehát Q ¹   , akkor Å Å
Å Q g
g QCÅ  
˜ . s a felbontás egyértelműsége miatt Å
—g . Beláttuk, hogy ¸  Q 
 , ¸ 
˜ .  Q 
Megfordítva, teljesüljön most, hogy   vektor előállítható -ból vett és kell belátni. Legyen most miatt minden  -beli -ből vett vektorok összegére, csak a felbontás egyértelműségét Å
Å
¶XU QR· U ¶ Q”· ahol ¶ ahol ¶  ¹ · 9 U n · U 9H A két relációt

kivonva egymásból: gx
¶  ¶ U QR·  · U
+ ¶  ¶U
·U ·H  U  · í , mert két  -beli vektor különbsége. ¶  ¶ U í  , mert két -beli vektor különbsége, ·  ˜
, tehát Azonban ¸ ¶  ¶ U
—gA
( ¶
¶ U · U  ·
ŽgA
+ ·
· U tehát a felbontás egyértelmű. 9.6 Tétel Egy végesen generált vektortér minden altere direkt összeadandó, azaz mindegyik altérhez létezik olyan altér, hogy direkt összegeben kiadják az eredeti vektorteret.  tHtH H  ¶L? bázisa. Bizonyítás: Legyen altér a  vektortérben. Legyen ¶SŸ Mivel ez  -ben linetH t H H árisan független rendszer, ezért kiegészíthető  bázisává valamely ·tŸ vektorrendszerrel. 
M$·tŸ tHtH H ·YA . Mivel az  és  egy bázisának egyesítése  ·YA bázisát Legyen adja, ezért  v 
 . 38 VEKTORTEREK 10. Lineáris sokaság, faktortér 10.1 Definíció Legyen ƒ altere a  vektortérnek, továbbá  ÂXQ&ƒ
á@ ÂQ9„nD4„  halmazt

ƒ irányterű lineáris sokaságnak nevezzük. A altér eltoltjának is mondjuk. ƒ F ÂQƒ   tetsz őleges vektor. A lineáris sokaságot gyakran a ƒ  J tetszőleges szabadvektor, 3  J nem nullvektor. Az † @ Q  3ÊD  npcF †  J tetszőleges szabadvektor, halmaz lineáris sokaság, irányterének bázisa . Legyen † ß Þ  J lineárisan független szabadvektorok. Az† @ QdfߍQR‰‹ÞD„f ‰ npcF † halmaz lineáris sokaság, iránytere Mß Þ . Példa. Egyenesek és síkok: legyen a  vektortérnek. Értelmezzük  -ben a következő, -el jelölt 10.2 Tétel Legyen ƒ altere   relációt: Å Æ , ha Å Æ ƒ . Azt állítjuk, hogy ekvivalenciareláció, továbbá az ekvivalenciaosztályok pontosan a ƒ irányterű lineáris sokaságok  Å
g  ƒ . szimmetrikus: Å Æ
+ Å  Æ  , mert Å Å Å * Æ
(  ŒÅ  Æ
Æ  Å  ƒ
( Æ
+ . tranzitív: ƒ Å Å Æ >  *        Å Æ ƒ Æ > ƒ
+ ¾Å Æ Q—ŒÆ >
Å >

ƒ
+ Å > . Beláttuk, hogy ekvivalenciareláció.   vektor által reprezentált ekvivalenciaosztály pontosan ÅcQ†ƒ . Most belátjuk, hogy egy Å  Először belátjuk, hogy minden  Å Q ƒ -ból vett vektor ekvivalens Å -hez. Valóban, legyen Ň Q „ Åc† Q ƒ . Ekkor ¾ÅcQ „  Å
„ ƒ . Legyen most egy Æ -al jelölt vektor Å -hex ekvivalens! Ekkor  „
Æ Å ƒ , azaz Æ
Å Q9„ Å Q&„ .   vektor pontosan egy 10.3 Következmény Tételünkből következik, hogy minden egyes Å Bizonyítás: reflexív: irányterű lineáris sokaságban van benne ( ƒˆ0t rögzített altér.) Ilyenmódon a zéróvektor is csak egy ƒ irányterű lineáris sokaságban van benne, g Qƒ
ƒ -ban. Ez az egy ƒ irányterű lineáris sokaság altér. Megállapodunk abban, hogy egy ƒ irányterű lineáris sokaság vektorait az illető lineáris sokaság reprezentánsainak is mondjuk, hiszen az el őző tétel szerint a lineáris sokaságok tekinthetők

egy ekvivalenciareláció ekvivalenciaosztályainak. ƒ 10.4 Definíció Egy lineáris sokaság dimenzióján irányterének dimenzióját értjük 10.5 Definíció A ¶XQmƒ és ·)Q&ƒ közös irányterű lineáris sokaságok összegén az ¶XQR· lineáris sokaságot értjük. A ¶ Q‰ƒ lineáris sokaság ¢ skalárral való szorzatán pedig a $¢¶ lineáris sokaságot. Q&ƒ Q‰ƒ 39 LINEÁRIS SOKASÁG, FAKTORTÉR 10.6 Tétel A lineáris sokaságok összege és skalárral való szorzata független a reprezentánsok választásától. U  U  U U ¶xQƒ , · ·YQ ƒ , azt állítjuk, hogy ¶Qù· Qƒ
¶ Qù·  Q ƒ . Bizonyítás: Legyen ¶ U U Ehhez azt kell belátni, hogy az ¶Q”· és ¶ QR· vektorok különbsége ƒ -ban van. Valóban: $¶XQ”·   ¶ U QR· U
 ¶  ¶ U Hasonlóan, belátjuk, hogy ¢¶ Qmƒ
 ¢¶ Q&ƒ . ¢¶  ¢‹¶ U
¢Ê$ ¶  U Q—·  · U B ¶ U Ê H ƒ ƒ 10.7 Tétel Egy 

vektortér ƒ altere szerint vett összes lineáris sokaságok halmaza vektortér az összeadás és skalárral való szorzásra nézve. Ezt a vektorteret a  vektortér ƒ altér szerint vett faktorterének mondjuk, és ‹ŠBƒ -val jelöljük. Bizonyítás: Könnyű látni, hogy +ŒŠBƒ Q Abel csoport, csak annyit jegyzünk meg, hogy ‹ŠWƒ  zéróeleme ƒ , ¶Q&ƒ additív inverze pedig ¶XQmƒ . Ellenőrízzük a vektortér axiómakat! (Megjegyezzük, hogy az alábbi egyszerű levezetésekben mindig tisztázzuk az összeadásjel jelentését, mert a Q jel többféle értelemben is szerepel!) Q—$·"Q&ƒ š
 ¢ ȶQ”· Q&ƒ
¢Ê$¶QR· È Qƒ
¢‹¶?Q¢‹· Qƒ
¢‹¶ QƒQ=¢‹· Qƒ H ¢Q ¤ ¶Qmƒ
È ¢Q ¤ ¶ Q&ƒ
¢‹¶Q ¤ ¶ Qmƒ
¢‹¶ Qmƒ Q— ¤ ¶ Q&ƒ H ¢ ¤ ¶Qmƒ
$¢ ¤ ¶ Q&ƒ
$¢Ê ¤ ¶ š Q&ƒ
¢&È ¤ ¶ Q&ƒ
¢ ¤ ¶Q&ƒ

ÈGH ŠK¶Q&ƒ
Š–¶ Q&ƒ
¶XQ&ƒ H ¢&ȶXQmƒ 10.8 Tétel Legyen ƒ egy végesen generált  HtHtH zë ` a‹ŠWƒ vektortér altere. Ekkor
z` ëHa9  z` ëa9ƒ H Bizonyítás: Legyen ¾Å Ÿ Å@o ƒ egy bázisa. Egészítsük ki ezt a vektorrendszert  bázisává tH t t H ž H az ŎoSGŸ Å vektorokkal. Azt állítjuk, hogy a ( Å@oSGŸ Qmƒ tHtH H Å ( Qmƒ vektorrendszer ŒŠBƒ bázisa. Először belátjuk ezen vektorok lineáris függetlenségét Kombináljuk belőlük ŒŠBƒ nullvektorát: ¢wo|SGŸžŒÅ@oSGŸˆQ&ƒ Q tH H H ” Q ¢ ( ¾Å ( Q&ƒ A skalárral való szorzás és az összeadás definíciója szerint
¢wo|SGŸ™Å@oSGŸ[Q tH HtH ” Q ¢ (Å ( Q&ƒ
ƒ ƒ H 40 VEKTORTEREK azaz z ¢ o|SGŸ™Å@oSGH Ÿ‹HtH Q ¢wo|SGŸ™Å@oSGŸQ tH H H Q¢ Å  ƒ ( ( Q¢ ( Å ( vektor ƒ csak zéróvektor lehet. Belátjuk, hogy . Innen következik, hogy valamennyi együttható g

, hiszen a egy direkt komplementerében és ƒ -ban is benne van, tehát Å oSGŸ m @ Q ƒ tHtH H Å ( Qmƒ  ŒŠBƒ tetszőleges lineáris sokaság. Legyen ÅQƒ ‹ŠWƒ generátorrendszere. bázisával Å lineárisan kombinálható:  megadott Å
¢)ŸªÅ+Ÿ Q tH HtH R Q ¢zoIÅ@o Q—¢woSGŸªÅ@o|SGŸ Q tH H H ” Q ¢ ( Å ( žH Az első zárójelben levő tag ƒ -ból való, tehát Å ¢wo|SGŸªÅ@oSGŸˆQ tH HtH ” Q ¢ (Å(ž vagy lineáris sokaságokra áttérve: Å Qmƒ
¢wo|SGŸ™Å@oSGŸ Q tH HtH R Q ¢ (Å ami a bizonyítandó állítás. ( Q&ƒ
¢wo|SGŸ ¾Å@o|SGŸ[Q&ƒ Q tH HtH ” Q ¢ ( ¾Å ( Q&ƒ ^ 3. fejezet Mátrixok, lineáris egyenletrendszerek és determinánsok 11. Műveletek mátrixokkal G  c  n › Š rögzített egészek, továbbá az ¶?¦ skalárok (§
p  n 11.1 Definíció. Legyenek Š tH HtH n és ‘
Š HtHtH  ) egy rögzített test elemei. (Ez a test nálunk leggyakrabban p , vagy

esetleg ) Az ¶EŸªŸ ¶EŸ$µ HtHtH ¶zŸ ¶µšŸ tHtH H ¶µ tHtHtH‚ ¶LoIŸ HtHtH ¶Ro rendezett skalár n j ( 4 -est, amit n ( ( c bc sorban és  oszlopban a következő alakban írunk fel: cd ¶zŸªŸ E¶ Ÿ$µ ¶KµšŸ ¶ µªµ . . . . ¶EŸ$À –j j–j÷¶EŸ ( ¶µªÀ –j j–j÷¶µ ( . . . . e5f f f g ¶Lo!Ÿ ¶Loµñ¶LoÀ j–j–jA¶Lo ( G n ’ típusú mátrixnak nevezzük. Az összes n ’   típusú mátrixok halmazát “”o ÿ Ê “•o ÿ jelöli. Az előbbi mátrixot röviden ¶¦ ( bc e f c ¶EPŸ ? f cd f ¶–µ ? . . ¶Ro—? n êŠ jelöli. Az g típusú mátrixot az előbbi mátrix F -edik oszlopának nevezzük (F
Š HtHtHž  ), míg az ¶]AªŸœ¶[A$µ G HtHtH ¶]A ( ™ típusú mátrixot az -edik sorának. Az ¶?¦ elem tehát a mátrix § -edik sorának ‘ ˜ ( Š’ -edik eleme. Az egyetlen oszlopból álló mátrixot oszlopmátrixnak, vagy oszlopvektornak, míg az egyetlen sorból álló

mátrixot sormátrixnak vagy sorvektornak nevezzük. Egy skalárt tekinthetünk ŠRŠ 41 42 MÁTRIXOK, LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK ÉS DETERMINÁNSOK típusú mátrixnak. Ha a mátrix oszlopainak a száma megegyezik a mátrix sorai számával, akkor négyzetes mátrixról beszélünk. Egy š típusú négyzetes mátrix fődiagonálisának, vagy főátlótHtHtH‚ ¶ skalár  -est Ezek az elemek a mátrix egyik „geometriai” jának nevezzük az ¶zŸªŸ ¶µªµ (5( átlójában vannak: bc e5f c cd ¶EŸªŸ f f ¶µªµ . . H ¶ g (5( A G másik átlót mellékátlónak is hívjuk. Ha egy mátrix mindegyik eleme 0, akkor azt zérómátg jelöli Gyakran hasznos az  mátrix § H sorának ‘ H elemét rixnak nevezzük. A zérómátrixot is  ¦ -vel is jelölni. A paragrafus további részébenG műveleteket értelmezünk G mátrixokkal.  a $G ¶K¦
“•o ÿ és · ¦
“•o ÿ azonos típusú mátrixok. 11.2 Definíció Legyenek G   (

 ( “›o ÿ mátrix, mely § -edik sorának ‘ -edik Ezek összege az az ugyanilyen típusú Q ( eleme megegyezik ¶¦ Q · ¦ -vel. Úgy is fogalmazhatunk, hogy az azonos típusú mátrixokat G komponensenként adjuk össze.  “•o ÿ tetszőleges mátrix. A º  G“ o ÿ mátrix Legyen º tetszőleges skalár, $¶¦
( ( az az ugyanilyen típusú mátrix, mely § -edik sorának ‘ -edik eleme megegyezik ºž¶E¦ -vel. 11.3 Tétel “ o ÿ j n dimenziós vektortér  fölött Azaz P“›o  (   melyben a zéróelem a zérómátrix, az mátrix additív inverze a való szorzásra pedig teljesülnek az alábbi tulajdonságok: ¢Ê  Q   ¢&Q ¤ ¢ ¤ ™ Š



 ÿ Q kommutatív csoport,
(  GŠ j  mátrix. A skalárral ¢  R Q ¢  ¢ Q ¤ ¢Ê ¤ X Bizonyítás: A mátrixok összeadásának és skalárral való szorzásának definíciója alapján valamennyi tulajdonság visszavezethető a testbeli megfelelő műveleti

tulajdonságra. “•o ÿ -ben egy bázist úgy kapunk, hogy tekintjük azt a különböz ő n jy darab mátrixot ( melyek mindegyike egyetlen 1-est tartalmaz, a többi mátrixelem nulla. (Kanonikus bázis) ò œ G
$· ¦ -vel jelölt transz“ o ÿ tetszőleges mátrix. Ennek 11.4 DefinícióšLegyen œ    œ ( ÿ o mátrix, melyre · ¦
¶¦ . Azaz ‘ -edik sorának elemei rendre “ ponáltja az az  ( megegyeznek ‘ -edik oszlopának elemeivel. Egy mátrixot szimmetrikusnak nevezünk, ha megœ
   egyezik a transzponáltjával, míg ferdén szimmetrikusnak, ha G G Könnyen beláthatók a transzponálás alábbi egyszerű tulajdonságai: 43 MŰVELETEK MÁTRIXOKKAL 11.5 Tétel  œ
 Q  œ f 
A következő mátrix művelet a szorzás. 11.6 Definíció Legyen v bcd 
Az   “•o ÿ “ o ÿ és (   “ ¶EŸªŸ HtHtH z¶ Ÿ ( . . . . t H t H H ¶LoIŸ ¶o ( L  œQ  œ f e5f ( ÿ A: bcd 
g œ e5f ·

ŸªŸ HtHtH · ŸA H . . . . g t H t H H ·(Ÿ ·(A § ¨ A szorzatmátrixot úgy definiáljuk, hogy annak -edik sorának -adik eleme G G CG ( GŸ D ¶¦ · ¡
¶ ¦îŸÈ·tŸ$¡IQR¶¦ µ^·µª¡IQj–j–j‘QR¶¦ ( · ( ¡ H A definíció átfogalmazása a következő tétel: 11.7 Tétel Legyen  Ÿ HtHtH lopvektorait   “ o ÿ és ô  A jelöli, akkor ( bcd 
“ ( ÿ A . Ha  sorvektorait  Ÿ  Ÿ –j j–j  Ÿ  . . .  o  Ÿ j–j–j  o . A e f A g  Ÿ HtHtH š o illetve  osz- H 11.8 Definíció ž -es Ÿ -el vagy ha nem okoz félreértést csak Ÿ -vel jelölt egységmátrix alatt ( olyan 9  típusú mátrixot értünk, melynek § -edik sorának ‘ -edik eleme aszerint 0 vagy 1, hogy §
‘ vagy §
‘ . Azaz e5f bc c Ÿ
( cd Š g –j j–j g g Š –j j–j g . . . . g g j–j–jŠ f f . g . Az egységmátrix jelölésére használjuk az alábbi szimbólumut, az ún. Kronecker deltát is: Legyen G G ^r ¦


¢¡ gŠ ha ha §
‘H §
‘ Az egységmátrix tehát: Ÿ
r^¦ .  (  , amelyet  µ is jelöl. Hasonlóan képezhető  ( Ha négyzetes mátrix,  akkor képezhet ő  tetszőleges pozitív egészre. † alatt az -val azonos típusú egységmátrixot értjük 44 MÁTRIXOK, LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK ÉS DETERMINÁNSOK   11.9 Tétel Legyenek , , # mátrixok, f tetszőleges skalár Ekkor ha a műveletek elvégezhetőek, akkor érvényes a disztributív szabály:   ” Q #
 Q  #   #
   # ž továbbá  f 
ˆf  žH G G G  B 
¶?¦ “•o ÿ ,
$ ·¦ Ê “ Bizonyítás: A mátrixszorzás disztributivitása. Legyen ( #
$º^¦ B “ ( ÿ ? . G G G G G     CRQ”G # š G ¦ ¡ G
CRG
¶¦ · ¡IQ”º ¡
¶¦ · ¡IQR¶¦ º ¡
G G G G
CRG ¶¦ · ¡IQ C[G ¶¦ º ¡
  ¦ ¡ QŽ  # G G G  Ê  B Ê “•? ÿ A . ÿ “•o ÿ ,
· ¦ “ ? , #
º¦ Az asszociativitás: Legyen


¶K¦ ( G G ( ? CG È  # ¦ ¡
  ¦ º ¡
DGŸ G K G G G K ? CG C ( CG ? C (
¶¦¤TÉ·YT º ¡
¶¦¤Tî·YT º ¡ H DGŸ I T£DGŸ DGŸ I T£DGŸ érvényes az asszociatív szabály   # È ¦¡
C (
GŸ T£D ¶¦¤T ÿ ?, ¶¦¤T  # þT ¡
C ( GŸ TD CG ? G G K GŸ GŸ T£D G G K CG ? C (
·T º ¡ D I ( I ¶¦¤Tî·YT º ¡ H GŸ D Mindkét esetben ugyanazon indexű mátrixelemek szorzatának összegét kaptuk meg. A harmadik tulajdonság: G G G G G G   f  È ¦ ¡
CRG ¶¦ f  C[G ¡
¶¦ fS· ¡
f CLG ¶¦ · ¡
 f   ¦ ¡ H Az asszociatív szabály egyszerű következménye, hogy ha F nemnegatív egészek, és tes mátrix, akkor      H ? A
A ?
 négyze- ?S@A Könnyű konkrét példát adni arra, hogy általában nem érvényes a mátrixszorzás kommutativitása, még négyzetes mátrixok esetén sem. 45 MŰVELETEK MÁTRIXOKKAL 11.10 Tétel

Legyenek  Bizonyítás: ˜ 11.11 Definíció Legyen (ahol Ÿ (  és 
 œ œH olyan mátrixok, hogy     ˜ œ v ™ ¦¡
™ ¦¡
œ œ “ ( ÿ ( œ szorzatuk definiált legyen. Ekkor G G   š¡ ¦
¶ ¡ · ¦ G G G G CRG  œ  œ CLG · ¦¾¶¡ H ¦ ¡
C[G . Ha létezik olyan 

Ÿ   ( az ¦ -es egységmátrix), akkor azt mondjuk, hogy “  ÿ ( ( , hogy invertálható, s inverze a  mátrix. 11.12 Tétel Ha egy négyzetes mátrix invertálható, akkor inverze egyértelmű Bizonyítás: Tegyük fel, hogy az  négyzetes mátrixnak  Ÿ
Ÿ H  Ÿ és  µ is inverze. Ekkor  Szorozzuk mindkét oldalt balról µ -vel:   µ X Ÿ
 µ H   µ. A baloldali zárójelben az egységmátrix szerepel, tehát Ÿ
  ƒŸ jelölést alkalmazzuk. Az invertálható mátrix egyértelmű inverzére a A későbbiekben majd belátjuk, hogy mátrixok esetén a jobboldali inverz egyben

baloldali inverz is, azaz inverz is (ha létezik.)  tHtHtH‚  11.13 Tétel Ha az Ÿ szorzatmátrixnak is, és: azonos típusú négyzetes mátrixoknak van inverze, akkor van a (   ŸGj–j–j  Bizonyítás: ( ƒŸ
 ƒ Ÿ –j j–j  ƒŸ Ÿ (   (Ÿ j–j–j  ( ƒ Ÿ  (   (ƒ Ÿ  (ƒ ƒ Ÿ Ÿ j–j–j  ƒŸ Ÿ

  ŸGj–j–j  ƒ Ÿ    ƒ Ÿ   ƒƒŸ Ÿ j–j–j  ƒŸ Ÿ
  ŸGj–j–j  ƒŸ   ƒƒ Ÿ Ÿ j–j–j  ƒŸ Ÿ
tH HtH
( ( ( ( ( ( Ÿ H Analóg módon számítjuk ki a másik oldali szorzást. 11.14 Tétel Invertálható négyzetes mátrix esetén az inverzképzés és a transzponálás művelete felcserélhető, azaz: œ œ   ƒŸ
  ƒŸ H  œ inverze valóban az   ƒŸ Szorzással ellenőrízzük, hogy Bizonyítás: szorzatmátrix transzponáltjára vonatkozó összefüggést! œ œ œ     ƒ Ÿ
  ƒŸ X
A másik oldalról analóg módon. Ÿ œ
Ÿ H mátrix. Használjuk fel a 46 MÁTRIXOK, LINEÁRIS

EGYENLETRENDSZEREK ÉS DETERMINÁNSOK 12. A Gauss elimináció, elemi mátrixok 12.1 Definíció Egy mátrixon végrehajtott (elemi) sor/oszlopműveleten vagy másképpen elemi sor/oszlop átalakításon a következő műveletek valamelyikét értjük: – egy sor/oszlop skalárszorosának hozzáadása egy másik sorhoz/oszlophoz, – két sor/oszlop felcserélése, – egy sor/oszlop szorzása egy nemzéró skalárral. Két mátrix sorekvivalens, ha egyik a másikból véges sok elemi sorátalakítással megkapható. Analóg módon definiálunk mátrixok oszlopekvivalenciáját.  U  12.2 Tétel Ha az mátrix az mátrixból elemi sor- vagy oszlopművelettel származott, akkor  U  van olyan elemi sor- vagy oszlopművelet, melyet végrehajtva -ből visszakapjuk -t.  H   Bizonyítás: Jelölje az § sorát ¦ . Adjuk hozzá például az mátrix § sorának º -szeresét az H G  ‘ sorhoz (§
‘ , oszlopokra a bizonyítás analóg.) Az új mátrix § sora

változatlanul ¦ , míg ‘  Qdº  ¦ . Most adjuk hozzá az új mátrix § sorának  º -szeresét a ‘ sorhoz Visszakapjuk sora az eredeti mátrixot. Két sor (oszlop) cseréje után felcserélve ugyanezen indexű sorokat (oszlopokat), visszakapjuk az eredeti mátrixot. Ha egy sort (oszlopot) egy º
Žg számmal szoroztuk, akkor ugyanezen indexű sort (oszlopot) Ÿ szorozzuk § -vel. Így szintén visszakapjuk az eredeti mátrixot 12.3 Definíció Egy mátrix egy sorának vezető eleme a sor első zérustól különböző eleme (azaz a legkisebb oszlopindexű zérustól különböző elem), ha van ilyen. Egy mátrixot lépcsős alakúnak nevezünk, ha rá teljesülnek az alábbi tulajdonságok: – A zérótól különböző elemet is tartalmazó sorok megelőzik a csak zéróból álló sorokat. – Ha két közvetlenül egymást követő nem csupa zéróból álló sort tekintünk, akkor a másodikban a vezető elem nagyobb oszlopindexű, mint a megelőző sor

vezető eleme. A lépcsős mátrixot speciálisan trapéz alakúnak nevezzük, ha a közvetlenül egymás után következő sorokban a vezető elemek oszlopindexe 1-ben különbözik. Egy négyzetes mátrixot háromszög alakúnak, vagy felső diagonális mátrixnak nevezünk, ha G teljesül, hogy ¶¦
—g ha §!k,‘ azaz a főátló alatti elemek mind nullák. Példa. Példák . 47 A GAUSS ELIMINÁCIÓ, ELEMI MÁTRIXOK Megjegyzés. Lépcsős mátrixból oszlopcserékkel mindig elérhető trapéz alakú mátrix 12.4 Tétel Minden mátrix sorekvivalens egy lépcsős mátrixszal Bizonyítás: A következő bizonyításban leírt eljárást nevezik Gauss eliminációnak. Válasszuk ki azt a legkisebb oszlopindexű oszlopot, amelyben van zérótól különböz ő elem. Ha ez nem az első oszlop, akkor ez azt jelenti, hogy ettől az oszloptól balra csak zéróelem van a mátrixban, tehát elemi sorátalakítások során ezek az oszlopok nem változnak. Az

egyszerűség kedvéért ezeket az oszlopokat elhagyjuk. Ekkor az első oszlopban van zérótól különböző elem Sorcserével elérhető, hogy ez az elem az első sorban legyen. Mátrixunk tehát sorekvivalens egy bc c cd ¶EŸªŸ z¶ Ÿ$µ tHtH HtHtHH E¶ Ÿ ( ¶µšŸ K¶ µªµ ¶ µ ( . . . . . . t H t H H ¶Ro!Ÿô¶Lo‹µ ¶o ( R e f ¶EŸªŸ E¶ UŸ$µ HH HtHtHH E¶ UŸ ( g ¶ ªµ µ ¶ µ( . . . . . . H t H H ¶LoIŸœ¶Ro‹µ ¶o ( L e f f f g mátrixszal, s ¶zŸªŸ
g . (Valójában az első oszloptól balra lehetnek még csak zérust tartalmazó  ¶µšŸ szeresét adjuk hozzá a második sorhoz! A következő mátrixot oszlopok.) Az első sor kapjuk: ¶EŸªŸ bc c cd f f H g Analóg elemi sorátalakítást végzünk a többi sorral is, tehát az első sor  ¶ ¦‡Ÿ ¶EŸªŸ -szeresét hozzáadjuk az § -edik sorhoz, az eredmény egy olyan mátrix, melyben az els ő oszlopban az első sorbeli zérótól különböző elem

alatt csupa nulla van. ¶EŸªŸ z¶ UŸ$µ tHtH HH HH E¶ UŸ ( g ¶ ªµ µ ¶ µ( . . . . . . H t H H U U g ¶ ‹o µ ¶o ( bc c cd e f f f g H Ezt az eljárást folytatjuk, úgy, hogy az első sort már nem változtatjuk, azaz csak a bcd g ¶ Uªµ µ tH HtH ¶ Uµ . . . ( . . . g ¶ U‹o µ tH HtH ¶ Uo ( e5f g H mátrixon végzünk elemi sorátalakítást. Itt az első oszlopban csak zéróelem van, tehát az előbbi eljárást az eggyel kevesebb oszlopot tartalmazó bcd ¶ Uªµ µ tH HtH ¶ Uµ ( . . . tH HtH ¶ U . U¶ o µ o ( g e f 48 MÁTRIXOK, LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK ÉS DETERMINÁNSOK mátrixon ismételjük meg. Az eljárást folytatva az oszlopok számát mindig legalább eggyel csökkentjük, tehát az eljárás véges sok lépésben véget ér. (Szigorúbb formában indukcióval lehetne a bizonyítást leírni) 12.5 Definíció Elemi mátrixoknak nevezzük az egységmátrixból elemi sorátalakítással kapott mátrixokat. Példa. Példa a

három típusra 12.6 Tétel Amilyen elemi sorátalakítással származik az - elemi mátrix az egységmátrixból,  mátrix az  mátrixból. olyan elemi sorátalakítással származik az - Bizonyítás: P A tétel 3 állítása (ti. a lehetséges elemi sorátalakítások száma 3) közül csak egyet látunk be, a másik kettő bizonyítása hasonló. Először egy jelölést vezetünk be Jelölje Ÿx?A azt az n  n -es mátrixot, melynek minden eleme zéró, kivéve az F -edik sor -edik elemét ( Šx`F ` n ), amely 1: bc g g e5ff c . . . . . . . . . . c . ff c . . f cd . g
ŸX?jA . . . Š5?A g . g . g . g  B “•o ÿ tetszőleges mátrix, akkor Könnyen ellenőrízhető, hogy ha
¶¦ ( bc g g e5ff c . G ŸX?A 
cd c c . . ¶]AªŸ . g . . .  . ff . f ¶]A ( g . g .  F . sor azaz a szorzatmátrix F -edik sora megegyezik -edik sorával, s az összes többi mátrixelem  zérus. Speciálisan ŸX?–? -el való szorzás hatása

az, hogy minden elemét zérusra cseréli, kivéve az F -edik sort, amit változatlanul hagy. Ha az Ÿx?A)QŸxA? mátrixszal szorzunk, akkor az előzőek  az   szerint PŸX?A[QmŸ5A? a mátrix, melyben az -edik sorban F -edik sora áll, az F -edik sorban -edik sora, a többi mátrixelem pedig nulla. Legyen - olyan mátrix, melyet az lj -es egységmátrixból az F -edik és az  -edik sor fel cserélésével kaptunk, továbbá legyen tetszőleges í¨ -es mátrix. Ekkor az mátrix az mátrixból úgy kapható, hogy felcseréljük az F -edik és az -edik sort. - a következő alakban írható fel: -
+Q ‹Q ‘ŸªŸ Q£j–j–j–QŸV ?–?‹Qj–j–jtQŸ5 A+A[Q£j–j–j–QmŸ (5(  szorzatot: ahol a kalap a tag hiányát jelzi. Számítsuk ki az - 
ŸV?A  QmŸxAP?   Q Ÿ’ŸªŸ  Qj–j–jt‚ Q ŸXª ?+?  Qj–j–jt« Q 5ªŸ A+A  Qj–j–j–QŸ (X( H  A jobb oldalon pontosan az mátrix áll az F -edik és -edik sorának cseréjét ől

eltekintve. ŸX?A mŸxAP? mŸ 49 NÉGYZETES MÁTRIXOK INVERTÁLHATÓSÁGA A Gauss elimináció az elemi mátrixok nyelvén a következőt jelenti: 12.7 Tétel Minden mátrixot véges sok elemi mátrixszal balról szorozva lépcsős mátrix kapható 13. Négyzetes mátrixok invertálhatósága A következőekben kiderül, hogy az előzőekben megismert Gauss eliminációval egyszerűen el lehet dönteni, hogy egy mátrix invertálható-e, s ha igen meg lehet határozni az inverz mátrixot. 13.1 Tétel Minden elemi mátrix invertálható Bizonyítás: Az elemi mátrixok tehát a következők: a. az olyan mátrixok, melyeket úgy kaptunk az d, -es egységmátrixból, hogy az F -edik sort szoroztuk egy º
—g számmal, b. az olyan mátrixok, melyeket az ¹† -es egységmátrixból az § -edik és ‘ -edik sor felcserélésével kaptunk, c. az olyan mátrixok, melyeket az ¹† -es egységmátrixból úgy kapunk, hogy az F -edik sor º szeresét hozzáadjuk az

-edik sorhoz, miközben F
.  Az a. esetben az inverzmátrix az egységmátrixtól abban különbözik, hogy a diagonálisban Ÿ az F -edik sorban Š helyett § van. (Tehát az inverzmátrix is elemi mátrix.) Mivel az - -vel való  szorzás (balról) ilyenkor az valóban F -edik sorának º -vel való szorzását jelenti, ezért   egységmátrix. Az - szorzat szintén egységmátrixot eredményez, mert az -val való szorzás Ÿ most -F -edik sorának § -vel való szorzását jelenti. A b. esetben az elemi mátrix inverze önmaga, mert az F -edik és az -edik sor kétszer végrehajtott cseréje az egységmátrixot eredményezi A c. esetben is az elemi mátrixot jelölje - A # -vel jelölt inverzét az egységmátrixból úgy  kapjuk, hogy az egységmátrix F -edik sorának º -szeresét hozzádjuk az -edik sorhoz. Így # szintén elemi mátrix. A 126 tételből tudjuk, hogy -# és #x- is az egységmátrix  13.2 Tétel Legyen  négyzetes mátrix, U akkor

invertálható, ha . Bizonyítás: Ha  sorekvivalens   U pedig hozzá sorekvivalens mátrix. U -vel, akkor léteznek olyan -Ÿ HtHtH - ¡  U
-ŸGj–j–j -c¡ H  akkor és csakis elemi mátrixok, hogy Tegyük fel, hogy invertálható. Ekkor a jobb oldalon minden tényez ő invertálható, tehát a bal oldal is invertálható, és  U   U  ƒŸ
ƒŸ - ¡ ƒ Ÿ –j j–jš- Ÿ ƒŸ Megfordítva, ha sorekvivalens -hoz, akkor ez megfordítva is teljesül, s az előző bizonyításrész megismételhető. 50 MÁTRIXOK, LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK ÉS DETERMINÁNSOK A következő tétel egy szükséges és elégséges feltételt ad mátrixok invertálhatóságára. (A félév során még két ilyen feltételt fogunk megtanulni.) 13.3 Tétel Egy négyzetes mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha sorekvivalens az (ugyanolyan típusú) egységmátrixhoz  Bizonyítás: Legyen az négyzetes mátrix sorekvivalens az egységmátrixhoz. Az el

őző tétel szerint ekkor invertálható.   Megfordítva, legyen invertálható. Tudjuk, hogy sorekvivalens egy lépcs ős mátrixhoz, amely tehát invertálható. Ebben a lépcsős mátrixban nem lehet csupa zéróból álló sor, hiszen akkor az nem lenne invertálható (a mátrixszorzás definícióját használva.) Ez azt jelenti, hogy a lépcsős mátrix valójában egy háromszög alakú mátrix: bc cd e5f ¶EŸªŸœ¶zŸ$µ –j j–j¶EŸ ( f g HtH H ¶KH µªHtµ H –j j–j¶Htµ H ( H g g g –j j–jv¶ (5( Ÿ és a fődiagonálisban nincs egyetlen zéró elem sem. Szorozzuk meg az § -edik sort ¬­®­ -vel: bc Š g HtHtH g cd  e f ¶EŸ$µ –j j–jh¶zŸ ( f HtŠ H H –j j–jh¶KHtµ Ht( H g H g –j j–j Š Most az utolsó sor ¶¦ szeresét adjuk hozzá az § -edik sorhoz, ( oszlopban az utolsó elem kivételével minden elem zérus lett: bc cd Š g HtHtH g ¶EŸ$µ –j j–j HtŠ H H –j j–j g –j j–j §
Š HtHtHž   Š . Így az utolsó

g e5ff g HtHtH g H Š Ha ezt az eljárást elvégezzük az utolsó előtti,., a 2sorral is akkor az egységmátrixot kapjuk meg, ahonnan következik állításunk. (Tulajdonképpen a Gauss eliminációt végezzük el visszafelé) A bizonyítás második részéből külön is kiemeljük az alábbi állítást: 13.4 Következmény Minden olyan háromszög alakú mátrix invertálható, melynek fődiagonálisában nincs zéró elem 13.5 Tétel Legyen szorzataként.  egy invertálható mátrix.  és  ƒŸ egyaránt felírhatók elemi mátrixok 51 NÉGYZETES MÁTRIXOK INVERTÁLHATÓSÁGA  Bizonyítás: Ha invertálható, akkor sorekvivalens az egységmátrixszal. MiveltHtaHtH‚Gauss eliminációt el tudjuk végezni elemi mátrixok szorzásával, ezért léteznek olyan - Ÿ - ¡ elemi mátrixok, hogy -c¡"j–j–j -Ÿ 
H Ÿ A bal oldalon szereplő elemi mátrixok inverzével rendre beszorozva: 
- ƒ Ÿ –j j–jš- ƒ Ÿ Ÿ ¡ illetve  ƒ Ÿ
c-

¡"j–j–j -Ÿ H Az előzőekben leírt módszer egyszerűgyakorlati módszert ad mátrixok invertálhatóságának eldöntésére és az inverzmátrix meghatározására. Megjegyzés. (Mátrix invertálása szimultán Gauss eliminációval) Legyen adva egy mátrix, melyet Gauss eliminációval egységmátrixszá alakítottunk: -c¡"j–j–j -Ÿ 
Ÿ  négyzetes H A mátrix tehát invertálható és inverze:   ƒŸ
- ¡"j–j–jš-XŸ
-c¡"j–j–j -ŸŸ H Ez azt jelenti, hogy ha az mátrixot Gauss eliminációval, azaz elemi sorátalakításokkal egységmátrixszá alakítjuk, s ugyanezeket az elemi sorátalakításokat végrehajtjuk az egységmátrixon,  a végeredmény inverze lesz. Tehát az eliminációt egyszerre, szimultán hajtjuk végre a két  mátrixon, de az elemi sorátalakításokat az határozza meg, az egységmátrix csak „elszenvedi”. (A módszer végrehajtásakor természetesen nem kell az elemi mátrixokat felírni,

azoknak csak a bizonyításnál van szerepük.) Gyakorlatilag leírjuk egymás mellé az invertálandó mátrixot (bal oldal) és az egységmátrixot (jobb oldal), majd 1. Gauss eliminációval lépcsős alakúra hozzuk ezt a „hosszú” mátrixot Ha a baloldali négyzetes mátrix nem tartalmaz csupa zéróból álló sort (háromszög alakú és a f őátlóban nincs zérus), akkor a mátrix invertálható, s az eljárást folytatjuk. 2. Elemi sorátalakításokkal alulról fölfelé haladva elérjük, hogy a baloldalon egységmátrix legyen. A jobb oldalon az inverzmátrix van Példa. Egy példával illusztrálva 52 MÁTRIXOK, LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK ÉS DETERMINÁNSOK 14. Mátrix rangja 14.1 Definíció Egy (véges) vektorrendszer rangján a vektorrendszer által generált altér dimenzióját értjük   “•o ÿ mátrix. Az  oszlopvektorai  o egy alterét generálják Ennek diLegyen   ( menzióját az oszloprangjának mondjuk. Az sorvektorai  ( egy alterét

generálják Ennek dimenziója a mátrix sorrangja. A szakasz fő tétele a későbbiekben kimondja, hogy minden mátrix oszlop- és sorrangja megegyezik. A ÿ ( , w Ÿ HtHtHžšw (   (
¯° Z ì ± 3w Ÿ tHtH H  w ÿ Ÿ . Ekkor w tHtHtH‚šw H ¯° y ` ì ± Ÿ ( ( w t H t H H Èw Bizonyítás: következik, hogy ha  Ÿ lineárisan függő vektorrendszer, 3w Ÿ tHAz tHtH‚állítás 3w onnan ( is: akkor  (  $¢"Ÿ w Ÿ+Qj–j–j–Q”¢ w
¢"Ÿ 3w Ÿ Q£j–j–j–QR¢ 3w Û ( ( ( ( 14.2 Tétel “ o “ ( azaz, ha a bal oldalon a linieáris kombináció zérusvektort ad, akkor a jobb oldalon is. 3w Ÿ HtHtH š3w vektorrendszerből lineárisan független részrendszert választunk Tehát ha az  w tH HtH šw vektorrendszerből szintén lineárisan függetle( ki, akkor a megfelelő vektorok az  Ÿ ( nek. (Függőek nem lehetnek az előző észrevétel szerint) 14.3 Tétel Egy elemi sorművelet nem változtatja meg a mátrixnak sem a

sorrangját, sem az oszloprangját. Hasonlóan, egy elemi oszlopművelet nem változtatja meg a mátrixnak sem a sorrangját, sem az oszloprangját. Bizonyítás: (Sorcserére.) Két sor cseréje nyilván nem változtatja meg a sorrangot: a sorok által generált vektortér nem változik, ha a generáló vektorokat más sorrendben adjuk meg. Most adjuk hozzá egy sor skalárszorosát egy mások sorhoz, vagy szorozzunk egy sort egy nemzéró skalárral. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy a második sor º szeresét adjuk hozzá az első sorhoz, vagy az első sort szorozzuk º
g -val. (Más indexekre analóg gondolat menet alkalmazható.) Az új, -vel jelölt mátrix sorai tehát:  Ÿ
 Ÿ[Q”º  µ  µ j–j–j š o H vagy  Ÿ
º  Ÿ  µ j–j–j  o H  sorainak, azaz a  Ÿ š µ j–j–j  o   H HtHš o soroknak is lineáris kombivektoroknak minden lineáris kombinációja egyben a Ÿ , µ nációja is, azaz   µ tHtHtH‚  o 0M  Ÿ  µ

tHtHtH‚  o žH M Ÿ 53 MÁTRIX RANGJA Az altér dimenziója a bennfoglaló vektortér dimenziójánál nagyobb nem lehet, azaz ì  ù ` ×ÈÖ ¯ ¯ ° ìy±  H   Most a mátrixból állítsuk vissza az eredeti mátrixot (ld. 122 tétel) Az el őbbi gondolatmenet megismételhető, azaz azaz ×ÈÖ ¯ ¯ ° y± ×ÈÖ ¯ ¯ ° y± ×ÈÖ ¯ ¯ ° y± ì  `ù×šÖ ¯¯° y± ì 9 ì 
×šÖ ¯¯° y± ì 9H Most belátjuk, hogy elemi sorátalakítás nem változtatja meg az oszloprangot. El őször azt tH t H H vegyük észre, hogy ha úTŸ ú jelöli  ( kanonikus bázisát, akkor ( ÖT× ²5³îÖL´ ¯ ° yì ± 
ì   •ú Ÿ HtHtH š ú ( ž  oszlopai, amelyeket jelöljön a továbbihiszen a jobb oldali vektorrendszer vektorai pontosan HtHtH š . Írjuk le az elemi sorátalakítást az - elemi mátrixszal való balszorzással akban  Ÿ ( ֏ײ5³îÖL´ ¯° yì ±- X
ì -  ú•tHŸ tHHtHHtH -   ú (
ì

- Ÿ - ( ` ¯° yì ±  Ÿ HtHtH š ֏ײ5³‡BÖ ´ ¯° Zì ± H ¯° y± ¯° y±

Tehát ¯° Z± (
Ö× ²X³‡ÖL´ ¯ ° yì ±I-  `ù֏ײ5³îÖL´ ¯° yì ± H Az előző gondolatmenetet ismételten alkalmazva: Ö× ²X³‡ÖL´ ¯° yì ± 
֏ײ5³îÖL´ ¯° yì ±- ƒ Ÿ -  ù ` ÖT× ²5³îÖL´ ¯ ° yì ±- X^ Ahonnan következik állításunk. 14.4 Tétel (Mátrixok rangszámtétele) Minden mátrix oszloprangja megegyezik a sorrangjá val. (Ezt a közös értéket a mátrix rangjának nevezzük és ¯° ìy± -val jelöljük)  Bizonyítás: Az állítás következik az alábbi állításból: Legyen egy F sorrangú mátrix. Sorműveletek és oszlopműveletek véges sorozatával a mátrix olyan alakra hozható, hogy a diagonális első F eleme 1, a mátrix összes többi eleme 0: cd c c c c c bc Š g HttH HtHtHH g g Š g . . g g HtHtH Š µ µ µ e5f f f f f f f g 54 MÁTRIXOK,

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK ÉS DETERMINÁNSOK A mátrixot sorműveletekkel hozzuk először lépcsős alakra, majd oszlopműveletekkel (oszlopcserékkel) trapéz alakra: bc HtH H H HtH e f c c c c c cd ¶EŸªŸô¶EŸ$µ tH H H z¶ ŸA H HtH ff g ¶µªµ f K¶ µA f f . f . E¶ ŸªŸ
Žg ¶µªµ
—g ¶[A+A
Žg t H H H H H t H g g ¶ AA [ g Itt az első sor azonban lineárisan független, továbbá a sorrang az elimináció során nem változott µ H tH HtH n )! E ¶ Œ Ÿ ¦ 
F . Most az 1 oszlop meg, tehát szeresét adjuk hozzá az § oszlophoz (§
ï ¶EŸªŸ Az alábbi mátrixot kapjuk: bc c c c c c cd e5f ¶EŸªŸ g tHtH HtHtHH g tH g H H ff g ¶ µªµ f ¶µ A f f H . f . g g HtHtH [¶ A+A tH H H g Analóg módon eljárva az első F sornál, valóban µ a megadott alakot kapjuk. Ennek a mátrixnak azonban nyilvánvalóan az oszloprangja és sorrangja is F , továbbá az egész eljárás során egyik rang sem változott, tehát az

eredeti mátrix sorrangja és oszloprangja is F (egyenl ő). 14.5 Következmény Mátrix rangja és a transzponáltja rangja megegyezik 14.6 Tétel Egy :† -es négyzetes mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha rangja  Bizonyítás: Egy &¶ típusú négyzetes mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha sorekvivalens az   -es egységmátrixhoz. Utóbbinak azonban a rangja  ¯ ° ìy± 14.7 Tétel ¯° ìy±  .  `‚a}ë‡ì @
· ¸ F . Ha  invertálható, akkor ¯ ° ìy±  ì  X

¯ ° y± Bizonyítás: A már ismert ötlettel belátjuk, hogy szorzat rangja nem negyobb az els ő tényező rangjánál: ì  
¯° y± ì   ú•Ÿ HtHtH š ú (
¯° y± ì   Ÿ tHtHtH‚  ¯° y± Most ugyanezt alkalmazzuk a transzponáltakra: Ha  ì  
¯° y± invertálható: ì 
ì 
¯ ° y± ¯ ° y± ì   ¯° y± œ
œ ì    ì     ƒŸ ` ì  

ƒŸ X ` ¯° Z± ¯° Z± œ ¯° y± ` œ ì 
¯ ° y± ì    ` ì    ` ¯° Z± ¯° Z± ì  ¯ ° y± ¯ ° y± ( ` ì H ¯° y± ì  H ì 9H ¯ ° y± 55 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15. Lineáris egyenletrendszerek G 
$¶K¦ Z “•o ÿ egy mátrix, ·tŸ tH tH H · o 15.1 Definíció Legyen ( egyenletrendszernek nevezzük az alábbi egyenletrendszert: ¶zŸªŸ™Å+Ÿ[Qj–j–j–Q”¶EŸ ( Å . .
·tŸ
·o H ( ¶LoIŸ™Å+Ÿ[Qj–j–j–Q”¶Lo ( Å ( pedig skalárok. Lineáris (N ) . . Az  számot az ismeretlenek számának, míg n -et az egyenletek számának nevezzük. Bevezetve az ismeretlenekből és a jobb oldali skalárokból képezett w
oszlopmátrixokat, a illetve az  mátrix N bcd Å+Ÿ Å e5f . . g bcd 
·Ÿ e5f . . g ·o ( lineáris egyenletrendszert az alábbi rövidített formában is felírhatjuk:  Ÿ H HtHš  w
9 o soraival:  Ÿw  o w
. . ·Ÿ
. .

·o A ( N ) lineáris egyenletrendszer alapmátrixának nevezzük az mátrixának a bc e f c cd ¶EŸªŸ E¶ Ÿ$µ –j j–j E¶ Ÿ ( ¶µšŸ ¶ µªµ –j j–j ¶ µ ( . . ·Ÿ ·µ . .  mátrixot, míg bővített alap- f f . . g ¶ oIŸœR¶ o‹µ j–j–jhR¶ o ( · o L   mátrixot. Ezt röviden  -vel is jelöljük. tH t H H · o skalárok mindegyike zéró, akkor homogén lineáris egyenletrendszerr ől beHa a · Ÿ szélünk, míg ellenkező esetben inhomogén lineáris egyenletrendszerről. A ( N ) lineáris egyenletrendszerhez asszociált homogén lineáris egyenletrendszer alatt a ¶zŸªŸ™Å+Ÿ[Qj–j–jtQ”¶EŸ ( Å . . ¶LoIŸ™Å+Ÿ[Qj–j–jtQ”¶Lo ( Å lineáris egyenletrendszert értjük.
( (
g g . .H ( NN ) 56 Egy P ¹•Ÿ jesül MÁTRIXOK, LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK ÉS DETERMINÁNSOK HtHtH ¹ ( skalár  -est a ( N ) lineáris egyenletrendszer megoldásának nevezzük, ha tel- ¶EŸªŸ¹•Ÿ+Qj–j–j–Q”¶EŸ (

¹ ¶Lo!Ÿ¹•Ÿ+Qj–j–j–Q”¶Lo ¹ ( ( . . (

·Ÿ . . ·o H Triviális megoldás alatt a csupa zéró elemből álló megoldást nevezzük. Az ettől különböző megoldást pedig nem triviális megoldásnak. A “”o ÿ . az 15.2 (Lineáris egyenletrendszerek megoldásának szerkezete.) Legyen 3w
Tétel. ( g homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai   ¯° ìy±  dimenziós alteret alkotnak  ( -ben. 3w
 megoldható lineáris egyenletrendszer megoldóvektorai lineáris sokaságot alkotAz 3w
Žg homogén lineáris egyenletrendszer megoldásterével. nak, ennek iránytere megegyezik az Bizonyítás: A dimenzióra vonatkozó tételt később bizonyítjuk be. eset. A megoldáshalmaz nyilván nem üres, mert º( zéróvektora megoldás Ha w Ÿ Aill.homogén w µ két megoldás, továbbá ¢ skalár, akkor a mátrixműveletek megfelel ő tulajdonságait használva:   w [Ÿ Q w µ
3w Ÿ+Q  w µ
—g  $¢ w Ÿ
¢ 3w Ÿ
—g H Azaz

két megoldás összege megoldás skalárszorosa megoldás. w w Az inhomogén eset. Legyen Ÿ és µ két (nem feltétlenül különböző) megoldás   w Ÿ  w µ
3w Ÿ  3w µ
  
Žg amiből az állítás következik. 15.3 Tétel Ha egy lineáris egyenletrendszer bővített alapmátrixa sorekvivalens egy másik lineáris egyenletrendszer bővített alapmátrixával, akkor a két lineáris egyenletrendszer ekvivalens, azaz ugyanazok a megoldásaik. 3w 
a szóban forgó lineáris egyenletrendszer, a sorátalakítást pedig Bizonyítás: Legyenn  w
 teljesül, akkor - Xªw
írjuk le az - elemi mátrixszal való balszorzással. Ha 3   w  X  ™w 
- , tehát 
$- is -, A lineáris egyenletrendszerek megoldásának „filozófiája” a következ ő: A kibővített alapmátrixot elemi sorátalakításokkal lépcsős alakúra hozzuk, mivel az így kapott lineáris egyenletrendszer ekvivalens az eredetivel, ezért elegendő ezt az egyszerű

szerkezetű lineáris egyenletrendszert megoldani. A lépcsős mátrixú lineáris egyenletrendszerek megoldása valóban egyszerű 15.4 Tétel Egy lineáris egyenletrendszernek legyen lépcsős a kibővített alapmátrixa Ez az egyenletrendszer akkor és csakis akkor megoldható, ha nincs a kibővített alapmátrixban olyan sor, melyben csak az utolsó elem zérótól különböző. 57 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK Bizonyítás: Ha a kibővített alapmátrixban van olyan sor, amelyben csak az utolsó elem zérótól különböző, akkor az egyenletrendszer nyilván nem oldható meg. Be kell látni a megfordítást, azaz ellenkező esetben van az egyenletrendszernek megoldása. Az egyes egyenletekben a tagok megfelelő átrendezésével, majd az együtthatók és az ismeretlenek indexének ennek megfelel ő átírásával elérhető, hogy az egyenletrendszer a következő alakú: ¶EŸªŸ™Å+Ÿ[Q”¶EŸ$µ ÅSµQj–j–j–QR¶EŸ$¡‚ÅS¡IQ”¶EŸªÁ

¡SGŸéÅS¡SGŸ £ Q j–j–j–QR¶zŸ ( Å (

¶µªµ ÅSµQj–j–j–QR¶µª¡‚ÅS¡IQ”¶µšÁ ¡ SGŸéÅS¡ SGŸ £ Q j–j–j–HtQR HtH‚Ht¶KHtµ Ht( HtÅ H ( H ¶¡ ¡‚ÅS¡IQR¶K¡žÁ ¡SGŸéÅS¡SGŸ[Qj–j–jtQ”¶¡ ( Å (

g · Ÿ E¶ ŸªŸ Ž
g ·µ ¶ µªµ Ž ·¡ ¶¡ ¡
g ahol a g
hg sorokat nem írtuk ki. Ennek az egyenletrendszernek a megoldását a következ őképpen kapjuk meg: Å (
. . ¹ ( ¹p tetszőleges ÅS¡SGŸ
¹ ¡SGŸ np tetszőleges majd az utolsó egyenletből kifejezzük Å¡ -t: ÅS¡
 ¶¡‚¶Á ¡¡ ¡ SGŸ ¹t¡SGŸ  j–j–j  ¶K¶¡ž¡ Á ¡ ( ¹ ( Q ¶·^¡ ¡ ¡ H Mivel ¶K¡š¡
Žg , ezt valóban megtehettük. Visszafelé haladva a következő sorból kifejezzük Å¡‚ƒŸ t, és így tovább, végül az első sorból Å+Ÿ -et Most bebizonyítjuk a megoldástér dimenziójára (korábban kimondott) tételt. Tekintsük az ún. bázismegoldásokat! Ezeket

úgy kapjuk, hogy  egy szabadon választható ismeretylennek az 1 ¨   ¯° ìZ±
értéket adjuk, a többinek 0-t. Ezt  féleképpen tehetjük meg. Az el őzőek szerint  ezekből a lineárisan független bázismegoldásokból az összes megoldás lineárisan kombinálható. Alkalmazzuk ezt a tételt a homogén lineáris egyenletrendszerek megoldására: 15.5 Következmény Ha egy homogén lineáris egyenletrendszerben az ismeretlenek száma nagyobb, mint az egyenletek száma, akkor annak van triviálistól különböző megoldása 15.6 Tétel (Kronecker–Capelli tétel) Egy lineáris egyenletrendszer akkor és csakis oldható meg, ha alapmátrixának rangja megegyezik a bővített alapmátrix rangjával. (A tétel igaz homogén és inhomogén lineáris egyenletrendszerekre is, csak a homogén esetben semmitmondó.)  w  
, oszlopai legyenek Bizonyítás: egyenletrendszer mátrix alakja legyen  Ÿ HtHtHž  . AHalineáris tHtHtH‚ ¹ skalárok, hogy az

egyenletrendszer megoldható, akkor léteznek olyan ¹KŸ (   ¹’Ÿ Ÿ[Qj–j–jtQm¹ ( (
9 ( 58 MÁTRIXOK, LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK ÉS DETERMINÁNSOK    HtHtH š  tHtHtHž   tHtHtH‚  
¯ ° ìy± Ÿ azaz M Ÿ , tehát ¯° ìy± Ÿ , ami azt jelenti, hogy ( ( ( az alapmátrix rangja megegyezik a bővített alapmátrix rangjával. ¯ ° ìy± 
¯ ° ìy±3  . Válasszunk ki egy bázist az Most induljunk ki abból, hogy az  Ÿ HtHtHž  vektorrendszerből! Ugyanez a kiválasztott vektorrendszer egyben  Ÿ tH HtH‚š  bá tehát lineárisan kombinálható a kiválasztott bázisból, azaz az ( ( zisa is lesz a feltétel miatt. ennél  Ÿ tHtHtH‚  vektorrendszerből is. (A bázisban szereplő vektorok együtthatója nem szűkebb le ( g gyen megfelelő koordinátája, a többi együttható pedig ). Az így kapott együtthatók az eredeti lineáris egyenletrendszer megoldását adják. 16. A determinánsfüggvény

tulajdonságai G A fejezet első definíciója előtt ismételjük át a harmadrendű determináns fogalmát! 
 ¶¦  “ ÿ négyzetes mátrix. Ennek `y»X¼  -val jelölt determi( ( H t t H H ½ ½ ½ ee ee ¶zŸªŸ ¶EŸ$µ ¶ E Ÿ B C ¿ ½ ¾ (  jel. . ee

ee . À j‘¶EŸ ü Ÿ+j‘¶µ ü µzj–j–jš¶ ( ü ( `y»V¼ . e ee H t t H H e ¶ (5( e e ¶ ( Ÿ÷¶ ( µ tH HtH‚  számok összes À permutációjára; toszámot értjük, ahol az összegzés kiterjed az ™Š ï 16.1 Definíció Legyen nánsán a vábbá ¾ À
¡ Š  Š ha À páros permutáció H ha À páratlan permutáció  -et a determináns rendjének is nevezzük. A `y»X¼ leképezést, amely minden :  -es mátrixhoz hozzárendeli a determinánsát  -edrendű determináns függvénynek is nevezzük. Megjegyzés. Azaz egy  -edrendű mátrix determinánsát a definíció szerint úgy számíthatjuk ki, hogy egy Á tagú összeget képezünk, melyben minden tag egy 

tényez ős szorzat. A szorzat  tényezőit úgy kapjuk, hogy minden sorából kiválasztunk pontosan 1 elemet úgy, hogy közben Š Hž-gyel vagy  Š -gyel szorozzuk aszeminden oszlopból is pontosan 1 elem szerepeljen. Ezt Q t H t H  számoknak páros vagy páratlan rint, hogy a kiválasztott elemek oszlopindexei az ™Š ï permutációját alkotják, miközben a sorindexek természetes sorrendben vannak. Definíció alapján csak első, másod, vagy harmadrendű determinánst, vagy speciális alakú mátrix determinánsát érdemes kiszámolni. Gondoljunk arra, hogy egy általános Âm típusú mátrix determinánsához már 24 tagot kell összegezni. Elsőrendű determinánsra: ‘¶
¶ H `y»X¼ A másodrendű és harmadrendű determináns kiszámítását már ismerjük. Néhány speciális alakú mátrix determinánsa közvetlenül a definíció alapján is egyszerűen kiszámítható: 16.2 Tétel Ha egy mátrix tartalmaz csak zérusból álló sort,

akkor determinánsa 0 Egy háromszög alakú mátrix determinánsa megegyezik a főátlóbeli elemek szorzatával Speciálisan, tetszőleges típusú egységmatrix determinánsa 1. 59 A DETERMINÁNSFÜGGVÉNY TULAJDONSÁGAI   Vezessük be az alábbi jelölést! Legyen egy d , -es mátrix, Å  ( pedig egy sorvektor.  ¦ªŒÅ jelölje azt az ê¨ -es mátrixot, melyet az mátrixból úgy kapunk, hogy az § -edik sort Å -re cseréljük. 16.3 Tétel A determináns az alábbi tulajdonsággal:  függvény rendelkezik  `y»V¼ ¦™$¢ˆÅ Q ¤ Æ
¢Ã`y»V¼ ¦™¾Å Q ¤ `y»X¼ ¦™$Æ . (Linearitás a sorokban) ÚG§  @ Š tHtHtHž  F : Bizonyítás: Válasszuk ki a determináns egy tagját! ¾ ½ ½ Ä ­ ½ ½ ½ ½ ½ PÀ ¾ ¶EŸ ü ŸEj–j–j ½ ¢ˆÅ ü ¦ESQ½ ¤ Æ ü ¦E ½ j–j–jš¶ ( ¾ ü (

 À ¢nj‘¶ Ÿ ü Ÿ j–j–jÅ ü ¦E j––j j ¶ ü Q  À ¤ j–¶ Ÿ ü Ÿ j–j–jÆ ü ¦E j–j–j ¶ ü
( ( ( (
J ¢

`Z»X¼  ¦™ŒÅ Q ¤ `y»V¼  ¦ŒÆ ^H A következőekben egy egyszerű módszert adunk egy mátrix determinánsának kiszámítására. Elemi sorátalakításokkal (akár sor skalárral való szorzása nélkül is) a mátrixot lépcs ős alakra hozzuk. Ennek determinánsa már könnyen kiszámítható Azt kell megvizsgálnunk, hogy elemi sorátalakításokkal hogyan változik a determináns értéke.  16.4 (A determináns értékének változása elemi sorátalakításnál.) Ha a mátrix az  -bólTétel.  
két sor felcserélésével keletkezik, akkor `y»V¼ `y»X¼ .  Ha a mátrix az négyzetes mátrixból úgy keletkezett, hogy egy sort szoroztunk egy f
Žg   skalárral, akkor `Z»X¼ 
f`y»V¼ . Ha a mátrix az négyzetes mátrixból úgy keletkezett, hogy egy sor skalárszorosát hozzá
`y»X¼  . adtuk egy másik sorhoz, akkor `y»V¼ Bizonyítás: Ha a mátrixban két sort felcserélünk, akkor az eredeti determináns minden tagja tagja az

új determinánsnak is, de a sorcsere miatt az oszlopindexekben az inverziók számának paritása megváltozik, tehát minden tag ellentétes előjellel szerepel. Ennek az állításnak közvetlen következménye, hogy ha egy négyzetes mátrixban két sor megegyezik, akkor a mátrix determinánsa g : valóban, sorcserével a mátrix determinánsa el őjelet vált, ugyanakkor egyenlő sorok esetén sorcserével a determináns nyilván nem változik meg, ezért értéke csak nulla lehet, ez az egyetlen szám, amely megegyezik ellentettjével. A második tulajdonság a linearitás közvetlen következménye (annak egy speciális esete): `y»V¼  ¦ªfzÅ
f‹P`y»X¼  ¦™ŒÅ ȞH A harmadik tulajdonság bizonyításához tegyük fel, hogy a mátrix § -edik sorához, amit hozzáadjuk az Æ -al jelölt ‘ -edik sor f -szorosát (§
‘ ). `Z»X¼  ¦™ŒÅQdfƒÆ


`y»X¼ `y»X¼ `y»X¼  ¦ ŒÅ Q”f`y»X¼  ¦ŒÅ ^ mert   mert  ¦™ŒÅ  ™¦

ŒÆ ¦™ŒÆ  -ban van két egyenlő sor
Å jelöl, 60 MÁTRIXOK, LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK ÉS DETERMINÁNSOK Megjegyzés. Minden elemi sorátalakítás elérhető egy elemi mátrixszal való szorzással Ez alapján az előző tételt átfogalmazhatjuk 
 `y»X¼  U 
f `y»V¼  `Z»X¼‘$U U 
`y»V¼  `Z»X¼‘$- 1. `Z»X¼‘$2 3. U ahol - az egységmátrixból sorcserével származik; - az elemi mátrixból úgy származik, hogy UU egy sort szoroztunk egy nemzéró f skalárral; - pedig úgy, hogy az egységmátrix egy sorának skalárszorosát hozzáadtuk egy másik sorhoz. A 16.4 következménye az alábbi állítás: 16.5 Következmény Elemi sorátalakítás zéró determinánsú mátrixot zéró determinánsú mátrixba, nemzéró determinánsú mátrixot nemzéró determinánsú mátrixba visz át Bizonyítás: Elemi sorátalakítás során vagy megváltozik a determináns el őjele (sorcsere); vagy a determináns értéke

szorzódik egy nemzéró skalárral (a mátrix egy sorát szorozzuk egy nemzéró skalárral); vagy nem változik a determináns értéke (a mátrix egy sorának skalárszorosát hozzáadjuk egy másik sorhoz.) Mindhárom esetben a determináns eltűn ő vagy nem eltűnő volta megmarad.   
16.6 Tétel Legyen egy négyzetes mátrix! Ha sorai lineárisan függetlenek, akkor `Z»X¼  g , ha a sorok lineárisan függő vektorrendszert alkotnak, akkor `y»X¼
g . Azaz egy  -edrendű négyzetes mátrix rangja akkor és csakis akkor  , ha determinánsa nem zéró. Kiegészíthetjük a tételt azzal is, hogy egy négyzetes mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha determinánsa nem zéró.  Bizonyítás: Hozzuk elemi sorátalakításokkal az mátrixot lépcsős alakra! Két eset lehetséges.  Ha sorai lineárisan függők, akkor olyan mátrixhoz jutunk, melyben van csak zéróból álló sor, tehát determinánsa 0. Az előző következmény miatt: 

`y»V¼ 
ŽgA
+ `y»V¼ 
Žg Ha sorai lineárisan függetlenek, akkor háromszög alakú mátrixhoz jutunk (zérótól különböző főátlóbeli elemekkel), s további elemi sorátalakításokkal elérhetjük az egységmátrixot is (egy mátrix akkor és csakis akkor invertálható azaz sorai lineárisan függetlenek , ha sorekvivalens az egységmátrixhoz.) Az egységmátrix determinánsa 1, azaz
ág , s innen az állítás szintén az előzőekből következik. 16.7 Tétel (Szorzástétel) Legyenek  és  azonos rendű négyzetes mátrixok. Ekkor  Kj `Z»X¼  ^H ’  j 
 `y»V¼ X `y»V¼ 61 A DETERMINÁNSFÜGGVÉNY TULAJDONSÁGAI Bizonyítás: Az első lépésben azt bizonyítjuk, hogy az állítás igaz, ha elemi mátrix az egységmátrixból sorcserével keletkezett akkor `y»V¼-
 mátrix, mely -ből sorcserével keletkezett. Tehát 
 –-  `y»X¼ U `y»X¼ 
- UU U ‘$- 
`y»V¼  ¦ªfS·
f`y»X¼ 


`y»X¼ mátrix. Ha az   elemi Š , továbbá - olyan 9H `Z»X¼ p`y»V¼ Ha -
žŸ ¦fzÅ (Å az egységmátrix § -edik sora), akkor `y»V¼ ahol · a § -edik sora, azaz  U
f,j?Š , továbbá - U 
 ¦ªfS· - `Z»X¼ U `Z»X¼ , 9H Végül, ha elemi mátrix úgy keletkezett, hogy az egységmátrix egy sorának skalárszorosát U U
Š és `y»V¼’- U U 
`y»X¼  , amiból ismét következik hozzáadjuk egy másik sorhoz, akkor `y»V¼az állítás.  A  bizonyítás második lépésében feltesszük, hogy az mátrix invertálható. Ekkor tudjuk, hogy felírható elemi mátrixok szorzataként, tehát a bizonyítás els ő lépését használva: `y»X¼ 


Azaz ‘ 
`Z»X¼ ‘-ŸGj–j–j -c¡ `y»V¼-XŸ‹j4`y»V¼’-cµ j–j–j -c¡ j–j–j H `y»V¼-XŸGj–j–j `Z»X¼-c¡ `y»V¼
’$-XŸGj–j–j -c¡ j   `Z»X¼-Ÿ)j4`y»V¼‘$- µˆj–j–jš-c¡ j j–j–j  `Z»X¼-Ÿ+j–j–j `y»X¼-c¡cxj `y»V¼ 

jx`y»V¼ 9H `Z»X¼
`Z»X¼


 Hátramaradt annak az esetnek a vizsgálata, amikor nem invertálható.A állí bizonyítandó tás jobb oldalán ekkor 0 szerepel, azt kell belátni, hogy a bal oldal is 0, azaz nem invertálható. Ez azonban teljesül, mert ì   ¯° y± `aZëîì @ ¯ ° yì ±  ì ZF ` ¯ ° y± ì  m; ¯ ° y± ahol  a mátrix rendje. 16.8 Tétel Négyzetes mátrix és transzponáltja determinánsa megegyezik Bizonyítás: Az előző bizonyításhoz hasonlóan, először elemi mátrixokra, majd invertálható mátU UU rixokra, s végül általánosan látjuk be az állítást.œ - , - és - jelöljön ugyanolyan típusú elemi U U mátrixot, mint az előző tétel bizonyításában. -
- triviális, az is könnyen látható, hogy 62 MÁTRIXOK, LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK ÉS DETERMINÁNSOK -
- . - U U transzponáltja ugyan nem egyezik meg önmagával, de ez is ugyanilyen típusú elemi mátrix, tehát mindkét

mátrix determinánsa 1.  Legyen most invertálható mátrix, s írjuk fel elemi mátrixok szorzataként! œ
`y»V¼‘ œ - ¡)j–j–j œ -XŸ `y»X¼
P `y»X¼ œ -c¡ j–j–jt `y»V¼ œ -Ÿ a szorzástétel miatt,
P `y»X¼-c¡ j–j–jt `y»V¼-XŸ az első lépés miatt
P `y»X¼-Ÿ j–j–j–P `y»X¼-c¡
`y»V¼‘$-XŸGj–j–j -c¡
`y»X¼ H œ Nem invertálható mátrixra az állítás ismét egyszerű, mert mind a mátrixnak, mind a transzponáltjának a determinánsa 0. 16.9 Következmény Minden sorokra megfogalmazott állítás igaz oszlopokra is Pl a determinánsfüggvény az oszlopok lineáris függvénye 17. Aldeterminánsok, kofaktorok 17.1 Definíció Ha egy mátrixból bizonyos sorokat és oszlopokat elhagyunk úgy, hogy a kapott mátrix négyzetes mátrix, akkor ennek a mátrixnak a determinánsát az eredeti aldeterminánsának nevezzük. ö G ÿ Legyen . Az mátrixból az § -edik sor és a ‘ -edik oszlop elhagyása után ka“

 Š h  ( Š ( -es  ¦ mátrix determinánsát G pott  Gaz § -edik sor ‘ -edik eleméhez adjungált aldeterminánsnak nevezzük. A    Š ¦ES `y»X¼ ¦ szám az § -edik sor ‘ -edik elemének kofaktora, vagy algebrai aldeterminánsa. G   ÿ , továbbá rögzített § -re és ‘ -re jelölje ¶K¦ -t · . Ha az § -edik sor 17.2 Tétel Legyen “ ( ( minden · -től különböző eleme zérus, vagy a ‘ -edik Goszlop minden · -től különböző eleme zérus, G akkor   H `y»V¼
·’  Š ¦ES `y»X¼ ¦ Bizonyítás: ·
vg -ra az állítás triviális, feltehetjük, hogy a továbbiakban ·
vg . El őször tegyük fel, hogy · az első sor első eleme, és az első oszlopan elem zérus. ½ ½ minden további ½ `y»V¼ G mivel ¶ Ÿ értéke ‘ 
CB½¿¾ À ¶zŸ ü Ÿ¶µ ü µƒj–j–jš¶ ( ü (

Š -re 0, ezért a determináns egyenlő: ½ ½ ¾ ½ C
À ¶zŸªŸ™¶ µ ü µ j–j–j ¶ ( ü (
ü Ÿ ÅDGŸ

63 ALDETERMINÁNSOK, KOFAKTOROK ^tHtHtH^ È ahol az összegzés már csak az Š À!ï À" permutációkra terjed ki. Minden tagból kiemelhető ¶EŸªŸ , tehát tovább folytatva a megkezdett sort: C ½
¶EŸªŸ tH HtH‚ ž HtHtHž ½ ¾ ½ À ¶ µ ü µ j–j–jȶ ( ü (
š tHtH H Az ™Š ï permutációjának a paritása ugyanaz, mint a ï À!ï À!  ž HtHtszámok H À! š ™Š permutációjának, számok À!ï mert az előbbiben az 1 minden további számot megelőz. Ez azt jelenti, hogy
¶EŸªŸZ`Z»X¼  ŸªŸ Transzponálással a tétel állítását megkapjuk arra az esetre, amikor az els ő sorban az első elemen kívül mindegyik 0.  Š egymás utáni sorcserével elérhetjük, hogy a · -t Most az általános esetet látjuk be. § tartalmazó sor az első sorba kerüljön,G s a többi sor egymáshoz viszonyított helyzete nem változik.  Š egymás utáni oszlopcserével pedig elérhető, hogy · az első

oszlopban legyen. Hasonlóan, ‘  G Az így kapott mátrixot jelölje # . ¦
#3ٻ٠G Ekkor #
  Š ü ¦îƒŸS ü ƒŸ `y»V¼ Alkalmazzuk a bizonyítás első részét: `Z»X¼ 
  Š ¦ES G `y»V¼#
  Š E¦ S G Æ· `y»V¼#3ŸªG Ÿ
  Š ¦ES Æ· `y»V¼  ¦ á bc Ha 3w
  H `y»V¼ G 17.3 Tétel (Cramer szabály) Legyen w

  Š ¦ES `Z»X¼ Å+Ÿ ÅSµ c cd Å “ . . g e f f f ( ÿ ( , oszlopai legyenek  és
( bc c cd ·Ÿ ·µ . .g e f f f   Ÿ tHtH H  ( , továbbá H ·( , akkor  tj Ѧ
`y»V¼‘  Ÿòj–j–j  ¦‡ƒŸ   ¦ESGŸòj–j–j  ^H `y»V¼ X ( tH t t H ž H "p Jelölje -XŸ ( természetes bázisát, melyet most oszloponként írunk. Bizonyítás: gyen # a következő mátrix: #
( ˜ -XŸ HtHtH - ¦‡ƒŸ w - ¦ESGŸ HtHtH - ( ™ H Le- 64 G  -
 MÁTRIXOK, LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK ÉS DETERMINÁNSOK G 3w
 és  #
˜  Ÿ HtHtHh

¦‡ƒŸ  A szorzástétel miatt `y»X¼ # -ből következik, hogy  #
`y»V¼  ¦¤SGŸ HtHtH—  Ÿ HtHtHA ¦îƒŸ  ˜ `y»V¼ alakja a következő  ¦ESGŸ HtHtHA ( ™ H Š HtHtH +Å Ÿ tH H H g e5fff . . . f . HtHtH tH H H f g g ƒÅ ¦ . . . . HtHtH tH H H g g Å( Š bc c c c cd #
H ( ™ ahol Ѧ az § -edik sor § -edik eleme. A megelőző lemmából: #
Ѧ™  Š ¦ESE¦ `y»X¼ 17.4 Tétel Legyen  `y»V¼ŽŸ ƒŸ
Ѧ H ( 
·ž¦ G invertálható mátrix, az inverzét jelölje G G  Š ¤¦ S `y»V¼  ¦ H 
 · ¦ `Z»X¼ G ! Ekkor fennáll, hogy Bizonyítás: A bizonyítás során legyen ‘ rögzítve, továbbá legyen G G 
 a mátrix ‘ -edik oszlopa. Mivel Cramer szabályt: `y»V¼  Ѧ
`y»V¼ Mivel Ѧ
·¦ ˜ `y»V¼ e5f ·tŸ ·( . G . g Ÿ , ezért ( G   Ÿ H HtHh ¦îƒŸôG A 17.2 lemmát használva: G 
bcd
- G szintén teljesül. Alkalmazzuk

a ¶¦ESGŸ HtH Hh G  · ¦
Šcj?  Š ES ¦ G G `Z»X¼ ( ™ H  ¦H , ezért az állítást beláttuk. A paragrafus következő formulájával egy determináns kiszámítását nála alacsonyabb rendű determináns kiszámítására vezetjük vissza. 65 ALDETERMINÁNSOK, KOFAKTOROK 17.5 Tétel (Kifejtési tétel) Legyen Ekkor teljesül, hogy `y»X¼   
“ ÿ ( , ( Š,`b§3`Ç   Š ¤¦ Sz¡ ¶ ¦ ¡ j4`y»V¼  ¦ ¡ H C ( ¡DGŸ p ( természetes bázisa legyen $úŸ HtHtH ú ( Bizonyítás: zőképpen tudjuk felírni: pedig rögzített természetes szám. sorokként írva.  § -edik sorát a követke- ¶¦ ¡tút¡ H C ( ¡DGŸ Ezért `y»X¼ 
C (
C ( ¡DGŸ ¶¦ ¡`y»X¼  ¦™út¡ ¡DGŸ ¶¦ ¡T  Š ¦ESz¡ a determináns linearitása miatt  ¦¡ `y»X¼ a 17.2 lemma miatt Megjegyzés. Analóg állítás fogalmazható meg egy oszlopindex rögzítése után (Oszlop szerinti kifejtés, míg

a tételben sor szerinti kifejtés van.) 17.6 Tétel (Ferde kifejtési tétel) Legyen szetes számok. Ekkor teljesül, hogy C (  ¡DGŸ   “   Š E¦ Sz¡ ¶ ¦ ¡ j4`Z»X¼ ( ÿ , ( Š&`§
 ‘ `Ç pedig rögzített termé- G  ¡
—g H  Bizonyítás:G Legyen mátrixtól csak abban különbözik, hogy a ‘ -edik G  az a mátrix, amelyet a § -edik¨ sorával. Így -ben két egyenlő sor van, az § -edik  és a ‘ -edik sora megegyezik   az¡ minden Továbbá ¡
-ra. Alkalmazzuk -re a kifejtési tételt, megkapjuk -ra a ferde kifejtési tételt. 17.7 Tétel Legyen ¨ bcd e5f Å+ŸªŸ Å+Ÿ$µ H HtH +Å Ÿ$¡  . . . . g H t H H Å(Ÿ Å(µ Å(¡ “ ( ÿ¡ mátrix, ahol `2 ¨ . A mátrix oszlopai akkor és csakis akkor lineárisan függők, ha a sorokból képezhető minden -adrendű determináns értéke 0. ( ä9 a mátrix oszlopai akkor és csakis ¨ akkor lineárisan függetlenek, ha a sorokból képezhető -adrendű nem nulla

értékű determináns.) 66 MÁTRIXOK, LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK ÉS DETERMINÁNSOK Bizonyítás: Ha az oszlopok függő vektorrendszert alkotnak, akkor a sorokból képezhető minden ¨  ¨ -as mátrix oszlopai is lineárisan függők, s ekkor ennek a mátrixnak a determinánsa zérus. A megfordítást a következőképpen láthatjuk be. Először válasszunk ki a mátrixban maximális rendű el nem tűnő aldeterminánst Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy ez a bal felső sarokban van (sorcserék és oszlopcserék az állítást nem érintik.) N bc c c c c cd %
Žg e5f N f N HtHtH N f f . . N f f H g ¨ Ennek a determinánsnak a rendje kisebb, mint , tehát van még legalább 1 olyan oszlop, ami a determinánsban nem szerepel. Azt állítjuk, hogy a determinánsban szerepl ő oszlopok s még egy oszlop (mondjuk a pontosan mellette elhelyezkedő) lineárisan függő rendszert alkotnak. Ehhez meg kell konstruálni azt a

nem triviális együtthatórendszert, amivel az oszlopokat lineárisan kombinálva megkapjuk% a zéróvektort. Ehhez először képezzünk az el nem tűnő determinánstól U determinánst egy sor és egy oszlop hozzávételével: 1-gyel nagyobb rendű bc c c c c c cd %
Žg Å+Ÿ HtHtH Å@? e5f N N f f f . . Å@?SGŸ f f f H g tHtHtH‚ Azt állítjuk, hogy a keresett együtthatók az új determináns ňŸ Å@?SGŸ elemekhez tartozó kofaktorai. Ez triviálistól különböző együtthatórendszer, mert az utolsó elem kofaktora pontosan %ô
—g , továbbá az Å[Ÿ tHtH H Å@?+ÈEŸ elemektől nem függenek. Kombináljuk ezzel az együtthatórend% szerrel az oszlopokat. Azt% kell ellenőrízni, hogy minden sorban megkapjuk a nullát Ez a -ben U szerepet játszó sorokra a -re alkalmazott ferde kifejtési tételből, míg a többi sorra a kifejtési tételből következik. Tételünk közvetlen következménye az alábbi állítás: 17.8 Tétel Egy mátrix

rangja megegyezik maximális rendű el nem tűnő aldeterminánsa rendjével Ezzel a tétellel a mátrixok rangszámtételére egy új bizonyítást adtunk. 4. fejezet Lineáris leképezések 18. Lineáris leképezések alaptulajdonságai 18.1 Definíció Legyenek  és / ugyanazon  test feletti vektorterek. A Ø uÆ  / Æ  leképezést lineáris leképezésnek mondjuk, ha teljesül, hogy ÚÅ (L1) (L2) Û  ØʌŠR Q Æ
ÊØ ¾Å QdØÊŒÆ ØÊ$¢ˆÅ
¢ ØʌŠ és Ú(¢    esetén: Û Jelölje É  / az összes  lineáris leképe/ lineáris leképezés halmazát! A Ø É + / zést lineáris izomorfizmusnak nevezzük, ha bijektív, ilyenkor  -t és / -t izomorf vektortereknek mondjuk. Speciálisan, ha /
 , akkor lineáris operátorról, vagy lineáris transzformációról, míg ha /
 , lineáris formáról szólunk. Megjegyzés. Az L1 és L2 tulajdonságok egyetlen formulába foglalhatók: ØB¢ˆÅQ ¤ Æ
¢ØÊŒÅ

Q ¤ ØB$Æ ž Å Æ   ¢ ¤   H Ebből indukcióval az alábbi általános formulát nyerjük: ØÊ$¢"ŸªÅ+Ÿ[Qj–j–j–Q”¢ ¡žÅS¡
¢"ŸÈØBŒÅ+Ÿ Qj–j–jtQ”¢ ¡–ØʾÅS¡ ^ Ѧ   ¢ ¦   Û §
Š HtH H ¨GH  / lineáris leképezés.  zérusvektorának képe / zérusvektora 18.2 Tétel Legyen Ø uÆ Bizonyítás: ØB g
ØB g Q g
ØÊ g QdØÊ g , azaz ØÊ g
Žg . 18.3 Tétel Lineáris leképezés lineárisan függő vektorrendszert lineárisan függő vektorrendszerbe visz át 67 68 LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK tHtH H Bizonyítás: Legyen ¶zŸ ¶¡ lineárisan függő vektorrendszer! Ekkor a zérusvektor előáll nemtriviális lineáris kombinációjukként: ¢)ŸÈ¶EŸ+Qj–j–j‘QR¢ˆ¡žÅS¡
—g H Alkalmazzuk mindkét oldalra a Ø lineáris leképezést: ¢)ŸšØÊ$¶zŸ Qj–j–j‘QR¢ˆ¡tØÊŒÅS¡
—g H Mivel a fenti lineáris kombinációban az eredeti együtthatórendszer szerepel,

ezért ez a lineáris (H HtH ØB¶¡ È vektorrendszer függőségét jelenti. kombináció is nemtriviális, ami a $ØʶƒŸ Az alábbiakban definiált leképezések lineárisak: Példa. Az identikus leképezés Egy  identikus leképezése. Példa. A zéró leképezés Ha  és / / zérusvektorát rendeljük. vektortér önmagára való  Å y ØʾÅ
Å ugyanozon test feletti vektorterek és  minden vektorához Példa. Origó középpontú hasonlóság Legyen  valós vektortér, Példa. Ø uw  ¨np Ø u$    y ØB$Â
¨  H v “ o ÿ mátrix. Legyen A mátrixszorzás. Legyen ( p p w
 w¹H o  ÉËÊu ( ÉËÊ rögzített szám. Legyen Példa. A differenciálás Legyen  az $¶ · nyílt intervallumon differenciálható valós függvények vektortere, míg / az ¶ · -n értelmezett összes valós függvények vektortere A % u$  / û y % û
û U deriválás lineáris leképezés. Példa. Az integrál, mint a felső

határ függvénye Legyen  az ̄¶ ·Í intervallumon folytonos   leképezést értelmezzük a következő módon: függvények tere. A Ø u$ û y ØBû
. . ¾Å
Î&Ï û)    Û Å  „Ì ¶ ·Í H ¬ Példa. A sík origó körüli elforgatása A  síkot kétféleképpen is vektortérnek gondolhatjuk: p p µ •

 , mint fölötti egy dimenziós vektortér; vagy  , mint fölötti két dimenziós Cp , vektortér. Az elforgatást először a egy dimenziós vektortérben értelmezzük Legyen ¢ továbbá y ^H Ø u  >  ØÊ>
 > jK$Ղ֏×¢&QR§×Èë‡ì ¢ (Gondoljunk a komplex számok szorzásának geometriai interpretációjára, ld. az ábrát!) Vegyük 69 LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK ALAPTULAJDONSÁGAI Ñ ÒwÓԤՖÖ×5؋ٍÚ×ÛÝ܎Ø]Þ Ò Õ–Ö×x،ÙßÚ ×Û®ÜŽØ à Ð 4.1 ábra Elforgatás a komplex számsíkon észre, hogy a középpontos hasonlóság speciális esetével állunk szemben.

p A fentiek alapján könnyen levezethetjük az origó körüli elforgatás képletét npB . >
Å=QC§Æ , ŒÅ Æ µ -ben is. Legyen ¾Å=QR§Æ j?$Õ ÖT×S¢QR§×šëîìc¢
ŒÕ ֏×S¢¹jtÅ  ךëîìc¢¹j–Æ QR§Œ×šëîì3¢¹j‚Å=QRՂ֏×S¢¹j–Æ žH Tehát ha az elforgatás Ø up µ  p µ akkor illetőleg mátrix alakban: œ U U ŒÅ Æ y Œ Å Æ œ Å UU
‚Õ ֏×S¢¹jtÅ  ×Èë‡ì ¢nj–Æ Û Æ
×Èë‡ì ¢njtÅ=QCÕ Ö×S¢¹j–Æ  ךëîì3¢ ‚ Õ  Ö S × ¢ Å. H . .j Æ ×Èë‡ì ¢ Õ Ö×S¢ Æ Ó Šï -t: a középiskolából jól ismert „szabályt” kapjuk a Helyettesítsünk a fenti formulákba ¢
 z Ó Šï szögű elforgatásra. — p À merőleges vetítése a koordinátatengelyekre vagy a Példa. Vetítés altérre Lineáris leképezés - Å y - koordinátasíkokra. (Írjuk fel ezen vetítések explicit alakját!) Û 18.4 Tétel Legyenek  és / ugyanazon  test

feletti vektorterek É3 / vektortér  felett, ha két lineáris leképezés összegét és egy lineáris leképezés skalárral való szorzatát a következőképpen értelmezzük: ØâQá Œ Å $¢)Ø Œ Å

ÊØ ¾Å m Q^ áŒÅ ^ Å    H ¢ØʌŠŠ ¢  70 LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK Bizonyítás: Könnyen látható, hogy az összeadás és skalárral való szorzás el őző definíciói valóban lineáris leképezést értelmeznek.
Ellenőriznünk kell a vektortér axiómák teljesülését. Először belátjuk, hogy ¢BØÇQâá ¢)؍QR¢ á . Valóban: „¢Ê؍Qá ªÍ ¾Å Ì

¢ãÌÉ؍Qmá ¾ Å Í
‹¢ ÌþØBŒÅ QmáŒÅ Í
)¢žH ØBŒÅ Q”¢—á¾Å
¢)Ø ŒÅ QŽ ¢—á ŒÅ
$ ¢)Ø&Qd¢—á ŒÅ Hasonlóan bizonyítható a többi tulajdonság. 18.5Û Tétel Legyenek 7 ,  , Û / É + / É j7 / , akkor á ä3Ø ugyanazon test fölötti vektorterek. Ha . Ø  É j7 Û  , á

 Bizonyítás: Triviális számolás. 18.6 Tétel Legyen Ø  É + Û / izomorfizmus. Ø ƒ Ÿ $u /   szintén lineáris izomorfizmus Bizonyítás: Mivel Ø bijektív ezért létezik inverze, s az inverze is bijektív, azt kell belátni, hogy ƒŸ  : Ÿ
ÂKŸ , Ø ƒŸ  : µ
’µ . Mivel ez lineáris leképezés. Legyen Ø ezért Ø ƒŸ  : Ÿ+Q : ÊØ ŒÂKŸ+QR’µ
ÊØ ŒÂKŸ Q”ØÊ$’µ
: Ÿ+Q : µ µ
Ÿ QC•µ , azaz Ø ƒŸ  : Ÿ[Q : µ
Ÿ QC•µ
Ø ƒŸ  : Ÿ QdØ ƒŸ  : µ žH Hasonlóan igazolható a homogenitás: ØÊ$¢‹ÂŸ
¢)ØB$Ÿ
¢ : Ÿ Ø ƒ Ÿ  ¢ : Ÿ
¢ˆÂKŸ
¢)Ø ƒ Ÿ  : Ÿ ^H azaz 18.7 Tétel (A véges dimenziós vektorterek struktúratétele) Az  test feletti  dimenziós  vektortér izomorf  ( -hez, az  elemeiből képzett skalár- -esek teréhez. Œ “Ÿ HtHtH  ( . Értelmezzük a következő leképezést: Å+ŸÂKŸ[Qj–j–jtQCÅ (  ( y Œ Å+Ÿ HtHtH Å ( ^

Bizonyítás: Rögzítsünk  -ben egy bázist: Ø u$   ( azaz tetszőleges vektorhoz rendeljük hozzá a rögzített bázisra vonatkozó koordinátáit. Egyszerűen megmutatható, hogy így lineáris leképezést definiáltunk (Ld két vektor összegének koordinátái, vektor skalárszorosának koordinátái!) Mivel bázisból a tér bármely vektora pontosan egyféleképpen kombinálható, továbbá tetszőleges skalár  -esből kombinálhatunk vektort, ezért ez a leképezés bijektív is. 71 LINEÁRIS LEKÉPEZÉS KÉPTERE ÉS MAGTERE 18.8 Következmény Izomorf vektorterek dimenziója ugyanaz 18.9 Tétel (A lineáris kiterjesztés tétele) Legyenek  és / ugyanazon test fölötti vektortetHtHtHž  bázis  -ben,   Ÿ tHtH H  tetszőleges vektorrendszer / -ben Egyértelműen rek, $Ÿ ( ( létezik olyan Ø uÆ  lineáris leképezés, hogy ØÊ$‘¦
 / ¦[$§
Š tHtHtH‚  ^H Azaz a lineáris leképezést bázison felvett értéke

egyértelműen meghatározza. Bizonyítás: Értelmezzük a Ø leképezést a következőképpen: Å+ŸŸ+Qj–j–j‘QÇÅ (  ( y Å+Ÿ  Ÿ[Q£j–j–j‘QCÅ (  ( H  Egyszerűen ellenőrizhető, hogy ez a leképezés  lineáris, továbbá ØÊŒÂT¦
¦ . Az egyértelműség bizonyítása maradt hátra. Tegyük fel, hogy á É +  / rendelkezik a tételben leírt tulajdonØ u$  / sággal! Belátjuk, hogy tetszőleges vektoron ugyanazt az értéket veszi fel, mint az előbb definiált Ø . Valóban: ŒÅ+ŸŸ Q£j–j–j–QÇÅ (  á (
Å+Ÿá$Ÿ Q£j–j–j‘QCÅ á ŒÂ ( (
Å+Ÿ  Ÿ+Qj–j–j–QCÅ  ( ( H 19. Lineáris leképezés képtere és magtere  É + Û / lineáris leképezés. A 19.1 Definíció Legyen Ø  DiØÊ$Â
—g F 0 å ¯ » Ø
v@  halmazt a Ø lineáris leképezés magjának vagy magterének nevezzük, míg a ëaØ
v@ A / D æE   uKØÊŒÂ
F 0/ halmazt a Ø képterének.

(Utóbbira a ØÊ+ jelölés is használatos)  É +  Û / lineáris leképezés. ëHadØ / altere, míg å » ¯ Ø 19.2 Tétel Legyen Ø a  altere. Bizonyítás: Egyik halmaz sem üres, mert a zérusvektort mindkett ő triviálisan tartalmazza. Elegendő tehát azt belátni, hogy mindkét halmaz zárt az összeadásra és a skalárral való szorzásra.  å ¯ Teljesüljön, hogy Å Æ » Ø . ØʌŠR Q Æ
ØʾŠQdØÊŒÆ
—g Q g
Žg ØÊ$¢ˆÅ
¢ ØÊŒÅ
¢¹j g
Žg  廯 Ø . tehát ÅQRÆ ¢ Å  ë aØ ! Ekkor léteznek olyan vektorok  -ben, hogy ØʾÅ
Most legyen >  ØʌŠQRÆ
ØʾŠQdØÊŒÆ
>3QRÂ ØÊ¢ Å
)¢ ØBŒÅ
¢ >  ë aØ . azaz >3QR ¢ > > , ØÊŒÆ
 . 72 LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK 19.3 Definíció Egy lineáris leképezés rangján képterének dimenzióját, míg nullitásán magterének dimenzióját értjük Példa. Legyen +Ÿ‹0 altér és a Ó

leképezés legyen a Óu$  (Ÿ Å y ÓI¾Å
Å=Q&+Ÿ ‹ŠL å ún. kanonikus projekció (Erről könnyen megygőződhetünk, hogy lineáris leképezés) » ¯ Ó (Ÿ Gondoljunk arra, hogy a ‹ŠL[Ÿ faktortér zérusvektora a g Q9+Ÿ
+Ÿ lineáris sokaság. y Ø  ç Példa. Legyen Ø uÆ) ( ) ( mok fokszámát eggyel csökkenti: Hë adØ halmazával. Példa. Tekintsük p À
ç
) ( ç
U. véve, hogy a deriválás a polinoƒŸ , å Figyelembe ¯» Ø pedig megegyezik a konstans polinomok merőleges vetítését az ÅSÆ síkra: Ø u p À  p À ¾Å Æ > "y ØBŒÅ Æ >
ŒÅ Æ g ^H A leképezés képtere az ÅSÆ sík, míg magtere a > tengely.  É +  Û / ! Ha å » ¯ Ø
@g F , akkor Ø injektív, továbbá lineárisan 19.4 Tétel Legyen Ø független vektorrendszer képe lineárisan független vektorrendszer. Bizonyítás: Először belátjuk, hogy a feltételek mellett különböző vektorok képe

különböző. Ha  Å Æ  és ØÊŒÅ
ØÊŒÆ , akkor Å  Æ å tehát a » ¯ Ø eleme. zérusvektor, azaz Å
Æ . tHtHtH‚    Legyenek ÂKŸ ( vektoraiból a zérusvektort: g
ØʾŠ ØÊ$Æ
ÊØ ¾Å  Æ žH å A feltétel szerint » ¯ Ø -nek azonban egyetlen eleme van, s ez a lineárisan független vektorok. Kombináljuk ezen vektorok kép- Å+ŸšØÊ$Ÿ Qj–j–jtQCÅ ( ØÊ$ A linearitás miatt: azaz Å+ŸÂKŸ+Qj–j–j–QCÅ ( Â(  HtHtH å ¯ » (
Žg  / H ØÊŒÅ+ŸŸ+Qj–j–j‘QÇÅ (  (
g Ø . å » ¯ Ø egyetlen eleme azonban a zérusvektor, azaz Å+ŸŸ[Q£j–j–j‘QCÅ (  (
Žg   H Å ( lineárisan független vektorrendszer, azaz mindegyik együttható A feltétel miatt ŒÅ[Ÿ nulla. A képvektorokból / zérusvektorát tehát csak triviálisan lehet kombinálni 19.5 Tétel Legyen Ø generátorrendszere.  É  Û / ! Ha $Â?Ÿ tHtHtH‚  ( bázis  -ben, akkor ØÊ$ÂKŸ ž HtHtH

ØÊ$ ( È ëHadØ 73 LINEÁRIS LEKÉPEZÉS KÉPTERE ÉS MAGTERE Bizonyítás: Legyen  -t a  bázisából:  ëHadØ  Ekkor a linearitást használva:  . Ekkor létezik olyan vektor, hogy Å+ŸÂKŸ+Q£j–j–j‘QCÅ (  (
 H ØB$Â
 . Kombináljuk
ØB$Â
Å+ŸÈØÊŒÂKŸ Q£j–j–j–QÇÅ Øʌ ž ( ( amit bizonyítani kellett. 19.6 Tétel (Homomorfiatétel) Legyen Ø ‹Š Bizonyítás: Legyen tehát Ø Â   É3 Û / å ¯ » Ø
Hë adØ lineáris leképezés.  É + Û / . Értelmezzük a következő leképezést: Ø $u ‹Š å » ¯ Ø  ë aØ ÂXQ å » ¯ Ø y ØB$ žH A definíció nem függ a lineáris sokaság reprezentensának választásától, mert ha ’µ)Q å » ¯ Ø , akkor ÂKŸ  •µ  å » ¯ Ø , azaz ÂzŸ"Q å ¯ » Ø
gx
ÊØ ŒÂKŸ  ’µ
ØÊŒÂKŸ  ØB$’µ žH Azt is könnyű ellenőrizni, hogy Ø lineáris leképezés. Nyilvánvaló, hogy Ø szürjektív

Másrészt Ø magtere a zérustér, mert ha ØÊ å » ¯ ØXQ&Â
ØÊ$Â
—g , akkor   å » ¯ Ø , azaz å » ¯ ØXQ&Â
å » ¯ Ø . Innen következik, hogy Ø injektív is, tehét izomorfizmus.  É   Û / lineáris leképezés. Ekkor 19.7 Tétel (A nullitás+rang tétel) Legyen Ø å ¯ `zë a » Øâm Q `zë a”ë aØ
`EHë a9 H Bizonyítás: Következik az előző tételből, s a faktortér dimenziójára vonatkozó tételből. A „nullitás+rang” tétel egy egyszerű alkalmazásaként újabb bizonyítást adunk a homogén lineáris egyenletrendszerek megoldásteréről szóló tételre. 
g homogén lineáris egyenletrendszer (  “èo ÿ ), Å  p ( . A (  ¯ ° ìy±  . tHtHtH‚ - [p ( természetes bázisát,  Ÿ tH HtH  pedig  oszlopait! Ekkor Bizonyítás: Jelölje -XŸ ( (  -Ÿ
 Ÿ tHtHtH‚  -
 ( (   is teljesül. Ez azt jelenti, hogy ëa9ÉéÊ -t oszlopai generálják, vagyis: ¯° ìZ±ŒÉêÊ
¯ °

ìy± . 19.8 Tétel Legyen Å megoldástér dimenziója  Alkalmazzuk a „nullitás+rang” tételt az ÉêÊ operátorra: Q zë ”ëa9ÉËÊ
 H  a megoldástér dimenzióját adja, `zëa”ëa9ÉêÊ pedig zë ` Ha zë ` a å ¯ » Ë É Ê takat figyelembe véve. å ¯ » é É Ê m` a rangját, az előző példában leír- 74 LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK 20. A lineáris leképezések mátrix-reprezentációja  É3 Û / , továbbá legyen $“Ÿ tHtHtH‚ Âko  egy bázisa,   Ÿ tHtHtH‚ 20.1 Definíció Legyen Ø / egy bázisa. A Ø lineáris leképezésnek a rögzített bázisokra vonatkozó mátrixa az az ê n( típusú mátrix, melynek elemeit a következő összefüggés értelmezi: G CG ( ØÊ$‘¦
G  º ¦ GŸ  tHtHtHž azaz az § -edik oszlop megegyezik T ¦ képének  Ÿ bázisra vonatkozó koordinátáival. ( A 
/ esetben ha mást nem mondunk, akkor csak egy bázist rögzítünk (amit a definíció D szerint

kétszer használunk).   vektor koordinátái a rögzített bázisra vonat20.2 Tétel (A definíció jelöléseivel) Ha a  tH t H H kozóan ¾Å[Ÿ Å@o , a lineáris leképezés mátrixa pedig a # mátrix, akkor ØÊ$ koordinátái a / -ben rögzített bázisra vonatkozóan bcd #Žj Å+Ÿ . . g Å@o azaz ha a w  koordinátáiból képzett oszlopvektort w torát Ééë" adja. Bizonyítás: Ø C o ¦ GŸ K Ѧ¾Â‘¦
C o Ѧ CG ( G e5f GK º ¦
jelöli, akkor ØB$ C o CG ( G Ѧ¾º^¦  G
koordinátáinak oszlopvek- CG ( C o G G º¦ Ѧ  ¦¤DGŸ I DGŸ ¦EDGŸ DGŸ DGŸ ¦EDGŸ  É + Û / lineáris leképezések, valamint rögzítsük  és / egy-egy 20.3 Tétel Legyenek Ø á  , á mátrixa pedig  , akkor Ø Qá mátrixa  Q  , ¢)Ø bázisát! Ha Ø mátrixa erre a bázispárra  mátrixa pedig ¢ , ahol ¢ tetszőleges skalár. I ED Bizonyítás: Egyszerű számítás a definíció alapján. Û

20.4 Tétel Legyen `EëHa9
n , `EëHa9/
 ! Az É  / vektortér izomorf a “èo ÿ vektor( térrel; ha egy lineáris leképezéshez hozzárendeljük egy rögzített bázispárra vonatkozó mátrixát Û
j n .) akkor a két vektortér között izomorfizmust kapunk. (Következésképpen: `zëa9É + / Bizonyítás: Az előző tétel szerint az a leképezés, mely minden lineáris leképezéshez hozzárendeli egy rögzített bázispárra vonatkozó mátrixát leképezés. Azt kell belátnunk, tHtHtH‚ Â
o lineáris  HtHtH még  hogy ez a leképezés bijektív is. Legyen ŒÂ“Ÿ  rögzített bázisa,  Ÿ / rögzí   ( tett bázisa, “ o ÿ . A lineáris kiterjesztés tétele szerint egyértelműen létezik olyan lineáris ( G G leképezés, mely a ’¦ vektorhoz a CG ( GŸ D ¶ ¦ vektort rendeli. Ennek a mátrixa a megadott mátrix 75 BÁZISCSERE ç 20.5 Tétel. Legyenek 7 ,  , / ugyanazon test feletti n ,  , dimenziós vektorterek,

továbbá  Û  Ø É3–7  , á É  Û / . Rögzítsünká7  -ban,  -ben és / -ben egy-egy Ø mátrixa (a   bázist! ÿ “ o , á mátrixa pedig “lì ÿ . Ekkor á‡ä3Ø rögzített  bázisokra vonatkozóan) legyen  ( ( mátrixa j . Bizonyítás: Jelöljük el a bázisokat:
Páä3Ø ¶¦ CG ( á CG
GŸ G I GŸ D D ¶ƒŸ tH HtH ¶Lo G GVK ¶ ¦‡· G
+¶¦  á $·  7 -ban; $·tŸ tHtH H · (  -ben; $º–Ÿ tH HtH ºì / -ben.
G CG ( GŸ ¶ ¦ D C ì ¡DGŸ G ·¡ º^¡
ì CG C ( GŸ I ¡ DGŸ D G G K ·¡ ¶ ¦ º^¡ H G G CG ( ¨ A szorzatleképezés mátrixa -adik sorának § -edik eleme tehát ·¡ ¶ ¦ , ami nem más, mint a G D Ÿ   szorzatmátrix megfelelő eleme.  É3 Û / lineáris izomorfizmus, s rögzítsünk  -ben és / 20.6 Következmény Legyen Ø  ƒŸ mátrixa ben egy-egy bázist! Ha Ø mátrixa  a rögzített bázispárra vonatkozóan , akkor Ø ƒŸ ugyanezen bázispárra

vonatkozóan 21. Báziscsere 21.1 Definíció Legyen ^
Ê “ Értelmezzük az ®
+ ¦ G Az ® mátrixot az ^  ^ U . ¶zŸ tHtHtH‚ ¶ ( illetve ^ U
¶ UŸ tHtHtH‚ ¶ U( ÿ mátrixot a következőképpen: ( ( G G C G ( H ¶ U¦
¦¾¶ DGŸ a vektortér két bázisa. báziscsere (bázistranszformáció) mátrixának nevezzük. Úgy istHtfogalmazhatunk, hogy a báziscsere mátrixának § -edik oszlopában t H ‚ H az ¶EŸ ¶ bázisra vonatkozóan. ¶ U¦ koordinátái vannak ( 21.2 Tétel Egy báziscsere mátrixa mindig invertálható mátrix Bizonyítás: (A definícióban alkalmazott jelölésekkel.) ® oszlopai lineárisan függetlenek, hiszen U az oszlopok ^ bázisvektorainak koordinátái az ^ bázisban és az a leképezés, mely egy vektorhoz hozzárendeli (egy rögzített bázisra vonatkozó) koordinátáit izomorfizmus. ® rangja tehát  , azaz invertálható. tHtHtH‚ U U tHtH H U
¶ Ÿ 21.3 Tétel Legyen ^
¶zŸ Ha ¶ ( illetve

^ ¶ ( a  vektortér két bázisa. t H t H H w U egy tetszőlegestHvektor -ra vonatkozó ¾ÅˆŸ Å ( koordinátáiból w képzett U tHtH‚ Å U ^ koordinátáiból U oszlopvektor ; ^ -re vonatkozó ¾Å Ÿ képzett oszlopvektor pedig , akkor fennáll, hogy ( w U
® ƒ Ÿ j w¹H 76 LINEÁRIS LEKÉPEZÉSEK Bizonyítás: Legyen Å tetszőleges vektor! Å
¦EDGŸ CG (
G azaz Å
C ( ¦EDGŸ U U Å ¦¶ ¦
C ( U C ( G C ( GŸ Ŧ ¦EDGŸ K G GD Ÿ U ¦îÅ ¦ ¶ ¦ GŸ G U w
®nj w U . ® ɦ Å ¦ , mátrix alakban D ÃI ED G CG ( G ¦¾¶
inverzével balról szorozva adódik állításunk.  É + Û  lineáris operátor, továbbá õ
$·tŸ tHtHtH‚ ·o ill. õ U
$· UŸ tHtHtHž · Uo  õ U báziscsere mátrixát ® . Ha a Ø lineáris leképezés mátrixa a õ a  két bázisa. Jelőlje a õ  U U bázisra vonatkozóan , a õ bázira vonatkozóan pedig , akkor fennál, hogy  U
® ƒŸ  G ® H G G ˜  ˜  U
˜

¢ U ; tehát a definíciónak megfelelően: Bizonyítás: Legyen ®
¦ ,
¢[¦ , ¦ ™ G G ™ G G™ G G CG ( CG ( U
CG ( U U U ·¦ ¦¾· ØÊ$·¦
¢ ¦¾· ØÊ$· ¦
¢ ¦· H DGŸ DGŸ DGŸ U Számítsuk ki ØÊ$· ¦ -t kétféleképpen: G GVK G G C G C G ( (

ØB· U¦
Ø ¦‡· ¦VØÊ· I DGŸ DGŸ G G G G K CG ( C ( C ( CG (
¦ ¢ ¡ ·¡
¢ˆ¡ ¦ ·¡ DGŸ ¡ DGŸ ¡ DGŸ I DGŸ 21.4 Tétel Legyen Ø másrészt: ØÊ$· U¦
¦ U ¢ U¡È¦ · U
GŸ D C (
Mind a két esetben a ØÊ· nek: G CG ( ¡DGŸ GŸ D I ¢ U¦ C ( GG Ÿ K ¡DGŸ U H ¡ ¢ ¦ · ¡ G CG ( G CG ( D , G t¡ ·¡
vektort az õ bázisban kombináltuk, tehát az együtthatók is megegyezCG ( GŸ G G ¢ ¡ ¦
CG ( G G t¡ ¢ U ¦ DGŸ   U
® -t jelenti, s ez a bizonyítandó állítással ekvivaami a mátrixszorzás definíciója szerint ® D lens. 77 BÁZISCSERE   21.5 Definíció Az és ugyanolyan

típusú négyzetes mátrixokat hasonlónak nevezzük, ha lé ƒ Ÿ
tezik olyan invertálható ® mátrix, hogy ® ® . Egy lineáris operátort diagonalizálhatónak nevezünk, ha van olyan bázis, melyben mátrixa diagonális. Egy mátrixot akkor nevezünk diagonalizálhatónak, ha hasonló egy diagonális mátrixhoz 21.6 Tétel Hasonló mátrixok rangja és determinánsa megegyezik Bizonyítás: Mindkét mátrix ugyanannak a lineáris operátornak más-más bázisra vonatkozó mátrixa. Mivel a mátrixok rangja megegyezik a lineáris operátor képterének a dimenziójával, ezért mind a két mátrixra ugyanannyi. A determinánsok megegyezése a determinánsok szorzástételének egyszerű következménye: ’® ƒŸ  ®
`y»X¼ G® ƒ Ÿ 4j `Z»X¼  j4`y»V¼G®
`y»V¼ `y»V¼  jxí `y»X¼Gî5® ï ƒŸ ® ð
DZñòóVôDGŸ `y»X¼ H 21.7 Definíció Egy lineáris transzformáció determinánsán valalmely bázisra vonatkozó mátrixának

determinánsát értjük (Az előző tétel szerint ez az érték független a bázis választásától)