Fizika | Felsőoktatás » Az anyagi pont dinamikája

2.2 Az anyagi pont dinamikája 2.21 A dinamika alapfogalmai A kinematikában nem foglalkoztunk azzal, hogy egy test mozgásánál más testeknek mi a szerepe, és hogy magának a testnek van-e olyan tulajdonsága, amely a mozgás szempontjából lényeges, és ha van melyik az. Ezekre a kérdésekre a dinamika adja meg a választ. A dinamika szolgáltatja a mozgásállapot változását meghatározó törvényt, a mozgástörvényt. Az anyagi pont mozgásállapotát a tömegpont helye és sebessége adja meg A mozgásállapot megváltozását más testeknek vagy a környezetnek az anyagi pontra gyakorolt hatása okozza. A testek kölcsönhatását az erő fogalmával vesszük figyelembe Az erő általános fizikai fogalom: bármely két test gravitációs erőt fejt ki egymásra, rugalmas testek deformálásához erőt kell kifejtenünk, az elektromos mező erővel hat az elektromos töltéssel rendelkező testekre, a nukleonok (protonok és neutronok) között fellépő

kölcsönhatás, a magerő tartja össze az atommagot. A sokféle, különböző eredetű erőre pontos fogalmi definíciót nehéz lenne megadni, így az erőt mérési utasításával definiáljuk. Az erő mérésére felhasználhatjuk azt a tulajdonságát, hogy megváltoztatja a testek mozgásállapotát, gyorsulást eredményez (ezt hívjuk dinamikai erőmérésnek). Ha egy próbatestet különböző környezetekbe helyezünk, azt tapasztaljuk, hogy a test gyorsulása függ a környezettől. Azt mondjuk, hogy a kölcsönhatás erőssége - az erő - annyiszor nagyobb, ahányszor nagyobb gyorsulással a próbatest mozog. Az erő irányaként a test gyorsulásának irányát definiáljuk. Az erő hatásvonala anyagi pont esetén a pontszerű testen átmenő, az erő irányával egybeeső egyenes. Az erő r vektormennyiség, jele F . Az erő mérésére a másik lehetőség az, hogy a mérendő erőt egy másik erővel hasonlítjuk össze. Ehhez felhasználhatjuk azt a tapasztalati

tényt, hogy rugalmas testek (pl csavarrugók) megnyúlása - egy bizonyos határon belül - arányos a testre gyakorolt húzóerővel. A rugalmas testben egy ún rugalmas erő keletkezik, mely arányos a megnyúlással és azzal ellentétes irányú. Ez a rugalmas erő tart egyensúlyt a testre ható erővel (ezt hívjuk sztatikus erőmérésnek). Az erő mérésére ezt a tényt felhasználó eszközök a rugós erőmérők vagy dinamométerek. Az erő nagysága a rugó mellé helyezett beosztáson olvasható le. Azokat az összefüggéseket, melyek megadják az erőt (irányát és nagyságát) a környezet és a test fizikai jellemzőinek függvényében, erőtörvényeknek nevezzük. Az erőtörvényeket mérésekkel határozzuk meg. A dinamika alapvető fogalmai az erő, tömeg, impulzus (lendület, mozgásmennyiség). A dinamika ezen fogalmakkal való felépítésének több lehetséges útja van: egyik az erőt, másik az impulzust tekinti központi fogalomnak. A dinamika

alaptörvényeit, axiómáit Newton fogalmazta meg az 1667-ben megjelent "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" című munkájában. Az első axiómát, a tehetetlenség elvét Galilei ismerte fel elsőként. 2.22 Newton első axiómája: a tehetetlenség törvénye Mindennapi tapasztalataink megerősíteni látszanak az arisztotelészi fizika azon az állítását, hogy minden mozgás fenntartásához valamilyen ható okra, erőre van szükség. Tapasztaljuk például, hogy erőt kell kifejtenünk ahhoz, hogy egy tárgyat, vagy kocsit a vízszintes talajon állandó sebességgel mozgassunk, erőt kell kifejteni a jármű motorjának is ahhoz hogy az úton állandó sebességgel haladjon. Nem volt könnyű rájönni a látszat mögötti lényegre, vagyis arra , hogy nem a sebesség fenntartásához, hanem annak megváltoztatásához kell az erő. Ehhez a jelenségek gondos analízisére, a test és környezete közötti valamennyi kölcsönhatás számbavételére

volt szükség. Newton első axiómája szerint: Minden test megtartja nyugalmi állapotát, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgását mindaddig, amíg más testek ennek megváltozására nem kényszerítik. A testeknek azt a tulajdonságát, hogy külső hatás nélkül megtartják nyugalmi vagy egyenes vonalú egyenletes mozgási állapotukat, tehetetlenségnek nevezzük. Másképpen fogalmazva a testek sebességük megváltoztatására irányuló hatással szemben bizonyos ellenállást tanúsítanak, amit a mindennapi tapasztalat is igazol. Ezért dőlünk (vagy esünk) előre egy fékező járműben, ezért tudjuk kirántani a papírlapot a vizespohár alól anélkül, hogy a víz kifolyna, stb. Galileinek az a felismerése, hogy a testek külső hatás nélkül megtartják egyenes vonalú egyenletes mozgási állapotukat rendkívüli jelentőségű volt a több mint kétezer évig uralkodó arisztotelészi természetfilozófiával szemben, mely a testek természetes

állapotának a nyugalmat tekintette. A tehetetlenség törvénye szerint az egyenes vonalú egyenletes mozgás a testek természetes állapota, külső hatás nem annak fenntartásához, hanem megváltoztatásához szükséges. A tehetetlenség elvének fenti megfogalmazása általánosságban nem igaz; nem igaz például egy gyorsuló járműben, ahol a padlóra helyezett golyó a gyorsulás irányával ellentétes irányban elmozdul. A test sebessége függ a vonatkoztatási rendszertől, ezért meg kell mondanunk, melyik vonatkoztatási rendszerben érvényes a fenti állítás. Newton a Principiában azt írta, hogy az első axióma és a további axiómák olyan abszolút vonatkoztatási rendszerben érvényesek, melyben lévő órák az abszolút időben egyenletesen járnak és amelyben definiált koordináta-rendszer az abszolút térben nyugszik. Az abszolút időt és teret Newton a következő módon definiálta: "Az abszolút, igaz és matematikai idő magától és

saját természetétől fogva egyenletesen folyik, bármely máshoz való viszonyítás nélkül." "Az abszolút tér természeténél fogva, bármely máshoz való viszonyítás nélkül mindig hasonló és mozdulatlan marad." A feltételezett abszolút vonatkoztatási rendszert azonban sem Newtonnak, sem másnak nem sikerült megtalálnia. Lehet azonban találni olyan vonatkoztatási rendszereket, melyekben érvényes az első axióma, melyekben a magukra hagyott testek jó közelítéssel nyugalomban vannak, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végeznek. A tapasztalat szerint ilyen az állócsillagokhoz rögzített vonatkoztatási rendszer. A modern fizika az első axiómát a következőképpen fogalmazza meg: Vannak olyan vonatkoztatási rendszerek, amelyekben a magára hagyott test nyugalomban van, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. Ezeket a vonatkoztatási rendszereket inerciarendszereknek nevezzük. Newton első axiómájából az

inerciarendszer létezését deklaráló, azt definiáló állítás lett. Az inerciarendszereknek azért van a fizikában kitüntetett szerepük, mert az összes vonatkoztatási rendszer közül ezekben lehet a legegyszerűbben alakban felírni a természettörvényeket. A dinamika alaptörvényei is inerciarendszerekben érvényesek. Látni fogjuk, hogy minden olyan vonatkoztatási rendszer, amelyik egy inerciarendszerhez képest állandó sebességgel mozog, szintén inerciarendszer. Ezt már Galilei felismerte. Az egymáshoz képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző vonatkoztatási rendszerek egyenértékűek. Egy meghatározott vonatkoztatási rendszer akkor tekinthető inerciarendszernek, ha az egyenes vonalú mozgástól való eltérést vissza tudjuk vezetni más testek hatására. A forgó Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszer nem inerciarendszer, mert amint látni fogjuk, egy elhajított test pályájának megállapításakor a kölcsönhatásokon

(gravitációs kölcsönhatáson és a közegellenálláson) kívül figyelembe kell vennünk a Föld elfordulását is. Gyakorlati szempontból az inerciarendszer kiválasztásának kérdése függ a megkívánt pontosságtól, így a Földön végbemenő, rövid idő alatt lejátszódó mozgások vizsgálata során a Föld felszínének valamely pontjához rögzített vonatkoztatási rendszer jó közelítéssel inerciarendszernek tekinthető. A más testekkel kölcsönhatásban nem lévő, magára hagyott anyagi pontot szabad anyagi pontnak vagy (szabad részecskének) nevezzük. Szigorúan véve ilyen test nem létezik, mert minden test valamilyen kölcsönhatásban van az univerzumban lévő többi testtel. A gyakorlatban azonban bizonyos testeket jó közelítéssel mégis szabadnak tekinthetünk, mert vagy olyan távol vannak a többi testtől, hogy a kölcsönhatás elhanyagolható, vagy a más testekkel való kölcsönhatások kompenzálják, kioltják egymást, zérus eredő

kölcsönhatást adva. Jó példa erre egy vízszintes légpárnás asztalra helyezett test, ahol a földi gravitáció kompenzálása és a súrlódás kiküszöbölése következtében a test a vízszintes síkban szabadon mozoghat, megtartja mozgásállapotát. 2.23 Newton második axiómája: a dinamika alaptörvénye Az alábbiakban a dinamikának az erő fogalmára alapozott felépítését mutatjuk be. Tegyük fel, hogy egy testre csak egyetlen kölcsönhatás, erő hat (vagy a többi a test által a vizsgált testre gyakorolt kölcsönhatások kompenzálják egymást). Lehet ez a kölcsönhatás például egy összenyomott csavarrugó által a testre kifejtett erő. Azt tapasztaljuk, hogy a vizsgált testre ható erő gyorsulást eredményez. Ugyanazon testnek a gyorsulása kétszer akkora erő hatására kétszer nagyobb, háromszor akkora erő háromszor nagyobb lesz, a test gyorsulása egyenesen arányos az erő nagyságával r r a∝F , tehát egy adott test esetén az erő

és gyorsulás abszolút értékének hányadosa állandó. Vizsgáljuk egy adott erő hatására más testek gyorsulását. Azt találjuk, hogy különböző testek gyorsulása különböző lesz, a gyorsulások szerint a testek sorrendbe rakhatók. Ugyanazon anyagból készült homogén testek közül a nagyobbnak a gyorsulása lesz kisebb. Ha két azonos testet összekapcsolunk, a gyorsulás a felére csökken. Mivel az erő és gyorsulás egyenesen arányosak, abszolút értékük hányadosa állandó. Ezt a testre jellemző állandót nevezzük a test (tehetetlen) tömegének, jele m : F . a Tehát a test tehetetlenségének mértéke, a tömeg és az erő közötti kapcsolat lineáris. Ha különböző testeket ugyanazzal az erővel gyorsítunk akkor az erők egyenlősége miatt m= m1 a1 = m2 a 2 = m3 a3 = K = mi ai és ebből m2 a1 m3 a1 m a = , = ,K, i = 1 . m1 a 2 m1 a 3 m1 a i Az egyenlet lehetőséget ad két test tömege arányának mérésére anélkül, hogy az erő

mértékegységében előzetesen megállapodnánk. Az m1 tömeget egységnek választva, mindegyik test tömegét a gyorsulás mérésével meghatározhatjuk. Ezt a módszert dinamikai tömegmérésnek nevezzük. A tömeg alapmennyiség az SI rendszerben, egysége a kg A tömeg a test tehetetlenségének mértéke, nagyobb tömegű test adott erő hatására kisebb sebességváltozást fog elszenvedni, gyorsulása kisebb lesz. A tömeg skaláris mennyiség. Két test egyesítésével kapott test tömege egyenlő a két test tömegének összegével, a tömeg additív mennyiség. A test tömege arányos a testet alkotó az anyag mennyiségével. A speciális relativitáselméletből tudjuk, hogy az erő és gyorsulás hányadosa, a tömeg csak a fény vákuumbeli sebességénél sokkal kisebb sebességek esetén állandó. Egy inerciarendszerben nyugvó, m0 tömegű test tehetetlensége m0 m= v2 1- 2 c nagyságúra növekszik, ha a test az inerciarendszerben v nagyságú sebességgel

mozog. Az m0 mennyiséget a test nyugalmi tömegének, az m mennyiséget a mozgási tömegének nevezzük. Ebben a közelítésben Newton II. axiómája: Bármely test esetén a testre ható erő és a test gyorsulása egyenesen arányosak és egyirányúak, kapcsolatuk: r r d 2r r ma =m 2 = F. dt Newton II. törvényét felhasználhatjuk az erő mértékegységének származtatására A tömeg és a gyorsulás mérhető mennyiségek, mértékegységük adott. Az erő mértékegység egyenlete: m [ F ] = [m] [a ] = kg s 2 = N (newton). Newton II. törvényében a kölcsönhatást kifejező erő az ok, a létrejövő gyorsulás pedig az okozat. Meg kell azt is említeni, hogy Newton II axiómája nem az erő definíciója, hanem fizikai törvény. Egy törvény különböző dolgok közötti egyenlőséget rögzít A második axióma bal oldalán egy test adatai szerepelnek, a jobb oldalán pedig a környezetnek a testre gyakorolt hatását kifejező erő található. A második axióma

az első axióma által meghatározott inerciarendszerekben érvényes. Kizárólag inerciarendszerekben áll fenn a test gyorsulása és a környezet kölcsönhatását kifejező erőnek a második axiómában megfogalmazott kapcsolata. Newton nyomán definiáljunk egy új fizikai mennyiséget, az anyagi pont mozgásmennyiségét (impulzusát, lendületét). Egy m tömegű anyagi pont mozgásmennyisége (impulzusa) az m tehetetlen tömegnek és sebességnek a szorzata: r r p = mv . A mozgásmennyiség (impulzus) vektor, mértékegysége kg⋅ m/s. A mozgásmennyiség a fizika egyik alapvető mennyisége. A második axióma Newton eredeti megfogalmazásában: “A mozgás megváltozása arányos a külső mozgató erővel, és annak az egyenesnek irányában megy végbe, amelyen ez az erő hat.” A mozgás megváltozása mai szóhasználattal a mozgásmennyiség megváltozását jelenti. A második axiómát tehát a következőképp fogalmazhatjuk meg: az anyagi pont úgy mozog,

hogy a mozgásmennyiség idő szerinti differenciálhányadosa egyenlő az anyagi pontra ható erővel: r dp r& r = p=F . dt Az erő hatása tehát a mozgásmennyiség megváltoztatásában nyilvánul meg. Ez az egyenlet, a dinamika alaptörvénye, akkor mond többet a gyorsulással felírt törvénynél, ha a tömeg időben változik. Így ezt kell használnunk például a rakéta mozgásának tárgyalásakor, és nagy sebességgel mozgó részecskék esetén is, amikor már számottevő a relativisztikus tömegnövekedés. Ha a tömeg jó közelítéssel állandó, megkapjuk Newton II törvényét a gyorsulással felírva r r r r p& = m v& = m a = F . 2.24 Newton harmadik axiómája: a kölcsönhatás (akció-reakció) törvénye A tapasztalat szerint a test és környezete közötti kölcsönhatás nem egyoldalú kapcsolat. Ha egy A test erőt fejt ki egy másik B testre, akkor a B test is ugyanakkora nagyságú, ellentétes irányú erővel hat az A testre. Így

például ugyanakkora erővel hat a Föld az elhajított kőre, mint a kő a Földre. A harmadik axióma Newton megfogalmazásában: “A hatással mindig egyenlő nagyságú és ellentétes visszahatás áll szemben; más szóval: két testnek egymásra gyakorolt kölcsönös hatása mindig egyenlő és ellentétes irányú.” 2.25 ábra A kölcsönhatás, az akció - reakció törvényének lényege, hogy az erők párban lépnek fel és a r fellépő erők különböző testekre hatnak. Ha az m1 tömegű anyagi pontra az m2 tömegű F12 r erővel hat és az m2 tömegű anyagi pontra az m1 tömegű F21 erővel, akkor r r F21 = − F12 . Newton harmadik törvénye helyesen írja le két egymással közvetlenül érintkező test kölcsönhatását (közelhatását). Ha azonban a két test egymástól távol van és a testek relatív sebessége nem zérus, az erő és ellenerő kizárólag akkor lehetne minden időpillanatban egyforma nagyságú és ellentétes irányú, ha az

egyik test hatása végtelen gyorsan terjedne a másikra és viszont (távolhatás). A tapasztalatok szerint a természetben végtelen nagy sebességgel terjedő hatás nincsen, a fizikai hatások terjedési sebessége nem lehet nagyobb, mint az elektromágneses hullámok vákuumbeli terjedési sebessége, a fénysebesség. Egy test egy másik távoli testre úgy fejt ki erőhatást, hogy maga körül egy erőteret (mezőt) hoz létre és ez az erőtér hat lokálisan a másik testre. Ha a test megváltoztatja helyzetét, megváltozik az erőtér is. Az erőtér terjedési sebessége nem lehet nagyobb a fény vákuumbeli terjedési sebességénél, így a megváltozott erőhatást a másik test csak később érzékeli. 2.25 Newton negyedik axiómája: az erőhatások függetlenségének elve 2.26 ábra A tapasztalatok szerint, ha egy anyagi pont egyidejűleg több kölcsönhatásban vesz részt, az egyes kölcsönhatások eredményét a többi nem befolyásolja. Az erők egymástól

függetlenül fejtik ki hatásukat, egymás hatását nem befolyásolják, érvényes rájuk a szuperpozíció elve. Newton negyedik axiómája szerint: Ha ugyanarra az anyagi pontra egyidejűleg több erő hat, ezek együttes hatása egyenlő az erők vektori eredőjének a hatásával. r r r r Ha az anyagi pontra ható erők F1 , F2 , K, FN , hatásuk helyettesíthető egyetlen F eredő erővel r N r F = ∑ Fi . i =1 A szuperpozíció elvét, az erők vektori összegzését illusztrálja a 2.26 ábrán látható egyszerű kísérleti elrendezés. 2.26 Az anyagi pont mozgásegyenlete Az anyagi pont dinamikájának alapfeladata az, hogy meghatározza, hogyan mozog r egy m tömegű anyagi pont a rá ható ismert F erő (vagy eredő erő) hatására. Erre a kérdésre a második axiómában megfogalmazott r dp r =F dt mozgásegyenlet megoldásával kaphatjuk meg a választ. Keressük azt a folytonos és r differenciálható r (t ) függvényt, amelyik kielégíti ezt a

differenciálegyenletet. A mechanikában előforduló erők általában az időnek, helynek és sebességnek a függvényei r r r r F = F (t , r , r& ) . Ha olyan mozgásokkal van dolgunk, melyeknél a tehetetlen tömeg nem változik, a megoldandó mozgásegyenlet r r r r m &r& = F (t , r , r& ) . Matematikai szempontból ez egy vektoriális, közönséges másodrendű differenciálegyenlet. Konkrét feladatok megoldásánál ezt a vektoregyenletet célszerű a problémához jól illeszkedő koordinátarendszerben felírni. Derékszögű koordinátarendszerben a megoldandó három skaláris differenciálegyenlet: m &x& = Fx (t , x, y, z , x& , y& , z& ) , m &y& = Fy (t , x, y, z , x& , y& , z& ) , m &z& = Fz (t , x, y, z , x& , y& , z& ) . A fenti három differenciálegyenlet általános megoldásai egyenként két, összesen hat r integrálási állandót, paramétert tartalmaznak. Az r (t ) általános

megoldásban szereplő integrálási állandók értékét a kezdeti feltételekből határozzuk meg. Ehhez meg kell adnunk r r r r r az anyagi pont t = 0 időpontbeli helyzetét és sebességét, az r0 = r (0) és a v0 = v (0) = r& (0) vektorokat, vagy ezek komponenseit. Az erő ismeretében a kezdeti feltételek megadásával a mozgásegyenletből egyértelműen meghatározható a tömegpont mozgásállapota (helyzete és sebessége) bármely későbbi időpontban. Egyszerűbb esetekben a megoldás analitikus alakban felírható, egyébként numerikus módszerrel oldjuk meg a differenciálegyenletet. Megjegyezzük, hogy egyes másodrendű differenciálegyenletek esetén a kezdeti feltételek kis megváltozása a megoldás jelentős, jellegbeli változását eredményezheti, a kezdeti feltételekhez pedig mindig tartozik valamilyen mérési hiba. Ilyen értelemben a jövő még a klasszikus mechanika keretében sem egyértelműen determinált. Ha az anyagi pontra ható erők

eredője zérus, azt mondjuk, hogy az anyagi pont egyensúlyban van. Egyensúlyban lévő anyagi pont állandó sebességgel mozog, vagy nyugalomban van. 2.26 Erőtörvények Azokat az összefüggéseket, melyek megadják az erőt (irányát és nagyságát) a környezet és a test fizikai jellemzőinek függvényében, erőtörvényeknek nevezzük. A következőkben néhány fontosabb erőtörvényt ismertetünk. A gravitációs erő A tömegvonzás vagy gravitáció a legáltalánosabb kölcsönhatás, mely minden testre hat. Az általános tömegvonzás törvényének felfedezése Newton nevéhez fűződik Két, m1 és m2 tömegű anyagi pont között a tömegvonzás következtében fellépő gravitációs erő nagysága egyenesen arányos az anyagi pontok tömegének szorzatával és fordítottan arányos a köztük lévő r távolság négyzetével F=G m1 m2 , r2 ahol a G arányossági tényező a tömegvonzás állandója, az un. általános gravitációs állandó, értéke G

= (6,6720 ± 0,041) ⋅ 10 −11 N ⋅ m 2 / kg 2 . A gravitáció a természetben ismert leggyengébb kölcsönhatás, a gravitációs erő csak nagy tömegek esetén válik jelentőssé. A gravitációs erő centrális erő, iránya az erőcentrum (a vonzást létrehozó test) felé mutat. A nehézségi erő. A súlyos és tehetetlen tömeg A Föld gravitációs vonzásának következtében lép fel a nehézségi erő. Nehézségi erőnek a Föld által az m tömegű testre kifejtett gravitációs vonzóerő és Föld forgása következtében fellépő (hamarosan tárgyalandó) centrifugális erő eredőjét nevezzük. A test súlyának azt az erőt nevezzük, amit a test a vele közvetlen (kontakt) kölcsönhatásban lévő másik testre kifejt (a felfüggesztett test által a fonálra kifejtett húzóerőt, vagy a szilárd alátámasztásra kifejtett nyomóerőt). A nehézségi erő arányos a mért nehézségi gyorsulással A Föld közelében a testekre ható nehézségi erő r r

G=mg r A Föld forgása következtében a nehézségi erő nem azonos a gravitációs erővel, g nagysága és iránya helyről helyre változik, értéke Budapesten g = 9,80852 m/s2. Mivel a test súlya a Föld gravitációs vonzásának következménye, ebben az értelemben nevezzük az erőtörvényben szereplő tömeget súlyos tömegnek, megkülönböztetve a gyorsítással szembeni ellenállás mértékétől, a tehetetlen tömegtől. Amikor kétkarú mérleggel mérünk tömeget, a súlyos tömeget határozzuk meg, ugyanis az összehasonlított testek nyugalomban vannak és mindkét testre a földi gravitáció hat (ezt hívjuk sztatikai tömegmérésnek). Nem magától értetődő a kétféle tömeg azonossága, ezt eleve nem lehetett feltételezni. A súlyos és tehetetlen tömeg egyenlősége azon a tapasztalati tényen alapul, hogy a szabadesés g gravitációs gyorsulása minden testnél ugyanaz, függetlenül a testek anyagi minőségétől. Eötvös Lóránd torziós

ingával végzett nagyon pontos méréseivel mutatta ki, hogy a gravitációs erők és a gravitációs törvényekben szereplő tömegek függetlenek a testek anyagi minőségtől, a két tömeg 10 −8 pontosságig megegyezik egymással. A mérés pontossága azóta további három nagyságrenddel nőtt, így nyugodtan mondhatjuk, hogy a súlyos és tehetetlen tömeg azonos. Ez rendkívül fontos tény az általános relativitáselmélet szempontjából. A súlyerő, súly Egy test súlya az az erő, melyet a Földön nyugalomban lévő test az alátámasztását, illetve felfüggesztését biztosító testre kifejt. Feltesszük, hogy a testre csak a nehézségi erő és az alátámasztást, ill. felfüggesztést biztosító test hat, valamint azt, hogy az alátámasztás vízszintes. Az ábrán látható test azért van nyugalomban, mert a rá ható nehézségi erőt az r r alátámasztást biztosító testben ébredő Fk erő kompenzálja. Az Fk erő és a nehézségi erő egyenlő

nagyságú és ellentétes irányú: r r m g = − Fk 2.27 ábra r r Az S súlyerő a test által a nyugalomban lévő alátámasztásra kifejtett erő, az Fk erő pedig az alátámasztás által a testre kifejtett erő. Newton harmadik törvénye értelmében a két erő egyenlő nagyságú és ellentétes irányú: r r S = − Fk . A fenti két egyenletből következik, hogy r r S =mg , tehát a Földhöz képest nyugvó, vízszintes alátámasztás esetén a súlyerő, a test súlya egyenlő a nehézségi erővel. Ha az alátámasztási felület a rajta nyugvó testtel együtt állandó sebességgel mozog a Földhöz képest függőlegesen felfelé vagy lefelé, ugyanezt az eredményt kapjuk. Ha azonban az alátámasztási felület a rajta nyugvó m tömegű testtel együtt függőlegesen lefelé vagy felfelé gyorsul, Newton II. törvénye értelmében r r r m g + Fk = m a , r r amiből látható, hogy az Fk erő függ a Földhöz rögzített inerciarendszerben mért a r

gyorsulástól és így ellenereje, az S súlyerő is. A 228a ábrán az alátámasztást biztosító test felfelé gyorsul a rajta lévő m tömegű testtel együtt. Mivel a test felfelé gyorsul, a testre ható r r r erők eredője felfelé mutat, ezért Fk nagyobb, mint az m g nehézségi erő. Így az Fk erővel r egyenlő nagyságú S súlyerő is nagyobb a nehézségi erőnél. Ezt tapasztaljuk, amikor egy felfelé gyorsuló liftben a mérlegen állunk. (a) (b) 2.28 ábra r r A 2.28b ábrából látható, hogy amikor a gyorsulás lefelé mutat, az S súlyerő kisebb az m g r nehézségi erőnél. Ha az alátámasztás a testtel együtt szabadon esik, mind az Fk erő, mind az r S súlyerő zérus, a test súlytalanság állapotában van. Hasonlóképpen értelmezhetjük a súlyerőt egy másik égitesten is, de természetesen az ottani gravitációs gyorsulással kell számolnunk. A súlyerő, a test súlya nem kizárólag a testre jellemző mennyiség. A rugóerő Itt

csak a csavarrugó erőtörvényével foglalkozunk. A tapasztalat azt mutatja, hogy erőmentes helyzetéből a tengelye irányában kismértékben megnyújtott vagy összenyomott csavarrugó által kifejtett erő csak a rugó feszítetlen hosszától mért ∆x = x − x 0 megnyúlástól vagy összenyomástól függ, azzal egyenesen arányos és ellentétes irányú: Fx = − D ∆x . Az arányossági tényező neve: rugóállandó. Jele: D, mértékegysége N/m (Ennek a mennyiségnek az elnevezése nem egységes, előfordul, hogy a D helyett a k jelölést használják. Szokás D reciprokát rugóállandónak nevezni, ekkor az itt D-vel jelölt mennyiséget c-vel jelölik és rugómerevségnek nevezik. A D állandót direkciós erőnek is nevezik, bár dimenziója erő / hosszúság.) Mivel a rugóerő az elmozdulás első hatványával arányos, a csavarrúgó viselkedését lineáris erőtörvény írja le. A lineáris erőtörvénnyel jellemezhető erőket rugalmas erőknek

nevezzük. 2.29 ábra A törvény felhasználásával lineáris skálával rendelkező rugós erőmérőt, dinamométert is készíthetünk. Lineáris erőtörvényt más esetekben is kaphatunk, adódhat több kölcsönhatás eredőjeként is, pl. ha folyadékba a folyadéknál kisebb sűrűségű testet nyomunk A súrlódási erő A súrlódás fogalma magában foglalja azokat a jelenségeket, melyek az egymással érintkező testeknek az érintkezési felület mentén való relatív elmozdulásával, ill. ennek akadályozásával kapcsolatosak. Mi itt csak két esettel foglalkozunk: az egyik, amikor egy szilárd test a másik felületén csúszik, a másik pedig a csúszásnak a nyugalmi állapotból való megindításával kapcsolatos. A súrlódás sokféle összetett kölcsönhatás eredményeként jön létre, ebben szerepet játszanak: a felületek anyagi minősége és érdessége, a felületek tisztasága, az érintkező felületek relatív mozgása során kialakuló

rezgések, stb. Mikroszkopikus skálán az érintkező felületek között fellépő molekuláris szintű erők szerepéről van szó. A tapadási súrlódási erő egy másik test felületén nyugvó test megcsúszását megakadályozó erő. A tapadási súrlódási erő létrejöttében elsősorban a felületek egyenlőtlenségei játszanak szerepet. Ezek egymásba illeszkedve, egymásnak feszülve akadályozzák a test elmozdulását. Nagyon sima és tiszta felületek esetén a molekuláris erők következtében a felületek között nagy tapadási erő működik. Ha vízszintes síkfelületen nyugvó testre a felülettel párhuzamos irányú, fokozatosan növekvő erőt fejtünk ki addig, amíg az erő nem ér el egy kritikus értéket a test a felülethez képest nem mozdul el, nyugalomban marad. Ez csak úgy lehetséges, hogy Newton III törvénye értelmében a felület a testre a felülettel párhuzamos, a testre kifejtett erővel (az erő felülettel párhuzamos

komponensével) ellentétes irányú, azzal megegyező nagyságú erőt gyakorol. A jelenséget tapadási súrlódásnak, a fellépő erőt tapadási súrlódási erőnek nevezzük. A tapadási súrlódási erő hatásvonala a felület érintője A tapadási súrlódási erő jó közelítéssel független az érintkező felületek nagyságától. Maximális értékének ( Fs max ) és a r felületre merőleges Fn nyomóerő abszolút értékének a hányadosa a µ s tapadási súrlódási tényező (vagy sztatikus súrlódási tényező) az érintkező felületek anyagi minőségétől függ. Így Fs max = µ s Fn és 0 ≤ Fs ≤ µ s Fn . 2.30 ábra r Ha az erő nagyobb a kritikus értéknél, a test megcsúszik. Ha a testet állandó v sebességgel mozgatjuk, a csúszó felületek által a testre kifejtett csúszási súrlódási erő nagysága egyenlő a húzóerő felülettel párhuzamos komponensével. A csúszási súrlódási erő iránya mindig ellentétes a

sebességgel, abszolút értéke első közelítésben független a sebesség r és az érintkező felületek nagyságától és egyenesen arányos a felületre merőleges Fn nyomóerő abszolút értékével: r r v Fs = − µ Fn , v ahol a µ csúszási súrlódási tényező az érintkező felületek anyagi minőségétől függ. A csúszási súrlódási tényező általában kisebb a tapadási súrlódási tényezőnél, értéke lehet 1-nél nagyobb is. Míg a csúszási súrlódás általában - pl. a fékezést kivéve - nem kívánatos jelenség, addig a tapadási súrlódási erő sok estben nagyon hasznos. Ez utóbbi teszi lehetővé pl a járást és a kerekek csúszásmentes gördülését, a járművek közlekedését. (Bennünket a talpunk és a talaj között fellépő, a járműveket a kerekek és a talaj (sín) között fellépő tapadási súrlódási erő hajtja előre.) A közegellenállás Gáznemű vagy folyékony közegbe teljesen bemerülő, a közeghez

viszonyított állandó r v sebességgel mozgó testre a sebességgel ellentétes erő, a közegellenállás hat. Kis sebességek esetén, amikor a szilárd test körül kialakuló áramlás lamináris, az ellenállás gyakorlatilag a közeg rétegeinek belső súrlódásából származó súrlódási ellenállás. A súrlódási ellenállás jó közelítéssel egyenesen arányos a sebességgel: r r F = −bv , ahol a b együttható a közeg anyagi minőségétől és a test alakjától függ, mértékegysége N ⋅s/ m . Nagyobb sebességeknél a test mögött erős örvényképződés jön létre, ilyenkor a közegellenállás közelítőleg a közeg ρ sűrűségével és a sebesség négyzetével egyenesen arányos. Ez esetben az ellenállás túlnyomó része a test mögötti örvényektől származó ún nyomási ellenállás. Ha a test alakja nem túl bonyolult és a relatív sebességre szimmetrikusan helyezkedik el, az erő iránya ellentétes a sebességgel. A teljes

ellenállás így jó közelítéssel r r 1 2 v F = −cA ρ v v 2 alakban írható, ahol A a test homlokfelülete (a haladási irányra merőleges keresztmetszete), c pedig a test alakjától függő, dimenzió nélküli ellenállási tényező. Hangsebességnél nagyobb sebességnél nem érvényes az összefüggés. 2.27 Kényszermozgás, kényszererő Sok esetben egy anyagi pontnak tekinthető test szabad mozgását más testek korlátozzák. Példa erre egy lejtőre helyezett, vagy az egyik végén nyújthatatlan fonálra kötött test. Ezek a korlátozó feltételek geometriai jellegűek Az olyan mozgásokat, amelyek során a test mozgását valamilyen geometriai feltételek korlátozzák, kényszermozgásoknak nevezzük. Az un szabad mozgásoknál a mozgást ilyen geometriai feltételek nem korlátozzák A kényszer szerepe nemcsak mozgásoknál, hanem pl. a vízszintes asztallapra helyezett r test egyensúlyánál is jelentkezik. A test G súlyával nyomja az asztalt, az

asztal pedig az r akció-reakció elv értelmében a rugalmas alakváltozásból származó - G erővel nyomja a testet. Az asztal alakváltozása olyan kismértékű, hogy merevnek tekinthetjük, de az r alakváltozásból származó - G erőt a testre ható erők közé kell számítanunk. Így azt mondjuk, r r hogy a testre egyrészt hat a G = m g nehézségi erő, mint ismert erőtörvénnyel megadott r szabaderő, másrészt a kényszer hatását kifejező - G reakcióerő (ellenerő) vagy kényszererő r r ( Fk = −G ). A kényszererő figyelembevételével nem kell azt mondanunk, hogy az asztal megakadályozza a test esését, hanem a testet olyan szabad anyagi pontnak tekinthetjük, r melyre a két fenti erő figyelembevételével F = 0 erő hat. Matematikailag a kényszerfeltételek általában azoknak a felületeknek vagy görbéknek az egyenletével adhatók meg, amelyeken az anyagi pontnak mozogni kell. A felületen való áthaladást azonban nem a felület akadályozza

meg, hiszen az csak egy geometriai alakzat, hanem ténylegesen fellépő erők (az asztalban, a lejtőben, a fonálban ébredő reakcióerők). Azokat az erőket, melyek a test mozgására vonatkozó kényszerfeltételeket biztosítják, kényszererőknek nevezzük. A kényszererő merőleges arra a felületre vagy pályára, amelyen a test a kényszermozgást végzi. Az erőknek szabad és kényszererőkre való felbontását az indokolja, hogy a legtöbb feladatban az anyagi pontra ható szabad erők (pl. gravitációs erő, nehézségi erő, rugalmas erő, közegellenállás) valamint a kényszerfeltételek ismertek, a kényszererők pedig nem. A dinamika alapegyenletében, a mozgásegyenletében, az anyagi pontra ható összes erő eredőjének, tehát a szabad és kényszererők eredőinek vektori összegének kell szerepelnie. Az anyagi pontra ható szabaderőkhöz a kényszererőket hozzáadva az anyagi pont úgy mozog, mintha ezen erők eredője hatására mozgó szabad anyagi

pont lenne. A kényszerfeltétel lehet időtől független vagy időtől függő. (Ez utóbbira példa egy elmozduló lejtő.) A kényszererő nagyságát a következő módon határozhatjuk meg Bontsuk fel az anyagi pontra ható szabaderők eredőjét a felülettel párhuzamos (a felület érintősíkjába eső) és arra (a felület érintősíkjára) merőleges összetevőkre! A szabaderők merőleges r r komponensét Fn -nel jelöljük, a kényszererőt Fk -val. Bontsuk fel a test gyorsulását is a r r felületre merőleges a n és párhuzamos at komponensekre! A dinamika alaptörvénye alapján a merőleges komponensre a következő egyenletet kapjuk: r r r Fk + Fn = m a n . r r A nyugvó, síkfelületre merőleges gyorsuláskomponens zérus, így Fk = − Fn , mint ahogy az a 2.31 ábrán látható 2.31 ábra Nyugvó, görbült felületnél (2.32 ábra) a felületre merőleges gyorsuláskomponens merőleges a sebességre, mert a pálya érintője egyben a felület érintője

is, nagysága a n = v 2 / R , ahol R a felület görbületi sugara és v az anyagi pont sebességének abszolút értéke r r az adott pontban. Így nyugvó, görbült felületnél az Fk kényszererő csak akkor egyenlő - Fn nel, ha a sebesség zérus, vagy a pályának ott inflexiós pontja van 2.32 ábra Inerciarendszerben nyugvó lejtőn mozgó anyagi pont esetén a matematikai kényszerfeltételt a lejtő síkjának Ax + By + Cz + D = 0 egyenlete jelenti ( A, B, C, D adott állandók). 2.33 ábra Bontsuk fel a 2.33 ábrán látható anyagi pontra ható nehézségi erőt a súrlódásmentes lejtőre r r v merőleges Gn és a lejtővel párhuzamos Gt komponensekre. A Gn szabaderő komponens az anyagi pontot a lejtőhöz nyomja, a lejtő pedig az akció-reakció elv értelmében a lejtőre r r merőleges Fk = −Gn kényszererővel hat vissza a testre. Mivel a test a lejtőre merőleges r r irányban nem gyorsul, Gn és Fk eredője zérus, így az anyagi pontra ható összes

erő eredője r r r v Gt lesz. Az anyagi pont mozgását a kényszererő bevezetésével a G + Fk = Gt erő hatására végbemenő szabad mozgásként tárgyalhatjuk. Nyugvó, görbült felületen végbemenő mozgásra vonatkozik a következő példa. Vizsgáljuk meg egy vízszintes felületen, keskeny kör alakú, súrlódásmentes csatornában egyenletes körmozgást végző anyagi pont mozgását egy olyan, a felülethez rögzített inerciális vonatkoztatási rendszerben, melynek origója az r sugarú kör középpontja (2.34 ábra) A kényszerfeltételt most a körpálya x 2 + y 2 = r 2 egyenlete jelenti. Az anyagi pont a függőleges irányban nem gyorsul, az anyagi pontra függőleges irányban ható erők (nehézségi erő és az ezzel ellentétes irányú kényszererő komponens) eredője zérus. (A kényszererő függőleges r r r r komponense - G .) Egyenletes körmozgás esetén a = − rϕ& 2 er = − rω 2 er centripetális r r gyorsulás lép fel. Newton II

axiómája értelmében ezt az Fcp = m a centripetális erő hozza r létre, mely erőt a kényszer, a csatorna fala fejti ki az anyagi pontra. Így a kényszererő Fkv r vízszintes komponense azonos az Fcp centripetális erővel. Newton III axiómája értelmében az anyagi pont ugyanilyen nagyságú, ellentétes irányú erőt fejt ki a csatorna falára. Ez a test által a csatorna falára kifejtett erő a centripetális erő ellenereje (reakcióereje) és sugárirányban kifelé mutat. A nehézségi erőhöz (szabad erő) a kényszererőt hozzáadva az r r r anyagi pont mozgását a G + Fk = Fcp erő hatására végbemenő szabad mozgásként tárgyalhatjuk. 2.34 ábra Mozgó felületeknél (időben változó kényszer) az inerciarendszerhez viszonyított sebességvektor általában nem egyenlő a felülethez viszonyított sebességgel, ezért a gyorsulás r felületre merőleges komponense sem egyezik meg az inerciarendszerbeli a n értékével. Példa erre egy olyan lejtő,

amelyik elmozdul a vízszintes síkon, amikor egy testet helyezünk rá (2.35a ábra) A mozgó lejtőn lévő anyagi pont inerciarendszerbeli pályája nem egyezik meg a lejtő síkja által kijelölt egyenessel. Mivel a sebesség a pálya érintőjének irányába mutat, a lejtő által a testre kifejtett kényszererő ez esetben nem merőleges az inerciarendszerbeli sebességre. Ha a lejtő még gyorsul is, a gyorsulásnak van a felületre merőleges komponense, r r r r r így az Fk + Fn = m a n következtében Fk ≠ − Fn . A 235b ábrán mozgó görbült felület esetén látható a pálya, a kényszererő és a normális irányú gyorsulás. (a) (b) 2.35 ábra