Fizika | Felsőoktatás » Kinematika

Kinematika A hely meghatározása A Földön a forgástengely, és így a rá merőleges síkkal meghatározott Egyenlítő kitüntetett; természetesnek mondható, hogy északra és délre ez a szélességi körök zérus vonala. A Föld tengelyén áthaladó síkoknak a Föld felszínével való metszésvonala a meridián, vagy más néven hosszúsági kör, amelyek közül a kezdeti meridián a greenwichi csillagvizsgáló adott pontján halad keresztül. Az 1. ábra mutatja, hogyan jellemezhető a Föld felszínének egy adott pontja a (j , l ) szögekkel 1. ábra Hasonlóan, két alkalmasan választott szögkoordináta segítségével adhatjuk meg egy bolygó, egy csillag, egy galaxis helyét az éggömbön. Az éggömb egy olyan tetszőleges (legtöbbször egység) sugarú gömb, amelynek középpontja a koordináta-rendszer kezdőpontja. A kérdéses pontot (csillagot, galaxist) a centrummal összekötve, ahol ez az egyenes döfi az éggömböt, ott van az illető pont

szférikus helye. Az éggömb középpontja - amely egyúttal koordináta-rendszerünk centruma - a célnak megfelelően választható. Lehet a megfigyelő helyén, a Föld középpontjában, a Nap, a Naprendszer vagy a Tejútrendszer középpontjában. A 2. ábra a sok lehetőség közül az egyik legismerősebbet, a második egyenlítői koordinátarendszert mutatja Itt az éggömb középpontja a földi megfigyelő helyén van, az OPP’ egyenes a Föld forgástengelyével párhuzamos, erre az egyenesre az O pontban állított merőleges sík az éggömböt az égi egyenlítőben metszi. 2. ábra Ugyancsak az O ponton keresztül a Föld Nap körüli keringésének síkjával párhuzamos síkot rajzolva az ekliptika síkját kapjuk, amely az éggömböt az ekliptikában metszi Az ekliptika a körülményes definíció ellenére jó ismerősünk, hiszen a Nap évi járásának nyomvonala az éggömbön. Az ekliptika az égi egyenlítőt a g tavaszpontban és az W őszpontban

metszi. Az éggömbön egy tetszőleges C pont helyzetét a PCP’ órakör és az egyenlítő metszéspontjaként kapott T e egyenlítői talppont segítségével megadható szögekkel - a COT e = d deklinációval és a g OT e = a rektaszcenzióval lehet megadni. A rektaszcenzió értéke a tavaszpontban 0h, az őszh pontban 12 . A csillagkatalógusokban ál talában a d, a koordinátákkal találkozunk, mert ezek függetlenek a Föld tengely körüli forgásától (az ekliptika és az egyenlítő síkjának lassú változásával persze számolni kell.) Időpontok, időtartamok Ha már helyünket kielégítő biztonsággal megtaláljuk a világban, az események leírásához még szükségünk van az időpontok és időtartamok megadására. A filozófiai buktatók elkerülésére az időtartam fogalmát csupán a szabályos ismétlődésekkel hozzuk kapcsolatba. Ma már megvannak a technikai feltételei annak, hogy a másodpercet mint a cézium-133 atom két állapota közötti

átmenet során kibocsátott sugárzás (10 jegy pontossággal) adott számú periódusával határozzuk meg. A mindennapi tapasztalat az égbolt megfigyelésében nem enged i lyen pontosságot. Ráadásul az év nem egészszámú napból áll, a Hold fázisainak szabályos ismétlődése a holdhónapok révén pedig csak nehezítette a naptárkészítők helyzetét. A hatásos naptárreformok után manapság a csillagászok által használt külön-böző idődefiníciók mindössze néhány táblázat vagy formula ismeretét kívánják meg. Legújabban pedig bebizonyosodott, hogy az 1900-as év hossza alapján definiált efemerisz idő és a fenti (cézium-133 alapú ) atomidő egymáshoz képesti éves eltolódása kisebb, mint 10-12, tehát az időpontok és időtartamok megállapítása technikailag megoldott. Egy test mozgásának leírása Tér és időbeli tájékozódásunk keretei tehát adottak. Célszerű még bevezetnünk az anyagi pont fogalmát; amikor a mozgást

végző test méretei elhanyagolhatóan kicsik a pálya méreteihez képest, akkor lemondunk a test sajátosságainak ábrázolásáról, és a mozgás szempontjából tulajdonságok nélküli anyagi pontként jellemezzük. Továbbá fontos a megfelelő vonatkoztatási rendszer kiválasztása is, amihez képest jellemezzük a mozgást, hiszen pl. magához a vizsgált testhez rögzített rendszerben nincs is mozgás Minthogy a megfelelő vonatkoztatási rendszer megválasztása különösen fontos kérdés, amelyet majd gondosan körül kell járnunk, egyelőre fogadjuk el a lustán forgó Földet alkalmas vonatkoztatási rendszernek, ha pedig nagyon igényes feladatunk van, írjuk le a mozgást az állócsillagokhoz rögzített rendszerből. A tömegpont mozgásának sok szempontból kielégítő leírását jelenti a mozgás pályájának megadása. A mozgó test nyomvonalaként értelmezhető pálya fontos információkat szolgáltat, különösen, ha a mozgó test menetrendje is

ismert a pálya mentén, vagyis, hogy milyen időpontok tartoznak a pálya egyes pontjaihoz A táblázat alapján elkészíthető a pálya rajza, szerencsés esetben megadható a pálya egyenlete, esetleg az idő függvényében is. Ehhez azonban már matematikai értelemben is dönteni kell a koordinátarendszer milyenségéről. Adott koordinátarendszerben ábrázolva egy test mozgását a helyvektor időfüggését kell megadni, az r = r(t) kapcsolatot. Descartesi koordinátarendszerben ez jelentheti az x(t), y(t), z(t) komponensek ismeretét; gömbi polárkoordinátákban a helyvektor r hosszának, a q polárszögnek és a j azimutszögnek a megadását az idő függvényében. (Az 1 ábrán látható földrajzi koordinátákkal kifejezve: q = 90°- c, j = l , amennyiben a Föld forgástengelye a z tengely, és az xz sík megy keresztül a greenwichi csillagvizsgálón.) A gyakori síkmozgásokra tekintettel nagy szerepe van a 3. ábrán vázolt síkbeli polárkoordináta

rendszernek, amely a z tengellyel a háromdimenziós hengerkoordináta rendszerré egészíthető ki 3. ábra Haladjon egy jármű egyenletes tempóban körpályán. A pálya egyenletét x2 + y2 = R2 alakban könnyű felírni, de még könnyebb síkbeli polárkoordinátákban: r = R. (Az r értéke viszont r = Re r , ahol az e r egységvektor az idő függvénye.) Ha a pálya egyes pontjaihoz a megfelelő időpontokat is feljegyezzük, nem lesz sokkal bonyolultabb a pálya megadása: x = R cos j , y = R sin j , ahol j = wt + a a körmozgás fázisa, a a kezdőfázisa, w pedig a s zögsebessége. Polárkoordinátákban a j = wt + a kifejezés értelmezi a s zögsebesség fogalmát, hiszen a j polárszög a kiinduló a értéktől w által megszabott módon nő a t idő előrehaladtával. Sebesség és gyorsulás A mozgás leírásának minden esetben alapvető fogalma a sebesség. Ha Dt idő alatt a helyvektor r(t) -ről r(t+Dt) -re változott, ez a változás a 4. ábrának

megfelelően a Dr elmozdulásvektorral jellemezhető A megváltozás mértékét a v = Dr /Dt sebesség jellemzi, amely sebesség akkor lesz a t időponthoz köthető, ha Dt zérushoz tart. 4. ábra Egyenesvonalú, egyenletes mozgásnál a t idő alat befutott pálya hossza maga az s út, amely az idővel egyenletesn nő - ilyenkor bármekkora időtartamok alapján számoljuk is a sebességet, az mindig s/t lesz. Egyenletes körmozgásnál a j szögelfordulásra mondhatjuk, hogy növekedése arányos az eltelő idővel, és már láttuk is, hogy zérus kezdőfázisnál a növekedés mértéke a j /t = w szögsebesség. Maga a sebesség azonban arányos a körpálya sugarával, és érintőirányú: v = r w, mivel s = rj , a szög természetes mértékegységének megfelelően. Descartesi koordinátarendszerben a sebességkomponensek az elmozdulásvektor kompo-nenseiből számíthatók v x = Dx /Dt mintájára, amikor Dt zérushoz tart. Síkbeli polár-koordinátákban két komponens

van - a 3. ábrán az e r és e ϕ egységvektorok jelölik ki az irányokat: sugárirányban v r = Dr /Dt, míg a j szögkomponens : v ϕ = r Dj /Dt = r w, amelyet r-re merőlegesen, a növekvő szög irányában kell felmérni. A sebességvektor időbeli változását méri a gyorsulás: a = Dv /Dt. Descartesi koordinátarendszerben a gyorsuláskomponenesek egyszerűen következnek a sebességkompo-nensekből, pl: a x = D v x /Dt. Ha szeretnénk egyszerűbben fogalmazni, ha nem akarjuk minden esetben hangsúlyozni Dt zérushoz tartását, meg kell tanulnunk differenciálni, és akkor “a gyorsulásvektor a sebességvektor idő szerinti differenciálhányadosa “ definíció pontos és mégis rövid lesz. De megkaphatjuk a gyorsuláskomponeneseket a koordináták idő szerinti második differenciálhányadosaként is. Gyakorlásképpen számítsuk ki az egyenletes körmozgás gyorsulásának komponenseit x és y időfüggéséből kiindulva: a x = - w2 x és a y = - w2 y adódik

Érdemes azonban az egyenletes körmozgás gyorsulását, amely értelemszerűen a sebesség irányának megváltozásából adódik, közvetlenül a sebességvektor változásából származtatni. Ezt segíti az 5. ábra, amelyről leolvasható, hogy a kör középpontja felé mutató gyorsulásvektor nagysága: a = v2 /r. 5. ábra Két példa a) Ferde hajítás Egyik leggyakrabban előforduló feladat, hogy ismert az anyagi pont gyorsulása, valamint egy adott pillanatban helyzete és sebessége, kérdéses további mozgása, azaz sebesség és helyvektora az idő függvényében. Ez tetszőleges gyorsulásnál nehéz feladat, de ha a gyorsulás nem változik, akkor a magasabb matematika - differenciálegyenletek integrálása - kikerülhető. Tekintsük példaként a ferde hajítást! Itt a gyorsulás függőlegesen lefele irányul, nagysága g = 9,81 m/s2. A v 0 kezdősebesség alkosson j szöget a vízszintes irányú x tengellyel, a hajítás történjen az origóban a t = 0

pillanatban. Hogyan változnak a sebességkomponensek az idő függvényében? v x = v 0 cos j nem változik, a függőleges komponens azonban a g gyorsulsásnak megfelelően alakul: v y = v 0 sin j - gt. Hogyan változnak a mozgó test koordinátái? Vízszintesen az állandó sebességnek megfelelően egyenletes a haladás: x = v 0 t cos j . A függőleges mozgás v y integrálásával, vagy az átlagsebességen alapuló meggondolások segítségével kapható: y = v 0 t sin j - gt2 /2 A t időparaméter kiküszöbölésével a 6. ábrán látható pálya egyenlete is felírható: y = x tg j - g x2 /(2 v 0 2cos2 j ). Kiszámíthatók a pálya legmagasabb pontjának adatai abból, hogy ott a függőleges sebesség zérus: az emelkedés ideje: t e = v 0 sin j /g; az emelkedés magassága: h = v 0 2 sin2j /(2g) 6. ábra b) Egy kerék gördülése Egyidejű haladó és forgómozgásként tekintsük egy kerék gördülését! A 7. ábra jelöléseivel a kerület egy olyan pontjának

koordinátái, amelyik t = 0 pillanatban az (x 0 + R, R) helyen volt: x = x 0 +R [ wt + cos(wt) ] ; y = R [1 + sin(wt) ], 7. ábra ahol a j = wt és a v = Rw jelöléseket használtuk, az utóbbit a csúszásmentes gördülés feltételeként. Az egyenletek egy cikloist írnak le A kerületi pont sebessége és gyorsulása is könnyen számítható az idő szerinti differenciálás segítségével. A gyorsulás komponensei: a x = -w2 Rcos(wt) és a y = -w2 Rsin(wt), tehát noha a kerék egyenletesen halad, a forgómozgás miatt a kiszemelt pontnak v2 /R nagyságú gyorsulása van. Kidolgozott feladat: Az átlagsebesség Az átlagsebesség egy adott t időtartamra vonatkozik: ha a t idő alatt a megtett út s, akkor az átlagsebesség <v> = s/t. Ezt a definíciót kell szem előtt tartani a következő példában: Kerékpárral egy meredek lejtőn felfelé 10 km/óra, lefelé 30 km/óra sebességgel haladunk. Mekkora az átlagsebesség, ha megállás nélkül hajtunk

felfelé, majd visszakerekezünk a kiindulási ponthoz? Az út fele s/2 km; ezt t 1 = s/20 óra tesszük meg felfelé és t 2 = s/60 óra alatt lefelé. A teljes idő, ami az átlagolás alapja: t = t 1 + t 2 = 4s/60 óra, az átlagsebesség <v> = s/t =15 km/ó. Nem szabad az azonos úthosszra hivatkozva a két sebesség számtani közepét venni. Nem is lép fel ilyen kísértés, ha visszafordulás előtt pihenünk egy negyed órát. Ebben az esetben viszont meg kell mondanunk, hogy mekkora az s út, mert az átlagolás alapját képező idő t = 4s/60 + 1/4 óra, ezért az átlagsebesség s nagyságától függően mindenféle érték lehet 0 és 15 km/ó között (pl. s = 15 km-nél <v> = 12 km/ó)