Fizika | Felsőoktatás » Dr. Orbán Ferenc - Mérnöki Fizika

PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MÉRNÖKI FIZIKA Dr. Orbán Ferenc főiskolai tanár Pécs, 2005 Tartalomjegyzék: 1. 1.1 1.2 1.3 1.31 1.32 1.33 1.34 2. 2.1 2.11 2.12 2.13 2.2 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.210 2.3 2.31 2.32 2.33 2.4 2.41 2.42 2.5 2.51 2.52 2.6 2.61 2.62 2.63 2.6 4 2.65 2.7 2.71 2.72 Bevezetés A fizika mechanika fejezetének tárgykörei A mechanika módszerei Vektoralgebrai ismeretek A vektor fogalma és értelmezése Vektor és skalár szorzata Vektorok összeadása és kivonása Vektorok közötti szorzás Statika Alafogalmak, alaptételek A tér Az erő A statika axiómái Síkbeli erőrendszerek Három erő egyensúlyának tétele Az erő vetülete és nyomatékai Síkbeli, közös metszéspontú erők eredője Két párhuzamos erő eredője Az erőpár Az erőpár nyomatéka Erő és erőpár összetétele Síkbeli általános erőrendszer eredőjének meghatározása Az erő felbontása összetevőkre(komponensekre)

Kényszerek, megtámasztási módok Igénybevételek, igénybevételi ábrák. Tartók Tartótípusok Megoszló terheléssel terhelt tartó Erőpárral terhelt tartó Összetett síkbeli tartók Csuklós többtámaszú (Gerber) tartó Háromcsuklós tartó (bakállvány) Síkbeli rácsos tartók Rúderők meghatározása csomóponti módszerrel Rúderők meghatározása hármas átmetszés módszerével Súlypont A test szimmetriasíkja és súlyvonala Vonalak súlypontja Síkidomok súlypontja Körcikk és félkör terület súlypontja Összetett síkidomok súlypontjának meghatározása számítással Súrlódás Súrlódással kapcsolatos alapfogalmak Egyensúly súrlódással 1. 1. 1. 2. 2. 3. 4. 5. 10. 10. 10. 10. 13. 15. 15. 16. 18. 20. 22. 22. 22. 24. 27. 30. 35. 36. 39. 40. 44. 44. 47. 49. 50. 51. 53. 54. 55. 57. 60. 60. 63. 63. 67. 3. 3.1 3.11 3.12 3.13 3.2 3.21 3.22 3.23 3.3 3.31 3.32 3.33 3.4 3.41 3.42 3.5 3.51 3.52 3.53 3.54 3.6 3.61 3.62 3.7 3.71 3.72 3.73 3.8 3.81

3.82 4. 4.1 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.2 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 Szilárdságtan Alapfogalmak A szilárdságtan tárgya, feladata, módszerei A feszültség fogalma Feszültségállapot Húzó és nyomóigénybevétel A feszültségek vizsgálata Alakváltozás vizsgálata Húzott és nyomott rudak méretezése A nyíró igénybevétel A feszültségek vizsgálata Az alakváltozás vizsgálata Méretezés nyírásra a tiszta nyírás feltételezésével Síkidomok másodrendű nyomatékai A másodrendű nyomaték fogalma A másodrendű nyomaték számítása A hajlító igénybevétel A tiszta egyenes hajlítás Méretezés tiszta hajlításra A hajlított tartókban ébredő feszültségek A hajlított tartók alakváltozásai A csavaró igénybevétel Körkeresztmetszetű rudak csavarása Méretezés csavarásra Kihajlás A rugalmas-kihajlás vizsgálata (Euler képlete) Plasztikus kihajlás: Tetmajer képlete Méretezés kihajlásra Összetett igénybevételek Egyirányú

összetett igénybevételek Többirányú összetett igénybevételek Kinematika Tömegpont kinematikája Sebesség Gyorsulás A körmozgás Harmonikus rezgőmozgás Hajlítás A távolság vagy megtett út meghatározása A merev test kinematikája Sebességállapot Gyorsulásállapot Elemi összetett mozgások A merev test síkmozgása Kulisszás hajtómű kinematikája 70. 70. 70. 71. 72. 75. 74. 77. 79. 81. 81. 82. 82. 84. 84. 87. 92. 92. 96. 98. 101. 105. 105. 108. 111. 111. 115. 116. 117. 117. 119. 123. 123. 125. 126. 129. 131. 132. 134. 135. 136. 137. 137. 138. 142. 5. 5.1 5.11 5.12 5.13 5.14 5.2 5.3 5.31 5.32 5.33 5.34 Kinetika Tömegpont kinetikája Impulzus tétel Perdület tétel A munkatétel A teljesítmény Az anyagi pontrendszer kinetikája Merev testek kinetikája A szabad tengely A perdület tétel Merev testek esetén A testre vonatkozó minkatétel Táblázat 1. Táblázat 2. Táblázat 3. Táblázat 4. 144. 144. 144. 146. 147. 148. 150. 151. 154. 157. 160.

160. 163. 163. 164. 165. 1. Bevezetés 1.1 A fizika mechanika fejezetének tárgykörei A mechanika a fizikának a makroszkópikus anyagi testek mozgásaival és nyugalmi állapotával foglalkozó ága. A mechanikának azt a részét, amelyik a műszaki tevékenység, a mérnökök számára szükséges ismereteket tartalmazza, műszaki mechanikának nevezzük. E könyv természetesen a mechanikának főképpen a műszaki alkalmazás szempontjából fontos ismereteit tárgyalja. A könyv címéül adott Mérnöki fizika is azt jelenti, hogy itt a mérnöki tudományok alapozó tárgyáról van szó. A jelen jegyzet a Fizika mechanika fejezeteit tárgyalja az elnevezés mégis fizika, mert a későbbiekben a fizika más fejezetei is tárgyalásra kerülnek és ezek elnevezése lehet pl. Mérnöki fizika II., stb A mechanika felosztása klasszikusan a következő: Mechanika Kinematika Kinetika Dinamika Nyugvó testek dinamikája Statika Szilárdságtan Kinematika: a mozgás

leírásával foglakozik, az azt létrehozó okot nem vizsgálja. Dinamika: a testek mozgását és deformációit vizsgálja, az ezt előidéző erők alapján. Statika: a nyugalomban lévő merev testekkel, a rájuk ható erőkkel foglalkozik. Szilárdságtan: az erőkkel terhelt nem merev testeket vizsgálja. Kinetika: a testek mozgását vizsgálja a testre ható erők figyelembevételével. Ezzel röviden áttekintettük, hogy a mechanika és a bennünket leginkább érdeklő műszaki mechanika milyen fejezetekből ál. A következőkben részletesebben a merev testek statikájával, az elemi szilárdságtannal, a kinematikával és a kinetikával foglalkozunk. 1.2 A mechanika módszerei A mechanika, a természetben megfigyelhető, tapasztalható tényekből indul ki, ezért tapasztalati tudomány. A megfigyelt és megállapított tényekből általánosítással olyan egyszerű alaptételek állíthatók fel, amelyek más alaptételekhez nem vezethetők vissza. A mechanika a

feladatok megoldására az alábbi módszereket alkalmazza: számító, szerkesztő és számítógépes számítás. 1 A számító eljárás során a mechanikai feladatokat a matematika nyelvén írjuk le. Az eljárás előnye, a tetszőleges pontosság, hátránya, hogy nem mindig szemléletes, megértése magasabb szintű matematikai ismeretet igényel. A szerkesztő eljárás előnye a szemléletesség és bár pontatlanabb, de azért a gyakorlat igényeit kielégíti. Manapság ez a módszer kissé háttérbe szorult A mérnöki alkalmazások területén, ma mind nagyobb teret nyertek a számítógépes módszerek. A számítógépes mechanikai analízis a bonyolultabb, nagyobb értékű berendezések, szerkezetek esetén a műszaki dokumentáció nélkülözhetetlen részévé váltak. A mechanika tárgyalását a statikával kezdjük, ennek oka az, hogy matematika szempontjából a legegyszerűbb fejezet, ugyanakkor az itt tárgyalt módszerek a későbbi fejezetekben is

jól használhatók. 1.3 Vektoralgebrai ismeretek A fejezet a vektorszámítás rövid nyilvánvalóan nem teljes összefoglalása. Csak azokat a részeket tartalmazza – minden levezetés és bizonyítás nélkül – melyek tudása szükséges a Mérnöki fizika című tantárgy megértéséhez. Az anyagban a vektorok erő jellegét hangsúlyozzuk ami természetesen a téma általánosságát nem sérti. 1.31 A vektor fogalma és értelmezése Vektornak nevezzük az olyan fizikai, vagy geometriai mennyiséget, amely számszerű értékével /abszolút értékével/ és irányával adható meg. Ezen tulajdonságuk alapján a vektorokat irányított egyenes szakaszokkal szemléltetjük. Az irányított egyenes szakasz hossza a vektor abszolút értékével arányos. Az erővektorok ábrázolásakor használt NF = 5 kN/cm lépték pl. azt jelenti, hogy az egyenes szakasz 1 cm-re 5 kN abszolút értékű erővektornak felel meg. Ugyanazon egyenes szakasz segítségével két vektort

/két irányt/ értelmezhetünk. /1.1 ábra/ B h B AB=rAB=a h BA=-AB A A 1.1ábra Az abszolút érték jelölése: AB = rAB = a = a A zérus abszolút értékű vektor zérusvektor, az egységnyi abszolút értékű vektor az egységvektor. 2 A mechanikában előforduló vektorokat általában a testek pontjaihoz kötöttnek gondoljuk és ezen pontot a vektor támadáspontjának nevezzük. Az ilyen vektorokat helyhez kötött vektoroknak nevezzük. /12 ábra/ FA A B hatásvonal 1.2ábra Két vektor egyenlő, ha abszolút értékük megegyezik, és egyező irányúak. Két vektor által bezárt szög alatt a vektorok irányai által meghatározott azonos kezdőpontú félegyenesek által bezárt kisebb szöget értjük. /13 ábra/ B AB ϕ A AC C 1.3ábra 1.32 Vektor és skalár szorzata Az a vektor és a p sakalár szorzata olyan b vektor: b = p⋅a melynek abszolút értéke: b = p⋅ a = a⋅p és iránya az a vektor irányával egyező. Bármely vektor

úgy tekinthető, mint abszolút értékének és az irányát kijelölő egységvektornak a szorzata. a= a ⋅e ; e = 1 3 1.33 Vektorok összeadása és kivonása A vektorokat úgy összegezhetjük, mint az irányított egyenes szakaszokat. = a +b +c d = c + a + b = . A vektor összegezésének eredménye független az összegezés sorrendjétől /1.4ábra/ Például az x, y koordináta rendszerben adott vektorokat összegezzük. y c b a b b x d c c d a a 1.4ábra .ábra 1.4 A vektorok kivonása: c = a −b h = a + (− b ) = a + h = −b Koordináta rendszer Legyen i , j, k ; i = j = k =1 a Descartesi derékszögű koordináta-rendszer tengelyeit kijelölő egységvektor. /1.5 ábra/ a = ax ⋅ i + a y ⋅ j + az ⋅ k . Szokásos még az egységvektorok alábbi jelölése is: e x = i ; e y = j; e z = k . 4 Az (i , j , k ) a Descartesféle bázis, amelynek elemei a Descartes-féle bázisvektorok. Az vektor ax, ay, az az a i , j, k bázisra

vonatkozó koordinátái. k a az⋅k ax⋅í I j ay⋅j 1.5ábra 1.34 Vektorok közötti szorzás Két vektor skaláris szorzata d = a ⋅ b ⋅ = b ⋅ a = a ⋅ b ⋅ cos ϕ , a ⋅ b = a x ⋅ bx + a y ⋅ b y + a z ⋅ bz . Ha egy testre F erő hat és a test s elmozdulást végez, úgy a végzett munka: W = F ⋅ d = F ⋅ s ⋅ cos ϕ . F S ϕ 1.6ábra A bázisvektorok skaláris szorzatai: i ⋅i = j ⋅ j = k ⋅k =1, i ⋅ j = j ⋅k = k ⋅i = 0 . 5 A vektorok skaláris szorzatának értelmezése lehetőséget ad két vektor által bezárt szög számítására cos ϕ = a ⋅b a ⋅b . Most nézzünk egy alkalmazást. Határozzuk meg az F = /5i – 3j/ [N] erőnek az s == 2i + 2 j / [m] elmozdulás vektor irányába eső vetületét! (1.7 ábra) NF = 1 N/cm Ns = 1 m/cm s Fs ϕ F 1.7ábra F ⋅s s = F ⋅ = F ⋅s0 s F ⋅s Fs = F ⋅ cos ϕ = F ⋅ ahol: s 0 = s0 = Most: Fs = s s s vektorral egyező irányú egységvektor az 2 8 5 2 i+ − 2 8 3

2 j= 1 2 = 2= i+ 2 2 j [N ] . 6 Két vektor vektorális szorzata Az a és b vektorok vektorális szorzata az a c vektor, amelynek abszolút értéke: sin ϕ c = a xb = a ⋅ b Irása: a xb vektor merőleges az csavar szabály határozza meg. a és b vektorok síkjára, a xb irányát a jobb Az xyz koordináta rendszer egységvekorainak vektoriális szorzatai: i x i= j j=k i x j x i = −k ; k x j = k; j x k =0 x k = i; k x i = j x j = −i ; i x k =−j Határozzuk meg az F = / 4i + 3 j / [kN ] erőnek az A pontra vonatkozó nyomatékát! (1.8 ábra) y P ϕ M A = rp xF F P(2; 3,5)m k rP x A 1.8 ábra Korábbi tanulmányokból ismert, hogy a nyomaték: rp xF = rp xF , M A = F ⋅ k = F ⋅ rp ⋅ sin ϕ = F ⋅ rp ⋅ rp ⋅ F M A = rp xF = (2i + 3,5 j ) x(4i + 3 j ) = 6k − 14k = −8k [kNm] . A vektorális szorzatot egy harmadrendű determináns kifejtéséből is meghatározhatjuk: i j a xb = a x bx ay by k a z = i ⋅ ( a y ⋅ bz − a

z ⋅ b y ) − j ( a x ⋅ bz − a z ⋅ bx ) + k ( a x ⋅ b y − a y ⋅ bx ) . bz 7 Egyenes egyenlete A Po ponton átmenő adott a vektorral párhuzamos egyenes egyenletének vektorális alakja. /19 ábra/ Po y P a ro a x(r − r0 ) = 0 r x 1.9ábra Ugyanennek az egyenes egyenletének Plücker-féle alakja. a xr − a xr0 = a xr + a x / − r0 / = a xr + b = 0 ahol a és b; b ⋅ a = 0 Plücker koordináták. A koordináta rendszer kezdő pontjában /A/ redukált F és M A vektorok ismertek. Keressük azon pontok mértani helyét, ahová az / F , M A / vektorkettős nyomatéka zérus. Egy tetszőleges pontra számított nyomaték: M B = M A + FxrAB y centrális egyenes F B rB MA d M B = M A + / − rB / xF / , M A − rB xF = 0 , c A Itt most: x F xr + M A = 0 . D 1.10ábra Az utóbbi egyenlet egy egyenes egyenlete a centrális egyenesé. Az 110ábrán körívdarabbal jelölt M A az xy síkra merőleges velünk szemben mutató vektor. A következőkben

határozzuk meg az egyenes D pontjához mutató vektort. 8 M A − rB xF = M A − (d + c ) xF = 0 F ( M A − d xF − c xF ) = 0 F xM A − F x(d xF ) = 0 d = F xM A F2 Vektorrendszer egyenértékűsége /V,/ vektorrendszert egyenértékűnek mondjuk a /V”/ vektorrendszerrel, ha a tér tetszőleges pontjára számított nyomatékuk megegyezik: MA = MA , ,, Mivel ezen értelmezés nem alkalmas az egyenértékűség eldöntésére, ezért az alábbi 3 feltétel egyikét használjuk. 1. 2. M B = M A + F , xrAB = M A,, + F ,, xrAB = M B,, , M A, = M A,, és F , = F ,, . Ha A, B, C pont nem esik egy egyenesre: , , M A, = M A,, , M B, = M B,, , M C, = M C,, . azaz a három pontra nézve a két vektor rendszer nyomatékvektorai megegyeznek. 3. Végül a /V,/ és /V”/ vektorrendszer egyenértékű, ha 6 db egymástól lineárisan független tengelyre számított nyomatékok megegyeznek. mk, = mk,, , (k = 1,2.6) Lineárisan független tengelyek a tetraéder oldallapjainak hat

metszésvonala. A tengelyre számított nyomatékot úgy számolhatjuk ki, hogy a tengely egy pontjára számított nyomatékot skalárisan szorozzuk a tengely irányát kijelölő egységvektorral. ma = M A ⋅ e A . Egyensúlyi vektorrendszer esetében az egyik vektorrendszer 0 értékű. Igy pl. a 2 feltétel alapján egyensúly van, ha teljesül: MA = 0, MB = 0 , MC = 0 . 9 2. Statika 2.1 Alapfogalmak, alaptételek A statika a testek erőhatás alatti egyensúlyával, az egyensúly feltételeivel foglalkozik. A statika a vizsgálatait a térben végzi. E vizsgálatokban az időnek nincs szerepe, mert a test tartósan nyugalomban van. Így a statikában csupán két alapfogalomra: a tér és erő fogalmára van szükség. 2.11 A tér A tér, amelyben statikai vizsgálatainkat végezni fogjuk teljesen megegyezik a geometriában használatos euklideszi térrel. A tér egyes részeinek elemeinek meghatározása, ábrázolása ugyanazon a módon történik, mint az a geometriában

szokásos. A geometriai méretek megadásához egyetlen alapegység elegendő, ez a távolság melynek egysége a méter. Egy méter az a távolság, amelyet a fény vákumban 1/299792458 másodperc alatt tesz meg. A vizsgálatainkat jobbsodrású koordináta rendszerben végezzük. 2.12 Az erő Az erő a mindennapi életben is használatos fogalom. A közvetlen tapasztalás és érzékelés alapján az erőről mindnyájunkban kialakult valamilyen kép. Ebből a bennünk élő képből indulunk ki, amikor az erőnek a mechanikai szempontból egyértelműen meghatározó és jellemző tulajdonságait kívánjuk megállapítani. Az erő mint két test egymásra gyakorolt hatása jelentkezik. Az erőket többféle szempont szerint osztályozzuk éspedig: a) Az erő helyi fellépése alapján Koncentrált erők, melyek a test egy pontján hatnak. (A pont alatt itt egészen kis, pontszerűnek tekinthető felület értendő.) A koncentrált erőket a támadáspontjukba rajzolt vektorokkal

szokás ábrázolni. Például a 2.1 ábrán a fonalat terhelő súlyerő nagyságával arányos BC hosszúságot mérünk fel a B támadáspontban. A A K=-G B G [ ] N N Q m ; m2 B G G C 10 Megoszló erők: igen nagyszámú, igen kis erőkből álló párhuzamos erőrendszernek tekinthető. Megkülönböztetünk vonalmentén, felületen, vagy tömegen megoszló erőket Ez utóbbi a test egész térfogatán oszlik el. Ilyen például a súlyerő, mely a test tömegével arányos (G = m.g) A vonalmenti és felületi megoszló erők ábrázolása a test fölé rajzolt síkidomokkal szokásos. A megoszló erők nagyságát az egységnyi hosszra vagy az egységnyi felületre eső terhelésből állapítjuk egy. A fajlagos terhelés jele q vagy p (22 ábra), mértékegysége: N/m, ill. N/m2 b) A testre ható erő viszonylatában Külső erők, melyek a testet kívülről támadják meg. Belső erők, melyek a terhelt (igénybe vett) testen belül külső terhelés

következtében keletkeznek. Ezen belső erőket is szokásos a test belsejében kialakított felületegységen (általában 1 mm2-en vagy cm2-en) fellépő fajlagos erőként megadni; ezt a fajlagos erőt feszültségnek nevezzük. c) A külső erők további osztályozása Aktív erők, a testre, szerkezetre, annak rendeltetéséből kifolyóan ható külső erők, mely erők általában egymás közt nincsenek egyensúlyban, vagyis hatásukra a szerkezet elmozdulna. Ezt az elmozdulást akadályozzák meg a passzív erők vagy reakcióerők, melyek általában a szerkezetnek valamely más testtel való érintkezése révén lépnek fel. Az erő meghatározását négy jellemző egyidejű ismerete biztosítja. E jellemzők a következők: - az erő nagysága: ez egy abszolút szám, mely megmondja, hogy az erő valamely egységben kifejezve milyen nagyságú. Pl az erő 5 N; itt 5 jelenti az erő nagyságát (mérőszámát) és az N azt az egységet, melyben az erő nagysága

értendő. - az erő hatásvonala: az az egyenes, amelyben az erő hat. Csak irányt határoz meg és így a testtől függetlenül is meghatározó jellegű; - az erő értelme: az erő irányvonalán, (iránytangensén) hatásvonalán nyíllal megjelölt értelem, mely megmondja, hogy az egyenes elképzelhető két értelem közül melyik a szóban forgó erő jellemzője. - az erő támadáspontja: az erő hatásvonalán az a pont, melyben az erő a testre hatását kifejti. A támadáspontban rajzolt erő-irányvonal az erő un hatásvonala; ez az erő helyzetét a testtel kapcsolatban már szorosan meghatározza. A támadáspontnak más jelentősége van merev testnél, más a rugalmas testnél. A merev testnél a támadáspontnak nincs szerepe, mert a merev test alakváltozást nem szenvedhet, a test mozgásállapotára pedig közömbös, hogy az erő a hatásvonal mely pontján lép el, csak maga a hatásvonal a fontos. Tehát merev testen az erő támadáspontja és így maga

az erő is a hatásvonal mentén bárhova eltolható. Rugalmas testnél már nem közömbös a támadáspont helye, mert a rugalmas test esetében az erő alakváltozást okoz. A matematikában az olyan mennyiséget, melynek jellemzéséhez egyetlen adat szükséges, skaláris mennyiségnek nevezik. (Pl az idő, tömeg) Az olyan mennyiség pedig, melynek jellemzéséhez három adat, három jellemző szükséges: vektormennyiség (erő, nyomaték, stb.) Az erő fenti négy jellemzője közül az első három a támadásponttól független. Az erő nagysága, iránya és értelme együtt jelenti az erő vektorát. Az erő tehát irányított, vagy vektormennyiség. Ez a vektormennyiség nincs helyhez kötve: un szabad-vektor 11 A támadáspont az erőnek fontos eleme, ezt az erő vektorán kívül mindig meg kell adni. Az erőt tehát a vektora és a támadáspontja együttesen határozzák meg; ez az ún.: kötöttvektor. A vektormennyiséget – az általános szokásnak

megfelelően – nyíllal ellátott egyenes darabbal fogjuk ábrázolni. A statikai vizsgálatok szempontjából sokszor felesleges magát a testet felrajzolni. Az erő ábrázolására – a rajzmértékétől teljesen független – erőmértéket veszünk fel. Amint az erőmértéket megválasztottuk, azonnal fel is jegyezzük a rajzpapírra a vektorábra közelében a következő módon: erőmérték: 1 cm =5 kN, ez azt jelenti, hogy a rajzon feltüntetett 1cm megfelel 5kN nagyságú erőnek. Ezt az erőmértéket ábrázolni is szokták. a. y b. F xA F A α=60° 0 Erõmérték: 1cm = 5kN yA x 0 5 10 15 20kN A 2.3 ábrán egy merev testet tüntettünk fel, melyre az A pontban a vízszintessel α szöget bezáróan F nagyságú erő hat. Az erőt meghatározza vektora (b kép) és az A támadáspontja (a. kép) Az erő vektorát meghatározza: - az erő (F) nagysága, mely az erőlépték szerint 5 kN, - az erő hatásvonala, mely a vízszintessel bezárt szög (α =

600), - az erő értelme, mely a berajzolt nyíl szerint jobb felé mutat. Az erő támadáspontját (A), valamely alkalmasan választott síkbeli, vagy térbeli koordináta-rendszer koordinátáival adhatjuk meg (xA és yA). Az egy Newton erő az az erő, amely az egységnyi (egy kilogramm) tömeget egységnyi (1 m/s2) gyorsulással mozgatja. (F=ma) A Newton kis erőegység. Nagy erőegység a kN, MN, stb A szövegben a vektormennyiséget felülvont betűvel jelöljük. Pl.: G, F, Q stb 12 2.13 A statika axiomái A merev testek statikáját négy alaptételre un. axiómára építjük fel Az alaptételek egyszerűbb tételekre nem vezethetők vissza, tehát logikai uton nem bizonyíthatók, azonban olyan egyszerűek, hogy tapasztalat alapján könnyen beláthatók és kísérletileg igazolhatók. I. Első axióma Ez az axióma két erő egyensúlyáról szól. Valamely merev testre ható két erő akkor és csakis akkor van egyensúlyban, ha hatásvonaluk közös, értelmük

ellentétes és nagyságuk egyenlő. Kísérletileg is könnyen bizonyítható, hogy ha egy merev testre két erő működik és a test nyugalomban van, akkor az a két erő a 2.4 ábra szerinti elrendezésben kell, hogy működjön és az erők nagysága egyenlő kell, hogy legyen: F1 = F2 , egyszerűbben írva: F1 = F2. A 2.4 ábrán látható két erőt egymás ellentettjének szoktuk nevezni Az első axióma úgy is megfogalmazható, hogy egy erő és az ellentettje mindig egyensúlyi erőrendszert képez: (F1, F2) = 0. Valamely erő ellentettjét szoktuk vesszővel is jelezni F2 F1 F1=F2 13 II. Második axióma Két erő eredője paralelogramma-szerkesztéssel állítható elő. Ez az ún paralelogramma-tétel. Valamely merev test egy pontjában működő két erő egyetlen eredő erővel egyenértékű. Az eredő erő ugyanabban a pontban támad, iránya és nagysága mint a paralelogramma átlója szerkeszthető meg. (25 ábra) F1 F2 F1 0 R F2 R=F1+F2 R1 01 02 F2

R2 F1 R = F 2 +F 1 Ezt úgy is kifejezhetjük, hogy közös támadáspontú két erő eredője a két erő vektori összege: R = F1 + F2, amely a közös támadáspontban működik. A vektori összegezésből, illetőleg a paralelogramma szerkesztéséből az is következik, hogy az adott két erő és az eredőjük egy közös síkban helyezkednek el. A vektorokkal végzett műveletek során, azokat az erők hatásvonalából kiemelve kezeljük. Így az eredő R vektorát különálló, ún vektorábrában is megszerkeszthetjük, egy vektorháromszög megrajzolásával. Egy tetszőleges 01 pontból mérjük fel az F1 vektorát, irány és nagyság szerint, majd ennek végpontjából az F2 vektort nyílfolytonosan. Az eredő R vektorát az 01 pontból az F2 végpontjához húzott távolság, mint a vektorháromszög záró oldala adja, nyílütközéssel. Ugyanerre az eredményre jutunk, ha fordított sorrendben, előbb az F2-t mérjük fel és ehhez adjuk hozzá az F1-et, ahogy a

2.5 ábrán az 02 pontból kiindulva tettük, mert hiszen a vektori összegezés kommutatív művelet. Két közös támadáspontú erő és eredőjük vektora egy háromszöget képez, amelyben az eredő nyílütközést mutat az összetevő erőkkel. A vektorábra szerkesztéséhez szükség van egy erőmérték felvételére, pl.: 1 cm (=) 5 kN, amely azt mutatja meg, hogy a rajz 1 centimétere milyen nagyságú erőt képvisel. III. Harmadik axióma Valamely merev testre működő erőrendszer hatása nem változik, ha ahhoz egyensúlyban lévő erőrendszert hozzáadunk vagy elveszünk. Az első két axióma nemcsak a merev, hanem a szilárd testek körében is helytálló, a harmadik axióma azonban csak merev testekre működő erők esetében érvényes. Ha azonban nem akármilyen mechanikai hatás változatlanságát kívánjuk kimondani, hanem megelégszünk e tétel szűkebb értelmezésével, amikor csak egyensúlyról van szó, akkor a tétel értelmezhető szilárd

testekre is a következőképpen: Valamely szilárd testre ható egyensúlyban lévő erőrendszerhez az egyensúly megzavarása nélkül hozzá lehet tenni vagy abból el lehet venni olyan erőrendszert, amely önmagában is egyensúlyban van. 14 IV. Negyedik axióma Két test egymásra hatásánál az erők mindig páronként jelentkeznek, és ezek az erők egymás ellentettjei. Ezt az axiómát a hatás-ellenhatás vagy idegen szóval az akció-reakció törvényének szokták nevezni. E tétel mibenlétét már korábban részletesen kifejtettük az erő fogalmának tárgyalásakor. Itt csak utalunk a 2.1 ábrára, ahol példát láthatunk a mindig páronként előforduló erőkre. Felhívjuk a figyelmet arra a körülményre, hogy az erő és ellenerő nem ugyanarra a testre működik; míg az egyik erő az egyik testre, az ellentettje a másik testre hat. 2.2 Síkbeli erőrendszerek A legalapvetőbb mechanikai feladatoknál az erők egy síkban működnek. Ezért a merev

testek statikájában elsősorban az ilyen síkbeli erőrendszerekkel foglalkozunk. Ebben a fejezetben az erőkkel kapcsolatos tételeket és módszereket tárgyaljuk, amelyek az eredő meghatározásról és az egyensúlyozásról szólnak. Ezek az egyszerűbb műveletek olyan erőrendszerekre terjednek ki, amelyek egyazon merev testre működnek. Az itt tárgyalandó tételeket az axiómákra visszavezetve, azokkal bizonyítva fogjuk levezetni. A további tartókkal foglalkozó fejezetekben az erőkkel kapcsolatos műveleteket egyrészt alkalmazni fogjuk, másrészt azonban tovább is fejlesztjük azokat. De akkor már előfordul, hogy nemcsak egyazon merev testre ható erőket vonunk be a műveletekbe. 2.21 Három erő egyensúlyának tétele Vizsgáljuk a 2.6 ábrán látható közös támadáspontú F1 és F2 erőket, amelyek láthatólag nincsenek egyensúlyban, és keressünk egy olyan F3 erőt, amelyik egyensúlyt tart az előző kettővel. A vektorműveleteket itt is, mint

általában, a hatásvonalakból kiemelt vektorokkal végezzük el. A II. axióma értelmében előállíthatjuk az F1 és F2 erő eredőjét: (F1, F2) = R, melynek vektora a vektorháromszögben nyílütközéssel adódik. Most vegyük föl az F3 erőt az R erő ellentettjeként, így ezek az I. axióma értelmében egyensúlyban vannak: (R, F3) = 0 Az R erő helyettesíthető az F1 és F2 erőkkel, így az F3 erőkkel is egyensúlyban van (F1, F2, F3) = 0. F1 0 F3 R F2 F2 F1 R F3 15 Mivel az F3 erő az R ellentettje, azért a vektorháromszögben csak a nyíl értelmében van különbség köztük. A fentiek alapján megfogalmazható az egyensúly feltétele. Közös támadáspontú három erő akkor és csakis akkor van egyensúlyban, ha vektoraiból nyílfolytonos vektorháromszög alkotható. Megjegyezzük, hogy e három erő mindig egy síkban fekszik. F1 F2 F3 F3 F1 F2 E tétel azonban általánosabb estre is kiterjeszthető, amikor a három erő nem azonos

pontban támad, de hatásvonaluk közös metszéspontú. Csupán azt kell figyelembe venni, hogy a merev testre ható erő a hatásvonalán eltolható. Így a 26 ábra erői hatásvonalukon széttolhatók hasonló helyzetbe, mint ami a 2.7 ábrán látható Illetőleg a 2.7 ábra erői a közös metszéspontba összetolhatók anélkül, hogy az egyensúly megbomlana. Ezzel a feladatot visszavezettük a közös támadáspontú három erő esetére Ez azonban csak akkor lehetséges, ha a három erő hatásvonala egy közös metszésponton fut keresztül. Az erők eltolása az erők vektorait, illetve a vektorháromszöget nem módosította. Ezek után megfogalmazhatjuk három erő egyensúlyának a feltételét. Egy merev testre ható három közös síkbeli erő akkor és csakis akkor van egyensúlyban, ha a) közös metszéspontúak és b) vektoraikból nyílfolytonos vektorháromszög szerkeszthető. A tétel kísérletileg is egyszerű eszközökkel igazolható. 2.22 Az erő

vetülete és nyomatéka Az erő síkban négy adattal adható meg. E négy adat lehet a támadáspontnak vagy a hatásvonal egy pontjának az x,y koordinátái, az erő α irányszöge és F nagysága. Az irányszög az x tengely pozitív felével bezárt szög. 16 Fx α Fy F Az erő vetületein a 2.8 ábra szerinti derékszögű vetületeket értjük, amelyek az Fx = F cos α Fy = F sin α képletek szerint számíthatók. Az erő vetületei előjeles skaláris mennyiségek Az Fx és Fy azonban vektoroknak is tekinthetők, ebben az esetben az F erő derékszögű összetevőinek (komponenseinek) nevezzük őket. Ha a vetületek adottak, akkor az erő nagysága az F = Fx2 + Fy2 az iránya pedig a cos α = Fx , F sin α = Fy F képletekkel számítható. A szögfüggvények előjeléből az erő iránya egyértelműen meghatározható, de már maguk az előjeles vetületek is meghatározzák az erő irányát. Az erőállás a tgα = Fy Fx képlettel is

meghatározható, az erő értelme azonban csak a két vetület előjelének együttes vizsgálatával állapítható meg a 2.9 ábra szerint 17 F3 F4 Fx<0 Fy>0 α2 α3 Fx>0 Fy>0 α4 α1 Fx<0 Fy<0 F1 Fx>0 Fy<0 F2 Itt mindegyik szögnegyedben egy erőt rajzoltunk példaként, kijelölve az irányszögüket is, és feltüntetve a szögnegyedre jellemzően a vetületek előjelét. Az erő nyomatékát a síkban valamely pontra képezhetjük, mégpedig úgy, hogy az erő nagyságát megszorozzuk hatásvonalának a ponttól mért merőleges távolságával. A 28 ábra jelöléseivel az F erőnek például a 0 pontra vett nyomatéka: M0 =kF. A pontra vett nyomatékot a síkban legegyszerűbben skalár mennyiségnek tekinthetjük, amelyet az előjeles nagyság jellemez. A nyomatékot akkor nevezzük pozitívnak, ha a forgatás megegyezik az x tengely y tengelybe való forgatásával jobb sodrású rendszerben. Megjegyezzük, hogy a pontra vett nyomaték

tekinthető úgy is, mint a ponton átmenő, a síkra merőleges tengelyre vett nyomaték. Az erő nyomatéka vetületeinek felhasználásával is kiszámítható. Mivel az F erő egyenértékű derékszögű összetevőivel: F = (Fx, Fy), ezért azok ugyanakkora nyomatékot is adnak bármely pontra. Így a 28 ábrán levő erőnek az 0 pontra vett nyomatéka a következőképpen számítható ki: M 0 = xFy − yFx Ugyanígy bármely más pontra is felírható az erő nyomatéka, a derékszögű összetevők nagyságát, a vetületeket szorozni kell a ponttól mért megfelelő merőleges távolságokkal, természetesen betartva az előjelszabályt. 2.23 Síkbeli közös metszéspontú erők eredője A 2.10 ábrán példaként megadott ( F1,F2,F3,F4 ) közös metszéspontú síkbeli erőrendszer eredőjét – szerkesztéssel – a következő módszerrel állíthatjuk elő. Vegyük először két erő eredőjét: (F1,F2) = R1,2, ennek vektora és hatásvonala a II. axióma szerint

meghatározható. Ehhez az ún részeredőhöz adjuk hozzá a következő erőt: (R1,2,F3) = R1,3. Ezt a módszert akárhány erő estén így folytathatjuk, végül az utolsó erő 18 hozzáadásával (R1,3,F4) = R olyan erőhöz jutunk, amely az egész erőrendszer eredője: (F1 , F2 , F3 , F4 ) =& R F1 R1,2 F2 F1 R1,3 F3 F2 R1,2 R R1,3 F4 F3 R F4 Ezek szerint közös metszéspontú síkbeli erők eredője átmegy a közös metszésponton, vektora pedig az összetevők vektori összegeként nyerhető: R = F1 + F2 + F3 + F4 A vektori összegzés rajzban egy vektorsokszög megrajzolásával jár, ahol is az összeadandó vektorokat egymás után nyílfolytonosan fölrakjuk, az összegvektor pedig a kezdő és végpont összekötésével nyerhető, nyílütközéssel. 2.1 példa Az A pontszerű merev testre 4 erő hat. Határozza meg az eredőt! (211 ábra) F 1 = 300 N , F 2 = 173,2 N , F 3 = 200 N , F 4 = 400 N . y F4 30 A F1 F3 x 30 F2 2.11 ábra 19

Megoldás: X = 300 − 400 ⋅ sin 30 0 − 200 ⋅ sin 30 0 = 0 Y = 400 ⋅ cos 30 0 − 200 ⋅ cos 30 0 − 173,2 = 0 tehát egyensúlyi erőrendszer. 2.24 Két párhuzamos erő eredője Vizsgáljuk most a 2.12 ábrán látható két párhuzamos erőből álló erőrendszert, lehet-e egyetlen R = (F1, F2) eredő erővel helyettesíteni. Most a paralelogramma-tétel közvetlenül nem alkalmazható. R1 -S S F1 F2 F1 R2 R R1 R -S F2 S R2 2.12 ábra A III. axióma értelmében azonban jogunk van az erőrendszerhez hozzáadni az egyensúlyban levő (S, - S) = 0 erőrendszert,. Ezek egyikét adjuk össze az F1, a másikat az F2 erővel: R1 =& (F1 , S ), R2 =& (F2 ,− S ) Ha ezután a két részeredő eredőjét vesszük, akkor az eredeti erőrendszer eredőjéhez jutunk, amely keresztülmegy R1 és R2 metszéspontján. (R1 , R2 ) =& (F1 , S , F2 ,− S ) =& (F1 , F2 ) =& R Itt S és –S kiejtésekor újra felhasználtuk a III. axiómát Tehát két

párhuzamos egyirányú erőnek is van eredője, melynek hatásvonala párhuzamos az erőkkel, és a két erő között van, a nagyobbikhoz közelebb, iránya megegyezik a két erő irányával, nagysága pedig a két erő algebrai összegével egyenlő. Mindez a 2.12 ábráról leolvasható Most vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor a két párhuzamos erő ellentétes értelmű, ahogy a 2.13 ábrán látható 20 F1 R -S -S F2 S R1 R2 F1 S R2 F2 R R1 2.13 ábra Ennél a feladatnál is így járhatunk el, mint az előzőnél, a segéderők felvétele után előállítjuk a részeredőket, majd ezek eredője adja a keresett eredőt. A két párhuzamos ellenkező irányú erő eredőjének a hatásvonala a két erőn kívül van, a nagyobbik oldalán és párhuzamos az adott erőkkel, értelme a nagyobbik erőjével egyezik meg, nagysága a két erő nagyságának a különbsége: R = F1 – F2. A hatásvonal megszerkesztése a 2.13 ábrán látható, keresztülmegy R1

és R2 metszéspontján Ezután nézzük meg azt a különleges esetet, amikor a két párhuzamos, ellenkező értelmű erő nagysága egyenlő. A 214 ábrán végrehajtva az előzőekben alkalmazott szerkesztést, a segéderők felvétele után megkapott R1 és R2 részerdők metszéspontját kellene felkeresni, azon megy át az eredő. Mivel az R1 párhuzamos az R2-vel, azért az eredő a végtelenben van; nagysága azonban nulla, mivel az F1 és F2 különbségeként kapjuk: R = F1 – F2 = 0. S -S R1 F1 F1 S R1 -S R2 F2 F2 R2 2.14 ábra Így azt mondhatjuk, hogy a párhuzamos, ellentett értelmű és egyenlő nagyságú két erőnek nincs egyetlen erőből álló eredője. De az F1 és F2 erő egyensúlyban sem lehet, mert nem ugyanabban a hatásvonalban működnek. Az ilyen, tovább nem egyszerűsíthető erőrendszert erőpárnak nevezzük. 21 2.25 Az erőpár Az erőpár két egyenlő nagy, párhuzamos, ellentett értelmű, de nem egy egyenesben működő erőből

álló erőrendszer. Az előzőekben láttuk, hogy az erőpár nem helyettesíthető egyetlen eredő erővel. Az erőpár mechanikai hatása forgató hatás, mint az a 2.15 ábrán látható Az ábrán az erőpár ábrázolási módjait is feltüntettük Az egyik az erőpár síkjában egy félkörrel való jelölés, mely a forgatás értelmét is mutatja, a másik jelölési módszer az erőpár síkjára merőleges vektor. Ez a forgatás értelmét olyaképpen mutatja, hogy a nyíllal szembenézve az erőpár az óramutató járásának megfelelően forgat. F M r F r M 2.15 ábra 2.26 Az erőpár nyomatéka Számításuk ki a 2.16 ábrán látható erőpár nyomatékát a 0 pontra M = F (k + a ) − − Fa = Fk Az eredményből azt a fontos megállapítást szűrhetjük le, hogy az erőpár nyomatéka nem függ az „a” távolságtól, vagyis a pont helyétől. Eszerint az erőpár nyomatéka a sík bármely pontjára ugyanakkora, éspedig egyenlő az erőnagyság és a kar

szorzatával: F k a 0 F 2.16 ábra M = kF. 2.27 Erő és erőpár összetétele Vizsgáljuk meg, milyen egyszerűbb erőrendszerrel egyenértékű 2.17 ábrán megadott F erő és M erőpár. 22 F1 A M F A F k A k= k F2 a. M F F2=R=F b. c. 2.17 ábra Az erőpárt adjuk meg olyan (F1, F2) erőkkel, amelyeknek a nagysága egyenlő az adott erőével: F1 = F2 = F. Az egyik erőt helyezzük el az adott F erő ellentettjeként, a másikat pedig úgy, hogy (F1, F2) ugyanolyan értelmű nyomatékot képezzen, mint az adott M erőpár, ahogyan az a 2.17 ábrán látható Könnyen észrevehetjük, hogy ebből az erőrendszerből az (F, F1) = 0 egyensúlyi erőrendszer, tehát eltávolítható, így megmarad a 2.17 ábrán látható erő, ez tehát az eredő erő Azaz (F, M) = R, az erő és az erőpár egy eltolt helyzetű erővel egyenértékű. A k távolságot úgy kell fölvennünk, hogy az (F1, F2) = M értelmében a nyomatékok egyenlő nagyok is legyenek: kF = M,

M vagyis k = . F Közös síkú erő és erőpár eredője egyetlen erő, melynek vektora azonos az adott erő vektorával. Az eredő hatásvonala azonban az adott erőhöz képest eltolt helyzetben van oly módon, hogy az eredő erő nyomatéka az adott erő hatásvonalának bármely pontjára egyenlő az adott erőpár nyomatékával és azzal egyező értelmű is. Az erő pontra redukálása Amikor egy erőt valamely pontra át akarunk helyezni (úgy mondjuk, pontra redukálni), akkor az előző feladatot fordított sorrendben kell végrehajtani (2.18 ábra) Ezért a levezetést nem részletezzük, csak a végeredményt állapítjuk meg. Valamely F erő helyettesíthető egy adott ponton működő erővel és egy erőpárral: F = (R, M). A kapott erő vektora egyenlő az adott erő vektorával, a kapott erőpár nyomatéka pedig egyenlő az adott erőnek a szóban forgó pontra vett nyomatékával. M=F⋅k A k R=F F 2.18 ábra 23 .228 Síkbeli általános erőrendszer

eredőjének meghatározása Az eredő megszerkesztése az eredők sokszögével Határozzuk meg a 2.19 ábrán látható (F1, F2, F3, F4) általános (nem közös metszéspontú szétszórt) síkbeli erőrendszer eredőjét. A megoldásnak az a légkézenfekvőbb módja, hogy először megszerkesztjük az első két erő eredőjét: (F1 , F2 ) =& F1− 2 . Ezután az így kapott részeredő és az F3 erő eredőjét határozzuk meg: (R1− 2 , F3 ) =& R1−3 . Végül az R1-3 részeredő és az F4 erő eredője megadja a keresett eredőt: (R1−3 , F4 ) =& R1− 4 =& R . F4 F1 F2 F1 R1,2 R1,2 R1,3 F2 R1,3 R R F4 F3 Erõléptékben Hosszléptékben 2.19 ábra Az eredő meghatározásához két sokszöget kellett szerkeszteni. Az eredő R vektorát a vektorsokszögben kaptuk, vektori összegezéssel: F = F1 + F2 + F3 + F4 Az eredő hatásvonalát (helyét) az erőábrában megrajzolt másik sokszögben, az eredők sokszögében kaptuk meg. Eredők

sokszögének Az R1-2, R1-3, R erők hatásvonalai által alkotott sokszöget (tört vonalat) nevezzük. Eredő szerkesztés kötélsokszöggel Amennyiben az erők metszéspontja nagyon távolra esik, akkor az eredők sokszögének a megrajzolása nehézségbe ütközik. Ezért ezt a módszert a gyakorlatban ritkábban használjuk, helyette inkább a mindig jól alkalmazható ún. kötélsokszöget rajzoljuk meg A kötélsokszög-szerkesztés lényege az, hogy alkalmasan felveszünk egy segéderőt, melynek segítségével jól megszerkeszthető eredők sokszögéhez jutunk. Ilyen segéderő alkalmazását láttuk már a két párhuzamos erő eredőjének a megszerkesztésénél is. A kötélsokszög-szerkesztését a 2.20 ábrán mutatjuk be 24 F1 S0 B S0 S1 F1 A S 2 F3 S4 F4 S3 R -S0 S1 A S2 0 F3 F2 -S0 R F2 Hosszléptékben S3 B F4 S4 Erõléptékben 2.20 ábra Vegyük fel az (S0, - S0) =0 egyensúlyban levő, egyébként tetszőleges erőket, és adjuk

hozzá az adott (F1, F2, F3, F4) erőrendszerhez. Ezt a hozzáadást a III axióma értelmében megtehetjük, az eredeti erőrendszer hatásában változatlan marad. Amennyiben az S0 erőt alkalmasan vettük fel, úgy a részeredők megszerkeszthetők. Először az (S0, F1) = S1 részeredőt szerkesztjük meg, majd az (S1, F2) = S2-t, és így tovább, eljutunk az S4 részeredőig. Ezután ehhez hozzáadjuk a – S0 erőt: (S4, - S0) = R, ez már az eredeti erőrendszer eredőjét adja. Látható, hogy az eredő erő vektora (nagysága és iránya) most is, mint a közös metszéspontú erőknél, a vektorábra záróoldalaként jelentkezik nyílütközéssel, azaz vektori összegként nyerhető: R = F1 + F2 + F3 + F4 Az eredő hatásvonala az utolsó egyenértékűségi kijelentésnek megfelelően az S4 és a-S0 metszéspontján megy keresztül. A fentiek értelmében az eredő hatásvonalának meghatározását úgy fogalmazhatjuk meg, hogy az eredő az első és az utolsó

kötésoldal metszéspontján megy keresztül. Az ismertetett szerkesztés a statikában igen fontos szerepet játszik, ezért ezzel kapcsolatban külön elnevezések honosodtak meg. Az S0, S1, S2, S3 és S4 erőket kötélerőknek, a hatásvonalaikat kötéloldalaknak, a hatásvonaluk által alkotott sokszöget kötélsokszögnek vagy kötélpoligonnak nevezzük. Az S0, S4 vektorokkal kiegészített vektorsokszöget vektoridomnak nevezzük, a vektoridomban a kötélerők vektorait a vektoridom sugarainak, a metszéspontjukat pedig a vektoridom pólusának nevezzük és „O”betű-vel jelöljük. A kötélsokszög és a vektoridom között geometriai összefüggések állapíthatók meg. A kötélsokszög mindegyik csomópontjának a vektoridomban egy – a csomópontban metsződő aktív erő és a két kötélerő által alkotott – vektorháromszög felel meg, és viszont. Például a 220 ábrán a kötélsokszög A(S1, F2, S2) pontjának a vektorsokszögben a jelzett A(S1, F2,

S2) háromszög és a vektorsokszög B(F3, S3, F4) pontjának a kötélsokszög B(F3, S3 F4) háromszöge felel meg. Ezek a szabályok az ábrák helyes megrajzolásához, illetve ellenőrzéséhez jó segítséget nyújtanak. 25 Az eredő erő meghatározása számítással Határozzuk meg a 2.21 ábrán feltüntetett általános erőrendszer eredőjét Tételezzük fel az általános esetet, amikor az eredő egy erő. Az eredő vektorának meghatározása két vetületéből lehetséges, ezért kétszer alkalmazzuk a vetülettételt: R x = ∑ Fix R y = ∑ Fiy és Az eredő helyének meghatározásához a nyomatéktételt kell felhasználnunk. Írjuk fel a nyomatéktételt az 0 pontra: ∑ M i(0 ) = M R(0 ) . Az eredő erőnek a nyomatékát az 0 pontra kétféleképpen is kifejezzük (2.22 ábra) Rx F2 0 F1 x M2 M1 y R F3 yR R Ry Ry 0 Rx x XR Ry Rx y 2.21 ábra R 2.22 ábra Az eredőt a hatásvonalán elcsúsztatva egyszer az x, majd az y tengellyel

való metszéspontokban felbontjuk komponenseire, így az eredő erő 0 pontra vett M R(0 ) = x R R y vagy M R(0 ) = − y R R x . Ezekből az egyenletekből nyomatéka: kifejezhetők a tengelyen való metszékek. xR M( ) ∑ = yR M( ) ∑ = 0 i Ry 0 i Rx Ezzel az eredő hatásvonala is ismertté vált. Összefoglalóan állapítsuk meg, hogy egy merev testre ható síkbeli általános erőrendszer eredőjének meghatározásához három egyenletre van szükség. Ez a három egyenlet lehet két vetületi és egy nyomatéki egyenlet, de a vetületiek helyett lehet alkalmazni nyomatékiakat is. 2.2 példa Határozza meg a síkbeli erőrendszer eredőjét szerkesztéssel és számítással. Redukálja az erőrendszert 0 pontra! (2.23 ábra) F1 = 60 kN , F2 = 38 kN , F3 = 41 kN . 26 Megoldás: Irjuk fel először az erőket vektoros alakban. F1x = 51,96 kN ← F1 y = 30 kN ↓ F2 x = 9,8 kN ← F2 y = 36,7 kN ↓ F3 x = 31,4 kN F3 y = 26,35 kN ↓ R x =

30,39 kN ← R y = 93,05 kN ↓ R = 97,89 kN M 0 = 102,42k kNm x R = −1,1 y R = 3,37 2.29 Az erő felbontása összetevőkre (komponensekre) Egy erő két komponensének meghatározása A feladatot a következőképpen fogalmazzuk: adva van az F erő és az erő A támadáspontján át két irány, az 1 és 2 jelű irányok. Meg kell határozni az adott irányokban ható és az adott F erővel egyenértékű két erőt. A feladatnak csak akkor van értelme, ha az adott erő és a két adott irány közös síkban fekszik (2.24 ábra) I. megoldás: (224 ábra) A tetszőlegesen felvett erőmértékben felmérjük hatásvonalára az adott F erő vektorát és ezt az erőparalelogramm átlójának tekintjük. Azután az adott irányokkal, mint oldalirányokkal paralelogrammát rajzolunk; a paralelogramm oldalai megadják a keresett komponenseket. 27 F 1 = F A A 2 1 F1 F F1 F2 A F1 F2 F2 2 2.24 ábra Bizonyítás: a szerkesztés helyessége az első alaptétel

értelmében nyilvánvaló, mert F1 + F2 = F , azaz F1 és F2 erők együttesen az F erővel egyenértékűek, tehát az F erőt minden tekintetben helyettesítik. Az egyenértékűséget az ábrán az egyenlőség jelével jelöltük. II. megoldás: (224 ábra) Az adott F erő vektorát felmérve, egyik végpontjából az 1es, másikból a 2-es iránnyal párhuzamost húzunk A nyert háromszög két oldala a keresett két komponens vektorát adja. A két komponens nyila egymás közt folytonos nyílfolyamot ad és ez ütközik az adott F erő nyilával. A vektorháromszögből nyert vektorokat a megadott hatásvonalakba eltolva, magukat a keresett komponenseket nyerjük. Bizonyítás: a szerkesztés értelmében F eredője az F1 és F2 erőknek, tehát egymást mindenben helyettesítik. A most megoldott feladat a statika leggyakrabban előforduló feladatai közé tartozik és a feladatot röviden komponensre bontásnak nevezik. A szerkesztésből és igazolásukból következik,

hogy: adott erő csak olyan két komponensre bontható, melyek az adott erő hatásvonalán metsződnek és amelyek az adott erővel közös síkban fekszenek. Erő két komponensének meghatározása számítással. a) A komponensek irányát két egymásra merőleges egyenes szolgáltatja, melyet az (R) erő hatásvonalán egy (0) pontban metsződnek (2.25 ábra) A két irányt válasszuk koordinátatengelyéül, mégpedig egy jobbos koordináta rendszer tengelyéül. Rajzoljuk meg az erők paralelogrammját és ennek segítségével fejezzük ki az R erő X és Y összetevőit. X = R cos α ; Y = R sin α y y 0 R α x 2.25 ábra x A komponensek (X és Y) előjeles mennyiségek; az előjeleket a sin α és a cos α előjele határozzák meg. Az α szög mindenkor a +x tengelynek az erő (R) pozitív irányával bezárt szöge. A rajzolt koordináta rendszerben a különböző síknegyedekbe eső 28 szögértékeket és a sin α , cos α, tag α előjelét meghatározva

megkapjuk a komponensek előjelét is. b) feladat megfordítása szolgáltatja a megoldást az eredő meghatározásához egymásra merőleges X és Y komponensek esetén. Az ábra jelölései mellett az (R) eredő erő R= X 2 +Y2 tgα = ; y X Síkbeli erő felbontása három komponensre Adott F erőt az erővel közös síkba eső komponensekre kell felbontani. Mivel a helyesen meghatározott komponensek eredője az adott erő, a komponensre bontást az eredő meghatározás megfordításának lehet tekinteni. Amíg azonban az adott erők eredőjének meghatározás mindig egyértelműen elvégezhető feladat, addig a komponensre bontás egyértelműen csak bizonyos feltételek teljesülése esetén hajtható végre. Pl. – mint láttuk – adott erő két komponensre csak akkor bontható fel, ha a két komponens iránya az adott erővel közös síkban fekszik és az adott erő hatásvonalán metsződik. Két komponens esetében tehát közös ponton átmenő síkbeli

erőkkel van dolgunk; ilyenkor pedig az adott erő és komponensei között két egyenletet írhatunk fel: 1. X = ∑ X i és 2. Y = ∑ Yi Ennek megfelelően valamely esetben, mikor egy adott erőt két komponensre kell bontanunk, megoldást csak akkor kaphatunk, ha a feladatban az ismeretlenek száma legfeljebb kettő. Síkban szétszórt erők és eredőjük között a kapcsolatot három egyenlet fejezi ki: 1. X = ∑ X i 2. Y = ∑ Yi 3. M R = ∑ M i Ennek megfelelően, amikor egy adott erőt több komponensre kell bontani, csak akkor kaphatunk egyértelmű megoldást, ha az ismeretlenek száma legfeljebb három. Pl a leggyakrabban előforduló esetben adott erőt az erővel közös síkba eső három adott irány szerint kell komponensre bontani. Ekkor az ismeretlenek száma három A három komponens hatásvonala azonban nem metsződhet egy pontban, mert akkor a feladat vagy határozatlan (2.26a ábra) vagy értelmetlen (226b ábra) a. b. 3 1 F 2 3 1 F 2 2.26 ábra

A komponenseket célszerű nyomatéki egyenletekből meghatározni. A tetszőlegesen választott három pont nem eshet egy egyenesbe. 29 M A = ∑M; MB = ∑M ; MC = ∑M; ( A) (B ) (C ) A megoldásra mutatunk be példákat. 2.3 példa Határozza meg az F erővel egyenértékű F1 , F2 , F3 erőrendszert szerkesztéssel és számítással! F = 5 kN . y F3 F2 1,2m C F 36,87 F1 A 0,5m 0,5m B x 2.27 ábra Megoldás: Nyomatéki egyenlet a C pontra: F1 ⋅ 1,2 = X ⋅ 1,2 ; X = 4 kN ; Y = 3 kN (az F erő összetevői) és F1 = 4 kN Nyomatéki egyenlet az A pontra: amelyből F3 = 1,625 kN Y ⋅ 0,5 = Y3 ⋅ 1 ; Y3 = 1,5 kN ; Nyomatéki egyenlet a B pontra: Y ⋅ 0,5 = Y2 ⋅ 1 ; Y2 = 1,5 kN ; amelyből F2 = 1,625 kN 2.210 Kényszerek megtámasztási módok A kényszerek a merev test szabad mozgását akadályozzák. A következőkben az alábbi kényszereket tárgyaljuk: támasztás, csukló, kötél, rúd és befogás. Mechanikai szempontból a kényszerek erőt

jelentenek. A támasztás A terhelt test egy másik testtel, a kényszerrel egyetlen pontján érintkezik. Az érintkezési pontban a kényszer erőhatást gyakorol a terhelt testre. A kényszererő jellege, aszerint alakul, hogy a két test érintkező felülete a) abszolút sima, súrlódástalan (2.28 ábra a kép), avagy b) érdes, tehát súrlódásos (2.28 ábra b kép) a) esetben az R reakcióerő (támasztóerő, kényszer erő) csak a két felület közös (n) normálisába eshet, tehát normálerő (N). Az érintő (t) irányában kényszererő – minthogy 30 súrlódás nincs – nem keletkezhet. Ha a testre ható terhelés (F) eredő ereje az A érintkezési pont felé mutató, akkor az ezen F erőhöz társuló N = R támaszerő az egyensúlyt a 2. alaptétel szerint e két erő között (azonos nagyság, hatásvonal és ellentétes értelem mellett) biztosítani tudja. Egyensúly tehát csak akkor lehet, ha az aktív terhelés F eredője a közös (n) normálisba

esik és a támasz felé mutató. a. b. terhelt test F’ t F támasz A támasz A R≡N t t t n S N R n 2.28 ábra b) esetében az R reakcióerő két összetevővel bírhat. Az egyik komponens az a) alatt megvilágított N normálerő, a másik komponens pedig az érintősík irányában (t) eső S súrlódási erő. E kettő eredője a b) képen feltüntetett R reakcióerő Az N erő kellő szilárdságú támasz esetén bármekkora lehet, az S erő azonban a testek érdességétől függően csak bizonyos határértékig növekedhet. Így az R erő iránya is csak korlátolt mértékben térhet el az N irányától. Ez esetben tehát egyensúly lehet akkor is, ha az aktív terhelés F’ eredője nem esik az n egyenesbe, hanem attól korlátolt mértékben eltér, de a támasz felé mutató értelmű. A csukló A csukló, mint támasztás oly módon keletkezik, hogy a terhelt testen egy hengeres furatot készítünk, amelybe a támasztó test egy hengeres rúdját (a

csapot) illesztjük (3.21 ábra). A 2.29 ábrán a csap és a furat méret különbségét eltúloztuk, hogy így a csuklón fellépő erők játéka jobban kidomborodjék. Természetes, hogy a két hengerfelület (a csapé és a furaté) mindig valamely közös „A” alkotó mentén fekszik fel egymáson, erőt ezen alkotó mentén, éspedig a közös „n” normális irányában adhat át egymásnak. Az ábrán csap és a furat relatív helyzetét is feltüntettük és a közös alkotó, az n normális és a két test között átadható reakcióerő (R) irányát. Ez az R erő minden esetben a csap közepén fog keresztülmenni és irányát a test aktív terhelésének F iránya fogja meghatározni! (Ha súrlódás nincs! Ha súrlódás van, akkor az F és az R irányok között kis eltérés is mutatkozhat.) 31 n F A R n 2.29 ábra A kötél A kötél, mint támasz két szerkezeti elem között létesít kapcsolatot, visz át erőt. Ez az erő csak húzóerő lehet, mert

a kötél olyan erővel szemben, mely vagy nyomásra veszi igénybe a kötelet, vagy pedig az erő nem esik a kötél tengelyének irányába: kitér és erőhatást átadni képtelenné válik. A 2.30 ábrán feltüntettünk egy egyszerű szerkezetet, mely tulajdonképpen az AB1 rúdból áll. K1 A B B B1 B1 K2 2.30 ábra A rúd A vége csuklós megfogású, B1 végéhez pedig kötél van erősítve. A kötél másik vége a fix B támaszra van függesztve. A kötélben az elmondottak szerint csak a kötélirányába (a BB1 irányába) eső húzó erő léphet fel. Az akció egyenlő reakció eleve értelmében az ábránkülön kirajzolt kötélre a két végén azonos nagyságú és irányú, de ellentétes értelmű (K) kötélerők hatnak, vagyis K1 = K 2 ; K 2 = − K1 32 A rúd A rúdnak nevezett szerkezeti elem – akárcsak a kötél – két szerkezeti elem között létesít kapcsolatot és visz át erőt. A kapcsolat céljából a rúd mindkét vége

csuklósan van kialakítva és e csuklók révén kapcsolódik a szerkezet valamelyik eleméhez. A rúd szokásos kialakítási formáját a 2.31 ábra tünteti fel a. C1 F1 F1’ F 2’ F C1 b. C2 F2 C2 A F1 F2 n 2.31 ábra Terhelés szempontjából a rúd kétféle lehet: a) csuklóban (rúd végén) terhelt b) csuklók között terhelt a)A csuklókban terhelt rúd alatt azt értjük, hogy a rúd maga nincs terhelve, csak a rúd végein levő csuklók. Így egyensúly természetesen csak akkor lehet, ha a C1 és a C2 csuklók középpontján átmenő erők egyensúlyban vannak, vagyis a közös C1 C2 egyenesbe esnek. A csuklóerők vagy húzásra veszik igénybe a rudat, ha az erők az F1 ill. F2-vel jelöltek, vagy nyomásra veszik igénybe a rudat, ha az erők az F1 ill. F2 -vel jelöltek Mindegyik esetben az egyensúly feltételéből F1 + F2 = 0 ; F1, + F2, = 0 következik, hogy F2 = − F1 ; illetve F2, = − F1, ; vagyis a két csuklón ható erők egyenlő

nagyok, de ellentétes értelműek. Csuklókban terhelt rúd esetén tehát a rúd rúdirányú kényszerítő erőt jelent. 33 b)A csuklók között terhelt rúd alatt azt értjük, hogy a rúd nemcsak a rúd végein kialakított csuklókon, hanem a rúdon magán is terhelve van.(231 ábra) A terhelő erő (h) hatásvonalán levő A pontban hat az F erő. Ezen kívül a rúd C1 és C2 csuklóin ható F1 és F2 csuklóerők is fellépnek. A rúd egyensúlyát tehát az F, F1 és F2 erők egyensúlya jelenti. (F, F1, F2) = 0 ; és ezen egyensúlyi feltétel szabja meg az F1 és F2 csuklóerők nagyságát, irányát és értelmét. Az ilyen feladatok megoldásával később foglalkozunk A befogás A befogás, mint támasz oly módon keletkezik, hogy a szerkezet valamelyik elemének egyik végét egy relatíve végtelen tömegű testbe befalazzuk (2.32 ábra) Szemmel látható, hogy a rudat sem az x irányban sem az y irányban sem más, tetszőleges irányban nem tudjuk

elmozdítani, vagy elfordítani, mert a befalazás révén kialakított támasz: a befogás, olyan reakcióerőket és reakciónyomatékokat tud létrehozni, melyek ezen elmozdulást megakadályozzák. y x 2.32 ábra Tehát a befogás a terhelésnek megfelelő tetszőleges reakcióerőt reakciónyomatékot tud kifejteni (ezekkel a későbbiekben foglalkozunk). és 34 2.3 Igénybevételek, igénybevételi ábrák Tartók Szerkezeteink gyakori eleme a prizmatikus rúdnak vagy röviden csak rúdnak nevezett szerkezeti elem. Rúdnak nevezzük a szerkezeti elemet, ha egyik mérete (hosszméret) lényegesen nagyobb, mint a másik kettő (keresztirányú méretek). Ha egy síkidomot önmagával párhuzamosan úgy mozgatunk el, hogy súlypontja állandóan egy az idom síkjára merőleges egyenesen marad (de közben az idom nem forog) prizmatikus rudat kapunk. Terhelje a rudat egy síkbeli erőrendszer. (233 ábra) F3 K F3 K TK F1 F2 F1 F4 M F5 MK NK F2 MK Nk F4 Tk M F5

2.33 ábra Vágjuk ketté a rudat a K-K keresztmetszet mentén és határozzuk meg az egyensúlyt biztosító erőket ill. nyomatékot a bal, illetve a jobb oldali részre A kapott erők: NK, TK és MK nyomaték. Ezeket az erőket belső erőknek hívjuk: a belső erők eredőjét pedig igénybevételnek. Az igénybevételek előjelét az 1. táblázat szerint értelmezzük 35 Pozitív (+) előjel Megjelölés Negatív (-) előjel Elnevezés N Rúderő Mt Csavarás Nyírás T Mh Hajlítás 1. táblázat 2.31Tartótípusok A kéttámaszú tartó Egyik legegyszerűbb, legfontosabb és leggyakrabban előforduló szerkezeti elemünk a két helyen támaszkodó, vízszintes prizmatikus rúd, a kéttámaszú tartó. A rúd egyik végén rendszerint görgős megtámasztást, a másik végén pedig rögzített-csuklós megfogást alkalmazunk. A kéttámaszú tartó szokásos vázlatos rajzait a 234 ábrán mutatjuk be. Részletesebb vizsgálatoknál a rudat két vastagon

húzott párhuzamos vonallal és közöttük szaggatva rajzolt középvonallal ábrázoljuk (a) ábra). A támasztási helyen levő keresztmetszetek A, B vagy más betűjelekkel látjuk el. A támasztási keresztmetszetek súlypontjai a támaszpontok. A két támaszpont közötti távolság a tartó támasz-köze (nyílása). Ez a tartó számításba vett hossza, amit rendszerint kis l betűvel jelölünk. Legtöbbször azonban a rudat a b-f) jelű részábrákon látható egyszerűsített vázlattal – egyetlen vastag vonaldarabbal, a súlypont vonallal – ábrázoljuk. Ha a tartó a támaszkodás helyén túlnyúlik, akkor túlnyúló vagy más néven konzolos-tartónak nevezzük (c-d-e ábrák). A forgó tengelyek is többnyire kéttámaszú tartók Ezek egyszerűsített vázlata az f) ábrán látható az A és B helyeken a csapágyukat jelképezzük. A kéttámaszú tartó fogalma nem azonos a gerenda fogalmával, mert például minden rácsos szerkezetű hídtartó is

kéttámaszú tartó. Minden esetben számításainkban a rudat egyetlen súlytalan vonallal – a rúd súlyponti tengelyvonalával – helyettesítjük és a rúd súlyát, ha szükséges, külön vesszük figyelembe. 36 A a. B l A b. B l A c. a B l A d. B a l A e. a1 B a2 l B A f. l 2.34 ábra A befogott tartó Ugyancsak gyakori szerkezeti elem a befogással rögzített prizmatikus rúd, amit befogott tartónak nevezünk. Használatos a befalazott vagy konzoltartó elnevezés is A rúd bármilyen terheléssel szemben egyetlen befogással is rögzíthető. Ez az egyik végén befogott rúd és a következőkben csak ezzel az esettel foglalkozunk. A mindkét végén befogott rudak (2.35d ábra) statikai határozatlansága miatt csak a szilárdságtanban foglalkozunk. A befogás olyan kényszert jelent, amely a befogott keresztmetszetnek minden lehetséges elmozdulását és elfordulását megakadályozza. a. A B l A b. c. B l d. A B A B 2.35 ábra

37 Koncentrált erőkkel terhelt tartó A tartók leggyakrabban függőleges irányú erőkkel terheltek. Ezek a terhek súlyerőkből származnak. 2.4 példa A kéttámaszú konzolos tartót koncentrált erők terhelik. (236 ábra) 40kN 20kN C B A 3m 2,5m D 3m FB FD 26 T + 20kN 14 50kN M+ 28 2.36 ábra Határozzuk meg először az egyensúlyt biztosító un. kényszer vagy támaszerőket! M ∑ ( ) i = F0 ⋅ 5 − 40 ⋅ 3 + 20 ⋅ 2,5 = 0 B 70 = 14 kN 5 FB = 46 kN FD = A tartón kétfajta igénybevétel keletkezik: nyírás és hajlítás. A keresztmetszetek igénybevételeit egy ábrába rajzolva kapjuk az igénybevételi ábrát. A nyíró igénybevétel az erők támadáspontja között állandó, így pl. az AB szakaszon -20 kN, a BC szakaszon 26 kN még a CD szakaszon -14 kN. A hajlítónyomatéki ábra ferde egyenesekből áll. A tartó végső keresztmetszeteiben a nyomaték zérus. Az A ponttól a nyomaték a távolsággal lineárisan nő, a B

keresztmetszetben éppen 50 kNm. Bal oldalról számolva a 40 kN-os erő támadáspontjánál a nyomaték: 28 kNm -20 . 5,5 + 46 3 = 28 kNm 38 2.32 Megoszló terheléssel terhelt tartó (237 ábra) Az eddig vizsgált tartót koncentrált erők terhelték. A koncentrált erők az erőhatást elvileg egyetlen ponton adják át a tartónak, de ez csak elvileg lehetséges, mert az erő átadás mindig valamilyen kisebb nagyobb felületen történik. A kis felületen átadódó erőhatást koncentrált erővel, a nagy felületen átadódó erőhatást megoszló terheléssel tekintjük egyenértékűnek. A megoszló terhelésre jellemző a tartó hosszegységére átadódó fajlagos erő (p, vagy q), aminek a mérőszáma a teljes Q terhelés osztva a hosszal, amin a teher hat. [ p] = [Q] = kN [b] m ; N m A 2.37 ábrán a tartó csak egy szakaszát terheli megoszló terhelés p B A FA Q a b FB FA T Q M FB + 2.37 ábra A támaszerők meghatározásához helyettesítsük a

megoszló terhelést egy Q = p.b koncentrált erővel, így FA = Q ⋅ b 2⋅l ; FB = Q ⋅ a+ b 2 l A nyíróerő ábrát is rajzoljuk meg először a Q erőre, majd a megoszló teher alatt módosítjuk az ábrát. A megoszló terhelés alatt a nyíróerő ábra ferde egyenes lesz 39 A nyomatéki ábrát is először a Q koncentrált erőre rajzoljuk, majd módosítjuk a megoszló teher alatt. A megoszló teher alatt a nyomatéki ábra parabola lesz, amely a koncentrált erőre rajzolt nyomatéki ábrából könnyen szerkeszthető. A megoszló teher végeinél a nyomatéki metszék a pontos ábra metszékei is és a nyomatéki ábra egyenesei pedig érintők. A nyomatéki maximum abban a keresztmetszetben lesz, ahol a nyíróerő zérussá válik. 2.33 Erőpárral terhelt tartó Vizsgáljunk meg egy kéttámaszú tartót, melynek terhelése koncentrált nyomaték (2.38 ábra). Ilyen jellegű terhelést előidézhetünk ha pl villanyfúróval a tartóba vagy lemezbe furatot

akarunk készíteni. A feladat megoldását itt is visszavezethetjük a koncentrált erőkkel terhelt tartó megoldására, ha a nyomatékot erőpárral helyettesítjük. M A FA FB a l F + T F M + 2.38 ábra A támaszerők: FA = FB = M l A nyíróerő ábrába a nyomaték hatását nem szükséges figyelembe venni, de ha az erőpár hatását is ábrázoljuk láthatjuk, hogy a T ábra negatív irányba tér ki, ami azt jelenti, hogy a koncentrált nyomaték is negatív változást okoz. Természetesen az eddig tárgyalt terhelések együttesen is előfordulhatnak vagy némelyikből egyidejűleg több is. 40 A tartók igénybevételeinek meghatározásához, valamint az igénybevételi ábrák rajzolásához először a támaszerőket célszerű meghatározni nyomatéki és vetületi egyenletekből. Az igénybevételi ábrák rajzolásához néhány mintapéldát mutatunk be. A feladatokban határozza meg a támaszerőket és az igénybevételi ábrákat! 2.5 példa 8kN

8kN/m A D C B 1,5m 1,5m 3,0m 2.39 ábra Megoldás: p=8kN/m A FA T[kN] 20 + - F=8kN B Q=24N 1,5m 1,5m 3m x0 C 4 D x FD 12 x + M[kNm] M ∑ ( ) i x MMAX (30) MB=24 MC=18 = − FA ⋅ 6 + 24 ⋅ 4,5 + 8 ⋅ 1,5 = 0 D 24 ⋅ 4,5 + 8 ⋅ 1,5 = 20 kN 6 ∑ Yi = FA − Q − 8 + FD = 0 FA = FD = 12 kN X0 = px FA = 2,5 m; M MAX = FA ⋅ x 0 − 0 = 25 kNm p 2 41 2.6 példa: 5 2kN y 4kN/m 45 A 3kNm 1m 1m 3,0m x E D C B 1,5m Megoldás: y p=4kN/m M A FAY N B 1 3(m) D C 1 E x FD 1,5 5 + - x T 10 + - x0 -7 -2 12 x + M[kNm] MMAX 10 3 3 x 12 (15) ∑ M i = 3 + FD ⋅ 5 − 5 ⋅ 4 − 12 ⋅ 1,5 = 0 ( A) FD = 7 kN ∑Y i = Y A − 12 − 5 + FD = 0 Y A = 10 kN ; x0 = X A = 5 kN FA = 2,5 m ; M MAX = 12,5 kNm p 42 2.7 példa: y 10kN 3kN/m 20kN A B 8m x D C 12 3m 5m 2.41 ábra Megoldás: 10kN 3kN/m 20kN A B C Q=24kN x 24 96 168 148 M + i D x FD T + - ∑Y MD 34 318 x = −24 − 10 + FD

= 0 4.8 FD = 34 kN M ∑ ( ) i = 24 ⋅ 12 + 10 ⋅ 5 − 20 − M D = 0 D M D = 318 kNm 43 2.4 Összetett síkbeli tartók Az összetett síkbeli tartók úgy alakíthatók ki, hogy több merev testet kényszerekkel egymáshoz és a földhöz rögzítünk mégpedig úgy, hogy az alakzat bármilyen teherre nyugalomba maradjon. A következőkben két belsőleg labilis szerkezetet vizsgálunk, amelyek statikailag határozottak, mert több külső kényszert alkalmazunk. 2.41 Csuklós többtámaszú (Gerber) tartó Az ilyen tartók egyenes tengelyű rudakból állnak, amelyek egymás után sorban csuklókkal kapcsolódnak, továbbá különféle kényszerekkel a földhöz vannak rögzítve. A Gerber tartó egy egyszerűbb formája az 2.42 ábrán látható F1 A F2 C B F2 D Fc F1 A D B fõrész Fc befüggesztett rész 2.42 ábrq A Gerber tartó kétféle részből áll: - fő rész - befüggesztett rész Az erőjáték meghatározásánál a befüggesztett részből

lehet kiindulni. A csuklós többtámaszú tartók sokféle változatban alakíthatók ki. Néhány példát mutat a 2.43 ábra 2.43 ábrq 44 A Gerber tartó külső és belső reakcióerőinek számítását a következő példában mutatjuk be. 2.8 példa Ebben a feladatban az összetett szerkezet egyensúlyát biztosító külső erőket (reakció erők) kell meghatározni, valamint a belső (csukló, rúd) erőket. A "tartóknál" az igénybevételi ábrákat is meg kell rajzolni. 1kN y 3kN 4kNm 2kN A B 2m 2m C 2m D 2m E F 2m x 4m 2.44 ábra Megoldás: Induljunk ki a bal oldali rész egyensúlyából: 1kN FB=1kN A B XA=2kN 2m 2m YA=2kN Az A pontra felírt nyomatéki egyenletből következik, hogy az FB= 1 kN, a vetületi egyenletből pedig, hogy FA = 2 kN. A B – D tartószakasz egyensúlyára írható: M ∑ ( ) i = −(FB ⋅ 2 + FD ⋅ 2 ) + 4 = 0 C − 2 − FD ⋅ 2 + 4 = 0 FD = 1 kN 45 FD=1kN 4kNm B C D FD 2m 2m F c= ∅ A

további reakcióerők hasonlóan számíthatók. 4kNm 1kN XA=2kN 3kN 2kN YA=2kN Fc = ∅ FE=34kN FF=1kN 4 2 M+ 2 46 2.42 Háromcsuklós tartó (bakállvány) Kapcsoljunk össze két merev testet egymáshoz egy csuklóval, majd pedig a földhöz is egy-egy csuklóval, ahogy az 2.45 ábrán látható Ezzel egy merev alakzatot kapunk, amelyet háromcsuklós tartónak nevezünk. 2.45 ábrq A következőkben azt az esetet tárgyaljuk, amikor mindkét merev testet terheli aktív erő. A feladat szerkesztéssel és számítással is megoldható. Itt most a számítási eljárást ismertetjük. Az 2.46 ábra két rúdból álló bakállványt tüntet fel, ahol is mindkét rúd a csuklókon kívül is kap terhelést. y yA A F2 F1 k1 xA F1 m k2 x xA a b yB B Cy Cx k1 yA xA a 2.46 ábrq Ebben az esetben sem az A, sem a B reakció irányát nem ismerjük és csak annyit mondhatunk, hogy azok nem rúdirányúak. Mindkét reakcióerőt függőleges és vízszintes

komponensekre bontva, az ismeretlen reakciókomponensek száma négy. Meghatározásukra elsősorban az egész szerkezet egyensúlyát kifejező három egyensúlyi egyenlet áll rendelkezésre és ezek a négy ismeretlen meghatározására nem elegendők. A szerkezet tulajdonsága alapján azonban még egy negyedik egyenletet is felírhatunk, és ily módon a feladat a négy ismeretlen reakciókomponens esetében is statikailag határozott. A bakállvány két rúdja a C csuklóban kapcsolódik egymáshoz. A teljesen simának, súrlódástalannak feltételezett csukló az egyik rúdról a másikra csak a csukló középpontján átmenő erőt adhat át, de forgatóhatást nem. Ennek megfelelően az AC rúdon három erőt tart egyensúlyt: Az A reakció, az adott F1 erő és a C csuklóerő. Következésképpen az A reakciónak és F1 -nek nyomatéka a C csuklóbeli z tengelyre, 47 zérus. Hasonló okoskodással a B reakció és F2 nyomatéka a C pontbeli z tengelyre szintén

zérus. Más okoskodás: az AC rúdról a BC rúdra a C csukló csak erőt adhat át, így az A reakció és az F2 erő eredőjének át kell menni a C csuklón és így természetesen az A reakció és az F1 erő nyomatéka C ponton átmenő tengelyre zérus. A négy reakciókomponens meghatározására szolgáló négy egyenlet tehát: A szerkezetre ható valamennyi külső erő vízszintes és függőleges komponenseinek összege zérus: X A ⋅ m − Y A ⋅ a + F1 ⋅ k1 = 0 A BC rúdra ható erők nyomatéka ugyancsak zérus. YB ⋅ b − X B ⋅ m − F2 ⋅ k 2 = 0 2.9 példa Ebben a feladatban az összetett szerkezet egyensúlyát biztosító külső erőket (reakció erők) kell meghatározni, valamint a belső (csukló, rúd) erőket. 105N 120N 1 2 4m y 2m C B A x 2m 2m 5m 2.47 ábra 48 Megoldás: 105N 120N X A=55 N X B=65N YA=135N YB=30 N Nyomatéki egyenlet a B. pontra: M ∑ ( ) i = −120 ⋅ 4 − 105 ⋅ 7 + Y A ⋅ 9 = 0 B 120 ⋅ 4 + 105

⋅ 7 9 Y A = 135 N ↑ YA = ∑Y = 0 = Y A − 105 + YB i YB = 30 N ↓ A 2. rész egyensúlyából ∑ M i = −YB ⋅ 5 + X B ⋅ 6 − (120 ⋅ 2) = 0 (C ) X B = 65 N ∑X i = X C − 120 + 65 = 0 X C = X A = 55 N YC = 30 N 2.5 Síkbeli rácsos tartók A rácsos szerkezetek rudakból állnak, amelyek egymáshoz csuklók révén kapcsolódnak. Az olyan rácsos szerkezetek, amelyeknél a külső erők csak a csuklóban hatnak a rudakban húzó- vagy nyomóerők ébrednek. A rácsos szerkezetek úgy épülnek fel, hogy először egy rúd háromszöget készítünk, majd minden újabb csomóponthoz két rudat használunk fel. Ezzel a típusú felépítéssel az ismeretlen rúderők mindig meghatározhatók a statikai egyenletekből. A rudak számára írható: r = 3 + 2(cs − 3) = 2 ⋅ cs − 3 49 A rácsos szerkezetek kialakítására látunk példát a 2.48 ábrán 2.48 ábra 2.51 Rúderők meghatározása csomóponti módszerrel A rácsos szerkezet rúderőinek

meghatározására szolgáló egyik eljárás az egyes csuklók csapjának, más szóval az egyes csomópontoknak az egyensúlyából indul ki. Az eljárást röviden csomóponti módszernek nevezzük. Minden csomópontra két független egyenlet írható, ezért célszerű a rúderő számítást olyan csomóponttal kezdeni, ahová két rúd fut be és a külső erők ismertek. 2.10 példa Határozzuk meg a 2.49 ábrán vázolt rácsos tartó rúderőit csomóponti módszerrel 3 2 375 1200N 1 A 400 B 500 2.49 ábra Megoldás: Határozzuk meg először a támaszerőket! M ∑ ( ) i = FB ⋅ 400 − 1200 ⋅ 900 = 0 A FB = 2700 N ∑Y i = FA + FB − 1200 = 0 FA = 1500 N ↓ A rúderők a csomópontok egyensúlyából határozhatók meg. 50 S3 375 S3 1500 N 900 S1 S1 S1 1500 N S2 S1 375 FB S2 500 FB S1 = −3600; S 2 = −4500 N ; S 3 = 3900 N 2.52 Rúderők meghatározása hármas átmetszés módszerével Ha a rácsos szerkezet nem összes, hanem

csak néhány rúderejét kell meghatározni, akkor alkalmazhatjuk ezt a módszert. A rácsos szerkezetet képzeletben ketté vágjuk olyan helyen, ahol három rúd található. Az elvágás helyén úgy biztosítjuk az egyensúlyt, hogy belső erőket működtetünk. Az erők iránya az elvágott rudakkal egyezik meg. 2.11 példa Határozzuk meg a 2.50 ábrán vázolt rácsos tartó 2, 3 és 4-es rúdjában ébredő erőket A y 6 2 3 4 B 2m 7 5 8 9 11 3m 1 x 10 2m 180kN 2m 80kN 2.50 ábra A rúderők a támaszerők meghatározása nélkül is meghatározhatók. 51 Megoldás: A rúderők a támaszerők meghatározása nélkül is meghatározhatók. A B csomópont egyensúlyából követezik: S1 = 0 . S1 S 4 FB A S2 S3 S4 C 180 kN 80 kN Az A pontra írt nyomatéki egyenletből: − 180 ⋅ 4 − 80 ⋅ 6 − S 4 ⋅ 3 = 0 S 4 = −400 kN A C pontra írt nyomatéki egyenletből: − 180 ⋅ 2 − 80 ⋅ 4 + S 2 ⋅ 3 = 0 S 2 = 226,67 kN Vetületi

egyenletből: S 3Y = 260 kN S 3 = 312,5 kN A további rúderők: S 5 = 260 kN ; S 6 = 53,33 kN ; S 7 = 312,5 kN S 8 = −226,7 kN ; S 9 = −80 kN ; S10 = −53,3 kN S11 = 96,1 kN 52 2.6 Súlypont A súlypont fogalma a súlyerővel kapcsolatos. A szilárd testeknek van egy kísérletileg is meghatározható pontja, amelyben felfüggesztve, vagy alátámasztva a test bármilyen helyzetben nyugalomba marad. Ezt a pontot nevezzük súlypontnak. A súlypont a párhuzamos térbeli erőrendszer fogalmával is definiálható. Ha a Föld erőterében levő testet gondolatban elemi részekre bontjuk, akkor könnyen átlátható, hogy annak minden elemére a Föld középpontja felé mutató súlyerő hat. E súlyerők egymással párhuzamos erőknek tekinthetők, mert a Föld méretei a földi testek méreteihez képest igen nagyok. E párhuzamos erők – a test különböző helyzetekbe forgatása alatt – meghatározzák a párhuzamos erők középpontját, mely középpontot,

minthogy azt a súlyerők határozták meg, súlypontnak nevezzük. z G ∆Gi zi yi zs y xi xs ys x 2.51 ábra Ha az egyes elemek súlyát (2.51) ábra) G1, G2,GiGn-nel jelöljük, akkor a súlypont koordinátái a fentiek analógiájára ∑G x ∑G xS = i i i ; yS = ∑G y ∑G i i zS = i ∑G z ∑G i i ; i Ha fenti egyenletek rendezésével az egyenletek új értelmezést kapnak: ∑G x i i = x S ∑ Gi = x S G ; stb. ∑G i =G Vagyis, ha a test minden egyes pontjában ható Gi súlyerőt megszorozzuk a tetszőlegesen felvett yz síktól mért merőleges xS távolságának a szorzatával. Más megfogalmazásban – minthogy az egyenlet mindkét oldalán erők és karok szorzata, tehát nyomaték szerepel, - a test elemei súlyerőinek statikai nyomatéka bármely síkra egyenlő a test súlyának nyomatékával ugyanezen síkra. E nyomatéki egyenlettel a súlypont koordinátái tehát mindig könnyűszerrel felírhatók. A tömegközéppont. A

súlypont meghatározásában szereplő mindegyik Gi erő kifejezhető mi tömegének és a g nehézségi gyorsulás szorzatával 53 Gi = míg ; és így pl. a súlypont xS koordinátája a következő alakra hozható: xS = ∑G x ∑G i i i = ∑ m gx ∑m g i i i = ∑m x ∑m i i ; i vagyis a súlypont egyben tömegközéppont is, melynek koordinátái xS = ∑m x ∑m i i yS = ; i ∑m y ∑m i ; zS = i i ∑m z ∑m i i ; i Ezekben a kifejezésekben már csak tömegek szerepelnek, ezért az egyenletek alapján a súlypontot tömegközéppontnak is tekinthetjük. A geometriai középpont. Ha a test homogén, vagyis minden elemi részének a sűrűsége (ρ) állandó értékű, akkor az mi tömeg ρ-val és a térfogatelemmel fejezhető ki: mi = Vi ρ ; és ezt helyettesítve fenti tömegközéppont koordinátáinkba xS = ∑m x ∑m i i = i ∑V ρx ∑V ρ i i i = ∑V x ∑V i i ; i A kapott eredményekből látható, hogy homogén

testre a súlypont, illetve tömegközéppont helye csak a test geometriai kialakításától függ. Így a geometriai középpont koordinátái: xS = ∑V x ∑V i i i ; yS = ∑V y ∑V i i i ; zS = ∑V z ∑V i i ; i Vagyis: Homogén testre a súlypont, a tömegközéppont és a geometriai középpont azonos, nem homogén testre csak a súlypont és a tömegközéppont azonossága áll fenn. 2.61 A test szimmetriasíkja és súlyvonala A homogén testet a szimmetria sík két egyenlő részre bontja. Az egyik fél minden egyes Vi térfogat részének megfelel a másik félen egy azonos térfogatú Vi’térfogat rész; e rész. E részek a szimmetria sík két különböző oldalán azonos távolságban helyezkednek el. xi, = − xi ; és így statikai nyomatékuk a szimmetria síkra egyenlő nagyságú, de ellentétes értelmű, összességükben pedig zérus értékű. Minthogy a teljes test csupa ilyen szimmetrikus párokból áll, ezek statikai nyomatékának

összege a szimmetria síkra zérus értékű. Ugyanekkora (tehát ugyancsak zérus értékű) az eredő (teljes V térfogat) statikai nyomatéka is a szimmetria síkra, vagyis ( ) 54 ∑xV i xS = i = x S ∑ Vi = x S V = 0; tehát ∑xV i i V = 0 = 0; V Vagyis homogén testnél a geometriai középpont, mely egyen tömegközéppont és súlypont is, benne fekszik a szimmetria síkban. szimmetria sik VI V′I S x′I xI 2.52 ábra Ha a testnek több szimmetria síkja van, akkor a súlypont benne fekszik valamennyi szimmetria síkban és így e síkok közös metszésvonala, illetve metszéspontja a test súlypontját is tartalmazza. A súlyponton átmenő minden egyenest súlyvonalnak nevezünk. A súlyvonalra a test statikai nyomatéka zérus értékű. 2.62 Vonalak súlypontja A vonal olyan testnek fogható fel, melynek a vonalra merőleges A0 keresztmetszete konstans. A súlypont meghatározása tehát ez esetben is a test súlypontjának a meghatározására

vezethető vissza. (A test elemi térfogata ugyanis: Vi = si A0, ahol si az elemi vonal hosszúsága.) xS = ∑x s A ∑s A i i i xS = ∫ xds ; s 0 0 = ∑x s ∑s i i = i yS = ∫ yds ; s ∑x s i i s zS = ; ∫ zds ; s Ha a vonal síkban fekszik, akkor a síkban fekvő két (xS és yS ) koordináta már meghatározza a súlypontot. 55 xS = ∫ xds yS = ; s ∫ yds s Egyenes vonalnál egyetlen, az egyenes mentén fekvő xS koordináta már meghatározza a súlypont helyét: s2 ∫ xds = ∫ sds = 2 = s ; xS = 2 s s s vagyis az S hosszúságú egyenes súlypontja a hosszúság felezőpontjában van. Egyenes vonalak súlypontja A törtvonal súlypontját az egyenes darabok ismert súlypontja alapján számítjuk. Pl a síkbeli törtvonalra (2.53 ábra) y l1 S1 S2 S3 l2 y1 y2 x1 y3 x x2 x3 2.53 7.3 ábra ábra xS = yS = x1l1 + x 2 l 2 + x3 l3 = l1 + l 2 + l 3 ∑x l ∑l y1l1 + y 2 l 2 + y 3 l3 = l1 + l 2 + l 3 ∑yl ∑l i i ; i i i ;

i 56 Körív súlypontja A körív sugara r, középponti szöge α. A szögfelezőre a körív szimmetrikus, tehát a súlypont a szögfelezőn rajta fekszik. Válasszuk a szögfelelőt x tengelynek és határozzuk meg a súlypont x koordinátáját. Írjuk fel a nyomatéki egyenletet a körív középpontján átmenő y tengelyre. (Az ívelemek nyomatékösszege egyenlő a súlypontba koncentrált teljes körív nyomatékával.) ds = rdϕ ; s = r ⋅ α ; x = r ⋅ cos ϕ ; x S ⋅ s = ∫ xds; +α x S ⋅ rα = ∫ r ⋅ cos ϕ ⋅ dϕ = r 2 [sin ϕ ]−2α = 2r 2 ⋅ sin α / 2 dS r 2 dϕ 2r 2 ⋅ sin α / 2 2r ⋅ sin α / 2 a = = ; xS = r ⋅α α α Az egyenletben „a” az α középponti szöggel bíró körív legnagyobb húrja. A súlypont helyét tehát a legnagyobb húr és a középponti szög hányadosa határozza meg. 0 +α/2 -α/2 ϕ S a x Félkörívre a = 2r ; és α = π ; Ss tehát a félkörív súlypontja: xS = a α = 2r π ; 2.54

ábra 2.63 Síkidomok súlypontja A műszaki életben nagy gyakorlati jelentősége van a síkidomok súlypontjának. (Főleg a szilárdságtani számításoknál). Tekintsük a síkidomot igen kicsiny, de állandó vastagságú homogén lemeznek és jelölje a lemez állandó vastagságát δ (2.55 ábra), a síkidom területét A, akkor a lemezalakú test térfogata V = δ A és a dA területelemhez tartozó elemi rész térfogata dV = δdA. Ha ezeket az értékeket a súlypont helyét meghatározó egyenletekbe helyettesítjük és δval egyszerűsítjük, akkor a súlypont koordinátái: xS = ∫ x ⋅ dA A és yS = ∫ y ⋅ dA A 57 Az egyenletek felírásakor a koordináta-rendszer (x, y) síkját a síkidom síkjával vettük egybeesőnek. Az x dA, illetve y dA a felületelem statikai nyomatékát jelenti az y, ill az x tengelyre. Ha x S A = ∫ x ⋅ dA = 0, akkor x S = 0 és a súlypont beleesik az y tengelybe. Általában a síkidom súlypontján átmenő

egyenest súlyvonalnak nevezzük, az xS = 0 esetben tehát az y tengely súlyvonal. Mivel a koordináta tengelyek felvételére kikötést nem tettünk, az xS = 0 eredményt így fogalmazzuk: a súlyvonalra a síkidom statikai nyomatéka zérus. y dA S y yS A 0 x xS x 2.55 ábra A következőkben a súlypont gyakorlati meghatározásával foglakozunk. Háromszög súlypontja A háromszöget (2.56 ábra) az AB oldallal párhuzamos sávokra bontva, a sávok súlypontja a hosszúság felezőpontjában lesz. E súlypontok összekötő vonala meghatározza a háromszög CC’ súlyvonalát. (C’ az AB felező pontjában van) C B′ m S A′ yS A C′′ C′ B 2.56 ábra A háromszög másik két oldalával párhuzamos sávokra bontás az AA’ és BB’ súlyvonalat határozza meg. (B’ az AC, A’ a BC felező pontjában van) A három 58 súlyvonal egy közös S pontban, a súlypontban metsződik. Háromszögek hasonlósága alapján bizonyítható, hogy: yS = m 3

mert SAC∆ ~ SA C ∆ és ABC∆ ~ A BC ∆ SC 1 = SC 2 1 SC = CC 3 A háromszög súlypontja tehát a magasságok egyharmadában van. Meghatározása legegyszerűbben úgy történik, hogy meghúzzuk a háromszög egyik oldalfelező egyenesét (pl. CC’-t) és ezt metszésbe hozzuk az egyik oldal (pl AB oldal m   y S =  távolságában húzott párhuzamos egyenesével. A két egyenes metszéspontja 3  a súlypont helyét adja. Négyszögek súlypontja Derékszögű négyszög súlypontja (7.7 ábra) A derékszögű négyszögnek két szimmetria tengelyét rajzoltuk meg; ezek súlyvonalak. A két súlyvonal metszéspontja (S) megadja a súlypont helyét A súlypont koordinátái az ábra szerint xS = a ; 2 yS = b 2 y xS=a/2 S b yS=b/2 a x 2.57 ábra . 59 2.64 Körcikk és félkör-terület súlypontja (258 ábra) Az r sugarú α középponti szöggel bíró körcikk kis elemi háromszögekre bontható. E háromszögek súlypontja mind 2/3 r

távolságra van. y xS a′=2/3a 0 α/2 x S r′= a 2/ 3r r 2.58 ábra E súlypontok egy súlyos körívet határoznak meg, melynek sugara (r’) és húrja (a’) r = 2 2 r ; a = a ; α = α 3 3 ; E súlyos körív súlypontja a szimmetria tengelyen (x) helyezkedik el, éspedig xS távolságban az 0 ponttól. 2 a a 3 2a xS = = = ; α α 3α A félkör-terület súlypontja e formula alapján xS = 2 a 2 2r 4r = = ; 3α 3 π 3π 2.65 Összetett síkidomok súlypontjának meghatározása számítással A súlypont helyzete a síkban integrálás nélkül is számítható, ha a síkidomot sikerül olyan egyszerű idomokra felosztani, melyeknek a súlypontját ismerjük. A módszer megértéséhez gondoljunk vissza a súlypont definiciójára. E szerint 259 ábrán látható síkidom alakú lemez súlypontja az a pont, amelyen a súlyerő hatásvonala mindig keresztülmegy. Tételezzük fel, hogy a lemez síkja függőleges A súlyerő a lemezre ható 60 megoszló

erőrendszer eredője (Q) meghatározható úgy is, mint a részidomok súlyainak (Q1Q2Q3) eredője. Mivel a részidomok súlyerőinek nagysága és helye is ismert, az eredő távolsága az y tengelytől (ami egyben a súlypont xS koordinátája (a párhuzamos erőkre ismert módon számítható vagy szerkeszthető. y I. A1 Q1 yS yS1 II. Q3 S yS2 y S3 Q2 xS1 Q A3 A2 A x xS xS2 xS3 2.59 ábra Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a lemez kivágásait is részidomnak lehet felfogni. Példánkban külön idom a II. téglalap és a belőle kivágott kör A téglalap súlya annak súlypontjában magába foglalja azt a megoszló erőrendszert is, amely a körlapra hat. Ez többlet a lemezre ható valóságos erőrendszerhez képest, amit azáltal korrigálhatunk, hogy ellenkező értelemmel (felfelé) működtetjük a körlap súlyát. Határozzuk meg a súlypont koordinátáit ebben az esetben számítással. A nyomatéki tételt alkalmazva: Q ⋅ x S = Q1 ⋅ x S1 + Q2 ⋅ x S 2

− Q3 ⋅ x S 3 = ∑ Qi ⋅ x Si Valamennyi lemez súlya a felületével arányos. Q = c ⋅ A ; Q1 = c ⋅ A1 ; . ; Q1 = c ⋅ Ai Helyettesítve, c állandóval egyszerűsítve a súlypont távolsága: xS = ∑A ⋅x i i A Ugyanígy számítható a másik koordináta, ha a lemezt (vagy a nehézségi erőtér irányát) 900-kal elfordítjuk. yS = ∑A ⋅y i i A 61 Ügyelni kell arra, hogy a számlálóban az összegezésnél a kivágott részhez tartozó szorzat negatív előjellel szerepeljen. Az A a síkidom tényleges felületét jelenti Az előzőek alapján nyilvánvaló, hogy a számlálóban a síkidom statikai nyomatéka áll. A képlet tanúsága szerint a statikai nyomaték a részidomok statikai nyomatékainak összegezésével nyerhető. Az összetett síkidom súlypontjának számítására nézzük a következő példát: 2.12 példa: y v 60 60 S u R40 60 x 1. példa Megoldás: − 60 2 40 2 π  4 ⋅ 40  ⋅ 20 + 60 2 ⋅ 30 − ⋅  60 −

 2 4  3π  xs = = 4,34 mm 40 2 π 60 2 + 60 2 − 4 2 2 2 60 40 π 4 ⋅ 40 ⋅ 20 + 60 2 ⋅ 30 − ⋅ 4 3π = 29,6 mm ys = 2 40 2 π 60 2 2 + 60 − 4 2 62 2.7 Súrlódás 2.71 Súrlódással kapcsolatos alapfogalmak Tárgyalásainkban eddig az egymással érintkező testek felszínét teljesen simának tekintettük. Ezzel a feltevéssel azután a testek egymásra gyakorolt hatásának irányvonala pontosan a két test közös, érintősíkjára merőleges n-n normális irányába esik (2.61 ábra), mert az egymással érintkező teljesen sima felületű testek a közös érintősík irányában egymásra semmiféle erőhatást nem fejthetnek ki. A felszínek tökéletes simaságának feltételezése tagadhatatlanul nagy egyszerűsítésekkel jár, a feltevést azonban még csak közelítően sem tudjuk megvalósítani, mert a testek felszíne kisebb-nagyobb mértékben mindig érdes és még a leggondosabban megmunkált felületen is egyenetlenségek, kiemelkedések

és bemélyedések vannak. A felszínek ilyen fizikai állapota miatt az egymással érintkező testek az érintősík irányába eső elmozdulással szemben ellenállást fejtenek ki, vagyis a két test egymáson való elmozdulását gátolják. Tehát a testek felületén az egyenetlenségek ellenerőket hoznak létre. A jelenséget röviden a súrlódás szóval jelöljük meg Az ellenállásokat képező erőket pedig súrlódási erőknek nevezzük. A súrlódási erőket a következőképpen osztályozhatjuk. n n 2.61 ábra a) Nyugvásbeli súrlódási erő az az ellenállás, ami a nyugalomban levő két test érintkezési felületén a mozgás létrejöttének megakadályozására keletkezik. Ez az erő addig lép fel, amíg a relatív elmozdulás meg nem kezdődik, vagyis amíg az elmozdulást okozó aktív erő el nem éri azt a határértéket, amelyet a nyugvásbeli súrlódási erő ezen elmozdulás megakadályozására ki tud fejteni. b) Mozgásbeli súrlódási erő

a már relatív elmozdulásban levő két test felületén létrejövő ellenállás, mely e relatív elmozdulást nem akadályozza meg, de azt hátráltatja, gátolja. c) A súrlódási erő fentiek szerint önmaga mozgást nem hoz létre, azt csak megakadályozza (nyugvásbeli), illetve gátolja(mozgásbeli). A súrlódási erő passzív erő, melyet a két test relatív elmozdulását kiváltani törekvő aktív erők váltanak ki. A súrlódási erő létrejöttének körülményeit és válfajait megvilágítandó vizsgáljuk meg a két érintkező test felületén végbemenő erőhatásokat – figyelembe véve a felületek érdességét és a testek rugalmas voltát egyaránt. 63 t n R I. Ft Fn N S n II. t 2.62 ábra A 2.62 ábrán feltüntetett két (I-es és II-es) testre az érintkezés pontjában (sokszor az érintkező felületeken) egy eredő (R) erő lép fel. Az érintkező testekre vonatkozóan az aktív erőt jelentik: az R erő, illetve komponensei az Ft

és Fn tangenciális és normális erők a passzív erőt jelentik: az N = -Fn támasztó reakcióerő és az S ≤ − Ft nyilván csak addig lehet, amíg S = Ft csúszó súrlódási erő. (Egyensúly . Az Fn-nel szemben fellépő N passzív erő, mint támasztó reakció, ha csak törés nem következik be az Fn-nel egyenlő nagyságú, tehát N = − Fn ; Láttuk, hogy a súrlódás gátolja – sőt sok esetben megakadályozza – a mozgást. Nyugvásbeli súrlódás Helyezzünk egy érdes sík lapra egy G súlyú testet (2.63 ábra) Ha a síklap vízszintes, akkor a testre ható G erő és a vele szemben fellépő N támasztó erő egyensúlyban van; a test nyugalomban marad. S0 G Gt=Gsinα α 0 0 α G Gn=Gcosα N 2.63 ábra 64 Emeljük fel a síklapot az O tengely körül úgy, hogy annak a testtel érintkező lapja a vízszintessel α szöget zárjon be. Ez esetben a testre ható G súlyerőnek van egy, a síklappal párhuzamos Gt és egy a síklapra merőleges

Gn komponense. Gt = G ⋅ sin α ; Gn = G ⋅ cos α ; A Gt erő a testet a síklap mentén elcsúsztatni törekszik. Azt tapasztaljuk, hogy kis α szög elérése után az elmozdulás megkezdődik. Mi ennek az oka? Nyilván az, hogy az α hajlásszögtől függően változó nagyságú Gt erővel szemben erő lépett fel, mely az egyensúlyt biztosítani tudta. Az egyensúlybiztosító erő a súrlódási erő az α = 0 és α = ρ0 szögek közötti értékeknek megfelelően változó nagyságban keletkezett. A maximális Gt erő a ρ0 szögnek megfelelően keletkezett, tehát a ρ0 szögnek megfelelően megállapított súrlódási erő ennek felső határértékét határozza meg. A b) ábrán az (S0) súrlódási erő értelmét berajzoltuk; nagysága a Gt-vel egyenlő és így az N függvényében is kifejezhető, tehát S 0 = N ⋅ tgα ; (N = Gn = G ⋅ cos α ) A súrlódási erő felső határértéke, maximuma S max = N ⋅ tgρ 0 ; A nyugvásbeli súrlódási erő

tehát az Smax-ig a szükségletnek megfelelő bármilyen értéket felvehet, amit a következő egyenlőtlenséggel fejezhetünk ki: S 0 ≤ N ⋅ tgρ 0 ; Az egymással érintkező két testre vonatkozóan a ρ0 értékét kísérlettel meghatározva a tgρ0 értéket, mint állandót súrlódási tényezőnek nevezzük és µ0-al jelöljük. (A zérus index a nyugalmi állapotra való utalást jelenti.) A nyugvásbeli súrlódási erő tehát a következő egyenlőtlenséggel fejezhető ki: S0 ≤ µ0 N ; µ 0 = tgρ 0 ; A nyugvásbeli súrlódási erő (S0) felső határértéke egyenlő a nyugvásbeli súrlódási tényezőnek (µ0) és a két testet egymáshoz szorító (N) normális erőnek a szorzatával. A nyugvásbeli súrlódási erő az elmozdulást létrehozni törekvő erővel egyező irányú, de vele ellentétes értelmű. A felület érdességét a számító eljárásokban a µ0 tényezővel jellemezzük, a szerkesztő eljárásokban pedig a súrlódás kúpjával,

melynek félcsúcsszöge ρ0 (2.64 ábra) 65 K ρ0 K ρ0 ρ0 ρ0 G ρ0 G 2.64 ábra A kétféle jellemzés között a kapcsolat µ0 = tg ρ0. A súrlódás kúpjának tengelye egybeesik az érintkező felszínek közös normálisával és ezt az erők döféspontjában húzzuk meg. A súrlódás kúpja egyenes körkúp, tengely és az alkotó ρ0 nagyságú szöget alkot. A súrlódás kupjának ismeretében a nyugvásbeli súrlódás törvényét kifejező S 0 ≤ N ⋅ tgρ 0 összefüggést így fogalmazzuk: súrlódás esetében a test mindaddig nyugalomban marad, amíg a testre ható aktív erő (2.64 ábra) iránya és így az egyensúlyt tartó K reakcióerő hatásvonala is a nyugvásbeli súrlódás kúpjából ki nem lép (a kupon belül marad), vagy határesetben a kúp valamelyik alkotójával esik egybe. A határesetet a b) ábra tünteti fel. Mozgásbeli súrlódás A mozgásbeli súrlódási erőt S-sel jelöljük. Értékét az előzőekhez hasonlóan egy

(µ) súrlódási tényező és a testeket egymáshoz szorító (N) normális erő szorzataként kapjuk S=µ.N ; ahol µ = tgρ ; A súrlódási erőt egyenlet fejezi ki, vagyis a mozgásbeli súrlódási erő állandó nagyságú. µ a mozgásbeli súrlódási tényező és ρ a mozgásbeli súrlódási félkúpszög. Két test nyugvásbeli és mozgásbeli súrlódási tényezője között a következő összefüggés áll fenn: µ0 〉 µ A súrlódási tényező értékét táblázatból vehetjük ki, de a táblázat adatai csak nagyon óvatosan használhatók fel, mert a súrlódási tényező nagyságát befolyásoló egyéb tényezők figyelembe vétele igen körülményes. Mégis azt mondhatjuk, hogy a µ súrlódási tényezőt a következő jellemzők befolyásolják: - az egymással érintkező két test anyaga (pl. fa, fém, üveg, stb) az egymással érintkező két test felületének simasága: az egymással érintkező két test felületének a szárazsága, illetve

a nedvessége, az egymáson elmozduló két test sebessége (v), stb. vagyis a kenése; Pl. vasúti járműnél a kerék és a féktuskó közötti érintkezésnél a súrlódási tényező a sebesség növekedésével csökken. 66 Ha egy testet a másikhoz képest lökőerővel úgy mozdítunk el, hogy a mozgás alatt arra erő nem hat, akkor azt tapasztaljuk, hogy a test előbb-utóbb megáll. Oka ennek az, hogy a mozgással ellentétes értelemben súrlódási erő hat. Jól szemlélhető ez egy lejtőn lökéssel felfelé mozgásba hozott testen (2.65 ábra) v≠0 Gt α S0 Gt Gn G v≠0 v=0 α Gn G S Gt α Gn G 2.65 ábra Az a) képen a test felfelé mozog, a súrlódási erő (mozgásbeli), a mozgással ellentétes értelmű, tehát lefelé mutató. A b) képen a test sebessége zérusra csökkent; a test megáll. Vagy álló helyzetben marad, vagy lefelé kezd csúszni, aszerint, hogy α ∠ ρ0 vagy α 〉 ρ0 ; A c) képen a lefelé csúszó testre a

mozgással (a v sebességgel) ellentétes értelmű, tehát felfelé mutató (S) mozgásbeli súrlódási erő hat. A mozgásbeli súrlódási erő mindig a mozgás sebességével ellentétes értelmű és nagyságát a két testet egymáshoz szorító (N) erő és a mozgásbeli súrlódási tényező (µ = const) konstans értékű szorzata határozza meg. S=µ.N; 2.72 Egyensúly súrlódással Nyugvásbeli súrlódáskor a súrlódó erő iránya az érintkezés síkjába eső bármilyen irányt felvehet, nagysága pedig az érintkező felszínek minőségétől függ lehet. A súrlódóerőnek, mint a támasztó reakcióerő egyik komponensének ez a határozatlansága a reakcióerő irányát is határozatlanná teszi. Súrlódás esetében a reakcióerőről csak annyit mondhatunk, hogy az érintkezés normálisa körül írott súrlódási kúp belsejébe, vagy annak egyik alkotójába esik. Súrlódás esetében tehát a reakcióerő iránya bizonyos határok között változhat

és ennek folytán olyan esetekben is, mikor teljesen sima felszínű támaszkodás feltételezésével az erőknek csak meghatározott helyzetében lehetett egyensúly, súrlódással az erők helyzete bizonyos határon belül tetszőlegesen változhat az egyensúly megzavarása nélkül. 67 M F B D A C 2.66 ábra Például a ferde síklapra támaszkodó AB rúd esetében, ha a támasztósík teljesen sima (2.66 ábra), akkor a rúd csak olyan F erővel terhelve lehet egyensúlyban, amelynek hatásvonala a támaszkodás A pontjában emelt normális és a támasztó rúd tengelyének M metszéspontján megy át. Függőleges F erő a rudat csak a D helyen terhelheti Ha a támasztó felszín érdes (2.67 ábra), az A támasztóerő a súrlódás kúpjába eső minden irányt felvehet. A támasztó rúd tengelyét a szélső alkotókkal metszésbe hozva, az így nyert M1 és M2 pontok meghatározzák a rúdnak D1D2 szakaszát, amelyen belül a függőleges F erő bárhol

terhelheti a rudat és a rúd egyensúlyban marad. M1 M F ρ0 ρ0 A D1 M2 D2 B C 2.67 ábra A 2.68 ábrán a támasztósíkok érdesek és a súrlódást az A síkon µ 0~ = tgρ 0 tényező jellemzi. Az A ponton az AM normális körül ρ0 félszöggel írott kúp a súrlódás kúpja és egyensúly esetében a reakcióerő irányának a kúpon belül kell esnie. Egyszerűség kedvéért olyan sík-problémát tárgyalunk, mikor a két normális metszi egymást, továbbá a rúd és terhelései ebbe a közös ABM-síkba esnek. Ilyenkor a támasztóerők is ebbe a síkba esnek, irányuk határhelyzeteit az erők által a súrlódó kúpokból kimetszett alkotók adják: rajzunkon ezeket az alkotókat rajzoltuk meg. Egyensúly esetében az A támasztóerő iránya vagy az AM1, vagy az AM2 alkotókba, vagy közéjük esik. Hasonlóan a B támasztóerő iránya vagy a BM2, vagy a BM3 alkotó irányával egyező, vagy közéjük eső irányú lehet. Súrlódás esetében tehát

mindig lehet egyensúly, ha az A és B támasztóerők irányának metszéspontja az M1M2M3M4 négyszögnek – a súrlódásra jellemző területnek – határára, vagy belsejébe esik. 68 M4 M A A3 A1 M1 M3 ρ0 ρ0 D1 F A1 M1 M2 F D3 F B1 ρ0 ρ0 B3 M3 A3 B F B1 B3 2.68 ábra Ha a rudat terhelő egyetlen aktív F erő hatásvonala metszi a jellemző területet, akkor egyensúly lehetséges, mert van olyan, az F erő hatásvonalán fekvő pont, melyben a támasztóerők metsződhetnek anélkül, hogy hatásvonaluk a súrlódás kúpjából kilépne. E meggondolás alapján a függőleges irányú F erő határhelyzeteit a rúdon az M1 és M3 pontok adják és a rúd mindaddig egyensúlyban lesz, amíg az F erő ezeket a határokat át nem lépi. Csakhogy amíg az F erő határhelyzeteiben a támasztóerők hatásvonala pontosan meghatározott (M1 és M3 jelű vektorháromszögek), addig a közbeeső helyzetekben a támasztóerők iránya határozatlan, mert

nem tudjuk, hogy azok az F erő hatásvonalának a jellemző területbe eső melyik pontján metsződnek. A támasztóerők a közbeeső helyzetekben statikailag határozatlanok! Példa: Vizsgálja meg, egyensúlyban van-e a test a lejtőn? Mekkora a súrlódóerő és normálerő? Megoldás: µ0=0,4 A test addig van egyensúlyban míg: G ⋅ sin α − F ≤ FS 50 ∠ 104 N FS ≤ µ 0 ⋅ FN ≅ 104 N F=100N G=300N α=30° FN = G ⋅ cos α = 260 N Tehát fennáll az egyensúly! 2.69 ábra 69 3. Szilárdságtan 3.1 Alapfogalmak 3.11 A szilárdságtan tárgya, feladata, módszerei A szilárd testek statikája – vagy röviden szilárdságtan feladata a terhelés folytán keletkezett belső erők és alakváltozások vizsgálata. Ezzel együtt módszereket dolgoz ki a különféle szerkezetek és gépek szilárdsági méretezésére. A merev testek statikájában olyan testeket vizsgáltunk, amelyek a rájuk működő erőrendszer hatására nem deformálódnak. A

szilárd testek statikájában bevezetjük a szilárd test fogalmát. A szilárd testek alakja, méretei a rájuk működő külső erők hatására kis mértékben megváltoznak. A szilárdságtan feladata éppen a belső erők, illetőleg a fellépő kis alakváltozások tanulmányozása, továbbá olyan számítási módszerek kidolgozása, amelynek segítségével meg lehet akadályozni a nagy alakváltozások (szélső esetben a törés, tönkremenetel) kialakulását. Ha a szilárd test az erők eltávolítása után visszanyeri eredeti alakját, méreteit, akkor rugalmas testnek nevezzük. A továbbiakban általában feltételezzük, hogy a szilárd testek rugalmas testek is. A testek szilárdsága elsősorban az atomjaik közötti vonzerők következménye. A kísérletek eredményei azt mutatják, hogy a testek ellenállása a külső erőkkel szemben (vagyis a tényleges szilárdságuk) sokszorosan kisebb, mint az atomokat összetartó elméleti erők. A jelentős

különbség oka az anyagok fizikai-mechanikai inhomogenitásában rejlik. Mivel azonban minden tényezőt nem tudunk figyelembe venni, ezért be kell vezetnünk az ideális szilárd test fogalmát, amelyről feltételezzük, hogy - a terhelés és alakváltozás között az összefüggés egyértelmű és lineáris; - a rugalmas test anyaga homogén, tehát a testből kivágott legkisebb részeknek is azonosak a fizikai tulajdonságai; - a test anyaga izotróp, vagyis a rugalmas tulajdonságok minden irányban azonosak (iránytól függetlenek). A szilárd testekre ható külső erőrendszerek egyensúlyi erőrendszerek. Ezekről feltételezzük, hogy szilárd testre működve, annak alakváltozása után is egyensúlyi erőrendszert alkotnak. Így a statika egyensúlyi feltételei szilárd testekre is alkalmazhatók. Egy erőrendszer csak akkor helyettesíthető az eredőjével, ha a szilárd testen azonos alakváltozást hoz létre. Elemi szilárdságtanról beszélünk, amikor a

gyakorlatban előforduló (rendszerint egyenes tengelyű, prizmatikus) alakú testekkel és csak meghatározott, egyszerűbb külső egyensúlyi erőrendszerekkel foglalkozunk. A keletkező belső erőket és az alakváltozásokat rendszerint így sem tudjuk egyértelműen meghatározni. Éppen ezért a feladatokat esetenként egyszerűsítő feltevések alkalmazásával, közelítő módszerekkel oldjuk meg. A nyert eredmények, módszerek a gyakorlatban csak akkor használhatók, ha helyességüket a kísérletek során nyert tapasztalatok is igazolják. A pontosabb számítások, kevésbé egyszerűsített modelleken, az általános szilárdságtan feladatkörébe tartoznak. Az általános szilárdságtan módszerei a mindennapi mérnöki munkához túlságosan bonyolultak, ismeretük nagy matematikai felkészültséget igényel. A kapott matematikai eredmények viszont jól alkalmazhatók a számítógépes feldolgozásoknál. 70 A szilárdságtan keretén belül a feladatokat

három szempontból lehet vizsgálni: - a testre ható külső erők, továbbá a belső erők vizsgálata az egyensúly szempontjából (statikai vizsgálat); - a test alakjának megváltozása (geometriai vizsgálat); - az erők és alakváltozások közötti kapcsolat vizsgálata az anyag fizikai tulajdonságainak figyelembe vételével. 3.12 A feszültség fogalma Vizsgáljunk meg egy szilárd testet, amelyre egyensúlyban lévő külső erőrendszer hat. (F , F 1 2 ) , F 3 ,., F n ≅ 0 F1 I. F1 F3 P F2 II. Fi I. ∆A Fn F2 P n ∆Q 3.1 ábra A külső erők hatására a test belsejében is keletkeznek erők, melyeket belső erőknek nevezünk. A belső erők meghatározására a statikában alkalmazott módszert választjuk, ha testet képzeletben ketté vágjuk, akkor mondhatjuk, hogy az egyes részek külön-külön is egyensúlyban vannak, mert az egész test egyensúlyban volt. Természetesen az elvágás helyén egy belső erőrendszer ébred. Ha P ponton

keresztül egy tetszőleges metszősíkkal ketté vágjuk a testet, akkor az elvágás helyén egy folytonosan megoszló erőrendszer ébred. A vizsgálatainkban a belső erők megoszlásának intenzitását keressük, amelyet feszültségnek nevezünk. ∆Q d Q = ∆A0 ∆A dA ρ = lim Ha P pont környékén ébredő belső erő ∆Q , akkor ezen értéket osztva a felülettel, melyen keletkezik a fajlagos belső erőt kapuk, amelyet feszültségnek nevezünk. A kapott feszültség a P ponthoz és az n normálishoz tartozik. A feszültségvektort általánosan ρ -val jelöljük, melynek a normálisba eső komponense (σ) és az arra merőleges (τ). (32 ábra) 71 A feszültség mértékegysége: N/m2, amely 1 Pa. Az egység Pascal francia matematikus nevét őrzi. A műszaki gyakorlatban ennek többszörösei használatosak: kPa, MPa. n δn ρ P τn 3.2 ábra 3.13 Feszültségállapot Ha a vizsgált test valamely P pontjában ismerjük a három egymásra merőleges

felületelem ébredő ρ x , ρ y , ρ z feszültségvektorokat, akkor a pont feszültségállapota meghatározott. A feszültségek ábrázolását megkönnyíti, ha a test P pontjának környezetéből egy dx, dy, dz oldalhosszúságú elemi hasábot vágunk ki, (3.3 ábra) melynek oldalai párhuzamosak a koordinátarendszer tengelyeivel. τxz z x dz τzx σx y dy σz τyz τzy τyx τxy σy dx 3.3 ábra A hasáb lapjaira merőleges összetevők megadják a normálfeszültségeket (σx, σy, σz) a lapokban lévő komponensek a csúsztató feszültségek ( τ xy ,τ xz ,τ yz ,τ yx ,τ zx ,τ zy ). A csúsztató feszültségek első indexe az irányát adja meg, másik indexe pedig azt, hogy milyen normálisú lapon ébred. Az alábbiakban tárgyalt esetekben a feszültségek egy síkba esnek, azaz az egyik feszültségvektor zérus vektor lesz. Az ilyen feszültségállapotot síkbeli feszültségi állapotnak nevezzük. 72 Rajzoljuk fel most az előbb tárgyalt

hasábot a z irányból nézve (3.4 ábra) és feltételezzük, hogy ρ z = 0 , azaz σ z = 0 ; τ xz = 0 és τ yz = 0 . Ha a 3.4 ábrán vázolt feszültség komponenseket ismerjük, akkor bármely n normálishoz tartozó feszültség összetevők meghatározhatók. Ha az előbb vázolt hasábot tovább szeleteljük a 3.5 ábrát kapjuk y n α σx τxy τmn τxy σn α x σy 3.5 ábra Abban az esetben, ha a síkbeli feszültség állapot három összetevőjét σ x , σ y ,τ xy ismerjük az n normálishoz tartozó összetevők meghatározhatók, az egyensúlyi egyenletekből. A csúsztató feszültségek tétele alapján: τxy = τyx így három adat ismeretében a pont feszültségállapota ismert. 73 A levezetések mellőzésével az alábbiak írhatók: σn = τn = σ x +σ y + 2 σ y −σ x σ x −σ y 2 cos 2α + τ xy ⋅ sin 2α sin 2α + τ xy ⋅ cos 2α 2 A különböző n normálishoz tartozó normálfeszültségek közül a maximális és a

minimális feszültséget főfeszültségeknek hívjuk. Síkbeli feszültség állapot esetén két főfeszültséget kapunk, amelyik normálisú lapon főfeszültség keletkezik ott a csúsztató feszültségek zérusok. Ebből a feltételből következik, hogy a főfeszültségek irányát megkapjuk, ha τ n = 0 2 ⋅ τ xy tg 2α = σx −σy Az α szögértéket a σn képletébe helyettesítve kapjuk a főfeszültségeket σ1 = σ2 = σ x +σ y 2 σx +σ y 2 + 1 2 (σ x − σ y ) + 4τ xy 2 + 1 2 (σ x − σ y ) + 4τ xy 2 2 2 Ha a pont különböző normálisaihoz tartozó feszültség összetevőket egy speciális koordináta rendszerben ábrázoljuk, egy kört kapunk. Ez az ábrázolás Ottó Mohr-tól származik, ezért Mohr körnek hívjuk. A feszültségek előjelét úgy értelmezhetjük, hogy a normálfeszültség akkor pozitív, ha a felület elemtől el mutat, a csúsztató feszültség akkor pozitív ha a kiskocka egy belső pontja körül az

órával ellentétesen forgat. τ σx x 2 σy 2α 0 τxy σ2 1 τy σx σy y σ1 3.6 ábra 74 A 3.4 ábrának megfelelő feszültség állapotot ábrázoltuk a 36 ábrán Az X pont az X normálisu lap feszültségeinek felel meg. A kör középpontja a vízszintes tengelyen van, a kör legtávolabbi pontja az 1-es pont a σ1 főfeszültségnek megfelelő pont. 3.2 Húzó és nyomó igénybevétel 3.21 A feszültségek vizsgálata A 3.7 ábrán a két végén egyenletesen megoszló húzó erőkkel terhelt rudat látunk A rúd egyenes tengelyű, prizmatikus. A két végén ható megoszló erőrendszert helyettesítjük az F eredővel. Ha a rúd egyensúlyban van, akkor a részei külön-külön is egyensúlyban vannak. F y q F q I. x I. δX II. F 3.7 ábra Ha képzeletben ketté vágjuk a rudat, a bal oldali rúdrészen lévő külső erők az átmetszés helyén lévő belső erőkkel tartanak egyensúlyt. σx ⋅ A− F = 0 ahol, A a rúd keresztmetszeti

területe. Az egyenlet átrendezése után a feszültség: σx = F A Ebben az esetben σ1 = σx, tehát főfeszültség. Ha az átmetszés nem a rúd tengelyére merőleges, hanem ferde síkú, melynek normálvektora az x tengellyel α szöget zár be (3.8 ábra ), a feszültségvektorok iránya akkor is megegyezik az x tengely irányával. F n α I. II. F 3.8 ábra 75 A ferde átmetszés keresztmetszeti területe: An = A cos α Az egyenletes feszültségeloszlás feltételezésével ρx = F F = ⋅ cos α An A Ezen feszültségvektor összetevői: σ n = ρ x ⋅ cos α = σ 1 ⋅ cos 2 α τ n = ρ x ⋅ sin α = σ 1 ⋅ sin α ⋅ cos α Az előzőeknek megfelelően a MOHR-kör érinti a függőleges tengelyt (3.9 ábra) τ σ1 0 τnm α 1 2α σ Ν σn 3.9 ábra Az eddigiekben csak húzó igénybevételt tárgyaltunk. A nyomó igénybevétel teljesen azonos, de a negatív F terhelő nyomóerőhöz negatív feszültség tartozik. Ha tehát: F〈0 ;

akkor σ 〈 0. A húzott vagy nyomott rúd minden pontjában azonos a feszültségi állapot. Ilyenkor a test homogén feszültségi állapotban van. 76 3.22 Az alakváltozás vizsgálata A terhelésből adódó igénybevétel következtében a testek alakja megváltozik. Az alakváltozás milyensége és mértéke az igénybevételen kívül a terhelt test anyagának is függvénye. Vizsgáljuk meg a húzott rúd alakváltozását. (310 ábra) Az l 0 hosszúságú és A0 keresztmetszeti területű, egyenes tengelyű, prizmatikus rudat a két végén F húzóerő terheli. A húzóerő hatására a rúd megnyúlik l1 hosszúságúra, egyben a keresztmetszeti területe lecsökken A1-re tehát: l1 F 〉 l0 , A1 〈 A0 A0 d0 F l0 3.10 ábra A hosszegységre vonatkoztatott nyúlás az un. fajlagos nyúlás: ε= ∆l l1 − l 0 = l0 l0 ahol a ∆l értéket megnyúlásnak nevezzük. A keresztirányú méretváltozás (kontrakció) fajlagos értéke: d 0 − d1 d0 A

fajlagos értéket mindig a kezdeti (l0 , A0) méretekhez viszonyítva szokás megadni. A kétirányú fajlagos alakváltozás hányadosa bizonyos határon belül állandó értékű. εk = µ= εk = const. ε Ahol µ a Poisson-féle tényező, acélra az értéke 0,3. A szilárdságtan legfontosabb vizsgálata a húzóvizsgálat vagy másképpen mondva a szakító vizsgálat. A vizsgálat céljára a 3.10 ábrán vázolt próbatestet készítjük, melynek végei a szakítógépbe befoghatók. A gép alkalmas arra, hogy a húzóerőt egyenletesen növeljük és közben a rúd megnyúlását mérjük. Legtöbb gép diagrammot készít az erő és megnyúlás összefüggéséről. Ha az erő helyett a feszültséget ábrázoljuk a függőleges tengelyen a vízszintesen pedig a fajlagos megnyúlást, a σ - ε diagrammot kapjuk. (311 ábra) 77 A diagrammon több jellegzetes egymástól eltérő szakasz különböztethető meg, ezeket a következőkben ismertetjük. Arányos

szakasz (σ ∠ σA). A nyúlás és a feszültség között az összefüggés lineáris, vagyis a görbe kezdeti szakasza egyenes. Ezért írhatjuk: σ=E.ε melyet Hooke- törvénynek hívunk. σB σ σ σRF σA ε εr εm ε 3.11 ábra A E rugalmassági tényező (modulus), mértékegysége azonos a feszültség mértékegységével. Rugalmas szakasz (σ 〉 σk), az arányos szakaszt is magába foglalja. Bár az összefüggés σ 〉 σA ≤ σR esetében már nem lineáris, de maradó alakváltozás nincs. Képlékeny szakasz (σR ∠ σ ∠ σF). A terhelés megszűnése után a próbatest nem nyeri vissza eredeti alakját. Az alakváltozás két részből tevődik össze, van rugalmas és maradó alakváltozás. ε = εr + εm A folyási szakasz (σ = σF). Az anyag szinte megfolyik és a terhelés növelése nélkül igen nagy maradó alakváltozás keletkezik. A tönkremenetel akkor következik be, ha σ = σB A szakítószilárdság után a teljes nyúlás a rúd egy

rövid szakaszára korlátozódik. Ezen a helyen a keresztmetszet hirtelen csökken, majd a próbapálca elszakad. A mérnöki szakkönyvek a szakítószilárdság és a folyáshatár adatait tartalmazzák különböző anyagokra. 78 3.23 Húzott és nyomott rudak méretezése A méretezés célja a rúd keresztmetszeti méreteinek meghatározása, hogy a ráható terhelést megfelelő biztonsággal viselni tudja. A rudak alakváltozását, ez esetben megnyúlását v. összenyomódását is korlátozzuk A megnyúlás: ∆l = Fl ≤ ∆l meg A⋅ E A megengedett feszültség az a feszültségérték, amelynél nagyobb a rúdban (tartóban) nem ébredhet. σ meg = σF n n = biztonsági tényező n 〉 1, acéloknál n = 1,5 A megengedett feszültség helyett, használatos még az un. határfeszültség (σH) is, amelyik nagyobb érték, mert a biztonsági tényező kisebb. A méretezés alapképlete: σ meg ≥ σ max = F A vagy az A értékét kifejezve: A≥ F σ meg

A nyomott rudak méretezése megegyezik a húzottéval, ha rúd un. zömök rúd azaz nem történhet meg a rúd kihajlása. Erről még később lesz szó 79 3.1 példa Az ábrán vázolt állandó keresztmetszetű rúd húzásra van igénybe véve. Határozza meg az 1 méret, valamint az a méret megváltozását, továbbá az α szöggel meghatározott z tengellyel párhuzamos síkon ébredő feszültségeket ! E = 200 GPa, ν = 0,3. y y F=180kN F=180kN z a =30 x a=30 l=60 3.12 ábra Megoldás: ∆l = F ⋅ lo ; A⋅ E ε ker eszt ε hossz mivel ν = ν =− ε ker ε hossz 180 ⋅ 10 3 ⋅ 60 = 0,06 mm 30 2 ⋅ 200 ⋅ 10 3 ∆a a = 0 ∆l l0 ∆l = ∆a a =− 0 ∆l l0 ∆a = − a ⋅ν ⋅ ∆l ; lo ∆a = 0,009 mm σx = F 180 ⋅ 10 3 = = 200 MPa A 30 2 τα = 1 σ x ⋅ sin 2α − az α síkban ébredő nyírófeszültség 2 σ α = σ x ⋅ cos 2 α − az α síkra merőlegesen ébredő húzófeszültség σ α = 150 MPa τ α = 86,6 MPa 80

3.3 A nyíró igénybevétel 3.31 A feszültségek vizsgálata Nyíró igénybevételről, tiszta nyírásról beszélünk, ha a vizsgált keresztmetszetet csak a keresztmetszet síkjába eső erők terhelik. Ezek az erők a keresztmetszet síkjában τ feszültségeket ébresztenek (3.12 ábra) A gyakorlati esetekben a nyíró igénybevétel hajlítással párosul. Az ábrán vázolt vágásnál is, ha a vágóélek az anyagba hatolnak a nyíróerők egymástól eltolódnak és hajlítóigénybevételt is eredményeznek. Fny Fny Fny k Fny 3.13 ábra Ha feltételezzük, hogy a feszültségek a keresztmetszet síkjában egyenletesen oszlanak el, akkor írható: τ= Fny A Ha az ébredő feszültségeket kis kockán ábrázoljuk (3.13 ábra) akkor látható, hogy nem csak a keresztmetszet síkjában, hanem arra merőlegesen is keletkeznek feszültségek. y τxy τyx τyx τxy x 3.14 ábra 81 3.32 Az alakváltozás vizsgálata Vizsgáljunk meg egy konzolos tartót

(3.15 ábra), ahol a hajlítást elhanyagoljuk γ F τ γ f τ l 3.15 ábra Ha tartó oldalára négyzethálót rajzolunk, akkor a terhelés hatására rombusszá változik. A τ feszültségek szögtorzulást idéznek elő. A húzásnál megismert Hooke törvényhez hasonlóan az alábbi összefüggés írható fel. τ = G ⋅γ Ahol a G a csúsztató rugalmassági tényező. A konzol lehajlása a nyírás következtében: f = γ ⋅l = τ G ⋅l = F ⋅l A⋅G Természetesen a G, E és ν anyagjellemzők nem függetlenek egymástól, ezért a következő összefüggés írható: G= E 2 ⋅ (1 + υ ) 3.33 Méretezés nyírásra a tiszta nyírás feltételezésével Tiszta nyírás esetén a méretezés ill. az ellenőrzés a következő képlettel történik: τ meg ≥ τ = Fny A Általában a nyírás okozta alakváltozás nem jelentős, ezért ezt nem ellenőrizzük számítással. A következőkben felvázolunk néhány esetet amikor nyírásra kell méretezni

ill. ellenőrizni. (316 ábra) 82 a. F v1 v2 b. F v2/2 F ∅d v1 F v2/2 ∅d Any c. d. m F ∅d ∅d v F 3.16 ábra A nyírt felületek a 3.16 ábrán vázolt esetekben a következők: c) d 2π 4 d 2π Any = 2 4 Any = d ⋅ π ⋅ m d) Any = d ⋅ π ⋅ υ a) b) Any = Az a) és b) ábrán vázolt szegecskötések esetén további ellenőrzések szükségesek. A lemezről a terhelés a szegecs palástján adódik át. A felületet A=d.v egyszerűsített képlettel számítjuk, ahol a v a kisebbik lemezvastagsággal egyenlő. A palástnyomás tehát: σp = F d ⋅v A kapott értéket a lemezre megadott feszültséggel kell összehasonlítani. σ p ≤ σ pmeg További ellenőrzés is a lemezre vonatkozik, melynek keresztmetszete a furat miatt kisebb. F σ= ; ahol b a lemez szélesség. (b − d ) ⋅ v 83 3.2 példa Méretezzük az ábrán vázolt hevederes kapcsolatot nyírásra! Ellenőrizzük palástnyomásra és az alaplemezt húzásra a

furat gyengítés miatt! F = 30 kN, a lemezszélesség, b = 60 mm, a lemezvastagság v1=14mm. A megengedett feszültségek: nyírásra τmeg = 100 MPa palástnyomásra σpmeg = 260 MPa alapanyagra σmeg = 160 MPa v2/2 F v1 F v2/2 ∅d Írhatjuk: τ meg = d= 2 ⋅ Fny = π ⋅ τ meg Fny d 2π 2 4 2 ⋅ 30 ⋅ 10 3 = 13,81 mm π ⋅ 100 Kerekítsük a szegecs méretét d = 14 mm-re. Ellenőrizzük a kötést palástnyomásra: σp = Fny v⋅d = 30000 N = 153 〈 σ pmeg 14 ⋅ 14 mm 2 A kapcsolat tehát d = 14 mm-es szegecsátmérővel biztonsággal megfelelő ! Ellenőrizzük az alapanyagot: σ= F N = 46,58 〈σ meg (b − d )v mm 2 A kapcsolat tehát d714mm-es szegecsátmérővel megfelelő! 84 3.4 Síkidomok másodrendű nyomatékai 3.41 A másodrendű nyomaték fogalma A statikában foglalkoztunk a síkidomok elsőrendű (statikai) nyomatékával, amelyet elsősorban a súlypontszámításnál használtunk fel. A síkidomok másodrendű nyomatékaira a

szilárdságtanban, a további igénybevételek tárgyalásához van szükség. A másodrendű nyomaték kizárólag a vizsgált síkidom (keresztmetszet) alakjától és méretétől, vagyis geometriai jellemzőitől függ, nincs kapcsolatban a vizsgált test terhelésével, anyagával. Legyen adott egy síkidom és a síkidom egy tetszőleges O pontjában felvett x,y derékszögű koordinátarendszer. A koordinátarendszerben a síkidom egy tetszőleges dA felületeleméhez az x és y koordináták, valamint az 0 ponttól mért r távolság tartozik. (3.18 ábra) y x dA r y x 0 3.18 ábra A síkidomok másodrendű (inercia) nyomatékának több fajtáját különböztetjük meg, amelynek elnevezését és definícióit az alábbiakban soroljuk fel. Ix = ∫y ( ) 2 ⋅ dA, Iy = A ∫x ( ) 2 ⋅ dA A Az Ix illetőleg Iy azt jelenti, hogy a képletben melyik tengelytől mért távolság négyzete szerepel. Az integrálást mindig az egészsíkidomra ki kell terjeszteni

Pontra számított (poláris) másodrendű nyomaték: Ip = ∫r ( ) 2 ⋅ dA A Tengelykeresztre számított (centrifugális vagy deviációs másodrendű nyomaték: I xy = ∫( )x ⋅ y ⋅ dA A Az itt szereplő két tengely egymásra merőleges. A definícióból következik, hogy a másodrendű nyomatékok mértékegysége: m4, cm4, mm4. A tengelyre vagy pontra számított másodrendű nyomaték mindig pozitív, a centrifugális nyomaték negatív is lehet. 85 A másodrendű nyomaték definíciójából következik, hogy ugyanarra a tengelyre vagy pontra számítva, az egész síkidom másodrendű nyomatéka egyenlő a részek másodrendű nyomatékainak összegével. Tetszőleges síkidomra érvényes a következő összefüggés. A 318 ábra alapján r2 = x2 + y2. Ezért a poláris másodrendű nyomatékra felírhatjuk, hogy Ip = ∫r ( ) 2 ⋅ dA = A ∫ (x ( ) 2 ) + y 2 ⋅ dA = A ∫x ( ) 2 ⋅ dA + A ∫y ( ) 2 ⋅ dA = I x + I y A A O pontra

vett poláris másodrendű nyomaték tehát egyenlő a ponton átmenő, két egymásra merőleges tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékok összegével. Összefüggés mutatható ki két egymással párhuzamos tengelyre vonatkozó másodrendű nyomaték között is. Legyen egy tetszőleges síkidom (319 ábra) súlypontján átmenő tengely xs, amelyre vonatkozó másodrendű nyomaték I xs = ∫ y 2 ⋅ dA Vegyük fel a súlyponti tengelytől t távolságra egy azzal párhuzamos x tengelyt, amelyre a másodrendű nyomaték Ix = ∫ (y + t) ( ) 2 ⋅ dA = A ∫y ( ) A 2 ⋅ dA + 2 ⋅ t ∫ ydA + t 2 ⋅ ∫ dA ( A) ( A) A képletben szereplő három tag közül az első a súlyponti tengelyre vonatkozó másodrendű nyomaték, a másodikban az integrálos kifejezés a síkidom súlyponti tengelyére vonatkozó elsőrendű (statikai) nyomaték, amely csak zérus lehet. Így az összefüggés egyszerűbben is írható. I x = I xs + t 2 ⋅ A Ez a párhuzamos tengelyek

tétele, vagy Steiner-tétel. A tételből az is nyilvánvaló, hogy a párhuzamos tengelyek közül a súlyponti tengelyre vonatkozó másodrendű nyomaték a legkisebb. dA S y xs x 3.19 ábra 86 3.42 A másodrendű nyomatékok számítása A síkidomok másodrendű nyomatékait előző fejezetben ismertetett definicók és tételek felhasználásával számítjuk. A gyakran előforduló szabályos síkidomok (derékszögű négyszög, háromszög, kör) másodrendű nyomatékát közvetlenül integrálás útján határozzuk meg. A bonyolultabb síkidomoknál a részekre bontás segítségével végezzük a számítást. Mivel a későbbiekben elsősorban a súlypontra, vagy súlyponti, tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatékokra lesz szükség, ezért elsősorban azokat vizsgáljuk. A centrifugális nyomaték számításával, kisebb gyakorlati jelentősége miatt, nem foglalkozunk. y y dy dA S h xS x’ b 3.20 ábra A derékszögű négyszög súlyponti

tengelyére vonatkozó másodrendű nyomatékának meghatározásához vegyünk fel az x tengelytől y távolságra egy dy vastagságú felületelemet (3.20 ábra), amelyre dA = b . dy A másodrendű nyomaték ennek felhasználásával + I xs h 2 + h  y 3  2 b ⋅ h3 = ∫ y ⋅ dA = ∫ y ⋅ b ⋅ dy = b   = 12 h  3 −h ( A) − 2 2 2 2 Értelemszerűen az erre merőleges súlyponti tengelyre h ⋅ b3 I ys = 12 a másodrendű nyomaték. Más tengelyre a párhuzamos tengelyek tételét alkalmazhatjuk. Például a szélső szálra helyezett x’ tengelyre 2 bh 3  h  bh 3 I x = I xs + t ⋅ A = +   ⋅h⋅b = 12  2  3 2 87 y m y dA x dy xS S 0 x’ b 3.21 ábra A háromszög másodrendű nyomatékát a 3.21 ábra alapján számoljuk Az elemi terület m− y ⋅ b ⋅ dy, m az x’ szélső szálon lévő tengelyre a másodrendű nyomaték dA = x ⋅ dy = m m 3 m− y b y4   2 b   y ⋅ b ⋅ dy = ∫  by

− ⋅ dy  = b ⋅ − ⋅  = I x = ∫ y ⋅ dA = ∫ y ⋅ m m   3 m h  0 0 ( A) m 2 = 2 b ⋅ m3 b ⋅ m 4 b ⋅ m3 − = m⋅4 3 12 A súlypont tengelyre vonatkoztatott másodrendű nyomatékot a párhuzamos tengelyek tételének felhasználásával számíthatjuk. b ⋅ m3  m  b ⋅ m b ⋅ m3 = = I x − t ⋅ A = −  ⋅ 12 2 36 3 2 I xs 2 88 A kör tengelyre vonatkozó másodrendű nyomatéka közvetlenül csak nehezen határozható meg. A poláris másodrendű nyomatékának számításához (322 ábra) vegyünk fel egy a középponttól ρ távolágra lévő dρ szélességű körgyűrűt, amelynek elemi területe dA = 2 ⋅ π ⋅ ρ ⋅ dρ A kör poláris másodrendű nyomatéka r ρ4  r 4 ⋅π I p = ∫ ρ ⋅ dA = ∫ 2 ⋅ π ⋅ ρ ⋅ dρ = 2 ⋅ π   = 2  4 0 ( A) 0 r 2 3 vagy behelyettesítve az átmérőt, d = 2r, és így Ip = d 4 ⋅π 32 A tengelyre vonatkozó másodrendű nyomaték,

mivel itt Ix = Iy az ismert összefüggésből I p = I x + I y = 2I x = 2I y Ix = Iy = Ip 2 = d 4 ⋅π 64 Ebből az is következik, hogy körszelvény esetén bármelyik súlyponti tengelyre azonos a másodrendű nyomaték. 3.23 ábra Körgyűrű másodrendű nyomatékát szintén könnyen meghatározhatjuk, az előbbi integrálós alapképletben csak az integrálási határok változnak. (323 ábra): R ρ4  π π I p = ∫ ρ ⋅ dA = ∫ 2 ⋅ π ⋅ ρ ⋅ dρ = 2 ⋅ π   = R 4 − r 4 = D4 − d 4 4 2 32  r ( A) r R 2 3 ( ) ( ) 89 Hasonló eredményt kaptunk volna akkor is, ha a D átmérőjű körszelvény másodrendű nyomatékából kivontuk volna a kis körszelvény (hiányzó) másodrendű nyomatékát. A továbbiakban néhány összetett szelvény másodrendű nyomatékának számítását mutatjuk be példákkal. A másodrendű nyomatékot úgy határozhatjuk meg, hogy a képzeletben téglalappá kiegészített szelvény másodrendű

nyomatékából kivonjuk az üres, hiányzó rész másodrendű nyomatékát. Határozzuk meg számszerűen is a másodrendű nyomatékot 3.24 ábrán látható keresztmetszetre. y 5 5 20 x S 5 25 3.24 ábra A fenti képlet felhasználásával: 25 mm ⋅ (30 mm ) 20 mm ⋅ (20 mm ) − = 42917 mm 4 = 4,29 cm 4 12 12 3 Ix = 3 A 3.24 ábrán lévő I alakú szelvény pl három olyan téglalapra bontható, amelyeknek y külön-külön is a súlyponti tengelye, így az arra vonatkozó másodrendű nyomatékok egyszerűen összegezhetők: 5 mm ⋅ (25 mm ) 20 mm ⋅ (5 mm ) + = 13229 mm 4 ≅ 1,32 cm 4 Iy = 2⋅ 12 12 3 3 90 3.3 példa y 00 R1 360 Határozza meg a vázolt koordinátarendszerben (x, y) a síkidom súlypontját. A súlyponti u, v tengelyekre (párhuzamos az x és u, valamint y és v) határozza meg a másodrendű nyomatékokat, majd a főmásodrendű nyomatékokat és a főtengely helyzetét ! 150 x 3.25 ábra Megoldás: 1 S2 S A2 S1 198 A1 48,7

150 ⋅ 3603   200 4 π 200 2 π  Iu =  + 182 ⋅ 150 ⋅ 360 +  + 62 2 ⋅ 8   12   128 1503 ⋅ 360  Iv =  + 26,32 ⋅ 150 ⋅ 360 +  12  2 2  200 4 π  4 ⋅ 100  2 200 2 π  4 ⋅ 100  200 π  + − + + 48,7  ⋅  ⋅  8 8   3π   3π   128 vagy: I v = I v ,−(48,7 ) ⋅ ( A1 + A2 ) 2 150 3 ⋅ 360 200 4 π + − 48,7 2 ⋅ 69700 Iv = 3 128 8 4 I u = 7 ⋅ 10 mm , I v = 2,8 ⋅ 10 8 mm 4 , I uv = 1,15 ⋅ 10 8 I 1 = 7,3 ⋅ 10 8 mm 4 , I 2 = 2,5 ⋅ 10 8 mm 4 , mm 4 , α 0 = −14,30 91 3.5 A hajlító igénybevétel 3.51 A tiszta egyenes hajlítás Legyen adott egy hajlított tartó, amelynek anyaga homogén, izotróp, a Hooke-törvényt követő, alakja egyenes tengelyű, prizmatikus rúd, a függőleges tengelyre szimmetrikus keresztmetszettel. S M A rúd geometriai tengelye M 3.26 ábra A rúd szabad végén működjék egyetlen olyan M erőpár,

amelynek síkja egybeesik a rúd szimmetriatengelyével. A 326 ábrán a rúd keresztmetszetén az M erőpárt a súlyponthoz illesztett nyomatékvektorával ábrázoltuk. A befogás kényszere egy ugyanilyen nagyságú, de ellentétes értelmű erőpár fellépését biztosítja. Az így leirt terhelésre mondjuk, hogy az M erőpár a rudat tiszta egyenes hajlításra veszi igénybe. (Általában tiszta hajlításról beszélünk, ha a rudat más igénybevétel nem terheli, egyenes hajlítás esetén pedig valamennyi terhelőerő és erőpár a hajlított rúd szimmetriatengelyében működik.) A továbbiakban a terhelés hatására keletkező feszültségeket és a létrejövő alakváltozást vizsgáljuk. A rúd hajlítás hatására létrejövő alakváltozására vonatkozóan bizonyos feltételezésekkel kell élni. Ezeket először Bernoulli írta le, majd Navier alkalmazta eredményesen. A rúd súlyponti hossztengelyét geometriai tengelynek is nevezzük, ez a tengely az egyes

keresztmetszeteket az S súlypontban metszi. A Bernoulli-Navier-féle feltevések szerint: A rúd geometriai tengelyére merőleges sík keresztmetszetek a hajlítás után is síkok és önmagukkal egybevágóak maradnak; A rudak a geometriai tengelye és azzal párhuzamos bármelyik egyenese (szála) a meggörbülés után is merőleges marad az egyes elfordult keresztmetszetek síkjára. (3.27 ábra) Az elvégzett kísérletek azt igazolják, hogy a fenti feltevések a mérnöki gyakorlat előforduló eseteiben elfogadhatók. A 3.27 ábrán a befogástól z távolságra kijelöltünk egy A, B, C, D pontokkal meghatározott, majd attól további dz távolságra másik A1, B1, C1, D1 pontokkal meghatározott keresztmetszetet. Az azonos jelű pontok azonos szálakon (a geometriai tengellyel párhuzamos egyeneseken) vannak. 92 x y y y B S 0 0 x x y z 0 x B1 C1 C D1 D A dz A1 z M B’ y ϕ B1’ C’ D’ C 1’ A’ D 1’ dϕ A1’ M ρ K 3.27 ábra A hajlítás

után az eredetileg párhuzamos keresztmetszetek egymáshoz képest dϕ szöggel elfordultak. A keresztmetszetek egymástól eredetileg dz távolságra voltak, tehát AA1 = BB1 = CC1 = DD1 = dz Az alakváltozás során a keresztmetszetek elfordultak, a szálak hosszai megváltoztak, alul összenyomódtak, felül megnyúltak, tehát A A1 〈 dz 〈 B B1 Kell valahol egy olyan szálnak lenni, amelynek a hosszúsága nem változik meg. Azt a szimmetriasíkban fekvő szálat, amely az alakváltozás során a hosszát nem változtatja meg,a rúd semleges tengelyének nevezzük. E szál meggörbült alakja a rugalmas (elasztikus) vonal. Ábránkon a semleges tengely az 0 pontban metszi a keresztmetszetet, erre felírható, hogy DD1 = D D1 = dz Ha ismerjük a rúd rugalmas vonalához tartozó görbületi sugarat, akkor a dz = D D1 = ρ ⋅ dϕ alakban is felírhatjuk az összefüggést. 93 Vizsgáljuk ezután a semlegestengelytől y távolságra lévő CC1 elemi szál megnyúlását. A

fajlagos megnyúlás ε= ∆dz C C 1 − CC1 (ρ + y ) ⋅ dϕ − ρ ⋅ dϕ y = = = ρ ⋅ dϕ ρ dz CC1 Mivel a Hooke-törvény érvényes, σ = E ⋅ε = E⋅y ρ Megjegyezzük, hogy a görbületi sugár (ρ) és a semleges tengely helye továbbra is ismeretlen. x=x’ y’ dA y=y’ C’ y C’ D’ B’ x’ B1 ’ z’ D’ A’ A1’ M 3.28 ábra Írjuk fel ezután a rúd egy dz hosszúságú darabjára a statikai egyensúlyi egyenleteket. A kiválasztott rúdrész egyik oldalára a külső terhelő M erőpárt, a másik oldalára a dA elemi felületéhez tartozó dF elemi erőt tüntettük fel (3.28 ábra) A statikai egyensúlyi egyenletek: a z tengelyre vonatkozó vetületi egyenlet ∫ dF = 0 ( A) A D pontra vonatkozó nyomatéki egyenlet −M + ∫ y ⋅ dF = 0 ( A) Az egyenleteket a dF = σ ⋅ dA = Ey ρ ⋅ dA helyettesítéssel alakíthatjuk használható formára. A vetületi egyenlet így E ρ ⋅ ∫ y ⋅ dA = 0 ( A) alakú lesz.

94 Mivel E ≠ 0, ρ ≠ 0, csak az ∫ y ⋅ dA = 0 ( A) lehetőség marad. Ez a keresztmetszet statikai nyomatéka az x tengelyre Mivel statikai nyomaték csak súlyponti tengelyre lehet zérus, kijelenthetjük: a z semleges tengely azonos a rúd geometriai tengelyével. Az 0 és az S pont tehát egybeesik A nyomatéki egyenletből E ρ ahol az ∫y ( ) 2 ⋅ ∫y ( ) 2 ⋅ dA = M A ⋅ dA = I x a másodrendű nyomaték, ennek felhasználásával A E ρ = M Ix Az összefüggésből a görbületi sugár számítható. Felírható a görbületi sugár és a feszültség összefüggése is E ρ M σ = Ix y = és ebből a hajlítás során ébredő feszültség σ= M ⋅y Ix y + e 1> 0 σ M e2<0 y x - 3.29 ábra Egy adott keresztmetszetben M és Ix állandó, így a feszültség csak az x tengelytől mért távolság függvénye (3.29 ábra) Az x tengelyen lévő pontokhoz y = 0, tehát σ = 0 érték tartozik, ezért a súlyponti x tengelyt

semleges tengelynek, vagy hajlítási tengelynek is nevezzük. A keresztmetszet mentén a σ feszültség lineáris eloszlású, az azonos y koordinátákkal rendelkező sávokban a feszültség értéke is azonos. 95 3.52 Méretezés tiszta hajlításra A tartók hajlításra való méretezéséhez először megkeressük a keresztmetszetet, amelyet a legnagyobb hajlítónyomaték (Mmax) terhel. Ezután a feszültséget a keresztmetszet tetszőleges pontjában a σ= M max ⋅y Ix képlettel határozhatjuk meg. Mivel a méretezéshez a legnagyobb feszültségre van szükség, ez pedig a szélső szálban ébred, amelyhez tartozó ymax a szélső szál távolsága, e1 és e2, amelyekre e1 〉 0 〉 e2 A szélső szálakban ébredő feszültség (Mmax 〉 0 esetén) + σ max = M max M − ⋅ e1 ; σ max = max ⋅ e2 Ix Ix vagy eltekintve az előjelektől, csak az abszolút értékben legnagyobb feszültséget keresve: σ max = M max ⋅ emax Ix A Kx = Ix /lx keresztmetszeti

tényező bevezetésével mértékegysége m3, cm3, mm3) és az lx = kmax helyettesítéssel a legnagyobb feszültség. M M σ max = max emax = max Ix K x min Ha e1 + l2, akkor két keresztmetszeti tényező is létezik. A hajlításra történő méretezés alapképlete: σ meg ≥ σ max = M max K x min A keresztmetszeti tényező számítása a másodrendű nyomatékok ismeretében könnyen elvégezhető. Fontos megjegyezni, hogy a keresztmetszeti tényezők általában nem összegezhető mennyiségek. Összetett szelvényeknél mindig a másodrendű nyomatékot kell részekből összetenni, majd a végeredmény ismeretében lehet a keresztmetszeti tényezőt meghatározni. A különféle melegen hengerelt szelvényeket is gyakran alkalmazzák tartóként. Mivel ezeknek a szelvényeknek az alakja rendkívül bonyolult, a geometriai tényezők (A, I) számítása nehézkes lenne, ezért azokat a méretekkel együtt táblázatba foglalva adják meg. A továbbiakban példát

mutatunk be a közölt képletek alkalmazására. 96 3.4 Példa Az egyik végén befogott körkeresztmetszetű rudat erőpár terheli. Rajzolja meg a tartó hajlító nyomatéki ábráját és az A keresztmetszet mentén a feszültségek eloszlását! A kereszt- Y metszet Y F=20kN A Z F=20kN 6m 160 3m 3.30 ábra Megoldás: Az „A” keresztmetszet igénybevétele: hajlítás M A = −20 ⋅ 9 + 20 ⋅ 6 = −60 kNm(∩), TA = 0 , tehát itt nyírás nincs. 20 kN T 60 kNm + 6m 9m Xx Xx M Mivel M A a z tengellyel párhuzamos, (" M z ") x irányú feszültséget ébreszt: a σ x = Mz ⋅y Iz függvény írja le a feszültség változását a keresztmetszetben. y= ± 80 mm-nél (szélső szálban): ± σ max = 60 ⋅ 106 [Nmm] ⋅ 80 1604 π 4 mm 64 [ ] [mm] = 149,3 MPa δmax z δx MA ∅ 0 16 δmax 97 3.53 A hajlított tartókban ébredő nyírófeszültségek (hajlítással párosul nyírás) A tartóknál általában hajlító és

nyíró igénybevétel együtt van jelen. A nyíó igénybevételből nyírófeszültségek keletkeznek, melynek számítása eltér a tiszta nyírásnál alkalmazott számítástól. Vizsgáljunk meg egy konzolos tartót. (331 ábra) a. y F b. y ξ A’ y M z x dx N+dN N a dF T T+ - M+dN dx M+ M M+dM 3.31 ábra Ha megvizsgáljuk a tartó dx hosszúságú szakaszát, azt találjuk, hogy a nyomaték a jobboldali részen kissé nagyobb nyíró erők megegyeznek a két oldalon. A hajlítónyomatékból normál feszültségek keletkeznek, a jobb oldalon kissé nagyobbak, emiatt az y magasságban lévő tartó darab egyensúlya csak úgy teljesül, ha dF erő keletkezik az y magasságú helyen. A vízszintes egyensúlyi egyenletből következik, hogy N + dN – N - dF = 0 dN = dF Az ébredő csúsztató feszültség: τ yx = 1 dF 1 dN = a dx a dx N = ∫ σ ⋅ dÁ = ∫ ( A) M M ⋅ η ⋅ dÁ = ⋅S Iz Iz ahol S a statikai nyomaték, az un. lenyíródó

keresztmetszet statikai nyomatéka S = ∫ ηdA ( A ) dN dM S T ⋅ S = ⋅ = dx dx I Iz 98 A csúsztató feszültség tehát: τ xy = T ⋅S Iz ⋅a A képletet Zsuravszkij féle összefüggésnek nevezzük. Vizsgáljunk meg néhány gyakran előforduló keresztmetszetben a τ feszültség alakulását. Derékszögű nagyszög keresztmetszet (3.32 ábra) Határozzuk meg a τ feszültség értékét egy tetszőleges y koordinátájú pontban. y y b τxy τMAX a 3.32 ábra τ xy b   + y T ⋅ S (y) I b  2 = T a − y   = = Iz ⋅a I2 ⋅ a  2 2 2⋅ Ix   b  2  2   − y   2   Látható, hogy a csúsztató feszültség eloszlása parabolikus és a maximális értéke az y = 0 helyen van. b2 T 4 = 3⋅ T τ max = d ⋅ b3 2 a ⋅ b 2 12 A maximális feszültség 50 %-kal nagyobb, mint a tiszta nyírásból számolt feszültség. Kör alakú keresztmetszet. (333 ábra) y S y z τMAX τxy ∅d

3.33 ábra 99 A körkeresztmetszet mentén a feszültség eloszlása egy ellipszis görbét követ. A maximális értéke itt is az y = 0 helyen van. Határozzuk meg a félkereszmetszet statikai nyomatékát a z tengelyre. d 2π 2d d 3 S= ⋅ = 8 3π 12 τ max d3 4 T 4T = = 4 12 = 2 3d π 3A d π ⋅d 64 4 T⋅ Itt a τmax érték 33 %-kal nagyobb, mint az átlag feszültség. A gyakorlati számítások azt mutatják, hogy ha a tartó tömör keresztmetszetű, akkor a τ feszültségek nagyságrendekkel kisebbek mint a normálfeszültségek. A tartókat célszerű hajlításra méretezni, majd ellenőrizni nyírásra. Ha a tartó keresztmetszete tömör, akkor a normál és a csúsztató feszültségek, együttes hatását nem kell figyelembe venni! Jelentősebb τ feszültséggel, csak a vékony falú szelvényeknél kell számolni. 3.5Példa A téglalap keresztmetszetű, egyik végén befogott rudat F erő terheli. a.) Ellenőrizze a rudat a Mohr-féle elmélet szerint, ha a

rúd anyagára σM = 120 MPa! b.) Határozza meg a veszélyes keresztmetszet S, C és D pontjában a feszültségeket! D F=30kN y y 60 20 C z x S 50 20 3.34 ábra 100 Megoldás A befogás helyén ébrednek a maximális igénybevételek: Ty max = 30 kN ; M z max = 30 ⋅ 0,05 = 1,5 kNm 3 Ty max 3 30 ⋅ 103 ⋅ = ⋅ = 37,5 MPa 2 A 2 20 ⋅ 60 1,5 ⋅ 106 M " C" pont : σ x = z max ⋅ y c = 3 ⋅ 20 = 83,3 MPa ; 60 ⋅ 20 Iz 12 3 Ty max ⋅ M mst ( z ) 30 ⋅ 10 ⋅ (20 ⋅ 10 ⋅ 25) = = 20,8 MPa τ xy = 603 ⋅ 20 Iz ⋅ v ⋅ 20 12 M 1,5 ⋅ 106 " D" pont : σ max = z max ⋅ y max = 2 = 125 MPa ; τ xy = 0 60 ⋅ 20 Iz 6 "S" pont : σ x = 0 ; τ xy max = y D y y +max C max τx σx S -max Mivel σmax < σM nem felel meg a rúd ! 3.54 A hajlított tartó alakváltozása A terhelés hatására meghajlott tartó alakváltozását a meggörbült súlyponti szálból vezethetjük le. A súlyponti szálat szokták még rugalmas

szálnak is hívni Ha egy befogott tartó végére M nyomatékú erőpár hat a tartó végének alakváltozásai a következő képen értelmezhetők. (335 ábra) l A ϕ B M x y ϕ ξ 3.35 ábra 101 A tartó terhelése és a görbületi sugár között a következő összefüggés írható fel: 1 ρ = M E ⋅ Iz A konzolos tartó körívre görbül, ezért a végső keresztmetszet alakváltozásai meghatározhatók (yc, ϕc). Az y = y(x) függvény x helyen lévő pontjánál a simulókör sugarára a következő írható: 1 y" g= = ρ 1 + ( y )2 3 / 2 [ Mivel az y’ = tgϕ igen kis érték ezért írható: 1 ρ ] = y" Az alakváltozás számításoknál az y koordinátát lefelé irányítjuk hiszen a lehajlások általában lefelé történnek. A rugalmas szál differenciál egyenlete a következő lesz: y" = − M Iz ⋅ E Az egyenlet alkalmas bármilyen terhelésű tartó alakváltozásainak meghatározására, hiszen csak a nyomatéki

függvényt kell ismerni. A mérnöki gyakorlatban ezt a megoldást a hosszadalmas számítás miatt nem használjuk. Itt most egy numerikus módszert ismertetünk, amely megfelelő pontosságot ad nem túl nagy számú egyenlet esetén is. A második deriváltat az alábbi módon írhatjuk fel. (336 ábra) y=y(x) y yi-2 i-2 yi-1 i-1 h yi I h yi+1 I+1 I+2 h h yi+2 x 3.36 ábra 102 d2y y − 2 y i + y i −1  2  = i +1 h2  dx  i Határozzuk meg az alábbi kéttámaszú tartó lehajlását a felosztás pontjaiban és a max lehajlást (3.37 ábra) p x l y 0 1 l/4 2 l/4 3 4 l/4 l/4 + M x M1 M3 M2 3.37 ábra Az 1 ill. 3 pontban a nyomatékok: M1 = M 3 = M2 = 3 pl 2 32 pl 2 8 Az 1-es pontra írható: 2  l  3 ⋅ pl y 0 − 2 y1 + y 2 = −   4  32 I ⋅ E 2 A 2-es pontra írható: 2 2  l  pl y1 − 2 y 2 + y 3 = −   4  8EI Figyelembe véve, hogy y0 = 0 és y1 = y3. 103 Az

eredmények: y1 = y 3 = y max = y 2 = 5 ⋅ pl 4 512 EI pl 4 7 pl 4 = 0,01367 EI 512 EI pl 4 pontos megoldás szerint: 0,013 EI A módszer alkalmazásához az adott pontokban ismerni kell a nyomaték értékét, valamint a megfogásoknál figyelemmel kell lenni az y értékek felvételére ! A véges differenciál módszere még nem túl sűrű felosztásnál is elfogadható eredményt ad. A differenciál egyenlet megoldása helyett itt egy lineáris egyenletrendszert kapunk, melyet viszonylag könnyű megoldani a számítógépi programokkal. 104 3.6 A csavaró igénybevétel 3.61 Körkeresztmetszetű rudak csavarása Legyen adott egy homogén, izotróp, rugalmas és a Hooke-törvényt követő egyenes tengelyű körkeresztmetszetű, prizmatikus rúd. A bal oldali végét befogással rögzítjük, a szabad végére pedig a rúd hossztengelyére merőleges síkú Mt nyomatékú erőpárt működtetünk (3.38 ábra) A befogás helyén az Mt erőpár ellentettje jelentkezik

kényszererőpárként. A rúd ilyen igénybevételét csavaró igénybevételnek nevezzük, amit az Mt csavaró (torziós) nyomaték hoz létre. Tiszta csavarás esetén a rúd tengelye egyenes marad az alakváltozás után is. d=2r a. l y b. x τ Mt Mt τ τ γ z τ l 3.38 ábra A csavart rúd alakváltozása jól szemléltethető, ha a rúdra terheletlen állapotban felrajzoljuk a hossztengellyel párhuzamos alkotókat (3.38/a ábra), majd megfigyeljük ezek helyzetét az alakváltozás lezajlása után (3.38/b ábra) Az alkotók elcsavarodnak, de a keresztmetszetek az elcsavarodás után is párhuzamosak maradnak egymással. A keresztmetszetek elfordulnak, de alakjuk nem változik meg. A feszültségek és alakváltozások vizsgálatához a befogási keresztmetszettől z távolságra egy dz vastagságú korongot vágunk ki a rúdból (3.39 ábra) Jelöljük ki az A1 A alkotót, amelyhez az elülső keresztmetszeten az OA sugár tartozik. A terhelés hatására az

alkotó elcsavarodik, a sugár pedig ϕ szöggel elfordulva az OA helyzetbe kerül. A sugár egy tetszőleges B pontja BB íven mozogva a B’ helyzetbe jut Az ábra alapján a BB’ ív kétféle módon is kifejezhető: BB = ρ ⋅ dϕ = γ ⋅ dz , γ =ρ⋅ dϕ dz 105 ϕ A1 γ A’ ϕ B’ A B ρ r 0 dz 3.39 ábra Feltevésünk szerint a keresztmetszet egységes egészként fordul el, tehát a dϕ/dz a keresztmetszetre állandó. A γ szögelfordulás így a sugárral arányosan változik A γ szögelfordulást τ feszültségek hozzák létre, a rájuk érvényes Hooke-törvény szerint τ = γ ⋅G = ρ ⋅ dϕ ⋅G dz A τ feszültségeket és a γ szögelfordulást már a 3.38/b ábrán is feltüntettük A τ feszültségek tehát szintén a sugárral arányosan változnak, a sugárra merőlegesek. A 3.40/a ábrán felrajzoltuk az Mt csavarónyomatékkal terhelt rúd keresztmetszetét A keresztmetszetben ébredő τ feszültségekből adódó belső erők

nyomatéka tart egyensúlyt a külső csavarónyomatékkal. A dA felületelemhez tartozó elemi erő nyomatéka dM = ρ ⋅ dF = ρ ⋅ τ ⋅ dA A statikai egyensúly alapján nyomatéki egyensúlyi egyenletet írhatunk fel a keresztmetszet 0 középpontjára: M t − ∫ dM = 0 ( A) Mt − ∫G ⋅ ( A) dϕ 2 ⋅ ρ ⋅ dA = 0 dz A G és a dϕ/dz állandó, így az integráljel elé kiemelhető Mt −G ⋅ dϕ ⋅ ∫ ρ 2 ⋅ dA = 0 dz ( A ) Az integrálos kifejezés a keresztmetszet poláris másodrendű nyomatéka Ip = ∫ρ ( ) 2 ⋅ dA A Így az egyenlet: 106 Mt −G ⋅ dϕ ⋅Ip = 0 dz átalakítva G⋅ dϕ M t = dz Ip A bal oldalt helyettesíthetjük τ/ρ-val, és innen a feszültséget kifejezhetjük. A csavarófeszültség: M τ = t ⋅ρ Ip A képlet a körkeresztmetszetnek a középponttól ρ távolságban lévő pontjában adja meg a τ feszültség értékét. A feszültség iránya a sugárra merőleges A legnagyobb feszültség a kerületen

ébredő és érintő irányú (3.40/b ábra), τ max = Mt ⋅r Ip Megjegyezzük, hogy a dualitási tétel értelmében a keresztmetszet síkjára merőlegesen is ébrednek τ feszültségek. A csavart rúd alakváltozása a korábban felírt egyenlet átrendezésével határozható meg, Mt dϕ = dz G ⋅ I p A differenciálegyenlet szétválasztás utáni integrálással oldható meg dϕ = Mt ⋅ dz G⋅Ip Mt M ⋅l ⋅ dz = t G⋅Ip G⋅Ip 0 l ϕ = ∫ dϕ = ∫ (l ) A ϕ szög a rúd teljes l hosszának, tehát a rúd két végső keresztmetszetének az egymáshoz viszonyított szögelfordulása. 107 Mt a. y F τmax τmax τmax 0 ρ τ b. dρ r x dA τmax τmax 3.40 ábra 3.62 Méretezés csavarásra A csavart rudakat a legnagyobb csavarónyomatékra, az Mtmax-ra méretezzük. A vizsgált keresztmetszet tetszőleges pontjában a τ= M t max ⋅ρ Ip képlettel határozhatjuk meg a feszültséget. A méretezéshez a legnagyobb feszültségre van

szükség, ez pedig a szélső szálban ébred, amelyhez a ρmax = r tartozik (3.40 ábra) A kerületen ébredő feszültség τ max = M t max ⋅r Ip aminél az előjelnek rendszerint nincs jelentősége, így pozitívnak tekintjük. Mivel az Ip másodrendű nyomaték és az r sugár egyaránt a keresztmetszetre jellemző geometriai mennyiségek, ezért összevonhatók egy tényezőbe. A Kp = Ip r a poláris keresztmetszeti tényező, mértékegysége: m3, cm3, mm3. A legnagyobb feszültség így τ max = M t max Kp A csavarásra történő méretezés alapképlete τ meg ≥ τ max = M t max Kp A csavarásra igénybe vett rudaknál rendszerint nagy az elcsavarodás, ezért azt is feltétlenül ellenőrizni kell. Az ellenőrzés az alábbi képlettel történik 108 ϕ= Mt ⋅l ≤ ϕ meg I p ⋅G A megengedhető szögelfordulás általában hosszegységre vonatkoztatva van megadva pl. acélokra ϕmeg = 0,25 0/m 3.6 Példa A körkeresztmetszetű acélrudat Mt =

1,5*106 Nmm nagyságú csavarónyomaték terheli. A rúd átmérője d = 80 mm, hossza l = 2 m, -a rúd anyagára a csúsztató rugalmassági tényezőt G = 8 . 104 MPa-ra vehetjük Határozzuk meg a rúdban keletkező feszültséget és az elcsavarodást. A rúd keresztmetszetének poláris másodrendű nyomatéka: d 4 ⋅ π (8 cm ) ⋅ π Ip = = = 402,12 cm 4 32 32 4 d  a keresztmetszeti tényezője  r =  : 2  d 3 ⋅ π (8 cm ) ⋅ π Kp = = = = 100,53 cm 3 r 16 16 3 Ip A rúdban keletkező legnagyobb feszültség τ max = Mt 1,5 ⋅ 10 6 Nmm N = = 14,92 3 3 K p 100,53 ⋅ 10 mm mm 2 a rúd elcsavarodása ϕ= Mt ⋅l 1,5 ⋅ 10 6 Nmm ⋅ 2 ⋅ 10 3 mm = = 0,00933 rad = 0,530 G ⋅ I p 8 ⋅ 10 4 N / mm 2 ⋅ 402,12 ⋅ 10 4 mm 4 Az 1 m hosszra jutó fajlagos szögelfordulás ϕ= ϕ l = 0,530 = 0,267 0 / m 2m 3.7 Példa A vázolt tengely egyensúlyban van. Mt1 = 20kNm, Mt2 = 50kNm, G=88GPa a.) Határozza meg az Mt3 értékét ! b.) Méretezze a

tengelyt körkeresztmetszetüre ! τM =60 MPa c.) Ha d = 140mm, mekkora a ϕAB szögelfordulás? 109 A Mt1 B C Mt2 l1=3m M t3 l2=2m Megoldás: M t1 − M t 2 + M t 3 = 0 M t 3 = 30 kNm = M max d min = 3 ϕAB = M max ⋅ 16 = 136,6 ≈ 140 mm τM ⋅ π M t1 ⋅ l1 = 0,018 rad Ip ⋅ G A Mt1 B Mt2 l1=3 m C Mt3 l1=3 m 20 Mt [kNm] x -30 110 3.7 Kihajlás A nyomóigénybevétel tárgyalásánál csak a rövid, zömök rudakkal foglalkoztunk. Az ott megállapított összefüggések csak akkor érvényesek, ha a rudak hosszúsága az átmérőjükhöz képest nem nagy (pl. l/d ∠ 2,5 ) Ebben az esetben a rúd egyenességét és az erő centrikus hatását biztosítani tudtuk. Ha a keresztmetszeti méreteihez képest hosszú, tehát a köznapi szóhasználat szerint karcsú, egyenes rudat súlyponti tengelyében fokozódó erővel nyomásra terhelünk, akkor a rúd az eddig tárgyalt szilárdsági esetektől merőben eltérően viselkedik. Amíg az F erő kisebb,

mint a későbbiekben meghatározandó Fkr kritikus törőerő, a rúd megrövidül, de egyenes marad, hasonlóan a rövid, nyomott rudakhoz. Az ilyen rúd egyensúlya stabilis, ami könnyen ellenőrizhető: a rudat középen – tengelyére merőleges irányban - megterheljük egy nem nagy erővel. Ennek hatására a rúd tengelye meggörbül, de ha ezt az oldalirányú erőt megszüntetjük, akkor újból egyenes lesz. Ha a rudat pontosan az Fkr nagyságú nyomóerő terheli, és megismételjük az előzőekben leírt ellenőrzést, akkor azt tapasztaljuk, hogy a rúd az oldalirányú erő megszüntetése után megmarad meggörbült állapotban: ekkor egyensúlya közömbös. Ha a rúd nyomóterhelése Fkr-nél nagyobb, akkor a rúd egy egészen kis oldalirányú erő hatására meggörbül, kihajlása fokozódik, és végül eltörik. Ekkor a rúd egyensúlyi állapota labilis. Az itt elmondott gondolatmenet csak tökéletesen egyenes tengelyű rudakra érvényes, és csak akkor, ha

a nyomóerő pontosan a keresztmetszetek súlypontjában hat. A valóságban tökéletesen egyenes rúd nincs, és a terhelésnek is van kis excentricitása. Így az Fkr kritikus törőerő elérésekor a kihajlás bekövetkezésére kell számítani. Nagyon karcsú rudak esetében az Fkr törőerő határértéke meglepően kicsi és ennek megfelelően a rúdban ébredő feszültségek mérsékeltek. A rúd tehát kihajláskor nem azért megy tönkre, mert valamelyik – az anyagra veszélyes – feszültséghatárt átléptük, hanem azért, mert a terhelés Fkr határértéke felett a rúd egyenes alakja már nem stabilis egyensúlyi alak. A hosszú, nyomott rúd kérdése a szilárdságtannak abba a fontos részébe tartozik, amelynek tárgya a stabilitás vizsgálata. 3.71 A rugalmas kihajlás vizsgálata (Euler képlete) A vizsgálat megkönnyítése érdekében a rudat, egyik legfontosabb alkalmazásának, az oszlopnak megfelelő függőleges helyzetben rajzoltuk meg (3.42

ábra) A rúd mindkét végét a csuklósan alakítottuk ki. A csuklók a függőleges helyzetből nem térhetnek ki, de a csuklóban a rúd végei szabadon elfordulhatnak. A kritikus Fkr erő terheli a rudat. A kihajlás abban az irányban jön létre, amelyik irányban legkisebb a rúd ellenállása. A keresztmetszetek a legkisebb másodrendű nyomatékot adó tengely körül fordulnak el és az erre merőleges síkban jön lére a kihajlás. Feltételezzük, hogy az Fkr erő a rúdban σ kr = Fkr ≤σa A feszültséget ébreszt, azaz a törőfeszültség az arányossági határ alatt van. 111 x K F l y x y 3.42 ábra Az Fkr értéke úgy határozható meg, hogy a rúdon már kezdetben kis mértékű kihajlást tételezünk fel. Mivel a kihajlott rudat nyomáson kívül hajlítás is terheli, tehát a rúd alakja egyensúlyi alak, a hajlított rúd rugalmas szálának már megismert differenciálegyenletét alkalmazhatjuk. A tetszőleges x távolságban levő K

keresztmetszetre M = Fkr.y hajlítónyomaték hat A rugalmas szál differenciál egyenlete: IEy" = − M x = Fkr ⋅ y, nullára rendezve Fkr y + IEy" = 0 mely csak a Hooke-törvény érvényességi határán belül vizsgálható. Más formában: y"+ Fkr y=0 IE Az egyenletben az I a rúd állandó keresztmetszetének legkisebb másodrendű nyomatékát jelenti I = I2 = Imin. Vezessük be még az α2 = Fkr jelölését; I2E ezzel y” + α2 y = 0 differenciálegyenlethez jutunk, melynek általános megoldása: y = Asin(α x ) + Bcos (α x ) , ahol Az A és B együtthatók a megfogásból határozhatók meg. Mindkét megfogás csukló, tehát az x = 0 helyen y = 0; ezek helyettesítésével 112 0 = A sin 0 + B cos 0 = A.0 + Bl, ebből B = 0, tehát y = A sin (α x), azaz a rúd kihajlított alakja színusgörbe. Az x = l helyen y = 0 tehát 0 = A sin (α l). Ebben az esetben a szorzat egyik tényezőjének 0 értékűnek kell lenni ha A = 0 ez azt jelenti, hogy y

minden esetben 0, tehát a rúd egyenes marad. Marad tehát, hogy ha sin (α l) = 0. Ez akkor következik be, ha αl = nπ, ebből csak az n = 1 esetnek van gyakorlati jelentősége, tehát α= π l és α 2 = π2 l 2 = Fkr ; IE ebből – a kihajlást okozó Fkr kritikus törőerő értéke meghatározható Fkr = π 2 ⋅ IE l2 Ezt a képletet Euler formulának nevezik. Ideális esetben – melyet Euler feltételezett – az erő pontosan centrikusan terheli a rudat. Ha a rudat a kritikus erő terheli, akkor y = A sin (α x), ahol α2 = Fkr I2E Fkr Fkr H M0 Fkr l l 0,7l ¼ l Fkr D1 l ½ D ¼ l0= l l. eset l0=2l Il. eset l0=0,7l III. eset D2 l0=0,5l IV. eset 3.43 ábra 113 A törőerő nagysága a rúd végeinek megfogásaitól függ. Négy esetet szokás megkülönböztetni (3.43 ábra) Ha a rúd kihajolt alakjában az inflexiós pontok távolságát, az un. hosszúságot l0-lal jelöljük (a csuklós rúdvég is inflexiós pont), akkor a törőerő

kihajlási π Fkr =   l0 2   I 2 E  képletében az I. esetben a II. esetben a III. esetben a IV. esetben l0 = l, l0 = 2l, l0 = 0,7 l és l0 = l/2 A III. esetben kihajláskor a rúd felső csuklós végére a vezeték vízszintes irányú H erőt fejt ki. H és Fkr eredőjének hatásvonala a D inflexiós ponton megy át, ahol a hajlítónyomaték zérus. H nagysága tehát a kihajlás mértékétől függ A IV. esetben a rúdvégre a vezeték M0 nyomatékot fejt ki M0 és Fkr eredője a D1 és D2 inflexiós pontokon átmenő függőleges Fkr erő, amelyet pontozva berajzoltunk. Az Euler-képletet a méretezéskor más alakban használjuk. Legyen I 2 = i22 A, akkor Fkr = π 2 AE (l / i2 )2 Az l/i2 viszonyt a rúd karcsúságának nevezzük. l tehát λ = i2 Jelölje σkr = Fkr/A azt a nyomófeszültséget, amelynél a rúd már kihajlik, akkor ez a kritikus vagy törőfeszültség. σ kr = π 2E λ2 Ezek szerint a kritikus feszültség csak a rúd

anyagától E és a rúd geometriai méreteitől függ, amit a rúd λ = l/imin karcsúsága jellemez. Ez a tervező számára meglehetősen szabad kezet ad, és a rúd keresztmetszetének alakítását nem köti meg. A rúd teherbírása megnövelhető, ha az anyagot a keresztmetszet súlypontjából lehetőleg távol helyezzük el, vagyis lehetőleg un. üreges keresztmetszetet (körgyűrűt, szekrényes keresztmetszet) alakítunk ki, mert akkor Imin és ezzel imin értéke is nagy lesz. 114 3.72 Plasztikus kihajlás: Tetmajer képlete Az Euler-képlet levezetésekor feltételeztük, hogy a rúd terhelése az arányossági határ alatt marad. Ez a feltevés a képlet használatára korlátozást jelent, így a vizsgálatokat ki kell egészíteni. A kritikus feszültségre talált σkr = π2 E/λ2 összefüggést a σt, λ koordináta-rendszerben egy hiperbola, az un. Euler-hiperbola tünteti fel (3.44 ábra) σKr a Folyáshatár σF Tetmajer-egyenes σa Euler-hiperbola III.

II. I. λf λe 3.44 ábra A görbe azonban csak a σkr = σa arányossági határig érvényes. Ezen határon túl a képlet érvénytelenné válik, mert a levezetéskor megszabott egyik feltétel, hogy ti. σ ∠ σa, nem teljesül. Ha mégis alkalmazzuk, túl nagy törőfeszültséget ad a kísérlettel meghatározott σkr értékhez képest. A kihajlás azon eseteit, amikor σkr értéke az arányossági határt nem éri el, rugalmas kihajlásnak nevezzük, ha viszont σkr az arányossági határnál nagyobb, plasztikus kihajlással van dolgunk. Ha ismerjük a rúd anyagának pontos szakítódiagramját, akkor a σkr törőfeszültség és a karcsúság összefüggése elméletileg is meghatározható. Ezzel itt nem foglalkozunk, hanem csak a kísérletek alapján kialakult eredményeket közöljük. Tetmajer kísérlete szerint az acélra és még néhány más anyagra a törőfeszültség a rúd karcsúságával lineáris összefüggésben van: σkr = a – b . λ Az

állandók pl 37-es acélra, a = 308 MPa és b = 1,14 MPa 115 3.73 Méretezés kihajlásra A rúd terhelése nem érheti el a kritikus értéket, csak a megengedett terhelést. Fmeg = Fkr n Az n biztonsági tényező értéke nagyobb mint egy, a szokásos értéke n = 3. A megengedhető terhelést összevetve a rúd tényleges terhelésével, a rúd megfelel, ha: F ≤ Fmeg Ha ellenőrzést végzünk és a rúd geometriai méretei ismertek, akkor először a karcsúsági tényezőt számítjuk ki. A karcsúsági tényező alapján eldönthetjük, hogy rugalmas vagy képlékeny kihajlással van dolgunk, majd a kritikus erő értékét meghatározhatjuk: Fkr = σkr . A Végezetül elmondhatjuk, hogy a kihajlás egy alaposan megkutatott területe a mechanikának. A kihajlásra méretezés legújabb eredményeit az acélszerkezeti szabványok tartalmazzák. 3.7 Példa Ellenőrizze az ábra szerinti megfogású és terhelésű I 180 szelvényű rudat, ha E = 210 GPa, n = 3 ! F=140kN

I 180 Msz 325 Megoldás: 0,7 ⋅ l λ= I A λ= 3.45 ábra 0,7 ⋅ 2800 81,3 ⋅ 10 4 2790 ≅ 115 〉 100 tehát Euler szerint számítható a Fkr (I,A táblázatból). FKR = π 2 l 02 ⋅ I min ⋅ E FKR = 438,2 kN ; n = FKR = 3,13 〉 3, megfelel! F 116 3.8 Összetett igénybevételek Ha az egyszerű igénybevételek közül egyszerre több is fellép ugyanazon a rúdon, összetett igénybevételről beszélünk. Ha az igénybevételekből keletkező feszültségek egyneműek, akkor egyirányú összetett igénybevételről beszélünk. Amikor egy időben σ és τ feszültség is fellép a tartó valamely pontjában, akkor többirányú összetett igénybevételről beszélünk. 3.81 Egyirányú összetett igénybevételek Egyirányú összetett igénybevétel jön létre, ha - húzás és hajlítás - nyomás és hajlítás - ferde hajlítás - nyírás és csavarás együttesen lép fel. Ha a tartó vagy a rúd adott keresztmetszetében egyidejűleg több

igénybevétel is hat, az igénybevételből származó feszültségek úgy határozhatók meg, mintha azok csak egyedül hatnának. Az adott keresztmetszetben a feszültségek algebrailag összegezhetők Az ellenőrzés tehát: σmax ≤ σMEG illetve τmax ≤ τMEG Húzás és hajlítás A húzás és hajlítás együttes előfordulására történő ellenőrzést a következő példán mutatjuk be. (346 ábra) 3.8 Példa A téglalap keresztmetszetű rúd K keresztmetszetének igénybevétele ismert. Határozza meg szuperpozíció elve segítségével a keresztmetszet feszültségeloszlását és ellenőrizze a rudat, ha σM = 180 MPa ! Határozza meg a zérusvonal helyét! F = 120 kN, M = 2 kNm Megoldás: “ ‘ ‘ 60 0 F “ = + M 40 3.46 ábra 117 A keresztmetszetben csak normálfeszültségek ébrednek, a húzás és hajlítás hatására: M 2 ⋅ 106 (Nmm ) ⋅ y max = ⋅ 30(mm ) = 83,3 MPa 40 ⋅ 603 Iz 4 mm 12 F 120 ⋅ 103 " σx = = = 50 MPa A 40 ⋅

60 + σ x max = 133,3 MPa ; − σ x max = 33,3 MPa ± σ,x max = ( ahol : σ"x = − σ,x y 0 = σ"x ⋅ ) Iz M y 0 = 18 mm Ferde hajlítás Ferde hajlítás esetén a hajlítónyomaték vektora nem párhuzamos a keresztmetszet egyik tehetetlenségi fő irányával sem. Szimmetrikus keresztmetszeteknél a főirányok a szimmetria tengelyekkel esnek egybe. A ferde hajlítást két egyenes hajlításra vezetjük vissza. A feszültségek számítását a 39 példán keresztül mutatjuk be. (347 ábra) 3.9 Példa Egy szabványos I 180 idomacélból készült gerendát M = 3 kNm nyomatékú erőpár hajlításra terheli. Határozza meg a gerenda keresztmetszet A, B, C, D pontjaiban a feszültségeket és a semleges tengely helyét ! C y B S M=3kNm 30 D z A 3.47 ábra Megoldás: Az M nyomatékvektor felbontható komponensekre: M z = 2,6 kNm M y = 1,5 kNm Táblázatból: ± σ,x max , = Mz ⋅ y max Iz ± σ"x max = My Iy ⋅ z max Iz=1450.10-8 m4, Zmax =

41 mm Iy=81,3.10-8 m4, Ymax = 90 mm 118 Semleges tengely helye; ahol az eredő feszültség nulla. M I y σ x, = − σ x" alapján 0 = tg α 0 = y ⋅ z ; αo = 84,4o-ra „z”-től felfelé z0 Iy Mz σ x, = 2,6 ⋅ 10 6 Nmm 1,5 ⋅ 10 6 Nmm " ⋅ 90 mm = 16 , 1 MPa ; σ = ⋅ 75,6 MPa x 1.450 ⋅ 10 7 mm 4 8,13 ⋅ 10 5 mm 4 σ A = −σ x − σ x" ; σ B = +σ x − σ x" ; σ C = σ x + σ x" ; σ D = −σ x + σ x" , σ A = −91,7 MPa, σ B = −59,5 MPa, σ C = 91,7 MPa, σ D = 59,5 MPa C 18 0 M B O 30 MZ D +16.1 Z 82 +75.6 ` -A `` X - X 3.82 Többirányú összetett igénybevételek Abban az esetben, ha a rúd egy keresztmetszetének vizsgált pontjában σ és τ feszültség is ébred nehezebb az összegzést elvégezni, mint egyirányú összetett igénybevételek esetében. Ebben az esetben meghatározunk egy ún redukált vagy összehasonlító feszültséget. A vizsgált feszültésgállapottal azonos

veszélyességű, egytengelyű feszültségállapotot határozunk meg valójában. Ezen ún. egyenértékű feszültségállapotot feszültségelmélettel határozzuk meg Több feszültségállapot elmélet is keletkezett, ebből mi két elméletet ismertetünk. A feszültségelméletek főfeszültségekkel vannak leírva. A Mohr elmélet A Mohr-féle elmélet azon alapszik, hogy a terhelés hatására az anyagban csúszás jön létre, de törés nem következik be. A Mohr elmélet szerint a redukált feszültségre írható: σred = σ1 - σ3 119 Kétirányú feszültségállapot esetén a képlet írható még más alakban is: σ red = σ 2 + 4τ 2 A Huber-Miscs-Hencky elmélet (HMH) A terhelés hatására a testek alakváltozást végeznek, melyek két csoportba oszthatók - térfogatváltozásra (az alak változatlan marad) - torzulásra, amikor állandó térfogat mellett csak a szögek változnak. Ennek megfelelően az alakváltozási munka is felosztható

térfogatváltozási és torzulási munkára. Az elmélet szerint a maradó alakváltozás akkor indul meg, ha a torzítási munka eléri az anyagra jellemző értéket. A redukált feszültség értéke levezetés nélkül: σ red = [ 1 (σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 2 ] Kétirányú feszültség esetén σ3 = 0 és a képlet írható még: σ red = σ 2 + 3τ 2 Látható, hogy a kétféle elméletből kissé különböző eredményt kapunk. Számításainkban mindkét elméletet használjuk, de a szabványok a HMH elmélet alapján számolt redukált feszültséget írják elő. Ellenőrzéskor igazolni kell, hogy a szerkezet valamely pontjában ébredő maximális redukált feszültség kisebb a megengedett értéknél. σred ≤ σmeg A többirányú feszültségre való méretezést ill. ellenőrzést az alábbi két példán mutatjuk be. 120 3.10 Példa Ellenőrizze a kör keresztmetszetű rudat, Mohr elmélet alapján ha τM = 135 MPa, σM =

230 MPa ! F=12,6kN Mt=1,7kNm 40 3.48 ábra Megoldás: A tengely terhelése nyomás és csavarás, ami a kerületi pontokban ébreszti legnagyobb feszültségeket. F σ nyomó = (minden pontban !) A0 M d M τ csavmax = t ⋅ = t (a kerületen) Ip 2 Kp 2 σ RED σ RED       3  6  12,6 ⋅ 10  1,7 ⋅ 10  2 2 + 4⋅ = σ nyom + 4τ csav =  2  40 3 π   40 π      4    16  ≅ 271 〉 σ meg , nem felel meg ! 3.48 ábra 2 840 d D2= D1= 210 3.10 Példa Határozza meg a szükséges tengelyátmérőt, Mohr elmélelt alapján ha σM = 95 MPa, τM = 50 MPa ! Q=60kN F=15kN 130 320 450 3.49 ábra 121 Megoldás: A F M FA Q B d M 42,8 + T- A méretezés a veszélyes keresztmetszet terheléseivel történik: Reakcióerők: FB 27,8 FB = 32,2 M- + FA = F + Q − FB = 42,8 kN ↑ M MAX = 14,5 kNm + + M- - 0,13 ⋅ 15 + 0,45 ⋅ 60 = 32,2 kN ↑ 0,9 14,5 TMAX = FB = 32,2 kN 6,3 Mt = F⋅

D2 D = Q ⋅ 1 = 6,3 kNm 2 2 A veszélyes keresztmetszet feszültségei: A legnagyobb redukált feszültség „A”.A*” pontokban tehát: A M σ MEG M B δ T τny ≥ σ RED A = σ + 4τ cs τcs σ RED A = τ cs A 2 M h2 4 M t2 = + K t2 K p2 M h2 + M t2 M red = Kt K t2 K    K t = p ! 2   A* σ RED = 2 h M RED ; d 3π 32 d min = 3 M RED ⋅ 32 ≅ 119,3 mm σ MEG ⋅ π Ezt ellenőrizni kell „τ”-ra, mivel „B”-ben: τ MAX = τ csMAX + τ nyMAX τ MAX = Mt 4 + Kp 3 T A τ max = 22,7 MPa 〈 τ meg , tehát megfelel ! 122 4. Kinematika 4.1 Tömegpont kinematikája A kinematika a mechanikának az az ága, amely a mozgásoknak csak a leírásával foglalkozik anélkül, hogy a mozgások keletkezését, okát vizsgálná. A kinematikát (és később a kinetikát is) a mozgó anyagi test jellege szerint osztályozhatjuk, beszélünk az anyagi pont az anyagi pontrendszer és a merev test mozgásáról. A mozgó testet akkor

tekintjük anyagi pontnak (tömegpontnak), ha méretei a mozgás méreteihez képest elhanyagolhatóan kicsinyek. Ilyenkor az egész test mozgását egyetlen pontjának mozgásával jellemezhetjük. Hogy egy test anyagi pontnak tekinthető-e, az tehát a vizsgált mozgástól függ. Például egy bolygó a Nap körüli mozgását tekintve anyagi pontnak tekinthető, de a tengelye körüli forgását vizsgálva már nem. A haladó test egyetlen ponttal helyettesíthető, ha a test egy pontjának mozgását ismerjük, akkor az egész test haladó mozgását ismerjük. A kinematikában az anyagi pont és a merev test mozgásviszonyait tárgyaljuk, az anyagi pontrendszerekkel csak a kinetikában foglalkozunk. Az anyagi pont helyzetét és mozgását a térben mindig valamely koordinátarendszerhez képest kell megadni, illetőleg vizsgálni. A műszaki gyakorlatban a Földhöz kötött koordinátarendszert használjuk. Valamely tetszőlegesen megválasztott koordinátarendszerben az anyagi

pont pillanatnyi helyzete a r = r (t ) vektor-skalár függvénnyel adható meg. (41 ábra) r = O P = xi + yj + zk z P r(t) 0 y x 4.1 ábra 1.1 ábra 123 Az anyagi pont mozgása kinematikailag meghatározott, ha az r vektort mint az idő függvényét ismerjük, pl. derékszögű koordinátákkal kifejezve; x = x(t ); y = y (t ); z = z (t ) Az r = r (t ) összefüggést mozgástörvénynek nevezzük. Ez a függvény folytonos A mozgó pont által befutott folyamatos görbét pályának nevezzük. Matematika szemszögéből nézve a r = r (t ) függvény a térgöbe paraméteres egyenlete. A mozgások leírásának egy további lehetősége, hogy megadjuk a pályát és azt, hogy valamely pontjából indulva mekkora s utat fut be t idő alatt. Így a mozgást az s = s(t) alakú mozgástörvény jellemzi. Az s út előjeles skalár mennyiség. A1 A t + s t1=t+ t - 0 s pálya ábra 4.212 ábra A mozgások a pálya alakja szerint osztályozhatók. Így beszélünk

egyenes vonalú mozgásról, körmozgásról, síkmozgásról. Az anyagi pont mozgása három adattal jellemezhető, három szabadságfoka van. (pl x, y, z) Az anyagi pont mozgásának igen fontos jellemzője az időegység alatt befutott út, a sebesség. Először vizsgáljuk meg a közepes sebesség fogalmát. A tömegpont a mozgás során t = t1 időpontban legyen az A pontban, a t 2 = t1 + ∆t időpontban pedig a B pontban. (43 ábra) 124 z A r B r1 r2 0 y x 1.3ábra ábra 4.3 A két pont helyzetét az r1 és r2 vektorok határozzák meg. A (t1 , t 2 ) időszakban a tömegpont mozgására jellemző ∆r = r2 − r1 vekort elmozdulás vektornak nevezzük. A vk = ∆r hányadost közepes sebességnek nevezzük. Dimenziója [ms-1] ∆t A közepes sebesség párhuzamos az elmozdulás vektorral. A v k közepes sebesség az AB szakaszon végbemenő mozgásról csak közelítő képet ad. Ha a ∆t értékét minden határon túl csökkentjük, úgy a v k közepes

sebesség határértéke hú képet ad a mozgásról a t1 időpontban, illetve az A pontban. 4.11 Sebesség A közepes sebesség határértéke a v v = lim v k = lim ∆t 0 ∆t 0 ∆r d r ⋅ = = ∆t dt r vektor a mozgás sebessége a t = t1 időpontban. Ha a mozgástörvény az ívkoordináta segítségével adott: r = r (s ); s = s (t ) v = lim ∆t 0 ∆r ∆r ∆s = lim = ev ∆t ∆t 0 ∆s ∆t e= dr , az érintő egységvektor ds v= ds a pályasebesség. dt 125 A sebességvektor a pálya érintőjével párhuzamos. A változásáról szemléletes képet kapunk, ha a sebességvektorokat közös pontból felmérjük. A sebességvektorok végpontja egy görbét határoz meg az ún. hodográfot (44 ábra) pálya A hodográf v y r1 r B v v+ v v+ v r+ r x 4.4 1.4ábra ábra 4.12 Gyorsulás Ha a sebesség az időben nem állandó, akkor változó mozgásról beszélünk. a = lim ∆t 0 ∆v dv d 2 r && = = 2 =r ∆t dt dt A gyorsulás a hodográf

érintője. Ha a mozgástörvény az ívkoordináta függvényében adott, a gyorsulásvektor a következő alakban írható. a = lim ∆t 0 Mivel:   ∆ (ve ) = lim  ∆v e + v ∆e  = a1e + limv ∆e ∆s = at e + a n n ∆t ∆t ∆s ∆t  ∆t 0  ∆t ∆t ∆e n = ∆s ρ ρ – a pálya görbületi sugara, megegyezik a simuló kör sugarával at – pályamenti vagy tangenciális gyorsulás an = A tömegpont egy adott helyén az v2 ρ a n normális gyorsulás mindig a pálya görbületi középpontja felé mutat. Az egyenes vonalú mozgás Az egyenes vonalú mozgás pályája egyenes vonal, amit azonosnak tekinthetünk a koordinátarendszer x tengelyével, így a mozgástörvény r (t ) = x(t )i ; x(t ) = s (t ) alakban írható. 126 Beszélhetünk egyenes vonalú és változó mozgásról. t0 x0 t x x 1.5 ábra 4.5 ábra Egyenletes mozgás esetén a sebesség nagysága állandó, tehát a= v = v0 = const; dv =0 dt A kinematikai

vizsgálatok célja a mozgás három jellemzőjének előállítása az idő függvényében. A három időfüggvény a következő: út, sebesség, és gyorsulás. Egyenletes mozgás esetén: x = x(t) = x0 + v0 . t v = v(t) = v0 = const a = a(t) = 0 A három függvényt grafikusan is szokás ábrázolni, ezeket kinematikai vagy foronómiai görbének nevezzük. x x0 t v v0 t a a=0 t 1.6 ábra 4.6 ábra Egyenletesen változó, egyenes vonalú mozgásnál a sebességváltozás az idővel arányos, így a = a(t) = const 127 A mozgástörvény a következő alakú lesz: x = x0 + v0 t + a 2 t 2 A sebesség-függvény: v = v0 + a t Az egyenletesen változó mozgás foronómiai görbéit egy példa kapcsán tanulmányozzuk. 4.1 Példa A metró-szerelvény két, 1 km távolságban levő megálló között 20 másodpercig gyorsít, illetve lassít. A gyorsítás, illetve lassítás mértéke 1m/s2 A közbenső 30 másodpercben egyenletesen mozog a szerelvény. Rajzoljuk meg a

foronómiai görbéket a számszerű értékek meghatározásával. A gyorsítás és lassítás útja at 2 1 ⋅ 20 2 = = 200 m 2 2 s1 = s3 = s(m) 1000 200 t (s) v(m/s) 20 10 a(m/s2) 20 50 70 t +1 t -1 1.7ábra ábra 4.7 Az egyenletes sebesség: v= s 600 = = 20 m / s t 30 128 4.13 A körmozgás Ha egy anyagi pont valamely síkban úgy végzi mozgását, hogy közben egy kijelölt pontból azonos r távolságra marad, akkor körmozgást végez. A mozgás pályája egy 0 középpontú és r sugarú kör. Az út-idő függvényt a befutott íven s = s(t) alakban adhatjuk meg. s=rϕ A r + 0 s ϕ B an v 4.8 ábra 1.8 ábra Ha a mozgó pont a körpálya A pontjából a B pontba jut, közben az íven s utat tesz meg. Egyenletes körmozgásról akkor beszélünk, ha a mozgás során a pályasebesség nagysága nem változik, tehát ds = const dt ds dϕ v= =r = rω dt dt v =v= A mozgás három időfüggvénye felírható kerületi és poláris jellemzőkkel is s = s (t )

= s 0 + v0 t v = v(t ) = v 0 = const at = 0 ϕ = ϕ (t ) = ϕ 0 + ω 0 t ω 0 = ω (t ) = const α = 0 szöggyorsulás A körmozgás mozgástörvénye felírható még a következőképpen is: r (ϕ ) = R(i cos ϕ + j sin ϕ ) 129 y v = áll R r s ϕ 0 an x 4.9 1.9 ábra ábra r (t ) = R[i cos(ϕ 0 + ω 0 t ) + j sin (ϕ 0 + ω 0 t )] ϖ - szögsebesség, vektormennyiség a pályasíkra merőleges és az 0 ponthoz köthető, mértékegysége: 1/s. v = ϖ 0 xr A tömegpont gyorsulása: A kapott gyorsulás érték a pálya középpontja elé mutat a pontbeli normálissal párhuzamosan. A körmozgás egyenletesen gyorsuló, ha szöggyorsulás α = áll. Ebben az esetben 1 2 ϕ = ϕ 0 + ω 0 t + αt 2 A tangenciális gyorsulás most nem 0, hanem at = r α 130 4.14 Harmonikus rezgőmozgás A harmonikus rezgőmozgás értelmezhető, mint a körmozgás vetülete. ω y m • s ω.t 0 ábra .10 ábra 14.10 Egyszerű kísérlettel igazolható, hogy a

függőleges síkban megfelelő fordulatszámú egyenletes körmozgást végző pontszerű test vetülete és a rugóra függesztett golyó rezgése egyforma. y = r sin ω t Legyen r = A, a legnagyobb kitérés így: y = A sin ω t A rezgő test sebességét a kormozgás sebességének vetülete adja v = A ω . cos ω t A normálirányú gyorsulás vetülete pedig: a = -Aω2 sinωt = -ω2 y Rezgésidőnek vagy periódusidőnek nevezzük azt az időt, amely alatt az y értéke megegyezik a kitérés kezdeti értékével. T= 2π ω A frekvencia pedig a rezgésidő reciproka: f = 1 T 131 4.15 Hajítás A ferde hajítás két mozgás eredőjeként fogható fel. Vízszintes irányban mint egyenletes mozgás, amikor is a tömegpont v0x sebességével halad, függőleges irányban pedig egyenletesen változó mozgásról beszélhetünk, amikor is az induló sebesség v0y és a gyorsulás pedig g az ún. nehézségi gyorsulás y v0 v0y vc=v0x C α A g v0x parabola H h0 B

vBx=v0x vBy L 4.11ábra ábra 1.11 A vízszintes, illetve függőleges mozgásegyenletek: x = (v0 cos α ) t y = h0 + (v0 sin α ) t − g 2 t 2 Ha az első egyenletből a t értékét a másikba helyettesítjük, a pályagörbe egyenletét kapjuk. y = xtgα − x 2 g + h0 2v cos 2 α 2 0 Ez az összefüggés egy parabola egyenlete. A mozgáspálya v 0 és g vektorok síkjába eső parabola lesz. A mozgáspályára vonatkozó levezetésünk csak légüres térre érvényes, ha a légellenállást is figyelembe vennénk akkor ún. ballisztikus görbét kapunk A hajítási feladatok megoldásánál a következő kérdésekre kell válaszolunk. 132 Mennyi ideig tart a mozgás, milyen magasra emelkedik az anyagi pont és mekkora a megtett út vízszintes távolsága. Először határozzuk meg az emelkedés t1 idejét és az emelkedés H magasságát. A test addig emelkedik, amíg s függőleges irányú sebességkoordináta zérus nem lesz. v y = v0 ⋅ sin α − g ⋅ t1 = 0

Az emelkedés ideje: t1 = v0 ⋅ sin α g A legnagyobb emelkedés magasságára írható az egyenesvonalú, egyenletes mozgás képlete alapján: H = h0 + v0 y ⋅ t1 − v 2 ⋅ sin 2 α 1 g ⋅ t12 = h0 + 0 2 2g A C pontból a B pontba annyi idő alatt ér le az anyagi pont, mintha függőlegesen leesne. Így az esés ideje: t2 = 2H g A mozgás ideje tehát t = t1 + t2 A mozgás vízszintes távolsága ezek után meghatározható: L = v 0 cos α ⋅ t 4.2 Példa A vízszintes talaj fölött h0 = 100 m magasságban lévő A pontból anyagi pontot hajítunk el a vízszintessel α = 300-os szöget bezáró v0 = 80 m/sec sebességgel. (4.11 ábra) Határozza meg az emelkedés és az esés idejét. Milyen magasra (H) emelkedik az anyagi pont? Mekkora a hajítás vízszintes távolsága (L)? A számításokban g = 10 m/s2 Megoldás A sebesség összetevők: v0 x = v0 ⋅ cos α = 69,28 m / s v0 y = v 0 sin α = 40 m / s Az emelkedés ideje: 133 t1 = v0 y g =4s A legnagyobb

emelkedési magasság: H = h0 + v0 y ⋅ t1 − 1 1 g ⋅ t12 = 100 + 40 ⋅ 4 − 10 ⋅ 4 2 = 180 m 2 2− Az esés ideje: t2 = 2H 360 = =6s g 10 A mozgás ideje: t = t1 + t 2 = 10 sec A hajítás vízszintes távolsága: L = v 0 x ⋅ t = 69,28 ⋅ 10 = 692,8 m Sok esetben a mozgás sebesség idő függvénye ismert, nézzük meg egy egyenesvonalú mozgás esetén, hogyan határozható meg a megtett út. 4.16 A távolság vagy megtett út meghatározása Ha egyenletes mozgással van dolgunk, a tömegpont sebessége és az eltelt idő alapján a megtett út számolható x = s = v0 t Nehezebb a feladat, ha a sebesség változik. Ha pl egy gépkocsi által megtett utat akarjuk meghatározni, akkor percenként vagy félpercenként leolvassuk a sebességmérőt. Így a megtett út számolható: s = ∑ v(t i )∆t A számítás nem ad pontos eredményt, mert a ∆t idő alatt a sebesség változik egy kicsit. A ∆t csökkentése révén a pontosság fokozható, a pontos s érték

s = lim ∑ v(t1 )∆t ∆t 0 A matematikus erre a határértékre – a differenciálhoz hasonlóan – egy szimbólumot vezettek be, ez pedig az integrál jel. t1 s = ∫ v(t )dt t0 A fentiek azt is jelentik, hogy a v(t) diagram alatti terület a megtett úttal arányos, ha v(t) > 0. 134 de pl. a 412 ábrának megfelelően t2 ∫ v(t )dt = 0 t0 v t t0 t1 t2 4.12 1.12 ábra ami a kezdőponttól való elmozdulás, de a megtett út t1 s = 2 ∫ v(t )dt t0 4.2 A merev test kinematikája A merev test olyan képzelt test, amely alakját és méreteit a mozgás során nem változtatja. A merev test kinematikájának feladata a merev test mozgásának, helyzet változásának leírása. Általános esetben a test mozgását három, nem egy egyenesbe eső pontjának mozgása meghatározza. A három pont koordinátájának minden időpontban való ismerete természetesen nem kilenc ismeretlen meghatározását feltételezi (kilenc koordináta) ui. a pontok távolsága a

mozgás során állandó A merev test mozgását 6 független adat egyértelműen meghatározza, ezért mondjuk, hogy a merev test szabadságfoka: 6. 135 z D A rA C rC rB B A y x 1.13 4.13ábra ábra A 4.13 ábrán látható három pont egy tetszőlegesen kijelölt D pont helyzetét egyértelműen meghatározza bármely időpontban ui. a pontok relatív távolsága nem változik. Gondoljunk arra, hogy a négy pont tetraédert határoz meg és ha egy lapját kijelölő háromszög ismert, a tetraéder negyedik pontja egyértelműen meghatározott. Mivel a merev test két pontjának távolsága nem változik a mozgás során, így a távolság négyzete sem. d 2 rAB = 2rAB v AB = 2rAB (v B − v A ) = 0 dt A fenti feltétel két esetben teljesül, ha v B = v A illetve ha v A = 0 és v B ⊥ v AB − re. Ekkor legyen v B = ϖ x rAB Az első esetben haladó mozgásról beszélünk, a másik esetben tengely körüli forgó mozgásról. 4.21 Sebességállapot A

legáltalánosabb eset, ha a merev test egy adott v A sebességgel mozgó tengely körül forog, vagyis: v B = v A + ϖ x rAB Ha ismerjük a merev test összes pontjának sebességét, akkor ismerjük a sebességállapotát. A fenti képlet alapján a vA és ϖ ismeretében bármely pont sebessége meghatározható, természetesen a merev test geometriáját ismertnek tételezzük fel. 136 4.22 Gyorsulás állapot Ha az A pont mozgásjellemzőit ismerjük, abból B pont gyorsulását is meghatározhatjuk. ω α z ω A rA vA aA rAB rB B α aB vB y x 4.14 1.14 ábra ábra A B pont gyorsulása az alábbiak szerint írható (levezetés nélkül) a B = a A + α x rAB + ϖ x(ϖ x rAB ) A merev test elemi mozgásai. A merev test mozgása végtelen kis mozgások sorozata Az ilyen rövid ideig tartó végtelen kis mozgást elemi mozgásnak nevezzük. A valóságban a testek véges mozgásokat végeznek. A merev elemi mozgásai a haladó és a forgó mozgások. A

haladó mozgást szokás még transzlációnak is nevezni. Ha egy merev test haladó mozgást végez, akkor a tetszőlegesen kiválasztott két pontja által meghatározott egyenes vonaldarab mozgás közben önmagával mindig párhuzamos marad. A haladó mozgás végző test mozgásának leírásához elegendő egyetlen pontjának mozgását ismerni. A merev testről akkor mondjuk, hogy helytálló (fix) tengely körül forgó mozgást végez, ha a két pontja a mozgás során mindvégig nyugalomba marad. 4.23 Elemi összetett mozgások Haladó mozgások összetétele. Ha a test egyidejűen több haladó mozgást végez, akkor az eredő mozgás ismét haladó mozgás lesz, és az eredő mozgás sebességvektora a komponens mozgások sebességvektorainak eredője. Az elemi haladó mozgások összetételének problémája jelentkezik a folyón való átkelésnél is. 137 Az egyik elemi haladó mozgást a víz végzi, mely magával sodorja a hajót v1 sebességgel, a másik elemi

haladó mozgást a hajó végzi, melynek sebessége v 2 B v2 ve v1 v1 A 4.15 ábra 1.15 ábra Elemi forgó mozgások összetétele. Két egymást metsző tengely körül végbemenő egyidejű forgás eredő mozgása forgás, a forgás szögsebességét és ezzel tengelyét is a vektor paralelogramma átlója adja. A forgások összetételére az 4.16 ábrán mutatunk be példát R ω1 r ω 0 ω2 A 4.16 1.16 ábra ábra Az ábrán vázolt kerék a vízszintes tengely körül ω1 szögsebességgel és ugyanakkor az O pont körül ω2 szögsebességgel forog. Az eredő szögsebességet a szögsebesség vektorok vektoriális összege adja. A következőkben tárgyalt síkmozgás az elemi haladó és forgó mozgások összetételéből származtatható le. 4.24 A merev test síkmozgása Ha egy merev test úgy mozog, hogy minden pontja síkgörbét ír le és ezen görbék síkjai mind párhuzamosak az alapsíkkal, akkor a mozgást síkmozgásnak nevezzük. A 138

síkmozgást végző merev testnek a mozgásállapota egyértelműen meghatározott, ha ismerjük két pontjának egymástól független mozgását. Mivel az ϖ és α vektorok az alapsíkra merőlegesek, ezért elegendő ezeket skalár mennyiségként kezelni. Az xy síkkal párhuzamos mozgás esetén ϖ = ωk ; α = αk vB y oV A ω rAB rA vA vB vA ω×rAB B rB x 4.17 ábra 1.17 ábra Egy tetszőleges B pont sebességvektora v B = v A + ϖxrAB A fenti vektoregyenletet a 4.17 ábrán meg is szerkesztettük Keressünk olyan P pontot, amely haladó mozgást nem végez, tehát v P = 0 = v A + ϖxrAP Ilyen pont mindig van, hiszen rAP xϖ = v A . A P pontot meghatározó helyvektor merőleges a v A − ra. A pillanatnyi forgástengely P döféspontját sebességpólusnak is nevezzük. Skalár összefüggés alapján: rAP = vA ω A síkbeli mozgás megadásához három adatra van szükség. A három adat a következő: vAx xP vAx vAy yP vAy ω ω vB hatásvonala

4.3 Példa Adott az 4.18 ábrán lévő rúd alakú merev test A pontjának sebessége vA = 2 m/s és ϕ=300, valamint a szögsebesség ω = 1/s. Határozzuk meg a pillanatnyi forgástengely helyzetét és a rúd B pontjának sebességét, ha AB = 2,5 m . 139 vA A N vN αϕ B vBx vAx vB β P 4.18 1.18 ábra vA 2 =2m ω 1 NP = rN = rA cos ϕ = 2 ⋅ 0,866 = 1,732 AP = rA = = AN = rA ⋅ sin ϕ = 1m NB = AB − AN = 1,5 m rB = rN 1,73 = = 2,3 m cos β cos 410 tgβ = NB = 0,865 ; β = 410 rN v B = ωrB = 2,2 m / s A példa kapcsán megfigyelhető, hogy a rúd irányába eső sebesség-összetevők nagysága és iránya megegyezik. Ez a rúdirányú sebességek tétele Egyszerű összefüggés írható fel a síkmozgást végző merev test pontjainak gyorsulása között is. Az előzőekben felírt összefüggés: a B = a A + z x rAb − ω 2 rAB Gyorsuláspólusnak nevezzük a síkmozgást végző merev test azon pontját, melynek a gyorsulása zérus. 140 4.4

Példa A 4.19 ábrán látható r = 1 m sugarú korong a síkjára merőleges tengely körül forog A kerületén lévő A pontjának sebessége és gyorsulása ismert. y B y B vB 45° 45° aB r A rPB A P x 45° 45° vA aA vA aA x a A=2m/s 2 vA=1,5m/s 4.19 ábra 1.19ábra ábra 4.19 Határozzuk meg a forgáspontot (P), valamint a jelölt B pont sebességét és gyorsulását. Mivel a korong P pont körül forog a P pont a sebességpólus. A sebességpólus helye: rAP = vA ω A gyorsulás két összetevője, a tangenciális és normális gyorsulások nagysága megegyezik: at = a n = a A sin 45 0 = 1 ⋅ 414 m / s 2 a n = rAP ω 2 v A = ωrAP = ω= an ω2 a n 1,414 1 = = 0,94 vA s 1,5 A sebességpólus helye: rAP = 1,591 m 141 A forgás szöggyorsulása: α= a t 1,414 1 = = 0,889 2 a B Pont gyorsulása: rAP 1,591 s a B = a A + αxrAB − ω 2 rAB rAB = li + lj [m] r AB = i + j [m] a B = (1,414i − 1,414 j ) + 0,889 ⋅ k x(i + j ) = −0,364i −

1,414 j a B = 0,13 + 2 = 1,46 m s2 m s2 4.25 Kulisszás hajtómű kinematikája A szerkezetek kinematikai vizsgálata nagy fontosságú a gépészetben. A szerkezet definiciója: Kényszerekkel alkalmas módon egymáshoz és az álló környezethez kapcsolt testek összessége, amelyek erőfelvételre vagy erő továbbításra alkalmasak. A most vizsgált szerkezet labilis és egy szabadságfokú. vA ϕ A ω0 r ϕ B 1.20 4.20ábra ábra A kulisszás hajtómű a forgó mozgást egyenes vonalúvá alakítja át. Határozzuk meg a B pont mozgásjellemzőit, ha a forgattyúkar állandó szögsebességgel forog. A B pont sebessége: v B = v A ⋅ sin ϕ = r ⋅ ω 0 ⋅ sin ω 0 t A B gyorsulása: aB = dv B = r ⋅ ω 02 ⋅ cos ω 0 ⋅ t dt 142 Az út idő függvény integrálással állítható elő: t  1  x B = ∫ v B (t )dr = r ⋅ ω 0 ∫ sin ω 0 t dt = r ⋅ ω 0 − cos ω 0 t  = r (1 − cos ω 0 t )  ω0 0 0 0 t t A fentiek alapján

rajzoljuk meg a kulisszamozgás kinematikai diagramjait (foronómiai görbéit). A diagrammok a 421 ábrán láthatók xB 2r r ϕ=ω0t vB rω ϕ=ω0t -rω aB 2 rω 2 -rω π 2 π 3π 2 2π ϕ=ω0t 4.21 1.21 ábra ábra 143 5. Kinetika 5.1 Tömegpont kinetikája A kinetika (dinamika) mélyebben hatol a mozgások vizsgálatába, mint a kinematika, mert a mozgás okát is kutatja, és célja, hogy a mozgás okának ismeretében a mozgást meghatározza. A kinetikát néhány alaptételre építhetjük fel Ezeket Newton foglalta egységes rendszerbe l687-ben, azóta Newton-törvények a szokásos megnevezésük. I. Minden test megmarad nyugvó vagy egyenes vonalú, egyenletes mozgó állapotában, amíg egy ráható erő mozgásállapotát meg nem változtatja. II. A mozgás változása egyenesen arányos a mozgató erővel, és abban az egyenes vonalban történik, amelyben az erő hat. III Két testnek az egymásra gyakorolt hatásai mindig egyenlők és ellentétes

értelműek. A mozgásváltozást Newton az I = m ⋅ v szorzattal méri, a törvény a mozgásmennyiség változására vonatkozik. A mozgásmennyiséget szokás még impulzusnak vagy lendületnek is nevezni. 5.11 Impulzus tétel A kinetika alaptörvénye tehát, ha m = állandó: F = ∆I ∆v = m⋅ = m⋅a ∆t ∆t A tömegpont az Fi = (i = 1,2.n ) erők együttes hatására úgy mozog, mint egyetlen, az erőkkel egyenértékű erő hatására. Ezt az összefüggést impulzus-tételnek hívjuk 5.1 Példa A G = 10,0 kN súlyú terhet kötéllel a = 4 m/s2 gyorsulással bocsátjuk le. Mekkora erő ébred a kötélben? g = 10 m/s2 144 K m a ( G>K ) G 5.1 ábra ábra 2.1 2 ∑F 1 i =1 = G + K = m⋅a G − K = m⋅a Megoldás:  a K = m ⋅ g 1 −  = 10 ⋅ 0,6 = 6,0 kN g  Mérnöki gyakorlatban a kinetika alaptörvényét az alábbi alakban írjuk: F − m⋅a = 0 A (− m ⋅ a ) kifejezést tehetetlenségi vagy inercia-erőnek

szokás nevezni. Az inercia-erő fogalmának bevezetése után D’Alambert elve tehát: a tömegponton a valóban működő erők eredője és a képzeletbeli inercia-erő egyensúlyt tart. Például, ha egy m tömegű anyagi pontot v fonalhoz rögzítünk és az körpályán mozog, a a n m R tömegpontra (ha a súlyt elhanyagoljuk) csak a fonalerő hat. Ezt centripetáliserőnek hívjuk Fcp = m ⋅ a FCP a 2.2 bra 5.2áábra A két erőrendszer eredője egyenértékű! D’Alambert elve értelmében: a FCF Fcf = m ⋅ a = m ⋅ v2 ⋅n R 145 ahol n sugárirányú, a kör középpontjából kifelé mutató egységvektor. Az inercia-erőt itt centrifugális erőnek is hívjuk. A kinetika alaptörvényének egy másik alakja: ∆(m ⋅ v ) = ∑ Fi ∆t i ∆(m ⋅ v ) = ∑ F ⋅ ∆t i m ⋅ v 2 − m ⋅ v1 = ∑ F ⋅ ∆t i 5.2 Példa 200 tonna tömegű induló vonat K = 60 kN vonóerő hatására és E = 20 kN vonatra ható ellenállás esetén mennyi idő

alatt gyorsul fel v = 10 m/s = 36 km/h sebességre? Fgyorsító = 40kN F ⋅ t1 = m ⋅ v1 t1 = 200 ⋅ 10 3 ⋅ 10 = 50 sec 40 ⋅ 10 3 5.12 Perdület-tétel Ha a kinetika alapegyenletét r helyvektort 0 kezdőponttól mérjük, akkor az egyenlet jobb oldalán az 0 pontra számított nyomatékot kapjuk. r xF = M Legyen impulzus nyomatéke Π = r xm ⋅ v , más néven perdület. A perdület megváltozása: ∆ (r x m ⋅ v ) ∆r ∆(m ⋅ v ) = − x m⋅v + r x ∆t ∆t ∆t ∆r v ∆t az első tag 0, mert így aódik a perülettétel. ∆Π =M ∆t vagy D = ∑ M 1 1 D - a perdület derivált vagy Π 2 − Π1 = ∑ M 1 ⋅ ∆t i A tömegpont tetszőleges pontra vett perdületének változása az időegység alatt a tömegpontra ható erőnek ugyanarra a pontra számított nyomatékával egyenlő. Ezt nevezzük perdülettételnek. 146 5.13 A munkatétel Az m tömegpontra ható erőnek munkája ∆W . P1 s ∆W = F ⋅ ∆r = F ⋅ cos ϕ ⋅ ∆s F m r

ϕ Az erőnek csak az elmozdulás P2 s F irányába eső komponense végez munkát. r2 FT FN FT = F ⋅ cos ϕ r+ r r FT ≅ m ⋅ 0 m ⋅ v2 FT ⋅ ∆s = m ⋅ v ⋅ ∆v = ∆ 2 r1=r(t1) r2=r(t2) 5.2 ábra 2.2 ábra ( ) ∆v ∆v ∆s ∆v = m⋅ = m⋅v⋅ ∆t ∆s ∆t ∆s Mert [ ] [ ] 1 1 1  1 1 2 ∆ mv 2  = m∆ v 2 = m (v + ∆v ) − v 2 = m 2v∆v + ∆v 2 ≈ m ⋅ 2v ⋅ ∆v 2 2 2  2 2 F ⋅ ∆r = FT ⋅ ∆s W = ∑ Fi ⋅ ∆ri = i Az m ⋅ v 22 m ⋅ v12 − 2 2 m ⋅ v2 mennyiség a mozgási vagy kinetikai energia. Jelölése: T 2 A munkatétel tehát: a tömegpont kinetikus energiájának változása a tömegpontra ható erő munkájával egyenlő. T2 − T1 = W1, 2 147 5.14 Teljesítmény z A v F sebességgel mozgó m tömegű pontra F erő hat. m A teljesítmény: P = F ⋅ v P roP energiatételt kapjuk: F P 0 A munkatételt más alakban írva az vP y x 5.3 ábra 2.3 ábra ∆ 1 ∆v 2 1 ∆v = m⋅ =

m⋅2⋅ ⋅v = m⋅a ⋅v = P ∆t 2 ∆t 2 ∆t A tömegpont mozgási energiájának az idő szerint deriváltja (azaz megváltozása) a tömegpontra ható erők teljesítményével egyenlő. Az F erő [t1 , t 2 ] időszakaszban végzett munkája: W1, 2 = ∑ P ⋅ ∆t i 5.3 Példa A tömegpont kényszerek hatására egyenes vonalú mozgást végez. Adatok: Kérdés: m . g = 30 N ϕ=? g = 10 m/s2 Fa = ? a = 3,4 m / s 2 Fa – támaszerő Fα A x α a y Súrlódás nincs. ϕ α m⋅g 5.4 2.4 ábra Megoldás. Impulzustétellel: m ⋅ a = G + Fa m ⋅ a = m ⋅ g ⋅ sin ϕ − Sα ahol Sa a súrlódási erő, most Sα = 0 0 = −m ⋅ g ⋅ cos ϕ + Fα ϕ = 19 0 50 és Fα = 28,2 N 148 5.4 Példa Szabadmozgás Adatok: v A = 10 m / s; α = 60 0 ; h = 1,8 m; G = 4 N ; g = 10 m / s 2 Kérdések: becsapódási sebesség vB = ? ; H = ? A munkatételből: TB − T A = W A , B 1 1 m ⋅ v B2 − m ⋅ v A2 = −G ⋅ h 2 2 v B = v A2 − 2 gh = 100 − 36 = 8m / s 1

1 m ⋅ vc2 − m ⋅ v A2 = − m ⋅ g ⋅ H 2 2 H = 3,75 m C H’ B H VA A h α G 2.5 ábra 5.5 ábra 149 5.5 Példa Matematikai inga Az inga m tömegű tömegpontból és Súlytalan rúdból áll. at = ? ϕ Da = M a − R ⋅ m ⋅ at = R ⋅ m ⋅ g ⋅ sin ϕ l=R at = − g ⋅ sin ϕ n a e m e m⋅g 5.6 ábra 5.6 ábra 2.6 ábra 5.2 Az anyagi pontrendszer kinetikája Az anyagi (tömeg) pontra megismert törvényszerűségek kissé általánosíthatók, ha egy időben több tömegpontot vizsgálunk. A vizsgált pontrendszerek egyik csoportja a különálló (diszkrét) tömegpontok általános pontrendszere. A tömegpontok általában szabadon mozoghatnak, egymásra azonban valamiféle erőt fejtenek ki, és éppen ezek az erők fűzik a tömegpontokat pontrendszerré. A rendszernek állandóan ugyanazon pontokból kell állnia. Ilyen pontrendszer, például a Naprendszer bolygóival és holdjaival. A pontrendszer másik csoportja az általános pontrendszer

egyik egyszerű esete: a merev test. A merev testek esetében a képzeletbeli tömegpontok közé merev, de elhanyagolható tömegű rudakat kell képzelni. Az n tömegpontból álló pontrendszer minden pontjára írható: m ∆2 r = Fk + Fb ∆t 2 ahol a tetszőleges tömegpont tömege m, a külső erők eredője Fk , a belsőké pedig FB . Az egyenleteket összeadva: ∆2 r ∑ m ∆t 2 = ∑ Fkt 150 ∑F A belső erők B eredője eltűnik, mert a belső erők egyensúlyban lévő erőrendszert alkotnak. A pontrendszer mozgását a tömeg középpontjának mozgásával jellemezhetjük. A tömegközéppont, mint egy súlyozott átlag a következő képlettel számolható: n rTKP = ∑m r i i i =1 n ∑m i =1 i rTKP -a tömegközéppont (súlypont) helyvektora. A tömegpontra felírt impulzus-tétel alkalmazható tömegpontrenszerre is, ha az egyik oldalon a tömegpontrendszerre ható erők eredőjét vesszük, a másik oldalon pedig az össztömeget és a

tömegközéppont (súlypont) gyorsulását. ∑F ki = MaTKP M = ∑ mi A tömegpontra felírt perdület- és munkatétel is általánosítható pontrendszerre, de ezek a tételek a merev testre felírt tételekhez hasonlóak, ezért itt most nem tárgyaljuk. 5.3 Merev testek kinetikája A merev test z mozgása mindig előállítható egy haladó és egy forgó ω mozgás eredőjeként. A haladó mozgás tömegközéppontjának a vi test mozgásával k leírható és így vizsgálata megegyezik a tömegpont kinetikájával. mi Vizsgáljuk meg a merev test forgó mozgását (5.7 ri ábra) vi = ω xri vagy skalárisan vi = k i ⋅ ω i z 5.7 2.7ábra ábra 151 A kinetikus energia: T= 1 1 ω2 2 2 2 m ⋅ v = m ⋅ k ⋅ ω = ∑ i i 2 ∑i i i i 2 2 i ∑m Iz – a z-tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték. i ⋅ k i2 = 1 I z ⋅ω 2 2 [ ] A tehetetlenségi nyomaték mértékegysége: [I ] = [M ] ⋅ k 2 = kg ⋅ m 2 . A merev test

általános mozgását a súlypont sebességével haladó és egy a súlyponti tengely körül forgó mozgás eredőjeként tekintjük. T= 1 1 ⋅ M ⋅ v s2 + ⋅ I s ⋅ ω 2 2 2 Háromféle tehetetlenségi nyomatékot szoktak Megkülönböztetni. a. síkpárra számított: I xy = ∑ m ⋅ z 2 b.tengelyre számított: I x = ∑ m ⋅ rx2 p c. pontra számított : I0 = ∑ m ⋅ r 2 r = rx2 + ry2 + rz2 z m ry rz rx 0 y x 5.8 ábra 2.8 ábra 152 Néhány egyszerű test tehetetlenségi nyomatéka a súlyponti tengelyekre: s1 S 3/8l t l/4 mi = ρ ⋅ A ⋅ l 4 2 2 1  3   1   10 ⋅ l 2 m ⋅ l 2 2 ρ m k A l + ⋅ l = m ⋅ = 2 ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅       ∑ i i 4  8   8   128 12,8 i =1 n t l/2 rúd l/2 It = 1 12 ⋅ m ⋅l2 t henger R It = 1 ⋅ m ⋅ R2 2 It = 2 ⋅ m ⋅ R2 5 R gömb Steiner- tétel: a t S m d Ia = It + m ⋅ d 2 t a 153 5.31 A szabad tengely A tetszőleges

álló tengely körül forgó merev test tengelyére különböző erők hatnak. Ezek az erők részben a testre ható külső erőkből, részben a test tömegének tehetetlenségének révén, mint tömegerők hatnak. Magas fordulatszámnál, különösen ha a test tömege is jelentős, ezek a tömegerők igen nagyok lehetnek. A következőkben vizsgált merev test esetében hanyagoljuk el az aktív erőket (még a súlyerőt is) és a passzív erőktől is eltekinthetünk, ha a csapágyazást surlódásmentesnek tekintjük. A tengelyre ilyen körülmények között csak a tömeg forgásából származó tömegerők hatnak. Minden merev test esetén található olyan tengely (összesen három), amely körül forgatva a testre semmiféle erő nem hat. Az ilyen tengelyt szabad tengelynek nevezzük. Az 5.9 ábrán feltüntetett merev test egy önkényesen választott x, y, z derékszögű koordináta rendszerben a z tengely körül forog. z ω B S A zy zx 0 ϕi zs zi ϕi xs ys y

xi x yi 5.9ábra ábra 2.9 Az mi tömegpont forgásából a tömegpontra ható tömegerő: Fci = mi ⋅ ri ⋅ ω 2 Ennek komponensei: FCix = mi ⋅ ri ω 2 ⋅ cos ϕ i = mi xi ω 2 FCiy = m ⋅ ri ω 2 ⋅ sin ϕ i = mi y i ω 2 154 Az elemi erők nyomatékai az x, y tengelyekre: mix = − FCiy ⋅ z i = mi y i z i ω 2 míy = − FCix ⋅ z i = mi xi z i ω 2 A fentiekben meghatároztuk az mi tömegpont hatását a tengelyre, most nézzük meg az egész tömeg hatását. FCx = ∑ FCix = ∑ mi xi ω 2 = m ⋅ x s ⋅ ω 2 FCy = ∑ FCiy = ∑ mi y i ω 2 = m ⋅ y s ω 2 Az eredő erő pedig: FC = FCx2 + FCy2 = m ⋅ ω 2 xC2 + y s2 = mrs ω 2 Az eredő centrifugális erő nagyságban akkora, mintha a teljes tömeg pontszerűen a súlypontban hatna. Nézzük meg most a nyomatékok összegét: M x = ∑ mmiy = −ω 2 ∑ mi y i z i = −ω 2 J yz J yz - itt az ún. síkpárrára számított tehetetlenségi nyomaték M y = ∑ miy = +ω 2 ⋅ ∑ mi xi z i = ω 2 J xz

Ezek után meghatározhatjuk a centrifugális erő hatásvonalát. A centrifugális erők eredője ún erőkereszt. Az Fcy esetében: zy = − ω 2 J yz Fcy Az Fcx esetében: zx = ω 2 ⋅ J xz Fcx A tárgyalt eset a legáltalánosabb, azonban segít megérteni azt a tényt, hogy egy forgó test kiegyensúlyozása két síkban történhet. Általában egy forgó test esetében azt szeretnénk elérni, hogy a forgás tengely un. szabad tengely vagy más néven tehetetlenségi főtengely legyen. A probléma tömeg hozzáadással, vagy elvétellel lehetséges. Az eljárást tömegkiegyensúlyozásnak nevezzük A gépkocsi kerekek kiegyensúlyozása tömeg hozzáadásával az un. felni két oldalán lehetséges. 155 Rögzített tengely körüli forgás: ri xvi = ri ⋅ vi Π = ∑ ri ⋅ I i = ∑ ri ⋅ mi ⋅ vi = ω ⋅ ∑ mi ⋅ ri 2 vi = ri ⋅ ω Π = I z ⋅ω A ∆t időegység alatti perdület változás: A szöggyorsulás: ∆Π Iz ⋅ ∆t ∆ϖ ; α= ∆t

Másrészről: ∆I ∆Π = ∑ ri ⋅ i = ∑ ri ⋅ Fi = M z ∆t ∆t i i 156 5.32 A perdület-tétel I z ⋅α = M z A fenti összefüggés a dinamika alaptörvényét kifejező F = m ⋅ a képlethez hasonlítható. 5. Példa y Fizikai inga (5.10 ábra) A vízszintes tengely körül n lengő, súlypontja felett A x ϕ0 felfüggesztett merev test adatai: sS 0 0 t S G = 100 N g = 10 m/s2 G S0 = 0,2 m ϕ0 = 600 m⋅at m⋅an m⋅as FA G ω0 = 4 l/s F An Is = 0,15 kgm2 5.10 ábra 2.10 5.10ábra ábra Határozza meg: as = ? FA = ? Az impulzus-tétel alkalmazásával: m ⋅ a s = ∑ F = G + FA ⋅n m ⋅ a sn = G cos ϕ 0 + FAN a sn = s0 ⋅ ω 02 = (0,2 ⋅ 16 = 3,2 m / s 2 FAN = 82 N A perület-tétel alkalmazásával: DA = M A I A = I s + s 02 ⋅ m = 0,15 + 0,04 ⋅ 10 = 0,55 kgm 2 I A ⋅α = M A G ⋅ s 0 ⋅ sin ϕ 0 α= = IA 3 2 = 31,45 1 0,55 s2 100 ⋅ 0,2 ⋅ a st = α ⋅ 0,2 = 6,3 m / s 2 157 Újra az impulzus-tételt alkalmazhatjuk: m

⋅ a s = G + FA ⋅t − m ⋅ a st = −G ⋅ sin ϕ 0 + FAT FAT = −10 ⋅ 6.3 + 100 ⋅ 3 = 23,6 N 2 FA = 23,6 ⋅ t + 82 ⋅ n N a s = 6,3t + 3,2n m s2 5.7 Példa A közös tengely körül forgó hengerek együttes tehetetlenségi nyomatéka: I = 1 2 Rr 2 , =0 Nms = 1 kgm 2m m 0,3 = R Határozza meg a szöggyorsulást és a kötélerőket! G1 = 300 N G2 = 400 N K 1 = G1 + m1 ⋅ a1 K 2 = G2 − m2 ⋅ a 2 M = K 2 ⋅ R − K1 ⋅ r = I ⋅ α a1 = r ⋅ α a 1 a1 , a2 = R ⋅ α a2 K1K 1 R ⋅ G2 − r ⋅ G1 = 10,34 s − 2 G1 2 G2 I+ ⋅r + ⋅ R2 g g K 1 = 362 , K 2 = 275 N K2 α= G 1 G1 G2 2.11 ábra 5.11 ábra 5.8 Példa A z tengely körül forog egy henger. Határozza meg a szöggyorsulást ! y Mz R = 0,4 m 2 g = 10 m/s A=S 0, R= 4m x M = 80 Nm m = 500 kg α=? 5.12 ábra 2.11 ábra A perdület-tétel felírásával: 158 M = I z ⋅α α = Mz Iz 1 1 ⋅ mR 2 = ⋅ 500 ⋅ 0,4 2 = 40 kgm 2 2 2 80 1 α= =2 2 40 s Iz = 5.9 Példa

Határozza meg a rendszer szöggyorsulását ! M0 = 1,5 kNm M0 G1= 0,5 kN I0 = 300 kgm2 m 0,5 R= R = 0,5 m t = 0 időpillanatban, v0= 2 m/s ω v G1 5.12 2.12ábra ábra A munkatétel az alábbiak szerint átalakítható: A rendszer kinetikus energiája a tetszőleges t időpillanatban T= J  2 1 1 2  m1 + 02 v = m0 ⋅ v 2 2 R  A kinetikus energiát differenciálva kapjuk: dT = m0 ⋅ v ⋅ a dt P = M 0 ⋅ ω − G1 ⋅ v P= A teher gyorsulására írható: M0 − G1 R a= m0 = 2 m / s 2 A kötéldob szöggyorsulása: α= a = 4 1/s2 R 159 5.33 Merev testek esetén Impulzus (vagy súlypont)-tétel m ⋅ as = F Azt jelenti, hogy a test úgy mozog külső erőrendszer hatására, mintha valamennyi erő az egész test a súlypontjába koncentrálódna. Perdülettétel: ∆π s = Ms ∆t 5.34 A testre vonatkozó munkatétel m ⋅ v s2 I s ⋅ ω 2 T= + 2 T2 − T1 = Wk 2 A merev test mozgási energiájának változása a külső erők munkájával

egyenlő. 5.10 Példa Az egyenletes tömegeloszlású súlyos rúd az egyik végén lévő 0 vízszintes tengely körül foroghat. Határozza meg a végpont v0 sebességét, ha az az A1 pontig lendül és ott megáll! 0 A1 S1 T2 − T1 = − m ⋅ g ⋅ l 2 1 ⋅m⋅l2 3 v ω= 0 l 2 l 1 1 2 v0 − ⋅ ⋅ m ⋅ l ⋅ 2 = −m ⋅ g ⋅ 2 3 2 l I0 = v0 v= 2 l v0 = 3 ⋅ g ⋅ l m⋅g A v0 5.13 ábra 2.13 ábra A rúd kezdeti energiája kifejezhető még: m ⋅ v s2 I s ⋅ ω 2 T1 = + 2 2 alakban is. 160 5.11 Példa Gördülés súrlódásos pályán. y y F0 S x m⋅g R Kx A Ky 5.14 2.14ábra ábra F0 − K x = m ⋅ a s Kx = µ ⋅m⋅ g m⋅ g = Ky ∑M α= 1 = 0 = K x ⋅ R − I s ⋅α = 0 Kx ⋅ R Is Ha a s = r ⋅ α , akkor csúszásmentes gördülésről beszélünk. Henger és golyó gördülése lejtőn. A lejtőre helyezett henger vagy golyó magára hagyva gördül lefelé gyorsuló mozgással a gyorsulás azonban – a tapasztalat

szerint – kisebbnek adódik g sinα-nál. R S ϕ P k m⋅g α 5.15 ábra 2.15 ábra 161 A gördülés a P pont körül történik. A nyomatékra írható: M p = m ⋅ g ⋅ k = m ⋅ g ⋅ R ⋅ sin α Írjuk fel a perdülettételt a P pontra: M p = I p ⋅α A szöggyorsulás kifejezhető a súlypont gyorsulásával α= a R A henger ill. a golyó súlypontjának gyorsulása m ⋅ R2 a= ⋅ g ⋅ sin α 1p A Steiner-tétel alkalmazásával a= m ⋅ R2 ⋅ g ⋅ sin α m ⋅ R2 + Is a= 5 ⋅ h ⋅ sin α 7 a= 2 ⋅ g ⋅ sin α 3 Így homogén gömbnél és tömör hengernél Egy üres hengernél (csőnél) a≈ 1 ⋅ g ⋅ sin α 2 Ha azonos tömegű és külső sugarú csövet illetve hengert helyezünk a lejtő tetejére, akkor azt tapasztaljuk, hogy a cső lassabban gördül mint a henger. A jelenségnek az oka a kinetikus energiával magyarázható, ugyanis itt a kinetikus energia két részből áll; egyrészt a test haladó mozgásának és a súlypont

körüli forgás mozgási energiájának összegéből. 162 VARRATNÉLKÜLI ACÉLCSÖVEK (MSZ 99 szerint) (Normál falvastagságú méretek jellemző adatai) Külső átmérő d /mm/ 10 12 14 16 17 18 20 22 25 27 28 30 32 34 38 42 44,5 48 51 54 57 60 63, 5 70 76 83 89 95 102 108 114 127 133 140 152 159 168 178 194 219 245 273 299 324 356 368 406 419 Falvastag- Folyóméterság tömeg s m /mm/ / kg/m / 1,6 0,331 1,6 0,410 1,9 0,542 1,8 0,630 1,8 0,675 2 0,789 2 0,888 2 0,986 2,3 1,288 2,3 1,401 2,3 1,458 2,6 1,757 2,6 1,885 2,6 2,013 2,6 2,270 2,6 2,528 2,6 2,689 2,6 2,911 2,6 3,103 2,6 3,296 2,9 3,869 2,9 4,084 2, 9 4,334 2,9 4,799 2,9 5,228 3,2 6,298 3,2 6,771 3,6 8,115 3,6 8,736 3,6 9,269 3,6 9,801 4 12,13 4 12,73 4 13,42 4,5 16,37 4,5 17,15 4,5 18,14 5 21,33 5,6 26,02 6,3 33,05 6,3 37,09 7,1 46,56 8 57,41 8 62,34 8 68,66 8 71,03 9 88,12 l0 100,8 Felület A /cm2/ 0,422 0,523 0,690 0,803 0,860 1,005 1,131 1,257 1,640 1,785 1,857 2,232 2,401 2,565 2,892 3,218 3,422 3,708 3,953

4,198 4,929 5,202 5,521 6,113 6,660 8,022 8,626 10,34 11,13 11,81 12,49 15,46 16,21 17,09 20,85 21,84 23,11 27,17 33,15 42,10 47,24 59,31 73,14 79,42 87,46 90,48 112,2 128,5 Tehetetlenségi nyomaték pontra tengelyre I Ip /cm4/ /cm4/ 0,039 0,077 0,072 0,145 0,131 0,262 0,206 0,411 0,252 0,503 0,327 0,653 0,464 0,927 0,635 1,269 1,067 2,135 1,373 2,746 1,545 3,091 2,119 4,238 2,615 5,230 3,183 6,365 4,554 9,I07 6,272 12,54 7,540 15,08 9,586 19,17 11,61 23,22 13,90 27,80 18,08 36,17 21,26 42,51 25, 40 50,80 34,47 68,94 44,55 89,11 63,96 127,9 79,48 159,0 108,1 216,2 134,9 269,7 161,1 322,1 190,4 380,9 292,6 595,2 337,5 675,1 395,5 790,9 567,6 1135 652,3 1305 773 1546 1017 2035 1472 2944 2383 4766 3367 6734 5245 10450 7747 15495 9919 19839 13247 26494 14665 29323 22165 44251 26884 53767 Keresztmetszeti tényező tengelyre pontra K Kp /cm3/ /cm3/ 0,077 0,154 0,121 0,241 0,187 0,375 0,257 0,514 0,296 0,592 0,363 0,726 0,464 0,927 0,577 1,154 0,854 1,708 1,017 2,034 1,104 2,208 1,413 2,826

1,634 3,269 1,872 3,744 2,397 4,794 2,987 5,973 3,389 6,777 3,994 7,988 4,553 9,106 5,148 10,300 6,345 12,69 7,085 14,17 8,000 16 9,848 19,70 11,72 23,45 15,41 30,82 17,86 35,72 22,76 45,52 26,45 52,89 29,83 59,65 33,41 66,82 46,08 92,16 50,76 101,5 56,50 113,0 74,69 149,4 82,05 164,1 92,02 184 l114,3 228,6 151,7 303,5 217,6 435,2 274,9 549,7 384,3 768,6 518,2 1036 612,3 1225 744,2 1488 797 1594 1090 2180 1283 2566 Inerciasugár i= I A 3,02 3,72 4,36 5,06 5,41 5,7 6,40 7,11 8,07 8,77 9,12 9,73 10,44 11,14 12,55 13,96 14,84 16,08 17,14 18,20 19,15 20,21 21,45 23,75 25,87 28,24 30,36 32,34 34,81 36.93 39,05 43,51 45,63 48,10 52,17 54,65 57,83 61,19 66,64 75,23 84,42 94,04 102,9 111,8 123,1 127,3 140,4 144,6 A félkeresztmetszet statikai nyomatéka Mst /cm3/ 0,057 0,087 0,135 0,182 0,209 0,257 0,325 0,401 0,595 0,704 0,762 0,979 1,127 1,285 1,632 2,021 2,285 2,682 3,048 3,437 4,248 4,732 5,329 6,533 7,752 10,19 11,78 15,04 17,44 19,63 21,95 30,27 33,29 37,0 48,97 53,72 60,16 74,84

99,41 142,6 179,5 251,1 338,8 399,5 484,5 518,5 709,4 836,6 163 I szelvény MSZ 325 A m I = a keresztmetszet területe = a folyómétertömeg =a másodrendű nyomaték i= I a tehetetlenségi sugár A K Mst Szelvény mérte 80 l00 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 h1 mm 59 76 92 109 126 142 159 176 192 209 225 242 258 274 290 307 323 b mm v=r mm t mm 42 50 58 66 74 82 90 98 106 113 119 125 131 137 143 149 155 3,9 4,5 5,1 5,7 6,3 6,9 7,5 8,1 8,7 9,4 10,1 10,8 11,5 12,2 13,0 13,7 14,4 5,9 6,8 7,7 8,6 9,5 10,4 11,3 12,2 13,1 14,1 15,2 16,2 17,3 18,3 19,5 20,5 21,6 h a szelvény mérete 50 65 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 r1 mm 2,3 2,7 3,1 3,4 3,8 4,1 4,5 4,9 5,2 5,6 6,1 6,5 6,9 T,3 T,B 8,2 8,6 A cm2 7,58 10,6 14,2 18,3 22,8 27,9 33,5 39,6 46,1 53,4 61,1 69,1 77,8 86,8 97,1 107,0 118,0 m kg /m 5,95 8,32 11,2 14,4 17,9 21,9 26,3 31,1 36,2 41,9 48,0 54,2 61,1 68,l 76,2 84,0 92,6 b h1 t=r r1 v e mm 38 42 45 50 55 60 65 7O

75 80 85 90 95 100 mm 22 35 48 66 84 100 117 136 154 170 188 204 220 236 mm 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 10,0 10,5 11,0 11,5 12,5 13,0 14,0 15,0 16,0 mm 3,5 4,0 4,0 4,5 4,5 5,0 5,5 5,5 6,0 6,5 6,5 7,0 7,5 8,0 mm 5,0 5,5 6,0 6,0 7,0 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,0 10,0 cm 1,37 1,42 1,45 1,55 1,60 1,75 1,84 1,92 2,01 2,14 2,23 2,36 2,53 2,70 Ix cm4 77,8 171 328 573 935 450 2140 3060 4250 5740 7590 9800 12510 15700 19610 24010 29210 A m = a keresztmetszeti tényszó = a félkeresztmetszet statikai nyomatéka az x-x tengelyre Kx cm3 19,3 34,2 54,7 81,9 117 161 214 278 354 442 542 653 782 923 1090 1260 1460 Ix cm2 kg/m cm4 7,1 5,6 26 9,0 7,1 58 11,0 8,6 106 13,5 10,6 206 17,0 13,4 364 20,4 16,0 605 24,0 18,8 925 28,0 22,0 1350 32,2 25,3 1910 37,4 29,4 2690 42,3 33,2 3600 48,3 37,9 4820 53,3 41,8 6280 58,8 46,2 8030 ix mm 32,0 40,1 48,1 56,1 64,0 72 80 88 95,9 104,0 111,0 119,0 127,0 135,0 142,0 150,0 157,0 Iy cm4 6,29 12,2 21,5 35,2 54,7 81,3 117 162 221 288 364 451 555 674 818 975

1160 Ky cm3 3,00 4,88 7,41 10,7 148 19,8 26,0 33,1 41,7 51,0 61,2 72,2 84,T 98,4 114,0 131,0 149,0 Kx ix Iy Ky iy cm3 10,6 17,7 26,5 41,2 60,7 86,4 116,0 150,0 191,0 245,0 300,0 371,0 448,0 535,0 mm 19,2 25,2 31,0 39,1 46,2 54,5 62,1 69,5 77,0 84,8 92,2 99,9 109,0 117,0 cm4 9,1 14,1 19,4 29,3 43,2 62,7 85,3 114,0 146,0 197,0 248,0 317,0 399,0 495,0 cm3 3,75 5,07 6,36 8,49 11,10 14,80 18,30 22,40 27,00 33,60 39,60 47,70 57,20 67,80 mm 11,3 12,5 13,3 14,7 15,9 17,5 18,9 20,2 21,4 23,0 24,2 25,6 27,4 29,0 Mst cm3 11,4 19,9 31,8 47,7 68,0 93,4 125,0 162,0 206,0 257,0 316,0 381,0 457,0 540,0 638,0 741,0 857,0 iy mm 9,1 10,7 12,3 14,0 15,5 17,1 18,7 20,2 22,0 23,2 24,5 25,6 26,7 28,0 29,0 30,2 31,3 164 Egyenlőszárú L- szelvény A = a keresztmetszet területe m = a folyómétertömeg I =a másodrendű nyomaték MSZ 328 i= K a szerelvény mérete 40x40x4 4ox40x5 40x40x6 45x45x5 45z45x7 50x50x5 50x50x6 50x50x7 50x50x9 55x55x6 55x55x8 55x55x10 60x60x6 60x60x8 60x60x10

65x65x7 65x65x9 65x65x11 70x70x7 70x70x9 70x70x11 75x75x7 75x75x8 75x75x10 75x75x12 80x80x8 80x80x10 80x80x12 80x80x14 90x90x9 90x90x11 90x90x13 90x90x16 100x100x10 100x100x12 100x100x14 100x100x20 120x120x11 120x120x13 120x120x15 120x120x20 140x140x13 140x140x15 140x140x17 160x160x15 160x160x17 160x160x19 180x180x16 180x180x18 180x180x20 200x200x16 200x200x18 200x200x20 b mm 40 40 40 45 45 50 50 50 50 55 55 55 60 60 60 65 65 65 70 7O 70 75 75 75 75 80 80 80 80 90 90 90 90 100 100 100 100 120 120 120 120 140 140 140 160 160 160 180 180 180 200 200 200 v mm r mm r1 mm e cm w cm u cm m kg/m Ix=Iy cm4 4 5 6 5 7 5 6 7 9 6 8 10 6 8 10 7 9 11 7 9 11 7 8 10 12 8 10 12 14 9 11 13 16 10 12 14 20 11 13 15 20 13 15 17 15 17 19 16 18 20 16 18 20 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 l0 l0 l0 l0 l0 l0 l0 l0 11 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 15 15 15 17 17 17 18 18 18 18 18 18 3 3 3 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0

5,0 5,5 5,5 5,5 5,5 6,0 6,0 6,0 6,0 6,5 6,5 6,5 6,5 7,5 7,5 7,5 8,5 8,5 8,5 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 1,12 1,16 1,20 1,28 1,36 1,4 1,45 1,49 1,56 1,56 1,64 1,72 1,69 1,97 1,85 1,85 1,93 2,0 1,97 2,05 2,13 2,09 2,13 2,21 2,29 2,26 2,34 2,41 2,48 2,54 2,62 2,70 2,81 2,82 2,90 2,98 3,20 3,36 3,44 3,51 3,70 3,92 4,0 4,08 4,49 4,57 4,65 5,02 5,10 5,18 5,52 5,60 5,68 2,83 2,83 2,83 3,18 3,18 3,54 3,54 3,54 3,54 3,89 3,89 3,89 4,24 4,24 4,24 4,60 4,60 4,60 4,95 4,95 4,95 5,30 5.30 5,30 5,30 5,66 5,66 5,66 5,66 6,36 6,36 6,36 6,36 7,07 7,07 7,07 7,07 8,49 8,49 8,49 8,49 9,90 9,90 9,90 11,3 11,3 11,3 12,7 12,7 12,7 14,1 14,1 14,1 1,58 1,64 l,70 1,61 1,92 1,98 2,04 2,11 2,21 2,21 2,32 2,43 2,39 2,50 2,62 2,62 2,73 2,83 2,79 2,90 3,01 2,95 3,01 3,12 3,24 3,24 3,31 3,41 3,51 3,59 3,70 3,81 3,97 3,99 4,10 4,21 4,54 4,75 4,86 4,94 5,24 5,54 5,66 5,77 6,35 6,46 6,58 7,11 7,22 7,33 7,80 7,92 8,04 2,42 2,97 3,52 3,38 4,60 3,77 4,47 5,15 6,46 4,95 6,46 7,90 5,42 7,09 8,69 6,83 8,62 10,3 7,38 8,34 11,2

7,94 9,03 11,1 13,1 9,66 11,9 14,1 16,1 12,2 14,7 17,l 20,7 15,1 17,8 20,6 28,4 19,9 23,3 26,6 34,7 27,5 31,4 35,3 36,2 40,7 45,1 43,5 48,6 53,7 48,5 54,3 59,9 4,48 5,43 6,33 7,83 10,4 11,0 12,8 14,6 17,9 1?,3 22,1 26,3 22,8 29,1 34,9 33,4 41,3 48,8 42,4 52,6 61,8 52,4 58,9 71,4 82,4 72,3 87,5 102,0 115,0 116,0 138,0 158,0 186,0 177,0 200 235 311 341 394 446 562 638 723 805 1100 1230 1350 1680 1870 2040 2340 2600 2850 I a tehetetlenségi sugár A = a keresztmetszeti tényszó Kx=Ky cm3 1,56 1,91 2,26 2,43 3,31 3,05 3,61 4,15 5,20 4,40 5,72 6,97 5,29 6,88 8,41 7,18 9,04 10,8 8,43 10,6 12,7 9,67 11,0 13,5 15,8 12,6 15,5 18,2 20,8 18,0 21,6 25,1 30,1 24,7 29,2 33,5 45,8 39,5 46,0 52,5 67,7 63,3 72,3 81,2 95,6 108,0 118,0 l30,0 145,0 160,0 162,0 181,0 199,0 ix=iy mm 12,1 12,0 11,9 13,5 13,3 15,1 15,0 14,9 14,7 16,6 16,4 16,2 18,2 18,0 17,8 19,6 19,4 19,1 21,2 21,0 20,8 22,8 22,6 22,5 22,2 24,2 24,1 23,9 23,6 27,4 27,2 26,9 26,6 30,4 3o,2 30,0 29,3 36,6 36,4 36,3 35,? 42,7 42,5 @2,3

48,8 48,6 48,4 55,1 54,9 54,7 61,5 61,3 61,i Is cm4 2,09 8,64 9,98 12,4 16,4 17,4 20,4 23,1 28,l 27,4 34,8 41,4 36,1 46,1 55,1 53,0 65,4 76,8 67,1 83,1 97,6 83,6 93,3 113 130 115 139 161 181 184 218 250 294 280 328 372 488 541 625 705 887 1010 1150 1280 1750 1950 2140 2690 2970 3260 4150 4540 is mm 15,2 15,1 14,9 17,0 16,7 19,0 18,9 18,8 18,5 20,8 20,6 20,2 22,9 22,6 22,3 24,7 24,4 24,2 26,7 26,4 26,1 28,8 28,5 28,3 27,9 30,6 30,3 30,0 29,6 34,5 34,1 33,9 93,4 38,2 38,0 37,7 36,7 46,2 45,9 45,6 44,8 53,8 53,6 53,3 61,5 61,3 61,0 69,6 79,3 69,0 77,8 77,5 77,2 Iη cm4 1,86 2,22 2,67 3,25 4,39 4,59 5,24 6,02 7,67 7,24 9,35 11,3 9,43 12,1 14,6 13,8 17,2 20,7 17,6 22,0 26,0 21,1 24,4 29,8 34,7 29,6 35,9 43,0 48,6 47,8 57,1 65,9 79,1 73,3 86,2 98,3 134 140 162 186 236 262 298 334 453 506 558 679 757 830 943 1050 1160 165 iη mm 7,8 7,7 7,7 8,7 8,7 9,8 9,6 9,6 9,7 10,7 10,7 10,6 11,7 11,6 11,5 12,6 12,5 12,5 13,7 13,6 13,5 14,5 14,6 14,5 14,4 15,5 15,4 15,3 15,4 17,6 17,5 17,4 17,3 19,5

19,5 19,4 19,3 23,5 23,4 23,4 23,1 27,4 27,9 27,2 31,4 31,3 31,2 35,0 34,9 34,9 39,1 39,0 38,9 Idomacélok, előgyártmányok Melegen hengerelt U acél DIN 1026 (MSZ 336) 80 mm magasság alatt rúdacél Egy h = 50 mm magasságú és b = 38 mm övszélességű, S 235 JRG1 acélból melegen hengerelt U acél jelölése: U acél DIN 1026-U 50 x 38-S 235 JRG1 (acél az MSZ EN 10 025 szerint) Szállítási hosszak: 3 m6 m. 80 mm magasságtól idomacél Egy h = 300 mm magasságú, S 235 JRG1 acélból melegen hengerelt U acél jelölése: Az övek belső felületének lejtése 8 % U acél DIN 1026-U 300-S 235 JRG1 Szállítási hosszak: 4 m18 m. Jel Hajlítási tengely: Keresztmetszet, h, b, mm mm * s, t, mm mm x-x y-y y-y A Méterenkénti tengely súly, távolsága, FG’ N/m S, Ix Wx Iy Wy ey, mm2 ·104 mm4 ·103 mm3 ·104 mm4 ·103 mm3 mm I 4.5 221 2,53 1,69 0.38 0,39 5.2 17,1 41,9 0 x 15 30 15 4 30 x 33 30 33 5 7 544 6.39 4,26

5.33 2,68 13,1 40 x 20 40 20 5 5.5 366 7.58 3.79 1,14 0,86 6,7 27,0 40 x 35 40 35 5 7 621 14.1 7,05 6,68 3,08 13.3 47.8 50 x 25 50 25 5 6 492 16,8 6,73 2,49 1,48 8.1 42.4 50x38 50 38 5 7 712 26,4 10,6 9,12 3,75 13.7 54,8 60x30 60 30 6 6 646 31,6 10,5 4,51 2,16 9,1 49,7 65 x 42 65 42 5,5 7,5 903 57,5 17,7 14.1 5,07 14,2 69,5 80 80 45 6 8 1100 106 26.5 19,4 6,36 14,5 84.7 100 100 50 6 8,5 1350 206 41,2 29,3 8,49 15,5 104,0 120 120 55 7 9 1700 364 60.7 43,2 11,1 16,0 131.4 140 140 60 7 10 2040 605 86,4 62,7 14.8 17,5 157.0 160 160 65 7.5 10,5 2400 925 116 85,3 18,3 18,4 184,4 180 180 70 8 11 2800 1350 150 114 22,4 19,2 215,7 200 200 75 8,5 11,5 3220 1910 191 148 27,0 20,1 248,1 220 220 80 9 12,5 3740 2690 245 197 33,6 21,4 288,3 240 240 85 9,5 13 4230 3600 300 248 39,6 22,3 325.6 260 260 90 10 14 4830

4820 371 317 47,7 23,6 371,7 280 280 95 10 15 5330 6280 448 399 57,2 25.3 410.0 300 300 100 10 16 5880 8030 535 495 67.8 27.0 453.1 320 320 100 14 17,5 7580 10870 679 597 80,6 26,0 583,5 350 350 100 14 16 7730 12840 734 570 75,0 24,0 594,3 380 380 102 13,5 16 8040 15760 829 615 78,7 23,8 613,9 400 400 110 18 9150 20350 1020 846 102 26,5 704,1 14 * A számítások megkönnyítése érdekében a következőkben a szabványtól eltérően mindig a súlyt (súlyerőt) adjuk meg Rendelések esetén ezt át kell számolni tömegre! 166 Idomacélok, előgyártmányok Melegen hengerelt I tartó (keskeny I tartók) DIN 1025 (MSZ EN 10 024) Egy h = 100 mm magasságú, I sorozatú, S 235 JRG1 acélból melegen hengerelt, keskeny I tartó jelölése: I tartó MSZ EN 10 024-100-S 235 JRG1 Anyag: acél az MSZ EN 10 025 szerint. Szállítási hosszak: 6 m.16 m Az övek belső felületének lejtése . 14% Jel

Hajlítási tengely: Keresztx-x Méterenkénti y-y h, b, s, t, metszet, mm mm mm mm S, Ix Wx Iy Wy FG’ mm2 ·104 mm4 ·103 mm3 ·104 mm4 ·103 mm3 N/m I súly, 80 80 42 3,9 5,9 757 77,8 19,5 6,29 3,00 58.3 100 100 50 4,5 6,8 1060 171 34,2 12.2 4.88 81 .6 120 120 58 5,1 7,7 1420 328 54,7 21,5 7,41 109,8 140 140 66 5,7 8,6 1820 573 81,9 35,2 10,7 141,2 160 160 74 6,3 9,5 2280 935 117 54,7 14,8 175,5 180 180 82 6,9 10,4 2790 1450 161 81,3 19,8 214,8 200 200 90 7,5 11,3 3340 2140 214 117 26,0 257,9 220 220 98 8,1 12,2 3950 3060 278 162 33,1 304,9 240 240 106 8,7 13,1 4610 4250 354 221 41,7 355,0 260 260 113 9,4 14,1 5330 5740 442 288 51,0 410,9 280 280 119 10,1 15,2 6100 7590 542 364 61,2 470,7 300 300 125 10,8 16,2 6900 9800 653 451 72,2 531,5 Melegen hengerelt I tartó (középszéles I tartó) IPE-sorozat DIN 1025 (MSZ EN 10

034) Egy h = 300 mm magasságú, IPE sorozatú, S 355 JO acélból melegen hengerelt középszéles I tartó jelölése: IPE tartó MSZ EN 10 034-300-S 355 JO Anyag és szállítási hosszak: mint az MSZ EN 10 024 szerinti I tartóknál. Jel Hajlítási tengely: Keresztx-x Méterenkénti y-y h, b, s, t, metszet, mm mm mm mm S, Ix Wx Iy Wy FG’ mm2 ·104 mm4 ·103 mm3 ·104 mm4 ·103 mm3 N/m IPE súly, 80 80 46 3,8 5,2 764 80,1 20,0 8,49 3.,69 59 100 100 55 4,1 5,7 1030 171 34,2 15,9 5,79 79 120 120 64 4,4 6,3 1320 318 53,0 27,7 8,65 102 140 140 73 4,7 6,9 1640 541 77,3 44,9 12,3 126 160 160 82 5,0 7,4 2010 869 109 68,3 16,7 155 180 180 91 5,3 8,0 2390 1320 146 101 22,2 184 200 200 100 5,6 8,5 2850 1940 194 142 28,5 220 220 220 110 5,9 9,2 3340 2770 252 205 37,3 257 240 240 120 6,2 9,8 3910 3890 324 284 47,3 301 270 270 135 6,6 10,2 4590 5790 429 420

62,2 353 300 300 150 7,1 10,7 5380 8360 557 604 80,5 414 330 330 160 7,5 11,5 6260 11770 713 788 98,5 482 360 360 170 8,0 12,7 7270 16270 904 1040 123 560 400 400 180 8,6 13,5 8450 23130 1160 1320 146 651 0 450 190 9,4 14,6 9880 33740 1500 1680 176 761 167