Gazdasági Ismeretek | Közgazdaságtan » BME Mikroökonómia feladatsor

-1- Budapesti Műszaki Egyetem Villamos- és Informatikai Kar MIKROÖKONÓMIA FELADATSOR 1. feladat a) Mit mond ki a csökkenő hozadék elve, és mi okozza? Megoldás: ha egy termelési tényező felhasználását úgy növeljük, hogy közben a többi tényező nem változik, akkor az adott tényező határterméke (“hozadéka”) egy idő után várhatóan csökkenni fog, azaz, a termelés növekménye egyre kisebb lesz. Matematikailag: a parciális (egyváltozós) termelési függvény deriváltjának (határtermék-függvényének) jellemző alakja egy csökkenő görbe. (Tankönyv, 96 old.) Ennek oka: feltételezhető, hogy a többi (rögzített mennyiségű) ráfordítás egyre szűkösebbé válik a változó tényező szempontjából. Két megjegyzés: 1) A csökkenő hozadék elve egy jellemző sajátosság, de ez nem jelenti azt, hogy minden esetben érvényesül, és amikor érvényesül, akkor is többnyire csak a termelési függvény egy bizonyos pontjától kezdve.

2) Ha a többi tényező is arányosan nő, akkor már nem kell csökkennie a hozadéknak. (Ha a tényezők azonos arányban nőnek, akkor az így előálló hozadék (termelésnövekmény) neve a skálahozadék (vagy volumen-hozadék, vagy mérethozadék.) b) Mi a releváns tartomány fogalma? Megoldás: az isoquantoknak az a tartománya, ahol mindkét termelési tényező határterméke pozitív, tehát ahol a tényező növekedésével a termelés is nő. Geometriailag: ahol az isoquantok negatív meredekségűek. 2. feladat Mi a tartalma az alábbi két törtnek, ill. az egyenlőtlenségnek? Milyen módon lehet ilyen esetben növelni a kibocsátást, és miért? MPL MPK > pL pK Megoldás: A határtermék a termelés növekményének és a tényező növekményének hányadosa. A fenti egyenlőtlenség így: ∆Q ∆Q > ∆L ⋅ p L ∆K ⋅ p K A nevezőben a munkaköltség növekménye ill. a tőkeköltség növekménye szerepel A baloldali tört jelentése így: a munkára

fordított pótlólagos 1 Ft révén elért termelés növekmény. A másik oldal: a tőkére fordított pótlólagos 1 Ft révén elért termelés növekmény. Mivel a munkára vonatkozó hányados a nagyobb, ez azt jelenti, hogy ha egy pótlólagos 1 Ft-tal akarjuk a ráfordításokat növelni, akkor azt a munkára érdemes -2- fordítani, mert ezzel nagyobb termelés növekedést érünk el, mintha a tőkére fordítanánk. Ha pedig az összköltséget már nem akarjuk növelni, akkor érdemes 1 Ft-ot elvenni a tőkeráfordítástól. és azt a munkatényezőre fordítani Így a tőkecsökkenés miatt csökken ugyan a termelés, a munkaráfordítás növekedése révén azonban ennél nagyobb mértékben fog nőni. Ha a két oldal egymással egyenlő, akkor a költségek ill. a tényezők megosztása optimális, mert a kibocsátás már nem növelhető a költségeknek a két tényező közötti átcsoportosításával. (Ha pedig van módunk növelni a ráfordításokat,

mindegy, hogy melyik tényezőre fordítjuk a következő 1 Ft-unkat.) 3. feladat A termelési függvény q = 4 KL a) Határozza meg annak az isoquantnak az egyenletét, amely áthalad K = 10, L = 20 inputkombináció pontján! Megoldás: Ha K = 10, L = 20, akkor a termelési szint q = 4 10 ⋅ 20 = 40 ⋅ 2 . Az isoquant azon K és L értékek összessége, amelyeknél a kibocsátás 40 ⋅ 2 . Az isoquant egyenlete: 40 ⋅ 2 = 4 KL . Átrendezve, K-ra kifejezve: K = 200 L b) Mennyi ebben a pontban a technikai helyettesítés határrátája? Megoldás 200 200 1 dK MRTS = az isoquant meredeksége abszolút értékben = = − 2 = 2 = 20 2 dL L Megjegyzés: MPL Megoldható a feladat az MRTS = összefüggés alapján is. MPK MPL = 4 K 4 L , és MPK = . 2 L 2 K MRTS = MPL K 10 1 = = = MPK L 20 2 c) Határozza meg, hogy mennyi az optimális termelési szint TC = 200 költségszint mellett ha az árak pK = 10, pL = 20 . Megoldás Az optimális input-kombináció feltétele két

egyenlet: MPL p = L MPK pK TC = K ⋅ pK + L ⋅ pL -3- A határtermékeket már az előbb a (b) pontban meghatároztuk, így a két egyenlet ezt felhasználva a konkrét adatokkal K K 20 = = 2 azaz K = 2 L. és L L 10 200 = K ⋅ 10 + L ⋅ 20 Ebből az L és a K optimális mennyisége: L=5, K= 10. Az optimális kibocsátás pedig q = 4 5 ⋅ 10 ≈ 28,3 d) Írja fel a rövid távú termelési függvényt, ha a tőke rögzített mennyisége 100 egység! Megoldás q = 4 100 ⋅ L , azaz, q = 40 L e) Határozza meg az APL ás az MPL függvényt! Megoldás 40 q ( L) 40 L Az átlagtermék függvény: APL = = = L L L 40 20 dq A határtermék függvény: MPL = = = dL 2 L L 4. feladat Határozza meg a q = 1000 + 500 L − 2 L2 termelési függvény határtermék és az átlagtermék függvényét! Állapítsa meg, érvényes-e a csökkenő hozadék törvénye! Válaszát indokolja! Megoldás q ( L) 1000 + 500 L − 2 L2 1000 Az átlagtermék függvény: APL = = = + 500 − 2 L L L L dq

A határtermék függvény: MPL = = 500 − 4 L dL A határtermék függvény negatív meredekségű függvény, tehát érvényes ez esetben a csökkenő hozadék 5. feladat Egészítse ki az alábbi ábrát, írja be a hiányzó jelöléseket, és jelölje be azt az árszintet, amely mellett a versenyző vállalat q* kibocsátása valóban optimálisnak adódik! Röviden indokolja is meg! -4- MC q* Megoldás Keressük azt az árat, amely mellett MC = P P=MC MC AC AC AVC q* 6. feladat Mi a tartalma a következő egyenlőtlenségnek: MR > MC ? növelni a profitot, és hogyan? Válaszát indokolja! Megoldás Lehet-e ebben az esetben ∆R ∆C > ∆Q ∆Q A pótlólagos kibocsátásra jutó bevételnövekmény nagyobb, mint a költségnövekmény. Érdemes tehát növelni a kibocsátást, mert így a profit nőni fog. A határbevétel nagyobb, mint határköltség. Képlettel: 7. feladat Egy tökéletesen versenyző vállalat átlagos változó költség függvénye a

következő: AVC = 0,5 q + 4, a vállalat fix költsége 8. a) Írja fel a vállalat változó költség és teljes költség függvényét! Megoldás AVC = VC , tehát q VC = AVC ⋅ q = (0,5q + 4) ⋅ q = 0,5q 2 + 4q A teljes költség függvény: TC = 0,5q 2 + 4q + 8 b) Algebrailag és ábrán is határozza meg ill., rajzolja föl az MC, AC, AVC függvényeket -5- Megoldás MC = d VC =q+4 dq AC = 8 TC 0,5q 2 + 4q + 8 = = 0,5q + 4 + q q q c) Mennyi az optimális kibocsátás, ha az output ára 6? Megoldás MC = P q + 4 = 6 q* = 2 d) Mekkora itt a profit? Mutassa meg az ábrán is! Megoldás Π = R − TC = qP − TC Π = 2 ⋅ 6 − (0,5 ⋅ 2 2 + 4 ⋅ 2 + 8 = −6 Tehát veszteséges a vállalat. A veszteség azonban kisebb, mint a fix költség (FC=8), tehát rövid távon még érdemes termelnie. MC AC AC AVC P=6 q*=2 8. feladat Egy monopólium terméke iránti kereslet függvénye q = 60 − 2 p . A monopólium optimális kibocsátása q* = 16 egység.

Mennyi itt a monopolár, a határbevétel? Mennyi a határköltség? Megoldás Írjuk föl először az inverz keresleti függvényt: p = 30 − 0,5 q A 16 egység kibocsátás p = 30 − 0,5 q = 30 − 0,5 ⋅ 16 = 22 áron adható el. A határbevételi függvény az inverz keresleti függvényből kiindulva határozható meg. Lineáris esetben az MR ugyanott metszi a függőleges tengelyt, mint a keresleti függvény, a meredeksége viszont kétszerese annak. MR = 30 − q Ha q=16, akkor MR = 30 – 16 = 14. Mivel tudjuk, hogy a q=16 kibocsátás optimális, ezért biztos, hogy itt a MR megegyezik az MC-vel, tehát MC értéke is 14. -6- 9. feladat Egy monopólium átlagos változó költség függvénye a következő: VC = 0,5 q2 + 4q, a vállalat fix költsége 8. Mennyi az optimális kibocsátás és a monopolár, ha a monopólium terméke iránti kereslet függvénye q = 60 − 2 p ? Megoldás Az optimum feltétele: MR = MC MR = 30 − q MC = q + 4 A feltételi egyenlet

így: 30 − q = q + 4 , amiből q=13 A monopolár: p = 30 − 0,5q = 23,5 10. feladat Egészítse ki az alábbi ábrát, írja be a hiányzó jelöléseket, és határozza meg a monopólium optimális kibocsátását és a monopolárat! Rajzolja be a holtteherveszteséget, és a monopólium által elsajátított fogyasztói többletet! AC D Megoldás -7- 11. feladat Tegyük fel, hogy egy monopólium számára két szegmentált piac keresleti görbéje a következő: q 1 = 800 - 4p 1 és q 2 = 1000 - 8p 2 . Legyen a teljes költség függvény TC q 2 + 400q + 1000 = 10 Számítsa ki mennyi profittöbbletre tesz szert a cég, ha harmadfokú árdiszkriminációt alkalmaz, ahhoz képest mintha nem élne ezzel a lehetőséggel! Megoldás Horizontális összegzéssel a piaci keresleti függvény: q = 1800 - 12p. Ebből az inverz keresleti dTC q függvény: p= 150 - q/12 és igy a határbevétel: MR=150 - q/6. Az MC= = + 40. dq 5 Az MR=MC-ből q=300 és a keresleti görbéből

p=125. Ennyi lenne tehát az ár ha nem alkalmazna árdiszkriminációt.Ehhez az eladott mennyiséghez tartozó MC=100 Árdiszkrimináció esetén MR 1 =200 - q/2=MC= 100 =MR 2 =125 - q/4. Ebből q 1 =200 és q 2 =100, p 1 =150 ésp 2 =112,5 TC nagysága mindkét esetben, mivel az eladott mennyiség 300, TC=22000. TR árdiszkrimináció nélkül: TR=300*125=37500. Árdiszkrimináció esetén TR=2200*150+100112,5=41250. A prifittöbblet tehát: 41250-37500=3700 12. feladat Adott az U = xy hasznossági index függvény. A fogyasztó rendelkezésére álló jövedelem 240 pénzegység. Az X termék ára 1, a Y termék ára 2 a)Határozza meg a PCC és az ICC egyenletét! b) Nőjön meg X ára 1-ről 2-re. Mennyi lesz a teljes keresletváltozáson belül a helyettesítési és a jövedelmi hatás Hicks és Szluckij szerint? Megoldás MU x p x y p p x y 1 x alapján: = x , PCC:y = x , és = , ICC: y = = MU y p y 2 2 x 2 x 2 MU x p x b)A költségvetési egyenes egyenlete ha p x =1:

240=x+2y és alapján: x=2y. = MU y p y a) MU x =y, Mu y =x. -8- Ebből: x 0 =120 és y0 =60. Az új árak esetén a költségvetési egyenes egyenlete: MU x p x 240=2x+2y és alapján: x=y. Ebből: x 1 =60 és y1 =60 Így a teljes hatás:-60 = MU y p y Hicks-féle módszer: A régi hasznossági szint: 60*120=7200, ebből a régi közömbösségi görbe egyenlete: y=7200/x. Ezt behelyettesítve a költségvetési egyenesbe:I= 2x+14400/x és dI/dx=2-14400/x2=0 alapján: x 3 =60 2 ≅84,85. Így a helyettesitési hatás: -35,15, a jövedelmi pedig: -24,85. Slutsky-féle módszer: A jövedelem kompenzáció nagysága: (p x1 -p x0 )x 0 =120. I1 =360=2x+2x, amelyből : x 3 =90. Így a helyettesitési hatás: -30, a jövedelmi pedig: -30 13. feladat 20%-os pénzpiaci kamatláb mellett melyik fizetési ígéret ér többet most? a) Most fizetnek 150 eFt-ot, és két év múlva még 100 eFt-ot. b) Mához egy évre kapok 120 eFt-ot, és mához 3 évre 180 eFt-ot. c) Most 60 eFt-ot, és

még 4 éven keresztül évi 60 eFt-ot. Válaszait indokolja és számításokkal támassza alá! Megoldás Mindegyik ajánlat jelenértékét kell meghatározni. 100 a) PV = 150 + 2 = 219,4 1,2 120 180 b) PV = + = 204,2 1,2 1,23 60 60 60 60 c) PV = 60 + + 2 + 3 + 4 = 215,3 1,2 1,2 1,2 1,2 A sorrend tehát (a), aztán a (c) és végül a (b). 14. feladat Hogyan változik 100 Ft jelenértéke, ha nő a kamatláb, ill. ha nő a futamidő (k)? Megoldás 100 A jelenérték képlete: PV = . Ebből leolvasható, minél nagyobb a kamatláb (1 + r ) k és minél hosszabb a futamidő, annál kisebb a jelenérték. 15. feladat Egy 10 eft névértékű kötvény 3 éven keresztül évente 3 eFt fix kamatot biztosít. A 3 Év végén a névértéket is visszafizetik. Mennyi az a maximális árfolyam, amin ezt a kötvényt érdemes megvenni, ha a pénzpiaci kamatláb 20%-os? Megoldás 3 3 3 + 10 A jelenérték képlete: PV = + 2+ = 14528 . Ennél többet nem érdemes 1,2 1,2 1,23 fizetni ezért a

papírért. -9- 16. feladat Egy bolt értékesítésére 3 ajánlatunk van. A pénzpiaci kamatláb 20% Melyik ajánlat a legjobb? a) Azonnal 20 mFt, aztán 3 éven keresztül 5 mFt b) 25 mFt azonnal, aztán két éven keresztül 4 mFt c) Azonnal 10 mFt, aztán évente 4 mFt (örökjáradék). (A könyvbeli adat javítva!) Megoldás 5 5 5 (a) PV = 20 + + 2 + 3 = 30,53 1,2 1,2 1,2 4 4 (b) PV = 25 + + 2 = 31,11 1,2 1,2 c) Az örökjáradék jelenértéke 4 / 0,2 = 20 mFt. (Úgy is felfogható, mekkora tőke után kapunk 20%-os kamatláb mellett évi 4 mFt-ot, ez valóban 20 mFt, mert annak a 20%a a 4 mFt) Így a teljes jelenérték a 3. esetben PV = 10 + 20 = 30 mFt A legjobb a (b) változat, legrosszabb az örökjáradékos változat. 17. feladat Két beruházási javaslat közül kell választani. a) A beruházás éves tiszta hozama 200 eFt. A berendezés 3 év alatt amortizálódik b) Az éves hozam szintén 200 eFT, de a beruházás 300 eFt-tal többe kerül. A berendezés 7 év

alatt amortizálódik. Megoldás 200 200 200 PV = + + = 363,22 1,3 1,32 1,33 200 200 200 PV = −300 + + 2 +  = 260,42 Tehát az 1. ajánlat a kedvezőbb 1,3 1,3 1,37 18. feladat Egy kompetitív iparágban termelt termék határköltsége MC = 30. Az alábbi táblázat a termék fogyasztásával járó egyéni és társadalmi határhasznok értékeit adja meg. A termék Egyéni Társadalmi mennyisége határhasznok határhaszon 12 55 65 20 50 60 30 45 53 40 40 47 50 35 41 60 30 35 70 25 29 80 20 23 Ábrázolja a táblázat adatait! Jelölje be a termék optimális piaci és optimális társadalmi értékeit! Mutassa meg az ábrán az externália tényéből fakadó társadalmi hatékonyságveszteséget! - 10 - Megoldás MC 60 50 40 30 20 10 Q 0 0 20 40 60 80