Matematika | Felsőoktatás » Vektoranalízis

Adatlap

Év, oldalszám:2007, 8 oldal
Nyelv:magyar
Letöltések száma:222
Feltöltve:2008. június 27
Méret:301 KB
Intézmény:-

Csatolmány:-

Letöltés PDF-ben:Kérlek jelentkezz be!


Értékelések

Ezt a doksit egyelőre még senki sem értékelte. Legyél Te az első!


Új értékelés

Tartalmi kivonat

Vektoranalízis Derivált fogalmak 1. 1.1 Skalármező gradiensének fogalma Definíció. Legyen ϕ : R3 → R egy skalármező Azt mondjuk, hogy a ∈ R3 az ϕ skalármezőnek gradiense x0 -ban, ha ϕ(x) − ϕ(x0 ) − a · (x − x0 ) = 0. lim x→x0 kx − x0 k Ilyenkor ϕ-et x0 -ban deriválhatónak mondjuk, és az a vektort grad ϕ(x0 )-lal jelöljük. Korábbi ismereteinkből világos, hogy ilyenkor a skalármező parciális deriváltakkal is rendelkezik, és a gradiensvektor komponensei éppen a parciális deriváltak: grad ϕ(x0 ) = (∂x ϕ(x0 ), ∂y ϕ(x0 ), ∂z ϕ(x0 )) Tétel. Ha a ϕ és ψ két differenciálható skalármező, λ és µ két valós szám, továbbá f egyváltozós differenciálható függvény, akkor grad(λϕ + µψ) = λ grad ϕ + µ grad ψ, grad(ϕψ) = ϕ grad ψ + ψ grad ϕ, grad(f (ϕ)) = f 0 (ϕ) grad ϕ. Az ϕ skalármező szintfelületein a Nc = { (x, y, z) ∈ R3 | ϕ(x, y, z) = c } ponthalmazokat értjük. Megjegyzendő, hogy nem mindig

kapunk felületet klasszikus értelemben; lehetséges üres halmaz, egy pont, stb. Két dimenziós esetben, azaz kétváltozós skalármező esetén szintvonalakról beszélünk. Definíció. Azon x pontok összességét, amelyekre ϕ(r) = ϕ̄(x, y, z) = c (c állandó) a skalármező szintfelületeinek (nívófelületeinek) nevezzük. A ϕ(r) értelmezési tartományának minden pontján egy és csak egy szintfelület megy át. Látni fogjuk, hogy a grad ϕ vektor mindig merőleges a ponton átmenő szintfelületre. Legyen ϕ(r0 ) = c, és tekintsük a ϕ(r) = c szintfelületet! Ha r(t) szintfelület felületi görbéje és r(0) = r0 , akkor 0 = ϕ(r) − ϕ(r0 ) = (grad ϕ)(r − r0 ) + %(r), ahol %(r) → 0, ha r → r0 . Ezért (t − t0 )-lal való osztás után azt kapjuk, hogy |r − r0 | (grad ϕ)ṙ(0) = 0, tehát a ϕ(r) = c szintfelület P0 ponton átmenő felületi görbéinek érintői merőlegesek a grad ϕ vektorra. 1.2 Iránymenti derivált Legyen P0 a ϕ(r)

skalármező értelmezési tartományának tetszőleges pontja, és tekintsük azt a P0 ponton átmenő egyenest, amelynek irányvektora az e egységvektor, irányítása pedig e irányításával azonos. Ennek az egyenesnek az egyenlete r(t) = r0 + te. A ϕ(r(t)) skalármező ezen az egyenesen közönséges egyváltozós függvénynek vehető Számítsuk ki e függvény deriváltját a P0 pontban, vagyis a t = 0 helyen. 1 Definíció. Legyen v ∈ R3 ; |v| = 1 tetszőleges egységvektor Az ϕ skalármező r0 -beli v irányú iránymenti deriváltján ϕ(r0 + tv) − ϕ(r0 ) dv ϕ(r0 ) = lim t→0 t határértéket értjük. Világos, hogy speciálisan a standard bázisvektorok egyikét választva, a megfelelő parciális deriváltat kapjuk: dei ϕ = ∂i ϕ. Tétel. dv ϕ(r0 ) = grad ϕ(r0 ) · v Ugyanis, a definíció alapján: ϕ(r0 + tv) − ϕ(r0 ) = t ϕ(r0 + tv) − ϕ(r0 ) − grad ϕ(r0 ) · tv + grad ϕ(r0 ) · v = grad ϕ(r0 ) · v. = lim t→0 t Ebből az is

következik, hogy ha v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 , akkor dv ϕ(r0 ) = lim t→0 dv ϕ = ∂x ϕ v1 + ∂y ϕ v2 + ∂z ϕ v3 . Következésképpen, |dv ϕ(r0 )| ≤ k grad ϕ(r0 )k · kvk = k grad ϕ(r0 )k, s így az iránymenti derivált értéke éppen a gradiens irányában maximális. Könnyen igazolhatók az iránymenti deriválás tulajdonságai: dv (ϕ + ψ) = dv ϕ + dv ψ dαv+βw ϕ = αdv ϕ + βdw ϕ dv (F (ϕ)) = F 0 ϕ + F dv ϕ minden ϕ, ψ skalármező és α, β skalár esetén. 1.3 Vektormező fogalma Definíció. Azt a w : D ⊂ R3 függvényt, amely a háromdimenziós tér egy D tartományának minden pontjához egy jól meghatározott w vektort rendel hozzá, vektor-vektor függvénynek vagy vektormezőnek nevezzük. A w(r) vektormezőt derékszögű koordináta-rendszerben, az e1 , e2 , e3 bázisban a w(r) = wx (r)e1 + wx (r)e2 + wy (r)e3 alakban írhatjuk fel, ahol az wx (r), wy (r) és wz (r) skalármezők a w(r) vektormező koordinátafüggvényei.

Definíció. A w(r) vektormezőt akkor mondjuk az r0 helyen differenciálhatónak, ha létezik a térnek olyan A lineáris transzformációja (3 × 3-as mátrix) , hogy lim r→r0 w(r) − w(r0 ) − A(r − r0 ) = 0. kr − r0 k Nyilvánvaló, hogy ha ilyen A lineáris transzformáció létezik, akkor az egyértelműen meghatározott. Az A elnevezése: derivált tenzor. Könnyen ellenőrizhető, hogy w(r) pontosan akkor differenciálható, ha a wx , wy , wz koordinátafüggvényei, mint sklármezők mind differenciálhatók, és ekkor   ∂x wx ∂y wx ∂z wx A =  ∂x wy ∂y wy ∂z wy  . ∂x wz ∂y wz ∂z wz Egy vektormező erővonalainak nevezzük azokat a görbéket, melyek érintővektormezője éppen a megadott vektormező. 2 Vektormező divergenciája és rotációja, a nabla operátor 1.4 A derivált tenzor skalárinvariánsát a vektormező divergenciájának, a vektor-invariánst pedig rotációnak nevezzük. Ha a w(r) vektormező

koordinátafüggvényeit valamely derékszögű koordináta-rendszerben wx , wy , wz -vel jelöljük, akkor ezeket az invariánsokat a div w = illetve a µ rot w = ∂wy ∂wz − ∂y ∂z ∂wy ∂wz ∂wx + + , ∂x ∂y ∂z ¶ µ e1 + ∂wx ∂wz − ∂z ∂x ¶ µ e2 + ∂wy ∂wx − ∂x ∂y ¶ e3 koordinátás alakban adhatjuk meg. Ha bevezetjük a szimbolikus ¶ µ ∂ ∂ ∂ , , ∇= ∂x ∂y ∂z nabla vektort, akkor a divergencia és a rotáció a következőképpen írható fel: div w = ∇w, rot w = ∇ × w. Természetesen a ∇ vektornak önmagában nincs értelme, de mint műveleti operátor, segítségünkre lehet az összefüggések könnyebb megjegyzésében. Így például µ ¶ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ grad ϕ = ∇ϕ = , , , ∂x ∂y ∂z ∆ϕ = ∇ grad ϕ = ∇∇ϕ = div grad ϕ = = ∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ + + . ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 (∆ az ún. Laplace-operátor) Fontos kérdés, hogy egy vektormező mikor adódott deriválás útján. Az ilyen

vektomezőket potenciálosnak mondjuk. Pontosabban két esetet különböztetünk meg Definíció. Egy w vektormezőt (skalár)potenciálosnak mondunk, ha létezik olyan ϕ skalármező, melynek gradiensvektora éppen w, tehát w = grad ϕ Egy w vektormezőt vektor-potenciálosnak mondunk, ha létezik olyan v vektormező, melynek rotációvektora éppen w, tehát w = rot v. Könnyen igazolható, hogy skalárpotenciálos vektormezők rotációja zérusvektor, a vektor-potenciálos vektormezők divergenciája zérus: rot grad ϕ = 0 div rot v = 0. Mindkét összefüggés a vegyes parciális deriváltak egybeeséséről szóló Young tételből következik. 2. 2.1 Integrálfogalmak A görbe fogalma Definíció. Egy r : I ⊂ R → R3 leképézesét parametrizált görbének nevezünk, ha folytonosan differenciálható, kölcsönösen egyértelmű, és ṙ(t) 6= 0 ∀ t ∈ I esetén. A leképezés képzhalmazát mondjuk ilyenkör röviden görbének. Egy görbének általában sok

paraméterezsée van, gyakran a paraméternek szemléletes, vagy fizikai jelentés adgató, pl. az idő Síkgörbéről beszélünk, ha az értékkészlet R2 Példa: síkgörbére: kör paraméteres előállítása: r(t) = (R cos t, R sin t), 3 t ∈ [0, 2π). Térben egyenes előállítása: r(t) = r0 + tv, ahol v az egyenes irányvektorát jelenti. Tipikus példa a hengeres csavarvonal: r(t) = (R cos t, R sin t, ct), t ∈ R. Figyeljük meg, hogy ha egy f : R3 → R skalármezőt egy r(t) görbe mentén tekintpünk, másszóval az f (r(t)) összetett függvényt képzünk, akkor ennek az egyváltozós függvénynek a deriváltja, a következőképp számítható a láncszabály általánosítása szerint: d f (r(t)) = grad f (r(t)) · ṙ(t) = ∂x f ẋ(t) + ∂y f ẏ(t) + ∂z f ż(t). dt 2.2 Vektormező vonalmenti integrálja Legyen Γ a tér A és B pontját összekötő görbe, amely teljes egészében a w(r) vektormező értelmezési tartományában fut. Osszuk be a

görbét A-tól B felé haladva az A ≡ P0 , P1 , , Pn ≡ B osztópontokkal n részre −−−−→ Használjuk a Pi−1 Pi = ri − ri−1 = ∆ri jelölést, és képezzük a n X w(Qi )(∆ri ) (1) i=1 összeget, ahol Qi a P i−1 Pi ív tetszőleges pontja. Finomítsuk ezután a beosztást minden határon túl úgy, hogy a Pi−1 Pi ívek hosszának maximuma nullához tartson. Definíció. Ha az (1) szerinti összegeknek létezik határértéke a görbe beosztásának minden határon túli finomítására nézve, akkor azt mondjuk, hogy w(r) integrálható a Γ görbe mentén; a határértéket a w(r) vektormező Γ görbe menti vonalintegráljának nevezzük Jelölése Z Z w(r) dr = (wx dx + wy dy + wz dz). Γ Γ Tétel. Ha a Γ görbe folytonosan differenciálható és paraméteres egyenlete r = r(t) α ≤ t ≤ β, akkor a w(r) vektormezőknek a Γ görbe mentén vett vonalintegrálja az Z Zβ w(r) dr = Zβ w(r(t))ṙ(t) dt = α Γ (wx ẋ + wy ẏ + wz ż) dt

α képlettel számíthatjuk ki, ahol α és β az A, illetve B végponthoz tartozó paramétereket jelenti. A vonalmenti integrál szemléletes jelentése pl. a munka Ha a görbe zárt, akkor szokás cirkulációról beszélni Jele ilyenkor: Tétel. Ha a w vektormező potenciálos, azaz egy skalármező gradiense, akkor a w(r) bármely görbe mentén vett integrálja csak a kezdő- és végponttól függ, vagyis független attól, hogy a két végpontot milyen görbével kötöttük össze. Bizonyítás. A vonalmenti integrál kiszámítására vonatkozó előző tétel és a feltétel alapján Z Zβ w dr = Γ Zβ (grad ϕ)ṙ dt = α α d ϕ(r(t)) dt = dt = ϕ(r(β)) − ϕ(r(α)) = ϕ(B) − ϕ(A), ami bizonyítandó volt. Igaz a tétel megfordítása is: R Tétel. Ha a w(r) folytonos vektormező olyan, hogy az w dr vonalmenti integrál értéke csak a kezdő- és végponttól függ, akkor w valamely skalármező gradiense, tehát potenciálos. 4 (Bizonyítás

nélkül.) A vonalmenti integrál értékének az úttól való függetlensége azt jelenti, hog az integrál zárt görbe mentén nulla. Ha ugyanis felveszünk a zárt Γ görbén két pontot, A-t és B-t, továbbá Γ1 -gyel, illetve Γ2 -vel jelöljük a Γ görbe azon két ívét, amelyre az A és B pont felosztja, akkor I Z w dr = Γ Z w dr + Γ1 Z Z w dr = −Γ2 w dr − Γ1 ZB w dr = Γ2 ZB w dr − A w dr = 0, A amiből az állítás leolvasható. Előző tételünket tehát a következőképpen is megfogalmazhatjuk Tétel. A w vektormező vonalmenti integrálja akkor és csak akkor nulla bármely zárt görbe mentén, ha w skalármező gradiense. 2.3 A felület fogalma, felületi integrál Definíció. Egy r : T ⊂ R2 → R3 leképezését parametrizált felületnek nevezünk, ha folytonosan parciálisan differenciálható, kölcsönösen egyértelmű, és ∂u r × ∂v r 6= 0 ∀ (u, v) ∈ T esetén. A leképezés képhalmazát mondjuk ilyenkör röviden

felületnek. Egy felületnek általában sok paraméterezése van. Egyszerű példa egy sík előállítása: r(u, v) = r0 + ua + vb, (u, v) ∈ R2 . Gömbfelület paraméteres előállítása: r(u, v) = (R sin u cos v, R sin u sin v, R cos u), (u, v) ∈ [0, π] × [0, 2π]. Skalármező felületi integrálja Legyen B a ϕ(r) skalármező értelmezési tartománya a háromdimenziós térben. Tegyük fel, hogy az F felületdarab teljes egészében benne fekszik a B tartományban. Ennek következtében a ϕ(r) skalármező az F felület mentén és létezik, s a ϕ függvény a felület minden ri helyzetvektorú Pi pontjához egy-egy számot rendel. Osszuk fel az F felületet az F1 , , Fn felületdarabokra, és jelöljük az Fi felületdarab felszínét ∆fi -vel Válasszuk ki az Fi felületdarab Pi pontját, majd az összes felületdarabot végigjárva, képezzük a n X ϕ(pi )∆fi i=1 összeget. Ezek után a ϕ skalármező felületi integrálját a következőképpen

értelmezzük (pi a Pi pont helyvektora) Definíció. Ha az F felület felosztását finomítva (vagyis akkor, ha a maximális átmérőjű Fi felületdarab átmérője is nullához tart) a n X ϕ(pi )∆fi i=1 összegeknek létezik határértéke, akkor azt mondjuk, hogy ez a határérték a ϕ(r) skalármezőnek az F felület mentén vett felületi (vagy felszín szerinti) integrálja, és Z ϕ df F szimbólummal jelöljük. Tétel. Ha a folytonosan differenciálható F felület paraméteres előálltása r = r(u, v), akkor a ϕ folytonos skalármező felületi integrálját az Z ZZ ϕ df = ϕ(r(u, v))|ru × rv | du dv F T összefüggés alapján az F felületnek a paramétersíkban megfelelő T tartományon vett kettős integrállal számíthatjuk ki. 5 (Bizonyítás nélkül.) Vektormező felületi integrálja Rátérünk a vektormezők felületi integráljának meghatározására. Tekintsük ezért az F felületet és a w(r) vektormezőt, és tegyük fel, hogy a w(r)

vektormező értelmezve van az irányítható F felület pontjaiban. Osszuk fel a felületet az F1 , F2 , . , Fn részekre, és legyen Pi az Fi felületdarab tetszőleges pontja Jelöljük ∆fi -vel a Pi ponthoz tartozó felületi normálegységvektornak és az Fi felületdarab ∆fi felszínének szorzatát. Ezek után értelme van a következő definíciónak. Definíció. Ha a skalárszorzatokból álló n X w(pi )∆fi i=1 alakú összegeknek a felosztását minden határon túl finomítva van határértéke, akkor ezt a határértéket a w vektormező F felületre vonatkozó felületi integráljának nevezzük. Jelölése: Z w df . F Tétel. Ha a w(r) vektormező folytonos és az irányítható F felület r = r(u, v) paraméteres előállítása folytonosan differenciálható, akkor a w vektormező F menti felületi integrálját az Z ZZ ZZ w df = w(r(u, v))(ru × rv ) du dv = wru rv du dv F T T összefüggés alapján a paramétersík T tartománya feletti kettős

integrállal számíthatjuk ki. (Bizonyítás nélkül.) Felületi integrál akkor is létezhet, ha a felület nem minden pontban folytonosan differenciálható: előfordulhatnak csúcsok és élek is, feltéve hogy e kivételes pontok halmaza nullmértékű, azaz tetszőlegesen kis felszínű felületrésszel lefedhető. A felületi integrál szemléleltes jelentése pl. a felületen időegység alatt átáramló anyag mennyisége Ha a felület zárt, akkor szokás fluxusról beszélni. A felületi integrál csak a ponthalmaztól és annak irányításától (az ru × rv normálvektor) irányától függ, nem függ a felület konkrét paraméterezésétől. Példa. Számítsuk ki a w(r) = r vektormezőnek a hengerfelület mentén vett felületi integrálját! A hengerfelület adott darabjának előállítása: r(u, v) = (cos u, sin u, v) (0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 1) Előbb a parciális deriváltvektorokat, és a normálvektort számoljuk ki: ru = (− sin u, cos u, 0) rv = (0, 0,

1) ru × rv = (cos u, sin u, 0). Így az utóbbi állításunkat használva adódik: Z ZZ w(r) df = F 3. Z2πZ1 r(u, v)(ru × rv ) du dv = T Z2πZ1 (cos u, sin u, v) · (cos u, sin u, 0) du dv = 0 0 1 du dv = 2π. 0 0 Integrálátalakító tételek Az integrálátalakító tételek a Newton-Leibniz szabály általánosításai. Ott is arról van szó, hogy egy deriváltfüggvény adott tartományon számítandó integrálját ki lehet számítani az eredeti függvénynek a tartomány határán vett értékeiből. 6 3.1 Gauss-Osztrogradszkij tétel Tétel. Ha a w vektormező az F zárt felülettel határolt V test minden pontjában és a test határán is folytonosan differenciálható, továbbá m a felületi P pontban a testből kifelé mutató egységnyi felületi normálvektor, akkor igaz a következő összefüggés: Z Z w df = F div w dV. V (Bizonyítás nélkül.) A képletben RRR szereplő jobb oldali integrál térfogati integrál, a térfogatelem dV = dx

dy dz, vagyis a jobb oldali formula az div w dx dy dz integrál másik jelölése. V A tétel akkor is érvényben marad, ha az F felület nem minden pontjában létezik felületi normális, de ki kell kötnünk, hogy azok a pontok, ahol az m nem létezik (vagy nem folytonos), nullmértékű halmazt alkotnak, vagyis akármilyen kicsi összfelszínű felületdarabokkal lefedhetők. Igaz marad e tétel akkor is, ha az általánosabb alakú testet konvex darabokra lehet vágni. Az egyes konvex darabokra vonatkozó térfogati integrálok összege az egész testre vett térfogati integrál lesz, a felületi integrálok összeadásakor pedig a közös felületdarabokra vonatkozó integrálok kiesnek, mert ellenkező előjelűek, s így a darabokra vonatkozó felületi integrálok éppen az F felületre vonatkozó felületi integrál lesz. Példa. Számítsuk ki az origó középpontú, egységsugarú F gömbfelületen időegység alatt kiáramló folyadékmennyiséget, ha RR a folyadék

sebessége w(r) = r. A feladat az F wdf integrál kiszámítása. Ez történhet a felületi integrál szemléletes jelentéséből, mivel az egységgömb felületén a w(r) = r normális irányú egységvektort ad, így a keresett integrál értéke az egységgömb felszíne, azaz 4π. Másodjára a kiszámítás történhetne a felületi integrál definíciójából, a gömbfelület parametrizálásával. Most az imént megfogalmazott Gauss-Osztrogradszkij tétel segítségével végezzük el a kiszámítást. A tétel feltételei nyilvánvalóan teljesülnek, vagyis elegendő a jobb oldali integrált kiszámolni Mivel korrábbról: div w(r) = 3, a tétel alapján ZZ Z Z 4π = 4π. wdf = div w dV = 3 dV = 3 · 3 F V V A Gauss-Osztrogradszkij tétel lehetővé teszi a divergencia szemléletes jelentése precizírozását; fizikai jelentése: lokális forráserősség sűrűség. Tétel. Legyen w folytonosan differenciálható vektormező, Fn egyszerű zárt reguláris egymásba

ágyazott felületek sorozata, amely az r0 pontra zsugorodik (azaz az Fn -ek által határolt Vn térrészek mérhető térfogatúak, r0 eleme minden Vn -nek, Fn átmérője nullához tart így természetesen limn→∞ m(Vn ) = 0), akkor a w vektormező Vn -nekre vonatkozó átlagos forráserősségeinek sorozata konvergens és a divergenciához tart: Z 1 wdf = div w(r0 ), lim n→∞ m(Vn ) F n ahol m(Vn ) a Vn térrész térfogatát jelöli. (Bizonyítás nélkül.) 3.2 Stokes tétele Stokes tétele a felületi és a vonalmenti integrálok között állapít meg összefüggést az alábbi feltételek teljesülése esetén. Tétel. Ha a w vektormező a Γ zárt görbével határolt egyszeresen összefüggő, irányítható F felületen és annak határvonalán folytonosan differenciálható, akkor I Z w dr = (rot w) df . Γ F 7 (Bizonyítás nélkül.) A Stokes tétel lehetővé teszi a rotáció szemléleltes jelentésenk leírását (fizikailag: lokális örvényesség).

Tétel. Legyen adott egy F felület, s annak egy r0 pontjában a felület n normálegységvektora Tekintsük e felületen egyszerű zárt reguláris egymásba ágyazott felületi görbék γn sorozatát, amely az r0 pontra zsugorodik össze (azaz a γn -ek által határolt Fn felületdarabok mindegyike tartalmazza r0 -at, γn átmérője a nullához tart). Legyen w folytonosan differenciálható vektormező. Ekkor I 1 wdr = rot w(r0 ) · n, lim n→∞ m(Fn ) γ n ahol m(Fn ) az Fn felületdarab felszínét jelöli. (Bizonyítás nélkül.) A baloldali határértékben szereplő kifejezés az n irányra merőleges síkban levő kis zárt görbe egyszeri körüljárása során végzett átlagos munkát (lokális örvényesség) jelenti, amit ilyen formán a rotáció adott irányú komponense mér. Ebből is következik, hogy potenciálos vektormezőkre, mint pl a gravitációs érőtér, a munkák zérussal egyenlők, így a rotáció is azonosan nulla lesz. Síkbeli Stokes tétel.

Tétel. Ha a pozitív körüljárású γ : r : [a, b] → R2 zárt görbe az F ⊂ R2 síkbeli tartományt fogja közre, és w : R2 → R2 folytonos parciális deriváltakkal rendelkezik, akkor I Z w dr = (∂x wy − ∂y wx ) dxdy. γ F A síkbeli eset könnyen következik a térbeli esetből, ugyanis a w vektormezőt kiterjeszthetjük R3 -ra, s a kiterjesztett vektormező rotációja éppen (0, 0, ∂x wy − ∂y wx )) lesz. 3.3 Green formula Tétel. Legyen F egyszerű zárt reguláris felület, kifelé mutató normálvektorral, V pedig az F által határolt térrész. Ha ϕ, ψ kétszer folytonosan differenciálható skalármezők, akkor Z Z (ϕ grad ψ − ψ grad ϕ)df = (ϕ∆ψ − ψ∆ϕ)dV. F V A tétel levezetéséhez figyeljük meg a divergencia operátor Leibniz tulajdonságát: div(ϕw) = grad ϕ w + ϕ div w. Ezt w = grad ψ-re alkalmazva div(ϕ grad ψ) = grad ϕ grad ψ + ϕ div grad ψ = grad ϕ grad ψ + ϕ∆ψ adódik. Ezért a Gauss-Osztrogradszkij

tétel értelmében: Z Z Z (ϕ grad ψdf = div(ϕ grad ψ)dV = (grad ϕ grad ψ + ϕ div grad ψ)dV = F V V Z = Z grad ϕ grad ψdV + V ϕ∆ψdV. V Felcserélve ϕ és ψ szerepét, és kivonva a fenti egyenlőségből, kapjuk az állítást. 8