Matematika | Középiskola » Matematikai tételek bizonyítása

Matematikai tételek bizonyítása 1. Mit értünk két vagy több egész szám legnagyobb közös osztóján? Hogyan határozható meg? Két vagy több egész szám legnagyobb közös osztója az a legnagyobb egész szám, amely az adott számok mindegyikének osztója. A és B egész számok legnagyobb közös osztójának jele: (A,B) Meghatározása: a számokat prímtényezőkre bontjuk, és azokat a prímszámokat, amelyek mindegyik számban szerepelnek, az előforduló legkisebb hatványkitevőre emeljük és összeszorozzuk. 2. Mit értünk két vagy több egész szám legkisebb közös többszörösén? Hogyan határozható meg? Két vagy több egész szám legkisebb közös többszöröse az a legkisebb pozitív egész szám, amely az adott számok mindegyikének többszöröse. A és B egész számok legkisebb közös többszörösének jele: [A,B] Meghatározása: a számokat prímtényezőkre bontjuk, és azokat a prímszámokat, amelyek valamelyik számban szerepelnek, az

előforduló legnagyobb hatványkitevőre emeljük és összeszorozzuk. 3. Milyen számot nevezünk prímszámnak? Mikor mondjuk, hogy két vagy több egész szám relatív prím? A pozitív egész számokat osztóik száma szerint három csoportba sorolhatjuk: • Egy osztója van: az egyetlen ilyen szám az 1. • Kettő osztója van (1 és önmaga): ezeket a számokat nevezzük prímszámoknak (vagy törzsszámoknak). • Kettőnél több osztója van: ezeket a számokat nevezzük összetett számoknak. Két, vagy több egész szám relatív prím, ha az 1 –en és a –1 – en kívül nincs más közös osztójuk. (Ilyenkor a legnagyobb közös osztójuk az 1) 4. Mit jelent az, hogy a valós számokra értelmezett összeadás és szorzás kommutatív, asszociatív, illetve a szorzás az összeadásra nézve disztributív? Az összeadás kommutatív: bármely A és B valós számokra igaz, hogy: A + B = B + A Az összeadás asszociatív: bármely A, B és C valós számokra igaz,

hogy: (A + B) + C = A + (B + C) A szorzás kommutatív: bármely A és B valós számokra igaz, hogy: A × B = B × A A szorzás asszociatív: bármely A, B és C valós számokra igaz, hogy: (A × B) × C = A × (B × C) A szorzás az összeadásra nézve disztributív: bármely A, B és C valós számokra igaz, hogy: (A + B) × C = A × C + B × C 5. Definiálja az egyenes arányosság és a fordított arányosság fogalmát! Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa állandó, akkor azt mondjuk, hogy a két mennyiség egymással egyenesen arányos. (Y / X = állandó) (Ha például az egyik mennyiség duplájára növekszik, akkor a másik mennyiség is duplájára kell növekedjék. Ahányszorosára változik az egyik, ugyanannyiszoros lesz a másik is Ha a fenti összefüggést átrendezzük, akkor az Y = állandó × X képletet kapjuk, tehát az Y változó lineáris függvénye X –nek. Ebből következik, hogy az Y = f (X) függvény képe az origón

átmenő egyenes.) Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek szorzata állandó, akkor azt mondjuk, hogy a két mennyiség egymással fordítottan arányos. (Y × X = állandó) (Ha például az egyik mennyiség duplájára növekszik, akkor a másik mennyiség felére kell csökkenjen. Ahányszorosára változik az egyik, ugyanannyadára csökken a másik Ha a fenti összefüggést átrendezzük, akkor az Y = állandó / X képletet kapjuk, tehát az Y változó törtfüggvénye X –nek. Ebből következik, hogy az Y = f (X) függvény képe egy origó középpontú hiperbola.) 6. an • • Hogyan definiáljuk az a valós szám pozitív egész kitevőjű hatványát? jelentése (ahol a tetszőleges valós szám, n pozitív egész szám): a1 = a ha n > 1 akkor an = olyan n tényezős szorzat, amelynek minden tényezője a. 7. Igazolja a következő azonosságokat (a, b valós számok, n, k pozitív egész)! a) (ab)n = an bn n a a b)   = n b

b n k c) (a ) = ank Bizonyítások: a) (ab)n = a b a b a b = a a a b b b = an bn . A bizonyításban a szorzás kommutativitását és asszociativitását használtuk fel. n n b) a a a aa .a a n a = . =   = b b b bb.b b n b c) (a ) n k nk . . . = aa  a aa  a .aa  a = a ndb  ndb ndb   nkdb 8. Definiálja a nemnegatív valós szám négyzetgyökét! Mivel egyenlő a 2 ? Egy nemnegatív valós a szám négyzetgyöke az a nemnegatív valós szám, amelynek négyzete a. a2 = a 9. Definiálja a racionális szám fogalmát! A racionális számok olyan számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként, azaz felírhatók p alakban, ahol p és q egész számok, továbbá q ≠ 0. q 10. Mi a számelmélet alaptétele? Minden 1 – től különböző pozitív egész számot fel lehet bontani prímszámok szorzatára; ez a felbontás a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű. (Ez az

ún prímtényezős felbontás) 11. Bizonyítsa be, hogy a 2 irracionális szám! A bizonyítás indirekt: tegyük fel, hogy a 2 racionális szám, azaz felírható p alakban, ahol p q is és q is pozitív egész. p emeljük mindkét oldalt négyzetre! q 2= p2 átrendezve: q2 2q 2 = p 2 2= Négyzetszámban a számelmélet alaptétele (egyértelmű prímtényezőkre bonthatóság) és a hatványozás azonosságai miatt minden prímtényező páros kitevővel (vagy nulla) szerepel. Tehát az utolsó sorban a jobboldalon a 2 –es prímtényező kitevője páros (vagy nulla) viszont a baloldalon páratlan (páros + 1)! A két oldal egyenlő, így egy számnak kétféle prímtényezős felbontása léteznék, ami ellentmond a számelmélet alaptételének! Tehát az indirekt feltevés helytelennek bizonyult, azaz a 2 irracionális szám. 12. Hogyan definiálja egy pozitív szám 0, negatív egész és racionális kitevőjű hatványát? a 0 = 1 ahol a > 0 1 a − n = n ahol

a > 0, és n pozitív egész szám a p q q a = a p ahol a > 0, p egész szám, és q > 1 egész szám. 13. Mit értünk egy valós szám n -edik gyökén (n pozitív egész)? Határozza meg 3 27 ; 4 256 ; 5 − 32 értékét! • Ha a gyökkitevő (n) pozitív páros szám: Valamely nemnegatív a szám n –edik gyöke az a nemnegatív szám, amelynek n –edik hatványa a. • Ha a gyökkitevő (n) 1 –nél nagyobb pozitív páratlan szám: Valamely a szám n –edik gyöke az a szám, amelynek n –edik hatványa a. 5 3 4 27 = 3 256 = 4 − 32 = −2 14. Igazolja a következő azonosságokat! a) n ab = n a n b a = b b) n c) ( a) n k n n a b = k an Milyen kikötéseket kell tenni a –ra, b –re, n –re és k –ra? a) A gyökfogalom definíciója szerint a bal oldalon álló kifejezés n –edik hatványa ab. A jobb oldalon álló kifejezés n –edik hatványa (felhasználva a hatványozás azonosságait): ( ) ( )( ) n n n a n b = n a n b = ab Ezzel

az állítást bizonyítottuk. Kikötések: n > 1 egész szám; páros n esetén a és b is nemnegatív valós szám; páratlan n esetén a és b is tetszőleges számok. n b) A gyökfogalom definíciója szerint a bal oldalon álló kifejezés n –edik hatványa a . A jobb oldalon álló kifejezés n –edik hatványa: b n n a    n b =   ( a) ( b) n n n n = a Ezzel az állítást b bizonyítottuk. Kikötések: n > 1 egész szám; páros n esetén a nemnegatív valós szám, b pozitív valós szám; páratlan n esetén a tetszőleges valós szám, b ≠ 0 valós szám. c) A gyökfogalom definíciója szerint a jobb oldalon álló kifejezés k –adik hatványa an. A bal ( ) k ( ) ( ) n n nk k oldalon álló kifejezés k –adik hatványa:  k a  = k a =  k a  = a n     Kikötések: n tetszőleges egész szám, k > 1 egész szám; páros k esetén a nemnegatív valós szám; páratlan k esetén a

tetszőleges valós szám. 15. Mit nevezünk egy valós szám normálalakjának? Írja fel a következő számok normálalakját! 78 0,000 173; 58 200 000; 582 Egy valós szám normálalakja olyan két tényezős szorzat, amelyben az egyik tényező abszolút értéke 1, vagy 1 –nél nagyobb, de 10 –nél kisebb; a másik tényezője 10 –nek egész kitevős hatványa. 0,000 173 = 1,73 × 10 –4 58 200 000 = 5,8 × 10 7 78 = 0,13402 = 1,3402 × 10 −1 582 16. Mit jelent loga b ? Milyen kikötéseket kell tenni a -ra és b -re? loga b , vagyis b -nek a alapú logaritmusa az a kitevő, amelyre a -t emelve b -t kapunk. Kikötések: b > 0 ; a > 0 ; a ≠ 1 . Megjegyzés: a definíció alapján a log a b = b 17. Igazolja a következő azonosságokat! a) log a xy = log a x + log a y b) log a x = log a x − log a y y c) log a x = k log a x Milyen kikötéseket kell tenni x -re, y -ra, a -ra és k -ra? a) Kikötések: x > 0 ; y > 0 ; a > 0 ; a ≠ 1 . k

Bizonyítás: A logaritmus definíciója alapján xy = a log a xy xy = a log a x a log a y (hiszen x = a log a x és y = a log a y ) log a xy = a loga x a loga y = a loga x+loga y A fentiek egyenlőségéből: a másrészt viszont Az exponenciális függvények szigorú monotonitása miatt: log a xy = log a x + log a y b) Kikötések: x > 0 ; y > 0 ; a > 0 ; a ≠ 1 x Bizonyítás: A logaritmus definíciója alapján A fentiek egyenlőségéből: a log a x y log a x x a loga x y =a = másrészt y y a loga y a loga x = loga y = a loga x−loga y a Az exponenciális függvények szigorú monotonitása miatt: log a x = log a x − log a y y c) Kikötések: x > 0 ; a > 0 ; a ≠ 1 ; k tetszőleges valós szám k k = log a x Bizonyítás: A logaritmus definíciója alapján log a x k k = másrészt log a xk log a x k = = k loga x (többszörös hatványozás tulajdonsága) tehát x a (a ) (a ) x a a Az exponenciális függvények szigorú monotonitása

miatt: log a x = k log a x k 18. Definiálja a következő fogalmakat! a) polinom; b) algebrai tört. a) Az egyhatározatlanú polinom olyan többtagú összeg, amelynek tagjai a határozatlan különböző kitevőjű hatványai valamilyen számmal szorozva. A határozatlan hatványkitevői csak természetes számok lehetnek. Pl.: 6x5 + 3x2 - 2x +5 Az előforduló legnagyobb hatványkitevő a polinom fokszáma. b) Az algebrai tört két polinom hányadosa. 3x 2 + 4 x + 3 Pl.: 4 x6 − 2 x3 + x 2 19. Mit nevezünk egyenletnek? Mi az egyenlet igazsághalmaza? Mikor mondjuk, hogy két egyenlet ekvivalens? Egyenletnek nevezünk bármely két, egyenlőségjellel összekötött matematikai kifejezést. A kifejezésekben szereplő változók az ismeretlenek. Az egyenlet alaphalmaza (avagy értelmezési tartománya): az egyenlőségjel két oldalán lévő kifejezések értelmezési tartományainak közös része (metszete). Az egyenlet igazsághalmaza (megoldáshalmaza): az egyenlet

alaphalmazának azon részhalmaza, amelynek elemeire az egyenlet igaz. Két egyenlet egymással ekvivalens, ha megegyezik az alaphalmazuk és megegyezik az igazsághalmazuk is. 20. Igazolja a másodfokú egyenlet megoldóképletét! A másodfokú egyenlet általános alakja: ax 2 + bx + c = 0 ahol a ≠ 0   a  x2 + emeljük ki a -t: b x+ a c =0 a a zárójelben lévő részt alakítsuk teljes négyzetté:    a x + tovább alakítva: 2  b  b2 c  a x+  − 2 +  = 0  2a  a  4a  b  b 2 − 4ac  =0  − 2a  4a 2  2 Vizsgáljuk meg a diszkriminánst! Ha b 2 − 4ac < 0 akkor − b 2 − 4ac > 0 tehát az egész 4a 2 zárójel értéke pozitív. Ekkor viszont a bal oldal értéke nem lehet nulla (hiszen a ≠ 0), tehát az egyenletnek nincs megoldása! 2 2   2   4 b b ac −     =0 Ha b 2 − 4ac ≥ 0 akkor a fenti egyenlet így írható: a

  x +  −    2a  2a      A bal oldal szorzattá alakítható (az a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) azonosság alkalmazásával):  b b 2 − 4ac  b b 2 − 4ac  =0 x+ − +    2 2 2 2 a a a a    Mivel a ≠ 0 ezért a bal oldalon álló szorzat csak úgy lehet 0, ha a másik két tényezője közül valamelyik 0, vagyis ha a x + b b 2 − 4ac − =0 2a 2a − b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac és x2 = Tehát az egyenlet két megoldása: x1 = 2a 2a − b ± b 2 − 4ac A két megoldást egy képletbe foglalva: x1, 2 = 2a 2 Ha b − 4ac = 0 akkor a két megoldás egybeesik. x+ b b 2 − 4ac + = 0 , vagy 2a 2a x+ 21. Mit ért a másodfokú egyenlet diszkriminánsán? Az ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) másodfokú egyenlet diszkriminánsa: D = b2 – 4ac . A diszkrimináns előjele határozza meg az egyenlet gyökeinek számát. Ha D > 0, akkor az egyenletnek 2 különböző valós gyöke van;

ha D = 0, akkor az egyenletnek 1 valós gyöke van; ha D < 0, akkor az egyenletnek nincs valós gyöke. 22. Bizonyítsa be a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket! (Ezeket az összefüggéseket Viéte – formuláknak is szokás nevezni.) Az ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) alakban felírt másodfokú egyenlet két gyökének összege: − b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac − 2b − b + = = 2a 2a 2a a A két gyök szorzatát így írhatjuk: x1 + x2 = (  − b + b 2 − 4ac  − b − b 2 − 4ac  (− b )2 − b 2 − 4ac =  x1 x2 =     2 a 2 a (2a )2    b 2 − b 2 + 4ac 4ac c = = 2 = a 4a 2 4a ) 2 = 23. Hogyan definiálja két nemnegatív szám számtani, illetve mértani közepét? a +b Két valós szám (a és b) számtani közepe: 2 Két nemnegatív szám (a ≥ 0 és b ≥ 0) mértani közepe: ab 24. Mit ért a) pont és egyenes távolságán; b) párhuzamos egyenesek távolságán;

c) pont és sík távolságán; d) párhuzamos síkok távolságán? a) Pont és egyenes távolságán a pontból az egyenesre bocsátott merőleges pont és egyenes közötti szakaszának hosszát értjük. b) Párhuzamos egyenesek távolságán az egyik egyenes valamely pontjából a másik egyenesre bocsátott merőleges két egyenes közötti szakaszának hosszát értjük. c) Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsátott merőleges pont és sík közötti szakaszának hosszát értjük. d) Párhuzamos síkok távolságán az egyik sík valamely pontjából a másik síkra bocsátott merőleges két sík közötti szakaszának hosszát értjük. 25. Mit ért két kitérő egyenes távolságán? Bizonyítható, hogy két kitérő egyeneshez egyetlen olyan egyenes van, amely mindkettőt metszi, és mindkettőre merőleges. Ezt az egyenest a két kitérő egyenes normál tranzverzálisának nevezzük. Két kitérő egyenes távolságán annak a szakasznak a hosszát

értjük, amelyet a normál tranzverzálisuknak az egyenesekkel alkotott metszéspontjai határoznak meg. 26. Mit ért a) egyenes és sík hajlásszögén; b) két sík hajlásszögén? a) Azt mondjuk, hogy a síkot metsző egyenes merőleges a síkra, ha merőleges a síkra illeszkedő minden olyan egyenesre, amely átmegy az egyenes és a sík metszéspontján. Ha az adott egyenes nem merőleges a síkra, akkor az egyenes merőleges vetülete a síkon szintén egy egyenes. Ebben az esetben az egyenes és a sík hajlásszögén az egyenes és a vetület hajlásszögét értjük. b) Párhuzamos síkok hajlásszöge 0. Ha két sík nem párhuzamos egymással, akkor metszésvonaluk egy pontjában mindkét síkban merőlegest állítunk a metszésvonalra. Ekkor a két sík hajlásszögén a két merőleges szögét értjük. 27. Mit ért két kitérő egyenes hajlásszögén? Két kitérő egyenes hajlásszögén a tér egy tetszőleges pontján átmenő, és az adott egyenesekkel

párhuzamos egyenesek hajlásszögét értjük. 28. Mikor nevez két síkidomot egybevágónak? Sorolja fel a háromszög egybevágóságának alapeseteit! Két síkbeli alakzat egybevágó, ha van a síknak olyan egybevágósága, amely egyiket a másikba viszi. (Egybevágóság = távolságtartó geometriai transzformáció) Két háromszög egybevágó, ha a) oldalaik hossza páronként egyenlő, b) két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és az ezek által közbezárt szögek egyenlők, c) egy-egy oldaluk hossza és a rajtuk fekvő két-két szögük egyenlő, d) két-két oldaluk hossza páronként egyenlő, és e két oldal közül a nagyobbikkal szemközti szögek egyenlők. 29. Osztályozza a síknégyszögeket a) az oldalak párhuzamossága; b) az oldalak egyenlősége szerint! a) Az oldalak párhuzamossága szerint: Trapézoknak nevezzük az olyan síknégyszögeket, amelyeknek van két párhuzamos oldaluk. Szimmetrikus trapézok az olyan trapézok, amelyeknek van a

párhuzamos oldalakra merőleges szimmetriatengelyük. Paralelogrammák azok a trapézok, amelyeknek két-két párhuzamos oldaluk van. b) Az oldalak egyenlősége szerint: Paralelogrammáknak nevezzük az olyan síknégyszögeket, amelyeknek két-két szemközti oldaluk egyenlő. Közülük azok, amelyeknek minden oldaluk egyenlő: rombuszok. Deltoidoknak nevezzük az olyan síknégyszögeket, amelyeknek két-két szomszédos oldaluk egyenlő. 30. Milyen négyszöget nevez húrnégyszögnek, illetve érintőnégyszögnek? Azokat a síknégyszögeket nevezzük húrnégyszögeknek, amelyeknek van körülírható köre. Azokat a síknégyszögeket nevezzük érintőnégyszögeknek, amelyeknek van beírható köre. 31. Mit nevez középvonalnak a) paralelogramma; b) trapéz; c) háromszög esetén? Számítsa ki ezeknek a hosszát az oldalak ismeretében! a) A paralelogramma középvonala: két szemközti (párhuzamos) oldal felezőpontját összekötő szakasz. Tekintsük az ábrán

látható paralelogrammát! Az F pont az AD oldal felezőpontja, a G pont pedig a BC oldal felezőpontja. Az AF szakasz párhuzamos, és egyenlő a BG szakasszal. Tehát az ABGF négyszög is paralelogramma, ezért az FG középvonal párhuzamos és egyenlő a paralelogramma DC illetve AB oldalával. b) A trapéz középvonala: a két szár felezőpontját összekötő szakasz. Tekintsük az ábrán látható ABCD trapézt! Az E felezőpontra tükrözve a trapézt, a középpontos tükrözés tulajdonsága miatt, egy paralelogrammát kapunk, melynek középvonala 2 k hosszúságú (k az EF középvonal hossza). Innen 2k = a+c , azaz k = a +c . 2 Vagyis a trapéz középvonala párhuzamos az alapokkal és hossza az alapok hosszának számtani közepe. C) A háromszög középvonala: a háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz. Az ábrán látható ABC háromszögben F és G a megfelelő oldalak felezőpontjai. A háromszöget az F oldalfelező pontra

tükrözve az ABA’C paralelogrammát kapjuk. Ennek középvonala GG’, ami párhuzamos AB – vel és hosszuk egyenlő. Mivel F felezi GG’ –t, ezért a háromszög FG középvonala is párhuzamos AB –vel és fele olyan hosszú. 32. Igazolja, hogy a háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van, és fordítva! 1) Először azt az állítást bizonyítjuk, amely szeint a háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van: Legyen AC < BC. Az AC szakaszt mérjük fel a C ponttól a CB oldalra. Így a CB szakasz B’ belső pontját kapjuk Az AB’C háromszög egyenlő szárú, az egyenlő szögeket δ -val jelöljük. δ < α, mert az AB’ szögszár a CAB szög belsejében halad. β < δ, mert δ az AB’B háromszög B’ csúcsánál lévő külső szöge. A felírt két egyenlőségből következik, hogy β < α, ami a bizonyítandó állítás. (Közben felhasználtuk, hogy a háromszög külső szöge nagyobb, mint bármelyik nem mellette

fekvő belső szög, mivel bármely külső szög egyenlő a két nem mellette fekvő belső szög összegével.) 2) Most azt az állítást bizonyítjuk, amely szerint a háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van: Az ABC háromszögben legyen β < α . A bizonyítás indirekt: tegyük fel, hogy AC < BC nem igaz! Ekkor vagy AC = BC teljesül vagy AC > BC teljesül. Ezek viszont nem teljesülhetnek, hiszen tudjuk, hogy egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak, nagyobb oldalal szemben pedig negyobb szög van (lásd előbb). 33. Határozza meg a következő ponthalmazokat! A) Két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban és a térben. B) Két adott egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban. A) Két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban a pontokat összekötő szakasznak az adott síkra illeszkedő felezőmerőlegese. Két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok

halmaza a térben a pontokat összekötő szakasz felezőmerőleges síkja. B) Ha a két adott egyenes párhuzamos, akkor az egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza egy olyan egyenes, amely a két adott egyenessel párhuzamos, és távolságukat felezi. Ha a két adott egyenes metszi egymást, akkor az egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két egyenes által bezárt szögek szögfelező egyenesei. (Két ilyen egyenes létezik, és ezek merőlegesek egymásra) 34. Határozza meg a következő ponthalmazokat! A) Három adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban és a térben. B) Egy sík három adott egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban. A) Három adott ponttól (A, B, C) egyenlő távolságra lévő pontok a síkban azok, amelyek egyenlő távolságra vannak A –tól és B –től is, és ugyanakkor B –től és C –től is. Tehát a keresett pontoknak rajta kell lenniük az AB

szakasz felezőmerőlegesén és a BC szakasz felezőmerőlegesén is, azaz a keresett ponthalmaz a két felezőmerőleges közös pontjaiból áll. Ha az ABC pontok háromszöget alkotnak, akkor egyetlen ilyen pont van: az ABC háromszög körülírt körének középpontja. Ha a három pont egy egyenesbe esik (kollineárisak) akkor a felezőmerőlegesek nem metszik egymást, azaz nincs ilyen pont. A térben az A, B, C pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok az AB szakasz felezőmerőleges síkjának és a BC szakasz felezőmerőleges síkjának közös pontjai. Ha az ABC pontok háromszöget alkotnak, akkor ez a két sík egy egyenesben metszi egymást. Ez az egyenes az ABC háromszög körülírt körének középpontján átmenő, a háromszög síkjára merőleges egyenes. Ha a három pont egy egyenesbe esik (kollineárisak) akkor a felezőmerőleges síkok nem metszik egymást, azaz nincs ilyen pont. B) Ha a három egyenes párhuzamos, akkor nincs ilyen pont. Ha a három

egyenes közül kettő párhuzamos egymással (e és f) és a harmadik metszi őket (g), akkor a keresett ponthalmaz nem más, mint az e és f egyenesek középpárhuzamosának (p) metszéspontjai az r illetve s szögfelező egyenesekkel. (Két ilyen pont létezik) Ha a három egyenes három különböző pontban metszi egymást, akkor négy ilyen pont létezik. Az adott egyenesek által határolt háromszög belsejében a belső szögfelezők metszéspontja (azaz a beírható kör középpontja), kívül pedig egy belső szögfelezőnek és a másik két csúcshoz tartozó külső szögfelezőnek a metszéspontjai. Ha a három egyenes egyetlen pontban metszi egymást akkor ez a közös metszéspont az egyetlen olyan pont, amely egyenlő távolságra (=0) van az egyenesektől. 35. Igazolja, hogy a háromszög oldalainak felezőmerőlegesei egy pontban metszik egymást! Az AB oldal felezőmerőlegesének (e) minden pontja egyenlő távolságra van A –tól és B –től.

Hasonlóképpen a BC oldal felezőmerőlegesének (f) minden pontja egyenlő távolságra van B – től és C –től. Mivel az A, B, C pontok nem esnek egy egyenesbe ezért az e és f egyenesek metszik egymást (P metszéspont). A P pont egyenlő távolságra van A –tól és B –től, valamint B –től és C –től, tehát egyenlő távolságra van A –tól és C –től is. Ekkor viszont a P pontnak rajta kell lenni az AC oldal felezőmerőlegesén, tehát a felezőmerőlegesek valóban egy közös pontban metszik egymást. 36. Igazolja, hogy a háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást! Az ABC háromszög α szögének belső szögfelezőjére igaz, hogy minden pontja egyenlő távolságra van a b és c oldalaktól. A β szög szögfelezőjére igaz, hogy minden pontja egyenlő távolságra van az a és c oldalaktól. Eme két szögfelező a háromszög belsejében metszi egymást, metszéspontjuk legyen M. Az M pontra igaz, hogy egyenlő távolságra

van a b és c oldalaktól, és egyenlő távolságra van az a és c oldalaktól is. Tehát az M pont egyelő távolságra van az a és b oldalaktól is, ezért rajta kell lennie a γ szög belső szögfelezőjén is. Ezzel beláttuk, hogy mindhárom szögfelező egyetlen közös pontban metszi egymást. 37. Bizonyítsa be, hogy a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást! Az ABC háromszög csúcsain keresztül húzzunk párhuzamosokat a szemközti oldalakkal. A keletkezett új háromszög csúcsai A’B’C’. Az ABCB’, AC’BC és ABA’C négyszögek paralelogrammák, hiszen szemközti oldalaik párhuzamosak. Mivel egy paralelogramma szemközti oldalai egyenlő hosszúak, ezért B’C = AB és CA’ = AB tehát B’C = CA’ azaz a C pont felezi a B’A’ oldalt! Azaz az mc egyenes felezőmerőlegese a nagy háromszög B’A’ oldalának. Hasonló gondolatmenettel belátható, hogy az A pont felezi a B’C’ oldalt és a B pont felezi a C’A’ oldalt. Tehát

az ABC háromszög magasságvonalai egyben az A’B’C’ háromszög oldalfelező merőlegesei. Tudjuk, hogy bármely háromszög oldalfelező merőlegesei egyetlen pontban metszik egymást (lásd 35. Tétel), ezért az ABC háromszög magasságvonalainak is egyetlen pontban kell találkozniuk. 38. Igazolja Thalész tételét és a tétel megfordítását! Thalész tétele: Egy kör tetszőleges átmérőjének két végpontját a körvonal bármely más pontjával összekötve derékszögű háromszöget kapunk. Az átmérő a derékszögű háromszög átfogója Bizonyítás: Az ábrán az AB szakasz a kör átmérője, a C pont pedig a körvonal egy pontja. Kössük össze a kör O középpontját a C ponttal! A keletkező OA, OB, OC szakaszok egyenlő hosszúak (a kör sugarai), tehát az AOC és BOC háromszögek egyenlő szárúak, ezért az ábrán azonosan jelölt szögek egyenlők. Az ABC háromszög belső szögeinek összege: α + α + β + β = 2 α + 2 β = 180 °.

Ebből következően: α + β = 90 °, tehát a C csúcsnál lévő szög valóban derékszög. A tétel megfordítása: Derékszögű háromszög köré írt kör középpontja nem más, mint az átfogó felezőpontja. Bizonyítás: Elég azt megmutatnunk, hogy az átfogó felezőpontja egyenlő távolságra van a háromszög csúcsaitól (hiszen a körülírt kör középpontja az egyetlen ilyen tulajdonságú pont). Tükrözzük a háromszöget az átfogó F felezőpontjára! A középpontos tükrözés szögtartó, ezért az ábrán azonosan jelölt szögek egyenlők. (CABszög = ABC’szög, ABCszög = BAC’szög) Mivel α + β = 90 °, ezért az ACBC’ négyszög téglalap! Tudjuk, hogy bármely téglalap átlói egyenlő hosszúak és felezik egymást, tehát AF = CF = BF. 39. Bizonyítsa be, hogy egy síknégyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha kétkét szemközti oldalának összege egyenlő! Az „akkor és csak akkor” –jellegű tételek valójában

kétirányú állítások, ezért a bizonyítást is „két irányban” kell elvégezni. Érintőnégyszögnek nevezzük azokat a konvex síknégyszögeket, amelyeknek van beírható köre. 1. Irány: Minden érintőnégyszögben két-két szemközti oldal összege egyenlő. Bizonyítás: Tudjuk, hogy egy körhöz egy külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlők. Ebből következőleg az ábrán azonos betűvel jelölt szakaszok egyenlők. A négyszög két-két szemközti oldalának összege: AB + CD = a + b + c + d BC + DA = b + c + d + a tehát AB + CD = BC + DA 2. Irány: Ha egy konvex síknégyszögben két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő, akkor a négyszög érintőnégyszög. A bizonyítás indirekt: Tegyük fel, hogy a négyszög nem érintőnégyszög. Válasszuk ki a négyszög három olyan oldalát amelyekre igaz, hogy az a oldalból kiinduló b és d oldalak összetartanak! (Minden olyan négyszögben tudunk így választani, amely nem

paralelogramma.) Az a oldal és a b, d oldalegyenesek egyértelműen meghatározzák azt a kört, amely mindhármukat érinti. (Ennek a körnek a középpontja nem más, mint a B és D csúcsoknál lévő szögek szögfelezőinek metszéspontja.) Az indirekt feltevés szerint a c oldal nem érinti ezt a kört, azaz vagy belemetsz a körbe, vagy a körön kívül halad. Mozgassuk el a c oldal egyenesét önmagával párhuzamosan úgy, hogy érintse a kört! Az így létrejött négyszög érintőnégyszög, azaz a + c’ = b’ + d’. Ha az eredeti c oldal belemetszett a körbe, c’ < c és b’ > b, d’ > d, azaz a mozgatásnál a c oldal csökkent, a b és d oldalak viszont növekedtek, ami ellentmond az a + c = b + d feltételnek! Ha az eredeti c oldal a körön kívül haladt, c’ > c és b’ < b, d’ < d, azaz a mozgatásnál a c oldal nőtt, a b és d oldalak viszont csökkentek, ami szintén ellentmond az a + c = b + d feltételnek! A bizonyítás során

logikus gondolatmenettel ellentmondásra jutottunk, tehát az indirekt feltevésünk helytelen. (Paralelogramma esetén a c oldal hossza a mozgatásnál változatlan, a b és d oldalak hossza viszont változik, és így adódik ellentmondás.) 40. Igazolja, hogy egy négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180 °! 1. Irány: Bármely húrnégyszögben a szemközti szögek összege 180 ° Bizonyítás: Kössük össze a húrnégyszög körülírt körének középpontját a húrnégyszög két szemközti csúcsával! Tudjuk, hogy az azonos körívhez tartozó középponti és kerületi szögek aránya 2:1. (Középponti és kerületi szögek tétele; lásd 41. Tétel) Az ábrán látható, hogy 2α + 2γ = 360 ° Ebből következik: α + γ = 180 ° 2. Irány: Ha egy négyszög szemközti szögeinek összege 180 °, akkor a négyszög húrnégyszög. Bizonyítás: Az ABCD négyszög szemközti szögeinek összege: α + γ = 180 °. Rajzoljuk

meg az ABD háromszög köré írt kört! Azt kell megmutatnunk, hogy a C pont is rajta van ezen a körön. A kör BD húrja az A pontból α szög alatt látszik, a C pontból pedig 180 ° − α szög alatt látszik. A síkon azon pontok helye, amelyekből a BD húr 180 ° − α szög alatt látszik nem más, mint a kör vastagon jelölt köríve, és ennek a BD -re vonatkozó tükörképe (látókörívek tétele). Mivel az ABCD négyszög konvex, (ha nem lenne konvex, akkor szemközti szögeinek összege nem lehetne 180 °!), a C csúcs nem lehet a tükörképen, csak a körre illeszkedő köríven. Tehát az ABCD négyszög valóban húrnégyszög, hiszen mind a négy csúcsa egy körre illeszkedik. 41. Bizonyítsa be, hogy a kör egy ívéhez tartozó bármely kerületi szög feleakkora, mint az ugyanehhez az ívhez tartozó középponti szög! (A tételt Bolyai Farkas magyar matematikus módszerével bizonyítjuk.) A tételben szereplő szögek többféle helyzetűek lehetnek;

vegyük sorra az egyes eseteket: 1. Eset: Ha a kerületi szög kisebb, mint 90° és egyik szára a kör érintője (érintő szárú kerületi szög). Az ábrán látható EAO háromszög egyenlő szárú, ezért az EA alaphoz tartozó OF magasság felezi az ω középponti szöget. Az EOF szög és az α szög merőleges szárúak és mindkettő hegyesszög, így azok egyenlők. Tehát EOF szög = ω / 2 = α, azaz ω = 2α 2. Eset: Ha a kerületi szög nagyobb, mint 90° és egyik szára a kör érintője. Ekkor az ábrán látható szögekre igazak a következők: β = 180° − α ω = 2α (az előző eset alapján!) ϕ = 360° − ω = 360° − 2α ϕ = 2(180° − α) = 2β 3. Eset: Ha a kerületi szög 90° és egyik szára a kör érintője Ekkor a kerületi szög másik szára átmegy a kör középpontján, tehát a megfelelő középponti szög 180°. 4. Eset: Ha a kerületi szög nem érintő szárú Ez az eset kétféleképpen is megvalósulhat (lásd az ábrákat).

Mindkét esetre igazak a következők: Húzzuk meg a kerületi szög csúcsához tartozó érintőt! Ekkor két érintő szárú kerületi szög is keletkezik: α1, α2. Ezekre a szögekre fennáll, hogy α1 + α + α2 = 180° Az 1 Eset és a 2 Eset alapján állíthatjuk, hogy az α1 szöghöz tartozó középponti szög 2α1, az α2 szöghöz tartozó középponti szög 2α2. Igaz továbbá, hogy ω = 360° − 2α1 − 2α2 = 2 (180°−α1−α2) = 2α Bizonyítsa be, hogy az n oldalú konvex sokszög belső n(n − 3) szögeinek összege (n-2) 180°, átlóinak száma pedig ! 2 A szögösszeg: A sokszög egyik csúcsából húzzunk átlókat a többi csúcsba. Így összesen n-3 darab átló húzható (mert saját magába és a szomszédos két csúcsba nem). Ezek az átlók a sokszög belsejében haladnak (mert a sokszög konvex) és a sokszöget n-2 darab háromszögre bontják. Az összes háromszög belső szögeinek összege megegyezik a sokszög belső szögösszegével.

Egy háromszög belső szögeinek összege 180°, tehát az összes háromszög belső szögeinek összege (n-2) 180°. Az átlók száma: Egy csúcsból n-3 darab átló indul ki, n csúcsból tehát n (n-3) darab átló indul ki. Így minden átlót kétszer vettünk számba (hiszen két végpontja van), tehát a sokszög n(n − 3) átlóinak száma: . 2 42. 43. Mi az összefüggés két (nemnegatív) szám számtani és mértani közepe között? Igazolja az összefüggést! Két nemnegatív szám számtani közepe nagyobb vagy egyenlő a mértani közepüknél. a+b (Egyenlőség akkor van, ha a = b.) ≥ ab 2 Bizonyítás: Bármely szám négyzete nagyobb vagy egyenlő, mint nulla, ezért tetszőleges a, b nemnegatív számokra igaz, hogy (a − b) 2 ≥ 0 Végezzük el a négyzetre emelést, a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0 majd adjunk az egyenlőtlenség mindkét oldalához 4ab –t! a 2 + 2ab + b 2 ≥ 4ab A bal oldal teljes négyzetté alakítható: (a + b) 2 ≥ 4ab Mivel a és b

nemnegatív számok, ezért az egyenlőtlenségből négyzetgyököt vonhatunk. a + b ≥ 2 ab a+b ≥ ab 2 A kiinduló egyenlőtlenségből látható, hogy egyenlőség csak akkor áll fenn, ha a = b. Végül mindkét oldalt kettővel osztva:. 44. Mi az egybevágósági transzformáció? Az egybevágósági transzformáció olyan geometriai transzformáció, amely távolságtartó, azaz bármely P és Q pontok esetén ha a P pont képe P’ és Q pont képe Q’ akkor P és Q távolsága megegyezik P’ és Q’ távolságával. (A geometriai transzformációk olyan függvények, amelyeknek értelmezési tartományuk és értékkészletük is ponthalmaz.) 45. A sík mely transzformációját nevezzük tengelyes tükrözésnek? Sorolja fel a tengelyes tükrözés tulajdonságait! Adott a sík egy t egyenese (ez a tengely). A sík egy tetszőleges, t -re nem illeszkedő P pontjához a t tengelyre vonatkozó tengelyes tükrözés azt a P’ pontot rendeli, amelyre fennáll, hogy a

PP’ szakasz felezőmerőlegese a t tengely. Ha a P pont illeszkedik a t tengelyre, akkor a P’ pont megegyezik a P ponttal. A tengelyes tükrözés tulajdonságai: 1 – Kölcsönösen egyértelmű leképzés. 2 – A leképzés szimmetrikus, azaz minden P pontra igaz, hogy ha a P pont képe P’ akkor a P’ pont képe P. 3 – A t egyenes (tengely) minden pontja fixpont, de más fixpont nincs. (Fixpontnak nevezzük az olyan pontot, amelynek a képe önmaga. Fix alakzatnak nevezzük, az olyan alakzatot, amelynek a képe önmaga.) 4 – A t egyenes és a rá merőleges egyenesek fix egyenesek, de más fix egyenes nincs. 5 – A tengelyes tükrözés távolságtartó transzformáció. 6 – A tengelyes tükrözés szögtartó, azaz minden szög egyenlő nagyságú a tükörképével. 7 – A tengelyes tükrözés nem körüljárástartó; minden síkidom ellenkező körüljárású, mint a tükörképe. 46. A sík mely transzformációját nevezzük középpontos tükrözésnek?

Sorolja fel a középpontos tükrözés tulajdonságait! Adott a sík egy O pontja (a tükrözés középpontja). A sík tetszőleges, O –tól különböző P pontjához az O pontra vonatkozó középpontos tükrözés azt a P’ pontot rendeli, amelyre az O pont felezőpontja a PP’ szakasznak. Az O pont képe önmaga A középpontos tükrözés tulajdonságai: 1 – Kölcsönösen egyértelmű leképzés. 2 – A leképzés szimmetrikus, azaz minden P pontra igaz, hogy ha a P pont képe P’ akkor a P’ pont képe P. 3 – Az O pont az egyetlen fixpont. 4 – Minden O –ra illeszkedő egyenes fix egyenes, de más fix egyenes nincs. 5 – A középpontos tükrözés távolságtartó transzformáció. 6 – A középpontos tükrözés szögtartó, azaz minden szög egyenlő nagyságú a tükörképével. 7 – A középpontos tükrözés körüljárástartó. 8 – Ha egy egyenes nem illeszkedik az O pontra akkor a képe párhuzamos vele. 47. Milyen ponthalmazokat nevezünk a sík

egy pontjára, illetve egy egyenesére szimmetrikusnak? Soroljon fel középpontosan, illetve tengelyesen szimmetrikus háromszögeket, négyszögeket, sokszögeket! Ha egy ponthalmazhoz található olyan O pont, amelyre vonatkozó tükörképe megegyezik az eredeti ponthalmazzal, akkor ez a ponthalmaz középpontosan szimmetrikus és az O pont az alakzat szimmetriaközéppontja. Ha egy ponthalmazhoz található olyan t egyenes, amelyre vonatkozó tükörképe megegyezik az eredeti ponthalmazzal, akkor ez a ponthalmaz tengelyesen szimmetrikus és a t egyenes az alakzat szimmetriatengelye. Az egyenlőszárú háromszög tengelyesen szimmetrikus – általában egy szimmetriatengelye van. Speciális eset a szabályos (egyenlő oldalú) háromszög, amelynek 3 szimmetriatengelye is van. A deltoid, rombusz, téglalap, négyzet is tengelyesen szimmetrikusak. A deltoidnak általában egy szimmetriatengelye van, a rombusznak és a téglalapnak kettő, a négyzetnek négy. A rombusz,

téglalap, négyzet középpontosan is szimmetrikusak. Általában a paralelogrammák középpontosan szimmetrikusak. A trapézok általában nem szimmetrikusak, kivétel a húrtrapéz, amely tengelyesen szimmetrikus. (1 tengelye van) A szabályos hatszög tengelyesen és középpontosan is szimmetrikus, hat szimmetriatengelye van. Általában a szabályos N –szög tengelyesen szimmetrikus N darab szimmetriatengellyel, és ha az N páros, akkor középpontosan is szimmetrikus. 48. A sík mely transzformációját nevezzük pont körüli forgatásnak? Sorolja fel a tulajdonságait! Adott a sík egy O pontja és egy α szög. (α lehet pozitív vagy negatív is!) A sík egy tetszőleges, O –tól különböző P pontjához az O pont körüli α szögű forgatás azt a P’ pontot rendeli, amelyre teljesül, hogy a P’OP szög = α. Pozitív szögű forgatásnál az óramutató járásával ellentétesen forgatunk, negatív szögű forgatásnál az óramutató járásával

megegyezően. Az O pont képe önmaga Tulajdonságai: 1 – Kölcsönösen egyértelmű leképzés. 2 – A leképzés nem szimmetrikus, kivéve, ha az elforgatás szöge = k*180°. (k∈Z) 3 – Az O pont az egyetlen fixpont. (Kivéve, ha az elforgatás szöge = k*360°. (k∈Z)) 4 – Fix egyenes nincs. (Kivéve, ha az elforgatás szöge = k*360°. (k∈Z)) 5 – Minden olyan kör fix alakzat, amelynek középpontja az O pont. 6 – Távolságtartó transzformáció. 7 – Szögtartó, azaz minden szög egyenlő nagyságú az elforgatottjával. 8 – Körüljárástartó. 49. Milyen ponttranszformációt nevezünk eltolásnak? Sorolja fel az eltolás tulajdonságait! Adott egy v vektor. A v vektorral való eltolás a tér tetszőleges P pontjához azt a P’ pontot rendeli, amelyre a P –ből P’ –be mutató vektor megegyezik a v vektorral. Tulajdonságai: 1 – Kölcsönösen egyértelmű leképzés. 2 – A leképzés nem szimmetrikus, kivéve, ha v = 0. 3 – Nincs fixpont.

(kivéve, ha v = 0) 4 – Az adott v vektorral párhuzamos egyenesek és síkok fix alakzatok. 5 – Távolságtartó transzformáció. 6 – Szögtartó, azaz minden szög egyenlő nagyságú az eltoltjával. 7 – Körüljárástartó. 50. Milyen ponttranszformációt nevezünk középpontos hasonlóságnak? Sorolja fel a középpontos hasonlóság tulajdonságait! Adott egy O pont és egy λ szám. (λ ≠ 0 valós szám) Az O középpontú, λ arányú középpontos hasonlóság a sík egy tetszőleges, O –tól különböző P pontjához azt a P’ pontot rendeli, amely az OP egyenesen van, és amelyre OP’ = |λ| ⋅ OP. Ha a λ szám pozitív, akkor a P’ pont az OP félegyenesen van, ha a λ szám negatív, akkor a P’ pont az OP egyenes P –t nem tartalmazó félegyenesén van. Az O pont képe önmaga Ha |λ| > 1 akkor nagyításról beszélünk, ha |λ| < 1 akkor kicsinyítésről. Tulajdonságai: 1 – Kölcsönösen egyértelmű. 2 – Általában nem

szimmetrikus (kivéve, ha |λ| = 1). 3 – Általában egyetlen fixpontja az O pont. (kivéve, ha λ = 1) 4 – Minden olyan egyenes fix egyenes, amely illeszkedik az O pontra. 5 – Minden O –ra nem illeszkedő egyenes párhuzamos a képével. 6 – Szögtartó. 7 – Körüljárástartó. 8 – Nem távolságtartó, de aránytartó, azaz bármely szakasz képének és az eredeti szakasznak az aránya állandó (és megegyezik a hasonlóság arányának abszolút értékével). 51. Mit nevezünk vektornak? Mikor egyenlő két vektor? Az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük. (Tehát a vektor olyan mennyiség, amelynek nagysága és iránya is van.) A vektor hosszát a vektor abszolút értékének is nevezzük A nulla hosszúságú vektort nullvektornak nevezzük; ennek iránya tetszőleges. Az a vektorral megegyező nagyságú, de ellentétes irányú vektort az a vektor ellentettjének nevezzük. Jele: -a Két vektor akkor egyenlő, ha nagyságuk és irányuk is

megegyezik. 52. Hogyan definiáljuk két vektor összegét, illetve különbségét? Sorolja fel a vektorösszeadás tulajdonságait! Adott az a és b vektor. Valamely pontból kiindulva felmérjük az a vektort, majd a végpontjából kiindulva a b vektort. A két vektor összege az a vektor, amely az a vektor kezdőpontjából a b vektor végpontjába mutat. A vektorok összeadása kommutatív a+b=b+a és asszociatív művelet. a+(b+c)=(a+b)+c Két vektor különbségén az első vektornak és a második vektor ellentettjének összegét értjük. a – b = a + (– b) Megjegyzés: Két vektor különbségét kétféleképpen is megszerkeszthetjük: A definíció alapján: Másképpen: 53. Mit értünk egy vektor számszorosán? Ha a ≠ 0 akkor az a vektor és a λ szám szorzata olyan vektor amelynek abszolút értéke: | λ | ⋅ | a | és iránya λ > 0 esetén megegyezik az a vektor irányával, λ < 0 esetén ellentétes vele, λ = 0 esetén pedig tetszőleges. Ha

a = 0 akkor λ ⋅ a = 0 . 54. Bizonyítsa be, hogy a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást! A bizonyítás során azt fogjuk megmutatni, hogy a háromszög súlyvonalai úgy harmadolják egymást, hogy a metszéspont a súlyvonalaknak az oldalhoz közelebbi harmadolópontjában van. Tekintsük az ábrán látható háromszög A és B csúcsaihoz tartozó súlyvonalait. Az S pont a két súlyvonal metszéspontja, az E és F pontok pedig a megfelelő oldalak felezőpontjai. Az ABS háromszög és az FES háromszögek hasonlók, mert megfelelő szögeik páronként egyenlők. (Hiszen EF || AB) A hasonlóság aránya 2:1 mert az EF szakasz feleakkora, mint a neki megfelelő AB szakasz (hiszen EF a háromszög egyik középvonala). Tehát AS:SF = BS:SE = 2:1 , azaz az S pont az állításnak megfelelően harmadolja a két súlyvonalat. Hasonlóképp belátható, hogy a C csúcshoz tartozó súlyvonal is az oldalhoz közelebbi harmadolópontban metszi az A ponthoz tartozó

súlyvonalat. Mivel Az AF szakaszon nem lehet két, F –hez közelebbi harmadolópont, ezért mindhárom súlyvonalnak ugyanabban a pontban kell metsződnie. 55. Bizonyítsa be a Pitagorasz-tételt és a tétel megfordítását! Pitagorasz tétele: A derékszögű háromszög befogóira rajzolt négyzetek területének összege egyenlő az átfogóra rajzolt négyzet területével. (Azaz a2 + b2 = c2 ahol a és b a derékszögű háromszög két befogójának hossza, c pedig az átfogó hossza.) Bizonyítás: Két egybevágó négyzetet rajzolunk, amelyeknek oldalhossza a derékszögű háromszög befogóinak összege (a + b). Mindkét négyzetből elveszünk az eredeti derékszögű háromszöggel egybevágó négy háromszöget, így az ábrán vonalkázással jelölt részek maradnak meg. A vonalkázott részek területe (a két négyzetben) megegyezik, hiszen egybevágó alakzatokból egybevágó alakzatokat vettünk el. A bal oldali négyzetben megmaradó idom éppen a befogóra

rajzolt két négyzet, területük összege: a2 + b2 A jobb oldali négyzetben megmaradó idom egy négyzet, hiszen: -- oldalai egyenlők (minden oldala c), -- szögei 90 fokosak, hiszen minden szöge = 180° − (α + β) = 180° − 90° = 90°. Ez a négyzet tehát éppen az átfogóra rajzolt négyzet, amelynek területe c2. Ezzel a tételt bizonyítottuk. A Pitagorasz-tétel megfordítása: Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. (A leghosszabb oldallal szemben van a derékszög.) Bizonyítás: A feltétel szerint az ABC háromszögben a2 + b2 = c2 (Jobb oldali ábra). Rajzoljunk egy olyan A’B’C’ derékszögű háromszöget, amelynek befogói a és b (Bal oldali ábra)! Ennek a háromszögnek az átfogóját jelöljük c’ –vel. A Pitagorasz-tétel szerint (amit az előbb bizonyítottunk) igaz, hogy a2 + b2 = c’ 2. A fenti két egyenlőségből következik, hogy c2 = c’ 2 és

mivel c és c’ pozitív számok (oldalhosszak) ezért c = c’. Ekkor viszont az ABC és az A’B’C’ háromszögek egybevágók (hiszen oldalaik páronként megegyeznek) tehát az ABC háromszög is derékszögű kell legyen. 56. Fogalmazza meg a párhuzamos szelők tételét és a tétel megfordítását! A párhuzamos szelők tétele: Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik szögszáron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkező megfelelő szakaszok arányával. A párhuzamos szelők tételének megfordítása: Ha egyenesek egy szög szárából olyan szakaszokat vágnak le, amelyek aránya mindkét száron ugyanaz, akkor az egyenesek párhuzamosak. A tétel csak akkor igaz, ha a szakaszok a szög csúcsától kezdve egymáshoz csatlakoznak, vagy minden szakasz egyik végpontja a szög csúcsa! IGAZ: NEM IGAZ: 57. Bizonyítsa be, hogy a háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak

arányában osztja! Forgassuk le az ABC háromszög b oldalát a c oldal egyenesére. Az így keletkező ACC’ háromszög egyenlő szárú, ezért az ACC’ szög megegyezik az AC’C szöggel. Továbbá a CAC’ szög kiegészítő szöge az ABC háromszög α szögének. Az AC’C szög nagysága tehát: (Az ACC’ háromszög szögösszegét felhasználva) 180° − (180° − α ) α = 2 2 Ebből következően az AD szakasz párhuzamos a C’C szakasszal. (Mert az AC’C szög és BAD szög egyállásúak.) A párhuzamos szelők tétele alapján: CD C A b = = DB AB c Ezzel a tételt bizonyítottuk. 58. Mikor mondjuk két síkidomról, hogy hasonlók? Sorolja fel a háromszögek hasonlóságának alapeseteit! Két síkidom hasonló, ha létezik olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzathoz a másikat rendeli. Két háromszög hasonló, ha -- megfelelő oldalaik aránya páronként egyenlő; -- két – két megfelelő oldal aránya és az ezek által

közbezárt szögek egyenlők; -- két – két szögük páronként egyenlő; -- két – két oldal aránya és a nagyobb oldalakkal szemközt lévő szögek egyenlők. Ezzel a tételt bizonyítottuk. 59. Mikor mondjuk két síkidomról, hogy hasonlók? Sorolja fel a háromszögek hasonlóságának alapeseteit! Két síkidom hasonló, ha létezik olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzathoz a másikat rendeli. Két háromszög hasonló, ha -- megfelelő oldalaik aránya páronként egyenlő; -- két – két megfelelő oldal aránya és az ezek által közbezárt szögek egyenlők; -- két – két szögük páronként egyenlő; -- két – két oldal aránya és a nagyobb oldalakkal szemközt lévő szögek egyenlők. 60. Fejezze ki a körcikk és a körszelet területét a sugár és a középponti szög /ívhossz/ segítségével! A körben a középponti szög és a hozzátartozó körcikk területe egyenesen arányos, azaz α ° Tkörcikk r 2πα ° ezt

átrendezve kapjuk: Tkörcikk = (ahol α° a középponti szög = 2 360° 360° r π fokban!) A körben a középponti szög és a hozzátartozó ívhossz is egyenesen arányosak, azaz α ° ívhossz amit a fenti képletbe helyettesítve: = 360° 2 rπ r 2π ⋅ ívhossz r ⋅ ívhossz = Tkörcikk = 2 rπ 2 (Megjegyzés: a fenti aránypárt átrendezve a kör ívhosszának kiszámítására alkalmas képletet is megkapjuk: α ° ⋅ 2 r π α ° ⋅ rπ ) ívhossz = = 360° 180° A körszelet területét úgy számítjuk ki, hogy a körcikk területéből kivonjuk a (sötétített) r 2πα ° r 2 sin α ° háromszög területét: Tkörszelet = − 360° 2 2 r ⋅ ívhossz r sin α ° vagy az ívhosszal: Tkörszelet = − 2 2 61. Tekintsünk két hasonló sokszöget, illetve két hasonló gúlát, a hasonlóság aránya mindkét esetben legyen k. Bizonyítsa be, hogy a két sokszög területének aránya k2, a két gúla térfogatának aránya pedig k3 ! A hasonlóság aránya nem

más, mint a két hasonló alakzat megfelelő pontpárjai távolságának aránya – tehát biztosan pozitív. (k > 0) Először bizonyítsuk az állítást arra az esetre, ha a hasonló sokszögek háromszögek! Az, hogy a két háromszögünk hasonló azt jelenti, hogy létezik olyan hasonlósági transzformáció, amelyik az egyik háromszöget a másikba képzi le. Mivel a hasonlósági transzformációk szögtartóak, ezért a hasonlósági transzformáció az egyik háromszög magasságához a másik háromszög magasságát rendeli. Tehát ha az egyik háromszög egy magassága ma és a hozzá tartozó oldal a, akkor a másik háromszög megfelelő magassága k⋅ma és a hozzá tartozó oldal k⋅a. a ⋅ ma Az egyik háromszög területe: Tegyik = 2 k ⋅ a ⋅ k ⋅ ma A másik háromszög területe pedig: Tmásik = = Tegyik ⋅ k 2 Ezzel az állítást 2 háromszögekre bizonyítottuk. Bármely sokszög esetén a sokszögeket fel tudjuk darabolni háromszögekre úgy,

hogy a daraboló szakaszok (a hasonlósági transzformációban) egymás megfelelői legyenek. Ezekre a háromszögekre már bizonyítottuk a tételt (lásd előbb) tehát állíthatjuk, hogy T’1 = T1⋅k2 ; T’2 = T2⋅k2 ; T’3 = T3⋅k2 T’n = Tn⋅k2 Mivel a sokszögeink területe egyenlő az őket alkotó háromszögek területének összegével, ezért: Tmásik= T’1 + T’2 + T’3 + T’n = T1⋅k2 + T2⋅k2 + T3⋅k2 + Tn⋅k2 = (T1+T2+T3+Tn)⋅k2 = Tegyik⋅k2 Ezzel az állítást tetszőleges sokszögekre is bizonyítottuk. Két egymáshoz hasonló gúla esetén az előző bizonyítások alapján állíthatjuk, hogy a gúlák alaplapjai területének aránya k2 azaz ha az egyik gúla alapterülete Tegyik akkor a másik gúláé: Tmásik = Tegyik ⋅k2 Mivel a hasonlósági transzformációk szögtartóak, ezért a hasonlósági transzformáció az egyik gúla magasságához a másik gúla magasságát rendeli. Tehát ha az egyik gúla magassága m, T ⋅m tehát

akkor a másik gúla magassága k⋅m. A gúlák térfogatképlete: V = 3 2 Tmásik ⋅ m másik Tegyik ⋅ k ⋅ m ⋅ k = = Vegyik ⋅ k 3 ezzel a tételt gúlákra is bizonyítottuk. V másik = 3 3 62. Milyen összefüggés van a gúla alapterülete és az alappal párhuzamos síkmetszetének területe között? Bizonyítsa be! A gúla alappal párhuzamos síkmetszetének területe úgy aránylik a gúla alapterületéhez, mint a T m2 csúcstól számított távolságaik négyzetei. = 2 t x Bizonyítás: A két sokszög (a síkmetszet és az alaplap) hasonló egymáshoz, mert létezik olyan hasonlósági transzformáció, amely a síkmetszetet az alaplapba képzi: Ez a transzformáció nem más, mint a gúla csúcspontjához képest m / x arányú nagyítás. Tudjuk, hogy hasonló sokszögek területeinek aránya megegyezik a hasonlóság arányának négyzetével (lásd: 61. Tétel) 2 T m m2 =  = 2 t x x Ezzel az állítást bizonyítottuk. 63. Bizonyítsa be,

hogy a derékszögű háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének a mértani közepe! /befogótétel/ Az ábrán azonosan jelölt szögek egyenlő nagyságúak, hiszen merőleges szárú szögpárokat alkotnak és mindegyik hegyesszög. Az ábrán látható ABC háromszög hasonló az ACT háromszöghöz, hiszen szögeik páronként megegyeznek. Ebből következően megfelelő oldapárjaik aránya is megegyezik, ezért: a c ezt átrendezve kapjuk: a 2 = pc vagyis a = pc = p a hasonlóképp beláthatjuk, hogy b = qc 64. A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót két szeletre osztja Bizonyítsa be, hogy az átfogóhoz tartozó magasság a két szelet mértani közepe! /magasságtétel/ A 63. Tétel ábrján azonosan jelölt szögek egyenlő nagyságúak, hiszen merőleges szárú szögpárokat alkotnak és mindegyik hegyesszög. Az ATC háromszög hasonló az CTB háromszöghöz, hiszen szögeik páronként

megegyeznek. Ebből következően megfelelő oldapárjaik aránya is megegyezik, ezért: m q ezt átrendezve kapjuk: m 2 = pq vagyis m = pq = p m 65. Húzzon egy körhöz a külső pontból egy érintőt és egy szelőt! Bizonyítsa be, hogy az érintőszakasz hossza a szelődarabok hosszának mértani közepe! A tétel állítása az ábra jelöléseivel: EP = AP ⋅ BP Az AEP háromszög és a BEP háromszög hasonló, hiszen a BPE szög = APE szög közös a két háromszögben, továbbá az EBP szög = AEP szög mert mindkettő az EA körívhez tartozó kerületi szög. Így a háromszögek megfelelő oldalainak EP BP aránya megegyezik: = AP EP Átrendezve kapjuk: EP 2 = AP ⋅ BP vagyis EP = AP ⋅ BP 66. Hogyan értelmezzük a hegyesszögek szögfüggvényeit? Tekintsük azokat a derékszögű háromszögeket, amelyeknek egyik hegyesszöge α. Ezek a derékszögű háromszögek mind hasonlók egymáshoz, hiszen megfelelő szögeik megegyeznek. Tudjuk továbbá, hogy

hasonló háromszögekben az egymásnak megfelelő oldalpárok arányai is megegyeznek. Valamely derékszögű háromszögben az α hegyesszöggel szemközti befogó és az átfogó arányát az α szög szinuszának nevezzük. Valamely derékszögű háromszögben az α hegyesszög melletti befogó és az átfogó arányát az α szög koszinuszának nevezzük. Valamely derékszögű háromszögben az α hegyesszöggel szemközti befogó és az α szög melletti befogó arányát az α szög tangensének nevezzük. Valamely derékszögű háromszögben az α hegyesszög melletti befogó és az α szöggel szemközti befogó arányát az α szög kotangensének nevezzük. 67. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög szinusza, illetve koszinusza? Az α szög szinusza nem más, mint a koordináta rendszerben az i vektortól α szöggel elforgatott egységvektor y koordinátája (függőleges koordinátája). Az α szög koszinusza nem más, mint a koordináta rendszerben az i

vektortól α szöggel elforgatott egységvektor x koordinátája (vízszintes koordinátája). Az i egységvektor nem más, mint az (1 ; 0) koordinátájú vektor. Pozitív α szög esetén az óramutató járásával ellenkező irányban forgatunk. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög tangense, illetve kotangense? sin α Ha cos α ≠ 0 akkor tg α = . Ha cos α = 0 akkor az α szög tangensét nem cos α értelmezzük. cos α Ha sin α ≠ 0 akkor ctg α = . Ha sin α = 0 akkor az α szög kotangensét nem sin α értelmezzük. 68. 69. Számítsa ki a 30° -os, 60° -os, 45° -os szögek szögfüggvényeinek pontos értékét! A 30° -os, 60° -os szögek szögfüggvényeit a 2 egység oldalú szabályos háromszög segítségével számíthatjuk ki. Rajzoljuk meg a háromszög egyik magasságát! A keletkező derékszögű háromszög hegyesszögei 30, illetve 60 fokosak. A magasság hossza 3 egység (a Pitagorasz tétel alapján) A keresett szögfüggvények értékeit a

megfelelő oldalarányok felírásával kaphatjuk meg: sin 30° = tg 30° = 1 2 1 3 cos 30° = = 3 3 3 2 sin 60° = ctg 30° = 3 3 2 cos 60° = tg 60° = 3 1 2 ctg 60° = 1 3 = 3 3 A 45° -os szög szögfüggvényeit az 1 egység befogójú egyenlőszárú derékszögű háromszög segítségével számoljuk ki: 1 2 sin 45° = cos 45° = = tg 45° = ctg 45° = 1 2 2 70. Igazolja a következő azonosságot! 2 sin α + cos2 α = 1 ; minden valós α -ra. Rajzoljuk be a koordináta rendszerbe az α irányszögű egységvektort! Az egységvektor végpontjának koordinátái: (cos α ; sin α) [lásd: 67. Tétel] Ha az egységvektor nem a koordinátatengelyekre esik, akkor minden esetben előáll egy olyan derékszögű háromszög, amelynek befogói: | cos α | és | sin α | . átfogója pedig az egységvektor Erre a derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz tételt: | cos α | 2 + | sin α | 2 = 1 Mivel a pozitív és negatív számok négyzete megegyezik,

ezért az abszolútérték jelek elhagyhatók: cos 2 α + sin 2 α = 1 Ha az egységvektor valamelyik koordinátatengelyre esik, akkor valamelyik koordinátája 0 a másik pedig +1 vagy –1. A koordináták négyzetösszege minden ilyen esetben 1 71. Határozza meg a háromszög területét, ha adott két oldala és a közbezárt szöge! Tekintsük adottnak a háromszög a és b oldalait, valamint az ezek által közbezárt γ szöget! a ⋅ b ⋅ sin γ Ekkor a háromszög területe: T = 2 Bizonyítás: Három eset lehetséges: Ha a γ szög hegyesszög, akkor az a oldalhoz tartozó magasság (ma) a következőképpen fejezhető ki: ma = b ⋅ sin γ (az ábrán vonalkázott derékszögű háromszögből) A háromszögünk területe: a ⋅ m a a ⋅ b ⋅ sin γ = T= 2 2 Ha a γ szög tompaszög, akkor az a oldalhoz tartozó magasság (ma) a következőképpen fejezhető ki: ma = b ⋅ sin (180° − γ) (az ábrán vonalkázott derékszögű háromszögből) Tudjuk viszont, hogy:

sin (180° − γ) = sin γ , tehát ma = b ⋅ sin γ . A háromszögünk területe: a ⋅ m a a ⋅ b ⋅ sin γ T= = 2 2 Ha a γ szög éppen derékszög, akkor is érvényes a a ⋅ b ⋅ sin γ képlet, ugyanis ilyenkor az ma egybeesik T= 2 az a oldallal, továbbá sin 90° = 1. 72. Igazolja a következő azonosságokat! sin (α + β) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β cos (α + β) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β Legyen a egy α irányszögű egységvektor, b pedig egy α+β irányszögű egységvektor. Legyen továbbá a’ vektor az a vektor +90° os elforgatottja (Lásd az ábrát!) Írjuk fel a három vektort az i , j bázisvektorok segítségével! a = i ⋅ cos α + j ⋅ sin α b = i ⋅ cos (α+β) + j ⋅ sin (α+β) * a’ = − i ⋅ sin α + j ⋅ cos α (hiszen ez a vektor az a vektornak +90° -os elforgatottja!) Ezután bontsuk fel a b vektort a és a’ irányú összetevőkre: b = a ⋅ cos β + a’ ⋅ sin β Helyettesítsük be az a és a’

vektorok i –vel és j –vel kifejezett alakját: b = (i ⋅ cos α + j ⋅ sin α) ⋅ cos β + (− i ⋅ sin α + j ⋅ cos α) ⋅ sin β Vektorok számmal való szorzására érvényes az asszociatív és disztributív tulajdonság. Ezért a zárójelek felbonthatók: b = i ⋅ cos α ⋅ cos β + j ⋅ sin α ⋅ cos β − i ⋅ sin α ⋅ sin β+ j ⋅ cos α ⋅ sin β Emeljünk ki i –t és j –t! b = i ⋅ (cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β) + j ⋅ (sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β) A * -al jelzett egyenlőség alapján: b = i ⋅ cos (α+β) + j ⋅ sin (α+β) Mivel bármely vektort csak egyféleképpen lehet i és j irányú komponensekre bontani, ezért: sin (α + β) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β cos (α + β) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β Ezzel az állításokat bizonyítottuk. 73. Fejezze ki sin (α−β), illetve cos (α−β) értékét a sin (α+β), illetve cos (α+β) -ra vonatkozó azonosságok ismeretében! Tudjuk, hogy:

sin (α + β) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β cos (α + β) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β (Lásd a 77. Tételt!) Írjunk β helyébe −β -t, majd használjuk fel, hogy sin (−β) = − sin β és cos (−β) = cos β sin(α + (− β )) = sin α ⋅ cos(− β ) + cos α ⋅ sin(− β ) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β    sin(α − β ) cos(α + (− β )) = cos β ⋅ cos(− β ) − sin α ⋅ sin(− β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β   cos(α − β ) Tehát a következő azonosságokat kaptuk: sin (α − β) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β cos (α − β) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β 74. Fejezze ki tg (α+β) -t tg α -val és tg β -val a sin (α+β), illetve a cos (α+β) -ra vonatkozó azonosságok ismeretében! A bizonyítandó összefüggés: tg α + tg β feltéve, ha α, β, α+β ≠ 90° + k ⋅ 180° (ahol k egész szám) tg(α + β ) = 1 − tg α ⋅ tg β

sin(α + β ) sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β = cos(α + β ) cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β Mivel α, β ≠ 90° + k ⋅ 180° azaz cosα ≠ 0 és cos β ≠ 0, ezért a tört számlálóját és nevezőjét is eloszthatjuk cos α ⋅ cos β -val: sin α ⋅ cos β cos α ⋅ sin β + cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β tg(α + β ) = cos α ⋅ cos β sin α ⋅ sin β − cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β Végezzük el a lehetséges egyszerűsítéseket: sin α sin β + cos α cos β majd írjuk be a tg α és tg β kifejezéseket: tg(α + β ) = 1 sin α ⋅ sin β − 1 cos α ⋅ cos β tg α + tg β Ezzel az állítást bizonyítottuk. tg(α + β ) = 1 − tg α ⋅ tg β A kikötésünk (α, β ≠ 90° + k ⋅ 180°) biztosítja tg α és tg β létezését. tg (α+β) létezéséhez az szükséges, hogy α+β ≠ 90° + k ⋅ 180° teljesüljön; ezt is kikötöttük. Szükséges még, hogy 1 − tg α ⋅ tg β ≠ 0 teljesüljön. Ennek feltétele: 1

vagyis tg α ≠ ctg β. tg α ⋅ tg β ≠ 1 azaz tg α ≠ tg β Ennek teljesülését azonban a α+β ≠ 90° + k ⋅ 180° kikötésünk biztosítja. Bizonyítás: Tudjuk, hogy tg(α + β ) = 75. Mik a bázisvektorok? Definiálja egy vektor koordinátáit az i, j egységvektorokkal megadott koordinátarendszerben! Ha adott két, egymással nem párhuzamos vektor a és b, akkor tetszőleges, velük egysíkú v vektor egyértelműen felbontható az a és b vektorokkal párhuzamos összetevőkre, azaz pontosan egy olyan k1 és k2 valós szám létezik, amelyre: v = k1 ⋅ a + k2 ⋅ b Például: Az a és b vektorokat bázisvektoroknak nevezzük, a (k1 ; k2) rendezett számpárt pedig a v vektor (a, b bázisra vonatkozó) koordinátáinak. A Descartes – féle derékszögű koordinátarendszerben az i és j vektorokat használjuk bázisvektoroknak, ahol i az x tengely pozitív irányába mutató egységvektor, j pedig az y tengely pozitív irányába mutató egységvektor. ( v =

v1 ⋅ i + v2 ⋅ j ) Az i, j vektorok bázisában bármely origóból induló vektor (helyvektor) koordinátái nem mások, mint a végpontjának koordinátái. (azaz (v1 ; v2) a vektor végpontjának koordinátái.) Bármely, nem az origóból induló vektorhoz pontosan egy vele egyenlő helyvektor található. Bármely, nem az origóból induló vektor koordinátái egyenlők a neki megfelelő helyvektor koordinátáival. 76. A teljes indukció, mint bizonyítási módszer A teljes indukciós bizonyítást olyan matematikai tételeknél alkalmazhatjuk, amelyek állításában olyasmi szerepel, hogy „minden természetes szám esetén”. A teljes indukció lényege a következő: 1 – Először belátjuk az állítás igazságát az n = 1 esetre. 2 – Ezután feltesszük, hogy az állítás igaz az n = k esetre, ahol k ∈ N. (Ez az úgynevezett indukciós feltevés.) A továbbiakban az indukciós feltevésre úgy építünk, mintha egy korábban bizonyított tétel lenne,

azaz elfogadjuk az igazságát. 3 – Utolsó lépésként levezetjük, hogy az állítás igaz az n = k + 1 esetre is. („Öröklődés”) Ebben a levezetésben az indukciós feltevést felhasználjuk! Ha sikerült belátnunk az öröklődést, akkor készen is vagyunk a bizonyítással, hiszen: n = 1 esetén igaz, de akkor n = 2 esetén is igaz az öröklődés miatt, de akkor n = 3 esetén is igaz az öröklődés miatt, stb Tehát bármilyen n ∈ N esetén igaz. 77. Bizonyítsa be, hogy az első n pozitív egész szám négyzetösszege A bizonyítás módszere a teljes indukció. n(n + 1)(2n + 1) ! 6 1⋅ 2 ⋅ 3 =1 . 6 Tegyük fel, hogy az állítás n = k esetén igaz („indukciós feltevés”), azaz: k (k + 1)(2k + 1) ! 12 + 2 2 + 3 2 + . + k 2 = 6 Feladatunk a továbbiakban igazolni azt, hogy az állítás igaz n = k + 1 esetén is („öröklődés”), tehát azt kell belátnunk, hogy: (k + 1)(k + 1 + 1)(2(k + 1) + 1) azaz, ha a zárójeleket 2 12 + 2 2 + 3 2 + . + k 2

+ (k + 1) = 6 felbontjuk: 2k 3 + 9k 2 + 13k + 6 2 12 + 2 2 + 3 2 + . + k 2 + (k + 1) = 6 Először is írjuk fel az indukciós feltevést: k (k + 1)(2k + 1) Adjunk mindkét oldalhoz (k+1)2 –et: 12 + 2 2 + 3 2 + . + k 2 = 6 k (k + 1)(2k + 1) 2 2 A jobb oldalt hozzuk közös 12 + 2 2 + 3 2 + . + k 2 + (k + 1) = + (k + 1) 6 nevezőre: 2 k (k + 1)(2k + 1) 6(k + 1) 2 2 2 2 2 Bontsuk fel a zárójeleket: 1 + 2 + 3 + . + k + (k + 1) = + 6 6 Az állítás n = 1 esetén igaz, hiszen 12 = 12 + 2 2 + 3 2 + . + k 2 + (k + 1) = 2 2k 3 + k 2 + 2k 2 + k 6k 2 + 12k + 6 + 6 6 Végezzük el az összevonást: 2k 3 + 9k 2 + 13k + 6 6 Tehát sikerült belátnunk az „öröklődést”, ezzel az eredeti állítást is bizonyítottuk. 12 + 2 2 + 3 2 + . + k 2 + (k + 1) = 2 Egy számtani sorozat első eleme a1 , különbsége d. Bizonyítsa be, hogy a + an ! a n = a1 + (n − 1)d és S n = n ⋅ 1 2 A számtani sorozat definíciója alapján: a n − a n −1 = d vagyis átrendezve: a n = a n −1

+ d Tehát bármely elemhez úgy juthatok el, hogy az előző elemhez hozzáadom a sorozat differenciáját. Mivel a sorozat első elemétől n – 1 lépésben juthatok el az n -edik elemig, ezért: a n = a1 + (n − 1)d . Jelöljük a számtani sorozat első n tagjának összegét Sn nel! S n = a1 + a 2 + a 3 + . + a n Mivel az összeadás kommutatív (felcserélhető) művelet, ezért a fenti egyenlőség így is igaz: (Fordított sorrendben adtuk össze az elemeket.) S n = a n + a n −1 + a n − 2 + . + a1 Írjuk fel a két egyenlőséget úgy, hogy a sorozat elemeit fejezzük ki az a n = a1 + (n − 1)d képlettel: S n = a1 + [a1 + d ] + [a1 + 2d ] + . + [a1 + (n − 1)d ] S n = a n + [a n − d ] + [a n − 2d ] + . + [a n − (n − 1)d ] Az egyenlőségek megfelelő oldalait összeadva a d -t tartalmazó tagok kiesnek: 2 ⋅ S n = [a1 + a n ] + [a1 + a n ] + [a1 + a n ] + . + [a1 + a n ] = n ⋅ (a1 + a n ) Végül osszunk kettővel:

 78. n darab zárójel Sn = n⋅ a1 + a n 2 Ezzel a számtani sorozat összegképletét bizonyítottuk. Egy mértani sorozat első eleme a1 , hányadosa q. Bizonyítsa be, hogy q n −1 (q ≠ 1) ! a n = a1 ⋅ q n −1 és S n = a1 ⋅ q −1 an A mértani sorozat definíciója alapján: = q vagyis átrendezve: a n = a n −1 ⋅ q a n −1 Tehát bármely elemhez úgy juthatok el, hogy az előző elemet megszorzom a sorozat hányadosával. Mivel a sorozat első elemétől n – 1 lépésben juthatok el az n -edik elemig, ezért:. a n = a1 ⋅ q n −1 Jelöljük a mértani sorozat első n tagjának összegét Sn nel! S n = a1 + a 2 + a 3 + . + a n 79. A fenti egyenlőségben a sorozat elemeit fejezzük ki az a n = a1 ⋅ q n −1 képlettel: S n = a1 + a1 ⋅ q + a1 ⋅ q 2 + . + a1 ⋅ q n −1 Szorozzuk be mindkét oldalt q -val: S n ⋅ q = a1 ⋅ q + a1 ⋅ q + a1 ⋅ q + . + a1 ⋅ q n 2 3 A második

egyenlőségből kivonva az elsőt: S n ⋅ q − S n = a1 ⋅ q − a1 (A köztes tagok kiestek!) Emeljünk ki a bal oldalból Sn -et, a jobb oldalból pedig a1 -et! n ( ) S n ⋅ (q − 1) = a1 ⋅ q n − 1 Mivel a feltétel szerint q ≠ 1 ezért oszthatunk (q – 1) -gyel: q n −1 Ezzel a mértani sorozat összegképletét bizonyítottuk. q −1 Függvény fogalma, megadása, értelmezési tartomány, értékkészlet, jelölések. S n = a1 ⋅ 80. Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Rendeljünk hozzá az A halmaz minden egyes eleméhez pontosan egy – egy elemet a B halmazból. Az így létesített hozzárendelés a függvény. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya. (Jele: Df) A B halmaznak azok az elemei amelyeket hozzárendeltünk az A halmaz valamely eleméhez alkotják a függvény értékkészletét. (Jele: Rf) (Tehát az értékkészlet részhalmaza a B halmaznak A B halmazt szokás képhalmaznak nevezni.) A függvényeket általában

kisbetűkkel jelöljük. Az f : A B függvény az A halmaz minden egyes x eleméhez egyetlen elemet rendel a B halmazból, ezt f (x) -el jelöljük. Ez az f függvény x helyen vett helyettesítési értéke. Függvényeket a következő módszerekkel szokás megadni: 1 – Szöveges utasítással. 2 – Képlettel. Pl: f : N R, x  x 2 + 2 vagy pl: f : [0;2] R, f ( x ) = x 2 + 2 3 – Értéktáblázattal. Pl: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 f (x) 2 4 6 8 10 12 14 16 4 – Nyíldiagrammal. A nyíldiagram olyan rajzos megadási mód, ahol a nyilak az értelmezési tartomány elemeitől indulnak és az értékkészlet elemeihez érkeznek. 5 – Grafikonnal. Az f függvény grafikonja a koordináta rendszer azon pontjainak halmaza, amelyek koordinátáira fennáll az y = f (x) összefüggés. 95. Mikor nevezünk egy függvényt elsőfokúnak? Egy függvény elsőfokú, ha értelmezési tartománya a valós számok halmazának nem üres részhalmaza, értékkészlete is a valós számok

halmazának nem üres részhalmaza, továbbá a függvény leképzési szabálya a következő alakú: f (x) = a ⋅ x + b ahol a, b ∈ R és a ≠ 0. Megjegyzés: Az elsőfokú és a nulladfokú (konstans) függvények grafikonja egyenes, ezért ezeket együtt lineáris függvényeknek is nevezik. 96. Mikor nevezünk egy függvényt másodfokúnak? Egy függvény másodfokú, ha értelmezési tartománya a valós számok halmazának nem üres részhalmaza, értékkészlete is a valós számok halmazának nem üres részhalmaza, továbbá a függvény leképzési szabálya a következő alakú: f (x) = a ⋅ x2 + b ⋅ x + c ahol a, b, c ∈ R és a ≠ 0. Megjegyzés: A másodfokú függvények grafikonja parabola. 97. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x  x függvényt! Értelmezési tartomány: Valós számok halmaza. (Df = R) Értékkészlet: Nemnegatív valós számok halmaza. (Rf = [ 0 ; ∞ [ ) Minimum hely: x = 0 Minimum érték: y = 0

(másképpen f (x) = 0) Zérushely: x = 0 Szigorúan monoton nő x > 0 esetén. (Tehát x ∈ ] 0 ; ∞ [ esetén) Szigorúan monoton csökken x < 0 esetén. (Tehát x ∈ ] - ∞ ; 0 [ esetén) A függvény páros (azaz grafikonja szimmetrikus az y tengelyre.) 98. Ábrázolja és jellemezze a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett x  x függvényt! Értelmezési tartomány: Nemnegatív valós számok halmaza. (Df = [ 0 ; ∞ [ ) Értékkészlet: Nemnegatív valós számok halmaza. (Rf = [ 0 ; ∞ [ ) Minimum hely: x = 0 Minimum érték: y = 0 (másképpen f (x) = 0) Zérushely: x = 0 Szigorúan monoton nő a teljes értelmezési tartományon 99. Mikor mondjuk egy függvényről, hogy a) periodikus; b) páros; c) páratlan; d) korlátos? Az f függvény periodikus, ha létezik olyan c > 0 valós szám, amelyre teljesül, hogy tetszőleges x ∈ Df esetén x ± c ∈ Df továbbá f (x) = f (x ± c). Az f függvény páros, ha tetszőleges x ∈ Df esetén −x

∈ Df továbbá f (−x) = f (x). Megjegyzés: Páros függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre. Az f függvény páratlan, ha tetszőleges x ∈ Df esetén −x ∈ Df továbbá f (−x) = −f (x). Megjegyzés: Páratlan függvény grafikonja szimmetrikus az origóra. Az f függvény korlátos, ha létezik olyan K ∈ R valós szám, amelyre teljesül, hogy tetszőleges x ∈ Df esetén |f (x)| < K. Megjegyzés: Az f függvény felülről korlátos, ha létezik olyan K ∈ R valós szám, amelyre teljesül, hogy tetszőleges x ∈ Df esetén f (x) < K. Az f függvény alulról korlátos, ha létezik olyan K ∈ R valós szám, amelyre teljesül, hogy tetszőleges x ∈ Df esetén f (x) > K. Ha egy függvény alulról és felülről is korlátos, akkor mondjuk korlátosnak. 100. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x  sin x függvényt! Értelmezési tartomány: Valós számok halmaza. (Df = R) Értékkészlet: A [-1 ; 1 ] zárt

intervallum. (Rf = [ -1 ; 1 ] ) A függvény korlátos. 3π Lokális minimum helyek: x = + 2kπ ahol k ∈ Z 2 Minimum érték: y = -1 (másképpen f (x) = -1) π + 2kπ ahol k ∈ Z 2 Maximum érték: y = 1 (másképpen f (x) = 1) Zérushelyek: : x = kπ ahol k ∈ Z Lokális maximum helyek: x = Szigorúan monoton nő − π 2 + 2kπ ≤ x ≤ 2 + 2kπ esetén. (ahol k ∈ Z) 3π + 2kπ esetén. (ahol k ∈ Z) 2 2 A függvény páratlan (azaz grafikonja szimmetrikus az origóra.) A függvény nem invertálható. A függvény periodikus; periódusa: 2π. Szigorúan monoton csökken 101. π π + 2kπ ≤ x ≤ Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x  cos x függvényt! Értelmezési tartomány: Valós számok halmaza. (Df = R) Értékkészlet: A [-1 ; 1 ] zárt intervallum. (Rf = [ -1 ; 1 ] ) A függvény korlátos. Lokális minimum helyek: x = π + 2kπ ahol k ∈ Z Minimum érték: y = -1 (másképpen f (x) = -1) Lokális maximum

helyek: x = 2kπ ahol k ∈ Z Maximum érték: y = 1 (másképpen f (x) = 1) π + kπ ahol k ∈ Z 2 Szigorúan monoton nő π + 2kπ ≤ x ≤ 2π + 2kπ esetén. (ahol k ∈ Z) Szigorúan monoton csökken 0 + 2kπ ≤ x ≤ π + 2kπ esetén. (ahol k ∈ Z) A függvény páros (azaz grafikonja szimmetrikus az y tengelyre.) A függvény nem invertálható. A függvény periodikus; periódusa: 2π. Zérushelyek: : x =  π π Ábrázolja és jellemezze a  − ;  intervallumban értelmezett x  tg x  2 2 függvényt!  π π Értelmezési tartomány: Jelen esetben a  − ;  intervallum.  2 2 Értékkészlet: A valós számok halmaza. (Rf = R ) Minimum hely: nincs. 102. Maximum hely: nincs. Zérushely: : x = 0 . Szigorúan monoton nő. A függvény páratlan (azaz grafikonja szimmetrikus az origóra.) A függvény invertálható. 97. Milyen sorozatot nevezünk számtani, illetve mértani sorozatnak? Számtani sorozatnak nevezzük az olyan

számsorozatot, amelyben – a második elemtől kezdve – bármelyik elem és az azt megelőző elem különbsége állandó. Ezt az állandót a számtani sorozat különbségének (differenciájának) nevezzük. 90. Mikor mondjuk, hogy egy függvény egy [a ; b] intervallumban monoton növekszik, illetve csökken? Az f függvény egy [a ; b] intervallumban monoton nő, ha ott értelmezve van, és az intervallum minden x1 < x2 pontjára igaz, hogy f (x1) ≤ f (x2). Az f függvény egy [a ; b] intervallumban monoton csökken, ha ott értelmezve van, és az intervallum minden x1 < x2 pontjára igaz, hogy f (x1) ≥ f (x2). Megjegyzés: Ha az egyenlőséget nem engedjük meg, akkor a függvény szigorúan monoton nő, illetve csökken. 91. Mit nevezünk egy függvény zérushelyének; szélsőértékének? Az f függvény zérushelye az értelmezési tartomány olyan x értéke, amelyre: f (x) = 0. Megjegyzés: A zérushelyen a függvény grafikonja metszi az x tengelyt. Egy f

függvénynek kétféle szélsőértéke lehet: maximuma és minimuma. Az f függvény maximumhelye az értelmezési tartomány olyan x0 értéke, amelyre igaz, hogy az értelmezési tartomány bármely x értéke esetén: f (x) ≤ f (x0). f (x0) a függvény maximum értéke. Az f függvény minimumhelye az értelmezési tartomány olyan x0 értéke, amelyre igaz, hogy az értelmezési tartomány bármely x értéke esetén: f (x) ≥ f (x0). f (x0) a függvény minimum értéke. 92. Mit értünk egy függvény inverzén? A derékszögű koordináta-rendszerben milyen kapcsolat van a függvény és inverze grafikonja között? Inverze csak azoknak a függvényeknek van, amelyek kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesítenek az értelmezési tartományuk és az értékkészletük között. (Tehát az értékkészlet minden eleme az értelmezési tartománynak pontosan egy eleméhez van hozzárendelve.) Az f függvénynek a g függvény inverze, ha az f értelmezési

tartományának minden x elemére teljesül, hogy az f (x) benne van a g függvény értelmezési tartományában, és g (f (x)) = x. Egy függvény és inverzének grafikonja egymásnak az y = x egyenletű egyenesre vonatkozó tükörképei. Megjegyzés: Egy függvény inverze nem más, mint a függvény megfordítottja. A kölcsönös egyértelműség éppen a megfordíthatóságot jelenti, tehát azt, hogy a függvény megfordítva is függvény marad (egyértelmű leképzés). 93. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x x  a függvényt! ( a > 1, illetve 0 < a < 1 ) Értelmezési tartomány: A valós számok halmaza. (Df = R ) Értékkészlet: A pozitív valós számok halmaza. (Rf = ] 0 ; ∞ [ ) Szélsőérték-hely: Nincs Zérushely: Nincs a > 1 esetén szigorúan monoton nő a teljes értelmezési tartományon 0 < a < 1 esetén szigorúan monoton csökken a teljes értelmezési tartományon A függvény invertálható,

inverze az x  log a x függvény. 94. Ábrázolja és jellemezze a pozitív valós számok halmazán értelmezett x  log a x függvényt! ( a > 1, illetve 0 < a < 1 ) Értelmezési tartomány: A pozitív valós számok halmaza. (Df = ] 0 ; ∞ [ ) Értékkészlet: A valós számok halmaza. (Rf = R ) Szélsőérték-hely: Nincs Zérushely: x = 1 a > 1 esetén szigorúan monoton nő a teljes értelmezési tartományon 0 < a < 1 esetén szigorúan monoton csökken a teljes értelmezési tartományon A függvény invertálható, inverze az x  a x függvény. 95. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x  sin x függvényt! Értelmezési tartomány: Valós számok halmaza. (Df = R) Értékkészlet: A [-1 ; 1 ] zárt intervallum. (Rf = [ -1 ; 1 ] ) A függvény korlátos. 3π Lokális minimum helyek: x = + 2kπ ahol k ∈ Z 2 Minimum érték: y = -1 (másképpen f (x) = -1) π + 2kπ ahol k ∈ Z 2 Maximum érték: y = 1

(másképpen f (x) = 1) Zérushelyek: : x = kπ ahol k ∈ Z Lokális maximum helyek: x = Szigorúan monoton nő − π 2 + 2kπ ≤ x ≤ 2 + 2kπ esetén. (ahol k ∈ Z) 3π + 2kπ esetén. (ahol k ∈ Z) 2 2 A függvény páratlan (azaz grafikonja szimmetrikus az origóra.) A függvény nem invertálható. Szigorúan monoton csökken π π + 2kπ ≤ x ≤ A függvény periodikus; periódusa: 2π. 96. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x  cos x függvényt! Értelmezési tartomány: Valós számok halmaza. (Df = R) Értékkészlet: A [-1 ; 1 ] zárt intervallum. (Rf = [ -1 ; 1 ] ) A függvény korlátos. Lokális minimum helyek: x = π + 2kπ ahol k ∈ Z Minimum érték: y = -1 (másképpen f (x) = -1) Lokális maximum helyek: x = 2kπ ahol k ∈ Z Maximum érték: y = 1 (másképpen f (x) = 1) π + kπ ahol k ∈ Z 2 Szigorúan monoton nő π + 2kπ ≤ x ≤ 2π + 2kπ esetén. (ahol k ∈ Z) Szigorúan monoton csökken 0 +

2kπ ≤ x ≤ π + 2kπ esetén. (ahol k ∈ Z) A függvény páros (azaz grafikonja szimmetrikus az y tengelyre.) A függvény nem invertálható. A függvény periodikus; periódusa: 2π. Zérushelyek: : x =  π π 97. Ábrázolja és jellemezze a  − ;  intervallumban értelmezett x  tg x  2 2 függvényt!  π π Értelmezési tartomány: Jelen esetben a  − ;  intervallum.  2 2 Értékkészlet: A valós számok halmaza. (Rf = R ) Minimum hely: nincs. Maximum hely: nincs. Zérushely: : x = 0 . Szigorúan monoton nő. A függvény páratlan (azaz grafikonja szimmetrikus az origóra.) A függvény invertálható. 98. Milyen sorozatot nevezünk számtani, illetve mértani sorozatnak? Számtani sorozatnak nevezzük az olyan számsorozatot, amelyben – a második elemtől kezdve – bármelyik elem és az azt megelőző elem különbsége állandó. Ezt az állandót a számtani sorozat különbségének (differenciájának) nevezzük