Elektronika | Felsőoktatás » Elektromosságtan tételek, 2008

Elektromosságtan tételek - 2008 1. tétel Elektromos alapjelenségek: Ha a borostyánkövet megdörzsöljük, akkor a környezetében lévő apró, könnyű testeket magához vonzza. A dörzsölt borostyánkő eme tulajdonságát, illetve hatását – melyről a ránk maradt írások szerint Thalesz tesz említést még i.e 600 körül – elektromos hatásnak nevezzük Gilbert után ( borostyán görögül elektron ). A kísérletek szerint más testek is rendelkeznek eme tulajdonsággal, dörzsölés hatására. Feltételezzük, hogy ezt az elektromos állapotot valamilyen, számunkra nem érzékelhető anyagnak – elektromos töltésnek vagy elektromos mennyiségnek – a testben való jelenléte okozza. Két bőrrel megdörzsölt üvegrúd taszítja egymást, ha egy bőrrel megdörzsölt üvegrúd felé egy gyapjúval megdörzsölt ebonit rudat közelítünk, vonzást figyelhetünk meg. Ebből arra lehet következtetni, hogy a két testnek különbözik az elektromos hatása,

töltöttsége. Ezen kísérletek alapján feltehetjük, hogy kétféle elektromos töltés létezik: pozitív ( + ) – üvegrúd- és negatív ( - ) – ebonit rúd - . Két különböző anyagú test dörzsölésekor a két testben ellenkező előjelű ( abszolút értékre nézve egyenlő mennyiségű ) töltések halmozódnak fel. Ennek alapján jogos a feltevés, hogy a dörzsöléssel nem töltéseket hoztunk létre, hanem a kétféle elektromos töltést szétválasztottuk. Az elektromos állapot érintkezéssel átadható, illetve az elektromos töltés érintkezés útján átmehet az egyik testről a másikra. Ha az elektromosan feltöltött fém rudat egy helyen megérintjük, az elveszíti töltését, míg az üveg és ebonit rúd nem. E tapasztalatok alapján vezetőket és szigetelőket különböztetünk meg. A vezetőkben az elektromos töltés gyorsan elterjed, vagyis a annak egy része, ezzel szemben a szigetelőkben nem. A vezetők és a szigetelők között nincs

éles határ, azaz a fajlagos vezetőképesség nagysága alapján különböztetünk meg jó vezetőt ( viszonylag nagy ) és jó szigetelőt ( viszonylag kicsi ). Jó vezetők: fém, szén, emberi test, savak, bázisok, sók vizes oldata, igen nagy hőmérsékletű gázok; jó szigetelők: kvarc, csillám, üveg sok fajtája, porcelán, gyanta, kén, paraffin, selyem, sok olaj, normális állapotú gázok. Az elektroszkóp a testekben lévő elektromos töltés jelenlétének kényelmes kimutatására szolgál. Egyik típusa a lemezes elektroszkóp A fémből és üvegből álló burába egy fémrúd nyúlik be, alsó végére két vékony és hajlékony fémfólia ( arany vagy alumínium ) van erősítve, míg a burán kívüli része egy fémgömbbe végződik. Ha ehhez egy töltött testet hozzáérintünk, akkor a lemezek szétágaznak. Ez azért van, mert az egymás mellett elhelyezkedő azonos töltések taszítják egymást. A töltésmegosztást a következő egyszerű

kísérlettel lehet megcsinálni: egy dörzsölt ebonit rudat vigyünk közel egy elektromosan semleges, két fél fémhengerből összetolt, szigetelő tartókon nyugvó fémhengerhez. Ha a fémhengert kettéválasztjuk és az ebonit rudat eltávolítjuk, akkor az A fél henger pozitív töltésű ( közelebb volt az ebonithoz ), a B félhenger pedig negatív ( távolabb volt ). Ez úgy értelmezhető, hogy a vezető természetes állapotban ua pozitív és negatív töltést tartalmaz és ezek egyenletesen oszlanak el, így a vezető semleges mindenütt. Ha test közelébe elektromosan töltött testet helyezünk, annak töltése a testben lévőkre vonzó és taszító hatása miatt a pozitív töltések a test egyik, míg a negatívak a másik részében tömörülnek. Ha a megosztó teste elvesszük onnan, a vezető újra semleges lesz Coulomb törvénye Az első kvantitatív összefüggést, amely két elektromosan töltött test között fellépő erőre vonatkozik, Coulomb

állapította meg. Egy torziós inga segítségével két kisméretű, töltött fémgolyó között ható erőnek a változását vizsgálta a két töltés közötti távolságnak és a két töltés nagyságának függvényében. A két golyó között eredeti r távolságot a torziós fej bizonyos φ szöggel való elforgatásával állíthatjuk vissza. A rúdnak ebben az egyensúlyi helyzetében az 1 és 2 fémgolyók közti F taszító erőnek a forgatónyomatéka megegyezik a szál elcsavarodásából származó φ - vel arányos visszahajtó nyomatékkal. Ismerve a torziós szál irányítónyomatékát és a φ elcsavarodási szöget, az F meghatározható. Az F erő az r távolság négyzetével fordítottan arányos: F ~ 1/r2 . Coulomb meg tudta határozni az ŰF erőnek a fémgolyók Q 1 ,Q 2 töltéseitől való függését is. Állandó r távolság mellett az F erő egyenesen arányos a töltésmennyiségek ( Q 1 ,Q 2 ) szorzatával: F ~ | Q 1 Q 2 | . A két mért

eredményt egybefoglalva, a Coulomb törvénye így néz ki : F = K * | Q 1 Q 2 | / r2 , ahol K egy pozitív konstans arányossági tényező. Ez az összefüggés csak akkor helytálló, ha: a töltések nyugalomban vannak, levegőben helyezkednek és pontszerűnek tekinthetők. Egy töltéssel bíró test akkor tekinthető pontszerűnek, ha méretei elhanyagolhatóan kicsik a test és a számításba jövő más testek közti távolságokhoz képest. Coulomb törvény vektori alakban: F 12 = K * (Q 1 Q 2 / r 12 2) r 12 . Az egyenlet kifejezi azt a tényt, hogy az egynemű töltések taszítják, a különnemű töltések vonzzák egymást, valamint az egyenletben szereplő erő eleget tesz Newton III. törvényének: F 12 = -F 12 A K arányossági tényező értéke attól függ, hogy az erőt, a távolságot és a töltéseket milyen egységben mérjük. 1 coulomb azt a töltésmennyiséget jelenti, amely egy vezetődrót tetszőleges keresztmetszetén 1s alatt áthalad, ha a

drótban 1A erősségű egyenáram folyik. K ~ 9 * 109 Nm2/C2 . A törvény másként: 1 coulomb az a töltésmennyiség, amely egy pontszerű testen felhalmozódva egy ugyanakkora töltésű, tőle 1m távolságban lévő másik pontszerű töltésre vákuumban 9 * 109 N erővel hat. Az elektromos töltés természetes egysége: a természetben található legkisebb töltésmennyiség, az e elemi töltés. e ~ 1,6 * 10-19 C . A törvényben szereplő K helyett az 1/4πε 0 –t használva a Coulomb törvénye így néz ki: F = 1/4πε 0 * |Q 1 Q 2 |/r2 . Az elektromos tér A Coulomb törvénye nem ad választ arra, hogy milyen mechanizmus szerint hat egyik töltés a másikra, és milyen módom megy át az erő. A távolhatás elmélete szerint az egyik töltés közvetlenül érzi a másik töltés jelenlétét. Faraday ezzel szemben a közelhatás elméletét állapította meg, miszerint a töltések nem közvetlenül, hanem az általuk létrehozott elektromos téren keresztül

hatnak egymásra. Az elektromos tér energiát és impulzust hordoz, tehát anyagi értelemben is létező fizikai realitás. A nyugvó töltésekhez elválaszthatatlanul kapcsolódó, időben állandó elektromos teret elektrosztatikus térnek nevezzük. A töltések elektromos teret hoznak létre, másrészt az elektromos tér hat a töltésekre. Elektromos töltés ↔ elektromos tér ↔ elektromos töltés ( Q2 ) ( Q1 ) A töltés kétféle szerepét figyelembe véve, a nyugvó töltések által keltett elektrosztatikai tér tanulmányozásakor különbséget teszünk az elektromos teret keltő Q töltés és a teret érzékelő Q p , próbatöltés között. A Q p –nek egyrészt kicsinek és pontszerűnek kell lennie Ha az elektromos térbe különböző próbatöltéseket helyezünk és mérjük a rájuk ható erőt, akkor ha a kapott erőt elosztjuk az adott próbatöltéssel, mindig ugyanazt ez értéket kapjuk. Azt mondhatjuk tehát, hogy az A pontba helyezett Q p

próbatöltésre ható F’ erő arányos a Q p töltésmennyiséggel: F’ = E’Q p . Mivel az erő vektormennyiség, a töltés pedig skaláris mennyiség, látható, hogy az E’ arányossági tényezőnek is vektormennyiségnek kell lennie. A méréseket az elektromos tér más pontjaiban is elvégezve, mindig azt tapasztaljuk, hogy az F erő arányos a próbatest Q p töltésével, és az E arányossági tényező értéke általában a helytől, azaz a választott pont r helyvektorától függ. Ennek alapján: F(r) = E(r) Q p Ebből kifejezve a E-t, egy kizárólag a térre jellemző összefüggést kapunk: E = F/ Q p . Ez a pozitív pontszerű próbatöltésre ható erőt jelenti, amit elektromos térerősségnek nevezünk. Ha az elektromos teret több – Q 1 , Q 2 , ,Q N – ponttöltés hozza létre, akkor az erők szuperpozíciójának elve alapján, a tér egy tetszőleges P pontjában az eredő térerősséget az egyes töltések által a P pontban létesített – E

1 , E 2 , ,E N – térerősségek vektori összege adja. N E = E 1 + E 2 + + E N = ∑E i . i=1 Ez a kísérleti alapokon nyugvó összefüggés az elektromos térerősségek szuperpozíciójának elvét fejezi ki. Az elektromos tér grafikus szemléltetésére, illetve megjelenítésére a legkézenfekvőbb eljárásnak az tűnik, hogy a tér különböző A,B,C pontjaiban olyan térerősségvektorokat rajzolunk, amelyek iránya megegyezik E irányával, és relatív hosszúságuk pedig E nagyságával. Ezzel a módszerrel elég kusza ábrákat kapnánk a vektorok sokasága miatt, ezért inkább erővonalakat rajzolunk, Faraday után. Az elektromos erővonalak olyan görbék, amelyek érintői a görbe minden pontjában az ottani E térerősség irányába mutatnak. Az erővonalnak irányítást is adunk, nyílheggyel jelöljük rajta térerősség irányát Az elektromos dipólus Ponttöltéseknek azt a rendszerét, amely egy pozitív ponttöltésből ( +Q ) és egy ugyanolyan

nagyságú- a pozitív ponttöltéstől kicsiny l távolságra lévő – negatív ponttöltésből ( -Q ) áll, elektromos dipólusnak nevezzük. Ha az l elhanyagolhatóan kicsi, akkor pontszerű elektromos dipólusról beszélünk. A dipólust a p = Ql vektormennyiséggel jellemezhetjük, amelyet az elektromos dipólus momentumának ( nyomatékának ), vagy másképpen elektromos dipólmomentumnak nevezzük. SI-egysége: 1Cm A dipólus E elektromos térerőssége egy tetszőleges P pontban, a +Q és a –Q ponttöltésekből származó E+ és E- térerősségvektorok összeadásával határozható meg: E = E+ + E- . A számítást csak a P pontnak két speciális helyzetére – az ún. Gauss-féle főhelyzetekre – vonatkozólag végezzük el A dipólustól származó térerősség arányos a dipolmomentummal és fordítva arányos az r távolság köbével ( E ~ 1/r3 ), vagyis dipólusnál az E térerősség r növelésével jobban tart a nulla felé. Gauss-tétel Az

elektrosztatikai tért alaptulajdonságát fejezi ki Gauss tétele, amelyet a következőképpen fogalmazhatunk meg: egy tetszőleges – megfelelően sima – zárt f felületen átmenő elektromos erőfluxus egyenlő az f-en belüli töltések algebrai összegének szorosával, azaz º∫Edf = Q/ε 0 . f 2. tétel Elektromos potenciál Az U = 1/4πε 0 * QQ p /r szerint az elektrosztatikus tér ugyanazon P pontjába helyezett Q p ’, Q p ’’, próbatöltések különböző nagyságú U’,U’’, potenciális energiájuk van, az U’/ Qp ’, U”/ Q p ’’, hányadosok értéke azonban minden próbatöltésre megegyezik. Ennél fogva, ha az elektrosztatikus tér P pontjába helyezett Q p töltés U potenciál energiájú, akkor φ = U/Q p ,ennyiség az adott pontban az elektrosztatikus teret fogja jellemezni. A φ skaláris mennyiséget az elektrosztatikus tér potenciáljának nevezzük, és az E elektromos térerősség leírására használhatjuk. Definíció

szerint: a potenciál számértékileg egyenlő azzal a potenciális energiával, amellyel a tér adott pontjában a pozitív egységnyi töltés rendelkezik. Az elektrosztatikai tér egy φ potenciállal jellemzett pontjában tehát a Q p töltésnek U = Q p φ nagyságú energiája van. A mondottakból következik, hogy az a munka, amelyet az elektrosztatikus tér végez, miközben Q p töltést a φ 1 potenciálú helyről a φ 2 potenciálú helyre mozgatja, az alábbi módon írható fel: W 12 = U 1 – U 2 = Q p ( φ 1 - φ 2 ) = Q p * V , ahol V = φ 1 φ 2 potenciálkülönbséget az 1 és 2 pont közötti feszültségnek is szokás nevezni. Ha a Q p töltés egy adott, φ potenciálú P pontból a végtelen távoli pontba mozdul el ( ahol a potenciál értéke nulla ), akkor az elektrosztatikai tér munkája a következőképpen néz ki: W ∞ = Q p * φ, amiből φ = W ∞ / Q p . Eszerint: a potenciál számszerűen egyenlő azzal a munkával, amelyet az elektrosztatikus

tér végez, miközben a pozitív egységnyi töltést az adott pontból a végtelen távoli pontba mozgatja. A φ potenciál számértékileg azt a munkát jelenti, amelyet a pozitív egységnyi töltésnek a földfelülettől az adott pontba való vitele során az elektromos tér ellenében végeznünk kell. Ha 1 coulomb ( 1C ) töltésnek a végtelenből az adott P pontba való viteléhez 1 joule ( 1J ) munka szükséges, akkor a P pontban a potenciál 1 volttal ( 1V ) egyenlő: 1V = 1 J/C. A potenciál egységét Alessandro Volta olasz tudó tiszteletére nevezték el voltnak. A potenciál az ekvipotenciális vagy nívófelületekkel szemléltethető. Ezek olyan – képzeletbeli – felületek, amelyeknek minden pontjában ugyanaz a potenciál értéke, egyenletül tehát : φ(x,y,z) = const. Az ekvipotenciális felület mentén dl távolságra elmozdulva a potenciál nem változik, ez azt jelenti, hogy az E vektornak a felülettel párhuzamos komponense nulla. Ebből pedig az

következik, hogy az E vektor minden pontban a ponton keresztülhaladó ekvipotenciális felületre merőleges irányú. Az elektromos erővonalak merőlegesek az ekvipotenciális felületekre. Végtelen sok ilyen felület kreálható Az ekvipotenciális felületeket megegyezés szerint úgy szokás ábrázolni, hogy a két felületközötti potenciálkülönbség mindenhol ugyanaz. Fémes vezető sztatikus elektromos térben Ha egy fémes vezetőt E k külső elektromos térbe helyezünk, akkor ennek hatására a vezetőben lévő szabad elektronok E k -val ellentétes irányba fognak mozogni mindaddig, amíg el nem érik a fém felületét. A fémnek ezen az oldalán tehát elektron többlet, míg a másikon elektron hiány lesz. A külső tér hatására a vezető két oldalán negatív és pozitív töltések indukálódnak vagy influálódnak. Ezek a töltések a E b belső teret létesítenek, ami az előbb említettek alapján növekedhet, amíg el nem éri az elektrosztatikai

egyensúlyt. Sztatikus körülmények között tehát egy homogén vezető anyag belsejében az eredő makroszkopikus tér nulla. Az elektromos tér – a vezető külső felületének minden pontjánál – merőleges a felületre. Ha egy fémes vezetőnek töltést adunk, akkor a vezető belsejében elektromos tér épül fel. Ez a tér az elektronok olyan újrarendeződését, illetve eloszlását okozza, amely a térerősség csökkenését, illetve másodperc tört része alatt a vezető belsejében a térerősség megszűnését eredményezi. Vagyis elektrosztatikus egyensúly esetén az E elektromos térerősség a vezető belsejében mindenütt nulla. Ez viszont azt jelenti, hogy a vezető belsejében a potenciál mindenütt állandó A szigetelten felállított sűrű szövésű dróthálóból készült H henger belsejében helyezzünk el egy El elektroszkópot. Ha a dróthálónak bármekkora töltést adunk, vagy bármilyen erősen feltöltött G gömböt viszünk a

közelébe, az elektroszkóp nem jelez kitérést, a H háló nélkül viszont az elektroszkóp lemezei erősen szétágaznak a feltöltött G gömb megosztó hatása miatt. Ez az elektrosztatikai árnyékoló hatása. Ha a csúccsal rendelkező vezetőt eléggé erősen feltöltjük, akkor,a töltött vezető csúcsának közelében az elektromos tér olyan nagy értéket is felvehet, hogy hatására levegő elveszíti szigetelőképességét, és a fellépő csúcskisülésben a vezetőről töltések távoznak. Ezt a jelenséget közelebbről úgy képzelhetjük el, hogy pl. a pozitív töltésű csúcs közelében a levegő molekulái polarizáció folytán dipólussá válnak, és ezért a csúcs ezeket minden oldalról magához vonzza, majd az érintkezés után a pozitív töltésűvé váló részecskéket egyenes irányba eltaszítja. Ezek az ionok az elektromos szelet hozzák létre mozgásukkal Ha el akarjuk kerülni, hogy a töltött vezetőről elektromos szél,

illetve szikrakisülés útján töltések távozzanak, akkor biztosítani kell a vezetők alakjának simaságát. 3. tétel A kapacitás, kondenzátorok Ha a magában álló, más vezetőktől távol lévő vezetővel Q töltést közlünk, akkor ez a töltés a vezető felületén oszlik el oly módon, hogy a vezető belsejében a térerősség nulla lesz. Egy ilyen eloszlás csak egyféleképpen lehetséges. Vagyis, ha a Q töltést már hordozó vezetővel újabb Q töltést közlünk, akkor ez a töltés is pontosan ugyanolyan módon oszlik el a vezetőn, mint az elsőként közölt Q töltés. Ettől eltérő esetben a töltés nullától különböző elektromos teret építene fel. Bármilyen nagyságú töltéssel rendelkező vezető felületén két tetszés szerinti pontot tekintve, a töltéssűrűségek aránya mindig ugyanaz. Ebből következik, hogy a környezetétől elektromosan elszigetelt vezetőn lévő töltésmennyiség megsokszorozódik, akkor a vezetőt

körülvevő tér minden egyes pontjában az elektromos térerősség E nagysága is megsokszorozódik. Ez viszont azt jelenti, hogy a pozitív egységnyi töltésnek a végtelenből, illetve a földtől a vezető felületére viteléhez munka kell – azaz a vezető φ potenciálja, illetve a végtelen távoli ponthoz, vagy a földhöz képest – is megsokszorozódik. Ily módon egy szigetelt vezetőre azt írhatjuk, hogy Q = C φ. , ahol a töltéstől és a feszültségtől független, csupán a vezető alakjától és méretétől függő C = Q/ φ pozitív mennyiséget a vezető kapacitásának nevezzük. Eszerint a C kapacitás számértékileg egyenlő azzal a töltéssel, amelyet e vezetővel közölni kell ahhoz, hogy a potenciálja, illetve a feszültsége a Földhöz képest egységnyi értékkel növekedjen. Az R sugarú vezető gömb kapacitását könnyen felírhatjuk a C = 4πε 0 R képlettel, azaz a gömb kapacitása arányos a sugarával. Kondenzátorok Egy magában

álló vezető kapacitása igen kicsi, sőt még egy Föld méretű gömbnek is csak 700 μF. A gyakorlatban azonban számos területen szükség van olyan eszközökre, amelyek alacsony potenciál, valamint feszültség mellett jelentős mennyiségű töltést képesek tárolni, vagyis amelyeknek nagy a töltéskapacitásuk. Az ilyen készülékeket kondenzátoroknak nevezzük. Ezek működése azon alapul, hogy egy vezető kapacitása megnövekszik, ha a közelébe más testeket helyezünk. Ekkor az A vezetőig kisebb munkával tudjuk odaszállítani a pozitív egységnyi töltést, mint a B test odavitele előtt, vagyis a földelt B test odavitelével csökken az A potenciálja és feszültsége. A kondenzátorok tehát egymáshoz közel helyezett vezetőkből állnak. A kondenzátort képző vezetőket e kondenzátor lemezeinek vagy fegyverzeteinek nevezzük. Abból a célból, hogy a külső testeknek a kondenzátor kapacitására gyakorolt hatását megakadályozzuk, illetve

minimálisra csökkentsük, a fegyverzetük alakját, egymáshoz viszonyított elrendeződését célszerű úgy megválasztanunk, hogy az elektromos té, amelyet a fegyverzeteken lévő töltések hoznak létre, a kondenzátor belsejében koncentrálódjanak. Ez alapján lehet sík-, vagy lemezes kondenzátor ( közelhelyezett párhuzamos fémlemez ), hengerkondenzátor ( két koaxiális fémhenger ), és gömbkondenzátor ( két koncentrikus gömb ). Egy kondenzátor legfontosabb jellemzője a kapacitás, amelyet a következőképpen adhatunk meg: C = Q/ φ 1 – φ 2 , ahol a Q í kondenzátor töltése, φ 1 – φ 2 pedig az 1. és 2 fegyverzetek közötti potenciálkülönbséget jelenti. Mivel φ 1 – φ 2 potenciálkülönbség s fegyverzetek közti V feszültséggel egyenlő, ezért a kapacitás az alábbi formában is írható: C = Q/V . A kapacitáson kívül még szokás a kondenzátort azzal a V m maximális feszültséggel is jellemezni, amelyet a fegyverzetek

közötti átütés veszélye nélkül lehet még alkalmazni. Ha ezt meghaladjuk, a fegyverzetek közötti térben szikrakisülés jön létre, amely általában a fegyverzetek között lévő szigetelő anyagnak, s vele a kondenzátornak is a tönkremenetelét okozhatja. Több meghatározott módon összekapcsolt kondenzátor eredő kapacitásán annak az egyetlen kondenzátornak a kapacitását értjük, amely az összekapcsolt rendszert helyettesíti. Kondenzátorok soros kapcsolásának megfelelő C e eredő kapacitást úgy definiáljuk, mint egyetlen olyan kondenzátornak a kapacitását, amelynek a és b kivezetéseire φ a – φ b = V potenciálkülönbséget kapcsolva, a fegyverzeteken ( +Q ) és ( -Q ) töltés tárolódik. C e ez alapján: 1/ C e = 1/ C 1 + 1/ C 2 . N N számú kapacitásra: 1/ C e = 1/ C 1 + 1/ C 2 + +1/ C N = ∑ 1/ C k . k=1 N C e = 1/ ∑1/ C k . k=1 Kondenzátorok párhuzamos kapcsolásának megfelelő C e eredő kapacitást úgy definiáljuk, mint

egyetlen olyan kondenzátornak a kapacitását, amelynek ha az a és b kivezetéseire φ a – φ b = V potenciálkülönbséget kapcsolunk, akkor a fegyverzeteken tárolódó töltés: Q = Q 1 +Q 2 . C e ez alapján: C e = Q/V = C 1 + C 2 N számú kondenzátor esetén: N Ce = C1 + C2 + + CN = ∑ Ck . k=1 Ezt az eredményt úgy fogalmazhatnánk meg szóban, hogy párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitása az egyes vagy részkapacitások összegével egyenlő. Egy töltött kondenzátor energiáját azzal a munkával határozhatjuk meg, amelyet a feltöltéséhez végeznünk kell. Ennek alapján az A,B vezetékből álló, C kapacitású és Q töltésű tetszőleges kondenzátornak az energiáját így számolhatjuk ki: tegyük fel, hogy adott pillanatban az A fegyverzet többlettöltése +Q’, a B-é pedig –Q’. Az A és B közti feszültség tehát: V’ = Q’/C . Ha most gondolatban a B-ről igen kicsiny pozitív dQ’ töltést az A-ra viszünk, akkor a

feszültség definíciója szerint ehhez az elektromos erők ellenében a következő dW nagyságú munkát kell végeznünk: dW = V’dQ’ = ( Q’/C )dQ’. Azt a W teljes munkát tehát, ami ahhoz szükséges, hogy a kezdetben töltetlen kondenzátor töltése Q-ra növekedjék, a dW elemi munkák összege, helyesebben a Q’= 0-tól a Q’= q-ig veendő integrálja határozza meg: Q W = ∫ dW = ∫ ( Q’/C )dQ’ = ½ Q2/C. 0 Mivel a fenti fokozatos töltés eredményeként az a változás következett be, hogy a kondenzátor A és B lemezei meghatározott töltésre tettek szert, ezért mondhatjuk, hogy a feltöltésre fordított W munka a fegyverzeteken lévő töltések U kölcsönhatási energiájává alakul át: U = W = ½ Q2/C = ½ CV2 = ½ QV . Ez az eredmény a kondenzátor szerkezetétől függetlenül minden kondenzátorra érvényes. 4. tétel Dielektromos állandó, kondenzátor Ha egy kondenzátor fegyverzetei közötti teret – vákuum vagy levegő helyett

– valamilyen szigetelő anyag tölti ki, akkor – a kísérletek tanulsága alapján – a kondenzátor kapacitása megnövekszik ( Faraday ). A kondenzátor kapacitása tehát, annak megfelelően, hogy az A és B lapok között vákuum vagy a D szigetelő lemez van, a következő kifejezéseket írhatjuk: C 0 = Q 0 /V 0 , C = Q 0 /V. Egybevetve a két egyenletet azt kapjuk, hogy : C/C 0 = V 0 /V . Mivel a kísérlet szerint V 0 > V, így az előbbi képletből azt kapjuk, hogy C > C 0 , azaz a szigetelő anyag behelyezésekor a síkkondenzátor kapacitása megnövekszik. A mérések azt mutatják, hogy abban az esetben, ha a szigetelő anyag a kondenzátor fegyverzeteit környező teret teljesen kitölti, az ε r = C/C 0 >1 hányados a kondenzátor fajtájától és méreteitől független, egyedül a kérdéses szigetelő anyagra jellemző mennyiség. Az ε r -t az anyag relatív dielektromos állandójának vagy permittivitásának nevezzük. Dielektromos állandó

elektromos térben Az ε r dielektromos állandónak a fentebb említett definíciója – amely még Faradaytől származik – azzal az előnnyel rendelkezik, hogy egy mérési módszert is rögzít ε r meghatározásához. Ez a definíció azonban nem tekinthető szerencsésnek abból a szempontból, hogy készüléktől függő mennyiségen alapul. Mivel V 0 = E 0 d, és V = Ed, a relatív dielektromos állandót célszerű az ε r = E 0 /E > 1 hányadossal definiálni, ahol E0, illetve E az elektromosan feltöltött síkkondenzátor lemezei között lévő térerősséget jelentik vákuum, illetve szigetelő anyag jelenléte esetén, állandó töltés mellett. Szigetelők polározódása Ha egy dielektrikumot elektromos térbe helyezünk, akkor mind az elektromos térben, mind pedig a dielektrikumban észrevehető változások következnek be. A szigetelők akár nempoláros( az elektromos töltések külső tér hatása alatt egymáshoz képest eltolódnak ), akár poláros(

a külső elektromos tér hatása abban nyilvánul meg, hogy a molekula törekszik úgy elmozdulni, hogy saját dipólmomentuma a tér irányába álljon be ) molekulákból épülnek fel, külső tér nélkül nincs dipólmomentumuk. A szigetelők külső elektromos tér hatására polarizáltakká válnak, azaz nullától különböző dipólmomentumra tesznek szert : a nempoláros molekulákból állók azért,mert elektromos térben a molekulák dipólmomentumra tesznek szert, a polárosak pedig azért, mivel a dipólusmolekulák a tér irányító hatása folytán tengelyükkel kisebb nagyobb mértékben a tér irányába állnak be. Ez a rendezettség a térerősség növelésével és a hőmérséklet csökkentésével növelhető. Vannak olyan szigetelők, amik ezektől eltérő módon polarizálódnak. Külső elektromos tér hatása alatt polározottá vált dielektrikum polározottságának ,értékét a térfogategységre vonatkoztatott dipólmomentummal, az ún. elektromos

polarizációvektorral ( P ) jellemezhetjük. Ha az elektromos tér, vagy a dielektrikum nem homogén a polarizáció P értéke különbözni fog a dielektrikum különböző pontjaiban. Ahhoz, hogy adott A pontban a polarizációt jellemezhessük, vegyük körül az A pontot egy olyan végtelenül kicsiny ∆V tréfogattal, amely elég nagy ahhoz, hogy sok, p dipólmomentummal rendelkező molekulát tartalmazzon, és elég kicsi ahhoz, hogy benne minden makroszkopikus mennyiséget állandónak lehessen tekinteni. A ∆V térfogatban lévő molekulák dipólmomentumainak ∑ p ∆V Összegét elosztva ∆V-vel, az adott pontban az elektromos polarizációvektort kapjuk: P = 1/∆V * ∑ p. ∆V A P polarizáció SI-egysége: 1 As/m2. P dimenziója megegyezik ε 0 E dimenziójával A kísérletek szerint az izotrop dielektrikum bármely pontjában P polarizáció és az ugyanabban a pontban lévő E térerősség között a következő összefüggés áll fenn: P = χ e ε 0 E ,

ahol az E-től független χ e mennyiséget a dielektrikum elektromos szuszceptibilitásának nevezzük. Mivel P és ε 0 E dimenziói megegyeznek, ezért χ e egy dimenzió nélküli mennyiség. Gauss tétele dielektrikumokra, az elektromos eltolás vektora Az elektromos térerősség kiszámítása gyakran egyszerűsödik, ha bevezetünk egy olyan mennyiséget, amelynek csak a szabad töltések a forrásai. Abból a célból, hogy ezt a mennyiséget megadhassuk, helyettesítsük be a ρ’ = -divP egyenletet a divE = 1/ε 0 * (ρ + ρ’) egyenletbe. Ekkor divE = 1/ ε 0 * (ρ - divP), Amiből div(ε 0 E + P) = ρ. A keresett mennyiséget a zárójelen belüli kifejezés szolgáltatja, amelyet D-vel jelölünk és amelyet elektromos eltolásnak ( vagy elektromos indukciónak ) nevezünk: D = ε 0 E + P. Ebből azt kepjuk, hogy divD = ρ Ha P = 0 ( vákuumban ), akkor D = ε0E. Integráljuk az előző egyenlet mindkét oldalát egy tetszőleges V térfogatra : ∫ divDdV = ∫ ρdV. V

V A fenti egyenlet bal oldalát alakítsuk át Gauss-féle intergáltétel segítségével és vegyük észre, hogy ∫ ρdV = Q, ekkor V ∫ Ddf = Q . f Az egyenlet bal oldalán az f zárt felületen keresztülhaladó D vektor φ D fluxusa, míg a jobb oldalon az f felület által bezárt, V térfogatban lévő ∑Q i összege szerepel. Vagyis a fenti egyenlet így is felírható: φ D = ∑Q i . A két egyenlet a D vektorra vonatkozó Gauss tételt fejezik ki: az elektromos eltolásnak egy zárt felületen átmenő fluxusa egyenlő az f által bezárt térfogatban lévő szabad töltések algebrai összegével. D coulomb egységekben fejezhető ki. A D vektor terét eltolási vonalakkal szemléltetjük A D irányár és sűrűségét ugyanúgy adhatjuk meg, min az E vektor erővonalai esetében. A P polarizációs vektor terét szintén ábrázolhatjuk, mégpedig polarizációs vonalakkal. Dielektrikumokra is érvényes az a vákuum esetére már korábban megismert

elektrosztatikai alaptörvény, amely szerint az E térerősségnek bármely zárt görbe menti integrálja nulla: ∫ Edl = 0, illetve, amely szerint az E térerősség dielektrikumban is örvénymentes vektortér: rotE = 0. Az fenti egyenletek megoldásához szükségünk van még egy harmadik egyenletre is, amely D és E között állapít meg összefüggést. Ha helyesnek fogadjuk el a P = χ e ε 0 E összefüggést, akkor ezt a P értéket behelyettesítve, a D és E kapcsolatára azt kapjuk, hogy: D = ε 0 E + χ e ε 0 E = ε 0 ( 1 + χ e )E. Az 1 + χ e dimenzió nélküli mennyiség azt mutatja meg, hogy a térerősség dielektrikum jelenléte esetén hányad részére csökken; az 1 + χ e mennyiség megegyezik a dielektrikum ε r relatív dielektromos állandójával: ε r = 1 + χ e . Ily módon az előbbi egyenletet úgy írhatjuk fel, hogy : D = ε 0 ε r E . Eszerint a D vektor arányos az E vektorral. Anizotrop dielektrikumokban az E és a D vektorok általában

nem egyirányúak 5. tétel Az elektromos áram Az elektrosztatikából ismeretes, hogy elektrosztatikai egyensúly esetén egy vezető belsejében nem lehet elektromos tér. Tételezzük fel azonban, hogy egy hosszú fémes vezető ellentétes végeire egy időpillanatban +Q és –Q töltést helyezünk. A vezető ekkor már nem lesz egyensúlyban, a drótvégeken lévő töltések elektromos teret hoznak létre a drót mentén és a drót belsejében. Ha a vezető végeire folyamatosan további töltéseket viszünk fel, akkor a nem egyensúlyi helyzet fenntartható, úgy hogy a drót két végeit összekötjük egy feszültságforrásal. Ilyen feltétel mellett az elektromos töltések folytonosan áramlanak az egyik pólustól a másikig. Az elektromos töltéseknek ezt az áramlását nevezzük elektromos áramnak Ha a vezető egy állandó keresztmetszetű, többé-kevésbé egyenes fémdrót, akkor az elektromos tér a vezető belsejében állandó nagyságú és párhuzamos a

dróttal. Elektromos áram más testeben is létrejöhet. Ehhez mindenekelőtt szükséges az, hogy töltött részecskéket tartalmazzanak, amelyek a test belsejében szabadon mozoghatnak. Ezek a részecskék a testben hőmozgást végeznek, így az elektromos tér nélkül is rendelkeznek valamilyen v sebességgel. Az azonos előjelű töltéshordozók átlagos száma megegyezik, így az általuk létrehozott áram értéke nulla. Ha azonban a testben elektromos teret hozunk létre, akkor a töltéshordozók v sebességű rendezetlen mozgására egy u sebességű rendezett mozgás szuperponálódik. A sebesség így v + u. Mivel a <v>-k átlagértéke nulla, a töltéshordozók átlagsebessége <u>: <v+u>= <v>+<u>=<u>. Ebből következik, hogy az elektromos áramot úgy definiáljuk, mint az elektromos töltés rendezett mozgása. Az elektromos áram kvantitatív jellemzésére annak a töltésmennyiségnek a nagysága szolgál, amely a vezető

tekintetében vett f keresztmetszetén egységnyi idő alatt áthalad. Ezt nevezzük áramerősségnek vagy az áram intenzitásának ( I ). I = dQ/dt Elektromos áramot mind a pozitív, mind a negatív töltések mozgása létrehozhat. Megállapodás szerint, az áram irányán a pozitív töltések mozgásirányát, vagy a negatív töltések mozgásával ellentétes irányt értjük. Így I = dQ+/dt +|dQ-|/dt Amennyiben az áram intenzitása időben állandó, és a vezető bármely keresztmetszetén ugyanaz, akkor az áramot stacionárius vagy egyenáramnak nevezzük. Az ármerősség SI-egysége az 1C/s, amelyet 1 ampernek ( A ) hívunk. Ha egy kiterjedt vezető belsejében egy adott f felületen átfolyó elektromos áram a felület mentén nem egyenletesen oszlik el, akkor az elektromos áramot az I áramerősség helyett a J áramsűrűségi-vektorral jellemezzük. Az f felület egy adott pontjában a J vektornak anagysága a töltéshordozók mozgási irányára merőlegesen

felvett df felületen keresztülfolyó dI áramerősségnek és a df felületnek a hányadosával egyenlő: J = dI/df = Q/dfdt. A J vektor iránya megegyezik az adott pontban a pozitív töltéshordozók mozgásának irányával. A J vektor mint a hely függvénye egy vektorteret határoz meg, amely áramvonalakkal (Jvonalakkal )hasonlóan szemléltethető, mint az E elektromos vektortér az erővonalakkal. A J és I között a következő összefüggés írható fel: I = ∫ Jdf, f vagyis az I áramerősség a J áramsűrűség-vektornak az f felületén átmenő fluxusa. Ohm törvénye és az ellenállás A T telep áramkörbe kapcsolt celláinak a számát változtatva, változtassuk az áramkörben lévő homogén fémes vezető szakasz a és b pontja közötti φ a – φ b = V potenciálkülönbséget vagy feszültséget, s közben mérjük a vezetőn átfolyó I áramerősséget. A kísérletek szerint az I áramerősség arányos a V feszültséggel: I ~ V. Kapcsoljunk most

az áramkörbe különböző anyagú, de azonos hosszúságú és keresztmetszetű fémes vezetőszakaszokat, és mérjük a rajtuk áthaladó I áramerősséget. A kísérletek azt mutatták, hogy a V/I=R hányados adott értéke egy adott fémes vezetőre mindig ugyanaz, de a különbözőkre más és más. Ezt a hányadost a vezető ellenállásának nevezzük. Ohm törvénye: egy homogén fémes vezetőben folyó áram erőssége arányos a vezető két vége közti feszültséggel. Másik megfogalmazás: ha homogén vezetőben I intenzitású áram folyik, a vezető két vége között az I-vel arányos V = IR feszültség áll fenn, feltéve, hogy a vezető hőmérsékletét állandó értéken tartjuk. A G = 1/R vezetőképesség bevezetésével a törvény így is felírható: I = GV. Az R ellenállás SIegysége az 1 V/A, amelyet 1 ohmnak ( Ω ) nevezünk A G=1/R vezetőlépesség SI-egysége: 1 siemens ( S ) = 1 Ω-1 = 1 A/V. Különböző hosszúságú, keresztmetszetű és

anyagi minőségű homogén vezetők ellenállását meghatározva azt kapjuk, hogy egy lineáris vezető ellenállása arányos a hosszúsággal és fordítva arányos a keresztmetszettel: R = ρ * l/f , ahol a ρ arányossági tényező a vezető méreteitől független, az anyagi minőségre jellemző állandó, s amelyet fajlagos ( specifikus ) ellenállásnak nevezünk. A ρ SI-egysége 1 Ωm A fajlagos ellenállás reciproka a fajlagos vezetőképesség: σ = 1/ ρ , amelynek SI-egysége a 1Q-1m-1, vagy 1 S/m. Ezek fajlagos ellenállás és vezetőképesség a legfontosabb anyagállandók közé tartoznak. Ohm törvény differenciált alakja Az izotrop vezetőben a töltéshordozók rendezett iránya az E vektor irányába történik, így a J és E vektorok iránya minden pontban megegyezik. Gondolatban válasszuk ki a P pont környezetében egy elemi hengert, amelynek alkotói legyenek párhuzamosak J és E vektorokkal. Ekkor a henger keresztmetszetén keresztülfolyó áram:

Jdf, a henger végei között a feszültség: Edl, s végül a henger ellenállása: ρdl/df. Ohm törvényét alkalmazva azt kapjuk, hogy : Jdf = ( df/ ρdl ) * Edl, vagy J = 1/ ρ E. Mivel J és E egy irányúak, azt írhatjuk, hogy : J = 1/ ρ * E = σE. Ez az egyenlet Ohm törvényét differenciált alakban fejezi ki Ellenállás hőmérsékletfüggése Az anyagok elektromos vezetőképességét jellemző ρ fajlagos ellenállás vagy σ vezetőképesség nagyságát az anyag kémiai szerkezete és a környezeti feltételek, pl. hőmérséklet határozza meg. Egyszerű kísérletek alapján meggyőződhetünk, hogy az anyagok ellenállása függ a hőmérséklettől. Növekvő hőmérséklettel a fémek ellenállása nő, a széné, a félvezetőké és az elektrolitoké csökken. Közönséges hőmérsékleten és nem túl nagy intervallumban a legtöbb fém ρ fajlagos ellenállásának relatív változása igen jó közelítéssel arányos a hőmérsékletváltozással: ( ρ t

– ρ 0 )/ ρ 0 = α * ( T – T 0 ) Vagy ρ t = ρ 0 ( 1 + α*[ T – T 0 ] ), ahol ρ t , illetve ρ 0 a fajlagos ellenállás értéke T, illetve valamilyen standard T 0 hőmérsékleten, α pedig az ellenállás hőmérsékleti tényezője ( temperatúra – koefficiens ). Mivel α értéke függ a hőmérséklettől, ezért fontos tudnunk, hogy egy adott α érték milyen hőmérsékleti intervallumban érvényes. Ha nagy hőmérsékleti tartományról van szó, akkor a fenti összefüggések már nem érvényesek: ρt kifejezéébe négyzetével és köbével arányos tagok is belépnek : ρ t = ρ 0 * ( 1 + αT + βT2 + γT3 ), ahol β és γ együtthatók általában igen kicsinyek, ha azonban a T nagy, akkor a ρt kifejezésében a megfelelő tagok jelentőssé válnak. A fémek fajlagos ellenállása T 0 esetben egy véges ρ m értékhez tart, vagyis nagyon alacsony hőmérsékleten a fémek egy ún. maradék-ellenállásal rendelkeznek. Ez a ρ m érték

nagymértékben függ az anyag tisztaságától, megjegyezzük, hogy egy tökéletesen tiszta és ideálisan szabályos kristályrácsú fém ρ fajlagos ellenállása eltűnne. Bizonyos fémek, ötvözetek, újabban fém-oxidokból készült egyes kerámiaanyagok meglepő vezetési viselkedést mutatnak: hűtéskor az ellenállásuk egy meghatározott, az anyagra jellemző hőmérsékleten ( T e kritikus hőmérséklet ) ugrásszerűen megváltozik, mérhetetlenül kicsinnyé, gyakorlatilag nullává válik. Ezt a jelenséget, amelyet szupravezetésnek hívunk, 1911-ben fedezte fel Onnes. Ő azt találta, hogy a higany elektromos ellenállása hirtelen öt nagyságrenddel csökken, amikor 4,2 K alá hűtik. Később kimutatták, hogy megfelelően alacsony hőmérsékleten számos fém mutat ugrásszerű ellenállás csökkenést. Mostanában már sikerült csinálni magas hőmérsékletű szupravezető kerámiákat, melyek kritikus hőmérséklete meghaladja a 100 K-t. A félvezető

anyagok ρ fajlagos ellenállása csökken, ha növeljük a hőmérséklete, és ezt a csökkenést exponenciális törvény írja le: ρ ~ e –B/T ,ahol B a félvezetőre jellemző, a hőmérséklettől gyengén függő mennyiség. Különböző anyagok elektromos ellenállásának a hőmérséklettel való változása felhasználható gyakorlati célokra. Az elektromos hőmérő vagy ellenállás-hőmérő fő része a rendszerint igen vékony platinadrótból készült, kvarcüvegbe forrasztott spirális, ennek ellenállását megmérve, a platinára vonatkozó ρ = ρ( T ) függvény ismeretében a kérdéses hőmérséklet meghatározható. A hősugárzás mérésére használatos bolométer: nagyon vékony bekormozott platinafólia, amely a ráeső sugárzás hatására felmelegszik, és az így létrejövő ellenállás-változásból a sugárzás erősségére lehet következtetni. Félvezetők nagy hőmérsékleti tényezőjét használják ki a termisztoroknál. Ezeket a

különböző alakban és méretben, különböző félvezető anyagokból készült hőmérsékletfüggő ellenállásokat a tudomány és a gyakorlati élet számos területén alkalmazzák. A szupravezetők azon tulajdonsága, hogy a kritikus hőmérséklet alatt a fajlagos ellenállásuk elhanyagolható, szintén sok gyakorlati alkalmazásra kínál lehetőséget. Ohm törvénye mikroszkopikus értelmezése Abból az elképzelésből kiindulva, hogy a fémben szabad elektronok vannak, Drude kidolgozta a fémek klasszikus elektronelméletét, amit később Lorentz továbbfejlesztett. Drude feltételezte, hogy a fémben a szabad elektronok az ideális gáz molekuláihoz hasonlóan viselkednek. Az ütközések között teljesen szabadon mozogva, átlagban egy bizonyos l utat tesznek meg. Valójában, a gáz molekuláitól eltérően, az elektronok nem elsősorban egymással, hanem a fém kristályrácsát képző ionokkal ütköznek. Ezek az ütközések az elektrongáz és a

kristályrács között termikus egyensúlyt létesítenek. Feltételezve, hogy gázok kinetikus elméletének eredményei kiterjeszthetők az elektrongázra, az elektronok termikus mozgásának átlagsebességét a következő formula alapján becsülhetjük meg: < v > = √8kT/πm . Ha elektromos teret kapcsolunk fémre, akkor az elektronok < u > átlagsebességű rendezett mozgása rászuperponálódik < v > átlagsebességű átlagos termikus mozgásra. A J = en< u > összefüggés segítségével egyszerűen megbecsülhetjük <u> értékét. J nagy értékeinél is, a töltések rendezett mozgásának <u> átlagsebessége kb. (1/108)- szorosa a termikus mozgás <v> átlagsebességének Ily módon számításunkban a |v+u| eredő sebességet helyettesíthetjük a hőmozgás |v| sebességével. Határozzuk meg az elektronok kinetikus energiájának átlagértékében az elektromos tér hatására bekövetkezett változást. Az eredő

sebességek négyzetének átlaga a következőképpen adható meg: <(v+u)2> = <v2 + 2vu + u2> = <v2> + <2vu> + <u2>. Mivel az az esemény, hogy az elektronok termikus mozgásának sebessége v érétket vesz, statisztikailag független attól, hogy a rendezett mozgás sebessége u, ezért valószínűségek szorzási tétele értelmében : <vu>= <v><u>. A <v> azonban nulla, így a második tag eltűnik, vagyis azt kapjuk, hogy <(v+u)2> = <v2>+<u2>. Ebből következik, hogy a rendezett mozgás az elektronok E k kinetikus energiáját a következő értékkel növeli: <∆E k > = m<u2>/2. Drude azt feltételezte, hogy amikor egy elektron ütközik a kristályrács ionjával, akkor ez elektron az általa szerzett járulékos energiát átadja az ionnak, és ily módon az ütközés eredményeként elveszíti az u sebességét. Tegyük fel, hogy az elektront gyorsító E tér homogén. Ekkor a tér

hatása az elektronra: a = eE/m nagyságú állandó gyorsulásra tesz szert, és útjának végén a rendezett mozgásnak a sebessége átlagban a következő értéket veszi fel: u max = ( eE/m ) * τ, ahol τ azt az időt jelenti, amely az elektronnak a rács ionjával való két egymást követő ütközése között átlagban eltelik. Nem vette figyelembe az elektronok sebesség szerinti eloszlását és minden elektronhoz ugyanazt a ν sebességértéket rendelte. Ilyneközelítésben: τ = l / ν Ezt a τ értéket beírva az előbbi egyenletbe azt kapjuk, hogy : u max = eEl/m ν. Mivel az elektron u sebessége az l út megtétele során lineárisan változik, ezért átlagértéke a maximális értékének a felével egyenlő: <u> = ½ u max = eEl/2m ν. Behelyettesítve ezt az értéket a J = en<u> képletbe azt kapjuk, hogy : J = (ne2l/2m ν) * E. Azt találtuk tehát, hogy az áramsűrűség arányos a térerősséggel. Ez pedig éppen Ohm törvényét fejezi ki.

Összehasonlítva az előbbi egyenletet a J=σE differenciális Ohm törvénnyel arra a következtetésre jutunk, hogy : σ = ne2l/2m ν = en * ( e τ/2m ). Ebből az is látszik, ha az elektronok nem ütköznének a kristályrácsot alkotó ionokkal, akkor az l szabad úthosszuk végtelen nagy lenne. Ily módon a klasszikus felfogás, illetve értelmezés szerint a fémek ellenállása a szabad elektronjaik és a rácspontjaikban lévő ionok közötti kölcsönhatásoknak tulajdonítható. 6. tétel Az elektromotoros erő Az idegen erőket azzal a munkával jellemezhetjük, amelyet az áramkör mentén a töltések szállításakor végeznek. Azt a mennyiséget, amelyik számértékileg egyenlő az idegen erőknek a pozitív egységnyi töltésen végzett munkájával E elektromotoros erőnek (e.me) nevezzük Ennélfogva, ha az idegen erők a Q töltésen W munkát végeznek, akkor : E = W/Q. Eszerint sz elektromotoros erő dimenziója megegyezik a potenciál dimenziójával, így

E-t ugyanolyan egységekben mérjük, mint φ-t, azaz voltban. Az idegen erőknek az áramkör1-2 végzett munkájára tehát a következő kifejezést írhatjuk fel: 2 2 W 12 = ∫ F i dl = Q ∫ E*dl. 1 1 Elosztva ezt a munkát Q-val, az 1-2 szakaszon ható elektromotoros erőt kapjuk : 2 E12 = ∫ E*dl. 1 Zárt áramkörre vonatkozóan az elektromotoros erőt az alábbi formula szolgáltatja: E = ∫ E*dl. Ha a Q töltésre az F i = Q E* idegen erőn kívül az F e = QE elektrosztatikus erő is hat, akkor az F eredő erő: F = F e + F i = Q * ( E + E ). Az F erőnek a Q töltésen végzett munkáját a következő kifejezés adja meg: 2 2 W 12 = Q ∫ Edl +Q ∫ E*dl = Q ( φ 1 – φ 2 ) + QE 12 . 1 1 Azt a mennyiséget, amely számértékileg egyenlő az F e és F i erők által a pozitív egységnyi töltésen végzett munkával az áramkör adott szakaszán fellépő V 12 feszültségesésnek vagy egyszerűen feszültségnek nevezzük : V 12 = φ 1 – φ 2 + E 12 . Az

áramkörnek olyan szakaszát, amelyen F i erők nem működnek, homogén vezetőszakasznak, azt a szakaszát pedig, amelyen a töltésekre F i erők is hatnak, inhomogén vezetőszakasznak nevezzük. Homogén vezető szakaszra: V 12 = φ 1 – φ 2 , azaz a feszültség megegyezik a vezetőszakasz két vége közötti potenciálkülönbséggel. Belső ellenállás és meghatározása A differenciális Ohm törvényt felhasználva, képezzük most az E elektrosztatikus térerősségnek a zárt áramkör mentén, illetve a forráson belüli gb és a forráson kívüli gk görbeszakaszokból álló ( g = gb + gk ) zárt görbe mentén vett integrálját, lineáris vezető esetén. A forráson kívül: 2 2 2 ∫ Edl = ∫ Jdl/σ = I ∫ ρdl/ f = IR k , 1 1 1 (g k ) (g k ) (g k ) Ahol R k a külső ellenállás. A forráson belül: 2 2 2 2 ∫Edl = ∫ (J/σt – E*)dl = I ∫ρ t dl/f - ∫ Edl = IR b – E, 1 1 1 1 (g b ) (g b ) (g b ) (g b ) Ahol R b a belső ellenállás. A zárt

áramkör forráson kívüli részén, az 1 és 2 kapcsok között eső feszültséget kapocsfeszültségnek nevezzük: V k = IR k = E – Ir b . Az R k = 0 határesetnek, az úgynevezett rövidzárnak megfelelő maximális áramerősség, illetve rövidzárási áram : I max = E / R b . Ha elektrométerrel vagy nagy ellenállású voltmérővel mérjük egy feszültségforrás sarkai közti Ve üresjárási feszültséget vagy E elektromotoros erőt és a Vk kapocsfeszültséget, akkor azt találjuk, hogy a Vk mindig kisebb a másik kettőnél. A feszültségforrásnak a rajta folyó árammal szemben ellenállása van. Ha az áramerősséget és a kapocsfeszültséget grafikonon ábrázoljuk, akkor az egyenesnek a feszültségtengellyel való metszéspontja az elektromotoros ert, az áramtengellyel adódó metszéspontja pedig a rövidzárási áramot adja. Az egyenes meredekségének ( két metszet hányadosa ) az abszolút értéke adja meg a belső ellenállást.

Potenciálviszonyok zárt áramkörben Egy zárt áramkör tartalmazzon E elektromotoros erejű és Rb belső ellenállású feszültségforrást és egy R k külső ellenállást. A feszültségforrás helyettesíthető egy olyan ún kétpólusú kapcsolási elemmel, amely E elektromotoros erejű, nulla belső ellenállású idealizált forrásból és az ezzel sorba kapcsolt R b ellenállásból áll. A forráson belüli feszültség két részből adódik össze. Az egyik V 0 feszültség ( E* ideiglenes térerősség hozza létre ), amelyet a forrás vagy a telepbelső feszültségének nevezünk, a másik a telep R b belső ellenállásán kialakuló IR b = V b potenciálesés. A forráson kívül, az áramkörben lévő vezetékek és fogyasztók ellenállását magában foglaló R k külső ellenálláson fellépő IR k = V k feszültséget kapocsfeszültségnek nevezzük. Kirchoff törvényei Első törvénye, csomóponttörvény Kirchoff első törvénye az

áramelágazási pontokra, vagy csomópontokra vonatkozik: stacionárius árammal átjárt hálózat bármely P csomópontjába befolyó áramok intenzitásának összege egyenlő a csomópontból kilépő áramok intenzitásának összegével; másképpen, a csomópontban találkozó áramok algebrai összege zérus : ∑ Ik = 0. K Az a törvény a kontinuitási egyenletből ( divJ = - ∂ρ/∂t ) következik, vagyis végső soron a töltésmegmaradás törvényéből. A P áramelágazási pontot vegyük körül egy zárt f Gauss felülettel. Ekkor, mivel stacionárius áramról van szó, ∫ Jdf = 0 f A J áramsűrűség az f felület mentén csak azokon a területeken különbözik nullától, ahol az f felületet az egyes vezetők átdöfik. Ha ez egyes vezetők keresztmetszeteit f 1 , f 2 , f k , -val jelöljük, akkor ∫ Jdf felületi integrál az egyes vezető-keresztmetszeteken vett integrálok összegeként írható fel: ∫ f Jdf = ∫ Jdf + f1 ∫ Jdf + + f2

∫ Jdf + = 0. fk Az elágazásban folyó áramok algebrai összege nulla. Második törvény, huroktörvény Kirchoff mésodik törvénye a következőképpen fogalmazható meg: stacionárius árammal átjárt hálózat bármely zárt áramkörében az egyes szakaszokhoz tartozó Ik R k feszültségek összege egyenlő az áramkörben ható E k elektromotoros erők összegével, ha az Ik -kat és az E k -kat egy választott körüljárási iránynak megfelelő előjellel látjuk el. Az Ik -t és az E k -t akkor vesszük pozitívnak, ha Ik és E k iránya azonos a körüljárási iránnyal. A huroktörvény általános alakja: ∑I k R k = ∑ E k . k k A huroktörvény, amelyet kísérletileg árammal és feszültségmérő műszerek segítségével igazolhatunk könnyen levezethető a differenciális Ohm törvény ρJ = E + E* általános alakjából. Ezt, az áramkört minden helyén érvényes egyenletet ugyanis az egész zárt áramkörre integrálva, és figyelembe véve a ∫

Edl = 0 alaptörvényt, azt kapjuk, hogy ∫ ρJdl = ∫ E*dl . A bal oldal éppen ∑I k R k –val egyenlő, a jobb oldal meg ∑ E k –val k k A huroktörvényt a következőképpen is fel lehet írni: ∑I k R k + ∑V 0k = 0 , vagyis elágazásos áramkörben bármely irányított hurok mentén az egyes k k szakaszok Ik R k ohmikus feszültségeinek és a hurkon elhelyezett telepek V 0k belső feszültségeinek algebrai összege nulla. Stacionárius áram munkája és teljesítménye Egy téglalap reprezentálja a stacionárius áramkör egy tetszőleges szakaszát, amelyen I áram folyik keresztül. Az 1 és 2 között a potenciálkülönbség φ 1 – φ 2 (φ 1 > φ 2 ) Ha a dobozba az 1 bemenetnél dt idő alatt dQ töltés lép be, akkor a 2 kimenetnél dt idő alatt ugyancsak dQ töltés lép ki. Tekintettel arra, hogy a dQ töltés a dobozon való áthaladásánál a magasabb φ 1 potenciálú helyről az alacsonyabb φ 2 potenciálú helyre került, elektromos

potenciális energiája dQ(φ 1 – φ 2 ) értékre csökken. Ez az energia a dobozban másfajta energiává alakul át A doboz belsejében dt idő alatt átadott dU energiát a következőképpen adhatjuk meg: dU = dQ(φ 1 – φ 2 ) = I * dt (φ 1 – φ 2 ). Ily módon az időegység alatt a doboznak átadott energia, vagyis a doboz által felvett teljesítmény : P = dU/dt = I(φ 1 – φ 2 ) = I V 12 . Az elektromos teljesítmény SI-egysége: 1 volt ( V ) * 1 amper ( A ) = 1 watt ( W ). A Joule-féle hő Foglalkozzunk először azzal a speciális esettel, amikor a fekete doboz egy R ellenállást képvisel. Mivel V 12 = IR, így a teljesítmény a következő alakot veszi fel: P = IV 12 = I2R = V2/R . Ha egy homogén, R ellenállású vezetékszakaszban az áram hatására semmilyen kémiai reakció nem játszódik le, akkor benne a t idő alatt végzett W = Pt = VIt munka teljesen hővé alakul. Ennek alapján tehát azt írhatjuk, hogy q = = VIt = I2Rt = V2/R *t , ahol q

joule-okban kifejezett hőmennyiséget jelenti. A fenti összefüggést Joule-törvénynek nevezték el. A Joule-hő miatti hőmérséklet-növekedés a felvett q hőmennyiségen kívül függ még a vezető hőkapacitásától, továbbá attól, hogy a hő a testtől milyen mértékben távozik el hővezetés, konvekció és sugárzás útján. 7. tétel Az elektromos áram mágneses tere A 19. század folyamán természetfilozófusok közül sokan kutatták a kapcsolatot az elektromosság és a mágnesesség között. Az első kutató, aki egyértelmű összefüggést mutatott ki az elektromosság és a mágnesesség között, Oersted volt. Oersted azt tapasztalta, hogy egy nyugvó elektromos töltés és a mágnes nem hat egymásra, ha azonban a mágnestűt helyezett egy olyan vezető alá, amiben áram folyt, akkor a mágnestűt kitérítette nyugalmából. Egy mágnestű egy mágnesrúd mágneses terének a hatására kitér, így az áram a mágnestűt kitérítő hatásából

arra következtethetünk, hogy az elektromos ára m is maga körül mágneses teret hoz létre, vagyis az elektromosság és a mágnesesség között kapcsolat van. Áramvezető mágneses térben Oersted kísérlete alapján az áramjárta vezető erőt fejt ki a mágnesre. Newton III törvénye alapján kell, hogy a mágnes is erőt fejtsen ki az áramvezetőre. Egy patkómágnes sarkai közé függesztett egyenes vezetőn áramot bocsátva a vezető elmozdul a mágneses tér és az áram irányára merőlegesen. Megváltoztatva vagy B mágneses tér irányát, vagy az I áram irányát, ellentétes lesz az elmozdulás is, azaz az F erő iránya is. Pontos mérésekkel megállapítható, hogy a homogén mágneses térben lévő egyenes áramvezetőre ható F erő nagysága arányos a vezetőben folyó I áramerősséggel, a vezető mágneses terében lévő l hosszúságával és a mágneses indukció B nagyságával. Tapasztalat szerint az F nagysága akkor a legnagyobb, ha a vezető

merőleges a B vonalakra, és nem lép fel erőhatás, ha a vezető párhuzamos helyzetű a B vonalakkal. Abban az esetben, ha a vezető, illetve a vezetőben folyó áram iránya a mágneses indukcióvonalak irányával Θ szöget zár be, az erő sin Θ –val arányos. Összegezve: F = k*IlB sin Θ . Ez az összefüggés felhasználható B definíciójára Legyen k = 1, ekkor: F = I*lB sin Θ. Ha a vezető drót merőleges a mágneses térre (Θ = 90˚ ), akkor az erő nagysága F = I l B. Ha a drót párhuzamos a térrel, akkor az erő nulla Ezután a B mágneses indukcióvektort úgy definiálhatjuk, hogy a B iránya az az irány, amelyikben az áramot vivő egyenes szakaszra ható erő nulla. B nagysága : B = F max / Il, ahol F max az l hosszúságú áramvezetőre ható erő maximális értékét jelenti. A B mágneses indukcióvektor SI-egysége az 1 N / Am, amelyet 1 teslának ( T ) nevezünk. 1 tesla = 1 T =1 N / Am Mágneses fluxus Valamely df felületen

keresztülhaladó d φ mágneses fluxust az elektromoshoz hasonlóan a következőképpen definiáljuk: d φ = B df = B cos Θ df = Bdf. A teljes f felületen átmenő fluxust tehát a következőképpen határozhatjuk meg: φ = ∫ Bdf . Abban a speciális esetben, ha az f egy síkfelület és a rajta átmenő B mágneses tér homogén, akkor : φ = B f cos Θ, vagy ha B merőleges is a felületre: φ = B f. A mágneses fluxus egysége 1Tm2 , amelyet 1 webbernek ( Wb ) nevezünk. Ha df merőleges a mágneses indukcióvonalra, akkor B = d φ / df Ezek alapján a B egységét, a teslát a következőképpen is megadhatjuk: 1 T = 1 Wb/ m2 . Megjegyezzük, hogy B-t gyakran mágneses fluxussűrűségnek is nevezzük. 8. tétel Áramhurok mágneses térben Az áramot szállító vezetőhurokra a mágneses tér általános esetben nemcsak erőt gyakorol, hanem forgatónyomatékot is. A mágneses tér által egy áramelemre kifejtett dF = IdlXB erőnek az ismeretében számítsuk ki, hogy

mekkora erő, illetve forgatónyomaték hat az áramvezető keretre, amelynek síkja a B homogén mágneses tér irányával szöget zár be. Az áramjárta vezetőkeret síkjára merőleges pozitív n normális vektor zárjon be Θ szöget a B vektorral. Az n vektor olyan irányú, hogy abból az irányból nézve, a keretben folyó áram iránya az óramutató járásával ellentétes. A merev vezetőkeret két a hosszúságú oldalára, az F = Idl X B összefüggés szerint a rajz síkjára merőleges F a és –F a erők hatnak, amelyek nagysága IaB. Ez az erőpár a következő nagyságú forgatónyomatékot fejti ki: M = I*aBsin Θ = IBfsin Θ , ahol f = ab a téglalap területét jelenti. A b oldalakra ható és a keret síkjába eső F b és –F b erők kompenzálják egymást. Ha Θ = 90˚, akkor az előbbi képlet alapján a forgatónyomaték maximális értékű: M max = BIf .Abban az esetben, ha Θ = 0˚, akkor az áramjárta vezetőkeretre nem hat forgatónyomaték. M =

0 Ha az egyetlen menetből álló vezetőkeret helyett N számú menetből álló, illetve Nf menetfelületű tekercset viszünk a homogén mágneses térbe, akkor a tekercsre ható forgatónyomatékot a következő képlet alapján kapjuk meg: M = I*NfBsin Θ . Az Nf menetfelület a pozitív normális vektor irányába mutató Nf vektornak tekintve, a forgatónyomaték a következő vektori szorzat alakjában írhatjuk fel: M = I * ( Nf X B ). A p m = INf vektormennyiséget a tekercs mágneses momentumának nevezzük. Ennek felhasználásával M = p m X B Ha az M = I*NfBsin Θ formulában Θ = 90˚, akkor a lapos tekercsre ható forgatónyomaték maximális értékű : M max = INfB . Ebből B = M max /IfN = Mmax/p m A B irányát a vezetőtekercs n normális vektorának az iránya adja meg, abban az esetben, amikor a mágneses térben lévő vezetőkeretre nem hat forgatónyomaték. Áramhurok egyensúlyi helyzete homogén mágneses térben Vizsgáljuk meg, hogy az áramhurok

mikor foglal el stabil egyensúlyi helyzetet a homogén mágneses térben. Mindenek előtt határozzuk mag p m és B vektoroknak azt az orientációját, amelyhez az áramhurok minimális potenciális energiája tarozik. Ahhoz hogy p m és B vektorok közötti α szöget dα – val megnöveljük, a mágneses térben lévő áramhurokra ható M forgatónyomaték ellenében a következő nagyságú munkát kell végeznünk: dW = Mdα = p m *Bsinαdα. Ez a munka a mágnese térben lévő áramhurok U potenciális energiáját dU=dW – vel növeli meg. Tehát a dU = dW = p m *Bsinαdα kifejezést integráljuk α szerint, akkor megkapjuk a potenciális energia kifejezését: U = ∫ p m *Bsinαdα = -p m Bcosα + C. Látható, hogy az U potenciális energia akkor a maximális, ha cosα = 0, azaz ha α = π/2 . Az U maximális értékét nullának választva, C = 0 Ily módon U = -p m *Bcosα = -p m B. Azt kaptuk tehát, hogy a potenciális energia a p m és B vektorok párhuzamos

állása esetén lesz minimális. Következésképpen ez a helyzet felel meg az áramhurok mágneses térbeli stabilis egyensúlyi helyzetének. Ugyanolyan alakú, mint az E elektromos térben lévő p dipólmomentumú elektromos potenciáljának energiája. Áramhurok inhomogén elektromos térben Az egyszerűség kedvéért legyen az áramhurok kör alakú. Tegyük fel, hogy a mágneses térnek legnagyobb változása az x irányban. Mutassanak ebbe az irányba a p m és a B vektorok is Mivel inhomogén mágneses térről van szó: B ≠ const., és F = ∫ I ( dl X B ) ≠ 0 Az Idl áramelemre ható dF erő merőleges B-re, azaz dl-t metsző mágneses indukcióvonalra. Ennél fogva a különböző áramelemekre ható dF erők legyezőszerű kónuszos szimmetriát mutatnak. Az eredő F erő B növekedésének irányába mutat, és az áramhurkoz is ebbe az irányba igyekszik elhúzni. Ha megfordítjuk az áram irányát, akkor az eredő F erő iránya is megfordul, és az áramhurkot

B csökkenésének irányába húzza. Ha p m -nek B-hez viszonyított helyzetét állandónak vesszük, akkor az F eredő erő x irányú vetületét megkapjuk, ha az U = -p m *Bcosα = -p m B által adott potenciális energiát x szerint differenciáljuk: F x = - ∂U/∂x = pm * ( ∂B/∂x ) cos α. Tegyük fel, hogy a mágneses tér más irányokban csak gyengén változik. Ebben az esetben az erőnek más irányokra való betületei elhanyagolhatóak, azaz feltehetjük, hogy F = F x . Ily módon: F = p m * ( ∂B/∂x ) cos α. E szerint, inhomogén mágneses tértben az áramhurokra ható erő független az áramhurok mágneses momentumának a mágneses térhez viszonyított helyzetétől. Ha p m és B vektorok iránya megegyezik, akkor az erő pozitív, azaz B növekedésének irányába mutat. Ha pedig p m és B vektorok ellentétes irányúak, az erő negatív lesz, azaz B csökkenésének irányába mutat. Az F = p m * ( ∂B/∂x ) cos α erőn kívül hat még az

áramhurokra az inhomogén mágneses térben az M = ( p m X B ) forgatónyomaték is. Az abszolút amper Az SI egységrendszerben az F = k * ( 2I1 I 2 /b ) összefüggést használjuk fel az áramerősség egységének, az ún. abszolút ampernek ( 1 A) a definiálására: két, egymással párhuzamos, egyenes, végtelen hosszúságú és elhanyagolhatóan kicsi kör keresztmetszetű vezetőben, amelyek vákuumban egymástól 1 m távolságban helyezkednek el, akkor folyik 1 A erősségű áram, ha ennek hatása méterenként 2*10-7 erő hat rájuk. Ebből a definícióból következik, hogy az amper egy méterrúd és egy rugósmérleg segítségével megadható. Mozgó elektromos töltés mágneses térben Láttuk, hogy egy áram átjárta vezető drótra a mágneses tér erőhatást fejt ki. Mivel a drótban az áram mozgó elektromos töltésekből áll, várható, hogy a szabadon mozgó töltött részecskére is erő hat, ha azok mágneses téren haladnak keresztül . Ezt az

erőt eddigi ismereteink lapján meg is tudjuk határozni. Ha a mágneses térben egy adott P ponton t idő alatt N számú, egyenként Q töltésű részecske halad keresztül azonos irányban és azonos sebességgel, akkor az általuk képviselt áramerősség: I = NQ/t . A v sebességű Q töltés tegyen meg l = vt utat a B indukciójú térben. Ekkor az N számú részecskére ható erő : F = I (l X B ) = NQ/t *( vt ) X B = NQ ( v X B ). Ily módon az egy részecskére ható erő : F = Q( v X B ). Ezt az erőt mágneses Lorentz erőnek nevezzük Az F = Q( v X B ) összefüggés a megfigyelt kísérleti eredményekkel teljes megegyezésben van. Az F erő nagysága: F = Q*vBsin θ , ahol θ a v és B közötti szöget jelenti. A mágneses erő eltűnik, ha v = 0, továbbá, ha v paralel vagy antiparalel a B vektor irányával. A sebességre és a mágneses indukcióra merőleges eltérítő erő maximális, ha v merőleges B-re: F max = Q*vB. Amennyiben a Q töltés negatív, F

erő iránya megfordul. Az F mágneses Lorentz erő mindig merőleges a töltött részecske v sebességére, ezért a részecskén az F erő nem végez munkát. Ez azt jelenti, hogy a mágneses tér egy mozgó töltött részecske kinetikus energiáját nem változtatja meg; a részecske csak oldalirányban térülhet el. Ha a v sebességgel mozgó Q töltésű részecskére B mágneses téren kívül még E elektromos tér is hat, akkor a részecskére ható teljes Lorentz erő: F = Q( E + v X B ). 9. tétel Gerjesztési törvény Az áram és mágneses tere közötti kapcsolatot a Biot-Savart törvényen kívül máshogy is meglehet fogalmazni. Tekintsünk egy igen hosszú, egyenes áramvezetőt Ennek a mágneses erővonalai koncentrikus körök, és a H = ( 1/c ) * ( 2I/R ) szerint a vezetőtől R távolságra lévő H = K * ( 2I/R ), ahol K = 1/c, illetve K = 1/ 4π. A vezetőt vegyük körül egy zárt görbével, és képezzük ennek mentén Hs érintőleges komponensnek a

görbe egyszeri teljes körüljárására vonatkozó integrálját, az ∫ Hsds mágneses körfeszültséget. Ha zárt görbeként az R sugarú kört választjuk, akkor az erővonalakéval megegyező körüljárási irányban vett integrál nyilvánvalóan, Hs = H = K * ( 2I/R ) miatt : K( 2I/R )2πR = K 4πl, azaz ∫ H s ds = ( 4π/c ) * I (CGS) ill. ∫ H s ds = I (MKSA) A hosszú egyenes vezetőre vonatkozó tétel, amelyet a Biot-Savart törvényből kaptunk, messzemenően általánosítható. Tekintsünk egy I 1 ,I2 ,I3 ,I 4 áramokkal átjárt bármilyen alakú vezetőt. Az első hármat vegyük körbe egy tetszőleges g görbével Az említett áramrendszerből származó H térerősség a g görbe bármely pontjában mérhető, elegendően pontos H-érték ismeretében a ∫ H s ds kellő pontossággal meghatározható. Az ábrán megjelölt körüljárási irány választva, az adódik, hogy ∫ H s ds = I 1 – I 2 + I 4 . Általánosabban a jobb oldalon álló ∑ I k

összegben azok az áramok veendők pozitív előjellel, amelyek a g görbén átfektetett f felületen a jobbcsavar szabálynak megfelelően n pozitív normális irányában haladnak át. Eredményünk az alapvetően fontos Ampére féle gerjesztési törvény: ill. ∫ H s ds = ∑I k (MKSA), azaz a mágneses ∫ H s ds = ( 4π/c ) * ∑Ik (CGS) térerősségnek egy tetszőleges g zárt görbe egyszeri körüljárásánál vett integrálja arányos, illetve egyenlő a görbe által határolt ( tetszőleges ) f felületen áthaladó áramok algebrai összegével;ez a törvény inhomogén közegekben is érvényes. A g görbével jelölt f felület df elemén, az e helyhez tartotó J áramsűrűség normális komponensét J n -nel jelölve, a J n df erősségű áram, az egész f felületen pedig ∫ J n df erősségű áram halad át. (f) Így a gerjesztési törvény az áramsűrűséggel kifejezett alakja: ill. ∫ H s ds = ∫ J n df ∫ H s ds = ( 4π/c ) * ∫ J n df (f) A

permanens mágnesek terében bármely zárt görbére vonatkozólag vektortér örvénymentes, de ∫ ∫ (f) H s ds = 0, és így ez a H H s ds = ( 4π/c ) * ∑I k alapján a H mágneses tere örvénytér, amelynek örvényeit éppen az áramok jelentik. A Biot-Savart-törvény Közvetlenül Oersted felfedezése után Biot és Savart különböző alakú, vékony vezetőkben folyó áramok mágneses terét tanulmányozta. Az általuk nyert nagyszámú kísérleti adatot analizálva Laplace azt találta, hogy bármilyen áramvezető mágneses terét egy tetszőleges B pontban úgy számolhatjuk ki, hogy az áramvezető Idl áramelemvektoroktól származó, és az adott P pontban fellépő dB mágneses indukciókat vektorilag összegezzük. Adott dl vonalelemvektor iránya megegyezik a J áramsűrűségvektornak, illetve az I-nek az irányával. Laplace gondolatmenete szerint az I áramot hordozó, tetszőleges alakú lineáris áramvezetőnek egy Idl árameleme a tőle r

távolságban lévő P pontban a következő dB mágneses indukciót hozza létre: dB = ( μ 0 /4π ) * I( dl X r^)/ r2 , ahol r^ az r vektor irányába mutató egységvektort ( r^ = r/r) jelenti, μ0 a vákuumpermeabilitás. A fenti formulában az arányossági tényező μ 0 /4π alakban valófelvétele azt biztosítja, hogy az elektromágnesség alapvető törvényeit egyszerű formában is felírhatjuk. A fenti összefüggést a Biot-Savart-Laplace, vagy röviden Biot-Savart- törvénynek nevezzük. A dB nagysága ez szerint : dB = ( μ 0 /4π ) * ( Idlsin Θ/r2 ), ahol Θ a dl és r vektorok által bezárt szöget jelenti. A dB iránya a jobbcsavar-szabálynak megfelelően a rajz síkjára merőlegesen befelé mutat. A Biot-Savart törvény elemi törvény, amely kísérletielg közvetlenül nem igazolható. Az dB = ( μ 0 /4π ) * I( dl X r^)/ r2 törvény alapján egy véges hosszúdágú áramvezető által létesített mágneses indukciót a tér egy tetszőleges potnjában a

következő integrálszámítással lehet megkapni: B = ∫ dB = ( μ 0 /4π ) * I ∫ ( dl X r^/r3 ), ahol az integrálást az egész vezetőre ki kell terjesztenünk. Abban a speciális esetben, ha valamennyi Idl áramelemből származő dB iránya megegyezik, a mágneses indukció nagyágát a dB = ( μ 0 /4π ) * ( Idlsin Θ/r2 ) integrálja szolgáltatja: B = ( μ 0 /4π ) * I ∫ ( dl/r2 ) sin Θ. Mágneses dipólus Egy kicsiny áramhurkot mágneses dipólusnak nevezünk. A kicsiny annyit jelent, hogy a jurok mérete nagyon kicsi. Vagyis R << b, tehát: B = ( μ 0 /2π ) * ( If/b3 ). A köráram mágneses terének B indukciója tehát s távolság köbével arányosan csökken, hasonlóképpen, mint egy elektromos dipólus E elektromos térerősségének nagysága a dipólus tengelye mentén. A köráram p m = Inf = If mágneses dipólmomentumával a B = ( μ0/2π ) * ( If/b3 ) az alábbi alakban írható fel: B = ( μ 0 /4π ) * ( 2p m /b3 ). Mivel a pm és B vektorok

iránya megegyezik, ezért az előbbi formulát vektori alakban is felírhatjuk: B = B = ( μ 0 /4π ) * ( 2p m /b3 ). Ez az összefüggés azt mutatja, hogy a pm mágneses dipólmomentum az áramhurok nagyon fontos jellemzője, hiszen ismeretében meghatározhatjuk az áramhurok által létrehozott mágneses teret, másrészt pedig pm értéke megszabja az áramhurkok külső mágneses térben való viselkedését. Ha b = 0 , akkor a B = ( μ 0 /2π ) * ( If/b3 ) –ből a köráram O középpontjában fennálló B értéket kapjuk meg: B = ( μ 0 /4π ) * ( If/R3 ) . A Biot-Savart törvény alapján számolt eredmények teljes megegyezésben vannak a kísérleti eredményekkel. 10. tétel Mágneses tér az anyagban Az előzőleg feltételeztük, hogy az áramjárta vezetők vákuumban vannak. Ha az áramot vivő vezetők anyagban helyezkednek el, akkor a mágneses tér hatása megváltozik. Ennek az a magyarázata, hogy minden anyag mágneses tér hatása alatt mágneses

momentumra tesz szert ( mágnesezetté válik ). A testek mágnesezettségének szempontjából Ampére feltételezte, hogy az anyagok mágneses tulajdonságai az atomok vagy molekulák belsejében tartósan folyó zárt áramokra, a molekuláris áramokra vagy elemi köráramokra vezethetők vissza. Minden ilyen köráramnak mágneses momentuma van és mágneses teret hot létre. Az anyag nem mágneses állapotában a molekuláris áramok rendezetlenül helyezkednek el, ezért az általuk létesített mágneses tér eredője nulla. Mivel az egyes molekulák mágneses momentumainak orientációja is rendezetlen, ezért a test teljes mágneses momentuma is nulla. Mágneses tér hatására a molekulák mágneses momentumai kisebb vagy nagyobb mértékben rendeződnek, tengelyükkel a tér irányába állnak be, és így az anyag mágnesessé válik. Ebben az esetben a molekulák mágneses terei már többé nem kompenzálják egymást, és fellép egy B’ mágneses tér. Ily módon a

mágnesezettség által létrehozott B’ mágneses tér és a makroszkopikus vezetési áramok által előállított B0 mágneses tér egymásra szuperponálódva, az anyag belsejében a következő eredő mágneses indukció lép fel : B = B’ + B 0 . Ampére hipotézise közvetlenül érthetővé teszi, hogy egymástól elválasztható mágneses pólusok nincsenek, és arra is utal, hogy atomokban elektromos töltéseknek kell mozogniuk. A B’ térnek nincsenek forrásai. Így B = B’ + B 0 –lal adott B tér divergenciája nulla: divB = divB’ + divB 0 = 0 . Ennek megfelelően az integrálási alakot a következőképpen írhatjuk fel: ∫ Bdf = 0, f ahol f az anyag belsejében felvett tetszőleges alakú zár felületet jelent. A divB = 0, és a ∫ Bdf = 0 egyenletek tehát nem csak vákuumban lévő mágneses térre érvényesek, hanem az anyagban lévő mágneses térre is. Mágnesezettségi vektor Az anyag mágnesességét, illetve mágnesezettségét az anyag

térfogategységének a mágneses momentumával jellemezzük. Ezt a mennyiséget, amelyet a továbbiakban M-mel jelölünk, mágnesezettségi vektornak hívjuk. Ha egy anyag inhomogén módot mágnesezett, akkor a mágnesességet a következő kifejezés határozza meg: M = ( ∑ p m )/ ∆V , ∆V Ahol ∆V egy adott pont körül felvett végtelen kicsiny térfogatot jelent; p m -mel pedig egy molekula mágneses momentumát jelöltük. Az M mágnesezettség SI-egysége : 1 A/m Határozzuk meg, hogy milyen kapcsolat van a molekuláris áramok J mol sűrűsége és az M mágnesezettségi vektor között. Ebből a célból számítsuk ki egy g zárt görbe által meghatározott tetszőleges f felületen átmenő molekuláris áramok algebrai összegét, amelyet a molekuláris áramok sűrűségével a következőképpen fejezhetünk ki: az f felületen átmenő molekuláris áramok ∫ J mol df algebrai összege f Könnyen belátható, hogy a molekuláris áramok algebrai összege

csak azokat a molekuláris áramokat foglalja magában, amelyek a g görbére vannak felfűzve. Ugyanis azok az áramok, amelyek nem fűzhetők fel a g görbére, vagy egyáltalán nem metszik a zárt g görbe által határolt felületet, vagy kétszer metszik; egyszer az egyik irányban egyszer a másikban, így ezeknek az áramoknak az algebrai összegük nulla. Összességében ezen áramok nem járulnak hozzá a g görbe által körbefogott molekuláris áramok összegéhez. Mindenek előtt számítsuk ki a görbe dl vonalelemére felfűzhető molekuláris köráramok összegét, ha térfogategységenként a molekulák száma n, az M mágnesezettségi vektor α szöget zár be dl vektorral és fm egy Imol molekuláris köráram által határolt felület. Mindazok a molekuláris köráramok felfűzhetőek a dl vonalelemére, amelyek centrumai fmcosαdl térfogatú ferde hasáb belsejébe esnek. Ily módon: a dl vonalelemére felfűzött molekuláris áramok összege = Imol *nf m

cosαdl Mivel az I mol f m szorzat egy molekuláris köráram p m mágneses momentumával egyenlő, agyaz Imolfmn mennyiség a térfogategység mágnseses momentumát, vagyis az M mágnesezettségét jelenti. Figyelembe véve, hogy Imol *nf m cosαdl felírható Imol nf m cosαdl = Mdlcosα = Mdl, azt kapjuk, hogy: a dl vonalelemére felfűzött molekuláris áramok összege = Mdl , vagyis a g görbe által meghatározott tetszőleges f felületen átmenő molekuláris áramok algebrai összege: a g görbére felfűzött = ∫ Mdl molekuláris áramok összege Az ∫ J mol df és a f ∫ J mol df = f ∫ ∫ g Mdl jelentéséből következik: g Mdl , az egyenlet jobb oldalát Stokes-tétel segítségével átalakítva azt kapjuk: g ∫ J mol df = ∫ rotMdl f f Ennek az egyenletnek érvényesnek kell lennie tetszőleges f felületválasztásnál. Ez csak akkor lehetséges, ha az integranduszok a mágnesezett anyag minden pontjában megegyeznek, azaz: rotM = J mol . Azt

kaptuk tehát, eredményül, hogy a molekuláris áramsűrűséget a mágnesezettségi vektor rotációja határozza meg. A rotM = 0 azt jelenti, hogy az egyes molekulák molekulák molekuláris áramai úgy vannak orientálva, hogy átlagértékük nulla. Mágneses szuszceptibilitás és mágneses permeabilitás Egy anyag M mágnesezettsége függ a H térerősségtől és az anyag természetétől. A kísérletek szerint az anyagok széles körére érvényes a következő összefüggés: M = χ m H. Az χ m arányossági tényező az anyagra jellemző mennyiség, amelyet mágneses szuszceptibilitásnak nevezünk. Mivel H dimenziója megegyezik M dimenziójával, χ m dimenzió nélküli mennyiség. A vákuum mágneses szuszceptibilitása nulla, mivel csak abyag mágnesezhető. Az χ m pozitív és negatív értéket is felvehet, és nagysága csökken a hőmérséklet növekedésével. Írjuk be az M-re felírt összefüggést a H = ( B/μ 0 ) – M – be. Ekkor : H = ( B/μ 0 )

– χ m H, amiből H = B / μ 0 * ( 1 + χ m ), illetve B = μ 0 * ( 1 + χ m )H. A fenti két egyenletben szereplő 1 + χ m dimenzió nélküli mennyiséget relatív mágneses permeabilitásnak (μ r ), vagy egyszerűen permeabilitásnak nevezünk: μr = 1 + χm . Mivel χ m mágneses szuszceptibilitás pozitív és negatív értéket is felvehet, ennek megfelelően a μ r permeabilitás egynél nagyobb és kisebb értékű is lehet. A μ r alkalmazásával az előbbi képleteink így néznek ki: H = B / μ0 * μr ill. B = μ 0 * μ r H. Eszerint H mágneses térerősségvektor iránya megegyezik B mágneses indukcióvektor irányával, de nagysága μ 0 * μ r –szer kisebb, mint B nagysága. Anizotrop anyagokban azonban a H és a B iránya általában nem esik egybe. A μ0 * μ r mennyiséget abszolút permeabilitásnak (μ) szokás nevezni: μ = μ 0 * μ r . Vákuumban, μ r =1 és így μ 0 = μ Ez az oka, hogy μ 0 -t vákuumpermeabilitásnak hívjuk. Dia- és paramágneses

anyagok esetében a mérési módszerek általában az inhomogén mágneses térben fellépő erőhatáson alapszanak. A B és H vektorok viselkedése két közeg határfelületén A ∫ Bdf = 0 és a ∫ Hdl = 0 összefüggésekből könnyen megkaphatjuk azokat a feltételeket, amelyek B és H vektoroknak két egymással érintkező közeg elválasztó határfelületén teljesíteniük kell. A B és H normális komponenseinek viselkedése két közeg határfelületén Alkalmazzuk most a ∫ Bdf = 0 összefüggést a két közeg határfelületén felvett h magasságú kicsiny hengerre, amelyet f1 és f2 területű alap-, illetve fedőlat, valamint az fp felületű hengerpalást határon. Ekkor : ∫ Bdf + ∫ Bdf + ∫ Bdf = 0 1 2 p A h 0 határesetben: ∫ ( B 1n – B 2n ) = 0. f Mivel ez az integrál az f felület választásától függetlenül nulla, az integrandusznak el kell tűnnie, azaz B 1n = B 2n . A B vektor normális komponense tehát folytonosan megy át a két

közeg határán. A B = μ 0 * μ r H összefüggés alapján a fenti képlet a következőképpen írható fel: μ 0 * μ 1 H1n = μ 0 μ 2 H2n, amiből H 1n / H 2n = μ 2 / μ 1 , vagyis a két közeg határfelületénél a H vektor normális komponenseinek hányadosa a megfelelő mágneses permeabilitások hányadosának reciprokával egyenlő. A mágneses térerősség normális komponense tehát ugrik két különböző közeg határán. A B és H tangenciális komponenseinek viselkedése két közeg határfelületén Tegyük fel, hogy a két közeget elválasztó HF határfelületen nem folyik áram. Felhasználva a ∫ Hdl = ∑ Ik összeföggést erre az esetre, írjuk fel a H térerősség A 1 B1 BB2 A 2 AA 1 g k zárt görbén vett vonalintegrálját: B2 A2 A1 B1 ∫ Hdl + ∫ Hdl + ∫ Hdl + ∫ Hdl = 0. A1 B1 B2 A2 Ha az A 1 ,A 2 A, illetve B 1 ,B 2 B határmenetre térünk át, akkor a fenti összefüggés így néz ki: B ∫ ( H 1t – H 2t ) = 0. A Mivel az

integrál az AB vonalszakasz választásától függetlenül eltűnik, az integranduszoknak nullának kell lenniük, azaz : H 1t = H 2t . Azt kaptuk tehát eredményül ,hogy a két különböző közeg határfelületén a mágneses térerősség érintőleges komponense folytonosan halad át. A B = μ 0 * μ r H összefüggés alapján a fentit úgy is fel lehet írni: B 1t /μ 0 * μ 1 = B 2t / μ 0 μ 2 , amiből B 1t / B 2t = μ 1 / μ 2 . Eszerint a mágneses indukcióvektor érintőleges komponense ugrik a határfelületen. A H és B vonalak törési törvénye A B 1, illetve B2 vektorok ( vagy a H1, illetve H2 vektorok ) és a felület normálisa által bezárt α1 és α2 szögekre vonatkozóan felírhatjuk, hogy: tgα1/tgα2 = ( B1t / B1n) / ( B2t / B2n ) = ( H1t / H1n ) / ( H2t / H2n ). Mivel B 1n = B 2n és B 1t / B 2t = μ 1 / μ 2 , így tgα1/tgα2 = μ 1 / μ 2 . Ez az ún törési törvény azt fejezi ki, hogy a B vonalak a kisebb permeabilitású közegből a nagyobb

permeabilitású közegbe való áthaladáskor a felület normálisától elhajlanak. A dia-, para-, és ferromágneses anyagok jellemzői Diamágneses anyagok χm szuszceptibilitása a H térerősségtől független anyagállandó, vagyis az M mágnesezettség szigorúan arányos H-val. Mivel abszolútértékre nézve χm általában 10-5 nagyságrendű szám, ezért a μ r = 1 + χ m permeabilitás csak alig kisebb egynél. Az χ m nem függ a hőmérséklettől. A paramágneses anyagok χ m szuszceptibilitása szintén a H térerősségtől független anyagállandó. Értéke 10-5 nagyságrendű pozitív szám, így a μ r = 1 + χ m permeabilitás alig lezs bagyobb egynél. A T hőmérséklet növekedésével χ m értéke a tapasztalati úton talált χ m = C/T Curie-törvénynek megfelelően változik. C anyagra jellemző állandó A ferromágneses anyagok és a többi mágneses anyagok tulajdonságai között igen lényeges különbségek vannak. Az M és H közötti

kapcsolat fő jellegzetessége, hogy H növelésekor M csak bizonyos határig nő, ezen túl mágneses telítés következik be: M = Mt = állandó. A B értéke a B = μ 0 * H + μ 0 Mt = μ 0 H + állandó összefüggés szerint, lineárisan növekszik Hval. A vasban maradt Mr mágnes teszi lehetővé, hogy permanens mágnest állítsunk elő A hiszterézishuroknak megfelelő ciklikus mágnesezés során munkát kell végezni. Ez a munka az anyag belső energiáját növeli, ami az anyag hőmérsékletének emelkedésével jár. Az így fellépő hiszterézisveszteség alkotja az ún. vasveszteségek jelentős részét A ferromágneses anyag μ r permeabilitása a H térerősség függvénye. 11. tétel A giromágneses hányados A molekuláris áramok természete akkor vált világossá, amikor Rutherford kísérletileg megállapította, hogy az anyagok atomjai pozitív töltésű atommagokból és a körülöttük mozgó. Negatív töltésű elektronokból áll. Az elektronok

mozgását az atomokban a kvantummechanika törvényei határozzák meg. Ennek értelmében nem alkalmazhatjuk egy atomban lévő elektron mozgásának leírására a pálya szót. Mindazonáltal egy anyag diamágnesessége értelmezhető az atom nagyon egyszerű Bohr modelljével. E modell szerint az elektronok az atommag körül stacionárius körpályák mentén mozognak. Tegyük fel, hogy egy elektron v sebességgel mozog egy r sugarú körpályán. Ha ( -e ) az elektron töltése, T = 2πr / v pedig a magkörüli keringés periódusa, illetve v = 1/T a frekvenciája, akkor az elektronpálya mentén egy tetszőleges felületen 1 s alatt áthaladó töltésmennyiség, vagyis az áramerősség: I = e/T = e * v. Mivel az elektron töltése negatív, az áram iránya ellentétes az elektron mozgásának irányával. Az elektron által létesített köráram mágneses momentuma: pm = If = e * v r2 π = ( e v r )/ 2. Ezt a mágneses momentumot pálya mágneses momentumnak nevezzük.

A p m vektor iránya az áram irányával jobbcsavart képez. Az r sugarú pályán mozgó elektron impulzusmomentumának nagysága: N = mvr , ahol m az elektron tömegét jelenti. Az N vektort az elektron pálya-impulzusmomentumának nevezzük. Mivel az N vektor az elektron mozgási irányával képez jobbcsavart, ezért p m és N vektorok iránya ellentétes. Az elektron mágneses momentumának és az impulzusmomentumának a hányadosát nevezzük giromágneses ( forgási mágneses ) vagy magnetomechanikai hányadosnak. A körpályán mozgó elektron e két nyomatékának a hányadosára a következő értéket írhatjuk: γ = pm/N = - e/ 2m, azaz a giromágneses hányados univerzális állandókból összetett állandó. A formulában a negatív előjel a pm és N ellentétes irányára utal : pm = - γN. A γ = pm/N = - e/ 2m érvényes ellipszispályán mozgó elektronra is, és igaz sokelektronos atomokra is; ugyanis az e/m hányados értéke minden elektronra ugyanaz. A

kvantummechanika szerint az N pálya-impulzusmomentum meghatározott, diszkrét értéket h vehet fel, amelyek :  = = 1,05 * 10 -34 Js alapegység egész számú többszöröse lehet. A 2π γ = pm/N = - e/ 2m –nek megfelelően a pm pálya mágneses momentum is diszkrét értéket e vesz fel, amelyek a µ B = = 0,927 * 10 – 23 J/T ún. Bohr-féle magnetonnal mint elemi 2m mágneses momentummal adhatunk meg. Az elektronspin Ferromágneses anyagok mágnesezettségével, a Stern-Gerlach-kísérlettel, az anomális Zeeman-effektussal kapcsolatos kísérleti eredmények értékelése csak akkor vált értelmezhetővé, amikor Goudsmith és Uhlenbeck felállították az ún. elektronspin hipotézist E szerint az elektronnak saját-impulzusmomentuma ( spinje, N s ) és ettől elválaszthatatlan saját mágneses momentuma ( p ms ) van, amelyekre az alábbiak érvényesek. 1. Az elektron saját-impulzusmomentumának ( az elektronspinnek ) a nagysága ( ½  ) fele akkora, mint

az elektron keringéséből származó pálya-impulzusmomentumnak lehetséges legkisebb el nem tűnő értéke (  ). 2. Az elektron saját mágneses momentumának nagysága 1 Bohr-féle magneton: e . Ily módon, a saját mágneses momentumnak és a sajátµB = 2m impulzusmomentumnak a hányadosa kétszerese az elektron keringéséből adódó mágneses és impulzusmomentum hányadosának. Vagyis: p ms /N s = - e/m Ezt úgy is kifejezhetjük, hogy a spin mágneses hatás szempontjából kétszeresen számít. 3. Az elektron saját-impulzusmomentuma ( spinje ) mágneses térben csak kétféleképpen, a térrel paralel vagy antiparalel irányba állhat be, vagyis a spin komponense a tér irányában ½  vagy - ½  . A saját mágneses momentum vetülete pedig + µ B vagy - µ B értéke vehet fel. A Larmor - precesszió Egy mag körüli pályán mozgó elektron viselkedése külső B mágneses tér hatása alatt hasonló vonásokat mutat, mint egy pörgettyű viselkedése a

gravitációs erőtérben. Ha a p m a mágneses momentumú és N impulzusmomentumú elemi áramkör B homogén mágneses térbe kerül, a tér a köráramra: M f = p m X B forgatónyomatékot gyakorol amely p m et a tér irányába, az N vektort pedig a térrel ellentétes irányba törekszik beállítani. Az M f forgatónyomaték a p m és az N vektorok presszióját hozza létre a B vektor körül. Számítsuk ki a precesszió ω L szögsebességét. Az Ne vektor dt idő alatti növeledése: dN = M f * dt. Mivel dN vektor merőleges a B és N vektorok által meghatározott síkra, így |dN| = p m *Bsinαdt , ahol α a p m és a B vektorok által bezárt szöget jelenti. A B-n áthaladó és az N vektort tartalmazó sík dt idő alatt a B körül az alábbi dΘ szöggel fordul el : dΘ = |dN| / (N*sinα) = (p m Bsinαdt)/ (Nsinα) = ( p m /N ) Bdt. Ily módon a precesszió szögsebességét a következő összefüggés szolgáltatja: ω L = dΘ/dt = (p m /N)*B = γ B. Figyelembe

véve a p m /N = γ = - e/2m, azt kapjuk, hogy ω L = (e*B)/2m. A ω L az ún Larmorprecesszió frekvenciája vagy egyszerűen Larmor-frekvencia A fenti formula azt mutatja, hogy az ω L frekvencia nem függ sem a pálya B irányához viszonyított α hajlásszögétől, sem az elektron pályasugarától; következésképpen ω L minden elektronra nézve ugyanaz az érték. Lényegében ezt az eredményt fejezi ki Larmor tétel. E szerint: a B mágneses tér befolyása egy atom elektronrendszerének mozgására abban áll, hogy az egész elektronrendszer a B iránya körül ω L = eB/2m szögsebességgel forog. A ferromágneses tulajdonságok értelmezésének első kvantitatív elméletét Weis dolgozta ki. Weis feltételezte, hogy a ferromágneses anyag atomjai mágneses momentummal rendelkeznek és erőhatást gyakorolnak. Ezek a kölcsönhatási erők arra törekednek, hogy a szomszédos atomok mágneses momentumait egymással párhuzamosra állítsák. Az atom mágneses

momentumainak egy meghatározott irányba való beállása a ferromágneses anyag mágnesezettségére vezet. Weis elméletében az atomok között fellépő kölcsönhatási erők formálisan visszavezethetők egy effektív mágneses térre, amely a ferromágneses anyag atom ját is orientálja. Az effektív mágneses tér összetevődik az anyagban lévő közönséges makroszkopikus B mágneses térből és egy bizonyos hipotetikus molekuláris térből. Az utóbbi arányos a ferromágneses anyag M mágnesezettségével. Ezekből a feltételekből kiindulva, a Weis féle elmélet megmagyarázza a spontán mágnesezettséget, a Curie hőmérsékletet és a Curie-Weis törvényt. A Barkahusen-effektus 1. A doménszerkezet legközvetlenebb bizonyítékát a Bitter-féle próbák szolgáltatják Haa ferromágneses test gondosan csiszolt felületére nagyon finom magnetit por szuszpenzióját vékony rétegben felvisszük, akkor az igen apró ferromágneses szemcsék azon a helyeken

ülepednek le, sűrűsödnek össze, ahol a tér inhomogenitása igen nagy, azaz a különböző mágnesezettségű szomszédos tartományokat elválasztó görbék mentén. A domének határait kirajzoló porsávok egy mikroszkóp segítségével jól láthatók. 2. A doménszerkezet létezésének közvetett bizonyítékát szolgáltatja a Barkhaus-effektus megfigyelésén alapuló módszer. Ha egy ferromágneses mintához erős mágnest közelítünk, majd a mintától eltávolítjuk, akkor a minta mágnesezett lesz, illetve átmágneseződik. Az átmágneseződést minden doméntartományon belül a mágnesezettségi vektorának az irányának elfordulása vagy átbillenése kíséri. A domén mágnesezettségi vektorának az ilyen ugrásszerű elfordulásait és átbillenéseit Barkhausen-ugrásoknak nevezzük. A Barkhausenugrások úgy mutathatók ki, hogy egy V vasdrótot sokmenetű indukciós tekerccsel veszünk körül, és ennek végeit egy E erősítőn át egy H

hangszóróhoz kapcsoljuk. Ha a vasrúd mágnesezettségét egy mágnesrúd lassú ás folytonos közelítésével vagy távolításával megváltoztatjuk, akkor a hangszórón sistergő, suhogó hangot hallunk, jeléül annak, hogy a domén faleltolódásai vagy átfordulásai ugrásszerűen mennek végben Hangszóró helyett oszcilloszkópot alkalmazva, a Barkhausen-ugrásnak megfelelő, a képernyőn rendszertelenül változó feszültség-jelalakot figyelhetünk meg. A Bitter-féle próbára és a Barkhausenoszcillogarm segítségével megbecsülhető a domének átlagos lineáris mérete ás térfogata 12. tétel Az indukció alapjelenségei Az elektromosság és a mágnesesség kapcsolatát tekintve, az előzőekben láttuk, hogy egyrészt az elektromos áram mágneses teret hoz létre, másrészt, hogy a mágneses tér erőhatást gyakorol az elektromos áramra, illetve a mozgó töltésekre. Ezeknek a felfedezéseknek a birtokában, még a múlt század elején felmerült a

kérdés, hogy: ha az elektromos áramok mágneses teret hoznak létre, akkor vajon a mágneses terek előállíthatnak-e elektromos áramot. Először Faraday és Henry jutottak arra az eredményre, hogy lehet. Faraday abból a célból, hogy mágneses térből elektromos áramot hozzon létre, a következő kísérletet csinálta. Az 1 tekercs körébe egy K kapcsolót és egy T telepet, míg a 2 tekercs zárt körébe G galvanométert iktatott be. A mágneses indukció növelése céljából a két tekercset egy gyűrű alakú, közös vasmagra szerelte fel. Az elvárás szerint az 1 tekercsben folyó áram mágneses terének a 2. tekercsben áramot kellett volna létrehoznia Faraday azonban azt, hogy az 1. tekercsben folyó állandó áram mágneses tere a 2 tekercsben nem keltett áramot A 2 tekercs körében lévő galvanométer egy rövid ideig tartó áramot jelzett akkor, amikor Faraday az 1. tekercset a K kapcsolóval zárta, illetve nyomta; a galvanométer kitérése

záráskor és nyitáskor ellentétes volt. Faraday a kísérlete alapján arra a következtetésre jutott, hogy az állandó mágneses tér nem hoz létre áramot, de a változó mágneses tér áramot kelt. Abból, hogy a 2 tekercsen keresztülhaladó mágneses tér változásakor a 2. tekercsen áram lép fel, arra következtethetünk, hogy a 2. tekercs áramkörében az elektromotoros erő valamilyen forrása jelen van Azt mondhatjuk tehát, hogy a változó mágneses tér indukált elektromotoros erőt hoz létre. 1. Ha egy vezető két végét G galvanométerrel összekötjük, és a vezetőt a mágneses tér irányára merőlegesen elmozdítjuk, akkor a G az elmozdulás időtartama alatt áramot jelez. 2. Galvanométert tartalmazó zárt vezető tekercs belsejébe egy mágnesrudat betolva, a galvanométer mutatója kitér. 3. Galvanométert tartalmazó zárt vezetőtekercs közelében egy áramjárta vezetőtekercset mozgatva, a galvanométer kitér, közelítéskor és

távolításkor s kitérések ellentétes irányúak. 4. Elektromágnes pólusai között egy tekercset forgatva, a G1 és G2 fémgyűrűk és a K1 és K2 szénkefék közvetítésével a vezetőkörbe iktatott galvanométer jobbra-balra kitér. 5. Ha a körtekercs áramkörében a K kapcsolót nyitjuk vagy zárjuk, vagy ha az R ellenállás értékét változtatjuk, vagyis ha a körtekercsben változtatjuk az áram erősségét, akkor a tekercse hurkoló 2.tekercs körébe iktatott galvanométerkitér Faraday-féle indukció törvény A korábban ismertetett valamennyi kísérletben a lineáris zárt vezetőben indukált I áram erőssége annál nagyobbnak mutatkozik, minél gyorsabban változik a vezető által körülvett felületen átmenő Φ B = ∫ Bdf indukciófluxus, azaz minél nagyobb a ΦB-nek az időegységre eső megváltozása, azaz d Φ B /dt. Faraday vizsgálata szerint valóban fennáll az I ~ ( dΦB/dt)/R Az összefüggés tehát egyszerűbb, ha azt az indukált

áram helyett az azt létrehozó Ei ≡ RI elektromotoros erőre vonatkozólag mondjuk ki: E i ~ dΦ B /dt; a zárt vezetőben indukált elektromotoros erő arányos a vezető által körülvett felületen átmenő indukciófluxus időegységre eső megváltozásával. Így a Faraday-féle indukciós törvény matematikai alakja ( SI rendszerben ) E i = - dΦ B /dt , ahol E i -t voltban kapjuk, ha dΦ B /dt-t Wb/s-ben adjuk meg. Ha a vezetőkör N számú, akkor E i -re a következő kifejezést kapjuk: E i = - N*(dΦ B /dt) = dΨ/dt, ahol Ψ = NΦ B . Mivel Φ B = ∫ Bdf = ∫ B*cosΘdf ,ezért Faraday törvényét még az alábbi alakban is felírhatjuk: E i = - d/dt ∫ B*cosΘdf. Ebből látható, hogy elektromotoros erő kétféle módon is indukálódhat: egyrészt a B mágneses tér változása révén, másrészt a vezetőhurok által körülvett felületnek a változása, vagy a vezetőhurok mágneses térhez viszonyított orientációjának (Θ) változása révén. Lenz

törvénye A Faraday féle indukciós törvényt kifejező egyenletekben a mínusz előjel arra utal, hogy az indukált elektromotoros erő milyen irányú áramot kelt. A kísérletek azt mutatják, hogy az indukált elektromotoros erő mindig olyan irányú áramot kelt, hogy annak mágneses tere akadályozza a mágneses fluxusban fellépő változást. Ezt nevezzük Lenz törvénynek Indukció mozgó vezetőben Elektromotoros erő keletkezése mágneses térben mozgó vezetőben Az alábbi, konkrét esetben könnyen meggyőződhetünk arról, hogy mágneses térben mozgó vezetőben Ei elektromotorod erőt az F = Q( v X B) Lorentz erő hozza létre, és az E i = dΦ B /dt indukció törvény az F = Q( v X B) erőtörvényre vezethető vissza. Tegyük fel, hogy AB = l hosszúságú vezetődarab egy └ ┘ alakú nyugvó vezető mentén mozog súrlódás nélkül, a homogén és időben állandó B indukciójú mágneses térre merőleges irányban, v sebességgel. Határozzuk

meg az └ ┘ alakú vezetőből és az l hosszúságú mozgó egyenes vezetődarabból álló, ABCD zárt vezetőhurokban fellépő indukált elektromotoros erőt. Az indukált feszültség megértésének céljából először azt vizsgáljuk meg, hogy mi történik akkor, ha az AB vezetődarab nem az ABCD vezetőhurok részeként, hanem különállóan mozog a B indukciójú homogén mágneses térben, állandó v sebességgel. A mozgatás kezdetén a vezetőben lévő Q = -e töltésű szabad elektronok mindegyikére az F = - e (v X B) nem elektrosztatikus eredetű Lorentz erő hat, amelynek hatására ez elektronok az A vég felől a B vég felé áramlanak; a vezető B végén így negatív, az A végén pozitív többlettöltés halmozódik fel. A Lorentz erő hatására történő öltésáramlás addig tart, amíg a többlettöltés által létrehozott – e E0 = FE elektrosztatikus erő ki nem egyenlíti FB hatását. A mozgó vezetőben tehát a mozgás első pillanataitól

eltekintve nem folyik áram, de a vezető úgy viselkedik, mint áramforrás, mert ha a két végét vezetővel összekötnénk, akkor ebben A-tól B felé, magában az AB-ben pedig B-től A felé irányuló áram folynék a Lorentz erő hatására. Mivel az elektronok elmozdítása szempontjából az F = - e (v X B) Lorentz erővel teljesen egyenértékű egy – eEi = - e (v X B ) elektromos erő, így általános érvényben mondhatjuk, hogy a B indukciójú mágneses térben v sebességgel mozgó vezetődarabban Ei = v X B indukált elektromotoros erő keletkezik. Az ABCD áramhurokban indukált elektromotoros erő értékét tehát a következőképpen írhatjuk fel: Ei = Ei dl = ( v x B )dl, ∫ ∫ B vagy azt írhatjuk, hogy Ei = ∫ ( v x B )dl. A Vegyük fel az n normálist. Ekkor az : Ei = ∫ Ei dl = ∫ ( v x B )dl kiszámításánál az óramutató járásával megegyező irányba kell haladnunk, és a dl vektor irányát is ennek megfelelően kell kiválasztanunk Ha

a fenti képeltben a ( v x B ) konstans vektort kivisszük az integrál jel elé, akkor azt kapjuk, hogy B Ei = ( v x B )∫ ( v x B )l. (1511) A Mivel a v és B vektorok merőlegesek egymásra, az l vektor pedig párhuzamos a v x B vektorral, ezért a fenti képlet alapján az indukált elektromotoros erőre a következő kifejezést kaptuk: Ei = vBl. Ezt az összefüggést Neumann törvényének szokás nevezni A (15.11) egyenlet jobb oldalát alakítsuk most át az (a x b)c = b( c x a ) vektoralgebrai azonosságnak megfelelően. Ekkor : Ei = B( v x l ) = B( l x v dt)/dt Az l x v dt = - n df , ahol df jelenti a vezetőhurok által bezárt f felület dt idő alatti megnövekedését. A fluxus definíciójs szerint : B df = B n df jelenti a df-en áthaladó mágneses fluxust,azaz a hurkon áthaladó fluxusnak a dΦ B növekedését. Ily módon : B( l x v dt ) = - Bndf = - dΦ B , ezért az indukált elektromotoros erőre azt kapjuk, hogy Ei = - dΦ B / dt. A vizsgált esetre tehát a

Faraday féle indukciós törvényt kaptuk. A képlet szerint az Ei és dΦ B ellentétes előjelűek Elektromotoros erő keletkezése mágneses térben mozgó vezetőhurokban Egy a szélességű és b hosszúságú derékszög alakú vezetőhurkot forgassunk a saját síkján átmenő y tengely körül, állandó ω szögsebességgel. A vezetőhurok teljes egészében legyen homogén, állandó B mágneses térben. Számítsuk ki a mozgó vezetőhurokban keletkezett elektromotoros erőt. Az Ei nagysága : Ei = v* B sinΘ = ωb/2BsinΘ. A vezetőhurok másik két oldalában keletkezett indukált térerősség merőleges az oldalakra, így ezek az elektromotoros erőhöz semmivel sem járulnak hozzá. Ily módon: Ei = ∫ Eidl = 2Ei*a = ωabBsinΘ. Mivel az ab szorzat a vezetőhurok f felületével egyenlő, és Θ = ωt, akkor ha a vezetőhurok t = 0 – nál az xy síkjában helyezkedik el, az elektromotoros erő : Ei = ω*fBsinωt. A mágneses térben mozgó vezetőhurokban

tehát egy, az idővel szinuszosan változó elektromotoros erő indukálódik. Az elektromotoros erő maximális akkor, ha Θ= 90º vagy 270º és nulla akkor, ha Θ= 0º vagy 180º. Ha a vezetőkeretet valamelyik ellenálláson keresztül zárjuk, akkor az áramkörben folyó áram erőssége : I = Ei/R = ( Em/R ) * sin ωt = Im sinωt, ahol R az áramkör teljes ellenállása, és Im = Em/r az áram ampiltúdója. Indukció nyugvó vezetőkben Nyugvó vezető időben változó mágneses térben Más a helyzet abban az esetben, amikor a mágneses fluxus megváltozását a B időbeli változása okozza. A korábban ismertetett körtekercses kísérlet szerint magának a vezetőnek nem is kell mágneses térben lennie, tehát az ilyen fajta indukció nem vezethető vissza a Lorentz erőre. 1. Az a kísérleti tény, az f’ keresztmetszetű mágneses tér időbeli változásakor a zárt vezetőben áram folyik, azt jelenti, hogy az időben változó mágneses tér a környező

vezetőben Ei elektromos teret kelt, amely a töltéshordozókat megfelelő mozgásba hozza. E térerősség folytán a vezető egy dl elemének A és B végpontjai közt Eidl feszültség áll fenn, és az összes ilyen feszültséfek összege a zárt körben indukált feszültség: Ei = ∫ Eidl. (g) Másrészt az Ei –re érvényes az Ei = - dΦ B / dt összefüggés is, ugyanis ebben a kifejezésben a fluxus időbeli változása a lényeges, nem pedig az, hogy mi hozta létre a fluxusváltozást. Írjuk hát ezt be az előző egyenletbe és vegyük figyelembe, hogy Φ B = ∫ Bdf. Ekkor azt kapjuk, hogy: ∫ Eidl = - dΦ B / dt = - d/dt ∫Bdf. (g) f Mivel nyugvó közeg esetén, amikor zárt g görbe és az f felület időben változatlan továbbá, a d/dt helyett ∂/∂t veendő, így az előbbiek helyett azt írhatjuk, hogy: ∫ Eidl = - ∫ ( ∂B/∂t ) df. (g) f Az egyenlet bal oldalát Stokes tétel segítségével alakítsuk át felületi integrállá, ekkor ∫

rotEidl = - ∫ ( ∂B/∂t ) df. f f M Mivel ez az összefüggés tetszés szerinti felületválasztás esetén is érvényes, így a következő összefüggéshez jutottunk: rot Ei = - ∂B/∂t. Azonnal megállapítható, hogy az indukció folytán keletkezett Ei elektromos tér lényegesen különbözik az E0 elektrosztatikai tértől. Az indukált elektromos tér zárt görbe menti vonalintegrálja nem nulla, és így nem konzervatív erőtér, szemben az elektrosztatikus térrel. Az indukált elektromos tér örvényes tér: rot Ei ≠ 0, és az erővonalai zárt görbék, szemben az elektrosztatikus térrel amely örvénymentes vektortér: rot E0 = 0, és amelynek erővonalai a töltésekben kezdődnek és végződnek. Általános esetben az E elektromos tér a töltések által keltett E0 térből és időben változó mágneses tér által létrehozott Ei térből áll: E = E0 + Ei. Mivel ∫ E0dl = 0 és rot E0 = 0, ezért a fenti egyenletekben Ei helyett E-t írhatunk. A

fentiek alapján tehát az indukció jelenségének jelentését szemléletesen a következőképpen fogalmazhatjuk meg: időben változó mágneses tér erővonalait zárt elektromos erővonalak veszik körül gyűrű alakban. Ezt az elektromos és mágneses terek közötti alapvető kapcsolatot fejezi ki integrálformában a ∫ Eidl = - ∫ ( ∂B/∂t ) df, differenciál alakban a rot Ei = - ∂B/∂t. Ezekez az egyenleteket (g) f a második Maxwell egyenletek integrál és differenciálalakjának nevezzük. 2. Az ∫ Eidl = - dΦ B / dt = - d/dt ∫Bdf – ből következik, hogy az egyenlet bak oldalán álló (g) f Eidl = IiR indukált feszültség ugyanakkora fluxusváltozás esetén független a g görbét ∫ alkotó zárt vezető R ellenállásától, bármilyen nagy ellenállású vezetőben is ugyanakkora. Ebből Faraday arra a következtetésre jutott, hogy fluxusváltozás esetén vezető drót nélkül is, bármilyen szigetelőben vagy vákuumban is elektromos tér

keletkezik és a ∫ Eidl = - dΦ B / dt = - d/dt ∫Bdf g f törvény ugyanúgy érvényes. A vezető drót mellékes, csak az indikátor szerepét játssza, amennyiben az elektromos tér jelenlétéről a zár vezetőkörbe iktatott galvanométer útján tudomást szerezhetünk. Hogy az indukció jelenségénél a vezető drót felesleges, azt a következő kísérlet mutatja meg. HA igen gyorsan változó mágneses térbe ritkított gázzal telt üveggömböt helyezünk, akkor ebben gyűrű alakú fénysáv figyelhető meg;az indukált térerősség ugyanis a gázban lévő töltéshordozókat zárt görbék mentén mozgásba hozza, és így elektród nélküli gázkisülés keletkezik 3. Az indukált elektromotoros erőre vonatkozó általános egyenlet Írjuk fel az indukció törvényt a következő alakban: Ei = - dΦ B / dt = - d/dt ∫Bdf. A jobb oldalon álló integrál két részből tevődik össze: az egyik a B mágneses indukciónak, a másik a B mágneses tér által

metszett felületnek az időbeli változásából származik. Ennek megfelelően a fenti képlet a következő alakban írható fel: Ei = - ∫ ( ∂B/∂t )df - ∫Bd( ∂f/∂t ). Figyelembe véve, hogy a felület megváltozásának az integrációs út dl útelemeinek v sebességű elmozdulása okozza, azt kapjuk, hogy : d ( ∂f/∂t) = v x dl. Behelyettesítve ezt az összefüggést Ei = - ∫ ( ∂B/∂t )df - ∫Bd( ∂f/∂t )-be, az indukált elektromotoros erőre vonatkozóan a következő általános egyenletet kapjuk: Ei = - ∫(∂B/∂t)df + ∫ ( v x B )dl. f g 13. tétel Az önindukció Az L önindukciós tényező vagy induktivitás Valamely vezetőhurokban folyó I elektromos áram a hurok menetfelületén keresztül Ψ mágneses fluxust hoz létre. Amikor I változik, akkor változik a Ψ is, és így a hurokban elektromotoros erő indukálódik. Ezt a jelenséget önindukciónak hívjuk A Biot-Savart törvény szerint a B mágneses indukció arányos a

mágneses teret létrehozó áramerősséggel. Ebből következik, hogy a hurokban folyó I áram és az általa előállított és a hurok menetfelületén keresztülhaladó Ψ teljes mágneses fluxus között egyenes arányosság áll fenn: Ψ = LI. Az L arányossági tényezőt a hurok önindukciós együtthatójának vagy induktivitásának nevezzük. Amikor egy vezető hurokban az I áramerősség változik ,akkor a Ψ mágneses fluxus is, és így a Faraday féle indukciós törvény szerint a vezetőben Eö önindukált elektromotoros erő keletkezik: Eö = - dΨ/dt = - d( LI )/dt = - (L*(dI/dt) + I (dL/dt)). Ha az áram változása közben L állandó marad ( ferromágneses anyag távollétében lehet ), akkor : Eö = - L * (dI/dt). Egy N menetszámú, f keresztmetszetű, átmérőjéhez igen hosszú ( l ) tekercs induktivitása : L = μ 0 μ r n2lf = μ 0 μ r n2V. Az önindukció szerepe az áram be-, és kikapcsolásánál A nagy L induktivitású tekercset és a kis

beállási idejű G galvanométert tartalmazó áramkörbe kapcsoljuk be E elektromotoros erejű áramforrást K1 kapcsolóval. A G mutatója közvetlenül K1 zárása után kitér, de csak lassan halad tovább, és néhány másodpercig is eltart, amíg I áramerősség felveszi az Ohm törvény szerinti ER értéket ( R az egész zárt kör ellenállása). Ha most az áramforrást K1 nyitásával kikapcsoljuk, de közvetlenül ez előtt K2 zárásával továbbra is fenntartjuk az áramkört, akkor G mutatója az előbbihez hasonló lassúsággal ér vissza nyugalmi helyzetébe. A kísérlet azt mutatja, hogy a nagy induktivitású körben az áram az áramforrás bekapcsolása után csak lassan éri el a stacionárius értéket, kikapcsolás után pedig lassan csökken zérusra. Mindkét jelenség a Lenz szabállyal magyarázható: bekapcsolásnál és az áramerősség növekedésekor az áramforrás E elektromotoros erejével ellentétes körüljárási irányú Eö önindukált

elektromotoros erő keletkezik, amely megakadályozza az áram gyors növekedését, a kikapcsolásnál és az áramerősség csökkenésekor fellépő Eö elektromotoros erő viszont E-vel megegyező irányú lesz, és így az áram hirtelen megszűnését gátolja meg. A kölcsönös indukció A kölcsönös indukciós tényező vagy kölcsönös induktivitás Vegyünk két, egymás közelében elhelyezkedő 1 és 2 vezetőhurkot, amelyekben I1 és I2 erősségű áram folyik. Legyen Ψ21 az 1 hurokban folyó I1 áram által létesített mágneses fluxusnak az a része, amely a 2. hurkon keresztül halad, Ψ12 pedig a 2 hurokban folyó I2 áram által keltett mágneses fluxus azon része, amely az 1. hurkon keresztül halad Ekkor azt írhatjuk, hogy Ψ21 = L21I1 és Ψ12 = L12I2. Az L21 és L12 arányossági tényezők csak a vezető alakjától, méretétől, egymáshoz viszonyított helyzetétől és a teret kitöltő közeg mágneses permeabilitásától függnek. Ha az 1 hurokban

változik az I1 áram erőssége, akkor megváltozik a Ψ21 mágneses fluxus is, és így a 2. hurokban E2 indukált elektromotoros erő lép fel, amelyet a következőképpen adhatunk meg: E2 = - L21 * ( dI1/dt ). Ha a 2 hurokban változik az áram erőssége, akkor az 1. hurokban indukált elektromotoros erőt az alábbi kifejezés írja le: E1 = - L12 * ( dI2/ dt ). Azt a jelenséget, amikor az egyik vezetőhurokban folyó áramerősség változásakor a másik vezetőhurokban elektromotoros erő indukálódik – és fordítva – kölcsönös indukciónak nevezzük. Az L21 –et a 2 és 1 vezetőhurok kölcsönös indukciós tényezőjének vagy kölcsönös induktivitásának, az L12-t az 1 és 2 kölcsönös induktivitásának nevezzük, Egyszerű módon kimutatható, hogy L21 = L12 = M. Ennek alapján csak a két vezetőhurok kölcsönös induktivitásáról beszélhetünk. A Ψ21 = L21I1 és Ψ12 = L12I2 alapján: az M számszerűen megegyezik azzal a vezetőhurkon

keresztülhaladó mágneses indukcióval, amelyet a másik vezetőhurokban lévő egységnyi áramerősség hoz létre. Az E2 = - L21 * ( dI1/dt ) és E1 = - L12 ( dI2/ dt ) szerint pedig: az M kölcsönös indukció együttható számszerűen egyenlő azzal a vezetőhurokban indukálódott elektromotoros erővel, amely akkor keletkezik, ha a másik vezetőhurokban az áramerősség időegység alatt egységnyit változik. A kölcsönös induktivitás SI-egysége megegyezik az önindukciós együtthatóéval: 1Wb/A = 1 Vs/A ≡ 1 henry ( H ). A kölcsönös indukciós együttható kiszámítása: két szorosan egymásba csévélt hosszú tekercs esetében Határozzuk meg az kölcsönös indukciós együtthatót abban a spec. esetben, amikor N1 és N2 menetszámú, szorosan egymásba csévélt, hosszú tekercsek l hosszúsága és f keresztmetszete ugyanaz. Az 1 tekercsben folyó I1 áram H1 = N1I1/l mágneses tere folytán a 2 tekercs menetfelületén átmenő indukciófluxus:

Ψ21 = N2Bf = N2μ0μr * ( (N1I1)/l ) f. Egybevetve az eredményt Ψ21 = L21I1 – el, a kölcsönös induktivitásra azt kapjuk, hogy: L21 = μ0μr * ( (N1N2)/l ) f. Hasonló meggondolással az L12 – re is ezzel megegyező eredményt kapunk. Ily módon a spec. vizsgált esetben: L21 = L12 = M = μ0μr * ( (N1N2)/l ) f. A mágneses tér energiasűrűsége Az U = ½ * LI2 formula a mágneses tér energiáját az I áramerősségnek és az L önindukciós együtthatónak a függvényében írja le. Adjuk most meg a mágneses tér U energiáját magának a mágneses térnek a jellemzőivel. Ezt könnyen megtehetjük abban a speciális esetben, amikor a mágneses tér homogén. Mivel egy szolenoid önindukciós együtthatója L = μ 0 μ r n2V, továbbá a szoleniodban folyó áramerősség és az általa keltett mágneses térerősség között a következő kapcsolat áll fenn: I = H/n, így beírva ezeket az értékeket az U = ½ * LI2 –be, a mágneses tér energiájára azt

kapjuk, hogy: U = ½ * μ 0 μ r H2V . Ennek alapján a mágneses tér energiasűrűsége: u = U/V = ½ * μ 0 μ r H2 = ½ HB = ½ ½ B2/( μ 0 μ r ). Ezek a formulák csak annyiban különböznek az elektrosztatikai tér energiasűrűségére kapott összefüggésektől, hogy az E,D,ε0,εr elektromos mennyiségek helyett a megfelelő B,H,μ 0 ,μ r mágneses mennyidégek szerepelnek. Ha tehát ismerjük a mágneses tér energiasűrűségét egy V térfogatú taromány minden olyan pontján, ahol a mágneses térerősség különbözik zérustól, a V térfogatban lokalizálódott energiát a következő kifejezés adja meg: U = ∫ udv = ∫ ½ * μ 0 μ r H2 dv . V V Az előzőek szerint tehát egy zárt vezetőben folyó I erősségű áram a mágneses tere révén za egész térben U =∫ udv mágneses energiát hoz létre, másrészt az I áramnak a mágneses energiája U =LI2 /2 – vel egyenlő. Ily módon azt írhatjuk fel: ½ * LI2 = ∫ ½ μ 0 μ r H2 dv = U. Ez az

egyenlet L induktivitásnak egy olyan általános definícióját adja, amely nemcsak vékony vezetők és homogén tér esetében alkalmazható az L induktivitás kiszámítására. Az ½ * LI2 = ∫ ½ μ 0 μ r H2 dv = U szerint henry-ben kifejezett induktivitás számszerűen egyenlő annak a joule-ban kifejezett mágneses energiának a kétszeresével, amelyet az adott vezetőben folyó 1 amper áram hoz létre. 14. tétel Az eltolási áram Az elektromágneses jelenségek Maxwell féle elméletében új és alapvető felismeréshez vezetett annak a kérdésnek a vizsgálata, hogy stacionárius áramok mágneses terére vonatkozó Ampére-féle gerjesztési törvény általános érvényű törvény-e? Konkrétan megfogalmazva a kérdést, a rot H = J vagy a vele ekvivalens ∫ Hdl = I összefüggések alkalmazhatók-e nem stacionárius áramok és terek esetében is. Tegyük fel, hogy ρ (x,y,z,t) töltéssűrűség változik az idővel: ∂ρ/∂t ≠ 0. Ebben az esetben a

töltésmegmaradási elvet kifejező div J = - ∂ρ/∂t kontinuitási egyenletből az következik, hogy div J ≠ 0. Ha képezzük rot H = J egyenlet mindkét oldalának divergenciáját, és felhasználjuk a vektoranalízisnek azt a jól ismert tételét, hogy egy tetszőleges vektorfüggvény rotációjának divergenciája nulla, akkor azt kapjuk, hogy div ( rot H ) = div J = 0. Ez az ellentmondás arra utal, hogy a rot H = J összefüggés csak stacionárius áramokra érvényes. Az ellentmondást megszüntetjük, ha a rot H = J jobb oldalán szereplő J vektor helyett sikerül egy olyan Jt vektort találnunk, amely nem stacionárius helyzetben különbözik J-től, de stacionárius esetben megegyezik J-vel, és amelynek a divergenciája mindig nulla értéket vesz fel. Differenciáljuk a div D = ρ egyenlet mindkét oldalát az idő szerint, és a bal oldalon cseréljük fel az idő és a hely koordináták szerinti differenciálás sorrendjét. Ekkor ezt kapjuk: div ( ∂D/∂t

) = ∂ρ/∂t. Ez az egyenlet, div J = - ∂ρ/∂t figyelembevételével a következőképpen írható: div ( J + ∂D/∂t ) = 0. Ebből az összefüggésből rögtön látható, hogy a zárójelen belüli vektor rendelkezik a Jt-re megköveteltekkel. Ily módon a rot H = J helyett most már felírhatjuk az általánosan, stacionárius és nem stacionárius áramokra, illetve terekre egyaránt érvényes összefüggést: rot H = J + ∂D/∂t. Ez Maxwell első egyenlete Az egyenlet jobb oldalán álló Je = ∂D/∂t mennyiséget Maxwell után eltolódási vagy eltolási áramsűrűségnek, a Jt = J + Je mennyiságet teljes áramsűrűségnek. Maxwell egyenletek Maxwell-egyenletek négy egyenlet, melyet James Clerk Maxwell állított fel, hogy leírja mind az elektromos, mind a mágneses tér viselkedését, valamint kölcsönhatásukat az anyaggal. Maxwell négy egyenlete a következőket írja le, • • • • 1. Az elektromos tér divergenciája forrásos, azaz elektromos

töltés jelenlétében erővonalak indulnak a pozitív töltésekről, melyek a negatív töltéseken végződnek. (Gauss-törvény) 2. A mágneses tér divergenciája forrásmentes, azaz a mágneses tér erővonalai önmagukba záródnak. (Gauss mágneses törvénye), 3. A mágneses indukció változása elektromos teret indukál, melynek iránya ellenkező mint az őt létehozó változás. (A Lenz-törvény és Faraday indukciós törvényének egyesítése) 4. az elektromos áram, illetve a folytonossági egyenlet kielégítéséből adódó eltolási áram mágneses teret hoz létre. (Ampère-törvény) A Maxwell-egyenleteknek két formája van: ezek a mikroszkopikus és a makroszkopikus egyenletek. A mikroszkopikus egyenletek alapvető mennyiségei elektromos térerősség és mágneses indukció. A makroszkopikus egyenletek a mikroszkopikus egyenletek átlagolásával adódnak. Az alapvető makroszkopikus mennyiségek elektromos térerősség, elektromos indukció,

mágneses indukció és mágneses térerősség. Bebizonyítható, hogy az átlagolás konkrét formája nem befolyásolja az egyenletek alakját. Sorszám I. Differenciális alak rot H = J + ∂D/∂t II. rot E = - ∂B/∂t III. div D = ρ IV. Div B = 0 Integrális alak ∫ Hdl = ∫ Jdf + ∫ ( ∂D/∂t )df g ∫ g ∫ f ∫ f f Edl = - ∫ ( ∂B/∂t )df f Ddf = ∫ ρdV V Bdf = 0 f 15. tétel Elektromágneses hullámok A Faraday-féle indukciós törvény szerint az időben változó B mágneses tér E elektromos teret hoz létre, másrészt Maxwell felfedezése szerint időben változó E elektromos tér, az ún. eltolódási áram B mágneses teret kelt. Ha B, illetve E vektor az idővel arányosan változna, akkor: a B változása állandó nagyságú E elektrosztatikus teret hozna létre, amely csak a töltésekre hatna és nem fejtene ki semmiféle mágneses hatást, míg az E változása állandó nagyságú B mágneses teret keltene, amely a nyugvó

elektromos töltésekre semmiféle hatást nem gyakorolna. A gyakorlatban azonban rendszerint olyan időben változó mágneses és elektromos terekkel van dolgunk, amelyeknél nem csak a B mágneses indukcióvektor, és nemcsak az E elektromos térerősségvektor változik időben, hanem ezek differenciálhányadosa is. A kétféle időben változó elektromos és mágneses tér egymással állandóan összekapcsolódik, egymással kölcsönhatva elektromágneses teret képez. Mivel mindkettő időben változó örvényes teret hoz létre, ezért az elektromágneses tér is örvényes tér. A Maxwell egyenletekből kiindulva, egyszerűen kimutathatjuk, hogy a tér valamely helyén, illetve véges tartományában keltett, időben változó elektromágneses mező a tér többi részébe véges sebességgel – vákuumban a fény c sebességével – elektromágneses hullám alakjában terjed. Írjuk fel a Maxwell egyenleteket arra az esetre, amikor a vizsgált teret olyan inhomogén,

izotrop dielektrikum tölti ki (ε r = 0 μ = áll σ = 0 ), amelyben nincsenek jelen töltések ( ρ = 0 ): rot H = ε 0 * ε r ( ∂E/∂t ), rot E = - μ 0 * μ r (∂H/∂t ), div E = 0, div H = 0. Képezzük az első mindkét oldalának rotációját, és vegyük figyelembe a második egyenletet; ekkor ezt kapjuk : rot rot H = - μ 0 * μ r ε 0 ε r ( ∂2H/∂2t ). Alkalmazzuk most vektoranalízisből ismert rot rot H = grad div H - ∆H összefüggést, a negyedik Maxwell egyenletet, valamint az ε 0 μ 0 = 1/c2 formulát. Ennek alapján azt írhatjuk fel, hogy ∆H = (( μ r * ε r )/c2 ) (∂2H/∂2t ). A fentiekhez teljesen hasonlóan az E elektromos térerősségre a következő differenciálegyenletet kapjuk: ∆ E = (( μ r * ε r )/c2 ) (∂2E/∂2t ). Ezek az egyenletek a tipikus hullámegyenletek, amelyeket kielégítő függvények olyan hullámokat írnak le, amelyek fázissebességét az (μ r * ε r )/c2 együtthatók reciprok értékéból vont

négyzetgyök határozza meg. A fenti két egyenlet azt fejezi ki, hogy az elektromágneses terek elektromágneses hullámok alakjában létezhetnek, amelyek fázissebessége : v = c/√( μ r * ε r ). Szabad elektromágneses hullámok A Maxwell-elmélet szerint az elektromágneses hullámban állandóan és egyidejűleg fellép egyrészt a mágneses indukció jelensége, azaz E elektromágneses örvénytér képződése H változásai miatt, másrészt az elektromos indukció jelensége, azaz H mágneses örvénytér keletkezése E elektromos tér időbeli változása miatt. A változó terek a szabad térben elektromos és mágneses hullámok alakjában igen nagy távolságokra is eljuthatnak. Ilyenkor elektromágneses kisugárzásról beszélünk. Ha az eltolódási áram elhanyagolhatóan kicsi, vagy ha kis térfogatra koncentrálódik, akkor gyakorlatilag nincs kisugárzás. A kisugárzás a annál intenzívebb, minél nagyobb az elektromos rezgések amplitúdója és

frekvenciája, továbbá ha a sugárzó áramkör megfelelő alakkal rendelkezik. A legegyszerűbb, elektromágneses hullámokat sugárzó rendszer: egy pontszerű dipólus, amelynek dipólmomentuma gyorsan változik az idővel. Hertz kísérletei 1, FÉNYVISSZAVERÕDÉS: például tükör esetében. A beesõ fénysugár, a beesési merõleges, és a visszavert fénysugár egy síkban vannak. A tükör felületére merõlegesen érkezõ fénysugár önmagába verõdik vissza. A tárgy egy pontjáról szétszóródva visszaverõdõ fénysugarak a tükörre érkeznek, ott újból visszaverõdnek, de meghosszabbításaik a tükör mögött egy pontban metszik egymást. Ebben a pontban keletkezik a látszólagos kép 2, FÉNYTÖRÉS: a fény új közeg határán részben megtörik, részben behatol az új közegbe. A vízbe érkezõ fénysugarat a víz megtöri, és a vízbõl kilépõ fénysugarat a levegõ töri meg, de ellenkezõ irányban. Így a szemünkbe érkezõ fénysugár

meghosszabbítása lesz az a látszólagos kép, amit látunk, és ami miatt a vízben a távolságok "rövidülnek". Van egy olyan határszög, amelynél nagyobb szögben érkezõ fénysugarak nem jutnak be a ritkább közegbe, hanem a felületen visszaverõdnek. 3, FÉNYINTERFERENCIA: két vagy több hullám találkozásakor az azonos fázisban érkezõ hullámok erõsítik, az ellentétes fázisban érkezõk pedig gyengítik egymást, tehát új hullámfelület jön létre. Például egy olajos tócsa felszínére érkezõ párhuzamos fénysugarak egy része a felszínrõl visszaverõdik, másik része megtörik, és a tócsa egyenetlen aljáról verõdik vissza. Emiatt a visszevert fénysugarak találkoznak, és az ellentétes fázisban levõk kioltják egymást. Így a kioltott színösszetevõ komplementerszínét (kiegészítõ színét) fogjuk látni, amitõl pedig a tócsa színesnek tûnik. 4, FÉNYPOLARIZÁCIÓ: az átlátszó anyagokon visszaverõdõ fény akkor

lesz lineárisan poláros, ha a visszavert és megtört fénysugár merõleges egymásra. Az ehhez a helyzethez tartozó beesési szöget polarizációs szögnek nevezzük. A térbeli hullámok megfelelõ résen áthaladva síkban polárossá tehetõk. A fényképezõgép polárszûrõje egyfajta színt enged csak át, így síkban polárossá teszi a térbeli fényhullámokat