Matematika | Felsőoktatás » Síkbeli és térbeli mozgás feladatgyűjtemény, megoldással

Síkbeli és térbeli mozgás Vektorok – Sebesség és gyorsulás - Hajítások 3A-2. Egy hajó 40 km-t északra, majd 50 km-t 60°-os szögben délnyugatra vitorlázik Adjuk PHJD]HUHGHOPR]GXOiVQDJViJiWpVLUiQiW $)|OGJ|UEOHWpWOWHNLQWVQNHO MEGOLDÁS: 1. Elmozdulás két dimenzióban. 2., 3 e   1< °  −   )H [    '  = −  6 [ =  6 [ = − ⋅ FRV ° = − 6  =  6  =  ⋅ VLQ ° = 6[ = [ irányú elmozdulás = − (nyugat irányú) 6 = irányú elmozdulás =  −   = − (déli irányú) 6H  ⋅  =    6 [ + 6 =  +  =  NP     . WJ α =  =   α = ° délnyugatra 3B-9. (JUHSOVyORPPVVHEHVVpJJHODYt]V]Lntessel 60° szöget bezáró irányban bukik alá. Milyen sebességgel mozog a Földön az árnyéka, ha a Nap pontosan a fejünk felett van. MEGOLDÁS: 1. ÈOODQGyVHEHVVpJ&GLPHQ]LyV VtNPR]JiV 2., 3 ° PV PV

P  P ⋅ =  V  V A sólyom árnyéka a Földön 2,5 m/s-al mozog. Y [ = Y ⋅ FRV ° =  3B-11. Egy motorbicikli 20 m/s sebességgel 3 percig déli irányban mozog, ekkor nyugatra fordul és két percig 25 m/s sebességgel halad, majd 1 percig 30 m/s sebességgel pV]DNQXJDWLLUiQEDQV]iJXOG$PR]JiVSHUFHVWHOMHVLGWDUWDPiUDKDWiUR]]XNPHJD D]HUHGHOPR]GXOiVWb) az átlagsebesség nagyságát MEGOLDÁS: 1. Y= VH W |VV]HV VH = V[ + V   6[ = 6 [ + 6 [ + 6 [    6 = 6 + 6 + 6    2. a) V V[ = − V −    6  6 = −6 +   b) Y= 6H W +W +W  WJ α = 3.   V V[ * ábra helye a) V = Y W =     P ⋅ V = P V V = Y W =  P ⋅ V = P V V = Y W =  P ⋅ V = P V       V[ = − V − V    V = − V + V    = − −  = − = − +  =  VH = V[ + V = P  WJ α = V V[  =  =   α = ° b) Y= 6H  P

= =  W  +  +  V 3B-12. Egy autó 8 percig 25 km/h sebességgel keleti irányban, ezután 3 percig 40 km/h sebességgel déli irányban, végül 17 percen át 30 km/h sebességgel délkeleti irányban KDODG +DWiUR]]XN PHJ D  D JpSNRFVL HUHG HOPR]GXOiViW NLORPpWHUEHQ b) a kocsinak a teljes útra vonatkoztatott átlagsebességét. MEGOLDÁS: 1. Egyenletes síkmozgások összetétele 2. VH = V[ + V  V =YW   V V[ = V + V =Y W     V V = − V −   V =YW         3. * ábra helye V V[ = V +    V = − V −  =  NP V =  NP K ⋅  = NP  K = NP V =  NP K ⋅  =  NP K  V =  NP K ⋅  = NP  K V      a) VH = V[ + V = NP b) Y=   NP NP =       K K  3A-14. (J P&XJUy D Yt] IHOHWW  P PDJDVEDQ HOKHOezett ugródeszkáról a vízszinteshez képest 60°-os

szögEHQPVVHEHVVpJJHOUXJDV]NRGLNHO0HQQLLGHLJOHV]DOHYHJEHQ" MEGOLDÁS: 1. 2. Vízszintes hajítás Y K ^ K = −Y W + J W  Y Y[  J W − YW − K =    Y  Y =  Y ± Y +  JK  W = W =   3.   J  ±  +  ⋅  ⋅   ±  = =    V −  V W =  V DQHJDWtYJ|NLGHVHWpQpUWHOPH]KHWHWOHQ 4. V = −Y W +  J  W = − ⋅  + ⋅  =  ≈ P     3A-15. Egy bérház ablakából vízszintes irányban 6 m/s sebességgel labda repült ki A labda a ház aljától 10 m távolságban ért talajt. Milyen magasról dobták ki? MEGOLDÁS: 1. Vízszintes hajítás 2. K= J W  V=Y W   1LQFVIJJOHJHVLUiQ~NH]GVHEHVVpJ 3. W= V  V =  V = Y   4. K=   ⋅ = P   W= K = J  ⋅  =  V  3B-16. Egy labdát beGREWDNHJD]HOGREiVKHOpWOPpWHUUHOpYPpWHUPDJDVViJEDQ OpY QLWRWW DEODNiQ $ DEODN VDMiW PDJDVViJiWyO

HOWHNLQWQN  A labda az ablakon vízszintes irányú sebességgel repült be. Mekkora volt a) a labda v0NH]GVHEHVVpJHpVb) az elhajítás ϕ szöge? MEGOLDÁS: 1. Ferde hajítás 2. Y [ = Y FRVϕ $NH]GVHEHVVpJx irányú komponense Y = Y VLQ ϕ $NH]GVHEHVVpJy irányú komponense     } Y[ = Y [  Y = Y − JW  A test sebességének x; NRPSRQHQVHHJWHWV]OHJHV LGSRQWEDQ Ha az ablakon való berepülés pillanatában a sebesség vízszintes irányú, akkor ebben a pillanatban Y =  Y = Y − JW =  W=  Y  K=  J  J Y VLQ ϕ J  = Y   Y Y VLQ ϕ FRVϕ V = Y [ ⋅W = Y [ ⋅ = J J      Y VLQ ϕ K VLQ ϕ  J = = = WJ ϕ V Y VLQ ϕ FRVϕ  FRVϕ  J     WJ ϕ =   3. WJ ϕ =  b) K =  V ϕ = ° K = P V = P K V Y VLQ ϕ K= J     JK  JK  P = = =  VLQ ϕ VLQ ϕ  V  a) Y =   Y  ⋅  J K = Y ⋅W − W = = = P  J  ⋅   4.     

Y ⋅ FRVϕ ⋅ Y VLQ ϕ = P J V = Y [ ⋅W =    3B-17. Egy lövedéket egy 160 m magas hegycsúcsról a vízszinteshez képest 53,1°-os V]|JEHQ OWWHN NL $ JUiQiW HOWDOiOWD D NLO|YpV KHOH DODWW  P Yt]V]LQWHVHQ  P WiYROViJEDQIHNYFpOSRQWRW0LOHQVHEHVVpJJHOOWWpNNLDJUiQiWRW" MEGOLDÁS: 1. Ferde hajítás 2. [ = Y [ ⋅W  = −Y W +  J W   Y [ = Y FRVϕ   Y = Y VLQ ϕ  3. ϕ = ° [ = P = P [ = P = Y FRVϕ ⋅ W  W=   = Y ⋅  Y   = −Y ⋅ W +  J  J  W = − Y VLQ ϕ ⋅ + ⋅ =   Y  Y       ⋅ Y +  ⋅  VLQ ϕ ⋅ Y =  ⋅      Y ( ) =    Y =   4. P V [ = Y ⋅ FRV ϕ ⋅ W = Y FRV ϕ ⋅    =  ⋅ FRV ϕ =  FRV ° = P Y  = −Y W +  J  J W = − Y VLQ α ⋅ + W = P Y       W=  − V Y  3B-18. Vízszintes puskacsövet pontosan a 100 m távolságban

elhelyezett céltábla közepe felé tartva a golyó 10 cm-rel a középpont alatt csapódik be. Mekkora sebességgel hagyta el a golyó a fegyver csövét? MEGOLDÁS: 1. Vízszintes hajítás 2. [=Y W W=  [ Y  = J W  = J [ ⋅  Y     J⋅[ Y =     J  Y =[  3. Y = P  Y =   4. W=   ⋅  [ = P = P P V [  = =  Y   = J  W = ⋅  = P     3B-19. $Yt]V]LQWHVKH]NpSHVWƒRVV]|JEHQNLOWWO|YHGpNHJPPDJDVKHJFV~FVRQD NLO|YpV KHOpWO V]iPtWYD  P WiYROViJEDQ WDOiOW FpOED 0HNNRUD YROW D NH]GVHEHVVpJH" MEGOLDÁS: 1. 2. Ferde hajítás Y VLQ ° Y ° Y FRV° Y FRV °⋅W = [ W=  [ Y FRV °  Y VLQ °⋅W −  J W =   [ J [ Y VLQ °⋅ − = Y FRV °  Y FRV °       J [ WJ ° [ − =  Y FRV °      [ WJ ° [ − ) = ( J Y FRV °     Y =   [   (WJ °⋅[ − ) FRV ° J  Y = 

J[   FRV ° (WJ ° [ − )  3. Y =  ⋅  =  4.  ⋅ FRV °⋅W =   Y VLQ °⋅W −  P V = [ J ⋅ FRV ° (WJ ° [ − ) [ = P = P W =  V J W = P   3B-21. 25 m magas hídról vízszintes irányban hajítotWXQN HO HJ N|YHW $ N EHFVDSyGiVL helyét a vízszintesWOOHIHOpƒRVLUiQEDQOiWMXND 0HNNRUDVHEHVVpJJHOKDMtWRWWXNHOD követ? b) Mekkora és milyen irányú seEHVVpJJHOFVDSyGRWWDNDYt]EH" MEGOLDÁS: 1. Vízszintes hajítás 2. YW=[ [ = P  W= [ Y  * ábra helye K = P = J J[ W =  Y     J[ J =[ K K  a) Y = b) Y W[ = Y = [ J K Y W = JW = J [ = J⋅ Y    [ J [ K =  JK YW = YW[ + YW  WJ α = 3. YW YW[  = JK K = J [ [ K  J P =  =  K  V a) Y =[ b) YW[ = Y =    P V YW = J ⋅ W =  JK =  YW = YW[ + YW =   WJ α = YW YW[  = α = ° P V P V YW[ α YW 4. W= [ =  V Y

 K= J W = P   3B-22. Egy baseball játékos 24 m/s sebességgel, a vízszinteshez képest 53,1°-os szögben (ez a 3-4-5 típusú háromszögek egyik szöge) üti el a labdát. a) Mennyi ideig repül a labda? b) Mekkora maximális magasságba emelkedik? c) Mekkora a hajítási távolság? d) Mekkora és milyen irányú sebességgel rendelkezik a labda 3 másodperccel az elütés után? MEGOLDÁS: 1. Ferde hajítás 2. * ábra helye Y =   a) P V W= Y = ⋅  Y  J Y  = b) K c) [ = Y [ ⋅W d) Y[ = Y [ PD[  J   Y = Y − J ⋅ W  Y = Y[ + Y     Y [ = ⋅    3. a) W=   =  V  ⋅⋅ A földetérés ideje    ⋅  ⋅  =  =  =    b)  K PD[  c) [ = ⋅ d) Y[ =   =  =    ⋅  ⋅⋅    P  V Y =  P −  = −  V Y[ =  Y = −   Y  P + (− ) =   V  Y =   4. = Y ⋅W −  J   W =

⋅  − ⋅  =  −  =       3B-23. Vízszintes sík felett 20 m magasságból, 8 m/s sebességgel, a vízszintessel 50°-os szöget bezáró irányban követ hajítottunk felfelé. a) Határozzuk meg, hogy a síkhoz NpSHVW PHNNRUD PD[LPiOLV PDJDVViJRW pU HO D N E  0HQQL LG WHOLN HO PtJ D N D talajba csapódik? c) Mekkora vízszintes távolságot tesz meg a test? d) Mekkora és milyen irányú sebességgel csapódik a talajba? MEGOLDÁS: 1. Ferde hajítás Y  2. a) K PD[ =  J K=K +K  PD[ Y = Y VLQ °   W = WHPHONHGpV + WHVpV = b)  J + ( J + K J  PD[ ) Y WHPHONHGpV =  J (K + K J WHVpV = Y  PD[ ) c) [ = Y [ ⋅ W|VV]HV d) Y [ = Y [ = Y FRV °    Y = Y − JW = Y VLQ °− ⋅ W   Y = Y[ + Y   Y  VLQ ° = P + = P + =  +  =  P  ⋅   ⋅   3.  a) K=K +K b) W|VV]HV = WHPHONHGpV + WHVpV = c) [ = Y FRV °⋅W|VV]HV =  P

d) Y [ = Y [ =  ⋅ FRV ° =   PD[   Y VLQ °  ⋅  + =  +  = V      P V Y = Y − JW =  VLQ °− ⋅  = −  P V Y = Y [ + Y =  + (− ) =       P V 3B-24. (J ODEGiW IJJOHJHVHQ IHOGREXQN KRJ D]  PUHO IHOMHEE HOKHOH]NHG WiUVXQN elkapja. Társunk a labdát csak akkor tudja elkapni, ha 6 m/s-nál kisebb sebességgel érkezik hozzá. Mekkora a labda minimális és maximális repülési ideje? MEGOLDÁS: 1. )JJOeges hajítás 2. P   > Y − JW ≥  V   P > Y − JW V  Y| − JW ≥  J W  K=Y W −  J W =Y W  K+   K J + ⋅W W  Y =    P K J K J > Y − JW = + W − JW = − W V W  W   J W  W > K −  J W + W − K >    W   −  ±  +  JK J > Y − JW ≥   K J + W − JW ≥  W  K J − W≥ W  K ≥W J 3. W> −  ±  +  JK =  V J W≤ K =  J WPXQ =  V 4. W

PD[ = V Y =  P +  ⋅  =   V Y =   P + ⋅  =    V   Y ⋅W  PLQ Y ⋅W  PD[ Y − JW  − J W  − J W  PLQ  PLQ  PD[ = P = P =  Y − JW  = − PD[ 3C-29. $NLQHPDWLNDLHJHQOHWHNEONLLQGXOYDKDWiURzzuk meg egy a vízszintes síkhoz képest α szög alatt, v0 NH]GVHEHVVpJJHO NLOWW O|YHGpN U|SSiOiMiQDN HJHQOetét és az R OWiYROViJRW MEGOLDÁS: 1. Ferde hajítás 2. Y [ = Y [ = Y FRV α   Y = Y − JW = Y VLQ α − JW  a)  [ = Y [ = Y FRVα ⋅ W   = Y ⋅W −  J J W = Y VLQ α ⋅ W − W      WHOMHVUHSOpVLLG  Y  J = Y VLQ α J  Y VLQ α Y 5 = Y FRVα ⋅ = VLQ α J J  b)    3C-32. Határozzuk meg, hogy milyen α kilövési szög esetén lesz egy lövedék ROWiYROViJD HJHQODH emelkedési magasságával! (Induljunk ki a kinematikai egyenOHWHNEO MEGOLDÁS: 1. Ferde hajítás Y [ = Y [ = Y FRV α 2.   Y = Y

− JW = Y VLQ α − JW   [ = Y [ = Y FRVα ⋅ W   = Y ⋅W −  J J W = Y VLQ α ⋅ W − W    WHOMHVUHSOpVLLG  Y  J = Y VLQ α J Y VLQ α Y = VLQ α 5 = Y FRVα ⋅ J J     Y  +=  J   Y 5 = VLQ α J    Y Y = VLQ α J J     Y VLQ α Y VLQ α = J J      VLQ α =  VLQ α FRVα  WJ α =  α = ° 3C-33. A kinematikai egyenletek alapján határozzuk meg a v0 NH]GVHEHVVpJJHO, α kilövési V]|JJHONLOWWO|YHGpNPD[LPiOLVym emelkedési magasságát! MEGOLDÁS: 1. Ferde hajítás Y Y VLQ α 1. P = = J J      3C-38. Egy szöcske vízszintes irányban legfeljebb 1 m távolságra tud elugrani Feltételezve, KRJD]HOXJUiVKR]V]NVpJHVLGHOKDQDJROKDWyKDWiUR]]XNPHJKRJYt]V]LQWHV~WRQ mekkora maximális sebességgel halad a szöcske, ha mindig a maximális távolságba ugrik. MEGOLDÁS: 1. Ferde hajítás 2. Y 5 = VLQ α J 3. 5 = P   (lásd a 49-es példát) α =

° R ekkor maximális Y J  5 = P =  Y =  5 =  ⋅  =   Y [ = Y FRV ° =  ⋅  =   P V P V 3C-40. Galilei Két új tudomány FtP& P&YpEHQ D]W iOOtWMD KRJ ÄD °-nál ugyanannyival nagyobb, ill. kisebb emelkedéssel (hajítási szöggel) elhajított testek azonos távolságra jutnak el” Bizonyítsuk be ezt az állítást. MEGOLDÁS: 1. Ferde hajítás 2. 5= Y VLQ α J   (lásd a 49-es példát) * ábra helye 3. α = °+ β  α = °− β  5 =  Y Y VLQ (°+ β ) = VLQ(°+β ) J J     Y Y 5 = VLQ (°−β ) = VLQ(°−β ) J J      VLQ(α ± β ) = VLQ α FRV β ± FRVα VLQ β Y ( VLQ ° FRV β + FRV ° VLQ β ) J  5 =   Y 5 = ( VLQ ° FRV β − FRV ° VLQ β ) J    VLQ ° =  Y FRV β J  5 =5 =    FRV° =