Matematika | Felsőoktatás » Matematika tételek, 2001

1 Matematika tételek, 2001 1. tétel Halmazok( halmaz, üres halmaz, részhalmaz, valódi részhalmaz fogalma, Halmazműveletek és tulajdonságaik. Descartes féle szorzat) Tetszőleges dolgok összességét halmaznak tekintjük. Az összességbe tartozó dolgok a halmaz elemei. Eggyüttes gyüjtemény vagy csoport halmazt akkor tekintünk adottnak ha minden elem eldönthető egyértelműen a hovatartozása megköveteljük minden elemének a megkülömböztethetőséget A halmaz jelölésére a nagybetűket használjuk (A, B, C stb.), elemeiket { } között tüntetjük fel (analitikus megadás), illetve megfogalmazzuk az őket összefogó utasításokat (szintetikus megadás), ha a halmaz összes eleme nem sorolható fel. A halmazokat Venn-diagrammal ábrázoljuk (kör, téglalap stb.) A halmazba tartozás jele:  (eleme) Speciális halmazok Az alaphalmaz (teljes halmaz) azon elemek összessége, melyeken adott esetben a halmazműveletek értelmezhetőek. Jele: X Az üres

halmaznak egyetlen eleme sincs. Jele:  Két (vagy több) halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. Halmaz és részhalmaza Az A halmaz (valódi) részhalmaza a B halmaznak, ha A minden eleme B-nek is eleme. Jele: A  B Ha A =  vagy A = B, akkor A triviális (nem valódi) részhalmaza B-nek. Ha két halmaz kölcsönösen tartalmazza egymást, akkor egyenlőek. A részhalmazokra teljesülnek az alábbiak:  A  A (reflexivitás)  A  B  B  A (antiszimmetria)  A  B és B  C  A  C (tanzitivitás) Az előzőekből következik, hogy  minden halmaz tartalmazza önmagát (részhalmaza önmagának),  az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza. Valamely halmaz összes lehetséges részhalmazának hatványhalmazának nevezzük. Jele: P(A) Ha A n-elemű, akkor P(A) elemeinek száma 2n. halmazát az adott halmaz Valódi részhalmaz: A valódi részhalmaza B- nek, ha A minden eleme eleme B-nek, de Bnek van olyan eleme, ami nem eleme A-nak. Jel: Ě:

2 Műveletek Egyesítés (összeg vagy unió) (Jele: ) Az A és B halmaz uniója azon elemek halmaza, amelyek az A és B közül legalább az egyiknek elemei. Az unió asszociatív és kommutatív Két halmaz uniója, (egyesítése) azon elemek halmaza, melyek legalább az egyik ha lmazban benne vannak. Metszet (szorzat vagy közös rész) (Jele: ) Az A és B halmazok metszete azon elemek halmaza, melyek az A-nak is és a B-nek is elemei. A metszet asszociatív és kommutatív. Két halmaz metszete azon elemek halmaza, melyek az adott halmazok mindegyikében benne vannak. Jel: Ç Két halmaz diszjunkt (idegen), ha a metszetük üres halmaz Különbség (Jele: -) Az A és B halmaz különbsége azon elemek halmaza, amelyek A-nak elemei, de B-nek nem elemei. : Két halmaz közül az első halmaz azon elemei, amik a második halmaznak nem elemei. Jel: Komplementer (Jele: (föléhúzás)) B halmaz komplementere X alaphalmaz azon elemeit tartalmazza, melyek nem elemei B

halmaznak. A De Morgan szabályok itt is érvényesek. Két halmaz diszjunkt, ha metszetük üres: A  B =  Rendezett halmazok Rendezett párok: Olyan kételemű halmazok, ahol az egyes elemek sorrendje lényeges. Két rendezett pár akkor egyenlő, ha a két pár azonos indexű elemei megegyeznek. Rendezett párok transzponáltja: Rendezett párok elemeinek felcserélésével kapjuk. Valamely rendezett pár akkor egyenlő a transzponáltjával, ha elemei egyformák. Rendezett n-es: n db elem rögzített sorrendben történő felsorolása. Direkt szorzat (Descatres szorzat): A és B direkt szorzata (A x B) mindazon rendezett párok halmaza, amelyek első eleme A-ból, második eleme B-ből való. Az A és B halmazok-nak az AxB szimbolummal jelölt az összes olyan rendezett párokból álló halmazt értjük amelyekre aA és bB jelölése: AxB={(a,b)ahol aA és bB} Halmazok Descartes szorzata: HxK rendezett számpárok halmaza. Amikor két halmaz elemeit úgy

párosítjuk, hogy nem hagyunk ki egyetlen kombinációt sem. Reláció: a direkt szorzat részhalmaza Binér reláció: olyan rendezett párok, ahol a két elem közötti kapcsolat valamilyen matematikai vagy logikai kifejezéssel írható le. Jelölése: aRb Halmazok számossága Véges halmazok: az elemek számával mérhetőek. 3 Végtelen halmazok: nem adható meg az elemek számossága, és nincs ekvivalenciában a természetes számokkal (nem számlálhatóak). Megszámlálhatóan végtelen halmazok: nem adható meg az elemek számossága, de az egyes elemek a természetes számokkal indexelhetőek. Végtelen számhalmazok  természetes számok (N)  egész számok (I)  racionális számok (Q)  valós számok (R) Számosság: H halmaz számossága ¦H¦. Ha ¦H¦=¦K¦, akkor H@K és fordítva Megkülönböztetünk véges és végtelen számosságú halmazt. - Véges a hakmaz, ha egyetlen valódi részhalmazával sem ekvivalens. - Végtelen, ha van legalább egy

ilyen, amivel ekvivalens. - Véges halmaz bármely részhalmaza véges. - Végtelen halmazt tartalmazó bármely halmaz végtelen. - Véges számú véges halmaz uniója is véges. - Véges számú véges halmaz Descartes szorzata is véges. - Véges halmazok számosságát természetes számoknak nevezzük. (Természetes számok bármely nem üres halmazában van egy legkissebb) - Természetes számok számosságát megszámlálhatóan végtelen számosságúaknak mondjuk. Konvergens: Közelít valamilyen értékhez. 4 2. tétel Reláció, függvény (reláció, függvény, értelmezési tartomány, értékkészlet fogalma. Függvények megadása és ábrázolása. Inverz függvény, Összetett függvény, függvényvizsgálati alapfohalmak.) Reláció: rendezett pároknak a halmaza a reláció, ezt nagybetűvel jelöljük, Függvények: az A halmaz egyértelmű leképezése a B halmazra, egy függvény akkor adott ha ismert az értelmezési tartománya, a képhalmaz, és a

hozzárendelési szabály, a függvény olyan reláció amely egy halmaz minden egyes elemét egyetlen halmazelemet rendel hozzá azaz egyértelmű leképezés. függvénynek nevezünk minden olyan binér relációt amely az A halmaz minden elemének a B halmaz egyetlen elemét felelteti meg.egyértelmű hozzárendelés elemek egymáshoz csatolása, hozzárendelés irányából vizsgáljuk Értelmezési tartomány: azon értékek összesége amelyeket x felvehet, amihez rendelünk azon halmaz elemeit amihez értéket rendelünk Értékkészlet: amiből indulunk az értelmezési tartományhozelemeihez rendelt értékek, j értékek összesége Függvény megadása: 1. értéktáblázattal, 2. grafikonnal, 3. formulával, pl: y=lgx 4. utasítással, pl: P(x) xnél kisebb prímszámok Inverz függvény: értelmezési tertomány és értékkészlet felcserélődik Y értékéhez mely –egy vagy több- x érték tartozik, ilyenkor az y=f(x) függvény inverz kapcsolatáról beszélünk

jelölése x= f-1(y)=y(y) Független változója a z eredeti függvény függő változója Értelmezési tartománya az eredeti függvény értékkészlete. Összetett fügvény: független változó egy másik függvény függvényértéke,vannak többszörösen összetettek. Közvetett függvény(y=sinx2) Függvényvizsgálat: páros, páratlan, periodikus, korlátos, monoton, konvex, konkáv 5 6 3. tétel Kijelentés kalkulus (Kijelentések, logikai értékek, főbb logikai műveletek és tulajdonságaik,Normálformák) Kijelentés kalkulus:általánosan érvényes kijelentésformákat nevezzük így. Azok a kijelentő mondatok, amelyekről egyértelműen megállapítható, hogy igazak, vagy hamisak ítéletek (predikátumok) Kijelentések: Azok a kijelentő mondatok, amelyekről egyértelműen megállapítható, hogy igazak, vagy hamisak, ítéletek (predikátumok). Az ítélet logikai értéke tehát kétféle lehet: igaz, hamis, ezeket igazságértékeknek nevezzük.

Az ítélet (logikai változó) jele latin kisbetű, az értékek: i, h (true, false). Egyszerű ítéletekből (elemi állításokból) logikai műveletekkel összetett ítéleteket (logikai kifejezéseket) képezhetünk, melyek értéke az összetevők értékétől függ. Logikai értékek: Az ítélet logikai értéke tehát kétféle lehet: igaz, hamis, ezeket igazságértékeknek nevezzük.Az ítélet (logikai változó) jele latin kisbetű, az értékek: i, h (true, false). Egyszerű ítéletekből (elemi állításokból) logikai műveletekkel összetett ítéleteket (logikai kifejezéseket) képezhetünk, melyek értéke az összetevők értékétől függ. Logikai alapműveletek (ítéletkalkulusok) Negáció (jele:  (NEM - NOT)) A negáció az ítélet tagadása. p p i h h i Konjunkció (jele:  (ÉS - AND)) A konjunkció értéke csak akkor igaz, ha mindkét ítélet igaz. p q pq i i i i h H h i H h h H Diszjunkció (jele:  (VAGY - OR)) A diszjunkció értéke

akkor igaz, ha legalább az egyik ítélet igaz. p q pq i i i i h i h i i h h h Implikáció (jele:  (ha, akkor; p-ből következik q)) Az implikáció értéke csak akkor hamis, ha a feltétel (p) igaz és a következmény (q) hamis. p q pq i i i 7 i h h i h h h i i 8 Ekvivalencia (jele:  (akkor és csak akkor)) Az ekvivalencia értéke csak akkor igaz, ha a két ítélet értéke megegyezik. p q pq i i i i h h h i h h h i Logikai műveletek tulajdonságai A kommutativitás (megfordíthatóság) és az asszociativitás (csoportosíthatóság) az implikáció kivételével az összes kétoperandusú műveletre igaz (konjunkció, diszjunkció és ekvivalencia esetén). Disztributivitás (szétbonthatóság) (A  B)  C = (A  C)  (B  C) (A  B)  C = (A  C)  (B  C) De Morgan szabályok (A  B) = A  B (A  B) = A  B Implikáció felbontása A  B = A  B Ekvivalenciára vonatkozó tulajdonságok A

 B = (A  B)  (B  A) (A  B) = A  B = A  B Logikai kifejezések A logikai műveletek több tagra úgy terjeszthetőek ki, hogy az összetett ítéleteket zárójelbe téve egy ítéletként vesszük figyelembe. Ekkor logikai kifejezésekről beszélünk A logikai kifejezések kiszámításánál a következő szabályokat kell figyelembe venni: Elsőbbségi sorrend 1. negáció 2. konjukció 3. diszjunkció 4. implikáció 5. ekvivalencia Valamely operandus mindig ahhoz a szomszédos operandushoz tartozik, amelyhez magasabb precedenciájú műveleti jel kapcsolja. Balról jobbra szabály Ha egy operandus mindkét oldalán egyenértékű jelek állnak, akkor a tőle balra eső operandushoz csatlakozik Természetesen ez a két szabály a zárójelezéssel megbontható. Alkalmazás A matematikai logikai műveletek fontos alkalmazási területe a programozás, illetve a digitális logikai áramkörök tervezése. Normálformák: 9 4. tétel

Determinánsok(elsőfokú kétismeretlenes illetve háromismeretlenes egyenlet megoldása. Másod és harmadrendű determináns. Cramer szabály A(2,2) másodrendű mátrix determinánsa az alábbiak szerint értelmezhető: a11 a12 detA =  a 11 a 22 -a 12 a 21 (mindig valós szám) a 21 a 22 Harmadrendű determináns kiszámítása A determináns értékét a tetszőlegesen kiválasztott sorához vagy oszlopához tartozó előjeles aldeterminánsok (ezek másodrendűek) összegeként kapjuk. Célszerű az alábbi algoritmust követni: 1. Kiválasztjuk, melyik sor szerint kívánjuk a kifejtést elvégezni 2. Meghatározzuk a sor első eleméhez tartozó előjelet a (-1)i+j képlet segítségével 3. Elhagyjuk a determinánsból a kiválasztott elem teljes sorát és oszlopát, majd az így kapott aldetermináns értékét meghatározva megszorozzuk azt az előző pont szerint kapott előjellel, így megkapjuk az előjeles aldeterminánst. 4. A 2 és 3 műveletet az adott sor

összes elemére végrehajtjuk 5. Az előjeles aldeterminánsok összeadásával megkapjuk a mátrix determinánsának értékét Az oszlop szerinti kifejtés a fentiekkel teljesen analóg módon történik. Magasabbrendű determinánsok A fentieket általánosítva kimondható, hogy minden determináns megadható tetszőleges sora (oszlopa) szerint kifejtett, eggyel alacsonyabbrendű előjeles aldeterminánsok összegeként. Mivel ez rekurzívan alkalmazható, ezért minden determináns visszavezethető a másodrendű determináns kiszámítására. A Determináns egy n*n -es számtáblázat, amelynek értéke van. Általános szabályok a determinánsokkal kapcsolatban: -Egy determináns n-ed rendű lehet, az inverziószámoktól függően. -Ha a determináns valamely sorában, oszlopában csupa nulla áll, akkor a determináns értéke is nulla. -Ha a determináns valamely sorát, oszlopát, minden elemét megszorozzuk egy lambda számmal, akkor a determináns értéke is lambdával

szorzódik. -A Determináns bármely sorából, oszlopából kiemelhetjük a determináns elé a sor, oszlop elemeinek közös tényezőjét -Ha egy determináns 1 sorának, oszlopának minden egyes eleme egy két tagú összeg, akkor a determináns 2 determináns összegeként állítható elő, amely determinánsban a fődiagonális felett álló eleme. á nem bírom ezt leírni bocs :))) -Ha egy determinánsban a fődiagonális felett álló elemek mind nullák, akkor a determináns értéke a fődiagonális elemeinek szorzata. -Ha egy determináns 2 sorát felcseréljük, akkor az új determináns értéke az erdeti -1 szerese lesz. Továbbá az inverziószám egyel változik -- ezért minden tag -1 szeres lesz -- det is -1x e lesz. -Ha egy determináns két sora elemről elemre megegyezik, akkor a determináns értéke nulla. És még néhány, de most nézzük a Cramer szabályt. A Cramer szabály: n egyenletből álló n ismeretlen. Az ismeretlenek együtthatóiból alkotott

determinánst jelölje D. Ha a D determináns i-edik oszlopában álló elemek helyén az egyenletrendszer jobb oldalán álló konstansokat tesszük, akkor az így kapott determinánst jelölje Di. Xi=Di/D. 10 Ahol x, y, és z az ismeretlenek. Tehát a determinánsok a matematikában az egyenletrendszerek megoldásánál alkalmazhatók.(Így a mátrixok is) A determináns mindig "négyzetes" felépítésű. 11 5. tétel Mátrixok( fogalma, speciális mátrixok, mátrixműveletek) mátrix fogalma (jele: A, B.stb) Elemeknek táblázatban, sorokba és oszlopokba rendezett formában való elrendezését mátrixnak nevezzük. Ha a táblázat m sorból és n oszlopból áll, m x n típusúnak mondjuk, és a ij elem (i=1m és j=1.n) azt az elemet jelenti, amely a táblázat i-dik sora és j-dik oszlopa által kijelölt cellában található. Egyenlőség Két mátrix akkor és csak akkor egyenlő, ha méretük (típusuk) is, és azonos indexű celláik tartalma is

egyenlő. Rang Valamely mátrix rangja a benne levő lineárisan független sorok vagy oszlopok számával egyenlő. Speciális mátrixok Mátrix transzponáltja Ha valamely mátrix sorait és oszlopait felcseréljük egymással, a mátrix transzponáltját kapjuk. Jele: A* Négyzetes (kvadratikus) mátrix Olyan mátrix, amely ugyanannyi sort és oszlopot tartalmaz. Ha a mátrix n számú sort és oszlopot tartalmaz, akkor a mátrixot n-edrendű mátrixnak nevezzük. Szimmetrikus mátrix Olyan kvadratikus mátrixot jelent, mely egyenlő a transzponáltjával. Ekkor a mátrix elemei a főátlóra szimmetrikusak. (A = A*) Ferdén szimmetrikus (antiszimmetrikus) mátrix) Olyan kvadratikus mátrix, melynél a főátlóra szimmetrikusan elhelyezkedő elemek összege nulla. Ekkor A = -A*. Az ilyen mátrixok főátlójában csak nulla van Diagonális mátrix: olyan mátrix, melynél a főátlón kívüli valamennyi elem zérus. Egységmátrix: olyan diagonális mátrix, melynél a főátló

valamennyi eleme 1. Zérusmátrix: olyan mátrix, melynek valamennyi eleme nulla. Reguláris mátrix: olyan kvadratikus mátrix, melynek determinánsa nem zérus. Szinguláris mátrix: olyan kvadratikus mátrix, melynek determinánsa zérus. Inverz-mátrix Az a mátrix (ha létezik), mellyel az eredeti mátrixot megszorozva egységmátrixot kapunk eredményül. Műveletek mátrixokkal Összeadás, kivonás 12 Ezek a műveletek csak megegyező típusú mátrixokon értelmezhetőek. Maga a művelet úgy történik, hogy az azonos indexű elemeket összeadjuk (kivonjuk egymásból). Az összeadás (kivonás) művelete asszociatív, disztributív és kommutatív. Bizonyítható, hogy minden mátrix előállítható egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus mátrix összegeként. Mátrix szorzása számmal Úgy történik, hogy a mátrix minden elemét ugyanazzal a számmal megszorozzuk. Mátrix szorzása mátrixszal (jele: A * B) Csak speciális esetben értelmezhető művelet. C

(m,n) = A (m,p) * B (r,n) szorzat akkor és csak akkor létezik, ha A ugyanannyi oszlopot tartalmaz, mint ahány sort B, vagyis p = r. Ebben az esetben az eredményül kapott mátrix m sort és n oszlopot tartalmaz. A szorzat képzése úgy történik, hogy A mátrix i-dik sorvektorát skalárisan szorozzuk B mátrix j-dik oszlopvektorával, és az így kapott értéket tesszük C ij cellába. A definícióból látszik, hogy A * B <> B A, sőt A B létezése nem is implikálja B * A létezését. Mátrixok osztása Közvetlenül nem hajtható végre, de az osztó inverz-mátrixával való szorzásként értelmezhető, feltéve, hogy az inverz-mátrix létezik, és teljesül rájuk a mátrixok szorzásánál megadott feltétel. Elemi transzformációk Olyan műveletek, melyek a mátrix belső tulajdonságait nem változtatják meg. Minden esetben teljes sorokra, vagy teljes oszlopokra vonatkoznak. 1. a mátrix két tetszőleges sorának (oszlopának) felcserélése, 2. a

mátrix tetszőleges sorának (oszlopának) nullától különböző számmal szorzása, 3. a mátrix tetszőleges sorához (oszlopához) bármely másik sora (oszlopa) k-szorosának hozzáadása. Elemi transzformációk segítségével minden mátrix vagy egységmátrixszá, vagy valamilyen zérusmátrixszal bővített egységmátrixszá alakítható. Transzformációs mátrix A fenti műveleteket azonos rendű egységmátrixon elvégezve kapjuk. Valamely A mátrixot transzformációs mátrixával megszorozva eredményül olyan mátrixot kapunk, mintha az eredeti A mátrixon hajtottuk volna végre ugyanazokat az elemi transzformációkat. Az inverz-mátrix meghatározása Csak reguláris mátrix esetén végezhető el. Bár meghatározható a mátrix determinánsa segítségével is, egyszerűbb az alábbi algoritmus követése: 1. Bővítsük az invertálni kívánt mátrixot a vele azonos rendű egységmátrixszal (egyszerűen írjuk mellé)! 2. Hajtsuk végre azokat a

sortranszformációkat a teljes (bővített) mátrixon, melyek eredményeképpen a mátrix eredeti része egységmátrixszá alakul! 3. Az összetett mátrix bővítménye (eredetileg egységmátrix) lesz a kiindulási reguláris mátrix inverze. Mátrix determinánsa Kvadratikus mátrixok esetén a mátrixokhoz egy valós számot rendelhetünk az alábbiak szerint. Ez a szám a determináns. 13 Másodrendű determináns kiszámítása A(2,2) másodrendű mátrix determinánsa az alábbiak szerint értelmezhető: a11 a12 detA =  a 11 a 22 -a 12 a 21 (mindig valós szám) a 21 a 22 Magasabbrendű determinánsok A fentieket általánosítva kimondható, hogy minden determináns megadható tetszőleges sora (oszlopa) szerint kifejtett, eggyel alacsonyabbrendű előjeles aldeterminánsok összegeként. Mivel ez rekurzívan alkalmazható, ezért minden determináns visszavezethető a másodrendű determináns kiszámítására 14 6. tétel Lináris egyenletrendszerek,

(Homogén és Inhomogén lineáris egyenletrendszerek, Lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának feltételei) A lineáris egyenletrendszer fogalma Lineáris egyenletrendszeren olyan egyenletrendszert értünk, amely végesen sok elsőfokú egyenletből áll. Rendezzük úgy az egyenleteket, hogy az ismeretleneket tartalmazó tagok a bal oldalra, a konstansok a jobb oldalra kerüljenek. Ekkor az együtthatókat mátrixba rendezve kapjuk az együttható-mátrixot, a konstansokat azonos sorrendben oszlopvektorba rendezve kapjuk az eredményvektort, míg az ismeretleneket x 1 -től x n -ig oszlopvektorba rendezve megkapjuk az ismeretlenek oszlopvektorát. Ha az együttható-mátrix mellé hozzávesszük az eredményvektort is, akkor megkapjuk az egyenletrendszer bővített mátrixát. Homogén lineáris egyenletrendszer: eredményvektora nullvektor. a lineáris egyenletrendszer akkor homogén, ha Az egyenletrendszer megoldhatósága Ha egy lineáris egyenletrendszert

megoldhatóság szempontjából vizsgálunk, háromféle kimenetele lehet a vizsgálatnak: 1. az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van, 2. végtelen sok megoldás létezik, 3. nem oldható meg az egyenletrendszer Az egyenletrendszer megoldhatóságát mátrixai rangjának vizsgálatával végezhetjük. A lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg, ha együttható-mátrixának rangja megegyezik bővített mátrixának rangjával (1. és 2 eset) Megoldás inverz-mátrix segítségével Ez az eljárás csak akkor alkalmazható, ha az egyenletek száma megegyezik az ismeretlenek számával, és az együttható-mátrix inverze létezik. Jelöljük az együttható-mátrixot E-vel, az ismeretlenek oszlopvektorát X-szel, míg az eredmények (konstansok) oszlopvektorát K-val. Ekkor felírható: X * E = K, azaz X = K / E, vagyis X = K E-1 Tehát az ismeretlenek vektorát megkapjuk az eredményvektornak az együttható-mátrix inverzével képzett szorzataként. A

Cramer-szabály alkalmazása Ez a megoldás is csak akkor alkalmazható, ha az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával. A megoldáshoz vezessünk be két új fogalmat: Alapdetermináns (jele: detE) Az egyenletrendszer együttható-mátrixának (E) determinánsa. Ha ennek értéke nulla, akkor az egyenletrendszernek nincs egyértelmű megoldása. (vagy nincs megoldás, vagy végtelen sok megoldás lehetséges). x i szerinti módosított determináns (jele: D i ) 15 Az együttható-mátrix i-dik oszlopát - a sorrend megtartása mellett - cseréljük ki az eredményvektorra, és vegyük ennek a módosított mátrixnak a determinánsát! Nyilvánvaló, hogy a módosított determináns értéke nulla is lehet. A Cramer-szabály értelmében az i-dik ismeretlen (x i ) az alábbi összefüggés szerint határozható meg: Di xi  det E A Gauss-módszer alkalmazása Ebben az esetben semmiféle megszorítást nem teszünk az ismeretlenek számára és az egyenletek

számára vonatkozóan. Az egyes egyenleteket úgy rendezzük, hogy bal oldalon sorrendben az ismeretlen tagok helyezkedjenek el, jobb oldalon pedig a konstansok legyenek. A megoldás lényege, hogy az egyes egyenletek konstansszorosait úgy adjuk más egyenletekhez, hogy a műveletek eredményeképpen minden egyenletben lehetőleg pontosan egy ismeretlen szerepeljen nullától különböző együtthatóval, vagyis egyismeretlenes egyenletek jöjjenek létre, melyek megoldása azonnal adódik. Ha az egyenletek kombinációja során "0 = 0" formájú egyenletet kapunk, akkor azt elhagyjuk, és a többi egyenlettel folytatjuk a munkát. Amennyiben valamelyik egyenlet "0 = k (k<>0)" formájúvá válik, akkor az egyenletrendszer egymásnak ellentmondó egyenleteket tartalmaz, így nincs valós megoldása. Ha a rendezés végére egyenleteink száma kevesebb az ismeretlenek számánál, és nincs közöttük ellentmondásos feltételt támasztó egyenlet, akkor az

egyenletrendszernek végtelenül sok megoldása van, és legalább az egyik ismeretlen kifejezhető a többi ismeretlen lineáris kombinációjaként. Megoldás elemi transzformációkkal A megoldás teljesen ekvivalens a Gauss-módszerrel, attól csak a felírás módjában különbözik. Menete: 1. Írjuk fel az egyenletrendszer együttható-mátrixát, és bővítsük ki további oszlopként az eredmények oszlopvektorával! 2. Végezzünk olyan elemi sortranszformációkat, melyek eredményeképpen az eredeti együtthatómátrix szabályos egységmátrixszá alakul! Értelemszerű, hogy a bővítményen is végre kell hajtani azokat a műveleteket, amiket az együttható-mátrixon végrehajtunk. Az átalakítások végén (mikor az eredeti együttható-mátrix egység-mátrixszá alakult) a bővítmény oszlopvektora sorrendben az egyes ismeretlenek értékeit tartalmazza 16 7. tétel Gráfelmélet(Gráf, többszörös él, izolált pont, összefüggő gráf, kiegészítő

gráf fogalma, N típusú teljes gráf éleinek száma, út,kör, erdő fogalma, Fa éleinek száma.) Fogalmak Vegyük a G = (V, E) rendezett párt, ahol V = {a 1 , a 2 ,.a n } tetszőleges halmaz, E = {a i , a j } párok halmaza (ahol a i , a j  V). Ebben az esetben G halmaz definiálja magát a gráfot, V halmaz adja a gráf csúcsait, míg E halmaz a gráf éleit. Amennyiben E elemei rendezett párok, akkor a gráf irányított, ellenkező esetben nem irányított. A gráfot grafikusan úgy ábrázolhatjuk, hogy az egyes csúcsokat ponttal vagy körrel jelezzük, az éleket pedig a csúcspárokat összekötő vonallal. Irányított gráf esetén vonal helyett a megfelelő irányba mutató nyilakat rajzolunk. Az ábrázolásnál az egyes pontok tényleges helyzete közömbös, vagyis ugyanazt a gráfot nagyon sokféleképpen felrajzolhatjuk. A különbözőképpen felrajzolt, de azonos szerkezetű gráfok egymással ekvivalensek. A gráfok jellemzői Izomorfnak nevezünk két

gráfot akkor, ha csúcsaik és éleik megegyeznek (vagyis azonos szerkezetűek), de ábrázolásukban (alakjukban) eltérnek. Üres gráf: olyan gráf, melynek csak izolált csúcsai vannak, éleket nem tartalmaz. Teljes gráf: minden csúcspár éllel össze van kötve. Hurok: egy adott csúcsból önmagába vezető él. A gráfok vizsgálatánál az ilyen típusú éleket nem vesszük figyelembe. Csúcs fokszáma Irányítatlan gráf esetén a gráf valamely a csúcsában végződő éléről azt mondjuk, hogy „illeszkedik a -ra”. Egy adott csúcs fokszámát a rá illeszkedő élek száma adja meg Mivel minden él pontosan két csúcsra illeszkedik, ezért a gráfban levő csúcsok fokszámának összege éppen kétszerese az élek számának. Irányított gráfok esetében annyi az eltérés, hogy minden egyes irányított él pontosan egy csúcsból indul, és pontosan egy csúcsba érkezik. Ha q(a)-val jelöljük a csúcsból induló, q*(a)-val az oda befutó élek számát,

akkor N = q(a) + q*(a), ahol N = élek száma. Reguláris gráf Egy rányitott gráfot r-ed fokú reguláris gráfnak nevezünk akkor, ha minden csúcsából pontosan r él indul, és annyi is fut be, azaz r = q(a) = q*(a) Izolált csúcs: olyan csúcs, melyre nem illeszkedik él. Terminális csúcs: Olyan csúcs, amelyből nem indul él más csúcs felé, csak érkező élek illeszkednek rá. 17 Ciklikus rang (ciklomatikus szám):  = N - n + 1, ahol N az élek, n a csúcsok száma. Út: a i , a j csúcsokat összekötő élek sorozata. Az egy útban levő (láncolt) élek száma adja meg az adott út hosszát. Összefüggő gráf: olyan gráf, melynek bármely csúcsából bármely csúcsába egy úton eljuthatunk (irányítatlan gráfnál ez mindig teljesül, ha nincsenek izolált csúcsok). Kör: olyan út, melynek kiindulási pontja és végpontja (első és utolsó csúcsa) azonos. Az az irányítatlan gráf, amelynek ciklikus rangja > 0, biztosan tartalmaz kört. Gráf

részgráfja G=(V, E) gráf akkor részgráfja G=(V, E) gráfnak, ha E élek V-beli pontokat kötnek össze, vagyis a gráfból kifelé nem vezet él. Gráf bázisa: a gráf csúcsainak az a legkisebb részhalmaza, melyből minden csúcs egy vagy több úttal elérhető. Fák Ha a G irányított gráfban található olyan r csúcs, melybe nem fut be él, és amelyből az összes többi csúcs pontosan egy úttal érhető el, akkor G gráf fa. Ebből következik, hogy a fának nincs izolált pontja, és nincs benne kör. Élek száma: egy n csúcsú fának n-1 éle van. Gyökérelem: a fának az a csúcsa, melyből az összes többi csúcs pontosan egy úton érhető el. Elágazási elemek: azok a csúcsok, melyekbe be is fut, és melyekből indul is él. Levelek: a fa terminális csúcsait leveleknek hívjuk. Bináris fa: olyan fa, melyben minden csúcsból legfeljebb két él indul ki. Csúcsmátrix (szomszédsági mátrix): olyan mátrix, melynek cellái az a i , a j csúcsokat

összekötő élek számát tartalmazzák. (0 vagy 1) C = [c i j ]; C mátrix p hatványa megmutatja a i és a j csúcsokat összekötő, p hosszúságú utak számát. Gráfok alkalmazása A gráfok a gyakorlati életben folyamatok tervezése során, illetve adatszerkezetek létrehozásánál használhatóak fel. 18 8. tétel Kombinatorika(permutációk, variációk, kombinációk) A kombinatorika azzal foglalkozik, hogy egy n elemű véges halmaz elemeit különböző szempontok alapján hányféleképpen lehet elrendezni, illetve kiválasztani. Permutáció n elem meghatározott sorrendben való elhelyezését az n elem egy permutációjának nevezzük. Ha az elemek mind különbözőek, akkor az ismétlés nélküli permutációk száma: P n = n! Ha az n elem közül k ( n) megegyező van, de a többi elem ezektől is és egymástól is különbözik, P n! akkor az ismétléses permutációk száma: Pn ,k  n  k! k ! Ha az n elem r különböző csoportra bomlik úgy,

hogy az egyes csoportokba tartozó elemek egyenlőek (egymástól nem különböztethetőek meg), de a különböző csoportbeliek különböznek, és az első csoportban k 1 , a másodikban k 2 ,., az r csoportban k r elem van (k 1 +k 2 ++k r = n), akkor az n! n elem összes ismétléses permutációjának száma: Pn ;k1 ,k2 ,.,kr  k1! k 2 !.k r ! Variáció Ha n különböző elem közül k ( n) elemet kell úgy kiválasztani, hogy minden elemet legfeljebb egyszer választunk ki és a sorrendre is tekintettel vagyunk, akkor az n elem k-adosztályú (ismétlés nélküli) variációit kapjuk: n! Vn ,k  n * ( n  1) . * ( n  k  1)  (Ha n = k, akkor V n,k = P n .) ( n  k )! Ha egy elemet többször is kiválaszthatunk, akkor az n elem k-adosztályú ismétléses variációit kapjuk: Vn(,ik)  n k Kombináció Ha n különböző elem közül k ( n) különböző elemet választunk ki oly módon, hogy a kiválasztás sorrendjére nem vagyunk tekintettel,

akkor az n elem egy k-adosztályú (ismétlés nélküli) kombinációját kapjuk: n n! n( n  1).( n  k  1)  n      C n ,k     1 k!( n  k )! k! 0  k  Ha a kiválasztáskor egy elemet többször is kiválaszthatunk, akkor az n elem k-adosztályú ismétléses  n  k  1 kombinációit kapjuk: C n( i,k)    k   n Az   számot binomiális együtthatónak nevezzük, értéke kis számok esetén a Pascal háromszögből k  határozható meg. 19 9. tétel Valószínűség számítás( a valószínűség fogalma a relatív gyakoriság segítségével, Diszkrét és folytonos valószínűségi változó fogalma. Eloszlásfüggvény Sűsűségfüggvény, Várható érték, szórásnégyzet. Szórás A kisérletsorozatokra jellemző relatív gyakoriságot, a valószínüség= A kedvező esetek száma/összes eset száma. Legyen H valamely kísérlettel kapcsolatos

elemi események halmaza. Minden egyes elemi eseményhez rendeljünk egy számértéket. Ezzel a hozzárendeléssel egy függvényt értelmezünk, amelynek értelmezési tartományát az eseménytér eseményei alkotják, értékkészletét pedig a hozzájuk rendelt számértékek. Ezt a függvényt valószínűségi változónak nevezzük A valószínűségi változó véletlenszerűen vesz fel értékeket. Jelölése görög betűkkel történik:  = (E) A valószínűségi változót diszkrétnek nevezzük, ha  lehetséges értékei egy véges, vagy végtelen sorozatot alkotnak. A várható érték Ha egy valószínűségi változóra vonatkozóan független kísérletsorozatot végzünk, a változó által felvett értékek egy meghatározott érték körül ingadoznak. Ezt a valós számot várható értéknek nevezzük. Definíciója Az  diszkrét valószínűségi változó M() várható értékét megkapjuk, ha vesszük a lehetségesen felvett értékek

előfordulási valószínűségük (relatív gyakoriságuk) szerinti súlyozott átlagát. Ezt a következőképpen írhatjuk fel: n M ( )   pi xi i 1 A várható érték tulajdonságai M(k) = k kR M(k) = kM() M( 1 + 2 +.+ n ) = M( 1 ) + M( 2 ) ++ M( n ) A szórás A szórás megmutatja, hogy a  értékei mennyire ingadoznak a várható érték körül. Kiszámítása a szórásnégyzet meghatározásán keresztül történik. A szórásnégyzetet úgy kapjuk meg, hogy vesszük a valószínűségi változó egyes értékei várható értéktől való eltérése négyzetének adott valószínűség szerint súlyozott átlagát: D2() = M(( - M())2) A szórás ennek a számnak a gyöke. Jelölése: D() A szórás tulajdonságai D2() = M(2) - M2() D(a + b) = | a |*D() a  R, b  R Folytonos valószínűségi változó, az eloszlásfüggvény, a sűrűségfüggvény, a várható érték, a szórás 20 Fogalma

Azokat a valószínűségi változókat, amelyek egy adott intervallumon bármely értéket felvehetnek folytonos valószínűségi változóknak nevezzük. Az eloszlásfüggvény A folytonos valószínűségi változók matematikai vizsgálatához bevezetünk egy olyan F(x) függvényt, melyre igaz az alábbi összefüggés: F(x) = P( < x) Az F(x) függvényt  változó eloszlásfüggvényének nevezzük. Az eloszlásfüggvény értéke egy valószínűség. Ellentett esemény valószínűsége: P(  x) = 1 - F(x) Az eloszlásfüggvény tulajdonságai 1. F(x)  0 2. F(x)  1 3. monoton növekvő 4. lim F ( x )  0 x   5. lim F ( x )  1 x  6. balról folytonos (azaz a bal oldali határértékét kell venni, ha adott helyen nem egyforma a jobb és a bal oldali határértéke) 7. P(a   < b) = F(b) - F(a) Az eloszlásfüggvény fogalma diszkrét valószínűségi változók esetében is értelmezhető. Ekkor F(x) ún. lépcsős

függvényt alkot, ahol az egyes lépcsőkhöz tartozó intervallumok balról nyitottak, jobbról zártak. Az [a,b] intervallumon értelmezett  valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvénye az alábbi általános alakban adható meg: F(x) = 0, ha x  a F(x) = a diszkrét valószínűségek összege [a,b] intervallumban, ha a < x  b F(x) = 1, ha x > b A sűrűségfüggvény Ha  valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvénye folytonos, és derivált-függvénye néhány diszkrét pont kivételével létezik, akkor ezt az f(x) = F(x) függvényt  változó sűrűségfüggvényének nevezzük. Az f(x) sűrűségfüggvény azt fejezi ki, hogy a  valószínűségi változó a teljes számegyenesen egységnyi súllyal (valószínűséggel) oszlik el. A sűrűségfüggvény tulajdonságai 1. f(x)  0 x 2. F ( x )   f (t )dt  21  3.  f ( x )dx  1  b 4.  f ( x )dx  F (b)  F (a )  P(a    b) a

F(x) általános felírásából és a deriválási szabályokból következik, hogy az f(x) sűrűségfüggvény értéke csak  valószínűségi változó értelmezési intervallumán belül vehet fel nullától különböző (és nemnegatív) értékeket. Diszkrét valószínűségi változó esetén az eloszlás hisztogramja hasonlóan értelmezhető, mint a folytonos eloszlás sűrűségfüggvénye. A várható érték M ( )    xf ( x )dx  A szórás D ( )    ( x  M ( ))  2 f ( x )dx 22 10. tétel Matematikai statisztika( statisztikai mintavétel Tapasztaléazti eloszlásfüggvény, Gyakorisági és sűrűségi hisztogramm, Mintaközép fogalma, tapasztalati és korrigált szórásnégyzet és szórás) A matematikai statisztika döntően azzal foglalkozik, hogy egy alapsokaságból kivett véges számosságú minta statisztikai jellemzői alapján következtetéseket vonjon le az alapsokaság tulajdonságaira

vonatkozólag. Statisztikai mintavétel Célja a statisztikai sokaságból olyan minta kivétele, amely reprezentatív a sokaságra. Statisztikai sokaság Az elemeknek az a halmaza, melyre a vizsgálat irányul. Jellemzően olyan nagy számosságú, hogy elemeinek egyenkénti vizsgálata a gyakorlatban lehetetlen. Szinonim kifejezéssel alapsokaságnak is nevezzük. Mintavétel Az alapsokaság véges számú elemét véletlenszerűen, vagy meghatározott szisztéma szerint kiválasztjuk. A szisztematikus kiválasztás akkor alkalmazható, ha a sokaság elemei rendezetlen formában vannak jelen. Reprezentativitás A kiválasztott minta akkor reprezentatív az alapsokaságra, ha teljesülnek az alábbi feltételek:  a mintaelemek eloszlása azonos, és megegyezik az alapsokaság eloszlásával,  a sokaság minden egyes elemének egyforma esélye van a kiválasztásra. A statisztikai minta jellemzői Empirikus várható érték (mintaközép) A minta empirikus várható

értékének a mintaelemek számtani átlagát tekintjük. A mintaközép az elméleti várható érték közelítésére szolgál.     .   n  1 2 n Tapasztalati medián A nagyság szerint rendezett mintaelemek közül a középső a tapasztalati medián. Ha a mintaelemek n száma páratlan: n = 2m+1, akkor a medián * m+1 , míg ha n = 2m (páros), akkor a medián  m   m 1 . 2 Terjedelem A rendezett minta legkisebb és legnagyobb indexű eleme különbségének abszolút értéke. Empirikus eloszlásfüggvény Úgy kapjuk, hogy az x tengelyen a rendezett minta  i értékeit vesszük fel, míg az y tengelyen az x <  i elemek relatív gyakoriságát. 1 Fn ( x )  1 n i  x 23 Közelítő empirikus eloszlásfüggvény Nagyobb számosságú minta esetén érdemesebb ezt használni. Előállítása: 1. A terjedelem intervallumát célszerű számú intervallumra osztjuk 2. Meghatározzuk, hogy az egyes intervallumokba milyen

relatív gyakorisággal esnek a minták 3. Az empirikus eloszlásfüggvényhez hasonló módon ábrázoljuk a közelítő eloszlás-függvényt, csak az x tengelyre az egyes intervallumokat vesszük fel. Sűrűséghisztogram A sűrűségfüggvény közelítése. Úgy kapjuk, hogy az x tengelyen ábrázoljuk az intervallumokat, az y tengelyen pedig az egyes intervallumokhoz tartozó relatív gyakoriságokat. Itt is igaz, hogy a sűrűséghisztogram alatti terület egységnyi. Tapasztalati szórásnégyzet Az alábbi összefüggés szerint számítható: 1 n  n2    i   n i 1   2 Korrigált tapasztalati szórásnégyzet A gyakorlati számítások során általában megbízhatóbb értéket ad. 10-nél kisebb elemszámú minta esetén csak ez használható. Számítása: n  n*2   n2 n 1 Statisztikai becslések: a pontbecslés módszere, konfidencia-intervallum, a várható érték becslése, a szórás becslése A statisztikai becslés során

valamely alapsokaságból kivett véges számosságú minta tapasztalati statisztikai paraméterei alapján következtetéseket vonunk le az alapsokaság statisztikai jellemzőire vonatkozóan. A becslések jellemzői Torzítatlanság Valamely, a paraméterre vonatkozó becslést akkor nevezünk torzítatlannak, ha a becslés alapján várható érték megegyezik a értékével. Hatásosság Valamely becslés annál hatásosabb, minél kisebb szórásnégyzetet eredményez. Konzisztencia Valamely becslést akkor nevezünk konzisztensnek, ha a becsült érték valódi értéktől való eltérése a minta elemszámának növelésével monoton csökken