Fizika | Felsőoktatás » Relativitáselmélet

RELATIVITÁSELMÉLET Vonatkoztatási rendszer: az a koordinátarendszer, amibe a mozgást leírjuk, derékszögű (Descartes koordinátarendszer). Inerciarendszer: Amiben a Newton féle törvények érvényesek (Földhöz rögzített, állócsillagokhoz rögzített). Ha van egy inerciarendszerünk, akkor a hozzá képest v 0 = const sebességgel mozgó koordinátarendszer is inerciarendszer. KOORDINÁTA TRANSZFORMÁCIÓ y y’ v0t x’ =x - v 0 t y’ =y z’ =z=0 t’ =t x’ x Ezt a transzformációt Galilei transzformációnak nevezzük, a helykoordináták transzformálódnak, az idő ugyanaz marad. A sebességekre pedig az előzőből: v = v’+v 0 azaz a sebességek egyszerűen összegeződnek. A Newton II. az K (x,y,z) rendszerben: d 2x m 2  Fx dt d2y m 2  Fy dt d 2z m 2  Fz dt A Newton II. a K’ (x’,y’,z’) rendszerben: d 2 ( x  v0t ) d 2 x d 2 x dv0 d 2x m 2 m  m( 2  )  m 2  Fx dt dt 2 dt dt dt d 2 y d2y m 2  m 2  Fy dt dt d 2

z d 2z m 2  m 2  Fz dt dt ugyanazok lesznek. Azaz, ha egy inerciarendszer van, akkor számtalan van. Mechanikai szempontból az egymáshoz képest állandó sebességgel mozgó rendszerek egyenértékűek. Galilei féle relativitás elve. Amennyiben nem állandó sebességgel mozognak, hanem gyorsulnak, például, a állandó gyorsulással, akkor d 2 x d2 a 2 d 2x m 2  m 2 ( x  t )  m( 2  a)  Fx ebből 2 dt dt dt d 2x m 2  Fx  ma dt a többi marad. Úgy néz ki, mintha a testre az F külső erőn kívül a testre még egy F(ma,0,0) erő is hatna, amelyet tehetetlenségi erőnek nevezünk. Tehát a gyorsuló koordinátarendszer már nem egyenértékű. Kérdés lehet-e általánosítani, azaz az említett rendszerek minden fizikai törvény szempontjából egyenértékűek-e? A fény terjedése: Úgy képzelték, hogy a világegyetemet valamilyen nyugalomban lévő „anyag” un. éter tölti egyenletesen és a fény, mint elektromágneses hullám

ebben a c közegben, mint abszolút vonatkoztatási rendszerben (K) terjedne, c sec  =c bességgel. Ennek viszont az lenne a v következménye, hogy más fénysebességet mérnénk, ha a Föld mozgásával c  =c-v párhuzamosan, vagy arra merőlegesen végeznénk (K’). A mérést Michelson végezte el (Michelson-Morley-kisérlet) és nem talált különbséget Következmény: a fénysebesség független a fényforrás, illetve a megfigyelő sebességétől, azaz minden inerciarendszerben azonos sebességgel terjed. Einstein féle speciális relativitás elve: Fizika szempontból minden egymáshoz képest állandó sebességgel mozgó vonatkoztatási rendszer egymással egyenértékű. Ez azt is jelenti, hogy nincs abszolút vonatkoztatási, rendszer, ezért nincs abszolút sebesség sem, továbbá a fénysebesség az elérhető legnagyobb sebesség. Mivel a Galilei transzformáció ezt nem elégíti ki, ezért olyan transzformációt kell keresni. Ez azt jelenti hogy

olyan sebességösszegezést kell keresni, amelyre igaz, ha v’=c, akkor v=c lesz, továbbá, ha v’c, akkor v=v’+v 0 . Ez a következő: v v  v 0 v v 0 1 c2 Ezt a sebességösszeadást az un. Lorentz transzformáció elégíti ki, amelynél a K rendszerből a K’ rendszerbe való áttérésnél, az előző ábra jelöléseivel: xv t  20 x  v0t c x y  y , z  z , t , , v 02 v 02 1 2 1 2 c c változnak, tehát nemcsak a helykoordináták, hanem az idő is transzformálódik. Az adott összefüggések csak a fénysebességet meg nem haladó sebességekre érvényesek, mivel e felett a gyökjel alatti rész immagináriussá válik. Fénysebesség határsebesség A Lorentz transzformáció szimmetrikus (mint a Galilei is) azaz amennyiben a K’ rendszerből térünk át a K rendszerre a fentivel azonos formulákat kapunk annyi különbséggel, hogy azokba v 0 helyett -v 0 -t kell írni. Idődilatáció: ha egy esemény a K rendszerben t idő

alatt játszódik le, akkor a K’-be a Lorentz transzformációnak megfelelően t  t v02 1 2 c hosszabb ideig, tart, azaz a mozgó koordinátarendszerben az állóhoz képest lassabban telik az idő, ezzel lassabbak például a fizikai (müon bomlás) és biológiai (ikerparadoxon) folyamatok is. Távolságkontrakció: legyen a K rendszerben egy távolság x=x 2 –x 1 akkor az a K’ rendszerből nézve. v02 x  x 1  2 c a mozgó koordinátarendszerben a távolságok (ezáltal a tárgyak méretei) a mozgás irányába megrövidülnek (a müon a saját idejében a megtett utat érzi rövidebbnek). Relativisztikus tömeg: A Lorentz transzformáció egyik következménye, hogy a test tömege függ a sebességtől a következőképpen: m m0 v02 , 1 2 c azaz a fénysebesség közelébe érve gyorsan nő és ott végtelenné válik. Ez tesz lehetetlenné a fénysebesség elérését, ugyanis ekkor aszimptotikusan végtelen nagy gyorsítóerőre

(energiára) lenne szükség. Enegia-anyag ekvivalencia: A másik következmény az anyag energia egyenértékűsége, azaz m tömegű anyagnak megfelelő energia: E  mc 2 egymásba át is alakulhatnak (maghasadásnál, fúziónál, de bármely kémiai reakciónál is az energia felszabadulásakor a rendszer tömege e fenti összefüggésnek megfelelően csökken). Ennélfogva az anyag- és az energiamegmaradás tétele együtt lesz érvényes. A téridő Galilei transzformáció esetén, miként az a korábbiakból könnyen belátható, hogy a ds 2  dx 2  dy 2  dz 2 távolság (hossz) nem változik meg a transzformáció során, azaz a transzformációval szemben invariáns. A Lorentz transzformáció esetén ugyanez a megfelelő invariáns mennyiség az alábbi lesz: ds 2  dx 2  dy 2  dz 2  c 2 dt 2 . Amennyiben bevezetjük a w=ict jelölést akkor az előző ds 2  dx 2  dy 2  dz 2  dw 2 azaz egy négydimenziós koordinátarendszerben

(négydimenziós térben) vett távolságot kapok, ahol egy pontszerű eseménynek (világpont) egy négydimenziós vektor felel meg (Minkowski-tér). Általános relativitás elve. Nemcsak az egymáshoz képes állandó sebességgel mozgó rendszerek egyenértékűek, hanem a gyorsuló mozgásban lévő rendszer is ekvivalens azzal a rendszerrel, amelyre ugyanakkora nehézségi gyorsulás hat. Alapja a kétféle tömeg, a tehetetlen és a gravitációs tömeg azonossága, ami nem triviális, mivel a tehetetlen tömeg a testnek a külső erővel szembeni ellenállását jellemzi, míg a gravitációs két test gravitációs kölcsönhatását. Következménye: a fény elhajlása erős gravitációs mezőben (a Merkur pályájának aperiheliuma). Mivel a fénysugár jelöli ki a térben az egyenest, ennek következtében a tér görbültsége a nagy tömegek közelében. Igen nagy tömegeknél önmagában zárulhat is, ezek a fekete lyukak