Villamosságtan | Felsőoktatás » Standeisky István - Elektrodinamika

Standeisky István ELEKTRODINAMIKA Készült a HEFOP 3.31-P-2004-09-0102/10 pályázat támogatásával Szerző: dr. Standeisky István főiskolai docens Lektor: dr. Nagy Szilvia tudományos munkatárs Standeisky István, 2006 Elektrodinamika A dokumentum használata A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 3 ► A dokumentum használata Mozgás a dokumentumban A dokumentumban való mozgáshoz a Windows és az Adobe Reader megszokott elemeit és módszereit használhatjuk. Minden lap tetején és alján egy navigációs sor található, itt a megfelelő hivatkozásra kattintva ugorhatunk a használati útmutatóra, a tartalomjegyzékre, valamint a tárgymutatóra. A ◄ és a ► nyilakkal az előző és a következő oldalra léphetünk át, míg a Vissza mező az utoljára megnézett oldalra visz vissza bennünket. Pozícionálás a könyvjelzőablak segítségével A bal oldali könyvjelző ablakban tartalomjegyzékfa

található, amelynek bejegyzéseire kattintva az adott fejezet/alfejezet első oldalára jutunk. Az aktuális pozíciónkat a tartalomjegyzékfában kiemelt bejegyzés mutatja. A tartalomjegyzék és a tárgymutató használata Ugrás megadott helyre a tartalomjegyzék segítségével Kattintsunk a tartalomjegyzék megfelelő pontjára, ezzel az adott fejezet első oldalára jutunk. A tárgymutató használata, keresés a szövegben Keressük meg a tárgyszavak között a bejegyzést, majd kattintsunk a hozzá tartozó oldalszámok közül a megfelelőre. A további előfordulások megtekintéséhez használjuk a Vissza mezőt A dokumentumban való kereséshez használjuk megszokott módon a Szerkesztés menü Keresés parancsát. Az Adobe Reader az adott pozíciótól kezdve keres a szövegben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 3 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató

Tartalomjegyzék Vissza ◄ 4 ► Tartalomjegyzék Előszó. 7 1. A töltés és elektromos tere 9 1.1 Az elektromos töltés 9 1.2 Az elektromos térerősség 10 1.3 A feszültség 11 1.4 A potenciál és a potenciálfüggvény 15 1.5 Erővonalak és szintfelületek 18 1.6 Az elektrosztatika Gauss-tétele 20 1.7 Vezetők és szigetelők 25 1.8 Tükrözéses módszer 28 1.9 A feszültség iránya 29 1.10 Összefoglalás 31 2. Elektrosztatikus terek számítása 33 2.1 Elektrosztatikus terek számítása a töltésből 33 2.2 Az elektromos térerősség meghatározása a potenciálból 35 2.3 Példák 39 2.4 A kapacitás 61 2.5 Példák 63 2.6 Kondenzátorok soros és párhuzamos kapcsolása 65 2.7 Összefoglalás 70 3. Az áram és elektromos tere 72 3.1 Az áramerősség 72 3.2 Az áramsűrűség 74 3.3 Az áramlási tér 75 3.4 Az ellenállás 77 3.5 Az áramlási tér számítása 79 3.6 A teljesítmény és a teljesítménysűrűség 82 3.7 A

feszültséggenerátor 83 3.8 Az áramgenerátor 86 3.9 Példák 89 3.10 Kirchhoff törvényei 91 3.11 Összefoglalás 94 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 4 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Tartalomjegyzék Vissza ◄ 5 ► 4. Az áram mágneses tere 97 4.1 A mágneses indukció 97 4.2 A fluxus 99 4.3 A köráramnak más áramok mágneses teréből származó energiája101 4.4 A gerjesztési törvény 104 4.5 A Biot–Savart-törvény 108 4.6 A gerjesztési törvény származtatása a Biot–Savart-törvényből 109 4.7 Mágneses terek számítása 113 4.8 Példák 114 4.9 Az öninduktivitás121 4.10 Kölcsönös induktivitás, csatolt tekercsek123 4.11 Példák 128 4.12 Összefoglalás 133 5. Az elektromágneses tér 136 5.1 Bevezetés136 5.2 A nyugalmi és mozgási indukció 137 5.3 Változó áram mágneses tere140 5.4 Önindukált feszültség143 5.5

Átindukált feszültség 145 5.6 Tekercsek soros és párhuzamos kapcsolása146 5.7 Indukált elektromos térerősség150 5.8 A folytonossági egyenlet és az eltolási áram 153 5.9 A kapacitív áram 155 5.10 Az általánosított gerjesztési törvény156 5.11 Összefoglalás 158 6. Elektromágneses energia és erő161 6.1 Töltésre ható erő161 6.2 Példák 164 6.3 A kondenzátor és a tekercs energiája 174 6.4 Példák 176 6.5 Az elektromos tér energiasűrűsége177 6.6 Példák 180 6.7 A mágneses tér energiasűrűsége 180 6.8 A belső induktivitás 183 6.9 Elektromos erőhatás185 6.10 Példák 188 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 5 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Tartalomjegyzék Vissza ◄ 6 ► 6.11 Mágneses erőhatás 191 6.12 Az áramelem potenciálja195 6.13 Összefoglalás 199 7. A Maxwell-egyenletek 201 7.1 A Maxwell-egyenletek integrális

alakja201 7.2 Az elektrodinamika felosztása205 7.3 A Maxwell-egyenletek differenciális alakja 206 7.4 A Descartes-koordinátáival adott vektortér divergenciája és rotációja.208 7.5 A Maxwell-egyenletek teljes rendszere a Descarteskoordinátákkal számított vektoroperációkkal212 8. Elektromágneses síkhullámok 215 8.1 Az elektromágneses síkhullám elektromos és mágneses térerősségének hely- és időfüggése.215 8.2 Síkhullámok polarizációja 221 8.3 Példák 224 8.4 A síkhullámmal áramló teljesítmény225 9. Elektromágneses tér végtelen kiterjedésű vezető féltérben 227 9.1 Az elektromos és a mágneses térerősség meghatározása a végtelen kiterjedésű vezető féltérben, behatolási mélység .227 9.2 Az áramsűrűség komplex pillanatértéke 231 9.3 A végtelen kiterjedésű vezető féltér ellenállása232 9.4 Példák 233 10. Távvezetékek 236 10.1 Áram és feszültség a távvezetéken 236 10.2 A terjedési együttható és a

hullámellenállás függése a vezeték állandóitól .244 10.3 A vezeték végén fellépő jelenségek (haladó és visszavert hullám)249 10.4 A távvezeték bemenőimpedanciája 255 10.5 Fázis- és csoportsebesség 259 11. Hullámvezetők 262 11.1 Párhuzamos, sík fémlemezek közötti terjedés262 11.2 Négyszögletes csőtápvonal266 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 6 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Tartalomjegyzék Vissza ◄ 7 ► 12. Üregrezonátorok 275 12.1 Üregrezonátorok származtatása hullámvezetőből 276 12.2 Üregrezonátorok jósági tényezője 277 12.3 Állandó keresztmetszetű hasábüregek rezonanciafrekvenciái279 13. Elektromágneses hullámok keltése és vétele 282 13.1 A Hertz-dipólus elektromágneses tere282 13.2 Az antenna irányhatása és nyeresége288 13.3 Egyenes antennák üresjárási feszültsége289 13.4 Példák 292

14. Az elektromágneses hullámok terjedése az ionoszférában 294 14.1 Az ionoszféra relatív dielektromos állandója és vezetőképessége 294 14.2 Az ionoszférához érkező síkhullámok törése és visszaverődése 297 14.3 Az ionoszférában terjedő síkhullám csillapodása301 14.4 Az ionoszféra hatása a síkhullámok terjedésére, ha a plazmafrekvencia nagyobb a síkhullám frekvenciájánál.302 14.5 Példák 303 Irodalomjegyzék .305 Név- és tárgymutató .306 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 7 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Előszó Vissza ◄ 8 ► Előszó A jegyzetben az elektrodinamika alapvető fogalmaival és legfontosabb törvényeivel ismerkedünk meg. Az alaptörvények bevezetésekor mindig a tapasztalatra, a mérésre hivatkozunk. Elsődleges célunk a jelenségek ismertetése, az elektromágneses tereket jellemző mennyiségek

definiálása, ezen mennyiségek kölcsönös kapcsolatainak feltárása. A tárgyalt alapvető törvények ismeretében egyúttal megoldunk egy sor egyszerű és gyakorlatilag fontos elektromágneses térszámítási feladatot is. A jegyzet 14 fejezetből áll. Ezek rövid tartalma: 1. A nyugvó töltés és az általa létrehozott elektromos tér törvényszerűségei 2. Egyszerű elektrosztatikus terek számítása; a kapacitás fogalma és meghatározása, kapacitív hálózatok vizsgálata 3. Az időben állandó áram és az általa létrehozott elektromos tér törvényszerűségei; az ellenállás fogalma és meghatározása; a generátorok fogalma és jellemzése; egyszerű egyenáramú hálózatok számítása. 4. Az időben állandó áram által létrehozott mágneses tér törvényszerűségei; egyszerű mágneses terek számítása; az ön- és kölcsönös induktivitás fogalma és meghatározása 5. Az időben változó elektromágneses tér törvényszerűségei; a

nyugalmi indukálás jelensége; induktív hálózatok vizsgálata, a folytonossági egyenlet és az általánosított gerjesztési törvény. 6. Elektromágneses energia és energiasűrűség meghatározása; az elektromos és mágneses erőhatások számítása, az áramelem potenciálja 7. A Maxwell-egyenletek integrális és differenciális alakja, az elektrodinamika felosztása a Maxwell-egyenletek alapján 8. Elektromágneses síkhullámok, síkhullámok polarizációja, a síkhullámokkal áramló teljesítmény (Poynting-vektor) 9. Elektromágneses tér végtelen kiterjedésű vezető féltérben, behatolási mélység, a végtelen kiterjedésű vezető féltér ellenállása, veszteségi teljesítménye. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 8 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Előszó Vissza ◄ 9 ► 10. Távvezetékek; áram és feszültség kifejezésének

meghatározása; távvezetékek osztályozása a terjedési együttható értékének alapján; a vezeték végén fellépő reflexió, a távvezeték bemenő impedanciája; fázis- és csoportsebesség. 11. Hullámvezetők; a négyszögletes csőtápvonal; a négyszögletes csőtápvonal hullámformái; fázis- és csoportsebesség a hullámvezetőben történő terjedéskor 12. Üregrezonátorok; az üregrezonátorok jósági tényezője; állandó keresztmetszetű hasábüregek rezonanciafrekvenciái 13. Elektromágneses hullámok keltése és vétele; a Hertz-dipólus tere; az antenna irányhatása és nyeresége; egyenes antennák üresjárati feszültsége. 14. Elektromágneses hullámok terjedése az ionoszférában; az ionoszféra relatív dielektromos állandója és vezetőképessége; az ionoszféra hatása a síkhullámok terjedésére. Az 1–6 fejezetek nagyobb anyagrészeket fognak át, ezért ezekhez a fejezetekhez összefoglalás is tartozik. A példák az anyag jobb

megértését szolgálják, áttanulmányozásuk nagyban segíti azok megértését, ill elsajátítását Célszerű ezeket önállóan is megoldani. A jegyzet épít a villamosságtan és a matematika tárgyak ismeretanyagára, nagy szerepet kap a komplex mennyiségekkel történő számítási módszer. Az összefüggéseket az időben és térben változó folyamatok esetében legtöbbször komplex mennyiségekkel írjuk fel. Ezeket az egyenletekben és a szövegben felülvonással jelöljük. Az időben változó skalármennyiségeket az egyenletekben és a szövegben is többnyire kisbetűvel jelöljük, a vektormennyiségeket az egyenletekben és a szövegben vastag szedéssel, az ábrákon nyíllal és felülvonással különböztetjük meg a skalármennyiségektől. Köszönöm dr. Kuczmann Miklósnak és dr Nagy Szilviának az alapos lektori, Gyimesi Lászlónak pedig a gondos és pontos grafikai munkát. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató

Vissza ◄ 9 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató A töltés és elektromos tere Vissza ◄ 10 ► 1. A töltés és elektromos tere A villamosságtan törvényeinek tárgyalását a legalapvetőbb villamos fogalommal, az elektromos töltéssel kezdjük. Bevezetjük a nyugvó töltés által létrehozott elektromos tér, majd a feszültség és a potenciál fogalmát. Ezek alapján definiálhatjuk a kapacitást is. A két legfontosabb cél a fellépő maximális térerősség és az elrendezés kapacitásának számítása Az így kapott eredmények általában akkor is érvényesek, ha a töltések és a feszültségek időben változnak. 1.1 Az elektromos töltés Az elektromágneses jelenségek oka végső soron az, hogy egyes elemi részecskéknek (elektromos) töltésük van. Ez ugyanolyan alapvető (más fogalmakra nem visszavezethető) tulajdonságuk, mint pl az, hogy tömegük van. Azt a tényt, hogy egyes elemi

részecskéknek töltésük van, a töltött részecskék vagy testek egymásra gyakorolt hatásából állapíthatjuk meg. Mindenekelőtt az derül ki, hogy kétfajta töltés van: a protonok töltését pozitívnak, az elektronokét negatívnak tekintjük. (E választásnak történelmi okai vannak; sok szempontból a fordított elnevezés szerencsésebb lett volna.) Az egynemű töltések taszítják, a különneműek vonzzák egymást A töltés mérése elvben kölcsönös erőhatásukra visszavezethető, és így lehetne a töltés egységét is rögzíteni. A gyakorlatban a töltés mérésére külön műszer van: a ballisztikus galvanométer. A töltés jele Q, a Nemzetközi Mértékegység-rendszerben (SI) egysége a coulomb∗ (rövidítve: C), amit így jelölünk: (1) [ Q ] = 1 coulomb = 1 C . Fizikailag a leghelyesebb az lenne, ha rögzítenénk, hogy hány protonnak vagy elektronnak van 1 coulomb töltése, vagy – ami végeredményben ugyanaz – megadnánk

definíciószerűen az elektron töltését coulombban. A töltés egységét azonban nem így rögzítették, hanem az SI-ben a töltés egységét visszavezetik az áramerősség egységére, az amperre (rövidítve: A), eszerint 1C = 1As , (2) ∗ Charles Augustin de Coulomb (1736–1806): francia fizikus. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 10 ► Elektrodinamika A töltés és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 11 ► ahol s a másodperc (szekundum) rövidítése. Megjegyezzük, hogy a nyugvó töltés nagyságrendje általában a coulomb törtrésze, vagyis 1 µC = 1·10–6 C vagy 1 mC = 1·10–3 C nagyságrendű. 1.2 Az elektromos térerősség Tapasztalat szerint a nyugvó töltések egymásra erőhatást fejtenek ki. Ezt a (sztatikus) elektromos tér fogalmának bevezetésével célszerű leírni. Helyezzünk töltött testek közelébe egy

kisméretű, Q töltésű testet. E testre erő hat, amelyet az F erővektorral írunk le. A tapasztalat szerint az F erő arányos a Q töltéssel; pl. a negatív töltésre ható erő ellenkező irányú, mint a pozitív töltésre ható (1.21 ábra) A töltésre ható erőt tehát az alábbi alakban adhatjuk meg: F = QE . (1) Ez az összefüggés az elektromos térerősség E vektorát definiálja. A töltésre ható erő közvetlen oka eszerint az az elektromos tér, amelyet a többi töltés a Q próbatöltés helyén létrehoz. E teret kvantitatíven az elektromos térerősség vektora jellemzi nagyság és irány szerint A térerősség általában minden pontban más Az (1) összefüggésből az erő nagysága és a térerősség nagysága közötti kapcsolat F = QE , (2) ahol F = |F| és E = |E|. Az elektromos térerősség egységét az erő és a töltés egységével az (1) definíció rögzíti. Az SI-ben a töltés egysége [Q] = 1 C = 1 As, az erő egysége [F] = 1

newton = 1 N. Ez utóbbit kifejezhetjük 1 N = 1 J/m = 1 VAs/m alakban is, ahol 1 J = 1 joule∗ a munka, 1 m = 1 méter a távolság és 1 V = 1 volt az elektromos feszültség SIegysége Ezekből az elektromos térerősség egysége [E] = [ F] N VAs 1 V =1 =1 =1 . m As m [Q] C (3) A gyakorlatban a térérősséget sokszor 1 kV/cm = 105 V/m egységben adják meg. Levegőben körülbelül 10 kV/cm = 106 V/m térerősség enged∗ James Prescott Joule (1818–1889): angol fizikus, az energia megmaradására vonatkozó törvény egyik megfogalmazója. Kísérletileg igazolta, hogy az elektromos áram hőt termel A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 11 ► Elektrodinamika A töltés és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ ► 12 hető meg, nagyon jó szigetelőanyagban 1000 kV/cm = 108 V/m is. Egy adóantenna által létrehozott térerősség vételi helyen 10–3

V/m = 1 mV/m nagyságrendű (ez azonban már nem sztatikus jellegű elektromos tér). Az elektrosztatikus terek vizsgálatának egyik fő célja éppen a térerősség vagy a legnagyobb térerősség meghatározása. Utóbbit azért kell ismernünk, mert a szigetelőanyagok csak bizonyos maximális térerősséget tudnak szigetelni, ennél nagyobb térerősség átütést okoz A helyzet analóg a mechanikai szilárdsággal: az anyagok bizonyos mechanikai feszültség fölött megszűnnek szilárd testként viselkedni. 1.21 ábra Az elektromos térerősség vektorának értelmezése a kisméretű (pontszerű) töltésre ható erő alapján Az elektromos erőtér vizsgálata így a villamos szilárdságtan egyik feladata. A térerősség ismerete alapvető fontosságú az elektron- és ionoptikai berendezések tervezésekor is (katódsugárcső, elektronoptikai lencsék, magnetron, klisztron stb.) Az elektromos térerősség meghatározza a töltésre ható erőt, ezért a térerősség

ismeretében meghatározhatjuk a töltött részecskék pályáját. Ezek a vizsgálatok képezik az elektronoptika tárgyát 1.3 A feszültség Ha nyugvó töltések terében egy kisméretű (pontszerű) töltés elmozdul egy A pontból egy B pontba, akkor eközben munkavégzés történik. A töltésre a tér (vagyis a többi töltés) által kifejtett erő F = QE, tehát egy rövid szakaszon a tér által végzett munka (1.31 ábra) dW = F d = FdA = QEdA , (1) ahol Edℓ az E és az ℓ vektor skaláris szorzata. A tér által végzett munka az A–B pálya mentén ezen elemi munkák összege, vagyis B B WAB = ∫ QEdA = Q ∫ EdA . A (2) A A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 12 ► Elektrodinamika A töltés és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 13 ► Ha WAB pozitív, akkor végeredményben a tér végez munkát az elmozdulás során, más szóval a

töltés potenciális energiája csökken. Ha viszont WAB negatív, akkor az elmozdulás csak külső munkavégzés árán lehetséges (a tér által végzett munka negatív), a töltés potenciális energiája növekszik. Fordított irányú mozgás esetén A B WBA = Q ∫ E dA = −Q ∫ E dA = −WAB , B (3) A tehát ugyanazon pálya mentén végzett oda-vissza mozgás során nincs eredő munkavégzés. Amint (2)-ből látható, a Q töltés mozgatása során végzett munka arányos a töltés nagyságával. Célszerű bevezetni a tér által végzett munka és a töltés hányadosát, amely a töltéstől független, és így csak a tértől és a pályától függ. Ez a mennyiség a két pont közötti feszültség: B W U AB = AB = ∫ E dA . Q A (4) 1.31 ábra Az erőtér által végzett munka számítása A (pozitívnak tekintett) Q, töltés az A pontból a B pontba mozog valamilyen úton Matematikailag és fizikailag is nyilvánvaló, hogy ugyanezen két pont közötti

feszültség a pálya fordított irányítása esetén ugyanakkora, csak ellenkező előjelű: A B U BA = ∫ E dA = −∫ E dA = −U AB . B (5) A A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 13 ► Elektrodinamika A töltés és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 14 ► A feszültség egysége∗ a definiáló összefüggésből (1.2-3) és (11-2) felhasználásával [ W ] 1 VAs (6) = = 1 V = 1 volt . [ U] = [Q] 1 As Ugyanezt az eredményt kapjuk az [ U ] = [ E ][ ] = (1V/m )⋅1m = 1V összefüggés alapján is. A hálózati feszültség 230 V Egy akkumulátorcella feszültsége kb 2 V, egy szárazelemcella feszültsége kb 1,5 V A nagy forgógenerátorok feszültsége 10 kV = 10 000 V szokott lenni A nagy távolságú energiaátvitel feszültsége 100 kV800 kV. Atomfizikai kísérletekhez használatos elektrosztatikus (Van de Graaf) generátor feszültsége

néhány MV = 106 V. A legkisebb még mérhető feszültség 10–8 V =0,01 µV nagyságrendű Fontos tapasztalati tény, hogy nyugvó töltések terében tetszőleges zárt görbe mentén a végzett munka eredője nulla: W0 = Q ∫ E dA = 0 . (7) Más szóval azt is mondhatjuk, hogy az elektrosztatikus tér cirkulációmentes, vagyis az E térerősségvektor integrálja bármely zárt görbére nulla: ∫ E dA = 0 . (8) Ebből az alábbi igen fontos tény következik: Elektrosztatikus térben két pont között a feszültség (a tér által valamely töltésen végzett munka) csak a kezdő és végpont helyzetétől függ, az integrációs úttól (a töltés pályájától) azonban független. A (2), (5) összefüggésekben ezért nem jelöltük külön azt, hogy milyen integrációs útról van szó. ∗ Alessandro Giuseppe Volta (1745–1827) olasz fizikusról. Elsőként sikerült elektromos áramforrást készítenie (Volta-oszlop, 1800), így lényegében őt

tekinthetjük az elektromos áram felfedezőjének. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 14 ► Elektrodinamika A töltés és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 15 ► Állításunkat az 1.32 ábra alapján a következőképpen igazolhatjuk Tételezzük fel, hogy az (1), ill a (2) jelű görbe mentén különböző feszültségeket kapunk: B B ∫ EdA, (1) U AB = (2) U AB = A(1) ∫ EdA . (9) A(2) 1.32 ábra A két pont között különböző utak mentén ugyanakkora a feszültség Képezzük e két feszültség különbségét B (1) ( 2) U AB − U AB = B ∫ EdA − ∫ A(1) B EdA = A(2) A ∫ EdA + ∫ EdA . A(1) (10) B( 2) Az A(1)B - B(2)A út zárt görbe, ezért (8) értelmében 1 2 U AB − U AB = ∫ E dA = 0 . () ( ) (11) A két, különbözőnek tekintett feszültség tehát valójában egyenlő: () ( ) 1 2 U AB = U AB = U

AB . (12) Ezzel állításunkat igazoltuk. A feszültség mérése elvben visszavezethető munka és töltés mérésére. A gyakorlatban a feszültség mérésére külön műszer, a voltmérő áll rendelkezésre. A műszer két kapcsát az 133 ábrán látható módon vezetékekkel a mérendő pontokhoz kötjük. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 15 ► Elektrodinamika A töltés és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 16 ► 1.33 ábra Az A és B pontok közötti UAB feszültség mérése voltmérővel Az UAB feszültség mérésekor az A pontot a +, a B pontot a − jelű kapocshoz csatlakoztatjuk. Ha UAB > 0, akkor a műszer kitérése megadja a feszültséget Ha UAB < 0 (vagyis UBA > 0), akkor a mutató az ellenkező irányba igyekszik kitérni; ekkor a kapcsok felcserélésével a pozitív UBA feszültség mérhető. (Vannak középállású

műszerek, ahol nem kell a kapcsokat megcserélni, mert a mutató „negatív” irányban is ki tud térni) 1.4 A potenciál és a potenciálfüggvény A különböző pontok közötti feszültség ismerete igen fontos. Az 141/a ábrán négy pontot vettünk fel (A, B, C, 0) és bejelöltük (egy-egy integrációs görbe feltüntetésével) a különböző feszültségeket. Már ez az egyszerű ábra is elég nehezen áttekinthető. Ennek az az oka, hogy túl sok feszültséget jelöltünk be, ugyanis egy részük a többi ismeretében meghatározható Lényegesen egyszerűsödik a helyzet, ha kijelölünk egy alappontot. Legyen ez az 141/b ábrán a 0 pont 1.41 ábra a) Ha négy pont között minden lehetséges feszültséget bejelölünk, a viszonyok nehezen áttekinthetőek. b) Egyszerűsödik a helyzet, ha csak egy kiválasztott alapponthoz viszonyított feszültséget, a potenciált adjuk meg A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 16

► Elektrodinamika A töltés és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 17 ► Elegendő, ha a többi pont és ezen önkényesen kiválasztott pont közötti feszültséget adjuk meg, éspedig megállapodásszerűen úgy, hogy az integrációs út végpontja a kiválasztott alappont. A feszültség jelölésében ekkor az alappontot nem is kell kiírni, és röviden 0 ΦA = U A0 = ∫ EdA, [Φ ] = [ U ] = 1V (1) A jelöli az A pont potenciálját. (Ugyanígy értelmezhető ΦB, ΦC stb is) Amint látjuk, a potenciál fizikailag ugyancsak feszültség, csak az egyik pontját – éspedig az integráció végpontját – önkényesen rögzítettük. A potenciált szokásos ezért ugyancsak U-val jelölni. A potenciál fizikai tartalmát kifejező összefüggés WA = QΦA , (2) ahol WA a Q töltés helyzeti energiája az A pontban, ΦA a többi töltés által létrehozott potenciál ugyanott. Ha a töltés az

A pontból (bármely úton) a nulla potenciálú 0 alappontba kerül, a tér által végzett munka WA = QΦA, amely például a töltött test kinetikus energiájaként jelentkezik. A potenciált ugyanúgy mérjük, mint a feszültséget; ekkor a + kapocs a mérendő, a − kapocs az alapponthoz kötendő. A potenciál természetesen negatív is lehet, habár sokszor úgy választjuk meg az alappontot, hogy minden potenciálérték pozitív legyen. 1.42 ábra Két pont között a feszültség egyenlő potenciáljaik különbségével A pontok potenciáljának ismeretében már könnyen meghatározható a két pont közötti feszültség. Ehhez használjuk fel azt a tényt, hogy két pont között a feszültség független a térerősség integrálási útjától. Így az 142 ábra A és B pontjai közötti feszültség az A0B görbe mentén számítva: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 17 ► Elektrodinamika A töltés és

elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató B 0 B Vissza 0 ◄ 18 0 U AB = ∫ E dA = ∫ E dA + ∫ E dA = ∫ E dA − ∫ E dA . A A 0 A ► (3) B Az első integrál a ΦA, a második a ΦB potenciált adja, végeredményben: U AB = ΦA − ΦB . (4) A két pont közötti feszültség tehát a két pont potenciáljának különbsége. A „feszültség” kifejezés helyett gyakran a „potenciálkülönbség” (vagy potenciálesés) kifejezést is használják. Az ugyancsak elterjedt „feszültségkülönbség” kifejezés azonban értelmetlen A (4) összefüggés energetikai tartalma: ha egy Q töltés az A pontból a B pontba kerül, ahol a többi töltés által létrehozott potenciál ΦA, ill. ΦB, akkor a tér által végzett munka WAB = QU AB = QΦA − QΦB = WA − WB , (5) vagyis (2) szerint az egyes pontbeli potenciális energiák különbsége. A munkavégzés a töltés pályájától független.

Nyugvó töltések elektromos terében végeredményben bármely ponthoz egyértelműen rendelhető egy potenciálérték. Jelölje r a szóban forgó pont helyzetvektorát és r0 az alappont helyzetvektorát, ekkor a pont potenciálja (1) mintájára r0 Φ (r ) = ∫ E (r ) dr , (6) r ahol Φ(r) nevezhető potenciálfüggvénynek is. A P1(r1) és P2(r2) pontok közötti feszültség kifejezése pedig r2 U12 = Φ (r1 ) − Φ (r2 ) = ∫ E (r ) dr . (7) r1 Újból hangsúlyozzuk, hogy a potenciál alappontjának (a zérus potenciálú pontnak) a kiválasztása teljesen önkényes, és semmilyen lényeges mennyiségre nincs befolyással. Ha például a 0 pont helyett egy másik, 0* pontot tekintünk alappontnak, amelynek potenciálja (a 0 ponthoz viszonyítva) Φ0*, akkor ha egy A pont potenciálja 0-ra vonatkoztatva ΦA = UA0, akkor potenciálja 0*-ra vonatkoztatva ΦA = U A0 = ΦA − Φ0 . Minden potenciálértékből tehát levonódik a Φ0* érték. Ez azonban két pont

közötti fe- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 18 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató A töltés és elektromos tere Vissza ◄ 19 ► szültség számításakor nem játszik szerepet, hiszen a potenciálkülönbség képzése során az additív állandó kiesik. A helyzet teljesen hasonló a magassági szintek megadásához: egy hegy magassága nem függ attól, hogy csúcsának és lábának szintjét a tengerszinthez képest adjuk meg, vagy valamilyen más ponthoz viszonyítjuk. Elméleti számítások során a végtelen távoli pontot, gyakorlati feladatok esetében pedig a földet szokás alappontnak tekinteni, de gyakran más választás a célszerű. 1.5 Erővonalak és szintfelületek Az eddigiek alapján két alapvető lehetőségünk van az elektromos tér szemléltetésére. Felrajzolhatjuk bizonyos pontokban a térerősség vektorát, vagy megadhatjuk

ugyanezen pontokban a potenciált. Ez az ábrázolás azonban áttekinthetetlen lesz, továbbá a térerősségvektorok és a potenciálértékek között nem sok kapcsolatot láthatunk. A térerősség ábrázolásának sokkal célszerűbb módja az erővonalak felrajzolása. Ezek olyan görbék, amelyek érintője minden pontban megadja a térerősség lokális irányát, helyi sűrűségük pedig arányos a térerősség nagyságával (1.51/a ábra) Utóbbi kijelentésünk úgy is megfogalmazható, hogy az erővonalak merőleges távolsága fordítva arányos a térerősség nagyságával. 1.51 ábra a) Az erővonalak rendszere, b) az ekvipotenciális felületek rendszere és c) a két ábra összerajzolva A potenciálfüggvényt célszerűen a szintfelületek vagy ekvipotenciális felületek segítségével ábrázolhatjuk. Ezek azon felületek, amelyek mentén a potenciál meghatározott állandó érték. Célszerű, ha az egymás utáni állan- A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 19 ► Elektrodinamika A töltés és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 20 ► dó potenciálértékek különbsége ugyanakkora (a potenciálértékek pl. 0 V, 100 V, 200 V stb.) Ábrázolni többnyire az ekvipotenciális felületek síkmetszetét szoktuk (151/b ábra) Ugyanazon tér erővonal- és szintfelületábrája között szoros kapcsolat van. Mindenekelőtt az erővonalak merőlegesek a szintfelületekre Ez következik pl abból, hogy állandó potenciálú felület mentén mozgatva egy töltést, nincs munkavégzés. Ennek megfelelően a ható erőnek és így a térerősségnek nem lehet a felület irányába eső összetevője – vagyis a térerősség és így az erővonalak is merőlegesek az ekvipotenciális felületre. A térerősségvektor (tehát az erővonal is) merőleges az ekvipotenciális felületre, és a kisebb potenciálérték

felé mutat. A két ábra közötti másik kapcsolat a nagyságokkal kapcsolatos. Ahol nagyobb a térerősség, ott az erővonalak – definíciójuk alapján – sűrűbben helyezkednek el. E helyeken az ekvipotenciális felületek távolsága is kicsi (1.51/c ábra) Jelölje ugyanis valahol d két ekvipotenciális felület merőleges távolságát, akkor egy erővonal mentén integrálva (E és dℓ párhuzamosak) B B ΦA − ΦB = ∫ EdA =∫ Ed ≈ E ⋅ d; d = A AB . (1) A Ha az U = ΦA−ΦB potenciálkülönbséget állandónak tartjuk, akkor a d= U E (2) távolság annál kisebb, mennél nagyobb a térerősség. Tehát – amint állítottuk – ahol a térerősség nagy, ott az erővonalak is és az ekvipotenciális felületek is közel helyezkednek el A legszemléletesebb képet az erőtérről tehát akkor kapjuk, ha az erővonalakat és az ekvipotenciális felületeket összerajzoljuk (1.51/c ábra) Az eddigiek alapján nyilvánvaló, hogy pozitív töltés

környezetében az erővonalak elmutatnak a töltéstől, mert ott egy másik pozitív töltésre taszító erő hat. Ennek megfelelően negatív töltés környezetében az erővonalak a töltés felé mutatnak, mert a pozitív töltésre vonzóerő hat (lásd az 161 ábrát) Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy az erővonalak a pozitív töltésekből indulnak ki és a negatívokon végződnek, vagyis a pozitív töltés az erővonalak forrása, a negatív töltés az erővonal nyelője. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 20 ► Elektrodinamika A töltés és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 21 ► 1.6 Az elektrosztatika Gauss-tétele∗ Az eddigiekben a töltések által létrehozott teret adottnak tekintettük. Vizsgáljuk most azt a kérdést, milyen kapcsolat van az elektromos tér és az azt létrehozó töltések között. Ez az eddigiek alapján

elméletileg nem állapítható meg; a problémára csak a tapasztalat adhat választ A kísérletek eredménye lényegileg úgy fogalmazható meg, hogy egy zárt felületen átmenő erővonalak összes száma arányos a felület által bezárt töltéssel. A felületből kilépő erővonalak számát eközben pozitívnak, a belépőket negatívnak tekintjük. Az „erővonalak összes száma” tehát lehet pozitív ekkor a felület által körülzárt töltések összege pozitív), lehet negatív (a töltések összege negatív), de lehet nulla is (ugyanannyi erővonal lép ki, mint be; a felületen belül egyáltalában nincs töltés vagy ugyanannyi pozitív és negatív töltés van). Néhány tipikus eset látható az 161 ábrán Itt (önkényesen) felvettük, hogy a Q > 0 töltésből éppen 8 erővonal indul ki, tehát a −Q < 0 töltésen ugyancsak 8 erővonal végződik. A különböző zárt felületek által bezárt töltést ΣQ jelöli. 1.61 ábra A zárt

felületet metsző erővonalak és a körülzárt töltés kapcsolata ∗ Karl Friedrich Gauss (1777–1855): kiemelkedő jelentőségű német matematikus, fizikus és csillagász, a göttingeni egyetem tanára és a csillagászati obszervatórium igazgatója. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 21 ► Elektrodinamika A töltés és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 22 ► Nézzük most a fenti tétel szabatosabb megfogalmazását. Az E térerősség az erővonalak sűrűségével arányos, ezért egy az E térérősségvektorra merőleges dA felületen az átmenő erővonalak száma EdA. Ha a felületelem nem merőleges a térerősségre, akkor vagy a térerősség, vagy a felületelem merőleges összetevőjét kell vennünk, vagyis az erővonalak száma (1.62 ábra) E n dA = EdA cos α = EdA , ill. EdA n = EdA cos α = EdA , (1) ahol EdA az E és a dA

vektorok skaláris szorzata. Tehát a felületelemet vektormennyiségnek tekintjük, és mindig úgy irányítjuk, hogy az a zárt térrészből kifelé mutasson. Ezáltal a térrészből kifelé mutató erővonalakat pozitív, a befelé mutatókat negatív előjellel vesszük figyelembe. 1.62 ábra Az „erővonalszám” meghatározása, az elektromos térerősség felület menti integráljának képzésével A zárt felület erővonalainak algebrai összegét az EdA mennyiségek összegezésével kapjuk, vagyis az E vektor zárt felület menti integrálját kell képeznünk. Ha a vizsgált térrészben egynemű (homogén) közeg van, akkor az erővonalszám arányos a felület által körülzárt Q összes töltéssel: 1 ∫ EdA = ε Q . (2) A Az ε arányossági tényező a tapasztalat szerint a közegre jellemző állandó. Egyes anyagoknál ε függ a térerősségtől, a hőmérséklettől stb. is Egyelőre arra az esetre szorítkozunk, amikor ε állandónak tekinthető

(homogén, lineáris közeg). Az ε tényező az (abszolút) permittivitás vagy (abszolút) dielektromos állandó. Értékét elvben a fenti összefüggés alapján is megmérhetjük (A tényle- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 22 ► Elektrodinamika A töltés és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 23 ► ges mérés elvére az 2.4 szakaszban visszatérünk) A permittivitás egysége a (2) összefüggés alapján: [ε] = [Q] As As . = = 2 [ E ][ A ] (V / m) m Vm (3) A vákuum – és jó közelítéssel a levegő – permittivitása ε0 = 8,854 ⋅10−12 As 10−9 As = . Vm 4π⋅ 9 Vm (4) Az anyagok permittivitását ε = ε0ε r , ε r ≥ 1 (5) alakban szokás megadni, ahol εr a relatív permittivitás, amely puszta szám. A táblázatok csak az εr értéket tartalmazzák, és általában csak ε-nal jelölik. Ennek egyrészt történelmi oka

van, másrészt ε/ε0 = εr az egységrendszertől független viszonyszám, az ε0 értéke pedig az egységrendszertől is függ. A legtöbb anyagra εr < 5. A (2) összefüggés felírható az alábbi alakban is: ∫ εEdA = Q . (6) A Az összefüggés ebben az alakjában akkor is igaz, ha a teret kitöltő anyag nem homogén. Ekkor az integrálás során az E térerősségvektort azon közeg permittivitásával kell szorozni, amely a felület vizsgált helyén van. Összefüggésünk egyszerűbb alakra hozható a D = εE (7) gerjesztettségi vagy eltolási vektor bevezetésével. Ezzel a töltés és az elektromos tér kapcsolata az alábbi egyenlettel fejezhető ki (163 ábra) ∫ DdA = Q , (8) A ahol Q a zárt A felületen belül elhelyezkedő összes töltés. Az összefüggés az elektrosztatika Gauss-tétele, amely egészen általános érvényű. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 23 ► Elektrodinamika A

töltés és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 24 ► A Q töltést kifejezhetjük a ρ töltéssűrűséggel is: Q = ∫ ρdV . (9) V A töltéssűrűség a térfogategységben lévő töltés értékét adja meg, így mér- tékegysége C/m3. A Gauss-tétel ezek után így írható: ∫v DdA = ∫ ρdV , A (10) V ahol V az A zárt felület által határolt térrész térfogata. Egyes speciális anyagokra a D = εE összefüggés nem érvényes, mert D és E között bonyolultabb kapcsolat van. Ilyenkor (8) a D-vektor definíciója 1.63 ábra Az elektrosztatika Gauss-tétele értelmében a D eltolási vektor integrálja egy zárt felület mentén egyenlő a felület által körülzárt töltések algebrai összegével Az eltolási vektor egysége (8)-ból [ D] = [Q] As . =1 [A ] m2 (11) Ugyanezt az eredményt kapjuk a [ D] = [ε][ E ] összefüggés alapján is. A (8) összefüggésnek szemléletes

jelentést adhatunk, ha a töltést az 1.73 ábrának megfelelően egy olyan fémburkolattal vesszük körül, amely teljesen zárt. Ekkor az elektromos influencia vagy más néven töltésmegosztás következtében a burokban lévő töltések úgy mozdulnak (tolódnak) el, hogy A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 24 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató A töltés és elektromos tere Vissza ◄ 25 ► a pozitív töltésből kiinduló erővonalak negatív töltéseken végződhessenek, mintegy semlegesítve a középpontban lévő pozitív töltést, azaz ugyanannyi negatív töltés lesz a burkolat belső részén, mint amennyi pozitív a burok belsejében van. Ha a dA felületen lévő eltolt töltést elosztjuk dA-val a felületelem nagyságával, akkor megkapjuk D értékét, DdA viszont az a −dQ, ill. +dQ töltés, amelyeket ha összegzünk pont ±Q-t kapjuk meg Az

elmondottak figyelembevételével a tér bármely pontjában meg is mérhetjük az eltolási vektort a 1.64 ábrán látható elrendezés segítségével Ez egy az illető pontban szigetelten elhelyezett, először összeérintett, majd széthúzott lemezpár, melyek valamelyikén a szétválasztott töltést megmérjük. A lemezpárt addig forgatva, míg a maximális töltést meg nem kapjuk, az eltolási vektor irányát is megállapíthatjuk. Nagysága a szétválasztott töltés és a lapocska felületének hányadosa. 1.64 ábra A villamos eltolás nagyságának mérése Az eltolási vektor ugyanúgy jellemzi a teret, mint a térerősségvektor. Utóbbit alapvetőbbnek tekintjük, mert ez adja meg a töltésre ható erőt és a munkavégzést. Az eltolási vektor viszont szorosabb kapcsolatban áll a teret gerjesztő töltésekkel. A D vektort ugyanúgy ábrázolhatjuk erővonalakkal (helyesebben D-vonalakkal), mint az E vektort A szakasz elején kissé felületesen

megfogalmazott tétel voltaképpen nem az erővonalakra (E-vonalakra), hanem a D-vonalakra igaz. Ha a teret kitöltő közeg homogén, akkor a kétfajta vektorvonal csak léptékben tér el egymástól (az állandó ε szorzónak megfelelően) A léptékeket mindig választhatjuk úgy, hogy a két vektorra vonatkozó erővonalkép azonos legyen. Ha azonban többfajta közeg van jelen, akkor mindig külön fel kell rajzolni a kétféle erővonalképet A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 25 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató A töltés és elektromos tere Vissza ◄ 26 ► 1.7 Vezetők és szigetelők Az anyagok az elektrosztatika szempontjából két, élesen elválasztott csoportra oszthatók: vezetőkre és szigetelőkre. Az (ideális) vezetőkre az jellemző, hogy bennük a töltések erőmentesen (tehát munkavégzés nélkül) elmozdíthatók. Ebből azonnal

következik, hogy sztatikus erőtér esetén a térerősség a vezető felületére mindig merőleges (nincs érintőleges erő- és így térerősség-összetevő), vagyis a vezető felülete ekvipotenciális. A vezető belsejében nem lehet térerősség, ezért a kiterjedt vezető test is ekvipotenciális, és potenciálja megegyezik a felület potenciáljával. Ez a tény megkönnyíti az erővonalak és az ekvipotenciális felületek kvalitatív felrajzolását A vezető test környezetében az ekvipotenciális felületek nagyjából hasonló alakúak, mint a vezető felülete. Tipikusan vezető anyagok a fémek A vezetőben könnyen elmozduló töltések éppen úgy helyezkednek el, hogy a vezető ekvipotenciális legyen. A töltések egymást taszítják, ezért eleve a vezető felületén foglalnak helyet (1.71 ábra) 1.71 ábra a) Pozitív töltésű elektróda és b) influáló hatása egy töltetlen, ill. c) pozitív töltésű elektródára A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 26 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató A töltés és elektromos tere Vissza ◄ 27 ► Ha több vezető van jelen, akkor töltéseik kölcsönösen hatnak egymásra, tehát a töltéseloszlás megváltozik. Egy töltött vezető környezetében egy töltetlen vezető két oldalán ellenkező előjelű töltések jelennek meg, amelyek összege természetesen nulla (1.71/b ábra) Ez az elektromos influencia (töltésmegosztás) jelensége Az influencia következtében előfordulhat, hogy egy pozitív töltésű vezető felületének egy részén (egy másik pozitív töltésű vezető hatására) negatív töltések jelennek meg (171/c ábra) Az elektrosztatika Gauss-tétele értelmében a töltött testből kiinduló erővonalak (pontosabban: D-vonalak) összes száma az eredő töltéssel arányos. Például az 171/b ábra töltetlen vezetőjéből ugyanannyi

erővonal lép ki, mint amennyi beleszalad, vagyis az erővonalak összes száma nulla. Az elmondottak alapján belátható, hogy valamilyen térrészt (pl. egy műszert) hogyan lehet „árnyékolni” a külső elektrosztatikus térrel szemben. Ha az árnyékolandó berendezést az 172 ábrán látható módon üreges vezető belsejébe helyezzük, akkor az influált töltések úgy helyezkednek el, hogy a vezető ekvipotenciális legyen. Ugyanekkora a potenciál az üreg minden pontjában, vagyis az üregben nincs elektromos tér. 1.72 ábra Üreges vezető belsejében a térerősség nulla Ez a hatás felhasználható külső elektromos tér árnyékolására Megoldható azonban a fordított feladat is: valamely töltött elektróda terének árnyékolása a külvilág szempontjából. Ha a töltést az 173 ábrán látható módon fémburkolattal vesszük körül, akkor a külső felületen elhelyezkedő influált töltések még létrehoznak kívül teret Ha azonban az

árnyékoló elektródát földeljük (nulla potenciálra kötjük), akkor a Q töltés által „lekötött” negatív töltések a helyükön maradnak, a külső felület +Q töltése viszont a földre megy (1.73/b ábra) Ezáltal a külső tér (a Gausstétel értelmében) valóban nulla lesz Tapasztalat szerint mindkét árnyékolásra felhasználható tömör fém helyett elég sűrű fémháló is A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 27 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató A töltés és elektromos tere Vissza ◄ 28 ► 1.73 ábra a) Ha egy töltött elektródát zárt fémburokkal veszünk körül, kívül továbbra is észlelünk teret. b) Az árnyékolás akkor biztosítható, ha a nem lekötött töltéseket földeléssel eltávolítjuk A szigetelőkre (más szóval: dieletrikumokra) az jellemző, hogy bennük a töltések nem mozdulhatnak el. Ha tehát két fémes

vezetőre (elektródára) különböző előjelű töltést helyezünk, és szigetelőanyaggal elválasztjuk őket, akkor a töltések a fellépő vonzóerő ellenére sem tudnak egyesülni. Ha azonban a vonzóerő elér egy kritikus értéket, akkor a szigetelőanyag nem tudja már hivatását betölteni: megindul a töltések áramlása. A szigetelőképesség határát – mint már említettük – az anyagra jellemző átütési térerősség (átütési szilárdság) szabja meg Néhány tájékoztató érték: levegőre Ea = 30 kV/cm = 3·106 V/m, transzformátorolajra Ea = 300 kV/cm, PVC-re Ea=400 kV/cm ~ 1000 kV/cm. Az adatok azért is csak tájékoztató jellegűek, mert adott anyag átütési térerőssége még a hőmérséklet, a nyomás, a rétegvastagság stb. függvénye is Elektrosztatikus szempontból a vezetők között nincs különbség, míg a szigetelőanyagok jellemzője a permittivitásuk. A vezetőkre a permittivitás elektrosztatikus szempontból nincs

értelmezve, mert a vezető és a szigetelő között minőségi és nem mennyiségi különbség van. Nyilvánvaló, hogy a „vezető közeg” – „szigetelőanyag” merev szembeállítás nem felel meg a fizikai valóságnak. A töltések elmozdításához fémes vezetőben nagyon kis erőre van csak szükség, de ez az erő mégsem nulla, és nyilván nem is ugyanakkora a különböző vezető közegekre. Másrészt a szigetelőanyagokban még az átütési térerősségnél kisebb, tehát nemcsak nagyon nagy erő hatására bekövetkezik a töltések kismértékű mozgása. A vezetőképesség, ill szigetelőképesség számszerű jellemzésével a 3. fejezetben foglalkozunk, ahol megismerkedünk a fajlagos vezetés, ill a A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 28 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató A töltés és elektromos tere Vissza ◄ 29 ► fajlagos ellenállás

fogalmával. Ebben a fejezetben azonban megmaradunk az ideális vezető és az ideális szigetelő fogalmainál. 1.8 Tükrözéses módszer Gyakorlati fontossága miatt érdemes külön beszélni a síknak tekintett föld (nulla potenciálú elektróda) hatásáról, amely a szuperpozíció-elv alkalmazásával egyszerűen figyelembe vehető. Lineáris közegben (ε = állandó) az elektródák által létrehozott térerősség és potenciál összegezhető, vagy más szóval szuperponálható. Az 181/a ábrán két elektróda (pl két gömb) és a nulla potenciálú sík föld látható. Tekintsük most az 181/b ábrát, amelyen elhagytuk a sík elektródát, viszont feltüntettük az eredeti elektródák „tükörképét” a földre nézve. A tükörképek töltése és potenciálja is legyen ugyanakkora, de ellenkező előjelű, mint az eredetieké. A szimmetriából következik, hogy a felező sík (a föld felszíne) biztosan nulla potenciálú. Ha tehát sikerül megoldanunk az

1.81/b ábrán látható feladatot (négy töltés terének szuperponálásával), akkor megoldottuk az eredeti feladatot is. A felső térrészben ugyanis a viszonyok pontosan megegyeznek, az alsó térfélre adódó eredmények pedig érdektelenek, mert ott valójában a potenciál és a térerősség értéke is nulla. Az eljárás láthatólag több töltés esetén is alkalmazható, csak a számítási munka lesz nagyobb. 1.81 ábra A nulla potenciálú sík (föld) felett elhelyezkedő vezetők tere tükrözéssel számítható. a) A valódi töltések és b) a tükrözött töltések szimmetriasíkja nulla potenciálú A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 29 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató A töltés és elektromos tere Vissza ◄ 30 ► 1.9 A feszültség iránya A jelölésekkel kapcsolatban még az alábbiakat jegyezzük meg. Két pont közötti feszültség

megadásakor gyakran felesleges a kettős indexet kiírni. A potenciál jelölésének ismertetése során már láttuk, hogy UA0 helyett egyszerűen ΦA vagy UA írható, mert megállapodásszerűen a térerősség integrációs útját A–0 irányúnak választjuk, amit az 1.91/b ábrán látható módon jelölhetünk. Ezt a nyilat úgy is felfoghatjuk, mint egy képzeletbeli erővonalat, ha minden pont potenciálját pozitívnak tekintjük. Amennyiben valamelyik elektróda potenciálja a valóságban negatív (1.91 ábrán a B jelű elektróda), akkor az erővonal valódi iránya 0−B irányú (1.91/a ábra), így a B–0 irányú integrálás eredménye negatív. Ezt az 191/b ábrán a B–0 irányítású vonal mellett feltüntetett negatív potenciálértékkel adtuk meg 1.91 ábra A feszültség irányán egy erővonal feltételezett irányát értjük Ha az erővonal tényleges iránya ezzel egyező (a nyíl a nagyobb potenciálú helytől a kisebb potenciálú felé mutat),

a feszültség vagy potenciál pozitív értékű, ellenkező esetben negatív értékű Hasonlóan járhatunk el két pont (vagy két elektróda) közötti feszültség megadása esetén. Az 191 ábrával kapcsolatban az UAB = 150 V vagy az UBA = −150 V megadása teljesen egyértelmű, és azt mutatja, hogy ΦA > ΦB. Ha el akarjuk hagyni a kettős indexet, akkor az ábrába berajzolunk egy integrációs utat (vagy képzeletbeli erővonalat) Ha ez – mint az 1.9/b ábrán – AB irányú, akkor az U jelölés UAB helyett áll, és esetünkben U = 150 V írható, ami a berajzolt nyíllal együtt egyértelmű. Ha fordított nyilat rajzolunk be, akkor az U jelölés UBA helyett áll, és így U = −150 V lenne. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 30 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató A töltés és elektromos tere Vissza ◄ 31 ► Összefoglalva: a feszültség

nyíliránya olyan, hogy a nagyobbnak tekintett potenciálú pontból a kisebbnek tekintett potenciálú felé mutat. Ha a potenciálviszonyok az elképzeltekkel megegyeznek, akkor a feszültség értéke pozitív, ellenkező esetben negatív. A rövidség kedvéért a „feszültség irányáról” szoktunk beszélni. Ez elvileg nem egészen helyes, mert a feszültség nem irányított (vektoriális) mennyiség, de sokkal kényelmesebb, mint ha a „feszültség számítása során felvett integrációs görbe irányát” mondanánk helyette. A feszültség „iránya” tehát a pozitívabb ponttól a negatívabb felé mutat, vagy másként megfogalmazva: a feszültség iránya megegyezik a potenciálesés (potenciálcsökkenés) irányával. A nyilat egyébként fordítva is felvehetjük: ha a potenciálemelkedés irányába mutat, a feszültség negatív. Sok feladatban nem is ismerjük előre a potenciálviszonyokat. Ha pl három elektródán nagyjából egyforma pozitív

töltés van, akkor nehéz megjósolni, hogy melyik potenciálértéke a legnagyobb és melyik a legkisebb. Ilyenkor önkényesen felvesszük a feszültség irányát, elvégezzük a számítást, amelynek eredménye vagy pozitív, vagy negatív. A pozitív előjelű eredmény arra mutat, hogy „eltaláltuk” a potenciálesés irányát, a negatív feszültségérték pedig annak a jele, hogy a feszültség tényleges iránya éppen ellenkezője a felvettnek. Az ilyen előre felvett irányt referenciairánynak (vonatkozási iránynak, mérőiránynak) nevezzük Az elnevezés arra utal, hogy a számítás vagy a tényleges mérés során a nyíl talppontját pozitívabbnak tekintjük a hegyénél. A pozitív eredmény vagy a műszer helyes kitérése azt mutatja, hogy a felvett referenciairány a valódi iránnyal megegyezik, a negatív előjelű eredmény vagy a műszer fordított kitérése pedig arra utal, hogy a valódi irány a felvett referenciairánnyal ellentétes.

Megjegyezzük, hogy alkalmazható a fordított megállapodás is, tehát amikor a nyíl, vagyis a feszültség iránya a potenciálemelkedés irányát adja meg. A továbbiakban azonban a feszültség irányán mindig a potenciálesés irányát fogjuk érteni. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 31 ► Elektrodinamika A töltés és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 32 ► 1.10 Összefoglalás A nyugvó töltések elektromos terét alapvetően az elektromos térerősség jellemzi, amelyet a nyugvó töltésre ható erő definiál: V F = QE, [Q ] = 1C = 1As, [ E ] = 1 . m A térerősség erővonalakkal szemléltethető; ezek irányított érintője megadja a térerősség irányát, lokális sűrűségük arányos a térerősség nagyságával. Az erővonalak a pozitív töltéseken erednek és a negatívokon végződnek. Töltést zárt görbe mentén mozgatva a

végzett munka nulla, vagyis a sztatikus tér cirkulációmentes: ∫ EdA = 0 . Ennek következtében két pont közötti elmozdulás során a tér által végzett munka (és ennek a töltéssel osztott értéke: a két pont közötti feszültség) független a pályától (az integrációs úttól), tehát a kezdő- és végpont egyértelműen meghatározza: B U AB = WAB = ∫ EdA, [ U ] = 1 V . Q A A fix alapponthoz mért feszültséget potenciálnak nevezzük. Két pont közötti feszültség egyenlő potenciáljaik különbségével: 0 ΦA = ∫ EdA, U AB = ΦA − ΦB . A A potenciálfüggvény az azonos potenciálú pontokat összekötő felületekkel, az ekvipotenciális felületekkel (szintfelületekkel) szemléltethető. Az erővonalak és a potenciálfelületek merőlegesek egymásra. A vezető test (és így felülete is) ekvipotenciális. A feszültség vagy a potenciál „irányán” a potenciálesés irányát értjük, tehát a nagyobb potenciálú ponttól a

kisebb potenciálú felé mutat, mint a térerősség is. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 32 ► Elektrodinamika A töltés és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 33 ► A másik térjellemző vektor az eltolási vagy gerjesztettségi vektor: D = εE; ε = ε0 ε r , ε0 = 8,854 ⋅10−12 As 10−9 As , = Vm 4π ⋅ 9 Vm ahol ε a közegre jellemző permittivitás, ε0 a vákuum permittivitása és εr ≥ 1 a relatív permittivitás (levegőre εr = 1). Az elektrosztatika Gausstétele értelmében valamely zárt felületen keresztülmenő D-vonalak összes száma egyenlő a felület által körülzárt Q töltéssel, azaz ∫ DdA = Q, A [ D] = 1 As . m2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 33 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név-

és tárgymutató Vissza ◄ 34 ► 2. Elektrosztatikus terek számítása Az elektrosztatikus feladatok áltálában a következőképpen szólnak. Adva van az elektródák alakja és a köztük levő szigetelőanyag permittivitása. Adott továbbá az egyes elektródák potenciálja (ritkábban az elektródák töltése vagy egyes elektródák potenciálja és a többi töltése). Meghatározandó a legnagyobb térerősség vagy a térerősség bizonyos pontokban (esetleg az ismeretlen potenciál és töltésértékek). A megadott összefüggések alapján a feladat elvben megoldható. Az általános módszer nagy matematikai apparátust igényel, és ennek ellenére is csak speciális esetekben vezet gyakorlatilag használható eredményre. Néhány, a gyakorlatban előforduló, egyszerű geometriájú probléma azonban eddigi ismereteink alapján elemi módszerekkel is megoldható. Mindenekelőtt szükséges, hogy kvalitatív megfontolások alapján képet alkossunk magunknak

az erővonalak és az ekvipotenciális felületek várható menetéről. A lényeges elveket újból összefoglaljuk: az elektródák ekvipotenciálisak, az erővonalak rájuk merőlegesek, a pozitív töltéseken erednek és a negatívokon végződnek. 2.1 Elektrosztatikus terek számítása a töltésből Noha ténylegesen az elektródák potenciálja adott, tekintsük ismertnek a töltésüket. Ha az elektródák bizonyos szimmetriát mutatnak (pl koncentrikus gömbök, koaxiális hengerek stb), akkor szimmetriamegfontolások alapján meghatározhatjuk az ekvipotenciális felületeket. Tételezzük fel még azt is, hogy e felületek mentén a permittivitás állandó, és hogy a szimmetriaviszonyok alapján azt is megállapíthatjuk, hogy a térerősség is állandó. Alkalmazzuk most az (16-8) Gauss-tételt egy ilyen A felületre A felület ekvipotenciális, tehát E és dA párhuzamosak, továbbá feltételünk szerint a felület mentén ε és E = E állandó, így Q = ∫ DdA =

∫ εEdA = ∫ εEdA = εE ∫ dA = εEA . A A A (1) A A mondott feltételek mellett a térerősség kifejezhető a töltéssel: E= Q , εA A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (2) Vissza ◄ 34 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 35 ► ahol A valamilyen koordináta (pl. a sugár) függvénye, ezért E is függvénye ezen koordinátának. Ha a térerősségfüggvény már ismert, akkor valamely P pont potenciálja (1.4-1) értelmében 0 ΦP = ∫ Ed , PO: erővonal, (3) P ahol az integrálás útjául erővonalakat választunk, mert akkor nem kell vektorokkal számolnunk, hiszen E és dℓ párhuzamosak. A vektorok kiküszöbölésekor azonban ügyeljünk arra, hogy ha E és dA, ill E és dℓ ellenkező irányúak, akkor EdA = −EdA, ill Edℓ = −Edℓ Ha most (3) alapján meghatározzuk valamennyi elektróda

potenciálját, akkor a kapott lineáris egyenletrendszerből az eddig adottnak tekintett töltések kifejezhetők a potenciálok segítségével. Hasonló a helyzet a „vegyes” feladatok esetében, amikor egyes töltések ténylegesen adottak Az eljárás bizonyos esetekben akkor is alkalmazható, ha a dielektrikum nem homogén, vagyis az ε permittivitás csak térrészenként állandó. Ehhez az szükséges, hogy kvalitatív megfontolások alapján megállapíthassuk, hogy a különböző permittivitású térrészek határoló felülete vagy ekvipotenciális (vagyis az erővonalakra merőleges; keresztirányban rétegezett szigetelés), vagy az ekvipotenciális felületre merőleges (vagyis az erővonalakra simul; hosszirányban rétegezett szigetelés). Utóbbi esetben a Gausstétel alkalmazása során a zárt A felületet olyan részekre bontjuk, amelyek mentén ε állandó, vagyis ekkor Q = ∫ DdA =∫ εEdA = ∑ ε k EA k = E ∑ ε k A k , A k A E= (4) k Q . ε A

∑ k k (5) k A feladat megoldása, sőt már a kiindulási feltételek ellenőrzése is csak igen egyszerű elrendezések esetén reményteljes analitikusan, mint például síkkondenzátor, koncentrikus gömbök, koaxiális hengerek. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 35 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 36 ► 2.2 Az elektromos térerősség meghatározása a potenciálból A potenciál skalár, a térerősség vektormennyiség, ezért a térerősség meghatározásakor a nagyság mellett az irányt is meg kell adnunk. Tudjuk, hogy a térerősség iránya merőleges az ekvipotenciális felületek irányára, és azt is, hogy a nagyobb potenciálú szintfelülettől a kisebb potenciálú irányába mutat. Ha két egymáshoz közeli ekvipotenciális felület közötti potenciálkülönbség ∆Φ = Φ2 – Φ1, akkor ez

azt jelenti, hogy ∆Φ = −E∆A , (1) azaz a tér által végzett munka a potenciál csökkenését okozza (∆ℓ az erővonal egy kis darabja). Fejezzük ki E-t, az elektromos térerősség nagyságát: E =− ∆Φ . ∆A (2) Az E pontos értékét akkor kapjuk, ha ∆ℓ 0: ⎛ ∆Φ ⎞⎟ E = lim ⎜⎜− ⎟. ∆A0 ⎜ ⎝ ∆A ⎠⎟ (3) Ha E-t megszorozzuk azzal a ∆A/∆A egységvektorral, amelynek iránya a kisebb potenciálú szintfelület irányába mutat, akkor ezzel teljes egészében meghatároztuk a térerősséget: ⎛ ∆Φ ∆A ⎞⎟ ∆Φ ∆A . E = lim ⎜⎜− ⎟⎟ = − ∆lim ∆A 0 ⎜ A 0 ⎝ ∆A ∆A ⎠ ∆A ∆A (4) Tulajdonképpen a potenciálfüggvény deriváltját kell képezni egy az ekvipotenciális felületekre merőleges és az alappont felé mutató irányban, majd ehhez az értékhez hozzá kell rendelni az ekvipotenciális felület kisebb potenciálok felé mutató irányát, végül a kapott eredményt −1-gyel

szorozni kell. Ez már alkalmazható számítási eljárás De alakítsuk tovább a (4) kifejezést az alábbi módon: ∆Φ∆A , ∆A0 ∆V E = − lim A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (5) Vissza ◄ 36 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 37 ► ahol ∆V = ∆ℓ∆A. A kapott összefüggést érdekes módon még így is írhatjuk: 1 1 E = − lim (6) v ΦdA =− lim v Φ dA . ∆V 0 ∆V ∫ V0 V ∫ A A A ∆ℓ szerinti határértékképzést ∆V, ill. V szerintivel helyettesítettük, hiszen ha ∆ℓ 0, akkor igaz, hogy ∆V 0, ill V 0 Ha még az is fennáll, hogy ∆A 0, akkor ∆A helyett dA-t írhatunk, az összegezés helyett pedig integrált. A számlálóban – mint látni fogjuk – a teljes zárt felületre kiterjesztett integrálás miatt tehetünk ∆Φ helyébe Φ-t. Maga az integrál egy olyan

tetszőleges alakú zárt felületre vonatkozik, amely körülveszi azt a pontot, ahol E-t a potenciálból ki akarjuk számítani. Az 221 ábrán ez a felület egy kis kocka, amely két oldallapjával két ekvipotenciális felületbe simul. E két oldallap felületvektora ∆A1, ill. ∆A2 2.21 ábra A zárt felület szemben lévő pontjain a ∆A felületvektorok ellentétes irányúak Ha az integrált erre a zárt felületre meghatározzuk, azaz képezzük valamennyi Φ∆A szorzatot, és ezeket összegezzük, akkor az ekvipotenciális felületekbe simuló oldallapok ellentétes iránya miatt a potenciálok különbsége képződik. Pl a Φ1 és Φ2 ekvipotenciális felület esetében azt kapjuk, hogy (7) Φ1∆A1 + Φ2 ∆A 2 = Φ2 ∆A 2 − Φ1∆A 2 = (Φ2 − Φ1 ) ∆A 2 = ∆Φ∆A 2 , A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 37 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 38 ► ami ugyanaz, mint a (4) és (5) számlálójában lévő szorzat, ha ∆ℓ 0, mert ekkor ∆A2 ∆A. Látjuk továbbá azt is, hogy azok a felületelemek, amelyek irányában Φ nem változik nem módosítják az integrált, hiszen ezek esetében ∆Φ = 0. Tehát (6) és (5) ugyanazt az eredményt adja A 1 v Φ (r ) dA V0 V ∫ A lim kifejezéssel megadott vektort a Φ(r) skalár-vektor függvény gradiensének nevezzük, és gradΦ(r)-rel jelöljük. Ez a definíció – mint látjuk – koordináta-rendszertől független. Tehát 1 v Φ (r ) dA , V0 V ∫ A grad Φ (r ) = lim (8) amivel a térerősségre kapott kifejezésünk így írható: E = −grad Φ (r ) . (9) A gradΦ(r) (8)-ból is láthatóan vektormennyiség. Továbbá (4)-et és (9)-et összehasonlítva azt látjuk, hogy grad Φ ≈ ∆Φ ∆A . ∆A ∆A (10) (10)-ből leolvasható, hogy a) a gradiens merőleges az ekvipotenciális

felületre, mert ∆A/∆A a felületre merőleges egységvektor, b) nagysága a skalártér változásának, azaz a hosszúságegységre eső növekedésének mértéke az ekvipotenciális felületre merőleges irányban: grad Φ ≈ ∆Φ , ∆A (11) ill. ∆Φ ≈ grad Φ ∆A . (12) További megállapítást tehetünk a gradiensvektorra vonatkozóan, ha (12) mindkét oldalát megszorozzuk cosα-val: ∆Φ’ = ∆Φ cos α ≈ grad Φ ∆A cos α . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (13) Vissza ◄ 38 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 39 ► (13) jobb oldala gradΦ∆ℓ skalárszorzat kifejtett alakja, tehát ∆Φ’ = ∆Φ cos α ≈ grad Φ ∆A , (14) ami nem más, mint a skalártér megváltozásának kifejezése, ha az elmozdulás a gradiensvektorral α szöget zár be. Látjuk, hogy ennek maximális értéke

∆Φ, mert cosα ≤ 1 Tehát azt mondhatjuk, hogy a gradiensvektor iránya az az irány, amelyben a Φ függvény helyi változása a legnagyobb Ha a zárt felületet adó kockát úgy helyezzük el a tér egy adott P pontjában, hogy oldalélei a koordinátatengelyekkel párhuzamosak lesznek (2.22 ábra), akkor ezzel a gradiensvektor koordinátatengelyek irányába eső komponenseit határozhatjuk meg. 2.22 ábra A Φ(x, y, z) háromváltozós skalárfüggvény gradiensének meghatározása az r vektor által kijelölt pontban A 2.22 ábra alapján: grad Φ = lim V0 1 v Φ (r) dA = V A∫ ⎡ Φ − Φ1 ⎤ Φ − Φ3 Φ − Φ5 = lim ⎢ 2 ∆y∆zi + 4 ∆x∆zj + 6 ∆x∆yk ⎥ = ∆x∆y∆z 0 ⎢ ∆x∆y∆z ⎥⎦ ∆x∆y∆z ∆x∆y∆z ⎣ ∂Φ ∂Φ ∂Φ = i+ j+ k. ∂x ∂y ∂z A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ (15) 39 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 40 ► 2.3 Példák Az alábbi példákon bemutatjuk, hogy az általános elveket és számítási módszereket hogyan alkalmazzuk. Egyes példák eredménye önmagában is fontos és megjegyzésre érdemes összefüggés. 2.31 példa Határozzuk meg egy r1 sugarú, Q töltésű fémgömb térerősségét és potenciálfüggvényét. A teljes gömbszimmetria miatt az erővonalak radiálisak és egyenletes eloszlásúak (2.31 ábra) Az ekvipotenciális felületek az eredeti gömbbel koncentrikus gömbök. Tehát egy r sugarú (r > r1) és A = 4πr2 felületű gömbre alkalmazható a Gauss-tétel (2.1-2) egyszerűsített alakja E (r ) = Q Q = , r > r1 . εA 4πεr 2 (1) A potenciálfüggvény – az r0 távolságban fekvő 0 pontot választva alappontnak – (2.1-3) értelmében r0 r0 Φ ( r ) = ∫ E ( r ) dr = ∫ r r r0 r Q Q 1 Q ⎡ 1⎤ 0 Q ⎡⎢ 1 1 ⎤⎥ . (2) ⎢ ⎥ dr dr = = − = − 2 2 ∫ 4πεr

4πε r r 4πε ⎢⎣ r ⎥⎦ r 4πε ⎢⎣ r r0 ⎥⎦ A legegyszerűbb alakot akkor kapjuk, ha alappontnak a végtelen távoli pontot választjuk. Ekkor r0 ∞ határátmenettel Φ (r ) = Q , r ≥ r1 . 4πεr (3) A vezető gömbön belül a potenciál állandó és megegyezik felületi értékével, így a térerősség nulla: E (r ) = 0, Φ ( r ) = Φ (r1 ) = Q , r ≤ r1 . 4πεr1 (4) Ezek alapján az 2.32 ábrán feltüntettük a térerősség és a potenciál változását a sugár függvényében Ha nem a gömb töltését, hanem Φ(r1) = U felületi potenciálját tekintjük adottnak, akkor a töltés, a térerősség és potenciálfüggvény ezzel is kifejezhető: Q = 4πεr1U; E (r ) = Ur1 r , Φ (r ) = U 1 , r ≥ r1 . 2 r r A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza (5) ◄ 40 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄

41 ► ◄ 41 ► 2.31 ábra Az r1 sugarú, Q töltésű és Φ(r1) = U potenciálú gömb szintfelületei és erővonalai 2.32 ábra A potenciál és a térerősség változása egy gömb alakú elektróda belsejében és környezetében A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 42 ► A térerősség értéke láthatóan a gömb felületén lesz a legnagyobb E max = E (r ) = Q U = . 2 4πεr1 r1 (6) Ha a legnagyobb megengedett térerősség és a sugár adott, a maximális töltés és a maximális potenciál kifejezhető: Q max = 4πεr12 E max , U max = r1E max . (7) Legyen például r1 = 10 cm = 0,1 m és Emax = 10 kV/cm = 106 V/m, továbbá εr = 1 (levegő), akkor ε = ε0 = 10–9/(4π· 9) As/Vm, és így Qmax = 1,11 µC, Umax = 100 kV. Látható, hogy az elektrosztatikus töltés µC

nagyságrendű Más elrendezésben és nagyobb átütési szilárdságú szigetelőanyaggal mC nagyságrend is elérhető 2.32 példa Kisméretű (pontszerű) Q1 töltéstől r12 távolságban egy másik, ugyancsak pontszerű Q2 töltés helyezkedik el. Határozzuk meg az e töltésre ható erőt (2.33 ábra) 2.33 ábra Kisméretű pozitív töltés terében egy másik kisméretű pozitív töltésre ható erő (Coulomb törvénye) Tekintsük a Q1 töltést kis sugarú gömbnek. A térerősség e gömb középpontjától r12 távolságban (1) értelmében E= Q1 . 4πεr122 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (8) Vissza ◄ 42 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ ► 43 A Q2 töltésre ható erő a térerősség (1.2-2) definíciója alapján F = Q2 E = Q1Q 2 QQ = k 12 2 , 2 4πεr12 r12 (9) ahol k = 1/(4πε) = 9 · 109 Vm/As. Az

erő vektora a két töltést összekötő egyenesbe esik és taszító jellegű, ha mindkét töltés pozitív (2.33 ábra) Az összefüggés a tapasztalati tételként ismert Coulomb-törvény, amely eddigi eredményeinkből következik, és így azok helyességét alátámasztja. Az elektrosztatikus erők rendkívül kicsik. Vegyük fel a töltéseket az előző példa alapján kereken Q1 = Q2 = 1 µC értékűnek. Ekkora töltés reálisan 10 cm sugarú gömbön helyezhető el, amely akkor tekinthető pontszerűnek, ha r12 ennél jóval nagyobb. Legyen r12 = 1 m, akkor (11) alapján a ható erő levegőben F = 9·10–3 N. A ható erő tehát igen kicsi 2.33 példa Határozzuk meg a térerősséget és a potenciálfüggvényt egy fémgömb és egy vele koncentrikus fém gömbhéj közötti térrészben (gömbkondenzátor). A gömb sugara r1, a gömbhéj belső sugara r2 (r2 > r1), potenciáljuk Φ1, ill. Φ2 (Φ1 ≥ Φ2), ahol az U = Φ1−Φ2 feszültség adott (234 ábra)

Határozzuk meg a belső gömb töltését és a legnagyobb térerősséget. 2.34 ábra Koncentrikus gömb és gömbhéj között a térerősség radiális és gömbszimmetrikus 2.35 ábra Az erővonalak és az ekvipotenciális felületek koncentrikus gömb és gömbhéj terében A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 43 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 44 ► A teljes gömbszimmetriából nyilvánvaló, hogy a gömb és a gömbhéj között az erővonalak radiálisak és egyenletes eloszlásúak – akárcsak egy önmagában álló gömbön kívül. Ha a belső gömb Q töltését adottnak tekintjük, akkor (1), ill (3) alapján E (r ) = Q Q , Φ (r ) = , r1 < r < r2 . 2 4 πεr 4πεr (10) A gömb és a gömbhéj közötti feszültség kiszámítható a térerőségből: r2 U=∫ E ( r ) dr = r1 r2 Q dr Q

⎡⎢ 1 1 ⎤⎥ Q r2 − r1 . = − = 2 ∫ ⎢ ⎥ 4πε r r 4πε ⎣ r1 r2 ⎦ 4πε r1r2 (11) 1 Ebből a töltés kifejezhető: Q = 4πε r1r2 U. r1 − r2 (12) Visszahelyettesítve a térerősség, ill. a potenciálfüggvény kifejezésébe E (r ) = r1r2 rr 1 1 U 2 , Φ (r ) = 1 2 U , r1 > r > r2 . r2 − r1 r r2 − r1 r (13) A legnagyobb térerősség a gömb felületén lép fel: E max = E (r1 ) = r2 U. r1 (r2 − r1 ) (14) Ezzel a feladatot meg is oldottuk. A gömb és a gömbhéj közötti feszültség integrálás nélkül is meghatározható a potenciálfüggvény alapján, amennyiben U = Φ (r1 ) − Φ (r2 ) = Q Q Q r2 − r1 − = , 4πεr1 4πεr2 4πε r1r2 (15) ami a (11) eredménnyel megegyezik. Ez a módszer láthatóan kényelmesebb A (10) alatti potenciálfüggvény a két elektróda között sehol sem nulla. Bevezethetünk azonban pl. Φ’(r2 ) = 0 választással új potenciálfüggvényt: Φ’(r ) = Φ ( r ) − Φ (r2 ) = Q Q r r

−r − =U 1 2 . 4πεr 4πεr2 r2 − r1 r A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ (16) 44 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 45 ► Ekkor a feszültség U = Φ’(r1 ) alakban fejezhető ki. 2.36 ábra A potenciál és a térerősség változása koncentrikus gömb és gömbhéj között, ha r2 = 4r1 Az 2.35 ábrán láthatjuk az ekvipotenciális felületek síkmetszetét és az erővonalakat r2 = 4r1, Φ(r1) = 100V, Φ(r2) = 0 esetén. Az 236 ábra ugyanezen adatok mellett a potenciál és a térerősség változását szemlélteti a sugár függvényében. 2.34 példa Két gömb alakú elektróda sugara r1, ill. r2, középpontjaik között a távolság d, potenciáljuk (a végtelenhez viszonyítva) Φ1, illetve Φ2, tehát a feszültség közöttük U = Φ1 − Φ2. Meghatározandó a gömbök töltése és a legnagyobb

térerősség (237/a ábra) Φ 1 ( x1 ) = () Q1 Q2 ( ) , x1 ≥ r1 ; Φ 2 ( x 2 ) = , x 2 ≥ r2 . 4πεx1 4πεx 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ (17) 45 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 46 ► 2.37 ábra Két gömb potenciálfüggvénye és ezek szuperpozíciója Ha a gömbök sugara elég kicsi, az eredő potenciál a gömbök belsejében közelítőleg állandó, és ezért elfogadható közelítő megoldásként (az ábrán d = 10 r1 = 5 r2) Előre kell bocsátanunk, hogy a feladat precíz megoldása rendkívül nehéz. Ha azonban feltételezzük, hogy a gömbök sugara jóval kisebb középpontjaik távolságánál (r1, r2 << d), akkor a feladat közelítőleg könnyen megoldható a szuperpozíció-elv alkalmazásával. Jelölje a két gömb töltését Q1, ill. Q2 Az egyes töltések által létrehozott

potenciálfüggvény az összekötő egyenes mentén, a középponttól x1, ill. x2 távolságban A közelítés hibája r2/d nagyságrendűnek becsülhető. A pontosabb számítás szerint azonban ennél jobb a helyzet, mert a relatív hiba azonos nagyságrendű töltések esetén csak (r2/d)4 nagyságrendű. Ugyanez mondható el értelemszerűen Φ(2)(x2) potenciálfüggvényről, amelyben az elkövetett hiba (r1/d)4 nagyságrendű Az egyes gömbök potenciálja (ezzel a közelítéssel) a szuperpozíció elve értelmében a következő: Q Q () ( ) Φ1 = Φ 1 (r1 ) + Φ 2 (d) = 1 + 2 , 4πεr1 4πεd (19) Q Q () ( ) Φ2 = Φ 1 (d) + Φ 2 (r2 ) = 1 + 2 . 4πεd 4πεr2 (20) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 46 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 47 ► Az egyenletrendszert az ismeretlen töltésekre megoldva 1 1 r Φ1

− Φ2 Φ1 − 2 Φ2 r2 d d , Q1 = πε = 4πεr1 1 1 r1r2 − 1− 2 r1r2 d 2 d (21) r Φ2 − 1 Φ1 d . Q 2 = 4πεr2 r1r2 1− 2 d 2.35 példa Határozzuk meg egy végtelen hosszúnak tekinthető r1 sugarú, töltött fémhenger sztatikus elektromos terét. Jelölje Q a henger valamely ℓ hosszúságú szakaszának töltését és vezessük be a Q C As q = , [q ] = 1 = 1 (24) m m definícióval a q vonalmenti töltéssűrűséget, és tételezzük fel, hogy ez állandó. Az elrendezés hengerszimmetriájából nyilvánvaló, hogy az erővonalak radiálisak és a henger palástja mentén egyenletes eloszlásúak (2.38 ábra) 2.38 ábra Végtelen hosszának tekinthető, körhenger alakú töltött elektróda erővonalai és ekvipotenciális felületei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 47 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza

◄ 48 ► Alkalmazzuk a Gauss-tételt egy olyan hengerfelületre, amelynek palástja koaxiális a fémhengerrel, alap- és fedőlapja pedig a közös tengelyre merőleges. Nyilvánvaló, hogy az alap- és fedőlapon erővonalak nem mennek keresztül (az elektromos térerősség merőleges a felületi normálisra). A szimmetria alapján az ekvipotenciális felületek koaxiális hengerek, és ezek mentén a térerősség nagysága állandó. Alkalmazhatjuk tehát a Gauss-tétel (2.1-2) egyszerűsített alakját, amelyben A = 2πrℓ, az r sugarú henger palástja Ezek szerint Q q E (r ) = = , r > r1 . (25) 2πεr 2πεr A potenciálfüggvény – az r0 távolságban levő 0 pontra vonatkoztatva r0 Φ (r ) = ∫ r0 E ( r ) dr = r q dr = ∫ 2πε r r (26) r q q r = ln 0 , r > r1 . [ln r ]r0 = 2πε 2πε r Most az r0 alappont nem helyezhető el a végtelenben, mert ekkor minden végesben fekvő pont potenciálja végtelen lenne. Ennek az a magyarázata, hogy a

fémhengert végtelen hosszúnak tekintettük, miáltal az össztöltés végtelen, sőt a végtelenben is van töltés. A potenciálfüggvény akkor lesz a legegyszerűbb alakú, ha az r0 távolságot egységnyinek választjuk, azaz r0 = 1 méter. Ezzel a potenciálfüggvény kifejezése Φ (r ) = q 1 ln , r ≥ r1 . 2πε r (27) A hengeren belül a térerősség nulla, és a potenciál megegyezik felületi értékével (2.39 ábra) E (r ) = 0, Φ ( r ) = q Φ (r1 ) , r ≤ r1 . 2πε (28) Két – a tengelytől rA, ill. rB távolságban levő – pont közötti feszültség: U AB = Φ (rA ) − Φ ( rB ) = q ⎡⎢ 1 1⎤ q r ln − ln ⎥ = ln B . 2πε ⎣⎢ rA rB ⎦⎥ 2πε rA A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza (29) ◄ 48 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 49 ► 2.39 ábra A potenciál és a térerősség

változása végtelen hosszúnak tekinthető töltött henger belsejében és környezetében. A potenciál nullszintjét önkényesen az r0 = 4r1 helyen választottuk Könnyen beláthatjuk, hogy ha az ln (1/r) függvény helyett a ln (r0/r) függvénnyel számoltunk volna, akkor sem szerepelne az alappont r0 távolsága a feszültség kifejezésében. Ez szükségszerű is, hiszen a feszültség, vagyis a potenciálok különbsége, független az alappont megválasztásától. 2.36 példa Határozzuk meg két hosszú, koaxiális fémhenger között az elektrosztatikus teret, a vonalmenti töltéssűrűséget és a maximális térerősséget, ha a hengerek között az U feszültség adott (hengeres kondenzátor, koaxiális kábel; 2.310 ábra) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 49 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 50 ►

2.310 ábra Végtelen hosszúnak tekinthető koaxiális vezető hengerek (koaxiális kábel) Ha a henger hossza jóval nagyobb a külső sugárnál, akkor – a két végétől eltekintve – a két henger között ugyanolyan a tér, mint a magában álló henger esetén. A feszültséget a (27) alatti potenciálfüggvénnyel kifejezve U = Φ (r1 ) − Φ ( r2 ) = r q 1 q 1 q ln − ln = ln 2 . 2πε r1 2πε r2 2πε r1 (30) Az ismeretlen vonalmenti töltéssűrűséget kifejezhetjük az adott feszültséggel: 2πεU . (31) q= ln (r2 / r1 ) Ezt a térerősség (25) kifejezésbe helyettesítve E (r ) = U 1 , r1 < r < r2 . ln (r2 / r1 ) r (32) A legnagyobb térerősség láthatóan a belső hengeren lép fel: E max = E (r1 ) = U . r1 ln (r2 / r1 ) (33) Érdemes megemlíteni, hogy a maximális térerősségnek (adott feszültség és külső sugár esetén) minimuma van a belső sugár függvényében. Az A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és

tárgymutató Vissza ◄ 50 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató f (r1 ) = r1 ln Vissza ◄ r2 = r1 (ln r2 − ln r1 ) r1 51 ► (34) nevező ugyanis r1 = 0 és r1 = r2 esetén egyaránt nulla. A szélsőérték helyén df (r1 ) dr1 = (ln r2 − ln r1 ) − r1 r 1 = ln 2 −1 = 0 , r1 r1 (35) amiből az optimális sugár és a legkisebb maximális térerősség r10 = r2 U U = 0,368r2 ; (E max )min = = . e r10 0,368r2 (36) Ez igen fontos eredmény, mert ekkor lehet a szigetelőanyag előírt igénybevétele mellett a rendszerre a maximális feszültséget kapcsolni. Az 2.311 ábrán láthatjuk az ekvipotenciális felületek metszetét és az erővonalakat r2 = 4r1, Φ(r1) = 100 V, Φ(r2) = 0 esetén. Az 2312 ábra a potenciál és a térerősség változását szemlélteti ugyanezen adatok mellett. 2.311 ábra Az ekvipotenciális felületek és az erővonalak rendszere

koaxiális kábelben r2 = 4r1, Φ(r1) = 100 V, Φ(r2) = 0 esetén A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 51 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 52 ► 2.312 ábra A potenciál és a térerősség változása koaxiális kábelben a sugár függvényében r2 = 4r1, Φ(r1) = U, Φ(r2) = 0 esetén 2.37 példa Vizsgáljuk az elektrosztatikus teret az 2.313 ábrán látható két nagyméretű párhuzamos síklap között, amelyeken azonos nagyságú, de ellenkező előjelű töltés helyezkedik el (síkkondenzátor). 2.313 ábra Azonos nagyságú, ellenkező előjelű töltéssel ellátott, nagy kiterjedésű, párhuzamos síklapok (síkkondenzátor) erőtere Az erővonalak várható menetét felrajzolva láthatjuk, hogy azok döntő része a két elektróda között helyezkedik el, ott párhuzamosak és állandó sűrűségűek

(homogén tér). Alkalmazzuk most a Gauss-tételt a szaggatott A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 52 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 53 ► vonallal berajzolt A0 zárt felületre. Legyen az elektródák lineáris mérete jóval nagyobb a d távolságnál. Ekkor nem követünk el nagy hibát, ha az A felületen átmenő erővonalak mellett a felület többi részén átmenő erővonalakat (szórt teret) elhanyagoljuk. Az A felületre viszont az erővonalak merőlegeseknek tekinthetők és állandó térerősséggel számolhatunk. A fenti közelítésekkel tehát Q = ∫ DdA =∫ εEdA =∫ εEdA = εEA , A0 A0 (48) A vagyis az állandó térerősség nagysága Q . (49) εA Válasszuk a negatív töltésű elektródát nulla potenciálúnak, akkor a potenciálfüggvény: E= 0 Φ ( x ) = ∫ (−E ) dx = − x Q Q

(−x ) = x . εA εA (50) A két elektróda közötti U feszültség megegyezik a pozitív töltésű elektróda potenciáljával: U = Φ (d ) = Q εAU d, amiből Q = . d εA (51) A térerőssége nagyságát és a potenciálfüggvényt a feszültséggel kifejezve (2.314 ábra) U U E = , Φ ( x ) = x, 0 < x < d . (52) d d 2.314 ábra A potenciál és a térerősség nagyságának változása síkkondenzátor belsejében A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 53 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 54 ► Az U = Ed összefüggést egyébként (50)-ből közvetlenül is megkaphatjuk, ha E állandó voltát figyelembe vesszük. A feladat pontos analitikus megoldása (a szórt tér figyelembevétele) még nagy matematikai apparátussal is körülményes. 2.38 példa Tekintsük egy tetszőleges alakú elektróda sima

(éllel vagy csúccsal nem rendelkező) A felületű részét, amelyen Q töltés helyezkedik el. Vezessük be a σ = Q/A definícióval a felületi töltéssűrűséget. Pontosabban: képezzük valamely pont környezetében a kicsiny dA felület és rajta levő kicsiny dQ töltés hányadosának határértékét, ha a felület méretét egyre jobban csökkentjük: [Q] C dQ As σ = lim = 2 =1 2 . , [σ] = (53) dA0 dA m [A] m Ez a lokális adat a felületi töltéssűrűség, amely általában pontról pontra más, ezért σ = Q/A az A felület átlagos töltéssűrűsége. Az E és D vektorok a vezető felületre merőlegesek. Alkalmazzuk most a Gauss-tételt a 2.315 ábrán bejelölt A0 zárt felületre Az alap és fedőlap párhuzamos az elektróda felületével, a palást erre merőleges. Az alaplap a fém belsejében van, ahol nincs tér. A paláston erővonalak nem mennek keresztül. Ha a fedőlap elég kicsi, és közel van az elektródához, akkor a térerősség ott állandó

és merőleges a felületre. A Gauss-tétel így az alábbi alakra egyszerűsödik: Q = ∫ DdA =∫ DdA = DA = εEA . A0 (54) A Az A méret kicsi, ezért σ = Q/A a lokális felületi töltéssűrűséggel egyenlőnek tekinthető. Végeredményben az eltolási vektor vagy a térerősség nagysága a vezető felületén kifejezhető az illető pontbeli felületi töltéssűrűséggel: σ D = σ, E = . (55) ε Ez az összefüggés tetszőleges sima felületre érvényes. Ezt a 231, 233, 2.35, 236 és 237 példákban tárgyalt konkrét elrendezéseknél ellenőrizhetjük is A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 54 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 55 ► 2.315 ábra A felületi töltéssűrűség és a vezető felületén fellépő elektromos tér kapcsolata 2.39 példa Nagykiterjedésű párhuzamos síkelektródák

között kétfajta dielektrikum foglal helyet; elválasztó síkjuk az elektródákra merőleges (hosszirányban rétegezett síkkondenzátor, 2.316/a ábra) Az elektródák töltése +Q, ill. −Q Határozzuk meg az elektródák közötti feszültséget és a térerősséget az egyes rétegekben 2.316 ábra a) Hosszirányban (az erővonalakkal párhuzamosan) rétegezett síkkondenzátor. b) A térerősség, ill c) az eltolási vektor erővonalai a szórt tér elhanyagolásával, ha ε1/ε2 = 3 A szórt tér elhanyagolásával az elektromos tér két homogén tartományra bontható. A térerősség mindkét rétegben állandó és ugyanakkora (2316/b ábra) U (56) E = E1 = E 2 = . d A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 55 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 56 ► Ennek megfelelően az eltolási vektor nagysága és az egyes

elektródaszakaszok felületi töltéssűrűsége különböző (2.316/c ábra) σ1 = D1 = ε1E1 = ε1 U U , σ2 = D2 = ε 2 E 2 = ε 2 . d d (57) Az elektródák töltése +Q, ill. −Q, ahol Q = σ1A1 + σ2 A 2 = ε1A1 + ε 2 A 2 U. d (58) Az átütés szempontjából kritikus feszültséget nyilván az a réteg szabja meg, amelynek kisebb az átütési térerőssége. Ha pl E2a < E1a, akkor Ukr = E2a d. Meggondolásaink nyilván akkor is alkalmazhatók, ha a rétegek száma kettőnél több. 2.310 példa Nagy kiterjedésű síkelektródák között kétfajta dielektrikum foglal helyet, elválasztó síkjuk az elektródákkal párhuzamos (keresztirányban rétegezett síkkondenzátor, 2.317/a ábra) Az elektródák töltése +Q, ill −Q Határozzuk meg az elektródák közötti feszültséget és a térerősséget az egyes rétegekben. 2.317 ábra a) Keresztirányban (az erővonalakra merőlegesen, tehát az ekvipotenciális felületek mentén) rétegezett

síkkondenzátor. b) Az eltolási vektor, ill. c) a térerősség erővonalai a szórt tér elhanyagolásával, ha ε1/ε2 = 1/3 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 56 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 57 ► A térerősség most különböző az egyes rétegekben. Ezzel szemben (a szórt teret elhanyagolva) a Gauss-tételt az elektródákkal párhuzamos alapú, téglatest alakú felületre alkalmazva bármelyik rétegben ugyanakkora az eltolási vektor nagysága (2.317/b ábra): Q = σ = D = D1 = D 2 = ε1E1 = ε 2 E 2 . A (63) Az egyik térerősség így kifejezhető a másikkal, például E2 = ε1 E1 . ε2 (64) Az elektródák közötti feszültség: U = E1d1 + E 2 d 2 = E1d1 + ⎛ ⎞ ε1 ε E1d 2 = ⎜⎜d1 + 1 d 2 ⎟⎟⎟ E1 . ⎜⎝ ε2 ε 2 ⎠⎟ (65) Ezek szerint a térerősség az egyes rétegekben

(2.317/c ábra) E1 = ε U U U . , E2 = 1 = ε1 ε1 ε2 ε 2 d1 + d 2 d1 + d 2 d1 + d 2 ε2 ε2 ε1 (66) A potenciálfüggvény tehát lineárisan változik (2.318 ábra): ⎧ U ⎪ ⎪ E1x = x, 0 < x < d1 , ⎪ ε1 ⎪ ⎪ d d + 1 2 ⎪ ⎪ ε2 ⎪ ⎪ ⎛ ε1 ⎞⎟ Φ=⎪ ⎨ ⎜⎜1− ⎟ d + ε1 x ⎪⎪ ⎜⎝ ε 2 ⎠⎟⎟ 1 ε 2 ⎪ ⎪ E d E x d U , d1 < x < d1 + d 2 . + − = ( ) ⎪ 1 1 2 2 ⎪ ε1 ⎪ d d + ⎪ 1 2 ⎪ ε2 ⎪ ⎩ (67) Fejezzük ki a töltést a feszültséggel: Q = ε1E1A = ε1A A U= U. ε1 d1 d 2 d1 + d 2 + ε2 ε1 ε 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza (68) ◄ 57 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 58 ► 2.318 ábra A potenciálnak és a térerősség nagyságának változása keresztirányban rétegezett síkkondenzátorban, ha d1/d2 = 1/2 és ε1/ε2 = 1/3 A kritikus

feszültséget nem feltétlenül a kisebb átütési térerősségű réteg szabja meg, hanem az a réteg, amelyikre εEa (vagy εrEa) kisebb. Ennek belátásához írjuk fel a kritikus feszültségeket az egyes rétegek átütési E1a ill. E2a térerősségével: ⎛ε ⎞ ⎛d d ⎞ U kr1 = ⎜⎜⎜ 1 d 2 + d1 ⎟⎟⎟ E1a = ε1E1a ⎜⎜⎜ 2 + 1 ⎟⎟⎟ , ⎝ ε2 ⎠⎟ ⎝ ε 2 ε1 ⎠⎟ (69) ⎛ε ⎞ ⎛d d ⎞ U kr 2 = ⎜⎜ 2 d1 + d 2 ⎟⎟⎟ E 2a = ε 2 E 2a ⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟⎟. ⎜⎝ ε ε ⎠⎟ ⎠⎟ ⎝⎜ ε 1 1 2 Látjuk, hogy a jobb oldalon a zárójeles kifejezések azonosak, tehát a kritikus feszültséget valóban a kisebb εEa érték szabja meg. Gyakorlati szempontból ez a tény a légzárványok veszélyére hívja fel a figyelmet. Ha ε2r = 1 és d2 << d1, akkor Ukr~E2ad1/ ε1r, míg a légzárvány nélkül U’kr = E1a d1 = (E1a ε1r / E 2a ) U kr lenne a kritikus feszültség. A rendszerre kapcsolható feszültség tehát

(E1aε1r/E2a)-szor (esetleg 2030szor) kisebb lesz a légzárvány hatására. A számítás kettőnél több rétegre is általánosítható. 2.311 példa Két végtelen hosszúnak tekinthető koaxiális hengeres elektróda között kétfajta dielektrikum foglal helyet; elválasztó felületük koaxiális henger (keresztirányban rétegezett hengeres kondenzátor, 2.319/a ábra): Az A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 58 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 59 ► elektródák töltése +Q = qℓ, ill. −Q = −qℓ Határozzuk meg az elektródák közötti feszültséget és az elektromos térerősséget az egyes rétegekben. 2.319 ábra a) Keresztirányban rétegezett hengeres kondenzátor, b) az eltolási vektor, ill. c) a térerősség erővonalai, ha ε1/ε2=3 A teljes hengerszimmetria következtében és a Gauss-tétel

értelmében mindkét rétegben ugyanolyan törvényszerűség szerint változik az eltolási vektor: q (70) D (r ) = D1 (r ) = D 2 (r ) = , r1 < r < r3 . 2πr Ennek megfelelően a térerősség az egyes rétegekben (2.319/c ábra) E1 (r ) = D1 (r ) q = , r1 < r < r2 , ε1 2πε1r (71) D (r ) q E 2 (r ) = 2 = , r2 < r < r3 . ε2 2πε 2 r A potenciálfüggvény (2.1-3) értelmében integrálással számítható: ⎧ r q ⎪ ⎪ ln 3 , r2 ≤ r ≤ r3 , ⎪ ⎪ 2πε 2 r ⎪ Φ (r ) = ⎨ ⎪ r q q r ⎪ ln 3 + ln 2 , r1 ≤ r ≤ r2 . ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2πε 2 r2 2πε1 r A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza (72) ◄ 59 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 60 ► A belső henger potenciálja, vagyis a két henger közötti feszültség U = Φ (r1 ) = q ⎡⎢ 1 r3 1 r2 ⎤⎥ ln + ln . 2π ⎢⎣ ε 2 r2 ε1

r1 ⎥⎦ (73) A térerősség és a potenciál változását az 2.320 ábrán láthatjuk ε1 = 3ε2 esetén, ha r2 = 2r1 és r3 = 4r1. A legnagyobb térerősségek az egyes rétegekben: E1max = E1 (r1 ) = q q . , E 2 max = E 2 (r2 ) = 2πε1r1 2πε 2 r2 (74) Most azt kell megvizsgálnunk, hogy ε1r1E1a és ε2r2E2a közül melyik a kisebb. Ha például ε1r1E1a < ε2r2E2a, akkor Ukr = 2πε1r1E1a, és így (73) értelmében ⎡ r r ⎤ ε U kr = r1E1a ⎢ ln 2 + 1 ln 3 ⎥ , ε1r1E1a < ε 2 r2 E 2a . ⎢ ⎥ ⎣ r1 ε 2 r2 ⎦ (75) 2.320 ábra A potenciál és a térerősség változása, keresztirányban rétegezett hengeres kondenzátorban, ha ε1/ε2 = 3 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 60 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 61 ► Ellenkező esetben hasonló módon ⎡ε r ⎤ r U kr = r2 E 2a ⎢ 2 ln 2

+ ln 3 ⎥ , ε1r1E1a > ε 2 r2 E 2a . ⎢ r2 ⎦⎥ ⎣ ε1 r1 (76) Az eljárás általánosítható több réteg esetére. A keresztirányban rétegezett gömbkondenzátor számítása a fentivel analóg módon oldható meg. 2.312 példa Határozzuk meg a pontszerű Q töltés esetében Φ(r), Φ(x, y, z), gradΦ(x, y, z) kifejezését és a térerősséget E(r) alakban. Induljunk ki a Q Φ (r ) = 4πεr összefüggésből, amely skalár-vektor függvényként felírva: Φ (r ) = Q . 4πε r Vegyük most figyelembe, hogy r = xi + yj + zk, amiből következik, hogy r = x 2 + y2 + z2 . Ezt Φ(r) kifejezésébe helyettesítve kapjuk, hogy Φ ( x, y, z) = Alkalmazva a Q 4πε x + y 2 + z 2 2 . ⎛ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ⎞⎟ grad Φ = ⎜⎜ i+ j+ k⎟ ⎜⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠⎟⎟ összefüggést, gradΦ(x, y, z)-re azt adódik, hogy ⎡ ⎤ Q ⎢ xi yj zk ⎥ + + = grad Φ ( x, y, z) = − ⎢ 32 32 32⎥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4πε ⎢ ( x + y + z ) ⎥ x y z x y z + + + + (

) ( ) ⎣⎢ ⎦⎥ Q xi + yj + zk , =− 4πε ( x 2 + y 2 + z 2 )3 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 61 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 62 ► ami még így is írható: grad Φ (r) = − Q r Q r 1 Q 1 r =− =− . 3 2 4πε r 4πε r r 4πε r 2 r Itt figyelembe vettük, hogy r = r . A gradiens kifejezésével a térerősség: E = −grad Φ = Q 1 r . 4πε r 2 r A kapott kifejezésben r/r nem más, mint a sugár irányába mutató egységvektor. Tehát a térerősség a korábbiaknak megfelelően a sugár irányába mutat. 2.4 A kapacitás Szorítkozzunk azon eset vizsgálatára, amikor a dielektrikumok permittivitása az elektromos térerősségtől független (lineáris közeg). Ekkor az elektrosztatikus tér törvényszerűségeit leíró alapegyenletek lineárisak Ez lehetővé teszi a kapacitás

fogalmának bevezetését Tekintsünk két elektródát, amelyeken +Q, ill. −Q töltés helyezkedik el A potenciálfüggvény a +Q töltéssel arányos Φ+(r) és a −Q töltéssel arányos Φ−(r) potenciálfüggvény összege, így végeredményben Φ(r) is arányos Q-val. Ennek megfelelően arányos Q-val a két elektróda feszültsége (potenciálkülönbsége) is, vagyis U = kQ, vagy a szokásosabb alakjában (2.41 ábra): Q = CU . (1) 2.41 ábra Két elektróda kapacitásának értelmezése: ha töltésük +Q, ill. −Q, akkor a fellépő feszültség a töltéssel arányos: U = Q/C A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 62 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 63 ► Itt C az elrendezés kapacitása, amely a töltéstől és a feszültségtől független, és csak az elrendezés geometriájától, valamint a közeg

permittivitásától függ. Ha a közeg homogén, akkor a kapacitás arányos a permittivitással, ugyanis ∫ DdA ∫ EdA Q A C= = =εA = εK . U E E A A d d ∫ ∫ (2) A K tényező független a töltéstől vagy a térerősségtől, ugyanis ha a térerősség egy korábbi értékének valahányszorosára növekszik, akkor a linearitás miatt (2) számlálójában és nevezőjében lévő integrálkifejezés értéke is ugyanannyiszorosára fog növekedni, tehát a tört értéke változatlan marad, azaz K csak az elrendezés geometriájától függ. A kapacitás egysége∗ a definíciós egyenletből [ C] = [Q] [U] =1 As = 1farad = 1F . V (3) A gyakorlatban fellépő kapacitások µF = 10–6 F, nF = 10–9 F vagy pF = 10–12 F nagyságrendűek. A kapacitás mérése elvben visszavezethető töltés és feszültség mérésére. A gyakorlatban a kapacitást legtöbbször ún váltakozó áramú híddal szokás mérni. Valamely elrendezés kapacitását a

következőképpen számíthatjuk Felveszünk az elektródákon tetszőleges +Q, ill −Q töltést, majd a térerősség vagy a potenciálfüggvény meghatározása után kiszámítjuk az U feszültséget. Ezután képezzük a C = Q/U viszonyt, amelyből a felvett töltés ki is esik. Az a tény, hogy a kapacitás homogén közeg esetén (2) szerint annak permittivitásával arányos, lehetővé teszi, hogy a relatív permittivitást egyszerűen megmérjük. Meghatározzuk valamely elrendezés kapacitását „üresen”, amikor tehát a szigetelőanyag elvileg vákuum, gyakorlatilag levegő Ekkor egy C0 = ε0K kapacitásértéket kapunk. Ezután kitöltjük a teret a megmérendő dielektrikummal és megmérjük a C = ε0εrK kapacitást. Azonnal látható, hogy εr = C/C0, vagyis a relatív permittivitás egyenlő a két kapacitásérték viszonyával. ∗ farad: Faraday angol fizikus nevéből. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 63

► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 64 ► A vezetők közötti kapacitás gyakran kellemetlen jelenség. Sokszor azonban éppen arra van szükségünk, hogy nagy (vagy legalábbis meghatározott) kapacitású elrendezést hozzunk létre. Az ilyen, kis helyen viszonylag nagy töltések tárolására alkalmas elrendezést kondenzátornak vagy sűrítőnek nevezzük. A kondenzátort szimbolikusan az 242 ábrán látható módon jelöljük, ami tulajdonképpen a síkkondenzátor sematikus rajza (vö. 2.313 ábra) 2.42 ábra A kondenzátort alkotó elektródapár szimbolikus jelölése Végül megjegyezzük, hogy a kapacitás nem a legszerencsésebb elnevezés, és nem célszerű „töltéstároló képesség”-gel fordítani. A kondenzátor által maximálisan tárolható töltést ugyanis nem a kapacitás szabja meg elsősorban, hanem az a maximális feszültség, amely

mellett a térerősség még nem lépi túl kritikus értékét. Kisebb kapacitású kondenzátorban esetleg nagyobb töltés tárolható (Például: egy kondenzátor kapacitása 1 µF, a gyártó által megadott üzemi feszültsége 500 V, így a legnagyobb üzemi töltés 500 µC; elektrolitikus kondenzátor kapacitása 16 µF, üzemi feszültsége 12 V, így legnagyobb töltése 192 µC.) 2.5 Példák 2.51 példa Az 2.3 szakaszban meghatároztuk néhány elrendezésben az elektródák +Q, ill. −Q töltése és U feszültsége közötti kapcsolatot, így C = Q/U kapacitásuk közvetlenül felírható. A koncentrikus gömbből és gömbhéjból álló gömbkondenzátor kapacitása az 2.33 példa (11) képlete alapján C = 4πε r1r2 . r2 − r1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (1) Vissza ◄ 64 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄

65 ► Ha r2 ∞ akkor megkapjuk a magában álló r1 sugarú gömb kapacitását. A másik elektróda szerepét ilyenkor a végtelen játssza. Akár (1) alapján, akár az 2.31 példa (5) képlete alapján C = 4πεr1 , r2 ∞ . (2) Ha r1 = 1 méter, akkor levegőben 4πε0 = (10–9/9) (As/Vm) felhasználásával C = 0,11·10–9 F = 110 pF. 2.52 példa Határozzuk meg két párhuzamos, r1, ill. r2 sugarú körhenger ℓ hosszúságú szakaszának kapacitását, ha középpontjaik közötti d távolság jóval nagyobb a sugaruknál (2.51 ábra) Legyenek a vonalmenti töltéssűrűségek +q, ill. −q, akkor az egyes vezetők potenciálja Φ1 = q 1 −q 1 q d ln + ln = ln , 2πε r1 2πε d 2πε r1 (3) Φ2 = r q 1 −q 1 q ln + ln = ln 2 . 2πε d 2πε r2 2πε d (4) 2.51 ábra Párhuzamos, kis sugarú hengeres elektródák kapacitásának számítása A két henger közötti feszültség: U = Φ1 − Φ2 = q d2 Q d2 Q ln = ln = . 2πε r1r2 2πε r1r2 C (5) Az ℓ

hosszúságú szakasz kapacitása: C= ( πε ln d / r1r2 ) , ill. C = πε , ha r1 = r2 = r0 . ln (d / r0 ) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ (6) 65 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 66 ► 2.53 példa Határozzuk meg két párhuzamos, A felületű síklap kapacitását, ha d távolságuk jóval kisebb a lemezek lineáris méreteinél (vö. 2313 ábra) Az 2.37 példa (51) eredménye szerint Q = εAU/d, amiből a síkkondenzátor kapacitása: C= εA . d (7) Legyen előírt a kapacitás, a rákapcsolandó feszültség és a maximális térerősség. Mivel U = Ed, a lemezek távolsága, ill felülete: d= U Cd CU . , A= = E max ε εE max (8) A gyakorlatban használatos kondenzátorok ezen összefüggések alapján számíthatók. 2.54 példa Határozzuk meg a koaxiális kábel ℓ hosszúságú szakaszának

kapacitását. A (2.3-31) összefüggés felhasználásával C= q 2πε = . U ln (r2 r1 ) (9) 2.6 Kondenzátorok soros és párhuzamos kapcsolása Az ún. kapacitív hálózatok vizsgálatakor nem törődünk a kondenzátorok tényleges kivitelével, csak kapacitásukat vesszük figyelembe. Az adott kapacitású kondenzátorokat az 242 ábrán már mutatott módon szimbolikusan ábrázoljuk Feladatunk, hogy különbözőképpen összekapcsolt kondenzátorok esetén – a kapacitások ismeretében – meghatározzuk a fellépő feszültségeket és töltéseket. Az alábbiakban a két legegyszerűbb, de legfontosabb kapcsolási módot vizsgáljuk A kapcsolási vázlatokon az egyenes vonalak (ideális) vezetőket jelképeznek, amelyek tehát ekvipotenciálisak A kondenzátorok dielektrikumáról viszont feltételezzük, hogy ideális szigetelők. Az 2.61/a ábrán látható három kondenzátor feszültsége ugyanakkora; ezek párhuzamosan vannak kapcsolva. Töltéseik általában

különbözőek A A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 66 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 67 ► párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok egyetlen kondenzátorral helyettesíthetők, amelynek eredő kapacitását úgy kell megválasztanunk, hogy az adott feszültség mellett töltése megegyezzék a kondenzátorok töltésének összegével (2.61/b ábra) 2.61 ábra Párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok és helyettesítésük eredőjükkel, amelynek töltése a közös feszültség hatására megegyezik a résztöltések összegével Legyen a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok száma n, akkor az i-edik töltése a közös feszültséggel kifejezve: Qi = Ci U, i = 1, 2,., n (1) A kondenzátorok összes töltése: n n ⎛ n ⎞ Q = ∑ Qi = ∑ Ci U = ⎜⎜∑ Ci ⎟⎟⎟ U = Cp U . ⎝⎜ i=1 ⎠⎟ i=1 i=1 (2) A

párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitása megegyezik az egyes kapacitások összegével: n C p = ∑ Ci , C p ≥ C i i = 1,., n (3) i=1 Az egyes kondenzátorok töltése: Qi = Ci U = Ci Q, i = 1,., n , Cp A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (4) Vissza ◄ 67 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 68 ► tehát arányos a kondenzátor kapacitásával. Speciálisan két párhuzamosan kapcsolt kondenzátor esetén C = C1 + C2 ; Q1 = C1 C2 Q, Q 2 = Q. C1 + C2 C1 + C2 (5) Ez az ún. kapacitív töltésosztó képlete Ha minden kapacitás egyenlő, azaz Ci = C, akkor Cp = n · C és Qi = Q/n. Az 2.62/a ábrán látható kondenzátorok sorba vannak kapcsolva A szomszédos kondenzátorok összekötött elektródái eredetileg töltetlenek voltak, így (az ideális szigetelés következtében) összes töltésük a

feszültség rákapcsolása után is nulla 2.62 ábra Sorba kapcsolt kondenzátorok és helyettesítésük eredőjükkel, amelynek feszültsége a közös töltés hatására megegyezik a részfeszültségek összegével Jelölje az első kondenzátor első elektródájának töltését +Q. Ez a töltés influálja a másik elektródából és a második kondenzátor első elektródájából álló töltetlen vezető egységet. Az első kondenzátor második elektródáján −Q töltés, a második kondenzátor első elektródáján +Q töltés lesz – és így tovább. Az egyes kondenzátorok töltése tehát ugyanakkora, a feszültségek általában különbözőek A sorba kapcsolt kondenzátorok is helyettesíthetők egyetlen kondenzátorral, amelynek eredő kapacitását ismét úgy kell megválasztanunk, hogy az adott töltés mellett feszültsége megegyezzék a kondenzátorok feszültségének összegével (2.62/b ábra) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név-

és tárgymutató Vissza ◄ 68 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 69 ► Legyen a sorba kapcsolt kondenzátorok száma n, akkor az i-edik feszültsége a közös töltéssel kifejezve: Ui = 1 Q, i = 1, 2,3,., n Ci (6) A teljes feszültség a részfeszültségek összege: n n i=1 i=1 U = ∑ U i =∑ ⎛ n 1⎞ 1 1 Q = ⎜⎜⎜∑ ⎟⎟⎟ Q = Q. ⎟ Ci Cs ⎝ i=1 Ci ⎠ (7) A sorba kapcsolt kondenzátorok eredő kapacitásának reciproka megegyezik az egyes kapacitások reciprokának összegével, tehát az eredő nem nagyobb bármelyik összetevőnél: n 1 1 = ∑ , Cs ≤ C i . Cs i=1 Ci (8) Az egyes kondenzátorok feszültsége: Ui = C 1 Q = s U, i = 1, 2,., n Ci Ci (9) tehát fordítottan arányos a kondenzátor kapacitásával. Ha minden kapacitás egyenlő, azaz Ci = C, akkor Cs = C/n és Ui = U/n Speciálisan két kondenzátor esetén 1 1 1 C

+ C2 , (10) = + = 1 Cs C1 C C1C2 vagyis CC C2 C1 Cs = 1 2 ; U1 = U, U 2 = U. (11) C1 + C2 C1 + C2 C1 + C2 Ez az ún. kapacitív feszültségosztó képlete 2.61 példa Az 2.63 ábrán látható kapcsolásban a kondenzátorok kapacitása C1 = 0,8 µF; C2 = 1,4 µF; C3 = 0,6 µF; C4 = 1,2 µF. A feszültség U = 40 V Határozzuk meg az egyes kondenzátorok töltését és feszültségét A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 69 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 70 ► 2.63 ábra A példában szereplő kapacitív hálózat és az első helyettesítés után adódó rendszer A C2 és C3, valamint C4 kondenzátorok párhuzamosan vannak kötve. Eredő kapacitásuk (26-3) alapján: Cp = C2 + C3 + C4 = 1, 4 + 0, 6 + 1, 2 = 3, 2 µF . (1) Ezzel az eredővel sorba van kötve a C1 kapacitású kondenzátor. Az egész rendszer eredő

kapacitása (2.6-11) alapján C= C1Cp C1 + Cp = 0,8 ⋅ 3, 2 = 0, 64 µF . 0,8 + 3, 2 (2) Ezen helyettesítő kondenzátor töltése – amely egyúttal a C1 és a helyettesítő Cp kondenzátor töltése is Q = Q1 = Qp = CU = 0, 64 ⋅ 40 = 25, 6 µC . (3) Ebből a C1, ill. a helyettesítő Cp kondenzátor feszültsége U1 = Q 25, 6 = = 32 V , C1 0,8 Up = U2 = Qp Cp = (4) 25, 6 = 8V . 3, 2 (5) Ellenőrzésül: U1 + U2 = U = 40 V helyesen kiadódik. A három párhuzamosan kapcsolt kondenzátor töltése rendre A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 70 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 71 ► Q 2 = C2 U 2 = 1, 4 ⋅ 8 = 11, 2 µC, Q3 = C3 U 2 = 0, 6 ⋅ 8 = 4,8 µC, (6) Q 4 = C4 U 2 = 1, 2 ⋅ 8 = 9, 6 µC. Ellenőrzésül Q2+Q3+Q4 = QP = 25,6 µC helyesen kiadódik. 2.7 Összefoglalás Az elektrosztatikus

tereket a töltésekből és a potenciálból is számíthatjuk. Ha kvalitatív megfontolások alapján találhatók olyan A ekvipotenciális felületek, amelyeken a térerősség nagysága állandó, akkor a térerősség nagysága e felületen Q E= . εA Ezen összefüggés alapján számítható néhány egyszerű elrendezés elektrosztatikus tere. Több vezető esetén alkalmazható a szuperpozíció elve A sík föld hatása a tükrözési elv segítségével vehető figyelembe. A Φ potenciál ismeretében a térerősség az E = −grad Φ összefüggéssel határozható meg. Ha a szigetelőanyag nem homogén, vagyis a permittivitás az egyes térrészekben különböző, akkor a feladat csak abban az esetben oldható meg elemien, ha a határoló felületek vagy párhuzamosak az erővonalakkal (hosszirányú rétegezés), vagy merőlegesek azokra (keresztirányú rétegezés). Az első esetben a térerősség, a második esetben az eltolási vektor ugyanakkora az elválasztó

felület szomszédos pontjaiban. Ha a térben csak két elektróda van jelen, amelyek között a feszültség U, és az egyiken +Q, a másikon −Q töltés található, akkor As Q = CU, [ C ] = 1 = 1F , V ahol C az elrendezés kapacitása. Párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok ugyanarra az U feszültségre vannak kötve, eredő kapacitásuk, ill. résztöltéseik: n n C Cp = ∑ Ck , Qi = i Q; Q = ∑ Qi . Cp k =1 i=1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 71 ► Elektrodinamika Elektrosztatikus terek számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 72 ► A sorba kapcsolt kondenzátorokon ugyanakkora a töltés. Eredő kapacitásuk, ill részfeszültségeik: n n C 1 1 , U i = s U, U = ∑ U i . =∑ Cs Ci k =1 C k i=1 Két sorba kapcsolt kondenzátor esetében Cs = C1C2 C2 C1 , U1 = U, U 2 = U. C1 + C2 C1 + C2 C1 + C2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és

tárgymutató Vissza ◄ 72 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Az áram és elektromos tere Vissza ◄ 73 ► 3. Az áram és elektromos tere Előzőleg az időben állandó nagyságú és nyugvó töltés elektromos terének törvényszerűségeit tárgyaltuk. A következőkben a vezetőben folyó áram, vagyis a mozgó töltés terét vizsgáljuk. Egyik alapvető feladatunk, hogy meghatározzuk az adott elrendezések ellenállását, ill. a szivárgási áram figyelembevételével az átütési feszültséget. 3.1 Az áramerősség Az áram fogalmához a következőképpen jutunk. Tekintsünk két elektródát, amelyeken különböző előjelű töltések vannak Ezek a töltések vonzzák egymást, de az (ideális) szigetelőanyag jelenléte miatt nem mozdulhatnak el Ha azonban a két elektródát összekötjük egy vezetővel, akkor megindul a töltések áramlása, vagyis áram folyik Elvileg pozitív töltések

mozognak az egyik (éspedig az elektromos térerősséggel megegyező) irányban és negatív töltések az ellenkező irányban. Az áram irányán megállapodásszerűen a pozitív töltések áramlási irányát értjük (311 ábra) 3.11 ábra A különböző előjelű töltésekkel rendelkező elektródákat összekötő vezetékben töltések áramlanak, vagyis áram folyik Megjegyezzük, hogy a leggyakrabban előforduló fémes vezetés során a pozitív töltések (a valenciaelektronjaitól megfosztott atomtörzsek) nem mozdulnak. Valójában tehát a negatív töltésű elektronok mozognak, így ezek haladási iránya ellentétes az áram irányával. Hasonló a helyzet az elektroncsövek, a katódsugárcsövek stb. esetében is (Itt látható, hogy a pozitív és negatív töltés elnevezésének megválasztása fordítva jobb lett volna.) A folyadékvezetés vagy a plazmaáram alkalmával azonban valóban mindkét előjelű töltés mozog. A leírt kísérletben a töltések

mozgása csak igen rövid ideig tart, mert végül a töltések kiegyenlítődnek, és csak egynemű töltés (vagy nulla töltés) marad. Tegyük fel azonban, hogy valamilyen módon (pl egy áramgenerá- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 73 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Az áram és elektromos tere Vissza ◄ 74 ► torral) állandóan pótoljuk a töltéseket, akkor állandóan ugyanakkora töltésmennyiség áramlik az összekötő vezetőn. Jelölje Qt a t idő alatt átáramló összes töltést. A felvett áramirányban haladó pozitív töltést pozitív, a negatív töltést negatív előjellel vesszük figyelembe, tehát az áramiránnyal ellentétesen mozgó negatív töltést pozitív előjellel vesszük figyelembe. (Általában nem könnyű megállapítani, hogy pozitív töltések haladnak-e egy irányban vagy negatív töltések az ellenkező irányban.

Kivételes esetektől eltekintve minden hatásuk ugyanolyan) Az áramot a t idő alatt átáramló Qt töltés és a t áramlási idő hányadosával, az áramerősséggel∗ jellemezzük, amelyet egyelőre időben állandónak tekintünk: [Q] 1As Q (1) I = t , [ I] = = = 1A . t [ t ] 1s Az áramerősség mérése elvileg visszavezethető töltés és idő mérésére. 3.12 ábra Az árammérő műszer (ampermérő) bekötése: az áramot vivő vezetéket megszakítjuk és a műszeren keresztül zárjuk Gyakorlatilag az áramerősséget külön műszerrel, az ampermérővel mérjük. Ezt a 3.12 ábrán látható módon úgy kell bekötni, hogy a mérendő áramot – a vezetéket megszakítva – keresztülvezetjük a műszeren. A bekötést úgy kell végeznünk, hogy a feltételezett irányú áram a + kapocsnál lépjen be és a − kapocsnál lépjen ki. Ha a tényleges áramirány a felvettel megegyezik, akkor a műszer mutatja az átfolyó áram erősségét. Ha a valódi

áramirány a felvettel ellenkező irányú, akkor a mutató ellenkező irányba igyekszik ki∗ André Marie Ampère (1775–1836): francia fizikus, egyetemi tanár, az elektrotechnika egyik úttörője. Ő különböztette meg először formailag a nyugvó és áramló elektromosságot, megállapította az áramok kölcsönhatásának törvényét A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 74 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ ► 75 térni. Ekkor a kapcsok felcserélésével mérhetjük az áram erősségét, amelyet negatívnak tekintünk 3.2 Az áramsűrűség A vezető belsejében folyó áram eloszlásának pontosabb jellemzésére vezessünk be egy esetleg pontról pontra változó és irányított mennyiséget, az áramsűrűség vektorát. Ha a vezeték A keresztmetszetében egyenletes eloszlásban I erősségű áram folyik,

akkor a keresztmetszet bármely pontjában az áramsűrűség J= [ I] I A , [J ] = =1 2 . A [A] m (1) A gyakorlatban szívesebben használják az 1 A/mm2 = 106 A/m2 egységet. Így pl. vezetékekben 3 A/mm2 = 3·106 A/m2 körüli áramsűrűséget szokás megengedni. 3.21 ábra Az áramsűrűség vektorának értelmezése Az árameloszlás áramvonalakkal (az áramsűrűség vektorvonalaival) ábrázolható Az áramsűrűségre vonatkozó fenti reláció pontosabban a következőképpen fogalmazható meg. Tekintsük az áramsűrűséget vektormennyiségnek, amely az áram irányába mutat. Ennek megfelelően az áramsűrűség is ábrázolható erővonalakkal (áramvonalakkal) Valamely dA felületelemen keresztülfolyó áram erőssége dI = JdAn = JdAcosα, ahol a 321 ábra szerint dAn a felületelemnek az áram irányára merőleges vetülete. Az összefüggés felírható dI = JndA alakban is, ahol Jn az áramsűrűség vektorának a felületre merőleges összetevője. A

felület teljes árama I = ∫ J n dA = ∫ JdA . A (2) A A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 75 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 76 ► Ha az A felület merőleges az áram (pontosabban: az áramsűrűség) irányára, és az áramsűrűség nagysága állandó, akkor összefüggésünk I = JA alakra, vagyis az (1) összefüggésre egyszerűsödik. Az áramsűrűségre vonatkozó törvényszerűséget a töltésmegmaradás elve alapján állapíthatjuk meg. Szorítkozzunk arra az esetre, amikor időben semmi sem változik, tehát nemcsak az áram állandó, hanem az elektródák töltése is. Bármilyen térrészt vizsgáljunk is ekkor, a térrészt határoló zárt felületen bizonyos idő alatt ugyanannyi töltésnek kell kilépnie, mint amennyi belép oda (vagy ellenkező előjelű töltésnek kell belépnie). Ez azt

jelenti, hogy bármely időpontban a zárt felület eredő áramának, vagyis az áramsűrűség-vektor felületmenti integráljának nullának kell lennie (3.22 ábra), azaz ∫ JdA = 0 . (3) A Az áramsűrűség erővonalai tehát zárt görbék (lásd még a 3.5 szakaszt) Az 5. fejezetben látjuk majd, hogy időben változó töltések esetén ez az összefüggés módosul 3.22 ábra Időben állandó áramlás esetén bármely zárt felület összárama nulla, tehát nulla az áramsűrűség zárt felület menti integrálja is 3.3 Az áramlási tér Az áram fenntartásához, vagyis a töltések mozgatásához a vezető belsejében bizonyos erőre van szükség. A töltésre ható erőt továbbra is az elektromos térerősséggel fejezhetjük ki az F = QE (1) definíciós összefüggés alapján. Időben állandó áramlás esetén a tapasztalat szerint a vezető belsejében zárt görbe mentén körülmozgatott töltésen az A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Név- és tárgymutató Vissza ◄ 76 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 77 ► eredő munkavégzés nulla. A térerősségre vonatkozó törvényszerűség tehát ugyanaz, mint az elektrosztatikában: ∫ EdA = 0 . (2) Ezek szerint két pont közötti feszültség független a térerősség integrálásának útjától, csak a kezdő és végpont helyzetétől függ, és azok potenciáljának különbségével egyenlő: B U AB = ∫ EdA = ΦA − ΦB , (3) A ahol pl. a ΦA potenciál kifejezése 0 ΦA = ∫ EdA . (4) A A nulla potenciálú 0 alappont most is önkényesen felvehető. A vezető belsejében a töltést mozgató térerősség és a töltés mozgása révén keletkező áramsűrűség között szoros kapcsolat van, amelyet a vezető anyaga szab meg. A legtöbb közegben a töltések áramlási sebessége középértékben arányos a ható erővel és

azzal párhuzamos. Ennek megfelelően az áramsűrűség vektora arányos az elektromos térerősséggel (differenciális Ohm-törvény): A J = σE; [σ] = 1 , (5) Vm ahol a σ fajlagos vezetés az illető közegre jellemző adat. (Általában még a hőmérséklettől is függ; lásd a 3.4 szakaszt) Fémes vezetőkre σ ≈ 107 A/Vm nagyságrendű (pl. rézre σCu = 57·106 A/Vm) Vezetőkben így 1 A/mm2 = 106 A/m2 áramsűrűség esetén a térerősség 0,1 V/m nagyságrendű, tehát igen kicsi. Megjegyezzük, hogy a gyakorlatban a σ fajlagos vezetés (vagy vezetőképesség) helyett elterjedtebben használják reciprokát, a ρ fajlagos ellenállást: ρ= 1 Vm , [ρ ] = 1 . A σ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (6) Vissza ◄ 77 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 78 ► Tehát ρ-val nemcsak a töltéssűrűséget jelöljük (lásd

1.6 fejezet), hanem a fajlagos ellenállást is. Be szokás vezetni az ohm (Ω), ill. a siemens (S) egységet: 1Ω = 1V V A = 1 , 1S = 1Ω−1 = 1 . 1A A V (7) A siemens helyett néha a mho elnevezést használják az ohm reciprokára. (Hasonló módon képezték a reciprok kapacitás egységére az 1F−1 = 1 daraf egységet.) A fajlagos vezetés, ill ellenállás egységei tehát így is írhatók [σ] = 1 A S Vm −1 = 1 = 1(Ωm) , [ρ] = 1 = 1Ωm . Vm m A (8) A gyakorlatban a fajlagos ellenállást többnyire 1 Ωmm2/m = 10–6 Ωm egységben adják meg. Ennek okát később majd látjuk Így pl rézre ρCu = 0,0175·10–6 Ωm = 0,0175 Ωmm2/m. 3.4 Az ellenállás Az áramlási tér törvényeinek linearitásából következik Ohm törvénye. Ezek szerint, ha valamely vezetéken átfolyó áram erőssége I, akkor a vezeték két keresztmetszete között fellépő U feszültség ezzel arányos (3.41 ábra) 3.41 ábra Az Ohm-törvény értelmében a vezetéken

fellépő feszültség arányos az átfolyó áram erősségével, ahol az arányossági tényező a vezeték R ellenállása (rezisztenciája) U = RI, [ R ] = [U] V = 1 = 1ohm = 1 Ω . A [ I] A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza (1) ◄ 78 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 79 ► Az arányossági tényező a vezeték R ellenállása (rezisztenciája), amely csak a vezeték anyagától és geometriájától függ. Az ellenállás mellett használják reciprokát, a vezetést (konduktanciát) is, amellyel az Ohm-törvény I = GU, G= 1 A , [G ] = 1 = 1Ω−1 = 1S R V (2) alakban írható fel. A 341 ábrán feltüntettük az ellenállás szimbolikus jelölését is. Az ellenállás mérése az R = U/I összefüggés alapján visszavezethető feszültség és áram mérésére Speciális felépítésű (hányadosmérő) műszer

segítségével közvetlenül is mérhető. Pontos ellenállásmérést az ún Wheatstone-híd segítségével végezhetünk. A gyakorlatban előforduló ellenállásértékek széles határok között változnak Az érintkezők ellenállása mΩ = 10–3 Ω nagyságrendű, izzólámpa ellenállása 100 Ω körüli, elektronikus áramkörökben MΩ = 106 Ω (néha GΩ = 109 Ω) nagyságrendek is előfordulnak. Jó kondenzátorok szigetelési ellenállása is GΩ nagyságrendű Az ellenállás számítása az (1) definíciós összefüggés és az E = J/σ differenciális Ohm-törvény alapján végezhető el. Integráljuk ezt ugyanis a vezeték hossza mentén: J (3) U = ∫ E dA = ∫ dA . σ Szorítkozzunk arra az esetre, amikor az áramsűrűség merőleges az egyes keresztmetszetekre és e keresztmetszetek mentén állandó. Ekkor dℓ és J párhuzamosak, vagyis Jdℓ = Jdℓ, továbbá JA = I, a minden keresztmetszetben azonos áramerősség. Tehát U=∫ J A J d dA = ∫

d = I∫ = IR . σ σA Aσ (4) Ezzel igazoltuk, hogy az Ohm-törvény a J = σE relációból levezethető. Az ellenállás kifejezése d ρ (5) R=∫ =∫ d . σA A A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 79 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 80 ► A homogén anyagú, állandó keresztmetszetű vezeték ellenállása (5) értelmében: ρ R= . (6) A Most láthatjuk, miért szokás a ρ fajlagos ellenállást 1 Ωm helyett 1 Ωmm2/m egységben megadni: ekkor a vezeték hossza m-ben, keresztmetszetének területe mm2-ben. helyettesíthető Az elmondottakat még ki kell egészítenünk azzal, hogy az ellenállás általában erősen függ a közeg hőmérsékletétől. Ennek egyik oka a hossz és az átmérő méretváltozása. Ez azonban többnyire elhanyagolható a ρ fajlagos ellenállásnak a közeg hőmérsékletétől való

függése mellett A legtöbb anyagra viszonylag széles hőmérséklet-intervallumban ez a kapcsolat jó közelítéssel lineárisnak tekinthető. Ezt az alábbi alakban szokás kifejezni: 1 ρ (ϑ) = ρ0 ⎡⎣1 + α 0 (ϑ − ϑ0 )⎤⎦ , [α 0 ] = , °C (7) ahol ϑ az ellenállás hőmérséklete, ρ0 a fajlagos ellenállás és α0 a hőfoktényező a ϑ0 hőmérsékleten. A táblázatok általában ϑ0 = 20 °C-ra vonatkoztatva szokták ezeket megadni. A fémes vezetők nagy részére α0 ≈ 4·10–3/°C, vagyis 25 °C hőfokváltozás esetén a fajlagos ellenállás megváltozása 10% körüli érték. Néhány anyagnak (manganin, krómnikkel) kicsi a hőfoktényezője; ezek alkalmasak pl méréstechnikai ellenállások készítésére Ha elhanyagoljuk a vezeték hőtágulását, akkor ugyanilyen törvény írja le az ellenállás hőmérsékletfüggését is: R (ϑ) = R 0 ⎡⎣1 + α 0 (ϑ − ϑ0 )⎤⎦ , R 0 = R (ϑ0 ) . (8) A lineáris közelítés általában a

szobahőmérséklet környezetében és 100 °C nagyságrendű hőmérséklet-változások esetén használható. 3.5 Az áramlási tér számítása Az áramlási térrel kapcsolatos egyik alapvető probléma a vezető ellenállásának számítása. A legtöbb gyakorlati esetben ez a feladat megoldható az R = ℓ/σ A összefüggés értelemszerű alkalmazásával. További feladat az ellenállás és a térerősség számítása olyan rossz vezetőkben, amelyek jó vezetők között helyezkednek el (nem ideális szigetelések, földelések). A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 80 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 81 ► Az áramlási tér általánosabb leírását jelenti a valóságnak, mint az elektrosztatika, hiszen figyelembe vesszük a töltések mozgását is. (További finomításra is szükség lesz (lásd 5. fejezet),

hiszen még így is csak időben állandó folyamatokat vizsgáltunk.) Az elektrosztatika szempontjából az anyagok két, élesen elválasztott csoportba oszthatók: (ideális) vezetők és (ideális) szigetelők. Az áramlási tér szempontjából a közegeket vezetőképességük alapján osztályozhatjuk Elvileg bármilyen vezetőképesség előfordulhat Gyakorlatilag a közegeket az alábbi csoportokba oszthatjuk: 1. ideális szigetelő (σ = 0, pl a vákuum; a nem ionizált, száraz levegő), 2. jó szigetelő (pl ebonit: σ ≈ 10–16 S/m; PVC: σ ≈ 10–13 S/m), 3. rossz szigetelő (pl a föld: σ ≈ 10–2 S/m; rossz vezető szilícium-karbid vagy más néven szilit σ ≈ 103 S/m), 4. jó vezető (fémek, pl réz: σ = 57·106 S/m; alumínium: σ = 35·106 S/m) A számértékekből látható, hogy a fémes vezetők vezetőképessége nagyságrendekkel nagyobb a szigetelők vezetőképességénél. Nem követünk el tehát nagy hibát, ha a (véges vezetőképességű)

szigetelőanyagba helyezett vezetők terének számításakor a vezetőket ekvipotenciálisaknak tekintjük, vagyis a térerősség és az áramsűrűség erővonalait rájuk merőlegesnek tekintjük. Ez formálisan azt jelenti, hogy a fémek vezetőképességét végtelennek tekintjük Ezzel a közelítéssel az áramlási tér és az elektrosztatikus tér törvényei analógak. Az analógiát a 351 ábra szemlélteti Azonos elektródaelrendezés esetén homogén közegben ugyanolyanok a potenciálviszonyok és az elektromos térerősség, akármekkora a szigetelőanyag vezetőképessége. Az áramsűrűség vektora pedig megfelel az eltolási vektornak, az anyagjellemző az ε permittivitás helyett a σ vezetőképesség. Az egyetlen különbség az, hogy elektrosztatikus esetben az elektródának töltése van, az áramlási térben pedig az elektródából kilépő áramot valamilyen módon pótolnia kell egy másik áramnak, mert az összáram nulla. Az áramlási teret

egyszerűbb esetekben a következőképpen számítjuk. Képezzük az áramsűrűség integrálját az elektródát körülvevő felületre. Ha kirekesztjük az áramhozzávezetés helyét, akkor e (majdnem) zárt felületre ⎡ ⎤ I = ∫ JdA ⎢⎢ vö. Q = ∫ DdA ⎥⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ A A A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (1) Vissza ◄ 81 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 82 ► 3.51 ábra a) Az elektrosztatikus és b) az áramlási tér analógiája Azonos geometriai elrendezés és potenciálviszonyok esetén az elektromos erőterek megegyeznek Ha szimmetriamegfontolások alapján sikerül olyan felületeket találnunk, amelyre az áramsűrűség merőleges (ekvipotenciális felület), és az áramsűrűség nagysága a felületen állandó, akkor a felületi integrál JA alakban fejezhető ki, vagyis J= I I , E= A σA ⎡ Q

Q⎤ ⎢ vö. D = , E = ⎥. A εA ⎦⎥ ⎣⎢ (2) A térerősség ismeretében számítható az elektródák potenciálja 0 ΦA = ∫ A 0 ⎡ ⎤ ⎢ EdA , ⎢ vö. ΦA = ∫ EdA ⎥⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ A (3) Általában a potenciálok (vagy a feszültségek) adottak, tehát az elektródák potenciáljának ismeretében számíthatók az áramok. Amint látjuk, a számítás menete szinte betűről betűre megegyezik az elektrosztatikában követettel. A fenti módszerrel tehát ugyanazok az elrendezések számíthatók, mint az elektrosztatikában (síkkondenzátor, koaxiális hengerek, koncentrikus gömb és gömbhéj, kis sugarú párhuzamos tengelyű hengerek, kis sugarú gömbök). Sőt: az egész számítás meg is takarítható, mert az elektrosztatikus módszerrel kapott eredmények egyszerűen átvehetők az alábbi betűcserékkel: U ↔ U, Φ ↔ Φ, E ↔ E, D ↔ J, Q ↔ I, Q 1 I ε ↔ σ, C = ↔ G = = . U R U A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név-

és tárgymutató Vissza (4) ◄ 82 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 83 ► Ez az analógia rétegezett szigetelések esetén is érvényes. A fenti analógiából az következik, hogy két elektróda kapacitása és ellenállása között homogén közeg esetén szoros kapcsolat van. Ugyanis Q 1 1 = ∫ D dA = ε ∫ E dA = εK , U UA U A (5) 1 I 1 1 = = ∫ J dA = σ ∫ E dA = σK . R U U A U A (6) C= G= Az elrendezéstől függő K tényező a két esetben az előzőek szerint ugyanaz, így C ε ≡ RC = . (7) G σ A kapacitásképletekkel az ellenállás R = (ε/σC) alakban számítható. Fordítva: az ellenállás megmérésével meghatározható a kapacitás a C = (ε/σR) összefüggés segítségével. 3.6 A teljesítmény és a teljesítménysűrűség Az áramlási térben fellépő teljesítmény meghatározásához abból indulhatunk ki, hogy ha a vezeték

két pontja között a feszültség U, akkor a t idő alatt átáramló Qt = It töltések potenciális energiájának csökkenése (vagyis a fejlődő hő) a feszültség definíciójának értelmében Wt = UQ t = UIt . (1) A P = Wt/t teljesítmény ennek megfelelően P = UI . (2) A (3.4-1, ill 34-2) alatti U = RI, ill I = GU Ohm-törvényt figyelembe véve (2) így is írható P = RI 2 = GU 2 . (3) A (3) összefüggést Joule törvényének is nevezik. Vizsgáljuk most a teljesítményviszonyokat az áramlási tér egy kis térfogatában. A 361 ábrán ezt a térfogatot úgy vettük fel, hogy egyrészt erővonalak (áramvonalak), másrészt két, ezekre merőleges ekvipotenciális felület határolják. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 83 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 84 ► 3.61 ábra Áramcsatorna vizsgálata a

teljesítménysűrűség és a Joule-törvény differenciális alakjának bevezetéséhez A feszültség dU = Edℓ, az áramerősség dI = JdA, a teljesítmény pedig dP = dUdI = Ed JdA = EJdV, dV = dAd . (5) A teljesítménysűrűség, vagyis a térfogategységre vonatkoztatott fajlagos teljesítmény [P] dP W p= = EJ ; [ p ] = =1 3 . (6) dV [V] m Vezetők belsejében E és J egyirányúak, ezért jogos volt a skalárértékekkel történő számolás. A J = σE differenciális Ohm-törvényt figyelembe véve a teljesítménysűrűség kifejezése p= J2 = σE2 . σ (7) Ez az ún. differenciális Joule-törvény A következő szakaszokban látni fogjuk, hogy a (2), ill. a (6) alak általános érvényű, de a (3), ill (7) kifejezés csak vezető belsejében érvényes 3.7 A feszültséggenerátor Az eddigiekben nem beszéltünk arról az okról, amely az áramot létrehozza, vagy a potenciálkülönbséget fenntartja. A vezetékben folyó áram fenntartásához külön

berendezés segítségével feszültséget (potenciálkülönbséget) hozunk létre a vezeték végei között (371 ábra) E berendezésen, a A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 84 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 85 ► feszültséggenerátoron áthaladva az egyes Q töltések potenciális energiája QU értékkel növekszik. Itt U a feszültségforrás kapocsfeszültsége Ez az energia a vezetéken való áthaladás során súrlódási jellegű munkává (hővé) alakul. Ezt az energiát a töltések egy nem villamos jellegű munkából kapják; pl akkumulátorok vagy szárazelemek esetén az energia forrása kémiai eredetű. 3.71 ábra (a) A feszültséggenerátor U feszültséget hoz létre a vezeték végei között. (b) A feszültséggenerátor egy Ug forrásfeszültségű feszültségforrás és egy Rb belső ellenállás

soros kapcsolásával helyettesíthető Ha kissé pontosabban vizsgáljuk a folyamatot, azt találjuk, hogy a generátor belsejében is válik hővé energia, amelyet a generátor belső ellenállásának rovására írhatunk (pl. az elektrolit és az elektródák ellenállása) A helyettesítő képben ezért a feszültséggenerátort egy Ug forrásfeszültségű ideális feszültséggenerátor vagy feszültségforrás és egy Rb belső ellenállás soros kapcsolásának tekinthetjük. Az áramló töltések tehát QUg energiára tesznek szert; ezen energia egy része (QUb) a generátor belsejében, más része (QU) a külső vezetékben válik hővé. Az energiamegmaradás elvéből QU g = QU b + QU . (1) Ug = Ub + U = R b I + U . (2) A töltéssel egyszerűsítve A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 85 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató

Vissza ◄ 86 ► Az Ug forrásfeszültség tehát általában nem egyezik meg az U kapocsfeszültséggel. Szakítsuk meg a külső vezetéket (üresjárási állapot), akkor I = 0 és így (2)-ből U g = Us , I = 0 , (3) ahol az s index a szakadásra utal. A generátor forrásfeszültsége megegyezik az üresjárási kapocsfeszültséggel, vagyis közvetlenül mérhető A 3.71/a ábrából látható, hogy a generátor belsejében a töltésekre nemcsak az elektrosztatikus jellegű E térerősséggel arányos QE erő hat, amely a generátor belsejében is a pozitívabb (nagyobb) potenciálú ponttól a negatívabb felé mutat, tehát az áramsűrűséggel ellentétes irányú, hanem egy ezzel ellentétes irányú ún. generátoros erő is A generátoros hatást éppen ez – a pozitívabb pont felé mutató – generátoros (beiktatott) Fg erő fejti ki. Ennek eloszlása a generátor tényleges konstrukciójától függ Elektrotechnikai szempontból célszerű ezt az erőt is Fg =

QEg (4) alakban kifejezni egy (általában nem ismert eloszlású) Eg generátoros (beiktatott) térerősség segítségével. Ennek integrálja a generátor belsejében fekvő görbére a fent értelmezett és mérhető forrásfeszültség: P+ U g = ∫ Eg dA . (5) P− Végeredményben azt mondhatjuk, hogy a feszültséggenerátor belsejében az áramsűrűséget az elektrosztatikus jellegű E és a generátoros Eg térerősség együttesen hozzák létre. A (33-5) differenciális Ohm-törvény tehát így általánosítható: J = σ (E + Eg ) . (6) A generátoron kívül Eg = 0, ott a J = σE összefüggés érvényes. A generátor belsejében természetesen a generátor tényleges szerkezete által meghatározott σ vezetőképességet kell figyelembe venni (Pl akkumulátor esetén az elektrolit, dinamó esetén a tekercselés vezetőképessége.) Ha áram nem folyik, akkor J = 0, tehát üresjárásban Es + Eg = 0. A forrásfeszültség ekkor (5) értelmében A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 86 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató P+ P+ Vissza ◄ 87 P− U g = ∫ Eg dA =− ∫ Es dA =∫ Es dA = U s , P− P− ► (7) P+ ahol Us az üresjárási kapocsfeszültség, vagyis a (3) eredményhez jutunk. Közelítőleg ugyanez a helyzet akkor is, ha a generátorban a ρ fajlagos ellenállás elhanyagolhatóan kicsinek tekinthető, mert ekkor (6) értelmében E + Eg = ρJ ≈ 0 , (8) vagyis Eg ≈ −E és Ug ≈ U. Ez a 371/b ábra alapján nyilvánvaló: ha a generátorban Ub≈ 0, akkor Rb ≈ 0, és Ug ≈ U. Vizsgáljuk meg a teljesítménysűrűség kifejezését is. A (36-6) általános alak értelmében p = EJ. Fejezzük ki (6) alapján a térerősséget: E= J − Eg . σ (9) Ezt behelyettesítve p = EJ = J2 J2 − Eg J = − E g J σ σ (10) adódik. Az első tag mindig pozitív, tehát ez

a villamos teljesítmény átalakulását jelenti hőteljesítménnyé Az Eg J tag a 371 ábrán vázolt esetben ugyancsak pozitív, a −Eg J negatív: nem villamos (pl. kémiai) energia alakul át villamos energiává. Ha a rendszer több generátort tartalmaz, akkor egyesekben Eg és J iránya ellentétes lehet (pl. egy akkumulátor töltésekor) Ilyenkor a −Eg J tag is pozitív, vagyis a generátor is fogyasztja a villamos energiát. Az első esetről, mint a generátor termelői, a másodikról, mint a generátor fogyasztói üzemállapotáról beszélünk. 3.8 Az áramgenerátor Az előző szakaszban azt mondtuk, hogy a vezetékben az áram, vagyis a töltések áramlása akkor tartható fenn, ha a vezeték végei között egy feszültséggenerátorral feszültséget hozunk létre, miáltal a töltések a generátoron való áthaladás során energiára tesznek szert. Az áramlás azonban akkor is fenntartható, ha egy berendezés egyenletesen töltéseket bocsát ki magából,

vagyis áramot kényszerít a vezetékbe. Ez a berendezés, az áramgenerátor, bizonyos kezdősebességgel (vagyis energiával) „lövi be” a töltéseket a vezetékbe (381/a ábra) Ilyen áramgenerátor pl a fotocella, amely fényenergiát alakít át villamos energiává. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 87 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 88 ► 3.81 ábra a) Az áramgenerátor I áramot kényszerít a vezetékbe b) Az áramgenerátor egy Ig forrásáramú áramforrás és egy Rb belső ellenállás párhuzamos kapcsolásával helyettesíthető A feszültséggenerátorhoz hasonlóan a helyzet itt is az, hogy az energia egy része az áramgenerátoron belül válik hővé, az áram egy része az áramgenerátoron belül záródik. A 381/b ábra helyettesítő képében az áramgenerátort egy Ig forrásáramú ideális

áramgenerátor vagy áramforrás és egy Rb belső ellenállás párhuzamos kapcsolásának tekinthetjük. Az U kapocsfeszültség felhasználásával a teljesítménymérleg így írható: UIg = UI b + UI . (1) A feszültséggel egyszerűsítve Ig = I b + I = U +I . Rb (2) Az Ig forrásáram tehát általában nem egyezik meg az I kapocsárammal. Legyen most a külső vezeték ellenállása gyakorlatilag nulla (rövidzárási állapot), akkor U = 0 és így (2)-ből Ig = I r , U = 0 , (3) ahol az r index a rövidzárásra utal. A generátor forrásárama megegyezik a rövidzárási kapocsárammal, vagyis közvetlenül mérhető. A 3.81/a ábrából látható, hogy az áramgenerátor belsejében a σE törvényt követő áramsűrűség-komponensen kívül (amely a pozitívabb ka- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 88 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és

tárgymutató Vissza ◄ 89 ► pocstól a negatívabb felé folyik) egy ezzel – generátoros üzemben – ellentétes irányú Jg generátoros (beiktatott) áramsűrűség is fellép, amelyre Ig = ∫ J g dA (4) A érvényes. Az eredő áramsűrűség J = σE + J g . (5) Ha az áramgenerátor kapcsait rövidre zárjuk, vagyis U = 0, akkor E = 0, tehát Jr = Jg. Alkalmazzuk az ∫ JdA = 0 megmaradási törvényt erre az esetre: A ∫ J dA = ∫ J r dA + r A A külső ∫ J r dA = ∫ J r dA + ∫ A belső A külső A belső J g dA = 0 . (6) A felületi normálisok irányát figyelembe véve ∫ A külső J r dA = −I r , ∫ J g dA = Ig , (7) A belső vagyis végeredményben a (3) alatt már felírt Ig = I r (8) összefüggéshez jutunk. Közelítőleg ugyanez a helyzet akkor is, ha a generátorban a vezetőképesség elhanyagolhatóan kicsinek tekinthető Ha ugyanis σ ≈ 0, akkor (5) értelmében J ≈ Jg amiből Ig ≈ I. Ez a 381/b ábra

alapján nyilvánvaló: ha a generátorban σ ≈ 0 (ρ ≈ ∞), akkor Rb ≈ ∞ és így Ig ≈ I. Vizsgáljuk még meg a teljesítménysűrűség kifejezését. A (36-6) általános alak értelmében p = EJ Fejezzük ki (5) alapján az áramsűrűséget: J = σE + J g . (9) p = EJ = σE2 + EJ g . (10) Ezt behelyettesítve Az első tag mindig pozitív (fogyasztott teljesítmény). A 381/a ábrán vázolt esetben E és Jg ellentétesek, vagyis EJg negatív (termelt teljesítmény) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 89 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ ► 90 Ha a rendszer több generátort tartalmaz, akkor egyesekre E és Jg iránya egyező lehet, vagyis EJg pozitív (fogyasztói üzemállapot). 3.9 Példák 3.91 példa Koaxiális kábel ere és köpenye közötti szigetelés vezetőképessége σ. Mekkora a szivárgási

áram és a szivárgási ellenállás, ha az ér és a köpeny közötti U feszültség adott? Jelölje I egy ℓ hosszúságú szakasz szivárgási áramának erősségét, amit még nem ismerünk. Az áramsűrűség vonalai a hengerszimmetria miatt radiálisak és egyenletes eloszlásúak (3.91 ábra) Az áramsűrűség egy r sugarú hengerfelületen: I J (r ) = . (l) 2πr A térerősség kifejezése E= J/σ, a feszültség pedig: r2 U=∫ r1 I E ( r ) dr = 2πσ r2 ∫ r1 dr I r = ln 2 . r 2πσ r1 (2) A szivárgási áram, ill. a szivárgási ellenállás kifejezése ebből: I= 2πσ U ln (r2 r1 ) U, R = = . ln (r2 r1 ) I 2πσ (3) 3.91 ábra Koaxiális kábel szivárgási áramának és szivárgási ellenállásának számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 90 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ ► 91 A

feladatot az elektrosztatikus analógia alapján közvetlenül is megoldhattuk volna. A 254 példa szerint ezen elrendezés kapacitása C = 2πεℓ/ln(r2/r1) A (3.5-7) alatti RC = ε/σ összefüggésből megkaphatjuk az R szivárgási ellenállás fenti kifejezését. 3.92 példa Tételezzük fel, hogy az előző példában tárgyalt vezeték ere rézből van (σCu = 57·106 A/Vm), és benne az áramsűrűség J0 = 4 A/mm2. A tengelyirányú térerősség a vezetőben: A J m 2 = 0, 07 V . E0 = 0 = σ 57 ⋅106 A m Vm 4 ⋅106 (4) A további adatok: r1 = 10 mm, r2 = 30 mm, U = 10 kV. 3.92 ábra Vezető felületén fellépő térerősségek: az E1 térerősség a kábel feszültségével, az E0 térerősség az érben fellépő potenciáleséssel kapcsolatos. A valóságban E0 még sokkal kisebb E1-nél A maximális térerősség a szigetelőanyagban: E max = E1 = U 10 ⋅103 V kV . = −2 = 0,9 ⋅106 = 9 r1 ln (r2 / r1 ) 10 ln 3 m cm (5) A térerősség tehát nem merőleges

a fém felületére, mert az E1 = 0,9·106 V/m nagyságú radiális térerősség mellett fellép egy E0 = 0,07 V/m nagy- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 91 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 92 ► ságú longitudinális térerősség is. Az erővonal és a felületi normális által bezárt α szögre (3.92 ábra, erősen torzított!) tgα = E0 0, 07 = ≈ 10−8 , α ≈ 10−8 rad . 6 E1 0,9 ⋅10 (6) A fenti tipikus adatokból numerikusan is látható, hogy a térerősség a fém felületére gyakorlatilag teljesen kielégítő pontossággal merőlegesnek tekinthető. 3.10 Kirchhoff törvényei A hálózatok törvényszerűségeit Kirchhoff két törvénye fejezi ki, amelyek tekinthetők tapasztalati törvényeknek, de felfoghatók a tapasztalat által igazolt általánosabb törvények következményeinek is. Kirchhoff

első vagy csomóponti törvénye a töltésmegmaradás elvét fejezi ki. Tekintsük a 3101 ábrán látható csomópontot, vagyis olyan vezetékelágazási pontot, amelyben töltések nem halmozódhatnak fel. A t idő alatt beáramló Qbe = Q1 + Q2 töltésnek meg kell egyeznie az ugyanezen idő alatt kiáramló Qki = Q3 + Q4 töltéssel, vagyis Qbe = Qki. A t idővel osztva ebből I be = I ki (1) adódik. Pl az ábrán látható esetben I1 + I 2 = I3 + I 4 . (2) 3.101 ábra A csomóponti törvény (Kirchhoff első törvénye) a töltés megmaradásának elvét fejezi ki Egyedül a csomóponti törvény alapján természetesen nem dönthető el, hogy az egyes vezetékekben mekkora az áramerősség. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 92 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 93 ► Legfeljebb egy ismeretlen áram irányát és

nagyságát tudjuk meghatározni, ha a többi mind ismert. A csomóponti törvényt egyszerűbb esetekben az (1) alakban szoktuk használni. Általánosan azonban célszerű kissé más alakban megfogalmazni Tekintsük a csomópontból kifolyó áramokat pozitívnak, a befolyókat negatívnak. Ekkor a csomóponti törvény értelmében a csomópontból kifolyó áramok összege nulla: n ∑I k =0. (3) k =1 A 3.101 ábrán látható esetre alkalmazva −I1 − I 2 + I3 + I 4 = 0 . (4) Ez láthatólag (2) átrendezett alakja, amely megfelel a (3) összefüggés szerinti felírásnak. Az előjeleket illetően fordítva is megállapodhatunk, vagyis a befolyó áramokat tekintjük pozitívnak, a kifolyókat negatívnak, hiszen ez egy nulla jobb oldalú egyenlet (−1)-gyel való szorzásának felel meg. Az előző választást az indokolja, hogy a (32-3) alatti ∫ JdA = 0 (5) A törvényben is kifelé mutatónak tekintjük a felület normálvektorát. A 3.101/a ábrára

alkalmazva ebből éppen a (3) csomóponti törvényt kapjuk Kirchhoff második vagy huroktörvénye az ∫ EdA = 0 egyenlet alkalma- zása egy olyan irányított zárt görbére, amely ellenállásokon, generátorokon és vezetékeken halad keresztül. Válasszuk valamennyi elem feszültségének referenciairányát egyelőre a görbe irányításával egyezően (3.102 ábra) Az egyes elemek feszültsége ekkor U k = ∫ EdA (6) k alakban fejezhető ki. Az ellenállásmentes vezetékeken nem esik feszültség, ezért ∫ EdA = ∑ ∫ EdA = ∑ U k k k = 0. (7) k A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 93 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 94 ► 3.102 ábra A huroktörvény (Kirchhoff második törvénye) a villamos térerősség cirkulációmentességét fejezi ki Az összegezést mindazon feszültségekre kell

elvégeznünk, amelyek zárt görbe által kijelölt hurokban vannak. Ha mármost valamely feszültség referenciairánya a felvett körüljárási iránnyal (a zárt görbe irányításával) ellenkező, azt nyilván negatív előjellel kell figyelembe venni. Végeredményben a (8) ∑ Uk = 0 k huroktörvény azt mondja ki, hogy a feszültségek összege bármely hurokra nézve nulla. Amely feszültség iránya (referenciairánya) a felvett körüljárási iránnyal megegyező (potenciálesés), az pozitív előjellel helyettesítendő, amelyiké a körüljárási iránnyal ellentétes, az negatív előjellel helyettesítendő a (8) összefüggésbe. A körüljárási irány megfordítása a nullára redukált egyenlet (−1)-gyel való szorzását jelenti, tehát az eredményt nem befolyásolja. A huroktörvényt néha úgy fogalmazzák meg, hogy külön tekintik az ellenállások URk és a generátorok Ugk feszültségét, és ezekre ellentétes előjelkonvenciót alkalmaznak.

Ekkor a huroktörvény a ∑U k Rk = ∑ U gk (9) k alakot ölti. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 94 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 95 ► 3.101 példa Két ellenállás rezisztenciája és hőfoktényezője ϑ0 hőmérsékleten R10 és α10, ill. R20 és α20 Határozzuk meg a soros kapcsolásukkal adódó R rezisztencia hőfoktényezőjét ϑ0 hőmérsékleten. A (3.4-8) lineáris közelítés alapján R ϑ = R1ϑ + R 2 ϑ = R10 ⎡⎣1 + α10 (ϑ − ϑ0 )⎤⎦ + R 20 ⎡⎣1 + α 20 (ϑ − ϑ0 )⎤⎦ = ⎡ α R +α R ⎤ 20 20 = ( R10 + R 20 ) ⎢1 + 10 10 (ϑ − ϑ0 )⎥⎥ . ⎢ R10 + R 20 ⎣ ⎦ (10) Ebből látható, hogy az eredő hőfoktényező α0 = α10 R10 +α 20 R 20 . R10 + R 20 (11) 3.11 Összefoglalás A töltések mozgása áramot jelent. Egyezményesen az áram iránya megegyezik a

pozitív töltések áramlási irányával Az állandó nagyságú áram erősségét megkapjuk, ha a t idő alatt átáramlott Qt töltést osztjuk az áramlás t idejével: Q I = t , [ I] = 1A, [ Q ] = 1As = 1C . t Az időben állandó áram által létrehozott elektromos teret stacionárius áramlási térnek nevezzük. Jellemzői az elektromos térerősség és az áramsűrűség, definiáló egyenleteik pedig a következők: B U AB = ∫ EdA, I = ∫ JdA . A A A generátorokat a beiktatott térerősség, ill. a beiktatott áramsűrűség jellemzi: P+ U g = ∫ Eg dA, Ig = ∫ J g dA , P− A ahol Ug a feszültséggenerátor forrásfeszültsége, Ig az áramgenerátor forrásárama. Az áramlási tér törvényszerűségei: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 95 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató ∫ EdA = 0, ∫ JdA = 0, Vissza ◄

96 ► J = σ (E + E g ) , A ahol σ a közeg fajlagos vezetése, ρ =1/σ a fajlagos ellenállása. Ha a vizsgált térrészben nincsenek generátorok, akkor ∫ EdA = 0, ∫ JdA = 0, J = σE . A A teljesítménysűrűség kifejezése: p= dP = EJ . dV Vezetőben, feszültséggenerátorban, ill. áramgenerátorban ennek speciális alakjai: J2 J2 p = , p = − Eg J , p = σE2 + J g E . σ σ A vezetőben folyó I áramerősség és a vezetőszakasz két pontja közötti U feszültség definiálják e szakasz R ellenállását, ill. G vezetését, amelyek a vezető alakjától és anyagától függenek: R= U V 1 I A , [ R ] = 1 = 1 Ω; G = = , [G ] = 1 = 1S . I A R U V Az áramlási teret egyszerűbb esetekben hasonlóan számíthatjuk, mint az elektrosztatikus teret. Elsősorban azok a problémák oldhatók meg, amikor fémes elektródák között nem ideális szigetelőanyag van. Az elektródák ilyenkor gyakorlatilag ekvipotenciálisnak tekinthetők. Ha kvalitatív

megfontolások alapján sikerül olyan felületeket találni, amelyek ekvipotenciálisak (az erővonalak rájuk merőlegesek), és rajtuk az árameloszlás egyenletes, akkor b I I I J= , E= , U ab = ∫ d . A σA σA a A számítás során felhasználhatjuk a szuperpozíció elvét és az ezen alapuló tükrözési elvet. Közvetlenül felhasználható betűcserével az analóg elrendezések elektrosztatikus tere Így például a kapacitás és az ellenállás szorzata csak az anyagállandóktól függ: RC = ε/σ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 96 ► Elektrodinamika Az áram és elektromos tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 97 ► Ha a generátorok forrásfeszültségét, ill. forrásáramát, továbbá a vezetők rezisztenciáját adottnak tekintjük, és utóbbiakat ellenállásokkal veszszük figyelembe, akkor egyenáramú hálózathoz jutunk Ennek

törvényszerűségeit a két Kirchhoff-törvény adja meg, továbbá az Ohm-törvény: n ∑I k =0 k = 0, n ∑U k = 0, U Rk = R k I k . k =0 Bármely csomópontra az áramok összege nulla (a kifolyó áramokat pozitív, a befolyókat negatív előjelűnek tekintve). Bármely hurokra a feszültségek összege nulla (a körüljárási iránnyal egyező irányú feszültségeket pozitív, az ellenkező irányúakat negatív előjelűeknek tekintve) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 97 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 98 ► 4. Az áram mágneses tere Tapasztalat szerint az áram nemcsak elektromos, hanem mágneses teret is létrehoz. A mágneses tér egy áramtól átjárt vezetőre erőt fejt ki, így ismerete önmagában is igen fontos, mert ezen az elven működnek a villamos forgógépek, a legtöbb mutatós műszer stb.

A mágneses tér ismeretében határozható meg egy, ill. több vezető hurok ön-, ill kölcsönös induktivitása Ebben a fejezetben időben állandó áramok mágneses terének vizsgálatára szorítkozunk Eredményeink azonban felhasználhatók, ill általánosíthatók lesznek időben változó áramokra is 4.1 A mágneses indukció Mint az 1. fejezetben láttuk, a töltött testek egymásra erőt fejtenek ki Ezt a hatást úgy értelmezzük, hogy a töltés maga körül elektromos teret hoz létre (amelyet az E elektromos térerősség jellemez), és egy elektromos térben levő töltésre erő hat. A tapasztalat szerint az áramtól átjárt vezetők is erőt fejtenek ki egymásra. Ezt a hatást úgy értelmezzük, hogy az áram maga körül mágneses teret hoz létre, és egy mágneses térben levő áramra erő hat. Az alapvető kísérlet az alábbi. Helyezzünk különböző áramtól átjárt vezetők környezetébe egy kis méretű zárt áramhurkot (köráramot), amelynek

síknak tekintett felülete A, a benne folyó áram erőssége I. (A köráram elvi kivitele a 4.11/b ábrán látható: az oda- és visszafolyó áramot vivő vezetékek olyan közel vannak egymáshoz, hogy ezen a szakaszon az eredő töltésáramlás, vagyis az eredő áram elhanyagolható.) Azt tapasztaljuk, hogy köráramunkra erő ugyan nem hat, de fellép egy forgatónyomaték, amely arányos az IA szorzattal (a köráram momentumával vagy nyomatékával), és függ a köráram helyzetétől. E forgatónyomaték legnagyobb értéke M 0 = BIA . (1) A B tényező fejezi ki a többi áram hatását a mérő köráram helyén. A viszonyokat úgy képzeljük el, hogy a többi áram maga körül mágneses teret hoz létre, és ez hat a köráramra. A mágneses tér erősségét a B mágneses indukció (helyesebben: mágneses térintenzitás) jellemzi. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 98 ► Elektrodinamika Az áram mágneses

tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 99 ► 4.11 ábra a) Ha a kisméretű áramhurokra forgatónyomaték hat, akkor mágneses tér van jelen, amelyet a mágneses indukció vektora (B) jellemez, ennek iránya megegyezik a köráram normálvektorának stabilis nyugalmi irányával. b) Az áramhurok kivitelezése A köráramra ható nyomaték a köráram helyzetétől is függ. Ezt úgy vehetjük figyelembe, hogy a mágneses indukciót is vektormennyiségnek tekintjük A köráram irányát felületi normálisának irányával jellemezhetjük, amely merőleges a köráram síkjára, és iránya az áram irányával a jobbcsavar-szabály szerint van összehangolva. (411 ábra) Ha az indukcióvektor iránya a felületi normális irányával megegyezik, akkor forgatónyomaték nem hat. Ha a felületi normális az indukció vektorával φ szöget zár be, akkor a tapasztalat szerint a forgatónyomaték a két vektor síkjában hat, és

nagysága (4.11/a ábra): M = BIA sin ϕ . (2) A legnagyobb nyomaték φ =90° esetén lép fel. A forgatónyomatékot is vektorával jellemezve, a törvény végső alakja: M = IAn × B, n =1 . (3) Az m = IAn mennyiséget szokás a köráram momentumvektorának nevezni. A mágneses indukció egysége (figyelembe véve, hogy a forgatónyomaték egysége megegyezik a munka egységével): [ B] = [M ] 1VAs Vs = = 1 2 = 1tesla = 1T . m [ I][ A ] 1A ⋅1m 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza (4) ◄ 99 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 100 ► A régebbi elektrotechnikai gyakorlatban az 1 gauss = 10–4 tesla∗ egység volt használatos. A gyakorlatban előforduló indukcióértékek tesla nagyságrendűek. Műszerekben 0,1 T, villamos gépekben 1 T, légmagos tekercsekben 0,01 T körüli értékek lépnek fel. A Föld mágneses tere kb

60·10–6 T Eddig 10 Tnál nagyobb indukciót csak különleges módszerekkel sikerült előállítani A definiáló kísérlet alapján az indukció mérhető is. 4.2 A fluxus A mágneses indukció vektorát ugyanolyan módon ábrázolhatjuk erővonalakkal, mint az elektromos térerősség vektorát. Az alkalmazásokban nagy szerepet játszik a valamely felületen keresztülmenő összes erővonalak száma, a (mágneses) fluxus, amelynek jele Φ. Ha a felület merőleges az indukcióra és ez a felület mentén állandó, akkor a fluxus egyenlő az erővonalak sűrűségének (vagyis az indukciónak) és a felületnek a szorzatával: Φ = BA . (1) A felület irányításával a fluxusnak előjelet is tulajdonítunk. Általános esetben, amikor B nem állandó egy elemi (kicsiny és síknak tekinthető) felületet vizsgálunk, amelynek fluxusa (4.21 ábra): dΦ = Bn dA = BdA n = BdA cos α = BdA . (2) A teljes felület fluxusa a részfluxusok összegezésével: Φ = ∫ BdA . A

fluxus egysége∗∗: [Φ ] = [ B][ A ] = 1 (3) A Vs ⋅1 m 2 = 1Vs = 1weber = 1Wb . 2 m (4) ∗ Nikola Tesla (1856–1943): horvát származású az USÁ-ban működött elektrotechnikus és feltaláló. Ferrarisszal egyidőben, de tőle függetlenül feltalálta a forgó mágneses tér elvén alapuló többfázisú elektromotort, és megszerkesztette a Tesla-transzformátort. 1880–1882-ben Budapesten működött. ∗∗ Wilhelm Eduard Weber (1804–1891): német fizikus, egyetemi tanár. Gaussszal együtt számos elektromos és mágneses műszert (elektrodinamométer, tükrös galvanométer stb.) szerkesztett, és ők állították fel az első elektromágneses távírót. Weber műve az első elektromos mértékrendszer összeállítása, amely később az abszolút mértékrendszer alapja lett A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 100 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 101 ► A továbbiakban az elterjedtebb Vs-ot használjuk. A régebbi elektrotechnikai gyakorlatban az 1 maxwell = 1 gauss·1 cm2 = 10–8 Vs egység volt használatos. A fluxus formálisan az áramerősséggel analóg mennyiség, hiszen mindkettő egy vektor integrálja egy irányított felület mentén. Ennek megfelelően beszélhetünk a fluxus irányáról is, amely egyszerű esetekben (pl homogén tér) az indukcióvektor irányával egyezik meg. Szigorúan véve a fluxusnak nincs iránya, csak a felületi normálisnak; a pozitív fluxus a normálissal „egyező irányú”, a negatív fluxus a normálissal „ellentétes irányú”. A fluxusra – és így az indukcióra – vonatkozó fontos tapasztalati tény, hogy zárt felületen ugyanannyi erővonal lép ki, mint amennyi belépett. Más szóval a zárt felület fluxusa nulla: Φ0 ≡ ∫ BdA = 0 . (5) A Az indukcióvonalak tehát zárt görbék. 4.21 ábra A

kisméretű dA felület dΦ fluxusának meghatározása Az alkalmazások során többnyire egy zárt vezető által kifeszített felület fluxusának (röviden: a hurok fluxusának) van jelentősége. Ezt a fluxust a megkülönböztetés érdekében Ψ-vel jelöljük (a nemzetközi szabványok ezt a jelölést nem tartalmazzák), míg Φ tetszőleges felület fluxusát jelöli. A hurok fluxusát az indukciónak a hurok A felületére vett integrálja szolgáltatja: Ψ = ∫ BdA , [ Ψ ] = [Φ ] = 1Vs = 1Wb . (7) A A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 101 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 102 ► A gyakorlatban sokszor kell tekercs fluxusát számítanunk. Tekintsük például a 422 ábrán látható egyenes tekercset (szolenoidot) Feltüntettük az indukcióvonalakat is. A felületi normális irányát a hurokban folyó áram

irányával a jobbcsavar-szabály szerint hangoljuk össze. 4.22 ábra Tekercs Ψ fluxusának számítása az egyes menetek Φi fluxusának összegezésével A csavarvonal alakú vezető nagyon bonyolult felületet feszít ki, ezért a fluxus számítása bonyolult lenne. Jó közelítéssel ezen felület fluxusa egyenlőnek vehető az egyes menetek által meghatározott keresztmetszetek fluxusainak összegével, vagyis N Ψ = ∑ Φi . (8) k =1 Ha mind az N menetnek ugyanakkora a fluxusa, akkor Ψ = NΦ. A közelítés annál jobb, minél hosszabb a szolenoid Sokszor a Ψ mennyiséget (8) szerint definiálják, és fluxuskapcsolódásnak vagy tekercsfluxusnak nevezik. Mi azonban általánosan bármely zárt vezető fluxusát Ψ-vel fogjuk jelölni. 4.3 A köráramnak más áramok mágneses teréből származó energiája A hurok Ψ fluxusa a hurok energiájával kapcsolatos mennyiség. Ez már abból is sejthető, hogy a kis méretű áramhurokra forgatónyomaték hat. A (4.1-2)

összefüggés szerint: M = IABsin ϕ = ΙΨ0 sin ϕ , A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (1) Vissza ◄ 102 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 103 ► ahol Ψ0 = AB a hurok maximális fluxusa (a nyugalmi állapotban fellépő fluxus, 4.31 ábra) Ez csak kis méretű hurokra érvényes, amikor B az A felületen azonos nagyságúnak tekinthető. 4.31 ábra A hurok energiája egyenlő azzal a munkával, amelyet a mágneses tér végez a hurok elforgatása során A hurok energiáján azt a munkát értjük, amelyet ez a nyomaték végez, miközben a hurkot ezen φ szöghelyzetből egy tetszőleges φ0 „alaphelyzetbe” viszi, ahol az energiát nullának tekintjük. Az nyilvánvaló, hogy az energia a legkisebb a φ = 0 nyugalmi helyzetben és a legnagyobb a φ = π „kiforgatott” helyzetben; közben változása monoton. A nyomaték által

végzett munka, figyelembe véve, hogy a 4.31 ábra szerint a nyomaték iránya ellentétes a φ szög növekedésének irányával: W= ϕ0 ϕ0 ∫ ( −M ) dϕ = −IΨ ∫ sin ϕ dϕ = 0 ϕ . ϕ (2) = − IΨ0 [ − cos ϕ]ϕ0 = IΨ0 [ cos ϕ0 − cos ϕ] ϕ A legegyszerűbb összefüggést akkor kapjuk, ha φ0 = 90° választással élünk. Az energia kifejezése ezzel a megállapodással: W = − IΨ0 cos ϕ = −IΨ , A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (3) Vissza ◄ 103 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 104 ► ahol Ψ = Ψ0cosφ, a hurok fluxusa a tetszőleges φ szöghelyzetben (4.31 ábra). Alább igazoljuk, hogy az energia W = −IΨ, Ψ = ∫ BdA (4) Α kifejezése általánosan is érvényes, tehát nemcsak akkor, ha a hurok kis méretű. Egészítsük ki ugyanis gondolatban az áramhurkot a 432 ábrán látható módon

kis belső hurkokkal. 4.32 ábra Az áramhurok felbontása kis fiktív áramhurkokra Az ellentétes irányú áramok egymás hatását kompenzálják, ezért eredőben csak a hurok eredeti árama marad. Az egyes fiktív hurkok energiájára (4) nyilván érvényes, vagyis Wk = −IΨk. A teljes energia ezen részenergiák összege, vagyis W = ∑ Wk = −∑ IΨk = −I∑ Ψk = −IΨ , k k (5) k ahol Ψ a részhurkok fluxusának összege, vagyis a teljes hurok fluxusa. Ezzel állításunkat igazoltuk. A 4.33 ábrán láthatjuk a nyomaték és az energia változását a φ szög függvényében. A φ0 = 90° választásnak az a következménye, hogy a nyugalmi állapotot negatív energia jellemzi Szaggatott vonallal rajzoltuk azt az energiagörbét, amely a φ = 0 választáshoz tartozna. A munkavégzést (az energiák különbségét) az alaphelyzet megválasztása természetesen nem befolyásolja. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza

◄ 104 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 105 ► Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a hurok Ψ fluxusán azt a fluxust értjük, amelyet a többi áram létrehoz, és figyelmen kívül hagyjuk a benne folyó I áram által keltett mágneses térhez tartozó fluxust. Mivel utóbbi független a keret helyzetétől, így figyelembevétele az energiában csak additív állandót jelent. 4.33 ábra A nyomaték és az energia változása a hurok szöghelyzetének függvényében 4.4 A gerjesztési törvény Vizsgáljuk most azt a kérdést, hogy milyen kapcsolat van a mágneses tér, ill. a teret jellemző mágneses indukció és az őt létrehozó (gerjesztő) áramok között A kísérletek eredménye matematikailag a következőképpen fogalmazható meg. Tételezzük fel először, hogy a teret kitöltő anyag homogén Integráljuk a mágneses indukciót egy zárt görbe mentén. Az

integrál értéke tetszőleges görbe esetén arányos a görbe által körülfogott áramok erősségének algebrai összegével Az összegezés során pozitív előjellel veendők figyelembe azon áramok, amelyek iránya a görbe (önkényesen felvett) körüljárási irányával a jobbcsavar-szabály szerint vannak összehangolva, és negatív előjellel az ellenkező irányú áramok. Ilyen értelemben tehát ∫ BdA = ∫ B d = µ∑ I k , (1) k A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 105 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 106 ► ahol Bℓ az indukció érintőirányú összetevője (lásd 4.41 ábra) A 441 ábrán látható zárt görbére például ΣIk = I1 − I2 + I3, míg az I4 áramot (amelyet a görbe nem vesz körül) ebből a szempontból figyelmen kívül kell hagyni. 4.41 ábra A mágneses tér és a gerjesztő

áramok kapcsolata egy zárt görbére nézve Ezt az áramösszeget az illető zárt görbére vonatkoztatott (vagy a görbék által körülzárt) gerjesztésnek nevezzük és Θ-val jelöljük: Θ = ∑ I k , [Θ] = 1A . (2) k Az (1) összefüggésben szereplő µ arányossági tényező a teret kitöltő közegre jellemző adat, az anyag (abszolút) permeabilitása. Egysége −2 [ B][ ] (Vsm )⋅ m Vs = = . [µ ] = A Am [ I] (3) Értéke elvileg az (1) összefüggés alapján is meghatározható. A vákuum permeabilitása Vs Vs µ0 = 4π ⋅10−7 = 1, 2566 ⋅10−6 . (4) Am Am Az anyagok permeabilitását µ = µ 0µ r (5) alakban szokás megadni, ahol, µr a relatív permeabilitás, amely mértékegység nélküli szám. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 106 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 107 ► Az anyagok

mágneses szempontból a relatív permeabilitás értéke alapján három csoportra oszthatók: µr < 1, µr > 1, µr >> 1, diamágneses anyagok, paramágneses anyagok, ferromágneses anyagok. A dia- és paramágneses anyagokra µ r − 1 ≈ 10−5 , így gyakorlatilag az anyagokat két csoportra osztjuk: µr = 1, µr >> 1, nem ferromágneses anyagok, ferromágneses anyagok. A ferromágneses anyagok: a vas, a nikkel, a kobalt, ezek ötvözetei és néhány speciális ötvözet. Az összes többi anyag nem ferromágneses, relatív permeabilitásuk µr = 1, abszolút permeabilitásuk µ = µ0. A ferromágneses anyagokra nemcsak az a jellemző, hogy relatív permeabilitásuk nagy, hanem az is, hogy az indukció és a térerősség közötti kapcsolat nem lineáris (lásd 6.72 ábra) Más szóval: µr = B/µ0H relatív permeabilitás nem állandó, hanem az indukciótól (vagy a térerősségtől) is függ. Az indukció és a térerősség kapcsolatát ilyenkor

méréssel határozhatjuk meg, amelynek eredményét ábrázoljuk Ez a mágnesezési görbe, amelynek abszcisszája a térerősség, ordinátája az indukció. Homogén közeg, vagyis mindenütt azonos permeabilitás esetén az (1) törvény így is írható: B (6) Ik = Θ . ∫ µ dA = ∑ k A tapasztalat szerint az összefüggés ebben az alakjában akkor is érvényes, ha a görbe különböző permeabilitású közegeken megy keresztül. Minden pontban természetesen az ott érvényes permeabilitással kell számolni. Az összefüggés egyszerűbb alakra hozható, ha bevezetjük a B/µ = H, vagy szokásosabb alakjában, a B = µH (7) definícióval a mágneses gerjesztettséget vagy történelmileg kialakult, szokásosabb nevén a mágneses térerősséget. Ezzel tapasztalati tételünk, a gerjesztési törvény az alábbi végső alakban írható fel (4.42 ábra): ∫ HdA = Θ . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (8) Vissza ◄ 107 ►

Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 108 ► 4.42 ábra A gerjesztési törvény értelmében a mágneses térerősség zárt görbe menti integrálja egyenlő a görbe által körülzárt gerjesztéssel A mágneses térerősség egysége ebből: [H] = [Θ] 1A A = =1 . [ ] 1m m (9) Ugyanez az eredmény adódik a H = B/µ összefüggés alapján is. A térerősséget sokszor 1 A/cm = 102 A/m egységben adják meg A gerjesztési törvény (8) alakja általános érvényű. Akkor is használható, ha a permeabilitás nem állandó Általánosabb esetben a zárt görbe által körülzárt gerjesztést, vagyis az eredő áramot úgy kaphatjuk meg, hogy az áramsűrűséget integráljuk a görbe által kifeszített felületre: Θ = ∫ JdA, vagyis A ∫ HdA = ∫ JdA , (10) A ahol A az ℓ görbe által kifeszített bármely felület. Valóban, hiszen ha a JdA skaláris szorzatot kifejtjük,

akkor a két vektor abszolút értékét szorozni kell a köztük lévő szög koszinuszával. Ez értelmezhető úgy, hogy képezni kell J-nek a dA irányú komponensét, de úgy is, hogy dA-nak a J irányú komponensét (4.43 ábra) Ez utóbbival megszorozva J-t, a vezeték dI áramát kapjuk. A ∫ JdA integrál ezen dI részáramok összegét, azaz a A vezetéken folyó teljes áramot adja. Az 4.43 ábrán csak egy α dőlésszögű vezető halad át az oldalnézetből ábrázolt, és ezért csak egy vonalnak látszó A síkfelületen. Több vezető esetén az integrál az áramok összegét adja. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 108 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 109 ► 4.43 ábra A skaláris szorzat képezhető J-nek dA irányú vetületével és dA-val (a), vagy dA-nak J irányú vetületével és J-vel (b) 4.5 A

Biot–Savart-törvény∗ A 4.8 szakaszban látni fogjuk, hogy speciális, egyszerű vezetékelrendezések esetén a bennük folyó áram által létrehozott mágneses tér meghatározható a gerjesztési törvény alapján, azonban a mágneses tér meghatározható közvetlenül is a vezeték alakja és a benne folyó áram erősségének ismeretében. Ha az egész teret homogén közeg tölti ki, amelynek permeabilitása állandó, akkor egy zárt vezetőben folyó I áram által létrehozott térerősség a 4.51 ábra P pontjában a tapasztalat szerint: H= I dA × r , ∫ 4π r2 (1) ahol r a dℓ ívelem és a P pont távolsága, r° = r/r, az ívelemtől a pont felé mutató egységvektor. A görbét az árammal egyezően kell irányítani Ez Biot és Savart törvénye. ∗ Biot, Savart és Laplace, 1820–21. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 109 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 110 ► 4.51 ábra A Biot–Savart-törvény segítségével kifejezhető az áram által létrehozott mágneses térerősség, ha a közeg homogén Az összefüggést úgy is értelmezhetjük, hogy a dℓ ívelemben folyó I áram által létrehozott elemi mágneses térerősség dH = I dA ×r I dA ×r = , 2 4π r 4π r 3 (2) és a H térerősség ezen dH összetevők eredője. A következő szakaszban megmutatjuk, hogy a Biot–Savart-törvény által meghatározott térerősségre alkalmazva a gerjesztési törvényt, a mágneses térerősség zárt görbe menti integrálja éppen a vezetőben folyó áramot adja, ha az körülveszi a vezetőt, ill. az integrál értéke nulla, ha a zárt görbe nem fogja körbe a vezetőt. Tehát a gerjesztési törvényt levezetjük a Biot– Savart-törvényből. 4.6 A gerjesztési törvény származtatása a Biot–Savart-törvényből Mind a gerjesztési, mind a

Biot–Savart-törvénnyel megadható a mágneses teret létrehozó stacionárius áram és a mágneses tér közötti kapcsolat. A Biot–Savart-törvénnyel a vonaláramok ismeretében tudjuk meghatározni H-t bárhol a térben. A gerjesztési törvény arra a speciális esetre vonatkozik, amikor áramot vagy áramokat zárt görbével veszünk körül, és képezzük a mágneses tér görbementi vonalintegrálját Ez a vonalintegrál éppen az áramok összegével egyezik meg. Vizsgáljuk azt az esetet, amikor egyetlen, a 461 ábrán látható elrendezésű vonaláram hozza létre a mágneses teret. (Több áram terére a szuperpozíció elve alkalmazható) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 110 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató ◄ Vissza 111 ► 4.61 ábra A dΩ térszög szemléltetése az ℓ2 görbén elhelyezett egységsugarú gömbön

Először írjuk fel a gerjesztési törvény vonalintegrálját úgy, hogy H helyére a Biot–Savart-törvény által megadott értéket tesszük: ∫ H dA = 1 ⎛ ⎞ I I ⎜⎜ ds ×r ⎟⎟ ⎟⎟ dA = ⎜⎜ ∫ 3 ∫ 4π ⎜⎝ r ⎠⎟ 4π ∫ 1 2 1 ∫ ds ×r dA . r3 (1) 2 A számlálóban szereplő vegyes szorzatot átrendezhetjük az alábbi módon: I ∫ HdA = 4π ∫ ∫ 1 1 dA × ds r . r2 r (2) 2 A kifejezésben dA ×2 ds r nem más, mint a (dA × ds) r felületelem által r r r meghatározott ún. dΩ térszög (lásd az ábrát), hiszen (dA × ds) r pontosan r A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 111 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 112 ► az r vektorra merőleges felületelem nagyságát adja, amelyet r2-tel osztva megkapjuk a hozzá tartozó dΩ térszöget. (Az r sugarú gömb

középpontjából kiinduló térszöget a térszög által kimetszett A gömbfelület és az r sugár négyzetének hányadosaként adjuk meg. Egy szteradián [sr] az a térszög, amelynél az A gömbfelület és az r gömbsugár négyzetének hányadosa egy A teljes térszög 4π = A0-lal az egységsugarú gömb felületével) A fentiek figyelembevételével I ∫ HdA = 4π ∫ ∫ dΩ . 1 1 (3) 2 Ha elvégezzük az integrálást ℓ1 és ℓ2 mentén, akkor az ábra szerint a teljes gömbfelülethez tartozó 4π értékű térszöget kapjuk, hiszen az integrálás során az egységsugarú gömb teljes felületét lefedjük dΩ elemi térszögekkel. Így tehát I (4) ∫ HdA = 4π 4π = I , 1 ami a gerjesztési törvény az I vonaláram esetében. Az ábrából kitűnik, hogy (dA × ds) r mindig pozitív, ha az ℓ1 görbe álr tal kifeszített felületen az ℓ2 görbe áthalad, ha nem ( A’1 görbe), akkor dA × ds változó irányítottsága miatt egy pozitív értékhez

mindig hozzárendelhető egy ugyanakkora negatív érték, így végeredményben az integrál – a gerjesztési törvénynek megfelelően – nullát eredményez. 4.61 példa Határozzuk meg a Biot–Savart-törvénnyel az I áramot vezető végtelen hosszúságú egyenes vezető mágneses terét a vezetőtől r0 távolságban. 4.62 ábra A vonalmenti integrálás helyettesíthető az α szög szerintivel A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 112 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató H= Vissza ◄ I dA × r . ∫ 4π r3 113 ► (5) A skaláris szorzat definíciójának értelmében ∞ I sin α H= d , ∫ 4π−∞ r 2 ahol az ábra alapján d = (6) r r dα , r= 0 . sin α sin α (7) H (6) kifejezésébe ezeket behelyettesítve azt kapjuk, hogy π π I sin α r I sin α ⋅ H= dα = dα = ∫ ∫ 2 ⎛ ⎞ 4π 0 ⎜ r0 ⎟ sin α 4π 0 r0

⎜ 2 ⎟⎟ ⎜⎝ sin α ⎠⎟ = (8) I I . π [− cos α ]0 = 4πr0 2πr0 A kapott összefüggésből H 2πr0 = I , (9) ami éppen a gerjesztési törvény az adott elrendezésre (4.63 ábra) 4.63 ábra A hengerszimmetria miatt a térerősséggörbék koncentrikus körök (dℓ és H mindig azonos irányú) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 113 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 114 ► 4.7 Mágneses terek számítása Az adott alakú vezetőben folyó áram mágneses tere elvben számítható a Biot–Savart-törvény alapján. Az előírt integrál azonban – néhány esettől eltekintve – rendkívül bonyolult. Bizonyos feladatok sokkal egyszerűbben megoldhatók a gerjesztési törvény segítségével. Tételezzük fel, hogy kvalitatív megfontolások alapján megállapíthatjuk, hogy a térerősség nagysága az ℓ

hosszúságú erővonal mentén állandó (vagy az erővonal ℓ hosszúságú szakasza mentén állandó, az erővonal többi részén elhanyagolhatóan kicsi). Ekkor a gerjesztési törvény így egyszerűsödik: ∫ HdA =∫ Hd =H = Θ . (1) A legtöbb térszámítási feladatban vagy egyetlen áram van (Θ = ΣIk = I), vagy az áram N-szer megy keresztül az ℓ görbe által kifeszített felületen (Θ = ΣIk = NI, ahol N a menetszám). Végeredményben a mágneses térerősség nagysága a mondott feltételek mellett NI . (2) H= Különböző erővonalakat vizsgálva, meghatározhatjuk a mágneses térerősséget, mint a hely függvényét is. A mágneses terek számítására is érvényes a szuperpozíció elve, ha a teret kitöltő közeg permeabilitása állandónak tekinthető. Most egyszerűbb a helyzet, mint elektrosztatikus esetben, mert az áramok adottnak tekinthetők. Így tehát meghatározzuk az egyes áramok által létrehozott térerősséget vagy indukciót,

és az összetevőket vektorálisan összegezzük Hasonlóan számítható a fluxus is; ekkor algebrailag (előjelhelyesen) kell összegeznünk Ezt az elvet használtuk fel akkor is, amikor a Biot–Savart-törvény alkalmazása során a vezetőt részekre osztottuk. Ha a teret kitöltő közeg nem homogén, vagy ha a permeabilitás az indukciótól is függ (pl. ferromágneses anyagok jelenlétében), a számítás bonyolultabb lesz A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 114 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 115 ► 4.8 Példák 4.81 példa Végtelen hosszúnak tekinthető egyenes vezetőben I erősségű áram folyik. Határozzuk meg a mágneses térerősséget a vezetőtől r távolságban. A teljes forgási szimmetriából nyilvánvaló, hogy a vezetőt körülvevő erővonalak csak koncentrikus körök lehetnek (4.81 ábra) Egy-egy

ilyen kör mentén a térerősség nagysága állandó. Egy r sugarú körre alkalmazva a gerjesztési törvény egyszerűsített alakját N = 1 és ℓ = 2πr figyelembevételével H (r ) = I , r > r0 , 2πr (1) ahol r0 a vezető sugara (lásd még a 4.61, ill 487 példát is) 4.81 ábra A végtelen hosszúnak tekinthető egyenes vezetőben folyó áram mágneses terének számítása a gerjesztési törvény segítségével 4.82 példa Határozzuk meg a 4.82 ábrán látható kettős vezeték egy ℓ hosszúságú szakaszának belső kontúrja által kifeszített felület fluxusát, az ún. külső fluxust. A vezetők végtelen hosszúaknak tekinthetők, sugaruk r0, középvonaluk távolsága d A vezetőkben ugyanakkora, de ellenkező irányú áram folyik. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 115 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄

116 ► 4.82 ábra Kettős vezeték külső fluxusának számítása A feladatot a szuperpozíció-elv alkalmazásával oldjuk meg. Tekintsük először azt az állapotot, amikor csak a 482 ábra bal oldali vezetőjében folyik I áram, és a másik vezető árammentes. A térerősség (az erővonal) merőleges a középvonalak által kifeszített sík felületre Nyilvánvaló továbbá, hogy a vezető hossza mentén nincs változás, ezért dA = ℓdr alakban is felírható, amivel d−r0 Ψ1 = ∫ B1dA =∫ B1dA = ∫ B1 (r ) dr . A A (2) r0 Ha a teret kitöltő közeg nem ferromágneses (pl. a két vezeték levegőben van), akkor B = µ0H, így (1) felhasználásával d−r0 Ψ1 = ∫ r0 = µI µ0 H (r ) dr = 0 2π d−r0 ∫ r0 dr = r (3) µ0 I µI d−r d −r . [ln r ]r0 0 = 0 ln 2π 2π r0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 116 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és

tárgymutató Az áram mágneses tere Vissza ◄ 117 ► Ugyanígy számítható a másik áram által létrehozott Ψ2 fluxus is, amely ugyanolyan irányú, mint Ψ1. Jelen egyszerű esetben azonban nyilvánvaló, hogy Ψ2 = Ψ1, tehát a teljes külső fluxus µI d − r0 µ0 I d ≈ (4) Ψk = 2Ψ1 = 0 ln ln . π r0 π r0 A közelítés a gyakorlatban általában teljesülő r0 << d feltétel esetén jogos. A példát megoldhatjuk a térerősségek szuperpozíciójával is. A külső fluxus számításakor csak azokat az erővonalakat vesszük figyelembe, amelyek a vezetőn kívül záródnak. Ha a vezető nem ferromágneses, akkor a vezetőre eső, az ún. belső fluxus elhanyagolása nem jelent lényeges hibát Hasonlóan határozható meg a 3.91 ábrán látható koaxiális kábel ℓ hosszúságú szakaszának külső fluxusa is. Az integrálási határok most r1 és r2, amivel µIA r2 (5) Ψk = ln . 2π r1 4.83 példa Határozzuk meg egy egyenletesen és sűrűn

tekercselt toroidban (gyűrű alakú tekercsben) a mágneses térerősséget. 4.83 ábra Toroid (gyűrű alakú tekercs) mágneses terének számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 117 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 118 ► A 4.83 ábrán az áttekinthetőség kedvéért ritka tekercselést rajzoltunk; a tényleges kivitel során a meneteket csak a szigetelés választja el, egyébként összeérnek, és többnyire szorosan felfekszenek a csévetestre. A forgási szimmetriából következik, hogy az áramot körülzáró zárt erővonalak csak koncentrikus körök lehetnek és ezek mentén a térerősség nagysága állandó. Alkalmazhatjuk tehát a gerjesztési törvény (472) alatti egyszerűsített alakját, amelyben ℓ = 2πr, N pedig a felcsévélt menetek száma. Bármely erővonal által kifeszített felületen

ugyanis az I áram éppen annyiszor halad át ugyanabban az irányban, ahány menetből áll a tekercselés. Így a térerősség a középponttól r távolságban H (r ) = NI . 2πr (6) A gyűrűn kívül a térerősség nulla. 4.84 példa Határozzuk meg az előző példában tárgyalt toroidtekercs fluxusát. Az erővonalak a merőleges metszetre mindenütt merőlegesek, ezért Φ = ∫ BdA =∫ BdA =∫ µHdA , A A (7) A ahol µ a csévetest anyagának permeabilitása. Az integrál pontos kiszámítása tetszőleges keresztmetszet esetén meglehetősen körülményes Ha azonban a keresztmetszet elég kicsi, pontosabban: ha a << R, akkor a keresztmetszeten belül a mágneses térerősség keveset változik Nem követünk el nagy hibát, ha a középpontban fellépő H 0 = H (r = R ) = NI 2πR (8) értékkel számolunk. Ekkor a keresztmetszet fluxusa Φ = ∫ µHdA ≈ µH 0 A = A µNIA . 2πR (9) Ebben az esetben A = ab, de közelítő eredményünk láthatóan

tetszőleges keresztmetszet esetén alkalmazható, ha annak szélességi mérete sokkal kisebb az R közepes sugárnál. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 118 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 119 ► A csavarvonal alakú vezető által kifeszített felület fluxusát jó közelítéssel helyettesíthetjük a keresztmetszetek fluxusának összegével, vagyis Ψ = NΦ = µN 2 A I. 2πR (10) Tulajdonképpen ez is külső fluxus. (A belső fluxus általában elhanyagolható) 4.85 példa Határozzuk meg a sűrűn és egyenletesen tekercselt szolenoidban (egyenes tekercsben) a mágneses térerősséget. 4.84 ábra Szolenoid (egyenes tekercs) mágneses erővonalképe A 4.84 ábrán felrajzoltuk az erővonalak várható menetét (Az áttekinthetőség kedvéért a tekercselést nem rajzoltuk sűrűn) Figyeljük meg, hogy a tekercsen

belül az erővonalak igen sűrűn helyezkednek el (a térerősség nagy), a tekercsen kívül pedig ritkán (a térerősség kicsi). Közelítőleg azt mondhatjuk, hogy a tekercsen belül a térerősség egy irányú és állandó, a tekercsen kívül pedig elhanyagolható. Láthatjuk, hogy ez sokkal durvább közelítés, mint az eddig alkalmazottak – de a gerjesztési törvény alapján analitikusan nem tudunk pontosabban számolni. Alkalmazzuk a gerjesztési törvényt a nyíllal jelölt erővonalra. Az előzőek alapján az a–b szakaszon (ℓ hosszúságban) állandó H térerősséggel számolunk, kívül pedig a b–a szakaszon a térerősséget nullának tekintjük. Az erővonal által körülzárt gerjesztés Θ = NI, ahol N a menetek száma. Ezzel A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 119 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 120

► b ∫ HdA =∫ Hd ≈ ∫ Hd ≈ H = Θ = NI . (11) a Ebből a térerősség a tekercs belsejében közelítőleg H= NI . (12) A 4.84 ábrából láthatjuk, hogy ez az érték elég jó lehet a tekercs közepén, de a tekercs szélén egyre nagyobb hibával adja meg a térerősséget, mert a „szórt erővonalak” miatt a térerősség a szélek felé kb. a felére csökken 4.86 példa Határozzuk meg a szolenoid keresztmetszetének fluxusát és az egész szolenoid fluxusát. Az előző példa és a 4.84 ábra értelmében a szolenoidban a mágneses térerősség közelítőleg állandó és tengelyirányú. Ezt elfogadva minden menet fluxusa ugyanakkora, éspedig Φ = ∫ BdA ≈ BA = µ0 HA = µ 0 NI A, (13) A ahol A a felület, amelynek alakja ebben a közelítésben érdektelen. A 484 ábrából látható, hogy a középső menetek fluxusára ez a közelítés elég jó, a szélső menetek fluxusa azonban a valóságban kisebb, körülbelül fele akkora, mint

a középső meneteké. Ha minden menet fluxusára elfogadjuk a fenti értéket, akkor a tekercs fluxusa µ N2A (14) Ψ = NΦ = 0 I. Figyeljük meg, hogy mind a toroid, mind a szolenoid fluxusa arányos az áramerősséggel és a menetszám négyzetével. 4.87 példa Az 4.81 példában meghatároztuk az egyenes vezető mágneses terét a vezetőn kívül. A vezetőn belüli mágneses teret ugyancsak meghatározhatjuk a gerjesztési törvény alapján, ha az árameloszlás egyenletes Ebben az esetben az áramsűrűség állandó, a mágneses erővonalak pedig koncentrikus körök (4.85/a ábra) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 120 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 121 ► 4.85 ábra A mágneses térerősség változása egyenletes árameloszlású egyenes vezető belsejében és környezetében Alkalmazhatjuk a gerjesztési

törvény egyszerűsített alakját, csak arra kell ügyelnünk, hogy a gerjesztés a sugár függvénye: H (r ) = Θ (r ) = Jr 2 π I r 2π Ir = 2 = , r ≤ r0 . 2rπ r0 π 2rπ 2πr02 (15) A vezetőn belül tehát a térerősség lineárisan növekszik; a vezetőn kívül H(r) = I/2πr érvényes. A vezető felületén mindkét összefüggésből H(r0) = I/2πr0 adódik (4.85/b ábra) Az indukció változása nem feltétlenül folytonos, mert ha a vezető anyagának permeabilitása µ = µ0µr és a környezeté µ0 (pl. levegő), akkor B(r ) = µ0µ r Ir , r < r0 ; 2πr02 B(r ) = µ0 I , r > r0 . 2πr (16) Ha a vezető nem ferromágneses, akkor az indukció is folytonosan változik. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 121 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 122 ► 4.88 példa Határozzuk meg egy kör alakú vezetőben

folyó I áram mágneses terét a kör középpontjában (4.86 ábra) 4.86 ábra A mágneses térerősség számítása a Biot–Savart-törvény segítségével az áramhurok középpontjában A térerősséget a Biot–Savart-törvény alapján számíthatjuk: H= I dA × r I dA ×r . , dH = 3 ∫ 4π r 4π r 3 (17) Vegyül figyelembe, hogy dℓ és r az egész vezető mentén 90°-os szöget zár be, és r változatlan, így az integráljel elé kiemelhető. Tehát H= I 4πr 2 ∫d = I I 2πr = . 2 4πr 2r (18) H iránya a hurok síkjára merőleges. 4.9 Az öninduktivitás Vizsgáljuk meg általánosságban az alábbi kérdést. Adva van egy zárt vezető, amelyben áram folyik Hogyan függ ezen zárt vezető fluxusa a benne folyó áramtól, ha ez a vezető magában áll, (vagyis a többi áramot vivő vezeték olyan messze van, hogy mágneses terük a vizsgált áramhurok helyén elhanyagolható)? A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató

Vissza ◄ 122 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 123 ► Ha a permeabilitás legalább térrészenként állandó (vagyis ferromágneses közeg nincs jelen, vagy permeabilitása állandónak tekinthető), akkor a mágneses térre vonatkozó törvények lineárisak. A mágneses térerősség minden pontban arányos az árammal. Az indukció arányos a mágneses térerősséggel, és így arányos az árammal is. A vezető fluxusa viszont arányos az indukcióval, és így arányos az árammal is Konkrét esetekben ez látható a 4.82, 484 és 486 példákban Végeredményben valamely magában álló, zárt vezető fluxusa arányos a benne folyó áram erősségével, ha a permeabilitás független a mágneses tértől: Ψ = LI . (1) Az L arányossági tényező függ a vezető alakjától és a permeabilitástól (homogén közeg esetén arányos a permeabilitással), független

azonban az áramtól vagy a fluxustól. Ez az L tényező a vezető (ön)induktivitása vagy önindukció-együtthatója. (Az elnevezés értelmét később látni fogjuk) Az induktivitás egysége∗ [ L] = [ Ψ ] Vs =1 = 1 Ωs = 1henry = 1H . A [ I] (2) A gyakorlatban használt légmagos tekercsek induktivitása µH = 10–6 és 10 H közötti érték. Porvasmag vagy légréses vasmag alkalmazásával értéke tízszeresére, százszorosára növelhető. A vasmagos tekercsek induktivitása több száz henry is lehet. Az induktivitást úgy számíthatjuk, hogy felveszünk valamilyen I áramot, meghatározzuk a térerősséget (a gerjesztési törvény vagy a Biot– Savart-törvény segítségével), kiszámítjuk az indukciót, majd ennek integrálásával a fluxuskapcsolódást. Az L = Ψ/I hányados képzésével kapjuk az induktivitást. Megjegyezzük, hogy az eddigiek alapján csak azokat az erővonalakat tudjuk figyelembe venni, amelyek a vezetőn kívül mennek Az

indukciót tehát csak a vezető kontúrja által kifeszített AK felületre integráljuk, miáltal a ΨK külső fluxust kapjuk (4.91 ábra) ∗ Joseph Henry (1797–1878): amerikai fizikus, egyetemi tanár, az USA tudományos akadémiájának elnöke. Főként elektrotechnikai kutatásokkal foglalkozott Felfedezte az önindukciót (1832). Jelentősen hozzájárult a Morse-távíró fejlesztéséhez A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 123 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Az áram mágneses tere Vissza ◄ 124 ► 4.91 ábra A hurok külső felületének, külső fluxusának és külső öninduktivitásának értelmezése Ennek megfelelően csak az LK = ΨK/I külső induktivitást tudjuk számítani. Mint már említettük (4.82 példa), a belső fluxus és így a belső induktivitás elhanyagolható, ha a vezető nem nagy permeabilitású. Ha a vezető sok menetből

áll, akkor az elkövetett hiba még kisebb, mert a külső induktivitás a menetszám négyzetével, a belső csak magával a menetszámmal arányos. Az induktivitás mérése az L = Ψ/I összefüggés alapján visszavezethető fluxus és áramerősség mérésére. A gyakorlatban az induktivitást váltakozó áramú hídban mérik Az induktivitás arányos a permeabilitással, tehát mérésével meghatározhatjuk a µr = L/L0 relatív permeabilitást Itt L0 a (pl. gyűrű alakú) tekercs öninduktivitása „üresen”, és L ugyanezen tekercs öninduktivitása, ha magja a mérendő közeg. 4.10 Kölcsönös induktivitás, csatolt tekercsek Vizsgáljuk azt az elrendezést, amikor két zárt vezető közül az egyiken I1 az áramerősség, a másikon I2 = 0 (4.101 ábra) Az I1 áram által gerjesztett mágneses indukcióvonalak egy része a másik vezető által határolt A2 felületen is áthalad. 4.101 ábra A fluxuskapcsolódás szemléltetése egy árammal átjárt és egy

árammentes zárt vezetőhurok esetén A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 124 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 125 ► Jelöljük ezt a indukciót B21-gyel, a felület fluxusát pedig Φ21-gyel. Ha másik vezető N2 menetből áll, akkor a fluxuskapcsolódás: Ψ21 = N2Φ21. Mivel B1, és így B21 is arányos az 1. vezető I1 áramával, ezért Ψ21 is arányos lesz vele: Ψ21 = L 21I1 , (1) ahol az L21 arányossági tényező neve kölcsönös induktivitás (kölcsönös indukció-együttható). Ψ L 21 = 21 . (2) I1 I =0 2 Ha a második tekercsben folyik I2 áram, és az elsőben I1 = 0, akkor a fluxuskapcsolódás Ψ12, és az L12 kölcsönös induktivitást definiáló összefüggés: Ψ L12 = 12 (3) I 2 I =0 1 Ha mindkét tekercsben folyik áram, akkor a hurkok által létrehozott terek indukcióvektorai erősítik vagy

gyengítik egymást attól függően, hogy milyen a tekercsek helyzete és az áramok iránya a tekercsekben. Amikor a terek erősítik egymást, akkor a kölcsönös induktivitások pozitív értékek, amikor gyengítik egymást, akkor negatívak. Ezt lineáris közegben (µr független B-től) a fluxuskapcsolódásokra vonatkoztatva az alábbi módon fejezzük ki: Ψ1 = L11I1 + L12 I 2 , (4) Ψ2 = L 21I1 + L 22 I 2 , ahol L11 és L22 az egyes vezetők öninduktivitása. Az elrendezés szimbolikus ábrázolását a szokásos referencia-áramirányokkal a 4.102 ábrán látjuk 4.102 ábra A kölcsönös induktivitás szimbolikus ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 125 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 126 ► Ha a két befolyó áram alá egy-egy pontot teszünk, akkor ez azt jelenti, hogy L12 pozitív, ha azonban

valamelyik pontot a tekercs másik végéhez rajzoljuk, akkor ezzel azt jelöljük, hogy L12 negatív. Ilyenkor a (4) egyenletben L12 és L21 előtt negatív előjel van Sok kapcsolási rajzon csak a pontokat látjuk, az áramirányokat be sem jelölik, de a jelölés ez esetben is egyértelmű lehet, ha a kapcsolásból következtetni lehet a tekercsek áramainak irányára. A kölcsönös induktivitás nyilván akkor a legnagyobb értékű, ha az egyik tekercs teljes fluxusa áthalad a másik tekercs (több menetű zárt vezetőhurok) által kifeszített felületen, ahogyan ez a két egymásra tekercselt hosszú egyenes tekercseknél vagy a közös toroidvasmagon elhelyezett két tekercsnél van. Határozzuk meg ezekben a gyakorlati szempontból is fontos esetekben a kölcsönös induktivitásokat az (2) és (3) definíciós összefüggésekkel: L 21max Ψ = 21 I1 Φ N = 21 2 = I1 I =0 µ I1 N1 AN 2 I1 2 = µA N1 N 2 , (5) N 2 N1 , (6) ill. L12 max Ψ = 12 I2 Φ N =

12 1 = I2 I =0 1 µ I2 N 2 I2 AN1 = µA ahol A az a felület, amelyen a közös fluxus áthalad, ℓ az erővonalak hossza. Látjuk, hogy L12 max = L 21max = M max . (7) Ez nemcsak a maximális értékekre érvényes összefüggés, hanem általánosan is igaz, hogy L12 = L 21 = M . (8) A külső mágneses térben lévő I áramú vezetőhurok energiájára kapott W = −ΨI összefüggés alapján ez könnyen belátható. A külső mágneses teret most a 4.103 ábrán látható elrendezésben egy másik hurok hozza létre. Ezáltal a két vezetőhurok kölcsönhatását vizsgálhatjuk, melyek árama I1, ill I2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 126 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 127 ► 4.103 ábra A vezetőhurok elmozdulásakor megváltozik a hurok fluxusa és így energiája is Az I1 áram a 2. hurokban Ψ21 fluxust hoz

létre Az I2 áram pedig az 1 hurokban Ψ12-t. A két merev hurok között a berajzolt áramirányok mellett F nagyságú taszítóerő lép fel. Ha valamelyik hurok elmozdul az erő irányában ds úton, akkor az energiamegmaradás törvényének értelmében Fds + dW = 0 , (9) ahol dW a mágneses térből származó energia megváltozása (lásd még 6.11 fejezet). (Ez csak a külső mágneses térből származó energia megváltozása lehet, mert az áram állandósága miatt a hurok saját fluxusa és így saját energiája sem változik.) Az I áramú huroknak külső mágneses térből származó energiája (4.3-5) szerint: W = − IΨ . (10) Ha az áram állandó, akkor dW = − IdΨ . (11) Behelyettesítve ezt az (9) energiamérleg kifejezésébe azt kapjuk, hogy azaz Fds − IdΨ = 0 , (12) Fds = IdΨ . (13) Ezek után mozduljon el először az 1., majd a 2 hurok ds-sel az F erő irányában Az erő és az út mindkét esetben azonos, tehát (13) alapján írható, hogy

Fds = I1dΨ12 = I 2 dΨ 21 . (14) A fluxusváltozásokat a kölcsönös induktivitásokkal is kifejezhetjük, ugyanis Ψ12 = L12I2, és Ψ21 = L21I1, amiből A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 127 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 128 ► dΨ12 = I 2 dL12 , (15) dΨ 21 = I1dL 21 . (16) Fds = I1I 2 dL12 = I1I 2 dL 21 , (17) ill. Ezeket (14)-be helyettesítve: amiből dL12 = 1. dL 21 dL12 = dL 21 , ill. (18) (18) integrálásával (az integrálási állandót nullának véve): L12 = L 21 . (19) Visszatérve a vizsgált két tekercshez, a kölcsönös induktivitás nulla lesz akkor, ha a két tekercset egymástól eltávolítjuk, hiszen ilyenkor nincs fluxuskapcsolódás. Tehát érvényes, hogy 0 ≤ M ≤ M max . (20) Mmax-ot kifejezhetjük L1-gyel és L2-vel a következők szerint: L1 = µA N12 , és L 2 = µA N 22 ,

(21) ezért N1 = L1 µA , ill. N 2 = L 2 µA . (22) Ezekkel Mmax-ra azt kapjuk, hogy M max = µA N1 N 2 = µA L1 µA L2 µA = L1L 2 , (23) aminek alapján (20) így is írható: 0≤M≤ L1L 2 . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (24) Vissza ◄ 128 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 129 ► A k= M2 ≤1 L1L 2 (25) összefüggéssel az ún. csatolási tényezőt definiáljuk 4.11 Példák 4.111 példa Határozzuk meg az r0 sugarú kettős vezeték ℓ hosszúságú szakaszának (külső) öninduktivitását, ha a vezeték sugara jóval kisebb a vezetékek d távolságánál (vö. 482 ábra) A 482 példában láttuk, hogy a kettős vezeték ℓ hosszúságú szakaszának külső fluxusa µ0 I d − r0 = Lk I . ln r0 π (1) d − r0 µ0 Ψk µ0 d = ≈ ln ln . π π I r0 r0 (2) Ψk = Ebből a külső öninduktivitás Lk

= Később igazolni fogjuk a 6.81 példa kapcsán, hogy a belső tér figyelembevételével az alábbi eredmény adódik (ha a vezető relatív permeabilitása is 1): µ ⎡ d − r0 1 ⎤⎥ µ0 d − r0 , (3) + = L = 0 ⎢ ln ln ⎢ ⎥ π ⎣ r0 4⎦ π R0 ahol R0 a vezeték „effektív” sugara: R 0 = r0 e−0,25 = 0, 7788r0 . (4) Utóbbira használatos a „mértani középsugár” elnevezés is és a GMR (geometrical mean radius) jelölés is. Ha pl d = 1 m és r0 = 0,5 cm, akkor ln(d/r0) = ln 200 = 5,3. Ha elhanyagoljuk az additív 0,25 tagot, akkor 5 %nál kisebb hibát követünk el Figyeljük meg, hogy a hosszegységre vonatkoztatott L’ = L/ℓ fajlagos öninduktivitás a hossztól független érték. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 129 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 130 ► A koaxiális kábel ℓ hosszúságú

szakaszának külső öninduktivitását is megadhatjuk a 4.82 példában kiszámított külső fluxus ismeretében: Lk = Ψ k µA r2 = ln . I 2π r1 (5) 4.112 példa Határozzuk meg a toroid (gyűrű alakú tekercs) öninduktivitását. A 4.84 példában láttuk, hogy a toroid fluxuskapcsolódása közelítőleg (a 4.83 ábra jelöléseivel) Ψ = µN2AI/2πR Ebből az öninduktivitás közelítőleg: Ψ µN 2 A L= = . (6) I 2πR Ha a menetszám elég nagy, akkor a belső induktivitás elhanyagolható. 4.113 példa Határozzuk meg a szolenoid (egyenes tekercs) öninduktivitását. A 4.86 példában láttuk, hogy a szolenoid fluxuskapcsolódása közelítőleg (a 484 ábra jelöléseivel) Ψ = µ0N2AI/ℓ Ebből az öninduktivitás közelítőleg: µ N2A L= 0 . (7) 4.114 példa Határozzuk meg két párhuzamos kettős vezeték ℓ hosszúságú szakaszának kölcsönös induktivitását. A vezetékek elrendezése a 4111/a ábra szerint nagyfokú szimmetriát mutat. Számítsuk ki

azt a Ψ21 fluxust, amelyet a 2. hurokban az I áram létrehoz Vizsgáljuk először a bal oldali vezetőhöz tartozó fluxust Ennek közvetlen számítása meglehetősen körülményes, mert az erővonalak a vezető síkjával változó szöget zárnak be. A 4111/b ábra alapján azonban nyilvánvaló, hogy a két szélső erővonal közé helyezett bármely felület fluxusa ugyanakkora, mint a keresett felületé, hiszen ugyanazok az erővonalak metszik. A fluxust a legegyszerűbb a 4111/b ábrán szaggatott vonallal rajzolt felületre számítani, amelyre az erővonalak merőlegesek, így fluxusa A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 130 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató b Φ’21 = ∫ BdA = ∫ µ HdA = ∫ µ 0 A a A 0 Vissza ◄ µ I I1 b dr = 0 1 ln , 2πr 2π a 131 ► (8) ahol a 4.111/a ábra alapján ⎛ d − d 2 ⎞⎟ 2 a =

⎜⎜ 1 ⎟ +m , b= ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 2 ⎛ d1 + d 2 ⎞⎟ 2 ⎜⎜ ⎟ +m . ⎝⎜ 2 ⎠⎟ 2 (9) A felvett áramirányokkal ez a fluxus pozitív. Közvetlenül belátható, hogy a jobb oldali I1 áram ugyanilyen előjelű és nagyságú fluxust hoz létre. A teljes fluxus µ I b Ψ21 = Φ21 = 2Φ’21 = 0 1 ln = L 21I1 . (10) π a 4.111 ábra Két párhuzamos kettős vezeték kölcsönös induktivitásának számítása. A 2 vezetékpár fluxusát egy azonos fluxusú, az erővonalakra merőleges felület fluxusaként számítjuk A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 131 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 132 ► Ebből a kölcsönös induktivitás L 21 = Ψ21 µ0 b = ln . π I1 a (11) Ugyanezzel a módszerrel kiszámítható az L12 = Ψ12/I2 kölcsönös induktivitás is. Természetesen a fenti eredménynek kell adódnia Hasonló

módon végezhető el a számítás akkor is, ha az elrendezés nem szimmetrikus. 4.115 példa Határozzuk meg két, egymásra csévélt toroid kölcsönös induktivitását és csatolási tényezőjét. A 4.112 ábrán csak a metszetet tüntettük fel 4.112 ábra Egymásba helyezett toroidok kölcsönös induktivitásának számítása Ha I1 = 0, akkor a nagyobb gyűrűn belül a térerősség a 4.84 példa értelmében: NI NI (12) H (r ) = 2 2 , H 0 = H (R ) = 2 2 . 2πr 2πR A kisebb tekercs fluxusa – a középpontban fellépő térerősséggel számolva – közelítőleg: Ψ12 = N1µH (R )⋅ A1 = µN1 N 2 A1 I 2 = L12 I 2 . 2πR (13) µN1 N 2 A1 . 2πR (14) A kölcsönös induktivitás ebből: L12 = L 21 = A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 132 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 133 ► Az eredményt megkaphattuk volna

I2 = 0 feltételezéssel is. Ekkor arra kell ügyelnünk, hogy az I1 áram által létrehozott H = N1I1/2πr ≈ N1I1/2πR térerősség csak az A1 felületen belül van, azon kívül a térerősség nulla. Így Ψ21 számításakor ismét csak a kisebb A1 felületet kell figyelembe venni. A két toroid öninduktivitása a 4.112 példa értelmében: L11 = µN12 A1 µN 22 A 2 , L 22 = . 2πR 2πR (15) A csatolási tényező definíciója alapján k= L212 µN1 N 2 A1 A1 2πR = ⋅ = <1. L11L 22 2πR A2 µN1 N 2 A1A 2 (16) Ha például a két gyűrű kör keresztmetszetű, akkor k = r1/r2. Ha a két tekercset szorosan egymásra csévéljük, akkor k majdnem egységnyi 4.116 példa Határozzuk meg egy hosszabb szolenoidból és egy benne szimmetrikusan elhelyezett kisebb szolenoidból álló tekercspár kölcsönös induktivitását és a csatolási tényezőt (4.113 ábra) Tegyük fel, hogy I2 = 0. Ekkor a nagyobb 1 tekercs belsejében a mágneses térerősség közelítőleg H

= N1I1/ℓ1 A kisebb tekercs belsejében ez az érték igen jó közelítést jelent (ott a nagy tekercs tere majdnem tökéletesen homogén). A kis tekercs fluxusa: Ψ21 = N 2µ 0 HA 2 = N 2µ 0 N1I1 A 2 = L 21I1 . (17) 1 A kölcsönös induktivitás kifejezése ebből: L12 = L 21 = µ0 N1 N 2 A 2 . (18) 1 A számítást a fordított szereposztással nem tudjuk ilyen egyszerűen elvégezni, mert ahhoz ismernünk kellene a kis tekercs külső, szórt terét. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 133 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató ◄ Vissza 134 ► 4.113 ábra Szimmetrikusan egymásba helyezett szolenoidok kölcsönös induktivitásának számítása A két tekercs öninduktivitása a 4.113 példa alapján közelítőleg: L11 = µ 0 N12 A1 / 1 , (19) L 22 = µ 0 N 22 A 2 / 2 . (20) A csatolási tényező ebben a

közelítésben: k= L212 A2 = L11L 22 A1 2 < 1; A 2 < A1 , 2 < 1 . (21) 1 Ha a kisebb átmérőjű tekercs hosszabb a nagyobb átmérőjűnél, akkor az eredmény nem fogadható el, mert a nagy tekercsen kívül a mágneses térerősség jóval kisebb az N1I1/ℓ1 értéknél. 4.12 Összefoglalás Az áram mágneses terét alapvetően a mágneses indukció jellemzi, amelyet a köráramra ható M forgatónyomaték definiál: M = IAn × B, [ B] = 1 Vs = 1T . m2 Az indukció az erővonalaival (indukcióvonalakkal) szemléltethető, amelyek irányított érintője megadja az indukció irányát, lokális sűrűségük ará- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 134 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 135 ► nyos az indukció nagyságával. Valamely felület összes erővonalainak száma e felület fluxusa: Φ = ∫ BdA,

Ψ = ∫ BdA; [Φ ] = [ Ψ ] = 1Vs = 1Wb . A A A Ψ jelölést vezetőhurok által körülvett fluxusra alkalmazzuk. Zárt felület fluxusa nulla, vagyis az indukció forrásmentes (az indukcióvonalak zárt görbék): ∫ BdA = 0 . A A köráram energiája mágneses térben: W = −IΨ . A mágneses teret jellemző másik vektor a mágneses térerősség: B = µH; [ H ] = 1 µ = µ0µ r , µ0 = 4π ⋅10−7 A ; m Vs Vs = 1, 2566 ⋅10−6 , Am Am ahol µ a közegre jellemző permeabilitás, µ0 a vákuum permeabilitása és µr a relatív permeabilitás (levegőre és a nem ferromágneses anyagokra gyakorlatilag µr = 1). A gerjesztési törvény értelmében a térerősség integrálja egy zárt görbe mentén egyenlő a görbe által körülzárt gerjesztéssel: ∫ HdA = Θ, Θ = ∑ Ik , k ahol a Θ gerjesztés a körülzárt áramok algebrai összege (az előjel megállapítására a jobbcsavar-szabályt kell figyelembe venni). Ha a permeabilitás mindenütt

ugyanakkora, akkor valamely pontban a vezetékben folyó áram által létrehozott térerősség a Biot–Savart-törvény értelmében a következőképpen számítható: I dA ×r 0 , H= 4π ∫ r 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 135 ► Elektrodinamika Az áram mágneses tere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 136 ► ahol r az ívelem és a pont közötti távolság, r0 pedig az ívelemtől a pont felé mutató egységvektor. Ha kvalitatív megfontolások alapján találhatók olyan ℓ erővonalak, amelyek mentén a térerősség nagysága állandó, akkor ennek értéke: H= NI . Ezen összefüggés alapján számíthatók az egyszerű mágneses terek. Több áram esetén alkalmazható a szuperpozíció elve, ha a közeg lineáris. Ha a térben csak egyetlen vezetőhurok van, annak Ψ fluxusa arányos a benne folyó árammal: Ψi = LI, [ L ] = 1 Vs = 1H , A ahol L a

permeabilitással arányos és az elrendezés geometriájától függő (ön)induktivitás. Több áram esetén mindegyik hurok fluxusa az egyes áramok által létrehozott Ψik = LikIk részfluxusok összege: n Ψi = ∑ Lik I k , k =1 ahol Lik = Lki az i-edik és k-adik hurok kölcsönös induktivitása. Két vezető esetén az M = L12 = L21 jelölés is használatos. Az induktivitások a fenti definíciók alapján számíthatók. Igazolható, hogy M2 ≤ L1L2, vagyis a k csatolási tényezőre igaz, hogy: k= M2 ≤1 . L1L 2 Az induktivitások gyakorlati jelentőségét a következő fejezetben, az időben változó folyamatok tárgyalásakor fogjuk látni. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 136 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Az elektromágneses tér Vissza ◄ 137 ► 5. Az elektromágneses tér 5.1 Bevezetés Az eddigiekben egymástól teljesen függetlenül

vizsgáltuk a nyugvó töltések elektromos terét (1. fejezet) és az időben állandó áramok mágneses terét (4. fejezet) Ez a merev szétválasztás azonban csak olyan feltételek mellett indokolt és lehetséges, amely feltételek a valóságban legfeljebb csak közelítőleg elégíthetők ki (ideális szigetelőanyag, időben szigorúan állandó áram). Átfogóbban írjuk le a valóságot, ha figyelembe vesszük a mennyiségek időbeli változását. Látni fogjuk, hogy az elektromos és a mágneses tér kölcsönösen hatnak egymásra, kölcsönösen létrehozzák egymást Általában egyik sem tekinthető oknak vagy okozatnak. (A törvényszerűségek ismertetése során az áttekinthetőség érdekében természetesen külön-külön vizsgáljuk az egyes hatásokat.) Még általánosabb képet kapunk, ha nemcsak az időbeli változásokat vesszük figyelembe, hanem a térbelieket is. Ily módon arra a felismerésre jutunk, hogy az elektromos és a mágneses jelenségek

egységet alkotnak. Az elektromos, ill a mágneses tér az egységes elektromágneses térnek a megnyilvánulása önkényesen definiált feltételek mellett. A jelölésekkel kapcsolatban megjegyezzük, hogy a skaláris mennyiségek időben változó jellegét úgy fogjuk hangsúlyozni, hogy a megfelelő kisbetűt alkalmazzuk. Pl időben változó töltés, feszültség, áram; ill fluxus jele: q, u, i, ill. Ψ, amelyek tulajdonképpen a következő időfüggvényeket jelentik: q = q(t), u = u(t), i = i(t), valamint Ψ = Ψ(t). A vektorális menynyiségeknél ez a jelölés nem használatos Így pl E térben és időben változó elektromos térerősséget jelöl Szükség esetén ezt E(r, t) alakban írhatjuk ki A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 137 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 138 ► 5.2 A nyugalmi és mozgási indukció A

Faraday-féle indukciótörvény∗ értelmében egy vezető keretben feszültség keletkezik, ha az általa körülvett felület mágneses fluxusa időben változik (5.21 ábra) Ez a feszültség az ui indukált feszültség, amelynek értéke: ui = − dΨ . dt (1) Szavakban: a vezetőhurokban keletkező feszültség a dt idő alatti fluxusváltozás és a dt idő hányadosának mínusz egyszerese. 5.21 ábra A változó fluxusú hurok végei között feszültség lép fel, amely arányos a körülvett fluxus időegységre eső megváltozásával A huroknak a fluxus előjelét meghatározó felületi normálisa úgy van hozzárendelve a huroknak az indukált feszültség (és áram) előjelét meghatározó körüljárási irányához, mint a jobbmenetű csavar haladási iránya annak forgási irányához. A mínusz előjel azt fejezik ki, hogy csökkenő fluxus esetén (amikor d[BAn] negatív), az indukált térerősség iránya a hurok körüljárási irányával ellentétes.

Ilyenkor a felhasított hurok (lásd 521 és 5.23 ábra) pozitív pólusából a negatívba mutató nyíl iránya éppen megegyezik a körüljárás irányával Így a körüljárás irányába mutató kapocsfeszültség pozitív Az (1) összefüggéshez a köráram külső mágneses tértől származó energiájának W = −ΨI kifejezéséből is eljuthatunk. Ha I konstans, és Ψ az ∗ Michael Faraday (1791–1867): angol fizikus és kémikus, az elektrosztatika úttörője. Felfedezte az elektromágneses indukciót és önindukciót, az elektrolízis alaptörvényeit, a diamágnességet. Nevéhez fűződik a villamos és mágneses erőterek erővonalakkal történő leírása is. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 138 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 139 ► időben változik, akkor mindkét oldalt az idő szerint deriválva

azt kapjuk, hogy dW dΨ = p(t) = − (2) I = uiI . dt dt A kapott összefüggésben (–dΨ/dt)-t tekinthetjük egy olyan ui (indukált) feszültségnek, amely I-vel szorozva a hurokhoz rendelhető elektromos teljesítményt adja. Ha (2) mindkét oldalát formálisan dt-vel szorozzuk, akkor azt írhatjuk, hogy dW = u i Idt = −dΨI . (3) Ez úgy is értelmezhető, hogy a mágneses energia (dΨI) növekedése az elektromos energia (uiIdt) csökkenését jelenti, azaz a mágneses energia elektromos energiává transzformálódik. Az indukció következtében a felhasított vezető keret két végén – egy generátor pólusaihoz hasonlóan – pozitív, ill. negatív töltések gyűlnek össze (5.21 ábra) Az így felhalmozódott töltések tere az indukált térerősséget úgy kompenzálja, hogy a vezető felületén az elektromos térerősség tangenciális komponense zérussal egyenlő. Ha a vezető keretet zárjuk, akkor abban az indukált feszültség hatására I áram folyik

(5.22 ábra) 5.22 ábra Az indukált feszültség a vezetőhurok zárása esetén áramot hoz létre. Ezen áram által keltett B mágneses tér fluxusa az indukáló fluxus dΨ megváltozásával ellentétes (Lenz törvénye) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 139 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 140 ► Ez az áram is létesít mágneses teret, amelynek iránya olyan, hogy az ebből keletkező fluxus az indukált feszültséget létesítő fluxusváltozással ellentétes előjelű. Ezt a jelenséget a Lenz-törvény∗ írja le: Az indukált feszültség által létrehozott áram olyan irányú, hogy az indukált feszültséget létesítő változást gátolja. A Lenz-törvény összhangban van az energiamegmaradás elvével. Ha ugyanis az indukált feszültség következtében fellépő áram a feszültséget létrehozó

fluxusváltozást növelné, akkor az indukált feszültség és így az áram is állandóan növekedne és végtelen nagy is lehetne. Mágneses térben mozgó vezető két pontja között feszültség lép fel. Ez a mozgási indukció jelensége, amely a Lorentz-erő segítségével magyarázható és összhangban van a Faraday-féle indukciótörvénnyel. A mágneses térben mozgó vezető két végpontja között észlelhető feszültség a következő meggondolás alapján határozható meg. A vezetőben levő, a vezetővel együtt v sebességgel mozgó Q szabad töltés a B indukciójú mágneses térben az F = Qv × B erő hatására elmozdul és a vezető egyik végén pozitív, másik végén negatív töltés halmozódik fel (5.23 ábra) Az így felhalmozódott töltések E elektromos térerősséget létesítenek A Q töltésre ható eredő erő a F = Q(E + v × B) Lorentz-erő. Egyensúlyi állapotban áram nem folyik, a szétválasztott töltések E elektromos tere és a

mágneses tér által kifejtett erő eredője nulla, vagyis E = −v × B . (4) A mozgó vezető két pontja közötti feszültség ennek alapján u i = ∫ EdA = −∫ ( v × B) dA , (5) ahol ℓ a vezető felületén a két pontot összekötő görbét jelenti. ∗ Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804–1865): német származású orosz fizikus. Joule-tól függetlenül, vele egy időben ő is megállapította a vezetőben folyó áram intenzitása és a keletkezett hő közötti összefüggést (Joule-törvény). Fontosak az elektromágneses indukcióval kapcsolatos eredményei (Lenz-szabály) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 140 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 141 ► 5.23 ábra A mozgó vezetőben pozitív Q töltésre a Lorentz-törvény értelmében F = Q(v×B) erő hat, amelynek irány a berajzolt térerősségvektor

irányával ellentétes Ha v, B és ℓ merőlegesek egymásra, akkor u i = vB . (6) Ez a képlet az (1)-es összefüggésből közvetlenül adódik, ha figyelembe vesszük, hogy dΨ = −dsℓB, ahol ds az ℓ hosszúságú vezető dt idő alatti elmozdulása a kapcsok irányába. Behelyettesítve dΨ-t (1)-be, ui = − dΨ ds = B= v B. dt dt (7) 5.3 Változó áram mágneses tere Vizsgáljuk most azt a kérdést, hogy milyen kapcsolat van az időben változó áram és az általa gerjesztett mágneses tér között. A legkézenfekvőbb az a feltevés, hogy az i = i(t) áramot minden pillanatban egyenáramnak kell tekinteni, ezért minden pillanatban érvényesek a stacionárius mágneses tér törvényszerűségei: ∫ A B (r, t ) dA = 0, ∫ A n H (r, t ) dA = ∑ i k ( t ), B (r, t ) = µ (r ) H (r, t ) . (1) k =1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 141 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 142 ► Ha a térben mindenütt állandó a permeabilitás, vagyis µ(r) = µ, akkor az általánosított Biot–Savart-törvény alapján a mágneses térerősség kifejezése: H (r, t ) = i (t) 4π ∫ dA × r 0 . r2 (2) Ebből az is következik, hogy valamely tekercs fluxusa minden pillanatban arányos a benne folyó árammal (ha a permeabilitás állandó és más áram nincs jelen): ψ ( t ) = Li ( t ) , (3) ahol L az „egyenáramú” öninduktivitás. Ha több áram is van, akkor a kadik tekercs fluxusa arányos az egyes áramokkal: n ψ k ( t ) = ∑ L k i ( t ), L k = L k , (4) =1 ahol Lkℓ a k-adik és az ℓ-edik tekercs kölcsönös induktivitása. Röviden: időben változó áramok esetén szó szerint átvehetjük a 4. fejezet eredményeit, csak az I stacionárius áram helyére az i(t) áramfüggvényt kell írnunk Ez a módszer azonban csak korlátozottan alkalmazható Tekintsünk

például egy (végtelen) hosszú egyenes vezetőt, amelyben i ( t ) = I0 sin ωt = I0 sin 2π t T (5) áram folyik. A mágneses térerősség a vezetőtől r távolságban a gerjesztési törvény értelmében: i (t) I 2π = 0 sin (6) H (r, t ) = t. Τ 2πr 2πr Ebből az összefüggésből máris láthatjuk ennek a felfogásnak egy elvi hibáját, és beláthatjuk érvényességének korlátját. A (6) reláció ugyanis azt fejezi ki, hogy a mágneses térerősség ugyanolyan ütemben változik a vezetőtől bármely r távolságban. Amikor például az áramerősség maximális, akkor minden pontban maximális a mágneses térerősség is. (A vezetőtől távolabb a maximum természetesen kisebb) Ez másként úgy fejezhető ki, hogy az áram mágneses hatása végtelen nagy sebességgel terjed a térben – ez azonban lehetetlen. Elméleti és kísérleti eredmények egyaránt azt mu- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 142 ►

Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 143 ► tatják, hogy semmilyen hatás nem terjedhet gyorsabban a fény vákuumbeli sebességénél, amelynek értéke: c = 2,99793 ⋅108 m m ≈ 3 ⋅108 . s s Az elektromágneses hatások vákuumban (vagy levegőben) valóban ezzel a sebességgel terjednek. A vezetőtől r távolságban a t pillanatban nem a t pillanatbeli áram hat, hanem az áramnak azon nagysága, amelynek c sebességgel terjedő hatása éppen r utat tett meg. Az ehhez szükséges idő nyilván r ∆t = . c (7) Nem az i(t) áramnak kellene tehát szerepelnie, hanem az i(t−∆t) áramnak. Tekintsük az 5.31 ábrát Itt bejelöltünk két ∆t = r/c időintervallumot A ∆t1 << T esetben alig van eltérés az áramokban, ∆t2-nél az eltérés már jelentős. Azt mondhatjuk, hogy az első esetben nem jelent nagy hibát, ha a t−∆t1 ≈ t közelítéssel élünk, a

második esetben azonban ez nem engedhető meg. 5.31 ábra Ha a ∆t terjedési idő sokkal kisebb a T periódusidőnél, akkor ∆t elhanyagolható, és alkalmazható a kvázistacionárius közelítés Az időben változó áram mágneses tere tehát akkor számítható az időben állandó áram terének mintájára, ha a rendszer lineáris méreteinek befutásához szükséges idő jóval kisebb a periódusidőnél: ∆t = r c T= 1 . f A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (8) Vissza ◄ 143 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 144 ► Mivel c/f = λ, az f frekvenciájú, c sebességű hullám hullámhossza, a feltétel r λ (9) alakban is megfogalmazható. Ha tehát a méretek a hullámhossznál jóval kisebbek, akkor alkalmazható az ún. kvázistacionárius („közel stacionárius”) közelítés. Tájékoztatásul megadunk néhány

számértéket, ha 0,01λ tekinthető maximális megengedhető lineáris méretnek: f0 λ∞ 0,01λ ∞ 50 Hz 6000 km 60km 1 kHz 300 km 3 km 1 MHz 300 m 3m 1 GHz 300 mm 3 mm Ipari frekvencián tehát csak hosszú távvezetékek esetén lehet probléma. Még hangfrekvenciás esetben is általában elfogadható a kvázistacionárius közelítés. Rádiófrekvencián és még inkább az ultrarövid hullámú tartományban azonban helytelen eredmények adódnak Az általánosabb törvényszerűségeket az elektromágneses hullámok témájának kapcsán tárgyaljuk (lásd 8 fejezet) 5.4 Önindukált feszültség A vezetőben folyó áram mágneses teret, a vezető által körülvett felületen pedig mágneses fluxust hoz létre. Ha az áram és ezzel együtt a fluxus időben változik, akkor a vezetőben feszültség indukákódik (541 ábra) Ezt a jelenséget önindukciónak nevezzük. Az ui indukált feszültség a Ψ = Li öszszefüggés alapján kifejezhető a vezető L

öninduktivitásával, ha a permeabilitás a mágneses térerősségtől nem függ: ui = − dψ di = −L . dt dt (1) A negatív előjel arra utal, hogy az indukált feszültség igyekszik megakadályozni az áramváltozást (Lenz-törvénye), s ezért „ellen-elektromotoros erőnek” is nevezik. Az áram megváltozásával szemben ható önindukció miatt a tekercsben folyó áram bizonyos tehetetlenséggel rendelkezik. Ez valóban így is van; az áramváltozáskor fellépő tehetetlenség legyőzésére ugyanis a tekercset pl. az 541 ábra szerint feszültségforráshoz kell kap- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 144 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 145 ► csolnunk. Az ilyen áramkörben folyó i áram és ug = uL feszültség közötti kapcsolatot adja meg az di uL = L (2) dt összefüggés. Ebből t 1 i ( t ) = ∫ u L

(τ) dτ + i (0) . L0 (3) Az 5.41 ábra alapján láthatjuk, hogy bizonyos szempontból kényelmesebb uL feszültség használata, mint az ui feszültségé Az előző esetben ugyanis a tekercs kapcsaira nézve uL és i referenciairánya ugyanúgy van összerendelve, mint azt ellenállás esetén megszoktuk. 5.41 ábra Változó feszültségű generátorra kapcsolt áramhurok Tehát u L = −u i . A két feszültséget elnevezésében is meg szokás különböztetni: ui az indukált, uL az induktív feszültség Hangsúlyoznunk kell, hogy az áram pillanatnyi tényleges iránya nem „egyezik meg” az uL pillanatnyi irányával, hiszen általában mindkettő változtathatja az irányát. Például, ha i = I0sinωt, akkor uL = ωLI0cosωt, vagyis a két irány negyedperiódusonként egyező majd ellenkező. Ha viszont i = I0 eαt , akkor u L = αLI0 eαt , vagyis mindkettő pozitív, tehát valóban „egyező irányúak”. Végül ha i = I0e−αt , akkor u L = −αLI0 e −αt

, tehát uL ténylegesen mindig ellentétes referenciairányával (míg u i = −u L pozitív lenne) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 145 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 146 ► 5.5 Átindukált feszültség A 4.10 szakaszban láttuk, hogy egy tekercs fluxusát nemcsak saját árama, hanem egy másik tekercs árama is létrehozhatja. A teljes fluxusok kifejezése két tekercs esetén kvázistacionárius közelítésben: ψ1 = L1i1 + Mi 2 , ψ 2 = Mi1 + L 2i 2 , (1) ahol M a kölcsönös induktivitás, amely a tekercsek helyzetétől és az áramok mérőirányától függően pozitív vagy negatív. A két tekercs uL = u1, ill. uL = u2 induktív feszültsége: 1 2 dψ1 di di = L1 1 + M 2 , dt dt dt dψ 2 di di = M 1 + L2 2 . u2 = dt dt dt u1 = (2) A referenciairányokat a 5.51 ábrán úgy vettük fel, ahogyan ezt a 541

ábra kapcsán egyetlen hurokra rögzítettük. (Jogosan alkalmazhatnánk az ellenkező irányú ui feszültségeket is.) Az u1 feszültség tehát két részből tevődik össze: u1 = u11 + u12 ; u11 = L1 di1 di , u12 = M 2 . dt dt (3) Itt u11 az önindukált feszültség, amely akkor is fellép, ha a másik tekercs nincs jelen, vagy abban nem folyik időben változó áram. Az u12 tag az átindukált feszültség, amelyet tehát a csatolt tekercsben folyó áram hoz létre Értelemszerűen ugyanígy bontható fel az u2 feszültség is. A (2) összefüggés könnyen általánosítható több tekercsre is Ekkor azonban célszerűbb, ha M helyett az L12, ill. általában az Lik jelölést alkalmazzuk Az 5.51 ábra önmagában nem teljes, hiszen nem derül ki, hogy mi hozza létre az áramokat vagy a feszültségeket. Gondolhatunk például arra, hogy az u1 feszültség adott, mert a bal oldali kapocspárhoz egy feszültségforrás van kapcsolva és i2 adott, mert a jobb oldali

kapocspárhoz egy áramforrás van kapcsolva. A két ismeretlen (i1 és u2) ekkor a (2) differenciálegyenlet-rendszer alapján számítható A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 146 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 147 ► 5.51 ábra Két hurok feszültségeinek, áramainak és fluxusainak referenciairánya A (2) egyenletrendszer nem egészen általános, mert csak az önindukált és az átindukált feszültséget veszi figyelembe. A tekercseknek azonban van ellenállásuk is (R1, ill. R2) Kvázistacionárius közelítésben azt mondhatjuk, hogy az i1, ill. i2 áram hatására az indukált feszültségeken kívül még R1i1, ill R2i2 feszültség lép fel a tekercsek végpontjai között. (A feszültség referenciairánya a megfelelő áraméval egyező) További közelítésként az ellenállásokat egyenlőnek tekintjük a 3

fejezetben értelmezett egyenáramú értékükkel Később 93 fejezetben látni fogjuk, hogy nagy frekvenciákon ez az ellenállás nagyobb ennél az értéknél.) Az ellenállásokat is figyelembe véve, a két tekercs feszültségének kifejezése: di di u1 = R1i1 + L1 1 + M 2 , dt dt (4) di1 di 2 + R 2i 2 + L 2 u2 = M . dt dt Sok gyakorlati esetben az ellenálláson fellépő feszültség elhanyagolható az induktív feszültség (vagy feszültségek) mellett, így a bonyolultabb (4) egyenletrendszer helyett elegendő az egyszerűbb (2) egyenletrendszert megoldani. 5.6 Tekercsek soros és párhuzamos kapcsolása A kondenzátorokhoz és ellenállásokhoz hasonlóan tekercsek esetén is vizsgálhatjuk azt a kérdést, hogy milyen öninduktivitású tekerccsel helyettesíthető két vagy több sorba, ill. párhuzamosan kapcsolt tekercs A he- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 147 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 148 ► lyettesítés akkor megfelelő, ha a helyettesítő elrendezésben ugyanolyan a feszültség és az áram közötti kapcsolat, mint az eredeti elrendezésben. Tekercsek esetén a viszonyok bonyolultabbak, mert az eredő induktivitás nemcsak az egyes tekercsek induktivitásától függ, hanem a kölcsönös induktivitásoktól is – hacsak ezek nem elhanyagolhatók (nagyon laza csatolás). Az eredő induktivitás képzésekor figyelmen kívül hagyjuk a tekercsek ellenállását. Vizsgáljuk először az 5.61 ábrán látható két sorba kapcsolt tekercset, amelyek árama közös. Az eredő feszültség a két feszültség összege, vagyis ⎛ di di ⎞ ⎛ di di ⎞ u = u1 + u 2 = ⎜⎜L1 ± M ⎟⎟⎟ + ⎜⎜±M + L 2 ⎟⎟⎟ = ⎝⎜ dt dt ⎠ ⎝⎜ dt dt ⎠ (1) di di = (L1 + L 2 ± 2M ) = LS . dt dt 5.61 ábra Sorba kapcsolt csatolt tekercsek kétféle ábrázolása (a és b) és

helyettesítése eredőjükkel (c) A felső előjel a 2M előtt a referenciapontok ábrán látható helyzetének felel meg, az alsó előjel akkor érvényes, ha az egyik pont a tekercs másik végénél van. A soros kapcsolás eredő induktivitása ebből: LS = L1 + L 2 ± 2M . (2) Az M kölcsönös induktivitás előjelétől függően az eredő induktivitás lehet L1 + L2 + 2 M > L1 + L2 vagy L1 + L2 − 2 M < L1 + L2 . Az eredő induktivitás azonban utóbbi esetben sem kisebb nullánál A számtani és mértani középre vonatkozó egyenlőtlenség szerint ugyanis A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 148 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató M = k L1L 2 ≤ Vissza ◄ 1 L1L 2 ≤ (L1 + L 2 ) . 2 149 ► (3) Vizsgáljuk most az 5.62 ábrán látható párhuzamosan kapcsolt tekercseket, amelyek feszültsége közös Ezt a

feszültséget az egyes tekercsek áramával kifejezve: u = L1 di1 di di di ± M 2 , u = ±M 1 + L 2 2 . dt dt dt dt (4) 5.62 ábra Párhuzamosan kapcsolt csatolt tekercsek kétféle ábrázolása (a és b) és helyettesítése eredőjükkel (c) A felső előjel ismét akkor érvényes, ha a referenciapontok helyzete az ábrának megfelelő, az alsó előjel pedig akkor, ha az egyik pont a tekercs másik végénél van. Fejezzük ki az egyenletrendszerből az áramok deriváltját: di1 L2 ∓ M = u, dt L1L 2 − M 2 di 2 L1 ∓ M = u. dt L1L 2 − M 2 (5) Az eredő i áram a két részáram összege: i = i1 + i2, amiből di di1 di 2 ⎛⎜ L 2 ∓ M L ∓ M ⎞⎟ 1 ⎟u = = + =⎜ + 1 u. 2 2⎟ ⎟ ⎜ dt dt dt ⎝ L1L 2 − M L1L 2 − M ⎠ LP (6) Ebből a párhuzamosan kapcsolt tekercsek eredő induktivitása: LP = L1L 2 − M 2 . L1 + L 2 ∓ 2M A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (7) Vissza ◄ 149 ► Elektrodinamika Az

elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 150 ► Tudjuk, hogy L1L2 > M2, és előbb láttuk, hogy L1 + L2 > 2M. Ebből következik, hogy az eredő induktivitás ebben az esetben is nagyobb nullánál 5.61 példa Két csatolt tekercs közül az elsőre ˆ cos ωt ug = U 0 (8) feszültséget kapcsolunk, a második kapcsait rövidre zárjuk (5.63 ábra) Határozzuk meg az áramok időbeli változását. 5.63 ábra Veszteségmentes csatolt tekercsek Az első tekercs feszültségforrásra van kapcsolva, a második rövidre van zárva Az (5.5-2) egyenletrendszer most az alábbi alakot ölti (u1 = ug , u2 = 0): L1 di1 di di di + M 2 = u g , M 1 + L2 2 = 0 . dt dt dt dt (9) Megoldva az áramok deriváltjaira: di1 L2 1 ˆ cos ωt, u = U = 0 2 g dt L1L 2 − M L1 (1− k 2 ) (10) di 2 −M −k 2 ˆ cos ωt, = ug = U 0 dt L1L 2 − M 2 M (1− k 2 ) ahol k = M / i1 = L1L 2 csatolási tényező. Integrálva az

összefüggéseket: ˆ ˆ U −k 2 U 0 0 sin ωt + i1 (0) , i 2 = sin ωt + i 2 (0) . ωL1 (1− k 2 ) ωΜ (1− k 2 ) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ (11) 150 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 151 ► Az állandó áramösszetevők matematikailag határozatlanok. A valóságban a tekercseknek ellenállásuk is van; ezeken az állandó áram állandó feszültséget hozna létre, amelyet azonban a generátor feszültsége nem tartalmaz. Ezek szerint i1(0) = i2(0) = 0 választandó. Az ellenállások befolyásolják az áram csúcsértékét, és fáziseltolást hoznak létre. Ezek a hatások elhanyagolhatók, ha R1 << ωL1 és R2 << ωL2 5.62 példa Két tekercs induktivitása L1 = 1 H és L2 = 4 H. Kölcsönös induktivitásuk M = 1 H, vagyis k = 0,5. Milyen eredő öninduktivitás hozható létre különböző

kapcsolásokkal? Ha az egyik tekercs végei nyitottak, azaz i2 = 0 ill. i1 = 0, akkor a másik kapocspár közötti induktivitás: La = L1 = 1H, L b = L 2 = 4H . Soros kapcsolásban i2 = i, ill. i2 = −i esetén: Lc = L1 + L 2 + 2M = 7 H, Ld = L1 + L − 2M = 3H . Párhuzamos kapcsolásban a két összekötési módnak megfelelően: Le = Lf = L1L 2 − M 2 1⋅ 4 −12 = = 1H , L1 + L 2 − 2M 1 + 4 − 2 ⋅1 L1L 2 − M 2 1⋅ 4 −12 3 = = H = 0, 43H. L1 + L 2 − 2 (−M ) 1 + 4 + 2 ⋅1 7 5.7 Indukált elektromos térerősség Vizsgáljuk meg az indukciótörvény fizikai tartalmát a térerősség szempontjából. Az indukció következtében a felhasított keret két végén egy generátor pólusaihoz hasonlóan pozitív, ill. negatív töltések gyűlnek össze, amelyek a vezetőn keresztül most azért nem egyenlíthetődnek ki, mert az indukció hatására létrejövő elektromos tér ezt meggátolja, vagyis a vezetőhurok mentén sztatikus és indukált tér

érintőirányú komponensei eredőül nullát adnak. Két pont közötti feszültség mindig megadható a két pontot összekötő görbeszakaszra a térerősség görbeirányú komponenséből képzett vonalin- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 151 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 152 ► tegrállal. Ezt alkalmaztuk a mozgási indukció esetében ui értékének meghatározásánál Írjuk fel most a nyugalmi indukció indukált feszültségét az elektromos térerősség vonalintegráljaként. Ha a két pólus elég közel van egymáshoz, akkor u i = ∫ EdA =− dψ ∂B dA . = −∫ dt t ∂ A (1) Ezek szerint mondhatjuk, hogy az időben változó mágneses tér elektromos teret indukál (5.71 ábra) 5.71 ábra Az időben változó mágneses tér elektromos teret indukál Az összefüggés elvileg közvetlenül is

ellenőrizhető. Ha változó mágneses térben egy töltést zárt görbe mentén mozgatunk, annak energiája az F = QE erő hatására egy körüljárás során ∆W = Q∫ EdA értékkel változik meg. A mozgásnak a kísérlet során olyan gyorsan kell végbemennie, hogy közben dΨ/dt gyakorlatilag ne változzék, vagyis Ψ változása a körüljárás során lineárisnak legyen tekinthető. Az indukált térerősség fellépésének egy fontos következménye, hogy időben változó mágneses tér jelenlétében két pont közötti feszültség nemcsak a pontok helyzetétől függ, hanem attól az úttól is, amely mentén a térerősséget integráljuk! Más szóval: valamely Q töltés mozgása során a tér által végzett Wab = QUab munka még rögzített a, b pontok esetén is különböző lehet különböző pályák mentén. Tekintsük például az 572 ábrát A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 152 ► Elektrodinamika

Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 153 ► 5.72 ábra Indukált elektromos térben két pont közötti feszültség nemcsak a pontok helyzetétől, hanem az integrálási úttól is függ A mágneses indukció a lap síkjából kifelé mutat (ezt jelölik a karikák, amelyek az erővonalak „döféspontjai”) az elektromos térerősség vonalai zárt görbék, amelyeket az egyszerűség kedvéért köröknek tekintettünk. (Ez biztosan teljesül, ha a mágneses indukció sugárirányban esetleg változik, de egy-egy kör mentén állandó.) Határozzuk meg az b u ab = ∫ EdA (2) a feszültséget. Láthatjuk, hogy az 1 úton E és dℓ párhuzamosak, így u(ab1) > 0 . A 2 úton E és dℓ ellentétes irányúak, így u(ab2) < 0 Végül a radiális 3 úton dℓ mindenütt merőleges E-re, így u(ab3) = 0 Természetesen számos további integrációs út választható, amelyekre uab értéke

ismét más. Mivel időben változó mágneses tér jelenlétében a két pont közötti feszültséget már nem határozzák meg a végpontok, ezért nem vezethető be egy (egyértékű) φ skalár potenciál, amellyel uab = φa−φb alakban megadható lenne. Míg elektrosztatikus esetben uaa = 0, addig változó mágneses térben uaa értéke útvonalfüggő. Ha azonban valamilyen módon egyértelművé tesszük a végpontok közötti utat, akkor a feszültség is egyértékű és ismét alkalmazhatjuk a potenciál fogalmát. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 153 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 154 ► 5.8 A folytonossági egyenlet és az eltolási áram A töltésmegmaradás elve alapján az A zárt felületbe dt idő alatt beáramló dqbe és onnan kiáramló dqki töltés különbsége a dt idő alatt az A zárt felüdq leten

belül felhalmozódó dq töltéssel egyenlő, vagyis az i be = be és dt dq ki jelöléssel i ki = dt dq , (1) i be − i ki = −∫ JdA = dt A ahol J a helyfüggő áramsűrűség-vektor (5.81 ábra) 5.81 ábra A vezetési áramok különbsége az elektróda töltését növeli Ha a dq töltés nő, azaz pozitív, akkor ∫ JdA éppen negatív értékű lesz, A mert dA irányítása a felülettől elmutató, ezért az integrál elé mínuszjelet tettünk. Így a két oldal valóban egyenlő A tapasztalat szerint a Gauss-tétel időben változó töltések, ill. tér esetén is érvényes, tehát dq d ∫ JdA = − dt = − dt ∫ DdA = −∫ A A A ∂D dA , ∂t A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza (2) ◄ 154 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 155 ► ahol a hely szerinti integrálás és az idő szerinti deriválás

sorrendjét felcseréltük. A ∂D/∂t mennyiség neve eltolási áramsűrűség, az A felületre vett integrálja pedig az A felület ∂D (3) ie = ∫ dA ∂t A eltolási árama. A (2) egyenletet még így is írhatjuk: ⎛ ∂D ⎞ ∫ ⎜⎜⎜⎝J + ∂t ⎠⎟⎟⎟ dA = 0 . (4) A Ez az ún. folytonossági egyenlet A folytonossági egyenlet azt fejezi ki, hogy a vezetőben folyó J áramsűrűség a szigetelőben ∂D/∂t eltolási áramsűrűségként folytatódik, azaz a (J + ∂D ∂t ) „eredő” áramsűrűség erővonalai ugyanúgy önmagukban végződnek, mint pl. a B indukcióvektor vonalai Ezt szemlélteti az 5.82 ábra abban a speciális esetben, amikor a dielektrikumban csak eltolási áram van 5.82 ábra Az eltolási áramsűrűség zárja a vezetési áramsűrűség vonalait A határfelületen felhalmozódó töltést jelöljük most is q-val, amellyel J= i 1 dq = . A A dt (5) Másrészt a két vezető között D = q/A, tehát ∂D 1 dq = =J, ∂t A dt

A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (6) Vissza ◄ 155 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 156 ► azaz a vezető J áramsűrűsége a szigetelőben ∂D/∂t eltolási áramsűrűségként folytatódik. 5.9 A kapacitív áram Az 5.81 ábra tulajdonképpen egy veszteséges kondenzátor vázlata Kapcsoljunk most egy veszteségmentes, azaz átvezetés nélküli elektródapárt egy u forrásfeszültségű feszültségforrásra (5.91 ábra) Az elektródák töltése q, ill −q lesz A vezetékben folyó áram a választott referenciairánnyal i= dq , dt (1) A töltést kifejezhetjük az elektródák közötti feszültséggel q = Cu alakban, ahol C az elektródapár kapacitása. Ezt felhasználva kapjuk az ún kapacitív áram kifejezését: du , (2) i=C dt amiből t 1 u = ∫ i (τ) dτ + u (0) , C0 (3) ahol a feszültségre és az áramra a

kondenzátoron ugyanaz a referenciairány vonatkozik. 5.91 ábra A kapacitív áram eltolási áramként értelmezhető A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 156 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 157 ► A kapacitív áramot kétféleképpen is értelmezhetjük. Ha ragaszkodunk ahhoz, hogy az áram kizárólag töltések mozgását jelentse, akkor a következőket mondhatjuk. Az i áram a kondenzátor egyik elektródájába befolyik, a másikból kifolyik, így azok töltése változik A jelenség tehát olyan, mintha az áram keresztülfolyna a kondenzátoron, noha annak elektródái között nincs töltésáramlás. Az eltolási áram fogalmának bevezetésével úgy is magyarázhatjuk a jelenséget, hogy a vezetőben folyó vezetési áram a kondenzátor elektródái között eltolási áramként folytatódik, azaz a kapacitív áram

az eltolási árammal azonosítható. Elektródarendszerek kapacitív árama és feszültsége között lényegében ugyanolyan összefüggések vannak, mint az elektrosztatikus töltés és a feszültség között. Érvényesek a kondenzátor eredő kapacitására vonatkozó összefüggések is. Például párhuzamos kapcsolás estén a kapacitív áramok összegződnek: i = i1 + i 2 = C1 du du du + C2 = (C1 + C2 ) , dt dt dt (4) vagyis Cp = C1 + C2. Soros kapcsolás esetén a feszültségek összegződnek A közös áram kifejezése: i = C1 du1 du du = C 2 2 = CS , u = u1 + u 2 ; dt dt dt (5) du du1 du 2 ⎛⎜ 1 1⎞ = + = ⎜⎜ + ⎟⎟⎟ i , dt dt dt ⎝ C1 C 2 ⎠⎟ (6) du 1 = i, dt CS amiből 1/Cs = 1/C1 + 1/C2, Cs = C1 × C2 . 5.10 Az általánosított gerjesztési törvény A folytonossági egyenlet szerint a vezetési áram a szigetelőben eltolási áramként folytatódik. Ezek egymásba kölcsönösen átalakulhatnak; összegük forrásmentes, azaz nem ered és

nem végződik sehol Felmerül a kérdés, hogy a vezetési és eltolási áram ezen egyenértékűsége fennáll-e abból a szempontból is, hogy mindkettő ugyanolyan mágneses teret hoz létre. Vizsgáljuk a kérdést a gerjesztési törvény kapcsán. A gerjesztési törvény a következőket mondja ki: a mágneses térerősség zárt görbe menti integrálja egyenlő azon áramok algebrai összegével, amelyek bármely, e görbe által kifeszített felületen keresztülfolynak. Ez az ösz- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 157 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 158 ► száram kifejezhető az áramsűrűség felületmenti integráljaként (lásd 4.4 fejezet), vagyis ∫ HdA = ∫ JdA . (1) A Ha a vezetési és eltolási áram egymással mágneses hatásuk szempontjából is egyenértékű, és az ℓ zárt görbe által

kifeszített A felületen vezetési és eltolási áram is átfolyik, mint az 5.81 ábra esetében, akkor ez a gerjesztési törvény alábbi átalakításával vehető figyelembe: ⎛ ∂D ⎞ ∫ HdA = ∫ ⎜⎜⎜⎝J + ∂t ⎠⎟⎟⎟ dA . (2) A Ha a mennyiségek időben állandóak, akkor eltolási áram nincs, és visszakapjuk az ismert gerjesztési törvényt. A mérések szerint az eltolási áram ugyanolyan mágneses teret hoz létre, mint a vezetési áram, vagyis a gerjesztési törvény (2) általánosítása valóban fizikai törvényt fejez ki. Más szóval: az elektromos tér időbeli változása ugyanúgy mágneses teret hoz létre, mint ahogy a mágneses tér időbeli változása – az indukciótörvény értelmében – elektromos teret hoz létre. A megszakított vezető példáján (5.101 ábra) azt az esetet szemléltetjük, amikor az ℓ zárt görbe által kifeszített A felületen csak eltolási áram halad át. A gerjesztési törvény ebben a

speciális esetben: ∫ H dA = ∫ A ∂D dA . ∂t (3) A gerjesztési törvény általánosításával nem oldottunk meg minden feladatot, amely az időben változó áram által gerjesztett mágneses térrel kapcsolatos. Így például az 53 szakaszban láttuk, hogy az időben változó áram mágneses terét a Biot–Savart-törvény alapján általában nem határozhatjuk meg. Legfeljebb jó közelítő eredményt kapunk, ha a méretek elég kicsik, vagy – másként megfogalmazva – ha a változások elég lassúak (a frekvencia elég kicsi). Ez jó összhangban van előző megállapításunkkal: ha a változás elég lassú, akkor az eltolási áram elhanyagolható, és közelítőleg érvé- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 158 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 159 ► nyesek a stacionárius esetre vonatkozó

törvényszerűségek (kvázistacionárius közelítés). 5.101 ábra A gerjesztést a vezetési áram mellett az eltolási áram is létrehozhatja A Biot–Savart-törvény alapvetően stacionárius áram mágneses terének meghatározására alkalmas. A sugárzó áramelem terének vizsgálatakor megismerkedünk majd a 13.1 fejezetben egy olyan számítási eljárással, amely a Biot–Savart-törvényből kiindulva, váltakozó áram esetén is általánosan érvényes eredményt ad a mágneses térre. 5.11 Összefoglalás Az elektromos, ill. a mágneses teret az elektromos térerősség, ill a mágneses indukció vektora jellemzi, amelyeket a pontszerű töltésre ható erő, ill a kisméretű köráramra ható forgatónyomaték definiál: F = QE; M = IAn × B . Az elektromos teret alapvetően a töltés, a mágneses teret alapvetően az áram hozza létre. A két tér azonban általában nem független egymástól; az elektromos tér mágneses teret hozhat létre, és viszont.

A kapcsolat vezető közegben a legegyszerűbb. Ez időben állandó esetben is fellép Az áramlási teret a 3 fejezetben tárgyaltuk részletesen Alapvető törvényszerűsége az általánosított differenciális Ohm-törvény: J = σ (E + Eg ) . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 159 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 160 ► További kapcsolatok lépnek fel, ha a terek időben változnak. Ha egy vezető által körülfogott Ψ fluxus időben változik, a vezető végei között feszültség lép fel: dψ . ui = − dt Ha a fluxust a vezetőben folyó i áram hozza létre, akkor az önindukált feszültség di uL = L , dt ahol L a hurok (vagy tekercs) öninduktivitása; az uL feszültség és az i áram referenciairánya a tekercsre nézve megegyezik. Két tekercs esetén átindukálás is fellép: u1 = L1 di1 di di di + M 2 , u

2 = M 1 + L2 2 , dt dt dt dt ahol M a kölcsönös induktivitás. Több tekercs esetén n u k = ∑ Lk =1 di , Lk = L k . dt Általában figyelembe kell még venni az egyes vezetők ellenállása miatt fellépő Rkik feszültségeket is. Ha az ellenállások elhanyagolhatók, akkor a sorba és párhuzamosan kapcsolt tekercsek eredőjükkel helyettesíthetők. Ha a csatolások elhanyagolhatók, akkor két tekercs esetén LS = L1 + L 2 , L P = L1L 2 , M = 0. L1 + L 2 A kölcsönös induktivitás figyelembevételével LS = L1 + L 2 ± 2M, L P = L1L 2 − M 2 . L1 + L 2 ∓ 2M Az indukcióörvény általánosabb alakja az elektromos és a mágneses tér egy kapcsolatát fejezi ki: ∫ EdA =− ∫ A ∂B dA . ∂t A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 160 ► Elektrodinamika Az elektromágneses tér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 161 ► Ez ebben az alakjában

általánosan (vezető jelenléte nélkül is) érvényes. Időben változó esetben egy elektróda q töltésének és az elektródába folyó i áramnak a kapcsolata t dq i = ; q = q (0) + ∫ i ( τ) dτ . dt 0 Ennek általánosabb megfogalmazása a folytonossági egyenlet: ⎛ ∂D ⎞ ∫ ⎜⎜⎜⎝J + ∂t ⎠⎟⎟⎟ dA = 0 , A ahol (∂D/∂t) az eltolási áramsűrűség. Ez kondenzátorok esetén kapacitív áramnak tekinthető: i=C du . dt (Az áram és a feszültség referenciairánya a kondenzátorra nézve megegyezik.) Az eltolási áram ugyanúgy hoz létre mágneses teret, mint a vezetési áram. A gerjesztési törvény általános alakja: ⎛ ∂D ⎞ ∫ HdA = ∫ ⎜⎜⎜⎝J + ∂t ⎠⎟⎟⎟ dA . A Az eltolási áramot elhanyagoló Biot–Savart-törvény csak addig alkalmazható időben változó áramokra jó közelítéssel, amíg a méretek jóval kisebbek a hullámhossznál (kvázistacionárius közelítés). A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 161 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 162 ► 6. Elektromágneses energia és erő Az elektromágneses teret jellemző differenciális mennyiségeket (E elektromos térerősség, B mágneses indukció) a töltésre ható erő, ill. a köráramra ható forgatónyomaték alapján vezettük be, az integrális mennyiségeket (Φ elektromos potenciál, Ψ hurokfluxus) pedig a töltés energiája, ill. a köráram energiája alapján. A definíciós összefüggések segítségével megoldhatunk bizonyos feladatokat, ilyen pl az elektromágneses térben mozgó kisméretű töltés pályájának meghatározása Az alkalmazások szempontjából azonban nagyon fontos olyan módszerek kidolgozása, amelyek segítségével meghatározhatjuk töltött elektródákból, ill árammal átjárt vezetőkből álló rendszer

energiáját, valamint egy elektródára, ill egy vezetőre ható erőt. Ebben a fejezetben ezért az elektromágnes energia és erő számításának alapvető módszereit és néhány alkalmazását tárgyaljuk 6.1 Töltésre ható erő Az elektromos tér jelenlétét abból észleljük, hogy egy kisméretű Q töltésre F = QE (1) erő hat, ahol E az elektromos térerősség. Ha a töltés elektromos térben mozog egy P1 pontból egy P2 pontba, akkor a tér a töltésen P2 P2 W12 = ∫ FdA = Q ∫ EdA = QU12 P1 (2) P1 nagyságú munkát végez, ahol U12 a két pont közötti feszültség. Ha nincs időben változó mágneses tér, akkor a feszültség csak a pontok helyzetétől függ, és U12 = Φ1−Φ2 alakban írható fel, ahol Φ1 ill. Φ2 a potenciál a P1 ill P2 pontban. A végzett munka tehát ekkor W12 = QΦ1 − QΦ2 . (3) Ezt az összefüggést úgy foghatjuk fel, hogy a töltésnek a P1 pontban W1 = QΦ1, a P2 pontban W2 = QΦ2 energiája van és a végzett

munka az energiák különbségével egyenlő. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 162 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 163 ► Általában: ha egy pontban (a többi töltés által létrehozott) potenciál Φ, akkor egy kisméretű Q töltés potenciális energiája e pontban WP = QΦ . (4) Ez közvetlenül úgy értelmezhető, hogy ha a töltés a P pontból abba az 0 alappontba kerül, ahol a potenciál nulla, akkor ennek során a tér éppen WP munkát végez (ill. WP < 0 esetén −WP munkát kell végezni a tér ellenében) A tér által végzett munka például a töltés kinetikus energiájává alakul át. Ha a töltött test sebessége a P1 pontban v1 és a P2 pontban v2, akkor (egyéb energiaátalakulásokat pl. a súrlódást vagy a gravitációs energiaváltozást elhanyagolva) az m tömegű test összes

energiája állandó, vagyis 1 1 mv12 + QΦ1 = mv 22 + QΦ2 . 2 2 (5) Ebből a végsebesség a P2 pontban v 2 = v12 + 2Q 2Q (Φ1 − Φ2 ) = v12 + U12 . m m (6) Ha a pozitív töltés nagyobb potenciálú helyről kisebb potenciálúra kerül (Φ1 > Φ2, U12 > 0), akkor sebessége növekszik, és fordítva. Egyszerűbb esetekben ebből meghatározható a részecske pályája is. Ezt általánosan az F = ma, vagyis az d 2r (7) m 2 = QE, r = r ( t ) dt differenciálegyenlet megoldásával kaphatjuk meg, ahol r(t) a töltés helyzetvektora a t időpillanatban. Szorítkozzunk arra az esetre, amikor az E térerősség időben állandó és térben homogén. Ekkor az egyenletet integrálva az idő szerint t ⎡ dr ⎤ ⎢ ⎥ − = m v (0) Q ∫ Edt = QEt , (8) ⎢⎣ dt ⎥⎦ 0 ahol v(0) a kezdeti sebesség. Újból integrálva kapjuk, hogy 2 t m ⎡⎣r ( t ) − r (0) − v (0) t ⎤⎦ = QE , 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (9)

Vissza ◄ 163 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 164 ► ahol r(0) a kiindulási pont helyzetvektora. Végeredményben (611 ábra) r ( t ) = r ( 0 ) + v ( 0) t + QE 2 t . 2m (10) Megjegyezzük, hogy a sebességekre és a pályára vonatkozó megfontolásaink csak addig érvényesek, amíg a sebességek jóval kisebbek a fénysebességnél. 6.11 ábra A homogén elektromos térben v0 kezdősebességgel mozgó pozitív töltés pályája Bonyolultabb a helyzet, ha mágneses tér is jelen van. Ha a mágneses tér időben állandó, az energia-összefüggések érvényben maradnak. A mozgó töltésre ható erőt azonban már nem (1) adja meg, hiszen a v sebességgel mozgó töltés E’ = v × B elektromos térerősséget is „észlel”. Ekkor a teljes erő Lorentz törvénye értelmében: F = Q [E + v ×B ] (11) Ebből az látható, hogy a mágneses tér által

kifejtett járulékos erő mindig merőleges a pillanatnyi sebességre, vagyis magára a pályára. Ez az erő tehát munkát nem végez – ez az oka annak, hogy az energiaviszonyokat az időben állandó mágneses tér nem befolyásolja. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 164 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 165 ► A (7) mozgásegyenlet most az alábbi alakot ölti: m d 2r = QE + Qv × B . dt 2 (12) Ennek megoldása jóval bonyolultabb, mert a jobb oldalon álló v sebesség maga is függ az időtől. Ha a mágneses tér az időben változik, akkor a (11) erőtörvény és a (12) mozgásegyenlet továbbra is érvényes. A különbség csak annyi, hogy most az E térerősség számításához figyelembe kell vennünk az indukciótörvényt is, amely szerint ∂B (13) ∫ EdA = −∫ ∂t dA . A Az időben változó

mágneses tér által indukált elektromos térerősség már nem merőleges a pályára, így megváltoztatja a töltés energiáját is. Tudjuk, hogy ekkor nem használhatjuk már a potenciál fogalmát, tehát a (3)(6) összefüggések nem érvényesek. 6.2 Példák 6.21 példa Síkkondenzátor lemezei közé (egy kis résen keresztül) m tömegű, Q töltésű töltött részecske érkezik v0 sebességgel (6.21 ábra) Eljut-e a részecske a másik elektródára? 6.21 ábra Síkkondenzátorba belőtt töltött részecske Kezdősebessége az erővonalakkal párhuzamos A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 165 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 166 ► A kérdésre energetikai megfontolások alapján egyszerűen felelhetünk. Ha a beérkezés helyén a potenciált nullának választjuk, akkor a részecskének ott csak mv 02 /

2 nagyságú kinetikus energiája van. A Φ = U potenciálú elektródán kinetikus és potenciális energiája egyaránt van. Az energia megmaradásának tételéből 1 1 mv02 = mv12 + QU . 2 2 (1) Ebből a v1 végsebesség v1 = v 02 − 2Q U. m (2) Ez a (6.1-6) összefüggés esetünkre egyszerűsített alakja A másik elektródára való eljutás feltétele nyilván az, hogy v1 valós, vagyis a gyök alatti mennyiség nem negatív legyen: v02 ≥ 2Q U. m (3) A feltétel mindig ki van elégítve, ha Q és U ellenkező előjelűek. Ha pl U > 0 és Q < 0 (pl. elektron), akkor a 621 ábrán az erő a jobb oldali elektróda felé mutat, tehát a töltés biztosan átjut, (A helyzet analóg a függőleges lefelé hajítással.) Ha v0 elég nagy, akkor a negatív töltés még negatív U esetén is (vagyis az erőtér ellenében is) eljuthat a másik elektródára (A helyzet analóg a függőleges felfelé hajítással.) Nézzük a számszerű viszonyokat elektron esetén,

amelynek jellemző adatai: Qe = −e = −1, 602 ⋅10−19 C, m e = 9,108 ⋅10−31 kg, (4) e C = 1, 759 ⋅1011 . me kg Legyen a kondenzátorlemez feszültsége U = −1 kV, akkor a sebességre vonatkozó feltétel (3) szerint v0 = 1,8·107 m/s. Mivel v0 < 0,1 c = 3·107 m/s, így relativisztikus korrekcióra még nincs szükség, az eredmény elfogadható. Nézzük meg a számszerű eredményt proton esetén is, amelynek jellemző adatai: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 166 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 167 ► Q p = e = 1, 602 ⋅10−19 C, m p = 1, 672 ⋅10−27 kg, (5) e C = 0,9579 ⋅108 . mp kg Legyen a kondenzátorlemez feszültsége U = + 1 kV, akkor a (3) feltétel értelmében v0 = 4,37·105 m/s. A proton nagyobb tömege miatt kisebb sebesség is biztosítja az átjutást. 6.22 példa Határozzuk

meg azt az időt, amely alatt a töltött részecske az előző példa elrendezésében eljut a másik elektródára – feltéve, hogy a (3) feltétel ki van elégítve. Induljunk ki a (6.1–10) általános összefüggésből, amelyben r(t) helyére egyszerűen x(t) írható x ( t ) = x (0) + v (0) t + QE 2 t . 2m (6) Jelölje t = 0 azt a pillanatot, amikor a részecske a kondenzátorba lép. Ekkor x(0) = 0, v(0) = v0, továbbá (az irányt figyelembe véve) E = −U/d Ha t = t1 (az átfutás ideje), akkor x = d. Ezeket (6)-ba helyettesítve d = v 0 t1 − QU 2 t1 . 2md (7) A t1-re vonatkozó másodfokú egyenletet megoldva: mv0 d t1 = ± QU 2 ⎛ mv 0d ⎞⎟ 2md 2 mv0 d ⎡⎢ 2QU ⎤⎥ ⎜⎜ 1 1 . = ± − ⎟⎟ − QU QU ⎢⎢⎣ mv 02 ⎥⎥⎦ ⎝⎜ QU ⎠ (8) A (2) összefüggés alapján bevezetve a v1 végsebességet: t1 = mv0 d ⎡⎢ v1 ⎤⎥ 2Q 1− , v1 = v 02 − U. ⎢ ⎥ QU ⎣ v 0 ⎦ m (9) A (8)-beli négyzetgyök előtt csak a negatív előjel ad

értelmes megoldást. A (3) feltétel egyébként (8)-ból is kiolvasható. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 167 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 168 ► 6.23 példa Síkkondenzátor szimmetriasíkjában m tömegű, Q töltésű részecske érkezik v0 kezdősebességgel. Az ℓ hosszúságú erőtér átfutása után kilép a kondenzátorból, majd egy felfogó ernyőre csapódik Meghatározandó a 622 ábrán h-val jelölt eltérítés. 6.22 ábra Síkkondenzátor szimmetriasíkjába belőtt részecske A kezdősebesség az erővonalakra merőleges Vizsgáljuk először a mozgást a kondenzátor belsejében. (A szórt erőteret elhanyagoljuk.) Jelölje t = 0 azt az időpontot, amikor a részecske belép a kondenzátorba. A (61-10) pályaegyenlet két rendezője x(0) = y(0) = 0, v0x = v0, v0y = 0 és Ex = 0, Ey = U/d

figyelembe vételével: x ( t ) = v0 t, y ( t ) = QU 2 t . 2md (10) Az első egyenletből t = x/v0, tehát a pálya egyenlete y= QU 2 x , 0<x < . 2mdv02 (11) A mozgás teljesen analóg a vízszintes hajítással. A legnagyobb eltérítés a kondenzátoron belül y max = QU 2 2mdv 2 0 , ha y max < d . 2 (12) Ha y max > d / 2 , akkor a részecske beleütközik valamelyik lemezbe. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 168 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 169 ► A részecske az erőtérből kilépve egyenes vonalú egyenletes mozgással halad a pálya végérintőjének irányában, ahol ⎡ QUx ⎤ ⎡ dy ⎤ ⎥ = QU . tgα = ⎢ ⎥ = ⎢ 2⎥ ⎢ mdv02 ⎣⎢ dx ⎦⎥ x= ⎣ mdv0 ⎦ x= (13) Mivel paraboláról van szó, az érintő az x tengelyt az x = ℓ/2 helyen metszi, így a 6.22 ábra

hasonló háromszögeiből az eltérítés: 2 L QU L 2L QU h= y max = = . /2 2mdv02 dmv02 (14) A legnagyobb eltérítés y max = d / 2 esetén hmax = dL/ℓ, amint a 6.22 ábrából közvetlenül leolvasható. A példa az elektrosztatikus eltérítésű katódsugárcső elvét mutatta be 6.24 példa Valamely Q töltésű és m tömegű részecske homogén, időben állandó mágneses térben mozog. A részecske v kezdősebessége a B indukcióra merőleges. Határozzuk meg a részecske pályáját Mint tudjuk, a részecskére ható F = Qv × B erő a pályára merőleges, így a részecske kinetikus energiája és sebességének nagysága is állandó marad. Esetünkben az erő egy (a B vektorra merőleges) síkban hat A részecske pályája tehát az a sík, amely a B indukcióra merőleges, és a kezdeti sebesség v vektorát tartalmazza. Mivel v = állandó, a részecske körpályán mozog. A gyorsulás ar = v2/r, tehát a mozgásegyenlet: m v2 = Q vB . r (15) Ez úgy is

felfogható, hogy QvB a centripetális erő. A pálya sugara ebből r= mv . QB (16) A mozgás periódusideje, ill. szögsebessége: T= 2πr 2πm 2π Q B = , ω= = . v QB T m (17) A periódusidő és a szögsebesség nem függ a részecske sebességétől. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 169 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 170 ► 6.25 példa Valamely m tömegű, v sebességű, negatív töltésű részecske pályájára merőleges homogén mágneses térbe kerül, majd azt elhagyja. Határozzuk meg a 6.23 ábrán h-val jelölt eltérítést 6.23 ábra Töltött részecske mozgása homogén mágneses térben A kezdősebesség az indukció vektorára merőleges A részecske a mágneses térben körpályát ír le, amelynek sugarát (16) adja, majd a végérintő irányában egyenes vonalú mozgást végez. (A

sebesség végig állandó nagyságú.) Ha ℓ << r, vagyis a φ szög kicsi, akkor rφ ≈ ℓ, és a körívet parabolával közelítve h ≈ Ltgφ ≈ Lφ, vagyis h≈ L BQ L = , r mv r= mv . QB (18) Elektrosztatikus eltérítés esetén (14) szerint a h eltérítés a részecske energiájával fordítva arányos, mágneses eltérítésnél pedig az eltérítés a részecske mv mozgásmennyiségétől függ fordított arányban. A 623 ábra alapján az eltérítés meghatározható akkor is, ha ℓ << r nem teljesül. A példa a mágneses eltérítésű katódsugárcső elvét mutatja be. 6.26 példa Vizsgáljuk a részecske mozgását homogén mágneses térben abban az általánosabb esetben, amikor a kezdeti sebesség nem merőleges az indukcióra. Bontsuk fel a sebességet az indukcióval párhuzamos és arra merőleges összetevőre. (A 624 ábrán látható koordináta-rendszerben ezek v0z és v0x.) Nyilvánvaló, hogy a pálya csavarvonal lesz A vetületi

kör r sugarát az A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 170 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 171 ► indukció és az arra merőleges v0x összetevő határozza meg, a d menetemelkedést a periódusidő és a v0z összetevő: r= m v0x QB , d = v0z T = 2πm v0z QB . (19) Ha az α szög kicsi, akkor v0z = v0cosα ≈ v0, vagyis d független a kis α szögtől. 6.24 ábra Pozitív töltésű részecske mozgása homogén mágneses térben A pálya állandó menetemelkedésű spirális A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 171 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 172 ► Ezt a hatást a 6.25 ábrán látható módon felhasználhatjuk arra, hogy az anódon vágott kis

résen átjutó felgyorsított és enyhén széttartó elektronokat egy d távolságban elhelyezett ernyőn ismét egy pontba fókuszáljuk longitudinális mágneses tér alkalmazásával. 6.25 ábra Mágneses fókuszálás hosszirányú mágneses tér segítségével 6.27 példa Vizsgáljuk meg az m tömegű, Q töltésű részecske mozgását abban az esetben, ha mind elektromos, mind mágneses tér hat rá. Mindkét tér legyen időben állandó és homogén, az E és B vektorok egymásra merőlegesek, a részecske kezdősebessége nulla. Vizsgáljuk a részecske mozgását egy olyan koordináta-rendszerben, amelynek középpontja y-irányú u sebességgel mozog (6.26 ábra) A töltésre ható erő e rendszerben F = Q (E’ + v’× B’) = Q (E + u × B + v’× B’) , A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza (20) ◄ 172 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és

tárgymutató Vissza ◄ 173 ► Itt u × B ugyanúgy z-irányú, mint E, ezért elérhető, hogy E + u×B = 0 (21) legyen. Ehhez az u = uj, u = E B (22) választás szükséges. Ilyen u sebességgel haladó koordináta-rendszerben csak a homogén mágneses tér hat. 6.26 ábra Az u sebességgel mozgó koordináta-rendszerben nincs elektromos tér, így a részecske pályája kör; az álló koordináta-rendszerben csúcsos ciklois A részecske kezdősebessége v’0 = −u . Mint tudjuk, e koordináta-rendszerben a részecske állandó szögsebességgel körpályán mozog: ω= mv’0 QB’ QB mE , r= = = . m m QB QB2 (23) A részecske kerületi sebességének nagysága végig állandó a mozgó koordinátarendszerben, éspedig v’ = u. A részecske valódi pályája tehát egy olyan kör valamely kerületi pontjának pályájával egyezik meg, amely kör középpontjának sebessége meg- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza

◄ 173 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 174 ► egyezik kerületi sebességével, más szóval a kör gördül. Ez éppen a csúcsos ciklois kinematikai definíciója. A pálya a 627 ábrán látható 6.27 ábra Töltött részecske mozgása egymásra merőleges homogén elektromos és mágneses térben. A pálya csúcsos ciklois 6.28 példa Vizsgáljuk egy részecske mozgását egy olyan síkkondenzátorban, amelyben az elektromos térerősségre merőleges mágneses indukció is hat. A részecske az elektródáról nulla kezdősebességgel indul (6.28 ábra) Mint az előző példából tudjuk, a részecske pályája csúcsos ciklois lesz. E ciklois „magassága” 2mE 2mU h = 2r = = . (24) QB2 QB2 d 6.28 ábra A sík magnetron elve Az elrendezés felhasználható az indukció mérésére is A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató

Vissza ◄ 174 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 175 ► Ha az U feszültség nagyobb egy U0 kritikus értéknél, akkor h > d, és a részecske a másik elektródába ütközik, vagyis (elég sok részecske esetén) áramot észlelünk. E kritikus feszültség a 2mU 0 =d QB2 d (25) egyenletből kifejezhető. A kritikus feszültség meghatározásával mérhetjük az indukciót: 1 m B= 2 U0 . (26) d Q A fent leírt elrendezés a sík magnetron. A hengeres változat továbbfejlesztését mikrohullámú rezgéskeltetőként alkalmazzák 6.3 A kondenzátor és a tekercs energiája A kondenzátor és a tekercs energiát képes tárolni. Ha εr állandó, azaz a kondenzátor lineáris, akkor a kondenzátor árama: i=C du , dt (1) pillanatnyi teljesítménye: p = ui = uC ⎞ du d ⎛1 = ⎜⎜ Cu 2 ⎟⎟⎟ . ⎠ dt dt ⎜⎝ 2 (2) ⎛1 ⎞ A kapott kifejezésben d

⎜⎜ Cu 2 ⎟⎟⎟ nem más, mint a dt idő alatti dW mun⎜⎝ 2 ⎠ kavégzés, hiszen a teljesítmény dW/dt. Tehát W(t) = ½Cu2(t) W(t) időben változik, ezért w(t)-t kellene írnunk, de mivel w-t az energiasűrűség jelölésére fogjuk alkalmazni, ezért ebben az esetben eltérünk attól az elvtől, hogy az időben változó skalármennyiségeket kisbetűvel jelöljük. Ez a munka a kondenzátorból kinyerhető, ezért ez a kondenzátor pillanatnyi energiája is. Ha a kondenzátor feszültsége nem változik, akkor 1 W = CU 2 . 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (3) Vissza ◄ 175 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 176 ► A Q = CU összefüggés alkalmazásával a kondenzátorban tárolt energia kifejezése még így is megadható: 1 11 2 W = QU = Q . 2 2C (4) A lineáris tekercs feszültsége u=L di , dt (5) a

pillanatnyi teljesítménye: p = ui = L ⎞ i d ⎛1 i = ⎜⎜ Li 2 ⎟⎟⎟ . ⎠ dt dt ⎜⎝ 2 (6) 1 2 Li a pillanatnyi befektetett munka értéke, ami a 2 tekercsből vissza is nyerhető, ezért ez a tekercs pillanatnyi energiája. Ha a tekercs árama állandó, akkor A kapott kifejezésben 1 W = LI 2 . 2 (7) A Ψ = LI összefüggés alkalmazásával a tekercs (induktivitás) energiájának kifejezése még így is megadható: 1 11 2 W = ΨI = Ψ . 2 2L (8) A csatolt tekercsek esetében di1 di +M 2 , dt dt di di u 2 = M 1 + L2 2 . dt dt u1 = L1 (9) Az együttesen fellépő, azaz az összes befektetett pillanatnyi teljesítmény: di1 di di di + L 2i 2 2 + Mi1 2 + Mi 2 1 = dt dt dt dt ⎞ d ⎛1 1 = ⎜⎜ L1i12 + L 2i 22 + Mi1i 2 ⎟⎟⎟ . ⎠ dt ⎜⎝ 2 2 p = u1i1 + u 2i 2 = L1i1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ (10) 176 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 177 ► Az előbbiek mintájára két csatolt tekercs energiája I1 és I2 áramok esetén: 1 1 W = L1I12 + L 2 I 22 + MI1I 2 . 2 2 (11) 6.4 Példák 6.41 példa Gyűrű alakú tekercs közepes sugara 10 cm, keresztmetszete 4 cm2, menetszáma 500. Határozzuk meg a tárolt mágneses energiát, ha a tekercs magja nem ferromágneses, és az áramerősség 0,2 A. A tekercs induktivitása közelítőleg (4.112 példa) L= µ0 N 2 A 4π ⋅10−7 ⋅ 25 ⋅104 ⋅ 4 ⋅10−4 = 0, 2 ⋅10−3 H . 2πR 2π ⋅ 0,1 A tárolt energia 1 1 W = LI 2 = 0, 2 ⋅10−3 ⋅ 0, 04 = 4 ⋅10−6 Ws = 4µJ . 2 2 6.42 példa Mekkora a tárolt energia az előző példában adott tekercsben, ha magja µr = 3200 relatív permeabilitású vas? Mivel az induktivitás a permeabilitással arányos, ezért ez érvényes az energiára is. Ezek szerint 1 W = L1I 2 = 3200 ⋅ 4 ⋅10−6 = 12,8 ⋅10−3 Ws . 2 Ellenőriznünk kell, hogy jogos-e

állandó permeabilitással számolni. A közepes indukció B= µ 0µ r NI 4π ⋅10−7 ⋅ 3200 ⋅ 500 ⋅ 0, 2 = = 0, 64T . 2πr 2π ⋅ 0,1 A dinamólemez vagy a transzformátorlemez mágnesezési görbéje ilyen indukcióérték mellett még lineárisnak tekinthető, tehát számításunk jogos. Amíg azonban a légmagos tekercsben tárolt energia 2 A áram esetén a 0,2 A-hez tartozónak százszorosa (vagyis 0,4·10–3 Ws), addig vasmag esetén az energia ugyan nagyobb, de a telítés miatt nem nő százszorosára. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 177 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 178 ► 6.5 Az elektromos tér energiasűrűsége Az előzőkben láttuk, hogy az elektromos energiát kifejezhetjük a potenciálok és a töltések, vagy a potenciálok és a kapacitások segítségével. Most egy harmadik,

alapvetően más lehetőséget mutatunk meg, amennyiben az energiát az elektromos teret jellemző mennyiségekkel fejezzük ki. Ehhez vázoljuk fel a kondenzátor terét az erővonalakkal és az ekvipotenciális felületekkel (6.51 ábra) Vizsgáljuk először azt az egyszerűbb esetet, amikor a permittivitás független a térerősségtől, azaz a kondenzátor lineáris Ekkor a kondenzátor energiájának kifejezése szerint 1 W = QU . 2 (1) Q-t és U-t írjuk fel a térjellemző mennyiségekkel, majd helyettesítsük (1)-be: Q = ∫ DdA, U = ∫ EdA , (2) A ahol legyen most ℓ egy erővonal és A egy ekvipotenciális felület, így minden pontban dℓ és dA párhuzamos. Az energia kifejezésébe behelyettesítve, D = εE figyelembevételével W= 1 1 ε E d A ∫ E dA = ∫ ∫ 2A 2A ∫ εE dAdA . (3) 2 Itt dA dℓ = dV a térfogatelem. A 651 ábrából látható, hogy íly módon az integrálást végeredményben kiterjesztettük a két elektróda közötti

térfogatra, vagyis arra a térfogatra, ahol elektromos tér egyáltalában van. Végeredményben az energia az alábbi módon fejezhető ki: W = ∫ wdV, [ w ] = 1 V Ws , m3 (4) ahol w a (térbeli) energiasűrűség, amelynek kifejezése (3) értelmében 1 w = εE 2 . 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (5) Vissza ◄ 178 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 179 ► Ebben a felfogásban tehát az energiát nem a töltésekhez rendeljük, hanem magához az elektromos térhez. Ha valamely pontban az elektromos térerősség E, azon pont kis dV térfogatú környezetében dW = 21 εE 2 dV energia van tárolva. 6.51 ábra Kondenzátor erőterének vizsgálata az elektromos energiasűrűség kifejezésének meghatározásához Általános esetben, amikor az E és D közötti kapcsolat nem adható meg a D = εE lineáris

összefüggéssel, a következő módon határozhatjuk meg az energiasűrűséget. Kapcsoljunk a kondenzátorra u(t) forrásfeszültségű feszültségforrást A pillanatnyi teljesítmény: p (t) = u (t )i (t) = u =∫ ∫ A dq d = ∫ EdA ∫ DdA = dt dt A (6) ∂D ∂D dAdA = ∫ E dV, E t ∂t ∂ V mert dA és dℓ azonos irányú, azaz dAdℓ = dV. V azt a térfogatot jelöli, amelyben az elektródák töltése által létesített térerősség nem zérus. Az integrandusban E ∂D ∂t -t tekinthetjük a w energiasűrűség idő szerinti deriváltjának, hiszen ha az EdDdV mennyiséget idővel osztjuk, és így teljesítményt kapunk eredményül, akkor az csak munka, ill. energia lehet, A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 179 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 180 ► következésképpen EdD pedig csak

energiasűrűség (dW/dV), mert dV-vel megszorozva energiát kapunk. Tehát ∂w ∂D =E (dw = EdD) . ∂t ∂t (7) Ebből integrálással kapjuk az energiasűrűséget: D w = w 0 + ∫ E dD . (8) D0 Ha w0 = 0, és D0 = 0, akkor D w = ∫ EdD . (9) 0 Az eredmény egyszerűen értelmezhető, ha E és D párhuzamosak. Ekkor a D-E kapcsolat grafikusan megadható. A 652 ábra a legfontosabb és legegyszerűbb egyértékű kapcsolatot szemlélteti 6.52 ábra Az elektromos energiasűrűség kiszámítása nemlineáris, de egyértékű D-E kapcsolat esetén A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 180 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 181 ► 6.6 Példák 6.61 példa A kondenzátorokban tárolható energia általában igen kicsi. Pl egy C = 2 µF kapacitású U = 500 V üzemi feszültségű kondenzátorban tárolható energia

1 1 W = CU 2 = 2 ⋅10−6 ⋅ 25 ⋅104 = 0,125 Ws = 0,125 J . 2 2 Ezzel az energiával egy 0,4 W teljesítményű (2,2 V; 0,180 A) zseblámpaizzót mindössze 0,3 másodpercig lehetne üzemeltetni – ha a kondenzátorból egyenletesen tudnánk kivenni a teljesítményt. A kereskedelmi forgalomban levő kondenzátorokkal egy egységben ennél nagyságrendileg nagyobb energiát nem tudunk tárolni 6.62 példa Határozzuk meg az elektromos energiasűrűség legnagyobb értékét levegőben, ill. porcelánban Levegőben Ea = 30 kV/cm, tehát a maximális energiasűrűség 2 1 1 Ws Ws w = ε0 E a2 = 8,86 ⋅10−12 ⋅ (3⋅106 ) = 39,87 3 ≈ 40 3 . 2 2 m m Porcelánra εr = 5,5 és Ea = 350 kV/cm, ezért w = 30·103 Ws/m3, vagyis kb. ezerszer nagyobb érték adódik 6.7 A mágneses tér energiasűrűsége Az elektromos energiához hasonlóan a mágneses energiát is kifejezhetjük a mágneses teret jellemző mennyiségekkel. Az áttekinthetőség kedvéért vizsgálatainkat arra az

esetre korlátozzuk, amikor egyetlen áramkör van csak jelen. Rajzoljuk fel az erővonalakat és az ezekre merőleges felületeket (6.71 ábra). Bármely erővonalra, ill felületre I = ∫ HdA, Ψ = ∫ BdA . (1) A Ha a permeabilitás az indukciótól független, akkor az energia kifejezése (6.3-8) értelmében B = µH felhasználásával: W= 1 1 1 ΨI = ∫ µHdA ∫ HdA = ∫ 2 2A 2A ∫ µH dAdA . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (2) 2 Vissza ◄ 181 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 182 ► Itt dAdℓ = dV a térfogatelem. A 671 ábrából láthatóan az integrálást a teljes térfogatra ki kell terjeszteni. Végeredményben az energia kifejezése 1 W = ∫ wdV; w = µH 2 , µ = áll. , 2 V (3) ahol a mágneses energiasűrűséget ugyanúgy értelmezzük, mint az elektromos energiasűrűséget. Ha valamely pontban a

mágneses térerősség értéke H, azon pont kis dV térfogatú környezetében dW = 21 µH 2 dV energia van tárolva. 6.71 ábra Árammal átjárt hurok mágneses terének vizsgálata a mágneses energiasűrűség kifejezésének meghatározásához Tekintsük most azt az általánosabb esetet, amikor µ ≠ állandó, hanem a térerősségtől függő érték (nemlineáris induktivitás). Írjuk fel a pillanatnyi teljesítmény kifejezését az induktivitás (pl. tekercs) pillanatnyi feszültségével és áramával, ahogyan ezt a nemlineáris kondenzátor esetében is tettük p (t) = u (t)i ( t) = ⎞⎟ dΨ d⎛ i ( t ) = ⎜⎜⎜ ∫ BdA⎟⎟ ∫ HdA . dt dt ⎜⎝A ⎠⎟⎟ (4) Az integrálást az erővonalak mentén, ill. az azokra merőleges felületekre végezzük. Ekkor a tér minden pontjában dℓ és dA azonos irányú, azaz dℓdA = dV. Így p (t) = ∫ A ∂B ∂B ∫ H ∂t dAdA = ∫ H ∂t dV , (5) V A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név-

és tárgymutató Vissza ◄ 182 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 183 ► ahol V az a térfogat, amelyben az i áram által létesített mágneses térerősség nem zérus. Az integrandust most is tekinthetjük az energiasűrűség idő szerinti deriváltjának: ∂w ∂B =H , (6) ∂t ∂t azaz dw = HdB. Ennek integrálásával B w = w 0 + ∫ H dB . (7) B0 Ha w0 = 0 és B0 = 0 (6.72 ábra), akkor B w = ∫ HdB . (8) 0 Az eredmény egyszerűen interpretálható, ha B és H párhuzamosak, mert ekkor a B-H, kapcsolat grafikusan megadható. A 672 ábrán az egyértékű kapcsolatot tüntettük fel. Ekkor az energiasűrűség arányos a görbe és a Btengely közötti területtel 6.72 ábra A mágneses energiasűrűség szemléltetése nem lineáris, de egyértékű (nem hiszterézises) B-H kapcsolat esetén A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és

tárgymutató Vissza ◄ 183 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 184 ► 6.71 példa Becsüljük meg a mágneses energiasűrűség gyakorlatban előforduló legnagyobb értékét levegőben, ill. vasban Vasmag légrésében könnyen elérhető 1 T indukció. Az ehhez tartozó energiasűrűség 1 B2 1 Ws w 0 = µ0 H 2 = = = 400 ⋅103 3 . −7 2 2µ0 2 ⋅ 4π ⋅10 m (9) Ha ezt összevetjük a 6.62 példa eredményével, amely szerint az elektromos energiasűrűség legnagyobb értéke levegőben 40 Ws/m3, porcelánban 30·103 Ws/m3, akkor láthatjuk, hogy a mágneses energiasűrűség 1–4 nagyságrenddel nagyobb. Érthető, hogy az energia-átalakító berendezések (ide értve a műszereket is) szinte kizárólag mágneses hatásúak. Ugyanakkora energia vagy teljesítmény mellett az elektromos hatású berendezés lineáris méretei egy nagyságrenddel nagyobbak

lennének! A vasbeli energiasűrűség számításához vegyük fel, hogy transzformátorlemezben B = 1T, és µr = 3200. Ekkor a lineáris közelítés még nem jelent nagy hibát, és nagyobb indukciók esetén az energiasűrűség már nem nő lényegesen. A fenti adatokkal w= w B2 Ws = 0 = 0,12 ⋅103 3 . 2µ 0µ r m µr (10) Azonos indukció mellett a vasban az energiasűrűség több mint három nagyságrenddel kisebb. Légréses körökben az energia nagy részét többnyire a légrés tárolja, így a vasban tárolt energia kevésbé pontos számítása is megengedhető. 6.8 A belső induktivitás A mágneses energia és az induktivitás kapcsolatának ismeretében tisztázhatjuk a belső induktivitás számításának módját. A W = LI2/2 összefüggésből fejezzük ki az induktivitást: L= 2W . I2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (1) Vissza ◄ 184 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 185 ► Az energiát számítsuk az energiasűrűség alapján. Osszuk fel a teljes teret két részre: a VB „belső” térrészben folyik áram (a vezető belseje), a VK „külső” térrészben az áramsűrűség nulla: W = WB + WΚ = ∫ wdV +∫ wdV . VB (2) VK Természetesen w matematikai kifejezése más a belső és más a külső térrészben. Az (1) összefüggést mármost úgy általánosíthatjuk, hogy a belső energiát a belső induktivitással, a külső energiát a külső induktivitással fejezzük ki: LB = LK = 2WB 2 = 2 2 I I ∫ wdV , 2WK 2 = 2 2 I I ∫ wdV . (3) VB (4) VK Gyakorlatilag az első összefüggés a fontosabb, mert a külső induktivitást többnyire egyszerűbb a külső fluxus segítségével számolni, az LΚ = ΨΚ/I összefüggés alapján, de természetesen (4) is alkalmazható. Itt újból emlékeztetünk arra, hogy a sokmenetű tekercs belső

induktivitása általában elhanyagolható a külső mellett. Még egyetlen menet belső induktivitása is kisebb a külsőnél, kivéve, ha a vezető ferromágneses (de állandó permeabilitású). 6.81 példa Határozzuk meg a kettős vezeték ℓ hosszúságú szakaszának belső induktivitását az energia alapján. Ha feltételezzük, hogy a vezeték sugara jóval kisebb a vezetékek távolságánál, akkor a vezeték belsejében a saját árama által létrehozott tér mellett elhanyagolható a visszavezetés árama által létrehozott tér. Ezzel a közelítéssel a tér a vezető belsejében hengerszimmetrikus, a mágneses erővonalak koncentrikus körök Ha a vezetékben egyenáram folyik, akkor az árameloszlás egyenletesnek tekinthető, vagyis az áramsűrűség állandó, nagysága J = I r02 π . Alkalmazzuk a gerjesztési törvényt egy r sugarú körre a vezető belsejében (vö. 487 példa) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza

◄ 185 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató H (r ) = I (r ) 2πr = Vissza ◄ Jr 2 π I = 2 r, r ≤ r0 . 2πr 2r0 π 186 ► (5) Az energiasűrűség a vezető belsejében: 1 µI 2 w (r ) = µH 2 (r ) = 2 2 r 2 , r < r0 . 2 8r0 π (6) Az egyik vezető ℓ hosszúságú szakaszában tárolt energia: r0 W = ∫ wdV = ∫ VB = 0 µI 2 2 r 2πr dr = 8r02 π2 (7) 1 µI r µ I = = LBI2 . 2 4r0 π 4 16π 2 2 4 0 2 Ebből az egyik vezetőre vonatkoztatott belső induktivitás: LB = µ . 8π (8) Érdekes módon ez független a vezeték sugarától. A teljes belső induktivitás ennek a kétszerese mert két vezető van A belső és külső induktivitás (4.111 példa) összege, vagyis a teljes induktivitás: L = LK + LB = µ0 d − r0 µ µ +2 = 0 ln 8π π π π ⎛ d − r0 µ ⎞⎟ + r ⎟⎟ . ⎜⎜⎜ln r0 4 ⎠⎟ ⎝ (9) Ha a vezető nem ferromágneses,

akkor µr = 1. 6.9 Elektromos erőhatás Az elektromos erőhatásokkal a 6.1 szakaszban már foglalkoztunk, de ott csak azt a speciális esetet vizsgáltuk, amikor a töltött test méretei és töltése kicsi, így nem befolyásolja a többi elektródán a töltéseloszlást vagy a potenciálviszonyokat. Most általánosabban fogjuk a kérdést tárgyalni, és azt vizsgáljuk, hogy miként határozhatjuk meg a töltött elektródára ható erőt. Az erő meghatározásának alapgondolata az alábbi. Kiválasztott elektródánkra a többi elektróda hatására valamilyen F erő hat Mozdítsuk el gondolatban az elektródát az erő irányával ellentétesen egy nagyon kicsi ds A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 186 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 187 ► úton (virtuális elmozdulás, 6.91 ábra), ekkor az erő ellenében

végzett mechanikai munka dWmech = Fds . (1) 6.91 ábra Az elektromos erőhatás számításához kifejezzük a ds virtuális elmozdulás esetén fellépő munkát és energiaváltozást Tételezzük fel, hogy az elektródák töltése nem változik az elmozdulás során. Ebben az esetben a mechanikai munkavégzés a W térenergiát növeli, ugyanis az elmozdulás során növekszik az elektródák potenciálja Az térenergia növekedése így írható: dW = Fs ds, Q K = állandó . (2) ∂W , Q K = állandó . ∂s (3) Ebből az erő Fs = Vizsgáljuk most azt az esetet, amikor az elektródák potenciálja állandó az elmozdulás során. Ezt úgy biztosíthatjuk, hogy minden elektróda és a föld (nulla potenciálú pont) közé egy UΚ = ΦΚ forrásfeszültségű feszültségforrást kapcsolunk. Az elmozdulás során minden elektróda töltése megváltozik valamilyen dQΚ értékkel Az egyes generátorok UΚdQΚ munkát végeznek ahhoz, hogy a potenciál állandó maradjon

Az energiamérleg most a következő: n Fs ds + ∑ U k dQ k = dW . (4) k =1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 187 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 188 ► Sok gyakorlati esetben csak két elektród van, és ezek kondenzátort alkotnak (töltésük +Q, ill. –Q) Ekkor (4) így alakul: Fs ds + UdQ = dW . (5) A lineáris kondenzátor energiája: 1 W = QU , 2 (6) dW 1 1 = U, ill. dW = UdQ dQ 2 2 (7) amiből (7) szerint UdQ = 2dW, amivel (5) így írható: Fs ds + 2dW = dW 8) Fs ds = −dW , (9) azaz amiből F=− ∂W , U = áll., ε = áll ∂s (10) Az előjelkülönbségtől eltekintve a (3) és (10) kifejezések ugyanazt az eredményt adják. A negatív előjel a (10) képletben azt fejezi ki, hogy az elektródák távolságának növelése a térenergia csökkenését okozza. (3) kifejezésben a

plusz pedig azt, hogy a térenergia nő, ha növeljük az elektródák távolságát. Az erőt a kapacitással is megadhatjuk A kondenzátor energiája: 1 11 2 W = CU 2 = Q . (11) 2 2C Ezzel az erő (10) alapján: 1 ∂C Fs = − U 2 . 2 ∂s (12) Ha viszont (3) alapján számolunk: Fs = ∂W 1 ∂ 1 1 1 ∂C = Q2 = − Q2 2 . 2 C ∂s ∂s Q=áll. 2 ∂s C A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza (13) ◄ 188 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 189 ► Az erő irányára vonatkozó általános szabályként azt mondhatjuk, hogy a magára hagyott elektrosztatikus rendszerben az erő hatására olyan elmozdulások jönnek létre, hogy a térenergia csökkenjen. 6.10 Példák 6.101 példa Határozzuk meg egy A felületű és d elektródatávolságú síkkondenzátor egyik elektródájára ható erőt, ha a kondenzátor U

feszültsége adott. A síkkondenzátor kapacitása C = εA/d, így a (6.9-12) formulát közvetlenül alkalmazhatjuk, csak azt kell figyelembe venni, hogy most az s méret szerepét a d elektródatávolság veszi át: ∂C ∂ ⎛ εA ⎞ 1 1 = − U 2 ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = Fd = − U 2 ∂d ∂d ⎜⎝ d ⎠ 2 2 ⎛ 1 ⎞ εAU 2 1 . = − U 2 εA ⎜⎜− 2 ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ d ⎠ 2 2d 2 (1) Legyen például A = 100 cm2, d = 1 mm, E = 10 kV/cm (tehát U = 1000 V), akkor a ható erő levegőben F = 44,3·10–3 N. A ható erő tehát 10–2 N nagyságrendű Az elektrosztatikus erők általában is kicsik, ezért gyakorlati jelentőségük sem nagy 6.102 példa Az előző példát másként is megoldhatjuk. Növeljük meg gondolatban az elektródák közötti távolságot ds-sel (6.101 ábra) Ha a töltés állandó, akkor az E térerősség is állandó marad. Az energia az elmozdulás előtt W1, ill. után W2, vagyis 1 1 W1 = εE 2 Ad, W2 = εE 2 A (d + ds) , Q = áll. 2 2 (2)

A ható erő (6.9-3) alapján: 1 2 εE Ads ∂W W2 − W1 2 1 = = = εE 2 A . F= ∂s ds ds 2 (3) Az eredmény az előbb kapottal megegyezik. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 189 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 190 ► Tekintsük ezután a feszültséget állandónak. Ekkor a térerősség megváltozik, vagyis 2 1 1 ⎛U⎞ εU 2 A , (4) W1 = εE12 Ad = ε ⎜⎜ ⎟⎟⎟ Ad = 2 2 ⎜⎝ d ⎠ 2d 6.101 ábra A síkkondenzátor elektródájára ható erő meghatározása az energiaváltozás alapján 2 εU 2 A 1 1 ⎛ U ⎞⎟ . + = W2 = εE 22 A (d + ds) = ε ⎜⎜ A d ds ( ) ⎟ 2 2 ⎜⎝ d + ds ⎠⎟ 2 (d + ds) (5) A ható erőt most (6.9-10) alapján számíthatjuk: F=− W − W1 1⎞ ∂W εU 2 A ⎛⎜ 1 =− 2 =− − ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ ds 2ds ⎝ d + ds d ⎠ ∂s (6) ds εU 2 A . = 2ds d (d + ds) A

nevezőben ds elhanyagolható d mellett, így az (1) eredményt kapjuk. Jelen esetben a 6.101 példában követett számítás nyilván kényelmesebb Azért mutattuk be ezen egyszerű példán az általánosabb módszert is, mert ez akkor is alkalmazható, ha a kapacitás nem értelmezhető. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 190 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 191 ► 6.103 példa A síkkondenzátor elektródájára ható erő meghatározására egy harmadik út is kínálkozik. Az elektróda kicsiny dA felületelemén helyet foglaló töltés dQ = σdA = εEdA. A térerősség a kondenzátor belsejében mindenütt E, így a ható erő dF’ = EdQ = εE2dA. Ebből a teljes felületre ható erő F’ = εE2A. Az előzőkben ennek az erőnek a felét kaptuk! 6.102 ábra Az erővonalak és a térerősség változásának

kvalitatív menete A „felületi térerősség” nem azonosítható az U/d értékkel Az ellentmondás felderítésére tekintsük a 6.102 ábrát, amelyen feltüntettük a térerősség változását a kondenzátor lemezeire merőleges egyenes mentén. Az elektródák között E = U/d, a vezető elektródákban E = 0, az elektródákon kívül kis szórt tér van, amit elhanyagoltunk. A töltés az elektróda felületén foglal helyet, ahol a térerősségnek ugrása van. Nem jogos azt állítani, hogy a töltések helyén a térerősség U/d, mert ugyanilyen alapon azt is állíthatjuk, hogy nulla. Ha a két érték számtani közepét tekintjük a valódi térerősségnek, akkor a térerősség E0 = E/2, és ezzel a fenti okoskodással is helyes eredményt kapunk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 191 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató

Vissza ◄ 192 ► Az ellentmondás oka tulajdonképpen az, hogy az F = QE összefüggésben E azt a térerősséget jelenti, amelyet a többi töltés hoz létre. Esetünkben viszont az E = U/d térerősség kialakításában a vizsgált elektróda töltései is részt vesznek. Ilyen feladatok esetében nem lehet egyszerűen különválasztani a „saját” és az „idegen” töltések által létrehozott térerősséget, ezért célszerűbb az előző két példában leírt módszer valamelyikét követni. 6.11 Mágneses erőhatás Vizsgáljuk először egy vezetékben folyó I áramra ható erő kifejezését. Ha a generátorok nem végeznek munkát, és a veszteséget figyelmen kívül hagyjuk, akkor az energiamérleg az Fds + dW = 0 (1) alakot ölti, ahol F a külső mágneses tér hatására létrejövő erő, ds az áramhurok virtuális elmozdulása; Fds a külső mágneses tér W térenergiájának dW értékű megváltozásából származó mechanikai munka. A

külső mágneses térbe helyezett áramhurok energiája (4.3-5) értelmében W = −IΨ . (2) Az áramerősség állandó, ezért Fds = −dW = IdΨ . (3) 6.111 ábra Külső mágneses térbe helyezett hurokra ható erő számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 192 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 193 ► A 6.111 ábrán feltüntettük a zárt vezető merevtest-szerű elmozdulását Mivel most dΨ = ∫ BdA , ezért először írjuk fel az irányított dA felületelem kifejezését: dA = ds × dA = dsd (sin γ ) n , (4) ahol n a dA felület normálisa. Ezzel a (3)-as összefüggés így alakul: Fds = I ∫ B dA = I ∫ B (ds× dA ) = I ∫ (dA × B) ds . (5) A tetszőleges ds vektor szorzóinak egyenlőségéből kapjuk az F erő kifejezését: F = I ∫ dA × B . (6) Ezt formálisan úgy is

értelmezhetjük, hogy az I erősségű áram által átfolyt vezető egy dℓ szakaszára dF = IdA × B (7) differenciális erő hat, amely mind az indukcióra, mind az irányított ívelemre merőleges (6.112 ábra) A teljes erő ezen elemi erők szuperpozíciójával, vagyis integrálással nyerhető Speciálisan egy B-re merőleges ℓ hosszúságú vezetőszakaszra ható erő nagysága: F= B I. (8) 6.112 ábra Külső mágneses térbe helyezett áramot vivő vezeték elemi szakaszára ható erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 193 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 194 ► A vasmagos elrendezésekben fellépő erőhatást ugyancsak kifejezhetjük a mágneses tér segítségével. Szorítkozzunk egyelőre arra az esetre, amikor a vas permeabilitása állandónak tekinthető. A 6113 ábrán látható speciális

esetben az erő keresett összetevője az erővonalakkal párhuzamos. A ds magasságú térrészben tárolt energia az elmozdulás előtt, ill. után, ha a fluxust (és így az indukciót is) állandónak tekintjük: ⎛ B ⎞ B A ds 1 1 dW1 = µ0µ r H 2 A 0 ds = µ 0µ r ⎜⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟ A 0 ds = 0 0 , ⎟ 2 2 µ 0µ r ⎝ µ 0µ r ⎠ (9) B02 A 0 ds 1 2 dW2 = µ0 H 0 A 0 ds = . 2 2µ0 (10) 2 Az erő és az energiaváltozás kapcsolata most így írható: B02 A 0 ds ⎛⎜ 1⎞ Fs ds = dW = (dW2 − dW1 ) = ⎜⎜1− ⎟⎟⎟ . 2µ0 ⎝ µ r ⎠⎟ (11) 6.113 ábra Vasmagra ható, az erővonalakkal párhuzamos erő számítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 194 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 195 ► Ebből a ható erő kifejezése: B02 A 0 ⎛⎜ 1 ⎞⎟ B02 A 0 . Fs = ⎜1− ⎟ ≈ 2µ0 ⎜⎝ µ

r ⎠⎟⎟ 2µ 0 (12) Mivel 1/µr általában elhanyagolható, az összefüggés jó közelítést jelent akkor is, ha a vas már telített. 6.111 példa A 6.114 ábrán látható, két igen hosszú, kör keresztmetszetű vezeték párhuzamos egymással A bennük folyó áram erőssége I1, ill I2 Határozzuk meg az egyik vezeték ℓ hosszúságú szakaszára ható erőt. Az I1 áram által létrehozott mágneses indukció a másik vezető helyén állandó és a vezetőre merőleges, értéke: B = µ0 H = µ 0 I1 . 2πd (13) Az erőt az (6.11-6) összefüggés alapján számítjuk: F = I ∫ dA × B . (14) 6.114 ábra Áramot vivő, párhuzamos vezetékek között ható erő számítása Mivel dℓ és B merőlegesek egymásra, továbbá B állandó a vezeték mentén, ezért az erő nagysága F=I B. (15) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 195 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 196 ► Behelyettesítve az I = I2 áramerősséget és (14)-et F= µ 0 I1I 2 . 2πd (16) Ezt az összefüggést Ampère tapasztalati törvényként állapította meg. Ha az áramok iránya ellentétes, akkor az erő taszító jellegű, egyező irányú áramok esetén vonzó jellegű. Legyen speciálisan I1 = I2 = 1 A, továbbá ℓ = d = 1 m, akkor a fellépő erő F= µ 0 I1I 2 4π ⋅10−7 ⋅1⋅1 = N = 2 ⋅10−7 N . 2πd 2 π ⋅1 (17) Jelenleg ez az amper definíciója. Ha két párhuzamos, végtelen hosszúnak tekinthető vezető távolsága 1 m, bennük ugyanakkora áram folyik, akkor ezen áram erőssége akkor 1 amper, ha bármelyik vezető 1 m hosszúságú szakaszára vákuumban ható erő nagysága 2·10−7 N. Ebből (17) alapján kiadódik µ0 értéke. 6.12 Az áramelem potenciálja Hasonlóan, mint az elektromos teret létrehozó töltések között, a mágneses teret létrehozó

vezetők között is fellép erőhatás, így ez esetben is definiálhatunk potenciált. Vizsgáljuk először a dℓ hosszúságú, állandó I0 áramú vezetékdarab, az ún áramelem potenciálját A töltés potenciáljának mintájára: Az áramelem potenciáljának nagysága W/Iℓsinϑ, ahol W az a munka, amelyet az áramelem mágneses tere végez az áramelemtől r távolságban és ϑ irányban lévő ℓ hosszúságú, I áramú, r-re és H-ra merőleges elhelyezkedésű vezetékszakaszon, miközben az r-ből az adott ϑ irányban a ∞-ben lévő r0 alappontba juttatja. Mivel a mágneses tér esetében a munka függ az út irányától (ϑ), ill. magától az útvonal alakjától, ezért a munkát csak úgy tudjuk egyértelműen meghatározni, ha rögzítjük az útvonalat. Ha az útvonal ϑ irányú egyenes, akkor a definíciós képlet a potenciálra iránytól független értéket biztosít. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza

◄ 196 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 197 ► 6.121 ábra Az áramelem potenciáljának értelmezése A számítást az alábbi négy lépésben végezzük el: a) Először a Biot–Savart-törvénnyel meghatározzuk az áramelem által a ϑ irányban és r távolságban létrehozott mágneses térerősséget: H = dH = I0 dA ×r Id H = 0 2 sin ϑ , 2 4π r 4πr (1) (r° az r irányába mutató egységvektor) b) Az ℓ hosszúságú, H-ra és F-re is merőleges, I áramú vezetékszakaszra ható erő nagysága, ha ℓ << r F = BI = µHI = µ I0 d I sin ϑ 4πr 2 (2) (I0dℓ és Iℓ megfelel a Coulomb-törvényben Q1-nek, ill. Q2-nek) c) A potenciális energia, azaz az I0dℓ áramelem mágneses tere által végzett munka: r0 W=∫ r ∞ Id I 1 sin ϑ ∫ 2 dr = Fdr = µ 0 4π r r (3) ∞ ⎡ 1⎤ Id I Id I sin ϑ ⎢− ⎥ = µ 0 sin ϑ . =µ 0

⎢⎣ r ⎥⎦ r 4π 4πr d) Végül az A-val jelölt potenciál: A= Id W =µ 0 . I sin ϑ 4πr A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (4) Vissza ◄ 197 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 198 ► A-hoz szokás az áramelem irányát hozzárendelni, aminek következtében az A potenciál vektormennyiség (ún. vektorpotenciál) lesz (6122 ábra): A=µ 6.122 ábra A vektorpotenciál iránya megegyezik az áramelem irányával I0 dA . 4πr (5) 6.123 ábra Az áramelem egy ekvipotenciális felülete az A potenciálvektorral Látjuk, hogy a vektorpotenciál az I0dℓ áramelemet körülvevő r sugarú gömb felületén mindenhol ugyanakkora nagyságú és irányú, tehát a gömbfelületek ún. ekvipotenciális felületek (6123 ábra) (A munkavégzés ezen a felületen mozogva 0, hiszen az elmozdulás irányára az erő mindig

merőleges.) A mágneses térerősséget most ezen A vektorpotenciál hely szerinti deriváltjából kaphatjuk. Esetünkben H =− 1 d d I 0 dA × r A ×r ) = − , ( µ dr dr 4πr (6) d I0 d sin ϑ . dr 4πr (7) amiből H =− 6.121 Az elektromos térerősség és a vektorpotenciál kapcsolata A vektorpotenciál és a mozgási indukció vizsgálatához felvázolt két elrendezés (5.23 és 6121 ábra) hasonlósága azt sejteti, hogy a vektorpotenciál és az indukált feszültség, ill térerősség kapcsolatban lehet egy- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 198 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 199 ► mással. Valóban, hiszen az ℓ hosszúságú vezető dr-rel történő távolodásakor a vektorpotenciál dA-val, a fluxus pedig dΦ-vel csökken, miközben ui = −dΦ/dt indukált feszültség keletkezik. A dA és

dΦ közötti kapcsolat meghatározásához írjuk fel dA kifejezését az indukcióval. A 6121 ábra szerint dA = −dW −BI dr dΦ = = . I sin ϑ I sin ϑ sin ϑ (8) Osszuk el mindkét oldalt az elmozdulás dt időtartamával: dA dΦ 1 = . dt dt sin ϑ (9) A jobb oldalon megjelenik dΦ/dt, ami az indukált feszültség mínusz egyszerese. Tehát ui E dA =− =− i , (10) dt sin ϑ sin ϑ ahol Ei = ui/ℓ, az ℓ vezető irányába mutató indukált térerősség. Ha az ℓ vezetőt 90°-kal elfordítjuk úgy, hogy B-vel azonos irányú legyen, akkor dA és dΦ is nulla, mert a vezeték nem keresztezi az indukcióvektorokat, következésképpen az indukált térerősségnek nincs B irányú komponense. A (10) összefüggés szerint Ei = − dA sin ϑ . dt (11) Ha ϑ = 90°, akkor Ei maximális, azaz E i max = − dA . dt (12) Mivel a maximális térerősség vektora és a dA vektor iránya ellentétes, ezért írható, hogy dA , (13) Ei max = − dt vagy

egyszerűbben: dA . (14) E=− dt A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 199 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 200 ► Ez a vektorpotenciál és az indukált térerősség közötti összefüggés legáltalánosabb alakja. 6.13 Összefoglalás A kisméretű (pontszerű) mozgó töltésre ható erő, ha a töltés v sebességgel mozog az E és B vektorokkal jellemzett elektromágneses térben: F = Q [E + v ×B ] . Az erő ismeretében elvben meghatározható a pálya is. A kondenzátor energiája 1 1 1 Q2 W = QU = CU 2 = . 2 2 2 C Az elektromos energiát kifejezhetjük az energiasűrűség segítségével is: W = ∫ w dV , V ahol általánosan, ill. a tértől független permittivitás esetén D 1 w = ∫ E dD, ill, w = εE 2 . 2 0 Elektrosztatikai rendszerben ható erő számítására szolgáló összefüggések: Fs = Fs =

− ∂W , Q K = áll. , ∂s ∂W , U = áll., ε = áll , ∂s ahol W a térenergia. Kondenzátorszerű elrendezés esetén: 1 ∂C Fs = − U 2 , U = áll., ε = áll 2 ∂s A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 200 ► Elektrodinamika Elektromágneses energia és erő A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 201 ► A tekercs, ill. két csatolt tekercs energiája: 1 W = LI 2 , 2 1 1 W = L1I12 + L 2 I 22 + MI1I 2 . 2 2 A mágneses energia is számítható az energiasűrűség segítségével. A tértől független permeabilitás esetén 1 w = µH 2 . 2 A hiszterézis elhanyagolásával, de a telítődés figyelembevételével B w = ∫ H dB . 0 A vezetékre ható erő mágneses térben: F = I ∫ dA × B . Vasmagos elrendezésekben ható erő állandó permeabilitás esetén B2 A F= , 2µ0 ahol B a légrésindukció és A az erőre merőleges légrésfelület. Mágneses

térben is definiálható potenciál, ha a végpontok közötti utat egyértelművé tesszük. Így a Q0 töltés potenciáljának mintájára az I0dℓ áramelem vektorpotenciálja: A=µ I0 dA . 4πr A vektorpotenciál segítségével váltakozó áramú vezetőelrendezések (pl. antennák) mágneses terét egzaktul meghatározhatjuk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 201 ► Elektrodinamika A Maxwell-egyenletek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 202 ► 7. A Maxwell-egyenletek 7.1 A Maxwell-egyenletek integrális alakja Az eddigiekben az elektromos és mágneses tér legfontosabb törvényeit tárgyaltuk. Ezek közül az alábbiak képezik a Maxwell-egyenleteket∗: I. Az egyenletek: Fizikai tartalmuk: ⎛ Az elektromos erőtér időbeli változása és a vezetési áram mágneses teret hoz létre. ∂E ⎞ ∫ HdA = ∫ ⎜⎜⎝⎜J + ε ∂t ⎠⎟⎟⎟ dA A II.

∂ ∫ E dA = − ∂ t ∫ B d A A mágneses tér időbeli változása elektromos teret hoz létre. ∫ BdA = 0 A mágneses indukció forrásmentes. A III. A IV. ∫ DdA = ∫ ρdV = Q A V A gerjesztettség forrása a töltés (Az elektrosztatika Gauss-tétele.) Az ε, µ, σ anyagjellemző definíciós V. D = εE, B = µH, J = σ (E + Eg ) összefüggése VI. 1 1 2 2 w= εE + µ H 2 2 Az elektromágneses tér energiasűrűsége az elektromos és a mágneses energiasűrűség összege. Az egyenletek elnevezését az indokolja, hogy Maxwell volt az, aki felismerte, hogy nyitott áramkörben a ∂D/∂t eltolási áramsűrűség a vezetési áramsűrűség folytatása, és hogy az eltolási áramnak ugyanolyan mágneses tere van, mint a vezetési áramnak. Ezt fejezi ki az általa megadott I Maxwell-egyenlet, amely nem más, mint a gerjesztési törvény általánosítása (7.11 ábra) ∗ James Clark Maxwell (1831–1879): angol fizikus, egyetemi tanár. Faraday-nek

az elektromosságra és mágnesességre vonatkozó munkásságát egységes elméletbe foglalta, melynek alapja a róla elnevezett egyenletrendszer Felismerte, hogy az elektromos tér időbeli változása mágneses teret hoz létre ugyanúgy, mint a vezetési áram. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 202 ► Elektrodinamika A Maxwell-egyenletek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 203 ► 7.11 ábra Az I Maxwell-egyenlet fizikai tartalma különböző speciális esetekben a) A vezetési áram egyedül hozza létre a mágneses térerősséget; b) A vezetési és eltolási áramsűrűség együtt hozzák létre a mágneses térerősséget; c) A vákuumban a villamos térerősség változása mágneses teret hoz létre. A II. Maxwell-egyenlet az indukciótörvényt fejezi ki az elektromos és mágneses térerősséggel felírva. Fizikai tartalmát a 712 ábra szemlélteti 7.12 ábra

A II Maxwell-egyenlet fizikai tartalma A mágneses indukció vagy a mágneses térerősség változása örvényes villamos teret hoz létre Az I. és II Maxwell-egyenletnél a felület irányítását és a körüljárási irányt a jobbcsavar-szabálynak megfelelően kell összehangolni, azaz a zárt görbe körüljárási iránya úgy legyen hozzárendelve e felület irányításához, mint a jobbmenetű csavar forgási iránya annak haladási irányához (7.13 ábra) 7.13 ábra A jobbcsavar-szabály szemléltetése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 203 ► Elektrodinamika A Maxwell-egyenletek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 204 ► A III. Maxwell-egyenlet azt fejezi ki, hogy a mágneses tér forrásmentes, azaz a mágneses erővonalak önmagukban záródnak. A IV Maxwell-egyenlet szerint az elektromos tér forrása a töltés, az elektromos erővonalak töltésen

erednek és töltésen végződnek Az I. Maxwell-egyenlet értelmében az elektromos tér időbeli megváltozása mágneses teret hoz létre, amelynek erővonalai a III Maxwellegyenlet szerint önmagukban záródnak Ezen erővonalak által kifeszített sík iránya nem lehet merőleges J és ∂D/∂t, azaz a vezetési és az eltolási áramsűrűség irányára. Képzeljünk el ugyanis egy ilyen önmagában záródó mágneses erővonalat olyan helyzetben, hogy az erővonal által kifeszített sík iránya merőleges J vagy ∂D/∂t irányára (7.14 ábra) 7.14 ábra Az elképzelt mágneses erővonal által kifeszített sík iránya merőleges ∂D/∂t-re Az I. Maxwell-egyenlet bal oldala szerint ∫ HdA biztosan nagyobb, mint nulla, ha H ≠ 0, hiszen az erővonal mentén H iránya mindig egyezik dℓ irányával. A jobb oldal azonban mindig nullát eredményez, mert J, ill. ∂D/∂t és dA egymásra merőleges Következésképpen az egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha H

az erővonal mentén nulla, azaz ilyen erővonal nem létezik, és olyan sem, amelyiknek ilyen helyzetű összetevője volna. Tehát csak olyan erővonal létezik, amely merőleges J-re és ∂D/∂t-re, így H-nak is merőlegesnek kell lennie rájuk, hiszen az erővonal mentén dℓ és H irány megegyezik Hasonlóan láthatjuk be a II. Maxwell-egyenlet alapján, hogy az időben változó homogén mágneses teret körülvevő elektromos erővonalak merőlegesek ∂H/∂t-re Az V. és VI összefüggés az I–IV Maxwell-egyenletek kiegészítő egyenletének tekinthető Az V. Maxwell-egyenletet egy egyenletcsoport (ún konstitúciós relációk) alkotja Ezek mindegyike egy-egy anyagjellemzőt tartalmaz, és ezen anyagjellemző (σ, ε, µ) definíciójának tekinthető. A J = σ(E + Eg) egyenlet A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 204 ► Elektrodinamika A Maxwell-egyenletek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és

tárgymutató Vissza ◄ 205 ► a differenciális Ohm-törvény általánosítása. E szerint a feszültséggenerátor belsejében az áramsűrűséget az elektrosztatikus E és a generátoros Eg térerősség együttesen hozzák létre. A VI. Maxwell-egyenlet fizikai tartalma az elektromágneses tér energiasűrűségére vonatkozik, és azt fejezi ki, hogy az elektromágneses tér energiasűrűsége az elektromos és mágneses energiasűrűség összege. A Maxwell-egyenletekben szereplő térjellemző mennyiségek az alábbi csoportokba sorolhatók: a) J, ρ és Eg gerjesztő jellegű mennyiség. Közülük ρ elektromos teret, J pedig mágneses és elektromos teret egyaránt gerjeszt. Eg a nem elektromágneses energia és az elektromágneses energia egymásba történő átalakulásának leírásában szereplő mennyiség. b) D és H gerjesztettségi jellegű mennyiség. Ezek szoros kapcsolatban állnak a gerjesztő jellegű mennyiségekkel. c) E és B intenzitás jellegű

mennyiség. Mindkettő a térben fellépő erőhatással van kapcsolatban A Maxwell-egyenletek a fizika legátfogóbb törvényei közé tartoznak. Érvényesek időben állandó (stacinárius) folyamatokra (elektrosztatika, magnetosztatika, egyenáram mágneses tere, egyenáramú hálózatok), ún lassan változó (kvázistacionárius) folyamatokra (hálózatok néhány ezer hertzig), gyorsan változó folyamatokra (rádióhullámok), sőt ezen túl a hőhullámok, az optika és a röntgensugárzások tartományában is. A Maxwell-egyenletek érvényességének a kvantumos hatás szab határt. Olyan nagy frekvenciákon (kis hullámhosszakon), amikor a fotonok hf energiája (h = 6,625·10–34 Js, a Planck-állandó) összemérhető a folyamat teljes energiájával, más szóval, amikor kevés foton vesz részt a folyamatban, a Maxwell-egyenletek már nem érvényesek. Ennek az az oka, hogy a Maxwell-egyenletek ugyanolyan statisztikus egyenletek, mint pl. a Boyle– Mariott- vagy a

Gay-Lussac-törvény, amelyek csak igen nagy számú molekulára alkalmazhatók. A statisztikus jelleg abból is látható, hogy az anyag jelenlétét olyan makrofizkai adatokkal írjuk le, mint a permittivitás vagy a permeabilitás, továbbá hogy a töltés vagy az áram leírásánál sem játszik szerepet az a tény, hogy a töltés kvantált, vagyis bármely töltés csak az elektron töltésének (e = 1,603·10–19 C) egész számú sokszorosa lehet. Ilyen jellegű problémák csak a kvantum-elektrodinamika módszereivel tárgyalhatók. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 205 ► Elektrodinamika A Maxwell-egyenletek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 206 ► 7.2 Az elektrodinamika felosztása A Maxwell-egyenletek alapján a következő fejezetekre oszthatjuk fel az egész elektrodinamikát. a) Legegyszerűbb eset az, amikor az időben semmi sem változik, és áram sem

folyik, vagyis: ∂ = 0; J = 0. (1) ∂t Ebben az esetben az alapegyenletek: ∫ HdA = 0, ∫ EdA = 0, ∫ BdA = 0, ∫ DdA = Q = ∫ ρdV, A A B = µH , D = εE . (2) V Rögtön láthatjuk, hogy a villamos és mágneses mennyiségek semmiféle kapcsolatban nincsenek egymással. Ennek megfelelően teljesen külön tárgyalható az elektrosztatika, amelynek alapegyenletei: ∫ EdA = 0, ∫ DdA = ∫ ρdV, A D = εE , (3) V és a magnetosztatika, amelynek alapegyenletei: ∫ HdA = 0, ∫ BdA = 0, B = µH . (4) A A sztatikus villamos tér és a sztatikus mágneses tér tehát egymástól teljesen függetlenül létezhet. b) Ha mindenféle időbeli változástól eltekintünk, de már az időben állandó áramok mágneses terét figyelembe vesszük, akkor a stacionárius áramok tanának alapegyenleteihez jutunk: ∫ HdA =∫ JdA, ∫ EdA =0 , (5) ∫ BdA =0, ∫ DdA =∫ ρdV . (6) A A A V A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és

tárgymutató Vissza ◄ 206 ► Elektrodinamika A Maxwell-egyenletek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 207 ► Ebben az esetben már van kapcsolat a villamos és mágneses mennyiségek között, hiszen J = σ (E + Eg ) . (7) c) Ha még mindig elhanyagoljuk a ∂D/∂t eltolási áramok mágnesező hatását, de a mágneses térerősség változását figyelembe vesszük, akkor a majdnem stacionárius vagy kvázistacionárius áramok tanának alapegyenleteihez jutunk: ∫ HdA =∫ JdA, ∫ BdA =0, A B = µH, J = σ (E + Eg ) , (8) A ∫ EdA =− ∫ A ∂B dA, ∂t ∫ DdA =∫ ρdV, A D = εE . (9) V Itt már a villamos és mágneses mennyiségek meglehetősen szoros kapcsolatban vannak egymással. d) Végül az elektromágneses hullámok elméleténél az eltolási áramok mágnesező hatását is figyelembe vesszük. 7.3 A Maxwell-egyenletek differenciális alakja Az I. Maxwell-egyenlet jobb oldalának

integrálkifejezése – amint láttuk – nem más, mint a vezetési és eltolási áramok felületre merőleges komponenseinek az összege (ezt jelöli (1)-ben a zárójel mellé tett n index). Oszszuk most el az egyenlet mindkét oldalát A-val, azaz az ℓ görbe által körülzárt felülettel, majd képezzük ezen kifejezés határértékét, miközben a görbe az A felület adott pontjára rázsugorodik: lim A0 ⎛ 1 1 ⎛ ∂E ⎞ ∂E ⎞ HdA = lim ∫ ⎜⎜J + ε ⎟⎟⎟ dA = ⎜⎜J + ε ⎟⎟⎟ . ∫ ⎜ ⎜ A 0 ⎝ ∂t ⎠ ∂t ⎠n A AA ⎝ (1) 1 HdA kifejezéssel a térben változó H vektor rotációjának a A0 A ∫ felületre merőleges (n irányú) komponensét definiáljuk: A lim (rot H )n = lim A0 1 HdA . A∫ (2) A definíció alapján felírhatjuk a Descartes-koordinátarendszerben H-nak az x, y, z tengelyek irányába mutató rotációkomponenseit: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 207 ►

Elektrodinamika A Maxwell-egyenletek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 208 ∂E ⎞⎟ ⎟ , ∂t ⎠⎟x ⎛ ∂E ⎞ (rot H)y = ⎜⎜⎜J + ε ⎟⎟⎟ , ⎝ ∂t ⎠y ► ⎛ ⎝ (rot H)x = ⎜⎜⎜J + ε ⎛ ⎝ (rot H)z = ⎜⎜⎜J + ε (3) ∂E ⎞⎟ ⎟ , ∂t ⎠⎟z amivel rot H = (rot H )x i + (rot H )y j + ( rot H )z k = (4) ⎛ ⎛ ⎛ ∂E ⎞ ∂E ⎞ ∂E ⎞ = ⎜⎜J + ε ⎟⎟⎟ i + ⎜⎜J + ε ⎟⎟⎟ j + ⎜⎜J + ε ⎟⎟⎟ k , ⎜⎝ ⎜ ⎜ ⎝ ⎝ ∂t ⎠x ∂t ⎠y ∂t ⎠z vagy tömörebben: rot H = J + ε ∂E . ∂t (5) (i, j, k az x, az y és a z tengely irányába mutató egységvektor.) Ugyanezen gondolatmenet alapján a II. Maxwell-egyenlet így is írható: rot E = −µ ∂H . ∂t (6) A rotáció a vektortér örvényességére jellemző vektormennyiség. Örvénymentes a vektortér, ha rotációvektor x, y és z irányú komponense is nulla, azaz mindhárom

koordinátatengely-irányra merőleges, nullához tartó A felületet határoló görbén a vektor görbeirányú komponensének vonalintegrálja a teljes (önmagába záródó) határoló görbére nullát ad. Ha a IV. Maxwell-egyenlet mindkét oldalát elosztjuk V-vel, a zárt felület által bezárt térfogattal, miközben a zárt felület a tér egy vizsgált pontjára rázsugorodik, akkor ezt így fejezzük ki: lim V0 1 1 DdA = lim ∫ ρ dV = ρ . ∫ V 0 VA VV (7) 1 DdA kifejezéssel a D vektor divergenciáját definiáljuk: V0 V ∫ A A lim A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 208 ► Elektrodinamika A Maxwell-egyenletek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza div D = lim V0 ◄ 1 DdA . V A∫ 209 ► (8) A IV. Maxwell-egyenletet most már így is megfogalmazhatjuk: div D = ρ , (9) azaz a tér adott pontjában D divergenciája a töltéssűrűséggel egyenlő. A

divergencia azt fejezi ki, hogy a tér egy adott pontjában mekkora az erővonalak forrásának nagysága. A III. Maxwell-egyenlet ezek után értelemszerűen így írható: div B = 0 , (10) azaz a mágneses indukcióvonalak zártak, nem erednek és nem végződnek töltéseken, tehát a mágneses indukcióvonalaknak nincsen forrása, azaz mágneses töltés nincs. Az V. és VI Maxwell-egyenletet a már ismert módon írjuk fel, hiszen ezek eleve differenciális összefüggések. V.: D = εE, B = µH, J = σ (E + Eg ) , (11) 1 1 2 2 VI.: w = ε E + µ H 2 2 (12) A differenciális alak elnevezést az indokolja, hogy az egyenletek a térjellemzők között a tér egy adott pontjában, ill. annak differenciális környezetében meglévő összefüggéseket adják meg, míg az integrális alakok nagyobb kiterjedésű térrészre, azaz egy zárt görbére vagy felületre vonatkoznak 7.4 A Descartes-koordinátáival adott vektortér divergenciája és rotációja Határozzuk meg a v

= vxi + vyj + vzk Descartes-koordinátáival adott v vektor divergenciáját. Hozzuk létre a definíciós összefüggésben szereplő zárt A felületet az x-y-z koordináta-rendszer tetszőleges P pontja körül egy, a koordinátatengelyekkel párhuzamos élű kockával (7.41 ábra) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 209 ► Elektrodinamika A Maxwell-egyenletek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 210 ► 7.41 ábra A divergencia meghatározásához a P pontot egy kocka alakú zárt felülettel vesszük körül Az ábra és a definíciós összefüggés alapján ∆vy ⎡ ∆vx ⎤ ∆vz ⎢ ⎥ 1 ⎢( vx2 − vx1 ) ∆y∆z + ( v y2 − v y1 )∆x∆z + ( vz2 − vz1 ) ∆x∆y⎥ , div v = lim ⎥ ∆x,∆y,∆z0 ∆x∆y∆z ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (1) ami egyszerűsítések után a div v = ∂v x ∂v y ∂v z + + ∂x ∂y ∂z (2) összefüggést eredményezi. Az v vektor

valamennyi komponense (vx, vy, vz) háromváltozós függvény, ezek parciális deriváltjainak összege adja a térben a v vektor divergenciáját. Határozzuk meg ezek után a v vektor rotációjának komponenseit a Descartes-féle koordináta-rendszerben. Egy tetszés szerinti vektor rotációjának Descartes-koordinátákban megadott kifejezéséhez a rotáció koordináta-rendszertől független definícióján keresztül jutunk: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 210 ► Elektrodinamika A Maxwell-egyenletek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza (rot v)n = ∆lim A 0 ◄ 211 1 vdA ∆A ∫ ► (3) szavakban azt jelenti, hogy egy vektor rotációjának tetszés szerinti irányba vett komponensét megkapjuk egy P pontban, ha ezen irányra merőleges síkban a P pontot egy görbével körülvesszük, meghatározzuk a vektornak ezen vonal mentén vett integrálját, azt elosztjuk a

felület nagyságával, és képezzük ezen hányados határértékét úgy, hogy a görbe minden határon túl közeledjen a ponthoz. A görbe menti integrál képzéséhez a görbe körüljárási irányát úgy kell összehangolnunk a kijelölt n iránnyal, mint egy jobbmenetű csavar forgási irányát a haladási irányával. Mivel a meghatározandó komponensek iránya a koordinátatengelyek irányával megegyezik, a P pont körüli sík a kérdéses koordinátatengely irányára mindig merőleges, ahogyan ez az x irányú komponens meghatározásához felvett zárt görbénél is látható (7.42 ábra) 7.42 ábra A v vektortól kismértékben eltérő vektorok a P pont környezetében a ∆A felület határoló görbéjén Az ábra alapján a szemben lévő élek vonalintegrálja: 2 4 ∫ vdA ≈ v 1y 1 ∆y, ill. ∫ vdA ≈ −(v 1y + ∆v y ) ∆y , (4) 3 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 211 ►

Elektrodinamika A Maxwell-egyenletek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 212 ► amiből 2 4 ∫ vdA + ∫ vdA ≈ −∆v ∆y . (5) y 1 3 Számítsuk ki a másik két szemközti él vonalintegrálját is: 3 1 ∫ vdA ≈ −v 2z ∆z, ill. 2 ∫ vdA ≈ (v 2z + ∆v z ) ∆z, (6) 4 amiből 3 1 ∫ vdA + ∫ vdA ≈ ∆v ∆z . (7) z 2 4 Behelyettesítve ezeket a definíciós összefüggésbe, a v vektor rotációjának x irányú komponensére az adódik, hogy (rot v )x = ∆lim A0 1 1 vdA = lim (∆vz ∆z − ∆v y ∆y) = ∫ ∆y∆z0 ∆y∆z ∆A ∂v y ∂v . = z− ∂y ∂z (8) Hasonlóan határozhatjuk meg a másik két tengely irányába mutató komponenst is. Végeredményként azt kapjuk, hogy ∂v x ∂v z , − ∂z ∂x ∂v ∂v (rot v)z = y − x . ∂x ∂y (rot v)y = (9) Az 1.3 fejezetben úgy fogalmaztunk, hogy a (sztatikus) elektromos tér cirkulációmentes, mert tapasztalati

tény, hogy tetszőleges zárt görbe mentén a térerősségvektor integrálja (cirkulációja) nulla (1.3-8) Ez most a II Maxwell-egyenlet integrális alakjából közvetlenül adódik, hiszen ha az időben semmi sem változik, akkor az egyenlet jobb oldala nulla a bal oldal pedig éppen a cirkuláció kifejezése. Vegyünk ezek után egy ℓ’-vel jelölt tetszőleges zárt görbét, és az általa körülzárt felületet osszuk fel elemi dA felületekre hasonlóan, mint ahogyan azt a 4.32 ábra esetében az áramhurok által kifeszített felülettel tettük Ezek után képezzük valamennyi elemi A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 212 ► Elektrodinamika A Maxwell-egyenletek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 213 ► felületre a (3) képletben szereplő integrált, és ezeket adjuk össze. Mivel valamennyi dA felület körüljárási iránya azonos, ezért a szomszédos

élekből származó összetevők kétszer szerepelnek: egyszer pozitív, egyszer pedig negatív előjellel, így ezek egymást kiejtik, és csak azok maradnak meg, amelyek pár nélküliek, azaz a felület határát képező görbedarabokból származnak. Tehát végeredményben ∫ vdA = ∑ ∫ vdA = ∑ (rot v ) dA = ∫ (rot v ) n n ’ dA = ∫ rot v dA . (10) A A Ez az ún. Stokes-tétel∗ Ha rot v = 0, akkor ebből az következik, hogy ∫ vdA , ’ azaz a cirkuláció is nulla. Az elektrosztatikus tér rotáció- és cirkulációmentességéből következik, mint ahogyan azt az 13 fejezetben láttuk, hogy két pont közötti feszültség csak a kezdő és a végpont helyzetétől függ, az integrációs úttól azonban független. 7.5 A Maxwell-egyenletek teljes rendszere a Descartes-koordinátákkal számított vektoroperációkkal Írjuk fel először mind a hat Maxwell-egyenletet differenciális alakjukkal, lineáris közegben: III. ∂E ∂t ∂H rot E = −µ

∂t div B = 0 IV. div D = ρ V. D = εE, B = µH, J = σ (E + Eg ) VI. 1 1 2 2 w= εE + µ H 2 2 I. II. rot H = J + ε ∗ Georg Gabriel Stokes (1819–1903) angol matematikus és fizikus. A vektoranalízis egyik kidolgozója volt, és felfedezte a róla elnevezett integráltételt. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 213 ► Elektrodinamika A Maxwell-egyenletek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 214 ► Az I. Maxwell-egyenlet J = 0 esetén: rot H = ε ∂E , ∂t (1) ami a vektorösszetevőkkel felírva az alábbi három egyenletet adja: ∂H z ∂H y ∂E − =ε x , ∂y ∂z ∂t ∂E y ∂H x ∂H z − =ε , ∂z ∂x ∂t ∂H y ∂H x ∂E − =ε z . ∂x ∂y ∂t (2) Azt látjuk, hogy a tér dx, dy, dz tartományában ∂E/∂t bármely komponense csak a rá merőleges H komponensekkel van kapcsolatban, összhangban azzal a korábbi

megállapításunkkal, hogy az időben változó homogén elektromos tér rá merőleges mágneses teret hoz létre. Olyan elektromágneses teret is elképzelhetünk, amelynek csak y irányú elektromos komponense van, tehát Ex = 0, és Ez = 0, továbbá Ey állandó az y koordináta mentén, azaz ∂Ey/∂y = 0. Ebből következik, hogy H-nak csak Hz és Hx komponense lehet. Legyen Hx is nulla, így a tér az Ey és Hz mennyiséggel adható meg. Ennek következtében (2) az alábbi két egyenletre redukálódik: ∂H z = 0, ∂y ∂Ε y ∂H − z =ε . ∂x ∂t (3) (3)-ban az első egyenlet azt fejezi ki, hogy Hz y mentén nem változik. Írjuk fel most a II. Maxwell-egyenletet is differenciális alakban, Descarteskoordinátákkal: ∂E z ∂E y ∂H − = −µ x , ∂y ∂z ∂t ∂H y ∂E x ∂E z (4) − = −µ , ∂z ∂x ∂t ∂E y ∂E x ∂H − = −µ z . ∂x ∂y ∂t A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 214 ►

Elektrodinamika A Maxwell-egyenletek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 215 ► Mivel Ex = 0, Ez = 0, valamint Hx = 0, a (4) egyenletrendszer az alábbi alakra egyszerűsödik: ∂E y − = 0, ∂z (5) ∂E y ∂H z . = −µ ∂x ∂t (5)-ben a felső egyenlet azt fejezi ki, hogy Ez a z koordináta mentén nem változik. Hz-re és Ey-ra (3) és (5) második egyenletével a következő egyenletrendszerrel írhatjuk fel: ∂E ∂H z = −ε y , ∂x ∂t ill. (6) ∂E y ∂H = −µ z . ∂x ∂t Ez az ún. síkhullámra vonatkozó differenciálegyenlet-rendszer A következő fejezetben azt vizsgáljuk, hogy az ilyen felépítésű elektromágneses tér hogyan változik az időben és az x koordináta mentén. Mielőtt erre rátérnénk, válaszoljunk arra a kérdésre, hogy ez a speciális elektromos tér vajon töltésmentes-e. Hogy árammentes azt tudjuk, hiszen feltételezésünk szerint J = 0. A választ a div D = div εE = ε

div E = ρ (7) IV. Maxwell-egyenlet alapján adhatjuk meg Írjuk fel ehhez a divergencia kifejezését a vektorkomponensekkel: ⎛ ∂E ∂E ∂E ⎞ ε ⎜⎜ x + y + z ⎟⎟⎟ = ρ . ⎜⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠⎟ (8) A zárójel mindhárom tagja zérus, mert a kiindulási feltételezés szerint ∂Ey/∂y = 0, ill. Ex = 0, és Ez = 0, így a deriváltjaik is nulla értékűek Tehát ε div E = 0 . (9) azaz a tér töltésmentes. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 215 ► Elektrodinamika Elektromágneses síkhullámok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 216 ► 8. Elektromágneses síkhullámok 8.1 Az elektromágneses síkhullám elektromos és mágneses térerősségének hely- és időfüggése Vizsgálataink arra a speciális esetre vonatkoznak, amikor a teljes térben homogén ideális szigetelőanyag van (µ és ε konstans), valamint a tér töltésés árammentes.

Arra vagyunk kíváncsiak, hogyan változik az elektromos és a mágneses tér, amikor az E és H vektorok csak az egyik, mondjuk az x koordinátától függenek. Ilyen erőteret kapunk a 8.11 ábrán látható vezetékelrendezés esetében a két vezeték közötti térrészben, ahol az erővonalak az x tengelyre, azaz a vezeték hosszanti irányára merőleges síkban mindenhol az ábrán felvázolt alakúak, és egy adott időpillanatban E-nek és H-nak is mindegyik komponense állandó ezen síknak a vezetékek közötti részében. Egy másik x = konstans síkban ezek szintén állandóak, de természetesen az előzőektől különbözőek. 8.11 ábra E és H a vezetékek közötti részben merőleges egymásra és a vezetékek hosszanti irányára Ha a függőleges irányt y-nal, a vízszinteset z-vel jelöljük, akkor megállapíthatjuk, hogy a két vezeték között E-nek csak y irányú (Ey), H-nak pedig csak z irányú (Hz) komponense van. A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 216 ► Elektrodinamika Elektromágneses síkhullámok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 217 ► A szemléletesebb tárgyalásmód érdekében induljunk ki az I. és II Maxwell-egyenlet integrális alakjából, jóllehet kiindulhatnánk az előző fejezet (6) összefüggéséből is, amelyet ugyanerre az elektromágneses térre kaptunk. Tehát: ∂E ∫ HdA = ε∫ ∂t dA, A (1) ∂H ∫ EdA = µ ∫ ∂t dA. A 8.12 ábra A vizsgálandó elektromágneses tér elemi része a Descartes-féle koordináta-rendszerben A differenciális összefüggésekhez úgy jutunk, hogy a két vezető közötti térrészbe elhelyezünk egy dx, dy, dz méretű kis kockát (8.12 ábra), és erre a kockára határozzuk meg az (1)-ben szereplő integrálokat. Először írjuk fel az 1. hurokra és az általa körülzárt dxdz elemi felületre az I Maxwell-egyenletet (Mivel a kocka A

felületére az ∫ HdA = 0 , és A az ∫ EdA = 0 egyenletnek, azaz a III., ill IV Maxwell-egyenletnek telje- A sülnie kell, és mert az erővonalak párhuzamosak, a szemben lévő oldala- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 217 ► Elektrodinamika Elektromágneses síkhullámok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 218 ► kon ugyanannyi a beérkező, mint a távozó erővonal, tehát az 1. és 2 hurkot a kockán belül tetszőlegesen eltolhatjuk, vagyis akár középre is rajzolhattuk volna őket) Ha figyelembe vesszük, hogy a határozott integrál egy szumma határértéke, akkor az I. Maxwell-egyenlet az 1 hurokra felírva így egyszerűsödik: −H z dz − dH z dz + H z dz = ε dH z = −ε azaz ∂E y ∂t ∂E y ∂t (1) dxdz, / : dz dx , (2) ∂E ∂H z = −ε y . ∂x ∂t (3) A II. Maxwell-egyenlet pedig a 2 hurokra írható fel hasonló módon: E y

dy + dE y dy − E y dy = −µ azaz dE y = −µ ∂E y ∂x ∂H z dxdy, / : dy ∂t (4) ∂H z dx , ∂t (5) ∂H z ∂t (6) = −µ (lásd az előző fejezet (6) egyenletrendszerét). (3) és (6) az I. és II Maxwell-egyenlet differenciális alakja az Ey és Hz vektorkomponensekre, ha a többi vektorkomponens értéke zérus. Deriváljuk most ∂Ey/∂x-et x szerint, ∂Hz/∂x-et t szerint: ∂2E y ∂2E y ∂ ∂H z ∂ ∂H z = −µ = −ε 2 , , ill.: ∂x 2 ∂x ∂t ∂t ∂x ∂t (7) amiből az következik, hogy ∂2E y ∂x 2 = µε ∂2E y ∂t 2 . (8) Ez Ey-ra az ún. egydimenziós hullámegyenlet A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 218 ► Elektrodinamika Elektromágneses síkhullámok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 219 ► Az első differenciális alak mindkét oldalát x szerint, a másodikét t szerint deriválva, és a behelyettesítést

elvégezve azt kapjuk, hogy ∂2Hz ∂2Hz µε = . ∂x 2 ∂t 2 (9) Ez Hz-re az egydimenziós hullámegyenlet. ⎛ x ⎞⎟⎟ A kapott két másodrendű differenciálegyenletnek az f ⎜⎜⎜ t ∓ ⎟ tí⎜⎝ 1/ µε ⎠⎟ pusú függvények megoldásai. Próbáljuk ki! Legyen ezzel ⎛ x ⎞⎟⎟ E y ( t, x ) = Eˆ y sin ω⎜⎜⎜ t ∓ ⎟, ⎜⎝ 1/ µε ⎠⎟ (10) ⎛ ⎞ 2 ⎜⎜ t ∓ x ⎟⎟ , ω µε ω Ê sin = − y ⎜⎜ 1/ µε ⎟⎟ ∂x 2 ⎝ ⎠ (11) ∂2E y ∂2E y ∂t 2 ⎛ x ⎞⎟⎟ = −Ê y ω2 sin ω⎜⎜⎜ t ∓ ⎟, ⎜⎝ 1/ µε ⎠⎟ (12) melyeket a (8) hullámegyenletbe helyettesítve a két oldal valóban egyenlő lesz. Ey hely- és időfüggést megadó kétváltozós függvény (10) az egydimenziós hullám kifejezése. (Ezért nevezzük a (8), (9) másodrendű differenciálegyenletet hullámegyenletnek) Az argumentumban 1/ µε értelemszerűen a v fázissebesség. A + előjel a negatív, a – pedig a pozitív x

irányban haladó hullámhoz tartozik Egy adott x1 helyen Ey már csak az időtől függ: ⎛ x ⎞ ⎛ ω ⎞ E y ( t, x1 ) = Eˆ y cos ω⎜⎜ t − 1 ⎟⎟⎟ = Eˆ y cos ⎜⎜ωt − x1 ⎟⎟⎟ , ⎜⎝ ⎝⎜ v⎠ v ⎠ ahol ω x1 v (13) a fáziskésés értéke a rezgésnek a koordináta-rendszer kiinduló- pontjában lévő ωt fázisszögéhez képest. Ey(t,x) ismeretében határozzuk meg Hz(t,x)-et. Az I Maxwell-egyenlet differenciális alakjába Ey(t,x) idő szerinti deriváltját beírva: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 219 ► Elektrodinamika Elektromágneses síkhullámok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ ⎛ ∂Η z x ⎞⎟⎟ = −εωÊ y cos ω⎜⎜⎜ t ∓ ⎟, ∂x ⎝⎜ 1/ µε ⎠⎟ 220 ► (14) melyet x szerint integrálva, és az integrációs állandót 0-nak véve: ⎛ εω ˆ x ⎞⎟⎟ E y sin ω⎜⎜⎜ t ∓ ⎟ , ill. ⎜⎝

1/ µε ⎠⎟ ω µε ⎛ Ê y x ⎞⎟⎟ H z ( t, x ) = ± sin ω⎜⎜⎜ t ∓ ⎟, ⎜⎝ 1/ µε ⎠⎟ µ ε H z ( t, x ) = ± (15) ahol µ = Z0 , ε (16) az ún. hullámellenállás vagy hullámimpedancia Az ω körfrekvencia értéke tetszőleges, akár zérus is lehet 8.13 ábra A villamos és mágneses térerősség térbeli eloszlása síkhullámban, ha a hullám jobbra halad 8.14 ábra A villamos és mágneses térerősség térbeli eloszlása síkhullámban, ha a hullám balra halad A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 220 ► Elektrodinamika Elektromágneses síkhullámok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 221 ► 8.15 ábra A térerősségek maximális értékei egy adott időpillanatban A síkhullám mágneses és elektromos térerősségének eloszlását egy adott időpillanatban a 8.13, 814, ill 815 ábrán látjuk A 815 ábrán csak a maximumok

helyén rajzoltuk fel E-t és H-t. Természetesen síkhullám esetében E és H merőlegessége egymásra és a terjedési irányra nem korlátozódik csupán egy ab felületre, mint a 8.11 ábrán, hanem ez a felület elvileg végtelen kiterjedésű is lehet A síkfelület, amelyben E és H állandó, és merőleges egymásra, valamint a terjedési irányra, felosztható kis elemi felületekre, ahogyan azt mi is tettük. Lineáris közegben érvényes a szuperpozíció elve, és így bármely síkhullám tekinthető kis elemi síkhullámok összegének. Azonban ha ezeknek az elemi síkhullámoknak a vektorai eltérő irányúak, akkor az erővonalak a legkülönbözőbb alakúak lehetnek, mint pl az 811 ábra vezetőlapjainak pereménél De itt is érvényes az a síkhullámra vonatkozó törvényszerűség, hogy kis felületen E és H merőleges egymásra és a terjedési irányra, és természetesen az eredő hullám terjedési sebessége is azonos a részhullámokéval, azaz v = 1/

µε . Ez minden frekvencián így van, ahogyan az erővonalkép is azonos valamennyi frekvencián, még az f 0 Hz esetén is. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 221 ► Elektrodinamika Elektromágneses síkhullámok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 222 ► 8.2 Síkhullámok polarizációja A következőkben síkhullámok olyan szuperpozícióját vizsgáljuk, amelynek terjedési iránya az x tengely, és minden komponense ugyanazon ω körfrekvenciával szinuszosan változik az időben. Kizárólag az E elektromos térerősség változását vizsgáljuk, megállapodás szerint ugyanis ez határozza meg a hullám polarizációjának jellegét. (A H mágneses térerősség merőleges E-re, abszolút értékük hányadosa, a közeg Z0 hullámimpedanciája ismert, így E ismeretében H meghatározható.) Először olyan hullámot tárgyalunk, amely két síkhullámból tevődik

össze (8.21 ábra) A két síkhullám E1 és E2 elektromos térerőssége merőleges a terjedés irányára és egymással α szöget zár be A két elektromos térerősség között a fáziskülönbség φ. E1 fázisát egy adott x helyen nullának választva az elektromos térerősség valós időfüggvénye: E1 = E1 ( t ) = Eˆ 1 cos ωt, E 2 = E 2 ( t ) = Eˆ 2 cos (ωt + ϕ) . (1) 8.21 ábra Két síkhullám E vektorainak szuperpozíciója Az y tengely irányát E2 irányával egyezőnek választjuk, és E1-et y irányú és erre merőleges, vagyis z irányú komponensre bontjuk fel: E1y = Eˆ 1 cos α cos ωt, E1z = Eˆ 1 sin α cos ωt . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza (2) ◄ 222 ► Elektrodinamika Elektromágneses síkhullámok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 223 ► Az eredő térerősség y irányú komponense: E1y + E 2 = Eˆ 1 cos α cos ωt + Eˆ 2 cos

(ωt + ϕ) = Eˆ y cos (ωt + ψ) , (3) ahol Eˆ y = (Eˆ cos α + Eˆ 1 ψ = −arctg cos ϕ) + ( Eˆ 2 sin ϕ) , 2 2 2 (4) Ê 2 sin ϕ . Eˆ 1 cos α + Eˆ 2 cos ϕ (5) A z irányú komponens: E1z. Látható, hogy két, a terjedés irányára merőleges, egyébként tetszőleges irányú és fázisú komponens felírható két egymásra merőleges komponens összegeként, eredőjeként. A gondolatmenet általánosításával tetszőleges számú, azonos körfrekvenciájú síkhullámnak a haladási irányra merőleges, egyébként tetszőleges irányú és fázisú komponenséből összetevődő elektromos térerőssége két, egymásra és a haladás irányára merőleges, általában különböző fázisú komponens összegére vezethető vissza. Így több, az előbbiekben megfogalmazott feltételnek megfelelő elektromos térerősség egyenlete a t = 0 időpont megfelelő választásával az E z = Eˆ 1 cos ωt , (6) E y = Eˆ 2 cos (ωt + ψ ) (7) alakban

írható fel. Ez a két egyenlet az ellipszis paraméteres egyenlete Ez azt jelenti, hogy az E elektromos térerősség vektorának végpontja bármely x helyen az idő függvényében ellipszist ír le. Az E végpontja által leírt görbe adja meg a polarizáció jellegét. Általános esetben a polarizáció elliptikus. Az elliptikus polarizáció egyik speciális esete a körös (cirkuláris) polarizáció. Ez két esetben lehetséges Ha a komponensek egyenlete E z = Eˆ cos ωt, E y = Eˆ sin ωt , (8) akkor az eredő térerősség végpontja az óramutató járásával ellentétesen forog (8.22/a ábra) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 223 ► Elektrodinamika Elektromágneses síkhullámok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 224 ► 8.22 ábra A cirkuláris polarizáció szemléltetése Ha pedig E z = Eˆ cos ωt, E y = −Eˆ sin ωt , (9) akkor E végpontja az

óramutató járásával egyező irányba forog (8.22/b ábra). Az elliptikus polarizáció másik speciális esete a lineáris polarizáció. Ez akkor jön létre, ha az elektromos térerősség két komponense egymással fázisban vagy ellenfázisban van (8.23 ábra) Az egyenes egyenlete: E z = Eˆ 1 cos ωt, E y = ±Eˆ 2 cos ωt . (10) Az egyenes iránytangense: tgρ = Ey Ez =± Eˆ 2 . Eˆ 1 (11) 8.23 ábra Lineárisan polarizált síkhullám eredő térerősségvektorának lehetséges helyzetei: a) általános lineárisan polarizált síkhullám, b) vízszintesen polarizált síkhullám, c) függőlegesen polarizált síkhullám A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 224 ► Elektrodinamika Elektromágneses síkhullámok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 225 ► A z tengely irányát vízszintesnek, az y tengelyét függőlegesnek választjuk. Így ρ = 0, ha Ê 2 = E

y = 0 . Ekkor E z = Eˆ 1 cos ωt, E y = 0 , (12) tehát a polarizáció vízszintes (8.23/b ábra), Ha Ê1 = 0 , akkor ρ = π/2, és így E z = 0, Eˆ y = E 2 cos ωt , (13) vagyis a polarizáció függőleges (8.23/c ábra) 8.3 Példák 8.31 példa Ez = 2sinωt, Ey = −2cosωt [V/m], f = 1 MHz. Rajzoljuk fel a t0 = 0, t1 = 0,125 µs és a t2 = 0,25 µs időpontokban az eredő térerősségvektort. Milyen polarizációjú a jel? ω = 2πf ωt = 2πft ωt1 = 2π·106·0,125·10–6 = π/4 45° t0 t1 t2 t[µs] 0 0,125 0,25 Ez[V/m] 0 1,41 2 Ey[V/m] −2 −1,41 0 Az óramutató járásával ellentétes irányban forgó, azaz balra forgó körpolarizált jelről van szó (8.31 ábra) 8.31 ábra Az E vektor helyzete az idő függvényében A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 225 ► Elektrodinamika Elektromágneses síkhullámok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató ◄ Vissza 226 ►

8.32 példa Határozzuk meg levegőben a pozitív x irányban terjedő elektromágneses síkhullám terjedési sebességét és hullámimpedanciáját. ε0 = v= Z0 = ⎡ Vs ⎤ 10−9 ⎡ As ⎤ ⎢ ⎥ , µ 0 = 4π ⋅10−7 ⎢ ⎥ , ε r = 1, µ r = 1 . ⎢⎣ Am ⎥⎦ 9 ⋅ 4π ⎢⎣ Vm ⎥⎦ 1 1 = = µε µ 0µ r ε 0 ε r µ 0µ r µ = = ε ε0ε r 1 4π ⋅10−7 ⋅ 10−9 9 ⋅ 4π = 3⋅108 m , s Vs Am = 3⋅ 4π ⋅10 = 120π ohm . −9 10 As 9 ⋅ 4π Vm 4π ⋅10−7 8.4 A síkhullámmal áramló teljesítmény Induljunk ki az I. és II Maxwell-egyenlet síkhullámú terjedésre felírt differenciális alakjából: ∂E ∂H z = −ε y , (1) ∂x ∂t ∂E y ∂x = −µ ∂H z . ∂t (2) Szorozzuk meg az (1) egyenlet mindkét oldalát Ey-nal, a (2)-ét Hz-vel, és adjuk össze őket: ∂E ∂E ∂H z ∂H E y + y H z = −ε y E y − µ z H z . ∂x ∂x ∂t ∂t (3) A kapott egyenletet így is írhatjuk a szorzatfüggvény deriválásának

szabálya és a láncszabály alapján: ⎞ ∂ ⎛1 ⎞ ∂ ∂ ⎛1 E y H z ) = − ⎜⎜ εE 2y ⎟⎟⎟ − ⎜⎜ µH 2z ⎟⎟⎟ . ( ⎜ ⎜ ⎠ ∂t ⎝ 2 ⎠ ∂x ∂t ⎝ 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza (4) ◄ 226 ► Elektrodinamika Elektromágneses síkhullámok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 227 ► A jobb oldalon az elektromágneses tér energiasűrűségét kell az idő szerint deriválni, azaz ∂ ∂ E y Hz ) = − w . (5) ( ∂x ∂t Képezzük most mindkét oldal térfogati integrálját egy adott V térfogatra: ⎡∂ ⎤ ∂ ∂ ∂ ∫ ⎢⎢⎣ ∂x (E H )⎥⎥⎦ dV = −∫ ∂t wdV = − ∂t ∫ wdV = − ∂t W = −p (t ) . y V z V (6) V dV = dxdydz, és dA = dydz figyelembevételével a bal oldal átalakítható a következő módon: ∫ A ⎡ x ⎤ ⎢ ∂ (E H ) dx ⎥ dA = E H dA = −p ( t ) , y z ∫ y z ⎢ ∫ ∂x ⎥

A ⎣⎢ 0 ⎦⎥ (7) ahol A a vizsgált térfogatot határoló felület. Maga az integrál tekinthető a felületen átáramló teljesítménynek, hiszen a P teljesítményt felületi integrál adja. Az ∫EH y z dA + p ( t ) = 0 (8) A alak azt fejezi ki, hogy a felületbe ugyanannyi teljesítmény áramlik be, mint amennyi abból távozik. Vezessük be az EyHz = Sx jelölést Sx az ún pillanatnyi teljesítménysűrűség, az egységnyi felületen átáramló pillanatnyi teljesítmény, amely esetünkben az x irányban áramlik, hiszen dA = dydz merőleges az x irányra, arra az irányra, amelyben az elektromágneses erőtérnek változása van. Az Sx = EyHz kifejezés csak a pillanatnyi teljesítménysűrűség nagyságát adja meg. Ha azonban képezzük az S = E× H (9) vektoriális szorzatot, az ún. Poynting-vektort∗, akkor ezzel kifejezhetjük a teljesítményáramlás irányát is, amely összhangban az előzőekkel, merőleges E-re és H-ra is. ∗ John Henry

Poynting (1852–1914) angol fizikus által 1884-ben az elektrodinamikába bevezetett, az energia áramlására jellemző vektormennyiség A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 227 ► Elektrodinamika Elektromágneses tér végtelen kiterjedésű vezető féltérben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 228 ► 9. Elektromágneses tér végtelen kiterjedésű vezető féltérben 9.1 Az elektromos és a mágneses térerősség meghatározása a végtelen kiterjedésű vezető féltérben, behatolási mélység Ebben az esetben az I. Maxwell-egyenletben az eltolási áram elhanyagolható, azaz jól vezető anyagokban a rádiófrekvenciás váltakozó áramok tere is tárgyalható kvázistacionárius módszerrel. Tegyük fel, hogy most az E térerősségnek csak x irányú komponense van, és a térerősségek (hasonlóan a síkhullámhoz) sem az x, sem az y irányban változást nem

mutatnak (9.11 ábra) 9.11 ábra A koordinátatengelyek a végtelen kiterjedésű vezető féltérben Vizsgáljuk meg most is, hogy ebben a speciális esetben miként változik E és H a távolság és az idő függvényében. Induljunk ki az I és II Maxwellegyenletből Az I. Maxwell-egyenlet az ábra jelöléseivel a következő lesz: az c jelű zárt görbére felírva a vonalintegrált azt kapjuk, hogy ∫ ⎛ ∂H y ⎞⎟ ∂H y HdA = H y − ⎜⎜H y + dz⎟⎟ = − dz . ⎜⎝ ∂z ∂z ⎠⎟ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza (1) ◄ 228 ► Elektrodinamika Elektromágneses tér végtelen kiterjedésű vezető féltérben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 229 ► Az áramsűrűség integrálja a görbe által körülzárt ℓdz felületre: ∫ JdA = σE dz . x (2) A Így tehát az I. Maxwell-egyenlet végső alakja: − ∂H y ∂z dz = σE x dz − ∂H

y ∂z = σE x . (3) A II. Maxwell-egyenlet bal oldala a d-es zárt görbére: ∫ EdA = −E x ⎛ ⎞ ∂E ∂E + ⎜⎜E x + x dz⎟⎟⎟ = x dz . ⎜⎝ ∂z ⎠ ∂z (4) Az ugyanezen görbe által körülzárt mágneses fluxus: ∫ BdA = +µH y dz , (5) A amiből következik, hogy −∫ A ∂H ∂B dA = −µ y dz . ∂t ∂t (6) Tehát a teljes II. Maxwell-egyenlet: azaz ∂H ∂E x dz = −µ y dz , ∂z ∂t (7) ∂H ∂E x = −µ y . ∂z ∂t (8) Hy-t kiküszöbölhetjük, ha ez utóbbi egyenletet z szerint deriváljuk, majd ∂Hy/∂z helyére (3)-ból – σEx-et írunk: ∂2Ex ∂E = µσ x . 2 ∂z ∂t (9) Kiinduló egyenleteink ezek után: ∂2Ex ∂ ∂H y ∂ =µ = µσ E x , 2 ∂z ∂t ∂z ∂t A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (10) Vissza ◄ 229 ► Elektrodinamika Elektromágneses tér végtelen kiterjedésű vezető féltérben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és

tárgymutató − ∂H y ∂z Vissza ◄ = σE x . 230 ► (11) A térerősségek időbeli szinuszos változása esetén azok komplex alakban az alábbi módon írhatók: E x (z, t ) = Eˆ x (z ) e jωt , (12) ˆ z e j ωt , H y (z, t ) = H y( ) (13) ahol Eˆ x (z) és Hˆ y (z) a helyfüggő komplex amplitúdók. Ezekkel a (10)-es és (11)-es egyenlet az alábbi alakot ölti: d 2 Eˆ x = jωµσEˆ x , dz 2 − ˆ dH y dz (14) = σEˆ x . (15) Vezessük be a következő jelöléseket: p 2 = jωµσ, p = jωµσ = (1 + j) k ; k = ωµσ , 2 (16) akkor (14) egyenlet alakja a következő lesz: d 2 Eˆ x = p 2 Eˆ x . dz 2 (17) Ezen differenciálegyenlet általános megoldását ismerjük: Eˆ x = Ae pz + Be−pz , (18) ahol A és B a határfeltételektől függő komplex értékek. Vagy részletesen kiírva p-t: Eˆ x = Ae kz e jkz + Be−kz e− jkz . (19) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 230 ►

Elektrodinamika Elektromágneses tér végtelen kiterjedésű vezető féltérben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 231 ► A (15)-ös egyenletből kiszámíthatjuk Hˆ y értékét is: ˆ = − σEˆ dz + C = − σA epz + σB e−pz + C . H y ∫ x p p (20) A megoldásban szereplő állandók értékét a peremfeltételekből kapjuk meg. Az egyik peremfeltétel az, hogy a tér igen távol a felülettől a vezető belsejében nulla lesz, a másik peremfeltétel pedig, hogy a felületen a térerősség meg van adva, vagyis: ˆ = 0, Eˆ = 0, z ∞; H y x z = 0; (21) Eˆ x = Eˆ x0 . Ebből rögtön következik, hogy az A koefficiens értéke nulla kell hogy legyen, mert ez a tag növekvő z értékek esetén növekvő térerősséget ad. Tehát (22) Eˆ = Be−pz . x A felületen Eˆ x = Eˆ x 0 és z = 0, azaz Eˆ x0 = Be p0 = B . (23) Másrészt Eˆ x0 = 0 esetén Hˆ y0 -nak is nullának kell lennie, ami csak C = 0

esetén teljesül. Így tehát a térerősség értéke: Eˆ x = Eˆ x0 e−kz e− jkz . (24) Vagy az időtől való függést is figyelembe véve: E x (z, t ) = Eˆ x0 e−kz e j(ωt−kz) . (25) Ennek megfelelően a mágneses térerősség helyfüggő komplex csúcsértéke: ˆ ˆ = σE x 0 e−kz e− jkz , H y (1 + j) k A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (26) Vissza ◄ 231 ► Elektrodinamika Elektromágneses tér végtelen kiterjedésű vezető féltérben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 232 ► ill. a komplex pillanatérték: H y (z, t ) = σEˆ x0 −kz j(ωt−kz) . e e (1 + j) k (27) Azt látjuk, hogy a térerősségek amplitúdója exponenciálisan csökken a vezető belseje felé. A csökkenésre a ∆ = 1/k, az ún behatolási mélység a jellemző Ez ugyanis megadja azt a távolságot, amelyen a térerősség értéke eredeti értékének e-ed részére,

körülbelül 36,9 %-ára lecsökken. Tehát 1 2 1 ∆= = = . (28) k ωµσ πfµσ Azért, hogy lássuk ennek nagyságrendjét, megadjuk számszerű értékét rézvezető esetében: ∆ cm Cu = 6, 62 f [ Hz ] . (29) Ipari váltakozó áramoknál cm nagyságrendű, rádiófrekvencián tized- vagy századmilliméter. 9.2 Az áramsűrűség komplex pillanatértéke A differenciális Ohm-törvény alapján j ωt −kz ) J = σE Jx (z, t ) = σEˆ x0 e−kz e ( . (1) E, H, J haladóhullám-szerűen változnak. Határozzuk meg a hullám fázissebességét Ez a kitevőből leolvasható: e ⎛ k ⎞ jω⎜⎜ t − z⎟⎟⎟ ⎜⎝ ω ⎠ azaz v= =e ⎛ z ⎞⎟ jω⎜⎜ t− ⎟ ⎝⎜ ω / k ⎠⎟ , (2) ω = ∆⋅ω. k (3) Pl. ∆ = 10–4 m, ω = 2π·106 rad/s; v = 628 m/s, sokkal kisebb, mint a szigetelőkben terjedő hullám fázissebessége A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 232 ► Elektrodinamika

Elektromágneses tér végtelen kiterjedésű vezető féltérben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 233 ► 9.21 ábra A végtelen kiterjedésű vezető féltérből kimetszett bz keresztmetszetű, ℓ hosszúságú hasáb Vágjuk ki a 9.21 ábra szerint képzeletben a vezetőnknek az y tengely irányában mérve b hosszú darabját, és nézzük meg, hogy az így kapott vezetőfelületen mennyi áram halad át összesen: ˆ ˆ e−(1+ j)kz bdz = σbΕ x 0 . ˆI = Jˆ z bdz = σΕ ( ) ∫ x ∫ x0 (1 + j) k 0 0 ∞ ∞ (4) Az áramerősség amplitúdója ebből: Î = σbEˆ x 0 . 2k (5) 9.3 A végtelen kiterjedésű vezető féltér ellenállása Határozzuk meg a nagyfrekvenciás áramot vezető bz keresztmetszetű ℓ hosszúságú vezető hasáb ellenállását, ha z ∞. A feszültség a vezető felületén: ˆ , ˆ =Ε U x0 x0 (1) az áram: ˆ ˆI = σΕ x 0 b . (1 + j) k ˆ ˆI = σΕ x 0 b∆ . 2 A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (2) Vissza ◄ 233 ► Elektrodinamika Elektromágneses tér végtelen kiterjedésű vezető féltérben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 234 ► Definiáljuk a hasáb impedanciáját a ˆ U Z = x0 ˆI (3) összefüggéssel. Tehát Z= = ˆ Ε x0 = (1 + j) k = (1 + j) = ˆ σb σb∆ σΕ x0 b (1 + j) k σb∆ +j σb∆ = R + jωL b ; ϕ = (4) π 4 = 2R . (5) σ2 b 2 ∆ 2 Eˆ 2x0 σb ∆ ˆ 2 = E x0 . 2⋅ 2 σb∆ 4 (6) Z= 2 σb∆ A hőveszteség P = I2 R = Látjuk, hogy a hőveszteség szempontjából úgy számolhatunk, mintha az egész áram egyenletesen elosztva csak a behatolási mélységnek megfelelő keresztmetszet mentén folynék, melynek ellenállása: R =ρ A , b∆ (7) A b∆ keresztmetszetre számított átlagos áramsűrűség: Ĵ x átl. = ˆI σb∆Eˆ x 0 σEˆ x 0 Jˆ x 0 . = = = b∆ 2 b∆ 2 2 (8) 9.4 Példák 9.41

példa Határozzuk meg a végtelen kiterjedésű vezető féltérben terjedő elektromágneses hullám terjedési tényezőt és hullámhosszát. γ = α + jβ = (1 + j) k = k + jk . (1) 2π 2π 2π λ= = = 2π∆ . λ β k (2) β= A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 234 ► Elektrodinamika Elektromágneses tér végtelen kiterjedésű vezető féltérben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 235 ► 9.42 példa A féltér általánosítása a rétegezett féltér (9.41 ábra): a 0 < z < d tartományban az anyagjellemzők σ1, µ1, a d > z tartományban pedig σ2, µ2 Az elektromos és mágneses térerősségek kifejezése a p1 = (1 + j) k1 , p 2 = (1 + j) k 2 ; k1 = (3) ωµ1σ1 ωµ 2 σ 2 1 1 = , k2 = = ∆1 ∆2 2 2 (4) jelölésekkel (∆1, ill. ∆2 a behatolási mélység a felső, ill az alsó rétegben): ˆ z = A e p1z + B e−p1z , 0 ≤ z ≤ d , Ε x1

( ) 1 1 (5) ˆ z = B e−p2 z , d ≤ z ; Ε x2 ( ) 2 (6) ˆ z = − σ1 ⎡ A e+ p1z − B e−p1z ⎤ , 0 ≤ z ≤ d , H y1 ( ) 1 1 ⎥⎦ p1 ⎢⎣ (7) ˆ z = − σ 2 B e−p2 z , z ≥ d . H y2 ( ) 2 p2 (8) 9.41 ábra Rétegezett féltér A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 235 ► Elektrodinamika Elektromágneses tér végtelen kiterjedésű vezető féltérben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 236 ► 9.43 példa Határozzuk meg egy d vastagságú, nagy kiterjedésű lemez árnyékoló hatását az időben szinuszosan változó villamos térrel szemben. Mivel σ2 = 0, ezért σ2 1 2σ2 = p 2 1 + j ωµ 2 is nulla, azaz a második térrészben J, E és H is nulla. Tehát elég csak az első térrész egyenleteivel foglalkozni, amelyek együtthatói a peremfeltételekből határozhatók meg: a) Ha z = 0, akkor Εˆ x1 (0) = Εˆ x0 , azaz A1 + B1 = Εˆ x 0 . ˆ d

= − σ1 ⎡ A e p d − B e−p d ⎤ = 0 . b) Ha z = d, akkor H y1 ( ) 1 1 ⎦⎥ p1 ⎣⎢ 1 1 A két egyenletből A1 és B1 meghatározható. Definiáljuk az árnyékoló hatásra jellemző tényezőt a következőképpen: B ep1d + 1 e−p1d ˆ p1d −p1d Ε (d ) A e + B1e A1 . Ke = x = 1 = ˆ 0 B1 A1 + B1 Ε ( ) 1+ x A1 (9) A b) peremfeltételből B1 = e 2p1d , A1 (10) amivel Ke = e p1d + e p1d 2 . = −p1d 2p1d 1+ e e + e+ p1d (11) Ha d >> ∆, akkor d − 2 2 K e ≈ p1d = k1d = 2e ∆1 . e e A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (12) Vissza ◄ 236 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 237 ► 10. Távvezetékek 10.1 Áram és feszültség a távvezetéken Ebben a fejezetben két egymással párhuzamos vezetőből álló áramkörrel foglalkozunk. Itt már nem beszélhetünk diszkrét kapacitásokról, induktivitásokról, mert ezek

mintegy folytonosan helyezkednek el a vezeték mentén. Vizsgáljuk meg, hogy milyen tulajdonságokkal rendelkezik az áramkör. 10.11 ábra Feszültség és áram a távvezetéken Vegyük ehhez a 10.11 ábrán látható elrendezést, és használjuk az ott bevezetett jelöléseket Ez az ábra egy úgynevezett Lecher-vezetéket ábrázol, de az itt közlésre kerülő számítások koaxiális kábelek és szalagvonalak esetében ugyanígy használhatók. Ennek oka az, hogy ugyanazokkal a paraméterekkel lehet mindhárom elrendezést elektromos szempontból jellemezni Ezek a jellemzők a vezetékek hosszegységenkénti kapacitása C [farad/m], önindukciója L [henry/m], ellenállása R [ohm/m] és átvezetése G [siemens/m]. Azt mondhatjuk, hogy a vezeték mentén kialakuló elektromágneses teret a folytonos eloszlású kapacitások és induktivitások révén a szintén folytonos eloszlású feszültséggel és árammal vesszük figyelembe. Ezen szemléletmód alapján

beszélhetünk az ún. elosztott paraméterű hálózatokról, melyeknek tipikus példája a távvezeték C, ill L értékét azon erővonalkép alapján számíthatjuk ki, amely egyezik a sztatikusan feltöltött, illetőleg stacionárius árammal átfolyt vezeték erővonalképével. Az itt szereplő L tényező a teljes önindukció-együttható, tehát az Lk külső és Lb belső induktivitás összegét jelenti. A számítások eredményét a 1011 táblázat tartalmazza (lásd 252, 254, 4111 példákat) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 237 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 238 ► 10.11 táblázat Távvezeték típusok főbb jellemzői Írjuk fel ezek után a vezetékpár dx szakaszára vonatkozó egyenleteinket az u = u(x,t) feszültséggel és az i = i(x,t) árammal: ∂u ∂i , = Ri + L ∂x ∂t (1) ∂i ∂u . = Gu + C ∂x ∂t

(2) − − Könnyen értelmezhetők ezek az egyenletek, ha mindkét oldalukat végigszorozzuk dx-szel. Ebben az esetben az (1) egyenlet azt fejezi ki, hogy a távvezeték dx szakaszán fellépő feszültségesés (az x és x + dx pontokon a két ér között mérhető feszültségek különbsége), du egyenlő a dxR ellenálláson és a dxL induktivitáson eső feszültségek összegével. (A du = −(Ri + L∂i/∂t)dx egyenlőség éppen azt fejezi ki, hogy x megnövelése dx-szel mekkora feszültségcsökkenést, ill. feszültségesést okoz) A (2) egyenlet megadja az áram megváltozását a vezeték mentén, amely azért jön létre, mert az áram egy része, mint átvezetési áram folyik el a másik vezetékhez, más része pedig mint töltés halmozódik fel. Tehát (1) és (2) azt mondja ki, hogy mind a feszültség, mind az áram változik a vezeték mentén. A két egyenlet (1) és (2) alapján lehetővé válik a dx A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név-

és tárgymutató Vissza ◄ 238 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 239 ► hosszúságú vezetékelem helyettesítőkapcsolásának felrajzolása. (1012 ábra). 10.12 ábra A dx hosszúságú távvezetékdarab helyettesítőkapcsolása Abban az esetben, ha a generátor tiszta szinuszos feszültséget állít elő, az (1) és (2) egyenlet komplex pillanatértékekkel felírva a következő lesz: − ∂u = R i + jωL i = ( R + jωL ) i , ∂x (3) − ∂i = Gu + jωCu = ( G + jωC ) u , ∂x (4) ahol u a feszültség, i az áram komplex pillanatértéke. Kiindulási egyenletünk az (1), (2) egyenlet, amely az áramnak, illetőleg a feszültségnek térbeli és időbeli változását hozzák kapcsolatba egymással. Differenciáljuk az (1) egyenletet x szerint: ∂2u ∂i ∂ 2i ∂i ∂ ∂i − 2 =R +L =R +L . ∂x ∂x ∂x ∂t ∂x ∂t ∂x (5) Helyettesítsük ebben az

egyenletben (2)-ből ∂i/∂x értékét: ∂2u ∂2 u ∂u = + ( RC + LG ) + RGu . LC 2 2 ∂x ∂t ∂t (6) Ha viszont a (2) egyenlet deriváltjába helyettesítjük az (1) egyenletből ∂u/∂x értékét, akkor a következő összefüggéshez jutunk: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 239 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ ∂ 2i ∂2 i ∂i = + ( RC + LG ) + RGi . LC 2 2 ∂x ∂t ∂t 240 ► (7) A (6), (7) egyenleteknek két közös tulajdonsága van: alakjuk megegyezik és mindkettő csak az egyik elektromos mennyiség – vagy a feszültség, vagy az áram – változását írja le térben és időben. Mindkét egyenlet egy másodrendű parciális differenciálegyenlet Szokták őket távíróegyenleteknek is nevezni A határfeltételek ismeretében meg lehet határozni azokat a függvényeket, amelyek mind a

differenciálegyenletet, mind a határfeltételeket kielégítik. A gyakorlat számára alapvető fontosságúak a térben és időben periodikus megoldások. Ilyenek nyilván akkor jönnek létre, ha a gerjesztés periodikus. Vizsgáljuk meg szinuszos jelet szolgáltató generátor esetében a differenciálegyenletek megoldását. Ilyenkor várhatóan szinuszosan változik a feszültség és az áram a tápvonal mentén, illetve az időben Keressük ezért a differenciálegyenlet megoldását az alábbi általános, helyfüggő csillapítást is feltételező kétváltozós komplex függvény alakjában: ˆ e jωt −γ x , u=U 0 (8) ahol γ még meghatározandó komplex állandó. Az egyes differenciálhányadosok a következők: ∂u = jωu, ∂t ∂2u = −ω2 u, ∂ t2 ∂u = −γu, ∂x ∂2u = γ2u . ∂ x2 (9) Helyettesítsük be ezeket a (6) egyenlet komplex pillanatértékekkel felírt alakjába, amelyben u helyett így u szerepel. Az ismeretlen γ-ra a következő

összefüggést kapjuk: γ 2 = −ω2 LC + jω ( RC + LG ) + RG = ( R + jωL )( G + jωC ) , (10) azaz γ=± ( R + jωL )( G + jωC ) . (11) Ezt a γ-t, amely a vezeték paramétereitől és az időbeli periodicitást jellemző körfrekvenciától függ, komplex terjedési tényezőnek vagy együtthatónak nevezzük. Jelöljük ezen komplex szám valós részét α-val, képzetes részét β-val: γ = α + jβ . (12) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 240 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 241 ► Tehát (8) valóban megoldása a differenciálegyenletnek, és γ pozitív előjelét figyelembe véve a következő módon függ a feszültség a helytől és az időtől: ˆ + e jωt −( α+ jβ ) x = U ˆ + e −αx e j( ωt −βx ) . u+ = U 0 0 (13) β 1 = ω v (14) Bevezetve a jelölést: ⎛ x⎞ ˆ + e −αx e jω⎜⎝ t − v

⎟⎠ . u+ = U 0 (15) Ez az összefüggés egy a +x irányban haladó feszültséghullámot ír le, amely v sebességgel terjed és amplitúdója az úgynevezett α csillapítási tényezővel csillapodik. Az x ⎞ ⎛ ω⎜ t0 − 0 ⎟ (16) v ⎠ ⎝ kifejezés megadja a feszültség fázisát egy tetszőleges x0 pontban és t0 pillanatban. Egy későbbi t0 + ∆t időpontban ez a fázis az x0 + ∆x helyen észlelhető, azaz: x0 ⎞ ⎛ x 0 + ∆x ⎞ ⎛ (17) ⎜ t 0 − ⎟ = ⎜ t 0 + ∆t − ⎟. v ⎠ ⎝ v ⎠ ⎝ Ebből következik, hogy ∆x = v∆t . 18) A (18) egyenlet megmutatja, hogy mekkora távolsággal tolódott el az azonos fázisú hullámfront ∆t idő alatt; az is látszik, hogy v valóban sebesség. A (14) egyenletben szereplő β mennyiséget fázistényezőnek nevezzük, mértékegysége radián/m. Ha a terjedési együttható negatív értékét helyettesítjük a (8) egyenletbe, akkor megkapjuk a negatív x irányban haladó ugyancsak v sebességű

hullám egyenletét Ez éppen úgy megoldása a (6) egyenletnek, mint (15) Tehát: ⎛ x⎞ ˆ − eαx e jω⎜⎝ t + v ⎟⎠ . u =U 0 (19) − A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 241 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 242 ► Ennek amplitúdója a növekvő x értékek irányában exponenciálisan nő. Látjuk, hogy a hullám haladási iránya mindig egybeesik az amplitúdócsökkenés irányával. Ez fizikailag azért van, mert a hullám haladása közben a vezeték veszteségein (R és G) energiája hővé alakul, aminek következtében amplitúdója egyre csökken. Ezt emlékezetben tartva könnyen megjegyezhetjük, mikor melyik irányban halad egy hullám A csillapítási tényező mértékegysége 1/m, vagy logaritmikus egységben kifejezve 1 Np/m, ill. 8,68 dB/m, ami azt jelenti, hogy 1 m-es szakaszon a feszültség e-ed részére

csökken. Ez megfelel 1 Np, ill 8,68 dB csillapításnak Ugyanis: ˆ + e −αx , ˆ+ = U U 0 (20) ˆ + Û + U = + = e −αx , ˆ ˆ + U 0 U (21) 1 Û 0+ α = ln + . ˆ x U (22) 0 ebből A (22) egyenletben ln Û 0+ éppen az x távolságra jutó csillapítás értékét Û + adja meg néperben. 10.13 ábra A feszültség változása a távvezetéken pozitív x irányban haladó hullám esetében A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 242 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 243 ► A 10.13 ábrán látható a feszültséghullám alakja (a valódi pillanatérték, Re u ) a vezeték mentén két adott pillanatban. Számítsuk ki a hullámhoszszát: e amiből jω x v =e jω x +λ v , (23) ωλ 2πv 2π = 2π, λ = = . ω β v (24) A (24) egyenlet szerint, λ ismeretében a fázistényező: β= 2π . λ (25) Ha a (24)

összefüggés λ = 2πv/ω alakjába ω helyére 2πf-et írunk, akkor a már jól ismert λ = v/f összefüggést kapjuk. A feszültségeloszlás a vezeték mentén a későbbi, t0 + ∆t időpillanatban megegyezik a t0 időpontban meglévő feszültségeloszlással, csak közben a terjedési sebességtől függő dx = vdt távolsággal eltolódott, miközben az amplitúdója is csökkent ∆U értékkel. 10.14 ábra A feszültség változása az időben A vezeték valamely tetszés szerinti helyén a feszültség időbeli lefolyása szinuszos. Ez látható a 1014 ábrán Ugyancsak ezen az ábrán látható a feszültség időbeli lefolyása az előző helytől dx távolsággal jobbra lévő helyen. Az amplitúdó ∆u értékkel csökkent és megváltozott a feszültség fázisa is A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 243 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató

Vissza ◄ 244 ► Ezután határozzuk meg i hely- és időfüggését. Fejezzük ki a (3) egyenletből i értékét: 1 ∂u . (26) i =− R + jωL ∂ x ∂u kifejezését behelyettesítve: ∂x i =− −γ ˆ + e jωt −γx . U 0 R + jωL (27) A (27) egyenletből leolvasható, hogy ˆI + = 0 γ ˆ +, U 0 R + jω L (28) valamint hogy az áram idő- és helyfüggése ugyanolyan jellegű, mint a feszültségé, azaz a vezetéken áramhullám halad. A távvezetéken haladó feszültség- és áramhullám amplitúdójának hányadosát hullámimpedanciának nevezzük és Z0-lal jelöljük. Ha ez valós érték, szokás hullámellenállásnak is nevezni: Z0 = ˆ + R + jω L U R + jω L 0 = =+ . ˆI + γ G + jω C (29) 0 ∂u -et a pozitív x irányban haladó feszültséghullám ∂x parciális deriváltjával helyettesítettük. Ha a negatív x irányban haladó hullám kifejezését deriváljuk, akkor A (26) egyenletben ˆ − R + jωL U R + jω L 0 = =− = − Z0 ˆI

− −γ G + jωC (30) 0 Az eddigiekben olyan esetekkel foglalkoztunk, amikor a távvezetéken csak a pozitív vagy csak a negatív x irányban haladó hullám volt. Általában egyszerre van jelen mind a pozitív, mind a negatív x irányban haladó feszültség- illetve áramhullám Ilyenkor ˆ + e jωt −γx + U ˆ − e jωt +γx , u ( x, t ) = u + + u − = U 0 0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza (31) ◄ 244 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ i ( x, t ) = i + + i − = ˆI0+ e jωt −γx + ˆI0− e jωt +γx . 245 ► (32) Behelyettesítéssel meggyőződhetünk róla, hogy a (31), (32) egyenletek kielégítik a (6), (7) differenciálegyenleteket, az állandók, illetve az együtthatók megfelelő értékeinél a határfeltételeket is. (32) a (29), (30) egyenletek felhasználásával a következőképpen írható még: i ( x, t ) =

ˆ+ ˆ− U U 0 e jωt −γx − 0 e jωt +γx . Z0 Z0 (33) 10.2 A terjedési együttható és a hullámellenállás függése a vezeték állandóitól A terjedési együttható valós és képzetes részének meghatározása a γ-ra kapott összefüggés alapján lehetséges. A kiindulási egyenletünk tehát: ( R + jωL )( G + jωC ) . γ = α + jβ = (1) 10.21 Ideális vezeték Abban az esetben, amikor a távvezeték jó vezetőképességű anyagból készül és a szigetelés is tökéletes, megengedhető az idealizálás, illetve közelítés, amely szerint R és G értékét nullának tekintjük. Ilyenkor γ = α + jβ = ( 0 + jωL )( 0 + jωC ) , (2) azaz γ = 0 + jω LC = jω LC . A (3) egyenlet értelmében (3) α =0, (4) β = ω LC , (5) tehát az α csillapítási tényező értéke nulla, amint az előre várható volt. A terjedési sebesség: ω 1 v= = . (6) β LC A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 245

► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 246 ► (Itt emlékeztetünk arra, hogy L és C a méterenkénti induktivitás illetve kapacitás, így v mértékegysége valóban m/s.) A (6) összefüggés szerint C és L csökkentésével a hullám terjedési sebessége tetszőlegesen növelhető lenne. Ez azonban nincs így Ugyanis C csökkentésével – amit úgy érhetünk el, hogy a két vezetőt egymástól nagyobb távolságra helyezzük – nő a méterenkénti induktivitás, mert a két vezető közötti felületen ebben az esetben több mágneses erővonal halad keresztül. Az eredmény az lesz, hogy a terjedési sebesség változatlan marad Az itt elmondottakat számszerűen is nyomon követhetjük a 1011 táblázat két példája kapcsán. Kitűnik, hogy a terjedési sebesség csak a két vezető között elhelyezkedő szigetelőanyag tulajdonságaitól, anyagi állandóitól függ. Ha a

szigetelő levegő, akkor jó közelítéssel: v= 1 =c. ε 0µ 0 (7) Ez esetben tehát v a fénysebességgel egyezik. Ha más szigetelőt használunk, akkor ε > ε0 és így v < c (azaz kisebb, mint a fénysebesség) A hullámellenállásra az alábbi kifejezést kapjuk: Z0 = 0 + jω L = 0 + jω C L . C (8) A 10.11 táblázatból látszik, hogy Z0 nemcsak a dielektrikumtól, a szigetelőanyag megválasztásától függ, hanem nagymértékben a távvezeték geometriájától is Az ideális vezetéknek az a tulajdonsága, hogy csillapítása a frekvenciától függetlenül 0, és hogy a hullám terjedési sebessége sem függ a frekvenciától, nagyon fontos. Ez az oka annak, hogy az átvitel torzításmentes, azaz a jel egy ∆t késleltetést szenved csupán a távvezetéken történő végighaladása közben. A késleltetés: A ∆t = , (9) v ahol ℓ a távvezeték hossza. Igaz, hogy vizsgálatainkat csak szinuszosan váltakozó feszültségekre végeztük, de ha

figyelembe vesszük, hogy minden jel megadható spektrálisan is, akkor megállapításaink vonatkoztathatók a spektrum minden egyes, más-más frekvenciájú összetevőjére. Ez pedig azt A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 246 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 247 ► jelenti, hogy a bemenetre adott jel – az időkéséstől eltekintve – változatlanul jelenik meg a távvezeték végén (lásd Jelek és rendszerek tantárgy). 10.22 Kis csillapítású vezeték Kis csillapítású vezetékről beszélünk abban az esetben, ha az ohmos ellenállás kicsi az induktív ellenálláshoz képest, az átvezetés pedig a kapacitív vezetéshez képest. Ez a feltétel a gyakorlatban széles frekvenciatartományban teljesül Emeljük ki a terjedési együttható kifejezéséből a jω LC kifejezést Ekkor a következő összefüggést kapjuk: γ =

jω LC 1 − j R G . 1− j ωL ωC (10) Felhasználva a 1 1 1− a ≈ 1− a − a2 2 8 (11) 1 közelítést, ami az (1 − a ) 2 Taylor-sorának az első három tagja, valamint elhanyagolva 1/ω-nak másodfokúnál magasabb hatványait, írhatjuk, hogy: 2 ⎡ j⎛ R G ⎞ 1 ⎛R G⎞ ⎤ γ ≈ jω LC ⎢1 − ⎜ + ⎟+ 2 ⎜ − ⎟ ⎥. ⎣⎢ ω ⎝ 2L 2C ⎠ 8ω ⎝ L C ⎠ ⎦⎥ (12) A (12) egyenlet valós része a csillapítási tényezőt, képzetes része a fázistényezőt adja. Ezek szerint: 2 ⎡ 1 ⎛R G⎞ ⎤ β ≈ ω LC ⎢1 + 2 ⎜ − ⎟ ⎥ , ⎣⎢ 8ω ⎝ L C ⎠ ⎦⎥ α≈ R 2 C G + L 2 (13) L . C (14) Láthatjuk, hogy a csillapítási tényező most is független a frekvenciától, a fázistényező azonban nem. Vizsgáljuk meg, mi lesz ennek a hatása a fázissebességre Ehhez használjuk fel a v = ω/β összefüggést, tehát: ω v= ≈ β 1 LC 2 ⎡ 1 ⎛R G⎞ ⎤ ⎢1 − 2 ⎜ − ⎟ ⎥ . ⎢⎣ 8ω ⎝ L C ⎠ ⎥⎦ A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (15) Vissza ◄ 247 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 248 ► Itt figyelembevettük még, hogy 1/(1+a) ≈1−a, ha a << 1. A (15) egyenlet szerint a fázissebesség sem független a frekvenciától, növekvő frekvenciákkal értéke nő. Ebben az esetben tehát nem beszélhetünk torzításmentes átvitelről A (14) egyenlet átírható egy a gyakorlatban használatosabb alakba: α= R G + . 2Z0 2Y0 (16) Itt Z0 = L , és Y0 = C , miáltal eltekintettünk ezen mennyiségek kisC L mértékű frekvenciafüggésétől. Kis csillapítási tényező esetén α megadja a távvezetéken haladó feszültséghullám hosszegységre eső relatív feszültségcsökkenését. Ennek igazolására induljunk ki a (10.1-20) összefüggésből, amit így is írhatunk: ˆ+ =U ˆ + e −αx . U 0 (17) Deriváljuk az egyenletet x

szerint: ˆ+ dU = −αÛ 0+ e −αx . dx (18) Az (18) egyenletet (17)-nel összevetve azt írhatjuk, hogy ˆ+ dU = −αÛ + , dx ˆ + /U ˆ+ ˆ + /U ˆ+ −∆U dU = −α, α ≈ . ∆x dx (19) Tehát α valóban megadja a hosszegységre eső relatív feszültségcsökkenést. Szigorúan véve az (19) összefüggés nem csupán kis csillapítású vezetékre érvényes, azonban x-nek ilyenkor rövidebb szakaszt kell választani. Mint szó volt róla Z0 is frekvenciafüggő abban az esetben, ha R és G értéke 0-tól különböző. Kis csillapítású távvezetéknél ez a következő módon adható meg: Z0 = R + jω L = G + jω C R ⎞ ⎛ jω L ⎜ 1 − j ⎟ ωL ⎠ ⎝ = G ⎞ ⎛ jω C ⎜ 1 − j ⎟ ωC ⎠ ⎝ L C A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató R ωL . G 1− j ωC 1− j Vissza ◄ (20) 248 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄

249 ► Alkalmazva a 1 1 − a ≈ 1 − a, 2 1 1 ≈ 1+ a 2 1− a (21) közelítéseket, Z0-ra a következő kifejezést írhatjuk fel az 1/ω2-es tagot elhagyva: L⎡ G ⎞⎤ ⎛ R − (22) Z0 ≈ 1 − j⎜ ⎟⎥ . ⎢ C⎣ ⎝ 2ωL 2ωC ⎠ ⎦ Eszerint Z0 képzetes résszel is rendelkezik, amely azonban növekvő frekvencián egyre kisebb. 10.23 Torzításmentes vezeték Azokat a nagy csillapítású vezetékeket, amelyekre teljesül az LG = RC (23) egyenlőség torzításmentes vezetéknek hívjuk. Ebben az esetben a terjedési tényező a következőképpen írható: γ= ⎛ R ⎞⎛ G ⎞ LC ⎜1 + ⎟⎜ 1 + ⎟= jωL ⎠⎝ jωC ⎠ ⎝ ( R + jωL )( G + jωC ) = jω ⎛ R ⎞ = jω LC ⎜1 + ⎟ = jω LC + j ωL ⎠ ⎝ C R = jω LC + L (24) RG , mert: R G = , és L C C G = L R (25) a (23) egyenlet szerint. A fázistényező és a fázissebesség pedig a következő: β = ω LC, v = ω = β 1 . LC (26) Utóbbi független a frekvenciától és

megegyezik az ideális esetre kapott eredményünkkel. A csillapítási tényező értéke: α= (27) RG A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 249 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 250 ► szintén frekvenciafüggetlen. Mivel ebben az esetben a jel spektrumának összetevői azonos sebességgel, azonos idő alatt jutnak a lezáráshoz, és ezenkívül a csillapítás mértéke is megegyezik, így csak időkéséssel és csillapítással kell számolni; a jel alakjában torzulás nem következik be. 10.3 A vezeték végén fellépő jelenségek (haladó és visszavert hullám) A 10.1 fejezetben meghatároztuk a távvezeték differenciálegyenletének általános megoldását: ˆ + e jωt −γx + U ˆ − e jωt +γx , u ( x, t ) = U 0 0 (1) i ( x, t ) = ˆI0+ e jωt −γx + ˆI0− e jωt +γx = (2) ˆ+ ˆ− U U = 0 e jωt −γx − 0 e

jωt +γx . Z0 Z0 ˆ +, U ˆ − , ˆI + , ˆI − értékét, pontosabban Most az a célunk, hogy kiszámítsuk U 0 0 0 0 ezeknek a viszonyát. 10.31 ábra A végénél Z komplex impedanciával lezárt távvezeték A határfeltételek figyelembevételével ez lehetséges. Zárjuk le a vezetéket a 10.31 ábra szerint Z komplex impedanciával Negatív x irányban legyen a vezeték végtelen hosszú. Az x = 0 helyen a következő egyenlőség írható fel: ˆ U ˆI = Z. (3) x =0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 250 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 251 ► Már most is megállapítható, hogy a vezetéken nem csak egy irányban halaˆ és ˆI hányadosa mindó hullám lesz jelen. Ugyanis ebben az esetben U denhol a hullámimpedanciát adná, pozitív vagy negatív előjellel, így az x = 0 helyen is. Az x = 0 hely felé haladó hullámot

a továbbiakban beeső hullámnak, az ellenkező irányú hullámot pedig visszavert hullámnak nevezzük. 10.31 Reflexiós tényező Célunk tehát az, hogy meghatározzuk a visszavert és a haladó hullám amplitúdójának viszonyát, amit reflexiós tényezőnek nevezünk. A határfeltétel szerint: ˆ+ +U ˆ− ˆ U U 0 = 0 = Z. (4) ˆI ˆI + + ˆI − 0 0 x =0 Ha most felhasználjuk a ˆ+ U 0 = Z0 , ˆI + ˆ− U 0 = − Z0 ˆI − 0 (5) 0 összefüggéseket, a (4) egyenlet a következőképpen írható: Z= A Γ= ˆ+ +U ˆ− U 0 0 = Z0 ˆ ˆ + U 0 U 0− − Z 0 Z0 ˆ+ +U ˆ− U 0 0 . ˆ ˆ + − U −U 0 (6) 0 ˆ− U 0 reflexiós tényező bevezetésével az egyenlet a következő: ˆ U+ 0 1+ Z = Z0 ˆ− U 0 ˆ U+ 0 ˆ− U 1− 0 ˆ+ U = Z0 1+ Γ . 1− Γ (7) 0 Ebből a reflexiós tényező kifejezhető: Γ= Z − Z0 . Z + Z0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (8) Vissza ◄ 251 ► Elektrodinamika

Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 252 ► A reflexiós tényező általában komplex szám; abszolút értéke megadja a visszavert és a haladó feszültséghullám amplitúdóviszonyának abszolút értékét, fázisszöge pedig megmutatja, hogy a visszavert hullám mennyivel siet vagy késik a beeső hullámhoz képest. A reflexiós tényező segítségével a távvezetéken lévő feszültség és áram a következő módon írható fel: ( ) ˆ + e jωt −γx + Γe jωt +γx , u ( x, t ) = U 0 (9) ˆ+ U 0 e jωt −γx − Γe jωt +γx . Z0 (10) i ( x, t ) = ( ) Vizsgáljuk meg a feszültség- és árameloszlást néhány speciális lezárásnál. Első esetben legyen a lezáró-ellenállás egyenlő a távvezeték hullámimpedanciájával, azaz: Z = Z0 . (11) (8) szerint a reflexiós tényező értéke 0, így a feszültség és az áram kifejezése a következő lesz: ˆ + e jωt −γx , u ( x, t ) =

U 0 ˆ+ U i ( x, t ) = 0 e jωt −γx . Z0 (12) Ilyenkor tehát a feszültség és az áram hányadosa a távvezeték minden pontján Z0-lal egyezik meg. A lezárás illesztve van a távvezetékhez, a vezetéken szállított energia teljes egészében átadódik Z-nek Második speciális esetként vizsgáljuk a rövidzárral lezárt távvezetéket. Most a lezáró ellenállás nulla, így a reflexiós tényező értéke −1, amiről a (8) egyenletbe behelyettesítéssel győződhetünk meg: Γ= Z − Z 0 0 − Z0 = = −1 . Z + Z0 0 + Z 0 (13) Az áram és a feszültség pedig: ( ) ˆ + e jωt −γx − e jωt +γx , u ( x, t ) = U 0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (14) Vissza ◄ 252 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ ˆ+ U i ( x, t ) = 0 e jωt −γx + e jωt +γx . Z0 ( ) 253 ► (15) Ha csak az ideális távvezetékkel

foglalkozunk, akkor a (14), (15) kifejezések a következő módon egyszerűsödnek az Euler-reláció alapján: ( ) ˆ + e jωt e− jβx − e jβx = −2 jU ˆ + sin βx e jωt , u ( x, t ) = U ) 0 0 ( (16) ˆ+ ˆ+ U U 0 e jωt e− jβx + e jβx = 2 0 ( cos βx ) e jωt . Z0 Z0 (17) i ( x, t ) = ( ) Ha β helyett 2π/λ-át írunk, akkor ˆ + ⎛ sin 2π x ⎞ e jωt , u ( x, t ) = −2 jU 0 ⎜ ⎟ λ ⎠ ⎝ i ( x, t ) = 2 ˆ+ U 0 Z0 (18) 2π ⎞ jωt ⎛ ⎜ cos x ⎟ e . λ ⎠ ⎝ (19) A (18), (19) egyenletek értelmében az áram, és a feszültség komplex amplitúdójának fázisa független a helytől. A feszültségamplitúdó szinuszfüggvény szerint, az áramamplitúdó pedig koszinuszfüggvény szerint változik Ezek szerint a távvezeték egy adott pontján a feszültség ω körfrekvenciával harmonikus rezgést végez, úgyszintén az áram is, ahol a feszültség illetve az áram amplitúdója a következő: + ˆ + sin 2π x illetve 2 Û 0 cos 2π

x . 2U 0 λ λ Z0 ˆ értéke 0, ˆI A távvezeték végén a lezárásnak megfelelően (rövidzár) U ˆ + / Z . A távvezeték mentén a feszültség és az áram változásait pedig 2U 0 0 szemlélteti a 10.32 ábra Látható, hogy a lezárástól λ/4 távolságig az áram és a feszültség fázisa változatlan, csak az amplitúdóértékek változnak pontról pontra. Továbbá megállapíthatjuk, hogy abban az időpillanatban, amikor az áram 0 (3 jelű görbe), a feszültség maximummal rendelkezik, ilyenkor a távvezeték összes energiája elektromos energia, amely fokozatosan átmegy mágneses energiába. Ez a fajta feszültség- és árameloszlás az ún. állóhullám A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 253 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 254 ► 10.32 ábra Rövidre zárt távvezeték viszonyai. Az áramnak a vezeték végén

maximuma van, a feszültségnek csomópontja. Az áram és a feszültség amplitúdóeloszlása szinuszos Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor a távvezeték szakadással van lezárva. Ilyenkor Z végtelen. Határozzuk meg Γ értékét Z0 Z − Z0 1 − Z Γ= = = 1, Z + Z 0 1 + Z0 Z (20) Z0 = 0 . Az előzőhöz teljesen hasonló módon meghatározható Z u ( x, t ) és i ( x, t ) . mert ˆ + ⎛ cos 2π x ⎞ e jωt , u ( x, t ) = 2U 0 ⎜ ⎟ λ ⎠ ⎝ i ( x, t ) = −2 j ˆ+ U 0 Z0 (21) 2π ⎞ jωt ⎛ x⎟e . ⎜ sin λ ⎠ ⎝ (22) Nyitott vezetékvégen a feszültségnek maximuma, az áramnak pedig csomópontja van. A feszültség- és áramamplitúdó eloszlását a 1033 ábrán láthatjuk, a távvezetéken most is állóhullám alakul ki. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 254 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 255 ►

Zárjuk le a távvezetéket ohmos ellenállással, amely azonban nem egyezik meg a hullámellenállással. Ebben az esetben a reflexiós tényező: Γ= R − Z0 , R + Z0 (23) valós érték. Ilyenkor a visszavert hullám nem szenved fázisforgatást A távvezetéken lesz egy haladó hullám és egy állóhullám; az energia egy része jut csak el a lezárásra. A 1034 ábra szemlélteti a feszültség- és az áramamplitúdó eloszlását. Az eddig vizsgált három eset kapcsán megállapíthatjuk, hogy minél nagyobb az illesztetlenség, annál nagyobb az amplitúdóingadozás a távvezeték mentén. Határesetben, rövidzárral vagy szakadással való lezárásnál nulla és egy maximum között változik. 10.33 ábra Szakadással lezárt távvezeték viszonyai. Az áramnak a vezeték végén csomópontja van, a feszültségnek maximuma. Az áram és a feszültség amplitúdóeloszlása szinuszos 10.34 ábra A hullámimpedanciától eltérő impedanciával lezárt távvezeték

viszonyai A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 255 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 256 ► 10.32 Állóhullámarány Az illesztetlenséget a feszültség- és az áramamplitúdó eloszlásának figyelembevételével számszerűen jellemezhetjük a r állóhullámaránnyal. Az állóhullámarány a távvezetéken mérhető maximális és minimális feszültségamplitúdó hányadosa, vagyis: r= ˆ U max ˆ U min Û 0− 1+ + ˆ+ +U ˆ− ˆ 1+ Γ U U 0 0 0 . = + = = − − ˆ −U ˆ ˆ 1− Γ U U 0 0 0 1− + Û 0 (24) A (24) összefüggés szerint az állóhullámarány értéke illesztés esetén 1, és végtelen teljes illesztetlenségnél, amikor a távvezeték vagy szakadással, vagy rövidzárral van lezárva. Sokszor használjuk az illesztetlenség jellemzésére a haladóhullám-viszonyt Ez az állóhullámarány reciproka: ˆ

+ −U ˆ− U ˆ 1 U 0 k = = 0+ = min . − ˆ +U ˆ ˆ r U U 0 0 max (25) Ha a távvezeték illesztett, k értéke 1, ha illesztetlen 0. Ideális távvezetéket feltételezve Û0+ ill. Û0− a távvezeték minden pontján ugyanakkora, így az állóhullámarány állandó. Nem ideális távvezetéknél a haladó és a visszavert hullám amplitúdója exponenciális függvény szerint változik, így r is pontról pontra más lesz. Pontosabban a lezárástól a generátor felé haladva értéke csökken. 10.4 A távvezeték bemenőimpedanciája Ha van egy véges hosszúságú távvezeték (10.41 ábra), amelynek ismertek a paraméterei és ismert a lezáró impedancia, Z2 értéke, akkor az eddigiek alapján mód van arra, hogy a bemenő impedancia értékét meghatározzuk. 10.41 ábra A negatív x távolságok jelölésére bevezetett „ℓ” változó értelmezése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 256 ►

Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 257 ► A távvezeték minden pontján, így bemenetén is meg tudjuk adni a feszültséget és az áramot és természetesen ezek hányadosát, az impedanciát is. Legyen a lezáró impedancia Z2 , a vezeték hossza ℓ, a vezeték hullámellenállása Z0, az ezekből számítható reflexiós tényező Γ, így a feszültség egy tetszés szerinti x helyen: ( ) ˆ + e jωt e − γx + Γe γx , u ( x, t ) = U 0 (1) ˆ+ U 0 e jωt e −γx − Γe γx . Z0 (2) az áramerősség pedig: i ( x, t ) = ( ) Írjuk fel a feszültség kifejezését a hiperbolikus függvényekre vonatkozó azonosságok felhasználásával a következő módon: ˆ + e jωt chγx − shγx + Γchγx + Γshγx = u ( x, t ) = U [ ] 0 ˆ + e jωt ⎡ 1 + Γ chγx − 1 − Γ shγx ⎤ = =U ) ( ) ⎦ 0 ⎣( (3) ˆ + e jωt 1 + Γ ⎡chγx − 1 − Γ shγx ⎤ . =U ( )⎢ 0 ⎥ 1+ Γ

⎣ ⎦ Mivel az x = 0 helyen, azaz a távvezeték végén a feszültség komplex amplitúdója (1) szerint ˆ =U ˆ + 1+ Γ , (4) U 2 0 ( ) ezért a (3) egyenlet felírható az alábbiak szerint: ˆ e jωt ⎡chγx − 1 − Γ shγx ⎤ . u ( x, t ) = U 2 ⎢ ⎥ 1+ Γ ⎣ ⎦ (5) Az áramerősség komplex amplitúdója az x = 0 helyen: ˆ ˆ ˆI = ˆI + + ˆI − = U ˆ + ⎡ 1 − Γ ⎤ = U2 1 − Γ = U2 1 − Γ . ⎥ 2 0 0 0 ⎢ Z0 1 + Γ ⎣ Z 0 Z 0 ⎦ 1 + Γ Z0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza (6) ◄ 257 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 258 ► (3), (4) és (6) figyelembevételével a feszültség komplex csúcsértéke egy tetszés szerinti x helyen: ˆ =U ˆ chγx − Z ˆI shγx . U 2 0 2 (7) Teljesen hasonló összefüggésre jutunk az áramerősség értékének meghatározásánál: ˆ ˆI = ˆI chγx − U 2 shγx .

(8) 2 Z0 Jelöljük a negatív x koordinátákat, azaz a generátor felé mérhető távolságokat ℓ-lel. Ennek értelme az, hogy így elkerülhető a negatív x értékekkel való számolás, annak ellenére, hogy a kezdőpont nem a generátornál, hanem a lezárásnál van. Ezen jelölés bevezetésével az ℓ hosszúságú vezeték bemenetén a feszültség és az áram kifejezése a következő: ˆ =U ˆ chγA + Z ˆI shγA , U 1 2 0 2 (9) ˆ ˆI = ˆI chγA + U 2 shγA . 1 2 Z0 (10) A bemenőimpedancia pedig: Z1 = ˆ chγA + Z ˆI shγA Z chγA + Z shγA ˆ U U 0 2 0 1 = 2 = 2 Z0 . ˆI ˆ γ A + γ A Z ch Z sh 0 2 ˆI chγA + U 2 shγA 1 2 Z0 (11) Z2 = Z0 esetében a (11) egyenlet Z1 -re is Z0-t ad, tehát a bemenőim- pedancia megegyezik a hullámimpedanciával. Rövidre zárt távvezetéknél, amikor Z2 = 0, Z1r = Z0 thγA . (12) Ha a vezeték veszteségmentes, α = 0 : Z1r = jZ0 tgβ A . Ha a vezetékvég nyitott, vagyis üresjáráskor ( Z2 ∞ ) Z1ü = Z0 .

thγA A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (13) Vissza ◄ 258 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 259 ► Veszteségmentes vezeték esetén: Z1ü = − jZ0 ctgβA . Szorozzuk meg, illetve osszuk el a (12) egyenletet (13)-mal, így két fontos összefüggéshez jutunk: Z0 = Z1r Z1ü , (14) Z1r . Z1ü (15) thγA = A (14), (15) egyenletek lehetővé teszik Z0 és thγℓ mérésének visszavezetését Z1ü és Z1r mérésére. Ideális távvezeték esetében a bemenőimpedancia kifejezése a következő lesz: Z cos β A + jZ0 sin βA . (16) Z1 = Z0 2 Z0 cos β A + jZ2 sin βA Ha a vezeték hossza a fél hullámhossz egész számú többszöröse, vagyis A = nλ / 2 , ahol n egész szám, a bemenő impedancia megegyezik a lezáró impedanciával: Z +0 = Z2 . Z1 = Z0 2 (17) Z0 + 0 Ezért mondhatjuk, hogy a λ/2-es távvezetékszakasz egy 1:1 áttételű

transzformátornak fogható fel. Ha viszont A = n λ λ ± , akkor 2 4 Z02 Z1 = , Z2 (18) π mert cos ⎜⎛ 2nπ ± π ⎟⎞ = 0 és sin ⎛⎜ n2π ± ⎞⎟ = ±1 . 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Z2 a (18) képletben nemcsak a lezáró impedanciát jelentheti, hanem a távvezeték bármely pontjának impedanciáját. Ilyenkor az összefüggés tulajdonképpen a távvezeték két egymástól n λ λ ± távolságra lévő pontján 2 4 mérhető impedanciaérték közötti kapcsolatot adja meg. Ha n = 0, akkor A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 259 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató ◄ Vissza 260 ► azt mondhatjuk, hogy az egymástól negyed hullámhossznyi távolságra lévő impedanciaértékek mértani közepe megegyezik a hullámellenállással. Térjünk vissza a (16) egyenletre, ennek egy másik, gyakran használt alakját megkapjuk, ha

elosztjuk az egyenlet jobb oldalának számlálóját és nevezőjét is cosβℓ-lel: Z + jZ0 tgβ A Z1 = Z0 2 . (19) Z0 + jZ2 tgβ A 10.5 Fázis- és csoportsebesség Ha egy távvezeték keskenysávú jellel modulált szinuszos vivőt továbbít, és a távvezeték fázistényezője nem lineárisan függ a frekvenciától, mert fázissebessége frekvenciafüggő, akkor az információáramlás, azaz a moduláció terjedési sebessége nem egyezik meg a vivő fázissebességével. A következő példa kapcsán a jelenséget részletesebben is megvizsgáljuk Legyen a továbbítandó kétoldalsávos jel az alábbi: ˆ ˆ ˆ cos ωt ± U m cos (ω − ∆ω) t + U m cos (ω + ∆ω) t , u (t ) = U v v v 2 2 ahol ωv a vivőfrekvencia amplitúdója, a vivő körfrekvenciája, Û m ˆ a moduláló szinuszos jel amplitúdója U m ∆ω a moduláló jel körfrekvenciája. Û v ( (1) ) ˆ , U v 10.51 ábra A β(ω) görbe linearizálása a vivő környezetében A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 260 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 261 ► A három koszinuszos jelet forgó vektorral szimbolizálva, és képezve a vektorok eredőjét, amplitúdómodulált jelet kapunk abban az esetben, ha a második tag előjele pozitív, és frekvenciamoduláltat akkor, ha negatív. A fázistényező frekvenciafüggését a 10.51 ábra szemlélteti Mivel a jel keskenysávú, a vivő ±∆ω környezetében a β(ω) görbe egyenessel közelíthető, amelynek meredeksége a vivőfrekvencián β’(ωv). A 10.51 ábra jelöléseivel a hullám kifejezése: ˆ cos (ω t − β x ) ± u ( t, x ) = U v v v Û m cos (ω1t − β1x ) + 2 (2) Û + m cos (ω2 t − β2 x ). 2 Az ω1, ω2, β1 és β2 mennyiségek ∆ω-tól függő értékét behelyettesítve: ˆ cos (ω t − β x ) ± u ( t, x ) = U v v v Û m cos {(ωv t − β v x

) − ∆ω ⎡⎣ t −β’(ωv ) x ⎤⎦ } + 2 Û + m cos {(ωv t − βv x ) + ∆ω ⎡⎣ t −β’(ωv ) x ⎤⎦} . 2 (3) ± Alkalmazva az 1 1 cos (α − β) + cos (α + β) = cos α ⋅ cos β , 2 2 és az 1 1 − cos (α − β) + cos (α + β) = − sin α ⋅ sin β 2 2 trigonometrikus azonosságokat, a két hullám így is írható: { } ˆ +U ˆ cos ∆ω ⎡ t − β’(ω ) x ⎤ cos (ω t − β x ) , u AM (x, t) = U v m v v v ⎣ ⎦ ill. ˆ cos (ω t − β x ) − u FM (x, t) = U v v v (4) −Û m {sin ∆ω ⎣⎡ t − β’(ωv ) x ⎦⎤} sin (ωv t − β v x ). A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 261 ► Elektrodinamika Távvezetékek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató ◄ Vissza 262 ► Jól látható, hogy mindkét esetben az információt tartalmazó moduláció 1/β’(ωv) terjedési sebessége, az ún. csoportsebesség nem egyezik meg a

vivőhullám ωv/βv fázissebességével. (4)-ből kiolvasható a moduláció és a vivőhullám késleltetése is. A moduláció késleltetésére, az ún τcs csoportfutási időre azt kapjuk, hogy: ⎛ dβ ω ⎞⎟ d ⎡β (ω) x ⎤⎦ ⎜ ( ) ⎟⎟⎟ x = ⎣ τcs = β’(ωv ) x = ⎜⎜ ⎜⎜ dω ⎟⎟ dω ⎝ ω=ωv ⎠ , (5) ω=ωv ahol β(ω)x az átviteli csatorna – most a távvezetékszakasz – fáziskésleltetése. Ezzel a csatorna fáziskarakterisztikája így írható fel: ϕ (ω) = −β (ω) x . (6) A csoportfutási idő φ(ω)-val kifejezve: τcs = − dϕ (ω) dω . (7) ω=ωv A vivőhullám késleltetésére pedig az adódik, hogy τf = β ( ωv ) ωv x =− ϕ (ωv ) ωv , (8) ami az ún. fázisfutási idő Ha a távvezeték hosszú, akkor a késleltetésen kívül, még keskeny sávú jelek esetén is jelentős lehet a fáziskarakterisztika nemlinearitásából származó jeltorzulás, az ún. diszperzió A számítások során

feltételeztük, hogy a távvezeték csillapítása frekvenciafüggetlen, azaz csak sebességdiszperzió lép fel. Ha a sebességdiszperzió mellett csillapításdiszperzió is van, vagyis a csillapítási tényező is frekvenciafüggő, akkor a jeltorzulás még nagyobb lesz. Diszperziómentes távvezetéknél β(ω) = ω/v, tehát a fázis- és csoportsebesség megegyezik, ahogyan ez a (7) és (8) összefüggésből is adódik. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 262 ► Elektrodinamika Hullámvezetők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató ◄ Vissza 263 ► 11. Hullámvezetők Az eddig tárgyalt távvezetékek két párhuzamos vezetőből álltak, amelyek között valamilyen dielektrikum helyezkedett el. Ezek jellemzője, hogy a mágneses és elektromos erővonalak merőlegesek egymásra és a távvezeték hosszirányú kiterjedésére, tehát a hullám terjedési irányára. Az ilyen

hullámokat TEM-hullámoknak nevezzük (transzverzális elektromos és mágneses térkomponensekkel rendelkező hullám angolul Transversal ElectroMagnetic Wave). Ezekre a távvezetékekre a paramétereket a sztatikus tér alapján számíthattuk, ahol a méterenkénti induktivitás, kapacitás, ellenállás és átvezetés szolgáltak a számításaink alapjául. Az ilyen távvezetékek 0-tól elvileg végtelenig bármilyen frekvenciájú jelet átvihetnek. Azokban az esetekben, amikor a vezetékek közötti távolság összemérhető a hullámhosszal, nemcsak a TEM terjedési mód létezik, hanem ilyenkor lehetővé válik, hogy egy csővezetéken is terjedhessen az elektromágneses hullám. Ebben a fejezetben négyszög-keresztmetszetű csövekből kialakított hullámvezetőkkel vagy csőtápvonalakkal foglalkozunk. 11.1 Párhuzamos, sík fémlemezek közötti terjedés Az elrendezés (11.11 ábra) tulajdonképpen két vezetőből áll, TEM-hullámok terjedése tehát lehetséges

Tételezzük fel, hogy a lemezek végtelen jó vezetőképességűek. Ez esetben E-nek nem lehet a lemezekkel párhuzamos komponense, így E merőleges a lemez felületére, H pedig a felülettel párhuzamos. A hullám fázisa egy adott síkban állandó, ezért a párhuzamos lemezek között terjedő hullám síkhullám (lásd 8. fejezet) A térerősség változását komplex alakban a következő egyenlet írja le: E y ( t, z ) = Eˆ y e j(ωt−βz) . (1) Határozzuk meg az eltolási áramot: Je ( t, z ) = ε ∂E y ( t, z ) ∂t ⎛π ⎞ j⎜ −βz ⎟ j ωt −βz ) = jωεEˆ y e ( = ωεEˆ y e jωt e ⎝ 2 ⎠ . (2) Eszerint az eltolási áram térbelileg fázisban 90º-kal késik a faláramokhoz képest, hiszen azok E-vel és H-val vannak fázisban (E és H fázisa azonos). A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 263 ► Elektrodinamika Hullámvezetők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és

tárgymutató Vissza ◄ 264 ► 11.11 ábra A párhuzamos fémlemezek között terjedő TEM-hullám erővonalképe, árameloszlása Továbbra is feltételezzük, hogy a lemezek között csak haladó hullám terjed, valamint, hogy a csillapítási tényező értéke 0. Legyen a lemezek közötti távolság b Határozzuk meg a lemezek között áthaladó teljesítményt az x = a, y = b méretű felületen. A z irányú Poynting-vektor átlagértéke: Sz = 1ˆ ˆ EyHx , 2 (3) így az ab keresztmetszeten áthaladó teljesítmény: b 1 P= ∫ 20 a 1 ∫ Eˆ Hˆ dxdy = 2 Eˆ Hˆ ab . y x y (4) x 0 A lemezek közötti feszültség amplitúdója: ˆ = Eˆ b . U y y (5) Az áram és a mágneses térerősség közötti kapcsolatot az 11.12 ábra alapján határozhatjuk meg A gerjesztési törvény értelmében írhatjuk, hogy: ∫ HdA = ∫ JdA . (6) A A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 264 ► Elektrodinamika

Hullámvezetők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 265 ► 11.12 ábra Magyarázóábra a faláramok számításához ahol J a vezetést áramsűrűség. Nagy frekvencián a ∆ behatolási mélység csekély, az áram túlnyomó többsége a lemezek belső felületén folyik, ezért az integrálási út 3-4 szakaszát úgy érdemes felvenni, hogy az a behatolási mélységtől távolabb helyezkedjen el, ahol H = 0. Így elég az integrálást az 1-2 szakaszon elvégezni. A (6) egyenlet jobb oldala a következő szerint számolható: a ∫ a JdA = ∫ J z ∆d = ∫ J Fd = I z , A 0 (7) 0 ahol Jz∆ = JF a felületi áramsűrűség. Jz-t, a z irányú vezetési áramsűrűséget a behatolási mélységen belül állandónak vehetjük, értéke megegyezik a lemezek belső felületén lévő áramsűrűséggel. Úgy tekinthetjük, hogy az áram csak a behatolási mélység által megszabott a∆ keresztmetszeten folyik. Tehát:

a a ∫ HdA = ∫ H d x = ∫ J Fd . 0 A (8) egyenlet értelmében: (8) 0 JF = Jz∆ = Hx . (9) Ezzel az a szakaszon folyó felületi áram értéke: Iz = J F a = H x a . (10) Az (5) és (10) összefüggések felhasználásával a (4) egyenlet így írható: P= 1 ˆ ˆ U y Iz , 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (11) Vissza ◄ 265 ► Elektrodinamika Hullámvezetők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 266 ► ami azt fejezi ki, hogy a lemezek között terjedő elektromágneses síkhullám által szállított teljesítmény megegyezik a síkhullámmal együtt terjedő feszültség- és áramhullám amplitúdóival számított teljesítménnyel. (A számítás gondolatmenetének megfordításával a (4), ill a (3) összefüggés igazolásához jutunk) A hullámvezető hullámellenállása: Z0 = Uy Iz = Ey b b =η , Hx a a (12) ahol η = E y / H x = µ / ε a lemezek

közötti tér hullámellenállása, amit most η-val jelölünk. Minden távvezetékre érvényes, hogy L . C Z0 = (14) Határozzuk meg L-et és C-t. C megy könnyebben, mert alkalmazható a síkkondenzátor kapacitásának képlete: C = εA/b. Mivel A = (1m)a, C = εa/b. L kiszámítását az L = Φ / Iz összefüggés alapján végezhetjük el: Φ = BA = µH x (1m ) b = µI z és L= b , a (15) Φ b =µ . Iz a (16) Ezek után a lemezek közötti tér hullámellenállása: a η = Z0 = b b a a= µ. a ε ε b b µ (17) amely természetesen megegyezik a síkhullámoknál megismert összefüggéssel. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 266 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Hullámvezetők Vissza ◄ 267 ► 11.2 Négyszögletes csőtápvonal Abban az esetben, amikor két párhuzamos fémlemez között terjed az elektromágneses hullám és a hullámhossz

összemérhető a lemezek távolságával, akkor is van hullámterjedés, ha a párhuzamos elrendezésből oldalfalak segítségével csövet képezünk. Egyébként ez közismert tény, hiszen a fény is áthatol olyan átlátszó csöveken, amelyek mérete nagyobb mint a fény hullámhossza. Azt pedig tudjuk, hogy a fény is elektromágneses hullám A csőtápvonalban kialakuló hullámforma számítására két alapvető módszer lehetséges: az egyik a hullámegyenletnek az adott határfeltételek melletti megoldása, vagyis a Maxwell-egyenletekből kiinduló közvetlen módszer, a másik a már ismert TEM-módból való kiindulás, amelyet a párhuzamos lemezek közötti terjedés kapcsán vizsgáltunk. Most ez utóbbi módszert alkalmazzuk, amelynél nincs szükség differenciálegyenlet megoldására, a feladat geometriai problémává egyszerűsödik, emellett – mint látni fogjuk – jó fizikai képet nyújt a terjedésről. 11.21 TE-módusú négyszögletes csőtápvonal

A négyszögletes csőtápvonal metszetét és koordináta-rendszerünk helyzetét a 11.21 ábra mutatja A tápvonal tengelyiránya z; a szélesebb oldal iránya x, belső mérete a; a keskenyebb oldal iránya y, a belső mérete pedig b 11.21 ábra Négyszögletes 11.22 ábra Az x = 0 helyen hullámvezető az x, y, z koordinátafüggőleges fémlemezzel rendszerben párhuzamos lemezekből kialakított hullámvezető Induljunk ki tehát a két párhuzamos fémlemez között terjedő TEMmódból, ahol az elektromos tér merőleges a lemezek síkjára. Zárjuk le a két párhuzamos lemezt a 11.22 ábrának megfelelően egy az elektromos tér irányával párhuzamos harmadik fémsíkkal. Így egy U alakú hullámvezetőt kapunk, amelynek két szára x irányban végtelen kiterjedésű A hul- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 267 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató

Hullámvezetők Vissza ◄ 268 ► lámvezető tengelyirányát (z) a lezárósík határozza meg. Az x, y irányok az ábra szerintiek, x értékét a lezárósíktól számítjuk, tehát a lezáró lemez helyén x = 0. Zárjon be a két lemez között terjedő síkhullám terjedési iránya az x tengellyel ϑ szöget, a síkhullám tehát ferdén esik a lezáró lemezre. A beeső hullámot a lezáró lemez visszaveri a 11.23 ábra szerint, és minthogy a lemezen az elektromos térerősség értéke csak 0 lehet, ezért a visszavert hullám fázisának 180 fokkal meg kell fordulnia a beeső hullámhoz képest. Így a kettő eredője az x = 0 helyen minden z értéknél nulla lesz. 11.23 ábra A beeső síkhullám ábrázolása az y = b/2 síkban A 11.24 ábrán Pi jelöli a beeső hullámot, Pr pedig a visszavert hullámot A folytonos vonalak a beeső, a szaggatott vonalak a visszavert hullámra vonatkoznak. Ezen az ábrán az elektromos mező szintén merőleges a papír

síkjára. Érdekes megállapítást tehetünk az elektromos térerősség értékére a 11.24 ábrán x = a-val jelölt egyenes helyén és annak egész számú többszöröseinél Ezeken a helyeken a beeső és a visszavert hullám ellenkező fázisban találkozik, tehát az eredő éppúgy 0, mint az x = 0 helyen, annak ellenére, hogy itt nincs vezető felület Ha most ide helyezünk egy a reflektáló fémlemezzel párhuzamos másik fémlemezt, akkor az a kialakult hullámképet nem változtatja meg, hiszen ott az elektromos tér értéke zérus. Ezzel eljutottunk az U alakú elrendezésből a négyszögletes csőtápvonalhoz. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 268 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Hullámvezetők Vissza ◄ 269 ► 11.24 ábra Beeső és visszavert síkhullámok az y = b/2 síkban Attól függően, hogy hányszor „a” távolságnyira helyezzük

el a negyedik, lezáró lemezt, a négyszögletes csőtápvonalban lehetséges rezgési módok egy sorozatának valamelyikét kapjuk meg. A zárósík helyét megadó legkisebb „a” távolság az úgynevezett alap-rezgésimódnak, a többi (ennek egész számú többszörösei) már a magasabb rezgési módoknak felel meg. Megállapíthatjuk azt is, hogy a négyszögletes csőtápvonalnál (és tulajdonképpen minden csőtápvonalnál) a terjedés úgy jön létre, hogy a falakról történő folytonos visszaverődések közben alakul ki a hullámvezető elektromágneses tere a beeső és a visszavert hullámokból. Eközben a hullám a z tengely irányában előrejut, a 11.25 ábra szerint 11.25 ábra Az elektromágneses tér sorozatos reflexiók útján jut a z irányban előre Most határozzuk meg a beesési szög (ϑ), a tápvonal méretei és a hullámhossz közötti összefüggést. Jelöljük λ1-gyel a tápvonalat kitöltő dielektrikumban terjedő síkhullám

hullámhosszát, λg-vel pedig a csőtápvonal ten- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 269 ► Elektrodinamika Hullámvezetők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 270 ► gelyirányában mérhető hullámhosszat. Az alap-rezgésimódra a 1124 ábra alapján a következő összefüggések írhatók fel: cos ϑ = ctgϑ = λ1 / 2 λ1 , = a 2a λg / 2 a = λg 2a (18) . (19) A két egyenlet egymással elosztva: 2 λ1 ⎛λ ⎞ = sin ϑ = 1 − cos 2 ϑ = 1 − ⎜ 1 ⎟ , λg ⎝ 2a ⎠ vagyis λg = λ1 ⎛λ ⎞ 1− ⎜ 1 ⎟ ⎝ 2a ⎠ 2 (20) . (21) A (21) egyenletből és a 11.24 ábrából is kitűnik, hogy λg értéke nagyobb, mint λ1-é. Nagyon fontos még, hogy a (21) összefüggés csak λ1 < 2a esetén ad valós értéket. Éppen ezért a λ1h = 2a hullámhosszat határhullámhossznak nevezzük. A határhullámhossznál ϑ = 0 Ez azt jelenti, hogy a két

párhuzamos fal között merőleges visszaverődés van mindaddig, amíg az összes energia fel nem emésztődik. Ilyenkor a hullám a z tengely irányában nem halad. Olyan ez, mint amikor egy mindkét végén rövidzárral lezárt λ/2 hosszúságú távvezetéken állóhullám alakul ki. Az ilyen állóhullám amplitúdóváltozását szinuszfüggvény írja le Négyszögletes csőtápvonalaknál is szinuszos lesz az amplitúdó helyfüggése az „a” méret mentén. Ez ϑ = 0 esetén triviális, azonban más ϑ szögek esetén is szinuszos az erővonalkép, ahogyan ez az itt nem részletezett számításokból kiadódik. A csőtápvonal a határhullámhossznál hosszabb hullámot vezetni nem tud, azaz a határhullámhosszhoz rendelhető határfrekvenciánál kisebb frekvenciát nem képes átvinni, tehát felüláteresztő szűrőként működik. A csőtápvonalban reflektálódó síkhullám a szabad térben nem szükségszerűen λ1 hullámhosszú, mert a csőtápvonal

dielektrikuma nem csak levegő lehet. Ezért indokolt a λ0 szabadtéri hullámhossz bevezetése, amely λ1-gyel a következő összefüggésben van: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 270 ► Elektrodinamika Hullámvezetők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ λ 0 = λ1 µ r ε r . 271 ► (22) A hullámvezetőben lévő határhullámhossznak megfelelő szabadtéri határhullámhossz: λ 0h = 2a µ r ε r = λ1h µ r ε r . (23) Ezzel a (21) egyenlet a következőképpen módosul: λg = λ0 / µr εr ⎛λ ⎞ 1− ⎜ 0 ⎟ ⎝ λ 0h ⎠ 2 . (24) A csőtápvonal dielektrikuma rendszerint levegő. Ebben az esetben: λg = λ0 ⎛λ ⎞ 1− ⎜ 0 ⎟ ⎝ λ 0h ⎠ 2 . (25) A vizsgált rezgési mód a négyszögletes csőtápvonal alapmódja, az ún. domináns mód, amit TE10-lal jelölünk (TE = transzverzális elektromos, az indexben szereplő számok jelentésére

később visszatérünk) Az alapmódot elterjedten használjuk, egyrészt mert adott frekvenciájú jelet ezen lehet a legkisebb méretű tápvonallal továbbítani, másrészt elérhető az, hogy a tápvonalon egyedül csak az alapmód tud terjedni, ami igen előnyös a veszteségek csökkentése és egyéb szempontok miatt. 11.22 Az alapmód hullámformája Az előző szakaszban megállapítottuk, hogy az E vektorokkal párhuzamos oldalak között az elektromos térerősség szinuszosan változik. Az interferenciakép segítségével (beeső és reflektált hullámok találkozása) megszerkeszthető a mágneses térerősség erővonalképe is A mágneses térerősségnek a fallal párhuzamos összetevője a visszaverődéskor nem fordul meg, tehát a falnál maximuma lesz. Az x irányban a tápvonal méretét a-val jelöltük, az y irányú méretét b-vel Kimutatható, hogy a b oldal méretét kisebbre célszerű venni az a oldalénál, rendszerint felére az a méretnek. Ebben az

esetben minimális lesz a csőtápvonalban terjedő hullám csillapítása. Ez az oka annak, hogy az a oldalt a hullámvezető széles oldalának, b-t pedig a keskeny oldalnak nevezzük. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 271 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Hullámvezetők Vissza ◄ 272 ► Az eddigiek alapján felrajzolhatjuk a négyszögletes csőtápvonal alapmódjának hullámformáját. Ez a 1126 ábrán látható 11.26 ábra Az elektromágneses erőtér, valamint a faláramok kialakulása a négyszögletes hullámvezető alapmódjában A folytonos vonal az elektromos, a szaggatott pedig a mágneses erővonalakat jelöli. Megállapíthatjuk, hogy az elektromos erőtér mindig transzverzális, a mágneses mező zárt hurkot képez, és mind transzverzális, mind tengelyirányú összetevője van. Ez a magyarázata annak, hogy miért nevezzük ezt a rezgési

módot TE-módnak A rövidítés tulajdonképpen a transzverzális, elektromos szavak kezdőbetűje, és arra utal, hogy az elektromos erőtérnek csak transzverzális (keresztirányú) komponense van. Ugyanezen az ábrán feltüntettük a faláramokat is, mégpedig az egyik széles és az egyik keskeny oldalon. A faláramok szerkesztése azon meggondolás alapján történik, hogy azok mindenütt merőlegesek a mágneses térerősség fallal párhuzamos komponensére. A faláramoknak is van hosszanti (longitudinális) és keresztirányú (transzverzális) összetevője; az ábrán Ih és Ik. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 272 ► Elektrodinamika Hullámvezetők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 273 ► Írjuk fel ezek után a TE10 domináns módra a mezőegyenleteket, azaz a térerősség-komponensek komplex csúcsértékeit. A kezdőfázist nullának véve: ˆ =H ˆ cos

πx e − jβz , (26) H z z a ˆ =H ˆ sin πx e − jβz , H x x a (27) πx − jβz Eˆ y = Eˆ y sin e . a (28) Ezek az egyenletek veszteségmentes tápvonalra vonatkoznak, mert γ helyett jβ szerepel az exponenciális tag kitevőjében. 11.23 A négyszögletes csőtápvonal hullámformái Mint említettük, a négyszögletes csőtápvonalat rendszerint az alapmódban használják. A tápvonalat lehet úgy méretezni, hogy csak az alaprezgésimódot vigye át A magasabb terjedési módok a tápvonalban előforduló akadályoknál gerjesztődnek, amelyek, ha terjedők, növelik a veszteségeket, ha nem terjedők, akkor reaktáns teljesítményt tárolnak, és mint reaktancia, ill. szuszceptancia jelennek meg Milyen más hullámformák lehetségesek? Eddigiekben a transzverzális, elektromos TE-módot vizsgáltuk, de lehetséges transzverzális mágneses mód is. Ebben az esetben a mágneses térerősségnek csak transzverzális komponense van. Térjünk most rá az indexek

kérdésére. Korábban láttuk, hogy akkor is lehetséges átvitel, ha a lezáró síkot nem az x = a helyen helyezzük el, hanem a-nak egész számú többszöröseinél. Ilyenkor az elektromos erőtérnek az x méret mentén több maximuma alakul ki. Ezek a TEm0-módok Mivel általános esetben a b oldal mentén is kialakulhat az erőtérnek maximuma, az indexben szereplő második szám arra szolgál, hogy megadja a maximumok számát a b oldal mentén. A terjedési módokat indexekkel különböztetjük meg, az indexek az erőterek maximumainak számát adják meg az a, ill. a b oldalon végighaladva. Így beszélhetünk TE11-, TE21-, TM11-, TM21módokról A 1127 ábrán feltüntettük néhány TE- és TM-hullám erővonalképét A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 273 ► Elektrodinamika Hullámvezetők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 274 ► 11.27 ábra Néhány TE- és

TM- rezgésmód erővonalképe A csőtápvonali határhullámhossz kiszámítására alkalmas képletet levezetés nélkül közöljük: λ1h = 1 2 ⎛m⎞ ⎛ n ⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2b ⎠ 2 = 2 2 ⎛m⎞ ⎛n⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ ⎝b⎠ 2 . (29) Ez bármely TEmn- és TMmn-módra használható, pl. TE11- és TM11-módra: λh = 2ab a 2 + b2 . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (30) Vissza ◄ 274 ► Elektrodinamika Hullámvezetők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 275 ► 11.24 Fázis- és csoportsebesség a hullámvezetőben történő terjedésnél A tápvonalon mérhető hullámhossz λg > λ1, így ott a fázissebesség nagyobb, mint az ugyanolyan közegben terjedő síkhullám fázissebessége. Határozzuk meg most ezt a vp, a fázissebességet. Mint tudjuk vp = ω/β, β pedig 2π/λg , tehát: 2 ⎛λ ⎞ 2π β= 1− ⎜ 1 ⎟ , λ1

⎝ λ1h ⎠ (31) a fázissebesség pedig: vp = ω = β ω λ1 ⎛λ ⎞ 2π 1 − ⎜ 1 ⎟ ⎝ λ1h ⎠ = 2 v = ⎛λ ⎞ 1− ⎜ 1 ⎟ ⎝ λ1h ⎠ λg v =v . 2 λ1 ⎛λ ⎞ 1− ⎜ 1 ⎟ ⎝ λ1h ⎠ 2 = (32) A (32) egyenlet által megadott érték nagyobb lehet a fénysebességnél, ha λ1 megközelíti λ1h-t. Az információ azonban – mint tudjuk – az úgynevezett csoportsebességgel terjed (lásd 10.5 fejezet) A csoportsebesség pedig dω/dβ, ami mindig kisebb a fénysebességnél. A részletszámítások mellőzésével a hullámvezetőre 2 ⎛λ ⎞ dω vcs = = v 1− ⎜ 1 ⎟ . dβ ⎝ λ1h ⎠ (33) Megállapíthatjuk, hogy vcs valóban kisebb, mint v, mert a négyzetgyökös szorzótényező mindig kisebb, mint 1. Érdekes összefüggésre jutunk, ha összeszorozzuk a vcs és vp kifejezését. A (32) és a (33) egyenletek felhasználásával azt kapjuk, hogy: v cs v p = v 2 , (34) azaz a hullámvezetőben terjedő hullám fázis- és

csoportsebességének mértani középarányosa annak a TEM-hullámnak a v terjedési sebességével egyezik meg, amely a hullámvezetőt kitöltő anyagban terjedne. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 275 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Üregrezonátorok Vissza ◄ 276 ► 12. Üregrezonátorok A fémfelületekkel teljesen körülhatárolt térrészt, ill. dielektrikumot üregrezonátornak nevezzük Az üregrezonátor elektromos viszonyai a Maxwellegyenletekből meghatározhatók, de mi számításaink során az előző fejezetek eredményeire támaszkodunk, és az üregrezonátort két végén fémlapokkal lezárt hullámvezető szakaszból származtatjuk Az üregrezonátor a rezgőkörökhöz hasonlóan viselkedő áramköri elem, ezért felhasználási területe megegyezik a rezgőkörével ott, ahol a nagy veszteségek miatt rezgőkörök már nem alkalmazhatók.

Egy rezgőkör veszteségeit tulajdonképpen a frekvencia (pontosabban a rezonanciafrekvencia) határozza meg Ugyanis minél nagyobb a rezgőkör rezonanciafrekvenciája, annál kisebb a mérete, ami a tekercs veszteségi ellenállását erősen megnöveli a kis vezetőkeresztmetszet miatt. Nagy frekvenciákon a tekercs kapacitása és a kondenzátor induktivitása sem hanyagolható el, ami a tervezésnél okoz nehézséget Ilyen áramkörökkel szűrőket megvalósítani nem lehet Mivel a rezgőkörök mérete a mikrohullámú frekvenciatartományban rendkívül kicsire adódik, ezért a benne átütés veszélye nélkül tárolható energia is kicsi, így az ilyen rezgőkörök teljesítményátvitelre sem lennének felhasználhatók. Látni fogjuk, hogy az üregrezonátorok viszont éppen ezeken a frekvenciákon realizálhatók elfogadható méretben úgy, hogy kedvező tulajdonságaik és paramétereik révén messze felülmúlják a diszkrét elemekből felépített

rezgőköröket. Itt kell megemlíteni az üregrezonátoroknak egy, a rezgőkörökétől eltérő tulajdonságát, nevezetesen azt, hogy a rezonanciafrekvenciák száma a rezgőkörök egyetlen rezonanciafrekvenciájával szemben végtelen sok. Gyakorlati célokra a legkisebb rezonanciafrekvenciát használjuk. Üregrezonátor képezhető nemcsak hullámvezetőből, hanem koaxiális tápvonalból is, ha a tápvonalszakasz két végét rövidre zárjuk. Minthogy a lezárással a távvezetékek és hullámvezetők rezgési módjai nem változnak, ezért az üregrezonátorban kialakuló rezgési módokat szintén TE, TM és TEM betűkkel kell jelölnünk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 276 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Üregrezonátorok Vissza ◄ 277 ► 12.1 Üregrezonátorok származtatása hullámvezetőből Vizsgáljuk a következő elrendezést. Adva van egy

hullámvezető, amelynek egy szakaszát két fémlemezzel lezárjuk, és valamelyik lezárásnál egy csatolóhurok segítségével biztosítjuk az elektromágneses tér gerjesztésének lehetőségét is. 12.11 ábra Hullámvezetőből származtatott üregrezonátor két csatolóhurokkal A 12.11 ábrán látható rezonátort olyan tápvonalból származtatjuk, amelyben az elektromos energia TE10-módban terjed. Ez azt jelenti, hogy az elektromos térerősség az a méret mentén egy szinuszfüggvény fél periódusának megfelelően fog változni. A hullámvezető lezárása két fémlemezzel megszabja, hogy a lezárás helyén az elektromos tér értéke nullától különböző nem lehet. Azt is tudjuk, hogy ilyenkor a rövidzár helyétől távolodva szintén szinuszfüggvény írja le az elektromos teret Mivel itt a hullámvezető minkét vége rövidre van zárva csak olyan szinuszgörbék jöhetnek szóba, amelyek elhelyezhetők úgy a hullámvezető mentén, hogy a függvény

két nullátmenete egymástól pont ℓ távolságra legyen. Az első ilyen lehetőség az, amikor a függvény félperiódusa egyenlő ℓ-lel. Tehát az A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 277 ► Elektrodinamika Üregrezonátorok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 278 ► elektromos teret mindkét méret (a, ℓ ) mentén szinuszgörbe írja le. A 12.11 ábrán azt az esetet tüntettük fel, amikor mindkét méret mentén egyetlen fél hullám alakul ki. 12.2 Üregrezonátorok jósági tényezője A jósági tényező vagy pontosabban rezonancia-jóságitényező definíciószerűen: W Q 0 = 2π r , (1) Wd ahol Wr az üregrezonátorban tárolt (reaktáns) energia, Wd pedig az egy periódus alatt az üreg falán disszipált munka. Q0 fenti kifejezése még így is írható: W W 2π Wr Q 0 = 2π r = = ω0 r , (2) Pd T T Pd Pd ahol Pd a disszipált teljesítmény átlagértéke,

T pedig a periódusidő. Az üreg dV térfogatában tárolt energia a mágneses mezőből számítva: 1 ˆ2 dW = µ 0 H dV , 2 (3) 1 ˆ 2 dV . Wr = µ 0 ∫ H 2 V (4) az összes energia: Ezek után számítsuk ki a disszipált teljesítményt a mágneses térerősségből. Az üreg falának dV térfogatelemében keletkező dPd disszipált teljesítmény a differenciális Joule-törvény szerint: dPd = 1 Jˆ 2 dV . 2σ (5) Mivel (11.1-9) szerint Jˆ∆ = Hˆ s -csal (1221 ábra), a mágneses tér fallal párhuzamos összetevőjének csúcsértékével, ezért 1 ⎛ Ĥ s dP = ⎜ 2σ ⎜⎝ ∆ 2 ⎞ ⎟⎟ ∆dA , ⎠ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (6) Vissza ◄ 278 ► Elektrodinamika Üregrezonátorok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 279 ► ahol figyelembe vettük, hogy dV = dA∆ (∆ a behatolási mélység, úgy tekintjük, hogy ∆ mélységig folyik csak áram,

és annak sűrűsége ∆-ban mindenhol Ĵ ). 12.21 ábra A felületi áramsűrűség és a mágneses tér fallal párhuzamos komponense a fal dA felületelemén Az elemi veszteségek integrálásával megkapjuk a teljes veszteséget: Pd = ∫ v dPd = A 1 ˆ 2 dA , H s ∫ v 2σ∆ A (7) ahol A az üreg teljes belső felülete. Az üreg jósági tényezője (4) és (7) figyelembevételével: ∫ Ĥ dV 2 Q0 = ω0 Wm . = ω0µ0 σ∆ V ˆ 2 dA Pd H ∫v s (8) A Mivel az üregrezonátorok fala nem készül ferromágneses anyagból, ezért µ = µ0. Ezt a behatolási mélység kifejezésébe írva kapjuk, hogy ∆= 1 . πf 0µ0 σ (9) A (8) összefüggésben ω0µ0 σ∆-t alakítsuk át a következő módon: ω0µ0 σ∆ = 2πf 0µ 0 σ 1 2 = 2 πf 0µ 0σ = , πf 0µ 0 σ ∆ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza (10) ◄ 279 ► Elektrodinamika Üregrezonátorok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és

tárgymutató Vissza ◄ 280 ► így ∫ Ĥ dV 2 2 Q0 = V ∆ 2 ∫v Ĥs dA . (11) A Egyszerű közelítő képletet kapunk, ha feltételezzük, hogy az üregen belül a mágneses mező mindenhol állandó (Hˆ = Hˆ s ) . Ezzel a feltételezéssel (11) a következő lesz: Q0 = 2 V 2 a rezonátor térfogata = . ∆ A ∆ a rezonátor felülete (12) Eszerint annál nagyobb a rezonátor jósági tényezője, minél nagyobb a térfogata, adott felület mellett. Természetesen a rezgési mód is nagymértékben befolyásolja Q0 értékét, ez azonban a közelítő formulából nem látszik. Vajon mekkora értékű Q0-ra számíthatunk? Vegyünk egy kocka alakú üregrezonátort, amely adott felület esetén a legnagyobb térfogatú téglatest. Legyen az élhossza 10 cm, és ∆ = 1µ = 10-6 m Így V = 1 dm3 és A = 6 dm2. V/A = 1/6 dm, a jósági tényező pedig: Q0 ≈ 2V 1 1 = 2 ⋅106 0,1 = ⋅105 ≈ 33000 . ∆A 6 3 Ez jóval nagyobb annál, mint amilyennel egy

kondenzátorból és tekercsből álló rezgőkör rendelkezik. A 33000-es érték a gyakorlatban is elérhető megfelelő méretű és módusú üregrezonátor esetében. 12.3 Állandó keresztmetszetű hasábüregek rezonanciafrekvenciái Vizsgáljunk olyan üregrezonátorokat, amelyek egy véges hosszúságú hullámvezetőnek két fémlemezzel való lezárásával jönnek létre. Ha egy ilyen üreg rezonál, akkor az ℓ méret mentén szinuszfüggvény szerint változik a tér, és a rezonátor mindkét végén csomópont van. Így fenn kell állnia az A=p λg 2 , (1) összefüggésnek, ahol p tetszőleges egész szám, vagyis A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 280 ► Elektrodinamika Üregrezonátorok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ λ g = 2A / p . 281 ► (2) Másrészt tudjuk, hogy λg kifejezhető a szabadtéri hullámhosszal és a terjedési módtól függő

határhullámhosszal is. Az összefüggés a következő, ha az üreg levegővel töltött: λ0 λg = ⎛λ ⎞ 1− ⎜ 0 ⎟ ⎝ λ 0h ⎠ . 2 (3) A (2), (3) egyenletek jobb oldala egymással egyenlő, amiből következik, hogy 2 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎛ p ⎞ 2 1− ⎜ ⎟ λ0 = ⎜ ⎟ λ0 . ⎝ 2A ⎠ ⎝ λ 0h ⎠ 2 (4) Fejezzük ki a (4)-ből λ0-at, amit ezután λk-val jelölünk, és rezonáns hullámhossznak nevezünk: λk = ( λ0 ) = 1 ⎛ p ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ +⎜ ⎝ 2A ⎠ ⎝ λ 0h ⎠ 2 2 . (5) A rezonanciafrekvencia értéke: 2 c ⎛ p ⎞ ⎛ 1 ⎞ = c ⎜ ⎟ +⎜ fk = ⎟ . λk ⎝ 2A ⎠ ⎝ λ 0h ⎠ 2 (6) A (6) kifejezés általános érvényű formula, minden üregrezonátorra igaz (függetlenül a keresztmetszet alakjától). 12.31 Négyszögletes hasábüreg A négyszögletes csőtápvonal határhullámhosszai a TEmn és TMmn módokra a következő összefüggéssel adható meg: λ1h = 2 2 ⎛m⎞ ⎛n⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ ⎝b⎠

2 . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (7) Vissza ◄ 281 ► Elektrodinamika Üregrezonátorok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 282 ► Ha a dielektrikum levegő λ0h = λ1h. Ezt (5)-be behelyettesítve a rezonáns hullámhosszra azt kapjuk, hogy λk = 2 2 2 ⎛m⎞ ⎛n⎞ ⎛p⎞ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ ⎝b⎠ ⎝A⎠ 2 . (8) Az üregrezonátor rezgési módjait a (8) képletben szereplő három paraméterrel (m, n, p) jelöljük. Így beszélhetünk TEmnp és TMmnp rezgési módokról A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 282 ► Elektrodinamika Elektromágneses hullámok keltése és vétele A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 283 ► 13. Elektromágneses hullámok keltése és vétele Az elektromágneses hullámok keltése és vétele antennákkal történik.

Az antenna lehet adó- és vevőantenna. Az adóantennában folyó vezetési áram maga körül elektromágneses teret kelt. A vevőantennában viszont a ráeső elektromágneses hullám árameloszlást hoz létre. Az antenna elemi darabjában az áramerősség állandónak tekinthető. Így jutunk el az ún. Hertz-dipólushoz∗ (vagy Hertz-dipólhoz) Ez olyan dℓ hosszúságú I0 áramszál, amelynél dℓ << λ, és d << dℓ. Itt λ a frekvenciának megfelelő hullámhossz, és d az áramszál átmérője Az I0 áramerősség értéke a dℓ hossz mentén állandó. A Hertz-dipólus úgy is elképzelhető, hogy két egymástól dℓ távolságra lévő fémgömböt egy egyenes vezetővel összekötünk, és ezen a vezetőn keresztül a két gömb periodikusan feltöltődik és kisül. Ha ismeretes egy antenna árameloszlása, akkor az eredő tér meghatározható úgy, hogy az antenna elemi részei által keltett tereket szuperponáljuk. Az elemi részek

Hertz-dipólusoknak tekinthetők 13.1 A Hertz-dipólus elektromágneses tere Ezek után határozzuk meg a Hertz-dipólus mágneses terét, ha a benne folyó áram (1) i ( t ) = ˆI0 sin ωt . Kézenfekvőnek tűnik a Biot–Savart-törvény alkalmazása, hiszen segítségével az áramelem mágneses tere közvetlenül adódna (lásd 4.5 fejezet) A Biot–Savart-törvény azonban alapvetően az állandó nagyságú áramok hatására létrejövő mágneses tér meghatározására alkalmas. Ha időben változó az áramelem árama, és ennek következtében a mágneses tér is, akkor elektromos tér keletkezik (II. Maxwell-egyenlet), amely az I Maxwellegyenlet szerint újból mágneses teret kelt Ezt a térkomponenst a Biot–Savart-törvény nem adja meg, de azt, amelyből az erőt és a vektorpotenciált meghatároztuk, ill. származtattuk ∗ Heinrich Rudolf Hertz (1857–1894): német fizikus, a fizikatörténet egyik legnagyobb alakja. Igazolta, hogy a Maxwell által

feltételezett elektromágneses hullámok léteznek, és pontosan azonos módon viselkednek, mint a fény. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 283 ► Elektrodinamika Elektromágneses hullámok keltése és vétele A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 284 ► ebben az esetben is megadja.* Tehát helyes eredményt akkor kapunk, ha a mágneses térerősséget a vektorpotenciálból határozzuk meg. A vektorpotenciál kifejezése a stacionárius áramú esethez képest (lásd 6.12 fejezet) csak annyiban változik, hogy I0 helyébe Î0 sin ωt kerül, és figyelembe vesszük, hogy változó tér esetén a potenciál csak r/v idő múlva érvényesül, ahol v a mágneses „hatás”, ill. a potenciál terjedési sebessége Tehát ez esetben ⎛ Î d r⎞ (2) A (r, t ) = µ 0 sin ω⎜⎜ t − ⎟⎟⎟ . ⎜⎝ v ⎠ 4πr Ezt a potenciált szaknyelven retardált vagy késleltetett

potenciálnak hívjuk. A (2)-es összefüggés szerint a vektorpotenciál hullámként terjed, amplitúdója a távolsággal fordítottan arányos. Az ilyen típusú hullámot gömbhullámnak hívjuk A mágneses térerősséget ezek után a vektorpotenciálból kell r szerinti deriválással (tulajdonképpen rotációval) képezni (lásd 6.12 fejezet), azaz: H (r, t ) = − 1 ∂A (r, t ) sin ϑ = µ ∂r (3) ⎡ 1 ⎛ ⎛ Î d ωr ⎞ ω ωr ⎞⎤ = − 0 sin ϑ ⎢− 2 sin ⎜⎜ωt − ⎟⎟⎟ − cos ⎜⎜ωt − ⎟⎟⎟⎥ . ⎜⎝ ⎢⎣ r ⎝⎜ 4π v ⎠ rv v ⎠⎥⎦ Az 1/r szerint csökkenő komponenst távoltéri, az 1/r2 szerint csökkenőt pedig közeltéri komponensnek hívjuk, mert nagyobb r távolságoknál csak az 1/r függvény szerint csökkenő komponens érvényesül, az antennához közel elsősorban az 1/r2 szerinti. Mindkét komponens hullámként terjed, hiszen mindkét trigonometrikus függvény argumentuma ω(t–r/v). H merőleges r-re, azaz a

terjedési irányra, és az áramelem tengelyének irányára is, következésképpen a mágneses tér hengerszimmetrikus (13.11 ábra) A közeltéri komponens nem más, mint a Biot–Savart-törvényből közvetlenül adódó térkomponens. A váltakozó áramú gerjesztés miatt most van egy másik komponens is, amelyet a Biot–Savart-törvényből nem lehet megkapni. Ennek 90º-os fáziskésése van az előzőhöz képest * A vektorpotenciál értékét úgy is megkaphatjuk, hogy a 6.121 ábrán nem ℓ, hanem dℓ mozdul el ellenkező irányban a végtelenbe. Mivel dℓ ez esetben stacionárius térben van, így az erő váltakozó áramú áramelem esetében minden pillanatban arányos lesz az árammal, és ha az elmozdulás ideje nullához tart, akkor a munka és a potenciál is arányos az árammal. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 284 ► Elektrodinamika Elektromágneses hullámok keltése és vétele A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 285 ► 13.11 ábra Az elektromos és mágneses erővonalak az áramelem közelterében A (4)-es összefüggés szerint a távoltéri komponens zérus, ha ω = 0. Elektromágneses hullámokkal történő jelátvitelnél a távoltéri komponensnek van jelentősége, mert a nagy távolságok miatt a közeltéri komponens elhanyagolható, azaz ω 1 , rv r2 és így ⎛ Î d ω ωr ⎞ (4) H (r, t ) = 0 sin ϑ cos ⎜⎜ωt − ⎟⎟⎟ . ⎜ ⎝ 4π rv v⎠ ω/v = β helyére 2π/λ-t is írhatunk, amivel H (r, t ) = Î0 d sin ϑ cos (ωt − β r ) . 2λ r (5) A mágneses térerősségnek olyan kifejezését kaptuk, amely egy adott ϑ irányban csak annyiban különbözik egy csillapítatlan síkhullám mágneses terének kifejezésétől, hogy amplitúdója nem állandó, hanem r-rel fordítottan arányos. Ezért a távoltérben egy olyan felületen, amelyen az r változása elhanyagolható, a Hertz-dipólus

tere síkhullámnak tekinthető, amelynél az E és H vektor – mint tudjuk – merőleges egymásra, és mindkettő merőle- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 285 ► Elektrodinamika Elektromágneses hullámok keltése és vétele A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 286 ► ges a terjedési irányra. Amplitúdóik hányadosa pedig a szabad tér hullámellenállásával egyenlő: µ0 E Z0 = = = 120π , (6) H ε0 a hullám fázissebessége pedig v= 1 =c. µ0 ε0 (7) Ezek után az elektromos térerősséghullám kifejezése a távoltérben: E (r, t ) = H (r, t ) Z0 = Î0 d Z0 sin ϑ cos (ωt − βr ) , 2λr (8) amely Z0 = 120π figyelembevételével még így is írható: E (r, t ) = 60π Î0 d sin ϑ cos (ωt − βr ) . rλ (9) Legnagyobb a térerősség a dipólus tengelyére merőleges síkban (ϑ = 90º), és legkisebb (tudniillik nulla) a dipólus tengelyével

egy irányban (ϑ = 0º). A dipólus tehát tengelyének irányában egyáltalán nem sugároz. Ha képezzük az E (ϑ, ϕ) F (ϑ, ϕ) = (10) E max hányadost, akkor ezzel az antenna normalizált feszültség-iránykarakterisztikáját vagy más néven amplitúdó-iránykarakterisztikáját definiáljuk, ahol Emax az elektromos térerősség effektív értéke a fő sugárzási irányban, φ az antenna tengelyére merőleges síkban a körüljárás szöge. Hertz-dipólusnál E független φ-től, és így az iránykarakterisztikája: F (ϑ, ϕ) = E (ϑ) E max = sin ϑ . (11) A 13.12 ábrán láthatjuk a Hertz-dipól iránykarakterisztikáját Minden egyes szöghöz felvittük az ahhoz az irányhoz tartozó iránykarakterisztikaértéket. Ilyen módon egy toroidfelületet kapunk A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 286 ► Elektrodinamika Elektromágneses hullámok keltése és vétele A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 287 ► 13.12 ábra A Hertz-dipólus normalizált amplitúdókarakterisztikája 13.11 A kisugárzott teljesítmény Miután meghatároztuk a távoltéri elektromágneses teret, határozzuk meg a kisugárzott (transmitted) Pt teljesítményt is. Ha bárhova a térbe a hullámok haladási irányára merőlegesen egy egységnyi felületelemet helyezünk, az azon áthaladó teljesítményt az S = E×H Poynting-vektor adja meg. Minthogy a villamos és mágneses térerősség azonos fázisban változik az időben, a Poynting-vektor mindig egy irányba mutat, éspedig az antennától el. Az egész antenna által kisugárzott (angolul transmitted) teljesítményt úgy kapjuk meg, hogy az egész antennát körülvesszük egy tetszés szerinti zárt felülettel, és erre összegezzük a Poynting-vektorok és a dA felületelemek szorzataként adódó dP teljesítményeket (13.13 ábra), azaz Pt = ∫ SdA . (12) A (12)-ben most S a

Poynting-vektor időbeli középértékét jelöli, ezért a teljesítmény is időbeli középérték, tehát nagybetűvel jelölendő. Ha ez a zárt felület a 13.13 ábra szerinti gömbfelület, akkor S és dA iránya az egész gömbfelület mentén azonos, és az integrál így írható: Pt = ∫ SdA . (13) A Ebben az esetben dA legyen egy olyan rdϑ szélességű gyűrű, amelynek középvonala által kifeszített sík merőleges a dipólus irányára. Ezen a dA felületű gyűrűn belül S állandó, függetlenül φ értékétől. A 1313 ábra alapján A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 287 ► Elektrodinamika Elektromágneses hullámok keltése és vétele A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 288 dA = 2πρ ⋅ rdϑ = (2πr sin ϑ) rdϑ = 2πr 2 sin ϑdϑ , a gyűrű hossza ► (14) a gyűrű szélessége továbbá S-t felírhatjuk az iránykarakterisztikával is: E E

2 ⎛⎜ E ⎞⎟ E 2max ⎟⎟ S = EH = E = = ⎜⎜ = F2 (ϑ, ϕ)Smax , ⎟ Z0 Z0 ⎝ E max ⎠ Z0 2 (15) ahol Smax a teljesítménysűrűség a fő sugárzási irányban, az antennától r távolságra, E és H az elektromos ill. mágneses térerősség effektív értéke Ezzel a kisugárzott teljesítmény: Pt = ∫ SdA = Smax ∫ F2 dA . A (16) A 13.13 ábra A Hertz-dipólust körülvevő gömbfelület ábrázolása, a φ és ϑ szög értelmezése A (11) összefüggés szerint F = sinϑ, amivel π Pt = Smax ∫ F2 dA = Smax 2πr 2 ∫ sin 3 ϑdϑ . A (17) 0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 288 ► Elektrodinamika Elektromágneses hullámok keltése és vétele A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 289 ► A határozott integrál értéke 4/3, így 8 Pt = πr 2Smax . 3 (18) 1 ˆ2 1 ⎛⎜ Î0 d ⎞⎟ ⎟⎟ 120π figyelembevételével kapjuk, hogy = H = Z ⎜ max

0 2 2 ⎜⎜⎝ 2λr ⎠⎟ 2 Smax 1 ⎛⎜ Î0 d ⎞⎟ 1 ⎛ d 2⎞ ⎟⎟ 120π = ˆI02 ⎜⎜80π2 2 ⎟⎟⎟ . ⎜⎜ 2 ⎜⎝ 2λr ⎠⎟ 2 ⎜⎝ λ ⎠⎟ 2 8 Pt = πr 2 3 (19) 2 A zárójelben álló 80π2 d 2 nem más, mint a Hertz-dipólus sugárzási ellenλ állása, egy olyan fiktív ellenállás, amelyet megszorozva az antennában folyó maximális áram effektív értékének négyzetével, a kisugárzott teljesítményt kapjuk. A dℓ = ℓ jelöléssel a Hertz-dipólus sugárzási ellenállása: ⎛ ⎞ R s = 80π ⎜⎜ ⎟⎟⎟ , ⎜⎝ λ ⎠ 2 2 (20) amely egyenesen arányos az antenna hosszának és a hullámhossz viszonyának négyzetével. Annál nagyobb teljesítményt tudunk antennánkkal adott áramerősség mellett elsugározni, minél hosszabb az antenna. Vigyáznunk kell azonban arra, hogy az ℓ << λ egyenlőtlenség mindig fennálljon, mert különben összefüggéseink érvényüket vesztik Egyébként ez a fiktív sugárzási

ellenállás mindenképpen mint ellenállás kezelhető: például ha a maximális áram az antenna kapcsainál mérhető, akkor a sugárzási ellenállás az antenna bemeneti ellenállása. A sugárzási ellenállás zaj szempontjából is úgy viselkedik, mint egy ellenállás 13.2 Az antenna irányhatása és nyeresége A (13.1-18)-as összefüggés szerint a Hertz-dipólus által kisugárzott teljesítmény Pt = 8 πr 2Smax Ezt az összefüggést átírhatjuk az alábbi módon: 3 1,5 Pt = Smax , 4πr 2 (1) vagy 1,5S0 = Smax , A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (2) Vissza ◄ 289 ► Elektrodinamika Elektromágneses hullámok keltése és vétele A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 290 ► ahol S0 = Pt 2 az ún. izotróp antenna által létrehozott teljesítménysűrűség 4πr Ez egy olyan fiktív, viszonyítási célra szolgáló antenna, amely minden irányban azonos

intenzitással sugároz, azaz a kisugárzott teljesítmény egyenletesen oszlik szét az r sugarú gömb 4πr2 felszínén. Az Smax/S0 hányadossal az antenna D irányhatását definiáljuk, azaz D= Smax . S0 (3) Ez a Hertz-dipólus esetében (2) szerint 1,5. Tehát az antenna tengelyére merőleges fő sugárzási irányban a Hertz-dipólus bármely r távolságban 1,5-ször akkora teljesítménysűrűséget kelt, mint az izotróp antenna. Az irányhatással (angolul directivity) az antenna irányítottságát jellemezzük. Az antennanyereség (angolul gain) a főirányban kisugárzott teljesítménysűrűség és az antennába betáplált Pbe teljesítménnyel azonos teljesítményt sugárzó izotróp antenna teljesítménysűrűségének a hányadosa: G= Smax , S0 (4) ahol most S0 = Pbe 2 . A nyereség tehát transzfer jellemző, vagyis függ az 4πr antenna veszteségétől. A (3), (4) definíciókból következik, hogy az antenna veszteségeit kifejező hatásfok a

következő: η= P G = t . D Pbe (5) Az antennába bevezetett Pbe teljesítmény és a nyereség szorzatát izotropikusan egyenértékű kisugárzott teljesítménynek (equivalent isotropically radiated power) hívjuk: Pei = EIRP = GPbe . (6) 13.3 Egyenes antennák üresjárási feszültsége Az egyenes antenna most vevőantennaként működik, és azt vizsgáljuk, hogy mekkora lesz a kapcsain keletkező üresjárási feszültség, ha ismert az antennához érkező elektromágneses síkhullám villamos térerősségének az A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 290 ► Elektrodinamika Elektromágneses hullámok keltése és vétele A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 291 ► antennával párhuzamos komponense. Ezt a térerősséget egy adóantenna hozza létre. A két antenna a közöttük lévő szabad térrel együtt képezi az ún. rádiócsatornát (1331 ábra) 13.31 ábra

A rádiócsatorna mint lineáris kétkapu Úgy is fogalmazhatunk, hogy a rádiócsatorna az adóantenna kimenete és a vevőantenna bemenete közötti kétkapu vagy négypólus. Már most leszögezhetjük, hogy ez a kétkapu lineáris Így ha az antenna árama konstansszorosára nő, akkor a térerősség és a második antenna üresjárási feszültsége is konstansszorosára nő A lineáris kétkapuk egyben reciprok kétkapuk is, azaz U2 U = 1 , (1) I1 I =0 I2 I =0 2 1 ahol U 2 a 2. antenna üresjárási feszültségének komplex effektív értéke, amikor az 1. antennába befolyó áram komplex effektív értéke I1 ; U1 pedig A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 291 ► Elektrodinamika Elektromágneses hullámok keltése és vétele A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 292 ► az első antenna üresjárási feszültségének komplex effektív értéke, amikor a 2. antennába

betáplált áram komplex effektív értéke I2 (1) szerint, amikor I1 = I2 = I0 , azaz amikor az antennákba felváltva azonos áramot táplálunk be, akkor az üresjárási kapocsfeszültségek is azonosak lesznek: U1 = U 2 = U . (2) Ha két komplex szám egyenlő, akkor abszolút értékük és szögük is megegyezik. Mi most az abszolút értékre vagyunk kíváncsiak, ezért erre írjuk fel összefüggéseinket. Legyen most az 1 antenna dℓ hosszúságú Hertzdipól, a 2 hossza ℓ, amely a hullámhosszal összemérhető Először ezt működtessük adóantennaként. A hullámhosszal összemérhető hosszúságú antennán a szakadással lezárt távvezetékhez hasonlóan állóhullám alakul ki, és az I(z) áram eloszlása közel szinuszos lesz (13.41 ábra) Az 1 vevőantennához érkező hullámot az adóantenna dz szakaszairól kiinduló hullámok eredőjeként kapjuk Ezek fázisa most azonos, hiszen az adóantennán állóhullám van, és a vevőhöz érkező

részhullámok között útkülönbség nincs, ezért az eredő térerősség effektív értéke így írható: I (z) 60πI0 60π E1 = I z dz dz , = ( ) λr − ∫2 λr − ∫2 I0 2 2 (3) ahol az integrálkifejezéssel az antenna ún. effektív hosszát definiáljuk: 2 eff = ∫ − 2 I (z) I0 dz . (4) A Hertz-dipólus üresjárási feszültségének effektív értéke (a végeken egymástól dℓ távolságra lévő gömbök miatt) E1dℓ, és így U1 = E1d = 60πI0 λr eff d . (5) Tápláljunk most a Hertz-dipólusba (1. antenna) Î0 cos ωt áramot Ekkor a térerősség effektív értéke a 2. antennánál: E2 = 60πI0 d . λr A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (6) Vissza ◄ 292 ► Elektrodinamika Elektromágneses hullámok keltése és vétele A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 293 ► Ezzel a térerősséggel arányos lesz a 2. antenna (most mint vevőantenna)

üresjárási feszültsége. Az arányossági tényezőt jelöljük k-val, így az U2 effektív értékre azt kapjuk, hogy: U 2 = kE 2 = k 60πI0 d . λr (7) Vegyük figyelembe, hogy a reciprocitás miatt U1 = U2, azaz 60πI0 λr eff d =k 60πI0 d , λr (8) , (9) amiből k= eff és U2 = E2 eff . (10) Tehát egy antenna üresjárási feszültségét megkapjuk, ha az antennával párhuzamos elektromos térerősséget (vagy térerősség-összetevőt) megszorozzuk az antenna effektív hosszával. 13.4 Példák 13.41 példa Mekkora az ℓ = λ/2 = 15,7 m hosszúságú dipólantenna (13.41 ábra) Û ü üresjárási feszültsége, ha Ê a vételi helyen 0,1 mV/m2? ˆ = Eˆ U ü eff . 13.41 ábra Szinuszos árameloszlású egyenes antenna A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 293 ► Elektrodinamika Elektromágneses hullámok keltése és vétele A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató

Vissza ◄ 294 ► Határozzuk meg a dipól effektív hosszát. 2 eff = ∫ − 2 = I (z) I0 2 dz = ∫ 2π 2 z λ dz = ⎡⎢ λ sin 2π z ⎤⎥ = ˆI ⎢⎣ 2π λ ⎥⎦ − 2 0 Î0 cos − 2 2π λ ⎞⎟ λ 2 λ 2 λ ⎛⎜ 2π λ + sin = . ⎟= = ⎜⎜sin 2π ⎝ λ 4 λ 4 ⎠⎟ π π 2 π Ha Ê =0,1 mV/m, és λ = 31,4 m (rövidhullám), akkor Û ü = 0,1 31, 4 = 1 mV . 3,14 13.42 példa Határozzuk meg a Hertz-dipólnak mint vevőantennának az iránykarakterisztikáját (13.42 ábra) 13.42 ábra A Hertz-dipól mint vevőantenna Az ábra alapján U (ϑ, ϕ) = ( E sin ϑ) d , amivel F (ϑ, ϕ) = U (ϑ, ϕ) U max = Ed sin ϑ = sin ϑ , Ed megegyezik a sugárzó Hertz-dipól amplitúdó-iránykarakterisztikájával. A reciprocitás miatt általában is igaz, hogy bármely antenna iránykarakterisztikája vevő- és sugárzó üzemmódban ugyanaz. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 294 ►

Elektrodinamika Az elektromágneses hullámok terjedése az ionoszférában A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 295 ► 14. Az elektromágneses hullámok terjedése az ionoszférában A Nap ibolyántúli sugárzása a légkör felső rétegében a gázok molekuláiról elektronokat szakít le, miáltal szabad elektronok és ionok keletkeznek. A következőkben azt vizsgáljuk, milyen hatással van az ionoszféra az elektromágneses hullámok terjedésére. Ha az ionizált rétegben (plazmában) elektromágneses hullám terjed, akkor az elektromos erő a saját irányában mozgásra készteti mind a szabad elektronokat, mind az ionokat. Ez a rendezett mozgás szuperponálódik a rendezetlen termikus mozgásra. A rendezett, az elektromos térerősség irányába eső mozgás elektromos áramnak felel meg. Az áramsűrűség függ a térfogategységben lévő töltéshordozók számától (N) és attól, hogy ezek egyenként mennyi

energiát tudnak az elektromágneses térből átvenni. Az elektronnak és az ionnak (ha a molekulából csak egyetlen elektron hiányzik) ugyanakkora a töltése, de az ion tömege n·1836-szorosa az elektron tömegének. Minthogy azonban mind az ion, mind az elektron ugyanakkora impulzust (mozgásmennyiséget) kap egy fél periódus alatt az erőtértől, a térből kapott energiájuk fordítva arányos a tömegükkel Ebből következik, hogy addig, amíg elektronok is jelen vannak, az ionok hatása elhanyagolható. Ugyanis I = Ft = m e ve = M i vi vi = ve me m v2 . Ee = e e , Mi 2 (1) E M i vi2 M i ve2 m e2 ve2 m e2 Ei = = = = e. 2 2 2M i 2M i Mi 14.1 Az ionoszféra relatív dielektromos állandója és vezetőképessége A vezetési áramsűrűség mellett az ionoszférában természetesen eltolási áramsűrűség is létrejön. Az áramsűrűségek ismeretében az ionoszféra két fontos jellemzőjére, a relatív dielektromos állandójára és vezetőképességére

adhatunk meg összefüggést. Határozzuk meg tehát ezen két áramsűrűséget, ha ismert a térfogategységben lévő elektronok N száma és az elektromágneses hullám ω körfrekvenciája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 295 ► Elektrodinamika Az elektromágneses hullámok terjedése az ionoszférában A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 296 ► Az elektronra ható elektromos erő a gyorsulási és egy súrlódási (vagy közegellenállási) jellegű erővel tart egyensúlyt: Felektromos = Fgyorsulási + Fsúrlódási . (1) Az elektron sebességével a (1) összefüggés az alábbi alakban írható fel: E ( t )(−e) = m dv + mvν , dt (2) ahol −e az elektron töltése, ν = 1/τ az ún. ütközési szám, τ pedig két ütközés közötti átlagos időtartam (Emlékeztetőül: F = mv/τ = mvν) A térerősség komplex pillanatértéke az ionoszféra egy adott

pontjában ˆ jωt . Ez esetben a sebesség komplex pillanatértéke: v ( t ) = ve ˆ jω t , E ( t ) = Ee ahol v̂ a sebesség meghatározandó komplex amplitúdója. Ezekkel a mennyiségekkel a (2) egyenlet így alakul: ˆ jωt = mvj ˆ ωe jωt + mν ve ˆ jωt . −eEe (3) Egyszerűsítsünk e jωt -vel: −eEˆ = mvˆ (ν + jω) , (4) ˆ ν − jω e Ee . =− m (ν + jω) m ν 2 + ω2 (5) amiből v̂ = −Eˆ A sebesség komplex csúcsértékének ismeretében a vezetési áramsűrűség nagysága az elektronok mozgási irányára merőleges A felületen az alábbi módon adható meg: Jv = i dq dt dVN (−e) dsANe = = =− = −vNe , A A dt A dt A (6) ahol ds az elektronok dt idő alatti elmozdulása. (6) alapján (5) figyelembevételével: ˆ ν − jω 2 Ee ˆ Ne ν − jω . (7) = Jˆv = Ne E m ν 2 + ω2 m ν 2 + ω2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 296 ► Elektrodinamika Az elektromágneses hullámok

terjedése az ionoszférában A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 297 ► Ugyanezen a helyen az eltolási áramsűrűség: dE ( t ) ˆ jωt = jωε Ee ˆ jωt . = ε0 jωEe Je ( t ) = Jˆe e jωt = ε0 0 dt (8) Ha a (7) összefüggést felbontjuk valós és képzetes részre, akkor a vezetési áramsűrűségre az alábbi összefüggést kapjuk: Jv ( t ) = 2 Ne 2 ν ω ˆ jωt − j Ne ˆ jωt , Ee Ee 2 2 2 m ν +ω m ν + ω2 (9) azaz a vezetési áramsűrűségnek van képzetes értéke is, ez pedig (8) szerint eltolási áramsűrűségnek felel meg. Így a teljes eltolási áramsűrűség komplex pillanatértéke: ⎛ Ne 2 1 ⎞⎟ ˆ jωt ⎜ ⎟ Ee , Je ( t ) = jωε0 ⎜⎜1− 2 2⎟ ⎝ mε0 ν + ω ⎠⎟ (10) Ne 2 ωp = mε0 (11) amely az ún. plazmafrekvencia bevezetésével tömörebben is kifejezhető: ⎛ ω2p ⎞⎟ ˆ jωt ⎟ Ee . Je ( t ) = jωε0 ⎜⎜⎜1− 2 2⎟ ⎝⎜ ν + ω ⎠⎟ (12) (12)-ben a

zárójelben lévő kifejezés nem más, mint az ionoszféra relatív dielektromos állandója: ω2p ε r = 1− 2 . (13) ν + ω2 (9) valós része a tényleges vezetési áramsűrűség kifejezése, amely megfelel a differenciális Ohm-törvény ˆ jωt Jv ( t ) = σE ( t ) = σEe A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (14) Vissza ◄ 297 ► Elektrodinamika Az elektromágneses hullámok terjedése az ionoszférában A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 298 ► ˆ jωt előtti valós kifejezés lesz az ionoszféra vezetőösszefüggésének. Az Ee képessége: Ne 2 ν , 2 m ν + ω2 (15) ω2p ν Ne2 ν . = ε0 2 ε 0 ν 2 + ω2 mε0 ν + ω2 (16) σ= amely ωp-vel felírva: σ= Ezzel meghatároztuk az ionoszféra relatív dielektromos állandóját és vezetőképességét az elektronra ható mozgásegyenlet alapján. A kapott eredmények felhasználhatók az ionoszférában terjedő

elektromágneses hullám reflexiójának és csillapításának számításához. A Föld mágneses tere is hatással van az elektronok mozgására és ezen keresztül az ionoszférában terjedő elektromágneses hullámokra: a terjedés irányától függően megváltozik a hullám polarizációja. (13) szerint az ionoszféra dielektromos állandója kisebb lesz, mint a vákuumé, vagy mint a levegőé. A vezetőképesség arányos N-nel, a térfogategységben lévő elektronok számával, amely a magassággal nő, és kb 400 km-nél (F2-réteg) éri el a maximumát, amely nyáron nappal mintegy 4·1011 1/m3. A legalsó D rétegben ND = 0,4·1011 1/m3 Nagymértékben függ σ ω-tól és az ütközési számtól, mert ennek változása a magassággal igen nagy: a Föld felszínén kb. 1012 1/s, 800 km magasságban pedig csak 1 1/s. Adott frekvencián σ-nak maximuma van, ha ν = ω Abban az esetben, amikor ω >> ν, ami rövidhullámoknál (3–30 MHz) a magasabb rétegeknél

következik be, akkor a vezetőképesség elhanyagolhatóan kicsiny lesz, a relatív dielektromos állandó pedig: ε r = 1− ω2p ω2 . (17) 14.2 Az ionoszférához érkező síkhullámok törése és visszaverődése Hullámterjedés csak azokon a frekvenciákon lehetséges, amelyekre εr > 0, azaz ω > ωp. Ilyenkor 0 < εr < 1 Vizsgáljuk meg ennek következményét az ionoszférába behatoló elektromágneses hullámra. Első közelítésben ehhez az ionoszférát éles határvonallal elválasztott közegnek tekintjük (14.21 ábra) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 298 ► Elektrodinamika Az elektromágneses hullámok terjedése az ionoszférában A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 299 ► A két közeg határához érkező síkhullám a határfelületen megtörik és visszaverődik. Ha a határfelület pontjait elemi hullámforrásoknak tekintjük

(Huygens-elv), amelyekből minden irányban hullámok indulnak, akkor ezek eredője létrehozza egyrészt az elhajlított (vagy tört), másrészt a reflektált (vagy visszavert) hullámot (14.21 ábra) 14.21 ábra Elektromágneses síkhullám törése és reflexiója két különböző dielektromos állandójú közeg határfelületén Síkhullámok esetén a terjedési irányra merőleges síkban a fázis mindenhol azonos. A megtört síkhullám berajzolt hullámfrontjának fázisára ez akkor teljesül, ha 2π 2π (1) a sin β = a sin α , λ2 λ1 ahol λ2 a felső dielektrikumban terjedő hullám hullámhossza, λ1 pedig az alsóban terjedőé. Az egyszerűsítések után sin α λ1 = . sin β λ 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató (2) Vissza ◄ 299 ► Elektrodinamika Az elektromágneses hullámok terjedése az ionoszférában A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 300 ► λ helyére

v/f-et is írhatunk, amivel sin α v1 = . sin β v 2 (3) Ez a jól ismert Snellius–Descartes-törvény. Mivel a v2 fázissebesség c εr , és ε r a (14.1-17) alapján kisebb mint 1, ezért v2 > c ( a fázissebesség lehet c-nél nagyobb!), azaz a hullám a beesési merőlegestől törik Az ábrába berajzoltuk a reflektált hullám hullámfrontját is, és mivel ez esetben λ1 = λ2, a visszaverődés szöge megegyezik a beesés szögével. A (3) összefüggés a dielektromos állandóval még így is írható: sin α c = = εr = n , sin β ⎛⎜ c ⎞⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜⎝ ε r ⎠⎟⎟ (4) ahol n a felső dielektrikum, tehát az ionoszféra törésmutatója. Abban az esetben, ha β > 90°, teljes visszaverődés jön létre. A β = 90°hoz tartozó a beesési szöget határszögnek hívjuk, és α0-lal jelöljük A két szöget a Snellius–Descartes-törvénybe behelyettesítve azt kapjuk, hogy sin α 0 = n, azaz sin α 0 = n . sin 90° (5) A teljes

visszaverődés feltétele α-ra vonatkoztatva: α > α0 , vagy sin α > sin α 0 = n . (6) Az ionoszférában a törésmutató változása folytonos. Az ugrásszerű átmenetre kapott eredményünket úgy használhatjuk folytonos átmenetű közegnél, hogy a közeget sávokra bontjuk, és az egyes sávokon belül a törésmutatót állandónak tekintjük Értéke megegyezhet pl a sáv közepén lévő értékkel (14.22 ábra) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 300 ► Elektrodinamika Az elektromágneses hullámok terjedése az ionoszférában A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 301 ► 14.22 ábra Folytonos átmenetű dielektrikum közelítése lépcsős átmenetűvel Írjuk fel a törési törvényt valamennyi rétegre, kiindulva az n0 törésmutatójúból., és befejezve az nn törésmutatójú utolsó réteggel: n 0 sin α 0 = n1 sin α1 , n1 sin α1 = n 2 sin α

2 , n 2 sin α 2 = n 3 sin α3 , (7) n 3 sin α 3 = n n sin α n . Helyettesítsük most be az 1. egyenlet jobb oldalába a 2 egyenlet bal oldalát, majd az így kapott egyenletbe a 3 baloldalát és így tovább Végül azt kapjuk, hogy n 0 sin α 0 = n n sin α n , (8) Ez megegyezik azzal az ugrásos átmenetű törésnek az egyenletével, amelynél a két dielektrikum törésmutatója a folytonos átmenetű dielektrikum változó törésmutatójának a két szélső értéke, azaz n0 és nn. Ezt szemlélteti a 14.22 ábra jobb oldali része Azt látjuk, hogy pl az elhajlás (törési szög) meghatározásához elég ezt a két értéket ismerni. Az ionoszférikus hullámterjedés szempontjából ez azt jelenti, hogy n0 = 1, nn pedig annak a rétegnek a törésmutatója, amelyben a teljes visszaverődés létrejön. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 301 ► Elektrodinamika Az elektromágneses hullámok terjedése az

ionoszférában A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 302 ► 14.3 Az ionoszférában terjedő síkhullám csillapodása Végezetül határozzuk meg az ionoszférában (plazmában) terjedő elektromágneses hullám csillapítását abban az esetben, amikor σ << ωε, azaz amikor a dielektrikum kis veszteségűnek tekinthető. Ehhez felhasználjuk a síkhullámok és a távvezetékek differenciálegyenletei között meglévő hasonlóságot. Ezen alapul a síkhullám-távvezeték analógia Ha a távvezeték egyenleteibe a távvezeték egyes mennyiségeinek helyébe a síkhullám megfelelő mennyiségeit helyettesítjük, akkor az analóg síkhullám egyenleteit kapjuk meg. Az analóg mennyiségek a 1431 táblázatban találhatók 14.31 táblázat A síkhullám-távvezeték analógia Síkhullám E H µ ε 0 σ Z0 = jωµ σ + jωε γ = jωµ (σ + jωε) Távvezeték U I L C R G Z0 = R + jω L G + jωC γ = (R + jωL)(G +

jωC) Nekünk most a csillapítási tényezőre van szükségünk, ezért írjuk fel a kisveszteségű távvezeték csillapítási tényezőjét és az annak megfelelő, síkhullámra vonatkozó összefüggést. A távvezetékre érvényes összefüggések (lásd 10.2-16): α≈ R G 1 L + = . , Z0 = 2Z0 2Y0 Y0 C (1) Ezek a síkhullám esetén a táblázat alapján a következők lesznek: α≈ 0 σ 1 µ + = . ; Z0 = ε 2Z0 2Y0 Y0 (2) Most α kifejezésébe Y0-t behelyettesítve, és figyelembe véve, hogy µ = µ0, azt kapjuk, hogy σ µ0 α≈ . (3) 2 ε A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 302 ► Elektrodinamika Az elektromágneses hullámok terjedése az ionoszférában A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató ◄ Vissza 303 ► Írjuk még be (3)-ba σ (14.1-16)-os kifejezését, ε helyébe pedig ε0-t írhatunk, mert εr többnyire alig kisebb egynél Ezzel ω2p ν 1 α ≈ ε0 2 2 ν

+ ω2 µ0 1 ⎛ ωp ⎞ ≈ ν ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ε0 2 ⎜⎝ ω ⎠⎟ 2 1 ν ⎛⎜ ωp ⎞⎟ ε 0µ 0 = ⎜ ⎟ . 2 c ⎝⎜ ω ⎠⎟⎟ 2 (4) 14.4 Az ionoszféra hatása a síkhullámok terjedésére, ha a plazmafrekvencia nagyobb a síkhullám frekvenciájánál Említettük, hogy az ionoszférában elektromágneses hullám csak akkor terjedhet, ha ω > ωp. Most azt vizsgáljuk, mi történik akkor, ha a pozitív vagy negatív irányban terjedő síkhullám a terjedési irányra merőleges ionizált réteghez érkezik, és ω < ωp. Ehhez írjuk fel az ionizált rétegbe behatoló síkhullám elektromos térerősségének komplex helyfüggő pillanatértékét az ionizált réteg dielektromos állandójának (14.1-17)-es kifejezésével: E ( x, t ) = Eˆ 0 e ⎛ x⎞ jω⎜⎜ t ± ⎟⎟⎟ ⎝⎜ v ⎠ = Eˆ 0 e ⎛ x ⎞ jω⎜⎜ t ± ε ⎟⎟ ⎝⎜ c r ⎠⎟ = Eˆ 0 e ⎛ 2 2⎞ ⎜⎜ x 1−ωp ω ⎟⎟⎟ jω⎜⎜ t ± ⎟⎟⎟ ⎜ c ⎝⎜⎜

⎠⎟ . (1) (A síkhullám valós kifejezése Re E ( x, t ) .) Abban az esetben, amikor ω < ωp, ε r tiszta képzetes érték lesz, és kifejezésünk így alakul: E ( x, t ) = Eˆ 0 e ⎛⎜ ⎜⎜ ω jωt ±⎜⎜ ⎝ ⎞ (ωp ω) −1 ⎟⎟⎟⎟ 2 c ⎟x ⎠⎟ ⎛⎜ 2 2⎞ ⎜ ωp −ω ⎟⎟⎟ ⎟x ⎠⎟ c ±⎜⎜ = Eˆ 0 e ⎝ e jωt . (2) Ez egy olyan harmonikus rezgés kifejezése, amelynek amplitúdója a hely függvényében exponenciális függvény szerint változik. Hullámterjedés nem jön létre, hiszen a fázis most nem függ a helytől. Az x = 0 helyen a rezgés amplitúdója Ê 0 . Növekvő (pozitív) x értékeknél az amplitúdó (2) szerint ennél kisebb lesz, ha a kitevőben a negatív előjelet vesszük figyelembe, nagyobb, ha a pozitívat. Az első esetben a rezgés a vizsgált helytől balra, a második esetben pedig jobbra gerjesztődik. Tehát a rezgés létrejöttének helyétől függően vagy az egyik, vagy a másik előjel

érvényes A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 303 ► Elektrodinamika Az elektromágneses hullámok terjedése az ionoszférában A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 304 ► A csillapítási tényező a (2)-es kifejezés kitevőjéből leolvasható: ω2p − ω2 ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥, α= ⎢⎣ m ⎥⎦ c (3) ami dB/m-ben: ω2p − ω2 α dB m = 8, 68 c . (4) Ha pl. ωp = 2π·5·106 rad/s, ω = 2π·3·106 rad/s, akkor α dB m = 2π 52 − 32 dB , ⋅106 = 1, 09 8 3⋅10 m azaz a rezgés nagyon erősen csillapodik. 14.5 Példák 14.51 példa Határozzuk meg az ionoszféra egyes rétegeinek plazmafrekvenciáit az alábbi, a nyári időszak nappali óráira vonatkozó elektronsűrűség-adatokkal: N D = 0, 4 ⋅105 1 cm3 = 0, 4 ⋅1011 1 m3 , N E = 1,5 ⋅105 1 cm3 = 1,5 ⋅1011 1 m3 , N F1 = 2,5 ⋅105 1 cm3 = 2,5 ⋅1011 1 m3 , N F2 = 4 ⋅105 1 cm3 = 4 ⋅1011 1 m3, e =

1, 6 ⋅10−19 As, m = 9,1⋅10−31 kg, As ε 0 = 8.85 ⋅10−12 . Vm A kiindulási adatok figyelembevételével: e2 N D ωpD = = ε0 m (1, 6 ⋅10−19 ) 2 ⋅ 0, 4 ⋅1011 8,85 ⋅10−12 ⋅ 9,1⋅10−31 = 11, 27 ⋅106 1 s f pD = ωpD 2π = = 11, 27 ⋅106 = 1,8MHz, 6, 28 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 304 ► Elektrodinamika Az elektromágneses hullámok terjedése az ionoszférában A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 305 ► ωpE = 21,8 ⋅106 r s f pE = 3, 47 MHz, ωpF1 = 28,13⋅106 r s f pF1 = 4, 48 MHz , ωpF2 = 35,54 ⋅106 r s f pF2 = 5, 66 MHz. 14.52 példa Számítsuk ki az ionoszféra F2-rétegének törésmutatóját és csillapítási tényezőjét, ha νF2 = 103 1/s, fpF2 = 5,66 MHz (lásd 14.51 példa), f = 10 MHz (31 m-es hullámhossz). A relatív dielektromos állandó, ha ν2 << ω2: 2 ⎛ fp ⎞ ⎛ 5, 66 ⎞⎟ = 0, 679, ε r =

1− 2 = 1− ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 1− ⎜⎜ ⎜⎝ 10 ⎠⎟⎟ ⎜⎝ f ⎠⎟ ω ω2p 2 n = ε r = 0,824. A csillapítási tényező, ha σ << ωε: 2 1 ν ⎛⎜ f p ⎞⎟ 1 103 ⎛⎜ 5, 66 ⎞⎟ −7 1 , α≈ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎟⎟ = 5,3⋅10 ⎜ 8 ⎜ 2 c ⎝ f ⎠⎟ 2 3 ⋅10 ⎝ 10 ⎠ m 2 α dB m = 8, 68α = 4, 27 ⋅10−6 dB m . Vizsgáljuk meg, hogy teljesül-e a σ << ωε0 feltétel. A (141-16) összefüggés figyelembevételével ez most így írható: σ = ε0 ω2p ν ν 2 + ω2 ω2p ν ν 2 + ω2 ωε ≈ ωε 0 ,  ω. A számértékek behelyettesítésével azt kapjuk, hogy (2π ⋅ 5, 66 ⋅106 ) ⋅103 = = 3, 2 ⋅102 6 7 2 ν 2 + ω2 10 + (2π ⋅10 ) ω2p ν 2 ω = 2π ⋅107 , tehát az ionoszféra kisveszteségű dielektrikumnak tekinthető. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 305 ► Elektrodinamika A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató

Irodalomjegyzék Vissza ◄ 306 ► Irodalomjegyzék Simonyi Károly: Elméletei villamosságtan. Budapest, 1967, Tankönyvkiadó Simonyi – Fodor – Vágó: Elméleti villamosságtan példatár. Budapest, 1967, Tankönyvkiadó. Fodor György: Elméleti elektrotechnika I., II Budapest, 1970, Tankönyvkiadó R.PFeynmann – RBLeighton – MSands: Mai fizika Budapest, 1970, Műszaki Könyvkiadó. Vágó István: Villamosságtan II. Budapest, 1988, Tankönyvkiadó Budó Ágoston: Kísérleti fizika II. Budapest, 1989, Tankönyvkiadó Fodor György: Elektromágneses terek. Budapest, 1996, Műegyetemi Kiadó John David Jackson: Klasszikus elektrodinamika. Budapest, 2004, TypoTEX A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 306 ► Elektrodinamika Név- és tárgymutató A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 307 ► Név- és tárgymutató A, Á D adóantenna 291, 292 alapmód 271 alappont

17, 18, 36, 77 állóhullám 253, 254, 270, 292 alumínium 81 amplitúdóingadozás 255 antennanyereség 290 anyagjellemző 81 áramamplitúdó 253, 255, 256 áramelem 159, 196, 283, 284 áramgenerátor 87 áramlási tér 76, 78, 81, 83 áramvonalak 83 átütési térerősség 28 deriválás 155 diamágneses anyagok 107 dielektromos állandó 22, 298 differenciálegyenlet 163, 219, 230 differenciális 193, 226 ~ alak 209, 219 ~ Joule-törvény 84, 278 ~ Ohm-törvény 77, 79, 86, 159, 205, 297 dinamó 86 diszperziómentes 262 disszipált teljesítmény 278 divergencia 209, 215 domináns mód 271 B E, É beeső hullám 251 beeső hullámot 268 behatolási mélység 232, 265 belső induktivitás 124, 130, 184, 237 bemenőimpedancia 258, 259 Biot–Savart-törvény 109, 111, 123 ebonit 81 effektív érték 292 egydimenziós hullámegyenlet 218, 219 egyenes tekercs 119, 130 egységvektor 38, 62, 109, 197 ekvipotenciális felület 20, 36, 37, 82, 83, 178 elektrolit 85, 86 elektromos ~

erőhatás 186 ~ és a mágneses jelenségek 137 ~ tér 11, 19, 21, 23, 27, 55, 151, 158, 159, 162, 178, 267, 277, 283 ~ térerősség 11, 36, 81, 98, 100, 139, 152, 153, 159, 179, 222, 223, 268, 271, 277, 286, 295 elektron 10, 295 C Coulomb-törvény 43 Cs csillapításdiszperzió 262 csillapítási tényező 242, 247, 249, 262, 264, 304 csomóponti törvény 92 csoportfutási idő 262 csoportsebesség 260, 262, 275 csőtápvonal 267, 273, 281 csúcsos ciklois 174 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 307 ► Elektrodinamika Név- és tárgymutató A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató elektronoptikai lencsék 12 elektronsűrűség 304 elektrosztatika 23, 81, 205, 206 elektrosztatikus 114, 153, 169 ~ generátor 14 ~ tér 12, 14, 27, 62, 81 ~ töltés 157 elhajlás 301 ellenállás 78 elliptikus polarizáció 223 elosztott paraméterű hálózat 237 eltolási ~ áramsűrűség 155, 202, 295, 297 ~

vektor 23, 25, 54, 56, 71 energiamérleg 187, 192 energiasűrűség 178, 180, 183, 205 erővonalkép 25, 221, 237, 270 erővonalszám 22 F fajlagos ~ ellenállás 29, 80 ~ vezetés 28, 77 fázisfutási idő 262 fáziskésés 219 fázissebesség 219, 248, 249, 275, 300 fázistényező 243, 247, 249, 261 felületi ~ térerősség 191 ~ töltéssűrűség 54 ferromágneses anyagok 107 feszültség 11, 13, 18, 30, 241 feszültségamplitúdó 253, 255, 256 fluxus 100, 103, 114, 117, 124, 126, 229 fluxuskapcsolódás 125, 128 Vissza ◄ 308 ► fogyasztói üzemállapot 90 folytonossági egyenlet 155, 157, 161 forrásáram 88 forrásfeszültség 86 G Gauss-tétel 23, 154 generátoros Eg térerősség 86, 205 gerjesztés 240, 284 gerjesztési törvény 105, 107, 108, 109, 110, 111, 114, 123, 157, 161, 264 gerjesztettségi vektor 33 gömbkondenzátor 61, 64 gradiens 38, 62 gradiensvektor 39 H haladó hullám 251, 256 hányadosmérő 79 harmonikus rezgés 303 hasábüreg 281

határfeltételek 240, 250, 267 határhullámhossz 271, 274 hengerszimmetrikus 185, 284 Hertz-dipólus 283, 285, 289, 290 hosszirányú rétegezés 71 hőfoktényező 80, 95 hőhullámok 205 hullámellenállás 220, 245 hullámimpedancia 220 hullámvezetők 276 huroktörvény 93 Huygens-elv 299 I, Í ideális vezeték 245 indukciótörvény 138, 151 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 308 ► Elektrodinamika Név- és tárgymutató A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató influált töltések 27 influencia 24, 27 integrációs görbe 16 integrálási út 265 intenzitás jellegű mennyiség 205 ion 295 ionizált rétegben 295 ionoszféra 295, 296, 298, 300 iránykarakterisztika 286 izotróp antenna 290 izotropikusan 290 J jobbcsavar-szabály 99, 102, 105 jósági tényező 278, 280 Joule törvénye 83 K kapacitív ~ áram 156, 157 ~ feszültségosztó 69 ~ töltésosztó 68 kapocsfeszültség 87, 88

katódsugárcső 12, 169, 170 keresztirányú rétegezés 71 kettős vezeték 115, 129, 130, 185 Kirchhoff-törvény 92, 97 kis csillapítású vezeték 247 klisztron 12 komplex ~ állandó 240 ~ effektív érték 291 ~ pillanatérték 232 koncentrikus gömbök 34 kölcsönös ~ indukció-együttható 125 ~ induktivitás 125, 146, 148 köráram 98, 138 ~ra ható nyomaték 99 Vissza ◄ 309 ► közeltéri komponens 284 kritikus feszültség 175 kvantumos hatás 205 kvázistacionárius 144, 146, 159, 207, 228 L Lecher-vezeték 237 Lenz-törvény 140 lineáris ~ kétkapu 291 ~ polarizáció 224 lokális 19 Lorentz-erő 140 M mágneses ~ fókuszálás 172 ~ indukció 98, 99, 100, 105, 153, 159, 174 ~ térintenzitás 98 mágnesezési görbe 107 magnetosztatika 205, 206 magnetron 12, 174 Maxwell-egyenletek 202 ~ differenciális alakja 207, 213 menetszám 114, 124, 130 mértani középsugár 129 N normalizált 286 Ny nyomaték 99, 103 nyugalmi és mozgási indukció 138 O, Ó

Ohm-törvény 79, 97 Ö, Ő öninduktivitás 122 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 309 ► Elektrodinamika Név- és tárgymutató A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató P paramágneses anyagok 107 permeabilitás 106, 108, 123 permittivitás 22, 28, 35, 81, 178 Planck-állandó 205 plazmafrekvencia 297, 303 pontszerű töltés 12, 159 potenciál 17, 36, 153, 284 ~esés 18, 31, 94 ~függvény 18, 36, 62 ~különbség 18, 36 Poynting-vektor 264, 287 PVC 28, 81 R rádiócsatorna 291 rádióhullámok 205 reaktancia 273 reciprocitás 293 reciprok kétkapuk 291 referenciairány 31, 156 reflexiós tényező 251 reláció 142 relatív ~ permeabilitás 107 ~ permittivitás 23, 63 retardált 284 rétegezett szigetelések 83 réz 81 rezonanciafrekvencia 276, 281 rotáció 208 rövidhullám 294 S sebességdiszperzió 262 síkhullám 221, 263, 266, 268, 269, 275, 285, 290, 299, 302, 303 síkhullámok

polarizációja 222 Vissza ◄ 310 ► skalárszorzat 39 skalártér 38, 39 Snellius–Descartes-törvény 300 stacionárius 95, 110, 141, 159, 207, 237, 284 sugárzási ellenállás 289 Sz szigetelők 26, 66, 81 szintfelületek 19 szinuszfüggvény 277, 280 szivárgási ellenállás 91 szolenoid 120, 130 szórt erővonalak 120 szuperpozíció-elv 29, 116 szuszceptancia 273 T távoltéri komponens 284 teljesítménysűrűség 84, 87, 89, 227, 288, 290 TEM-hullámok 263 térenergia 187 terjedési tényező 240, 249 térszög 111 tesla 100 toroid 130, 132 torzításmentes vezeték 249 töltés 10, 13, 15, 18, 23, 62, 140, 154 ~megmaradás elve 76, 154 ~megosztás 24, 27 ~tároló képesség 64 törési szög 301 törésmutató 300 transzverzális elektromos 263, 271 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 310 ► Elektrodinamika Név- és tárgymutató A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Ü, Ű

üresjárási feszültség 290 ütközési szám 296 V vákuum 23, 63, 81 Van de Graaf 14 vektorpotenciál 198, 284 veszteségmentes 156, 258, 273 vevőantenna 283, 290 vezetési ~ áram 157, 283 ~ áramsűrűség 202, 295, 296, 297 Vissza ◄ 311 ► vezető féltér 233 vezetőhurok 126, 151 vezetők 26 vezetőképesség 28, 77, 81, 89, 298 virtuális elmozdulás 187 visszavert hullám 251, 252, 255, 256, 268 vivőhullám késleltetése 262 vonatkozási iránynak 31 W Wheatstone-híd 79 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Név- és tárgymutató Vissza ◄ 311 ►