Matematika | Középiskola » Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából, I. fejezet

MATEMATIKA ELMÉLET Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából I. fejezet Zöld könyv; Raktári szám: 81 307 1 1. Mit értünk két, vagy több egész legnagyobb közös osztóján? Hogyan határozható meg? Definíció: Két, vagy több szám közös osztója az a legnagyobb egész szám, amely az adott számok mindegyikének osztója. A legnagyobb közös osztót úgy állítjuk elő, hogy a számok prímtényezős felbontásában szereplő közös prímeket az előforduló legkisebb kitevővel vesszük, és összeszorozzuk. Például: 360 = 23 · 32 · 5 980 = 22 · 5 · 73 1200 = 24 · 3 · 52 E három szám legnagyobb közös osztója: 22 · 5 = 20 2. Mit értünk két, vagy több egész szám legkisebb közös többszörösén? Hogyan határozható meg? Definíció: Két, vagy több szám legkisebb közös többszöröse az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek az adott számok mindegyike osztója. A legkisebb közös többszöröst úgy állítjuk elő, hogy

a számok prímtényezös felbontásában szereplő összes prímet a lehető legnagyobb kitevővel vesszük, és összeszorozzuk. Például: 360 = 23 · 32 · 5 980 = 22 · 5 · 73 1200 = 24 · 3 · 52 E három szám legkisebb közös többszöröse: 24 · 32 · 52 · 73 3. Milyen számot nevezünk prímszámnak? Mikor mondjuk, hogy két vagy több egész szám relatív prím? Definíció: A prímszám olyan pozitív egész szám, melynek legfeljebb (maximum) két különböző osztója van. Ez pedig az 1, és önmaga / Definíció: Az összetett szám olyan pozitív egész szám, melynek legalább (minimum) három különböző osztója van. / Definíció: Két vagy több szám relatív prím, ha a legnagyobb közös osztójuk az 1. 4. Mit jelent az, hogy a valós számokra értelmezett összeadás és szorzás kommutatív, asszociatív, illetve a szorzás az összeadásra nézve disztributív? Az összeadás kommutatív tulajdonsága: minden a, és b valós számra igaz az, hogy (a

+ b = b + a) az összeadandó tagok felcserélhetők. A szorzás kommutatív tulajdonsága: minden a, és b valós számra igaz az, hogy (a·b = b·a) a szorzat értéke nem fog megváltozni, ha a tényezőket felcseréljük. Az összeadás asszociatív tulajdonsága: minden a, b, c valós számra igaz az, hogy (a + b) + c =a + (b + c) csoportosíthatunk, átzárójelezhetünk, az összeg értéke nem változik. A szorzás asszociatív tulajdonsága: minden a, b, c valós számra igaz, hogy (a·b)·c = a·(b·c) átcsoportosítható, s a szorzat értéke nem fog megváltozni. 2 A szorzás az összeadásra nézve disztributív, mely azt jelenti az a, b, c valós számokra, hogy (a + b) · c = a·c +b·c) összeget tagonként is szorozhatunk, vagyis felbonthatjuk a zárójeleket. 5. Definiálja az egyenes arányosság és a fordított arányosság fogalmát! Definíció: Két mennyiség kapcsolatát egyenes arányosságnak nevezzük, ha az egyik mennyiséget valahányszorosára

változtatva a másik mennyiség is ugyanannyiszorosára változik. Függvénye: f(x) = a·x, ahol a ε R {0}, Lineáris, elsőfokú függvény. Definíció: Két mennyiség kapcsolatát fordított arányosságnak nevezzük, ha az egyik mennyiséget valahányszorosára növelve, a másik mennyiség ugyanannyiad részére csökken. Függvénye: f(x) = c , ahol c ε R {0} és x ≠ 0. Hiperbola x 6. Hogyan definiáljuk az a valós szám pozitív egész kitevőjű hatványát? Definíció: an egy olyan n tényezős szorzat, amelynek minden tényezője a. Kikötés: a ε R, n ε Z+ a n  a  a a a.   . a n Az a a hatványalap, az n a hatvány kitevő, az an pedig a hatványérték, vagy röviden hatvány. 7. Igazolja a következő azonosságokat (a, b valós számok, n, k pozitív egész számok)! a) (ab)n = an  bn a b n b)    an bn (b ≠ 0); c) (an)k = ank Bizonyítások: a) n a n  b n  a a

 a.   a  b b  b.   b  (a  b) (a b) (a b)  . (ab)  (a  b) ndb ndb ndb Az egyes lépések magyarázata: - A hatványozás definíciójának felírása - Felhasználtuk azokat a tulajdonságait a szorzásnak, hogy a tényezőket felcserélhetjük, és zárójelezhetünk. - Mivel n db a és n db b szerepelt, így az átcsoportosítás után (minden a mellé egy b-t „tettünk”) n db (a b) szorzatot kaptunk - Ami pedig a hatványozás definíciója szerint (a b)n. 3   ndb n a a  a  a.  a a a a a a a a a a             . .           .  b b b b  b b  b  b   b   b  b n b b b n b) ndb ndb ndb Az egyes lépések magyarázata: -

Felhasználjuk a hatványozás definícióját külön a számlálóban és külön a nevezőben - Szétbontjuk n db törtre (megtehetjük, hiszen minden számlálóban lévő a-hoz tartozik a nevezőben egy b ; Mert mind a-ból, mind b-ből n db van) - Beárójelezzük az egyes törteket (ezt a szorzás tulajdonsága miatt tehetjük meg) - A hatványozás definícióját alkalmazzuk c) a  n k k             a a  a.   a    a a  a.   a    a a  a.   a    a a  a.   a   .   a a  a   a   ndb     ndb     ndb     ndb       ndb    kdb nk  a a  a.   a  a a  a.   a  a a  a.  

a  .  a a  a   a  a a  a.   a  a ( nk ) db   ndb      ndb      ndb      ndb  kdb Az egyes lépések magyarázata: - A hatványozás definícióját felhasználtuk an-re. - Mivel an-en még további hatványon szerepel a k-dikon, ezért k db-ot kell venni a felbontásokból. - Ezután a szorzás egy tulajdonságát alkalmaztuk: elhagytuk a zárójeleket. - Így kaptuk, hogy összesen (nk) db a szerepel a szorzatban. - Végül a hatványozás definícióját használtuk fel. 8. Definiálja a nem negatív valós szám négyzetgyökét! Mivel egyenlő a2 ? Definíció: Egy a nem negatív valós szám négyzetgyöke az a nem negatív valós szám, amelynek négyzete a. a2  a 9. Definiálja a racionális szám fogalmát! p alakban, ahol a nevező nem nulla. p ; q ε R q Definíció: Azok a számok, amelyek felírhatók és q ≠ 0 A racionális számok

halmazának jele: Q Minden racionális szám végtelen sok módon adható meg tört alakban, egyetlen szám különböző törtalakjai egymásból egyszerűsítéssel, vagy bővítéssel nyerhetők. Pl.: 2 4 8 2 = = = . 3 6 12  3 4 Racionális számok lehetnek: - véges tizedestört : /ekkor a tört nevezőjében csak a 2 és az 5, illetve ezek valamilyen hatványon szerepelnek./ - végtelen szakaszos tizedestört - egész szám 10. Mi a számelmélet alaptétele? Definíció: Minden 0-tól és 1-től különböző pozitív egész szám felbontható prímszámok szorzatára, és ez a felbontás a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű. Pl.: 6 = 2·3 21 = 3·7 32 = 2·16 = 2·2·8 =2·2·2·4 = 2·2·2·2·2 11. Bizonyítsa be, hogy a 2 irracionális szám! A bizonyítás indirekt: Tegyük fel, hogy a 2 racionális, vagyis felírható p alakba, ahol a p, q q ε Z és (p,q) = 1 (Vagyis: p és q egész szám, valamint egymáshoz relatív prímek) Ekkor: 2 =

2= p q p2 q2 /2 (négyzetre emelünk) / · q2 (beszorzunk q2-tel) 2·q2 = p2 Itt már látható, hogy a bal oldal (2·q2 ) biztosan páros, ezért a jobb oldalnak (p2) is biztosan párosnak kell lennie, hiszen a két oldal egyenlő (egyenlőség jel van köztük). Ha tehát p2 = páros, akkor p = páros-nak kell lennie legyen: p = 2·k alakú. Írjuk be p helyére a 2·k alakot. 2·q2 = (2·k)2 (felbontjuk a zárójelet) 2·q2 = 4·k2 /:2 (osztunk 2-vel) q2 = 2·k2 A jobb oldalon (2·k2) páros szám szerepel, ami azt jelenti, hogy a bal oldalnak (q2) is párosnak kell lennie. (Hisz egyenlőség jel van köztük) Ez azt jelenti, hogy q2 = páros q = páros Ellentmondás, hiszen azt kaptuk, hogy p = páros, és q = páros, ami nem lehet, mert az elején feltettük, hogy p és q relatív prímek. (És két páros szám legnagyobb közös osztója ugye nem az 1, hanem a 2 !) Ezzel ellentmondásra jutottunk, vagyis az indirekt feltevés nem igaz! 12. Hogyan definiálja egy

pozitív szám 0, negatív egész és racionális kitevőjű hatványát? 5 1) a 0  1 , ahol: a ε R+ Minden pozitív valós számnak a nulladik kitevőjű hatványa 1. 1 , ahol: a ε R+ ; n ε Z n a 2) a  n  Egy pozitív valós szám negatív egész kitevőjű hatványa egyenlő az alap ellentett kitevővel vett hatványának reciprokával. 3) a p q  a p , ahol: a ε R+ ; p ε Z ; q ε Z+ ; q ≠ 0 q Egy pozitív a szám p -adik hatványa az a pozitív szám, amelynek a q-adik hatványa a p q ediken. A tört kitevőjű hatvány átírható gyökös alakra, és fordítva: a gyökös alak átírható tört kitevőjű hatvány alakba. 13. Mit értünk egy valós szám n-edik gyökén (n pozitív egész)? Határozza meg 4 27 ;  32 értékét! 5 256 ; 3 Definíció: 1) Ha n = páros Egy nem negatív valós szám n-edik gyöke az a nem negatív valós szám, amelynek az n-edik hatványa a. 2) Ha n = páratlan Egy tetszőleges valós szám n-edik gyöke az

a valós szám, amelynek n-edik hatvány a. 3 33 = 3 3 27 = 4 256 = 5  32 = 5 (2) 5  2 44  4 4 14. Igazolja a következő azonosságokat! a) n ab  n a  n b b) n a  b c)  a k n n a n b  k an Milyen kikötéseket kell tenni a-ra, b-re, n-re és k-ra? a) Kikötések: - ha n = páros, akkor a, b ε R R- ha n = páratlan, akkor a, b ε R Bizonyítás: 6 - A hatványozás azonosságait és az n-edik gyök definícióját alkalmazzuk. - A bal oldalt n-edik hatványra emeljük: ┌ az n-dik gyök definíciója alapján  ab  n n  ab - A jobb oldal is n-edik hatványra emeljük:  n ┌ a hatványozás azonossága miatt a n b    a  b n n n n n  ab └ az n-dik gyök definíciója alapján - Mivel a bal oldalon és a jobb oldalon azonos kifejezést kaptunk, ezért igaz az állítás. b) Kikötések: - ha n = páros, akkor a, b ε R R- és b ≠ 0 - ha n = páratlan, akkor a, b ε

R és b ≠ 0 Bizonyítás: - A hatványozás azonosságait és az n-edik hatvány definícióját alkalmazzuk. - A bal oldalt n-edik hatványra emeljük: ┌ az n-dik gyök definíciója alapján n  a a n    b b   - A jobb oldal is n-edik hatványra emeljük: ┌ a hatványozás azonossága miatt n n a    n b     a  b n n n n  a b └ az n-dik gyök definíciója alapján - Mivel a bal oldalon és a jobb oldalon azonos kifejezést kaptunk, ezért igaz az állítás. c) Több lépésben bizonyítjuk: - ha k > 0 és k ε Z, akkor: ┌ a hatványozás definíciója miatt n ┌ hatványozás definíciója miatt a k  n a  a  a.  a  n a  n a  n a  n a   a n └ n-dik gyök azonossága alapján 7 k - ha k = 0 és a ≠ 0, akkor: nyilvánvalóan igaz az állítás. - ha k < 0 és k ε Z, akkor: visszavezetjük a pozitív egész hatványkitevő esetére: Legyen m

ε N+ , így k = -m. Ekkor: n a k  n a m  n 1  am 1 n am  1  a n m   a n m   a n k - Csak azonosságokat használtunk fel, és mivel a bal oldal és a jobb oldal megegyezik, így az állítás igaz. -Kikötések: - ha k ε Z, akkor igaz az állítás: ha n = páros, akkor a ε R Rha n = páratlan, akkor a ε R (a bizonyításokat, csak k ε Z esetén vizsgáljuk!) 15. Mit nevezünk egy valós szám normálalakjának? Írja fel a következő számok normálalakját: 0,000173; 58200000; 78 . 582 Definíció: 1) Pozítiv valós számok esetében: Egy pozitív valós szám normálalakja egy olyan két tényezős szorzat, ahol a szorzat egyik tényezője 1-nél nagyobb, de 10-nél kisebb, a másik tényezője pedig 10-nek valamely egész kitevőjű hatványa. 1) Negatív valós számok esetében: Egy negatív valós szám normálalakja egy olyan két tényezős szorzat, ahol a szorzat egyik tényezője -10 nél nagyobb, de -1-nél

kisebb, a másik tényezője pedig 10-nek valamely egész kitevőjű hatványa. 0,000173 = 1,73 · 10-4 58200000 = 5,82 · 107 78 7,8  101 7,8 =   10 1  1,34  10 1 2 5,82 582 5,82  10 16. Mit jelent log a b ? Milyen kikötéseket kell tenni a-ra, és b-re? Definíció: log a b jelentse azt a kitevőt, amit ha a-ra emelünk, b-t kapjuk. Vagyis: a Kikötések: a > 0 és a ≠ 1 b>0 8 log a b b 17. Igazolja a következő azonosságokat! a) log a xy  log a x  log a y ; b) log a x  log a x  log a y ; y c) log a x k  k  log a x . Milyen kikötéseket kell tenni x-re, y-ra, a-ra és k-ra? Bizonyítások: a) Használjuk a logaritmus definícióját külön x-re és külön y-ra, majd összeszorozzuk a két egyenletet, és alkalmazzuk a hatványozás azonosságát: x  a log a x  x  y  a log a x  a log a y  a log a x  log a y log a y   ya Használjuk a logaritmus definícióját az xy szorzatra is:

x  y  a log a xy Így most két egyenletet kaptunk, amiknek a bal oldalai megegyeznek. De ha a bal oldalaik megegyeznek, akkor a jobb oldalaiknak is meg kell egyezniük: a log a x  log a y  a log a xy És mivel tudjuk, hogy az f(x) = ax függvény kölcsönösen egyértelmű, kapjuk, hogy: log a x  log a y  log a xy Kikötések: a ε R+ és a ≠ 1 x; y ε R+ b) Használjuk a logaritmus definícióját külön x-re és külön y-ra, majd elosztjuk a két egyenletet egymással, és alkalmazzuk a hatványozás azonosságát: x  a log a x  x a log a x  log a y  a log a x log a y log a y   y a ya 9 x hányadosra is: y Használjuk a logaritmus definícióját az x log a x a y y Így most két egyenletet kaptunk, amiknek a bal oldalai megegyeznek. De ha a bal oldalaik megegyeznek, akkor a jobb oldalaiknak is meg kell egyezniük: a log a x  log a y a log a x y És mivel tudjuk, hogy az f(x) = ax függvény

kölcsönösen egyértelmű, kapjuk, hogy: x y log a x  log a y  log a Kikötések: a ε R+ és a ≠ 1 x; y ε R+ és y ≠ 0 c) Használjuk a logaritmus definícióját x-re x  a log a x Ha ezt most k-adik hatványra emeljük és alakalmazzuk a hatványozás azonosságát, kapjuk, hogy:  x k  a log a x  k  a k log a x Írjuk most fel a logaritmus definícióját xk-onra. x k  a log a x k Így most két egyenletet kaptunk, amiknek a bal oldalai megegyeznek. De ha a bal oldalaik megegyeznek, akkor a jobb oldalaiknak is meg kell egyezniük: a k loga x  a log a x k És mivel tudjuk, hogy az f(x) = ax függvény kölcsönösen egyértelmű, kapjuk, hogy: k  log a x  log a x k Kikötések: a ε R+ és a ≠ 1 10 x ε R+ kεR 18. Definiálja a következő fogalmakat! a) polinom; b) algebrai tört! a) Polinom: Az egyváltozós valós polinom olyan többtag összeg, amelynek tagjai a változó (x) különböző hatványainak valós

(a) számszorosai: a n · xn + a n-1 · xn-1 + a n-2 · xn-2 +.+ a 2 ·x2 + a 1 ·x + a 0 , Vagyis: Ahol: - a n , a n-1 , a n-2 . a 2 , a 1 , a 0 előre megadott valós számok, és a n ≠ 0 - n ≠ 0 természetes szám. A felírt polinom itt jelen esetben n-ed fokú. b) Algebrai tört: Két polinom hányadosa. Pl: 5 x 4  2x  3 1 4x  6x 2  1 4 Az algebrai törtek értelmezési tartománya azoknak a valós számoknak a halmaza, ahol a tört nevezője nem 0. 19. Mit nevezünk egyenletnek? Mi az egyenlet igazsághalmaza? Mikor mondjuk, hogy két egyenlet ekvivalens? Definíció: Az egyenlet bármely két, egyenlőségjellel összekötött kifejezés. A kifejezésekben szereplő változók az ismeretlenek. Az egyenlet olyan speciális nyitott mondat, amelynek az alaphalmaza vagy értelmezési tartománya számhalmaz. Az alaphalmaz azon elemeinek halmaza, amelyekre az egyenlet igaz, az egyenlet igazsághalmaza. (másképp: megoldáshalmaza) Két egyenlet ekvivalens (=

egyenértékű), ha azonos alaphalmazon oldjuk meg, és az igazsághalmazuk is megegyezik. 20. Igazolja a másodfokú egyenlet megoldóképletét! A másodfokú egyenlet általános alakja: ax 2  bx  c  0 , ahol a,b,c ε R és a ≠ 0 Emeljünk ki a-t a kifejezésből: b c  a   x2  x    0 a a  Bontsuk szorzattá a zárójeles kifejezést az (a + b)2 = a2+2ab+b2 azonosság segítségével, és a hiányzó tagot pótoljuk: 2  b  c b2  a   x     20 a 4a  2a   11 Hozzunk közös nevezőre: 2  b  4ac  b 2  a   x    0 2a  4a 2   Osszunk le a-val (megtehető, hiszen a ≠ 0) b  4ac  b 2  0 x    2a  4a 2  2 Emeljünk ki egy mínuszt a törtből: b  b 2  4ac  0 x    2a  4a 2  2 Rendezzük az egyenletet: b  b 2  4ac  x    2a  4a 2  2 A

gyökvonást alkalmazva, adódik, hogy: x b b 2  4ac  2a 2a Felbontjuk az abszolútérték jelet, az abszolútérték definíciójának megfelelően: x b b 2  4ac  2a 2a x b b 2  4ac  2a 2a Rendezzük x-re, és megkapjuk a két gyököt: x1   b  b 2  4ac 2a x2   b  b 2  4ac 2a A megoldóképlet tehát: x1, 2   b  b 2  4ac 2a 21. Mit értünk a másodfokú egyenlet diszkriminánsán? A diszkrimináns (magyarul: eldöntendő) a másodfokú egyenletben a gyök alatti kifejezés, amit D-vel jelölik: D = b2 - 4ac Ez dönti el, hogy a másodfokú egyenletnek hány valós megoldása van. 1, Ha D = b2 - 4ac < 0, akkor nincsen valós megoldás, hiszen valós negatív számnak nincsen négyzetgyöke. 2, Ha D = b2 - 4ac = 0, akkor a gyök alatti kifejezés 0, vagyis két egybeeső gyök van: x 1 = x 2 3, Ha D = b2 - 4ac > 0, akkor két különböző valós gyök létezik: x 1 ≠ x 2 22. Bizonyítsa be a

másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket! Ezeket másképpen Viéte-formuláknak nevezzük. A másodfokú egyenlet két gyöke: 12 x1   b  b 2  4ac 2a x2   b  b 2  4ac 2a 1) Két gyök összege: Vizsgáljuk meg mi történik, ha összeadjuk a két gyököt: x1  x 2   b  b 2  4ac  b  b 2  4ac  2a 2a Mivel a két tört nevezője közös, ezért könnyen átírható az alábbi alakra: x1  x 2   b  b 2  4ac  b  b 2  4ac 2a A gyökös kifejezések kiejtik egymást. Ezután adódik, hogy: x1  x 2   b  b  2b  2a 2a Ebből pedig már látható, hogy a két gyök összegét kiszámíthatjuk így: x1  x 2   b a 2) Két gyök szorzata: Írjuk fel a két gyököt, és szorozzuk össze őket:   b  b 2  4ac    b  b 2  4ac    x1  x 2       2 2 a a     A megkönnyítés

érdekében a zárójelben lévő kifejezéseket bontsuk fel törtekre: b b 2  4ac    b b 2  4ac    x1  x 2       2a  2a 2a 2a     Felhasználva az (x + y)(x - y) = x2 - y2 azonosságot, kapjuk, hogy: 2 2   b   b  4ac  x1  x 2      2a  2a    2 Emeljünk négyzetre a hatványozás azonosságai szerint: x1  x 2  b 2 b 2  4ac  4a 2 4a 2 Közös nevezőre hozás, összevonás és egyszerűsítés utánután adódik, hogy: 13 x1  x 2  b 2  b 2  4ac 4ac c  2  a 4a 2 4a Vagyis a két gyök szorzatát kiszámíthatjuk így: x1  x 2  c a 23. Hogyan definiálja két nemnegatív szám számtani, illetve mértani közepét? Def: Két nemnegatív valós szám (a és b) számtani közepe, a két szám összegének a fele: ab 2 Def: Két nemnegatív valós szám (a és b) mértani közepe, a két szám szorzatának

a négyzetgyöke: ab 24. Mit ért a) pont és egyenes távolságán; b) párhuzamos egyenesek távolságán; c) pont és sík távolságán; d) párhuzamos síkok távolságán? a) Pont és egyenes távolságán a pontból az egyenesre bocsátott merőlegesnek a pont és egyenes közötti szakaszának hosszát értjük. b) Párhuzamos egyenesek távolságán az egyik egyenes valamely pontjából a másik egyenesre bocsátott merőlegesnek a két egyenes közötti szakaszának hosszát értjük. c) Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsátott merőlegesnek a pont és sík közötti szakaszának hosszát értjük. d) Párhuzamos síkok távolságán az egyik sík valamely pontjából a másik síkra bocsátott merőleges két sík közötti szakaszának hosszát értjük. 25. Mit ért két kitérő egyenes távolságán? Egyetlen olyan egyenes van, amely két kitérő egyenes mindkettőjét merőlegesen metszi. Ezt az egyenest szokták a két kitérő egyenes normál

transzverzálisának nevezni. Két kitérő egyenes távolsága a normál transzverzálisuknak az egyenesek közé eső szakaszának hossza. Ha két kitérő egyenes mindegyikére a másikkal párhuzamos síkot fektetünk, akkor az így kapott két sík távolsága egyenlő a két kitérő egyenes távolságával. Az e és az f kitérő egyenesek transzverzálisát úgy is megkaphatjuk, hogy az e egyenesen át az f-fel párhuzamos síkot helyezünk el, majd f-en át merőleges síkot állítunk az előbbi síkra. Ezután a két sík metszésvonalának az e egyenessel való metszéspontjában az első síkra merőlegest állítunk. Ez a keresett egyenes. 26. Mit ért a) egyenes és sík hajlásszögén; b) két sík hajlásszögén? a) Egy, a síkot metsző egyenes merőleges a síkra, ha merőleges a sík minden egyenesére. Ha az e egyenes nem merőleges a síkra, akkor az egyenes merőleges vetülete a síkon szintén egyenes (e). Ebben az esetben az egyenes és a sík

hajlásszögén az egyenes és a vetület 14 hajlásszögét értjük. Bizonyítható, hogy ez a szög a legkisebb az e egyenes és a sík egyenesei által bezárt szögek között. b) Ha a két sík nem párhuzamos egymással, akkor metszésvonaluk egy pontjában mindkét síkban merőlegest állítunk a metszésvonalra. A két sík hajlásszöge a két merőleges hajlásszöge. Ez a szög a pont megválasztásától független Megkaphatjuk ezt a szöget úgy is, hogy a metsző síkokat 1, a metszésvonalakra merőleges síkkal elmetszük. Ez a sík az eredeti két síkból egy-egy egyenest metsz ki. Ezek hajlásszöge a két sík hajlásszöge 27. Mit ért két kitérő egyenes hajlásszögén? Két kitérő egyenes hajlásszöge a tér egy tetszőleges pontján átmenő, és az adott egyenesekkel párhuzamos egyenesek hajlásszöge. Ez a szög a pont megválasztásától független 28. Mikor nevez két síkidomot egybevágónak? Sorolja fel a egybevágóságának alapeseteit!

háromszögek Definíció: Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágósági transzformáció, amely egyiket a másikba viszi. A háromszögek egybevágóságának alapesetei: Két háromszög egybevágó ha: - Oldalaik páronként megegyeznek - Két oldal, és a közbezárt szög megegyezik - Egy oldal és a rajta fekvő két szög megegyezik - Két oldaluk és a nagyobbikkal szemközti szög megegyezik. 29. Osztályozza a síknégyszögeket a) az oldalak párhuzamossága; b) az oldalak egyenlősége szerint! a) Az oldalak párhuzamossága szerint: - Trapézok: Van két párhuzamos oldaluk. - Paralelorammák: Azok, amelyeknek két-két oldaluk párhuzamos. b) Az oldalak egyenlősége szerint: - Két-két szemközti oldaluk egyenlő hosszúságú: Paralelogrammák. - Köztük azok, amelyeknek minden oldaluk egyenlő: Rombuszok. - Két-két szomszédos oldaluk egyenlő hosszúságú: Deltoidok. - Két-két szemközti oldaluk egyenlő hosszúságú és merőlegesek egymásra:

Téglalap. - Minden oldaluk egyenlő párhuzamosak egymással és merőlegesek egymásra: Négyzet 30. Milyen négyszöget nevez húrnégyszögnek, illetve érintőnégyszögnek? Definínció: Egy négyszög húrnégyszög, ha oldalai ugyanannak a körnek húrjai. Definíció: Egy négyszög érintőnégyszög, ha oldalai ugyanannak a körnek érintői. 31. Mit nevez középvonalnak a) paralelogramma; b) trapéz c) háromszög 15 esetén? Számítsa ki ezeknek a hosszát az oldalak ismeretében! a) A szemközti oldalak felezőpontjait összekötö szakaszok a paralelogramma középvonalai. A középvonalak egyenlő hosszúságúak és párhuzamosak a nem felezett oldalakkal. b) A szárak felezőpontjait összekötő szakszok a trapéz középvonala. A középvonal hossza megegyezik az alap és alappal szemközti oldal számtani közepével, és azokkal párhuzamos. c) Az oldalak felezőpontjait összekötő szakszok a háromszök középvonalai. A középvonalak hossza megegyezik

a nem felezett oldal hosszának felével, és azzal párhuzamos. 33. Határozza meg a következő ponthalmazokat! a) Két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban és a térben. b) Két adott egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban. a) - Két adott ponttól P-től és Q-tól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban a PQ szakasznak az adott síkra illeszkedő felezőmerőleges egyenese. - A P-től és a Q-tól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a térben a PQ szakasz felezőmerőleges síkja. Ez a sík átmegy a PQ szakasz F felezőpontján, és merőleges a PQ szakaszra. Ez azt jelenti, hogy a felezőmerőleges sík valamely egyenese merőleges a PQ szakaszra. b) - Ha két adott egyenes párhuzamos, akkor az egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza olyan egyenes, amely a két adott egyenessel párhuzamos, és a távolságukat felezi. - Ha a két egyenes e és f metszi egymást, akkor az

egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az általuk bezárt szögek szögfelező egyenesei. 34. Határozza meg a következő ponthalmazokat! a) Három ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon és a térben. b) Egy sík három egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban. a) SÍK: - Három adott ponttól, A-tól, B-től és C-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkban azok, amelyek egyenlő távolságra vannak A-tól is és B-től is, és ugyanakkor B-től is és C-től is. - Egy síkban az A-tól és B-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az AB szakasz felezőmerőlegese. - A B-től és C-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza pedig a BC szakasz felezőmerőlegese. 16 - A keresett ponthalmaz tehát a két felezőmerőleges közös pontjaiból áll. Ha A, B és C háromszöget alkot, akkor a két felezőmerőlegesnek 1 közös pontja van, ez a pont mindhárom ponttól egyenlő

távolságra van. - Ez egyúttal azt is jelenti, hogy AC felezőmerőlegese is átmegy ezen a ponton; vagyis a háromszög három oldalfelezőmerőlegese egy pontban metszi egymást. - Ha a három pont egy egyenesbe esik, akkor a két felezőmerőleges párhuzamos, a két egyenesnek nincs közös pontja, tehát a keresett ponthalmaz üres. TÉR: - A térben az A, B és C ponttól egyenlő távolságra lévő pontok az AB szakasz felezőmerőleges síkjának és a BC szakasz felezőmerőleges síkjának a közös pontjai. - Ha A, B és C egy egyenesbe esik, akkor a két felezőmerőleges sík párhuzamos egymással, tehát a keresett ponthalmaz üres halmaz. - Ha A, B és C háromszöget alkot, akkor a két sík egy egyenesben metszi egymást. Ez az egyenes az ABC háromszög köré írható kör középpontján átmenő, az ABC háromszög síkjára merőleges egyenes. b) - Egy sík három egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok halmazát azokban az esetekben nézzük, amikor

a három egyenes közt nincs egybeeső pont. - Ha a három egyenes párhuzamos, nincs a feltételeket kielégítő pont. - Ha a három egyenes közül 2 párhuzamos egymással, és a harmadik egyenes metszi őket (f és g párhuzamosak, h metszi f-t és g-t,], akkor az f és g párhuzamos egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két egyenes középpárhuzamosa. - Az f és h egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az f 1 és f 2 szögfelező egyenesek. - Mindhárom egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két halmaz metszete: P 1 és P 2 pont. - P 1 és P 2 egyenlő távolságra van a h-tól és g-től is. (Az általuk bezárt szög szögfelező egyeneseivel is dolgozhattunk volna.) - A háromszög belsejében a feltételeket kielégítő pont a három belső szögfelező metszéspontja. - A különböző síktartományokban a háromszög egy belső szögfelezőjének és a másik két csúcshoz tartozó külső szögfelezőnek a

metszéspontja adja a feltételeket kielégítő pontokat (minden síktartományban egyet). - Ha a három egyenes 1 pontban metszi egymást, akkor egyetlen pont elégíti ki a feltételeket, a három egyenes metszéspontja. 42. Bizonyítsa be, hogy az n oldal konvex sokszög belső szögeinek összege (n - 2)180o, átlóinak száma pedig nn  3 ! 2 17 a) Belső szög bizonyítás: A sokszög minden csúcsából (n - 3) db átló húzható (saját magához és a két szomszédos csúcsba nem rajzolható). Az egy csúcsból húzott (n - 3) átló a sokszöget (n - 2) db háromszögre bontja. Ezek belső szögeinek összege: (n - 2)180o B. Átló bizonyítás: Az n oldalú konvex sokszögben egy csúcsból (n - 3), n csúcsból összesen n(n - 3) db átló húzható. Így mindegyik átlót kétszer számoljuk, egyszer az egyik végpontjánál, egyszer a másiknál. Az n(n - 3)-at ezért el kell osztani 2-vel 43. Mi az összefüggés két (nemnegatív) szám számtani és

mértani közepe között? Igazolja az összefüggést! Az összefüggés az, hogy a számtani közép mindig nagyobb, vagy egyenlő a mértani középnél: ab  ab 2 Bizonyítás: Emeljünk az egyenlőtlenséget négyzetre: 2 ab    ab  2  2 A hatványozás azonosságát és a négyzetre emelést elvégezve a jobb oldalon kapjuk, hogy: ( a  b) 2  ab 4 Beszorzunk 4-gyel, így eltűnik a tört: (a  b) 2  4ab Felbontjuk a zárójelet az azonosság alapján: a 2  2ab  b 2  4ab Egy oldalra rendezzük az egyenlőtlenséget, vagyis kivonunk 4ab-t: a 2  2ab  b 2  0 Innen már látható, hogy ez nem más mint egy újabb azonosság: ( a  b) 2  0 Ez az állítás viszont mindig igaz lesz, hiszen egy tetszőleges valós szám négyzete mindig nagyobb vagy egyenlő 0-nál. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a = b. 44. Mi az egybevágósági transzformáció? Definíció: Olyan kölcsönösen egyértelmű pont-pont

transzformáció, amely távolságtartó. 18 Távolságtartó: azok a transzformációk, amelyeknél bármely a szakasz hossza és a szakasz képének a hossza egyenlő. Ezek a transzformációk: - Tengelyes tükrözés - Forgatás - Eltolás - Középpontos tükrözés - Csúcsás tükrözés (nem tananyag) 45. A sík melyik transzformációját nevezzük tengelyes tükrözésnek? Sorolja fel a tengelyes tükrözés tulajdonságait! Definíció: Megadunk a síkban egy egyenest, ez lesz a tükrözés tengelye. A tengely pontjainak a képe önmaga. Minden tengelyen kívüli P pont képét úgy kapjuk, hogy a pontból merőlegest bocsátunk a tengelyre és a pont-tengely távolságát felmérjük a meghosszabbításra. Tulajdonságai: - Kölcsönösen egyértelmű, ezért van inverze - Körüljárás váltó - Egyenestartó - Távolságtartó - Szögtartó - Illeszkedéstartó - Fixpont: a tengely összes pontja - Fixalakzat: fixegyenese a tengely és minden a tengelyre merőleges

egyenes 46. A sík melyik transzformációját nevezzük középpontos tükrözésnek? Sorolja fel a középpontos tükrözés tulajdonságait! Definíció: Megadunk a síkban egy O pontot, ez lesz a tükrözés középpontja. Az O pont képe önmaga. Minden O ponton kívüli P pont képét P’-t úgy kapjuk, hogy az O pontot összekötjük a P ponttal, ezt meghosszabbítjuk és a meghosszabbításra felmérjük az OP szakasz hosszát. Tulajdonságai: - Kölcsönösen egyértelmű, ezért létezik inverze (az inverze önmaga lesz) - Körüljárástartó - Szögtartó - Egyenestartó - Illeszkedéstartó - Távolságtartó - Fixpont: O pont - Fixalakzat: Az O ponton áthaladó összes egyenes Egy tétel, amely a középpontos tükrőzéshez tartozik: Tétel: A középpontos tükrözés helyettesíthető két tengelyes tükrőzés egymásutánjával, ahol a tengelyek egymást az O pontban metszik és merőlegesek egymásra. Ennek bizonyítása nem tartozik a feladathoz. 47. Milyen

ponthalmazokat nevezünk a sík egy pontjára, illetve egy egyenesére szimmetrikusnak? Soroljon fel középpontosan, illetve tengelyesen szimmetrikus háromszögeket, négyszögeket, sokszögeket! 19 Definíció: Középpontosan szimmetrikusnak nevezünk egy síkidom, ha van olyan pont a síkon, amelyre tükrözve a síkidom képe önmaga. Pl: - Háromszög: szabályos háromszög - Négyszög: paralelogramma; rombusz; téglalap; négyzet - Sokszög: szabályos 5 szög; szabályos 6 szög, , szabályos n-szög Definíció: Tengelyesen szimmetrikusnak nevezünk egy síkidomot, ha van olyan egyenes a síkon, amelyre tükrözve a síkidom kép önmaga. Pl: - Háromszög: egyenlőszárú háromszög - Négyszög: négyzet; egyenlőszárú trapéz - Sokszög: szabályos 5 szög; szabályos 6 szög, , szabályos n-szög / A kör tengelyesen- és középpontosan is szimmetrikus./ 48. A sík melyik transzformációját nevezzük pont körüli forgatásnak? Sorolja fel a

tulajdonságait! Definíció: Megadunk a síkban egy O pontot, - ez lesz a forgatás középpontja - egy α szöget és megadjuk a forgatás irányát. Az O pont képe önmaga Minden O ponton kívüli P pontnak a képét P’-t úgy kapjuk, hogy az OP szakasz hossza egyezzen meg az OP’ szakasz hosszával, a POP’ által bezárt szög egyezzen meg a megadott α szöggel, és a P-t a P’-be a megadott irányú mozgatás vigye. Tulajdonságai: - Kölcsönösen egyértelmű, ezért van inverze - Egyenestartó - Szögtartó - Távolságtartó - Illeszkedéstartó - Egyenes és képe egymással α szöget zár be Egy tétel, amely a forgatáshoz tartozik: Tétel: A forgatás helyettesíthető két tengelyes tükrőzés egymásutánjával, ahol a tengelyek egymással  2 szöget zárnak be. Ennek bizonyítása nem tartozik a feladathoz. 49. Milyen ponttranszformációt tulajdonságait! nevezünk eltolásnak? Sorolja fel az eltolás Definíció: Megadunk a síkban egy v

vektort. Tetszőleges P pontnak a képét P’-t úgy kapjuk, hogy a v vektorral megadott eltolásnál a P ponthoz a P kezdőpontú v = PP’ vektor P’ végpontját rendeljük. Tulajdonságai: - Kölcsönösen egyértelmű, ezért van inverze - Körüljárástartó - Távolságtartó - Szögtartó 20 - Illeszkedéstartó - Egyenes és képe párhuzamos lesz egymással - Nincs fixpontja - Fixalakzat: az adott vektorral párhuzamos egyenesek Egy tétel, amely az eltoláshoz tartozik: Tétel: Az eltolás helyettesíthető két tengelyes tükrözés egymásutánjával, ahol a tengelyek egymással párhuzamosak, a tengelyek távolsága az eltolás hosszának a fele és merőlegesek az adott állásra. Ennek bizonyítása nem tartozik a feladathoz. 50. Hogyan mérünk szöget? A szög legismertebb mértékegysége a fok, ami a teljes szög 360-ad része. A fok 60-ad része a perc. A perc 60-ad része a másodperc. Egy körben a középponti szögek és a hozzájuk tartozó körívek

hossza egyenesen arányos. Ez az összefüggés lehetőséget nyújt az ívmértékkel való szögmérésre. Az ívmérték egysége az a szög, amelyhez mint középponti szöghöz a kör sugarával egyenlő hosszúságú körív tartozik. Neve: egy radián. Mértékegysége: rad Másképpen: Egy radián az a szög, amelyhez mint középponti szöghöz az egységsugarú körben egységnyi hosszúságú körív tartozik. A szög ívmértéke egy arányszám, amely azt mutatja meg, hogy a szöghöz mint középponti szöghöz tartozó körív hossza hányszorosa a kör sugarának. Eszerint egység sugar körben a szög ívmértéke a szöghöz, mint középponti szöghöz, tartozó körív hossza. A teljes szög ívmértéke: 2π rad  A derékszög ívmértéke: A 60o szög ívmértéke: 2  3 rad rad . . . Tetszőleges αo szög ívmértéke: o 180 o   rad 51. Milyen ponttranszformációt nevezünk középpontos hasonlóságnak? Sorolja fel a középpontos

hasonlóság tulajdonságait! Definíció: Megadunk a síkban egy O pontot, ez lesz a középpontos hasonlóság középpontja, és megadunk egy tetszőleges λ (lambda) nem nulla valós számot, ez lesz a hasonlóság aránya: 21 Az O pont képe önmaga. Minden O ponton kívüli P pontnak a képét P’-t úgy kapjuk, hogy az OP távolságok aránya OP egyezzen meg a hasonlóság λ arányának az abszolútértékével, és a P’ legyen rajta az OP egyenesen, úgy, hogyha λ > 0, akkor a P’ az OP félegyenesen legyen, ha λ < 0, akkor a P’ az OP egyenes P-t nem tartalmazó félegyenesén legyen. Tulajdonságai: - Kölcsönösen egyértelmű, ezért van inverze - Inverze: O középpontú 1  arányú hasonlóság - Körüljárástartó - Egyenes és képe párhuzamos egymással - Távolság-aránytartó (szakasz és képének arányhossza állandó) - Szögtartó - Illeszkedéstartó - Fixpont: O pont (minden tetszőleges λ-nál) - Invariáns alakzat: Az O

ponton átmenő egyenes képe önmaga 52. Mit nevezünk vektornak? Mikor egyenlő két vektor? Definíció: A vektor egy irányított szakasz. Meghatározza az iránya, állása és nagysága - Két vektor egyenlő, ha irányuk és nagyságuk megegyezik. - Két vektor ellentett vektor, ha nagyságuk és állásuk megegyezik, az irányuk pedig ellentétes. - A vektor hossza a vektor abszolút értéke. - Nullvektor: Olyan vektor, aminek hossza 0, iránya tetszőleges. Jelölések: AB (A-ból B-be mutató vektor, nagybetűs jelölés) v (v vektor, kisbetűs jelölés) 53. Hogyan definiáljuk két vektor összegét, ill különbségét? Sorolja fel a vektorösszeadás tulajdonságait! Összeg(1): Legyen a két vektor v és w: Vegyük fel v-t, és a végpontjából mérjük fel a w vektort. A v vektor kezdőpontjából a w vektor végpontjába mutató vektor a ( v + w ) vektor, amely az összeg, vagy eredővektor. A v és w vektorokkal megadott két eltolás egyetlen eltolással

helyettesíthető: ezt az eltolást adja meg az ( v + w ) vektor. Összeg(2): Két, egymással nem párhuzamos vektor összege megadható az ún. paralelogramma szabállyal is: 22 Vegyük fel a két vektort közös kezdőponttal, végpontjaikon át húzzunk a másik vektorral párhuzamosokat. Ezek a párhuzamosok az adott vektorokkal együtt egy paralelogrammát határoznak meg. Az összegvektor a paralelogrammának az adott vektorok közös kezdőpontjából kiinduló átlója lesz. Az összeg tulajdonságai. - Kommutatív: ez a paralelogramma szabállyal történő összegzésből nyilvánvaló Több vektort úgy összegezhetünk, hogy egymáshoz csatlakozóan vesszük fel őket. Az összegvektor az elsőnek felvett vektor kezdőpontjából az utoljára felmért vektor végpontjába mutató vektor. - Asszociatív: (v + w) + z = v + ( w + z ) = v + w + z. Különbség: A v-w különbségvektor az a vektor, amelyhez a w vektort adva a v vektort kapjuk. A (v - w) vektort úgy

kapjuk meg, hogy a két vektort közös kezdőpontból vesszük fel; a (v-w) vektor a kivonandó végpontjából a kisebbítendő végpontjába mutató vektor. - Nem kommutatív - Nem asszociatív 54. Mit értünk egy vektor számszorosán? ε · a, ahol ε (epszilon) egy szám, a pedig a vektor. Ha ε = 0, akkor ε · a = 0 (Nullvektor) Ha ε > 0, akkor ε · a olyan vektor melynek hossza az eredeti a vektor hosszának ε-szorosa, iránya pedig megegyezik az a vektor irányával. Ha ε < 0, akkor ε · a olyan vektor melynek hossza az eredeti a vektor hosszának ε-szorosa, iránya pedig ellentétes az a vektor irányával. 57. Fogalmazza meg a párhuzamos szelők tételét és a tétel megfordítását! Definíció: Párhuzamos szelők tétele Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metszük, akkor az egyik szögszáron keletkező szakasz hosszak aránya megegyezik a másik szögszáron keletkező, nekik megfelelő szakasz hosszak arányával. Definíció: Megfordítása

Ha egyenesek egy szög két szárából olyan szakaszokat vágnak le, amelyek aránya mindkét száron megegyezik, akkor azok az egyenesek párhuzamosak. 59. Mikor mondjuk két síkidomról, hogy hasonlók? Sorolja fel a háromszögek hasonlóságának alapeseteit! Definíció: Két alakzat hasonló: Ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba viszi át. Jele: ~ Definíció: Hasonlósági transzformáció: 23 Véges sok középpontos hasonlóság és véges sok egybevágósági transzformáció szorzata. (egymásutánja) Háromszögek hasonlóságának alapestei: - Ha megfelelő oldalhosszainak aránya egyenlő Ha két oldal aránya és a közbezárt szögük egyenlő Ha két-két szögük páronként egyenlő Ha két oldaluk aránya egyenlő és a nagyobbikkal szemközti szög megegyezik 66. Hogyan értelmezzük a hegyesszögek szögfüggvényeit? Tekintsük azokat a derékszögű háromszögeket, amelyeknek az egyik hegyes szöge α. Az α

szöget tartalmazó tetszőleges derékszögű háromszögben az egyes szögfüggvényeket, így értelmezzük: sin α = a c (az α szöggel szemközti befogó / az átfogó) cos α = b c (az α szög melletti befogó / az átfogó) tg α = ctg α = a b b a (az α szöggel szemközti befogó / az α szög melletti befogó) (az α szög melletti befogó / az α szöggel szemközti befogó) 67. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög sinusa illetve cosinusa? Az e egységvektor pozitív irányszöge olyan α szög, amellyel az i egységvektort az origó körül pozitív irányba elforgatva az e-be megy át. sin α , az α irányszögű e egységvektor ordinátája (második koordinátája) cos α, az α irányszögű e egységvektor abszcisszája (első koordinátája) 68. Hogyan értelmezhető egy tetszőleges szög tangense , illetve cotangense? Tangens: Ha cos α ≠ 0 , azaz α ≠  2 + k  π ( k ε Z ) akkor tg α = sin  cos  Ha cos α = 0 , akkor az

α szög tangensét nem értelmezzük. Cotangens: 24 Ha sin α ≠ 0 , azaz α ≠ k  π ( k ε Z ) akkor ctg α = cos  sin  Ha sin α = 0 , akkor az α szög cotangensét nem értelmezzük. 70. Igazolja a következő azonosságot! sin2 α + cos2 α = 1 ; minden valós α -ra. A szögfüggv-ek definíciója szerint az α irányszögű e egységvektor koordinátái: (cos α , sin α) Az általuk meghatározott derékszögű háromszögben felírjuk a Pitagorasz-tételt: |e|2 = sin2 α + cos2 α Mivel e egységvektor volt, ezért a hossza egységnyi, de a négyzete is egységnyi: |e|2 = 1 Ebből pedig következik, hogy sin2 α + cos2 α = 1. 71. Határozza meg a háromszög területét, ha adott két oldala és a közbezárt szöge! Adott egy háromszög két oldala, a és b, illetve a két oldal által bezárt szög γ. Ekkor a háromszög területét a következő képlet adja meg: T = a  b  sin  2 73. Bizonyítsa be egy kör r hosszúságú sugara, a

hosszúságú húrja és az a-hoz tartozó α kerületi szög közötti következő összefüggést! a = 2  r  sin α. Bizonyítás: Rajzoljuk fel az ábrát: Mivel α kerületi szög, így tétel szerint úgyanahhoz az ívhez tartozó középponti szög kétszer akkora: 2 α. A háromszög belső szögösszege 180o, ezért a 2 α mellett a másik két szög a háromszögben 90o- α (mind a két szög 90o- α, hiszen egyenlőszárú a háromszög!) 25 A háromszögben felírjuk a sinustételt: r a  o sin 2 sin 90    Rendezzük az egyenletet:  r  sin 2 a sin 90 o     Felhasználjuk a sin 2α és a sin(90o- α ) azonosságokat: r  2  sin  cos  a cos  Egyszerűsítünk cosα -val (lehet, hiszen 0 csak akkor lehet, ha α = 90o, ami lehetetlen, mert akkor nem létezne a háromszög!): r  2  sinα = a 2  r  sinα = a Kész a bizonyítás. 74. Bizonyítsa be a sinustételt! Definíció: Bármely

háromszögben az oldalak aránya egyenlő a velük szemközti szögek sinusának arányával. Bizonyítás: Legyenek a háromszög oldalai a, b, c és az ezekkel szemközti szögek, rendre: α, β, γ Írjuk fel a háromszög területét kétféleképpen az α és β szögek felhasználásával: a  c  sin  2 b  c  sin  T= 2 T= Mivel mindkettő a területet adja, ezért ezek egymással is egyenlők: a  c  sin  b  c  sin  = 2 2 Ha beszorzunk 2-vel, és közben leosztunk c-vel : a  sin β = b  sin α Innen rendezve kapjuk a tételt: a sin   b sin  26 Az osztásoknál felhasználtuk, hogy c ≠ 0, b ≠ 0, és sin β ≠ 0. (Nem is lehetnek, hiszen háromszögekről van szó). Ugyanezek a műveltek a háromszög bármely két oldalpárjára elvégezhető. 75. Bizonyítsa be a cosinustételt! A cosinustétel kimondja, hogy egy tetszőleges háromszög bármely oldalának négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzet

összegéből kivonjuk e két oldal és a közbezárt szögük cosinusának kétszeresét. ÁllÍtás: a2 = b2 + c2 – 2  b  c  cos α Bizonyítás: Adott három vektor: a, b, c A vektorok különbségére vonatkozó ismereteket felhasználva: a=b-c Ezt négyzetre emeljük: a2 = b2 – 2bc + c2 Felhasználjuk a vektorok skaláris szorzatáról szóló tételt, és átalakítjuk a kifejezéseket: a2 = a  a =│a││a│ cos 0o = │a││a│ 1 = │a││a│ = │a│2 = a b2 = b  b =│b││b│ cos 0o = │b││b│ 1 = │b││b│ = │b│2 = b c2 = c  c =│c││c│ cos 0o = │c││c│ 1 = │c││c│ = │c│2 = c Mivel a skaláris szorzatnál a vektorokat önmagukkal szoroztuk, ezért a közbezárt szögük 0o, és tudjuk, hogy cos 0o = 1. b  c =│b││c│ cos α = b  c  cos α Visszahelyettesítve az eredeti képletbe, kapjuk, hogy: a2 = b2 + c2 – 2  b  c 

cos α 27 76. Igazolja a következő azonosságokat! sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β és cos (α + β) = cos α cosβ - sin α sin β Bizonyítás: a) cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β - Vegyünk a koordináta-rendszerben két egység vektort: e és e’, amelyek β, illetve α szöget zárnak be x tengellyel: - A koordinátáikról a 67)-es elméleti feladat szerint tudjuk, hogy: e (cos β; sin β) e’(cos α; sin α) - A vektorok skaláris szorzata szerint: e · e’ = │e│·│e’│· cos(α – β) De e és e’ egységvektorok, ezért a hosszuk 1, vagyis alkalmazzuk, hogy │e│= 1 és │e’│= 1. - Ezek után: e · e’ = 1·1· cos(α – β) - Azaz: e · e’ = cos(α – β) - De a vektorok skaláris szorzatát felírhatjuk a megfelelő koordinátáik szorzat összegével is a 83)-as elméleti feladat szerint: e · e’ = cos α cosβ + sin α sin β - Mivel a két egyenlet bal oldala megegyezik, ezért a jobb oldalaik is: cos (α +

β) = cos α cosβ - sin α sin β Kész a bizonyítás. b) sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β - Tudjuk, hogy sin α = cos (90o - α). Ezt használjuk (α + β) szögre: sin (α + β) = cos [90o - (α + β)] = cos (90o - α - β) = cos [(90o - α) + (- β)] = - Itt felhasználjuk az előző pontban bizonyítottat: = cos(90o - α) cos(- β) - sin (90o - α) sin(- β) = - A cosinus függvény páros, a sinus páratlan: = cos(90o - α) cos β - sin (90o - α) [- sin β] = - Alkalmazzuk, hogy: cos (90o - α) = sin α és sin (90o - α) = cos α = sin α cos β - cos α [- sin β]= 28 - És kapjuk a végeredményt: = sin α cos β + cos α sin β /Az egyenlőségek sorról-sorra következnek, a két oldal végereménye fekete vastagon szedett./ 77. Fejezze ki sin(α - β), illetve cos(α - β) értékét a sin(α + β), illetve a cos(α + β) -ra vonatkozó azonosságok ismeretében! Bizonyítás: Tudjuk tehát, hogy: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos (α +

β) = cos α cosβ - sin α sin β Írjunk β helyére - β -át: sin [α + (- β)] = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) cos [α + (- β)] = cos α cos (- β) - sin α sin (- β) Felhasználjuk a sinus és cosinus függvények paritására vonatkozó ismereteket: A sinus függvény páratlan, ezért: sin (- α) = - sin α A cosinus függvény páros, ezért: cos (- α) = cos α Ezeket visszaírjuk a képletekbe: sin (α - β) = sin α cos β + cos α (- sin β) cos (α - β) = cos α cos β - sin α (- sin β) Innen pedig kapjuk az előjelek váltásával, hogy: sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β 78. Fejezze ki tg(α+β)-t tg α-val és tg β-val a sin(α+β), illetve a cos(α+β)-ra vonatkozó azonosságok ismeretében! Bizonyítás: Adottak tehát: tg α; tg β; sin(α+β); cos(α+β) Írjuk fel azokat az azonosságokat, amiket már ismerünk róluk: 1) tg α = sin  cos  2) tg β = sin  cos  3) sin(α+β) =

sin α cos β + sin β cos α 4) cos(α+β) = cos α cos β - sin α sin β Nekünk most a tg(α+β)-ra van szükségünk. A tangenst felírhatjuk a sinus és a cosinus segítségével, az 1)-es azonosság szerint: 29 tg(α+β) = sin(   ) cos(   ) Felhasználjuk a 3) -as és a 4) -es pontokat a számlálóhoz és a nevezőhőz: tg(α+β) = sin  cos   sin  cos  cos  cos   sin  sin  A számlálót átalakítjuk:  sin  sin      cos  cos   cos  cos    tg(α+β) = cos  cos   sin  sin  A nevezőből kiemelünk cos α cos β -t:  sin  sin      cos  cos   cos  cos    tg(α+β) =  sin  sin    cos  cos  1   cos  cos   Mivel a számlálóban, és a nevezőben is van cos α cos β, ezért egyszerűsíthetünk vele:  sin  sin      cos  cos   

tg(α+β) =  sin  sin   1    cos  cos   A nevezőben szétszedjük a törtet két tört szorzatára:  sin  sin      cos  cos    tg(α+β) =  sin  sin   1     cos  cos   Itt pedig végül felhasználjuk az 1)-es és a 2)-es azonosságokat: tg(α+β) = tg  tg 1  tgtg 79. Mik a bázisvektorok? Definiálja egy vektor koordinátáit az i, j egységvektorokkal megadott koordináta-rendszerben! 30 Ha felveszünk a síkon egy O pontot és a, b (nem párhuzamos) vektorokat, akkor a sík bármely P pontjához tartozik egy OP helyvektor, amely egyértelműen felbontható az a és b vektorokkal párhuzamos összetevőkre: OP = k 1  a + k 2  b. A k 1 és a k 2 számokat úgy tekintjük, mint a OP vektorhoz rendelt rendezett számpárt. Íly módon a helyvektorok és a rendezett számpárok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés

létesíthető. Ezzel a módszerrel a helyvektoroknak rendezett számpárokat feleltetünk meg Az adott vektorokat bázisvektoroknak nevezzük, ha két adott vektor az i és j egységvektor, ahol i-t pozitív irányú 90o-os elforgatás viszi át j-be. Az OP helyvektort felbonthatjuk i és j irányú összetevőkre: OP = k 1  a + k 2  b; ahol k 1 és k 2 az OP helyvektor koordinátái. A bázisvektorok a Descartes-féle koordinátarendszert állítják elő: az O pont a koordinátarendszer kezdőpontja, az x tengely pozitív fele az i, az ipszilon tengely pozitív fele pedig a j irányba mutat. 80. Mit ért egy vektor abszolútértékén? Hogyan határozható meg a vektor abszolútértéke a vektor koordinátái segítségével? Definíció: Egy tetszőleges vektor abszolútértékén az adott vektor hosszát értjük. Vetítsük az adott O-ból kiinduló v (v 1 ; v 2 ) vektort az x koordinátatengelyre. Az AOT derékszögü háromszög befogóinak hossza a vektor

koordinátáinak abszolútértékével, az átfogó hossza pedig a vektor abszolútértékével egyenlő. A Pitagorasz-tételt felírva adódik: │v│2 = │v 1 │2 + │v 2 │2 Gyökvonással megkapjuk │v│- t. Tehát egy vektor abszolútértéke (hossza) egyenlő a vektor koordinátái négyzetösszegéből vont négyzetgyökkel. 81. Mit ért két vektor skaláris szorzatán? Mi annak szükséges és elégséges feltétele, hogy két vektor skaláris szorzata zérus legyen? Definíció: Két vektor skaláris szorzata megegyezik a vektorok hosszának és a közbezárt szögük cosinusának a szorzatával. Vagyis: Ha a két vektor a és b, a közbezárt szögük pedig ε (0 ≤ ε ≤ 180o), akkor a skaláris szorzatuk: a  b  a  b  cos  31 Ha ε < 90o, akkor a · b = pozitív. Ha ε > 90o, akkor a · b = negatív. Ha ε = 90o, akkor a  b  a  b  cos 90 o = a  b  0 = 0 Azt kaptuk, hogy ha két vektor merőleges egymásra, akkor a

skaláris szorzatuk 0 lesz. Megfordítás: Tegyük fel, hogy a két vektor skaláris szorzata 0, és vizsgáljuk meg a szöget! Mivel a a · b = 0, és feltesszük, hogy sem a vektor, sem b vektor nem nullvektor, akkor ebből következik, hogy a vektorok hosszai biztosan nem 0-ák. Vagyis: a  0 és b  0 De akkor az 0  a  b  cos  egyenlőség csak úgy tud 0 lenni, ha cos ε = 0, amiből pedig következik, hogy ε = 90o Azt kaptuk, hogy ha két vektor skaláris szorzata 0, akkor a két vektor merőleges egymásra. Összefoglalva: Két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor 0, ha a két vektor merőleges egymásra. 82. Bizonyítsa be, hogy minden a; b; c vektor esetében (a + b)c = ac +bc, vagyis két vektor összegének egy harmadik vektorral való skaláris szorzata széttagolható! Ha c = 0, akkor Jobb oldalon: (a + b)c = (a + b)  0 = 0 Bal oldalon: ac + bc = a  0 + b  0 = 0 Mivel a két oldal egyenlő, az állítás igaz. Ha c ≠ 0, akkor vegyük a

c-vel azonos irányú e egységvektort: ekkor c = |c|  e Így elegendő az (a + b)e = a  e + b  e állítást belátnunk. A skaláris szorzat definíciója alapján könnyen beláthatjuk, hogy egy vektornak és egy egységvektornak a skaláris szorzata a vektornak az egységvektor egyenesén lévő előjeles vetületét adja. (Ez a skalárvetület) Adott az e egységvektor. Vegyük fel az a, b vektorokat, összegük: a + b Képezzük ezeknek az e egyenesére vonatkozó skalárvetületét. Az összeg skalárvetülete = a tagok skalárvetületeinek összegével: (a + b)e = a  e + b  e 83. Fejezze ki két vektor skaláris szorzatát a vektorok koordinátáinak segítségével! Állítás: Adott két vektor: a(a 1 , a 2 ) és b(b 1 , b 2 ) Skaláris szorzatuk: a  b = a 1  b 1 +a 2  b 2 . Bizonyítás: Bázisvektorokkal felírva: a = a1  i + a2  j b = b1  i + b2  j Szorozzuk össze őket: 32 a  b = (a 1  i + a 2  j)  (b 1  i + b 2 

j). A disztributív tulajdonság alapján a szorzás tagonként végezhető (összeszorozzuk mindegyik tagot mindegyik taggal): a  b = a 1  b 1  i2 + a 1  b 2  i  j + a 2  b 1  j  i + a 2  b 2  j2 Mivel i és j merőlegesek egymásra, ezért i  j = j  i = 0 a  b = a 1  b 1  i2 + a 1  b 2  0 + a 2  b 1  0 + a 2  b 2  j2 a  b = a 1  b 1  i2 + a 2  b 2  j2 Korábbi tétel alapján tudjuk, hogy: i2 = i  i = | i |  | i |  cos(0) = 1 j2 = j  j = | j |  | j |  cos(0) = 1 A képletbe helyettesítve: a  b = a1  b1  1 + a2  b2  1 Így: a  b = a1  b1 + a2  b2 Ezt akartuk bizonyítani. Tehát két vektor skaláris szorzata egyenlő a megfelelő koordinátáik szorzatának összegével. 84. Mit ért egy alakzat egyenletén? Egy alakzat egyenlete olyan egyenlet, amelynek megoldáshalmaza az alakzat pontjainak koordinátáiból áll: vagyis olyan egyenlet, amelyet az alakzat

minden pontjának koordinátái kielégítenek, más pontok koordinátái viszont nem. 88. Definiálja egy egyenes iránytangensét! - Egy egyenes irányvektora egy tetszőleges, az egyenessel párhuzamos vektor. Az egyenes iránytangense egy v(v 1 , v 2 ) irányvektor koordinátáiból képzett -A v2 hányados, ahol v 1 ≠ 0. v1 v2 hányados egyenlő tg α -val, ahol α az egyenesnek az x tengely pozitív felével bezárt v1 szöge. A tg α pedig egyenlő a meredekséggel - Azaz: v2 = tg α = m v1 - Ha v 2 = 0, akkor az iránytangens 0, de akkor a meredekség is: azaz az egyenes párhuzamos az x tengellyel. - Ha v 1 = 0, akkor az iránytangens, azaz a meredekség nem létezik (hiszen 0-val nem osztunk!), vagyis az egyenes párhuzamos az y tengellyel. 89. Bizonyítsa be, hogy a P o (x o ; y o ) ponton átmenő v(v 1 , v 2 ) irányvektorú egyenes egyenlete: v 2 x - v 1 y = v 2 x o – v 1 y o ! Bizonyítás: 33 - Azt tudjuk, hogy az irányvektor párhuzamos az egyenessel, a

normálvektor pedig merőleges az egyenesre (ezt a definícióikból tudjuk). Ebből az következik, hogy az irányvektor merőleges a normálvektorra: - Ez nekünk azért jó, mert ha tudjuk, hogy merőlegesek egymásra, akkor az irányvektort 90okal elforgatva éppen a normálvektorral egy párhuzamos vektort kapunk. - Ha adott egy n(n 1 ; n 2 ) normálvektor és egy P o (x o ; y o ) pont, amelyen átmegy az egyenes, akkor az egyenes egyenlete: n 1 x + n 2 y = n 1 x o + n 2 y o - Forgassuk egy az irányvektort -90o-kal: ekkor tudjuk, hogy a koordinátái felcserélődnek, és az egyik koordinátája előjelet vált: - A v(v 1 , v 2 ) vektor -90o-kal elforgatva: v(v 2 , -v 1 ) - Ez a v(-v 2 , v 1 ) vektor most párhuzamos az n(n 1 ; n 2 ) normálvektorral. - Ezért felírhatjuk a normálvektorú egyenletet v(v 2 , -v 1 ) vektorral: Az eredeti így volt: n1x + n2y = n1xo + n2yo Helyettesítsük be most v(-v 2 , v 1 ) koordinátáit: v 2 x + (-v 1 )y = v 2 x o + (-v 1 )y o Innen pedig

kapjuk, hogy: v2x - v1y = v2xo - v1yo A bizonyításnál felhasználtuk a 90o-os forgatás és annak következményeit: 1) egy irányvektort 90o -kal, vagy –90o -kal elforgatva a normálvektorral egy párhuzamos vektort kapunk. (Csak azért nem mindegy, hogy melyikkel forgatunk, mert a normálvektorral párhuzamos és egy irányú vektort kell, hogy kapjunk.) 2) Ha 90o-kal forgatunk a koordináták felcserélődnek és az első koordináta előjele megváltozik, a második koordináta változatlan marad. 3) Ha -90o-kal forgatunk a koordináták felcserélődnek és a második koordináta előjele megváltozik, az első változatlan marad. 90. Bizonyítsa be, hogy a P o (x o ; y o ) ponton áthaladó n(n 1 , n 2 ) normálvektorú egyenes egyenlete n 1 (x - x 0 ) + n 2 (y - y 0 ) = 0 ! Az egyenes normálvektora az egyenesre merőleges, nullvektortól különböző vektor. Bizonyítás: 34 A bizonyításban felhasználjuk a vektorok skaláris szorzatára vonatkozó ismereteinket a

83)-as elméleti feladat szerint! -Legyen a két vektor n és P o P. - n vektor koordinátái: n(n 1 , n 2 ) - P o P vektor koordinátái: P o P(x - x 0 ; y - y 0 ) - A skaláris szorzat szerint: a megfelelő koordinátákat összeszorozzuk és összeadjuk őket. n  P o P = n 1 (x - x 0 ) + n 2 (y - y 0 ) - Ez a n 1 (x - x 0 ) + n 2 (y - y 0 ) egyenlet azért lesz tovább egyenlő 0-val mert a n és a P o P vektorok egymásra merőlegesek voltak. A közbezárt szögük tehát α = 90o: - Felírhatjuk két vektor skaláris szorzatát a 81)-es elméleti feladat szerint is: Ha α = 90o , akkor n  P o P = n  Po P  cos 90 o  n  Po P  0  0 Hogyha két vektor merőleges egymásra, akkor a skaláris szorzatuk 0 lesz. - Innen pedig egyszerű: tudjuk, hogy n  P o P = n 1 (x - x 0 ) + n 2 (y - y 0 ) n  PoP = 0 - Mivel a két bal oldal egyenlő, ezért a két jobb oldalnak is egyenlőnek kell lennie: n 1 (x - x 0 ) + n 2 (y - y 0 ) = 0 Kész a bizonyítás. 91.

Bizonyítsa be, hogy a P o (x o ; y o ) ponton átmenő m iránytangensű egyenes egyenlete y – y o = m(x – x o ) ! Bizonyítás: - Ha tudjuk, hogy m iránytangens, akkor azt is tudjuk, hogy ez egyenlő a v irányvektor koordinátái: v(v 1 , v 2 ) és v 1 ≠ 0. - Azaz tudjuk, hogy: m = v2 v1 35 v2 -vel, ahol v 1 és v 2 v1 - Iránytangens tehát csak akkor létezik, ha a v vektor nem párhuzamos az y tengellyel, vagyis v 1 ≠ 0. - Induljunk ki az egyenes irányvektoros egyenletéből: v2x - v1y = v2xo - v1yo - Osszuk le az egyenletet v 1 -gyel (megtehetjük, hiszen nem 0!): v2 v x - y = 2 xo - yo v1 v1 - Felhasználjuk, hogy m = v2 v1 mx - y = mx o - y o - A kapott egyenletet rendezzük: mx - mx o = y - y o - Végül kiemelünk m-et: m(x - x o ) = y - y o Felhasználtuk a bizonyítás során a 88)-as elméleti feladatban leírtakat. 92. Adja meg két egyenes párhuzamosságának, illetve merőlegességének - a koordinátageometriában használatos - szükséges és

elégséges feltételét! Párhuzamosság: Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha irányvektoraik, illetve normálvektoraik párhuzamosak, vagyis egymásnak skalárszorosai. Ha az egyeneseknek van iránytangensük, vagyis nem párhuzamosak az y tengellyel, akkor a párhuzamosságnak szükséges és elégséges feltétele, hogy a két egyenesnek az iránytangense (m 1 és m 2 ) egyenlő legyen: m 1 = m 2 . Merőlegesség: Két egyenes akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha irányvektoraik illetve normálvektoraik merőlegesek egymásra, vagyis irányvektoraik, illetve a normálvektoraik skaláris szorzata 0. Ha mindkét egyenesnek van iránytangense (m 1 és m 2 ), akkor a merőlegesség szükséges és elégséges feltétele, hogy iránytangenseik szorzata -1 legyen: m 1  m 2 = -1. 93. Bizonyítsa be, hogy a C(u, v) középpont, r sugarú kör egyenlete (x - u)2 + (y - v)2 = r2! Egy tetszőleges P(x, y) pont akkor és csak akkor van a körön, ha távolsága a C(u,

v) középponttól r. 36 A bizonyításhoz felhasználjuk a két pont P 1 (x 1 ; y 1 ) és P 2 (x 2 ; y 2 ) d távolságát megadó képletet, ami: d2 = (x 1 - y 1 )2 + (x 2 - y 2 )2 A kör esetében a két pont a P(x, y) és a C(u, v), a távolságuk r. 94. Milyen tulajdonság ponthalmazt nevezünk parabolának? Definíció: A parabola azon pontok halmaza a síkban, amelyek egy adott ponttól és egy, a pontra nem illeszkedő egyenestől egyenlő távolságra vannak. - Az adott pont a parabola fókuszpontja - Az adott egyenes a parabola vezéregyenese (direktrixe) - A vezéregyenes és a fókuszpont távolsága a parabola paramétere (p) - A parabolát a paramétere egyértelműen meghatározza, így a parabolák hasonlók egymáshoz. 95. A p paraméterű F( 0; p ) fókuszpontú parabola tengelypontja a koordinátarendszer 2 kezdőpontja, tengelye az ordinátatengely. Bizonyítsa be, hogy a parabola egyenlete x2 = 2py ! Bizonyítás: - A feltételek alapján a

vezéregyenes egyenlete: y = - p 2 - A P(x, y) pont akkor és csak akkor van a parabolán, ha P-nek a vezéregyenesen lévő merőleges vetületét T-vel jelölve PF =PT, vagyis: 2 p p  x y   y 2 2  2 - Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve, majd rendezve kapjuk az x2 = 2py alakot, amely ekvivalens az előbbi egyenlettel, mivel a feltételek miatt (y + p ) pozitív. 2 - A kapott egyenlet az y tengelyű parabola tengelyponti egyenlete. 96. Milyen tulajdonság ponthalmazt nevezünk ellipszisnek? Definíció: Az ellipszis azon pontok halmaza a síkban, amelyeknek a sík két adott pontjától mért távolságszöge állandó, és ez az állandó nagyobb mint a két adott pont távolsága. - Az adott pontok (F 1 és F 2 ) az ellipszis fókuszpontjai. - Az adott távolság az ellipszis nagytengelye. - Az F 1 F 2 szakasz felezőmerőlegesének az ellipszis tartományába eső szakasza az ellipszis kistengelye. 98. Milyen tulajdonság

ponthalmazt nevezünk hiperbolának? 37 Definíció: A hiperbola azon pontok halmaza a síkban, amelyeknek a sík két adott pontjától mért távolságkülönbségének abszolútértéke állandó, és ez az állandó kisebb, mint a két adott pont távolsága. - Az adott pontok (F 1 és F 2 ) a hiperbola fókuszpontjai - Az adott távolság a hiperbola főtengelye. 100. Bizonyítsa be, hogy az első n pozitív egész szám négyzetösszege n(n  1)(2n  1) ! 6 Bizonyítás: Teljes indukcióval 1) n = 3-re megvizsgáljuk: - ha tehát n = 3, akkor az első 3 pozitív egész szám négyzetösszege: 12 + 22 + 32 = 14. - a képlet szerint is 14 lesz az összeg: 3(3  1)(2  3  1) 3  4  7 64    14 6 6 6 - n = 3-ra ezek szerint igaz az állítás 2) Feltesszük, hogy n = k-ra igaz lesz (ezt indukciós feltevésnek nevezik) - Ekkor a képlet: 12 + 22 + 32 + +k2 = k (k  1)(2k  1) 6 3) Megvizsgáljuk, hogy n = k +1-re igaz lesz-e ? 12 + 22 + 32 +

+k2 + (k+1)2  (k  1)((k  1)  1)(2(k  1)  1) 6 - Összevonás után: ? 12 + 22 + 32 + +k2 + (k+1)2  (k  1)(k  2)(2k  3) 6 - Felhasználjuk az indukciós feltevést: ? 12  22  3 2  .  k 2  (k  1) 2   k ( k 1)( 2 k 1) 6 (k  1)(k  2)(2k  3) 6 - Vagyis, az első k db négyzetszám összege helyére beírjuk a feltevést: ? ( k  1)(k  2)( 2k  3) k (k  1)(2k  1)  (k  1) 2  6 6 - Felbontjuk a zárójeleket, és rendezzük a tagokat: ? ( k 2  3k  2)( 2k  3) (k 2  k )(2k  1) 2  k  2k  1  6 6 ? 2k 3  9k 2  13k  6 2k 3  3k 2  k  k 2  2k  1  6 6 - Beszorzunk 6-tal: ? 2k 3  3k 2  k  6k 2  12k  6  2k 3  9k 2  13k  6 38 - Összevonás után: ? 2k 3  9k 2  13k  6  2k 3  9k 2  13k  6 - Kapjuk, hogy a jobb és a bal oldal megegyezik! 0=0 Mivel a két oldal egyenlő

lett, ebből következik, hogy az állítás igaz. A lépések megfordíthatóak, mivel csak ekvivalens értékű átalakításokat végeztünk. 101. Egy számtani sorozat első eleme a 1 , különbsége d Bizonyítsa be, hogy a n  a1  (n  1)d és S n  n  a1  a n ! 2 Definíció: A számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben két szomszédos elem külöbsége mindig állandó. Bizonyítás: 1) A sorozat n-edik tagjának bizonyítása: a n  a1  (n  1)d képlet igaz, mivel a 1 -től (n-1) lépésben jutunk el a n -ig, és mindegyik lépésben d -t adunk az előző taghoz. 2) Összegképlet bizonyítása: Nyilvánvaló, hogy az összeg egyenlő a sorozat elmeinek összegével: a3 + a4 ++ a n-1 + an Sn = a1 + a2 + Minden tagot a 1 segítségével írjuk fel (az 1-es pontban bizonyítottnak megfelelően): S n = a 1 + (a 1 + d) + (a 1 + 2d) + (a 1 + 3d) + + [a 1 + (n-2)d] + [a 1 + (n-1)d] Ezután minden tagot a n segítségével (fordított sorrendben)

írjuk fel: S n = a n + (a n - d) + (a n - 2d) + (a n - 3d) + + [a n - (n -2)d] + [a n - (n -1)d] A két összegben (a két legalsóban) a d-t tartalmazó tagok páronként egymásnak ellentettjei, ezért ha összeadjuk a két egyenlőséget a d-t tartalmazó tagok kiesnek: Kapjuk, hogy: 2  S n = (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) + + (a 1 + a n ) + (a 1 + a n ) = n  (a 1 + a n ) Ha osztunk 2-vel, megkapjuk az összegképletet: Sn  n  S n  a1 a1  a n 2 qn 1 q 1 102. Egy mértani sorozat első eleme a 1 , hányadosa q Bizonyítsa be, hogy a n = a 1  q n-1 és (q  1)! 39 Definíció: A mértani sorozat olyan számsorozat, amelyben két szomszédos elem hányadosa mindig q. Bizonyítás: 1) A sorozat n-edik tagjának bizonyítása: a n = a 1  q n-1 képlet igaz, mivel a 1 -től (n-1) lépésben jutunk el a n -ig, és mindegyik lépésben q -val szorozzuk az előző tagot. 2) Összegképlet bizonyítása: Nyilvánvaló, hogy az összeg

egyenlő a sorozat elmeinek összegével: + an S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + + a n-1 Minden tagot a 1 segítségével írjuk fel (az 1-es pontban bizonyítottnak megfelelően): S n = a 1 + a 1  q + a 1  q2 + a 1  q3 + + a 1  qn-2 + a 1  qn-1 Az egyenletet megszorozzuk q-val: S n  q = a 1  q + a 1  q2 + a 1  q3 + a 1  q4 + + a 1  qn-1 + a 1  qn (q  1) A második egyenlőségből kivonjuk az elsőt: S n  q - S n = a 1  qn - a 1 Kiemelünk S n –t: S n  (q – 1) = a 1  qn - a 1 Osztunk (q – 1)-gyel, ami szabad, hiszen korábban kikötöttük, hogy q  1, így kapjuk, hogy qn 1 S n  a1 q 1 Speciális eset: Ha q = 1, akkor a k =a 1 , minden k = {1,2,.n} - re, és így S n = n  a 1 104. Hogyan adható meg egy függvény? (A válaszban térjen ki a jelölésekre is!) Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Rendeljünk hozzá az A halmaz minden eleméhez a B halmazból pontosan 1-1 elemet. Az így létesített

hozzárendelés a függvény Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya. A hozzárendeléshez felhasznált elemek halmaza pedig az értékkészlet (ami a B halmaz). A függvényeket általában kisbetűvel jelöljük: f ; g ; h Az f függvény az A halmaz x eleméhez egyetlen B-beli elemet rendel, ezt f(x)-szel jelöljük. (Jelentése: f függvény értéke az x helyen). Ez az f függvénynek az x helyen vett helyettesítési értéke. Gyakori, hogy a függvény definíciójában szereplő két halmaz közül csak az A-t adjuk meg, vagyis az értelmezési tartományt. 40 Pl: x-et rendeljük 1 -hez, akkor az értelmezési tartomány az x  0 lesz, hiszen egyedül a 0x ban nincs értelmezve a függvény. (0-val nem osztunk!) Az f valós függvény grafikonját a koordinátasík mindazon pontjai képezik, amelyek (x,y) koordinátáira fennáll az y = f(x) összefüggés. /Megjegyzés: A valós függvény olyan függvény, melynek az értelmezési tartománya és az

értékkészlete is a valós számok.) A függvény megadása több módon történhet, de egyértelműen tartalmaznia kell, hogy mely elemekhez mely elemeket rendel. Számfüggvényeket sokszor képlettel adunk meg. Pl: f(x) = x2 - 1, ahol az f függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Ugyanez a függvény másképp felírva: x x2 - 1 Pl: g(x) = 3x  4 , ahol a g függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza kivéve x 3 az x = 3-t. Függvényeket megadhatunk utasítással (szöveggel) is. Pl: A valós számokon értelmezett egészrész függvény: minden x valós számhoz azt a legnagyobb egész számot rendeli, amely még nem nagyobb, mint x. Megadhatunk hozzárendelést grafikon, ill. táblázat segítségével is Fontos függvénytípus a pozitív egész számokon értelmezett függvény, mely a valós számok halmazába képez le. Ezek a számsorozatok Ha egy függvény megadásánál nem adjuk meg az értelmezési tartományt, akkor

mindig a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát értjük, amit a képlet megenged. 105. Mit ért egy függvény értelmezési tartományán, ill értékkészletén? Definíció: Adott egy A és egy B halmaz. Ha A halmaz minden eleméhez hozzárendelünk a B halmazból pontosan egy elemet, akkor ezt a hozzárendelést az A halmazon értelmezett függvénynek nevezzük. Az A halmaz lesz az értelmezési tartomány, a hozzárendeléshez felhasznált elemeknek a halmaza pedig az értékkészlet. 106. Mikor nevezünk egy függvényt elsőfokúnak? Egy f(x) függvény elsőfokú (lineáris), ha megadható f(x) = a · x + b alakban, ahol a ε R {0} és b ε R Ha a > 0, akkor az f(x) függvény szigorúan monoton növekvő Ha a < 0 akkor az f(x) függvény szigoruan monoton csökkenő Az a-t a függvény meredekségének nevezzük. A b megmutatja, hogy mely pontban metszi a függvény az y tengelyt: (0, b) pontban. 107. Mikor nevezünk egy függvényt másodfokúnak?

Egy f(x) függvény másodfokú, ha megadható f(x) = a · x2 + b · x + c alakban, ahol a ε R {0} és b, c ε R 41 108. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x  x függvényt! Jellemzés: - Értelmezési tartomány: x ε R - Értékkészlet: y ε R {R-} (valós számok halmaza) (nem negatív valós számok halmaza) - Menete: x > 0 szigorúan monoton növekvő x < 0 szigorúan monoton csökkenő - Zérushely: x = 0 - Minimum helye: x = 0 - Minimum értéke: y = 0 - Maximum helye: nincs - Maximum értéke: nincs - Nincs inverze - Nem korlátos - Az x és y tengelyt a (0, 0) pontban metszi. - Paritása: páros - Nem periódikus 109. Ábrázolja és jellemezze a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett x  függvényt! x Jellemzés: - Értelmezési tartomány: x ε R R(nem negatív valós számok halmaza) - Értékkészlet: y ε R {R-} (nem negatív valós számok halmaza) - Menete: Szigorúan monoton növekvő (a teljes

értelmezési tartományon) - Zérushely: x = 0 - Minimum helye: x = 0 - Minimum értéke: y = 0 - Maximum helye: nincs - Maximum értéke: nincs - Nincs inverze - Nem korlátos - Az x és y tengelyt a (0, 0) pontban metszi. - Paritása: se nem páros, se nem páratlan - Nem periódikus 110. Mikor mondjuk egy függvényről, hogy: a, periódikus; c, páratlan; b, páros; d, korlátos? a) Definíció: Egy f függvény periódikus, hogyha x benne van az értelmezési tartományban, és létezik olyan c pozitív valós szám, amelyre az (x+c) is eleme az értelmezési tartománynak, és teljesül, hogy az x helyen felvett függvényérték megegyezik az (x+c) helyen felvett függvényértékkel. - Például: Trigonometrikus függvények (sin, cos, tg, ctg); Törtrész függvény - Ha létezik ilyen legkisebb c érték, azt periódusnak nevezzük. Pl: A sinus függvény periódikus 360o, 720o, 1080oszerint, de a legkisebb a 360o, ezért ez a periódusa. 42 b) Definíció: Egy f

függvény páros, ha az értelmezési tartomány minden x elemével együtt a x is eleme az értelmezési tartománynak, és teljesül, hogy az x helyen felvett függvényérték megegyezik a -x helyen felvett függvényértékkel. - Például: Páros kitevőjű hatványfüggvények; Cosinus függvény; Abszolútérték függvény - Páros függvények grafikonjai tengelyesen szimmetrikusak az y tengelyre. c) Definíció: Egy f függvény páratlan, ha az értelmezési tartomány minden x elemével együtt a -x is eleme az értelmezési tartománynak, és teljesül, hogy az x helyen felvett függvényérték megegyezik a -x helyen felvett függvényérték (-1)-szeresével. - Például: Páratlan kitevőjű hatványfüggvények; Sinus függvény; - Páratlan függvények grafikonjai középpontosan szimmetrikusak az origóra. d) Definíció: Egy f függvény korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. - Alulról korlátos: Ha létezik egy olyan K szám, hogy az értelmezési

tartomány minden elemére teljesül, hogy a függvényértékek ennél a K-nál nagyobbak, vagy egyenlőek. Vagyis teljesül, hogy f(x) ≥ K, minden x-re. - Felülről korlátos: Ha létezik egy olyan L szám, hogy az értelmezési tartomány minden elemére teljesül, hogy a függvényértékek ennél az L-nél kisebbek, vagy egyenlőek. Vagyis teljesül, hogy f(x) ≤ L, minden x-re. Korlátos függvény például: Sinus függvény, Cosinus függvény; Törtrész függvény 111. Mikor mondjuk, hogy egy függvény egy [a; b] intervallumban monoton növekszik, illetve csökken? Definíció: Egy f(x) függvény egy [a; b] intervallumban monoton nő, ha ott a függvény értelmezve van, és az intervallum bármely x 1 és x 2 pontjára, ahol x 1 ≤ x 2 , teljesül, hogy f(x 1 ) ≤ f(x 2 ). Definíció: Egy f(x) függvény egy [a; b] intervallumban monoton csökken, ha ott a függvény értelmezve van, és az intervallum bármely x 1 és x 2 pontjára, ahol x 1 ≤ x 2 , teljesül,

hogy f(x 1 ) ≥ f(x 2 ). Ha az egyenlőséget nem engedjük meg sehol, akkor a függvény szigorúan monoton nő, illetve szigorúan monoton csökken. 112. Mit nevezünk egy függvény zérushelyének; szélsőértékének? Definíció: Egy f(x) függvény zérushelye az értelmezési tartomány olyan x értéke, melyre teljesül, hogy f(x) = 0. (Vagyis az x helyen felvett függvényérték 0) - A függvénynek a zérushelyen közös pontja van az x tengellyel. Definíció: Egy f(x) függvénynek kétféle szélsőértéke lehet: maximuma vagy minimuma. 1) Egy f(x) függvénynek maximuma van az értelmezési tartomány egy x 0 értékére, ha a függvény értelmezve van x 0 -ra, és az értelmezési tartomány minden x elemére teljesül, hogy f(x) ≤ f(x 0 ). 43 2) Egy f függvénynek minimuma van az értelmezési tartomány minimum értékére, ha a függvény értelmezve van x 0 -ra, és az értelmezési tartomány minden x elemére teljesül, hogy f(x) ≥ f(x 0 ). 113. Mit

értünk egy függvény inverzén? A derékszögű koordináta-rendszerben milyen kapcsolat van a függvény és inverze grafikonja között? Csak azoknak a függvényeknek van inverze amelyek kölcsönösen egyértelműek. (Azaz: az értékkészlet minden eleme az értelmezési tartománynak pontosan egy eleméhez van hozzárendelve. Magyarul: a B halmazból minden elemnek pontosan 1 A halmazbeli elem felel meg.) Az inverz esetén az értelmezési tartomány, és az értékkészlet felcserélődik. (A B halmaz lesz az értelmezési tartomány, az A halmaz az értékkészlet.) Pl: Az x x2 függvény inverze az x  x függvény, ha az értelmezési tartomány mindkét függvény esetében a nemnegatív valós számok halmaza. A függvények grafikonjai tengelyesen szimmetrikusak az y = x egyenletű egyenesre. Szigorúan monoton növekvő függvénynek az inverze is szigorúan monoton növekvő. Szigorúan monoton csökkenő függvénynek az inverze is szigorúan monoton csökkenő.

114. Ábrázolja, és jellemezze a valós számokon értelmezett x  a x függvényt (a>1, illetve 0 <a <1)! 1) Ha a > 1 Jellemzés: - Értelmezési tartomány: x ε R - Értékkészlet: y ε R+ - Menete: szigorúan monoton növekvő - Zérushely: nincs - Invertálható, és inverz függvénye: log a x - Szélsőértéke: nincs - Korlátosság: nem korlátos - Nem páros és nem páratlan - Az y tengelyt a (0, 1) pontban metszi, az x tengelyt nem metszi, ez csak asszimptotája. - Nem periódikus 2) Ha 0 < a < 1 Jellemzés: - Értelmezési tartomány: x ε R - Értékkészlet: y ε R+ - Menete: szigorúan monoton csökkenő - Zérushely: nincs - Invertálható, és inverz függvénye: log a x - Szélsőértéke: nincs - Korlátosság: nem korlátos - Nem páros, és nem páratlan - Az y tengelyt a (0, 1) pontban metszi, az x tengelyt nem metszi, ez csak asszimptotája. 44 - Nem periódikus /Megjegyzés: Asszimptota = "simuló egyenes", ez az az

egyenes, amit a függvény soha nem ér el, csak megközelít. / 116. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x  sin x függvényt Jellemzés: - Értelmezési tartomány: x ε R - Értékkészlet: y ε [-1; 1] - Menete: (valós számok halmaza) ( [-1; 1] intervallum)      2  k 2 ; 2  k 2  szigorúan monoton nő, és k ε Z 3    2  k 2 ; 2  k 2  szigorúan monoton csökken, és k ε Z - Zérushely: x = k · π , ahol k ε Z - Minimum helye: x  - Minimum értéke: -1 - Maximum helye: x  3  k 2 , ahol k ε Z 2  2  k 2 , ahol k ε Z - Maximum értéke: 1 - Nincs inverze - Korlátos: - Alsó korlátja: -1 - Felső korlátja: 1 - Paritása: Páratlan - Periódikus, és a periódusa: 2π 117. Ábrázolja és jellemezze a valós számok halmazán értelmezett x  cos x függvényt Jellemzés: - Értelmezési tartomány: x ε R - Értékkészlet: y ε [-1; 1]

- Menete:   k 2 ;2  k 2  k 2 ;  k 2  - Zérushely: x   2 (valós számok halmaza) ( [-1; 1] intervallum) szigorúan monoton nő, és k ε Z szigorúan monoton csökken, és k ε Z  k , ahol k ε Z - Minimum helye: x    k 2 , ahol k ε Z - Minimum értéke: -1 - Maximum helye: x  k 2 , ahol k ε Z - Maximum értéke: 1 - Nincs inverze - Korlátos: - Alsó korlátja: -1 - Felső korlátja: 1 - Paritása: Páros - Periódikus, és a periódusa: 2π 45    118. Ábrázolja és jellemezze a   ;   2 2 függvényt. Jellemzés: intervallumban értelmezett x  tgx    ;  2 2  - Értelmezési tartomány: x ε   - Értékkészlet: y ε R - Menete: szigorúan monoton nő - Zérushely: x = 0 - Minimum helye: Nincs - Minimum értéke: Nincs - Maximum helye: Nincs - Maximum értéke: Nincs - Invertálható, van inverze - Nem korlátos - Paritása: Páratlan -

Periódikus, és a periódusa: π 119. Mit értünk egy függvény végtelenben vett határértékén? Két eset lehetséges: 1) végtelenben véges a határérték 2) végtelenben végtelen a határérték 1) Definíció: Legyen f(x) értelmezve a végtelen egy környezetében. Ekkor f(x) határértéke A, ha minden pozítiv ε-hoz létezik olyan K valós szám, és minden értelmezés tartománybeli elem nagyobb K-nál, akkor a függvényértékek A-tól ε-nyira térnek el. Jelölés: lim f ( x)  A x  2) Definíció: Legyen f(x) értelmezve a végtelen egy környezetében. Ekkor f(x) határértéke végtelen, ha minden pozitív K-hoz létezik olyan pozitív L, hogyha x > L , akkor f(x) > K. Jelölés: lim f ( x)   x  120. Mit értünk egy függvény véges helyen vett határértékén? Két eset lehetséges: 1) végesben véges a határérték 2) végesben végtelen a határérték 1) Definíció: Legyen f(x) értelmezve az x o egy δ sugarú lyukas

környezetében. Ekkor f(x) határértéke az x o helyen A, ha minden pozítiv ε-hoz létezik olyan pozitív δ, hogyha x-et bárhogyan választjuk ki az x o δ sugarú lyukas környezetéből, teljesül rá, hogy a függvényértékek A-tól ε-nyira térnek el. Jelölés: lim f ( x)  A x  x0 46 2) Definíció: Legyen f(x) értelmezve az x o egy δ sugarú lyukas környezetében. Ekkor f(x) határértéke az x o helyen végtelen, ha minden pozitív K-hoz létezik olyan pozitív δ, hogyha xet bárhogyan választjuk ki az x o δ sugarú lyukas környezetéből, teljesül rá, hogy a függvényértékek nagyobbak leszenk K-nál, azaz f(x) > K. Jelölés: lim f ( x)   x xo 121. Definiálja a függvény folytonosságát adott a helyen, illetve adott intervallumban! Definíció: Az f(x) függvény folytonos a-ban, ha a-ban értelmezve van, létezik a-ban a határértéke, és az a-beli határértéke megegyezik az a-ban felvett függvényértékkel. Azaz: lim

f ( x)  f ( a ) x a / Ha a-ban nincs értelmezve a függvény, vagy ha az a-beli határérték nem egyezik meg az aban felvett függvényértékkel, akkor a függvénynek szakadási pontja van a-ban./ Definíció: Egy ]a; b[ nyílt intervallumban folytonos a függvény, ha az intervallum minden belső pontjában folytonos. 122. Mikor differenciálható egy függvény az x o helyen? Egy függvény akkor differenciálható, ha létezik a különbségi hányadosa (idegen szóval a differenciája). Ez a differencia az f ( x)  f ( xo ) hányados. x  xo /Ez a differncia hányados megadja a húr meredekségét x o -ban./ Definíció(1): Legyen f(x) értelmezve az x o egy lyukas környezetében. Ekkor az f ( x)  f ( x o ) különbségi hányados határértéke x o -ban ha létezik és véges, akkor x  xo differenciálható x o -ban. Ezt a számot az f(x) x o -beli differenciál hányadosának nevezzük Azaz: lim x  xo f ( x)  f ( xo ) A x  xo /Ez a

differnciál hányados megadja az érintő meredekségét x o -ban./ /Megjegyzés: A differenca hányados és a differenciál hányados nem ugyanazt jelenti, bár hasonló az elnevezésük!/ 123. Milyen sorozatot nevezünk számtani, illetve mértani sorozatnak? Definíció: A számtani sorozat pozitív egész számokon értelmezett valós értékű függvény. A számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben - a második elemtől kezdve - bármelyik elem és a közvetlenül előtte álló elem különbsége (d) állandó. A számtani sorozatban bármely 3 egymás után álló elem közül a középső a két szélsőnek a számtani közepe. Ez az összefüggés 47 általánosan is igaz: bármely elem a tőle szimetrikusan elhelyezkedő elemeknek a számtani közepe. Definíció: A mértani sorozat olyan számsorozat, amelyben - a második elemtől kezdve bármelyik elem a közvetlen előtte álló elemnek ugyanannyiszorosa, vagyis q-szorosa. A q a mértani sorozatra jellemző

állandó szorzótényező, idegen szóval qvóciens (= hányados). Ha q > 0 , akkor a sorozat minden tagja azonos előjelű. Ha q < 0 , akkor a tagok váltakozó előjelűek. Ha q > 1 , akkor a sorozat szigorúan monoton növekvő Ha q < 1 , akkor a sorozat szigorúan monoton csökkenő A mértani sorozatban bármely 3 egymás után álló elem közül a középső a két szélső szorzatának a négyzetgyöke. Ez az összefüggés általánosan is igaz: bármely elem a tőle szimetrikusan elhelyezkedő elemek szorzatának a négyzetgyöke. 124. Határozza meg a következő foglamakat! a) korlátos sorozat; b) konvergens sorozat. a) Definíció: Egy sorozat korlátos, ha alulról és felülről is korlátos. k ≤ (a n ) ≤ m Alulról korlátos: Ha van olyan k valós szám, amelynél a sorozat összes eleme nagyobb, vagy egyenlő. k ≤ (a n ) Felülről korlátos: Ha van olyan m valós szám, amelynél a sorozat összes eleme kisebb, vagy egyenlő. (a n ) ≤ m b)

Definíció: Egy sorozat konvergens, ha létezik határértéke, és ez véges. (Ha nem létezik véges határértéke, akkor a sorozat divergens.) Véges határérték: Egy (a n ) sorozat határértéke az A szám, ha minden pozitiv ε-hoz létezik n o küszöbindex, hogyha n > n o , akkor a sorozat elemei A-tól ε-nyira térnek el. 135. Hogyan származtatjuk a hengert és a hasábot? Hogyan származtatjuk a gúlát és a kúpot? Poliéder: sokszöglapokkal határolt konvex test. HENGER SZÁRMAZTATÁSA: - Egy zárt síkbeli görbe vonal pontjain keresztül párhuzamosokat húzunk egy a görbevonal síkjával nem párhuzamos egyenessel. Így egy végtelen hengerfelületet kapunk - Ha ezt elmetszük a görbevonal síkjával párhuzamos síkkal, akkor két végtelen térrészt és köztük egy véges testet határolunk el. Az így nyert véges test a henger 48 - Ha a metsző síkok merőlegesek az adott egyenesre, a henger egyenes, ha nem merőlegesek, akkor ferde. - Ha a

síkbeli zárt görbe vonal kör, akkor körhengerről beszélünk (többnyire csak hengert mondunk). A körlapok középpontjait összekötő egyenes a henger tengelye Henger - elnevezések: - A metsző síkokban elhelyezkedő lapok a henger alaplapjai, az összekötő görbefelület a henger palástja. - A henger származtatásakor húzott párhuzamosoknak a metsző síkok közé eső darabjai a henger alkotói. A párhuzamos síkok távolsága a henger magassága HASÁB SZÁRMAZTATÁSA: - Egy síkbeli sokszög vonal pontjain keresztül párhuzamosokat húzunk egy a sokszög síkjával nem párhuzamos egyenessel. Így egy végtelen hasábfelületet kapunk - Ha ezt elmetszük a sokszög síkjával párhuzamos síkkal, akkor két végtelen térrészt és köztük egy poliédert kapunk. Az így kapott poliéder a hasáb - Ha a metsző síkok merőlegesek az adott egyenesre, a hasáb egyenes, ha nem merőlegesek, akkor ferde. - Ha a hasáb egyenes, és a síkbeli sokszögvonal

szabályos, akkor szabályos hasábról beszélünk. A szabályos sokszögek középpontjait összekötő egyenes a hasáb tengelye - A paralelopipedon olyan hasáb, ahol a kiinduló sokszögvonal paralelogramma. Hasáb - elnevezések: - A metsző síkban elhelyezkedő lapok az alaplapok, a többi lap a hasáb oldallapja. - Az oldallapok paralelogrammák, ezek alkotják a hasáb palástját. - A származtatáskor húzott párhuzamosoknak a metsző síkok közé eső darabjai a hasáb alkotói. - Az alaplapok oldalai az alapélek, a többi éle a hasáb oldaléle. - A párhuzamos síkok távolsága a hasáb magassága. - A téglalap alapú egyenes hasáb a téglatest. - A kocka olyan téglatest, amelynek minden éle egyenlő. A hasábot és a hengert - hasonló származtatásuk miatt hengerszerű testeknek nevezzük. GÚLA SZÁRMAZTATÁSA: 49 - Ha egy síkbeli sokszög vonal pontjain keresztül egy - a sokszög síkjára nem illeszkedő rögzített ponton át egyeneseket húzunk,

akkor végtelen kúpszerü felületet kapunk. - Ez a felület a sokszögvonal síkjával és a rögzített ponttal együtt több végtelen és egyetlen véges térrészt határol el. Az így nyert véges térrész a gúla Gúla - elnevezések: - A sokszög a gúla alaplapja, a többi lap a gúla oldallapja. A gúla oldallapjai háromszögek, amelyek közös csúcsa a gúla csúcsa, ami a rögzített pont. - Az oldallapok alkotják a gúla palástját. - A gúla alaplapjának oldalai az alapélek, a többi él oldalél. - Az egyenes gúla oldalélei egyenlők. Ha az egyenes gúla alaplapja szabályos, akkor a gúla szabályos: oldallapjai egybevágó egyenlő szárú háromszögek. - Ha egy három oldal gúla )tetraéder) lapjai egybevágó szabályos háromszögek, akkor szabályos tetraéderről beszélünk. - Ez a létező 5 féle szabályos poliéder egyike. KÚP SZÁRMAZTATÁSA: - Ha egy zárt síkbeli görbe vonal pontjain keresztül egy - a görbe vonal síkjára nem

illeszkedő rögzített ponton át egyeneseket húzunk, akkor egy végtelen, kettős kúpfelületet kapunk. - Ez a felület a görbe vonal síkjával és a rögzített ponttal együtt több végtelen és egy véges térrészt határol el. Az így nyert véges térrész a kúp Kúp - elnevezések: - A rögzített pont a kúp csúcsa. - A zárt görbevonal által határolt síkidom a kúp alaplapja. - A kúp csúcsát az alaplap kerületi pontjaival összekötő szakaszok a kúp alkotói. - A kúp csúcsa és az alaplap síkja közötti távolság a kúp magassága. - A kúp csúcsát az alaplappal összekötő görbe felület a kúp palástja. - Ha a kúp alaplapja kör, akkor a kúp körkúp. - A körkúp csúcsát a kör középpontjával összekötő egyenes a kúp tengelye. - A kúp egyenes, ha a tengelye merőleges a kör síkjára. Ez a forgáskúp - Az egyenes kúp alkotói egyenlők, tengelymetszete (a tengelyre illeszkedő, az alapsíkra merőleges síkmetszet) egyenlő

szárú háromszög. 50 - A kúp egyenlő oldalú, ha tengelymetszete szabályos háromszög. A poliéderek térfogatának meghatározása a térfogat 4 tulajdonságán alapszik: a) A térfogat pozitív szám. b) Egybevágó poliéderek térfogata egyenlő. c) Ha egy poliédert két poliéderre darabolunk, a kapott poliéderek térfogatának összege az eredeti poliéder térfogatával egyenlő. d) Az egységnyi élű kocka térfogata 1. POLIÉDER TÉRFOGATÁNAK MÉRÉSE: - A különböző poliéderek térfogatának meghatározása több lépésben történik. - A téglatest térfogatát az egységkocka térfogatával hasonlítjuk össze. - A többi poliéder térfogatának meghatározásakor felhasználjuk a térfogat tulajdonságait, a már ismert térfogatképleteket. - Gyakran a felbontás vagy átdarabolás van segítségünkre. - A gúla térfogatát a kétoldali közelítés módszerével határozzuk meg. - A görbe felületekkel határolt testek térfogatát pedig a

"minden határon túl finomodó kétoldali közelítés" módszerével. 137. Bizonyítsa be, hogy az r sugarú, kör alapú, m magasságú henger térfogata V = r2 π m! A bizonyítás gondolatmenete: - Írjunk gondolatban az r sugarú, m magasságú hengerbe és a henger köré egyre nagyobb oldalszámú szabályos sokszög alapú hasábokat, amelyeknek magasságuk m. - A beírt hasáboknál a sokszögek csúcsai a körvonalra esnek - A köré írt hasáboknál a szabályos sokszögek oldalai érintik a kört. - A hasábok alkotói mindkét esetben párhuzamosak a henger alkotóival. - A hasábok és a henger fedőlapjai egy síkba esnek. - A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő- A köréírt sokszögek területe csökken. 51 - Így az oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. - A szabályos sokszög alapú hasábok térfogata az

"alapterület szer magasság" összefüggés alapján számítható, ahol minden beírt és köréírt hasábra a magasság (m) azonos érték. - Ebből és a fent mondottakból következik, hogy a szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt hasábok térfogata nő, a köréírtaké pedig csökken. - Így az azonos oldalszám köréírt és beírt hasábok térfogata közötti különbség csökken. - Bizonyítható, hogy a beírt és köréírt sokszögek területe az oldalszám növelésével azonos értékhez tart, ez az érték r2 π, a kör területe. - Így akármilyen nagy oldalszámra is a köréírt és beírt hasábok térfogata közé esik az r2 π m érték, amihez a köréírt és a beírt hasábok térfogata és a henger térfogata is tart. - Bizonyítható, hogy ez csak úgy valósulhat meg, ha az r sugarú m magasság henger térfogata V = r2 π m. 141. Bizonyítsa be, hogyha a forgáskúp alapkörének sugara r, magassága m, akkor térfogata V = r

2m ! 3 - A forgáskúp térfogatának meghatározása a kör alapú henger térfogatának meghatározásához hasonló módon történik. - Írjunk a kúpba és a kúp köré egyre nagyobb oldalszámú m magasságú szabályos sokszög alapú gúlákat, melyeknek csúcsa a forgáskúp csúcsával egyezik meg. - A beírt gúlák alaplapjainak csúcsai a kúp alaplapjának kerületére esnek, a köréírt gúlák alaplapjainak oldalai érintik a kúp alapkörét. - A kúp térfogata a beírt és a körülírt gúlák térfogata között van. - Az alapkör területe is mindig a beírt és körülírt sokszögek területe közé esik. - A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a köréírt sokszögek területe csökken. - Így az oldalszám növelésével az azonos oldalszámú köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken. - Mivel a beírt és körülírt gúlák magassága megegyezik, a térfogatuk

közötti különbség is egyre kisebb lesz. - Bizonyítható, hogy a beírt és a körülírt sokszögek területe az alapkör területéhez, r2 π -hez tart. - Így akármilyen nagy oldalszámra is a köréírt és beírt gúlák térfogata közé esik egyrészt az r 2m érték, amihez a köréírt és a beírt gúlák térfogata tart, másrészt a kúp térfogata is. 3 52 - Bizonyítható, hogy ez csak úgy valósulhat meg, ha a kúp térfogata V = 142. Bizonyítsa be, hogy az r sugarú gömb térfogata V = r 2m . 3 4r 3 ! 3 Nem bizonyítjuk, nem tananyag. 143. Bizonyítsa be, hogyha a csonkakúp alapjai r és R sugarú körök, magassága pedig m, akkor térfogata V = m  2  R  Rr  r 2  ! 3 Nem bizonyítjuk, nem tananyag. 148. Bizonyítsa be, hogy n különböző elem összes permutációjának száma n! = n(n -1)(n -2) . 3  2  1 - Adott n, különböző elem valamilyen sorrendjét az adott elemek egy permutációjának nevezzük. - A

permutáció szó jelentése: „sorba rendezhetőség” - Az n elem összes lehetséges sorrendjének a számát, vagyis az n elem permutációinak számát P n -nel jelöljük. A P n meghatározásához vegyünk egy n rekeszes dobozt, és vizsgáljuk meg, hányféleképpen lehet elhelyezni az 1, 2, 3, . , n elemeket a megadott n helyre: n db rekesz: ‫ٱٱٱ ٱ ٱ‬ n n-1 3 2 1 1. Az első rekeszbe az n elem bármelyike választható, így ez a rekesz n féleképpen tölthető be. 2. A második rekeszbe az első helyre beírt elem már nem választható, hiszen azt már felhasználtuk az első rekeszben, így marad (n-1) db elem: a második rekeszbe már csak (n-1) elem közül választhatunk. stb Így tovább gondolkodva, kapjuk, hogy ha n rekeszünk van, és (n-1) db tárgyat már elhelyeztünk, akkor az utolsó rekeszbe már csak egy elemet tehetünk. Az első két rekesz kitöltésére tehát n(n - 1) lehetőség van. Az első három rekeszbe n(n - 1)(n - 2) féleképpen

tehetők az elemek. . . . Az n-edik rekeszbe n(n - 1)(n - 2) . 3  2  1 féleképpen tehetők az elemek Így tehát: P n = n! = n(n - 1)(n - 2) . 3  2  1 149. Bizonyítsa be, hogy n különböző elem k-ad osztályú variációinak száma 53 n! ! n  k ! - Adott n különböző elem. Válasszunk ki belőlük k-t (k ≤ n), és vegyük a kiválasztott k elem egy sorrendjét. - Így az n elem egy k-ad osztályú variációját nyerjük. - Ennek bebizonyítására vegyünk egy k rekeszes dobozt! - Ebben helyezzük el n elem közül k elemet minden lehetséges módon: n-féleképp, (n-1)-féleképp, (n-2)-féleképp. ,(n-k +1)-féleképp - Az első rekeszbe az n elem bármelyike tehető. - A második rekeszbe már csak (n-1) elem közül választhatunk (egy elem ugyanis már az első rekeszben van) - Ez (n -1) féle kitöltési lehetőséget ad a második rekesz számára. - Az első két rekeszbe így n(n-1) féleképpen tehetők az elemek. - Minden rekeszbe egyel

kevesebb elem közül választhatunk, mint az előzőbe. - A k-adik rekeszbe (n-k +1) elem közül választunk. - A doboz teljes kitöltésére összesen n(n-1)(n-2) .(n-k+1) lehetőség adódik - Ha az eredménnyt (n-k)!-ral bővítjük, faktoriális jelöléssel is fölírhatjuk: n(n  1)(n  2).(n  k  1)(n  k )(n  k  1)  2  1 = (n  k )(n  k  1)(n  k  2).  2  1 n! = n(n-1)(n-2) .(n-k+1)(n-k)(n-k-1)  2  1 / (n-k)(n-k-1)   2  1 = n  k ! n(n-1)(n-2) .(n-k+1) = 150. Bizonyítsa be, hogy n különböző elem k-ad osztályú kombinációinak száma n n!     k  k!(n  k )! - Adott n különböző elem. Az n elem közül k különböző elemet válasszunk ki oly módon, hogy a kiválasztás sorrendjét nem vesszük figyelembe. - Így az n elem k-ad osztályú kombinációját nyerjük. - Ennek meghatározása érdekében nézzük meg, milyen kapcsolat van az n elemből alkotott kad

osztályú variációk száma és az n elemből alkotott k-ad osztály kombinációk között! - Egy k-ad osztályú kombinációból úgy képezhetünk k-ad osztály variációt, hogy a kombináció elemeit permutáljuk. - Minden egyes kombináció k! variációt ad. - A kombinációk különböztek egymástól legalább egy elembe, így a kapott variációk is biztos különböznek. 54 - Ezek szerint: k! * különböző n elem k-ad osztály kombinációja = n(n-1)(n-2) .(n-k+1) = n! (n  k )! - Innen leosztunk k! -ral: különböző n elem k-ad osztályú kombinációja = n(n  1)(n  2).(n  k  1) n!  k! k!(n  k )! 152. Adjon meg különféle jelölésekkel három halmazt! Mikor egyenlő két halmaz? A halmaz a matematikában alapfogalom, tehát nem definiáljuk. Két halmazt akkor tekintünk egyenlőnek, ha ugyanazokat az elemeket tartalmazzák. 1) Halmazt megadhatunk úgy, hogy felsoroljuk az elemeit: A = {1, 2, 3, 4, 5} 2) Megadhatunk halmazt egy

alaphalmazzal, és egy tulajdonsággal úgy, hogy a halmazba az alaphalmaznak azok az elemei tartoznak, amelyekre igaz a tulajdonság. R+ = {x ε R és x > 0} P ={ n prím | n ε N+} 153. Legyen A és B két tetszőleges halmaz Mikor mondjuk, hogy A részhalmaza B-nek? Definíció: Az A halmaz részhalmaza B halmaznak, ha az A halmaz minden eleme a B halmaznak is eleme. 154. Legyen A és B két tetszőleges halmaz Mit értünk A és B direkt (Descartes-féle) szorzatán? Tegyük fel, hogy A és B nem üres halmazok. Az A x B halmaz elemei, azok a rendezett (a, b) számpárok, amelyekre teljesül, hogy a ε A és b ε B. 155. Definiálja a következő halmazműveleteket: unió-, metszet-, különbségképzés! A három művelet közül melyik kommutatív, melyik asszociatív? Unióképzés: Az A és B halmaz uniója (egyesítése, összege) azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek az A és B halmazok közül legalább az egyiknek elemei. Jele: U Kommutatív: A U B = B U A

Asszociatív: (A U B) U C = A U (B U C) = A U B U C Metszetképzés: Az A és B halmaz metszete (közös része) azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek mind az A, mind a B halmaznak elemei. Jele: ∩ Kommutatív: A ∩ B = B ∩ A Asszociatív: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)= A ∩ B ∩ C Különbségképzés: Az A és B halmazok különbsége az A halmaz azon elemeinek halmaza, amelyek nem elemei a B halmaznak. Kommutatív: nem! Asszociatív: nem! 156. Mi a konjunkció? Bizonyítsa be, hogy ez a művelet kommutatív és asszociatív! 55 A konjunkció olyan logikai művelet, amely két kijelentést (vagy állítást) az "és" kötőszóval kapcsol össze egy kijelentéssé. Jele: A művelet kommutatív: A B = B A. A definíció szerint ugyanis az A eredmény logikai értéke (igaz, vagy nem igaz) független az eredeti állítások sorrendjétől. A művelet asszociatív: (A B) C=A (B C) 157. Mi a diszjunkció? Bizonyítsa be, hogy a művelet kommutatív és

asszociatív! A diszjunkció olyan logikai művelet, mely két kijelentést a "vagy" kötőszóval egy kijelentéssé kapcsol össze. Jele: v Kommutatív: A v B = B v A A definíció szerint ugyanis az eredmény logikai értéke független az eredeti állítások sorrendjétől. Asszociatív: (A v B) v C = A v (B v C) 158. Mi a negáció? Legyen P és Q két állítás! Bizonyítsa be, hogy ┐ (P Q) = ┐P v ┐Q! A negáció egyváltozós művelet. Egy A kijelentés negációja (nem A) a "nem igaz, hogy A" kijelentés, vagyis A tagadását jelenti. Jele: ┐ Fontos összefüggés a diszjunkció és a konjunkció között: Nem (P és Q) = nem P vagy nem Q 159. Határozza meg egy véges halmaz részhalmazainak számát! Egy n elemű halmaznak 2n darab különböző részhalmaza van. Bizonyítás: Legyen A = {a 1 , a 2 , . , a n } halmaz Egy részhalmazt megadhatunk oly módon, hogy az a 1 , a 2 , . , a n elemekről rendre megmondjuk, hogy benne vannak-e a

részhalmazban, vagy sem. Ennek alapján az A halmaz részhalmazait megfeleltetjük 0 és 1 számjegyekből álló n tagú számsorozatoknak: A k-adik helyre aszerint írunk 0-át vagy 1-et, hogy a k benne van-e a részhalmazban. Ha nincs benne, 0-át; ha benne van, 1-et írunk. Ez a megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű, így pontosan annyi részhalmaza van az A halmaznak, mint ahány 0-ákból és 1-esekből álló n tagu számsorozat van. Minden hely kitöltésére egymástól függetlenül 2 lehetőségünk van (0-át vagy 1-et írhatunk). Így a lehetőségek száma 2n. 160. Mit nevezünk gráfnak? Mi az n pont teljes gráf? Mi az egyszerű gráf? Mi az összefüggő gráf? 56 Gráf: Ha véges sok adott pont közül bármelyiket vonallal kötünk össze (egyenes vagy görbe vonallal), akkor a kapott ábrát gráfnak nevezzük. A pontok a gráf pontjai vagy szögpontjai, a vonalak a gráf élei. n- pontú teljes gráf: Ha egy gráfnak n db pontja van (n pozitív egész),

és mindegyik pontból pontosan 1 él vezet a többi ponthoz. Hurokél: A gráfokban előfordulhat olyan él is, amelynek mindkét végpontja ugyanaz a pont. (A kezdő és végpontja megegyezik) Többszörös él: Két csúcs között több élt is húzhatunk. Egyszerű gráf: Ha nem tartalmaz sem hurokélt, sem többszörös élt. Összefüggő gráf: Ha bármely pontjából bármely másik pontjába élek mentén el lehet jutni. 57