Mathematics | Probability theory » Függvények, mátrixok, valószínűségszámítás

Függvények, mátrixok, valószínűségszámítás Kétváltozós valós függvények Legyen XСR2 ,ZСR és X,Z≠ üreshalmaz. Az X halmazon értelmezett Z-beli értéket felvevő f kétváltozós valós függvény alatt az f:XZ egyértelmű leképzést értjük. Jelölés: Df X:f értelmezési tartománya Z-nek a leképezéssel kijelölt részhalmaza: f értékkészlete. Jelölése: Rf Az f kétváltozós fv. Korlátos az aСDf halmazon, ha létezik K 1 ;K 2 ЄR bármely (X;Y)ЄA esetén K 1 ≤f(X;Y)≤K 2 Ha csak a K 1 létezik, akkor f alulról, ha csak a K 2 , akkor felülről korlátos. Helyettesítési érték:: Legyen (a,b)єDf. Az (a;b)-hez rendelt értéket f(a;b)-vel jelöljük és az f fv (a;b)-beli helyettesítési értékének v. függvény értéknek nevezzükA fv Megadása ált képlettel történik (x;y)f(x;y) Folytonosság Legyen (x 0 ;y 0 ) pontban bármely kis ε>0-ban megadható kis δ úgy, hogy f(x,y)-f(x 0 ;y 0 )<ε ha (xx 0 )2+(y-y 0 )2<δ.

Az (x 0 ;y 0 ) δ>0 sugarú környezete azon (x,y) pontokból áll, amelyekre 0<(x-x 0 )2+(y-y 0 )2<δ. Parciális derivált Tegyük fel, hogy f(x;y) értelmezve van (x 0 ;y 0 ) pont valamely környezetében. Legyen g(x)=f(x;y 0 ), ha g(x) diffható x 0 -ban, akkor f(x,y) x szerint parciálisan differenciálható az (x 0 ;y 0 ) pontban és a g(x) x 0 -beli differenciál hányadosát az f(x;y) (x 0 ;y 0 )-beli x szerinti parciális diff. hányadosának nevezzük Legyen h(y)=f(x 0 ;y), ha h(y) diff.ható y 0 -ban, akkor f(x;y)y szerint parciálisan differenciálható az (x 0 ,y 0 ) -ban és a h(y) y 0 -beli diff.hányadosát az f fv (x 0 ,y 0 ) pontbeli y szerinti parciális differenciál hányadosának nevezzük Geometriai jelentés: Az x és y szerinti diff-ható fv-k esetén a parc.deriváltak a y = y 0 ill x = x 0 sík által kimetszett görbék g(x 0 ;y 0 )-hoz tartozó pontjában az érintő irány tg-jét adják meg. Tegyük fel hogy f diff-ható az acDf-ben. Azt a fv-t

amely „a” halmaz minden pontjához hozzárendeli a pontokbeli x szerinti parc. diff hányados értékét rendeli az f fv X szerinti parc derivált fv-ének v röviden parciális deriváltjának nevezzük. Jelölés:f’x(x;y) ; f’y(x;y) Magasabb rendű parciális deriváltak: f’x(x;y) és f’y(x;y) ha létezik és az x és y szerinti paricális deriváltja, akkor ezeket az f(x,y) fv másodrendű paricális deriváltjának nevezzük. Helyi szélsőérték: Legyen f értelmezve (x 0 ;y 0 ) pont valamilyen környezetében, ha az (x 0 ;y 0 ) pontnak van olyan környezete, ahol bármely (x;y) esetén f(x;y)< f(x 0 ,y 0 ) akkor az (x 0 ;y 0 ) pontban f fv-nek helyi maximuma van. Ha pedig van olyan környezete hogy bármely (xy) esetén f(x;y)>f(x 0 ;y 0 ) akkor (x 0 ;y 0 ) pontban f-nek helyi minimuma van. Helyi min és max-okat közösen helyi szélsőértéknek nevezzük Szükséges feltétele TÉTEL (a helyi szélsőérték meghatározása a parciális deriváltak

segítségével!) Legyen f(x,y) x és y szerint parciálisan deriválható és az (x 0 ;y 0 ) є Df. Ha az f(x,y) fv-nek x 0 ;y 0 -ben helyi szélsőértéke van, akkor f’x(x 0 ;y 0 )=0; f’y(x 0 ;y 0 )=0 Azon (x;y) є Df pontokat, amelyekben f’x(x 0 ;y 0 )=0; f’y(x 0 ;y 0 )=0az f fv. Stacionárius pontjainak nevezzük és ezen pontokban lehet helyi szélső értéke. Elégséges feltétel TÉTEL Tegyük fel, hogy f(x,y) másodrendű parciális deriváltjai léteznek és folytonosak (x 0 ;y 0 ) pontokban. Ha f’x(x 0 ;y 0 )=0 és f’y(x 0 ;y 0 )=0, továbbá a) D(x 0 ;y 0 )>0, akkor (x 0 ;y 0 )-ban helyi szélsőérték van, mégpedig helyi maximum ha f’’xx(x 0 ;y 0 )<0 és helyi minimum ha f’’xx(x 0 ;y 0 )>0 -1- b) c) D(x 0 ;y 0 )<0, akkor (x 0 ;y 0 )-ban nincs helyi szélsőérték, az (x 0 ;y 0 )-at nyeregpontnak nevezzük. D(x 0 ;y 0 )=0, akkor nem tudjuk ezzel a tétellel eldönteni, más módszert kell alkalmazni. Közönséges differenciál

egyenletek 1. Egy ismeretlen fv-t annak deriváltjai és ismert függvényeket tartalmazó egyenleteket differenciálegyenleteknek nevezzük. 2. Ha az ismeretlen fv egyváltozós valós fv akkor közönséges differenciálegyenletről beszélünk Ismeretlen ft y(x)-el, röviden y-nal jelöljük 3. A diff egyenlet n-ed rendű, ha a diff egyenletben szereplő deriváltak legmagasabb rendje n (n≥1) 4. A diff egyenlet meegoldása minden olyan fv, amelynek deriváltjaival a diff egyenletbe helyettesítve azonosságot kapunk. 5. n-ed rendű diff egyenlet azon megoldásait, amely n darab egymástól független tetszőleges állandót tartalmaz, a diff egyenlet általános megoldásának nevezzük, 6. azon megoldásokat pedig amelyek legfeljebb egymástól független tetszőleges állandót tartalmaz, partikuláris megoldásnak nevezzük. Állandó együtthatójú lineáris diff egyenletek megoldása Azon diff egyenleteket, amelyekben y-nak és deriváltjainak konstans szorzója van,

állandó együtthatójú diff egyenleteknek nevezzük A diff egyenlet lineáris, ha benne y és deriváltjai legfeljebb az első hatványon szerepelnek és szorzatban nem fordulnak elő. Ha f(x)=0, akkor a diff egyenletet homogénnek nevezzük, egyébként inhomogén. Aλ+0=0 egyenletet a homogén d.e karakterisztikus egyenletének nevezzük Másodrendű homogén d.e Általános alak: ay” + by’ + cy = 0 a,b,c ЄR Ha y 1 (x) és y 2 (x) két független megoldása a diff egyenletnek, (y 1 (x) k* y 2 (x), kЄR) a homogén d.e-nek, akkor az általános megoldás: y=C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x), C1,C2 ЄR Állandó együtthatójú lineáris inhomogén diff egyenlet megoldása Általános alak: ay’+by=f(x) ay”+by’+cy = f(x) a,b,c Є , a≠0 Az inhomogén d.e-hez tartozó homogén de-t f(x)=0 esetén kapjuk Ha y 1 (x) az inhomogén d.e-hez tartozó homogén de általános megoldása és y 2 (x) az inhomogén de egy partikuláris megoldása, akkor az inhomogén d.e általános

megoldása y= y 1 (x) + y 2 (x) Inhomogén d.e általános megoldásának meghatározása 1. Az inhomogén de-hez tartozó homogén de általános megoldásának (yhá) meghatározása 2. Az inhomogén de egy partikuláris megoldását az ún próbafv-es módszerrel meghatározzák (yip) 3. Az inhomogén de általános megoldását felírjuk (yiá – yhá + yip) Inhomogén d.e partikuláris megoldásának meghatározása próbafüggvényel: H az f(x) olyan fv-ek összege ill szorzata, amelyek deriváltjai is hasonló alakúak, akkor az inhomogén diff egyenlet partikuláris megoldását az f(x)-hez hasonló alakú ismeretlen együtthatót ún. próbafv segítségével hat meg Ha az f(x): - n-ed fokú polinom, akkor a próbafv is n-ed fokú polinom, amelyben minden hatványnak szerepelnie kell, még ha f(x)-ben nem is szerepel - exponenciális fv, akkor a próbafv Aebx - sinc*x vagy coscx, ekkor a próbafv (A cos c x + B sin c x) -2- Ha a próbafv vmelyik tagja megoldása a

h.de-nek, akkor rezonanciáról beszélünk Ekkor a rezonanciát okozó fv csoportot meg kell szoroznunk x-el, ha így is rezonancia van, akkor x^2-kel szorozni. Mátrixok A p*q elem p sorba és q oszloba való táblázatos elrendezését pq típusú mátrixnak nevezzük. Elemei: a ik –val jelöljük az i-edik sorában és k-adik oszlopában elhelyezkedő elemét. Ha a p*q típusú mátrix sorait és oszlopait felcseréljük, akkor az így nyert qp típusú mátrixot az A transzponált mátrixának nevezzük és A*-gal jelöljük. Spec mátrixok 1 sorból v. oszlopból álló mátrixokat sor vektor v oszlop vektornak nevezzük Azokat sor ill. oszlop vektorokat, amelyeknek 1 eleme 1 és a többi 0egységvektoroknaknevezzük Zérusmátrix ha minden eleme 0. Az n-ed rendű négyzetes mátrix alatt az n*n típusú mátrixokat négyzetes mátrixoknak nevezzük. Főátló, amely mentén az a 11 , a 22 , ann elemek helyezkednek el. Az olyan négyzetes mátrixokat, amelyeket csak a fő

átló mentén lehet 0-tól különböző eleme, diagonális mátrixnak nevezzük. Az olyan diagonális mátrixokat, amelyeknek a főátlója mentén minden eleme egység mátrixoknak nevezzük. Műveletek mátrixokkal 1. Egyenlőség: két azonos típusú mátrix akkor egyenlő, ha a megfelelő indexű elemeik egyenlőek 2. Összeadás: A p*q típusú A és a pq típusú B mátrix összege az a pq típusú C mátrix, amely elemeire: C ik = A ik + B ik i=1,2,p ; k=1,2,q. 3. Számszoros: Legyen CЄR A p*q típusú A mátrix c-szerese az a pq típusú B mátrix, amely elemeire: b ik = c*a ik i=1,2,p ; k=1,2,q. 4. Két vektor skaláris szorzata: legyen a*=(a 1 ,a 2 ,a n ) oszlopvektor skaláris szorzata: a×b=a 1 b 1 +a 2 b 2 +a n b n b*=(b 1 ,b 2 ,b n ) Az asorvektor és a b 5. Mátrixok szorzása: A p×q típusú A=[a ik ] és az r×q tipusú C=[c ik ] mátrix, amelyre c ik =a i ×b k , ahol a i az iedik sora A mátrixnak, sorvektorként kezelve, b k a k-adik oszlopa B mátrixnak,

oszlopvektorként kezelve A szorzás nem kommutatív, és ha el is végezhet az AB és BA szorzat, akkor sem biztos, hogy egyenlőek. -3- Lineáris egyenletrendszerek Az x 1 ,x 2 ,x n ismeretleneket tartalmazó lineáris egyenletrendszer alatt a a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 2n x n =b 2 a m1 x 1 +a m2 x 2 +a mn x n =b m egyenletek összességét értjük, ahol a ik ,bR. i=1,2m k=1,2n Az egyenletrendszer homogén, ha b i =0, i=1,2m, inhomogén,ha legalább egy b i 0. A c 1 ,c 2 c n (c i R) megoldása az egyenletrendszernek, ha behelyettesítve minden egyenletnél azonosságot kapunk. Ha az egyenletek között vannak ellentmondóak akkor az egy.rendszernek nincs megoldása Két egy.rendszer ekvivalens ha ua a megoldásuk Lineáris egy.rendszer megoldása Gauss-módszerrel: Háromszög típusú egy. rendszer: az egyenletekben rendre egyre kevesebb ismeretlen szerepel Megoldása egyszerű behelyettesítéssel. Ekvivalens egy.rendszereket adó

átalakítások: 1.egyenletek sorrendjének felcserélése 2. egy egyenlet 0-tól különböző számmal való szorzása vagy osztása 3. egyik egyenlet számszorosának hozzáadása egy másik egyenlethez Gauss-módszer elve: ekvivalens átalakítások alkalmazásával fokozatosan kiüszöböljük az ismeretleneket Gauss módszer lépései: 1. Feltehetjük h az 1 egyenletbe pl x1 együtthatója nem 0 (az egyenletek esetleges felcserélésével ez biztos elérhető). Az első egyenleg olyan számszorosait adjuk a 2, 3 egyenletekhez, h bennük az x1 együtthatója 0 legyen, tehát a 2. egyenlettől kezdve kiküszöböljük az x1 ismeretlent 2. A 2 egyenlettől kezdve megismételjük ezt az eljárást pl x2-re, ekkor a 3 egyenlettől kezdve már az x2 ismeretlent is kiküszöböltük 3. Folytatjuk ez taz eljárást amíg lehetséges Az eljárás véges számú lépés után befejeződik v ezért mert nincs több egyenlet v azért mert a hátralévő egyenletek vmelyik korábbival

megegyeznek v annak számszorosa (tehát minden együttható 0-vá válik) -4- Az utolsó lépéshez tartozó táblázatból felírjuk a neki megfelelő egyenletrendszert, amelyet redukált egy.rendszernek nevezünk A redukált egyrendszerben ha az ismeretlenek száma nagyobb mint az egyenletek száma és nincs ellentmondás, akkor az egy.rendszernek végtelen sok megoldása lesz Paraméterekszáma = ismeretlenekszáma-red.egyrendszerbeli egyenletek száma Ennyi ismeretlent paraméternek választhatunk. Az egyrendszer megoldásához a többi ismeretlent kifejezzük a választott paraméterekkel Az esetek nagy részében paraméternek többféleképpen is választhatunk az ismeretlenek közül. A homogén egy. rendszer megoldása úgy történik Gauss-módszerrel mint az inhomogénnél A homogén egy.rendszernek mindig van megoldása, x1=0, x2=0, xn=0 az un triviális megoldás, itt az a kérdés, hogy ezen kívül van-e másik megoldása is. Hány megoldása lehet egy lineáris

egy.rendszernek: Inhomogénnél három eset lehetséges, vagy nincs megoldás, vagy egy megoldás van, vagy végtelen sok. Homogénnél két eset lehetséges vagy egy megoldás van, triviális megoldás, vagy végtelen sok. Ha a főátlóra nézve szimmetrikusan elhelyezkedő elemek egyenlőek, akkor szimmetrikus mátrixról beszélünk. Mátrix*transzponált mátrix=szimm.mátrix VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Determinisztikus jelenségek: Azokat a jelenségeket, amelyek lefolyása a számbavett körültmények és feltételek esetén egyértelműen megmondható, szükségszerű v determinisztikus jelenségeknek nevezzük. Véletlen jelenségek: Az olyan jelenségeket amelyeknek a kimenetelét a tekintetve vett körülmények és feltételek között nem tudjuk egyértelműen megmondani, hogy a lehetséges kimenetelek közül melyik következik be, véletlen jelenségeknek nevezzük. Véletlen tömegjelenségek Azokat a véletlen jelenségeket, amelyek az adott körülmények között

akárhányszor megfigyelhetők, nev. Val.számítás a véletlen tömegjelenségek összefüggéseit, törvényszerűségeit kutatja Eseményalgebra: Egy véletlen jelenség megfigyelését, függetlenül attól, hogy előidézésében részt vettünk vagy sem, véletlen kísérletnek nev. Elemi események: egy véletlen kísérlet lehetséges kimenetelei. Egy kísérlethez tartozó elemi események összességét, -e kísérlethez tartozó eseménytérnek nevezzük. Minden kísérletnél pontosan meg kell határozni, hogy mit nevezünk elemi eseménynek. pl pénzérme feldobásánál elemi esemény, hogy fejet vagy írást dobunk, az nem elemi esemény, hogy az érme elgurul. Az elemi esemény mindig teljesül: 1. bármelyikről eldönthető h bekövetkezett-e vagy sem 2. kettő egyszerre nem következhet be 3. egy elemi esemény mindig bekövetkezik Egy kísérlethez tartozó H eseménytér részhalmazait eseményeknek nev. Az esemény bekövetkezett ha a neki megfelelő részhalmaz

v.melyik elemi eseménye következett be A H eseménytérnek végtelen sok eleme lehetséges A teljes eseménytérrel definiált eseményt biztos eseménynek nev., ami mindig bekövetkezik Jele: I Az üres halmazhoz rendelt eseményt lehetetlen eseménynek nev., ez sosem következik be Jele:  Müveletek eseményekkel: -5- 1. Ellentétes esemény: legyen AH Az A ellentétes eseménye A azt jelenti, hogy az a esemény nem köv.be 2. Összeg: Két esemény összege AB akkor kövbe, ha legalább az egyik esemény bekövetkezik A,BH eseménytér 2 eseménye. 3. Szorzat: Két esemény szorzata, AB, azaz esemény amely akkor kövbe, ha mindkét esemény beköv A,BH. Legyen A,BH, az A és B események egymást kizárják ha AB= 4. Különbség: Legyen A,BH, az A és B események különbsége akkor kövbe, ha az A esemény beköv és B nem. A/B=AB Müveletek tulajdonságai(azonosságok): AA=A, AA=A, AI=I, A =A, AI=A, A = ,

AA=I, AA=, AB=BA (kommutatív,fekcserélhetö), AB=BA (kommutatív), (AB)C=A (B C) (asszociatív,csoportosítható), (A B)C=A (B C), (asszociatív), A (B C)=(A B) (A C), (disztributív). Tételek: 1. De Morgan-féle azonosság: AB=AB AB=AB 2. Beolvasztási szabály: AAB=A A valószínüség fogalma: Ha egy kísérletet n-szer hajtunk végre, és az A esemény K-szor köv.be, akkor K a -t az A esemény gyakoriságának, R a =K a /n –t az A esemény relatív gyakoriságának nev. Nagyszámú kísérlet esetén a relatív gyakoriság értéke viszonylagos stabilitást mutat, és azt a számot, amely körül a relatív gyak. ingadozik, az A esemény valószínüségének nev Jele: P(A) Relatív gyak tulajdonságai: 1. Biztos esemény relgyakorisága=n K I =n r I =K I /n=n/n=1 2. Legyen A és B egymást kizáró események, tehát AB= (egyszerre nem köv,be) K A+B =K A +K B r A+B =r A +r B 3.

0<=K A <=n r A =K A /n 0<=K A /n<=1 0<=r A <=1 Kolmogorov-féle axiómák: Legyen adott egy kísérlethez tartozó H eseménytér. Minden AH eseményhez hozzárendelünk egy P(A) számot, amelyre teljesülnek a köv.axiómák 1. Adott a H eseménytér minden AH eseményhez hozzárendelünk egy P(A)-val jelölt valós számot, az A esemény valószínűségét, amelyre teljesül, hogy 0P(A)1 2. A biztos esemény P(I) valószínűsége 1 P(I)=1 3. Ha A B=, akkor P(A B)=P(A)+P(B), 4. Ha az A1,A2események páronként egymást kizárják (A i ∩ A j =Ǿ i≠ j, i=1,n j=1,n) akkor P(A 1 U A 2 )=P(A 1 )+P(A 2 )+.Az axiómákból a valszámítás matematikai elmélete, tisztán matematikai eszközökkel kidolgozható. Tételek: 1. P(Ā) = 1-P(A) 2. P(Ø) = 0 3. Ha A i * A j = Ø i≠j i = 1,2n; j=1,2,n, akkor P(A 1 + A 2 + . + A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) ++P(A n ) 4. Legyen A,B két tetszőleges esemény a H eseménytérben Ekkor P(A+B) = P(A) + P(B)

- P(A*B) -6- Legyen A,B  H. A és B független események, ha A*B valószínűsége megegyezik P(AB) = P(A)P(B) Valószínűségek klasszikus, kombinatórikus kiszámítása:Egy véletlen kísérlethez tartozó H eseményteret, az eseménytér részhalmazaiból álló eseményalgebrát, és az eseményekhez rendelt valószínüségeket együtt valószínüségimezőnek nev. Ha a H véges elemszámú elemtér minden elemi eseményéhez azonos valószínüség tartozik, akkor klasszikus valószínüségi mezőről beszélünk. Klasszikus képlet: Legyen a H eseménytér elemi eseményeinek száma n, és tegyük fel, hogy mindegyik esemény egyenlő valószínűséggel köv.be (Tehát klasszvalmezö) Ha egy A esemény K számú elemi eseményt definiál, akkor az A esemény valószínűsége: P(A)=K/n (A-t előállító elemi események száma/összes elemi események száma=kedvezö esetek száma/összes eset száma). Valószínűségi változónak Egy kísérlethez tartozó H

eseménytéren értelmezünk egy valós értékű fgv-t, amellyel az eseménytér minden elemi eseményéhez hozzárendelünk egy valós számot. Jele: (kszi), (éta) Diszkrét valsz-i i váltózó: Ha a valószínűségi változó lehetséges értékeinek a száma véges v. az értékek végtelen sorozatba rendezhetők,.Megadása: : x1, x2,,xn xi R  Valószínűségi változó eloszlása: nevezzük ha a  lehetséges értékei : x1,x2,, akkor a P(= x1), P(= x2), véges v. végtelen sok valószínűségek halmazát Eloszlás tulajd:P(= xi) 0  P(= xi) =1Következmény: a P1,P2, véges v. végtelen sorozat elemei valsz-i eloszlást alkotnak ha: 1 Pi  0 és  Pi =1 A 1 és 2 valószínűségi változók függetlenek, ha tetszőleges x,y R esetén  1< x és  2 <y események függetlenek. Várható érték: az a szám, amely körül a valsz-i változó értékeinek az átlaga ingadozik. Ez általában nem egyezik

meg a ténylegesen felvett értékekkel. várható érték def-ját csak arra az esetre mondjuk ki, amikor a valsz-i változó véges sok értéket vesz fel. Átlagos érték = érték * relatív gyakoriság Legyen a  valsz-i változó lehetséges értékei = x1, x2.,xn, Valszi-i eloszlása P1, P2,,Pn a  várható értéke a i=1 n xi  pi a  valsz-i változó és M()-vel jelöljük. A várható érték kiterjeszthető a valsz-i változó g() függvényére M(g())= n i=1  g(xi)  pi Várható érték tulajdonságai: 1. M(c)= c c R 2. M(a )= a M() a R. 3. M(a  +b)= a M() +b a,b R M(1 + 2)= M(1) + M(2) Szórásnégyzet és szórás: D2 ()=M( (-M())2 ) -t nevezzük a  valsz-i vált szórásnégyzetének és az ebből vont pozitív négyzetgyököt D() -t a  valsz-i vált szórásának. D2 ()=M(2) – (M())2 Tulajdonságai: 1. D2 (c)= 0 c R , D(C)=0 2. D2 (a )= a2  D2 () D (a

)= a  D () a R 3. D2 (a  +b)= a2  D2 () D (a  +b)= a  D () a,b R 4. Ha 1 és 2 független valsz-i változók, akkor D (1 +2)= D2 (1) + D2 (2) 2 Eloszlásfüggvény: -7- Legyen  tetszőleges valsz-i változó. A  eloszlásfgv-e : F(x)= P(<x), x R Tulajdonságai: 1. monoton növekvő 2. lim x+ F(x)= 1 és lim x - F(x)= 0 3. balról folytonos minden pontban, azaz lim xa F(x)=F(a) Tétel: Ha F(x) fgv-re teljesülnek a fenti tulajdonságok akkor van olyan valsz-i változó, amelynek F(x) az eloszlásfgv-e. Folytonos valószínűségi változó A  valsz-i vált folytonosnak nevezzük ha eloszlás fgv-e folytonos. Eloszlás fgv képe 1. Diszkrét valsz-i változó esetén: mindig lépcsős a fgv képe, két x között állandó és a végpontban a P(= x k ) értékkel növelődik. 2. Folytonos valsz-i változó esetén: a fgv sokszor szakaszonként más-más fgv-el van megadva.

Leggyakrabban 0, ha x  a, F 1 (x), ha a< xb, 1, ha x>b F(x)= Valószínűségkiszámítása az eloszlás fgv-el Tétel: 1. Ha F(x) folytonos az x = x0-ban, akkor P(= x0) =0 P(< a)= F(a), P( a)= P(< a) + P(= a) = F(a) 2. Ha F(x) folytonos x= a-ban és x= b-ben, akkor mondhatom, hogy P(< a)= P( a)= F(a) P( a)= P(> a)= 1 – F(a) P(a  b)= P(a<   b)= P(a  < b)= P(a<  < b)= F(b) – F(a) Sűrűségfgv. Ha  valsz-i változó F(x) eloszlás fgv-e folytonos és véges számú hely kivételével deriválható, akkor F(x) fgv a  folytonos valsz változó sűrűségfgv-ének nevezzük, jele: f(x) = F (x), ahol F(x) differenciálható Ha a -nek van sűrűség fgv-e, akkor azokban a pontokban F(x) nem differenciálható vagy nem értelmezzük a f(x) fgv-t vagy ezen pontokban a jobb ill. baloldali határértéket választjuk fgv értéknek F(x) és f(x) kapcsolata: F(x)= -  x

f(t) dt és f(x) = F (x), f(x) sűrűségfgv tulaldonságai: Ha a  folytonos valsz-i változó sűrűségfgv-e f(x), akkor 1. f(x)  0 2. -  + f(x) dx =1 Ha egy véges számú hely kivételével folytonos f(x) fv-re teljesülnek a fenti tulajdonságok, akkor van olyan folyt. valsz-i vált amelynek ez a sűrűségfgv-e. Valószínűségek kiszámítása sűrűség fgv-el -8- P(< a) = P( a) = - a f(x) dx P( a) = P(> a) = a + f(x) dx P(a<< b) = P(a < b) = P(a< b)= P(a  b) a b f(x) dx Várható érték Ha a  folytonos valsz vált sűrűség fgve f(x), akkor a  vártható értéke M()= -  x f(x) dx, ha az + x f(x) dx improprius integrál is konvergens. Egyébként azt mondjuk, hogy a várth érték nem létezik -  + Szórásnégyzet: Ha a  folyt valsz vált sűrűség fgve f(x),akkor a  szórásnégyzete:   D2()=  x f  x dx

   x  f ( x ) dx     2 2   ,ha az improprius integrálok konvergensek. Egyébként azt   mondjuk, hogy a szórásnégyzet nem létezik. Diszkrét valószínűségi eloszlások Def: A, B M, A és B függetlenek ha P(AB) = P(A)P(B) 2 vagy több kísérlet független ha az egyikkel kapcs. bármely esemény független a többivel kapcsolatos bármely eseménytől. A kísérletet n-szer függetlenül végrehajtjuk, annak a valószínűsége hogy az A esm k-szor (0 k  n) következik be  p  k 1  p  n k nk ,ahol P(A)=p Binomiállis eloszlás   n k n! A  diszkrét valsz vált (n,p) paraméterű binomiális eloszlású, ha  lehetséges értékei: k ! ( n  k )! 0,1,2,,n és P( = k)=  p n k k  q n  k ,ahol 0< p < 1, q= 1-p, k= 0,1,.,n Ha a  (n,p) paraméterű binomiális eloszlású, akkor M()= n * p, D()= n  p q Poisson- eloszlás A binomiális

eloszlás határesetének tekinthetjük, ha n + , p0-hoz, n*p=>0 állandó. Legyen  lehetséges értékei: 0,1,. A  λ>0 paraméterű Poisson eloszlású, ha P( = k)=  k k! Tétel: Ha   paraméterű Poisson-eloszlású M() = ,D()= e   , k=0,1,2,.  Folytonos valószínűségi eloszlások Egyenletes eloszlás Def: A ξ val-i vált egyenletes eloszlású az ]a;b[-ban, ha a sűrűség fg-e: f(x)= 1/(b-a) , ha a<x<b; 0 máshol eloszlás fgv. -9- Ha a<x<b, akkor a F(x)= -  f(t)dt =a integrál x 1/(b-a) dt= 1/(b-a) [t]a-tól x-ig =1/(b-a)*(x-a)= (x-a)/(b-a) x F(x)= 0, ha x≤a ; (x-a)/(b-a), ha a<x≤b ; 1, ha x<b Ha a  egyenletes eloszlású az [a;b]-ban, akkor az M()= (a+b)/2 ; D2()= (b-a)2/12 Exponenciális eloszlás A  folytonos val-i vált λ>0 paraméterű exp. eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye f(x) = 0, ha x≤0 ; λ e-λx , ha x>0 Ha x≤0, akkor F(x) = -  x

f(t)dt = 0 Ha x>0, akkor F(x)= -  0 0 dt + 0  x λ e-λt dt = [e-λt/-λ] 0-tól x-ig = -( e-λx-1)= 1- e-λx F(x)= 0, ha x ≤0 1- e-λx, ha x<0 Ha  „A” paraméterű exp. eloszlású val-i vált, akkor M()= D()=1/ λ Normális eloszlás A ξ folyt val-i vált (m, σ) paraméterű normális eloszlású, ha f(x) 1  2 e^  ( x  m)^2 2 ^ 2 , x ЄR, ahol m e R, >0 Jelölés ξ N(m,σ) eloszlás Ha m=0, σ =1, akkor ξ standard normális eloszlású és sűrűségfv-e (φ)(x)=1/√2π* e –x/2, x ЄR Ha ξ N(m, σ) eloszlású, akkor η= (ξ -m)/ σ N(0,1) eloszlású és η valószínűségi változótt a ξ v standardizáltjának nevezzük. Ha ξ N(m,σ) eloszlású, akkor F(x)= 1/(σ√2∏)* -∞ integrál x (e –(t-m)2/(2)szigma2)dt x e R Ha ξ N(0,1) eloszl (Ф(x)=1/√2∏*-∞ integrál x e –t2/(2) dt x e R. Ha ξ N(m; σ) eloszlású, akkor M(ξ)=m D(ξ) =  Nem paraméteres próbák Illeszkedés vizsgálat KHI2

próbának tiszta ill. vizsg: feltételezett eloszlás paramétereit ismerjük, becslés ill vizsg: minta alapján becsüljük az eloszlás paramétereit Diszkrét eloszlás: adott n elemű minta fi eloszlása xi, fi i=1,2,,r ; szum fi=n Hipotézisek Ho:P(=xi)=pi i=1,2,,r legalább egy olyan i esetén H 1 : P(=xi) = pi Ho-t elfogadjuk, ha az egyes értékek fi/n relatív gyak-a és a felt pi eltérése kicsi. A próba változója khi 2 =1/pi (fi/n-pi)2 A próba változó n+ r-1 szabadságfokú khi2 eloszlású Ha n*pi10, akkor jó a közelítés, akkor már khi 2 eloszlásúnak tekinthető Ho-t elfogadjuk ha a minta alapján számított próbaváltozóra khi 2  khi 2 p, egyébként elvetjük Folytonos eloszlás: F(x)-et megadjuk Ho: P(<x)= F(x) H 1 : P (<x)=F(x) Adott n elemű mintából osztályba sorolt. Gyakorisági eloszlást csináljuk és a feladatot diszkrét eloszlásra vezetjük vissza Becslés ill. vizsg - 10 - Az eloszlás paramétereit a

mintából becsüljük, akkor a khi paramétert kellett becsülnünk. normalitás vizsgálat: 2 próbaváltozó szabadságfoka r-s-1 lesz, ha s db Ho: P(<x)=N(m.szigma) H 1 : P(<x)=N(m,σ) mσ nem ismert Homogenitás vizsgálata:A két sokaság esetén vizsgáljuk, hogy azonos eloszlásúak-e, ha az eloszlások nem adottak Ho: F(x)= G(x) H1: F(x)= G(x), ahol a 2 sokaság eloszlását F(x) és G(x) jelöltük, ezeket konkrétan nem ismerjük. 2 minta Alapján khi 2 próbával dönthetünk. - 11 -