Mathematics | Elementary school » Geometriai Alapismeretek

GEOMETRIAI ALAPISMERETEK TÉRELEMEK: JELE: PL.: xP  PONT NAGY BETŰ  EGYENES KIS BETŰ  SÍK KIS BETŰ  SZAKASZ NAGY BETŰ e A B AB SZAKASZT KÉT VÉGPONTTAL HATÁROZZUK MEG.  FÉLEGYENES EGY VÉGPONTJA VAN.  FÉLSÍK  SZÖG GÖRÖG ABC BETŰI α, β, γ, δ, ω A SÍKOT 2 SZÖGTARTOMÁNYRA OSZTJA szár szög tartomány szár szög csúcs szög tartomány mértékegysége: fok pl.: 60˚ perc ’ másodperc ’’ 1 perc 1 foknak a 60-ad része teljes szög: 360˚ egyenes szög: 180˚ SZÖGFAJTÁK:  HEGYESSZÖG  DERÉKSZÖG  TOMPASZÖG  EGYENESSZÖG  HOMORÚSZÖG  TELJESSZÖG 1˚ = 60’ SZÖGPÁROK:  EGYÁLLÁSÚ SZÖGEK  FORDÍTOTT ÁLLÁSÚ SZÖGEK (VÁLTÓSZÖGEK) SZÖGSZÁRAK PÁRHUZAMOSAK, ELLENTÉTES IRÁNYÚAK.  CSÚCSSZÖGEK  MELLÉKSZÖGEK (KIEGÉSZÍTŐ SZÖG) A KETTŐ EGYÜTT EGYENEST ALKOT.  PÓTSZÖGEK A KETTŐ EGYÜTT DERÉKSZÖGET ALKOT.  MERŐLEGES SZÁRÚ SZÖGEK

TÁVOLSÁGOK: JELE: „d” 1. KÉT PONT TÁVOLSÁGA d AB X A X B 2. EGY PONT ÉS EGY EGYENES TÁVOSÁGA A LEGRÖVIDEBB SZAKASZ, MERŐLEGES, DERÉKSZÖG. X e 3. KÉT EGYENES TÁVOLSÁGA  A KÉT EGYENES METSZI EGYMÁST. D=0  A KÉT EGYENES PÁRHUZAMOS. JELE: e ||f 4. KÉT SÍKIDOM TÁVOLSÁGA SÍKIDOM: ZÁRT GÖBEVONAL, VAGY ZÁRT TÖRÖTTVONAL. A 2 LEGKÖZELEBB ESŐ PONTOT KELL ÖSSZEKÖTNI. SÍKIDOMOK: A. HÁROMSZÖGEK: I. AZ OLDALAKRA VONATKOZÓ TÉTELEK: 1) EGY HÁROMSZÖGBEN 2 OLDAL ÖSSZEGE MINDIG NAGYOBB, MINT A 3. OLDAL b a a+b>c b+c>a a+c>b c 2) EGY HÁROMSZÖGBEN 2 OLDAL KÜLÖNBSÉGE MINDIG KISEBB, MINT A 3. OLDAL a + b > c /-b a>c–b II. SZÖGEKRE VONATKOZÓ TÉTELEK 1) EGY HÁROMSZÖGBEN A BELSŐ SZÖGEK ÖSSZEGE 180˚. b|| d α ÉS α’ EGYÁLLÁSÚ SZÖG α = α’ γ ÉS γ’ FORDÍTOTT ÁLLÁSÚ SZÖG γ + α + β = 180˚ EGYENES SZÖG γ = γ’ γ’+α’+β=180˚ 2) EGY HÁROMSZÖG KÜLSŐ SZÖGE EGYENLŐ A NEM

MELLETTE FEKVŐ BELSŐ SZÖGEK ÖSSZEGÉVEL. α, β, γ = BELSŐ SZÖGEK δ = KÜLSŐ SZÖG δ=α+γ III. A HÁROMSZÖG OLDALAIRA ÉS SZÖGEIRE VONATOZÓ TÉTEL EGY HÁROMSZÖGBEN NAGYOBB OLDALLAL SZEMBEN NAGYOBB SZÖG VAN, KISEBB OLDALAL SZEMBE KISEBB SZÖG VAN, ÉS EGYENLŐ OLDALAKKAL SZEMBEN EGYENLŐ SZÖGEK VANNAK. b>a b=c β>α β=γ HÁROMSZÖGEK CSOPORTOSÍTÁSA: a) OLDALAK ALAPJÁN  ÁLTALÁNOS HÁROMSZÖG: MIND A 3 OLDAL KÜLÖNBÖZŐ HOSSZÚSÁGÚ.  EGYENLŐSZÁRÚ HÁROMSZÖG: 2 OLDAL MEGEGYEZIK, VAGY SZIMETRIKUS. szár szár alap  EGYENLŐ OLDALÚ HÁROMSZÖG VAGY SZABÁLYOS HÁROMSZÖG: 3 SZIMETRIA TENGELYE VAN. b) SZÖGEK ALAPJÁN α, β, γ < 90˚ γ = 90˚ α, β < 90˚ γ > 90˚ α, β < 90˚ HÁROMSZÖGEK NEVEZETES VONALAI: 1) MAGASSÁG VONAL: A MAGASSÁG VONAL A CSÚCSBÓL A SZEMKÖZTI OLDALRA BOCSÁJTOTT MERŐLEGES. A MAGASSÁG PONT: A 3 MAGASSÁG VONAL TALÁLKOZÁSI PONTJA. 2) OLDALFELEZŐ MERŐLEGES A 3

OLDALFELEZŐ MERŐLEGES METSZI EGYMÁST, EZ A PONT A HÁROMSZÖG KÖRÉ ÍRHATÓ KÖRÉNEK A KÖZÉPPONTJA. 3) SZÖGFELEZŐ A HÁROM SZÖGFELEZŐ EGY PONTBAN METSZI EGYMÁST, EZ A PONT A KÖR KÖZÉPPONTJA. 4) SÚLYVONAL: A HÁROMSZÖG CSÚCSÁT KÖTI ÖSSZE A SZEMKÖZTI OLDALFELEZŐ PONTJÁVAL. A SÚLYPONT HARMADOLÓ PONT A SÚLYPONT HARMADOLJA A SÚLYVONALAT. 5) KÖZÉPVONAL: A KÖZÉPVONAL A HÁROMSZÖG 2 OLDALÁNAK A FELEZŐPONTJÁT KÖTI ÖSSZE. A KÖZÉPVONAL PÁRHUZAMOS A HARMADIK OLDALLAL, ÉS FELE OLYAN HOSSZÚ. NÉGY EGYBEVÁGÓ HÁROMSZÖG KELETKEZIK /EGYFORMA OLDAL ÉS SZÖG/. B. NÉGYSZÖGEK A NÉGY SZÖG EGYÜTT 360˚, 2 DB HÁROMSZÖGBŐL ÁLL. I. SPECIÁLIS NÉGYSZÖGEK 1) TRAPÉZ: OLYAN NÉGYZETET NEVEZÜNK TRAPÉZNAK AMINEK VAN 2 PÁRHUZAMOS OLDALA. A PÁRHUZAMOS OLDALAK AZ ALAPOK A MÁSIK KETTŐ A SZÁR. EGY SZÁRON FEKVŐ SZÖGEK ÖSSZEGE: 180˚ α + β = 180˚ γ + δ = 180˚ a ||c δ ÉS δ’ EGYÁLLÁSÚ SZÖGEK a) SZIMETRIKUS TRAPÉZ A KÉT ÁTLÓ

EGYENLŐ HOSSZÚ, A SZIMETRIA TENGELYEN METSZIK EGYMÁST. b=d α=δ β=γ b) DERÉKSZÖGŰ TRAPÉZ 2 SZÖG 90˚, A MÁSIK 2 SZÖG ÖSSZEGE 180˚. c b d a α + β = 180˚ 2) PARALELOGRAMMA OLYAN NÉGYSZÖG AMELYNEK A SZEMKÖZTI OLDALAI PÁRHUZAMOSAK. c d a=c b=d b a || c b || d a K = SZIMETRIA KÖZÉPPONT A SZEMKÖZTI OLDALAI AZONOS HOSSZÚAK. 2 HEGYESSZÖGE ÉS 2 TOMPASZÖGE VAN. A KÉT SZEMKÖZTI SZÖGEK EGYENLŐEK α = γ, β = δ KÉT EGYMÁS MELLETT FEKVŐ SZÖGEK 180˚ α + β = 180˚ 2 ÁTLÓ FELEZI EGYMÁST, 2-2 HÁROMSZÖG TELJESEN EGYFORMA. NINCS SZIMETRIA TENGELYE. MINDEN PARALELOGRAMMA TRAPÉZ, DE NEM MINDEN TRAPÉZ PARALELOGRAMMA ! ! ! 3) ROMBUSZ MIND A 4 OLDALA EGYFORMA HOSSZÚ. TRAPÉZOKNAK ÉS A PARALELOGRAMMÁKNAK EGY CSOPORTJA. α=β β=γ γ=δ δ=α α + β = 180˚ β + γ = 180˚ γ + δ = 180˚ δ + α = 180˚ A KÉT ÁTLÓ MERŐLEGES EGYMÁSRA, FELEZIK EGYMÁST, ÉS A FELEZIK A SZÖGEKET IS. A NÉGY HÁROMSZÖG EGYFORMA ÉS DERÉKSZÖGŰ. VAN

SZIMETRIA TENGELYE ÉS SZIMETRIA KÖZÉPPONTJA IS. ÁTLÓK 2 ÁTLÓ METSZÉSPONTJA 4) TÉGLALAP OLYAN NÉGYSZÖG AMELYNEK MINDEN SZÖGE EGYFORMA, 90˚. 2 SZEMKÖZTI OLDALAK ||, ÉS EGYFORMA HOSSZÚAK. 2 ÁTLÓ FELEZI EGYMÁST, EGYFOMRA HOSSZÚAK. 2-2 HÁROMSZÖG EGYFORMA, MIND A 4 HÁROMSZÖG EGYENLŐ SZÁRÚ. TRAPÉZ ÉS PARALELOGRAMMA IS a b b a 5) NÉGYZET MINDEN OLDALA ÉS SZÖGE EGYENLŐ. A 2 ÁTLÓ EGYENLŐ HOSSZÚ, MERŐLEGESEK EGYMÁSRA, FELEZIK EGYMÁST ÉS A SZÖGEKET IS. 4 SZIMETRIA TENGELYE VAN a a a a 6) DELTOID 2-2 SZEMKÖZTI OLDALA EGYENLŐ. 1 SZIMETRIA TENGELYE VAN A FŐÁTLÓ SZÖGFELEZŐ, ÉS ELEFELEZI A MELLÉKÁTLÓT. A MELLÉKÁTLÓ NEM SZÖGFELEZŐ. AZ ÁTLÓK MERŐLEGESEK EGYMÁSRA. A MELLÉKÁTLÓ KÉT VÉGÉN LEVŐ SZÖGEK EGYFORMÁK. a b a b II. KONVEX NÉGYSZÖG MINDEGYIK SZÖGE KISEBB 180˚. α, β, γ, δ, < 180˚ III. KONKÁV NÉGYSZÖG KONKÁV NÁGYSZÖGRŐL AKKOR BESZÉLÜNK, HA VAN 1 180˚-NÁL NAGYOBB SZÖGE. α > 180˚ C.

SOKSZÖGEK ÖTSZÖG EGY CSÚCSBÓL INDULÓ ÁTLÓK SZÁMA HÁROMSZÖGEK SZÁMA BELSŐ SZÖGEK SZÁMA ÖSSZES ÁTLÓ SZÁMA HATSZÖG HÉTSZÖG ÁLTALÁNOS „n” SZÖG 2 3 4 n-3 3 4 5 n-2 3×180= 4×180= 5×180= 540˚ 720˚ 900˚ 5 9 14 (n-2)×180˚ n×(n-3) 2 SZABÁLYOS SOKSZÖG: MINDEN OLDALA ÉS MINDEN SZÖGE EGYENLŐ. AKÁRMILYEN SZABÁLYOS SOKSZÖG ESETÉN KÖRÉ ÉS BELÜLRE IS TUDUNK KÖRT RAJZOLNI, MINDKÉT KÖRNEK A KÖZÉPPONTJA EGY HELYRE ESIK. EGYENLŐ SZÁRÚ HÁROMSZÖGET KAPUNK. D. KÖR AZON PONTOK MÉRTANI HELYE A SÍKBAN, AMELYEK EGY ADOTT PONTTÓL EGYENLŐ TÁVOLSÁGRA VANNAK. EZ A PONT A KÖR KÖZÉPPONTJA, A TÁVOLSÁG PEDIG A KÖR SUGARA /JELE: „s”/. h = HÚR: NEM MEGY ÁT A KÖZÉPPONTON. d = ÁTMÉRŐ: A KÖZÉPPONTON ÁTMENŐ EGYENES. d = 2×r VAGYIS 2 SUGÁR. SZELŐ: METSZI A KÖRT 2 KÖZÖS PONTON. ÉRINTŐ: OLYAN EGYENES AMELY CSAK 1 PONTBAN METSZI A KÖRT. KÖRSZELET KÖRCIKK: 2 SUGÁR KÖRGYŰRŰ KONCENTRIKUS KÖR: 2 KÖRNEK

EGYBEESIK A KÖZÉPPONTJA