Mathematics | Higher education » Szemelvények a tárcsák elméletének klasszikus eredményeiből

BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke SZEMELVÉNYEK A TÁRCSÁK ELMÉLETÉNEK KLASSZIKUS EREDMÉNYEIBŐL Az alábbiakban a rugalmas izotróp tárcsák elméletének olyan feladatait mutatjuk be, amelyek eredménye zárt képlettel megadható. Ezek a képletek a gyakorlatban is jól használhatók, pl előtervezésnél, ill a számítógépi számítások eredményeinek nagyságrendi ellenőrzésénél. 1. Az Airy-féle feszültségfüggvény és differenciálegyenlet A tárcsaelmélet klasszikus megoldásai az Airy-féle differenciálegyenlet analitikus típusú megoldásai. Az Airy-féle differenciálegyenlet a feszültségfüggvény alkalmazásán alapul. A feszültségfüggvény alapgondolata az, hogy egy csupán a peremein terhelt tárcsa Descartesféle koordinátarendszerben értelmezett N x , N y , N xy metszeterői csak akkor alkothatnak statikailag lehetséges feszültségállapotot, ha megfelelő parciális

deriváltjaik teljesítik a N x N xy  0, x y N y y  N xy x 0 ún. Cauchy-féle egyenleteket, és ezek az egyenletek automatikusan teljesülnek, ha a metszeterőket egy tetszőleges F függvény alábbi parciális deriváltjaiként származtatjuk: Nx  2F , y 2 2F Ny  2 , x N xy 2F  . xy Ahhoz, hogy az Airy-féle feszültségfüggvénynek nevezett F függvény fenti deriváltjai valóban a tárcsa metszeterőit szolgáltassák, az is szükséges, hogy a metszeterőkhöz tartozó alakváltozások kielégítsék az alakváltozások kompatibilitására vonatkozó  2 x y 2   2 y x 2 2  2 xy xy 0 differenciálegyenletet. Állandó vastagságú rugalmas, izotróp tárcsa merevségeinek figyelembevételével ebből a feltételből F-re vonatkozóan a következő differenciálegyenlet vezethető le: 4F 4F 4F 2  2 F  0   4 2 2 4 y x y x

Ezt a differenciálegyenletet a tárcsák Airy-féle differenciálegyenletének, a differenciálegyenletben szereplő Δ operátort a Laplace-operátor derékszögű koordinátarendszerben értelmezett alakjának nevezzük. A differenciálegyenlet megoldásai az ún síkbeli biharmonikus függvények. 2. Kör- és körgyűrű-tárcsák közismert megoldásai A Laplace-operátor alakja invariáns a derékszögű koordinátarendszer elforgatására, de nem független a koordinátarendszer típusától. Az r és θ független változójú polár-koordinátarendszerben a Laplace-operátor alakja a következő: 1 2 2 1  .   r 2 r r r 2  2  Az izotróp tárcsák feszültségállapotát változatlanul a  F   0 differenciálegyenlet megoldásai szolgáltatják, a metszeterők és a feszültségfüggvény kapcsolata pedig a következő: Nr  F 2F  , r 2  2 rr N  2F , r 2 N r  N r    

F    r  r  2.1 Körszimmetrikus megoldások Izotróp tárcsák körszimmetrikus feladatai esetén a polár-koordinátarendszer alkalmazása igen előnyös, mert - a koordinátarendszer origóját a körtárcsa középpontjában felvéve - az Airy-féle differenciálegyenletben szereplő Laplace-operátort a következő közönséges (azaz nem parciális) differenciáloperátorrá egyszerűsíthetjük: ~    drd    1r drd  1r drd  r drd   2 2 A fenti képletben alkalmazott átalakítás jelentősége az, hogy ezáltal a kéttagú kifejezés egyetlen taggá vonható össze. Ugyanígy egyetlen taggá lehet összevonni az Airy-féle differenciálegyenlet körszimmetrikus megoldásaira vonatkozó ~~  F   0 közönséges negyedrendű differenciálegyenletben szereplő tagokat is: 1 d  d  1 d  dF    r  0 r r dr  dr  r dr  dr    Ennek a

változó együtthatójú differenciálegyenletnek az általános megoldása lépésenkénti integrálással közvetlenül felírható. Eredményül a következőt kapjuk: F  C1 r 2 ln r   C 2 r 2  C 3 ln r   C 4 amelyből a metszeterők az alábbi képletekkel számíthatók: Nr  1 dF 1  C1 1  2 ln r   2 C 2  C 3 2 r dr r N  d2 F 1  C1  3  2 ln r   2 C 2  C 3 2 2 dr r N r  0 A fenti képletekből azonnal megállapítható, hogy C 4 értéke indifferens a mechanikai értelmezés szempontjából, a körszimmetrikus terhelésű kör- és körgyűrű tárcsák megoldásainak feszültségfüggvénye a C 1 , C 2 , C 3 konstansok megfelelő felvételével származtatható. Fontos gyakorlati alkalmazásai vannak az alábbi megoldásoknak. Köralakú tárcsa konstans p normális irányú peremteherrel terhelve. A peremükön konstans normális irányú teherrel terhelt állandó vastagságú,

egyszeresen összefüggő (azaz áttörések nélküli) tárcsák az alakjuktól függetlenül hidrosztatikus feszültségállapotban vannak. Egyszerűen ellenőrizhető a feszültségfüggvény és a metszeterők kapcsolata alapján, hogy az N r  N  p metszeterő-rendszerhez tartozó feszültségfüggvény: pr2 F 2 azaz hidrosztatikus feszültségállapotot leíró feszültségfüggvényt C 1 = C 3 = 0 felvételével szolgáltat az általános megoldás. A metszeterők alapján  r    p 1    Et A sugárirányú elmozdulást u-val jelölve u p a 1    r , Et a más elmozdulás-komponens nem alakul ki. (Figyelemre méltó, hogy az origót a körtárcsa középpontjából a középfelület tetszőleges pontjába áthelyezve az elmozdulást leíró függvény alakja változatlan marad. Ez a sajátság a homogén alakváltozás-állapot jellemzője) Körgyűrű-alakú tárcsa az r = b peremén p = const. normális irányú

peremteherrel terhelve Ennek (1. ábra) a tárcsának a feszültségfüggvényét úgy kapjuk meg, az általános megoldásból, ha C 1 értékét önkényesen 0-ra vesszük fel, C 2 és C 3 megfelelő felvételével pedig biztosítjuk, hogy N r az r = a peremen 0, az r = b peremen pedig p legyen. p a b r 1. ábra A feszültségfüggvény: p a2 b2 1 r 2  r  F 2 2  2  ln     a  b  a 2 a A metszeterők: Nr  p b2 b2  a2  a2  1  2   r  N  p b2 b2  a2  a2  1  2   r  A peremelmozdulások a metszeterők alapján kiszámíthatók: u a  a   a   2 p a b2 a N   a  Et E t b 2  a 2   b2      ub  1    1     2 E t b 2  a 2   a  p a b2 Ha 0 < h = b-a << a, akkor ezek a megoldásfüggvények közelítenek a síkjában terhelt, a sugarú, A = t * h keresztmetszeti területű gyűrű

alakú rúd elemi úton felírható megoldásaihoz: Nr  p ra ba u N  p a pa  ba h p a2 p a2 .  E t  b  a E A A gyakorlatban ezeket a képleteket úgy szokták használni, hogy a-nak a gyűrű középkörét [esetünkben az (a+b)/2 értéket] tekintik, és a terhet is ezen a körön megoszlónak tételezik fel. Ha b , akkor a középpontja körüli a sugarú kör-áttörés vonalában p radiális teherrel terhelt végtelen kiterjedésű tárcsa megoldásának feszültségfüggvényét egyetlen tag alakjában kapjuk:  r F  p a 2 ln   ,  a amelyből a metszeterők: a2 a2 , . N   p  r2 r2 A peremeltolódást legegyszerűbben   peremértéke alapján határozhatjuk meg: Nr  p u a  a   a   a p a 1    N   a    N r  a     Et Et Közelítő méretellenőrzésnél jól használható a végtelen kiterjedésűnek tekintett tárcsa merevítő

hatásával azonos merevítő hatású a sugarú peremgyűrű, amelynek "egyenértékű" keresztmetszeti területe a fenti képlet alapján A at 1 Ugyanezt a feszültségfüggvényt használhatjuk arra, hogy egy hidrosztatikus feszültségállapotban lévő tárcsa belsejében létesített kör alakú áttörés feszültségmódosító hatását figyelembe vegyük. Ha az áttörés sugara a tárcsa méreteihez képest kicsiny, feltehetjük, hogy a feszültségállapot az áttörés középpontjától távolodva az eredeti hidrosztatikus feszültségállapothoz tart. A módosult feszültségállapotot leíró feszültségfüggvény az áttörés középpontjához rögzített polárkoordináta-rendszerben a következő: 1  r  F  N  r 2  a 2 ln   r  a  a  2 ahol N a hidrosztatikus állapot főfeszültsége. A képletet a hidrosztatikus feszültségállapot feszültségfüggvénye és az imént vizsgált

feszültségfüggvény olyan kombinációjaként írtuk fel, hogy abból az áttörés szabad peremén zérusra adódjék a radiális metszeterő. Az áttörés által módosított feszültségállapot képleteit az alábbiakban levezetjük. Hasonló probléma vethető fel abban az esetre is, ha az áttörést végtelen merev zárvány tölti ki. Az előbbi két feszültségfüggvénynek ekkor olyan kombinációját kell venni, amelyhez az r = a helyen zérus értékű radiális elmozdulás adódik. Ennek a képletnek a levezetését is megmutatjuk az alábbiakban. Figyelemre méltó, hogy a fenti megoldások egyikében sem használtuk a körszimmetrikus általános megoldásban C 1 együtthatójú megoldásrészt, mert C 1 -et önkényesen 0-nak tekintettük, holott a peremfeltételek C 1 tetszőleges értéke esetén is teljesíthetők lennének. Ennek az a magyarázata, hogy a C 1 0 esethez tartozó metszeterők csak olyan esetben szerepelnek, amikor a feszültségekhez

tartozó elmozdulások körszimmetriája csak ezek figyelembevételével teljesülhet. Az r = a és az r = b peremekre felírt fizikai peremfeltételek és az Airy-féle differenciálegyenlet teljesülését nem változtatja meg, ha a feszültségállapothoz szuperponáljuk az 2 2 4M  2  r  r a b  b 2 Nr    a ln    b ln    2 ln     a  b  a B  r 2 2 4M  2  r  r a b  b 2 2 2   b  a   a ln    b ln    2 ln    N   a  b  a B  r N r  0 metszeterő-rendszert. Meg lehet mutatni, hogy egy tetszőleges  irányú metszet mentén az így szuperponált N  metszeterők eredője egy M nagyságú nyomaték, ha 2  b B   b 2  a 2   4 a 2 b 2 ln 2    a Mechanikai tartalmát tekintve ez a metszeterő-rendszer az M keresztmetszeti nyomatékhoz tartozó feszültségeket adja meg, ha a

körgyűrű-tárcsát b-a magasságú, (b+a)/2 sugarú gyűrűalakú rúdnak tekintjük. A szuperpozíció tehát egy M nagyságú "sajátnyomaték" feszültségállapotának hozzáadásával módosítja az eredeti feszültségállapotot Ha (b+a)/2 >> (b-a), akkor N  megoszlása az elemi szilárdságtanban feltételezett lineáris feszültségmegoszláshoz közelálló. 2.2 Kör alakú áttörések és merev zárványok feszültségmódosító hatásai További fontos gyakorlati alkalmazására adnak lehetőséget a tárcsákon létesített áttörések, merev csővezeték-átvezetések stb. zavaró hatásának a vizsgálatában azok az analitikus tárcsamegoldások, amelyeket homogén feszültségállapotú végtelen tárcsán feltételezett kör alakú áttörés, ill. merev zárvány hatására vonatkozóan vezettek le Ezeket a megoldásoknak az előállítását viszonylag egyszerűvé teszi annak a tapasztalati ténynek a közvetlen figyelembevétele, hogy a

feszültségállapot érzékelhető zavarai csak a zavart okozó kör alakú áttörés vagy zárvány környezetében jelentkeznek, vagyis a zavartalan homogén feszültségállapottól való eltéréseket olyan függvények írják le, amelyek a kör középpontjában elhelyezett polárkoordinátarendszer polár-sugarának növekedésével a nullához tartanak. Gyakran felmerülő kérdés a tárcsák – pl. medencefalak, faltartó-szerű pincefalak stb – tervezésekor, hogy hogyan zavarja meg a szerkezet erőjátékát, ha azon valamilyen áttörést létesítünk, legtöbbször a keresztező vezetékek, szerkezeti elemek átvezetése céljából. Ennek a kérdésnek a tisztázásához az átvezetendő szerkezet jellegének és méreteinek a függvényében eltérő módszerek alkalmazhatók. Áttörésnek azokat az átvezetéseket nevezzük, anyag töltené ki, amelynek a teherviselésben játszott szerepétől teljesen el is tekinthetünk. Azt tételezhetjük tehát fel,

hogy az áttörés peremén kilépő tárcsa-igénybevételek nagysága zérus. Merev zárványnak azokat az átvezetéseket nevezzük amelyek úgy tekinthetők, mintha az átvezetés helyét az eredeti tárcsa merevségénél lényegesen merevebb anyag töltené ki, amelynek ezért a deformációi a környező tárcsa-deformációkhoz képest kicsinyek Az egyszerűség kedvéért azt tételezhetjük fel, hogy a zárvány abszolút merev. A gyakorlatban néha nehéz egy átvezetésről eldönteni, hogy az inkább az áttöréshez, vagy inkább a merev zárványhoz közelebb álló feszültségmódosulást okoz-e, ilyenkor a legbölcsebb mindkét szélsőséges esetre megvizsgálni a szerkezetet. Mind az áttörés, mind pedig a merev zárvány mindig feszültségkoncentrációt okoz, így elhelyezésénél törekednünk kell arra, hogy lehetőleg ne kerüljön feszültségkoncentráció, pl. koncentrált teher, ill. alátámasztás közelébe A feszültségkoncentráció általában

annál erősebb, minél kevésbé lekerekített az áttörés vagy merev zárvány alakja Vasbeton felületszerkezetekben a feszültségkoncentráció a repedések alacsony teherszinten történő megjelenését, acélszerkezetekben fokozott fáradásérzékenységet okoz. Ahol ez problémát jelent, törekedni kell olyan alak és merevség biztosítására, amely a feszültségek legkisebb koncentrációját okozza. Ezért alkalmaznak a fontos tartószerkezeti szerepű felületeken (pl tartók gerinclemezén, tartályok búvónyílásainál, repülőgépablakoknál stb) szinte mindig kör alakú, vagy erősen lekerekített áttöréseket, átvezetéseket Ugyancsak a feszültségnövekedés mérséklését szolgálják azok a merevítő keretek és átmeneti zónák, amelyeket az átvezetések körül ki szoktak alakítani. A vasbeton tárcsák vastagságánál kisebb méretű áttörés vagy merev zárvány hatásainak figyelembevételétől - hacsak nem valamilyen

feszültségkoncentráció helyén létesítik, - el lehet tekinteni. Azoknak az átvezetéseknek a vizsgálatánál, amelyek átmérője (ill. körtől különböző alakú átvezetésnél a befoglaló kör átmérője) lényegesen kisebb a tárcsa jellemző méreteinél, elfogadható az a feltételezés, hogy az átvezetés hatása csak lokálisan változtatja meg az áttörés figyelembevétele nélkül kiszámítható tárcsa-igénybevételeket. Ezt a módosító hatást ilyenkor azonosnak tekinthetjük azzal a módosító hatással, amelyet az átvezetés egy végtelen kiterjedésű tárcsán okozna ha az az átvezetés helyén az áttörés figyelembevétele nélkül számított metszeterőkkel jellemezhető homogén feszültségállapotban lenne. Az átvezetések feszültségmódosító hatásának lokális jellege miatt ezzel a módszerrel több átvezetés együttes hatása külön-külön vehető figyelembe, ha elegendően távol fekszenek egymástól. Az alábbi vizsgálat

szerint célszerű, ha ez a távolság a befoglaló kör átmérőjének legalább háromszorosa, de inkább ennél nagyobb. A 2. ábra az N x = konstans, N y = N xy = 0 homogén, egytengelyű feszültségállapotban lévő végtelen tárcsán létesített R sugarú áttörés okozta zavar jellemző diagramjait mutatja 2. ábra A metszeterő-rendszer nyilvánvalóan nem körszimmetrikus, ezért a meghatározásához az Airy-féle differenciálegyenlet általánosabb megoldásait kell használnunk. Szerencsés körülmény azonban, hogy a kör alakú zárvány peremén állítandó peremfeltételek maradéktalanul teljesíthetők, ha a differenciálegyenlet körszimmetrikus megoldásait a két legegyszerűbb kétszeres tükörszimmetriát mutató megoldásával kombináljuk. Ezek egyike egy konstans egytengelyű feszültségállapotot jelöl ki, a másik pedig olyat, amely a origótól (az áttörés középpontjától) távolodva zérushoz tart Az így kiegészített

feszültségfüggvény alapján az áttörési kör középpontjához rögzített, x kezdőirányú polár-koordináta rendszerben értelmezett metszeterők képletei – N-nel a zavartalan egytengelyű feszültségállapot x irányú metszeterőjét jelölve - az alábbiak:  R 2  4 R 2 3R 4   1  2  1  2  4  cos 2  , r r    r  2 4   3R  N R N   1  2  1  4  cos 2  , 2 r r    2 4 N 2R 3R  N r   1  2  4  sin 2 , 2 r r  ahol a képletek természetesen csak r > R esetre érvényesek. A képletek azt mutatják, hogy a zavar következtében fellépő legnagyobb metszeterő az eredetileg N nagyságú húzás háromszorosa, ami közvetlenül az áttörés határán lép fel, az egytengelyű húzásra merőleges átmérő végpontjaiban. a legnagyobb nyomás az erre merőleges átmérő végpontjaiban működik, értéke –N. Az egytengelyű

feszültségállapothoz tartozó zavar képletsora alapján a szuperpozició megfelelő alkalmazásával tetszőleges homogén feszültségi állapothoz meghatározhatjuk az áttörés okozta zavar képleteit. Az N metszet-erővel jellemzett hidrosztatikus feszültségállapotban lévő tárcsán létrejövő zavar képleteit két azonos főfeszültségű, egymásra merőleges egytengelyű feszültségállapot zavarainak egymásra halmozása adja. Ez a zavar nyilván körNr  N 2 szimmetrikus, ezért N rθ = 0, és a normál-metszeterők nem függhetnek θ-tól. Valóban, az egymásra halmozás eredményéül adódó képletekből kiesik a θ változó:  R2  N r  N 1  2  , r    R2  N   N 1  2  ; r   r > R. Természetesen ugyanerre az eredményre juthatunk az Airy-féle differenciálegyenlet körszimmetrikus megoldása alapján is. Legyen a zárvány sugara R, a kiinduló feszültségállapot főfeszültségei

pedig a zárvány középpontjában felvett polár-koordinátarendszerben értelmezett metszeterőket alkalmazva N r =N  =N. A kiinduló feszültségállapot módosításához a tárcsaegyenlet következő körszimmetrikus alapmegoldását alkalmazhatjuk: NR 2 Nr   2 , r NR 2 N  2 , r N r  0 , r  a. Ehhez a megoldáshoz az r  R sugarú köröknek r  NR 3 (1   ) Etr 2 megváltozása tartozik. A két megoldás Nr  N  Nr , N  N  N , N r  0 egymásra halmozásával olyan feszültségállapotot kapunk, amely valóban eleget tesz annak a feltételnek, hogy az abszolút lágy zárvány peremén kilépő metszeterők nagysága zérus. Ha most a megváltozott metszeterők képletei alapján a legnagyobb változás helyét és nagyságát vizsgáljuk, azt találjuk, hogy a zárvány peremén a gyűrűirányú metszeterő értéke a kétszeresére növekedett meg. A zárvány okozta zavar kiterjedésére vonatkozóan a

szuperponálandó metszeterők képlete ad tájékoztatást. Eszerint a zárvány peremétől két átmérőnyi távolságban a változás a peremen fellépő változás értékének már csak 4%-a A képletek azt mutatják, hogy hidrosztatikus feszültségállapot esetén a zavar következtében fellépő legnagyobb metszeterő az áttörés peremén működő gyűrűirányú metszeterő, amelynek értéke kétszerese a zavartalan állapotban fellépő metszeterőknek. Mindkét megoldás említésre méltó sajátsága az, hogy ha a legnagyobb metszeterő irányára merőleges vonal mentén összegezzük a normálfeszültségeket, ugyanakkora eredőt kapunk, mint az áttörés nélküli tárcsán. Ez szemléletesen úgy fogalmazható meg, hogy amennyiben a kiinduló N metszeterő húzás, a húzások felvételéhez a zavart állapotban ugyanannyi vasat kell a metszeten átvezetnünk, mint korábban, azaz a vasalás - legalább is elvben - kialakítható az áttörést keresztező

vasak "elhúzásával"(3. ábra): 3. ábra Ennek a problémának mintegy komplementere az a feladat, hogy hogyan zavarja meg a homogén feszültségállapotú végtelen tárcsa metszeterőit. Ezeket a metszeterőket annak a követelménynek a figyelembevételével lehet meghatározni, hogy a merev zárvány peremén az elmozdulásnak zérus értékűnek kell lennie. Mivel ez a feltétel nem közvetlenül a metszeterők nagyságára vonatkozó feltétel, a metszeterők képletébe belekerül a harántkontrakciós állandó is. Legyen tehát a kiinduló hidrosztatikus feszültségállapot az előbbivel azonos, amelyhez az r sugarú körnek Nr (1   ) r  Et nagyságú megváltozása tartozik. Az abszolút merev zárvány módosító hatását annak a követelménynek a teljesítésével vehetjük figyelembe, hogy az r = R helyen r = 0. Ez éppen teljesül, ha az előző esetben alkalmazott szuperpozició helyett a Nr  N  1  Nr , 1  N 

N  1  N , 1  N r  0 végeredményű szuperpoziciót alkalmazzuk. Ha a megváltozott metszeterők képletei alapján újból a legnagyobb változás helyét és nagyságát vizsgáljuk, azt találjuk, hogy a zárvány peremén a sugárirányú metszeterő értéke növekedett meg 2/(1+)-szörösére, a gyűrűirányú metszeterő viszont 2/(1+)-szörösére csökkent A zárvány okozta zavar kiterjedése a lágy zárványéhoz hasonló. 2.3 Ellipszis alakú áttörés és zárvány körüli feszültségkoncentráció A gyakorlat szempontjából is érdekes az ellipszis alakú áttörés vizsgálata, amelyet az analitikus megoldáshoz használt matematikai eszközök összetettsége miatt nem részletezhetünk, csupán a legfontosabb eredményt említjük: ha a tárcsán működő N főfeszültségű homogén egytengelyű feszültségállapot feszültségi főiránya egy ab tengelyű ellipszis a tengelyére merőleges (4.a ábra), akkor az

áttörés hatására kialakuló feszültségkoncentráció maximális feszültsége az a tengely végpontjában lép fel a nagysága pedig a  N max  N 1  2  . b  Ez az eredmény azért figyelemre méltó, mert azt mutatja, hogy minél laposabb az ellipszis, annál nagyobb a feszültségnövekedés, sőt, ha egy 2a hosszúságú bemetszést b=0 tengelyű ellipszis alakú áttörésnek tekintünk, a megoldás végtelen nagy feszültségkoncentrációt mutat a bemetszés végpontjaiban (4.b ábra) a. b. 4. ábra Hasonló módszerrel vezethető le a feszültségkoncentráció ellipszis alakú végtelen merev zárványok környezetében, és az eredmények ugyanolyan rokonságot mutatnak az áttörés körüli koncentrációval, mint köralakú zárvány, ill. áttörés esetében A bemetszések és zárványok környezetében fellépő feszültségkoncentráció képlékenyedő anyagok esetén sem hagyható figyelmen kívül, annak ellenére, hogy a

képlékenyedés határt szab a feszültségek növekedésének. Ennek a fáradás az oka A koncentráció helyétől kiinduló fáradási repedés előrehaladása önmagát fenntartó folyamat, mert a fentiek szerint a repedéscsúcs "viszi magával" a feszültségkoncentrációt Érdekes - és a gyakorlatban sokszor használt - módszer a fáradási repedés előrehaladásának a megállítására, hogy megfelelően választott átmérőjű lyukat fúrunk a repedéscsúcs helyére (b. ábra) Természetesen ez a lyuk is feszültségkoncentrációt okoz, de korántsem akkorát, mint amekkora a repedéscsúcson jelentkezik, és a csökkenés elegendő lehet a fáradási repedés megállítására. 3. A Boussinesq-féle megoldás és alkalmazásai A szilárdságtan klasszikus feladatmegoldásai között találhatunk jónéhány olyan feladatot, amelyek ugyan idealizált körülményere vonatkoznak, mégis jól használhatók a tárcsák jellegzetes feszültségeloszlásainak

szemléltetésére, így a numerikus vizsgálatok eredményeinek szemlélet alapján történő ellenőrzésére is. Kiemelkedően fontosak ezek közt a Boussinesq (1842-1929) által levezetett alapmegoldásból származtatott tárcsamegoldások. 3.1 A Boussinesq-féle alapmegoldás Ez a megoldás állandó vastagságú izotróp, rugalmas, peremükön koncentrált erővel terhelt tárcsákra vonatkozik. A megoldás a tárcsák Airy-féle differenciálegyenletének olyan ú.n szinguláris megoldása, amely a tárcsa szabad peremén zérus metszeterőket szolgáltat, kivéve az erő támadáspontját, ahol a metszeterők értéke a megoldás szerint végtelen nagy. 5. ábra A bonyolult levezetéssel, sőt, a feszültségfüggvény matematikai alakjával sem foglalkozunk, csak azt a feszültségállapotot adjuk meg, - egyelőre szóban, amelyet a megoldás kijelöl. Ez a következő: - sugaras feszültségállapot alakul ki, azaz az erő támadáspontjába helyezett

polárkoordinátarendszerben értelmezett metszeterő- komponensek közül csak N r különbözik zérustól, azaz N θ = N rθ = 0, - a sugarak mentén N r az origótól való távolsággal fordított arányban változik, - egy állandó polársugárral húzott kör mentén N r a polársugár és a koncentrált erő hatásvonala által bezárt szög koszinusza szerint változik. A feszültségállapot főfeszültségi trajektóriái az erő támadáspontjában metsződő egyenesek, ill. olyan koncentrikus körök, amelyek középpontja ugyancsak a támadáspont Ezek a jellemzők elegendőek ahhoz, hogy N r képletét a egy konstans polársugárhoz tartozó körívvel a tárcsából kivágott félkör alakú darab statikai egyensúlya alapján föl tudjuk írni: 2F Nr   cos , r ahol F a koncentrált peremerő nagyságát, r a polársugarat, θ a polárszöget jelöli, kezdőiránynak az F hatásvonalának irányát tekntve (1. ábra) A síkbeli feszültségállapot ismert

összefüggései alapján a Descartes-féle koordinátarendszerben értelmezett metszeterők képlete egyszerűen előállítható: Nx   2 F cos 2  sin  2F x2 y  ,   x 2  y 2 2 r Ny   2F N xy   2F   x y3 2 x  y2 xy 2 2  y2  2  2 , , ahol x tengely a tárcsa peremének egyenese, y tengely pedig az erő hatásvonala, vagyis az origó az erő támadáspontjában van. Ennek a megoldásnak megvan az a fontos - és egyáltalán nem magától értetődő - tulajdonsága, hogy formailag változatlan marad, ha a félvégtelen tárcsának az ábrán vízszintes határoló vonalát – az erő hatásvonalát és a koordinátarendszert változatlanul hagyva – tetszőleges szöggel elforgatjuk az erő támadáspontja körül (2. ábra) 6. ábra Ennek a tulajdonságnak a figyelembevételével a megoldás alapján a szuperpozició elvén meg lehet határozni egy félvégtelen tárcsa metszeterőit a peremen

működő tetszőleges számú, tetszőleges irányú koncentrált erőből álló teherrendszer esetén. (A szuperpozicióhoz természetesen az szükséges, hogy előbb az egymásra halmozandó sugaras feszültségállapotokat előbb egy globális koordinátarendszerben értelmezett metszeterő-komponensekkel fejezzük ki a Boussinesq-féle alapmegoldások lokális koordinátarendszereiben értelmezett képetekkel N r főfeszültségek alapján. Ez a globális rendszer kézenfekvően olyan Descartes-féle koordinátarendszer, amelynek egyik tengelye a félsík határvonala.) 3.2 "Darabolással" származtatott további megoldások További fontos tulajdonsága a Boussinesq-féle alapmegoldásnak, hogy a feszültségállapot lehetővé teszi a félvégtelen tárcsa "feldarabolását" a támadásponton átmenő sugarak mentén, anélkül, hogy a darabokon belül a feszültségállapotot módosítanunk kellene, csupán a darabolással kialakuló sarokpontban működő

erő nagyságát kell a konstans nagyságú polársugárhoz tartozó tárcsadarab egyensúlyának követelménye szerint megállapítani. Ha pl. az előző ábrán szereplő tárcsát egy függőleges sugár mentén kettévágjuk, (7 ábra) a Boussinesq-megoldás változatlan formában olyan derékszögű szöglet feszültségállapotát írja le, amelynek a sarokpontjában az F/2 nagyságú függőleges erőn kívül – az r = konstans körívvel kivágott tárcsadarab egyensúlya alapján – egy F/2π nagyságú vízszintes erő is működik: 7. ábra Ebből a megoldásból és a szöglet 45o-os szögfelezőre vonatkozó tükörképéből megfelelő szorzótényezők alkalmazásával a szuperpozíció elvén előallítható a vízszintes, ill. a függőleges sarokerővel terhelt szöglet metszeterő-eloszlása. Hasonló darabolással tetszőleges nyílásszögű, a csúcspontjában tetszőleges irányú erővel terhelt ék metszeterői is előállíthatók. Figyelemre méltó,

hogy ezeknek a feszültségállapotoknak mindegyike sugaras feszültségállapot A Boussinesq-féle megoldás meglepő alkalmazása a következő. Halmozzuk egymásra az alapmegoldást és annak a tárcsa határvonalától R távolságra fekvő párhuzamos tengelyre vonatkozó tükörképét (8a ábra) a b 8. ábra Az így adódó feszültségállapot a két megoldás közös értelmezési tartományában már nem sugaras feszültségállapot. Meg lehet azonban mutatni, hogy az összegzett feszültségállapotot létrehozó két erő támadáspontját összekötő R sugarú kör kerülete mentén vett metszeten olyan metszeterő működik, amelyek csúsztató komponense zérus, normálirányú komponense pedig konstans 2F/Rπ nagyságú nyomás. Ha tehát a két Boussinesq megoldás szuperponált feszültségállapotát kiegészítjük egy 2F/Rπ nagyságú hidrosztatikus húzással, a kimetszett körtartomány peremén a metszeterők eltűnnek, vagyis az eredő feszültségállapot

egy átmérője két végpontjában egy-egy ellentétes irányú, F nagyságú erővel terhelt, szabad peremű körtárcsa (8.b ábra) metszeterő-rendszere lesz A támadáspontokat összekötő átmérő mentén vett metszeten a Boussinesq megoldások zérus metszeterőt adnak, így az eredő metszeterő-rendeszerben ezen a metszeten csak a harmadik komponensnek, a hidrosztatikus húzásnak megfelelő konstans 2F/Rπ nagyságú húzás jelentkezik. (Ehhez hasonló feszültségállapot alakul ki egy átellenes alkotói mentén élteherrel terhelt hengerben, ez teszi lehetővé azt, hogy a beton húzószilárdságának meghatározására közvetlen törővizsgálatot végezzenek a henger próbatesteken.) A Boussinesq-féle alapmegoldások egymásra halmozásában szereplő szummázások határátmenetben határozott integrálokba vihetők át, ez lehetőséget ad arra, hogy a tetszőleges peremteherrel terhelt févégtelen tárcsák metszeterőinek képletét határozott integrálok

formájában adjuk meg. Speciális eloszlású peremterhek esetén ezeknek a határozott integráloknak az értéke képletszerűen is felírható, más esetekben numerikus integrálással számítható ki. Irodalom Girkmann, K.: Flächentragwerke Springer, Wien 1959 Palotás L.: Mérnöki Kézikönyv 2 kötet, Műszaki Könyvkiadó, Bp 1982