Architecture | Higher education » Rugalmas ágyazás

Rugalmas ágyazás Talajon felfekvő lemezek A talaj és a szerkezet kölcsönhatását a talajjal érintkező felületen fellépő feszültségek leírásával modellezzük. Ezeket a feszültségeket a szerkezet szempontjából felületi terheknek tekinthetjük. Szokás ezeket a terheket ún aktív földterhekre és reaktív földterhekre bontani Aktív földterheknek azokat tekintjük, amelyeket a szerkezet elkülönített vizsgálata során a szokásos – állandó vagy esetleges – terhekhez hasonlóan kezelhetünk, reaktív földterheknek pedig azokat, amelyek kezelése a támaszreakciókhoz hasonló. Szemléletesen fogalmazva az aktív földterhek abból a kölcsönhatásból adódnak, hogy a föld a szerkezetre támaszkodik, reaktív földterhek pedig abból, hogy a szerkezet a földre támaszkodik. Egyes feladatokban – pl egy medence falain és fenéklemezén fellépő feszültségek esetén - ez a felbontás teljesen magától értetődő, más feladatokban – pl egy

csővezetékre ható földterhek esetén – komoly nehézségekbe ütközhet. (Ennek az „aktívnak” és „reaktívnak” nem sok köze van a földnyomások elméletében használt „aktív” és „passzív” Rankine-állapothoz, mert a feszültségeket általában nem a Rankine-állapot feltételezésével számítjuk.) A talajra fölfekvő lemezek vizsgálatánál a lemezre ható földterhek nyilvánvalóan reaktív terhek, amelyeket a legtöbb vizsgálat a lemez felületére merőleges irányú teherként vesz figyelembe. Ez közelítés, mert a valóságban a talaj és a szerkezet közt nyíró feszültség is felléphet, de a nyírófeszültségek hatása általában nem jelentős. Azokat a rugalmas lemezeket, amelyek közvetlenül a talajra fekszenek föl, az egyszerűség kedvéért úgy szoktuk vizsgálni, hogy olyan alátámasztásuk van, amely maga is rugalmas viselkedésű. Ez persze a talajok viselkedésének nagyon erős idealizálását jelenti, ezért a lemez

igénybevételeinek vizsgálatánál nagy körültekintéssel kell a valóságos megtámasztási viszonyokat mérlegelnünk. Ebben a fejezetben a célunk nem a talajok rugalmastól eltérő viselkedésének a taglalása, csupán annak az áttekintése, hogy milyen egyszerű lehetőség van arra, hogy a folytonos megtámasztásnak a lemez alakváltozásaitól függő hatását a mechanikai modellbe beépíthessük. A Winkler-féle rugalmas ágyazású lemezek differenciálegyenlete A gyakorlatban leginkább elterjedt módszer az E. Winkler német mérnök (18351888) által eredetileg gerendák vizsgálatára javasolt (Brückenbau, 1867) később H Hertz (1857-1894) által lemezekre is kiterjesztett (1884.) ún rugalmas ágyazás módszere Ez az eljárás azon a feltételezésen alapul, hogy a lemez síkjára merőleges p felületi teherrel terhelt lemezre a felfekvési felületen ugyancsak a lemez síkjára merőleges q megoszló ágyazati reakció hat, amely minden pontban arányos az

ottani lemezlehajlással, de iránya azzal ellentétes. (Ez persze nagyon erős idealizálása a talaj és a lemez kölcsönhatásának azon túl is, hogy lemond a "távolhatások" figyelembevételétől, hiszen a talaj és a lemez közti súrlódás miatt nyírófeszültségek is felléphetnek, amelyek a normálfeszültségek eloszlására is befolyással lehetnek.) A lemezben hajítást okozó teher minden pontban a p felületi teher és a q ágyazási reakció p-q különbsége, azaz ha az ágyazati feszültség és a lehajlás arányát egy C-vel jelölt ú.n ágyazási tényezővel vesszük fel, egy p-Cw nagyságú teher Ennek megfelelően 1 az állandó vastagságú izotróp lemezek kis lehajlásainak jól ismert differenciálegyenlete az alábbiak szerint módosul: Kw  p  Cw, vagy az ismeretlen lehajlást tartalmazó tagokat az egyenlet bal oldalán csoportosítva Kw  Cw  p . A Winkler-féle ágyazás feltételezésének nagy előnye, hogy

az eredeti differenciálegyenlet láthatóan csekély módosításával figyelembe vehető a rugalmas megtámasztás hatása. Nem szabad azonban szem elől téveszteni, hogy C nem egyszerű talajfizikai állandó, hanem olyan szám, amelyet a talajfizikai jellemzők és a vizsgált lemez méretének, arányainak együttes mérlegelése alapján kell felvenni. Ennek a fejezetnek a végén megadjuk egy rugalmas féltér felszínének egy körfelületen működő F erő hatására bekövetkező elmozdulását, és a vizsgálat kapcsán megmutatjuk, hogy a féltér terhelt felületének elmozdulása alapján „visszaszámítható” egy C ágyazási tényező, amelyhez a Winkler-féle ágyazáson fekvő körfelületnek ugyanekkora elmozdulása tartozik, amekkorát a féltér vizsgálatával kaphatunk. Ez a tényező egyenesen arányos a talaj E s összenyomódási modulusával és fordítva arányos a vizsgált kör sugarával. Hasonló vizsgálatokon alapul az alábbi javaslat, amely

több helyen olvasható C felvételére: E C=f s , b ahol E s az altalaj összenyomódási modulusa, b a terhelt tartomány jellemző szélessége, f pedig a tartomány alakjának figyelembevételével felvett szorzó. Téglalap alaprajz esetén f a b szélesség és h hosszúság arányától függ. Értéke b/h  1 (azaz hosszú sávok) esetén 2.0, b/h1 esetén 15 Kör alaprajz esetén - b helyett az átmérőt használva- f= 4/ Néhány talaj jellemző összenyomódási modulusa 106 N/m2-ben: - szilárd (pl. kiscelli) agyag 15-2, 2-4, - agyagos iszap 3-5, - homokliszt, lösz 5-10, - homok 10-15, - kavicsos homok 20-30. - durva kavics A fenti értékek természetes tömörödésű talajokra vonatkoznak, mesterséges tömörítés esetén ezeknek az értékeknek csak a töredéke (Tr γ = 95% esetén kb. a fele, Tr γ = 90% esetén kb az ötöde) vehető figyelembe A humusz- ill szervesanyag tartalom szintén nagyságrenddel csökkentheti E s értékét, ezért ilyen

talajok alapozásra alkalmatlanok A rugalmas ágyazás hatásának figyelembevételével módosított differenciálegyenlet peremfeltételeit ugyanazokkal a megfontolásokkal vehetjük fel, mint az ágyazatlan lemezek esetén. A differenciálegyenlet megoldására is jórészt azok a megoldásmódszerek alkalmazhatók, amelyeket ágyazatlan lemezek esetére kidolgoztak A négy peremén szabadon feltámaszkodó téglalaplemez Navier-féle megoldását adó kettős trigonometrikus sor együtthatói pl. egyetlen, az együttható nevezőjébe kerülő tag elhelyezésével átírhatók a rugalmas ágyazású lemez megoldásává, (ilyen peremkialakítású alaplemezt persze elég nehéz a valóságban találni,) a numerikus modellek w-re vo- 2 natkozó lineáris egyenletrendszerének együtthatómátrixa is egy egyszerű diagonálmátrix hozzáadásával átírható a rugalmas ágyazású lemez hasonló szerepű mátrixává, stb. A két differenciálegyenlet hasonlósága ellenére

lényegi eltérések is vannak e differenciálegyenletek megoldásaiban, sőt a megoldhatóságában is. Az eltérés alapvető oka az, hogy az ágyazási reakció akkor is biztosítja a lemezre ható erők egyensúlyát, ha a peremeken sehol nem írunk elő mozgáskorlátozást, ezért – szemben az ágyazatlan lemezekkel - a rugalmas ágyazású lemez lehajlásaira vonatkozó differenciálegyenletnek minden mechanikailag értelmezhető peremfeltétel-rendszer esetén matematikailag határozott megoldása van. A rugalmas ágyazás Winkler-féle modellje további ágyazási tényezők bevezetésével kiegészíthető a terhelt felület elfordulását akadályozó hatás figyelembevételével is. (Filomenko-Borodich-féle, Pasternak-féle stb. modell) Ez a kiegészítés a rugalmas ágyazású lemez differenciálegyenletének csupán egy C M w alakú taggal való bővítését igényli, ahol C M az ún nyomatéki ágyazási tényező A differenciálegyenlet ilyen bővítése

viszonylag egyszerűen figyelembe vehető a megoldáshoz használt analitikus és numerikus módszerekben, ennek ellenére a több ágyazási tényezőt alkalmazó modellek használata a gyakorlatban nem terjedt el. „Egyirányban teherviselő” rugalmas ágyazású lemezek A rugalmasan ágyazott lemezek vizsgálatánál is nagyon hasznos végiggondolni, milyen egyszerűsítést tesz lehetővé az „egyirányban teherviselő” lemezeknél alkalmazott feltételezés, azaz hogy a terhek és a lemez alakváltozásai a lemez túlnyomó részén az x,y koordinátarendszernek csak az egyik változójától függnek. Ha ez az x irány, (vagyis az y "inaktív" változója az eredeti problémának,) akkor a csak x-től függő w(x) lehajlás differenciálegyenlete a rugalmas ágyazású gerendákéval analóg d 4w K 4  Cw  p dx közönséges differenciálegyenletté egyszerűsödik, amelyhez a lemeznek az y tengellyel párhuzamos peremein két-két peremfeltételt kell

kapcsolnunk. (Az ilyen megoldásoknak sokkal több gyakorlati alkalmazása van, mint amennyit az erős egyszerűsítésnek hangzó feltételezés alapján remélhetnénk. Erre az egyszerűsített megoldásnak a "pontos" megoldás esetén is megfigyelhető sajátságai adnak magyarázatot) Foglalkozzunk tehát az egyszerűsített differenciálegyenlet megoldásával. A legtöbb gyakorlati problémánál egyszerű olyan függvényt találni, amely kielégíti ezt a differenciálegyenletet, de olyat, amely egyszersmind a peremfeltételeket is teljesíti, sokkal ritkábban találunk. A teljes megoldást ezért a lineáris differenciálegyenletek elméletében megismert módon w = w inh + w hom alakban, azaz az inhomogén differenciálegyenlet egy partikuláris megoldásának és a homogén egyenlet általános megoldásának összegeként állíthatjuk elő. Az inhomogén partikuláris megoldás biztosítja azt, hogy maga a differenciálegyenlet teljesüljön, a homogén

megoldások ezt „nem rontják el”, viszont lehetőséget adnak arra, hogy a teljes megoldás a peremfeltételeket is kielégíthesse. Az inhomogén partikuláris megoldás 3 A differenciálegyenlet inhomogén partikuláris megoldását a legtöbb problémánál viszonylag egyszerű "kitalálni". Egyszerű behelyettesítéssel ellenőrizhetjük pl, hogy ha p konstans, vagy x-nek legfeljebb harmadfokú függvénye, akkor a a p w inh = , C inhomogén partikuláris megoldása a differenciálegyenletnek. Ez a "függvénycsalád" önmagában egy seregnyi feladat inhomogén partikuláris megoldásának előállítására alkalmazható p(x) w(x) Egyenletesen megoszló, vagy lineárisan változó teher esetén a w inh a lemez olyan merevtest-szerű elmozdulását írja le, amelynek során a lemezben sem nyomaték, sem nyíróerő nem keletkezik, vagyis a terhek változatlan eloszlással jutnak a rugalmas ágyazatra. Általánosabb eloszlású terhekhez tartozó

inhomogén partikuláris megoldások előállítására használhatók a trigonometrikus függvények. Egyszerű behelyettesítéssel meggyőződhetünk ugyanis arról, hogy az l szélességű lemezen p(x)=p n sin(nx/l) eloszlást mutató teherfüggvényhez a pn nx w inh = sin 4 4 l n CK 4 l inhomogén partikuláris megoldás választható. p(x) w(x) Ezt az összefüggést tagonként alkalmazva tetszőleges alakú p(x) tehereloszlás esetén is találhatunk inhomogén partikuláris megoldást oly módon, hogy a teherfüggvényt Fourier-sorba fejtjük: 4 pn nx sin . 4 4 l n CK 4 l Ez a megoldás a peremfeltételeket is kielégíti, ha a két perem mozdulatlan csuklósorhoz csatlakozik, ettől eltérő peremkialakítás esetén azonban ki kell egészíteni a homogén differenciálegyenlet megfelelően választott megoldásával. Koncentrált (vonal)terhekhez a végtelen hosszú rugalmas ágyazású gerenda lehajlási hatásfüggvényének a felhasználásával

adhatunk inhomogén partikuláris megoldást. Ilyen hatásfüggvényt a homogén megoldások alapján konstruálhatunk, a következő szakaszban bemutatott módon. p(x)= p n sin nx , l  w inh =  A homogén általános megoldás A homogén általános megoldást a w=ex exponenciális próbafüggvény alapján felírt K4+C = 0 hiányos negyedfokú karakterisztikus egyenlet megoldása útján állíthatjuk elő: w hom = C 1 e-kxcos(kx)+ C 2 e-kxsin(kx)+ C 3 ekxcos(kx)+ C 4 ekxsin(kx), ahol C 4K a csillapítási tényezőnek nevezett paraméter. A csillapítási tényező nem egységdimenziójú szám, dimenziója alapján egy hosszúság reciprokának fogható fel A homogén általános megoldás mind a négy függvénye exponenciálisan változó amplitúdójú hullámvonalat ír le, az első kettő olyat, amely x növekvő értékei irányában, a harmadik és negyedik olyat, amely x csökkenő értékei irányában mutat erős csillapodást. A 0  x  l

tartományban fekvő lemezsáv vizsgálatához célszerűbb a homogén általános megoldást k4 w hom = C 1 e-kxcos(kx)+ C 2 e-kxsin(kx)+ C 3 e–k(l-x)cos[k (l-x)]+ C 4 e–k(l-x)sin[k (l-x)] alakban felvenni, mert ekkor a második függvény-pár által leírt hullámvonalak az x=l peremtől az x=0 perem felé ugyanolyan csillapodást mutatnak, amilyet az első függvénypár által leírt hullámvonalak az x=0 peremtől az x=l perem felé, így a függvények viselkedése a peremeknél jellegzetesen elkülönül. A megoldás-komponensek szétválaszthatóságának a mechanikai értelmezése az, hogy a széles lemezsávokon a peremkényszerek hatása lokális, azaz peremzavar-jellegű, mivel csak a perem korlátozott szélességű sávjában módosítja figyelembe veendő mértékben a w inh partikuláris megoldás által leírt alakváltozást és igénybevételeket. A peremzavar által érintett sáv szélességére vonatkozóan a k tényező reciproka ad tájékoztatást. Ez

egy távolság, amely összemérhető a peremek l távolságával. A két távolság arányát a kl szorzat adja Ha kl1, (a gyakorlati számításokban kl  6) az erős csillapodás miatt az x=0 helytől induló hullámzás az x=l perem környezetéig már teljesen elcseng, ugyanígy x=l helytől induló hullámzás hatása már figyelmen kívül hagyható az x=0 perem környezetében. Ilyenkor a lemezt a vizsgálat szempontjából széles lemezsávnak tekinthetjük. Ez annyiban egyszerűsíti a vizsgálatot, hogy az x=0 peremen állítandó peremfeltételeket elegendő a 5 w hom  C 1 e-kxcos(kx)+ C 2 e-kxsin(kx), részmegoldásra, az x=l peremen állítandó peremfeltételeket pedig a w hom  C 3 e–k(l-x)cos[k (l-x)]+ C 4 e–k(l-x)sin[k (l-x)] részmegoldásra értelmezni. Természetesen a lemeznek azokon a helyein, amelyek mindkét peremtől nagyobb d távolságban fekszenek, mint 6/k, semmi értelme sincs annak, hogy a teljes megoldást az inhomogén

partikuláris megoldástól különbözőnek tekintsük, sőt, a gyakorlatban legtöbbször elég az 1/k hossz 2-3-szorosát a peremzavar által érintett zónának tekinteni. 1= cos kx e-kx 2= sin kx e-kx 3= cos kx e-kx+ sin kx e-kx  4= cos kx e-kx - sin kx e-kx A homogén megoldások gyakorlati alkalmazását tetemesen megkönnyíti az egyszerű alakú megoldástípusok mechanikai értelmezése. Ennek érdekében be szokták vezetni az ábrán látható típusmegoldásokat Az  1 típusmegoldás egy félvégtelen lemezsáv olyan lehajlását adja, amely a peremen egységnyi nagyságú eltolódást okozó peremerőhöz tartozik. Ennek a peremerőnek a nagysága közvetlenül visszaszámítható abból a megfontolásból, hogy a nyíróerő értéke a peremen pontosan a peremteher értékével azonos. képezve tehát a lehajlásfüggvény harmadik deriváltjának a felhasználásával a nyíróerő peremértékét, azt kapjuk, hogy a típusmegoldáshoz tartozó

peremerő nagysága H=2Kk3 Az  2 típusmegoldás a lemezsáv olyan lehajlását adja, amely a csuklósnak feltételezett peremen működő, egységnyi nagyságú elfordulást okozó peremnyomatékhoz tartozik. A visszaszámolt peremnyomaték és peremnyíróerő nagysága M=2Kk2, ill H=2Kk3 Az  3 típusmegoldás a lemezsáv olyan lehajlását adja, amely a befogottnak feltételezett egységnyi eltolódásakor jön létre. A visszaszámolt peremnyomaték és peremnyíróerő nagysága M=2Kk2, ill. H=4Kk3 Az  4 típusmegoldás a lemezsáv olyan lehajlását adja, amely a szabad feltételezett peremen működő, egységnyi nagyságú elfordulást okozó peremnyomatékhoz tartozik. A visszaszámolt peremnyomaték értéke M=2Kk2 , a peremnyíróerő természetesen zérus. 6 A félreértések elkerülése céljából nem árt hangsúlyozni, hogy az  1 - 4 függvények nem alkotják a homogén megoldások teljes rendszerét, hiszen itt nem négy lineárisan független

megoldásról van szó. Ha az  3 típusmegoldást tükrözzük az x=0 pontra, majd egyesítjük a két függvényt, ez a végtelen kiterjedésű lemez olyan lehajlásfüggvényét írja le, amelyet az x=0 vonalon működő F=8Kk3 intenzitású vonalteher kelt. F= 8Kk3 1 Ebből a függvényből egyszerűen lehet lehajlási hatásfüggvényként is értelmezhető függvényt származtatni, hiszen ha a lehajlás-ordinátákat 8Kk3-val osztjuk, az egységnyi intenzitású vonalteherhez tartozó lehajlások diagramját kapjuk, ami a hatásábrák kinematikai úton történő előállításának elvén az x=0 vonalon fekvő pontoknak az y tengellyel párhuzamos vonalterhekre vonatkozó lehajlási hatásábrája. Ezt a hatásábrát használhatjuk a koncentrált (vonal)terhekhez tartozó inhomogén partikuláris megoldások előállítására. A hatásábra lehetőséget ad arra is, hogy x tetszőleges p(x) függvénye szerint változó felületi teherhez a w inh inhomogén partikuláris

megoldást integrál alakban előállíthassuk. A lehajlási hatásábrához hasonló módszerrel állíthatjuk elő az  4 típusmegoldás és tükörképe egyesítésével a lemez sávterhelésekre vonatkozó nyomatéki hatásábráját, az  1 típusmegoldás felhasználásával pedig a nyíróerő-hatásábrát. Ennek további részleteivel most nem foglalkozunk. A peremfeltételeknek eleget tevő megoldás előállítása Az inhomogén partikuláris megoldás és a homogén általános megoldás birtokában a differenciálegyenlet teljes megoldását úgy állítjuk elő, hogy - a két megoldáskomponens összegéből képzett inhomogén általános megoldásban szereplő C 1 , C 2 , C 3 , C 4 konstansokat egyelőre szabadon fölvehető értéknek tekintve - behelyettesítjük azt a peremfeltételi egyenletekbe. Ezáltal a négy konstansra vonatkozóan négy lineáris algebrai egyenletből álló egyenletrendszert kapunk. Ennek megoldása a C 1 , C 2 , C 3 , C 4 konstansok

azon értékeit szolgáltatja, amelyeket az általános megoldásba visszahelyettesítve a peremfeltételeket is kielégítő megoldás adódik Széles lemezsáv esetén már a peremfeltételi egyenletek felírásánál kihasználhatjuk azt a tényt, hogy a "túloldalról" induló elcsengő függvények elhanyagolható mértékben befolyásolják az "innenső" peremen a lehajlásfüggvény és a deriváltak értékét, amiből az következik, hogy két egyenletben a C 3 és a C 4 , másik kettőben a C 1 és a C 2 együtthatói elhanyagolhatóan kicsinyek lesznek. Ezeket az együtthatókat "ab ovo" zérusnak felvéve, a négy ismeretlenes egyenletrendszer két ismeretlenes egyenletpárokra bomlik. Körszimmetrikus teherrel, ill. koncentrált erővel terhelt körlemez 7 A bevezetőben említetthez hasonló általánosításra alkalmas eredményt ad azoknak a koncentrált erővel terhelt nagy kiterjedésű lemezeknek a vizsgálata, amelyeknél a

koncentrált teher a lemez belső tartományában hat, lényegesen távolabb a peremektől, mint a hajlítási merevség és az ágyazási tényező alapján képzett l0  4 K C ú.n karakterisztikus hosszúság (A továbbiakban látni fogjuk, hogy ez a hosszúság a megoldásfüggvények alakulásában meghatározó szerepet tölt be.) Ilyenkor az adódik, hogy az erő támadáspontjától távoli peremeken az elmozdulások és az igénybevételek elhanyagolhatóan kicsinyek, azaz a koncentrált erő környezetének a vizsgálata a peremfeltételek figyelembevétele nélkül, pl. végtelen nagy kiterjedésű lemez feltételezésével végezhető. Mivel a vasbeton alaplemezek esetén gyakran ez a helyzet, komoly gyakorlati haszna van a koncentrált erővel terhelt végtelen kiterjedésű lemez megoldásának, amelyet alapmegoldásként kezelve, a szuperpozició elvén egy sereg fontos gyakorlati probléma megoldására fel tudunk használni. Ezt az alapmegoldást a rugalmasan

ágyazott kör- és körgyűrű alakú lemezek megoldásai alapján lehet előállítani a külső körsugár minden határon túli növelésével. A rugalmas ágyazású kör- és körgyűrű alakú lemezek megoldásait célszerű hengerkoordináták alkalmazásával vizsgálni. Körszimmetrikus terhek és megtámasztás esetén ugyanis az alakváltozások és az igénybevételek csak a henger-koordinátarendszer r változójának függvényei, ezért a lehajásfüggvény 2  2 1  1 2   wr ,   Cwr ,    pr ,  K  2   r r r 2  2   r parciális differenciálegyenlete az alábbi közönséges differenciálegyenletté egyszerűsödik: 2  d2 1 d   wr   Cwr   pr  . K  2  r dr   dr Ennek az inhomogén differenciálegyenletnek az általános megoldása is w ált = w inh + w hom alakban állítható elő, ahol w inh a differenciálegyenlet egy partikuláris

megoldása, w hom pedig a homogén általános megoldás. Az inhomogén partikuláris megoldás Olyan partikuláris megoldást, amelytől nem kívánjuk meg, hogy a differenciálegyenlet peremfeltételeit is kielégítse, általában egyszerűen találhatunk körlemezeknél is. A feladatokban legtöbbször egyeneletesen megoszló p teherrel terhelt körlemez, ill. a pereme mentén egyenletesen megoszló vonalteherrel terhelt lemez fordul elő A teljes felületén konstans felületi teherrel terhelt lemeznél az inhomogén partikuláris megoldás a p w inh = C 8 merevtest-szerű elmozdulás. Azokat a lemezeket, amelyeket nem a teljes területén, hanem csak egy belső körtartományban terhel egyenletesen megoszló p teher, a terhelt terület határvonalán két részre bonthatjuk, és a teljes megoldást a két lemezrészre külön vehetjük fel Ekkor a belső körlemezre vonatkozóan a w inh a fenti merevtest-szerű elmozdulás, a külső körgyűrű alakú lemezrészre pedig w

inh = 0 A teljes megoldásnak tartományonként történő előállítását alkalmazhatjuk az r változó szerint lépcsősen változó körszimmetrikus teher figyelembevételére is, természetesen azon az áron, hogy minden tartományhatáron illesztenünk kell egymáshoz a megoldásfüggvényeket A peremén egyenletesen megoszló vonalteherrel terhelt lemez esetén w inh = 0, mert a felület terheletlen, a peremterhet pedig a homogén megoldás megfelelő felvételével lehet figyelembe venni. Ugyancsak a homogén megoldásban vehető figyelembe a körlemez középpontjában működő koncentrált erő hatása. A homogén általános (körszimmetrikus) megoldás A közönséges differenciálegyenleteknél használt értelmezés szerinti homogén általános megoldásról csak forgásszimmetrikus terhelés és megtámasztás esetén beszélhetünk. A körszimmetrikus terhelésű rugalmas ágyazású körlemezekre vonatkozó megoldás H. Hertztől származik, aki eredetileg ezt a

problémát a vízen úszó jégtáblák terhelhetőségével kapcsolatban vetette fel Könnyű belátni, hogy a felületi teher hatására meggörbülő jégtáblákra a behajlás arányában megváltozó helyi felhajtóerő hat, ezért az úszó jégtábla alakváltozásának számítására alkalmas számítási modell jó közelítéssel azonos a rugalmasan ágyazott lemezek számítási modelljével. Egyszerű teherelrendezések esetén általában könnyű a differenciálegyenletet kielégítő w inh inhomogén partikuláris megoldást találni, de ez a megoldás általában nem elégíti ki a peremfeltételeket. A w hom homogén általános megoldásban szereplő szabad paramétereket úgy kell felvennünk, hogy a w = w inh + w hom teljes megoldás ezeket is kielégítse. Ezek a peremfeltételek a peremen fellépő igénybevételekre vagy az itt alkalmazott mozgáskényszerekre vonatkoznak A homogén megoldásban szereplő függvények tehát mind olyanok, amelyek önmagukban a

peremen alkalmazott ún. peremterhek vagy terhelő mozgások hatására fellépő alakváltozásokat írnak le Az egyenes peremű rugalmas ágyazású lemezek vizsgálatánál úgy találhattuk, hogy a peremterhek és a kényszerített permmozgások hatása viszonylag korlátozott Nagy kiterjedés körlemezek esetén hasonló a helyzet, ezért ezeket a „korrekció-jellegű lehajlás-komponenseket gyakran peremzavaroknak is szoktuk nevezni A körlemezekre vonatkozó homogén megoldások előállításának matematikai részletezését itt mellőzzük, csupán megemlítjük, hogy forgásszimmetrikus teher és megtámasztás esetén a nulladrendű Bessel-féle függvényekből származtatott ú.n nulladrendű Thomson-féle függvények segítségével (lásd pl. Márkus Gyula: Körszimmetrikus szerkezetek elmélete és számítása, 1966) matematikai értelemben teljes homogén általános megoldás állítható elő, általánosabb terhelési esetben a magasabb rendű Thomson-féle

függvények (lásd pl. Jahnke-Emde-Lösch: Tafeln höherer Funktionen, 1966) alkalmazásával függvénysor formájában állítható elő a homogén megoldás Forgásszimmetrikus feladatoknál a teljes homogén megoldás: whom  C1 ber  x   C 2 bei x   C 3 kei x   C 4 ker  x  , 9 ahol ber(x) és bei(x) az ú.n elsőfajú kei(x) és ker(x) a másodfajú, nulladrendű Thomsonféle függvények, amelyek független változója x r l0 , l 0 pedig a korábban már bevezetett karakterisztikus hosszúság. A nulladrendű Thomson-féle függvények másféle műszaki számításokban is gyakran szerephez jutnak, hasznos ezért, ha megismerkedünk néhány alapvető tulajdonságukkal. Magukat a függvényértékeket az alábbi egyszerűen programozható konvergens hatványsorok alkalmazásával számíthatjuk ki: ber  x   1  bei x   ker  x    4 kei x    bei x    4 x4 x8 x12  

 2 4 2!2 28 4!2 212 6!2 x2 x6 x10    2 21!2 2 6 3!2 210 5!2 ln  x  x4 ber  x   4 2 2 2 2! 1 x8  1 n 28 4!2 1 x12  1 n 212 6!2 ln  x  x2 bei x   2 2 2 2 1! 1 x6  1 n 2 6 3!2 1 x10  1 n 210 5!2 ber  x   2 1 4 3 6 1  n  1 5 1  n  , 1 ahol  = 0.577215 az Euler-féle állandó A Thomson-féle függvények táblázatai megtalálhatók Márkus Gyula említett könyvében, amely tartalmazza a rugalmas ágyazású kör- és körgyűrűlemezek részletes tárgyalását is. Ugyanitt fellelhetők a függvények első deriváltjai ber’(x), bei’(x), kei’(x) és ker’(x) is. Ezekre a peremelfordulások, a nyomatékok kiszámításánál van szükség A magasabb deriváltak alkalmazásához nincsen szükség további táblázatokra, mert ezek kiszámítására rekurzív formulák vezethetők le az alábbi összefüggések alapján: 1 ber"  x    bei x

  ber  x  x 1 bei"  x  ber  x   bei  x  x 1 ker"  x    kei x   ker  x  x 1 kei"  x  ker  x   kei  x  x Az x = 0 környékén ker” és kei” végtelenhez tart. Kicsiny, x << 1 értékekre: 10 x2 x4 bei x   ber  x   1  4 64  x2   x   x  ker  x    ln  kei x     ln  4 4  2   2  ezek a „b”-s függvényeknél láthatólag a definiáló hatványsor első tagjai, a „k”-s függvényeknél pedig a nullaponti szingularitást hordozó függvényösszetevők. Nagyon nagy, x >>1 értékekre mind a ber(x), bei(x), mind a kei(x) és ker(x) függvény exponenciális és trigonometrikus függvények szorzatából előálló ún. aszimptotikus függvényekkel közelíthető. Ezek az aszimptotikus függvények az egyenes peremű félvégtelen lemezekre vonatkozó megoldások

analogonjai. Ezekre az aszimptotikus megoldásokra a gyakorlati alkalmazások során is szükség lehet, mert x növekedtével a hatványsorok konvergenciasebessége romlik Körlemez lehajlásfüggvényében a ker(x) függvény együtthatója mindig nulla, kei(x) pedig csak akkor nem az, ha a körlemezt a középpontjában a koncentrált erő terheli. A kei(x) függvény ugyanis a koncentrált teher okozta okozta szingularitás hordozója, ugyanúgy, mint r2ln(r/a) az ágyazatlan lemeznél, ezért a kei(x) együtthatójának értékét ugyanúgy a koncentrált teher nagysága határozza meg, mint az r2ln(r/a) függvény együtthatóját az ágyazatlan lemeznél. Ha tehát a körlemezt nem terheli a középpontjában koncentrált erő, akkor a lehajlás- és igénybevétel-függvényekben csak az első fajú Thomson-féle függvények, ber(x) és bei(x), ill. deriváltjaik szerepelnek Körgyűrű lemeznél viszont mind a négy függvény előkerül. Az l 0 nagysága hasonlóan

befolyásolja a kör-, ill. körgyűrű lemezek peremétől a lemez belseje felé terjedő „peremzavar” terjedését, mint a rugalmasan ágyazott gerendák, ill. lemezsávok e-kxcos(kx), e-kxsin(kx), ekxcos(kx), ekxsin(kx) megoldásaiban szereplő k csillapítási tényező reciprokaként adódó hosszúság. Ez jól látható abból, hogy a Thomson-féle függvényekben l 0 az x formális független változó nevezőjében szerepel. Láthatóan a négy Thomson-féle függvény „szereposztása” is hasonló a lemezsávok egyik, ill. másik peremétől gyors elcsengést mutató függvényekéhez: az elsőfajú („b”-s) függvények és deriváltjaik az r növekvő értékeinél az ekxcos(kx) és az ekxsin(kx) exponenciálisan erősődő hullámfüggvényekhez hasonló, erősödő hullámzást, a másodfajú („k”-s) függvények az e  kx cos(kx) és az e  kx sin(kx) exponenciálisan elcsengő függvényekhez hasonló elcsengést mutatnak. Lényeges eltérés a

másodfajú Thomson-féle függvények és az analóg hullámfüggvények közt, hogy a másodfajú Thomson-féle függvények az x=0 helyen szingularitással bírnak. A Thomson-féle függvények és építőmérnöki alkalmazásuk részletes leírása megtalálható Márkus Gyula: Körszimmetrikus szerkezetek elmélete és számítása c. könyvében A IE fejezet (116) képlete definiálja a függvényeket, a (121) képletsor pedig a (119) szerinti homogén általános megoldáshoz tartozó elfordulások, nyomatékok és nyíróerő legegyszerűbb alakú képleteit. Ugyanebben a könyvben az LIV táblázat közli az első és másodfajú Thomson-féle függvények első deriváltjaik egyszerűen programozható hatványsorait is, az LV táblázat pedig azokat az ú.n aszimptotikus formulákat, amelyekkel x nagy értékeinél (a gyakorlatban x>10 esetén) a függvénysor helyettesíthető. LVI alatt függvénytáblázat is található az első és másodfajú Thomson-féle

függvények és első deri- 11 váltjaik értékeiről. A táblázat alapján a nyomatékok és nyíróerők képletében szereplő második és magasabb deriváltak is számíthatók, mert ezek az általunk is közölt rekurzív formulák alkalmazásával visszavezethetők a függvényeket és első deriváltjaikat tartalmazó kifejezésekre. Ezeknek a képleteknek az alkalmazásával adta meg a szerző a (121) képletsorban található formulákat. A Thomson-féle függvények sajátságaiból az következik, hogy egy körgyűrű alakú lemez külső, ill. a belső peremein a négy függvény közül általában csak kettő-kettő jut szerephez a „peremzavar” leírásában. ha a gyűrű szélessége l 0 sokszorosa Ahol a lemez a peremtől a forgástengely irányában fekszik, (azaz a vizsgált perem „külső”,) ilyen esetben whom  C1 ber  x   C 2 bei x  , ahol pedig az ellenkező irányban folytatódik, (azaz a vizsgált perem „belső”,) whom 

C 3 kei x   C 4 ker  x  . külsõ perem belsõ perem A körlemezeknek csak „külső” pereme van, ezért a rugalmasan ágyazott körlemez homogén megoldásában a C 3 = C 4 = 0. Kivétel ez alól a középpontjában koncentrált erővel terhelt rugalmas ágyazású körlemez, mert a koncentrált erő hatását a homogén megoldásban vesszük figyelembe A Thomson-féle függvények tulajdonságainak ismeretében a kei(x) függvénynek az origó körüli vizsgálatával könnyen meg lehet mutatni, hogy ennek a függvénynek az r=0 helyen jelentkező szingularitása pontosan olyan, mint a koncentrált erővel terhelt lemezek lehajlásfüggvényének szingularitása az erő támadáspontjában: a lehajlás értéke véges, de a függvény második és magasabb deriváltjainak abszolut értéke az origóban végtelenné válik, ezért az origóban végtelen M r , M  és Q r értéke. A középpontjában F koncentrált erővel terhelt körlemez esetén C 3 értékét

a koncentrált erő meg is határozza. Végtelen kiterjedésű körlemeznél C 1 = C 2 = C 4 = 0, a lehajlásfüggvény maga a szingularitás-hordozó w 2 r F l0 kei  . 2 K  l0  12 A kei függvény futásának jellemzői miatt a koncentrált erő támadáspontjától l 0 néhányszorosának megfelelő távolságban w összes deriváltja elhanyagolhatóan kicsinnyé válik, ezért ha egy középpontjában F erővel terhelt körlemez lehajlás-függvényt akkor is a fenti képlet szerint vehetjük fel, ha a lemez sugara nem végtelen nagy, de sokszorosa l 0 -nak. Az igénybevételek képlete a Thomson-féle függvények deriváltjaira vonatkozó összefüggések felhasználásával határozhatjuk meg:  r  F   r  l 0 1    kei   , ker   r 2   l 0   l 0   r   F   r  l 0 1    kei   . M  ker   r

2   l 0   l 0  Mr   r  F  ker   , 2 l 0   l 0  A képletekkel ellenőrizhető, hogy a koncentrált erő helyén a nyomatékok és a nyíróerő valóban végtelen nagyra adódik, de a lehajlás nem. A legnagyobb lehajlás az origóban számítható érték: 2 2 F l0 F l0 . w0    kei0   2 K 8K Qr  F 10 l0 A legnagyobb ágyazati feszültség természetesen ugyanitt lép fel. Ebből a megoldásból kiindulva egyszerűen elő tudjuk állítani a végtelen kiterjedésű lemez koncentrált erőkre vonatkozó lehajlási hatásfelületét, amelynek alkalmazásával határozott integrál formájában tetszőleges eloszlású felületi teherhez meg lehet adni a w inh partikuláris megoldást. Ennek részleteivel most nem foglalkozunk A rugalmas ágyazású lemezekre vonatkozó megoldások egy másik, általánosításra is alkalmas sajátsága figyelhető meg azoknál az egyenletesen megoszló

teherrel terhelt nagykiterjedésű lemezeknél, amelyek peremén mozgáskorlátozást jelentő peremfeltételt írtunk elő. Ha ilyen mozgáskorlátozás nincs, a teljes megoldást a lemez merevtest-szerű w0  p C nagyságú eltolódása adja, amelyhez zérus nyomatékok és nyíróerők tartoznak, de ha van, akkor is csak a mozgáskorlátozással kialakított peremek néhány l 0 -nyi szélességű kör- 13 nyezetében jelentős a lehajlás eltérése ettől a w 0 értéktől, és számottevő nagyságú igénybevételek is csak ezen a peremsávon belül lépnek fel. Ha a lemez méretei olyanok, hogy az oldalhosszak lényegesen kisebbek l 0 –nál, akkor a lemez meggörbülésének a reakció-eloszlásra gyakorolt hatása elhanyagolható. Ilyenkor a talpreakció olyan síkkal határolt feszültségtestet alkot, amelynek súlypontja a lemezre ható felületi terhek eredőjének hatásvonalára esik. A különböző nagyságú Winkler-féle ágyazási együttható

feltételezésével végzett számítások eredményeinek összevetése azt mutatja, hogy a lemez-igénybevételek maximális értékei az ágyazási tényező értékének növelésével csökkennek, az ágyazati feszültségek maximumai viszont ugyanekkor növekednek. Ebből az következik, hogy a felfekvés körülményeinek mérlegelésével meghatározható értékhatárokon belül más ágyazási tényezőt célszerű használni, ha a cél a mértékadó lemez-igénybevételek számítása, ill. ha a cél a maximális talajfeszültség ellenőrzése. A süllyedések értékét általában fenntartással kell kezelnünk, mert az ágyazási modell nem érzékeny arra, hogy a talajfelszín valamely tartományán működő teher a tartományon kívüli felszín mozgását is befolyásolja. A Winkler-féle ágyazási modellel megegyező struktúrájú differenciálegyenlet vezethető le a folyadék felszínére helyezett lemezek, pl. egy vízen úszó jégtáblák alakváltozásaira

vonatkozóan Itt a lehajlással arányos ágyazati reakciót a folyadék felhajtóereje képviseli. A koncentrált erővel terhelt körlemezre vonatkozó megoldások analízisével meg lehet mutatni, sőt, kísérlettel is igazolni lehet, hogy ha megfelelően választjuk meg a lemezátmérő és a lemezvastagság arányát, a középpontjában adott nagyságú teherrel terhelt, ennek megfelelően deformálódó acéllemez a víz felszínén úszhat, holott a koncentrált erő nélkül elsüllyedne. A megtámasztás modellezése félvégtelen rugalmas féltérrel A valósághoz bizonyos értelemben közelebb álló ágyazási modell vezethető be a Kirchhoff-féle lemezelmélet és az izotróp rugalmas féltérre vonatkozó Boussinesq-féle megoldások kombinálásával, ha a lemezt egy síkfelülettel határolt rugalmas féltéren súrlódás nélkül fölfekvőnek tekintjük. A módszer alapját az adja, hogy a rugalmas féltér feszültségeinek egy Boussinesqtől származó

speciális megoldásából kiindulva tetszőleges p(x,y) felületi teherre vonatkozóan felírható a rugalmas félteret határoló sík merőleges irányú elmozdulásainak w(x,y) függvénye egy w(x,y) =  K x, y,  , p , dd Ap alakú határozott integrál kifejezés formájában. (A rugalmas féltér Boussinesq-féle alapmegoldása a térbeli analogonja a rugalmas tárcsák vizsgálatánál ugyancsak Boussinesqféle alapmegoldás néven megismert megoldásnak) 14 y, p(  d d  x y Ap w(x,y)  x, A w(x,y) fenti kifejezésében x és , ill. y és  geometriai értelmezése ugyanaz, az eltérő jelölésre azért van szükség, mert a p(x,y) és a w(x,y) koordinátái eltérő szerephez jutnak az integrálban. A p a terhelt tartomány területét jelöli, K(x,y,,) pedig az ilyen típusú kifejezésekben az integrál magfügvényének nevezett, látszólag négyváltozós függvény Azért csak

látszólag, mert legtöbbször - így esetünkben is K(x,y,,) = K(x-, y-), azaz az értéke csupán a koordináták különbségétől függ. Ebből kiindulva közvetlen mechanikai tartalmat is tulajdoníthatunk a K(x,y,,)dd kifejezésnek: ez adja féltér felszínének azt a w(x,y) lehajlásfüggvényét, amelyet az x =, y =  középpontú, dA = dd területű felületelemen működő egységnyi intenzitású felületi teher létrehoz. Ha a Boussinesq-féle alapmegoldás alkalmazásával képzett határozott integrálban szereplő teher azonos azzal, amelyet a teljes felületén fölfekvő lemez közvetít a rugalmas féltérre, továbbá a határsík merőleges elmozdulásait a lemez alatt ugyanaz a függvény írja le, mint a lemez lehajlásait, akkor a rugalmas ágyazásnak olyan modellje áll előttünk, amelyben az is figyelembe van véve, hogy a ágyazat nem önálló rugókhoz hasonlóan deformálódik, hanem a különböző helyeken

lévő ágyazati reakciók és elmozdulások a lemez közvetítése nélkül is kölcsönösen befolyásolják egymást. Ennek az ágyazási modellnek az elméletileg korrekt felépítése komoly nehézségek leküzdését igényli, mert az integro-differenciálegyenletek körében való jártasságot igényel. Néhány, a lényeget nem érintő egyszerűsítő feltételezés megtételével le lehet azonban vezetni a modell alapösszefüggéseit és olyan diszkretizált változatát, amellyel tetszőleges alakú és terhelésű lemez esetére ugyanolyan értelemben „megoldhatjuk” a rugalmas féltérre fektetett lemez feladatát, mint ahogy a végeselem-programokkal vagy a differencia-módszer segítségével a lemezfeladatokat „megoldjuk”. Induljunk ki a végtelen féltér határsíkján súrlódásmentesen felfekvő kör keresztmetszetű végtelen merev nyomószerszám benyomódásának V. J Boussinesq (1842-1929) által elvégzett vizsgálatából. (pl Frank-Mises: A

mechanika és a fizika differenciál- és integrálegyenletei. 2 kötet, 347-354 oldal) 15 F w(r) 2a r A térbeli rugalmasságtani feladat megoldása szerint az E rugalmassági modulusú,  Poisson-tényezőjű izotróp féltér vízszintes határsíkján az a sugarú kör közvetítésével működő F függőleges erő a következő függőleges irányú elmozdulást kelti: F 1   2  , ha r  a, 2 Ea F 1   2  a w arcsin , ha r a, Ea r ahol r a kör középpontjától mért távolságot jelöli. Az eltolódás értéke a nyomószerszám alatt konstans, kívüle pedig r növekedtével zérushoz tart. A megoldás szerint a kontaktfelületen csak normálfeszültség működik, amelynek eloszlását a következő képlet adja: F ha r  a, z   2a a 2  r 2 w A terhelő kör középpontjában  z éppen a fele annak az átlagfeszültségnek, amelyet úgy kapunk, hogy F erőt elosztjuk a kör területével, a kör peremén a

feszültség végtelen nagy értéket vesz fel. (A valóságban nem válhat végtelenné a feszültség, hiszen sosem abszolút merev a nyomószerszám, és a képlékenyedés is határt szab a feszültség növekedésének, de az ebből adódó eltérés nem jelent problémát, mert lényegtelenül változik a belső rész feszültségeloszlása, ill. a benyomódás) A nyomószerszám alatti eltolódás képletének struktúráját vizsgálva fontos következtetést tehetünk a Winkler-féle ágyazási tényező felvételére vonatkozóan. A benyomódás képletéből ugyanis kiszámíthatjuk azt a C ágyazási tényezőt, amelynek figyelembevételével az a2 nagyságú területen megoszló F erő hatására benyomódás képlete által adott nagyságú lehajlás jön létre a Winkler-féle ágyazatban: w  F 1   2 Ea 2  F a 2 1   a  2 2E , amiből kiolvasható, hogy C 2E 1   a . 2 A helyettesítő Winkler-féle

ágyazás ágyazási tényezője tehát annál kisebb, minél nagyobb a terhelő terület mérete. 16 A képlet egy másik értelmezésével azt kapjuk, hogy a nyomószerszám rugalmas benyomódása akkora, mint a féltér anyagából készített, kb. 15a magasságú henger rugalmas összenyomódása Visszatérve az alapmegoldáshoz, az F erő „távolhatásainak” figyelembevételénél a kicsiny szögek és szinuszaik közti elhanyagolható különbség miatt élhetünk a wr   F 1   2  a F 1   2  a arcsin  Ea r Ea r közelítéssel. Ezt a képletet a tárgyalás szemléletesebbé tétele céljából a következőképp rendezhetjük át: 1    1 w(r)  2 F 2 a . r a 2 E Ennek az átrendezésnek az a célja, hogy a határoló síknak a felületi teher helyétől távoli alakváltozására olyan formulát találjunk, amely független a terhelő felület alakjától. Szemléletünk ugyanis azt diktálja, hogy a

„távolhatás” szempontjából nyilvánvalóan mindegy, hogy a nyomószerszám keresztmetszetének alakja kör-e, vagy attól kisebbnagyobb mértékben eltérő. Ha az a2 helyett A-t írunk, az F/ a2 hányadost pedig a A felületen egyenletesen megoszló q teherként értelmezzük, az F „távolhatását” adó képletet az origó körüli tetszőleges alakú A felületen megoszló q teher „távolhatását” adó képletté írhatjuk át: w 1    1 qA . 2 E r Alkalmazzuk most a szuperpozició elvét arra, hogy tetszőleges számú és helyzetű q i A i felületi teher együttes „távolhatását” meghatározzuk. Jelölje a (q i A i ) részterhek eredőinek helyét az x,y koordinátarendszerben x i ,y i . Az együttes „távolhatás” képlete a szuperpozició elvén w(x,y)  1    2 E  i qiAi   x  x i 2   y  y i  2 . Ez a szuperpozició az alapelve annak az eljárásnak,

amellyel a féltér határsíkjának az alakváltozását tetszőleges eloszlású függőleges teher figyelembevételével meghatározhatjuk. Az egyértelműség érdekében vezessük be az x és y koordinátákkal azonos geometriai értelmezésű  és  koordinátákat, amelyekkel a teher helyét fogjuk azonosítani. Működjék a határsík A tartományán egy adott q(,) függvény szerint megoszló teher Bontsuk az A tartományt egyforma A =dd területű,  i ,  i súlypontú olyan kicsiny A i felületelemekre, amelyeken belül a q(,) felületi teher már konstansnak, a q( i , i ) értékével azonosnak tekinthető, majd alkalmazzuk az együttes „távolhatás” képletét a felületelemekre jutó részterhekre: 17 w(x,y)  1    2 E  i q  i , i dd  x   i 2   y   i 2 . Ha d-vel és d-val a nullához tartunk, a részterhek „közelhatása” egyre kisebb

felületeken érvényesül, végül határátmenetben eltűnik. Ezzel egyidejűleg a szumma egy az A tartományra vonatkozó felületi integrállal helyettesíthető, amelynek integrációs változói a  és  koordináták. A határsíknak a q(,) függvény szerint megoszló teher hatására létrejövő alakváltozását így a 1    2 w(x,y) = E q ,   x      y    2 A 2 dd határozott integrál szolgáltatja, amelyet az egész határsíkra kiterjedő improprius integrál formájában is felírhatunk, hiszen az A tartományon kívül q(,) értékét zérusnak vettük fel. A bevezetőben említett K(x,y,,) = K(x-, y-) magfüggvény a fenti kifejezésből kiolvasható: K(x,y,,) = 1    2 E 1 x    2  y  2 . Szerencsés q(,) függvényalak esetén nem kizárt, hogy ezt a határozott integrált zárt alakú függvény

formájában is elő tudjuk állítani, (pl. Rüzsik-Gradstejn: „Táblázatok sorok, szummák és integrálok számításához” c. sok nyelven ismert könyv segítségével,) de a gyakorlatban általában a numerikus integrálást célszerű alkalmazni. Az integrál felírásával nagy lépést tettünk a kitűzött probléma megoldása felé, bár még nem oldottuk meg azt. Lehetőségünk van azonban a továbblépésre is Ha feltesszük, hogy egy lemez peremterheit a lemez globális viselkedése szempontjából statikailag egyenértékűen helyettesíteni lehet a peremkörnyezet egy vékony sávjában felvett speciális eloszlású felületi terhekkel, (ennek részleteivel az egyszerűség kedvéért most nem foglalkozunk,) ebből a feltételezésből az következik, hogy tetszőleges w(x,y) függvényhez található olyan p(x,y) felületi teher, amelyet az ágyazás nélküli lemezen működtetve w(x,y) lehajlást kapunk. Ezt a p(x,y) terhet meg is határozhatjuk, ha

behelyettesítjük w(x,y)-t az ágyazatlan lemez differenciálegyenletébe és a peremfeltételi egyenletekbe. Bejárható a megoldás útjának fordítottja: ha fölveszünk egy tetszőleges q(x,y) ágyazati reakció-eloszlást, ahhoz az imént levezetett integrál segítségével meghatározhatunk egy w(x,y) elmozdulás-függvényt, amelyhez egy p(x,y) felületi terhet számíthatunk. Ez – legalább is elvben – lehetőséget ad arra, hogy a feladatot indirekt úton megoldjuk: elegendően sok egymástól különböző q(x,y) k ágyazati reakcióeloszlást felvéve, ezekhez w(x,y) k és p(x,y) k függvényt meghatározva megkereshetjük a p(x,y) k függvényeknek azt a  k p(x,y) k kombinációját, amely a legjobban megközelíti a feladatunkban szereplő p(x,y) függvényt, azaz azokat az  k szorzókat, amelyek egy megfelelően választott H(p- k p k ) hibafüggvény értékét a legkisebbé teszik. Ezek ismeretében a közelítő 18 lehajlásfüggvény w(x,y)

  k w(x,y) k , az ágyazati reakcióeloszlás függvénye q(x,y)   k q(x,y) k alakban írható fel. A gyakorlatban olyan eljárások terjedtek el, amelyek a hagyományos lemezfeladat numerikus megoldásmódszereit (differencia-módszer, mozaik-módszer) kombinálják a távolhatás figyelembevételének általunk is használt módszerével. Az eljárások elvi vázlata a következő Vegyünk föl egy célszerűen választott hálózatot (pl. négyzethálózatot) a lemezen, és helyettesítsük a diszkretizálás elvének megfelelően a lemez w(x,y) lehajlásait, p(x,y) terheit és q(x,y) ágyazati reakcióit egy-egy w, p, ill. q vektor elemeinek a hálózat csomópontjaiban értelmezett értékrendszerével (Ezek közül p –t ismertnek tekintjük, w és q vektor elemei a diszkretizált feladat ismeretlenjei.) A q elemeit ismertnek feltételezve a q és w vektorok közt direkt kapcsolat létesíthető. A „távolhatást” kifejező határozott integrál alapján

ugyanis a két vektor lineáris kapcsolatát kifejező Bq = w vektor-egyenlet B együtthatómátrixának elemeit sorról-sorra fel tudjuk írni. (Ez csak látszólag nagy munka, a valóságban egyszerű feladat, mert szabályos hálózat esetén B-nek sok sorról-sorra ismétlődő eleme van.) A kapcsolat mechanikai értelmezéséből az következik, hogy B mátrix mindig invertálható Az inverz q = B-1w összefüggést a diszkretizált lemezfeladat Aw = p - q egyenletrendszerébe behelyettesítve, rendezés után az [A- B-1] w = p lineáris egyenletrendszert kapjuk, amelynek megoldásával a feladat közelítő megoldása áll elő. Ez az egyenletrendszer formailag csak abban különbözik a Winkler-féle ágyazással végzett diszkretizált számítástól, hogy Winkler-féle ágyazás esetén a Bq=w lineáris kapcsolat mátrixa diagonál mátrix, (mert a Winkler-féle feltételezés nem vesz figyelembe „távolhatást”,) így az inverz összefüggés B-1 mátrixa is diagonál

mátrix, amelynek előállítása nem igényel számítógépi programot. Mivel azonban az egyenletrendszer megoldásához mindenképpen számítógépet kell alkalmaznunk, a két módszer alkalmazhatósága közt nincsen lényeges különbség. A vázolt eljárás jelentős előnye, hogy közvetlenül alkalmazható különálló létesítmények "távolhatásainak" a figyelembevételére is. 19 1 2 3 A változás csupán annyi, hogy w és p vektorokat az egyes egységek lehajlásait és terheit leíró vektorok uniójának kell tekintenünk, A mátrix az egyes egységek merevségeiből alkotott hiper-diagonál mátrix lesz, B pedig olyan "tele"-mátrix, amelyben a szomszédos egységekre vonatkozó "távolhatások" is szerepelnek. (A fenti ábrán nyíllal jelölt "távolhatás" pl. a B mátrix B 31 blokkjában) Az ábrának megfelelő feladathoz tehát a következő egyenletrendszert kapjuk:  A  1   

A2  B 11   B   21 A 3  B 31 B 12 B 22 B 32 B 13  B 23  B 33  1   w  p   1   1  w 2   p 2  w  p   3   3  A kétféle ágyazás feltételezésével elvégzett számítások eredményeinek összevetése lehetőséget adott annak a tisztázására, hogy a talajfizikai jellemzők mellett a szerkezet méretei és arányai hogyan befolyásolják az igénybevétel- és ágyazati reakcióeloszlást, ill. e szerkezeti jellemzőket hogyan kell figyelembe venni az ágyazási tényező felvételénél ahhoz, hogy a kétségtelenül egyszerűbben kezelhető Winkler-féle ágyazási modellen alapuló számítások valóságoshoz közel álló eredményt adjanak. A részletes vizsgálat alapján számos eljárást dolgoztak ki a C felvételére. Képlékeny ágyazás A talajon felfekvő szerkezetek teherbírás-vizsgálatának érdekes kérdései vethetők fel a

képlékenyedés figyelembevételével kapcsolatban. Képlékenyedés feltételezhető mind a szerkezetben, mind pedig a talajban. Az első képlékenyedés bekövetkezését követően létrejövő elmozdulások nagysága általában lényegesen meghaladja a képlékenyedés előtti állapotban lezajló elmozdulásokét, ezért a teherbírás kimerüléséig kialakuló alakváltozások túlnyomó része képlékeny alakváltozás. Ebből kézenfekvően következik, hogy a képlékeny teherbírás-vizsgálatok túlnyomó részét a szerkezet, ill. a talaj merevképlékeny anyagtulajdonságának feltételezésével is kielégítő pontossággal el lehet végezni 20 A talajon felfekvő szerkezetek képlékenyedő alátámasztásának legegyszerűbb modelljét úgy kapjuk, ha a Winkler-féle ágyazás megoszló rugórendszerét kezdetben merev, de egy adott nyomófeszültség értékénél tetszőleges nagyságú összenyomódásra képes támaszrendszerrel helyettesítjük. (Ennél

természetesen lehetne lényegesen pontosabb, egyszersmind lényegesen összetettebb képlékenyedő megtámasztási modellt is kidolgozni.) Egy merev-képlékeny viselkedésűnek tekintett talajon fekvő, ugyancsak merevképlékeny viselkedésű szerkezet elmozdulása különféle módokon jöhet létre: - a szerkezet a teljes fölfekvési felületen merev testként benyomódik a talajba, (a) - a szerkezet merevtest-szerű mozgással részben benyomódik a talajba, részben elemelkedik a fölfekvésről, (b) - a szerkezetnek a képlékenyedés által érintett szakasza benyomódik a talajba, (c) - a szerkezet képlékenyedése által érintett szakasz részben benyomódik a talajba, részben elemelkedik a fölfekvésről (d). Az (a) eset létrejöttéhez az szükséges, hogy a talajba benyomódó fölfekvési felületen működő képlékeny támaszfeszültségek eredőjének a hatásvonala essék egybe a szerkezetre ható külső terhek eredőjének hatásvonalával. Ha ez a

feltétel nem teljesülhet, akkor a merevnek feltételezett szerkezet (b) szerinti mozgását alapvetően meghatározó geometriai adatot, a benyomódás és az elemelkedés határvonalának a helyzetét éppen a két hatásvonal egybeesésének a feltétele alapján lehet felvenni. Nagy kiterjedésű, parciális terhelésű lemez törése jellemzően a (c) változat szerint alakul, a (d) változat alakulhat ki pl. középpontjában koncentrált erővel terhelt, szabad peremű körlemez esetén, ha a sugara a törőnyomaték és a képlékeny ágyazási reakció hányadosa által meghatározott hossztartományon belüli érték. Irodalom Timoshenko, S. és Woinowsky-Krieger, S: Lemezek és héjak elmélete Műszaki Könyvkiadó, 1966 Budapest Márkus Gyula: Körszimmetrikus szerkezetek elmélete és számítása Műszaki Könyvkiadó, 1964. Budapest / Werner, 1978 Düsseldorf Frank, Ph. és Mises R: A mechanika és fizika differenciál és integrálegyenletei Műszaki Könyvkiadó,

1966. Budapest Szilard, R.: Theory and Analysis of Plates Prentice-Hall, 1974 Englewood Cliffs Wölfer, K.H Elastisch gebettete Balken 3 Aufl Bauverlag, 1971 Wiesbaden Kaliszky Sándor: Képlékenységtan. Akadémiai Kiadó, 1975 Budapest Handbook of Mechanics, Materials, and Structures. (Ed by A Blake) John Wiley and Sons, 1985. New York, etc Jahnke-Emde-Lösch: Tafeln höherer Funktionen. (7 Auflage) Teubner, 1966 Stuttgart Gradstein, I.S u Ryshik, IW: Summen-, Produkt- und Integraltafeln Deutsch, 1981 Frankfurt 21