Mathematics | High school » Matematika középszintű írásbeli érettségi vizsga, megoldással, 2010

ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. május 4 Név: . osztály: Matematika MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. május 4 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM középszint írásbeli vizsga 1012 I. összetevő Név: . osztály: Matematika középszint Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 45 percet fordíthat, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie 2. A megoldások sorrendje tetszőleges 3. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyű függvénytáblázatot használhatja, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos! 4. A feladatok végeredményét az erre a célra szolgáló keretbe írja, a megoldást csak akkor kell részleteznie, ha erre a feladat szövege utasítást ad! 5. A dolgozatot tollal írja, az ábrákat ceruzával is rajzolhatja Az ábrákon kívül

ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető. 6. Minden feladatnál csak egy megoldás értékelhető Több megoldási próbálkozás esetén egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek! 7. Kérjük, hogy a szürkített téglalapokba semmit ne írjon! írásbeli vizsga, I. összetevő 1012 2/8 2010. május 4 Név: . osztály: Matematika középszint 1. Sorolja fel a 2010-nek mindazokat a pozitív osztóit, amelyek prímszámok! Válasz: 2. 2 pont Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán! x 2 − 25 = 0 2 pont 3. Az alábbi táblázat egy 7 fős csoport tagjainak cm-ben mért magasságait tartalmazza. Mekkora a csoport átlagmagassága? A csoport melyik tagjának a magassága van legközelebb az átlagmagassághoz? Anna 155 Bea 158 Marci 168 Karcsi 170 Ede 170 Fanni 174 Gábor 183 Az átlagmagasság: 2 pont Az átlagmagassághoz

legközelebb 1 pont magassága van. írásbeli vizsga, I. összetevő 1012 3/8 2010. május 4 Név: . osztály: Matematika középszint 4. Az R + R , x a 3 + log 2 x függvény az alább megadott függvények közül melyikkel azonos? A: B: C: D: R + R, x a 3 log 2 x R + R, x a log 2 (8 x ) R + R, x a log 2 (3x ) ( ) R + R, x a log 2 x 3 A helyes válasz betűjele: 5. 2 pont Annának kedden 5 órája van, mégpedig matematika (M), német (N), testnevelés (T), angol (A) és biológia (B). Tudjuk, hogy a matematikaórát testnevelés követi, és az utolsó óra német. Írja le Anna keddi órarendjének összes lehetőségét! 2 pont 6. Egy egyenlő szárú háromszög alapja 5 cm, a szára 6 cm hosszú. Hány fokosak a háromszög alapon fekvő szögei? A szögek nagyságát egész fokra kerekítve adja meg! Válaszát indokolja! 2 pont Az alapon fekvő szögek nagysága: írásbeli vizsga, I. összetevő 1012 4/8 1 pont 2010. május 4 Név: .

osztály: Matematika középszint 7. Az ábrán látható hatpontú gráfba rajzoljon be 2 élt úgy, hogy a kapott gráf minden csúcsából 2 él induljon ki! A berajzolt éleket két végpontjukkal adja meg! E F B A C D A berajzolt élek: 2 pont 8. Az alábbi kilenc szám közül egyet véletlenszerűen kiválasztva, mekkora annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott szám nem negatív? –3,5; –5; 6; 8,4; 0; –2,5; 4; 12; –11. A keresett valószínűség: 2 pont írásbeli vizsga, I. összetevő 1012 5/8 2010. május 4 Név: . osztály: Matematika középszint 9. Oldja meg a valós számok halmazán a sin x = 0 egyenletet, ha − 2π ≤ x ≤ 2π ? A megoldások: 3 pont 10. Döntse el az alábbi négy állításról, hogy melyik igaz, illetve hamis! A: Van olyan derékszögű háromszög, amelyben az egyik hegyesszög szinusza B: Ha egy háromszög egyik hegyesszögének szinusza 1 . 2 1 , akkor a háromszög 2 derékszögű. C: A

derékszögű háromszögnek van olyan szöge, amelynek nincs tangense. D: A derékszögű háromszögek bármelyik szögének értelmezzük a koszinuszát. írásbeli vizsga, I. összetevő 1012 A: 1 pont B: 1 pont C: 1 pont D: 1 pont 6/8 2010. május 4 Név: . osztály: Matematika középszint 11. A héten az ötös lottón a következő számokat húzták ki: 10, 21, 22, 53 és 87 Kata elújságolta Sárának, hogy a héten egy két találatos szelvénye volt. Sára nem ismeri Kata szelvényét, és arra tippel, hogy Kata a 10-est és az 53-ast találta el. Mekkora annak a valószínűsége, hogy Sára tippje helyes? Válaszát indokolja! 2 pont A keresett valószínűség: 1 pont 12. Egy 17 fős csoport matematika témazáró dolgozatának értékelésekor a tanár a következő információkat közölte: Mind a 17 dolgozatot az 1-es, a 2-es, a 3-as, a 4-es és az 5-ös jegyek valamelyikével osztályozta. A jegyek mediánja 4, módusza 4, terjedelme 4 és az

átlaga (két tizedes jegyre kerekítve) 3,41. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, illetve hamis! A: A dolgozatoknak több mint a fele jobb hármasnál. B: Nincs hármasnál rosszabb dolgozat. írásbeli vizsga, I. összetevő 1012 A: 1 pont B: 1 pont 7/8 2010. május 4 Név: . osztály: Matematika középszint maximális elért pontszám pontszám 1. feladat 2 2. feladat 2 3. feladat 3 4. feladat 2 5. feladat 2 6. feladat 3 7. feladat 2 8. feladat 2 9. feladat 3 10. feladat 4 11. feladat 3 12. feladat 2 ÖSSZESEN 30 I. rész dátum javító tanár elért pontszám egész számra kerekítve programba beírt egész pontszám I. rész javító tanár jegyző dátum dátum Megjegyzések: 1. Ha a vizsgázó a II írásbeli összetevő megoldását elkezdte, akkor ez a táblázat és az aláírási rész üresen marad! 2. Ha a vizsga az I összetevő teljesítése

közben megszakad, illetve nem folytatódik a II. összetevővel, akkor ez a táblázat és az aláírási rész kitöltendő! írásbeli vizsga, I. összetevő 1012 8/8 2010. május 4 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. május 4 Név: . osztály: Matematika MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2010. május 4 8:00 II. Időtartam: 135 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM középszint írásbeli vizsga 1012 II. összetevő Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1012 Név: . osztály: 2 / 16 2010. május 4 Matematika középszint Név: . osztály: Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 135 percet fordíthat, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie 2. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges 3. A B részben kitűzött három feladat közül csak kettőt kell megoldania A nem választott feladat sorszámát írja be a dolgozat befejezésekor az alábbi négyzetbe! Ha a

javító tanár számára nem derül ki egyértelműen, hogy melyik feladat értékelését nem kéri, akkor a 18. feladatra nem kap pontot 4. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármilyen négyjegyű függvénytáblázatot használhat, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos! 5. A megoldások gondolatmenetét minden esetben írja le, mert a feladatra adható pontszám jelentős része erre jár! 6. Ügyeljen arra, hogy a lényegesebb részszámítások is nyomon követhetők legyenek! 7. A feladatok megoldásánál használt tételek közül az iskolában tanult, névvel ellátott tételeket (pl Pitagorasz-tétel, magasság-tétel) nem kell pontosan megfogalmazva kimondania, elég csak a tétel megnevezését említenie, de alkalmazhatóságát röviden indokolnia kell. 8. A feladatok végeredményét (a feltett kérdésre adandó választ) szöveges megfogalmazásban is

közölje! 9. A dolgozatot tollal írja, az ábrákat ceruzával is rajzolhatja Az ábrákon kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető. 10. Minden feladatnál csak egyféle megoldás értékelhető Több megoldási próbálkozás esetén egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek! 11. Kérjük, hogy a szürkített téglalapokba semmit ne írjon! írásbeli vizsga, II. összetevő 1012 3 / 16 2010. május 4 Matematika középszint Név: . osztály: A 13. Számítsa ki azt a két pozitív számot, amelyek számtani (aritmetikai) közepe 8, mértani (geometriai) közepe pedig 4,8. Ö.: írásbeli vizsga, II. összetevő 1012 4 / 16 12 pont 2010. május 4 Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1012 Név: . osztály: 5 / 16 2010. május 4 Matematika középszint Név: . osztály: 14. Az ABC háromszög

csúcspontjainak koordinátái: A(0; 0), B(–2; 4), C(4; 5) a) Írja fel az AB oldal egyenesének egyenletét! b) Számítsa ki az ABC háromszög legnagyobb szögét! A választ tized fokra kerekítve adja meg! c) Számítsa ki az ABC háromszög területét! írásbeli vizsga, II. összetevő 1012 6 / 16 a) 2 pont b) 7 pont c) 3 pont Ö.: 12 pont 2010. május 4 Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1012 Név: . osztály: 7 / 16 2010. május 4 Matematika középszint Név: . osztály: 15. a) Rajzolja meg derékszögű koordinátarendszerben a ] − 1; 6 ] intervallumon értelmezett, x a − x − 2 + 3 hozzárendelésű függvény grafikonját! b) c) d) Állapítsa meg a függvény értékkészletét, és adja meg az összes zérushelyét! Döntse el, hogy a P (3,2 ; 1,85) pont rajta van-e a függvény grafikonján! Válaszát számítással indokolja! Töltse ki az alábbi táblázatot, és adja meg a függvényértékek (a

hét szám) mediánját! x − x−2 +3 –0,5 írásbeli vizsga, II. összetevő 1012 0 1,7 8 / 16 2 2,02 4 a) 4 pont b) 3 pont c) 2 pont d) 3 pont Ö.: 12 pont 5,5 2010. május 4 Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1012 Név: . osztály: 9 / 16 2010. május 4 Matematika középszint Név: . osztály: B A 16-18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon lévő üres négyzetbe! 16. Egy középiskolába 620 tanuló jár Az iskola diákbizottsága az iskolanapra három kiadványt jelentetett meg: I. Diákok Hangja II. Iskolaélet III. Miénk a suli! Később felmérték, hogy ezeknek a kiadványoknak milyen volt az olvasottsága az iskola tanulóinak körében. A Diákok Hangját a tanulók 25%-a, az Iskolaéletet 40%-a, a Miénk a suli! c. kiadványt pedig 45%-a olvasta. Az első két kiadványt a tanulók 10%-a, az első és harmadik

kiadványt 20%-a, a másodikat és harmadikat 25%-a, mindhármat pedig 5%-a olvasta. a) Hányan olvasták mindhárom kiadványt? b) A halmazábra az egyes kiadványokat elolvasott tanulók létszámát szemlélteti. Írja be a halmazábra mindegyik tartományába az oda tartozó tanulók számát! c) Az iskola tanulóinak hány százaléka olvasta legalább az egyik kiadványt? Az iskola 12. évfolyamára 126 tanuló jár, közöttük kétszer annyi látogatta az iskolanap rendezvényeit, mint aki nem látogatta. Az Iskolaélet című kiadványt a rendezvényeket látogatók harmada, a nem látogatóknak pedig a fele olvasta. Egy újságíró megkérdez két, találomra kiválasztott diákot az évfolyamról, hogy olvasták-e az Iskolaéletet. d) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a két megkérdezett diák közül az egyik látogatta az iskolanap rendezvényeit, a másik nem, viszont mindketten olvasták az Iskolaéletet? I. II. a) 2 pont b) 6 pont c) 2 pont d) 7 pont

Ö.: 17 pont III. írásbeli vizsga, II. összetevő 1012 10 / 16 2010. május 4 Matematika középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 11 / 16 1012 2010. május 4 Matematika középszint Név: . osztály: A 16-18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon lévő üres négyzetbe! 17. Statisztikai adatok szerint az 1997-es év utáni években 2003-mal bezárólag a világon évente átlagosan 1,1%-kal több autót gyártottak, mint a megelőző évben. A 2003-at követő években, egészen 2007-tel bezárólag évente átlagosan már 5,4%-kal gyártottak többet, mint a megelőző évben. 2003-ban összesen 41,9 millió autó készült. a) Hány autót gyártottak a világon 2007-ben? b) Hány autót gyártottak a világon 1997-ben? Válaszait százezerre kerekítve adja meg! 2008-ban az előző évhez képest csökkent a gyártott autók száma, ekkor a

világon összesen 48,8 millió új autó hagyta el a gyárakat. 2008-ban előrejelzés készült a következő 5 évre vonatkozóan. Eszerint 2013-ban 38 millió autót fognak gyártani Az előrejelzés úgy számolt, hogy minden évben az előző évinek ugyanakkora százalékával csökken a termelés. c) Hány százalékkal csökken az előrejelzés szerint az évenkénti termelés a 2008-at követő 5 év során? Az eredményt egy tizedes jegyre kerekítve adja meg! d) Elfogadjuk az előrejelzés adatát, majd azt feltételezzük, hogy 2013 után évente 3%-kal csökken a gyártott autók száma. Melyik évben lesz így az abban az évben gyártott autók száma a 2013-ban gyártottaknak a 76%-a? írásbeli vizsga, II. összetevő 1012 12 / 16 a) 4 pont b) 4 pont c) 4 pont d) 5 pont Ö.: 17 pont 2010. május 4 Matematika középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 13 / 16 1012 2010. május 4 Matematika középszint Név: .

osztály: A 16-18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon lévő üres négyzetbe! 18. Az egyik csokoládégyárban egy újfajta, kúp alakú desszertet gyártanak A desszert csokoládéból készült váza olyan, mint egy tölcsér. (Lásd ábra) 6 A külső és belső kúp hasonló, a hasonlóság aránya . A kisebb kúp adatai: alapkörének 5 sugara 1 cm, magassága 2,5 cm hosszú. a) Hány cm3 csokoládét tartalmaz egy ilyen csokoládéváz? A választ tizedre kerekítve adja meg! Az elkészült csokoládéváz üreges belsejébe marcipángömböt helyeznek, ezután egy csokoládéból készült vékony körlemezzel lezárják a kúpot. b) Hány cm a sugara a lehető legnagyobb méretű ilyen marcipángömbnek? A választ tizedre kerekítve adja meg! A marcipángömböket gyártó gép működése nem volt hibátlan. A mintavétellel végzett minőség-ellenőrzés kiderítette, hogy a

legyártott gömbök 10%-ában a marcipángömb mérete nem felel meg az előírtnak. c) A már legyártott nagy mennyiségű gömb közül 10-et kiválasztva, mekkora annak a valószínűsége, hogy a kiválasztottak között pontosan 4-nek a mérete nem felel meg az előírásnak? (A kérdezett valószínűség kiszámításához használhatja a binomiális eloszlás képletét.) írásbeli vizsga, II. összetevő 1012 14 / 16 a) 5 pont b) 7 pont c) 5 pont Ö.: 17 pont 2010. május 4 Matematika középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 15 / 16 1012 2010. május 4 Matematika középszint Név: . osztály: a feladat sorszáma maximális pontszám 13. 12 14. 12 15. 12 II./A rész elért pontszám összesen 17 II./B rész 17 ← nem választott feladat ÖSSZESEN 70 maximális pontszám I. rész 30 II. rész 70 Az írásbeli vizsgarész pontszáma 100 dátum elért pontszám javító tanár

elért pontszám egész számra kerekítve programba beírt egész pontszám I. rész II. rész javító tanár jegyző dátum dátum írásbeli vizsga, II. összetevő 1012 16 / 16 2010. május 4 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2010. május 4 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 1012 MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató Fontos tudnivalók Formai előírások: 1. A dolgozatot a vizsgázó által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak megfelelően jelölni a hibákat, hiányokat stb. 2. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőben a feladatra adható maximális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerül. 3. Kifogástalan

megoldás esetén elég a maximális pontszám beírása a megfelelő téglalapokba 4. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra. 5. Az ábrán kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti Tartalmi kérések: 1. Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit, és ennek alapján pontozzon. 2. A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók Az adható pontszámok azonban csak egész pontok lehetnek. 3. Nyilvánvalóan helyes gondolatmenet és végeredmény esetén maximális pontszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóban szereplőnél kevésbé részletezett. 4. Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes

gondolatmenet alapján tovább dolgozik, és a megoldandó probléma lényegében nem változik meg, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni. 5. Elvi hibát követően egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban kettős vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel mint kiinduló adattal helyesen számol tovább a következő gondolati egységben vagy részkérdésben, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot, ha a megoldandó probléma lényegében nem változott meg. 6. Ha a megoldási útmutatóban zárójelben szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes értékű a megoldás. 7. Egy feladatra adott többféle helyes megoldási próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhető. 8. A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális pontszámot

meghaladó pont) nem adható. 9. Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. 10. A vizsgafeladatsor II/B részében kitűzött 3 feladat közül csak 2 feladat megoldása értékelhető A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben – feltehetőleg – megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani Ha mégsem derül ki egyértelműen, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor automatikusan a kitűzött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz az, amelyet nem kell értékelni. írásbeli vizsga 1012 2 / 11 2010. május 4 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató I. 1. 1 pont jár, ha csak három helyes prímtényezőt ad meg. 2 pont Ha a négy

prímszám mellett az 1 is szerepel, 1 pont jár. Egyéb téves vagy hiányos megoldásért nem jár pont. 2, 3, 5 és 67. Összesen: 2 pont Összesen: 2 pont 2 pont 2. 5 ; –5 3. Az átlag fogalmának helyes használata. Az átlag: ≈168,3 cm. Az átlagmagassághoz legközelebb Marci magassága van. Összesen: 1 pont 1 pont 1 pont 3 pont 4. A helyes válasz betűjele: B Összesen: 2 pont 2 pont 5. Felsorolás: MTABN MTBAN AMTBN BMTAN ABMTN BAMTN Ha egy hibát ejt (rossz esetet felsorol, vagy jót 2 pont kihagy), 1 pont, több hiba esetén nem kap pontot. Összesen: Jó válasz esetén jár a 2 pont attól függetlenül, hogy a 2 pont feladatlapon a felsorolást a vizsgázó hova írta le. 6. Az alaphoz tartozó magasság felezi az alapot. A keletkező derékszögű háromszögben a keresett α 2,5 szögre cos α = ( ≈ 0,4167). 6 Az alapon fekvő szögek ≈ 65º-osak. Összesen: írásbeli vizsga 1012 3 / 11 1 pont Az indoklás ábrára is 1 pont támaszkodhat.

Nem megfelelően 1 pont kerekített szög esetén nem jár a pont. 3 pont 2010. május 4 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 7. A berajzolt élek: A-D és D-F A-F és D-D (hurokél) is jó megoldás. 2 pont A 2 pont nem bontható. 2 pont Összesen: 8. p= 5 (≈ 0,56; 56%) 9 2 pont A 2 pont nem bontható. Összesen: 2 pont 9. A megoldások: -2π; -π; 0; π; 2π. A megadott alaphalmazon dolgozik: 1 pont. A szögeket radiánban adja 3 pont meg: 1pont. Az alaphalmazból minden gyököt megad: 1 pont. Összesen: 3 pont Összesen: 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 4 pont 10. A: igaz B: hamis C: igaz D: igaz 11. ⎛5⎞ Sárának összesen ⎜⎜ ⎟⎟ , azaz 10 féle tippje lehet (és ⎝ 2⎠ ezek mindegyike ugyanakkora valószínűségű). Ezek közül a {10; 53} pár a helyes. 1 (= 0,1 = 10%) . A keresett valószínűség: 10 Összesen: 1 pont 1 pont 1 pont 3 pont 12. A: igaz B: hamis Összesen: írásbeli vizsga 1012 4 / 11 1 pont 1 pont 2

pont 2010. május 4 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató II./A 13. (Jelölje a két keresett számot x és y.) x+ y , A számtani közép 2 A mértani közép x ⋅ y . 1 pont 1 pont x + y = 16 , x ⋅ y = 23,04 . y = 16–x; (16–x)x = 23,04 Az egyenletrendszerből adódó másodfokú egyenlet x 2 − 16x + 23,04 = 0 , 1 pont 1 pont 1 pont melynek gyökei az x1=1,6 és x2=14,4. 2 pont y1=14,4 és y2=1,6 2 pont Helyes gyökönként 1-1 pont. A 2 pont akkor is jár, ha a 2 pont keresett számok szimmetriájára hivatkozik. A két szám az 1,6 és a 14,4. Megfogalmazott válasz, 1 pont vagy ellenőrzött számpár esetén jár a pont. Összesen: 12 pont 14. a) Az egyenes átmegy az origón, m = 4 = −2 ; −2 Egyenlete: y = −2x Összesen: Bármelyik alakban megadott helyes egyenletért 1 pont 2 pont adható. 2 pont 1 pont 14. b) A háromszög legnagyobb szöge a legnagyobb oldallal szemben van (vagy mindhárom szöget kiszámolja). Az

oldalhosszúságok: AB = 20 , AC = 41 , BC = 37 . 1 pont 2 pont Két szakaszhossz jó kiszámítása 1 pont. Az AC-vel szemben levő szög legyen β. Alkalmazva a koszinusz tételt: A jelölés a megoldás 1 pont menetéből is kiderülhet. Skaláris szorzattal: 41 = 20 + 37 − 2 20 ⋅ 37 cos β . 1 pont c = BA =(2 ; –4), a= BC =(6 ; 1). cos β ≈ 0,2941, 1 pont β ≈ 72,9°. Összesen: írásbeli vizsga 1012 5 / 11 ca=12–4=8, tehát cos β= 8 = ≈0,2941. 1 pont 20 ⋅ 37 A szögnek egyéb helyes 7 pont kerekítéssel megadott nagysága is elfogadható. 2010. május 4 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 14. c) első megoldás A háromszög egy területképlete: t = AB ⋅ BC ⋅ sin β . 2 20 ⋅ 37 ⋅ sin 72,9° . 2 A háromszög területe 13 (területegység). t≈ 1 pont 1 pont Összesen: 1 pont 3 pont 14. c) második megoldás Foglaljuk egy 6·5-ös téglalapba a háromszöget! y C B 3 10 4 A x A téglalap területe

30. 1 pont Vonjuk le ebből három derékszögű háromszög területét, így megkapjuk az ABC háromszög területét. A háromszög területe: 30–3–4–10=13. Összesen: írásbeli vizsga 1012 6 / 11 Ha ez a gondolat a 1 pont megoldás során derül ki, akkor is jár a pont. 1 pont 3 pont 2010. május 4 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 15. a) y 1 x 1 A függvény helyes grafikonja. A leszűkítés helyes végpontokkal. Összesen: Helyesen megjelenített transzformáció lépésenként 1 pont. Pontonkénti ábrázolás 3 pont esetén: jó a töréspont két koordinátája 1-1 pont; mindkét szár meredeksége jó 1 pont. 1 pont 4 pont 15. b) Ha bármelyik végpont értéke hibás, 0 pontot kap. Ha a nullát kihagyja az értékkészletből, 1 pontot 2 pont veszít. Ha nem helyesen adja meg valamelyik végpont lezárását, 1 pontot veszít. Az értékkészlet a [− 1; 3] intervallum, a függvény zérushelye az ( x = ) 5 .

Összesen: 1 pont 3 pont 15. c) P nincs a grafikonon, mert pl. − 3,2 − 2 + 3 = 1,8 1 pont 1 pont Összesen: 2 pont 15. d) x –0,5 0 1,7 2 2,02 4 5,5 − x−2 +3 0,5 1 2,7 3 2,98 1 –0,5 Sorba rendezés: –0,5; 0,5; 1; 1; 2,7; 2,98; 3. A medián 1. Összesen: írásbeli vizsga 1012 7 / 11 1 pont Ez a pont akkor is jár, ha 1 pont a mediánt rendezés nélkül jól állapítja meg. 1 pont 3 pont 2010. május 4 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató II./B 16. a) 31 tanuló olvasta mindhárom kiadványt. 2 pont A 2 pont nem bontható. 2 pont Összesen: 16. b) I. II. (0 fő) 62 fő 31 fő 31 fő 93 fő 124 fő 31 fő III. A Venn−diagramban a három halmaz metszetének a kitöltéséért nem jár pont, a többi tartomány helyes kitöltéséért 1-1 pont jár. Összesen: 6 pont 6 pont 16. c) ( 372 fő, tehát ) a tanulók 60 %-a olvasta legalább az egyik kiadványt. Összesen: 2 pont Ha a választ nem %-kal adja

meg, 1 pontot kap. 2 pont 16.d ) 84 fő látogatta, 42 fő nem látogatta a rendezvényeket. Közülük 28 fő, illetve 21 fő olvasta az Iskolaéletet. ⎛126 ⎞ ⎟⎟ –féleképpen A két megkérdezett diák ⎜⎜ ⎝ 2 ⎠ választható ki (összes eset). ⎛ 28 ⎞ A rendezvényt látogatók közül ⎜⎜ ⎟⎟ -féle olyan ⎝1⎠ ⎛ 21⎞ diák, a nem látogatók közül ⎜⎜ ⎟⎟ -féle olyan diák ⎝1⎠ választható, aki olvasta az Iskolaéletet. A kedvező esetek száma tehát 28·21. 28 ⋅ 21 A keresett valószínűség: ≈ ⎛126 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ ≈0,075(=7,5%). Összesen: írásbeli vizsga 1012 8 / 11 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont A kevésbé részletezett helyes gondolatmenet is 1 pont 3 pont. 1 pont 1 pont 7 pont 2010. május 4 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 17. a) Az évenkénti növekedés szorzószáma (növekedési ráta) 1,054. Ha ez a gondolat a 1 pont megoldás során derül ki, akkor is jár a

pont. 2003-at követően a 2007-es évvel bezárólag 4 év telik el. 1 pont 41,9 ⋅ 1,054 4 (≈ 51,71) 1 pont A 2007-es évben kb. 51,7 millió autót gyártottak Összesen: A helyes kerekítéssel 1 pont megadott jó válaszért jár a pont. 4 pont 17. b) A 2003-at megelőző évekre évenként 1,011-del kell osztani. 1997 után a 2003-as évvel bezárólag 6 év telik el. 41,9 (≈ 39,24 millió) 1,0116 1997-ben kb. 39,2 millió autót gyártottak Ha ezek a gondolatok a megoldás során derülnek ki, akkor is járnak a 1 pont pontok. 1 pont 1 pont 1 pont Összesen: 4 pont Kerekítési hibáért a 17. a) és 17 b) feladat értékelésekor összesen csak 1 pont vonható le 17. c) Az évenkénti csökkenés szorzószáma legyen x. 2008 után a 2013-as évvel bezárólag 5 év telik el. 48,8·x5= 38, x 5 ≈ 0,779 x ≈ 5 0,779 (≈ 0,951 ) Az évenkénti százalékos csökkenés kb. 4,9 % Összesen: 1 pont A jelölés a megoldás menetéből is kiderülhet. 1 pont 1

pont 1 pont 4 pont 17. d) Ha 2013 után y év múlva lesz 76%-a az éves autószám, akkor 0,97 y = 0,76 . Mindkét oldal tízes alapú logaritmusa is egyenlő. y lg 0,97 = lg 0,76, y ≈ 9,01 . Kb. 9 év múlva, tehát 2022-ben csökkenne az évi termelés a 2013-as évinek a 76%-ára. Összesen: írásbeli vizsga 1012 9 / 11 1 pont Ha ez a gondolat a 1 pont megoldás során derül ki, akkor is jár a pont. 1 pont 1 pont Az adatok közelítő értéke 1 pont miatt a 10. év is elfogadható válaszként. 5 pont 2010. május 4 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 18. a) Ha ez a gondolat a 1 pont megoldás során derül ki, akkor is jár a pont. Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbével egyezik meg. 3 Vkülső Vbelső ⎛6⎞ = ⎜ ⎟ ⋅ Vbelső ⎝5⎠ 12 ⋅ π ⋅ 2,5 = (≈ 2,62 cm 3 ) 3 1 pont 1 pont 3 ⎛6⎞ Vkülső = ⎜ ⎟ ⋅ Vbelső (≈ 4,52cm3 ) ⎝5⎠ Vkülső − Vbelső ≈ 1,9 cm 3 Egy

csokoládéváz kb. 1,9 cm3 csokoládét tartalmaz Összesen: 1 pont 1 pont 5 pont 18. b) első megoldás C E . O A . B F A legnagyobb sugarú gömb a belső kúp beírt gömbje. A kúp és a beírt gömbjének tengelymetszete egy egyenlő szárú háromszög (amelynek alapja 2 cm, magassága 2,5 cm hosszú), illetve annak a beírt köre. Az ábra jelöléseit használva: AFC háromszög hasonló az OEC háromszöghöz, ezért AF OE = . AC OC (Alkalmazva Pitagorasz tételét az AFC háromszögre, adódik:) AC = 7 , 25 ( ≈ 2,7 cm ) A beírt kör sugarát R-rel jelölve: 2,5 − R = 1 R . = 7,25 2,5 − R 7 , 25 ⋅ R 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 3,7 R ≈ 2,5 , ebből R ≈ 0,68 cm Tehát a lehető legnagyobb marcipángömb sugara kb. 0,7 cm. Összesen: írásbeli vizsga 1012 1 pont Ha ezek a gondolatok a megoldás során derülnek 1 pont ki, akkor is járnak a pontok. 10 / 11 1 pont 7 pont 2010. május 4 Matematika középszint Javítási-értékelési

útmutató 18. b) második megoldás C O α 2 A α 2 . F A legnagyobb sugarú gömb a belső kúp beírt gömbje. A kúp és a beírt gömbjének tengelymetszete egy egyenlő szárú háromszög (amelynek alapja 2 cm, magassága 2,5 cm hosszú), illetve annak a beírt köre. FC tg α = = 2,5 AF α ≈ 68,2o α 2 = OF AF 1 pont Ha ezek a gondolatok a megoldás során derülnek 1 pont ki, akkor is járnak a pontok. 1 pont 1 pont Ha ez a gondolat a 1 pont megoldás során derül ki, akkor is jár a pont. AO felezi az α szöget. tg B (OF ≈ 0,68 cm) 1 pont Tehát a lehető legnagyobb marcipángömb sugara kb. 0,7 cm. Összesen: 1 pont 7 pont 18. c) Annak a valószínűsége, hogy egy kiválasztott gömb nem az előírt méretű 0,1. Annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott az előírásnak megfelelő méretű 0,9. ⎛n⎞ A keresett valószínűséget az ⎜⎜ ⎟⎟ p k (1 − p ) n − k ⎝k ⎠ képlettel számolhatjuk ki, ahol n = 10 , k = 4 , p = 0,1. A

keresett valószínűség: ⎛10 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ 0,14 ⋅ 0,9 6 = 210 ⋅ 0,14 ⋅ 0,9 6 ≈ 0,011. ⎝4 ⎠ Összesen: írásbeli vizsga 1012 11 / 11 1 pont Ha ezek a gondolatok a 1 pont megoldás során derülnek ki, akkor is járnak a pontok. 1 pont 1 pont Fogadjuk el a választ 1 pont különböző pontosságú helyes kerekítésekkel. Jár az 5 pont, ha a konkrét 5 pont esetet elemezve használ helyes modellt. 2010. május 4