Comments
2007 · 6 page(s) (149 KB)
Hungarian
58
June 29 2010
Logging in required
Embed
No comments yet. You can be the first!
What did others read after this?
Content extract
Jelek és rendszerek 2. gyakorlatok (2. gyakorlat: Fourier approximáció) 2007. március 1 Schiffer Ádám PTE PMMK MIT adam@morpheus.ptehu 1. A Fourier sor, Fourier approximáció A Fourier analı́zisen belül a folytonos idejű (FI), periodikus jelekre vonatkozóan a Fourier sorfejtést illetve approximációt alkalmazzuk. Adott periodikus jel esetén adott T (sec) periódusidő esetén a frekvencia f = 1/T (Hz) és a körfrekvencia ω = 2πf = 2π/T (rad/sec) is számı́tható. A szuperpozı́ció segı́tségével a Fourier felbontásnál egy T szerint periodikus f (t) jelet felbontunk n · f, n ∈ Z+ frekvenciájú harmonikus függvények (szinusz, koszinusz) összegére. Az n = 1 esetén kapott harmonikust alapharmonikusnak, n > 1 esetén a harmonikusokat felharmonikusoknak nevezzük. A fentiekből látszik, hogy a felharmonikusok frekvenciája csak az alapharmonikus frekvenciájának egész számú többszöröse
(n-szerese) lehet. Fourier sorfejtésről akkor beszélünk, ha a harmonikusok száma végtelen (N = ∞), Fourier approximációról (közelı́tésről) pedig véges számú harmonikus esetén beszélünk. Létezik a Fourier felbontásnak valós illetve komplex alakja is. Egy folytonos, periodikus f (t) függvény N -ed rendű valós Fourier approximációja a következő: 1 f (t) ∼ = fN (t) = a0 + N X an cos(nωt) + bn sin(nωt), (1) n=1 Z 1 T f (t)dt, a0 = T 0 Z T 2 f (t)cos(nωt)dt, an = T 0 Z 2 T f (t)sin(nωt)dt, bn = T 0 (2) (3) (4) ahol a0 az úgynevezett egyszerű középérték (vagy DC offszet), an és bn pedig a Fourier együtthatók. A fenti együtthatók számı́tásánál [0, T ] integrálási határ lett figyelembe véve, azonban ez tetszőlegesen, egy teljes periódusra megválasztható. Így néha az integrálás megkönnyı́tése végett célszerű például [−T /2, T /2] , [−T /4, 3T
/4], vagy egyéb teljes periódusidőre értelmezett integrálási határokat figyelembe venni. Ha f (t) páros függvény, vagyis f (−t) = f (t), akkor szinuszos harmonikusok nincsenek, vagyis bn = 0. Ha f (t) páratlan, illetve a0 középértékkel eltolt akkor koszinuszos harmonikusok nincsenek, vagyis an = 0. Az N -ed rendű közelı́tés hibáját egyszerű négyzetes hibával számı́thatjuk: HN = 1 T Z T (f (t) − fN (t))2 dt. (5) 0 A Fourier felbontás komplex alakjához felhasználjuk az Euler-relációt, miszerint: ejϕ + e−jϕ , 2 ejϕ − e−jϕ . sin(ϕ) = 2j cos(ϕ) = (6) (7) Elsőként a valós Fourier felbontásnál (1) vegyük észre, hogy a0 bevihető a szumma alá, mivel sin(0) = 0 és cos(0) = 1: f (t) ∼ = fN (t) = N X an cos(nωt) + bn sin(nωt). (8) n=0 Majd (6)-t felhasználva a fenti összeg továbbı́rható: f (t) ∼ = fN (t) = N X n=0 an enjωt − e−njωt enjωt + e−njωt + bn . 2 2j
2 (9) A komplex exponenciális függvényeket kiemelve a következő összefüggéshez jutunk: ¶ ¶ µ bn bn an an −njωt + +e − e 2 2j 2 2j n=0 ¶ ¶ µ µ N X an − jbn an + jbn + e−njωt . = enjωt 2 2 n=0 f (t) ∼ = fN (t) = N X µ njωt (10) (11) Bevezetve az úgynevezett komplex együtthatót: cn = an − jbn , 2 (12) melyből: f (t) ∼ = fN (t) = N X cn enjωt + c∗n e−njωt . (13) n=0 A fenti egyenletben c∗n a cn komplex együttható komplex konjugáltját jelenti. Figyelembe véve, hogy f (t) valós függvény, ı́gy: c−n = c∗n . (14) Ez alapján a komplex Fourier felbontás a következő: f (t) ∼ = fN (t) = N X cn enjωt . (15) n=−N A komplex Fourier együtthatót meghatározva: cn = 2. Z Z 1 T an − jbn 1 T = f (t)cos(nωt)dt − j f (t)sin(nωt)dt 2 T 0 T 0 Z Z 1 T 1 T f (t)(cos(nωt) − jsin(nωt)) = f (t)e−njωt dt. = T 0 T 0 (16) (17) Példa Határozzuk meg az alábbi függvény
negyedrendű approximációját, határozzuk meg a közelı́tés hibáját! Elsőként határozzuk meg a periodikus jel frekvenciáját: T = 20 sec, f = 1/20 Hz, ω = 2π/20 rad/s. Könnyen belátható, hogy a0 = 0 és a függvény paritása miatt an = 0, bn együttható pedig a következő képen számı́tható bn = 2 20 Z 10 t · sin(nωt)dt −10 3 (18) 10 8 6 4 f(t) 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −20 −10 0 t 10 20 1. ábra Folytonos, periodikus jel a példa feladathoz Parciális integrálás szabályát felhasználva, miszerint: Z b Z b u(t)v 0 (t)dt = [u(t)v(t)]ba − u0 (t)v(t)dt. a (19) a Ebben az esetben célszerűen a következőket válasszuk: u(t) = t, v 0 (t) = . Ezek alapján: sin(nωt), amelyekből: u0 (t) = 1, v(t) = −cos(nωt) nω (· ) ¸10 Z 10 cos(nωt) −cos(nωt) 2 −t − dt . (20) bn = 20 nω nω −10 −10 Felhasználva, miszerint ω = 2π/20 rad/s: µ ¶ cos(n2π10/20) cos(−n2π10/20)
2 −10 − 10 (21) bn = 20 n2π/20 n2π/20 1 −20 10 cos(nπ) + 2 2 [sin(nωt)]−10 = (22) n ω nπ Ezek alapján a komplex együtthatók illetve ebből képzett amplitúdó és fázisértékek a következők: n 1 2 3 4 f (Hz) 0.05 0.15 0.15 0.20 an 0 0 0 0 bn cn |cn | ϕn 6,36 - 3,18i 3,18 −π/2 -3,18 1,59i 1,59 π/2 2,12 - 1,06i 1,06 −π/2 -1,59 0,79i 0,79 π/2 4 10 8 6 4 f(t) 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −20 −10 0 t 10 20 2. ábra A fűrészfog jel negyedrendű approximációja 3.5 3 2.5 |cn| 2 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 f (Hz) 0.6 0.8 3. ábra A fűrészfog jel amplitúdó spektruma 5 2 1.5 1 φ n 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 0 0.2 0.4 f (Hz) 0.6 0.8 4. ábra A fűrészfog jel fázis spektruma 6
(n-szerese) lehet. Fourier sorfejtésről akkor beszélünk, ha a harmonikusok száma végtelen (N = ∞), Fourier approximációról (közelı́tésről) pedig véges számú harmonikus esetén beszélünk. Létezik a Fourier felbontásnak valós illetve komplex alakja is. Egy folytonos, periodikus f (t) függvény N -ed rendű valós Fourier approximációja a következő: 1 f (t) ∼ = fN (t) = a0 + N X an cos(nωt) + bn sin(nωt), (1) n=1 Z 1 T f (t)dt, a0 = T 0 Z T 2 f (t)cos(nωt)dt, an = T 0 Z 2 T f (t)sin(nωt)dt, bn = T 0 (2) (3) (4) ahol a0 az úgynevezett egyszerű középérték (vagy DC offszet), an és bn pedig a Fourier együtthatók. A fenti együtthatók számı́tásánál [0, T ] integrálási határ lett figyelembe véve, azonban ez tetszőlegesen, egy teljes periódusra megválasztható. Így néha az integrálás megkönnyı́tése végett célszerű például [−T /2, T /2] , [−T /4, 3T
/4], vagy egyéb teljes periódusidőre értelmezett integrálási határokat figyelembe venni. Ha f (t) páros függvény, vagyis f (−t) = f (t), akkor szinuszos harmonikusok nincsenek, vagyis bn = 0. Ha f (t) páratlan, illetve a0 középértékkel eltolt akkor koszinuszos harmonikusok nincsenek, vagyis an = 0. Az N -ed rendű közelı́tés hibáját egyszerű négyzetes hibával számı́thatjuk: HN = 1 T Z T (f (t) − fN (t))2 dt. (5) 0 A Fourier felbontás komplex alakjához felhasználjuk az Euler-relációt, miszerint: ejϕ + e−jϕ , 2 ejϕ − e−jϕ . sin(ϕ) = 2j cos(ϕ) = (6) (7) Elsőként a valós Fourier felbontásnál (1) vegyük észre, hogy a0 bevihető a szumma alá, mivel sin(0) = 0 és cos(0) = 1: f (t) ∼ = fN (t) = N X an cos(nωt) + bn sin(nωt). (8) n=0 Majd (6)-t felhasználva a fenti összeg továbbı́rható: f (t) ∼ = fN (t) = N X n=0 an enjωt − e−njωt enjωt + e−njωt + bn . 2 2j
2 (9) A komplex exponenciális függvényeket kiemelve a következő összefüggéshez jutunk: ¶ ¶ µ bn bn an an −njωt + +e − e 2 2j 2 2j n=0 ¶ ¶ µ µ N X an − jbn an + jbn + e−njωt . = enjωt 2 2 n=0 f (t) ∼ = fN (t) = N X µ njωt (10) (11) Bevezetve az úgynevezett komplex együtthatót: cn = an − jbn , 2 (12) melyből: f (t) ∼ = fN (t) = N X cn enjωt + c∗n e−njωt . (13) n=0 A fenti egyenletben c∗n a cn komplex együttható komplex konjugáltját jelenti. Figyelembe véve, hogy f (t) valós függvény, ı́gy: c−n = c∗n . (14) Ez alapján a komplex Fourier felbontás a következő: f (t) ∼ = fN (t) = N X cn enjωt . (15) n=−N A komplex Fourier együtthatót meghatározva: cn = 2. Z Z 1 T an − jbn 1 T = f (t)cos(nωt)dt − j f (t)sin(nωt)dt 2 T 0 T 0 Z Z 1 T 1 T f (t)(cos(nωt) − jsin(nωt)) = f (t)e−njωt dt. = T 0 T 0 (16) (17) Példa Határozzuk meg az alábbi függvény
negyedrendű approximációját, határozzuk meg a közelı́tés hibáját! Elsőként határozzuk meg a periodikus jel frekvenciáját: T = 20 sec, f = 1/20 Hz, ω = 2π/20 rad/s. Könnyen belátható, hogy a0 = 0 és a függvény paritása miatt an = 0, bn együttható pedig a következő képen számı́tható bn = 2 20 Z 10 t · sin(nωt)dt −10 3 (18) 10 8 6 4 f(t) 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −20 −10 0 t 10 20 1. ábra Folytonos, periodikus jel a példa feladathoz Parciális integrálás szabályát felhasználva, miszerint: Z b Z b u(t)v 0 (t)dt = [u(t)v(t)]ba − u0 (t)v(t)dt. a (19) a Ebben az esetben célszerűen a következőket válasszuk: u(t) = t, v 0 (t) = . Ezek alapján: sin(nωt), amelyekből: u0 (t) = 1, v(t) = −cos(nωt) nω (· ) ¸10 Z 10 cos(nωt) −cos(nωt) 2 −t − dt . (20) bn = 20 nω nω −10 −10 Felhasználva, miszerint ω = 2π/20 rad/s: µ ¶ cos(n2π10/20) cos(−n2π10/20)
2 −10 − 10 (21) bn = 20 n2π/20 n2π/20 1 −20 10 cos(nπ) + 2 2 [sin(nωt)]−10 = (22) n ω nπ Ezek alapján a komplex együtthatók illetve ebből képzett amplitúdó és fázisértékek a következők: n 1 2 3 4 f (Hz) 0.05 0.15 0.15 0.20 an 0 0 0 0 bn cn |cn | ϕn 6,36 - 3,18i 3,18 −π/2 -3,18 1,59i 1,59 π/2 2,12 - 1,06i 1,06 −π/2 -1,59 0,79i 0,79 π/2 4 10 8 6 4 f(t) 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −20 −10 0 t 10 20 2. ábra A fűrészfog jel negyedrendű approximációja 3.5 3 2.5 |cn| 2 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 f (Hz) 0.6 0.8 3. ábra A fűrészfog jel amplitúdó spektruma 5 2 1.5 1 φ n 0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 0 0.2 0.4 f (Hz) 0.6 0.8 4. ábra A fűrészfog jel fázis spektruma 6
When reading, most of us just let a story wash over us, getting lost in the world of the book rather than paying attention to the individual elements of the plot or writing. However, in English class, our teachers ask us to look at the mechanics of the writing.
