Electronics | Higher education » Stacionárius áram elektromos tere

3. STACIONÁRIUS ÁRAM ELEKTROMOS TERE Az előzőekben, időben állandó és nyugalomban lévő töltések elektromos terét vizsgáltuk, most egyenletes sebességgel mozgó töltések, a vezetőben folyó áram keltette elektromos és mágneses teret vizsgáljuk. 3.1 Az áramlási tér forrásmennyisége, az elektromos áram Ha két ellentétes elektróda között a teret szigetelőanyag tölti ki, akkor a töltések nem modulnak el, ha azonban a két elektródát összekötjük egy vezetővel, akkor megindul a töltések áramlása, vagyis áram folyik. Az áram iránya megállapodásszerűen a pozitív töltések áramlási iránya. Sokszor az áram fogalmát a töltések mozgásától függetlenül is értelmezzük Ha egy ∆a felületen ∆t idő alatt ∆Q töltés áramlik át, (3.1 ábra), akkor a felület árama a következőképpen határozható meg, ∆Q dQ(t ) = , dt ∆t 0 ∆t I = lim [I ] = 1A . Az áram mértékegysége a nemzetközi SI mértékegység rendszerben

az amper, 1A = 1C s . 3.1 ábra Az áram fogalmának értelmezése 3.2 ábra Az áram jelenléte erőhatással mutatható ki Egy vezetőben az áram jelenlétét az áramjárta vezetők között fellépő erőhatás alapján lehet érzékelni (3.2 ábra), r I I 1 F =µ 1 2 , 2π d As H = 1,2566 ⋅ 10 − 6 a Vm m vákuum permeabilitása és µ r a relatív permeabilitás, levegőre µ r = 1 . Két áramjárta vezető között ha azokban az áramirány megegyezik vonzóerő, ha ellenkező taszító erő lép fel (3.2 ábra) ahol µ = µ 0 µ r anyagállandó, a permeabilitás, ahol µ 0 = 4π ⋅ 10 − 7 3. Fejezet, Stacionárius áram elektromos tere 69 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3.11 Árammodellek A stacionárius elektromos tér tárgyalása során különböző áram modelleket alkalmazunk. (i) Az áramsűrűség. Ha az a keresztmetszetű vezeték

∆a elemi felületén ∆I erősségű áram folyik át, akkor a keresztmetszeten átfolyó áramsűrűség a ponttá zsugorított felületelemen átlépő áram értéke lesz (3.3 ábra) r ∆I , J n (r ) = lim ∆a 0 ∆a [J ] = 1 A m2 , (3.1) r r ahol az áramsűrűség mértékegysége az A/m 2 . Egy a felületen átfolyó I árama a dI = J ⋅ da elemi áramok összegével, vagyis az a felületre vett integráljával határozható meg r r r I = ∫ J (r ) ⋅ da . a 3.3 ábra Az áramsűrűség értelmezése 3.4 ábra A felületi áramsűrűség értelmezése 3.5 ábra A vonalszerű áram értelmezése (ii) A felületi áramsűrűség. Ha az áram olyan felületen folyik át, amelynek egyik mérete r r elhanyagolhatóan kicsi, akkor az áram eloszlását a K (r ) felületi áramsűrűséggel r modellezzük, (3.4 ábra) Az n vektor az áramsűrűség és a vonaldarab által meghatározott síkban a vonaldarabra merőleges r r ∆I A K n = K ⋅ n = lim , [K n ] = 1 . m

∆l 0 ∆l Ekkor a felületen átfolyó áram a felületi áramsűrűségnek a vonaldarabra vett integrálja r r r I = ∫ K (r ) ⋅ n dl l (iii) A vonalszerű áram. Szokásos még a kis keresztmetszetű áramvezetőn átfolyó áramot vonalszerű áramként modellezni (3.5 ábra) Valamely felületen átfolyó összes áram az egyes árammodellekből származó áramok összege N r r r r r I = ∫ J (r ) da + ∫ K (r ) ⋅ n dl + ∑ I k . a l k =1 r (iv) Töltéshordozók árama. A v sebességgel mozgó töltések is áramot hoznak létre A ∆a r r felületen ∆t idő alatt átáramló töltés a ∆v = ∆a ⋅ v ∆t térfogatú hasábban helyezkedik el, (3.6 ábra) ahonnan az áramsűrűségnek a felületre merőleges komponense a 70 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Jn = ρ∆a ⋅ vn ∆t 1 ∆I ∆Q ∆t ρ∆v 1 = = = = ρ

vn , ∆a ∆a ∆t ∆a ∆t ∆a és így az áramsűrűség vektora r r J = ρv . (3.2) r Az egyes töltéshordozók sebessége általában nem egyforma, ekkor a v sebesség r átlagsebességet jelent. Ha a ρ (+ ) pozitív töltések sebessége v (+ ) és a ρ (− ) negatív töltések r v (− ) sebességgel áramlanak, akkor r r r J = ρ (+ )v (+ ) + ρ (− )v (− ) . 3.6 ábra A töltéshordozók árama 3.7 ábra Stacionárius térben zárt felület árama nulla 3.2 A stacionárius áramlási tér gerjesztettsége és intenzitása 3.21 A stacionárius elektromos tér gerjesztettsége Az áramsűrűségre vonatkozó törvényszerűségeket a töltésmegmaradás elve alapján állapíthatjuk meg. Ha a töltések állandó sebességgel áramlanak, akkor valamely zárt felülettel határolt térrészbe ugyanannyi töltés lép be, mint amennyi kilép (3.7 ábra), azaz az áramsűrűség vonalak zártak. Ez azt jelenti, hogy bármely időpillanatban a térrészt határoló

zárt felület árama, azaz az áramsűrűségnek a zárt felületre vett összege, integrálja nulla r r (3.3) ∫ J ⋅ da = 0. a Ha a felületen csak I k , k = 1,2,L, n vonalszerű áram lép be ill. ki, akkor a töltésmegmaradás elve alapján (minthogy a töltés anyagi részecskék jellemzője, így az anyagmegmaradás elvét is reprezentálja) a felületi integrál helyett, a vonalszerű áramok összege nullát eredményez n ∑ Ik = 0 , k =1 (3.4) azaz a felületbe belépő és onnan kilépő áramok algebrai összege nulla. A fenti összefüggés a villamos hálózatok számításának egyik alaptörvénye, a Kichhoff csomóponti törvény. Ezek szerint a hálózatszámítás Kichhoff csomóponti törvénye a töltés, ill. anyag megmaradási törvény villamos hálózatokra általánosított alakja. 3.22 A stacionárius áramlási tér intenzitása A vezető belsejében a töltések mozgatásához erőre van szükség. A töltésre ható erőt továbbra is az

elektromos térerősséggel fejezhetjük ki 3. Fejezet, Stacionárius áram elektromos tere 71 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ r r F =QE. Időben állandó áramlás esetén, a vezető elsejében a töltésnek egy zárt görbe mentén való elmozdítása továbbra is nulla munkavégzést jelent, azaz az elektrosztatikához hasonlóan az elektromos térerősségnek egy zárt görbére vett integrálja nulla r r ∫ E ⋅ dl = 0 . l A fenti összefüggés szerint két pont között fellépő feszültség ugyancsak független az integrálási úttól, csak a végpontok helyzetétől függ, és azok potenciáljainak különbségével adható meg Br r U AB = ∫ E ⋅ dl = Φ A − Φ B . A Valamely pont potenciálja továbbra is az önkényesen megválasztott 0 referencia ponthoz képesti potenciális munkavégzéssel arányos 0 r r Φ A = ∫ E ⋅ dl . A

3.3 Vezető anyag elektromos térben (i) Az anyagok fajlagos vezetőképességének modellje. Ha egy e elektront egy vezető r közegbe helyezünk, ahol E elektromos tér van jelen, az elektron r r ve = µ e E drifft sebességgel mozog (3.8 ábra), ahol µ e az elektron mozgékonysága Figyelembe véve, hogy a töltések mozgása elektromos áramsűrűséget eredményez, r r r r J = ρ ve = ρµ e E = σE r az áramsűrűség arányos lesz az E külső elektromos térrel és a vezető közegre jellemző σ = ρµ e fajlagos vezetőképességével, ahonnan a differenciális Ohm törvény egyszerűsített alakjához jutunk r r A V S J = σE , [σ ] = 1 =1 . (3.5) m m2 m r (ii) Az ellenállás. Egy vezető anyag dl hosszúságú szakaszán mérhető dU feszültségesés kifejezhető a vezető szakaszon folyó árammal r r r J r I dl dl dU = E ⋅ dl = dl = =I = I dR , aσ σ σa ahonnan a vezető szakasz elemi hosszának ellenállása dR = dl dl =ρ , σa a [ρ ] = 1 Ω mm m 2 ,

72 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ahol ρ = 1 σ az anyag fajlagos ellenállása (3.9 ábra) Homogén közeg és állandó keresztmetszet esetén az l hosszúságú vezető ellenállása az elemi szakaszok ellenállásainak összege, integrálja dl l =ρ , a lσ a R=∫ [R] = 1 Ω . (3.6) 3.8 ábra Az áramsűrűség értelmezése 3.9 ábra A felületi áramsűrűség értelmezése 3.10 ábra A vonalszerű áram értelmezése Ha valamely R ellenállású vezetőn I áram folyik át, akkor a vezetőn az Ohm törvény szerint feszültség lép fel, U = RI , I = GU , G = 1 R , (3.7) ahol G az anyag vezetése, az ellenállás reciproka. (iii) A fajlagos ellenállás hőmérséklet függése. A vezető anyagok ellenállása erősen függ a hőmérséklettől, ui. a hőmérséklet változásával megváltozik a vezető anyag mérete, a

vezető hossza és keresztmetszete. Közönséges, ϑ0 szoba hőmérsékleten és nem nagyon nagy intervallumban a legtöbb fém fajlagos ellenállás megváltozása arányos a hőmérséklet változással ρ (ϑ ) − ρ (ϑ0 ) = α (ϑ − ϑ0 ) , ρ (ϑ0 ) ahonnan valamely vezető anyag ϑ hőmérsékleten a fajlagos ellenállása a következő módón határozható meg ρ (ϑ ) = ρ (ϑ0 )(1 + α (ϑ − ϑ0 )), [α ] = 1 1 Co , ahol ρ (ϑ0 ) az anyag fajlagos vezetőképessége valamely referencia hőmérsékleten, általában szoba hőmérsékletet szoktak tekinteni ϑ0 = 20 C o , α az ellenállás hőfok tényezője ϑ0 hőfokon (3.10 ábra) Ezzel kis hőmérsékleti ingadozás esetén a ϑ0 hőmérsékleten R0 ellenállású vezeték ellenállása a fajlagos vezetőképességgel arányosan változik R(ϑ ) = R0 [1 + α 0 (ϑ − ϑ0 )], R0 = R(ϑ0 ) . Ha azonban a hőmérséklet intervallum nagy, akkor a vezető anyagok hőmérséklet függését Taylor sorral szokás

közelíteni, ( ) ρ (ϑ ) = ρ (ϑ0 ) 1 + α (ϑ − ϑ0 ) + β (ϑ − ϑ0 )2 + γ (ϑ − ϑ0 )3 + L , [α ] = 1 C o 3. Fejezet, Stacionárius áram elektromos tere 73 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ( ahol β , γ további hőmérséklet tényezők, ( [β ] = 1 C o )2 , [γ ] = ( 1 Co )3 ). 3.4 Analógia a statikus és a stacionárius tér között A stacionárius áramlási tér az elektromágneses tér általánosabb modelljét adja, mivel ekkor a töltések mozgását, állandó sebességgel való áramlását is figyelembe vesszük. Míg az elektrosztatikus térben csak ideális fémek (végtelen jó fajlagos vezetőképességgel) és szigetelők szerint osztályoztuk az anyagokat, az áramlási térben a szigetelő anyagok nem ideálisak, véges fajlagos vezetőképességgel rendelkeznek. Az elektróda felületeket azonban mindkét

térmodellnél ideálisnak tekintjük. Az áramlási térben a legtöbbször a feladat a közeg ellenállásának meghatározása, míg a statikus elektromos térben az elektróda elrendezés kapacitásának meghatározása az elsődleges feladat. A két tér, a statikus és a stacionárius elektromos tér egyenleteinek hasonlósága a térszámítási feladatok analógiájához vezet (3.11 ábra) 3.11 ábra analógis a statikus és a stacionárius elektromos tér között Analógia mutatható ki az elektrosztatika eltolási vektora és az áramlási tér áramsűrűség vektora között, ui. r r r r r r ∫ D ⋅ da = Q, ∫ J ⋅ da = I , D ↔ J , a a elektrosztatikus térben az elektródát körülvevő zárt felületre az eltolási vektor (összege) integrálja a térfogatban lévő össztöltést adja, míg a stacionárius térben az áramsűrűségnek egy zárt felületre vett integrálja a kilépő áramokat eredményezi. Mindkét térben a potenciál az elektromos

térerősség integrálja, azaz két pont között a feszültség mindét térben a pontok potenciál különbségével határozható meg. r r ∫ E ⋅ dl = Φ A , U AB = Φ A − Φ B . 0 A Az anyagjellemzők analógiája is megállapítható a statikus elektromos térben az eltolási vektor és a térerősség kapcsolata, valamint a stacionárius áramlási térben az áramsűrűség és az elektromos térerősség kapcsolata alapján r r r r D = ε E, J = σ E, ε ↔ σ . A fenti összefüggések alapján megállapítható, hogy két elektróda C kapacitása és G vezetése között, homogén közeg esetén szoros kapcsolat van, ui. r r C ε r r Q 1 r r 1 I 1 r r 1 C = = ∫ D ⋅ da = ε ∫ E ⋅ da , G = = ∫ J ⋅ da = σ ∫ E ⋅ da , = . U Ua U a U Ua U a G σ 74 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A kapott eredmények

lehetőséget adnak arra, hogy pl. elektrolitikus kismintával modellezzünk elektródarendszereket és a mért vezetések ismeretében, meghatásozzuk a kapacitások értékeit. Hasonlóan elektródák közötti kapacitások ismeretében az elektródák közötti ellenállás, mint a vezetések reciprok értéke meghatározható. 3.5 Folytonossági feltételek két közeg határfelületén r r Két vezető közeg határfelületén az E elektromos térerősség és a J áramsűrűség vektorok viselkedését elemezve a következőket kapjuk. r 3.51 Az E elektromos térerősség viselkedése közeghatáron Tekintsük két σ 1 , és σ 2 vezetőképességű közegek határfelületének kis környezetét, ahol az r r egyik közegben az elektromos térerősség E1 , a másikban E2 . Bontsuk fel az elektromos térerősségeket mindkét térrészen a felülettel párhuzamos és merőleges komponensekre (3.12 ábra). Vegyünk fel a két térrészen áthaladó olyan téglalap alakú zárt

görbét, amelynek a d magassága mindenhatáron túl csökken, d 0 , azaz a két oldala rásimul a határfelület két r r oldalára. Írjuk fel az elektromos tér örvénymentességére vonatkozó ∫ E ⋅ dl = 0 összefüggést l és értékeljük ki azt a fenti zárt görbére − E1τ l + E2τ l = 0 , az elektromos térerősség vektorok tangenciális komponenseinek folytonosságára vonatkozó feltételhez jutunk E1τ = E2τ . (3.8) r r Figyelembe véve az áramsűrűség és az elektromos térerősség közötti J = σE kapcsolatot, a fenti feltétel az áramsűrűség vektor tangenciális komponensei a két közeg vezetőképességeinek arányában ugrik a közeghatáron J1τ σ = 1. J 2τ σ 2 r 3.52 A J áramsűrűség vektor viselkedése közeghatáron r Bontsuk fel a σ 1 vezetőképességű közegben a J1 áramsűrűséget, valamint a σ 2 r vezetőképességű közegben a J 2 áramsűrűséget a két közeget elválasztó határfelületre merőleges és a

határfelülettel párhuzamos, tangenciális komponensekre. Vegyünk fel egy hengerfelületet a két közeg határfelületén úgy (3.13 ábra), hogy a henger m magassága minden taráron túl tartson a nullához, m 0 , ekkor a hengerfelület alap és fedőlapja a r r határfelület két oldalához simul. Értékeljük ki a ∫ J ⋅ da = 0 töltésmegmaradás elvét a a hengerfelületre, − J1n a + J 2n a = 0 . A kapott eredmény alapján azt kapjuk, hogy az áramsűrűség vektorok normális komponensei folytonosan mennek át a határfelületen J1n = J 2n . (3.9) 3. Fejezet, Stacionárius áram elektromos tere 75 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ r r Figyelembe véve az áramsűrűség és az elektromos térerősség közötti J = σE kapcsolatot, az elektromos térerősség vektorok normális komponensei a vezető közegek fajlagos vezetőképességeinek

reciprok arányával ugrik E1n E2n = σ 2 σ 1 . 3.12 ábra Az elektromos térerősség közeghatáron 3.13 ábra Az áramsűrűség közeghatáron 3.53 Vezető közegek töréstörvénye Két vezető közeg határán az elektromos térerősség vektorok tangenciális és az áramsűrűség vektorok normális komponenseinek folytonossága alapján a közeghatáron a térjellemző vektorokra vonatkozó töréstörvények meghatározhatók (3.14 ábra) Így, pl az elektromos térerősség vektoroknak a felületi normálistól való α1 ,α 2 elhajlási szögeinek tangensei arányára a következő adódóik tgα1 E1τ E2n E2n J 2n σ 1 σ 1 = = = = . tgα 2 E1n E2τ E1n σ 2 J1n σ 2 3.14 ábra A törési szögek vezető közegekben 3.15 ábra A lépésfeszültség értelmezése 3.54 Következmények Tekintsünk egy ideális fémből készült elektródát, amely σ fajlagos vezetőképességű közegbe van ágyazva, amelyet felülről egy sík határol. A sík felett

ideálisnak tekinthető szigetelőanyag van (3.15 ábra) (Így modellezhető pl a földbe süllyesztett földelő elektróda Az ideális szigetelőanyag a levegő.) Minthogy a föld feletti ideális szigetelőréteg vezetőképessége nulla, σ 1 = 0 , ugyanakkor a föld vezetőképessége véges σ 2 ≠ 0 , a törési törvény alapján σ 2 tgα1 = σ 1tgα 2 , minthogy tgα 2 ∞ , így α 2 = 90 o azaz a kettes közegből nem lép ki áramvonal, hanem a felület mentén, azzal párhuzamosan folyik. Ekkor a vezető közeg (föld) 76 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ felületén két pont között feszültségkülönbség lép fel, amelyet lépésfeszültségként szokás megnevezni. 3.6 A beiktatott térerősség és a differenciális Ohm törvény 3.61 A beiktatott térerősség A vezetéken folyó áram létrehozásához egy U s

forrásfeszültségű feszültségforrást iktatunk be az R ellenállásból álló hálózatba (3.16 ábra) Ha az áram a P1 pontból a P2 pont felé folyik az R ellenálláson, akkor azon U = RI feszültséget hoz létre. Minthogy az áramlási térben két pont között fellépő feszültség csak a pontok helyzetétől függ, így a feszültségforrás P1 , P2 pontja között fellépő U s forrásfeszültség megegyezik az ellenállás U feszültségével U =Us . Ilyen feszültségforrás, pl. az akkumulátor, amely kémiai energiát alakít át villamos energiává A feszültségforrás belsejében a töltéseket egy nem villamos (elektrosztatikus) eredetű, r r r beiktatott erő, Fb = QEb , ill. az azt Eb reprezentáló beiktatott térerősség választja szét, amelyet figyelembe véve a két pont közötti feszültség a térerősségekkel felírva a következő összefüggéshez jutunk P2 r r r r r r P2 r r E = − E ⋅ = ⋅ = − ⋅ E d l E d l E d l , ∫ ∫ ∫ b b P2

P1 P1 P1 (l R ) (l s ) (l s ) ahonnan azt kapjuk, hogy a feszültségforrás belsejében a töltéseket szétválasztó, nem r villamos eredetű Eb beiktatott térerősség éppen a töltések mozgásával létrehozott térerősséggel ellentétes irányú. 3.16 ábra A beiktatott térerősség értelmezése 3.17 ábra A differenciális Ohm törvény értelmezése 3.62 A differenciális Ohm törvény Ha feltételezzük, hogy a feszültségforrás nem ideális, hanem belső veszteséggel rendelkezik, akkor az így kapott feszültséggenerátor veszteségét egy vele sorba kapcsolt Rb ellenállással modellezhetjük (3.17 ábra) Ekkor az energiaegyensúlyra felírt egyenlet alapján, az R ellenálláson fellépő U feszültséget a feszültséggenerátornak az Rb ellenálláson fellépő Rb I feszültséggel csökkentett U s forrásfeszültsége tartja egyensúlyban, U = U s − Rb I . 3. Fejezet, Stacionárius áram elektromos tere 77

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Az áramkör egyes elemein fellépő feszültségeket a térerősségekkel kifejezve, valamint az integrálási határokat megcserélve r P2 r r P2 r r P1 r r P2 r r P2 J r ⋅ dl , ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl − ∫ E ⋅ dl = − ∫ Eb ⋅ dl + ∫ P1 P1 (l R ) (l s ) P2 (l Rb ) P1 (l s ) a differenciális Ohm törvényhez jutunk r r r J = σ E + Eb . ( ) P1 (l Rb ) σ (3.10) Az energia egyensúlyi egyenleteket általánosítva e villamos hálózatok Kirchhoff feszültség törvényéhez jutunk. Minthogy egy zárt görbére az elektromos térerősség integrálja nulla feltétel ekvivalens a stacionárius térben az egyes forrásokon betáplált és az ellenállásokon felvett feszültségek összegével, n ∑U k = 0 k =1 (3.11) azaz a villamos hálózatok Kirchhoff feszültség törvénye az energia megmaradási

törvény kiterjesztése villamos hálózatok analízisére. 3.63 Az áramforrás A töltések egyenletes áramlását nemcsak a töltéseket szétválasztó feszültségforrással, hanem töltéseket egyenletesen kibocsátó áramforrással is lehet biztosítani, (3.18 ábra) Ilyen r r áramforrás, pl. a fotocella, amely fény energiát alakít át villamos energiává, J = J b Ezzel a r differenciális Ohm törvény kiegészíthető, ahol a vezetőben folyó konduktív áram és a v sebességgel mozgó töltések által létrehozott konvektív áram által modellezett áramsűrűség a következő alakban adható meg r r r r r J = σE + σEb + J b + ρv . 3.18 ábra A feszültségforrás és az áramforrás 3.19 ábra A teljesítménysűrűség értelmezése 3.64 Az áramvezető teljesítménye (i) A teljesítmény. Ha a vezető két pontja között a feszültség U , akkor a t idő alatt átáramló Q = I t töltés Wt = UI t 78 A. Iványi, Fizika-I

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ munkát végez. A rendszer P = W t teljesítménye ekkor az R ellenálláson hővé váló teljesítmény, amely a Joule törvény szerint P = UI = RI 2 = GU 2 , [P ] = 1 W . (3.12) (ii) A teljesítménysűrűség. Tekintsük az áramvezető kis térfogatát, amelyet áramvonalak és r r ekvipotenciális felületek határolnak (3.19 ábra) Az elemi dv = da ⋅ dl térfogat teljesítménye r r r r r r dP = UI = E ⋅ dl J ⋅ da = E ⋅ J dv , r r ahonnan az elemi térfogat teljesítménysűrűsége, a J = σ E + Eb differenciális Ohm törvény felhasználásával a következő alakú r2 r r r r dP r r r ⎛ J r ⎞ J = J ⋅ E = J ⎜⎜ − Eb ⎟⎟ = − J ⋅ Eb , p (r ) = dv ⎝σ ⎠ σ r2 ahol J σ a vezető anyagban a teljesítmény sűrűség, míg a feszültségforrás belsejében a r r rendszerbe betáplált

teljesítménysűrűség J ⋅ Eb . Ezzel valamely v térfogat teljesítménye egyrészt az ellenálláson hővé váló teljesítmény, másrészt a feszültségforrás által a rendszerbe betáplált teljesítmény r2 J r r r P = ∫ p(r )dv = ∫ dv − ∫ J ⋅ Eb dv . ( v )( v ) σ ( ) v 3.7 Ellenőrző kérdések [1] [2] [3] [4] [5] Foglalja össze az elektromos áramra és az árammodellekre vonatkozó ismereteket, Ismertesse a stacionárius áramlási tér gerjesztettségére és intenzitására vonatkozó összefüggéseket, Foglalja össze a statikus és stacionárius elektromos tér közötti analógiára vonatkozó összefüggéseket, Ismertesse a beiktatott térerősséget és a differenciális Ohm törvényt, Ismertesse a Joule hő fogalmát. 3.8 Gyakorló feladatok 3.81 Feladat Koaxiális kábel belső sugara r1 = 0,8mm, külső sugara r2 = 2,5mm, a vezetők közötti szigetelésének vezetőképessége σ = 10 −9 S/m . Mekkora az l = 2 m hosszúságú

szakasz szivárgási árama és szivárgási ellenállása az ér és a köpeny között, ha az elektródákra kapcsolt feszültség U = 2 kV . Határozzuk meg a koaxiális kábel szigetelőjében hővé váló teljesítményt. Megoldás Ha az l hosszúságú hengerpaláston I áram folyik át, (3.20 ábra), akkor egy r sugarú hengerfelületen az áramsűrűség és az elektromos térerősség a következő 3. Fejezet, Stacionárius áram elektromos tere 79 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ J (r ) = I 2π r l , E (r ) = J σ = I . 2π rσ l A belső ér és a köpeny között fellépő feszöltség r2 U = ∫ E dr = r1 I r2 I r 1 dr = ln 2 = IRsz , 2πσ l r1 2πσ l r r 1 ∫ ahonnan a koaxiális kábel szivárgási ellenállása Rsz = 1 r ln 2 = 9,0673 ⋅107 Ω = 90,673 M Ω . 2πσ l r1 A kábel belső vezetéke, az ere és a külső köpeny

között a feszültség hatására folyó áram I= 2 ⋅103 U = = 2,2057 ⋅10-5 A = 22,057mA . Rsz 9,0673 ⋅107 Az elektrosztatika és az áramlási tér analógiája alapján, C ε = , minthogy a koaxiális kábel G σ 2πεl , a szivárgási ellenállás reciproka, a koaxiális kábel első ere és a külső ln r2 r1 köpeny közötti átvezetés kapacitása C = G= C ε σ= 2πσ l 1 = . ln r2 r1 Rsz A szivárgási ellenálláson hővé váló teljesítmény ( )( ) 2 2πσ l 2 U = 9,0673 ⋅10 7 2,2057 ⋅10 - 5 = 0,0441W = 44,1mW . ln r2 r1 r2 Alkalmazzuk a teljesítménysűrűség p = J σ összefüggését. Figyelembe véve, hogy az P = Rsz I 2 = GU 2 = előírt feszültséggel az áramsűrűség J= Uσ 1 1 I r ln 2 , J = , U= , 2πσ l r 2πσ l r1 ln r2 r1 r I a koaxiális kábel belső ere és a külső köpenye közötti teljesítmény r2 r2 J 1 U 2σ 2 1 2πσ l P=∫ dv = ∫ 2rπ l dr = U 2 ln r2 r1 , 2 r r r2 2r r σ σ ln ln v r1 2 1 2 1 ahonnan a

hővé váló teljesítményre az előző eredményt kapjuk P =U2 2πσl . ln r2 r1 80 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3.20 ábra A szivárgási ellenállás számítása 3.21 ábra A vezető közegbe helyezett fém elektróda 3.82 Feladat Egy végtelen kiterjedésű vezető közegben egy r0 sugarú gömb alakú ideális fém elektródát helyezünk el, amelyhez szigetelt vezetőn I áramot vezetünk (3.21 ábra) Határozza meg a térerősség és a potenciál eloszlását a közegben. Határozza meg a földelt gömb szivárgási ellenállását. Megoldás (i) Az r0 sugarú gömb elektróda középpontjától r távolságban a gömbfelületen átfolyó áramsűrűség és elektromos térerősség J (r ) = I 4π r2 = σE , E (r ) = I . 4πσ r 2 A nulla potenciálú referencia pontot a végtelenben véve fel, az ideális

fémgömbön kívül az r sugarú gömbfelületen a potenciál változása ∞ I 1 Φ (r ) = ∫ E dr = . 4πσ r r Az r0 sugarú gömb szivárgási ellenállása az I U = Φ (r0 ) − Φ (∞ ) = = IRsz 4πσ r0 feszültség ismeretében 1 Rsz = . 4πσ r0 C ε = (ii) Ellenőrzésképpen, minthogy a magában álló gömb kapacitása C = 4πε r0 , a G σ 1 = 4πσ r0 , az előző eredményre vezet. analógia felhasználásával G = Rsz 3.83 Feladat Egy síkkondenzátorban a keresztirányban rétegezett szigetelőanyag veszteséges (3.22 ábra) Határozza meg a rákapcsolható maximális feszültséget, ha 1.porcelán ε 1r = 5,5 E1kr = 350 kV/cm σ 1 = 10 −11 S m d1 = 1cm 2.traszfolaj ε 2 r = 2,2 E 2 kr = 300 kV/cm σ 2 = 10 − 9 S m d 2 = 0,6cm 3. Fejezet, Stacionárius áram elektromos tere 81 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 3.22 ábra A rétegezett

síkkondenzátor Megoldás. Elektrosztatikus szempontból a kisebb töltéssűrűséget eredményező réteg határozza meg a kritikus térerősség értékét, minthogy ε1r ε 0 E1kr > ε 2r ε 0 E2kr , így a 2. réteg kritikus térerőssége a maximális a 2. rétegben E2 max = E2kr = 350 kV/cm Ekkor az eltolási vektorok normális komponenseinek folytonosságára vonatkozó feltételből az 1. rétegben fellépő E ε maximális térerősség E1 max = 2 max 2r = 140 kV/cm , amely kisebb, mint az 1. réteg ε 1r kritikus térerőssége. A rétegezett kondenzátorra kapcsolható feszültség az egyes rétegere jutó feszültségek összege, azaz U max = E1 max d1 + E 2 max d 2 = 140 ⋅ 1 + 350 ⋅ 0,6 = 350 kV . Ha azonban az egyes rétegek vezetőképességeit vesszük figyelembe, akkor az áramsűrűség vektorok normális komponenseinek folytonosságára vonatkozó feltételből eredően az a réteg határozza meg a kritikus térerősséget amelyben kisebb lesz az

áramsűrűség vektor normális komponense, σ 1E1kr < σ 2 E2kr . Minthogy a jelen esetben az 1 rétegben kisebb az áramsűrűség, így az 1. réteg kritikus térerőssége határozza meg a maximális értéket, E1 max = E1kr = 350 kV/cm . Ekkor az áramsűrűség vektorok normális komponenseinek folytonosságából a 2. rétegben lesz a maximális elektromos térerősség kisebb, mint a kritikus E σ 10 −11350 érték E 2 max = 1 max 1 = = 3,5 kV/cm . A két rétegben folyó áramok hatására a σ2 10 − 9 rétegezett kondenzátorra kapcsolható maximális feszültség az egyes rétegek feszültségeinek összege U max = E1 max d1 + E2 max d 2 = 3,5 ⋅1 + 350 ⋅ 0,6 = 213,5 kV . Minthogy a kétféle méretezésből a másodi esetben kapunk kisebb feszültséget, ezért a veszteséges szigetelőanyaggal rétegezett kondenzátorra U max = 213,5 kV feszültség kapcsolható. 3.84 Feladat A fajlagos ellenállás hőfokfüggése ρ (ϑ ) = ρ 0 [1 + α 0 (ϑ − ϑ0 )] . A

formula alkalmazásakor a ρ 0 fajlagos ellenállás és az α 0 hőfok tényező ugyanarra a hőmérsékletre vonatkozik. Előfordul azonban, hogy a ρ 0 (ϑ0 ) fajlagos ellenállás mérési eredményből ismert, a α1 (ϑ1 ) hőfoktényező azonban táblázatból ismert. Ekkor az α1 (ϑ1 ) hőfok tényezővel mindkét érték kifejezhető 82 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ρ (ϑ ) = [1 + α1 (ϑ1 )(ϑ − ϑ1 )], ρ 0 = [1 + α1 (ϑ1 )(ϑ0 − ϑ1 )] , ahonnan a két egyenletet osztva a kívánt kapcsolat az ± α1ϑ0 , nulla értékkel való bővítés után meghatározható 1 + α1 (ϑ − ϑ1 ) 1 + α1 (ϑ0 − ϑ1 ) + α1 (ϑ − ϑ0 ) ρ = = . ρ 0 1 + α1 (ϑ0 − ϑ1 ) 1 + α1 (ϑ0 − ϑ1 ) Némi rendezés után ⎡ ρ = ρ 0 ⎢1 + ⎣ ⎤ α1 (ϑ − ϑ0 )⎥ 1 + α1 (ϑ0 − ϑ1 ) ⎦ a kapott összefüggés úgy is

felfogható, mint az α hőfoktényező a következő módon függ a hőmérséklettő α0 = α1 . 1 + α1 (ϑ0 − ϑ1 ) A fentiek alapján az ellenállás hőmérséklet függése felhasználható a hőmérséklet villamos úton való mérésére. 3.85 Feladat Az ellenállás erőfüggése pedig felhasználható erő, ill. nyomás villamos úton való mérésére Tekintsünk egy l hosszúságú, d átmérőjű vékony villamos vezetéket, amelynek ellenállása l l . R=ρ =ρ 2 a d π 4 Ha a szálra F húzóerő hat , akkor benne σ = F a mechanikai feszültség lép fel. Ennek hatására hossza ∆l , átmérője ∆d értékkel megváltozik. Rugalmas megváltozást feltételezve Hooke törvény szerint ∆l 1 1 F = σ = , l E E a ∆d µ µ F , =− σ =− d E E a ahol E a közeg rugalmassági modulusa, és µ = 0,2 ~ 0,5 a közegre jellemző Poisson szám. Ezzel az ellenállás relatív megváltozása ∆R ∆d ∆ρ F F ⎡ 4 ⎤ ∆ρ ∆l + −2 = + + 2µ . = ∆(ln R )

= ∆ ⎢ln + ln ρ + ln l − 2 ln d ⎥ = ρ ρ Ea R l d Ea ⎣ π ⎦ A fajlagos ellenállás erőfüggése nem ismeretes, a mérések szerint azonban nem jelentékeny. Ennek megfelelően nem követünk el nagy hibát, ha a megnyúlással arányosnak tekintjük, ∆ρ ρ = k F Ea . Ezzel ∆R gF = , g = k + 1 + 2µ R Ea alakban adható meg az ellenállás erőfüggése. Ha feltételezzük, hogy k = 0 , akkor g = 1 + 2 µ = 1,4 ~ 2 . A mérések szerint g = 2,0 ~ 2,6 Pl konstantán huzalra E = 1,7 ⋅ 10 5 kN mm 2 , µ − 0,33 és g = 2,5 . Ha a vezeték átmérője 3. Fejezet, Stacionárius áram elektromos tere 83 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ d = 30 µm = 30 ⋅ 10 -3 mm , azaz a keresztmetszete a = 0,7 ⋅ 10 −3 mm 2 , akkor F = 100 N erő hatására ( σ = 143 kN mm 2 feszültség) hatására az ellenállás megváltozása ∆R gF 2,5 ⋅

0,1 = = = 2,1 ⋅ 10 − 3 = 0,21% . − 5 3 R Ea 1,7 ⋅ 10 ⋅ 0,7 ⋅ 10 Az ilyen kis ellenállás változások csak Wheatstone híd segítségével mérhetők