Electromagnetic theory | Higher education » Standeisky István - Villamosságtan

Standeisky István VILLAMOSSÁGTAN Készült a HEFOP 3.31-P-2004-09-0102/10 pályázat támogatásával Szerző: dr. Standeisky István főiskolai docens Lektor: dr. Kuczmann Miklós egyetemi adjunktus Standeisky István, 2006 Villamosságtan A dokumentum használata A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 3 ► A dokumentum használata Mozgás a dokumentumban A dokumentumban való mozgáshoz a Windows és az Adobe Reader megszokott elemeit és módszereit használhatjuk. Minden lap tetején és alján egy navigációs sor található, itt a megfelelő hivatkozásra kattintva ugorhatunk a használati útmutatóra, a tartalomjegyzékre, valamint a tárgymutatóra. A ◄ és a ► nyilakkal az előző és a következő oldalra léphetünk át, míg a Vissza mező az utoljára megnézett oldalra visz vissza bennünket. Pozícionálás a könyvjelzőablak segítségével A bal oldali könyvjelző ablakban tartalomjegyzékfa található,

amelynek bejegyzéseire kattintva az adott fejezet/alfejezet első oldalára jutunk. Az aktuális pozíciónkat a tartalomjegyzékfában kiemelt bejegyzés mutatja. A tartalomjegyzék és a tárgymutató használata Ugrás megadott helyre a tartalomjegyzék segítségével Kattintsunk a tartalomjegyzék megfelelő pontjára, ezzel az adott fejezet első oldalára jutunk. A tárgymutató használata, keresés a szövegben Keressük meg a tárgyszavak között a bejegyzést, majd kattintsunk a hozzá tartozó oldalszámok közül a megfelelőre. A további előfordulások megtekintéséhez használjuk a Vissza mezőt A dokumentumban való kereséshez használjuk megszokott módon a Szerkesztés menü Keresés parancsát. Az Adobe Reader az adott pozíciótól kezdve keres a szövegben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 3 ► Villamosságtan A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Tartalomjegyzék Vissza ◄ 4 ►

Tartalomjegyzék Bevezetés. 5 1. A hálózatelmélet és -analízis alapfogalmai, a hálózatok osztályozása. 6 2. Koncentrált paraméterű hálózatok elemei 10 3. A Kirchhoff-törvények 15 4. Források és generátorok, a helyettesítő generátorok tétele (Thévenin- és Norton-tétel) . 19 5. Szinuszos gerjesztésű, lineáris, koncentrált paraméterű, időinvariáns hálózatok . 26 5.1 Szinuszosan változó mennyiségek leírása valós időfüggvényekkel 26 5.2 Szinuszosan változó mennyiségek leírása komplex időfüggvényekkel .29 6. Általánosított Ohm-törvény, az impedancia 34 6.1 Szinuszos áramú hálózatok állandósult állapotának számítása szimbolikus módszerrel .38 7. Az eredő impedancia meghatározásának módszerei (sorosan és párhuzamosan kapcsolt impedanciák eredője) . 43 8. A dualitás elve 48 9. A szuperpozíció elve 50 10. Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere. 54 10.1 A hálózat gráfja 54

10.2 A hálózattopológia alapjai 57 10.3 Fundamentális hurok- és vágatrendszer 59 10.4 A hálózategyenletek teljes rendszere 62 11. Hálózatok analízise a hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerével . 69 12. Lineáris hálózatok DC-analízise 81 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 4 ► Villamosságtan A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Tartalomjegyzék Vissza ◄ 5 ► 13. Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével . 92 14. Nemlineáris hálózatok 113 14.1 Nemlineáris hálózati elemek kezelésének alapvető módszerei113 14.2 Nemlineáris hálózatok grafikus DC- és kisjelű AC-analízise116 Függelék .129 Az Euler-egyenlet bizonyítása.129 Irodalomjegyzék .132 Tárgymutató .133 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 5 ► Villamosságtan A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Bevezetés

Vissza ◄ 6 ► Bevezetés A tantárgy és a jegyzet címe is a rövidség kedvéért Villamosságtan. A rendelkezésre álló idő- és terjedelmi keretek azonban csak azt teszik lehetővé, hogy a villamosságtan szerteágazó témakörének egy fontos részterületével, nevezetesen a koncentrált paraméterű, időinvariáns, lineáris és nemlineáris hálózatokkal foglalkozzunk. A tárgy előtanulmány is a későbbi szaktárgyakhoz Koncentrált paraméterű egy hálózat, ha az egymástól elkülönült hálózati elemek (kétpólusok) nulla ellenállású vezetékkel csatlakoznak egymáshoz. Az időinvariancia egyszerűen azt jelenti, hogy bármikor is történik a gerjesztés, az erre a gerjesztésre a létrejövő válasz (egy elektromos folyamat) mindig ugyanaz. Lineáris egy hálózat, ha a hálózati elemek karakterisztikái lineáris összefüggéssel adhatók meg. Ha ezek az összefüggések nemlineárisak, akkor a hálózat nemlineáris A digitális

számítógépek korában a hálózatok vizsgálatát programok (szoftverek) segítségével is megvalósíthatjuk. Azonban ahhoz, hogy a gép által elvégzendő feladatot meg tudjuk fogalmazni, szükséges az alapvető törvények és összefüggések, azaz a fizikai valóságot jól modellező elmélet ismerete. A villamos hálózatok analízisének általunk is tárgyalandó módszerei más fizikai folyamatoknál is alkalmazhatók, pl. hőáramlás, közegáramlás, haladó- és forgómozgás stb. Ezeket a hálózatokat közös fogalommal Kirchhoff-típusú hálózatoknak szokás nevezni. Előnyösen használhatók a Kirchhoff-típusú hálózatok csatolt, pl. elektrotermikus, elektromechanikus folyamatok modellezésére is. A jegyzet 14 fejezetre tagolódik. A fejezetekhez tartozó példák alapos áttanulmányozása, sőt önálló megoldása megkönnyíti az új ismeretek megértését és elsajátítását. Köszönöm dr. Kuczmann Miklós és Gyimesi László kollégámnak a

gondos lektorálást, ill. szerkesztést, fiamnak, Standeisky Dánielnek az ábrák megalkotásában való közreműködését A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 6 ► Villamosságtan A hálózatelmélet és -analízis alapfogalmai, a hálózatok osztályozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 7 ► 1. A hálózatelmélet és -analízis alapfogalmai, a hálózatok osztályozása Legáltalánosabb megfogalmazás szerint a hálózat hálózati elemek összekapcsolása révén létrejövő objektum. Villamos hálózatok esetén a hálózati elemek elektromos mennyiségek kapcsolatát megadó egységek, ún. kétpólusok A rendszer és a hálózat között alapvető különbség, hogy a rendszerhez alapvetően csak kétféle változó van rendelve: az ismert gerjesztések és a keresett válaszok. Ezek a változók felléphetnek a hálózatban is, de a hálózatban további változók is lehetségesek

(Néha azonban célszerű a rendszer leírására is a gerjesztéseken és a válaszokon túlmenően további változókat, ún. állapotváltozókat bevezetni, amelyek megkönnyíthetik a válaszok és gerjesztések kapcsolatának leírását.) Egy hálózat akkor realizál egy rendszert, ha a gerjesztés-válasz kapcsolataik megegyeznek. A villamos hálózatok a Kirchhoff-típusú hálózatok csoportjába tartoznak. Ezek kétpólusok összekapcsolásából állnak, és minden kétpólushoz egy változópár van rendelve: pl. az áram, ill a feszültség Mindegyik kétpólusú komponenst egy karakterisztika (ábrázolva: jelleggörbe) jellemez, amely megadja a két változó kapcsolatát. A komponensek között csatolás is lehet, amikor a karakterisztikában a komponens két változóján kívül a vele csatolt kétpólusok változói is szerepelhetnek. Az összekapcsolás által az azonos típusú változók között létrejött összefüggéseket Kirchhoff törvényei fejezik ki.

Kirchhoff első törvénye, az ún csomóponti törvény a csomópontba befolyó és elfolyó áramokra, huroktörvénye egy tetszőleges zárt görbe mentén lévő feszültségekre vonatkozik. Az áramokat és a feszültségeket irányuk, ill polaritásuk megkülönböztetésére előjellel látjuk el Kiválasztható a csomópontok és a zárt görbék, azaz a hurkok egy-egy fundamentális rendszere, amely maximális számú független egyenletet jelent. A hálózat két csomópontja közötti hálózati elemnek vagy elemeknek a hálózat egy ága feleltethető meg. Ha egy csomópontból elindulva, az ágak mentén haladva visszaérkezünk a kiindulási pontunkhoz, akkor kijelölünk a hálózatban egy hurkot. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 7 ► Villamosságtan A hálózatelmélet és -analízis alapfogalmai, a hálózatok osztályozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 8 ► A lehetséges

hurkok száma igen nagyra adódhat, de gyakorlati jelentősége csak a független hurkok számának van. Valamely hurok biztosan független az előzőktől, ha legalább egy új ágat tartalmaz Az ily módon előállítható független hurkok legnagyobb számát jelöljük ℓ-lel (loop). Az ágak, a független hurkok és a csomópontok száma között az alábbi fontos összefüggés áll fenn: b = + n − 1, (1) ahol b (branch) az ágak, n (node) a csomópontok száma. Az (1) összefüggéssel b és n ismeretében ℓ meghatározható. Az összefüggést teljes indukcióval igazoljuk A hálózatot ehhez gráfjával helyettesítjük, ahol a csomópontok és hurkok száma és elrendezése változatlan, de a konkrét hálózati elemeket nem tüntetjük fel, hanem csak egy vonallal helyettesítjük (lásd részletesebben a 10. fejezetben) Induljunk ki a legegyszerűbb hálózatból, amely két csomópontból és két ágból áll. Erre az (1) összefüggés közvetlenül belátható

(11/a ábra) 1.1 ábra A b = ℓ+n−1 összefüggés igazolása teljes indukcióval Ha a hálózatot egy ággal bővítjük (1.1/b ábra), akkor b és ℓ eggyel növekszik, míg n változatlan marad, tehát az összefüggés továbbra is érvényes Ha viszont a hálózatot egy csomóponttal bővítjük (1.1/c ábra), akkor b kettővel, míg ℓ és n eggyel növekszik, tehát az összefüggés továbbra is érvényes Mivel bármely hálózat ily módon felépíthető, ezért az összefüggés általánosan érvényes. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 8 ► Villamosságtan A hálózatelmélet és -analízis alapfogalmai, a hálózatok osztályozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 9 ► Ha a teljes hálózat p számú induktíven (vezetékek nélkül) csatolt részhálózatból áll, akkor annak minden részhálózatára érvényes a b = ℓ+n−1 reláció, tehát végeredményben a teljes

hálózatra azt kapjuk, hogy b = +n−p (2) A hálózatok osztályozásakor három szempontot vizsgálunk: • a hálózati elemek mennyiségei közötti linearitást, • a mennyiségek térbeli megjelenését, • a mennyiségek közötti kapcsolat időbeli állandóságát. Ezek figyelembevételével az alábbi felosztást kapjuk (1.2 ábra) 1.2 ábra Hálózatok osztályozása A hálózatokat a fenti három szempont szerint osztályozva nyolc csoportot különböztethetünk meg (1.2 ábra) A következőkben csak a lineáris, koncentrált paraméterű, invariáns, valamint a nemlineáris, koncentrált paraméterű, invariáns hálózatokkal foglalkozunk Először azonban ismerkedjük meg ezen fogalmakkal részletesebben. A linearitási szempont az elektromos mennyiségek közötti kapcsolat jellegére vonatkozik. Például egy vasmagos tekercs Ψ fluxusának függése i áramától általában nemlineáris. Ha azonban a tekercs légmagos, akkor a kapcsolat lineáris. A lineáris

hálózatok tárgyalása jóval egyszerűbb, ezért sokszor közelítésképpen akkor is lineárisnak tekintjük a kapcsolatot, amikor valójában nem az. A második szempont (térbeli változás) az elrendezés geometriájával kapcsolatos. Ha pl egy kettős vezetéket vizsgálunk, akkor a feszültséget és az áramot nemcsak meghatározott pontokban értelmezzük, mint a koncentrált paraméterű hálózatoknál, hanem a vezeték mentén bárhol. Kon- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 9 ► Villamosságtan A hálózatelmélet és -analízis alapfogalmai, a hálózatok osztályozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 10 ► centrált paraméterű megközelítésben a hálózat véges számú induktivitásból, kapacitásból és ellenállásból épül fel. Elosztott paraméterű megközelítésben végtelen számú elosztott paraméterrel, azaz elemi induktivitással, kapacitással és

ellenállással modellezzük a hálózatot. Az elosztott paraméterű hálózatok tipikus példája a kettős vezeték, amelynél a vezetékpárt végtelen számú dx hosszúságú szakaszra bontjuk, és ezen elemi szakaszokhoz rendelhető elemi (koncentrált paraméterű) hálózatok együttesét vizsgáljuk, felhasználva eközben a koncentrált paraméterű számítás módszereit. Az elosztott paraméterű hálózat is lehet lineáris és nemlineáris Az utóbbiak az előzőnél jóval komplikáltabbak. A harmadik csoportosítási szempont végül az, hogy a hálózat mennyiségei közötti kapcsolat időben állandó vagy változó. Ha a kapcsolat időben állandó, akkor időinvariáns, ha változó, akkor variáns a hálózat A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 10 ► Villamosságtan Koncentrált paraméterű hálózatok elemei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 11 ► 2. Koncentrált

paraméterű hálózatok elemei A koncentrált paraméterű hálózatok generátort, ellenállást, induktivitást, kapacitást és az ágak közötti csatolást tartalmaznak. Ahhoz, hogy a hálózatban áramok folyjanak, feszültségek lépjenek fel az szükséges, hogy a hálózatban egy vagy több energiaforrás legyen. Ilyen energiaforrások modellezéséhez a feszültséggenerátor és az áramgenerátor használható. A generátorok más energiát elektromos energiává alakítanak át, szokás aktív kétpólusoknak is nevezni őket. A feszültség-áram kapcsolatot karakterisztikájuk adja meg A feszültségforrást (ideális feszültséggenerátort) forrásfeszültsége jellemzi, amely az időnek adott függvénye A feszültségforrás feszültsége tehát független a hozzá kapcsolódó hálózattól, áramát viszont a hozzá kapcsolódó hálózat határozza meg. Az áramforrást (ideális áramgenerátort) forrásárama jellemzi, amely az időnek adott függvénye. Az

áramforrás árama tehát független a hozzá kapcsolódó hálózattól, feszültségét viszont a hozzá kapcsolódó hálózat határozza meg 2.1 ábra A feszültségforrás, a) és az áramforrás, b) szimbóluma a referenciairányokkal Az ideális generátorok karakterisztikái, ill. teljesítményei a 21 ábrán látható referenciairányokkal: u g = u g (t), p = − u g i, (1) i g = i g (t), p = −i g u. (2) Kis betűvel jelöljük az időben változó áramokat és feszültségeket, naggyal általában a változatlan mennyiségeket (pl. egyenfeszültség, egyenáram) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 11 ► Villamosságtan Koncentrált paraméterű hálózatok elemei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 12 ► A „generátor” kifejezést két értelemben is használják. Egyrészt a feszültségforrás és az áramforrás gyűjtőneveként (ideális generátor helyett), másrészt

az ideális generátorból és belső ellenállásból álló hálózatrész (valóságos generátor) megnevezéseként. Ez utóbbival részletesebben is foglalkozni fogunk Az ellenálláson az elektromágneses energia irreverzibilis módon átalakul (többnyire hőenergiává). Az ellenálláson a feszültség és az áram kapcsolatát lineáris esetben az Ohm-törvény adja meg, mely szerint az ellenállás feszültsége arányos a rajta átfolyó árammal és az ellenállás rezisztenciájával: u = Ri Nemlineáris esetben u = f(i), azaz a feszültség és az áram kapcsolata a nemlineáris ellenálláson tetszőleges; a lineáris, variáns ellenálláson lineáris, de időben változó; a lineáris invariáns ellenálláson az időtől függetlenül lineáris. Ezt szemlélteti a 2.2 ábra 2.2 ábra A feszültség és az áram kapcsolata az ellenálláson Az ellenállás karakterisztikája és teljesítménye: NI : LV : LI : u = f (i), u = R(t)i, u = Ri, p = ui, p = R(t)i 2 =

p = Ri 2 = u2 R (3) u2 R(t) (4) , (5) . A kondenzátor elektromos energiát képes tárolni. A kondenzátoron a töltés és a feszültség kapcsolata meghatározott; lineáris esetben ezek há- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 12 ► Villamosságtan Koncentrált paraméterű hálózatok elemei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 13 ► nyadosa a C kapacitás. A töltésből számítható az áram A kondenzátor karakterisztikája (2.3 ábra) és teljesítménye az alábbi: NI : q = f (u), i= LV : q = C ( t ) u, i = i=C p=u dq , dt (6) dC ( t ) u dC ( t ) du = C(t) + u , dt dt dt p = C(t)u LI : q = Cu, dq dq du , = dt du dt du 2 dC(t) , +u dt dt du dt , p = uC du dt (7) = d ⎛1 2⎞ ⎜ Cu ⎟ . dt ⎝ 2 ⎠ (8) A lineáris, invariáns kondenzátor pillanatnyi teljesítményének kifejezésében 12 Cu 2 nem más, mint a kondenzátor pillanatnyi energiája, hiszen a

pillanatnyi teljesítmény a dt idő alatti munkavégzés, azaz a d ( 12 Cu 2 ) energiaváltozás és a dt idő hányadosa. 2.3 ábra A kondenzátorkarakterisztikák ábrázolása A tekercs mágneses energiát képes tárolni. A tekercsen a fluxus és az áramerősség kapcsolata meghatározott; lineáris esetben ezek hányadosa az induktivitás. A fluxus és az áramerősség kapcsolata a nemlineáris tekercsen tetszőleges, a lineáris, variáns tekercsen lineáris, de az idő függvényében változó; a lineáris, invariáns tekercsen az időtől függetlenül lineáris (2.4 ábra) A fluxusból (Ψ) számítható a feszültség A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 13 ► Villamosságtan Koncentrált paraméterű hálózatok elemei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató ◄ Vissza 14 ► A tekercs karakterisztikája és teljesítménye a következő: NI : Ψ = f (i), LV : Ψ = L(t)i, u = u= dL(t)i dt LI : Ψ

= Li, dΨ dt = L(t) u=L di dt di dt = dΨ di di dt +i dL(t) , p = L(t)i dt p = Li , p=i , di dt = dΨ di dt dt +i (9) , 2 dL(t) dt , d ⎛1 2⎞ ⎜ Li ⎟ . dt ⎝ 2 ⎠ (10) (11) A lineáris, invariáns tekercs pillanatnyi teljesítményének kifejezésében 1 2 Li nem más, mint a tekercs pillanatnyi energiája, hiszen a pillanatnyi 2 teljesítmény a dt idő alatti energiaváltozás, azaz d ( 12 Li 2 ) és a dt idő hányadosa. 2.4 ábra A tekercskarakterisztikák ábrázolása A csatolt tekercsek ugyancsak mágneses energiát tárolnak. Bármelyik tekercs fluxusa mindkét áram függvénye, így a karakterisztika csak térbeli felülettel, ill. felületsereggel ábrázolható Lineáris, invariáns tekercsekre e felület egy sík (2.5 ábra) A karakterisztikák és a feszültségek az alábbiak: NI : Ψ1 = f1 (i1 , i 2 ), (12) Ψ 2 = f 2 (i1 , i 2 ), LV : Ψ1 = L1 (t)i1 + M(t)i 2 , Ψ 2 = M(t)i1 + L 2 (t)i 2 , u1 = L1 (t) di1 u 2 = M(t) dt di1 dt

+ i1 dL1 (t) + i1 + M(t) dt dM(t) dt A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató di 2 + i2 dM(t) Vissza ◄ , dt dt di dL (t) + L2 (t) 2 + i 2 2 . dt dt (13) 14 ► Villamosságtan Koncentrált paraméterű hálózatok elemei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató LI : Ψ 1 = L1i1 + Mi 2 , u1 = L1 Ψ 2 = Mi1 + L 2 i 2 , Vissza di1 +M dt u2 = M di1 dt di 2 ◄ ► , dt + L2 15 di 2 (14) . dt 2.5 ábra A csatolt tekercsek szimbóluma és a lineáris, invariáns karakterisztika ábrázolása A csatolt tekercseken együttesen fellépő teljesítmény a következőképpen határozható meg: p = u1i1 + u 2 i 2 , (15) LI esetben: p = L1i1 di1 dt + L2 i 2 di 2 dt + Mi1 di2 dt + Mi 2 di1 dt = d ⎛1 2 1 2 ⎞ ⎜ L1i1 + L2i2 + Mi1i2 ⎟ . (16) dt ⎝ 2 2 ⎠ A (16)-os kifejezés zárójelben lévő része nem más, mint a csatolt tekercsek pillanatnyi energiája. A kondenzátort, a tekercset, valamint a

csatolt tekercseket energiatároló képességük miatt dinamikus komponenseknek is nevezzük. Amint látjuk nemlineáris hálózatokban az alábbi változók szerepelnek: u, i, q, Ψ. Lineáris hálózatokban ezzel szemben a töltés, ill a fluxus kiküszöbölhető a kapacitások, ill az induktivitások segítségével, ezért csak kétfajta változóval kell dolgoznunk: a feszültséggel és az árammal. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 15 ► Villamosságtan A Kirchhoff-törvények A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 16 ► 3. A Kirchhoff-törvények A hálózatokban fellépő áramok és feszültségek kapcsolatát általánosan Kirchhoff két törvénye fejezi ki. Ezek a törvények egyaránt vonatkoznak lineáris és nemlineáris, invariáns és variáns hálózatokra, sőt nemcsak koncentrált paraméterű, hanem megfelelő általánosítással az elosztott paraméterű hálózatokra is

érvényesek. Kirchhoff első vagy csomóponti törvénye azt a tényt fejezi ki, hogy egy csomópontban töltések nem halmozódhatnak fel. A csomópontba befutó vezetékeken áramló töltések algebrai (előjeles) összegének bármely időintervallumra nullát kell adnia Az előjeles összeg úgy értendő, hogy ha a csomópontból távozó töltéseket például pozitívnak tekintjük, akkor a csomópontba tartókat negatív előjellel vesszük figyelembe, de lehet a távozó töltés a negatív, ez esetben a csomópontba tartó a pozitív előjelű. Ilyen értelemben tehát írható, hogy ha a k-adik vezetéken Δt idő alatt Δqk töltés áramlik, akkor n ∑ Δq k = 0, t 0 ≤ t < t 0 + Δt. (1) k =1 Az összefüggés érvényben marad akkor is, ha a Δt intervallummal elosztjuk: n ∑ Δq k k =1 Δt = 0. (2) Mivel az áramerősség definíciója szerint lim Δt 0 Δq k Δt = dq k dt = ik , (3) ezért végeredményben: n ∑i k = 0, (4) k =1 ami

Kirchhoff csomóponti törvénye. Az előbbiek szerint (4)-ben pozitívnak tekintendők a csomópontból elfolyó áramok, negatívnak pedig a befolyók. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 16 ► Villamosságtan A Kirchhoff-törvények A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 17 ► 3.1 ábra A hálózat egy kiválasztott csomópontja az áramok felvett referenciairányával Az előjelkonvenciót fordítva is választhatjuk, mert az csak annyit jelent, hogy a nullára redukált (4) egyenletet (−1)-gyel megszorozzuk. Alkalmazzuk a csomóponti törvényt a 3.1 ábrán látható csomópontra: i1 − i 2 + i 3 + i 4 − i 5 = 0. (5) A törvény alkalmazásakor érdektelen, hogy a szóban forgó áram milyen hálózati elem árama. A csomóponti törvényt átrendezett alakban is használjuk. Jelen esetben: i 2 + i 5 = i1 + i 3 + i 4 . (6) Szavakban: a befolyó áramok összege egyenlő a kifolyó

áramok összegével. Kirchhoff második vagy huroktörvénye tekinthető közvetlen tapasztalati tételnek, de levezethető általánosabb a tapasztalaton alapuló törvényekből is. E törvény szerint bármely hurokra n ∑u k = 0. (7) k =1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 17 ► Villamosságtan A Kirchhoff-törvények A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 18 ► Szavakban: ha egy hurkot körüljárva a feszültségeket úgy összegezzük, hogy a körüljárási iránnyal egyező irányú feszültségeket pozitív, az ellenkező irányúakat negatív előjellel helyettesítjük, eredményül nullát kapunk. A körüljárás iránya tetszőleges. Fordított körüljárás esetén a nullára redukált egyenlet (−1)-gyel szorzott alakját kapjuk Tekintsük példaként a 32 ábrán felvázolt hurkot. 3.2 ábra Hurok a feszültségek felvett referenciairányaival és a kijelölt

körüljárási iránnyal A felvett körüljárási iránnyal a hurokegyenlet az alábbi alakot ölti: −u L1 + u R1 − u g1 + u C2 − u R 3 + u LM3 + u g3 − u C4 + u g 4 − u R 4 = 0. (8) 3.1 példa Írjuk fel a 3.3 ábrába berajzolt két hurokra a hurokegyenletet a felvett referencia- és körüljárási irányokkal, ha R ≠ ∞ , és ha R = ∞ , valamint fejezzük ki az U BD feszültséget. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 18 ► Villamosságtan A Kirchhoff-törvények A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 19 ► 3.3 ábra A hurokegyenletek és az U BD feszültség: U AB + U BD − U AD = 0 U BD = U AD − U AB , U BC − U DC − U BD = 0 U BD = U BC − U DC . A megoldás R ≠ ∞ , és R = ∞ esetén ugyanaz. A hurkot akkor is értelmezhetjük, ha egy ágában nem folyik áram ( R = ∞ ), azaz az ágban nincs is hálózati elem! (UBD-re ugyanezt az eredményt kapjuk, ha az A,

ill. C pontot 0 potenciálú pontnak tekintjük, és utána képezzük a B és a D pont potenciáljának különbségét.) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 19 ► Villamosságtan Források és generátorok, a helyettesítő generátorok tétele A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 20 ► 4. Források és generátorok, a helyettesítő generátorok tétele (Thévenin- és Norton-tétel) A koncentrált paraméterű hálózatok elemeinek tárgyalása során megismerkedtünk az ideális feszültség- és áramgenerátorral. Szokás ezeket feszültség- és áramforrásoknak is nevezni, és ahogyan láttuk, a forrásfeszültségükkel, ill. forrásáramukkal jellemezhetjük őket. Térjünk most rá az olyan aktív kétpólusok vizsgálatára, amelyek a feszültségforrás, ill. az áramforrás mellett belső ellenállást is tartalmaznak Ezek a feszültség-, ill. az áramgenerátorok A generátorokat

csoportosíthatjuk pl. annak alapján, hogy milyen energiát alakítanak át villamos energiává. A generátorok csoportosításának másik szempontja a generátor feszültsége és árama közötti kapcsolat, a generátor karakterisztikája. Ez a kapcsolat általában nemlineáris, sok esetben azonban egy meghatározott tartományon belül lineárisnak tekinthető. Mi csak ez utóbbit vizsgáljuk. A lineáris generátorra az a jellemző, hogy ha felvesszük a kapocsfeszültség és a kapocsáram kapcsolatát, akkor lineáris összefüggést kapunk. Az áramot és a feszültséget a 41 ábra szerint az R ellenállás változtatásával befolyásolhatjuk. 4.1 ábra A kapocsfeszültség változása a kapocsáram függvényében, ha a generátor lineáris Legyenek most a mért mennyiségek időben állandóak. Ez esetben a lineáris generátor helyettesíthető egy állandó Ug forrásfeszültségű feszültségforrás és egy Rb ellenállás soros kapcsolásával, vagy egy állandó

Ig forrásáramú áramforrás és egy Rb ellenállás párhuzamos kapcsolásával (42 ábra) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 20 ► Villamosságtan Források és generátorok, a helyettesítő generátorok tétele A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 21 ► 4.2 ábra Lineáris generátor helyettesítése a) feszültségforrással és belső ellenállással b) áramforrással és belső ellenállással A kapcsok felől nézve a két elrendezés az Rb = 0, ill. az Rb = ∞ elméleti határesetektől eltekintve egyenértékű. A veszteségi teljesítményük azonban az R = Rb eset kivételével különböző. Rb elnevezése belső ellenállás A generátorok karakterisztikáinak implicit alakja a kapcsolások szerint a következőképpen írható: Ug = R b I + U , Ig = Huroktörvény U Rb + I. (1) Csomóponti törvény Mindkét összefüggésből pl. a feszültséget kifejezve az árammal

kapjuk, hogy: (2) U = U g − R b I, U = R b Ig − R b I. Ebből azonnal adódik, hogy az U g = R b Ig (3) megfeleltetéssel a két helyettesítés ugyanazt a törvényszerűséget fejezi ki. A forrásmennyiségek (1)-ből is láthatóan üresjárási, ill. rövidzárási állapotban határozhatók meg közvetlenül: U g = Us , I = 0; Ig = I r , A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató U = 0, (4) Vissza ◄ 21 ► Villamosságtan Források és generátorok, a helyettesítő generátorok tétele A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 22 ► ahol Us a kapocsfeszültség szakadással történő lezárás (I=0) esetén, Ir pedig a rövidre záráskor (U=0) fellépő rövidzárási áram. Mindkét állapot megmérésével (3) alapján az Rb belső ellenállás is meghatározható: Rb = Us Ir (5) . Kis belső ellenállású generátorok rövidzárási árama gyakran nem határozható meg méréssel, mert a

fellépő hőhatás a generátort tönkreteszi. Ilyenkor az üresjárási mérés mellett egy terhelési méréssel határozható meg a belső ellenállás. Nagy belső ellenállású generátoroknál pedig a nagy üresjárási feszültség átütést okozhat Ezek után térjünk rá a helyettesítő generátorok tételére. A helyettesítő generátorok tétele szerint egy tetszőleges lineáris kétpólus helyettesíthető akár egy feszültséggenerátorral (feszültségforrás és ellenállás soros kapcsolásával), akár áramgenerátorral (áramforrás és ellenállás párhuzamos kapcsolásával). Az első kapcsolás a kétpólus Thévenin-ekvivalense, a második a Norton-ekvivalense (4.3 ábra) Az ekvivalens kapcsolások létezését kimondó tételeket ennek megfelelően Thévenin-, ill Norton-tételnek nevezik, gyűjtőnevük: a helyettesítő generátorok tétele vagy Helmholtz tétele 4.3 ábra Lineáris kétpólus helyettesítése a) feszültséggenerátorral, ill. b)

áramgenerátorral A helyettesítő generátorok tétele a kétpólus linearitásának következménye, hiszen az U kapocsfeszültség és az I kapocsáram kapcsolata lineáris esetben U = U 0 − R 0 I, ill. I = I 0 − G 0 U A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató (6) Vissza ◄ 22 ► Villamosságtan Források és generátorok, a helyettesítő generátorok tétele A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 23 ► Ahogyan a lineáris generátorok vizsgálatánál láttuk, ugyanilyen összefüggések írják le a feszültség- és áramgenerátor karakterisztikáját. Tehát a kétpólus akár feszültség-, akár áramgenerátorral helyettesíthető. Így R0 nem más, mint a helyettesítő generátor Rb belső ellenállása, U0 és I0 pedig a forrásfeszültsége, ill. forrásárama Ezeket a továbbiakban Ub-vel és Ib-vel fogjuk jelölni. A forrásmennyiségek most is az üresjárási, ill. a rövidzárási

állapotban határozhatók meg közvetlenül: U b = Us , I = 0; Ib = Ir , U = 0, (7) a belső ellenállás pedig ezek hányadosával: Rb = Us Ir (8) . Az üresjárási vagy rövidzárási állapot meghatározása helyett, ha nincs csatolt kétpólus, kényelmesebb lehet a belső ellenállás közvetlen számítása. E célból az eredeti hálózatot dezaktivizáljuk (minden forrásmennyiségét nullának tekintjük), és meghatározzuk a csak ellenállásokat tartalmazó kétpólus Rbe bemeneti vagy eredő ellenállását (4.4 ábra), vagyis R b = R be . (9) 4.4 ábra A helyettesítő generátorok forrásmennyiségeinek és belső ellenállásának meghatározása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 23 ► Villamosságtan Források és generátorok, a helyettesítő generátorok tétele A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató ◄ Vissza 24 ► A helyettesítő generátorok tételét különösen akkor

célszerű használni, ha a hálózat egyetlen feszültségét vagy áramát keressük. Ekkor ezt a kétpólust tekintjük lezárásnak, a hálózat többi részét pedig egyetlen generátorral helyettesítjük. 4.1 példa Egy telep Us üresjárási feszültsége 4,5 V. R = 86 ohmmal terhelve az U kapocsfeszültsége 4,3 V lesz. Mekkora a belső ellenállása? A feszültséggenerátoros helyettesítésből kiindulva: Rb = Us − U I = Us − U Us − U = R, U U R Rb = 4, 5 − 4, 3 4, 3 86 = 4Ω. 4.2 példa Határozzuk meg két párhuzamosan kapcsolt feszültséggenerátor „eredőjét”, vagyis helyettesítő generátorait (4.5 ábra) 4.5 ábra Párhuzamosan kapcsolt feszültséggenerátorok helyettesítése párhuzamosan kapcsolt áramgenerátorokkal I b = G b1 U g1 + G b 2 U g 2 , Ub = 1 Gb (G b1 U g1 + G b2 U g 2 G b1 = ) 1 R b1 , Gb2 = 1 R b2 , G b = G b1 + G b 2 . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 24 ►

Villamosságtan Források és generátorok, a helyettesítő generátorok tétele A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 25 ► 4.3 példa Határozzuk meg a Thévenin- és a Norton-helyettesítőkapcsolást a C0 kétpólusra. R AB = R BC = 220 Ω R AC = R B0 = 1,5 kΩ ( R C0 = 2, 7 kΩ ) , U g = 10 V. 4.6 ábra Rb meghatározásához dezaktivizáljuk a generátort, és a kapcsolást 4.7 ábrán látható módon átrajzoljuk. Az ábra alapján írhatjuk, hogy: R b = [( R AB xR B0 ) + R BC ] x R AC = ⎡⎛ ⎤ ⎞ ⎢⎜ 220x1500 ⎟ + 220 ⎥ x 1500 = 323,136 Ω. ⎢⎣⎝ 191,86 ⎠ ⎥⎦ Az üresjárási kapocsfeszültség kiszámításához pedig a 4.8 ábrán látható átrajzolást végezzük el. 4.7 ábra 4.8 ábra U b = U s = U RB0 + U RBC A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 25 ► Villamosságtan Források és generátorok, a helyettesítő generátorok tétele A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 26 ► Először a feszültségosztó képletével határozzuk meg URB0-t: U RB0 = U g U RB0 = 10 R B0 R B0 + R AB x(R AC + R BC ) 1500 1500 + 220x(1500 + 220) , , 195,052 azaz U RB0 = 10 1500 1695, 052 = 8,85 V. URBC URB0 meghatározásához hasonlóan számítható: U RBC = (U g − U RB0 ) R BC R BC + R AC = (10 − 8,85) 1,15 220 220 + 1500 = 0,1471 V, amivel U b = U s = U RB0 + U RBC = 8,85 + 0,1471 = 8, 997 V. A Norton-generátor forrásárama tehát: Ib = Ub Rb = 8, 997 323,136 = 27,843 mA. Az 4.9 ábrán a helyettesítő Thévenin-generátort látjuk, az R C0 ellenállással kiegészítve 4.9 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 26 ► Villamosságtan Szinuszos gerjesztésű, lineáris, koncentrált paraméterű, időinvariáns hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 27 ► 5. Szinuszos

gerjesztésű, lineáris, koncentrált paraméterű, időinvariáns hálózatok A következőkben az időben szinuszosan változó forrásfeszültségű, ill. forrásáramú generátorok hatására létrejövő állandósult áramok és feszültségek számítását tárgyaljuk lineáris, időinvariáns hálózatokban. A szinuszos mennyiségek vizsgálata (AC-analízis) azért fontos, mert nagy a gyakorlati jelentősége, ill az általánosabb periodikus, sőt nem periodikus folyamatok vizsgálata a szinuszosra visszavezethető 5.1 Szinuszosan változó mennyiségek leírása valós időfüggvényekkel Tágabb értelemben váltakozó mennyiségnek (pl. váltakozó áramnak, angolul: alternating current = AC) neveznek minden periodikus mennyiséget A váltakozó mennyiség elnevezést mi a legegyszerűbb, azaz a szinuszfüggvénnyel leírható folyamatokra alkalmazzuk. Ez három adattal jellemezhető: az amplitúdójával (csúcsértékével), a periódusidejével és a

kezdőfázisával: ⎛ 2π ⎞ t + ρ⎟. ⎝ T ⎠ u = u ( t ) = U cos ⎜ (1) 5.1 ábra Szinuszosan változó feszültség ábrázolása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 27 ► Villamosságtan Szinuszos gerjesztésű, lineáris, koncentrált paraméterű, időinvariáns hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 28 ► Az egyes mennyiségek jelentését az 5.1 ábra szemlélteti Az elektrotechnikai gyakorlatban a csúcsérték vagy amplitúdó helyett szívesebben számolnak az effektív értékkel A csúcsérték és az effektív érték között a következő kapcsolat áll fenn: 1 U= U ≈ 0, 707 U. (2) 2 A periódusidő reciproka a frekvencia, amely számszerűleg egyenlő az időegység alatt fellépő teljes rezgések (periódusok) számával: f= 1 T , [f ] = 1 1 = 1 = 1 hertz = 1 Hz. [T ] s (3) Ezzel a szinuszos feszültség: ˆ cos ⎛ 2π t + ρ ⎞ = u=U ⎜ ⎟ ⎝ T

⎠ 2U cos(2πft + ρ). (4) [ 2π] = 1 rad = 1 1 s s [T] (5) Célszerű bevezetni az ω = 2πf = 2π T , [ω] = definícióval a körfrekvenciát, amely a szinuszos mennyiség fázisának változási sebességét adja meg. Végeredményben egy szinuszosan változó feszültséget (1) helyett az alábbi alakok egyikével szoktuk megadni: u = U cos ( ωt + ρ ) = 2U cos(ωt + ρ). (6) Természetesen a koszinuszfüggvény helyett jogosan használhatnánk szinuszfüggvényt is. Előbbinek az az előnye, hogy ω = 0, és ρ = 0 esetén cos(ωt + ρ) = 1, vagyis a koszinuszos feszültség határesete az egyenfeszültség (az egyenfeszültség frekvenciája nulla hertz). Lineáris és stabil hálózatnál, ha a generátor forrásfeszültsége szinuszos, akkor állandósult állapotban (azaz a bekapcsolási folyamatok lezajlása után) a hálózat minden feszültsége és árama szinuszos lesz. Ezek körfrekvenciái megegyeznek, az amplitúdóik és a kezdőfázisaik eltérők

lesznek. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 28 ► Villamosságtan Szinuszos gerjesztésű, lineáris, koncentrált paraméterű, időinvariáns hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 29 ► 5.2 ábra Azonos köfrekvenciájú és amplitúdójú, de eltérő fázisú szinuszos feszültségek ábrázolása A 5.2 ábrán három szinuszos feszültséget láthatunk: u 0 = U cos ωt, u1 = U cos(ωt + ρ1 ), ρ1 > 0, (7) u 2 = U cos(ωt + ρ2 ), ρ2 < 0. Az u1 feszültség ρ1 szöggel siet u0-hoz, és (ρ1+ρ2)-vel u2-höz képest, u0 siet u2-höz, és késik u1-hez képest, u2 késik u1-hez és u0-hoz képest. A „siet” és „késik” eldöntésénél azt kell megnézni, hogy a két függvény egymáshoz legközelebbi azonos fázisú pontjai (pl. a maximumok) milyen pozíciójúak Ha pl. a vizsgált feszültségek közül az egyik később éri el a maximumát, mint a másik, a

vonatkoztatási feszültség, akkor hozzá képest késik, ellenkező esetben siet. Az egyszerűbb számolás érdekében valamely mennyiség kezdőfázisát mindig választhatjuk nullának. Rendszerint egy adott mennyiség, pl egy generátor forrásfeszültségét választjuk U cos ωt alakúnak. A hálózat számítása során elegendő az egyes keresett áramokra vagy feszültségekre két adatot megadnunk: a csúcsértéket (vagy az effektív értéket) és a kezdőfázist. Ezáltal a szinuszos mennyiséget, ill folyamatot teljes egészében meghatároztuk, hiszen ω megegyezik a generátor körfrekvenciájával A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 29 ► Villamosságtan Szinuszos gerjesztésű, lineáris, koncentrált paraméterű, időinvariáns hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 30 ► 5.2 Szinuszosan változó mennyiségek leírása komplex időfüggvényekkel Egy komplex számot

három alakban tudunk felírni: z = x + jy = z cos ϕ + j z sin ϕ = z e jϕ , a lg ebrai alak trigonometrikus alak (1) exp onen − ciális alak ahol j = −1 az ún. képzetes egység A trigonometrikus és az exponenciális alak közötti azonosság felfedezése és bizonyítása Leonhard Eulertől (1707–1783) származik, és egyike a matematika legfontosabb összefüggéseinek, mert lehetővé teszi, hogy trigonometrikus függvények helyett a lényegesen egyszerűbb exponenciális függvényekkel számolhassunk. (Bizonyítások a Függelékben tanulmányozhatók!) A komplex szám elnevezés és a komplex szám síkvektorral (ún. fazorral) történő ábrázolása (53 ábra) Carl Friedrich Gausstól (1777–1855) származik 5.3 ábra Komplex szám ábrázolása fazorral A három alakból az alábbi összefüggések írhatók fel: x = Re z = z cos ϕ, z = z = x 2 + y2 , y = Im z = z sin ϕ, ϕ = arc z = arc tg y x (2) (3) , ahol z = z a komplex szám abszolút

értéke, ϕ pedig a fazorjának szöge. ( z = x + jy képzetes (imaginárius) része y, és nem jy!) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 30 ► Villamosságtan Szinuszos gerjesztésű, lineáris, koncentrált paraméterű, időinvariáns hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ ► 31 Az Euler-egyenlet értelmében az u = U cos(ωt + ρ) (4) szinuszosan változó feszültséget felírhatjuk az u = Ue j( ωt +ρ ) = U [ cos ( ωt + ρ ) + jsin(ωt + ρ) ] (5) komplex pillanatérték valós részeként: u = Re u = U cos(ωt + ρ). (6) Maga az u komplex pillanatérték egy olyan fazor, amelynek hossza U , szöge (ωt+ρ) vagyis ω szögsebességgel forog pozitív irányban, a t = 0 pillanatban szöge ρ. Az u valódi vagy valós pillanatérték (6) szerint e körben forgó fazor (röviden: szinor) vetülete a valós tengelyre (5.4 ábra) 5.4 ábra A valódi vagy valós pillanatérték az ω

szögsebességgel forgó szinor vetülete a valós tengelyre A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 31 ► Villamosságtan Szinuszos gerjesztésű, lineáris, koncentrált paraméterű, időinvariáns hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 32 ► Gyakran előfordul valamely komplex szám j-vel történő szorzása, amely a komplex szám fazorjának pozitív 900-os fázisforgatását eredményezi, hiszen a korábbi valós értékből képzetes, a képzetes részből (−1)-gyel szorzott valós rész lesz, azaz a fazor valós és képzetes része is, tehát végeredményben a teljes fazor, 900-kal elfordul pozitív irányban. A továbbiak szempontjából fontos összefüggéshez jutunk, ha megvizsgáljuk, hogy egy szinor Δt idő alatt miként változik meg (5.5 ábra) 5.5 ábra A szinor megváltozása Δt idő alatt Az ábra alapján Δu ≈ ωΔt u (ív = sugár szorozva a szöggel), valamint Δu

szöge ≈ 90°-kal nagyobb u szögénél. Mivel Δu 90°-os pozitív irányú elfordulása u -hoz képest j-vel való szorzással vehető figyelembe, a megváltozás komplex értékére azt írhatjuk, hogy Δu ≈ jωΔtu, (7) ill.: Δu Δt ≈ jω u . (8) Ha Δt 0, akkor a közelítés egyre pontosabb, amit az alábbiak szerint fejezünk ki: lim Δt 0 Δu Δt = du dt = jω u. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató (9) Vissza ◄ 32 ► Villamosságtan Szinuszos gerjesztésű, lineáris, koncentrált paraméterű, időinvariáns hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 33 ► Végül szükségünk lesz még egy összefüggésre, mely szerint két komplex szám összegének valós részét úgy is megkaphatjuk, hogy azok valós részeit összegezzük (5.6 ábra): 5.6 ábra Komplex számok összegezése fazorjaikkal Re ( u1 + u2 ) = Re u1 + Re u 2 . (10) Az összefüggés fordítva is

értelmezhető, és az u1, u2 valós pillanatértékekre vonatkoztatva az u1 + u 2 = Re u1 + Re u 2 = Re(u1 + u 2 ) (11) egyenlőséghez jutunk. Ezek után alakítsuk át még az u komplex pillanatérték kifejezését az alábbiak szerint: ˆe u=U j( ωt +ρ ) ˆe e =U jρ jωt ˆ jωt = Ue , (12) ahol ˆ =U ˆ e jρ U (13) az ún. komplex csúcsérték Ebből a komplex effektív érték: U= ˆ U (14) . 2 Látható, hogy ˆ , és ρ = arc U ˆ. Û = U A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató (15) Vissza ◄ 33 ► Villamosságtan Szinuszos gerjesztésű, lineáris, koncentrált paraméterű, időinvariáns hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 34 ► Mivel az ω körfrekvencia a hálózatban közös, ezért egy vizsgált mennyiségre vonatkozó valamennyi információt, azaz a csúcsértéket (effektív értéket) és a kezdőfázist egyaránt kifejezi a komplex csúcsérték, ill.

effektív érték Két azonos körfrekvenciájú feszültség összegezésekor nemcsak a pillanatértékeket összegezhetjük, hanem a komplex effektív értékeket, ill. a komplex csúcsértékeket is. Ennek belátásához írjuk fel az u 0 = u1 + u 2 összefüggést a komplex pillanatértékek exponenciális alakjával: ˆ e j ρ0 e j ωt = U ˆ e jρ1 e jωt + U ˆ e jρ2 e jωt . U 0 1 2 (16) Mindkét oldalt elosztva e jωt -vel azt kapjuk, hogy ˆ e jρ = U ˆ e jρ + U ˆ e jρ , U 0 1 2 (17) ˆ =U ˆ +U ˆ . U 0 1 2 (18) 0 1 2 azaz Az eddigiekben az u mennyiséget feszültségnek tekintettük. Ugyanezek az összefüggések érvényesek és alkalmazhatók értelemszerűen más szinuszosan változó mennyiségekre is. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 34 ► Villamosságtan Általánosított Ohm-törvény, az impedancia A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 35 ► 6. Általánosított

Ohm-törvény, az impedancia Vizsgáljuk meg, hogy a komplex írásmódban milyen kapcsolat van a lineáris invariáns ellenállás, tekercs és a kondenzátor kapcsain fellépő feszültség és a rajtuk átfolyó áram között. Induljunk ki az ismert u R = Ri R , uL = L di L dt , iC = C du C (1) dt összefüggésekből. A feszültséget és az áramot komplex pillanatértékével helyettesítve: u R = R iR , u= 2Ue 2U R e jωt jωt u L = jω L i L , i C = jωCu C . (2) és i = 2 Ie jωt figyelembevételével az előbbi egyenleteink: jωt = R 2 IRe , 2U L e jωt jωt = jωL 2 I L e , 2 ICe jωt = jωC 2U C e jωt (3) jωt -vel való egyszerűsítés után a komplex effektív értékek kapcsolatára kapunk összefüggéseket: 2e UR = R I R , U L = j ωL I L , UC = 1 j ωC (4) IC. Mindhárom esetben egy, az Ohm-törvénnyel analóg, egyszerű összefüggést kaptunk, amelyet az U = Z I, [ Z] = 1 V = 1 ohm = 1 Ω (5) A alakban szokás

megfogalmazni. Ez az ún általánosított Ohm-törvény Az ellenállás helyére most egy Z komplex szám, az impedancia került. Az összefüggések egybevetéséből látható, hogy az egyes elemek impedanciája a következő: ZR = R, ZL = jωL, ZC = A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató 1 jω C (6) . Vissza ◄ 35 ► Villamosságtan Általánosított Ohm-törvény, az impedancia A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 36 ► Az impedancia valós, ill. képzetes részére az R, ill X jelölés, szögére a ϕ használatos, tehát jϕ Z = R + jX = Ze . (7) Az impedanciát is szemléltethetjük fazorral (6.1 ábra) 6.1ábra Az impedancia ábrázolása fazorral A valós jellemzők kapcsolatára az alábbi összefüggéseket írhatjuk fel: Z = R 2 + X2 , R = Z cos ϕ, ϕ = arc tg X R X = Z sin ϕ; ; ϕ ≤ 900 (8) [ R ] = [ X ] = 1 Ω. Itt R a hatásos ellenállás vagy rezisztencia, X a meddő

ellenállás vagy reaktancia, Z az impedancia abszolút értéke, amit szokás látszólagos ellenállásnak is nevezni. A tekercsnek és a kondenzátornak csak reaktanciája van, ezek az ún. reaktáns elemek. A csak reaktanciákat tartalmazó hálózatokat reaktáns hálózatoknak nevezzük. Az induktív, ill kapacitív reaktancia kifejezése az alábbi: X L = ωL, XC = − 1 ωC A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató (9) . Vissza ◄ 36 ► Villamosságtan Általánosított Ohm-törvény, az impedancia A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 37 ► (Az induktív reaktancia pozitív, a kapacitív pedig negatív!) A látszólagos ellenállások: Z L = X L = ωL, ZC = X C = ill. 1 ωC (10) . Az impedancia mellett használják annak reciprokát, az admittanciát is (6.2 ábra). 6.2 ábra Az admittancia ábrázolása fazorral Y= 1 Z [ Y] = [ G ] = [ B] = S , Y = G + jB = Ye− jϕ ; (siemens). (11) Itt G

a hatásos vezetés vagy konduktancia, B a meddő vezetés vagy szuszceptancia, Y pedig a látszólagos vezetés. Ügyeljünk arra, hogy míg Y=1/Z, addig G ≠ l / R, és B ≠ 1/ X. A ϕ jelölést az impedancia szögére tartják fenn, így ϕY = −ϕ. Az admittanciával Ohm törvénye így alakul: I = YU. (12) Az (5) általánosított Ohm-törvény felírható az alábbi alakban is: U I = Ue Ie jρ u jρi = U I e j( ρu −ρi ) = Ze jϕ . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató (13) Vissza ◄ 37 ► Villamosságtan Általánosított Ohm-törvény, az impedancia A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 38 ► Az abszolút értékek, ill. a szögek egyenlőségéből következik, hogy U I = Z, ρu − ρi = ϕ . (14) Megállapíthatjuk, hogy a feszültség az impedancia szögével siet az áramhoz képest. Ha ϕ negatív, akkor a feszültség negatív szöggel siet, vagyis késik Csatolt tekercsek

esetében is alkalmazhatjuk a komplex pillanatértékekkel és effektív értékekkel történő számítási módszert. Kiindulva a lineáris, invariáns csatolt tekercspár u1 = L1 u2 = M di1 dt di1 dt + + M L2 di 2 dt di 2 , (15) dt karakterisztikájából, a komplex effektív értékekre vonatkozó összefüggések a következők lesznek: U1 = jωL1 I1 + jωM I 2 , U 2 = j ωM I 1 + jωL 2 I 2 , (16) ahol jωM az ún. csatolási impedancia Ezek után foglaljuk össze a szimbolikus számítási eljárás lépéseit. Legelőbb a valódi pillanatértékhez hozzárendeljük a komplex pillanatértéket A Kirchhoff-törvényeket, valamint az általánosított Ohm-törvényt már a komplex amplitúdókra vagy effektív értékekre írjuk fel. A keresett menynyiség komplex pillanatértékének meghatározása után képezzük annak reális részét, hogy megkapjuk a valódi pillanatértéket. A számolást valós időfüggvényekkel is elvégezhetjük, de sokkal

körülményesebb módon (lásd 6.3, 64 feladat) A két számolási eljárás összehasonlítását láthatjuk a következő oldalon (szinuszos áramú hálózatok állandósult állapotának számítása szimbólikus módszerrel). Végül az (5) összefüggés értelmében a kétpólus impedanciája vagy komplex ellenállása nem más, mint a kétpóluson lévő feszültség komplex effektív értékének és a kétpóluson átfolyó áram komplex effektív értékének a hányadosa. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 38 ► Villamosságtan Általánosított Ohm-törvény, az impedancia A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató ◄ Vissza 39 ► 6.1 Szinuszos áramú hálózatok állandósult állapotának számítása szimbolikus módszerrel általánosított Ohm-törvény kiindulási i v.u Komplex i ( t ) = ˆIe jωt ↑ Euler − reláció ˆ = R ˆI , U R R ↑ i ( t ) = ˆI cos ωt u R = Ri R , Valós

kiindulási i v.u ˆ ˆ = jωLIˆ , U ˆ = IC U L L C jω C ↑ uL = L ↑ du di L , iC = C C dt dt differenciálegyenletek végeredmény komplex alakban ˆ jωt = Ue ˆ j( ωt +ρ ) u(t) = Ue algebrai egyenletek ↓ u(t) = Re u(t) ˆ cos(ωt + ρ). u(t) = U differenciál− és trigonometrikus egyenletek végeredmény valós alakban 6.1 példa Határozzuk meg a 6.3 ábrán felvázolt hálózatban folyó I áramot ˆ e jωt , ρ = 0 u (t) = U u ( ˆ cos ωt ↑ u (t) = U ) 6.3 ábra Kirchhoff huroktörvénye a komplex amplitúdókkal így írható: ˆ +U ˆ = R ˆI + jωL ˆI = R + jωL ˆI ˆI = Û = U ( ) R L A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató ˆ U R + j ωL Vissza . ◄ 39 ► Villamosságtan Általánosított Ohm-törvény, az impedancia A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Î = Vissza ◄ 40 ► Û ; R 2 + ω2 L2 ωL arc ˆI = −arc tg R ωL ⎞ ⎛ j ωt − arc tg ⎟ R ⎠ ⎜ i ( t

) = ˆIe ⎝ Komplex pillanatérték ωL ⎞ ⎛ Re i ( t ) = ˆI cos ⎜ ωt − arc tg ⎟. R ⎠ ⎝ Valódi pillanatérték 6.2 példa Mekkora a soros RL-kapcsolás generátorfeszültsége, ha i(t) = − Î cos ωt ? ˆ = R + jωL ˆI , azaz U ˆ = R 2 + ω2 L2 ˆI, és Az előző példa szerint U ( ) ρ u = ρi + arc tg ωL R = ρi + ϕ. Ezzel u(t) = − R 2 + ω2 L2 ˆIe j(ωt +ϕ) u(t) = − R 2 + ω2 L2 ˆI cos(ωt + ϕ) . Összehasonlításként oldjuk meg ez utóbbi feladatot valós időfüggvényekkel is (lásd 6.3, 64 példa) 6.3 példa Egy L induktivitású önindukciós tekercsre az Û 0 sin ωt hálózati feszültséget kapcsoljuk (6.4 ábra) Mekkora lesz az áramerősség? 6.4 ábra Az önindukciós feszültség minden pillanatban egyensúlyt tart a tekercsre rákapcsolt feszültséggel, azaz Û 0 sin ωt = L Δi Δt (1) . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 40 ► Villamosságtan Általánosított

Ohm-törvény, az impedancia A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 41 ► Kifejezve az áram megváltozását azt kapjuk, hogy Δi = Û 0 Δt sin ωt. L (2) Először bebizonyítjuk, hogy i(t) = − Î cos ωt estén az áram megváltozása, Δi = ÎωΔt sin ωt , tehát szintén szinuszfüggvénnyel írható le, összhangban a (2)-es összefüggéssel. Az Î cos ωt függvény előállítható az Î hosszúságú ω szögsebességgel forgó vektor vízszintes tengelyre képzett vetületeként. 6.5 ábra A koszinuszfüggvény szerint váltakozó áram Δt idő alatti megváltozása A 6.5 ábra alapján Δi = −ˆIωΔt sin ωt , ha i(t) = Î cos ωt i(t) = − Î cos ωt esetén Δi is előjelet vált, ahogy az ábrán is látható. Tehát végeredményben: Δi = ˆIωΔt sin ωt (3) A (2)-es összefüggés, figyelembevételével írhatjuk, hogy ÎωΔt sin ωt = Û 0 L Δt sin ωt, (4) . (5) azaz Î = Û 0 ωL A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 41 ► Villamosságtan Általánosított Ohm-törvény, az impedancia A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 42 ► Végül az áram kifejezése: ˆ U 0 i(t) = − Î cos ωt = − ωL cos ωt = ˆ U 0 ωL sin(ωt − 90o ). (6) A fáziskésés a feszültséghez képest 90°. 6.4 példa Kapcsoljunk sorba az önindukciós tekerccsel egy R ellenállást (6.6 ábra) Mekkora a kapocsfeszültség a soros RL-tagon, ha az áram i(t) = − Î cos ωt ? 6.6 ábra Ha a körben i(t) = − Î cos ωt áram folyik, akkor a tekercs feszültsége az előző példa értelmében: uL = L Δi Δt =L ˆIωΔt sin ωt Δt = ÎωL sin ωt (1) Az ellenállás feszültsége: U R = − RÎ cos ωt. (2) Kirchhoff huroktörvénye értelmében: u(t) = − ˆIR cos ωt + ˆIωL sin ωt. Bővítsük (3)-at (3) R 2 + ω2 L2 -tel: ⎛ u(t) = Î R 2 + ω2 L2 ⎜ −R ⎝ R

+ω L 2 2 2 cos ωt + A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató ⎞ ωL R +ω L 2 2 2 sin ωt ⎟ . Vissza (4) ⎠ ◄ 42 ► Villamosságtan Általánosított Ohm-törvény, az impedancia A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 43 ► Ha R-t és ωL-t egy derékszögű háromszög két befogójának tekintjük (6.7 ábra), akkor R 2 + ω2 L2 éppen az átfogó, és cos ϕ = R 2 (5) , R +ω L 2 2 ill. sin ϕ = ωL R 2 + ω2 L2 (6) . 6.7 ábra Ezzel u(t) = − Î R 2 + ω2 L2 ( cos ωt cos ϕ − sin ωt sin ϕ ) , (7) u(t) = − Î R 2 + ω2 L2 cos(ωt + ϕ), (8) u(t) = Î R 2 + ω2 L2 sin(ωt + ϕ − 90o ). (9) illetve vagy Ha R = 0, akkor ϕ = 90°, és u(t) = ÎωL sin ωt , (10) az előző példa kapocsfeszültségével egyezően. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 43 ► Villamosságtan Az eredő impedancia meghatározásának módszerei

A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 44 ► 7. Az eredő impedancia meghatározásának módszerei (sorosan és párhuzamosan kapcsolt impedanciák eredője) A hálózatok számítását nagyon megkönnyíti, ha több összekapcsolt kétpólust, amelyek együtt újból kétpólust alkotnak, egyetlen kétpólusnak tekintünk. A két tipikus ilyen kapcsolás a soros és párhuzamos kapcsolás Kétpólusok akkor vannak sorba kapcsolva, ha az áramuk közös, és a feszültségeik összegeződnek. Kétpólusok akkor vannak párhuzamosan kapcsolva, ha a feszültségük közös, és áramaik összegeződnek. Vizsgáljuk először a lineáris, időinvariáns impedanciák soros kapcsolását (7.1 ábra) 7.1 ábra Impedanciák sorba kapcsolása Alkalmazzuk Kirchhoff huroktörvényét a kapcsolásra: − U + U1 + U 2 + U 3 = 0 n U = U1 + U 2 + U 3 U = ∑ U k . (1) k =1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 44

► Villamosságtan Az eredő impedancia meghatározásának módszerei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 45 ► Az eredő kétpólus maga is egy lineáris, időinvariáns impedancia, amelynek értéke Zs . Az (1)-es összefüggés és az általánosított Ohm-törvény alapján n n n k =1 k =1 k =1 U = Zs I = ∑ U k = ∑ Z k I = I ∑ Z k . (2) A közös árammal egyszerűsítve kapjuk az eredő impedancia kifejezését: n Zs = ∑ Z k . (3) k =1 A soros eredő impedancia valós része nagyobb bármelyik összetevő impedanciájának valós részénél. Ha valamennyi impedancia képzetes része nulla, de a valós része, R≠0, akkor ellenállások soros kapcsolásáról van szó, amelynek eredő rezisztenciája értelemszerűen: n Rs = ∑ Rk. (4) k =1 Az egyes impedanciákon fellépő feszültségek arányosak az impedanciával: U k = Zk I = Zk U. Zs (5) Ha valamennyi impedancia egyenlő, vagyis Z k = Z, akkor ZS =

nZ, és Uk = U n . Speciálisan két sorba kapcsolt impedancia (7.2 ábra) esetében: 7.2 ábra Feszültségosztó kapcsolás Zs = Z1 + Z2 , A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 45 ► Villamosságtan Az eredő impedancia meghatározásának módszerei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató U2 = Z2 Z1 + Z2 Vissza ◄ 46 ► (6) U. Ezt a kapcsolást feszültségosztónak hívjuk. Ha valamennyi képzetes érték nulla, akkor U2 = R2 R1 + R 2 (7) U. Most vizsgáljuk lineáris, időinvariáns impedanciák párhuzamos kapcsolását (7.3 ábra) 7.3 ábra Impedanciák párhuzamos kapcsolása Alkalmazzuk Kirchoff csomóponti törvényét a kapcsolásra: − I + I1 + I 2 + I 3 = 0 n I = I1 + I 2 + I 3 I = ∑ I k . (8) k =1 Az eredő kétpólus maga is egy lineáris, időinvariáns impedancia, amelynek értéke Zp . A (8)-as összefüggés és az általánosított Ohm-törvény szerint I= U Zp n n k

=1 k =1 = ∑ Ik = ∑ U Zk n = U∑ k =1 1 Zk . (9) A közös feszültséggel egyszerűsítve az eredő impedancia reciprokára azt kapjuk, hogy n 1 1 =∑ . (10) Zp k =1 Zk A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 46 ► Villamosságtan Az eredő impedancia meghatározásának módszerei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 47 ► Nulla képzetes részű impedanciák esetén az összefüggés az alábbi: 1 Rp n =∑ k =1 1 . Rk (11) Az egyes impedanciákon átfolyó áramok fordítottan arányosak az impedanciával: Ik = U Zp = Zk I. Zk (12) Ha valamennyi impedancia egyenlő, vagyis Zk = Z , akkor Zp = Z / n , és I k = I / n . Speciálisan két párhuzamosan kapcsolt impedancia esetén (74 ábra): 7.4 ábra Áramosztó kapcsolás 1 Zp = 1 Z1 I1 = + Zp Z1 1 Z2 , (13) I. (14) A (13)-as összefüggés szerinti műveletre, reciprokképzés és összeadás (vagyis plusz),

alkalmazzuk a replusz elnevezést és a x műveleti jelet: Z p = Z1 x Z2 Z1 Z2 Z1 + Z2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató (15) . Vissza ◄ 47 ► Villamosságtan Az eredő impedancia meghatározásának módszerei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 48 ► (15)-tel az áramosztó képlete a következő: I1 = Z2 Z1 + Z2 (16) I. Az impedanciák párhuzamos kapcsolására kapott összefüggéseket az admittanciákkal is felírhatjuk: n Yp = ∑ Yk , Ik = k =1 Yk Yp I. (17) Ha speciálisan n=2, akkor Yp = Y1 + Y2 , I1 = Y1 Y1 + Y2 (18) I. A párhuzamos kapcsolásra vonatkozó összefüggések az admittanciákkal ugyanolyan alakúak, mint a soros kapcsolásra vonatkozóak az impedanciákkal. Ha a hálózat csak egyetlen forrást tartalmaz, és a forráshoz csatlakozó rész impedanciák soros és párhuzamos kapcsolásából épül fel, akkor a forráshoz csatlakozó kétpólus eredő

impedanciája meghatározható a Zs és Zp kiszámítására kapott összefüggések ismételt alkalmazásával. 7.1 példa Határozzuk meg Z1 = (3 + j2) Ω és Z 2 = (1 − j4) Ω impedanciák soros és párhuzamos eredőjét. Zs = Z1 + Z2 = 3 + j2 + 1 − j4 = (4 − j2) Ω, Zp = = = Z1 Z2 Z1 + Z2 11 − j10 4 − j2 64 − j18 20 = = (3 + j2)(1 − j4) 4 − j2 (11 − j10)(4 + j2) (4 − j2)(4 + j2) = = 3 + j2 − j12 + 8 4 − j2 = 44 − j40 + j22 + 20 16 + 4 = = (3, 2 − j0, 9) Ω. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 48 ► Villamosságtan A dualitás elve A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 49 ► 8. A dualitás elve A párhuzamosan és sorosan kapcsolt impedanciák eredő impedanciáját a következőképpen írtuk fel: 1 Zp n =∑ k =1 1 Zk n , ill. Zs = ∑ Z k (1) k =1 1/ Zk helyett Yk − t (a k-adik ág admittanciáját) írva a két összefüggés: n n k =1

k =1 Yp = ∑ Yk , ill. Zs = ∑ Z k , (2) amelyek hasonlósága azonnal szembetűnik. Ha pl azonos körfrekvenciájú feszültséggenerátorokat kapcsolunk sorba, akkor az eredő forrásfeszültség: n U bs = ∑ U gk , k =1 az eredő belső impedancia: n Zbs = ∑ Zbk , (3) k =1 ill. ha áramgenerátorokat párhuzamosan, akkor az eredő forrásáram: n Ibp = ∑ Igk , k =1 és az eredő belső admittancia: n Ybp = ∑ Ybk . (4) k =1 Ezekben az esetekben azt mondjuk, hogy a két elrendezés, ill. hálózat egymásnak duálja. Két sorba kapcsolt ág duálja két párhuzamosan kapcsolt ág Két párhuzamosan kapcsolt ág duálja két sorba kapcsolt ág A duálhálózat ágadmittanciája megfelel az eredeti hálózat ágimpedanciájának. (Összefüggéseink az egyik esetben impedanciákra, a másikban admittanciákra vonatkoznak). Az ágfeszültség duálmennyisége az ágáram, és viszont: U↔I. (5) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza

◄ 49 ► Villamosságtan A dualitás elve A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 50 ► Az eredeti és a duálhálózat változóinak összerendelése egy R rezisztanciával (lehet 1 Ω vagy 1 kΩ stb. is) a következők szerint valósul meg: U′′k = R I′k , I′′k = 1 R U′k , (6) ahol I′k , U′k (k = 1, 2, , b) az eredeti hálózat ágfeszültségeit és ágáramait, I′′k , U′′k (k = 1, 2, , b) pedig a duálhálózatét jelenti. Képezzük az U′′k / I′′k hányadost: Z′k = I′k R I′k U′′k = = R2 = R 2 Yk′ . I′′k U′k / R U′k (7) A duálhálózat ágimpedanciája tehát megfelel az eredeti hálózat ágadmittanciájának. A dualitás elvét pl. tételek igazolásánál lehet felhasználni Ha egy tétel igazolt, akkor duálisát nem kell külön igazolni. Pl a feszültségosztó képletéből azonnal adódik az áramosztóé: U Z1 = U g Z1 Z1 + Z2 ↔ IY1 = Ig Y1 Y1 + Y2 (8) . Egy

összetett hálózat duálját szisztematikusan az ún. duálgráf segítségével kaphatjuk meg. Eszerint egy S′ összefüggő síkgráfhoz mindig rendelhető egy S″ duális összefüggő síkgráf úgy, hogy ágnak ág, vágatnak hurok, huroknak pedig vágat felel meg. (A vágat azon ágak összessége, amelyek elmetszésével az összefüggő gráf két különálló részre esik szét) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 50 ► Villamosságtan A szuperpozíció elve A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 51 ► 9. A szuperpozíció elve A lineáris hálózatok áramaira és feszültségeire vonatkozó törvények a két Kirchhoff-törvény, az impedanciákra vonatkozó általánosított Ohm-törvény és a forrásmennyiségekre vonatkozó kifejezések: ∑I k ∑U = 0, k k = 0, k (1) ⎧ Z k Ik Uk = ⎨ ⎩ U gk , ⎧Yk U k Ik = ⎨ ⎩ Igk . Mivel ezek az egyenletek mind

lineárisak, ezért a lineáris hálózatokra érvényes a szuperpozíció elve, amely az alábbiakat mondja ki: Ha egy lineáris hálózat több forrást tartalmaz, akkor bármely ág árama vagy feszültsége úgy számítható, hogy egyenként meghatározzuk az egyes források által létrehozott részáramokat, ill. részfeszültségeket, és ezeket összegezzük (szuperponáljuk). Az egyes források hatásának vizsgálata során a többi forrásmennyiséget nullának tekintjük, vagyis a nem vizsgált feszültségforrást rövidzárral helyettesítjük (Ug=0), a nem vizsgált áramforrást pedig szakadással (Ig=0). A szuperpozíció elvének alkalmazását szemlélteti egy egyszerű hálózatra a 9.1 ábra. 9.1 ábra A szuperpozíció elvének szemléltetése (A szuperpozíció elve szerint egyszerre mindig csak egy forrás hatását vizsgáljuk, majd a hatásokat összegezzük.) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 51 ►

Villamosságtan A szuperpozíció elve A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 52 ► Írjuk fel az eredeti és a két, csak egy-egy forrást tartalmazó hálózatra az egyenletek teljes rendszerét. − I1′′ + I′′2 − I g = 0 − I1 + I 2 − I g = 0 − I1′ + I′2 − 0 = 0 U1 + U 2 − U g = 0 U1′ + U′2 − U g = 0 U1′′ + U′′2 − 0 = 0 U1 = R 1I1 U1′ = R 1I1′ U1′′ = R 1I1′′ U 2 = R 2 I2 U′2 = R 2 I′2 U′′2 = R 2 I′′2 (2) Ha mindkét forrás egyszerre aktív, akkor a két egyforrású hálózatra felírt két egyenletrendszer egymásnak megfelelő egyenleteit összegezve, a kapott új egyenletrendszer ekvivalens lesz a kétforrású hálózatra felírt egyenletrendszerrel, hiszen a szuperpozíció elvének megfelelő I1 = I1′ + I1′′, I 2 = I′2 + I′′2 , U1 = U1′ + U1′′, U 2 = U′2 + U′′2 helyettesítések a lineáris karakterisztikák miatt nemcsak a

Kirchhoff-egyenletekre, hanem a kétpólusokra is alkalmazhatók. Ha a források száma s, akkor a k-adik ág árama, ill. feszültsége: s I k = ∑ I (kj) , j=1 s U k = ∑ U (kj) , (3) j=1 ahol I(kj) , ill. U (kj) a j-edik forrás által a k-adik ágban létrehozott áram, ill feszültség (miközben a többi forrásmennyiség nulla). Ugyanilyen összefüggéseket írhatunk fel szinuszos áramú hálózatokra is, ha azok lineárisak. A különbség csak annyi, hogy az ellenállások helyett ez esetben impedanciák szerepelnek, a forrásmennyiségek pedig komplex csúcsértékek, ill. effektív értékek lesznek A szuperpozíció elve lehetővé teszi, hogy egyetlen forrást tartalmazó hálózatra érvényes számítási módszerek ismételt alkalmazásával vizsgálhassunk több forrást tartalmazó lineáris hálózatot is. A szuperpozíció elvének érvényessége annyira jellegzetes a lineáris hálózatokra, hogy nem tételnek, hanem definíciónak szokás tekinteni.

Lineáris az a hálózat, amelyre a szuperpozíció elve érvényes. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 52 ► Villamosságtan A szuperpozíció elve A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 53 ► Tekintsük azt a speciális esetet, amikor a lineáris hálózat csak egyetlen forrást tartalmaz, tehát úgy reprezentálható, mint egy forrásra kapcsolt olyan kétpólus, amely forrásokat nem tartalmaz (9.2 ábra) 9.2 ábra A szuperpozíció speciális esete az egyetlen forrást tartalmazó lineáris hálózat Ha Ug forrásfeszültség (vagy Ig forrásáram) hatására a hálózat k-adik ellenállásának árama Ik, feszültsége Uk, akkor a szuperpozíció elvének értelmében cUg forrásfeszültség (vagy cIg forrásáram) hatására az illető áram, ill. feszültség cIk, ill. cUk lesz, ahol c konstans érték Valamely generátor komplex forrásmennyisége egy koszinuszfüggvény szerint változó

valós és egy szinuszfüggvény szerint változó képzetes rész összege. A szuperpozíció-tétel értelmében a hálózat bármely ágának árama, ill feszültsége a forrás ezen két részmennyiségének hatására létrejövő két részáram, ill. részfeszültség összegeként adódik Mivel fizikai tartalmat csak az egyik részmennyiséghez (pl. a valós értékhez) rendelünk, a másik nullának tekintendő (szimbolikus módszer). 9.1 példa Meghatározandó a Z impedancia áramának és feszültségének effektív értéke és feszültségének időfüggvénye (9.3 ábra) Z1 = Z2 = (1 + j2) Ω Z3 = Z 4 = 10 Ω Z = (20 − j10) Ω, u1 ( t ) = 2 110 cos ωt [V] u2 ( t ) = 2 110 sin ωt [ V ]. 9.3 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 53 ► Villamosságtan A szuperpozíció elve A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 54 ► Oldjuk meg a feladatot a szuperpozíció elvének

felhasználásával. Áttérés komplex mennyiségekre Legyen az u1 feszültség komplex effektív értéke valós, vagyis U1 = 110 V. Ez esetben U 2 = − j110 V. Komplex mennyiségekkel való számolás Az AB-kapocspár üresjárási feszültsége a helyettesítő Thévenin-generátor U b forrásfeszültsége. A szuperpozíció elve alapján: U b = U AB = U A − U B = Z3 Z1 + Z3 U1 − Z4 Z2 + Z4 U 2 = (114 + j 79, 2) V. A helyettesítő generátor belső impedanciája: Z b = Z1 x Z3 + Z2 x Z 4 = 2 (1 + j2)10 1 + j2 + 10 = (2, 4 + j 3, 2) Ω. A keresett áram és feszültség komplex, ill. valódi effektív értéke: I= Ub Zb + Z = (5, 33 + j 0, 38) A, I = 5, 39 A; U = Z I = (102,8 + j 60, 9) V, U = 119, 5 V . Visszatérés a valós időfüggvények tartományába A feszültség pillanatértéke: u ( t ) = Re( 2Ue jωt ) = 2 Re(102,8 + j 60, 9)(cos ωt + j sin ωt) = = 2(102,8 cos ωt − j60, 9 sin ωt)V. A másik alak előállításához számítsuk ki u

kezdőfázisát: ρ = arc U = arc tg 60, 9 102,8 = 30, 6 Ezzel a feszültség időfüggvénye: u ( t ) = Re( 2Ue jωt ) = Re( 2Ue j( ωt +ρ ) ) = 2U cos(ωt + ρ) = = 2 ⋅ 119, 5 cos(ωt + 30, 6o ) V. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 54 ► Villamosságtan Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 55 ► 10. Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere Az 1. fejezetben már láttuk, hogy milyen hasznos eszköz a hálózatanalízisben a hálózat struktúrájának (topológiájának) gráfokkal történő vizsgálata Különösen igaz ez, ha bonyolultabb hálózatokról van szó, ill. ha számítógépes analízist szeretnénk megvalósítani A most tárgyalandó módszerek – amelyek mind a Kirchhoff-törvények adta egyenletrendszerre vezetnek – teljesen általánosak. Ebben a fejezetben

először a hálózat gráfjával és az ahhoz kapcsolódó Kirchhoff-egyenletekkel foglalkozunk, azután áttérünk az ismeretlenekre vonatkozó teljes egyenletrendszerre. Utóbbit csak a lineáris esetben tárgyaljuk 10.1 A hálózat gráfja A hálózatok két alapvető törvénye a két Kirchhoff-törvény, éspedig a csomóponti törvény: ∑i k = 0, minden csomópontra, (1) k és a huroktörvény: ∑u k = 0, minden hurokra. (2) k Ezek a törvények a lineáris és nemlineáris hálózatokra egyaránt érvényesek. A Kirchhoff-törvények konkrét alakját a hálózat struktúrája (az elemek összekapcsolásának módja) határozza meg, az elemek konkrét sajátsága (az elem karakterisztikája) a Kirchhoff-törvényekben közvetlenül nem jelentkezik. A hálózat struktúrája vagy topológiája a hálózat gráfjával szemléltethető. A gráf bizonyos elemek összerendelését adja meg, amit a gráf ábrájával érzékeltethetünk, de leírhatjuk a gráfot

mátrixával is. A hálózat gráfját úgy kapjuk, hogy az egyes kétpólusokat (források és passzív elemek) egy-egy vonaldarabbal helyettesítjük, a vonaldarabok úgy csatlakoznak egymáshoz, mint az egyes kétpólusok. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 55 ► Villamosságtan Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 56 ► 10.1 ábra Különböző hálózatokhoz azonos gráfok tartozhatnak Ebből következik, hogy több különböző hálózat topológiája ugyanazzal a gráffal szemléltethető (10.1 ábra) Az ág két csomópont közötti hálózati elem szimbóluma, olyan vonaldarab, amely két csomópontot köt össze. Az ág mindig csomópontból indul, és csomópontban végződik, de a csomópontnak az ágak nem részei. Magától értetődik, hogy általában nincs minden csomópontpár között ág. A hálózat

gráfja éppen arról ad felvilágosítást, hogy a hálózat mely csomópontjai között helyezkedik el kétpólus Az azonosítás érdekében valamilyen (többnyire önkényes) módon megszámozzuk a csomópontokat (n1, n2, , nn) és az ágakat (b1, b2, , bb), amit az a 10.1 ábrán is látható A csomópont fokszáma azon ágak száma, amelyek az illető csomópontban találkoznak. A 10.1 ábrán n1 és n3 fokszáma 2, n2 fokszáma 3, n4 fokszáma 4, n5 fokszáma 5 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 56 ► Villamosságtan Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 57 ► Ha egy ág mindkét vége ugyanahhoz a csomóponthoz illeszkedik (önhurok), az kettővel növeli a fokszámot. A 0 fokszámú csomópont izolált csomópont, az 1 fokszámú végcsomópont. Összefoglalva: a gráf alkotóelemei a csomópontok és az ágak. (Egy

csomópont is lehet gráf) A hálózat számítása során az ágak árama és feszültsége ismeretlen vagy adott mennyiség. Ezek az ágáramok szerepelnek a Kirchhoff-törvényekben is Mivel a törvények felírásához a feszültségeknek és áramoknak irányt (referenciairányt) kell tulajdonítanunk, a gráf ágait is irányítottnak tekinthetjük. Az ág iránya megegyezik a feszültség és az áram közösnek választott referenciairányával. A 10.2 ábrán láthatunk egy hálózatot és a hozzárendelt irányított gráfját 10.2 ábra A gráf ágainak irányítása megegyezik a kétpólusok feszültségeinek (és áramainak) irányával A gráf megrajzolása során a vezetékekkel összekötött, vagyis az azonos potenciálon lévő csomópontokat egyetlen csomópontnak kell tekinteni (az ábrán n5 és n ′5 ). Általában is az mondható, hogy a gráf a hálózat topológiáját és nem a geometriáját tükrözi, a hosszúságoknak, a vonaldarabok alakjának nincs

jelentősége: a gráf tetszőlegesen deformálható A sorba és párhuzamosan kapcsolt elemeket egyetlen ágnak vagy különálló ágaknak tekinthetjük A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 57 ► Villamosságtan Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 58 ► Az ábrákon minden elemet külön ágnak tekintettünk, habár elképzelhető, hogy az ellenállások eleve eredőket jelentenek, és a generátorok bonyolultabb kétpólusok Thévenin-, ill. Norton-képei A b4 és b5, a b1 és b2 vagy a b7 és b8 ágak tekinthetők egyetlen ágnak is, ekkor persze valamilyen egységes irányt kell választanunk. 10.2 A hálózattopológia alapjai A gráf bizonyos csomópontjainak és ágainak összessége az eredeti gráf egy részgráfját alkotja. A részgráfba nem tartozó csomópontok és ágak összessége a részgráf komplemens-

(kiegészítő) gráfja A következőkben a gráf néhány, számunkra fontos részgráfját definiáljuk. Az út p számú csomópont (p = 2, 3, ) és p−1 számú ág olyan halmaza, amelyben két csomópont fokszáma 1, a többi csomópont fokszáma 2. Az út önkényesen irányítható. Szemléletesen: az út egy csomópontból ágak mentén és csomópontokon keresztül egy másik csomópontba vezet úgy, hogy önmagát nem metszi és nem ismétli. A gráf összefüggő, ha bármely csomópontja bármely csomópontjából úttal elérhető. Ha a gráf nem összefüggő, akkor több összefüggő részgráfból áll, ezek a gráf komponensei. Ilyen különálló részgráfokból áll az olyan hálózathoz tartozó gráf, amelynek csak induktívan csatlakozó részei is vannak. A villamos probléma rendszerint lehetővé teszi, hogy egy-egy közös pont létesítésével (esetleg közös földeléssel) ilyenkor is összefüggő gráfot hozzunk létre. A következőkben három

részgráf játssza a főszerepet: a hurok, a fa és a vágat. A hurok olyan összefüggő részgráf, amelyben minden csomópont fokszáma 2. A hurok önkényesen irányítható A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 58 ► Villamosságtan Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 59 ► Egy összefüggő hálózatgráf azon összefüggő részgráfját, amelyben bármelyik csomópontból bármelyik csomóponthoz el lehet jutni egymáshoz csatlakozó ágakon át, amely részgráf azonban zárt hurkot nem tartalmaz fának nevezzük. A megmaradt ágakat húrágaknak vagy kötőágaknak, ezek rendszerét pótfának nevezzük (10.3 ábra) 10.3 ábra A gráf fája és kötőágai Egy gráfhoz igen nagyszámú fát találhatunk. Bármely fa ágainak száma összefüggő gráf esetén n−1, ahol n a csomópontok száma. Kiindulva ugyanis egy

tetszőlegesen választott (1) csomópontból, minden következő csomóponthoz egy ág igénybevételével jutunk, így az n-edik csomópontot az (n−1)-edik ág csatolja a fához. Ha a gráf p különálló részből áll, mindegyik részére egy-egy fát szerkeszthetünk Az így adódó „liget” ágainak száma, mint azt a személet mutatja, n-p. Az ágak összességét, amelyek elmetszésével, ill. elvételével (miközben a csomópontok a helyükön maradnak) az összefüggő gráf két különálló részre esik szét, viszont bármelyik ág visszarakása már összefüggést létesít, vágatnak nevezzük (10. 4 ábra) A vágatot önkényesen választott iránnyal láthatjuk el, amely az egyik különálló részből a másik felé mutat. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 59 ► Villamosságtan Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató

Vissza ◄ 60 ► 10.4 ábra Síkgráf irányított vágatokkal Bármely csomóponthoz illeszkedő ágak halmaza vágatot alkot. Ezek az ún. csomóponti vagy csomópont által generált vágatok (104/b ábra) 10.3 Fundamentális hurok- és vágatrendszer Egy gráf általában igen sok hurkot és vágatot tartalmaz. Számunkra azonban csak a hurkok és vágatok olyan rendszerének van jelentősége, amelyekre a két Kirchhoff-törvényt alkalmazva lineárisan független és teljes (maximális számú) egyenletrendszert kapunk. A hurkok, ill vágatok ilyen rendszere fundamentális hurok-, ill. vágatrendszert alkot Függetlennek akkor nevezzük az egy adott gráfhoz tartozó hurkok rendszerét, ha mindegyik legalább egy olyan ágat tartalmaz, amely a rendszerhez tartozó többi hurokban nincs benne. A gráf fundamentális hurokrendszere a gráf hurokjainak egy olyan rendszere, amely maximális számú független hurkot tartalmaz. Egy gráfnak általában sok fundamentális

hurokrendszere van, de mindegyik azonos számú hurkot tartalmaz (10.5 ábra) Az 1. fejezetben már teljes indukcióval meghatároztuk a független hurkok, az ágak és a csomópontok száma között fennálló b = + n −1 (3) összefüggést. Természetesen ugyanerre az eredményre jutunk a gráf egy tetszés szerinti fájának révén is. Ehhez vegyük fel az (összefüggő) gráf egy tetszés szerinti fáját. Ha egy húrágat (kötőágat) visszateszünk, hurok kelet- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 60 ► Villamosságtan Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 61 ► kezik, mert a húrág két végpontja a fán keresztül is össze van kötve. (A hurok tehát egy húrágból és a fa egy vagy több egyértelműen meghatározott ágából áll.) A húrágakat rendre berakva = b − (n − 1) (4) hurkot kapunk. ([n−1]

a fa ágainak száma!) Ezek a hurkok biztosan függetlenek egymástól, hiszen egy kötőág csak egyetlen hurokban szerepel Több független hurkot nem tudunk létrehozni, mert mindegyik ág szerepel valamelyik hurokban, ezért az ℓ számú húrág által generált hurkok rendszere a maximális számú hurkot tartalmazza. 10.5 ábra Egy gráf két fundamentális hurokrendszere A fa megkonstruálásával tehát könnyen eljutunk a fundamentális hurokrendszerhez: a hurkok generálásához elegendő a hiányzó húrágakat elhelyezni. A gráf minden fája egy fundamentális hurokrendszert generál oly módon, hogy minden kötőág egy olyan hurkot hoz létre, amelynek a többi ága faág. A hurkok irányát a generáló húrág irányával egyezőnek választjuk. A fundamentális hurokrendszerhez hasonlóan definiáljuk a fundamentális vágatrendszert: A gráf egy fundamentális vágatrendszere a gráf vágatainak olyan rendszere, amely maximális számú független vágatot

tartalmaz. Egy gráfnak általában sok fundamentális vágatrendszere van, de mindegyik azonos számú vágatot tartalmaz. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 61 ► Villamosságtan Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 62 ► Függetlennek akkor nevezzük egy adott gráfhoz tartózó vágatok rendszerét, ha mindegyik legalább egy olyan ágat tartalmaz, amely a rendszerhez tartozó többi vágatban nincs benne. A gráf csomópontjai a fundamentális csomóponti vágatrendszert generálják, ha az összefüggő gráfban egy csomópont kivételével valamennyi csomóponthoz csomóponti vágat tartozik (10.6 ábra) Ha van szeparáló csomópont, akkor ehhez ne tartozzon csomóponti vágat Szeparáló csomópont az olyan csomópont, amelynek elhagyásával az addig összefüggő gráf nem összefüggővé válik. A csomópont

elhagyásakor a hozzá illeszkedő ágakat is elhagyjuk. 10.6 ábra Csomóponti vágatrendszer kifelé irányított vágatokkal A csomóponti vágatrendszer fundamentális, mert minden vizsgált csomópontjának van legalább egy olyan ága, amely a korábban vizsgáltakban még nem szerepelt. Az utolsó csomóponthoz viszont csupa olyan ág illeszkedik, amely már valamelyik másik csomóponthoz illeszkedett A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 62 ► Villamosságtan Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 63 ► 10.4 A hálózategyenletek teljes rendszere A hálózattopológia legfontosabb fogalmainak áttekintése után térjünk vissza a hálózatok számításához. Célunk annyi független egyenlet felállítása, hogy azok megoldásával a hálózatszámítás alapfeladata, az ágáramok és ágfeszültségek meghatározása

a forrásmennyiségek és a kétpólusok karakterisztikáinak ismeretében megoldható legyen. A Kirchhoff-törvények konkrét alakja kizárólag a hálózat topológiájától függ, hiszen az tükrözi az egyes kétpólusok összekapcsolásának módját. Ebből máris következik, hogy az n számú lehetséges csomóponti egyenlet közül csak (n−1) független, hiszen ennyi a független vágatok száma egy fundamentális vágatrendszerben, így a csomóponti vágatrendszerben is, amelynek vágataira, ill. csomópontjaira alkalmazzuk Kirchhoff csomóponti törvényét Kirchhoff csomóponti törvénye egészen általánosan valamennyi vágatra érvényes, mert mindegyik vágat két önálló, egymással kapcsolatban nem lévő részre bontja a hálózatot Töltés egyikben sem halmozódhat fel, ezért bármely vágathoz tartozó ágakban folyó áramok előjeles összegének nullának kell lennie. A független hurokegyenletek száma pedig megegyezik a fundamentális hurokrendszerek

független hurkainak ℓ számával. A Kirchhoff-egyenletek teljes és független rendszere a következőképpen fogalmazható meg: ∑i k =0 (n-1) számú csomópontra (fundamentális vágatra), (5) k ∑u k =0 számú fundamentális hurokra. k A Kirchhoff-egyenletek tehát (n−1) + ℓ = b számú lineáris és független egyenletet szolgáltatnak. A hálózat b számú ágát b számú áram és b számú feszültség jellemzi, öszszesen tehát 2b számú ismeretlen. A Kirchhoff-törvények b számú egyenletet adnak, így további b egyenletre van szükségünk Ezeket az ágtörvények szolgáltatják. Az ágtörvény az egyes ágak feszültségére és áramára vonatkozó törvényszerűség, amelyet kizárólag az ágat alkotó elem (vagy elemek) fizikai tulajdonságai határozzák meg a hálózat topológiájától függetlenül. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 63 ► Villamosságtan Hálózatok analízise

gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 64 ► Az alapfeladatnál mindegyik ágra egy-egy egyenlet írható fel, amely az adott ágnak mint kétpólusnak a karakterisztikája. A b számú ágra vonatkozó ágtörvények szolgáltatják tehát a b számú további egyenletet, amelyek egymástól és a Kirchhoff-egyenletektől természetesen függetlenek. Összefoglalva megállapíthatjuk, hogy a Kirchhoff-törvények és az ágtörvények alapján mindig felírható annyi független egyenlet, amennyi az ismeretlen áramok és feszültségek száma. Lineáris esetben az egyenletek lineárisak, így megoldásuk nem okoz elvi nehézséget. Lineáris, időinvariáns rendszereknél az ágak karakterisztikái lineáris, az időtől független egyenletek. Az áram és a feszültség kapcsolatát, ha az ágban forrás nincsen, egyenáramú hálózatoknál Ohm törvénye, szinuszos áramú hálózatoknál az

általánosított Ohm-törvény írja le. A forrásmennyiségek ismert értékek, így ha egy ágban csak feszültségforrás vagy csak áramforrás szerepel, csökken a meghatározandó mennyiségek száma és a felírandó egyenleteké is. 10.1 példa Írjuk fel a hálózategyenletek teljes rendszerét a 10.7 ábra hálózatán a kapcsoló bekapcsolt állapotában 10.7 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 64 ► Villamosságtan Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 65 ► Az ismeretlen mennyiségek száma 7 (4 ágáram és 3 ágfeszültség). A független csomóponti egyenletek száma: n−1=3−1=2, a hurokegyenleteké: = b − (n − 1) = 4 − 2 = 2. Kirchhoff-egyenletek: K. I : i1 + i 2 − i 0 = 0, K. II : u R1 − u g + u R 0 = 0, − i g + i 0 = 0, − u R1 + u L = 0. Az ágtörvények: u g = U 0 , u R 0 = i

0 R 0 , u R1 = R1i1 , u L = L di 2 . dt 11.2 példa Írjuk fel a felvázolt lineáris, invariáns hálózat (11.8 ábra) ismeretlen ágáramainak meghatározásához a független Kirchhoff-egyenleteket 10.8 ábra Megoldás: Hat ismeretlen ágáram van, így hat egyenletet kell felírnunk. A csomópontok száma n=4, így a felírható független csomóponti egyenletek száma ncs = 4 −1 = 3. Ezek az A, B és C csomópontokra: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 65 ► Villamosságtan Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató −I0 + I1 − I3 = 0,⎫ ⎪ −I1 + I + I2 = 0, ⎬ −I0 + I2 + I4 = 0. Vissza ◄ 66 ► (Ha a három egyenletet összeadjuk, megkap − −I + I3 + I4 = 0. ⎪ ⎭ juk a D csomópontra vonatkozó egyenletet. Tehát ez nem független a másik háromtól). Szükség van még 3 független hurokegyenletre. Ezek

lehetnek az ABDA, ABCA és BDCB hurkokra vonatkozó egyenletek, amelyek az ágtörvényeket is figyelembe véve a következők: R 1I1 + R 2 I 2 + R 0 I 0 − U 0 = 0, R 1I1 + RI + R 3 I3 = 0, R 2 I 2 − R 4 I 4 − RI = 0. Az egyenletrendszer felírása után az ismeretlen ágáramok meghatározhatók. 10.3 példa Vizsgáljuk azt az ellenállásból és tekercsből álló hálózatot, amelyet a t = 0 pillanatban U0 egyenfeszültségre kapcsolunk (10.9 ábra) 10.9 ábra A kvantitatív tárgyaláshoz írjuk fel a bekapcsolás után létrejövő hurokra Kirchhoff huroktövényét: u R + u L − u g = 0. Az ágtörvények: u R = Ri, ⎫ uL = L di ⎪ ⎪ ,⎬ ⇒ dt ⎪ u g = U0 . ⎪ ⎭ Ri + L di dt − U 0 = 0, A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató t > 0. Vissza ◄ 66 ► Villamosságtan Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 67

► Az ismeretlenek és a független egyenletek száma három. Rendezve az egyenletet: L di + Ri = U 0 , dt t > 0. 1. Az összetevőkre bontás módszerének alkalmazásával határozzuk meg először a tranziens áramösszetevőt. Ehhez írjuk fel és oldjuk meg a karakterisztikus egyenletet Aeλt -t a homogén differenciálegyenletbe helyettesítve, az egyszerűsítések után kapjuk, hogy Lλ + R = 0 λ=− R L =− 1 T ; T= L R . A homogén differenciálegyenlet általános megoldása ezek után a következő: − t i tr = Ae λt = Ae T , ahol A még meghatározandó állandó, T az ún. időállandó 2. Állandósult (stacionárius) állapotban a tekercs rövidzárnak tekinthető, így U ist = 0 . R 3. A differenciálegyenlet általános megoldása az összetevőkre bontás módszere szerint a következő: i = ist + i tr = U0 R − t + Ae . T 4. Az A állandó az i(0)=0 kezdeti feltételből határozható meg: i(0) = U0 R +A =0A =− U0 R . Ezzel az

áramerősség kifejezése: i(t) = t − ⎞ U0 ⎛ T 1 e − ⎜ ⎟ , t ≥ 0. R ⎝ ⎠ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 67 ► Villamosságtan Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató ◄ Vissza 68 ► Az egyes elemek feszültsége (10.10 ábra): ⎛ U R = Ri = U 0 ⎜ 1 − e ⎝ UL = L di dt − t T ⎞ ⎟, ⎠ − ⎛ U0 ⎞ ⎛ 1 ⎞ − T T ⎟ ⎜ − ⎟ e = U0e . R T ⎠ ⎝ ⎠⎝ t t = L⎜− 10.10 ábra t − ⎞ ⎛ T u R = U0 ⎜1 − e ⎟ ⎝ ⎠ u L = U0e − t T 10.4 példa Kapcsoljunk az előző példa hálózatára a t = 0 időpillanatban u = Û cos ωt feszültséget. A differenciálegyenlet, ha a generátorfeszültséget komplex alakban írjuk fel: di ˆ jωt L + Ri = U 0 e . dt g 0 A próbafüggvény a stacionárius megoldáshoz ebben az esetben a következőképpen választandó: i (t) = ˆIe

jωt . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 68 ► Villamosságtan Hálózatok analízise gráfokkal, a hálózategyenletek teljes rendszere A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 69 ► A differenciálegyenletbe helyettesítve: ˆI jωL e jωt + R ˆI e jωt = U ˆ e jωt , 0 azaz ˆI (R + jωL) = U ˆ , 0 amiből ˆI = ˆ U 0 R + j ωL = ˆ U 0 Z . Látjuk, hogy az impedancia segítségével tulajdonképpen az inhomogén differenciálegyenlet egy partikuláris megoldása határozható meg. Iˆ0 ismeretében felírhatjuk a stacionárius áram kifejezését: i st = Î cos(ωt − ϕ), ahol Î = ˆI , és ϕ = arc tg ωL / R. Az általános megoldás tehát az alábbi: − t i = i st + i tr = Î cos(ωt − ϕ) + Ae T . (A tranziens alakja ugyanaz, mert az független a gerjesztéstől!) Az i(0)=0 kezdeti feltételből A-t kiszámíthatjuk: 0 = ˆI cos ϕ + A A = − ˆI cos ϕ. Ezzel i(t)

= Î cos(ωt − ϕ) − I(cos ϕ)e − t / T . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 69 ► Villamosságtan Hálózatok analízise a hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 70 ► 11. Hálózatok analízise a hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerével Az eddigiekben általános hálózatszámítási módszerként a hálózategyenletek teljes rendszerének felírását és megoldását tekintettük. Ekkor a felírandó Kirchhoff-egyenletek száma megegyezik az ágak számával, b-vel. Alkalmas új ismeretlenek bevezetésével az egyenletek száma jelentősen csökkenthető. Az egyik ilyen eljárás a hurokáramok módszere, a másik a csomóponti potenciálok módszere. A hálózati elemeknek a gráfokban alkalmazott vonalszimbóluma mellett szokásos a passzív elemeknek a 11.1 ábra szerinti közös szimbólummal történő

ábrázolása is, amelyet most a 112 és a 113 ábra hálózatánál alkalmazunk. 11.1 ábra Kétpólusú komponens általános rajzjele (Az áram és feszültség referenciairánya szimmetrikusnak is nevezett irányválasztás esetén.) A hurokáramok módszerét a 11.2 ábra hálózatán tanulmányozzuk 11.2 ábra a) Az ágáramok és hurokáramok felvétele, b) a hálózat gráfja A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 70 ► Villamosságtan Hálózatok analízise a hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 71 ► A hálózatban először kijelöljük a független hurkokat (számuk = b − n + 1 , példánkban = 5 − 3 + 1 = 3 ), és ezekben felveszünk olyan fiktív hurokáramokat (j1, j2, j3), amelyek e hurkoknak megfelelő zárt körben folynak a kétpólusokon keresztül. Az áramgenerátor ig5 forrásáramát ismert hurokáramként (j3)

vesszük figyelembe, azaz ig5 = j3. Az ágáramok ezen hurokáramok szuperpozíciójaként adódnak Esetünkben: i1 = j1 , i 2 = j 1 − j2 + j3 , i 3 = j2 − j3 , i4 = j 2 , (1) i g 5 = j3 . Látjuk, hogy mindegyik hurokáram valamelyik ágárammal azonosítható. A hurokáramokat ezért j helyett a megfelelő i-vel is jelölhetjük. A hurokáramok a csomóponti törvényt automatikusan kielégítik, hiszen a hurokáram „keresztülfolyik” a csomópontokon. Példánkban a két független csomópontra (n−1=3−1=2): −i1 + i 2 + i3 = − j1 + ( j1 − j2 + j3 ) + ( j2 − j3 ) = 0, (2) − i3 + i 4 − i g5 = − ( j2 − j3 ) + j2 − j3 = 0. A hurokáramok a hurokegyenletekből határozhatók meg, mivel pontosan annyi hurokáram van, ahány független hurok. Esetünkben j3 ismert, ezért elég csak két hurokegyenletet felírni. Ezek pl a j1 és j2 hurokáramok által kijelölt két hurokra a következők: − u g1 + u1 + u 2 = 0, (3) − u 2 + u 3 + u 4 = 0. A

feszültségek a karakterisztikák ismeretében kifejezhetők a hurokáramokkal, és az egyenletrendszer a két ismeretlen hurokáramra megoldható. Ha pl. valamennyi passzív kétpólus lineáris, invariáns ellenállás, és a forrásmennyiségek időben állandóak, akkor a két hurokegyenlet: − U g1 + R1J1 + R 2 ( J1 − J 2 + J 3 ) = 0, (4) R 2 ( −J1 + J 2 − J 3 ) + R 3 ( J 2 − J 3 ) + R 4 J 2 = 0. Gyakorlatilag kényelmesebb, ha az egyenleteket nem az ellenállásoknak (impedanciáknak), hanem a hurokáramoknak megfelelően rendezve írjuk fel J1 ( R1 + R 2 ) − J 2 R 2 + J 3R 2 − U g1 = 0, (5) − J1R 2 + J 2 ( R 2 + R 3 + R 4 ) − J 3 ( R 2 + R 3 ) = 0. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 71 ► Villamosságtan Hálózatok analízise a hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 72 ► (R1 + R2)-t és (R2 + R3 + R4)-et szokás

a hurok saját ellenállásának nevezni. Akár a (4)-es, akár az (5)-ös egyenletrendszert rendezve, és figyelembe véve, hogy J3 = Ig5, azt kapjuk, hogy ( R1 + R 2 ) J1 − R 2 J 2 = U g1 − R 2 Ig5 , − R 2 J1 + ( R 2 + R 3 + R 4 ) J 2 = ( R 2 + R 3 ) Ig5 . (6) A hurokáramok ismeretében (1) alapján az ágáramok már könnyen számíthatók. A csomóponti potenciálok módszere A hálózatra felírható egyenletek száma csökkenthető a csomóponti potenciálok bevezetésével is, mely szerint az egyik csomópont potenciálját önkényesen nullának választjuk, és a többi csomóponthoz egy-egy (egyelőre ismeretlen) potenciált rendelünk (11.3 ábra) Az i-edik és a j-edik csomópont közötti uij feszültség kifejezhető a két csomóponthoz rendelt potenciál különbségeként: u ij = ϕi − ϕ j , i, j = 0,1, 2, , n − 1, (7) Ebből következik, hogy ϕi az i-edik csomópont és az alappont (báziscsomópont) közötti feszültséget jelenti ( u i = ϕi

− ϕ0 = ϕi − 0 = ϕi ) . 11.3 ábra A csomóponti potenciálok (ϕi) a vizsgált hálózatban A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 72 ► Villamosságtan Hálózatok analízise a hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 73 ► A felírható független egyenletek száma (n−1), esetünkben n−1=3−1= 2. A módszer feleslegessé teszi a független hurkok kiválasztását és a rájuk vonatkozó egyenletek felírását, mert azok automatikusan teljesülnek, hiszen a feszültségek összegezésekor minden csomóponti potenciál kétszer szerepel: egyszer pozitív, egyszer negatív előjellel. Példánkban a bal oldali és a középső hurokra: − u1 + u 2 = −ϕ1 + ϕ1 ≡ 0 (8) − u 2 + u 3 + u 4 = −ϕ1 + ( ϕ1 − ϕ2 ) + ϕ2 ≡ 0. A csomóponti potenciálok a csomóponti egyenletekből határozhatók meg. Ehhez először írjuk fel a

csomóponti egyenleteket: −i1 + i 2 + i3 = 0, (9) −i3 + i 4 − i g5 = 0. A karakterisztikák ismeretében ϕ1-re és ϕ2-re kapunk ebből egyenletrendszert. Ha pl valamennyi kétpólus lineáris, időinvariáns ellenállás, és a forrásmennyiségek időben állandók, akkor a két csomóponti egyenlet a karakterisztikák figyelembevételével így alakul: φ1 − U g1 R1 − + φ1 − φ2 φ1 R2 + R3 + φ2 R4 φ1 − φ2 R3 = 0, (10) − I g5 = 0. Rendezve az egyenletet: ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 1 + + φ2 = U g1 ⎜ ⎟ φ1 − R3 R1 ⎝ R1 R 2 R 3 ⎠ − 1 R3 ⎛ 1 φ1 + ⎜ ⎝ R3 + (11) 1 ⎞ ⎟ φ2 = Ig5 R4 ⎠ Némi gyakorlat után a szuperpozíció-elv alapján mindjárt a rendezett egyenletet kaphatjuk meg. Ehhez a csomóponti potenciálokat úgy tekint- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 73 ► Villamosságtan Hálózatok analízise a hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerével A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 74 ► jük, mintha forrásmennyiségek lennének. A zárójelben lévő vezetést szokás a csomópont „saját vezetésének” nevezni A csomóponti potenciálok ismeretében az ágáramok már számíthatók. 11.1 példa a) Számítsuk ki a 11.4 ábrán látható hálózat U0 feszültségét a csomóponti potenciálok módszerével b) Határozzuk meg a párhuzamosan kapcsolt feszültséggenerátorok Thévenin-helyettesítőkapcsolását. 11.4 ábra a) Az egyetlen ismeretlen csomóponti potenciálra felírható egyenlet: ⎛ 1 U0 ⎜ ⎝ R1 + 1 R2 + 1 R3 + 1 ⎞ 1 1 1 U g1 − Ug 2 − U g3 = 0. ⎟− R 0 ⎠ R1 R2 R3 A Gi = 1/Ri vezetésekkel: ( G1 + G 2 + G 3 + G 0 ) U 0 = G1U g1 + G 2 U g 2 + G 3 U g3 = 0. Ebből az U0 feszültség (mindjárt tetszőleges számú ágra általánosítva): n ∑G U k U0 = k =1 n ∑G gk . k + G0 k =1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató

Vissza ◄ 74 ► Villamosságtan Hálózatok analízise a hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 75 ► b) A helyettesítő Thévenin-generátor forrásfeszültségét megkapjuk, ha G0 = 0: n ∑G U k Ub = gk k =1 . n ∑G k k =1 A belső ellenállás pedig a feszültséggenerátorok dezaktivizálásával: n R b = 1/ ∑ G k . k =1 11.2 példa 11.5 ábra a) Számítsuk ki a 11.5 ábra kapcsolására az I0 áramot a hurokáramok módszerével. b) Határozzuk meg a sorosan kapcsolt áramgenerátorok Norton-helyettesítőkapcsolását. a) A berajzolt hurokra felírható hurokegyenlet: I0 (R1 + R 2 + R 3 + R 0 ) − Ig1R1 − Ig2 R 2 − Ig3 R 3 = 0 , amiből I0 (mindjárt tetszőleges számú generátorra általánosítva): n I0 = ∑I k =1 n gk Rk ∑ Rk + R0 . k =1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 75 ►

Villamosságtan Hálózatok analízise a hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 76 ► b) A helyettesítő Norton-generátor forrásáramát megkapjuk, ha R0 = 0: n Ib = ∑I gk Rk k =1 n ∑R . k k =1 A belső ellenállást úgy számítjuk, hogy az áramgenerátorok helyére szakadást képzelünk. Ekkor n Rb = ∑ Rk. k =1 A helyettesítőkapcsolás (11.6 ábra): 11.6 ábra 11.3 példa Határozzuk meg az i4 áramot a Thévenin- és a Norton-helyettesítőkép segítségével, alkalmazva a csomóponti potenciálok és a hurokáramok módszerét (11.7 ábra) 11.7 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 76 ► Villamosságtan Hálózatok analízise a hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 77 ► ug = 50cosωt [V] , ig = 2cos(ωt − 30°)

[A], f = 5 kHz , R1 = 3 Ω, C1 = 7,96 μF. R2 = 5 Ω, L2 = 63,6 μH, R3 = 3 Ω, L3 = 95,5 μH, R4 = 2 Ω, C4 = 31,8 μF. Az impedanciák a szokásos módon kiszámítva: Z1 = (3 − j4) Ω, Z2 = (5 + j2) Ω, Z3 = (3 + j3) Ω, Z 4 = (2 − j) Ω. A Thevenin-helyettesítőkapcsolás meghatározásához távolítsuk el Z4 -et (11.8 ábra) 11.8 ábra A csomóponti potenciálok módszerének alkalmazásával φC közvetlenül U b -t adja. φA = U g = U g = Ig = 2 50 = 35, 5 V, 2 e − j30 = (1, 22 − j0, 71) A. 2 A B és a C csomópontra felírható egyenletek: ⎫ φA φc − = 0⎪ ⎟ + Ig − Z1 Z3 ⎝ Z1 Z3 ⎠ ⎪ ⎬ ⎛ 1 φB φA 1 ⎞ ⎪ − − + φc ⎜ + ⎟=0 ⎪ Z3 Z 2 Z Z ⎝ 2 3 ⎠ ⎭ ⎛ 1 φB ⎜ + 1 ⎞ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 77 ► Villamosságtan Hálózatok analízise a hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató

◄ Vissza 78 ► ⎫ φc U g = − Ig ⎪ /⋅ Z1 Z2 Z3 ⎟− ⎝ Z1 Z3 ⎠ Z3 Z1 ⎪ ⎬ ⎛ 1 1 ⎞ Ug ⎪ 1 /⋅ Z2 Z3 (Z1 + Z3 ) − φB + φC ⎜ + ⎟= Z3 ⎝ Z Z3 ⎠ Z2 ⎪⎭ ⎛ 1 φB ⎜ (Z + 1 ⎞ + Z3 ) Z 2 φB − Z1 Z 2 φc = U g Z2 Z3 − Z1 Z2 Z3 Ig ⎫⎪ ⎬ − ( Z1 + Z3 ) Z2 φB + ( Z2 + Z3 )( Z1 + Z3 ) φC = ( Z1 + Z3 ) Z3 U g ⎪ ⎭ 1 Összeadás után: φc ⎡⎣( Z2 + Z3 )( Z1 + Z3 ) − Z1 Z2 ⎤⎦ = U g ⎡⎣ Z2 Z3 + ( Z1 + Z3 ) Z3 ⎤⎦ − Z1 Z2 Z3 Ig φC = U g − Ig Z1 Z2 Z3 Z3 ( Z1 + Z2 + Z3 ) Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha a két generátorra a szuperpozíció-tételt alkalmazzuk. U g közvetlenül a kimenetre jut, Ig hatását pedig áramosztóval számíthatjuk Ehhez rajzoljuk át a kapcsolást (119 ábra): I Z2 = − I g és U Z2 = − I g Z1 , Z1 + Z2 + Z3 Z1 Z 2 Z1 + Z2 + Z3 . 11.9 ábra Tehát a Thévenin-generátor forrásfeszültsége: U b = φc = U g − I g Z1 Z2 Z1 + Z2 + Z3 Az adatokat behelyettesítve

kapjuk, hogy: U b = 35, 5 − (1, 22 − j0, 71) (3 − j4)(5 + j2) 5 + j2 + 3 − j4 + 3 + j3 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató = (34,14 + j3,16) V. Vissza ◄ 78 ► Villamosságtan Hálózatok analízise a hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató ◄ Vissza ► 79 Zb meghatározásához a feszültséggenerátort rövidre zárjuk, az áramgene- rátort pedig szakadással helyettesítjük (11.10 ábra): Z b = ( Z1 + Z3 ) xZ 2 = = (3 − j4 + 3 + j3)x(5+j2)= = (2, 94 + j 0, 369) Ω. 11.10 ábra A helyettesítőkapcsolásból (11.11 ábra) az I4 áram számítható: I4 = = 11.11 ábra Ub Zb + Z4 = 34,14 + j3,16 (2, 94 + j0, 369) + (2 − j) = = (6, 72 + j1, 5) = 6,88e j12,6 A. b) A Norton-képet a Thévenin-képből közvetlenül kaphatnánk. Gyakorlásul határozzuk meg a hálózatból Most a belső ellenállás mellett a rövidzárási áramot kell

meghatározni, amely a helyettesítő generátor áramforrásának forrásárama lesz. Ha a hurokáramok módszerét alkalmazzuk, és a rövidzáron csak egy hurokáram folyik át, akkor az közvetlenül az I r rövidzárási áram (11.12 ábra). Ezért alkalmazzuk most ezt a módszert Bár a hálózat fundamentális hurokrendszere három hurokból áll, elegendő csak két hurokra egyenletet felírni, mert egy hurokáram lehet az áramgenerátor ismert forrásárama, amit tehát nem kell meghatározni. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 79 ► Villamosságtan Hálózatok analízise a hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 80 ► Ezek figyelembevételével a felvett hurokáramok a 11.12 ábra szerintiek 11.12 ábra Írjuk fel a hurokegyenleteket a 2. és a 3 hurokra: − J1 Z1 + J2 ( Z1 + Z2 + Z3 ) + J3 Z 2 = 0 ⎫ ⎪ ⎬ J2 Z2 + J3 Z 2 − U g =

0 ⎪⎭ A J1 = I g értéket behelyettesítve és rendezve: (11 + j) J2 + (5 + j2) J3 = 0,82 − j7, 01⎫ (5 + j2) J2 + (5 + j2) J3 = 35, 5 ⎬ ⎭ Megoldva a minket érdeklő J3 -ra: Ir = J3 = (11, 52 − j 0, 373) A. Zb -re az előzőekkel teljesen egyező módon kapjuk, hogy: Z b = (2, 94 + j 0, 369) Ω. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 80 ► Villamosságtan Hálózatok analízise a hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 81 ► 11.13 ábra A kapott Norton-helyettesítőképből (11.13 ábra) az I4 áram számítható: I4 = Ib Zb Zb + Z4 = (11, 52 − j 0, 373) 2, 94 + j 0, 369 2, 94 + j 0, 369 + 2 − j = 6,85 e j 12,7 A, ami a számítási pontatlanságoktól eltekintve megegyezik az előző eredményünkkel. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 81 ► Villamosságtan Lineáris

hálózatok DC-analízise A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 82 ► 12. Lineáris hálózatok DC-analízise A következőkben azt az esetet vizsgáljuk, amikor a hálózat forrásainak forrásmennyisége (feszültség, áram) az időben nem változik. Ilyenkor valamennyi ágáram egyenáram, angolul direct current (DC) Ezért az ilyen hálózatok vizsgálatát egyenáramú vagy DC-analízisnek hívjuk. Az időben állandó forrásmennyiségek tekinthetők a cosωt időfüggvény szerint változó forrásmennyiségek 0 körfrekvenciájú határesetének. Ilyenkor cos 0 = 1 függetlenül az időtől: így mind a feszültség, mind az áram az időben állandó értékű lesz. Ezért ha a hálózatban reaktáns elemek is előfordulnak, azt kell vizsgálni, mekkora az impedanciájuk az ω = 0 körfrekvencián. Mivel X L = ωL, és XC = 1 ωC , ezért lim X L = 0, ill. lim X C = ∞, ω 0 (1) ω 0 azaz a tekercs rövidzárral, a kondenzátor

pedig szakadással helyettesítendő. A hálózatban tehát csak források és ellenállások szerepelnek Az analízis során mindazok a módszerek, amelyeket a lineáris, invariáns hálózatok számításánál megismertünk ez esetben is alkalmazhatók (Kirchhoff-törvények, hurokáramok és csomóponti potenciálok módszere, helyettesítő generátorok tétele, szuperpozíció elve, ellenállások összevonása). A következő példák nem csupán az ismeretek elmélyítését segítik, hanem gyakorlati szempontból is fontosak. 12.1 példa Változtatható feszültség legegyszerűbben potenciométer segítségével állítható elő, amelynek kapcsolása a 12.1 ábrán látható Rα = R0 α α max Vissza ◄ 12.1 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató 82 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok DC-analízise A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 83 ► Az R0 ellenállás végeire állandó U0

feszültség van kapcsolva. Az egyik végpont és a mozgatható csúszka között vehető le az U változtatható feszültség Rα a végpont és a csúszókontaktus közötti ellenállásrész (0≤ R α ≤ R 0 ) Ha a potenciométer nincs terhelve, akkor a feszültségosztó-képlet értelmében Rα R = U0 α , U = U0 (R 0 − R α ) + R α R0 azaz a beállított U feszültség az Rα ellenállás, ill. a csúszka helyzetével (α) arányos: α R0 α α max = U0 U = U0 . α max R0 Az U 0 = U max jelöléssel U-ra kapott összefüggés így is írható: U α = , U max α max amely derékszögű koordináta-rendszerben egy 45°-os dőlésszögű egyenesnek felel meg (12.2 ábra) 12.2 ábra 12.2 példa Az Ug forrásfeszültségű, Rb belső ellenállású feszültséggenerátor R ellenállású fogyasztót táplál. Mekkorának válasszuk az R ellenállást ahhoz, hogy rajta maximális teljesítmény lépjen fel? A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza

◄ 83 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok DC-analízise A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 84 ► Az R ellenállással lezárt generátort a 12.3 ábra szemlélteti 13.3 ábra R ellenállású fogyasztót tápláló feszültséggenerátor Ha a terhelő-ellenállást vételen nagynak választjuk (üresjárás), akkor áram nem folyik, így P = UI = 0. Végtelen kis terhelő-ellenálláson (rövidzárás) U = 0, így ismét P = UI = 0. Ebből következik, hogy valamely R ellenállásértéknél a teljesítménynek maximuma van Ennek meghatározásához írjuk fel a fogyasztó teljesítményét: 12.4 ábra 2 ⎛ Ug ⎞ R 2 P = RI = R ⎜ . ⎟ = Ug 2 R R + R + R ( ) ⎝ b ⎠ b 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 84 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok DC-analízise A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 85 ► Maximum esetén: dP dR =U 2 g

(R + Rb ) 2 − 2(R + R b )R (R + R b ) = U g2 4 Rb − R (R + R b )3 = 0, ami akkor teljesül, ha R = Rb. Ez a teljesítményillesztés esete, amelynél a feszültség, az áram, ill. a maximális teljesítmény a következő: U0 = 1 2 Ug , I0 = Ug 2R b , Pmax = U g2 4R b . A belső ellenálláson fellépő veszteségi teljesítmény: 2 ⎛ Ug ⎞ Rb 2 Pv = R b I = R b ⎜ . ⎟ = Ug (R b + R) 2 ⎝ Rb + R ⎠ 2 A 12.4 ábrán P és Pv változását láthatjuk R/Rb függvényében Előbbinek maximuma van, utóbbi monoton csökken. A hatásfok kifejezése: η= P Pv + P = R R + Rb . Ennek változása is látható a 12.4 ábrán A hatásfok monoton növekszik, illesztés esetén η = 50%. Ha tehát a hatásfok a lényeges, akkor a fogyasztót nem illeszthetjük, hanem R >> Rb választandó A Thévenin-tétel értelmében az illesztés több generátor esetén is biztosítható. Ekkor Ug, ill Rb a helyettesítő generátor forrásfeszültségét, ill belső

ellenállását jelenti. A teljesítményillesztés áramgenerátornál (áramforrás Rb belső ellenállással párhuzamosan kapcsolva) is akkor valósul meg, ha R = Rb hiszen az Rb belső ellenállású áramgenerátor egy szintén Rb belső ellenállású feszültséggenerátorral helyettesíthető. 12.3 példa Valamely Ug forrásfeszültségű, Rb belső ellenállású feszültséggenerátor R rezisztenciájú fogyasztót táplál. Mekkora legyen Rb, hogy a fogyasztón maximális teljesítményt kapjuk? A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 85 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok DC-analízise A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 86 ► Írjuk fel most is a fogyasztó teljesítményét: 2 ⎛ Ug ⎞ R 2 P = RI = R ⎜ . ⎟ = Ug (R + R b ) 2 ⎝ R + Rb ⎠ 2 A kapott kifejezésből kitűnik, hogy P Rb csökkenésével egyre nő, így Pmax = lim U R b 0 2 g R (R + Rb ) 2 = U g2 R .

Tehát a generátorból akkor tudjuk a legnagyobb teljesítményt kinyerni, ha a belső ellenállása nulla. 12.4 példa Valamely Ig forrásáramú, Rb belső ellenállású áramgenerátor (áramforrás és Rb párhuzamos kapcsolása) R rezisztanciájú fogyasztót táplál. Mekkora legyen Rb, hogy a fogyasztón maximális teljesítményt kapjunk (12.5 ábra)? 12.5 ábra A fogyasztó teljesítménye: 2 ⎛ Rb ⎞ R 2b R 2 P = ⎜ Ig . ⎟ R = Ig (R b + R) 2 ⎝ Rb + R ⎠ A kapott kifejezésből kitűnik, hogy P Rb növekedésével egyre nő, azaz Pmax = lim I g2 R b ∞ R 2b R (Rb + R ) 2 = lim I g2 R b ∞ R ⎛ R ⎞ ⎜1 + R ⎟ ⎝ b ⎠ 2 = I g2 R. A generátorból most akkor tudjuk a legnagyobb teljesítményt kinyerni, ha a belső ellenállása végtelen, vagy a belső konduktanciája 0 (dualitás elve!). A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 86 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok DC-analízise A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 87 ► 12.5 példa R1 = 200 Ω, R2 = 1200 Ω, R3 = 600 Ω, R4 = 250 Ω, Ug = 20 V. 12.6 ábra Adja meg az A – B pontokra az áramkör (12.6 ábra) Thévenin-helyettesítőkapcsolását Milyen Rt -nél lesz maximális a kivehető teljesítmény? Határozza meg PRt/Pg-t Oldjuk meg a feladatot átrajzolással (12.7 ábra) 12.7 ábra A Thévenin-genererátor belső ellenállása: Rb =[(R1 x R3) + R4] x R2 = [(200 x 600) + 250] x 1200 = =(150 + 250) x 1200 = 400 x 1200 = 300 ohm. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 87 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok DC-analízise A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 88 ► Határozzuk meg először a generátorból elfolyó Ig áramot: Ig = = Ug R 3 x(R 2 + R 4 ) + R 1 20 600x1450 + 200 = = 20 600x(1200 + 250) + 200 20 424, 39024 + 200 = = 20 624, 39024 = 32, 03125 mA. Ebből

áramosztóval adódik, hogy IR 2 = Ig R3 R2 + R3 + R4 = 32, 03125 600 1200 + 600 + 250 = 9, 375 mA Végül UAB = UR2 = IR2R2 = 9,375⋅10-3⋅1200 = 11,25 V Ezek után a helyettesítőkapcsolás (12.8 ábra): Ub = UAB, ha R t = ∞ . 12.8 ábra A maximális kivehető teljesítményt Rt = 300 ohmnál kapjuk. PRt-t a Thévenin-kapcsolás alapján határozzuk meg: 2 PRt = I Rt Rt , I Rt = Ub Rb + Rt = 11, 25 300 + 600 = 0, 0125 A , 2 PRt = I Rt ⋅ R t = (0, 0125) 2 ⋅ 600 = 0, 09375 W. Pg meghatározása Rt = 600 ohm esetén: Pg = − U g I′g , ahol I′g a generátorból Rt = 600 ohm esetén elfolyó áram, amit Ig-hez hasonlóan számíthatunk ki: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 88 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok DC-analízise A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató I′g = = Ug = R 3 x [( R 2 xR t ) + R 4 ] + R 1 20 600x(400 + 250) + 200 = Vissza 20 ◄ 600x [(1200x600 ) + 250] +

200 20 312 + 200 89 ► = = 39, 0625 mA. Ezzel Pg = − U g I′g = −20 ⋅ 0, 0390625 = −0, 78125 W, és PR t Pg = 0, 09375 −0, 78125 = −0,12. Hány egyenletből álló egyenletrendszerhez vezet a Kirchhoff-egyenletek teljes rendszerén, a hurokáramok, ill. a csomó-pontipotenciálok módszerén alapuló megoldás, ha Rt az A és B kapcsokon van? A független hurokegyenletek száma: ℓ = b − n + 1 = 5 − 3 + 1 = 3. A független csomóponti egyenletek száma: ncs = n − 1 = 3 − 1 = 2. A független Kirchhoff-egyenletek száma, nk = ℓ + ncs = b = 5. A hurokáramok és a csomóponti potenciálok módszerén alapuló megoldáshoz is elegendő két egyenletet felírni. Gyakorlásképpen oldjuk meg a feladatot a csomóponti potenciálok módszerével. Az egyenletek a φ2 és a φ3 csomóponti potenciálokkal: φ2 − U g R1 φ3 Rt + + φ2 − φ1 R3 φ3 − φ 2 R4 + + φ 2 − φ3 R4 φ3 − φ1 R2 = 0, = 0. Átrendezve és figyelembe véve, hogy

φ1 = 0 : 1 1 ⎫ = Ug ,⎪ ⎟ − φ3 R4 R 1 ⎪ a csomóponti potenciálokat ⎝ R1 R 3 R 4 ⎠ ⎬ ⎛ 1 1 1 1 ⎞ ⎪ forrásfeszültségeknek tekintjük −φ2 + φ3 ⎜ + + ⎟ = 0. ⎪ R4 ⎝ Rt R2 R4 ⎠ ⎭ ⎛1 φ2 ⎜ + 1 + 1 ⎞ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 89 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok DC-analízise A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 90 ► Az ellenállásokat behelyettesítve: 1 1 ⎞ 1 20 ⎛ 1 , /⋅ 600 + + = ⎟ − φ3 230 200 ⎝ 200 600 250 ⎠ , 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 −φ2 + φ3 ⎜ + + ⎟ = 0. /⋅ 1200 250 ⎝ 600 1200 250 ⎠ φ2 ⎜ φ2 (3 + 1 + 2, 4) − 2, 4 φ3 = 60 −φ2 (4,8) + φ3 (2 + 1 + 4,8) = 0 , 6, 4 φ2 − 2, 4 φ3 = 60 −4,8 φ2 + 7,8 φ3 = 0 φ 2 = 7,8 4,8 φ3 = 1, 625 φ3 . φ2 -t az 1. egyenletbe behelyettesítve: 6, 4 ⋅ 1, 625 φ3 − 2, 4 φ3 = 60, azaz: 8 φ3 = 60 φ3 = 7, 5 V . U AB = φ3 = 7, 5 V, φ2 = 1, 625

φ3 = 1, 625 ⋅ 7, 5 = 12,1875 V. I g = ( φ2 − U g ) / R 1 = (12,1875 − 20) / 200 = −39, 0625 mA, azaz az áram a csomópontba folyik a negatív előjel miatt. A helyettesítő Thévenin-generátor elemeinek meghatározásához zárjuk rövidre az A és B kapcsokat, és számítsuk ki a rövidzárási áramot. Mivel így R2 azonos potenciálú pontok között van, ezért benne áram nem folyik, és figyelmen kívül lehet hagyni. A rövidzárási áram megegyezik IR4-gyel, azaz Ir = IR 4 = Ig = R3 R3 + R4 20 = Ug ⋅ R3 R 1 + (R 3 x R 4 ) R 3 + R 4 ⋅ 600 200 + 176, 471 600 + 250 = = 37, 5 mA. Az Rt = 600 ohmmal lezárt Thévenin-generátor felírható két egyenlet: 600 = 7, 5, a kapocsfeszültségre; Ub a rövidzárási áramra; U b /R b = 37,5 ⋅ 10-3 . R b + 600 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 90 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok DC-analízise A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Tárgymutató ◄ Vissza 91 ► A felső egyenletet az alsóval osztva azt kapjuk, hogy 600 R b R b + 600 = 200 R b = 300. Ezt az alsó egyenletbe helyettesítve: U b = 37,5 ⋅ 10-3 ⋅ 300 = 11,25 V Most jóval több számolásra volt szükség, mint az átrajzolásos megoldásnál. 12.6 példa Valamely Ug forrásfeszültségű, Rb belső ellenállású feszültséggenerátor R ellenállású fogyasztót táplál. Igazoljuk, hogy az R ellenálláson akkor lép fel maximális teljesítmény, ha R = Rb. A kapcsolási vázlat a 12.9 ábrán látható A fogyasztó teljesítménye: P = I U = I(IR) = I 2 R, ami az áram behelyettesítése után; P= 12.9 ábra U g2 (Rb + R ) 2 R. A kiindulási feltételezés szerint 2 Pmax Ug ⎛ Ug ⎞ =⎜ . ⎟ Rb = 4R b ⎝ 2R b ⎠ 2 Legyen R = Rb ± ΔRb. Azt állítjuk, hogy P= U g2 (R b ± ΔR b ) ( 2R b ± ΔR b ) 2 < U g2 4R b , azaz 4 R b (R b ± Δ R b ) < (2R b ± Δ R b ) 2 . A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 91 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok DC-analízise A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 92 ► Hajtsuk végre a lehetséges egyszerűsítéseket: 4R 2b ± 4R b Δ R b < 4R b2 ± 4R b ΔR b + ΔR b2 , 0 < Δ R 2b , ami akár pozitív, akár negatív ΔRb-re teljesül, tehát a kiindulási egyenlőtlenség állítása igaz, mely szerint akár nő, akár csökken az R = Rb ellenállás, U g2 / 4R b -nél mindig kisebb lesz a rajta fellépő teljesítmény: következésképpen U g2 / 4R b a maximális érték. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 92 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 93 ► 13. Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével Ha a lineáris, időinvariáns hálózatban a

forrásmennyiségek szinuszosak, akkor valamennyi kétpólusának szinuszos lesz a feszültsége és az árama, amelyek meghatározása a váltakozó áramú vagy AC-analízis (az angol alternating current szavak kezdőbetűiből). Ebben a szakaszban lineáris hálózatok AC-analízisét végezzük komplex vektorok (fazorok) segítségével. A szinuszos mennyiségek komplex leírása lehetővé teszi, hogy ezeket a mennyiségeket fazorjaikkal ábrázoljuk. A szerkesztés alapján kapott értékek megfelelő nagyságú ábra esetén kielégítő pontosságúak lehetnek. A fazorábra előzetes kvalitatív felrajzolása sok esetben a számítást is megkönnyíti. Bonyolultabb hálózatoknál sajnos a fazorábra is bonyolultabbá válik. Ebben a szakaszban egyszerű hálózatokon keresztül ismerkedünk meg a módszerrel ezen hálózatok frekvenciafüggő viselkedésének vizsgálata kapcsán Az eljárás általánosítható arra az esetre is, amikor a változó mennyiség nem a

frekvencia, hanem a hálózat valamely más valós paramétere (pl. egy R rezisztancia, egy C kapacitás stb.) 13.1 példa Két szinuszos áram kifejezése: i1 = ⎡⎣ 4 cos(ωt + 60 ) ⎤⎦ A, i 2 = ⎡⎣ 6 cos(ωt + 120 ) ⎤⎦ A. Határozzuk meg az i = i1 + i2 áram effektív értékét, kezdőfázisát és időfüggvényét. A két adott áram komplex effektív értéke az alábbi: 1 I1 = Î1e jρ = 1 I2 = 6 4e j60 = 4 (cos 60 + j sin 60 ) = 2 2 2 = 2,83(0, 5 + j 0,866) = (1, 41 + j 2, 45) A. 1 e j120 = 4, 24( −0, 5 + j 0,866) = ( −2,12 + j 3, 67) A. 2 Az eredő áram komplex effektív értéke: I = I1 + I 2 = (1, 41 + j 2, 45) + ( −2,12 + j 3, 67) = (−0, 71 + j 6,12) A. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 93 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 94 ► Ebből az effektív érték és

a kezdőfázis: I = I = 0, 712 + 6,122 = 6,16 A, ρ = arc tg 6,12 − 0, 71 = arc tg(−8, 62) = − 83, 4 + 180 = 96, 6 , mert a képzetes rész pozitív. Az eredő áram komplex pillanatértéke: i = 2 I e jωt = 2 ⋅ 6,16 e j( ωt + 96,6 ) A. Ebből a valódi pillanatérték: i = Re i = 8, 72 cos(ωt + 96, 6 ) A. A fazorok szerkesztése alapján is megkaphatjuk az eredményeket, ha nincs szükségünk nagy pontosságra (13.1 ábra) 13.1 ábra I = I1 + I2 , mert i = i1 + i 2 , de I ≠ I1 + I 2 , ahogyan ez a kapott eredményekből is kitűnik (6,16 ≠ 2,83 + 4,24). Ennek oka az, hogy az effektív értékek összege fizikailag értelmetlen mennyiség. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 94 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 95 ► 13.2 példa Határozzuk meg a 13.2 ábra kapcsolási vázlatába

berajzolt valamennyi ismeretlen áram és feszültség effektív értékét. 13.2 ábra ω = 5000 rad/s. Az egyes ágak impedanciája: Z0 = Z1 = 1 jωC0 1 jωC1 = − j100 Ω, = − j 200 Ω, Z2 = (R 2 + jωL2 ) = (40+ j 40) Ω. A két párhuzamosan kapcsolt impedancia eredője: Z12 = Z1 x Z 2 = Z1 ⋅ Z2 Z1 + Z 2 = − j 200(40 + j 40) ( − j 200) + (40 + j 40) = (58,8 + j 35, 3) Ω. Az eredő vagy bemeneti impedancia: Z = Z0 + Z12 = (58,8 − j 64, 7) Ω. A befolyó áram komplex, ill. valódi effektív értéke (a kapocsfeszültséget valósnak választva): I0 = U Z = (0, 0770 + j 0, 0847) A, I 0 = 10−2 7, 702 + 8, 472 = 0,1145 A. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 95 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 96 ► A C0 kapacitású kondenzátoron fellépő feszültség: U 0 = Z0 I0 = (8, 47 − j

7, 70) V, U 0 = Z0 I0 = 11, 45 V, vagy U 0 = 8, 47 2 + 7, 702 = 11, 45 V. Az U1 feszültséget legegyszerűbben a huroktörvény alapján számíthatjuk: U1 = U − U 0 = (1, 53 + j 7, 70)V, U1 = 1, 532 + 7, 70 2 = 7,85 V. (Az U−U0 = − 1,45 V értéknek nincs fizikai tartalma!) Egyébként U1 = Z12 I0 alapján is számolhattunk volna. A C1 kapacitású kondenzátor árama: I1 = U1 Z1 = ( − 0, 0385 + j 0, 0077) A, I1 = U1 Z1 = 0, 0392 A. Az I2 áram számítható I2 = U1 / Z2 alapján, de kényelmesebb, ha a csomóponti törvényt alkalmazzuk: I2 = I0 − I1 = (0,1155 + j 0, 0770)A, I 2 = 0,1388 A. (Az I0 – I1 = 0,0753 A értéknek nincs fizikai tartalma!) 13.3 ábra a) A számított mennyiségek fazorábrája és b) a fazorábra léptékhelyes szerkesztése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 96 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 97 ► Az a) ábra a számítással kapott feszültségek és áramok komplex vektorokkal való ábrázolása. Ha a vektorábrát megszerkesztjük, akkor ezzel ellenőrizhetjük a számítási eredményeket Induljunk ki az I2 áramból, b) ábra Az R 2 I2 feszültség fazorja ezzel párhuzamos, a jωL 2 I2 feszültség fazorja ehhez képest 90°-kal siet. A két fazor eredője adja U1 -et Az I1 áram fazorja erre merőleges, és 90°-kal siet. Az I2 és I 1 fazorok eredője I 0 Az U 0 feszültség fazorja erre merőleges, és 90°-kal késik. U1 és U 0 eredője az U feszültség. A szerkesztés során a kiinduláskor I2 -t valósnak tekintettük, ezért a b) ábra az a) ábrához képest elfordul, ennek azonban nincs jelentősége. Mivel az ábra minden vektora I2 -vel arányosan változik (a hálózat lineáris!), ezért I2 -t első lépésben szabadon felvehetjük. A valódi I2 -t (és az összes többi értéket) úgy kapjuk meg,

hogy a szerkesztés befejeztével U -nak a tényleges kiindulási értékét adjuk. 13.3 példa: Soros RL-kör vizsgálata 13.4 ábra Soros RL-kör és impedanciájának, valamint feszültségeinek fazorábrája Az impedancia kifejezése az alábbi: ⎛ ⎝ Z ( ω ) = R + j ωL = R ⎜ 1 + j ahol ω0 = R L ⎛ ω⎞ ⎟ = R ⎜1 + j ⎟ , R ⎠ ω0 ⎠ ⎝ ωL ⎞ . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 97 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 98 ► Ebből a látszólagos ellenállás, a látszólagos vezetés (amplitúdókarakterisztikák) és a fázisszög (fáziskarakterisztika): Z(ω) = R 1 + ω2 ω 2 0 ; Y(ω) = 1 R 1+ ω2 , ϕ(ω) = arc tg ω ω0 . ω02 13.5 ábra Z(ω)/R, RY(ω) és ϕ(ω) karakterisztikák frekvenciafüggésének ábrázolása 13.4 példa: Soros RC-kör vizsgálata 13.6

ábra Soros RC-kör impedanciájának és feszültségeinek fazorábrája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 98 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 99 ► Az impedancia kifejezése a következő: 1 Z(ω) = R + ahol ω0 = 1 RC jωC ⎛ = R ⎜1 + ⎝ ω ⎞ ⎞ ⎛ = R ⎜1 − j 0 ⎟ , ⎟ jωCR ⎠ ω⎠ ⎝ 1 . Az amplitúdó- és a fáziskarakterisztika: Z(ω) = R 1 + ω02 ω 2 , Y(ω) = 1 R 1+ ω02 , ϕ = −arc tg ω0 ω . ω2 13.7 ábra Az amplitúdókarakterisztikák és a fáziskarakterisztika frekvenciamenete soros RC-kör esetében 13.5 példa: Párhuzamos RC-kör vizsgálata 13.8 ábra Párhuzamos RC-kör admittanciájának és áramainak fazorábrája A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 99 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok

AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató ◄ Vissza 100 ► Most az admittanciából célszerű kiindulni: Y(ω) = Y(ω) = ahol ω0 = 1 RC 1 R 1+ ω2 ω 2 0 , Z(ω) = 1 R + jωC, R 1+ ω 2 , ϕ(ω) = −arc tg ω ω0 , ω02 . 13.9 ábra Y(ω), Z(ω) és ϕ(ω) frekvenciamenete Figyeljük meg, hogy a soros, ill. párhuzamos RC-kör frekvenciafüggése egészen más jellegű. 13.6 példa: Veszteséges kondenzátor modellezése A soros és párhuzamos RC-kört elterjedten használják valódi (veszteséges) kondenzátor legegyszerűbb modelljeként. A veszteséges kondenzátor szigetelőanyagának jóságát a veszteségi tényezővel (jele: tgδ jellemzik, amely általában 10-4 és 10-2 közötti értéktartományba esik A veszteséges kondenzátor feszültsége és árama közötti fáziskülönbség nem 90°, hanem ennél kisebb: ϕ = 90 − δ, ahol δ a veszteségi szög. Emiatt van az

áramnak a feszültséggel fázisban lévő összetevője is, és így az ún hatásos teljesítmény A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 100 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 101 ► nem nulla. A veszteséges kondenzátort egy (ideális) kondenzátor és egy ellenállás párhuzamos vagy soros kapcsolásával modellezve (13.10 ábra), a veszteségi tényező a két kapcsolásban a következőképpen adható meg: tgδ = IR IC = 1 ωC p R p tgδ = , UR Uc = ωC s R s . 13.10 ábra A veszteséges kondenzátor modellezése párhuzamos, ill. soros RC-körrel A párhuzamos, ill. soros veszteségi ellenállás kifejezése az adottnak tekinthető veszteségi tényezővel és kapacitással: Rp = 1 ωC p tgδ , Rs = tgδ ωCs . Látható, hogy a helyettesítőkapcsolás nem valósítható meg a

frekvenciától függetlenül. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 101 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 102 ► 13.7 példa: Soros rezgőkör vizsgálata 13.11 ábra A soros rezgőkör; impedanciaábrája és fazorábrája három különböző frekvencián (a rezonanciafrekvencia alatt, a rezonanciafrekvencián és a rezonanciafrekvencia fölött) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 102 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 103 ► Induljunk ki az impedanciából: Z(ω) = R + jωL + 1 j ωC ⎛ ⎝ = R + j ⎜ ωL − 1 ⎞ ⎟. ωC ⎠ 13.12 ábra A soros rezgőkör látszólagos ellenállásának, látszólagos vezetésének és

szögének frekvenciafüggése A látszólagos ellenállás, ill. az impedancia szöge: ⎛ ⎝ 1 ⎞ ⎛ ωL − ⎟. ⎝ R ωCR ⎠ 2 Z(ω) = R 2 + ⎜ ωL − 1 ⎞ ⎟ , ωC ⎠ ϕ(ω) = arc tg ⎜ Igen jellegzetes az ω0 rezonáns körfrekvencia, amelyen X(ω0 ) = ω0 L − 1 ω0 C = 0, amiből ω0 = 1 . LC Ez az ún. Thomson-képlet A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 103 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 104 ► Rezonancia esetén: Z ( ω0 ) = Zmin = R, Z(ω0 ) = R, Y(ω0 ) = Ymax = 1 R , ϕ(ω0 ) = 0. Ha ω < ω0, a soros rezgőkör kapacitív jellegű, ha ω > ω0, akkor induktív jellegű, míg ω = ω0 esetén tiszta ellenállásként viselkedik. Ez akár a fazorábrából (1311 ábra), akár a fázisszög frekvenciafüggéséből (1312 ábra) látható. Az R ellenállás

reprezentálja a soros rezgőkör veszteségeit, amely többnyire a tekercs vesztésége. (A 1311 ábrán ezért külön feltüntettük a soros RL-tagon, vagyis a veszteséges tekercsen fellépő feszültségeket is.) Ha a tekercs veszteségmentes, vagyis a rezgőkör ideális (R = 0), akkor rezonancián Z(ω0) = 0 lenne, tehát tetszőleges kis feszültség hatására végtelen nagy áram lépne fel. A valóságban mindig van veszteség, de a maximális áram így is jelentékeny lehet Az ideális állapot megközelítésének mértékét számszerűleg a Q0 rezonacia-jóságitényezővel jellemezzük (nevezik körjóságnak is). Ennek kifejezése definiciószerűen: Q0 2π W WR = 2π W PT0 = 2π W T0 P = ω0 W P , ahol W a rezgőkörben tárolt energia, WR az egy periódus alatt disszipált munka rezonanciafrekvencián, P az ellenállás (veszteségi) teljesítménye, T0 pedig a periódusidő rezonanciafrekvencián. Amikor a kondenzátor feszültsége éppen nulla, akkor az

áram maximális, így W = L ( ˆI ) , más1 2 2 részt P = R ( ˆI ) , tehát 1 2 2 1 Q 0 = ω0 2 1 2 () L ˆI 2 () R ˆI = 2 ω0 L R . ω0 helyére 1/ LC -t írva (Thomson-képlet), és a törtet C-vel bővítve azt kapjuk, hogy A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 104 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Q0 = A Q0 = LC CR LC LC LC = LCCR Vissza = LC CR 1 ω0 CR ◄ 105 ► . összefüggés még így is átalakítható: Q0 = LC C CR = 1 L R C . Nagy rezonancia-jóságitényezőt tehát akkor kapunk, ha L nagy, R pedig kis értékű. A jósági tényezővel Z(ω) kifejezésének új alakjához jutunk: 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ ωL Z(ω) = R + ⎜ ωL − − ⎟ = R 1+ ⎜ ⎟ = ωC ⎠ ωCR ⎠ ⎝ ⎝ R 2 2 2 2 2 ⎛ω L ω ⎛ 1 ω0 ⎞ ω ω ⎞ = R 1+ ⎜ 0 − − Q0 0 ⎟ = ⎟ = R 1 +

⎜ Q0 ω0 CR ω ⎠ ω⎠ ⎝ R ω0 ⎝ ω0 2 ⎛ ω ω0 ⎞ = R 1+ Q ⎜ − ⎟ . ⎝ ω0 ω ⎠ 2 0 13.13 ábra A soros rezgőkör áramának függése az állandó kapocsfeszültség frekvenciájától A rezgőkör sávszélességének értelmezése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 105 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vezessük még be az η = ω ω0 − ω0 ω Vissza ◄ 106 ► jelölést, amivel a látszólagos ellenállás- ra az alábbi összefüggést kapjuk: Z(η) = 1 + Q02 η2 . (Az η = ω/ω0 − ω0/ω értéket szokás relatív elhangolásnak hívni.) A rezgőkör jóságát nemcsak a Q0 rezonancia-jóságitényezővel, hanem a Δω sávszélességgel is jellemezhetjük (13.13 ábra) Δω = ω2 − ω1 , ahol ω1, ill. ω2 az a két körfrekvencia, amelyeknél teljesül, hogy I(ω1 ) = I(ω2 )

= I ( ω0 ) / 2. Ilyenkor Z(ω1 ) = Z ( ω2 ) = ill. 2Z ( ω0 ) , Z(η1 ) = Z ( η2 ) = 2Z(η = 0). A Z(η) = 1 + Q02 η2 összefüggésre tekintve azonnal látható, hogy az impedancia abszolút értékére felírt feltétel Q02 η2 = 1 esetén teljesül, amiből Q0 η = ±1, azaz η1 = − 1 η2 = + , Q0 1 . Q0 Határozzuk meg Δω-t is. Ehhez írjuk fel (η1 + η2 ) -t és (η1 − η2 ) -t η1 + η2 = ω1 ω0 − ω0 ω1 + ω2 ω0 − ω0 ω2 =0 /⋅ ω1ω2 ω0 0 = ω12 ω2 − ω02 ω2 + ω22 ω1 − ω02 ω1 ω1ω2 (ω1 + ω2 ) − ω02 (ω1 + ω2 ) = 0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató / : (ω1 + ω2 ) Vissza ◄ 106 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 107 ► ω1ω2 = ω02 , azaz ω0 ω1 és ω2 mértani közepe. Ezek után ω ω ω ω 2 η2 − η1 = 2 − 0 − 1 + 0 = , ω0 ω2 ω0 ω1

Q 0 ami még így is írható: ω2 − ω1 ω0 + ω0 (ω2 − ω1 ) ω1ω2 (ω2 − ω1 ) + = ω02 (ω2 − ω1 ) ω1ω2 2 Q0 2 = /⋅ ω0 , ω0 . Q0 Figyelembe véve, hogy ω1ω2 = ω02 , azt kapjuk, hogy 2(ω2 − ω1 ) = 2ω0 Q0 , azaz ω2 − ω1 = Δω = ω0 Q0 A kapott összefüggés alapján a jósági tényezőt a sávszélesség mérésével is meghatározhatjuk. 13.8 példa: Tiszta párhuzamos rezgőkör vizsgálata Az admittancia kifejezése: Y(ω) = 1 R + jωC − j 1 ωL , amiből 2 1 ⎞ R ⎞ ⎛ ⎛ Y(ω) = + ⎜ ωC − ⎟ , ϕ(ω) = −ϕY (ω) = −arc tg ⎜ ωCR− ⎟. 2 R ⎝ ωL ⎠ ωL ⎠ ⎝ 1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 107 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 108 ► 13.14 ábra A tiszta párhuzamos rezgőkör; admittanciaábrája és fazorábrája

három különböző frekvencián (a rezonanciafrekvencia alatt, a rezonanciafrekvencián és a rezonanciafrekvencia fölött) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 108 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 109 ► A tiszta párhuzamos rezgőkör látszólagos ellenállásának látszólagos vezetésének és impedanciája szögének frekvenciafüggése látható a 13.15 ábrán 13.15 ábra Tiszta párhuzamos rezgőkör látszólagos ellenállásának, látszólagos vezetésének és impedanciája szögének frekvenciafüggése A B = ωC – 1/ωL szuszceptancia nulla az 1 ω0 = LC antirezonáns körfrekvencián. Ekkor Y ( ω0 ) = 1 R , Y(ω0 ) = Ymin = 1 R , Z(ω0 ) = Z max = R, ϕ(ω0 ) = 0. Ha ω < ω0 , a párhuzamos rezgőkör induktív jellegű, ha ω > ω0 , akkor kapacitív jellegű, és ha

ω = ω0, akkor tiszta ellenállásként viselkedik. Ez A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 109 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 110 ► ismét akár a 13.14 fazorábrából, akár a 1315 ábra fázisszög-karakterisztikájából látható ω0 A rezonancia-jóságitényező a Q0 W definícióból kiindulva számít- P 2 2 ható. A tárolt energia W = CU / 2, a veszteségi teljesítmény P = U / 2R, így 2 Q 0 = ω0 CU / 2 2 = ω0 CR = U / 2R R ω0 L R = . L/C Ez ismét annál nagyobb, minél jobb a rezgőkör. Y(ω)-t a dualitás elvének alkalmazásával írjuk fel a soros rezgőkörre kapott ⎛ ω ω0 ⎞ Z(ω) = R 1 + Q ⎜ − ⎟ ⎝ ω0 ω ⎠ 2 2 0 kifejezés duáljaként. Ehhez csak Z-t Y-ra, R-et pedig G-re kell cserélni: 2 ⎛ ω ω0 ⎞ Y(ω) = G 1 + Q ⎜ − ⎟ , ⎝ ω0 ω

⎠ 2 0 ahol G = 1/R. Így a sávszélességre is érvényes a soros rezgőkör Δω = ω0 . Q0 sávszélességképlete. 13.9 példa Határozzuk meg a soros rezgőkör induktivitásának feszültségét rezonanciafrekvencián, ha kapcsain a feszültség csúcsértéke Û . ˆ ˆ = jω L ˆI = jω L U = j ω0 L U ˆ = jQ U ˆ, U L 0 0 0 R R azaz a feszültség 90°-kal siet a kapocsfeszültséghez képest, és nagysága annak Q0-szorosa. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 110 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 111 ► 13.10 példa Adjuk meg a relatív elhangolás közelítő kifejezését kis frekvenciaeltérésekre. A rezonanciafrekvencia környezetében ω-t ω0-lal vehetjük figyelembe, így η= = ω − ω0 ω0 = ω ( ω + ω0 ) (ω − ω0 ) ω0 ω ≈ ω2 − ω02 ω0 ω = 2 ω0 (ω −

ω0 ) ω0 ω0 = 2δω ω0 , ahol δω = ω − ω0 . 13.11 példa: Vegyes párhuzamos rezgőkör vizsgálata Vizsgáljuk az ábrán látható párhuzamos rezgőkört, ahol az induktivitással sorba kapcsolt ellenállásba koncentráljuk a kör összes veszteségét. 13.16 ábra Z = (R + jωL)x = 1 j ωC = R + j ωL 1 + jωCR − ω2 CL R + j ωL 1 − ω2 LC + jωCR = . Definiáljuk rezonánsnak azt a frekvenciát, ahol Z nevezőjének valós része nullává válik (antirezonáns körfrekvencia): 1 − ω02 LC = 0. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 111 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 112 ► Ha R ω L (ami reális feltevés, hiszen R veszteségeket reprezentál), akkor az előbb definiált antirezonáns körfrekvencián Z(ω0 ) ≈ jω0 L jω0 CR = L RC . Z(ω0 ) az ún. paralel

rezonanciaimpedancia: Z ( ω0 ) = Z p = L / RC Határozzuk meg Q0-t. A helyettesítőkapcsolás a rezonanciafrekvencia környezetében a 13.17 ábra szerinti, és így: Q0 = = ω0 C Gp Zp ω0 L = = 1 ω0 LG p L 1 RC ω0 L = = 1 RCω0 . 1 ω0 C = ω0 L figyelembevételével pedig: Q0 = ω0 L R . 13.17 ábra Az áramok és feszültségek fazorábráját a 13.18 ábrán I L -ből kiindulva rajzoltuk meg. (Ebből adódik U R és U L , ezek eredője U , ezután I C -t rajzoltuk be, majd az I = I L + I C áram fazorját.) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 112 ► Villamosságtan Lineáris hálózatok AC-analízise komplex vektorok segítségével A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 113 ► 13.18 ábra A vegyes párhuzamos rezgőkör fazorábrája három különböző frekvencián (a rezonanciafrekvencia alatt, a rezonanciafrekvencián és a rezonanciafrekvencia fölött) Z(ω) = R 2 +

ω2 L2 (1 − ω2 LC) 2 + ω2 C 2 R 2 ϕ(ω) = arc tg ωL R − arc tg ωCR 1 − ω2 LC 13.19 ábra A vegyes párhuzamos rezgőkör látszólagos ellenállásának, látszólagos vezetésének és impedanciája szögének frekvenciafüggése A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 113 ► Villamosságtan Nemlineáris hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 114 ► 14. Nemlineáris hálózatok A különböző nemlineáris működésű áramkörök az elektronika minden területén széles körben használatosak. Jelentős szerepet játszanak a híradástechnikai, méréstechnikai berendezésekben, a szabályozástechnikában és automatikában, valamint az analóg és digitális működésű számítógépekben is. Nemlineáris hálózatoknak legalább egy kétpólusa nemlineáris. Azok a módszerek, amelyekkel a nemlineáris áramköröket analizáljuk általában a nemlineáris rendszerek

vizsgálatára szolgáló módszerek elméletéből származnak. A téma jellegéből és nehézségéből következően ezek a módszerek gyakorlatilag mindig közelítő módszerek. Ennek az a legfőbb oka, hogy a nemlineáris rendszerek és ezen belül a nemlineáris áramkörök messzemenően nem tárgyalhatók olyan egységesen, mint a lineáris rendszerek, ill. a lineáris áramkörök Általánosságban elmondható, hogy minden egyes problémához egyedi megoldási módszer tartozik, mely módszert külön kell megkeresnünk 14.1 Nemlineáris hálózati elemek kezelésének alapvető módszerei Tűzzük ki célul azon hálózatok vizsgálatát, amelyek nem tartalmaznak energiatároló, passzív, nemlineáris elemeket (nemlineáris tekercset és kondenzátort). Az ilyen hálózatokat más szóval és gyakrabban memóriamentes hálózatnak is nevezzük. A memóriamentesség arra utal, hogy a gerjesztésre adott válaszjel csak és kizárólag az adott időpillanat

gerjesztésétől függ Ha pl. megszűnik a gerjesztés, ugyanakkor szűnik meg a válasz is A memóriamentes elem a mi esetünkben azonos a valós, tehát nem reaktív jellegű elemmel A legegyszerűbb memóriamentes elem a memóriamentes ellenállás. A 141 ábra a nemlineáris ellenállás áram-feszültség jelleggörbéjét tünteti fel A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 114 ► Villamosságtan Nemlineáris hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 115 ► 14.1 ábra Memóriamentes ellenállás áram-feszültség jelleggörbéje Karakterisztikáját, ahogy azt a 2. fejezetben is láttuk, az u = f (i) (1) összefüggéssel adjuk meg. A karakterisztikának megfelelő diagram a nemlineáris elem jelleggörbéje Lineáris esetben a fenti összefüggés a jól ismert Ohm-törvénybe megy át, amelyben az ellenállás az egyenessel megadható jelleggörbe meredeksége: u = R ⋅i (2) Itt a

lineáris kapcsolat egyértelműen utal arra, hogy az elem maga is lineáris. Foglaljuk össze az eddigieket. Ha egy hálózat tartalmaz nemlineáris áramköri elemet, akkor a hálózat szintén nemlineáris. Nemlineáris áramköri elemről akkor beszélünk, ha a gerjesztés-válasz kapcsolat nem adható meg a válasz = konstans ⋅ gerjesztés (3) összefüggéssel. Természetesen a nemlineáris hálózatokra is érvényesek a Kirchhoffegyenletek, de a szuperpozíció elve már nem, hiszen éppen a szuperpozíció elvének érvényességét tekintettük a linearitás kritériumának. Ez utóbbit érzékelteti a következő példa Legyen i = i1 + i2 , és u = f(i) = a2 i2, tehát a karakterisztika nemlineáris. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 115 ► Villamosságtan Nemlineáris hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 116 ► A gerjesztésre adott válasz: u = a 2 (i12 + 2 i1i 2 + i 22

) ≠ a 2i12 + a 2i 22 , (4) azaz a gerjesztések összegére adott válasz nem egyezik meg az egyes gerjesztésekre adott válaszok összegével. Nemlineáris elemet tartalmazó hálózatok esetén a gerjesztésre adott választ legáltalánosabban a hálózatra felírható nemlineáris differenciálegyenlet, ill. differenciálegyenlet-rendszer megoldása szolgáltatja Erre a feladatra a számítógépes szoftverek kiválóan alkalmazhatók A nemlineáris hálózati elemeket − mint láttuk − karakterisztikájukkal vesszük figyelembe. Ha sikerül ezeket a karakterisztikákat a gyakorlati követelményeknek megfelelő módon linearizálni, akkor a továbbiakban a lineáris hálózatokra megismert módszerek alkalmazhatók Az elektronikában gyakran előfordul, hogy a gerjesztés egy nagy értékű DC- és egy kis érékű AC-komponensből áll. Ilyenkor a karakterisztikát a DC-gerjesztés által meghatározott pontjában, az ún. munkapontban az ACkomponens számára lineáris

összefüggéssel közelítjük, és a kisjelű összetevőre adott választ már a linearizált karakterisztikával határozzuk meg (14.2/a ábra) A linearizálás egy másik módja a lineáris töréspontos közelítés. Ennél a jelleggörbét szakaszonként más meredekségű egyenessel (egyenesekkel) közelítjük (142/b ábra) A gerjesztés értéktartományától függően lehet különböző számítási eljárásokat alkalmazni a válasz meghatározására 14.2 ábra Nemlineáris karakterisztikák linearizálása a) munkaponti linearizálás, b) lineáris töréspontos közelítés A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 116 ► Villamosságtan Nemlineáris hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 117 ► 14.2 Nemlineáris hálózatok grafikus DC- és kisjelű AC-analízise Az ismertetendő módszer olyan hálózatokra vonatkozik, amelyek az egyetlen nemlineáris kétpóluson kívül csak

feszültség- és áramforrásokat, valamint ellenállásokat tartalmaznak. A forrásmennyiségek értéktartományára csak azt a kikötést tesszük, hogy a nemlineáris elemen megjelenő ACkomponensek a linearizált jelleggörbeszakaszon belül maradjanak. 14.3 ábra Helyettesítőkapcsolás a munkapont grafikus meghatározásához A DC-komponens meghatározásához helyettesítsük a hálózatnak a nemlineáris kétpólushoz csatlakozó részét Thévenin-ekvivalensével (14.3 ábra), miközben egyelőre az AC-komponenst szolgáltató feszültségforrás ub(t) forrásfeszültségét nullának tekintjük. Ez esetben csak egyenáram folyik az áramkörben. A Kirchhoff-törvények – ahogyan már szó volt róla – most is érvényesek: ( K.I) , + U NL . ( KII) I R = I NL , b Ub = UR b (5) Mivel U R = R b I R , ezért a hurokegyenlet még így is írható: b b U b = R b I R + U NL , (6) b amiből IR = b Ub Rb − U NL Rb . A dokumentum használata | Tartalomjegyzék

| Tárgymutató Vissza ◄ 117 ► Villamosságtan Nemlineáris hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 118 ► I R b helyére INL-t írva kapjuk, hogy I NL = Ub Rb − U NL Rb (7) , azaz a körben folyó INL egyenáram lineáris függvénye a nemlineáris kétpóluson lévő UNL egyenfeszültségnek. A (7) összefüggés ábrázolva egy −1/Rb meredekségű egyenes (14.4 ábra) Ezt hívjuk munkaegyenesnek 14.4 ábra A munkapont grafikus meghatározása Az áram és feszültség konkrét értéke függ még a nemlineáris elem jelleggörbéjétől is. A munkaegyenes és a jelleggörbe metszéspontja adja meg a nemlineáris elem ún IM munkaponti áramát és UM munkaponti feszültségét Hasonló helyettesítőkapcsolással (14.5 ábra) számítható a kis jelű gerjesztésre adott válasz, az AC-komponens is Most csak ub(t) hatását vizsgáljuk, ezért az Ub egyenfeszültségű feszültségforrást be sem rajzoltuk a

helyettesítőkapcsolásba (14.5 ábra) A nemlineáris kétpólust úgy linearizáljuk, hogy jelleggörbéjét a munkapontban és környezetében érintőjével vesszük figyelembe, ahol Δu / Δi = rdiff , az ún. differenciális ellenállás (14.2 ábra) Ezek után a lineáris hálózatokra megismert számítási módszerek alkalmazhatóak, feltéve, hogy a kisjelű gerjesztés értéktartománya megengedi a munkapontban az érintővel történő közelítést A nemlineáris kétpólust tehát egyszerűen az rdiff ellenállással helyettesíthetjük A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 118 ► Villamosságtan Nemlineáris hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 119 ► A két helyettesítőkapcsolásban az Rb belső ellenállás azonos értékű, hiszen a dezaktivizált forrásokat mindkét esetben azonos módon vesszük figyelembe: a feszültségforrásokat rövidzárral, az áramforrásokat

szakadással. 14.5 ábra Helyettesítőkapcsolás az AC-komponens meghatározásához Összefoglalva: A differenciális helyettesítőkapcsolás a differenciális gerjesztésre adott differenciális válasz meghatározására szolgál. Végül uNL(t) a helyettesítőkapcsolás alapján: u NL (t) = u b (t) rdiff R b + rdiff . (8) A teljes válasz a differenciális gerjesztésre adott válasz és a munkaponti érték összege. A linearizálás egy másik módja a lineáris töréspontos közelítés. Ennél a jelleggörbét, ahogyan már említettük, szakaszonként más meredekségű egyenessel közelítjük (142b ábra) A gerjesztés jellegétől, ill értéktartományától függően lehet különböző számítási eljárásokat alkalmazni a válasz meghatározására. Pl ha ub(t) a jelleggörbe azonos meredekségű tartományán belül marad, akkor a számítás a (8)-as összefüggés szerinti, a jelleggörbe érintett szakaszán rdiff állandó Ha ub(t) a legközelebbi

törésponton túlér, akkor a gerjesztésnek erre a részére a töréspont utáni szakasz meredeksége, ill. differenciális ellenállása vonatkozik A számítás ez esetben már összetettebb lesz. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 119 ► Villamosságtan Nemlineáris hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 120 ► 14.1 példa Adott a 14.6 ábrán látható nemlineáris hálózat 14. 6 ábra i g (t) = Îg cos ωt, Îg = 20 mA. 14.7 ábra a) Ábrázolja iNL(t)-t, ha Ug = 18 V. b) Ábrázolja iNL(t)-t, ha Ug = 36 V. c) Adja meg a b) ponthoz tartozó lineáris helyettesítőkapcsolást. Először számítsuk ki az Uk könyökfeszültséget. A 147 ábra alapján felírható összefüggés: 2, 5 ⋅ 10−3 5 − Uk = 1 500 , U k = 3, 75 V. Ezek után határozzuk meg a lineáris hálózatrész Thévenin-helyettesítőkapcsolását (14.8 ábra) A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 120 ► Villamosságtan Nemlineáris hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 121 ► 14.8 ábra Ki kell számítanunk Rb-t, Ub-t és ub(t)-t. Az 146 ábra szerint Rb =[( R2 + R3 + R4) × R6 + R1] × R5 R2 + R3 + R4 = 320 + 480 + 400 = 1200 Ω (R2 + R3 + R4) × R6 = 1200 × 600 = 400 Ω (R2 + R3 + R4) = 400 + 700 = 1100 Ω Végül Rb = 1100 × R5 = 1100 × 500 = 343,75 Ω. Ha a lineáris hálózatrészben az Ug, R6 feszültséggenerátort Norton-ekvivalensével helyettesítjük (14.9 ábra), akkor Ub-t kevés számolással kapjuk meg. Ig = Ug R6 = 18 V 600 Ω = 0, 03 A. 14.9 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 121 ► Villamosságtan Nemlineáris hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 122 ► Az R2, R3, R4, R6 ellenállásokat egyetlen ellenállással helyettesíthetjük,

amelynek értéke az előbbi számítás eredményeként 400 Ω. Áramosztóval az R5-ön folyó áram: I R 5 = Ig 400 400 + R 1 + R 5 = 0, 03 400 = 7, 5 mA. 400 + 700 + 500 Végül U b = U AB = U R 5 = I R 5 R 5 = 7, 5 mA ⋅ 500 Ω = 3, 75 V, azaz a munkapont éppen a könyökpontban lesz. Az ig(t) forrásáramú áramgenerátorból az R5 ellenálláson átfolyó áramot az 14.6 ábra alapján kétszeres áramosztással kapjuk: ˆI = ˆI R4 g = 20 [( R R3 + R 5 ) xR 6 ] + R 2 + R 3 + R 4 1 480 [( 700 + 500 ) x600] + 320 + 480 + 400 ˆI = ˆI R5 R4 R6 R1 + R 5 + R 6 =6 = = 6 mA. 600 700 + 500 + 600 = 2 mA, amivel ˆ = ˆI ⋅ R = 2 mA ⋅ 500 Ω = 1 V. U b R5 5 Ezek után iNL(t) csúcsértéke: Î NL = Û b rdiff + R b = 1V 500 Ω + 343, 75 Ω = 1,1851 mA . A b) esetben a munkaponti áram nem 0, hanem IM = Ub − UK rdiff + R b = 7, 5 − 3, 75 500 Ω + 343, 75 Ω = 4, 44 mA. Így a nemlineáris elemen folyó áramok időfüggvényei a 14.6

ábra szerintiek lesznek (a feladat a és b pontja): A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 122 ► Villamosságtan Nemlineáris hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 123 ► 14.10 ábra A lineáris helyettesítőkapcsolás (14.11 ábra) a b) esetben (a feladat a és b pontja): u b (t) = cosωt ( Û b = 1 V) 14.11 ábra 14.2 példa Adott a 14.12 ábrán látható kapcsolás 14.12 ábra i g (t) = 3sin ωt [ mA ] A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 123 ► Villamosságtan Nemlineáris hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 124 ► a) Határozzuk meg a munkapontot és a munkaegyenest. b) Határozzuk meg az áramkör linearizált helyettesítőkapcsolását. c) Határozzunk meg a jelleggörbe mindkét szakaszára egy-egy munkapontot, hogy a szinuszos jel a lineáris tartományokon belül maradjon. a)

A munkaegyenes az egyenáramú kör Thévenin-helyettesítőkapcsolása alapján határozható meg. A Thévenin-generátor belső ellenállása: R b = [( 2R x 2R ) + R ] x 2R = R. Forrásfeszültsége meghatározásához először számítsuk ki a 9,6 V-os feszültségforrásból elfolyó Ig áramot: Ig = Ug 2R + (2R x 3R) Ug = 2R + 6 5 = R 5 Ug 16 R . A C csomópontból az A csomópont irányába folyó áram: I = Ig 2R 2R + 3R = 2 5 Ig . Az A-B pontok közötti feszültség, amely egyben a Thévenin-geenerátor forrásfeszültsége is: 2RI, azaz U b = 2R 2 5 Ig = 4 5 R 5 Ug 16 R = Ug 4 = 9, 6 4 = 2, 4V. A munkaegyenes és a munkapont ezek után (14.12 ábra): 14.13 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 124 ► Villamosságtan Nemlineáris hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 125 ► A munkaponti feszültségre felírható egyenlet a jelleggörbe 1.

szakaszán: U M1 rdiff 1 = 2, 4 − U M1 R U M1 = 2, 4 rdiff 1 rdiff 1 + R . A jelleggörbe alapján rdiff 1 = ΔU / ΔI = 1, 6V / 2 mA = 800 Ω, amivel U M1 = 2, 4 I M1 = A munkaponti áram: U M1 rdiff 1 800 800 + R . 2, 4 = . 800 + R Az M2 munkapontra felírható egyenletek: 2, 4 − U M 2 R = U M 2 − 1, 6 40 IM 2 = + 2 ⋅ 10−3 2, 4 − U M 2 R = 2, 4 R − UM2 = 96 + 1, 52 R 40 + R . 96 + 1, 52R R(40 + R) b) Az áramkör linearizált helyettesítőkapcsolása (14.14 ábra): 14.14 ábra A belső ellenállás: Rb = R. A helyettesítőgenerátor forrásfeszültsége: Û b = 3 ⋅ 10−3 ⋅ 2R ⋅ 2R 2R + (2R x 3R) 2R + 3R áramosztó ⋅ 2R = 1, 5 ⋅ 10 −3 R ⋅ áramosztó A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 125 ► Villamosságtan Nemlineáris hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 126 ► c) A munkapont meghatározása a szinuszos jel

figyelembevételével a jelleggörbe 1-es szakaszára. A felírható két egyenlőtlenség: U M1 + Û ≤ 1, 6 U M1 − Û ≥ 0, ahol Û a szinuszos jel csúcsértéke a nemlineáris kétpóluson. Az 1. egyenlőtlenség szerint: 2, 4 800 800 + R + 800 800 + R ⋅ 1, 5 ⋅ 10−3 R ≤ 1, 6 V R ≥ 1600 ohm, a 2. egyenlőtlenségből: 2, 4 800 800 ≥ 1,5 ⋅ R ⋅10−3 800 + R 800 + R R ≤ 1600 ohm, azaz R csak 1600 ohm lehet, amivel a munkaponti értékek: U M1 = 2, 4 800 800 + 1600 = 0,8 V, I M1 = 2, 4 800 + 1600 = 1 mA. A jelleggörbe 2-es szakaszára felírható egyenlőtlenség: U M 2 − Û ≥ 1, 6; 96 + 1, 52 R 40 + R − 1, 5 ⋅ 10−3 R 40 40 + R ≥ 1, 6 R ≤ 228, 57 Ω, amivel UM 2 ≥ IM 2 ≥ 96 + 1, 52 ⋅ 228, 57 40 + 228, 57 2, 4 − U M 2 R = = 1, 651 V, 2, 4 − 1, 651 228, 57 = 3, 277 mA. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 126 ► Villamosságtan Nemlineáris hálózatok A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 127 ► 14.3 példa 14.15 ábra i(t) = Î0 cos ωt, Î0 = 0,1 mA. I NL = a 2 U 2NL , ha U NL > 0. I NL = 0, ha U NL < 0. a 2 = 0, 5 mA V2 . Határozzuk meg az R3 ellenálláson a szinuszos feszültségösszetevő amplitúdójának értékét, ha U0 = 0,75 V, illetve U0 = 2 V. Megoldás: Helyettesítsük a munkapontbeállító áramkört Théveningenerátorral. A Thévenin-generátor forrásfeszültsége az üresjárási feszültséggel egyezik meg: 14.16 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 127 ► Villamosságtan Nemlineáris hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 128 ► A 14.15 ábra alapján Ub = Uü = U0 Szintén az ábra alapján Rb = R1 + R2 + R3 = 100 + 900 + 1000 = 2000 ohm. Határozzuk meg a NL kétpólus munkaponti feszültségét. A helyettesítőkapcsolás alapján: U0 = I NL R b + U NL

U0 = (a 2 U2NL )R b + U NL a 2 R b U2NL + U NL − U0 = 0. Rb és a2 értékét behelyettesítve: 0, 5 ⋅ 10−3 ⋅ 2 ⋅ 103 U 2NL + U NL − U 0 = 0. Oldjuk meg a kapott másodfokú egyenletet UNL meghatározása céljából. U NL1,2 = −1 ± 1 + 4U 0 2 ⋅ A 15.15 ábra referenciairányait figyelembe véve U NL csak pozitív lehet: U NL = 1 2 ( ) 1 + 4U 0 − 1 . U NL (U 0 = 0, 75) = 0, 5 V. U NL (U 0 = 2 V) = 1 V. A meredekségek: 2 ⋅ 0, 5 ⋅ 10−3 ⋅ 0, 5 = 0, 5 ⋅ 10−3 d I NL d U NL A V = 0, 5 mA V , = 2a 2 U NL 2 ⋅ 0, 5 ⋅ 10−3 ⋅ 1 = 1 ⋅ 10−3 A V =1 mA V . A differenciális ellenállás két szélső értéke: 2 kΩ rdiff 1 = dI NL dU NL ⋅ 1 kΩ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 128 ► Villamosságtan Nemlineáris hálózatok A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 129 ► A linearizált helyettesítőkapcsolás (14.17 ábra): 14.17 ábra Az

áramgenerátort feszültséggenerátorral helyettesítve, a forrásfeszültség: ˆ =U ˆ = ˆI ⋅ R = U g ü 0 2 = 0,1 ⋅ 10−3 ⋅ 900 = 0, 09 V. A belső ellenállás most: Rb=R1+R2+R3=2000 Ω Az R3 ellenálláson eső feszültséget a feszültségosztó képletével hatáR3 ˆ =U ˆ rozhatjuk meg: U R3 g R b + rdiff Û R 3 Û R 3 U 0 = 0,75 V U0 = 2 V = 0, 09 = 0, 09 1000 2000 + 2000 1000 2000 + 1000 = 0, 0225 V = 0, 03 V Látjuk, hogy a nemlineáris kétpólus lehetővé teszi AC-komponensnek DC-komponenssel történő változtatását. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 129 ► Villamosságtan Függelék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 130 ► Függelék Az Euler-egyenlet bizonyítása Írjuk fel az ejx függvény hatványsorát: e jx = 1 + jx 1! + j2 x 2 2! + j3 x 3 3! + j4 x 4 4! + . , ahol j = −1 az ún. képzetes egység Figyelembe véve, hogy j2 = −1, j3 =

− j, j4 = 1,., a hatványsor így is írható: e jx = 1 + jx 1! − x2 2! − jx 3 3! + x4 4! + −. A valós és képzetes tagok szétválasztásával kapjuk, hogy ⎛ x2 ⎝ 2! e jx = ⎜ 1 − + x4 4! ⎞ ⎛ x3 ⎠ ⎝ 3! − +. ⎟ + j ⎜ x − + x5 5! ⎞ − +. ⎟ ⎠ A zárójelekben a cosx és a sinx függvények hatványsorait ismerhetjük fel. Ezért írható, hogy e jx = cos x + jsin x. Az összefüggést Euler-egyenletnek hívjuk. A matematika egyik legfontosabb összefüggése, mert lehetővé teszi, hogy a tirogonometrikus függvények helyett a lényegesen egyszerűbb exponenciális függvényekkel számolhatunk A következőkben azt fogjuk belátni, hogy a z = re jωt skalárváltozás komplex függvény által a komplex számsíkon kijelölt pontok egy origó középpontú, r sugarú kört adnak meg ugyanúgy, mint a z = r(cos ωt + jsin ωt) (1) függvény. Ez az állítás az Euler-egyenletből az x = jωt helyettesítéssel

és a két oldal r-rel való szorzásával azonnal adódik. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 130 ► Villamosságtan Függelék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 131 ► Tegyük fel, hogy az Euler-relációt még nem ismerjük. A szemléltető ábra alapján z megváltozásának nagyságára, Δ z -re azt írhatjuk, hogy Δ z ≈ ωΔt r = ωΔt z . (2) Másrészt Δ z merőleges z -re, amit j-vel való szorzással tudunk figyelembe venni. z teljes megváltozását (nagyság és irány) megadja a Δ z ≈ jz ω Δt (3) kifejezés. Rendezzük át (3)-at a következő módon: Δ z / Δt z ≈ jω . (4) Δt 0 esetén a differenciahányados helyett differenciálhányadost írhatunk: dz dt = jω z (5) dz A kapott összefüggést még d (ln z ) = dt figyelembevételével az alábbiak dt z szerint átalakíthatjuk: d dt (ln z) = d dt ( jωt + c). A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Tárgymutató (6) Vissza ◄ 131 ► Villamosságtan Függelék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató (6)-ból következik, hogy Vissza ◄ 132 ► ln z = jωt + c, (7) z = e jωt + c = e c e jωt (8) z = re jωt , (9) azaz ec = r helyettesítéssel: amivel az állítást bizonyítottuk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 132 ► Villamosságtan A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Irodalomjegyzék Vissza ◄ 133 ► Irodalomjegyzék Simonyi Károly: Elméletei villamosságtan. Budapest, 1967, Tankönyvkiadó Simonyi – Fodor – Vágó: Elméleti villamosságtan példatár. Budapest, 1967, Tankönyvkiadó. Fodor György: Elméleti elektrotechnika I–II. Budapest, 1970, Tankönyvkiadó R.PFeynmann – RBLeighton – MSands: Mai fizika Budapest, 1970, Műszaki Könyvkiadó. Gonda Gábor, Iványi Miklósné, Mérey Imréné, Veszeli Gyula:

Villamosságtan példatár. Budapest, 1972, Tankönyvkiadó Budó Ágoston: Kísérleti fizika II. Budapest, 1989, Tankönyvkiadó Fodor György: Jelek, rendszerek és hálózatok I–II. Budapest, 1998, Műegyetemi Kiadó A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 133 ► Villamosságtan Tárgymutató A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 134 ► Tárgymutató A, Á AC-analízis 27, 93 admittancia 49 ágtörvények 63 alappont 72 általánosított Ohm-törvény 35 amplitúdó 28 amplitúdókarakterisztikák 98 antirezonáns körfrekvencia 111 áramerősség 13, 16 áramgenerátor 20 áramosztó kapcsolás 47 fazorábra 93 feszültséggenerátor 20 feszültségosztó kapcsolás 45 fluxus 13 frekvencia 28 független hurokegyenletek 63 H báziscsomópont 72 belső ellenállás 21, 23, 119 hálózat 7, 10, 29, 56 hatásos ellenállás 36 Helmholtz tétele 22 helyettesítő generátorok tétele 22 hertz 28

homogén differenciálegyenlet 67 hurok 8, 50, 58 huroktörvény 55 Cs I csatolás 7 csatolási impedancia 38 csatolt tekercs 38 csomóponti törvény 7, 55 csúcsérték 28, 33 időállandó 67 imaginárius 30 impedancia 35, 36, 45, 49 induktivitás 13 invariáns 10, 12, 13 D J duálhálózat 49 dualitás elve 86 jelleggörbe 7, 115, 118, 119 E karakterisztika 7, 14 kétpólusok 7, 20, 55 kezdőfázis 94 Kirchhoff-típusú hálózatok 7 Kirchhoff-törvények 16, 51, 117 komplemens 58 komplex ~ pillanatérték 31, 33 ~ vektorok 93 B effektív érték 28, 33, 94 egyenfeszültség 11, 28 Euler-egyenlet 31, 130 F fa 59 fáziskarakterisztika 98 fazor 31 K A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 134 ► Villamosságtan Tárgymutató A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató koncentrált paraméterű hálózat 11 konduktancia 37 koszinuszfüggvény 28 L látszólagos vezetés 37, 98 liget 59 lineáris 9, 10, 12, 13 ~

generátor 20 ~ hálózat 51 M meddő ellenállás 36 memóriamentes 114 munkaegyenes 118 munkapont 117, 118, 122 N nemlineáris 9, 10, 12, 13 nemlineáris hálózat 15 Norton-generátor 26, 76 Ö összefüggő gráf 50, 58 P párhuzamos RC-kör 99 potenciométer 82 R reaktancia 36 reaktáns elemek 36, 82 rendszer 7 replusz 47 részgráf 58 rezisztencia 36 rezonáns körfrekvencia 103 Vissza ◄ 135 ► S sávszélesség 107 síkgráf 50 soros és párhuzamos kapcsolás 44 soros RC-kör 98 soros rezgőkör 102 stacionárius állapot 67 Sz szeparáló csomópont 62 szimbolikus számítási eljárás 38 szinor 31 szinuszos 28 ~ áram 93 ~ mennyiségek vizsgálata 27 szuperpozíció elve 51 szuszceptancia 37, 109 T teljesítményillesztés 85 Thomson-képlet 103 tiszta párhuzamos rezgőkör 107 topológia 55 töréspontos közelítés 116, 119 V vágat 50, 59 valódi vagy valós pillanatérték 31 variáns 10, 12, 13 vegyes párhuzamos rezgőkör 111 veszteségi ~ szög 100

~ teljesítmény 85, 110 veszteségmentes 104 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Tárgymutató Vissza ◄ 135 ►