Mathematics | High school » Matematika középszintű írásbeli érettségi vizsga megoldással II., 2012

ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Név: . osztály: Matematika MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM középszint írásbeli vizsga 1111 I. összetevő Matematika középszint Név: . osztály: Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 45 percet fordíthat, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie 2. A megoldások sorrendje tetszőleges 3. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyű függvénytáblázatot használhatja, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos. 4. A feladatok végeredményét az erre a célra szolgáló keretbe írja, a megoldást csak akkor kell részleteznie, ha erre a feladat szövege utasítást ad. 5. A dolgozatot tollal írja, az ábrákat ceruzával is rajzolhatja Az ábrákon kívül

ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető. 6. Minden feladatnak csak egy megoldása értékelhető Több megoldási próbálkozás esetén egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek! 7. A szürkített téglalapokba semmit nem írhat! írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 2/8 2012. május 8 Matematika középszint 1. Név: . osztály: Az f függvényt a 3-tól különböző valós számok halmazán értelmezzük az f ( x) = képlettel. Melyik valós x szám esetén veszi fel az f függvény az x= 2. 1 x −3 1 értéket? 20 2 pont Egy rombusz egyik hegyesszögű csúcsából induló két oldalvektora a és b. Fejezze ki ezzel a két vektorral az ugyanezen csúcsból induló átló vektorát! A keresett vektor: 2 pont 3. Melyik x valós szám esetén igaz a következő egyenlőség? 2−x = 8 x= írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 2

pont 3/8 2012. május 8 Matematika középszint 4. Név: . osztály: Válassza ki az alábbi grafikonok közül a g: R R , g ( x ) = 2 x + 1 függvény grafikonját, és adja meg a g függvény zérushelyét! y y 1 1 1 1 A 5. y x 1 x 1 B A g függvény grafikonjának betűjele: C 2 pont A zérushely: 1 pont Hat ajánlott olvasmányból hányféleképpen lehet pontosan négyet kiválasztani? A lehetőségek száma: 2 pont 6. Két halmazról, A-ról és B-ről tudjuk, hogy A ∪ B = { x; y; z; u; v; w }, A B={ z; u }, B A={ v; w }. Készítsen halmazábrát, és adja meg elemeinek felsorolásával az A ∩ B halmazt! 1 pont A∩ B ={ írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 } 4/8 1 pont 2012. május 8 x Matematika középszint 7. Név: . osztály: Mekkora lesz két év múlva annak az 50 000 Ft-os befektetési jegynek az értéke, amelynek évi 10%-kal nő az értéke az előző évihez képest? Válaszát indokolja! 2 pont A befektetési

jegy értéke: 1 pont 8. Az N=437y51 hárommal osztható hatjegyű számot jelöl a tízes számrendszerben. Adja meg az y számjegy lehetséges értékeit! Az y számjegy lehetséges értékei: 2 pont írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 5/8 2012. május 8 Matematika középszint 9. Név: . osztály: Állapítsa meg az f: R R, a maximum értékét! f ( x) = −( x − 6) 2 + 3 függvény maximumhelyét és Maximumhely: 1 pont Maximum érték: 1 pont 10. Egy vasúti fülkében öt utas utazik Közülük egy személy három másikat ismer, három főnek 2-2 útitárs ismerőse a fülkében, egy személy van, aki csak egy útitársát ismeri. (Az ismeretségi kapcsolatok kölcsönösek.) Ábrázolja egy ilyen társaság egy lehetséges ismeretségi gráfját! Egy lehetséges ismeretségi gráf: 3 pont írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 6/8 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: 11. Határozza meg az x 2 + y 2 − 4 x + 2 y = 0

egyenletű kör középpontjának koordinátáit! Mekkora a kör sugara? Válaszát indokolja! 2 pont A középpont: 1 pont A kör sugara: 1 pont 12. Döntse el az alábbi állítások mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis! A: Két valós szám közül az a nagyobb, amelyiknek a négyzete nagyobb. B: Ha egy szám 5-tel és 15-tel is osztható, akkor a szorzatukkal is osztható. C: Két különböző hegyesszög közül a kisebbnek a koszinusza a nagyobb. írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 A: 1 pont B: 1 pont C: 1 pont 7/8 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: I. rész maximális elért pontszám pontszám 1. feladat 2 2. feladat 2 3. feladat 2 4. feladat 3 5. feladat 2 6. feladat 2 7. feladat 3 8. feladat 2 9. feladat 2 10. feladat 3 11. feladat 4 12. feladat 3 ÖSSZESEN 30 dátum javító tanár elért pontszám egész számra kerekítve programba beírt egész

pontszám I. rész javító tanár jegyző dátum dátum Megjegyzések: 1. Ha a vizsgázó a II írásbeli összetevő megoldását elkezdte, akkor ez a táblázat és az aláírási rész maradjon üresen! 2. Ha a vizsga az I összetevő teljesítése közben megszakad, illetve nem folytatódik a II. összetevővel, akkor ez a táblázat és az aláírási rész kitöltendő! írásbeli vizsga, I. összetevő 1111 8/8 2012. május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Név: . osztály: Matematika MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8 8:00 II. Időtartam: 135 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM középszint írásbeli vizsga 1111 II. összetevő Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 2 / 16 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 135 percet fordíthat, az idő leteltével a

munkát be kell fejeznie 2. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges 3. A B részben kitűzött három feladat közül csak kettőt kell megoldania A dolgozat befejezésekor a nem választott feladat sorszámát írja be az alábbi négyzetbe! Ha a javító tanár számára nem derül ki egyértelműen, hogy melyik feladat értékelését nem kéri, akkor a 18. feladatra nem kap pontot 4. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármilyen négyjegyű függvénytáblázatot használhat, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos. 5. A megoldások gondolatmenetét minden esetben írja le, mert a feladatra adható pontszám jelentős része erre jár! 6. Ügyeljen arra, hogy a lényegesebb részszámítások is nyomon követhetőek legyenek! 7. A feladatok megoldásában használt tételek közül az iskolában tanult, névvel ellátott tételeket (pl Pitagorasz-tétel,

magasság-tétel) nem kell pontosan megfogalmazva kimondania, elég csak a tétel megnevezését említenie, ám alkalmazhatóságát röviden indokolnia kell. 8. A feladatok végeredményét (a feltett kérdésre adandó választ) szöveges megfogalmazásban is közölje! 9. A dolgozatot tollal írja, az ábrákat ceruzával is rajzolhatja Az ábrákon kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető. 10. Minden feladatnál csak egyféle megoldás értékelhető Több megoldási próbálkozás esetén egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek! 11. A szürkített téglalapokba semmit nem írhat! írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 3 / 16 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: A 13. Egy számtani sorozat tizedik tagja 10, a különbsége 4 a) Pali azt állítja, hogy a sorozat tizedik tagjának kettes számrendszerbeli alakja

1011. Indokolja vagy cáfolja Pali állításának helyességét! b) Mekkora a sorozat első tagja? c) Határozza meg a sorozat legkisebb három számjegyű tagját! Hányadik tagja ez a sorozatnak? d) Hány elemű az a halmaz, amelyet ezen számtani sorozat kétjegyű pozitív tagjai alkotnak? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 4 / 16 a) 3 pont b) 2 pont c) 4 pont d) 3 pont Ö.: 12 pont 2012. május 8 Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 5 / 16 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: 14. Nekeresd város kórháza az alábbi adatokat hozta nyilvánosságra: a Nekeresden lakó 12 320 emberből az előző évben 1978 embert ápoltak hosszabb-rövidebb ideig a város kórházában. a) Mekkora az esélye, hogy egy véletlenül kiválasztott nekeresdi lakost az előző évben a város kórházában ápoltak? Két tizedesjegyre kerekítve adja meg a valószínűséget! Abban az évben a

kórházban ápoltak közül 138 fő volt 18 év alatti, 633 fő 18 és 60 év közötti, a többi idősebb. A város lakosságának 24%-a 60 év feletti, 18%-a 18 év alatti (A számítások során feltehetjük, hogy Nekeresden az ismertetett adatokban lényeges változás egy év alatt nem történt.) b) Készítsen kördiagramot a kórházban ápoltak korosztály szerinti megoszlásáról! A diagram elkészítéséhez szükséges számításokat írja le! c) Mennyivel kisebb vagy nagyobb az a)-ban kérdezett esély, ha a 60 év felettiek közül választunk ki valakit véletlenszerűen? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 6 / 16 a) 3 pont b) 5 pont c) 4 pont Ö.: 12 pont 2012. május 8 Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 7 / 16 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: 15. Földmérők a megfelelő vízszintezés után az alábbi (síkbeli) ábrával dolgoznak A Q pontot a többi ponttól

egy folyó választja el. Az A pontban dolgozó földmérő a P ponttól 720 méterre volt, és a P és Q pontokat egy egyenesben látta. A PAB szöget 53º-nak mérte A B pontban álló földmérő A-tól 620 méterre, az ABQ szöget 108º-nak mérte. Számítsa ki ezek alapján a BP; PQ és BQ távolságokat! Válaszát méterre kerekítve adja meg! Q P A Ö.: 12 pont B írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 8 / 16 2012. május 8 Matematika középszint írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 Név: . osztály: 9 / 16 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: B A 16-18. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon lévő üres négyzetbe! 16. Két ország sakkválogatottja, az A és a B csapat közös edzőtáborban készül egy világversenyre. Az első héten az azonos nemzetbeli sportolók játszanak körmérkőzéses bajnokságot, tehát minden egyes sportoló

minden nemzetbelijével egy mérkőzést Az A csapat 7 játékossal érkezett, a B csapatnál összesen 55 mérkőzés zajlott. a) Hány mérkőzés zajlott az A csapatnál, és hány tagja van a B csapatnak? A második héten az A csapat 6 kiválasztott tagjának mindegyike 8 B csapatbeli játékossal játszik egy-egy játszmát. b) Összesen hány játszma zajlott a második héten? Az edzőtáborozás végén a csapatok összes játékosa között négy egyforma ajándéktárgyat sorsolnak ki. Egy játékos legfeljebb egy ajándéktárgyat kaphat c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az ajándékok közül egyet A csapatbeli játékos, hármat B csapatbeli játékosok kapjanak? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 10 / 16 a) 7 pont b) 3 pont c) 7 pont Ö.: 17 pont 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 11 / 16 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: A 16-18. feladatok

közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon lévő üres négyzetbe! 17. a) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! lg(2 x − 1) + lg(2 x − 3) = lg 8 b) Egy háromszög x szögére igaz, hogy 4 cos2 x − 8 cos x − 5 = 0 . Mekkora ez a szög? c) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! 4y − 5 = 8 y d) Megadtunk hét olyan különböző valós számot, amelyek közül az egyik a c) kérdésben szereplő egyenletnek is megoldása. A számokat felírjuk valamilyen sorrendben. Hány olyan sorrendje van a megadott számoknak, amelyben az említett szám a középső? írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 12 / 16 a) 6 pont b) 4 pont c) 4 pont d) 3 pont Ö.: 17 pont 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 13 / 16 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: A 16-18.

feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be a 3. oldalon lévő üres négyzetbe! 18. Egy víztároló középső része egy 6 m belső átmérőjű, 8 m magasságú forgáshenger, alsó része félgömb, felső része forgáskúp alakú. A kúp magassága 3 m A tartály függőlegesen áll, mellékeljük a forgástengelyén átmenő egyik síkmetszetét. a) Hány négyzetmétert kell vízálló anyaggal bevonni a tartály teljes belső felületének felújításakor? b) Hány köbméter víz van a tartályban, ha a teljes magasságának 85%-áig van feltöltve? A vízálló réteg vastagságát számítása során elhanyagolhatja. A válaszokat egészre kerekítve adja meg! írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 14 / 16 a) 6 pont b) 11 pont Ö.: 17 pont 2012. május 8 Matematika középszint Név: . osztály: írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 15 / 16 2012. május 8 Matematika

középszint Név: . osztály: a feladat sorszáma maximális pontszám 13. 12 14. 12 15. 12 II. A rész elért pontszám összesen 17 II. B rész 17 ← nem választott feladat ÖSSZESEN 70 maximális pontszám I. rész 30 II. rész 70 Az írásbeli vizsgarész pontszáma 100 dátum elért pontszám javító tanár elért pontszám egész számra kerekítve programba beírt egész pontszám I. rész II. rész javító tanár jegyző dátum dátum írásbeli vizsga, II. összetevő 1111 16 / 16 2012. május 8 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 1111 MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató Fontos tudnivalók Formai előírások: 1. A dolgozatot a vizsgázó

által használt színűtől eltérő színű tollal kell javítani, és a tanári gyakorlatnak megfelelően jelölni a hibákat, hiányokat stb. 2. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsőben a feladatra adható maximális pontszám van, a javító által adott pontszám a mellette levő téglalapba kerül. 3. Kifogástalan megoldás esetén elég a maximális pontszám beírása a megfelelő téglalapokba 4. Hiányos/hibás megoldás esetén kérjük, hogy az egyes részpontszámokat is írja rá a dolgozatra. 5. Az ábrán kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti Tartalmi kérések: 1. Egyes feladatoknál több megoldás pontozását is megadtuk Amennyiben azoktól eltérő megoldás születik, keresse meg ezen megoldásoknak az útmutató egyes részleteivel egyenértékű részeit, és ennek alapján pontozzon! 2. A pontozási útmutató pontjai tovább bonthatók Az így adott pontszámok azonban csak egész pontok

lehetnek. 3. Nyilvánvalóan helyes gondolatmenet és végeredmény esetén maximális pontszám adható akkor is, ha a leírás az útmutatóban szereplőnél kevésbé részletezett. 4. Ha a megoldásban számolási hiba, pontatlanság van, akkor csak arra a részre nem jár pont, ahol a tanuló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredménnyel helyes gondolatmenet alapján tovább dolgozik, és a megoldandó probléma lényegében nem változik meg, akkor a következő részpontszámokat meg kell adni. 5. Elvi hibát követően egy gondolati egységen belül (ezeket az útmutatóban kettős vonal jelzi) a formálisan helyes matematikai lépésekre sem jár pont. Ha azonban a tanuló az elvi hibával kapott rossz eredménnyel, mint kiinduló adattal helyesen számol tovább a következő gondolati egységben vagy részkérdésben, akkor erre a részre kapja meg a maximális pontot, ha a megoldandó probléma lényegében nem változott meg. 6. Ha a megoldási útmutatóban

zárójelben szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor ennek hiánya esetén is teljes értékű a megoldás. 7. Egy feladatra adott többféle helyes megoldási próbálkozás közül egy, a vizsgázó által megjelölt változat értékelhető. 8. A megoldásokért jutalompont (az adott feladatra vagy feladatrészre előírt maximális pontszámot meghaladó pont) nem adható. 9. Az olyan részszámításokért, részlépésekért nem jár pontlevonás, melyek ugyan hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó ténylegesen nem használ fel. 10. A vizsgafeladatsor II B részében kitűzött 3 feladat közül csak 2 feladat megoldása értékelhető A vizsgázó az erre a célra szolgáló négyzetben – feltehetőleg – megjelölte annak a feladatnak a sorszámát, amelynek értékelése nem fog beszámítani az összpontszámába. Ennek megfelelően a megjelölt feladatra esetlegesen adott megoldást nem is kell javítani Ha mégsem derül ki

egyértelműen, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését nem kéri, akkor automatikusan a kitűzött sorrend szerinti legutolsó feladat lesz az, amelyet nem kell értékelni. írásbeli vizsga 1111 2 / 13 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató I. 1. x − 3 = 20 1 pont x = 23 1 pont Az indoklás nélküli válasz is teljes értékű. Összesen: 2 pont Összesen: Ha a leírt válaszból nem 2 pont derül ki, hogy a és b vektorok, akkor 1 pont jár. 2 pont Összesen: 2 pont 2 pont Összesen: 2 pont 1 pont 3 pont Összesen: ⎛6⎞ 2 pont Fogadjuk el a ⎜⎜ ⎟⎟ -et is! ⎝ 4⎠ 2 pont 2. a+b 3. x = −3 4. A g függvény grafikonjának betűjele: B. A zérushely: ( x =) − 1. 5. 15 féle lehetőség van. 6. Helyes ábra. A z u B x y v w 1 pont A ∩ B = {x; y} Összesen: 1 pont 2 pont Összesen: Ez a két pont megadható, ha képlet nélkül 1 pont felírja: 50 000 ⋅1,12 . Ha jól kiszámolja az 1

év múlva aktuális értéket, és 1 pont aztán rosszul folytatja, kapjon 1 pontot! 3 pont 7. t 2 = t0 ⋅ q 2 1 pont t2 = 50 000 ⋅1,12 A befektetési jegy értéke: 60 500 Ft. írásbeli vizsga 1111 3 / 13 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 8. Összesen: Egy vagy két jó érték megadása 1 pont. 2 pont Ha hibás y érték is szerepel a megoldásban, nem jár pont. 2 pont Összesen: 1 pont 1 pont 2 pont y lehetséges értékei: 1; 4; 7. 9. A maximumhely: 6. A maximum értéke: 3. 10. Az ábrán pontosan egy harmadfokú, pontosan három másodfokú, pontosan egy elsőfokú pont van. 1 pont 1 pont 1 pont Helyes ábra esetén jár mind a 3 pont. Összesen: 3 pont Összesen: Ez a 2 pont akkor is jár, ha a függvénytáblázat 2 pont megfelelő képleteit jól alkalmazza. 1 pont 1 pont 4 pont Összesen: 1 pont 1 pont 1 pont 3 pont 11. (x − 2 )2 + ( y + 1)2 = 5 A középpont az O(2; –1) pont, a sugár 5 . 12. A:

hamis. B: hamis. C: igaz. írásbeli vizsga 1111 4 / 13 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató II. A 13. a) 10112=11, Pali állítása hamis. Összesen: 2 pont 1 pont 3 pont Összesen: 1 pont 1 pont 2 pont 13. b) 10 = a1 + 36 a1 = −26 13. c) első megoldás − 26 + (n − 1) ⋅ 4 ≥ 100 2 pont n ≥ 32,5 ; tehát 33-dik tagja a sorozatnak. A keresett tag a33 = 102 . Ha a reláció hiányos, 1 pont jár. 1 pont Összesen: 1 pont 4 pont 13. c) második megoldás A sorozatban a 4-gyel osztva kettő maradékot adó számokról van szó. Ezek közül a legkisebb 3-jegyű szám a 102. 10 + k .4 = 102 ; k = 23 Tehát a sorozat 10 + 23 = 33-dik tagjáról van szó. Összesen: 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 4 pont 13. d) Az első megfelelő tag a10 = 10 , az utolsó a32 = 98 , ezért a halmaznak 22+1=23 eleme van. Összesen: írásbeli vizsga 1111 5 / 13 2 pont 1 pont 3 pont 2012. május 8 Matematika középszint

Javítási-értékelési útmutató 14. a) p= Ha ez a gondolat csak 1 pont a megoldás során derül ki, ez a pont jár. k ⎛ kedvező esetek száma ⎞ ⎜= ⎟ n⎝ összes eset száma ⎠ 1978 ≈ 12320 ≈ 0,16 p= 1 pont Összesen: 1 pont ≈16,06% 3 pont 14. b) 18 és 60 év közötti 18 év alatti 60 év feletti A 60 év feletti ápoltak száma: 1978 − 138 − 633 = 1207 fő. A 18 év alatti 138 fő a kördiagramon megfelel 138 ⋅ 360° ≈ 25o -os középponti szögnek. 1978 A 18 és 60 év közötti 633 fő a kördiagramon ⎛ 633 ⎞ ⋅ 360° ≈ ⎟115° -os középponti megfelel ⎜ ⎝ 1978 ⎠ szögnek. A 60 év feletti 1207 fő a kördiagramon megfelel ⎛ 1207 ⎞ ⋅ 360° ≈ ⎟ 220° -os középponti szögnek. ⎜ ⎝ 1978 ⎠ A kördiagram helyes elkészítése (hozzávetőleges szögekkel, a körcikkek címkézésével). Összesen: 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont Ha a középponti szög kiszámításának helyes módszere egyszer sem jelenik meg,

akkor jó adatok esetén is csak 1 pont jár. Ha csak egy számítást részletez, de mindhárom adata jó, 2 pontot kapjon. 1 pont 5 pont 14. c) A Nekeresden élők között 12320⋅ 0,24 = = 2956,8(≈ 2957) fő 60 év feletti. A 60 év feletti és ápolásban részesülők száma 1207, 1207 (≈ 0,41) . így a keresett valószínűség: 2957 A valószínűség 0,41 − 0,16 = 0,25 -dal emelkedett. Összesen: írásbeli vizsga 1111 6 / 13 1 pont 1 pont 2956 is elfogadható. 1 pont 1 pont 4 pont 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 15. Az ABP háromszögben koszinusz-tételt alkalmazva: BP2 = 6202 + 7202 − 2 ⋅ 620 ⋅ 720 ⋅ cos53° , BP ≈ 605 Az AQB szög 19º. Az ABQ háromszögben szinusz-tételt (kétszer) alkalmazva: 620 AQ = , sin 19° sin 108° AQ ≈ 1811 PQ ≈ 1811 − 720 = 1091 620 BQ = , sin 19° sin 53° BQ ≈ 1521 A távolságok méterre kerekítve: PQ = 1091 m, BQ = 1521 m és BP = 605 m. Ha ez a gondolat

csak 1 pont a megoldás során derül ki, ez a pont jár. 1 pont 2 pont* 1 pont Ha ez a gondolat csak 1 pont a megoldás során derül ki, ez a pont jár. 1 pont 1 pont* 1 pont* 1 pont 1 pont* Ez a pont a válaszul 1 pont* megadott mértékegységért (m) jár. Összesen: 12 pont Amennyiben számítása közben, nyomon követhetően szabályos kerekítéseket alkalmaz a *-gal megjelölt pontokat akkor is megkaphatja, ha eredményei a megadottól legfeljebb 3 méterrel eltérnek. írásbeli vizsga 1111 7 / 13 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató II. B 16. a) (Az A csapatnál mind a 7 játékos 6 nemzetbelijével mérkőzik, így a mérkőzéseket duplán számoltuk.) 7⋅6 = 21 mérkőzés zajlott. Az A csapatnál 2 (A B csapatnak n tagja van,) n ⋅ (n − 1) = 55 . a lejátszott mérkőzések száma 2 Az n2 − n − 110 = 0 egyenlet pozitív gyöke 11 (a gyökök − 10 és 11). A B csapatnak 11 tagja van. Összesen: 1 pont 2 pont 1

pont 2 pont 1 pont 7 pont 16. b) Az A csapat mind a 6 játékosa 8 mérkőzést játszik. Összesen 6·8 = 48 mérkőzés zajlott a második héten. Összesen: 1 pont 2 pont 3 pont 16. c) (A klasszikus valószínűségi modell alkalmazható.) kedvező esetek száma p= összes esetek száma ⎛18 ⎞ A nyerteseket ⎜⎜ ⎟⎟ -féleképpen választhatjuk ki. ⎝4⎠ Az A csapat 7 tagjából 1-et 7-féleképpen, ⎛11⎞ a B csapat 11 tagjából 3-at ⎜⎜ ⎟⎟ -féleképpen ⎝3⎠ választhatunk ki. (A két kiválasztás egymástól független.) ⎛11⎞ A kedvező esetek száma: 7 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝3⎠ ⎛11⎞ 7 ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ 3 A keresett valószínűség p = ⎝ ⎠ = ⎛18 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝4⎠ Ha ez a gondolat csak 1 pont a megoldás során derül ki, ez a pont jár. 1 pont 1 pont 1 pont Ezek a pontok akkor is járnak, ha csak a kedvező esetek számát írja fel helyesen. 1 pont 1 pont ⎛ 7 ⋅165 ⎞ ⎜= ⎟≈ ⎝ 3060 ⎠ ≈ 0,377 ≈ 38%.

Összesen: írásbeli vizsga 1111 8 / 13 A helyes valószínűség 1 pont bármely alakban megadva 1 pontot ér. 7 pont 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 17. a) Ez a pont akkor is jár, ha a végén behelyettesítés 1 pont alapján szűri ki a hamis gyököt. 2 x − 1 > 0 és 2 x − 3 > 0 , tehát x > 1,5 A logaritmus azonosságai alapján: lg(2 x − 1)(2 x − 3) = lg 8 (A logaritmusfüggvény kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés,) ezért (2 x − 1)(2 x − 3) = 8 , azaz 4 x 2 − 8x − 5 = 0 . Ennek gyökei: 5 1 x1 = és x 2 = − . 2 2 A értelmezési tartományba csak x1 = 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 5 tartozik bele, 2 1 pont és ez valóban megoldás. Összesen: 6 pont 17. b) Az egyenlet cos x -re kapott gyökei megegyeznek az a)-beli másodfokú egyenlet gyökeivel. 5 1 ( (cos x )1 = és (cos x )2 = − ) 2 2 5 A cos x = nem ad megoldást. 2 1 cos x = − -hez tartozó egyetlen szög, ami egy 2 2π

háromszög szöge lehet x = 120o = 3 és ez valóban megoldás. Összesen: 2 pont 1 pont Az x szög bármelyik helyes megadásáért jár a pont. 1 pont Nem jár a pont, ha a vizsgázó több szöget is megad. 4 pont 17. c) első megoldás Bevezetjük a y = z új változót, így 0 ≤ z ad csak megoldást. A 4 z 2 − 8z − 5 = 0 másodfokú egyenlet egyetlen nem 5 negatív gyöke z = . 2 25 Így az eredeti egyenlet megoldása y = , 4 és ez valóban megoldás. Összesen: írásbeli vizsga 1111 9 / 13 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 4 pont 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 17. c) második megoldás Mindkét oldalt négyzetre emeljük: 16 y 2 − 40 y + 25 = 64 y 1 pont A 16 y 2 − 104 y + 25 = 0 másodfokú egyenlet 25 1 gyökei y1 = , y2 = 4 4 Behelyettesítés vagy az eredeti egyenletben a két oldal értékkészletének a vizsgálata mutatja, hogy csak az első gyök a megoldása az egyenletnek. Összesen: 2 pont 1 pont 4

pont 17. d) A középső számot rögzítjük. A többi számnak 6!-féle sorrendje lehetséges, tehát a hét számnak 720-féle kívánt leírási sorrendje van. Összesen: írásbeli vizsga 1111 10 / 13 Ha ez a gondolat csak 1 pont a megoldás során derül ki, ez a pont jár. 1 pont 1 pont 3 pont 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 18. a) A E F 3m 3m B 3m 8m D G C 3m A feladat megértése. A tartály alsó részének felülete (egy r = 3 méter sugarú félgömb felszíne): 4r 2π A 1= = 2r 2π = 2 ⋅ 32 ⋅ π = 18π (≈ 56,5) 2 A tartály középső részének felülete (egy r = 3 méter sugarú, m = 8 méter magas körhenger palástjának területe): A 2 = 2rπ m = 2 ⋅ 3 ⋅ π ⋅ 8 = 48π (≈ 150,8) A tartály felső részének felülete (egy r = 3 méter sugarú, m = 3 méter magas forgáskúp palástjának területe): A kúp alkotója: AB = a = 2r A 3 = raπ = 3 ⋅ 3 2 ⋅ π = 9 2 π (≈ 40 ) A belső

felület: A = 18π + 48π + 9 2π = 66 + 9 2 π ≈ 247 ,33 m2 azaz mivel a feladat értelmezése szerint itt felfelé kell kerekíteni, hogy elég legyen az anyag, 248 m2 a helyes válasz. Összesen: ( írásbeli vizsga 1111 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont Ha csak a matematikai kerekítést végezte el, úgy a 247 m2 esetén is jár ez a pont. ) 11 / 13 1 pont 6 pont 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató 18. b) A A 1. ábra F 0,9 m 3m 3m E B I E 2,1 m r’ 0,9 m F H B 3m 8m A 2. ábra G D C I 3m E A tartály magassága: (3 + 8 + 3 = ) 14 méter. A magasság 85%-a: (14 ⋅ 0,85 = ) 11,9 méter, ami azt jelenti, hogy a félgömb és a henger tele van, valamint a kúpban 0,9 méter magasan áll a víz. A tartály alsó részének térfogata (egy r = 3 méter sugarú félgömb térfogata): 1 4r 3π ⎛ 2r 3π ⎞ ⎜= ⎟= V 1= ⋅ 2 3 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ 2 ⋅ 33 ⋅ π (= 18π ≈ 56,5) . 3 A tartály középső

részének térfogata (egy r = 3 méter sugarú, m = 8 méter magas körhenger térfogata): V 2= r 2π m = = = 32 ⋅ π ⋅ 8 (= 72π ≈ 226,2) . A tartály felső részének térfogata (egy csonkakúp térfogata). A csonkakúp fedőkörének sugarát kiszámolhatjuk a párhuzamos szelőszakaszok tételével: (1. ábra) ⎛ IH ⎞ r 2,1 ⎛ AI ⎞ =⎟ = ⎜ ⎜= ⎟, 3 ⎝ AF ⎠ ⎝ FB ⎠ 3 r = 2,1 . V 3= = π π 3 ( ) m r 2 + r 2 + rr = ( 3m F r’ H 0,9 m J 0,9 mB 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont 1 pont* 1 pont* 1 pont ) ⋅ 0,9 ⋅ 32 + 2,12 + 3 ⋅ 2,1 = (5,913π ≈ 18,6) . 1 pont 3 A tartályban lévő víz térfogata: 1 pont V = 18π + 72π + 5,913π = 95,913 π ≈ 301 m3. Összesen: 11 pont írásbeli vizsga 1111 12 / 13 2012. május 8 Matematika középszint Javítási-értékelési útmutató A másik megoldási mód a *-gal jelölt két pontra. A tartály felső részének térfogata (egy csonkakúp térfogata). A csonkakúp

fedőkörének sugarát kiszámolhatjuk észrevéve, hogy az AFB∆ és a HJB∆ is egyenlőszárú derékszögű háromszög, (2. ábra) így r = (FB − JB = 3 − 0,9 = ) 2,1 . írásbeli vizsga 1111 13 / 13 1 pont* 1 pont* 2012. május 8