Physics | Mechanics, Quantum mechanics » Agárdy-Lublóy - Mechanika II, Szilárdságtan

Agárdy Gyula – Lublóy László MECHANIKA II Szilárdságtan Készült a HEFOP 3.31-P-2004-09-0102/10 pályázat támogatásával Szerző: Agárdy Gyula egyetemi adjunktus dr. Lublóy László főiskolai docens Lektor: dr. Meskó András főiskolai adjunktus Szerzők, 2006 Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék A dokumentum használata Vissza ◄ 3 ► A dokumentum használata Mozgás a dokumentumban A dokumentumban való mozgáshoz a Windows és az Adobe Reader megszokott elemeit és módszereit használhatjuk. Minden lap tetején és alján egy navigációs sor található, itt a megfelelő hivatkozásra kattintva ugorhatunk a használati útmutatóra, a tartalomjegyzékre, valamint a tárgymutatóra. A ◄ és a ► nyilakkal az előző és a következő oldalra léphetünk át, míg a Vissza mező az utoljára megnézett oldalra visz vissza bennünket. Pozícionálás a könyvjelzőablak segítségével A bal oldali könyvjelző ablakban

tartalomjegyzékfa található, amelynek bejegyzéseire kattintva az adott fejezet/alfejezet első oldalára jutunk. Az aktuális pozíciónkat a tartalomjegyzékfában kiemelt bejegyzés mutatja. A tartalomjegyzék használata Ugrás megadott helyre a tartalomjegyzék segítségével Kattintsunk a tartalomjegyzék megfelelő pontjára, ezzel az adott fejezet első oldalára jutunk. Keresés a szövegben A dokumentumban való kereséshez használjuk megszokott módon a Szerkesztés menü Keresés parancsát. Az Adobe Reader az adott pozíciótól kezdve keres a szövegben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 3 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék Vissza ◄ 4 ► Tartalomjegyzék 1. Keresztmetszeti jellemzők 6 1.1 A keresztmetszet fogalma 6 1.2 A keresztmetszeti terület 6 1.3 A súlypont – súlyvonal - statikai nyomaték 8 1.4 A másodrendű nyomatékok 10 1.5 A keresztmetszeti jellemzők összefoglalása

32 2. Tartószerkezetek megfelelősége 35 3. A feszültségek 45 4. Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei 53 4.1 Alapfeltevések53 4.2 Feszültségek egyszerű igénybevételekből 58 4.3 Tiszta hajlítás 68 4.4 A hajlítással egyidejűleg működő nyírás 75 4.5 Ferde hajlítás91 4.6 Külpontos nyomás (húzás) 95 4.7 Tiszta csavarás 107 4.8 A képlékeny teherbírási többlet 115 4.9 Összetett igénybevételi állapot121 5. Általános szilárdságtan122 5.1 A általános keresztmetszeti feszültségek 122 5.2 Egy pont feszültségi állapota124 5.3 Síkbeli feszültségtranszformáció128 5.4 A főfeszültségek 130 5.5 A feszültségi főirányok meghatározása132 5.6 A feszültségi MOHR-kör133 5.7 Főfeszültségi ábrák 138 5.8 A főfeszültségi trajektóriák140 5.9 A feszültségi állapot alkalmazása 141 6. Tartószerkezetek alakváltozása143 6.1 Az alakváltozások szerepe a mérnöki szerkezetek vizsgálatában143 6.2 A kis elmozdulások144 6.3

Síkbeli láncolatok elmozdulásai151 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 4 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék Vissza ◄ 5 ► 6.4 Tartók alakváltozásának meghatározása rúdlánc-modell segítségével .175 6.5 Tartók alakváltozásának meghatározása munkaegyenletek segítségével .200 6.6 Egyéb alakváltozásszámítási eljárások226 7. Stabilitásvizsgálat 230 7.1 A stabilitás fogalma230 7.2 A másodrendű hatások a stabilitásvizsgálatokban 231 7.3 A jellemző stabilitási állapotok234 7.4 Központosan nyomott rúd síkbeli kihajlása237 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 5 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 6 ► 1. Keresztmetszeti jellemzők 1.1 A keresztmetszet fogalma Rúdszerkezeteinket a tengelyvonal mentén, annak függvényeként értelmezett belső erők, igénybevételek alapján

kell méreteznünk. A méretezés valójában a tengelyre merőleges állású metszet, az ún keresztmetszet megfelelő alakjának és méretének kiválasztása az anyagi megfelelőségi kritériumok kielégítésével. Az igénybevételek ismeretében a keresztmetszet alakja, mérete határozza meg a keresztmetszetben, mint kapcsolatban az anyagra jutó fajlagos belső erő, a mechanikai feszültség értékét. A feszültségszámítás tárgyalásához szükségünk van a keresztmetszetek, mint síkidomok tulajdonságainak, jellemzőinek feltárására, megismerésére. Az alábbiakban részben már ismert, részben új, eddig nem használt keresztmetszeti jellemzőkkel foglalkozunk, amelyekre a keresztmetszet pontjaiban ébredő feszültségek meghatározása során szükségünk lesz. A keresztmetszeti jellemzők meghatározására az elemi geometriai módszerek helyett egy (esetenként kissé mesterkéltnek tűnő, de) általános, és hatékony matematikai eljárást

ismertetünk. A gondolatmenetet a terület meghatározása kapcsán mutatjuk be, de a többi jellemző előállítása során is alkalmazzuk. 1.2 A keresztmetszeti terület A keresztmetszeti terület a legegyszerűbb jellemző, amit a síkidom ismert típusú részekre bontásával (vagy éppen kiegészítésével) mindenki tud értelmezni, és mindenki meg is tud határozni. A későbbiekben alkalmazandó ma- Δx tematikai módszerek előkészítése- Δy képpen most a keresztmetszeti terület meghatározását is kissé szokatlan eljárással ismertetjük. Készítsünk egy egyenletes osztású négyzet (téglalap) hálózatot, és jelöljük meg azokat az elemeket, amelyek teljes egészükben a vizsgálandó síkidom kontúrvonalán belül vannak. Ezeket összegezve a síkidom területének alsó korlátját kapjuk meg A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 6 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza

◄ 7 ► Vissza ◄ 7 ► Δx A következő lépésben ugyan- Δy ezen a hálózaton azokat az elemeket jelöljük meg, amelyek teljes egészükben vagy részben a vizsgálandó síkidom kontúrvonalán belül vannak. Ezeket összegezve a síkidom területének felső korlátját kapjuk meg. A belülről közelítő és a kívülről közelítő lefedettséget egy ábrába rajzolva láthatjuk, ez az eljárás meglehetősen pontatlan, az alsó és a felső korlát között nagy a távolság. Ha a pontosságot e módszer alkalmazása mellett kívánjuk növelni, sűrűbb, finomabb felosztásra lesz szükség. A háló felosztását finomítva látható, hogy a kék színű, minoráns és a piros színű, majoráns terület mennyivel jobban közelíti a valódi terület nagyságát. A felosztás minden határon túli finomításával a minoráns és a majoráns terület határértéke megegyezik és pontosan adja meg a görbe vonallal határolt terület nagyságát. A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 8 ► A terület meghatározása tehát történhet a síkidomBA ill. a síkidom KÖRÉ rajzolható, ismert területű téglalapok területösszegének meghatározásával. Így a tényleges terület alsó ill felső korlátja állítható elő Ha az elemi téglalap területét minden határon túl csökkentjük, határátmenetben a síkidom TÉNYLEGES területét kapjuk meg. Amin = ∑ ΔA A = lim ∑ ΔA Amax = a teljes kék felületre Δx 0; Δy 0 A = a teljes piros felületre ∑ ΔA a teljes felületre lim Δx 0;Δy 0 ∑ ΔA a teljes felületre ∫ dA = a teljes felületre 1.3 A súlypont – súlyvonal - statikai nyomaték A fizikában egy test súlypontjának azt a pontot tekintettük, ahol a test súlyát (valójában minden egyes pontjára ható, térfogaton megoszló gravitációs

terhét) egyetlen eredő erőként jeleníthetjük meg. A súlyponton átmenő egyeneseket a test súlyvonalainak neveztük Egy síkidom esetében a súlypont ill. a súlyvonalak meghatározását a fenti fizikai szemlélettel úgy végezhetjük el, hogy a síkidomot egyenletes v vastagságot és ρ sűrűséget feltételezve vízszintes síkú (virtuális) testként kezeljük. Ez esetben a négyzethálós felosztás minden egyes elemére egyegy kicsiny, a síkra merőlegesen álló, a felületelem méretével arányos elemi erő működik, és ezen elemi erők eredőjének helye lesz a súlypont. Egy párhuzamos erőrendszer eredőjének helyét az erőirányra merőleges síkban felvett tengelyekre felírható nyomatéki egyenletek szolgáltatják: a dx×dy felületű idom súlya: dg=g×ρ×v×dx×dy (ahol g a gravitációs állandó) a teljes idom összegzett súlya: G=∫dg=∫(g×ρ×v×dx×dy a dx×dy felületű elem nyomatéka az y tengelyre: dMy=x×g×ρ×v×dx×dy a dx×dy

felületű elem nyomatéka az x tengelyre: dMx=y×g×ρ×v×dx×dy a teljes idom nyomatéka az y tengelyre: My=∫dMy=∫(x×g×ρ×v×dx×dy) a teljes idom nyomatéka az x tengelyre: Mx=∫dMx=∫(y×g×ρ×v×dx×dy) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 8 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza ► 9 y Az eredő erő xy síkkal képzett döféspontjának x koordinátáját, azaz a súlypont x koordinátáját az y tengelyre számított összegzett nyomaték és a teljes eredő hányadosa szolgáltatja. Az így kapott xS tekinthető az y tengellyel párhuzamos súlyvonal függvényének is. x x dy dx dx×dy=dA y ( y) A M xS = = R ∑ ΔM ∫ ( x × g × ρ × v × dx × dy) ∫ ( x × dx × dy) ( y) i ( A) ∑ ΔR = ( A) ∫ ( g × ρ × v × dx × dy) i ( A) = = ( A) ∫ (dx × dy) ( A) S A, y A ( A) Az egyszerűsítések után a tört nevezőjében a síkidom

területe marad, a számláló pedig egy nyomaték-jellegű mennyiség, amit a statikai nyomatéknak nevezünk. A súlypont yS koordinátája hasonló módon állítható elő. ( x) A M yS = R ∑ ΔM = ∑ ΔR ( x) i ( A) = i ( A) S A, x = S A, y = lim Δx 0; Δy 0 lim ∫ ( y × g × ρ × v × dx × dy) ∫ ( y × dx × dy) ( A) Δx0;Δy 0 ∫ ( g × ρ × v × dx × dy) = ( A) ( A) ∫ (dx × dy) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék A ∫ ydA a teljes felületre ∑ ΔA × x = a teljes felületre S A, x ( A) ∑ ΔA × y = a teljes felületre = ∫ xdA a teljes felületre Vissza ◄ 9 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ ► 10 A súlypont meghatározásának matematikai megközelítésében a síkidom pontjaihoz (a négyzethálós felosztásban a háló csomópontjaihoz) az elemi felületek nagyságait rendeljük jellemző mennyiségként, és a

súlypont koordinátáit a ponthalmaz koordinátáinak súlyozott átlagaként értelmezzük. Ez a megoldás végeredményben a fentiekkel azonos kifejezést szolgáltat, de nem domborítja ki a statikai nyomaték nyomaték-jellegét. Ugyanakkor a súlyozott átlagként értelmezett súlypont nemcsak síkidomok, hanem tetszőleges alakú felületek, testek súlypontjának meghatározására alkalmas, csak a pontokhoz az aktuális jellemző mennyiségeket (hosszúságelem, felületelem, térfogatelem) kell rendelnünk. Ha tehát az összetett vonal-felület-térfogat elemeit (és azok elemi súlypontjait) meg tudjuk határozni, akkor a súlypont koordinátáit a jellemző mennyiségekkel súlyozott elemi súlypontok súlyozott átlagaként kaphatjuk. Ennek megfelelően az alábbi összefüggésben az m súlyszám bármilyen súlyozó menynyiséget jelenthet xS x ×m ∑ = ∑m i i i yS = ∑y ×m ∑m i i i zS = ∑z ×m ∑m i i i 1.4 A másodrendű nyomatékok 1.41 A

másodrendű nyomatékok definíciója-előállítása A statikai nyomatékot a síkidom elemeiből a tengelyektől mért távolságok első hatványaival szorozva állítottuk elő. Ezeket a mennyiségeket öszszevont néven a felületelemek elsőrendű nyomatékainak nevezhetjük Az elsőrendű nyomatékok előjeles mennyiségek, így bizonyos esetekben (pl. a súlyponti tengelyekre felírt statikai nyomatékokban) a síkidom adatai „elvesznek”. Ha olyan jellemzőt keresünk, amely a tengelyválasztástól függetlenül „őrzi” a síkidom adatait, és nemcsak a felületnagyságot, hanem a felületelemeknek a tengelyekhez viszonyított helyzetét is megadja, akkor a felületelemeket a tengelyektől mért távolságok második hatványával kell szoroznunk. Az így előállított mennyiségeket a síkidomok másodrendű nyomatékainak nevezzük. A tengelytől mért távolság négyzetével történő szorzás a fizikában a forgómozgás dinamikai egyenletében a test

(forgási) tehetetlenségét kifejező inercianyomatékban szerepelt. A síkidomainkból ennek mintájára A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 10 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 11 ► készített másodrendű nyomatékokat ezért a Mechanikában is tehetetlenségi (vagy inercia-) nyomatékoknak nevezzük. A tehetetlenségi nyomatékokat mindig egy tengelyre (x, y, ξ, η, .) számítjuk A síkból kitekintve értelmezhető a sík normálisára, a z tengelyre vonatkozó ún. poláris tehetetlenségi nyomaték is, amiben a négyzetesen szereplő távolságot a z tengely döféspontjától (a síkbeli koordinátarendszer origójától) mérjük. Az r2=x2+y2 összefüggés alapján pedig általánosan igaz, hogy J○=Jx+Jy Jx = JD = = lim Δx 0 ;Δy 0 ∫ (x 2 ∑ ∑ ( A) + y 2 ) dA = ∫x 2 ( A) lim dA + dA 2 dA a teljes felületre Δx 0; Δy 0 ∫y 2 ∑

(x 2 + y 2 )ΔA = ( A) dA = ( A) + y 2 )dA = 2 ∫x x 2ΔA = ( A) 2 ( A) ΔA = 2 a teljes felületre a teljes felületre 2 ∫y y 2ΔA = a teljes felületre ∑r ∫ r dA = ∫ ( x Δy y ( A) JD = Δx x Δx×Δy=ΔA lim Δx 0;Δy 0 y x lim Δx 0 ;Δy 0 Jy = r ∫r 2 dA ( A) ∫ x dA + ∫ y dA = J 2 ( A) 2 y + Jx ( A) Az elemi felületek tengelytávjainak másodrendű kifejezései nemcsak az x ill. az y tengelytávok négyzetei lehetnek, hanem e két tengelytáv szorzata is. Az ily módon definiált másodrendű nyomaték neve centrifugális (vagy deviációs) nyomaték. C xy = ∑ xy Δ A = lim Δx 0;Δy 0 a teljes felületre A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ∫ xydA a teljes felületre Vissza ◄ 11 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 12 ► 1.42 A transzlációs tengelytranszformáció (STEINER-tétel) Vizsgáljuk

meg, hogyan változnak egy síkidom másodrendű nyomatékai, ha a tengelykeresztet a súlypontból (elforgatás nélkül) elmozdítjuk. A súlyponti x és a vele párhuzamos (idegen) x’ tengelyek y irányú távolságát cx, a súlyponti y és a vele párhuzamos (idegen) y’ tengelyek x irányú távolságát cy jelöli. x’ y’ dA y cy J x = ∫ y 2 dA J y = ∫ x 2 dA J y = ∫ ( x) dA = ∫ (x + c y ) dA J x = ∫ ( y ) dA = ∫ ( y + c x ) dA 2 2 ( 2 2 ) J x = ∫ y 2 + 2c x y + c x dA 2 x x x’ y’ y cx ( ) ( ) = ∫ ( y )dA + 2c ∫ ( y )dA + c ∫ dA ( ) J y = ∫ x 2 + 2c y y + c y dA 2 ( ) ( ) = ∫ (x )dA + 2c ∫ ( x )dA + c ∫ dA J x = ∫ y 2 dA + ∫ (2cx y )dA + ∫ c x dA J y = ∫ x 2 dA + ∫ (2c y y )dA + ∫ c y 2 dA 2 J x 2 2 x x J y 2 2 y y J x = J x + 2c x S x + c x A ha x súlyponti tengely, akkor az erre felírt statikai nyomaték mindig zérus!! J y = J y + 2c y S y + c y A ha y súlyponti tengely, akkor az

erre felírt statikai nyomaték mindig zérus!! J x = J x + cx A J y = J y + cy A 2 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék 2 2 Vissza ◄ 12 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 13 ► A definíció szerinti összefüggés a centrifugális nyomatékra is felírható: C xy = ∫ xydA C x y = ∫ ( x y )dA = ∫ (x + c y )( y + c x )dA C x y = ∫ (xy + c y y + c x x + c x c y )dA C x y = ∫ (xy )dA + ∫ (c y y )dA + ∫ (c x x )dA + ∫ (c x c y )dA C x y = ∫ ( xy )dA + c y ∫ ydA + c x ∫ xdA + c x c y ∫ dA C x y = C xy + c y S x + c x S y + c x c y A ha x és y súlyponti tengely, akkor az Sx és az Sy mindig zérus!! C x y = C xy + c x c y A A súlyponti tengelyekkel párhuzamos, idegen tengelyekre vonatkozó másodrendű nyomatékok a súlyponti tengelyekre felírt értékekből a síkidom területének és a megfelelő irányú tengelytávolságok

négyzetének-szorzatának összegeként kapható. A levezetésben felhasználtuk, hogy a kiindulási tengely súlyponti volt, ezért a STEINER-tétel alkalmazhatóságának feltétele, hogy a két tengely egyikének súlypontinak kell lennie. (Idegen tengelyről a súlypontira az összefüggések átrendezésével juthatunk) Az inercianyomatékok áttérési képletében a tengelytávolság a négyzeten szerepel, azaz bármilyen irányban mozdítjuk is el a tengelyt a súlypontból a tehetetlenségi nyomaték az új tengelyre mindenképpen nagyobb lesz a súlyponti tengelyre érvényes értéknél. Másként fogalmazva: egymással párhuzamos tengelyekre felírt tehetetlenségi nyomatékok közül mindig a súlyponti tengely adja a minimumot J x’ S x cx’’ y Jx’ cx’ Jx Jx’’ x’’ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 13 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 14 ► 1.43

Egyszerű síkidomok másodrendű nyomatékai A téglalap tehetetlenségi nyomatéka az oldalegyenesével párhuzamos súlyponti tengelyre Téglalap esetében a kettősintegrál helyett az állandó szélesség miatt elegendő csak az x tengelyre merőlegesen integrálni, azaz a dA felületelemet egy a szélességű és dy magasságú lamellaként vehetjük fel. b/2 dx a/2 y a/2 y dA = a teljes felületen x ⎤ ⎡ 2 y dx ⎢ ∫ ∫ ⎥⎦dy −b / 2 ⎣ − a / 2 +b / 2 ⎡ 2 +a / 2 ⎤ +a / 2 J x = ∫ ⎢ y ∫ dx ⎥dy = ∫ y 2 [ x] dy −a / 2 −b / 2 ⎣ −a / 2 ⎦ −b / 2 +b / 2 dy b/2 minthogy y nem függvénye x-nek, így x értéke az integráljel elé kiemelhető +b / 2 Jx = ∫y Jx = +b / 2 +a / 2 2 +b / 2 +a / 2 ∫ y x dy = a ∫ y dy 2 2 −a / 2 −b / 2 −b / 2 +b / 2 +b / 2 a ⎛ b 3 a − b3 3 ⎜ J x = a ∫ y dy = [ y ] ⎜ 8 −( 8 −b / 2 3 3 ⎝ −b / 2 2 ⎞ ⎟⎟ ⎠ ab 3 Jx = 12 A téglalap tehetetlenségi

nyomatéka az oldalegyenesével megegyező tengelyre A téglalap oldalegyenesére a tehetetlenségi nyomaték a STEINER tétel alkalmazásával állítható elő. 2 J x = J x + Ac x 2 ab 3 ab 3 ab 3 ⎛b⎞ + ab⎜ ⎟ = J x = + = 12 12 4 ⎝2⎠ b/2 x J x = b/2 a/2 y a/2 x’ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ab 3 3ab 3 4ab 3 ab 3 + = = 12 12 12 3 ab 3 J x = 3 Vissza ◄ 14 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 15 ► A derékszögű háromszög tehetetlenségi nyomatéka a befogóval párhuzamos, a szemközti csúcson átmenő tengelyre A háromszög esetében a magasság mentén a szélesség lineárisan változik, így a kettősintegrálás (viszonylag) egyszerűen végrehajtható. x dA=dx×dy x’’ J = x a teljes felületen x=(a/m)×y” m J a = + (a/m) × y 0 2 ]dy ⎡ ∫ ⎢⎣ (y ) m = 0 [( ) ] = 0 ∫ [(y ) [x ] m x x 2 0 0 ⎡ ⎢ y ⎣

∫ ( ) m y’’ J ⎡ ⎤ ( ) ( ) y dA y dx = ⎢ ⎥dy ∫ ∫⎢ ∫ ⎣ ⎦⎥ m +( a / m)× y 2 2 a a ⎤ y ⎥ dy = m m ⎦ 2 0 ⎤ dx ⎥ dy ⎦ + ( a / m )× y ∫ 0 ∫ [(y ) ]d y m 3 0 am 3 J x = 4 m 4 a ⎡ y ⎤ a m 4 am 3 = J x = ⎢ ⎥ = m ⎣⎢ 4 ⎥⎦ m 4 4 0 Az általános háromszög tehetetlenségi nyomatéka az egyik oldallal párhuzamos, a szemközti csúcson átmenő tengelyre A derékszögű háromszögekben az alappal párhuzamos, a szemközti csúcson átmenő tengelyre felírt tehetetlenségi nyomatékban az alap mérete csak első fokon szerepel, így az összefüggés a fenti, két derékszögű háromszögből összeállított általános háromszögre is igaz. x’’ am3 J x = 4 m y’’ a=a1+a2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 15 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 16 ► Az általános háromszög tehetetlenségi

nyomatéka az egyik oldalegyenesére, ill. a vele párhuzamos súlyponti tengelyre A csúcson átmenő és a szemközti oldallal párhuzamos tengelyre ismerjük a háromszög tehetetlenségi nyomatékát, innen pedig a STEINER-tétel alkalmazásával a párhuzamos, súlyponti tengelyre vonatkozó inercia meghatározható. Az oldalélre vonatkozó inercia meghatározása a súlyponti értékből, a tengelytranszlációs összefüggés ismételt alkalmazásával lehetséges. cx’’=2/3m m x’’ =1/3m ccx’x’=1/3m x’ a=a1+a2 y’’ J x = J x + Acx ⇒ J x = J x − Acx 2 2 2 am 3 am ⎛ 2 ⎞ am 3 4am 3 Jx = − − ⎜ m⎟ = 4 2 ⎝3 ⎠ 4 18 Jx = 3 3 3 am 9am 8am − = 36 36 36 J x = J x + Ac x am 3 Jx = 36 2 2 am 3 am ⎛ 1 ⎞ am 3 am 3 = − m + ⎟ ⎜ 36 2 ⎝3 ⎠ 36 18 3 3 3 3 am 2am am 3am + = = J x = 36 36 36 12 J x = A dokumentum használata | Tartalomjegyzék am 3 J x = 12 Vissza ◄ 16 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők

A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 17 ► Az általános háromszög centrifugális nyomatéka A háromszög esetében (általában) nincs szimmetria, így az alkalmazott tengelykeresztre a centrifugális nyomaték nem lesz zérus. A centrifugális nyomaték meghatározásához a síkidomot szimmetriatengellyel, mégpedig az alkalmazott tengelyeinkkel párhuzamos szimmetriatengellyel rendelkező elemekre kell bontanunk, és a szimmetrikus elemek transzlációs (STEINER-)tagjainak összege szolgáltatja a teljes síkidom centrifugális nyomatékát. Egy általános háromszög mindig felbontható két derékszögű háromszögre, ezek pedig mindig felbonthatók két-két egyenlőszárű, szimmetrikus háromszögre. xIII xII yII yI x yIII xI y xIV yIV A centrifugális nyomaték általános (transzlációs) összefüggése: ( C xy = ∑ Ci , xi yi + Ai × c x ,i × c y ,i ) ha az elemi síkidomok szimmetrikusak, akkor a saját súlyponti

tengelykeresztre vonatkozó centrifugális nyomatékok értéke zérus (lásd még később, a keresztmetszeti jellemzők szimmetriatulajdonságait): ( C xy = ∑ Ci , xi yi + Ai × c x ,i × c y ,i A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ) ◄ 17 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 18 ► A kör középpontjára vonatkozó poláris inercianyomaték A levezetést célszerűen polárkoordinátarendszerben végezzük: R ⎡ 2π 2 ⎤ ⎡ 3 2π ⎤ J D = ∫ ⎢ ∫ r × rdφ ⎥dr = ∫ ⎢r ∫ dφ ⎥dr = 0 ⎣0 0 ⎣ 0 ⎦ ⎦ R R R ⎡r4 ⎤ = ∫ r × 2π dr = 2π ∫ r dr = 2π ⎢ ⎥ ⎣ 44 ⎦ 0 0 0 4 4 φ πR πR πR = Jx + Jy = + JD = 2 4 4 R r dA=dr×rdφ dr rdφ dφ [ 3 ] R [ ] 3 A kör esetében célszerűen poláris koordinátarendszert alkalmazva a középpontra vonatkozó poláris inercianyomatékot kaphatjuk meg. A kör szimmetriája alapján azonban ebből adódik,

hogy bármely tengelyre a tehetetlenségi nyomaték a poláris tehetetlenségi nyomaték fele lesz. x x y x y’ y’ y y x’ x’ Jxœ+Jx=Jxz; Jy’œ+Jy’=Jyz Jx’ž+Jx’Ÿ=Jxz; Jyž+JyŸ=Jyz Jx félkör = J y félkör = πR 4 8 Jy félkör = J x félkör = πR 4 8 A félkör tehetetlenségi nyomatéka a szimmetriatengelyére ill. az oldalátmérőre a teljes kör inerciájából egyszerűen származtatható VIGYÁZAT! A vesszős tengelyek NEM SÚLYPONTI TENGELYEK!!! A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 18 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 19 ► A félkör súlypontja R 2π A= 2 2/3Rcosφ R x φ A súlypont-meghatározást célszerűen polárkoordinátarendszerben végezhetjük: +π / 2 2 S y = ∫ R × cos ϕ × R × R / 2 × dϕ = 3 −π / 2 +π / 2 = 2 2 3 +π / 2 R / 2 ∫ cos ϕdϕ = ( R 3 / 2)[sin ϕ ]−π / 2 = 3 3 −π / 2 2 2 = ( R /

2) × (1 − (−1) = R dφ 3 3 3 S y (2 / 3) R y’ dA=R×Rdφ/2 4R 3 x S = A dokumentum használata | Tartalomjegyzék A = R 2π / 2 3 = 3π Vissza ◄ 19 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 20 ► Általános hatványüggvény alatti terület nagysága, súlypontja és másodrendű nyomatékai y Az origóból induló hatványfüggvények alatti terület nagysága és súlypontjának x koordinátája a befoglaló téglalap adataiból egyszerűen meghatározható: x ymax=b y y=xn x dx xmax=a [ ] 1 a n +1 a × a n ab n +1 a A = ∫ y ( x)dx = ∫ x dx = x 0= = = n +1 n +1 n +1 n +1 0 0 a a a 1 a n+2 S y = ∫ x × y ( x)dx = ∫ x n +1dx = x n+2 0 = n+2 n+2 0 0 a n+ 2 Sy n + 2 n +1 xS = = n +1 = a a A n+2 n +1 y Az origóból induló hatványfüggvények alatti terület máymax=b sodrendű nyomatékai (a koordinátatengelyekre!!!) a befogn laló téglalap adataiból egyszerűy en

meghatározható: a a n [ ] y=x x a a J y = ∫ x y( x)dx = ∫ x 2 0 a dx xmax=a 0 n+ 2 x [ ] 1 a n+3 a3 × a n a3b n +3 a = dx = x 0= = n+3 n+3 n+3 n+3 a J x = ∫ y 2 ( x) × y( x)dx = ∫ x3n dx = 0 0 a [ ] a 1 a3n+1 ab3 = x3n+1 0 = 3n + 1 3n + 1 3n + 1 a a C xy = ∫ x × y ( x ) × y ( x ) dx = ∫ y xdx = ∫ x 2 n +1dx 0 0 1 a 2n+ 2 0 a 2b 2 2n+2 a C xy = x = 0 = 2n + 2 2n + 2 2n + 2 2 [ ] A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 20 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Keresztmetszeti jellemzők Vissza ◄ 21 ► 1.44 Összetett síkidom keresztmetszeti jellemzőinek meghatározása Határozzuk meg az összetett síkidom keresztmetszeti jellemzőit! Első lépésként a súlypont helyét kell megállapítanunk, hiszen a másodrendű nyomatékokat a súlyponti tengelykeresztre keressük. Vegyük észre, hogy a síkidom elemi, egyszerűen meghatározható keresztmetszeti jellemzőkkel rendelkező

síkidomokból összeállítható, vagy ilyenre kiegészíthető. Az összetett síkidom súlypontját az x’-y’ (tetszőlegesen felvehető) viszonyítási koordinátarendszerben keressük, ezért az elemi síkidomok súlypontjainak helyét (és statikai nyomatékaikat) is ebben a koordinátarendszerben kell meghatároznunk. Első elemként vegyünk fel (az ábra szerint) egy a1-b1 oldalú téglalapot. Ez a teljes síkidom nagy részét lefedi, de emellett olyan területeket is tartalmaz, amelyek az eredeti síkidomnak nem részei. Ezeket a területeket a későbbiekben negatív előjellel kell majd szerepeltetnünk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 21 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Keresztmetszeti jellemzők Vissza ◄ 22 ► Második elemként a téglalap feletti a2-b2 befogójú derékszögű háromszöget vegyük fel, ami szintén tartalmaz az eredeti síkidomon kívüli területrészt is. Harmadik elemként az

ábra szerinti a3-b3 befogójú derékszögű háromszöget vegyük fel, amit az eddigi összegzéshez negatív előjellel hozzáadva eltávolítjuk az 1. téglalapban figyelembe vett fölösleges felület egy részét. Negyedik elemként az ábra szerinti b4 alapú és a4 magasságú egyenlőszárú háromszöget vegyük fel, amit az eddigi összegzéshez negatív előjellel hozzáadva eltávolítjuk az 1. téglalapban és a 2 háromszögben figyelembe vett fölösleges felület többi részét. Ha a 4. jelű háromszög nem egyenlőszárú, két derékszögű háromszöggel kell helyettesítenünk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 22 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 23 ► Ötödik elemként az r5 sugarú (lyukmentes) félkörrel számoljunk. Ennek során a 6. jelű kör területének hatását is figyelembe vettük, amit a későbbiekben majd le kell vonni. A félkör

súlypontjának helyét a szimmetriatengelyen a 4r/3π összefüggés adja meg. Végül hatodik elemként az 5. félkörben lévő r6 sugarú lyukat vegyük figyelembe, természetesen negatív előjelű területként Az alábbi táblázatban az elemi síkidomok adatait foglaltuk össze: JEL 1 2 3 4 5 6 A xiS a1×b1 a1/2 (a2×b2)/2 2a2/3 -(a3×b3)/2 2a3/3 -(a4×b4)/2 (a1-a4/3) r52π/2 -r62π -4r5/3π b1-b3 ΣA A dokumentum használata | Tartalomjegyzék yiS Sy b1/2 A1×x1S -b2/3 A2×x2S (b1-b3/3) A3×x3S (-b2+b4/2) A4×x4S r5 A5×x5S - r6 A6×x6S Sx A1×y1S A2×y2S A3×y3S A4×y4S A5×y5S A6×y6S ΣSy ΣSx Vissza ◄ 23 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 24 ► A síkidom súlypontjának koordinátáit az x’-y’ koordinátarendszerben az összegzett statikai nyomatékok és a teljes terület hányadosa szolgáltatja. x S = S y A S x yS = A A súlypont ismeretében megválaszthatjuk a

másodrendű nyomatékok meghatározására szolgáló (munka)tengelyeket (a tengelyeket a számítás egyszerűsítése céljából optimáljuk, de ezek általában nem egyeznek meg a síkidom tehetetlenségi főirányaival, lásd később). Esetünkben célszerű a súlyponton keresztül az x’ és y’ tengelyekkel párhuzamos x és y jelű tengelyeket választani. Az elemi síkidomok az x’-y’ koordinátarendszerben értelmezett saját súlyponti koordinátáit a súlypontszámításhoz már előállítottuk, és ugyanebben a koordinátarendszerben ismerjük a teljes síkidom súlypontjának helykoordinátáit is. Ezen adatok ismeretében az egyes elemek saját súlyponti tengelyekre vonatkozó inercianyomatékai, valamint a tengelytranszformáció miatti STEINER-tagjai a fenti táblázat folytatásaképpen jól számíthatók. Végül a teljes síkidom Jx, Jy és Cxy másodrendű nyomatékai az elemi síkidomoknak az x-y koordinátatengelyekre számított, összegzett

másodrendű nyomatékaiként adódnak. Az elemi síkidomok kialakítását az összetett idomban természetesen másként is elvégezhetjük, ez a megoldás technikáját nem befolyásolja. Ne feledkezzünk meg arról, hogy egy általános síkidom célszerűen választott tetszőlegesen felvett tengelykeresztjére a centrifugális nyomaték csak speciális esetekben (szimmetriatengely, tehetetlenségi főirány) lehet zérus! A centrifugális nyomaték általában számítandó! A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 24 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 25 ► 1.45 A rotációs tengelytranszformáció Az eddigiekben megvizsgáltuk, hogyan lehet egy síkidom másodrendű nyomatékait a súlyponti tengelyekre előállítani. A STEINER-tétel segítségével a tengely(ek) transzlációjának (párhuzamos eltolásának) hatását is figyelembe tudjuk venni. A továbbiakban azt nézzük meg,

milyen változást okoz a tengelyek (súlypont körüli) elfordítása, rotációja Ennek ismeretében (egy transzláció és egy rotáció összetételével) bármilyen állású tengelyre elő tudjuk állítani a síkidom másodrendű nyomatékait. Az x-y koordinátarendszernek az origó körüli α szögű elfordításával kapott ξ-η koordinátarendszerben a P pont koordinátáit az alábbi transzformációs összefüggés szolgáltatja: dA=dx×dy dA=dξ×dη az összefüggés az ábrába berajzolt két derékszögű háromszög felhasználásával igazolható az összefüggés mátrixos alakja feltárja az általános transzformációs mátrixot is A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ξ = x cos α + y sin α η = − x sin α + y cos α ⎡ξ ⎤ ⎡ cosα sinα ⎤ ⎡ x⎤ ⎢η⎥ = ⎢− sinα cosα⎥ × ⎢ y⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Vissza ◄ 25 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza

26 ► Az elfordított tengelyekre alkalmazva a másodrendű nyomatékok matematikai definícióját, és az abban szereplő új (ξ-η) változók helyére beírva az x-y koordináták transzformált összefüggését, az eredeti x-y koordináták és az elfordítási szög függvényében előállíthatók az elfordított tengelykeresztre érvényes másodrendű nyomatékok. Jξ = ∫η2dA= ∫(−xsinα + ycosα)2dA= ∫(x2 sin2 α − 2xysinα cosα + y2 cos2 α)dA ( A) ( A) ( A) J ξ = ∫ ( x sin α )dA + ∫ (−2 xy sin α cosα )dA + ∫ ( y 2 cos 2 α )dA 2 2 ( A) ( A) ( A) Jη = ∫ξ 2dA= ∫(xcosα + ysinα)2dA= ∫(x2 cos2 α + 2xycosα sinα + y2 sin2 α)dA ( A) ( A) ( A) J η = ∫ ( x 2 cos 2 α )dA + ∫ (2 xy cosα sin α )dA + ∫ ( y 2 sin 2 α )dA ( A) ( A) ( A) A koordinátarendszer elfordítása után, a másodrendű nyomatékok számítása során az α nem változik, így az integráljel elé emelhető. J ξ = sin 2 α ∫ x dA − 2 sin α

cosα ∫ xydA + cos α ∫ y dA 2 ( A) Jη = cos α 2 2 ( A) ∫ x dA + 2 cos α sin α ∫ xydA + sin 2 ( A) ( A) 2 ( A) 2 α ∫ y 2 dA ( A) Az integrálkifejezések a síkidom másodrendű nyomatékainak már ismert matematikai alakját mutatják, ide tehát az x-y koordinátarendszerben értelmezett Jx, Jy és Cxy behelyettesíthető. J ξ = J y sin 2 α − 2Cxy sin α cosα + J x cos2 α Jη = J y cos2 α + 2Cxy cosα sin α + J x sin 2 α A fentiekhez hasonló módon a síkidom ξ−η koordinátarendszerben értelmezett Cξη centrifugális nyomatéka is felírható az Jx, Jy és Cxy valamint az α elfordítási szög függvényében. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 26 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 27 ► A centrifugális nyomaték előállítása: Cξη = ∫ ξηdA = ( A) = ∫ (− x 2 ∫ ( x cos α + y sin α )(− x sin α + y cos α )dA = ( A)

cos α sin α + xy(cos 2 α − sin 2 α ) + y 2 sin α cos α )dA = ( A) = − cos α sin α ∫ x dA + (cos 2 2 ( A) α − sin 2 α ) ∫ xydA + sin α cos α ∫ y 2 dA = ( A) ( A) = −(J y − J x )cos α sin α + C xy (cos α − sin α ) 2 2 Cξη = (Jx − J y )cosα sinα + Cxy (cos2 α − sin2 α) Az Jξ-re, az Jη-re és a Cξη-re, kapott összefüggésben a (sin α×cos α) a sin(2 α) fele, így felmerül az ötlet, hogy nem lehet-e a Jx és Jy együtthatóit is α kétszeres szögfüggvényével felírni. J ξ = J y sin 2 α − 2C xy sin α cos α + J x cos 2 α Jx J J J cos 2 α + x cos 2 α + x sin 2 α − x sin 2 α = 2 2 2 2 J J J J = x (cos 2 α + sin 2 α ) + x (cos 2 α − sin 2 α ) = x + x cos 2α 2 2 2 2 J x cos 2 α = J y sin 2 α = = Jy 2 Jy 2 sin 2 α + Jy (sin 2 α + cos 2 α ) − 2 Jy 2 sin 2 α + Jy 2 cos 2 α − (cos 2 α − sin 2 α ) = A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Jy 2 Jy 2 cos 2 α = − Jy 2 cos 2α

Vissza ◄ 27 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 28 ► Mindezek alapján a ξ és η tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték a következő egyszerű(bb) alakban írható fel: Jξ = Jη = Jx + Jy 2 Jx + Jy C ξη = 2 (J x + − Jx − Jy 2 Jx − Jy 2 − Jy) 2 cos 2α − C xy sin 2α cos 2α + Cxy sin 2α sin 2α + C xy cos 2α A ξ−η koordinátarendszert az origó körül forgatva minden állásban értelmezhetők és előállíthatók a síkidom másodrendű nyomatékai, azaz Jξ, Jη és Cξη az elfordítási szög folytonos függvénye. Ugyanakkor 360 fokos elfordítás után a koordinátarendszer az eredeti helyzetbe kerül vissza, tehát Jξ, Jη és Cξη az elfordítási szög periodikus függvénye. Ha pedig egy függvény egyidejűleg folytonos és periodikus, akkor korlátos is. Ha pedig a tehetetlenségi nyomatékok elfordítási szög szerinti függvénye korlátos,

akkor meg lehet (és meg is kell!) határoznunk a szélső értékeit és az azokhoz tartozó elfordítási szögek értékeit. Az Jξ összefüggésére alkalmazva a d/dα differenciáloperátort keressük a derivált függvény zérushelyét: ⎤ d d ⎡ Jx + Jy Jx − Jy J ξ (α ) = cos 2α − C xy sin 2α ⎥ = 0 + ⎢ dα dα ⎣ 2 2 ⎦ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 28 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 29 ► Most a koordinátarendszert az origója körül forgatjuk, de minden tengelyállásban ugyanannak a (teljes) síkidomnak a másodrendű nyomatékait keressük. Ennek megfelelően az Jx, Jy és Cxy eredeti másodrendű nyomatékok nem függvényei az α elfordítási szögnek, azaz az α szerinti deriváláskor konstansnak tekinthetők: Jx − Jy d J ξ (α ) = ( − sin 2α ) × 2 − C xy (cos 2α ) × 2 = 0 dα 2 Az Jξ másodrendű nyomaték tehát akkor veszi fel

a szélsőértékeit, amikor az alábbi feltétel teljesül: − Jx − Jy 2 (sin 2α ) − C xy (cos 2α ) = 0 A fenti – a szélsőértéket megadó - kifejezés (egy előjelváltástól és egy 2-es szorzótól eltekintve) a Cξη képletével azonos, azaz a tehetetlenségi nyomaték a tengelykereszt forgatása során abban a tengelyállásban veszi fel a szélső értékeit, amelyben a tengelykeresztre felírható centrifugális nyomaték értéke zérus. Azokat a súlyponti tengelyeket, amelyekre a síkidom maximális, ill. minimális tehetetlenségi nyomatéka adódik, a síkidom tehetetlenségi főtengelyeinek, főirányainak nevezzük. A maximális tehetetlenségi nyomatékot adó tengelyt 1-es, a minimális értéket szolgáltató tengelyt 2es főiránynak nevezzük. A tehetetlenségi főirányok állását, az alkalmazott koordinátarendszer tengelyeivel bezárt szögét a fenti szélsőérték kifejezésből (a centrifugális nyomaték összefüggéséből)

határozhatjuk meg. C ξη = J x J x − J 2 − J y 2 y sin 2 α + C sin 2 α = − C tan 2α = xy xy cos 2 α = 0 cos 2 α = 0 − 2 C xy sin 2α = cos 2α Jx − Jy A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 29 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 30 ► Megjegyezzük, hogy a tangensfüggvény 180°-ra periodikus, a tangens(2α) így 90°-ra periodikus, ezért a fenti összefüggés alapján ugyan meghatározható a tehetetlenségi főirányok állása, de nem választható ki, hogy melyik lesz az 1-es, és melyik a 2-es főirány. Egyszerűbb esetekben a síkidom geometriája alapján biztosan meghatározható a főirányok helyes állása, bizonytalan esetekben a tehetetlenségi MOHR-körrel választhatjuk ki az 1-es és a 2-es főirány helyes állását. A főirányokra érvényes tehetetlenségi nyomatékértékek összefüggését levezetés nélkül közöljük: ⎡⎛

Jx −Jy ⎞2 2⎤ J +J ⎟⎟ +Cxy ⎥ J2 = x y − + ⎢⎜⎜ J1 = 2 2 ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ Jx +Jy A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ⎡⎛ Jx −Jy ⎞2 ⎤ 2 ⎟⎟ +Cxy ⎥ ⎢⎜⎜ 2 ⎢⎣⎝ ⎥⎦ ⎠ Vissza ◄ 30 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 31 ► 1.46 A tehetetlenségi főirányok és főnyomatékok 1 Egy téglalap esetében a súlyponti tengelyekre felírható inerciák értékei a kék színű ábra szerint változnak. 2 A tehetetlenségi MOHR-kör A rotációs transzformáció összefüggései alapján bizonyítható, hogy egy síkidom különböző állású tengely(keresztj)eire számított inerciacentrifugális nyomaték értékpárok egy speciális, a vízszintes tengelyen az inerciákat, a függőleges tengelyen a centrifugális nyomatékokat ábrázoló koordinátarendszerben egy körön, az ún. tehetetlenségi MOHR körön sorakoznak. Az ábrázolás során a

Jx-hez a Cxy, az Jy-hoz pedig a Cyx=-Cxy centrifugális nyomaték tartozik. A MOHR kör szemléletesen jeleníti meg a főnyomatékokat (az inerciatengely és a kör metszéspontjai), a számított tengely és a főtengelyek közötti szög (kétszeresének) állását és értékét, és leolvasható róla a főnyomatékok előállítási képlete is (a MOHR kör középpontjához kell hozzáadni ill. kivonni a sugár értékét) J1 J2 Jy Cyx C ξ=1 x tengely 2α Jx y tengely A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Cxy x α J y Vissza η=2 ◄ 31 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 32 ► 1.5 A keresztmetszeti jellemzők összefoglalása Az általános helyzetű elemi síkidom területösszegének, első- ill. másodrendű nyomatékai összegének szummázása az elemi síkidom oldalainak mindenhatáron túli csökkentésével a keresett mennyiségek matematikai definícióját, az elvi

meghatározás integrál-kifejezését szolgáltatja (A tényleges számításban általában nem lesz szükség az integrálásra, csak az integrálás, mint összegzés tulajdonságait használjuk ki.) A síkidom teljes területének (a feladat lényege alapján) pozitívnak kell lennie (részterület lehet negatív, ha a kiegészített területet ezzel kompenzáljuk). A matematikai definíció alapján (és a szimmetria-tulajdonságok körében kifejtett gondolatmenetnek megfelelően) a statikai nyomaték bármilyen előjelű lehet (ha zérus, a tengely súlyponti tengely!), a centrifugális nyomaték bármilyen előjelű lehet (ha zérus, a tengelyek tehetetlenségi főtengelyek!), az inerciák viszont bármely tengelyre (létező síkidomra!) csak pozitív előjelűek lehetnek. Az alábbi táblázatban összefoglaltuk a keresztmetszeti jellemzők matematikai definícióit, és a lehetséges előjeleit A = Sy = Jy = JD = ∑ yΔA = a teljes felületre ∑ x ΔA = lim a

teljes felületre ∑ y ΔA = 2 lim a teljes felületre ∫ ydA a teljes felületre ∫ x dA 2 a teljes felületre ∫ y dA 2 a teljes felületre ∑ xyΔA = lim Δx0;Δy0 ∫ xdA a teljes felületre 2 Δx0;Δy0 Δx 0; Δy 0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék a teljes felületre lim Δx0;Δy0 Cxy = a teljes felületre ∑ xΔA = lim Δx0;Δy 0 ∫ dA = a teljes felületre lim Δx0;Δy 0 Sx = Jx = ∑ ΔA lim Δx0;Δy 0 a teljes felületre ∑ (x 2 ∫ xydA a teljes felületre ∫ r dA + y ) ΔA = 2 a teljes felületre 2 a teljes felületre Vissza ◄ 32 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 33 ► A keresztmetszeti jellemzők szimmetriatulajdonsága Egy y tengelyre szimmetrikus síkidomban szimmetrikus helyzetű pontpárokat kiválasztva ezek y koordinátája mindig megegyezik, x koordinátája pedig egymás

ellentettje. Ezért minden olyan szorzatösszeg, amiben az x koordináta első (páratlan) fokon szerepel, erre a pontpárra zérust ad. Ha a síkidom az y tengelyre szimmetrikus, akkor az egyik oldalon felvett pontokhoz mindig egy és csak egy pont tartozik az y tengely másik oldalán, tehát a síkidom egészére igaz, hogy az x koordinátát első (páratlan) fokon tartalmazó szorzatösszeg zérust ad. A x y dA dA x Ennek megfelelően a szimmetriatengelyre a statikai nyomaték mindig zérus, és a szimmetriatengelyt (is) tartalmazó tengelykeresztre a centrifugális nyomaték mindig zérus. y Ha a síkidomnak két szimmetriatengelye van, akkor a szimmetria miatt bizonyos, hogy az ezekből álló x-y tengelykeresztre a síkidom centrifugális nyomatéka zérus, azaz ezek a tengelyek tehetetlenségi főirányok. Tehát, az Jx és az Jy a tengelykereszt forgatásával előálló lehetséges tehetetlenségi nyomatékoknak a minimuma ill. maximuma lesz Ha még emellett a két

tengelyre számított tehetetlenségi nyomatékok értéke is azonos, azonos, azaz az Jx és az Jy értéke megegyezik, akkor a tengelykereszt forgatásának függvényében inerciaértékek majoránsa és minoránsa azonos, azaz Jx = Jy = J1 = J2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 33 ► Mechanika II Keresztmetszeti jellemzők A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 34 ► J2≤Jx≤J1 x ξ η esetünkben konkrétan: Jx=Jy=J1=J2 y A fenti, négyszeresen (tengelyesen) szimmetrikus síkidom tehetetlenségi főirányai és főtehetetlenségi nyomatékai úgy is meghatározhatók, hogy a négy szimmetriatengely négy főirányt jelent. Ezekben páronként egy maximális és egy minimális inerciát kell kapnunk De egy ilyen maximum-minimum pár között mindig lesz egy másik érték, amelyiknek vagy maximumnak, vagy minimumnak kell(ene) lennie. Ez pedig csak úgy lehetséges, hogy a maximum és minimumértékek (és ezzel valamennyi

tengelyre a tehetetlenségi nyomaték azonos. x η ξ y Ilyen, többszörösen szimmetrikus síkidomok a szabályos síkidomok, ezekben minden súlyponti tengely tehetetlenségi főirány, és az inerciát tetszőleges (a legkönnyebben számítható) tengelyre elegendő meghatározni. Jx=Jy=J1=J2=Jξ=Jη Egy síkidomnak mindig van két (egymásra merőleges) tehetetlenségi főiránya. Ha a szimmetriatulajdonságok alapján kettőnél több főirányt találunk, akkor a síkidom tehetetlenségi nyomatékok szempontjából körszimmetrikusan viselkedik, minden tengelye főirány. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 34 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek megfelelősége Vissza ◄ 35 ► 2. Tartószerkezetek megfelelősége Korábbi tanulmányaink alapján a statikailag határozott tartószerkezeteken bármilyen statikai teherből meg tudjuk határozni a külső és belső kapcsolati erőket, és a

rúdszerkezet belsejében a keresztmetszetről keresztmetszetre ébredő belső erőket, az igénybevételeket is. A szerkezet belső erőjátékát azonban nem öncélúan keressük, hanem azért, hogy a tartószerkezet optimális méreteit, anyagát kiválaszthassuk. A cél tehát a műszakilag megfelelő és ugyanakkor gazdaságilag a legkedvezőbb megoldás kiválasztása. Mindkét feltétel kielégítése fontos mérnöki feladat, e tárgy keretében azonban csak a műszaki megfelelőség kérdésével foglalkozunk. Maga a műszaki megfelelőség is több kritérium egyidejű kielégítését kívánja, e tárgy keretében az erőtani-szilárdsági megfelelőség vizsgálatára szorítkozunk A szerkezet erőtani-szilárdsági megfelelőségén azt értjük, hogy a várható legkedvezőtlenebb terhekből a szerkezet bármely pontjában kisebb hatás ébred, mint amit az alkalmazott anyag megbízhatóan elvisel. Ennek kapcsán több kérdés merül fel: • mi a legkedvezőtlenebb

teher? • milyen hatást visel el az alkalmazott anyag? • a tartószerkezeten belül hol ébred egy bizonyos teherből a legnagyobb hatás? A legkedvezőtlenebb teher Tekintettel arra, hogy a tartószerkezeteinkben csak az állandó terheket tudjuk pontosan felmérni, a hasznos terhek konkrét értéke pedig a használat során mind térben, mind időben folyamatosan változik, a megfelelőségi vizsgálat során a legkedvezőtlenebb teherállás ill. teherérték meghatározása is meglehetősen bonyolult feladat, amelyben a terhet, mint valószínűségi változót kell vizsgálni, és ennek valamilyen ésszerű előfordulási valószínűséghez tartozó értékét tekinthetjük a szerkezet legkedvezőtlenebb terhének Meg kell jegyeznünk, hogy az ily módon meghatározott legkedvezőtlenebb teherérték egyfajta teherre, egyfajta szerkezetre és e szerkezet várható élettartamára a választott előfordulási valószínűség mellett igaz. Összetett szerkezetek esetében,

amelyekre általában különböző terhek hatnak, a teljes teher legkedvezőtlenebb értéke, az ún. mértékadó teherérték az egyes teherfajták hatásainak összegzésével (mértékadó teherkombináció) állítható elő, amelynek során a terhek eltérő jellegét, egyidejűségét, értékük becslési megbízhatóságát is figye- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 35 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek megfelelősége Vissza ◄ 36 ► lembe kell vennünk. Szerkezeteinkben a tönkremenetel többféleképpen is kialakulhat, ezért a megfelelőséghez valamennyi lehetséges tönkremeneteli változatot vizsgálnunk kell, azaz a mértékadó teher is csak egy vizsgált tönkremeneteli változathoz kötve értelmezhető. A szerkezetre működő (vagyis a számítás során a valós terhelési variációk helyettesítéseként a szerkezetre működtetendő) mértékadó teherérték

meghatározásával a szaktárgyakban fognak találkozni, a Mechanikában nem foglalkozunk a terhek valószínűségi jellegével, együttes hatásuk meghatározási módjával, a terheket mind geometriai pozíciójukban, mind értékükben egyértelműen ismert, időben állandó hatásoknak tekintjük. Általában még azt is feltételezzük, hogy a terhek a hatásukra a szerkezetben bekövetkező változások (alakváltozások, elmozdulások) nyomán sem változtatják meg pozíciójukat és értéküket. Ez az elsőrendű számítási elmélet egyszerűsítő feltételezése, amit másként úgy is megfogalmazhatunk, hogy a terheket mindig az eredeti szerkezeti geometrián működtetjük, figyelmen kívül hagyva a szerkezet saját (elegendően kicsiny!) alakváltozásait, elmozdulásait. Az elsőrendű elmélet közelítése a gyakorlati esetek túlnyomó többségében elfogadható, pontosabb számítást csak azok a terhelési esetek kívánnak, amelyekben a szerkezet

alakváltozása a terhelő hatás növekedésével jár (külpontosan nyomott rudak), vagy amelyekben a szerkezet alakja a terhek hatására jelentősen megváltozhat (kötélhálók, függőtetők, stb.) Az anyag terhelhetősége Szerkezeti anyagaink terhelhetősége is (a figyelembe veendő terhekhez hasonlóan) csak valószínűségi változóként kezelhető. Az anyag terhelhetőségét a terhelés jellege mellett az is befolyásolja, hogy ott az anyag épp milyen mikroszerkezetű, van-e lokális hiba az anyagban, stb. A mai anyagvizsgálati módszerekkel lehetséges volna ugyan az ilyen anyaghibákat előre kimutatni, és akár ki is küszöbölni, de ne feledjük, az építőipar nagy tömegű szerkezeteket alkalmaz, és az építményeket gazdaságosan kell előállítania. Ha az alkalmazott anyag hibamentessége csak nagy anyagi ráfordításokkal biztosítható, akkor kisebb összköltséggel jár elfogadni az anyag tulajdonságaiban (végső soron: terhelhetőségében)

megjelenő bizonytalanságokat, és nagyobb szerkezeti méreteket alkalmazni. A mérnöki munkára általánosan igaz, hogy a figyelembe vett jellemzők, az alkalmazott számítások pontosságát csak addig érdemes növelni, amíg ezzel az A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 36 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek megfelelősége Vissza ◄ 37 ► építmény összköltségét (beleértve az élettartam alatti fenntartás költségét is!) ezáltal csökkenteni tudjuk. Önmagában a pontosság növelése szép, és szükséges kutatási feladat, de a gyakorlati mérnöki munkában nem alkalmazható Építőanyagaink különböző terhelésfajtákra vonatkozó terhelhetőségét standardizált feltételek mellett elvégzett kísérletek eredményeinek statisztikai feldolgozása nyomán állapíthatjuk meg. Az így kapott terhelhetőségi (határ)érték egy előre meghatározott valószínűséggel

garantálható terhelhetőséget jelent. E tárgy keretében az anyagok terhelhetőségén már egy ilyen rögzített értéket értünk, amelyet meg nem haladó hatásokra az illető anyag minden egyéb körülménytől függetlenül megfelel. A fentiek szerint tehát a Mechanikában mind a szerkezetek terhelését, mind pedig az alkalmazott anyagok ellenállását egy-egy konkrét adattal vesszük számításba, figyelmen kívül hagyva a valószínűségi szempontokat, és a megfelelőséghez azt a feltételt szabjuk, hogy az anyagellenállási érték a vizsgált szerkezet egyetlen pontjában se legyen kisebb a legkedvezőtlenebb terhelési értéknél. A mérnöki számítások adatainak és eredményeinek valószínűségelméleti tárgyalása túlmutat e tárgy keretein, ezért itt csak a szemléletmód bemutatására szorítkozhatunk. A valószínűségszámítással már megismerkedett olvasók részére tájékoztatásul, és a későbbiekben előkerülő fogalmak tisztább

megérthetősége érdekében a teher és a terhelhetőségi (anyagellenállási) adatok valószínűségi értelmezését grafikusan is összefoglaltuk Az ábrákban a vörös színű görbe a teheradatok sűrűségfüggvényét, a zöld színű az anyagellenállási adatok sűrűségfüggvényét mutatja. (A sűrűségfüggvény ordinátája a hozzá tartozó teher vagy ellenállási érték előfordulási valószínűségét adja meg a vizsgált minta-halmazban.) A minták értékeiből képzett halmaz várható értéke (átlagértéke) az a mintaérték, amelynél (normális eloszlás esetén) 50 % valószínűséggel lehet kisebb ill. nagyobb a minta konkrét értéke. Ebből az is rögtön látható, hogy ha az anyagellenállási adatok halmazának a várható értékétől kívánjuk meg, hogy ne legyen kisebb a teheradatok halmazának várható értékénél, akkor a vizsgálandó minták 50 %-ánál ez a reláció nem teljesül, másként fogalmazva a minősített eset csak

50 %-os valószínűséggel elégíti ki a megfelelőségre megszabott kritériumunkat. Bár tudjuk, hogy tökéletes biztonság nem létezik, az 50 %-os tönkremeneteli valószínűség mindenképpen elfogadhatatlan. Ezért az építési szabályozások a teheradatok várható értékeiből biztonsági tényezők beépítésével olyan ún. mértékadó értéket képeznek, amelynek előfordulási valószínűsége néhány % (ennek értéke országon- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 37 ► Mechanika II Tartószerkezetek megfelelősége A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 38 ► ként, anyagfajtánként, szerkezettípusonként eltérő lehet); az anyagellenállási adatok várható értékéből pedig más biztonsági tényezők előírásával olyan ún. határértéket képeznek, amelynél kisebb anyagellenállási adat csak kicsiny, néhány %os valószínűséggel fordulhat elő (e valószínűségi érték is

szabályozásonként eltérő lehet) Ha a mértékadó teherérték és a határellenállási érték kielégíti a megfelelőségi kritériumot, akkor a szerkezetet a vizsgált pontban, a vizsgált irányban, a vizsgált teherfajtára megfelelőnek tekintjük. Meg kell jegyeznünk, hogy a sűrűségfüggvények jellege miatt ilyen esetekben sem zérus annak a valószínűsége, hogy az élettartam alatt keletkezik az általunk választott határellenállási értéket meghaladó teherérték, de (amint az ábrán láthatjuk) a teljes ellenállási sűrűségfüggvénynek csak kicsiny része az a halványzöld színnel kitöltött mező, ahol a tényleges ellenállási érték az általunk definiált határérték alatt marad, és a terhelési sűrűségfüggvénynek csak kicsiny része az a halványpiros színnel kitöltött mező, ahol a tényleges terhelési érték az általunk definiált mértékadó érték fölé kerül. A tönkremenetel valószínűségét ez esetben e két

(önmagában is kicsiny valószínűségű) esemény egyidejű bekövetkezésének valószínűsége, azaz a két kicsiny valószínűség szorzata jelenti. GYAKORISÁG A MEGFELELŐSÉG VALÓSZÍNŰSÉGI ÉRTELMEZÉSE VÁRHATÓ ÉRTÉK VÁRHATÓ ÉRTÉK MÉRTÉKADÓ ÉRTÉK HATÁR ÉRTÉK 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 TERHELHETŐSÉG (ELLENÁLLÁS) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék TERHELÉS (HATÁS) Vissza ◄ 38 ► Mechanika II Tartószerkezetek megfelelősége A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 39 ► Ha az anyagellenállás határértékét magasabbra tudjuk felvenni, akkor a tönkremenetel valószínűsége gyorsan tovább csökkenthető (az ábrán a két sűrűségfüggvény metszete nem is érzékelhető), ilyen esetben a vállalt tönkremeneteli valószínűség (kockázat) mellett a szerkezetben tartalékunk is van (a szerkezet egy későbbi megnövekedett teher, ill. bekövetkezett

anyagromlás esetén is az elfogadott kockázat mellett lesz megfelelőnek minősíthető). A MEGFELELŐSÉG VALÓSZÍNŰSÉGI ÉRTELMEZÉSE GYAKORISÁG VÁRHATÓ ÉRTÉK 0 VÁRHATÓ ÉRTÉK TARTALÉK MÉRTÉKADÓ ÉRTÉK 1 2 3 4 5 6 7 8 HATÁR ÉRTÉK 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 TERHELHETŐSÉG (ELLENÁLLÁS) TERHELÉS (HATÁS) A szerkezeten vizsgálandó mértékadó hely A fentiek szerint értelmezett megfelelőséget természetesen a szerkezet minden pontjában, minden irányban és minden teherfajtára biztosítanunk kell. Elvileg megoldás lehet, ha a megfelelőséget valóban minden pontban, minden terhelési irányra és teherfajtára megvizsgáljuk, de a gyakorlatban ez fölösleges. A tehergeometria és a szerkezet geometriája ismeretében meghatározhatók azok a függvények, amelyek a szerkezet egyes metszeteiben a teherből származó metszeterőket, belső erőket, ha úgy tetszik: igénybevételeket megadják. Ha a szerkezetünk geometriája nem

teljesen szabálytalan (pl. a felületszerkezet vastagsága állandó, vagy a rúdszerkezet elemeinek keresztmetszetei állandóak), akkor a megfelelőségi vizsgálatot minden teherfajtára elegendő abban a metszetben elvégezni, amelyben a teherből származó metszeterő a maximális. Ezeket a metszeteket szokás mértékadó (kereszt)metszeteknek nevezni Természetesen a különböző teherfajtákhoz más-más mértékadó metszet tartozhat. Mechanikai feladatainkban általában állandó szerkezeti méreteket A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 39 ► Mechanika II Tartószerkezetek megfelelősége A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 40 ► (prizmatikus rudakat) és csak egyféle terhet alkalmazunk, azaz a mértékadó metszetek meghatározásában csak a teherből származó különböző teherfajtákra (húzás-nyomás, hajlítás, nyírás, csavarás) kell figyelnünk. A szerkezeten vizsgálandó megfelelőségi mennyiség A

korábbiakban nem tértünk ki arra, hogy a megfelelőségi kritérium teljesítését milyen mennyiségektől kívánjuk, a megfelelőséget a tehernek ill. az anyagellenállásnak milyen jellemzőjére igazoljuk Az egyik kézenfekvő megoldás, hogy a teher és a szerkezet geometriája ismeretében (viszonylag) könnyen meghatározható metszeterőket (amik természetesen a metszet lokális koordinátarendszerében lehetnek Nx, Ty, Tz erők és Mx, My, Mz nyomatékok) hasonlítsuk össze a metszetek ellenállóképességével, amelyeket a metszet geometriai adatai és az alkalmazott anyag jellemzői segítségével határozhatunk meg: YMÉRTÉKADÓ ≤ YHATÁR ahol Y bármilyen belső metszeterő lehet. Ennek az igénybevétel-ellenőrzési módszernek előnye, hogy a „teheroldal”, a mértékadó jellemző viszonylag könnyen, statikailag határozott szerkezeteken akár az alkalmazott keresztmetszet adatai nélkül is előállítható, a különféle terhek hatásai egyszerűen

összegezhetők, az „anyagoldalon” pedig a határigénybevétel az anyagjellemzők mellett a keresztmetszet tényleges adatait is tartalmazza, azaz erre a konkrét szerkezetre adja meg az ellenállás értékét. Ez utóbbi tulajdonság különösen akkor előnyös, ha az alkalmazott anyag viselkedését a keresztmetszet geometriája is befolyásolja (pl. acélszerkezetek esetében az alkalmazott szelvények falvastagsága). Ugyanakkor a módszer hátránya, hogy az „anyagoldalon”, a határellenállás nemcsak az alkalmazott anyag tulajdonságait tartalmazza, meghatározásához ismerni kell a keresztmetszet geometriai adatait is, tehát a határellenállás meghatározása is a számítás része lesz. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 40 ► Mechanika II Tartószerkezetek megfelelősége A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 41 ► A megfelelőség ellenőrzése azonban nemcsak a (kereszt)metszeti belső erők ill. a

(kereszt)metszeti ellenállás összevetése révén történhet A szerkezetben két szomszédos (egymástól infinitezimális távolságra lévő) pont között az anyag belső kohéziója teremt teherbíró kapcsolatot, amelynek terhelhetősége az anyagra jellemző. Ha ez a fajlagos anyagellenállás az alkalmazott szerkezeti geometriától függetlennek tekinthető, akkor a választott anyag ellenállási jellemzőjeként felhasználható. Természetesen ez esetben terhelési jellemzőként is a terhelésből a vizsgált pontban keletkező fajlagos belső erőt, a továbbiakban: feszültséget kell előállítanunk, és azt összevetnünk az anyag ellenállóképességével: pMÉRTÉKADÓ ≤ pHATÁR A feszültség-ellenőrzési módszer előnye, hogy az anyag ellenállása a szerkezettől függetlenül, általános érvénnyel meghatározható, a szerkezet pontjaiban a különböző teherfajtából származó fajlagos belső erők könnyen összegezhetők, hátránya viszont,

hogy a metszetekben ismerni kell a legjobban igénybevett (mértékadó helyzetű) pontokat, és a metszeterőkből meg kell határozni az e pontokban keletkező feszültségeket. A mérnöki gyakorlatban mindkét módszerrel találkozhatunk, de a megfelelőség igazolásában a két szemléletmód nem különbözik, eltérés csak a megfelelőségi reláció elemeinek definiálásában és meghatározásában van. A megfelelőségi vizsgálatok fajtái A szerkezet megfelelőségének (ismételten hangsúlyozzuk: most csak a szilárdsági megfelelőséggel foglalkozunk!) vizsgálata során végül is három adathalmaz elemeit kell összevetnünk: • a szerkezet anyaga, • a szerkezet méretei (hossz, keresztmetszeti méretek), • a szerkezet terhei (állandó és esetleges, statikai és kinematikai teher jellegű hatások). A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 41 ► Mechanika II Tartószerkezetek megfelelősége A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék Vissza ◄ 42 ► A megfelelőség igazolása azt jelenti, hogy e három halmazból a szerkezetünkre vonatkozó adathármas kielégíti a szilárdsági megfelelőségre szabott feltételünket: mértékadó hatás ≤ határellenállás A megfelelőségi relációban a bal oldalt szokás teheroldalnak nevezni, mert a mértékadó hatás (akár keresztmetszeti igénybevételeket, akár feszültségeket hasonlítunk össze) alapvetően a szerkezet terheiből határozható meg. A jobb oldal szokásos elnevezése: anyagoldal, mert a szerkezet ellenállóképessége alapvetően a választott anyag jellemzői által determinált Természetesen a szerkezet hossz- és keresztmetszeti méretei is megjelennek az összehasonlítandó jellemzőkben, azonban a szerkezeti méretek már nem köthetők egyértelműen az egyik vagy a másik oldalhoz. A hosszméret (támaszköz, fesztáv) mindenképpen a teheroldalon jelenik meg, a keresztmetszeti méretek azonban az

igénybevételösszehasonlítás esetén az anyagoldalon, a feszültségösszehasonlítás esetén a teheroldalon veendők figyelembe. Egy matematikai egyenlőtlenség megoldása mindig egy számhalmaz, a számegyenesen egy intervallum. Esetünkben a feltétel olyan egyszerű, hogy a megoldást egy határponttól a végtelenig terjedő félegyenes pontjai jelentik. Nyilvánvaló, hogy ezen - a szilárdsági megfelelőségi feltételt maradéktalanul kielégítő - megoldásokból valahogyan választanunk kell A választást a műszaki-gazdasági szemléletünk teszi lehetővé, hiszen a mérnöknek a kitűzött célt, a funkcionálisan jó, biztonságos, állékony, esztétikus építmény megvalósítását a társadalom rendelkezésre álló (gyakorlatilag mindig szűkös) erőforrásainak felhasználásával kell megoldania. A szilárdságilag megfelelő megoldások közül (kicsit leegyszerűsítve) a minimális költségigényű megoldást kell választania. Ez a megoldás a

megfelelőségi egyenlőtlenségben éppen a két oldal egyenlőségéhez tartozik, azaz a gyakorlatban a megfelelőségi egyenlőtlenséget egyszerűen egyenletként kezelhetjük és oldhatjuk meg. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 42 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek megfelelősége Vissza ◄ 43 ► A szilárdsági vizsgálatokat mindig az alkalmazott anyag, a választott méret és a működő teher hármasságában végezzük. Ha mindhárom mennyiség ismert (természetesen a korábbiakban kifejtett valószínűségi megfontolások mellett), akkor a vizsgálat az ellenőrzés, amikoris csak azt kívánjuk kimutatni, hogy a megfelelőségi reláció az alkalmazott paraméterek mellett teljesül. Ez a szilárdsági vizsgálatok között a legfontosabb, mert ez igazolja a választott anyag és a felvett méretek megfelelőségét Ezt a vizsgálatot számításain végső szakaszában mindig, minden

jellemző teherre és helyre el kell végeznünk Ha ismerjük a terhet, és kiválasztottuk az alkalmazandó anyagot, akkor a feladat a méretek (általában a keresztmetszeti méretek) meghatározása. A feladat ilyetén megfogalmazása a méretezés Emlékeztetünk rá, hogy a három mennyiség között megkívánt összefüggést egyetlen egyenlőtlenségben (a határeset vizsgálata során egyetlen egyenletben) rögzítettük, tehát ennek alapján csak egyetlen ismeretlen határozható meg. Ez akkor is így van, ha a megfelelőséget több kritériumra is meg kell vizsgálnunk, mert mindegyik vizsgálat csak egyetlen eredményt szolgáltathat, és ezek az eredmények ugyanarra a szerkezetre (keresztmetszetre) vonatkoznak, azaz nem párhuzamosan, hanem sorosan kell teljesülniük. A megfelelőségi feltételek tehát logikai ÉS kapcsolatban vannak, azaz a megfelelőség csak akkor áll fenn, ha a szerkezet minden megvizsgált (még pontosabban: minden lehetséges)

tönkremenetellel szemben elégséges ellenállást tanúsít. Ha a választott keresztmetszet összetett idom, akkor az egyetlen ismeretlent felvehetjük valamelyik keresett méretként (de akkor a többi méretet nem változtathatjuk!), vagy megtarthatjuk a keresztmetszeti síkidom arányait, a méreteket egy választott paraméter segítségével kifejezve. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 43 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek megfelelősége Vissza ◄ 44 ► Előtervezés, vázlattervkészítés, megoldási alternatívák keresése közben ismert teherre és ismert (fő) méretekre kell (általában nem elsősorban a szilárdsági szempontok alapján) a megfelelő szerkezeti anyagot kiválasztani. Ilyen esetekben a szükséges anyagellenállásból kiindulva keressük a megfelelő szerkezeti anyagot Meg kell említenünk, hogy a feladat ilyen esetekben a mindig az anyag és a szerkezeti kialakítás

együttesének keresése, mégpedig komplex (szilárdsági, állékonysági, megvalósítási, üzemeltetési, stb.) feltételek kielégítésével Végül az is előfordulhat, hogy egy meglévő, ismert anyagú és lemérhető méretekkel rendelkező szerkezet tényleges teherbírására vagyunk kíváncsiak. Régebbi (tervek nélkül maradt) szerkezetek, többletteherre megvizsgálandó új szerkezetek, esetleg építési hibából csökkent teherbírású szerkezetek tényleges teherbírásának meghatározására is alkalmas a megfelelőségi reláció: ilyen esetben azt a legnagyobb (de megint csak egyparaméteres!) terhet keressük, amelynek működése esetén a szerkezet minden pontban kielégíti a szilárdsági megfelelőségi kritériumo(ka)t. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 44 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék A feszültségek Vissza ◄ 45 ► 3. A feszültségek A szilárdsági megfelelőségi vizsgálatok

tárgyalása során láttuk, hogy a metszet teljes belső erői (igénybevételei) mellett a metszet pontjaiban, a pontonként meglévő anyagi kapcsolat pótlására beiktatott fajlagos belső erők is alkalmasak a megfelelőség igazolására. A tartó egy metszetében a pontonkénti anyagi kapcsolat pótlására beiktatott fajlagos belső erőt (mechanikai) feszültségnek nevezzük. A feszültség (mint belső erő) maga is vektormennyiség, de mértékegysége (a fajlagosság miatt) N/mm2, azaz MPa. Általánosságban a pA,n feszültségvektor függvénye az A pont koordinátáinak, és függvénye az A ponton át felvett n normálisú metszősík állásának. A tartóban a metszősík állását rögzítve a metszetben ébredő feszültségek (kétirányú) eloszlását kapjuk meg. A metszetet leginkább a tartó tengelyére merőlegesen szoktuk felvenni, és az ebben a (kereszt)metszetben ébredő feszültségeket szoktuk a leggyakrabban vizsgálni (a konkrét esetek

vizsgálatát később tárgyaljuk). A tartóban a vizsgálandó pontot rögzítve a ponton át felvehető metszősíkokban keletkező feszültségek halmazát kapjuk meg. E feszültségi halmazt a vizsgált pont feszültségi állapotának nevezzük (tulajdonságait később tárgyaljuk). A tartó egy metszetének belső erői és az e metszetben ébredő feszültségek között egyértelmű kapcsolat állapítható meg: a metszeterő valójában a pontonkénti fajlagos belső erőknek a metszeten vett eredőjeként értelmezhető, míg a feszültségek a metszeterő(k)ből a keresztmetszet kialakításának és a pont helyzetének ismeretében határozhatók meg. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 45 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék A feszültségek Vissza ◄ 46 ► A feszültségösszetevők Az A pontban felvett, n normálisú metszetben keletkező, általános állású feszültségvektort komponensekre bontva tudjuk

kezelni. A felbontást célszerűen a vizsgált metszősík normálisához kötött, derékszögű koordinátarendszerben végezzük. Az ilyen lokális koordinátarendszer használata azért előnyös, mert a metszősík normálisában álló feszültségösszetevő és a metszősíkban lévő feszültségösszetevők jellegzetes, de eltérő módon veszik igénybe az anyagot, ezekre más lesz a jellemző deformáció, és más lesz a jellemző anyagellenállás is. Az A pontban felvett, n normálisú metszősíkhoz tartozó pA,n általános feszültségvektornak az n normálisba eső vetületét pA,nn=σAn normálfeszültségnek, a metszeti síkba eső vetületét pA,nt=τAnt vagy pA,nq=τAnq nyíró- (vagy csúsztató) feszültségnek nevezzük. A metszősík (ill a normális) kiválasztása egyértelműen meghatározza a lokális koordinátarendszerünk egyik tengelyét, és ezzel a normálfeszültségi-nyírófeszültségi összetevőt is. Azonban míg a normálfeszültségi

komponens a normális ismeretében a koordinátarendszer másik két tengelyének megválasztásától független marad, a teljes metszeti nyírófeszültséget a síkban választott két tengelyre is vetítenünk kell. A pontok feszültségösszetevőinek számíthatósága, kezelhetősége jelentősen függ a választott lokális koordinátarendszer felvételétől. Ha a szerkezet geometriai sajátosságai alapján bizonyos metszetek feszültségmentesnek tekinthetők, akkor célszerű a metszősíkokat, és ezzel a lokális koordinátarendszer tengelyeit ezekhez a kitüntetett irányokhoz igazítva felvenni. Rúdszerkezetekben várható, hogy a keresztmetszetekben sem a magasság, sem a szélesség mentén összenyomó erő nem ébred, így az ezekkel párhuzamos metszetek normálfeszültségmentesek lesznek. Rúdszerkezetekben tehát a metszősíkot a tartótengelyre merőlegesen célszerű felvenni, azaz a lokális koordinátarendszerünk egyik, természetesen kitüntetett

tengelye a rúd tengelye, a keresztmetszet normálisa lesz. A másik két kitüntetett irányt a keresztmetszeti síkidom tehetetlenségi főirányai jelentik, a feszültségszámításhoz mindig ezeket kell lokális koordinátatengelyekként alkalmaznunk. Szimmetrikus keresztmetszetekben az így kiadódó lokális koordinátarendszer tengelyei többnyire párhuzamosak a keresztmetszeti síkidom kerületi egyenesszakaszaival, de nem tengelyesen szimmetrikus keresztmetsze- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 46 ► Mechanika II A feszültségek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 47 ► tekben előfordulhat, hogy a keresztmetszet elemei-oldalélei alapján kínálkozó tengelyek nem tehetetlenségi főirányok. A szerkezet méretei alapján hasonló egyszerűsítések alkalmazhatók a felületszerkezetek (lemezek, tárcsák, héjak) esetében is, amikoris a lokális koordinátarendszer egyik tengelyét a felület normálisához

igazodva veszszük fel, feltételezve a vastagság menti feszültségeloszlás egyszerűsíthetőségét. Az alábbi ábrán egy A jelű pontban, az n normálisú metszeten keletkező pA,n feszültségvektor n-t-q irányú vetületeit mutatjuk be. A feszültséget, mint fajlagos belső erőt a dq×dt infinitezimális felületen működőnek tekintjük. Ezen az elemi felületdarabon a feszültségértéket állandónak véve az elemi erő pA,n×dq×dt, a tartó teljes, n normálisú metszetén ébredő erő pedig pA,n×dq×dt elemi erők vektoriális eredője lesz. n normálisú metszet pA,n n = dt A =σA,n dq pA,n q=τ A,n q τA,nq pA,n t = τ A,n t n pA,n t A szerkezet egy pontjában a keletkező feszültségeket a legjobban egy elemi hasáb oldalfelületein mutathatjuk meg. Az elemi hasábot három, egymásra kölcsönösen merőleges, egymástól infinitezimálisan kicsiny távolságra lévő síkpárral vágjuk ki a szerkezetből, a síkok normálisait pedig az

alkalmazandó lokális koordinátarendszer tengelyei irányába választjuk meg. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 47 ► Mechanika II A feszültségek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 48 ► Az A pont kicsiny környezetéből kivágott elemi hasáb feszültségei dx τzy τzx dz x (a feszültségvektorok jeleit csak a látható lapokon jelöltük) τxz τyz σx τxy σ x τ xy τ zx σ y τ zx τ xy τyx σy dy σz z τ xz τ yz σz y A feszültségösszetevőket mátrixba rendezve kapjuk a pont feszültségi tenzorát. Az x-y-z tengelyhármasra meghatározott feszültségértékek, azaz a pont x-y-z tengelyhármasra felírt feszültségi mátrixa a pont teljes feszültségi állapotát meghatározza, segítségével a ponton át felvett tetszőleges állású metszősík feszültségösszetevői előállíthatók. A nyírófeszültségek dualitása Az dx-dy-dz méretű, határátmenetben zérus kiterjedésű

elemi hasáb szemközti oldallapjain a feszültségek egymás ellentettjei lesznek. Ennek alapján az elemi hasábra felírt tengelyirányú vetületi egyenletek zérust adnak (páronként az azonos nagyságú felületeken ellentett vektorú feszültségek működnek). A tengelyekre felírható nyomatéki egyenletek azonban csak akkor adnak zérust, ha a tengelyre forgatónyomatékot kifejteni képes két nyíróerő-pár nyomatéka ellentétes (az ábrán a nyírófeszültségvektorokat már ilyen elrendezésben rajzoltuk meg). ∑M ∑M ∑M ( x) i ( y) i (z) i = +(τ yz × dx × dz ) × dy −(τ zy × dx × dy ) × dz = 0 ⇒ τ yz = τ zy = +(τ xz × dy × dz ) × dx −(τ zx × dx × dy ) × dz = 0 ⇒ τ xz = τ zx = +(τ xy × dy × dz ) × dx −(τ yx × dx × dz ) × dy = 0 ⇒ τ xy = τ yx A fenti egyenleteket a dx-dy-dz szorzattal végigosztva látható, hogy az egy pontban felvett elemei hasáb egymásra merőleges oldallapjain a nyírófeszültségek nagysága

mindig azonos, irányuk pedig mindig vagy a közös oldalél felé, vagy attól el mutat. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 48 ► Mechanika II A feszültségek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 49 ► A nyírófeszültségek dualitása azt jelenti, hogy az egymásra merőleges metszősíkokon ugyanabban a pontban működő nyírófeszültségek azonos nagyságúak, és a két sík metszésvonalával párhuzamos tengelyre ellentétes irányú forgatóhatást fejtenek ki. A nyírófeszültségek előjelezése eltérő lehet, pl. a síkbeli feszültségi állapot tárgyalásában az indexcserével kapott két nyírófeszültség-összetevőt ellentett előjelűnek tekintjük, míg az általános szilárdságtan a pont feszültségi tenzorában a főátlóhoz szimmetrikus pozícióban lévő nyírófeszültségeket azonos előjelűként kezeli. A feszültségek – alakváltozások összefüggése A szilárd anyagú test pontjaiban

a feszültségek és az alakváltozások kölcsönösen egyértelmű kapcsolatban vannak: a feszültségösszetevők ismeretében meghatározhatók a pontban felvett elemi hasáb alakváltozásai, és viszont: az alakváltozások ismeretében előállíthatók az elemi hasáb felületein működő feszültségek. Az összefüggés elemzéséhez először a legegyszerűbb feszültségi és alakváltozási állapotokat vizsgáljuk meg (csak az x tengely mentén működjön normálfeszültség, ill. csak az xz síkban működjön nyírófeszültség) dx+Δdx σx dy-Δdy dz x y z dz-Δdz dy dx dx τzx τxz dz x y z A dokumentum használata | Tartalomjegyzék dy Δdz γxz Vissza ◄ 49 ► Mechanika II A feszültségek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 50 ► A pozitív σx normálfeszültség hatására az elemi hasáb x irányban megnyúlik. A fajlagos megnyúlás a rugalmas tartományban arányos a működő normálfeszültség

értékével σ Δdx = εx = x dx E A normálfeszültség és a hatására létrejött tengelyirányú nyúlás arányszámát az anyag E rugalmassági modulusának nevezzük. A húzás hatására azonban az elemi hasáb keresztirányú alakváltozást is (harántkontrakció) szenved: keresztmetszeti méretei csökkennek. Az ε fajlagos (hosszirányú) alakváltozás mintájára bevezetve az εk fajlagos keresztirányú alakváltozást, a mérések alapján megállapították, hogy a rugalmas anyagú szerkezet pontjaiban a hosszirányú és a keresztirányú fajlagos alakváltozások aránya állandó. A hosszirányú és a keresztirányú fajlagos alakváltozások hányadosát m betűvel jelöljük, és POISSON számnak nevezzük. Ez az arányszám mindig 1-nél nagyobb A mérnöki gyakorlatban használatos e szám reciproka is, annak neve POISSON tényező, jele pedig ν. Δdy ε = ε k , y = x = ε x ×ν dy m ε Δdz = ε k , z = x = ε x ×ν dz m A normálfeszültség okozta

alakváltozás nem változtatja meg az elemi hasáb éleinek állását, a közöttük lévő (derék)szögeket, ugyanakkor megváltoztatja az elemi hasáb térfogatát. Az is látható az ábrából, hogy egyirányú normálfeszültségből háromirányú alakváltozások származnak. (Később látni fogjuk, hogy ennek a fordítottja is igaz: ha meggátoljuk a keresztirányú deformációk kialakulását, mindhárom irányban kell feszültségekkel számolnunk.) A τxz nyírófeszültség-pár az elemi hasáb x normálisú lap-párjait a saját síkjukban mozdítja el, ezzel a hasáb oldalnézete téglalapból parallelogrammára torzul. A torzulás az x és a z tengelyek közötti szög változásában jelenik meg, és ez a γxz nyírási szögtorzulás a rugalmas anyagban arányos a nyírófeszültség nagyságával. Δdz τ = γ xz = xz dx G A nyírófeszültség és a hatására létrejött nyírási szögtorzulás arányszámát az anyag G nyírási rugalmassági modulusának

nevezzük. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 50 ► Mechanika II A feszültségek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 51 ► A valóságban az elemi hasáb torzulásában az x normálisú lap-pár nem kitüntetett, a hasáb nyírási torzulása úgy következik be, hogy mind az x normálisú, mind a z normálisú lap-párok kissé elfordulnak. Az elemi hasáb x és z irányú éleit azonosnak véve a lap-párok elfordulása a fentiekben megállapított γ nyírási szögtorzulás fél értéke lesz. A pont alakváltozási értékeit összefoglaló alakváltozási mátrixban, alakváltozási tenzorban ezeket az értékeket szokás szerepeltetni. εx 1 γ xy 2 1 γ yx 2 1 γ zx 2 εy 1 γ zy 2 1 γ xz 2 1 γ yz 2 εz Az általánosított HOOKE-törvény A rugalmas anyagú szerkezetben a pontok feszültségösszetevői és alakváltozásösszetevői között kölcsönösen egyértelmű kapcsolat van, amelynek egyirányú

esetre felírt változatát HOOKE-törvényként ismerjük. A pont környezetében felvett elemi hasáb lapjain értelmezett feszültségkomponensek és az ugyanezen hasábon bekövetkezett alakváltozások közötti általános összefüggést az általánosított HOOKEtörvény teremti meg: Az alakváltozások egytengelyű normálfeszültség esetén σ 1 1 σx εx = x εy = εz = − εx = − E m m E σ 1 1 σy εy = y εz = εx = − εy = − E m m E σz 1 1 σz εz = εx = εy = − εz = − E m m E A feszültségek és az alakváltozások kapcsolatát meghatározó három anyagjellemző összefüggése: E= 2 × G × (m + 1) = 2 × G × (1 + ν ) m A dokumentum használata | Tartalomjegyzék G= m× E E = 2 × (m + 1) 2 × (1 +ν ) Vissza ◄ 51 ► Mechanika II A feszültségek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 52 ► Az alakváltozások mindhárom tengelyben működő normálfeszültségek, ill. nyírófeszültségek esetén: σ y +σ z

1 ⎛ × ⎜⎜ σ x − E ⎝ m ⎞ ⎟⎟ = ⎠ σ +σ x ⎞ 1 ⎛ ε y = × ⎜σ y − z ⎟= E ⎝ m ⎠ σ +σ y ⎞ 1 ⎛ ⎟= ε z = × ⎜⎜ σ z − x E ⎝ m ⎟⎠ εx = 1 × (σ x −ν × (σ y + σ z ) ) E γ xy = 1 × (σ y −ν × (σ z + σ x ) ) E γ yz = 1 × (σ z −ν × (σ x + σ y ) ) E γ zx = τ xy G τ yz G τ zx G Vegyük észre, hogy a különböző tengelyekben működő normálfeszültségek nemcsak a saját tengelyükbe eső alakváltozást okoznak, hanem keresztirányú alakváltozást is. A normál- és nyírófeszültségek az alakváltozások függvényében: ⎛ εx +εy +εz ⎞ ⎟ m − 2 ⎟⎠ ⎝ ε +εy +εz ⎞ ⎛ ⎟⎟ σ y = 2 × G × ⎜⎜ ε y + x m 2 − ⎠ ⎝ ε +εy +εz ⎞ ⎛ ⎟ σ z = 2 × G × ⎜⎜ ε z + x m − 2 ⎟⎠ ⎝ σ x = 2 × G × ⎜⎜ ε x + τ xy = γ xy × G τ yz = γ yz × G τ zx = γ zx × G A rugalmas anyag pontjaiban ébredő feszültségek és alakváltozások részletes

vizsgálatával (a fenti alapokra építve) a rugalmasságtan foglalkozik. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 52 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei Vissza ◄ 53 ► 4. Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei Szerkezeteink megfelelőségi vizsgálatában (több más kritérium mellett) azt kell igazolnunk, hogy a szerkezet pontjaiban ébredő feszültségek - még a számításba veendő legkedvezőtlenebb esetekben sem - haladják meg az anyag ellenállóképességét jelző anyagszilárdság értékét. Az anyagszilárdságot törési-szakítási próbasorozatok eredményeiből, matematikai statisztikai módszerekkel határozzák meg. A mi elsődleges feladatunk a különböző igénybevételekből a szerkezetek pontjaiban ébredő fajlagos belső erők, mechanikai feszültségek értékének meghatározása. Eddigi tanulmányainkban megismerkedtünk a síkbeli

rúdszerkezetek külső és belső kapcsolati erőinek, valamint a tartótengely mentén függvényszerűen definiált keresztmetszeti belső erőinek, igénybevételeinek meghatározási módjával. Erre alapozva a továbbiakban a rúdszerkezetek keresztmetszeti pontjaiban keletkező, a keresztmetszet síkjában értelmezett feszültségek meghatározási eljárásaival fogunk foglalkozni. 4.1 Alapfeltevések 4.11 A rúdszerkezet fogalma A tartószerkezetek tárgyalása során megállapítottuk, hogy a szerkezeti méretek arányai alapján megkülönböztethetünk vonalszerű, felületszerű vagy tömbszerű szerkezeteket. A vonalszerű szerkezetek esetében a szerkezeti elemek egyik (hossz-) mérete lényegesen meghaladja a másik két (keresztmetszeti) méret értékét. Az ilyen elemekből álló tartószerkezetet rúdszerkezetnek nevezzük. RÚD: olyan egyenes tengelyű tartószerkezet, melynek egyik mérete a másik kettőnél lényegesen nagyobb (L>>h, b) RÚDSZERKEZET:

rudakból csomóponti kapcsolatokkal és támaszokkal összeállított tartószerkezet. A görbe tengelyű rúdszerű szerkezeteket egyenes tengelyű darabokból poligonálisan összeállítottnak tekinthetjük. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 53 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 54 ► MEGJEGYZÉS: szűkített értelemben RÚDnak azokat a rudakat nevezzük, amelyekben CSAK normálerő működik, azokat a rudakat pedig, amelyek a terhelést jellemzően nyíróerőkkel és nyomatékokkal veszik fel, GERENDÁknak hívjuk. A rúdszerkezetek méretarányai az általános vizsgálatokhoz képest jelentős egyszerűsítéseket tesznek lehetővé, amelyek a tapasztalatok szerint a végeredményben csak kismértékű pontatlanságot okoznak, de a számítási összefüggéseket jelentősen egyszerűsítik. 4.12 A geometriai egyszerűsítő feltételezések • • •

A vizsgálandó rúdelemeink EGYENESTENGELYŰ, PRIZMATIKUS rudak, amelyeknél (a km. alakja-mérete a hossz mentén nem (vagy alig) változik. Ha a szerkezet ezt a feltételt nem elégíti ki, akkor olyan méretű elemekre kell bontanunk, amelyekre az egyenes tengely és az állandó keresztmetszet elfogadható közelítéssel igaz A feszültségeket a rúd KERESZTMETSZETEIBEN (a rúd tengelyére merőlegesen felvett metszet) keressük. A vizsgálatok során a rúd tengelye és a keresztmetszeti síkidom által meghatározott LOKÁLIS KOORDINÁTARENDSZERT alkalmazunk (x a rúd tengelye, y a keresztmetszet síkjában a vízszintes tengely, z a keresztmetszet síkjában a függőleges tengely). A fenti koordinátarendszerben az x tengely természetes kitüntetett irány, az y és a z tengelyek viszont csak a számíthatóság szempontjából választott célszerű állású tengelyek. Találkozunk majd olyan számítási eljárással is, amely a keresztmetszeti síkidomban is

kitüntetett irányokat (nevezetesen a keresztmetszeti síkidom két tehetetlenségi főirányát) igényli. A keresztmetszeti síkidom tehetetlenségi főirányait u és v betűkkel jelöljük, u az 1 főirány („erős” tengely, v a 2 főirány („gyenge” tengely). A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 54 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei Vissza ◄ 55 ► 4.13 Az anyagra vonatkozó egyszerűsítő feltételezések Az alkalmazott szerkezeti anyagról feltételezzük, hogy • HOMOGÉN Az anyagot akkor nevezzük homogénnek, ha az anyagtulajdonságok a térben állandóak, nem függenek a vizsgált pont helyzetétől, koordinátáitól. A homogenitás az acélanyagra igen jó közelítéssel igaz, a fára kevésbé, a betonra még kevésbé, a talajra, mint építőanyagra pedig csak igen komoly fenntartásokkal, rétegenként fogadható el. • IZOTROP Az anyagot akkor

nevezzük izotropnak, ha az anyagtulajdonságok nem irányfüggők, azaz a vizsgált pontban minden irányban azonosak. Az izotrópia az acélanyagra igen jó közelítéssel, a betonra jó közelítéssel, a talajra, mint építőanyagra elfogadható közelítéssel igaz, a fára viszont egyáltalán nem fogadható el. A gyárilag előállított fatermékekre (forgácslap, furnérlemez, stb) a technológia folytán az izotrópia vélelmezhető, a természetes, ill ragasztott fatartók esetében viszont számolnunk kell az anizotrop tulajdonságokkal. • (ideálisan) RUGALMAS Az ideális rugalmasság azt feltételezi, hogy az anyagban az erőeltolódás, vagy fajlagos erő-fajlagos megnyúlás függvénykapcsolata a teljes tartományban lineáris. Az ideális rugalmasság az acélanyagra igen jó közelítéssel igaz, a fára kevésbé, a betonra még kevésbé, a talajra, mint építőanyagra pedig csak igen komoly fenntartásokkal, rétegenként fogadható el. •

RUGALMAS-KÉPLÉKENY A rugalmas-képlékeny viselkedés azt jelenti, hogy az anyag a folyási határig ideálisan rugalmasan viselkedik, azt elérve viszont ideálisan képlékeny lesz, azaz a keresztmetszet megfolyt pontjaiban az elmozdulások-alakváltozások további tehernövekedés nélkül is folytatódnak. Rugalmas-képlékeny tulajdonságot alapvetően az acélanyagban találunk, de bizonyos mértékig a vasbetonszerkezetekben is lehet-szokás a képlékeny teherbírást figyelembe venni. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 55 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei Vissza ◄ 56 ► 4.14 A viselkedésre vonatkozó egyszerűsítő feltételezések Rúdszerkezeteink terhelés közbeni viselkedéséről feltételezzük, hogy: • a rúdban az ALAKVÁLTOZÁS ELÉG KICSINY ahhoz, hogy hatását az igénybevételek számítása során elhanyagolhassuk (megmerevítés elve, I. rendű

számítás) • az alakváltozás során a rúdban a KERESZTMETSZETEK SÍKOK MARADNAK • az alakváltozás során a rúdban a hossztengellyel párhuzamos ELEMI SZÁLAK a keresztmetszeti síkokra MERŐLEGESEK MARADNAK (ez a feltevés nem minden esetben tartható!) Ez utóbbi két feltételezés Bernoulli és Navier nevéhez fűződik, és a rúdszerkezetekben a (legtöbbször) domináns normálfeszültségek meghatározásában használható jól. A Bernoulli - Navier hipotézist az alábbi ábrán a merev keresztmetszeti lapok tengelyirányban álló rugós kapcsolatával szemléltethetjük. Megjegyezzük, hogy a fenti rugós modell a nyírófeszültségek vizsgálatára nem alkalmas. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 56 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 57 ► 4.15 A rúdszerkezetekben vizsgálandó keresztmetszeti igénybevételek Mx My =Mu Ty =Tu x Nx Mz

=Mv y (=u) Tz =Tv z (=v) Nx normálerő Tz nyíróerő (Tv nyíróerő) Ty nyíróerő (Tu nyíróerő) Mx csavarónyomaték My hajlítónyomaték (Mu hajlítónyomaték) Mz hajlítónyomaték (Mv hajlítónyomaték) Egy térbeli rúdszerkezet egy keresztmetszetében a fenti keresztmetszeti igénybevételek fordulhatnak elő, és a feszültségszámítás összefüggéseit, algoritmusait ezekre az igénybevételekre kell levezetnünk. 4.16 Az igénybevételek FÜGGETLENSÉGE: A keresztmetszeti feszültségek meghatározása során a tapasztalatok azt mutatták, hogy a tartószerkezet egyes igénybevételei (általában, az extrém esetektől eltekintve) egymástól függetlenül terhelik a szerkezetet, így a belőlük származó feszültségek is egymástól függetlenül számíthatók: • A számítások során arra törekszünk, olyan közelítéseket alkalmazunk, hogy az egyes igénybevételekből származó feszültségek a többi igénybevételtől FÜGGETLENÜL legyenek

számíthatók. MEGJEGYZÉS: a Tz nyíróerővel egyidejűleg MINDIG van My , ill. a Ty nyíróerővel egyidejűleg MINDIG van Mz hajlítónyomaték! d[My(x)]/dx=-Tz(x); ill. d[Mz(x)]/dx=-Ty(x) • Alapállapotban a megfelelőséget a normál- ill. a nyírófeszültségekre KÜLÖN-KÜLÖN ellenőrizzük, a különböző hatásokból származó, de azonos jellegű (normál- ill. nyíró)feszültségeket (vektoriálisan) összegezve. Erős kihasználtság esetén e kétfajta, ugyanazon pontban egyidejűleg működő feszültség EGYÜTTES hatását is vizsgálni kell (öszszehasonlító feszültségvizsgálat, törési (folyási) feltétel, főfeszültség-vizsgálat). A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 57 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei Vissza ◄ 58 ► 4.2 Feszültségek egyszerű igénybevételekből Egyszerű igénybevételűnek tekintjük a tartókeresztmetszetet, ha a

lehetséges igénybevételfajták közül csak egy működik a keresztmetszeten. Ilyen esetekben az igénybevétel-feszültség összefüggés egyszerűbben levezethető, és a függvénykapcsolatok linearitásának érvényessége esetén az egyszerű igénybevételekre meghatározott algoritmusok kombinációja alkalmazható. 4.21 Tiszta húzás (-nyomás) igénybevételi állapota Tiszta húzás (nyomás) esetén CSAK tengelyirányú, centrikus (a súlypontban támadó) erő terheli a keresztmetszetet. Az ébredő p(x,y,z) keresztmetszeti feszültségeknek biztosan lesz x irányú, azaz σ feszültségkomponense, vagy másként: a normálerő a keresztmetszeti σ feszültségrendszer eredőjeként értelmezhető. Nx Ty Tz Mx My Mz Nx A tiszta nyomás esetére levezethető szilárdsági összefüggések megegyeznek a tiszta húzás összefüggéseivel, de a nyomott (különösen a kis keresztmetszetű, karcsú) nyomott elemek jellemzően nem szilárdsági, hanem stabilitási

elégtelenség miatt mennek tönkre. Ezért a nyomott elemek megfelelőségi ellenőrzésekor a szilárdsági vizsgálat mellett mindig el kell végezni a stabilitásvizsgálatot is. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 58 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 59 ► A feszültségeloszlás a tiszta húzással terhelt keresztmetszetben Ha a keresztmetszetben általános állású feszültségvektorokat tételezünk fel, akkor az egyes pontokban a nyírófeszültségek a két csatlakozó darabon ellentétes keresztirányú deformációkat okoznának, és emiatt az átvágott keresztmetszetben a két tartódarab végmetszetei nem illeszkedhetnének, ami viszont sérti az anyag folytonosságát. EZ A FELTEVÉS TEHÁT HIBÁS! Ha a keresztmetszetben csak normálfeszültséget tételezünk fel, de annak eloszlását nem egyenletesnek tekintjük, akkor az egyes pontokban az

eltérő normálfeszültségi értékek miatt a fajlagos nyúlások is különbözők lennének, és emiatt az átvágott keresztmetszetben a két tartódarab végmetszetei nem illeszkedhetnének, ami viszont sérti az anyag folytonosságát. EZ A FELTEVÉS TEHÁT HIBÁS! A centrikusan húzott rúd közbenső keresztmetszeteiben az anyag folytonossága csak úgy biztosítható, ha a keresztmetszetekben CSAK εx fajlagos nyúlás keletkezik és ennek eloszlása a teljes keresztmetszetben EGYENLETES, azaz a keresztmetszetben CSAK σx normálfeszültség ébred és ennek eloszlása a teljes keresztmetszetben (szintén) EGYENLETES. σx=Nx/A σx/εx=E εx=Δdx/dx A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 59 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 60 ► 4.22 Tiszta nyírás igénybevételi állapota Nx Ty Tz Mx My Mz My Tz =Tv A keresztmetszeti igénybevételek differenciális

összefüggése miatt a keresztmetszeti nyíróerő léte megkívánja a (vele azonos síkban működő, azonos terhelésből származó) nyomatéki igénybevétel létét. A tiszta (más igénybevételektől mentes) nyírás tehát tényleges rúdkeresztmetszetekben valójában NEM FORDULHAT ELŐ!!! Az elméleti lehetetlenséget elismerve mégis adódik olyan terhelési eset, amelyben a keresztmetszet pontjaiban a nyíróerő hatása dominál. Ezekre a (kapcsolatokban, kötőelemekben előforduló) esetekre (közelítő megoldásként) alkalmazhatónak elfogadjuk a TISZTA NYÍRÁSi igénybevételi állapotát Ha terhek hatására a szerkezet két darabja egy sík mentén ellenkező irányba akar elfordulásmentesen eltolódni, azaz e sík mentén sem nyomatékra, sem normálerőre nem kell számítanunk, a szerkezet igényγ bevételi állapotát tiszta nyírásnak nevezzük. Tiszta nyírás dz esetén a metszetben egyenletes dz dx nyírófeszültségekkel számolunk. dx dx A tiszta

nyírás igénybevétele a keresztmetszeteket a tartótengelyre MERŐLEGESEN mozdítja el, és így az elemi szálaknak a keresztmetszetekkel bezárt (eredetileg merőleges) állása megváltozik. Az elemi hasáb tengelyre merőleges elmozdulásának a tartótengely mentén mért hosszhoz viszonyított értékét a nyírásra jellemző deformációnak, γ NYÍRÁSI SZÖGTORZULÁSnak nevezzük. τxz=Tz/A τxz/γxz=G γxz=Δdz/dx A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 60 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 61 ► Általános esetben az elemi hasáb torzulása szimmetrikus, így a γ/2 jelenik meg az ábránkon. τ τ γ dz τ τ dx γ/2 τ τ τ τ dx Ha a keresztmetszetben a nyíróerőből a fentiek szerint egyenletes nyírófeszültséget tételezünk fel minden pontban, ellentmondásra jutunk. τ=0 τ=0 y T τ=0 τx τ=0 τx τ=0 z τx=0 τx τx τx

T y τx τx τx τx τ τx=0 z x y T z A rúd oldalfelületén, az érintősíkokban (a MÉGIS: VALAMI és SEMMI határfelületén) a gyakorlat számára a kapSEMMILYEN IRÁNYÚ NYÍRÓFE- csolóelemekben egy ÁTSZÜLTSÉG NEM ÉBREDHET. Emiatt LAGOSÍTOTT, FIKa keresztmetszet SÍKJÁBAN a kerület men- TÍV nyírófeszültséget vetén CSAK ÉRINTŐIRÁNYÚ NYÍRÓ- szünk figyelembe, amelyFESZÜLTSÉG keletkezhet A dualitás nek IRÁNYÁT a nyírómiatt tehát a keresztmetszeti nyírófeszültsé- erő irányával azonosnak, pedig gek pontról-pontra mind állásukban, mind ELOSZLÁSÁT egyenletesnek vesszük. nagyságukban ELTÉRŐK lesznek. Az egyenletes fiktív nyírófeszültség alkalmazása a kötőelemek tiszta nyírású metszeteiben részben a képlékeny kiegyenlítődés, részben pedig az anyagellenállás hasonló módon történt meghatározása miatt elfogadható. A gerendatartók (hajlított-) nyírt keresztmetszeteiben viszont tiszta nyírással NEM

SZÁMOLHATUNK. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 61 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei Vissza ◄ 62 ► Lemezek szegecselt-csavarozott kapcsolata A tiszta húzás és a tiszta nyírás igénybevételi állapotai a (húzott) lemezek kötőelemes kapcsolataiban jelentkeznek és kerülnek alkalmazásra. Az elégtelen hosszúságú lemez toldására, az erő átadására az egyik leggyakoribb módszer a toldandó és a toldó lemez furataiban elhelyezett hengeres kötőelemek alkalmazása. Alaphelyzetben a kapcsolat közvetlenül a két lemez között is megvalósítható, de így a lemezelemek eltérő tengelyvonala miatt a két lemezben működő húzóerők nem esnek egy hatásvonalba (a szerkezet persze gondoskodik a hatásvonalak azonosságáról: a kapcsolati részen alkalmasan meggörbül). A kapcsolati szakasz deformálódásának elkerülésére a kapcsolatot legtöbbször

szimmetrikus, hevederes kapcsolatként alakítjuk ki: a bütüsen (homloklapjaikkal) illesztett lemezekre alul-felül egy-egy hevederlemezt helyezünk, és a kötőelemekkel először az egyik lemezből átvisszük az erőt a hevederlemezekbe, majd a csatlakozási metszet után visszavisszük a másik lemezbe. Valójában tehát a szimmetrikus hevederes kapcsolat két kapcsolat együttes alkalmazását jelenti, erre majd a kötőelemszám meghatározása során kell figyelni. Kötőelemként szegecseket, csavarokat, vagy akár hengeres acélcsapokat is alkalmazhatunk. A kötőelemek tulajdonságaitól függő szabályokat a szaktárgyakban fogják megismerni, itt csak a kapcsolat működési elvét tisztázzuk. A húzott-nyomott acéllemezek csavarozott-szegecselt kapcsolatában a lemezek a csavarok palástjára támaszkodnak. Az ellenkező irányba mozdulni akaró lemezelemek közötti sík(ok)ban a kötőelemek igénybevétele TISZTA NYÍRÁS, a lyuk és a hengeres kötőelem

csatlakozó felületein pedig PALÁSTNYOMÁS alakul ki. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 62 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei Vissza ◄ 63 ► A húzott lemez a furatokba helyezett kötőelem palástjára támaszkodik, a kötőelem pedig egy másik palástfelületén adja át az erőt a hevederlemezeknek. A palástfelületen ébredő feszültség valós eloszlása sugárirányú, változó nagyságú vektorokkal írható le, de ezek húzásirányra merőleges összetevői a húzóerő átadása szempontjából lényegtelenek (csak a kötőelemben okoznak keresztirányú nyomófeszültségeket). A számítási munka egyszerűsítése érdekében ezért a valós eloszlás helyett a tengelyirányú erővel párhuzamos, egyenletes megoszlású palástnyomási feszültséggel számolunk, amelyet az átmérő mentén működőnek tételezünk fel. A palástnyomási feszültségeke a

lemezelemk vastagsága mentén (is) egyenletes megoszlásúnak tekintjük. a palástnyomási feszültség valós eloszlása és működési felülete a palástnyomási feszültség számított eloszlása és működési felülete A kötőelem palástjára működő feszültségeket az alapanyag és a hevederlemez vastagsága mentén (is) egyenletes eloszlásúnak tekintjük Az alapanyag-lemez és a hevederlemez csatlakozási felületein az ellenkező irányban működő palástnyomási feszültségek a kötőelemben tiszta nyírási igénybevételi állapotot ébresztenek. Ennek megfelelően a kötőelem nyíródó felületein egyenletes nyírófeszültségekkel számolhatunk A húzóerőt a kötőelemek között (is) egyenletesen elosztottnak tekintjük, minden kötőelemre ugyanakkora erőhányadot tételezünk fel. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 63 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Rúdszerkezetek keresztmetszeti

feszültségei Vissza ◄ 64 ► A húzóerőt az alapanyag-lemez a furatba helyezett kötőelemnek a húzásiránnyal ellentétes oldali palástjára támaszkodva továbbítja. Ez azt jelenti, hogy a lyuk(ak)kal gyengített keresztmetszetnek azt az erőhányadot még viselnie kell, amit az aktuális lyukban lévő kötőelem továbbít. Az alapanyag-lemez első lyuksorának tengelyében, tehát a gyengített keresztmetszetben, a teljes húzóerővel kell számolnunk. Ha a lemezben az erők továbbítását erővonalakkal szemléltetjük, akkor az is látható, hogy a kötőelemekre történő erőátadódáshoz az erővonalaknak a lyukakat meg kell kerülniük, ehhez pedig a lyuk környezetében nagyobb erővonal-sűrűség tartozik. Az erővonalak sűrűsége a kialakuló feszültségeloszlást tükrözi, tehát a gyengített keresztmetszetekben a feszültségeloszlás még centrikus erő esetén sem lesz egyenletes. Ugyanakkor az acélanyag képlékeny tulajdonsága miatt

számolhatunk a feszültségi csúcsok leépülésével, a feszültségek képlékeny átrendeződésével, végső soron a gyengített keresztmetszetben is egyenletes feszültségeloszlással A húzott lemez ill. a heveder mértékadó gyengített keresztmetszete(i) Sxx K [kN/cm 2 ] 60,00 54,00 48,00 42,00 36,00 30,00 24,00 18,00 12,00 6,00 0 A fenti ábrán egy, mindkét végén egyenletesen megoszló erővel húzott acéllemez számított hosszirányú normálfeszültségeinek eloszlását mutatjuk be. Látható, hogy a feszültségeloszlás egyenletes, csak a lyukak közvetlen környezetében van anomália: a lyukak szélességében a lyuk előtt-mögött a hosszirányú normálfeszültség lecsökken, a lyuk mellett viszont jelentősen megnő. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 64 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ ► 65 Sxx K [kN/cm 2 ] 60,00 54,00 48,00

42,00 36,00 30,00 24,00 18,00 12,00 6,00 0 48,95 57,59 A kinagyított ábrán látható, hogy a lemezre jellemző 200 N/mm2 (itt: 20 kN/cm2) értékű normálfeszültség a lyuk mellett több, mint kétszeresére ugrik fel, de az is látható, hogy ez a túlfeszültség csak rövid szakaszon alakul ki, azaz a képlékeny átrendeződés elfogadható. egy általános helyen lévő keresztmetszet 18,85 lyuk 20,80 20,00 20,00 20,00 A számított feszültségeloszlás a keresztirányú metszetekben a gyengített keresztmetszet (a lyuktengelyben) A szegecsszámítás egyszerűsítéseinek összefoglalása A szegecsszámítás során a számítási eljárás egyszerűsítését szolgáló megállapításainkat az alábbiakban pontokba szedve is összefoglaljuk. Az egyszerűsítéseket az acélanyag képlékeny viselkedése, az ebből fakadó feszültségátrendeződési képesség indokolja, a számítási munka csökkenése indikálja és a gyakorlati tapasztalatok összessége

igazolja. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 65 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei Vissza ◄ 66 ► A szegecsszámítás egyszerűsítő feltételezései: • a valós palástnyomási feszültségek helyett fiktív, az átmérő mentén egyenletes, a húzó- (vagy nyomó)erővel párhuzamos „feszültségeket” alkalmazunk • a palástnyomási (fiktív!) „feszültségeket” az egy irányban dolgozó lemezek (összegzett) vastagsága mentén állandónak veszszük • a kötőelemek elnyíródó felületein csak (fiktív) nyírófeszültségekkel számolunk, és ezek eloszlását a teljes nyíródó felületen egyenletesnek tekintjük • a több nyíródó felülettel rendelkező (többször nyírt) kötőelemekben az egyes nyíródó felületek között egyenletes erőeloszlással számolunk • a gyengített keresztmetszet (számítási!) „feszültségeit” mind a

keresztirányú (hatékony) szélesség, mind az egy irányban dolgozó lemezek (összegzett) vastagsága mentén állandónak vesszük • a teljes húzó- (vagy nyomó)erőt mind a palástnyomási vizsgálat, mind a nyírásvizsgálat során a kötőelemek között egyenletesen elosztottnak tekintjük. A szegecsszámítás méretezési-ellenőrzési összefüggései A szegecskapcsolatot tekinthetjük összetett szerkezetnek, amely többféleképpen, több „szakadási metszet” mentén is elemeire bontható. A tartórészek egyensúlya megkívánja, hogy a vizsgált tartórészre működő erők eredőjének zérust kell adnia, tehát a vetületi-nyomatéki egyenletek ezekre a tartórészekre is felírhatók. A centrikus húzás miatt a szegecskapcsolatban csak a tengelyirányú, a húzóerővel párhuzamos vetületi egyenletnek lesz információtartalma, ezt viszont minden tönkremeneteli formára, minden szakadási metszetre fel kell írni. Az összefüggésekben • a vmin az

egyirányban dolgozó lemezelemek összegzett vastagsága, • az n az egy kapcsolatban szereplő kötőelemek darabszáma, • a d a kötőelemek (névleges) átmérője, • a k az egy kötőelemben egyidejűleg nyíródó síkok száma, • a j a kapcsolatban a húzóerőre merőlegesen elhelyezett kötőelemek száma. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 66 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 67 ► vhev kk vhev n v h j d ellenőrzés palástnyomásra σ tényleges, palástnyomás ,MAX = Fhúzó ≤ σ p ,eng n × d × vmin ellenőrzés nyírásra τ tényleges , MAX = Fhúzó ≤ τ eng d 2π n× k × 4 ellenőrzés húzásra σ tényleges, MAX = Fhúzó ≤ σ eng (h − j × d ) × vmin A fenti összefüggések természetesen bármelyik adat keresése során alkalmazhatók, mindig a keresett mennyiséget kell kifejeznünk, és a megengedett

feszültség ismeretében a szükséges méret, kötőelemszám meghatározható. Megjegyezzük, hogy a kapcsolat megfelelőségéhez a fenti három egyenlőtlenség mindegyikének teljesülnie kell, tehát ellenőrzés esetén mindhárom egyenlőséget ellenőriznünk kell, méretezés esetén pedig a három egyenlőtlenségből kapott adatok legerősebbikét kell (kerekítve) alkalmaznunk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 67 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék 4.3 Tiszta hajlítás ◄ 68 ► Nx Ty Tz Mx My Mz a hajlítás síkja y x Vissza My z Ha a rúd keresztmetszeteit CSAK nyomaték (My) terheli, TISZTA HAJLÍTÁSról beszélhetünk. Ha e nyomaték VEKTORA a keresztmetszeti síkidom valamelyik tehetetlenségi főirányában áll, a hajlítás EGYENES HAJLÍTÁS. A (tiszta) egyenes hajlítás esetén a keresztmetszetet terhelő hajlítónyomaték SÍKJÁT a tartó

tengelye és a keresztmetszet másik tehetetlenségi főiránya határozza meg. Nx Ty Tz Mx My Mz a hajlítás síkja Ha a rúd keresztmetszeteit CSAK (Mz) nyomaték terheli, TISZTA HAJLÍTÁSról beszélhey tünk. Ha e nyomaték VEKTORA a keresztmetszeti síkidom valamex Mz lyik tehetetlenségi főirányában áll, a hajlítás EGYENES HAJLÍTÁS. A (tiszta) egyenes hajlítás esetén a z keresztmetszetet terhelő hajlítónyomaték SÍKJÁT a tartó tengelye és a keresztmetszet másik tehetetlenségi főiránya határozza meg. Vizsgálatunkat egy x-z síkra szimmetrikus tartón, a szimmetriasíkban működő My nyomatékra végezzük. Ez esetben az y tengellyel párhuzamos egyenesek mentén (a szimmetria miatt) az ε fajlagos nyúlások értéke állandó. A Bernoulli-Navier hipotézist érvényben tartva a keresztmetszeteket a bekövetkező deformációk után is síknak, a tengellyel párhuzamos elemi szálakat pedig a keresztmetszetekre merőlegeseknek tekintjük A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 68 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 69 ► 4.31 A semleges tengely fogalma A tiszta hajlítás igénybevételi állapotában a tartókeresztmetszetben a nyomaték mellett sem normálerő, sem nyíróerő nem működik. Nyíróerő hiányában a keresztmetszet pontjaiban nem kell nyírófeszültségekre számítanunk. Ugyanezt láthatjuk az elemi szálak és a keresztmetszetek merőlegességét kimondó Bernoulli-Navier hipotézisben is: ha a pontok kicsiny környezetében felvett elemi hasábokban a bekövetkező deformáció nem okoz nyírási szögtorzulást, akkor ezekben a pontokban nyírófeszültség sem ébredhet. A keresztmetszeti normálerő hiánya viszont azt eredményezi, hogy a nyomatékból a keresztmetszet pontjaiban ébredő normálfeszültségek teljes keresztmetszeten vett összegzett hatása csak nyomaték lehet. Ennek

megfelelően a keresztmetszeti síkidomnak bizonyosan lesz olyan része, amelyben húzófeszültségek és olyan része, amelyben nyomófeszültségek alakulnak ki. A húzott és a nyomott zónákat elválasztó vonalban sem nyúlás, sem összenyomódás nem jöhet létre, itt a normálfeszültség értéke zérus A keresztmetszeti nyomatéki igénybevétel nyomán kialakuló deformáció miatt a húzott zónában az elemi szálak megnyúlnak, a nyomott zónában összenyomódnak. Az alakváltozott elemi szálak végpontjai a keresztmetszet új állását rajzolják ki. Minthogy azonban (a rúdszerkezetek körében elfogadott feltételezésünk szerint) a keresztmetszet a rúdelem deformációja után is sík maradt, a húzott és nyomott zónákat elválasztó (nyúlás- és összenyomódásmentes pontok halmazaként definiált) vonal az eredeti keresztmetszeti sík és az alakváltozás utáni keresztmetszeti sík metszésvonala, azaz egyenes, éspedig a szimmetria miatt az x-z

szimmetriasíkra merőleges egyenes lesz. A húzott és nyomott zónákat elválasztó, nyúlás- és összenyomódásmentes pontok halmazaként definiált vonalat a keresztmetszet semleges tengelyének nevezzük. A Bernoulli-Navier hipotézisben megfogalmazott feltételezések miatt a rúdszerkezetek keresztmetszeteiben a semleges tengely mindig egyenes. A tiszta hajlítás igénybevételi állapotában a semleges tengely a szimmetriasíkra merőleges, az y tengellyel párhuzamos lesz. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 69 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 70 ► 4.32 A nyomatékból származó normálfeszültségek εx (y,z) x My z σx (y,z) x y z yP PP εP,x dA=dy×dz My yP zP P σP,x z y dA=dy×dz A keresztmetszetek torzulásmentessége miatt a nyomaték hatására elforduló keresztmetszet pontjai egy SÍKRA illeszkednek, azaz a keletkező ε fajlagos

nyúlások-összenyomódások a semleges tengelytől mért távolság lineáris függvényei. Az anyag ideális rugalmassága miatt (σ =E×ε) a nyomaték hatására elforduló keresztmetszet σ feszültségvektorainak végpontjai (is) egy SÍKRA illeszkednek, azaz a keletkező σ normálfeszültségek (is) a semleges tengelytől mért távolság lineáris függvényei. Az x-z síkra szimmetrikus tartón, a szimmetriasíkban működő My nyomatékra az y tengellyel párhuzamos vonalak mentén (a szimmetria miatt) a σ normálfeszültségek értéke állandó. A keresztmetszetben a külső erőkből meghatározott nyomatéki igénybevételt valójában a keresztmetszet pontjaiban az anyagi kapcsolat veszi fel. A pontonként meglévő anyagi kapcsolatot viszont a fajlagos belső erőkkel, a feszültségekkel helyettesítettük, tehát a keresztmetszeti nyomatéki igénybevétel az elemi felületdarabokon ébredő (fajlagos) belső erők, a feszültségek nyomatékainak összege. Az egy

pontban ébredő elemi erő (dF) a pont z koordinátájával, az általa kifejtett elemi nyomaték (dM) a pont z koordinátájának négyzetével arányos. Az ábrán a P ponthoz tartozó dA=dy×dz elemi felületet a láthatóság végett nagyra rajzoltuk, de ez a határátmenet képzésekor tart a zérushoz, azaz a dF elemi erő helye tart a P pont y-z koordinátáihoz. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 70 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 71 ► A keresztmetszet P pontjának dy×dz méretű elemi felületén a nyomatéki igénybevételből keletkező elemi erő nagysága: dF=σx×dydz=σx×dA=E×ε×dA=E×εmax/zmax×z×dA A keresztmetszet P pontjában a nyomatéki igénybevételből keletkező elemi erő (elemi) nyomatéka a hajlítási semleges tengelyre: dMy=z×dF=z×σx×dA=z×E×ε×dA= =z×E×εmax/zmax×z×dA= =E×εmax/zmax×z2×dA A keresztmetszet

nyomatéki igénybevételből keletkező elemi erőinek összegzett nyomatéka a hajlítási semleges tengelyre: MK,y σ=∫dMy=∫E×εmax/zmax×z2×dA= =E×εmax/zmax×∫z2×dA= =E×εmax/zmax×Jy=σmax/zmax×Jy A keresztmetszetben a külső erőkből számított keresztmetszeti nyomatéki igénybevétel valójában a megszüntetett anyagi kapcsolat pótlására pontonként alkalmazott fajlagos belső erők, feszültségek összegzett nyomatékával azonos, azaz MK,y σ= MK,y igénybevétel A keresztmetszet pontjainak feszültségeiből előállított nyomaték és a keresztmetszet nyomatéki igénybevételének azonossága alapján a nyomatéki igénybevételből származó normálfeszültség a keresztmetszet P pontjában: igénybevétel K,y P P y σ= M J ×z A keresztmetszetben a maximális normálfeszültség a semleges tengelytől legtávolabbi, legnagyobb z ordinátájú pontban, a szélső szálban keletkezik. Ennek meghatározásához a z koordináta helyére a

szélsőszáltávolságot kell írnunk A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 71 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 72 ► 4.33 A keresztmetszeti modulus My y z z max,alsó z max,felső A keresztmetszeteink méretezése-ellenőrzése során a legtöbbször a maximális feszültségre vagyunk kíváncsiak, hiszen erre kell kimutatnunk, hogy alatta marad az anyagra megengedett határértéknek, az anyagszilárdságnak. Ezekben a számításokban mindig a szélső szál pontjait kell ellenőriznünk, ezért a pont semleges tengelytől mért távolsága mindig a szélsőszál-távolság lesz. A mérnöki gyakorlat a keresztmetszeti tehetetlenségi nyomaték és a szélsőszál-távolság hányadosát külön mennyiségként, keresztmetszeti modulusként (vagy más néven: keresztmetszeti tényezőként) definiálja. Ha a keresztmetszetben a hajlítási semleges tengely

nem szimmetriatengely, akkor természetesen a két szélső szál a semleges tengelytől mért távolsága nem azonos, ilyen esetekben két keresztmetszeti modulussal kell számolnunk. A keresztmetszeti modulus jele W, indexben pedig jelölnünk kell a semleges tengelyt, amelyre a tehetetlenségi nyomatékot számítottuk, és a szélső szál irányát Wy,felső= z Jy max,felső Jy =e felső Jy Jy Wy,alsó= z = e max,alsó alsó My Wy,alsó My σx,max,felső= Wy,felső σx,max,alsó= A keresztmetszeti modulus használata a gyakorlatban azért célszerű, mert az alkalmazandó keresztmetszeti alakok-méretek általában nem szabadon választhatók, hanem az ipar által gyártott, a kereskedelem által forgalmazott termékekből kell kiválasztanunk a megfelelőt. Ennek során igen jól használható a gyártó által a termék valós geometriai tulajdonságai alapján kiszámított, és közzétett keresztmetszeti modulus értéke. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék

Vissza ◄ 72 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei Vissza ◄ 73 ► 4.34 A semleges tengely helye A tiszta hajlítás igénybevételi állapotában a keresztmetszetet tengelyirányú erő nem terheli, ezért a normálfeszültségekből pontonként számított elemi erők tengelyirányú vetületösszege zérus lesz. Felhasználva a P pontban a nyomatéki igénybevételből keletkező elemi erő nagyságának korábban levezett összefüggését, felírhatjuk az x tengely irányú vetületi egyenletet: dF=σx×dydz=σx×dA=E×ε×dA=E×εmax/zmax×z×dA Σ(dFx)=Σ(σx×dA)=Σ(E×εmax/zmax×z×dA)=0 A fenti összegzésben azonban az E rugalmassági modulus, az εmax szélsőszál-alakváltozás és a zmax szélsőszál-távolság a keresztmetszet egészének adata, és a pontonkénti összegzés során állandó. Az állandó szorzók az összegzésben kiemelhetők, így:

Σ(dFx)=Σ(σx×dA)=E×εmax/zmax×Σ(z×dA)=0 A fenti kifejezés csak akkor lehet zérus, ha • E=0 (végtelen hajlékony anyag, ilyen nincs) • εmax =0 (végtelen merev anyag, ilyen nincs) • zmax = ∞ (végtelen méretű keresztmetszet, ilyet nem használunk) • Σ(z×dA)=0 (a keresztmetszetnek a semleges tengelyre számított statikai nyomatéka zérus). A keresztmetszetben a nyomatékból keletkező normálfeszültségek vetületi összegzése alapján tehát kimondhatjuk, hogy a semleges tengely, amit az alakváltozás- ill. feszültségmentesség alapján definiáltunk, a keresztmetszetnek mindig súlyponti tengelye lesz Tiszta hajlítás igénybevételi állapotában a semleges tengely emellett a hajlítás síkjára merőleges, azaz egybeesik a hajlítónyomaték vektorával. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 73 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 74 ►

4.35 A tiszta hajlításból származó feszültségek eloszlása A tiszta egyenes hajlítással terhelt keresztmetszetben tehát a normálfeszültségek a nyomatékkal egyenes arányban, a keresztmetszet (nyomatékvektorral megegyező állású semleges tengelyére vett) inercianyomatékával fordított arányban alakulnak, és a vizsgált pontnak csak a semleges tengelytől mért z távolságától függnek (egyenes arányban). (Jy: főirány!) x My σx σx= My, külső/Jy× z y= semleges tengely z σx(x,y,z)= My,külső (x) /Jy (x) × z A keresztmetszet pontjaiban ébredő σx normálfeszültségek (elvileg) a pont helykoordinátáinak háromváltozós függvényei. A szimmetria miatt a szimmetriatengelyre merőleges irányban a feszültségek nem változnak, így az y változótól való függés elhagyható. A rúd prizmatikus kialakítása, a keresztmetszetek alakjának-méretének állandósága miatt a különböző x koordinátájú, de ugyanazon z koordinátával

jellemezhető pontokban a feszültség csak az My nyomaték függvényében fog változni, míg egy keresztmetszetben, ahol az x koordináta állandó, és a z koordinátát változtatjuk, a feszültségek a csak az x-től függő nyomaték állandósága miatt csak a pont z koordinátájának lesznek a függvényei. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 74 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 75 ► 4.4 A hajlítással egyidejűleg működő nyírás 4.41 A keresztmetszeti nyírófeszültség meghatározása Rúdszerkezeteink leggyakoribb terhelése a tengelyre merőlegesen működő koncentrált vagy megoszló teher. Ez a terhelési mód a tartó keresztmetszeteiben hajlítónyomatékot ÉS nyíróerőt ébreszt (A differenciális összefüggésben bebizonyítottuk, hogy a nyíróigénybevétel léte előírja a keresztmetszetben a nyíróerővel azonos síkú

hajlítónyomaték létét is.) A tiszta egyenes hajlítás esetében feltételeztük a sík keresztmetszetek és a tengellyel párhuzamos elemi szálak merőlegességének állandóságát. Emiatt a pontok környezetében felvett elemi hasábokban szögtorzulás nem léphet fel, azaz a τxz feszültség a keresztmetszet minden pontjában zérus. h My dϑ dz My dx h Tz dx Tz dx dz du dx A hajlítással egyidejűleg működő nyírás esetén a keresztmetszeti síkok és a tengellyel párhuzamos elemi szálak merőlegessége NEM tartható, hiszen akkor nem ébredhetne nyírófeszültség, ami viszont a nyíróerő léte miatt nem lehetséges. Ennek ellenére (a tapasztalatok szerint) a nyomatékból származó normálfeszültségek értékének és eloszlásának meghatározására jó közelítéssel elfogadható a tiszta egyenes hajlítás összefüggése Ugyancsak elfogadható az a feltevés, hogy a hajlítónyomatékból CSAK normálfeszültség, a nyíróerőből CSAK

nyíró-feszültség keletkezik. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 75 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 76 ► Tz(x) My(x) A tartó x koordinátájú keresztmetszetében működő igénybevételek: My(x) és Tz(x). z Az x+dx koordinátájú mety szetben működő igénybevételek: My(x+dx) és Tz(x+dx). A dx vastagságú tartószeletre a véglapokon működő nyomatéy kok nem egyenlítik ki egyy zP x mást, és így az ezekből szármayP P zó normálfeszültségek sem lesznek egyenlő nagyságúak. σx (x,y,z) Az x irányú vetületi egyenz súly csak a szelet belsejében z dA=dy×dz (a z normálisú síkon) ébredő τzx nyírófeszültségek révén bizx dx σx (x+dx,y,z) tosítható. T (x+dx) M (x+dx) x+dx A tartó x koordinátájú keresztmetszetében működő igénybevételek: My(x) és Tz(x). Az x+dx koordinátájú keresztmetszetben működő

igénybevételek: My(x+dx) és Tz(x+dx) Az My(x) és a Tz(x) függvényeket sorba fejtve, a másod- és magasabb fokú tagokat elhanyagolva dM y ( x) M y ( x + dx) = M y ( x) + dx dx A fentiek szerint a tartó dx vastagságú szeletére az x koordinátájú (vég)keresztmetszetben –My(x), az x+dx koordinátájú keresztmetszetben +My(x)+dMy(x) nyomaték működik. Ennek alapján a tartó dx vastagságú szeletének két oldalán működő σ normálfeszültségeknek az My(x) nyomatékból származó része x irányú vetületben kiegyenlíti egymást, x irányú kiegyenlítetlen erő csak az x+dx koordinátájú metszetet terhelő dMy nyomatéki növekményből származik. Ha a tartószeletet egy z koordinátájú magasságban vízszintesen (is) elvágjuk, a megmaradó (alsó vagy felső) elemre felírva a ΣFix=0 vetületi egyenletet, a dMy nyomatékból származó kiegyenlítetlen normálfeszültségeket csak a vízszintes metszetben keletkező nyírófeszültségek

kompenzálhatják. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 76 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 77 ► Az alábbi ábrán a rúdból kimetszett, dx vastagságú szeleten az My nyomatéki hányadból származó, egymást kioltó normálirányú feszültségeket kihagyva csak a dMy nyomatéki növekményből keletkező normálfeszültségeket rajzoltuk fel. A normálfeszültségek a teljes keresztmetszeten összegezve egyensúlyban vannak, de ha a szeletet egy z koordinátájú pont magasságában az xy síkkal párhuzamosan elvágjuk, a megmaradó részre működő normálfeszültségek x irányú eredőjét csak a z normálisú síkon ébredő τzx nyírófeszültségek egyensúlyozhatják. (A homlokfelületek x irányú feszültségeit már figyelembe vettük, az alkotófelületen pedig csúsztatófeszültség nem ébredhet.) A τzx nyírófeszültségeket a vízszintes

síkú metszeten keresztirányban a szimmetria miatt, hosszirányban a határátmenetben 0-hoz tartó vastagság miatt állandónak tekinthetjük. (Az ábrán a jobb láthatóság érdekében a normálfeszültség-növekményeket az x tengely pozitív ága felé vettük fel, ehhez pedig negatív nyírófeszültségek és ennek megfelelően negatív nyíróerő társul.) dMy x T by dx y T’x=∫∫τzx(x,y)dx×dy τzx(x,y) A’ dσx (y,z) z dσx (y,z) N’x=∫∫dσx(y,z)dy×dz Az A’ homlokfelületű szeletdarabra a normálfeszültség-növekmények A’ felületen integrált összege és a nyírófeszültségek by szélességen és dx hosszon integrált összege működik. A dMy nyomatéknövekmény és az Jy inercianyomaték a keresztmetszetben állandó, így az A’ felületen történő integrálás során az integráljel elé kiemelhető. A z×dA szorzat a dA felületelemnek az y tengelyre számított statikai nyomatéka, összegzése tehát az A’ rész-felület y

tengelyre vonatkozó statikai nyomatékát adja. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 77 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 78 ► Felírva az x irányú erők egyenlőségét : N = ∫ dσ x × dA = ∫ A A T = τ zx × b y × dx N= dM y Jy dM y Jy ∫ z × dA = τ zx × z ×dA = dM y Jy ∫ z × dA A × by × dx = T A A σx feszültségek itt már csak a nyomaték növekményéből származnak, dMy/dx pedig a differenciális összefüggés alapján (negatív) nyíróerőt adja. dM y 1 dx J y by ∫ zdA = A Tz S y J y by = τ zx = τ xz A hajlított-nyírt tartó egy pontjában a nyíróerőből származó és vele párhuzamos vektorú nyírófeszültség tehát egyenesen arányos a Tz nyíróerővel, az A’-vel jelölhető „elcsúszni akaró rész”-nek a hajlítási semleges tengelyre vett statikai nyomatékával, fordítottan arányos a

keresztmetszeti síkidomnak a hajlítási semleges tengelyre vett inercianyomatékával és a keresztmetszetnek a pontban, a hajlítási tengellyel párhuzamosan mért szélességével. Az összefüggésből előjelet nem kapunk, a keresztmetszetben keletkező nyírófeszültség vektora mindig az őt okozó keresztmetszeti nyíróerő vektorával megegyező állású. Az ábrából és a levezetésből látható, hogy közvetlenül nem is a keresett keresztmetszeti nyírófeszültséget tudtuk meghatározni, hanem annak duális párját. Ebből természetesen az is kitűnik, hogy a hajlított-nyírt tartóban a hossztengellyel párhuzamos síkokban is ébrednek nyírófeszültségek Ezek a hossztengellyel párhuzamos síkban keletkező nyírófeszültségek akadályozzák meg a sík alatti és feletti tartórészek hosszirányú elcsúszását, biztosítva ezzel a két tartórész együttműködését. A keresztmetszeti nyírófeszültség számítási képletében ezért neveztük az

A’ felületdarabot „elcsúszni akaró rész”-nek. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 78 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei Vissza ◄ 79 ► 4.42 A kétfás tartó A hajlított-nyírt tartóban keletkező tengelyirányú nyírófeszültségek hatását legjobban az ún. kétfás tartón vizsgálhatjuk A tartó két, egymásra helyezett, téglalap keresztmetszetű fagerendából áll. Ha a gerendák között nincs kapcsolat (mondjuk még a súrlódás együttdolgoztató hatásától is eltekintünk), akkor a két gerenda individuálisan külön-külön dolgozik, együttes merevségük és teherbírásuk az egy gerendára számítható merevség és teherbírás kétszerese. A hajlított-nyírt szerkezetben normáligénybevétel nincs, ennek megfelelően a tartók tengelyvonalában, a hajlítási semleges tengely magasságában sem megnyúlás, sem összenyomódás nem alakul

ki. Az ábrán jól látható, hogy a véglapok elfordulása miatt a csatlakozási felületen (a szimmetriatengelytől távolodva egyre növekvő) relatív eltolódás, elcsúszás alakul ki az egymáson lévő tartókban. Ha az egymásra helyezett gerendák csatlakozási felületén az elcsúszást (ragasztással, csavarozással, keményfa ékek beépítésével, stb.) megakadályozzuk, azaz az individuális tartókat „team”be szervezzük, az együttműködő tartók alakváltozása lecsökken, merevsége és teherbírása megnő. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 79 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza b × h3 12 h J y , felső = J y , alsó = h M HATÁR, felső = M HATÁR, alsó = σ HATÁR × ◄ 80 ► b × h2 6 b × ( 2h) 3 b × h3 J y ,együttes = = 8× 12 12 b × ( 2h) 2 b × h2 M HATÁR, együttes = σ HATÁR × = 4 × σ HATÁR × 6 6 2h b A 2h

magasságú együttdolgozó keresztmetszet tehetetlenségi nyomatéka a külön-külön számolt tehetetlenségi nyomatékok összegének a négyszerese, a hajlításra számított határnyomatéki teherbírása a különkülön számított határnyomatékok összegének kétszerese. Ha tehát az együttdolgoztatandó elemek között az elcsúszást meg tudjuk akadályozni, a merevség (a tehetetlenségi nyomaték) négyszeresére, a nyomatéki teherbírás a kétszeresére növelhető. Megjegyezzük, hogy a fenti teherbírásnövelési arány csak akkor realizálható, ha a csatalakozó felületeken valóban semmiféle relatív elmozdulás nem alakul ki. Ez csak folytonos, nagy merevségű kapcsolat (ragasztás, hegesztés) alkalmazásával valósítható meg. Ha a kapcsolatot csak lokálisan tudjuk megteremteni, esetleg ott is csak bizonyos elmozdulások árán mobilizálódnak a kapcsolati erők (csavaros-ékes kapcsolat), akkor az együttdolgozás a kapcsolt elemek között nem

lesz tökéletes, a tehetetlenségi nyomaték, ill. a teherbírás növekedése nem éri el az elvi maximumot. A keresztmetszeti nyírófeszültségek meghatározására levezetett összefüggésünk a z normálisú síkokon tengelyirányban álló nyírófeszültségek számítására is alkalmas. Ha az i jelű koncentráltan alkalmazott kapcsolati elemben kell meghatároznunk a Hi vízszintes csúsztató erőt, a τzx nyírófeszültségeket a szélesség mentén állandónak tekinthetjük, a tartó tengelye mentén pedig a nyíróerő függvényével arányosan vehetjük fel. Ennek során a C és D jelű határpontokat a szomszédos kötőelemek közötti szakaszok felezőpontjaiban szokás megválasztani A rögzített, z magasságban állandó keresztmetszeti jellemzőket kiemelve azt látjuk, hogy a Hi horizontális csúsztatóerő a vizsgált szakaszon lévő nyíróerőábra-területtel arányos. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 80 ► Mechanika

II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 81 ► az i-ik kapcsolóelem q h z C b D Tz ATzC-D T ( x) × S y D D z C C H iC −D = ∫ τ zx × by × dx = ∫ J y × by × by × dx = S y Jy D S y C Jy ∫ Tz ( x)dx = ATCz −D Azonos teherbírású kapcsolóelemek alkalmazása esetén a kiosztás (célszerűen) nem lesz egyenletes, hiszen azonos terhelésű kapcsolóelemekhez a nyíróerőábra területeknek kellene azonos értékűeknek lenniük. 4.43 A keresztmetszeti nyírófeszültség eloszlása A hajlított-nyírt keresztmetszetben mindig keletkeznek a nyíróerővel párhuzamos állású nyírófeszültségek. Minthogy a nyírásvizsgálatban kikötöttük, hogy a nyíróerőnek szimmetriatengelyben kell működnie, így - a szimmetriatulajdonságok alapján - a nyírófeszültségek keresztirányban, a nyíróerőre merőleges egyenesek mentén konstans értékűek lesznek Egy

keresztmetszetben a nyíróerő is, és a keresztmetszet tehetetlenségi nyomatéka is konstans, tehát a különböző magasságokban, a nyíróerővel párhuzamos egyenesek mentén a nyírófeszültség-értékek változását a vizsgált ponthoz tartozó elcsúszni akaró rész statikai nyomatékának és keresztmetszeti szélességének a hányadosa határozza meg. A tiszta nyírás igénybevételi állapotának elemzése során megállapítottuk, hogy a tartószerkezeteink határoló felületén, az érintősíkban (a VALAMI és a SEMMI határán) semmilyen irányú nyírófeszültség nem ébredhet. Ennek következtében a nyíróerővel terhelt keresztmetszet szim- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 81 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 82 ► metriatengelyének végpontjaiban a (keresztmetszeti) nyírófeszültségek értéke zérus. Néhány hajlított nyírt

keresztmetszet nyíróerővel párhuzamos nyírófeszültségeinek a nyírás irányával párhuzamos eloszlása. Általános keresztmetszet nyíróerővel párhuzamos nyírófeszültségei + dMy x Tz z y σx (y,z) τxz (y,z) A nyírófeszültségek eloszlását (a normálfeszültségi eloszlásokkal megegyezően) a keresztmetszeti síkra merőlegesen szokás ábrázolni. A nyíróerőből közvetlenül számítható nyírófeszültségek természetesen a keresztmetszet síkjában működnek és a nyíróerővel párhuzamos állású feszültségvektorok lesznek. Általános keresztmetszet nyíróerőre merőleges nyírófeszültségei A határfelület érintősíkjának nyírófeszültség-mentessége azt jelenti, hogy az n normálisú érintősíkban (egyebek mellett) nem keletkezhet tartótengelydMy irányú, azaz a τnx jelű nyírófeszültség. y A dualitás miatt ennek megfelelően Tz x zérus értékű lesz a τxn nyírófeszültségτxy (y,z) komponens is. Minthogy a

keresztmetτxz (y,z) szeti síkidom határoló vonalában (a legalsó és legfelső pontok kivételével) τx (y,z) nyíróerővel párhuzamos, τxz jelű nyírófeszültség keletkezik, az érintési pontokban az eredő nyírófeszültség csak akkor nem tartalmaz az érintősík normálisának irányába eső összetevőt, ha vektora a normálisra merőlegesen, azaz a keresztmetszeti síkidom érintőjével párhuzamosan áll. Az érintő z meredekségének ismeretében τxy és τxz aránya egyszerűen felírható A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 82 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 83 ► Általános keresztmetszet eredő nyírófeszültségei dMy x y Tz b/2 τxy (y,z) y τxz (y,z) τx (y,z) t z A hajlítási semleges tengellyel párhuzamos egyenesek mentén a τxz feszültségösszetevők értéke konstans, a τxy összetevők értéke pedig az y

koordináta függvényében lineárisan változik. Ennek megfelelően az eredővektorok hatásvonala minden pontban az érintők metszéspontjába tart. A τxy nyírófeszültségkomponensek és az eredő τx nyírófeszültségek hasonlósági összefüggésekkel meghatározhatók. A hajlítási semleges tengellyel párhuzamos egyenesek szélső pontjaiban: b/2 τxy (y,z) = τxz (y,z) t τx (y,z) √(b/2)2+t2 = t τxz (y,z) A hajlítási semleges tengellyel párhuzamos egyenesek belső pontjaiban: y τxy (y,z) = τxz (y,z) t τx (y,z) √y2+t2 = t τxz (y,z) A nyíróerőből tehát a keresztmetszetben keresztirányú nyírófeszültség is keletkezhet. A z irányú nyíróerőből a keresztmetszet z=konstans koordinátájú pontjaiban a nyíróerővel megegyező állású nyírófeszültségek értéke konstans, a nyíróerőre merőleges nyírófeszültségek pedig az y koordináta függvényében lineárisan változnak (a szélső pontokban veszik fel maximális

értéküket, a szimmetriatengelyben pedig zérus értékűek lesznek). A z=konstans koordinátákkal jellemezhető, a hajlítási semleges tengellyel párhuzamos egyenes és a keresztmetszet határoló vonala metszéspontjában az eredő nyírófeszültség (a dualitás miatt) mindig az érintő irányában áll. Ha ez az érintő a nyíróerővel párhuzamos, akkor az érintési pontban, sőt a z=konstans egyenes összes pontjában a keresztirányú nyírófeszültség zérus A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 83 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 84 ► Téglalap keresztmetszet nyíróerővel párhuzamos nyírófeszültségei Tz S y Tz, Jy és by konstans, így a feszültség változása τ xz = h J y by S’y függvényében alakul. My Tz A y z τxz (y,z) z b h h S y = b( − z) × ( z + ( − z) / 2) = 2 2 z h ⎤ bhz bh2 bz2 bhz ⎡ h + − − = =

⎢(b − bz) × ( + )⎥ = 2 4⎦ 4 8 2 4 ⎣ 2 b bh2 Az S’y függvénye parabola, = −z 2 + 2 8 z=0 ⇒ S’y = b×h/2×h/4 τ xy = 0 z=±h/2 ⇒ S’y =0 T keresztmetszet nyíróerővel párhuzamos nyírófeszültségei My Tz y τxz (y,z) z A T keresztmetszetben a szimmetriatengellyel párhuzamos állású nyíróerőből keresztirányú nyírófeszültség sehol sem keletkezik (τxy=0). A nyíróerővel párhuzamos állású nyírófeszültségek értéke a magasság mentén parabolikusan változik, de (az elfogadott összefüggés szerint) a szélességváltás helyén ugrásszerűen változik (a felső lemez alsó felületén a τxz-nek zérusnak kell lennie, ezért a felső lemezben a képletünkből adódó függőleges nyírófeszültséget csak közelítésként fogadhatjuk el). I keresztmetszet nyíróerővel párhuzamos nyírófeszültségei τxy (y,z) My Tz z y τxz (y,z) Az I tartó gerincében a szimmetriatengellyel párhuzamos állású nyíróerőből

keresztirányú nyírófeszültség sehol sem keletkezik. Az övlemezekben azonban a számítási képletünk „csal”, hiszen az övlemez alsó felületére ad értéket, pedig ott a határoló felület feszültségmentessége és a dualitás miatt nem keletkezhet τxz. Az övekben az elcsúszni akaró rész értelemszerű megválasztásával az y irányú nyírófeszültségeket (τxy) határozhatjuk meg, de ezek általában kicsiny értékűek, és a szimmetria miatt hatásuk az egész keresztmetszetre kiegyenlítődik. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 84 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 85 ► Kétszeresen szimmetrikus, görbe határvonalú keresztmetszet nyírófeszültségei Tz τxy τxz τx by/2 y y τ xz ( y, z ) = τxy z A Tz nyíróerőből keletkező nyírófeszültségek meghatározhatóságához az szükséges, hogy az z tengely a

keresztmetszet szimmetriatengelye legyen. Ez esetben a nyíróerővel megegyező állású τxz nyírófeszültség: τx by/2 ty Tz × S y ( z ) J y × by τxz (a szimmetria miatt a τxz a pont y koordinátájának nem függvénye!) A keresztmetszet kerülete mentén az érintősíkokban (a „VALAMI és a SEMMI határfelületén”) nyírófeszültség nem ébredhet. Emiatt a keresztmetszeti eredő nyírófeszültségek a kerületi pontokban érintőirányúak lesznek Ez azonban csak úgy lehetséges, ha a Tz nyíróerő irányára merőleges nyírófeszültségek (τxy) is ébrednek. A keresztirányú nyírófeszültség (τxy) nagyságát és maximumát a z irányú nyírófeszültség (τxz)nagyságából a geometriai hasonlóság felhasználásával kaphatjuk: τ xy ( y , z ) = τ xz ( y , z ) × τ xy max ( y , z ) = τ xz ( y , z ) × y ty by 2 × ty A keresztirányú nyírófeszültség a szimmetriatengelyben mindig zérus, a hajlítási semleges tengellyel párhuzamos

egyenesek mentén pedig lineárisan változik. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 85 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ 86 ► A Ty nyíróerőből keletkező nyírófeszültségek meghatározhatóságához az szükséges, hogy az y tenbz/2 gely a keresztmetszet szimmetria-tengelye legyen. Ez esetben a nyíróerővel megegyező állású τxy y nyírófeszültség: Ty z τxz z Vissza bz/2 τx τxy τ xy ( y, z ) = tz Ty × S z ( y ) J z × bz (a szimmetria miatt a τxy a pont z koordinátájának nem függvénye!) A keresztmetszet kerülete mentén az érintősíkokban (a „VALAMI és a SEMMI határfelületén”) nyírófeszültség nem ébredhet. Emiatt a keresztmetszeti eredő nyírófeszültségek a kerületi pontokban érintőirányúak lesznek Ez azonban csak úgy lehetséges, ha a Ty nyíróerő irányára merőleges nyírófeszültségek (τxz) is ébrednek.

A keresztirányú nyírófeszültség (τxz) nagyságát és maximumát az y irányú nyírófeszültség (τxy) nagyságából a geometriai hasonlóság felhasználásával kaphatjuk: τ xz ( y, z ) = τ xy ( y, z ) × τ xz max( y, z) = τ xy ( y, z) × z tz bz 2×tz A keresztirányú nyírófeszültség a szimmetriatengelyben mindig zérus, a hajlítási semleges tengellyel párhuzamos egyenesek mentén pedig lineárisan változik. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 86 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 87 ► A kerületi pontokban az eredő nyírófeszültségvektorok mindig érintő irányúak lesznek, ezért a két szimmetriatengelyben működő nyíróerőből kapható nyírófeszültségvektorok skalárisan összegezhetők. y Ty Tz Ha mind az y, mind a z tengely szimmetriatengely, mindkét tengely mentén működhet keresztmetszeti nyíróerő. A

kerületi pontokban a Tz és a Ty hatására ébredő eredő nyírófeszültségek vektora egy egyenesbe esik, értékük tehát skalárisan (is) összegezhető. τx τxz τxy τxy τxz (az ábra a keresztmetszet negyedét mutatja!) τxTz z A keresztmetszet belső pontjaiban a szimmetriatengelyekben működő nyíróerőkből számítható nyírófeszültségek állása eltérő lesz, ezért összegzésük csak vektoriálisan lehetséges! z t y Ty Tz τxy τxz τx ty z τx τxz y τxy z A Tz és a Ty nyíróerőkből a belső pontokhoz más-más érintőket kell figyelembe venni. Ha mind az y, mind a z tengely szimmetriatengely, és mindkét tengely mentén működik keresztmetszeti nyíróerő, akkor a belső pontokban a Tz és a Ty hatására ébredő eredő nyírófeszültségek vektora nem egy egyenesbe esik, értékük tehát csak vektoriálisan összegezhető. (az ábra a keresztmetszet negyedét mutatja!) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza

◄ 87 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 88 ► Kéttámaszú tartó számított feszültségeloszlása A hajlított-nyírt tartók feltételezéseink szerinti viselkedése alapján meghatározhatók a tartókeresztmetszetek pontjaiban a normál- és nyírófeszültségek. Az alábbi ábrákon számítógépes modellen elvégzett számítások eredményeiben mutatjuk meg a feszültségek tartómagasság és hossz szerinti eloszlását. EGYENLETESEN MEGOSZLÓ TEHER 4,000 A hajlított-nyírt gerendában az alakváltozás az alsó és a felső szélső szálban gyakorlatilag azonos görbületű, a keresztmetszetek az alakváltozás után is síkok maradnak. Az ábrában a színek határvonalai az azonos normálfeszültségű pontokat mutatják. A hajlított-nyírt gerendában a keresztmetszeti normálfeszültségek változása a tartó közbenső szakaszán a legerősebb 0,400

EGYENLETESEN MEGOSZLÓ TEHER 4,000 Az ábrában a színek határvonalai az azonos nyírófeszültségű pontokat mutatják. A hajlított-nyírt gerendában a keresztmetszeti nyírófeszültségek változása a tartóvégek közelében a legerősebb 0,400 EGYENLETESEN MEGOSZLÓ TEHER 4,000 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 88 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 89 ► Kéttámaszú tartó feszültségei egyenletesen megoszló teherre Az alábbi ábrák az AXIS-VM végeselemes szerkezetszámító programmal készültek. A hajlított-nyírt gerendában a normálfeszültségek a magasság mentén lineárisan, a hossz mentén a nyomatéki ábrának megfelelően (itt: parabolikusan) alakulnak. EGYENLETESEN MEGOSZLÓ TEHER 4,000 Z Y 0,400 Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszeterőinek

eloszlását mutatja, az irányok emiatt szokatlanok. X A hajlított-nyírt gerendában a nyírófeszültségek a magasság mentén parabolikusan, a hossz mentén a nyíróerő ábrának megfelelően (itt: lineárisan) alakulnak. EGYENLETES TEHER Z Y X A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza 0,400 Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal 4,000 rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszeterőinek eloszlását mutatja, az irányok emiatt szokatlanok. Ugyancsak emiatt látható a tartóvégeknél az egy ponthoz kötött nyíróerő változás helyett a metszeterőkrefeszültségekre jellemző átmenetes változás. ◄ 89 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 90 ► Kéttámaszú tartó feszültségei koncentrált teherre Az alábbi ábrák az AXIS-VM végeselemes szerkezetszámító programmal készültek. A hajlított-nyírt gerendában a

normálfeszültségek a magasság mentén lineárisan, a hossz mentén a nyomatéki ábrának megfelelően (itt: lineárisan) alakulnak. KONCENTRÁLT TEHER Z Y X 0,400 4,000 Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszeterőinek eloszlását mutatja, az irányok emiatt szokatlanok. A koncentrált erő helyén a lokális z irányú feszültség hatása jelenik meg. A hajlított-nyírt gerendában a nyírófeszültségek a magasság mentén parabolikusan, a hossz mentén a nyíróerő ábrának megfelelően (itt: konstansként) alakulnak. KONCENTRÁLT TEHER Z Y X A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 0,400 Az ábra technikai okokból egy (gerendára 4,000 jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszeterőinek eloszlását mutatja, az irányok emiatt szokatlanok. Ugyancsak emiatt látható a tartóvégeknél és a koncentrált erő helyén az egy ponthoz

kötött nyíróerő változás helyett a metszeterőkre-feszültségekre jellemző átmenetes váltoás. 90 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei Vissza ◄ 91 ► 4.5 Ferde hajlítás Ha a keresztmetszetre működő eredő hajlítónyomaték vektora nem főirányban áll, a keresztmetszet igénybevételét ferde hajlításnak nevezzük. 1. alapeset: a keresztmetszet szimmetrikus, de állása miatt a terhelés síkja nem főirányban áll terhelési sík A terhelés síkjára merőleges nyomatékvektornak a keresztmetszet tehetetlenségi főirányaira számíy tott vetületei a keresztmetszetben egyenes hajlítást okoznak, így a teljes nyomatéki teherből származó normálfeszültségek pontonként a két nyomatékvetület feszültségeinek (skaláris) összegzéz α sével kaphatók. Ha a tehetetlenségi főtengelyek egyúttal szimmetriatengelyek is, az eredő nyírófeszültségek is

előállíthatók a vetületi nyíróerők feszültségeinek (vektoriális) összegeként. terhelési sík terhelési sík 2. alapeset: a keresztmetszet szimmetrikus, de mindkét főirány síkjában terhelt A külön-külön, de egyenként tehetetlenségi főirányokban működő nyomatékvektorokból a normálfeszültségek az egyenes hajlítás szabályai szerint száy míthatók, pontonként (skalárisan) összegezve a két hatásból származó feszültségértékeket. Ha a tehetetlenségi főtengelyek egyúttal szimmetriatengelyek is, az eredő nyírófeszültségek is előállíthatók a vetületi z nyíróerők feszültségeinek (vektoriális) összegeként. terhelési sík 3. alapeset: a keresztmetszet nem szimmetrikus, a teher az oldalélekkel párhuzamosan működik A terhelési sík, és így a nyomatékvektor állása csak a keresztmetszet munkatengelyeivel egyezik meg, a y hajlítás nem egyenes. A normálfeszültségek a keresztmetszeti síkidom tehetetlenségi

főirányaira vetített, egyenes hajlítást okozó nyomatéki vetüleu tek feszültségeinek pontonkénti (skaláris) összegeként kaphatók A főirányok nem szimmetriav z tengelyek, így az ilyen keresztmetszetekben nyírófeszültséget számítani nem tudunk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 91 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 92 ► A ferde hajlításból származó normálfeszültségek a semleges tengely My x y=u=1 x a semleges tengely z=v=2 Mz y=u =1 z=v=2 My y=u=1 x Mz Merez=v=2 σx = ± Ha a keresztmetszetet csak az egyik tehetetlenségi főirányban álló nyomaték terheli, a semleges tengely a nyomatékvektorral egybe esik, a normálfeszültségek a semleges tengellyel párhuzamos metszetekben konstans értékűek, a semleges tengelyre merőleges metszetekben lineárisan változó értékűek lesznek. Ha a keresztmetszetet csak az

egyik tehetetlenségi főirányban álló nyomaték terheli, a semleges tengely a nyomatékvektorral egybe esik, a normálfeszültségek a semleges tengellyel párhuzamos metszetekben konstans értékűek, a semleges tengelyre merőleges metszetekben lineárisan változó értékűek lesznek. Ha a keresztmetszet tehetetlenségi főirányai ismertek, a nyomatékvektor mindig felbontható főirányokba eső összetevőkre, amelyek külön-külön egyenes hajlításként kezelhetők. A keresztmetszet pontjaiban a két egyenes hajlításból származó normálfeszültségeket skalárisan összegezve kapjuk a ferde hajlításból adódó normálfeszültség-eloszlást. Ferde hajlítás esetén a semleges tengely átmegy a súlyponton, de nem esik egybe a nyomatékvektorral. My Mu M M v± v u =± z± z y Iu Iv Iy Iz A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 92 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék

Vissza ◄ 93 ► A ferde hajlításból származó nyírófeszültségek τxz = 0! τxy=0! Tz x τxz y=u=1 τxz τxz = 0! z=v=2 τxy= 0! Ty y=u=1 x τxy τ Tz xy z=v=2 = 0! τxzTy= 0! τxy x Tz Ty P Ha a keresztmetszetet csak az egyik szimmetriatengelyben álló nyíróerő terheli, a nyírófeszültségek a(z egyidejűleg működő nyomatékhoz tartozó) semleges tengellyel párhuzamos metszetekben konstans értékűek, a semleges tengelyre merőleges metszetekben (téglalap keresztmetszet esetén) parabolikusan változó értékűek lesznek (az ábrán a parabola csak az eloszlást mutatja, a nyírófeszültségek a nyíróerővel párhuzamosak)! Ha a keresztmetszetet csak az egyik szimmetriatengelyben álló nyíróerő terheli, a nyírófeszültségek a(z egyidejűleg működő nyomatékhoz tartozó) semleges tengellyel párhuzamos metszetekben konstans értékűek, a semleges tengelyre merőleges metszetekben (téglalap keresztmetszet esetén)

parabolikusan változó értékűek lesznek (az ábrán a parabola csak az eloszlást mutatja, a nyírófeszültségek a nyíróerővel párhuzamosak)! Ha a keresztmetszetet mindkét szimmetriatengelyben nyíróerő terheli, a nyírófeszültségek pontonként a kü-lön-külön meghatározott τxz nyí-rófeszültségek vektoriális öszszegzésével határozhatók meg. (Ha a y=u=1 keresztmetszet határoló élei a nyíróerőkkel párhuzamosak, keresztirányú nyírófeszültség egyik nyíróerőτx,P ből sem származik.) z=v=2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 93 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 94 ► Centrálisan szimmetrikus elem ferde hajlítása Az M nyomaték vektora az y tengely irányában áll, de minthogy y nem tehetetlenségi főirány, az igénybevételi állapot ferde hajlítás. A tehetetlenségi főirányok (u; v), és a rájuk eső nyomatéki

vetületek (Mu; Mv), valamint a főtehetetlenségi nyomatékok (Iu; Iv) meghatározása után a vizsgálandó pontok u-v koordinátarendszerben értelmezett helykoordinátáira lesz szükségünk. Az x-y és az α szöggel elfordított u-v koordinátarendszerek közötti transzformációs mátrix elemeit egy pont kiválasztása után le is vezethetjük: u P = y P × cos α − z P × sin α v P = −( y P × sin α + z P × cos α ) esetünkben zP negatív, tehát az általános összefüggésben előjele megfordul u = y × cos α + z × sin α v = − y × sin α + z × cos α A lineáris transzformációs összefüggést mátrixalakba írva: yP Mv x M Mu uP vP P zP α y u=1 v=2 z ⎡u ⎤ ⎡ cos α ⎢ v ⎥ = ⎢− sin α ⎣ ⎦ ⎣ sin α ⎤ ⎡ y ⎤ cos α ⎥⎦ ⎢⎣ z ⎥⎦ Ha a keresztmetszeti síkidom tehetetlenségi főirányai az oldalélekkel nem párhuzamosak, egyetlen (akár y vagy z tengelyű) nyomaték is ferde hajlításként kezelendő. Az u-v

koordináták az y-z koordinátákból a fenti transzformációval előjelhelyesen kaphatók. A keresztmetszeti síkidomnak nincs szimmetriatengelye, így a nyíróerőből ébredő nyírófeszültségeket nem tudjuk meghatározni. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 94 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei Vissza ◄ 95 ► 4.6 Külpontos nyomás (húzás) Ha a keresztmetszetre működő, a rúd tengelyével párhuzamos vektorú erő nem centrikusan, nem a keresztmetszet súlypontjában terhel, a keresztmetszet igénybevételi állapotát külpontos nyomásnak, külpontos húzásnak nevezzük. A gyakorlati szerkezetekben a külpontosság elsősorban a nyomott oszlopokban-pillérekben jelenik meg, ezért az összefüggések tárgyalása során legtöbbször csak külpontos nyomásról beszélünk, de természetesen a megállapítások a külpontos húzásra is érvényesek. Meg kell

említenünk, hogy a nyomott rudak esetében - amint azt már a tiszta húzás-tiszta nyomás igénybevételi állapotának vizsgálata során rögzítettük - a szilárdsági vizsgálat mellett mindig el kell végezni a stabilitásvizsgálatot is, ennek módszereit, eljárásait a későbbi szaktárgyakban fogják megismerni. (Jelen studiumban csak a kihajlással foglalkozunk, lásd később.) A külpontosan terhelő tengelyirányú erő mindig redukálható a keresztmetszet súlypontjára, amikoris a külpontos erőt egy vele azonos vektorú, most már centrikusan terhelő normálerővel, és egy, az erőnagyság és a külpontosság szorzataként előállítható hajlítónyomatékkal helyettesítjük. Ha az erő támadáspontja és a keresztmetszet tengelye által meghatározott nyomatéki sík normálisa nem esik egybe a keresztmetszet valamelyik tehetetlenségi főirányával, akkor a nyomatékvektort még a tehetetlenségi főirányokra vetítenünk kell, és így a külpontos

erő egy normálerővel, és két, most már bizonyosan egyenes hajlítást okozó nyomatékkal helyettesíthető. Ennek megfelelően azokat az igénybevételi állapotokat is külpontos nyomásként – külpontos húzásként – kezeljük, amelyekben a keresztmetszetet a centrikus normálerővel egyidejűleg (akár teljesen más terhelésből származó) hajlítónyomaték is terheli. Az igénybevételek függetlenségét érvényesnek elfogadva a normálerőből és a hajlítónyomatékból a keresztmetszet pontjaiban számított normálfeszültségeket a külpontos nyomás-húzás esetén egyszerűen skalárisan összeadhatjuk. Az összegzés során az egyes tagok előjeleit szemléletből, a keresztmetszeti síkidom eltolódás-elfordulási „szándéka” alapján is meghatározhatjuk, de a szokásos koordinátarendszert alkalmazva általános érvényű előjelszabályt is megállapíthatunk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 95 ► Mechanika II

Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 96 ► A külpontos nyomás tartószerkezeti alapesetei A szó szoros értelmében vett külpontos nyomás az igénybevételi állapota a rövidkonzolján terhelt pillér befogási keresztmetszetének, mert a terhelő erő eredőjének hatásvonala nem a keresztmetszet súlypontjában metszi a befogási síkot. A centrikus nyomóerővel és keresztirányú terheléssel (pl. földnyomás) terhelt falszerkezet befogási keresztmetszetének igénybevételi állapotát a normálerő és a hajlítónyomaték együttes előfordulása miatt kell külpontos nyomásnak minősítenünk. Megjegyezzük, hogy ez esetben nyíróigénybevétel is ébred a befogási keresztmetszetben, de az abból származó nyírófeszültségeket a normálfeszültségektől függetlenül kezelhetjük. Külpontos nyomás alakul ki a központos nyomóerővel (pl. központosan feszített), hajlítással és

nyírással terhelt gerenda keresztmetszeteiben is A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 96 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 97 ► A ténylegesen külpontosan működő tengelyirányú erővel terhelt keresztmetszetben a normálfeszültségek háromféle hatásból származhatnak: • az erő súlypontra redukálásából származó N normálerőből • a redukálás során alkalmazandó M=N×e hajlítónyomatéknak az 1. tehetetlenségi főirányba eső vetületéből • a redukálás során alkalmazandó M=N×e hajlítónyomatéknak a 2. tehetetlenségi főirányba eső vetületéből Az egyes hatásokból származó normálfeszültség-összetevők nagyságát az igénybevételek függetlensége alapján a tiszta igénybevételi állapotokra meghatározott összefüggésekkel állíthatjuk elő. A feszültségkomponensek előjeleit szemléletből mindig meg

tudjuk határozni: σx = ± N Mu M ± v± v u A Ju Jv A képletben a ± előjel arra utal, hogy az igénybevételeknek és a pont helykoordinátáinak nem tulajdonítunk előjelet, az egyes feszültségösszetevők előjeleit szemlélet alapján határozzuk meg. A feszültségkomponensek előjeleinek meghatározására azonban előjelszabályt is meghatározhatunk. Ehhez rögzítenünk kell a keresztmetszet síkjában alkalmazott koordinátarendszert, és a keresztmetszeti síkidomot úgy kell elhelyeznünk, hogy tehetetlenségi főirányai a választott koordinátatengelyekkel egybeessenek (az 1. és 2 főirány felcserélődhet, de a tengelyekkel egybe kell esniük) H Vegyük fel a külpontos F erőt húG zóerőnek, helyezzük el úgy a keb resztmetszetben, hogy támadász y pontjának mindkét koordinátája y ey pozitív előjelű legyen, és keressük a normálfeszültséget a mindkét koordinátájában pozitív D sarokE D pontban. A z tengelyre kapott a z ez nyomaték

előjele negatív lesz, így az előjelre helyes kifejezés: M N σ x,D = M M e F F F × ey F × ez N My M + z+ y= + z− z y A Jy Jz A Jy Jz A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 97 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei Vissza ◄ 98 ► A fenti általános kifejezésbe az F erőt, a külpontossági értékeket, a helykoordinátákat ill. a nyomatéki vetületeket előjelhelyesen beírva a képlet előjelhelyesen szolgáltatja a normálfeszültségi összetevőket. A csak nyomásnak ellenálló anyagú keresztmetszet Az építőiparban alkalmazott anyagaink egy része a húzó és a nyomó igénybevételekkel szemben nagyon eltérően viselkedik (pl. kő, beton, öntöttvas). Az ilyen „kő-szerű” anyagok húzásra már kis terhelésnél megrepednek, elvesztik ellenállóképességüket, húzószilárdságuk a nyomószilárdságnál lényegesen (kb egy nagyságrenddel) kisebb

Ezt a kicsi húzószilárdságot a keresztmetszet vizsgálata során el szoktuk hanyagolni, és olyan anyagmodellt alkalmazunk, amely húzófeszültség felvételére egyáltalán nem képes. Az ilyen anyagú keresztmetszetek esetén a repedésmentesség, a csatalakozó rúdmetszetek folytonos, szakadásmentes illeszkedése csak úgy biztosítható, ha az igénybevételekből a keresztmetszetben sehol nem keletkeznek húzófeszültségek. Ez a feltétel a központos nyomás igénybevételi állapotában természetesen teljesül, de a nyomóerő külpontos elhelyezkedése nyomán fellépő hajlítónyomatéki komponensekből már húzófeszültségek is származnak Meg kell tehát vizsgálnunk, hogy a keresztmetszeti súlyponttól a különböző irányokban mekkora külpontossággal működtethetjük a tengelyirányú nyomóerőt úgy, hogy a keresztmetszet egyetlen pontjában se keletkezzék húzófeszültség. A vizsgálatot téglalap keresztmetszeten végezzük el. Nyilvánvaló,

hogy a külpontos F nyomóerőből származó nyomatékok az átellenes sarokpontban ébresztik a legnagyobb húzófeszültségeket. Ha tehát ebben a G jelű pontban nem keletkezik húzás, akkor a teljes keresztmetszet húzófeszültség-mentes, azaz repedésmentes lesz. Az F nyomóerő külpontos elhelyezésének határát, a külpontosság maximumát éppen az jelenti, hogy a nyomóerővel átellenes sarokpontban a normálfeszültség éppen zérus. Írjuk fel tehát a G pontra a normálfeszültség összefüggését a külpontos F nyomóerőből, az ey és ez (tehetetlenségi főirányokra vonatkozó) külpontosság-paraméterek függvényében. A normálfeszültségkomponensek előjelében vegyük figyelembe, hogy az F erő nyomóerő, és támadási pontja a koordinátarendszerünk pozitív síknegyedében van. A képletben a keresztmetszeti jellemzőket fejezzük ki a téglalap oldalhoszszúsági adataival. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 98 ►

Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ 99 ► F F × ey F × ez + zG + yG = 0 A Jy Jz σ x ,G = − σ x,G = Vissza F × ey b F × ez a F + × ( − ) + × ( − )=0 a × b a × b3 2 a3 × b 2 12 12 σ x ,G = 6 × F × e y 6 × F × ez F − − 2 =0 a×b a × b2 a ×b Az egyenletet végigosztva F/(a×b)-vel az alak az y-z sík egy egyenesének egyenletét szolgáltatja: 1− 6 × ey b ha ey=0⇒ez=a/6 ha ez=0⇒ey=b/6 6 × ez − =0 a Ez az alak az F erő y és z tengelytől mért külpontosságának azokat a kombinációit foglalja össze, amelyekre az erővel átellenes sarokpontban a normálfeszültség-összeg zérus. Másként fogalmazva ez az egyenes az y-z síkot két „térfélre” osztja: az egyiken működtetve az F nyomóerőt a G pontban bizonyosan nyomófeszültség ébred, míg a másikra helyezve az F erő támadáspontját, a G pontban biztosan húzófeszültség keletkezik. Ha a G

pontban nem engedjük meg húzás kialakulását, akkor ez az egyenes a megengedett és a tiltott zóna határvonalát jelenti a G pont vizsgálata alapján. H G y b E a z A dokumentum használata | Tartalomjegyzék A G sarokpont húzófeszültségmentessége tehát akkor áll fenn, ha az F nyomóerő támadáspontja nem kerül a tiltott zónába. D Vissza ◄ 99 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 100 ► A csak nyomásnak ellenálló anyagú keresztmetszetekben természetesen minden pontban garantálnunk kell a húzófeszültség-mentességet. A fenti levezetés analóg alkalmazásával a G sarokpont után a többi sarokpont húzófeszültség-mentessége alapján is meghatározhatjuk a nyomóerő támadáspontja számára tiltott zónákat, amelyek határvonalai a súlyponttól szintén a/6 ill. b/6 távolságban metszik az y és z tengelyeket A tiltott zónák határvonalai a

keresztmetszeten belül egy jellegzetes alakú és tulajdonságú síkidomot határoznak meg: a keresztmetszet belső magját, vagy magidomát. A külpontosan nyomott keresztmetszet azon pontjainak halmazát, amelyekben működtetve a nyomóerőt a keresztmetszet egyetlen pontjában sem ébred húzófeszültség a keresztmetszet belső magjának, vagy magidomának nevezzük. A téglalap-keresztmetszet belső magja egy a/3 – b/3 átlójú rombusz lesz. a/3 a/6 a/6 G H b/3 y b E a A dokumentum használata | Tartalomjegyzék z D Vissza ◄ 100 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 101 ► A keresztmetszeti belső mag tulajdonságai A belső mag határvonalán mozgó külpontos erőből a keresztmetszetben legalább egy pontban a normálfeszültség zérus. Ez a pont természetesen a nyomott és a (fiktív, a valóságban nem létező) húzott zónákat elválasztó semleges

tengelynek pontja lesz. Ha megrajzoljuk néhány támadáspontra a semleges tengely helyét, azt látjuk, hogy amíg az erő a belső mag egy oldalélén mozog, a semleges tengely a keresztmetszet átellenes csúcspontja, sarokpontja körül fordul el: ez a sarokpont mindvégig zérus feszültségű lesz. A belső mag csúcsában álló erőből viszont a keresztmetszet átellenes oldalélében, annak minden pontjában egyidejűleg ébred zérus feszültség, azaz a semleges tengely ez az oldalél lesz. G H y b E a z D Mindezek alapján megállapíthatjuk, hogy a (konvex) keresztmetszeti síkidom oldalélei a magidom csúcspontjaival, a (konvex) keresztmetszeti síkidom csúcspontjai pedig a magidom oldaléleivel kölcsönösen egyértelmű kapcsolatban vannak. E tulajdonság figyelembevételével a magidom összetett keresztmetszetekre is előállítható A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 101 ► Mechanika II A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei Vissza ◄ 102 ► A belső magon kívül terhelt kapcsolat feszültségei és teherbírása A csak nyomásnak ellenálló tulajdonság, a húzószilárdság teljes hiánya nemcsak egy anyagra, hanem egy kapcsolatra is érvényes lehet (pl. az alaptestek és a talaj kapcsolatára). Az alaptestek esetében a terhelő erők eredőhatásvonalának az alapsíkkal alkotott döféspontját kell támadáspontnak tekintenünk, és ha ez a támadáspont az alaptest síkidomának belső magján belül van, a kapcsolatban csak nyomófeszültségek lépnek fel. Egyszeres külpontosság és téglalap keresztmetszet esetén jól szemléltethető a normálfeszültségek alakulása a tengelyirányú erő külpontosságának függvényében. Az alábbi ábrán egy a×b méretű, téglalap alakú alaptestre működő talajfeszültségeket mutatjuk be különböző külpontosságú tengelyirányú erőkre. Látható, hogy az erő

súlypontra redukálásával a normálerő és a belőle származó, egyenletes normálfeszültség minden külpontosság-állás mellett azonos, a nyomatéki összetevőből pedig lineáris, a súlyvonalban zérus értékű normálfeszültség származik. Rugalmas állapotban az elemi szálak σ normálfeszültségei arányosak az ε fajlagos összenyomódásokkal, amelyek viszont a (merevnek tekintett) alaptest elmozdult (esetünkben azonos függőleges eltolódású, és egyre növekvő elfordulású) helyzetét rajzolják ki. Az alaptest által az alapa síkra átadott erőt a talajfeez=0 szültségek egyensúlyozzák, így a talajfeszültségek eredője, ill. a (külpontos) ez=a/1 terhelő erő nagyságának és hatásvonalának azo2 nosnak kell lennie (az előjelük természetesen ez=a/6 ellentett!). Amikor az erő kilép a belső magból, a húzófeszültségek kiesése miatt a ez=a/4 külpontos nyomás általános képletével meghatározott nyomófeszültségek már nem

tudják egyenc=a/2-ez súlyozni a terhelő erőt. 3c A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 102 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 103 ► Amikor a külpontosság növekedése miatt a támadáspont a belső mag határvonalára (pontosabban: esetünkben a belső mag csúcspontjára) kerül, a keresztmetszet átellenes oldalegyenesének minden pontjában a normálfeszültség zérus. A külpontosság további növelésével a keresztmetszet a megnövekedett nyomatékot csak az átellenes oldalon ébredő húzófeszültségek révén tudná egyensúlyozni Ha az anyag, vagy a kapcsolat húzószilárdsággal nem rendelkezik, a nyomaték okozta elfordulás miatt a „húzott” oldalon a kapcsolat folytonossága megszakad, a szerkezet megreped, az alaptest és a talaj elválik. A repedés-elválás nyomán azonban lecsökken a hatékony keresztmetszeti felület, ami a

feszültségek növekedésével, és ezáltal a repedés-elválás mélységének növekedésével jár együtt. Szerencsére, ez az önmagát erősítő folyamat konvergens, létezik egy olyan (kissé lecsökkent méretű) nyomott felület, amely a külpontos erőt csak nyomófeszültségekkel egyensúlyozni tudja. A megoldást a terhelő erő és a nyomófeszültségek által meghatározott feszültségi test eredőnagyságának és hatásvonalának azonossága jelenti. A keresztmetszetek deformációmentessége alapján a terhelt keresztmetszet merevtest-szerű elmozdulása a kapcsolatban egy síkra illeszkedő ε fajlagos tengelyirányú elmozdulásokat, és ideálisan rugalmas anyag esetén ugyanilyen eloszlású σ normálfeszültségeket ébreszt. Egyszeres külpontosságú terhelés esetén a téglalap keresztmetszetben így a normálfeszültségek feszültségi testje ék alakú lesz. Az ék alakú test súlypontja keresztirányban középen, hosszirányban a harmadolópontban

lesz, és az egyensúlyi állapothoz ennek a súlypontnak egybe kell esnie a külpontos terhelő erő támadáspontjával. Az erő külpontosságát ez vel jelölve az ék-háromszög alapjának harmada c=(a/2-ez), azaz az alapél 3c=3×(a/2-ez), tehát a nyomott felület hossza rendelkezésünkre áll. Ennek ismeretében felírhatjuk az ék alakú feszültségi test térfogatát, azaz a nyomott felületen működő normálfeszültségek eredőjének nagyságát is: Rσ = b × 3 × c × σ max 2 ⎛a ⎞ b × 3 × ⎜ − e z ⎟ × σ max ⎝2 ⎠ = = Fkülpontos 2 A feszültségi test térfogatának összefüggése alapján a lineáris feszültségi ábra maximális ordinátája is számítható. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 103 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 104 ► a F 3c c b Rσ σ-max A belső magon kívül támadó erőt a csak nyomásnak

ellenálló kapcsolat a húzásra-nyomásra egyaránt dolgozó keresztmetszethez képest mindenképpen kisebb felületen kénytelen egyensúlyozni, hiszen az eredetileg húzott felületek mellett az elfordulás növekedése folytán az újonnan elváló-megrepedő keresztmetszetrész is kiesik a teherviselő felületből. Nyilvánvaló, hogy ennek ára a maximális nyomófeszültség értékének növekedése lesz Hasonlítsuk össze egy a-b oldalú téglalapkeresztmetszet nyomott felületének és maximális nyomófeszültségének értékét húzásra és nyomásra egyaránt dolgozó és csak nyomófeszültség felvételére képes kapcsolat esetén, ez = a/4 külpontosság mellett: a F× F ×e F a F a húzás − nyomás = + 3 z ×( ) = σ max + 3 4 × a×b a ×b a×b a ×b 2 2 12 12 húzás − nyomás = σ max csaknyomás σ max = csaknyomás σ max = F F 3 F 5 F + = = 2,5 × a×b 2 a×b 2 a×b a×b 2× F = b × 3× c 2× F 2× F = ⎛a a⎞ ⎛a ⎞ b × 3 × ⎜ − ez ⎟ b

× 3 × ⎜ − ⎟ ⎝2 4⎠ ⎝2 ⎠ F 2× F 8 F = = 2,666 × a×b ⎛ a a ⎞ 3 a×b b × 3× ⎜ − ⎟ ⎝2 4⎠ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 104 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 105 ► a 5/6×a=0,833×a 3×c=0,75×a c=a/2-ez σ húzás-nyomás = max ez=a/4 2,5×(F/ab) σmaxcsak nyomás = 2,666×(F/ab) A külpontosság további növelése esetén a nyomott felület további csökkenésével és a maximális nyomófeszültség további növekedésével kell számolnunk. A külpontosság növelésének határát végül az anyag nyomószilárdsága jelenti: a maximális nyomófeszültség ezt nem lépheti túl. A fenti gondolatmenet lényege az elemi szálak εx tengelyirányú alakváltozásainak és σx tengelyirányú feszültségeinek (bi)linearitása, valamint a normálfeszültségek eredőjének és a külpontosan terhelő erőnek az egyensúlya.

Ezek alapján (elvileg) tetszőleges keresztmetszetre és tetszőleges külpontosságra el lehet végezni a normálfeszültségi ellenőrzést: a feszültségi testet a keresztmetszeti sík, a rúd (meghosszabbított) határoló felülete és a keresztmetszet merevtest-szerű elmozdulásai folytán kialakuló sík határolja. A külpontosan terhelt kapcsolatban ébredő normálfeszültségek eredőjét a feszültségi test térfogataként kaphatjuk meg, az eredő helye pedig a feszültségi testnek az erőiránnyal párhuzamos súlyvonalában lesz. Az eredő nagyságának a külpontosan terhelő erő nagyságával, helyének pedig a külpontosan terhelő erő hatásvonalával meg kell egyeznie, így ezek alapján a maximális nyomófeszültség értékének meghatározására alkalmas egyenletek felírhatók A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 105 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei

Vissza ◄ 106 ► Megjegyezzük, hogy a csak nyomószilárdsággal rendelkező anyagbankapcsolatban a belső magon kívül támadó erő hatására a „húzott” (valójában húzószilárdság híján feszültségmentes) zónában mindig megszűnik a folytonosság: az elemi szálak elszakadnak, az anyag megreped, a kapcsolat elemei elválnak egymástól. A folytonossági hiány a terhelési-tehermentesítési folyamat elmozdulásainak reverzibilitását veszélyezteti (a gyakorlatban: megszünteti). Pl az alaptest és a talaj között kialakuló hézagba talajszemcsék kerül(het)nek, és emiatt a tehermentesülő alaptest nem képes teljesen visszakerülni kezdeti pozíciójába. Ha ez a folyamat sokszor ismétlődik, az egyébként kicsiny elmozdulások olymértékben halmozódhatnak, hogy a szerkezet geometriája, kapcsolati erői, igénybevételei is kedvezőtlenül megváltoznak Mindezek miatt a külpontosan nyomott elemekben a belső magon kívüli külpontosságot

(különösen ismétlődő, fárasztó terhelés esetén) célszerű elkerülni A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 106 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 107 ► 4.7 Tiszta csavarás A tartó tengelyével párhuzamos állású nyomaték által a keresztmetszetben kialakuló, a keresztmetszetet a rúd tengelye körül elcsavarni akaró igénybevételi állapotot csavarásnak nevezzük. Ha a csavarónyomaték egyedüli keresztmetszeti igénybevétel, tiszta csavarásról beszélünk. A csavarás az eddigiekben tárgyalt, a síkbeli tartókra vonatkozó igénybevételektől eltérően nem a tartó, hanem a keresztmetszet síkjában okoz alakváltozásokat. Ugyancsak eltérés az eddigiektől, hogy a csavarás tárgyalása során szimmetriatulajdonságként a keresztmetszeti síkidomban csak a centrális szimmetria értelmezhető. A keresztmetszet csavaró

igénybevételét (az igénybevételi függvények definíciójának logikus kiterjesztésével) a keresztmetszetet megelőző csavaró terhek algebrai összegeként definiáljuk. A csavarónyomaték pozitivitását a haladási irány szerint megmaradó tartórész végkeresztmetszetének pozitív x tengelyével megegyezőnek választjuk. A koncentrált csavarónyomatékok a gyakorlatban pl. egy keresztirányú (fiók)tartó befogási nyomatékának ellentettjeként jöhetnek létre. Megoszló csavarónyomatékkal kell számolnunk pl. egy konzolos erkélylemezt az éle mentén megtámasztó (koszorú)gerenda esetében A csavarónyomatéki igénybevételek függvényei, ábrái a nyíróerőfüggvényekhez hasonló tulajdonságúak: a koncentrált csavarónyomaték helyén a függvényben a nyomaték értékével megegyező nagyságú ugrás jelenik meg, a megoszló csavarónyomaték terhelési hosszán az igénybevételi függvény lineáris. Mcs,A Mcs,B F Mcs,A Mcs,B Mcs A

fióktartó (konzol) végkeresztmetszetén működő F erőt a főtartó (gerenda) csavarónyomatékokkal (emellett nyíróerőkkel és hajlítónyomatékokkal) egyensúlyozza. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék F Vissza ◄ 107 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 108 ► Körszimmetrikus szelvény csavarása A csavarási hatás centrális szimmetriája miatt a csavarásból származó feszültségek vizsgálatát először körszimmetrikus tulajdonságú keresztmetszeteken végezzük el. A csavarónyomaték centrálisan szimmetrikus teher, így az ezt egyensúlyozó feszültségeknek is centrális szimmetriát kell mutatniuk. Ez azt jelenti, hogy a feszültségek csak sugárirányban változhatnak. Az x tengely irányú vetületi egyenlet kielégítéséhez a normálfeszültségeknek a keresztmetszeten belül előjelet kellene váltaniuk, ami a keresztmetszeti síkok

hullámszerű deformációjával járna, így a csatlakozó metszetekben a folytonosság megszakadna, a metszetek nem illeszkednének. A folytonosság, a megelőző-követő keresztmetszetek illeszkedése csak akkor biztosítható, ha a csavarónyomatékból származó normálfeszültség a teljes keresztmetszetben azonosan zérus. A Bernoulli-Navier hipotézisnek az első fele, amely szerint a keresztmetszetek a bekövetkező alakváltozások után is síkok maradnak, a csavarás esetében is igaz. A csavarásból tehát a keresztmetszetben csak nyírófeszültség keletkezik, azaz egy dx vastagságú lamella vastagsága az elcsavarodás nyomán nem változik. Az anyag folytonossága, szakadás- és torlódásmentessége a csatlakozó metszetekben csak akkor áll fenn, ha a τ feszültségnek nincs sugárirányú összetevője, azaz a csavarásból származó nyírófeszültség vektora - a körszimmetrikus keresztmetszetekben - mindig érintő Végül az elcsavarodásból származó

γ irányú. nyírási szögtorzulás mértéke a pontnak a tengelytől mért távolságával arányos, azaz a γ szögtorzulásból számítható τx nyírófeszültség az r sugár lineáris függvénye lesz. dx vastagságú lamellán a kerület P y A mentén a dφ elcsavarodásból szárdφ dA mazó (ívmenti) eltolódás meg fog γ r egyezni a hossz mentén a γ szögtorx τx zulásból adódó eltolódással: Mcs z dx r×dφ = γ×dx γ=r×(dφ/dx) A fenti összefüggések felhasználásával felírható a lamella x tengelyre vett nyomatékainak egyenlősége, figyelembe véve, hogy az általános P A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 108 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 109 ► ponthoz tartozó dA felületelemen ébredő τx×dA elemi nyíróerő r sugáron fejt ki nyomatékot az x tengelyre. M x = M cs = ∫ r × τ × dA = ∫ r × G × γ × dA = ∫ r

× G × r × dϕ × dA dx A keresztmetszet pontjain elvégzett összegzés során a G nyírási rugalmassági modulus és a dφ/dx fajlagos elcsavarodás értéke állandó, így M x = M cs = G × dϕ dϕ × ∫ r 2 × dA = G × × JD dx dx A csavarásból a körszimmetrikus keresztmetszetű rúdon keletkező fajlagos elcsavarodás tehát az Mcs csavarónyomatékkal egyenesen, a G×J○ csavarómerevséggel pedig fordítottan arányos: dϕ M cs = dx G × J D Felhasználva a nyírófeszültségre levezetett τx=G×γ=G×r×(dφ/dx) összefüggést: τx G×r = dϕ M cs = dx G × J D és ebből kifejezve τx-et: τx = M cs M × G × r = cs × r JD G × JD A körszimmetrikus szelvények csavarási nyírófeszültségi-fajlagos elcsavarodási képletei tehát struktúrájukban teljesen megegyeznek az egyenes hajlítás normálfeszültségi-fajlagos elfordulási összefüggéseivel, a különbség csak annyi, hogy a csavarásból nyíró, a hajlításból normálfeszültségek

keletkeznek. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 109 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 110 ► Vékonyfalú zárt szelvény csavarása (BREDT-képlet) Vágjunk ki az általános csőszelvényű rúdból egy dx vastagságú szeletet, majd ebből a súlyponton átmenő két, sugárirányú K középvonal síkkal vágjunk ki egy kis dα középponti szögű darabot. A két hosszirányú vágási síkon működő nyíx dα Mx=Mcs rófeszültségek eredői az x irányú vetületi egyenlet alapján egyenlők lesznek. A fal vékonysága miatt a v falvastagság mentén a nyírófeszültségeket egyenletes eloszlásúnak dα tekinthetjük, így: τ1×v1×dx=τ2×v2×dx, azaz a v2 vékonyfalú zárt szelvény csavarása során a ker(α) resztmetszetben ébredő (a falvastagság mentén τ2 állandó) nyírófeszültségek és a falvastagsáτ1 v1 gok szorzata (a nyírófolyam)

állandó: dx τ1×v1=τ2×v2=τ×v ds=r×dα AK A falvastagságok felezőpontjait összekötő görbén mért ds hosszúságú szakaszon ébredő nyírófeszültségek által az x tengelyre kifejtett elemi nyomaték körintegrálásával a teljes keresztmetszet nyírófeszültségeinek nyomatékát kapjuk, aminek a terhelő csavarónyomatékkal kell megegyeznie. dMcs=dMx=r×(τ×v)×ds=(τ×v)×r2×dα Mcs=Mx=∫r×(τ×v)×ds=2×(τ×v)×∫r×ds/2=2×(τ×v)×AK A nyírófeszültségek elemi csavarónyomatékait az α teljes 2π tartomá∫2 nyán integrálnunk kell, de ennek során a (τ×v) szorzat állandóként kiemelhető, és az integrálkifejezés a K középvonal által határolt terület nagyságát adja: Mcs=Mx=τ×v×2AK ⇒τx=Mcs/(2AK×vmin) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 110 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 111 ► A vékonyfalú zárt

szelvény csavarásából származó nyírófeszültségek számítási összefüggése igen egyszerű, de tudnunk kell, hogy közelítés, hiszen a falvastagság mentén állandó nyírófeszültségekkel számol, pedig a csavarási elcsúszás (az elcsavarodás) a tengelytől mért távolsággal lineárisan növekszik. A közelítéssel elkövetett hiba a falvastagság növekedésével nő Ugyanakkor azt is tudjuk, hogy a zárt szelvény csavarási ellenállása, csavarómerevsége igen nagy, így a csavarónyomatékokból általában kis értékű nyírófeszültségek keletkeznek. A közelítéssel elkövetett hiba tehát egy (relatíve) kicsiny feszültségnek (az esetleg magas százalékos) hányadaként is a teljes nyírófeszültség abszolút értékében (az egyéb hatásokból származó nyírófeszültségekkel összevetve) nem okoz nagy hibát. Ide kívánkozik a mérnöki számításoknak egy fontos elve: a pontos eredménytelenségnél hasznosabb a pontatlan eredmény A

BREDT-képlet lehetővé teszi bonyolult szekrénytartók csavarási (nyíró-)feszültségeinek egyszerű meghatározását, igaz, hibával terhelten. Az alternatíva az, hogy vagy nem tudjuk ezeket a feszültségeket kiszámítani, vagy igen bonyolult matematikai apparátust kell alkalmaznunk. A közelítő számítás révén kapott érték hibáját megbecsülve szerkezeteink megfelelősége egyszerűen és kielégítő pontossággal ellenőrizhető. AK Mcs A szekrénytartó valós falvastagsága mellett a hiba akár 50 % is lehet, de megfelelő „rátartással” a szerkezet jól kezelhető Körszimmetrikus szerkezeten alkalmazva a pontos és a BREDT-féle feszültségszámítást, a falvastagság függvényében adhatunk becslést a hasonló középvonal-területű, de nem szabályos idomok feszültségértékeinek hibájára. KÖZELÍTŐ számítás: PONTOS számítás: a nyírófeszültség a falvastagság mentén lineáris A dokumentum használata | Tartalomjegyzék a

nyírófeszültség a falvastagság mentén állandó Vissza ◄ 111 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei Vissza ◄ 112 ► Téglalap keresztmetszetű rúd csavarása Sajnos a tényleges szerkezetekben alkalmazott rúdkeresztmetszetek nem mindig sorolhatók be a körszimmetrikus vagy a vékonyfalú zárt szelvény kategóriába. Az alábbiakban a leggyakoribb téglalap szelvények csavarásának legfontosabb kérdéseit érintjük A derékszögű négyszög keresztmetszetek sarokpontjaiban a dualitás miatt keresztmetszeti nyírófeszültség sem az y, sem a z irányban nem ébredhet. Ennek megfelelően a sarokpontokban nyírási szögtorzulás sem keletkezhet. Ugyanakkor a keresztirányban kivágott dx vastagságú lamellán a csavarónyomatékot csak a keresztmetszet síkjában ébredő, τx nyírófeszültségek képesek egyensúlyozni. Másként fogalmazva: a csavarónyomaték (közvetlenül) a

keresztmetszet síkjában okoz alakváltozásokat, tehát itt kell keletkezniük az alakváltozásokhoz igazodó fajlagos belső erőknek, feszültségeknek is. A téglalapszelvényben a z tengellyel párhuzamos oldalélek belső pontjaiban a dualitás már nem tiltja a τxz nyírófeszültségek létét, így e vonal mentén kell számítanunk z irányú nyírófeszültségekre. A feszültségekkel összefüggő, az x-z síkban kialakuló nyírási szögtorzulás viszont csak a pontok hossztengely irányú eltolódásai révén valósulhat meg, azaz a Bernoulli-Navier hipotézisnek már az első fele (a keresztmetszetek a bekövetkező alakváltozások után is síkok maradnak) sem tartható. A nem körszimmetrikus szelvények csavarása során a keresztmetszet pontjaiban hosszirányú, rúdtengely-irányú alakváltozások is létrejönnek, a keresztmetszet öblösödik. Ha a rúdvégek megtámasztottsága olyan (merev), hogy e hosszirányú alakváltozások kialakulását meg tudja

akadályozni, gátolt csavarásról beszélünk, A gátolt csavarás esetében x irányú nyúlások nem ébrednek, a keresztmetszet sík marad, nem torzul, viszont az x irányú nyúlásokösszenyomódások gátlása miatt a keresztmetszetben x irányú, azaz normálfeszültségekkel is számolnunk kell. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 112 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza Mcs τxz x τxyMx= 0! τxzMx= 0! h y τxy z ◄ 113 ► Az ábrán a téglalapszelvény kerülete mentén az Mx csavarónyomatékból ébredő nyírófeszültségek alakulását mutatjuk be. Megjegyezzük, hogy a nyírófeszültségek a keresztmetszet síkjában keletkeznek, a berajzolt görbék csak a feszültségek nagyságának változását jelzik. b A téglalapszelvény csavarása során a hosszabbik oldal középpontjában keletkező maximális nyírófeszültség értéke a

következő közelítő összefüggéssel határozható meg: τ x , MAX = M cs ⎛ b⎞ ⎜ 3 + 1,8 ⎟ 2 h⎠ b ×h⎝ Ha a szelvény kisebbik mérete a nagyobbikhoz képest lényegesen (nagyságrenddel) kisebb, a b/h a zérushoz közelít, így a (mindig a hoszszabbik oldal felezőpontjában keletkező) maximális nyírófeszültség: τ x , MAX ≈ 3 × M cs b2 × h Ebben az esetben az A-B szakaszon kialakuló elcsavarodás szögét a következő kifejezéssel közelíthetjük: ϕ A− B ≈ 3 × M cs × l A− B G × b3 × h A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 113 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 114 ► A b3×h/3 kifejezést mind a nyírófeszültség, mind az elcsavarodás képletében megtalálhatjuk. Ezt a kifejezést, amely funkcióját tekintve a hajlított keresztmetszet tehetetlenségi nyomatékával, ill a csavart körszimmetrikus szelvény

poláris inercianyomatékával egyezik meg, keresztmetszet csavarási ellenállóképességének, Jcs csavarási inerciájának nevezzük A csavarási inercia felhasználásával a maximális nyírófeszültség, ill. az állandó csavaróigénybevétel esetén az A-B szakaszon kialakuló elcsavarodás összefüggése a következőkre egyszerűsödik τ x , MAX ≈ M cs ×b J cs ϕ A− B ≈ M cs × l A− B G × J cs Vegyük észre, hogy a csavaróinercia közelítő összefüggésében mindig a rövidebbik oldal van a harmadik hatványon, a maximális nyírófeszültség viszont mindig a hosszabbik oldalak felezőpontjaiban keletkezik. Összetett szelvények csavarása esetén a keresztmetszetet téglalapelemekre bontva határozhatjuk meg a csavaróinerciát. Ne feledjük, a közelítő összefüggésben mindig a téglalap-elem rövidebbik oldala van a harmadik hatványon, függetlenül az elem állásától. A mérnöki gyakorlatban az ipari termékként kapható

rúdszelvények keresztmetszeti jellemzői táblázatosan hozzáférhetők, a szerkezetszámító programok pedig tetszőleges termék vagy általunk felvett síkidom-elem felhasználásával képesek bármilyen összetett szelvény keresztmetszeti jellemzőit meghatározni. Végül jegyezzük meg, hogy az elemekből összeállított zárt szelvény csavaróinerciája mindig sokszorosa az ugyanazon elemekből összeállított, de nem zárt szelvény csavarási ellenállásának. Ennek megfelelően ha egy rúdban csavaróigénybevételekre számítanunk kell, keresztmetszeti kialakításként igen erősen ajánlott zárt szelvényt alkalmazni. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 114 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei Vissza ◄ 115 ► 4.8 A képlékeny teherbírási többlet Az anyagmodellek tárgyalása során definiáltuk a képlékeny alakváltozás fogalmát és

megismerkedtünk a képlékeny tulajdonságú anyagokkal. Tartószerkezeteink méretezése-ellenőrzése során általában kerüljük a képlékeny állapot kialakulását, hiszen ez esetben irreverzibilis (visszafordíthatatlan) folyamatok játszódnak le a szerkezet (túlterhelt) pontjaiban, ami ismétlődő terhek esetén a belső mikrostrukturális átalakulások és a külső alakváltozások állandó növekedéséhez vezethet. Ugyanakkor nem feledkezhetünk el a képlékenység igen kedvező, a szegecselt-csavarozott kapcsolat tárgyalása során említett feszültségkiegyenlítő, túligénybevétel-leépítő hatásáról, amellyel (többletdeformációk elviselése árán) akár a statikailag határozatlan szerkezetek igénybevételeinek átrendezésére is lehetőségünk nyílik. A képlékenységtan a rugalmasságtan mellett a Mechanikának szintén fontos területe, itt azonban csak egy alkalmazási területével, a képlékeny teherbírási többlettel foglalkozunk. A

képlékeny állapotba került anyagrészek további terhek felvétele nélkül folyamatos (állandó sebességű) alakváltozást végeznek, így azokban az igénybevételi állapotokban, amelyekben a feszültségeloszlás a keresztmetszet pontjaiban konstans, tehát minden pont egyidejűleg kerül(ne) képlékeny állapotba, képlékeny teherbírási többletről nem beszélhetünk (húzás, nyomás). Azok az igénybevételi állapotok, amelyek a keresztmetszetben változó nagyságú feszültségeket ébresztenek (hajlítás, nyírás, csavarás), a legnagyobb feszültségű pontok képlékeny alakváltozása a keresztmetszet elmozdulásának növelésével újabb pontokban-elemi szálakban teszi lehetővé a maximális szilárdság elérését és ezzel a keresztmetszetet többletigénybevétel felvételére teszi alkalmassá. Ez a lokális képlékeny alakváltozásokat megengedő teherbírásnövelő folyamat addig folytatható, míg a keresztmetszet minden pontja, elemi szála

eléri a képlékenységi határt, hiszen ekkor már a keresztmetszetelmozdulások további igénybevételnövekedés nélkül is folytatódnak, a keresztmetszet képlékeny teherbírása (is) kimerült. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 115 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 116 ► Az alábbi ábrákon egy hajlított téglalapkeresztmetszet normálfeszültségi ábráin mutatjuk be a képlékeny teherbírási többlet kialakulását és határát. A gondolatmenet a csavarás esetében is analóg módon alkalmazható A nyírófeszültségek a gyakorlatban alkalmazott rúdszerkezetekben nem szoktak mértékadó értékűek lenni, így ezekre képlékeny teherbírási többletet nem szokás meghatározni. Megemlítjük, hogy a nyírófeszültségek képlékeny kiegyenlítődését a szegecseltcsavarozott kapcsolatokban a kötőelemek nyíródó felületein ébredő

nyírófeszültségek egyenletességének, állandó nagyságának vélelmezésénél használtuk ki. Ha a mértékadó hajlítónyomaték nem éri el a rugalmas határértéket, a keresztmetszetben ébredő normálfeszültségek a magasság mentén (a z koordináta függvényében) lineárisan változnak, de még maximális értékük is kisebb az anyagra jellemző rugalmas határfeszültségnél. Ha a mértékadó hajlítónyomaték a rugalmas határnyomatékkal megegyező értékű, a keresztmetszetben ébredő normálfeszültségek a magasság mentén (a z koordináta függvényében) lineárisan változnak, és maximális értékük az anyagra jellemző rugalmas határfeszültséggel (az anyag folyási határszilárdságával) azonos. Ha a mértékadó hajlítónyomaték a rugalmas határnyomatékot meghaladja, a keresztmetszet azon (szélső) elemi szálai, amelyekben a megnyúlás-összenyomódás már elérte a folyási határt, a feszültség változatlan értéke mellett

tovább alakváltoznak. Az ennek folytán kialakuló keresztmetszetelfordulás-növekmény a belső elemi szálak (rugalmas) feszültségeit is megnöveli. A belső erő-növekmény (egyre csökkenő erőkarral) a keresztmetszet nyomatéki ellenállását is növeli. Határesetben már minden elemi szál képlékeny állapotba került, és a keresztmetszet nem tud további nyomatékot felvenni, képlékeny csuklóvá alakul. A képlékeny határállapotban a keresztmetszet pontjaiban csak a σrugalmas, határ léphet fel. A képlékeny teherbírási többlet meghatározását egy hajlított téglalapkeresztmetszet nyomatéki teherbírásán mutatjuk be. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 116 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék σ rugalmas, határ ◄ 117 ► σ rugalmas, határ Nrugalmas ΔNképlékeny h ΔHképlékeny Hrugalmas kképlékeny krugalmas krugalmas M Vissza h

A rugalmas határállapotban a téglalap-keresztmetszetben a húzó- és a nyomó feszültségi test ékalakú (oldalnézetben háromszög), a húzó- és a nyomóerő pedig a b szélességű és h magasságú keresztmetszetben: 1 b×h h H = N = b × × σ rugalmas ,határ × = × σ rugalmas ,határ 2 2 4 A keresztmetszet rugalmas határnyomatéka: M rugalmas,határ = H × k rugalmas = N × k rugalmas 2 b×h b × h2 × σ rugalmas ,határ × × h = × σ rugalmas ,határ 4 3 6 A képlékeny határállapotban a téglalap-keresztmetszetben a képlékeny többletből adódó feszültség-növekmények feszültségi testjei (fordított) ék alakúak (oldalnézetben háromszögek) a húzó- és a nyomóerő pedig a b szélességű és h magasságú keresztmetszetben: M rugalmas ,határ = 1 b×h h = b × × σ rugalmas, határ × = × σ rugalmas, határ 2 2 4 A keresztmetszet képlékeny többletének határnyomatéka: ΔM képlékeny,határ = ΔH képlékeny × k képlékeny = Δ N

képlékeny × k képlékeny ΔH képlékeny = Δ N képlékeny 1 b×h b × h2 × σ rugalmas , határ × × h = × σ rugalmas , határ 4 3 12 A levezetés alapján látható, hogy a téglalap szelvényben a képlékeny hatásból származó nyomatéki többletteherbírás a rugalmas határnyomaték 50 %-a. A képlékeny hatás figyelembevételével megnövekedett teherbírás értékét a képlékeny növekmények helyett meghatározhatjuk a képlékeny határállapotban kialakuló teljes húzó- és nyomóerők nyomatékaként is. ΔM képlékeny , határ = A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 117 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza σ rugalmas, határ 118 ► σ rugalmas, határ h M Nteljes h kteljes krugalmas M ◄ Hteljes A képlékeny határállapotban a téglalap-keresztmetszetben a képlékeny hatásból származó feszültség-növekményeket is

figyelembe véve a feszültségi testek téglatest alakúak (oldalnézetben téglalapok), a húzó- és a nyomóerő értékei pedig a b szélességű és h magasságú keresztmetszetben: h b×h H teljes = N teljes = b × × σ rugalmas,határ = × σ rugalmas,határ 2 2 A keresztmetszet teljes képlékeny határnyomatéka: M képlékeny,határ = H teljes × kteljes = N teljes × kteljes 1 b× h b × h2 × σ rugalmas , határ × × h = × σ rugalmas ,határ 2 2 4 A képlékeny hatást is figyelembe vevő teljes nyomatéki teherbírás így is a rugalmas határnyomaték 1,5-szeresére adódik. Azt is mondhatjuk, hogy a téglalap keresztmetszet képlékeny keresztmetszeti modulusa a rugalmas keresztmetszeti modulus másfélszerese. M képlékeny ,határ = W y ,rugalmas = b × h2 6 W y ,képlékeny = b × h2 4 Az ábrák nyomán a terhelési folyamatot végiggondolva beláthatjuk, hogy a képlékeny többlet a nyomaték növekedésének függvényében egyre lassabban nő, a

modellünkben bemutatott képlékeny határállapotot a keresztmetszet csak végtelen nagy alakváltozások árán érheti el. A gyakorlati szerkezetekben tehát ez az elméleti teherbírási tartalék nem érhető el. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 118 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 119 ► A keresztmetszetben a képlékeny teherbírási növekmény lokális folyási-morzsolódási hatás révén mobilizálódik, jön létre és visszafordíthatatlan többlet alakváltozást okoz a szerkezetben. F F+ΔF rugalmas állapot képlékeny alakváltozás a középkeresztmetszetben Képlékeny nyomatéki határállapot elérésekor a keresztmetszet (képlékeny) csuklóvá alakul, nyomatéki merevsége zérusra csökken, így a statikailag határozott szerkezeteink teherbírása megszűnik, a szerkezetek mozgási mechanizmussá alakulnak. A statikailag

határozatlan szerkezeteknek legalább egy külső vagy belső többletmerevsége van, így egy keresztmetszet nyomatéki merevségének elvesztése csak eggyel csökkenti a szerkezet belső merevségét, de a szerkezet állékony, teherbíró marad. Az ilyen szerkezetek a képlékeny csukló(k) kialakulása után is terhelhetők, mégpedig a képlékeny csuklót valós csuklóként megjelenítő statikai vázon. A szerkezet csak akkor tekintendő tönkrementnek, ha a képlékeny csuklók száma meghaladja a statikai határozatlanság fokszámát. q Mrugalmas -Mrugalmas, határ +Mrugalmas, határ ΔMképlékeny A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Δq Vissza ◄ 119 ► Mechanika II Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 120 ► A belső és a külső erők egyensúlya a képlékeny állapotú tartókra, tartórészekre is érvényes. A képlékeny határállapotban lévő keresztmetszetben

azonban minden elemi szálban, minden pontban a folyási szilárdság, a rugalmas határfeszültség jelenik meg. A húzófeszültségek eredője tehát a húzott felület és a rugalmas határfeszültség szorzataként, a nyomófeszültségek eredője pedig a nyomott felület és a rugalmas határfeszültség szorzataként adódik. Ha a keresztmetszetünket csak hajlítónyomaték terheli, akkor a képlékeny határállapotban a húzott és a nyomott felületek területének meg kell egyeznie, azaz a képlékeny határállapothoz tartozó hajlítási semleges tengely a húzott és a nyomott felületek területazonossága alapján számítható. σ húzó semleges tengely σ nyomó Az ábrán egy T keresztmetszetű tartó-darabon mutatjuk be a képlékeny határállapothoz tartozó húzó- és nyomófeszültségek axonometrikus rajzát. Ha egy téglalap keresztmetszetben a hajlítónyomaték és normálerő is működik, akkor az egyensúlyi egyenletek a következőképpen

alakulnak: az egyenletekben a nyomott és a σ nyomó M HATÁR indexeket csak rövidítve írva: N N znyomott M h σ nyomó σ húzó M N+[b×(h−zny)]×σH −(b×zny)×σH =0 a nyomatéki egyenletet a szelvény alsó szélső szálára felírva: (h − z ny ) z ny h − (b × z ny ) × σ H × (h − ) = 0 M + N × + [b × (h − z ny )] × σ H × 2 2 2 A két egyenletből két ismeretlen határozható meg. A képlékeny határállapotban tehát ismert normálerőhöz meghatározhatjuk a nyomott zóna magasságát és az egyidejűleg működtethető nyomatékot, vagy fordítva: ismert nyomatékhoz meghatározhatjuk a nyomott zóna magasságát és az egyidejűleg működtethető normálerőt. Ha a keresztmetszetben mind a normálerő, mind a nyomaték ismert, akkor nem biztos, hogy a keresztmetszetben kialakul a képlékeny határállapot. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 120 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék

Rúdszerkezetek keresztmetszeti feszültségei Vissza ◄ 121 ► 4.9 Összetett igénybevételi állapot A rúdszerkezet egy keresztmetszetében előfordulható négyféle igénybevétel mindegyikét megvizsgáltuk és - a keresztmetszet geometriájára vonatkozó megszorításokkal - meg is határoztuk az igénybevételekből származó feszültségek jellegét és számítási algoritmusát. Egyszerűsítő feltételezéseink alapján, amelyeket a gyakorlati vizsgálatok kielégítő pontosságúnak igazoltak, az egyes igénybevételekből származó feszültségeket egymástól függetlennek tekinthetjük. A keresztmetszetre működő normálerőből és a keresztmetszetet egyenes hajlításra igénybevevő hajlítónyomatékokból a keresztmetszet síkjára merőleges, normálfeszültségek származnak, amelyek pontról pontra skalárisan összegezhetők. A hajlítónyomatékokkal egyidejűleg működő nyíróerők alapvetően a nyírás irányában álló

nyírófeszültségeket ébresztenek a keresztmetszet pontjaiban, de görbe határolóvonalú keresztmetszetben keresztirányú nyírófeszültségekre is számítanunk kell. A csavarónyomatékok - az általunk vizsgált keresztmetszettípusokban - érintő irányú nyírófeszültségeket okoznak és belőlük normálfeszültség nem származik. A keresztmetszet pontjaiban az eredő nyírófeszültségeket a különböző hatásokból számított nyírófeszültség-vektorok vektoriális összegzésével állíthatjuk elő. Megjegyezzük, hogy az igénybevételekből számítható feszültségek függetlensége csak akkor tartható fenn, ha az anyag ellenállóképessége nincs teljesen kihasználva. Nyilvánvaló, hogy ha egy anyagi pontban a normálfeszültség eléri az anyag által elviselhető határértéket, akkor ugyanebben a pontban már egyidejű nyírószilárdságra nem számíthatunk. Szerencsére szerkezeteinkben általában nem azonos pontokban ébrednek a

normálfeszültségek és a nyírófeszültségek szélső értékei, sőt a maximális normálfeszültségek helyén sok esetben a nyírófeszültség zérus (hajlított tartó szélső szálai) és fordítva (hajlított tartó semleges tengelye). A feszültségszámítás függetlenségét (éppen egyszerűsége miatt) érdemes megőrizni, de valóban szükség van olyan eljárásra is, amellyel a normál- és nyírófeszültséggel egyidejűleg terhelt pontban a feszültségek együttes hatását elemezzük. Ezt a feladatot az Általános Szilárdságtan fejezetben, a pontok feszültségi állapotának vizsgálata során tárgyaljuk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 121 ► Mechanika II Általános szilárdságtan A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 122 ► 5. Általános szilárdságtan 5.1 A általános keresztmetszeti feszültségek A rúdszerkezetek vizsgálata során meghatároztuk, hogy a rúdkeresztmetszetek

igénybevételeiből milyen keresztmetszeti feszültségek származhatnak, és azokat hogyan lehet kiszámítani. A számítási algoritmusok levezetése során sok - a gyakorlat számára elfogadható! - közelítést, egyszerűsítő feltételezést tettünk, amelyek azonban az eredmények értékelésénél sohasem hagyhatók figyelmen kívül Az alábbiakban a legfontosabb keresztmetszeti feszültségszámító öszszefüggéseket és azok alkalmazási korlátját foglaltuk össze. Nx Ty Tz Mx My Mz σx=Nx/A !!! τxy=Ty×S’z/(Jz×bz) !!! τxz=Tz×S’y/(Jy×by) !!! τx=Mx/J0×r !!! σx=My/Jy×z !!! σx=Mz/Jz×x !!! csak ha N centrális csak ha y szimmetriatengely csak ha z szimmetriatengely csak ha A körszimmetrikus csak ha y tehetetlenségi főirány csak ha z tehetetlenségi főirány Az így kapott (rúdszerkezeti keresztmetszeti) feszültségekkel háromféle alkalmazási korlát merül fel: • A feszültségszámítás során mindvégig vélelmeztük a normál- és a

nyírófeszültségek függetlenségét, azaz azt feltételeztük, hogy a szerkezet megfelelőségéhez elegendő, ha a normálfeszültségek és a nyírófeszültségek külön-külön alatta maradnak a megengedett értéknek. Ez a feltételezés a határértékénél lényegesen kisebb feszültségek esetén érvényben tartható, de a nagyon kihasznált pontokban már nem tekinthetünk el a normál- és a nyírófeszültségek egységes kezelésétől. • A feszültségvizsgálatokat csak a tartótengelyre merőleges metszetekben, a keresztmetszetekben végeztük el, pedig tudjuk, hogy a feszültség nemcsak a pont helykoordinátáinak, hanem a ponton át felvett metszősík állásának, normálisának is függvénye. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 122 ► Mechanika II Általános szilárdságtan A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 123 ► F F σ F p τ F σ A feszültségek metszősíkfüggését használhatjuk ki a

kapcsolati feszültségek jellegének módosítására: pl. a ragasztóanyagok tipikusan jó nyírószilárdsággal és gyenge húzószilárdsággal rendelkeznek Ha egy húzott elemben a ragasztási síkot a húzóerőre nem merőlegesen, hanem elfordítva (elferdítve) alakítjuk ki, akkor a felületen (akár dominánsan!) nyírófeszültségek ébrednek, amelyekkel szemben a ragasztás jó ellenállóképességű. (Ezt a megoldást alkalmazza a faipar a lécáruk fűrészfogas toldásában) • A feszültségszámítási módszerek csak a rúdszerkezetekre megfogalmazott egyszerűsítő feltételezések megléte esetén adnak kielégítő pontosságú eredményt. Ha más geometriai arányú szerkezeten kell feszültségvizsgálatot tartanunk, arra már a rúdszerkezetekre levezetett eljárások nem alkalmasak. A probléma megoldását az általános szilárdságtan jelenti, amely nem tesz megszorításokat a tartószerkezet geometriájára, bármilyen állású metszetben megadja

a feszültségkomponensek értékét és együttesen kezeli a pontokban ébredő normál- és nyírófeszültségeket. A következőkben az általános szilárdságtan szerteágazó témakörei közül a tartószerkezet pontjaiban ébredő feszültségek irányfüggőségével, és (ehhez kapcsoltan) a normál- és nyírófeszültségek együttes hatásának (egyfajta) vizsgálatával foglalkozunk. A rúdszerkezettől eltérő geometriájú szerkezetek szilárdságtanával, a pontjaikban keletkező feszültségek számítási eljárásaival a későbbi szaktárgyakban találkozhatnak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 123 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Általános szilárdságtan Vissza ◄ 124 ► 5.2 Egy pont feszültségi állapota A tartószerkezet egy pontjában a terhekből a különböző metszősíkokon keletkező feszültségkomponensek egymástól nem függetlenek, és ha elegendő számú (ugyanazon pontban

felvett, eltérő metszősíkon keletkező) feszültségösszetevőt ismerünk, akkor ezek birtokában már a ponton át felvett tetszőleges állású metszősíkhoz meghatározhatjuk az ott ébredő feszültségösszetevőket. Az általános térbeli pont esetében ez három, egymásra kölcsönösen merőleges metszősík(pár)t jelent. Az ily módon felvett merőleges síkhármason értelmezett, és mátrixba rendezett feszültségkomponenseket együttesen a pont feszültségi tenzorának nevezzük. ⎡σ x ( x ) τ xy τ xz ⎤ ⎥ ⎢ τ σ τ y( y) yz ⎥ ⎢ yx ⎢ τ zx τ zy σ z ( z ) ⎥⎦ ⎣ a szakirodalom alkalmaz olyan jelölésrendszert is, ahol minden feszültségkomponenst σ-val jelölnek, és a kettős index azonossága ill. különbözősége különbözteti meg a normál- és a nyírófeszültségeket A számtáblázat (feszültség-mátrix vagy feszültségtenzor) egy-egy SORA az illető normálisú sík eredő feszültségének három, tengelyirányú

vetületét adja. E kilenc (a nyírófeszültségek dualitása miatt csak hat független) feszültségösszetevő segítségével a P ponton át felvett BÁRMILYEN állású metszősík feszültségösszetevői meghatározhatók, ezért azt mondhatjuk, hogy ez a számtáblázat a P pont FESZÜLTSÉGÁLLAPOTÁT határozza meg. Egy pont feszültségi állapotán a ponton át felvehető metszősíkokon ébredő (normál- és nyíró-) feszültségek összességét értjük. Egy tartószerkezeti pont feszültségi állapota általános esetben térbeli, azaz a feszültségmátrix minden eleme zérustól különböző. Speciális geometriájú, vagy speciális terhelésű szerkezetek pontjaiban bizonyos jellemző irányokban a feszültségértékek zérus (vagy igen jó közelítéssel zérusnak tekinthető) értékűek, így a feszültségmátrix megfelelő elemei nullák lesznek. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 124 ► Mechanika II A dokumentum használata

| Tartalomjegyzék Általános szilárdságtan Vissza ◄ 125 ► Ha a P pont kicsiny környezetében párhuzamos (nem feltétlenül tengelyirányú!) síkpárokkal kivágott elemi kockának VAN olyan lap-párja, amelyen NEM ÉBRED feszültség, akkor a feszültségmátrix illető normálishoz tartozó SORában minden elem zérus. A nyírófeszültségek dualitása miatt ilyenkor az illető normálfeszültség OSZLOPában is minden elem zérus, tehát a kilenc elemből csak NÉGY marad: a pont SÍKBELI FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN VAN. Egy pont feszültségi állapota SÍKBELI (kéttengelyű), ha a pont infinitezimálisan kicsiny környezetéből három, egymásra kölcsönösen merőleges síkpárral kimetszhető olyan elemi hasáb, amelynek egyik lappárja feszültségmentes. Másként fogalmazva: síkbeli a pont feszültségállapota, ha az elemi hasáb lapjain ébredő feszültségvektorok mind egy síkra illeszkednek. ⎡σ x ( x ) τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ τ σ τ y( y) yz ⎥

⎢ yx ⎢ τ zx τ zy σ z ( z ) ⎥⎦ ⎣ Ha az x normálisú metszősík feszültségmentes, akkor a pont feszültségi állapotának síkja az y-z sík. ⎡σ x ( x ) τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ τ σ τ y( y) yz ⎥ ⎢ yx ⎢ τ zx τ zy σ z ( z ) ⎥⎦ ⎣ Ha az y normálisú metszősík feszültségmentes, akkor a pont feszültségi állapotának síkja az z-x sík. ⎡σ x ( x ) τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ τ σ τ y( y) yz ⎥ ⎢ yx ⎢ τ zx τ zy σ z ( z ) ⎥⎦ ⎣ Ha a z normálisú metszősík feszültségmentes, akkor a pont feszültségi állapotának síkja az x-y sík. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 125 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Általános szilárdságtan Vissza ◄ 126 ► Ha a P pont kicsiny környezetében párhuzamos (nem feltétlenül tengelyirányú!) síkpárokkal kivágott elemi kockának VAN KÉT olyan lappárja, amelyeken NEM ÉBRED feszültség, akkor a feszültségmátrix illető

normálishoz tartozó SORaiban minden elem zérus. A nyírófeszültségek dualitása miatt ilyenkor az illető normálfeszültségek OSZLOPaiban is minden elem zérus, tehát a kilenc elemből csak EGY marad: a pont LINEÁRIS FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN VAN. Egy pont feszültségi állapota LINEÁRIS (egytengelyű), ha a pont infinitezimálisan kicsiny környezetéből három, egymásra kölcsönösen merőleges síkpárral kimetszhető olyan elemi hasáb, amelynek két lap-párja feszültségmentes. Másként fogalmazva: lineáris a pont feszültségállapota, ha az elemi hasáb lapjain ébredő feszültségvektorok mind egy egyenesre illeszkednek. ⎡σ x ( x ) τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ τ σ τ y( y) yz ⎥ ⎢ yx ⎢ τ zx τ zy σ z ( z ) ⎥⎦ ⎣ Ha az x és az y normálisú metszősíkok feszültségmentesek, akkor a pont feszültségi állapotának tengelye a z tengely. ⎡σ x ( x ) τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ τ σ τ y( y) yz ⎥ ⎢ yx ⎢ τ zx τ zy σ z ( z ) ⎥⎦ ⎣

Ha az x és a z normálisú metszősíkok feszültségmentesek, akkor a pont feszültségi állapotának tengelye a y tengely. ⎡σ x ( x ) τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ τ σ τ y( y) yz ⎥ ⎢ yx ⎢ τ zx τ zy σ z ( z ) ⎥⎦ ⎣ Ha az y és a z normálisú metszősíkok feszültségmentesek, akkor a pont feszültségi állapotának tengelye az x tengely. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 126 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Általános szilárdságtan Vissza ◄ 127 ► Megjegyezzük, hogy a feszültségi állapot síkbeli mivolta, vagy linearitása csak abban a koordinátarendszerben értelmezhető, amelyben a feszültségmentes metszősíkok normálisai a tengelyek. Egy ettől eltérő síkhármassal kivágott elemi hasábon ugyanabban a pontban is minden lapon találunk feszültségeket és a feszültségmátrix is telemátrix lesz. Ha arra keressük a választ, hogy milyen tulajdonságokkal rendelkezik a

térbelinek látszó, de síkbelivé transzformálható feszültségmátrix, két esetet figyelhetünk meg: • ha az általánosan kimetszett elemi hasábon van két olyan lap-pár, amelyen nem ébred normálfeszültség, akkor a harmadik tengely körül alkalmasan elforgatva a síkhármast, mindig található olyan állás, amelyben az egyik lap-pár feszültségmentes • ha az általánosan kimetszett elemi hasábon az egyik lap-páron ébredő eredő nyírófeszültség vektora párhuzamos a másik két lap-páron keletkező normálfeszültségvektorok eredőjével, akkor az első tengely körül alkalmasan elforgatva a síkhármast, mindig található olyan állás, amelyben az egyik lap-pár feszültségmentes A kérdés úgy is felmerülhet, hogy pl. egy lineáris feszültségi állapotú (tehát a vizsgált elemi hasábon csak az egyik lap-páron, és ott is csak normálfeszültséget mutató) pontban keletkezhet-e nyírófeszültség. A helyes válasz: IGEN, hiszen a

metszősík-hármas elfordításával a feszültségkomponensek értéke-állása megváltozik, a lineáris feszültségállapot jellemző feszültségmátrixa csak abban a speciális koordinátarendszerben alakul ki, amelyben az egyik tengely épp a feszültségállapot tengelye. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 127 ► Mechanika II Általános szilárdságtan A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 128 ► 5.3 Síkbeli feszültségtranszformáció Válasszuk ki a szerkezet egy P jelű pontját, és a pont infinitezimálisan kicsiny környezetéből az x-y-z-n normálisú síkokkal vágjunk ki egy dy magasságú, dx-dz befogójú háromszögalapú hasábot. A feszültségtranszformációt az x-z-n síkban végezzük, így a hasábot elegendő az y tengely felőli nézetével ábrázolnunk. A hasáb x normálisú lapján működjön pozitív σx és τxz, a z normálisú lapján pozitív σz és (a dualitásnak megfelelően) negatív

τzx feszültség, az n normálisú felületen pedig működjön pozitív σn normál- és ugyancsak pozitív τnt nyírófeszültség. Az n normálisú lap az x normálisú lappal α szöget zár be. A feladat: a σx, τxz, σz, τzx és az α szög ismeretében határozzuk meg σn és τnt értékét és előjelét. dx dz ds A szerkezetből kivágott elemi hasábra is érvényes a nyugalom követelménye, azaz a rá működő erőknek egyensúlyban kell lenniük. Az egyensúly alapján írjuk fel az n irányú és a t irányú vetületek egyenlőségét. Az egyenletekben az egyes lapokon működő erőket egyenletes feszültségeloszlással számíthatjuk. σ n × dsdy = σ x dzdy × cos α + σ z dxdy × sin α + τ xz dzdy × sin α + τ zx dxdy × cos α τ nt × dsdy = −σ x dzdy × sin α + σ z dxdy × cos α + τ xz dzdy × cos α − τ zx dxdy × sin α a trigonometriai összefüggések alapján: dz = ds × cos α és dx = ds × sin α a jobb oldali tagokban

elvégezve a behelyettesítést, minden tagban szerepelni fog ds és dy, ezekkel tehát az egész egyenlet végigosztható A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 128 ► Mechanika II Általános szilárdságtan A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 129 ► σ n = +σ x × cos 2 α + σ z × sin 2 α + τ xz × sin α × cos α + τ zx × cos α × sin α τ nt = −σ x × sin α × cos α + σ z × cos α × sin α + τ xz × cos 2 α − τ zx × sin 2 α A fenti egyenletek megadják a keresett összefüggést az ismert a σx, τxz, σz, τzx és α, valamint a keresett σn és τnt között. A további átalakítások már csak az egyszerűsítést szolgálják. Az átalakításban felhasználjuk, hogy számértékét tekintve a τxz = τzx. σ n = +σ x × cos 2 α + σ z × sin 2 α + τ xz × 2 × sin α × cos α σ −σ z τ nt = − x × 2 × sin α × cos α + τ xz × (cos 2 α − sin 2 α ) 2 A σn és τnt értékére

kapott összefüggésben megjelenő sinαcosα a sin(2α) fele, a (cos2α-sin2α) pedig a cos(2α), így felmerül az ötlet, hogy nem lehet-e a σx, σz és τxz együtthatóit is α kétszeres szögfüggvényével felírni. σx×cos2α-hoz és σz×sin2α-hoz adjunk hozzá a 0-t, a következő módon: σ x cos 2 α = = σx 2 σz 2 2 cos 2 α + (cos 2 α + sin 2 α ) + σ z sin 2 α = = σx σz 2 sin 2 α + σx 2 σx 2 σz (sin 2 α + cos 2 α ) − 2 σz 2 cos 2 α + σx 2 sin 2 α − (cos 2 α − sin 2 α ) = sin 2 α + σz 2 2 cos 2 α − sin 2 α = 2 σx (cos 2 α − sin 2 α ) = A dokumentum használata | Tartalomjegyzék σx + σz 2 σz 2 σx 2 cos 2α cos 2 α = − σz 2 cos 2α Vissza ◄ 129 ► Mechanika II Általános szilárdságtan A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 130 ► A kapott eredményeket behelyettesítve: σn = + σx 2 + σx 2 × (cos 2α ) + σn = + σ x +σ z 2 τ nt = − σz

2 + − σz 2 × (cos 2α ) + τ xz × sin 2α σ x −σ z σ x −σ z 2 2 × (cos 2α ) + τ xz × sin 2α × sin 2α + τ xz × cos 2α A σn és τnt tehát a σx, τxz, σz, τzx valamint α ismeretében a fenti összefüggésekkel határozható meg. 5.4 A főfeszültségek Az n-t koordinátarendszert forgatva minden állásban értelmezhetők és előállíthatók a síkon ébredő σn és τnt feszültségkomponensek, azaz a σn és τnt az α elfordítási szögnek folytonos függvénye. Ugyanakkor 360 fokos elfordítás után a koordinátarendszer az eredeti helyzetbe kerül vissza, tehát az σn és τnt az α elfordítási szögnek periodikus függvénye. Ha pedig egy függvény egyidejűleg folytonos és periodikus, akkor korlátos is. Ha pedig a σn és τnt elfordítási szög szerinti függvénye korlátos, akkor meg lehet (és meg is kell!) határoznunk a szélső értékeit és az azokhoz tartozó elfordítási szögek értékeit. A σn összefüggésére

alkalmazva a d/dα differenciáloperátort keressük a derivált függvény zérushelyét. d d ⎡σ x + σ z σ x − σ z ⎤ σ n (α ) = cos 2α + τ xz sin 2α ⎥ = 0 + ⎢ 2 dα dα ⎣ 2 ⎦ Az n-t tengelykereszt forgatása σx, σz és τxz nem függvénye az α elfordítási szögnek, így a deriválásban konstansként viselkedik. σ −σ z d σ n (α ) = x (− sin 2α ) × 2 + τ xz (cos 2α ) × 2 = 0 dα 2 − σ x −σ z 2 (sin 2α ) + τ xz (cos 2α ) = 0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 130 ► Mechanika II Általános szilárdságtan A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 131 ► Az átalakítások eredményén látható, hogy az a τnt képletével azonos, azaz a normálfeszültség a tengelykereszt forgatása során abban a tengelyállásban veszi fel szélső értékeit, amelyben a normálishoz tartozó síkon a nyírófeszültség értéke zérus. Azokat a tengelyeket, amelyekhez, mint normálisokhoz

tartozó síkokon a normálfeszültség maximális, ill. minimális értéket veszi fel, a síkidom feszültségi főtengelyeinek, főirányainak nevezzük. A maximális normálfeszültséget adó tengelyt 1-es, a minimális értéket szolgáltató tengelyt 2-es főiránynak nevezzük. A feszültségi főirányok állását, az alkalmazott koordinátarendszer tengelyeivel bezárt szögét a τnt nyírófeszültség összefüggéséből határozhatjuk meg. τ nt = − σ x σ −σ 2 −σ 2 x z z sin 2 α + τ sin 2 α = τ tan 2α = xz xz cos 2 α = 0 cos 2 α sin 2α 2τ xz = cos 2α σ x − σ z Megjegyezzük, hogy a tangensfüggvény 180°-ra periodikus, a tangens(2α) így 90°-ra periodikus, ezért a fenti összefüggés alapján ugyan meghatározható a feszültségi főirányok állása, de nem választható ki, hogy melyik lesz az 1-es, és melyik a 2-es főirány. A pont környezetében felvett elemi hasábra megrajzolt feszültségek azonban lehetővé

teszik a főirányok közelítő (45°os intervallumra korlátozó) megállapítását, és ennek alapján már egyértelműen meghatározhatjuk, hogy a számításból adódó szögérték melyik főtengely állását adja meg. Ugyancsak biztosan megállapítható a főtengelyek állása a feszültségi MOHR-körből. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 131 ► Mechanika II Általános szilárdságtan A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 132 ► A főirányokra érvényes tehetetlenségi nyomatékértékek összefüggését levezetés nélkül közöljük: σ1 = σ x +σ z 2 ⎡⎛ σ − σ z ⎞ 2 ⎤ ⎡⎛ σ − σ z ⎞ 2 ⎤ σ +σ z 2 2 + ⎢⎜ x − ⎢⎜ x ⎟ + τ xz ⎥ σ 2 = x ⎟ + τ xz ⎥ 2 ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ Természetesen a τ12 nyírófeszültség mindig zérus! 5.5 A feszültségi főirányok meghatározása A főfeszültségek mindig azon a metszősíkon ébrednek, ahol

nyírófeszültség nem keletkezik. Ennek megfelelően a lineáris feszültségállapotú pontok esetében a főirányok szemléletből felvehetők. Ugyanígy azonnal látható a főirányok állása, ha a pontban (a vizsgált metszősíkpáron) nyírófeszültség nem ébred. Az ábrákba berajzoltuk az elemi hasáb (közelítő) alakváltozását is. σx σx 1 x σx 1 x z σx σz σx 1 x σz z σx z Ha a pontban (a vizsgált metszősíkpáron) csak nyírófeszültségek ébrednek, a négyzetes elemi hasáb rombusszá torzul. Ez esetben a legnagyobb-legkisebb alakváltozások, és ezzel együtt a normálfeszültségek szélsőértékei is az átlók irányában alakulnak ki τxz τzx 1 x z τxz τxz τzx 1 x τzx A dokumentum használata | Tartalomjegyzék z τxz τzx Vissza ◄ 132 ► Mechanika II Általános szilárdságtan A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 133 ► Ha a pontban felvett elemi hasábon mind nyíró,

mind normálfeszültségek lesznek, akkor az egymásrahalmozás segítségével közelíthetjük a főirányok állását. σ z x σx τxz τzx σx τxz σz τzx z x σx τxz σz τzx 1 σx τxz σz τzx z Ha a pontban a felvett elemi hasáb metszősíkjain nyírófeszültség nem ébred és a két normálfeszültség azonos értékű és előjelű, a σ1 és a σ2 értéke is azonos lesz. Az ilyen tulajdonságú pontokban minden irányban ugyanakkora lesz a normálfeszültség és egyik irányhoz sem tartozik nyírófeszültség, azaz minden irány feszültségi főirány. Az ilyen tulajdonságú pont feszültségi állapotát hidrosztatikus feszültségi állapotnak nevezzük. (Ilyen feszültségi állapot uralkodik a viszkozitásmentes folyadékok belsejében.) 5.6 A feszültségi MOHR-kör A feszültségtranszformáció összefüggései alapján bizonyítható, hogy egy pont különböző állású metszősíkjaira számított normálfeszültségnyírófeszültség

értékpárok egy speciális, a vízszintes tengelyen a normálfeszültségeket, a függőleges tengelyen a nyírófeszültségeket ábrázoló koordinátarendszerben egy körön, az ún. feszültségi MOHR körön sorakoznak. Az ábrázolás során a σx-hez a τxz, a σz-hez pedig a τzx=-τxz nyírófeszültség tartozik. A MOHR kör szemléletesen jeleníti meg a főfeszültségeket (a σ tengely és a kör metszéspontjai), a számított tengely és a főtengelyek közötti szög (kétszeresének) állását és értékét, és leolvasható róla a főfeszültségek előállítási képlete is (a MOHR kör középpontjához kell hozzáadni ill. kivonni a sugár értékét) A feszültségi MOHR kör csak síkbeli feszültségi állapot ábrázolására alkalmas, tehát a harmadik tengelynek, amely körül az elemi hasábot forgatjuk, feszültségi főiránynak kell lennie, azaz ahhoz a síkpárhoz nem tartozhat nyírófeszültség. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék

Vissza ◄ 133 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Általános szilárdságtan Vissza ◄ 134 ► A feszültségi MOHR-kör minden pontja a vizsgált pont kicsiny környezetéből kimetszett elemi hasáb egyik metszősíkján ébredő σ−τ értékpárral van kölcsönösen egyértelmű kapcsolatban: ha a metszősík feszültségeit ismerjük, ez meghatározza a MOHR-kör megfelelő pontját; a MOHR-kör pontjának ismeretében meghatározhatjuk a metszősíkon ébredő feszültségösszetevőket. A feszültségtranszformációban a szögértéknél megjelenő 2-es szorzó már utal rá, hogy a MOHR-körös feszültségábrázolásban a valós geometriában mérhető szögek kétszerese szerepel A feszültségi főirányok a szerkezet vizsgált pontjában mindig merőlegesek egymásra, a MOHR-körben viszont a σ tengelyen lévő átmérő két végpontján jelennek meg. Ennek megfelelően minden merőleges metszősíkpárt ábrázoló pontpár a

MOHR-kör egy átmérőjén lesz rajta. A feszültségösszetevők ezen tulajdonsága alapján a feszültségi MOHRkör mindig megszerkeszthető, ha a szerkezet vizsgált pontjában két, egymásra merőleges metszetben ismerjük a σ−τ feszültségösszetevőket, a harmadik, e két sík normálisára merőleges normálisnak feszültségi főiránynak kell lennie. A MOHR-kör valójában az elemi hasáb e harmadik tengely körüli forgatása során ébredő σ−τ feszültségpárokat jeleníti meg. Rúdszerkezetek esetében (általában) x a rúdelem tengelyét, z a keresztmetszet szimmetriatengelyét, y pedig a hajlítási semleges tengelyt jelöli. Ilyenkor σy, τyz mindig zérus (a hajlított-nyírt tartó pontjai síkbeli feszültségi állapotban vannak, amelynek síkja az x-z sík); τxy és τyx pedig csak akkor nem zérus, ha a keresztmetszeti síkidom érintője a vizsgált pont magasságában nem z irányú; σz pedig csak akkor nem zérus, ha a tartóelemen közvetlen,

koncentrált z irányú teher van. Így az átlagos, leggyakrabban előforduló hajlított-nyírt gerendatartó pontjaiban a keresztmetszeti feszültségek (σx, τxz) ismerete elegendő a (síkbeli) feszültségi állapot meghatározásához és a MOHR-kör megrajzolásához. A következő ábrákon a MOHR-körrel megjeleníthető adatokat mutatjuk be, külön jelölve a MOHR kör pontjaiként megjelenő metszeti normálisokat és a hozzájuk rendelhető σ−τ feszültségpárokat. A középponti és a kerületi szögek geometriából ismert összefüggése alapján a MOHR-körből a feszültségi főirányok állásának meghatározása is egyszerűen és szemléletesen lehetséges. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 134 ► Mechanika II Általános szilárdságtan A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 135 ► A P pont kicsiny környezetéből kimetszett, y normálisú síkján feszültségmentes elemi hasáb feszültségei és

az ezek alapján megrajzolható MOHR-kör a főfeszültségekkel. τxz x σ x z 2 τzx σ1 σ2 σz=0 1 σx τ xz σ τzx −2αx⇒1 x τ z Egy körben az ugyanazon ívhez tartozó kerületi szög mindig a középponti szög fele. Ennek felhasználásával a feszültségi főtengelyek könnyen és szemléletesen előállíthatók. z 2 1 αx⇒1 τxz x σ x αx⇒1 τzx σ2 σz=0 σ1 1 σx τ xz τ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék σ 2 1 2 z τzx −2αx⇒1 x Vissza ◄ 135 ► Mechanika II Általános szilárdságtan A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 136 ► Az alábbi ábrákon a legegyszerűbb (síkbeli) feszültségállapotok MOHR köreit mutatjuk be. σx σx 1 σx x x σx=σ1 σ z 2 σz=0=σ2 x 1 x σz z σz=σ1 σ x 2 σx=σ2 z x σx=σ2 σ 2 σz=0=σ1 z τ τ τzx 1 x τxz τxz τzx 1 x τzx z a tiszta nyírás feszültségállapota a tiszta nyírás feszültségállapota x

σ1 σ 1 2 σ2 σ1 σ 1 2 x τ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék σz σx σx x σz τzx z z σ2 τxz σx 1 1 τ τxz σx z a tiszta nyomás feszültségállapota z a tiszta húzás feszültségállapota 1 σx 1 σz z a hidrosztatikus feszültségállapot σx=σz=σ1=σ2 x z σ 1,2 τ z τ Vissza ◄ 136 ► Mechanika II Általános szilárdságtan A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 137 ► Ha az x normálisú síkon mindkét τ feszültség-komponens létezik, (de σy=σz=0), akkor a metszősík x körüli elfordításával még lelhető olyan állás, amelyben az egyik határoló síkpár feszültségmentes, tehát a pont feszültségi állapota SÍKBELI. a feszültségi mátrix a transzformáció előtt a feszültségi mátrix a transzformáció előtt ⎡σ x ( x ) ⎢ ⎢ τ yx ⎢ τ zx ⎣ τ xy σ y( y) τ zy τ xz ⎤ ⎥ τ yz ⎥ σ z ( z ) ⎥⎦ σ =0 τzx zτzy=0 τxy=0 τxz τx σx=0 τxz yP

τxy σz xP zP xP ⎡σ x ( x ) ⎢ ⎢ τ nx ⎢ τ tx ⎣ τ xn σ n(n) τ tn τ xt ⎤ ⎥ τ nt ⎥ σ t ( t ) ⎥⎦ σt=0 τtx τtn=0 τxt σx τxn=0 σn=0 τnt=0 τnx=0 nP tP Az n normálisú sík feszültségmentes, így a pont feszültségi állapota síkbeli, és a feszültségi állapot síkja az x-t sík. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 137 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Általános szilárdságtan Vissza ◄ 138 ► 5.7 Főfeszültségi ábrák Kéttámaszú gerenda feszültségei Az alábbi ábrákon egy kéttámaszú hajlított-nyírt gerenda normálfeszültségeinek és feszültségi főirányainak alakulását szemléltetjük.(Az ábrák az AXIS végeselemes szerkezetszámító program segítségével készültek.) nx [kN/m] 1312,79 1227,47 1142,15 1056,83 971,51 886,18 800,86 715,54 630,22 544,90 459,58 374,25 288,93 203,61 n1,n2 [kN/m] 969,28 696,46 423,64 150,82 -121,99 -394,81 -667,63

-940,45 -1213,27 -1486,09 -1758,91 nx [kN/m] 339,76 310,83 281,91 252,99 224,07 195,14 166,22 137,30 108,37 79,45 50,53 21,60 -7,32 -36,24 -65,17 -94,09 Z X A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 138 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Általános szilárdságtan Vissza ◄ 139 ► Húzott lyukaslemez feszültségei A húzott lemezkapcsolatokat a hegesztés mellett csavarozással szokás megoldani. A csavarok számára készített lyukak viszont akadályozzák az anyagban az egyenletes erőátadódást. Az alábbiakban egy végeselemes modellen mutatjuk be a lyuk környékén a főfeszültségi irányok, ill. a tengelyirányú (keresztmetszeti) normálfeszültségek alakulását 41,65 25,50 9,36 -6,79 -22,93 -39,08 -55,22 Látható, hogy a lyuk környezetében a szerkezetvégen még egyenletes, párhuzamos vektorok elferdülnek, az erővonalak kénytelenek a lyukat megkerülni. A perspektivikus ábrán jól látható, hogy a

lyukat megkerülő erővonalak a gyengített keresztmetszetben a lyuk mellett igen jelentős feszültségi csúcsot okoznak. Az ilyen lokális túlfeszültséget az acélanyag képlékenysége révén „leépíti”, de a rideg anyagokban a gyengítések, különösen az éles, hirtelen geometriai változások helyén mindig jelentős feszültségi csúcsok alakulnak ki. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 139 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Általános szilárdságtan Vissza ◄ 140 ► A feszültségi állapot alkalmazásának érdekes esete az építőanyagvizsgálatban szokásos hasítási próba, amikor egy hengeres próbatesten az anyag húzószilárdságát úgy ellenőrzik, hogy két szemközti alkotó mentén a hengerre működtetett nyomóerőt növelik a henger elhasadásáig. Az alábbi ábra a henger végeselemes modelljének keresztmetszetén mutatja az átmérő végpontjain működtetett koncentrált

(élmenti) nyomóerők hatására a henger belsejében, az átmérő mentén a nyomóerő irányára merőleges normálfeszültségek alakulását. Látható, hogy a nyomáspont közvetlen környezetében a nagy lokális nyomófeszültség után az átmérő (majdnem) teljes hosszán gyakorlatilag konstans húzófeszültség alakul ki hengerben, azaz a tönkremenetelhez tartozó erő és a henger mérete alapján meghatározhatjuk a hengert alkotó anyag tényleges húzószilárdságát. szemközti élei mentén nyomott henger átmérőmenti normálfeszültségei 5.8 A főfeszültségi trajektóriák A szerkezet pontjaiban meghatározott feszültségi főirányok mindig merőlegesek egymásra, és ezekben az irányokban ébrednek a pontban a legpozitívabb és a legnegatívabb normálfeszültségek. Ha az egész szerkezetben szeretnénk a főnormálfeszültségek térbeli alakulását megjeleníteni, olyan ortogonális (minden metszéspontban egymásra merőleges érintőjű)

függvénysereg(párt) kell választanunk, amelynek érintői minden pontban az aktuális feszültségi főirányokkal párhuzamosak. Az ilyen (a teherfüggvénytől és szerkezet geometriájától-megtámasztási viszonyaitól függő) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 140 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Általános szilárdságtan Vissza ◄ 141 ► görbesereg-párt a tartó főfeszültségi trajektóriáinak nevezzük. A főfeszültségi trajektóriák (közelítő) megjelenítését az előző pont számítógéppel készült feszültségi ábráin láthatják. A főfeszültségi trajektóriák ismerete a szerkezet belsejében futó „erővonalak” láthatóvá tételével segít pl. a vasbetonszerkezetek vasalásának elhelyezésében, a feszített vasbeton szerkezetekben a helyes kábelvezetés kialakításában, vagy akár egy szerkezet (e nélkül) igazolhatatlan, de kimérhető, megfigyelhető

többletteherbírásának értelmezésében. Az alábbi ábra egy (torzított arányú) kéttámaszú tartó főfeszültségi trajektóriáinak rajzát mutatja. Az ábrából látható, hogy pl a húzások felvételére szolgáló betonacélokat a tartóvég környezetében ~45°-os állásban, a tartó középső részén alul, tengelyirányban célszerű elhelyezni. Ugyanakkor az is kiolvasható az ábrából, hogy nagy(obb) tartómagasság esetén, ha a tartóvégek tengelyirányú eltolódása gátolt, a szerkezet a nyomó főfeszültségek révén boltozati hatással is képes a teherviselésre. 5.9 A feszültségi állapot alkalmazása A szerkezet pontjainak feszültségi állapota, a főfeszültségek ismerete az első (sikeres!) kísérletünk arra, hogy a keresztmetszetvizsgálatok során meghatározott, és egymástól függetlennek tekintett normál- és nyírófeszültségek hatását együttesen vizsgálhassuk, értékelhessük. Különösen szükséges a

főfeszültségvizsgálat a bonyolult terhelésű tartószakaszok, vagy a lokálisan terhelt tartószakaszok környezetében (feszített tartó tartó- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 141 ► Mechanika II Általános szilárdságtan A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 142 ► vég-vizsgálata, koncentrált erőbevezetés helye, stb.) A főfeszültségvizsgálattal elkerülhetjük az anyag akaratlan túlterhelést, amikoris a mind normálirányban, mind nyíróirányban nagyon kihasznált szerkezeti pontban a σ tényleges , max ≤ σ határ és τ tényleges , max ≤ τ határ de σ 1 > σ határ A feszültségi állapot vizsgálata, nevezetesen a MOHR-kör tulajdonságainak ismerete segíthet megoldást találni azokban a problémákban, amikor a nyírási tönkremenetelre veszélyes anyagok nyomószilárdságát kellene emelnünk. τhatár τhatár σ σ τhatár τhatár σ-max σ-max, elérhető τ σ-max,

nyírásra tönkrement σkereszt σ-max, elérhető τ σ-max, elérhető (σkereszt!) A fenti ábrán jól látható, hogy az egyirányú normálfeszültség növelése a MOHR-kör sugarát, tehát a pontban ébredő nyírófeszültség nagyságát is növeli. Ha a maximális nyírófeszültség eléri a nyírószilárdságot, a normálirányú terhelés nem növelhető tovább Ha viszont keresztirányú normálfeszültséggel is számolhatunk, ugyanahhoz a sugárhoz, azaz ugyanakkora maximális nyírófeszültséghez nagyobb (az előbbi terhelési irányban értelmezett) normálfeszültség működtethető. Ez a hatás a lokálisan terhelt anyagokban jelenik meg, és a terhelt pontok környezetében lévő terheletlen anyagrészek „segítő” hatásával (is) magyarázható. Ez a jelenség teszi lehetővé, hogy a mélyebb alapsíkon nagyobb talajszilárdsággal számolhassunk, vagy hogy az acélköpenyű vasbetonpillér a köpeny nélküli pillérnél lényegesen kisebb

keresztmetszettel is megfelel. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 142 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 143 ► 6. Tartószerkezetek alakváltozása 6.1 Az alakváltozások szerepe a mérnöki szerkezetek vizsgálatában Az eddigi (statikai vagy szilárdságtani) vizsgálatainkban a szerkezetek alakváltozását figyelmen kívül hagytuk, a számításokat a szerkezet eredeti, deformálatlan alakján végeztük el. Ez a megközelítés az esetek túlnyomó többségében megengedhető, hiszen mérnöki szerkezeteinket szilárd anyagokból készítjük-építjük, amelyeken a terhelési folyamatban saját méreteikhez képest nagyságrendekkel kisebb alakváltozások keletkeznek. Ez a megállapítás igazolja az erőjáték vizsgálata, a szerkezet tervezése-ellenőrzése során a keletkező alakváltozások elhanyagolását, de nem igazolja az alakváltozások, keresztmetszeti

elmozdulások jellegének, mértékének, irányának teljes figyelmen kívül hagyását. A tartók statikai, szilárdságtani viselkedése mellett ismernünk kell alakváltozásaikat is, hogy megállapíthassuk: • a terhek hatására fellépő alakváltozások mértéke alapján valóban joggal választottuk-e a statikai-szilárdságtani vizsgálatokban a megmerevítés elvét • a kialakuló alakváltozások-elmozdulások nem befolyásolják-e károsan a szerkezet, vagy a csatlakozó szerkezeti elemek erőtani, vagy funkcionális használhatóságát (igénybevételátrendeződés, a tervezettől eltérő geometria kialakulása, esztétikai bizonytalanság-érzet, stb.) • az alakváltozásokra érzékeny szerkezeteken (külpontosan nyomott oszlopok, kötélszerkezetek, stb.) milyen deformációt kell figyelembe vennünk az erőjáték (többnyire iteratív) pontosításához • az elkészült szerkezet merevsége (az erőkkel, az igénybevételekkel szemben tanúsított

ellenállóképessége), ill. az ezzel bizonyos mértékig korreláló teherbírása igazolja-e a tervezői feltételezéseket A tartószerkezetek alakváltozásainak, a jellemző pontok elmozdulásainak meghatározása tehát a statikai-szilárdságtani (és a későbbiekben bemutatott másfajta) vizsgálatok mellett fontos része a mérnöki tervező-ellenőrző munkának. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 143 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 144 ► 6.2 A kis elmozdulások Már többször említettük, hogy a mérnöki szerkezetek alakváltozásai a szerkezet méreteihez képest kicsinyek, a deformációk mértékét az építési szabályzatok is szigorúan korlátozzák. Vizsgáljuk meg, hogy a maximális lehajlás korlátozása milyen elfordulási értékeket enged meg a szerkezeteinken. A vizsgálatot a legegyszerűbb, és leggyakoribb tartószerkezeten, az egyenletesen

megoszló teherrel terhelt kéttámaszú tartón végezzük el. A teherfüggvény és a (tartótengelyre merőleges) eltolódások függvénye között egyértelmű matematikai kapcsolat ismerhető fel, amelynek részét képezi a teher- és az igénybevételi függvények kapcsolatát feltáró és ott tárgyalt differenciális összefüggés. A differenciális kapcsolatot az elfordulások és eltolódások függvényeire is kiterjesztve a következőképpen egészíthetjük ki a differenciális összefüggéseinket: ∫ q( x)dx = −T ( x) ∫ T ( x)dx = −M ( x) ∫ M ( x)dx = ϕ ( x) × EJ ∫ ϕ ( x)dx = −e ( x) z d e z ( x) = −ϕ ( x) dx d M ( x) ϕ ( x) = EJ dx d M ( x) = −T ( x) dx d T ( x) = −q ( x) dx M T N x z Az eltolódás- és a teherfüggvények előjelének megállapítása során a rúdelem lokális koordinátarendszerét alkalmaztuk, a nyíróerő és a keresztmetszeti nyomaték előjelét a keresztmetszeti igénybevételek szokásos előjelszabálya

alapján minősítettük, a keresztmetszeti elfordulás előjelét pedig az óra járásával azonos irányban tekintettük pozitívnak. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 144 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 145 ► Az alábbi ábrán egy q=240 N/m intenzitású egyenletesen megoszló teherrel terhelt, EJ=104 kNm2 hajlítómerevségű, L=20 m támaszközű kéttámaszú tartó elmozdulási és igénybevételi függvényeit rajzoltuk meg. A bal oldali értéktengelyen a teher- és igénybevételi függvények értékeit, a jobb oldali értéktengelyen az elmozdulási függvények értékeit skáláztuk. -5,00 -0,005 e fi kappa M T -10,0 -8,0 -6,0 -4,0 0,015 -2,0 15,00 0,0 0,01 2,0 10,00 4,0 0,005 6,0 5,00 8,0 0 10,0 0,00 q A differenciális összefüggés alapján az egyenletesen megoszló teherrel terhelt kéttámaszú tartó lehajlásfüggvénye a

keresztmetszet pozíciójának negyedfokú függvénye lesz. E függvényre általánosan igaz, hogy az x és a –x helyhez tartozó pontokban megrajzolt érintő a szimmetriatengelyt az x és –x ponti függvényértékeket összekötő húrtól mérve a függvénymetszési pont távolságának 4-szeresénél fogja metszeni. y x y’|x×x=4×k×x3×x=4×k×x4=y|x×4 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék x =4×k×x4=y|x×4 y’|x=4×k×x3 y|-x=k×(-x)4 y|x=k×x4 y’|x×x=4×k×x3×x y|x=k×x4 -x Vissza ◄ 145 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 146 ► Ha például egy kéttámaszú tartón a középkeresztmetszet eltolódását a támaszköz 1/200-ad részében maximáljuk, a támaszok elfordulási szögének tangense (egyenletesen megoszló terhelést feltételezve) : tg(φA)=4×(L/200)/(L/2)=0,04 φA=2,29° sin(φA)= sin(2,29°)= 0,03996~ 0,0400 az eltérés 0,00004/0,04= 0,1%

φA,radián= (2,29°)rad= 0,03997~ 0,0400 az eltérés 0,00003/0,04= 0,075% cos(φA)= cos(2,29°)= 0,9992~ 1,0000 az eltérés 0,0008/1,00= 0,08% A fentiek alapján elhanyagolható mértékű hibával közelíthetjük az elfordulási szög szinuszának ill. tangensének értékét a szög radiánban kifejezett értékével, és a szög koszinuszát 1-gyel Az elfordulásból származó eltolódások pontos értékét az elfordulási szög trigonometrikus függvényei szolgáltatják, amelyek az elfordulás-eltolódás kapcsolatban nem lineárisak, így a lineáris algebra alkalmazásának és a hatások egymásra halmozásának lehetőségét megszüntetik. Ha viszont látjuk, hogy a gyakorlati esetekben a szóba jöhető elfordulások értéke olyan kicsi, hogy a szög trigonometrikus függvényértékei (sin, tg) elegendően kicsiny hibával közelíthetők a szög radiánban kifejezett értékével, akkor az elfordulás-eltolódás függvénykapcsolatban a linearitás minden

előnyével megtartható. Amennyiben a tartószerkezet elmozdulásai csak olyan mértékűek, hogy az elfordulási szögek maximumára is elfogadható a sinα~tgα~αradián, és a cosα~1 közelítése, a szerkezet elmozdulásait kis elmozdulásoknak nevezhetjük. A kis elmozdulások körében az elfordulás-eltolódás függvénykapcsolatok lineárisak A mérnöki számításokban leggyakrabban alkalmazott elsőrendű elmélet a tartószerkezet elmozdulásaira érvényesnek tekinti a kis elmozdulások közelítéseit. A stabilitásvizsgálatok esetében alkalmazandó másodrendű elmélet a kis elmozdulások közelítéseit szintén érvényesnek tekinti, az eltérés az elsőrendű elmélettől abban jelenik meg, hogy a szerkezet deformációit figyelembe veszi az erőkigénybevételek meghatározásában, azaz nem az eredeti, deformálatlan szerkezeten számol (elveti a megmerevítés elvét). A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 146 ► Mechanika II

Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 147 ► 6.21 A kis elmozdulások egyszerűsítései Vizsgáljuk meg, hogyan alakulnak egy k hosszúságú rúdelem rúdvégi eltolódásai a rúd φ elfordítása során. kA-K Ha az elfordulási szögre semmilyen megszorítást nem teszünk, a rúdvég eltolódásvetületeit a trigonometrikus függvények segítségével határozhatjuk meg. A K eA,x φΑ eA kA-K eA,z í=kA-K×φrad A’ k A-K Ha az elfordulás értéke kicsiny, az A eA,x~0 φΑ eltolódásvetületek pontos értéke helyett A’ kA-K alkalmazhatjuk a közeeA~eA,z~í=kA-K×φrad lítő linearizált összefüggéseket. K eAx=k×(1-cos φ)~0 eAz=k×sin φ~k×tan φ~k× φrad Az előbbiekben beláttuk, hogy φ=2,29° elfordulási szög esetén a pontos és a közelítő formula eredményei között az eltérés a 0,1%-ot nem haladja meg. A közelítés mértéke tovább javul, ha a szerkezet terhelése a mezőközép

közelében működő koncentrált erőkből áll, ill. ha a megengedett maximális lehajlás értéke L/200-nál kisebb A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 147 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 148 ► 6.22 A síkbeli elmozdulás-összetevők A szerkezet egy pontjának elmozdulását a síkban két eltolódásösszetevő és egy elfordulási érték határozza meg (a térben három eltolódás- és három elforduláskomponens definiálja a pont elmozdulását). Az elmozdulásösszetevők használata során megkülönböztetjük az abszolút és a relatív elmozdulásokat. Az abszolút elmozduláskomponenseket mindig a választott globális (fix, a szerkezetei elemtől, annak állásától független) koordinátarendszerben értelmezzük. Az abszolút elmozdulások előjele a vizsgálati (haladási) iránytól független. A relatív elmozduláskomponensek mindig két pont, két

keresztmetszet, két szerkezeti elem egymáshoz viszonyított elmozdulásait jelenítik meg. A relatív elmozdulások előjele a vizsgálati (haladási) irány függvénye, a viszonyítás megfordításával az előjel is megfordul. A síkbeli elmozdulásösszetevők elnevezése és jelölése ex: x irányú abszolút eltolódás ux, A⇒B: B-nek A-hoz viszonyított, x irányú relatív eltolódása φz: z tengely körüli abszolút elfordulás ϑz A⇒B: B-nek A-hoz viszonyított, z tengely körüli relatív elfordulása A viszonyítási irány hatása a relatív elmozdulásokra A relatív elmozdulások előjele a viszonyítási iránytól függően alakul. A haladási irány szokásos értelmezése jobbról balra mutat, de természetesen A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 148 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 149 ► a fordított haladási irányt is alkalmazhatjuk, a

viszonyítási reláció, és a relatív elmozdulások előjelének megfordításával. HALADÁSI IRÁNY HALADÁSI IRÁNY A HALADÁSI IRÁNY MEGFORDÍTÁSA A RELATÍV ELMOZDULÁSOK ELŐJELÉT MEGFORDÍTJA! 6.23 A síkbeli elmozdulás-összetevők hatásai Vizsgáljuk meg, hogy a síkban egy merev (deformálhatatlan) testre működtetett e eltolódásvektor, ill. φ elfordulás(vektor) a test pontjaiban milyen elmozdulásösszetevőket okoz Az eltol(ód)ás hatása Ha a testre csak eltolódás működik, akkor elfordulás nem jöhet létre, azaz az egész test önmagával párhuzamosan tolódik el, minden pontjában azonos, az e eltolásvektorral azonos mértékű eltolódás ébred. Az e eltolás az idom minden pontjában azonos eltolódást és zérus elfordulást okoz: e=eA=eB=eC=eD B e eB B’ A eA A dokumentum használata | Tartalomjegyzék A’ C eC C’ D eD Vissza D’ ◄ 149 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék Az elfordítás hatása Az A pont körüli φA elfordítás az idom minden pontjában azonos elfordulást, valamint a forgásponttól mért távolság és az elfordulás szorzataként adódó, érintő irányú eltolódást okoz. B Vissza eB=φ×kA-B B’ φ A =A’ eA=0 ◄ 150 C φC eC=φ×kA-B C’ D eD=φ×kA-D φD D’ φ=φA=φB=φC=φD ► Általában egy geometriai pontra (A) az elfordulás nem értelmezhető. Ha azonban a pont egy szerkezet pontja, akkor a szerkezet elfordulása a pontban is megjelenik. Ilymódon a pont elfordulását (φA) a szerkezeten a ponthoz rögzített lokális koordinátarendszer tengelyeinek elfordulásaként definiáljuk és azonosítjuk A szerkezeteinken megjelenő eltolódások és elfordulások rendszere az erőrendszerekhez hasonló viselkedésű, ugyanolyan összefüggések vezethetők le egy elmozdulásrendszer eredőjének meghatározására, mint amilyeneket az erőrendszerek eredőkeresése során

előállítottunk. E tárgy keretében arra nincs lehetőség, hogy az analógiát teljes mélységében feltárjuk, de azt érdemes megjegyezni, hogy az erőrendszerek kezelése során alkalmazott eljárások (értelemszerű transzformáció után) az elmozdulásrendszerekre is használhatók. Az eredő erővektora R = Σ Fi Az eredő P pontra vonatkozó nyomatéka MRP = Σ Mi + Σ Fi × ki-P A dokumentum használata | Tartalomjegyzék A P pont elfordulása φ eredő = Σ φi A P pont eltolódása eRP = Σ ei + Σ φi × ki-P Vissza ◄ 150 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 151 ► 6.3 Síkbeli láncolatok elmozdulásai 6.31 A kinematikai terhek – kinematikai szerkezetek Az erőrendszerek tárgyalása során arra voltunk kíváncsiak, hogy a terhelő erők és nyomatékok a tartószerkezeten milyen támaszerőkettámasznyomatékokat, és milyen belső erőket, milyen keresztmetszeti

igénybevételeket okoznak. Az egy-egy pontban megjelenő, koncentrált elmozdulás (talán inkább: elmozdítás) a szerkezet szempontjából kinematikai tehernek tekinthető, és ez esetben az a kérdés, hogy ezek a kinematikai terhek (pl. támaszmozgás, hőmérsékleti hatás) milyen támaszelmozdulásokat, és a tengelyvonalon milyen keresztmetszeti elmozdulásokat ébresztenek a szerkezeten. A statikai terhek hatását először statikailag határozott szerkezeteken vizsgáltuk, amelyeken a támaszerők és a keresztmetszeti igénybevételek az elmozdulások és alakváltozások ismerete nélkül is előállíthatók voltak. Első körben a kinematikai terhek, a (kényszer)elmozdulások hatását is határozott szerkezeteken, de most kinematikailag határozott szerkezeten vizsgáljuk meg. A kinematikailag határozott szerkezeteken a támaszelmozdulások, ill a szerkezet elemeinek elmozdulásfüggvényei csak a kinematikai terhek ismeretében, erők és igénybevételek nélkül

meghatározhatók. A kinematikailag határozott szerkezetek mindig elmozdulásképesek, és a tényleges pontonkénti elmozdulások a csomópontokban, az alakváltozásmentesnek tekintett elemek kapcsolódási pontjaiban beiktatott kinematikai terhek, kényszerelmozdulások hatására alakulnak ki. A síkbeli kinematikai szerkezeteket úgy kell elképzelnünk, hogy a merev rúdelemeket egymással ill. a fix aljzattal olyan kapcsolóelemekkel kötjük össze, amelyek valamilyen irányú relatív vagy abszolút kényszerelmozdulás beiktatására alkalmasak Ha a kapcsolatok mindegyike csak elfordítást tesz lehetővé, a kinematikai szerkezetet rúdláncnak nevezzük. Ha van olyan kapcsolóelem is, amelyben az összekapcsolt elemek kapcsolati pontjai között eltolódás is kialakítható, a kinematikai szerkezet neve láncolat. A kinematikai szerkezetek kapcsolati elemeit a rúdláncok és láncolatok ábrázolása során leegyszerűsítve rajzoljuk meg, de ezeket az elemeket oldható

kötésekként kell értelmeznünk. Alapállapotban a kapcsolati elemek állását a kinematikai szerkezet geometriája határozza meg és az elemek rögzítettek A kinematikai terheket úgy működtethetjük a szerkeze- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 151 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 152 ► ten, hogy az egyes kapcsolóelemeket ideiglenesen meglazítjuk, a kapcsolódó rúdelemek között létrehozzuk a beiktatandó kényszerelmozdulást, majd a kapcsolóelemet újra zárjuk, kialakítva ezzel az új geometriát. Az alábbiakban egy variálható asztali lámpa kinematikai szerkezetén lépésről lépésre mutatjuk be a szerkezet működését, a kinematikai terhek hatását, a szerkezet megváltozott alakját és a keletkező elmozdulási ábrákat. A rúdelemeket római számokkal, a kapcsolati pontokatkapcsolóelemeket arab számokkal jelöltük A 0 jelű, abszolút

elfordulást lehetővé tevő kapcsolat az egész szerkezetet a fix aljzathoz köti, az 1., 3, 5. jelű kapcsolatokban csak relatív elfordulást, a 2 jelű kapcsolatban csak tengelyre merőleges relatív eltolódást, a 4. jelű kapcsolatban pedig csak tengelyirányú relatív eltolódást működtetünk. 4 5 3 2 6 1 0 A lámpatartó kinematikai szerkezet rajza az oldható kapcsolatokkal 4 5 6 ϑ5 u4 3 ϑ3 2 u2 ϑ1 1 φ0 A láncolat vázlatos rajza kinematikai terhekkel A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza 0 ◄ 152 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 153 ► 6.32 Az elmozdulások előjelszabálya Az abszolút eltolódások előjelét a választott globális koordinátarendszer tengelyeihez viszonyítva állapítjuk meg. Az abszolút elfordulás akkor pozitív, ha a vizsgált elem a fix aljzathoz, a talajhoz képest az óra járásával megegyezően fordul el. A

relatív elmozdulások előjeleinek pozitivitását a keresztmetszeti igénybevételek előjelszabályával megegyezően vesszük fel (már ez is utal arra, hogy a láncolatok elmozdulási ábráinak előállítása során figyelembe vett relatív elmozdulások kapcsolatban lesznek a tartószerkezet igénybevételi függvényeivel!). A tengelyirányú relatív eltolódásokat akkor tekintjük pozitívnak, ha az elmozdulás a bal oldali (követő) elemet „kihúzza” a megelőző elemből (ez az előjelszabály megegyezik a keresztmetszeti normálerő előjelszabályával!). A tengelyre merőleges relatív eltolódás pozitívságát úgy vesszük fel, hogy a pozitív relatív eltolódás eggyezzék meg a keresztmetszeti nyíróerő pozitív irányával. A relatív elfordulás akkor pozitív, ha a balra lévő (követő) elem elfordulása a jobbra lévő elemhez viszonyítva az óra járásával megegyező A fenti előjelszabály a haladási irány felvételétől függetlenül a

szokásos előjeleket szolgáltatja, de a szemléletesség érdekében az ábrákban a relatív elmozdulások jeleit mindig a követő elemre célszerű rajzolni. Az elmozdulások számítása során természetesen nem szabad az előjelfordítást kétszeresen figyelembe vennünk: ha a megrajzolt, már megfordított elmozdulásokkal dolgozunk, akkor az előjelfordítást az egyenletek felírásánál nem szabad még egyszer beiktatnunk. A relatív elmozdulások előjele a haladási irány függvényében HALADÁSI IRÁNY +uN +uT +ϑ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék HALADÁSI IRÁNY -uN -uT -ϑ Vissza ◄ 153 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 154 ► 6.33 A kezdőpont elfordításának hatása A kinematikai terhek között szerepelt a 0. jelű kezdőpontban beiktatandó φ0 nagyságú negatív abszolút elfordulás Ez az elfordítás a talajhoz képest a szerkezetet negatív irányba

fordítja el φ0 szöggel. Egyelőre a többi relatív elmozdulást még nem működtettük, így az egész szerkezet egyetlen merev testként viselkedik, azaz az elfordulás beiktatása után minden elem elfordulása negatív előjelű és φ0 nagyságú lesz. Egy merev test i jelű pontjainak eltolódásvektora az i pont és a 0. forgásközéppont ki-0 távolságának és a φ0 elfordulásnak a szorzataként adódik és a pont-forgásközéppont összekötő egyenesére merőleges lesz. Az eltolódásvektor tengelyirányú vetületeit a ki-0 kar állásának, vetületeinek ismeretében a következőképpen határozhatjuk meg: k k ei , x = ei × i − 0, x = ϕ 0 × k i − 0 × i − 0, x = ϕ 0 × k i − 0, x ki −0 ki −0 k k ei , z = ei × i − 0, z = ϕ 0 × ki − 0 × i − 0, z = ϕ 0 × k i − 0, z ki −0 ki −0 5 4 3 6 2 1 φ0 k 6-0,x φ0 0 x k 6-0,z z A 0. jelű kapcsolatban beiktatott -φ0 abszolút elfordulás utáni alak A további kinematikai terhek

már csak a beiktatási pontjukat követő elemekre hatnak, azaz az I. elem helyzete már végleges A további elemek elmozdulásainak meghatározásához célszerű valamennyi kapcsolati pont elmozdulás-összetevőit kiszámítani. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 154 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 155 ► 6.34 A láncolat elmozdulási egyenletei és elmozdulási ábrája A láncolat kapcsolati pontjainak abszolút eltolódáskomponensei: i i j =0 j =0 ei , x = e 0 , x + ∑ u j , x + ϕ 0 × k i − 0 , x + ∑ ϑ j × k i − j , x i i j =0 j =0 ei , z = e 0 , z + ∑ u j , z + ϕ 0 × k i − 0 , z + ∑ ϑ j × k i − j , z A láncolat rúdelemeinek abszolút elfordulásai: J ϕ J = ϕ 0 + ∑ ϑk k =0 A rúdlánc kapcsolati pontjainak abszolút eltolódáskomponensei: i ei , x = ϕ 0 × k i − 0 , x + ∑ ϑ j × k i − j , x j =0 i ei , z = ϕ 0 × k

i − 0 , z + ∑ ϑ j × k i − j , z j =0 A láncolat rúdelemeinek abszolút elfordulásai: J ϕ J = ϕ 0 + ∑ ϑk k =0 Megjegyezzük, hogy a csak elfordulóképes kapcsolati pontokban a megelőző és a követő metszet eltolódásai mindig azonos értékűek, az abszolút elfordulások viszont különböznek (a megelőző és a követő metszet abszolút elfordulásainak különbsége adja a pontbéli relatív elfordulás értékét). A csak eltolódóképes kapcsolati pontokban a megelőző és a követő metszet abszolút elfordulásai, és a kapcsolat szabad elmozdulási irányára merőleges eltolódások mindig azonos értékűek, viszont a kapcsolati elmozdulás irányába eső eltolódások értéke különböző (a megelőző és a követő metszet abszolút eltolódásainak különbsége adja a pontbéli relatív eltolódás értékét). A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 155 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék 5 ◄ Vissza 4 3 156 ► 2 1 6 ϑ1 0 -ϕ0,-υ1 elmozdulások utáni alak 5 4 3 2 1 6 u2 0 -ϕ0,-υ1, +u2 elmozdulások utáni alak 5 4 3 2 1 6 ϑ3 ϑ3=|φ0+ϑ1| ⇒ a IV.-V jelű elempár a végleges állapotban nem fordul el, csak párhuzamosan eltolódik. -ϕ0,-υ1, +u2, + υ3 elmozdulások utáni alak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza 0 ◄ 156 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék 5 ◄ Vissza 4 3 157 ► 2 1 6 u4 0 -ϕ0,-υ1, +u2, + υ3, +u4 elmozdulások utáni alak 5 4 3 2 1 6 ϑ5 A láncolat végleges, a kényszerelmozdulások utáni alakja. -ϕ0,-υ1, +u2, + υ3, +u4, + υ5 elmozdulások utáni alak 5 4 3 0 2 1 6 0 A láncolat számítási modellje A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 157 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek

alakváltozása Vissza ◄ 158 ► 6.35 A láncolat eltolódási ábrái A láncolat csomópontjainak és rúdelemeinek elmozdulásait az eltolódásvetületek grafikus ábráinak előállításával tudjuk könnyen meghatározhatóvá tenni. A valódi elmozdulási ábrák helyett az eltolódásvetületek ábrái talán kevésbé szemléletesek, de elkészítésük során a vizsgálandó pontok helyvektorai helyett elegendő az egyik helykoordinátát alkalmaznunk és ezzel a számítások jóval egyszerűbbek, átláthatóbbak lesznek. A láncolat rúdelemeit deformációmentesnek tekintjük, így (a kis elmozdulások körében) a rúdelemek elmozdult pontjai is egy-egy egyenesen sorakoznak, a rúdelemek képei is egyenesek lesznek. Ennek megfelelően a láncolat eltolódásvetületi ábráinak előállításához elegendő a csomópontok eltolódásvetületeit meghatároznunk, mert a csomópontok eltolódott képeit egyenes vonalakkal összekötve a láncolat

eltolódásvetületi ábráját kapjuk. Tartószerkezeteinkben csak kis elmozdulásokat engedünk meg. Láttuk, hogy ez a feltétel azt jelenti, hogy még a legnagyobb elfordulási érték sem haladhatja meg a 2,3°-ot (ez a korlátozás az elfordulási-elfordítási szögekre vonatkozik, és természetesen teljesen független a szerkezet szabadon felvehető geometriájától). Az ilyen kis mértékű elmozdulások hatását rajztechnikailag valós méretarányban nem lehet megjeleníteni, ezért az elmozdulási ábrákat (a térképatlaszokban alkalmazott magassági torzításhoz hasonlóan) torzítva, nagyítva rajzoljuk meg. A nagyító szorzó értékét akár ki is emelhetjük az elmozdulási adatok számértékéből, ezt elég az ábrán egy helyen feltüntetnünk. A félreértések elkerülése végett a nagyított elmozdulásösszetevők azonosítóit zárójelbe tesszük Megjegyezzük, hogy egy számításban többféle nagyító tényező alkalmazása jelentősen

megnehezíti az elmozdulások tényleges értékének azonosítását, ezért kerülendő. Az eltolódásvetületi ábrákban a kezdőpont abszolút eltolódásának, és s közbenső csomópontok relatív eltolódásainak megfelelő vetülete a megelőző és a követő elemvégpontok között jelenik meg. Az ábrákban a csatlakozó elemek képei között a relatív elfordulások is megjelennek, sőt az ábrákból a rúdelemek abszolút elfordulásai is leolvashatók. A vizsgált eltolódásvetület irányára merőleges tengely a zérus eltolódású pontok mértani helye, halmaza, így valójában a fix aljzatot jeleníti meg az ábránkban. A rúdelemek ehhez viszonyított elfordulásai tehát az abszolút elfordulás értékét (és előjelét) szolgáltatják. Az alábbi ábrákban a rúdláncunk függőleges és vízszintes eltolódásvetületi ábráit rajzoltuk meg, az ábrákon feltüntetve a csomópontok és a rúdelemek azonosító jeleit. A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék Vissza ◄ 158 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza ► 159 a függőleges eltolódások ábrája 4 5 ϑ3 u4 ϑ5 6 3 2 u2 1 ϑ1 φ0 0 5* φ0 ez6 6’ 2bal’ ϑ1 1’ u2z 5*’ ϑ5 4jobb’ 4bal’ 5’ 0’ 3’ 2jobb’ ϑ3 u4z a vízszintes eltolódások ábrája 4 5 6 ϑ5 u4 ϑ3 5* 3’’-4jobb’’ 5’’-4bal’’ 3 2 u2 1 ϑ1 ϑ5 6’’ 2bal’’ ϑ1 1’’ 2jobb’’ u2x φ0 0 φ0 5*’’ 0’’ z A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 159 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 160 ► A láncolatban a negatív φ0 és ϑ1 összegével megegyező számértékű pozitív ϑ3 csomóponti elfordulást működtettünk, így (az u2 relatív eltolódás a csatlakozó elemek között elfordulást nem enged meg) a kezdőponthoz, a fix

aljzathoz, a „talaj”-hoz képest a 3. csomópontot követő IV (és V) elemnek az abszolút elfordulása zérus lesz. Ez azt jelenti, hogy a IV-V rúdelemek a kényszerlemozdulás-rendszer hatására csak párhuzamosan tolódnak el. Ez a párhuzamosság a függőleges eltolódási ábrában jól látható, a vízszintes eltolódási ábrában a rúdelemek vízszintes iránya miatt az eltolódott képük egy-egy ponttá zsugorodik. A láncolat geometriai ábráján feltüntettünk egy 5* jelű pontot is, amely az 5. jelű ponttal azonos vízszintes pozícióban van, de egy merev kapcsolattal az I jelű elemhez van rögzítve Minthogy az I jelű elemet követő, a választott haladási irány szerint mögötte lévő elmozdulásösszetevők viszszafelé nem hatnak, csak a követő elemekre fejtik ki elmozdító hatásukat, az 5* jelű pont elmozdulásösszetevői a az I. elem pontjaival azonos módon számíthatók. Úgy is mondhatjuk, hogy az 5* jelű pont eltolódott képei rajta

lesznek az I. jelű rúdelem (meghosszabbított) eltolódott képein 6.36 A haladási irány megfordításának hatása Ha a rúdláncunk nem a jobb végén, hanem a bal végén kapcsolódik az aljzathoz, akkor az egyik lehetőség a haladási irány (és ezzel minden relatív elmozdulás irányának-előjelének) megfordítása. Ezek után már a megszokott egyenletekkel számíthatjuk az egyes pontok-elemek elmozdulásösszetevőit. Az alábbi ábrán a megfordított haladási irány miatt (az ezen irány szerinti követő elemekre megrajzolt) megfordított relatív elmozdulásokat tüntettük fel. A kezdőpont φ0 abszolút elfordulásának előjelét nem kell (nem szabad!) megfordítanunk! ϑ1 1 2 3 u2 ϑ3 4 5 u4 ϑ5 6 φ0 0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 160 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 161 ► A bal végen fixált rúdlánc elmozdulásai a haladási irány

megfordításával 5 4 3 6 5 4 3 2 2 ϑ1 u4 ϑ5 u2 ϑ3 1 1 6 φ0 0 φ0 0 1 2 3 4 ϑ1 0 -φ0 hatása 2 1 u2 3 5 4 -φ0 + υ1 hatása a valós léptékű ábrázolásban u2 ~ az eredeti irányban fog működni! 0 6 5 6 -φ0 + υ1 –u2 hatása 1 2 5 4 1 6 3 ϑ3 0 2 5 4 3 6 u4 0 –u4 -φ0 + υ1 –u2 – υ3 hatása 1 2 3 4 5 -φ0 + υ1 –u2 – υ3 –u4 hatása 6 ϑ5 0 -φ0 + υ1 –u2 – υ3 –u4 – υ5 hatása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék 5 2 1 3 e6 4 6 φ 6 0 a kezdeti és a végső alak a 6. pont abszolút elmozdulásösszetevőivel Vissza ◄ 161 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 162 ► A bal végen fixált láncolatok elmozdulásainak számítása úgy is lehetséges, hogy először meghatározzuk a jobb vég eltolódás- és elforduláskomponenseit, majd a (most már ismert elmozdulású) jobb végről, mint kezdőpontról

kiindulva, a szokásos, jobbról balra haladási irányt alkalmazva számítjuk ki az egyes pontok-elemek elmozdulásösszetevőit. Ebben a számításban természetesen már nem kell a relatív elmozdulások előjeleit megfordítani. u2 4 u4 e6x φ6 ϑ1 x φ0 0 k1z 5 ϑ5 6 e6z k3x=k5x 1 3 ϑ3 k1x=k6x 2 k3z k5z k6z z A 6. jelű pont elmozdulásösszetevőinek meghatározásához szükséges elmozdulási egyenletek (az ismeretlenek kiemelésével): φ0=φ6+ϑ5+ϑ3+ϑ1 e0x=e6x+u4x+u2x+φ6×k6x+ϑ5×k5x+ϑ3×k3x+ϑ1×k1x e0z=e6z+u4z+u2z+φ6×k6z+ϑ5×k5z+ϑ3×k3z+ϑ1×k1z A 6. pont ismeretlen elmozduláskomponenseit feltételezett irányokkal vesszük figyelembe, az eredmény előjele pedig megmutatja, hogy a tényleges elmozdulás a feltételezett iránnyal megegyező lesz-e vagy sem. A három elmozdulási egyenlet a három ismeretlen meghatározásához mindig elegendő, esetünkben pedig a fenti sorrendet választva csak egyismeretlenes egyenletekkel kell

foglalkoznunk. A láncolatok elmozdulásösszetevőinek meghatározása során mindig szükségünk van egy fix pontra, egy olyan pontra, amelynek minden elmozduláskomponensét ismerjük. Ha az általunk választott kezdőpontban az elmozdulások adatként nem ismertek, akkor azokat először más, ismert elmozdulású pontokra felírt elmozdulási egyenletekből meg kell határoznunk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 162 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 163 ► 6.37 A haladási irány A haladási irány megválasztásában a „jobbról balra” és a „balról jobbra” meghatározás az egyenes tengelyű (vagy közel egyenes tengelyű) szerkezetek esetében könnyen értelmezhető és hasznos, mert a haladás „szokásos”, ilyen esetekben valóban jobbról balra mutató irányát választva a relatív elfordulások előjele a szerkezet nyomatéki igénybevételeinek

előjeleivel megegyezőre adódik (az ilyen geometriájú tartószerkezeteken van értelme a nyomatéki igénybevételeket előjelekkel ellátni). Bonyolultabb geometriájú tartószerkezetek esetében a nyomatéki ábrákat nem előjelszabály szerint rajzoljuk meg, hanem arra figyelünk, hogy a nyomatékok mindig a tartó deformációs vonalának domború, azaz húzott oldalára kerüljenek. Ennek megfelelően ilyen geometriájú kinematikai szerkezetekben sincs értelme a végpontok, a talajhoz kapcsolódó pontok bal, vagy jobb oldali minősítésének, egyszerűen kell választanunk egy haladási irányt, ami szerint az egyik (kezdőpontnak tekintett) támaszponttól a másik (végpontnak tekintett) támaszpontig eljutunk. Az így felvett haladási irányban az elemek kapcsolati pontjaiban megjelenő relatív elfordulások előjelét pedig aszerint állapítjuk meg, hogy a (haladási irány szerinti) követő elem a (haladási irány szerinti) megelőző elemhez képest az

órával megegyezően vagy ellentétesen fordul-e el. Az ábrázolásban (a félreértések elkerülése végett nagyon ajánlott a relatív elfordulások jelét mindig a (haladási irány szerinti) követő elemre rajzolni, és ezzel az alkalmazott haladási irányt valójában minden kapcsolatban újra és újra fixálni. Ha így járunk el, akkor a haladási irány megfordításával kapcsolatos relatív elmozdulási előjelváltás nem szabályként, hanem a minősítés logikus következményeként fog megjelenni előttünk. A fenti gondolatmenet természetesen nemcsak az elfordulásokra, hanem valamennyi elmozdulásösszetevőre alkalmazható. A végpontok elmozdulásai A (kinematikai) szerkezetet a fix, elmozdulásmentes aljzathoz, a talajhoz kapcsoló „vég”pontokban az elmozdulások kétféle viszonyítási rendszerben is minősíthetők: az abszolút minősítés a vizsgált elem elmozdulását a fix aljzathoz, a talajhoz viszonyítja, függetlenül a haladási

iránytól; a relatív minősítés pedig szigorúan a haladási irányban követő elem elmozdulásait viszonyítja a haladási irány szerinti megelőző elem állásához. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 163 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék a megelőző elem a követő elem abszolút elmozdulás relatív elmozdulás AZ ELŐJEL ◄ Vissza VÉGPONT az utolsó szerkezeti elem a talaj az utolsó elem a talajhoz képest a talaj az utolsó elemhez képest ABSZOLÚT=-RELATÍV 164 ► KEZDŐPONT a talaj az első szerkezeti elem az első elem a talajhoz képest az első elem a talajhoz képest ABSZOLÚT=RELATÍV 6.38 A relatív elfordulások összege A szerkezetet rögzítő aljzatot fixnek, elmozdulásmentesnek tekintjük. Ily módon nyilvánvaló, hogy a két végpontban a „talaj”-nak (önmagához viszonyítva) nem lehet elmozdulása. Ezt a megállapítást az elmozdulási

egyenletekkel úgy írhatjuk le, hogy a kezdőpontból kiindulva a végponthoz csatlakozó „talaj” abszolút elmozdulásának zérusnak kell lennie. Ezeket az egyenleteket akár ismeretlen elmozdulásösszetevők meghatározására, akár a már kiszámított elmozduláskomponensek értékének-előjelének ellenőrzésére használhatjuk fel. A láncolat végpontjában a talaj abszolút eltolódáskomponensei: evégponti talaj , x = e0, x + evégponti talaj , z = e0, z + végpont ∑u j =0 j,x végpont ∑u j =0 j,z + ϕ 0 × k végpont − 0, x + + ϕ0 × kvégpont − 0, z + végpont ∑ϑ j =0 j végpont ∑ϑ j =0 j × k végpont − j , x × kvégpont − j , z A láncolat végpontjában a talaj abszolút elfordulása: ϕ végponti talaj = ϕ 0 + végpont ∑ϑ k =0 k A végpontok elmozdulásainak elemzése során beláttuk, hogy a kezdőpontban (a viszonyítási irány azonossága miatt) az abszolút elmozdulások és a relatív elmozdulások

előjele azonos, a végpontban viszont (a viszonyítási irány megfordulása miatt) az abszolút elmozdulások és a relatív elmozdulások előjele fordított. Ennek megfelelően a végpont elfordulási egyenlete a következőképpen is írható: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 164 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza − ϑvégponti talaj = ϑ0 + ◄ 165 ► végpont ∑ϑ k =0 k azaz a relatív elfordulások összege talajtól talajig mindig zérus talaj ∑ϑ k =0 talaj A talaj elmozdulásmentességét a relatív eltolódások egyenletében is fel lehet használni, de ott (a relatív elfordulások miatt) az összefüggés nem olyan frappáns, és nem annyira használható. A relatív elfordulásokra meghatározott összefüggés természetesen a (láncolatok speciális eseteiként felfogható) rúdláncokra is igaz. 6.39 A számítási „fixpont” Egy láncolat

csomópontjainak, rúdelemeinek elmozdulásait meg tudjuk határozni, ha ismerjük a kezdőpont („fix pont”) abszolút elmozdulásösszetevőit és a láncolat kapcsolati pontjaiban beiktatott relatív elmozdulások értékeit. Síkbeli esetben a kezdőpont két irányban tolódhat el, és egy (az előző két tengely által meghatározott sík normálisában álló) tengely körül fordulhat el, azaz elmozdulási szabadságfoka 3. A pont elmozdulásának ismerete tehát e három adat ismeretét jelenti. A számításhoz szükséges három kezdeti (abszolút elmozdulási) adatnak azonban nem kell feltétlenül egyetlen ponthoz tartoznia: az elmozdulásrendszerre felírható elmozdulási egyenletek segítségével a kezdőpontnak választott pont abszolút elmozdulásösszetevőit más pontok ismert abszolút elmozdulásaiból is előállíthatjuk. (Erre láttunk példát a bal végen rögzített láncolat jobb végről kiinduló számítási eljárásának bemutatása során) Az

esetek többségében (pl. rúdláncok esetében mindig) a kezdőpont eltolódásösszetevői a kapcsolati kialakítás miatt zérus értékűek. Az alábbiakban olyan rúdláncok elmozdulásvizsgálatát mutatjuk be, amelyek kapcsolódnak a fix aljzathoz. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 165 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 166 ► 6.310 A „kéttámaszú” rúdlánc Természetesen a rúdlánc esetében nincsenek támaszerők, így nincs értelme támaszról beszélni, mégis, a szerkezet kialakításának, a keletkező támaszelfordulások előállítási módjának hasonlósága miatt indokolt az analógia felidézése. A későbbiekben látni fogjuk, hogy ez az analógia nemcsak formai, hanem lényegi: a valódi kéttámaszú tartóink alakváltozási modelljei éppen az ilyen, a talajhoz két helyen kapcsolt, „kéttámaszú” rúdláncok lesznek. A B ponti abszolút

elfordulás feltételezett irányú φB paraméterének felhasználásával felírhatjuk az A pont (ismert!) függőleges eltolódását, és ebből az egyenletből a φB értéke közvetlenül meghatározható. A φB elfordulás feltételezett irányát tetszőlegesre választhatjuk, hiszen a számítás eredményeképpen adódó előjel megmutatja majd, hogy feltételezésünk helyes volt-e. Ha az elfordulás feltételezett irányát mindig a pozitív elfordulási iránnyal megegyezően vesszük fel, akkor a számítási eredmény előjele nemcsak azt fogja megmutatni, hogy a feltételezésünk helyes volt-e (relatív előjel), hanem rögtön az abszolút viszonyítási rendszerben érvényes előjelet szolgáltatja. Kéttámaszú rúdlánc támaszelfordulásai A φB és φA abszolút elfordulások előállítására alkalmas A ill. B ponti függőleges eltolódások számítási modelljei és elmozdulási egyenletei: x A kbal ϑ2 ϑ1 L-k1 L-k2 φB k2 k1 B z L x φA A

kbal ϑ2 balról jobbra ϑ1 balról jobbra L-k1 L-k2 k2 k1 B z L A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 166 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 167 ► eAz = - (φB×L)-(ϑ1×(L-k1))+(ϑ2×(L-k2))=0 eBz = + (φA×L)+(ϑ2×k2)-(ϑ1×k1)=0 Ellenőrzésképpen felírhatjuk a rúdlánc A és B pontok közötti relatív elfordulásainak összegét: ΣΑ⇒Β ϑi = 0 azaz ϑB + ϑ1 + ϑ2 + ϑA = 0 vagy (felhasználva a kezdőponti-végponti abszolút és relatív elfordulások összefüggését): φB + ϑ1 + ϑ2 – (- φA)= 0 A „kéttámaszú” rúdlánc alakját a végponti (a szerkezetet a talajhoz kapcsoló) abszolút elfordulások ismerete nélkül is előállíthatjuk, ehhez elegendő az elemek egymáshoz viszonyított elmozdulását megadó relatív elfordulások figyelembe vétele. ϑ2 A eAz, A ϑ1 B ϑ2 „zérustengely” ϑ1 ha φB=0 B „zérustengely” A

φA ϑ φB 2 ϑ1 B ha eAz=0 A rúdlánc alakját, az elemek egymáshoz viszonyított helyzetét a belső, relatív elfordulások határozzák meg. Ezt a rögzített, megmerevített szerkezetet egészében a B pont körül alkalmasan elfordítva elérhetjük, hogy az A ponti függőleges eltolódás a kapcsolat által megkívánt zérus értékre álljon be. Az ehhez az állapothoz szüksége B ponti abszolút elfordulás lesz a rúdlánc φB támaszelfordulása. A haladási irány megfordításával ugyanez a gondolatmenet szolgáltatja a rúdlánc φA támaszelfordulásának értékét. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 167 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 168 ► 6.311 A „háromcsuklós” rúdlánc Ha egy tört tengelyvonalú kinematikai szerkezetet a két végpontjában csuklós kapcsolattal erősítünk a talajhoz, ismeretlen külső kapcsolati elmozdulásként

csak a végponti abszolút elfordulások jelentkeznek. Ugyanakkor tudjuk, hogy bármely, ismert elmozdulású kezdőpontból kiindulva, a relatív elmozdulások ismeretében az elmozdulási egyenletek segítségével a végpontnak mindhárom elmozdulásösszetevőjét meghatározhatjuk. Az egy elmozdulásrendszerre felírható három, független elmozdulási egyenlet a csuklós kapcsolódású, törtvonalú kinematikai szerezetek esetében a két támaszelfordulás mellett még egy közbenső kapcsolatban kialakuló relatív elfordulás meghatározását is lehetővé teszi Az ilyen kinematikai szerkezetek geometriájukban, viselkedésükben a háromcsuklós tartószerkezetekre emlékeztetnek és (mint később látni fogjuk) valóban a háromcsuklós tartók kinematikai modelljeként alkalmazhatók. Az alábbiakban „háromcsuklós” rúdláncok elmozdulásaira mutatunk pédákat. ϑ ϑ C C C ϑ2 ϑ1=-ϑ2 φA A ϑ1 L/2 φB C H Z B L/2 C ϑ2 X φA A L/2 ϑ1 H B

ϑ1 ϑ2 A B A ϑC=0 C ϑ2 A φB L/2 C ϑ2 ϑ1 ϑ1=ϑ2 φA ϑ2 ϑ1 B φB A dokumentum használata | Tartalomjegyzék A φA=0 B ϑC C ϑ1 φB=0 B Vissza ◄ 168 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 169 ► A „háromcsuklós” rúdlánc eltolódási egyenletei Az első változatban a keretszerű, szimmetrikus geometriájú rúdlánc sarokpontjaiban ellentett relatív elfordulásokat vettünk fel kinematikai teherként. A keresett ismeretlenek a φA és φB támaszelfordulások és a C ponti ϑC relatív elfordulás. (Ezek mellett kereshetjük még a sarokpontok eltolódásait is, de azok a fenti három ismeretlen meghatározása után már egyszerűen előállíthatók.) A B pontból kiindulva felírhatjuk az A pont vízszintes és függőleges eltolódási egyenletét, hiszen a támaszkapcsolatok alapján mindkét értékről tudjuk, hogy zérus. Az A pont függőleges

eltolódásban ismeretlenként mind a B ponti támaszelfordulás, mind a C ponti relatív elfordulás szerepet játszik. Minthogy ezek egyikét sem ismerjük, ez az egyenletünk kétismeretlenes lesz. Az A pont vízszintes eltolódásában a B pont elfordulása azonban zérus karral, zérus tengelytávolsággal jelenik meg, így az egyenletben egyedül a ϑC relatív elfordulás lesz ismeretlen. A ϑC relatív elfordulás értékének meghatározása után az eAz függőleges eltolódási egyenletből a φB támaszelfordulás is egyszerűen meghatározható. Végül a φA támaszelfordulást az A pontból indított, eBZ=0 függőleges eltolódási egyenletből kaphatjuk meg. Így a talaj elfordulásmentességét kifejező Σ ϑi=0 egyenletet az eredmények ellenőrzésére használhatjuk fel eAX=(φB×0)-(ϑ1×H)-(ϑC×H)+(ϑ2×H)+(φA×0)=0 ⇒ ϑC=0 A C ponti relatív elfordulás értékének ismeretében: eAZ=+(φB×L)+(ϑ1×L)+(0×(L/2))+(ϑ2×0)+(φA×0)=0⇒ φB=-ϑ1 Végül a

B ponti függőleges eltolódási egyenlet (a haladási irány megfordításával!): eBZ=-(φA×L)-(ϑ2×L)+(0×(L/2))+(ϑ1×0)+(φB×0)=0 ⇒ φA=-ϑ2 Minthogy ϑ1 és ϑ2 csak előjelre különbözött, és az általuk okozott eltolódások előjeleit szemléletből, a koordinátatengelyek állásához viszonyítva írtuk fel, mindkét támaszelfordulás abszolút értéke a relatív elfordulások abszolút értékével azonosra adódik. Az egyenletekből kapott támaszelfordulási előjelek azt mutatják meg, hogy a feltételezett forgásirány helyes volt-e, a támaszpontban a rúdlánc eleme valóban az általunk feltételezett irányban fordul-e el a talajhoz képest. Mindkét támaszelfordulást az óra járásával megegyezőnek tételeztük fel, így a kiadódó előjel nemcsak feltételezésünk helyességét adja meg, hanem a támaszelfordulások (megállapodás szerinti) abszolút előjelét is szolgáltatja. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 169

► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 170 ► Ellenőrzésképpen írjuk fel a talajtól talajig összegzett relatív elfordulások összegét: Σϑi= φB+ϑ1+ϑB-ϑ2-φA=0 ↕ ↕ ↕ Σϑi= ϑB+ϑ1+0-ϑ2+ϑA=0 Σϑi= -ϑ1+ϑ1+0-ϑ2+ϑ2=0 A rúdláncnak a kényszerelmozdulások beiktatása után kialakuló alakját grafikusan is előállíthatjuk: a ϑ1 és ϑ2 relatív elfordulások értékével fordítsuk el az aktuális megelőző elemhez képest a követő elemeket. Az így létrejövő, a kényszerelmozdulásokat már tartalmazó elem-párokat illesszük össze úgy, hogy az eredeti szerkezetben megadott csatlakozási feltételek kielégüljenek: az A és a B pont sem függőlegesen, sem vízszintesen nem tolódhat el, a C pontban a csatlakozó elemvégek között sem függőleges, sem vízszintes relatív eltolódás nem alakulhat ki. Az e feltételeket teljesítő geometriai alak a szerkezet

elmozdult alakja lesz, és természetesen erről is leolvashatók a számítással meghatározott kapcsolati elfordulási értékek irányai-előjelei. A második változatban ugyanazon a szerkezeten csak a ϑ2 relatív elfordulás előjelét fordítottuk meg, tehát a megoldás menete az első változattal megegyezően alakul (az egyenleteken a zérus karon forgató elfordulásokat itt már nem tüntettük fel). Az eltolódási egyenletek (ϑC–t pozitív forgásirányúnak feltételezve): eAX=-(ϑ1×H)-(ϑC×H)-(ϑ2×H)=0 ⇒ ϑC=-ϑ1-ϑ2=-2ϑ A C ponti relatív elfordulás értékének ismeretében (kihasználva ϑ1=ϑ2=ϑ értékének azonosságát): eAZ=+(φB×L)+(ϑ1×L)-(ϑC×(L/2))+(ϑ2×0)=0 ⇒ φB=0 Végül a B ponti függőleges eltolódási egyenlet (a haladási irány megfordításával!): eBZ=-(φA×L)+(ϑ2×L)-(ϑC×(L/2))+(ϑ1×0)=0 ⇒ φA=0 A rúdlánc végleges alakját most is könnyen előállíthatjuk grafikusan: a ϑ1 és ϑ2 relatív elfordulások

beiktatása után az elfordult elempárokat öszszeillesztve a kezdeti állapotban rögzített csatlakozási feltételek teljesítésével a végleges alakot kapjuk meg. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 170 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 171 ► 6.312 A rúdlánc szimmetriatulajdonságai A vizsgált rúdlánc geometriai szimmetriája nyilvánvaló, ellenben a kinematikai terhek szimmetriatulajdonságát elemeznünk kell. A szimmetria-ferde szimmetria definiálása során azt rögzítettük, hogy szimmetrikus egy elempár, ha a szimmetrikus pozíciójú pontok jellemző mennyiségeinek előjele megegyezik, és ferdén szimmetrikus az elempár, ha a szimmetrikus pozíciójú pontok jellemző mennyiségeinek előjele ellentétes. A minősítésnek tehát feltételéül szabtuk a szimmetrikus elhelyezkedést. Esetünkben ez annyit tesz, hogy a kinematikai terhek

szimmetriatulajdonságainak vizsgálatához a szimmetriatengely két oldalán szimmetrikus, azaz vagy a tengely felé, vagy onnan el vezető haladási irányt kell alkalmaznunk. Ennek megfelelően az alábbi ábrákon bal oldali ϑ2 relatív elfordulásokat a haladási irány megfordítása miatt ellenkező forgásiránnyal, a másik elemre rajzoltuk (ϑ2’). A szimmetrikus, tehát a mindkét fél-szerkezeten a szimmetriatengely felé mutató haladási iránnyal felvett relatív elfordulás-párok az első esetben (megfordítás után) azonos előjelűek: ϑ1=ϑ2’ (minősítésünk szerint szimmetrikus értékpárt alkotnak), míg a második esetben (megfordítás után) ellenkező előjelűek: ϑ1=-ϑ2’ (minősítésünk szerint ferdén szimmetrikus értékpárt alkotnak). Ugyanakkor a kinematikai szerkezet végleges alakja az első esetben ferdén szimmetrikus, a második esetben szimmetrikus volt. A mélyebb matematikai alapok ismertetése nélkül jelezzük, hogy a

szimmetrikus szerkezetek terhelésére, támaszerőire, keresztmetszeti igénybevételeire vonatkozó szimmetriatulajdonságok az elmozdulásokraalakváltozásokra is érvényesek: a szimmetrikus geometriájú (kinematikai) szerkezeten a ferdén szimmetrikus relatív elfordulások szimmetrikus elmozdult alakot, a szimmetrikus relatív elfordulások ferdén szimmetrikus elmozdult alakot hoznak létre. ϑ 2’ ϑ 2’ ϑ2 A C ϑ1=ϑ2’ ϑ1=-ϑ2 ϑ1 B A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ϑ2 C ϑ1 =-ϑ2’ ϑ1 =ϑ2 ϑ1 B A Vissza ◄ 171 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 172 ► A szimmetriatulajdonságok a bonyolultabb kinematikai szerkezetek viselkedésének elemzését is megkönnyítik, bár az elemszám növekedésével a helyes végleges alak grafikus előállítása több, áttételesebb megfontolást igényel. Az analitikus megoldás elve, az alkalmazandó elmozdulási

egyenletek nem változnak, így a számítás még bonyolult szerkezetek esetében sem jelent nehézséget. Az alábbi ábrákon egy hatelemű szimmetrikus rúdlánc elmozdult alakját keressük szimmetrikus és ferdén szimmetrikus elrendezésű kapcsolati relatív elfordulásokból álló kinematikai teherre (a teher szimmetriáját az előző szerkezet kapcsán tárgyaltuk). A keresett mennyiségek ez esetben is a φA, φB támaszelfordulások és a ϑC középponti relatív elfordulás értéke. SZIMMETRIKUS KINEMATIKAI TEHER ϑC ϑ3 ϑ4 ϑ2 ϑ1 C ϑ1=-ϑ4 ϑ2=-ϑ3 φA ϑ1=ϑ’4 ϑ2=ϑ’3 φB A a ϑ4 φA A b ϑ3 FERDÉN SZIMMETRIKUS KINEMATIKAI TEHER b C ϑC=0 a ϑ2 h2 h1 B ϑ1 A Z ϑ2 ϑ1 C ϑ1=ϑ4 ϑ2=ϑ3 φA ϑ1=-ϑ’4 ϑ2=-ϑ’3φB a b h2 h1 B b a X ϑ3 ϑ4 B ϑC ϑ3 ϑ4 A ϑ2 C ϑ1 ϑ φB φA B Az elmozdult alak itt is tükrözi a megállapított szimmetriaösszefüggéseket, de itt a kapcsolati pontokban már mindkét esetben kell

eltolódásösszetevőkkel számolnunk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 172 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 173 ► A szimmetrikus kinematikai teher esete A jobb oldali B végpontból az A pont vízszintes (tudjuk, hogy zérus értékű!) eltolódását felírva az eltolódási egyenletből ϑC közvetlenül számítható. eAX=+(ϑ1×h1)+(ϑ2×(h1+h2)-(ϑC×(h1+h2))-(ϑ3×(h1+h2))-(ϑ4×h1)=0 ⇒ kihasználva, hogy ϑ1 és ϑ4 valamint ϑ2 és ϑ3 abszolút értéke megegyezik, ϑC=0 VIGYÁZAT! Csak a C pontbeli relatív (azaz a C pontban csatlakozó elemvégek közötti) elfordulásról állapítottuk meg, hogy értéke zérus, a C ponti elemvégek abszolút (talajhoz viszonyított) elfordulása egyáltalán nem biztos, hogy zérus (esetünkben nem is lesz az!) A C ponti relatív elfordulás értékének ismeretében:

eAZ=+φB×2×(a+b)-ϑ1×2×(a+b)-ϑ2×(a+2×b)+(ϑ3×a)=0 kihasználva, hogy ϑ2 és ϑ3 abszolút értéke azonos, az egyenlet egyszerűbben eAZ=2×[+φB×(a+b)-ϑ1×(a+b)-ϑ2-3×b]=0 ⇒ ⇒ φB=[+ϑ1×(a+b)+ϑ2-3×b]/(a+b)=+ϑ1+ϑ2-3×b/(a+b) azaz a B pontban pozitív elfordulás ébred, melynek nagysága ϑ1-nél nagyobb, de ϑ1+ϑ2-nél kisebb (ezért bizonyos, hogy a 2-C elem nem maradhat elfordulásmentes, hanem a ϑ1 és ϑ2 forgásirányával megegyezően fog elfordulni). Végül a B ponti függőleges eltolódási egyenlet (a haladási irány megfordításával!): eBZ=-φA×2×(a+b)+ϑ4×2×(a+b)+ϑ3×(a+2×b)-(ϑ2×a)=0 kihasználva, hogy ϑ2 és ϑ3 abszolút értéke azonos, az egyenlet egyszerűbben eBZ=-2×[+φA×(a+b)-ϑ4×(a+b)-ϑ2-3×b]=0 ⇒ ⇒ φA=[+ϑ4×(a+b)+ϑ2-3×b]/(a+b)=+ϑ4+ϑ2-3×b/(a+b) Tekintettel arra, hogy ϑ1 és ϑ4 abszolút értéke is azonos, a φA-ra kiadódott kifejezés (előjelre is!) teljesen megegyezik a φB-re kapott kifejezéssel. Tehát az

elmozdult alak – szimmetrikus kinematikai teherre – ferdén szimmetrikus! A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 173 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 174 ► A ferdén szimmetrikus kinematikai teher esete A jobb oldali B végpontból az A pont vízszintes (tudjuk, hogy zérus értékű!) eltolódását felírva az eltolódási egyenletből ϑC közvetlenül számítható. eAX=+(ϑ1×h1)+(ϑ2×(h1+h2)-(ϑC×(h1+h2))+(ϑ3×(h1+h2))+(ϑ4×h1)=0⇒ kihasználva, hogy ϑ1 és ϑ4 valamint ϑ2 és ϑ3 abszolút értéke megegyezik, ϑC=2×[ϑ2-3+ϑ1-4×h1/(h1+h2)] A C pontban a szimmetrikus elmozdulásrendszer miatt a megelőző és a követő elem abszolút elfordulásai ellentett értékűek lesznek. A 2-C rúdelem abszolút elfordulása tehát a ϑC értékének fele, és így a ϑ2-3nél nagyobb, de a ϑ1-4+ϑ2-3-nál kisebb értékű lesz. A C ponti relatív elfordulás

értékének ismeretében: eAZ=+φB×2×(a+b)-ϑ1×2×(a+b)-ϑ2×(a+2×b)+ϑC×(a+b)-(ϑ3×a)=0 kihasználva, hogy ϑ2 és ϑ3 abszolút értéke azonos és ϑC értéke már ismert, φB értéke kiszámítható. Végül a B ponti függőleges eltolódási egyenlet (a haladási irány megfordításával!): eBZ=-φA×2×(a+b)-ϑ4×2×(a+b)-ϑ3×(a+2×b))+ϑC×(a+b)-(ϑ2×a)=0 kihasználva, hogy ϑ2 és ϑ3 abszolút értéke azonos és ϑC értéke már ismert, φA értéke kiszámítható. A kapcsolati pontokban ébredő elfordulások ismeretében a megfelelő eltolódási egyenletek felírásával a pontok eltolódáskomponenseit is kiszámíthatjuk. Tehát az elmozdult alak – ferdén szimmetrikus terhe – szimmetrikus! Vegyük észre, hogy a kis elmozdulások közelítései miatt a rúdelemek végpontjai a forgásponttól megrajzolható ív helyett az érintő vonalán mozognak, tehát például az 1. és 4 jelű pontokban nem ébred függőleges eltolódás, ill a 2 és 3 jelű

pontok vízszintes (szimmetrikus kinematikai teher), ill. függőleges (ferdén szimmetrikus kinematikai teher) eltolódásvetületei megegyeznek. A megrajzolt ábrákon ez érzékelhető torzulásként jelenik meg, de ne feledjük, hogy a valós elmozdult alakon a kapcsolati pontokban felléphető elfordulásértékek maximális értékének is 2,5° alatt kell maradnia. Az ilyen kis mértékű elmozdulások esetében a közelítés hibája elhanyagolható, viszont az ábrázolásban az érzékelhetőség érdekében az elfordulásokat sokkal nagyobbra kellett felvennünk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 174 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 175 ► 6.4 Tartók alakváltozásának meghatározása rúdlánc-modell segítségével A kinematikai alapismeretek segítségével meghatározhatjuk a merev rúdelemekből, elmozdulóképes kapcsolati pontokkal összeállított

rúdláncok-láncolatok elemeinek elmozdulásösszetevőit, ezek alapján pedig a teljes rúdlánc-láncolat elmozdult alakját. A valóságban azonban ritkán találkozunk ilyen kinematikai szerkezetekkel, célunk valójában a szilárd anyagú tartószerkezetek alakváltozásának meghatározása. A tartószerkezetek anyagmodelljeit tárgyalva megállapítottuk, hogy a szilárd anyag a terhelés, a benne ébredő (fajlagos) belső erők hatására deformálódik, és - ideálisan rugalmas viselkedést feltételezve - az ébredő deformáció a terhelés hatására keletkező (fajlagos) belső erővel arányos. A statikai terhelési folyamatban a (fajlagos) belső erő és az alakváltozás mindig kölcsönösen egyértelmű kapcsolatban vannak, egyik a másik nélkül nem létezhet. Megjegyezzük, hogy bizonyos esetekben, bizonyos igénybevételfajtáknál a deformáció mértéke olyan kicsiny, hogy az egyéb hatásokból származó alakváltozáshoz képest elhanyagolható (pl. a

gerendatartókban a nyíróerőkből származó alakváltozás, a keretlábakon a másodrendű hatásból származó alakváltozásnövekmények). Ugyanakkor azt is rögzítenünk kell, hogy a tartószerkezetekre működő kinematikai terhek (hőmérsékletváltozás, támaszmozgás, gyártási hiba, stb.) hatására a szerkezeteken elmozdulások-alakváltozások jöhetnek létre, amelyek statikailag határozott szerkezetek esetében nem járnak együtt belső erők-feszültségek kialakulásával. A következőkben a statikailag határozott tartószerkezeteken a statikai terhekből keletkező elmozdulások és alakváltozások tulajdonságaival és meghatározási lehetőségeivel foglalkozunk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 175 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 176 ► 6.41 Az elmozdulásösszetevők és az igénybevételek Rúdszerkezetek esetében a keresztmetszeti

méretek a hosszmérethez képest legalább egy nagyságrenddel kisebbek, így vizsgálataink során a szerkezetet elegendő tengelyvonalával azonosítanunk. Ily módon viszont nem szükséges a keresztmetszetek pontjainak egyenkénti vizsgálata sem, elegendő, ha az alakváltozásokat a szomszédos keresztmetszetek között az igénybevételek nyomán kialakuló relatív elmozdulások eredőjeként, a tartó tengelyvonalának deformációjaként határozzuk meg. Az egyenes tengelyű tartó tengelyvonalát x tengelynek választva a szomszédos, egymástól infinitezimálisan kicsiny távolságra lévő keresztmetszetek az x helyen egy dx vastagságú lamellát határoznak meg. Először azt vizsgáljuk meg, hogy a síkbeli tartó keresztmetszeti N(x)-T(x)M(x) igénybevételei milyen elemi relatív elmozdulásokat ébresztenek a dx vastagságú lamella véglapjai között. z dx z Nx x dux z dx z Tx x z dx z M x x duz dϑ Az N(x) normáligénybevétel hatására a lamella

x+dx koordinátájú véglapja csak tengelyirányban tolódik el, sem tengelyre merőleges eltolódás, sem elfordulás nem lép fel. A dx vastagságú lamella tengelyirányú alakváltozása (pozitív normálerő esetén megnyúlása) valójában az x+dx koordinátájú keresztmetszetnek az x koordinátájú keresztmetszethez viszonyított x irányú, dux(x) (elemi) relatív eltolódása lesz. A T(x) nyíróigénybevétel hatására a lamella x+dx koordinátájú véglapja csak a tengelyre merőleges irányban tolódik el, sem tengelyirányú eltolódás, sem elfordulás nem lép fel. A dx vastagságú lamella tengelyre merőleges alakváltozása (a nyíróerő irányában kialakuló eltolódása) valójában az x+dx koordinátájú keresztmetszetnek az x koordinátájú keresztmetszethez viszonyított z irányú, duz(x) (elemi) relatív eltolódása lesz. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 176 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 177 ► Az M(y)(x) nyomatéki igénybevétel hatására a lamella x+dx koordinátájú véglapja csak a keresztmetszeti semleges tengely körül fordul el, sem tengelyirányú, sem a tengelyre merőleges irányú eltolódás nem keletkezik. A dx vastagságú lamella elfordulási alakváltozása (a nyomaték irányában a semleges tengely körül kialakuló elfordulása) valójában az x+dx koordinátájú keresztmetszetnek az x koordinátájú keresztmetszethez viszonyított y tengely körüli dϑ(y)(x) (elemi) relatív elfordulása lesz. A normálerő a rúdban keresztirányú alakváltozást, kontrakciót is okoz. Ez a hatás a rúdszerkezet tengelyvonalának deformációi szempontjából érdektelen, figyelmen kívül hagyhatjuk. Megjegyezzük azonban, hogy a rúdelemek egymás mellé sorolásával kialakított felületszerkezetek esetében az egyes rúdelemek keresztirányban nem alakváltozhatnak szabadon, ezért a gátolt

keresztirányú deformáció keresztirányú igénybevételeket (nyomatékokat) ébreszt a szerkezetben. A rúdszerkezetekben a terhelési-alakváltozási síkot mindig a tartótengely és a keresztmetszeti síkidom egyik tehetetlenségi főiránya, többnyire szimmetriatengelye határozza meg. Ilyen esetben a kialakuló elfordulások tengelyállása egyértelmű, emiatt az elfordulások és a nyomatékok indexelésétől eltekinthetünk. A dx infinitezimális „hosszúságú” rúdelemen a fajlagos alakváltozási függvények x koordinátához tartozó értékét konstansnak tekinthetjük, így a véglapok között kialakuló relatív elmozdulásösszetevők a fajlagos relatív alakváltozások és a dx elemi hossz szorzataként írhatók fel: dux(x)=ε(x)×dx duz=γ(x)×dx dϑ=κ(x)×dx ahol ε a tengelyirányú fajlagos nyúlás (összenyomódás), γ a fajlagos nyírási szögtorzulás, κ pedig a fajlagos relatív elfordulás értéke. Ideálisan rugalmas anyagmodellt

választva a fajlagos alakváltozások arányosak az ugyanazon pontban ébredő feszültségek értékével. A normálerőből a keresztmetszet minden pontjában azonos nagyságú feszültség és az arányosság miatt azonos nagyságú nyúlás alakul ki, ami összhangban van azzal a feltételezésünkkel, hogy a rúdelemen a sík végkeresztmetszet csak tengelyirányú eltolódást szenved. Mindebből az következik, hogy az εx fajlagos tengelyirányú alakváltozást a keresztmetszetben konstansnak tekinthetjük, és az εx(x,y,z) háromváltozós függvény helyett az εx(x) egyváltozós függvénnyel számolhatunk. (Valójában ez a A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 177 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 178 ► megfontolás teszi lehetővé, hogy a rúdszerkezetet az alakváltozás vizsgálata során térbeli szerkezet helyett síkbeli modellel helyettesítsük.) A

hajlított-nyírt tartók feszültségvizsgálatából tudjuk, hogy a terhelési síkban ébredő nyírófeszültségek a keresztmetszet alsó és felső szélső szálaiban (a dualitás miatt) mindig zérus értékűek. Itt tehát semmiképp sem tételezhetünk fel a keresztmetszet magassága mentén egyenletes nyírófeszültségeloszlást, hiszen az vagy a dualitást sértené, vagy nem jelenítené meg a keresztmetszet nyírási ellenállását. Ugyanakkor a vizsgálati tapasztalatok szerint a szokásos geometriai arányú hajlított-nyírt gerendatartókon a nyíróerő okozta deformációk nagyságrendekkel kisebbek a nyomatéki hatásból származó alakváltozásokhoz képest, ezért a nyírási deformációk számítása során (még az elméleti megfontolások kárára is) megengedhető némi egyszerűsítés, közelítés. Azt mondhatjuk, hogy a valós nyírófeszültségeloszlás helyett egy egyenletes (átlag)feszültséggel számolva a γz fajlagos nyírási

szögtorzulást a keresztmetszetben konstansnak tekinthetjük, és így a γz(x,y,z) háromváltozós függvény helyett az γz(x) egyváltozós függvénnyel számolhatunk. (Valójában ez a megfontolás teszi lehetővé, hogy a rúdszerkezetet az alakváltozás vizsgálata során térbeli szerkezet helyett síkbeli modellel helyettesítsük.) Megjegyezzük, hogy vannak olyan szerkezetek, amelyekben nyírás hatása geometriai vagy szerkezeti okok miatt jelentős, ezekben a nyírási deformáció hatása nem hanyagolható el. Ilyen például a rövid konzol (amikor a gerenda hossza a magasság ~4-szeresénél kisebb), vagy az olyan összetett keresztmetszet, amelyben a dominánsan nyírás felvételére szolgáló szerkezeti elem (a gerinc) technológiai okokból gyengített. Nem rúdszerkezet, de megemlítjük, hogy a faltartók viselkedésében sem hagyható figyelmen kívül a nyírófeszültséges alakváltozást módosító hatása. A nyomatéki igénybevétel esetében a

feszültségek-alakváltozások egyenletessége szóba sem jöhet, itt viszont azt a feszültségszámítás során bevezetett (és a gyakorlati rúdszerkezetekben messzemenően igazolt) egyszerűsítést vehetjük figyelembe: hogy az eredetileg sík keresztmetszetek a deformáció kialakulása után is síkok maradnak. Ennek alapján a tiszta egyenes hajlítás összefüggéseinek levezetése során megállapított görbület, fajlagos relatív elfordulás természetesen a keresztmetszet egészére lesz érvényes, azaz ismét helyettesíthetjük a térbeli kiterjedésű rúdszerkezetet a tengelymodelljével. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 178 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 179 ► Az elemi elmozdulásösszetevők tehát a keresztmetszeti feszültségek és az anyagjellemzők segítségével is felírhatók: dux(x)= σ(x) ×dx E(x) duz= τ(x) ×dx G(x) dϑ=κ(x)×dx

Az előzőekben beláttuk, hogy a normálerőből és a nyíróerőből származó alakváltozások és feszültségek (az arányosság miatt) a keresztmetszetben konstansnak tekinthetők. A keresztmetszeti feszültségek megfelelő összefüggéseit behelyettesítve az elemi koncentrált elmozdulásösszetevők a következőképpen írhatók fel: dux(x)= M(x) T(x) N(x) ×dx dϑ= ×dx duz=ρ ×dx EA(x) GA(x) EJ(x) A fenti összefüggésekben a keresztmetszeti igénybevételek, a keresztmetszet geometriai adatai és a szerkezet anyagjellemzői a keresztmetszeti pozíció függvényeiként szerepelnek, és a kapott elemi relatív elmozduláskomponenseket is a keresztmetszet x koordinátájának függvényében kapjuk meg. (A ρ tényezővel a keresztmetszet alakját vesszük figyelembe az átlagos nyírófeszültség értékének meghatározásában) A tartó két, egymástól véges távolságra lévő keresztmetszete között kialakuló relatív elmozdulásösszetevők értékét a

fenti, relatív elmozdulási függvényeknek a vizsgált szakaszon vett határozott integrálja szolgáltatja. uxK1K2 =K1∫K2 dux(x)= K1∫K2(N(x)/EA(x))×dx uzK1K2 = K1∫K2 duz(x)= K1∫K2(ρT(x)/GA(x))×dx ϑK1K2 = K1∫K2 dϑ(x)= K1∫K2(M(x)/EJ(x))×dx A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 179 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 180 ► Amennyiben a rúd állandó keresztmetszetű, anyaga homogén és izotrop, a merevségi adatok az integrálásból kiemelhetők, a bentmaradó mennyiség pedig az aktuális igénybevételi ábrának a vizsgált szakaszon vett területe lesz: uxK1K2=K1∫K2dux(x)= K1∫K2(N(x)/EA)×dx=AN/EA uzK1K2= K1∫K2duz(x)= K1∫K2(ρT(x)/GA)×dx=ρAT/GA ϑK1K2= K1∫K2dϑ(x)= K1∫K2(M(x)/EJ)×dx=AM/EJ Az állandó keresztmetszetű és egységes anyagminőségű rúdszerkezetek tetszőlegesen kiválasztott keresztmetszetei között a terhelés folytán

kialakuló relatív elmozdulások arányosak a kiválasztott metszetek közötti, megfelelő igénybevételi ábrák területeivel, az arányossági tényezők pedig a megfelelő keresztmetszeti és anyagjellemzőkből álló merevségi szorzatok lesznek. A fentiek alapján tehát a relatív elmozdulás-összetevők az igénybevételi függvények és a merevségi adatok (keresztmetszeti és anyagjellemzők) ismeretében elemi eszközökkel meghatározhatók. A relatív elmozdulások előállítási eljárásából látjuk, hogy ezek mindig egy intervallum, egy tartószakasz folytonos fajlagos relatív elmozdulásai összességeként, integráljaként jönnek létre. Valójában tehát a tartószerkezet két keresztmetszete között (folytonosan) kialakuló fajlagos relatív elmozdulásokat koncentráljuk egyetlen pontba, és az e pont előtti-mögötti tartószakaszokat deformációmentesnek tekintjük. Ezzel a gondolatmenettel a folytonos deformációjú tartószerkezetek

alakváltozásainak-elmozdulásainak meghatározását visszavezettük a rúdláncokláncolatok vizsgálatára. A levezetésekből látható, hogy minden igénybevétel-fajta a neki megfelelő elmozdulásösszetevő kialakulásáért „felelős”, annak értékét határozza meg. Ezek szerint az egyes hatások függetlensége nemcsak a keresztmetszeti feszültségekben, hanem a tartó tengelypontjainak elmozdulásában is érvényesül. DE!!! A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 180 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 181 ► Egy gyors gondolatkísérlettel beláthatjuk, hogy a hatások függetlensége egy esetben nem tartható: a keresztmetszetek relatív elfordulásai a tartón tengelyre merőleges eltolódások nélkül nem alakulhatnak ki, tehát a tengelyre merőleges eltolódások számításában a nyíróerők hatása mellett (sőt, látni fogjuk, hogy nem is mellett,

hanem helyett) a nyomatékok hatását is figyelembe kell vennünk. Egy általános nyomatéki függvényben az x és az x+dx koordinátájú keresztmetszetek között (a nyomatékérték változását elhanyagolva) a (dϑ) nagyított elemi koncentrált relatív elfordulás értékét a nyomatéki ábra dx szélességű lamellájának területe, M(x)×dx adja. Ez az elemi elfordulás az xK2 koordinátájú K2 jelű keresztmetszetben az xK2-x karon ébreszt tengelyre merőleges eltolódást. Ez a (nyomatéki hatásból származó) (duz,K2(M)) nagyított elemi relatív eltolódás a (dϑ)×(xK2-x) szorzattal írható fel. A nyomatéki hatásból egy véges szakaszon keletkező tengelyre merőleges relatív eltolódás értékét pedig a fenti elemi relatív eltolódásfüggvénynek a vizsgált szakaszon vett határozott integrálja szolgáltatja uzK1K2,(M)= K1∫K2duz(M)(x)= K1∫K2((xK2-x)×dϑ) a dϑ elemi koncentrált elfordulást a nyomatéki ábra adataival kifejezve uzK1K2,(M)=

K1∫K2((xK2-x)×M(x)/EJ)×dx xK2 xK1 xS x+dx K2 x M(x)×dx M(x) súlypont x K1 z Az (xK2-x)×M(x)×dx szorzatintegrálnak azonban egyszerű geometriai értelme is van: a nyomatéki ábra dx szélességű lamellájának az x irányú koordinátakülönbségével képzett szorzata valójában a lamellának a K2 keresztmetszet függőlegesére vett statikai nyomatékát állítja elő. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 181 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 182 ► Egy síkidom statikai nyomatékát azonban nemcsak az elemi síkidomok statikai nyomatékainak összegeként határozhatjuk meg, hanem a teljes síkidom területének és e terület (ugyanazon tengelyre vett) súlyponti koordinátájának szorzataként is. Azaz a vizsgált szakaszra eső nyomatéki igénybevételek által okozott összegzett, tengelyre merőleges eltolódást a nyomatéki ábra területével

arányos (az elfordulások keresése során már előállított) ϑ relatív elfordulás és a nyomatéki ábraterület súlyponti távolságának szorzata szolgáltatja. A rúdlánc-modell tehát a nyomatékok által okozott, tengelyre merőleges eltolódások számítására is alkalmas, ehhez pedig a nyomatéki ábraszakaszok területével arányos koncentrált relatív elfordulásokat a nyomatéki ábraszakaszok súlyvonalában kell (a tartó tengelyvonalán) elhelyeznünk. uzK1K2(M)= [K1∫K2((xK2-x)×M(x))dx ]/EJ uzK1K2(M)=[AM×(xK2-xS)]/EJ A tartószerkezetek rúdlánc-modelljében az igénybevételi értékekkel arányos folytonos deformációkat (tetszőleges) szakaszonként összegezve, koncentrált relatív elmozdulásokként működtetjük. A koncentrált relatív elmozdulások értéke az intervallumon működő megfelelő igénybevételi ábra területével arányos, helyét pedig mindig a tartó tengelyvonalán, az igénybevételi ábra súlyvonalában kell

felvennünk. Az így kapott koncentrált relatív elmozdulási pontok között a tartószerkezet elemeit deformációmentesnek tekintjük. Az így előálló rúdlánc (láncolat) modell az eredeti tartószerkezettel teljesen azonos elmozdulási komponenseket szolgáltat minden olyan pontban-keresztmetszetben, ahol az igénybevételi függvényeket szakaszoltuk. A módszerrel tehát tetszőleges (véges) számú pontban meghatározhatjuk a szerkezet elmozdulásait, de zárt függvényként a deformációs vonal csak speciális esetekben állítható elő. Ha egy keresztmetszet elmozdulásösszetevőit pontosan meg akarjuk határozni, akkor abban a keresztmetszetben az igénybevételi ábrákat mindenképpen bontani kell. Valójában a rúdlánc-modell a szerkezet folytonos deformációs vonalának egy poligonális közelítését szolgáltatja, amely a szakaszolási keresztmet- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 182 ► Mechanika II A dokumentum használata

| Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 183 ► szetekben értékében és meredekségében teljesen megegyezik a tényleges deformációs vonal viselkedésével (a poligonoldalak ezekben a pontokban a deformációs görbe érintői lesznek). Megjegyezzük, hogy minél több helyen szakaszoljuk az igénybevételi ábrákat, annál pontosabb lesz a poligon közelítése, de annál több lesz a számítási munkánk. Ha többféle elmozdulási adatra van szükségünk, nem biztos, hogy rögtön az összes keresett elmozduláskomponenst pontosan szolgáltató, bonyolult modellel érdemes kezdeni a munkát. Valószínű, hogy a legfontosabb elmozdulásösszetevők (támaszelmozdulások) egy egyszerűbb modellen sokkal gyorsabban, kisebb hibakockázattal határozhatók meg, és az így megkapott támaszelmozdulások ismeretében a közbenső pontok vizsgálatához szükséges részletesebb modellt nem is kell teljes egészében működtetnünk. A rúdláncok

viselkedése alapján azt is rögzítenünk kell, hogy az elmozdulások számításához mindig egy „fix” pontból kell elindulnunk. A kiindulópontként választott „fix” pontnak nem kell elmozdulásmentesnek lennie, de az abszolút elmozdulásösszetevőit ismernünk kell. A számítást jelentősen egyszerűsíti, ha a választott kezdőpontot valóban „fix” pont, azaz a talajkapcsolat jellege alapján tudható, hogy (pl.) abszolút eltolódásai zérus értékűek. A rúdlánc egy pontjának elmozdulásösszetevőit ezek után bármely pontból (célszerűen: bármely talajkapcsolati pontból) kiindulva meghatározhatjuk A kezdőpont abszolút elmozdulásaihoz azonban a továbbiakban csak a kezdőpont és a vizsgált pont között található relatív elmozdulások hatását kell (és szabad!) hozzáadnunk, tehát az esetlegesen érintett talajkapcsolati pontok saját abszolút elmozdulásait NEM. Az igénybevételi ábrákból a vizsgált szakaszon ébredő relatív

elmozdulásokat a függvények határozott integráljaként, az ábrák területeként határoztuk meg. Az összegzés, az integrálás asszociatív, azaz tagolható Az összetett igénybevételi ábrák területét tehát célszerűen bontva, részenként is előállíthatjuk. Látni fogjuk, hogy gyakorlatilag tehercsoportok kialakításával elérhető, hogy az igénybevételi ábrák területösszegét egyszerű, ismert (vagy könnyen meghatározható) területű és súlypontú felületelemekből határozhassuk meg. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 183 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 184 ► A tartó tengelyvonalára merőleges eltolódások tehát mind a nyíróigénybevétel, mind a nyomatéki igénybevétel hatására keletkeznek a szerkezetben. A keresztmetszeti feszültségek vizsgálata során azt láttuk, hogy a hajlított-nyírt gerendatartók túlnyomó

többségében a hajlítás volt a mértékadó. Ennek fényében vizsgáljuk meg egy egyszerű tartón a kétféle igénybevételből adódó, tengelyre merőleges eltolódások alakulását. a tartószerkezet q=30 kN/m B A az igénybevételi ábrák a rúdlánc-modell B A MB TB ϑ1 az alakváltozások ϑ1 eAz(M) 3/4×L=4,5 m 1/4L L=6 m e1z eAz(T) e1z 2/3×L=4 m 1/3×L L=6 m h=600 mm a keresztmetszeti jellemzők A=200×600-184×560=1,696×104 mm2 J=(200×6003-184×5603)/12=9,072×108 mm4 W=9,072×108/300=3,024×106 mm3 S’=200×20×290+16×280×140=1,7872×106 mm3 az igénybevételi maximumok MB=30×62/2=540 kNm v=20 mm TB=30×6=180 kN b=200 mm a maximális feszültségek σB, max=MB/W=540×106 Nmm/3,024×106 mm3 =178,6 N/mm2 τB, max=(TB×S’)/(J×b)=(180×103×1,7872×106)/(9,072×108×16) τB, max=22,16 N/mm2 vg=16 mm a keresztmetszet v=20 mm A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 184 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 185 ► A konkrét szerkezet maximális feszültségei azt mutatják, hogy míg a hajlításból származó normálfeszültség az acélszerkezetekre megengedhető érték (200 N/mm2) ~90%-a közelében van, a nyírás hatására ébredő nyírófeszültség az acél megengedett nyírószilárdságának (115 N/mm2) 20%át sem éri el. Tömör (téglalap)keresztmetszetek esetén a nyírás még kisebb arányban vesz részt a szerkezet terhelésében. Mindezek alapján jogos az a feltételezésünk, hogy a nyírási deformáció a nyomaték hatásához képest lényegesen kisebb értékűre várható. Ennek ellenőrzésére – kivételesen nem paraméteres, hanem konkrét adatokkal történő számítást végeztünk A nyíróerőből származó deformációk előállítása során a keresztmetszet átlagos nyírófeszültségével számoltunk. Így viszont nyírási deformációk értékében nem jelenne meg a keresztmetszetek

(esetenként jelentősen) eltérő nyírási ellenállóképessége. A problémát a keresztmetszeti alak hatását kifejező ρ tényező beiktatásával oldjuk meg. Az alábbi táblázatban tájékoztatásul közöljük néhány egyszerű keresztmetszeti síkidom ρ alaktényezőjét. KERESZTMETSZETI SÍKIDOM Téglalap keresztmetszet Kör keresztmetszet Szimmetrikus I keresztmetszet ρ ALAKTÉNYEZŐ 1,2 10/9=1,111 ~Ateljes / Agerinc Példánkban a ρ alaktényező értéke ρ=Ateljes / Agerinc=16960 mm2/16×560 mm2=1,893 Az alábbi táblázatban megmutatjuk a tartón az A keresztmetszet függőleges abszolút eltolódását külön a nyomatéki igénybevételek és külön a nyíróerők hatásából (Eacél=2,06×105 N/mm2, Gacél=7,725 ×104 N/mm2) Igénybevételi maximum Nagyított relatív elfordulás Nagyított A ponti relatív eltolódás Hajlítómerevség (E×J) Nyírómerevség (G×A/ρ) Valódi A ponti eltolódás Az A pont teljes abszolút eltolódása A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék NYOMATÉK 540 kNm 1080 kNm2 4860 kNm3 186883 kNm2 NYÍRÓERŐ 180 kN 540 kNm 6,92×105 kN 2,60×10 m 7,80×10-4 m 2,678×10-2 m -2 Vissza ◄ 185 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 186 ► Az eltolódásokat összevetve láthatjuk, hogy a nyírásból származó eltolódás a teljes érték ~3%-át teszi ki. A nyírási eltolódás aránya természetesen a tartó szerkezeti és keresztmetszeti kialakításától és - kisebb mértékben - az alkalmazott anyag deformációs jellemzőitől függ Az alábbi táblázatban tájékoztatásul bemutattuk egy (az előző vizsgálatban alkalmazott) I keresztmetszetű és egy tömör 150×600 mm téglalap keresztmetszetű konzol és kéttámaszú tartó maximális nyomatéki és nyírási lehajlásait, ill. ezek arányát A táblázat utolsó oszlopában a tartóhossz és a szerkezeti magasság arányát is közültük. Az

egyenletesen megoszló teher intenzitását úgy állítottuk be, hogy a tartók mindegyike hajlításra azonos mértékben (~90%-ban) legyen kihasználva (a maximális nyomaték egységesen 540 kNm). kétszeresen szimmetrikus I keresztmetszetű konzol E×J=1,87×105 kNm2, G×A/ρ=6,92×105 kN L [m] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 q [kN/m] 1080,0 270,0 120,0 67,5 43,2 30,0 22,0 16,9 13,3 ez(M) [m] 0,0007 0,0029 0,0065 0,0116 0,0181 0,0260 0,0354 0,0462 0,0585 T AT [kN [kNm ] 1080,0 540,0 360,0 270,0 216,0 180,0 154,3 135,0 120,0 540 540 540 540 540 540 540 540 540 ez(T) [m] 7,80E-04 7,80E-04 7,80E-04 7,80E-04 7,80E-04 7,80E-04 7,80E-04 7,80E-04 7,80E-04 Σ ez ez(T)/ez L/h [m] 1,50E-03 3,67E-03 7,28E-03 1,23E-02 1,88E-02 2,68E-02 3,62E-02 4,70E-02 5,93E-02 52% 21% 11% 6% 4% 3% 2% 2% 1% 1,7 3,3 5,0 6,7 8,3 10,0 11,7 13,3 15,0 kétszeresen szimmetrikus I keresztmetszetű kéttámaszú tartó E×J=1,87×105 kNm2, G×A/ρ=6,92×105 kN L [m] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 q [kN/m] 4320,0 1080,0

480,0 270,0 172,8 120,0 88,2 67,5 53,3 ez(M) [m] 0,0003 0,0012 0,0027 0,0048 0,0075 0,0108 0,0147 0,0193 0,0244 T AT ez(T) Σ ez [kN [kNm ] [m] [m] 2160,0 1080,0 720,0 540,0 432,0 360,0 308,6 270,0 240,0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék 540 540 540 540 540 540 540 540 540 7,80E-04 7,80E-04 7,80E-04 7,80E-04 7,80E-04 7,80E-04 7,80E-04 7,80E-04 7,80E-04 ez(T)/ez 1,08E-03 1,98E-03 3,49E-03 5,60E-03 8,31E-03 1,16E-02 1,55E-02 2,00E-02 2,52E-02 Vissza 72% 39% 22% 14% 9% 7% 5% 4% 3% ◄ L/h 1,7 3,3 5,0 6,7 8,3 10,0 11,7 13,3 15,0 186 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 187 ► tömör téglalap keresztmetszetű konzol E×J=5,56×105 kNm2, G×A/ρ=57,9×105 kN L [m] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ez(M) q [kN/m] 1080,0 270,0 120,0 67,5 43,2 30,0 22,0 16,9 13,3 [m] 0,0002 0,0010 0,0022 0,0039 0,0061 0,0087 0,0119 0,0155 0,0197 T AT [kN [kNm ] 1080,0 540,0 360,0 270,0 216,0 180,0

154,3 135,0 120,0 540 540 540 540 540 540 540 540 540 ez(T) [m] 9,33E-05 9,33E-05 9,33E-05 9,33E-05 9,33E-05 9,33E-05 9,33E-05 9,33E-05 9,33E-05 Σ ez ez(T)/ez L/h [m] 3,36E-04 1,06E-03 2,28E-03 3,98E-03 6,16E-03 8,83E-03 1,20E-02 1,56E-02 1,98E-02 28% 9% 4% 2% 2% 1% 1% 1% 0% 1,7 3,3 5,0 6,7 8,3 10,0 11,7 13,3 15,0 tömör téglalap keresztmetszetű kéttámaszú tartó E×J=5,56×105 kNm2, G×A/ρ=57,9×105 kN L [m] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 q [kN/m] 4320,0 1080,0 480,0 270,0 172,8 120,0 88,2 67,5 53,3 ez(M) [m] 0,0001 0,0004 0,0009 0,0016 0,0025 0,0036 0,0050 0,0065 0,0082 T AT ez(T) Σ ez [kN [kNm ] [m] [m] 2160,0 1080,0 720,0 540,0 432,0 360,0 308,6 270,0 240,0 540 540 540 540 540 540 540 540 540 9,33E-05 9,33E-05 9,33E-05 9,33E-05 9,33E-05 9,33E-05 9,33E-05 9,33E-05 9,33E-05 ez(T)/ez 1,94E-04 4,98E-04 1,00E-03 1,71E-03 2,62E-03 3,73E-03 5,05E-03 6,57E-03 8,29E-03 48% 19% 9% 5% 4% 2% 2% 1% 1% L/h 1,7 3,3 5,0 6,7 8,3 10,0 11,7 13,3 15,0 A táblázat jól

illusztrálja azt a gyakorlati szabályt, hogy rövid, zömök tartók esetén a nyírási hatás nem hanyagolható el, de a legtöbbször alkalmazott, L=~6×h konzolhosszúság, ill. L=~10×h nyílásméret esetén a nyírásból származó deformáció a teljes érték ~5%-a körül várható A példában figyelembe vett I keresztmetszet nyírási ellenállás szempontjából igen gyenge, a gyakorlati keresztmetszeteket ennél erősebbre szokás tervezni. Acélszerkezetként tömör téglalap keresztmetszeteket nem készítünk, de vasbetonszerkezetként ez a keresztmetszeti kialakítás igen gyakori. A vasbeton (pontosabban: a deformációt dominánsan meghatározó beton) a nyírással szemben merevebb, így a nyírási lehajlások aránya az acélanyagú tartóra levezetett fenti arányoknál kedvezőbben alakulnak. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 187 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása

Vissza ◄ 188 ► 6.42 Konzolos kéttámaszú tartó alakváltozásai-elmozdulásai Az egyenletesen megoszló teherrel terhelt, egyenestengelyű gerendatartón normáligénybevétel nem keletkezik, a nyírás hatását pedig (az előbbiekben ismertetett gondolatmenet alapján) elhanyagoljuk, így csak a nyomatéki igénybevételekből származó elmozdulásokkal kell foglalkoznunk. Tartószerkezeteink túlnyomó többségében elegendő a nyomatéki hatás figyelembevétele, csak keretszerkezet esetében kell a keresztmetszeti méretek meghatározása után, a végső ellenőrzés során számításba venni a normálerő hatását. Nem hanyagolható el a nyírási hatás figyelembevétele a rövid konzolokon, zömök tartókon (ld. az előző táblázatokat), ill a nyírásra gyengített keresztmetszetű szerkezeteken (pl gyengített gerincű I tartók) A szerkezeten először csak a támaszpontok és a konzolvég elmozdulásösszetevőit keressük. Ehhez az igénybevételi

ábrákat elegendő a támasz(ok) felett szakaszolni. Tudjuk, hogy az egyes szakaszok végpontjai között kialakuló relatív elmozdulásösszetevők az igénybevételi ábrák területével arányosak, helyük pedig a tartó tengelyvonalán, az igénybevételi ábrák súlyvonalában lesz. A rúdlánc-modell kinematikai terheinek megállapításához tehát az igénybevételi (esetünkben: nyomatéki) ábra elemeinek terület- és súlypontszámítását kell elvégeznünk. A konzol nyomatéki parabolája a konzolvégen tengellyel párhuzamos érintővel indul, így területe a befoglaló téglalap harmada lesz, súlyvonala pedig a tengelyszakaszt 3:1 arányban osztja. A támaszköz nyomatéki ábrájából a teljes támaszközön kialakuló relatív elfordulásokat a legegyszerűbben az egymásra halmozás alkalmazásával állíthatjuk elő: A megoszló terhet csak a konzolon működtetve a támaszköz nyomatéki ábrája egy háromszög lesz, ha pedig csak a támaszközt

terheljük, a nyomaték a teljes nyílásra rajzolt (szimmetrikus) másodfokú parabola. E nyomatéki függvények összege a valós nyomatéki ábrát szolgáltatja, viszont területük és súlyvonaluk egyszerűen meghatározható. Ismételten felhívjuk a figyelmet, hogy az egymásra halmozás alkalmazásának elengedhetetlen feltétele, hogy a figyelembe vett függvénykapcsolatok lineárisak legyenek. Az elsőrendű elmélet alkalmazása során ezt feltételezzük, ill az elmozdulásokat olyan korlátok közé szorítjuk, hogy valós elmozdulási függvények lineáris formulával közelíthetők legyenek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 188 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 189 ► Az alábbi ábrákon bemutatjuk a szerkezet statikai vázát, a nyomatéki ábrát, a rúdlánc-modellt és a deformációs vonalat. q x V k A L B z M M’ M” a relatív elfordulások

ϑ2 ϑ1 ϑ3 a rúdlánc-modell φA ϑ3 ϑ2 φB ϑ1 a deformációs vonal ϑ3 ϑ2 φA φA φB ϑ1 Látjuk, hogy a felvett rúdlánc-modell elmozdulási ábrája a támaszpontok és a konzolvég keresztmetszetének elmozduláskomponenseit pontosan adja meg, de más pontok (pl. a nyílásközép) elmozdulásainak meghatározására nem használható A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 189 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 190 ► A támaszelfordulások meghatározására szolgáló egyenletek (kiindulásképpen a támaszponti elfordulásokat pozitívnak tételeztük fel) q x V k A L-k1 L-k2 L a relatív elfordulások φA ϑ2 B k1 k2 z φB ϑ1 ϑ3 Az egyenletekben az elfordulások nagyított értékét szerepeltettük, emiatt az elfordulások jeleit zárójelbe tettük. (eAz) = - (φB)×L-(ϑ1)×(L-k1)+(ϑ2)×(L-k2)=0 A haladási irány megfordításával: (eBz) = +

(φA)×L+(ϑ2)×k2-(ϑ1)×k1=0 Ezekben az eltolódási egyenletekben a keresett támaszelfordulások egyetlen ismeretlenként szerepelnek, így értékük egyszerűen meghatározható. Ne feledjük, hogy az ismeretlen támaszelfordulások irányát szabadon felvehetjük, a megoldás előjele azt mutatja meg, hogy feltételezésünk helyes volt-e Az egyenletekben az eltolódások előjeleit szemléletből szoktuk megállapítani, de a forgásirány pozitivitásának és a kar mérésére választott koordinátatengely origójának rögzítésével általános érvényű előjelszabály is felállítható. Ellenőrzésképpen felírhatjuk a rúdlánc A és B pontok közötti relatív elfordulásainak összegét: ΣΒ⇒Α ϑi = 0 azaz ϑB + ϑ1 + ϑ2 + ϑA = 0 vagy (felhasználva a kezdőponti-végponti abszolút és relatív elfordulások összefüggését): φB + ϑ1 + ϑ2 + (- φA)= 0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 190 ► Mechanika II

Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 191 ► Ha más pontok elmozdulásaira is szükségünk van, akkor abban a pontban is szakaszolnunk kell az igénybevételi ábrákat. Megtehetjük azt is, hogy rögtön olyan rúdlánc-modellt alakítunk ki, amely valamennyi keresett pontban pontosan szolgáltatja az elmozduláskomponenseket, de az is alkalmazható – és általában az javalott -, hogy a támaszelmozdulásokat a lehető legegyszerűbb modellen határozzuk meg, majd a támaszok elmozdulásainak ismeretében, onnan kiindulva, a még hiányzó elmozdulásokra alkalmas modellen dolgozunk. K q x k A B L z M M’ M” a relatív elfordulások A ϑ5 ϑ4 ϑ5 ϑ 4 φB B L L/2×5/8 L/2×2/3 A nyílásközép K keresztmetszetének elmozdulásösszetevőit legegyszerűbben a B támaszpontból kiindulva határozhatjuk meg. Ehhez a K függőlegesében a nyomatéki ábrát szét kell bontanunk, és a B-K alapú

háromszög területével, ill a B-K alapú (fél)parabola területével megegyező nagyságú új, ϑ4 és ϑ5 koncentrált relatív elfordulásokat kell felvennünk. A B ponti támaszelfordulás ismeretében a K pont tengelyre merőleges eltolódása (az előző első egyenlettől negatívra adódott – ezt tüntettük fel a relatív elfordulások ábráján!):!): (eKz) = + (φB)×L/2-(ϑ4)×(L/2×3/8)+(ϑ5)×(L/2×1/3)=0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 191 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 192 ► 6.43 GERBER-tartó alakváltozásai-elmozdulásai A GERBER-tartó statikai vizsgálatát a szerkezeti elemek szétválasztásával kezdtük, és a szerkezeti elemek egyedi viselkedéséből, valamint kapcsolatukból vezettük le az összetett szerkezet paramétereit. Ugyanez a megoldási módszer alkalmazandó a GERBER-tartó elmozdulás-vizsgálatára is. A fő rész és a

befüggesztett rész saját deformációját a rajtuk kialakuló (a fő rész esetében már a befüggesztett rész terhelő hatását is tartalmazó) igénybevételi ábrák határozzák meg. A fő rész talajkapcsolati pontjaiban (a tengelyre merőleges) eltolódásokat zérusnak tekintjük (a támaszokat fix, nem rugalmas megtámasztásoknak véve), így a fő rész támaszelfordulásai a támaszpontok eltolódási egyenletei segítségével egyszerűen meghatározhatók. A támaszelfordulások ismeretében a megfelelő rúdlánc-modellt felvéve tetszőleges pont elmozdulásösszetevőit meghatározhatjuk. A befüggesztett rész saját alakváltozásai ugyanígy előállíthatók, viszont a befüggesztett résznek a fő részhez kapcsolódó (támasz)pontjaiban a tengelyre merőleges eltolódások nem zérus értékűek, hanem eltolódásuk a fő rész konzolvég-keresztmetszetének eltolódásával lesz megegyező. Ezen támaszponti eltolódás(ok) miatt a befüggesztett elemen

akkor is lesz (merevtest-szerű) elmozdulás, ha saját terhelése, igénybevételei zérus értékűek. A támaszpontok eltolódásai miatt kialakuló (a támaszpontok eltolódott képét összekötő egyenes) elmozdulási ábrára halmozva, ahhoz minden pontban hozzáadva a befüggesztett rész saját deformációs ábráját, megkapjuk a GERBER-tartó befüggesztett elemének alakváltozási ábráját. A GERBER-tartó statikai vizsgálatában a fő rész csak a befüggesztett rész támaszerőinek meghatározása után vizsgálható, mert a befüggesztett rész támaszerőjének ellentettje a fő rész konzolvégén teherként jelenik meg és módosítja a fő rész támaszerőit-igénybevételeit. A GERBER-tartó kinematikai vizsgálatában a befüggesztett rész csak a fő rész alakváltozásainak meghatározása után vizsgálható, mert a fő rész (befüggesztett részt megtámasztó)konzolvégének eltolódása támaszeltolódásként (kinematikai teherként) jelenik meg a

befüggesztett rész támaszpontjában, és módosítja a befüggesztett rész támaszelmozdulásaitdeformációs ábráját. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 192 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 193 ► A fentiek alapján a GERBER-tartó igénybevételi és elmozdulási ábrái a részenként meghatározott ábrák összetételével állíthatók elő. Az alábbi ábra egy egyszerű GERBER-tartó igénybevételeit, rúdlánc-modelljét és alakváltozási ábráit mutatja. A végső deformációs vonalon vékony piros vonallal jelöltük a befüggesztett résznek saját terhelés nélküli - csak a fő rész elmozdulásai miatt ókialakuló - egyenes, merevtest-szerűen elmozdult alakját. A L1 q B C k1 L2 D k2 M ϑ3 a relatív elfordulások φA ϑ 4 φB ϑ2 a rúdlánc-modell φA ϑ4 φB ϑ1 ϑC φD ϑ2+ϑ3 a deformációs vonal ϑ2+ϑ3 ϑ4 φA φB φD ϑC

ϑC ϑ1 ϑ1 φD A fő rész konzolján a saját terhelésből származó parabolikus nyomatéki ábra a befüggesztett részről átadódó koncentrált erő által keltett lineáris nyomatéki ábrához adódik hozzá. A konzolon kialakuló relatív elfordulás célszerű meghatározásához a nyomatéki ábra két részét különkülön érdemes számításba venni (a deformációs vonal megrajzolásakor rajztechnikai okokból csak e két relatív elfordulás eredőjét tüntettük fel). A nyomatéki ábrarészek szétválasztására itt is alkalmazhatjuk a szuperpozíciót: a konzolon és a befüggesztett tartón külön-külön működtetve az egyenletesen megoszló terhet, a konzol nyomatéki ábrái automatikusan szétválasztva jelennek meg. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 193 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 194 ► A GERBER-tartónak különleges eleme a

tartórészeket összekapcsoló csukló. Ebben a pontban a nyomaték minden körülmények között zérus, de a kapcsolat erők átadására képes Az elmozdulások szempontjából: a csuklóban a csatlakozó elemvégek között a relatív eltolódás mindig zérus, de (minthogy nyomaték felvételére képtelen lévén az elfordulásokat megakadályozni nem tudja) az elemvégek között relatív elfordulásra számítanunk kell. A GERBER-csuklóban keletkező relatív elfordulás meghatározására két eljárás is alkalmazható: • két keresztmetszet relatív elfordulása definíció szerint azonos a két elemvég abszolút elfordulásának különbségével, ezeket külön-külön meghatározva a relatív elfordulás is megkapható • az eltolódási egyenlet - ismert elmozdulású kezdőpontból ismert eltolódású végpontra felírva - egy ismeretlen adat meghatározására alkalmas, így a keresett relatív elfordulás ilyen eltolódási egyenletből is meghatározható. A

ϑC relatív elfordulás meghatározása az elemvégek abszolút elfordulásai alapján (a támaszelfordulásokat pozitívnak feltételezve) Az A-B támaszközben: (eAz) = - (φB×L)+(ϑ4×(L1×2/3))=0⇒ φB=+ (pozitívra adódik) A B-C konzolon: φC,bal=φB+(ϑ3’)+(ϑ2’) itt az elfordulások előjeles értékét kell szerepeltetnünk (φB=+; υ3’=+; υ2’=+)! A haladási irány megfordítása miatt a relatív elfordulások előjeleit meg kell fordítanunk, így a negatív nyomatéki ábra-területből kapott relatív elfordulások a jobbra lévő elemet a balra lévőhöz képest pozitív irányban, az óra járásával megegyezően fordítják el. A befüggesztett rész vizsgálatához szükségünk van a C pont eltolódására: (eCz) = + (φB×k1)+(ϑ3’×(k1×3/4))+(ϑ2’×(k1×2/3)) az elfordulások értékét előjelesen szerepeltetve az eltolódások előjelét szemléletből határozzuk meg! A C-D szakasz merevtest-szerű elfordulása: φC,jobb ecz=-eCz /L2 A C

pont abszolút elfordulása a C-D szakasz saját deformációiból: φC,jobb M C-D= + (ϑ1)/2 (szimmetria!) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 194 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 195 ► Az elemvégek abszolút elfordulásainak különbsége: ϑC=φC,bal-(φC,jobb ecz+φC,jobb M C-D) A ϑC relatív elfordulás meghatározása az eDz=0 eltolódási egyenlet alapján A B ponti abszolút elfordulás ismeretében (φB=+, lásd az előző oldalon) a B-ből kiindulva felírhatjuk a D pont függőleges eltolódási egyenletét, amelyben a C ponti relatív elfordulás lesz az egyetlen ismeretlen. A haladási irány megfordítása miatt a relatív elfordulások (beleértve a keresett, és pozitívnak feltételezett ϑC-t is) előjeleit meg kell fordítanunk, azaz υ2’=+, υ3’=+, υC’=-, υ1’=- kell számolnunk. Az eltolódások előjelét szemléletből meghatározva:

(eDz)=+(φB)×(k1+L2)+(ϑ3’)×(k1×3/4+L2))+ (ϑ2’)×(k1×2/3+L2))-(ϑC’)×L2)-(ϑ1’)×(L2/2)=0 Ebben az eltolódási egyenletben csak a ϑC csuklóponti relatív elfordulás az ismeretlen. Ellenőrzésként természetesen itt is felírható a talajtól talajig összegzett relatív elfordulások összege: Σ(ϑi) talaj talaj = (ϑD)+ (ϑ1)+ (ϑC)+ (ϑ2)+ (ϑ3)+ (ϑB)= =(φD)+(υ1)+ (υC)+ (υ2)+ (υ3)+ (-φB)=0 Itt a relatív elfordulásokat a szokásos haladási irányban vettük figyelembe, tehát saját előjeleikkel szerepelnek az egyenletben. Ne feledjük, jobb végpontban a viszonyítási rendszer megfordulása miatt az ottani relatív elfordulás az abszolút elfordulás ellentettje lesz. A C ponti relatív elfordulás ismeretében már a C-D szakasz tetszőleges pontjára is kialakíthatjuk a megfelelő rúdlánc-modellt és meghatározhatjuk az elmozdulásösszetevőket. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 195 ► Mechanika II

Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 196 ► 6.44 Kéttámaszú keret alakváltozásai-elmozdulásai A kéttámaszú megtámasztás azt jelenti, hogy a szerkezet kinematikailag (is) határozott, tehát a támaszelmozdulások és bármelyik kiválasztott pont elmozdulásösszetevői az igénybevételi ábrákból a keresztmetszeti és anyagjellemzők felhasználásával egyértelműen meghatározható. A tört tengelyvonal miatt azonban fokozottan ügyelnünk kell az igénybevételi ábra-területek meghatározásával nyert relatív elmozdulások elhelyezésére: azoknak mindig a tartó tengelyvonalában kell lenniük A törtvonalú tartókban normálerők is ébrednek, így ezek hatását is figyelembe kell vennünk. A gyakorlati tervezési feladatok első fázisában a kisebb elmozdulásokat okozó normálerők hatását a domináns nyomatéki hatás mellett figyelmen kívül hagyhatjuk, de a végleges állapot ellenőrzése

során ezzel a hatással is számolnunk kell. Itt most különválasztva mutatjuk be a nyomatéki és a normáligánybevételekből keletkező elmozdulások számítási módját, az alkalmazandó rúdlánc- ill. láncolatmodell kialakítását A nyomatékok, a rúdlánc-modell és a deformációs vonal q L A H M B ϑ2+ϑ3 ϑ4 ϑ3 ϑ2 ϑ1 ϑ1 ϑ4 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék φA φB eBX Vissza ◄ 196 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 197 ► A keretgerendán a nyomatéki ábra trapéz alakú, ezt célszerű két síkidommal helyettesíteni: vagy két háromszöggel, vagy (amint az ábrán látható) egy téglalappal és egy háromszöggel. Természetesen minden elemi síkidomhoz a saját súlyvonalában (a tartó tengelyvonalán) levő, a területével arányos relatív elfordulást kell rendelnünk, amint ezt a rúdlánc-modellen bemutattuk. A rugalmas vonal

felrajzolásakor azonban most a rajztechnikai nehézségek miatt a gerenda két vége között csak az eredő relatív elfordulást jeleztük. Vegyük észre, hogy a rugalmas vonal bizonyos adatai számítás nélkül, a mérnöki szemlélet alapján is láthatók, és ezeket a deformált alak felrajzolása során igen jól fel lehet (és fel is kell!) használnunk. A tartóelemek görbülete A nyomatéki ábrák felrajzolása során megállapodtunk, hogy a nyomatékok mindig a húzott szál oldalára, a deformáció szerinti domború oldalra kerülnek. Ha ezt figyelembe vesszük, akkor a (helyes) nyomatéki ábra ismeretében minden rúdelem mellé odarajzolhatjuk a görbült alakját. A sarokpontok törésmentessége A mereven kapcsolt (sarok)pontokban a befutó rúdelemek állása, csatlakozási szöge a deformáció során nem módosulhat, hiszen ahhoz ott a szerkezetnek el kellene törnie. Ennek megfelelően a görbült rúdelemeket úgy kell összeillesztenünk, hogy a rúdelemek

deformációs vonalainak végérintői a csatlakozási pontokban törésmentesen illeszkedjenek A sarokpontok eltolódásmentessége Amikor csak a nyomatéki hatásokkal számolunk, akkor a szerkezetnek a normálerők deformáló hatásával szembeni ellenállóképességét végtelen nagynak tekintjük. Másként fogalmazva ez azt jelenti, hogy a rúdelemek hossza nem fog megváltozni Függőleges állású és egyik végükön függőlegesen eltolódásmentesen megtámasztott rúdelemek nyúlásösszenyomódásmentessége azt jelenti, hogy a másik vég az eredeti magasságban marad, csak vízszintesen tolódhat el A keretgerenda nyúlás-összenyomódásmentessége alapján pedig azt tudjuk számítás nélkül rögzíteni, hogy a gerenda két végpontja közötti távolság nem változhat. Ha mindkét gerendavégen csak vízszintes eltolódás ébredhet, akkor még azt is kimondhatjuk, hogy a vízszintes keretgerenda végpontjainak vízszintes eltolódásértékei megegyeznek. A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 197 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 198 ► A normálerők, a láncolat-modell és a deformációs vonal - q A L H B N - + A rúdelemeken a normálerőkből származó, tengelyirányú relatív eltolódások általában igen egyszerűen számíthatók. Ebben a számításban a nyomatékok deformáló hatásával nem kell foglalkoznunk, elegendő lesz a kétféle hatást a végső deformációs ábrában összegeznünk. Így a normálerőkből keletkező alakváltozások csak a rúdelemek hosszváltozásában jelenhetnek meg. A sarokpontok törésmentes illeszkedése természetesen ez esetben is fennáll, tehát a megváltozott hosszúságú rúdelemekből olyan alakzatot kell kialakítanunk, amelyben a belső csatlakozási pontokban a rúdelemek kapcsolódása törésmentes, és amely a külső kapcsolati pontokban illeszkedik a

megtámasztás által meghatározott pontba-felületre. Természetesen a rúdlánc-modell klasszikus eltolódási egyenletei alapján is kiadódnak a támaszelmozdulások, és ezek ismeretében pedig már bármely pont elmozdulásösszetevőit meg tudjuk határozni. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 198 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 199 ► 6.45 A rúdlánc-modell alkalmazásának értékelése A tartószerkezetek elmozdulásainak, deformációs vonalának előállítására a rúdlánc-modell szinte minden esetben alkalmas. A módszer előnye, hogy szemléletes, a deformált alak az igénybevételi ábrák ismeretében (akár számítás nélkül is) jól becsülhető. Az eljárás további (nagy!) előnye, hogy segítségével a rúdelemek alakváltozásait az igénybevételi ábrákból mindig meghatározhatjuk, még statikailag határozatlan szerkezeteken is. Ha tehát

egy tartószerkezeten valami módon sikerült a tényleges, a szerkezet külső és belső kapcsolati kényszereihez igazodó igénybevételi ábrákat előállítanunk, akkor ezek alapján a szerkezet deformációs vonala is megrajzolható. A módszer hátránya, hogy alkalmazásához mindenképp szükséges egy pont, a „fix” pont abszolút elmozdulásainak ismerete, maga módszer pedig szekvenciális: a vizsgált pont keresett elmozdulásait csak a fix pontból kiindulva határozhatjuk meg. Ez esetenként nagy figyelmet igényel, és mindenképpen magában hordja a számított elmozdulásokban a hibahalmozódás veszélyét. Az eljárás további hátránya, hogy rácsostartók esetében gyakorlatilag nem használható. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 199 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 200 ► 6.5 Tartók alakváltozásának meghatározása munkaegyenletek

segítségével A tartószerkezetek alakváltozása nyomán a rajtuk működő terhelő erők helyzete megváltozik, a gravitációs mezőben helyzeti energiájuk módosul. Szerkezeti anyagainkat az elsőrendű elmélet alkalmazási körében ideálisan rugalmasnak tekintjük, azaz a terhelő erők és a kialakuló elmozdulások-alakváltozások reverzibilisen (megfordíthatóan) arányosak Az építőmérnöki tartószerkezetek terhelési folyamata igen lassú, a létrejövő elmozdulások a szerkezet méreteihez képest nagyságrendekkel kisebbek, így a terhelési folyamatban energiaveszteséggel nem kell számolnunk (az anyagban fellépő energiadisszipáció mértéke elhanyagolható mértékű). A tartószerkezetek terhelési folyamatában a külső erők támadáspontjainak elmozdulásai miatt bekövetkezőn (helyzeti) energiaváltozás a szerkezetben a megnövekvő alakváltozások nyomán kialakuló deformációs energia-változásban lelhető fel. A veszteségek

elhanyagolása miatt a terhelő erőnek a támadáspont lehajlása miatt bekövetkező helyzeti energia-csökkenése a szerkezet megnövekedett görbülete folytán kialakuló megnövekedett (visszanyerhető) rugalmas energiájával azonosnak tekinthető. A külső erők munkájának és a belső, rugalmas energiaváltozás értékének azonossága lehetőséget teremt a tartókeresztmetszetek elmozdulás-összetevőinek meghatározására q eVz (Q) eVz (q) V Q L Határozzuk meg a q teherből a konzolvég eVz eltolódását! Tételezzük fel, hogy a V keresztmetszetben a terhelés megkezdése előtt már ott állt a Q erő, ami eVz(Q) eltolódást okozott. A tartóvégen lévő Q koncentrált erő a q megoszló teher hatására bekövetkező alakváltozás miatt mélyebbre kerül, további eVz(q) eltolódást szenved, azaz veszít a helyzeti energiájából. Ugyanakkor a tartó (erősebben) meggörbül, azaz az alakváltozási rugalmas energiája nő. Ha q terhelést

megszüntetjük, a végkeresztmetszet a Q erővel eredeti helyzetébe emelkedik A q erőrendszer működése nyomán fellépő rugalmas energia-változás meghatározásával, a Q erő ismeretében, az eVz(q) eltolódás is számítható. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 200 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 201 ► 6.51 A munka mechanikai definícója A fizikában (és így a Mechanikában is) a munka az erő és az eltolódás szorzata, pontosabban az erő és az irányába eső eltolódás szorzata, még pontosabban: A mechanikai munka az ERŐ és az ELTOLÓDÁS vektorainak SKALÁRIS SZORZATA, ill a NYOMATÉK és az ELFORDULÁS vektorainak SKALÁRIS SZORZATA. abszolút elmozdulások esetén: relatív elmozdulások esetén: W=F×e + M φ W=F×u + M ϑ 6.52 A munkák elnevezése a Mechanikában A munkák elnevezése a munkát végző és az elmozdulást okozó hatás

alapján: • ha a munkát végző és az elmozdulást okozó hatás azonos, SAJÁT munkáról, • ha a munkát végző és az elmozdulást okozó hatás nem azonos, IDEGEN munkáról beszélünk. A munka W jele után felső indexben adjuk meg először a munkát végző hatás jelét, majd az elmozdulást okozó hatás jelét (saját munka esetében ez a kettő természetesen azonos). A saját munka esetén ugyanaz a dinám végzi a munkát, amelyik az elmozdulást is okozza. A folyamat kezdő pillanatában tehát mind az erő (nyomaték), mind az elmozdulás értéke zérus, és csak a terhelési folyamat végpontjában éri el mindkét mennyiség a maximumát. Ennek megfelelően a saját munka az erő-eltolódás ill a nyomaték-elfordulás szorzat értékének a fele lesz. A munkák elnevezése a munkát végző erő(rendszer) alapján: Ha a munkát egy külső (aktív vagy passzív) dinám végzi a támadáspont (megfelelő irányú és jellegű) elmozdulásán, akkor KÜLSŐ

munkáról, ha egy belső erő, azaz igénybevétel végzi a dx vastagságú lamellán a fajlagos alakváltozások nyomán kialakuló elemi relatív elmozduláson, akkor ALAKVÁLTOZÁSI (belső) munkáról beszélünk. A munka W jele után alsó indexben adjuk meg, hogy külső vagy alakváltozási munkáról van-e szó. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 201 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 202 ► 6.53 A munkák jelölése JELÖLÉS Q,F k Q,F a W W WkF,F WaF,F SZÖVEGES MAGYARÁZAT a Q erő által az F erő(rendszer) okozta elmozduláson végzett KÜLSŐ IDEGEN munka a Q erőből származó igénybevételek által az F erő(rendszer) okozta deformációkon végzett ALAKVÁLTOZÁSI IDEGEN munka az F erő által az F erő(rendszer) okozta elmozduláson végzett KÜLSŐ SAJÁT munka az F erőből származó igénybevételek által az F erő(rendszer) okozta deformációkon

végzett ALAKVÁLTOZÁSI SAJÁT munka 6.54 A fajlagos belső erők munkája A tartón működő aktív és passzív erők valamint a támadási keresztmetszetükben kialakuló elmozdulások ismeretében a külső munkát egyszerűen meghatározhatjuk. A szerkezet deformációs energiájának változása valójában a belső erők, az igénybevételek munkája, az alábbiakban ennek meghatározási eljárását vezetjük végig A síkbeli rúdszerkezetek keresztmetszeteiben háromféle belső erő működésével kell számolnunk, és a rugalmas energiaváltozásban ezek munkáját kell figyelembe vennünk. Mindegyik belső erő csak a neki megfelelő jellegű koncentrált relatív elmozduláson képes munkát végezni, tehát az igénybevételek munkáját a keresztmetszeti normálerő, nyíróerő és nyomaték munkájának összegeként kaphatjuk meg. Nem szabad elfeledkeznünk arról, hogy a szerkezetben mind az igénybevételek, mind a keresztmetszeti elmozdulások a

keresztmetszetek tengelyen mért helyzetének, a keresztmetszeti súlypont x koordinátájának függvényei, tehát munkájuk csak e két függvény szorzataként értelmezhető. A rúdszerkezetből az x koordinátájú helyen egy infinitezimálisan kicsiny, dx vastagságú lamellát kivágva, a lamella dx „hossza” mentén mind az igénybevételek, mind az elmozdulások változásától eltekinthetünk, és az igénybevételek dx hosszon végzett elemi munka-összegét az igénybevételi és az elmozdulásfüggvények x helyen érvényes értékét felhasználva állíthatjuk elő. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 202 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 203 ► Az igénybevételek elemi munkája dx dx dux(F) duz(F) dx dϑ(y)(F) dWa,NQ,F=NQ×dux(F) dWa,TQ,F=TQ×duz(F) dWa,MQ,F=MQ×dϑ(F) A dx hosszon kialakuló elemi koncentrált relatív elmozdulások az x

koordinátájú keresztmetszet fajlagos relatív elmozdulásaival is kifejezhetők (mind a keresztmetszeti igénybevételek, mind a keresztmetszeti fajlagos relatív elmozdulások az x keresztmetszeti helykoordináta függvényei!) : dWa,NQ,F =NQ×dux(F) =NQ(x)×ε(F)(x)×dx dWa,TQ,F =TQ×duz(F) =TQ(x)×γ(F)(x)×dx dWa,MQ,F =MQ×dϑ(F) =MQ(x)×κ(F)(x)×dx A keresztmetszetekben az F erőrendszerből származó fajlagos relatív elmozdulások értéke a keresztmetszet F erőrendszerből keletkező fajlagos belső erői, feszültségei segítségével is felírható: dWa,NQ,F =NQ(x)×ε(F)(x)×dx =NQ(x)×[σ(F)/E](x)×dx dWa,TQ,F =TQ(x)×γ(F)(x)×dx =TQ(x)×[τ(F) /G](x)×dx dWa,MQ,F =MQ(x)×κ(F)(x)×dx A keresztmetszeti feszültségek levezetése során kimutattuk, hogy a csak normálerővel terhelt tartókeresztmetszetben a σ normálfeszültségek eloszlása a teljes keresztmetszetben egyenletes. A tiszta nyírással terhelt keresztmetszetben ugyan tudjuk, hogy a tényleges

nyírófeszültség a szélső szálakban biztosan zérus, de közelítésképpen elfogadtuk az egyenletes átlagfeszültség alkalmazását. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 203 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 204 ► A keresztmetszeti feszültségek számítási összefüggéseit és a tiszta hajlítás során megállapított geometriai összefüggést felhasználva a keresztmetszetekben az F erőrendszerből származó fajlagos relatív elmozdulások értéke a keresztmetszet geometriai jellemzői, a szerkezet anyagjellemzői és az F erőrendszerből keletkező igénybevételek segítségével is felírható: dWa,NQ,F =NQ(x)×[σ(F)/E](x)×dx =NQ(x)×[N(F)/EA](x)×dx dWa,TQ,F =TQ(x)×[τ(F) /G](x)×dx =TQ(x)×[T(F) ρ/GA](x)×dx (a T/A az átlagos τ feszültséget adja, a keresztmetszet alakjának eltéréseit a ρ tényezővel vesszük figyelembe) dWa,MQ,F

=MQ(x)×κ(F)(x)×dx =MQ(x)×[M(F)/EJ](x)×dx A keresztmetszeti belső erők által egy véges tartószakaszon végzett alakváltozási munka értéke az igénybevételek elemi munkájának a vizsgált szakaszon meghatározott határozott integráljaként állítható elő. Amennyiben a rúd állandó keresztmetszetű és anyaga is homogén, izotrop, a merevségi adatok az integrálásból kiemelhetők, a bentmaradó mennyiség pedig az elmozdulást-alakváltozást okozó teherből (F) és a munkát végző dinámból (Q) származó igénybevételi ábrák szorzatintegrálja lesz a teljes tartóhosszon (a K kezdőponttól a V végpontig). Wa,NQ,F=K∫VdWa,NQ,F= K∫V(NQ (x)×NF(x)/EA)×dx Wa,NQ,F=1/EA× K∫V(NQ (x)×NF(x))×dx Wa,TQ,F=K∫VdWa,TQ,F= K∫Vρ(TQ (x)×TF(x)/GA)×dx Wa,TQ,F=ρ/GA× K∫V(TQ (x)×TF(x))×dx Wa,MQ,F=K∫VdWa,MQ,F= K∫V(MQ (x)×MF(x)/EJ)×dx Wa,MQ,F=1/EJ× K∫V(MQ (x)×MF(x))×dx A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 204 ►

Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 205 ► 6.55 Két függvény szorzatintegráljának meghatározása Két függvény szorzatintegráljának meghatározása a matematikában általában nem egyszerű feladat. Ha azonban az egyik függvényről tudjuk, hogy a vizsgált intervallum teljes hosszán lineáris, akkor a szorzatintegrál előállítása jelentősen egyszerűsíthető. x2 xS,f(x) x+dx K2 x x1 x f(x)×dx f(x) K1 z súlypont x g(x2) g(x)=g(x1)+[g(x2)-g(x1)]/[x2-x1]×[x-x1] g(xs,f(x)) g(x) g(x1) g(x)lineáris z ∫x2(f(x)×g(x))dx x1 g(x) linearitása folytán az x koordinátájú függvényérték felírható a végponti értékek lineáris függvényeként: x1 ∫x2(f(x)×{g(x1)+[g(x2)-g(x1)]/[x2-x1]×[x-x1]})dx a beszorzás után az integrálást tagonként végezhetjük, a konstansok kiemelésével: g(x1)×x1∫x2(f(x)dx+ x2 +[ g(x2)-g(x1)]/[x2-x1]× x1∫ (x×f(x))dx-[

g(x2)-g(x1)]/[x2-x1]×x1× x1∫x2f(x)dx A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 205 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 206 ► Az x1∫x2(f(x)dx kifejezés az f(x) függvény x1 és x2 értékek közötti határozott integrálja, azaz az x1 és x2 értékek között a függvény alatti terület: Af(x)x1-x2 Az x×f(x)dx kifejezés az elemi, f(x)dx területnek az origótól, vagy másként a z tengelytől mért távolságával képzett szorzat, azaz az f(x)dx elemi függvény alatti területnek a z tengelyre számított statikai nyomatéka. Az elemi statikai nyomatékok összege, azaz a fenti függvény x1 és x2 értékek közötti integrálja az f(x) függvény alatti terület x1 és x2 értékek közötti szakaszán az összegzett statikai nyomaték: ∫x2(x×f(x))dx=Sz,f(x)x1-x2 x1 Amint tudjuk, egy összetett idom statikai nyomatéka nemcsak az elemi síkidomok statikai

nyomatékainak összegeként, hanem a teljes síkidom területének és (a választott tengelytől mért) súlyponti távolságának szorzataként is előállítható: ∫x2(f(x)dx=A f(x)x1-x2 x1 ∫x2(x×f(x))dx=Sz,f(x)x1-x2=A f(x)x1-x2×xS,f(x) x1 A fenti kifejezéseket behelyettesítve az x1∫x2(f(x)×g(x))dx szorzatintegrál összefüggésébe ∫x2(f(x)×g(x))dx = g(x1)× A f(x)x1-x2+ +[ g(x2)-g(x1)]/[x2-x1]×xS,f(x)× A f(x)x1-x2- [ g(x2)-g(x1)]/[x2-x1]×x1× A f(x)x1-x2 x1 Az f(x) függvény alatti terület x1 és x2 ordináták közötti része minden tagban szerepel, így kiemelhető: ∫x2(f(x)×g(x))dx = =A f(x)x1-x2×{g(x1)+[g(x2)-g(x1)]/[x2-x1]×[xS,f(x)-x1]} x1 A kapcsos zárójelben lévő kifejezésben a g(x) függvénynek az f(x) függvény x1-x2 koordinátájú pontok közötti területének súlyvonalában érvényes értékét ismerhetjük fel: x2 x1-x2 x1 f(x) S,f(x) , így a szorzatintegrál értéke a nem (feltétlenül) lineáris függvény

területének és súlyvonalának ismeretében elemi eszközökkel meghatározható. ∫ (f(x)×g(x))dx =A A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ×g(x Vissza ) ◄ 206 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 207 ► 6.56 A Mechanika munkatételei A tartószerkezeteken működő külső és belső erők által végzett munkák alapvető összefüggéseit három munkatételben foglalhatjuk össze. Az első munkatétel a külső és belső idegen munkák, a második munkatétel a külső és belső saját munkák azonosságát mondja ki. A tételek igazságát az energiamegmaradás érvényessége biztosítja, mindaddig, amíg a terhelési folyamat során bekövetkező alakváltozásokból keletkező veszteségek elhanyagolható mértékűek maradnak. Wk (Q,F) = Wa (Q,F) Wk (F,F) = Wa (F,F) Megjegyezzük, hogy a tartószerkezetek terhelési folyamataiban mindig van valamilyen kis mértékű

veszteség: a mikrostruktúra átalakulása, a kristályszerkezet módosulása, mikrorepedések kialakulása, az anyag tömörödése-lazulása, stb. Dinamikus terhelés, a szerkezet sajátfrekvenciájához közeli periodikus gerjesztés például csak abban az esetben vezet a szerkezet tönkremeneteléhez, ha a gerjesztő energia nagyobb, mint amit a szerkezet elnyelni, disszipálni képes. Általában a megengedett terhelési értékeket betartva ezek a veszteségek a vizsgált elmozdulások hatásához viszonyítva elhanyagolható mértékűek, de vannak olyan anyag- és szerkezetvizsgálati eljárások, amelyek épp ezeknek a veszteségeknek a hatásait érzékelik, és ennek alapján minősítik a szerkezetet, ill. annak anyagát A harmadik munkatétel azt mondja ki, hogy ugyanazon a szerkezeten a munkát végző (egyetlen) dinám és az elmozdulást-alakváltozást okozó (egyetlen) dinám felcserélhető. A Q dinám által a F okozta elmozduláson végzett külső munka

megegyezik az F dinám által a Q okozta elmozduláson végzett külső munkával. (Betti tétel) Wk (Q,F) = Wa (F,Q) A harmadik munkatétel igazsága az igénybevételeknek az alakváltozási munkákban megjelenő (matematikai) szimmetriája alapján látható be. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 207 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 208 ► A harmadik munkatétel bizonyításához először lássuk be, hogy a Q dinám hatására kialakuló igénybevételeknek az F dinám által okozott alakváltozásokon végzett, a szerkezet teljes hosszán összegzett alakváltozási munkája megegyezik az F dinám hatására kialakuló igénybevételeknek a Q dinám által okozott alakváltozásokon végzett, a szerkezet teljes hosszán összegzett alakváltozási munkájával: Wa,NQ,F =K∫VNQ(x)[NF(x)/EA]dx =K∫V[NF(x)[NQ(x)/EA]dx =Wa,NF,Q Wa,TQ,F =K∫VρTQ(x)[TF(x)/GA]dx =K∫Vρ

TF(x)[TQ(x)/GA]dx =Wa,TF,Q Wa,MQ,F =K∫VMQ(x)[MF(x)/EJ]dx =K∫VMF(x)[MQ(x)/EJ]dx =Wa,MF,Q Az alakváltozási munkák szorzatintegráljában az igénybevételi függvények matematikailag szimmetrikusak, felcserélhetők, így az állítás bizonyított. Az első munkatétel viszont az ugyanazon hatásokból számított külső és alakváltozási munkák azonosságát igazolta, így a harmadik munkatétel teljes egészében bizonyítást nyert. Wk,NQ,F = Wa,NQ,F =Wa,NF,Q =Wk,NF,Q Wk,TQ,F = Wa,TQ,F =Wa,TF,Q =Wk,TF,Q Wk,MQ,F = Wa,MQ,F =Wa,MF,Q =Wk,MF,Q 6.57 A munkaegyenletek alkalmazása Bevezető példánk olyan „szerencsés” esetet mutatott, amikor a tartószerkezet vizsgált pontján épp volt egy, a keresett elmozdulás jellegének és irányának megfelelő dinám, és a szerkezeten az általunk vizsgálandó terhet megelőzően csak ez az egy dinám működött. q eVz (Q) eVz (q) V Q L A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 208 ► Mechanika II

A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 209 ► Nyilvánvaló, hogy ha a fenti eljárást tartószerkezeteink elmozdulásainak meghatározására alkalmazni akarjuk, nem hagyatkozhatunk a „szerencsére”: olyan megoldásra van szükségünk, amellyel bármelyik pont, bármilyen irányú és jellegű elmozdulását előállíthatjuk. Láttuk, hogy egy pont, egy keresztmetszet elmozdulásán csak az ugyanazon pontban működő, az elmozdulás jellegének (eltolódás vagy elfordulás) és irányának megfelelő dinám(vetület) tud munkát végezni. Ha tehát egy pont, egy keresztmetszet valamilyen elmozdulását keressük, abban a pontban, a keresett elmozdulás jellegének (eltolódás vagy elfordulás) és irányának megfelelő dinámra van szükségünk. A tényleges szerkezeten ilyen tulajdonságú terhelő dinám igen ritkán található, de annak semmi akadálya, hogy egy ilyen, nekünk megfelelő dinám létét,

működését feltételezzük a tartón. Az így feltételezett dinám ugyan nem valóságos, csak virtuális, de az általa ébresztett külső és belső kapcsolati erők, keresztmetszeti igénybevételek ugyanúgy meghatározhatók, mint a valós erőhatásokból. Ha pedig fel tudjuk írni a felvett virtuális dinám által a valós terhelésből származó elmozduláson végzett külső munkát is, és a virtuális dinámból származó igénybevételek által a valós terhelésből származó deformációkon végzett alakváltozási munkát is, akkor az ezek azonosságát leíró munkaegyenletben csak a valós teherből a virtuális dinám helyén működő koncentrált elmozdulás értéke lesz ismeretlen. Amint tudjuk, egy egyenlet csak egy ismeretlen meghatározását teszi lehetővé, tehát minden keresett elmozdulásösszetevőhöz külön-külön kell (a keresett elmozdulás helyén, az elmozdulás jellegének és irányának megfelelő koncentrált) virtuális dinámot

felvennünk. Egy koncentrált erő, vagy koncentrált nyomaték csak a támadáspontjában kialakuló egyetlen eltolódáson ill elforduláson tud munkát végezni Ha tehát két pont, két keresztmetszet közötti relatív elmozdulás értékére vagyunk kíváncsiak, akkor a relatív elmozdulás értelmezéséhez kell visszanyúlnunk: a relatív elmozdulás mindig két pont, két keresztmetszet abszolút elmozdulásának különbsége. Az egyik pontkeresztmetszet abszolút elmozdulásán az oda képzelt virtuális dinám, a másik pont-keresztmetszet abszolút elmozdulásán az oda képzelt virtuális dinám tud munkát végezni. Ha ezeket a virtuális dinámokat azonos nagyságúra, de ellenkező előjelűre választjuk, akkor a virtuális dinám-pár összegzett munkája a keresett relatív elmozdulással lesz arányos. Ha a felvett virtuális dinám nagyságát egységnyire választjuk, akkor az alakváltozási munka számértéke meg fog egyezni a keresett elmozdulás A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 209 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 210 ► számértékével. Az alakváltozási munka mértékegysége természetesen munka- (vagy nagyított munka-)mértékegység lesz! A munkaegyenletek alkalmazásával tartószerkezetünk bármely pontjában bármilyen elmozdulásösszetevő előállítható, de egy egyenlet csak egy elmozdulásösszetevő meghatározását teszi lehetővé. A módszer a külső és a belső erők munkájának azonosságán alapszik. A külső munkát a tényleges terhekből származó, keresett elmozdulás és az ugyanazon pontba felvett (jellegben és irányban) megfelelő virtuális dinám szorzataként állítjuk elő, az alakváltozási munkát pedig a virtuális dinám igénybevételei által a tényleges terhekből származó alakváltozásokon végzett munka-összegként kapjuk. Az alakváltozási munka

meghatározása során felhasználjuk az igénybevételek és a deformációk arányosságát, így végül a nagyított alakváltozási munka a virtuális dinámból és a tényleges terhekből származó igénybevételi függvényeknek a teljes tartóhosszon vett szorzatintegráljaként adódik. Az alakváltozási munkák valódi értéket a nagyított értékekből a megfelelő keresztmetszeti és anyagjellemzők figyelembevételével kaphatjuk • • • • A munkaegyenletek gyakorlati alkalmazása során a keresett helyen a keresett elmozdulásnak megfelelő (célszerűen egységnyi nagyságú) VIRTUÁLIS DINÁMot (vagy relatív elmozdulás esetén dinám-párt) iktatunk be elkészítjük az igénybevételi ábrákat mind az eredeti teherből, mind a virtuális dinámból a megfelelő igénybevételi ábra-párokból meghatározzuk az igénybevételi függvényeknek a tartó teljes hosszán vett szorzatintegráljaként az alakváltozási (idegen) munkák értékét a külső

és az alakváltozási (idegen) munkák egyenlőségéből kiszámítjuk az elmozdulást. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 210 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 211 ► A fentiekben az elmozdulásszámításra csak az idegen munkák azonosságát alkalmaztuk. Természetesen a saját külső és alakváltozási munkák azonossága is alkalmas elmozdulások meghatározására, de csak erősen korlátozott körülmények között Elmozdulásszámítást a saját munkák alapján csak akkor végezhetünk, ha: • • • a tartót egyetlen dinám (koncentrált erő vagy koncentrált nyomaték) terheli az elmozdulást a terhelő dinám támadási keresztmetszetében keressük a keresett elmozdulás jellegében (eltolódás vagy elfordulás) és irányában megegyezik a tartón működő egyetlen koncentrált teher jellegével (erő vagy nyomaték) és irányával. A saját munka

alkalmazása során emellett még ügyelnünk kell arra, hogy a munka értéke az erő-elmozdulás, ill. nyomaték-elfordulás szorzat fele lesz. (Igaz, ez a 0,5-ös szorzó mind a külső, mind a saját munkákra igaz, így elfelejtése a keresett elmozdulás értékét nem befolyásolja, viszont a saját munka alkalmazása esetén a munkát végző dinám nagysága nem egységnyi, így ennek figyelmen kívül hagyása gyakori hibaforrás.) Ugyanakkor a saját munka alkalmazási feltételeit kielégítő számítási esetekben is megvan a lehetőségünk a megfelelő virtuális dinám felvételére és így az idegen munkák alkalmazására. Mindezek alapján azt javasoljuk, hogy tartószerkezeteink elmozdulási értékeit mindig az idegen munkák felhasználásával állapítsuk meg. A rúdlánc-modellek vizsgálata során megállapítottuk, hogy a szokásos arányú rúdszerkezetek alakváltozásaiban a nyomatéki hatás a domináns, a normálerő hatása (ha egyáltalán van

normálerő) másodlagos, és a nyíróigénybevétel hatása általában (a nyomatéki hatás mellett) elhanyagolható. Ez a megállapítás általános, nemcsak a rúdlánc-modellekre érvényes, tehát a munkaegyenletek körében is használható Ennek megfelelően a gyakorlati számításokban a nyíróigénybevételek munkáját figyelmen kívül hagyjuk, a normálerők munkáját pedig keretekben (elsősorban az acélszerkezetű keretekben) vesszük számításba (első közelítésben sok esetben még a normálerő hatását is elhanyagoljuk). Természetesen nem hagyható figyelmen kívül a normálerő azokban a szerkezetekben-szerkezeti elemekben, amelyekben semmilyen más belső erő nem ébred (rácsostartók, támasztórudak, stb.) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 211 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 212 ► Az elmozdulások meghatározása során a tartón egyszerre

mindig csak egy keresztmetszet egyetlen elmozdulásösszetevőjét keressük, tehát a tartón egyidejűleg mindig csak egyetlen virtuális dinám van. Az alkalmazott virtuális dinámok (egy koncentrált erő [erő-pár], egy koncentrált nyomaték [nyomaték-pár]) hatására keletkező igénybevételi ábrák mindig (legalább szakaszosan) lineárisak, így az igénybevételi függvények szorzatintegráljaként számítandó alakváltozási munkák értékének meghatározásában felhasználhatjuk az általános-lineáris függvénypár szorzatintegráljára levezetett egyszerűsítést. Ha az igénybevételi függvények (legalább) egyike a vizsgált szakasz teljes hosszán lineáris, akkor a két függvény szorzatintegrálját a nem lineáris ábra területének és a nem lineáris ábra súlyvonalában a lineáris ábrából kiolvasott ordinátának a szorzataként számíthatjuk. Ha a függvények linearitása csak szakaszonként érvényes, akkor a számítást is

szakaszonként kell végezni. A számításban a két függvény matematikailag szimmetrikus, ha tehát egy szakaszon (a szakasz teljes hosszán!) mindkét függvény lineáris, a számítást tetszőleges párosításban elvégezhetjük. Ha egy szakaszon az egyik függvény azonosan zérus, akkor azon a szakaszon a szorzatintegrál a másik függvény alakulásától függetlenül zérus értéket ad. Az alakváltozási munka számításánál felhívtuk a figyelmet arra, hogy bármelyik keresztmetszet bármilyen elmozdulásösszetevőjét keressük is, az alakváltozási munkát mindig a teljes szerkezeten kell meghatároznunk. Ennek alapján (talán) nem meglepő, hogy a külső munka meghatározásánál is ugyanígy kell eljárnunk, azaz a felvett virtuális dinám munkája mellett az őt egyensúlyozó támaszerők munkáját is figyelembe kell vennünk a külső munkaösszegben. A fix megtámasztású tartók támaszkényszerei azonban olyan kialakításúak, hogy a

megtámasztási irányokban nem jöhet létre elmozdulás, azaz a támaszerők munkája mindig zérus, így a gyakorlati számításokban a támaszerők munkájával nem kell számolnunk. Megjegyezzük azonban, hogy a rugalmas megtámasztású szerkezetek esetében (ezekkel e tárgy keretében nem foglalkozunk) a támaszerők irányában is keletkeznek elmozdulások, és emiatt virtuális dinámból származó külső munkaösszegből a támaszerők munkája sem hagyható ki. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 212 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 213 ► 6.58 Kéttámaszú tartó elmozdulásai munkaegyenletekkel Az elmozdulásszámításban csak a nyomatékok hatását vesszük figyelembe. A külső teherből származó nyomatéki ábrát a terület- és súlypontszámítás egyszerűsítése érdekében a támaszpontok közötti szakaszokon könnyen összegezhető elemekre

bontjuk, gyakorlatilag a terhet a konzol- és támaszköz-szakaszokon külön-külön működtetjük. A munkaegyenletek alkalmazása során minden elmozduláshoz külön virtuális dinámot kell felvennünk és ezekhez külön nyomatéki ábra is tartozik. A következő oldalon látható konzolos kéttámaszú tartó nagyított, EJszeres elmozduláskomponenseinek meghatározásához felírandó munkaegyenletek a következők: Q1×(φA(q))= -(qk2/2×L/2)×(1×2/3)+(qL2/8×L×2/3)×(1×1/2) Q2×(φB(q))= +(qk2/2×L/2)×(1×1/3)-(qL2/8×L×2/3)×(1×1/2) Q3×(eVz(q))= +(qk2/2×k/3)×(1×k×3/4)+(qk2/2×L/2)×(1×k×2/3)-(qL2/8×L×2/3)×(1×k×1/2) Q4×(φV(q))= -(qk2/2×k/3)×(1)-(qk2/2×L/2)×(1×2/3)+ +(qL2/8×L×2/3)×(1×1/2) Q5×(φK(q))= +(qk2/2×L/2/2)×(0,5×1/3)+ az egyik függvény szimmetri+(qk2/4×L/2/2)×(0,5×2/3)2 kus, a másik ferdén szimmet-(qk /4×L/2/2)×(0,5×2/3)2 -(qL /8×L/2×2/3)×(0,5×5/8)+ rikus, a szorzatintegrál zérus +(qL2/8×L/2×2/3)×(0,5×5/8)

Q5×(φK(q))= +(0,5×L/2/2)×(qk2/2×2/3)-(0,5×L/2/2)×(qk2/2×1/3)-(qL2/8×L/2×2/3)×(0,5×5/8)+ +(qL2/8×L/2×2/3)×(0,5×5/8) ha előnyösebb a területet az MQ függvényből venni, ezt az Mq és MQ függvények matematikai szimmetriája alapján megtehetjük Q6×(eKz(q))= -(qk2/2×L/2/2)×(1×L/4×1/3)-(qk2/4×L/2/2)×(1×L/4×2/3)-(qk2/4×L/2/2)×(1×L/4×2/3)+ +(qL2/8×L/2×2/3)×(1×L/4×5/8)+ +(qL2/8×L/2×2/3)×(1×L/4×5/8) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 213 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék q V k Mq M Vissza K A ◄ 214 ► B L qk2/2 q’ Mq” Q1=1 kNm φA MQ1 φB eVz MQ2 1 kNm qL2/8 Q2=1 kNm 1 kNm Q3=1 kN 1×k kNm MQ3 φV MQ4 Q4=1 kNm 1 kNm Q5=1 kNm φK MQ5 0,5 kNm 0,5 kNm eKz MQ6 1×L/4 kNm Q6=1 kN A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 214 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek

alakváltozása Vissza ◄ 215 ► 6.59 GERBER-tartó elmozdulásai munkaegyenletekkel A munkaegyenletekkel történő alakváltozásszámítás (a rúdláncmodellel ellentétben) nem a vizsgált elem-tartórész elmozdulási képességéből, ill. az igénybevételeknek e keresztmetszetet elmozdító hatásából indul ki, hanem a tartó egészére vonatkozóan hasonlítja össze a külső és a belső erők összegzett energiaváltozását. Ennek folytán mindig a tartószerkezet egészén kell az alakváltozást okozó igénybevételi függvény-pár szorzatintegrálját előállítanunk, tehát nem kell a tartóelemeket külön-külön vizsgálnunk (még az összetett tartók esetében sem). (Természetesen a helyes igénybevételi ábrák előállítása során célszerű lehet az elemenkénti vizsgálat, de maga a munkaegyenlet felírása történhet egyben, a szerkezet egészére.) Az egyenes tengelyű GERBER-tartón normálerő nem ébred, a nyíróerők elhanyagolható

mértékű hatását figyelmen kívül hagyjuk, így csak a nyomatéki igénybevételekkel kell foglalkoznunk. A külső terhekből származó nyomatéki ábrát olyan részekre kell bontanunk, amelyeknek területét és súlypontját ismerjük vagy egyszerűen meghatározhatjuk. Ismételten felhívjuk a figyelmet arra, hogy a parabola alatti terület nagyságát és súlyvonalát csak akkor tudjuk egyszerűen számítani, ha a befoglaló téglalap egyik (függőleges) oldala a parabola tengelye, vagy másként fogalmazva: a befoglaló téglalap egyik (vízszintes) oldala a parabola érintője. Ha a vizsgálandó parabola-szakaszra a fenti feltétel nem teljesül, akkor a függvény alatti terület egy (a parabola kezdőpontjában érvényes érintővel megegyező oldalú) derékszögű háromszög és egy (most már tengellyel párhuzamos érintővel induló) parabola összegeként kezelendő. Ez a megoldás mérnöki oldalról közelítve azt jelenti, hogy a tartószerkezet terheit a

támaszköz-jellegű és a konzol-jellegű szakaszokon célszerű külön-külön működtetni. A nyomatéki ábrákat azonban csak azokon a szakaszokon érdemes szétbontani, ahol e nélkül az ábraterületek és súlyvonalak csak komplikáltan volnának meghatározhatók. Azokon a szakaszokon, amelyeken a külön-külön működtetett terhekből azonos jellegű nyomatéki függvény származik, az összegzett, a teljes teherből számított nyomatéki ábrával dolgozhatunk. Ha egy szakaszon az egyik nyomatéki ábrát részekre osztva kezeljük, a nyomatéki ábra-részek súlyvonalában a másik ábrából vett metszéket mindig a másik függvény ottani teljes értékeként kell figyelembe vennünk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 215 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék A M 0’’ C L2 D ► k2 MB0’ =qk12/2 MB0’’ =qL2/2×k1 MK0 =qL22/8 Q1=1 kNm φA MQ1 MAQ1 = 1 kNm

Q2=1 kNm φB M k1 216 MB0 0 M0’ M q B L1 ◄ Vissza MBQ2= 1 kNm Q2 F3=1 kN eCz MBQ3 = 1×k1 kNm MQ1 Q4=1 kNm ϑC MBQ4 = 1/L2×(L2+k1) MQ1 Q5=1 kNm φD M Q1 MCQ4 = 1 kNm MBQ5 = 1/L2×k1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék MDQ5 = 1 kNm Vissza ◄ 216 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 217 ► A nagyított, EJ-szeres elmozdulások meghatározásához szükséges munkaegyenletek a következők: Q1×(φA(0))=-(MB0×L1/2)×(1×1/3) Q2×(φB(0))=+(MB0×L1/2)×(1×2/3) Q3×(eCz(0))= +(MB0×L1/2)×(1×k1×2/3)+ +(MB0’×k1/3)×(1×k1×3/4)+(MB0’’×k1/2)×(1×k1×2/3) Q4×(ϑC(0))= +(MB0×L1/2)×(MBQ4×2/3)+ +(MB0’×k1/3)×(1+(MBQ4-1)×3/4)+ +(MB0’’×k1/2)×(1+(MBQ4-1)×2/3)-(MK0×L2×2/3)×(1×1/2) Q5×(φD(0))= -(MB0×L1/2)×(MBQ5×2/3)-(MB0’×k1/3)×(MBQ5×3/4)-(MB0’’×k1/2)×(MBQ5×2/3)-(MK0×L2×2/3)×(1×1/2) 6.510 Kéttámaszú keret elmozdulásai

munkaegyenletekkel Keretek esetében az elmozdulásokat első közelítésben számíthatjuk a normálerők figyelmen kívül hagyásával, de a végleges értékekben a normálerők hatását is számításba kell vennünk. A nyomatéki igénybevételekhez hasonlóan a normálerők alakváltozási munkája is a külső teherből és a felvett virtuális dinámból származó normáligénybevételi függvény szorzatintegráljaként kapható, ráadásul a normálerőábrák általában lényegesen egyszerűbb vonalvezetésűek, mint a nyomatéki ábrák. A különböző igénybevételekkel szemben azonban a keresztmetszetek más ellenállóképességgel rendelkeznek, a normálerő, a nyíróerő és a nyomaték hatására keletkező fajlagos relatív elmozdulások más-más keresztmetszeti merevséggel számítandók. Az eddigi feladatokban csak a nyomatéki hatást vettük figyelembe és a keresztmetszet hajlítómerevségét a tartó egész hosszán állandónak tekintettük. Ha a

normálerő hatásával is foglalkozunk, akkor az eltérő keresztmetszeti merevségek miatt az elmozdulások valódi értékét kell előállítanunk és az alakváltozási munkákban a valódi elmozdulásösszetevőket kell szerepeltetnünk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 217 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza A nyomatéki hatás ◄ 218 ► q×H2/2 2×q×H2/2 q A L H M0 B 1 kNm Q1=1 kNm MQ1 1 kNm Q2=1 kNm MQ2 1×H kNm Q3=1 kN A dokumentum használata | Tartalomjegyzék MQ3 Vissza ◄ 218 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 219 ► A normálerő-hatás A L Q1=1 kNm H N0 B NQ1 1/L kN Q2=1 kNm +q×H2/2L q -q×H2/2L -q×H -1/L kN NQ2 1/L kN -1/L kN 1 kN Q3=1 kN A dokumentum használata | Tartalomjegyzék NQ3 Vissza ◄ 219 ► Mechanika II Tartószerkezetek

alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 220 ► A keresett elmozdulások meghatározásához szükséges munkaegyenletek: Q1×φB(0)= +[(q×H2/2×L/2)×(1×1/3)+ +(q×H2/2×L)×(1×1/2)+ +(q×H2/2×H/3)×(1)]/(E×J)-[(q×H2/2L×H)×(1/L)+ +(q×H2/2L×H)×(1/L)]/(E×A) Q2×φA(0)= -[(q×H2/2×L/2)×(1×2/3)+ +(q×H2/2×L)×(1×1/2)+ +(2×q×H2/2×H/2)×(1)]/(E×J)-[(q×H2/2L×H)×(1/L)+ +(q×H2/2L×H)×(1/L)]/(E×A) Q3×eBX(0)= -[(q×H2/2×L/2)×(1×H)+ +(q×H2/2×L)×(1×H)+(2×q×H2/2×H/2)×(1×H×2/3)+ +(q×H2/2×H/3)×(1×H×3/4)]/(E×J)-[(q×H×L)×(1)]/(E×A) Az elmozdulásokat valódi értékkel számolva a különböző igénybevételek hatása is összegezhető. Ennek megfelelően az elmozdulások számítása akkor sem okozhat gondot, ha a rúdelemek merevségei szakaszonként különbözőek Ilyen esetekben a merevségváltási keresztmetszetet is határkeresztmetszetnek kell tekintenünk és az alakváltozási munkákat

szakaszonként kell meghatároznunk, mindegyik szakaszon a megfelelő keresztmetszeti merevség figyelembevételével. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 220 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 221 ► 6.511 Rácsostartó elmozdulásai munkaegyenletekkel Az ideális, csuklós csomópontú rácsostartókban a rúdelemekben csak rúdirányú erők, csak normáligénybevételek ébrednek. A rácsostartó alakváltozási munkája tehát az egyik erőrendszerből (pl. a felvett virtuális dinámból) keletkező rúderők által a másik erőrendszerből (pl a külső terhekből) ébredő (tengelyirányú) alakváltozásokon végzett munkák összege lesz. A számításhoz tehát szükségünk lesz az eredeti terhekből adódó rúderőkre, valamint a keresett (csomóponti) eltolódás helyén beiktatott (egységnyi) virtuális erőből keletkező rúderőkre. A rúderők és a tartó

geometriai-merevségi adatainak ismeretében a keresett eltolódást szolgáltató munkaegyenlet felírható Q × eP( 0 ) = NQ × N0 N Q ( x) × N 0 ( x) dx = dx ∑ ∫ ∫ EA EA( x) összesrúd egyedirúdhossz összesrúdhossz Tekintettel arra, hogy a rácsostartóban a normálerők az egyes rudak teljes hosszán állandó értékűek, az integrálásból kiemelhetők. A rudak hossza mentén a keresztmetszeti- és anyagjellemzők sem változnak, ezért ezek is kiemelhetők. Az integrálás így a rúd hosszát fogja szolgáltatni és az alakváltozási munka a rúdelemek alakváltozási munkáinak öszszegeként, egyszerű szummázással írható fel Q×e SiQ × Si0 =∑ ×si ( ) EA i =1 i n (0) P ahol a rúderőket (a szokásos S jelöléssel) a virtuális erő rúderőiből és az eredeti terhelés rúderőiből, a keresztmetszeti merevségeket és a rúdhoszszakat pedig a rácsostartó eredeti geometriai és merevségi adataiból kell vennünk. Az energiaváltozást mind a

külső, mind az alakváltozási munkában mindig a teljes szerkezetre kell meghatároznunk, és egy munkaegyenlet, egy összegzett alakváltozási munka-összeg egy csomóponti eltolódás meghatározását teszi lehetővé. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 221 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 222 ► Az általános matematikai levezetéssel azonos eredményre jutunk akkor is, ha az egyes rudak alakváltozási munkáit elemi eszközökkel állítjuk elő, felhasználva, hogy a rúderők és a keresztmetszeti merevség a rúd hossza mentén állandó értékűek. A Q VIRTUÁLIS ERŐ ÖSSZEGZETT ALAKVÁLTOZÁSI MUNKÁJA A RÁCSOSTARTÓN az i-ik rúd tengelyirányú alakváltozása az Si0 × si (0) Δsi = eredeti (0 indexszel jelölt) teherből: EAi Q az i-ik rúd rúdereje a Q virtuális erőből: Si az alakváltozási munka az i-ik rúdon : Wa(,Qi , 0) = SiQ × A teljes

alakváltozási munka a rácsostartón: n Wa( Q , 0) = ∑ SiQ × i =1 1 S0-10 S1-40 S1-20 S0-20 2 F1 a 0 4P a 1 S S2-40 Q 0-1 S0-2Q 3 S1-3Q S1-4Q S1-2Q 2 S3-50 S4-50 S4-60 F2 5 S5-60 6 S2-4Q S3-5Q S4-5Q S4-6Q 4 Q= 1 kN Si0 × si EAi m1 S5-70 a S3-4Q 0 3 S1-30 S3-40 F1> F2 Si0 × si EAi m 7 m2 S6-70 a 5 S5-7Q S5-6Q 6 7 S6-7Q Ha egy rúd rúdereje a két rúderőrendszerben azonos előjelű, akkor a rúdon az alakváltozási munka pozitív, ha ellenkező, akkor negatív. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 222 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék ◄ Vissza 223 ► A rúderő a Q3 virtuális erőből S1i-j S2i-j S3i-j Az összegzett nagyított alakváltozási munkák Az alakváltozási munka a Q3 virtuális erőből A rúderő a Q2 virtuális erőből S0i-j Az alakváltozási munka a Q2 virtuális erőből A rúderő a Q1 virtuális erőből

Ai-j Az alakváltozási munka a Q1 virtuális erőből A rúderő az eredeti teherből is j i-j A rúd keresztmetszete A rúd hossza A rúd jele Az alakváltozási munka-összeg számítását (főleg nagyobb rácsostartók esetében) célszerű táblázatos formában végezni (erre jól alkalmazhatók a táblázatkezelő programok). Így egy táblázatban akár több csomópont elmozdulás-értéke is hatékonyan határozható meg. Az anyagjellemző a tartón gyakorlatilag mindig állandó, így azt ki is lehet emelni az összegzésből, és elegendő csak a számítás végeredményében figyelembe venni. S1i-j× S0i-j ×si-j S2i-j× S0i-j ×si-j Ai-j Ai-j Σ (W a,1) S3i-j× S0i-j ×si-j Ai-j Σ (W a,2) Σ (W a,3) Az eltolódások meghatározására alkalmaa munkaegyenletek a fenti öszszegzett nagyított alakváltozási munkák felhasználásával a következőképpen alakulnak: Q1 × e1( 0) = Σ(Wa ,1 ) E Q2 × e2( 0) = Σ(Wa , 2 ) E Q3 × e3( 0) = Σ(Wa ,3 ) E A

szerkezet és a teher szimmetriája esetén elegendő az egyik szerkezetfélen meghatározni az alakváltozási munkákat, és az eltolódásszámításban alkalmazni a kettes szorzót. Ilyen esetekben a szimmetriatengelyben fekvő rudak esetében a fél keresztmetszeti területtel, a szimmetriatengelyt metsző rudak esetében a fél rúdhosszal számolva kapjuk a helyes alakváltozási munkát. Természetesen úgy is dolgozhatunk, hogy ezeket a speciális helyzetű rudakat kivesszük a „fél” szerkezetből, külön kezeljük és így alakváltozási munkájuk az eredeti adatokkal számítható. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 223 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 224 ► A rácsostartókon sok esetben geometriai szabályszerűség miatt egyes rudakban nem ébredhet rúderő. A zérus értékű rúderő miatt a rúdon alakváltozási munka sem keletkezhet, akár a külső

teherből, akár a virtuális erőből származó zérus rúderőről van szó. Ha tehát a rúderőszámítás megkezdése előtt egy rúdról megállapítható, hogy a vizsgált teherre vakrúdként viselkedik, akkor a másik teherre már nem is érdemes meghatározni a rúderő nagyságát, hiszen az alakváltozási munka bizonyosan zérus lesz. Ennek hatékony kihasználása érdekében célszerű a részletes rúderőszámítás megkezdése előtt a hálózati rajzokba bejelölni a vakrudakat, és azokat a rudakat, amelyek akár a külső teher, akár a virtuális erő hatására vakrúdként viselkednek, mindkét hálózati rajzban mint „nem számítandó”-t megjelölni. 3 0 0 S1-3Q S2-40 S3-5Q 2 4 S4-60 S5-7Q 4’ 6 7 5 5’ 0’ 2’ 1’ 3’ S4-5Q S1-2Q 1’ 3’ S3-40 3 S2-3Q S0-1Q 1 2 5’ S4-50 S1-20 F 7 5 S2-30 S0-10 1 F S3-50 S5-70 S1-30 S3-4Q S2-4Q 4 S4-6Q 6 4’ Q= 1 kN 0’ 2’ A szimmetrikus szerkezeteken szokás a

szimmetrikus helyzetű csomópontokat azonos, csak egy felső vesszővel megkülönböztetett azonosítóval jelölni. A fenti ábrákon a szimmetria miatt csak az egyik tartófélen jelöltük a rúderőket. Az S5-6 és az S5’-6 rudak a 0 jelű rendszerben vakrudak, így ezeket a rúderőket a Q rendszerben sem szükséges kiszámítani. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 224 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 225 ► 6.512 A munkaegyenletek alkalmazásának értékelése A tartószerkezetek elmozdulásainak, deformációs vonalának előállítására a munkaegyenletek minden esetben alkalmasak. A módszer előnye, hogy • egyszerű és gyakorlatilag bármilyen elmozdulásösszetevő meghatározása azonos módszerrel, azonos lépésekkel történhet • a számított elmozdulásösszetevők egymástól teljesen függetlenül határozhatók meg: bármelyik elmozduláskomponens

értékét keressük, más elmozdulásösszetevőre nincs szükségünk (más szóval: a számításokban nincs hibahalmozódás) • rácsostartók esetében is egyszerűen alkalmazható. Az eljárás (elvileg) statikailag határozatlan szerkezeteken is használható, de ott az igénybevételeket mind a külső teherből, mind a virtuális dinámból határozatlan szerkezeten kell számítani, ami aránytalanul sok munka, így a határozatlan tartók elmozdulásainak számítására általában más módszert célszerű alkalmazni. A módszer hátránya, hogy • nem szemléletes, a kapott eredmények (éppen függetlenségük okán) nehezebben értékelhetők • minden elmozdulásösszetevőhöz új virtuális dinám, új igénybevételi ábrák szükségesek • az igénybevételi ábrák szorzatintegrálását mindig a teljes tartóhoszszon kell elvégezni (ez azért nem olyan veszélyes, hiszen az egyszerűbb terhelési esetekben az igénybevételi függvények sok szakaszon

azonosan zérus értékűek). A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 225 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 226 ► 6.6 Egyéb alakváltozásszámítási eljárások A tartószerkezetek alakváltozásainak-elmozdulásainak meghatározására az ismertetett két eljáráson kívül más módszereket is ismer (és esetenként használ is) a mérnöki gyakorlat. Ezek részletes tárgyalására itt nem vállalkozhatunk, de lényegi vonásaikat felvázoljuk. 6.61 Alakváltozásszámítás matematikai függvénykapcsolatok felhasználásával Már a Statikában, a keresztmetszeti igénybevételek bevezetése során megállapítottuk, hogy a (tartótengelyre merőleges) teherfüggvény, a nyíróerőfüggvény és a nyomatéki függvény szigorú matematikai kapcsolatban áll: a nyíróerő-ordináták a nyomatéki függvény meredekségét, a teherfüggvény keresztmetszeti értékei pedig a

nyíróerőfüggvény meredekségét szolgáltatják. Matematikailag megfogalmazva: a nyomatéki függvény első deriváltja a (negatív) nyíróerőfüggvény, a nyíróerőfüggvény első deriváltja (és egyúttal a nyomatéki függvény második deriváltjának ellentettje) pedig a teherfüggvény lesz. Az alakváltozásfüggvény oldaláról közelítve viszont azt állapíthatjuk meg, hogy két keresztmetszet tengelyre merőleges eltolódásainak különbségét a pontok tengelyen mért távolságával osztva a (tengelyre merőleges) eltolódásfüggvény e két pontjához húzott húrjának meredekségét kapjuk, ami a keresztmetszetek minden határon túli közelítésével az eltolódásfüggvény érintőmeredekségébe megy át. Az eltolódásfüggvénynek egy keresztmetszetben értelmezett meredeksége valójában annak a tartókeresztmetszetnek az abszolút elfordulását szolgáltatja. Matematikai megfogalmazásban tehát az eltolódásfüggvény első deriváltja a

tartókeresztmetszetek elfordulási függvényét adja. Matematikai tanulmányainkból tudjuk, hogy egy függvény második deriváltja (jó közelítéssel) a függvény görbületét szolgáltatja, ami viszont (a tiszta egyenes hajlítás levezetése alapján) a nyomatéki függvény ugyanazon pontbéli értékével arányos (az arányossági tényező a rúd hajlítómerevsége, az E×J). Ezek szerint a differenciális függvénykapcsolat nemcsak a teherfüggvény és az igénybevételi függvények között áll fenn, hanem kiterjeszthető a deformációs függvényekre is. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 226 ► Mechanika II Tartószerkezetek alakváltozása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 227 ► dez ( x) = −ϕ ( x) dx M ( x) dϕ ( x) = −κ ( x) = − y dx EJ y dM y ( x) = −Tz ( x) dx dTz ( x) = − p z ( x) dx A differenciális függvénykapcsolatok összefoglalásaként egy negyedrendű homogén lineáris

differenciálegyenletet kapunk, amit a szakirodalomban a hajlított-nyírt gerenda differenciálegyenleteként tartanak számon: ez ( x ) − p z ( x ) = 0 E differenciálegyenlet általános megoldásaként( olyan tengelyre merőleges) eltolódásfüggvény-sereget kapunk, amelynek mindegyike kielégíti a differenciálegyenletben megfogalmazott matematikai feltételeket. Vegyük észre, hogy a differenciálegyenlet felírása-megoldása során nem volt szükségünk a szerkezet megtámasztási adataira, a(z általános) megoldás a szabad végű, a csuklós, a mereven befogott esetekre egyaránt működik. Nyilvánvaló azonban, hogy a tényleges szerkezet valós megtámasztási viszonyai befolyásolják az igénybevételi és elmozdulási függvényeket. Ennek megfelelően a differenciálegyenlet általános megoldását jelentő függvényseregből a konkrét esetre érvényes partikuláris megoldást a peremfeltételek (tartószerkezeti szempontból a megtámasztási viszonyok)

figyelembevételével határozhatjuk meg. A teherfüggvény ismeretében a differenciális összefüggések alapján a szerkezet T(x), M(x) igénybevételi függvényei és φ(x), ez(x) deformációs függvényei a megtámasztási viszonyok figyelembe vételével egyértelműen meghatározhatók. A fentiekben bemutatott analitikai megoldás igen elegáns, és külön érdekessége, hogy a statikai határozottságtól függetlenül alkalmazható. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 227 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 228 ► Korábbi vizsgálatainkban már láttuk, hogy minden módszernek van alkalmazási korlátja, amit ismernünk kell a leghatékonyabb eljárás kiválasztásához. Az analitikai-matematikai megoldás sajnálatos módon csak akkor hatékony, ha a teherfüggvény a szerkezet (pontosabban: az egyetlen nyílás!) teljes hosszán legalább négyszer integrálható. Ez

a feltétel eleve kizárja a koncentrált erők figyelembevételét, és bonyolultabb teherfüggvény esetén komoly számítási nehézségeket okoz. Ugyancsak jelentős probléma, hogy a konzolos szakaszok, vagy a csatlakozó nyílások csak megfelelő csatlakozási feltételi egyenletrendszer felírásával (és megoldásával) kezelhetők, ami a módszer egyszerűségét-gyorsaságát erősen megkérdőjelezi. Mindezek alapján kézi számításokban az analitikai eljárást nem szokás alkalmazni. Ismertetését két fontos szempont indokolja: • a matematikai függvénykapcsolatok létének ismerete sok esetben segít a szerkezet viselkedésének szemléleti, minőségi tisztázásában, • a ma használatos számítógépes szerkezetszámító programok túlnyomó többsége a szerkezet véges méretű elemein belül a függvénykapcsolatokban az analitikai eljárást alkalmazza. 6.62 Alakváltozásszámítás MOHR analógia alapján Tartószerkezetek

alakváltozásszámításában a gyakorlatban (inkább csak az oktatási gyakorlatban) találkozhatnak még az ún. MOHR-analógia alkalmazásával is. Ennek a gondolatmenetnek a matematikai alapja azonos az analitikai módszernél felismert függvényösszefüggésekkel, csak a megoldás matematikai helyett inkább mérnöki. A teher-, az igénybevételi és az alakváltozási függvények vizsgálata alapján megállapítható, hogy a teherfüggvény és a nyomatéki függvény között ugyanolyan matematikai függvénykapcsolat áll fenn, mint a nyomatéki függvény és az eltolódásfüggvény között. Ha tehát ismerünk olyan eljárásokat, amelyekkel a teherfüggvényből a tartón a nyomatéki függvényt elő tudjuk állítani, akkor a nyomatéki függvényt teherként (szakmai szóhasználattal: rugalmas, elasztikus teherként) a tartóra téve a tengelyre merőleges eltolódások ugyanezen eljárásokkal meghatározhatók. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék

Vissza ◄ 228 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Tartószerkezetek alakváltozása Vissza ◄ 229 ► A MOHR-analógia alkalmazása a szerkezet nyomatéki ábrája alpján, mint terhelési ábra alapján megrajzolt „nyomatéki” ábraként állítja elő a lehajlásfüggvényt, és a nyomatéki ábrából, mint terhelési ábrából számított „támaszerő”-ként kapja a valós szerkezet támaszelfordulásait. Kéttámaszú, konzol nélküli szerkezeteken a módszer ugyanolyan elegáns, gyors, mint az analitikai módszer, ráadásul bármilyen teherrendszerrel használható, és csak a már jól ismert „statikai” eljárások alkalmazását igényli. Hogy manapság használata mégis erősen korlátozott, annak az a magyarázata, hogy: • ha az egyenestengelyű szerkezet konzolos, vagy GERBER tartó, akkor a MOHR-analógia alkalmazásához „helyettesítő tartó”-t kell felvenni, mert a támasz- és csatlakozási pontokban a

nyomatéki és az eltolódási függvények viselkedése ilyen esetekben nem azonos • ha a szerkezet tört tengelyvonalú, akkor az eljárás egyáltalán nem alkalmazható. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 229 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Stabilitásvizsgálat Vissza ◄ 230 ► 7. Stabilitásvizsgálat 7.1 A stabilitás fogalma Szerkezeteink ellenőrzése során sokféle szempontot kell szem előtt tartanunk, és mindegyik vizsgálati szempont szerint igazolnunk kell a megfelelő viselkedést. Eddigi tanulmányainkban már tettünk említést különböző vizsgálandó szempontokról, amelyek egy része kimondottan a tartószerkezeti viselkedést minősíti (állékonysági-egyensúlyi, alakváltozási, szilárdsági, tartóssági, stabilitási, stb. megfelelőség), míg más szempontok a szerkezettel szemben támasztott egyéb igények teljesülését vizsgálja (hőátbocsátási-hőtárolási, hanggátlási,

szerelhetőségi, fenntarthatósági, időjárásállósági, stb. megfelelőség) Bár e tárgy keretében csak a tartószerkezeti megfelelőséggel, és annak is csak bizonyos kritériumaival foglalkozunk, a helyes mérnöki szemlélet kialakítása érdekében meg kell fogalmaznunk, hogy az elérni kívánt funkció műszakigazdasági optimumának megkeresésében a most nem tárgyalt szempontok (gyárthatóság-szerelhetőség, fenntartási igények-lehetőségek, időjárásállóság, stb.) legalább olyan fontosak lehetnek, mint az általunk részletesen vizsgált teherbírási-alakváltozási kritériumok. A jó mérnök tehát nemcsak a statikaiszilárdságtani számításokra támaszkodva tervez, hanem a szerkezet teljes élettartamán az összes ráfordítás minimumát, és egyidejűleg a szolgáltatási szint maximumát keresi. Ugyanakkor az egyes vizsgálati szempontok nem azonos súlyúak: a szerkezet teherbírási megfelelőségét mindig biztosítanunk kell, míg a

hőszigetelésben, a hanggátlásban, vagy akár a fenntarthatóságban is elképzelhető bizonyos gazdasági indíttatású kompromisszumok elfogadása. Különös figyelmet érdemelnek azok a jelenségek, amelyek a szerkezeteink gyors, és szilárdságilag nem is indokolható kollapszusát (tönkremenetelét) idézhetik elő. Egy szerkezet vagy szerkezeti elem viselkedésének hirtelen, a keresztmetszeti feszültségekkel nem magyarázható megváltozását, teherbírásának ugrásszerű lecsökkenését stabilitásvesztésnek nevezzük. A stabilitásvesztés a szerkezet-szerkezeti elem azonnali tönkremenetelét, és ezzel akár az egész építmény összeomlását idézheti elő, ezért elkerülése a legfontosabb mérnöki feladat. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 230 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Stabilitásvizsgálat Vissza ◄ 231 ► 7.2 A másodrendű hatások a stabilitásvizsgálatokban A

szerkezeteink-szerkezeti elemeink szilárdsági vizsgálata során minden esetben feltételeztük, hogy a terhelési folyamat során fellépő alakváltozások a tartó méreteihez képest kicsinyek, így a vizsgálatban a külső és a belső erők egyensúlyát elegendő volt az eredeti, deformálatlan szerkezeten igazolnunk (I. rendű elmélet) Ez a közelítés a mindaddig alkalmazható, amíg a deformációkból származó (másodrendű) igénybevétel-(gyakorlatilag: nyomaték)növekmény a szerkezet elsőrendű igénybevételeit nem, vagy nem kedvezőtlen irányba módosítja. A másodrendű igénybevételeket a terhek támadáspontjainak a deformációk miatt kialakuló elmozdulásai alapján számítjuk, de a számításban továbbra is feltételezzük a kis elmozdulások közelítéseinek érvényességét. Megjegyezzük, hogy a másodrendű hatások figyelembevétele a teherigénybevétel függvénykapcsolat linearitását és ezzel a terhek egymásra halmozhatóságát

megszünteti. Az alábbiakban megmutatjuk a másodrendű hatások érvényesülését három tipikus szerkezeti elem nyomatéki igénybevételeiben. Az egyik leggyakoribb tartószerkezeti elem a gerendatartó, amely a terheket hajlítónyomatéki és nyíró belső erőkkel továbbítja az alátámasztásokra. Ebben a szerkezetben a tengelyre merőlegesen álló terhelő erőkből és az ugyancsak tengelyre merőlegesen álló támaszerőkből a keresztmetszeti nyomatékokat a tengelyirányú távolságok, karok segítségével határozzuk meg. A terhekből kialakuló deformációk viszont (a kis elmozdulások közelítéseit érvényben tartva) csak a tengelyre merőleges irányú eltolódásokat okoznak, így a nyomatékszámításban alkalmazott karok nem változnak, tehát a nyomatéki igénybevételekben másodrendű növekmény nem jelenik meg. (Ugyanezen ok miatt annak sincs jelentősége, hogy a gerenda eredeti alakját tökéletesen egyenesnek tekintjük-e, vagy a

tengelyvonalat valamiféle kezdeti görbeséggel, gyártásibeállítási pontatlansággal terhelt, kismértékben görbült alakkal vesszük-e figyelembe.) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 231 ► Mechanika II Stabilitásvizsgálat A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 232 ► A tengelyirányban centrikusan terhelt elemek (húzott-nyomott rudak) esetében a keresztmetszeti nyomatékot a terhelő erő hatásvonalának a keresztmetszeti síkkal képzett döféspontja és a keresztmetszet súlypontja közötti távolság, mint erőkar segítségével számítjuk. Ez esetben tehát a kezdeti görbeség, a valós tengelyvonalnak az ideális egyenestől való eltérése miatt már a deformálatlan szerkezeten is jelentkezik (másodrendű) nyomaték. Az újabb tervezési szabályzatok éppen emiatt nem is foglalkoznak a centrikus húzás-nyomás eseteivel, hanem a tengelyirányú erőt mindig külpontosan működőnek tekintik, ahol a

külpontosság mértéke részben az erő külpontos elhelyezéséből (elsőrendű külpontosság), részben a szerkezet tengelyvonalának véletlenszerű görbeségéből, részben az erő elhelyezési bizonytalanságából (másodrendű külpontosság) adódik. Az így kapott kezdeti külpontosságot kell még módosítanunk a szerkezet deformációja nyomán kialakuló másodrendű külpontosságnövekmény értékével. A húzott rudakon a húzóerő a rúd kiegyenesítésére törekszik, a kialakuló deformáció a rúd alakhibáit csökkentő másodrendű nyomatékokat okoz, így a másodrendű hatás (a biztonság javára) elhanyagolható. A nyomott rudakon a nyomóerőből keletkező deformáció a rúd alakhibáit növelő másodrendű nyomatékokat okoz, így a másodrendű hatás nem hanyagolható el! TARTÓ TEHER hajlítotttengelyre nyírtgerendatartó merőleges (külpontosan) tengelyhúzott rúd irányú (külpontosan) tengelynyomott rúd irányú ALAKVÁLTOZÁS A

TELJES NYOMATÉK tengelyre merőleges NEM VÁLTOZIK tengelyre merőleges CSÖKKEN tengelyre merőleges NÖVEKSZIK A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 232 ► Mechanika II Stabilitásvizsgálat A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 233 ► TARTÓ AZ ALAKVÁLTOZÁS HATÁSA hajlított-nyírt a deformálatlan alak gerendatartó a deformált alak A deformáció hatására az elsőrendű nyomatékok nem változnak. (külpontoa deformálatlan alak san) húzott a deformált alak rúd A deformáció hatására az elsőrendű nyomatékok csökkennek. (külpontoa deformálatlan alak san) nyoa deformált alak mott rúd A deformáció hatására az elsőrendű nyomatékok NÖVEKEDNEK. A központosan nyomott rudak esetében a deformáció nyomán kialakuló másodrendű nyomaték növeli a keresztmetszetek nyomatékait, emiatt megnövekszik a deformáció, ami ismét csak növeli a nyomatékokat, és így tovább. A keresztmetszeti

nyomatékok és az ebből kialakuló alakváltozások egy öngerjesztő folyamatot indítanak be, amelynek végeredményét egy végtelen sor szolgáltatja. Mint matematikából tudjuk, a végtelen sorok lehetnek konvergensek, amikoris a sor határértéke egy véges szám Ha a centrikusan nyomott rudunkban kialakuló nyomatékokalakváltozások sora konvergens, akkor létezik olyan igénybevételeloszlás, olyan tartóalak, amely mellett a külső és belső erők minden keresztmetszetben egyensúlyban vannak. (Ezek az igénybevételek és alakváltozások természetesen nagyobbak a másodrendű hatás nélkül meghatározható értékeknél) Ugyanezen a rúdon növelve a centrikus terhelést, elérhetünk egy olyan teherértéket is, amelyhez már nem található egyenúlyt biztosító igénybevétel-eloszlás, ill. deformációs vonal Matematikailag a fenti végtelen sor divergens, határértéke végtelen. (Természetesen a tartószerkezetben végtelen értékű nyomatékok és

deformációk nem alakulhatnak ki, hiszen A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 233 ► Mechanika II Stabilitásvizsgálat A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 234 ► az anyag teherbírása és alakváltozóképessége is korlátos, azaz az ilyen szerkezet elveszíti stabilitását, tönkremegy.) A központosan nyomott rúd viselkedése, terhelhetősége szempontjából éppen a fentiekben vázolt két tehertartomány határa az érdekes: az a kritikus teherérték, amely mellett a nyomatékok és a deformációk növekedését leíró matematikai sor még épp nem válik divergenssé. Vegyük észre, hogy a fentiekben bemutatott stabilitási vizsgálatban nem elegendő a keresztmetszeti belső erők és a keresztmetszeti ellenállóképességek összehasonlítása, mert a másodrendű növekményekben a szerkezet geometriai adatai (a keresztmetszeti adatok mellett a hosszúság is), valamint a deformációt meghatározó

anyagjellemző (a rugalmassági modulus) is szerepet játszik. Ennek megfelelően a stabilitási megfelelőség a szilárdsági megfelelőségtől (gyakorlatilag) független, tehát a stabilitásvesztésre érzékeny szerkezeteken a szilárdsági vizsgálat mellett, ill. - minthogy a stabilitási ellenállás a szilárdsági ellenállásnál szinte mindig számottevően kisebb - a szilárdsági vizsgálat helyett a stabilitási megfelelőséget (is) ellenőriznünk kell 7.3 A jellemző stabilitási állapotok A stabilitás szempontjából a szerkezeteknek három jellemző állapotát különböztethetjük meg: STABIL ÁLLAPOT INDIFFERENS ÁLLAPOT INSTABIL ÁLLAPOT Az alakváltozást kissé megnövelve a belső erők elegendők a kimozdító erők egyensúlyozására, a (többlet)elmozdítást megszüntetve az elmozdítás előtti alak visszaáll. Az alakváltozást kissé megnövelve a belső erők éppen elegendők a kimozdító erők egyensúlyozására, a (többlet)elmozdítást

megszüntetve az elmozdítás nyomán kialakult alak változatlan marad (nem áll vissza eredeti helyzetébe, de nem is növekszik tovább). Az alakváltozást kissé megnövelve a belső erők nem elegendők a kimozdító erők egyensúlyozására, az elmozdítás előtti alak a (többlet)elmozdítást megszüntetve sem áll vissza, az alakváltozások a tönkremenetelig növekednek. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 234 ► Mechanika II Stabilitásvizsgálat A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 235 ► 7.31 A centrikusan nyomott rúd stabilitási állapotai F<Fkritikus STABIL F=Fkritikus INDIFFERENS a kezdeti tartóalak F>Fkritikus INSTABIL a kimozdított tartóalak a kimozdítás megszűnte utáni tartóalak 7.32 A stabilitási állapotok általános szemléltetése A stabilitási állapotokat a homorú-sík-domború felületre helyezett golyók viselkedésével (is) szokás szemléltetni. A homorú felületen a

nyugalmi helyzetéből kimozdított golyó a kimozdító hatás megszűntével visszatér eredeti helyzetébe. A sík felületen a nyugalmi helyzetéből kimozdított golyó az új helyzetében marad. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék A domború felületen a(z eleve instabil) nyugalmi helyzetéből kimozdított golyó a kimozdító hatás megszűntétől függetlenül eredeti helyzetébe nem tér vissza. Vissza ◄ 235 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Stabilitásvizsgálat Vissza ◄ 236 ► 7.33 A stabilitási állapotok definíciói A stabil állapotban a kimozdító hatás megszűntével a tartóalak visszaáll a kimozdítás előtti, kezdeti alakra, azaz a szerkezet keresztmetszeti belső erői az F terhelő erőből keletkező igénybevételeknél nagyobbak (a kimozdított alak csak a kimozdító hatás figyelembevételével marad meg). Az instabil állapotban a kimozdító hatás a tartóalak minden határon túli

növekedését okozza, azaz a szerkezet keresztmetszeti belső erői az F terhelő erőből keletkező igénybevételeknél kisebbek (a kimozdított alakban az F erőből származó igénybevételeket a keresztmetszeti belső erők nem képesek egyensúlyozni). Az indifferens állapotban a kimozdító hatás megszűntével a kimozdított alak változatlanul megmarad, azaz a szerkezet keresztmetszeti belső erői az F terhelő erőből keletkező igénybevételekkel éppen megegyeznek (a kimozdított alakban az F erőből származó igénybevételeket a keresztmetszeti belső erők külső hatás nélkül is egyensúlyozzák). Ezt az állapotot, amely a stabil és az instabil tartomány határát jelenti, kritikus állapotnak, az ehhez tartozó terhelő erő nagyságát kritikus erőnek nevezzük. Megjegyezzük, hogy a fenti állapotelemzés során mindhárom esetben ugyanazt a tartót vizsgáltuk, a szerkezet stabilitási állapotai csak a terhelő erő nagyságának függvényében

változtak. A fentiekben bemutatott elemzés a stabilitásvizsgálat alapesetét jelenti. Ebben (hallgatólagosan) feltételeztük, hogy a tartó keresztmetszetei az alakváltozás során nem torzulnak (eredeti alakjukkal egybevágók maradnak), a rúd deformációja pedig egy síkban alakul ki, tehát a rúdtengelyben elcsavarodás nem lép fel. Az egyenestengelyű rudak ilyen típusú stabilitásvesztését kihajlásnak nevezzük A továbbiakban csak ezzel a stabilitásvesztési esettel fogunk foglalkozni Emellett számtalan egyéb stabilitásvesztési veszély is fenyegeti a nyomott, vagy részben nyomott rúd-, ill. felületszerkezeteinket Ezek tárgyalására a szaktárgyakban kerül sor, itt csupán megemlítjük a legfontosabb eseteket A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 236 ► Mechanika II Stabilitásvizsgálat A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 237 ► 7.34 A tartószerkezetek jellemző stabilitásvesztési esetei

STABILITÁSI A VIZSGÁLATI VIZSGÁLAT ESET térbeli (elcsavarodó) nyomott (általában vékihajlás konyfalú) rudak kifordulás hajlított gerendák nyomott öve elemhorpadás vékonyfalú szerkezetek nyomott (lemez)elemei elemi rúd kihajlása rácsos kialakítású nyomott rúd elemei A VIZSGÁLANDÓ SZERKEZET a teljes rúdszerkezet a teljes gerendaszerkezet a (lemez)elem a horpadásveszélyes helyen az elemi rúd a kihajlásveszélyes helyen 7.4 Központosan nyomott rúd síkbeli kihajlása A továbbiakban a legegyszerűbb stabilitásvesztési esettel foglalkozunk: a centrikusan nyomott rúd síkbeli kihajlásával. A vizsgálat során a rúd anyagát ideálisan rugalmasnak, homogénnek és izotropnak, tengelyét a működő terhelő erő hatásvonalával egybeeső egyenesnek, megtámasztásait mindkét végén gömbcsuklósnak, önsúlyát pedig (a működő terhelő erőhöz viszonyítva) elhanyagolhatónak tekintjük. A rúd felső megtámasztását olyan kialakításúnak

tekintjük, hogy a terhelő erő irányában megengedi az eltolódásokat, az erő irányára merőleges síkban viszont megakadályoz minden eltolódást. A rúd keresztmetszeti kialakítására vonatkozólag azt kötjük ki, hogy a keresztmetszet alkotó elemei önmagukban stabilak, torzulásmentesek maradnak a teljes terhelési folyamat során. A síkbeli kihajlás vizsgálata során azért kell gömbcsuklós megtámasztásokat feltételeznünk, mert egyelőre nem ismerjük a legkisebb ellenállás tengelyét, azaz a kialakuló stabilitásvesztési deformáció, a kihajlás síkját. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 237 ► Mechanika II Stabilitásvizsgálat A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 238 ► 7.41 A rugalmas kihajlás egyensúlyi differenciálegyenlete A kritikus állapothoz tartozó deformált alak függvénye legyen: z=z(x). Így a K keresztmetszetben elvágott tartó egyik (az alábbi levezetésben a felső)

darabjára a külső F erő nyomatékának és a keresztmetszetben a tartó deformációja okán ébredő nyomatéki igénybevételnek az egyensúlyát a következő egyenlet írja le: ∑M ( y) felső = − F × z ( x) + M K( y ) = 0 A választott koordinátarendszerünkben a görbület és a nyomaték öszszefüggését a következő ábrákon mutatjuk be. Az ábrázolás egyszerűsítése érdekében a görbült alakot parabolikusra vettük fel. Láthatjuk, hogy a második derivált és a húzott oldalra felrajzolt nyomatéki ábra a koordinátarendszerben ellenkező oldalra kerül, ezért a görbület és a nyomaték előjelhelyes összefüggését egy előjelváltással kell felvennünk x x x x z’(x) z’’(x) M(x) z z z(x) Δz’ Δx Δz Δx z z M = − EJ × z ( x) A K keresztmetszetben a deformációk alapján meghatározható nyomaték: M K( y ) = EJ y × [− z ( x)] , ezt behelyettesítve a nyomatéki egyenletbe ∑M ( y) felső = − F × z ( x)

− EJ y × z ( x) = 0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 238 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Stabilitásvizsgálat Vissza ◄ 239 ► Fogjuk össze a szerkezet konkrét mechanikai adatait egyetlen konstansba: F α2 = EJ y Így a differenciálegyenletünk alakja a következőképp egyszerűsödik: α 2 × z ( x) + z ( x) = 0 Keressük a másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldását a következő alakban: z ( x) = A × sin(α × x) + B × cos(α × x) A feltételezett megoldásfüggvény kétszeri deriválásával ellenőrizzük a megoldás helyességét: z ( x ) = α × A × cos(α × x) − α × B × sin(α × x) z ( x ) = −α 2 × A × sin(α × x ) − α 2 × B × cos(α × x ) A kapott második deriváltat behelyettesítve a differenciálegyenletbe: α 2 × [ A× sin(α × x) + B × cos(α × x)] − α 2 × A × sin(α × x) − α 2 × B × cos(α × x) = 0 A

feltételezett általános megoldás behelyettesítése után a differenciálegyenlet azonossággá alakult, tehát a választott függvényünk valóban a differenciálegyenlet általános megoldása. 7.42 A rugalmas kihajlás alapján számítható kritikus erő A konkrét esetre vonatkozó partikuláris megoldást a peremfeltételek (esetünkben a megtámasztási pontok) tulajdonságainak figyelembevételével határozhatjuk meg. A mindkét végén (gömb)csuklós megtámasztású rúdon a végpontokban z irányú eltolódás nem keletkezhet és az y tengely körüli nyomaték értéke is zérus. Az x=0 helyen az eltolódás zérus, azaz z (0) = A × sin(α × 0) + B × cos(α × 0) = A × 0 + B × 1 = 0 A fenti egyenlőség csak akkor teljesülhet, ha B értéke zérus. Ennek megfelelően a csuklós megtámasztású nyomott rúdon a kritikus erőhöz tartozó, az egyensúlyi alakot szolgáltató deformációs függvényben csak a szinuszos tag marad meg: A dokumentum használata

| Tartalomjegyzék Vissza ◄ 239 ► Mechanika II Stabilitásvizsgálat A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 240 ► z ( x) = A × sin(α × x) Az eltolódás az x=L helyen is zérus, azaz z ( L) = A × sin(α × L) = 0 Egy szorzat akkor lehet nulla, ha legalább az egyik tényezője zérus. Ha az A konstans értékét tekintjük zérusnak, akkor valójában a rúd deformációit tekintjük zérusnak, ami valóban megoldás, de ez matematikailag a triviális megoldás, mérnöki szempontból pedig az ideális anyagú és geometriájú, ideálisan terhelt rúd instabil egyensúlyi állapota. A valós, kezdeti görbeséggel, a támadáspont elhelyezési pontatlanságával terhelt szerkezeten az ideális esettel nem érdemes számolni. Bennünket a kritikus erőhöz tartozó deformált alak, és az ezen alakra deformálódó tartó belső erőivel egyensúlyt teremtő kritikus erő nagysága érdekel. A fenti szorzat akkor is nulla, ha a másik

tényezője zérus, azaz sin(α×L)=0. Ez akkor lehetséges, ha a szinuszfüggvény argumentuma, az α×L szorzat értéke 0+k×π, ahol k tetszőleges egész szám lehet. Felhasználva az α2 tényleges adattartalmát, felírhatjuk a következő összefüggést: F ⎛ 0 + k ×π ⎞ =⎜ ⎟ EJ y ⎝ L ⎠ A vizsgált állapothoz tartozó (kritikus) erőt az összefüggésből kifejezve: EJ y × k 2 × π 2 Fkritikus = L2 A k szorzó valójában azt jelzi, hogy a deformált alakba hány fél szinuszhullámot illeszthetünk be. 2 α2 = k=1 k=2 k=3 k=4 A k nagyobb értékeihez nagyobb görbületek, azaz nagyobb nyomatéki ellenállás, végső soron nagyobb kritikus erő tartozik. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 240 ► Mechanika II Stabilitásvizsgálat A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 241 ► Az ábrákból azonban az is látható, hogy a több félhullámot tartalmazó deformált alak csak a csomópontok

eltolódásmentessége esetén alakulhat ki, amit viszont általános esetben nem tekinthetünk biztosnak. Így végül is a nagyobb k értékekhez rendelhető nagyobb kritikus erők ugyanolyan (gyakorlatilag zérus) valószínűséggel alakulhatnak ki, mint a k=0 értékhez tartozó, alakváltozásmentes triviális megoldás. A nyomott rúd rugalmas kihajlási kritikus erejét tehát mindig a k=1 érték alapján kell meghatároznunk: Fkritikus = π 2 × EJ y L2 Megjegyezzük, hogy az előbbiekben megmutatott, k=2, k=3, stb. értékekhez tartozó deformált alakoknak van szerepe és jelentősége a mérnöki gyakorlatban: egy alkalmas szerkezeti kialakítással biztosítva a csomópontok eltolódásmentességét, a nyomott rúd kihajlási teherbírása a rúd anyagánakkeresztmetszetének megváltoztatása nélkül megtöbbszörözhető. A kritikus erő fenti levezetésében a deformáció és a keresztmetszeti nyomatéki ellenállás összefüggésének felírása során

feltételeztük az anyag ideálisan rugalmas viselkedését. Ezt a fajta kihajlásvizsgálatot rugalmas kihajlásnak, a kapott kritikus erőt rugalmas kritikus erőnek nevezzük. A levezetést EULER alkotta meg, ezért a rugalmas kihajlás fenti tárgyalásmódját szokás EULER-féle kihajlásvizsgálatnak is nevezni. Vizsgálatunkban azt is feltételeztük, hogy a deformáció csak egy síkban alakul ki és ezt a síkot az x-z síknak választottuk. Gömbcsuklós (azaz kitüntetett irány nélküli) megtámasztások esetén azonban világos, hogy az ugyanazon deformált alakhoz a keresztmetszeti inerciák függvényében alakul ki a nyomatéki ellenállás. Nyilvánvaló, hogy a legkisebb ellenállást a legkisebb inercianyomaték tengelye körüli elfordulások szolgáltatják. Ha tehát a megtámasztások nem jelölnek ki kitüntetett síkot, a kihajlás síkja a keresztmetszeti síkidom 2 tehetetlenségi főirányára merőleges sík lesz. Ennek megfelelően a kritikus erő

összefüggésében az Jy inercianyomaték helyébe az J2 minimális keresztmetszeti tehetetlenségi nyomaték értékét kell írnunk: π 2 × EJ 2 Fkritikus = L2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 241 ► Mechanika II Stabilitásvizsgálat A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 242 ► 7.43 A megtámasztási viszonyok figyelembevételi lehetősége ν=1 ν=2 ν=0,5 ν=1 L ideálisan befogott L0= L0=ν×L=0,7×L L0=ν×L=1×L L0=ν×L=0,5×L L0=ν×L=2×L L0=ν×L=1×L A síkbeli rugalmas kihajlásra vonatkozó EULER-féle összefüggést mindkét végén csuklós megtámasztású rúdra vezettük le. A gyakorlatban azonban szükségünk lesz más megtámasztású nyomott rudak kihajlási viselkedésének meghatározására is. Láttuk, hogy a levezetésben a kritikus erő, ill. a kritikus feszültség (azaz a rúdelemnek a kihajlással szembeni ellenállóképessége) nagyságát szolgáltató összefüggésben a rúd

fizikai hossza, mint a deformált alakra illeszthető legnagyobb hullámhosszú szinuszfüggvény fél hullámhossza jelenik meg. Ennek alapján feltételezhetjük, hogy a nyomott rúd kihajlási viselkedése, az egyensúlyi állapothoz tartozó kritikus erő értéke más megtámasztási esetekben is a deformált alakba írható fél szinuszhullám hosszának függvényeként alakul (ezt a feltételezést a gyakorlati vizsgálatok jó közelítéssel igazolták). Ezt a hoszszat, ami a tényleges fizikai hosszból a megtámasztási viszonyokat kifejező ν tényező segítségével nyerhető, a rúd kihajlási hosszának nevezzük és L0-val jelöljük. Az alábbi ábrákon néhány gyakorlati megtámasztási esetre mutatjuk meg a kihajlási félhullámhossz megjelenését és ezzel a kihajlási hossz meghatározásának módját. ν~0,7 0,5<ν<1 Az utolsó ábrán láthatjuk, hogy a kihajlási félhullámhossz az egyensúlyi deformált alak alapján nemcsak a fix

megtámasztású esetekben, hanem a rugalmasan megtámasztott, rugalmasan befogott rúdvégek esetében is megbecsülhető. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 242 ► Mechanika II Stabilitásvizsgálat A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 243 ► A fentiek alapján most már felírható a rugalmas kihajlás kritikus erőjének végleges összefüggése, amely a különböző megtámasztások hatását is figyelembe veszi: ahol J2 a keresztmetszeti síkidom mi2 nimális × EJ 2 L pedig inercianyomatéka a megtámasztási viszonyok fi0 Fkritikus = 2 gyelembevételével meghatározott kiL0 hajlási (fél hullám)hossz a rúdon π Megjegyezzük, hogy a kritikus erő a tényleges tehertől független, a szerkezet ellenállóképességét jeleníti meg, és így, a terhelő erővel összevetve, nyújt információt a szerkezet stabilitásvesztéssel szembeni biztonságáról, a kihajlási tönkremenetel kockázatáról. A szilárdsági

vizsgálatokban a megfelelőséget a következő relációval ellenőriztük: Y teher ≤ Y ellenállás A stabilitási-kihajlási megfelelőség ellenőrzésére a fenti relációt a következőképpen alkalmazhatjuk: F max ≤ F kritikus DE VIGYÁZAT! Szerkezeteink adatai - amint azt a feszültségszámítás bevezetőjében már ismertettük - mindig csak valószínűségi változókként értelmezhetők. Ennek megfelelően adataink tényleges értéke a számításba vett, vagy számított (várható) értéktől lefelé is, felfelé is eltérhet. A fenti reláció teljesülése esetén tehát a maximális terhelő erő aktuális értéke ~50%-os valószínűséggel meghaladhatja a szerkezet kihajással szembeni ellenállóképességét jelentő kritikus erő aktuális értékét. Minthogy azonban a kritikus erő értékét éppen a tönkremeneteli határhelyzet feltételezésével állítottuk elő, a fenti megállapítás a szerkezet ~50%-os tönkremeneteli

valószínűségét jelenti. Ez természetesen elfogadhatatlan, így a számításainkban a kihajlásra megengedett ellenállóképességet a kritikus erőből egy n=2-3 körüli biztonsági tényezővel történő osztással határozzuk meg: Fkihajlás , eng = Fk ,e Fkritikus π 2 × EJ 2 = = n L20 × n A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 243 ► Mechanika II Stabilitásvizsgálat A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 244 ► 7.44 A rugalmas kihajlás kritikus feszültsége A rúdszerkezetek szilárdsági vizsgálatait általában a fajlagos belső erők, a feszültségek összehasonlításával végeztük. Felmerül a kérdés, hogy a kihajlásvizsgálatot nem lehetne-e szintén feszültségösszehasonlításra viszszavezetni. A kihajlásvizsgálatban a teher (elvileg) centrikus elhelyezésű normálerő, az ebből származó fajlagos belső erő egyenletes eloszlású normálfeszültség lesz. A „teher”oldalon tehát a

szilárdsági vizsgálatnál is alkalmazott mértékadó normálfeszültség értékét kell szerepeltetnünk. Az „anyag”oldalon azonban most nem szerepeltethetjük az anyagra jellemző szilárdságértéket, hanem a szerkezet egészére vonatkozó ellenállóképességet megjelenítő, kritikus (pontosabban: a biztonsági tényezővel csökkentett, kihajlásra megengedetett) feszültséget kell alkalmaznunk. Fkritikus = π 2 × EJ 2 L20 σ kritikus Fkritikus π 2 × E × J 2 = = A L20 × A A kritikus feszültség összefüggésében a keresztmetszeti jellemzőket a minimális inercianyomaték és a keresztmetszet területe jeleníti meg. Látható, hogy ugyanakkora keresztmetszeti terület, azaz végül is beépített anyagmennyiség esetén az J2 értékével arányosan változik a szerkezet ellenállóképessége. Az anyag kihasználtságának növelésére érdemes tehát az adott keresztmetszeti területből a legnagyobb tehetetlenségi nyomatékot adó keresztmetszeti

alakot alkalmazni. A keresztmetszeti kialakításnak a kritikus feszültségre gyakorolt hatását az alábbi kis példával illusztráljuk. Két, azonos területű keresztmetszet tehetetlenségi nyomatékait összehasonlítva azt látjuk, hogy a zárt szelvényként kialakított keresztmetszet tehetetlenségi nyomatéka, és ennek folytán az ilyen szelvénnyel készített nyomott rúd kritikus feszültsége, 12,5-szöröse az ugyanannyi anyagból, de tömör szelvénnyel kialakított rúdelem tehetetlenségi nyomatékának, ill. kritikus feszültségének. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 244 ► Mechanika II Stabilitásvizsgálat Vissza ◄ 245 ► 260 mm 100 mm A dokumentum használata | Tartalomjegyzék 100 mm 260 mm MENNYISÉG keresztmetszeti terület tehetetlenségi nyomaték J/A inerciasugár 1 100×100= 104 mm2 1004/12= 8,333×106 mm4 8,333×102 mm2 28,87 mm 2 2 ARÁNY 2 260 -240 = 104 mm2 1 2604/12-2404/12= 1,0433×108 mm4 12,52

1,0433×104 mm2 12,52 102,14 mm 3,54 Az J/A hányados, ill. a gyakorlatban inkább az i = I/A inerciasugár jól jellemzi a keresztmetszet hajlítással szembeni „hatékonyságát”, így az ipari termékként készülő acélszelvények esetében (a keresztmetszeti terület és a jellemző tengelyekre számított tehetetlenségi nyomaték-értékek mellett) ez utóbbi értéket, az inerciasugár értékét is táblázatosan megadják. Elvileg a tökéletes megoldást a végtelen nagy méretű és végtelen kicsiny vastagságú lemezelemekből összetett szelvények alkalmazása jelentené, de (amint a mérnöki gyakorlatban már annyiszor) megint közbeszól egy másfajta hatás: az alkotó (lemez)elemek saját, lokális stabilitási problémája. A kihajlásra levezetett összefüggésünkben feltételeztük, hogy a terhelési folyamat során a keresztmetszet nem torzul, ehhez pedig kellő vastagságú, kellő merevségű alkotóelemek szükségesek Az inercia növelése a

keresztmetszeti kialakítás módosításával tehát csak addig lehetséges, amíg a keresztmetszetet alkotó (lemez)elemek merevsége elegendő a torzulásmentesség biztosítására. Ha az alkotóelemek túl vékonyak, azok saját stabilitás- (horpadás)vizsgálatát is el kell végezni, és a szerkezet egészére a külön-külön meghatározott kritikus erők-feszültségek minimumát szabad csak számításba vennünk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 245 ► Mechanika II Stabilitásvizsgálat A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 246 ► Az i inerciasugár bevezetésével a kritikus feszültség összefüggése a következőképp egyszerűsíthető: σ kritikus Fkritikus π 2 × E × J 2 π 2 × E × i22 = = = A L20 × A L20 A fenti összefüggésben a rúd geometriai adatait a keresztmetszetet jellemző i2 inerciasugár és a hosszat (és a megtámasztási viszonyokat) jellemző L0 kihajlási (fél hullám)hossz

jeleníti meg. A kettő aránya a rúd egészének geometriai viszonyait képes kifejezni és dimenziótlan számként a kihajlásvizsgálat szerkezetfüggetlen jellemzőjeként használható. A kihajlási hossz és az inerciasugár hányadosát a rúd karcsúságának nevezzük és λ-val jelöljük: λ= L0 i λmax = L0 i2 Az inerciasugár és a karcsúság esetében is meg kell jelölnünk indexben azt a tengelyt, amelyre a tehetetlenségi nyomatékot számítottuk. Ha a megtámasztás irányfüggetlen, akkor mindig a minimális, J2 inercianyomatékkal, és az ebből adódó i2 minimális inerciasugárral kell számolnunk, ami automatikusan a maximális λ karcsúságot fogja szolgáltatni. A λ karcsúság bevezetésével a kritikus feszültség összefüggése a következőképp egyszerűsíthető tovább: σ kritikus Fkritikus π 2 × E × J 2 π 2 × E × i22 π 2 × E = = = = 2 λmax A L20 × A L20 7.45 A karcsúság és a kritikus feszültség összefüggése Egy

konkrét szerkezet esetében mind a π, mind az E állandó értékű, tehát a fenti összefüggés szerint a σkritikus és a λmax2 között fordított arányosság áll fenn, amelynek grafikonja a hiperbola. A hiperbola (esetünkben csak a pozitív síknegyedre értelmezett hiperbola-ág) mindkét tengelyhez aszimptotikusan közelít, tehát végtelen nagy karcsúság esetén a kihajlási kritikus feszültség a zérushoz tart, és végtelen kicsiny karcsúság esetén a kihajlási kritikus feszültség a végtelenhez tart. A csökkenő karcsúsággal a végtelen felé tartó kritikus feszültség azonban valahol eléri az anyag ru- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 246 ► Mechanika II Stabilitásvizsgálat A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 247 ► galmassági-arányossági-folyási határát, és ettől kezdve a kezdeti feltételezésünk (hogy ti. a rúdszerkezet valamennyi pontja ideálisan rugalmas állapotban van) nem

teljesül Nyilvánvaló, hogy az ezen λ0 határkarcsúságnál kisebb karcsúsági értékekre az EULER-féle rugalmas kihajlás összefüggései nem alkalmazhatók. Ha a szerkezet maximális karcsúsága a λ0 határkarcsúságnál kisebb (a rúd zömök), lesz a szerkezetnek olyan pontja, amely képlékeny állapotba kerül. A képlékeny kihajlás állapotára érvényes kritikus feszültség összefüggését (kísérleti tapasztalatok alapján) egy, a σkr tengely felé emelkedő lineáris függvénnyel közelíthetjük (a függvény meghatározása TETMAJER Lajos anyagvizsgálattal (is) foglalkozó gépészmérnöknevéhez fűződik). A λ0 határkarcsúság anyagfüggő állandó, amelynél nagyobb karcsúságok esetén a rugalmas (EULER-féle) kihajlás, kisebb karcsúságok esetén a képlékeny (TETMAJER-féle) kihajlás érvényesül. A kihajlási kritikus feszültség összefüggése tehát: σ kritikus π2 × E = λ 2max ha λ < λ 0 ⇒ a − b × λ σ kritikus a

képlékeny tartomány σ kritikus = a − b × λ ha λ > λ 0 ⇒ A KARCSÚSÁG ÉS A KRITIKUS FESZÜLTSÉG ÖSSZEFÜGGÉSÉNEK GRAFIKUS ÁBRÁZOLÁSA σ folyási σ kritikus = π2×E λ2max a rugalmas kihajlás tartománya λ λ0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 247 ► Mechanika II Stabilitásvizsgálat A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 248 ► 7.46 Ellenőrzés-tervezés kihajlásra Ellenőrzés A kritikus feszültség bevezetésével a kihajlási megfelelőség ellenőrzése is a szokásos megfelelőségi reláció teljesülésének ellenőrzését jelenti. Fmértékadó σ = σ mértékadó ≤ σ k ,e = kritikus A n A „teheroldal” mértékadó feszültségi értéke a szilárdsági vizsgálattal megegyezően kapható. Fontos különbség viszont, hogy az „anyagoldalon” nem az anyagszilárdság értékét kell szerepeltetnünk, hanem a mértékadó feszültséget a rúd keresztmetszeti

kialakításának, hosszának, megtámasztásainak felhasználásával előállított σk,e kihajlásra megengedett feszültséggel kell összehasonlítanunk. (Valójában tehát a mértékadó feszültségnek az anyagszilárdság mellett egy másik, a rúd egészének stabilitási ellenállóképességet megjelenítő kritériumot is ki kell elégítenie) A kritikus feszültség vizsgálata során megállapítottuk, hogy a λ0 anyagjellemző és a szerkezetre jellemző λ értékének viszonyától függően eltérő összefüggések szolgáltatják a kritikus feszültséget. Ellenőrzési feladatoknál a szerkezetnek minden adata ismert, így a tényleges λ karcsúság meghatározható, azaz az alkalmazandó kihajlási változat egyértelműen megállapítható Tervezés Tervezési esetben a rúd valamilyen ismeretlen (általában geometriai) adatát kell meghatároznunk. A szilárdsági megfelelőségi vizsgálatokhoz hasonlóan a rendelkezésünkre álló egyetlen egyenlőtlenség

csak egyetlen ismeretlen meghatározását teszi lehetővé, tehát a keresztmetszet adatainak keresése során a keresztmetszet geometriáját egyetlen paraméter függvényében kell felvennünk. Akár a rúd hosszát, akár a keresztmetszet geometriájának paraméterét keressük, a szerkezet tényleges λ karcsúságát csak paraméteresen tudjuk felírni, azaz nem tudjuk előre megállapítani, hogy a szerkezet a rugalmas, vagy a képlékeny kihajlás állapotába fog kerülni. Ilyenkor kiindulásképpen feltételezzük valamelyik állapot fennállását, az ehhez tartozó összefüggések segítségével meghatározzuk a keresett mennyiséget, majd A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 248 ► Mechanika II A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Stabilitásvizsgálat Vissza ◄ 249 ► annak alkalmazott értékével ellenőrizzük, hogy a tényleges λ karcsúság és a λ0 határkarcsúság viszonya megegyezik-e az általunk feltételezett

állapotra érvényes relációval. Ha igen, a feladatot megoldottuk, ha nem, akkor újra el kell végeznünk a számítást, de most már a másik állapotra vonatkozó összefüggések felhasználásával. Vizsgálat irányfüggő megtámasztások esetén Csarnokszerkezetek pillértalplekötéseinél gyakran előfordul, hogy a talplemezt az alaptömbhöz két csavarral kötik le. A csavarokat öszszekötő tengely körül ez a fajta lekötés nyomatékot nem tud felvenni, azaz csuklós megtámasztásnak minősül. A csavarokat összekötő egyenesre merőleges tengely körül azonban a csavarok megakadályozzák a talplemez elfordulását, tehát a kapcsolat befogásként viselkedik. A rúdkeresztmetszet két tehetetlenségi főirányához tehát más-más megtámasztás, más-más kihajlási hossz tartozik. Ugyanakkor a főtengelyekre a tehetetlenségi nyomaték és ezzel az inerciasugár is különbözni fog Ha a kialakítás olyan (ez a ritkább eset), hogy az egyik lehetséges

kihajlási síkhoz egyidejűleg nagyobb kihajlási hossz és kisebb keresztmetszeti inercia tartozik, akkor bizonyosan ez a sík lesz a mértékadó, a vizsgálatot elegendő ebben a síkban elvégeznünk. Ha a kihajlási hossz és a keresztmetszeti tehetetlenségi nyomaték értékéből az egyes kihajlási síkokban a kritikus feszültség ellenkező irányban változik, akkor a vizsgálatot mindkét lehetséges kihajlási (fő)síkban el kell végeznünk. Szerencsére (a σ kr − λ grafikus ábrázolásából jól látható) a kritikus feszültség a karcsúság szigorúan monoton függvénye, tehát a legkedvezőtlenebb, legkisebb kritikus feszültség a legnagyobb karcsúsághoz tartozik, így a lehetséges kihajlási síkokban elegendő a karcsúságokat meghatároznunk és a kritikus feszültség értékét a (leg)nagyobb karcsúság alapján kiszámítanunk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék Vissza ◄ 249 ►