Physics | Higher education » Giczi Ferenc - Deformálható testek mechanikája, előadás

Deformálható testek mechanikája Giczi Ferenc SZE, Fizika és Kémia Tanszék 2005. Deformálható testek mechanikája Széchenyi István Egyetem Deformálható testek (A merev test idealizált határeset.) Szilárd testek – alakja és térfogata csak nehezen változtatható Folyadékok – térfogata nehezen változtatható Gázok – térfogata g és alakja j is változtatható HALMAZÁLLAPOTOK – az anyag szerkezetével függnek össze. Korpuszkuláris tárgyalásmód Technikai jellegű problémáknál nem célszerű. 2 Deformálható testek mechanikája Széchenyi István Egyetem A deformálható testek tulajdonságai j g A fenomenológiai tárgyalásmód célravezetőbb. A testek által elfoglalt térfogatot az anyag f l t folytonosan tölti ki éés a testek t t k külö különböző bö ő tulajdonságait anyagállandókkal jellemezzük. • homogén és inhomogén testek • izotróp és anizotróp testek 3 Deformálható testek mechanikája Széchenyi

István Egyetem Szilárd testek rugalmassága Rugalmasnak nevezünk egy szilárd testet akkor, ha a test alakját megváltoztató külső erők hatására a testben olyan erők lépnek fel, amelyek a test eredeti alakját vissza igyekeznek állítani. H k -féle HookeHooke fél törvény tö é (1676) A alakváltozás Az l k ált á mindig i di arányos á a deformáló erővel, ha az alakváltozás vagy a d deformáló f áló erő ő elegendően l dő kicsiny, azaz egy bizonyos határ (arányossági határ) alatt marad. 4 Széchenyi István Egyetem Deformálható testek mechanikája A nyújtásra vonatkozó Hooke-törvény l 1 F  l0 E A l l  l0 F  A Young-modulus Relatív megnyúlás Mechanikai feszültségg N Eacél  2,14  10 m2 11   E 5 Széchenyi István Egyetem Deformálható testek mechanikája A nyújtásra vonatkozó Hooke-törvény Haránt-összehúzódás A tapasztalat szerint egy rúd nyújtásakor nemcsak a

hossz változik, hanem a keresztmetszet is, méghozzá csökken. d     d0 Poisson-féle szám: 1  2   0,3  0,4 Ö Összességében a test térfogata nyújtáskor nő. 6 Széchenyi István Egyetem Deformálható testek mechanikája A nyújtásra vonatkozó Hooke-törvény Példa Mennyivel nyúlik meg az 5,652 m hosszú, 1,2 mm átmérőjű acéldrót F=120 N húzóerő hatására? Mennyi a drót relatív megnyúlása? Mekkora húzófeszültség lép fel a drótban? (E 200000 N/mm2) Hány százalékkal csökkent az acéldrót (E=200000 átmérője, ha =0,3? 1 120 N  5,652 m l   0,0027 m 2 11 2,15  10 N/m 1,2  10 3 m2 / 4     7 Deformálható testek mechanikája Széchenyi István Egyetem A nyújtásra vonatkozó Hooke-törvény Példa Mennyivel nyúlik meg az 5,652 m hosszú, 1,2 mm átmérőjű acéldrót F=120 N húzóerő hatására? Mennyi a drót relatív megnyúlása? Mekkora húzófeszültség

lép fel a drótban? (E 200000 N/mm2) Hány százalékkal csökkent az acéldrót (E=200000 átmérője, ha =0,3? l 0,0027 m    4,8  10  4 l0 5 652 m 5,652 8 Deformálható testek mechanikája Széchenyi István Egyetem A nyújtásra vonatkozó Hooke-törvény Példa Mennyivel nyúlik meg az 5,652 m hosszú, 1,2 mm átmérőjű acéldrót F=120 N húzóerő hatására? Mennyi a drót relatív megnyúlása? Mekkora húzófeszültség lép fel a drótban? (E 200000 N/mm2) Hány százalékkal csökkent az acéldrót (E=200000 átmérője, ha =0,3? F 120 N 8 2 2 1 , 06 10 N / m 106 N/mm      A 1,2  10 3 2 m2 / 4     9 Deformálható testek mechanikája Széchenyi István Egyetem A nyújtásra vonatkozó Hooke-törvény Példa Mennyivel nyúlik meg az 5,652 m hosszú, 1,2 mm átmérőjű acéldrót F=120 N húzóerő hatására? Mennyi a drót relatív megnyúlása? Mekkora húzófeszültség lép fel a

drótban? (E 200000 N/mm2) Hány százalékkal csökkent az acéldrót (E=200000 átmérője, ha =0,3? d      0,3  4,8  10  4  1,44  10  4  1,44  10 2 % d0 10 Széchenyi István Egyetem Deformálható testek mechanikája Kompresszió (összenyomás) V    p  V : kompresszibilitás  vas  0,6  10 6 at -1 F Nyomás: p  A  víz  5  10 5 at -1 N 1 at  0,981 bar  0,981 10 m2 5 N 1 atm  760 torr  1,0132  10 m2 5 1  2 3 E 11 Széchenyi István Egyetem Deformálható testek mechanikája A nyírás (csúsztatás) Hasson a szilárd testre két egyforma nagyságú, de ellentétes irányú erő, amelyeknek hatásvonala nem esik egybe. 1F  GA G: nyírási y modulusz torziómodulusz N Gacél  8,14  10 m2 10 F ny  nyírófeszültség A 12 Deformálható testek mechanikája Széchenyi István Egyetem A nyírás

(csúsztatás) Nyírási terhelésnek vannak kitéve a vonórudak csapjai csapjai, a lemezeket összetartó szegecsek csavarok. szegecsek, csavarok Példa A vonórúd csappal illeszthető. Legalább mekkora legyen a csap átmérője, ha vontatás közben a vonórúd maximálisan 15700 N erőt visz át, és a csapnál megengedett legnagyobb nyírófeszültség 50 N/mm2? 13 Deformálható testek mechanikája Széchenyi István Egyetem A nyírás (csúsztatás) M ldá Megoldás A nyírófeszültség az F nyíróerő és a nyírással párhuzamos A keresztmetszet hányadosa: F 15700 N ny   ny,max  50 N/mm 2 A A 15700 N 2 A  314 mm Ebből: 50 N/mm 2 Kör alakú keresztmetszet esetén: d 4A   43 314 mm 2  20 mm.  14 Széchenyi István Egyetem Deformálható testek mechanikája Csavarás (torzió) Ha egy R sugarú l hosszúságú, kör keresztmetszetű huzalt M forgatónyomatékkal elcsavarjuk, akkor az elfordulás szöge és az azt

létrehozó forgatónyomaték gy arányos y lesz. egyenesen 2 l  M 4 G R 15 Széchenyi István Egyetem Deformálható testek mechanikája Csavarás (torzió) r  l q  2rr F  G  q    G  2rr    G  2rr  r l  3 M  F  r  2G   r r l  3  R4 M  2G   r r  2G  l 0 l 4 R 2 l  M 4 G R 16 Deformálható testek mechanikája Széchenyi István Egyetem Csavarás (torzió) Példa Sárgaréz torziómoduluszának meghatározásához h tá á áh egy 40 cm hosszúságú, 2 mm átmérőjű sárgaréz drót végére egy 30 cm hosszú, hosszú 0,6 0 6 kg tömegű rudat erősítünk. A drótot a rúd közepéhez p kötjük, j a rúd vízszintes helyzetű. A rudat rezgésbe hozzuk és lemérjük a rezgésidőt. M kk Mekkora a sárgaréz á é torziómodulusza, t ió d l ha 1 s-os rezgésidőt mértünk ? 17 Széchenyi István Egyetem

Deformálható testek mechanikája Csavarás (torzió) Megoldás: A csavarási inga harmonikus forgási rezgéseinek lengésideje: D* T  2  Határozzuk megg a forgómozgást g g végző g vízszintes rúd tehetetlenségi nyomatékát: 1 1 2 2  mL   0,6 kg  0,3 m  4,5  10 3 kgm 2 12 12 Ezután kiszámíthatjuk D D*-ot: -ot: 2 2  2  2  2  3 D     4,5  10 kgm     0,177 Nm.  T   1s  * 18 Széchenyi István Egyetem Deformálható testek mechanikája Csavarás (torzió) Megoldás: Mivel: M  D  Másrészt: 2 l  M 4 G R * 2l * G D  4 R 2  0,4 m  2  103       2  4 G R   * D   2 l  0,177 Nm  45070 N/mm 2 4 19 Széchenyi István Egyetem Deformálható testek mechanikája Lehajlás A gyakorlatban gyakran előfordul, hogy egy test saját súlya vagy külső erő hatására elhajlik.

3 4 l s F 3 E ab b Neutrális réteg 20 Széchenyi István Egyetem Deformálható testek mechanikája Tetszőleges keresztmetszetű rúd lehajlása 3 1 l s F 3E T T: Felületi tehetetlenségi nyomaték T   y dq 2 1 Ttéglatest  ab 3 12  4 Thenger  R 4   4 Tcső  R 2  R14 4  21 Deformálható testek mechanikája Széchenyi István Egyetem Lehajlás Példa Műanyag y g vonalzó hossza l=20 cm,, szélessége g 3,5 , cm,, vastagsága 0,2 cm. A vonalzó egyik végét rögzítve, a másik végén lapjára merőleges F=0,5 N erővel s=2 cm lehajlást hozhatunk létre. é Mennyi az anyag Young-modulusa? 22 Széchenyi István Egyetem Deformálható testek mechanikája Lehajlás Megoldás A vonalzó anyagának rugalmassági moduluszát az alábbi összefüggés segítségével határozhatjuk meg:  2  3 1 l 1 20  10 m E  F    0,5 N 2 11 4 3s T 3  2  10 m 2,33  10 m 3   E 

2,86  10 9 N/m2  2860 N/mm 2 Ahol a T felületi tehetetlenségi nyomaték értéke: ab 3 T  2,33  10 11 m 4 12 23 Széchenyi István Egyetem Deformálható testek mechanikája Végeken alátámasztott rúd 3 1 l s F 48E T 24 Széchenyi István Egyetem Deformálható testek mechanikája A rugalmasság határai Cu Al Pb öntött vas A – arányossági határ B – rugalmassági g g határ C – folyási határ D – a fém ismét megszilárdul E – max. feszültség f l H – szakadás Szakítási szilárdság: az elszakításhoz szükséges erőnek és az eredeti keresztmetszetnek a hányadosa. 25 Deformálható testek mechanikája Széchenyi István Egyetem A rugalmasság határai Példa Az acélhuzal rugalmassági határa 240 N/mm2. Mekkora terhet akaszthatunk az 1 mm átmérőjű huzalra, hogy a huzal a terhelés megszűnte után visszanyerje eredeti hosszát? 26 Széchenyi István Egyetem Deformálható testek mechanikája A

rugalmasság határai Megoldás Az acélhuzalban ébredő mechanikai feszültség nem haladhatja meg a rugalmassági határt: F    max A Ebből: N 1 mm   F  max  A  240   188 N. 2 mm 4 2 27