Physics | Energy » Statikus elektromos tér

2. STATIKUS ELEKTROMOS TÉR A nyugvó töltések időben állandó elektromos teret keltenek, amelyet statikus elektromos térnek, az elektromágneses térmodellt elektrosztatikus térnek nevezzük. Az elektrosztatikus tér jelenlétét a töltésekre gyakorolt hatásán, a Coulomb erőn keresztül lehet kimutatni. Az elektromos teret forrásennyiségekkel és térjellemzőkkel lehet jellemezni. 2.1 Az elektrosztatikus tér forrásmennyiségei 2.11 Az elektromos töltés Az elektromágneses tér forrása az anyag elemi részecskéit jellemző elektromos töltés, amely az elektron e = 1,6 ⋅10 −19 C töltésének egész számú többszöröseként, kvantáltan fordul elő, ahol 1 C =1 coulomb az elektromos töltés mértékegysége. Minthogy a töltés az egyes anyagi részecskék egyik jellemző mennyisége, az anyagmegmaradás törvénye egyben a töltésmegmaradás törvényét is magában foglalja. Ez azt jelenti, hogy habár az elektromos töltés térbeli eloszlása változhat

a pozitív és a negatív töltések összege, mindig nulla marad. A töltés mértékegysége, az 1 coulomb nagyon nagy egység, ezért kisebb egységeit alkalmazzuk, úgy, mint milli-coulomb ( 1C = 103 mC ), mikro-coulomb ( 1C = 10 6 µC ), nanocoulomb ( 1C = 10 9 nC ) és piko-coulomb ( 1C = 1012 pC ), azaz 1C = 103 mC = 10 6 µC = 10 9 nC = 1012 pC . (2.1) A töltés mértékegységét az SI (System International) Nemzetközi Mértékegység rendszerben az áram mértékegységére vezetik vissza, azaz 1 C = 1 As . Az elektromágneses tér analízisénél nem atomi szintű vizsgálatokra kerül sor, ugyanis egy piko-coulomb töltés létrehozásához N= 10 −12 C 1,6 ⋅10 −19 ≈ 6,25 ⋅ 10 6 számú elektron szükséges, ezért a mérnöki gyakorlatban az elektromágneses tér összefüggései statisztikus törvényekkel írhatók le. Az elektromos töltések jelenlétét az egymásra kifejtett erőhatáson keresztül lehet kimutatni. Két pontszerűnek tekinthető, Q1

és Q2 elektromos töltésű test között fellépő erő a tapasztalati Coulomb törvénnyel fejezhető ki (2.1 ábra) A Coulomb törvény szerint az erőhatás nagysága, amely a Q1 és Q2 töltésű, a két töltés közötti r12 távolsághoz képest kis méretű töltött test között fellép, arányos a két töltés szorzatával és fordítottan arányos a két töltés közötti r12 távolság négyzetével és a teret kitöltő homogén, izotrop közeg ε anyagjellemzőjével r 1 Q1 Q2 F = . 2 4πε r12 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 13 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2.1 ábra A Coulomb törvény értelmezése 2.2 ábra Az elektromos töltés értelmezése az erőhatás alapján Az erő iránya a két töltést összekötő egyenes irányába esik. Azonos előjelű töltések taszítják egymást, míg ellenkező előjelű töltések egymásra

vonzóerőt gyakorolnak (2.2 ábra) A fenti kifejezésben ε az anyag permittivitása, dielektromos állandója, amely a vákuum ε 0 permittivitásának és a közegre jellemző ε r relatív permittivitásának a szorzata ε = ε0 εr , ahol ε0 = 10 −9 As ≈ 8,86 ⋅10 −12 F m , 4π 9 Vm míg egy, ε r , a relatív permittivitás dimenzió nélküli szám. A levegő relatív permittivitása közel ε r ≈ 1. (2.2) 2.12 Töltésmodellek Egy adott térrészen a töltés különböző eloszlású lehet. (i) Pontszerű töltés. Egy kisméretű test Q töltése pontszerűnek tekinthető, amely időben állandó Q = Q0 , ill. időben változó Q = Q(t ) mennyiség lehet (ii) Térfogati töltéssűrűség. Ha a Q(t ) töltés egy térfogatban oszlik el, akkor a r töltéseloszlás ρ (r , t ) térfogati töltéssűrűséggel modellezhető. Feltéve, hogy az elemi Dv r térfogatban DQ töltés helyezkedik el (2.3 ábra), a ρ (r , t ) térfogati töltéssűrűségnek a

pontszerűvé zsugorított elemi térfogat töltését tekintjük, mértékegysége C m 3 , r DQ , Dv 0 Dv ρ (r , t ) = lim [ρ ] = 1 C . m3 (2.3) r A ρ (r , t ) térfogati töltéssűrűség ismeretében a v térfogat Q(t ) töltése meghatározható r Q(t ) = ∫ ρ (r , t ) dv . v (iii) Felületi töltéssűrűség. Ha a térfogat h magassága elhanyagolható az a felületéhez képest, akkor a térfogatban elhelyezkedő Q(t ) töltéseket felületi töltéssűrűséggel modellezzük. Amennyiben az a felület Da elemén DQ töltés helyezkedik el (24 ábra), a 14 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ r σ (r , t ) felületi töltéssűrűség a felület egy pontjára vonatkoztatott töltésmennyiség, mértékegysége C m 2 , r DQ , Da 0 Da σ (r , t ) = lim [σ ] = 1 C . m2 (2.4) A felületi töltéssűrűség ismeretében a

felület össztöltése meghatározható r Q(t ) = ∫ σ (r , t ) da . a 2.3 ábra A térfogati töltéssűrűség értelmezése 2.4 ábra A felületi töltéssűrűség értelmezése (iv) Vonalmenti töltéssűrűség. Ha azonban a térfogat keresztmetszete hanyagolható el a térfogat hosszához képest, akkor a térfogatban lévő töltéseloszlás vonalmenti töltéssűrűséggel modellezhető. Feltéve, hogy a kis keresztmetszetű térfogat hossza mentén, a Dl szakaszon r DQ töltés helyezkedik el (2.5 ábra), a q (r , t ) vonalmenti töltéssűrűség a kis keresztmetszetű térfogat hossza mentén adja meg a töltéseloszlást, mértékegysége C m , r DQ q (r , t ) = lim , Dl 0 Dl [q] = 1 C . m (2.5) A vonalmenti töltéssűrűség ismeretében a kis keresztmetszetű térfogat l hossza mentén az összes töltés a következőképpen határozható meg r Q(t ) = ∫ q(r , t ) dl . l 2.5 ábra A vonalmenti töltéssűrűség értelmezése 2.6 ábra Valamely térfogat

összes töltése (v) Összefoglalva, valamely a felülettel határolt v térfogat összes töltése (2.6 ábra) a r térfogatban helyet foglaló ρ (r , t ) térfogati töltéssűrűség, a térfogatot határoló határfelületen r elhelyezkedő σ (r , t ) felületi töltéssűrűség, a térfogat belsejében az l hosszúságú szakasz 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 15 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ r q (r , t ) vonalmenti töltéseloszlása, valamint a térfogatban lévő Q(t ) pontszerű töltések figyelembevételével a következő r r r Q(t ) = ∫ ρ (r , t ) dv + ∫ σ (r , t ) da + ∫ q(r , t ) dl + ∑ Qi (t ) . v a i l 2.2 A statikus elektromos tér intenzitása r r 2.21 Az elektromos térerőség vektor, E (r ) A nyugvó töltések keltette elektrosztatikus tér jelenlétét a geometriai tér valamely pontjában elhelyezett egységnyi

Q próbatöltésre ható r r F =QE erőhatáson keresztül érzékelhetjük (2.7 ábra) Azaz az elektrosztatikus térben a tér r intenzitását az egységnyi töltésre ható erővel, az E elektromos térerősség vektorral adjuk meg r r r F F V E = , [E ] = =1 . (2.6) Q [Q] m [] A elektromos térerősség mértékegységét a nemzetközi SI mértékegység rendszerben az erő 1N = 1VAs/m és a töltés 1C = 1As mértékegységeinek figyelembevételével kapjuk. Ha egy r Q pontszerű töltéstől r távolságban lévő P pontban egy Q p = 1 C töltésű próbatestet helyezünk el (2.8 ábra), akkor a Coulomb törvény felhasználásával a P pontban fellépő elektromos térerősség a következő r Q 1 r E= er . 4πε rr 2 2.7 ábra A nyugvó töltések elektromos tere a próbatöltésre 2.8 ábra A pontszerű töltés által keltett térerőssége 2.9 ábra Az elektromos térerősség szemléltetése Ha az elektromos teret több Q1 , Q2 ,L, Q N töltés hozza létre, akkor az

erők szuperpozíciója alapján a tér valamely pontjában az elektromos térerősség az egyes töltések által keltett r r r E1 , E2 ,L, E N elektromos térerősség vektorok vektori összegével határozható meg N r r r r r E = E1 + E2 + L + E N = ∑ Ek . k =1 16 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Az elektromos erőteret erővonalakkal lehet szemléltetni (2.9 ábra) Az elektromos erővonalak érintői az elektromos térerősség vektor irányába mutatnak, az erővonalak sűrűsége pedig a térerősség nagyságával, azaz a térerősségre merőleges egységnyi felületen áthaladó erővonalak számával arányos. 2.22 Az elektromos feszültség és a potenciál Az elektromos tér az elektromos töltésre erőhatást gyakorol. Ha a töltés az erő hatására elmozdul, az elektromos tér munkát végez. r r Ha egy Q töltésű

tömegpont az E elektromos térben a P1 pontból a P2 pontba egy l útvonalon mozdul el (2.10 ábra), akkor a munkavégzés a töltésre ható erőhatás alapján P2 r r P2 r r r r W12 = ∫ F dl = ∫ QE dl = Q ∫ E dl = Q U12 , P1 P1 l ahol U12 a P1 , P2 pontok között fellépő feszültség. Ha a munkavégzés pozitív, akkor a tér végez munkát az elmozdulás során, azaz a töltés potenciális energiája csökken, ha viszont a munkavégzés negatív, akkor az elmozdulás külső munkavégzés árán lehetséges, azaz a töltés potenciális energiája növekszik. r A fentiek alapján a P1 , P2 pontok közötti feszültség arányos az E elektromos térben az r egységnyi töltésnek a pontok közötti l útvonalon való elmozdulásához szükséges munkával P2 r r r r U12 = ∫ E dl = ∫ E dl , P1 [U12 ] = 1V . (2.7) l A feszültség mértékegysége az 1 V = 1 volt . 2.10 ábra A Q töltésű tömegpontnak a P1 pontból a 211 ábra A Q töltésű tömegpontnak a P1

- P2 - P1 zárt útvonalon való elmozdulása P2 pontba való elmozdulása r Ha a Q töltésű tömegpont a P1 pontból az l1 útvonalon mozdul el a P2 pontba, majd a P1 r pontból az l2 útvonalon jut el a P2 pontba, akkor ugyanakkora a munkavégzés (2.11 ábra), és vegyük figyelembe, hogy az integrálási határok felcserélése az integrál előjelének megváltozását eredményezi. P2 r r P2 r r P1 r r = = − E d l E d l ∫ ∫ ∫ E dl2 1 2 P1 P1 P2 (l1 ) (l 2 ) (l 2 ) 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 17 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Egy oldalra rendezve, az elmozdulás a P1 pontból a P2 pontba, majd vissza a P1 pontba r történik, az E elektromos térerősségnek egy zárt görbe menti integrálja nulla r r (2.8) ∫ E dl = 0 . l Ez az eredmény azt jelenti, hogy az elektrosztatikus tér cirkuláció mentes, örvény mentes, azaz a két

pont közötti feszültség nem függ az integrálás útjától, kizárólag a P1 , P2 pontok helyzete határozza meg. r Ha a térben az r0 koordinátájú P0 pontot nulla energiaszintű pontnak, referencia pontnak r tekintjük, akkor a Q töltésű tömegpontnak az r koordinátájú P pontból a P0 pontig való r elmozdulása (2.12 ábra) során végzett munka arányos a P pont Φ (r ) = Φ (P ) potenciáljával, minthogy a P0 pont potenciálja nulla Φ 0 = Φ (P0 ) = 0 , P0 r r W12 = Q ∫ E dl = QΦ (P ) , P r ahonnan a tér valamely r koordinátájú P pontjának elektromos skalár potenciálja az elektromos térerősségnek a P ponttól a P0 referenciapontig való integrálásával adható meg, r feltéve, hogy a P0 referenciapont potenciálja nulla, Φ (r0 ) = Φ (P0 ) = 0 P0 r r r Φ (r ) = Φ (P ) = ∫ E dl . (2.9) P A potenciál egysége megegyezik a feszültség egységével. A zéruspotenciálú helyet praktikus szempontok szerint szokás felvenni. 2.13 ábra A

potenciál és a feszültség kapcsolata 2.12 ábra A P pont potenciálja A 2.13 ábra alapján, ha az egyes pontok potenciáljai P0 r r P0 r r Φ1 = ∫ E dl , Φ 2 = ∫ E dl , P1 P2 a P1 , P2 ponttok közötti feszültség kifejezhető a P1 és a P2 pontok potenciáljainak különbségével, ha ismételten figyelembe vesszük, hogy az integrálási határok felcserélése előjel váltást eredményez P2 r r P0 r r P2 r r P0 r r P0 r r U12 = ∫ E dl = ∫ E dl + ∫ E dl = ∫ E dl − ∫ E dl = Φ1 − Φ 2 . P1 P1 P0 P1 P2 (2.10) 18 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2.3 A statikus elektromos tér gerjesztettsége Az előzőekben a töltések által létrehozott elektromos teret adottnak tekintettük. Most vizsgáljuk meg, milyen kapcsolat van a töltés és az általa gerjesztett elektromos tér között. A kérdésre

választ a tapasztalati eredmények adnak. 2.31 Az elektrosztatika Gauss tétele A kísérleti eredmények általánosításával azt kapjuk, hogy homogén közegben egy zárt felületen átmenő erővonalak száma arányos a felület által bezárt töltéssel (2.14 ábra) r r Q ∫ E da = , a ε r r r ahol az elemi felület da = n da a felülettel határolt térfogatból kifelé mutató n felületi normálissal és a felület da mérőszámával adható meg. Ha feltételezzük, hogy a közeg ε perittivitása függ a geometriai pozíciótól, ill. az elektromos térerősség értékétől, a fenti kifejezés a következő összefüggésre vezet r r ∫ ε E da = Q . a A teret kitöltő anyag jelenlétének figyelembevételére a r r r r As V As D = ε E , D = [ε ] E = 1 =1 Vm m m2 [] [] (2.11) összefüggéssel vezessük be az eltolási vektort. Az eltolási vektor mértékegysége megegyezik a felületi töltéssűrűség mértékegységével. Az eltolási vektor

bevezetésével az elektrosztatika r Gauss tétele a következő alakban adható meg, feltéve, hogy a zárt a felülettel határolt v térfogatban Q = ∫ ρ dv töltés helyezkedik el v r r ∫ D da = ∫ ρ dv . a (2.12) v r A fenti összefüggés azt fejezi ki, hogy a közegtől függetlenül a Q elektromos töltéssel a D eltolási vektor van közvetlen kapcsolatban. Az elektrosztatika Gauss tétele alapján megállapítható, hogy az elektromos tér forrása az elektromos töltés. Az eltolási vektor szintén erővonalakkal ábrázolható, amelyek a pozitív töltéstől a negatív töltés felé mutatnak (1.15 ábra) 2.14 ábra A Gauss tétel értelmezése 2.15 ábra Az elektromos tér forrása a töltés r 2.16 ábra Az a felület összes töltése, elektromos fluxusa Gauss 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 19 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

r r Egy a felületen átmenő D eltolási vektorok számát (2.16 ábra) Ψ D elektromos fluxusként is szokás emlegetni r r r r Ψ D = ∫ D da , Q = ∫ D da , [Ψ D ] = 1 As , a a r amely valójában az a felületen elhelyezkedő Q töltést reprezentálja. 2.4 Egyszerű töltéselrendezések tere és potenciálja 2.41 Pontszerű töltés tere és potenciálja Tekintsük a 2.17 ábrán látható pontszerűnek tekinthető Q töltést és vizsgáljuk meg a töltés keltette elektromos térerősség és potenciál változását a töltéstől vett távolság függvényében. Minthogy a pontszerű töltés környezetében nincs kitüntetett irány, a kialakuló elektromos teret gömbszimmetrikusnak tekinthetjük. Vegyük körül a pontszerű töltést egy olyan r sugarú gömbfelülettel, amely középpontjában helyezkedik el a Q pontszerű töltés. Alkalmazzuk az elektrosztatika Gauss tételét az r sugarú gömbfelületre és vegyük figyelembe, hogy az eltolási vektor is

sugárirányú, azaz párhuzamos a gömbfelület felületi normálisával. Minthogy a pontszerű töltéstől azonos távolságban az eltolási vektor abszolút értéke állandó, azaz a Gauss tétel integrálja alól kiemelhető r r ∫ D da = ∫ D da = D ∫ da = D 4πr 2 = Q ,) a a a ahonnan az eltolási vektornak a töltéstől vett távolságtól való függése meghatározható D(r ) = Q 1 , 4π r 2 míg az elektromos térerősség kifejezésére a következő adódik (1.18a ábra) E (r ) = Q 1 . 4πε r 2 2.17 ábra A pontszerű töltés tere és potenciálja (2.13) 2.18 ábra A pontszerű töltés a) térerősségének és b) potenciáljának helyfüggése A potenciál meghatározásához vegyük fel a nullapotenciálú referencia pontot a r0 sugarú gömbfelületen. Az r sugarú gömbfelület bármely pontjában a potenciál a térerősség integrálásával előállítható 20 A. Iványi, Fizika-I

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ r0 r r r0 r r r0 r Q ⎡1 ⎤ 0 Q 1 dr = ⎢⎣ r ⎥⎦ . 2 4 4 πε πε r r r Φ (r ) = ∫ E dl = ∫ E dr = ∫ Vegyük figyelembe, hogy az elektromos térerősség sugárirányú, továbbá azt, hogy az 1 r 2 integráljának primitív függvénye − 1 r , így a potenciál kifejezésére a pontszerű töltéstől r távolságra a következő adódik Φ (r ) = Q 4πε ⎡1 1 ⎤ ⎢ − ⎥. ⎣ r r0 ⎦ Az egyszerűség kedvéért vegyük fel a referencia pontot, a nullapotenciálú helyet a végtelenben, ( r0 ∞ ), ekkor a potenciál kifejezésére a következő adódik (2.18b ábra) Φ (r ) = Q 1 . 4πε r (2.14) 2.42 A vonalmenti töltéssűrűség tere és potenciálja Tekintsük a 2.19 ábrán látható végtelen hosszú vonalszerűnek tekinthető töltéselrendezést, amely vonalmenti töltéssűrűsége

q . Vizsgáljuk meg, hogyan változik az elektromos térerősség és a potenciál a vonalmenti töltéssűrűség tengelyétől vett távolság függvényében. A vonalmenti töltéssűrűség hengerszimmetrikus teret hoz létre, amely valamely hengerfelületen azonos értéket vesz fel. Alkalmazzuk az elektrosztatika Gauss tételét egy r sugarú hengerfelület l hosszúságú szakaszára. Vegyük figyelembe, hogy az eltolási vektor a hengerfelület palástjára merőleges és a henger palástja mentén állandó, továbbá vegyük figyelembe, hogy az l hosszúságú hengerfelületen belül Q = ql töltés helyezkedik el r r ∫ D da = ∫ D da = D ∫ da = D 2rπl = ql , a a a ahonnan az eltolási vektornak a vonalmenti töltéssűrűségtől vett távolságtól való függésére a következő adódik D(r ) = q , 2 rπ míg az elektromos térerősség a sugár függvényében csökken (2.20a ábra) E (r ) = q 1 . 2πε r (2.15) Az r sugarú hengerfelület potenciál

eloszlásának meghatározásához vegyük fel a zérus potenciálú referencia pontot az r0 sugarú hengerfelületen (2.19 ábra) Az elektromos térerősség integrálásával, figyelembe véve, hogy a térerősség sugárirányú, továbbá, hogy az 1 r függvény integráljának primitív függvénye ln r , a potenciál kifejezésére a következő adódik r0 r r r0 r r r0 q 1 q dr = [ln r ]rr0 = q ln⎛⎜ r0 ⎞⎟ . 2πε 2πε ⎝ r ⎠ r 2πε r Φ (r ) = ∫ E dl = ∫ E dr = ∫ 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 21 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2.19 ábra A vonalszerű töltés tere és potenciálja 2.20 ábra A vonalmenti töltéssűrűség elektromos terének és potenciáljának változása a sugár függvényében Gyakorlati szempontok miatt a nullapotenciálú hengerfelületet egységnyi távolságban ( r0 = 1 ) szokás felvenni,

ekkor a potenciál eloszlása a töltéstől vett távolság függvényében a következő lesz (2.20b ábra) Φ (r ) = ⎛1⎞ ln⎜ ⎟ . 2πε ⎝ r ⎠ q (2.16) 2.5 Elektromos tér anyag jelenlétében 2.51 Vezetők, szigetelők Az anyagok elektrosztatikus térben való viselkedésük alapján vezetőkre és szigetelőkre oszthatók. (i) A vezető anyagok elsősorban fémek. Az ideális vezetőkben a szabad elektronok akadálymentesen elmozdulhatnak és kompenzálhatják egymást. Az ideális fémek belsejében a szabad elektronok elmozdulása nem igényel munkavégzést, dW = 0 . Ha egy ideális fém r elektródát, amely össztöltése nulla, egy E k külső elektromos térbe helyezünk, akkor a vezetőben lévő töltések átrendeződnek és töltésmegoszlás jön létre. A felületen nem kompenzált töltések lesznek. Ezt influencia jelenségnek hívjuk A felületen elhelyezkedő, a r töltésmegoszlásból származó töltések, Eb elektromos térerősséget hoznak

létre az ideális fém r r belsejében. Ha az ideális fém belsejében az E k − Eb eredő térerősség nem nulla, akkor további töltésátrendeződés jön létre mindaddig, amíg az elektrosztatikus egyensúly ki nem alakul, azaz az ideális fém belsejében az eredő elektrosztatikus térerősség nulla lesz r r E k − Eb = 0 (2.21 ábra) 2.21 ábra Töltésmegoszlás a töltetlen ideális fém felületen és a dipólus modellje 22 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A töltésmegoszlásból származó, az ideális fémfelületen megjelenő töltések elektromos dipólussal modellezhetők (2.21 ábra) Az elektromos dipólus két pontszerű töltésből, a − Q r negatív töltésből és tőle l távolságra elhelyezkedő + Q pozitív töltésből áll. A dipólus a r r r p = Ql , [ p ] = 1 Cm , (2.17) r dipólus nyomatékkal

jellemezhető. Az l vektor, megállapodás szerint, a negatív töltésből a pozitív töltéshez húzott vektort jelenti. Az ideális fém felületén az elektrosztatikus influenciából származó töltések a külső teret r módosítani fogják, amely az E k külső elektromos tér és a felületi töltéseloszlást helyettesítő dipólus terének szuperpozíciójával állítható elő. (ii) Ideális fémek esetén a töltéseloszlás egyensúlya következtében a fém felületen az elektromos térerősségnek csak normális irányú komponense léphet fel, r r Eideális fém felületen = En . r Az elektromos térerősségnek a felülettel párhuzamos komponense nulla, Eτ = 0 . Ekkor az ideális fém felület két pontja között az elektromos térerősség integrálja nulla, azaz a két pont közötti potenciál különbség nulla, ami azt jelenti, hogy az ideális fém felület ekvipotenciális felület (2.22 ábra) Meg kell azonban jegyezni, hogy mivel az ideális fém

belsejében a térerősség nulla, a fém elektróda bármely pontjának a potenciálja megegyezik a fém felület potenciáljával, ez azt jelenti, hogy elektrosztatikus térben egy ideális fém elektróda minden pontja azonos potenciálú. 2.22 ábra Elektromos térerősség az ideális fém felületen r (iii) A σ felületi töltéssűrűség és a felületen fellépő D eltolási vektor normális r komponense közötti kapcsolat megadható, ha a vezető felületének da darabját tartalmazó d magasságú hasábra (2.23 ábra) felírjuk az elektrosztatika Gauss tételét, r r ∫ D da = Q . a 2.23 ábra A felületi töltéssűrűség és az eltolási vektor kapcsolata 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 23 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Minthogy az ideális fém belsejében az elektromos térerősség és így az eltolási vektor értéke is r nulla,

továbbá, minthogy a da felület felületi töltéssűrűsége σ , így a hasáb töltése σ da , azaz Dn da = σ da , ahonnan, feltételezve, hogy a d magasság mindenhatáron túl csökken, d 0 , így a vezető felületén az eltolási vektor (amelynek csak normális komponense van) abszolút értéke megegyezik a felületi töltéssűrűség értékével Dn = σ . (2.18) 2.52 A kapacitás, kondenzátorok Szigetelőanyagban elhelyezett két vezető, elektróda, amelynek össztöltése nulla, kondenzátort képez. Ha az egyik vezetőn + Q , a másikon − Q töltés van, a két elektróda között elektromos tér alakul ki, és közöttük U feszültség lép fel (2.24 ábra) 2.24 ábra Két elektróda kapacitásának értelmezése és a kondenzátor hálózati modellje Minthogy az elektróda töltése és az elektródák között fellépő feszültség is arányos az elektromos térerősséggel, a kettő hányadosa az elektróda elrendezés kapacitása C= Q . U (2.19) Az

elektróda + Q töltése kifejezhető a Gauss tétellel, az elektródák közötti feszültség pedig r kiszámítható az elektromos térerősségnek a két elektródát összekötő l görbe menti integráljával, ahonnan a kapott kifejezés alapján a kapacitás csak az elrendezés geometriai méreteitől és a szigetelőanyag permittivitásától függ r r r r ∫ D da ∫ εE da Q C = = a r r = a r r = εK . U ∫ E dl ∫ E dl l l A kondenzátor szimbolikus rajza is a 2.24 árán látható A kapacitás egysége a farad, [C ] = 1 F = 1 C V . A gyakorlatban előforduló esetekben a 1 F = 10 6 µF = 109 nF = 1012 pF egységek szokásosak. (i) A síkkondenzátor. A síkkondenzátor két, egymással párhuzamos síkfelületű elektródából áll (2.25 ábra) Az elektródák d távolsága elhanyagolható a párhuzamos 24 A. Iványi, Fizika-I

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ felületek lineáris méretéhez képest. Az egyik elektródán + Q , a másikon − Q töltés helyezkedik el. A két elektróda közötti, ε permittivitású közegben az elektromos térerősség állandónak, az elektróda felületekre merőlegesnek, a külső térrészen pedig a szórás elhanyagolása esetén kicsinek, zérusnak tekinthető. A + Q töltésű felületre felírva az elektrosztatika Gauss tételét r r r r Q = ∫ D da = ∫ εE da = ∫ εE da =εE a , a a a vagyis az elektromos térerősség a síkkondenzátor lemezei között állandó, értéke E= Q . εa Válasszuk a negatív töltésű elektródát nullapotenciálúnak, akkor a potenciálfüggvény 0 Φ ( x ) = ∫ − E dx = − x Q (− x ) = Q x = E x . εa εa A két elektróda közötti U feszültség megegyezik a pozitív töltésű elektróda

potenciáljával, U = Φ (x = d ) = E d = Q d, εa ahonnan a síkkondenzátor kapacitása arányos a lemezek felületével és a lemezek közötti teret kitöltő szigetelőanyag permittivitásával, fordítottan arányos a lemezek távolságával C= Q a =ε . U d 2.25 ábra Elektromos tér a síkkondenzátor lemezei között 2.26 ábra Az elektromos térerősség és a potenciál változása a síkkondenzátor lemezei között A síkkondenzátor lemezei közötti térrészen az elektromos térerősséget és a potenciálfüggvényt az elektródák közötti feszültséggel kifejezve a kapott összefüggéseket a 2.26 ábrán vázoltuk E= U U , Φ (x ) = x . d d (ii) A gömbkondenzátor. Két koncentrikus fémgömb gömbkondenzátort alkot (227 ábra) A belső elektróda felületen elhelyezkedő Q töltést a gömb középpontjában elhelyezett pontszerű töltéssel modellezzük, hiszen a pontszerű töltés ekvipotenciális felületei gömbök. A Φ = áll felületeket fém

elektródával helyettesítve az elektromos tér szerkezete nem változik meg. Figyelembe véve hogy a belső elektróda töltése Q és az elektródák közötti térrészen a 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 25 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ szigetelőanyag dieleketromos állandója, permittivitása ε , akkor a Gauss tételt alkalmazva az elektródák közötti r sugarú gömbfelületre, a sugárirányú elektromos térerősség a következő E (r ) = Q 1 , r1 ≤ r ≤ r2 , 4πε r 2 a potenciál változása pedig a két elektróda között a következő lesz Φ (r ) = Q 1 , 4πε r r1 ≤ r ≤ r2 . Ha az elektródák közé U feszültséget kapcsolunk, az elektródák potenciálkülönbségével megadható U= Q ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟. 4πε ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠ Az elektródák közé kapcsolt feszültség ismeretében a belső elektróda

töltése meghatározható Q =U 4πε ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ r1 r2 ⎠ . Ezzel az elektródák közötti potenciál eloszlás és a térerősség változása megadható Φ (r ) = U 1 1 − 1 r r1 r2 , E (r ) = U 1 1 − 1 r2 r1 r2 , r1 ≤ r ≤ r2 . 2.27 ábra A gömbkondenzátor Az elektródák közötti térrészen a térerősség változását és a potenciál-eloszlást a 2.28 ábrán szemléltetjük. 2.28 ábra A térerősség és a potenciál változása a gömbkondenzátor belsejében 26 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ A kondenzátor kapacitása a jól ismert összefüggésből a gömbkondenzátor sugaraival és a szigetelőanyag permittivitásával a következő alakban adható meg C= Q 4πε = . U 1− 1 r1 r2 (iii) A hengerkondenzátor. Két koaxiális körhenger felületű, l hosszúságú elektróda-pár

hengerkondenzátort alkot (2.29 ábra) A belső elektróda töltését a tengelyében elhelyezett q vonalmenti töltéssűrűséggel modellezzük, minthogy a vonalmenti töltéssűrűség elektromos terében az ekvipotenciális felületei koncentrikus hengerek, és az elektródafelületek ekvipotenciális felületek maradnak. 2.29 ábra A hengerkondenzátor, mint a végtelen hosszú koaxiális vezető hengerek l hosszúságú szakasza Az elektromos térerősség a vonalszerű töltés elektromos terével adható meg az elektródák tengelyétől r távolságban E (r ) = q 1 , r1 ≤ r ≤ r2 . 2πε r A külső elektróda potenciálját nullának tekintve, Φ (r2 ) = 0 , az elektródák között a potenciál eloszlás a következő Φ (r ) = r ln 2 , Φ (r2 ) = 0 . 2πε r q Az elektródák közötti térrészen a térerősség és a potenciál eloszlását a 2.30 ábrán vázoltuk 2.30 ábra A térerősség és a potenciál eloszlása a hengerkondenzátor elektródái között

Az elektródák közötti feszültség a belső elektróda potenciáljával egyezik meg, ha a külső elektródán vesszük fel a referencia potenciálú helyet 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 27 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ U = Φ (r1 ) − Φ (r2 ) = r ln 2 , Φ (r2 ) = 0 . 2πε r1 q Az elektródákra kapcsolt feszültség ismeretében az elektródák közötti a potenciál eloszlás és az elektromos térerősség változása megadható Φ (r ) = r U ln 2 , ln (r2 r1 ) r E (r ) = U 1 , ln (r2 r1 ) r r1 ≤ r ≤ r2 . A kondenzátor kapacitása arányos a hengerkondenzátor hosszával és a hengeres elektródák közötti szigetelőanyag permittivitásával, fordítottan arányos a külső és a belső elektróda arányának logaritmusával C= ql 2πε l = . r2 U ln r1 (iv) Kondenzátorok soros és párhuzamos kapcsolása. A 231 ábrán

látható n darab kondenzátort sorba kapcsoltuk. Ha az összekapcsolt elektródarendszer két végpontja közé U feszültséget kapcsolunk, akkor két végpont között ± Q töltés jelenik meg. 2.31 ábra Sorba kapcsolt kondenzátorok és helyettesítésük az eredőjükkel Minthogy az egyes kondenzátorok fegyverzetein az össztöltés nulla, ez csak úgy lehetséges, hogy az egyes kondenzátorok fegyverzetein ± Q töltés infuálódik. Az egyes kondenzátorok töltése és kapacitása ismeretében azok feszültsége U k = Q C k . A két végpont közötti feszültség az egyes kondenzátorok feszültségeinek összege, n n n 1 Q Q =Q ∑ = , Cs k =1 C k k =1 C k U = ∑U k = ∑ k =1 így a sorosan kapcsolt kondenzátorok helyettesíthetők kondenzátorral, ahol a helyettesítő kondenzátor kapacitása n 1 1 = ∑ . C s k =1 Ck egyetlen Cs kapacitású (2.20) Speciálisan két kondenzátor esetén az eredő kapacitás és az egyes kondenzátorokon fellépő

feszültségek a következő alakban adhatók meg 28 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ C + C2 1 1 1 = + = 1 , C s C1 C 2 C1C 2 C2 U, U1 = C1 + C 2 C1C 2 , C1 + C 2 C1 U. U2 = C1 + C 2 Cs = A 2.32 ábrán látható n darab kondenzátort párhuzamosan kapcsoltuk Ha az összekapcsolt elektródarendszer két végpontja közé U feszültséget kapcsolunk, akkor a k − adik kondenzátor töltése a közös feszültséggel Qk = C k U . A kondenzátorok össztöltése az egyes kondenzátorok töltésének összege n n n k =1 k =1 k =1 Q = ∑ Qk = ∑ C k U = U ∑ C k = UC p , így a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok helyettesíthetők egyetlen C p kapacitású kondenzátorral, ahol a helyettesítő kondenzátor kapacitása n C p = ∑ Ck . (2.21) k =1 2.32 ábra Párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok és helyettesítésük az

eredőjükkel 2.53 Elektróda rendszerek ön és részkapacitása Elektróda rendszereknek olyan elrendezéseket tekintünk, amelyek össztöltése nulla, és a rendszer elektromos terét a rendszeren kívüli töltések nem befolyásolják. Tekintsük a 2.33 árán látható n ( n = 2 ) elektródából és a nullapotenciálú elektródából (föld) álló elrendezést. 2.33 ábra Két elektróda és a föld elektróda töltései és potenciáljai 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 29 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ n Az egyes elektródák töltése Q1 , Q2, L, Qn , a föld elektróda töltése pedig Q0 = − ∑ Qk . Az k =1 elektródák potenciálja Φ1 ,Φ 2 ,L,Φ n . Minthogy a k -adik elektródán a j -edik elektróda töltése pkj Q j potenciált hoz létre, a szuperpozíció elve alapján az elektródák potenciáljának kialakításában az

összes töltés részt vesz, azaz az egyes elektródák potenciáljai arányosak a töltések hatásainak összegével, n Φ k = ∑ pkj Q j , j =1 pkj = p jk , k = 1,2,L, n . Valamennyi elektróda töltését figyelembe véve az elektródák potenciáljai Φ1 = p11Q1 + p12Q2 + L + p1n Qn , Φ 2 = p21Q1 + p22Q2 + L + p2n Qn , . Φ n = pn1Q1 + pn 2Q2 + L + pnn Qn . A fenti egyenletrendszerből a töltések kifejezhetők a potenciálokkal n Q j = ∑ c jkΦ k , c jk = ckj , k =1 j = 1,2,L, n . Ezzel az egyes elektródák töltései a következők lesznek Q1 = c11Φ1 + c12Φ 2 + L + c1nΦ n , Q2 = c21Φ1 + c22Φ 2 + L + c2nΦ n , . Qn = cn1Φ1 + cn 2Φ 2 + L + cnnΦ n . Alakítsuk át a fenti egyenletrendszert úgy, hogy a potenciálok helyett azok különbségei, az elektródák közötti feszültségek szerepeljenek. Pl adjunk hozzá az első egyenlethez nullát a következő alakban m (c12Φ1 + c13Φ1 + L + c1nΦ1 ) = 0 , ekkor az első egyenlet a következő lesz Q1 = c11Φ1

+ c12 (Φ 2 − Φ1 + Φ1 ) + L + c1n (Φ n − Φ1 + Φ1 ) = (c11 + c12 + L + c1n )Φ1 − c12 (Φ1 − Φ 2 ) − L − c1n (Φ1 − Φ n ), hasonlóan eljárva a többi egyenlettel és bevezetve a következő jelöléseket C10 = c11 + c12 + Lc1n , C12 = −c12 , C1n = −c1n , az elektródák töltése és potenciálja közötti kapcsolat a következő alakban adható meg 30 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Q1 = C10Φ1 + C12 (Φ1 − Φ 2 ) + L + C1n (Φ1 − Φ n ), Q2 = C 21 (Φ 2 − Φ1 ) + C 20Φ 2 + L + C 2n (Φ 2 − Φ n ), . Qn = Cn1 (Φ n − Φ1 ) + C n 2 (Φ n − Φ 2 )L + C n0Φ n , ahol a C10 , C20 ,L, Cn0 , és a C kj = C jk , j , k ≠ 0 , mennyiségek a részkapacitások. A C k 0 , k = 1,2,L, n az egyes elektródák és a referencia elektróda, a föld közötti részkapacitás, míg a C kj = C jk , j , k ≠ 0 az egyes

elektródák közötti részkapacitás. A Φk −Φ j , k = 1,2,L, n, j = 0,1,2,L, n mennyiség az k -adik és a j -edik elektróda közötti feszültség, figyelembe véve, hogy a föld elektróda Φ 0 = 0 potenciálja nulla. Két elektróda és a föld esetén a részkapacitások figyelembevételével az elektródák közötti Q1 = C10Φ1 + C12 (Φ1 − Φ 2 ), Q2 = C21 (Φ 2 − Φ1 ) + C20Φ 2 . (2.22) kapcsolat értelmezését a 2.33 ábrán rajzoltuk fel (i) Illusztrációs példa. Két elektródából és a földből álló rendszer részkapacitásai C10 = 0,2 µF, C20 = 0,1 µF, C12 = 2 µF .Az elektródákra feszültséget kapcsolunk, mégpedig az 1. elektróda és a föld közé 4 kV -ot, a 2 elektróda és a föld közé − 2 kV -ot (434 ábra) Ezután az 1. elektródát a generátorról leválasztjuk, a 2 elektródát földeljük Határozzuk meg ekkor az 1. elektróda potenciálját 2.34 ábra Két elektróda és a föld potenciál viszonyai A 4.34 ábra szerint az

elektródák közé kapcsolt feszültség megegyezik az elektródák Φ1 = 4 kV , Φ 2 = −2 kV . Ekkor az elektródák töltése potenciáljával, Q1 = C10Φ1 + C12 (Φ1 − Φ 2 ) = 12,8 mC , Q2 = C 21 (Φ 2 − Φ1 ) + C 20Φ 2 = −12,2 mC . Mivel az 1 elektródát a generátorról leválasztjuk, a töltése nem változik, Q11 = Q1 , az elektróda Φ1 potenciálja pedig a Q1 = (C10 + C12 )Φ1 összefüggés felhasználásával ( Φ 2 = 0 ) Φ1 = Q1 C10 + C12 = 5,5455 kV. 2.54 Szigetelők, dielektrikumok A szigetelőanyagok anyagjellemzőjét az ε permittivitással adjuk meg, amely az elektromos r tér gerjesztettségét reprezentáló D eltolási vektor és az elektromos tér intenzitását jellemző 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 31 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ r r r E elektromos térerősség között teremt kapcsolatot D = εE , ahol ε = ε

0ε r kifejezésében ε r a relatív permittivitás és ε 0 a szabad térre jellemző állandó. Vizsgáljuk meg egy kicsit közelebbről a permittivitás fogalmát. (i) Ha az anyag mikroszkopikus vizsgálatával élünk, akkor az atommag pozitív töltése és a körülötte keringő elektron külső elektromos tér hiányában kiegyensúlyozott állapotot mutat (2.35 ábra) Külső elektromos tér jelenlétében azonban az elektron már nem gömb felületen, hanem ellipszoid alakú felületen kering az atommag körül, amely az ellipszoid egyik gyújtópontjában helyezkedik el. Az így kialakult töltésmegosztás egy r r r p = Q l =α E elektromos nyomatékkal jellemzett dipólussal modellezhető, ahol a töltésmegosztás mértéke r függ a külső E elektromos térerősségtől, és egy α kölcsönhatási együtthatótól. (ii) A mérnöki gyakorlatban azonban makroszkopikus leírást alkalmazunk. Ekkor r feltételezzük, hogy a 2.35 ábra dv térfogatában N számú, pi , i

= 1,2,L, N dipólus nyomatékú dipólus helyezkedik el. Ha feltételezzük, hogy az egyes dipólusok dipólus r r r r r nyomatékai közel azonosak, pi ≈ p j , pi = α i E ≈ αE , i, j = 1,2,L, N , akkor az egységnyi térfogatban elhelyezkedő dipólusok dipólus nyomatékát, a dipólus nyomaték-sűrűséget az elektromos polarizáció vektorral adjuk meg r r r N pi N r 1 Nr ≅ α E = ε 0κE , P = lim (2.23) ∑ pi ≅ dv dv dv 0 dv i =1 ahol az egységnyi térfogatban elhelyezkedő dipólusok számát az nd = N dv dipólus r r sűrűséggel jellemezhetjük. Figyelembe véve a dipólus nyomaték és a külső tér pi ≈ αE kapcsolatát, a polarizáció vektorát az κ dielektromos szuszceptabilitással fejezhetjük ki r r P = ε 0κE , κ > 0 . 2.35 ábra A dielektrikumok mikroszkopikus és makroszkopikus modellje r A fenti összefüggést figyelembe véve a D eltolási vektor egyrészt a szabad tér elektromos r teréből, másrészt a szigetelőanyag jelenlétét

reprezentáló P polarizációs vektorból tevődik össze. A dielektromos szuszceptabilitást alkalmazva, r r r r r D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + κ )E = ε 0ε r E , (2.24) a relatív permeabilitás a szuszceptabilitással kifejezhető εr = 1+ κ , 32 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ahonnan a relatív dielektromos állandóra egynél nagyobb mennyiséget kapunk. (iii) A szigetelőanyagok a dielektromos állandó szempontjából nem-poláros, poláros és ferroelektromos anyagok szerint osztályozhatók. A nem-poláros anyagokban a dipólus nyomatékok külső tér hiányában egyensúlyban vannak, kifelé nulla polarizáció mutatnak, külső elektromos tér hatására azonban a dipólus nyomatékok a tér irányába rendeződnek és az anyag polarizációt mutat (2.36 ábra) A poláros anyagokban a dipólus nyomatékok kölcsönhatása

erős, külső tér nélkül is polarizációt mutatnak(2.36 ábra) Ha a dipólus nyomatékok közötti kölcsönhatás nagyon intenzív, azaz egyes elemi térfogatokban a dipólus nyomatékok kölcsönhatása nagyon erős, akkor növekvő és csökkenő, alternáló, külső tér hatására a polarizáció energiaveszteséggel és késleltetve jelenik meg. Az ilyen anyagokat ferroelektromos anyagoknak nevezzük (236 ábra) 2.36 ábra Nem-poláros, poláros és ferroelektromos anyagok polarizációja 2.55 Folytonossági feltételek Két különböző, ε1 és ε 2 dielektromos állandójú homogén és izotrop közeg közös r r határfelületén lévő pontban az egyes közegekben fellépő E1 ≠ E2 elektromos térerősség r r vektorok és a D1 ≠ D2 eltolási vektorok nem lesznek egyenlők, ki kell elégíteniők az r r r r elektromos tér ∫ E ⋅ dl = 0 , örvénymentességére és ∫ D ⋅ da = Q forrásosságára vonatkozó l a feltételeket. r (i) Az E elektromos

térerősség közeghatáron való viselkedésének vizsgálatához tekintsük r r a 2.37 ábrán látható elrendezést Bontsuk fel az 1 közeg és a 2 közeg E1 , E 2 elektromos térerősség vektorait a közegeket elválasztó felülettel párhuzamos és arra merőleges komponensekre. Vegyünk fel egy kis méretű zárt görbét (téglalapot) a két közeg határfelületén, úgy, hogy a téglalap d magassága minden határon túl tartson nullához, azaz a téglalap l hossza mindkét oldalról simuljon rá a határfelületre. Alkalmazzuk az elektromos r r tér örvénymentességére vonatkozó ∫ E ⋅ dl = 0 összefüggést − E1τ l + E2τ l = 0 , ahonnan az l elektromos térerősség vektor tangenciális komponenseinek folytonosságára kapunk előírást, E1τ = E2τ . r r Az E = D ε összefüggésből pedig (2.25) D1τ D2τ = ε1 ε 2 , az eltolási vektor tangenciális komponensei a permittivitások arányában ugrásszerűen változnak. 2. Fejezet, Statikus

elektromos tér 33 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2.37 ábra Az elektromos térerősség és az eltolási vektor viselkedése közeghatáron r (ii) A D eltolási vektoroknak a közeghatáron való viselkedésének vizsgálatához bontsuk r r fel az 1. közeg D1 és a 2 közeg D2 eltolási vektorait a felülettel párhuzamos és a felületre merőleges komponensekre, 2.37 ábra Vegyünk fel egy hengerfelületet a két közeg határfelületén, úgy, hogy a henger m magassága minden határon túl csökkenjen, azaz a hengerfelület alap és fedőlapja a határfelület két oldalához simuljon. Értékeljük ki az r r elektromos tér forrásosságára vonatkozó ∫ D ⋅ da = Q Gauss tételt a hengerfelületre, és a vegyük figyelembe, hogy a térfogatban elhelyezkedő töltés éppen a határfelületen felhalmozott σ felületi töltéssűrűséggel adható meg,

− D1n a + D2n a = σ a . A kapott eredmény alapján D2n − D1n = σ , a két közeg eltolási vektorának normális komponense a határfelületen felhalmozott σ töltéssűrűséggel ugrik. Ha azonban a határfelületen a felületi töltéssűrűség nulla, σ = 0 , akkor r a D eltolási vektorok normális komponensei folytonosan mennek át a határfelületen D1n = D2n . (2.26) r r A D = εE összefüggést felhasználva az elektromos térerősség normális komponensei a szigetelőanyag permittivitásainak reciprok arányával ugrik E1n E2n = ε 2 ε1 . (iii) Két szigetelő közeg határán az elektromos tér térjellemzőire vonatkozó folytonossági feltételek alapján az elektromos térerősségre ill. az eltolási vektorra vonatkozó töréstörvények egyszerűen előállíthatók (2.38 ábra) Figyelembe véve két dielektrikum határán az elektromos tér tangenciális komponensének folytonosságát, E1τ = E2τ és normális komponensének a permittivitások

arányával való kapcsolatát, ε 2 E 2n = ε1E1n az elektromos térerősség vektoroknak a felületi normálistól való elhajlását reprezentáló α1 , ill. α 2 szögek tangenseinek arányára a következő adódik tgα1 E1τ E2n E2n D2n ε1 ε = = = = 1, tgα 2 E1n E2τ E1n ε 2 D1n ε 2 azaz a nagyobb permittivitású közegben az elektromos térerősség a felületi normálistól jobban elhajlik. 34 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Hasonló eredményre jutunk, ha a vizsgálatokat az eltolási vektorra fogalmazzuk meg (2.38 ábra) tgα1 D1τ D2n ε1E1τ ε = = = 1 . tgα 2 D1n D2τ ε 2 E2τ ε 2 2.38 ábra Az elektromos térerősségre és az eltolási vektorra vonatkozó töréstörvények 2.56 Kereszt-, és hosszirányú rétegezés (i) A folytonossági feltételek alapján tárgyalható a rétegezett dielektrikummal

kitöltött kondenzátorok elektromos tere. Tekintsük a 239 ábrán látható síkkondenzátort, amelyben kétféle dielektrikum foglal helyet, elválasztó síkjuk az elektródákkal párhuzamos (keresztirányban rétegezett síkkondenzátor). Ha az elektródákra U feszültséget kapcsolunk, ezzel az elektródákra ± Q töltést viszünk. A Gauss tételt alkalmazva mindkét rétegben ugyanakkora lesz az eltolási vektor nagysága (2.40 ábra) σ= Q = D1 = D2 = ε1E1 = ε 2 E2 . a 2.39 ábra Keresztirányban rétegezett síkkondenzátor, az eltolási vektor és a térerősség 2.40 ábra A keresztirányban rétegezett síkkondenzátorban az eltolási vektor, a térerőssége, a potenciál változása és kapacitásának modellje 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 35 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Az egyik térerősség kifejezhető a másikkal ε E 2

= 1 E1 . ε2 Az elektródák közötti feszültség ε U = E1d1 + E2 d 2 = E1 (d1 + 1 d 2 ) , ε2 és ezzel az elektromos térerősség az egyes rétegekben a következő E1 = U d1 + ε1 d ε2 2 ε , E2 = 1 U ε 2 d + ε1 d 1 2 ε2 = U ε2 d + d2 ε1 1 . A potenciál az elektródák között lineárisan változik, 0 < x < d1 , ⎧ E1 x, ⎪ Φ (x ) = ⎨ ⎪⎩ E1d1 + E2 ( x − d1 ), d1 < x < d1 + d 2 . Az elektródák töltése kifejezhető a feszültséggel Q = E1ε1a = ε 1a U = CU , d1 + d 2 ε 1 ε 2 C= a d1 ε 1 + d 2 ε 2 , 1 1 1 = + , C C1 C 2 ahonnan a kondenzátor kapacitása az egyes rétegek kapacitásainak soros eredője. A térerősség az ε1E1 = ε 2 E2 összefüggés szerint abban a rétegben nagyobb, amelyikben az ε dielektromos állandó kisebb. Ezért nem feltétlenül a kisebb átütési térerősségű réteg szabja meg a kritikus feszültséget, hanem az a réteg, amelyben ε E kr felületi töltéssűrűség kisebb. Tételezzük

fel, hogy ε1 > ε 2 , de ε1E1kr < ε 2 E2kr , ekkor az elektródákra kapcsolható maximális feszültség ε U kr = (d1 + 2 d 2 ) E 2kr . ε1 (ii) Ha azonban a 2.41 ábrán látható síkkondenzátor lemezei között elhelyezkedő kétféle dielektrikum elválasztó síkja az elektródákra merőleges akkor a síkkondenzátor hosszirányban rétegezett. 2.41 ábra A hosszirányban rétegezett síkkondenzátor, az elektromos térerősség és az eltolási vektor Az elektródákra kapcsolt U feszültség hatására az egyes rétegekben azonos nagyságú elektromos térerősség ébred, 36 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ E = E1 = E2 = U . d Ennek megfelelően az egyes rétegekben az eltolási vektorok nagysága és az elektródaszakaszok felületi töltésűrűsége különböző lesz σ 1 = D1 = ε1E1 = ε1 U U , σ 2 = D2 =

ε 2 E2 = ε 2 . d d Az elektródák ± Q töltése pedig az egyes felületszakaszokra jutó töltések összege Q = σ 1a1 + σ 2 a2 = U (ε1a1 + ε 2 a2 ) = CU , C = ε1a1 + ε 2 a2 = C1 + C2 , d d d ahonnan a hosszirányban rétegezett kondenzátor kapacitása az egyes rétegek kapacitásainak párhuzamos eredője (2.42 ábra) 2.42 ábra Hosszirányban rétegezett síkkondenzátor, a térerősség és az eltolási vektor 2.6 Energiaviszonyok az elektromos térben 2.61 Töltésre ható erő, munkavégzés Az elektromos tér jelenlétében a kis méretű Q töltésre r r F = QE (2.27) r erő hat, ahol E az elektromos térerősség. Ha a töltés elektromos térben a P1 pontból a P2 pontba mozdul el, akkor a tér a töltésen P2 r r r W12 = ∫ F ⋅ dl = Q ∫ E ⋅ dl = QU12 P2 r P1 P1 munkát végez, ahol U12 a két pont közötti feszültség (2.43 ábra) Ha figyelembe vesszük, hogy statikus elektromos térben a feszültség kifejezhető a pontok Φ1 ,Φ 2

potenciáljaival, U12 = Φ1 − Φ 2 , akkor a végzett munka W = QΦ1 − QΦ 2 . A kapott eredményt úgy foghatjuk fel, hogy a töltésnek a P1 pontban W1 = QΦ1 , a P2 pontban W2 = QΦ 2 energiája van, és a munka az energiák különbségével egyenlő. A fenti meggondolás általánosításával azt mondhatjuk, hogy ha egy pontban a többi töltés által létrehozott potenciál Φ , akkor egy kis méretű Q töltés potenciális energiája a pontban W = QΦ . (2.28) 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 37 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Ez úgy értelmezhető, hogy ha a töltés a P pontból a nulla potenciálú P0 referencia pontba kerül, akkor a tér éppen W = QΦ munkát végez. Ha ez a munka negatív, akkor a tér ellenében kell munkát végezni. 2.43 ábra A Q töltés elmozdításával végzett 2.44 ábra Töltés felvitel az elektróda

rendszerre 2.45 ábra Az elektróda töltésének időbeli változása 2.62 Töltött elektródarendszer energiája Tekintsük a 2.44 ábrán látható elektródarendszert Tételezzük fel, hogy a rendszer nulla energiaállapotú, azaz tekintsük az elektródákat töltetlenek. Kapcsoljunk most minden elektróda és a föld közé egy áramforrást, amellyel az elektródákat Q1 , Q2 ,L, Qn töltéssel töltjük fel, miközben potenciáljuk Φ1 ,Φ 2 ,L ,Φ n lesz. A k − adik elektróda pillanatnyi teljesítménye p k = Φ k ik = Φ k dq k , dt a rendszer összteljesítménye n p = ∑ Φk k =1 dqk . dt A t1 ,t 2 időpillanatok között a végzett munka, a rendszer energiája n Qk dq k W = ∫ p dt = ∫ ∑ Φ k dt = ∑ ∫ Φ k dq k , dt k =1 0 t1 t1 k =1 t2 t2 n ahol q k (t1 ) = 0 , és q k (t 2 ) = Qk az elektródák végső töltése. Változtassuk az áramforrások áramát úgy, hogy az elektródák töltése lineárisan változzon (2.45 ábra), ekkor a rendszer

energiája W = 1 n ∑ Qk Φ k . 2 k =1 (2.29) 2.63 Elektróda rendszer energiája és a kapacitások kapcsolata Az elektródarendszerek energiáját célszerű kifejezni a kapacitásokkal. (i) Először tekintsünk két elektródából és földből álló olyan rendszert, amelyben a referencia elektróda (föld) potenciálja és töltése is nulla, azaz n = 2 , és Q1 = Q , Q2 = −Q 38 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (2.46 ábra) Ekkor figyelembe véve, hogy az elektródák potenciáljainak különbsége éppen a feszültség Φ1 − Φ 2 = U , W = 1 (Q1Φ1 + Q2Φ 2 ) = 1 Q(Φ1 − Φ 2 ) = 1 QU . 2 2 2 Az elektródák Q = CU kapacitását felhasználva a kondenzátor energiája W = 1 1 1 Q2 QU = CU 2 = . 2 2 2 C (2.30) 2.46 ábra két elektróda energiájának értelmezése 2.47 ábra Elektróda rendszerek energiájának 2.48

ábra Elektromos tér energiasűrűségének (ii) Ha azonban két elektróda esetén a referencia elektróda (föld) töltése nem nulla, (2.47 ábra), akkor az elektródarendszer energiája W = 1 2 1 ∑ Qk Φ k = (Q1Φ1 + Q1Φ 2 ) 2 k =1 2 a részkapacitások Q1 = C10Φ1 + C12 (Φ1 − Φ 2 ) , Q2 = C 20Φ1 + C 21 (Φ 2 − Φ1 ) alkalmazásával W = 1 [Φ1 (C10Φ1 + C12 (Φ1 − Φ 2 )) + Φ1 (C 20Φ1 + C12 (Φ 2 − Φ1 ))] . 2 2.64 Az elektromos tér energiasűrűsége Az elektromos tér energiája kifejezhető a térjellemzőkkel is. Tekintsük a 2 48 ábrán látható két elektródából álló elrendezést, ahol a két elektróda közötti teret homogén, izotrop szigetelőanyag tölti ki. A korábbiak szerint az elrendezés energiája W = QU 2 Az elektróda töltése és feszültsége kifejezhető az eltolási vektorral és a térerősséggel r r r r r r Q = ∫ D ⋅ da , U = ∫ E ⋅ dl , továbbá figyelembe véve, hogy da ⋅ dl = dv a szigetelőanyag a l

térfogatát jelenti, így W= ( )( ) ( ) r r 1 r r r r 1 ⎛ r r⎞ ⎛ r r⎞ 1 ⎜ ∫ D ⋅ da ⎟ ⎜ ∫ E ⋅ dl ⎟ = ∫ ∫ D ⋅ E dl ⋅ da = ∫ D ⋅ E dv , ⎟⎜ ⎟ 2 2v 2 ⎜⎝ a al ⎠⎝l ⎠ ahonnan az elektromágneses tér egységnyi térfogatának energiasűrűsége 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 39 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ r2 1 r r 1 D 1 r2 = εE , W = ∫ w dv, w = D ⋅ E = 2 2 ε 2 v [w] = 1 Ws3 . (2.31) m 2.65 Elektromos erőhatás és a virtuális munka elve Az elektromos térben fellépő erőhatással már foglalkoztunk. A jelen esetben általánosabban kívánjuk megfogalmazni a probléma megoldását. Az elektromos tér energia egyensúlya esetében a rendszerbe betáplált energia egyrészt megnöveli a tér belső energiáját, másrészt r munkavégzésre, az elektródának egy ds úton való

elmozdítására fordítódik r r dW gen = dWbelső + F ⋅ ds . (i) Tekintsük először azt az esetet, amikor az elektródák töltése nem változik az elmozdulás során. Ekkor a betáplált külső energia nem változik meg, dW gen = 0 , a munkavégzés a tér belső energiájának a rovására történik, amely az elektródák potenciáljainak megváltozását r r eredményezi. Az energiaegyensúly alapján, minthogy dWbelső + F ⋅ ds = 0 , az erőnek az ds elmozdulás irányába eső vetülete az Fs = − dWbelső , Q = áll , ds (2.32) összefüggéssel számítható. (ii) Ha azonban az elektródák potenciálját tartjuk állandónak, akkor az elektromos tér belső energiája nem változik az elektróda elmozdulás során, dWbelső = 0 . Ekkor azonban a munkavégzéshez, az elektróda elmozdításához szükséges energiát a külső energiaforrásból r r kell fedezni dW gen = F ⋅ ds , ahonnan az erőnek az elmozdulás irányába eső vetülete Fs = dW gen ds , U =

áll . (2.33) (iii) A fenti kétféle meggondolás ugyanazt az erőhatást eredményezi valamely elektróda elrendezés esetében. Tekintsünk két elektródájából álló, C kapacitású kondenzátort, ahol az elektródák töltése ± Q , az elektródák közötti feszültség pedig U . Ekkor az elrendezés energiája kifejezhető a kapacitással W = CU 2 2 = Q 2 2C . Ha az elektródák potenciálját tartjuk állandónak, U = áll , akkor U = áll, Fs = dC dW d ⎛1 ⎞ 1 . = ⎜ U 2C ⎟ = U 2 ds ds ds ⎝ 2 ⎠ 2 Ha azonban az elektródák töltését tartjuk állandónak, Q = áll , akkor Q = áll, Fs = − 1 d ⎛ 1 ⎞ 1 Q 2 dC 1 2 dC dW = U , = − Q2 ⎜ ⎟ = 2 ds ds ⎝ C ⎠ 2 C 2 ds 2 ds amely megoldás megegyezik az előzőekben kapott eredménnyel. 40 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2.7 Ellenőrző kérdések [1]

[2] [3] [4] [5] [6] Hogyan mutatható ki az elektromos töltés jelenléte, ismertesse a töltésmodelleket. Ismertesse az elektromos térerősség fogalmát. Adja meg statikus elektromos térben a feszültség és a potenciál fogalmát és kapcsolatát. Ismertesse az elektrosztatika Gauss tételét. Ismertesse a töltésmegosztás jelenségét, Ismertesse a kapacitás fogalmát. Hogyan terjeszthető ki a kapacitás fogalma kettőnél több elektróda esetére, [7] Ismertesse a dielektromos polarizáció jelenségét és vezesse be az elektromos polarizáció vektorát. [8] Ismertesse két szigetelőanyag határfelületén az elektromos tér folytonosságára vonatkozó összefüggéseket, [9] Ismertesse az elektródarendszer töltése és energiája közötti kapcsolatot, [10] Adja meg az elektromos tér energiasűrűségét a térjellemzőkkel, [11] Hogyan határozható meg az erőhatás a virtuális munka elve alapján. 2.8 Gyakorló feladatok 2.81 Feladat A 2.49 ábrán

látható két párhuzamos, végtelen hosszúnak tekinthető vonalszerű töltés vonalmenti töltéssűrűsége q = 2 mC/m , távolsága 2d = 20 cm . Határozza meg a P1 , P2 és a P3 pontokban az elektromos térerősség abszolút értékét, valamint a P1 , P2 pontok potenciáljait, ha a P3 pontot tekintjük referencia pontnak. Adja meg a P1 , P2 pontok között fellépő feszültséget. 2.49 ábra A két vonalmenti töltéssűrűség és a három 250a ábra A térerősség komponensek a P pontban 1 pont helyzete Megoldás. Felhasználva a vonalmenti töltéssűrűség által, tőle r távolságba keltett elektromos térerősség q r q 1 és potenciál Φ (r ) = ln 0 kifejezését, továbbá figyelembe véve, hogy a E (r ) = 2πε r 2πε r geometriai tér valamely pontjában az összes töltés létrehozza a maga hatását, a szuperpozíció elvét felhasználva a következő eredményre jutunk. (i) A P1 pontban (2.50a ábra) a pozitív töltés által létrehozott térerősség

nagysága q 1 E1+ = = E1− , megegyezik a negatív töltés által keltett térerősség abszolút értékével, 2πε d mindkét töltés által keltett térerősségek iránya a pozitív töltéstől a negatív felé mutat. Miután a két térerősség komponens egymással párhuzamos, a P1 pontban az eredő elektromos 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 41 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ térerősség nagysága E (P1 ) = E1+ + E1− = 2 q 1 . A numerikus adatokat is figyelembe véve 2πε d q 1 2 ⋅10−6 1 V kV kV E (P1 ) = = = 36 ⋅104 = 360 = 3,60 . 9 − 10 0,2 m m cm πε d π 4π 9 (ii) A P2 pontban (2.50b ábra) a pozitív töltés által keltett térerősség jobbra mutató q 1 , a negatív töltés által keltett térerősség balra mutató vektorának abszolút értéke E2+ = 2πε 3d q 1 . Az eredő térerősség nagyságát a szuperpozíció

tétel vektorának abszolút értéke E2− = 2πε d q ⎛1 1 ⎞ q 1 . A értelmében a két vektor különbsége adja, E (P2 ) = E2− − E 2+ = ⎜ − ⎟= 2πε ⎝ d 3d ⎠ πε 3d P2 numerikus adatok figyelembevételével a térerősség a pontban V kV q 1 . E (P2 ) = = 12 ⋅10 4 = 1,2 m πε 3d cm (iii) A P3 pontban a geometriai viszonyok már nem olyan egyszerűek (2.50c ábra) 2.50b ábra A térerősség komponensek a P2 pontban 250c ábra A térerősség komponensek a P3 pontban 1 q 1 . Helyezzünk el egy E3− = 2πε d 5d x, y koordináta rendszert a P3 pontban. Ekkor az E3+ térerősség x, y irányú vetülete 2d q 2 d q 1 , E3+y = E3+ , valamint az E3− térerősség komponens E3+x = E3+ = = 5d 2πε 5d 5d 2πε 5d q 1 . Az eredő térerősség két vetületének vetületei E y− = 0 , E y− = − E3− = − 2πε d q ⎛1 ⎞ q 4 q 2 , E y = E y+ + E y− = ismeretében az eredő E x = E x+ = ⎜ − 1⎟ = − 2πε 5d 2πεd ⎝ 5 ⎠ 2πε 5d q 2 q 2 ,. A

számadatok térerősség a következő E (P3 ) = E x2 + E y2 = 1+ 4 = 2πε 5d 2πε 5d P3 figyelembevételével a pontban keresett térerősség értéke numerikus 36 4 V q 2 kV . 1+ 4 = 10 E (P3 ) = E x2 + E y2 = = 1,609 2πε 5d m cm 5 (iv) A P1 , P2 pontok potenciáljai a két töltés által keltett potenciálok szuperpozíciójával számítható, q A két komponens közvetlenül számítható E3+ = 2πε 42 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Φ (P1 ) = q 2πε ln Φ (P2 ) = 5d q d q − ln = ln 5 , 2πε d 2πε d q ln 5d 5 q d q ln = ln − , 3d 2πε d 2πε 3 2πε 5 q q azaz Φ (P1 ) = ln 5 = 28,9699 kV , és Φ (P2 ) = ln = −10,5802 kV . 2πε 2πε 3 (v) A két, P1 , P2 pontok között fellépő feszültség a potenciálkülönbséggel számítható U (P1, P2 ) = Φ (P1 ) − Φ (P2 ) = q 2πε ln 5 − q 2πε ln

5 q = ln 3 = 39,5500 kV . 3 2πε 2.82 Feladat Három pontszerű töltés a 2.51 ábrán látható módón helyezkedik el Határozza meg az elektromos térerősséget a P1 , P2 pontokban, és a két pont közötti feszültséget, ha a = 12 cm , és Q1 = 2µC , Q2 = −3µC , Q3 = 1µC . 2.51 ábra A töltéselrendezés és a pontok helyzete Megoldás. (i) A P1 pontban figyelembe véve a pontszerű töltés által keltett elektromos térerősség Q 1 ,és minthogy a három töltés elektromos tere szuperponálódik, kifejezését, E (r ) = 4πε r 2 Q 1 Q Q 1 1 − 2 + 3 . Rendezés vektoriálisan összegződik (2.52a ábra), E (P1 ) = 1 4πε (4a )2 4πε (2a )2 4πε a 2 és a számadatok behelyettesítésével a keresett térerősség meghatározható 1 ⎛ Q1 Q2 10 −6 V ⎞ ⎛2 3 ⎞ − + Q3 ⎟ = E (P1 ) = − + 1⎟ = 3,3750 ⋅105 . ⎜ ⎜ 4πε a 2 ⎝ 16 4 m ⎠ 4π 10 − 9 (12 ⋅10 − 2 )2 ⎝ 16 4 ⎠ 4π 9 (ii) A P2 pontban a 2.52b ábrán látható módon

összegződnek a töltések által létrehozott Q 1 Q Q 1 kV 1 − 2 − 3 = −21,87500 . térerősség komponensek E (P2 ) = 1 2 2 2 4πε a 4πε a cm 4πε (2a ) 2.52a ábra A térerősség komponensek a P1 pontban 252b ábra A térerősség komponensek a P2 pontban 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 43 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ (iii) A két pont potenciálja és a pontok közötti feszültség Q 1 Q 1 Q 1 10−6 ⎛2 3 ⎞ Φ (P1 ) = 1 − 2 + 3 = ⎜ − + 1⎟ = 4,5 ⋅ 104 V , 10−9 −1 ⎝ 4 3 ⎠ 4πε 4a 4πε 3a 4πε a 4π 10 4π 9 Q 1 Q 1 Q 1 10−6 ⎛2 ⎞ Φ (P2 ) = 1 − 2 + 3 = ⎜ − 3 + 1⎟ = −9 ⋅104 V , 9 − 10 4πε 2a 4πε a 4πε a 2 ⎠ 4π 10−1 ⎝ 4π 9 4 U (P1 , P2 ) = Φ (P1 ) − Φ (P2 ) = 4,5 ⋅10 − (− 9 ⋅10 4 ) = 13,5 ⋅10 4 = 135kV . a következő 2.83 Feladat Három pontszerű töltés a 2.53

ábrán látható módon helyezkedik el Határozza meg a P pontban az elektromos térerősséget, valamint a potenciál értéket, ha Q = 2µC , és a = 20cm . 2.53 ábra A töltéselrendezés és a pont helyzete Megoldás. Figyelembe véve, hogy a két negatív töltés azonos távolságra helyezkedik el a ponttól, így az Q 1 általuk létrehozott térerősség is azonos abszolút értékű E − = . A két negatív 4πε 2a 2 ( ) Q 2 . A 4πε 4a 2 2Q 1 . A két pozitív töltés által keltett elektromos térerősség x − irányú E x = E + = 4πε a 2 Q 4 + 1 8 , az komponensből az eredő térerősség abszolút értéke E (P ) = E x2 + E y2 = 4πε a 2 megadott számadatok figyelembevételével 2 ⋅10−6 5 V = 9,1395 kV . 4 , 125 9 , 1395 10 E (P ) = = ⋅ 10−9 m cm 4π 4 ⋅10− 2 4π 9 2Q 1 Q 1 , a numerikus adatok figyelembe vételével a A P pont potenciálja Φ (P ) = −2 4πε a 4πε 2a 2 ⋅10−6 1 ⎛ 1 ⎞ potenciálra Φ (P ) = 2 ⎜1 − ⎟ = 5,2721

⋅104 V = 52,721 kV érték adódik. 9 − 10 0,2 ⎝ 2⎠ 4π 4π 9 töltésből származó térerősségek y − irányú komponenst adnak E y = E − 2 = 44 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2.84 Feladat Határozza meg mekkora erő hat a 2.54 ábrán látható elrendezés jobboldali vonalmenti töltéssűrűségének egységnyi hosszú szakaszára, ha a = 15 cm , q = 2 µC m . Megoldás. A Coulomb törvényt alkalmazva és figyelembe véve a töltések által keltett erőhatás vektor jellegét a jobboldali töltés egységnyi hosszúságú szakaszára ható erő ⎛ 2q 2 1 q 2 1 ⎞ 4 ⋅10−12 ⎟⎟ = (− 2 + 0,5) = 720 ⋅10−3 N . + F = ⎜⎜ − −9 ⎝ 2πε a 2πε 2a ⎠ 2π 10 0,15 4π 9 2.85 Feladat A 2.55 ábrán három végtelen hosszúnak tekinthető párhuzamos vonaltöltés látható Mi a feltétele annak, hogy a q0

töltésre ne hasson erő. 2.54 ábra A vonalmenti töltéselrendezések 2.55 ábra A három vonaltöltés helyzete Megoldás. Az elektromos térerősség definícióját felhasználva, tekintsük a q0 töltést a próbatöltésnek. Akkor nem hat rá erő, ha az többi töltés nulla térerősséget hoz létre a q0 töltés helyén, azaz a q 1 q 1 q1 töltés által létrehozott E1 = 1 , valamint a q2 töltés által létrehozott E2 = 2 2πε a 2πε 2a térerősségek eredője zérus, E1 − E2 = 0 , azaz E1 = E2 , ahonnan a két töltés arányára q1 q2 = 1 2 adódik. 2.86 Feladat A 2.56 ábrán látható négyzet sarokpontjaiban négy egyforma nagyságú és előjelű pontszerűnek tekinthető töltés helyezkedik el. Mekkora negatív töltést kell a négyzet középpontjában elhelyezni, hogy egyik töltésre se hasson erő. 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 45

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2.56 ábra A négyzet töltései és a kialakuló térerősség Megoldás. Mivel az elrendezés teljesen szimmetrikus, elegendő egy töltés esetén vizsgálni a viszonyokat. A Q (1) töltésre ható F = Q (1) E2,3,4,0 = 0 erő nulla, ha a Q (1) töltés helyén a többi töltésből Q ⎡ 2 ⎢ származó térerősség nulla, azaz E 2,3,4,0 = + 4πε ⎢ a 2 ⎣ Q Q0 = 2 + 1 2 = 0,957Q . 2 [ ] ⎤ Q ⎥− 0 2 ⎥ 4πε 2a ⎦ 1 ( ) ( 1 2a 2 )2 = 0 , ahonnan 2.87 Feladat Egy r0 sugarú gömb belsejében egyenletes eloszlásban ρ töltéssűrűség helyezkedik el. Határozzuk meg a potenciál eloszlást a gömb belsejében és a gömbön kívül. Megoldás. Alkalmazzuk a Gauss tételt a gömbön belül ill. a gömbön kívül egy r sugarú gömbfelületre 4r 3π 2 , ahonnan az elektromos térerősség eloszlása A gömbön

belül εE 4πr = ρ 3 4r03π ρ 2 meghatározható E (r ) = r . A gömbön kívül εE 4πr = ρ , ahonnan a térerősség 3ε 3 ρ r03 1 eloszlására a következő adódik E (r ) = . A potenciál változása a gömbön kívül 3ε r 2 ∞ ρ r03 ∞ 1 ρ r03 1 Φ (r ) = ∫ E dr = , amely megegyezik a Q = ρ 4πr03 3 töltésű gömb ∫ 2 dr = 3 3 ε ε r r rr ρ r02 . A potenciál eloszlása a potenciál eloszlásával. A felületen a potenciál értéke Φ (r0 ) = 3ε 2 2 ρ r2 r0 r0 ∞ ρ ρ r0 − r + 0 . A középpont gömbön belül Φ (r ) = ∫ E1 dr + ∫ E2 dr = ∫ r dr + Φ (r0 ) = 3 ε 3 ε 2 3ε r r0 r 46 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ potenciálja Φ (r = 0) = Φ (r0 ) Φ (r = 0) = 2 3 . ρ r02 . A középpont és a felület potenciáljának viszonya 2ε 2.88 Feladat Egy R sugarú, szigetelőanyagból készült

tárcsán Q töltés helyezkedik el egyenletes eloszlásban (2.57 ábra) Határozza meg a potenciál eloszlást a tengely mentén 2.57 ábra A tárcsa elemi felülete Megoldás. Ha a töltés egyenletes eloszlásban helyezkedik el, akkor a felületi töltéssűrűség σ = Q R 2π . A tárcsa elemi dr rdϕ felületén dQ = σ r dϕ dr töltés helyezkedik el, amely a tengelyen lévő dQ 1 P pontban dΦ = potenciált hoz létre, ha az elemi felületnek e tengelytől vett 4πε x x = r 2 + z 2 . A tárcsa teljes felületének töltését figyelembe véve 1 Q 2π R r dϕ dr Q ⎡ 2 = = d z + R 2 − z ⎤ . Ha a tárcsa Φ (z ) = Φ ∫ ∫ ∫ 2 2 ⎢ ⎥⎦ 2 2 ⎣ 2πεR tárcsafelület 4πε R π ϕ = 0 r = 0 r + z távolsága felületétől messze megyünk, azaz z >> R , akkor a potenciál eloszlás zárójeles kifejezése a következő alakkal közelíthető ( ) z 2 + R 2 = z 1 + R 2 z 2 ≈ z 1 + R 2 2 z 2 , amiből a potenciál ⎡ ⎤ R2 Q 1 z + − z . A tárcsa

felületén a ⎢ ⎥= 2 2z 2πεR ⎣⎢ ⎥⎦ 2πε z Q középpontban a potenciál értéke a következő lesz Φ ( z = 0) = . 2πεR eloszlásra a következő adódik Φ ( z ) ≈ Q 2.89 Feladat Határozza meg a síkkondenzátor kapacitását, ha a lemezek távolsága d = 0,5 cm , a lemezek felülete pedig a = 2,5 cm 2 és a szigetelőanyag levegő, ε = ε 0 , ( ε 0 = Megoldás εa 10−9 2,5 ⋅10−4 10−10 = = 4,4231 ⋅10 −13 F = 0,4423 pF . C= = d 4π 9 5 ⋅10−3 72π 10 −9 As ). 4π 9 Vm 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 47 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2.810 Feladat Adja meg annak a síkkondenzátornak a geometriai adatait, amely C = 5 pF kapacitás érték mellett Emax = 10kV/cm villamos szilárdságú szigetelőanyag esetén ( ε r = 1 ), U = 2 kV feszültséget bír el. Megoldás U 2 ⋅ 103 = 2 ⋅10−3 m = 2mm , d= = 5 Emax

10 ⋅10 a= Cd ε = 5 ⋅10−12 2 ⋅10−3 10−9 4π 9 = 36π ⋅10−5 m 2 = 0,0011 m 2 = 11 cm 2 . 2.811 Feladat Mekkora maximális töltés vihető egy r0 = 2m sugarú, levegőben magában álló gömbre, ha a megengedett maximális térerősség Emax = 10kV/cm . Megoldás Q = 4πr02εE = 4π 4 10 −9 5 4 − 4 10 = 10 C = 0,44 ⋅ 10 − 4 C . 4π 9 9 2.812 Feladat Egy gömbkondenzátor belső sugara r1 = 1,5 cm , külső sugara r2 = 3 cm . (i) Mekkora maximális feszültség kapcsolható az elektródák közé, ha az elektródák közötti szigetelőanyagban (levegő) a megengedett maximális térerősség Emax = 10kV/cm . (ii) Határozza meg az elrendezés C kapacitását. Megoldás (i) Minthogy a maximális térerősség a belső elektródán lép fel Emax = E (r1 ) = Q 4πε 1 r12 , ahonnan az elektródákra vihető maximális töltés Q = Emax 4πεr12 . Az elektródákra ⎛1 1⎞ Q ⎛1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ = Emax r12 ⎜⎜ − ⎟⎟ , a számadatok

4πε ⎝ r1 r2 ⎠ ⎝ r1 r2 ⎠ behelyettesítése után U = 10 6 ⋅1,5 2 ⎛⎜ 1 − 1 ⎞⎟ = 10 6 1 − 1 = 0,5 ⋅10 6 = 500 kV . 2 ⎝ 1,5 3 ⎠ 4πε (ii) A gömbkondenzátor kapacitása C = , 1 − 1 kapcsolható maximális térerősség U = ( ) r1 r2 48 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎛ 4π 10 − 9 ⎜ 1 C= ⎜ 1 4π 9 ⎜ − 1 −2 − 2 3⋅10 ⎝ 1,5⋅10 ⎞ ⎟ 1 ⎟ = ⋅ 10 −11 = 3,3 pF . ⎟ 3 ⎠ 2.813 Feladat Két gömb alakú elektróda sugara r0 = 1,5 cm , középpontjaik távolsága d = 20 cm , ( d >> r0 ). (i) Mekkora villamos szilárdságú legyen az elektródák közötti szigetelőanyag, hogy az elektródák közé kapcsolt U = 10 kV feszültség hatására még ne üssön át. (ii) Határozza meg az elrendezés kapacitását. Megoldás (i) A 2.58 ábrán az elektródák feszültsége a

potenciálkülönbséggel kifejezhető, 1 ⎞ Q ⎛ 1 1⎞ Q ⎛1 ⎜⎜ − ⎟≈ ⎜ − ⎟ = −Φ (B ) . Ezzel az U = Φ ( A) − Φ (B ), ahol Φ ( A) = 4πε ⎝ r0 d − r0 ⎟⎠ 4πε ⎜⎝ r0 d ⎟⎠ Q ⎛ 1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ = 10 4 V, ahonnan az 4πε ⎝ r0 d ⎠ elektródák töltése meghatározható. A maximális térerősség az egyik elektródán az A pontban ⎛ 1 1 ⎞⎟ 1 ⎞⎟ Q ⎛⎜ 1 U ⎜ , lép fel E max = E A = E (+ ) + E (− ) = + = + 4πε ⎜ r 2 d 2 ⎟ 2( 1 − 1 ) ⎜ r 2 d 2 ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎠ r0 d ⎝ 0 elektródák közé kapcsolt feszültség U = 2Φ ( A) = 2 E max = 10 4 2( 1 1,5⋅10 − 2 − ⎞ ⎛ 1 1 ⎟3,5833 ⋅ 10 5 V/m = 3,5833 kV/cm . ⎜ + ⎜ − − 1 2 4 2 4 20 ⋅ 10 ⎟⎠ ) 1,5 ⋅ 10 −2 ⎝ 20 ⋅10 2.58 ábra Az elektróda elrendezés (ii) A feszültség ismeretében a kapacitás meghatározható C = C= 2π 10 −9 1 = 9,0090 ⋅ 10 −13 = 0,9 pF 4π 9 ⎛ ⎞ 1 1 ⎟ ⎜ − ⎜ 1,5 ⋅ 10 − 2 20 ⋅

10 − 2 ⎟ ⎠ ⎝ Q 2πε , = U ⎛ 1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎝ r0 d ⎠ 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 49 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2.814 Feladat Egy koaxiális kábel külső sugara r2 = 10 cm . Mekkoraára válasszuk a belső elektróda r1 sugarát, hogy U = 10 kV feszültség mellet a fellépő maximális térerősség minimális legyen. Mekkora ez a térerősség, ha ε r = 1. Megoldás Ha a nullapotenciálú helyet a külső elektródán vesszük fel, a feszültség az elektródák r q potenciálkülönbségével megadható, U = Φ (r1 ) − Φ (r2 ) = ln 2 , ahonnan az elektródák 2πε r1 töltése meghatározható. A maximális térerősség a belső elektródán lép fel q 1 U 1 Emax = E (r1 ) = = . Ez a maximális térerősség akkor minimális, ha a nevező 2πε r1 ln r2 r1 r1 maximális, ui. ha r1 = 0 , ill ha r1 = r2 esetén a

nevező nulla A nevező maximális, ha a első deriváltja nulla, azaz d ⎛ r ⎞ d ⎜⎜ r1 ln 2 ⎟⎟ = (r1(ln r2 − ln r1 )) = (ln r2 − ln r1 ) − r1 1 = ln r2 − 1 = 0 , dr1 ⎝ r1 ⎠ dr1 r1 r1 r ahonnan r1 = 2 = 0,368 r2 . Ekkor az elektromos térerősség nagysága e 4 (Emax )min = U = 10 = 2,7174 ⋅105 V/m = 2,7174 kV/cm . r1 0,368 ⋅ 0,1 2.815 Feladat Két egymással párhuzamos r0 = 2cm sugarú fémhenger tengelyeinek távolsága d = 15 cm ( d >> r0 ). (i) Mekkora maximális feszültség kapcsolható az elektródák közé, ha a szigetelőanyagban a megengedett maximális térerősség 10 kV/cm . (ii) Határozza meg az elrendezés l = 15 m hosszúságú szakaszának kapacitását. Megoldás (i) A 2.59 ábrán látható elrendezésen a maximális térerősség az A pontban ébred 2.59 ábra Az elektróda elrendezés és az A pont a térerősség komponensei 50 A. Iványi, Fizika-I

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 1 ⎞ q ⎛1 q ⎛ 1 1⎞ ⎜⎜ + ⎟⎟ ≈ ⎜ + ⎟ = 10 6 V/m , ahonnan az 2πε ⎝ r0 d − r0 ⎠ 2πε ⎜⎝ r0 d ⎟⎠ E q = max . Az elektródák között fellépő feszültség a elektródák töltése kifejezhető 1 1 2πε + r0 d potenciálkülönbséggel kifejezhető. A nulla potenciálú helyet a B pontban választva, Φ (B ) = 0 a feszültség megegyezik az A pont potenciáljával U = Φ ( A) , E max = E ( A) = E (+ ) + E (− ) = r ⎞ d − r0 q ⎛ d − r0 q q d ⎜⎜ ln − ln 0 ⎟⎟ = 2 ln ≈ ln . A térerősségből r0 d − r0 ⎠ πε r0 2πε ⎝ 2πε r0 E d meghatározott töltés figyelembe vételével U = max ln , 1 + 1 r0 Φ ( A) = r0 U= E max 1 r0 + 1 d ln d 15 = 1,7647 ⋅ 10 4 ln = 3,5557 ⋅ 10 4 V = 35,557 kV . r0 2 (ii) Minthogy az elektródák közti feszültség U = C= d q πε

ln d , az elrendezés kapacitása r0 Q ql πε l π 10 −9 ⋅ 15 = = = = 2,0679 ⋅ 10 -10 F = 20,679nF . q d U ln (d r0 ) 4π 9 ⋅ ln (15 2 ) ln πε r0 2.816 Feladat Az ábrán látható, keresztirányban rétegezett síkkondenzátor egyik rétege porcelán, a másik réteg transzformátor olaj. 1porcelán, ε1r = 5,5 E1kr = 350 kV/cm d1 = 1 cm , 2.traszfolaj, ε 2r = 2,2 E 2kr = 300 kV/cm d 2 = 0,6 cm (i) Mekkora a kondenzátorra kapcsolható maximális feszültség, (ii) Mekkora az elrendezés kapacitása? Megoldás (i) A 2.60 ábrán látható keresztirányú rétegek határfelületén az eltolási vektor normális komponense megy át folytonosan D1 = D2 . Mivel D1 = ε1r ε 0 E1kr = 5,5 ⋅ ε 0 ⋅ 350 > D2 = ε 2r ε 0 E 2kr = 2,2 ⋅ ε 0 ⋅ 300 , a 2. réteg térerőssége lesz a meghatározó, E2 max = E2kr = 300 kV/cm . Ekkor az 1 rétegben ébredő maximális térerősség ε E 300 ⋅ 2,2 E1max = 2 2kr = = 120 kV/cm < E1kr . Az elektródákra kapcsolható

maximális 5,5 ε1 feszültség U max = E1 max d1 + E2 max d 2 = 120 ⋅1 + 300 ⋅ 0,6 = 300 kV . (ii) Minthogy a 2. réteg a mértékadó, a felületi töltéssűrűségből az elektróda töltése ⎛ε ⎞ Q = D2 a = ε 2 E 2 a . Az elektródák közé kapcsolt feszültség U = E 2 ⎜⎜ 2 d1 + d 2 ⎟⎟ , és ezzel a ⎝ ε1 ⎠ 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 51 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ rétegezett síkkondenzátor kapacitása C = C= Q = U E 2ε 2 a ⎛ε ⎞ E 2 ⎜⎜ 2 d1 + d 2 ⎟⎟ ⎝ ε1 ⎠ = a , d1 ε1 + d 2 ε 2 250 ⋅ 10 −4 10 −9 = 4,8631 ⋅ 10 -11 F = 48,631 pF. 0,01 5,5 + 0,006 2,2 4π 9 2.60 ábra A keresztirányban rétegezett síkkondenzátor 2.61 ábra Az elektródára ható meghatározása a virtuális munka eleve alapján 2.817 Feladat Hányszorosára változik meg a síkkondenzátor energiája, ha

állandó feszültség mellett a lemezek d távolságát felére csökkentjük. Megoldás ε a Wd εa 1 , Wd 2 = 1 C (d 2)U 2 = 1 U 2 , Wd = 1 C (d )U 2 = 1 U 2 = . 2 2 2 2 d d 2 Wd 2 2 2.818 Feladat Határozzuk meg az előző feladatban az energia megváltozását, ha a töltést tartjuk állandónak. Megoldás d 2 Wd Q2 d Q2 = 1 Q2 = 1 Q2 Wd = 1 , Wd 2 = 1 , = 2. 2 C (d 2 ) 2 2 C (d ) 2 εa ε a Wd 2 2.819 Feladat Határozzuk meg egy a felületű és d elektróda távolságú síkkondenzátor egyik elektródájára ható erőt, ha a kondenzátor U feszültsége állandó. Megoldás A virtuális munka elve alapján az erőhatás meghatározható. A 261 ábrán felrajzolt elrendezésben a lemezek távolságát jelöljük d = s szimbólummal. Minthogy az elektródák 1 dC 1 2 d ⎛ ε a ⎞ 1 2 ⎛ 1 ⎞ feszültsége állandó, így Fd = U 2 = U ⎟ = U ε a⎜ − 2 ⎟, azaz az erőhatás a ⎜ 2 ds 2 ds ⎝ s ⎠ 2 ⎝ s ⎠ 52 A. Iványi, Fizika-I

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ lemezek közti távolságot csökkenteni akarja. Ha s = d jelöléssel az erőhatás nagysága 1 U 2ε a . Fd = − 2 d2 2.9 További feladatok [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] Egy r0 = 10 cm sugarú gömbfelületen σ = 12 pC nagyságú felületi töltéssűrűség helyezkedik el egyenletes eloszlásban. Határozza meg, mekkora a gömb töltése Egy l = 1,6 m hosszú, r0 = 0,42 mm sugarú rúdon Q = 32 nC töltés helyezkedik el. Határozza meg a rúd egységnyi hosszúságú szakaszán a töltéssűrűséget. Egy r1 = 12 cm sugarú tárcsa egyik felületén Q = 1,8 nC töltés helyezkedik el egyenletes eloszlásban. Határozza meg a tárcsa felületi töltéssűrűségét Mekkora az a Q pontszerű töltés, amely a tőle r1 = 1,2 cm és r2 = 2,4 cm távolságra lévő pontok között U12 = 10 kV

feszültséget hoz létre levegőben. Mekkora Φ potenciált hoz létre a Q = 2 µC nagyságú pontszerű töltés, a tőle r1 = 25 cm távolságra lévő pontban, ha a nulla potenciálú helyet a töltéstől r2 = 50 cm távolságban definiáljuk. A szigetelőanyag relatív permittivitása ε r = 2 Mekkora annak a q vonalszerű töltésnek a nagysága, amely tőle r1 = 35 cm távolságban Φ1 = 38 kV nagyságú potenciált hoz létre az r2 = 60 cm távolságra elhelyezett referencia ponthoz képest. A szigetelőanyag relatív permittivitása ε r = 3,4 Határozza meg a q = 2 µC/m nagyságú vonalszerű töltéstől r1 = 15 cm és r2 = 45 cm távolságban lévő pontok között levegőben fellépő U12 feszültséget. Határozza meg a Q = 3 µC nagyságú töltéstől r1 = 25 cm távolságban az E1 elektromos térerősség értékét, ha a szigetelőanyag levegő. Határozza meg a q = 4 µC/m nagyságú vonalszerű töltéstől r1 = 5 cm távolságban az E1 elektromos térerősség

értékét, ha a teret kitöltő szigetelőanyag levegő. Mekkora az a Q pontszerű töltés, amely tőle r1 = 24 cm távolságban E1 = 5 kV/cm elektromos térerősséget hoz létre az ε r = 2,4 relatív permittivitású szigetelőanyagban. Az ε r = 3,2 relatív permittivitású szigetelőanyagban mekkora q vonalszerű töltés hoz létre tőle r1 = 18 cm távolságban E1 = 32 kV/cm elektromos térerősséget. Mekkora U12 feszültséget hoz létre az ε r = 3 relatív permittivitású közegben az a q vonalszerű a tőle r1 = 12 cm és r2 = 18 cm távolságban lévő pontok között, amely az r1 távolságban lévő pontban E1 = 23 kV/cm nagyságú elektromos térerősséget kelt. Mekkora U12 feszültséget kelt az ε r = 1,6 relatív permittivitású közegben az a q vonalszerű töltés a tőle r1 = 18 cm és r2 = 24 cm távolságban lévő pontok között, amely az r2 távolságban lévő pontban E2 = 18 kV/cm nagyságú elektromos térerősséget hoz létre. Mekkora E1 elektromos

térerősséget hoz létre a tőle r1 = 15 cm távolságban lévő pontban az a Q pontszerű töltés, amely a r1 és r2 = 42 cm távolságban lévő pontok között U12 = 12 kV feszültséget generál. 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 53 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ [15] Mekkora E1 elektromos térerősséget hoz létre az a q vonalszerű töltés a tőle r1 = 24 cm távolságra lévő pontban, amely az r1 és r2 = 16 cm távolságra lévő pontok között U12 = 26 kV feszsültséget állít elő. [16] Két q = ±2µC / m nagyságú párhuzamos vonaltöltés egymástól d = 24 cm távolságra helyezkedik el. Mekkora E elektromos térerősséget hoznak létre a vonaltöltések tengelyeit összekötő egyenes felezőpontjában. [17] Két Q = ±16 µC nagyságú pontszerű töltés egymástól d = 16 cm távolságban helyezkedik el. Mekkora E elektromos

térerőssége lép fel a két töltést összekötő egyenes mentén a pozitív töltéstől d / 2 távolságra. [18] Három egyforma Q = 2 µC nagyságú pontszerű töltés egy egyenlő oldalú háromszög három csúcspontjában helyezkedik el. Mekkora az E elektromos térerősség (a) a háromszög oldalfelező pontjában, (b) a háromszög súlypontjában. [19] Mekkora annak a légszigetelésű síkkondenzátornak a kapacitása, amelynek a = 12 cm 2 felületű lemezei d = 3,2 cm távolságban helyezkednek el. [20] Egy C = 3,6 nF kapacitású síkkondenzátor egyik lemezén Q = 3 µC nagyságú töltés helyezkedik el. Mekkora a lemezek között fellépő feszültség [21] Mekkora annak a síkkondenzátornak a kapacitása, amelyre U = 15 kV feszültséget kapcsolva a lemezekre Q = ±24 µC töltést viszünk fel. [22] Mekkora töltést viszünk annak a C = 12 µF kapacitású síkkondenzátor lemezeire, amelyet U = 16 kV feszültségre kapcsolunk. [23] Mekkorára változik annak a

síkkondenzátornak a kapacitása, amely lemezeinek távolságát kétszeresére növeljük. [24] Mekkorára változik annak a kondenzátornak a töltése, amelynek a feszültségét felére csökkentjük. [25] Mekkorára változik annak a síkkondenzátornak a töltése, amelynek ugyanakkora feszültség mellett a lemezeinek távolságát felére csökkentjük. [26] Mekkorára változik annak a síkkondenzátornak a feszültsége, amelynek ugyanakkora töltés mellett a lemezeinek távolságát kétszeresére növeljük. [27] Határozza meg a légszigetelésű síkkondenzátornak d = 1,2 cm távolságra lévő lemezei között az elektromos térerősség értékét, ha a lemezekre U = 12 kV feszültséget kapcsolunk. [28] Két gömb alakú elektróda sugara r0 = 2 cm , középpontjaik távolsága d = 32 cm , (d >> r0 ) . Mekkora töltést viszünk az elektródákra, ha U = 12 kV feszültségre kapcsoljuk. A szigetelőanyag levegő [29] Két r0 = 1,5 cm sugarú gömb alakú

elektróda ε r = 3,2 relatív permittivitású szigetelőanyagban helyezkedik el. Középpontjaik távolsága d = 20 cm (d >> r0 ) Határozza meg az elektromos térerősség értékét abban a pontban amely a két középpontot összekötő egyenesen és ugyanakkor az egyik elektróda felületén helyezkedik el, ha az elektródák töltése ± 2 µC . [30] Két gömb alakú elektróda sugara r0 = 3 cm , középpontjaik távolsága d = 45 cm (d >> r0 ) . Az elektródák közé U = 12 kV feszültséget kapcsolunk Határozza meg a középpontokat összekötő egyenes felezőpontjában az elektromos térerősség értékét, ha a szigetelőanyag levegő. 54 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ [31] Két r0 = 1,2 cm sugarú gömb alakú elektróda ε r = 1,6 relatív permittivitású szigetelőanyagban, egymástól d = 32 cm távolságra

helyezkedik el, d >> r0 . Határozza meg az elrendezés kapacitását. [32] Két r0 = 1,8 cm sugarú gömb alakú elektróda középpontjainak távolsága d = 24 cm , (d >> r0 ) . Mekkora feszültség kapcsolható az elektródák közé, ha a teret kitöltő szigetelőanyagban az elektromos térerősség maximális értéke Emax = 10 kV/cm lehet. [33] Két gömb alakú elektróda sugara r0 = 1,2 cm , középpontjaik távolsága d = 20 cm , (d >> r0 ) . Mekkora lesz az elektródákon ébredő maximális térerősség értéke, ha az elektródákra U = 12 kV feszültséget kapcsolunk. [34] Határozza meg két r0 = 1,4 cm sugarú gömb alakú elektróda középpontjainak távolságát, ha azokat U = 21 kV feszültségre kapcsolva Q = ±20 nC töltést viszünk az elektródákra. [35] Határozza meg a szabad térben magában álló r0 = 1,2 cm sugarú gömb kapacitását. [36] Határozza meg annak a szabad térben magában álló r0 = 1,4 cm sugarú gömb potenciálját,

amelyre Q = 2 µC töltést viszünk fel. [37] Két párhuzamos tengelyű hengeres vezető sugara r0 = 2 cm , tengelyeik távolsága d = 32 cm , (d >> r0 ) . Mekkora töltést viszünk a hengeres elektróda l = 1,2 m hosszúságú szakaszára, ha U = 12 kV feszültségre kapcsoljuk. A szigetelőanyag levegő [38] Két r0 = 1,5 cm sugarú párhuzamos tengelyű hengeres elektróda ε r = 3,2 relatív permittivitású szigetelőanyagban helyezkedik el. Tengelyeik távolsága d = 20 cm (d >> r0 ) . Határozza meg az elektromos térerősség értékét abban a pontban amely a két tengelyt összekötő egyenesen és ugyanakkor az egyik elektróda felületén helyezkedik el, ha az l = 2,5 cm hosszú hengeres elektródák töltése ± 2 µC . [39] Két párhuzamos tengelyű, hengeres elektróda sugara r0 = 3 cm , tengelyeinek távolsága d = 45 cm (d >> r0 ) . Az elektródák közé U = 12 kV feszültséget kapcsolunk Határozza meg a tengelyeket összekötő egyenes

felezőpontjában az elektromos térerősség értékét, ha a szigetelőanyag levegő. [40] Két r0 = 1,2 cm sugarú párhuzamos tengelyű hengeres elektróda ε r = 1,6 relatív permittivitású szigetelőanyagban, helyezkedik el, tengelyeinek távolsága d = 32 cm , d >> r0 . Határozza meg az elrendezés l = 3,2 m hosszúságú szakaszának kapacitását [41] Két r0 = 1,8 cm sugarú párhuzamos tengelyű hengeres elektróda tengelyeinek távolsága d = 24 cm , (d >> r0 ) . Mekkora feszültség kapcsolható az elektródák közé, ha a teret kitöltő szigetelőanyagban az elektromos térerősség maximális értéke Emax = 10 kV/cm lehet. [42] Két párhuzamos tengelyű hengeres elektróda sugara r0 = 1,2 cm , tengelyeinek távolsága d = 20 cm , (d >> r0 ) . Mekkora lesz az elektródákon ébredő maximális térerősség értéke, ha az elektródákra U = 12 kV feszültséget kapcsolunk. [43] Határozza meg két párhuzamos tengelyű r0 = 1,6 cm sugarú

hengeres elektróda tengelyeinek d távolságát, ha azokra U = 100 V feszültségre kapcsolva az elektródák l = 2,8 m hosszúságú szakaszára Q = ±3 nC töltést viszünk. 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 55 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ [44] Egy koaxiális kábel belső elektródájának sugara r1 = 2 cm , külső elektródájának belső sugara r2 = 5 cm , a két elektróda közötti teret ε r = 2,4 relatív permittivitású közeg tölti ki. A koaxiális kábelre U = 12 kV feszültséget kapcsolva határozza meg az elektródák töltését. [45] Egy koaxiális kábel belső elektródájának sugara r1 = 1,5 cm , külső elektródájának belső sugara r2 = 6 cm , a két elektróda közötti teret ε r = 3,2 relatív permittivitású közeg tölti ki. Határozza meg az elrendezésben ébredő maximális térerősség értékét, ha az elektródák

közé U = 18 kV feszültséget kapcsolunk. [46] Egy koaxiális kábel belső elektródájának sugara r1 = 3,2 cm , külső elektródájának belső sugara r2 = 8 cm , a két elektróda közötti teret ε r = 2,8 relatív permittivitású közeg tölti ki. Határozza meg az elrendezés kapacitását [47] Egy koaxiális kábel belső elektródájának sugara r1 = 1,8 cm , külső elektródájának belső sugara r2 = 4,2 cm . Határozza meg az elektródák közé kapcsolható maximális feszültséget, ha a teret kitöltő szigetelőanyag Emax = 28 kV/m villamos térerősséget bír el átütés nélkül. [48] Egy koaxiális kábel belső elektródájának sugara r1 = 0,8 cm , külső elektródájának belső sugara r2 = 3,6 cm , a két elektróda közötti teret ε r = 1,2 relatív permittivitású közeg tölti ki. A koaxiális kábelre U = 12 kV feszültséget kapcsolva határozza meg az r2 sugarú elektróda falán fellépő elektromos térerőssé értékét. [49] Két

elektródából és a földből álló rendszer részkapacitásai C10 = 2 µF , C12 = 15 µF , C20 = 3 µF . Mekkora lesz az elektródák Q1 , ill Q2 töltése, ha az 1 elektróda és a föld közé U1 = 12 kV , a 2. elektróda és a föld közé U 2 = −6 kV feszültséget kapcsolunk [50] Két elektródából és a földből álló rendszer részkapacitásai C10 = 2 µF , C12 = 12 µF , C20 = 5 µF . Az egyik elektróda és a föld közé U1 = 10 kV , a másik elektróda és a föld közé U 2 = 6 kV feszültséget kapcsolunk. Határozza meg az elektródák töltését [51] Egy keresztirányban rétegezett a = 12 cm 2 felületű síkkondenzátor szigetelése két rétegből áll. Az egyik réteg plexi, ε1r = 3,4 , E1 max = 120 kV/cm , d1 = 0,5 cm A másik réteg porcellán, ε 2r = 2,8 , E2 max = 240 kV/cm , d 2 = 1,2 cm . Határozza meg a kondenzátor kapacitását. [52] Egy keresztirányban rétegezett a = 12 cm 2 felületű síkkondenzátor szigetelése két rétegből áll. Az

egyik réteg plexi, ε1r = 3,4 , E1 max = 120 kV/cm , d1 = 0,5 cm A másik réteg porcellán, ε 2r = 2,8 , E2 max = 240 kV/cm , d 2 = 1,2 cm . Határozza meg az egyes rétegekben a fellépő maximális térerősség értékeket. [53] Egy keresztirányban rétegezett a = 12 cm 2 felületű síkkondenzátor szigetelése két rétegből áll. Az egyik réteg plexi, ε1r = 3,4 , E1 max = 120 kV/cm , d1 = 0,5 cm A másik réteg porcellán, ε 2r = 2,8 , E2 max = 240 kV/cm , d 2 = 1,2 cm . Mekkora feszültség kapcsolható az elektródákra, hogy a szigetelőanyag ne üssön át. [54] Egy keresztirányban rétegezett a = 12 cm 2 felületű síkkondenzátor szigetelése két rétegből áll. Az egyik réteg plexi, ε1r = 3,4 , E1 max = 120 kV/cm , d1 = 0,5 cm A másik réteg porcellán, ε 2r = 2,8 , E2 max = 240 kV/cm , d 2 = 1,2 cm . Határozza meg 56 A. Iványi, Fizika-I

−⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ hányszorosára változik a kondenzátorra kapcsolható feszültség, ha a kondenzátor két elektródája közti teljes teret a porcellán anyag tölti ki. [55] Egy keresztirányban rétegezett a = 12 cm 2 felületű síkkondenzátor szigetelése két rétegből áll. Az egyik réteg plexi, ε1r = 3,4 , E1 max = 120 kV/cm , d1 = 0,5 cm A másik réteg porcellán, ε 2r = 2,8 , E2 max = 240 kV/cm , d 2 = 1,2 cm . Határozza meg hogyan változtassuk meg az első, plexi réteg vastagságát, a lemezek távolságának változatlan értéke mellett, hogy az egyes rétegekre azonos feszültség jusson. [56] Egy hosszanti irányban rétegezett síkkondenzátor lemezeinek távolsága d = 1,2 cm . Az egyik réteg porcellán ε1r = 2,8 , E1 max = 240 kV/cm , a1 = 1,6 cm 2 , a másik réteg plexi ε 2r = 3,4 , E2 max = 120 kV/cm , a2 = 2,8 cm 2

. Mekkora maximális feszültség kapcsolható a kondenzátorra, úgy hogy a szigetelőanyag ne üssön át. [57] Egy hosszanti irányban rétegezett síkkondenzátor lemezeinek távolsága d = 1,2 cm . Az egyik réteg porcellán ε1r = 2,8 , E1 max = 240 kV/cm , a1 = 1,6 cm 2 , a másik réteg plexi ε 2r = 3,4 , E2 max = 120 kV/cm , a2 = 2,8 cm 2 . Határozza meg a síkkondenzátor kapacitását. [58] Egy hosszanti irányban rétegezett síkkondenzátor lemezeinek távolsága d = 1,2 cm . Az egyik réteg porcellán ε1r = 2,8 , E1 max = 240 kV/cm , a1 = 1,6 cm 2 , a másik réteg plexi ε 2r = 3,4 , E2 max = 120 kV/cm , a2 = 2,8 cm 2 . Mekkorára válasszuk az első réteg felületét, a síkkondenzátor felületének változatlan értéke mellet, hogy a két réteg kapacitása azonos legyen. [59] Egy hosszanti irányban rétegezett síkkondenzátor lemezeinek távolsága d = 1,2 cm . Az [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] egyik réteg porcellán ε1r = 2,8 , E1 max = 240

kV/cm , a1 = 1,6 cm 2 , a másik réteg plexi ε 2r = 3,4 , E2 max = 120 kV/cm , a2 = 2,8 cm 2 . A kondenzátorra U = 10 kV feszültséget kapcsolva mekkora lesz az egyes rétegekben fellépő elektromos térerősség. Határozza meg annak a magában álló, r0 = 2 cm sugarú gömbnek a kapacitását, amelyet d = 0,2 cm vastag, ε r = 2 relatív permittivitású szigetelőanyag vesz körül. Határozza meg mekkora elektromos energiát tárol a C = 3 µF kapacitású kondenzátor ha Q = ±3 µC töltést viszünk a lemezekre. Mekkora elektromos energiát tárol az a kondenzátor amely elektródái U = 12 kV feszültség hatására Q = ±3,2 µC töltéssel töltődik fel. Mekkora F erő hat azon q = 3 µC/m vonalszerű töltés l = 1,2 m hosszúságú szakaszára, amelyet E = 12 kV/cm nagyságú elektromos térbe helyezünk. Mekkora erővel hat a Q = 3,5 µC nagyságú pontszerű töltés a tőle r = 18 cm távolságra elhelyezett Q0 = 15 µC nagyságú próbatöltésre. Mekkora az az E

elektromos tér, amely F = 0,2 N erőhatást gyakorol a Q = 2,4 µC nagyságú töltésre. Mekkora az a Q pontszerű töltés, amelyre E = 2 kV/cm nagyságú elektromos térben F = 30 mN nagyságú erő hat. Mekkora az a q vonalszerű töltés, amelynek l = 1,2 m hosszúságú szakaszára az E = 12 kV/cm nagyságú elektromos térben F = 30 mN nagyságú erő hat. 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 57 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ [68] Határozza meg mekkora munkavégzés szükséges ahhoz, hogy a Q = 2 µC nagyságú pontszerű töltést a Φ1 = 10 kV potenciálú helyről a Φ 2 = 3 kV potenciálú helyre mozdítsuk el. [69] Határozza meg hányszorosára változik a C = 12 µF kapacitású kondenzátorban a tárolt elektromos energia, ha a kondenzátorra kapcsolt feszültséget U1 = 10 kV -ról U 2 = 21 kV -ra növeljük. [70] Határozza meg

hányszorosára változik a C = 16 µF kapacitású kondenzátorban a tárolt elektromos energia, ha a kondenzátorra kapcsolt feszültséget U1 = 22 kV -ról U 2 = 8 kV -ra csökkentjük. [71] Határozza meg hányszorosára változik a C = 6 µF kapacitású kondenzátorban a tárolt elektromos energia, ha a kondenzátor töltését felére csökkentjük. [72] Határozza meg hányszorosára változik a síkkondenzátor energiája, ha állandó feszültség mellett a lemezek távolságát felére csökkentjük. [73] Oldja meg az előző feladatot, ha a kondenzátor töltését tartjuk állandónak. [74] Mekkora erőhatás lép fel két r0 = 1,5 cm sugarú gömb alakú elektróda között, ha középpontjaik távolsága d = 28 cm , és az elektródák közé U = 18 kV feszültséget kapcsolunk. [75] Mekkora erőhatás lép fel két párhuzamos tengelyű r0 = 1,5 cm sugarú hengeres elektróda l = 1,2 m hosszú szakasza között, ha középpontjaik távolsága d = 28 cm , és az

elektródák közé U = 18 kV feszültséget kapcsolunk. [76] Egy koaxiális kábel belső elektródájának sugara r1 = 0,8 cm , külső elektródájának belső sugara r2 = 3,6 cm , a két elektróda közötti teret ε r = 1,2 relatív permittivitású közeg tölti ki. Határozza meg mekkora erőhatás lép fel a hengerkondenzátor külső elektródáján, ha a koaxiális kábelre U = 12 kV feszültséget kapcsolunk. 2.10 Megoldások [1] Q = σ ⋅ 4πr02 = 12 ⋅10 −12 4π ⋅ 0,12 = 1,5080 ⋅10 -12 C = 1,5080 pC . [2] q = Q l = 32 ⋅ 10 −9 1,6 = 20 ⋅ 10 −9 C = 20 nC . Q 1,8 ⋅ 10 −9 [3] σ= [4] Minthogy, U12 = Q= [5] r12π = 0,12 2 π = 3,9789 ⋅ 10 -8 C/m 2 = 39,789 nC/m 2 . U 4πε 0 Q ⎛1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ , rendezés után Q = 12 , 4πε 0 ⎝ r1 r2 ⎠ ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ r1 r2 ⎠ 10 ⋅ 1034π 10 −9 4π 9 = 8,2639 ⋅ 10-11 C = 82,639 pC . ⎛ 1 ⎞ 1 − ⎜ ⎟ ⎝ 1,2⋅10− 2 2,4⋅10 − 2 ⎠ Q ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ =

18000 V = 18 kV . Φ (r1 ) = 4πε ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠ 58 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ [6] [8] 38 ⋅1032π 10 −9 4π 9 3,4 = 1,3317 ⋅10 -5 C/m = 13,317 µC/m . 60 ln 35 r q 2 ⋅ 10 −6 45 ln = 3,9550 ⋅ 10 4 V = 39,550 kV . U12 = ln 2 = 2πε r1 2π 10−9 15 4π 9 Q 1 3,6 ⋅ 10 −6 1 = = 518400 V/m = 5,184 kV/cm . E1 = −9 2 4πε 0 r 2 4π 10 0,25 q= [7] r Φ 2πε ln 2 , rendezés után q = 1 , r2 2πε r1 ln r1 q Minthogy, Φ1 = 1 4π 9 − 4 ⋅ 10 6 1 1 = 2πε 0 r1 2π 10−9 4π 9 Q [10] Minthogy E1 = 4πε 0ε r [9] E1 = q Q = 5 ⋅105 ⋅ 4π 10 −9 4π 9 [11] Minthogy E1 = 0,05 1 r12 = 1440000 V/m = 14,4 kV/cm . , rendezés után Q = E1 4πε 0ε r r12 , 2,4 ⋅ 0,24 2 = 7,68 ⋅10 - 6 C = 7,68 µC . q 1 , rendezés után q = E1 2πε 0ε r r1 , 2πε 0ε r r1 q = 32 ⋅105 ⋅ 2π 10

−9 4π 9 3,2 ⋅ 0,18 = 1.0240 ⋅10 - 4 C = 102,40 µC r q q 1 , és U12 = ln 2 , a térerősség ismeretében a feszültség 2πε r1 2πε r1 r r q meghatározható, U12 = ln 2 = E1 ⋅ r1 ln 2 , 2πε r1 r1 0,18 U12 = 23 ⋅105 ⋅ 0,12 ln = 1,1191⋅105 V = 111,91 kV . 0,12 q 1 , a térerősség ismeretében a feszültség [13] Minthogy E2 = 2πε r2 r r q 0,24 U12 = ln 2 = E2 ⋅ r2 ln 2 = 18 ⋅105 ⋅ 0,24 ln = 1,2428 ⋅105 V = 124,28 kV . 2πε r1 r1 0,18 [12] Minthogy E1 = [14] Az U12 = E1 = Q ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ feszültség ismeretében a térerősség meghatározható 4πε ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠ U12 1 12 ⋅ 105 1 Q 1 = 1,2444 ⋅ 107 V/m = 124,44 kV/cm . = = 2 2 2 4πε r ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 1 r 1 1 0,15 1 ⎜⎜ − ⎟⎟ 1 ⎜ 0,15 − 0,42 ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ r1 r2 ⎠ 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 59 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

[15] Az U12 = r q 1 U12 1 ln 1 feszültség ismeretében a térerősség E1 = , = r1 r1 2πε r1 2πε r2 ln r2 q 26 ⋅105 1 = 2,6718 ⋅10 7 = 267,18 kV/cm . 0,24 0,24 ln 0,16 [16] Mindkét töltés hatását figyelembe véve az egyes töltések által keltett elektromos térerősségek vektoriálisan szuperponálódnak. Minthogy a kijelölt pont mindkét töltéstől azonos távolságra van, a térerősség komponensek abszolút értékei azonosak, q 1 q 1 , így a keresett térerősség E = E + + E − = 2 , E+ = E− = 2πε d / 2 2πε d / 2 2 ⋅10 −6 1 E= = 6 ⋅105 V/m = 6 kV/cm . −9 10 0 , 12 π E1 = 4π 9 [17] Az előző feladathoz hasonlóan, a + Q töltés keltette elektromos térerősség Q 1 Q 1 , a negatív töltés által keltett térerősség E − = . A két E+ = 2 4πε (d / 2) 4πε (3d / 2 )2 térerősség komponens vektori eredője E = E + − E − = E= 16 ⋅10 −6 4π 10 −9 4π 9 1 ⎛ 1⎞ Q ⎜1 − ⎟ , 4πε (d / 2)2 ⎝ 9 ⎠ 1 8 = 2

⋅10 7 V/m = 200 kV/cm . 0,08 2 9 [18] (a) Az oldalfelező pontban az oldalvonalon lévő töltések által keltett tér nulla, minthogy azok egyforma nagyságúak és egyenlő távolságra vannak a vizsgált ponttól. Így a jelen esetben csak az oldallal szemben lévő töltés kelt elektromos teret, amely merőleges lesz 1 Q , az oldalvonalra és nagysága E = 4πε ⎛ 3 ⎞ 2 ⎜a 2 ⎟ ⎠ ⎝ 6 − 2 ⋅10 1 = 24000 V/m = 0,24 kV/cm . E= − 9 4π 10 a 2 3 4π 9 4 (b) Az egyenlő oldalú háromszög középpontjában, a csúcspontokban elhelyezett, azonos előjelű töltések azonos nagyságú, a töltéstől a pont felé mutató elektromos térerősség komponenseket hoznak létre. Ezek vektori eredője nulla a 10 −9 12 ⋅10 −4 = 3,3157 ⋅10-13 F = 0,33157 pF . [19] C = ε 0 = d 4π 9 3,2 ⋅10 − 2 [20] U = Q 3 ⋅ 10−6 = 833,3333 V . = C 3,6 ⋅10−9 Q 24 ⋅10 −6 [21] C = = = 1,6 ⋅ 1 --9 F = 1,6 nF . 3 U 15 ⋅10 [22] Q = CU = 12 ⋅ 10 −6 ⋅ 16 ⋅103

= 192 ⋅ 10-3 C = 0,192 µC . a a , így C2 C1 = 1 / 2 , tehát felére csökken a kapacitás. [23] Minthogy C1 = ε , és C2 = ε d d /2 60 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ [24] Az előző feladathoz hasonlóan Q1 = CU1 , és Q2 = CU 2 , de mivel U 2 = U1 / 2 , így Q2 = Q1 / 2 . a a [25] Minthogy Q1 = C1U = ε U , így Q2 = ε U = 2Q1 . d d /2 Q 2d Q d [26] Mivel U1 = = Q , így U 2 = =Q = 2U1 . C1 C1 εa εa 12 ⋅103 = 105 V/m = 1 kV/cm . 0,12 [28] Minthogy d >> r0 , az elektródák töltését egy-egy, a gömb középpontjában elhelyezett ± Q töltéssel modellezzük. A + Q töltésű elektróda felületén a potenciál értéke [27] E = U / d = ⎛ 1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ , a negatív töltésű elektróda felületén a potenciál értéke ⎝ r0 d ⎠ −Q ⎛ 1 1⎞ ⎜ − ⎟ , így a két elektróda között fellépő

feszültség Φ2 ≈ 4πε ⎜⎝ r0 d ⎟⎠ Φ1 ≈ Q 4πε U = Φ1 − Φ 2 = U 2πε Q= Q 2πε = ⎛ 1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ , ahonnan az elektródákra vitt töltés ⎝ r0 d ⎠ 12 ⋅1032π 10 ( −9 ) 4π 9 1 0,32 = 1,4222 ⋅ 10-8 C = 0,14222 nC . ⎛⎜ 1 − 1 ⎞⎟ − ⎝ r0 d ⎠ [29] A középpontokat összekötő egyenes és a pozitív töltésű elektróda felületén lévő pontban Q 1 a pozitív töltés által keltett térerősség E + = , ugyanebben a pontban a negatív 4πε r02 1 0,02 Q 1 elektromos teret kelt. Minthogy a térerősség vektor mennyiség, a 4πε d 2 két komponens vektoriálisan összegeződik, azaz 1 ⎞⎟ 2 ⋅ 10 − 6 ⎛ 1 1 ⎞ Q ⎛⎜ 1 ⎟ = 2,5141 ⋅ 107 V/m = 251,41 kV/cm . ⎜ E= = − − − 9 ⎜ 2 2 2 2 ⎟ ⎜ 10 3,2 ⎝ 0,015 4πε r 0,2 ⎟⎠ ⎝ 0 d ⎠ 4π töltés E − = 4π 9 ⎛ 1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ feszültség ismeretében az elektródák ⎝ r0 d ⎠ Q 1 U 1 töltése meghatározható,

ahonnan a térerősség E = 2 = , 4πε (d / 2)2 ⎛ 1 − 1 ⎞ (d / 2)2 ⎜r d⎟ ⎝ 0 ⎠ 3 12 ⋅ 10 1 = 7,619 ⋅ 103 V/m = 761,9 kV/cm . E= 1 − 1 0,225 2 0,03 0,45 [30] Az elektródákra kapcsolt U = 2 ( ) Q 4πε 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 61 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ [31] Minthogy U = 2 Q 2πε Q ⎛ 1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ , az elektródák kapacitása C = = , 4πε ⎝ r0 d ⎠ U ⎛ 1 − 1⎞ ⎜r d⎟ ⎝ 0 ⎠ −9 2π 10 1,6 4π 9 = 1,1082 ⋅10 -12 F = 1,1082 pF . ⎛⎜ 1 − 1 ⎞⎟ ⎝ 0,012 0,32 ⎠ [32] Minthogy a maximális térerősség az egyik elektróda felületén a középpontokat Q ⎛⎜ 1 1 ⎞⎟ összekötő egyenes metszéspontjában lép fel Emax = , ahonnan az + 4πε ⎜ r 2 d 2 ⎟ ⎝ 0 ⎠ elektródákra kapcsolható maximális feszültség E max ⎛ 1 1 ⎞ Q ⎛ 1 1⎞ ⎜⎜ − ⎟⎟ = 2

⎜⎜ − ⎟⎟ , U =2 r d⎠ 4πε ⎝ r0 d ⎠ ⎛1 ⎞ ⎜ 2 + 12 ⎟ ⎝ 0 ⎝ r0 d ⎠ 10 6 1 ⎞ ⎛ 1 − U =2 ⎜ ⎟ = 3,3299 ⋅10 4 = 33,299 kV . 0 , 018 0 , 24 ⎛ 1 ⎞ ⎠ + 1 2 ⎟⎝ ⎜ 2 0 , 018 0 , 24 ⎝ ⎠ Q ⎛ 1 1⎞ ⎜ − ⎟ feszültség [33] Az előző feladathoz hasonlóan az elektródákra kapcsolt U = 2 4πε ⎜⎝ r0 d ⎟⎠ ismeretében az elektródák töltése meghatározható és így a fellépő maximális térerősség ⎛ 1 Q ⎛⎜ 1 1 ⎞⎟ 1 1 ⎞⎟ U ⎜ E max = + = + , 4πε ⎜ r 2 d 2 ⎟ 2 ⎛⎜ 1 − 1 ⎞⎟ ⎜ r 2 d 2 ⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ r0 d ⎠ 1 12 ⋅103 ⎛ 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ = 5,0301 ⋅105 = 5,0301 kV/cm . E max = + ⎜ 2 2 2 ⎛⎜ 1 − 1 ⎞⎟ ⎝ 0,012 0,2 ⎟⎠ 0 , 012 0 , 2 ⎝ ⎠ Q ⎛ 1 1⎞ ⎜ − ⎟ feszültség és a Q töltés ismeretében a két [34] Az elektródákra kapcsolt U = 2 4πε ⎜⎝ r0 d ⎟⎠ gömb alakú elektróda középpontjainak távolsága meghatározható Qr0 2 ⋅ 10

−80,014 = = 0,0764 m = 7,64 cm . d= Q − 2πεr0U 2 ⋅10 −8 − 21 ⋅1032π 10 − 9 0,014 C= 4π 9 [35] Minthogy a gömb feszültsége a végtelen távoli referencia ponthoz képest U = Q 10 −9 = 4πεr0 = 4π 0,012 = 1,3333 ⋅10-12 = 1,3333 pF . U 4π 9 [36] A gömb alakú elektróda potenciálja Q 1 2 ⋅ 10 −6 1 = = 1,2857 ⋅ 106 V = 1,2857 kV . Φ= − 9 4πε r0 4π 10 0,014 kapacitása C = 4π 9 Q 1 ,a 4πε r0 62 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ [37] Az elektródákra kapcsolt feszültséggel ± q vonalmenti töltéssűrűséget viszünk az elektródákra, amely töltéssűrűségeket a d >> r0 feltétel miatt a hengeres vezetők tengelyeiben helyezünk el. Ezen két töltés terében a + q töltésű elektróda Φ1 potenciálja, ha a nulla potenciálú helyet a − q töltésű elektróda felületére

választjuk q d − q r0 q d Φ1 = ln + ln = ln , amely egyben az elektródák között fellépő 2πε r0 2πε d πε r0 U = Φ1 feszültséget adja. Innen az elektródák l hosszúságú szakaszán elhelyezkedő −9 3 10 Uπεl 12 ⋅ 10 π 4π 9 1,2 = = 1,4427 ⋅ 10-7 C = 0,14427 µC . töltés Q = q ⋅ l = 0,32 d ln ln 0,02 r0 [38] A hengeres elektródák tengelyeiben elhelyezett q = Q / l vonaltöltések elektromos terei vektoriálisan összegeződnek, azaz E = E= q ⎛ 1 1⎞ ⎜ + ⎟, 2πε ⎜⎝ r0 d ⎟⎠ 2 ⋅10 −6 1 1 ⎞ ⎛ 1 + ⎜ ⎟ = 2,7750 ⋅105 V/m = 2,7750 kV/cm . −9 2,5 2π 10 3,2 ⎝ 0,015 0,2 ⎠ 4π 9 d feszültség ismeretében az elektródák πε r0 tengelyeiben elhelyezett vonaltöltések meghatározhatók, és a tengelyeket összekötő egyenes felezőpontjában az elektromos térerősség komponensek vektori eredője q 1 U 1 12 ⋅ 103 1 = = = 1,9694 ⋅ 10 4 V/m = 19,694 kV/cm . E=2 0 , 45 2πε d / 2 ln d / r0 d / 2 ln 0,225 [39] Az

elektródákra kapcsolt U = q ln 0,03 [40] Minthogy az elektródákra kapcsolt U feszültséggel az elektródákra felvitt töltést a hengeres elektródák tengelyeiben elhelyezett ± q vonalmenti töltéssűrűséggel q d modellezzük, így az elektródák között fellépő feszültség U = ln , ahonnan az πε r0 −9 10 ql πεl π 4π 9 1,6 ⋅ 3,2 elrendezés kapacitása C = = = = 4,3315 ⋅ 10-11 F = 43,315 pF . 0,32 U ln d ln r 0,012 0 [41] Az elektródákra kapcsolt U feszültséggel az elektródák tengelyeiben elhelyezett ± q vonalmenti töltéssűrűséggel modellezzük a felvitt töltéseket. Ezen töltéssűrűségek q ⎛ 1 1⎞ ⎜⎜ + ⎟⎟ = 10 kV/cm = 10 ⋅ 105 V/m maximális térerősséget hoznak létre az Emax = 2πε ⎝ r0 d ⎠ egyik elektróda felületén. Az elektromos térerősség ismeretében a töltéssűrűségek meghatározhatók és így az elektródákra kapcsolható feszültség 2 Emax q d d 2 ⋅106 0,24 U= ln = ln = ln = 9,3180 ⋅ 104

V = 93,18 kV . 1 1 πε r0 ⎛⎜ 1 + 1 ⎞⎟ r0 0 , 018 + 0,018 0, 24 ⎝ r0 d ⎠ ( ) 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 63 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ d feszültség ismeretében az elektródák πε r0 tengelyeiben elhelyezett vonalmenti töltéssűrűség meghatározható, és így az egyik q ⎛ 1 1⎞ U ⎛ 1 1⎞ ⎜⎜ + ⎟⎟ = ⎜ + ⎟, elektródán ébredő maximális térerősség E max = 2πε ⎝ r0 d ⎠ 2 ln d ⎜⎝ r0 d ⎟⎠ [42] Az elektródákra kapcsolt U = q ln r0 12 ⋅103 1 ⎞ ⎛ 1 + ⎜ ⎟ = 1,8838 ⋅105 V/m = 1,8838 kV/cm . 2 ln(0,2 / 0,012) ⎝ 0,012 0,2 ⎠ q d [43] Az elektródák Q = q ⋅ l töltése és U = ln feszültsége ismeretében az l hosszúságú πε r0 Q πεl , ahonnan némi számolással az szakasz kapacitása meghatározható C = = U ln d E max = r0 elektródák tengelyeinek távolsága

kiadódik −9 π 10 2,8 4π 9 πεl d = r0e Q / U = 0,016e 3⋅10 − 9 / 100 = 0,2138 m = 21,38 cm . [44] Minthogy az elektródák töltését a tengelyben elhelyezett vonaltöltés modellezi, így az q r ln 2 , ahonnan az elektródák egységnyi elektródákra kapcsolt feszültség U = 2πε r1 hosszúságú szakaszának töltése −9 3 10 2πεU 2π 4π 9 2,4 ⋅ 12 ⋅10 q= = = 1,7462 ⋅10-6 C/m = 1,7462 µC/m . r2 5 ln ln r1 2 q r ln 2 ismeretében a belső elektróda töltése meghatározható. A maximális [45] Az U = 2πε r1 q 1 U 1 = , térerősség a belső elektróda felületén keletkezik E max = 2πε r1 ln(r2 r1 ) r1 18 ⋅103 1 = 8,6562 ⋅105 V/m = 8,6562 kV/cm . ln(0,06 / 0,015) 0,015 q r ln 2 , az elrendezés [46] Minthogy az elektródák között fellépő feszültség U = 2πε r1 egységnyi hosszúságú szakaszának kapacitása E max = −9 2π 10 2,8 Q/l q 2πε 4π 9 = = = = 1,6977 ⋅10-10 = 169,77 pF . C= ( ) ( ) U U ln r2 r1 ln 0,08 / 0,032 [47]

Minthogy a maximális elektromos térerősség a belső elektróda felületén lép fel q 1 Emax = , a belső elektróda tengelyében elhelyezett vonaltöltés meghatározható, 2πε r1 így az elektródákra kapcsolható maximális feszültség q r r 0,042 U= ln 2 = Emax r1 ln 2 = 28 ⋅103 ⋅ 0,018 ln = 427,0381 V = 0,427 kV . 2πε r1 r1 0,018 64 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ [48] Az elektródákra kapcsolt U = q r ln 2 feszültség ismeretében a külső elektródán 2πε r1 fellépő elektromos térerősség q 1 U 1 12 ⋅103 1 E= = = = 2,2162 ⋅105 V/m = 2,2162 kV/cm . 2πε r2 ln(r2 r1 ) r2 ln(0,036 / 0,008) 0,036 [49] Az egyes elektródák és a nulla potenciálú föld közé kapcsolt feszültség megegyezik az egyes elektródák potenciáljaival. A föld-, és részkapacitások ismeretében az elektródák töltése Q1 =

C10Φ1 + C12 (Φ1 − Φ 2 ) , Q2 = C 20Φ1 + C12 (Φ 2 − Φ1 ) , Q1 = 2 ⋅10 −612 ⋅10 3 + 15 ⋅10 −6 (12 + 6 ) ⋅10 3 = 0,294 ⋅10 -6 C = 0,294 µC , Q2 = −3 ⋅10 −6 6 ⋅103 + 15 ⋅10 −6 (− 6 − 12) ⋅ 103 = −0,288 ⋅10 -6 C = −0,288 µC . [50] Az előző feladathoz hasonlóan az elektródák töltése Q1 = C10Φ1 + C12 (Φ1 − Φ 2 ) = 0,068 ⋅10-6 C = 0,068 µC , ill. Q2 = C20Φ 2 + C12 (Φ 2 − Φ1 ) = −0,018 ⋅10-6 C = −0,018 µC . [51] Az egyes rétegek egy-egy síkkondenzátort alkotnak, amelyek töltése azonos, miközben az egyes rétegekre jutó feszültségek összeadódnak, azaz a rétegeket reprezentáló d d 1 1 1 = + = 1 + 2 , végül kondenzátorok sorba kapcsolódnak, így C C1 C2 ε1a ε 2 a −9 12 ⋅ 10 − 4 10 aε 0 4π 9 = = 5,5869 ⋅ 10 -13 F = 0,55869 pF . C= d1 ε1r + d 2 ε 2r 0,05 / 3,4 + 0,012 / 2,8 [52] Minthogy az eltolási vektor normális komponense azonos a két rétegben, így az a réteg határozza meg a

maximális elektromos terhelést, amelyre ez az érték (az eltolási vektor normális komponense) kisebb értéket ad. Ennek megfelelően, minthogy D1n = ε 0ε r1E1 max = ε 0 3,4 ⋅ 120 < ε 0 2,8 ⋅ 240 = ε 0ε r 2 E2 max = D2n , így az 1. réteg lesz maximálisan kihasználva, azaz az 1. rétegben a maximálisan fellépő elektromos térerősség értéke E1 = E1 max = 120 kV/cm , miközben a folytonossági feltételnek megfelelően a 2. rétegben a maximálisan fellépő elektromos térerősség ε ε E 3,4 ⋅ 120 E2 = 0 1r 1 = = 145,7143 kV/cm lesz, azaz a 2. réteg szigetelőanyagának ε 0ε 2 r 2,8 villamos szilárdsága nem lesz kihasználva. [53] Az előző feladat alapján, minthogy a folytonossági feltételből következően az 1. réteg a meghatározó, így az elektródákra kapcsolható feszültség ⎛ ⎞ ε U = E1d1 + E2 d 2 = E1 ⎜⎜ d1 + 1 d 2 ⎟⎟ = 120 ⋅ 0,5 + 145,7145 ⋅ 1,2 = 234,8572 kV . ε2 ⎠ ⎝ [54] Ha a két anyag tölti ki a

keresztirányban rétegezett síkkondenzátor elektródái közötti teret, akkor az eltolási vektor normális komponensének folytonosságából következően D1n = ε 0ε r1E1 max = ε 0 3,4 ⋅ 120 < ε 0 2,8 ⋅ 240 = ε 0ε r 2 E2 max = D2n , így a mértékadó elektromos terhelést az 1. réteg határozza meg Az előző feladat alapján, ebben az esetben az elektródákra kapcsolható feszültség U a = 234,8572 kV . Ha azonban a kondenzátor szigetelőanyaga porcellán, akkor a rákapcsolható maximális feszültség U b = E2 max (d1 + d 2 ) = 240 ⋅ 1,7 = 408 kV lesz. Ennek megfelelően a síkkondenzátorra 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 65 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ kapcsolható maximális feszültség U b U a = 408 / 234,8572 = 1,7372 -ször lesz nagyobb ha csak a 2. réteget alkalmazzuk [55] Az előző feladatok alapján az 1.

rétegre jutó feszültség U1 = E1 ⋅ d1 , miközben a ε E folytonossági feltételből eredően a 2. rétegre jutó feszültség U 2 = 1 (1,7 − d1 ) Ahhoz ε2 ε E hogy a két rétegre azonos feszültség jusson U1 = U 2 , azaz az E1 ⋅ d1 = 1 (1,7 − d1 ) ε2 feltételből némi számolás után d1 = ε1 1,7 ε2 ε 1+ ε 1 2 = 1,7 ⋅ 3,4 / 2,8 = 0,9323 cm . 1 + 3,4 / 2,8 [56] Minthogy a 1. réteg esetén a síkkondenzátorra kapcsolható maximális feszültség U1 = E1 max ⋅ d = 240 ⋅ 1,2 = 288 kV , a 2. réteg esetén a maximális feszültség U 2 = E2 max ⋅ d = 120 ⋅ 1,2 = 144 kV , a kisebb feszültség érték lesz a meghatározó, azaz a hosszirányban rétegezett síkkondenzátorra maximálisam U 2 = 144 kV kapcsolható. [57] Minthogy a két réteg által reprezentált kondenzátorok töltései összeadódnak miközben azonos feszültségre kapcsolódnak, így az egyes rétegeket reprezentáló kapacitások ε a + ε 2 a2 , párhuzamosan kapcsolódnak, C

= C1 + C 2 = 1 1 d 2,8 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −4 + 3,4 ⋅ 2,8 ⋅ 10 −4 10 −9 C= = 0,1032 ⋅ 10 -11 F = 1,032 pF . 2 − π 4 9 1,2 ⋅ 10 ε (4,4 ⋅ 10 −4 − a1 ) εa . A két [58] Az 1. réteg kapacitása C1 = 1 1 , a 2 réteg kapacitása C2 = 2 d d ε a ε (4,4 ⋅ 10 −4 − a1 ) feltételből az 1. réteg réteg azonos kapacitása esetén a 1 1 = 2 d d 4,4 ⋅ 3,4 felülete kiadódik a1 = = 2,4129 cm 2 . 2,8 + 3,4 [59] Az elektromos térerősségek tangenciális komponensének folytonossága következtében a mértékadó elektromos terhelhetőséget a kisebb elektromos szilárdságú réteg határozza meg, azaz E = E1 max = 120 kV/cm . Ezzel az elektródákra kapcsolható maximális feszültség U max = E ⋅ d = 120 ⋅ 1,2 = 144 kV . Minthogy a kondenzátorra kapcsolt feszültség U = 10 kV kisebb mint a maximális érték, így a lemezek között keletkező U 10 elektromos térerősség E = = = 8,3333 kV/cm lesz. d 1,2 [60] Minthogy a gömbelektróda töltése Q és az

egyes rétegekre jutó feszültségek összeadóznak, U = ⎛1 1 ⎞ 1 Q ⎜⎜ − ⎟⎟ + , ahonnan az elrendezés 4πε 0ε r ⎝ r0 r0 + d ⎠ 4πε 0 r0 + d Q 66 A. Iványi, Fizika-I −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ kapacitása C = 4πε 0 Q , = U 1 ⎛ 1 − 1 ⎞+ 1 ε r ⎜⎝ r0 r0 + d ⎟⎠ r0 + d 4π 10 −9 4π 9 C= = 2,3280 ⋅ 10 -12 F = 2,3280 pF . 1⎛ 1 − 1 ⎞+ 1 ⎜ ⎟ 2 ⎝ 0,02 0,022 ⎠ 0,022 ( )2 1 Q2 3 ⋅ 10 − 6 = = 1,5000 ⋅ 10 - 6 Ws = 1.5 µWs [61] W = − 6 2 C 2 ⋅ 3 ⋅ 10 1 1 [62] W = QU = 3,2 ⋅ 10 − 6 ⋅ 12 ⋅ 103 = 0,0192 Ws = 19,2 mWs . 2 2 [63] F = QE = q ⋅ l ⋅ E = 3 ⋅ 10 −6 ⋅ 1,2 ⋅ 12 ⋅ 105 = 0,0045 N = 4,5 mN . [64] F = Q0 E = Q0 Q 1 3,5 ⋅ 10 −6 1 = 15 ⋅ 10 − 6 = 2,6250 N . −9 10 4πε r 0 , 18 4π 4π 9 [65] E = F 0,2 = = 8,3333 ⋅ 10 4 = 0,83333 kV/cm . − 6 Q 2,4 ⋅ 10

F 30 ⋅ 10 −3 = = 1,5000 ⋅ 10- 7 C = 150 nC . 5 E 2 ⋅ 10 Q F 30 ⋅ 10 −3 [67] q = = = 2,0833 ⋅ 10 -8 C/m = 20,833 nC/m . = 5 l l ⋅ E 1,2 ⋅ 12 ⋅ 10 [66] Q = [68] W = QU = Q(Φ1 − Φ 2 ) = 2 ⋅ 10 −6 (10 − 3) ⋅ 103 = 0,0140 Ws = 14,0 mWs . 1 1 [69] Minthogy W1 = CU12 , W2 = CU 2 2 , a kondenzátor energiája 2 2 2 2 2 2 W2 / W1 = U 2 / U1 = 21 10 = 4,41 -szeresre nő. [70] Az előző feladathoz hasonlóan a kondenzátor energiája W2 / W1 = U 22 / U12 = 82 2 2 = 0,1322 -szeresére csökken. [71] Minthogy W1 = 1 Q2 1 (Q 2 )2 , W2 = , a kondenzátor energiája 2 C 2 C W2 / W1 = (Q / 2)2 Q 2 = 1 / 4 részére csökken. εa [72] Minthogy a síkkondenzátor kapacitása C = , a tárolt energia d lemeztávolság esetén d 1 1 εa 2 1 1 εa 2 U , W1 = C1U 2 = U , míg d / 2 lemeztávolság esetén W2 = C 2U 2 = 2 2 d 2 2 d /2 azaz a kondenzátor energiája W2 W1 = 2 -szeresére nő. 1 Q2 1 Q2 d 1 Q2 1 Q2 = , míg W2 = = , és ezzel a 2 C 2 εa / d 2 C 2 εa 2

térrész energiája felére csökken. [73] Állandó töltés esetén W1 = 2. Fejezet, Statikus elektromos tér 67 −⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ [74] Minthogy a két gömbelektróda kapacitása C = 2πε 1 −1 r0 x , a virtuális munka elve alapján ⎛ ⎞ 1 2 dC 1 2 d ⎜ 2πε ⎟ 1 2πε 1 , azaz a gömbelektródákat = U F= U = − U2 ⎜ ⎟ 2 x2 dx ⎜ 1 − 1 ⎟ 2 2 dx 2 ⎛ 1 − 1⎞ ⎜r ⎟ ⎝ r0 x ⎠ ⎝ 0 x⎠ összehúzza. πεl [75] Minthogy a hengeres elektródák kapacitása C = , a virtuális munka elve alapján ln x r0 ⎛ 1 2 dC 1 2 d ⎜ πεl = U F= U dx ⎜⎜ ln x 2 dx 2 ⎝ r0 ⎞ ⎟ 1 2 πε 1 , azaz a hengeres vezetőket ⎟ = − 2U 2 x ⎟ ⎛ ln x ⎞ ⎜ r ⎟ ⎠ ⎝ 0⎠ összehúzza. [76] Az előző feladatokhoz hasonlóan a hengerkondenzátor kapacitása C = 2πε ln virtuális munka elve alapján a külső

elektródára ható erő ⎛ ⎞ 1 2 dC 1 2 d ⎜ 2πε ⎟ 1 2πε 1 = U . F= U ⎜ r ⎟=− U2 2 r2 dr2 ⎜ ln 2 ⎟ 2 2 dr2 2 r ⎛⎜ ln 2 ⎞⎟ ⎝ r1 ⎠ ⎝ r1 ⎠ r2 r1 , valamint a