Physics | Studies, essays, thesises » Lökös Sándor - Magas rendű asszimetriák a Buda-Lund modellben

Magas rend¶ aszimmetriák a Buda-Lund modellben Lökös Sándor Fizikus MSc. Témavezet®: Csanád Máté ELTE, Atomzikai Tanszék ELTE TTK Budapest, 2014. TARTALOMJEGYZÉK 1 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Nehézion-zika eredményei 5 3. Hidrodinamika 7 3.1 Klasszikus hidrodinamika . 3.2 Relativisztikus hidrodinamika . 4. Néhány megoldás 7 10 12 4.1 LandauKhalatnikov-megoldás . 4.2 HwaBjorken-megoldás . 14 4.3 Csörg®CsernaiHamaKodama-megoldás 16 4.4 CsanádNagyLökös-megoldás . 17 4.5 Egy nem-relativisztikus megoldás 18 . . 5. A Buda-Lund modell és a paraméterek energiafüggése 12 19 5.1 A modell leírása . 19 5.2 Mérhet® mennyiségek . 20 5.3 Illesztés

adatokra . 24 5.4 Az eredmények értelmezése . 31 6. A Buda-Lund modell magasabb aszimmetriákkal 32 6.1 A magasabb rend¶ aszimmetriák koecienseinek bevezetése . 32 6.2 Mérhet® mennyiségek . 35 6.3 Nyeregponti közelítés . 35 6.4 Az invariáns spektrum és magasabb rend¶ aszimmetriák . 39 6.5 Az elliptikus folyás és magasabb rend¶ aszimmetriák . 39 6.6 A paraméterfüggés vizsgálata . 40 6.7 Aszimmetria paraméterek kombinációjának hatása . 48 7. Összefoglaló 50 8. Köszönetnyilvánítás 50 9. Függelék 51 9.1 A hidrodinamika alapegyenleteinek térelméleti levezetése . 51 9.2 További aszimmetria koeciensek bevezetése . 54 9.3 A Bessel-függvények 55 .

1 BEVEZETÉS 2 Kivonat Jelen dolgozatban röviden bemutatom a nehézion-zika egy hatékony fenomenologikus módszerét, a hidrodinamikai modellek alkalmazását az ütközések nyomán kialakuló, táguló és h¶l® anyag leírására. Egy történeti áttekintés után a hidrodinamika alapegyenleteit mutatom be, melyekre néhány megoldást is tárgyalok az azt követ® fejezetben, végig szem el®tt tartva az alkalmazást. Ezután a Buda-Lund modellt mutatom be és használom fel arra, hogy a mérésekb®l nyerhet® néhány paraméter értékének ütközési energia-függését megállapítsam. Ezt követ®en általánosítom a modellt magasabb aszimmetria koeciensekre, melyek az eredetileg feltételezett ellipszoidális szimmetriát elrontják (ld. 10, 11, 12 ábrák) Az általánosított modell gyelembe vesz eggyel magasabb aszimmetriát leíró tagot, melynek bevezetése természetes, s így utat enged további koeciensek bevezetésének is. 1. Bevezetés

Azért örvendeznek a képek néz®i, mert szemlélet közben megtörténik a felismerés, és megállapítják, hogy mi micsoda, hogy ez a valami éppen ez, és nem más! Arisztotelész, Poétika IV. Arisztotelész szavait tágabb értelemben véve a tudós ember is egyfajta m¶élvez®. Örvend, amikor a képben felfedez valamit, felismeri, megérti, a maga nyelvére  matematikára, mondhatnánk  lefordítja és további felismeréseket tesz. Örvend, hogy a kép egyre nagyobb részét látja s érti, összekapcsol több olyan képet, melyr®l eddig azt hitte, más m¶vész munkája. Persze néha zsákutcába jut, a képr®l letéved. Mégis, ha m¶élvez®ként tekintünk a tudósra, s ezen belül a zikusra, kétségtelen, hogy ugyanaz az örvend® érzése, mint a m¶ért®nek, aki a festményen egy eddig nem ismert részletet fedez fel, vagy a m¶kedvel® laikusnak, aki el®ször lát egy képet. A Természet a m¶elemz® tudós képe, melyet évszázadok óta néz. Azonban

a m¶ért®vel szemben, kinek vizsgált tárgyai vele egy méret¶ek. A tudósnak, s vele együtt a zikusnak nehezebb dolga van. A megismerést szeretné kiterjeszteni a kép olyan részeire is, melyek parányiak, vagy olyanokra, melyek nagyon messze vannak t®le. Szeretné megismerni ezeket, így eszközöket épít, melyek kiszélesítik érzékelésének lehetséges korlátait. Olyan szerkezeteket gyárt, melyek a  térben és id®ben is  nagyon távoli dolgokat teszik tapasztalhatóvá, vagy olyanokat, melyek az egészen apró részekr®l adnak számot. Felbontja a kép részeit alkotó elemeire Megkérdezi, hogy azok ténylegesen a legkisebb alkotóelemek, vagy esetleg léteznek-e kisebbek. Sok olyan része is van a képnek, melyek a múlt nagy eseményeinek nyomát ®rzik. Ezek a kép keletkezésének körülményir®l tudnak számot adni. A zikus újra lejátssza ezeket az eseményeket és megnézi, hogy ugyanolyan nyomokat talál-e utána, mint amiket a képben már

korábban is talált. Kísérletezik a kép alkotórészeivel Szeretné megérteni miért pont olyan kép amilyen és nem másmilyen, . hogy ez a valami éppen ez, és nem más!  1 BEVEZETÉS 3 Az ellipszoidális szimmetria szemléltetése nehézion ütközések nyomán kialakuló forró plazmára [1]. Jobbra A Glauber-modellen alapuló Monte-Carlo szimuláción látszik, hogy az ellipszoidális szimmetriát szükséges lehet egy általánosabb alakkal helyettesítenünk a megoldások illetve modellek keresése során [2]. 1. ábra Balra Ilyen felbontásra és id® visszaforgatásra szolgálnak a nehézion ütköztet®k is, ahol nehéz atommagok ütközéseit vizsgálva, így nagyon közel juthatunk az Žsrobbanáshoz. Olyan tulajdonságokat gyelhetünk meg közvetve, melyekkel akkor rendelkezett a Világegyetem, mikor még csak pár mikroszekundum ideje létezett. Az ütközések után nagyon rövid ideig egy olyan forró és s¶r¶ anyag jön létre, melyet megolvadt

nukleonok alkotnak, vagyis kvarkok és gluonok plazmája (az angol elnevezésb®l rövidítve QGP). Mint azt kés®bb látni fogjuk, ez a plazma kísérletileg kimutathatóan a világ legtökéletesebb folyadéka, melynek viszkozitása az elméleti minimum határához nagyon közeli. Ez a plazma tágul és h¶l, a kvarkok újra összeállnak részecskékké, s így jönnek létre újra hadronok, melyeket detektálva kaphatunk információt a plazma, tulajdonképpen a Világegyetem egy igen korai szakaszának tulajdonságairól. A képnek eme részét vizsgálva is saját nyelvünkre kell fordítanunk a látottakat. A nehézion ütközések leírására számos megközelítés létezik. Egyik ilyen a hidrodinamikai leírás, melynek ötlete éppen a közel nulla viszkozitásból származik. Ezekben a leírásokban a keletkezett plazmát, mint egy táguló, tökéletes folyadékot írjuk le. A kifagyáskor megy végbe a hadrongenezis, azaz a kvarkok és gluonok ekkor állnak újra össze

különböz® részecskékké. Ennek a fázisátmenetnek a leírása a zika egy igen érdekes és aktívan kutatott területe, melyr®l több szót nem ejtünk. A kifagyott hadronokat detektálhatjuk, azok különböz® tulajdonságaiból következtethetünk a forrásukra. A hidrodinamikai modellek és megoldások helyesen adják vissza az elméleti várakozásokat A dolgozatban kés®bb tárgyalásra kerül® leírások közül nem egy tekinti az egyszer¶ gömböt egy magasabb aszimmetriájú ellipszoidnak esetleg még kevésbé szimmetrikusnak. Ezen leírásoknak fontosságát indokolja, hogy az ütközés nyomán keletkezett plazma a legkisebb valószín¶séggel, csupán centrális ütközéseknél lehet gömbszimmetrikus. A kevésbé naiv kép látható a 1. bal ábra oldalán, ahol a keletkez® anyag ellipszoidális szimmetriát mutat Ebben az esetben azonban a maganyagot folytonos eloszlású homogén közegnek feltételezzük, 1 BEVEZETÉS 4 ami persze nem igaz a

valódi magokra. Erre láthatunk egy Monte-Carlo szimulációt a 1 ábrán. Ez motiválja az egyre általánosabb geometriát feltételez® hidrodinamikai megoldások és modellek keresését. Jelen dolgozat egyik célja egy sikeresen alkalmazott, de ellipszoidális szimmetriát feltételez® hidrodinamikai modell továbbfejlesztése. A Buda-Lund modell [3] sikeresen írta le a PHENIX és a CERN SPS kísérletekben végrehajtott nehézion ütközéseket. Ebben modellben (is) egy skálaparaméter határozza meg annak a felületnek az alakját, melyen a termodinamikai menynyiségek, például a h®mérséklet, a nyomás, ugyanolyan értéket vesz fel. Ez szoros kapcsolatban van a forrás geometriájával. Az 5 fejezetben részletezett modellben megjelen® skálaparamétert írtam át más alakra a 6. fejezetben, amely alakot természetes módon lehetett általánosítani A sebességtér szimmetriájának általánosítását is meg lehetett tenni. 2 NEHÉZION-FIZIKA EREDMÉNYEI 5

2. Nehézion-zika eredményei A modern tudomány abban különbözik a régit®l, hogy nem az abszolút változatlan dolgokra, azok mozdulatlan lényegére irányul, hanem a változásokra, amelyek lefolyásukban valamilyen határozottságot mutatnak. Mezei Árpád, A szürrealizmus A Relativisztikus Nehézion-ütköztet®nek (RHIC) több olyan nevezetes felfedezése volt, mely a QGP kutatása során mérföldk®nek számít. Az els® ilyen mérföldk® az ún. jet quenching (2.ábra), vagy jet elnyomás meggyelése volt [46]. Az elnyomás azt jelentette, hogy nehézion-ütközések (pl. arany-arany) során keletkez® nagy jetekb®l ) kevesebbet észleltek, mint amennyire számítani le- impulzusú részecske-nyalábokból ( hetett. A részecskék valami az impulzusuk nagy részét a leadták A meggyelések azt mutatták, hogy a jelenség centrális ütközéseknél nagyobb mértékben jelentkezik. Periferikus ütközéseknél, melyek során az atommagok kis része vesz

részt az ütközésben, nem gyelték meg (ld. 2 ábra) A részletes vizsgálat során bevezették az ún. nukleáris modikációs faktort, ahogy az (1) egyenlet szemlélteti, mely azt mérte, hogy nehézion-ütközésekb®l keletkez® részecskék száma hogyan aránylik a proton-proton ütközésekb®l keletkez® részecskék számával. RAA = ahol NA+A NBin.ütk Np+p 1 (1) NBin.ütk az elméletileg jósolt ütközések száma az atommagok alkotórészei között (bináris Np+p a proton-proton ütközésben keletkez® részecskék száma, NA+A pedig az ion-ion ütközések), ütközésben keletkez® részecskék száma. Amikor ezt a faktort megmérték centrális arany-arany ütközések esetén, azt tapasztalták, hogy a nagy impulzusú részecskék száma csak ∼20-40%-a annak, mint amire a proton-proton ütközések alapján számítani lehetett. Ennek magyarázatára több feltételezés is született, melyek közül az egyik az anyag egy új állapotát jósolta, mely

állapotban a kvarkok és a gluonok plazmát hoznak létre. Ez lefékezi az er®s kölcsönhatásban részt vev® részecskéket, így a nagy impulzusú részecskék száma jelent®sen lecsökken. A feltevések próbájaként elvégeztek olyan kísérleteket [7], melyekben egy deuteront és egy arany atommagot ütköztettek (2. ábra) A jelenség ebben az esetben nem ismétl®dött meg Ennek magyarázata az, hogy az új anyag ezekben a kísérletekben bár szintén létrejöhetett, de olyan kis térfogatban, mely nem tudta lefékezni a részecskéket. Ezekb®l a mérési eredményekb®l arra lehetett következtetni, hogy az anyagnak valóban egy új formáját találták meg. Ezt az ezt követ® mérések is alátámasztották. További meggyelések skálaviselkedést mutattak [8] (azaz, bizonyos mérhet® mennyiségek a paraméterekt®l nem egyesével, hanem azok egy bizonyos kombinációjától függnek). Ilyen 2 NEHÉZION-FIZIKA EREDMÉNYEI 6 A jet quenching jelenségének

vizsgálata: a deuteron ellenpróba, a centrális és a periferikus ion-ion ütközések. A kép adatainak forrása: [5, 7] 2. ábra viselkedést például a hidrodinamikában lehet meggyelni. Ezek az eredmények ösztönözték azon méréseket, melyekben a QGP viszkozitását mérték. Ezek alapján kiderült [9], hogy QGP egy rendkívül kis viszkozitású, szinte tökéletes folyadék. A mérések szerint a QGP viszkozitásának értéke az elméleti minimumhoz minimum, η/s 1 közeli: η/s ≈ (1, 1−1, 5)~/4π , ahol ~/4π a feltételezett elméleti pedig a kinematikai viszkozitás. A foton, mivel nem vesz részt az er®s kölcsönhatásban, úgymond az egész reakciót végignézi, azaz fotonok a kifagyás el®tt és után is, folyamatosan keletkeznek. A fotonspektrumból sikerült megállapítani [10], hogy az elméleti számításoknak megfelel®en magas kezdeti h®mérséklettel rendelkezik ez az anyag (hozzávet®leg 300-600 MeV). A rács-QCD számítások

szerint körülbelül 170 MeV az a h®mérséklet, mely felett megjelenhetnek kvark szabadsági fokok [11]. A mért fotonspektrumból számolt magas kezdeti h®mérséklet tehát meger®síti azt, hogy egy kvarkokból és gluonokból álló anyag jön létre. Ma már nem csak a RHIC-ben végeznek nehézion-zikai kísérleteket, hanem az CERN LHCban is, ahol Pb+Pb ütközéseket mérnek nagyobb energiákon. Az eredmények azt mutatják, hogy az ALICE detektor által meggyelt ütközésekben is létrejön a QGP  és viselkedését hidrodinamikai modellekkel szintén jól le lehet írni. 1 Az AdS/CFT dualitásból adódó sejtés a kinematikai viszkozitás alsó határára 3 HIDRODINAMIKA 7 3. Hidrodinamika . a szép és a szellemi hogyan keveredik, és tulajdonképpen kezdett®l fogva ugyanaz, vagyis más szavakkal: tudomány és m¶vészet . Thomas Mann, A varázshegy A hidrodinamikai leírás teljes megértéséhez természetesen ismernünk kell az alapegyenleteket.

Ebben a fejezetben röviden leírom, hogyan kaphatjuk a klasszikus és relativisztikus hidrodinamika alapegyenleteit tökéletes és viszkózus folyadékokra, mely egyenleteket a vázolt módon kívül még számtalanképpen lehet származtatni. Akár egyszer¶ megfontolásokkal, akár a hidrodinamikára, mint térelméletre tekintve, egy Lagrange-s¶r¶ségfüggvényt felírva és az Euler-Lagrange egyenlet segítségével kiszámolva a mozgásegyenletet (ld. 91 fejezetet) A tökéletes folyadékok egyenleteire, mind a klasszikus, mind a relativisztikus esetben a következ® fejezetben mutatok be megoldásokat. 3.1 Klasszikus hidrodinamika Az klasszikus hidrodinamika alapegyenleteinek egy származtatási módja a Boltzmann-e- xv gyenletb®l történ® levezetés. Ebben az esetben deniálunk egy eloszlásfüggvényt, f ( , , t)-t, 3 3 melynek jelentése, hogy f ( , , t)d xd v valószín¶séggel találjuk az adott részecskét t id®pilla3 3 natban egy d xd v fázistérfogatban. A

normálás ekkor xv Z Z ahol N f (x, v, t)d3 xd3 v = N, a rendszerben található részecskék száma. A teljes id® szerinti deriváltat    3  ∂f df ∂f ∂f X + ẋi + v̇i = ∂t ∂xi ∂vi dt coll i=1 (2) alakban számolhatjuk. Ez a Boltzmann-egyenlet Könnyen megadható a tömegs¶r¶ség is ρ(x, t) = Z mf (x, v, t)d3 v. Ezekkel már származtatható a kontinuitási egyenlet. El®ször szorozzuk a Boltzmann-egyenlet 3 mindkét oldalát m-mel és integráljunk d v szerint (ez az eloszlásfüggvény 0. momentuma): ∂ ∂t Z Z Z X Z   3 3 X ∂ ∂ df 3 3 mf d v + mf ẋi d v + m (v̇i f )d v = m d3 v ∂xi ∂vi dt coll i=1 i=1 3 3 HIDRODINAMIKA 8 Az els® tagban felismerhetjük a tömegs¶r¶ség id®deriváltját. A második tag ennél bonyolultabb: 3 X ∂ (ρ hvi i) ≡ ∇(ρu), ∂x i i=1 ahol u jelentése az átlagos sebesség az (x,t) pontban. A harmadik kifejezés egy teljes divergencia térfogati integrálja, így a

GaussOsztrogradszkij-tétel értelmében zérus lesz. Az egyenlet jobb oldalán az ütközési tag is elt¶nik, mert igaz a tömegmegmaradás és az ütközés nem kelt vagy tüntet el részecskéket, csupán a sebességüket változtatja meg. Így kapjuk a szokásos alakban a kontinuitási egyenletet: ∂ρ + ∇(ρu) = 0. ∂t Az Euler-egyenletet, vagy a Boltzmann-egyenletb®l számolt alakra megszokottabb elnevezéssel, az impulzusegyenletet is származtathatjuk. Ehhez a (2) egyenletet megszorozzuk mvi -vel és integráljuk (vagyis képezzük az 1. momentumot): ∂ ∂t Z   Z Z X Z 3 3 X ∂ ∂f 3 df 3 mvj f d v + mf vj vi d v + m v̇i vj d v = mvj d3 v. ∂x ∂v dt i i coll i=1 i=1 3 Az els® kifejezés nem más mint a ∂ (ρuj ) id®derivált. A második kifejezés ∂t 3 3 X X ∂ ∂ (ρ hvj vi i) = (ρui uj + ρ(wi wj )), ∂x ∂x i i i=1 i=1 ahol a wi az átlag sebességt®l való eltérés: wi = vi − ui . A harmadik kifejezést átjelölve a ∂ ∂f

(vj f ) = vj + δij f ∂vi ∂vi összefüggés alapján azt kapjuk, hogy 3 X i=1 Z  mgi  Z 3 X ∂ 3 (vj f ) − δij f d v = − v̇i δij mf d3 v = −ρv̇j . ∂vi i=1 Mivel az ütközés során az impulzus megmarad, a jobb oldal nulla lesz. Így jutunk a 3 X ∂ ∂ (ρuj ) + (ρui uj + ρ(wi wj )) = ρv̇j ∂t ∂xi i=1 kifejezésre. Belátható, hogy a hwi wj i kifejezésben a diagonális elemek lényegesen nagyobbak, mint az o-diagonális elemek, így adódik, hogy a ρhwi wj i viszkozitásból származó tagra: 1 P = ρh|w|2 i 3 Πij = P δij − ρhwi wj i felbontható egy nyomásból és egy 3 HIDRODINAMIKA 9 így jutunk a 3 X ∂ ∂ (ρuj ) + ∇ (ρui uj + P δij − Πij ) = ρv̇j ∂t ∂xi i=1 alakra. Ebb®l kapható a 3 3 X ∂ 1X ∂ ∂ uj + uj = v˙j − (P δij − Πij ) ui ∂t ∂xi ρ i=1 ∂xi i=1 egyenlet, melyet vektoros formában felírva ∂ 1 1 u + (u∇)u = f − ∇P + ∇Π. ∂t ρ ρ Elhagyva a viszkózus tagot, a

tökéletes folyadékok hidrodinamikájának mozgásegyenletét, az Euler-egyenletet kapjuk. (A viszkózus tagot is megtartva és észrevéve, hogy a ∇Π ∝ 4v és az arányossági tényez® η, Π ∝ gradv és így megkapjuk a viszkózus folyadékok mozgásegyenletét, a NavierStokes-egyenletet.) Az energiaegyenletet is ugyanilyen megfontolásokkal tudjuk levezetni, csupán annyi a különbség, hogy a Boltzmann-egyenletet nem az impulzussal, hanem a kinetikus energiával szorozzuk, vagyis az eloszlásfüggvény v szerinti második momentumát képezzük. Így a következ®t kapjuk: ∂ P 1 1  + u∇ = − ∇u − ∇F + Ψ ∂t ρ ρ ρ ahol 1  = h|w|2 i 2 1 F = hw|w|2 i 2 X ∂ Ψ= πi,j uj ∂x i i,j rendre a bels® energia, a h®uxus, a viszkozitás miatt fellép® disszipáció. A fent levezetett három egyenlet, a kontinuitási egyenlet, az Euler, vagy impulzusegyenlet, illetve az energiaegyenlet tekinthet®k a klasszikus hidrodinamika alapegyenleteinek.

3 HIDRODINAMIKA 10 3.2 Relativisztikus hidrodinamika A relativisztikus esetben is alkalmazhatjuk a fenti eljárást, de a klasszikus Boltzmannegyenlet helyett természetesen a relativisztikus megfelel®jét kell használnunk, melynek alakja: pµ ∂µ fp (x) = C[f ]p (x), fp (x) az egy-részecske eloszlásfüggvény, a pµ az on-shell részecske négyesimpulzusa. A jobb oldalon C[f ]p (x) jelöli az ütközési integrált: Z 3 1 d p1 d3 p0 d3 p1 0 0 0 0 0 0 C[f ]p (x) = 0 0 [f f1 W (p , p1 |p, p1 ) − f f1 W (p, p1 |p , p1 )] 2 p01 p0 p01 ahol ahol f 0 ≡ f (x, p0 ), f10 ≡ f (x, p01 ), f ≡ f (x, p), f1 ≡ f (x, p1 ) A részecskeszám megmaradás levezethet® a részecskeszám Z µ n = d3 pk µ p fk . pk0 k deníciójából. Ennek deriváltja µ ∂µ n = Z N Z X d3 pk d3 pk µ p ∂ f = Ckl (x, pk ) = 0, µ k pk0 k P0k k,l=1 mert az ütközési integrál elt¶nik, ha a részecskeszám megmarad, csakúgy, mint a klasszikus esetben is. A töltésmegmaradást 

ha van értelme töltésr®l beszélni a rendszerben  ugyanilyen megfontolásokkal vezethetjük le: Qµk ∂µ Qµk Z d3 pk qk pµk fk p0k Z d3 pk qk pµk ∂µ fk 0 pk = = Az energia-impulzus megmaradást az energia-impulzus tenzor divergenciamentessége jelenti, mely az eloszlás függvény második momentumából származik. A tenzor deníciója: T µν Z = d3 pk µ ν p p fk . p0k k k 3 HIDRODINAMIKA 11 A fentiekhez hasonló módon adódik a divergenciamentesség. Így, ha nincs töltés a rendszerben a relativisztikus hidrodinamika alapegyenletei ∂µ nµ (x) = 0 ∂µ T µν = 0. µ Az els® egyenlet a kontinuitási egyenlet relativisztikus megfelel®je, így a n egy részecske áram µν jelentés¶ négyesvektor, míg a T az energia-impulzus tenzor, melynek alakja nyugvó tökéletes folyadékra T µν = ( + p)uµ uν − pg µν Ha behelyettesítjük ezt az alakot a (3) egyenletbe és felbontjuk a zárójeleket, a következ®kre jutunk: ∂ν (( +

p)uν uµ − g µν ) = uν uµ ∂ν  + uµ ∂ν uν + uν ∂ν uµ + + uν uµ ∂ν p + uν p∂ν uµ + uµ p∂ν uν − ∂ν g µν p = = [( + p)uν ∂ν uµ + (uν uµ − g µν )∂ν p] + + [uµ (( + p)∂ν uν + uν ∂ν )] = 0 Ha vesszük az egyenlet uµ -vel (3) vett projekcióját, akkor az els® zárójeles kifejezés egyenl® lesz nullával és megkapjuk a relativisztikus energiamegmaradást biztosító egyenletet : ( + p)∂ν uν + uν ∂ν  = 0. Ha uν -vel szorozzuk és kivonva az eredeti egyenletb®l, az Euler-egyenletet kapjuk: ( + p)uν ∂ν uµ = (g µν − uµ uν )∂ν p. Klasszikus és relativisztikus esetben is kevesebb egyenletünk van, mint ahány ismeretlenünk. Kapcsolatot kell még teremteni az energias¶r¶ség, és a nyomás között az állapotegyenlettel:  = κp(T ). Itt expliciten jelöltem, hogy a nyomás függhet a h®mérséklett®l. Erre vonatkozó rács-QCD számolások [11], illetve implicit hidrodinamikai

megoldás is létezik [12], melyet alább bemutatok. 4 NÉHÁNY MEGOLDÁS 12 4. Néhány megoldás Az egyetlen igazi tanulás: a lényünkben szunnyadó tudásnak tevékennyé ébresztése. Weöres Sándor: A teljesség felé Ebben a fejezetben a relativisztikus hidrodinamika olyan megoldásait mutatom be, melyek az alkalmazás szempontjából fontosak. A relativisztikus hidrodinamika egyenletei bonyolult nemlineáris egyenletek, megoldásuk igen nehéz. A bemutatott megoldások ezért is játszanak nagy szerepet a nehézion-zika fenomenologikus megértésében, mert az egyenletek nehezen megoldhatóságából következ®en nagyon kevés megoldást, és még kevesebb a reális körülmények között alkalmazható, explicit megoldást ismerünk. 4.1 LandauKhalatnikov-megoldás Landau javasolta els®ként a relativisztikus hidrodinamika alkalmazását nagyenergiás folyamatok, els® sorban a légkörben lejátszódó proton-proton ütközések leírására. Ž vezette le a

relativisztikus hidrodinamika egyenleteit és az el®bbi alkalmazásra egy megoldást is talált [13]. A proton-proton ütközések jellegéb®l fakadóan nem volt szükséges 3+1 dimenziós megoldást felírni, így a LandauKhalatnikov-megoldás csak 1+1 dimenziós. A megoldásban a már említett ∂Tµν =0 ∂xµ összefüggést áttranszformálták a uµ ∂T ∂(T uν ) + =0 ∂xµ ∂xν kifejezésbe. Mivel a vizsgált tartományban a Lorentz-kontrakció miatt az ütköz® részeket lapított korongnak lehet tekinteni, ezért elegend® csupán két koordinátával foglalkozni (melyek a z t és a koordináták): ∂(T u1 ) ∂(T u4 ) + = 0. ∂x4 ∂x1 Vezessük be a relativisztikus hidrodinamika egydimenziós mozgásának potenciáljaként a vényt, melyb®l kapható, hogy: T u1 = ∂φ ∂φ , T u4 = ∂x1 ∂x4 φ függ- 4 NÉHÁNY MEGOLDÁS ahol φ 13 kielégíti a dφ = T u4 dx4 + T u1 dx1 √ relációt. Ha bevezetjük t -t x4 helyett, u0 = 1/ 1 −

v2 -et az u4 helyett és az x -et az x1 helyett, akkor a dφ = −T u0 dt + T u1 dx kifejezést kapjuk. Deniáljuk a sebességet az u0 és u1 u1 = sinh α, u0 = cosh α választással. Elvégezve egy Legendre-transzformációt T -ben, α-ban, a következ® potenciál adódik: dχ = d(φ + T u0 t − T u1 x). Ezen egyenletb®l a következ® egyenlet írható fel: 2 ∂ 2χ ∂χ 2∂ χ − c0 2 + (c20 − 1) = 0, 2 ∂α ∂y ∂y ahol y= lnT /T0 . További egyszer¶sítés a 3p =  és c20 = 1/3 kikötés, vagyis itt a κ = 3, azaz konstans: 3 ∂ 2χ ∂ 2χ ∂χ − 2 −2 = 0. 2 ∂α ∂y ∂y Új változókat bevezetve és átalakításokat elvégezve adódott egy megoldás, mely, bevezetve az ln kifejezéseket (ahol ∆ t+x = τ, ∆ ln t−x =η ∆ a Lorentz-kontrakciót szenvedett magok vastagsága) és gyelembe véve a ∼ T 4 ): StefanBoltzman-határesetet (   4 √  = 0 exp − (η + τ − ητ ) . 3 alakban áll el®. 4

NÉHÁNY MEGOLDÁS 14 4.2 HwaBjorken-megoldás Hwa [14] volt, aki ezt a megoldást megtalálta. Ez a megoldás is 1+1 dimenziós, gyorsulásmentes, de explicit Ez könnyíti az alkalmazást a LandauKhalatnikov-megoldással (LK) megoldással szemben. Hwa deniált egy f (k) impulzuseloszlás függvényt, mely azt mondja meg, hogy a meg- kµ impulzussal még a kifagyás el®tt egy b = 0 impakt paraméterrel írta le tömegközépponti rendszerben. Azt gyelhet® részecskék milyen valószín¶séggel találhatók adott helyen. A jelenséget feltételezte, hogy a részecskék kezd®sebessége az ütközés középpontjánál a legnagyobb és kifelé egyre csökken. Így a középponttól távolodó részecskéket olyan szeletekre osztotta, melyekben az F (x, k) száms¶r¶ség függvényt azon részecskékre, melyek ezzel az xµ -vel jellemezhet® szeletben k és k + dk között találhatóak. Az volt a feltevés, hogy létezik ilyen F (x, k) függvény és ez megteremti a

kapcsolatot a folyadék makroszkópikus tulajdonságai xµ és a részecskék mikroszkópikus tulajdonságai kµ átlagos helyzetet xµ -vel jelölte. Deniálta az között. Deniálta a uxust: d3 k k0 Z d3 k Tµν (x) = kµ kν F (x, k) k0 Z Sµ = kµ F (x, k) az EIT pedig alakban áll el®. A részecskék száma megmarad, s így az EIT-nak is, vagyis kapunk egy kontinuitási egyenletet kapunk: ∂µ S µ =0 ∂µ T µν =0. Ez a meggondolás egészen hasonló a Boltzmann-egyenletnél használttal. Itt (4) F (x, k) ugyanúgy egy eloszlásfüggvény, melynek momentumaiból számolhatók ki különböz® mennyiségek. A modell megadja a részecskeszám rapiditáseloszlását a sebesség függvényében :    −1 dN ∂v = γ , dy ∂z t √ γ = 1/ 1 − v 2 . Lehet, hogy a tömegelem µ Deniáljuk ( x = (t, z) a cella közepét adja) : ahol v= Az (5) útja a Minkowski tér-id®ben nem egyenes. dz z , u= . dt t u = v egyenl®ség nem feltétlenül kell hogy

igaz legyen, de ebben a speciális esetben feltesszük, hogy az. Így adta meg Hwa a sebesség mez®t Jelen megoldásban az (5) képlet a következ® alakot ölti: dN = τ0 , dy 4 NÉHÁNY MEGOLDÁS ahol τ0 15 a keletkezést®l a kifagyásig eltelt sajátid®. Bjorken [15] a korábban meglév® Hwa-féle megoldást más alakra hozta, melyb®l jó közelítés adható a kezdeti energias¶r¶ségre a mértb®l. A megoldáshoz Bjorken deniálta a következ® függvényeket:  = (τ, η) p = p(τ, η) T = T (τ, η) uµ = uµ (τ, η) ahol η a rapiditás, xµ /τ = uµ . τ (6) a sajátid®. Ez a modell is a Hwa által bevezetett sebességmez®t használja: Termodinamikai megfontolásokkal, a következ® összefüggést kapta Bjorken az állapotegyenletre:  β ∂n =1− 3p 3n ∂β ahol β = T −1 . Ha az EIT nyoma nem negatív (Tµµ ≥ 0), a tágulásból következik,  ≥ 3p Vagyis: ∂n ≤ 0. ∂β A kezdeti energias¶r¶séget pedig az alábbiakból

lehet megállapítani egységnyi rapiditás intervallumra, a nulla rapiditás körül: = hmt i dn , (R2 πτ0 ) dη dn/dη a részecskeszám, R2 π a létrejöv® anyag keresztmetszetének felülete, melyet kísérleti adatokból (pl. HBT mérésb®l) meg lehet becsülni, hmt i pedig az átlagos transzverz energiát jelenti, ha pz = 0. A rendszer longitudinális mérete a τ0 kezdeti sajátid®vel közelíthet®, így a nevez®ben a dη × térfogat áll. Ez esetben elegend® a végállapotot ismerni, mivel a gyorsulás ahol a hiánya miatt a rapiditás Lorentz-invariáns. 4 NÉHÁNY MEGOLDÁS 16 4.3 Csörg®CsernaiHamaKodama-megoldás Ez a megoldás [16] ellipszoidális szimmetriát feltételez a táguló anyag geometriájára, vagyis 3+1 dimenziós. A korábbi relativisztikus esetekben ezek a felületek vagy szférikus szimmetriával rendelkeztek, vagy mivel 1+1 dimenziósak voltak, semmilyennel. Jelen megoldás az s skálaváltozó x2 y2 z2 s= + + X(t)2 Y (t)2 Z(t)2

megválasztásával egy táguló ellipszoidot ír le, ahol skálaparaméterek, x, y, z X(t)2 , Y (t)2 , Z(t)2 csak az id®t®l függ® pedig a koordináták. Mivel táguló megoldást vizsgálunk, szükséges egy, a tágulást jellemz® sebességmez® választása is. Az asztrozikából kölcsönözhetünk egy ilyet, nevezetesen a Hubble-sebességmez®t, mely gömbszimmetrikus. Ez egy egyszer¶, de hatékony felírása a robbanás-jelleg¶ folyamatoknak. A sebesség arányos a távolsággal, Hubble felírásában v = H · r, ahol H a Hubble-konstans. A vizsgált megoldásban kicsit másképp írjuk fel, de a jelentése ugyanaz lesz az általunk használt formulának is: µ u =γ ahol Ẋ Ẏ Ż 1, x, y, z X Y Z √ γ = 1/ 1 − v 2 , X = Ẋ · t, Y = Ẏ · t, Z = Ż · t és ! , uµ = xµ /τ , xµ a térid® négyesvektor, τ pedig a sajátid®. A termodinamikai mennyiségek τ τ0 3  τ τ0  κ3  τ τ0 3+ κ3  n = n0 T = T0 p = p0 alakúak,

ahol n a száms¶r¶ség, T és termodinamikai mennyiségek hidrodinamika egyenleteit. Ha a a h®mérséklet, ν(s), (7) 1 , ν(s) p a nyomás és p0 = n0 T0 . A fenti sebességmez® Ẋ, Ẏ , Ż = áll. feltétel mellett megoldják ν(s) skálafüggvény egy ellipszoidot ír le: ν(s) = e−bs/2 . a relativisztikus (8) 4 NÉHÁNY MEGOLDÁS 17 4.4 CsanádNagyLökös-megoldás Ennek a megoldásnak [12] el®nye, hogy gyelembe veszi az állapotegyenletben a h®mérsék- κ(T ) letfüggést, hátránya, hogy implicit megoldás, szükség van egy explicit függvényre hozzá. Az állapotegyenlet  = κ(T )p (9) alakú, a sebességmez® Hubble-jelleg¶ uµ = xµ τ (10) Az állapotegyenlet alakját az energiaegyenletbe helyettesítve egy h®mérsékletre vonatkozó implicit egyenletet kapunk: dκ(T )T ∂µ T = ∂µ ln dT T  V0 V  (11) ahol a V a rendszer térfogatát jellemzi a részecskeszámon keresztül: n = n0 VV0 . Ennek az egyenletnek

megoldása egy V0 = exp V alakú egyenlettel megadott Z T T0 dκ(T 0 )T 0 ∂µ T 0 0 dT dT 0 T0  (12) V0 /V . V = τ 3 választással a megoldás Z T  τ03 dκ(T 0 )T 0 1 0 = exp dT τ3 dT 0 T 0 T0 (13) alakú. Itt megmaradó részecskeszámot tettünk fel, de ez nem feltétlenül igaz Erre az esetre a GibbsDuhem-relációból származtatott állapotegyenletb®l lehet számolni és τ03 = exp τ3 Z T T0  κ(T 0 ) 1 dκ(T 0 ) + T0 1 + κ(T 0 ) dT 0  dT 0  (14) alakú függvény elégíti ki, szintén Hubble-típusú sebességmez®vel. Feltehet®, hogy az állapotegyenlet a nyomástól függ. Ekkor τ0 = exp τ Z p p0  κ(p0 ) 1 dκ(p0 ) + (κ(p0 ) + 1)p0 1 + κ(p0 ) dp0   dp alakú a megoldás. Mindezen megoldások expliciten kiszámolhatóak, ha adott (15) κ(T ) vagy κ(p) függvény. A h®mérsékletfügg® kompresszibilitásra egy parametrizációt tartalmaz a [11] cikk, mely alapján [12] cikkben h®mérséklet sajátid® függést

lehetett számolni. 4 NÉHÁNY MEGOLDÁS 18 4.5 Egy nem-relativisztikus megoldás Ez a megoldás [17] nem-relativisztikus, de ellipszoidális szimmetriát tesz fel hasonlóan a 4.3 fejezetben tárgyalt megoldáshoz relativisztikus megoldáshoz, egy skálafüggvény bevezetésével. Ha a nem-relativisztikus hidrodinamika egyenleteit a ∂t n + ∇(nv) = 0 (16) ∇p mn ∂t  + ∇(v) = −p∇v ∂t v + (v∇)v = − alakban írjuk fel, ahol n egy száms¶r¶ség, (17) (18) v a folyadékelem sebessége, m a tömege,  pedig az energias¶r¶ség, akkor az T (r, t) = T0  V0 −s/2 e V ! Ẋ Ẏ Ż rx , ry , rz X Y Z n(r, t) = n0 (19) v(r, t) = (20) V0 V 1/κ (21) függvények megoldása a fenti egyenleteknek, ha gyelembe vesszük az állapotegyenlet  = κnT alakját és az ellipszoidális szimmetriát biztosító skálafüggvény s= ry2 rz2 rx2 + + . 2X 2 2Y 2 2Z 2 (22) Ezek a függvények csupán akkor megoldások, ha teljesül a ẌX = Ÿ Y =

Z̈Z = T m (23) egyenlet. Ez egy másodrend¶ nemlineáris dierenciálegyenlet rendszer, melynek létezik egyértelm¶ megoldása, ha adott X0 , Y0 , Z0 és Ẋ0 , Ẏ0 , Ż0 az ellipszoid tengelyeinek id®fejl®dését írják le. kezdeti paraméterek értéke. Ezen egyenletek 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE 19 5. A Buda-Lund modell és a paraméterek energiafüggése A képzelet sokkal fontosabb, mint a tudás. A tudás véges A képzelet felöleli az egész világot. Albert Einstein 5.1 A modell leírása A Buda-Lund modell egy ellipszoidálisan táguló hidrodinamikai közeget ír le, de nem egy hidrodinamikai megoldás, hanem egy végállapoti parametrizáció. A kifagyás utáni részecskék eloszlását adja meg feltételezve, hogy azok egy folyadékként viselked® közegb®l származnak. Egy forrásfüggvényt írja ezt le, mely tulajdonképpen egy relativisztikus Boltzmann-eloszlás, azaz Jüttner-eloszlás: S(x, p)d4 x = ahol g

a degenerációs faktor, parametrizálja, = ±1, 0 B(x, p) egy pµ d4 Σµ (x) g pµ d4 Σµ (x) (2π)3 B(x, p) + sq (24) a Cooper-Frye faktor, ami a kifagyási hiperfelületet B(x, p) az (inverz) Boltzmann-eloszlás, sq pedig a kvantumstatisztikát választja ki (sq rendre a Fermi-Dirac, Bose-Einstein és Boltzmann statisztika.) A hidrodinamikai rendszerben a következ® alakban írható:  µ pµ uµ − . B(x, p) = exp T T  (25) Ez a Boltzmann-eloszlás relativisztikus általánosítása, a Jüttner-eloszlás. A Cooper-Frye prefaktort a pµ d4 Σµ (x) = pµ uµ H(τ )d4 x (26) alakban vesszük fel, ahol (τ − τ0 )2 exp − H(τ ) = √ 2∆τ 2 2π∆τ 2  1 alakú. Néhány hidrodinamikai megoldás a H(τ ) = δ(τ − τ0 ),  (27) pillanatszer¶ kifagyást használja a leírásra, mint például a 4.3 fejezetben tárgyalt Mint már korábban láttuk, a skálaváltozó írja le azon felület geometriáját, melyen a termodinamikai mennyiségek

értéke állandó. Mivel ez a modell ellipszoidális szimmetriát feltételez, ezért az s egy ellipszoid Descartes-koordinátás alakja: s= ry2 rx2 rz2 + + . 2X 2 2Y 2 2Z 2 (28) 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE 20 A sebességtérr®l is megköveteljük, hogy tükrözze az ellipszoidális szimmetriát: uµ = γ Ẋ Ẏ Ż 1, rx , ry , rz X Y Z ! . (29) Minden hidrodinamikai megoldásra igaznak kell lennie, hogy uµ ∂µ s = 0, (30) fordítva azonban nem feltétlenül igaz, tehát ha egy sebességtér és egy skálaváltozó kielégíti a fenti egyenletet, még nem biztos, hogy egy hidrodinamikai megoldásról beszélhetünk. De olyan esetben, ha a tágulás sebessége nem relativisztikus visszaadja a 4.5 fejezetben tárgyalt nemrelativisztikus megoldást Megadható egy h®mérsékletprolt is, mely egy ellipszoidot ír le a skálaváltozó segítségével: 1 1 = T (x) T0    T0 − Ts T0 − Te (τ − τ0 )2 1+ s 1+ . Ts Te 2∆τ 2

(31) Bevezethet®k a következ® jelölések:   ∆T T0 − Ts = a = Ts T r   T0 − Te ∆T 2 d = = . Te T t 2 Az a2 a h®mérséklet térbeli, a d2 (32) pedig az id®beli gradiensét jelenti. (Például a d2 = 0 a pillanatszer¶ kifagyást jelentené.) 5.2 Mérhet® mennyiségek A mérhet® mennyiségeket a forrásfüggvény kiintegrálásával lehet megkapni. Ennek elvégzéséhez egy közelítésre, az ún nyeregponti közelítésre van szükség, mely úgy tekint a kiintegrálandó függvényre, mintha azt egy Gauss-függvény és egy nagyon lassan változó, majdnem konstans függvény alkotná. Ebben a közelítésben a forrásfüggvény a következ® alakú:   4 g pµ uµ (xs )H(τs ) −2 µ ν S(x, p)d x = exp −R (x − x ) (x − x ) dx s s µν (2π)3 B(xs , p) + sq 4 (33) ahol −2 Rµν = ∂µ ∂ν (−lnS0 )|s Az s index az angol ahol S0 (x, p) = H(τ ) B(x, p) + sq (34) saddle-point, azaz nyeregpont szóból ered és azt jelöli, hogy az

adott változó a nyeregpontban kell venni. Ezt a nyeregpontot a ∂µ (− ln S0 (xs , p)) = 0 (35) 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE egyenlet deniálja. Kiszámolva a nyeregpontot, az 21 S0 második deriváltjaiba helyettesítve adható meg a (34) mátrix, melynek determinánsa lesz az integrál értéke. Ezt a közelítést használom a kés®bbiekben az általánosabb modell felépítése közben is, így a részletesebb számítások ott találhatóak. Invariáns impulzuseloszlás Mivel a kísérletekben a részecskék keletkezésének helyét nem tudjuk mérni, csupán azt, hogy mekkora impulzussal jöttek létre, a forrásfüggvény nem alkalmas a kísérleti adatokkal való összehasonlításra. Azonban, ha kiintegráljuk a koordináták szerint az el®z® fejezetben leírt módon, kapjuk az invariáns impulzuseloszlást, mely Z N1 (p) = d4 xS(x, p) = 1 g h µ i EV C 3 p u −µ(x µ s) (2π) exp + sq T (xs ) (36) alakban adódik, ahol

Ha bevezetjük a E = pµ uµ (xs ) ∆τ ∗ −2 −1/2 V = (2π)3/2 [detRij ] ∆τ τs C= . ts b(xs , p) = log B(xs , p) jelölést, adódik, hogy b(xs , p) = ahol mt p2y p2x p2z mt p2t µ0 + + + − − , 2mt Tx 2mt Ty 2mt Tz T0 2mt T0 T0 (37) (38) a transzverz tömeg és bevezettük a T0 T0 + m t a 2 T0 Ty = T0 + mt Ẏ 2 T0 + m t a 2 T0 Tz = T0 + mt Ż 2 T0 + mt a2 Tx = T0 + mt Ẋ 2 (39) jelöléseket. Az elliptikus folyás Az elliptikus folyást szintén a forrásfüggvényb®l származtatjuk úgy, hogy az sebességtérbeli áttérünk a transzverz impulzusra a pt = q p2x + p2y px = pt cos α py = pt sin α pz = pz ≈ 0 (40) (41) (42) (43) 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE 22 szabályokkal. Így az impulzuseloszlás a   p2y p2x − N1 (p) ∼ exp − 2mt Tx 2mt Ty   2   p2t pt p2t cos(2ϕ) = exp − + − 2mt Te 2mt Tx 2mt Ty 2 (44) alakban írható, ahol bevezettük a 1 1 = Te 2  p2 w= t 4mt  1 1 + Tx Ty 

(45) mennyiséget. Bevezetjük továbbá a 1 1 − Ty Tx  (46) változót, mellyel deniálhatjuk az elliptikus folyást a v2 = I1 (w) I0 (w) (47) alakban, ahol 1 In (w) = 2π Z 2π cos(2nα)ew cos(2α) dα (48) 0 az els®fajú módosított Bessel-függvény (ld. 93 fejezet) Ebben a modellben a magasabb index¶ vn -ek elt¶nnek. Tehát vn folyások a szögre való kiátlagolást jelentik. Kétrészecske korreláció (HBT sugarak) A modellb®l a HBT sugarak is kiszámolhatóak, melyek értékes információkat szolgáltatnak a forrás geometriájáról; tulajdonképpen ez az egyetlen út, mellyel képet alkothatunk a forrásról. A módszert eredetileg kvazárok szögátmér®jének mérésére fejlesztették ki, de a mikrovilág megismerésére is kit¶n®en használható. Lényege, hogy a kétrészecske impulzuseloszlást nem gyelhetjük meg úgy, mint két külön részecske impulzuseloszlásának szorzatát, mert a hullámfüggvényt szimmetrizálni kell.

Bozonikus részecskék esetén ez adja a BoseEinstein-korrelációt (fermionok esetén FermiDirac típusú korreláció gyelhet® meg). A kétrészecske korrelációs együtthatót a következ® képlet deniálja: C2 (p1 , p2 ) = ahol N2 (p1 , p2 ) N2 (p1 , p2 ) , N1 (p1 )N1 (p2 ) (49) a kétrészecske impulzuseloszlás függvénye, mely tartalmazza a kvantummecha- nikából következ® interferencia-tagot. A szimmetrizáció miatt a korrelációs függvény közötti 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE kapcsolat p1 ≈ p2 feltétellel, bevezetve a jelöléseket, gyelembe véve, hogy K = (p1 + p2 )/2 23 átlagos impulzus és a q = p 1 − p2 qK S̃(q, K) C2 (q, K) = 1 + S̃(0, K) 2 (50) ahol Z S̃(q, K) = S(x, K)eiqx dx4 (51) A ˜ a Fourier-transzformációt jelöli. Mivel bármely függvény Fourier-transzformáltja a nullában nem más, mint a függvény integrálja, ezért a nevez®ben is egy Fourier-transzformált áll. A

Buda-Lund modell esetén (ld. például [18]) a korrelációs függvény a   C(q) = 1 + exp −q02 ∆τ∗2 − qx2 Rx2 − qy2 Ry2 − qz2 Rz2 (52) alakban írható, ahol 1 mt d2 1 = + Rx2 2 2 2 ∆τ∗ ∆τ T0 τ 0 = X2 2 +Ẋ 2 1 + mt a Ry2 = T0 Y2 2 +Ẏ 2 1 + mt a T0 Rz2 = Z2 2 +Ż 2 1 + mt a (53) T0 Így ezekkel a HBT sugarakat  1 1 + 2 2 Rx Ry −1  1 1 + 2 2 Rx Ry −1 Rout = Rside = + β02 ∆τ∗2 Rlong = Rz2 (54) ahol az out − side − long out irány a részecskék átlagos side irány pedig az el®z® kett®re koordináta-rendszer olyan, hogy az transzverz impulzusának irányába, a long a z irányba mutat, a mer®legesen fekszik a transzverz síkban. Megjegyzem, hogy ha pillanatszer¶ kifagyást tételezünk 2 fel, akkor a ∆τ∗ ≡ 0, s ebben az esetben a Rout ≡ Rside igaz lenne. Azokban a modellekben, ahol a kifagyást leíró függvény egy Dirac-delta, ez igaz. 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK

ENERGIAFÜGGÉSE 24 5.3 Illesztés adatokra A modellb®l kiszámolható mennyiségeket az el®z® alfejezetben bemutattam. Ebben az alfejezetben alkalmazom a modellt mért adatokra, több különböz® energián végzett mérések eredményeire és a paraméterek energiafüggését határozom meg a kapott eredményekb®l. Az alábbi 1. táblázat tartalmazza az illesztett paramétereket Ahol az illesztési hibát nem tüntetem fel, ott az adatokhoz nem állt rendelkezésemre a dolgozat írásának idején kísérletileg meghatározott hiba. Azonban az így, leolvasott hibákkal adott értékek vissza tudták adni a vártakat illesztések során. Ezért, hiba nélkül ugyan, de álljanak itt ezen értékek is Az illesztett mennyiségek képei a különböz® energiákon a 3-tól 8-ig láthatók. Kísérletek SPS PHENIX PHENIX PHENIX PHENIX ALICE Energia[GeV] 17 39 62,5 130 200 2760 T0 [MeV] X [fm] ut Y [fm]  Ż τ0 [fm] 1. táblázat 139±6 128 130 157±41 160±10

175±35 7.1±02 22.4 18.5 13.1 11.2 22.3 0.55±006 1.56 2.1 1.6±31 1.4±09 1.33±110 - 50 16.5 13.5 13.3 63.5 - 0.6 0.8 0.13±110 0.26±046 0.58±130 - 0.4 0.6 1.6 1.2±25 0.7±11 5.9±06 4.3 6.1 8.2 7.3 7.7 A különböz® energiákon végzett ütközések eredményeire illesztett paraméterek értékei. A 17 GeV-en mért adatokra kapott paraméterek, nem saját illesztésb®l származnak, hanem a [19] cikkb®l, Ezen illesztések gömbszimmetriát feltételezve, ezért nincs szintén Y ,  és Ż a Buda-Lund modellel készültek, de paraméter. A RHIC mérések esetén a magok arany, míg a LHC mérések esetén ólom magok voltak. Azon értékeknél, ahol nem szerepel hiba, az illesztés során egy paraméter kivételével minden más paramétert xen kellett tartani. 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE 3. ábra 25 Az LHC-ban 2.76 TeV energián mért invariáns impulzuseloszlás [20], elliptikus

folyás [21] és HBT sugarak [22] illesztésének ábrái. 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE 4. ábra 26 A RHIC-ben mért 200 GeV tömegközépponti energiával ütköz® arany atommagok invariáns impulzuseloszlása [23], elliptikus folyása [24] és HBT sugarai [25]. 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE 5. ábra 27 A RHIC-ben mért 130 GeV tömegközépponti energiával ütköz® arany atommagok invariáns impulzuseloszlása [26], elliptikus folyása [27] és HBT sugarai [28]. Ennél az illesztésnél − az elliptikus folyásra csak π adatok álltak rendelkezésre. 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE 6. ábra 28 A RHIC-ben mért 62 GeV tömegközépponti energiával ütköz® arany atommagok invariáns impulzuseloszlása [29] , elliptikus folyása [30], [31] és HBT sugarai [32]. Ennél az illesztésnél a spektrum esetén csak π0 adatok, míg az elliptikus folyás esetén csak töltött

hadron adatok álltak rendelkezésre. A spektrum illesztése 2 GeV-ig történt 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE 7. ábra 29 A RHIC-ben mért 39 GeV tömegközépponti energiával ütköz® arany atommagok invariáns impulzuseloszlása [33] és elliptikus folyása [34]. Ennél az illesztésnél hasonlóan, mint a 62.5GeV-esnél, a spektrum esetén csak hadron adatok álltak rendelkezésre. π0 adatok, míg az elliptikus folyás esetén csak töltött 5 A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE 8. ábra A CERN SPS-ben mért 158 AGeV energiával, azaz ∼17 30 GeV tömegközépponti energiával ütköz® ólom atommagok invariáns impulzuseloszlása és HBT sugarai. Az illesztett paraméterek és ábrák forrása: [19]. A fels® ábra hadronadatokat tartalmaz és az NA49 kísérletnél, míg az azonosított részecskés az NA44 kísérletnél készült. aszimmetriák ekkor a modellben még nem volt. v2 vagy magasabb 5

A BUDA-LUND MODELL ÉS A PARAMÉTEREK ENERGIAFÜGGÉSE 9. ábra 31 A kifagyási h®mérséklet, az aszimmetria paraméter, a transzverz és longitudinális sebesség paraméterek energiafüggése. Azon értékeknél, ahol nem szerepel hiba, az illesztés során paramétereket xen kellett tartani. 5.4 Az eredmények értelmezése A 9. képeken látszik, hogy a paraméterek értéke alig függ az ütközési energiától A kifagyási h®mérsékletben ugyan meggyelhet® növekedés, de ez igen lassú, hisz két nagyságrenden belül a 25%-ot is alig éri el. Ez az állandóság gyelhet® meg az a Ż ut paraméterértékekben is. Az  és paraméterek, mivel az aszimmetriával kapcsolatosak, érzékenyen függenek a centralitástól. Sajnos az adatok minimum bias és 0-10%-os centralitásúak voltak. Ennek ellenére az látszik, hogy hibán belül ezek is hasonló értékeket vesznek fel. Ezen illesztésekb®l tehát az látszik, hogy a vizsgált paraméterek nem, vagy

csak nagyon kevéssé függnek az ütközési energiától. Látható volt, hogy két nagyságrenden keresztül az értékek hibán belül ugyanakkorák maradtak, valamilyen trend határozottan nem alakult ki. 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 32 6. A Buda-Lund modell magasabb aszimmetriákkal Fontos, hogy mindent mérjünk, ami mérhet®, és megpróbáljuk mérhet®vé tenni, ami még nem az. Galileo Galilei Ebben a fejezetben a Buda-Lund modell egy olyan általánosítását írom le, mely magasabb aszimmetriák bevezetését teszi lehet®vé a sebességtérben. Az ily módon általánosított modellb®l az invariáns impulzuseloszlást, valamint az elliptikus folyást és annál magasabb aszimmetriát leíró mennyiséget vizsgálom. 6.1 A magasabb rend¶ aszimmetriák koecienseinek bevezetése Az el®z® fejezetben egy ellipszoidális szimmetriával rendelkez®, táguló hidrodinamikai közeget leíró modellt tárgyaltam, melyb®l mérhet® mennyiségeket

is ki lehetett számolni, illeszteni lehetett az adatokra. Mint arra a bevezet® fejezetben is utaltam, az ellipszoidális szimmetria csupán egy közelítése a valóságnak (1). Pontosabb leírását is adhatjuk a közeg geometriájának a skálafüggvény módosításával. Ahhoz, hogy a skálafüggvényt módosítsuk, áttérünk hengerkoordináta-rendszerbe, melyben az általánosítás lehet®sége egyszer¶en adódik. Az átírt skálafüggvény ry2 rz2 r2 rz2 rx2 + + (1 +  cos(2ϕ)) + (55) s= 2 2X 2 2Y 2 2Z 2 R2 Z2
2 2 1 alak adódik, ahol bevezettem az = 12 X12 + Y12 és 2 = YX 2−X mennyiségeket. Ebben az R2 +Y 2 alakban az ellipszoidális szimmetria mértékét az 2 határozza meg. Látható, hogy az 2 = 0 esetben a skálafüggvény gömbszimmetriát ír le. Az általánosítás egyszer¶en megtehet® ha újabb, magasabb index¶ n -eket kézzel hozzáadunk a skálafüggvényhez. Természetesen ezen a módon tetsz®leges számú koeciens bevezethet® az eredeti

skálaváltozóban (ld. a 92) Jelen dolgozatban azonban csak egyet vezetek be, az rend¶ aszimmetriát jellemz® mérhet® 3 -at, mellyel a az elliptikus folyásnál (v2 ) egy magasabb mennyiséget (v3 ) vizsgálok. Tehát a fentiek értelmében a skálafüggvényhez hozzáadva egy tagot, bevezetek egy magasabb aszimmetria faktort. Az így kapott általánosabb skálafüggvény s= r2 r3 rz2 (1 +  cos 2ϕ) + ( cos 3ϕ) + 2 3 R2 R3 Z2 (56) alakú lesz. Ezzel a hidrodinamikai közeg geometriája így egy általánosabb alakban adott A valóságban a folyadékviselkedés miatt a módosított geometria a sebességteret is érinti. Vannak hidrodinamikai megoldások, melyek ugyan a skálaváltozóban gyelembe veszik az ellipszoidális 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 33 szimmetriát, de a sebességtérben gömbszimmetriát tesznek fel. Viszont ezen általánosítás keretében a sebességtér geometriájának módosítása is lehetséges A sebességtér

származtatható egy potenciálból, mely ellipszoidális esetben Φ= Ẋ rx2 Ẏ ry2 Ż rz2 + + X 2 Y 2 Z 2 (57) alakú. A négyes sebesség így el®áll uµ = (γ, ∂x Φ, ∂y Φ, ∂z Φ) alakban, ahol γ az uµ uµ = 1 (58) feltételb®l számolható: q γ = 1 + (∂x Φ)2 + (∂y Φ)2 + (∂z Φ)2 . A potenciál módosításával érhet® el általánosabb alak. Vezessük be a Φ= (59) Ẋi Xi 1 jelölést, s így Hi 1 rx2 1 ry2 1 rz2 + + Hx 2 Hy 2 Hz 2 (60) alak írható, melyet átírunk hengerkoordinátás alakra: Φ=   r2 (1 + χ2 cos 2ϕ) . 2H (61) Hy −Hx jelöléseket. A deriválások elvégzése és az Hy +Hx µ adódó trigonometrikus azonosságok kihasználása után az u -re a következ® alakot kapjuk: ahol bevezettük az 1 H = 1 2 1 Hx + 1 Hy és χ2 =   r cos ϕ r sin ϕ rz u = γ, (1 + χ2 ), (1 − χ2 ), . H H Hz µ (62) Az általánosítás ugyanúgy tehet® meg, mint a skálaváltozó esetén. Egy tagot hozzáadva a

potenciál Φ= r2 r3 (1 + χ2 cos 2ϕ) + (χ3 cos 3ϕ) 2H 3H 2 (63) alakú lesz, mely a sebességtérben a µ  u = r r2 r r2 rz γ, ((1 + χ2 ) cos ϕ) + 2 (χ3 cos 2ϕ) , (1 − χ2 ) sin ϕ) + 2 (χ3 sin 2ϕ) , H H H H Hz  (64) alakot eredményezi. Magasabb tagokat a jelen dolgozatban nem tárgyalok Ezt a sebességteret illusztrálom a 10., 11, 12 ábrákon Az új alak valóban a várakozásnak megfelel®en módosítja az ellipszoidális szimmetriát mind jobban egy általánosabbá alakítva, ahogy a χ3 paraméter értékét növeljük. Az ábrákon a sötétebb szín jelenti a nagyobb, a világosabb a kisebb értéket. 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 1.0 1.0 0.5 0.5 0.0 0.0 -0.5 -0.5 -1.0 34 -1.0 -1.0 -0.5 0.0 0.5 -1.0 1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 χ2 = 0 és χ3 = 0 értékek mellett gömbszimmetrikus, χ3 = 0.3 értékek hatásai egyszerre láthatóak Az ábrán 10. ábra A bal oldali ábrán a sebességtér míg a jobb oldali

ábrán a χ2 = 0.3 és a a sötétebb szín jelenti a nagyobb, a világosabb a kisebb értéket. 1.0 1.0 0.5 0.5 0.0 0.0 -0.5 -0.5 -1.0 -1.0 -1.0 11. ábra A sebességtér -0.5 0.0 χ2 = 0.2 0.5 és -1.0 1.0 χ2 = 0.3 -0.5 esetben. A 0.0 χ3 0.5 1.0 értéke zérus. Az ábrán a sötétebb szín jelenti a nagyobb, a világosabb a kisebb értéket. 1.0 1.0 0.5 0.5 0.0 0.0 -0.5 -0.5 -1.0 -1.0 -1.0 12. ábra A sebességtér -0.5 0.0 χ3 = 0.2 0.5 és 1.0 χ3 = 0.4 -1.0 -0.5 esetben. A szín jelenti a nagyobb, a világosabb a kisebb értéket. 0.0 χ2 0.5 1.0 értéke zérus. Az ábrán a sötétebb 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 35 6.2 Mérhet® mennyiségek Mint azt a kés®bbi fejezetekben láthatjuk, a modellb®l még közelítéssel sem adható zárt alak a meggyelhet® mennyiségekre  az 5. fejezetben tárgyaltakkal ellentétben, így jelen dolgozatban csak a mérhet® menynyiségek aszimmetria

paraméterekt®l való függését vizsgálom néhány tipikusnak mondható illesztett paraméterérték mellett. 6.3 Nyeregponti közelítés A mérhet® mennyiségek meghatározásakor a forrásfüggvényt kell kiintegrálni a koordináták szerint, ahogy ezt az 5. fejezetben már bemutattam Azonban ez az integrál csak közelítéssel végezhet® el, a nyeregponti közelítéssel, mely, csakúgy, mint az eredeti modellben, a forrásfüggvényt egy Gauss-függvény és egy lassan változó függvény szorzatának tekinti. A forrásfüggvény ebben a közelítésben a (33) egyenletnek megfelel®en a következ® alakú: S(x, p)d4 x =   g pµ uµ (xs )H(τs ) −2 µ ν exp −R (x − x ) (x − x ) , s s µν (2π)3 B(xs , p) + sq (65) az exponensben szerepl® mátrix −2 Rµν |xs = ∂µ ∂ν (− ln S0 )|xs Vagyis, ahhoz hogy a −2 Rµν ahol S0 = mátrix elemeit kiszámoljuk, az H(τ ) . B(x, p) + sq S0 (66) második deriváltját kell a nyereg- pontban

meghatároznunk, mely pontot ennek els® deriváltja deniálja: ∂µ (− ln S0 )(xs , p) = 0. A második deriváltat ebben a pontban kiszámítva adódnak az (67) −2 Rµν elemei, s így a determinánst kiszámítva az integrál értéke: Z d4 xS(x, p) = −1 g pµ uµ (xs )H(τs ) q −2 . detRµν (2π)3 B(xs , p) + sq (68) B(x, p) egy exponenciális függvény (ld. 5 fejezet), melynél az exponensben lév® kifejezés sokkal nagyobb, ezért az sq elhagyható. Így Mivel a egynél S0 = H(τ ) − ln S0 = − ln H(τ ) + ln B(x, p) B(x, p) (69) alakban írható, melyb®l ∂ν (− ln S0 )|xs = ∂ν (− ln H(τ ) + ln B(x, p))|xs = 0 ∂ν (ln H(τ ))|xs = ∂ν (ln B(x, p))|xs (70) 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL feltétel adódik. Mivel H(τ )-t B(x, p)-et és 36 ugyanolyan alakban vehetem fel, mint az eredeti modellben, vagyis (τ −τ0 )2 1 e− 2∆τ 2 H(τ ) = √ 2π∆τ 2 B(x, p) = e pµ uµ −µ T (71) , (72) a

fenti feltétel komponensenként a −∂τ −∂i alakú egyenleteket jelenti, ahol (τ − τ0 )2 2∆τ 2 (τ − τ0 )2 2∆τ 2 i = x, y, z . pµ uµ − µ T xs pµ u µ − µ T xs = ∂τ xs = ∂i xs (73) (74) A bal oldal nem függ a helyt®l egyik egyenlet esetén sem. Figyelembe véve, hogy µ/T = bs, 1 1 = (1 + a2 s) T T0 ahol az els® egyenlet a s¶r¶séget, így a b (75) (76) paraméter a s¶r¶ség gradiensét, a2 paraméter pedig a h®mérsékletprol aszimmetriáját jellemzi. Ezen alakok felhasználásával a fenti egyenletek 1 (τ − τ0 )2 = (1 + a2 s)∂τ pµ uµ + −∂τ 2 2∆τ T0 xs   µ pµ uµ 2 pµ u 2 (1 + a s)∂x = b− a ∂x s T0 T0   a2 − b ∂τ s T0 (77) (78) alakban írhatóak. Az els® a nyeregpont sajátid®-koordinátáját határozza meg, míg a második az ris térkoordinátákat. Ezen egyenleteket kell tehát megoldani a nyeregpont kiszámításához Egy lehet®ség lenne az analitikus megoldás, mely

jelen esetben nem lehetséges az egyenletek bonyolultsága miatt. Tehát valamilyen közelítést kell alkalmazni ahhoz, hogy az egyenletek zárt alakot szolgáltassanak a nyeregpontra. A sajátid®re vonatkozó egyenlet A (78) sajátid®re vonatozó egyenletben a bal oldalon álló derivált könnyen elvégezhet®. A jobb oldalon álló mennyiségek τ szerinti deriváltját átalakítjuk τ − 2 = ∆τ  1 + a2 s ∂t pµ uµ + T0  t szerinti deriválttá   a2 1 − b ∂t s . T0 γ (79) 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 37 ri -ben másod-, vagy magasabb rend¶ tagot elhaHi nyagolhatónak veszek (amib®l következik, hogy γ ≈ 1). A kijelölt deriváltakat elvégezve és A kifejezést úgy közelítem, hogy minden alkalmazva a közelítést adódik, hogy ∂t pµ uµ = E∂t γ − px ∂t ∂x Φ − py ∂t ∂y Φ − pz ∂t ∂z Φ ≈ E   2 r3 rz2 r (1 + 2 cos 2ϕ) + 3 cos 3ϕ + 2 ≈ 0 ∂t s = ∂t R2 R Z (80) (81) vagyis a

nyeregpont sajátidejére τs = egyenlet adódik, ahol a számlálóban a τ0 T0 − E∆τ 2 T0 T0 és az E (82) egy nagyságrendbe esnek, azonban a ∆τ  τ0 , így jó közelítéssel igaz, hogy τs = τ0 . (83) Ez a nyeregpont sajátid®-koordinátája. A térkoordinátákra vonatkozó egyenlet A térkomponensekre vonatkozó egyenletek megoldása esetén is a τs meghatározásakor tett közelítést használom. Így ha a Descartes-rendszerben felírt 1 + a2  rx2 X2 + ry2 Y2 + rz2 Z2  E Hr2i γ − i pi Hi   T0 b − a2 Eγ − px Hrxx − py Hryy − pz Hrzz = 2ri Xi2 (84) egyenletekben a másodrend¶ tagokat kicsinek vettem. A kijelölt m¶veleteket elvégezve és átrendezve ri -re a következ® alakot kapjuk: ris = mely, bevezetve a Ri = Xi2 Hi 2 EXi +2Hi (a2 E−b) pi Xi2 EXi2 − 2Hi2 (T0 b − a2 E) (85) jelölést, az ris = pi Ri T0 alakban írhatók a nyeregpont térkoordinátái (i = x, yz ). (86) A második

deriváltakat tehát ezen koordináták által meghatározott tér-id® pontban kell venni. 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 38 A második deriváltak meghatározása Az el®z® két alfejezetben levezettem azokat a megoldandó egyenleteket, melyek meghatározzák a nyeregpont helyét a tér-id®ben. Mivel az egyenleteket analitikusan nem lehetett megoldani, közelít® megoldást adtam azokra a (83) és a (86) egyenletekben. Azonban a második deriváltak meghatározása szükséges ahhoz, hogy a (66) mátrix determinánsát meghatározzuk. A Young-tétel miatt a meghatározandó mátrixról tudjuk, hogy szimmetrikus, így elegend® lenne csak a f®átlóbeli és feletti elemeket kiszámolni. Azonban a fenti közelítést itt is alkalmazva a mátrixnak csak f®átlóbeli elemei lesznek.   ∂τ ∂τ B(xs , p) − ∂τ ∂τ H(τ ) ∂x ∂x B(xs , p)  −2 Rµν =     ∂y ∂y B(xs , p) ∂z ∂z B(xs , p) (87) A deriváltakat

kiszámolva Rτ−2 τ   pµ uµ 2 1 1 + a2 s 2 µ ∂τ p µ u + a − b ∂τ2 = (88) = (− ln H(τ ) + ln B(xs , p)) = ∆τ 2 T0 T0 !      1 Ẋ 2 Ẏ 2 Ż 2 1 E 2 1 E 2 1 1 = a −b a −b +2 + + = +2 + + ∆τ 2 T0 X Y Z ∆τ 2 T0 Hx2 Hy2 Hz2 ∂τ2 (89) 2 Rii = 1+a s 2 ∂i pµ uµ + T0  µ  pµ u 2 a − b ∂i2 s = T0  E 2 a −b T0  2 Xi2 (90) −2 a detRµν kiszámítható. Itt ennek négyzetgyökének reciprokát adom meg, mivel a spektrum kiszámításakor ez jelenik meg: q −2 detRµν −1  1 = +2 ∆τ 2  E 2 a −b T0  1 1 1 + 2+ 2 2 Hx Hy Hz −1/2  E 2 a −b T0 −3/2 XY Z √ 8 (91) A mérhet® mennyiségek meghatározásához áttérünk a transzverz impulzusra. Ennek eloszlásához ki kell integrálni a szögre, s a fenti közelítés zikai tartalma itt jelenik meg világosabban. A −2 detRµν mátrix kiszámítása során elhagytuk annak szögfüggését a mellette álló B(x, p) exponenciális

függvény mellett, mivel utóbbié jelent®sebb. 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 39 6.4 Az invariáns spektrum és magasabb rend¶ aszimmetriák Ahhoz, hogy az invariáns impulzuseloszlás viselkedését vizsgáljuk a forrásfüggvényt kell kiintegrálni a koordináták szerint. Ezt a nyeregponti közelítés segítségével el is tudtuk végezni, az eredmény pedig    −1/2  −3/2 p uµ (x ) s gpµ uµ (xs )XY Z 1 E 2 1 E 2 1 1 − µ √ N1 (p) = +2 a −b a −b e T (xs ) + 2+ 2 2 2 3 ∆τ T0 Hx Hy Hz T0 (2π) 8 (92) alakban adódik. Ahhoz, hogy mérhet® mennyiséget kapjak ebb®l az alakból, áttérek a transzverz impulzusra, pt = q p2x + p2y , Azért tehetem meg, hogy pz = 0-t px = pt cos α, py = pt sin α, pz = 0. (93) választok, mert olyan mérhet® mennyiségeket számolok ki, melyeknek körülbelül nulla rapiditásuk ebben az irányban. Ezt behelyettesítve és integrálva a szögre adódik a transzverz impulzuseloszlás.

Látható, hogy a kifejezések bonyolultak, az integrál analitikusan nem végezhet® el, ezért numerikus módszerrel számolok tovább. 6.5 Az elliptikus folyás és magasabb rend¶ aszimmetriák Azzal, hogy a szögre kiintegráltunk egy szögfüggetlen eloszlást kaptunk. Azonban a szögfügg® eloszlások is fontosak. A modell általánosítása éppen azt célozza meg, hogy általánosabb szögfügg® eloszlás is vizsgálható legyen a modellel A szögfügg® részt leválasztva, Fourier-sorba fejtve N1 (p) = N1 (pt , α) = N1 (pt ) 1 + 2 ∞ X ! vn cos(nα) (94) n=1 átrendezéssel adódik adódik a deníció: R 2π vn = 0 N1 (pt , α) cos(nα)dα . R 2π N1 (pt , α)dα 0 A folyások (ow) a sorfejtés együtthatói: vn . Az általánosított modell (95) v2 és v3 aszimmetriát jellemz® együtthatók leírására alkalmas, mivel csak eggyel több tagot vezettem be. (Megjegyzem, hogy ezen mennyiség nem nulla volta egy bizonyítéka annak, hogy a sQGP

valóban folyadékszer¶en viselkedik. A térbeli aszimmetria miatt, amely az ütközések nem-centrális voltából fakad, impulzustérbeli aszimmetria is kialakulhat kollektív viselkedés esetén. Ilyen viselkedés azonban csak a folyadékképben lehet, olyan elképzelésben, melyben az sQGP gáz, nem.) Az eredeti modellben az integrálok analitikusan elvégezhet®ek voltak és a módosított Besselfüggvényeket adták eredményül (ld. 93 fejezet) Az általánosított modellben azonban a zárt alakú megoldásról már a spektrum esetén is le kellett mondani. A folyások esetében is numerikus integrálással lehet eredményre jutni. 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 40 6.6 A paraméterfüggés vizsgálata El®ször megvizsgáltam a különböz® tömeg¶ részecskékre milyen jelleg¶ függvényeket kapok néhány tetsz®legesen, de reálisan választott harmonikus mellett, melyek értékét feltüntettem a képeken. Ezek eredménye látható a 14 ábrán

13. ábra A paraméterértékek a tömegfüggés során: 2 =0.3, 3 =01, χ2 =03, χ3 =01 Látható, hogy olyan alakú függvényeket kapunk vissza, ami megfelel a kísérleti eredményeknek, mint amilyenek akár az 5. fejezetben is láthatóak A továbbiakban már nem vizsgálok meg minden paramétert, minden mennyiségre és mindhárom részecskére, csupán pionokra. Az adott paramétereknél csak a velük kapcsolatos mennyiségeket vizsgálom, mint például az 2 hatása a spektrumra elhanyagolható, viszont annál érdekesebb az elliptikus folyásban (v2 ) és hatásának hiánya a v3 -ban. A fejezet végén bemutatom, hogy függ össze a térbeli és az sebességtérbeli aszimmetria, mely a kollektív viselkedés jele. 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL Paraméter jele neve értéke T0 ∆τ 2 Kifagyási h®mérséklet 170.0 m a2 b R Z ut , Ż 2 , χ2 3 , χ3 2. táblázat 41 A kifagyás id®tartama 0.01 Tömeg 140.0

H®mérsékletprol aszimmetria paraméter 0.1 S¶r¶séggradiens-paraméter -0.1 Transzverz síkbeli méret 15 Longitudinális méret 5 Átlagos transzverz és longitudinális sebesség 0.6 Térbeli és sebességtérbeli elliptikusság -0.3 Térbeli és sebességtérbeli triangulitás -0.2 A paraméterek rögzített értékei. Amelyik paraméter változik, aktuális értékét a képen jelölöm. Ahol valamilyen paraméterérték változik, az ábrán feltüntetem fel aktuális értékét. A többi paraméter értéke minden esetben rögzített, értékét a 2. táblázat tartalmazza 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 42 A kifagyási h®mérséklett®l való függés A T0 paraméter a kifagyási h®mérsékletet jelenti, s mindhárom mennyiségre hatással van a változása. Ez az a h®mérséklet, amelyen megtörténik a hadronizáció Az idéz®jel azért szükséges, mert a megtörténik szó arra utal, hogy a hadronok keletkezése

pillanatszer¶en 2 megy végbe. Jelen modellben ezt nem tettük fel, én mégis ezzel a közelítéssel élek amikor a ∆τ paraméter értékét kicsinek választom. A képeken jól látszik, hogy a modell szerint magasabb h®mérsékleteken több nagy impulzusú részecske keletkezik kisebb aszimmetriával. 14. ábra A spektum, a v2 és a v3 h®mérsékletfüggése. A modellben a magasabb h®mérsékletek több nagyimpulzusú részecske tartozik. Emellett érdekes, hogy a megnövekedett hozammal párhuzamosan az aszimmetriát leíró függvények értéke csökken. 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 43 A h®mérsékletproltól való függés Az a2 paramétert a h®mérsékletprol alakjának jellemzésére vezettük be. Azt a felületet jellemzi, amelyen a h®mérséklet ugyanolyan értékeket vesz fel, s ez ugyanaz, mint a térbeli geometria, amint az a (76) egyenletben látszik. A 15 ábrán látható, hogy minél nagyobb 2 az a értéke a folyások

annál kisebb értéket vesznek fel. Ennek a paraméternek a hatására a spektrum normálása változik. Mivel azonban a h®mérsékletprol geometriáját jellemzi, a µ folyásokban szerep játszik. Matematikailag az exponens pµ u -vel arányos tagjának szögfüggését paraméterezi. 15. ábra A spektrum és a folyások változása az a2 paraméter hatására. Látható, hogy a spektrumnak csak a normálását változtatja, de a folyások függvényeit jelent®sen, a bevezetett 2 aszimmetriaparaméterekhez hasonlóan módosítja. Érdekes meggyelni, hogy kis a értékekre a legnagyobb mindkét folyás értéke. Nem szabad elfelejteni, hogy ez a paraméter a h®mérséklet aszimmetriáját írja le, míg a v2 és v3 mennyiségek a térbeli és sebességtérbeli aszimmetriát jellemzik. Kés®bb részletesen kitérek rá, hogy ez a két aszimmetria tulajdonképpen nem elválasztható egyértelm¶en a mérési adatok segítségével. 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB

ASZIMMETRIÁKKAL 44 A s¶r¶séggradienst®l való függés A b egy s¶r¶séggradiens jelleg¶ paraméter, hisz is várjuk, hogy a b e−µ/T = ebs alakban vezettük be. Emiatt negatív értékeket vesz fel, s minél nagyobb negatív értéket vesz fel a s¶r¶séggradiens annál nagyobb. A kis b értékek már megváltoztatják a görbék meredekségét, illetve jellegét is, amint az a a 16. ábrán látható Határesetben, amikor a b = 0, az exponensben µ csak a pµ u /T tag járuléka számít. Ez a folyások esetén közel nulla értéket eredményez, hisz a b épp a térbeli geometriát, s így a szögfüggést leíró tagot szorozza. 16. ábra A s¶r¶séggradiens hatása a mérhet® mennyiségekre. Egészen kis b értékekt®l 2 eltekintve a spektrum normálására van hatással. Azonban a folyásokra, csakúgy, mint az a paraméternek, hatása a folyásokra jelent®s. Mivel ennek a paraméter a s¶r¶ség csökkenését írja le a központi részt®l

kifelé (mivel csökkenést várható, negatív értékeket vizsgálok) az aszimmetriát befolyásolnia kell. Ez a hatás meggyelhet® a meggyelni, hogy a b v2 és a v3 ábráin. Érdekes értékét növelve a kisimpulzusú tartomány (500MeV alatt) és az ennél magasabb impulzusú tartomány másképp viselkedik. 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 45 Az transzverz és longitudinális sebességekt®l való függés Az ut paraméter az átlagos transzverz, a Ż paraméter pedig a longitudinális sebességet jellemzi. Ezeket a ut = R Z , Ż = H Hz (96) formában vezetem be. Ezen paraméterek a spektrumot nem, míg az aszimmetriát leíró tagokat befolyásolják, amint az a 17. ábrákon látszik Bár a ~ = c = 1 egységrendszer használva a paraméterek értéke, ha valóban hármassebesség jelentéssel bírnának, nem lehetnem nagyobb egynél. Azonban ezek bizonyos irányok átlagsebességét jelent® paraméterek, így vizsgálhatók

lennének egynél nagyobb paraméterek is. 17. ábra A várakozásnak megfelel®en nagyobb átlagos sebességekhez, nagyobb folyási értékek is tartoznak. A sebesség mindkét folyás esetében fontos szerepet játszik, ezért is vezettük be a sebességtérbeli aszimmetriát leíró koecienseket. 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 46 A térbeli aszimmetriától való függés Az 2 és 3 paraméterek a térbeli aszimmetriát leíró paraméterek. Az tikusságot, míg az 3 2 a térbeli ellip- egy magasabb rend¶ aszimmetriát, a térbeli triangularitást méri. A modell továbbfejlesztésének egyik célja éppen az volt, hogy ezt a magasabb térbeli szimmetriát bevezessem. Az ábrákon is jól meggyelhet®, hogy az 2 a v2 -höz, míg a 3 a v3 -hoz ad járulékot. Amint az várható is, nagyobb paraméterértékre nagyobb folyásértéket kapunk. 18. ábra A fels® sorban a v2 változása látható rendre az 2 és 3 paraméterek

változásaira. Az 2 alsó sorban ugyanezen változások gyelhet®ek meg a v3 folyás esetén. Az eddig tárgyalt a és b paraméterekkel ellentétben ezen paraméterek a térbeli aszimmetria leírására vezettem be, így hatásuk a folyási függvényekre fontos. A várt viselkedés látható az ábrákon, vagyis nagyobb paraméterértékekhez nagyobb folyásértékek is tartoznak. 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 47 Az sebességtérbeli aszimmetriától való függés χ2 és χ3 paraméterek a sebességtérbeli aszimmetriát írják le, amint azt a (63) egyenletben bevezettem. A χ2 az ellipszoidális, míg a χ3 a magasabb rend¶ aszimmetriához ad járulékot a Az sebességtérben. A különböz® index¶ folyások paraméterei nincsenek hatással a többire, mint azt a 19. ábra illusztrálja Érdekes, hogy a sebességtér aszimmetriája a kisebb (500 MeV alatti) 19. ábra A fels® sorban a változására. Az alsó sorban a v2 folyás változása

látható a χ2 és χ3 paraméterek értékeinek v3 folyás ugyanezen paraméterek változása mellett. A kollektív viselkedés miatt a folyási függvényekre a sebességtérbeli aszimmetria is hatással van, csakúgy, mint a térbeli aszimmetriát leíró paraméterek. impulzusoknál nem játszik fontosabb szerepet. Természetesen nem elhanyagolható, de nem független a térbeli aszimmetriától a folyadékjelleg miatt, s mivel annak jelent®sebb járuléka van, sebességt®l függetlenül, a kisebb impulzustartományokban is, az sebességtérbeli aszimmetria csak a nagyobb értékeknél lesz jelent®sebb. Ez az ábrákon is látszik; meggyelhet®, hogy amikor olyan paraméter változik, melynek nincs hatása az adott folyásra, akkor csak a rögzített paraméter szabályozza az értékét: a térbeli aszimmetria. Így összehasonlítva az egymás mellett lév® ábrákat látható, hogy 500 MeV körüli impulzustól ad a térbeli aszimmetriával összemérhet® járulékot.

6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 48 6.7 Aszimmetria paraméterek kombinációjának hatása A 18. és 19 ábrák alapján látható, hogy az térbeli és az sebességtérbeli aszimmetria a 2 folyásokat mindkét paraméter befolyásolja. Megjegyzem, hogy ezen paraméterek mellett az a , b paraméterek és az ut , Ż -n keresztül a tágulást leíró paraméter, a H is befolyásolja a folyásokat. Már a módosított sebességtér illusztrálásakor látható (10., 11 és 12 ábrák), hogy egy általánosabb szimmetria jobban megközelíti a valóságot (1 ábra) Ez a kapcsolat a két paraméter között, mely már az eredeti modellben is megjelenik, a mérésekkel összhangban áll, s bizonyítéka a kollektív viselkedésnek. Érdemes tehát a paraméterértékek kombinációját egy szintvonalas térképen megvizsgálnunk. Ilyen térképet mind a v2 , mind a v3 esetére készítettem. Ez látható a 20 ábrákon A vonalak közötti távolság 0.05 A bal

oldali képek pt =500 MeV-nél, míg a jobb pt =1700 MeV-nél készültek. Jól látható az ábrákon, hogy a sebességtérbeli aszimmetria 20. ábra oldaliak csak nagyobb impulzusoknál jelenik meg és ekkor a két paraméter szétválaszthatatlan, vagyis a vn értéke nem függ külön az egyik és külön a másik értékét®l, hanem csak azok kombinációjától. Az értékeik külön meghatározása további vizsgálatot igényel. Ilyen lehet jelen modellel történ® illesztés. 6 A BUDA-LUND MODELL MAGASABB ASZIMMETRIÁKKAL 49 Tehát egy nagyon fontos következtetést lehet levonni, mely az ábrákon jól látszik: a kísérletekben megmért v2 , v3 , . , vn folyások értékeib®l nem lehet függetlenül következtetni a térbeli aszim- metriára, mert folyások értékeit, f®leg a nagyobb impulzusoknál a sebességtérbeli aszimmetria is jelent®sen befolyásolja. A kísérletek során csupán a kett® kombinációját lehet mérni Ahhoz, hogy a két

paraméter értékét külön-külön meg lehessen határozni, hidrodinamikai modellek szükségesek, melyek tartalmazzák mindkét paramétert. A dolgozatban tárgyalt modell alkalmas ilyen vizsgálatokra. Az adatokkal való összehasonlítással el lehet dönteni, hogy melyik paraméternek mekkora járuléka van a folyási függvényekben. Amint azt már említettem a paraméterek csupán az indexüknek megfelel® folyási függvénybe adnak járulékot. Ezt ábrákon is bemutattam 8 KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS 50 7. Összefoglaló A dolgozatban egy már ismert hidrodinamikai modellt, a Buda-Lund modellt használtam fel arra, hogy a nehézion-ütközésekben keletkez® sQGP néhány tulajdonságának energiafüggését meghatározzam. A modell leírása után több különböz® energiára végeztem illesztéseket Ezen vizsgálat eredménye, hogy a hidrodinamikai modell paraméterei nem függenek az ütközési energiától, vagy csak olyan kis mértékben, melyet az illesztések

nem mutattak ki, amint ez várható volt. Ugyanis az ütközési energiától az sQGP keletkezése vagy nem keletkezése függhet, de olyan paraméterek, mint a kifagyási h®mérséklet, azaz a hadrongenezis h®mérséklete a Természet egy általános tulajdonsága és nem függhet attól, hogy milyen energián végezzük a kísérletet. Olyan paraméterek, mely a keletkezett plazma méretével, a tágulás idejével kapcsolatosak lehetnének energiafügg®ek De az illesztések ezt nem támasztják alá A dolgozat második felében a modell egy általánosítását tárgyaltam, mely magasabb aszimmetriákat is gyelembe vesz. A módszerrel, mellyel bevezettem a magasabb rend¶ aszimmetriák paramétereit, tetsz®leges számú koeciens bevezethet®, így tetsz®legesen magas aszimmetria gyelembe vehet®. Jelen dolgozatban az els® két ilyen paramétert tárgyaltam, s így a v2 és a v3 mérhet® mennyiségeket tudtam kiszámolni numerikusan. Az általánosított modell helyes

görbéket ad vissza a más illesztésekb®l nyert paraméterekkel. Fontos eredmény, hogy a modellb®l látható a térbeli és sebességtérbeli aszimmetria egymást befolyásoló hatása. Az err®l készült kontúr ábrákon bemutattam, hogy a kísérletileg meghatározott folyási függvények értékeit nem-függetlenül befolyásolja a két külön aszimmetriaparaméter, így azok értéke nem, csupán kombinációjuk értéke határozható meg közvetlenül a mérésekb®l. Értékeik meghatározására külön vizsgálatot igényel. 8. Köszönetnyilvánítás Köszönöm Csanád Máténak, témavezet®mnek a végtelen türelmét, odaadó munkáját, tanácsait és útmutatásait, melyek nélkül a dolgozat nem készülhetett volna el. Köszönöm Czinder Anitának, barátn®mnek, akinek támogatása mindig er®t adott. Köszönöm szüleimnek, barátaimnak segítségükért, lelkesítésükért 9 FÜGGELÉK 51 9. Függelék 9.1 A hidrodinamika alapegyenleteinek

térelméleti levezetése A térelméletet jelen esetben folyadékokra alkalmazzuk. Jelen függelék célja a hidrodinamika alapegyenleteinek levezetése térelméleti módszerekkel. Klasszikus Lagrange-koordinátázás A Lagrange-koordináta egy tömegelemmel együtt mozgó, az elmozdulás tér egy pontja. Kezdeti feltételnek egy t0 id®pillanatban kiválasztott r0 koordináta számít, ez azonosítja a tömegelemet. A sebességet és a gyorsulást: ∂ r(r0 , t) ∂t ∂2 a(r, t) = 2 r(r0 , t) ∂t v(r, t) = összefüggések adják, ahol (97) (98) r0 a folyadékelem kezdeti feltétele, a t = 0 id®pontbeli helyvektor. Klasszikus Euler-koordinátázás Ahhoz, hogy áttérjünk a Lagrange-koordinátákról az Euler-koordinátákra a vE (r, t) = vL (r0 (r, t), t) (99) vagy az Euler-képb®l a Lagrange-képbe való áttéréshez a vL (r0 , t) = vE (r(r0 , t), t) függvényt keressük, ahol a vE az Euler-képbeli sebességmez®t, míg (100) vL a Lagrange-képbeli

sebességmez®t jelöli. Vagyis lényegében az együttmozgó rendszerr®l térünk át laborrendszerre (Lagrange Euler), vagy fordítva (Euler Lagrange). A totális derivált a Lagrange-képbeli mez® id®deriváltja Euler-képben. Tömören jelölve: ∂F dF = + (v∇)F dt ∂t (101) ahol F egy Lagrange-képbeli mez®. Így például a sebességmez® a következ®képpen írható át: dv ∂v = + (v∇)v dt ∂t (102) Látjuk tehát, hogy a konvektív tag az Euler-egyenletben tulajdonképpen egy áttérés egy másik képbe. Ha bevezetjük J Jacobi-mátrixot és annak determinánsát J -t Jab = ∂ra ∂r0b (103) 9 FÜGGELÉK alakban, ahol az 52 a, b a komponenseket indexelik akkor kapjuk ρd3 r = ρJd3 r0 = ρ0 d3 r0 (104) amib®l látható, hogy ρ= ρ0 (r0 ) . J(r0 , t) (105) Klasszikus mechanikából ismert, hogy az L Lagrange-függvény megadható, mint L=K-V, ahol K a kinetikus, V pedig a potenciális energia. Ezt s¶r¶ségekre átfogalmazva

általánosan felírhatjuk  Λ = ρ0  v2 − , 2 (106) alakot. Behelyettesítve az ∂Λ ∂ ∂Λ ∂ ∂Λ = + ∂ra ∂t ∂ra,i ∂r0b ∂ra,b alakú EulerLagrange-egyenletbe. Itt a, b (107) ra,t = ∂ra /∂t, ra,b = ∂ra /∂b jelölést vezetjük be, ahol az a komponenseket indexelik. A deriváltakat külön-külön kiírva: ∂Λ =0 ∂ra ∂Λ = ρ0 va . ∂ra,t (108) (109) Itt fontos még egy közbevetés. Az adiabatikusság miatt a pálya mentén az entrópia állandó Vagyis a termodinamika I. f®tétele a következ® alakot ölti: d = pdρ ρ2 (110) Ezt felhasználva a harmadik tagot is kiszámítva ∂Λ ∂Λ ∂  ρ0  ρ20 ∂ ∂J −1 = = −ρ0  , s0 = 2 = pJJba ∂ra,b ∂Jab ∂Jab J J ∂ρ ∂Jab (111) és vissza írva az (107) EulerLagrange-egyenlet (109),(111) tagjait ρ0 alakra jutunk, ahol J inverzéb®l származik. a J ∂va ∂ −1 =− pJJba , ∂t ∂rb Jacobi mátrix determinánsa, (112) −1 Jba az

elmozdulástér gradiensének 9 FÜGGELÉK 53 Ha gyelembe vesszük, hogy a fenti eredményt is Lagrange-koordinátákban kaptuk, ráismerünk az Euler-egyenletre, hisz Euler-koordinátákban a Jacobi-determináns kifejezései egyet adnak. Kifejtve tehát a deriváltat a (102) szerint ∂ua + ∂t ahol  ∂ua ∂xa  ua = − 1 ∂p ρ0 ∂xa (113) ua egy Euler-képbeli sebességmez® egy koordinátája, xa pedig egy Euler-képbeli helyvektor egy koordinátája. Relativisztikus Euler-koordinátázás A relativisztikus hidrodinamika Lagrange-s¶r¶ségfüggvénye a következ® alakú: Λ = −ρ(ρ, s) + ahol ρ, , s
ρν 1 − g ij ui uj 2 (114) a pillanatnyilag együttmozgó rendszerbeli, más szóval nyugalmi s¶r¶ség, fajlagos bels® energia és entrópia, valamint alkalmaztuk a kinematikai kényszert. Euler képben azokat a megmaradási tételeket, melyek a lagrange-i képben maguktól adódtak, multiplikátorokkal kell gyelembe venni, mint küls®

kényszereket. Ilyen megmaradási tételek a kontinuitási egyenlet, az adiabatikusság, a kezdeti feltétel megmaradása 2. Ezek után a teljes LSF összeáll a fenti Lagrange s¶r¶ségfüggvényb®l és egy, a kényszereket is tartalmazó Lagrange s¶r¶ségfüggvényb®l. Elvégezve a variálásokat kiderül, hogy a pálya mentén a Lagrange s¶r¶ségfüggvény értéke maga a nyomás:   Λteljes = ρ − + Φ̇ = ρ(w − ) = p ahol (115) w = p/ρ +  a fajlagos entalpia. A variációs elvekb®l megkaphatjuk az általánosított Euler egyenletet is: p,i Dwui = (wui );j uj = dτ ρ (116) Itt a ;j a teljes divergenciát jelöli. Így az EIT kanonikus el®állításban a következ®képpen néz ki: T ij = φα,i ∂Λ w − gij Λ = ρ 2 ui uj − g ij p. ∂φα,i c (117) Vagy a Hilbert-féle el®állítást használva T µν = 2 ∂Λ w − g µν Λ = ρ 2 uµ uν − g µν p ∂gµν c (118) A kétféle el®állítás közötti különbség az, hogy

relativisztikusan mindig csak a Hilbert-féle EIT Lorentz-invariáns. Azonban nem feltétlenül következnek bel®le megmaradási tételek, míg a kanonikusból igen. 2 A kezdeti feltétel megmaradását úgy kell érteni, hogy az xi (τ, r ) pályavonal invertálható r -ban. Ez 0 0 matematikailag annyit jelent, hogy a pályák nyalábok. 9 FÜGGELÉK 54 9.2 További aszimmetria koeciensek bevezetése Mint azt a 6. fejezetben említettem, akárhány koeciens bevezethet® a modellbe Ehhez a skálaváltozót és a sebességtér potenciálját N r2 X s= 2 + R n=2  rn n cos(nϕ) Rn  N  n X r2 r Φ= + χn cos(nϕ) 2H n=2 nH alakban kell felvenni. Én az N = 3  (119) (120) esetet vizsgáltam, azaz a gömbszimmetria mellé még bevezettem két további aszimmetria faktort. Természetesen többet is be lehet vezetni és ezekkel még általánosabb szimmetriákat kapnánk. Ilyet ábrázoltam a 21 ábrán, ahol még egy, χ4 paramétert vezettem be a sebességtérbe. A

skálaváltozó is ilyen alakú aszimmetriát tükröz 1.0 1.0 0.5 0.5 0.0 0.0 -0.5 -0.5 -1.0 -1.0 -1.0 21. ábra a χ4 -0.5 0.0 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Az eredeti trianguláris aszimmetriát mutató sebességtér módosulása, ha bevezetem paramétert. χ4 = 0.3, χ2 = 03 és χ3 = 0.3 9 FÜGGELÉK 55 9.3 A Bessel-függvények Ebben az alfejezetben rövid áttekintését adom a speciális függvények egy szélesen alkalmazott csoportjának, a Bessel-függvényeknek, és bemutatom kapcsolatukat a hipergeometrikus függvényekkel, melyeknek a Bessel-függvények határeseteik. A Laplace-egyenlet hengerkoordinátákban Számos m¶szaki és alkalmazott számításnál a peremfeltételek hengerszimmetrikusak, így a Laplace egyenlet megoldása is az kell legyen az ilyen rendszerekben. (Gondoljunk például a kör alakú membrán rugalmas rezgéseire.) A Laplace egyenlet ∂x2 u + ∂y2 u + ∂z2 u = 0 (121) 1 1 ∂ρ2 u + ∂ρ u + 2 ∂ϕ2 u +

∂z2 u = 0 ρ ρ (122) hengerkoordinátákban a alakú. Ez az egyenlet bizonyos feltételekkel át lehet alakítani (Ezen feltételek részletei a rövid áttekintésben nem említhet®ek meg, de a [35] irodalom fellelhet®, mely  nem csak a Besselfüggvények terén  széleskör¶ ismereteket tartalmaz.) d2 Y 1 dY + +Y =0 2 dt t dt (Itt (123) t egy változó és nem az id®t jelöli.) Ennek az átalakított egyenletnek a hatványsor formájában el®állítható legáltalánosabb megoldása: Y = c0 ∞ X (−1)k 2k t . 2k (k!)2 2 k=0 (124) nullindex¶ Bessel-féle dierenciálegyenletnek, ennek (124) megoldását nullindex¶ Bessel-függvénynek nevezzük és a következ® jelölést használjuk rá: Így a (123) dierenciálegyenletet ∞ X (−1)k 2k J0 (t) = t . 22k (k!)2 k=0 (125) A gyakorlatban azonban sokszor merül fel a (123) egyenletnél általánosabb x2 alakú, ún. d2 y dy + x + (x2 − p2 )y = 0 2 dx dx (126) nullindex¶ Bessel-féle

dierenciálegyenlet, melynek megoldását az el®z®ekhez hasonlóan végezhetjük. Ebben az esetben az egyenletünk x d2 Y dY + (2 + p1) + xY = 0 dx2 dx (127) 9 FÜGGELÉK 56 alakú lesz, melynek megoldását megint felírhatjuk hatványsor alakjában: Y = c0 ∞ X k=0 Míg az el®z® részben a c0 (−1)k x2k . 22k k!(p + 1).(p + k) (128) állandó tetsz®leges volt, itt meghatározott alakja van, ugyanis belátható, hogy c0 = ahol a nevez®ben a Γ-függvény (129) + 1) áll. Így a megoldás Jp (x) = ∞ X k=0 alakú. Ezt a függvényt 1 2p Γ(p  x p+2k (−1)k k!Γ(p + k + 1) 2 els®fajú p-index¶ Bessel-függvénynek (130) nevezzük. A negatív index¶ függ- vényeket a J−p (x) = (−1)p Jp (x) összefüggés alapján deniálhatjuk. Elvileg p bármilyen valós (s®t komplex) értéket felvehet. Azonban tömören azt lehet mondani, hogy ha egyenletnek alaprendszerét 3 állítja el®; ha p (131) p Jp (x) és J−p (x) a (126) Jp

(x) és J−p (x) összefügg®k, nem egész, akkor egész szám, akkor tehát a (126) egyenletnek egyetlen partikuláris megoldását kaptuk. A módosított Bessel-függvények Ha a (126) p-ed rend¶ Bessel-féle dierenciálegyenletet bevezetünk egy λ úgy módosítjuk, hogy az x2 elé szorzót, tehát: x2 dy d2 y + x + (λ2 x2 − p2 )y = 0, 2 dx dx (132) egy kissé általánosabb egyenletet kapunk, de a (126) egyenlet megoldásának segítségével felírható ezen egyenlet megoldása is. Ugyanis, ha belátható, hogy y = y(λx) y = y(x) megoldása a (126) egyenletnek, akkor megoldása a (134) egyenletnek. Ha a (134) egyenletben speciálisan x2 λ = i-t helyettesítünk, d2 y dy + x + (i2 x2 − p2 )y = 0, azaz 2 dx dx d2 y dy x2 2 + x − (x2 + p2 )y = 0 dx dx (133) (134) 3 Egy n-ed rend¶ dierenciálegyenlet I alaprendszerét alkotják azon függvények, melyek I -n legalább n-en értelmezettek, lineárisan függetlenek I -n és mindegyik függvény

megoldása az egyenletnek. 9 FÜGGELÉK 57 Jp (ix), de ehelyett gyakran az ún. els®fajú egyenletre jutunk. Ennek az egyenletnek a megoldása módosított Bessel-függvényt használjuk, melynek el®állítása: Ip (x) = e−ipπ/2 Jp (xeiπ/2 ). (135) Így a (130) megoldásból következ®en az els®fajú módosított Bessel-függvények el®állítása: Ip (x) = ∞ X k=0 Ha p=n egész szám, akkor  x p+2k 1 . k!Γ(p + k + 1) 2 I−n (x) = In (x). Ha p nem egész, akkor (136) Ip (x) és I−p (x) a (134) dierenciálegyenlet egy alaprendszerét alkotják. Ekkor képezhetjük a Kp (x) = függvényt, amelyet π [I−p (x) − Ip (x)] 2 sin pπ harmadfajú módosított Bessel-függvénynek (137) nevezünk. Integrális el®állítás Azon alkalmazásokban, melyekben a jelen dolgozatban felmerül a Bessel-függvények alkalmazása, azok integrális el®állítása a fontos. A (130) megoldást szokás Bessel-féle együtthatóknak is nevezni, mert

ezek a függvények egy ún. generátorfüggvény sorfejtésének együtthatóiként is származtathatóak. Ez a generátorfüggvény 1 x w = e 2 (z− z ) . Ha ezen függvény két tényez®jét külön-külön z (138) hatványai szerint Laurent-sorba fejtjük és összeszorozzuk a megfelel® módon a tagokat, akkor ∞ X k=0  x n+2k (−1)k = Jn (x) k!Γ(n + k + 1) 2 (139) vagyis a generátorfüggvény sorfejtése: x 2 1 e (z− z ) = ∞ X Jn (x)z n . (140) −inf ty Hogyha ezen függvény Laurent-sorában a J − n(x) együtthatókat a szinguláris hely körül haladó zárt görbe menti integrál segítségével írjuk fel, egy fontos integrális el®állítást kapunk iϕ (alkalmazva a z = e helyettesítést): 1 Jn (x) = π Z π cos(x sin ϕ − nϕ)dϕ 0 ahol n = 0, 1, 2, . (141) 9 FÜGGELÉK Ez a 58 Bessel-integrál. A kapcsolatot felhasználva a Bessel- és a módosított Bessel-függvények között, megadható azok integrális

el®állítása is. Itt csak az els®fajú módosított Bessel-függvényét közlöm: 1 In (z) = π vagy feltételezve, hogy n π Z z cos ϕ e 0 sin nπ cos zϕdϕ − π Z ∞ e−z cosh t−nt dt (142) 0 egész 1 In (z) = π Ezen integrális el®állítás jelenik meg a vn Z π ez cos ϕ cos(nϕ)dϕ. 0 folyások leírásában. (143) HIVATKOZÁSOK 59 Hivatkozások [1] M. Nagy and R Vértesi, A kvarkanyag nyomában - nagyenergiás nehézion-zikai kutatások a PHENIX kísérletben, 2010. [2] B. Alver and G Roland, PhysRev C81, 054905 (2010) [arXiv:1003.0194] [3] M. Lorstad, Csanad, T. Csorgo, and B. Nucl.Phys A742, 80 (2004) [arXiv:nucl- th/0310040]. et al., Phys Rev Lett 88, 022301 (2002) [arXiv:nucl-ex/0109003] [4] K. Adcox [5] S. S Adler et al., Phys Rev Lett 91, 072301 (2003) [arXiv:nucl-ex/0304022] et al., Nucl Phys A757, 184 (2005) [arXiv:nucl-ex/0410003] [6] K. Adcox [7] S. S Adler et al., Phys Rev Lett 91, 072303 (2003)

[arXiv:nucl-ex/0306021] [8] A. Adare et al., Phys Rev Lett 98, 162301 (2007) [arXiv:nucl-ex/0608033] [9] A. Adare et al., Phys Rev Lett 98, 172301 (2007) [arXiv:nucl-ex/0611018] [10] A. Adare et al., Phys Rev Lett 104, 132301 (2010) [arXiv:08044168] [11] S. Borsányi et al., JHEP 1011, 077 (2010) [arXiv:10072580] [12] M. Csanád, M Nagy, and S Lökös, EurPhysJ A48, 173 (2012) [arXiv:1205.5965] [13] S. Belenkji and L Landau, Il Nuovo Cimento (1955-1965) 3, 15 10.1007/BF02745507 (1956). [14] R. C Hwa, Phys Rev D 10, 2260 (1974). [15] J. D Bjorken, Phys Rev D 27, 140 (1983). [16] T. Csörg®, L Csernai, Y Hama, and T Kodama, Heavy Ion Phys A21, 73 (2004) [arXiv:nucl-th/0306004]. [17] T. Csorgo et al., PhysRev C67, 034904 (2003) [18] M. Csanad and T Csorgo, Acta PhysPolonSupp [19] A. Ster, T Csorgo, and B Lorstad, NuclPhys 1, 521 (2008) [arXiv:0801.0800] A661, 419 (1999) [arXiv:hep-ph/9907338]. [20] K. Aamodt et al., PhysLett B696, 30 (2011) [arXiv:10121004]

[21] K. Aamodt et al., PhysRevLett 105, 252302 (2010) [arXiv:10113914] [22] K. Aamodt et al., PhysLett B696, 328 (2011) [arXiv:10124035] HIVATKOZÁSOK 60 [23] S. S Adler et al., Phys Rev C69, 034909 (2004) [arXiv:nucl-ex/0307022] [24] S. S Adler et al., Phys Rev Lett 91, 182301 (2003) [arXiv:nucl-ex/0305013] [25] S. S Adler et al., Phys Rev Lett 93, 152302 (2004) [arXiv:nucl-ex/0401003] [26] A. et al, Phys Rev Lett [27] S. Adler et al., PhysRevLett 94, 232302 (2005) [28] K. Adcox [29] Pi0 in 88, 242301 (2002). et al., PhysRevLett 88, 192302 (2002) [arXiv:nucl-ex/0201008] invariant dierent yield measured centralities. editkey=p1120. , in PHENIX run10 at 62.4 GeV Au+Au collision http://www.phenixbnlgov/WWW/plots/show plotphp? [30] A. Taranenko, v2 of charged pi, k, p/pbar from Au+Au collisions at 62 GeV, phenix.bnlgov/WWW/plots/show plotphp?editkey=p1142 http://www. [31] S. Esumi and the PHENIX Collaboration, Journal of Physics G: Nuclear and

Particle Physics 38, 124010 . [32] A. Enokizono, mT dependence of 3-D HBT radius parameters (Au+Au/Cu+Cu 62GeV) , http://www.phenixbnlgov/WWW/plots/show plotphp?editkey=p0595 [33] The invariant yield of pi0 at 39 GeV in PbSc Run-10. , WWW/plots/show plot.php?editkey=p1107 [34] A. Taranenko, http://www.phenixbnlgov/ v2 of charged pi, k, p/pbar from Au+Au collisions at 39 GeV . [35] M. Farkas, M¶szaki Könyvkiadó (1964)