Physics | Hydrodynamics » Vargyas Márton - Relativisztikus hidrodinamik nehézion ütközésekben

Országos Tudományos Diákköri Dolgozat Relativisztikus hidrodinamika nehézion ütközésekben Készítette: Vargyas Márton ELTE TTK, zika Bsc III. Témavezet®: Csanád Máté, PhD ELTE TTK, Atomzikai tanszék 2009. január 6 Kivonat Az univerzum korai fejl®dése, els® néhány mikromásodperce a feltételezések szerint nagyon hasonlít a mai relativisztikus nehézion-ütköztet®kben lejátszódó reakciókéhoz. A legnagyobb energiájú reakciókat jelenleg a Long Islandi Relativisztikus Nehézion-Ütköztet® (RHIC) kísérleteinél vizsgálják, azonban nemsokára elindulnak a Nagy Hadron Ütköztet® (LHC) kísérletei is. A RHIC-nél végzett kutatások (ld a RHIC kísérletek összefoglaló cikkeit [14]) megmutatták, hogy az ütközésekben létrejöv® anyag tökéletes folyadék halmazállapotú, és ennek kifagyása után jönnek létre a detektorokban meggyelhet® hadronok. Ez a széles jelenségkört átfogó hidrodinamika legújabb alkalmazási

területe. A relativisztikus hidrodinamika egyenletei sikeresen írják le az itt keletkezett forró, és s¶r¶ t¶zgömböt, ugyanakkor csak az anyag, az impulzus és az energia megmaradását tételezik fel. A hidrodinamika ezáltal egyszer¶, parciális dierenciálegyenleteit megoldani azonban rendkívül bonyolult Igen kevés 3+1 dimenziós realisztikus megoldás létezik, és még kevesebbet sikerült az adatokkal összevetni. Az Csörg® és társai által talált relativisztikus, ellipszoidális megoldást [5] vizsgáltam, és meghatároztam bel®le a hadronokra vonatkozó lényeges meggyelhet® mennyiségeket: az egyrészecske impulzus-eloszlást, a folyadékkép érvényessége szempontjából kiemelked®en fontos elliptikus folyást, illetve az ütközésekkor keletkez® t¶zgömb "femtoszkópját" jelent® Bose-Einstein korrelációkat. Az eredményeket összevetettem a RHIC mérésekb®l kapott adatokkal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Relativisztikus

hidrodinamika 3 1.1 Nagyenergiás nehézion-zika 1.2 A RHIC felfedezései 2.1 A vizsgált megoldás 2.2 A részecskekeletkezés forrásfüggvénye 3. A mérhet® mennyiségek számolása 3.1 A transzverz impulzus eloszlás 3.11 Az egyrészecske impulzus eloszlás 3.12 A transzverz impulzus eloszlás 3.2 Az elliptikus folyás 3.3 Kétrészecske (Bose-Einstein avagy HBT) korreláció 4. Korábbi megoldások vizsgálata 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 A Landau-Khalatnikov megoldás . A Hwa-Björken megoldás . Egy nemrelativisztikus megoldás . Egy relativisztikus gyorsuló megoldás A Buda-Lund modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4 6 6 6 6 8 10 11 13 13 13 13 14 15 5. A RHIC mérésekkel való összehasonlítás 16 6. Összegzés 18 1. Bevezetés A cím két látszólag egészen távoli területet kapcsol össze: a hidrodinamikát és a nehézion-ütközéseket. Jelen dolgozat a relativisztikus hidrodinamika ezen új alkalmazási területét mutatja be. Áttekintem, hogyan állítható fel egy ilyen modell, majd egy meglév® relativisztikus hidrodinamikai megoldásból kiszámolom a nehézion-ütközésekben mérhet® f®bb mennyiségeket, melyeket a Relativisztikus Nehézion Ütköztet® (RHIC) mérési adataival vetek össze a dolgozat végén. 1.1 Nagyenergiás nehézion-zika Ma már köztudott, hogy a proton, és a neutron nem

elemi részecskék, hanem három kvarkból állnak. Azonban ezen kvarkok  ellentétben a többi elemi részecske nagy részével  szabadon nem meggyelhet®k, mindig hadronokba zárva fordulnak el®. A kvantum-színdinamika (QCD) elméleti jóslata szerint azonban nagyobb energián a köztük lév® csatolás jelent®sen lecsökken, így lehet®ségünk nyílhat a kvarkok új állapotának analízisére. Az 1 ábrán látható az er®sen kölcsönható anyag feltételezett fázisdiagramjának vázlatos rajza, ez illusztrálja, hogy a h®mérséklet, azaz a tömegközépponti ütközési energia növelésével megszüntethet® ez a bezártság. Azaz nagy h®mérsékleteken hadronokba nem zárt kvarkok létezhetnek, és a legújabb kutatások szerint léteznek is, csak a mostani világegyetem tágulása miatt leh¶lt annyira, hogy környezetünkben ne találjunk ilyeneket. Nagy energiára felgyorsított nehézionok ütközéseivel azonban elérhetjük azokat a h®mérsékleteket és

s¶r¶ségeket, ahol a kvarkok kiszabadulnak hadron-börtönükb®l. Ha el is érjük ezt az energiát, az ütközést vizsgáló detektorainkkal természetesen nem a kvarkokat látjuk majd, és nem is a feltételezett kvark-gluon plazmát, vagy kvarkanyagot, hiszen ez az ütközés után szinte azonnal kih¶l annyira, hogy továbbra is csak a hadronokat detektáljuk, ezt hívjuk hadronizációnak. Az egyre fejlettebb elméleti modellek segítségével ezen adatokból sok információt nyerhetünk az ütközésekben létrejött anyag hadronizáció el®tti állapotáról, mely nagy arányban utoljára az Žsrobbanás utáni néhány µs-ban létezett. A megfelel® energiát a RHIC-ben tehát hadronok gyorsításával, majd szembe ütköztetésével próbálják elérni (2. ábra), így állítva be azt a h®mérsékletet, és energias¶r¶séget, ami a korai univerzumban uralkodott, és a kvarkok kiszabadításához elegend®. A most elérhet® legnagyobb energia 200 GeV/nukleon, azaz

összesen kb 40 TeV, a Relativisztikus Nehézion Ütköztet®nél, a RHIC-nél zajlanak ütközések ezen az energián. 1.2 A RHIC felfedezései A RHIC-nél a korábbi, kisebb energiájú ütközésekt®l teljesen eltér® jelenséget tapasztaltak: a keletkezett anyagból kifelé jöv® nagy impulzusú részecskenyalábok (ú.n jet -ek) ellentétes irányú, azaz az anyagba befelé haladó párját nem, vagy csak kisebb mértékben detektálták [14]. Ez arra engedett következtetni, hogy a létrejött anyag er®sen kölcsönható, elnyeli még a nagyenergiás részecskéket is, amennyiben azok kell® távolságot tesznek meg benne. A feltételezés ennek magyarázatára egy új, ezen az energián létez®, nem bezárt kvarkokból álló anyag volt, mely ezeket a nagy transzverz impulzusú részecskéket elnyeli, vagy fékezi. Elméleti leírására a hidrodinamikai modellek bizonyultak a legsikeresebbnek [14], a közvetlenül az ütközés után keletkezett anyagot egy táguló,

és ezáltal h¶l® t¶zgömbként elképzelve megmagyarázta az adatok addig érthetelen skálaviselkedését. Ez a skálaviselkedés abban nyilvánul meg, hogy a termodinamikai mennyiségek egy adott felületen állandóak, tehát a többi mennyiségt®l egyenként nem, csak bizonyos kombinációitól, és természetesen 2 1. ábra Az er®sen kölcsönható anyag fázisdiagramja a sajátid®t®l (τ -tól) függnek. Ezt az önhasonlóságnak nevezett tulajdonságot más modellek nem voltak képesek értelmezni, az ilyen szimmetria a hidrodinamika sajátsága. Ezért a jelenség elméleti vizsgálatához nagyon fontos a hidrodinamika parciális dierenciálegyenleteib®l felállítható egzakt analitikus megoldások keresése. Ez azonban nehéz feladat, igen kevés ilyen megoldás létezik, és még kevesebbet hasonlítottak össze az adatokkal. Az irodalom (ld a [620] cikkeket) átfésülése után megállapítható, hogy jelen munka úttör® jellege els®sorban abból adódik,

hogy nem számították még ki egyetlen 3+1 dimenziós relativisztikus hidrodinamikai megoldásból sem a jelen dolgozatban kiszámolt  és közvetlenül mérhet®  mennyiségeket. A pontosabb megismeréséhez mérföldk® volt a folyás koeciens meghatározása, mely a hadronok impulzus-eloszlásának aszimmetriáját méri, és az ütközés utáni aszimmetrikussággal hozható kapcsolatba. A létrejött, táguló t¶zgömb kezdetben aszimmetrikus lehet, hiszen az ütközések többsége nem centrális (2. ábra) Kollektív viselkedés esetén ez a térbeli aszimmetria impulzus-eloszlásbeli aszimmetriát okoz, de nem , vagy gyengén kölcsönható részecskék, pl. ideális gáz esetén elhanyagolható, hiszen annak tágulása a térbeli eloszlástól függetlenül izotróp A mérések során a folyás-koeciens nullánál nagyobb lett [21]: a keletkezett anyag ilyen korrelált mozgása viszont folyadékokra jellemz®. A kés®bbi kutatások még ennél is tovább mentek,

kimutatták, hogy a keletkezett anyag tökéletes folyadék, hasonlóan a szuperfolyékony héliumhoz, s®t, még annál is kisebb a viszkozitása [22]. Ez az anyag rendkívül magas h®mérséklete miatt még inkább meglep®! 2. Relativisztikus hidrodinamika Lássuk tehát, hogyan alkalmazhatjuk a relativisztikus hidrodinamika egyenleteit nagyenergiás nehézion-ütközésekre! Az alábbi úton jutunk az elméleti leírástól a mérhet® mennyiségek meghatá- 3 2. ábra Egy  a RHIC kísérletekben lejátszódó  Au-Au ütközés id®fejl®dése Az "a" ábrán látható, hogy a nagy sebességeknél elszenvedett Lorentz-kontrakció miatt az atomok korongoknak t¶nnek. rozásáig. Felírjuk a hidrodinamika alapegyenleteit: ∂ µ (nuµ ) = 0 ∂ µ T µν = 0 ahol T µν = (² + p)uµ uν − pg µν (1) (2) Az els® egyenlet a relativisztikus kontinuitási egyenlet, a második pedig az energia-impulzus tenzor megmaradását fejezi ki. A második egyenlet

áttranszformálható a nemrelativisztikus hidrodinamikából ismert Euler , és energiamegmaradási egyenletté Azonban így még kevesebb egyenletünk van, mint ismeretlenünk, ezért ezeket kiegészítjük az anyag állapotegyenletével: ² = κp + mn, p = nT, (3) (4) ahol κ pedig az anyag kompresszió modulusa, amely más megoldásokban függ a h®mérséklett®l, és ezáltal az id®t®l, de az alábbi sejtés szerint [23] ez a stacionárius megoldás általánosítható az id®függ® esetre. Így κ-t állandónak véve egyenl®vé tehet® a közegbeli hangsebesség inverzének négyzetével, azaz κ = 1/c2s . Ha a fenti parciális dierenciálegyenlet-rendszernek megtaláljuk egy megoldását, abból kiszámíthatjuk a nehézion-ütközésekben mért mennyiségeket, és összevethetjük számításainkat az adatokkal. 2.1 A vizsgált megoldás Önhasonlóságot és ellipszoidális szimmetriát feltételezve T. Csörg® és társai felfedezték [5] az alább részletezett

megoldást. Itt az ellipszoidális szimmetria azt jelenti, hogy adott pillanatban egy 4 ellipszoid felületén a termodinamikai mennyiségek állandóak. Ennek a táguló ellipszoidnak a szintfelületeit az s skálaváltozó írja le: s= y2 z2 x2 + + , X(t)2 Y (t)2 Z(t)2 (5) ahol X(t), Y (t), és Z(t) csak az id®t®l függ® skálaparaméterek, x, y és z pedig a koordinátákat jelölik (kés®bbiekben x alkalmanként az eseményvektort jelöli, de ahol ez értelemzavaró lenne, ott ezt xµ -vel jelöltem). A sebességmez® leírására az asztrozikából kölcsönzött kép adott inspirációt. Izotróp Hubble sebességmez®vel írták le az univerzum tágulását, ami azt jelenti, hogy a távolabb lév® részecskéknek nagyobb a sebessége. Ez kiválóan írja le a robbanásból származó tágulásokat, hiszen akkor a nagyobb sebesség¶ részecskék jutnak messzebb, így tehát a távolabbiak mozognak gyorsabban. Ilyet használunk itt is, azzal a különbséggel, hogy

itt nem izotróp, a különböz® irányokba más-más sebességekkel tágul, azaz a sebességmez® irányfügg® Hubble-típusú: ! Ã Ẏ Ẋ Ż (6) uµ = γ 1, x, y, z . X Y Z Részletesebb vizsgálatkor kiderül, hogy csak az Ẋ, Ẏ , Ż = const. feltétellel oldja meg a fenti sebesség a hidrodinamika alapegyenleteit ((1)-es, és (2)-es egyenletek). Ekkor X = Ẋ ·t, Y = Ẏ ·t és Z = Ż ·t, amib®l pedig belátható, hogy: uµ = xµ , τ (7) ahol xµ a relativitáselméletb®l jól ismert térid®-négyesvektor, τ pedig a sajátid®. A Csörg® és társai által talált megoldás termodinamikai mennyiségei a következ®képpen néznek ki: ³ τ ´3 0 ν(s) (8) n = n0 τ ³ τ ´3/κ 1 0 (9) T = T0 τ ν(s) ³ τ ´3+ κ3 0 , (10) p = p0 τ ahol n(x) a száms¶r¶ség, T (x) a h®mérséklet, p(x) pedig a nyomás, p0 = n0 T0 . Mivel a termodinamikai mennyiségek csak τ -tól, és s-t®l függenek, ezért s skálaváltozó, ν(s)-t célszer¶ egy táguló

t¶zgömbként elképzelni: ν(s) = e−bs/2 , (11) ¯ ¯ egy h®mérséklet gradienshez hasonló mennyiség, és várhatóan negatív, mivel a ahol b = ∆T T r t¶zgömbünk h®mérséklete kifelé csökken, továbbá állandó. Természetesen elképzelhet® más h®mérsékletprol is, (például ahol b változik), de az más modellekkel írható le Ez tehát a megoldás, amelyb®l kiindulok, és kiszámítom bel®le a meggyelhet® mennyiségeket, majd összevetem az adatokkal. 5 2.2 A részecskekeletkezés forrásfüggvénye A Maxwell-Boltzman eloszlásból származtatható a forrásfüggény S(x, p), ami megadja, hogy egy adott helyen, adott impulzussal milyen valószín¶séggel keletkezik részecske. Ehhez a hadronok kifagyásáról tételezzük fel, hogy csak a sajátid®t®l függ, és e mentén H(τ ) függvény írja le. Pillanatszer¶ kifagyást feltételezve ez H(τ ) = δ(τ − τ0 ) Ekkor a forrásfüggvény (kBoltzmann = 1, és c = 1): egységrendszerben: ¸ ·

pµ uµ (x) 4 H(τ )dτ pµ d3 Σµ (x), S(x, p)d x = N n exp − (12) T (x) ahol d3 Σµ (x) a kifagyási hiperfelület vektormértéke, ez Lorentz-szorozva pµ -vel a részecskék uxusát adja; N pedig a normálási faktor. Mivel jelen esetben (konstans τ melletti kifagyás esetén) µ 3 d3 Σµ (x) = u ud0 x , és mivel a sajátid® a folyadék mentén telik, azaz dτ = uµ dxµ , a forrásfüggvény: ¸ · pµ uµ 4 pµ uµ (x) 4 H(τ ) 0 d x. (13) S(x, p)d x = N n exp − T (x) u Ebb®l a forrásfüggvényb®l számolhatók a mérhet® mennyiségek  err®l fog szólni a következ® fejezet. 3. A mérhet® mennyiségek számolása A bevezetésben már említettem, hogy nem számították még ki egyetlen 3+1 dimenziós relativisztikus hidrodinamikai megoldásból sem az itt kiszámolt mennyiségeket. A következ®kben meghatározom a transzverz impulzus eloszlást, majd ebb®l az elliptikus folyást, és a korrelációs együtthatót 3.1 A transzverz impulzus eloszlás

Említettem, hogy a kísérletek során csak a kifagyott hadronokat detektáljuk. Tehát nem kapjuk meg, hogy hol keletkezett a részecske, hanem csak azt, hogy mekkora az impulzusa Ezért a forrásfüggvény (S(x, p)) nem alkalmas az adatokkal való összehasonlításra, mert tartalmazza a keletkezés helyét is. Ki kell integrálni a koordinátákra, így megkapjuk a hadronok egyrészecske impulzus-eloszlását (N1 (p))-t, ami már mérhet® mennyiség. Azonban a RHIC f®bb detektorainak felépítése olyan, hogy csak kis longitudinális impulzusnál tudnak hadronokat detektálni (pz = 0), továbbá a statisztika javítása érdekében egyváltozós méréseket végeznek többnyire: a transzverz (z -re mer®leges) síkbeli φ szögt®l független, pt -vel jelölt transzverz impulzust mérik, és így kapják a transzverz impuzlus-eloszlást, N1 (pt )-t, ezt kell tehát meghatároznunk. El®bb azonban az egyrészecske impulzus eloszlást kell kiszámolni, mert csak ebb®l kapható meg

a keresett transzverz impulzus-eloszlás. 3.11 Az egyrészecske impulzus eloszlás Feladatunk tehát a forrásfüggvény kiintegrálása, hiszen, mint említettük N1 (p) = Helyettesítsük be a (13)-as képletbe a megoldást: 6 R R4 S(x, p)d4 x. ¶ Et − px x − py y − pz z τ 3 p µ uµ H(τ )dτ dx S(x, p)d x =N n exp − T (x) τ t ! Ã ³ τ ´3 −(Et − px x − py y − pz z)ν(s) 0 × ν(s) exp =N n0 ¡ ¢3/κ τ τ0 T0 ττ0 1 (Et − px x − py y − pz z) δ(τ − τ0 )dτ d3 x t µ 4 (14) El®ször el kell végeznünk el a τ -ra való integrálást, ez a legegyszer¶bb, hiszen az integrandus Diracp deltát tartalmaz. Ehhez kifejezzük a t változót τ -val: t = τ 2 + x2 + y 2 + z 2 Mivel az emisszió maximuma az ütközés középpontjához közel van, ezért a x2 + y 2 + z 2 ¿ τ02 feltétellel a koordinátákban másodrend¶ nyeregponti közelítést alkalmazhatunk. Ezután az exponenst teljes négyzetté alakíthatjuk A keletkez® függvény

integrálása immár könnyen megtehet® A τ -ra való integrálás után, a térkoordinátákban másodrend¶ nyeregponti közelítést alkalmazva S(x, p) a következ® alakot ölti: ¶ µ Z px x py y pz z − − (15) S(x, p)dτ = N n0 fξ fx (x)fy (y)fz (z) E − τ0 τ0 τ0 R ahol ¸ · (x − xs )2 , fx (x) = exp − 2Rx2 ¸ · (y − ys )2 , fy (y) = exp − 2Ry2 ¸ · (z − zs )2 és fz (z) = exp − 2Rz2 (16) (17) (18) · ¸ p2y p2 E p2x p2z fξ = exp − + − − − . T0 2ET0 2ETx 2ETy 2ETz (19) Itt Tx , Ty , Tz az eektív h®mérsékletek, azaz logaritmikus inverz meredekségek az adott irányokba. E Ezeket azért nevezzük így, mivel a Maxwell-Boltzmann féle h®mérsékleti eloszlásban a e− T tényez® határozza meg az energiától (vagy az impulzustól) való függést, ahol T a h®mérséklet. A kés®bbi eredmények egyszer¶ alakra hozása miatt érdemes az alábbi eektív h®mérsékletekkel számolnunk: ET0 Ẋ02 b(T0 − E) ET0 Ẏ02 Ty = T0 + b(T0

− E) ET0 Ż02 . Tz = T0 + b(T0 − E) Tx = T0 + 7 (20) (21) (22) Az xs , ys , és zs paraméterek az emisszió középpontjai, azaz a "nyeregpont" koordinátái: px τ0 (Tx − T0 ) ETx py τ0 (Ty − T0 ) ys = ETy pz τ0 (Tz − T0 ) zs = , ETz (23) xs = (24) (25) az Rx2 , Ry2 , Rz2 mennyiségek pedig a forrás látszólagos méreteit jelentik: T0 τ02 (Tx − T0 ) ETx 2 T0 τ0 (Ty − T0 ) Ry2 = ETy 2 T0 τ0 (Tz − T0 ) , Rz2 = ETz Rx2 = (26) (27) (28) A (15)-ös egyenletben látható, hogy fξ kiemelhet® az integrálás elé, mert nem függ az integrálási változóktól. A Gauss-függvények integráljára vonatkozó ismert összefüggéseket felhasználva az egyrészecske impulzus eloszlás: ¸ · 2 Z p2y p p2x p2z E 4 , (29) − − − − N1 (p) = S(x, p)d x = N · E · V · exp 2ET0 2ETx 2ETy 2ETz T0 R4 ahol µ N = N n0 à E= E− 2T0 τ02 π E p2x (1 − sµ V = 1− T0 Tx ¶3/2 (30) , T0 ) Tx E ¶µ − p2y (1 − T0 ) Ty p2z (1

− − E ¶µ ¶ T0 T0 . 1− 1− Ty Tz E T0 ) Tz ! , (31) (32) 3.12 A transzverz impulzus eloszlás A részecskezikában gyakran használatos a pszeudorapiditás fogalma, mely a sugárnyalábbal bezárt szöggel hozható kapcsolatba: η = − ln tan 2θ . A RHIC PHENIX detektorai η < 035 rapiditás ablakban mérnek, ami ∼ 20◦ -os szöget jelent. Felhasználva a pszeudorapiditás másik denícióját: p+pz megállapítható, hogy a RHIC mérések nagy részének esetében a vizsgált részecskék z η = 21 ln p−p z irányú impulzusa (pz ) elhanyagolható a transzverz impulzushoz (pt -hez) képest. Ezért most én is erre az esetre koncentrálok, pz = 0-t feltételezve. Ehhez vezessük be a korábban már említett q (33) pt = p2x + p2y , px = pt cos φ, py = pt sin φ 8 (34) (35) jelöléseket. Ezeket helyettesítsük be a (29)-es egyenletünkbe Ebb®l a jobb áttekinthet®ség érdekében külön vizsgálom az exponenciális és a többi tényez®t Az

exponenciális tényez® a következ®képpen alakítható át: ¸ · ¸ · 2 p2y p2y p2t p2x E E p2x p = exp − + − − − − − exp 2ET0 2ETx 2ETy T0 T0 2ET0 2ETx 2ETy (36) · ¸ p2t E p2t cos φ2 p2t sin φ2 = exp − + − − . T0 2ET0 2ETx 2ETy Trigonometrikus azonosságokat felhasználva: ¸ · 2 p2t p2t p2t cos 2φ p2t cos 2φ E pt − − − + − exp 2ET0 4ETx 4ETy 4ETx 4ETy T0 Vezessük be a (37) µ ¶ 1 1 p2t − w= 4E Ty Tx µ ¶ 1 1 1 1 = + Teff 2 Tx Ty (38) (39) jelöléseket, ezekkel az exponenciális tényez® kényelmesen kezelhet® alakra hozható, szétbontható ugyanis egy szögt®l függ® és egy, a szögt®l nem függ® tényez®re: ¸ · p2t p2t E w cos 2φ . (40) e exp − + − 2ETeff 2ET0 T0 fel: Vizsgáljuk most a (29)-es egyenlet elején található E mennyiséget! Ez a következ®képpen írható Ã E= E− p2x (1 − E T0 ) Tx − p2y (1 − T0 ) Ty ! E Trigonometrikus azonosságokkal, továbbá w és E− µ = p2 p2 T0 cos φ2

p2t T0 sin φ2 E− t + t + E ETx ETy 1 Teff denícióját felhasználva: ¶ . p2 T0 p2t + t − 2T0 w cos 2φ. E ETeff Tehát a (szögfügg®) transzverz impulzus eloszlás: ¸ µ ¶ · p2t T0 p2t p2t E p2t w cos 2φ + . − 2T0 w cos 2φ e + − N1 (pt , φ) = N V E − exp − E ETeff 2ETeff 2ET0 T0 Ezt még integráljuk φ-re! Felhasználjuk a módosított Bessel-függvényre vonatkozó Z 2π 1 ew cos (2φ) cos(2nφ)dφ In (w) = 2π 0 9 (41) (42) (43) (44) azonosságot. Így a φ-re integrált spektrum, ami a tényleges transzverz impulzus eloszlás: ¸ Z 2π · p2t p2t E Eew cos (2φ) dφ N1 (pt ) = N V exp − + − 2ETeff 2ET0 T0 0 ¸ µµ · ¶ ¶ p2t p2t E p2t (Teff − T0 ) + − E− I0 (w) − 2T0 I1 (w) . = N V exp − 2ETeff 2ET0 T0 ETeff (45) Mivel w az adatoknak megfelel® paraméter-tartományokban kicsi (w ¿ 1), ezért a Bessel függvényeket az alábbi konstansokkal közelíthetjük: I0 (w) = 1, és I1 (w) = 0. Így tovább egyszer¶síthet® az

eloszlás függvény: ¸ µ ¶ · p2t (Teff − T0 ) p2t p2t E . (46) exp − + − N1 (pt ) =N V E − ETeff 2ETeff 2ET0 T0 Mivel a fenti képlet a pz = 0 feltétel mellett jött ki, ezért az energiát E az úgynevezett mt = p 2 m + p2t transzverz tömeggel helyettesítjük. 3.2 Az elliptikus folyás A transzverz impulzus eloszlás számolásánál elveszítettük a transzverz síkban a szöginformációt. Ezt pótolandó a (45)-os képletet Fourier-sorba fejtjük: " # ∞ X N1 (p) = N1 (pt ) 1 + 2 vn cos(nφ) (47) n=1 A Fourier-együtthatók közül azonban csak a második komponens (v2 ) számít, mivel a többi a kísérletek eredményei alapján kicsi; ez a elliptikus folyás. Ez a mennyiség különösen fontos a folyadékkép szempontjából, ugyanis ez lényegében az impulzus-eloszlás transzverz síkban vett aszimmetriáját méri. Nem teljesen középpontosan szimmetrikus (nem centrális) ütközések esetén a forrás kezdetben térbeli aszimmetriával rendelkezik,

ez kollektív dinamika esetén impulzus-aszimmetriához vezet, ideális gáz esetében azonban 0 lenne. A mérések szerint ez a mennyiség pozitív, a folyadékkép sikerét alátámasztva, hiszen N1 (pt ) ezen aszimmetrikussága korrelált mozgásra, folyadék-szer¶ viselkedésre utal. Ezért kiszámítjuk az elliptikus folyást is modellünkb®l, szintén a pz = 0 feltétel mellett. A deníció tehát: R 2π dφN1 (pt , φ) cos(2φ) v2 = 0 R 2π . (48) dφN (p , φ) 1 t 0 Látható, hogy a számlálót kell csak kiszámolnunk, mert a nevez® a φ-re integrált spektrum (N1 (pt )), amit az el®z® fejezetben már meghatároztam. Végeredményben az elliptikus folyás, felhasználva a Bessel-függvényekre vonatkozó, (44)-es azonosságot: ´ ³ p2t (Teff −T0 ) I1 (w) − T0 (I0 (w) + I2 (w)) E − ETeff ³ ´ v2 (pt ) = (49) p2t (Teff −T0 ) E − ETeff I0 (w) − 2T0 I1 (w) Itt is közelíthetjük a Bessel-függvényeket, de nem a transzverz impulzus eloszlásnál használt

konstansokkal, hanem az I1 (x) = 2xI0 (x), és I2 (x) = 0 közelítésekkel. Ezekkel egyszer¶síthet® a 10 folyás-koeciens képlete, és olyan alakra hozható, ami már korábbi számítások során is kijött. Tehát: Ã ! I1 (w) 2T0 1+ . (50) v2 (pt ) = p2 (T −T ) I0 (w) E − t eff 0 ETeff Mivel a fenti két képletre a pz = 0 feltétellel jutottunk, az energia E itt is az mt transzverz tömeggel helyettesíthet®. 3.3 Kétrészecske (Bose-Einstein avagy HBT) korreláció A kétrészecske impulzus eloszlás vizsgálatával fontos információkat szerezhetünk a forrás geometriájáról. A kvantummechanika miatt kétrészecske impulzus eloszlás nem állítható el® két egyrészecske impulzus eloszlás szorzataként, mert két részecske esetén gyelembe kell venni a hullámfüggvényeik interferenciáját. Ez adja a Bose-Einstein korrelációt (bozonikus részecskék, például pionok esetén, de fermionok esetében Fermi-Dirac típusú korreláció lép fel). Ezt a

jelenséget eredetileg R. H Brown, és R Q Twiss [24] (innen a HBT elnevezés) dolgozta ki kvazárok szögátmér®jének meghatározására (fotonkorreláció mérésével), de G. Goldhaber, S Goldhaber, W. Y Lee, és A Pais [25] rájöttek, hogy ez az eljárás alkalmazható jóval kisebb léptében is, az általunk vizsgált elemi részecskék mérettartományában. Eredményeik szerint a két rádiócsillagász által kidolgozott módszer alkalmazható az általunk vizsgált pionokra is, azaz a kétrészecske impulzus-korrelációk skálája a forrás méretével függ össze. Így az impulzus-különbségek eloszlásának mérésével fontos információkat szerezhetünk a forrás geometriai adatairól, s®t, a forrás geometriájának feltérképezésére nehézion-ütközésekben ez az egyetlen módszerünk. A kétrészecske korrelációs együtthatót az alábbi képlet deniálja: C2 (p1 , p2 ) = N2 (p1 , p2 ) , N1 (p1 )N1 (p2 ) (51) ahol N2 (p1 , p2 ) a kétrészecske

impulzus eloszlás, amelyben szerepet kap az interferenciáért felel®s kvantummechanikai s¶r¶ségfüggvény. A Bose-Einstein szimmetrizációt tartalmazó kétrészecske hullámfüggvény felhasználásával C2 -re a forrásfüggvény S(x, p) Fourier-transzformáltjait: Z S(q, K) = S(x, K) exp(iqx)d4 x (52) tartalmazó képletet kapunk. Azaz: ¯ ¯2 ¯ S(q, ¯ ¯ e K) ¯ C2 (q, K) = 1 + ¯ ¯ , e K) ¯ ¯ S(0, (53) ahol p1 és p2 helyett az átlagos K = 0.5 (p1 + p2 ) impulzussal és a q = p1 − p2 impulzus-különbségt®l tettem függ®vé a korrelációs függvényt. A jobb oldalon pedig a forrásfüggvényeket szintén az átlagos helyen vettem, a térkoordinátában történt Fourier-transzformált új változója pedig az átlagos impulzus lett. Mivel a mérés lényeges tartományában p1 és p2 közel azonos értékek (a p (p1 − p2 )(p1 − p2 ) mennyiség kisebb 50-100 MeV-nél a kísérleti adatok esetében, míg az egyes hármas-impulzusok értéke többszáz MeV

legalább), ezért ez a közelítés jól használható. 11 Ezt kell tehát kiszámolnunk. Ismerjük fel, hogy a korrelációs együtthatót deniáló egyenletben (53) a nevez® az impulzus eloszlás, hiszen tetsz®leges függvény Fourier-transzfomáltja a q = 0 esetben a függvény integrálja, tehát e K) = N1 (K). S(0, (54) A számláló meghatározásához használjuk fel az impulzus eloszlás számítása során kapott faktorizált részeredményt (ld. (15)-ös egyenlet), ezzel a kérdéses Fourier-transzformált a sajátid®re történ® integrálás után: ¶ µ px x py y pz z e − − e−iqx x e−iqy y e−iqz z dxdydz. S(q, K) = N n0 fξ fx (x)fy (y)fz (z) E − (55) τ0 τ0 τ0 Mivel fx (x), fy (y), és fz (z) Gauss függvények, ezért Fourier-transzformáltjuk egy inverz szélesség¶ Gauss-függvény lesz, és megjelenik egy képzetes tag is, mivel  a zárójeles kifejezés miatt  2 (e−ax · x) típusú mennyiséget kell transzformálni. Végeredményben (a

q ¿ K feltételt felhasználva) a £ ¤ C2 (q, K) = 1 + exp −Rx2 qx2 − Ry2 qy2 − Rz2 qz2 (56) képletet kapjuk, ahol Rx , Ry , Rz a korrelációs sugarak, amelyek a Gauss-közelítés miatt egybeesnek a forrás látszólagos méreteivel (ld. a (26)-(28) egyenleteket): T0 τ02 (Tx∗ − T0 ) EK Tx∗ T0 τ02 (Ty∗ − T0 ) 2 Ry = EK Ty∗ Rx2 = Rz2 = T0 τ02 (Tz∗ − T0 ) , EK Tz∗ (57) (58) (59) ahol EK az átlagos K impulzushoz tartozó energia, amely pz = 0 esetében (ahol minden, általunk vizsgált adat található) az EK = 0.5 (mt,1 + mt,2 ) összefüggéssel fejezhet® ki Az mt,1 , és mt,2 mennyiségek az egyes részecskékhez tartozó transzverz tömegek, a Tx∗ , Ty∗ , Tz∗ pedig az átlagos impulzusnál vett eektív h®mérsékletek (azaz Tx∗ = Tx |EK ,). HBT mérések esetében a Bertsch-Pratt féle standard out-side-long részecskepár-koordinátarendszer használatos [26]. Itt az out a részecskepár átlagos transzverz impulzusának iránya, a

long irány a z tengelynek felel meg, és a side irány az el®z® kett®re mer®leges irány (amely szintén a transzverz síkba esik). Jelen dolgozatban az out és a side irányokban vett sugarakat vizsgáljuk, ezeket egyszer¶en kifejezhetjük a fenti (57)-(59) mennyiségekkel: Rx2 + Ry2 , 2 Rx2 + Ry2 . = 2 2 Rout = (60) 2 Rside (61) Az ábrázolás során ezeket használjuk. 12 4. Korábbi megoldások vizsgálata Fontosnak tartjuk, hogy a kapott eredményeinket ne csak az adatokkal, hanem más modellekb®l számolt mennyiségekkel is összevessük, illetve ahol ez nem lehetséges, ott legalább kitekintést nyerjünk más feltételezésekre, megoldásokra. 4.1 A Landau-Khalatnikov megoldás Landau volt az els®, aki felvetette a folyadék-modell alkalmazását a relativisztikus részecskeütközések leírására. Ez az els® analitikus megoldása a relativisztikus hidrodinamikának [7], 1+1 dimenziós, és implicit, ami miatt igen nehéz vele számolni. El®nye viszont,

hogy gyorsuló, Gaussszer¶ rapiditás eloszlással Mivel ez a megoldás csak a longitudinális irányban értelmezett, ezért nem számolhatóak bel®le az általunk vizsgált mennyiségek. 4.2 A Hwa-Björken megoldás A Hwa-Björken megoldás is 1+1 dimenziós, és gyorsulásmentes, de explicit, emiatt sokkal könnyebb vele számolni, mint a Landau-féle megoldással. Ugyan R C Hwa már jóval Björken el®tt felállította ezt a megoldást [8], de kés®bb J. D Björken [9] ugyanazt a megoldást a kísérleti zikusok nyelvén fogalmazta meg, és a kezdeti energias¶r¶ség becslését kiszámította bel®le, egyb®l elterjedtté vált ez a modell. Ma is leginkább erre használatos, a kezdeti energias¶r¶séget becslik bel®le a mért részecskeszám és energias¶r¶ség alapján. 4.3 Egy nemrelativisztikus megoldás A következ® megemlített megoldás [27] hasonló az általunk vizsgálthoz, csak nem veszi gyelembe a relativisztikus eektusokat. A számolást itt nem

részletezzük, mivel lépéseiben megegyezik a vizsgált megoldás mérhet® mennyiségeinek számolásával. Kiindulásként tehát a nemrelativisztikus hidrodinamika alapegyenleteit írjuk fel, és kiegészítjük az állapotegyenlettel: ε = κp + mn, és p = nT . Ez a modell is Hubble sebességmez®t, és ellipszoidális szimmetriát tételez fel, azaz a következ® v sebességmez®t és s skálaparamétert tételezi fel: ! Ã Ẏ Ż Ẋ rx , ry , rz (62) v= X Y Z s= ry2 rz2 rx2 + + , X2 Y 2 Z2 (63) ahol X , Y , és Z az id®t®l függ® skálaparaméterek, Ẋ , Ẏ , és Ż pedig a tágulási sebességek az adott irányokba, rx , ry és rz pedig a koordináták. Faktorizáljuk a száms¶r¶séget: n(r, t) = f (t)g(s), és a h®mérsékletet: T = h(t)τ (s), azaz a térkoordinátáktól csak a skálaváltozón keresztül függenek. 13 Ezekb®l az alábbi megoldást kapjuk: X0 Y0 Z0 −s/2 e XY Z µ ¶1/κ V0 τ (s) T (r, t) = T0 V T ẌX = Ÿ Y = Z̈Z = , m (64)

n(r, t) = (65) (66) ahol X0 , Y0 , Z0 a (62)-es egyenletben bevezetett skálaparaméterek a kifagyás id®pillanatában. Itt az alábbi forrásfüggvényb®l indulunk ki: ¸ · (p − mv)2 (67) S(r, p) ∼ n|t0 exp − 2mT0 A Gauss-eloszlásnak köszönhet®en a mérhet® mennyiségek ebb®l egyszer¶en számolhatók. Így az egyrészecske impulzus eloszlás: ¸ · p2y p2z p2x − − , (68) N1 (p) ∼ exp − 2mTx 2mTy 2mTz (69) ahol az exponensben az alábbi eektív h®mérsékletek szerepelnek: Tx = T0 + mẊ02 (70) mẎ02 mŻ02 (71) Ty = T0 + Tz = T0 + (72) Tehát a mérhet® mennyiségek: · p2z p2t − N1 (pt ) = I0 (w) exp − 2mTeff 2mTz I1 (w) . v2 = I0 (w) ¸ (73) (74) Hasonlítsuk össze ezeket a (46)-os, és (50)-es egyenletekkel! Természetesen ezek nemrelativisztikus közelítésb®l kapott képletek, de látható, hogy az egyenletek alakilag hasonlóak a relativisztikus modellb®l kapott eredményekhez. 4.4 Egy relativisztikus gyorsuló megoldás A

Landau-Khalatnikov megoldás óta az alább említett megoldás [18] az els® gyorsuló dimenziós egzakt megoldása a relativisztikus hidrodinamikának, és speciális esetként tartalmazza az oly népszer¶ Hwa-Björken megoldást is, illetve a Landau-Khalatnikov megoldással szemben expliciten felírható. A kezdeti energias¶r¶ség és az ultra-relativisztikus nehézion-ütköztetéseknél lejátszódó reakciók ³ ´ . élettartamának becslésére használható, illetve meghatározható bel®le a rapiditás-eloszlás dn dy 14 λ 1 2 ∈R d ∈R ∈R 1 κ ∈R d 1 speciális eset Hwa-Björken megoldás Az új gyorsuló, d dimenziós megoldás Speciális állapotegyenlet, de általános sebességmez® 1. táblázat A relativisztikus gyorsuló megoldásban szerepl® konstansok különböz® értékei, és az ezekhez tartozó határesetek, d dimenzió esetén. Az alábbi sebességmez® és nyomás tehát megoldja a relativisztikus hidrodinamika egyenleteit (η

térid®-rapiditással és τ sajátid®vel kifejezve): uµ = (cosh λη, sinh λη) ³ τ ´λd κ+1 κ 0 − B, p = p0 τ (75) (76) ahol λ a gyorsulást mértékét szabályozó paraméter, d a térdimenziók száma, B az állapotegyenletben fellép® úgynevezett zsákállandó (² − B = κ(p + B)), κ pedig az anyag kompressziómodulusa. A λ és κ különböz® lehetséges értékei a 1. táblázatban vannak feltüntetve, ezen mennyiségek értékeinek változtatásával különböz® relativisztikus gyorsuló megoldáshoz juthatunk, különböz® lehetséges dimenziókban. 4.5 A Buda-Lund modell Használatosak ún. parametrizációk is az adatok jobb leírására, ezek nem egzakt hidrodinamikai megoldások, de roppant sikeresen írják le a meggyelt mennyiségeket. Ilyen pédául a Buda-Lund modell, mely egy hidrodinamikai megoldások halmazából inspirált parametrizáció. Több változata ismert, ezek közül egy relativisztikus Buda-Lund modellt ismertetünk [30].

Ez a modell ellipszoidálisan szimmetrikus, 3 dimenziós tágulást tételez fel lokális termalizációval Ezen felül gyelembe veszi a folyékony termalizált mag (core) körül távol lév® kifagyott rezonancia bomlástermékeket is (halo), ez az ún. core-halo kép Így a forrásfüggvény ezen két rész összegeként áll el®, azaz: √ S(x, p) = Sc (x, p) + Sh (x, p), ahol Sc (x, p) = λ∗ S(x, p), és λ∗ a termális rész (core), és az egész (core+halo) arányát leíró mennyiség. Az egzakt hidrodinamikai megoldásoktól abban különbözik, hogy a termalizált magra speciális alakú forrásfüggvényt ír fel: Sc (x, p)d4 x = pµ d4 Σµ (x) g i h , (2π)3 exp pν uν (x) − µ(x) + s T (x) T (x) (77) q ahol g a degeneráltsági faktor, µ(x) a kémiai potenciál, sq a kvantumstatisztikák áltak meghatározott faktor; sq = 1-re a Bose-Einstein, sq = −1-re a Fermi-Dirac, sq = 0-ra pedig a Maxwell-Botzmann statisztikát kapjuk. A számlálóban szerepl®

pµ d4 Σµ (x) a kifagyási hiperfelület vektormértéke (az ún. Cooper-Frye prefaktor), mely itt ugyanaz, mint a vizsgált megoldásnál Ez √ a parametrizáció nagyon sikeresen írja le a RHIC Au+Au ütköztetéseknél mért adatokat sN N = 15 Paraméter b N m T0 τ0 u2t ε Ż0 érték -0.1 0.0022 139 MeV 170 MeV 7 fm/c 1 0.2 2 leírás h®mérsékleti gradiens normálási faktor piontömeg központi kifagyási h®mérséklet az id®fejl®dés hossza transzverz tágulás a kifagyáskor impulzustérbeli aszimmetria z irányú tágulási sebesség a kifagyáskor 2. táblázat Az adatokkal való összehasonlításhoz használt próba-paraméterek √ 130 GeV-es, és sN N = 200 GeV-es nukleononkénti tömegközépponti energiánál. A fent ismertetett forrásfüggvényb®l meghatározható az összes általunk vizsgált mérhet® mennyiség (tehát a transzverz impulzus eloszlás, az elliptikus folyás, és a HBT sugarak), illetve ezen mennyiségek rapiditás függése is.

Léteznek nemrelativisztikus változatai is, melyek SPS energiákon sikeresek 5. A RHIC mérésekkel való összehasonlítás A vizsgált modellb®l számolt és fent ismertetett eredményeket, azaz a (46)-os, a (50)-es, és az (56)-os egyenleteket összehasonlítom a RHIC PHENIX detektorai által mért adatokkal [21, 28, 29], minden esetben pionokkal dolgozva. A HBT mérések esetében a nem magát a (56)-os egyenletben leírt korrelációs függvényt, hanem a korrelációs sugarakra kapott eredményt ((60)-(61) egyenletek) vetettem össze az adatokkal. Itt a sugarak az átlagos transzverz impulzustól (Kt -t®l) függenek Fontos megemlíteni, hogy nem a kifagyáskor vett x, ill. y irányú tágulási sebességet (Ẋ02 , és Ẏ02 ) használtam, hanem az újonnan bevezetett u2t , és ε mennyiségeket, melyek jobban jellemzik a mért végállapotot. Az elliptikus folyásnál az impulzustér-beli aszimmetria a kulcs-mennyiség, ezt ε-nal jelöljük. Az impulzus eloszlásnál pedig

az átlagos transzverz sebesség, u2t fontos Ezek az alábbi módon vannak deniálva: Ẋ02 − Ẏ02 Ẋ 2 + Ẏ02 ¶ µ 0 1 1 1 1 + . = u2t 2 Ẋ02 Ẏ02 ε= (78) (79) Fejlettebb programokkal történ® függvény illesztéssel a paraméterek pontos meghatározására van lehet®ség, de ez kés®bbi analízis tárgya. Jelen dolgozatban próba-paramétereket választottam, és ezek mellett számítottam ki a meggyelhet® mennyiségeket. Ezeket a paramétereket részben témavezet®m cikkéb®l [30] merítettem, részben az adatokkal való jó egyezést elérend® határoztam meg, és az 2. táblázatban foglaltam össze A próbaparaméterekkel kiszámolt eredményeket és az adatokat a 3, 4 és 5 ábrákon mutatom be Ezek az ábrák els®sorban azt mutatják, hogy a modell jól alkalmazható. 16 1000 Hidro π + adat 100 N1(pt) 10 1 0.1 0.01 200 400 600 800 1000 1200 pt [MeV/c] 1400 1600 1800 2000 3. ábra Az egyrészecske impulzus eloszlást ábrázoltam

logaritmikus skálán a transzverz impulzus (pt ) függvényében. Az adatok forrása a RHIC PHENIX kísérletének 200 GeV-es nukleononkénti tömegközépponti energiájú arany-arany ütközésekben mért spektrumról írt cikke [28]. A modellparamétereket az 2 táblázat foglalja össze 0.14 Hidro π + adat 0.12 v2(pt) 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 200 400 600 800 1000 1200 pt [MeV/c] 1400 1600 1800 2000 4. ábra Itt az elliptikus folyást látható a transzverz impulzus (pt ) függvényében Az adatok forrása a RHIC PHENIX kísérletének 200 GeV-es nukleononkénti tömegközépponti energiájú arany-arany ütközésekben mért elliptikus folyásról írt cikke [21]. A modellparamétereket az 2 táblázat foglalja össze. 17 6 Hidro Rout Hidro Rside π + Rout data π + Rside data 5.5 Rout,side(Kt) [fm] 5 4.5 4 3.5 3 2.5 200 300 400 500 600 Kt [MeV/c] 700 800 900 5. ábra A Bose-Einstein korrelációs sugarakat rajzoltam ki jelen ábrán a

részecskepár átlagos transzverz impulzusának (Kt ) függvényében. Az adatok forrása a RHIC PHENIX kísérletének 200 GeV-es nukleononkénti tömegközépponti energiájú arany-arany ütközésekben mért korrelációkról írt cikke [29]. A modellparamétereket ld az 2 táblázatban 6. Összegzés A dolgozat célja az egyrészecske spektrum, az elliptikus folyás és a korrelációs sugarak meghatározása, mérési adatokkal való összevetése volt. A hidrodinamika, mint láthattuk, sikeresen írja le a mostani nehézion-ütközésekben kialakuló új anyag, a kvark-gluon plazma viselkedését. A bevezetésben megmutattam, hogyan juthatunk el egy hidrodinamikai modellb®l konkrét, mérhet® mennyiségek számolásáig, majd a következ® fejezetekben meg is határoztam ezeket. A dolgozat jelent®ségét els®sorban ez adja: 3+1 dimenziós relativisztikus megoldásból ezeket a menynyiségeket még nem számolták ki. A 5 fejezetben az eredményeket összevetettem a RHIC

PHENIX detektorai által mért adatokkal. Nem illesztést végeztem, csak jól megválasztott paraméterekkel ábrázoltam, a számolt mennyiségeknek az adatokkal való összehasonlítása érdekében. Az itt vizsgált ultra-relativisztikus nehézion ütközésekben, és jelen dolgozatban kicsit visszatekinthettünk a múltba, olyan állapotokat idézve fel, melyek a mostani világegyetemben sehol sem fordulnak el®. A kvarkok ezen új halmazállapotának vizsgálata érdekes, és izgalmas kutatási téma, melyben rengeteg megválaszolatlan kérdés, kutatni, és számolnivaló van még. Hivatkozások [1] K. Adcox et al [PHENIX Collaboration], Nucl Phys A 757, 184 (2005) [2] J. Adams et al [STAR Collaboration], Nucl Phys A 757, 102 (2005) 18 [3] B. B Back et al [PHOBOS Collaboration], Nucl Phys A 757, 28 (2005) [4] I. Arsene et al [BRAHMS Collaboration], Nucl Phys A 757, 1 (2005) [5] T. Csörg®, L P Csernai, Y Hama és T Kodama, Heavy Ion Phys A 21, 73 (2004) [6] L. D Landau,

Izv Akad Nauk Ser Fiz 17, 51 (1953) [7] S. Z Belenkij és L D Landau, Nuovo Cim Suppl 3S10, 15 (1956) [8] R. C Hwa, Phys Rev D 10, 2260 (1974) [9] J. D Bjorken, Phys Rev D 27, 140 (1983) [10] C. B Chiu, E C G Sudarshan és K H G Wang, Phys Rev D 12, 902 (1975) [11] K. Kajantie és L D McLerran, Nucl Phys B 214, 261 (1983) [12] G. Baym, B L Friman, J P Blaizot, M Soyeur és W Czyz, Nucl Phys A 407, 541 (1983) [13] D. K Srivastava et al Annals Phys 228, 104 (1993) [14] K. J Eskola, K Kajantie és P V Ruuskanen, Eur Phys J C 1, 627 (1998) [15] T. S Biró, Phys Lett B 487, 133 (2000) [16] T. Csörg®, F Grassi, Y Hama és T Kodama, Phys Lett B 565, 107 (2003) [17] Yu. M Sinyukov és I A Karpenko, Acta Phys Hung A 25, 141 (2006) [18] T. Csörg®, M I Nagy és M Csanád, Phys Lett B 663, 306 (2008) [19] A. Bialas, R A Janik és R B Peschanski, Phys Rev C 76, 054901 (2007) [20] M. S Borshch és V I Zhdanov, SIGMA 3, 116 (2007) [21] S. S Adler et al [PHENIX Collaboration], Phys Rev Lett 91,

182301 (2003) [22] A. Adare et al [PHENIX Collaboration], Phys Rev Lett 98, 172301 (2007) [23] A vizsgált megoldás szerz®jével folytatott privát beszélgetés alapján [24] R. Hanbury Brown and R Q Twiss, Nature 178, 1046 (1956) [25] G. Goldhaber, S Goldhaber, W Y Lee and A Pais, Phys Rev 120, 300 (1960) [26] S. Pratt, Phys Rev D 33, 1314 (1986) [27] T. Csörg®, S V Akkelin, Y Hama, B Lukács and Yu M Sinyukov, Phys Rev C 67, (2003) [28] S. S Adler et al [PHENIX Collaboration], Phys Rev C 69, 034909 (2004) [29] S. S Adler et al [PHENIX Collaboration], Phys Rev Lett 93, 152302 (2004) [30] M. Csanád, T Csörg®, B Lörstad és A Ster, J Phys G 30, S1079 (2004) 19