Mechanical engineering | Higher education » Horváth Péter - A mechatronika alapjai II.

Horváth Péter MECHATRONIKA ALAPJAI II. Készült a HEFOP 3.31-P-2004-09-0102/10 pályázat támogatásával Szerző: dr. Horváth Péter egyetemi docens Lektor: dr. Huba Antal egyetemi docens Horváth Péter, 2006 Mechatronika alapjai II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom A dokumentum használata Vissza ◄ 3 ► A dokumentum használata Mozgás a dokumentumban A dokumentumban való mozgáshoz a Windows és az Adobe Reader megszokott elemeit és módszereit használhatjuk. Minden lap tetején és alján egy navigációs sor található, itt a megfelelő hivatkozásra kattintva ugorhatunk a használati útmutatóra, a tartalomjegyzékre, valamint a tárgymutatóra. A ◄ és a ► nyilakkal az előző és a következő oldalra léphetünk át, míg a Vissza mező az utoljára megnézett oldalra visz vissza bennünket. Pozícionálás a könyvjelzőablak segítségével A bal oldali könyvjelző ablakban tartalomjegyzékfa található, amelynek

bejegyzéseire kattintva az adott fejezet/alfejezet első oldalára jutunk. Az aktuális pozíciónkat a tartalomjegyzékfában kiemelt bejegyzés mutatja. A tartalomjegyzék használata Ugrás megadott helyre a tartalomjegyzék segítségével Kattintsunk a tartalomjegyzék megfelelő pontjára, ezzel az adott fejezet első oldalára jutunk. Keresés a szövegben A dokumentumban való kereséshez használjuk megszokott módon a Szerkesztés menü Keresés parancsát. Az Adobe Reader az adott pozíciótól kezdve keres a szövegben A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 3 ► Mechatronika alapjai II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Tartalomjegyzék Vissza ◄ 4 ► Tartalomjegyzék 1. Bevezetés a rendszerelméletbe 5 1.1 A rendszer modellezése 6 1.2 A matematikai modellek csoportosítása 7 1.3 Szimuláció 15 1.4 A rendszerelmélet változói 15 1.5 A rendszer ábrázolási módjai 16 2. Rendszerelemek 19 2.1

Passzív elemek 19 2.2 Aktív elemek 39 3. Rendszervizsgálat 42 3.1 Tipikus gerjesztések (vizsgálójelek) 42 3.2 A rendszeregyenlet felírása 48 3.3 A rendszeregyenlet helyességének ellenőrzése 52 3.4 Rendszerek tipizálása a rendszeregyenlet alapján 53 3.5 Analógiák 54 4. A rendszeregyenlet megoldása 56 4.1 Megoldás az időtartományban 56 4.2 Megoldás a frekvenciatartományban 68 4.3 Megoldás az operátor tartományban Laplace transzformáció 87 5. Vegyes feladatok a rendszeregyenlet megoldására101 6. Bevezetés a numerikus analízisbe127 6.1 Differenciálegyenletek közelítő megoldása 127 6.2 Interpoláció jelleggörbék megadására144 6.3 Gyökkereső módszerek147 7. Hajtástechnika 151 7.1 Hajtásláncok elemeinek redukciója 151 7.2 Dinamikai szempontból optimális áttétel meghatározása160 7.3 A szögsebesség változásának analitikus vizsgálata 161 Irodalom .173 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 4 ►

Mechatronika alapjai II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Tartalomjegyzék Vissza ◄ 5 ► 1. Bevezetés a rendszerelméletbe A mechatronika jellegénél fogva összetett, bonyolult objektumokkal foglalkozik. Ezek az objektumok esetenként nagyon sok alkotórészből épülnek fel, melyek valamilyen kapcsolatban állnak egymással Szokásosan az ilyen objektumokat rendszernek nevezzük. Rendszer alatt olyan dolgok összességét értjük, melyeket kölcsönhatások kapcsolnak össze. A meghatározásban a kölcsönhatás a lényeges, mert ennek hiányában bármilyen sok eleme is van egy halmaznak, az mégsem tekinthető rendszernek. Például egy autóbuszt felépítő alkatrészek halmaza rendszernek tekinthető, mert az alkatrészeket kölcsönhatások (kényszererők) kapcsolják össze. Ugyanezek az alkatrészek a műhely raktárában nem tekinthetők műszaki szempontból rendszernek, mert nincs közöttük kölcsönhatás. Mivel a térben és

időben egymással kapcsolódó rendszerelemek kölcsönösen hatnak egymásra, ezért bármely helyen történő beavatkozás tovagyűrűzik a rendszerben. A rendszer más-más tudományterülethez tartozó alkotórészeinek kölcsönhatásait ezért csak interdiszciplináris ismeretekkel és rendszerszemlélettel rendelkező szakember képes átlátni Természetesen lehetetlen és szükségtelen is a kapcsolódó tudományterületek ismeretanyagát teljes mélységében elsajátítani, mivel a rendszerelmélet módszereivel az eltérő tudományterülethez tartozó jelenségek azonos öszszefüggésekkel, egységes módszerekkel tárgyalhatók. Az alapvető törvényszerűségek általánosítása, valamint az egységes tárgyalásmód elsajátítása megtérülő befektetés, mert jelentősen egyszerűsíti a mechatronikai mérnök munkáját. Ahhoz azonban, hogy eljussunk a problémák rendszerezéséhez, általánosításához és egységes módszerrel való kezeléséhez, meg

kell ismerkednünk a rendszerelmélet néhány alapfogalmával és módszerével. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 5 ► Mechatronika alapjai II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Tartalomjegyzék Vissza ◄ 6 ► 1.1 A rendszer modellezése A szerkezetek és jelenségek általában túl bonyolultak ahhoz, hogy minden tekintetben pontosan tudjuk azokat leírni. Ezért a rendszereket további vizsgálatok céljából modellezzük. A modell a valóságos rendszer egyszerűsített, a vizsgálat szempontjából lényegi tulajdonságait tükröző mása. A modellalkotás során a vizsgálat szempontjából lényegtelen tulajdonságoktól eltekintünk. A modellhez absztrakció (elvonatkoztatás) útján jutunk el. Az így kapott test-, anyag- és kapcsolati modellek ezért idealizáltak, a valóságban ilyen „steril” tulajdonságú elemek nem is léteznek A modellek ezért csak bizonyos hibával írják le a vizsgált

rendszer működését, következésképpen a modellt gyakran finomítani kell a valós szerkezeten végzett mérések alapján. A vizsgálat céljától függően a rendszer más-más modellel írható le. Ha például egy autó helyzetének, azaz súlypontja mozgásának vizsgálata a cél, akkor az tömegpontként modellezhető. Ha ugyanannak az autónak a stabilitását vizsgáljuk kanyarban haladáskor, akkor a járművet véges kiterjedésű merev testként modellezzük. Az utazás komfortjának vizsgálatához azonban rugalmas testekből álló, összetett rendszerként kell modelleznünk a gépkocsit. A modellek fajtái a következők: a) Homológ modell, vagy kisminta. A hasonlóság legszorosabb fajtája, mert ugyanaz a fizikai jelenség geometriailag hasonló rendszerben megy végbe. Például megépítés előtt vízi erőmű modelljén végeznek méréseket. A kapott mérési eredmények hasonlósági törvényekkel számíthatók át a valós rendszerre. b) Analóg

modell. Az eredeti rendszertől különböző rendszerben, különböző fizikai jelenség megy végbe, de a folyamatok törvényszerűsége azonos Például egy mechanikus rendszer lengéstani jelenségeit ellenállásokból, kondenzátorokból, tekercsekből álló villamos rendszerrel modellezzük A villamos rendszerben létrejövő lengésjelenségek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 6 ► Mechatronika alapjai II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Tartalomjegyzék Vissza ◄ 7 ► frekvencia és amplitúdó érékei átszámíthatók a mechanikus rendszerre. c) Matematikai modell. Matematikai formulák segítségével összefüggést teremt a rendszer bemenete és kimenete között A korszerű számítástechnika lehetővé teszi a gyors, nagy pontosságú és olcsó modellezést Megjegyzendő, hogy a homológ és analóg modellek megalkotásának is előfeltétele a rendszer és az azt helyettesítő rendszer

matematikai modelljének ismerete A vizsgálni kívánt jelenség modelljének megalkotása nagy tapasztalatot igénylő mérnöki feladat, mondhatni „művészet”. 1.2 A matematikai modellek csoportosítása A szimuláció alapját képező matematikai modelleket több szempont szerint lehet osztályozni. A fontosabb csoportosítási szempontokra szolgáló példák egy egyszerű konzolos tartó esetében az 11 ábrán szemlélhetők Az ábrán F a terhelőerőt, c (N/m) a rugómerevséget, m a tömeget jelöli. A modellek fontosabb jellemzői: a) Statikus-dinamikus modell Statikus a modell, ha a rendszer működését leíró összefüggés nem tartalmaz idő szerinti deriváltakat. Szokásos egyensúlyi, vagy állandósult állapotnak is nevezni Az 11 ábrán a tömeg nélküli kar elfordulási szöge csak az erőtől és a rugómerevségtől függ. A dinamikus modell a rendszer időbeli viselkedését is leírja. Szokásosan közönséges, vagy parciális

differenciálegyenletek, vagy operátortartománybeli egyenletek írják le. A tömeggel rendelkező kar és a rugó lengőrendszert alkot, mely lengései az időben zajlanak A jelenség leírásához a differenciálegyenleten kívül a kezdeti és/vagy peremfeltételeket is meg kell adni. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 7 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 8 ► ◄ 8 ► α c F F b m ϕ F ϕ= bc cos α Statikus modell (koncentrált,lineáris) 2 ϕ d 2ϕ 4c cos2 α 4Fb + ϕ= 2 dt m m Dinamikus modell (koncentrált,lineáris) F F rúd merev ϕ rúd rugalmas, tömege van Koncentrált paraméterû modell Elosztott paraméterû (kontinuum)modell F F b ϕ y ~ bϕ ϕ kicsi Lineáris modell ϕ ϕ ϕ nagy Nemlineáris modell 1.1 ábra Modellek csoportosítása A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza Mechatronika

alapjai II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Tartalomjegyzék Vissza ◄ 9 ► b) Koncentrált paraméterű-elosztott paraméterű modell Koncentrált paraméterű a modell, ha az egyes elemek csak egy jellemző tulajdonsággal rendelkeznek. Például az ábrán a karnak csak a tömege jellemző, rugalmassága és csillapítási képessége elhanyagolható A rugónak ellenben csak a rugalmas tulajdonsága játszik szerepet, tömege és csillapítása elhanyagolható. Elosztott paraméterű (kontinuum) a modell, ha az egyes elemek tulajdonságai nem választhatók szét. Például az ábrán mutatott vékony, tömeggel rendelkező kar alakváltozása már nem hanyagolható el, maga is rezgésre képes. Minden egyes kis elemi része tömeg (tehetetlenségi) és rugalmas tulajdonságokkal is rendelkezik, melyeket nem lehet egyetlen pontba koncentrálni. Jellegüknél fogva az alakkal nem rendelkező folyadékok és termikus jelenségek tartoznak ebbe a körbe Az

ilyen modellek sokkal bonyolultabb parciális differenciálegyenletekkel írhatók le c) Lineáris-nemlineáris modell Lineáris a modell, ha a változókat lineáris függvénykapcsolat köti össze. Az ábrán a kar kis elfordulásakor feltételezhető, hogy a kar és a rugó érintkezési pontja függőlegesen mozdul el, a rugó összenyomódása pedig y=aφ, a rugóerő függőleges marad. Nemlineáris a modell, ha a változók között nemlineáris függvénykapcsolat áll fenn. Az ábrán a kar nagyszögű elfordulása esetén a rugó alsó pontja köríven mozog, mely egyrészt megváltoztatja a rugóerő hatásvonalát és nagyságát az elfordulási szög függvényében. A műszaki rendszerek jelentős része nemlineáris modellel írható le, melyet a megengedett határokon belül linearizálással szokás egyszerűsíteni. Bár a tananyag elsősorban a mechatronikai szerkezetek dinamikus modelljeinek megalkotására koncentrál, tanulságos és egyszerű volta miatt

először az 1.2 ábrán látható konzolos szerkezet statikus modelljének megalkotását mutatjuk be A matematikai modell felírását a konzol elfordulási szögének nagyságára tett korlátozás nélkül tárgyaljuk (nemlineáris modell). A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 9 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 10 ► Példa: statikus modell megalkotása. a) Határozzuk meg az 1.2 ábrán látható konzolos tartó BC rúdjának elfordulási szögét leíró φ(F) függvénykapcsolatot b) Határozzuk meg F0=0 terhelés környezetében a linearizált φ(F) függvénykapcsolatot! c) Határozzuk meg F0=5000 N terhelés környezetében a linearizált φ(F) függvénykapcsolatot! Megoldás: A pontos geometriai viszonyok tisztázása érdekében tételezzük fel, hogy a szerkezet deformálódott állapotában is egyensúlyban van. A könnyebb vizsgálat érdekében

kissé eltúlozva rajzoltuk meg a szerkezet deformálódott alakját. A számításokat b=1 m és c=105 N/m adatokkal végezzük. A b F B b sin ϕ R ϕ K β C* D ϕ β F C b cos ϕ 1.2 ábra ad a) Vizsgáljuk a szerkezet C pontjának egyensúlyát deformálódott állapotban! Ha F erőt működtetünk a szerkezetre, akkor a BC kar φ szöggel elfordul, valamint megváltozik a rugóerő nagysága és hajlásszöge. A szerkezet új egyensúlyi állapota ott áll be, amely pozícióban teljesül a C* pontra a három erő egyensúlya. Az egyensúlyt kifejező egyenletek a következők: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 10 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom ∑F Vissza ◄ 11 ► ⎫ cos β ⎪ ⎬ K=R cos ϕ ∑ Fyi = 0 = −F − K sin ϕ + R sin β ⎪⎭ xi = 0 = K cos ϕ − R cos β Kifejezzük a K erőt az első egyenletből, majd helyettesítsük be a

másodikba, ezzel megkapjuk F és φ kapcsolatát leíró egyenletet: F = R (sin β − cos β tgϕ) (1.1) Mivel az egyenletben a rugóerő, valamint a rugó megváltozott szöge is szerepel, ezért mellékszámításokat kell végeznünk. A rugó megváltozott hossza (ADC* ∆): AC∗ = [b(1 + sin ϕ)]2 + [b cos ϕ]2 = b 2 1 + sin ϕ A rugó megváltozott β szögének szögfüggvényei (ADC* ∆): sin β = cos β = b(1 + sin ϕ) b 2 1 + sin ϕ b cos ϕ b 2 1 + sin ϕ = = 1 + sin ϕ 2 1 + sin ϕ = 1 + sin ϕ 2 cos ϕ 2 1 + sin ϕ A rugó hosszváltozása a megváltozott hossz és az eredeti hossz különbsége: ∆l = AC∗ − AC = b 2 1 + sin ϕ − b 2 = b 2 ( 1 + sin ϕ − 1) A rugóerő c merevségű rugó esetén: R = c∆l = c ⋅ b 2 ( 1 + sin ϕ − 1) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 11 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 12 ► A

mellékszámítások eredményeit az (1.1) egyensúlyi egyenletbe helyettesítve kapjuk a keresett függvénykapcsolatot: F = cb 2 ( 1 + sin ϕ − 1)( 1 + sin ϕ 2 = cb( 1 + sin ϕ − 1)( 1 + sin ϕ − − sin ϕ )= 2 1 + sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ 1 + sin ϕ ⋅ ) (1.2) A kapott egyenlet F(φ) alakú, azonban nekünk a φ(F) függvénykapcsolatra van szükségünk. Az inverz függvényre való áttérés nem lehetséges minden esetben, de most szerencsére az (1.2) egyenletből matematikai átalakításokkal kifejezhető a φ szög Vezessünk be új változót: x = 1 + sin ϕ Az egyenlet átírható F = cb( x − 1)( x − x2 −1 ) x alakba, ahonnan részszámítások után c2b2 sin ϕ = −1 (cb − F) 2 c2b2 ϕ = arcsin[ −1 ] (cb − F) 2 (1.3) adódik. (Az egyenlet helyessége ellenőrizhető, mert F=0 esetére φ=0 adódik) ad b) A továbbiakban megvizsgáljuk, hogy a kapott nemlineáris függvénykapcsolat miként linearizálható kis (F0=0) terhelések,

valamint nagy (F0=104 N) terhelések környezetében. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 12 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 13 ► Munkaponti linearizációval kiszámítjuk F0=0 környezetében az elfordulási szöget. Az (13) szerinti φ(F) függvényt Taylor-sorának első két tagjával közelítjük: ϕ ≅ ϕ0 + dϕ (F − F0 ) dF F=0 A derivált függvény a következő: dϕ = dF 1 1− ( c2b2 − 1) 2 2 (cb − F) ⋅ − 2c 2 b 2 (−1) (cb − F) 3 A derivált értéke az F0=0 munkapontban: dϕ 2 2 = = 5 = 2 ⋅ 10 −5 1 / N dF F=0 cb 10 ⋅ 1 Kis terhelésekre (F0=0) a linearizált függvénykapcsolat φ0=0 és F0=0 figyelembevételével: ϕ ≅ 2 ⋅ 10 −5 F , egy origón átmenő egyenes egyenlete. ad c) Nézzük meg, hogy nagy terhelések tartományában (F0=104 N) milyen linearizált összefüggéssel számítható az elfordulási

szög! A munkaponti elfordulási szög: ϕ0 F =10000 ⎡ c2b2 ⎤ ⎡ ⎤ 1010 1 arcsin = arcsin ⎢ − = − 1⎥ = 0,236 rad ⎥ ⎢ 5 2 4 2 ⎣ (10 − 10 ) ⎦ ⎣ (cb − F0 ) ⎦ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 13 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 14 ► A munkaponti érintő egyenes meredeksége: dϕ = dF F=10000 1 1−[ c2b2 − 1] 2 2 (cb − F) 1 1−[ 1010 − 1] 2 5 4 2 (10 − 10 ) ⋅ ⋅ 2c 2 b 2 = (cb − F) 3 2 ⋅ 1010 = 2,91 ⋅ 10 −5 5 4 3 (10 − 10 ) ϕ ≅ 0,236 + 2,91 ⋅ 10 −5 ( F − 10 4 ) = 2,91 ⋅ 10 −5 F − 0,054 rad A kar elfordulási szögének és a terhelésnek kapcsolatát, valamint a kis és nagy erőkre linearizált kapcsolatot az 1.3 ábrán láthatjuk 0,5 0,4 φ (rad) 0,3 0,2 0,1 0 0 5000 10000 15000 -0,1 F (N) 1.3 ábra Megállapítható, hogy a 0 ≤ F ≤ 5000 N tartományban a

függvénygörbe és annak érintője vonalvastagságon belül halad, a kapcsolat lineárisnak tekinthető. A kar szögelfordulása a lineáris tartományban kisebb, mint 0,1 radián. Mivel a gépészeti szerkezetek alakváltozása még a bemutatott példánál is kisebb, ezért van létjogosultsága a lineáris modellnek A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 14 ► Mechatronika alapjai II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Tartalomjegyzék Vissza ◄ 15 ► 1.3 Szimuláció A rendszer modelljének ismerete lehetővé teszi a rendszer működésének vizsgálatát még a tervezés fázisában más-más rendszerjellemzők esetén. Szimulációnak nevezzük a valódi rendszer modelljén végzett vizsgálatokat. A szimuláció célja, hogy egyrészt ellenőrizzük a rendszer működőképességét, másrészt kiválasszuk a rendszer különféle paraméterkombinációiból a valamilyen szempont szerinti optimális változatot.

A matematikai szimuláció lehet analóg, vagy digitális (numerikus). Bár a számítástechnika fejlődése nagyban csökkentette az analóg számítógéppel végzett szimuláció jelentőségét, néhány esetben, ahol nagy működési sebesség szükséges (pl. rakétaelhárító rendszerek), még alkalmazásra kerül a digitális szimulációval kombinálva (hibrid szimuláció). 1.4 A rendszerelmélet változói A fizikai rendszerek extenzív és intenzív mennyiségekkel jellemezhetők. Az extenzív mennyiségekre igazak a megmaradási törvények. Ezek a mennyiségek összegezhetők, ami azt jelenti, hogy az eredő tömeg, hosszúság, térfogat, töltés stb. megegyezik a részek összegével Az extenzívek árama (tömegáram, térfogatáram, elektromos áram, hőáram) a rendszer egyes elemein gyengítetlenül, veszteség nélkül halad át. Felismerésüket ez a tulajdonság megkönnyíti. A gyakoribb elnevezésük: átmenő változó Az 1.4 ábrán f jelöli az átmenő

változót Az intenzív mennyiségek különbsége az oka az extenzívek áramának. Például az ellenálláson csak akkor folyik át áram, ha az ellenállás két végpontja között feszültségkülönbség van. Folyadék akkor áramlik egy csőben, ha a cső két végpontja között nyomáskülönbség van Az intenzív mennyiségek az elem két végpontjában különböző értéket vesznek fel, A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 15 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 16 ► rájuk az összegezhetőség nem igaz. A gyakoribb elnevezésük: keresztváltozó Az 14 ábrán v1 és v2 jelöli az elem két végződésén mérhető keresztváltozót f f Elem v2 v1 1.4 ábra Számításokban az elem két végződésén mért keresztváltozó különbsége szerepel, amit az egyszerűség kedvéért kettős indexszel jelölünk: v12=v1-v2. A célszerűen

megválasztott változó-pár szorzata teljesítmény dimenziójú: P = f ⋅ v12 1.5 A rendszer ábrázolási módjai A rendszert vizsgálatának megkönnyítése érdekében vázlatokkal ábrázoljuk, melynek főbb fajtái a szerkezeti- és a hatásvázlat. A szerkezeti vázlat nagyon hasonló a tényleges szerkezet kialakításához, de annak csak a vizsgálat szempontjából lényeges részeit tartalmazza. Az 15 ábrán egy vasúti kocsi szerkezeti vázlata látható a kocsi ütközésének vizsgálatához. Bizonyos fokkal elvonatkoztatottabb ábrázolási mód a rendszer struktúra-gráffal történő jellemzése (1.6 ábra) A csomópontokat, melyekben a keresztváltozó más-más értéket vesz fel, gráf-ágak (görbe vonalak) kötik össze, melyek a rendszer elemeinek egymással való kapcsolatára utalnak. A gráf-ágak irányításának nincs különösebb szerepe. A referenciapontot, melyhez képest a keresztváltozókat értelmezzük, g-vel (ground = föld) jelöljük. A

struktúra-gráf feltünteti a forráselemeket (gerjesztéseket) is A A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 16 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 17 ► v2 v1 c m k 1.5 ábra Rendszer szerkezeti vázlata keresztváltozó-típusú forrás iránya mindig a referenciapont felé mutat, míg az átmenő változó forrás ahhoz az elemhez mutat, amelyre a forrás kifejti hatását. c 2 1 k m v g 1.6 ábra Rendszer struktúra-gráfja A hatásvázlat a rendszer elvonatkoztatott ábrázolási módja. A rendszer elkülöníthető részeit jelképező szimbólumokat a jelek haladását ábrázoló hatásvonalak kapcsolják össze. Az előbbi ábrázolási módokkal ellentétben a rendszer elemeinek mennyiségi kapcsolatára is utal. Két fontosabb fajtája a tömbvázlat és a jelfolyam-ábra (gráf). A tömbvázlatban a rendszer megkülönböztethető tulajdonságú

elemeit (melyek két végződésén a keresztváltozó értéke különböző) téglalapok jelölik. A téglalapokban a jel módosítását leíró függvényt vagy jelleggörbét tüntetik fel. A téglalapokat összekötő nyilak a jel haladási irányát ábrázolják A jelek elágazhatnak, vagy előjelhelyesen összegződhetnek A kivonást az összegzőpont megfelelő szektorának sötétítésével jelöljük. A 17 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 17 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 18 ► felső részén a v1 sebességű mozdony és a v2 pillanatnyi sebességű kocsi hatásvázlata látható. A jelfolyam-ábra nagyon hasonló a tömbvázlathoz, csak formailag különbözik tőle. A jelmódosítást itt nem téglalapokba, hanem a hatásvonalak (élek) fölé írjuk. A hatásvonalakat többnyire görbült vonalakkal ábrázoljuk Az előjelhelyes

összegzést egyszerű csomópontokkal jelöljük. A csomópontba befutó élek fölé írt függvény előjele dönti el, hogy összegzésről vagy különbségképzésről van-e szó. c∫ v1 (t) 1 m∫ v2 (t) k c∫ v1 (t) 1 m∫ 1 1 v2 (t) k -1 1.7 ábra Rendszer hatásvázlata: tömbvázlat és jelfolyam-ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 18 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 19 ► 2. Rendszerelemek A rendszert általánosságban passzív és aktív rendszerelemek, azok kapcsolatát biztosító átalakítók, a rendszer energiaellátásról gondoskodó források és energia fogyasztó terhelések építik fel. 2.1 Passzív elemek A következőkben csak koncentrált paraméterű rendszerelemekkel foglalkozunk. Egy rendszerelem csak egyféle tulajdonságot testesít meg Például a rugó csak a rugalmas hatást modellezi, tömege

(tehetetlensége) és csillapítása elhanyagolható. 2.11 Mechanikus elemek (Átmenő változó: F [N] erő. Keresztváltozó: v [m/s] sebesség) a) Rugó x2 ∆ x2 x1 F0 F0 F ∆x1 F l 2.1 ábra Rugó modellje A lineáris rugóra ható erő változása egyenesen arányos a rugó hosszváltozásával (2.2 ábra) Arányossági tényező a c[N/m] rugómerevség (Szokásos s-sel is jelölni, de ez a jelölés megegyezik a Laplace-transzformáció operátorával, ezért nem alkalmazzuk. Középiskolában D-vel is jelölték) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 19 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom ∆F Vissza ◄ 20 ► ∆F = c ⋅ ∆x lineáris nemlineáris ∆x 2.2 ábra Rugómerevség értelmezése A 2.1 ábra a rugó két állapotát mutatja Ha a már eredetileg is összenyomódott rugót F0 erő terheli (1 állapot), akkor az erő a további összenyomódással

arányosan növekszik (2 állapot, F>F0): F − F0 = c(∆x 1 − ∆x 2 ) Megjegyzés: gyakorlatban sokszor az F=c(l-l0) összefüggést használjuk, ahol l0 a rugó terheletlen hossza. Mivel mechanikus rendszerek esetében a keresztváltozó szokásosan a sebesség, ezért azzal felírva a rugó egyenletét két időpont között: F = c ∫ v12 dt + F0 ( 2.1) ahol a keresztváltozó az elem két végpontjának sebességkülönbsége: v12=v1-v2. A rugó hosszváltozása révén energia tárolására képes. Ehhez nem szükséges a keresztváltozó zérustól különböző értéke (relatív sebesség), ezért a rugó A-típusú tároló. A tárolt potenciális energia a rugó ∆x-szel való megnyújtása (összenyomása) során végzett munkával arányos: W = ∫ Pdt = ∫ Fvdt = ∫ c∆x d∆x c∆x 2 dt = dt 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom (2.2) Vissza ◄ 20 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 21 ► Szemléletesen a tárolt energia az erő-deformáció diagram alatti területtel arányos: F F=c∆x W=U ∆x 2.3 ábra A rugók gyakran sorosan, vagy párhuzamosan kapcsolódnak egymással. Sok esetben ránézésre nem lehet eldönteni, hogy melyik kapcsolási esettel állunk szemben. Soros kapcsolásnál az átmenő változó (erő) egyezik meg, míg párhuzamos kapcsolásnál a keresztváltozó (hosszváltozás) a közös. A 2.4 ábrán látható rendszer rugói ránézésre sorba vannak kapcsolva Alaposabb vizsgálat szerint azonban kiderül, hogy a rugók hosszváltozása közös, hiszen amennyivel megnyúlik az egyik rugó, ugyanannyival rövidül meg a másik. A rugók ezért párhuzamos kapcsolásúak A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 21 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 22 ► c2 c1 ∆ x 1 ∆x 2

F2 F1 ∆x = ∆ x 1 = ∆ x 2 c F1 F2 F=F1+F2 2.4 ábra Rugók párhuzamos kapcsolása Az egyszerűbb kezelhetőség kedvéért szokás a párhuzamosan kapcsolt rugókat egyetlen, c merevségű rugóval helyettesíteni. A helyettesítő rugó az eredetivel megegyező ∆x=∆x1=∆x2 hosszváltozásra ugyanakkora erőt fejt ki, mint eredetileg a különálló rugók: F = F1 + F2 c ⋅ ∆x = c1 ∆x + c 2 ∆x Párhuzamosan kapcsolt rugók eredő rugómerevsége az egyes rugók merevségeinek összege: c = c1 + c 2 (2.3) Rugók soros kapcsolása látható a 2.5 ábrán A rugókban ébredő erők megegyeznek, ellenben az eredő deformáció a rugók deformációinak öszszege. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 22 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom c1 Vissza ◄ 23 ► c2 ∆x = ∆x 1 + ∆x 2 F = F1 = F2 ∆x 2 ∆x1 c 2.5 ábra Rugók soros kapcsolása ∆x

= ∆x 1 + ∆x 2 F F F = + c c1 c 2 Sorosan kapcsolt rugók eredő merevsége az alábbi módon számítható: 1 1 1 = + c c1 c 2 ( 2 .4 ) Gyakran előforduló eset, hogy a rugó végének elmozdulása α szöget zár be a rugó tengelyével. Például a vízszintes kar végéhez rögzített ferde helyzetű rugó végpontja csak függőlegesen mozdulhat el. A feladat annak meghatározása, mekkora a rugó elmozdulás-irányú merevsége kis elmozdulások feltételezésével? A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 23 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom c Vissza α cos α A E ∆l 24 ► c y = c ⋅ cos2 α c Fy ◄ ∆y B Fy Fy A rugó csak tengelyének irányába eső erőt képes kifejteni, ezért először meg kell határozni az adott Fy erőből a rugó tengelyébe eső erőt. Ez az erő a rugó ∆l=Fy/(c·cosα) mértékű megnyúlását okozza. Az adott

irányú, jelen esetben függőleges elmozdulás az ABE derékszögű háromszögből ∆y=∆l/cosα lesz. A keresett rugómerevség a következő: cy = Fy ∆y = Fy Fy = = c ⋅ cos 2 α ∆l Fy 1 ( ) cos α c ⋅ cos α cos α Egy c merevségű, nem a tengelyébe eső elmozdulást végző rugó mindig helyettesíthető egy c α = c ⋅ cos 2 α egyenértékű merevségű, elmozdulás irányú rugóval. Az összefüggésben α a rugó tengelye és az elmozdulás iránya által bezárt szög. b) Csillapító Csak a sebességarányos csillapítóval foglalkozunk, mert ez egyszerű, lineáris modellel írható le. Az egyéb csillapító hatások (Coulomb-súrlódás, közegellenállás, hiszterézis stb) modellezése sokkal bonyolultabb, több ismeretet igényel, ezért néhány esetben visszavezetik őket egyenértékű sebes- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 24 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 25 ► ségarányos csillapításra. A sebességarányos csillapítást a gyakorlatban jól közelíti a folyadékos lengéscsillapító (2.6 ábra) x2 v2 k F F v1 x1 2.6 ábra A csillapító két végpontjának v12=v1-v2 relatív sebességgel való mozgatásához F = kv12 (2.5) erő szükséges. A csillapító „D” típusú (disszipatív) energiafogyasztó elem c) Tömeg A tömeg a test tehetetlenségét modellezi. Látszólag a tömegnek egy végződése van Azonban a sebességét mindig egy választott álló referenciaponthoz (állócsillagok, Föld) viszonyítva mérjük, amit a tömeg modelljén szaggatott vonallal szokás jelölni. F v1 v2=0 v1 m m 2.7 ábra A tömeget leíróegyenlet a következő: F=m dv12 dt A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom (2.6) Vissza ◄ 25 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 26 ► A

tömeg sebessége (kereszt változója) révén mozgási energiát tud tárolni még akkor is, ha éppen nem hat rá erő. Ezért a tömeg „K” típusú tároló A tárolt energia: dv mv12 E = ∫ Pdt = ∫ Fv12 dt = ∫ v12 m 21 dt = dt 2 2 (2.7) A mechanikus rendszerelemeket illetően megjegyezzük, hogy nem csak haladó, hanem forgó mozgásra is hasonló elemek értelmezhetők az alábbi megfeleltetések mellett: F↔M v↔ω m↔J c↔ctorz k↔ktorz 2.12 Villamos elemek (Átmenő változó: i [A] áram. Keresztváltozó: u [V] feszültség) a) Kapacitás Ismeretes, hogy egy kondenzátorban tárolt töltés mennyisége arányos a fegyverzetek u21=u2-u1 feszültségkülönbségével: Q=Cu21. i C u2 u1 2.8 ábra Deriváljuk az egyenlet mindkét oldalát az idő szerint, majd vegyük figyelembe, hogy egységnyi idő alatt a vezetőben áramló töltés az árammal egyenlő. A kondenzátor működését leíró egyenlet ezzel i=C du 12 dt (2.8) lesz. A kondenzátorban

energia tárolható a feszültségkülönbség révén, ezért a kondenzátor „K” típusú tároló. A tárolt energia: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 26 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom E = ∫ Pdt = ∫ u 12 idt = ∫ u 12 C Vissza du 12 Cu 12 dt = dt 2 ◄ 27 ► 2 ( 2 .9 ) b) Induktivitás Előző tanulmányainkból (Mechatronika alapjai I) ismert, hogy egy tekercs belsejében a fluxus arányos a tekercsben folyó árammal: Φ=Li. L i u1 u2 2.9 ábra Másrészt a fluxus változáskor feszültség indukálódik a vezető két vége között: u 12 = dΦ di =L dt dt ( 2.10) A tekercsben a mozgó töltések révén energia tárolható, melynek nagysága: di Li 2 E = ∫ Pdt = ∫ iu 12 dt = ∫ iL dt = (2.11) dt 2 c) Ellenállás Az ohmikus ellenállás két végének u12=u1-u2 feszültségkülönbsége (a „feszültségesés”) arányos az

ellenálláson átfolyó árammal. i R u2 u1 2.10 ábra Az ellenállás viselkedését az Ohm-törvényként ismert összefüggés írja le: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 27 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza u 12 = Ri ◄ 28 ► (2.12) Az ellenállás energia fogyasztó, „D” típusú elem. 2.13 Hidraulikus elemek (Átmenő változó: Q [m3/s] folyadékáram. Keresztváltozó: p [N/m2=Pa] nyomás) Megjegyzendő, hogy a koncentrált paraméterű hidraulikus elemek alkalmazásával a folyadékok dinamikája csak egyszerű esetekben vizsgálható. a) Kapacitás (tartály) Az A=állandó keresztmetszetű felül nyitott tartályban a folyadék dh szintváltozása a folyadék térfogatának dV=Adh változását okozza. Közben a tartály fenekén a hidrosztatikus nyomás dp=ρgdh értékkel változik meg. dh A dV p1 p2 Q 2.11 ábra A térfogat- és

nyomásváltozás összefüggése ezzel: dp 12 ρg Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát dt-vel: dV = Adh = A dV A dp 12 , = ⋅ dt ρg dt amit A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 28 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Q = Ch Vissza dp12 dt ◄ 29 ► (2.13) alakban is írhatunk. Állandó keresztmetszetű, túlnyomás nélküli tartály hidraulikai kapacitása tehát Ch = A ρg (2.14) A tartályban tárolt energia W = ∫ Pdt = ∫ Qpdt = ∫ p12 C h C p dp12 dt = h 12 dt 2 2 ( 2.15) Hidraulikus akkumulátorról beszélünk, ha a folyadék felszínére nagynyomású gáz, vagy rugóval terhelt dugattyú hat bizonyos erővel. Ekkor dh szintváltozás esetén a nyomásváltozás: dp12 dF P cdh ρgA + c = ρgdh + = dh A A c dh A dV Q p1 p2 2.12 ábra Hidraulikus akkumulátor A térfogatváltozás és a nyomásváltozás kapcsolata: A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 29 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom dV = A Vissza ◄ 30 ► A dp12 ρgA + c Idő szerint deriválva mindkét oldalt: dp A2 ⋅ 12 Q= ρgA + c dt Ezzel a hidraulikus akkumulátor kapacitása Ch = A2 ρgA + c (2.16) b) Inertivitás (folyadék tehetetlenség) Tételezzük fel, hogy egy A keresztmetszetű csővezeték két pontja között p21 nyomáskülönbség van. Az ellenőrző felülettel elkerített m=ρAl koncentrált tömegű folyadékrész Newton II szerint a ráható F1-F2 erő hatására gyorsul: F1 =p1A a p1 F2=p2 A p2 l 2.13 ábra ∑F i = ma (p1 − p 2 )A = ρAla A p1-p2 nyomáskülönbséget p12-vel, valamint az Adv elemi térfogatáramot dQ-val jelölve, a p12 = összefüggést nyerjük. ρl Adv dQ ⋅ = Lh A dt dt A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom (2.17) Vissza ◄ 30 ► Mechatronika

alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 31 ► Az inertivitás, mint a koncentrált folyadékmennyiség tehetetlenségének mértéke Lh = ρl A (2.18) Az áramló folyadék sebessége révén energiát tárol, mely nagysága LhQ2 dQ E = ∫ Pdt = ∫ Qp12 dt = ∫ QL h dt = dt 2 (2.19) c) Hidraulikus ellenállás A csőben lévő szűkület vagy görbület, vagy a cső falának érdessége a nyomás csökkenését, ezzel energiaveszteséget okoz. A p1-p2=p12 nyomáscsökkenés a hidraulikus ellenállással arányos: p12 = R h Q (2.20) A hidraulikus ellenállás idomdarabokkal ellátott csővezetékre a következő: Rh = 8ρQ l ( λ + ξ) d4π d ahol d a cső átmérője, λ a csősúrlódási tényező, ξ az idomdarabok ellenállási tényezője. Érdekes megfigyelni, hogy a hidraulikus ellenállás maga is függ a térfogatáramtól. Kis áramlási sebességnél (Reynolds szám Re<2300, ν: kinematikai

viszkozitás, µ: dinamikai viszkozitás) azonban az egyenes csőszakasz hidraulikai ellenállása lineáris: Rh = 128µl d⋅v , Re = < 2300 4 ν d π A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 31 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 32 ► 2.14 Termikus elemek (Átmenő változó: Φ [J/s] hőáram. Keresztváltozó: ϑ [°C] hőmérséklet) Megjegyzés: a termikus elemek csak részben illeszthetők be a rendszerelmélet egységes rendszerébe. Nem létezik például A-típusú tároló Elképzelhető, hogy a távoli jövőben az entrópiához hasonló új hőtani változó bevezetésével a termikus elemek is részei lehetnek az egységes rendszernek. a) Hőkapacitás A c fajhőjű, m tömegű, ϑ12 relatív (referenciahőmérséklethez viszonyított) hőmérsékletű test dϑ12 hőmérsékletváltozás közben tárolt hőenergiájának változása: dQ = cm ⋅

dϑ12 Az összefüggés idő szerinti deriválásával az időegység alatt áramló hőenergia, a hőáram a következő: Φ= dϑ dQ = cm 12 dt dt Bevezetve a Ct=mc hőkapacitást, a fenti egyenlet Φ = Ct dϑ12 dt (2.21) alakban írható. Megjegyzendő, hogy a fajhő általában függvénye a hőmérsékletnek b) Termikus ellenállás Két különböző hőmérsékletű pont között hőátadás megy végbe. A hőátadással szemben támasztott Rt [K/W] termikus ellenállás hővezetéskor, hőáramláskor és hősugárzáskor a közölt összefüggésekkel számítható ϑ1 > ϑ 2 esetben (a középiskolában tanult képletek alapján): A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 32 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Q= λA ∆ϑ ⋅ t h Φ ϑ2 h Rt = h λA ◄ 33 ► Q = αA∆ϑ ⋅ t A Φ ϑ1 Vissza ϑ1 ϑ2 Rt = 1 αA Φ T1 Rt = T2 108 εCAϕ12 (T23 +

T22 T1 + T2 T12 + T13 ) 2.14 ábra A képletekben szereplő mennyiségek: λ [W/K·m] hővezetési tényező α [W/K·m2] hőátadási tényező h [m] a két keresztmetszet távolsága A [m2] felület T [K] abszolút hőmérséklet ε felületek redukált feketeségi fok φ12 szögtényező A termikus ellenállás, a hőáram és a hőmérsékletkülönbség kapcsolata mindhárom esetben a következő: Φ= ϑ12 Rt (2.22) Az alábbi táblázatban összefoglaltuk a passzív elemek főbb tulajdonságait. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 33 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Elem Tömeg Kondenzátor „K”– típusú tároló Tartály Hőkapacitás Egyenlet dv12 dt du i = C 12 dt dp Q = C h 12 dt A (C h = ) ρg dT Φ = C t 12 dt (Ch = cm) F=m Rugó F = c ∫ v12 dt „A”típusú tároló Induktivitás Inertivitás Csillapító Ellenállás „D” elem

Folyadékellenállás Hőellenállás Vissza 1 u12dt L∫ 1 Q= p12dt Lh ∫ ρl (L h = ) A F = kv12 i= u12 R p Q = 12 Rh T Φ = 12 Rt i= A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom 1 Fdt m∫ 1 u12 = ∫ idt C v12 = ◄ 34 ► Tárolt energia 2 mv12 2 2 u C 12 2 p12 = 1 Qdt Ch ∫ T12 = 1 Φdt Ct ∫ C t T12 1 dF c dt F2 cx12 = 2c 2 v12 = Ch p12 2 u12 = L di dt Li 2 2 p12 = L h dQ dt Lh Q2 2 2 2 F k u12 = iR v12 = - p12 = QR h T12 = ΦR t Vissza ◄ 34 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 35 ► 2.15 Mechanikai hatású mágneses elemek Mechatronikai alkalmazásokban, különösen az aktuátorokban gyakoriak az elektromágnesek, melyek villamos energia felhasználásával erőt fejtenek ki. a) Mágneses rugó A mágneses rugó merevségének kiszámításához először a mágnes által kifejtett erőt kell meghatároznunk. x2 x1 F F i0 2.15 ábra A

mágneskör energiája (Mechatronika alapjai I) Li 2 E= (2.23) 2 ahol L=L(x) függvénye a geometriának, különösen a légrésnek. Ha a gerjesztő áramot állandó értéken tartjuk, akkor dx hatására a kör induktivitása dL-lel megváltozik, ami a mágneses kör energiáját is megváltoztatja. Az energiaváltozást a külső mechanikai rendszer munkája fedezi: Fdx = dE F = dE dx (2.24) Az energia (2.23) összefüggést állandó áram esetén deriválva és (224)-be helyettesítve F= i 02 dL ⋅ 2 dx A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom (2.25) Vissza ◄ 35 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 36 ► adódik. A mágneses rugó merevsége: cm = dF i 02 d 2 L = ⋅ dx 2 dx 2 (2.26) x =x 0 A rugómerevség nemlineáris, konkrét értéke egy x=x0 munkapontra vonatkozik. b) Mágneses csillapítás Egy L induktivitású tekercsben indukált feszültség Faraday

törvénye szerint: d u 12 = (Li) dt Ha az áramot állandó értéken tartjuk, akkor dL u 12 = i 0 dt Mivel az induktivitás x függvénye, a láncszabály alkalmazásával u 12 = i 0 dL dx ⋅ dx dt (2.27) lesz. Ha a villamos áramkör zárt és ellenállása R, akkor az ellenálláson disszipálódó teljesítmény 2 u P = 12 R A külső erő munkát végez, miközben az elmozdulást x1-ről x2-re változtatja. Eközben a tekercsben u12 feszültség indukálódik és a villamos energia az ellenálláson disszipálódik. Nagysága a mechanikai rendszer munkájával egyezik meg. x2 t2 t2 2 u 12 ∫x Fdx = t∫ Pdt = ∫t R dt 1 1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 36 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 37 ► x2 x1 v F u12 i0 R 2.16 ábra Helyettesítsük be az indukált feszültég (2.27) összefüggését, ezzel x2 ∫ Fdx = x1 2 t2 2 x 2 2 i

02 ⎛ dL ⎞ ⎛ dx ⎞ dx i 0 ⎛ dL ⎞ dt = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∫t R ⎝ dx ⎠ ⎝ dt ⎠ dt x∫ R ⎜⎝ dx ⎟⎠ x dx 1 1 A két integrandus összehasonlításából a sebességarányos csillapító erő a következő: F= i 02 ⎛ dL ⎞ ⎜ ⎟ R ⎝ dx ⎠ 2 x x=x 0 A csillapítási tényező értéke itt is egy munkapontban értelmezhető: F i 02 ⎛ dL ⎞ km = = ⎜ ⎟ v R ⎝ dx ⎠ 2 (2.28) x =x 0 2.16 Átalakítók Egy berendezés elemei között gyakran válik szükségessé a keresztváltozó és az átmenő változó értékének módosítása. Olyan összetett rendszerekben pedig, mint amilyenek a mechatronikai berendezések, a mechanikus, villamos, hidraulikus stb. rendszerelemek változóinak átalakítása válik A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 37 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom ◄ Vissza 38 ► szükségessé. Ideális átalakítók

esetében a két oldal teljesítménye megegyezik: f 1 v10 = f 2 v 20 (2.29) A transzformátor olyan átalakító, mely azonos típusú elemek között módosítja a megfelelő változók értékét. u1 u2 F1 v1 u3 v1 v2 vg=0 a u4 F2 F2 F1 v1 b v2 v2 n= v2 b =− v1 a 2.17 ábra Transzformátorok Transzformátor például az emelő, fogaskerék áttétel, hidraulikus sajtó. A váltó olyan átalakító, mely vagy különböző típusú elemek között alakítja át a megfelelő változókat, vagy azonos típusú elemek között más rendszerűre alakítja át a megfelelő változókat. A váltók körébe tartozik a generátor, szalaghajtás, fogaskerék-fogasléc hajtás. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 38 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza u20 ω1 ω2 ◄ 39 ► v1 2.18 Váltók Girátornak (zsirátor) nevezzük az olyan átalakítót, mely

különböző típusú elemek között végez átalakítást oly módon, hogy keresztváltozóból átmenő változót képez. Például a hidraulikus munkahenger nyomásból erőt hoz létre (2.19 ábra) F2 p1 2.19 ábra 2.2 Aktív elemek 2.21 Források A rendszer dinamikus működéséhez energiára van szükség. Az energiát a rendszer vagy a feltöltött tárolóiból nyeri (kezdeti feltételek nem nullák), vagy külső források biztosítják azt. A valóságban ritkán fordul elő ideális forrás. A 220 ábrán bemutatott források csupán bizonyos vizsgálati szempontból modellezik a valóságos forrásokat. A források alkalmazásával kapcsolatban kerülni kell a 221 ábrán bemutatott értelmetlen eseteket, mint például a rugón keresztül történő erőgerjesztést, vagy a tömegre közvetlenül ható útgerjesztést. A táblázatban példákat soroltunk fel az egyes forrástípusokra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 39 ►

Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom v Vissza f K-forrás ◄ 40 ► ◄ 40 ► v "K"függõ forrás A-forrás 2.20 ábra i F i m F i m i F i m i F m vg m ug ug vg ug 2.21 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza Mechatronika alapjai II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Tartalomjegyzék Vissza ◄ 41 ► „K”-típusú forrás Feszültséggenerátor,centrifugálszivattyú, sebesség-gerjesztés „A”-típusú forrás Áramgenerátor, térfogatkiszorítás elvén működő szivattyú, erőgerjesztés „K”-típusú függő forrás Műveleti erősítő, segédenergiával működő mérőjelátalakító „A”-típusú függő forrás Tranzisztor, tirisztor, fotocella A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 41 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 42 ► 3. Rendszervizsgálat A rendszervizsgálat történhet a valós rendszeren végrehajtott mérésekkel, vagy a rendszer modelljén végzett vizsgálatokkal. A rendszer bemenetére mindkét esetben tipikus vizsgálójelekkel gerjesztjük, miközben a kimenőjelekből következtetünk a rendszer struktúrájára (rendszer identifikáció), vagy a rendszer elemeinek értékeire (paraméter identifikáció). A rendszervizsgálat történhet idő, frekvencia és operátor tartományban 3.1 Tipikus gerjesztések (vizsgálójelek) A rendszer dinamikus viselkedése a rendszer vizsgálatának kezdeti pillanatban lévő állapotától (a kezdeti feltételektől, az energiatárolók feltöltöttségétől), valamint a bemenő jeltől függ. A vizsgáló jelek lehetnek determinisztikusak és sztochasztikusak A determinisztikus jel értéke minden pillanatban adott, könnyen előállítható és reprodukálható. A fontosabb determinisztikus

vizsgáló jelek a következők: a) Egységugrás-függvény, 1(t). Talán a leggyakrabban alkalmazott vizsgálójel. Tulajdonképpen egy állandó értékű jel t=0-kor történő bekapcsolásáról van szó Amennyiben a jel értéke nem egységnyi, úgy konstanssal szorzott értékével számolunk. Az időben T-vel eltolt egységugrást 1(t-T)-vel jelöljük. Egy tetszőleges f(t) függvény bekapcsolása az ugrásfüggvénnyel való szorzással állítható elő. xb xb xb 1(t) f(t-T)=f(t)*1(t-T) 1(t-T) t 1(t-T) t t T T 3.1 ábra Egységugrás függvény A rendszer egységugrás-függvény bemenetre adott válaszát átmeneti függvénynek nevezzük. Az elnevezés arra utal, hogy a rendszer terheletlen álla- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 42 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 43 ► potából átmegy egy állandó értékkel terhelt állapotába.

A rendszer ugrásfüggvénnyel való gerjesztésére mutat néhány példát a 32 ábra v F R Kapcsoló zárása Erõ ugrásbemenet Acél edzése Ugrás útgerjesztés 3.2 ábra Gyakorlati példák ugrásbemenetre b) Egységnyi sebességugrás bemenet, t⋅1(t). Ez a vizsgáló jel t<0 esetén zérus értékű, egyébként egységnyi meredekségű. Az egységugrás jel idő szerinti integráltjaként is felfogható (3.3 ábra) A 34 ábrán az egység-sebességugrás gyakorlati megvalósítására láthatunk néhány példát A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 43 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 44 ► vb t xb (t) 1 t1 1 t 3.3 ábra Egység sebességugrás homok Áram egyenletes növelése Erõ egyenletes növekedése Hõmérséklet egyenletes emelkedése Ramp útgerjesztés 3.4 ábra Gyakorlati példák egység-sebességugrás jel

megvalósítására A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 44 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 45 ► c) Egységimpulzus, vagy Dirac-delta, δ(t). A rendszert egységnyi területű impulzus éri, melynek ideje zérushoz tart. Az impulzus elméletileg zérus idő alatt, 0- és 0+ között hat. Az amplitúdója végtelenhez tart, miközben az impulzus véges nagyságú: +∞ ∫ δ(t )dt = 1 (3.1) −∞ Az impulzus alatt most nem csak a hagyományos értelemben vett erőimpulzust értjük. Az impulzus amplitúdója bármely extenzív mennyiség lehet Ennek megfelelően mértékegysége is változó Az impulzusgerjesztéssel a rendszerek jól vizsgálhatók, mivel a tranziens alatt semmilyen bemenet sem terheli a rendszert, így annak viselkedését kizárólag saját felépítése és jellemző paraméterei befolyásolják Az impulzusgerjesztésre adott

időtartománybeli választ súlyfüggvénynek nevezzük. Jele: w(t) xb xb δ(t ) 1 ∆t t 0 − ∆t 0 t + 3.5 ábra Impulzusgerjesztés (Dirac-delta) Matematikailag kimutatható, hogy az impulzus gerjesztésben valamennyi szinuszos gerjesztőjel-összetevő azonos amplitúdóval van jelen. Szokás még fehérzajnak is nevezni. A rendszerek frekvencia-tartományú vizsgálatakor egyetlen impulzusgerjesztéssel és a kimenőjel Fouriertranszformációjával megkaphatjuk a rendszer válaszát az összes lehetséges körfrekvenciájú bemenőjelre. A 36 ábrán az impulzusgerjesztés néhány gyakorlati megvalósítását láthatjuk. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 45 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza Elektromos sokkoló ◄ 46 ► Impulzus erõ Nyomás impulzus (robbanás) Impulzus útgerjesztés 3.6 ábra Gyakorlati példák impulzus bemenetre d)

Szinuszos gerjesztés Az x b = x̂ b sin ωt (3.2) frekvenciagerjesztés felírható egy x̂ állandó abszolút értékű komplex szám képzetes részeként (függőleges vetületeként): x b = Im[x̂ b (cos ωt + j sin ωt )] (3.2) A komplex szám exponenciális alakját alkalmazva még egyszerűbb jelölést alkalmazhatunk: x b = Im[x̂ b e jωt ] A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom (3.3) Vissza ◄ 46 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom ω Im(x ) Vissza ◄ 47 ► x x̂ ωt ϕ = ωt Re( x ) ωt 3.7 ábra Szinuszos gerjesztés Ez a gerjesztés többletinformációt ad a rendszerről, ha különböző körfrekvenciájú bemenőjelekkel is elvégezzük a vizsgálatot. A szinuszos gerjesztés további előnye, hogy több, megfelelő amplitúdójú szinuszos bemenőjel kombinációjával tetszőleges periodikus bemenőjel állítható elő (Fourier-sorfejtés). ~

Vivõfrekvenciás táplálás Excentrikus forgó tömeg (erõgerjesztés) Nyomásgerjesztés Útgerjesztés 3.8 ábra Gyakorlati példák szinuszos gerjesztésre A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 47 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 48 ► 3.2 A rendszeregyenlet felírása A vizsgálandó rendszer matematikai modellje nem más, mint a rendszer bemenete és kimenete közötti kapcsolatot leíró rendszeregyenlet. A rendszeregyenlet bal oldalán a kimenő jel és deriváltjai, a jobb oldalán a bemenő jel és ha van, annak deriváltjai állnak. A következő részben a rendszeregyenlet felírásának módszereit tárgyaljuk. a) Csomóponti módszer Az elektrotechnikából ismert Kirchoff-egyenlet általános megfogalmazása. Egy csomópontba belépő és onnan kilépő extenzívek áramának előjelhelyes összege zérus: ∑f i =0 (3.4) Például

írjuk fel a következő soros RL kör rendszeregyenletét, ha a bemenet ub, a kimenet u! R iR P u iL ub L 3.9 ábra Írjuk fel a (3.4) csomóponti tételt a P csomópontra (az áramkör terheletlen): A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 48 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom ∑i = 0 = i R Vissza − iL ◄ 49 ► (3.5) majd az elemek áramokra rendezett egyenleteit helyettesítsük be: 0= ub − u 1 − ∫ udt R L (3.6) A rendszeregyenlet szokásosan nem integrál, hanem differenciálegyenlet. Ezért az integrál eltüntetése érdekében deriváljuk az egyenletet: 0= 1 du b 1 du 1 ⋅ − ⋅ − u R dt R dt L (3.7) A rendszeregyenlet úgy rendezzük, hogy a bal oldalon a kimeneti jellemzők, a jobb oldalon a bemeneti mennyiségek álljanak: L du L du ⋅ +u = ⋅ b R dt R dt (3.8) A rendszeregyenletet megvizsgálva két következtetést vonhatunk le: a

bal oldalon az ismeretlen feszültség első deriváltja a legmagasabb fokú derivált a rendszer elsőrendű. Ennek megfelelően a rendszerben egy energiatároló van: a tekercs b) Hurok módszer Zárt hurokban az intenzív jellemzők előjelhelyes összege zérus: ∑u i =0 (3.9) Legyen a 3.10 ábrán látható soros RL kör bemenete ub, kimenete az i áram. Írjuk fel a (3.9) huroktörvényt! A feszültség akkor pozitív, ha a feszültség iránya megegyezik a választott pozitív körüljárási iránnyal: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 49 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom ∑u i Vissza = 0 = uR + uL − ub ◄ 50 ► (3.10) Az elemek áramra rendezett egyenleteit helyettesítsük a fenti egyenletbe: 0 = iR + L di − ub dt R u uR ub uL L + 3.10 ábra A kimenőjelet tartalmazó tagokat a bal oldalra rendezzük: u L di ⋅ +i = b R dt R (3.11)

c) Energia módszer A rendszer időegység alatt felvett energiája (teljesítménye) egyenlő az időegység alatt tárolt energia és a veszteségteljesítmény összegével. Pbe = d E t + Pv dt (3.12) Alkalmazzuk az energiamódszert az előző példára! A (3.12) alapegyenletbe az áramra rendezett teljesítményeket helyettesítjük: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 50 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom u bi = Vissza d Li 2 ( ) + i2R dt 2 ◄ 51 ► (3.13) Elvégezzük a deriválást, u bi = 2 L di 2 i +i R 2 dt (3.14) majd egyszerűsítünk i-vel és rendezzük az egyenletet: u L di ⋅ +i = b R dt R (3.15) Az eddig bemutatott rendszerek egyenleteiben az volt a közös, hogy az ismeretlen mennyiség első rendű deriváltja szerepelt bennük. Az ilyen un első rendű rendszerekben csupán egy energiatároló található. d) A dinamika alaptételének

alkalmazása Mechanikus rendszerekre Newton II. axiómáját alkalmazhatjuk előnyösen: ∑F i = ma (3.16) Példaként írjuk fel az alábbi mechanikus rendszer egyenletét, ha a bemenet a rugó végpontjának vg sebessége, kimenet a tömeg v sebessége. v vg c ∫ ( v g − v)dt c m m + 3.11 ábra Először lerajzoljuk a vizsgált testet a ráható erőkkel („free body diagram”). Most csupán a rugóerő hat x-irányban, mely a rugó hosszváltozásával arányos Helyettesítsünk a dinamika (316) alaptörvényébe: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 51 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom c ∫ ( v g − v)dt = m Vissza dv dt ◄ 52 ► (3.17) Deriválással átalakítjuk az egyenletet differenciálegyenletté: d2v c( v g − v ) = m 2 dt (3.18) A kimeneti mennyiségeket bal oldalra rendezzük: m d2v + cv = cv g dt 2 (3.19) A rendszeregyenletben a

legmagasabb fokú derivált az ismeretlen sebesség második deriváltja (másodrendű rendszer). Ennek megfelelően a rendszerben két független energiatároló van: a rugó és a tömeg e) Keresztváltozó osztó Részletesen a 4.34 fejezetben kerül ismertetésre 3.3 A rendszeregyenlet helyességének ellenőrzése Érdemes kihasználni néhány lehetőséget - különösen bonyolultabb rendszerek esetén - a rendszeregyenlet helyességének ellenőrzésére. a) Dimenziók ellenőrzése. Az egyenlet összes tagjának azonos dimenziójúnak kell lenni A (319) egyenletre: [kg m N m N m ]+[ ⋅ ] = [ ⋅ ] 3 m s m s s b) Határesetek vizsgálata. Kimerevítés: legyen a rugómerevség végtelen. Ekkor a rendszeregyenlet öszszes tagját osztva c-vel, majd c∞ határátmenetet képezve m d2v lim + v = vg v = vg c ∞ c dt 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 52 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 53 ► A tömeg sebessége megegyezik a gerjesztéssel, ami megfelel annak, hogy merev rugót tételeztünk fel. Tömeg elhagyása: A rugó két végpontja az elvárásnak megfelelően együtt mozog. d2v lim m 2 + cv = cv g v = v g m 0 dt 3.4 Rendszerek tipizálása a rendszeregyenlet alapján A rendszereket a működésüket leíró (3.20) rendszeregyenletük alapján osztályozhatjuk. Az azonos típusú rendszerek hasonló tulajdonságokkal rendelkeznek, mely alapján előre megjósolhatjuk viselkedésüket. Az osztályozás alapja a differenciálegyenlet rendűsége A vizsgált rendszer rendszáma megegyezik a kimenőjel legmagasabb deriváltjának rendszámával. A rendszer a rendszámával megegyező számú független energiatárolót tartalmaz. am dx b dnxb dmx d2x dx + . + a + a + a x = b x + b + . . + b (3.20) n 2 1 0 0 b 1 n dt  dt dt m dt 2 dt nulladrendű  első  másodrendű rendszer A nulladrendű rendszer nem tartalmaz

időfüggő tagokat. A kimenőjel azonnal követi a bemenőjelet. A rendszert a K=b0/a0 statikus erősítés jellemzi. Nulladrendű rendszer például egy feszültségosztó, vagy egy kétkarú emelő Az elsőrendű rendszer kimenő jele csak bizonyos idő után éri el a statikus erősítés által meghatározott állandósult értéket, mivel a rendszer tar- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 53 ► Mechatronika alapjai II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Tartalomjegyzék Vissza ◄ 54 ► talmaz egy energiatárolót. A jel exponenciális görbe szerint változik A jel időbeli változására az időállandó jellemző. A másodrendű rendszer két független energiatárolót tartalmaz. Az energia a két tároló között ide-oda áramolhat, ezért a másodrendű rendszer lengésekre képes. A rendszert a statikus erősítésen kívül alapvetően a lengések körfrekvenciája és a csillapodás mértéke jellemzi.

Bizonyos esetekben a rendszeregyenlet jobb oldala zérus, amit a matematikában „homogén differenciálegyenletnek” neveznek. Ez az eset akkor fordul elő, amikor a rendszerre nem kapcsolunk forrást (gerjesztést). A rendszer kimenete ilyenkor vagy állandó, vagy változó. Ha a rendszer egyensúlyi állapotban van, akkor a kimenet nem változik. Ha azonban a rendszer tartalmaz energiatároló(ka)t és a rendszer nincs egyensúlyi állapotban, a kimenőjel változni fog az egyensúlyi állapot eléréséig. A 35 pontban néhány példával illusztráljuk a gerjesztés nélküli esetet. 3.5 Analógiák A 3.12 ábrán néhány egyszerű villamos, mechanikus, hidraulikus és termikus problémákat mutatunk, melyek közös tulajdonsága, hogy - nincsenek gerjesztve - egy energiatárolót tartalmaznak - nincsenek egyensúlyi állapotban - azonos típusú a rendszeregyenletük. Az első ábrán egy u0 feszültségre feltöltött kondenzátor ellenállással való kisütése látható.

A második részlet egy fojtással szabályozott tartály vízszintjének változását ábrázolja ürítés közben A következő rajz egy v0 sebességgel meglökött tömeg csillapítóval való fékezését mutatja Az utolsó részlet egy T0 hőmérsékletű, A felületű tárgy hűlését mutatja. A bemutatott rendszerek rendszeregyenleteinek felírását az olvasóra bízzuk. Vegyük észre, hogy mind a négy eset azonos típusú (elsőrendű, homogén) rendszeregyenlettel írható le A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 54 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 55 ► Analóg rendszereknek nevezzük az azonos típusú rendszeregyenlettel jellemezhető, különböző típusú (villamos, mechanikus,) rendszereket. u v R C u = u 0e h − 1 t RC h = h 0e T c,m m Ch Rh Tg=0 pg p ug α,A k − 1 t R h Ch v = v 0e − k t m T = T0 e − αA t

cm v C (m) R (k) 3.12 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 55 ► Mechatronika alapjai II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Tartalomjegyzék Vissza ◄ 56 ► 4. A rendszeregyenlet megoldása 4.1 Megoldás az időtartományban A rendszer állapota, bemenő és kimenő jeleinek összessége az időben változik, ezért kézenfekvő a rendszer időtartományban való vizsgálata. A koncentrált paraméterű rendszerek viselkedését állandó együtthatós differenciálegyenletek írják le. Differenciálegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, melyben a változón kívül annak differenciálhányadosai is szerepelnek. A dnxb dx dmx d2x dx a m m + . + a 2 2 + a 1 + a 0x = bn + . + b1 b + b 0 x b (41) n dt dt dt dt dt egyenlet egy un. m-ed rendű (a kimenőjel legmagasabb fokszámú deriváltja=m), állandó együtthatós (ai és bi állandó, nem függ az időtől és a helytől), közönséges (a

differenciálhányadosok egyváltozósak, nem parciálisak), inhomogén (az egyenlet jobb oldala zérustól különböző), lineáris (nem szerepel a változók és deriváltjaik szorzata, négyzete, vagy egyéb függvénye) differenciálegyenlet. A jobb oldalon álló tagok fokszáma általában kisebb, mint a bal oldali tagok fokszáma: m≥n. A jobb oldal zérustól különböző volta a rendszer gerjesztett állapotára utal, melyet valamilyen előírt bemenőjel okoz Célunk a kezdeti feltételeket kielégítő x(t) függvény meghatározása. Amennyiben a differenciálegyenlet jobb oldala zérus, úgy homogén differenciálegyenletről beszélünk. am dmxh d2xh dx + . + a + a1 h + a 0 x h = 0 2 m 2 dt dt dt A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom (4.2) Vissza ◄ 56 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 57 ► Ilyenkor a rendszer gerjesztetlen, xh csakis azért változik az

idő függvényében, mert a rendszert egyensúlyi állapotától eltérő kezdeti feltételekkel indítottuk el és hagytuk magára. Mindig annyi független kezdeti feltételt kell ismernünk és megadnunk, amennyi a differenciálegyenlet rendszáma. Egy inhomogén differenciálegyenlet megoldása a homogén rész általános megoldásának és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának összegeként állítható elő: x(t)=xh(t)+xp(t) (4.3) A megoldás homogén része a rendszer felépítésétől függ és a tranziens (közvetlenül a bekapcsolás utáni) megoldásrészt írja le. A partikuláris megoldás a gerjesztéstől függ és a rendszer állandósult válaszát reprezentálja. 4.11 Elsőrendű differenciálegyenlet megoldása A megoldás menetét egy példán mutatjuk be. Legyen a feladat a 3 dx + x = 2t + 1 dt ( 4 .4 ) differenciálegyenlet megoldása x(t=0)=4 kezdeti feltétellel. Először a homogén differenciálegyenletet oldjuk meg (a jobb oldalt

zérussal tesszük egyenlővé): dx h + xh = 0 (4.5) dt A változók szeparálásával (szétválasztásával, egy-egy oldalra rendezésével) a következő alakra hozzuk: 3 dx h 1 = − dt xh 3 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom (4.6) Vissza ◄ 57 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 58 ► Ez az egyenlet kvadratúrával (integrálással) egyszerűen megoldható: 1 ln x h = − t + C 3 Áttérve az exponenciális alakra xh = e 1 − t +C 3 = eCe 1 − t 3 = Ae ( 4 .7 ) 1 − t 3 (4.8) ahol „A” egyelőre ismeretlen integrálási állandó. Az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását többnyire próbálgatással keressük meg. Segít a próbálgatásban az a tény, hogy a partikuláris megoldás (a rendszer állandósult válasza) hasonló, mint a gerjesztés (a jobb oldal zavarófüggvénye). Ezért keressük a partikuláris megoldást xp=Bt+E (4.9)

alakban (B és E egyelőre ismeretlen). A partikuláris megoldásnak is ki kell elégítenie az eredeti egyenletet: d (Bt + E ) + (Bt + E ) = 2 t + 1 dt A műveletek elvégzése után a (4.10) 3B + Bt + E = 2 t + 1 ( 4.11) 3 egyenlőséget kapjuk. Az együtthatók összehasonlításából B=2 és E=-5 adódik, amivel a partikuláris megoldás xp=2t-5 (4.12) A differenciálegyenlet általános megoldása (4.3) szerint tehát x = x h + x p = Ae 1 − t 3 + 2t − 5 (4.13) alakú. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 58 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 59 ► Az ismeretlen „A” integrálási konstanst a kezdeti feltétel figyelembevételével tudjuk meghatározni. Ha t=0, akkor x(0)=4 értékét (4.13)-ba helyettesítve 4 = Ae 1 − 0 3 + 2⋅0 −5 (4.14) ahonnan A=9 adódik. A differenciálegyenlet megoldása ezzel: x = 9e 1 − t 3 + 2t −

5 (4.15) A megoldást a 4.1 ábrán a vastag kék vonal ábrázolja A megoldás homogén része (a tranziens, piros szaggatott vonallal ábrázolva) az idő előrehaladtával elhal. A megoldás minden határon túl közeledik az állandósult megoldáshoz (sárga egyenes vonal) 20 15 x 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12 -5 -10 t 4.1 ábra A (44) differenciálegyenlet megoldása Időállandó Elsőrendű differenciálegyenlettel leírható elsőrendű rendszer legfontosabb jellemzője az időállandó. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 59 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 60 ► Időállandónak nevezzük azt az időértéket, mikor a megoldásfüggvény exponenciális tagjának kitevője -1 értéket vesz fel. 1 − t Az exponenciális tag felírható e τ alakban. Az időállandó az előbbi példában τ=3 s Amikor az idő éppen megegyezik az

időállandóval, az exponenciális függvény e −1 = 0,3678. értéket vesz fel. Ez a következő állítással egyenértékű: Időállandónyi idő elteltével a megoldásfüggvény a teljes jelváltozás 36,7 százalékával tér el az állandósult megoldástól. Más megfogalmazásban időállandónyi idő elteltekor a teljes jelváltozás 63,3 százaléka következik be. 20 15 10 x 0,63V V 5 érintõ 0 0 -5 ó and áll 2 4 t s ul go l me 6 dás 8 10 12 τ = 3s -10 t 4.2 ábra Időállandó A példa adataival a teljes jelváltozás a kezdő pont (x0=4) és az állandósult megoldás aszimptotájának függőleges tengellyel való metszéspontja (x=-5) között mért függőleges szakasz hossza, V=9 (4.2 ábra) Ez az érték A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 60 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom egyébként megegyezik a (4.15) megoldás 9e

együtthatójával. Vissza − t 3 ◄ 61 ► exponenciális tagjának Az időállandó egy másik definícióját a következő megfontolásból származtathatjuk. Írjuk fel a megoldásgörbe érintőjének egyenletét a kezdőpontban! Az érintő meredeksége: dx m0 = dt t t =0 ⎛ 1⎞ − = [⎜ − ⎟9e 3 + 2] = −1 ⎝ 3⎠ t =0 (4.16) x = m 0 t + x 0 = −t + 4 (4.17) Az érintő egyenlete Határozzuk meg ezek után az érintő, valamint a (4.12) állandósult (partikuláris) megoldás xp=2t-5 egyenletének metszéspontját! − t + 4 = 2t − 5 ( 4.18) Megoldásul t=3 s=τ adódik. Ebből következik az időállandó másik megfogalmazása: A megoldásgörbe kezdőpontbeli érintője τ időállandó elteltével metszi az állandósult megoldás egyenesét. 4.12 Másodrendű differenciálegyenlet Tekintsük a következő differenciálegyenletet az ismert a2, a1, a0, b0 paraméterekkel: d2x dx a 2 2 + a1 + a 0 x = b0 t (4.19) dt dt Alakítsuk át az

egyenletet úgy, hogy a másodrendű derivált együtthatója 1 legyen: b d 2 x a 1 dx a 0 + + x= 0t 2 a 2 dt a 2 a2 dt A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 61 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 62 ► Vezessük be az alábbi paramétereket a lengésekre képes másodrendű rendszer dinamikájának jellemzésére: Csillapítatlan sajátfrekvencia: α= Lehr-féle csillapítás D= a0 a2 (4.20) a1 (4.21) 2 a 0a 2 A differenciálegyenlet a szokásos jelölésekkel a következő alakú: b d2x dx + 2Dα + α2x = 0 t 2 dt a2 dt (4.22) Először a homogén egyenlet megoldását keressük: d2xh dx + 2Dα h + α 2 x h = 0 2 dt dt (4.23) Tételezzük fel, hogy egy lehetséges megoldás x h = Ae λt alakú. A differenciálegyenletbe való visszahelyettesítés után (λ2 + 2Dαλ + α 2 )Ae λt = 0 (4.24) A feltételezett megoldás kielégíti az egyenletet,

ha a zárójelben lévő kifejezés zérus. Ezt karakterisztikus egyenletnek nevezzük: λ2 + 2Dαλ + α 2 = 0 (4.25) A másodfokú egyenlet két különböző gyöke vagy valós, vagy konjugált komplex, a gyökjel alatti kifejezés előjelétől függően. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 62 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 63 ► 4 D 2 α 2 − 4α 2 λ 1 = − Dα + = α ( − D + D 2 − 1) 2 4 D 2 α 2 − 4α 2 λ 2 = − Dα − = α ( − D − D 2 − 1) 2 (4.26) a) eset Ha D>1 (túlcsillapított eset), akkor két valós gyök létezik, melyek lineáris kombinációjaként adódik a megoldás: x h = A1e λ1t + A 2 e λ 2 t (4.27) b) eset Ha D<1 (alulcsillapított eset, ez a gyakoribb). A gyökjel alatt negatív szám áll. Ekkor a konjugált komplex gyököket λ 1 = α(−D + j 1 − D 2 ) = −β + jγ λ 2 = α(−D − j 1 − D 2

) = −β − jγ (4.28) alakban írhatjuk fel. A megoldás ezzel x h = A1e ( −β+ jγ ) t + A 2 e ( −β− jγ ) t = e −βt (A 1e jγt + A 2 e − jγt ) (4.29) Az imaginárius kitevők kiküszöbölése érdekében alkalmazzuk a komplex számok ismert e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ trigonometrikus alakját: x h = e −βt (A 1 cos γt + A 1 j sin γt + A 2 cos γt − A 2 j sin γt ) = [ = e −βt cos γt (A 1 + A 2 ) + jsin γt (A 1 − A 2 ) ] (4.30) Most megmutatjuk, hogy a szögletes zárójelben álló kifejezés felírható a tisztán valós számokból álló K sin( γt + ε) = Ksin γt cos ε + K cos γt sin ε (4.31) kifejezéssel. Mivel sinγt és cosγt együtthatóinak a két kifejezésben minden pillanatban meg kell egyezniük, az együtthatók egyenlősége alapján írhatjuk: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 63 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom

Vissza ◄ 64 ► sin γt : j(A 1 − A 2 ) = K cos ε cos γt : A 1 + A 2 = K sin ε (4.32) Emeljük négyzetre és adjuk össze (4.32 a és 432 b) egyenleteket, ekkor eltűnik a képzetes egység (j2=-1): − 1(A 1 − A 2 ) 2 = K 2 cos 2 ε (A 1 + A 2 ) 2 = K 2 sin 2 ε 4A 1 A 2 = K 2 ε = arcsin A1 + A 2 (4.33) A1A 2 Ezzel beláttuk, hogy a K és ε integrálási konstans valós szám (nem tartalmaz j-t). A homogén rész megoldása ezzel x h = Ke −βt sin( γt + ε) (4.34) alakban adódik (csillapodó szinuszos rezgés ε fázisszöggel). Érdemes megfigyelni, hogy a rezgés lefolyása a (4.28) egyenletben bevezetett γ = α 1 − D 2 (a rezgés csillapított sajátfrekvenciája) és β = αD (a rezgés burkológörbéjének exponenciális kitevője) paraméterekkel jellemezhető. Partikuláris megoldás A partikuláris megoldást keressük a gerjesztéshez hasonló alakban (B és C egyelőre ismeretlen) x p = Bt + C A dokumentum használata | Tartalomjegyzék

| Irodalom ( 4.35) Vissza ◄ 64 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 65 ► A feltételezett partikuláris megoldást a differenciálegyenletbe helyettesítve: b0 t (4.36) a2 Mivel az egyenlet két oldalának minden pillanatban meg kell egyeznie, az együtthatók egyenlősége alapján írhatjuk: 2DαB + α 2 (Bt + C) = t1 : α 2 B = b0 a2 B= b0 b = 0 2 a0 a 2α t 0 : 2 Dα B + α 2 C = 0 C = − ab 2DB = − 1 20 α a0 A differenciálegyenlet megoldása a (4.34) homogén és a (435) partikuláris megoldás összege: x = x h + x p = Ke −βt sin(γt + ε) + Bt + C (4.37) Az ismeretlen K és ε paraméterek a kezdeti feltételekből határozhatók meg. Például ha ismert a kezdeti (t=0) időpontban x0 és x 0 , akkor az ismeretlenek a x 0 = K sin ε + C v 0 = −βK sin ε + Kγ cos ε + B (4.38) egyenletekből határozhatók meg. Láthatóan már egy másodrendű

differenciálegyenlet analitikus megoldása is komoly munkaráfordítást igényel, ezért a gyakorlatban magasabb rendű differenciálegyenleteket numerikus módszerekkel szokás megoldani. 4.1 Példa Vizsgáljuk a mx + kx + cx = b 0 t erőgerjesztésű lengőrendszer rezgéseit m=2 kg, k=60 Ns/m, c=2·104 N/m, b0=100 N/s adatokkal, x(0)=0 és x (0) = 0 kezdeti feltételekkel! A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 65 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 66 ► Megoldás. Az adatok behelyettesítésével a megoldandó differenciálegyenlet 2 d2x dx + 60 + 2 ⋅ 10 4 x = 1000t 2 dt dt Követve a levezetés eredményeit, a csillapítatlan sajátfrekvencia (fiktív segédérték, nem látjuk sehol) a következő: α= a0 = a2 2 ⋅ 10 4 = 100 1 / s 2 A Lehr-féle csillapítás: D= a1 2 a 0a 2 = 60 2 2 ⋅ 2 ⋅ 10 4 = 0,15 A rezgések csillapodására

jellemző exponenciális kitevő: β = αD = 0,15 ⋅ 100 = 15 1 / s A csillapított (tényleges) szabadrezgés körfrekvenciája: γ = α 1 − D 2 = 100 1 − 0,15 2 = 98,87 1 / s A partikuláris megoldás együtthatói: b0 1000 = = 5 ⋅ 10 − 2 c 2 ⋅ 10 4 kb 60 ⋅ 1000 C = − 20 = − = −1,5 ⋅ 10 − 4 8 c 4 ⋅ 10 B= A kezdeti feltételek figyelembevételével a következő egyenletek adódnak: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 66 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 67 x 0 = K sin ε + C 0 = K sin ε − 1,5 ⋅ 10 −4 v 0 = −βK sin ε + Kγ cos ε + B 0 = −15K sin ε + K98,87 cos ε + 5 ⋅ 10 − 2 ► Az egyenletrendszerből a tranziens rész paraméterei meghatározhatók: K=0,000505 m és ε=2,85 rad. A tömeg elmozdulásának egyenlete: x = 0,000505e −15 t sin(98,87 t + 2,85) + 0,05t − 0,00015 A megoldásgörbe a 4.3 ábrán

látható A görbe vízszintes érintővel indul, mivel a kezdő sebesség zérus. A tranziens elhalása után a görbe az állandósult megoldásba simul 0,009 0,008 0,007 x (m) 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0 -0,001 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 t (s) 4.3 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 67 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ ► 68 4.2 Megoldás a frekvenciatartományban A rendszereket sok esetben időben szinuszosan változó jellel gerjesztjük és megelégszünk a rendszer állandósult válaszának ismeretével, mivel a bekapcsolási (tranziens) jelenségek gyorsan lejátszódnak, és tartósan a rendszer állandósult válasza érvényesül. Szinuszos bemenet esetén létezik egy nagyon egyszerű megoldás a rendszer állandósult válaszának meghatározására. 4.21 Frekvenciafüggvény Tételezzük fel, hogy a

bemenőjel x b = x̂ b sin ωt = x̂ b Im(e jωt ) (4.39) alakú kezdőfázis nélküli szinuszos jel, melynek x̂ b az amplitúdója, ω pedig a körfrekvenciája. A továbbiakban a komplex írásmódot részesítjük előnyben egyszerűsége miatt Im (x) x x̂e j( ωt +ϕ ) x̂e j( ωt + ϕ) ω ωt + ϕ ω ϕ ωt x̂ sin(ωt + ϕ) x̂ b e jωt x̂ b sin ωt Re(x) t ϕ ωt 4.4 ábra Szinuszos bemenetű lineáris rendszerek rendszeregyenletének állandósult megoldása szintén ω körfrekvenciájú szinuszos jel, mely ϕ-fázisszöggel van eltolódva a bemenőjelhez képest. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 68 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 69 ► Az állandósult megoldást ezért a következő alakban keressük: x = x̂ sin(ωt + ϕ) = x̂ Im(e jϕ e jωt ) (4.40) A továbbiakban az Im( .) szimbólumot elhagyjuk, és megállapodás

szerint a komplex számokkal megadott jelek képzetes részét tekintjük megoldásnak. A gerjesztést és a megoldást a komplex számsíkon két különböző hosszúságú, de azonos ω szögsebességgel forgó vektor jelképezi (4.4 ábra) A két vektor között ϕ fáziseltérés van. A megoldás bármely időpontban a vektorok függőleges vetülete (a komplex szám imaginárius része). A könnyebb érthetőség kedvéért időtartományban is ábrázoltuk a bemenő és kimenő jelet A megoldandó másodrendű differenciálegyenlet legyen a2 dx d2x dx + a1 + a 0 x = b1 b + b 0 x b 2 dt dt dt (4.41) Képezzük a bemenőjel deriváltját, x b = x̂ b e jωt x b = x̂ b ( jω)e jωt (4.42) majd a kimenőjel deriváltjait: x = x̂e jϕ e jωt x = x̂e jϕ ( jω)e jωt x = x̂e jϕ ( jω) 2 e jωt (4.43) Behelyettesítjük a deriváltakat a differenciálegyenletbe, kiemelve a közös tényezőt: x̂e jϕ e jωt [a 2 ( jω) 2 + a 1 ( jω) + a 0 ] = x̂ b e jωt [b1 (

jω) + b 0 ] (4.44) A rendszer kimenete és bemenete közötti viszonyt a (4.44) egyenletből kifejezett Y(jω) komplex törtfüggvény az un. frekvenciafüggvény jellemzi, mely számlálója N(jω), nevezője D(jω) (45 ábra): A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 69 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom ◄ Vissza 70 ► b1 ( jω) + b 0 x ( jω) x̂e jϕ e iωt N( jω) = = = Y( jω) = (4.45) jω t 2 x b ( jω) x̂ b e a 2 ( jω) + a 1 ( jω) + a 0 D( jω) Az amplitúdó nagyítás és a fáziseltérés számszerű meghatározása érdekében átalakítjuk a frekvenciafüggvényt: képzetes P P b 02 + (b1ω) 2 b 0 + j ⋅ b1ω e jϕ N = Y ( jω) = ⋅ (4.46) jϕ D 2 2 2 (a 0 − a 2 ω 2 ) + j ⋅ aN e ( a − a ω ) + ( a ω ) 1ω N 2 1   0 jϕ valós képzetes valós Im(N) N = b 2 + (b ω) 2 ⋅ e jϕ N 0 1 b1ω ϕN e A Im(D) D = (a 0 − a 2 ω2 ) 2 + (a 1ω) 2

⋅ e jϕD a1ω ϕD Re(N) számláló b0 Nominator Re(D) nevezõ Denominator a0-a2ω2 4.5 ábra 1) A törtfüggvény abszolút értéke az amplitúdó nagyítási függvény: A (ω) = Y ( jω) = x̂ x̂ b (4.47) Az A(ω) amplitúdó-nagyítási függvény a frekvencia függvényében megadja, hogy a kimenő szinuszos jel amplitúdója hányszorosa a bemenő szinuszos jel amplitúdójának. Az amplitúdó nagyítási függvény a frekvenciafüggvény abszolút értéke A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 70 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 71 ► 2) A törtfüggvény komplex része, ejϕ pedig a kimenő és a bemenő szinuszjel fáziskülönbsége. A kimenőjel φ(ω)=φN-φD fázisszöggel előzi meg a bemenő jelet. A frekvenciafüggvény egy másik szokásos megadása a számláló és nevező abszolút értéke mellett feltünteti azok fázisszögét

is: N( jω) N( jω) ∠ϕ N = = A(ω)∠ϕ (4.48) D( jω) D( jω) ∠ϕ D Az amplitúdó nagyítási függvényt (melyet rezonanciagörbének is szoktak nevezni), megadhatjuk lineáris frekvencia léptékben, mint az a 4.6 ábrán látható. Y( jω) = 2,5 2 A( ) D=0,25 1,5 D=0,5 D=0,75 1 D=1 0,5 0 0 2 4 6 r= / 4.6 ábra Szokásosabb azonban a frekvenciafüggvényt két részben, logaritmikus léptékben ábrázolni (BODE diagram). Az első BODE diagram A(ω) [dB]log(ω), míg a második BODE diagram φ-log(ω) Lásd (55) példa 4.2 Példa Oldjuk meg a 4.1 Példát xb=100sin(200t) [N] szinuszos gerjesztéssel! Értelemszerűen (4.41)-ben b0=1, b1=0, x̂ b = 100 N, ωb=200 1/s A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 71 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 72 ► A frekvenciafüggvény ω=ωb gerjesztő körfrekvencián: Y ( jω b ) = N ( jω b ) 1 1 = = 2 4 D(

jω b ) (a 0 − a 2 ω b ) + a 1 jωb (2 ⋅ 10 − 2 ⋅ 200 2 ) + 60 ⋅ 200 j A számláló abszolút értéke |N(jω)|=1, fázisszöge φN=0. A nevező abszolút értéke D( jωb ) = (2 ⋅ 10 4 − 2 ⋅ 200 2 ) 2 + (60 ⋅ 200) 2 = 61888 és fázisszöge a 0 − a 2 ω2 2 ⋅ 10 4 − 2 ⋅ 200 2 ϕ D = arctg = arctg ϕ D = −1,37 rad . a 1ω 60 ⋅ 200 Az amplitúdó-nagyítási függvény a gerjesztés körfrekvenciáján: A ( ω b ) = Y ( jω b ) = 1 = 0,00001615 . 61888 A kimenet fázisszöge: ϕ = ϕ N − ϕ D = 0 − (−1,37) = 1,37 rad . A kimenet ezzel: x = [A(ω b ) x̂ b ]sin(ω b t + ϕ) = 0,001615 sin( 200t + 1,37)  x̂ A tömeg állandósult mozgásának amplitúdója 0,001615 m, és a kimenet 1,37 radiánnal előzi meg a gerjesztést. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 72 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 73 ► 4.22 Periodikus,

de nem szinuszos bemenet Fourier-sor A szinuszos gerjesztésre adott állandósult válasz kérdését az előző fejezetben tárgyaltuk. A rendszerek másik nagyon gyakori gerjesztési formája ugyan nem szinuszos, de legalább periodikus. Gondoljunk egy bütyökkel vezérelt szelepre, vagy egy négyszögjellel meghajtott villamos motorra. A következő részben megmutatjuk, hogy a periodikus bemenetet hogyan vezethetjük vissza harmonikus (szinuszos és koszinuszos) bemenetek öszszegére. Eddigi tanulmányaink során már megismerkedtünk a függvények egy adott pont környezetében való Taylor-sorba fejtésével a munkaponti linearizáció során. Egy másik, un Fourier- sorfejtési eljárás szerint a periodikus függvények előállíthatók szinuszos és koszinuszos függvények végtelen összegeként Ez a felismerés lehetővé teszi a periodikus bemenetre adott állandósult válasz meghatározását. Miután a gerjesztő jelet Fouriersorfejtéssel szinuszos tagok

összegére bontjuk (a koszinusz is eltolt szinusz), az egyes szinuszos bemenetekre adott választ az előző fejezet szerint külön-külön meghatározzuk Mivel lineáris rendszerekre érvényes a szuperpozíció elve, ezért az egyes válaszokat összeadva előállíthatjuk a kimenetet. A szigorú matematikai bizonyítást mellőzve csak a Fourier-sorfejtés végeredményét közöljük. A periodikus függvények Fourier-sora a következő: ∞ f ( t ) ≅ a 0 + ∑ a k cos(k k =1 2π 2π t ) + ∑ b k sin(k t) T T i =1∞ (4.49) Az összefüggésben T a függvény periódusideje, ω0=2π/T az alapharmonikus körfrekvenciája, k pedig a felharmonikusok rendszáma. A függvény a0 középértékét (villamos jeleknél „egyenáramú összetevőjét) T a0 = 1 f ( t )dt , T ∫0 (4.50) az alap- és felharmonikusok (magasabb rendszámú összetevők) amplitúdóit pedig a A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 73 ► Mechatronika alapjai II.

Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 74 ► 2 2π f ( t ) cos(k t )dt ∫ T0 T (4.51) 2 2π b k = ∫ f ( t ) sin(k t )dt T0 T (4.52) T ak = T összefüggésekkel számítjuk. Páratlan függvények csak szinuszos, páros függvények csak koszinuszos tagokból állnak. A Fourier-sorfejtési eljárást egy f=1 kHz frekvenciájú, ε=0,25 kitöltési tényezőjű, û =10 V csúcsértékű négyszögjelen mutatjuk be (4.7 ábra) u u 10 t t T 4 − T /8 T /8 T T 4.7 ábra A kitöltési tényező a négyszögjel magas szinthez tartozó idejének viszonyítja a periódusidőhöz: T/4 ε= = 0,25 (4.53) T A jel periódusideje: T= 1 1 = = 0,001 s f 1000 alapharmonikusának körfrekvenciája ω0 = 2π = 6282 1 / s T A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 74 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 75 ► A

további számítások egyszerűsítése végett a jelet úgy vesszük fel a koordinátarendszerben, hogy az a függőleges tengelyre szimmetrikus (páros függvény) legyen. A jel középértéke: T a0 = T/8 1 1 1 T/8 f ( t )dt = 10 ⋅ dt = 10 ⋅ [t ]− T / 8 = 2,5 ∫ ∫ T0 T −T / 8 T Mivel a jel páros, ezért Fourier-sora csupán koszinuszos tagokból áll. A kdik együttható ak = = 2 2π f ( t ) cos(k t )dt = ∫ T T 2 T Tε 2 ∫ 10 cos(k − Tε 2 2π 20 ⎛ T ⎞ ⎡ 2π ⎤ t )dt = t) ⎜ ⎟ ⎢sin( k T T ⎝ 2πk ⎠ ⎣ T ⎥⎦ Tε 2 = − Tε 2 20 sin( kπε) kπ Amennyiben a szinusz függvény (kπε) argumentuma nπ (n=0, 1, 2, ) értéket vesz fel, az együttható zérus lesz. Valóban, esetünkben ε=0,25 értéknél az ak 1 k= nπ = 4, 8, 12, . επ együttható zérusra adódik. Az ak együtthatókat az alábbi táblázatban foglaltuk össze. k 1 2 3 4 5 6 7 8 ak 4,5038 3,1847 1,5012 0 -0,9007 -1,0615 -0,6434 0 A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 75 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 76 ► Szokásos az egyes harmonikus frekvencia-összetevők C k = a 2k + b 2k amplitúdóit diagramban ábrázolni. A vizsgált jel csak koszinuszos tagokból áll, így C k = a k (48 ábra) Az ábra alapján a következő fontos következtetést vonhatjuk le: Periodikus jelek frekvencia spektruma diszkrét vonalakból áll. Ck ω ω0 2ω0 3ω04ω0 5ω0 6ω07ω0 4.8 ábra A közelítés jósága erősen függ attól, hogy a jel hány frekvenciaösszetevőjét vesszük figyelembe. A 49 ábrán feltüntettük a bemenőjel 3 és 6 tagú Fourier-sorral való közelítését. A hat tagú közelítés jellegre már jól követi a bemenő jel (zöld ábra) alakját. Éles változásoknál azonban nincs értelme a tagok számának túlzott növelésének, mert a Gibbs-féle jelenség miatt a túllövések nem kerülhetők

el. u (V) 3 tag 14 12 6 tag 10 8 6 4 2 t (s) 0 -2 0 0,0005 0,001 0,0015 4.9 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 76 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 77 ► A következő példában a periodikus bemenetre adott állandósult válasz meghatározását mutatjuk be. 4.3 Példa Legyen a vizsgált rendszer egy elektromágnes, mely behúzó erejét nem a kapocsfeszültség változtatásával, hanem az állandó csúcsértékű kapocsfeszültség kitöltési tényezőjének 1 kHz frekvenciával történő változtatásával idézünk elő. A 410 ábrán látható elektromágnes ellenállása R=10 Ω, induktivitása L=0,05H Határozzuk meg a mágnes áramának időbeli változását ε=0,25 kitöltési tényezőjű umax=10 V kapocsfeszültség esetén. Megoldás Az elektromágnes helyettesítő kapcsolása a következő: u R i L 410. ábra A körben

folyó áram meghatározása érdekében a rendszeregyenletet a huroktörvénnyel alkalmazásával írjuk fel: u − iR − L di =0 dt Szinuszos bemenetet és kimenetet feltételezve, a részletszámítások mellőzésével a frekvenciafüggvény a következő: Y ( jω) = I( jω) 1 = U( jω) R + jωL A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 77 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 78 ► A frekvenciafüggvényből az amplitúdó-nagyítási függvényt az A (ω) = 1 R 2 + ( ωL ) 2 összefüggéssel, a fázisszöget pedig a ϕ = 0 − arctg ωL R összefüggéssel kapjuk. A válaszjel meghatározásához felhasználjuk a kapocsfeszültség Fouriersorának előző példában meghatározott a0 statikus és ak koszinuszos tagjainak együtthatóit, valamint az egyes alap és felharmonikus frekvenciákon külön-külön meghatározzuk az A(k·ω0) amplitúdó

nagyítási függvény értékeit. A válasz statikus részét értelemszerűen az amplitúdó-nagyítási függvényben ω=0 helyettesítéssel kapjuk A kimenőjel frekvenciaösszetevőinek értékeit Kk=A(k·ω0)Bk szerint kiszámítva a válaszokat öszszegezzük A megoldás tehát K1   1 i( t ) = A 0 + A(6282) ⋅ B1 sin(6282t + ϕ1 ) +   R alapharmonikus statikus K2   + A(2 * 6282) ⋅ B 2 sin(2 6282t + ϕ 2 ) + .  1.felharmonikus Az alap- és felharmonikus frekvenciákon lévő bemenőjel, amplitúdó nagyítás, kimenőjel amplitúdó és fázisszög összetevők értékeit táblázatosan, valamint a 4.11 ábrán közöljük A kimenőjelet a 412 ábrán láthatjuk az eredeti 50 mH és duplájára növelt induktivitás esetén. Az áram középértéke a célul tűzött A0/R=0,25 A A mágnes induktivitásának növelésével elérhető, hogy az áram kevésbé ingadozzon a középértéke körül. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 78

► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom I ωk=k·ω0 (1/s) Fourier-együtthatók ◄ Vissza bk ak A(ωk) (1/Ω) φ(ωk) (rad) 0 0 - 2,5 1/R 0 1 6282 - 4,5038 0,00318 -1,538 2 2*6282 - 3,1847 0,00150 -1,554 3 3*6282 - 1,5012 0,00106 -1,560 4 4*6282 - 0 0,00079 -1,562 5 5*6282 - -0,9007 0,00063 -1,564 6 6*6282 - -1,0615 0,00053 -1,565 79 ► 79 ► Ck Bemenet frekvenciaspektruma ω ω0 2ω03ω04ω0 5ω06ω07ω0 A (ω) Rendszer amplitúdónagyítása ω Kk Kimenet frekvenciaspektruma ω 4.11 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 80 ► i(A) 0,3 L=50mH 0,25 L=100mH 0,2 0,15 0,1 0,05 t (s) 0 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 4.12 ábra A periodikus függvények Fourier-sora komplex alakban egyszerűbben

írható fel, ha negatív harmonikusokra is kiterjesztjük a sort: f (t) = ∞ ∑C k = −∞ k e jkω0 t (4.54) ahol az egyes frekvencia-összetevők amplitúdói (az amplitúdó spektrum) az T 1 C k = ∫ f ( t )e − jkω0 t dt (4.55) T0 összefüggéssel számíthatók. 4.23 Aperiodikus bemenet Fourier-transzformált Sajnos a gyakorlatban előforduló jelek jelentős része nem periodikus (például az impulzus-függvény), ezért ezekre a frekvenciamódszer közvetlenül nem alkalmazható. Ha nem akarunk lemondani a frekvencia-módszer előnyeiről, akkor a nemperiodikus jeleket legalább formálisan periodikussá A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 80 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 81 ► kell tennünk. Végezzünk egy gondolatkísérletet: tekintsük a nemperiodikus jelet végtelen periódus idejűnek! Mivel a periodikus jelek diszkrét

spektrumvonalai ω0=2π/T távolságra helyezkednek el, a T∞ határátmenetkor a közöttük lévő távolág végtelen kicsire csökken. Úgy is mondhatjuk, hogy a nemperiodikus jelek amplitúdó-spektruma folytonos, melynek csak egy ω helyen felvett dω sávra vonatkozó átlagos értéke adható meg. A nemperiodikus függvények esetében a Fourier-sor átmegy Fourierintegrálba: f (t) = ∞ ∞ ∑ C k e jkω0 t f (t) = k = −∞ 1 F( jω)e jωt dω 2π −∫∞ ( 4.56) ahol az amplitúdó-spektrum is módosul: ∞ T Ck = 1 f ( t )e − jkω0 t dt F( jω) = ∫ f ( t )e − jωt dt ∫ T0 −ω (4.57) Meg kell jegyeznünk, hogy a nemperiodikus jelek integrálása a végtelen integrálási határok következtében csak akkor végezhető el, ha az f(t) függvény abszolút integrálható, vagyis az integrál korlátos: ω ∫ f (t ) dt < K (4.58) −ω Például a véges T hosszúságú, A amplitúdójú impulzus (4.13 ábra) abszolút integrálható,

ezért értelmezhetjüt a Fourier-transzformáltját A véges impulzus a következő módon adható meg: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 81 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom ⎧ 0, ⎪ ⎪⎪ f ( t ) = ⎨ A, ⎪ ⎪ 0, ⎩⎪ t<− − ◄ Vissza 82 ► T 2 T T <t< 2 2 T t> 2 (4.59) f(t) A t − T T 2 2 4.13 ábra Az impulzus Fourier-integráljának (Fourier-transzformáltjának) számításakor elégséges az integrálást csak ott elvégezni, ahol a függvény értéke zérustól különbözik (-T/2<t<T/2): T 2 T ⎡ A − jωt ⎤ 2 e ⎥ = F( jω) = F ( x ( t )) = ∫ A ⋅ e − jωt dt = ⎢ − jω ⎣ ⎦ −T T − 2 =− 2 A⎡ T T T T ⎤ cos ω − j sin ω − (cos ω + j sin ω )⎥ = ⎢ jω ⎣ 2 2 2 2 ⎦ 2A sin ω ω T 2 (4.60) Az impulzus T szélességétől függően a Fourier-transzformált alakja a 4.14 ábra

szerint alakul Megfigyelhetjük, hogy az amplitúdó-spektrum -folytonos -az impulzus szélességének csökkenésével egyre kevésbé változik. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 82 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 83 ► 0,25 0,2 F(w) 0,15 T=0,2 s 0,1 T=0,1 s 0,05 T=0,02 0 0 100 200 300 400 500 600 -0,05 -0,1 ω 4.14 ábra A gyakorlati alkalmazásokban kitüntetett jelentősége van a végtelen rövid szélességű impulzusnak (Dirac-delta). A következőkben a Diracdelta amplitúdó-spektrumát határozzuk meg Az amplitúdó-spektrum meghatározásához induljunk ki a véges szélességű impulzus Fourier-transzformáltjának (6.60) összefüggéséből Átalakítás és határátmenet képzés után a következőt kapjuk: F( jω) = lim T 0 2A sin ω ω T T sin ω 2 = 2A T lim 2 = AT T 2 T 0 ω 2 (4.61) Mivel a Dirac-delta impulzus

területe egységnyi, ezért AT=1. A kapott eredmény nagyon fontos (4.15 ábra): A végtelen rövid impulzus (Dirac-delta) Fourier-spektruma állandó. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 83 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 84 ► F(ω) f(t) AT=1 δ( t ) ω t 4.15 ábra A végtelen rövid idejű impulzus (Dirac-delta) tartalmazza az összes lehetséges körfrekvenciájú, azonos amplitúdójú szinuszos jelösszetevőt. A nemperiodikus jelek frekvenciafüggvényét a periodikus jelek frekvenciafüggvényéhez hasonlóan értelmezhetjük: ∞ F( jω) Y( jω) = = Fb ( jω) ∫ f ( t )e − jωt −∞ ∞ ∫f dt (4.62) b ( t )e − jωt dt −∞ Amennyiben a rendszert nagyon rövid, Dirac - deltát jól közelítő egységimpulzussal gerjesztjük - melynek Fourier - integrálja (transzformáltja) egységnyi- a (4.62) egyenlet nevezője 1 lesz

Ebből következik, hogy a rendszer frekvenciafüggvénye impulzusgerjesztés esetén megegyezik a válaszjel Fourier-integráljával. 4.4 Példa Ismerjük egy rendszer xb(t)=2·δ(t) gerjesztésre adott válaszát, melyet a regisztrátumon végzett regressziószámítással x ( t ) = 1,25e −6 t sin 8t A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 84 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 85 ► függvénnyel adhatunk meg. Határozzuk meg a rendszer a) frekvencia-átviteli függvényét b) amplitúdó-nagyítási függvényét (BODE 1 diagram)! Megoldás ad a) A gerjesztés Fourier-transzformáltja: 0+ − jωt Fb ( jω) = F ( x b ( t )) = ∫ 2δ( t )eN dt = 2 0− 1 A kimenőjel Fourier-transzformáltjának kiszámításához felhasználjuk az ismert sin ϕ = e jϕ − e − jϕ 2j összefüggést. A kimenőjel F-transzformáltja meghatározható, mert az f(t)

függvény abszolút integrálható: ∞ ∞ e j8 t − e − j8 t −6 t − jωt e e dt = 2 j 0 F( jω) = ∫ 1,25 ⋅ e −6 t sin 8t ⋅ e − jωt dt = 1,25∫ 0 ∞ ∞ 0,625 0,625 ⎡ e − t ( jω+ 6 −8 j) e − t ( jω + 6 + 8 j) ⎤ − t ( jω + 6 −8 j) − t ( jω + 6 + 8 j) ( e e ) dt − = − ⎢ ⎥ = j ∫0 j ⎣ − j(ω − 8) − 6 − j(ω + 8) − 6 ⎦ 0 ∞ 0,625 ⎡ e −6 t ⋅ e − jt ( j−8) e −6 t ⋅ e − jt ( ω+8) ⎤ = − ⎢ ⎥ = − j ⎣ j(ω − 8) + 6 j(ω + 8) + 6 ⎦ 0 0,625 1 1 (− + )= −j j(ω − 8) + 6 j(ω + 8) + 6 − 16 j 0,625 10 = ( )= 2 − j 100 − ω + 12 jω 100 − ω 2 + 12 jω = A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 85 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 86 ► Erre az eredményre a Laplace-transzformált tárgyalásakor még visszatérünk. A rendszer frekvencia-átviteli függvénye: 10 F(

jω) 100 − ω 2 + 12 jω 5 Y ( jω) = = = Fb ( jω) 2 100 − ω 2 + 12 jω ad b) Az amplitúdó-nagyítási függvény a frekvencia-átviteli függvény abszolút 5 értéke: A(ω) = Y( jω) = 2 2 (100 − ω ) + (12ω) 2 A BODE diagramba berajzoltuk a görbe aszimptotáit (végtelenbeli érintőit), melyek meredeksége ω<<10 1/s esetén 0 dB/dek és ω>>10 1/s esetén -40 dB/dek. Ugyancsak feltüntettük a rezonancia-frekvencia helyét, ahol a nagyítási függvénynek maximuma van ( aszimptoták metszéspontja, ω0=10 1/s). ω 0 0,01 0,1 1 10 100 1000 -20 -40 -3 dB 1 dekád -60 -80 -40 dB -100 -120 A(ω) dB A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 86 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 87 ► 4.3 Megoldás az operátor tartományban Laplace transzformáció A Fourier-transzformációval a nemperiodikus függvények közül az abszolút

integrálhatókat sikerült periodikussá tenni. Sajnos számos fontos jelre – mint például az ugrásfüggvény – nem áll fenn az abszolút integrálhatóság. Ezért ha a nem abszolút integrálható függvényt megszorozzuk egy nála gyorsabban zérushoz tartó e − σt negatív kitevős exponenciális függvénnyel, akkor azt általában abszolút integrálhatóvá tehetjük. [ ∞ ] lim f ( t )e −σt = 0 ∫ f ( t )e −σt dt < K t ∞ (4.63) 0 Ha az exponenciális függvénnyel szorzott függvényen hajtjuk végre a Fourier-transzformációt, akkor a Laplace-transzformációhoz jutunk: ∞ ∞ ∞ − σt − jωt − ( σ + jω ) t dt = ∫ f ( t )e −st dt ∫ f (t )e e dt = ∫ f (t )e 0 0 (4.64) 0 Az f(t) időfüggvény Laplace-transzformáltját a következő módon definiáljuk: ∞ L [f ( t )] = ∫ f ( t )e −st dt = F(s) (4.65) 0 Itt az s=σ+jω operátor a komplex körfrekvencia (mértékegysége 1/s), F(s) pedig az f(t) időfüggvény

Laplace-transzformáltja. A Laplacetranszformáltat nagybetűvel jelöljük, például f(t) Laplace-transzformáltja formálisan F(s), g(t) Laplace-transzformáltja G(s) stb. Hogy rávilágítsunk a transzformáció jelentőségére, egy középiskolában tanult analógiát idézünk fel. Amikor az a feladat merült fel, hogy számítsuk ki négy 0,8-dik hatványát számológép használata nélkül, akkor a fel- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 87 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 88 ► adatot a logaritmus fogalmának felhasználásával oldhattuk meg. Először a kifejezést logaritmizáltuk (áttértünk a logaritmus tartományba), ott egyszerű algebrai művelettel (szorzással) elvégeztük a hatványozást, majd visszatértünk az eredeti feladathoz. Szemléletesen ábrázolva: Exponenciális alak Eredeti feladat x=4 0,8 Logaritmus tartomány

logaritmizálás lgx=lg(4 0,8 ) Feladat megoldása: szorzás hatványozás lgx=0,8lg4=0,4816 Eredmény: x=3,0314 visszatérés A műszaki problémák jelentős hányada n-ed rendű, állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlettel írható le. Az ilyen típusú differenciálegyenletek időtartománybeli megoldásával az előző fejezetben foglalkoztunk Létezik azonban egyszerűbb eljárás is, ha egy „kerülő utat” alkalmazzuk. Ehhez az adott f(t) időfüggvényt transzformálnunk kell (hasonlóan a logaritmizáláshoz) az un. „operátor tartományba”, ott egyszerű algebrai műveletekkel megoldani a differenciálegyenletet, majd végül visszatérni az időtartományba. A Laplace-transzformáció előnye, hogy a differenciálegyenletek megoldása egyszerű algebrai egyenletek megoldására vezethető vissza. Az analitikus megoldás lehetővé teszi határértékek, stabilitási kérdések egzakt vizsgálatát is. Az operátor tartományban megoldott egyenletet

természetesen vissza kell transzformálnunk az idő tartományba. A gyakorlatban az oda- és a visszatranszformáláshoz nem a definíció szerinti bonyolult összefüggéseket használjuk, hanem a gyakran használt elemi függvényeket és azok Laplace-transzformáltjait táblázatból (némi gyakorlat után emlékezetünkből) vesszük. Ha az operátor tartományban elvégzett műveletek eredményeként túl bonyolult törtkifejezést kapunk, akkor azt először felbontjuk egy- A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 88 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 89 ► szerű összefüggésekre (parciális törtekre), melyeket táblázat segítségével már visszatranszformálhatunk az időtartományba. A Laplace-transzformáció alkalmazásának legfőbb korlátja, hogy csak lineáris rendszerekre alkalmazható. Korábban nagy erőfeszítéseket tettek a nemlineáris

rendszerek linearizálására annak érdekében, hogy a differenciálegyenleteket meg tudják oldani. A számítástechnika rohamos fejlődése azonban egyre inkább előtérbe helyezte az időtartománybeli szimulációs módszereket, melyek nehézség nélkül alkalmazhatók nemlineáris rendszerekre is. Hátrányuk azonban, hogy elméleti vizsgálatokra kevéssé alkalmasak. 4.31 Transzformációs szabályok Néhány egyszerű függvény Laplace-transzformáltjának számítását az alábbiakban mutatjuk be. 1) f(t)=1(t) Mivel az 1(t) ugrásfüggvény értéke t<0 esetén zérus, ezért elégséges az integrálást 0 és végtelen között elvégezni. (Az improprius integrált formálisan jelöljük a továbbiakban) ∞ ∞ ∞ 1 ⎤ ⎡ 1 F(s) = L [1( t )] = ∫ e −st 1( t )dt = ∫ e −st dt = ⎢− e −st ⎥ = ⎦0 s ⎣ s 0 0 2) f(t)=δ(t) Mivel δ(t) csak 0- és 0+ között vesz fel zérustól különböző értéket, ezért az integrálást is elégséges ebben a

tartományban elvégezni. Itt pedig e-s0=1 értékű, ezért ∞ 0+ 0 0− −st F(s) = L [δ( t )] = ∫ e −st δ( t )dt = ∫ eN δ( t )dt = 1 1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 89 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 90 ► 3) f(t)=e-at A hatványozás azonosságait alkalmazva kapjuk: ∞ [ ]= ∫e F(s) = L e − at −st 0 ∞ e dt = ∫ e − at 0 ∞ −(s + a ) t 1 ⎡ 1 −(s + a ) t ⎤ dt = ⎢− e = ⎥ ⎣ s+a ⎦0 s + a 4) f(t)=sin(ωt) A komplex számokkal egyszerűbben végezhető el a transzformáció, ha a sin(ωt ) = Im(e jωt ) alakot használjuk. ∞ ∞ ⎡ 1 ⎤ F(s) = L (sin ωt ) = Im ∫ e e dt = Im⎢ e ( jω− s ) t ⎥ = ⎣ jω − s ⎦0 0 jωt −st ⎛ ⎛ 1 ⎞ 1 jω + s ⎞ ω ⎟⎟ = Im⎜⎜ − ⎟⎟ = 2 = Im⎜⎜ − ⋅ 2 ⎝ jω − s ⎠ ⎝ j ω − s jω + s ⎠ s + ω 5) f(t)=cos(ωt) Mivel

cos(ωt)=Re(ejωt), ezért az előző levezetésből közvetlenül adódik F(s) = L [cos(ωt )] = s s + ω2 2 Hasonló módon, de még bonyolultabb számításokkal a gyakrabban előforduló időfüggvények Laplace-transzformáltjai meghatározhatók, melyeket az alábbi táblázat tartalmaz. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 90 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza Laplace transzformáltak táblázata. f(t) 1 δ(t) 2 1(t) 3 t·1(t) 4 e − at 5 e at 6 sinωt 7 cosωt 8 ◄ 91 ► L[f(t)]=F(s) 1 1 s 1 s2 1 s+a 1 s−a ω 2 s + ω2 s 2 s + ω2 t ∫ f (t − T)g(T)dT F(s)G (s) 0 9 1(t-T) 10 α −β t e sin γt ; ( γ = α 1 − (β / α) 2 ) γ 1 −sT e s α 2 s + 2βs + α 2 s + 2a α −β t e sin( γt + ϕ) 2 γ s + 2βs + α 2 A Laplace-transzformáció során alkalmazott fontosabb szabályok a következők: 11 a) Linearitás A

Laplace-transzformáció lineáris operáció, vagyis L (f ( t ) + g ( t )) = L (f ( t )) + L (g( t )) = F(s) + G (s) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza (4.66) ◄ 91 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 92 ► b) Dimenzióváltozás Ügyelnünk kell a változó Laplace-transzformáltjának dimenziójára. A (4.49) szerint elvégzett transzformáció idő szerinti integrálást tartalmaz, ezért a következő fontos megállapítást tehetjük: Egy tetszőleges változó dimenziója Laplace-transzformáció során szekundummal szorzódik. Például egy tömegpontra ható f(t) erő dimenziója [N], míg az erő F(s) Laplace-transzformáltjának dimenziója: [Ns]. c) Integrálás: Idő szerinti integrálásnak az operátor tartományban s-sel való osztás felel meg. L [∫ f (t)dt ] = F(ss) (4.67) 4.5 Példa Integráljuk a Dirac-függvényt

Laplace-transzformáció segítségével! x(t)=δ(t) X(s) = 1 integrálás ∫ x (t)dt = 1(t) X(s) 1 = s s Az eredmény az ugrásfüggvény. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 92 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 93 ► d) Deriválás Idő szerinti n-ed rendű deriváltnak az operátor tartományban sn-nel való szorzás felel meg, de ellentétben az integrálással, az időtartománybeli kezdeti feltételeket is figyelembe kell venni az operátor-tartományban! Annyi kezdeti feltételt kell ismernünk és figyelembe vennünk, ahányadik deriváltat ki akarjuk számítani. Az egyes tagokban s kitevője fokozatosan csökken zérusig, míg a kezdeti feltételeket jelentő időtartománybeli (kisbetűvel írandó) deriváltak rendűsége fokozatosan növekszik. ⎡ df ( t ) ⎤ L ⎢ ⎥ = sF(s) − f (0) ⎣ dt ⎦ ⎡ d 2 f (t) ⎤ df (0) L ⎢ = s 2 F(s)

− sf (0) − 2 ⎥ dt ⎣ dt ⎦ Általánosságban az n-ed rendű derivált Laplace transzformáltja: ⎡ d n f (t) ⎤ df n −2 (0) d n −1f (0) n n −1 L ⎢ = s F ( s ) − s f ( 0 ) − . − s − n ⎥ dt n − 2 dt n −1 ⎣ dt ⎦ (4.68) 4.6 Példa Határozzuk meg az f(t)=1(t) egységugrás-függvény deriváltját! Megoldás f(t)=1(t) F(s) = 1 s deriválás d 1( t ) = δ( t ) dt sF(s) − f (0− ) = 1  0 Az eredmény éppen a Dirac-delta függvény. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 93 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 94 ► 4.7 Példa Határozzuk meg a harmonikus lengőmozgás x(t)=sinωt elmozdulás-függvényének első deriváltját (a v(t) sebességet) x0=0 kezdeti feltétel mellett Laplace-transzformáció segítségével! Megoldás X(s) = x(t)=sinωt ω s + ω2 2 deriválás v( t ) = ω cos ωt V(s) = sX(s) − 0 = ω s s

+ ω2 2 e) Végérték-tétel Egy időtartománybeli f(t) függvény határértékét t∞ esetén az alábbi definíció szerint számíthatjuk: lim f ( t ) = lim sF(s) t ∞ (4.69) s 0 4.8 Példa Határozzuk meg az f ( t ) = 5(1 − e −2 t ) függvény határértékét, ha t∞. Megoldás A függvény Laplace-transzformáltja: (5=5⋅1(t) L(5)=5/s) F(s) = 5 1 −5 s s+2 A függvény határértéke: 5 ⎞ 5s ⎞ ⎛5 ⎛ lim f ( t ) = lim sF(s) = lim s⎜ − ⎟ = lim ⎜5 − ⎟=5 t ∞ s 0 s0 s 0 s+2⎠ ⎝s s+2⎠ ⎝ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 94 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 95 ► 4.32 Átviteli függvény A Laplace-transzformáció egy további fontos alkalmazásához tekintsük adottnak a következő rendszeregyenletet: a2 dx d2x dx + a1 + a 0 x = b1 b + b 0 x b 2 dt dt dt (4.70) Vegyük először mindkét oldal

Laplace-transzformáltját a kezdeti feltételek figyelembevételével: a 2 [s 2 X (s) − sx (0) − x (0)] + a 1 [sX (s) − x (0)] + a 0 X (s) = = b1 [sX b (s) − x b (0)] + b 0 X b (s) (4.71) Rendezzük az egyenletet a következő alakra: [ ] X (s) a 2 s 2 + a 1s + a 0 = = X b (s)[b1s + b 0 ] + a 2 sx (0) + a 2 x (0) + a 1 x (0) − b1 x b (0) (4.72) Képezzük a kimenet és a bemenet Laplace-transzformáltjának hányadosát: b 1s + b 0 a sx (0) + a 2 x (0) + a 1 x (0) − b1 x b (0) X(s) (4.73) + 2 = 2 X b (s) a 2 s + a 1s + a 0 a 2 s 2 + a 1s + a 0   rendszerre jellemző kez det i feltételekre jellemző Most tételezzük fel azt a gyakori esetet, hogy az összes kezdeti feltétel zérus. Mivel a kezdeti feltételeket a második tört tartalmazza, annak értéke ekkor zérus. A kimenő és bemenő jel zérus kezdeti feltételekkel vett Laplacetranszformáltjának hányadosát átviteli függvénynek nevezzük. Y (s) = X (s) X b (s) A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalom (4.74) Vissza ◄ 95 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 96 ► Az átviteli függvény kitüntetett szereppel bír a szabályozástechnikai alkalmazásokban. Szakember nehézség nélkül megállapítja az átviteli függvényből a szabályozási tag tulajdonságait Az átviteli függvény ismerete egyenértékű a rendszeregyenlet ismeretével, mivel az átviteli függvény alapján felírhatjuk a rendszeregyenletet. Tekintsük adottnak a következő alakban adott átviteli függvényt: Y(s) = b 1s + b 0 X(s) = X b (s) a 2 s 2 + a 1s + a 0 (4.75) Végezzük el a „keresztbe szorzást” (a 2 s 2 + a 1s + a 0 )X(s) = (b1s + b 0 )X b (s) (4.76) Mivel az s-sel való szorzás az operátor tartományban deriválást jelent, ezért az idő tartományba úgy térhetünk vissza, hogy s helyébe formálisan s d dt a differenciálás operátorát, X(s) helyébe

pedig x(t)-t írunk: (a 2 d d d2 + a 1 + a 0 ) x ( t ) = ( b1 + b 0 ) x b ( t ) 2 dt dt dt (4.77) A (4.77) egyenletet a szokásos formában felírva kapjuk a rendszeregyenletet: a2 dx dx d2x + a1 + a 0 x = b1 b + b 0 x b 2 dt dt dt (4.78) Ezzel visszakaptuk a (4.70) kiindulási egyenletet A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 96 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 97 ► 4.33 A frekvenciafüggvény származtatása az átviteli függvényből Vegyük észre, hogy a (4.75) átviteli függvény alakilag teljesen megegyezik az exponenciális (szinuszos) bemenetre adott (4.45) amplitúdó nagyítási függvénnyel, ha s helyébe jω-t helyettesítünk. A frekvenciafüggvényt az átviteli függvényből is származtathatjuk s=jω helyettesítéssel. Y( jω) = X( jω) X b ( jω) ⎧ A(ω) = Y( jω) ⎨ ⎩ ϕ(ω) = ϕ N (ω) − ϕ D (ω) (4.79) A kimenő

szinuszjel amplitúdójának és a bemenő szinuszjel amplitúdójának aránya az amplitúdó nagyítási függvény, mely a frekvenciafüggvény abszolút értékeként adódik (valós függvény): A(ω) = Y( jω) (4.80) A kimenő és bemenő szinusz jel fáziseltérése a számláló és nevező fázis- ϕ = ϕ N − ϕD (4.81) szögének különbsége. A kimenőjel időfüggvénye a következő: x = A(ω) x̂ b ⋅ sin(ωt + ϕ) (4.82) 4.34 Általánosított impedancia Az egyes rendszerelemekre is értelmezhetünk egy átviteli függvényhez hasonló mennyiséget, a komplex impedanciát. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 97 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 98 ► A komplex impedanciát a keresztváltozó és az átmenő változó Laplacetranszformáltjának hányadosaként számíthatjuk: Z(s) = V(s) F(s) (4.83) Például villamos

kondenzátorra a komplex impedancia: Z C (s) = U C (s) U C (s) 1 = = I C (s) CsU C (s) sC (4.84) Megjegyzés: a középiskolában a kondenzátor impedanciájára tanult 1 nem más, mint |ZC|. A komplex impedancia azonban több XC = ωC információt szolgáltat, mert az áram és feszültség fáziseltérése is kiolvasható belőle. Rendezzük át (484) egyenletet a következő alakra szinuszos bemenetet feltételezve (s=jω): −j 1 1 IC (4.85) IC = IC = ωC jωC sC A 4.16 ábrából láthatóan a feszültség 90 fokkal késik az áramhoz képest UC = Im IC Re UC 4.16 ábra Az induktivitás impedanciája: Z L (s) = U L (s) LsI L (s) = = sL I L (s) I L (s) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom (4.86) Vissza ◄ 98 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 99 ► Villamos ellenállásra: ZR = R Hasonló módon, de kevésbé szokásosan más rendszerek elemeire is

értelmezhető a komplex impedancia. Lengéscsillapító komplex impedanciája: Vk (s) Vk (s) 1 = = Fk (s) kVk (s) k (4.87) Vm (s) Vm (s) 1 = = Fm (s) msVm (s) sm (4.88) Zk = Tömegre: Zm = Rugóra: Vc (s) Vc (s) s = = (4.89) 1 c Fc (s) c Vc (s) s Az elemek komplex impedanciáit különösen villamos kapcsolások átviteli függvényének felírásakor használhatjuk előnyösen (4.17 ábra) Z c (s) = Z1 (s) Vb(s) F(s) Z2 (s) V(s) 4.14 ábra Feszültség (keresztváltozó)-osztó típusú kapcsolásoknál a körben folyó extenzív mennyiség: Vb (s) F(s) = (4.90) Z1 (s) + Z 2 (s) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 99 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 100 ► A kimeneti intenzív mennyiség: V(s) = F(s) Z 2 (s) = Vb (s) Z 2 (s) Z1 (s) + Z 2 (s) (4.91) A keresztváltozó-osztó típusú rendszer átviteli függvénye az Y(s) = Z 2 (s) V(s) = Vb

(s) Z1 (s) + Z 2 (s) (4.92) összefüggéssel számítható. Az egyes impedanciák jelenthetik több, sorosan és/vagy párhuzamosan kapcsolt impedancia eredőjét 4.9 Példa Határozzuk meg a 415 ábrán látható villamos kapcsolás átviteli függvényét! R1 Z1 = R 1 + C R2 L 1 sC Z2 = sLR 2 sL + R 2 4.15 ábra Megoldás Először meghatározzuk a sorosan kapcsolt R1 és C eredőjét, valamint a párhuzamosan kapcsolt R2 és L eredőjét, majd alkalmazzuk a (4.81) összefüggést 1 R1 + s 2 LCR 2 Z 2 (s) sC = Y(s) = = sLR 2 s 2 LC(R 1 + R 2 ) + s(L + R 1R 2 C) + R 2 Z1 (s) + Z 2 (s) sL + R 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 100 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 101 ► 5. Vegyes feladatok a rendszeregyenlet megoldására Ebben a fejezetben a fokozatosság elvét betartva a műszaki élet eltérő területeiről válogattunk példákat. Arra

törekedtünk, hogy az előző fejezetekben bemutatott módszerek mindegyikére találjon példát az olvasó A megoldási módszerek közötti eligazodást segíti az alábbi táblázat, ahol feltüntettük a gerjesztés fajtáját, az átviteli függvény célszerű származtatását-ahol ez lehetséges, valamint a javasolt megoldási módszert. Diff.egyenlet Rendszer átviteli függvénye Nincs homogén Gerjesztés Szinuszos Periodikus inhomogén inhomogén Nincs értelmezve Y(s) Y(jω) Átv. fv származtatása Rendszeregyenlet van csak Módszer Diff. egyenlet megoldása idő vagy operátor tartományban Rendszeregyenlet LY(jω) vagy keresztváltozó osztó Diff. egyenlet megoldása idő vagy operátor tartományban X b (s) = ω s 2 + ω2 Harmonikus összetevők frekvenciaátviteli fv-e. Yk(jωk) Rendszeregyenlet LY(s) Y(jω) Általános inhomogén Y(s) Rendszeregyenlet LY(s) Bemenet Diff. egyenlet Fouriermegoldása sorba fejtése idő vagy és frekvenoperátor

cia-módszer tartomány(sjω) ban és szuperpozíció A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 101 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Megoldás Példa Módszer tranziens 5.1, 56 Megoldás Példa általános 5.3a Frekvenciamódszer Y(s)Y(jω) A(ω), φ(ω) állandósult 5.3b, 57, 58 ◄ Vissza állandósult 4.3 102 ► általános 5.2, 54, 55 Az áttekinthetőség érdekében a táblázatban feltüntettük az egyes eseteket bemutató példák sorszámát is. 5.1 Példa Az m=4 kg nagyságú tömeg és a fal közé k =6 Ns/m csillapítási tényezőjű hidraulikus csillapítót szerelünk. A tömegre f(t) gerjesztő erő hat (51 ábra) a) Írjuk fel a rendszeregyenletet, ha bemenetnek az erőt, kimenetnek a tömeg sebességét tekintjük! b) Oldjuk meg rendszeregyenletet, ha a gerjesztő erő f(t)=0, a tömeg kezdeti sebessége v(0)=10m/s. c) Határozzuk meg a sebesség

állandósult értékét! d) Határozzuk meg az elmozdulás időfüggvényét! k f(t) kv f m + x 5.1 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 102 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 103 ► Megoldás ad a) Mechanikus rendszerek rendszeregyenletének (mozgásegyenletének) felírása legegyszerűbben úgy történik, hogy a testet kimozdítjuk egyensúlyi helyzetéből, meghatározzuk a testre ható erőket, majd felírjuk Newton II. axiómáját. Egyenes vonalú mozgás esetén ΣFi = m ⋅ a ahol ΣF a testre a mozgás irányában ható erők eredője. Jelen esetben a tömegre az f(t) gerjesztő erő és a –k(v-0) sebességarányos csillapítóerő hat. Ezek eredője gyorsítja a testet. f (t ) − k ⋅ v = m ⋅ a Az egyenletet úgy rendezzük, hogy bal oldalon a kimeneti mennyiségek álljanak m ⋅ a + k ⋅ v = f (t ) Másképp felírva az

egyenletet, az elsőrendű rendszerre jellemző alakot kapjuk. m dv + kv = f (t ) dt ad b) F=0 esetén a rendszer gerjesztetlen, a differenciálegyenlet homogén (jobb oldala zérus): m dv + kv = 0 dt A vizsgált rendszer csupán a kezdeti feltételeknek megfelelően mozog. (Megjegyzendő, hogy speciális x(0)=0 és v(0)=0 kezdeti feltételek esetén a rendszer nyugalomban maradna). A rendszeregyenlet megoldására a számos lehetőség közül a Laplacetranszformáció módszerét alkalmazzuk. Az első derivált kiszámításakor ügyeljünk a kezdeti feltétel helyes figyelembe vételére! A Laplacetranszformáltat nagybetűvel jelölve m [ sV ( s) − v(0)] + kV ( s) = 0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 103 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 104 ► Kiemelve a kimeneti változót V ( s) [ ms + k ] − mv(0) = 0. Innen átrendezés és behelyettesítés

után V ( s) = mv(0) 4 ⋅10 = ms + k 4 s + 6 Az időtartománybeli választ a kimenőjel Laplace-transzformáltjából inverz Laplace-transzformáció alkalmazásával nyerjük. Ehhez V(s)-t át kell alakítani olyan alakra, amely alak szerepel a transzformációs táblázatokban: V (s) = 10 1 = 10 s + 1,5 s + 1,5 A visszatranszformálás után kapott időfüggvény: v(t ) = L−1 [V ( s)] = 10e−1,5t A rendszer időállandója az exponenciális függvény kitevőjében a „t” együtthatójának reciproka: T= 1 ≈ 0,66 s 1,5 A sebesség időbeli alakulása az 5.2 ábrán látható 12 v (m/s) 10 8 63% 6 4 2 0 0 τ 1 2 3 4 t (s) 5.2 ábra ad c) A tömeg állandósult sebességét a „végérték-tétellel” határozhatjuk meg: A tömeg sebessége zérushoz tart, tehát bizonyos idő eltelte után nyugas =0 v( t = ∞) = lim sV(s) = lim10 s 0 s 0 s + 1,5 0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 104 ► Mechatronika alapjai II.

Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom ◄ Vissza 105 ► lomba kerül. ad d) Amennyiben a tömeg x elmozdulására vagyunk kíváncsiak, akkor azt akár idő, akár operátor tartományban végzett integrálással egyszerűen megkaphatjuk, ha pl. x(0)=0: t t x ( t ) = ∫ v( τ)dτ + x (0) = ∫ 10e 0 0 −1, 5 τ [ 10 −1,5 τ dτ = e − 1,5 t ] = 0 20 (1 − e −1,5 t ) 3 x (m) Az elmozdulás-idő diagram az 5.3 ábrán látható 7 6 5 4 3 2 1 0 0 1 2 3 4 t (s) 5.3 ábra 5.2 Példa Az 5.1 Példa adatait felhasználva legyen a gerjesztő erő f(t)=20⋅1(t) [N] ugrásfüggvény, a tömeg kezdeti sebessége v(0)=10 m/s. a) Határozza meg a tömeg sebesség-idő függvényét! b) Mekkora a tömeg állandósult sebessége? ad a) Ha a rendszer gerjesztése 20⋅1(t) ugrásfüggvény, akkor a rendszeregyenlet m[sV(s) − v(0)] + kV(s) = F(s) = 20 1 s Laplace-transzformáltja (csak a jobb oldali gerjesztés változik):

Rendezés után A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 105 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 106 ► 20 + mv(0) 20 mv(0) 20 4 ⋅ 10 s V(s) = = + = + = ms + k s(ms + k ) ms + k s(4s + 6) 4s + 6 20 1 10 = + 4 s(s + 1,5) s + 1,5 Az időtartományba való visszatranszformálás érdekében az első törtet olyan parciális törtekre bontjuk, melyek szerepelnek a transzformációs táblázatokban: 1 A B As + 1,5A + Bs = + = s(s + 1,5) s s + 1,5 s(s + 1,5) Összehasonlítva az eredeti és az átalakított tört számlálójában s együtthatóit: s1 : 0=A+B s0 : 1=1,5A A=2/3, B=-2/3.A feltételi egyenletekből A=2/3, B=-2/3 A kimenőjel ezzel összevonás után: 2 1 2 1 1 10 1 20 1 V(s) = 5 ⋅ − 5 ⋅ + 10 = ⋅ + ⋅ 3 s 3 s + 1,5 s + 1,5 3 s 3 s + 1,5 Az időtartományba visszatranszformált kimenőjel: v( t ) = 3,33 + 6,66e −1,5 t 10 v (m/s) 8 6 4 2 0 0 1 2

3 t (s) 5.4 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 106 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 107 ► A tömeg állandósult sebességét a végérték-tétellel számítjuk: m ⎛ 3,33 6,66 ⎞ v( t ∞) = lim sV (s) = lim s⎜ + ⎟ = 3,33 s 0 s0 s + 1,5 ⎠ s ⎝ s 5.3 Példa Legyen az 1. példában a gerjesztő erő f(t)=3⋅sin100t, valamint a tömeg kezdeti sebessége v(0)=0. Határozzuk meg a tömeg kitérését, ha a) a teljes megoldásra b) csak az állandósult megoldásra vagyunk kíváncsiak. c) Rajzoljuk meg a rendszer BODE-diagramjait! Megoldás ad a) Szinuszos gerjesztés esetén a Laplace-transzformált rendszeregyenlet m[sV(s) − v(0)] + kV(s) = 3 100 s + 100 2 2 A sebesség Laplace-transzformáltja: V ( s) = 300 v(0) + 2 2 (ms + k )( s + 100 ) ms + k A második törtet a zérus kezdősebesség miatt elhagyjuk, az első törtet pedig

parciális törtekre bontjuk 300 A Bs + C = = + 2 2 2 (ms + k )(s + 100 ) ms + k s + 100 2 = As 2 + 100 2 A + Bms 2 + Bks + Cms + Ck (ms + k )(s 2 + 100 2 ) A számlálók együtthatóinak összehasonlításából: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 107 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom s2 : s1 : s0 : Vissza ◄ 108 ► 0=A+Bm 0=Bk+Cm 300=1002A+Ck Az egyenletrendszert megoldva A=0,03, B=-0,0075, C=0,0113 adódik. A megoldást visszatranszformálható alakba írjuk: V ( s ) = 0,0075 1 100 s + 0,00000113 2 − 0,0075 2 2 s + 1,5 s + 100 s + 100 2 Időtartományba visszatranszformálva: v( t ) = 0,0075e −1,5 t + 0 ,000113 sin 100 t − 0,0075 cos100 t K sin( ωt + ϕ ) Az azonos körfrekvenciájú szinuszos és koszinuszos tagok összege fázisban eltolt szinuszos rezgés. A rezgés amplitúdója: K = 0,000113 2 + 0,0075 2 = 0,0075 Fázisszöge: ϕ = tan −1

(−0,0075 / 0,000113) = −89,14° = −1,555 rad A kimenőjel legegyszerűbb alakja tehát v( t ) = 0,0075e −1,5 t + 0,0075 sin(100 t − 1,555) Figyeljük meg, hogy a megoldás első tagja idővel elhal (ez a kezdeti feltételeket figyelembe vevő tranziens rész szaggatott vonallal ábrázolva), míg a második tag fáziseltolódással követi a gerjesztést (ez az állandósult rész) (5.5 ábra) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 108 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 109 ► 0,02 0,01 0 0 0,5 1 1,5 -0,01 t (s) 5.5 ábra ad b) Ha csak az állandósult megoldást keressük, akkor sokkal egyszerűbben célhoz érünk a „frekvencia-módszer” alkalmazásával. A rendszer átviteli függvénye a következő: Y (s) = 1 V ( s) = F ( s ) ms + k Az állandósult válaszjelet szinuszos bemenetre a frekvenciafüggvény segítségével a V( jω) = Y( jω)

⋅ F( jω) összefüggés szerint kaphatjuk meg. Az amplitúdó meghatározása Az amplitúdó nagyítási függvény (ω=ωg=100 1/s): A ( ω g ) = Y ( jω g ) = 1 = mjωg + k 1 k 2 + (mωg ) 2 = 1 6 2 + 400 2 = 0,0025 A kimenőjel amplitúdója ezzel a következő: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 109 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom ∧ ◄ Vissza ∧ v = A(ωg ) ⋅ f = 0,0025 ⋅ 3 = 0,0075 110 ► m s A fázisszög meghatározása A kimenőjel fázisszögét szintén a frekvencia függvényből határozhatjuk meg. Jelen esetben a számláló értéke 1, ami valós szám, tehát fázisszöge φ1=0. A nevező fázisszöge φ2=tan-1(mωg/k) = tan-1(4⋅100/6)=1,555 rad A válaszjel fázisszöge ϕ=0-1,555 rad=-1,555 rad. Im(N) Im(D) ωm D N ϕsz Re(N) ϕn Re(D) k nevezõ 1 számláló 5.6 ábra Ezzel a rendszer állandósult válasza: ∧ v( t ) =

v sin(ωg ⋅ t + ϕ) = 0,0075 sin(100 t − 1,555) m / s Érdemes megfigyelni, hogy a 3. Példa válaszának állandósult részét a frekvencia-módszerrel sokkal egyszerűbben kaptuk meg ad c) Az első BODE-diagram az A(ω)=|Y(jω)| amplitúdó nagyítási függvényt (nagyítási tényezőt) ábrázolja a gerjesztő frekvencia függvényében, logaritmikus [dB] léptékben. A vízszintes tengelyen a körfrekvencia logaritmikus léptékben, dekádban van felmérve (A tízszeres frekvencia-arány 1 dekád, a százszoros frekvencia-arány 2 dekád stb.) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 110 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 111 ► A második BODE-diagram pedig a válaszjel fázisszögét ábrázolja a gerjesztő frekvencia függvényében (5.7 ábra) A 20 log A(ω) = 20 log 3 k 2 + m 2 ω2 = 20 log 3 36 + 16ω2 amplitúdó nagyítási függvény és a

ϕ(ω) = 0 − tan −1 (mω / k ) = − tan −1 (0, 66ω) fázisszög értékeit EXCEL diagramokban ábrázoltuk az 5.7 ábrán Érdekes megfigyelni, hogy az amplitúdó diagram aszimptotájának meredeksége −20 dB/dekád. 0 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000 100000 -20 abs(A) dB -40 -60 -80 -100 -120 ω fázistolás (fok) 0,01 0 0,1 -10 1 -20 -30 -40 10 100 1000 10000 100000 -50 -60 -70 -80 -90 -100 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 111 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 112 ► A 20 log A(ω) = 20 log 3 k +m ω 2 2 2 = 20 log 3 36 + 16ω 2 amplitúdó nagyítási függvény és a ϕ(ω) = 0 − tan −1 (mω / k ) = − tan −1 (0,66ω) fázisszög értékeit EXCEL diagramokban ábrázoltuk az 5.7 ábrán Érdekes megfigyelni, hogy az amplitúdó diagram aszimptotájának meredeksége −20 dB/dekád. 5.4 Példa Egy hőmérőben

c=0,138kJ/kg°C fajhőjű, m=1,5g tömegű higany van egy A=1,1⋅10-4 m2 felületű üvegből készült tartályban elhelyezve. A mérendő test, az üveg tartály és a higany közötti eredő hőátadási tényező becsült értéke α=0,017 kJ/m2sK (5.8 ábra) ϑh ϑt 5.8 ábra a) b) Írjuk fel a higany hőmérsékletére vonatkozó rendszeregyenletet, ha a ϑ 0 =23 °C környezeti hőmérsékleten lévő hőmérőt ϑ t = 38 °C testhőmérsékletű beteg hőmérsékletének mérésére használjuk! Határozzuk meg a hőmérő által mutatott hőmérséklet (a higany hőmérsékletének) változását 0-600s időtartományban! A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 112 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 113 ► Megoldás ad a) A rendszeregyenlet felírásához az energiamódszert célszerű alkalmazni: Pbe = d E tárolt + Pveszt dt A hőmérőbe egységnyi

idő alatt beáramló hőenergia hőátadással kerül a testből a higanyba, és ott teljes egészében tárolódik, mivel veszteség nincs. A higany kis térfogata következtében a hővezetést elhanyagoljuk, vagyis az egész higanymennyiséget azonos hőmérsékletűnek tételezzük fel. Eltekintünk továbbá a kapilláris ellenállásától is Az energiaegyensúly ezzel: αA(ϑ t − ϑ) = d cm(ϑ − ϑ 0 ) + 0 dt Vegyük figyelembe, hogy ϑ 0 konstans, ezért idő szerinti deriváltja zérus. Ezzel a rendszeregyenlet cm dϑ + αAϑ = αAϑ t dt alakú lesz. ad b) Elvégezve a Laplace- transzformációt, a gerjesztést ugrásfüggvénynek modellezve a következő összefüggést nyerjük: cm[sT (s) − ϑ(0)] + αAT(s) = αA ϑt s A higany hőmérsékletének Laplace-transzformáltját kifejezve T(s) = αAϑ t ⋅ cm 1 ϑ(0) + αA αA s(s + ) s+ cm cm A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 113 ► Mechatronika alapjai II.

Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 114 ► A parciális törtekre bontás után időtartományba visszatranszformálva exponenciálisan növekvő hőmérsékletváltozást kapunk: ϑ( t ) = ϑ t + (ϑ 0 − ϑ t )e Az időállandó: τ= − αA t cm cm 0,138 ⋅ 0,0015 = = 110,7 s αA 0,017 ⋅ 1,1 ⋅ 10 − 4 Az értékeket behelyettesítve a higany hőmérsékletváltozása, illetve a mutatott hőmérséklet 10 perc után: ϑ(600) = 38 + (23 − 38)e − 600 110 , 7 = 37,96 °C Láthatóan a hőmérő 10 perc (≈5τ) után a tényleges hőmérsékletet mutatja (5.9 ábra) ϑ DC 40 35 fok) 30 63% 25 20 15 τ=110 s 10 5 0 0 100 200 300 400 500 600 5.9 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 114 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 115 ► 5.5 Példa Az m=2 kg tömeget a falhoz

c=2⋅104 N/m merevségű rugóval és k=60 Ns/m csillapítási tényezőjű sebességarányos csillapítóval rögzítettük (5.10 ábra). A nyugvó tömegre f=10⋅δ(t) [Ns] impulzusgerjesztést működtetünk a) Írjuk fel a rendszer átviteli tényezőjét! b) Határozzuk meg a tömeg elmozdulását az idő függvényében! c m f(t) k x 5.10 ábra Megoldás ad a) A tömeget egyensúlyi helyzetéből kimozdítva felírjuk a tömegre ható erőket: f g ( t ) − kv − cx = ma Másképp írva m d2x dx +k + cx = f g ( t ) 2 dt dt Véve az egyenlet Laplace-transzformáltját zérus kezdeti feltételek mellett: ms 2 X(s) + ksX (s) + cX(s) = Fg (s) Az átviteli függvény: Y(s) = X(s) 1 = 2 Fg (s) ms + ks + c A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 115 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 116 ► ad b) A válaszjel: X(s) = Y(s)Fg (s) = 1 5 ⋅ 10 = 2 ms + ks +

c (s + 30s + 10 4 ) 2 Alkalmazzuk a Laplace-transzformáltak táblázatának 10. sorában lévő F(s) = α α ↔ f ( t ) = e −βt sin γt 2 γ s + 2βs + α 2 transzformációs összefüggést (α a csillapítatlan sajátfrekvencia). X(s) kifejezését kissé átalakítva X (s) = 0,05 100 s + 2 ⋅ 15s + 100 2 2 kiolvashatjuk az egyes paramétereket: D=β/α=0,15. A csillapodó lengések körfrekvenciája: α=100 1/s, β=15 1/s, γ = α 1 − D 2 = 100 1 − 0,15 2 = 98,87 1 / s Időtartományban a megoldás tehát: x(t ) = 0, 05 α −βt 100 −15t e sin γt = 0, 05 e sin(98,87t ) = 98,87 γ = 0, 0505e −15t sin(98,87t ) A megoldás egy lecsengő szinuszos rezgés (5.11 ábra) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 116 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 117 ► 0,05 0,04 0,03 x (m) 0,02 0,01 0 -0,01 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 -0,02 -0,03 t (s)

5.11 ábra 5.6 Példa Egy A1=2m2 alapterületű és egy A2=3m2 alapterületű tartályt alul egy l=10m hosszú, A=0,01m2 keresztmetszetű, elhanyagolható hidraulikus ellenállású csővezeték köt össze. A tartályokban víz van, mely kezdeti szintkülönbsége h1-h2=0,5m (5.12 ábra) p0 A1 A2 h1 l p1 h2 Q p2 5.12 ábra Feladat: a) Rajzoljuk meg a rendszer struktúra-gráfját! b) Határozzuk meg a vízszint ingadozásának frekvenciáját és a térfogatáram változását! c) Rajzoljuk meg a rendszer villamos és mechanikus megfelelőjét (analógját)! A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 117 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 118 ► Megoldás: ad a) Először fel kell ismernünk azokat a csomópontokat, ahol a keresztváltozó (nyomás) értéke különböző. Jelen esetben p1 és p2 nyomások különböznek, mivel a rájuk nehezedő vízoszlop

ρ⋅g⋅h hidrosztatikus nyomása eltérő. Ez a p1-p2 nyomáskülönbség gyorsítja az alsó csőben a folyadékot, melynek tehetetlenségét az Lh inertivitással vesszük figyelembe. A rendszer elemeinek kapcsolatát kifejező struktúra-gráf a következő: Lh p1 p2 Ch1 Ch2 p0 5.13 ábra ad b) A rendszeregyenlet a csomóponti módszerrel írjuk fel a gráf alapján. A csomópontba befolyó térfogatáramot tekintsük pozitívnak, az elfolyó áramot negatívnak. Az 1 csomópont egyensúlya: − Q C1 − Q Lh = 0 Az elemek fizikai egyenleteit behelyettesítve: − C h1 d (p1 − p 0 ) 1 − ⋅ (p1 − p 2 )dt = 0 dt Lh ∫ Hasonlóan a 2. csomópontra: − Ch2 d (p1 − p 0 ) 1 + ⋅ (p1 − p 2 )dt = 0 dt Lh ∫ A csomóponti egyenleteket idő szerint deriváljuk, hogy differenciálegyenletet kapjunk (p0=állandó, ezért idő szerinti deriváltja zérus!): A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 118 ► Mechatronika alapjai II.

Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom − C h1 d 2 p1 1 − ( p1 − p 2 ) = 0 2 Lh dt − Ch2 d2p2 1 + ( p1 − p 2 ) = 0 2 Lh dt Vissza ◄ 119 ► Fejezzük ki a második deriváltakat mindkét egyenletből: d 2 p1 1 =− ( p1 − p 2 ) 2 C1 I f dt d 2 p2 1 = ( p1 − p 2 ) 2 C2 I f dt Vonjuk ki a két egyenletet egymásból és rendezzünk nullára: d 2 p1 d 2 p 2 p1 − p 2 1 1 − + ( + )=0 2 2 If C1 C 2 dt dt Tekintsük változónak a p12=p1-p2 nyomáskülönbséget, továbbá vezes1 1 1 sük be a jelölést az eredő kapacitásra, ekkor a rend= + C12 C h1 C h 2 szeregyenlet az alábbi alakú lesz: d 2 p12 1 + p12 = 0 2 L h C12 dt Ez a harmonikus rezgőmozgás jól ismert egyenlete, ahol α= 1 L h C12 a sajátrezgések körfrekvenciája. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 119 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄

120 ► Megjegyzés: a másodrendű differenciálegyenletből látszik, hogy nem három, hanem csak két független energiatároló van a rendszerben (az inertivitás és a tartályok eredő kapacitása). Kiszámítva a csőben áramló víz tehetetlenségére jellemző inertivitást, Lh = ρl 1000 ⋅ 10 = = 10 6 A 0,01 kg / m 4 A kapacitások: A 2 = 0,0002 C1 = 1 = ρ ⋅ g 1000 ⋅ 10 C2 = A2 3 = = 0,0003 ρ ⋅ g 1000 ⋅ 10 m 4 s 2 / kg m 4 s 2 / kg A redukált kapacitás: C12 = C1C 2 2 ⋅ 10 −4 ⋅ 3 ⋅ 10 −4 = = 1,2 ⋅ 10 − 4 −4 −4 C1 + C 2 2 ⋅ 10 + 3 ⋅ 10 m 4 s 2 / kg A folyadéklengések körfrekvenciája: α= 1 1 = = 0,091 1 / s 6 L h C12 10 ⋅ 1,2 ⋅ 10 − 4 A lengések frekvenciája: α = 0,0145 Hz 2π A harmonikus rezgőmozgás egy lehetséges megoldása f = p12 = K sin(αt + ϕ) alakban írható fel. A térfogatáram meghatározásához a megoldás K és ϕ konstansait a kezdeti feltételekből határozhatjuk meg:

p12(0)=ρg∆h=1000⋅10⋅0,5=5000Pa és dp12/dt(0)=0. Behelyettesítve A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 120 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom ◄ Vissza 121 ► 5000 = K sin ϕ 0 = Kα cos ϕ ⇒ ϕ = 90° , K = 5000 Pa A megoldás ezzel: p12 = 5000 sin(0,091t + π / 2) = 5000 cos(0,091t ) Pa A térfogatáram most már kiszámítható: Q= 1 1 p12 dt = 6 ∫ 5000 cos(0,091)dt = 0,0549 sin(0,091t ) ∫ Lh 10 m3 / s ad c) A villamos és mechanikus analóg rendszerek az 5.14 ábrán láthatók, differenciálegyenleteik azonos típusúak. 5.14 ábra u1 L u2 c C1 Ch1 Lh C2 Ch2 d 2 p12 1 + p12 = 0 2 dt L h C12 d 2 u 12 1 + u 12 = 0 dt 2 LC 12 m1 m2 v1 v2 d 2 v12 1 + v12 = 0 2 dt cm12 5.7 Példa Egy R=1000Ω ellenállásból, L=0,1H induktivitásból, valamint C=10-5 F kapacitásból álló villamos áramkör (passzív sávszűrő) látható az 5.15

ábrán A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 121 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom ub R ◄ 122 ► R u L Vissza ub C Z 5.15 ábra Feladat: a) Határozzuk meg az áramkör átviteli tényezőjét, ha a bemenet ub, a válasz u. b) Számítsuk ki a válaszjelet, ha a bemenet ub=5⋅sin(50t)! Megoldás ad a) Villamos áramkörök átviteli tényezőjét az általánosított impedanciákkal egyszerűen felírhatjuk, mivel az elemek soros és/vagy párhuzamos kapcsolása egyszerűen felismerhető. Vegyük észre, hogy az áramkör visszavezethető egy terheletlen keresztváltozó osztóra (feszültségosztóra). Először a párhuzamosan kapcsolt tekercs és kondenzátor eredő impedanciáját számítjuk ki: sL 1 1 1 1 1 1 + s 2 LC = + = + = ⇒ Z2 = sL Z 2 Z L Z C sL 1 1 + s 2 LC sC A feszültségosztó általános (4.85) összefüggését alkalmazva komplex

impedanciákra és jelekre (Z1=R): sL 2 Z2 sL U(s) = U b (s) = U b (s) 1 + s LC = U b (s) 2 sL Z1 + Z 2 s RLC + sL + R R+ 2 1 + s LC Az áramkör átviteli tényezője: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 122 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Y(s) = Vissza ◄ U(s) sL = 2 U b (s) s RLC + sL + R 123 ► (5.1) ad b) A szinuszos bemenetre adott választ a frekvencia függvény segítségével állítjuk elő. A frekvenciafüggvény az átviteli függvényből sjω helyettesítéssel adódik: Y( jω) = jωL R − ω RLC + jωL 2 Az amplitúdó nagyítás: A(ω) = Y( jω) = ωL (R − ω 2 RLC) 2 + (ωL) 2 Az adott körfrekvencián 314 ⋅ 0,1 A(314) = (10 3 − 314 2 ⋅ 10 3 ⋅ 0,1 ⋅ 10 −5 ) 2 + (314 ⋅ 0,1) 2 = 0,0348 Ezzel a kimenőjel amplitúdója ∧ ∧ u = u b ⋅ A(314) = 5 ⋅ 0,0348 = 0,174 V A kimenőjel fáziskésésének kiszámításához a

frekvenciafüggvény számlálójának fázisszöge φ1=90°, mivel a számláló tisztán képzetes. A nevező fázisszöge ϕ 2 = tan −1 314 ⋅ 0,1 ωL = tan −1 3 = 2° 2 R − ω RLC 10 (1 − 314 2 ⋅ 0,1 ⋅ 10 −5 ) A fáziseltérés: ϕ = ϕ1 − ϕ 2 = 90 − 2 = 88 D = 1,53 rad A kimenőjel tehát A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 123 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 124 ► u = 0,174 ⋅ sin(314t + 1,53) V 5.8 Példa Egy ω=100 1/s szögsebességgel forgó motor forgórészére a kiegyensúlyozatlanság következtében Fc=50 N centrifugális erő hat. A motor m=50 kg tömegű gépalaphoz van rögzítve, mely c=104 N/m eredő merevségű rugókon nyugszik. A gépalaphoz md=2 kg tömeget kapcsolunk cd=2·103 N/m merevségű rugóval. Feladat: a) Határozzuk meg a gerjesztés időfüggvényét! b) Mekkora a gépalap rezgésamplitúdója? c)

Milyen md tömegű ún. dinamikus lengésfojtót kell a gépalaphoz kapcsolni a cd merevségű rugóval, ha azt szeretnénk elérni, hogy a gépalap állandósult rezgése zérus legyen? Fg ω m cd c c Fg cd m md x xd md 5.16 ábra Megoldás ad a) A centrifugális erő függőleges vetülete gerjeszti a lengőrendszert: Fg ( t ) = Fc sin( ωt ) = 50 ⋅ sin(100 t ) ad b) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 124 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 125 ► A rendszert a szemléletesség kedvéért vízszintesen elfektetve rajzoljuk le. A tömegeket kissé kimozdítva képzeljük egyensúlyi helyzetükből, xd>x feltételezéssel. Az egyes tömegeket külön vizsgáljuk A free-body diagramok megrajzolása után alkalmazzuk Newton II axiómáját: Fg cx m cd ( x d − x ) cd (x d − x) md 5.17 ábra Az egyes testek mozgásegyenletei: − cx + c d x d

− c d x + Fg = mx − c d x d + c d x = m d x d A differenciálegyenlet-rendszert zérus kezdeti feltételekkel elvégzett Laplace-transzformációval átalakítjuk algebrai egyenletrendszerré: X(s)(ms + c + c d ) = Fg (s) + c d X d (s) X d (s) = 2 X d (s)(m d s 2 + c d ) = c d X(s) X(s)(ms 2 + c + c d ) − Fg (s) X d (s) = cd c d X(s) mds 2 + cd A most már algebrai egyenletrendszert megoldjuk X(s)-re, azaz mindkét egyenletből kifejezzük Xd(s)-t és egyenlővé tesszük egymással: m ds 2 + cd X (s) = F (s) 2 g (ms 2 + c + c d )(m d s 2 + c d ) − c d A gépalapra értelmezhetjük az átviteli függvényt: Y (s) = mds2 + cd X (s) = Fg (s) (ms 2 + c + c d )(m d s 2 + c d ) − c d 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 125 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 126 ► Mivel a gerjesztés szinuszos, ezért az állandósult választ a

frekvenciaátviteli függvénnyel egyszerűen megkaphatjuk: Y ( jω) = − m d ω2 + c d (− mω 2 + c + c d )(− m d ω 2 + c d ) − c d 2 Az amplitúdó-nagyítási függvény a gerjesztés frekvenciáján: A(ω = 100) = − 2 ⋅ 100 2 + 5 ⋅ 10 3 (−50 ⋅ 100 2 + 10 4 + 5 ⋅ 10 3 )(−2 ⋅ 100 2 + 5 ⋅ 10 3 ) − (5 ⋅ 10 3 ) 2 = 2,069 ⋅ 10 −6 m / N A gépalap rezgés-amplitúdója: x̂ = A(ω)F̂g = 2,069 ⋅ 10 −6 ⋅ 50 = 1,0345 ⋅ 10 −4 m = 0,1 mm ad c) A gépalap tökéletesen rezgésmentes, ha az amplitúdó-nagyítási függvény a gerjesztési frekvencián zérus. Y(jω) számlálóját zérussal egyenlővé téve kapjuk, hogy − m d ω2 + c d = 0 cd = ω2 md A kívánt feltétel teljesíthető, ha a dinamikus lengésfojtó α = c d m d sajátfrekvenciája éppen a gerjesztés frekvenciájával egyezik meg, amit cd és md alkalmas megválasztásával érhetünk el. Jelen esetben például cd=5·103 N/m rugómerevség és md=0,5 kg tömeg

esetén a gépalap rezgésmentes. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 126 ► Mechatronika alapjai II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Tartalomjegyzék Vissza ◄ 127 ► 6. Bevezetés a numerikus analízisbe Az állandó paraméterű, lineáris, elsőrendű differenciálegyenletekkel leírható rendszerekre az analitikus megoldás szinte mindig lehetséges, ahogy azt az eddigi vizsgálatainkban is tapasztalhattuk. Bonyolultabb, és főleg nemlineáris problémák azonban ritkán oldhatók meg analitikusan Ilyenkor a numerikus módszerek segítségével juthatunk eredményre. Meg kell említeni, hogy manapság számos nagyon hatékony kereskedelmi szoftver áll rendelkezésre (Maple, Matlab), melyekkel a laikusok is képesek meghatározni differenciálegyenletek numerikus megoldását. Mindazonáltal nem haszontalan betekintést nyerni ezen algoritmusok működésébe, mivel a digitális irányítású mechatronikai

rendszerek fejlesztése során felmerülhet az igénye valós idejű vezérlő, illetve szabályzó algoritmusok megírásának. 6.1 Differenciálegyenletek közelítő megoldása 6.11 Differenciahányadosok származtatása A differenciálegyenletek numerikus megoldására számtalan módszer létezik. Alapelvük azonban közös: a független változó értelmezési tartományát ∆x hosszúságú, általában állandó hosszúságú (ekvidisztáns) intervallumokra osztják. Az intervallum kezdetén lévő értékekből határozzák meg az intervallum végén lévő értéket (un. prediktor eljárás), majd az egymást követő intervallumokban ezt az eljárást ismétlik. Igényesebb algoritmusok a számítás során az intervallum végén lévő értékeket is figyelembe veszik iteráció segítségével (prediktor-korrektor eljárások). A módszerek közös jellemzője, hogy a differenciálhányadost (a függvény adott pontbeli érintőjének meredekségét) a

differencia-hányadossal (a húr meredekségével) közelítik. Az alapelv megértéséhez fel kell elevenítenünk a függvények Taylor-sorba fejtését. Vizsgáljunk egy y(x) függvényt az yj(xj) pont környezetében. (Megjegyezzük, hogy a független változó nem csak távolság, hanem idő is lehet, ekkor értelemszerűen a deriválást idő szerint végezzük). A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 127 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 128 ► y yj+1 yj-1 xj-1 yj ∆x x ∆x xj xj+1 6.1 ábra Először számítsuk ki a függvény értékét az xj ponttól jobbra ∆x távolságra lévő xj+1=xj+∆x pontban! 1 ⎛ dy ⎞ 1 ⎛ d2y ⎞ 1 ⎛ d3y ⎞ y j+1 = y j + ⎜ ⎟ ∆x + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ∆x 2 + ⎜⎜ 3 ⎟⎟ ∆x 3 + . 2! ⎝ dx ⎠ j 3! ⎝ dx ⎠ j 1! ⎝ dx ⎠ j (6.1) Az egyszerűbb írásmód érdekében a függvény i-dik

differenciálhányadosának a j-dik osztáspontban való jelölésére vezessük be a ⎛ dix⎞ D ij = ⎜⎜ i ⎟⎟ ⎝ dx ⎠ j szimbólumot. Az új jelöléssel a (61) összefüggés a következőképpen írható: 1 1 1 y j+1 = y j + D1j ∆x + D 2j ∆x 2 + D 3j ∆x 3 + . 1! 2! 3! ( 6 .2 ) A függvény differenciálhányadosa a j-dik osztáspontban (6.2)-ből kifejezve: y j+1 − y j 1 1 D1j = − ( D 2j ∆x + D 3j ∆x 2 + .) (6.3) 2! 3! ∆x A zárójelben lévő tagok ∆x első hatványának nagyságrendjében vannak, amit O[∆x] írásmóddal jelölünk (O=ordo). A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 128 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom D1j = y j+1 − y j ∆x Vissza ◄ − O[∆x ] 129 ► (6.4) Egy függvény szelőjének meredekségét a függvény differenciahányadosának nevezzük. A jobboldali differenciahányados értéke: ∆1j+ = y j+1 − y

j (6.5) ∆x A differenciálhányados (a függvény érintőjének meredeksége) és a differenciahányados (a függvény szelőjének meredeksége) közötti kapcsolat a következő: D1j = ∆1j+ + O(∆x ) (6.6) Fejtsük Taylor-sorba az y(x) függvényt yj(xj) pont környezetében, de most balra haladva a xj-1=xj -∆x pontban: 1 1 1 y j−1 = y j − D1j ∆x + D 2j ∆x 2 − D 3j ∆x 3 + . 1! 2! 3! ( 6 .7 ) A függvény differenciálhányadosa a j-dik osztáspontban (6.7)-ből kifejezve: y j − y j−1 1 1 D1j = + ( D 2j ∆x − D 3j ∆x 2 + −.) (6.8) 2! ∆x 3! A magasabb rendű deriváltakat elhanyagolva a közelítés hibája most is O[∆x]. D1j = ∆1j− + O[∆x ] (6.9) Vonjuk ki a (6.2)-ből a (67) összefüggést: 1 y j+1 − y j−1 = 2D1j ∆x + (2 D 3j ∆x 3 + .) (6.10) 3! Fejezzük ki innen az első differenciálhányadost: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 129 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A

dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom D1j = y j+1 − y j−1 2∆x Vissza 1 − ( D 3j ∆x 2 + .) 3! ◄ 130 ► (6.11) Jól láthatóan a zárójel elhagyásával elkövetett hiba jóval kisebb, mert a hiba a lépésköz második hatványával arányos: y j+1 − y j−1 D1j = − O[∆x 2 ] (6.12) 2∆x Egy adott pontbeli differenciálhányadost a két oldalról számított ∆1j± = y j+1 − y j−1 (6.13) 2∆x differenciahányados jobban közelít, mint a ∆1j+ és a ∆1j− . A kapott eredmények a 6.2 ábrán láthatók A j-dik osztáspontban a függvény közelítő érintői közül a kék színű baloldali húr és zöld színű jobb oldali húr erősen eltér a tényleges, szaggatott vonallal jelölt érintőtől. A lila színű kétoldali közelítés ellenben láthatóan sokkal jobb eredményt ad. y tõ érin Dj1 ∆ j1+/- yj+1 ∆ j1 yj-1 xj-1 ∆ j1+ yj xj x xj+1 6.2 ábra A második derivált és a második differenciahányados

kapcsolatának kiderítése érdekében most adjuk össze (6.2) és (67) összefüggéseket: y j+1 + y j−1 = 2 y j + 2 2 2 2 4 4 D j ∆x + D j ∆x + . 2! 4! A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom (6.14) Vissza ◄ 130 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 131 ► A második deriváltat kifejezve (6.14)-ből: D 2j = y j−1 − 2 y j + y j+1 ∆x 2 −( 1 4 2 D j ∆x + .) 12 (6.15) A második differenciálhányadost O[∆x2] hibával közelítő második differenciahányados a ∆2j = y j−1 − 2 y j + y j+1 (6.16) ∆x 2 összefüggéssel számítható. 6.12 Euler-Cauchy (törtvonal) módszer Adott az y ′ = f ( x , y) (6.17 ) függvénykapcsolattal leírt elsőrendű differenciálegyenlet y( x 0 ) = y 0 előírt kezdeti feltétellel. Keresett a kezdetiérték-feladat y(x) megoldásának közelítő ~y ( x ) megoldásfüggvénye Egyszerűbben szólva,

ismerjük a keresett függvény meredekségét bármely pontban (kék egyenes-sereg), mint x és y függvényét és keressük azt az integrálgörbét, mely áthalad a kezdeti értéknek megfelelő y(x0)=y0 ponton (6.3a ábra) Egyszerűbb a feladat, mikor a függvény deriváltja csak a független változó függvénye, mert ekkor a függvény érintői adott x értéknél párhuzamos egyenes-sereget alkotnak (6.3b ábra) A könnyebb érthetőség érdekében először tételezzük fel, hogy a független változó az idő, a keresett függvény deriváltja pedig csak a független változó függvénye: y = f ( t ) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom (6.18) Vissza ◄ 131 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom y Vissza y y′ = f ( x , y ) ◄ 132 ► y′ = f ( x ) y2 y1 ~y 2 ~y 1 y0 y0 x ∆x x 0 2 ∆x ∆x 2∆x 6.3 ábra y2 P2 y1 P1 P0 y0 y~2 y~1 0 1∆ t t

2∆t dy/dt 1 y1 y 0 t 0 1∆t 2∆t 6.4 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 132 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 133 ► A probléma geometriai szemléltetése a 6.4 ábrán látható: az osztáspontokban ismert a keresett függvény deriváltja (érintőjének meredeksége), amit most párhuzamos kék vonalsereggel ábrázolhatunk. Az Euler-Cauchy módszer a keresett függvényt egyenes szakaszokból összeillesztett törtvonallal közelíti, miközben a függvény deriváltját az intervallumon belül állandónak tételezi fel. A törtvonal Pj −1 Pj szakaszának meredeksége (6.8) szerint y j − y j−1 ∆t ≈ f ( t j−1 ) (6.19) számítható, ahol az f(tj-1) derivált az intervallum bal oldali végpontjában ismert. Átrendezéssel a j-dik pontban a függvényérték y j = y j−1 + f ( t j−1 ) ⋅ ∆t , j = 1, 2, 3,. (6.20) lesz.

Az eljárást hasonló módon folytatva tetszőleges ideig meghatározhatjuk a keresett függvényértékeket Csak kis ∆t időintervallumok esetén számíthatunk elfogadható pontosságra. Hosszabb folyamat vizsgálatakor az egyes lépéseknél elkövetett hibák halmozódnak, az eredmény megbízhatatlanná válik. 6.1 Példa Határozzuk meg az y = 3t 2 differenciálegyenlettel leírt folyamat megoldásfüggvényének egzakt, valamint numerikus közelítő módszerrel kapott megoldását, ha t=0 időpillanatban y0=0. Megoldás A differenciálegyenlet analitikusan is megoldható, így a numerikus megoldás eredményét összehasonlíthatjuk az elméletileg helyes megoldással. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 133 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 134 ► Az analitikus megoldás t y = y 0 + ∫ 3t 2 dt = t 3 0 A numerikus eljárásban szándékosan nagy,

∆t=0,1 s idő lépésközt választottunk, hogy a két megoldás eltérésére rávilágítsunk. A numerikus eljárás algoritmusa (6.20) szerint y j = y j −1 + 3t 2j −1∆t A számítást táblázatos formában öt intervallum hosszig végeztük. Az egyes intervallumok végén felvett függvényértékek megegyeznek a következő intervallum kezdőértékeivel, amit a cellák azonos színe is jelez. J tj tj-1 yj-1 + 3tj-12∆t yj y = t3 0 1 2 3 4 5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0 0 0,003 0,015 0,042 + + + + + + 0 (kezd.f) 0 0,003 0,015 0,042 0,090 0 0,001 0,008 0,027 0,064 0,125 3·02·0,1 3·0,12·0,1 3·0,22·0,1 3·0,32·0,1 3·0,42·0,1 A számítás eredményeit a 6.5 ábrán ábrázoltuk Látható, hogy a törtvonallal való közelítés hibája a választott lépésközzel nagy A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 134 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék

| Irodalom Vissza ◄ 135 ► y javított Euler-Caucly (másodfokú parabola) elméleti görbe 0,050 Euler-Cauchy (törtvonal) 0 1 2 3 4 0 0,1 0,2 0,3 0,4 j tj (s) 6.5 ábra 6.13 Javított Euler-Cauchy módszer y’=f(x) típusú differenciálegyenlet megoldására Változatlanul az y = f ( t ) = 3t 2 differenciálegyenletet numerikus megoldását keressük, azonban az y(t) függvényt most nem törtvonallal, hanem az osztáspontok között másodfokú polinomokkal közelítjük. A j-1-dik és a jdik osztáspontok közötti időt a szakasz kezdetén kezdjük mérni, így a 0 ≤ t ≤ ∆t szakaszban a közelítő polinom egyenlete y = at 2 + bt + c (6.21) alakú, ahol az a, b, és c együtthatók egyelőre ismeretlenek. A polinom deriváltja y = 2at + b (6.22) alakú, vagyis most már nem állandó az intervallumon belül, hanem lineárisan változó (6.6 ábra alsó kék egyenese) Az ismeretlen együtthatókat a peremfeltételekből határozhatjuk meg: a [j-1,j]

szakasz kezdetén ismerjük a görbe yj-1 kezdeti értékét (mint kezdeti feltételt, vagy már kiszámított értéket), amiből a „c” együttható meghatározható: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 135 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza y j−1 = a 0 2 + b0 + c c = y j−1 ◄ 136 ► (6.23) Tudjuk továbbá, hogy a szakasz kezdetén a keresett függvény deriváltja a differenciálegyenletből ismert, innen a „b” együtthatót tudjuk meghatározni: y j−1 = 2a 0 + b b = y j−1 (6.24) Az ismeretlen „a” együtthatót pedig a szakasz végén lévő derivált felírásából kapjuk: y j = 2a∆t + b = 2a∆t + y j−1 Innen az „a” együttható kifejezhető: a= (6.25) y j − y j−1 (6.26) 2∆t y yj y′j ⋅ ∆t / 2 y′j−1 ⋅ ∆t / 2 t y j−1 0 ∆t / 2 ∆t / 2 y′ y′j y′j−1 t 6.6 ábra

Visszahelyettesítve a másodfokú polinom együtthatóit, a szakasz jobboldali végpontjában a függvényérték: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 136 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom yj = y j − y j−1  2 ∆t Vissza ∆t 2 + y j−1 ∆t + y j−1 N N a b ◄ 137 ► (6.27) c lesz, ami egyszerűsítés és átrendezés után egyszerűbb alakban is felírható: y j = y j−1 + y j−1 ∆t ∆t + y j 2 2 (6.28) Felismerhetjük (6.28)-ből a másodfokú parabola szerkesztési szabályát, amit a tartók nyomatéki ábrájának szerkesztésekor már használtunk (a parabola végpontokban rajzolt érintői a szakasz felénél metszik egymást). Az intervallumban másodfokú parabolával közelített függvénygörbe vonalvastagságon belül tér el az analitikus megoldástól (6.5ábra) A step-bystep számítás a táblázat alapján egyszerűen nyomon

követhető Megállapíthatjuk, hogy a javított Euler-Cachy módszer lényegesen pontosabb eredményt szolgáltat. tj-1 yj-1 + 3tj-12∆t/2 + 3tj2∆t/2 yj y = t3 (elm) 0 0 - - + - + 3·02·0.05 0 (k.f) 0 1 0,1 0 0 + 3·02·0,05 + 3·0.12·0,05 0,0015 0,001 2 0,2 0,1 0,0015 + 3·0,12·0,05 + 3·0,22·0,05 0,0090 0,008 3 0,3 0,2 0,0090 + 3·0,22·0,05 + 3·0,32·0,05 0,0285 0,027 4 0,4 0,3 0,0285 + 3·0,32·0,05 + 3·0,42·0,05 0,066 0,064 5 0,5 0,4 0,064 + 3·0,42·0,05 + 3·0,52·0,05 0,1275 0,125 J tj 6.14 Runge-Kutta 4 módszer Az egyik leggyakrabban alkalmazott numerikus módszer az y ′ = f ( x , y ) alakú elsőrendű, y(x0)=y0 kezdeti feltételű differenciálegyenlet megoldására. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 137 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 138 ► A könnyebb érthetőség érdekében

konkrét feladaton mutatjuk be a módszert. Származtassuk a megoldandó differenciálegyenletet a következő problémából. Egy c=5000N/m merevségű ideális rugóval és k=100Ns/m tényezőjű sebességarányos csillapítóval modellezhető gumirugóra F(t)=10000t [N] időben egyenletesen növekvő gerjesztőerő hat. A gumirugó kezdeti összenyomódása zérus Célunk a rugó x(t) összenyomódásának a meghatározása (67 ábra) m~0 c F(t) k y 6.7 ábra Newton II. axiómáját elhanyagolható tömegű lapra felírva F( t ) − cy − ky = my = 0 , ahonnan rendezés és a számértékek behelyettesítése után a dy = −50 y + 100 t , y 0 = 0 dt (6.29) differenciálegyenletet nyerjük. A feladatban alkalmazott jelöléseinkkel a megoldandó differenciálegyenlet y = f ( y, t ) , ahol f ( y, t ) = −50 y + 100 t (6.30) A Runge-Kutta-4 módszer egy tetszőleges ∆t hosszúságú időintervallum végén lévő függvényérték kiszámításához négy korrekciós

tagot vesz figyelembe (innen származik a RK-4 elnevezés).(68 ábra) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 138 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 139 ► y k1 k 3 k4 k 2 ∆y yj y j−1 t ∆t / 2 ∆t 6.8 ábra A korrekciós tényezők jelentése a következő: ekkora utat tenne meg a test, ha a szakasz kezdetén lévő v0 sebesk1: séggel (mint állandó sebességgel) mozogna az egész intervallum alatt k2: az előző becslésben kiszámított k1 út felénél (ami az időintervallum felét is jelenti) kiszámított v1 sebességgel mozogna az egész intervallumban [kék egyenes] k3: az előző becslésben kiszámított k2 út felénél (ami az időintervallum felét is jelenti) kiszámított v2 sebességgel mozogna az egész intervallumban [piros egyenes k4: az előző becslésben kiszámított k3 út végénél és az időintervallum végénél

kiszámított v3 sebességgel mozogna az egész intervallumban [zöld egyenes] A korrekciós tagok (6.31-634) számítási összefüggéseit az alábbiakban levezetés nélkül megadjuk és az első, [0, ∆t] intervallum esetében a korrekciós tagok számértékét is meghatározzuk ∆t=0,01s lépésközre. A korrekciós tagok rendre: k 1 = ∆t ⋅ f ( t 0 , y 0 ) (6.31) k 1 = 0,01 ⋅ [100 ⋅ 0 − 50 ⋅ 0] = 0 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 139 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom k 2 = ∆t ⋅ f ( t 0 + k ∆t , y0 + 1 ) 2 2 140 ► 0,01 0 ) − 50(0 + )] = 0,005 2 2 k ∆t , y0 + 2 ) 2 2 k 3 = 0,01 ⋅ [100(0 + ◄ (6.32) k 2 = 0,01 ⋅ [100(0 + k 3 = ∆t ⋅ f ( t 0 + Vissza (6.33) 0,01 0,005 ) − 50(0 + )] = 0,00375 2 2 k 4 = ∆t ⋅ f ( t 0 + ∆t , y 0 + k 3 ) (6.34) k 4 = 0,01 ⋅ [100(0 + 0,01) − 50(0 + 0,00375)] = 0,008125 A

függvény növekménye az intervallumban a korrekciós tagok súlyozott számtani átlagaként számítható: ∆y = ∆y = 1 ( k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 1 ) 6 (6.35) 1 (0 + 2 ⋅ 0,005 + 2 ⋅ 0,00375 + 0,008125) = 0,004270 6 Az intervallum végén lévő függvényérték tehát y = y 0 + ∆y = 0,004270 m Érdekesség kedvéért közöljük az analitikus megoldást, mely y = 0,04( e −50t − 1 ) + 2t , alakú és t=0,01-nél y=0,004261 m elmozdulást ad. A relatív hiba mindössze 02%, mely érték tovább csökkenthető a lépésköz kisebbre választásával Az eljárást a további intervallumokban hasonló módon folytatjuk Bár a módszer időigénye a korrekciós tagok számítása miatt nagyobb, azonban a hiba a lépésköz ötödik hatványával arányos. Azonos lépésköz A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 140 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄

141 ► esetén a Runge-Kutta-4 módszer összehasonlíthatatlanul pontosabb eredményt szolgáltat, mint a törtvonal-módszer. 6.15 Magasabb rendű differenciálegyenletek közelítő megoldása Itt csak másodrendű differenciálegyenlet numerikus megoldásával foglalkozunk. Célunk olyan rekurzív algoritmus létrehozása, mely az előző lépésekben kiszámított függvényértékekből és az új bemenőjel értékből határozza meg a soron következő függvényértéket A megoldás alapelve, hogy az első és másodrendű differenciálhányadosokat helyettesítjük a (6.13) és (6.16) differenciahányadosokkal Az eljárást az 57 Példa nyomán ismertetjük A rendszer (5.1) Y (s) = U (s) sL = 2 U b (s) s RLC + sL + R átviteli függvényét keresztbeszorzás után visszaalakítjuk differenciálegyenletté: du d2u du RLC 2 + L + Ru = L b (6.36) dt dt dt Ezt követően a differenciálhányadosokat helyettesítjük a (6.8), (613), (6.16) differenciahányadosokkal: RLC u

j−1 − 2u j + u j+1 ∆t 2 +L u j+1 − u j−1 2∆t + Ru j = L u bj+1 − u bj−1 (6.37) 2∆t Az uj+1 kiemelése és elemi átalakítások után kapott rekurziós formula a következő: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 141 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 142 ► 2L∆t 2RLC − L∆t − 4RLC + 2R∆t 2 u i−1 + ui − u bi − 2RLC + L∆t 2RLC + L∆t 2RLC + L∆t 2L∆t − u bi−1 (6.38) 2RLC + L∆t u i+1 = − A kimenőjel együtthatóit K1, K2, K3, K4-gyel jelölve, a rekurzív algoritmus blokkdiagramja a következő (6.9 ábra): Új bemenõjel beolvasása ubi kezdeti feltét elek u i+1=K1u i +K2u i-1 +K3u bi +K4u bi-1 u i+1 ubi-1 =u bi u i-1 =ui u i=u i+1 6.9 ábra A numerikus számítás tekinthető egy mintavételes rendszer algoritmusának is. Az ubi bemenő jel ∆t mintavételi ideig állandónak tekinthető (nulladrendű

tartótag). A (638) algoritmus az előző ui és az azt megelőző ui-1 kimenőjel értékek, valamint az új ubi és a megelőző ubi-1 bemenőjel értékek segítségével kiszámítja az új ui+1 kimenőjel értéket. A következő mintavételi periódusban ez az „új” érték számít a „régi” értéknek, ezért minden változót időben egy osztással el kell tolni (shiftelés). A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 142 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 143 ► Az eljárást ω=50 1/s körfrekvenciájú, ∆t=0,001 s mintavételi idővel mintavételezett ubi=sin(50*i0,001) bemenő jelre mutatjuk be zérus kezdeti feltételekkel (táblázat első oszlopa). A (6.38) algoritmus együtthatói R=103 Ω, L=0,1 H, C=10-5 F értékekkel a következők: K1=0,9523, K2=-0,9047, K3=0,0952, K4=-0,0952. I 1 2 3 4 5 6 Ubi 0,0499 0,0998 0,1494 0,1986 0,2474

0,2955 Ubi-1 0 0,0499 0,0998 0,1494 0,1986 0,2474 Ui-1 0 0 0,0047 0,0092 0,0092 0,0051 Ui 0 0,0047 0,0092 0,0092 0,0051 0,0011 Ui+1 0,0047 0,0092 0,0092 0,0051 0,0011 0,0010 A bemenet és kimenet első hat értékét a 6.10 ábrán láthatjuk ub u 0,2 0,02 0,1 0,01 tj 6.10 ábra A magasabb rendű differenciálegyenletek numerikus megoldásának számos egyéb módszere létezik. A megoldások azon alapulnak, hogy egy n-ed rendű differenciálegyenlet új változók bevezetésével visszavezethető n darab elsőrendű differenciálegyenletre. Az elsőrendű differenciálegyenletek rendszere pedig az ismertetett módszerek valamelyikével már megoldható A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 143 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 144 ► 6.2 Interpoláció jelleggörbék megadására A műszaki számításokban gyakran válik szükségessé egy

méréssel felvett görbe közelítő egyenletének meghatározása. A probléma hasonló a regresszió-számításhoz, de míg ott a közelítő görbe (többnyire egyenes) nem feltétlenül halad át a mérési pontokon, addig interpolációnál a közelítő görbe áthalad az előre meghatározott alappontokon. A közelítő görbét célszerűségi okokból hatványfüggvénynek választjuk és interpolációs polinomnak nevezzük. Bár napjainkban hatékony eljárások is rendelkezésre állnak (pl. spline-függvények alkalmazásával), a továbbiakban csupán egy klasszikus módszerrel, a Lagrange-féle interpolációs polinom alkalmazásával foglalkozunk. Az alapprobléma a következő: adott n darab összetartozó (xi,yi) értékpár. Olyan n-1-ed fokú polinomot kell konstruálnunk, mely áthalad az összes Pi(xi,yi), i=1,2,3,n ponton. A függvényt n darab n-1-ed fokú függvény (alappolinom) lineáris kombinációjaként állítjuk elő: n f (x) = ∑ y i L i (x)

(6.39) i =1 Az Li(x) alappolinomok közös tulajdonsága, hogy az xi helyen 1 értéket vesznek fel, az összes többi xj, j≠i helyen zérus értékűek. Például a negyedfokú L1(x) alappolinom értéke az x=x1 helyen L1(x1)=1, minden más alappontban zérus: L1(x2)=L1(x3)=L1(x4)=L1(x5)=0 Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy az L1 ( x ) = ( x − x 2 )( x − x 3 )( x − x 4 )( x − x 5 ) ( x 1 − x 2 )( x 1 − x 3 )( x 1 − x 4 )( x 1 − x 5 ) (6.40) alappolinom ilyen tulajdonságú, mivel ha x=x2, vagy x=x3, vagy x=x4, vagy x=x5, akkor a számláló valamelyik tényezője zérus, következésképpen L1(x) is zérus. Ugyanakkor, ha x=x1, akkor a számláló és a nevező megegyezik, tehát L1(x1)=1. Az L1(x) és L2(x) alappolinom képe a (611 és 6.12 ábrákon látható x1=0, x2=1,x3=2, x4=3, és x5=4 értékekre A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 144 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalom ◄ Vissza 145 ► 3 2,5 2 L1 (x) 1,5 1 0,5 0 -1 -0,5 0 1 2 3 4 5 6 x 6.11 ábra L1(x) alappolinom 2 1 0 L2 (x ) -1 -1 0 1 2 3 4 5 6 -2 -3 -4 -5 x 6.12 ábra L2(x) alappolinom 6.2 Példa Egy motor jelleggörbéjét szeretnénk analitikusan megadni. A jelleggörbe nevezetes pontjait a táblázat tartalmazza. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 145 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom n/1000 (ford/min) i 1 2 3 4 5 Vissza ◄ 146 ► M (Nm) 0 1 2 3 4 300 310 370 400 0 Megoldás A Lagrange-féle interpolációs polinomokat a megfelelő jelölésekkel L i (n ) = ∏ 5j=1, j≠i (n − n j ) ∏ 5i =1, j≠1 (n i − n j ) összefüggés szerint képezve a görbe analitikus egyenlete a következő: 5 M (n ) = ∑ M i L i (n ) =300L1 (n ) + 310L 2 (n ) + 370L 3 (n ) + 400L 4 (n ) i =1 A kapott görbe a 6.11 ábrán

látható 450 400 350 M (Nm) 300 250 200 150 100 50 0 -1 0 1 2 3 4 n/1 000 (1/perc) 6.13 ábra A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 146 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 147 ► 6.3 Gyökkereső módszerek Számos esetben válik szükségessé az f(x)=0 algebrai egyenlet gyökének (gyökeinek) meghatározása. Különösen transzcendens egyenleteknél a gyök algebrai módszerekkel nem határozható meg. Ilyenkor numerikus módszerekkel célt érhetünk. A következőkben a gyökközelítő módszerek közül a húr- és az érintő módszer, valamint az iteráció alapgondolatával ismerkedünk meg. A módszerek elemi programozási ismeretekkel automatizálhatók 6.31 Húrmódszer Legyen adott az f(x) folytonos függvény. Az f(x)=0 egyenlet (egyik) gyöke nyilvánvalóan olyan xa és xb abszcisszájú pontok között található, melyekre a két

függvényérték ellenkező előjelű, vagyis f(xa)·f(xb)<0. y y=f(x) A f(xa) O ξ1 xa xb x f(xb) B 6.14 ábra Az x tengely mentén durva lépésekkel végighaladva keresünk ilyen tulajdonságú A és B pontot. A két pontot összekötő húr és az x tengely ξ1 metszéspontja a keresett gyök első közelítése (A húr egyenletének felírása a középiskolából jól ismert „két ponton átmenő egyenes egyenlete” alapján történik). A módszert ezután megismételjük: az új húr egyik végpontja a ξ1 abszcisszájú pont, a másik végpontja az xa vagy xb abszcisszájú pont lesz attól függően, hogy melyikük előjele ellentétes f(ξ1 )-gyel. Az eljárást addig ismételjük, míg a gyököt kellően meg nem közelítettük. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 147 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 148 ► 6.32 Érintő módszer A

módszert differenciálható függvényekre alkalmazhatjuk. Egy P0 pontból elindulva felírjuk a függvény érintőjének egyenletét („egy ponton átmenő, adott meredekségű egyenes egyenlete”), majd meghatározzuk az érintő és az x-tengely x1 metszéspontját. Az x1 abszcisszájú P1 pontban az eljárást megismételjük és addig folytatjuk, míg a gyököt kellően meg nem közelítettük. y P0 y=f(x) f(x0 ) P1 x O x0 x1 x3 ξ 6.15 ábra 6.3 Példa Oldjuk meg numerikusan a sin x = cos x egyenletet érintő módszerrel. Megoldás. Az egyenletet átírjuk y( x ) = sin x − cos x alakra és ez utóbbi egyenletnek keressük a zérushelyét. Induljunk ki a kék színnel rajzolt y(x) függvény x0=0, y0=-1 pontjából. A függvény érintőjének meredeksége ebben a pontban y ′( x 0 ) = cos( x 0 ) + sin( x 0 ) = 1 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 148 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum

használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 149 ► y x ≈ x2 0,5 (x1;y1) x 0 0 1 2 -0,5 -1 (x0;y0) 6.16 ábra Az érintő egyenes egyenlete a középiskolában tanultak szerint y − y 0 = y ′0 ( x − x 0 ) , ami a konkrét adatokkal y + 1 = 1( x − 0) . A pirossal rajzolt érintő egyenes az x tengelyt (y=0) az x1=1 helyen metszi (ez a feladat megoldásának első közelítése). Ehhez az abszcisszához tartozó függvényérték y1 = sin(1) − cos(1) = 0,2984 és érintő meredekség y1′ = cos(1) + sin(1) = 1,3817 A függvény (1; 0,2984) pontjába húzott érintő egyenlete y − 0,2984 = 1,3817 ( x − 1) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 149 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 150 ► Az érintő és az x tengely metszéspontja x2=0,7836. Ez az érték már alig különbözik az analitikusan kapott helyes megoldástól

(x=0,7853). Az eljárás láthatóan nagyon gyorsan konvergál, jelen esetben már két lépés után elfogadható pontosságú megoldást szolgáltat. 6.33 Iteráció Gyakran alkalmazott módszer f(x)-x=0 alakú egyenletek megoldására. Először az eredeti egyenletet x=f(x) alakra hozzuk. A szemléletesség kedvéért az egyenlet két oldalát külön ábrázoljuk y=x y y=f(x) x O x0 x1 x2ξ 6.17 ábra Az x0 abszcisszával kezdve, az egymást követő közelítések az ábrán jól követhetők: x1 = f (x 0 ) x 2 = f (x 1 ) x 3 = f (x 2 ) . A módszer által kapott x1, x2, x3, sorozat akkor konvergál az egyenlet ξ gyökéhez, ha az f ′( x ) < 1 feltétel teljesül a gyök környezetében. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 150 ► Mechatronika alapjai II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Tartalomjegyzék Vissza ◄ 151 ► 7. Hajtástechnika 7.1 Hajtásláncok elemeinek redukciója A hajtott

berendezést általában több, különböző sebességgel mozgó tömeg alkotja, melyekre különböző erők és nyomatékok hatnak. A hajtásláncok vizsgálatát nagyban egyszerűsíti, ha a mozgó tömegeket és terheléseket a motor tengelyére átszámított (redukált) eredőjükkel helyettesítjük Megjegyzendő azonban, hogy a helyettesítés csak merev, holtjáték nélküli elemekre alkalmazható. Ellenkező esetben nem kerülhetjük el a rugalmas hatásokat is figyelembe vevő sokkal bonyolultabb többtest- vagy kontinuum-modellek alkalmazását. A továbbiakban a tehetetlenségi hatások és terhelések motor tengelyére való redukálásával foglalkozunk 7.11 Mozgó tömegek redukálása a hajtó tengelyre Gyakori eset, hogy egy forgó mozgást végző motorral olyan gépet hajtunk meg, melyben több, különböző sebességgel forgó és haladó tömeg található. Célszerű ilyenkor a hajtott gépet egy olyan forgó tömeggel („egyenértékű lendkerékkel”)

helyettesíteni, mely gyorsításához, illetve fékezéséhez ugyanakkora nyomaték illetve energia szükséges, mint az egész berendezés mozgásállapotának megváltoztatásához. Az egyenértékű „lendkerék” tehetetlenségi nyomatékát Jred redukált tehetetlenségi nyomatéknak nevezünk. A tehetetlenségi hatásoknak természetesen csak mozgásállapot változáskor (gyorsulás, lassulás) van szerepük. A redukálás alapelve az, hogy a helyettesítő „lendkerék” mozgási energiája bármely pillanatban azonos legyen a gép mozgó tömegeinek eredő mozgási energiájával. A helyettesítő lendkerék forgó mozgást végez a motor szögsebességével, tehát mozgási energiája: 2 J red ω m E= (7.1) 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 151 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 152 ► A gép „p” számú haladó és „q” számú forgó

mozgást végző tömegének összes mozgási energiája: 2 p+q J ω mv j j E=∑ i i + ∑ 2 2 i =1 j= p +1 p 2 ( 7 .2 ) (Az összetett, pl. csavarmozgást végző test eredő mozgási energiája a szuperpozíció elve szerint haladó és forgómozgás energiájának összegeként számítható). A mozgási energiák egyenlőségéből a helyettesítő lendkerék redukált tehetetlenségi nyomatéka a következő lesz: p J red = ∑ m i ( i =1 q ωj 2 vi 2 ) + ∑ J j( ) ωm ωm j= p +1 (7.3) A zárójelekben az egyes haladó, illetve forgó mozgást végző testek sebességének (szögsebességének) és a hajtó motor szögsebességének a viszonya (az áttétel reciproka) szerepel, melyekkel a redukált tehetetlenségi nyomaték értéke egyszerűen számítható. p J red = ∑ i =1 mi ii 2 + p+q Jj ∑i j= p +1 j ( 7 .4 ) 2 Megjegyzés: az „i” indexű forgó-haladó mozgások között értelmezett áttételek (1/m) dimenziójúak, míg a „j” indexű

forgó-forgó mozgás között értelmezett áttételek dimenziómentesek. 7.1 Példa A motor r1=0,05 m sugarú, J1=0,005 kgm2 forgástengelyre számított tehetetlenségi nyomatékú fogaskerékkel hajtja meg az r2=0,1 m sugarú, J2=0,12 kgm2 tehetetlenségi nyomatékú fogaskereket, mely egybe van építve a h=0,05 m menetemelkedésű golyósorsóval. Az orsó egy m=200 kg tömegű asztalt mozgat (7.1 ábra) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 152 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 153 ► ω1 r1 Motor J1 v Jred Motor m ω1 r2 J2 ω2 b) a) 7.1 ábra Határozzuk meg a hajtott gép tehetetlenségi hatásait modellező, a motor szögsebességével forgó tárcsa redukált tehetetlenségi nyomatékát! Megoldás: A J1 tehetetlenségi nyomatékú fogaskerék a motor tengelyére van rögzítve, ezért áttétele a motorhoz képest i1=1. A J2 fogaskerék

ω2 szögsebességgel forog, ezért áttétele i2=(r2/r1)=2. A haladó mozgást végző tömeg és a motor áttétele két egymást követő áttétel eredőjeként adódik: az orsó és a motor közötti áttétel i2, míg a tömeg és az orsó közötti áttétel io=(2π/h), ezért a tömeg és a motor közötti eredő áttétel i m = i 2i o = r2 2π 2π ⋅ = 2⋅ = 251,3 1 / m r1 h 0,05 A redukált tehetetlenségi nyomaték összefüggését alkalmazva és behelyettesítve az áttételek értékeit J red = m J1 J 2 200 0,005 0,12 + 2+ 2 = + 2 + 2 = 0,0382kgm 2 2 2 251,3 1 2 i m i1 i 2 adódik. A motor „nem veszi észre”, hogy a tengelyéhez az eredeti rendszer, vagy a Jred tehetetlenségi nyomatékú tárcsa van rögzítve, mindkét esetben azonos a mozgásállapot-változása. A bemutatott esetben a mozgó tömegek sebessége illetve szögsebessége helytől független volt, ezért a redukált tehetetlenségi nyomaték állandó A dokumentum használata |

Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 153 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 154 ► értékre adódott. Amennyiben a mozgó tömegek sebessége azok helyzetétől is függ, a redukált tehetetlenségi nyomaték már nem lesz állandó értékű, hanem a hajtó tengely szöghelyzetének függvényében változik 7.2 Példa A motor az m nagyságú tömeget un. kulisszás hajtómű közbeiktatásával mozgatja (7.2 ábra) A motor tengelyére szerelt r sugarú tárcsára egy csap (un. kulisszakő) van rögzítve, mely a függőleges hornyú kulisszában fel-le mozog, miközben a tömeghez mereven rögzített kulisszát vízszintes irányban mozgatja. Határozzuk meg a mozgó tömegnek a motor tengelyére vonatkozó Jred redukált tehetetlenségi nyomatékát! ξ vk vx r α ω vy α v η m 7.2 ábra Megoldás: A kulisszakő körmozgást végez |vk|=rω kerületi sebességgel (abszolút

sebesség). Ha a kulisszakő mozgását az m tömeghez rögzített vszáll pillanatnyi sebességgel haladó ξ-ηmozgó koordinátarendszerből szemléljük, akkor azt vrel pillanatnyi sebességgel látjuk fel-le mozogni. Felírva az abszolút, relatív és szállító sebesség közötti G G G v absz = v száll + v rel A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 154 ► Mechatronika alapjai II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Tartalomjegyzék Vissza ◄ 155 ► G G G G G G összefüggést, ahol v absz = v k és v rel = v y , következésképpen v száll = v x . Tehát a szállító sebesség a kulisszakő kerületi sebességének vízszintes komponensével egyezik meg. A tömeg mozgási energiája az ábrán vázolt pillanatban az α szöghelyzettől függően E= mv 2x m(rω sin α) 2 = 2 2 Felírva a mozgási energiák egyenlőségét, m(rω sin α) 2 J red ω 2 = 2 2 ahonnan J red = mr 2 sin 2 α szöghelyzettől

függő redukált tehetetlenségi nyomaték adódik. A motor elfordulási szögének függvényében változó tehetetlenségi nyomaték útgerjesztés esetén önmagában is komoly rezgéskeltő hatással bír (parametrikus gerjesztés). Nyomatékgerjesztéskor pedig (ha állandó motornyomatékot tételezünk fel) a tengely szöggyorsulása ε(α( t )) = M mr sin 2 α 2 szerint pillanatról-pillanatra változik, ami a motor egyenlőtlen járását okozza! Az egyenlőtlen járás mérséklése érdekében legegyszerűbb megoldásként nagy, Jl >>mr2 tehetetlenségi nyomatékú lendkereket szokás alkalmazni, mellyel a ε(α ( t )) = M J l + mr 2 sin 2 α szöggyorsulás, illetve annak változása sokkal kisebb értékű lesz. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 155 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom ◄ Vissza 156 ► 7.12 Nyomatékok és erők redukálása a

hajtó tengelyre A nyomatékok és erők redukálásának az alapja az, hogy a redukálandó nyomaték, illetve erő teljesítménye egyezzen meg a motor tengelyére redukált nyomaték teljesítményével. A mozgó tömeget terhelő erők és nyomatékok redukálást a hajtó tengelyre ismét egy példán mutatjuk be. 7.3 Példa Tételezzük fel, hogy a mozgó asztalra rögzített, megmunkálás alatt lévő testre F=500N forgácsoló erő hat, az orsó csapágyazásában pedig Ms=3Nm súrlódási nyomaték ébred (7.3 ábra) Redukáljuk a gép F és Ms terhelését a motor tengelyére! ω1 v r1 Motor F Motor ω1 r2 ω2 M red MS a) b) 7.3 ábra Terhelések redukálása A tehetetlenségi hatásokat most nem vesszük figyelembe, csak a statikus terhelésekkel foglalkozunk. A hajtott gépet terhelő, erőkből és nyomatékokból álló erőrendszer a motor tengelyére az ij forgó és az ii forgó-haladó mozgásokra definiált áttételek figyelembevételével

redukálható: M red = ∑ Mj ij +∑ Fi ii A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 156 ► Mechatronika alapjai II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Tartalomjegyzék Vissza ◄ 157 ► Az Ms csapágysúrlódás az ω2 szögsebességgel forgó tengelyre hat, így áttétele ij=i2=2. Az F erő a v sebességgel haladó testet terheli, így annak áttétele a motor tengelyére ii=i2*io=251,3 m-1. A számértékek behelyettesítésével a redukált nyomaték a következő: M red = M s F 3 500 + = + = 3,49 Nm i j i i 2 251,3 A redukált nyomaték értelmét a következő meggondolással határozhatjuk meg: Az erő és nyomaték teljesítménye redukálás után is megtartja előjelét. Figyeljük meg, hogy a bemutatott példában Ms ellentétes értelmű volt ω2vel, valamint F is ellentétes értelmű volt v-vel, következésképpen Mred is ellentétes értelmű ωmot-ral. Megjegyzendő, hogy amennyiben a tehetetlenségi

hatások (gyorsítás, lassítás), valamint terhelő erők és nyomatékok együttesen lépnek fel, akkor azokat – a szuperpozíció elvének értelmében - egymástól függetlenül redukálhatjuk a hajtó gép tengelyére. Feladatok F1. Egy Jm=0,0024 kgm2 tehetetlenségi nyomatékú motor i=8 áttételű, elhanyagolható tömegekből álló hajtóművön keresztül függőleges síkban mozgat egy k=0,5 m hosszú, m1=6 kg tömegű prizmatikus robotkart, melynek végére m2=5 kg tömegű festékszóró van rögzítve (7.4 ábra) Határozza meg a szerkezet a) motor tengelyére redukált Jred tehetetlenségi nyomatékát! b) motor tengelyére redukált Mred terhelő nyomatékát! A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 157 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza k m1 ◄ 158 ► m2 ϕ m2 g m1g Jred Mred 7.4 ábra Megoldás: 1 1 ( m1k 2 + m 2 k 2 ) i2 3 1 k = (m1g cos

ϕ + m 2gk cos ϕ) i 2 J red = J m + M red F2. Egy motort a z1=18, z2=54, z3=20 és z4=50 fogszámú fogaskerekekből álló hajtómű kihajtó tengelyén lévő fékkel M nyomatékkal fékezünk (7.5 ábra) z1 motor motor Mred z3 z2 M z4 7.5 ábra a) Mekkora a motor tengelyére redukált Mred fékezőnyomaték? b) Hol hatásosabb a fékezés, a motor tengelyén vagy a hajtómű kihajtó tengelyén? A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 158 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Megoldás: M red = M Vissza ◄ 159 ► z2z4 z1z 3 F3. Egy „O” tengelyű motor ω pillanatnyi szögsebességgel forgatja a 76 ábrán látható elhanyagolható tömegű forgattyús hajtómű r hosszúságú forgattyús tengelyét, mely a k hosszúságú hajtókar segítségével mozgatja az „m” tömegű dugattyút. P ω r ϕ vA k A α O vB B m x J red (ϕ) O 7.6 ábra

Határozza meg a) a rendszer motor tengelyre redukált Jred tehetetlenségi nyomatékát! b) ábrázolja EXCEL diagrammal a tehetetlenségi nyomaték változását 0<φ<2π tartományban Segítség: fejezze ki az x=OB távolságot φ segítségével, majd határozza meg a dugattyú pillanatnyi v=dx/dt sebességét. A tömeg mozgási energiájából a redukált tehetetlenségi nyomaték kiadódik Megoldás: J red (ϕ) = mr 2 (sin ϕ + λ sin 2ϕ 2 1 − λ2 sin 2 ϕ A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom )2 ahol λ = Vissza r k ◄ 159 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 160 ► F4. Egy kerékpáros v sebességgel halad (77 ábra) Milyen adatok szükségesek ahhoz, hogy a kerékpáros és a kerékpár haladó illetve forgó tömegei egyetlen, a pedál tengelyére redukált tehetetlenségi nyomatékkal legyenek helyettesíthetők? Mekkora ez a redukált tehetetlenségi

nyomaték? ω Jred v ω 7.7 ábra 7.2 Dinamikai szempontból optimális áttétel meghatározása Mechatronikai berendezések pozícionálási célra szolgáló hajtásláncainak gyakran kell nagy tömegű testeket mozgatni a lehetséges legrövidebb idő alatt. Adott nagyságú mozgatott tömeg és adott motor esetében a tervező feladata meghatározni a hajtómű azon áttételét, mely maximális gyorsulást, illetve minimális pozícionálási időt okoz. Hajtó motornak válasszunk DC motort, melynek dinamikus viselkedése egyszerű egyenlettel írható le. A terhelés pedig legyen egy J tehetetlenségi nyomatékú forgórész. A motort és a forgórészt egy egyelőre ismeretlen i áttételű hajtóművel kapcsoljuk össze (7.8 ábra) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 160 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom i*M M Jm Vissza ◄ 161 ► J ωm/ i i ωm M ωm

Jred=J/i2 7.8 ábra Amennyiben a motort és a forgórészt közvetlenül (i=1) kapcsoljuk össze, a motor szerény nyomatéka nagyon lassan gyorsítja fel a forgórészt, bár nagy fordulatszámra. Ha viszont nagy lassító áttételt (i>>1) alkalmazunk, akkor a hajtómű által megnövelt nagy nyomaték rövid idő alatt gyorsítja fel a forgórészt, de csak lecsökkentett fordulatszámra. A továbbiakban az áttétel szöggyorsulásra gyakorolt ε(i) hatását analitikusan vizsgáljuk 7.3 A szögsebesség változásának analitikus vizsgálata A DC motor egyenlete operátor tartományban Ω m (s) = A B U (s) − M (s) Ts + 1 Ts + 1 (7.5) Itt Ωm a motor szögsebessége, U a motor kapocsfeszültsége, T a mechanikai időállandó, M(s) a motort terhelő nyomaték, mely tisztán tehetetlenségi (inerciális) terhelés esetén a Jred tehetetlenségi nyomatékú forgórész gyorsításából származik. Az áttétel miatt ügyelni kell arra, hogy a motor tengelyére a

Jred=J/i2 redukált tehetetlenségi nyomaték veendő számításba A forgómozgás alapegyenlete (perdület-tétel) szerint M(t)=Jredεm, amit az operátor tartományban M(s)=JredsΩm(s) alakban írható. A (75) képletbe helyettesítve A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 161 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Ω m (s) = ◄ Vissza 162 A B U (s) − J red sΩ m (s) Ts + 1 Ts + 1 ► ( 7 .6 ) A motor szögsebességét kifejezve: Ω m (s) = A U (s) (T + BJ red )s + 1 ( 7 .7 ) Vegyük észre, hogy a motorra kapcsolt tehetetlen tömeg a motor időállandójának BJred-tal való növekedését okozta. Ügyeljünk arra is, hogy számunkra nem a motor, hanem a hajtott tömeg ω(t)=ωm(t)/i szögsebessége a lényeges. Helyettesítsük Ω(s)=Ωm(s)/i , valamint Jred=J/i2 összefüggéseket (77)-be, majd alakítsuk át az inverz Laplace-transzformációhoz Ω(s) = A/i

A ⋅ U(s) = J J (T + B 2 )s + 1 i (T + B 2 ) s + i i 1 U(s) 1 (7.8) J ) i2 Ugrás bemenetet feltételezve (U(t)=U·1(t)), a mozgatott tömeg szögsebességének időbeli alakulását a teljes levezetés mellőzésével az ω( t ) = AU J i (T + B 2 ) i (1 − exp(− (T + B t J T+B 2 i )) (7.9) egyenlet írja le. A nevező zárójelében szereplő mennyiségek dimenzióinak homogenitásából következően a motor mechanikai időállandója a motor forgórészének Jm tehetetlenségi nyomatékával arányos, ezért T=BJm alakban is írható. Vezessük be továbbá a mozgatott tömeg és a motor tehetetlenségi nyomatékának λ=J/Jm arányát Az összefüggés ezzel ω( t ) = AU J iB(J m + 2 ) i (1 − exp(− t J B(J m + 2 ) i )) = AU λ iT(1 + 2 ) i (1 − exp(− t λ T(1 + 2 ) i )) (7.10) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 162 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék |

Irodalom Vissza ◄ 163 ► alakú lesz. A motor T mechanikai időállandóját, valamint az ω0=AU üresjárási szögsebeséget ismertnek és állandónak feltételezve (T=1 s, AU=1 1/s), a hajtott tömeg szögsebességének alakulása csak a tehetetlenségi nyomatékok λ arányától, valamint az átalakító i áttételétől függ. Az ω( t ) ∝ 1 λ i(1 + 2 ) i (1 − exp(− t λ (1 + 2 ) i ) (7.11) összefüggést λ=1,10,100 tehetetlenség-arányokra és i=1,5,10 áttételekre vizsgáljuk. Az egyes tehetetlenség-arányokra külön EXCEL diagramot rajzoltunk. Mindhárom diagramon bejelöltük az ω=0,04 1/s elérendő szögsebesség egyenesét. Azt vizsgáltuk, hogy a mozgatott tömeg mekkora áttétel esetén éri el a legkisebb idő alatt a célul tűzött szögsebességet. a) Először azt az esetet vizsgáljuk, mikor a motor és a mozgatott tömeg tehetetlenségi nyomatéka megegyezik (λ=1). =1 0,5 (1/s) 0,4 i=1 0,3 i=5 0,2 i=10 0,1 0 -0,1 0 2 4 6

t (s) 7.9 ábra A hajtott test szögsebességének változása λ=1 esetén A diagramból megállapítható, hogy a célul tűzött szögsebességet legrövidebb idő alatt i=1 áttétel (direkt hajtás) esetén éri el a test. Legkedvezőtlenebb a nagy (i=10) áttételű hajtás A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 163 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 164 ► b) Második esetben a hajtott test tehetetlenségi nyomatéka tízszerese a motorénak. =10 0,2 i=1 (1/s ) 0,15 i=5 0,1 i=10 0,05 0 -0,05 0 2 4 6 t (s) 7.10ábra A hajtott test szögsebességének változása λ=10 esetén A diagramból megállapítható, hogy a célul tűzött szögsebességet legrövidebb idő (kb. 0,42 s) alatt i=5 áttétel esetén éri el a test Most a direkt hajtás okozza a legkisebb gyorsulást c) Végül százszoros tehetetlenségi nyomatékú mozgatott forgórészt

tételeztünk fel. =100 (1/s) 0,05 0,04 i=1 0,03 i=5 0,02 i=10 0,01 0 -0,01 0 2 4 6 t (s) 7.11 ábra A hajtott test szögsebességének változása λ=100 esetén A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 164 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 165 ► A diagramból megállapítható, hogy a célul tűzött szögsebességet legrövidebb (kb. 3,2 s) idő alatt i=10 áttétel esetén éri el a test Most is a direkt hajtás a leglassabb. Láthatóan lassító áttétel közbeiktatásának akkor van jelentősége, mikor a mozgatott tömeg tehetetlenségi nyomatéka sokkal nagyobb a motor tehetetlenségi nyomatékánál. Ugyanakkor szem előtt kell tartani, hogy a lassító áttétel beiktatása egyúttal csökkenti az elérhető szögsebesség maximális értékét, ezért az áttétel növelésének csak eddig van értelme. A gyorsulás szempontjából

optimális áttétel megválasztása több paraméter együttes hatásától függ. Tovább nehezíti a helyzetet, hogy maga az áttétel is rendelkezik járulékos tehetetlenségi nyomatékkal (fogaskerekek, tengelyek tehetetlensége) vagy egyéb veszteséggel, ezért nem lehetséges az optimális áttételt explicit összefüggéssel meghatározni. Helyette a hajtás konkrét adatainak ismeretében, még a tervezés fázisában célszerű szimulációs vizsgálatot végezni különféle áttételekkel és az így nyert változatok közül az optimális áttételt kiválasztani. Egy ilyen vizsgálatot mutat a következő példa 7.4 Példa A Jm=0,000012 kgm2 tehetetlenségi nyomatékú, T=0,15 s időállandójú DC motor a forgórészére szerelt J1 tehetetlenségi nyomatékú tárcsán átvetett elhanyagolható tömegű rugalmas acélhuzallal mozgatja az XY-író m=0,01 kg tömegű írótollát (7.12 ábra) Az acélhuzal hajlítgatásából származó terhelőnyomatékot egyelőre

hanyagoljuk el. Jm m J1 r J1 7.12 ábra XY író hajtásrendszerének egyszerűsített vázlata A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 165 ► Mechatronika alapjai II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Tartalomjegyzék Vissza ◄ 166 ► Határozzuk meg, mekkora r tárcsasugár esetében éri el az írótoll a 2 m/s sebességet a legrövidebb idő alatt, ha a) minden veszteséget elhanyagolunk b) csak a súrlódási veszteséget vesszük figyelembe c) csak a vonóelem hajlításából származó veszteséget vesszük figyelembe! Megoldás: ad a) A motor egyenletében szereplő konstansok a következők: Ha tudjuk, hogy a motor üresjárási szögsebessége ω0=480 1/s U=12 V kapocsfeszültségnél, akkor A= ω0 480 1 = = 40 U 12 sV továbbá B= T 0,15 1 = = 12500 J m 0,000012 sNm A mozgatott tömegek motor tengelyére redukált tehetetlenségi nyomatéka a mozgatott tömegek, valamint a redukált tömeg mozgási

energiáinak egyenlősége alapján határozható meg: J red (rω 2m ) ω 2m ω 2m = 2J 1 +m 2 2 2 A terhelés redukált tehetetlenségi nyomatéka egyszerűsítés után: J red = 2J 1 + mr 2 A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 166 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 167 ► A J1 tárcsát 5mm vastag, r sugarú acélkorongnak tételezzük fel, így a sugár függvényében a redukált tehetetlenségi nyomaték a következő: J red = 2(r 2 π ⋅ 0,005 ⋅ 7800) r2 + 0,01 ⋅ r 2 = 122 ⋅ r 4 + 0,01 ⋅ r 2 2 A mozgatott írótoll v=rωm sebessége a (7.11) összefüggés értelemszerű alkalmazásával: V(s) = r ⋅ Ω m (s) = r ⋅ A U(s) = (T + BJ red )s + 1 = rA ⋅ (T + BJ red ) 1 1 s+ T + BJ red U(s) ami idő tartományban ugrásbemenetet feltételezve a következő lesz: v( t ) = rAU 0 (1 − exp(− t )) B(J m + 2J1 + mr 2 ) A számadatok

helyettesítésével az írótoll sebessége: v( t ) = r 480(1 − exp(− t )) 12500(0,000012 + 122r 4 + 0,01r 2 ) A tárcsák r sugarát 12, 14, 16, 18 és 20 mm-re választva az írótoll sebessége a bekapcsolást követően az alábbi (7.13) EXCEL diagram szerint alakul Megállapítható, hogy az optimális sugár értéke r=14 mm körül van, mivel az írótoll ekkor kb. 0,08 s alatt éri el a 2 m/s sebességet Ennél kisebb, vagy nagyobb sugarú tárcsa esetén a gyorsítás ideje hosszabb A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 167 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 168 ► 7 6 r=12 mmm v (m/s) 5 r=14 mm 4 r=16 mm 3 r=18 mm 2 r=20 mm 1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 t (s) 7.13 ábra ad b) Tételezzük fel, hogy a súrlódás legyőzése MS=0,016 Nm nyomatékot igényel. A motort terhelő nyomaték tehát a mozgó tömegek gyorsítására és a

súrlódás legyőzésére fordítódik: M (s) = J red sΩ(s) + M S A terhelőnyomaték összefüggését (7.5)-be helyettesítve, majd onnan a motor szögsebességét kifejezve Ω m (s) = AU(s) − BM S (T + BJ red )s + 1 összefüggést nyerjük. A számításokat az előzőekhez teljesen hasonlóan megismételve csak a számláló konstansában kapunk eltérést: v( t ) = r (480 − 12500 ⋅ 0,016) ⋅ (1 − exp(− t )) 12500(0,000012 + 122r 4 + 0,01r 2 ) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 168 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 169 ► v (m/s) Az 7.14 ábra görbéit vizsgálva látható, hogy a konstans súrlódási nyomaték az elérési időt befolyásolja, az optimális sugárra csak csekély hatással van. Az írótoll most kb 0,17 s alatt éri el a kitűzött sebességet 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 r=12 mmm r=14 mm r=16 mm r=18 mm r=20 mm 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 t (s) 7.14 ábra ad c) Az acél vonóelem (huzal) r sugarú tárcsára való görbítéséhez szilárdságtani alapismereteink szerint Mh hajlító nyomaték szükséges a rugalmassági határon belül: 1 Mh = r IE A tárcsa forgatásához szükséges többletnyomaték arányos az iménti hajlító nyomatékkal, az arányossági tényező k: M v = cM h = c IE 1 =k r r A motort terhelő nyomaték tehát a mozgó tömegek gyorsítására és a huzal hajlítási veszteségének fedezésére fordítódik: A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 169 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom M (s) = J red sΩ(s) + Vissza ◄ 170 ► k r A terhelőnyomaték összefüggését (7.5)-be helyettesítve, majd onnan a motor szögsebességét kifejezve k r . Ω m (s) = (T + BJ red )s + 1 AU(s) − B Az acélhuzal hajlítási veszteségét k=0,0002 Nm2

arányossági tényezővel figyelembe véve az írótoll sebessége a következő lesz: v(t ) = rω(t ) = (r 480 − 0,0002⋅12500)(1 − exp(− t )) 12500(0,000012+ 122r 4 + 0,01r 2 ) 6 5 r=12 mm v (m/s) 4 r=14 mm r=16 mm 3 r=18 mm 2 r=20 mm 1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 t (s) 7.15 ábra A vonóelem merevségének figyelembe vétele esetén az optimális sugár r =18 mm, az írótoll kb. 0,14 s alatt éri el a kitűzött sebességet A kapott eredmény érthető, mivel nagyobb sugarú tárcsára könnyebb ráhajlítani a vonóelemet. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 170 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 171 ► Feladatok F1. Az acélhuzal vonóelemes hajtású, m tömegű asztalt Jm tehetetlenségi nyomatékú motor mozgatja a forgórészre szerelt r sugarú tárcsa segítségével (7.16 ábra) A tárcsa és a vonóelem csúszásmentesen

gördül egymáson ω J r Jred m v=rw 7.16 ábra a) b) c) Határozza meg a rendszer motor tengelyére számított egyenértékű tehetetlenségi nyomatékát! Tételezzük fel, hogy az acélhuzal hajlítási merevsége elhanyaM0 golható. A motor forgórészére ható nyomaték M(s) = , Ts + 1 függetlenül a motor szögsebességétől. A motor bekapcsolása (ugrásfüggvény!) után hogyan változik az asztal sebessége az idő függvényében? Hogyan módosul a sebesség, ha az asztalra Fcs = −kv sebességarányos csillapító erő is hat? Jm=10-5 kgm2 tehetetlenségi nyomatékú, terheletleM0 nül M (s) = állandó nyomatékot kifejtő motor tengelyére r=30 mm Ts + 1 gördülőkör sugarú, m1=0,2 kg tömegű fogaskerék van rögzítve, mely a R=60 mm sugarú, m2=0,8 kg tömegű fogaskereket hajtja, melynek tengelyére r=30 mm sugarú, m3=0,3 kg tömegű tárcsa van rögzítve. A tárcsához c=104N/m merevségű szalag van erősítve, mely az m=20 kg tömegű testet

mozgatja (7.17 ábra) A fogaskerekeket tekintse merevnek, a fogakat hézagmentesnek F2. Egy A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 171 ► Mechatronika alapjai II. Tartalomjegyzék A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom c M(s) r ◄ Vissza ► v m r 172 R 7.17 ábra a) Helyettesítse a forgó tömegeket egyetlen redukált tömeggel! mred=? mred c m v b) Határozza meg a rendszer sajátfrekvenciáját! (Segítség: c(m red + m) α= ) m red m c) Írja fel az m tömeg sebességét az operátor és időtartományban, a motor bekapcsolását követően! (M0=30·1(t) Nm; T=0,2 s) A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 172 ► Mechatronika alapjai II. A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Irodalom Vissza ◄ 173 ► Irodalom Bajcsai Pál: Numerikus analízis. Budapest, 1980, Tankönyvkiadó Bradley, D. A, Dawson, D, Burd, NC: Mechatronics Gateshead, 1991, Atheneum

Press Ltd. Bishop, Robert (szerk.): The Mechatronics Handbook London-New YorkWashington D C, 2002, CRC Press LLC Heimann, Gerth, Popp: Mechatronik. München-Wien, 2001, Fachbuchverlag Leipzig Isermann, R.: Mechatronische Systeme Berlin, 1999, Springer Kármán Tódor-Biot, Maurice: Matematikai módszerek műszaki feladatok megoldására. Budapest, 1967, Műszaki Könyvkiadó Petrik Olivér: Finommechanika. Budapest, 1974, Műszaki Könyvkiadó Roddeck, Werner: Einführung in die Mechatronik. Stuttgart, 1997, B G Teubner Szabó Imre: Gépészeti rendszertechnika. Budapest, 1983, Műszaki Könyvkiadó Szabó Imre: Rendszer és irányítástechnika. Budapest, 1992, Műszaki Könyvkiadó Szász Gábor: Rendszertechnika útmutató és példatár. Budapest, 1979 Tankönyvkiadó A dokumentum használata | Tartalomjegyzék | Irodalom Vissza ◄ 173 ►