Mathematics | High school » Végtelen mértani sorok

Végtelen mértani sorok Végtelen sorokkal már az általános és a középiskolában is találkozunk, csak a legtöbben nem tudnak róla. . Például mindenki tudja, hogy 0,9  0,99999.  1 . Mit is jelent ez a tízes számrendszerben? 0,9  0,99999.  9 9 9 9     . 10 100 1000 10000  9 10n  .  1 Az nem igen tudatosodik bennünk, hogy ez azt jelenti végtelen sok tag összege is lehet véges.  A továbbiakban vizsgáljuk a a1 + a2 +. + an    ai végtelen sorokat (numerikus sorok) i 1 Legyen az {an} számsorozat egy végtelen számsorozat. Jelöljük az első n elem összegét Sn-nel! n Sn = a1 + a2 +. + an =  ai Ezek a részletösszegek is végtelen sorozatot alkotnak. i=1 Ha a részletösszegek sorozata konvergens, akkor a végtelen sor is konvergens és a részletösszegek határértéke a végtelen sor összege.  Sn  ai  nlim  i 1 Ha a részletösszegek sorozata divergens, akkor a végtelen sor is

divergens. Mintafeladat: Mutassa meg, hogy a Tudjuk, hogy Sn  1 1 1 1    .   . sor konvergens és az összege 1! 1 2 2  3 3  4 n  (n  1) 1 1 1 . Használjuk ki!   n  (n  1) n n  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1    .         .    1 1 1 2 2  3 3  4 n  (n  1) 1 2 2 3 3 4 n n1 n 1    0 Mivel a részletösszegek sorozata egyhez tart, ezért a sor összege 1. Végtelen mértani sorok  Ha az an végtelen sorozat mértani sorozat, akkor az a1 + a2 +. + an    ai végtelen sort végtelen i 1 mértani sornak nevezzük.  qn  1 1  qn  a1 ha q  1 a1 A mértani sorozatok első n elemének összege: Sn   q  1 1 q n  a ha q  1  1 Először nézzük a q ≠ 1 esetet! Sn  a1 1  qn 1 qn  a1  a1 1 q 1 q 1 q   a a 1 qn  1  qn   lim Sn  lim  a1 lim a  a1  lim  a1

  1  1 lim qn    1  n n  1  q  n  1  q  n  1  q  1  q 1  q n  1 q A qn sorozat határértékétől függ a sor összege. Hát azt meg már tanultuk lim qn  0 ha q  1 n Ha |q| < 1 akkor lim Sn  n a1 a a a a  1 lim qn  1  1  0  1 1  q 1  q n 1 q 1 q 1 q Ha |q| > 1 akkor a qn sorozat divergens, tehát a mértani sor is divergens.  a ha n páratlan Ha q = –1 akkor a1 + a2 +. + an   a1  a1 + a1  a1 + a1  a1 +=  1  0 ha n páros   ha a1  0 Ha q = 1 akkor a1 + a2 +. + an   a1+a1 + a1  a1 + a1  a1 +=    ha a1  0