Economic subjects | Insurance » Általános biztosítás 2, 7. óra

Általános biztosítás 2, 7. óra (folytatás) Hányadosok logaritmusa lognormális eloszlás Ci,j Fi,j := Ci,j−1 Lognormális modell log(Fi,j ) ∼ N (ξj σj2 ) zi,j =log(Ci,j ) ηi,j = log(Fi,j ) P ẑi,J =zi,I−i + Jj=I−i+1 ξˆj Ez a természetes el®rejelzés. zi,I−i az utolsó meggyelt érték Nemcsak értéket, hanem eloszlást is mondunk: RAJZ C1,0 C1,1 C1,2 CC1,2 ∼ LN (ξ2 , σ22 ) 1,1 Ha ξ2 , σ22 ismertek, akkor az el®rejelzés C1,2 -re: C11 · eξ2 + 2 σ2 2 C1,2 ∼ C1,1 LN (ξ2 , σ22 )=LN (ln(C1,1 ) + ξ2 , σ22 ) eloszlású valváltozó lesz, így meg tudjuk becsülni a P (C1,2 > x)= 1,1 −ξ2 ) P (ln(C1,2 ) > ln(x))=1 − φ( ln(x)−ln(C ) Például mekkora valószín¶séggel zetünk ki kártérítést 2M σ2 ft feletti károkra. Az adott háromszögb®l: 0,2 Csak 1 meggyelésem van: CC0,1 -et ismerem csak várható értéket talán, de szórást nem tudok becsülni. Ha eloszlást jelzünk el®re, mindegy, hogy a Ci,j , Zi,j vagy

eZi,j eloszlásait vesszük. Más esetben e-adra emeléssel torzulhatnak a várható értékek! Állítás a Most E(Ẑi,J |DI ) = E(Zi,J |DI ) helyett ezt írjuk: E(Ẑi,J |Zi,I−i ) = E(Zi,J |Zi,I−i ) b E(Ẑi,J ) = E(Zi,J ) c msepZi,J |DI (Ẑi,J )= PJ d msep(Ẑi,J )= PJ j=I−i+1 j=I−i+1 σj2 + ( σˆj (1 + ˆ − ξj ))2 PJ j=I−i+1 (ξj 1 ) I−j+1 Bizonyítás: C i,J Ci,J−1 a Zi,J =log(Ci,J )=log( CCi,J−1 . Ci,I−i+1 Ci,I−i ) Ci,J−2 i,I−i =Zi,I−i + ηi,I−i+1 + . + ηi,J ξI−i+1 ξ J z }| { z }| { E(Zi,J |Zi,I−i )=(Markov-tulajdonság)=E(Zi,J|DI )=Zi,I−i + E(ηi,I−i+1 ) + . + E(ηi,J ) PI−j Ci,j 1 ξˆj = I−i+1 I=0 log( Ci,j−1 ) P Ci,j en Zi,I−i -t®l ha j > I − i + 1 E(Ẑi,J |Zi,I−i )=Zi,I−i + Jj=I−i+1 E(ξˆj |Zi,I−i ) Ci,j−1 | {z } ξj Ci,I−i = Ci,I−i C Ci,I−i−1 Ci,I−i−1 . Ci,1 C Ci,0 i,0 i,I−i−2 en Ci,I−i+1 Ci,I−i Zi,I−i -t®l is! b , következik a, -ból c E((Ẑi,J

Zi,J )2 |DI )=E((ηi,I−i+1 − ξ(i),I−i+1 + . + ηi,J − ξ(i),J + ξ(i),I−i+1 − ξˆ(i),I−i+1 + + ξ(n),J − P P ξˆ(n)J )2 |DI ) = Jj=I−I+1 D2 ηi,j +( Jj=I−I+1 (ξˆj − ξj ))2 | {z } σj2 3 1 d A feltétel nélküli négyzetes hiba= a felt. v h várható értéke, továbbá: E(ξˆj − ξj )2 =σj I−i+1 + enség Tfh ismert a szórás. E(Ci,J |Ci,I−i )= E(eZi,I−i · eηi,I−i+1 +ηJ |Ci,I−i )=(1) eZi,I−i Ci,I−i mérhet®, a 2 többi független. =(1)Ci,I−i E(eηi,I−i+1 +ηJ )=* (ηi,I−i+1 + . ηJ ∼ N (ξi,I−i+1 + + ξJ ; σI−i+1 + 2 . + σJ )) P P =Ci,I−i · exp{ Jj=I−i+1 ξj + 21 Jj=I−i+1 σj2 }. ∼Ci,I−i n. Ci,I−i -t®l z }| { z}|{ PJ Z i,I−i E(e |Ci,I−i )=E(e + j=I−i+1 ξˆj |Ci,I−i ) PJ P P PJ J ˆ ˆ =Ci,I−i E(exp{ j=I−i+1 ξj })=* ( j=I−i+1 ξj ∼ N ( j=I−i+1 E(ξˆj ); Jj=I−i+1 D2 (ξˆj )) PI−j 1 ahol E(ξˆj ) = I−i+1 i=0 ξj = ξj ) PJ P P σj2 LN *= Ci,I−i exp{ j=I−i+1

ξj + 21 Jj=I−i+1 I−j+1 } Tehát torzított a becslés. Ĉi,J =exp{Ẑi,J }exp{ 12 Jj=I−i+1 σ 1 )} I−j+1 Ẑi,J LN Ekkor E(Ĉi,J |Ci,I−i )=E(Ci,J |Ci,I−i ) Állítás LN a E(Ĉi,J |Ci,I−i )=E(Ci,J |DI )(=E(Ci,J |Ci,I−i )) b E(Ĉi,J ) = E(Ci,J ) LN )=(E(Ci,J |Ci,I−i ))2 · (e c msepCi,J |Ci,I−i (Ĉi,J PJ j=I−i+1 σj2 PJ +e j=I−i+1 1 σj2 I−j+1 − 2)j = I − i + 1, I − i + 2, . , J Biz. HF Eddig feltettük, hogy a σ -k ismertek. 1 PJ 2 LN,σ Legyen most σ ismeretlen: Ĉi,J =eẐi,J e 2 j=I−i+1 σ̂j tj Ahol tj együtthatókat χ2 eloszlás segítségével határozzuk meg. P E(Ci,j ) = µi βj βj = jk=0 γ(µk ) γ : a károk mekkora hányadát jelentik be az x-edik évben? E(Ci,j−1 ) Ci,j = Ci,j−1 + Xi,j E(Xi,j )=E(Ci,j ) − E(Ci,j−1 )= βj−1 γj Negatív binbomiális modell: Poisson esetén: Xi,j ∼ E(Ci,j−1 )(fj−1 − 1)- Poisson (Keveréssel) helyett Xi,j ∼ θi,j−1 (fj−1 − 1) (Ugyanaz, mint

Poisson-modell esetén) θ (f −1) θi,j−1 (fj−1 −1) i,j−1 j−1 z }| { }| { z 2 2 D (Xi,j ) = D (E(Xi,j |θi,j−1 )) + E(D2 (Xi,j |θi,j−1 ))=* (E(D2 (Xi,j |θi,j−1 ))=Ci,j−1 (fj−1 − 1)) (D2 (E(Xi,j |θi,j−1 ))=(fj−1 − 1)2 D2 (θi,j−1 )=(fj−1 − 1)2 Ci,j−1 ) *=Ci,j−1 (fj−1 )(fj−1 − 1)(Nagyobb, mint a Poisson-modell esetén) 4