Economic subjects | Insurance » Általános biztosítás 2, 2. óra

Általános biztosítás 2, 2. óra A tartalék lehet egyszer¶ vagy speciális. Pl Biztosító nem pénzt zet ki, hanem szolgáltatást Nincs kárkizetés, minden ktg, itt mi a tartalék? Biztosító egyesület: csak a kár egy részét zeti ki, vagy arányosan (van fels® limit a kárkif.re) Függ®kár tartalék Legfontosabb nem-éb tartalék. 1. ÁBRA Kár id®pontja ∈ biztosítási id®szak (Szüks. de nem elégs feltétel, hogy a biztó zessen) Kár bejelentés: Amikor a biztosító tudomást szerez a kárról. (Kár id®pt<Kár bejelentés) Probléma: azbeszt károk, építési biztosítás, USA 50-70 évvel az építkezés után jelentik be a kárt, eközben a biztosító megsz¶nt/átalakult. Kár bejelentés: Kevés info, sorban jönnek az infók. Pl 1, baleset az M5-ön, 10 kocsi összement 2, van 5 személyi sérült is. Aktuárius becsli a kizetéseket: Mire, mikor, mennyit? IBNR: bekövetkezett, de be nem jelentett esetekre tartalék. (Kés®i károk tart)

1.TÁBLÁZAT Kés®bbi kárbejelentés¶ károk nagyobbak. Van határid® is a bejelentésre, pl KGFB: 0,5 év (Külföld: Magyar vezet® balesetet okozott, meghalt, több év, míg külföldr®l kiderítik a biztosítót. ) (Vagy: sokáig egyezkednek, pereskedés ált. nagy károknál) A kár darabszámának és eloszlásának meghatározása nem egyértelm¶. Van csúszás is, csomó kár nincs lezárva. 3 Negatív kizetés is lehet! Lehet megtérülés is. Pl CASCO: megsérül a kocsi, de kiderül, hogy nem az ügyfelünk volt a hibás, hanem a másik autó, ezért a másik autó biztosítójától lehet követelni az összeget. Vagy: Kizetik a kárt, de nem megfelel® volt a jogalany, ekkor a bizt visszakövetelheti a pénzt. Vagy: lakás javítási ktgeket kizette a biztosító, de a szomszéd áztatta el a lakást, ekkor a szomszéd biztosítójától lehet követelni az összeget. Most írjuk fel a modellt: A modellt felírhatjuk egy szerz®d®re is, de lehet egy

ágazatra/ágra is. N db kár egy portfólióban. T1 ≤ T2 ≤ . ≤ TN kárbejelentési id®pontok i. kárra: Ti = Ti,0 ≤ Ti,1 ≤ ≤ Ti,Ni az i kár eseményei (Pl: Bejelentik, hogy történt egy baleset az M5-ön. Utána: Jön egy telefon, hogy még kérnek kizetést erre és erre a kocsira Vagy kizetik a kárt Végül: lezárás) Ti,Ni i-edik kár lezárási id®pontja Ti,Ni+k = ∞∀k > 0  Xi,j =  Ii,j = KárkizetésTi,j -ben az i. kárra 0 ha nem volt. Új információTi,j -ben az i. kárról 0 ha nem volt. P ci (t) = j:{Ti,j ≤t} Xij Kizetés az i. kárra t-ig ci (t) = 0 ha t < Ti (= Ti,0 ) Azaz kárbejelentés el®tt nem zetünk ki kárra. PNi P∞ P i P ci (∞) = j Xij (= N j=0 Xij =ci (Ti,Ni ) j=Ni +1 0)= j=0 Xij + ci (Ti,Ni ) Függ®kár t-ben azP i. kárra: (Most nem diszkontáljuk a kizetéseket) RP i (t) = ci (∞) −ci (t)=ci (Ti,NI ) − PNi ci (t)= j=0 Xij − j:{Ti,N ≤t} Xij =(j : {Tij ≤ Ti,Ni } = 0, 1, 2, . , Ni )= j:t<Tij

≤Ni Xij Pi ci (t) Aggregált kár: C(t) = Ni=1 P Aggregált függ®kár: R(t) = Ni=1 Ri (t) ci (s)s ≤ t-t ismerjük i : Ti ≤ t FtN = σ{(Tij , Iij , Xij )1 ≤ i ≤ N, j ≥ 0, Ti j ≤ t} De lehet küls® információ is. (Pl tudjuk, hogy dec z }| { 31-én földrengés volt.) Ft = σ{FtN , εt } Ahol εt a küls® információ t-ben. Cél: Jelezzük el®re c( s)s > t|Ft -t! nz}|{ Ft -t®l Mt = E(C(∞)|Ft )=E(R(t) + C(t)|Ft )=E( C(t) |Ft ) + E(R(t)|Ft )=C(t) + E(R(t)|Ft ) 0 0 z }| { z }| { 2 Vt = D (C(∞)|Ft )=D (R(t)+C(t)|Ft )=D (R(t)|Ft )+D (C(t)|Ft ) + 2cov(C(T ), R(t)|Ft )=D2 (R(t)|Ft ) (Mt , Ft ) reguláris martingál 2 2 2 b®vebb sz¶kebb z}|{ z}|{ (Kell: E(Mt |Fs ) = Ms Biz: E(E(C(∞)| Ft )| Fs )=E(E(C(∞)|Fs ))=Ms ) (Rt , Ft ) szupermartingál (Biz. ld lejjebb) Tényleg szupermartingál (Rt , Ft ), azaz E(Vt |Fs ) ≤ Vs ? Igen! Biz.: E(D2 (C(∞)|Ft )|Fs )=(D2 (X|F) =E(X 2 |F) − E 2 (X|F) =) E(E(C 2 (∞)|Ft )|Fs − E((E(C(∞)|Ft ))2 )|Fs ) =(E(X 2

|F) = E 2 (X|F) + D2 (X|F) ⇒ E(X 2 |F) ≥ (E(X|F))2 ⇒ −E(X 2 |F) ≤ −(E(X|F))2 ) b®vebb, elhagyható sz¶kebb b®vebb, elh. sz¶kebb z}|{ z}|{ z}|{ z}|{ Ft )| Fs ) −E 2 (E(C(∞)| Ft )| Fs ) =E(E(C 2 (∞)| = E(C 2 (∞)|Fs ) − E 2 (C(∞)|Fs ) = Vs Az aktuáriusok aggregált adatokkal dolgoznak, C(t)-vel foglalkoznak. Kifutási háromszögek 4 2. háromszög táblázat, ahol az oszlopok nevei: 1, 2, 3, 4 és a soroké 2009 2012 cij =i-ben bekövetkezett és i + j . (Ha a táblázat tetején 0, 1, 2, stb van, akkor i + j − 1) id®szak végéig kizetett pénz. (Csak a tényeket vesszük gyelembe) a háromszög elemei az alábbiakat jelentik: m11 = 2009-ben beköv. és 2009 végéig kizetett károk, m12 = 2010 végéig kizetett károk., m13 = 2011 végéig kizetett károk stb A táblázat neve: kumulált kárkizetési/kárkifutási háromszög. Paid runo triangle (Lehet nem kumulált is) Lehet, hogy a sorokhoz kár bekövetkezését írjuk, az

oszlopokba a bejelentési késlekedést. Vagy: sorok: kárbejelentés, oszlopok: késlekedés a kárkizetésre. Lehet, hogy a cellákban a kárkizetések nagysága helyett kár dbszámokat írunk. Incurred triangle: i-ben bekövetkezett és i+j id®szak végéig kizetett pénz. Vagy:i-ben bekövetkezett és i+j id®szak végéig kizetett pénz+ i+j. id®szak végén tételes függ®kár tartalék az i-ben bekövetkezett károkra. Ha nem zetünk kés®bb, csak az 1. táblázat hiányzó részeit kell megbecsülni Utolsó oszlop-f®átló, azaz utolsó oszlop-utolsó ismert érték. 2. háromszög TÁBLÁZAT Utolsó oszlop=összes kizetés, ugyanaz lesz, ott már nincs függ®kár. Cél: utolsó oszlop becslése Tartalék/függ®kár tartalék becslése. Ugyanaz a f®átló, tételes függ®kár tartalékon kívül még ezt kell megképezni. Negatív is lehet a tartalék! Függ®kár tartalék becslése: alsó pl utolsó oszlop-fels® pl f®átló. Kárrendezési ktg. Mi van, ha a

tartalék negatív? Negatív ktg? Megtérülés? (PSzÁF rákérdez) "Lánclétra" módszer a {C1j }; {C2j }; . {CIj } függetlenek, azaz a sorok függetlenek b ∃f0 , f1 , . fJ−1 , hogy E(Cij |Ci,0 , Ci,1 , Ci,j−1 ) = E(Cij |Ci,j−1 ) = fj−1 · Ci,j−1 0 ≤ i ≤ I; j = 1, . J A mátrix nem feltétlenül négyzetes. Pl kárkizetés <3 év, de van 15 év meggyelésünk De általában i = j -t feltesszük. Legyenek a meggyeléseink DI . Di = {Ci,j ; i + j ≤ I; 0 ≤ j ≤ J} Általános megfogalmazás: Ci,j Ci,j−1 közel nem függ i-t®l, azaz kb ugyanakkorák. (1 éves késlekedés ugyan5 annyira növeli meg a kárkizetést.) Az fj növekedési faktor becslése a kérdés. 1.1 Lemma Legyen I = J (Ez fontos feltétel!) Állítás: E(Ci,J |DI ) = E(Ci,J |Ci,I−i ) = Ci,I−i · fI−i fI−i+1 . fJ−1 Ci,0 ,Ci,1 .Ci,I−i z}|{ Di )=(E(K|Ft |Fs )=K|Fs Mert Ci,J azaz K martingál. Kell:s sz¶kebb, mint t, azaz J − 1 ≥ I −

i Mivel J = I , ezért csak az kell, hogy I − 1 ≥ I − i ⇐ −1 ≥ −i ⇐ 1 ≤ i) =E(E(Ci,J |Ci,0 , Ci,1 , . Ci,J−1 )|Ci,0 , Ci,1 , Ci,I−1 )=b miatt =E(E(Ci,J |Ci,J−1 )|Ci,0 , Ci,1 , . Ci,I−1 )=E(E(fj−1 Ci,J−1 |Ci,0 , Ci,1 , Ci,I−1 ) =fj−1 E(E(Ci,J−1 |Ci,0 , Ci,1 , . Ci,I−1 ) =. =fJ−1 fJ−2 fI−i Ci,I−i  Bizonyítás. E(Ci,J | 6