Mathematics | Higher education » Dr. Toledo Rodolfo - Egyváltozós függvények deriváltja

Egyváltozós függvények deriváltja Dr. Toledo Rodolfo 2014. október 4 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. A differenciálhányados és geometriai jelentése 3 3. A derivált fogalma 9 4. Deriválási szabályok 12 5. Inverzfüggvények differenciálása 20 6. Megoldott vegyes feladatok 24 7. Logaritmikus deriválás 30 8. Esetekből álló függvények deriváltja 31 9. Feladatok 36 1 1. Bevezetés A differenciálszámítás a matematikai analízis egyik legfontosabb eszköze, mellyel meg tudjuk vizsgálni milyen gyorsan változik a függvény értéke az egyes helyeken, ami egy jóval részletesebb függvénymegismerésre ad lehetőséget. Segítségével fontos gyakorlati alkalmazhatósággal bíró tulajdonságokat is meghatározhatunk, mint a függvény monotonitását, szélsőértékhelyeit, a függvényhez húzott érintőt, stb. Ezek olyan fontos alkalmazási területek, melyeknek már az ókorban is komoly hagyományai voltak, igaz akkor még

végtelen kicsiny mennyiségekkel, ú.n infinitezimálisokkal próbáltak számolni Sőt, még a XVIII századig is olyan módszereket alkalmaztak, melyek mai szemmel nézve nem voltak elég precízek, és ezekkel igazolták a megsejtett eredményeket. Csak a határérték fogalmának tisztázása tette lehetővé a pontos számítások elvégzését. A modern analízis kialakulása a XVII. században kezdődött Európában Úgy tanítják, hogy a differenciál- és integrálszámítás egymástól függetlenül Newton és Leibnitz érdeme. A valóságban a differenciálhányados mai, a geometriától független értelmezése egy igen hosszú folyamat eredménye volt, amelyben több matematikus is részt vett. Csak a XIX században nyerte el a differenciálhányados mai alakját és vált alkalmazhatóvá a függvények általános osztályára d’Alambert, Cauchy és Weierstrass munkája révén. Jelen tananyag célja, hogy megtanítsa az olvasót hogyan célszerű az egyváltozós

függvény deriváltját kiszámítani, és ehhez precízen tárgyalja a szükséges elméleti ismereteket és gyakorlati módszereket. Bár a tananyagot az érintő probléma megoldásával kezdjük, nem fogunk további gyakorlati alkalmazásokat bemutatni, ezek más tananyagok részét képezi. A tananyag szerkezete a következő: a 2. részben foglalkozunk a differenciálhányadossal, amivel a 3 részben értelmezzük a derivált függvényt Ennek kiszámítását, a deriválási szabályokat és egyéb fogásokat a következő részekben tárgyaljuk. A tanult módszereket megoldott feladatokon keresztül mutatjuk be, és az utolsó részben megoldás nélkül is adunk fel feladatokat, amivel a olvasó önállóan gyakorolhatja megszerzett tudását. Néhány ábra és animáció segíti az ismeretek megértését, a kiválasztott formátum megfelelően működik Adobe Acrobat Reader szoftverkörnyezetben. 2 2. A differenciálhányados és geometriai jelentése Tanulmányainkat

az ú.n érintő problémával fogjuk elkezdeni Legyen f egy az ]a, b[ nyílt intervallumon értelmezett valós függvény és x0 az intervallum egyik pontja. A kérdés az, hogy hogyan határozhatjuk meg az f függvény görbéjéhez az x0 abszcisszájú pontban húzott érintő egyenletét. A fenti kérdés egy másikat vet fel, még pedig az érintő fogalmát az analízisben. A geometriából olyan intuitív fogalom alakul ki bennünk az érintőről, amely igazán csak olyan speciális görbéknél alkalmazható, mint a kör és további másodrendű görbék. Érintő alatt olyan egyértelműen meghatározható egyenest képzelünk el, amelynek egyetlen közös pontja van a görbével, de nem szeli át, hanem a görbe az érintő pont egy környezetében az érintő ugyanazon félsíkján helyezkedik el. Egy olyan fogalmat keresünk, amely általában megfelel az előző elképzelésünknek, másrészt precíz, jól alkalmazható analitikus eszközöket tartalmaz. Olyan fogalomra

van szükségünk, amellyel el tudjuk dönteni, hogy létezik-e az érintő a megadott x0 abszcisszájú pontban, és ha igen, akkor meghatározhatjuk vele az érintő egyenletét. Induljunk ki abból a tényből, hogy az (x0 , y0 ) ponton átmenő m meredekségű egyenes egyenlete y − y0 . m= x − x0 Az érintő az f függvény görbéjét az (x0 , f (x0 )) pontban metszi, azaz a fenti képletbe y0 = f (x0 ) kerülhet. Ha még az m meredekséget is ismernénk, akkor fel tudnánk írni az érintő egyenletét. A kérdés az, hogy hogyan tudnánk ezt meghatározni. Legyen x az ]a, b[ intervallum egy az x0 -tól különböző pontja és tekintsük azt az egyenest, amely az (x0 , f (x0 )) és az (x, f (x)) pontokon megy át. Mivel ismerjük az egyenes két pontját, így ki tudjuk számolni a meredekségét Ez természetesen függ az x érték megválasztásától és a következő módon jelölhetjük valamint számolhatjuk ki: F (x) := f (x) − f (x0 ) x − x0 (x ∈]a, b[, x 6=

x0 ). A fent értelmezett F függvényt az f x0 pontra vonatkozó különbség- vagy differenciahányados függvényének nevezzük. Ez mutatja, mennyi az (x0 , f (x0 )) és az (x, f (x)) pontokon átmenő egyenes meredeksége és bár általában ez még nem a keresett érintő, ha az x érték elég közel van az x0 értékéhez, akkor ez 3 az egyenes (az animáció piros színű egyenese) majdnem az érintővel egyezik meg, azaz az F (x) érték nagyon megközelíti az érintő meredekségét. y tő érin f f (x) f (x0 ) a x0 x x b Ez a közelítés precíz analitikus eszközökkel leírható, mégpedig határértékszámítással. 1. Definició Legyen f egy az ]a, b[ nyílt intervallumon értelmezett valós függvény és x0 az intervallum egy belső pontja. Az f függvény x0 pontban értelmezett differenciálhányadosa f 0 (x0 ) és az f 0 (x0 ) := lim xx0 f (x) − f (x0 ) x − x0 összefüggéssel határozzuk meg, ha a fenti határérték létezik. Ha az f

függvénynek létezik differenciálhányadosa az x0 pontban, akkor azt is mondjuk, hogy az f függvény differenciálható az x0 pontban. A fentiek értelmében a következő módon értelmezzük az érintő fogalmát: az f függvény görbéjéhez az x0 abszcisszájú pontban húzott érintő az az egyenes, ami az (x0 , f (x0 )) koordinátájú ponton megy át és meredeksége az f függvény x0 pontban értelmezett f 0 (x0 ) differenciálhányadosa, ha ez létezik. Ekkor az érintő egyenlete: y − f (x0 ) f 0 (x0 ) = . x − x0 Ha az f 0 (x0 ) differenciálhányados nem létezik, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény görbéjéhez nem húzható érintő az x0 abszcisszájú pontban. Az előző megállapítások adják meg a differenciálhányados geometriai jelentését. 4 Szeretnénk megjegyezni, hogy a h := x − x0 jelölés bevezetésével a differenciálhányados fogalmában szereplő határérték a következőképpen írható át f (x0 + h) − f (x0 ) . h0 h f 0 (x0

) = lim Ez sokszor megkönnyítheti a számításokat. 1. Feladat A differenciálhányados fogalmának segítségével határozzuk meg az f (x) = x2 függvény görbéjéhez az x0 = 1 abszcisszájú pontban húzott érintő egyenes egyenletét! Megoldás: A differenciálhányados fogalma szerint: y (1 + h)2 − 12 f 0 (1) = lim = h0 h 1 + 2h + h2 − 1 = lim = h0 h 2h + h2 = lim = lim (2 + h) = 2. h0 h0 h 1 2 Másrészt f (1) = 1 = 1, így behelyettesíthetjük ezeket az érintő egyenes egyenletében: f 0 (1) = y − f (1) x−1 ⇒ 2= y−1 x−1 1 x f (x) = x2 amiből átrendezés után az y = 2x − 1 végeredményt kapjuk. Érintőt csak olyan pontokban kereshetünk, ahol a függvény folytonos. 1. Tétel Ha az f függvény az x0 pontban differenciálható, akkor ott folytonos is Bizonyítás. A következő számítás szerint f (x) − f (x0 ) · (x − x0 ) = x − x0 f (x) − f (x0 ) = lim lim x − x0 = f 0 (x0 ) · 0 = 0 xx0 xx0 x − x0 lim f (x) − f (x0 ) =

lim xx0 xx0 azaz xx lim f (x) = f (x0 ), amiből állításunk rögtön következik. 0 5 Azonban akkor sem biztos, hogy az érintő létezik, ha a vizsgált függvény folytonos. Ehhez jó példa az f (x) = |x| az x0 = 0 pontban Vegyük észre, hogy több olyan egyenes létezik, melyeknek egyetlen közös pontja van a görbével, de nem szelik át. Ez azért lehetséges, mert az y |h| |0 + h| − |0| = lim h0 h h0 h f 0 (0) = lim 0 határérték nem létezik, hiszen a bal- és jobboldali határértékek nem egyeznek meg: lim+ h0 |h| h = lim+ = 1 h0 h h és lim− h0 x f (x) = |x| |h| −h = lim− = −1. h0 h h A differenciálhányados létezésének vizsgálatánál gyakran e két határérték létezését és egyezését vizsgáljuk. 2. Definició Legyen x0 ∈ R, b > x0 és f egy az [x0 , b[ intervallumon értelmezett valós függvény. Az f függvény x0 pontban értelmezett baloldali differenciálhányadosa f−0 (x0 ) és az f−0 (x0 ) := lim− xx0 f

(x) − f (x0 ) x − x0 összefüggéssel határozzuk meg, ha a fenti határérték létezik. 3. Definició Legyen x0 ∈ R, a < x0 és f egy az ]a, x0 ] intervallumon értelmezett valós függvény Az f függvény az x0 pontban értelmezett jobboldali differenciálhányadosa f+0 (x0 ) és az f+0 (x0 ) := lim+ xx0 f (x) − f (x0 ) x − x0 összefüggéssel határozzuk meg, ha a fenti határérték létezik. Nyilvánvaló, a differenciálhányados akkor és csak akkor létezik, ha létezik a bal- és jobboldali differenciálhányados és a kettő megegyezik. A differenciálhányadossal megadott érintő fogalma általában rendelkezik a geometriából elvárt tulajdonságokkal, azonban ez nem minden esetben igaz. Valójában az a követelmény, hogy az érintő nem szelheti át a függvény görbéjét az érintő pont tetszőleges környezetében, az új definíció értelmében nem állja meg mindig a helyét. Ez a helyzet az f (x) = x3 függvény esetében az x0 = 0

abszcisszájú pontban. 6 Tudniillik a differenciálhányados fogalma szerint: 3 y 3 (0 + h) − 0 = h0 h h3 = lim = lim h2 = 0. h0 h h0 f 0 (0) = lim Ez azt jelenti, hogy az érintő meredeksége 0. Mivel az érintő az origón megy át, így az egyenlete y = 0 lesz, ami átszeli a függvény grafikonját az origó tetszőleges környezetében. 0 x f (x) = x3 2. Feladat A definíció segítségével döntse el, hogy differenciálhatóak-e az alábbi függvények a megadott pontban! Határozza meg a differenciálhányadost, ha létezik! a) f (x) = 5x2 − 2x + 1, √ b) f (x) = x + 1, c) f (x) = x0 = 2, x0 = 1, 1 , x x0 = −1, d) f (x) = x|x|, e) f (x) = f ) f (x) = x0 = 0, |x − 1| , x  1 − x x2 − x + 1 x0 = 1, ha x < 0 , ha x ≥ 0 x0 = 0. Megoldás: (a) f (x) = 5x2 − 2x + 1, x0 = 2, f (2 + h) − f (2) = h0 h 5(2 + h)2 − 2(2 + h) + 1 − (5 · 22 − 2 · 2 + 1) = lim = h0 h 5h2 + 18h = lim = lim (5h + 18) = 18 h0 h0 h A keresett

differenciálhányados létezik és értéke 18. f 0 (2) = lim 7 √ (b) f (x) = x + 1, x0 = 1, √ √ f (1 + h) − f (1) 1 + h + 1 − ( 1 + 1) f (1) = lim = lim = h0 h0 h h √ √ √ 1+h−1 1+h−1 1+h+1 = lim = lim ·√ = h0 h0 h h 1+h+1 0 = lim h0 1 1 1+h−1 √ = lim √ = . h0 2 h( 1 + h + 1) 1+h+1 A keresett differenciálhányados létezik és értéke (c) f (x) = 1 . 2 1 , x0 = −1, x 1 − f (−1 + h) − f (−1) = lim −1+h h0 h0 h h 1 1−1+h = lim = −1. = lim h0 h − 1 h0 h(h − 1) f 0 (−1) = lim 1 −1 = A keresett differenciálhányados létezik és értéke −1. (d) f (x) = x|x|, x0 = 0, f (0 + h) − f (0) (0 + h)|0 + h| − 0 · |0| = lim = h0 h0 h h h|h| = lim = lim |h| = 0. h0 h h0 A keresett differenciálhányados létezik és értéke 0. f 0 (0) = lim (e) f (x) = |x − 1| , x0 = 1, x f (1 + h) − f (1) = lim h0 h0 h f 0 (1) = lim |1+h−1| 1+h h − 1−1 1 |h| h0 (1 + h)h = lim Ezért f−0 (1) = lim− |h| −h

−1 = lim− = lim− = −1, (1 + h)h h0 (1 + h)h h0 (1 + h) f+0 (1) = lim+ |h| h 1 = lim+ = lim+ = 1. (1 + h)h h0 (1 + h)h h0 (1 + h) h0 h0 Mivel f−0 (1) 6= f+0 (1), így a keresett differenciálhányados nem létezik. 8 (f) f (x) =  1 − x x2 − x + 1 ha x < 0 , x0 = 0, ha x ≥ 0 Számoljuk ki külön-külön a bal- és jobboldali differenciálhányadost! A függvény megadásából f (0) = 1 adódik. f−0 (0) = lim− f (0 + h) − f (0) 1 − (0 + h) − 1 −h = lim− = lim− = −1, h0 h0 h h h f+0 (0) = lim+ f (0 + h) − f (0) (0 + h)2 − (0 + h) + 1 − 1 = lim+ = h0 h h h0 h0 = lim+ h0 h2 − h = lim+ h − 1 = −1. h0 h f−0 (1) = f+0 (1), így a keresett differenciálhányados létezik és értéke -1. 3. A derivált fogalma Az előző részben a differenciálhatóságot a függvény egy rögzített x0 pontjában mondtuk ki. E fogalom kiterjeszthető a függvény egészére a következő módon. 4. Definició Legyen f egy az ]a,

b[ nyílt intervallumon értelmezett valós függvény és H ⊆]a, b[. Akkor mondjuk, hogy a függvény differenciálható a H halmazon, ha minden H-beli pontban differenciálható. Ha minden értelmezési tartománybeli pontban differenciálható, akkor a függvényt differenciálhatónak nevezzük 5. Definició Azt a függvényt, amely minden ponthoz, ahol az f függvény differenciálható, hozzárendeli a pont differenciálhányadosát és a legbővebb halmazon értelmezett, az f függvény deriváltjának nevezzük és f 0 -vel jelöljük. Lássunk egy példát! Határozzuk meg az f (x) = x2 függvény deriváltját! Alkalmazzuk a differenciálhányados definícióját! Legyen x egy tetszőleges valós szám. Ekkor (x + h)2 − x2 x2 + 2xh + h2 − x2 = lim = h0 h0 h h 2xh + h2 = lim = lim 2x + h = 2x. h0 h0 h f 0 (x) = lim 9 Ezzel egy újabb függvényt kaptunk, az f 0 (x) = 2x függvényt, amelyet az f (x) = x2 függvényből származtattuk a differenciálhányadosban

szereplő határérték meghatározásával egy általános helyzetű pontban, és ezt (x2 )0 = 2x módon jelöljük. Ezt nevezzük a függvény deriváltjának, amely megadja a függvény görbéjéhez tetszőleges x abszcisszájú pontban húzott érintő meredekségét, ha ez létezik. Az előbbi példában az f (x) = x2 függvény görbéjéhez húzott érintő meredeksége 4, ha az x = 2 abszcisszájú pontban nézzük, 6, ha az x = 3 pontban, és így tovább. 3. Feladat Igazolja a következő függvények deriváltjainak kiszámítását! a) Ha f (x) = c, akkor f 0 (x) = 0, b) Ha f (x) = xn , akkor f 0 (x) = nxn−1 , ahol n egy pozitív egész szám, ahol c egy állandó szám, c) Ha f (x) = sin x, akkor f 0 (x) = cos x, akkor f 0 (x) = d) Ha f (x) = ln x, 1 . x Megoldás: A megfelelő differenciálhányados kiszámításával: (a) f (x) = c. f (x + h) − f (x) c−c = lim =0 h0 h0 h h f 0 (x) = lim (b) f (x) = xn . A binomiális tétel szerint n (x + h) = n X k=0

! n n−k k x h = k ! n n−1 = x + nx n n−2 2 h+ x h + · · · + nxhn−1 + hn . 2 Ekkor n X (x + h)n − xn n n−k k−1 f (x) = lim = lim x h = h0 h0 h k=1 k ! 0 ! n−1 = lim nx h0 n n−2 x h + · · · + nxhn−2 + hn−1 = nxn−1 , + 2 hiszen ha h = 0, akkor az előző szumma minden tagja nulla, az első tag kivételével. 10 (c) f (x) = sin x. Az addíciós tétel szerint: sin(x + h) − sin x = h0 h sin x cos h + cos x sin h − sin x = = lim h0 h ! sin x(cos h − 1) cos x sin h = lim + . h0 h h f 0 (x) = lim Szorozzuk és osszuk az első hányadost cos h + 1-gyel! Ekkor ! sin x(cos2 h − 1) cos x sin h f (x) = lim + = h0 h(cos h + 1) h ! sin x sin2 h cos x sin h = lim − + = h0 h(cos h + 1) h ! 1 sin h sin h · + cos x · = = lim − sin x sin h · h0 h cos h + 1 h 1 = − sin x · 0 · 1 · + cos x · 1 = cos x, 1+1 0 hiszen a következő nevezetes határértékek igazak: sin h = 1, h0 h lim lim sin h = 0, lim cos h = 1. h0 h0 (d) f (x) = ln

x. A logaritmus loga b − loga c = loga b c és k loga b = loga bk ismert tulajdonságai alkalmazásával ln(x + h) − ln x 1 x+h f (x) = lim = lim · ln h0 h0 h h x 0 1 h = lim · ln 1 + h0 h x ! h = lim ln 1 + h0 x ! = !1 h = lim ln 1 + h0 1 x 1 h !1 h . A logaritmus függvény folytonossága miatt ki tudjuk cserélni a limeszt és a logaritmust a fenti kifejezésben: f 0 (x) = ln lim 1 + h0 11 1 x 1 h !1 h Korábbi tanulmányainkban igazoltuk a következő nevezetes határértéket: lim y∞ a 1+ y !y = ea minden a valós szám esetén. Ezt fogjuk alkalmazni a keresett határérték 1 kiszámításához, először a jobboldali határértéknél. Vegyük az a = és x 1 y = helyettesítést. Ekkor h lim+ 1 + h0 1 x 1 h !1 a 1+ y h = lim y∞ !y 1 = ea = e x . 1 1 A baloldali határérték kiszámításához alkalmazzuk az a = − és y = − x h helyettesítést. Ekkor lim h0− 1+ 1 x 1 h !1 −1 1 + x1 −h h = lim− h0 " =

lim y∞ a 1+ y !1 a 1+ y h = lim y∞ !y #−1 h !−y = 1 = [ea ]−1 = e− x i−1 1 = ex . Mivel a bal- és jobboldali határérték megegyezik, így a határérték létezik és 0 f (x) = ln lim 1 + h0 1 x 1 h !1 h 1 = ln e x = 1 . x 4. Deriválási szabályok A továbbiakban nem folytatjuk azt az utat, hogy a definíció alapján határozzuk meg a függvények deriváltját. Nagyon hosszadalmas lenne, ha mindig így tennénk, ezért egy másik számítási módszert fogunk alkalmazni, ha a függvény előáll elemi függvényekből véges számú művelet, kompozíció (összetett függvény) és inverzképzés segítségével. Célunk az, hogy ún deriválási szabályokat alkossunk, melyekkel véges számú lépés után ki tudjuk számolni az „összetettebb” függvények deriváltját, ismerve a képletét alkotó elemi függvények deriváltját, és így kikerüljük a differenciálhányados definíciójában szereplő határérték

kiszámítását. Amikor egy függvényt deriválunk, akkor mindig az előbb említett számítási módszerre gondolunk. 12 Az első szabály lényegében azt mondja ki, hogy a szorzó konstansokat ki tudjuk emelni a deriválásból. 2. Tétel Legyen ]a, b[ egy nyílt intervallum, f : ]a, b[ R, c ∈ R egy állandó és x ∈]a, b[. Ha az f függvény differenciálható az x pontban, akkor a cf függvény is differenciálható az x pontban és (cf )0 (x) = cf 0 (x). Bizonyítás. A differenciálhányados fogalma alapján cf (x + h) − cf (x) f (x + h) − f (x) = lim c · = h0 h0 h h f (x + h) − f (x) = cf 0 (x), = c lim h0 h (cf )0 (x) = lim amiből rögtön következik az igazolandó állítás. Az előző tétel szerint (5x3 )0 = 5 · 3x2 = 15x2 , (2 sin x)0 = 2 cos x, 3 (3 ln x)0 = , x stb. Továbbá, általánosíthatjuk vele a logaritmus deriváltját tetszőleges alapú logaritmus esetére 4. Feladat Legyen a > 0 és a 6= 1 Igazoljuk, hogy (loga x)0 = 1 x ln a

Megoldás: A logaritmus tulajdonságaiból következik, hogy loga x = ln x , ln a ahol ln a egy konstans, hiszen nem szerepel benne x változó. Ezért a 4 Tétel szerint 0 (loga x) = ln x ln a !0 = 1 1 1 1 · (ln x)0 = · = . ln a ln a x x ln a 13 A következő szabály azt biztosítja, hogy tagokból álló függvényeket tagonként deriválhassunk. 3. Tétel Legyen ]a, b[ egy nyílt intervallum, f, g : ]a, b[ R, valamint x ∈]a, b[. Ha az f és g függvények differenciálhatók az x pontban, akkor az f + g függvény is differenciálható az x pontban és (f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x). Bizonyítás. (f + g)(x) = f (x) + g(x) minden x ∈]a, b[ esetén Ekkor a differenciálhányados fogalma alapján (f + g)(x + h) − (f + g)(x) = h f (x + h) + g(x + h) − (f (x) + g(x)) = lim = h0 h g(x + h) − g(x) f (x + h) − f (x) + lim = = lim h0 h0 h h (f + g)0 (x) = lim h0 = f 0 (x) + g 0 (x), amiből rögtön következik az igazolandó állítás. A fenti szabályok

alkalmazásával könnyű megoldani a következő feladatot. Deriváljuk a következő függvényt! f (x) = 5x4 + 2 ln x − 3 sin x + x − 4 Vegyük észre, hogy a fenti függvény tagokból áll, minden tagban szereplő függvény egy konstans és egy olyan függvény szorzata, melynek már tudjuk a deriváltját. Ezért f 0 (x) = (5x4 )0 + (2 ln x)0 + (−3 sin x)0 + (x)0 + (−4)0 = 1 2 = 5 · 4x3 + 2 · − 3 cos x + 1 − 0 = 20x3 + − 3 cos x + 1. x x Szorzó tényezők esetén nem igaz, hogy az eredmény a tényezők deriváltjának szorzata lenne. A szabály az, hogy egy szorzat deriváltja az egyik tényező deriváltja és a másik tényező szorzata plusz ugyanez fordított sorrendben. Ezt a szabályt mutatja a következő tétel. 14 4. Tétel Legyen ]a, b[ egy nyílt intervallum, f, g : ]a, b[ R és x ∈]a, b[ Ha az f és g függvények differenciálhatók az x pontban, akkor az f g függvény is differenciálható az x pontban és (f g)0 (x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g

0 (x). Bizonyítás. (f g)(x) = f (x)g(x) minden x ∈]a, b[ esetén Ekkor a differenciálhányados fogalma alapján (f g)(x + h) − (f g)(x) f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x) = lim = h0 h0 h h (f g)0 (x) = lim f (x + h)g(x + h) − f (x)g(x + h) + f (x)g(x + h) − f (x)g(x) = h0 h = lim (f (x + h) − f (x))g(x + h) + f (x)(g(x + h) − g(x)) = h0 h = lim f (x + h) − f (x) g(x + h) − g(x) lim g(x + h) + f (x) lim = h0 h0 h0 h h = lim = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x), hiszen a g függvény folytonos az x pontban, mert ott differenciálható, azaz lim g(x + h) = g(x). Ezzel a tétel állítását igazoltuk h0 Lássunk egy példát! Deriváljuk a következő függvényt! f (x) = (6x5 + x + e2 ) sin x Vegyük észre, hogy a fenti függvény két függvény szorzatából áll! Ezért a függvények szorzatára vonatkozó deriválási szabályt alkalmazzuk. f 0 (x) = (6x5 + x + e2 )0 sin x + (6x5 + x + e2 )(sin x)0 . Ezzel sikerült a feladatot két egyszerűbb feladatra

felbontani. Külön-külön megoldjuk őket és behelyettesítjük az eredményeket a fenti képletbe. Mivel (6x5 + x + e2 )0 = 30x4 + 1 és (sin x)0 = cos x, így behelyettesítés után a feladat megoldása f 0 (x) = (30x4 + 1) sin x + (6x5 + x + e2 ) cos x. Szeretnénk megjegyezni, hogy az e2 kifejezés konstansnak kell tekinteni, mert nem tartalmaz x változót, ezért deriváltja 0. 15 Hányados deriváltja a számláló deriváltja és a nevező szorzata mínusz ugyanez fordított sorrendben, elosztva a nevező négyzetével. 5. Tétel Legyen ]a, b[ egy nyílt intervallum, f, g : ]a, b[ R és x ∈]a, b[ Ha az f és g függvények differenciálhatók az x pontban és g(x) 6= 0, akkor az f függvény is differenciálható az x pontban és g f g !0 (x) = f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) . g 2 (x) ! f f (x) Bizonyítás. (x) = minden x ∈]a, b[ esetén. Ekkor a differenciálg g(x) hányados fogalma alapján  0 f (x) = lim h0 g = lim h0   f g (x + h) − h   f g

(x) = lim f (x+h) g(x+h) h0 − h f (x) g(x) = f (x + h)g(x) − f (x)g(x + h) = hg(x + h)g(x) f (x + h)g(x) − f (x)g(x) + f (x)g(x) − f (x)g(x + h) = h0 hg(x + h)g(x) = lim (f (x + h) − f (x))g(x) − f (x)(g(x + h) − g(x)) = hg(x + h)g(x)   1 f (x + h) − f (x) g(x + h) − g(x) 1 lim lim g(x) − f (x) lim = = h0 g(x) h0 g(x + h) h0 h h = lim h0 = 1 g 2 (x) · f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x), hiszen a g függvény folytonos az x pontban, mert differenciálható, illetve 1 1 g(x) 6= 0, azaz lim = . Ezzel a tétel állítását igazoltuk h0 g(x + h) g(x) Lássunk egy példát az előbbi hányadosra vonatkozó szabály alkalmazására! Deriváljuk a következő függvényt! x3 + 3x + 1 f (x) = ln x 16 Vegyük észre, hogy a fenti függvény két függvény hányadosából áll! Ezért f 0 (x) = (x3 + 3x + 1)0 ln x − (x3 + 3x + 1)(ln x)0 . ln2 x Most is sikerült a feladatot két egyszerűbb feladatra felbontani. Itt is különkülön megoldjuk őket és

behelyettesítjük az eredményeket a fenti képletbe Mivel (x3 + 3x + 1)0 = 3x2 + 3 és (ln x)0 = 1 , x így behelyettesítés után a feladat megoldása f 0 (x) = (3x2 + 3)0 ln x − (x3 + 3x + 1) ln2 x 1 x. A fenti eredményen nem szükséges tovább átalakítani, így ezt tekinthetjük végeredménynek. Próbáljuk meg deriválni a következő függvényt! h(x) = sin x2 . Ez a kifejezés nem a szinusz és az x2 függvény szorzata, hiszen akkor (sin x)x2 vagy x2 sin x módon írnánk. A h függvény zárójelekkel a h(x) = sin(x2 ) módon írható, amiből látható, hogy h egy összetett függvény, hiszen felírható h(x) = f (g(x)) formában, ahol f (x) = sin x és g(x) = x2 . Az előző példa a következő, az összetett függvényre vonatkozó deriválási szabállyal oldható meg. 6. Tétel Legyen ]a, b[ és ]c, d[ két nyílt intervallum, valamint f : ]c, d[ R, g : ]a, b[ R és x ∈]a, b[ olyan pont, hogy y := g(x) eleme a ]c, d[ intervallumnak. Ha a g függvény

az x helyen differenciálható és az f függvény az y helyen differenciálható, akkor az (f ◦ g)(x) := f (g(x)) összetett függvény az x helyen is differenciálható és (f ◦ g)0 (x) = f 0 (g(x))g 0 (x). 17 Bizonyítás. Jelölje s := g(x + h) − g(x), ahol h olyan kicsi szám, hogy x + h ∈]a, b[ és g(x + h) ∈]c, d[. A g függvény folytonos az x pontban, mert ott differenciálható. Ebből következik, hogy s 0, ha h 0 Ekkor az y := g(x) jelölés mellett f (g(x + h)) − f (g(x)) = h0 h (f ◦ g)0 (x) = lim f (g(x + h)) − f (g(x)) g(x + h) − g(x) · = h0 g(x + h) − g(x) h = lim = lim s0 f (s + y) − f (y) g(x + h) − g(x) lim = h0 s h = f 0 (y)g 0 (x) = f 0 (g(x))g 0 (x), amiből a tétel állítása következik. Az előző tétel azt mondja ki, hogy összetett függvények deriváltja nem más, mint a külső függvény deriváltja úgy, hogy a belső függvény érintetlen marad, szorozva a belső függvény deriváltjával. Ezzel a h(x) =

sin x2 függvényt a következőképpen deriváljuk: h(x) = f (g(x)), ahol a külső függvény f (x) = sin x és a belső függvény g(x) = x2 . Mivel f 0 (x) = cos x és g 0 (x) = 2x, így h0 (x) = f 0 (g(x))g 0 (x) = cos(x2 )2x. Teljesen más eredményre jutunk, ha a h(x) = sin2 x függvényt deriváljuk. Nézzük figyelmesen a függvény megadását! Itt a négyzetre emelés az egész szinusz függvényre vonatkozik, ami miatt h(x) = (sin x)2 . Ezért a külső függvény f (x) = x2 és a belső függvény g(x) = sin x, ami éppen fordítva volt az előző feladatban. Mivel f 0 (x) = 2x és g 0 (x) = cos x, így h0 (x) = f 0 (g(x))g 0 (x) = 2 sin x cos x. Hasonló módon lehet a h(x) = (x3 + 2x)10 függvényt deriválni. Ebben az esetben a külső függvény f (x) = x10 , melynek deriváltja f 0 (x) = 10x9 . A belső függvény g(x) = x3 + 2x, melynek deriváltja g 0 (x) = 3x2 + 2. Ezért h0 (x) = f 0 (g(x))g 0 (x) = 10(x3 + 2x)9 (3x2 + 2). 18 Az előzőekben láttuk, hogy a

deriválási szabályok mennyire megkönnyítik a számításokat, ha tudjuk deriválni a „képletet alkotó” elemi függvényeket. A következő feladatban további elemi függvények deriváltjával gazdagítjuk ismereteinket. 5. Feladat Igazolja a következő függvények deriváltjainak kiszámítását! a) Ha f (x) = cos x, akkor f 0 (x) = − sin x, b) Ha f (x) = tg x, akkor f 0 (x) = c) Ha f (x) = ctg x, akkor 1 , cos2 x 1 f 0 (x) = − 2 . sin x Megoldás: (a) f (x) = cos x. Az ismert π cos x = sin −x 2   π sin x = cos −x 2  és  összefüggésekből következik az összetett függvényre vonatkozó deriválási szabály alkalmazásával, tudniillik 0 π π π −x = sin0 −x · −x (cos x) = sin 2 2 2   π = cos − x · (−1) = − sin x. 2 0       0 = (b) f (x) = tg x. Alkalmazhatjuk a hányadosra vonatkozó deriválási szabályt, hiszen (tg x)0 = =  sin x cos x 0 = (sin x)0 cos x − sin x(cos x)0 = cos2 x cos x cos

x − sin x(− sin x) cos2 x + sin2 x 1 = = . 2 2 cos x cos x cos2 x (c) f (x) = ctg x. A tangens függvényhez hasonlóan: (ctg x)0 = =  cos x sin x 0 = (cos x)0 sin x − cos x(sin x)0 = sin2 x − sin x sin x − cos x(cos x) cos2 x + sin2 x 1 = − =− 2 . 2 2 sin x sin x sin x 19 Szeretnénk megjegyezni, hogy az összetett függvényekre vonatkozó szabály többszintű összetettség esetén is alkalmazható. Például az f (x) := tg3 (x2 + x) függvény összetett és külső függvénye a köbre emelés. Ezért azzal kezdünk deriválni f 0 (x) = 3 tg2 (x2 + x)(tg(x2 + x))0 . A tg(x2 + x) függvény szintén összetett, külső függvénye a tangens, így (tg(x2 + x))0 = 1 cos2 (x2 + x) (x2 + x)0 = 1 cos2 (x2 + x) (2x + 1). Összefoglalva f 0 (x) = 3 tg2 (x2 + x) 1 cos2 (x2 + x) (2x + 1). A külső függvénytől „befelé” haladva deriválunk. A külső függvényt deriváljuk és ebbe a belső függvényt behelyettesítjük, majd megszorozzuk a

belső függvény deriváltjával, ami egy összetett függvény lehet, így az eljárást megismételjük az összetett belső függvénnyel is. Előfordul tehát, hogy az eljárást többször meg kell ismételni, amíg eljutunk egy nem összetett belső függvényig, menet közben a már derivált részekkel láncot alkotunk egymás után megszorozva őket. Ezért ezt a szabályt láncszabálynak is nevezik 5. Inverzfüggvények differenciálása A következő szabállyal meghatározhatjuk egy függvény inverzének deriváltját az eredeti függvény deriváltjának segítségével. 7. Tétel Legyen ]a, b[ egy nyílt intervallum, f : ]a, b[ R egy folytonos szigorúan monoton függvény, továbbá x ∈]a, b[. Ha az f függvény az x helyen differenciálható, valamint f 0 (x) 6= 0, akkor az f −1 függvény differenciálható az y := f (x) helyen és (f −1 )0 (y) = 1 1 = . f 0 (x) f 0 (f −1 (y)) 20 Bizonyítás. A függvények pontbeli határértékéről és

folytonosságáról szóló ismereteinkből tudjuk, hogy egy intervallumon értelmezett szigorúan monoton és folytonos függvény invertálható és az inverz függvénye folytonos. Ezért a tétel feltételeit teljesítő függvény inverze létezik és folytonos az y pontban. Jelölje s := f −1 (y + h) − f −1 (y), ahol h olyan kicsi szám, hogy az előbbi kifejezés értelmezhető. Mivel x = f −1 (y), így s = f −1 (y + h) − x, azaz h = f (x + s) − f (x). Az f −1 függvény folytonos az y pontban, ezért s 0, ha h 0. Ekkor f −1 (y + h) − f −1 (y) = h0 h x+s−x = lim = s0 f (x + s) − f (x) (f −1 )0 (y) = lim = 1 1 = 0 , f (x + s) − f (x) f (x) lim s0 s amiből a tétel állítása következik. A következő eredménynek nagyon nagy jelentősége van a matematikai analízisben és alkalmazási területein. 6. Feladat Igazolja, hogy (ex )0 = ex Megoldás: Tudjuk, hogy az exponenciális függvény a logaritmus függvény inverze. Ezért az y = f (x) =

ln x és x = f −1 (y) = ey jelölések mellett (ey )0 = (f −1 )0 (y) = hiszen f 0 (x) = (ln x)0 = 1 f 0 (x) = 1 1 x = x = ey 1 . x Ha az exponenciális függvény kitevőjében egy tetszőleges függvény szerepel, akkor egy összetett függvénnyel állunk szemben, melynek külső függvénye az 2 f (x) = ex . Lássunk egy példát! Deriváljuk a h(x) = ex −3x függvényt! Ez egy összetett függvény, ahol a külső függvény f (x) = ex és a belső függvény g(x) = x2 − 3x. Mivel f 0 (x) = ex és g 0 (x) = 2x − 3, így 2 −3x h0 (x) = f 0 (g(x))g 0 (x) = ex (2x − 3), azaz ilyenkor a változatlan exponenciális kifejezést megszorozzuk a kitevő deriváltjával. 21 Ha az exponenciális függvény alapja nem az e szám, akkor a következő módon kell deriválni. 7. Feladat Legyen a > 0 és a 6= 1 Ekkor (ax )0 = ax ln a. Megoldás: Mivel az ex és az ln x függvények egymás inverzei, így x ax = eln a = ex ln a . Az ln a egy konstans, ezért a

Lánc-szabály szerint (ax )0 = (ex ln a )0 = ex ln a (x ln a)0 = ex ln a ln a = ax ln a. Már igazoltuk, hogy (xn )0 = nxn−1 , ahol n egy pozitív egész szám. Az előbbi feladat megoldásában alkalmazott trükkel igazolhatjuk az előző összefüggést minden valós szám esetén. 8. Feladat Legyen α egy tetszőleges valós szám Ekkor (xα )0 = αxα−1 . Megoldás: Mivel az ex és az ln x függvények egymás inverzei, így α xα = eln x = eα ln x . Ekkor (xα )0 = (eα ln x )0 = eα ln x (α ln x)0 = eα ln x α · 1 1 = xα α · = αxα−1 . x x Az előző feladatból következik, hogy √ 1 1 1 1 ( x)0 = (x 2 )0 = x− 2 = √ . 2 2 x Hasonlóan  0 1 x = (x−1 )0 = (−1)x−2 = − 1 . x2 Hátra vannak még a trigonometrikus függvények inverzei, az ú.n ciklometrikus vagy arkusz függvények Deriváltjukat az inverz függvényre vonatkozó deriválási szabállyal fogjuk kiszámítani. 22 9. Feladat 1 a) (arcsin x)0 = √ , 1 − x2 b) (arctg x)0 =

1 1 + x2 Megoldás: π π (a) Jelölje y = f (x) = sin x és x = f −1 (y) = arcsin y, ahol − ≤ x ≤ . 2 2 Ekkor 1 1 1 (arcsin y)0 = (f −1 )0 (y) = 0 = = . 0 f (x) sin x cos x Mivel cos x > 0, így cos2 x + sin2 x = 1 ⇒ cos x = q 1 − sin2 x. Ezért (arcsin y)0 = 1 1 1 1 =√ =√ =q , 2 2 cos x 1 − y2 1 − sin x 1 − sin (arcsin y) hiszen a szinusz és az arkusz szinusz függvények egymás inverzei, amiből sin(arcsin y) = y következik. π π (b) Jelölje y = f (x) = tg x és x = f −1 (y) = arctg y, ahol − ≤ x ≤ . 2 2 Ekkor 1 1 1 = 0 = 1 = cos2 x. (arctg y)0 = (f −1 )0 (y) = 0 f (x) tg x cos2 x Mivel tg2 x = sin2 x 1 − cos2 x 1 = = − 1, 2 2 cos x cos x cos2 x így cos2 x = 1 . 1 + tg2 x Ezért (arctg y)0 = cos2 x = 1 1 1 = = 2 2 1 + tg x 1 + tg (arctg y) 1 + y2 hiszen a tangens és az arkusz tangens függvények egymás inverzei, amiből tg(arctg y) = y következik. 23 6. Megoldott vegyes feladatok Foglaljuk össze az eddig tanult

elemi függvények deriváltjait! Ha f (x) = c, akkor f 0 (x) = 0 (c állandó); ha f (x) = xα , akkor f 0 (x) = αxα−1 ha f (x) = ex , akkor f 0 (x) = ex ; ha f (x) = ax , akkor f 0 (x) = ax ln a; ha f (x) = ln x, akkor f 0 (x) = 1 ; x ha f (x) = loga x, akkor f 0 (x) = 1 ; x ln a ha f (x) = sin x, akkor f 0 (x) = cos x; ha f (x) = cos x, akkor f 0 (x) = − sin x; ha f (x) = tg x, akkor f 0 (x) = ha f (x) = ctg x, akkor f 0 (x) = − ha f (x) = arcsin x, akkor f 0 (x) = √ ha f (x) = arccos x, akkor f 0 (x) = − √ ha f (x) = arctg x, akkor f 0 (x) = ha f (x) = arcctg x, akkor f 0 (x) = − 24 (α ∈ R); 1 ; cos2 x 1 ; sin2 x 1 ; 1 − x2 1 ; 1 − x2 1 ; 1 + x2 1 . 1 + x2 10. Feladat Adja meg a következő függvények deriváltját! a) f (x) = 5x8 + 3x3 + x − 1, c) f (x) = 5 log3 x − b) f (x) = d) f (x) = g) f (x) =  2 1 √ , x 2x4 + x2 − 1 √ , x √ 3 f ) f (x) = ex ( x2 + e2 ), 3 + arccos 0,

x 1 e) f (x) = x + 2 ln x, x  x3 2x + 1 , sin x h) f (x) = arctg x , log2 x + x2 √ i) f (x) = ( x + 3)11 , j) f (x) = x−1 , k) f (x) = ln x+1 1 l) f (x) = tg 2 + 4 , x   1 ex2 −x  ,  1 m) f (x) = ln · earctg x , x 2x + sin 2x + 1 √ , n) f (x) = x2 + 1 q 4 o) f (x) = s sin(x2 ex+1 ), p) f (x) = ln Megoldás: (a) Deriváljuk tagonként a függvényt! Az eredmény f 0 (x) = 40x7 + 9x2 + 1. (b) Alakítsuk át a függvényt xα alakban! f (x) = 1 x3 x 1 2 = 1 x 7 2 7 = x− 2 Ez már kiszámítható az (xα )0 = αxα−1 összefüggéssel 7 7 9 7 f 0 (x) = (x− 2 )0 = − x− 2 = − √ . 2 2 x9 (c) Deriváljuk tagonként a függvényt! Az eredmény f 0 (x) = 5 3 + 2, x ln 3 x hiszen arccos 0 egy konstans, deriváltja 0. 25 sin x + x . cos x − x (d) Átalakítással f (x) = 7 3 1 x2 1 2x4 + x2 − 1 2x4 √ = 1 + 1 − 1 = 2x 2 + x 2 − x− 2 . x x2 x2 x2 Ekkor 5 3 1 1 3 f 0 (x) = 7x 2 + x 2 + x− 2 . 2 2 A derivált a

hányadosra vonatkozó szabállyal is kiszámítható. (e) A szorzásra vonatkozó szabály alapján 1 ln x + x + 2 (ln x)0 = f (x) = x + x x     1 1 −3 2 . = 2x − 2x ln x + x + 2 x x 0  2   −2 0  2 (f) A szorzásra vonatkozó szabály alapján √ √ 2 2 1 3 3 f 0 (x) = (ex )0 ( x2 + e2 ) + ex (x 3 + e2 )0 = ex ( x2 + e2 ) + ex x− 3 . 3 (g) A hányadosra vonatkozó szabály alapján f 0 (x) = 2x (ln 2) sin x − (2x + 1) cos x (2x + 1)0 sin x − (2x + 1)(sin x)0 = . sin2 x sin2 x (h) A hányadosra vonatkozó szabály alapján f 0 (x) = (arctg x)0 (log2 x + x2 ) − arctg x(log2 x + x2 )0 = (log2 x + x2 )2 1 1 2 (log x + x ) − arctg x + 2x 2 2 1 + x x ln 2 = . (log2 x + x2 )2   (i) Az összetett függvényre vonatkozó szabály alapján √ √ √ 1 f 0 (x) = 11( x + 3)10 ( x + 3)0 = 11( x + 3)10 √ . 2 x 26 (j) Átalakítással 1 f (x) = ex2 −x 2 = ex−x . Ekkor az összetett függvényre vonatkozó szabály alapján 2 2 f 0 (x) =

ex−x (x − x2 )0 = ex−x (1 − 2x). (k) Az összetett függvényre vonatkozó szabály alapján 0 f (x) = = 1  x−1 x+1 x−1 x+1 0 = x + 1 (x − 1)0 (x + 1) − (x − 1)(x + 1)0 · = x−1 (x + 1)2 x + 1 1 · (x + 1) − (x − 1) · 1 · . x−1 (x + 1)2 Átalakítás után az eredmény: f 0 (x) = 2 2 x+1 · = 2 . 2 x − 1 (x + 1) x −1 (l) Az összetett függvényre vonatkozó szabály alapján 1 f 0 (x) =  cos2 2 + =− x5 cos2 1 x4 4   0  2 + x−4 = 1 1 x4  cos2 2 +    −4x−5 =  1 . 2+ 4 x (m) A szorzásra vonatkozó szabály alapján 1 0 arctg x 1  arctg x 0 . f (x) = ln e + ln e x x Az összetett függvényre vonatkozó szabály szerint  0  1 ln x  0 = 1  0 1 x 1 x 1 =x − 2 x   =− 1 x és  earctg x 0 = earctg x (arctg x)0 = earctg x 1 . 1 + x2 A végeredmény 1 1 arctg x 1 f (x) = − earctg x + ln e . x x 1 + x2  0 27  (n) A hányadosra vonatkozó szabály alapján √ √ x 0 2 + 1

− (2x + sin 2x + 1)( x2 + 1)0 (2 + sin 2x + 1) x f 0 (x) = . x2 + 1 Az összetett függvényre vonatkozó szabály szerint (2x + sin 2x + 1)0 = 2x ln 2 + (cos 2x) · 2 = 2x ln 2 + 2 cos 2x és √ 1 x ( x2 + 1)0 = √ 2 · 2x = √ 2 . 2 x +1 x +1 A végeredmény f 0 (x) = √ (2x ln 2 + 2 cos 2x) x2 + 1 − (2x + sin 2x + 1) √xx2 +1 x2 + 1 . (o) A láncszabály alkalmazásával 1 f 0 (x) = q (sin(x2 ex+1 ))0 = 2 x+1 2 sin(x e ) 1 cos(x2 ex+1 )(x2 ex+1 )0 = = q 2 x+1 2 sin(x e ) 1 = q cos(x2 ex+1 )(2xex+1 + x2 ex+1 ). 2 x+1 2 sin(x e ) (p) A láncszabály alkalmazásával s sin x + x 1 sin x + x  · q sin x+x  = cos x − x cos x − x 3 s 0 sin x + x  ln cos x − x f 0 (x) = 4 ln3 = 4 ln  s sin x + x  = cos x − x 0 s cos x−x s = 4 ln 3 s = 2 ln 3 sin x + x 1 1 · q sin x+x · q sin x+x cos x − x 2 cos x−x cos x−x sin x + x · cos x − x 1 sin x+x cos x−x 28 sin x + x · cos x − x   sin x + x cos x − x 0 .

0 = A hányadosra vonatkozó szabály alapján  sin x + x cos x − x 0 = (sin x + x)0 (cos x − x) − (sin x + x)(cos x − x)0 = (cos x − x)2 = (cos x + 1)(cos x − x) + (sin x + x)(sin x + 1) . (cos x − x)2 A végeredmény egyszerűsítés után s 0 f (x) = 2 ln 3 1 sin x + x · · cos x − x sin x + x · (cos x + 1)(cos x − x) + (sin x + x)(sin x + 1) . cos x − x 11. Feladat Adja meg a következő függvény deriváltját! ! f (x) = sin 2 x logπ x + arctg(ln x2 ) tg( 13 )+1 √ e x x2 + x + 1 Megoldás: A feladat jól mutatja azt, hogy ha türelmesen és körültekintően dolgozunk, akkor képesek leszünk kiszámítani akármilyen hosszú és bonyolult képlettel megadott függvény deriváltját. A lényeg az, hogy a deriválási szabályokkal részfeladatokra bontjuk, ezeket további részfeladatokra, ha szükséges A végeredmény ! ! x logπ x + arctg(ln x2 ) x logπ x + arctg(ln x2 ) √ √ f (x) = 2 sin cos · x2 + x + 1 x2 + x + 1

√  logπ x + x · x ln1 π + 1+ln12 x2 · x12 · 2x x2 + x + 1 − · x2 + x + 1 0 − (x logπ x + arctg(ln x2 )) 2√x21+x+1 · (2x + 1) x2 +x+1 ! + sin 2  1  · etg( x3 )+1 + 1 x logπ x + arctg(ln x2 ) tg( 13 )+1 x   · (−3x−4 ). √ e 2 2 x +x+1 cos x13 29 7. Logaritmikus deriválás Ha olyan összetett függvényt deriválunk, amelynek külső függvénye egy hatványfüggvény, azaz a kitevőben egy szám szerepel, akkor ezt úgy számítottuk ki, hogy a kitevő lekerült szorzóként az egész kifejezés elé, eggyel csökkentettük a kitevőt és az egészet megszoroztuk az alapban lévő függvény deriváltjával. Például,  1 x+ x 9 !0 1 =9 x + x  8  1 x+ x 0 1 =9 x+ x  8  1 1− 2 . x  Ha a külső függvény exponenciális, azaz az alap egy szám és a kitevőben egy függvény áll, akkor úgy deriváltuk, hogy ugyanazt írtuk le és megszoroztuk az alapban levő szám természetes alapú logaritmusával, valamint a

kitevőben lévő függvény deriváltjával. Például  1 9x+ x 0  1 =9x+ x ln 9 x + 1 x 0  1 = 9x+ x ln 9 1 − 1 . x2  A kérdés az, hogy hogyan lehet deriválni, ha az alap és a kitevő is függvény, azaz mindkettőben az x változó szerepel. Például, deriváljuk a következő függvényt! 1 x  f (x) = x +  x2 (x > 0). , A módszer az, hogy először alakítsuk át a függvényt a következő módon 1 f (x) = x + x   x2 1 = eln(x+ x ) x2 = ex 2 ln(x+ x1 ) . Így már olyan összetett függvényt kaptunk, melynek külső függvénye exponenciális, ezért már ki tudjuk számítani a deriváltját. 0 x2 ln(x+ x1 )  f (x) = e x2 ln(x+ x1 ) =e 1 = x+ x   x2 1 x ln x + x 2  0 = 1 1 2x ln x + + x2 x x+   1 x 1 1 2x ln x + + x2 x x+  1 1− 2 x    1 x Az előző módszert logaritmikus deriválásnak nevezzük. 30 ! 1 1− 2 x = ! . 12. Feladat Adja meg a következő függvények deriváltját! a) f

(x) = x  sin x π 0<x< , 2  b) f (x) = (ln x)x+1 (x > 1). Megoldás: Logaritmikus deriválást alkalmazunk. (a) Átalakítással sin x f (x) = xsin x = eln x = esin x ln x . Így f 0 (x) = esin x ln x (sin x ln x)0 = 1 =e cos x ln x + sin x · = x   1 sin x . =x cos x ln x + sin x · x sin x ln x   (b) Átalakítással x+1 f (x) = (ln x)x+1 = eln(ln x) = e(x+1) ln ln x . Így f 0 (x) = e(x+1) ln ln x ((x + 1) ln ln x)0 = 1 1 =e ln ln x + (x + 1) · = ln x x   1 1 x+1 · = (ln x) . ln ln x + (x + 1) ln x x (x+1) ln ln x   8. Esetekből álló függvények deriváltja Ebben a részben olyan függvények differenciálhatóságával foglalkozunk, melyeket különböző intervallumokon más képlettel értelmezünk. Kérdés például, hogy a következő függvény differenciálható-e az x0 = 0 átmeneti pontban f (x) =  1 − x e−x 31 ha x ≤ 0, ha x > 0. Fogalmazzuk meg a problémát még általánosabban. Milyen

tulajdonságokkal bírjanak a b és j függvények ahhoz, hogy differenciálható legyen az    b(x) ha x < x0 , f (x) = y0 ha x = x0 ,    j(x) ha x > x0 függvény az x0 átmeneti pontban? Tudjuk, hogy egy függvény csak akkor lehet differenciálható egy pontban, ha ott folytonos (bár ez nem elegendő). Tehát, ha f differenciálható az x0 pontban, akkor ott folytonos is, azaz a pont bal- és jobboldali határértéke megegyezik és egyenlő a függvény pontbeli értékével. Mivel a pont bal- és jobboldali környezetét a b és a j függvények határozzák meg, így a következő határértékek léteznek és lim b(x) = lim+ j(x) = y0 . xx− 0 xx0 Ez azt jelenti, hogy ha folytonosan terjesztjük ki a b és a j függvényeket az x0 pontra, akkor a b(x0 ) = j(x0 ) = y0 (1) feltételnek teljesülnie kell. A differenciálhatósághoz elegendő, ha létezik a függvény bal- és jobboldali differenciálhányadosa az x0 pontban és a kettő egyenlő,

azaz f−0 (x0 ) = f+0 (x0 ). Azonban (1) miatt f−0 (x0 ) = lim− b(x) − b(x0 ) f (x) − y0 = lim− = b0− (x0 ), x − x0 x − x0 xx0 f+0 (x0 ) = lim+ j(x) − j(x0 ) f (x) − y0 = lim+ = j+0 (x0 ), x − x0 x − x0 xx0 xx0 xx0 ami azt jelenti, hogy léteznie kell a b függvény baloldali és a j függvény jobboldali differenciálhányadosának az x0 pontban úgy, hogy a kettő egyenlő, azaz b0− (x0 ) = j+0 (x0 ) (2) A fentiek értelmében az f függvény differenciálható az x0 = 0 átmeneti pontban akkor és csak akkor, ha egyszerre teljesül az (1) és a (2) feltétel. 32 Térjünk vissza az f (x) =  1 − x e−x ha x ≤ 0, ha x > 0. feladathoz! Az (1) folytonossági feltétel teljesül, hiszen a b(x) = 1 − x, j(x) = e−x , x0 = 0 és y0 = f (x0 ) = 1 jelölések mellett b(0) = 1 − 0 = 1 és j(0) = e−0 = 1. Mivel b0 (x) = −1 és j 0 (x) = −e−x így a (2) feltétel is teljesül, hiszen b0− (0) = b0 (0) = −1 és j+0

(0) = j 0 (0) = −e−0 = −1. Az előbbiek alapján kimondhatjuk, hogy az f függvény differenciálható az x0 = 0 pontban. 13. Feladat Állapítsa meg, hogy differenciálhatóak-e az alábbi függvények a megadott pontokban!  arctg x a) f (x) =  3 x +x ha x ≤ 0, ha x > 0   +1  x √ x0 = 0, ha x ≤ 0, b) f (x) = x+1 ha 0 < x ≤ 3,    ln(x + 1) ha x > 3 x0 = 0, x1 = 3. Megoldás: (a) A b(x) = arctg x, j(x) = x3 + x, x0 = 0 és y0 = f (x0 ) = arcctg 0 = 0 jelölések mellett az (1) feltétel teljesül, hiszen b(0) = arctg 0 = 0 Mivel b0 (x) = hiszen és j(0) = 03 + 0 = 0. 1 és j 0 (x) = 3x2 + 1, így a (2) feltétel is teljesül, 1 + x2 b0− (0) = b0 (0) = 1 =1 1 + 02 és j+0 (0) = j 0 (0) = 3 · 02 + 1 = 1. Ezért az f függvény differenciálható az x0 = 0 pontban és f 0 (0) = 1. 33 (b) Először az x0 = 0 pontban vizsgájuk a differenciálhatóságot. A (2) √ feltétel nem teljesül, hiszen a b(x) = x + 1,

j(x) = x + 1 és x0 = 0 1 jelölések mellett b0 (x) = 1, j 0 (x) = √ , azaz 2 x+1 b0− (0) = b0 (0) = 1 1 1 = . j+0 (0) = j 0 (0) = √ 2 2 0+1 és Ezért az f függvény nem differenciálható az x0 = 0 pontban. Ezután az x1 = 3 pontban vizsgájuk √ a differenciálhatóságot. A (1) feltétel nem teljesül, √ hiszen a b(x) = x + 1, j(x) = ln(x + 1), x1 = 3 és y1 = f (x1 ) = 3 + 1 = 2 jelölések mellett √ b(3) = 3 + 1 = 2 és j(3) = ln(3 + 1) = ln 4, de ln 4 6= 2. Ezért az f függvény nem differenciálható az x1 = 3 pontban 14. Feladat Megadható-e olyan a és b paraméter, hogy differenciálhatóak legyenek a következő függvények? a)  x2 + b f (x) = a  x b) f (x) = ha x < 1, ha x ≥ 1.  sin ax + b x2 e +x ha x ≤ 0, ha x > 0. Megoldás: (a) A g(x) = x2 + b, a h(x) = x g : R R, h : ]0, ∞[ R, függvények differenciálhatók minden pontban az a és b értéktől függetlenül, a g 0 (x) = 2x és h0 (x) = − 2 . x Ezért f

minden x 6= 1 pontban differenciálható, azaz csak az x0 = 1 pontban kell vizsgálni a differenciálhatóságot. 34 Továbbá g(1) = 12 + b = 1 + b, h(1) = a =a 1 és g 0 (1) = 2 · 1 = 2, h0 (1) = − a = −a. 12 Ezért az f függvény akkor és csak akkor differenciálható, ha az 1+b=a 2 = −a egyenletrendszernek van megoldása. a = −2 és b = −3 az egyenletrendszer és egyben a feladat megoldása (b) A g : R R, g(x) = sin ax + b, h : R R, h(x) = ex + x 2 függvények differenciálhatók minden pontban az a és b értéktől függetlenül, 2 g 0 (x) = a cos ax és h0 (x) = ex 2x + 1. Ezért f minden x 6= 0 pontban differenciálható, azaz csak az x0 = 0 pontban kell vizsgálni a differenciálhatóságot. Továbbá g(0) = sin(a · 0) + b = b, 2 h(0) = e0 + 0 = 1 és g 0 (0) = a cos(a · 0) = a, 2 h0 (0) = e0 2 · 0 + 1 = 1. Ebből rögtön adódik, hogy f akkor és csak akkor differenciálható, ha a = 1 és b = 1. 35 9. Feladatok 15. Feladat A

definíció segítségével döntse el, hogy differenciálhatóak-e az alábbi függvények a megadott pontban! Határozza meg a differenciálhányadost, ha ez létezik! 1. f (x) = 3x2 − x + 1, x0 = 3, 2. f (x) = x3 + x − 2, √ f (x) = x + 1, √ 3 f (x) = x2 , x0 = −1, 3. 4. 5. 6. 7. x0 = 3, x0 = 0, 2 + 4, x 1 f (x) = 2 , x x−1 f (x) = , x+2 f (x) = x0 = 1, x0 = −1, x0 = 2, 8. f (x) = 5 − 2|x|, x0 = 0, x0 = 1, 9. f (x) = x|x − 2|, x0 = 0, x0 = 2, 10.  x2 − 2x f (x) = −2x 11.  x2 − x f (x) = x + 3 ha x < 0 , ha x ≥ 0 ha x < 1 , ha x ≥ 1 x0 = 0, x0 = 1. 16. Feladat Legyenek a1 , a2 , , an valós számok, ahol n ∈ N Adjunk meg olyan f : R R folytonos függvényt, amely az előbbi pontok kivételével mindenütt differenciálható! 17. Feladat Legyen g : R R egy adott függvény, x0 egy rögzített valós szám és f : R R, f (x) := g(x)(x − x0 ). Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy az f

függvény differenciálható legyen az x0 pontban! 36 18. Feladat Legyen g : R R egy adott folytonos függvény, x0 egy rögzített valós szám és f : R R, f (x) := g(x)|x − x0 |. Adjunk szükséges és elégséges feltételt arra, hogy az f függvény differenciálható legyen az x0 pontban! 19. Feladat Adja meg a következő függvények deriváltját! 1. f (x) = 4x5 + 2x3 − 8, 2. f (x) = 3x6 − 2x3 + x, q √ 3. f (x) = x2 x3 x3 , 4. f (x) = 5. f (x) = 4x5 + 7. f (x) = 2 sin 1 3 +√ , 3 3 x x π − 4 cos x, 4   9. f (x) = x3 + 5 ln x, √ 11. f (x) = 4 x tg x − arcth 1, √ 13. f (x) = x log2 x + 3, 15. f (x) = sin x + x2 cos x, 3 x 17. f (x) = x − 2 , x  6. f (x) = 4  1 √ 3 x2 x2 , 2x3 + 3x2 √ , 3 x4 8. f (x) = ctg x − tg x + eπ+2 , 10. f (x) = xex + x, 12. f (x) = (3 · 2x + 23 ) sin x, 14. f (x) = ex arcsin x, √ 16. f (x) = 3 cos x + 4 x arccos x, √ 3 18. f (x) = ( x2 + 2x) cos x, 19. f (x) = x+1 , x−1 20. f (x) = ln x

, cos x 21. f (x) = sin x − cos x , sin x + cos x 22. f (x) = ex + x , ex + 1 x3 + 2x − 1 23. f (x) = , ctg x 24. f (x) = tg x + x √ , 2 x ln x 25. f (x) = √ , x+1 26. f (x) = x2 sin x , cos x + 1 28. f (x) = x + sin x , 2 − x + cos x 27. f (x) = x3 − 1 , xex 37 29. f (x) = x arcsin x + cos x , sin x − 1 1 31. f (x) = 8 − 2 x  3 log3 x + x2 , ex + x + 1 32. f (x) = 1 , (tg x + x − 2) 5 , s 33. f (x) = 30. f (x) = x − x2 34. f (x) = √ 2 , x +1 1 x4 + 4x2 − , x 35. f (x) = (3x − 2)6 tg x, √ 37. f (x) = sin x3 + x cos x, 36. f (x) = sin2 x + sin x, 39. f (x) = x2 ecos x , 40. f (x) = 38. f (x) = ex 2 41. f (x) = xex + x2 ex ,  43. f (x) = ln  46. f (x) = 2sin x+1 , ! x + x2 √ , x+x log3 (x2 − x) + x 48. f (x) = , 3 + tg x √ 50. f (x) = sin 2x + x2 , 49. f (x) = sin x2 + x cos x4 , 1 ctg x ·e , x s 53. f (x) = x arcsin s 55. f (x) = ln3 57. f (x) = 10ln 2 52. f (x) = arctg x , x+1 54. f (x) = sin x +

x , cos x − x x+xe2x √ 1 (earctg x + 2)4 √ , x+ √ 3, √ 58. f (x) = x2 arctg( x + 1), , x + 2 cos x x x + ln2 , 2 2 56. f (x) = x arcsin √ 59. f (x) = sin3 (x2 + 1) x + 1, 61. f (x) = e2x + x , x e2 44. f (x) = ln(x2 sin x), 45. f (x) = ln (2x + 2) , 51. f (x) = tg , 42. f (x) = ln(cos x), x+2 , x−3 47. f (x) = log2 2 +1 − 3 2 x 60. f (x) = 2 x+1 sin x2 , 62. f (x) = logπ , 38 1 , ctg x + x 63. f (x) = cos(ln 5x) , x2 ln x 64. f (x) = esin q 69. f (x) = tg x−π (x + e2 ),  2  66. f (x) = ln ln2 (x3 + 1) , 65. f (x) = arcsin ex , 67. f (x) = 2 √ x2x+2 , √ 68. f (x) = π log2 ( cos x4 tg(x + 2) , cos4 x + 2 x+ x1 −1) ctg(x + ln 2x) √ . 3 x + π2 70. f (x) = 20. Feladat Adja meg a következő függvények deriváltját!   s 1. f (x) = tg cos x + sin  1  ln x − x3 s 3 2 1 cos  , x x tg xex + arcsin2 (2 sin x + π) − x1 √ , x x + π2e 2 √ √ 2 3 2 3 2 2 3 3. f (x)

= x2 2(tg x +sin(x+π) )(log2 x + x +1) , 2. f (x) = v u x2 +1 u3 sin3 x + ln2 (x − e) x arctg x2 +8 3   4. f (x) = u ·e . t sin x 3 − 1 x2 21. Feladat Adja meg a következő függvények deriváltját! 1. f (x) = xx √ 2. f (x) = x (x > 0) , x (x > 0) , cos x 3. f (x) = (sin x) 4. f (x) = (1 + tg x)ctg x 5. f (x) = (arctg x)x 7. f (x) = x π 0<x< , 2   π 0<x< , 2 2 +1 6. f (x) = (x3 + x)ln x xx  (x > 0) , (x > 0) . 39  (x > 1) , , 22. Feladat Adja meg az inverz kapcsolat segítségével a következő függvények deriváltját! √ √ 1. f (x) = 2 x, 2. f (x) = 3 x, √ 5 4. f (x) = ln x, 3. f (x) = x2 , √ 5. f (x) = arctg x, 6. f (x) = arcsin ln x 23. Feladat Igazolja, hogy az f (x) = 1 1 + x + ln x (x > 0) függvény kielégíti az xf 0 (x) = f (x)(f (x) ln x − 1) feltételt! 24. Feladat Igazolja, hogy az x2 f (x) = xe− 2 (x ∈ R) függvény kielégíti az xf 0 (x) = (1 − x2 )f (x) feltételt! 25.

Feladat Állapítsa meg, hogy differenciálhatóak-e az alábbi függvények a megadott pontokban!  x2 − 3x + 3 1. f (x) = 1−x e ha x ≤ 1, ha x > 1  sin2 x ha x ≤ π2 , 2. f (x) = x2 − πx ha x > π 2 3. f (x) =  x   e x+1 3 − x1    ha x ≤ 0, ha 0 < x ≤ 1, ha x > 1  1    x+1 x0 = 1, x0 = x0 = 0, x0 = 1, ha x ≤ 0, 4. f (x) = 1 − x ha 0 < x ≤ 2,   cos(π(x − 1)) ha x > 2 40 π , 2 x0 = 0, x0 = 2. 26. Feladat Megadható-e olyan a és b paraméter, hogy differenciálhatóak legyenek a következő függvények?  ax3 + 2 1. f (x) = 2x + b 2. f (x) = ha x < 0 , ha x ≥ 0  a + x − x2 ebx  e x2 + a 3. f (x) = ln(sin x + b)  ax2 + bx   4. f (x) = arctg x−1 2 ha x < 0 , ha x ≥ 0 ha x < 0 , ha x ≥ 0 ha x < 1 . ha x ≥ 1 27. Feladat Legyen f, g : ]a, b[ R és x0 ∈]a, b[ Mit tudunk mondani az f + g függvény

differenciálhatóságáról az x0 pontban, ha (a) f differenciálható az x0 pontban, de g nem, (b) sem f sem g nem differenciálható az x0 pontban? Mit tudunk mondani az f g függvény differenciálhatóságáról az x0 pontban a fenti esetekben? 28. Feladat Legyen f, g : R R, x0 ∈ R és y0 := g(x0 ) Mit tudunk mondani az f ◦ g függvény differenciálhatóságáról az x0 pontban, ha (a) g differenciálható az x0 pontban, de f nem differenciálható az y0 pontban, (b) g nem differenciálható az x0 pontban, de f differenciálható az y0 pontban, (c) g nem differenciálható az x0 pontban, és f sem differenciálható az y0 pontban,? 29. Feladat Legyen az f függvény differenciálható a ]−a, a[ intervallumon Igazolja, hogy (a) ha f páros, akkor f 0 páratlan függvény, (b) ha f páratlan, akkor f 0 páros függvény! 30. Feladat Igazolja, hogy minden differenciálható p szerint periodikus függvény is p szerint periodikus! 41 Hivatkozások [1] Leindler László –

Schipp Ferenc: Analízis I, Tankönyvkiadó, 1985. [2] Leindler László: Analízis, Polygon, Szeged, 2001. [3] Rimán János: Matematikai analízis I, Liceum, Eger, 2004. [4] Rimán János: Matematikai analízis feladatgyûjtemény I-II, Liceum, Eger, 2004. [5] Rudin Walter: A Matematikai analízis alapjai, Mûszaki Könyvkiadó, Budapest, 1978. [6] Szabó Tamás: Kalkulus I, Polygon, Szeged, 2003. 42