Architecture | Higher education » Armuth-Karácsonyi-Bodnár - Statika

Nyugat-magyarországi Egyetem ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Armuth Miklós, Karácsonyi Zsolt, Bodnár Miklós ! ! ! Statika Műszaki metaadatbázis alapú fenntartható e-learning és tudástár létrehozása TÁMOP-4.12A/1-11/1-2011-0067 tudasfelho.hu ! ! ! A pályázat keretein belül létrehoztunk egy speciális, felhő alapú adatbázist, tudásfelhő ! néven, ! ami egymástól függetlenül is értelmes tudásmorzsákból építkezik. Ezekből az elemi ! építőkövekből lehet felépíteni egy-egy órai tananyagot, vagy akár egy tantárgy teljes ! jegyzetét. ! A létrejött tananyagokat a program online „fordítja” le egy adott eszközre, így a ! tananyagok optimálisan tudnak megjelenni a diákok okostelefonján, vagy akár egy nagy ! előadó ! kivetítőjén is. A projektben résztvevő oktatók a saját maguk által fejlesztett, GSPublisherEngine 0.010017 létrehozott tananyagokat feltöltötték a felhő alapú adatbázisba. A felhasznált anyagok minden eleme

mindig magával viszi az eredetileg megadott metaadatokat (pl. fénykép készítője), így a felhasználás során a hivatkozás automatikussá válik. GSPublisherEngine 0.010017 ! Ma nagyon sok oktatási kísérlet zajlik a világban, de még nem látszik pontosan, hogy a „fordított osztály” (flipped classroom) vagy a MOOC (massive open online courses) nyílt videó anyagai jelentik a járható utat. Az azonban mindenki számára világos, hogy változtatni kell a megszokott módszereken. A kidolgozott tudásfelhő keretrendszer egyszerre képes kezelni az egyéni tanulási utakat, de akár ki tud szolgálni több ezer hallgatót is egyszerre. ! Minden oktató a saját belátása szerint tudja alkalmazni, használni, alakítani az adatbázisát, valamint szabadon használhatja a mások által feltöltött tanagyag elemeket anélkül, hogy a hivatkozásra külön hangsúlyt kellene fektetnie. Az egyes elemekből összeállított „jegyzetek” akár személyre szabhatók,

ha pontosan behatárolható a célcsoport tudásszintje. ! Az elkészült tananyagok nem statikus, nyomtatott (PDF) jegyzetek, hanem egy állandóan változó, változtatható képekből, videókból és 3D modellekből felépített dinamikus rendszer. Az oktatók az ipar által megkövetelt legmodernebb technológiákat naprakészen tudják beépíteni a tudásfelhőben tárolt dinamikus „jegyzeteikbe” anélkül, hogy új „PDF” jegyzetet kellene kiadni. Ez az online rendszer biztosítja a tananyagoknak és magának az oktatásnak a fenntarthatóságát is. ! A dinamikus, metaadat struktúrára épülő tananyagainknak ebben a jegyzetben, csak egy pillanatfelvétele, lenyomata tud megjelenni. A videóknak, az interaktív és 3D struktúráknak, valamint a frissülő tartalmaknak a megjelenítésére így nincsen lehetőségünk. ! Az e-learning nem feleslegessé teszi a tanárokat, hanem lehetővé teszi számukra, hogy úgy foglalkozhassanak a diákjaikkal, ahogy a mai,

felgyorsult világ megköveteli. 1. Bevezetés, alapfogalmak 1.1 Erő Az erő nem definiálható, fizikai-tapasztalati alapfogalom. Az erő két különböző test egymásra gyakorolt hatásaként tapasztalható, melynek során megváltozik vagy megváltozhat a test(ek) mozgásállapota. (Például ha egy mozgásban lévő testet megállítunk vagy egy nyugalomban lévő testet mozgásba hozunk, akkor erőt fejtünk ki.) Az erő vektormennyiség, amit - nagysága – ami az erőegységhez viszonyított abszolút szám - iránya – ami az erő hatásvonalával, egyenesével párhuzamos egyenes - értelme – amit az erő irányában felvett nyíl határoz meg - támadáspontja jellemez. Az erő hatásvonala mentén tetszőlegesen eltolható Az erő a hatásvonala mentén bárhol tetszőleges irányú vetületekre bontható fel. ⎡ kg ⋅ m ⎤ Az erő mértékegysége: Newton [N] = ⎢ 2 ⎥ . ⎣ s ⎦ 1. ábra: Az erő jellemzői Két test mindig egy felület mentén

érintkezik egymással. Az egymásra kifejtett erőhatás e felületen adódik át – ha ez a felület kicsi, akkor jó közelítéssel pontnak, pontszerűnek tekinthető, és az erőt koncentrált erőnek (F [kN]), ellenkező esetben megoszló erőnek (vonal (q [kN/m]), felület (q [kN/m2]) vagy térfogat (q [kN/m3]) mentén megoszló) nevezzük. A műszaki, mérnöki gyakorlatban a nehézségi erő a legfontosabb Ha egyidejűleg több erő is hat egy testre, akkor azt erőrendszernek nevezzük. Ha az erőrendszer erői (hatásvonalai) egy síkba esnek, akkor síkbeli erőrendszerről beszélünk Ha az erőrendszer erőinek hatásvonalára nem lehet egy síkot ráfektetni, akkor térbeli erőrendszerről beszélünk. 1.2 Statika feladata A statika feladata egyrészről megállapítani azt a legegyszerűbb erőrendszert, amivel egy adott erőrendszer helyettesíthető – ez az eredő meghatározás. Másrészről az a feladat, hogy egy 1 adott testet kiegyensúlyozzunk,

meghatározzuk azokat a feltételeket, amelyek mellett a test nyugalomban marad. 1.3 Egyensúly Ha egy nyugalomban lévő, merevnek tekintett test a reá működő erők hatására nyugalomban marad, akkor azt mondjuk, hogy a testre ható erők egyensúlyban vannak, azaz a test egyensúlyban van. 1.4 Alaptételek, axiómák I. Két erő akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha az a két erő közös hatásvonalú, egyenlő nagyságú és ellentétes értelmű. II. Három erő akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha hatásvonalaik egy síkban vannak, a hatásvonalaik egy közös pontban metszik egymást és a vektorháromszög folytonos nyílfolyammal záródik III. Egyensúlyban lévő erőrendszer esetén nem változik meg az egyensúly, ha az adott erőrendszerhez(től) hozzáadunk vagy elveszünk egy önmagában egyensúlyban lévő erőrendszert. IV. Két test egymásra kifejtett erőhatása párosával egyenlő nagyságú, közös hatásvonalú és ellentétes értelmű

(Newton féle akció-reakció, hatás-ellenhatás törvénye). 1.5 Nyomaték (síkbeli erőrendszer esetén) Adott erő adott pontra vett nyomatéka alatt az erő nagyságának és az erőkarnak a szorzatát értjük, ahol az erőkar alatt adott erő hatásvonalának (egyenesnek) adott ponttól mért távolságát értjük. A nyomaték mértékegysége: [kN ⋅ m ] vagy [N ⋅ m ] A nyomaték értelmezhető úgy is, mint egy erőpár, ahol a két erő nagysága azonos, hatásvonalaik párhuzamosak, de ellentétes értelműek és nem esnek egy egyenesbe. Ennek az erőpárnak így erőhatása nincs, csak forgatóhatása A nyomaték meghatározásához szükséges erőkar leolvasása (2. ábra) a következő elgondolás szerint történik: az adott pontból (amire a nyomatékot felírjuk) merőlegest állítunk az adott erő hatásvonalára – a merőleges egyenes hossza az erőkar nagysága! 2 2. ábra: A nyomaték számításához szükséges erőkar fogalma, meghatározása A

feladatok megoldására két lehetőség van: a számító és a szerkesztő eljárás. Vetületi tétel: egy erőrendszer egyes elemeinek tetszőleges irányra vett előjelhelyes vetületösszege egyenlő ugyanazon erőrendszer helyettesítő (eredő) erejének ugyanazon irány szerinti vetületével. Nyomatéki tétel (síkbeli erőrendszerek esetére): egy erőrendszer egyes elemeinek adott pontra vett előjelhelyes nyomatékösszege megegyezik ugyanazon erőrendszer helyettesítő (eredő) erejének ugyanazon pontra vett nyomatékával. 3 1. Síkbeli közös metszéspontú erőrendszerek A fejezetben olyan erőrendszerekkel foglalkozunk, ahol az erőrendszer valamennyi elemének hatásvonala ugyanabban a pontban metszi egymást. 1.1 Síkbeli közös metszéspontú erőrendszer eredő (helyettesítő) erejének a meghatározása E témakörben olyan eseteket vizsgálunk, amikor adott egy erőrendszer valamennyi eleme (nagysága és iránya) és egy viszonyítási

koordinátarendszer (ez a viszonyítási koordináta rendszer a példákban adott, de tudni kell, hogy tetszőlegesen felvehető bármilyen elhelyezkedéssel). A feladat ilyenkor a következő: meghatározni az erőrendszer helyettesítő, azaz eredő erejét. Ki kell számolni az eredő erő nagyságát, meg kell határozni az eredő erő hatásvonalának irányát a viszonyítási koordinátarendszerhez képest E két adat meghatározásából áll az eredő erő számítása közös metszéspontú erőrendszer esetében! 1.11 példa Adott a 1. ábra szerinti x-y viszonyítási koordináta rendszer, F1és F2 erők A viszonyítási koordináta rendszer középpontjához csatlakozik két rúd Egyik rudat az F1, a másik rudat F2 nagyságú és értelmű erő terheli. Határozzuk meg az erőrendszer eredőjét! 1. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer eredője Megoldás számítással – vetületi tétel alkalmazása: x irányú vetületi egyenletet írunk fel, azaz

összegezzük előjelhelyesen az erőrendszer minden olyan elemét, amelynek hatásvonala párhuzamos az x tengellyel: ∑ Fx = F1 − F2 = 60 − 100 = −40[kN] Az egyenlőségben az F1 erő pozitív előjellel szerepel, mivel F1iránya egybeesik a viszonyítási koordinátarendszer pozitív irányával, míg az F2 erő negatív előjellel szerepel, mivel iránya ellentétes a viszonyítási koordinátarendszer pozitív irányával. Az eredmény szerint az erőrendszer eredőjének nagysága 40 [N], hatásvonala egybeesik az egyes elemek hatásvonalával, míg iránya ellentétes a viszonyítási koordinátarendszer pozitív irányával. Az eredmény feltüntetése helyesen: FR = 40 [kN]( ←) . Az eredményül kapott erő előjele mindig az erő irányára utal a viszonyítási koordináta rendszer adott pozitív irányához képest! 1 Megoldás szerkesztéssel: először felvesszük a léptéket (2. ábra) – ezt mindig az erők nagyságának és elhelyezkedésének a

figyelembevételével tesszük meg. Ezután egy tetszőlegesen választott P pontból az F1 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F1 erő értelmével megegyező irányban. Az egyenes hossza a léptéknek megfelelően 6 cm (3. ábra) 2. ábra: Lépték felvétele - az erők nagyságának és elhelyezkedésének figyelembevételével 3. ábra: F1 erő nagyságának megfelelő hosszú egyenes Ezt követően az F1 erő végpontjából az F2 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F2 erő értelmével megegyező irányban (4. ábra) 4. ábra: F2 erő nagyságának megfelelő hosszú egyenes Az eredő erő támadáspontja a P pont lesz, azaz az elsőnek felvett F1 erő támadáspontja. A helyettesítő erő végpontja pedig az utolsónak felvett F2 végpontjával egyezik meg. Ezt a két pontot összekötve kapjuk meg az erőrendszer eredőjét (5. ábra) 5. ábra: Eredő erő meghatározása - egyenes húzása P pontból F2 végpontjába 2 A eredő erőnek

megfelelő egyenes („P”, „F2 végpontja”) hosszát leolvassuk, és a léptéknek megfelelően feltüntetjük az eredő erő nagyságát. Jelen esetben az egyenes hossza 4 cm, ami 40 [N] –nak felel meg. A szerkesztésből adódóan az eredő erő hatásvonala párhuzamos a viszonyítási koordinátarendszer x tengelyével Az eredő erő értelme az ábráról leolvasható, a szerkesztésből adódik. 1.12 példa Adott (6. ábra) egy közös metszéspontú erőrendszer öt eleme, a nagyság és az irány Adott F1=18 [kN], F2=16 [kN], F3=11 [kN], F4=25 [kN], F5=19 [kN] és α1=22 [°], α2=20 [°], α3=28 [°], α4=32 [°], α5=14 [°]. A közös metszéspont a viszonyítási koordináta rendszer középpontja Határozzuk meg az erőrendszer eredőjét! Megoldás számítással – vetületi tétel alkalmazása: x irányú vetületi egyenletet írunk fel, azaz összegezzük előjelhelyesen az erőrendszer minden olyan elemét vagy elemeinek azon komponenseit (vetületeit),

amelyek hatásvonala párhuzamos az x tengellyel ∑ Fx = F1x + F2x + F3x − F4x − F5x = = F1 ⋅ cos(α1 ) + F2 ⋅ cos(α 2 ) + F3 ⋅ cos(90° - α 3 ) − F4 ⋅ cos(α 4 ) − F5 ⋅ cos(90° - α 5 ) = = 18 ⋅ cos(22°) + 16 ⋅ cos(20°) + 11 ⋅ cos(90° - 28°) − 25 ⋅ cos(32°) − 19 ⋅ cos(90° - 14°) = 11,09[kN] 6. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer eredőjének meghatározása Az eredmény szerint az erőrendszer eredőjének x tengelyre vett vetületének nagysága 11,09 [kN], hatásvonala párhuzamos az x tengellyel, értelme megegyezik a viszonyítási koordinátatengely pozitív értelmével. Az eredmény feltüntetése helyesen: 3 ∑ Fx = FRx = 11,09[kN]() . y irányú vetületi egyenletet írunk fel, azaz összegezzük előjelhelyesen az erőrendszer minden olyan elemét vagy elemeinek azon komponenseit (vetületeit), amelyek hatásvonala párhuzamos az y tengellyel ∑ Fy = −F1y + F2y + F3y + F4y − F5y = = − F1 ⋅ sin (α1 ) + F2

⋅ sin (α 2 ) + F3 ⋅ sin (90° - α 3 ) + F4 ⋅ sin (α 4 ) − F5 ⋅ sin (90° - α 5 ) = . = −18 ⋅ sin (22°) + 16 ⋅ sin (20°) + 11 ⋅ sin (90° - 28°) + 25 ⋅ sin (32°) − 19 ⋅ sin (90° - 14°) = 3,25[kN] Az eredmény szerint az erőrendszer eredőjének y tengelyre vett vetületének nagysága 3,25 [kN], párhuzamos az y tengellyel, értelme ellentétes a viszonyítási koordinátatengely pozitív értelmével. Az eredmény feltüntetése helyesen: ∑ Fy = FRy = 3,25[kN](↓) . Az eredő erő nagyságát a következők szerint kapjuk meg: 2 2 FR = FRx + FRy = 11,09 2 + 3, 25 2 = 11,56 [kN] . A következő lépés az eredő erő, helyzetének megadása a viszonyítási koordináta rendszerben – hogyan helyezkedik el az eredő erő a viszonyítási koordináta rendszer tengelyeihez képest. Azt szeretnénk megtudni, hogy az eredő erő hatásvonala mekkora szöget zár be a viszonyítási koordinátarendszer tengelyeivel. A 7 ábra jelöléseit használva

a vízszintessel bezárt szög legyen α. Meghatározása valamely szögfüggvény alkalmazásával történik 7. ábra: Az eredő erő helyzete a viszonyítási koordináta rendszerben ⎛F α = arcsin ⎜⎜ Rx ⎝ FR ⎛F ⎞ ⎟⎟ = arccos⎜⎜ Ry ⎠ ⎝ FR ⎛F ⎞ ⎞ ⎟⎟ = arctan ⎜ Rx ⎟ = ⎜F ⎟ ⎠ ⎝ Ry ⎠ . ⎛ 11,09 ⎞ ⎛ 3,25 ⎞ ⎛ 11,09 ⎞ = arcsin ⎜ ⎟ = arccos⎜ ⎟ = arctan ⎜ ⎟ = 73,7 [°] ⎝ 11,56 ⎠ ⎝ 11,56 ⎠ ⎝ 3,25 ⎠ A harmadik lépés az eredő erő helyének a meghatározása, azonban közös metszéspontú erőrendszereknél ez egyértelmű – az eredő erő hatásvonala is az eddigi közös metszésponton megy át. Megoldás szerkesztéssel: először felvesszük a léptéket (8. ábra) – ezt mindig az erők nagyságának és elhelyezkedésének a figyelembevételével tesszük meg. 4 8. ábra: Lépték felvétele - az erők nagyságának és elhelyezkedésének figyelembevételével Következő lépés: egy

tetszőlegesen választott P pontból az F1 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F1 erő értelmével megegyező irányban. Az egyenes hossza a léptéknek megfelelően 3,6 [cm] (9 ábra) 9. ábra: F1 erő nagyságának megfelelő hosszú egyenes Következő lépés: az F1 erő végpontjából az F2 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F2 erő értelmével megegyező irányban (10. ábra) 10. ábra: F2 erő nagyságának megfelelő hosszú egyenes Következő lépés: az F2 erő végpontjából az F3 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F3 erő értelmével megegyező irányban (11. ábra) 11. ábra: F3 erő nagyságának megfelelő hosszú egyenes Következő lépés: az F3 erő végpontjából az F4 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F4 erő értelmével megegyező irányban (12. ábra) 5 12. ábra: F4 erő nagyságának megfelelő hosszú egyenes Következő lépés: az F4 erő végpontjából az F5 erő hatásvonalával párhuzamost

húzunk az F5 erő értelmével megegyező irányban (13. ábra) 13. ábra: F5 erő nagyságának megfelelő hosszú egyenes Az eredő erő támadáspontja a P pont lesz, azaz az elsőnek felvett F1 erő támadáspontja. A helyettesítő erő végpontja pedig az utolsónak felvett F5 erő végpontjával egyezik meg. Ezt a két pontot összekötve kapjuk meg az erőrendszer eredőjét (14. ábra) Az eredő erőnek megfelelő egyenes („P”, „F5 végpontja”) hosszát leolvassuk, és a léptéknek megfelelően feltüntetjük az eredő erő nagyságát. Jelen esetben az egyenes hossza 2,31 [cm], ami 11,55 [kN] –nak felel meg. Az eredő erő iránya leolvasható (14 ábra), a szerkesztésből adódik A 15 ábra mutatja meg pontosan az eredőnek a viszonyítási koordinátarendszer tengelyeivel bezárt szögét. 6 14. ábra: Eredő erő meghatározása - egyenes húzása P pontból F5 végpontjába 15. ábra: Az eredő erő helyzete a viszonyítási koordinátarendszerben Az

eredő erő helye pedig egyértelmű, a támadáspont a közös metszéspontban lesz. 1.2 Síkbeli közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása Kiegyensúlyozási feladatok esetében a tartószerkezetekre ható erőrendszer eredője nulla – máskülönben nem lenne egyensúlyban. Az erőrendszert a megadott külső erők és a kényszereknél ébredő ismeretlen kényszer (reakció vagy támasz) erők alkotják A kényszereknél ébredő reakcióerők tartják egyensúlyban az adott szerkezetet Ezért hívjuk kiegyensúlyozásnak ezt a típusú feladatot, mert kiszámoljuk, hogy a támaszoknál fellépő erőknek mekkora nagyságúnak és milyen irányúnak kell lenni, hogy a tartószerkezet ne mozduljon el, azaz egyensúlyban legyen. E témakörben olyan egyszerű eseteket vizsgálunk, amikor adott egy külső terhelő erő, és meg kell határozni a támaszoknál (kényszereknél) ébredő reakció (támasz vagy kényszererőket) erőket. A közös metszéspontú

erőrendszer jellegzetessége, hogy az adott külső erők és a támaszerők hatásvonalai egy adott pontban metszik egymást A feladat megoldásához itt is célszerű felvenni egy viszonyítási koordináta rendszert, amit javasolt az erőrendszer közös metszéspontjában elhelyezni A feladat ilyenkor a következő: meg kell határozni az erőrendszer hiányzó elemeit, azaz a támaszoknál ébredő ismeretlen reakcióerőket, a nagyságukat – az irányuk (hatásvonal, értelem) adódik! 7 A szerkesztő eljárás során hasonlóan járunk el mint eredő erő szerkesztésekor. A lépték felvétele után az ismert erőt felmérjük, majd annak támadás- és végpontjában párhuzamosokat húzunk az ismeretlen nagyságú, de ismert hatásvonalú erőkkel 1.21 példa: Adott a 16. ábra szerinti szerkezet, az AC és BC tartószerkezeti elemek, az A, B és C pontok helye (a=3 [m], b=2 [m], c=4 [m]) és a C csuklót terhelő F=34 [kN] koncentrált erő. Határozzuk meg a

támaszoknál fellépő reakcióerőket! 16. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása - daruszerkezet A számító eljárás során először az erőrendszer ismeretlen erőit, nagyságukat és irányukat (értelmüket), meg kell becsülni, feltételeznünk kell azokat. Jelen példában: az A és B csuklóknál fellépő reakciók nagyságát FA-nak és FB-nek feltételezzük. Az irányuk: mivel az AC és BC tartószerkezeti elemeket csak a végükön, a csuklókon keresztül éri hatás, magán a tartószerkezeti elemen nincs erő (önsúlytól eltekintünk) – ez azt jelenti, hogy ebben a két tartószerkezeti elemben rúdirányú erők lépnek fel. Azaz: két végén terhelt, csuklós rudakban csak rúdirányú erő ébred! Amiből következik, hogy ezek a tartószerkezeti elemek rúdirányban akarnak elmozdulni, és a támaszok ezt az elmozdulást akarják megakadályozni Azaz az ismeretlen támaszerők hatásvonalai párhuzamosak a tartószerkezeti elemek

hossztengelyével, a kérdés csak az értelmük Ha azt nem tudjuk kikövetkeztetni a külső ható erőkből és a tartószerkezet elrendezéséből, akkor feltételeznünk kell (17 ábra)! A következő lépésben a vetületi egyenleteket használjuk fel, amit egyensúlyozási feladatok megoldása során vetületi egyensúlyi egyenleteknek nevezünk. Az egyenlőség egyik oldalán az erőrendszer valamennyi, ismert és ismeretlen elemének összegezzük előjelhelyesen a viszonyítási koordinátarendszerrel párhuzamos komponenseit, és ezeket egyenlővé tesszük nullával. Ugyanis ha az erőrendszer ere- 8 dője nulla, akkor FR = FRx 2 + FRy 2 = 0 egyenlőség csak úgy lehet igaz, ha az eredő erő viszonyítási tengelyre vett komponensei külön-külön egyenlők nullával. 17. ábra: Támaszerők nagyságának és értelmének a feltételezése ∑ Fx =0 = FA ⋅ cos(α ) + FB ⋅ cos(β ) és ∑ Fy =0 = FA ⋅ sin (α ) + FB ⋅ sin (β ) − F . Előbbi két

egyenletben két ismeretlen szerepel. Feladatunk, hogy a két egyenletből álló kétismeretlenes egyenletrendszert megoldjuk Az α és β szögek meghatározása: ⎛ 4 ⎞ ⎛ c ⎞ α = arctan⎜ ⎟ = 38,66 [°] és ⎟ = arctan⎜ ⎝3+ 2⎠ ⎝a +b⎠ ⎛4⎞ ⎛c⎞ β = arctan ⎜ ⎟ = arctan⎜ ⎟ = 63,43[°] . ⎝2⎠ ⎝b⎠ Behelyettesítés a vetületi egyenletekbe: ∑ Fx =0 = FA ⋅ cos(α ) + FB ⋅ cos(β ) = FA ⋅ cos(38,66°) + FB ⋅ cos(63,43°) és ∑ Fy =0 = FA ⋅ sin (α ) + FB ⋅ sin (β ) − F = FA ⋅ sin (38,66°) + FB ⋅ sin (63,43°) − 34 Az első egyenletből: FA = − FB ⋅ cos(63,43°) cos(38,66°) , majd behelyettesítve második egyenletbe: 9 0=− FB ⋅ cos(63,43°) ⋅ sin (38,66°) + FB ⋅ sin (63,43°) − 34 = cos(38,66°) ⎡ cos(63,43°) ⎤ = FB ⋅ ⎢− ⋅ sin (38,66°) + sin (63,43°)⎥ − 34 ⎣ cos(38,66°) ⎦ FB = 34 ⎤ ⎡ cos(63,43°) ⎢− cos(38,66°) ⋅ sin(38,66°) + sin(63,43°)⎥ ⎦ ⎣ ,

ahonnan = 63,37 [kN] . Visszahelyettesítés után FA-ra a következőt kapjuk: FA = − FB ⋅ cos(63,43°) 63,37 ⋅ cos(63,43°) =− = 36,3[kN] . cos(38,66°) cos(38,66°) Ezek szerint az ismeretlen támaszerők nagysága FA = 36,3 [kN ] és FB = 63,37 [kN ] . Az FB kényszererőnek feltételezett értelem helyes volt, mivel pozitív értéket kaptunk. Azonban az Fa támasznál feltételezett támaszerőnek az előjele negatív, ami annyit jelent, hogy az ismeretlen értelmű erőnek a feltételezett irány nem volt jó! A valós értelme az erőnek éppen ellentétes (18. ábra) 18. ábra: Az ismeretlen támaszerők nagysága és értelme helyesen ábrázolva A szerkesztő eljárás során hasonlóan járunk el mint az eredő erő meghatározása esetében. Azzal a különbséggel, hogy kiegyensúlyozási példák esetében a léptékhelyesen felvett erőknek nyílfolytonosan záródniuk kell, hiszen az eredő erő nulla. Jelen példában első lépésként felvesszük a

léptéket (19. ábra) 19. ábra: Lépték felvétele - az erők nagyságának és elhelyezkedésének figyelembevételével 10 A következő lépés, hogy az ismert ható erőt, az F koncentrált erőt léptékhelyesen felvesszük (20. ábra) 20. ábra: Ható külső erő felvétele léptékhelyesen A számolási megoldásnál már kifejtettük, hogy a támaszoknál miért csak a tartószerkezeti elemek (AC és BC elemek) hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erők ébrednek. Ha ezt beláttuk, akkor a szerkesztő eljárás következő lépése, hogy párhuzamost húzunk a már felvett F koncentrált erő támadáspontján át az AC tartószerkezeti elem hossztengelyével (21. ábra) Ezután az F koncentrált erő végpontján át a BC tartószerkezeti elem hossztengelyével húzunk párhuzamost (22. ábra) 21. ábra: Párhuzamos az AC elem hossztengelyével az F erő támadáspontján keresztül 11 22. ábra: Párhuzamos a BC elem hossztengelyével az F erő

végpontján keresztül Következőként a két párhuzamost meghosszabbítjuk, hogy metsszék egymást (23. ábra) A metszéspont fogja meghatározni a csuklóknál ébredő reakcióerők nagyságát és értelmét. A nagyságot a felvett lépték alapján határozhatjuk meg, míg a támaszerők értelme adódik, hiszen folytonos nyílfolyammal kell záródnia a vektorsokszögnek (23. ábra) 12 23. ábra: A reakcióerők nagysága és értelme a szerkesztő eljárásból Egy harmadik megoldási lehetőség, hogy az előbbi vektor-háromszöget nem léptékhelyesen, hanem csak vázlatosan vesszük fel (24. ábra) Ebben az esetben a vektorok iránya, azaz az általános háromszög belső szögei és egyik oldala (F erő) ismert. A feladat, hogy a háromszög ismeretlen oldalainak a hosszát trigonometrikus összefüggések felhasználásával kiszámítsuk. 13 24. ábra: A közös metszéspontú erőrendszer elemeiből felvett vektorháromszög vázlata A sinustétel

alkalmazása: F FA FB , amiből külön-külön kife= = sin (β − α ) sin (90° − β ) sin (90° + α ) jezhetjük az FA és FB ismeretleneket. Eredményül az előbbi két módszerhez hasonlóan FA=36,3 [kN] –t és FB=63,36 [kN]-t kapunk. 1.22 példa: Adott a 25. ábra szerinti szerkezet, az AC és BC tartószerkezeti elemek, az A, B és C pontok helye (a=4 [m], b=2,5 [m], c=4,5 [m]) és a C csuklót terhelő F=27 [kN] koncentrált erő. Feladat, hogy meghatározzuk az A és B csuklóknál fellépő támaszerőket! Feltételeznünk kell az ismeretlen reakció erők nagyságát és értelmét (26. ábra)! A hatásvonaluk ismert, mivel az AC és BC tartószerkezetei elemeket csak a végükön lévő csuklókon keresztül éri terhelés. Így ezek az elemek hossztengelyükkel párhuzamosan akarnak elmozdulni. Ezt az elmozdulást akadályozzák meg a támaszoknál fellépő kényszererők, amik hatásvonala így az AC és BC tartószerkezeti elemek hossztengelyével párhuzamos.

14 25. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer 26. ábra: Reakció erők nagyságának és értelmének a feltételezése Következő lépésként célszerű felvenni a viszonyítási koordinátarendszert, és elhelyezni abba a pontba, ahol az erőrendszer elemeinek hatásvonalai metszik egymást – jelen esetben ez a C pont. Ugyanekkor feltüntetjük a két tartószerkezeti elem hossztengelyének (azaz a feltételezett reakcióerők hatásvonalának is egyben) a viszonyítási koordinátarendszer tengelyeivel bezárt szögeit (27. ábra) Ezután kezdhetjük meg a számolást Először az α és β szögeket számítjuk ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛a⎞ ⎛a⎞ ki: α = arctan⎜ ⎟ = arctan⎜ ⎟ = 58[°] és β = arctan⎜ ⎟ = arctan⎜ ⎟ = 41,63[°] . ⎝b⎠ ⎝c⎠ ⎝ 2,5 ⎠ ⎝ 4,5 ⎠ Következő lépésben írhatjuk fel a vetületi egyensúlyi egyenleteket: ΣFx = 0 = −FA ⋅ cos(α) + FB ⋅ cos(β) és ΣFy = 0 = FA ⋅ sin(α ) + FB ⋅ sin(β ) − F 15

27. ábra: Reakcióerők hatásvonalának és a viszonyítási koordinátarendszer tengelyeinek a bezárt szöge A kér egyenletből álló két ismeretlenes (FA, FB) egyenletrendszer megoldása után a következőket kapjuk eredményül a reakcióerőkre: FA = 20,47 [kN ] és FB = 14,51[kN ] . Ezek a reakció erők nagysága. Mivel az egyenletrendszer megoldásából pozitív értékeket kaptunk megoldásul, ez annyit jelent, hogy a támaszerőknek feltételezett értelem helyes volt, azok megfelelnek a 27. ábra szerint feltüntetettnek A szerkesztő eljárást a lépték felvételével kezdjük (28. ábra) 28. ábra: Lépték felvétele a szerkesztő eljáráshoz Következő lépésként az ismert F koncentrált erőt mérjük fel (29. ábra) 29. ábra: Szerkesztő eljárás - F koncentrált erő felmérése 16 Ezután az AC tartószerkezeti elem hossztengelyével húzunk párhuzamost a F erő támadáspontján át (30. ábra), majd a BC tartószerkezeti elem

hossztengelyével húzunk párhuzamost az F erő végpontján át (31. ábra) 30. ábra: Szerkesztő eljárás - párhuzamos az A csuklónál ébredő támaszerő hatásvonalával 31. ábra: Szerkesztő eljárás - párhuzamos a B támasznál ébredő kényszererő hatásvonalával A két párhuzamost meghosszabbítjuk, hogy metsszék egymást, így megkaptuk az erőrendszer elemeinek a vektorháromszögét - az ismeretlen reakcióerők nagyságát a felvett lépték segítségével olvashatjuk le (32. ábra) A támaszerők értelme pedig adódik abból, hogy az erőrendszer elemeinek folytonos nyílértelemmel kell záródniuk a vektorháromszögben A feladatot megoldhatjuk úgy is, hogy az erőrendszer elemeinek hatásvonalait vázlatszerűen rajzoljuk meg. Ebben az esetben a háromszög belső szögeinek és egyik oldalának az ismeretében trigonometrikus összefüggések felhasználásával számolhatjuk ki az ismeretlen reakcióerőket 17 32. ábra: Szerkesztő eljárás

- reakcióerők leolvasása a lépték ismeretében a vektorháromszögről 1.23 példa: Adott a 33. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, ami egyik végén egy csuklóval (A pont), másik végén egy görgővel (B pont) van megtámasztva. F = 17 [kN], a = 1 [m], α1=50 [°] és α2=30 [°]. Határozzuk meg a támaszerőket! 33. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása 34. ábra: A viszonyítási koordinátarendszer elhelyezése a közös metszéspontban, reakcióerők nagyságának és irányának feltételezése Az erőrendszernek három eleme van, az F ható erő és az A és B ismeretlen támaszerők. Ennek a három erőnek kell egyensúlyban lennie Három erő egyensúlyának a feltétele, hogy ha- 18 tásvonalaiknak egy pontban kell metszeniük egymást és a vektorsokszögnek folytonos nyílértelemmel kell záródnia. A vetületi egyenleteknek egyenként zérussal kell egyenlőnek lennie Sinus tételből: b = 2 ⋅ sin (α1 ) 2 ⋅ sin

(50° ) = = 1,63[m] sin (180° − α1 − (90° − α 2 )) sin (70°) Cosinus tételből: (4a )2 + b 2 − 2 ⋅ (4a ) ⋅ b ⋅ cos(90 − α1 ) = (4 ⋅1)2 + 1,632 − 2 ⋅ (4 ⋅1) ⋅1,63 ⋅ cos(90 − 30°) = 3,48[m] ⎛ c 2 + (4a )2 − b 2 ⎞ ⎛ 3,482 + (4 ⋅1)2 − 1,632 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 23,9[°] Cosinus tételből: β = arccos⎜ ⎟ = arccos⎜ ⎟ ⋅ ⋅ ( ) ⋅ ⋅ ( ⋅ ) 2 c 4a 2 3 , 48 4 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ c= x és y irányú vetületi egyensúlyi egyenletek: ΣFx = 0 = − F ⋅ cos(α1 ) + A ⋅ cos(β ) − B ⋅ cos(90° - α 2 ) = = −17 ⋅ cos(50°) + A ⋅ cos(23,9°) − B ⋅ cos(90° - 30°) ΣFy = 0 = −F ⋅ sin(α1 ) + A ⋅ sin(β) + B ⋅ sin(90° − α 2 ) = = −17 ⋅ sin(50°) + A ⋅ sin(23,9°) + B ⋅ sin(90° − 30°) A két egyenletből álló két-ismeretlenes egyenletrendszer megoldása A-ra és B-re: A = 16,07 [kN] és 7,53 [kN]. Mivel a mindkét ismeretlen támaszerőre pozitív értéket kaptunk, ezért a támaszerőknek

feltételezett értelmek helyesek! 1.24 példa: Adott a 35. ábra szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval (A és B pont) van megtámasztva F = 23 [kN], a = 2 [m] és α=40 [°]. Határozzuk meg a támaszerőket! 35. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása 19 36. ábra: A viszonyítási koordinátarendszer elhelyezése a közös metszéspontban, reakcióerők nagyságának és irányának feltételezése x és y irányú vetületi egyensúlyi egyenlet: ΣFx = 0 = F ⋅ sin (α ) + A ⋅ sin (α ) = 23 ⋅ sin (40° ) + A ⋅ sin (40° ) A = -23. Ez azt jelenti, hogy az A támaszerő nagysága 23 [kN], iránya azonban ellentétes azzal, amit feltételeztünk (Hiba! A hivatkozási forrás nem található.) 37. ábra: Rosszul feltételezett A reakcióerő irányának javítása y irányú vetületi egyensúlyi egyenlet: ΣFy = 0 = − F ⋅ cos(α ) − A ⋅ cos(α ) − B = −23 ⋅ cos(40°) − 23 ⋅ cos(40°) − B B = -35,24. Ez azt jelenti,

hogy az B támaszerő nagysága 35,24 [kN], iránya azonban ellentétes azzal, amit feltételeztünk (38. ábra) 20 38. ábra: Rosszul feltételezett B reakcióerő irányának javítása 1.25 példa Adott a 39. ábra szerinti tartószerkezet, ami két csuklóval (A és B pont) van megtámasztva F = 40 [kN], a = 3 [m], b = 1 [m] és α=60 [°]. Határozzuk meg a támaszerőket! 39. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer kiegyensúlyozása Megoldás: az erőrendszert az F koncentrált erő, és a támaszoknál keletkező ismeretlen reakcióerők alkotják – három erő összesen. Az egyensúly feltétele, hogy ennek a három erőnek a hatásvonala egy pontban metssze egymást. A B pontban a támaszerő hatásvonalának az iránya ismert, mivel a BC tartószerkezeti elemet csak a két, csuklós végén éri terhelés. A B ismeretlen erő nagyságát és értelmét veszszük fel ismeretlenként, és hatásvonalát meghosszabbítva metszésre hozzuk az F erő hatásvonalával

(40 ábra) Ezen a ponton kell az A támaszerő hatásvonalának is áthaladnia az egyensúly feltételének a teljesítéséhez Ebben az esetben – az előző példákhoz hasonlóan - a sinus 21 és cosinus tétel felhasználásával tudjuk kiszámolni a vektorháromszög szögeit, amik a vetületi egyensúlyi egyenletek felírásához kellenek. 40. ábra: Támaszerő értelmének feltételezése, majd hatásvonalának meghosszabbítása az F erő hatásvonaláig Ehelyett a nyomatéki tételt használjuk fel az ismeretlen kényszererők kiszámításához. Mivel a tartószerkezetre ható erőrendszer eredője zérus, így az erőrendszer egyes elemeinek nyomatékösszege a tartó (a sík) bármely pontjára nézve nullának kell lenni. Nincs más teendőnk, mint kiválasztani egy olyan pontját a tartónak, amelyen lehetőség szerint átmegy valamelyik ismeretlen erő hatásvonala – így lehet a nyomatéki egyensúlyi egyenletben az ismeretleneket a minimálisra

csökkenteni. Jelen példában felvesszük előbb az Ax, Ay, Bx, By ismeretlen nagyságú és irányú erőket (41. ábra), majd az A pontra alkalmazzuk a nyomatéki tételt, felírjuk a nyomatéki egyensúlyi egyenletet. Az egyenlet felírásához nemcsak egy viszonyítási koordinátarendszert, hanem egy viszonyítási forgatási irányt is célszerű felvenni (41. ábra)! 22 41. ábra: Ismeretlen reakcióerők felvétele a nyomatéki egyenlethez ⎛ a ⎞ ΣM A = 0 = −F ⋅ (a + b) + B y ⋅ ⎜ ⎟ = −F ⋅ (a + b) + B ⋅ a ⇒ ⎝ sinα ⎠ . F ⋅ (a + b) 40 ⋅ (3 + 1) ⇒B= = = 53,33[kN] a 3 23 1. Síkbeli párhuzamos erőrendszerek Ebben a témakörben olyan erőrendszereket vizsgálunk melyekben valamennyi erő hatásvonala párhuzamos egymással. Ahogy a közös metszéspontú erőrendszereknél, itt is kéttípusú példákkal találkozhatunk – eredő erő számítással és kiegyensúlyozással 1.1 Síkbeli párhuzamos erőrendszer eredő erejének

meghatározása A feladat, hogy az erőrendszer eredőjének a nagyságát, helyzetét és helyét meghatározzuk a viszonyítási koordináta rendszerben. A számító eljárás során a viszonyítási koordinátarendszert vesszük fel elsőnek Ezt célszerű úgy megtenni, hogy valamelyik koordináta tengelyt párhuzamosnak választjuk az erőrendszer elemeinek a hatásvonalával. Az eredő nagyságának meghatározásához a vetületi egyenletet használjuk fel, helyzete egyértelmű, helyének megadásához pedig a nyomatéki tételt fogjuk használni. 1.11 példa Adott (1. ábra) egy párhuzamos erőrendszer három eleme és elhelyezkedésük a viszonyításimkoordináta rendszerben. Megoldás számítással – vetületi tétel alkalmazása: y irányú vetületi egyenletet írunk fel, azaz összegezzük előjelhelyesen az erőrendszer valamennyi elemét ΣFy = F1 − F2 + F3 = 32 − 19 + 28 = 41[kN] . Az eredő erő nagysága tehát FR=41 [kN]. Helyzete egyértelmű,

párhuzamos az erőrendszer egyes elemeinek a hatásvonalával. Értelme megegyezik a viszonyítási koordinátarendszer y tengelyének pozitív értelmével, mivel a vetületi egyenletből pozitív számot kaptunk. 1. ábra: Párhuzamos erőrendszer eredőjének meghatározása 1 Az eredő helyét kell meghatározni még a viszonyítási koordinátarendszerben. Ehhez a nyomatéki tételt alkalmazzuk, miszerint egy erőrendszer eredőjének adott pontra vett nyomatéka meg kell, hogy egyezzen az erőrendszer egyes elemeinek ugyanazon pontra vett nyomatékösszegével. Az adott pontot célszerű a felvett viszonyítási koordinátarendszer középpontjának választani, illetve egy viszonyítási forgatási irányt is célszerű felvenni – jelen példában a pozitív forgatási irány az óramutató járásával ellentétes iránynak felel meg (2. ábra) 2. ábra: Párhuzamos erőrendszer eredő erejének a meghatározása - nyomatéki tétel felírása az eredő helyének a

számításához ΣM 0 = FR ⋅ k R = F1 ⋅ k 1 − F2 ⋅ k 2 + F3 ⋅ k 3 . Amennyiben minden ismert adatot behelyettesítünk az egyenletbe, akkor csak a kr lesz ismeretlen, ami nem más, mint az eredő erő hatásvonalának távolsága a viszonyítási koordinátarendszer y tengelyétől. ΣM 0 = 41 ⋅ k R = 32 ⋅ 1,2 − 19 ⋅ 2,0 + 28 ⋅ 3,0 . Az egyenlőségből, ha kifejezzük a kR-t, a következőt kapjuk: k R = 2,06 [m] Megoldás szerkesztéssel. Az áttekinthetőség miatt az erőket egymás mellett rajzoljuk Első lépésként felvesszük a léptéket (3. ábra) 3. ábra: Lépték felvétele - az erők nagyságának és elhelyezkedésének figyelembevételével Ezután a léptéknek megfelelően tetszőleges helyre felmérjük az F1 erőt (4. ábra) 2 4. ábra: Eredő erő szerkesztése - F1 erő felvétele Következő lépésként az F1 erő végpontjából az F2 erőt mérjük fel léptékhelyesen (5. ábra), majd az F2 erő végpontjából az F3 erőt (6.

ábra) 5. ábra: Eredő erő szerkesztése - F2 erő felvétele Az eredő erő nagyságát az F1 erő támadáspontjából az F3 erő végpontjába húzott egyenes leolvasása után kapjuk meg (7. ábra) Az eredő erő helyzete, iránya adódik a szerkesztésből Meg kell még határozni, hogy a felvett viszonyítási koordinátarendszerben hol helyezkedik el az eredő erő. 6. ábra: Eredő erő szerkesztése - F3 erő felvétele 3 7. ábra: Eredő erő szerkesztése - eredő erő leolvasása Az eredő erő helyzetének a kiszerkesztéséhez a vektor- és kötélsokszög szerkesztést használjuk. Először is újabb léptéket veszünk fel a távolságok felméréséhez (8 ábra) 8. ábra: Lépték felvétele a távolságok felméréséhez A (9. ábra) szerint a léptéknek megfelelően felvesszük az erőket a viszonyítási koordinátarendszerben Az ábrát kiegészítjük a jobb oldalán a már megismert vektorsokszöggel, ami mellé tetszőleges helyre egy P pontot

veszünk fel, amit póluspontnak nevezünk (10. ábra) Fontos, hogy a póluspontnak a helye nem befolyásolja a végeredményt, ezért vehetjük fel tetszőleges helyre. Következő lépésekben az erőrendszer egyes elemeit úgynevezett segéderőkkel felbontjuk, helyettesítjük őket Ehhez a P póluspontot használjuk fel Először az F1 erőt bontjuk fel/helyettesítjük S1 és S2 segéderőkkel (11. ábra), azaz F1 erő az S1 és S2 eredőjeként fogható fel 4 9. ábra: Erőrendszer elemeinek léptékarányos felvétele a viszonyítási koordinátarendszerben 10. ábra: A vektorábra és a póluspont felvétele Következő lépésben az F2 erőt bontjuk fel, annyi megkötéssel, hogy az egyik összetevő az S2 erő ellentettje, azaz –S2 legyen. A másik összetevő S3 erő lesz (12 ábra) Hasonlóan járunk el az F3 erő felbontásával is – az egyik összetevő az S3 erő ellentettje, azaz –S3 legyen. A másik összetevő S4 erő lesz (13. ábra) 5 11. ábra:

F1 erő felbontása S1 és S2 segéderőkkel 12. ábra: F2 erő felbontása –S2 és S3 segéderőkkel 13. ábra: F3 erő felbontása –S3 és S4 segéderőkkel 6 Ezután az S segéderőkkel helyettesítjük az erőrendszer egyes elemeit – a szerkesztést a 13. ábra bal oldalán folytatjuk. Az F1 erőt S1 és S2 erőkre bontottuk fel, tehát a három erő hatásvonala egy tetszőleges pontban, legyen K1 pont, metszik egymást Ezt a K1 pontot tetszőleges helyen felvesszük az F1 erő hatásvonalán, majd ezen a ponton keresztül párhuzamost húzunk S1 hatásvonalával úgy, hogy másik erő hatásvonalát ne metsszük el (14. ábra) 14. ábra: Párhuzamos S1 segéderő hatásvonalával K1 tetszőlegesen felvett ponton át Következő lépésében az S2 segéderő hatásvonalával húzok párhuzamost még mindig a K1 ponton keresztül, de úgy, hogy elmetssze az F2 erő hatásvonalát is (K2) – hiszen az S2 segéderőt felhasználtuk az F2 erő felbontása során is

(15. ábra) 15. ábra: Párhuzamos S2 segéderő hatásvonalával K1 tetszőlegesen felvett ponton át, kimetszve K2 pontot 7 Az F2, S2 és S3 erők közös metszéspontja a K2 pont lesz. Emiatt következő lépésként S3 segéderővel húzunk párhuzamost K2 ponton át, hogy metssze F3 erő hatásvonalát (16 ábra) 16. ábra: Párhuzamos S3 segéderő hatásvonalával K2 ponton át, kimetszve K3 pontot Utolsó előtti lépésként S4 segéderővel húzunk párhuzamost a K3 ponton át, mivel az F3 erőt S3 és S4 segéderőkkel helyettesítettük (17. ábra) 17. ábra: Párhuzamos S4 segéderő hatásvonalával K3 ponton át 8 A jobb oldali vektorsokszögből adódik, hogy az eredő erőt S1 és S4 segéderőkkel helyettesítettük. Eszerint az S1 és S4 segéderők, illetve az eredő erő hatásvonala egy pontban kell, hogy metsszék egymást. Utolsó lépésként az S1 és S4 segéderőkkel húzott párhuzamosokat metszésre kell hozni – K4 pont Ezen a ponton kell

átmennie az eredő erő hatásvonalának, aminek az irányát már ismerjük. Ezzel az eredő erő meghatározás feladata teljessé vált 18. ábra: Eredő helyének meghatározása - S1, S4 segéderő meghosszabbítása, metszése, K4 pont megadása Az eredő erőnek a helye, távolsága a viszonyítási koordinátarendszertől, leolvasható az ábráról. Eszerint az eredő erő hatásvonala és a viszonyítási tengely távolsága 2,06 [m] A 14. ábra - 18 ábrasorozat jobb oldala a vektorsokszög, míg a segéderőknek a baloldali, párhuzamos része a kötélsokszög 1.2 Síkbeli párhuzamos erőrendszer kiegyensúlyozása E témakörben olyan eseteket vizsgálunk, amikor egy tartószerkezeti elemre (pl.: gerenda) egy vagy több külső terhelő erő hat, amelyek hatásvonalai egymással párhuzamosak. A tartószerkezetet különböző kényszerek (merev befogás, csukló, görgő) támasztják meg, biztosítva ezzel az egyensúlyt, hogy a tartószerkezet ne mozduljon el Meg

kell határozni a támaszoknál (kényszereknél) ébredő reakció (támasz vagy kényszererőket) erőket. A feladat megoldásához itt is célszerű felvenni egy viszonyítási koordináta rendszert és egy viszonyítási forgatási irányt is. A feladat ilyenkor a következő: meg kell határozni az erőrendszer hiányzó elemeit, azaz a támaszoknál ébredő ismeretlen reakcióerőket, a nagyságukat és az irányukat (hatásvonal, értelem)! A szerkesztő eljárás során hasonlóan járunk el, mint eredő erő szerkesztésekor. 9 1.21 példa Adott az 19. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, baloldali végén egy csuklóval (A pont), jobboldali végén egy görgővel (B pont) megtámasztva. A tartószerkezetet hossztengelyére merőlegesen terheli F1=19 [kN], F2=26 [kN] és F3= 15 [kN] koncentrált erő Elhelyezkedésük ismert, a = 1 [m] 19. ábra: Párhuzamos hatásvonalú erőrendszer kiegyensúlyozása - reakció erő meghatározás A számító eljárás

során az első lépés, hogy a támaszoknál fellépő támasz erők nagyságát és irányát feltételezzük. Az A csukló megakadályozza a tartószerkezet elmozdulását mind x, min y irányokban. Ezért ott Ax és Ay erőket is feltételezünk A B támasz csak a támaszra merőleges elmozdulását akadályozza meg a tartószerkezetnek, így ott csak egy y tengellyel párhuzamos hatásvonalú erő nagyságát és értelmét feltételezzük (20 ábra) A tartószerkezetet terhelő erőrendszernek így öt eleme van jelen példában, F1, F2 és F3 ható erők és FA, FB ismeretlen erők. 20. ábra: Párhuzamos erőrendszer kiegyensúlyozása - támaszerők nagyságának és irányának feltételezése Az egyensúly feltétele, hogy az eredő nagysága nulla legyen. Ha ez fenn áll, akkor a tartószerkezet sem x, sem y irányban nem mozdul el Azonban ha az eredő erő zérus, az nem jelenti automatikusan, hogy nem mozdul el a szerkezet Ugyanis az eredő erő lehet erőpár is Azaz

az erőrendszer eredőjének erőértéke zérus, de nyomatéka van. Ebben az esetben a tartószerkezet egy adott pont körül forgómozgást végez Természetesen az egyensúly feltétele, hogy a tartószerkezet sem haladó, sem forgómozgást nem végez. Ehhez nem elegendő a már ismert két vetületi egyensúlyi egyenletet felírni: 10 ΣFx = 0 = −A x és ΣFy = 0 = A y + B (y) − F1 + F2 − F3 . Matematikai szempontból sem megoldható a két egyenletből álló három-ismeretlenes egyenletrendszer. Az erőrendszerre ugyanúgy érvényes a nyomatéki tétel is Ha azonban az erőrendszer eredője nulla, annak nyomatéka bármely tetszőlegesen kiválasztott pontra is nulla lesz. Így írhatjuk fel tetszőlegesen választott pontra a nyomatéki egyensúlyi egyenletet A pontot, amire vesszük az erőrendszer valamennyi elemének a nyomatékösszegét, úgy célszerű felvenni, hogy az egyenletben az ismeretlenek száma minimális legyen. Ezt úgy érhetjük el, hogy a

nyomatékot olyan pontra írjuk fel, amelyen minél több ismeretlen erő hatásvonala átmegy. Jelen példában először az A pontra írunk fel egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet: ΣM A = 0 = = −F3 ⋅ (1,5a) + F2 ⋅ (1,5a + 1,75a) − F1 ⋅ (1,5a + 1,75a + 1,75a) + B ⋅ (1,5a + 1,75a + 1,75a + 3a) . Az egyenlőségben az egyetlen ismeretlen a B támasznál fellépő B reakcióerő, mivel Ax és Ay hatásvonala is átmegy az A ponton, így nyomatékuk az A pontra zérus. Behelyettesítés után: ΣMA = 0 = −15[kN]⋅1,5[m] + 26[kN]⋅ 3,25[m] − 19[kN]⋅ 5[m] + B ⋅ 8[m]. Az egyenletből Bre a következőt kapjuk: B = 4,125 [kN] Mivel eredményül pozitív értéket kapunk, ez azt jelenti, hogy a B erőnek feltételezett irány helyes volt, az eredmény felírása helyesen: B = 4,125 [kN] (↑). A következő lépésben a B pontra is felírunk egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet: ΣM B = 0 = = F1 ⋅ (3a) − F2 ⋅ (3a + 1,75a) + F3 ⋅ (3a + 1,75a + 1,75a) − A

y ⋅ (1,5a + 1,75a + 1,75a + 3a) . Az egyenlőségben az egyetlen ismeretlen az A támasznál fellépő Ay reakcióerő, mivel Ax és B(y) hatásvonala is átmegy a B ponton, így nyomatékuk a B pontra zérus. Behelyettesítés után: ΣM B = 0 = 19 [kN] ⋅ 3[m] − 26 [ kN] ⋅ 4,75[m] + 15 [kN] ⋅ 6,5[m] − A y ⋅ 8 [m] . Az egyenletből Ay- ra a következőt kapjuk: Ay = 3,875 [kN]. Mivel eredményül pozitív értéket kapunk, ez azt jelenti, hogy az Ay erőnek feltételezett irány helyes volt, az eredmény felírása helyesen: Ay = 3,875 [kN] (↑). Az x irányú vetületi egyensúlyi egyenletből egyértelműen kiderül, hogy az A pontban feltételezett Ax reakcióerő zérus. Az y irányú vetületi egyenletbe, ha behelyettesítünk, ellenőrizhetjük a nyomatéki egyensúlyi egyenletek eredményeit: ΣFy = 0 = 3,875 + 4,125 − 19 + 26 − 15 . Az egyenlőség fennáll Az A reakcióerő nagysága megegyezik az Ay-nal ( A = A 2x + A 2y = 0 + 3,8752 = 3,875[kN] ), ha-

11 tásvonala párhuzamos az y tengellyel, míg értelme pozitív a viszonyítási koordinátatengelyhez képest. A szerkesztő eljárás nagyon hasonlóan zajlik, mint a párhuzamos erőrendszer eredőjének a 14. ábra - 18 ábrasorozaton bemutatott eljárása Először felvesszük a léptéket mind az erőnek, mint a távolságnak (21. ábra), majd léptékhelyesen felvesszük a tartószerkezetet és a rá ható erőket (22. ábra) 21. ábra: Lépték felvétele 22. ábra: A tartószerkezet és a rá ható erők léptékhelyes felvétele 23. ábra: Párhuzamos erőrendszer kiegyensúlyozása - vektorábra rajzolása 12 A következő lépésben az 22. ábra jobb oldalára egymás után felmérjük a ható erőket, F1, F2 és F3 koncentrált erőket (23. ábra) és egy tetszőleges helyre felvesszük a P póluspontot Az F1, F2 és F3 koncentrált erőket felbontjuk, helyettesítjük S segéderőkkel. Először az F1 erőt bontjuk fel S1 és S2 segéderőkre (24 ábra)

Ezután az F2 erőt helyettesítjük –S2 és S3 segéderőkkel (25. ábra), végül F3 erőt bontjuk fel –S3 és S4 segéderőkre (26 ábra) Tudjuk azt, hogy az erőrendszer két ismeretlen elemét, A és B erőket, ha felmérjük a vektorábrába, akkor a vektorsokszögnek folytonos nyílértelemmel kell záródnia Így lesz az eredő erő nulla, így lesz egyensúly. Az A és B erők nagyságának a megszerkesztéséhez a kötélábrát kell megrajzolnunk 24. ábra: F1 erő felbontása S1 és S2 segéderőkre 25. ábra: F2 erő felbontása -S2 és S3 segéderőkre 13 26. ábra: F3 erő felbontása -S3 és S4 segéderőkre Először párhuzamost húzunk S1 segéderővel az A ponton keresztül, hogy metssze F1 erő hatásvonalát (27. ábra) – ugyanis S1 segéderő ellentettje, -S1 az A reakcióerőt helyettesítő erő egyike lesz. Az A reakcióerő hatásvonalának pedig egyetlen pontját ismerjük, magát az A pontot. Azért nem a B pontból indítjuk a szerkesztést,

mert a B támaszerőnek a hatásvonala ismert – görgő esetében támaszra merőleges. A kötélábra szerkesztése végén az utolsó segéderőnek (S4) metszeni kellene az A támaszerő hatásvonalát, azaz az A ponton kellene áthaladnia Ez pedig nem lehetséges – csak véletlenszerűen sikerülhet 27. ábra: Kötélábra - párhuzamos S1 segéderővel az A ponton át 14 28. ábra: Kötélábra - párhuzamos S2 segéderővel K1 ponton át, metszve F2 hatásvonalát K2 pontban Következő lépésként S2 segéderővel húzunk párhuzamost a K1 ponton át úgy, hogy S2 hatásvonala metssze F2 hatásvonalát (28. ábra) A metszéspont K2 Ezután S3 segéderő hatásvonalával húzunk párhuzamost K2 ponton át, hogy elmetsszük F3 hatásvonalát a K3 pontban (29 ábra). Végül K3 ponton át húzunk párhuzamost S4 segéderővel, hogy metssze B támaszerő hatásvonalát (30. ábra) A metszéspont K4 Ezután összekötjük A és K4 pontokat, az egyenest záróvonalnak

nevezzük (31. ábra) 29. ábra: Kötélábra - párhuzamos S3 segéderővel K2 ponton át, metszve F3 hatásvonalát K3 pontban 15 30. ábra: Kötélábra - párhuzamos S4 segéderővel K3 ponton át, metszve B hatásvonalát K4 pontban 31. ábra: Kötélábra - záróvonal szerkesztés, A és K4 pontok összekötése pontvonallal Végül a záróvonallal párhuzamost húzunk a vektorábrán szereplő P pólusponton keresztül (32. ábra) Jól látható a kötélábráról, hogy az A támaszerőt a (-)Z és (-)S1 segéderők helyettesítik – ennek a három erőnek a hatásvonala metszi egymást az A pontban, míg a B támaszerőt (-)S4 és Z segéderők helyettesítik – ennek a három erőnek a hatásvonala metszi egymást az K4 pontban. 16 32. ábra: Záróvonal behúzása a pólusponton át, K5 pontot kimetszve a vektorábrából, a reakció erők leolvasása A vektorábráról leolvashatjuk a felvett lépték segítségével a támaszerők nagyságát! 1.22 példa

Adott a 33. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, a viszonyítási koordinátarendszer, az F=11 [kN] koncentrált erő, q1=5 [kN/m] és q2=3 [kN] vonal mentén egyenletesen megoszló erők, illetve az a=2 [m] távolság. 33. ábra: Párhuzamos erőrendszer kiegyensúlyozása - koncentrált és vonal mentén megoszló erővel terhelt egyenes tengelyű tartószerkezet Első lépésben a megoszló erőket helyettesítjük koncentrált erőkkel – erre azért van szükség, mert a megoszló erőknek a nyomatékát egy tetszőlegesen választott pontra a helyettesítő erőknek a hatásvonala fogja meghatározni, ezek alapján olvassuk le az erőkarokat. A q1=5 [kN/m] egyenletesen megoszló terhelés 1,5a = 3 [m] hosszon hat, míg a q2=3 [kN/m] egyenletesen megoszló terhelés 3a = 6 [m] hosszon hat. A helyettesítő erők nagysága: Q1 = q1 ⋅ (1,5a) = 5 ⋅ (1,5⋅ 2) = 15[kN] és Q 2 = q 2 ⋅ (3a) = 3 ⋅ (3 ⋅ 2) = 18[kN]. Látható, a helyettesítő erő nagysága az

azt szimbolizáló téglalap területével egyezik meg, ezért a hatásvonalát mindig a megoszló terhelés súlypontjába helyezzük el (34. ábra) 17 34. ábra: Egyenletesen megoszló erők helyettesítése koncentrált erőkkel Ezután a tartót megtámasztó kényszereknél feltételezzük az ismeretlen reakcióerők nagyságát és irányát. Az A pontban egy csukló a támasz, ami megakadályozza a tartószerkezet elmozdulását x és y irányokban Így az A pontban Ax és Ay kényszererőket feltételezünk A B pontban egy görgő a kényszer, így ott a támaszra merőleges hatásvonalú B reakcióerőt feltételezünk (35. ábra) Ezután már felírhatjuk az egyensúlyi egyenleteket 35. ábra: Reakcióerők nagyságának és irányának, értelmének feltételezése Először az A pontra írjunk fel egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet: ΣM A = 0 = −Q1 ⋅ = −(q 1 ⋅ 1,5a ) ⋅ 1,5a a+a+a⎞ ⎛ − Q 2 ⋅ ⎜1,5a + ⎟ − F ⋅ (1,5a + a ) + B ⋅ (1,5a + a

+ a ) = 2 2 ⎝ ⎠ 1,5a a+a+a⎞ ⎛ − (q 2 ⋅ (a + a + a )) ⋅ ⎜1,5a + ⎟ − F ⋅ (1,5a + a ) + B ⋅ (1,5a + a + a ) = . 2 2 ⎝ ⎠ 2 q ⋅ (1,5a ) 3a ⎞ ⎛ =− 1 − (q 2 ⋅ 3a ) ⋅ ⎜1,5a + ⎟ − F ⋅ (2,5a ) + B ⋅ (3,5a ) 2 2⎠ ⎝ Behelyettesítés után: 2 ΣM A = 0 = − 5 ⋅ (1,5 ⋅ 2) 3⋅ 2 ⎞ ⎛ − (3 ⋅ 3 ⋅ 2) ⋅ ⎜1,5 ⋅ 2 + ⎟ − 11 ⋅ (2,5 ⋅ 2) + B ⋅ (3,5 ⋅ 2) . 2 2 ⎠ ⎝ Az egyenlőségből a B ismeretlent kifejezve: B = 26,5 [kN]. A B pontra írjunk fel egy nyomatéki egyensúlyi egyenletet: 18 1,5a ⎞ ⎛ ⎛a+a+a ⎞ − a ⎟ + F ⋅ a − A y ⋅ (a + a + 1,5a ) = ΣM B = 0 = Q1 ⋅ ⎜ a + a + ⎟ + Q2 ⋅ ⎜ 2 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 1,5a ⎞ ⎛ ⎛a +a +a ⎞ = (q 1 ⋅ 1,5a ) ⋅ ⎜ a + a + − a ⎟ + F ⋅ a − A y ⋅ (a + a + 1,5a ) = . ⎟ + (q 2 ⋅ (a + a + a )) ⋅ ⎜ 2 ⎠ 2 ⎝ ⎝ ⎠ q 1 ⋅ a 2 ⋅ 8,25 q 2 ⋅ a 2 ⋅ 3 = + + F ⋅ a − A y ⋅ (3,5a ) 2 2 Behelyettesítés után: ΣM A = 0

= 5 ⋅ 2 2 ⋅ 8, 25 3 ⋅ 2 2 ⋅ 3 + + 11 ⋅ 2 − A y ⋅ 7 . 2 2 Az egyenlőségből az Ay ismeretlent kifejezve: Ay = 17,5 [kN]. Ellenőrzésként az y irányú vetületi egyensúlyi egyenletet írjuk fel: ΣFy = 0 = −q1 ⋅ 1,5a − q1 ⋅ (a + a + a ) − F + A y + B = = −5 ⋅ 1,5 ⋅ 2 − 3 ⋅ (2 + 2 + 2) − 11 + 17,5 + 26,5 = 0 . Az x irányú vetületi egyenletben csak az Ax ismeretlen szerepel, ami így nullával egyenlő. A keresett reakcióerők eredményei helyesen feltüntetve: Ay = 17,5 [kN] (↑) és B = 26,5 [kN] (↑). 19 1. Síkbeli általános erőrendszerek Síkbeli általános erőrendszer esetében az erőrendszer egyes elemei egymáshoz képest teljesen általános helyzetben helyezkednek el. Eddigi ismereteinket felhasználva vagy eredő erő számítás, vagy kiegyensúlyozás a feladatunk 1.1 Síkbeli általános erőrendszer eredő (helyettesítő) erejének a meghatározása 1.11 példa Adott a (1. ábra) az x-y viszonyítási

koordináta rendszer, F1 [kN], F2 [kN] és F3 [kN] erők nagysága és iránya a viszonyítási koordináta rendszerben, M [kNm] koncentrált nyomaték és a [m] távolság. F1 = 5 [kN], α1 = 85 [°], F2 = 4 [kN], α2 = 50 [°], F3 = 15 [kN], α3 = 15 [°], M = 19 [kNm] és a = 1,6 [m] távolság. 1. ábra: Közös metszéspontú erőrendszer eredő erejének meghatározása Megoldás számítással: első lépésben a vetületi tételt alkalmazzuk a viszonyítási koordinátarendszer két tengelyére. Az x irányú vetületi egyenlet: ∑ Fx = − F1x + F2x − F3x = − F1 ⋅ cosα 1 + F2 ⋅ sinα 2 − F3 ⋅ cosα 3 = ( ) ( ) ( ) ( ) = −F1 ⋅ sin 90 ° - α 1 + F2 ⋅ cos 90 ° - α 2 − F3 ⋅ sin 90 ° - α 3 = = −5 ⋅ cos85° + 4 ⋅ sin50° − 15 ⋅ cos15° = ( ) ( ) . = −5 ⋅ sin 90 ° - 85° + 4 ⋅ cos 90 ° - 50° − 15 ⋅ sin 90 ° - 15° = −11,86 Ez azt jelenti, hogy az eredő erő a viszonyítási koordinátarendszer x tengelyére

vett vetületének nagysága 11,86 [kN], értelme pedig ellentétes. A vetületi egyenlet eredménye helyesen felírva: ∑ Fx = FRx = 11,86 [kN] (←) . Az x irányú vetületi egyenlet: 1 ∑ Fy = − F1y + F2y − F3y = − F1 ⋅ sinα1 + F2 ⋅ cosα 2 − F3 ⋅ sinα 3 = ( ) ( ) ( ) ( ) = − F1 ⋅ cos 90 ° - α 1 + F2 ⋅ sin 90 ° - α 2 − F3 ⋅ cos 90 ° - α 3 = = −5 ⋅ sin85° + 4 ⋅ cos50° − 15 ⋅ sin15° = ( ) ( ) . = −5 ⋅ cos 90 ° - 85° + 4 ⋅ sin 90 ° - 50° − 15 ⋅ cos 90 ° - 15° = −6,29 Ez azt jelenti, hogy az eredő erő a viszonyítási koordinátarendszer y tengelyére vett vetületének nagysága 6,29 [kN], iránya pedig ellentétes. A vetületi egyenlet eredménye helyesen felírva: = FRy = 6,29 [kN] (↓ ). ∑ Fy Az eredő erő nagyságát a következők szerint kapjuk meg: 2 2 FR = FRx + FRy = 11,86 2 + 6,29 2 = 13,42 [kN] . A következő lépés az erőrendszer eredőjének az elhelyezkedése,

helyzetének megadása a viszonyítási koordináta rendszerben – hogyan helyezkedik el az eredő erő a viszonyítási koordináta rendszer tengelyeihez képest. Azt szeretnénk megtudni, hogy az eredő erő hatásvonala mekkora szöget zár be a viszonyítási koordinátarendszer tengelyeivel. A 2 ábra jelöléseit használva az α a vízszintessel bezárt szög. Meghatározása valamely szögfüggvény alkalmazásával történik 2. ábra: Eredő erő nagyságának és helyzetének a meghatározása a viszonyítási koordináta rendszerben ⎛F ⎞ ⎛F ⎞ ⎛ FRy ⎞ ⎟⎟ = arccos⎜⎜ Rx ⎟⎟ = arctan⎜⎜ Ry ⎟⎟ = α = arcsin⎜⎜ ⎝ FR ⎠ ⎝ FR ⎠ ⎝ FRx ⎠ . ⎛ 6,29 ⎞ ⎛ 11,86 ⎞ ⎛ 6,29 ⎞ = arcsin⎜ ⎟ = arccos⎜ ⎟ = arctan⎜ ⎟ = 27,9[°] ⎝ 13,42 ⎠ ⎝ 13,42 ⎠ ⎝ 11,86 ⎠ Végül pedig azt kell meghatároznunk, hogy az eredő erő hol helyezkedik a viszonyítási koordináta rendszerben. Ehhez a nyomatéki tételt használjuk fel,

azaz az erőrendszer minden egyes elemének vesszük a nyomatékát egy adott pontra, jelen esetben a viszonyítási koordináta rendszer középpontjára, és előjelhelyesen összegezzük őket. Az egyenlet helyes felírásához és az előjelhelyes összegzéséhez célszerű felvenni egy viszonyítási forgatási irányt (a viszonyítási koordináta rendszerünk jobbforgású, ami egyértelműen meghatározza a viszonyítási 2 forgatási irányt is). Adott pont körüli pozitív forgatásnak az óramutató járásával ellentétes irányt értjük. 3. ábra: Erőrendszer egyes elemeinek nyomatéka a viszonyítási koordináta rendszer középpontjára A 3. ábra az egyes erők hatásvonalának a meghosszabbítását mutatja, illetve az origóból ezen egyenesekre bocsátott merőlegesek (k1, k2, k3) vannak feltüntetve. E merőleges egyenesek hosszát kellene kiszámolni a nyomatékok meghatározásához, ami lehetséges, de hosszadalmas. Ehelyett a következőket tesszük

Az egyes erőknek a vetületi egyenletek során már kiszámítottuk az x és y irányú komponenseit A nyomatéki tétel értelmében, ha az adott erő egyes komponenseinek a nyomatékát vesszük külön-külön adott pontra, ugyanazt kapjuk, mintha magának az adott erőnek vettük volna a nyomatékát az adott pontra. Ennek figyelembe vételével a nyomatéki tétel első részének alkalmazása: ΣM O = F1x ⋅ (3 ⋅ a ) − F1y ⋅ (a ) − F2x ⋅ (2 ⋅ a ) + F2y ⋅ (a ) + F3x ⋅ (a ) − F3y ⋅ (3 ⋅ a) − M = = F1 ⋅ cos(α 1 ) ⋅ (3 ⋅ a ) − F1 ⋅ sin (α 1 ) ⋅ (a ) − F2 ⋅ sin (α 2 ) ⋅ (1,9 ⋅ a ) + F2 ⋅ cos(α 2 ) ⋅ (a ) + + F3 ⋅ cos(α 3 ) ⋅ (a ) − F3 ⋅ sin (α 3 ) ⋅ (3 ⋅ a) − M = = 5 ⋅ cos(85°) ⋅ (3 ⋅ 1,6) − 5 ⋅ sin (85°) ⋅ (1,6) − 4 ⋅ sin (50°) ⋅ (1,9 ⋅ 1,6) + 4 ⋅ cos(50°) ⋅ (1,6) + + 15 ⋅ cos(15°) ⋅ (1,6) − 15 ⋅ sin (15°) ⋅ (3 ⋅ 1,6) − 19 = −12,53 Ez azt jelenti, hogy az erőrendszer

egyes elemeinek origóra (O pont) vett eredő nyomatéka 12,53 [kNm] nagyságú. A forgatóhatás iránya az óramutató járásával megegyező irányú Ezt onnan tudjuk, hogy az eredményre negatív értéket kaptunk, ami a felvett viszonyítási forgatási irányunkkal ellentétes irányt jelent. Ez az érték és a forgatás iránya meg kell egyezzen az erőrendszer eredőjének ugyancsak az origóra vett nyomatékával Figyelembe véve, hogy az eredő hogyan (α, β szögek) helyezkedik el a viszonyítási koordinátarendszerben, a 4 ábra szemlélteti az eredő erőnek a helyét A kérdés a kR távolság A nyomatéki tétel második részének alkalmazása: ΣM O = 12,53[kNm] = k R ⋅ FR , ahonnan 3 kR = ΣM O 12,53[kNm] = = 0,93[m] . FR 13,42 [kN] 4. ábra: Eredő erő elhelyezkedése a viszonyítási koordinátarendszerben Megoldás szerkesztéssel: először felvesszük a léptéket (5. ábra) – ezt mindig az erők nagyságának és elhelyezkedésének a

figyelembevételével tesszük meg. Ezután egy tetszőlegesen választott G pontból az F1 erő hatásvonalával párhuzamost húzunk az F1 erő értelmével megegyező irányban. Az egyenes hossza a léptéknek megfelelően 2,5 [cm] (6. ábra) Következő lépésekben az F2 és F3 erőket mérjük fel (7. ábra és 8 ábra) 5. ábra: Erőlépték felvétele 6. ábra: F1 erő léptékhelyes felvétele 4 7. ábra: F2 erő léptékhelyes felvétele 8. ábra: F3 erő léptékhelyes felvétele Az eredő erő támadáspontja a tetszőlegesen felvett P pont lesz, és az F3erő végpontjába mutat. Ez meghatározza az eredő irányát és értelmét is (9. ábra) 9. ábra: Az eredő iránya és értelme A következő lépés az eredő helyének (kr) a meghatározása az adott viszonyítási koordinátarendszerben. Ehhez a vektor és kötélsokszöget kell megszerkesztenünk Azonban mielőtt ezt megtesszük, nagyon lényeges, hogy az erőrendszerben működő nyomatékot

(erőpárt) is figyelembe vegyük! Az M nyomatéknak ugyanis az eredő erő nagyságára nincs hatása (erőértéke nulla), de az elhelyezkedésére igen! Először a távolságléptéket vesz- 5 szük fel (10. ábra) Ezután az M koncentrált nyomatékot helyettesítjük az FM erőpárral (11 ábra). Az FM erő értéke: M = 6 [kNm ] = FM ⋅ 1 + FM ⋅ 1 FM = 3 [kN ] 10. ábra: Távolságlépték felvétele 11. ábra: A koncentrált nyomaték helyettesítése erőpárral Ezt az FM erőt kell kétszer felvennünk a vektorsokszögben egy tetszőleges helyre – jelen példában az F2 erő végpontjából mérjük fel. Az erőpár másik, ellentétes értelmű tagja ugyanebbe a pontba fog mutatni (12. ábra), és innen folytatódik az adott erők további felvétele 12. ábra: Az M koncentrált nyomaték figyelembe vétele, mint erőpár Most már nekifoghatunk a vektor- és kötélsokszög szerkesztésének. A tetszőleges helyre felvett póluspontot P – vel jelöljük,

és megrajzoljuk a S segéderőket Először az F1 erőt bontjuk 6 fel S1 és S2 segéderőkre a vektorábrán. S1 segéderő hatásvonalával párhuzamost húzunk a kötélábrán oly módon, hogy egy tetszőleges K1 pontban elmetssze F1 erő hatásvonalát (13 ábra) Ezen a K1 ponton át párhuzamost húzunk S2 erő hatásvonalával is. 13. ábra: F1 erő felbontása S1 és S2 segéderőkre, K1 pont meghatározása Ezután F2 erőt bontjuk fel -S2 és S3 segéderőkre a vektorábárán. A kötélábrán a K1 ponton átmenő S2 segéderő hatásvonalát meghosszabbítjuk, és metszésre hozzuk F2 erő hatásvonalával. A metszéspont a K2 pont lesz, amin keresztül párhuzamost húzunk S3 segéderő hatásvonalával (14 ábra) 14. ábra: F2 erő felbontása –S2 és S3 segéderőkre, K2 pont meghatározása A következő lépésben a felfelé mutató FM erőt bontjuk fel –S3 és S4 segéderőkre a vektorábrán. A K2 ponton áthaladó S3 segéderőt meghosszabbítjuk a

kötélábrán, hogy metssze a felfele mutató FM erő hatásvonalát (15. ábra) K3 lesz a metszéspont, amin keresztül párhuzamost húzunk S4 segéderő hatásvonalával is. 7 15. ábra: FM (↑) erő felbontása –S3 és S4 segéderőkre, K3 pont meghatározása Ezután a lefelé mutató FM erőt kell felbontani segéderőkre. Ezek a –S4 és S3 erők lesznek A kötélábrán S4 segéderő hatásvonalát meghosszabbítjuk, és metszésre hozzuk a lefelé mutató FM erő hatásvonalával. K4 lesz a metszéspont Ezen a ponton át húzunk párhuzamost az S3 segéderővel (16. ábra) Következő lépésként az F3 erőt bontjuk fel –S3 és S5 segéderőkre a vektorábrán. A kötélábrán a K4 ponton átmenő S3 segéderő hatásvonalát meghosszabbítjuk, metszésre hozzuk F3 erő hatásvonalával. 16. ábra: FM (↓) erő felbontása –S4 és S3 segéderőkre, K4 pont meghatározása K5 lesz a metszéspont (17. ábra), amin keresztül párhuzamost húzunk S5 segéderő

hatásvonalával 8 17. ábra: F3 erő felbontása –S3 és S5 segéderőkre, K5 pont meghatározása Végül a legelső lépésben a tetszőleges K1 ponton át felvett S1 segéderő hatásvonalát metszésre hozzuk a legutolsóként a K5 ponton keresztül felvett S5 segéderő hatásvonalával. 18. ábra: K6 pont, az eredő helyének a meghatározása 9 K6 lesz a metszéspont. Ezen a ponton kell az eredő erőnek áthaladnia – párhuzamost húzunk az FR eredő hatásvonalával K6 ponton keresztül (18. ábra) 19. ábra: A teljes vektor és kötélábra A teljes vektor és kötélábrát a 19. ábra mutatja 1.2 Síkbeli általános erőrendszer kiegyensúlyozása 1.21 példa Adott a 20. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, a viszonyítási koordinátarendszer, az F=7 [kN] koncentrált erő, α=60 [°], q1=2 [kN/m] és q2=3 [kN] vonal mentén egyenletesen megoszló erők, illetve az a=2 [m] távolság. 20. ábra: Egyenes tengelyű tartó általános

terhelése Megoldás számítással: előbb felvesszük a kényszereknél az ismeretlen nagyságú és irányú erőket (21. ábra), majd nyomatéki egyensúlyi egyenletet írunk fel az A és B pontokra 10 21. ábra: Ismeretlen nagyságú és irányú reakcióerők felvétele 2 q ⋅ (1,5a ) a + 1,5a ⎞ ⎛ ΣM A = 0 = − 1 − q 2 ⋅ (a + 1,5a ) ⋅ ⎜1,5a + ⎟ − F ⋅ (1,5a + a ) ⋅ sinα + B ⋅ (2 ⋅ 1,5a + a ) = 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⋅ (1,5 ⋅ 2 ) 2 + 1,5 ⋅ 2 ⎞ ⎛ − 3 ⋅ (2 + 1,5 ⋅ 2 ) ⋅ ⎜1,5 ⋅ 2 + ⎟ − 7 ⋅ (1,5 ⋅ 2 + 2 ) ⋅ sin60° + B ⋅ (2 ⋅ 1,5 ⋅ 2 + 2 ) 2 2 ⎝ ⎠ B ismeretlenre a következőt kapjuk: B=15,23 [kN] (↑). =− 2 q ⋅ (a + 1,5a ) 1,5a ⎞ ⎛ ΣM B = 0 = F ⋅ (1,5a ) ⋅ sinα + 2 + q 1 ⋅ 1,5a ⋅ ⎜ a + 1,5a + ⎟ − A y ⋅ (2 ⋅ 1,5a + a ) = 2 2 ⎠ ⎝ 2 3 ⋅ (2 + 1,5 ⋅ 2 ) 1,5 ⋅ 2 ⎞ ⎛ = 7 ⋅ (1,5 ⋅ 2 ) ⋅ sin60° + + 2 ⋅ 1,5 ⋅ 2 ⋅ ⎜ 2 + 1,5 ⋅ 2 + ⎟ − A y ⋅ (2 ⋅ 1,5 ⋅ 2

+ 2 ) 2 2 ⎠ ⎝ Ay ismeretlenre a következőt kapjuk: Ay =11,84 [kN] (↑). Az x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet felírása után kifejezhetjük az Ax ismeretlent is: ΣFx = 0 = F ⋅ cosα − A x ⇒ Ax =3,5 [kN] (←). Az reakcióerő nagysága: A = A 2x + A 2y = 3,5 2 + 11,84 2 = 12,35 kN Az ismeretlen erőknek feltételezett irányok, értelmek minden esetben jók voltak! Megoldás szerkesztéssel: 22. ábra: Erőlépték felvétele Elsőként felvesszük a léptéket (22. ábra) Lehetőség szerint mind az erő-, mind a távolság léptéket úgy határozzuk meg, hogy a lapon kényelmesen, de jól láthatóan legyenek feltüntetve a tartó méretei, illetve az erők nagyságai. Arra is gondolni kell, hogy a szerkesztés folyamán az erők hatásvonalai egy esetleges távolabbi pontban metsződnek. (Ennek kézi szerkesztésnél van jelentősége, számítógépes kivitelezés esetén természetesen korlátlan felület áll rendelkezésünkre.) 11 23. ábra:

Külső erők léptékhelyes felmérése A következő lépésben (23. ábra) a tartószerkezetet vesszük fel léptékhelyesen az ábra bal oldalán (kötélsokszög kiindulási alapja), majd jobbra a tartószerkezetre ható külső, aktív erőket vesszük fel léptékhelyesen – vektorsokszög kiindulási alapja. A megoszló erőket a helyettesítő erőikkel (Q1, Q2) vesszük figyelembe Ezután (24 ábra) az vektorábrától jobbra tetszőleges helyen felvesszük a P póluspontot. F erőt felbontjuk S1 és S2 segéderőkre S1 segéderő hatásvonalával párhuzamost húzunk az A ponton keresztül, hogy metssze F erő hatásvonalát A metszéspont a K1. A következő lépésben (25 ábra) Q1 erőt bontjuk fel –S2 és S3 segéderőkre a vektorábrán, majd a kötélábrán S2 segéderő hatásvonalával párhuzamost húzunk K1 ponton át, hogy elmetsszük a Q1 hatásvonalát. A metszéspont K2 Ezután (26 ábra), ismét a vektorábrán, felbontjuk a Q2 erőt –S3 és S4

segéderőkre. A kötélerő ábrán S3 segéderő hatásvonalával párhuzamost húzunk K2 ponton át, hogy metsszük Q2 hatásvonalát A metszéspont a K3 12 24. ábra: F erő felbontása S1, S2 segéderőkre, K1 pont meghatározása 25. ábra: Q1 erő felbontása –S2, S3 segéderőkre K2 pont meghatározása 13 26. ábra: Q2 erő felbontása –S3, S4 segéderőkre K3 és K4 pontok meghatározása 27. ábra: Záróvonal meghatározása, A és B reakcióerők leolvasása a vektorábráról 14 Most az S4 segéderő hatásvonalával húzunk párhuzamost a K3 ponton át, hogy elmetsszük a B támaszerő hatásvonalát. Az újabb metszéspont K4 Tudjuk azt, hogy a vektorábrán Q2 végpontja az egyben az ismeretlen B kényszererő támadáspontja is. A B erő végpontja a szintén ismeretlen A támaszerő támadáspontja lesz Azt azonban tudjuk, hogy az A erőnek az elsőként felvett F erő kiindulási pontjába kell mutatnia, különben nem áll fenn az egyensúly

(ekkor kapunk nullvektort az erőrendszer eredőjére). A jobboldali vektorábrán láthatjuk, hogy egy berajzolt segéderő mindig két erő felbontásakor jelenik meg, csak ellentétes értelemmel. Ez annyit jelent, hogy következő lépésként a K4 ponton keresztül kellene egy párhuzamost húznunk azzal a segéderővel, ami a póluspont és a B erő végpontját köti össze. Ennek a segéderőnek az ellentettjével kellene az A erőt is felbontani Ennek értelmében ennek az ismeretlen segéderőnek a K4 ponton és az A erő hatásvonalán mindenképpen át kell haladnia Az erő hatásvonalának pedig egyetlen pontja ismert, mégpedig maga az A pont, ahonnan a kötélábra szerkesztését elkezdtük. A szerkesztés befejezéseként (27. ábra) semmi más dolgunk, mint K4 és A pontokat összekötni a kötélerő ábrán A két pontot összekötő egyenest nevezzük záróvonalnak Végül a záróvonallal húzunk párhuzamost a vektorábrán a P pólusponton keresztül Ez az

egyenes fogja kimetszeni nekünk a függőleges helyzetű B támaszerő végpontját, ami az A támaszerő támadáspontja is A léptéknek megfelelően le kell olvasni az eredményeket! A további példákban a megoldás csak számító eljárással határozzuk meg, a szerkesztő eljárást már nem ismertetjük. 1.22 példa Adott a 28. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet, az F=20 [kN] koncentrált erő, q=5 [kN/m] vonal mentén egyenletesen megoszló erő, M=8 [kNm] koncentrált nyomaték, illetve az a=1 [m] távolság. Határozzuk meg a támaszerőket! 28. ábra: Kéttámaszú tartó kiegyensúlyozása 15 Megoldás: előbb felvesszük a kényszereknél az ismeretlen nagyságú és irányú erőket (29. ábra), majd nyomatéki egyensúlyi egyenletet írunk fel az A és B pontokra. Az A pontban csak függőleges, y irányú erőt veszünk feszünk fel, mivel x irányú erő nincs az Ax kivételével nem működik az erőrendszerben. 29. ábra: Ismeretlen

támaszerők felvétele / feltételezése 2a + 0,75a ⎞ ⎛ ΣM A = 0 = M − q ⋅ (2a + 0,75a ) ⋅ ⎜ a + 1,25a + ⎟ − F ⋅ a + B ⋅ 4a = 2 ⎝ ⎠ 2 ⋅1 + 0,75 ⋅1 ⎞ ⎛ = 8 − 5 ⋅ (2 ⋅1 + 0,75 ⋅1) ⋅ ⎜1 + 1,25 ⋅1 + ⎟ − 20 ⋅1 + B ⋅ 4 ⋅1 2 ⎝ ⎠ B ismeretlenre a következőt kapjuk: B=15,46 [kN] (↑). ΣM B = 0 = A ⋅ 4a + F ⋅ 3a + M + q ⋅ 2,5a ⋅ 0,375a = = A ⋅ 4 + 20 ⋅ 3 + 8 + 5 ⋅ 2,5 ⋅ 0,375 A ismeretlenre a következőt kapjuk: A = -18,17 A=18,17 [kN] (↑). 16 1. Igénybevételek – rácsos tartók A tartószerkezetre ható erőrendszer (külső erők és támaszerők együttesen) hatására annak belsejében is erők keletkeznek. Ezeket az erőket nevezzük belső erőknek vagy más néven igénybevételeknek. A tartószerkezet egy tetszőleges K keresztmetszetének igénybevételét oly módon határozzuk meg, hogy a K-keresztmetszettől jobbra vagy balra ható erők eredőjét számítjuk ki. Megkülönböztetjük a

normál igénybevételt (tartószerkezet hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erők eredője), nyíró igénybevételt (tartószerkezet hossztengelyére merőleges hatásvonalú erők eredője) és a hajlító igénybevételt. Rácsos tartókról abban esetben beszélünk, ha a tartószerkezetet rudakból építjük fel, amelyek csuklóval kapcsolódnak egymáshoz. A külső terheléseket csak a csuklókban visszük fel a tartóra A közös metszéspontú erőrendszereknél tanultak alapján ilyenkor a tartószerkezeti elemekben, a rudakban jó közelítéssel csak normál igénybevétel lép fel Ez az igénybevétel kétirányú lehet – húzás (+) vagy nyomás (-) 1.11 példa Adott a 1. ábra szerinti rácsos tartószerkezet, az F=6 [kN] koncentrált erő, illetve az a=2,4 [m] távolság. Határozzuk meg a támaszerőket és a rudak igénybevételeit! 1. ábra: Rácsos tartó szerkezet Megoldás: előbb felvesszük a kényszereknél az ismeretlen nagyságú és irányú

támaszerőket (2. ábra), majd nyomatéki egyensúlyi egyenletet az A és B pontokra, végül pedig vetületi egyensúlyi egyenletet írunk fel. 1 2. ábra: Rácsos tartó kiegyensúlyozása - támaszerők felvétele ΣM A = 0 = F ⋅ 4a + F ⋅ 3a + F ⋅ 2a + F ⋅ a + B ⋅ 2a = = 6 ⋅ 4 ⋅ 2,4 + 6 ⋅ 3 ⋅ 2,4 + 6 ⋅ 2 ⋅ 2,4 + 6 ⋅ 2,4 + B ⋅ 2 ⋅ 2,4 B ismeretlenre a következőt kapjuk: B=-30 B= 30,0 [kN] (), ΣM B = 0 = F ⋅ 4a + F ⋅ 3a + F ⋅ 2a + F ⋅ a − A x ⋅ 2a = = 6 ⋅ 4 ⋅ 2,4 + 6 ⋅ 3 ⋅ 2,4 + 6 ⋅ 2 ⋅ 2,4 + 6 ⋅ 2,4 − A x ⋅ 2 ⋅ 2,4 Ax ismeretlenre a következőt kapjuk: Ax = 30,0 [kN] (←), ΣFy = 0 = −4 ⋅ F + A y = −4 ⋅ 6 + A y Ay ismeretlenre a következőt kapjuk: Ay = 24 [kN] (↑). Most már ismerjük a tartószerkezetre működő külső erőrendszer minden elemét (3. ábra) 3. ábra: Rácsos tartóra ható erőrendszer 2 A következő lépésben az egyes rudak igénybevételeit kell meghatároznunk. Ezt

kétféle módszerrel tehetjük meg Az egyik az úgynevezett csomóponti módszer, a másik a 3-as átmetszés módszere. A csomóponti módszer lényege, hogy a rácsos tartószerkezetnek egy olyan csomópontját, csuklóját választjuk ki először, amelybe legfeljebb két ismeretlen tartószerkezeti elem, rúd csatlakozik. A kiválasztott csomópontot, mint egy egyensúlyban lévő közös metszéspontú erőrendszert tekinthetjük. A feladat, ennek az egyensúlyi erőrendszernek az ismeretlen elemeit, azaz a csomópontba befutó két ismeretlen rúderőt meghatározni! Jelen példában kettő olyan csomópontot találunk, amelyikbe maximum két ismeretlen rúd csatlakozik be. Az egyik a B, a másik a 4-es csomópont. Válasszuk el a 4-es csomópontot a tartó többi részétől (4. ábra) Ezzel idézőjelesen elmetszettük az S45 és S34 rudakat Felszabadítottuk, láthatóvá tettük az átvágott rudakban lévő belső erőket, igénybevételeket. Megjelenítjük a belső

erőket oly módon, hogy az átmetszésnél a rúd hossztengelyével párhuzamos irányban felvesszük az S45 és S34 ismeretlen rúderőket (5. ábra) 4. ábra: A 4-es csomópont különválasztása a tartószerkezettől 5. ábra: Ismeretlen rúderők megjelenítése Hogyan kell értelmeznünk a felvett ismeretlen rúderőket? Az S45 és S34 erők belső erőket jelölnek. A nyilak értelmei azt mutatják meg nekünk, hogyan reagál az adott rúd anyaga, belső része a két végén lévő terhelések hatására. Ha az 5 ábra szerinti feltételezéseket vesszük ala- 3 pul, akkor a 4-5 rúd másik, 5-ös csomópont felőli végén éppen ellentétesen kell mutatnia S45 rúderőnek. Ehhez hasonlóan a 3-4 rúd 3-as csomópont felőli oldalán is ellentétes irányban kell feltételezni az S34 rúderőt (6. ábra) 6. ábra: Rudak ismeretlen belső erőinek feltételezése A 6. ábra bal oldala szerinti jelölés azt jelenti, hogy a 4-5 rudat a két végén nyomják a külső

erők, míg a jobb oldala szerint a 4-3 rudat húzzák a külső erők (7. ábra)! 7. ábra: Normál (húzó vagy nyomó) igénybevétel értelmezése Ezek alapján írjuk fel a két vetületi egyensúlyi egyenletet a 4-es csomópontra ható erőrendszer kiegyensúlyozása végett (5. ábra) Ehhez előbb meg kell határoznunk az S45 rúderő vízszintessel bezárt szögét (α): ⎛ 2a ⎞ α = arctan ⎜ ⎟ = 26,57[°] , ⎝ 4a ⎠ ∑ Fx = 0 = S34 − S 45 ⋅ cosα és ∑ Fy = 0 = − F − S 45 ⋅ sinα S45 = -13,41 S45 = 13,41 [kN] (húzott, (+)). Mivel S45 rúderőre negatív értéket kaptunk, ez azt jelenti, hogy a belső erőnek felvett értelem (irány) nem jó, éppen ellentétes (8. ábra) Azaz 4-5 rúd húzott tartószerkezeti elem lesz 4 8. ábra: 4-5 rúd normál igénybevétele helyesen Az x irányú vetületi egyenletet írjuk fel ismét, immár a 4-5 rúd igénybevételének ismeretében: ∑ Fx = 0 = S34 + S 45 ⋅ cosα S34 = -12,0 S34 = 12,0

[kN] (nyomott, (-)) (9. ábra) 9. ábra: 3-4 rúd normál igénybevétele helyesen Következő lépésként tovább léphetünk egy újabb csomópontra, ahova csak két ismeretlen rúd csatlakozik. Ez a 3-as csomópont, amit különválasztunk a tartótól, és az átmetszett ismeretlen rúderőket (belső erőket) felvesszük (10. ábra) 10. ábra: A 3-as csomópontba csatlakozó ismeretlen (S35, S32) rúd(belső)erők feltételezése A 3-as csomópontra felírt vetületi egyenletek: ∑ Fx = 0 = S 34 + S32 S32 = -S34 = -12,0 S32 = 12,0 [kN] (nyomott, (-)), ∑ Fy = 0 = S 35 S35 = 0, azaz 3-5 rúd úgynevezett vakrúd (11. ábra)! 11. ábra: 3-5 és 3-2 rudak normál igénybevétele helyesen 5 Most már az 5-ös csomópontot is vizsgálhatjuk, ahova 2-5 és 5-6 ismeretlen rudak csatlakoznak. Az eddigiekhez hasonlóan különválasztjuk a csomópontot a környezetétől, és az elmetszett ismeretlen igénybevételű rudaknak felvesszük az igénybevételeit (12 ábra)

12. ábra: Az 5-ös csomópontba csatlakozó ismeretlen (S25, S56) rúd(belső)erők feltételezése Az 5-ös csomópontra felírt vetületi egyenletek: ∑ Fx = 0 = −S 45 ⋅ cosα + S56 ⋅ cosα + S 25 ⋅ cosα S 25 = S 45 - S56 = 13,41 - S56 és ∑ Fy = 0 = −S 45 ⋅ sinα − F + S 56 ⋅ sinα − S 25 ⋅ sinα . Behelyettesítés után: 0 = -13,41 ⋅ sin26,57° − 6 + S 56 ⋅ sin26,57° − 13,41 ⋅ sin26,57° + S 56 ⋅ sin26,57° S 56 = 13,41 ⋅ sin26,57° + 6 + 13,41 ⋅ sin26,57° = 20,12 [kN] (húzott, (+)) S25 = -6,71 S25 = 2 ⋅ sin26,57° 6,71 [kN] (nyomott, (-)) (13. ábra) 13. ábra: 5-6 és 2-5 rudak normál igénybevétele helyesen Ezután a 6-os csomópontot vizsgálhatjuk, ahova 6-7 és 2-6 ismeretlen rudak csatlakoznak. Az eddigiekhez hasonlóan különválasztjuk a csomópontot a környezetétől, és az elmetszett ismeretlen igénybevételű rudaknak felvesszük az igénybevételeit (14. ábra) 6 14. ábra: A 6-os csomópontba

csatlakozó ismeretlen (S67, S26) rúd(belső)erők feltételezése A 6-os csomópontra felírt vetületi egyenletek: ∑ Fx = 0 = −S56 ⋅ cosα + S 67 ⋅ cosα S 67 = S 56 = 20,12 [kN] (húzott, (+)), és ∑ Fy = 0 = −S 56 ⋅ sinα − F − S 26 + S 67 ⋅ sinα S 26 = −6 S 26 = 6 [kN] (nyomott,(-)) (15. áb- ra). 15. ábra: 6-7 és 2-6 rudak normál igénybevétele helyesen Következő lépésben a 2-es csomópontot vizsgálhatjuk, ahova 2-7 és 1-2 ismeretlen rudak csatlakoznak. Az eddigiekhez hasonlóan különválasztjuk a csomópontot a környezetétől, és az elmetszett ismeretlen igénybevételű rudaknak felvesszük az igénybevételeit (16. ábra) 7 16. ábra: A 2-es csomópontba csatlakozó ismeretlen (S27, S12) rúd(belső)erők feltételezése Mielőtt felírnánk a vetületi egyensúlyi egyenleteket, meg kell határoznunk az S27 rúderő hatásvonalának vízszintessel bezárt szögét (β). ⎛ 3a ⎞ β = arctan ⎜ ⎟ = 56,31[°] . ⎝ 2a

⎠ A 2-es csomópontra felírt vetületi egyenletek: ∑ Fx = 0 = S32 + S 25 ⋅ cosα + S 27 ⋅ cosβ + S12 = = 12 + 6,71⋅ cos26,57° + S 27 ⋅ cos56,31° + S12 S12 = −18,0 − S 27 ⋅ cos56,31° , és ∑ Fy = 0 = −S 25 ⋅ sinα − S 26 + S 27 ⋅ sinβ = = −6,71 ⋅ sin26,57° − 6 + S 27 ⋅ sin56,31° S 27 = 10,82 [kN] (húzott, (+)) Visszahelyettesítés után: S12 = −18,0 − S 27 ⋅ cos56,31° = -18 − 10,82 ⋅ cos56,31° = −24,0 S12 = 24,0 [kN] (nyomott,(-)) (17. ábra) 8 17. ábra: 2-7 és 1-2 rudak normál igénybevétele helyesen Ezután az 1-es csomópontot vizsgálhatjuk, amit különválasztunk a tartótól, és az átmetszett ismeretlen rúderőket (belső erőket) felvesszük (18. ábra) 18. ábra: Az 1-es csomópontba csatlakozó ismeretlen (S17, SA12) rúd(belső)erők feltételezése Az 1-es csomópontra felírt vetületi egyenletek: ∑ Fx = 0 = S12 + S A1 SA1 = -S12 = -24,0 S12 = 24,0 [kN] (nyomott, (-)), ∑ Fy = 0

= S17 S17 = 0, azaz 1-7 rúd is vakrúd (19. ábra)! 19. ábra: 1-7 és A-1 rudak normál igénybevétele helyesen Most a 7-es csomópontot vizsgálhatjuk, amit különválasztunk a tartótól, és az átmetszett ismeretlen rúderőket (belső erőket) felvesszük (20. ábra) 9 20. ábra: A 7-es csomópontba csatlakozó ismeretlen (SB7, SA7) rúd(belső)erők feltételezése A 7-es csomópontra felírt vetületi egyenletek: ∑ Fx = 0 = −S 67 ⋅ cosα − S 27 ⋅ cosβ + S A7 ⋅ cosβ + S B7 ⋅ cosα S B7 = 20,12 ⋅ cos26,57° + 10,82 ⋅ cos56,31 ° − S A7 ⋅ cos56,31° = 26,83 − 0,62 ⋅ S A7 , cos26,57° ∑ Fy = 0 = −S 67 ⋅ sinα − S 27 ⋅ sinβ − F − S A7 ⋅ sinβ + S B7 ⋅ sinα Behelyettesítés után: 0 = −20,12 ⋅ sin26,57° − 10,82 ⋅ sin56,31° − 6 − S A7 ⋅ sin56,31° + (26,83 − 0,62 ⋅ S A7 ) ⋅ sin26,57° S A7 = −10,82 S A7 = 10,82 [kN] (nyomott, (-)) S B7 = 26,83 + 0,62 ⋅ S A7 = 26,83 + 0,62 ⋅ 10,82 =

33,54 [kN] (húzott, (+)) (21. ábra) 21. ábra: A-7 és B-7 rudak normál igénybevétele helyesen Befejezésként már választhatjuk mind az A, mind a B csomópontot, hogy meghatározzuk az utolsó ismeretlen rúderőt (SAB). A B csomópontot, ha vesszük, kevesebb számolással érhetünk el eredményt Különválasztjuk a tartótól, és az átmetszett ismeretlen rúderőt (belső erőt) felvesszük (22. ábra) 10 22. ábra: A B csomópontba csatlakozó ismeretlen (SAB) rúd(belső)erő feltételezése A B pontra felírt x irányú vetületi egyenletet eddigi számolásunk ellenőrzéseként írhatjuk fel: ∑ Fx = 0 = −S B7 ⋅ cosα + B B = SB7 = 30 [kN]. Az y irányú vetületi egyensúlyi egyenletből határozhatjuk meg az SAB rúderőt: ∑ Fy = 0 = −S B7 ⋅ sinα − S AB S AB = −S B7 ⋅ sinα = -33,54 ⋅ sin26,57° = -15 SAB= 15 [kN] (nyomott, (-)) (23. ábra) 23. ábra: A-B rúd normál igénybevétele helyesen Ezzel a tartószerkezet minden

elemének igénybevételét ismerjük, az eredményeket úgynevezett rúderő-táblázatban foglalhatjuk össze. S1A S12 S23 S34 húzott rúd nyomott rúd húzott rúd nyomott rúd S45 S35 13,41 ∅ 24,0 24,0 12,0 12,0 S56 S26 S27 S67 S17 10,82 20,12 ∅ 20,12 6,0 ∅ 11 S25 ∅ 6,71 SA7 SB7 33,54 10,82 A másik eljárás a rudak igénybevételének a meghatározására a 3-as átmetszés módszere. Az eljárás lényege, hogy a tartószerkezetünket két, különálló részre választjuk szét. Ezt úgy tehetjük csak meg, hogy maximum három darab rudat „átvágunk” (24 ábra)! 24. ábra: Rácsos tartó rúderőinek (igénybevételeinek) meghatározása 3-as átmetszéssel – S12, S27, S67 rudak átvágása A 24. ábra szerinti, hullámvonalal jelölt átvágással a tartó S12, S27 és S67 rúdjait vágtuk át, szabadítottuk fel a rúderőket! Az egyik, tetszőlegesen kiválasztatott tartórészen dolgozunk tovább – legyen ez a jobb

oldali része a tartónak (25. ábra) 25. ábra: A szétválasztott tartó jobb oldalának a kiválasztása 12 Felvesszük a felszabadított, de ismeretlen belső erők, az igénybevételek nagyságát és értelmét (húzott vagy nyomott) (26. ábra) Ezek lesznek az S12, S27 és S67 rúderők, ez a három felszabadított belső erő fog egyensúlyt tartani a jobboldali tartórészre működő külső erőkkel (F, B, Ax, Ay). Csak azokat a rúderőket vehetjük figyelembe, amelyeket átmetszettünk! 26. ábra: Rúderők feltételezése a 3-as átmetszés módszerében Ennek megfelelően a már ismert egyensúlyi, a nyomatéki és vetületi egyensúlyi egyemleteket használjuk fel az ismeretlenek meghatározására. Ha a 7-es csomópontra írunk fel nyomatéki egyensúlyi egyenletet, akkor az S47, S27 rúderők nem fognak szerepelni az egyenlőségebn, mivel hatásvonaluk átmegy a kiválasztott ponton. ∑ M7 = 0 = −S12 ⋅ 3 ⋅ a a a − Ax ⋅3⋅ − B⋅ 2 2 2 a a

2,4 2,4 − B⋅ − 30 ⋅ 3 ⋅ − 30 ⋅ 2 2 = 2 2 = −40 . a 2,4 3⋅ 3⋅ 2 2 − Ax ⋅3⋅ S12 = Mivel negatív értéket kaptunk az egyenlőségből S12-re, ez azt jelenti, hogy amit felvettünk neki értelmet, az nem jó. A belső erő a valóságban éppen ellentétesen fog mutatni, azaz S12 nyomott rúd lesz lesz. S12=40 [kN] (nyomott, (-)). Következő lépésként az 1-2 és 2-7 rudak metszéspontját választjuk ki a nyomatéki egyensúlyi egyenlet felírásához. Ez a pont a valóságban a 2-es csomópont! ∑ M2 = 0 = − F ⋅ a − S 67 ⋅ sinα ⋅ a + S 67 ⋅ cosα ⋅ 3 ⋅ a − B⋅2⋅a + Ay ⋅ 2⋅a 2 13 S 67 = Ay ⋅ 2⋅a - B⋅ 2⋅a − F⋅ a 24 ⋅ 2 ⋅ 2,4 - 30 ⋅ 2 ⋅ 2,4 − 6 ⋅ 2,4 = = +20,13 a 2,4 sinα ⋅ a − cosα ⋅ 3 ⋅ sin26,57° ⋅ 2,4 − cos26,57° ⋅ 3 ⋅ 2 2 Mivel pozitív értéket kaptunk az egyenlőségből S67-re, ez azt jelenti, hogy amit felvettünk neki értelmet az jó, azaz S67 húzott rúd lesz.

S67=20,13 [kN] (húzott, (+)). Végül egy vetületi egyensúlyi egyenletet írhatunk fel. ∑ Fy = 0 = −S 67 ⋅ sinα − S 27 ⋅ sinβ − F + A y = = −20,13 ⋅ sin26,57° − S 27 ⋅ sin56,31° − 6 + 24 Mivel pozitív értéket kaptunk az egyenlőségből S27-re, ez azt jelenti, hogy amit felvettünk neki értelmet az jó, azaz S27 húzott rúd lesz. S27 = 10,81 [kN] (húzott, (+)). Amennyiben további rúderőket szeretnénk meghatározni, ahhoz egy másik helyen kell az átmetszést elvégezni (27. ábra) 27. ábra: Rácsos tartó rúderőinek (igénybevételeinek) meghatározása 3-as átmetszéssel – S56, S52, S23 rudak átvágása Ezután ugyanaz az eljárás menete, mint az előbb. A kettéválasztott tartónak most nem a jobb, hanem a bal oldalát tarjuk meg (28. ábra), majd feltételezzük az átvágott rudaknak a nagyságát és értelmét (29 ábra) Végül pedig felírjuk az egyensúlyi egyenleteket! a ∑ M 5 = F ⋅ a − S 23 ⋅ 2 = 6 ⋅ 2,4 −

S 23 ⋅ 2,4 2 S23 = 12,0 [kN] (nyomott, (-)). 14 28. ábra: A második helyen szétválasztott tartó bal oldalának a kiválasztása 29. ábra: Rúderők feltételezése a 3-as átmetszés módszerében ∑ M 4 = −F ⋅ a + S 25 ⋅ sinα ⋅ 2 ⋅ a = −6 ⋅ 2,4 + S 25 ⋅ sin26,57° ⋅ 2 ⋅ 2,4 S25 = 6,71 [kN] (nyomott, (-)). ∑ Fx = 0 = −S 25 ⋅ cosα − S 23 − S56 ⋅ cosα = −6,71 ⋅ cosn26,57° − 12,0 − S56 ⋅ cos26,57° S56 = -20,13 S56 = 20,13 [kN] (húzott, (+)). Láthatjuk, hogy a 3-as átmetszés módzserének eredményeit ha összehasonlítjuk a csomóponti módszer eredményeivel, ugyanazt kapjuk. Azt, hogy mikor melyik módszert kell, illetve célszerű alkalmazni, azt mindig a feladat jellege határozza meg! 1.12 példa Adott a 30. ábra szerinti szimmetrikus szerkezetű és terhelésű rácsos tartószerkezet, az F=20 [kN] koncentrált erő, illetve az a=1,0 [m] távolság. Határozzuk meg a támaszerőket, az S17 rúderőt

csomóponti módszerrel, míg S23 és S67 rudak igénybevételeit a 3-as átmetszés módszerével! 15 30. ábra: Rácsos tartószerkezet Rúderők meghatározása azok nagyságának és irányának a feltételezése után: ∑MA = 0 = B ⋅ 12 ⋅ a − F ⋅ 11 ⋅ a − F ⋅ 8 ⋅ a − F ⋅ 4 ⋅ a − F ⋅ a = B = 40 [kN] (↑). = B ⋅ 12 ⋅ 1 − 20 ⋅ 11 ⋅ 1 − 20 ⋅ 8 ⋅ 1 − 20 ⋅ 4 ⋅ 1 − 20 ⋅ 1 ∑ Fy = 0 = B + A y − 4 ⋅ F = 40 + A y − 4 ⋅ 20 Ay = 40 [kN] (↑). 31. ábra: Adott rácsos tartószerkezetre ható külső erők és a reakcióerők 16 Az S17 rúderő meghatározása csomóponti módszerrel: 32. ábra: Az A csomópontra ható erők, az S1A és SA7 ismeretlen rúderők feltételezése α = arctan 3a 4a = 45,0[°] és β = arctan = 75,96[°] 3a a ∑ Fx = 0 = S1A ⋅ cosβ + S A7 ⋅ cosα = S1A ⋅ cos75,96° + S A7 ⋅ cos45,0° S1A = − ∑ Fy = 0 = S1A ⋅ sinβ + S A7 ⋅ sinα + A y = S1A ⋅ sin75,96°

+ S A7 ⋅ sin45,0° + 40 S A7 ⋅ cos45,0° cos75,96 ° Behelyettesítés után: 0=− S A7 ⋅ cos45,0° ⋅ sin75,96° + S A7 ⋅ sin45,0° + 40 cos75,96° SA7 = 18,86 [kN] (húzott, (+)). Visszahelyettesítés után: S1A = -54,98 S1A= 54,98 [kN] (nyomott, (-)) (33. ábra) 33. ábra: S1A és SA7 rudak belső erőinek, igénybevételeinek meghatározása 17 A következő lépés az 1-es csomópontra ható erők vizsgálata (34. ábra) 34. ábra: Az 1-es csomópontra ható erők, az S12 és S17 ismeretlen rúderők feltételezése γ = arctan ∑ Fx a 2a = 26,57° és δ = arctan = 33,69° 2a 3a = 0 = S1A ⋅ cosβ + S17 ⋅ cosγ + S12 ⋅ cosδ = = 54,98 ⋅ cos75,96° + S17 ⋅ cos26,57° + S12 ⋅ cos33,69° ∑ Fy S17 = − 13,34 + S12 ⋅ cos33,69° cos26,57° = 0 = S1A ⋅ sinβ + S12 ⋅ sinδ − S17 ⋅ sinγ - F = = 54,98 ⋅ sin75,96° + S12 ⋅ sin33,69° − S17 ⋅ sin26,57° - 20 Behelyettesítés után: 0 = 54,98 ⋅ sin75,96° + S12 ⋅

sin33,69° + S12 = -41,2 13,34 + S12 ⋅ cos33,69° ⋅ sin26,57° - 20 cos26,57° S12 = 41,2 [kN] (nyomott, (-)). 35. ábra: S12 és S17 rudak belső erőinek, igénybevételeinek meghatározása 18 Visszahelyettesítés után (figyelem, az S12 rúdról immár tudjuk, hogy nyomott tartószerkezeti elem, ezért ezt az x irányú vetületi egyensúlyi egyenletben figyelembe kell venni!): S17 = − 13,34 − S12 ⋅ cos33,69° 13,34 − 41,2 ⋅ cos33,69° =− cos26,57° cos26,57° S17= 23,41 [kN] (húzott, (+)) (35. ábra) Az S23 és S67 rúderők meghatározása 3-as átmetszés módszerrel: A megfelelő helyen kettéválasztjuk a tartót oly módon, hogy a keresett rúderőket felszabadítsuk az átmetszéssel. Ezután megtartjuk a kettévágott tartó bal oldali részét és felvesszük az ismeretlen nagyságú és értelmű rúderőket (36. ábra) 36. ábra: Rúderők feltételezése a 3-as átmetszés módszerében Az S76 és S26 rudak metszéspontja a 6-os

csomópont – erre írunk fel először nyomatéki egyensúlyi egyenletet: ∑ M 6 = 0 = F ⋅ 2 ⋅ a + F ⋅ 5 ⋅ a − A y ⋅ 6 ⋅ a − S 23 ⋅ 2 ⋅ a = = 20 ⋅ 2 ⋅ 1 + 20 ⋅ 5 ⋅ 1 − 40 ⋅ 6 ⋅ 1 − S 23 ⋅ 2 ⋅ 1 S23= - 50,0 S23= 50,0 [kN] (nyomott, (-)). 19 A 7-6 rúd vízszintessel bezárt szöge: ϕ = arctan a = 18,43[°] . 3a A nyomatéki egyensúlyi egyenlet a 2-es csomópontra: ∑ M 2 = 0 = F ⋅ 3 ⋅ a − A y ⋅ 4 ⋅ a + S76 ⋅ cosϕ ⋅ 3 ⋅ a - S76 ⋅ sinϕ ⋅ a = = 20 ⋅ 3 ⋅ 1 − 40 ⋅ 4 ⋅ 1 + S 76 ⋅ (cos18,43° ⋅ 3 ⋅ 1 - sin18,43° ⋅ 1) S76= 39,53 [kN] (húzott, (+)). 20 1. Igénybevételek – kéttámaszú, egyenes tengelyű tartók Az egyes igénybevételekről, belső erő típusokról már ejtettünk szót. Ebben a fejezetben olyan egyenes tengelyű tartószerkezetekkel foglalkozunk, amelyekre nemcsak tengelyirányú, hanem hossztengelyre merőleges külső erők is hatnak. Így nemcsak normál, hanem

nyíró és hajlító igénybevételek is fellépnek. A feladat, hogy a belső erőknek a változását a tartó hossztengelye mentén megszerkesszük, illetve megrajzoljuk. Ehhez a tartó valamennyi keresztmetszetében a fellépő igénybevételeket ismernünk kell. Az igénybevétel (belső erő) definícióját megismételjük: a tartószerkezet egy tetszőleges K keresztmetszetének igénybevételén az adott K-keresztmetszettől jobbra vagy balra ható erők (külső és reakció erők) eredőjét értjük! 1.1 Igénybevételi ábrák szerkesztési szabályai Jelölések: N - normálerő ábra T – nyíróerő ábra M – hajlítónyomatéki ábra 1. A tartó azon szakaszán, ahol nincs erőhatás, az N és T ábra vonala a tartótengellyel párhuzamosan halad. 2. Koncentrált erő helyén az N és T ábrán az erő megfelelő irányú összetevőjének megfelelő ugrás van 3. A nyomatéki ábra vonala lineárisab haladazon a szakaszon, ahol nincs erőhatás Az erőhatás

helyén az M ábrában törés van. 4. Az M és T ábra között differenciális kapcsolat van A nyíróerő ábra függvényét integrálva kapjuk a nyomatéki mábra függvényét, illetve a nyomatéki ábra függvényét deriválva kapjuk a nyíróerő ábra függvényét 5. Előző pontból következik, hogy a nyomaték helyi/lokális szélsőértékei ott lépnek fel, ahol a nyíróerő nulla. 6. A tartó végein, ha nincs koncentrált nyomaték, akkor a nyomaték nulla 7. Koncentrált erő helyén a nyomatéki ábrában törés van 8. Megoszló terhelés esetén a terhelés szakaszán a T ábra vonala ferde helyzetű egyenes, meredeksége a teherintenzitás. 9. Megoszló terhelés esetén a terhelés szakaszán a T ábra vonala ferde helyzetű egyenes, meredeksége a teherintenzitás. 10. Megoszló terhelés esetén a terhelés szakaszán az M ábra parabola, adott pontjához húzott érintő iránytangense az adott hely nyíróereje. 1 11. Az N és T ábrán a

koncentrált nyomaték nem okoz változást 12. A koncentrált nyomaték helyén az M ábrán a nyomatéknak megfelelő ugrás van 1.11 példa Adott a 1. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet! F=7 [kN], q1=2 [kN/m] és q2= 3 [kN/m], a = 2 [m] és α=60 [°]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat! 1. ábra: Egyenes tengelyű, kéttámaszú tartó – terhelések és támaszerők A támaszerők kiszámítása: 2 ΣM A = 0 = − q 1 ⋅ (1,5a ) a + 1,5a ⎞ ⎛ − q 2 ⋅ (a + 1,5a ) ⋅ ⎜1,5a + ⎟ − F ⋅ (1,5a + a ) ⋅ sinα + B ⋅ (2 ⋅ 1,5a + a ) = 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⋅ (1,5 ⋅ 2 ) 2 + 1,5 ⋅ 2 ⎞ ⎛ − 3 ⋅ (2 + 1,5 ⋅ 2 ) ⋅ ⎜1,5 ⋅ 2 + ⎟ − 7 ⋅ (1,5 ⋅ 2 + 2 ) ⋅ sin60° + B ⋅ (2 ⋅ 1,5 ⋅ 2 + 2 ) 2 2 ⎝ ⎠ B ismeretlenre a következőt kapjuk: B=15,23 [kN] (↑). =− 2 ΣM B = 0 = F ⋅ (1,5a ) ⋅ sinα + q 2 ⋅ (a + 1,5a ) 1,5a ⎞ ⎛ + q 1 ⋅ 1,5a ⋅ ⎜ a + 1,5a + ⎟ − A y ⋅ (2

⋅ 1,5a + a ) = 2 2 ⎠ ⎝ 2 = 7 ⋅ (1,5 ⋅ 2 ) ⋅ sin60° + 3 ⋅ (2 + 1,5 ⋅ 2 ) 1,5 ⋅ 2 ⎞ ⎛ + 2 ⋅ 1,5 ⋅ 2 ⋅ ⎜ 2 + 1,5 ⋅ 2 + ⎟ − A y ⋅ (2 ⋅ 1,5 ⋅ 2 + 2 ) 2 2 ⎠ ⎝ Ay ismeretlenre a következőt kapjuk: Ay =11,84 [kN] (↑). Az x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet felírása után kifejezhetjük az Ax ismeretlent is: ΣFx = 0 = F ⋅ cosα − A x ⇒ Ax =3,5 [kN] (←). Az reakcióerő nagysága: A = A 2x + A 2y = 3,5 2 + 11,84 2 = 12,35 kN . Először mindig a normál igénybevételi ábrát rajzoljuk meg. Azokat az erőket összegezzük az egyes keresztmetszetekben, amelyek hatásvonala párhuzamos a tartó hossztengelyével. Ebben az esetben az Ax-ből és az F erő x irányú komponenséből származik normál igénybevétel. A 2. ábra mutatja a normál igénybevételnek az elsozlást a tartó hossztengelye mentén A szerkesztési szabályoknak megfelelően láthatjuk, hogy a tartóra két helyen koncentrált normál erő 2 (Ax

és F) hat. Ezeken a helyeken azonos nagyságú, de ellentétes irányú ugrás található, mivel a két erő értelme ellentétes. A terheletlen szakaszon a tartó hossztengelyével párhuzamosan haladunk. Nagyon egyszerűen ellenőrízhetjük, hogy jól dolgoztunk-e Ugyanazon keresztmetszetben két oldalról nézve a belső erőknek ki kell egyensúlyozniuk egymást Azaz azonos keresztmetszetet két oldalról vizsgálva azonos nagyságú, de ellentétes értelmű erőket kell kapni eredményül. 2. ábra: Normálerő ábra Előbb az A ponttól tetszőleges x < 5 m távolságban található K keresztmetszetet viszgáljuk. A 3. ábra felső részén láthatjuk, hogy a K keresztmetszettől jobbra eső tartószerkezeti részt megtartottuk A balra található összes (jelen esetben egy) normálerőnek a hatását vettük figyelembe a vizsgált K keresztmetszetre A 3 ábra alsó részén a tartó bal oldali részét tartottuk meg, és a K keresztmetszettől jobbra lévő normálerők

hatását összegeztük a vizsgált keresztmetszetre. Látható, hogy két oldalról nézve ugyanazon K keresztmetszetben a belső erő nagysága azonos, értelme ellentétes. 3. ábra: Normál igénybevétel értelemezése ugyanazon K keresztmetszetben, két oldalról nézve A normálerő ábra alá közvetlenül rajzoljuk a nyíróerő ábrát. Azoknak az erőknek a hatását vizsgáljuk, melyeknek a tartó hossztengelyére merőleges komponense van. Ezek az Ay, q1, q2, 3 Fy és B erők. A tartó bal oldalán az A pontban az Ay koncentrált erőhatás miatt az erő nagyságának megfelelően ugrunk (4 ábra), a nyíró igénybevétel értéke az A keresztmetszetben 11,84 [kN] – első lépés. Onnan q1 terhelés miatt ferde helyzetű egyenessel indulunk el az ugrással ellentétesen, mivel q1 és Ay egymással ellentétes irányba mutatnak – második lépés A C kerestmetszet nyíró igénybevételének meghatározás a keresztmetszettől jobbra és balra eső nyíróerők

eredőjének a külön-külön meghatározásával (5. ábra) 4. ábra: Nyíróerő ábra - első, második lépés 5. ábra: C keresztmetszet nyíró igénybevételének értelemezése két oldalról nézve Ha a C keresztmetszettől balra eső nyíró erőket összegezzük: ∑ TCb = A y − q1 ⋅ 3 = 11,84 − 2 ⋅ 3 = 5,84 ∑ TCb = 5,84 [kN ](↑ ) . Ha C keresztmetszettől jobbra eső nyíró erőket összegezzük: ∑ TCj = B y − Fy − q 2 ⋅ 5 = 15,23 − 6,06 − 3 ⋅ 5 = −5,83 ∑ TCj = 5,83 [kN ](↓ ) . Láthatjhuk, hogy ugyanazon keresztmetszetben két oldlaról vizsgálva a két nyíró igénybevétel éppen kiegyenlíti egymást. Azaz a C keresztmetszetben fenáll az egyensúly, mivel a nagyság 4 megegyezik (a minimális eltérés a kerekítésekből adódik), míg az irányok ellentétesek egymással. Innen a q2 megoszló terhelés intenzitásának megfelelő meredekségű egyenessel haladunk tovább egészen az F koncentrált erő

támadáspontjáig – harmadik lépés, ahol az F erő y komponensének megfelelően ugrunk lefele (6. ábra) – negyedik lépés 6. ábra: Nyíróerő ábra – harmadik, negyedik lépés Ha a D keresztmetszet igénybevételét vizsgáljuk két oldalról nézve, akkor egyértelmű az utolsó két lépés (7. ábra) Ha a D keresztmetszettől balra eső nyíró erőket összegezzük: ∑ TDb = A y − q1 ⋅ 3 − q 2 ⋅ 2 = 11,84 − 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ 2 = −0,16 ∑ TDb = 0,16 [kN ](↓ ) . Az ábrán az erők nagysága és a geometria miatt nehezen látható, de a nyíró erő értéke a tengely alá esik a vizsgált kresztmetszetben. Ezután jön az F erő y komponensének a figyelembevétele: ∑ TDb = A y − q1 ⋅ 3 − q 2 ⋅ 2 = 11,84 − 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ 2 = −0,16 −Fy = −0,16 − 6,06 = −6,22 ∑ TDb = 6,22 [kN ](↓ ) . Ha D keresztmetszettől jobbra eső nyíró erőket összegezzük: 5 7. ábra: D keresztmetszet nyíró igénybevételének

értelemezése két oldalról nézve ∑ TDj = B y − q 2 ⋅ 3 = 15,23 − 3 ⋅ 3 = 6,23 ∑ TDj = 6,23 [kN ](↑ ). Az F erő y komponensének a figyelembevétele: ∑ TDj = B y − q 2 ⋅ 3 = 15,23 − 3 ⋅ 3 = 6,23 −Fy = 6,23 − 6,06 = 0,17 ∑ TDj = 0,17 [kN ](↑ ) . Innen továbblépve a q2 megoszló terhelésnek megfelelően ferde helyzetű egyenssel haladok tovább a következő koncentrált erőhatásig, ami a B erő – ötödik lépés. Végül pedig a B koncentrált erő nagyságának megfelelően felfelé ugrunk – hatodik lépés (8 ábra) 8. ábra: Nyíróerő ábra – ötödik, hatodik lépés A B keresztmetszetet vizsgálata mindkét oldalról hasonló módon történik, mint a C és D keresztmetszeteké. 6 Az utolsó igénybevétel fajta a hajlítónyomaték és eloszlásának a vizsgálata a tartó hossztengelye mentén. Ezt az ábrát közvetlenül a nyíróerő ábra alá rajzoljuk Fontos tudnivaló (ahogy a szerkesztési szabályoknál

már említettük), hogy a nyomatéki és nyíróerő ábra között differenciális kapcsolat áll fenn. Ennek figyelembevételével legelőször megnézzük, melyik keresztmetszetben áll fenn a T = 0 egyenlőség – ott lokális (adott keresztmetszet közeli) szélsőértéknek kell lenni Ezután megnézzük, hogy a tartó végein működik-e koncentrált nyomaték – ha nem, ott a nyomaték értéke zérus. Végül pedig megtekintjük, hogy a tartón működik-e valahol koncentrált nyomaték – ha igen, ott ugrás lesz a nyomatéki ábrán. Ezek figyelembevételével tesszük meg az első lépést a nyomatéki ábra rajzolásakor. A 9 ábra mutatja, hogy T = 0 a D keresztmetszet közvetlen közelében lesz – mivel nagyon kis távolságról van szó, ezért úgy tekintjük, hogy a D keresztmetszetben van a zérus. Azt is láthatjuk, hogy a tartón sehol, se a végeken, se a tartószerkezeten nem működik koncentrált nyomaték, így a tartó két végén zérus a nyomaték,

és nem lesz ugrás sem a nyomatéki ábrában. 9. ábra: Nyomatéki ábra szerkesztése – első lépés Következő lépésben a D keresztmetszet hajlító igénybevételét vizsgáljuk meg két oladalról nézve, megkeressük a lokális szélőértéket (10. ábra) 7 10. ábra: D keresztmetszet hajlító igénybevételének értelemezése két oldalról nézve ∑ M bD = q 2 ⋅ 22 3 ⋅ 22 + q 1 ⋅ 3 ⋅ 3,5 − A y ⋅ 5 = + 2 ⋅ 3 ⋅ 3,5 − 11,84 ⋅ 5 = −32,2 2 2 ∑ M bD = 32,2 [kNm] ( ) és ∑ M Dj = −q 2 ⋅ 3 ⋅1,5 + B ⋅ 3 = −3 ⋅ 3 ⋅1,5 + 15,23 ⋅ 3 = 32,19 ∑ M Dj = 32,19 [kNm] ( ). Láthatjuk, hogy a hajlító igénybevétel nagysága mindkét esetben 32,2 [kNm], és mindkét esetben az alsó a húzott oldal. Ugyanazon D keresztmetszetben két oldalról nézve az igénybevételek kiegyenlítik egymást, azaz az egyensúly fenáll Következő lépésben a C keresztmetszet hajlító igénybevételét vizsgáljuk meg két oladalról

nézve (11. ábra) 11. ábra: C keresztmetszet hajlító igénybevételének értelemezése két oldalról nézve q1 ⋅ 32 2 ⋅ 32 ∑ M = 2 − A y ⋅ 3 = 2 − 11,84 ⋅ 3 = −26,52 b C ∑ M Cj = − ∑ M Cb = 26,52 [kNm] ( q 2 ⋅ 52 3 ⋅ 52 − Fy ⋅ 2 + B ⋅ 5 = − − 6,06 ⋅ 2 + 15,23 ⋅ 5 = 26,53 2 2 ∑ M Cj = 26,53 [kNm] ( ). 8 ) és Láthatjuk, hogy a hajlító igénybevétel nagysága mindkét esetben 26,52 [kNm], és mindkét esetben az alsó a húzott oldal. Ugyanazon C keresztmetszetben két oldalról nézve az igénybevételek kiegyenlítik egymást, azaz az egyensúly fenáll Ezután már csak össze kell kötni az eddig meghatározott pontokat (12. ábra) Négy „nevezetes pontunk van. Mivel a tartó hosztengelye mentén végig megoszló terhelés működik, ezért a nyomatéki ábra végig másodfokú függvény (parabola) szerint változik. 12. ábra: Nyomatéki ábra szerkesztése – második lépés 1.12 példa Adott a 13. ábra

szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet! F=15 [kN], q=4 [kN/m], a = 1 [m] és α = 30 [°]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat! 9 13. ábra: Egyenes tengelyű, kéttámaszú tartó – támaszerők felvétele és meghatározása a terhelések és geometria ismeretében A feladat megoldását, a felírt egyebleteket most már kevesebb magyarázó szöveggel egészítjük ki. Először a támaszerőket kell meghatározni. X irányú vetületi egyensúlyi egyenlet felírása: ∑ Fx = 0 = −A x − F ⋅ cos α = −A x − 15 ⋅ cos 30° A x = −13 A x = 13 [kN] (). Az A pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet: ⎛ 7⋅a ⎞ + a ⎟ − F ⋅ sin α ⋅ 5 ⋅ a + B ⋅ 6 ⋅ a = 2 ⎝ ⎠ ∑ M A = 0 = −q ⋅ 7 ⋅ a ⋅ ⎜ ⎛ 7 ⋅1 ⎞ = −4 ⋅ 7 ⋅ 1 ⋅ ⎜ + 1⎟ − 15 ⋅ sin 30° ⋅ 5 ⋅1 + B ⋅ 6 ⋅ 1 ⎝ 2 ⎠ B = 27,25 [kN] (↑). A B pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet: ∑ M B =

0 = q ⋅ 7 ⋅ a ⋅1,5 ⋅ a + F ⋅ sin α ⋅ a − A y ⋅ 6 ⋅ a = 4 ⋅ 7 ⋅1 ⋅1,5 ⋅1 + 15 ⋅ sin 30° ⋅1 − A y ⋅ 6 ⋅1 A y = 8,25 [kN] (↑) (14. ábra) A C keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, normál igénybevétel szempontjából (15. ábra): ∑ N bC = A x = 13,0 [kN] () és ∑ M jC = − Fx ⋅ cos 30° = 13,0 [kN] (←). 10 14. ábra: Támaszerők és normál igénybevételi ábra A C keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából: ∑ TCb = A y = 8,25 [kN] (↑) és ∑ TCj = −q ⋅ 7 ⋅ a − Fx ⋅ sin 30° + B = −4 ⋅ 7 ⋅ 1 − 15 ⋅ sin 30° + 27,25 = -8,25 ∑ T Cj = 8,25 [kN] (↓). A D keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából: 15. ábra: A C keresztmetszet normál igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve ∑ T Db = A y − q ⋅ 4 ⋅ a = 8,25 − 4 ⋅ 4 ⋅ 1 = −7,75 ∑ T Db = 7,75 (↓) és ∑

TDj = − q ⋅ 3 ⋅ a + B = −4 ⋅ 3 ⋅ 1 + 27,25 = 15,25 [kN] (↓) ∑ T Db = 7,75 (↓) + Fy (↓) = 15,25 [kN] (↓). A B keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából: ∑ TBb = A y − q ⋅ 5 ⋅ a - Fy = 8,25 − 4 ⋅ 5 ⋅ 1 - 7,5 = −19,25 ∑ TBb = 19,25 (↓) és ∑ TBj = − q ⋅ 2 ⋅ a = −4 ⋅ 2 ⋅ 1 = −8,0 ∑ T Bj = 8,0 [kN] (↓) (16. ábra) ∑ TDb = −19,25 + B = −19,25 + 27,25 = 8 [kN] (↑). 11 16. ábra: Nyíró-igénybevételi ábra Az F keresztmetszet pontos helyének a meghatározás amitt fontos, hogy a nyíróerő értéke ott nulla. Ez azt jelenti, hogy az F (és B) keresztmetszet(ek)ben lokális nyomatéki szélsőérték lesz. Az F keresztmetszet helye a C-től számítva: xF = TC [kN ] 8,25 [kN ] = = 2,063 [m ] , q [kN/m ] 4 [kN/m ] Az F keresztmetszet helye a D-től számítva: xF = TD [kN ] 7,75 [kN ] = = 1,937 [m ] (16. ábra) q [kN/m ] 4 [kN/m ] Az F

keresztmetszet vizsgálata két oldalról nézve, nyíró igénybevétel szempontjából (17. ábra): ∑ T Fb = A y − q ⋅ 2,063 = 8,25 − 4 ⋅ 2,063 = ~ 0 ∑ T Fj = −q ⋅ 4,937 − Fy + B = −4 ⋅ 4,937 − 7,5 + 27,25 = ~ 0 12 17. ábra: Az F keresztmetszet nyíró igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve A hajlító igénybevétel meghatározása az F keresztmetszetben kétoldlaról nézve: 2,063 2 2,063 2 ∑ M = − A y ⋅ 3,063 + q ⋅ 2 = −8,25 ⋅ 3,063 + 4 ⋅ 2 = −16,75 b F ∑ M bF = 16,75 [kNm] ( ), 4,937 2 4,937 2 − Fy ⋅ 1,937 + B ⋅ 2,937 = −4 ⋅ − 7,5 ⋅ 1,937 + 27,25 ⋅ 2,937 = 16,75 2 2 ∑ M jF = 16,75 [kNm] ( ) (19. ábra) ∑ M jF = −q ⋅ A hajlító igénybevétel meghatározása a B keresztmetszetben kétoldlaról nézve: ∑ M bB = − A y ⋅ 6 + ∑ M jB =− q ⋅ 52 4 ⋅ 52 + Fy ⋅ 1 = −8,25 ⋅ 6 + + 7,5 ⋅ 1 = 8,0 2 2 q ⋅ 22 4 ⋅ 22 =− = −8,0 2 2 ∑ M jB ∑ M bB = 8,0 [kNm]

( ), = 8,0 [kNm] ( ) (20. ábra) A hajlító igénybevételi ábra (18. ábra) szélsőértékeinek a meghatározásán kívül tetszőleges keresztmetszet igénybevételének a meghatározását hasonló módon kell elvégezni. Ami érdekes lehet számunkra, annak a keresztmetszetnek a meghatározása, ahol a hajlító igénybevétel értéke zérus. Láthatjuk, hogy ez a keresztemetszet valahol közelítően a D és B keresztmetszetek közé esik Pontos meghatározása: ∑ M .j = 0 = B ⋅ (x - 2 ) − q ⋅ x2 4⋅ x2 = 27,25 ⋅ (x - 2 ) − 2 2 A másodfokú egyenletből: x1 = 11,2 [m] és x2 = 2,44 [m]. Mivel a tartó hossza összesen nincs 11[m], ezért csak az x2 = 2,44 [m] a jó megoldás. Azaz a nyomaték a tartó jobb oldali végétől (E keresztmetszet) 2,44 [m]-re lesz zérus! 13 18. ábra: Nyomatéki ábra 19. ábra: Hajlító igénybevétel maghatározása az F keresztmetszetben két oldalról nézve 20. ábra: Hajlító igénybevétel maghatározása a B

keresztmetszetben két oldalról nézve 14 1.13 példa Adott a 21. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet! F=15 [kN], q=4 [kN/m], a=1 [m] és α = 30 [°]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat! 21. ábra: Egyenes tengelyű, kéttámaszú, két oldalt konzolosan túlnyúló tartó ∑ MA = 0 = q 1 ⋅ 3 ⋅ a ⋅ 0,5 ⋅ a - F ⋅ 2,5 ⋅ a - q 2 ⋅ 5 ⋅ a ⋅ (2,5 ⋅ a + a) + B ⋅ 4,5 ⋅ a = = 3 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ 0,5 ⋅ 1 - 12 ⋅ 2,5 ⋅ 1 - 4 ⋅ 5 ⋅ 1 ⋅ (2,5 + 1) + B ⋅ 4,5 ⋅ 1 B=21,22 [kN] (↑), ∑ M B = 0 = q 2 ⋅ 5 ⋅ a ⋅ a + q 1 ⋅ 3 ⋅ a ⋅ (1,5 ⋅ a + 3,5 ⋅ a) + F ⋅ 2 ⋅ a - A y ⋅ 4,5 ⋅ a = = 4 ⋅ 5 ⋅ 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ (1,5 ⋅ 1 + 3,5 ⋅ 1) + 12 ⋅ 2 ⋅ 1 - A ⋅ 4,5 ⋅ 1 Ay=19,78 [kN] (↑), Ax=0. Az A keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása: ∑ T Ab = − q 1 ⋅ 2 ⋅ a = − q 1 ⋅ 2 ⋅ 1 = −6 ∑ T Ab = −6 + A y = 13,78 [kN] (↑).

∑ T Ab = 6 [kN] (↓), majd ugrás az ábrán A C keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása: ∑ TCb = − q 1 ⋅ 3 ⋅ a + A y = −3 ⋅ 3 ⋅ 1 + 19,78 = 10,78 [kN] (↑). A D keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása: ∑ T Db = −q 1 ⋅ 3 ⋅ a - q 2 ⋅ 1,5 ⋅ a + A y = −3 ⋅ 3 ⋅ 1 - 4 ⋅ 1,5 ⋅ 1 + 19,78 = 4,78 [kN] (↑), majd ugrás az ábrán ∑ T Db ∑ T Db = 7,22 [kN] (↓). = 4,78 − F = 4,78 − 12 = −7,22 ∑ T Db = 4,78 − F = 4,78 − 12 = −7,22 A B keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása: ∑ T Bb = −q 1 ⋅ 3 ⋅ a - q 2 ⋅ 3,5 ⋅ a + A y − F = −3 ⋅ 3 ⋅ 1 - 4 ⋅ 3,5 ⋅ 1 + 19,78 − 12 = -15,22 ∑ T Bb = 15,22 [kN] (↓), majd ugrás az ábrán ∑ T Bb 15 = -15,22 + 21,22 = 6 [kN] (↑). 22. ábra: Nyíró igénybevételi ábra Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása: 2 ∑M b A 2 q 1 ⋅ (2 ⋅ a ) 3 ⋅ (2 ⋅ 1) = = = 6 [kNm] (

). 2 2 q1 ⋅ a 2 ∑ M = − 2 − q 2 ⋅ 5 ⋅ a ⋅ (2,5 ⋅ a + a) − F ⋅ 2,5 ⋅ a + B ⋅ 4,5 ⋅ a = 3 ⋅ 12 =− − 4 ⋅ 5 ⋅ 1 ⋅ (2,5 ⋅ 1 + 1) − 12 ⋅ 2,5 ⋅ 1 + 21,22 ⋅ 4,5 ⋅ 1 = -6 2 j A ∑ M jA = 6 [kNm] ( ). A D keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása: 2 ∑M j D 2 q ⋅ (3,5 ⋅ a ) 4 ⋅ (3,5 ⋅ 1) =− 2 + B⋅2⋅a = − + 21,22 ⋅ 2 ⋅ 1 = 17,94 [kNm] ( ), 2 2 2 ∑ M bD = q 1 ⋅ 3 ⋅ a ⋅ (1,5 ⋅ a + 1,5 ⋅ a) + q 2 ⋅ (1,5 ⋅ a ) − A ⋅ 2,5 ⋅ a = 2 2 = 3 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ (1,5 ⋅ 1 + 1,5 ⋅ 1) + ∑ M bD 4 ⋅ (1,5 ⋅ 1) − 19,78 ⋅ 2,5 ⋅ 1 = −17,95 2 = 17,95 [kNm] ( ). A B keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása: 2 ∑ M jB = − 2 q 2 ⋅ (1,5 ⋅ a ) 4 ⋅ (1,5 ⋅ 1) =− = 4,5 [kNm] ( ), 2 2 16 2 q ⋅ (3,5 ⋅ a ) + q 1 ⋅ 3 ⋅ a ⋅ (1,5 ⋅ a + 3,5 ⋅ a ) + F ⋅ 2 ⋅ a − A y ⋅ 4,5 ⋅ a = ∑M = 2 2 2 4 ⋅ (3,5 ⋅ 1) + 3 ⋅ 3 ⋅ 1 ⋅ (1,5

⋅ 1 + 3,5 ⋅ 1) + 12 ⋅ 2 ⋅ 1 − 19,78 ⋅ 4,5 ⋅ 1 = 4,49 2 b B ∑ M bB = 4,49 [kNm] ( ). 23. ábra: Hajlító igénybevételi ábra 17 1. Igénybevételek – merev befogású, egyenes tengelyű tartók A mereven befogott tartók reakcióerőinek a számítására korábban nem tértünk ki, ezért ezzel most részletesen foglalkozunk. 1.11 példa Adott a 1. ábra szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet! F=8 [kN], q=2 [kN/m], M= 25 [kNm] és a=1 [m]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat! Első lépésben a kényszernél fellépő ismeretlen nagyságú és irányú reakciókat kell meghatározni. A merev befogás megakadályozza a tartó x és y irányú elmozdulását, illetve az elfordulást a sík normálisa, a z irány körül Ennek megfelelően az A pontban x és y (Ay) irányú támaszerők (Ax és Ay) és forgatónyomaték (MA) ébred Ezek nagyságát és irányát vesszük fel a 2. ábra szerint 1. ábra: Egyenes

tengelyű, mereven befogott tartó 2. ábra: Egyenes tengelyű, mereven befogott tartó –ismeretlen reakciók felvétele Az ismeretlenek meghatározásához a vetületi és nyomatéki egyensúlyi egyenleteket használjuk fel: x irányú vetületi egyensúlyi egyenlet: ∑ Fx = 0 = Ax , y irányú vetületi egyensúlyi egyenlet: ∑ Fy = 0 = A y − q ⋅ 6 ⋅ a − F = A y − 2 ⋅ 6 ⋅1 − 8 1 Ay=20 [kN] (↑), az A pontra felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet: 2 2 q ⋅ (6 ⋅ a ) 2 ⋅ (6 ⋅ 1) ∑ M A = 0 = M A + M − 2 − F ⋅ 6 ⋅ a = M A + 25 − 2 − 8 ⋅ 6 ⋅ 1 MA=59 [kNm] ( ). Normál igénybevétel nem lesz a tartón, a nyíró igénybevételi ábra szerkeztését az eddig tanultak szerint végezzük el. Az A pontban az Ay, tengelyre merőleges erő hat, mint nyíró erő Ennek megfelelően ugrás lesz a ebben a pontban, míg a C pontban, a tartó másik végén, szintén ugrás lesz az ábrán. Ez az F koncentrált erő miatt (3 ábra) A

nyomatéki ábra szerkesztése során annyi ujdonság lesz az eddigi példákhoz képest, hogy a szerkesztési szabályok (Hiba! A hivatkozási forrás nem található.) 12 pontja értelmében a tartón működő koncentrált nyomatéknak megfellő ugrás lesz a hajlító igénybevételi ábrán. A tartó bal oldali végén, az A pontban az MA koncentrált nyomaték működik. Mivel a nyomaték értékét kivétel nélkül a tartó húzott oldalára mérjük fel, abba az irányba ugrunk, amelyik oldalt a koncentrált nyomaték húzza. 3. ábra: Nyíró igénybevételi ábra Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve: ∑ M bA = M A = 59 [kNm] ( ), és ∑ M Aj =− 2 2 q ⋅ (6 ⋅ a ) 2 ⋅ (6 ⋅ 1) − F⋅6⋅a + M = − − 8 ⋅ 6 ⋅ 1 + 25 = −59 2 2 ∑ M Aj = 59 [kNm] ( ). Láthatjuk, mindkét esetben azonos eredményt kapunk, a nyomaték nagysága 59 [kNm] és a felső a húzott oldal! 2 A B keresztmetszet

hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve (4. ábra): 2 2 q ⋅ (3 ⋅ a ) 2 ⋅ (3 ⋅ 1) ∑ M = M A + 2 − A y ⋅ 3 ⋅ a = 59 + 2 − 20 ⋅ 3 ⋅ 1 = 8 [kNm] ( ) és az M koncentb B rált nyomaték figyelembevétele: ∑ M bB = 8 ( ) + 25 ( ) =33[kNm] ( ). 4. ábra: A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve 2 ∑ M Bj = − 2 q ⋅ (3 ⋅ a ) 2 ⋅ (3 ⋅ 1) − F⋅3⋅a = − − 8 ⋅ 3 ⋅ 1 = -33 ∑ M Bj = 33 [kNm] ( ) és az M 2 2 koncentrált nyomaték figyelembevétele: ∑ M Bj = 33 [kNm] ( ) – 25 [kNm] ( ) = 8 [kNm] ( ). A hajlító igénybevételi ábrát a 5. ábra mutatja 3 5. ábra: Hajlító igénybevételi ábra 1.12 példa Adott a szerinti egyenes tengelyű tartószerkezet! F1=10 [kN], F2=15 [kN], q=3 [kN/m], M= 40 [kNm], a=2 [m], b=2,5 [m], c=d=1 [m], e=1,5 [m] és α=68 [°]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat! 6. ábra: Egyenes

tengelyű, mereven befogott tartó Egyensúlyi egyenletek: Ax=3,75 [kN] (←), ∑ Fx = 0 = A x + F1 ⋅ cosα = A x + 10 ⋅ cos68 ° ∑ Fy = 0 = A y − q ⋅ (d + e) − F1 ⋅ sinα + F2 = A y − 3 ⋅ (1 + 1,5) − 10 ⋅ sin68° + 15 Ay=1,77 [kN] (↑), 4 d +e⎞ ⎛ = 0 = M A + M + F2 ⋅ (a + b + c + d) − q ⋅ (d + e ) ⋅ ⎜ a + b + c + ⎟ − F1 ⋅ sinα ⋅ (a + b) = 2 ⎠ ⎝ 1 + 1,5 ⎞ ⎛ M A + 40 + 15 ⋅ (2 + 2,5 + 1 + 1) − q ⋅ (1 + 1,5 ) ⋅ ⎜ 2 + 2,5 + 1 + ⎟ − 10 ⋅ sin68 ° ⋅ (2 + 2,5) 2 ⎠ ⎝ MA=45,15 [kNm] ( ). ∑MA 7. ábra: Normál és nyíró erő ábra A C keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása (7. ábra): ∑ TCb = A y = 1,77 [kN] (↑), majd az F1 erő y komponensének megfelelő ugrás: ∑ TCb = 1,77 (↑) + F1y (↓) = 1,77 - 9,27=-7,5 ∑ TCj 7,5 [kN] (↓). = F2 − q ⋅ (d + e) = 15 − 3 ⋅ (1 + 1,5) = 7,5 [kN] (↑), majd az F1 erő y komponensének meg- felelő ugrás: ∑ TCj =

7,5 (↑) + F1y (↓) = 7,5 - 9,27=-1,77 1,77 [kN] (↓). A D keresztmetszet nyíró igénybevételének számítása (7. ábra): ∑ TDb = A y − F1y − q ⋅ d = 1,77 − 9,27 − 3 ⋅ 1 = -10,5 10,5 [kN] (↓), majd az F2 erőnek megfelelő ugrás: ∑ TDb = 10,5 (↓) + F2 (↑) = -10,5 +15=4,5 [kN] (↑). ∑ TDj = −q ⋅ e = −3 ⋅ 1,5 = −4,5 4,5 [kN] (↓), majd az F2 erőnek megfelelő ugrás: ∑ TDj = 4,5 (↓) + F2 (↑) = -4,5 +15=10,5 [kN] (↑). 5 8. ábra: Nyomatéki ábra A nyomatéki ábrán (8. ábra), a tartó bal oladli végén az MA nyomatéknak megfelelően ugrunk Az alsó oldalt húzza, ezért lefele ugrunk A B keresztmetszet nyomatékának számítása: ∑ M bB = −M A − A y ⋅ a = −45,15 − 1,77 ⋅ 2 = −48,69 ∑ M bB = 48,69 [kNm] ugrásnak megfelelően ugrás a nyomatéki ábrán: ∑ M bB = 48,69 ( ) + 40 ( )=-48,69+40=-8,698,69 [kNm] ( ). ⎛d+e ⎞ + b + c⎟ = ⎝ 2 ⎠ ⎛ 1 + 1,5 ⎞ = 15 ⋅ (2,5 + 1 + 1) −

9,27 ⋅ 2,5 − 3 ⋅ (1 + 1,5) ⋅ ⎜ + 2,5 + 1⎟ = ⎝ 2 ⎠ ∑ M Bj = F2 ⋅ (b + c + d) − F1y ⋅ b − q ⋅ (d + e) ⋅ ⎜ =8,7 [kNm] ( ), majd az M ugrásnak megfelelően ugrás a nyomatéki ábrán: 6 ( ), majd az M ∑ M Bj = 8,7 ( ) + 40 ( ) = 8,7+40 = 48,7 [kNm] ( ). A C keresztmetszet nyomatékának számítása: ∑ M Cb = −M A + M − A y ⋅ (a + b) = −45,15 + 40 − 1,77 ⋅ (2 + 2,5) = −13,12 ∑ M Cb = 13,12 [kNm] ( ), ∑ M Cj ⎛ 1 + 1,5 ⎞ ⎛d+e ⎞ + 1⎟ + 15 ⋅ (1 + 1) = 13,13 = −q ⋅ (d + e) ⋅ ⎜ + c ⎟ + F2 ⋅ (c + d) = −3 ⋅ (1 + 1,5) ⋅ ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ [kNm] ( ). 7 1. Igénybevételek – tört tengelyű tartók Ebben a fejezetben a törttengelyű tartók igénybevételei ábráinak a megszerkesztését és az egyes keresztmetszetek egyes igénybevételeinek a kiszámítását tanulmányozzuk. Az belső erőkre vonatkozó szabályok, definíciók változatlanok, ugyanúgy kell alkalmazni azokat, mint az

előző két fejezetben. A nehézséget a következő szokta okozni. Egyenes tengelyű tartók esetében hozzászoktunk, egyértelmű volt, hogy a tartó hossztengelye egybe esik az x viszonyítási tengellyel. Ebből adódóan magától értetődőnek tűnik, hogy egy x iránnyal párhuzamos hatásvonalú erő normál igénybevételt okoz. Előbbi, a köztudatban hibásan keringő megállapítás a tört tengelyű tartókra nem érvényes! Mindig az adott külső erő (ható és reakció erő) és a vizsgált tartószerkezeti rész hossztengelyének egymáshoz képesti elhelyezkedését kell szem előtt tartanunk és vizsgálnunk. Azokra kell alkalmazni a már megtanult definíciókat, szerkesztési szabályokat. 1.11 példa Adott a 1. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet! F=10 [kN], q=3 [kN/m], a=0,5 [m] Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat! 1. ábra: Tört tengelyű tartó Először a kényszernél felvesszük az ismeretlen

nagyságú és irányú támaszerőket (1. ábra), majd felírjuk az egyensúlyi egyenleteket. ∑ Fx = 0 = A x − F = A x − 10 ∑ Fy = 0 = A y − q ⋅ 3 ⋅ a = A y − 3 ⋅ 3 ⋅ 0,5 Ax=10 [kN] (), 2 ∑ MA = 0 = F⋅a + Ay=4,5 [kN] (↑), 2 q ⋅ (3 ⋅ a ) 3 ⋅ (3 ⋅ 0,5) − M A = 10 ⋅ 0,5 + − MA 2 2 ). 1 MA=8,38 [kNm] ( A vízszintes tartószerkezeti elem (AB) normáligénybevételének meghatározása során azoknak az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ax és F) a tartórész hossztengelyével. Az A keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata: ∑ N bA = 0 , majd az Ax-nek megfelelően ugrás ∑ N bA = 0 + A x = 10 [kN] (). 2. ábra: Normál igénybevételi ábra – vízszintes (AB) tartó elem A B keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a vízszintes (AB) tartórészen: ∑ N bB = A x = 10 [kN] (), illetve ∑ N Bj = -F = − 10 ∑ N Bj = 10 [kN] (←). A

függőleges tartószerkezeti elem (BC) normáligénybevételének meghatározása során azoknak az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ay és q) a tartórész hossztengelyével. A B keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a függőleges (BC) tartórészen: ∑ N bB = A y − q ⋅ 3 ⋅ a = 4,5 − 3 ⋅ 3 ⋅ 0,5 = 0 , illetve ha a B keresztmetszettól jobbra lévő normál (y iránnyal párhuzamos hatásvonalú) erőket szeretnénk összegezni, láthatjuk, hogy nincs ilyen erő! A függőleges tartószerkezeti elem normáligénybevétele zérus (3. ábra) 3. ábra: Normál igénybevételi ábra – függőleges (BC) tartó elem A vízszintes tartószerkezeti elem (AB) nyíróigénybevételének meghatározása során azoknak az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala merőleges irányú (Ay és q) a tartórész hossztengelyére. 2 Az A keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata: ∑ TAb = 0 ,

majd az Ay-nak megfelelően ugrás ∑ TAb = 0 + A y = 4,5 [kN] (↑). A B keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a vízszintes (AB) tartórészen: ∑ TBb = A y − q ⋅ 3 ⋅ a = 4,5 − 3 ⋅ 3 ⋅ 0,5 = 0 . 4. ábra: Nyíró igénybevételi ábra A B keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a függőleges (BC) tartórészen: ∑ TBb = A x = 10 [kN] (). A hajlító igénybevételi ábra megrejzolásához először megnézzük, hogy a tartó két végén (A és C pontok) van-e koncentrált nyomaték. Mivel az A pontban van (MA), ezért ott ugrás lesz a nyomatéki ábrán. Ezután megnézzük, hogy működik-e valahol a tartó hossztengelye mentén koncentált nyomaték. Ha a nyíróerő ábrát vizsgáljuk meg, akkor láthatjuk, hogy nyomatéki lokális szélsőértékhelyet nem kell keresnünk, mivel a nyíró igyébevételi ábra sehol sem metszi a nulla vonalat. Az A keresztmetszet hajlítóigénybevételének vizsgálata: ∑ M bA = 0 ,

majd az MA-nak megfelelően ugrás ∑ M bA = 0 + M A = 8,38 [kNm] ( ). A B keresztmetszet hajlítóigénybevételének vizsgálata: ∑ M bB = M A + q ⋅ 3 ⋅ a ⋅ 1,5 ⋅ a − A y ⋅ 3 ⋅ a = 8,38 + 3 ⋅ 3 ⋅ 0,5 ⋅ 1,5 ⋅ 0,5 − 4,5 ⋅ 3 ⋅ 0,5 = 5 [kNm] ( ), ∑ M Bj = − F ⋅ a = −10 ⋅ 0,5 = − 5 ∑ M Bj = 5 [kNm] ( ) (5. ábra) 5. ábra: A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata két oldalról nézve 3 6. ábra: A vízszintes (AB) tartószerkezeti elem hajlító igénybevételi ábrája A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata során arra kell figyelni, hogy a sarokkapcsolat a nyomatékot továbbadja egyik tartószerkezeti elemről a másikra (7. ábra) A nyomatéki ábrán az értékeknek a megfelelő, húzott oldalra kell kerülni! 7. ábra: A fűggőleges (BC) tartószerkezeti elem hajlító igénybevételi ábrája 1.12 példa Adott a 8. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet! F=15 [kN], q=3

[kN/m], M=4,0 [kNm], a=1,0 [m]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat! 8. ábra: Tört tengelyű tartó; támaszerők feltételezése 4 Először a kényszereknél felvesszük az ismeretlen nagyságú és irányú támaszerőket (8. ábra), majd felírjuk az egyensúlyi egyenleteket. ∑MA = 0 = − M + F ⋅ 3 ⋅ a − q ⋅ 2 ⋅ a ⋅ a + B ⋅ 4,5 ⋅ a = −4 + 15 ⋅ 3 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + B ⋅ 4,5 ⋅ 1 B = -7,78 ∑ MC B=7,78 [kN] (), = 0 = A x ⋅ 4,5 − M − F ⋅ 1,5 ⋅ a − q ⋅ 2 ⋅ a ⋅ ⋅a = A x ⋅ 4,5 − 4 − 15 ⋅ 1,5 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 Ax = 7,22 [kN] (), ∑ M B = 0 = q ⋅ 2 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a - F ⋅ 1,5 ⋅ a - M + A x ⋅ 4,5 − A y ⋅ 3 ⋅ a = = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 1 - 15 ⋅ 1,5 ⋅ 1 - 4 + 7,22 • ⋅ 4,5 − A y ⋅ 3 ⋅ 1 = 6,0 Ay = 6,0 [kN] (↑) (9. ábra) 9. ábra: A tartóra ható külső erők a kiszámolt támaszerők feltüntetésével A

függőleges tartószerkezeti elem (AC) normáligénybevételének meghatározása során azoknak az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ay és q) a tartórész hossztengelyével. Az A keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata: ∑ N bA = 0 , majd az Ay-nak megfelelően ugrás ∑ N bA = 0 + A y = 6 [kN] (↑). A C keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a fűggőleges (AC) tartórészen (10. ábra): ∑ N Cb = A y = 6 [kN] (↑), illetve 5 ∑ N Cj = -q ⋅ 2 ⋅ a = -3 ⋅ 2 ⋅ 1 = −6 ∑ N Cj = 6 [kN] (↓). 10. ábra: Az AC tartószerkezeti elem normál igénybevétele A vízszintes tartószerkezeti elem (BC) normáligénybevételének meghatározása során azoknak az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala megegyező irányú (Ax, F és B) a tartórész hossztengelyével. A C keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a vízszintes (BC) tartórészen: ∑ N Cb = A x

− F = 7,22 − 15 = − 7,78 ∑ N Cj = B y = 7,78 [kN] (). ∑ N Cb = 7,78 [kN] (←), illetve A B keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata: ∑ N Bj = 0 , majd az B-nek megfelelően ugrás ∑ N Bj ∑ N bB = A x − F = 7,22 − 15 = − 7,78 ∑ N bB = 0 + B = 7,78 [kN] (), illetve = 7,78 [kN] (←) (11. ábra) 11. ábra: A BC tartószerkezeti elem normál igénybevétele A függőleges tartószerkezeti elem (AC) nyíróigénybevételének meghatározása során azoknak az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala merőleges irányú (Ax, F és B) a tartórész hossztengelyére. Az A keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata: ∑ TAb = 0 , majd az Ax-nek megfelelően ugrás ∑ N bA = 0 + A x = 7, 22 [kN] (). A C keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a függőleges (AC) tartórészen (12. ábra): ∑ TCb = A x − F = 7,22 − 15 = −7,78 ∑ TCj = B = 7,78 [kN] (). ∑ TCb = 7,78 [kN] (←), illetve

6 12. ábra: Az AC tartószerkezeti elem nyíró igénybevétele A vízszintes tartószerkezeti elem (BC) nyíróigénybevételének meghatározása során azoknak az erőknek a hatását vizsgáljuk, amelyek hatásvonala merőleges irányú (Ay és q) a tartórész hossztengelyére. A C keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a vízszintes (BC) tartórészen: ∑ TCb = A y = 6 [kN] (↑), illetve ∑ TCj = -q ⋅ 2 ⋅ a = -3 ⋅ 2 ⋅ 1 = −6 ∑ TCj = 6 [kN] (↓) (). A B keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata: ∑ N Bj = 0 . 13. ábra: A BC tartószerkezeti elem nyíró igénybevétele A hajlító igénybevételi ábra megrejzolásához először megnézzük, hogy a tartó két végén (A és B pontok) van-e koncentrált nyomaték. Mivel nincs, ott a nyomaték értékek zérus Ezután megnézzük, hogy működik-e valahol a tartó hossztengelye mentén koncentált nyomaték. A fűggőleges tartószerkezeti elemen működő M koncentrált

nyomaték miatt a hajlító igénybevételi ábrán ugrás lesz abban a pontban. Ha a nyíróerő ábrát vizsgáljuk meg, akkor láthatjuk, hogy nyomatéki lokális szélsőértékhelyet a függőleges tartószerkezeti elemen kell keresnünk. A D keresztmetszet hajlítóigénybevételének vizsgálata (14. ábra): 7 14. ábra: A D keresztmetszet hajlító igénybevételének meghatározása ∑ M bD = A x ⋅ 1,5 ⋅ a = 7,22 ⋅ 1,5 ⋅ 1 = 10,83 [kNm] ( ), majd az M-nek megfelelően ugrás ∑ M bD = 10,83 − 4 = 10,83 − 4 = 6,83 [kNm] ( ), ∑ M Dj = F ⋅ 1,5 ⋅ a − q ⋅ 2 ⋅ a ⋅ 1 ⋅ a − B x ⋅ 3 ⋅ a = 15 ⋅ 1,5 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 − 7,78 ⋅ 3 ⋅ 1 = −6,84 ∑ M Dj = 6,84 [kNm] ( ), majd az M-nek megfelelően ugrás ∑ M Dj = − 6,84 − 4 = −10,84 ∑ M Dj = 10 ,84 [kNm] ( ). A C keresztmetszet hajlítóigénybevételének vizsgálata (15. ábra): 15. ábra: A C keresztmetszet hajlító igénybevételének

meghatározása ∑ M Cb = A x ⋅ 4,5 ⋅ a - M - F ⋅ 1,5 ⋅ a = 7,22 ⋅ 4,5 ⋅ 1 - 4 - 15 ⋅ 1,5 ⋅ 1 = 6,0 [kNm] ( ), ∑ M Cj = − q ⋅ 2 ⋅ a ⋅ 1 ⋅ a = − 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = − 6,0 ∑ M Cj = 6,0 [kNm] ( ). Az E keresztmetszet hajlítóigénybevételének vizsgálata (16. ábra): 8 16. ábra: Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének meghatározása ∑ M Cb = − A y ⋅ 3 ⋅ a + A x ⋅ 4,5 ⋅ a - M - F ⋅ 1,5 ⋅ a + q ⋅ 2 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a = , = − 6 ⋅ 3 ⋅ 1 + 7,22 ⋅ 4,5 ⋅ 1 - 4 - 15 ⋅ 1,5 ⋅ 1 + 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 1 = 0,0 ∑ M Cj = 0, 0 . Ezek alapján már megrajzolhatjuk (megszerkeszthetjük) a hajlító igénybevételi ábrát (17. ábra) 17. ábra: A hajlító igénybevételi ábra 1.13 példa Adott a 18. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet! F1=15 [kN], F2=10 [kN], q=4 [kN/m], M=15 [kNm], α=40 [°], a=1,0 [m]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi

ábrákat! 9 18. ábra: Tört tengelyű tartó; támaszerők feltételezése ∑MB = q ⋅ 2 ⋅ a ⋅ a + M + F1 ⋅ sinα ⋅ 3,5 ⋅ a − F1 ⋅ cosα ⋅ 2 ⋅ a − F2 ⋅ a − A ⋅ 5 ⋅ a = 4 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 1 5 + 1 5 ⋅ sin40 ° ⋅ 3,5 ⋅ 1 − 1 5 ⋅ cos40 ° ⋅ 2 ⋅ 1 − 1 0 ⋅ 1 − A ⋅ 5 ⋅ 1 A=4,75 [kN] (↑), ∑ MC = B x ⋅ 2 ⋅ a - q ⋅ 2 ⋅ a ⋅ a + M + F1 ⋅ sinα ⋅ 3,5 ⋅ a + F2 ⋅ a − A ⋅ 5 ⋅ a = = B x ⋅ 2 ⋅ 1 - 4 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 + 1 5 + 1 5 ⋅ sin40 ° ⋅ 3,5 ⋅ 1 + 1 0 ⋅ 1 − 4,75 ⋅ 5 ⋅ 1 Bx=-13,49 Bx=13,49 [kN] (←) és ∑ MD = F2 ⋅ a - F1 ⋅ sinα ⋅ 1,5 ⋅ a + M - q ⋅ 2 ⋅ a ⋅ a − B x ⋅ 2 ⋅ a + B y ⋅ 5 ⋅ a = = 10 ⋅ 1 - 15 ⋅ sin40 ° ⋅ 1,5 ⋅ 1 + 15 - 4 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 − 13, 49 ⋅ 2 ⋅ 1 + B y ⋅ 5 ⋅ 1 By=4,89 [kN] (↑). 10 19. ábra: A tartóra ható külső erők a kiszámolt támaszerők feltüntetésével Az igénybevételi ábrák

megrajzolása (megszerkesztése) során a három tartószerkezeti elemet (AD, DC és BC) külön-külön vizsgáljuk. Az egyes részek különböző igénybevételének a meghatározásánál mindig az adott tartószerkezeti elem hossztengelyének és a tartó egészén működő egyes erők hatásvonalának a viszonyát kell szem előtt tartanunk. A függőleges tartószerkezeti elemek (AD és BC) normál igénybevételi ábráit a tartórészek hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erők (A, F1y és By) határozzák meg. A vízszintes tartószerkezeti elem (DC) normál igénybevételi ábráját a tartó hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erők (F2, F1x, q és Bx) határozzák meg (20. ábra) Az A keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata: ∑ N bA = 0 , majd az A-nak megfelelően ugrás ∑ N bA = 0 + A = 4,75 [kN] (↑). A D keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen: ∑ N bD = A = 4,75 [kN] (↑),

illetve ∑ N Dj = − F1y + B y = −15 ⋅ sin 40 ° + 4,89 = −4,75 ∑ N Dj = 4,75 [kN] (↓). A D keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata az DC vízszintes tartórészen: ∑ N bD = F2 = 10 [kN] (), illetve ∑ N Dj = F1x − q ⋅ 2 ⋅ a − B x = 15 ⋅ cos40 ° − 4 ⋅ 2 ⋅ 1 − 13,49 = − 10,0 ∑ N Dj = 10 ,0 [kN] (←). Az E keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata: ∑ N Ej = − q ⋅ 2 ⋅ a − B x = −4 ⋅ 2 ⋅ 1 − 13,49 = −21,49 nek megfelelő ugrás: 11 ∑ N Ej = 21, 49 [kN] (←), majd az F1x - ∑ N Ej ∑ N Ej = − 21,49 + F1 ⋅ cosα = − 21,49 + 15 ⋅ cos40 ° = − 10,0 ∑ N bE = F2 = 10 [kN] (), majd az F1x-nek megfelelő ugrás: ∑ N bE = 10 + F1 ⋅ cosα = 10 + 15 ⋅ cos40 ° = 21,49 [kN] (). = 10 [kN] (←), illetve A C keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a DC vízszintes tartórészen: ∑ N Cb = F2 + F1 ⋅ cosα = 10 + 15 ⋅ cos40 ° = 21,49 [kN] (),

illetve ∑ N Cj = − q ⋅ 2 ⋅ a − B x = −4 ⋅ 2 ⋅ 1 − 13,49 = −21,49 ∑ N Cj = 21,49 [kN] (←). A C keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a CB függőleges tartórészen: ∑ N Cb = A − F1 ⋅ sinα = 4,75 − 15 ⋅ sin40 ° = −4,89 ∑ N Cj = B y = 4,89 [kN] (↑). ∑ N Cb = 4,89 [kN] (↓), illetve A B keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata: ∑ N bB = 0 , majd a By-nak megfelelően ugrás ∑ N bB = 0 + B y = 4,89 [kN] (↑). 20. ábra: Normál igénybevételi ábra A függőleges tartószerkezeti elemek (AD és BC) nyíró igénybevételi ábráit a tartórészek hossztengelyére merőleges hatásvonalú erők (F2, F1x, q és Bx) határozzák meg. A vízszintes tartószerkezeti elem (DC) nyíró igénybevételi ábráját a tartó hossztengelyére merőleges hatásvonalú erők (A, F1y és By) határozzák meg (21. ábra) Az F keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata: ∑ TFb = 0 , majd az F2-nek

megfelelően ugrás ∑ TFb = 0 + F2 = 10 ,0 [kN] (). A D keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen: ∑ TDb = F2 = 10,0 [kN] (), illetve ∑ TDj = F1x − q ⋅ 2 ⋅ a − B x = 15 ⋅ cos 40 ° − 4 ⋅ 2 ⋅ 1 − 13, 49 = −10,0 12 ∑ TDj = 10,0 [kN] (←). A D keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata az DC vízszintes tartórészen: ∑ TDb = A = 4,75 [kN] (↑), illetve ∑ TDj = − F1y + B y = − 15 ⋅ sin40 ° + 4,89 = − 4 ,75 ∑ TDj = 4,75 [kN] (↓). Az E keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata: ∑ TEj = B y = 4 ,89 [kN] (↑), majd az F1y -nak megfelelő ugrás: ∑ TEj = 4,89 − F1 ⋅ sinα = 4,89 − 15 ⋅ sin40 ° = −4,75 ∑ TEb = A = 4,75 [kN] (↑), majd az F1y-nak megfelelő ugrás: ∑ TEb = A − F1 ⋅ sinα = 4,75 − 15 ⋅ sin40 ° = -4,89 ∑ TEb = 4,89 [kN] (↓). ∑ TEj = 4,75 [kN] (↓), illetve A C keresztmetszet

nyíróigénybevételének vizsgálata a DC vízszintes tartórészen: ∑ TCb = A − F1 ⋅ sinα = 4,75 − 15 ⋅ sin40 ° = -4,89 ∑ TCb = 4,89 [kN] (↓), illetve ∑ TCj = B y = 4 ,89 [kN] (↑). A C keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a CB függőleges tartórészen: ∑ TCb = F2 + F1 ⋅ cosα = 10 + 15 ⋅ cos40 ° = 21,49 [kN] (), illetve ∑ TCj = − q ⋅ 2 ⋅ a − B x = −4 ⋅ 2 ⋅ 1 − 13,49 = − 21,49 ∑ TCj = 21, 49 [kN] (←). A B keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata: ∑ TBb = 0 , majd a Bx-nek megfelelően ugrás ∑ N bB = 0 − B y = 0 − 1 3, 49 = − 13, 49 ∑ N bB = 13,49 [kN] (←). 21. ábra: Nyíró igénybevételi ábra A hajlító igénybevteli ábra megszerkesztését/megrajzolását a tartó végein, illetve magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőértékhelyek (T=0 helyek) és az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei határozzák meg. Az F

keresztmetszet hajlítógénybevételének vizsgálata (22. ábra): 13 22. ábra: A F keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása ∑ M bF = 0 , illetve ∑ M Fj = − F1 ⋅ sinα ⋅ 1,5 ⋅ a − F1 ⋅ cosα ⋅ 1,0 ⋅ a + M − B x ⋅ 1,0 ⋅ a + B y ⋅ 5,0 ⋅ a = = − 15 ⋅ sin40 ° ⋅ 1,5 ⋅ 1,0 − 15 ⋅ cos40 ° ⋅ 1,0 ⋅ 1,0 + 15 − 13,49 ⋅ 1,0 ⋅ 1,0 + 4,89 ⋅ 5,0 ⋅ 1,0 = ~ 0 A D keresztmetszet hajlítógénybevételének vizsgálata (23. ábra): 23. ábra: A D keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása ∑ M bD = F2 ⋅ a = 10 ⋅ 1,0 = 10,0 [kNm] ( ), illetve ∑ M Dj = − F1 ⋅ sinα ⋅ 1,5 ⋅ a + M − q ⋅ 2 ⋅ a ⋅ a − B x ⋅ 2,0 ⋅ a + B y ⋅ 5,0 ⋅ a = = − 1 5 ⋅ sin40 ° ⋅ 1,5 ⋅ 1,0 + 1 5 − 4 ⋅ 2 ⋅ 1,0 ⋅ 1,0 − 1 3, 49 ⋅ 2,0 ⋅ 1,0 + 4,89 ⋅ 5,0 ⋅ 1,0 = − 10 ∑ M Dj = 10,0 [kNm] ( ). Az E keresztmetszet hajlítógénybevételének vizsgálata (24. ábra): 14

24. ábra: Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása ∑ M bE = − A ⋅ 1,5 ⋅ a + F2 ⋅ a = −4,75 ⋅ 1,5 ⋅ 1,0 + 10 ⋅ 1,0 = 2,88 [kNm] ( ), illetve ∑ M Ej = M − q ⋅ 2 ⋅ a ⋅ a − B x ⋅ 2,0 ⋅ a + B y ⋅ 3,5 ⋅ a = = 1 5 − 4 ⋅ 2 ⋅ 1,0 ⋅ 1,0 − 1 3,49 ⋅ 2,0 ⋅ 1,0 + 4,89 ⋅ 3,5 ⋅ 1,0 = − 2,87 ∑ M Ej = 2,87 [kNm] ( ). A G keresztmetszet hajlítógénybevételének vizsgálata (25. ábra): 25. ábra: A G keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása ∑ M Gb = − A ⋅ 3,5 ⋅ a + F2 ⋅ a + F1 ⋅ sinα ⋅ 2 ⋅ a = −4,75 ⋅ 3,5 ⋅ 1,0 + 10 ⋅ 1,0 + 15 ⋅ sin40 ° ⋅ 2,0 ⋅ 1,0 = 12,66 [kNm] ( ), majd az M-nek megfelelő ugrás: ∑ M Gb = 12,66 + M = 12,66 + 15 = 27 ,66 [kNm] ( ), illetve ∑ M Gj = − q ⋅ 2 ⋅ a ⋅ a − B x ⋅ 2,0 ⋅ a + B y ⋅ 1,5 ⋅ a = = − 4 ⋅ 2 ⋅ 1,0 ⋅ 1,0 − 1 3,49 ⋅ 2,0 ⋅ 1,0 + 4,89 ⋅ 1,5 ⋅ 1,0 = − 27 ,65 ∑ M Gj = 27 ,65 [kNm]

( ), majd az M-nek megfelelő ugrás: ∑ M Gj = −27 ,65 + M = −27,65 + 15 = −12,65 ∑ M Gj = 12 ,65 [kNm] ( ). A C keresztmetszet hajlítógénybevételének vizsgálata (26. ábra): 15 26. ábra: A C keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása ∑ M Cb = M + F1 ⋅ sinα ⋅ 3,5 ⋅ a + F2 ⋅ a − A ⋅ 5,0 ⋅ a = = 15 + 15 ⋅ sin40 ° ⋅ 3,5 ⋅ 1,0 + 10 ⋅ 1,0 − 4,75 ⋅ 5,0 ⋅ 1,0 = =35,0 [kNm] ( ), illetve ∑ M Cj = − q ⋅ 2 ⋅ a ⋅ a − B x ⋅ 2,0 ⋅ a = −4 ⋅ 2 ⋅ 1,0 ⋅ 1,0 − 13, 49 ⋅ 2,0 ⋅ 1,0 = ~ −35,0 ∑ M Cj = ~ 35,0 [kNm] ( ). A tartó hajlító nyomatéki igénybevételi ábrája (27. ábra): 27. ábra: Hajlító nyomatéki igénybevételi ábra 1.14 példa Adott a 28. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet! F=16 [kN], q=3 [kN/m], M=20 [kNm], a=1,25 [m]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat! 16 28. ábra: Tört tengelyű tartó; támaszerők

feltételezése A reakció erők kiszámítása (29. ábra): ∑MB = 0 = M + q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 5,6 ⋅ a + F ⋅ 2,4 ⋅ a − A ⋅ 7,6 ⋅ a = = 2 0 + 3 ⋅ 4 ⋅ 1,25 ⋅ 5,6 ⋅ 1, 25 + 1 6 ⋅ 2,4 ⋅ 1,25 − A ⋅ 7,6 ⋅ 1, 25 A=18,21 [kN] (↑), ∑ Fx = 0 = B x = 0 [kN] és ∑MA = 0 = M − q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a - F ⋅ 5,2 ⋅ a + B y ⋅ 7,6 ⋅ a = = 20 − 3 ⋅ 4 ⋅ 1, 25 ⋅ 2 ⋅ 1, 25 - 16 ⋅ 5,2 ⋅ 1,25 + B y ⋅ 7,6 ⋅ 1, 25 By=12,79 [kN] (↑). 29. ábra: A tartóra ható erőrendszer - külső erők és a kiszámolt támaszerők 17 A normáligénybevételi ábra (31. ábra) megszerkesztését/megrajzolását az erőrendszer egyes elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú elemei határozzák meg. Az A keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata: ∑ N bA = 0 , majd az A-nak megfelelően ugrás: ∑ N bA = 0 + A = 18, 21 [kN] (↑), illetve ∑ N Aj = − q ⋅ 4 ⋅ a − F + B

y = − 3 ⋅ 4 ⋅ 1,25 − 16 + 12,79 = − 18,21 ∑ N Aj = 18, 21 [kN] (↓), majd az A-nak megfelelően ugrás: ∑ N Aj = − 18,21 + A = − 18,21 + 18,21 = 0 [kN]. A D keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen: ∑ N bD = A = 18,21 [kN] (↑), illetve ∑ N Dj = − q ⋅ 4 ⋅ a − F + B y = − 3 ⋅ 4 ⋅ 1, 25 − 1 6 + 1 2,79 = −18 , 21 ∑ N Dj = 18,21 [kN] (↓). A D keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen: ∑ N bD = 0 , illetve ∑ N Dj = 0. Az E keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (30. ábra): 30. ábra: Az EB tartószerkezeti elemre ható normál és nyíró erők ∑ N bE = A ⋅ sinα − q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ sinα = 18,21 ⋅ sin39,8 ° − 3 ⋅ 4 ⋅ 1,25 ⋅ sin39,8 ° = 2,05 [kN] ( ∑ N Ej j = − F ⋅ sin α + B y ⋅ sin α = − 16 ⋅ sin39,8 ° + 12,79 ⋅ sin39,8 ° = − 2 ,05 ∑ N E =

2,05 [kN] ( ). Az F keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata (30. ábra): 18 ), illetve ∑ N bF = A ⋅ sinα − q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ sinα = 18,21 ⋅ sin39,8 ° − 3 ⋅ 4 ⋅ 1, 25 ⋅ sin39,8 ° = 2,05 [kN] ( ), majd FII -nak megfelelően ugrás: ∑ N bF = 2,05 − F ⋅ sinα = 2,05 − 16 ⋅ sin39,8 ° = −8,19 ∑ N Fj = B y ⋅ sin39,8 ° = 12,79 ⋅ sin39,8 ° = 8,19 [kN] ( ∑ N Fj = 8,19 − F ⋅ sinα = 8,19 − 16 ⋅ sin39,8 ° = − 2,05 ∑ N bF = 8,19 [kN] ( ), illetve ), majd FII -nak megfelelően ugrás: ∑ N Fj = 2,05 [kN] ( ). A B keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata (30. ábra): ∑ N bB = A ⋅ sinα − q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ sinα − F ⋅ sinα = = 1 8, 21 ⋅ sin39,8 ° − 3 ⋅ 4 ⋅ 1, 25 ⋅ sin39,8 ° − 1 6 ⋅ sin39,8 ° = − 8,19 ∑ N bB = 8,19 [kN] ( ∑ N bB = − 8,19 + B y ⋅ sin α = − 8,19 + 12,79 ⋅ sin39,8 ° = 0 , illetve ∑ N Bj = 0 , majd ∑ N Bj ), majd B yII

-nak megfelelően ugrás: B yII -nak megfelelően ugrás: = 0 + B y ⋅ sin α = 0 + 12,79 ⋅ sin39,8 ° = 8,19 [kN] ( ). 31. ábra: Normál igénybevételi ábra A nyíróigénybevételi ábra (32. ábra) megszerkesztését/megrajzolását az erőrendszer egyes elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyére merőleges hatásvonalú elemei határozzák meg. Az A keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata: ∑ TAb = 0 , illetve ∑ TAj =0. A D keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen: ∑ TDb = 0 , illetve ∑ TDj =0. A D keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen: ∑ TDb = A = 18,21 [kN] (↑), illetve ∑ TDj j = − q ⋅ 4 ⋅ a − F + B y = − 3 ⋅ 4 ⋅ 1,25 − 16 + 12,79 = − 18,21 ∑ TD = 18,21 [kN] (↓). 19 Az E keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen: ∑ TEb = A − q ⋅ 4 ⋅ a =

18,21 − 3 ⋅ 4 ⋅ 1,25 = 3,21 [kN] (↑), illetve ∑ TEj j = − F + B y = − 16 + 12,79 = − 3, 21 ∑ TE = 3, 21 [kN] (↓). Az E keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (30. ábra): ∑ TEb = A ⋅ cosα − q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ cosα = 18,21 ⋅ cos39,8 ° − 3 ⋅ 4 ⋅ 1,25 ⋅ cos39,8 ° = 2,47 [kN] ( ∑ TEj j = − F ⋅ cos α + B y ⋅ cos39,8 ° = − 16 ⋅ cos39,8 ° + 12,79 ⋅ cos39,8 ° = − 2,47 ∑ TE = 2,47 ), illetve [kN] ( ). Az F keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata (30. ábra): ∑ TFb = A ⋅ cosα − q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ cosα = 18,21 ⋅ cos39,8 ° − 3 ⋅ 4 ⋅ 1,25 ⋅ cos39,8 ° = 2, 47 [kN] ( ), majd F⊥ -nek megfelelően ugrás: ∑ TFb = 2,47 − F ⋅ cosα = 2,47 − 16 ⋅ cos39,8 ° = −9,82 ∑ TFj = B y ⋅ cos39,8 ° = 12,79 ⋅ cos39,8 ° = 9 ,82 [kN] ( ∑ TFb = 9,82 [kN] ( ), majd F⊥ -nek megfelelően ugrás: ∑ TFj = 9,82 − F ⋅ cosα = 9,82

− 16 ⋅ cos39,8 ° = −2,47 ∑ TFj = 2,47 [kN] ( A B keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata (30. ábra): ∑ TBb = A ⋅ cos α − q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ cos α − F ⋅ cos α = = 18,21 ⋅ cos39,8 ° − 3 ⋅ 4 ⋅ 1,25 ⋅ cos39,8 ° − 16 ⋅ cos39,8 ° = − 9,82 ∑ TBb = 9,82 [kN] ( ), majd B y ⊥ -nek megfelelően ugrás: ∑ TBb = − 9,82 + B y ⋅ cos α = − 9,82 + 12,79 ⋅ cos39,8 ° = 0 , illetve ∑ TBj = 0 , majd B y ⊥ -nek megfelelően ugrás: ∑ TBj = 0 + B y ⋅ cos α = 0 + 12,79 ⋅ cos39,8 ° = 9 ,82 [kN] ( 20 ), illetve ). ). 32. ábra: Nyíró igénybevételi ábra A hajlító igénybevteli ábra megszerkesztését/megrajzolását a tartó végein, illetve a magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőértékhelyek (T=0 helyek) és az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei határozzák meg (37. ábra) A C keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (33.

ábra): 33. ábra: A C keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása ∑ M Cj = −q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a − F ⋅ 5,2 ⋅ a + B y ⋅ 7,6 ⋅ a = = −3 ⋅ 4 ⋅1,25 ⋅ 2 ⋅1,25 − 16 ⋅ 5,2 ⋅1,25 + 12,79 ⋅ 7,6 ⋅1,25 = −20,0 ∑ M Cj = 20,0 [kNm] ( ), majd a M koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk ∑ M Cj = −20,0 + M = −20,0 + 20,0 = 0 . ∑ M Cb = 0 , majd a M koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk ∑ M Cb = 0 + M = 0 + 20,0 = 20,0 [kNm] ( ). 21 A D keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (34. ábra): 34. ábra: A D keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása ∑ M Dj = −q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a − F ⋅ 5,2 ⋅ a + B y ⋅ 7,6 ⋅ a = = −3 ⋅ 4 ⋅1,25 ⋅ 2 ⋅1,25 − 16 ⋅ 5,2 ⋅1,25 + 12,79 ⋅ 7,6 ⋅1,25 = −20,0 ∑ M Dj = 20,0 [kNm] ( ), illet- ve ∑ M bD = M = 20,0 = 20,0 [kNm] ( ). Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (35. ábra):

35. ábra: Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása ∑ M Ej = − F ⋅ 1,2 ⋅ a + B y ⋅ 3,6 ⋅ a = −16 ⋅ 1,2 ⋅ 1,25 + 12,79 ⋅ 3,6 ⋅ 1,25 = 33,56 [kNm] ( ), illetve ∑ M bE = q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a + M − A ⋅ 4 ⋅ a = 3 ⋅ 4 ⋅1,25 ⋅ 2 ⋅1,25 + 20 − 18,21 ⋅ 4 ⋅1,25 = −33,55 ∑ M bE = 33,55 [kNm] ( ). Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (36. ábra): 22 36. ábra: Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása ∑ M Fj = B y ⋅ 2,4 ⋅ a = 12,79 ⋅ 2,4 ⋅1,25 = 38,37 [kNm] ( ), illetve ∑ M bF = q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 3,2 ⋅ a + M − A ⋅ 5,2 ⋅ a = 3 ⋅ 4 ⋅1,25 ⋅ 3,2 ⋅1,25 + 20 − 18,21 ⋅ 5,2 ⋅1,25 = −38,37 ∑ M bF = 38,37 [kNm] ( ). 37. ábra: Hajlító igénybevételi ábra 23 1. Igénybevételek - Gerber tartók Ebben a fejezetben olyan egyenes tengelyű tartók igénybevételei ábráinak a megszerkesztésével foglalkozunk, amelyekben egy

(vagy több) plusz csuklót építünk be a szerkezetbe. A többletcsuklók számának megfelelően a kényszerek szabadsáfokának a számát is ugyanúgy növeljük a szerkezet stabilitásának megőrzése miatt Az belső erőkre (igénybevételekre) vonatkozó szabályok, definíciók változatlanok, ugyanúgy kell alkalmazni azokat, mint az előző fejezetekben. Amit tudni kell, hogy a szerkezetbe épített csukló(k) az erőket (N, T) átadják, de a nyomatékot nem. A nyomatéki ábra a csukló pontjána zérus értéket vesz fel Ezt használjuk ki a többlet kényszer(ek)nél ébredő ismeretlen többlettámaszerő(k) meghatározására. 1.11 példa Adott a 1. ábra szerinti Gerber tartószerkezet! F1=35 [kN], F2=20 [kN], q=4 [kN/m], a=2,0 [m]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat! 1. ábra: Gerber tartó; támaszerők feltételezése Reakcióerők meghatározása (2. ábra): Tudjuk, hogy a D pontban beépített csukló nyomatékot nem

ad át, ami annyit jelent, a D keresztmetszet hajlító igénybevétele zérus: ∑ M Dj =0 = C ⋅ 1,35 ⋅ a − ∑ M bD = ∑ M Dj =0 . q ⋅ (1,35 ⋅ a) 2 4 ⋅ (1,35 ⋅ 2,0) 2 = C ⋅ 1,35 ⋅ 2,0 − C=5,4 [kN] (↑). 2 2 q ⋅ a 2 q ⋅ (5 ⋅ a) 2 − − F2 ⋅ a + B ⋅ 2,25 ⋅ a + C ⋅ 5 ⋅ a = 2 2 B=24,0 [kN] (↑). 4 ⋅ 2,0 2 4 ⋅ (5 ⋅ 2,0) 2 = 35 ⋅ 2,0 + − − 20 ⋅ 2,0 + B ⋅ 2,25 ⋅ 2,0 + 5,4 ⋅ 5 ⋅ 2,0 2 2 ∑ M A = 0 = F1 ⋅ a + q ⋅ (6 ⋅ a) 2 ∑ M C =0 = 2 + F2 ⋅ 4 ⋅ a + F1 ⋅ 6 ⋅ a − B ⋅ 2,75 ⋅ a − A ⋅ 5 ⋅ a = A=73,6 [kN] (↑). 4 ⋅ (6 ⋅ 2,0) 2 = + 20 ⋅ 4 ⋅ 2,0 + 35 ⋅ 6 ⋅ 2,0 − 24,0 ⋅ 2,75 ⋅ 2,0 − A ⋅ 5 ⋅ 2,0 2 1 ∑ Fx = 0 = Ax 2. ábra: A tartóra ható erőrendszer - külső erők és a kiszámolt támaszerők A tartó hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erő nincs, ezért a tartón normál igénybevétel nem ébred. Az E keresztmetszet nyíróigénybevételének a

vizsgálata: ∑ TEb = 0 , majd ugrás az F1 erőnek megfelelően: ∑ TEb = 0 − F1 = 0 − 35 = −35 ∑ TEb = 35 [kN] (↓), illetve ∑ TEj = A y + C + B − F2 − q ⋅ 6 ⋅ a = 73,6 + 5,4 + 24 − 20 − 4 ⋅ 6 ⋅ 2,0 = 35 [kN] (↑), majd ugrás az F1 erőnek megfelelően: ∑ TEj = 35 - F1 = 35 - 35 = 0 . Az A keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata: ∑ TAb = − F1 − q ⋅ a = −35 - 4 ⋅ 2,0 = −43 ∑ TAb = 43 [kN] (↓), majd ugrás az Ay erőnek meg- felelően: ∑ TAb − 43 + A y ∑ TAj = −43 + 73,6 = 30,6 [kN] (↑), illetve = C + B − F2 − q ⋅ 5 ⋅ a = 5,4 + 24 − 20 − 4 ⋅ 5 ⋅ 2,0 = −30,6 ∑ TAj = 30,6 [kN] (↓), majd ugrás az Ay erőnek megfelelően: ∑ TAj = −30,6 + A y = −30,6 + 73,6 = 43 [kN] (↑). Az F keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata: ∑ TFb = − F1 − q ⋅ 2 ⋅ a + A y = −35 − 4 ⋅ 2 ⋅ 2,0 + 73,6 = 22,6 [kN] (↑), majd ugrás az F2 erőnek

megfelelően: ∑ TFb = 22,6 − F2 = 22,6 − 20 = 2,6 [kN] (↑), illetve ∑ TFj = C + B − q ⋅ 4 ⋅ a = 5,4 + 24 − 4 ⋅ 4 ⋅ 2,0 = −2,6 ∑ TFj = 2,6 erőnek megfelelően: 2 [kN] (↓), majd ugrás az F2 ∑ TFj = −2,6 − F2 = −2,6 − 20 = −22,6 ∑ TFj = 22,6 [kN] (↓). A B keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata: ∑ TBb = − F1 − q ⋅ 3,25 ⋅ a − F2 + A y = −35 − 4 ⋅ 3,25 ⋅ 2,0 − 20 + 73,6 = −7,4 ∑ TBb = 7,4 [kN] (↓), majd ugrás a B erőnek megfelelően: ∑ TBb = −7,4 + B = −7,4 + 24 = 16,6 [kN] (↑), illetve ∑ TBj = C − q ⋅ 2,75 ⋅ a = 5,4 − 4 ⋅ 2,75 ⋅ 2,0 = −16,6 ∑ TBj = 16,6 [kN] (↓), majd ugrás a B erőnek megfelelően: ∑ TBj = −16,6 + B = −16,6 + 24 = 7,4 [kN] (↑). A D keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata: ∑ TDb = − F1 − F2 − q ⋅ 4,65 ⋅ a + A y + B = −35 − 20 − 4 ⋅ 4,65 ⋅ 2,0 + 73,6 + 24 = 5,4 [kN] (↑),

illetve ∑ TDj = C − q ⋅ 1,35 ⋅ a = 5,4 − 4 ⋅ 1,35 ⋅ 2,0 = −5,4 ∑ TDj = 5,4 [kN] (↓). A C keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata: ∑ TCb = A y + B − F1 − F2 − q ⋅ 6 ⋅ a = 73,6 + 24 − 35 − 20 − 4 ⋅ 6 ⋅ 2,0 = −5,4 ∑ TCb = 5,4 [kN] (↓), majd ugrás a C erőnek megfelelően: ∑ TCb = 5,4 − C = 5,4 − 5,4 = 0 , illetve ∑ TCj = 0 , majd ugrás a C erőnek megfelelően: ∑ TCb = 0 + C = 0 + 5,4 = 5,4 [kN] (↑). 3. ábra: Nyíró igénybevételi ábra 3 A hajlító igénybevteli ábra megszerkesztését/megrajzolását a tartó végein, illetve magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőértékhelyek (T=0 helyek) és az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei határozzák meg (5. ábra) A nyíró erő az A, G, B és H pontokban lesz zérus. A G és H pontok helyének a megadása (4 ábra): x FG = TF 2,6 T 7,4 = = 0,65 [m] vagy x BG = B = = 1,85 [m] és q 4 q 4 x

BH = T TB 16,6 5,4 = = 4,15 [m] vagy x CH = C = = 1,35 [m]. q 4 q 4 4. ábra: A nyíróerő zérus értékei - a hajlító nyomaték lokális szélsőérték helyei Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata: q ⋅a2 4 ⋅ 2, 0 2 ∑ M = F1 ⋅ a + 2 = 35 ⋅ 2,0 + 2 = 78,0 [kNm] ( ), illetve b A q ⋅ (5 ⋅ a) 2 = 2 ∑ M Aj = 78,0 [kNm] ( ). 2 4 ⋅ (5 ⋅ 2,0) = 5,4 ⋅ 5 ⋅ 2,0 + 24 ⋅ 2,25 ⋅ 2,0 − 20 ⋅ 2,0 − = −78,0 2 ∑ M Aj = C ⋅ 5 ⋅ a + B ⋅ 2,25 ⋅ a − F2 ⋅ a − A G keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata: q ⋅ (2,325 ⋅ a) 2 − A ⋅ 1,325 ⋅ a = 2 4 ⋅ (2,325 ⋅ 2,0) 2 = 35 ⋅ 2,325 ⋅ 2,0 + 20 ⋅ 0,325 ⋅ 2,0 + − 73,6 ⋅ 1,325 ⋅ 2,0 = 2 ∑ M Gb = F1 ⋅ 2,325 ⋅ a + F2 ⋅ 0,325 ⋅ a + = 23,96 [kNm] ( ), illetve 4 q ⋅ (3,675 ⋅ a) 2 = 2 ∑ M Aj = 23,96 [kNm] ( ). 2 4 ⋅ (3,675 ⋅ 2,0) = 5,4 ⋅ 3,675 ⋅ 2,0 + 24 ⋅ 0,925 ⋅ 2,0 − = −23,96 2 ∑ M Gj = C ⋅ 3,675 ⋅

a + B ⋅ 0,925 ⋅ a − A B keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata: q ⋅ (3,25 ⋅ a) 2 − A ⋅ 2,25 ⋅ a = ∑ M = F1 ⋅ 3,25 ⋅ a + F2 ⋅ 1,25 ⋅ a + 2 4 ⋅ (3,25 ⋅ 2,0) 2 = 35 ⋅ 3,25 ⋅ 2,0 + 20 ⋅ 1,25 ⋅ 2,0 + − 73,6 ⋅ 2,25 ⋅ 2,0 = 2 b B = 30,8 [kNm] ( ), illetve ∑ M Bj = C ⋅ 3,675 ⋅ a + B ⋅ 0,925 ⋅ a − = 5,4 ⋅ 2,75 ⋅ 2,0 − q ⋅ (3,675 ⋅ a) 2 = 2 ∑ M Bj = 30,8 [kNm] ( ). 4 ⋅ ( 2,75 ⋅ 2,0) 2 = −30,8 2 A H keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata: q ⋅ (5,325 ⋅ a) 2 − A ⋅ 4,325 ⋅ a − B ⋅ 2,075 ⋅ a = 2 4 ⋅ (5,325 ⋅ 2,0) 2 = 35 ⋅ 5,325 ⋅ 2,0 + 20 ⋅ 3,325 ⋅ 2,0 + − 73,6 ⋅ 4,325 ⋅ 2,0 − 24 ⋅ 2,075 ⋅ 2,0 = 2 ∑ M bH = F1 ⋅ 5,325 ⋅ a + F2 ⋅ 3,325 ⋅ a + = -3,65 ∑ M bH = 3,65 [kNm] ( ), illetve ∑ M Hj = C ⋅ 0,675 ⋅ a − q ⋅ (0,675 ⋅ a) 2 4 ⋅ (0,675 ⋅ 2,0) 2 = 5,4 ⋅ 0,675 ⋅ 2,0 − = 3,65 [kNm] ( ). 2 2 5. ábra: Hajlító

igénybevételi ábra 5 1.12 példa Adott a 6. ábra szerinti Gerber tartószerkezet! F=16 [kN], q=3 [kN/m], a=2,0 [m] Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat! 6. ábra: Gerber tartó; támaszerők feltételezése Reakcióerők meghatározása (7. ábra): ∑ M Cb = ∑ M Cj =0 . ∑ M Cj =0 = B ⋅ a − q ⋅a2 3 ⋅ 2,0 2 = B ⋅ 2,0 − B=3,0 [kN] (↑). 2 2 q ⋅ (3,25 ⋅ a) 2 + B ⋅ 3,25 ⋅ a = 2 MA=83,875 [kNm] ( ). 3 ⋅ (3,25 ⋅ 2,0) 2 = M A − 16 ⋅ 1,25 ⋅ 2,0 − + 3 ⋅ 3,25 ⋅ 2,0 2 ∑ M A = 0 = M A − F ⋅ 1,25 ⋅ a − q ⋅ (3,25 ⋅ a) 2 + F ⋅ 2 ⋅ a + M A − A y ⋅ 3,25 ⋅ a = 2 Ay=32,5 [kN] (↑). 3 ⋅ (3,25 ⋅ 2,0) 2 = + 16 ⋅ 2 ⋅ 2,0 + 83,875 − A y ⋅ 3,25 ⋅ 2,0 2 ∑ M B =0 = ∑ Fx = 0 = Ax 7. ábra: A tartóra ható erőrendszer - külső erők és a kiszámolt támaszerők A tartó hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú erő nincs, ezért a tartón normál igénybevétel

nem ébred. 6 Az A keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata: ∑ TAb = 0 , majd ugrás az Ay erőnek megfelelően: ∑ TAb = 0 + A y = 0 − 32,5 = 32,5 [kN] (↑), illetve ∑ TAj = −q ⋅ 3,25 ⋅ a − F + B = −3 ⋅ 3,25 ⋅ 2,0 − 16 + 3 = −32,5 ∑ TAj = 32,5 [kN] (↓), majd ugrás az Ay erőnek megfelelően: ∑ TAj = −32,5 + A y = −32,5 + 32,5 = 0 . A D keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata: ∑ TDb = A y − q ⋅ 1,25 ⋅ a = 32,5 − 3 ⋅ 1,25 ⋅ 2,0 = 25 [kN] (↑), majd ugrás az F erőnek megfelelő- en: ∑ TDb = 25 − F = 25 − 16 = 9,0 [kN] (↑), illetve ∑ TDj = −q ⋅ 2 ⋅ a + B = −3 ⋅ 2 ⋅ 2,0 + 3 = −9,0 ∑ TDj = 9,0 [kN] (↓), majd ugrás az F erőnek megfelelően: ∑ TDj = −9,0 − F = −9,0 − 16 = −25 ∑ TDj = 25,0 [kN] (↓). A C keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata: ∑ TCb = A y − q ⋅ 2,25 ⋅ a − F = 32,5 − 3 ⋅ 2,25 ⋅ 2,0 −

16 = 3 [kN] (↑), illetve ∑ TDj = −q ⋅ a + B = −3 ⋅ 2,0 + 3 = −3 ∑ TDj = 3,0 [kN] (↓). A B keresztmetszet nyíróigénybevételének a vizsgálata: ∑ TBj = 0 , majd ugrás a B erőnek megfelelően: ∑ TBj = 0 + B = 0 + 3 = 3,0 [kN] (↑), illetve ∑ TBb = − q ⋅ 3,25 ⋅ a − F + A y = −3 ⋅ 3,25 ⋅ 2,0 − 16 + 32,5 = −3,0 ∑ TBb = 3,0 [kN] (↓), majd ugrás a B erőnek megfelelően: ∑ TBb = −3,0 + B = −3,0 + 3,0 = 0 . 8. ábra: Nyíró igénybevételi ábra 7 A hajlító igénybevteli ábra megszerkesztését/megrajzolását a tartó végein, illetve magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőértékhelyek (T=0 helyek) és az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei határozzák meg (10. ábra) A nyíró erő az E pontban lesz zérus. A E pont helyének a megadása (9 ábra): x DE = TD 9,0 T 3,0 = = 3 [m] vagy x BG = B = = 1,0 [m]. q 3 q 3 9. ábra: A nyíróerő zérus értékei - a

hajlító nyomaték lokális szélsőérték helyei Az A keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata: ∑ M bA = 0 , majd az MA koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk: ∑ M bA = 0 + M A = 0 + 83,875 = 83,875 [kNm] ( ), illetve q ⋅ (3,25 ⋅ a) 2 = ∑ M = B ⋅ 3,25 ⋅ a − F ⋅ 1,25 ⋅ a − 2 ∑ M Aj = 83,875 [kNm] ( ), majd 2 3 ⋅ (3,25 ⋅ 2,0) = 3 ⋅ 3,25 ⋅ 2,0 − 16 ⋅ 1,25 ⋅ 2,0 − = −83,875 2 j A az MA koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk: ∑ M Aj = −83,875 + M A = −83,875 + 83,875 = 0 . A D keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata: q ⋅ (1,25 ⋅ a) 2 3 ⋅ (1,25 ⋅ 2,0) 2 − A y ⋅ 1,25 ⋅ a = 83,875 + − 32,5 ⋅ 1,25 ⋅ 2,0 = 12,0 ∑ M = MA + 2 2 [kNm] ( ), illetve b D ∑ M Dj = B ⋅ 2 ⋅ a − q ⋅ ( 2 ⋅ a) 2 3 ⋅ (2 ⋅ 2,0) 2 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2,0 − = −12 ∑ M Dj = 12,0 [kNm] ( ). 2 2 A C keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata: 8 q ⋅ (2,25 ⋅ a) 2

+ F ⋅ a − A y ⋅ 2,25 ⋅ a = 2 , illetve 3 ⋅ (2,25 ⋅ 2,0) 2 = 83,875 + + 16 ⋅ 2,0 − 32,5 ⋅ 2,25 ⋅ 2,0 = 0 2 ∑ M Cb = M A + ∑ M Cj = B ⋅ a − q ⋅a2 3 ⋅ 2,0 2 = 3 ⋅ 2,0 − = 0. 2 2 Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata: q ⋅ (2,75 ⋅ a) 2 + F ⋅ 1,5 ⋅ a − A y ⋅ 2,75 ⋅ a = 2 ∑ M bE = 1,5 [kNm] ( ), 2 3 ⋅ (2,75 ⋅ 2,0) = 83,875 + + 16 ⋅ 1,5 ⋅ 2 − 32,5 ⋅ 2,75 ⋅ 2,0 = −1,5 2 ∑ M bE = M A + illetve q ⋅ (0,5 ⋅ a) 2 3 ⋅ (0,5 ⋅ 2,0) 2 = 3 ⋅ 0,5 ⋅ 2,0 − = 1,5 [kNm] ( ). ∑ M = B ⋅ 0,5 ⋅ a − 2 2 j E 10. ábra: Hajlító igénybevételi ábra 9 1. Igénybevételek - három csuklós keretek A három – csuklós keretek támaszainál ébredő reakcióerők meghatározásánál ugyanazt az elvet használjuk fel, mint a Gerber-tartók esetében. Az eltérés annyi lehet, hogy itt – a fejezet címének megfelelően – legfeljebb egy csuklót építünk be a szerkezetbe. Az

igénybevételi ábrák meghatározása során ugyanazok az elvek szabályok érvényesek, mint a tört tengelyű tartók esetében 1.11 példa Adott a 1. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet! F=15 [kN], q=4 [kN/m], M=25 [kNm], a=1,0 [m]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat! 1. ábra: Tört tengelyű tartó - három csuklós keret; támaszerők feltételezése A reakció erők kiszámítása (2. ábra): ∑MB = 0 = M + q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 5,6 ⋅ a + F ⋅ 2,4 ⋅ a − A y ⋅ 7,6 ⋅ a + A x ⋅ a = = 25 + 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 5,6 ⋅ 1,0 + 15 ⋅ 2,4 ⋅ 1,0 − A y ⋅ 7,6 ⋅ 1,0 + A x ⋅ 1,0 0 = 150 ,6 − A y ⋅ 7,6 + A x A x = A y ⋅ 7,6 − 150 ,6 ∑ M bE = 0 = M + q ⋅4⋅a ⋅2⋅a − Ay ⋅4⋅a − Ax ⋅2⋅a = = 2 5 + 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 2 ⋅ 1,0 − A y ⋅ 4 ⋅ 1,0 − A x ⋅ 2 ⋅ 1,0 0 = 57 − A y ⋅ 4 − A x ⋅ 2 = 57 − A y ⋅ 4 − (A y ⋅ 7,6 − 150 ,6) ⋅ 2 = 0 Ay=18,66 [kN] (↑)

Ax= − 8,78 Ax= 8,78 [kN] (). 1 ∑MA = 0 = M − q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a − F ⋅ 5, 2 ⋅ a + B y ⋅ 7,6 ⋅ a + B x ⋅ a = = 25 − 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 2 ⋅ 1,0 − 15 ⋅ 5, 2 ⋅ 1,0 + B y ⋅ 7,6 ⋅ a + B x ⋅ a 0 = − 85 + B y ⋅ 7,6 + B x B x = 85 − B y ⋅ 7 ,6 ∑ M Ej = 0 = B y ⋅ 3,6 ⋅ a + B x ⋅ 3 ⋅ a − F ⋅ 1,2 ⋅ a = = B y ⋅ 3,6 ⋅ 1,0 + B x ⋅ 3 ⋅ 1,0 − 1 5 ⋅ 1,2 ⋅ 1,0 0 = B y ⋅ 3,6 + B x ⋅ 3 − 18 = B y ⋅ 3,6 + (85 − B y ⋅ 7,6) ⋅ 3 − 18 = 0 By=12,34 [kN] (↑) Bx= − 8,78 Bx= 8,78 [kN] (←). 2. ábra: A tartóra ható erőrendszer - külső erők és a kiszámolt támaszerők A normáligénybevételi ábra (4. ábra) megszerkesztését/megrajzolását az erőrendszer egyes elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú elemei határozzák meg. Az A keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata: ∑ N bA = 0 , majd az Ay-nak megfelelően ugrás:

∑ N bA = 0 + A y = 18 ,66 [kN] (↑), illetve ∑ N Aj = − q ⋅ 4 ⋅ a − F + B y = − 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 − 15 + 12,34 = − 18,66 ∑ N Aj = 18,66 [kN] (↓), majd az Ay-nak megfelelően ugrás: ∑ N Aj = − 18,66 + A y = − 18,66 + 18,66 = 0 [kN]. A D keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen: ∑ N bD = A y = 18 ,66 [kN] (↑), illetve 2 ∑ N Dj ∑ N Dj = − q ⋅ 4 ⋅ a − F + B y = −4 ⋅ 4 ⋅1,0 − 1 5 + 1 2,34 = −18 ,66 = 18,66 [kN] (↓). A D keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen: ∑ N bD = A x = 8,78 [kN] (), illetve ∑ N Dj = − B x = − 8,78 ∑ N Dj = 8,78 [kN] (←). Az E keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a DE vízszintes tartórészen: ∑ N bE = A x = 8,78 [kN] (), illetve ∑ N Ej = − B x = − 8,78 ∑ N Ej = 8,78 [kN] (←). Az E keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a ferde

helyzetű tartórészen (3. ábra): 3. ábra: Az EB ferde helyzetű tartószerkezeti elemre ható erők felbontása normál és nyíró összetevőkre ∑ N bE = A y ⋅ sinα − A x ⋅ cosα − q ⋅ 4 ⋅1,0 ⋅ sinα = = 18,66 ⋅ sin39,8 ° − 8,78 ⋅ cos39,8 ˙° − 4 ⋅ 4 ⋅1,0 ⋅ sin39,8 ° = − 5,04 ∑ N bE = 5,04 [kN] ( ∑ N Ej ), illetve = − F ⋅ sin α + B y ⋅ sin α + B x ⋅ cos α = − 15 ⋅ sin39,8 ° + 12,34 ⋅ sin39,8 ° + 8,78 ⋅ cos39,8 ° = 5,04 [kN] ( ). Az F keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata (3. ábra): ∑ N bF = A y ⋅ sinα − A x ⋅ cosα − q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ sinα = = 18,66 ⋅ sin39,8 ° − 8,78 ⋅ cos39,8 ° − 4 ⋅ 4 ⋅1,0 ⋅ sin39,8 ° = − 5,04 ∑ N bF = 5,04 [kN] ( ), majd FII -nak megfelelően ugrás: ∑ N bF = − 5,05 − F ⋅ sinα = −5,04 − 15 ⋅ sin39,8 ° = −14 ,64 ∑ N bF ∑ N Fj = B y ⋅ sin39,8 ° + B x ⋅ cos39,8 ° = 12,34 ⋅ sin39,8 ° + 8,78 ⋅

cos39,8 ° = 1 4 ,64 [kN] ( FII -nak megfelelően ugrás: ∑ N Fj = 14,64 − F ⋅ sinα = 14,64 − 15 ⋅ sin39,8 ° = 5,04 [kN] ( 3 ). = 14,64 [kN] ( ), illetve ), majd A B keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata (3. ábra): ∑ N bB = A y ⋅ sin α − A x ⋅ cos α − q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ sin α − F ⋅ sin α = = 18,66 ⋅ sin39,8 ° − 8,78 ⋅ cos39,8 ° − 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ sin39,8 ° − 15 ⋅ sin39,8 ° = − 14 ,64 ∑ N bB = 14,64 [kN] ( ∑ N bB = − 14,64 + B y ⋅ sin α + B x ⋅ cos α = − 14,64 + 12,34 ⋅ sin39,8 ° + 8,78 ⋅ cos39,8 ° = 0 , illetve ∑ N Bj = 0 , majd ∑ N Bj ), majd B yII és B xII -nak megfelelően ugrás: B yII és B xII -nak megfelelően ugrás: = 0 + B y ⋅ sin α + B x ⋅ cos α = 0 + 12,34 ⋅ sin39,8 ° + 8,78 ⋅ cos39,8 ° = 1 4 ,64 [kN] ( ). 4. ábra: Normál igénybevételi ábra A nyíróigénybevételi ábra (5. ábra) megszerkesztését/megrajzolását az erőrendszer egyes

elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyére merőleges hatásvonalú elemei határozzák meg. Az A keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata: ∑ TAb = 0 , majd az Ax erőnek megfelelő ugrás: ∑ TAb = 0 + 8,78 = 8,78 [kN] (), illetve ∑ TAj = − B x = − 8,78 ∑ TAj = 8,78 [kN] (←). A D keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata az AD függőleges tartórészen: ∑ TDb = A x = 8,78 [kN] (), illetve ∑ TDj = − B x = − 8,78 ∑ TDj = 8,78 [kN] (←). A D keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen: ∑ TDb = A y = 18,66 [kN] (↑), illetve ∑ TDj j = − q ⋅ 4 ⋅ a − F + B y = − 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 − 15 + 12,34 = − 18,66 ∑ TD = 18,66 [kN] (↓). Az E keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata az DE vízszintes tartórészen: 4 ∑ TEb = A y − q ⋅ 4 ⋅ a = 18,66 − 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 = 2,66 [kN] (↑), illetve ∑ TEj j = − F + B y = − 15 +

12,34 = − 2 ,66 ∑ TE = 2,66 [kN] (↓). Az E keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a ferde helyzetű tartórészen (3. ábra): ∑ TEb = A y ⋅ cosα + A x ⋅ sinα − q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ cosα = = 18,66 ⋅ cos39,8 ° + 8,78 ⋅ sin39,8 ° − 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ cos39,8 ° = 7,66 ∑ TEb = 7,66 [kN] ( ), illet- ve ∑ TEj = − F ⋅ cos α + B y ⋅ cos39,8 ° − B x ⋅ sin39,8 ° = = − 15 ⋅ cos39,8 ° + 12,34 ⋅ cos39,8 ° − 8,78 ⋅ sin39,8 ° = − 7 ,66 ∑ TEj = 7,66 [kN] ( ). Az F keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata (3. ábra): ∑ TFb = A y ⋅ cosα + A x ⋅ sinα − q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ cosα = = 18,66 ⋅ cos39,8 ° + 8,78 ⋅ sin39,8 ° − 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ cos39,8 ° = 7,66 ∑ TFb = 7,66 [kN] ( ), majd F⊥ -nek megfelelően ugrás: ∑ TFb = 7,66 − F ⋅ cosα = 7,66 − 15 ⋅ cos39,8 ° = − 3,86 ∑ TFb ∑ TFj = B y ⋅ cos39,8 ° − B x ⋅ sin39,8 ° = 12,34 ⋅ cos39,8 ° − 8,78

⋅ sin39,8 ° = 3,86 [kN] ( = 3,86 [kN] ( ), illetve ), majd F⊥ -nek megfelelően ugrás: ∑ TFj = 3,86 − F ⋅ cosα = 3,86 − 15 ⋅ cos39,8 ° = −7,66 ∑ TFj = 7,66 [kN] ( ). A B keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata (3. ábra): ∑ TBb = A y ⋅ cos α + A x ⋅ sin α − q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ cos α − F ⋅ cos α = = 18,66 ⋅ cos39,8 ° + 8,78 ⋅ sin39,8 ° − 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ cos39,8 ° − 1 5 ⋅ cos39,8 ° = -3,86 ∑ TBb = 3,86 [kN] ( ), majd B y ⊥ és BxII-nak megfelelően ugrás: ∑ TBb = − 3,86 + B y ⋅ cos α − B x ⋅ sin α = − 3,86 + 12,34 ⋅ cos39,8 ° − 8,78 ⋅ sin39,8 ° = 0 , illetve ∑ TBj = 0 , majd B y ⊥ és BxII-nak megfelelően ugrás: ∑ TBj = 0 + B y ⋅ cos α − B x ⋅ sin α = 0 + 12,34 ⋅ cos39,8 ° − 8,78 ⋅ sin39,8 ° = 3,86 [kN] ( 5 ). 5. ábra: Nyíró igénybevételi ábra A hajlító igénybevteli ábra megszerkesztését/megrajzolását a tartó végein, illetve a

magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőértékhelyek (T=0 helyek), az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei és az E pontban található csukló határozzák meg (10. ábra). A C keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (6. ábra): 6. ábra: A C keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása ∑ M Cj = −q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a − F ⋅ 5,2 ⋅ a + B y ⋅ 7,6 ⋅ a − B x ⋅ 2 ⋅ a = = −4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 2 ⋅ 1,0 − 15 ⋅ 5,2 ⋅ 1,0 + 12,34 ⋅ 7,6 ⋅ 1,0 − 8,78 ⋅ 2 ⋅ 1,0 = −33,78 ∑ M Cj = 33,78 [kNm] ( ), majd a M koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk ∑ M Cj = −33,78 + M = −33,78 + 25,0 = −8,78 ∑ M Cj = 8,78 [kNm] ( ), illetve ∑ M Cb = A x ⋅ a = 8,78 ⋅ 1,0 = 8,78 [kNm] ( ), majd a M koncentrált nyomatéknak megfelelően ugrunk: 6 ∑ M Cb = 8,78 + M = 8,78 + 25,0 = 33,78 [kNm] ( ). A D keresztmetszet hajlító igénybevételének a

vizsgálata (7. ábra): 7. ábra: A D keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása ∑ M Dj = −q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a − F ⋅ 5,2 ⋅ a + B y ⋅ 7,6 ⋅ a − B x ⋅ 3 ⋅ a = = −4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 2 ⋅ 1,0 − 15 ⋅ 5,2 ⋅ 1,0 + 12,34 ⋅ 7,6 ⋅ 1,0 − 8,78 ⋅ 3 ⋅ 1,0 = −42,57 ∑ M Dj = 42,57 [kNm] ( ), illetve ∑ M bD = M + A x ⋅ 2 ⋅ a = 25,0 + 8,78 ⋅ 2 ⋅ 1,0 = 42,56 [kNm] ( ). Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének a vizsgálata (8. ábra): 8. ábra: Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása ∑ M Ej = − F ⋅ 1,2 ⋅ a + B y ⋅ 3,6 ⋅ a − B x ⋅ 3,0 ⋅ a = −15 ⋅ 1,2 ⋅ 1,0 + 12,34 ⋅ 3,6 ⋅ 1,0 − 8,78 ⋅ 3,0 ⋅ 1,0 = = 0,08 ≅ 0 illetve ∑ M bE = q ⋅ 4⋅a ⋅2⋅a + M − Ay ⋅ 4⋅a + Ax ⋅ 2⋅a = 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 2 ⋅ 1,0 + 25 − 18,66 ⋅ 4 ⋅ 1,0 + 8,78 ⋅ 2 ⋅ 1,0 = −0,08 ≅ 0. 7 , Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének a

vizsgálata (9. ábra): 9. ábra: Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének számítása ∑ M Fj = B y ⋅ 2,4 ⋅ a − B x ⋅ 2,0 ⋅ a = 12,34 ⋅ 2,4 ⋅ 1,0 − 8,78 ⋅ 2,0 ⋅ 1,0 = 12,06 [kNm] ( ), illetve ∑ M bF = q ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 3,2 ⋅ a + M − A y ⋅ 5,2 ⋅ a + A x ⋅ a = = 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 3,2 ⋅ 1,0 + 25 − 18,66 ⋅ 5,2 ⋅ 1,0 + 8,78 ⋅ 1,0 = −12,05 ∑ M bF = 12,05 [kNm] ( ). 10. ábra: Hajlító igénybevételi ábra 1.12 példa Adott a 11. ábra szerinti tört tengelyű tartószerkezet! q1=4 [kN/m], q2=3 [kN/m], q3=3 [kN/m], a=1,0 [m]. Határozzuk meg a támaszerőket, rajzoljuk meg az igénybevételi ábrákat! 8 11. ábra: Tört tengelyű tartó - három csuklós keret; támaszerők feltételezése A reakció erők kiszámítása (12. ábra): ∑MB = 0 = q1 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 6 ⋅ a + q 2 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a − q 3 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a − A y ⋅ 8 ⋅ a = = 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 6 ⋅ 1,0 + 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 2

⋅ 1,0 − 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 2 ⋅ 1,0 − A y ⋅ 8 ⋅ 1,0 A y = 12,0 [kN] (↑). ∑MA = 0 = −q 1 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a − q 2 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 6 ⋅ a − q 3 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a + B y ⋅ 8 ⋅ a = = − 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 2 ⋅ 1,0 − 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 6 ⋅ 1,0 − 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 2 ⋅ 1,0 + B y ⋅ 8 ⋅ a B y = 16 ,0 [kN] (↑). ∑ M Dj = 0 = By ⋅ 4 ⋅ a + Bx ⋅ 5 ⋅ a − q2 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a = = 16 ⋅ 4 ⋅ 1,0 + B x ⋅ 5 ⋅ a − 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 2 ⋅ 1,0 Bx= − 8 Bx= 8,0 [kN] (←). ∑ M bD = 0 = q1 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a − A y ⋅ 4 ⋅ a − A x ⋅ 5 ⋅ a + q 3 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 3 ⋅ a = = 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 2 ⋅ 1,0 − 12 ⋅ 4 ⋅ 1,0 − A x ⋅ 5 ⋅ 1,0 + 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 3 ⋅ 1,0 Ax= 4,0 [kN] (←). 9 12. ábra: A tartóra ható erőrendszer - külső erők és a kiszámolt támaszerők A normáligénybevételi ábra (15. ábra) megszerkesztését/megrajzolását az erőrendszer

egyes elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyével párhuzamos hatásvonalú elemei határozzák meg. Az A keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata: ∑ N bA = 0 , majd az Ay-nak megfelelő ugrás: ∑ N bA = 0 +Ay=0+12=12,0 [kN] (↑), illetve ∑ N Aj = −q1 ⋅ 4 ⋅ a − q 2 ⋅ 4 ⋅ a + B y = −4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 − 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 + 16 = −12 ∑ N Aj = 12,0 [kN] (↓), majd az Ay-nak megfelelő ugrás: ∑ N Aj = −12 + A y = −12 + 12 = 0. A C keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata az AC függőleges tartószerkezeti elemen: ∑ N Cb = Ay=12,0 [kN] (↑), illetve ∑ N Cj = −q1 ⋅ 4 ⋅ a − q 2 ⋅ 4 ⋅ a + B y = −4 ⋅ 4 ⋅1,0 − 3 ⋅ 4 ⋅1,0 + 16 = −12 ∑ N Cj = 12,0 [kN] (↓). A C keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti elemen: 10 13. ábra: A CD ferde helyzetű tartószerkezeti elemre ható erők felbontása normál és nyíró

összetevőkre ∑ N Cb = A y ⋅ sinα − A x ⋅ cosα + Q 3 ⋅ cosα = 12 ⋅ sin14° − 4 ⋅ cos14° + 12 ⋅ cos14° = 10,67 [kN] ( ), illetve ∑ N Cj = −Q1 ⋅ sinα − Q 2 ⋅ sinα + B y ⋅ sinα − B x ⋅ cosα = = −16 ⋅ sin14° − 12 ⋅ sin14° + 16 ⋅ sin14° − 8 ⋅ cos14° = −10,67 ∑ N Cj = 10,67 [kN] ( ). A D keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti elemen: ∑ N bD = A y ⋅ sinα − A x ⋅ cosα + Q 3 ⋅ cosα − Q1 ⋅ sinα = = 12 ⋅ sin14° − 4 ⋅ cos14° + 12 ⋅ cos14° − 16 ⋅ sin14° = 6,79 ∑ N bD = 6,79 [kN] ( ), illetve ∑ N Dj = −Q 2 ⋅ sinα + B y ⋅ sinα − B x ⋅ cosα = −12 ⋅ sin14° + 16 ⋅ sin14° − 8 ⋅ cos14° = −6,79 ∑ N Dj = 6,79 [kN] ( ). A D keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti elemen: ∑ N bD = −A y ⋅ sinα − A x ⋅ cosα + Q 3 ⋅ cosα + Q1 ⋅ sinα = = −12

⋅ sin14° − 4 ⋅ cos14° + 12 ⋅ cos14° + 16 ⋅ sin14° = 8,73 ∑ N bD = 8,73 [kN] ( ), illetve ∑ N Dj = Q 2 ⋅ sinα − B y ⋅ sinα − B x ⋅ cosα = 12 ⋅ sin14° − 16 ⋅ sin14° − 8 ⋅ cos14° = −8,73 ∑ N Dj = 8,73 [kN] ( ). Az E keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti elemen: ∑ N bE = −A y ⋅ sinα − A x ⋅ cosα + Q 3 ⋅ cosα + Q1 ⋅ sinα + Q 2 ⋅ sinα = = −12 ⋅ sin14° − 4 ⋅ cos14° + 12 ⋅ cos14° + 16 ⋅ sin14° + 12 ⋅ sin14° = 11,63 ( ), illetve 11 ∑ N bE = 11,63 [kN] 14. ábra: A DE ferde helyzetű tartószerkezeti elemre ható erők felbontása normál és nyíró összetevőkre ∑ N Ej = −B y ⋅ sinα − B x ⋅ cosα = − 16 ⋅ sin14° − 8 ⋅ cos14° = −11,63 ∑ N Ej = 11,63 [kN] ( ). Az E keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata a EB függőleges helyzetű tartószerkezeti elemen: ∑ N bE = A y − q1 ⋅ 4 ⋅ a − q

2 ⋅ 4 ⋅ a = 12 − 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 − 3 ⋅ 4 ⋅1,0 = −16 ∑ N bE = 16,0 [kN] (↓), ∑ N bB = A y − q1 ⋅ 4 ⋅ a − q 2 ⋅ 4 ⋅ a = 12 − 4 ⋅ 4 ⋅1,0 − 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 = −16 ∑ N bB = 16,0 [kN] (↓), illetve ∑ N Ej = B y = 16,0 [kN] (↑). A B keresztmetszet normáligénybevételének vizsgálata: majd ugrás a By-nak megfelelően: ∑ N bB = −16 + B y = −16 + 16 = 0 , illetve ∑ N Ej = 0 , majd ugrás a By-nak megfelelően: ∑ N Ej = 0 + B y = 0 + 16 = 16,0 [kN] (↑). 12 15. ábra: Normál igénybevételi ábra A nyíróigénybevételi ábra (16. ábra) megszerkesztését/megrajzolását az erőrendszer egyes elemeinek az adott tartószerkezeti elem hossztengelyére merőleges hatásvonalú elemei határozzák meg. Az A keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata: ∑ TAb = 0 , majd az Ax-nek megfelelő ugrás: ∑ TAb = 0 − A x = 0 − 4 = −4 − 4,0 ∑ TAb = 4 [kN] (←), illetve ∑ TAj = q 3 ⋅ 4 ⋅ a

− B x = 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 − 8 = 4,0 [kN] (), majd az Ax-nek megfelelő ugrás: ∑ TAj = 4 − A x = 4−4 = 0. A C keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata az AC függőleges tartószerkezeti elemen: ∑ TCb = q 3 ⋅ 4 ⋅ a − A x = 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 − 4 = 8,0 [kN] (), illetve ∑ TCj = −B x = −8 ∑ TCj = 8,0 [kN] (←). A C keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti elemen: ∑ TCb = A y ⋅ cosα + A x ⋅ sinα − Q 3 ⋅ sinα = 12 ⋅ cos14° + 4 ⋅ sin14° − 12 ⋅ sin14° = 9,71 [kN] ( ), illetve ∑ TCj = −Q1 ⋅ cosα − Q 2 ⋅ cosα + B y ⋅ cosα + B x ⋅ sinα = = −16 ⋅ cos14° − 12 ⋅ cos14° + 16 ⋅ cos14° + 8 ⋅ sin14° = −9,71 ∑ TCj = 9,71 [kN] ( ). A D keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a CD ferde helyzetű tartószerkezeti elemen: 13 ∑ TDb = A y ⋅ cosα + A x ⋅ sinα − Q 3 ⋅ sinα − Q1 ⋅ cosα = = 12 ⋅ cos14° + 4

⋅ sin14° − 12 ⋅ sin14° − 16 ⋅ cos14° = −5,81 ∑ TDb = 5,81 [kN] ( ), illetve ∑ TDj = −Q 2 ⋅ cosα + B y ⋅ cosα + B x ⋅ sinα = −12 ⋅ cos14° + 16 ⋅ cos14° + 8 ⋅ sin14° = 5,81 [kN] ( ). A D keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti elemen: ∑ TDb = A y ⋅ cosα − A x ⋅ sinα + Q 3 ⋅ sinα − Q1 ⋅ cosα = = 12 ⋅ cos14° − 4 ⋅ sin14° + 12 ⋅ sin14° − 16 ⋅ cos14° = −1,95 ∑ TDb = 1,95 [kN] ( ), illetve ∑ TDj = −Q 2 ⋅ cosα + B y ⋅ cosα − B x ⋅ sinα = −12 ⋅ cos14° + 16 ⋅ cos14° − 8 ⋅ sin14° = 1,95 [kN] ( ). Az E keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a DE ferde helyzetű tartószerkezeti elemen: ∑ TEb = A y ⋅ cosα − A x ⋅ sinα + Q 3 ⋅ sinα − Q1 ⋅ cosα − Q 2 ⋅ cosα = = 12 ⋅ cos14° − 4 ⋅ sin14° + 12 ⋅ sin14° − 16 ⋅ cos14° − 12 ⋅ cos14° = -13,59 ∑ TEb = 13,59 [kN] ( ), illetve

∑ TEj = B y ⋅ cosα − B x ⋅ sinα = 16 ⋅ cos14° − 8 ⋅ sin14° = 13,58 [kN] ( ). Az E keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata a EB függőleges helyzetű tartószerkezeti elemen: ∑ TEb = −A x + q 3 ⋅ 4 ⋅ a = −4 + 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 = 8,0 [kN] (), illetve ∑ TEj = −B x = − 8 ∑ TEj = 8,0 [kN] (←). A B keresztmetszet nyíróigénybevételének vizsgálata: ∑ TBb = −A x + q 3 ⋅ 4 ⋅ a = −4 + 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 = 8,0 [kN] (), majd ugrás a Bx-nek megfelelően: ∑ TBb = 8 − B x ∑ TBj = 8 − 8 = 0 , illetve = 0 , majd ugrás a Bx-nek megfelelően: ∑ TBj = 0 − B x = 0 − 8 = −8 ∑ TBj = 8,0 [kN] (←). 14 16. ábra: Nyíró igénybevételi ábra A hajlító igénybevteli ábra megszerkesztését/megrajzolását a tartó végein, illetve a magán a tartón működő koncentrált nyomaték(ok), a lokális szélsőértékhelyek (17. ábra) (T=0 helyek), az egyes keresztmetszetek hajlító igénybevételei és a D

pontban található csukló határozzák meg (17. ábra) 17. ábra: A nyíróerő zérus értékei - a hajlító nyomaték lokális szélsőérték helyei A G keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata: ∑ M Gb = −A x ⋅ x AG + q 3 ⋅ x AG ⋅ x AG 1,33 = −2,67 = −4 ⋅ 1,33 + 3 ⋅ 1,33 ⋅ 2 2 [kNm] ( ), illetve 15 ∑ M Gb = 2,67 x GC − q 1 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a − q 2 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ (2 ⋅ a + 4 ⋅ a ) + B y ⋅ 8 ⋅ a − B x ⋅ x AG = 2 2,67 = −3 ⋅ 2,67 ⋅ − 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 2 ⋅ 1,0 − 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ (2 ⋅ 1,0 + 4 ⋅ 1,0 ) + 16 ⋅ 8 ⋅ 1,0 − 8 ⋅ 1,33 = 2,67 2 ∑ M Gj = −q 3 ⋅ x GC ⋅ ∑ M Gj = 2,67 [kNm] ( ). A C keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata: ∑ M Cb = − A x ⋅ 4 ⋅ a + q 3 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a = −4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 + 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 2 ⋅ 1,0 = 8,0 [kNm] ( ), illetve ∑ M Cj = −q 1 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a − q 2 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ (2 ⋅ a + 4 ⋅ a )

+ B y ⋅ 8 ⋅ a − B x ⋅ 4 ⋅ a = = −4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 2 ⋅ 1,0 − 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ (2 ⋅ 1,0 + 4 ⋅ 1,0 ) + 16 ⋅ 8 ⋅ 1,0 − 8 ⋅ 4 ⋅ 1,0 = −8 ∑ M Cj = 8,0 [kNm] ( ). Az F keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata: ∑ M bF = −A x ⋅ (4 ⋅ a + x CF ⋅ sinα ) − A y ⋅ x CF ⋅ cosα + q 3 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ (2 ⋅ a + x CF ⋅ sinα ) + ⎛ x ⋅ cosα ⎞ + q 1 ⋅ x CF ⋅ cosα ⋅ ⎜ CF ⎟= 2 ⎝ ⎠ = −4 ⋅ (4 ⋅ 1,0 + 2,58 ⋅ sin14°) − 12 ⋅ 2,58 ⋅ cos14° + 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ (2 ⋅ 1,0 + 2,58 ⋅ sin14°) + ⎛ 2,58 ⋅ cos14° ⎞ + 4 ⋅ 2,58 ⋅ cos14° ⋅ ⎜ ⎟ = −4,51 2 ⎠ ⎝ ∑ M bF = 4,51 [kNm] ( ), illetve ∑ M Fj = −B x ⋅ (4 ⋅ a + x CF ⋅ sinα ) + B y ⋅ (8 ⋅ a − x CF ⋅ cosα ) − q 2 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ (8 ⋅ a − x CF ⋅ cosα − 2 ⋅ a ) − ⎛ 4 ⋅ a − x CF ⋅ cosα ⎞ − q 1 ⋅ (4 ⋅ a − x CF ⋅ cosα ) ⋅ ⎜ ⎟= 2 ⎝ ⎠ = −8 ⋅ (4 ⋅ 1,0 +

2,58 ⋅ sin14 °) + 16 ⋅ (8 ⋅ 1,0 − 2,58 ⋅ cos14 °) − ⎛ 4 ⋅ 1,0 − 2,58 ⋅ cos14 ° ⎞ − 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ (8 ⋅ 1,0 − 2,58 ⋅ cos14 ° − 2 ⋅ 1,0 ) − 4 ⋅ (4 ⋅ 1,0 − 2,58 ⋅ cos14 °) ⋅ ⎜ ⎟= 2 ⎝ ⎠ = 4,51 ∑ M Fj = 4,51 [kNm] ( ). A D keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata: ∑ M bD = −A x ⋅ 5 ⋅ a − A y ⋅ 4 ⋅ a + q 3 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 3 ⋅ a + q 1 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a = = −4 ⋅ 5 ⋅ 1,0 − 12 ⋅ 4 ⋅ 1,0 + 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 3 ⋅ 1,0 + 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 2 ⋅ 1,0 = 0 ∑ M Dj = −q 2 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a + B y ⋅ 4 ⋅ a − B x ⋅ 5 ⋅ a = . = −3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 2 ⋅ 1,0 + 16 ⋅ 4 ⋅ 1,0 − 8 ⋅ 5 ⋅ 1,0 = 0 Az E keresztmetszet hajlító igénybevételének vizsgálata: 16 , illetve ∑ M bE = q 2 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a + q 1 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ (2 ⋅ a + 4 ⋅ a ) + q 3 ⋅ 4 ⋅ a ⋅ 2 ⋅ a − A y ⋅ 8 ⋅ a − A x ⋅ 4 ⋅ a = = 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 2

⋅ 1,0 + 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ (2 ⋅ 1,0 + 4 ⋅ 1,0 ) + 3 ⋅ 4 ⋅ 1,0 ⋅ 2 ⋅ 1,0 − 12 ⋅ 8 ⋅ 1,0 − 4 ⋅ 4 ⋅ 1,0 = 32 ∑ M bE = 32,0 [kNm] ( ), illetve ∑ M Ej = −B x ⋅ 4 ⋅ a = −8 ⋅ 4 ⋅ 1,0 = −32 ∑ M Ej = 32,0 [kNm] ( ). 18. ábra: Hajlító igénybevételi ábra 17