Architecture | Higher education » Dr. Molnár József - Szemcsés anyagok szemcseméretének jellemzése

MISKOLCI EGYETEM, Bányászati és Geotechnikai Tanszék Dr. Molnár József: Építőanyagok (Szemcsés anyagok szemcseméretének jellemzése) 1 . SZEMCSÉS ANYAGOK SZEMCSEMÉRETÉNEK JELLEMZÉSE Ömlesztett anyagok szemcsetömegének főbb statisztikai jellemzői Ömlesztett anyagok fogalma Rendszerint eltérő méretű és szabálytalan alakú szemcsék halmaza, melyek között a kohéziót elhanyagolhatónak tekintjük. Másképp szemcsés anyagoknak, vagy (angol nevük után) ömlesztett szilárd anyagoknak is nevezik. Ilyenek például a kőbányászati termékek döntő többsége, a kibányászott szén és ércek, a mész, a gipsz, a cement, a szemes gabonák, a takarmányok, az őrlemények, a műtrágya granulátumok, a vetőmagok, a kristálycukor, a vegyipar és a g yógyszeripar por alakú alapanyagai és termékei, stb. Szemcseméretük szerint hasonlóképpen jellemzik a nyugvó vagy áramló közegben levő lebegő, illetve az ilyen közegek által szállított

anyagokat, a porokat és a zagyokat is. A szemnagyság elemzés célja A vizsgálat célja, hogy jellemezze az ömlesztett anyag szemcséinek alakját és méretét. Egy szemcse alakja úgy jellemezhető a legegyszerűbben, hogy az azt befoglaló ellipszoid három főtengelyének méretét, esetleg azok arányait megadjuk. Ha az egyes szemcsék méretét elegendő egyetlen adattal jellemezni, akkor az a méret száraz, esetleg nedves szitálással, vagy – elsősorban a 60 µm-nél finomabb szemcsékre – ülepítéssel határozható meg. Általában nem a teljes ömlesztett anyag tömeget – statisztikai kifejezéssel az alaphalmazt – vizsgáljuk meg, hanem annak csak egy, a kisebb mérete folytán könnyebben kezelhető részét. Ezt – ugyancsak statisztikai kifejezéssel – mintának nevezzük: A mintától azt várjuk el, hogy képviselje az alaphalmaz tulajdonságait, azaz reprezentáns legyen. A szitaelemzés A méréshez olyan sziták használhatók, melyek lyukméretét

és -alakját ismerjük. A szitákat egymásra helyezik, lyukméreteik szerint felülről csökkenő sorrendben. Az oszlop aljára alulról zárt edényt helyeznek, melyet az eredmények értékelésekor formálisan 0 m m lyukméretű szitának tekintenek. A vizsgálandó mintát a felső szitára öntik, majd kellően hosszú ideig rázzák. A szitálás végeztével megmérik az egyes ismert lyukméretű (x i ) szitákon levő szemcsék (azaz a minta szemcse frakcióinak) m i tömegét. A szemcseméret valószínűségi és statisztikai jellemzői A szemcseméret valószínűségi változónak tekinthető, mert egy találomra kiválasztott szemcse méretét a kiválasztás előtt nem ismerhetjük. A szemcseméret leggyakrabban használt valószínűségi jellemzői (1) a szemnagyság intervalluma, (2) a s zemnagyság terjedelme, (3) a s zemnagyság eloszlásfüggvénye, (4) a szemnagyság sűrűségfüggvénye, (5) a szemnagyság várható értéke valamint (6) a szemnagyság

szórása. A vizsgált mintáról rendszerint nem tudhatjuk biztosan, hogy reprezentáns-e, ezért a felsorolt hat valószínűségi jellemző helyett egy konkrét minta vizsgálatakor az elméleti valószínűségi jellemzők helyett az azoknak megfelelő úgynevezett statisztikai jellemzőit határozzuk meg. Ezek a (1) a szemnagyság intervalluma, (2) a szemnagyság terjedelme, (3) a szemnagyság empirikus eloszlásfüggvénye, (4) a szemnagyság empirikus sűrűségfüggvénye, (5) az átlagos szemnagyság valamint (6) a szemnagyság empirikus szórása. A szemnagyság intervallum Az [x min ,x max ] zárt intervallum, melynek határai x min a minimális, x max a maximális szemnagyság. Mindkét határ megállapítása bizonytalan, ezért megállapodás szerint mindkét határnál 5-5 m%-os (m% a továbbiakban a tömegszázalék jele) tűrést fogadunk el, azaz: • minimális szemnagyságnak azt a szemcseméretet tekintjük, melynél kisebb méretű szemcsék a minta tömegének

legfeljebb 5 m%-át teszik ki, és hasonlóképpen szemelo1.doc, 2020110407du 5:38 MISKOLCI EGYETEM, Bányászati és Geotechnikai Tanszék Dr. Molnár József: Építőanyagok (Szemcsés anyagok szemcseméretének jellemzése) 2 . maximális szemnagyságnak azt a s zemcseméretet tekintjük, melynél nagyobb méretű szemcsék a minta tömegének legfeljebb 5 m%-át teszik ki. • A szemnagyság terjedelme Ha az anyag szemnagyság intervalluma [x min ,x max ], akkor annak szemnagyság terjedelme x max -x min . A szemnagyság eloszlásfüggvénye (szemcseeloszlása) A szemnagyság eloszlás függvénynek egy x helyen vett helyettesítési értéke megadja a minta x-nél kisebb méretű szemcséinek tömegtörtjét a mintában. Képletesen: F ( x) = mξ < x m , (1) ahol m ξ<x a minta x-nél kisebb méretű szemcséinek tömegét, míg maga m a minta tömegét jelöli. A szemnagyság eloszlásfüggvénye azon szemcsék x méreténél lesz kevésbé meredek vagy

meredekebb, amelyek ritkábban vagy sűrűbben akadnak a vizsgált anyagban. A szitaelemzéssel kapott empirikus szemnagyság eloszlás függvény x i helyen vett F i értékét úgy kapjuk, hogy az x i -nél finomabb szemcsék frakcióinak tömegtörtjeit összegezzük. Az empirikus F i függvény lépcsős, lépcsői az x i helyeken vannak. Az elméleti és az empirikus eloszlásfüggvény nyilvánvaló tulajdonsága egyaránt, hogy (1) minden pozitív x-re értelmezve van, (2) a 0<F<1 intervallumon monoton növekvő, továbbá (3) balról folytonos. A szemnagyság sűrűségfüggvénye A szemnagyság elméleti sűrűségfüggvénye az eloszlásfüggvény x szerinti első deriváltja. Azaz x d f ( x) = F ( x) , illetve F ( x) = ∫ f (u )du . dx xmin (2) Alacsonyabb illetve magasabb értékeket azon szemcsék x méreténél vesz fel, amelyek ritkábban vagy sűrűbben akadnak a vizsgált anyagban. A szemnagyság empirikus sűrűségfüggvényét a korábbi jelölésekkel

ennek megfelelően az fi = mi mi = m ⋅ ( xi +1 − xi ) m ⋅ ∆xi (3) összefüggéssel értelmezzük. Az elméleti és az empirikus sűrűségfüggvény nyilvánvaló tulajdonsága egyaránt, hogy a függvénygörbe alatti terület értéke 1, azaz x max ∫ f ( x)dx = 1 . x min A szemnagyság várható értéke és az átlagos szemnagyság A szemnagyság várható értéke az x⋅f(x) mennyiség lineáris integrál középértéke, azaz E (ξ ) = xmax ∫ x ⋅ f ( x)dx . (4) xmin A minta vizsgálatakor kapható empirikus megfelelője az átlagos szemnagyság, mely a szemcsefrakciók közepes szemcseméretének (x ik ) a frakció tömegtörtjével súlyozott számtani középértéke (átlaga): n x=∑ i =1 mi ⋅ xik . m Az egyes szemcsefrakciók közepes szemcseméretének célszerűen az szemelo1.doc, 2020110407du 5:38 (5) MISKOLCI EGYETEM, Bányászati és Geotechnikai Tanszék Dr. Molnár József: Építőanyagok (Szemcsés anyagok szemcseméretének

jellemzése) xi +1 + xi 2 xik = 3 . (6) összefüggéssel értelmezhető. A szemnagyság szórása és az empirikus szórás A szemnagyság szórása D(ξ ) = xmax ∫ ( x − E (ξ )) 2 ⋅ f ( x)dx . (7) xmin A minta vizsgálatakor kapható empirikus megfelelője az empirikus szórás, mely a szemcsefrakciók közepes szemcseméretének (x ik ) az átlagos szemnagyságtól való eltéréseinek a frakció tömegtörtjével súlyozott négyzetes középértéke: mi ⋅ ( xik − x ) 2 . ∑ m i =1 n σ= (8) A szórás és az empirikus szórás helyett a szórásnégyzet illetve az empirikus szórásnégyzet is használatos, melyek az előbbi mennyiségek négyzetei. Szemcsehalmaz a f fajlagos felületének becslése a szemcseeloszlásból A szemcsés anyag fajlagos felülete az egységnyi tömegű szemcsés anyag szemcséinek összes felülete. Mértékegysége például m2⋅kg–1 Ez a mennyiség korlátozott pontossággal a szemcseeloszlásból is becsülhető.

Kiinduló feltételként azt szabjuk, hogy a szemcsék eltérő (x) méretűek, tömörek és gömb alakúak legyenek. A szemnagyság intervallumát jelölje [x min ,x max ], az eloszlás- és a sűrűségfüggvényt F(x) és f(x), a szemcsék testsűrűségét ρ, a minta tömegét m. Osszuk fel az [x min ,x max ] intervallumot n darab egyenlő – ∆x – szélességű tartományra, melyek sorszámát jelölje i (i = 0,1,,n, így x min =x 0 és x max =x n ). Egy, az [x i ,x i +∆x] intervallumba eső x ik közepes méretű szemcse tömege m 1ik = π⋅ρ i ⋅x ik 3/6. Ugyanezen tartományban a szemcsék össztömege m ik = m⋅[F(x i +∆x)-F(x i )], számuk mi m ⋅ [F ( xi + ∆x) − F ( xi )] m ⋅ ∆F ( xi ) . = = π π m1i 3 3 ⋅ ρ i ⋅ xik ⋅ ρ i ⋅ xik 6 6 Egy-egy ilyen szemcse felülete A 1ik = π⋅x ik 2, az [x i ,x i +∆x] tartománybeli szemcsék összes Ni = felülete Aik = N i ⋅ A1ik = 6 ⋅ m ⋅ ∆F ( xi ) . ρ i ⋅ xik A teljes minta szemcséinek

összes felülete n n i =1 i =1 A = ∑ Ai = ∑ 6 ⋅ m ⋅ ∆F ( xi ) , ρ i ⋅ xi így a fajlagos felület gömb alakú szemcsékre becsült értéke a fG = n n 6 ⋅ ∆F ( xi ) 6 ⋅ f ( xi ) ⋅ ∆x A . =∑ =∑ m i =1 ρ i ⋅ xi ρ i ⋅ xi i =1 (9) i∞, azaz ∆x0 határesetben a fajlagos felület a (9) összefüggés szerint folytonos szemcseeloszlásra szemelo1.doc, 2020110407du 5:38 MISKOLCI EGYETEM, Bányászati és Geotechnikai Tanszék Dr. Molnár József: Építőanyagok (Szemcsés anyagok szemcseméretének jellemzése) a fG = xmax ∫ xmin 4 . 6 ⋅ f ( x) dx . ρ⋅x Ha a s zemcsék nem gömb alakúak, akkor a fajlagos felület így becsült értékénél a valóságban nagyobb értékkel kell számolni. A növekedést egy k (k>1) alaktényezővel vesszük figyelembe. Homokoskavicsokra a t apasztalat szerint k≈1,4 Így a f ajlagos felület szabálytalan alakú szemcsékre becsült értéke af = xmax ∫ xmin n n 6 ⋅ ∆F ( xi )

6 ⋅ f ( xi ) ⋅ ∆x 6 ⋅ k ⋅ f ( x) . dx ≈ k ⋅ ∑ = k ⋅∑ ρ⋅x ρ i ⋅ xi ρ i ⋅ xi i =1 i =1 (10) Két ömlesztett anyag tökéletes keverése Keverjünk össze két szemcsés anyagot. Az egyik anyag tömege m 1 , szemnagyság intervalluma [x min1 ,x max1 ], szemnagyságának eloszlásfüggvénye F 1 (x), várható értéke E(ξ 1 ), fajlagos felülete a f1 . A másik anyag tömege m 2 , szemnagyság intervalluma [x min2 ,x max2 ], szemnagyságának eloszlásfüggvénye F 2 (x), várható értéke E(ξ 2 ), fajlagos felülete a f2 . Tökéletes keverésük a következőt jelenti. Válogassuk szét a keverék valamely, persze a maximális szemcseméretnél többször nagyobb méretű térbeli tartományban levő szemcséket úgy, hogy első csoportba azok a szemcsék kerüljenek, amelyek az első komponensből származnak, a másodikba azok, amelyek a másodikból. A keverés tökéletes volt, ha a két csoport tömegének aránya azonos m 1 :m 2 -vel,

szemnagyságuk eloszlásfüggvényei pedig F 1 (x) és F 2 (x). A keverék tömege nyilvánvalóan m=m 1 +m 2 . A szemnagyság intervallum [min(x min1 ,x min2 ),max(x max1 ,x max2 )], melyben min(x min1 ,x min2 ) az x min1 és x min2 mennyiségek kisebbikét, max(x max1 ,x max2 )] az x max1 és x max2 . mennyiségek nagyobbikát jelöli A keverék szemnagyságának eloszlás- és sűrűségfüggvénye az eloszlás- és sűrűségfüggvények definícióját (1,2) tekintetbe véve F ( x) = m1 ⋅ F1 ( x) + m2 ⋅ F2 ( x) m ⋅ f ( x) + m2 ⋅ f 2 ( x) illetve f ( x) = 1 1 . m1 + m2 m1 + m2 (11a,b) Hasonló megfontolásból (4,10) a keverék szemnagyságának várható értéke és a fajlagos felület E (ξ ) = m1 ⋅ a f 1 + m2 ⋅ a f 2 m1 ⋅ E (ξ1 ) + m2 ⋅ E (ξ 2 ) illetve a f = . m1 + m2 m1 + m2 (12a,b) Ömlesztett anyagok tökéletes szétválasztása egy adott szemcseméretnél Ha egy m tömegű, [x min ,x max ] szemnagyság intervallumú, F(x) szemcseeloszlású

ömlesztett anyag szemcséit úgy választjuk szét két csoportra (osztályozzuk), hogy egy adott x e (x min <x e <x max ) méretnél kisebbek az egyik, az annál nagyobbak a másik csoportba kerülnek, tökéletes szétválasztásról beszélünk. Az x e -nél kisebb szemcsék halmazát alterméknek, a nagyobbakét felső terméknek, magát x e -t elválasztási határnak nevezzük. A képletekben az indexelésnél jelöljük ezeket A-val és B-vel. Az altermék és a felső termék tömege m A =m⋅F(x e ) illetve m F =m-m A =m⋅(1-F(x e )), szemnagyság intervalluma [x min , x e ] illetve [x e ,x max ]. A szétválasztással a szemcsék méret szerinti eloszlása az altermékben és a felső termékben egyaránt olyan marad, mint az eredeti anyagban volt a megfelelő szemcsetartományban. Ezért az altermék szemnagyság eloszlásfüggvénye szemelo1.doc, 2020110407du 5:38 MISKOLCI EGYETEM, Bányászati és Geotechnikai Tanszék Dr. Molnár József: Építőanyagok

(Szemcsés anyagok szemcseméretének jellemzése) FA ( x ) = F ( x) , ha x≤x e , illetve FA ( x) ≡ 1 , ha x e ≤x. F ( xe ) 5 . (13) Hasonlóképpen a felső termék szemnagyság eloszlásfüggvénye FF ( x) ≡ 0 , ha x≤x e , illetve FF ( x) = F ( x) − F ( xe ) , ha x e ≤x. 1 − F ( xe ) (14) A sűrűségfüggvény f(x)=F’(x) definíciója alapján belátható, hogy a két termék szemnagyság sűrűségfüggvénye f A ( x) = f ( x) , ha x≤x e , illetve f A ( x) ≡ 0 , ha x e ≤x F ( xe ) (15) valamint f F ( x) ≡ 0 , ha x≤x e , illetve FF ( x) = f ( x) , ha x e ≤x. 1 − F ( xe ) (16) A két termék szemnagyságának várható értéke E (ξ A ) = xe ∫x⋅ f A ( x)dx és E (ξ F ) = xmin xmax ∫x⋅ f F ( x)dx , (17a,b) xmin valamint fajlagos felülete a fA ≈ xe ∫ xmin e 6 ⋅ k ⋅ f ( x) 6 ⋅ k ⋅ f ( x) dx és a fF ≈ ∫ dx . ρ⋅x ρ⋅x xe x (18a,b) Könnyen belátható, hogy a két termék

szemnagyságának eloszlás és sűrűségfüggvényeire, várható értékeire és fajlagos felületeire érvényesek a keverékekre vonatkozó megfelelő összefüggések. Egy példa Szitaelemzéssel meghatározzuk egy homokoskavics minta szemcseeloszlási jellemzőit. A méréshez használt sziták sorozatának lyukméreteit x i -vel, a mérés végén az egyes szitákon levő szemcsefrakciók tömegeit m i -vel jelöljük. A mérés eredményei és a statisztikai számítások részletei az 1. táblázatban találhatók 1. táblázat Szitaelemzés eredményei és a hom okoskavics minta szemcseeloszlásának statisztikai számításai (a *-gal jelölt mennyiségek becsült értékek) szita lyukmérete, x i (mm) a szemcsefrakció tömege, m i (kg) a szemcsefrakció tömegtörtje, m i /m (–) a szemnagyság empirikus eloszlás értéke, F i (–) a szemcsefrakció terjedelme, ∆x i =x i+1 -x i (mm) 0* 1 2 4 6 8 12 14* 0,100 0,250 0,250 0,350 0,450 0,550 0,050 m = 2 kg 0,050

0,125 0,125 0,175 0,225 0,275 0,025 0,000 0,050 0,175 0,300 0,475 0,700 0,975 1,000 1* 1 2 2 2 4 2* szemelo1.doc, 2020110407du 5:38 a szemnagyság empirikus sűrűség értéke, f i =m i /(m⋅∆x i ) (mm–1) 0,050* 0,125 0,0625 0,0875 0,1125 0,06875 0,0125* a szemcsefrakció közepes mérete, x ik =(x i+1 +x i )/ 2 (mm) 0,5* 1,5 3 5 7 10 13* MISKOLCI EGYETEM, Bányászati és Geotechnikai Tanszék Dr. Molnár József: Építőanyagok (Szemcsés anyagok szemcseméretének jellemzése) 6 . A minta szemcseméretének statisztikai jellemzői a következők: m = 2,000 kg tömege: x = 6,1125 mm átlagos szemnagysága (5,6): empirikus szórása (8): σ = 3,3438 mm fajlagos felülete (ρ = 2700 kg⋅m–3 testsűrűséggel és k = 1,4 alaktényezővel a f = 1,0004 m2⋅kg–1 számolva): Ha az anyagot 4 m m elválasztási határú szitán tökéletesen szétválasztjuk, akkor az altermékre (homok) a 0 mm, az 1 mm és a 2 mm, a felső termékre (kavics) a 4 mm, a 6 mm, a 8 mm és

a 12 mm lyukméretű szitán levő frakciókkal számolhatunk. Így az altermék jellemzői: m A = 0,600 kg • tömege: • átlagos szemnagysága (5,6): x A = 1,5983 mm • • • • • • empirikus szórása (8): fajlagos felülete (ρ = 2700 kg⋅m–3 testsűrűséggel és k = 1,4 alaktényezővel számolva): a felső termék jellemzői: • tömege: • átlagos szemnagysága (5,6): • • empirikus szórása (8): fajlagos felülete (ρ = 2700 kg⋅m–3 testsűrűséggel és k = 1,4 alaktényezővel számolva): szemelo1.doc, 2020110407du 5:38 σ A = 0,9456 mm a fA = 2,3333 m2⋅kg–1 m F = 1,400 kg x F = 7,8929 mm σ F = 2,2415 mm a fF = 0,5231 m2⋅kg–1