Control engineering | Higher education » Dinamikus rendszerek

20 Lantos: Szabályozástechnika gyakorlatok II. Dinamikus rendszerek A mérnöki és informatikusi munka számos területén találkozunk dinamikus rendszerekkel. Dinamikus modellel írhatók le a rendszertechnikában fontos szerepet játszó technológiai folyamatok, az erőművi energiatermelő rendszerek, a robotok, járművek, repülők, rakéták, a radartechnikában az antenna mozgató rendszerek. Az adatsűrűség és adatbiztonság növelése érdekében fontos szerephez jut a számítástechnikában a winchesterek sávra pozícionálásában a winchester dinamikus modelljének ismerete. Számos fontos biológiai folyamat az emberi szervezetben az által ismerhető és érthető meg mélyebben, hogy megalkotjuk a biológiai folyamat dinamikus modelljét. A műszaki szakértői rendszerektől elvárt azon képesség, hogy előre megjósolható és értékelhető legyen egy rendszerbe való beavatkozás hatása anélkül, hogy a beavatkozást elvégeznénk a rendszeren,

szintén a rendszer dinamikus modelljének ismeretén alapul. A példaként felhozott rendszerek eltérő bonyolultságúak. A modellek megalkotásában segítségünkre vannak az alaptudományok (pl. a fizika Newton-Euler, Lagrange és Appell egyenletei, villamosságtan törvényei, a reakciókinetika törvényei a kémiában stb.) Sok esetben a rendszer dinamikus modelljét valamilyen rendszerosztály és struktúra méret esetén a rendszeren mért bemenõ és kimenõ jelek megfigyeléseibõl jelfeldolgozással (identifikációval) határozzuk meg. A modellalkotásra használhatjuk a rendszerelmélet klasszikus, matematikán alapuló (hard computing)módszereit és az újszerű fuzzy, neurális és genetikus algoritmusokon alapuló (soft computing) módszereket. A dinamikus rendszerek különböző szempontok szerint csoportosíthatók, így • matematikai modelljük alakja szerint (nemlineáris rendszerek, lineáris rendszerek), • a megfigyelésük lehetséges időpontjai

szerint (folytonosidejű /analóg/ rendszerek, diszkrétidejű /mintavételes/ rendszerek), • viselkedésük időbeli változása szerint (időben változó /időinvariáns/, autonóm / időinvariáns/ rendszerek). A különféle rendszerek más-más matematikai eszközökkel írhatók le. A rendszerek tulajdonságainak megismerése szempontjából kulcskérdés, hogy meg tudjuk itélni, hogyan válaszolnak ismert, tipikus bemenő jelek esetén. Ezek jelentősen segítik a szabályozási rendszerek tulajdonságainak megitélését és a rendszertervezést. A továbbiakban feltesszük, hogy a rendszer teljes előélete a τ időpillanatig (a bemeneten és a kimeneten megfigyelhető jelek hatása a rendszer viselkedésére) jellemezhető az x (τ ) állapottal bármilyen τ esetén. A rendszer bemenő és kimenő Dinamikus rendszerek 21 jelének értékét a t pillanatban értelemszerűen u(t ) és y (t ) jelöli, míg u(⋅) és y (⋅) jelöli a teljes megfigyelhető jelet. Σ

A dinamikus rendszer egy többkomponensű struktúra Σ = (T , X ,U , Ω , Y , Γ ,ϕ , g ), amely a következő feltételeknek tesz eleget: (a) T az időpontok halmaza, X az állapotok halmaza, U a bemenet értékeinek halmaza, Ω ⊂ {u : T U } a megengedett bemenő jelek halmaza, Y a kimenet értékeinek halmaza, Γ ⊂ { y : T Y } a lehetséges kimenő jelek halmaza, ϕ : T × T × X × Ω X az állapotátmenet függvény, g : T × X × U Y a kimeneti leképezés függvény. Ha a rendszer a τ pillanatban az x állapotban van és a bemenő jel u(⋅) , akkor az állapot és a kimenet a t pillanatban x (t ) = ϕ (t ,τ , x, u(⋅)) és y (t ) = g (t , x (t ), u(t ) . (b) T rendezett halmaz, tipikusan [a , b], R 1 , { 0,T,2T,3T, .} (c) Ω nem triviális és zárt a konkatenációra. Ez azt jelenti, hogy ha u[t1 ,t2 ) jelöli u(⋅) megszorítását a [t , t ) ∩ T halmazon, akkor ∀u(⋅), u~(⋅) ∈ Ω és 1 t1 < t 2 < t 3 , t1 ,t 2 ,t 3 ∈ T 2 ∃ û(⋅)

∈ Ω , esetén hogy uˆ [t1 ,t2 ) = u[t1 ,t2 ) uˆ [t2 ,t3 ) = u[t2 ,t3 ) , azaz jelek szegmensei egymás után illeszthetők. (d) ϕ időben irányított, konzisztens, kompozíciós tulajdonságú és kauzális: (1) irányítottság: ϕ definiált minden t ≥ τ esetén, (2) konzisztencia: x = ϕ ( t, t , x, u(⋅)) , (3) kompozíciós tulajdonság: t1 < t 2 < t 3 , t1 , t 2 , t3 ∈ T ϕ (t3 , t1 x, u(⋅)) = ϕ (t 3 , t 2 ,ϕ (t 2 , t1 , x , u(⋅)), u(⋅)) , (4) kauzalitás: u(⋅), u~(⋅) ∈ Ω és u[τ ,t ) = u~[τ ,t ) ϕ ( t,τ , x, u(⋅)) = ϕ (t ,τ , x, u~(⋅)) . Þ Þ (d) y (t ) = g (t , x (t ), u(t ). u~() ⋅ u() ⋅ t1 t2 t3 és 22 Lantos: Szabályozástechnika gyakorlatok Időinvariáns (autonóm) rendszer: (a) T zárt az összeadásra, u~(⋅) = u(⋅ + σ ) ∈ Ω , ahol (b) Ω zárt az eltolásra, azaz ∀σ ∈ T esetén u(⋅) ∈ Ω u~(t ) = u(t + σ ) , (c) ϕ (t ,τ , x , u(⋅)) = ϕ (t + σ ,τ + σ , x , u(⋅ + σ )),

(d) g : X × U Y független az időtől, azaz y (t ) = g ( x (t ), u(t )). Þ Folytonos- és diszkrétidejű rendszerek: Folytonosidejű rendszer: T intervallum, tipikusan [a , b] vagy R1 . Diszkrétidejű rendszer: T valós számsorozat, tipikusan { 0,T,2T,3T, } , ahol T a mintavételi idő. Végesdimenziós, végesállapotú és véges rendszerek: Végesdimenziós rendszer: X végesdimenziós lineáris tér, tipikusan X = R n . Végesállapotú rendszer: X véges halmaz. Véges rendszer: időinvariáns (autonóm), diszkrétidejű és X ,U ,Y véges halmazok. Lineáris rendszer: (a) X ,U ,Y ,Ω ,Γ lineáris terek, leképezés, amely két részből áll: (b) ϕ ( t ,τ , ⋅ , ⋅) : X × Ω X lineáris x (t ) = ϕ ( t,τ , x, u(⋅)) = Φ (t ,τ ) x + Θ (t ,τ )u(⋅), a kezdeti feltétel hatásából és a bemenő jel hatásából. A második tag egy operátor: Θ ( t ,τ ) : Ω X (c) g (t, ⋅ , ⋅) : X × U Y lineáris leképezés, y (t ) = C (t ) x (t ) + D(t )u(t ) .

Sima rendszer: (a) X ,U ,Y ,Ω ,Γ el vannak látva topológiával, például lineáris normált terek, T intervallum. Lehet például Ω = D[a, b] az [a , b] intervallumon szakaszosan folytonos függvények tere, ahol a norma definíciója u(⋅) = sup u( t ) + sup u(t + 0) − u( t − 0) . Hasonlóan látható el normával t∈[ a ,b ] t∈[ a ,b ] D1[a, b] , a szakaszosan folytonosan differenciálható függvények tere. (b) τ , x, u(⋅) x (⋅) = ϕ (⋅ ,τ , x, u(⋅)) folytonos lépezés. = Következmény: Ha Σ sima rendszer, akkor ∃ f : T × X × U X folytonos függvény, hogy x (t ) = ϕ (t ,τ , x , u(⋅) majdnem mindenütt megoldása a következő kezdeti érték problémának: Dinamikus rendszerek 23 dx ( t ) = f (t , x ( t ), u(t )) , dt x (τ ) = x . u(t) x = f (t , x, u) . x s −1 I x y = g(t , x, u) y(t) Hacsak másként nem rendelkezünk, feltesszük, hogy x ∈ R n , u ∈ R r , y ∈ R m . Ha r = m = 1, akkor a rendszer

egybemenetű-egykimenetű vagy röviden egyváltozós (angolul single input-single output system, singlevariable system, röviden SISO), ellenkező esetben több bemenetű-több kimenetű vagy többváltozós rendszer (angolul multiple input-multiple output system, multivariable system, röviden MIMO). Sima lineáris rendszer: Mivel a rendszer lineáris és sima, és teljesülnek a kompozíciós, kauzálitási és konzisztencia feltételek, ezért ϕ (t ,τ , x , u(⋅)) = Φ (t ,τ ) x + Θ (t ,τ )u(⋅) Þ ϕ ( t + ∆t , t , x (t ), u[t ,t + ∆t ) ) − ϕ ( t , t , x (t ), u[t ,t + ∆t ) ) dx ( t ) = lim = dt ∆t ∆t 0 Φ ( t + ∆t , t ) − Φ ( t , t ) Θ ( t + ∆t , t ) − Θ ( t , t ) = lim x ( t ) + lim u[t ,t + ∆t ) ∆T ∆T ∆t 0 ∆t 0 Þ dx ( t ) = A( t ) x (t ) + B( t )u(t ), dt x (τ ) = x , y (t ) = C (t ) x (t ) + D(t )u(t ). D(t) u(t) B(t) . x s −1 I x C(t) y(t) A(t) Ha x ∈ R n , u ∈ R r , y ∈ R m , akkor A, B ,C , D rendre n × n , n

× r , m × n , m × r méretű mátrixok. Az idő szerinti deriváltat rendszerint ponttal fogjuk jelölni, pl 24 Lantos: Szabályozástechnika gyakorlatok dx ( t ) . A következőkben összefoglaljuk a fontosabb rendszerosztályok dt szabályozástechnikai szempontból lényeges tulajdonságait. x (t ) = II.1 Folytonosidejű nemlineáris rendszerek A folytonosidejű időben változó nemlineáris rendszer állapotegyenlete: x = f (t , x , u), y = g ( t, x, u ). Elsőként az állapottrajektóriának (az állapotegyenlet megoldásának) a számításával foglalkozunk. Az állapottrajektória számítása: Legyen ismert az x (t ) kezdeti állapot és az u0 ( t ) bemenő jel (gerjesztés), és keressük az állapotegyenlet x (t ) megoldását, akkor a matematikai probléma a dx ( t ) = f (t , x ( t ), u0 (t )) =: f ∗ ( t , x (t )) dt differenciálegyenlet megoldása, melyet néhány speciális esettől eltekintve legtöbbször csak numerikusan tudunk meghatározni.

Elindulunk az időtengely mentén a τ pontból, és növekvő t irányában valamilyen h lépésközönként keressük a megoldást. A jelölés egyszerűsítése érdekében f ∗ helyett egyszerűen álljon f , és tegyük fel, hogy a t n pontig már eljutottunk, és ott már meghatároztuk az x(t n ) megoldást, és a soronkövetkező feladat x (t n + h ) meghatározása. Három elterjedten használt, de eltérő pontosságú módszert mutatunk be az irodalomban rendelkezésre álló módszerek közül. x(t n ) x (t n + h ) = ? tn tn + h Taylor sor (másodrendű): A megoldást x (t ) másodrendű Taylor sorával közelítjük: Dinamikus rendszerek 25 h2 x ′′( tn ) = 2 h2 = x ( tn ) + hf ( tn , x (t n )) + { f x′ (t n , x ( tn ) ) ⋅ f (t n , x ( tn )) + f t′( tn , x (t n ))} . 2 Sajnos a magasabbrendű Taylor sorfejtéseket nehéz meghatározni, ezért Runge és Kutta olyan módszereket fejlesztettek ki, amelyek az n -edrendű Taylor sorfejtéstől x (t n + h )

≈ x ( tn ) + hx ′(t n ) + csak o( h n ) mértékben térnek el. Ezek közül kettőt mutatunk be Másodrendű Runge-Kutta módszer: A másodrendű Taylor sorfejtés o( h 2 ) pontosságú közelítését x (t n + h ) ≈ x (t n ) + h{a1 f (t n , x ( tn )) + a2 f ( tn + α h, x ( tn ) + β f (t n , x ( tn )))} alakban keressük, ahol az ismeretlenek a1 , a 2 , α , β . Az o( h n ) pontosság garantálása h 1 , β= . A maradék paraméter érdekében teljesülnie kell: a1 = 1 − a 2 , α = 2a 2 2a 2 választására két elterjedt megoldást emelünk ki: 1 Heun módosított trapéz algoritmus: a 2 = . 2 Módosított Euler-Cauchy algoritmus: a 2 = 1 . Negyedrendű Runge-Kutta módszer: A módszer lényege, hogy az x (t ) függvény megváltozását a deriváltak négy helyen (az intervallum baloldalán, kétszer az intervallum közepén és egyszer az intervallum jobboldalán) számított értékébõl becsüljük, és a negyedrendű Taylor sorfejtés o( h 4 ) pontosságú

közelítéséhez szükséges súlyokkal ezeket átlagolva számítjuk a megoldást az intervallum jobboldali végpontjában: k1 = hf ( t n , x (t n )), h 1 k 2 = hf ( tn + , x (t n ) + k1 ), 2 2 h 1 k 3 = hf ( t n + , x (t n ) + k 2 ), 2 2 k 4 = hf ( tn + h, x ( t n ) + k 3 ), 1 x (t n + h ) ≈ x (t n ) + ( k1 + k 2 + k 3 + k 4 ). 6 A számítást legtöbbször változó lépésközzel végezzük el. A cél a megoldás gyors meghatározása, ugyanakkor a megfelelő pontosság biztosítása. A következő lépésközváltási stratégia javasolható: • h lépésközzel meghatározzuk a durvább x(1) (t n + h) közelítő megoldást, 26 Lantos: Szabályozástechnika gyakorlatok h lépésközzel előre haladva meghatározzuk a pontosabb x( 2 ) (t n + h ) 2 közelítő megoldást, • kétszer • teszt: x( 2 ) (t n + h) − x(1) (t n + h ) < ε , ahol ε valamilyen előre megválasztott pontossági követelmény, h 2 • sikertelenség: folytatás az aktuális

intervallum baloldali végpontjától h := • lépésközzel, siker: folytatás h lépésközzel, de 5 × egymásutáni siker esetén h := 2h lépésköz növelés a megoldás meghatározásának gyorsítása érdekében. Többlépéses algoritmusok: A többlépéses algoritmusok ekvidisztáns lépésköz esetén alkalmazhatók: t n = τ + nh . Célszerű bevezetni az x n = x (t n ) jelölést. Az x n +1 megoldás közelítését a következő alakban keressük: x n +1 = å a x + åb hf (t k i =0 k i n −i i i = −1 n −i , x n −i ) . A cél az, hogy a megoldás polinom alakú x (t ) , azaz x (t ) = åc t m j j estén pontos j =0 legyen. A polinom alakban feltettük, hogy elvégeztük a futó idő normalizálását, azaz ., t n−1 , t n , t n+1 időpontoknak rendre a normalizált ,−1,0,1 időpontok felelnek meg Deriválás és a polinomok együtthatóinak összehasonlítása után a következő feltételek adódnak: å a (−i) + å b j(−i) 1 = åa 1= k

i =0 j i k i = −1 i j −1 , j ∈ [1, m ], k i =0 i A pontosságot m és k értékével lehet befolyásolni. A gyakorlatban különösen a következő módszerek terjedtek el: • Adams-Bashforth módszer: k = m − 1, a1 = ⋅ ⋅ ⋅ = a k == 0, b−1 = 0 . • Adams-Moulton módszer: k = m − 2, a1 = ⋅ ⋅ ⋅ = a k == 0, b−1 ≠ 0 . • Prediktor-korrektor módszer: Egy első Adams-Bashforth (prediktor) lépéssel könnyen meghatározható x n +1 becslése, mivel b−1 = 0 miatt x n +1 nem szerepel az egyenletrendszer jobboldalán. Ezután ciklikusan az utolsó x n +1 alkalmazható a megfelelő számú Adams-Moulton (korrektor) lépésben az egyenletrendszer jobboldalán, fokozatosan finomítva a megoldást. Dinamikus rendszerek 27 Nemlineáris rendszer perturbációja és linearizálása: A nemlineáris rendszert ( Σ ) tekinthetjük valamilyen összetartozó x0 (t ), u0 (t ), y 0 (t ) névleges állapottrajektória, bemenő jel és kimenő jel

környezetében a (nem ∆x (t ), ∆u(t ), ∆y (t ) változásokra. Akkor szükségképpen kicsi) x = x 0 + ∆x , u = u0 + ∆u , y = y 0 + ∆y miatt x0 = f (t , x 0 , u0 ), y 0 = g ( t, x 0 , u0 ), x 0 + ∆x = f (t , x 0 + ∆x, u0 + ∆u ), y 0 + ∆y == g (t , x 0 + ∆x, u0 + ∆u ), ezért továbbra is egy nemlineáris rendszerhez jutunk ( ∆Σ ), amely azonban már a névleges értékek környezetében változik (perturbál). ∆Σ perturbált rendszer: ∆x = f (t , x 0 + ∆x, u0 + ∆u ) − f (t, x 0 , u0 ) =: f ∗ ( t, ∆x, ∆u), ∆y = g (t, x 0 + ∆x, u0 + ∆u ) − g (t, x 0 , u0 ) =: g ∗ (t , ∆x , ∆u ). Ha a változások kicsik, és a függvények megváltozásai a deriváltakkal jól közelíthetők, akkor kis δ x , δu , δy változások esetén a δΣ linearizált rendszerhez jutunk. δΣ linearizált rendszer kis perturbációkra: δ x = f x′ (t , x0 , u0 )δ x + f u′ ( t , x 0 , u0 )δ u =: A(t )δ x + B( t )δ u, δ y = g ′x ( t, x 0

, u0 )δ x + g u′ ( t, x 0 , u0 )δ u =: C ( t )δ x + D (t )δ u. Ha a dinamikus rendszer egy szabályozott folyamat modellje és a szabályozás pontossága jó, akkor a linearizált modell jól írja le a rendszert irányítás közben. Ha a nemlineáris rendszer időinvariáns, azaz x = f ( x, u ), y = g ( x, u ), akkor • δΣ időben változó lineáris rendszer, ha x0 (t ), u0 (t ), y 0 (t ) valódi időfüggvények (pl. követő szabályozás esetén), és ekkor a linearizált modellben szerplő A(t ), B(t ), C (t ), D(t ) mátrixok időfüggőek, • δΣ időinvariáns (autonóm) lineáris rendszer, ha x 0 , u0 , y 0 konstans munkaponti adatok (pl. értéktartó szabályozás esetén), és ekkor a linearizált modellben szereplő A, B ,C , D mátrixok is konstansok. 28 Lantos: Szabályozástechnika gyakorlatok Az A, B ,C , D mátrixok rendre a megfelelő függvények Jacobi-mátrixai: A = f x′ ( t , x 0 , u0 ) = L ∂∂xf M L ∂Mf L ∂x é ∂f 1 ê ∂x ê

1 ê ∂f ê n ê ∂x1 ë 1 ù ú n ú ú, n ú nú û , D = g u′ (t , x0 , u0 ) = L ∂∂ug M L ∂gM L ∂u é ∂g1 ê ∂u 1 ê ê ∂g ê m ê ∂u1 ë 1 ù ú ú ú. mú r ú û r II.2 Folytonosidejű időben változó lineáris rendszerek A folytonosidejű időben változó lineáris rendszer állapotegyenlete: x = A(t ) x + B( t )u, y = C ( t ) x + D ( t ) u. D(t) u(t) B(t) . x s −1 I x C(t) y(t) A(t) Az állapotegyenlet megoldása a Φ (t ,τ ) alapmátrix segítségével határozható meg, amely egy mátrix differenciálegyenlet megoldása. Az alapmátrix tulajdonságai: (a) Φ (t ,τ ) megoldása a dΦ ( t ,τ ) = A( t )Φ (t ,τ ) dt Φ (τ ,τ ) = I mátrix differenciálegyenletnek, ahol a kezdeti feltétel az I egységmátrix. Φ (t ,τ ) szoros kapcsolatban áll az állapotegyenlet megoldásával, hiszen nulla bemenő jel esetén x (t ) = ϕ ( t,τ , x,0(⋅)) = Φ (t ,τ ) x , ahonnan deriválással dx ( t ) dΦ (t ,τ ) x = A(t )Φ ( t ,τ ) x =

A( t ) x( t ), = dt dt x = Φ (τ ,τ ) x = Ix = x, és mivel rendkívül általános feltételek teljesülése esetén az állapotegyenletnek pontosan egy megoldása létezik, ezért x (t ) = Φ (t ,τ ) x az egyetlen megoldás. Dinamikus rendszerek 29 (b) Mivel a kezdetiérték probléma lokálisan mindkét irányban egyértelműen megoldható, ezért a kompozíciós tulajdonsággal is összhangban Φ ( t ,τ )Φ (τ ,ϑ ) = Φ ( t ,ϑ ), Φ ( t ,τ )Φ (τ , t ) = Φ ( t , t ) = I . τ ϑ t ϑ τ t (c) Φ −1 ( t ,τ ) = Φ (τ , t ). dΦ T ( t,τ ) = Φ T ( t ,τ ) AT (t ), Φ T (τ ,τ ) = I . dt dΦ ( t ,τ ) (e) = −Φ (t ,τ ) A(τ ), Φ ( t , t ) = I , ugyanis (b) szerint dτ Φ ( t ,τ ) dΦ (τ , t ) Φ ( t ,τ ) =0= Φ (τ , t ) + Φ (t ,τ ) Φ (τ , t ) + Φ ( t ,τ ) A(τ )Φ (τ , t ) dτ dτ dτ Φ ( t ,τ ) Φ ( t ,τ ) + Φ (t ,τ ) A(τ ) = 0. Φ (τ , t )Φ −1 (τ , t ) + Φ (t ,τ ) A(τ ) = dτ dτ (d) Þ Az állapotegyenlet megoldása: t x

(t ) = Φ (t ,τ ) x + ò Φ (t ,ϑ ) B(ϑ )u(ϑ )dϑ , τ Erről deriválással és az állapotegyenletbe visszahelyettesítéssel győződhetünk meg, ismét hivatkozva a megoldás egyértelműségére: 30 Lantos: Szabályozástechnika gyakorlatok dΦ ( t ,ϑ ) dx ( t ) dΦ ( t,τ ) = B (ϑ )u(ϑ )dϑ + Φ (t , t ) B (t )u( t ) = x+ò dt dt dt τ t t = A(t )Φ ( t ,τ ) x + ò A( t )Φ (t ,ϑ )B (ϑ )u(ϑ )dϑ + B (t )u( t ) = τ t = A(t ){Φ ( t,τ ) x + ò A(t )Φ ( t ,ϑ )B(ϑ )u(ϑ )dϑ } + B( t )u(t ) = τ = A(t ) x (t ) + B (t )u(t ). A megoldás (b) felhasználásával a következő alakban is felírható: t x (t ) = Φ (t ,τ ){x + ò Φ (τ ,ϑ ) B(ϑ )u(ϑ ) dϑ }. τ II.3 Folytonosidejű időinvariáns lineáris rendszerek A folytonosidejű időinvariáns lineáris rendszer állapotegyenlete: x = Ax + Bu y = Cx + Du D u(t) B . x s −1 I x C y(t) A A Φ (t ,τ ) alapmátrix az exponenciális mátrixból számítható: Φ ( t ,τ ) = e A( t −τ ) .

Az exponenciális mátrix definíciója: ∞ An t n e At := . n = 0 n! å Az alapmátrix és az exponenciális mátrix egyenlőségéről úgy győződhetünk meg, hogy megmutatjuk, hogy az exponenciális mátrix kielégíti az alapmátrix differenciálegyenletét: ∞ ∞ dΦ (t ,τ ) d A(t −τ ) ∞ An n(t − τ ) n −1 An −1 (t − τ ) n −1 Ai ( t − τ ) i = e = =A =A = dt dt n! ( n − 1)! i! n =1 n =1 i =0 = AΦ (t ,τ ). Az állapotegyenlet megodása: å å å Dinamikus rendszerek 31 t t τ τ x (t ) = e A( t −τ ) x + ò e A( t −ϑ ) Bu(ϑ ) dϑ =e A( t −τ ) {x + ò e A(τ −ϑ ) Bu(ϑ )dϑ }. Az átviteli függvény és kapcsolata az exponenciális mátriksszal: Az időinvariáns lineáris rendszer átviteli függvényét nulla kezdeti feltétel mellett Laplace-transzformációval határozzuk meg: x = Ax + Bu, x ( 0) = 0, y = Cx + Du sX ( s ) = AX ( s ) + BU ( s) −1 Þ Þ X (s) = ( sI − A) −1 BU ( s ) Þ Y ( s ) = {C ( sI − A) B

+ D}U ( s) =: W ( sU ( s ), ahol W ( s ) = C ( sI − A) −1 B + D az átviteli függvény mátrix. A j -ik bemenetről az i -ik kimenet felé a kapcsolatot Wi , j ( s ) teremti meg: Yi ( s ) = Wi , j ( s )U j ( s ). Következmény: ( sI − A) −1 = L{e At } , ahol L a Laplace-transzformáció operátora. Ezt úgy láthatjuk be, hogy az exponenciális mátrix sorfejtését Laplacetranszformáljuk: ∞ ∞ An t n 1 1∞ A n 1 L{e At } = L{ An n +1 = }= ( ) = ( sI − A) −1 . n s s ! s n =0 n =0 n =0 s å å å A < 1 bitosítható, ezért a sorfejtés a s Felhasználtuk, hogy elég nagy s esetén geometriai sorhoz hasonlóan konvergens. Többváltozós rendszer stabilitása, pólusai, sajátértékei: Mivel adj( sI − A) ( sI − A) −1 = , det( sI − A) ezért az időinvariáns lineáris rendszer stabilitása szorosan összefügg a det( sI − A) = 0 Þ s megoldás Þ Re s < 0 i i feltétellel. Ha ugyanis az si megoldás multiplicitása mi , akkor az

exponenciális mátrix elemeinek valamelyikében szerepel t mi −1 e sit , és ezért a kezdeti feltétel lecsengésének és/vagy korlátos bemenet esetén a kimenet korlátosságának feltétele Re si < 0 . Vegyük észre, hogy • W (s ) az si helyen végtelenné válik (az egyes elemek nevezője nulla), ezért si az átviteli függvény mátrix pólusa, 32 Lantos: Szabályozástechnika gyakorlatok • si az A állapotmátrix sajátértéke. Ezért az időinvariáns lineáris rendszer stabil, ha W (s ) pólusai és A sajátértékei negatív valósrészűek: Re si < 0 . Ismeretes, hogy az n × n méretű A mátrix si sajátértéke és x i ∈ R n sajátvektora a következő feltételeknek tesz eleget: Axi = si xi ⇔ ( si I − A) xi = 0, ϕ ( si ) = det( si I − A) = 0. Mivel A kvadratikus, ezért behelyettesíthető a ϕ ( s ) = det( sI − A) karakterisztikus polinomba, továbbá érvényes rá a Cayley-Hamilton tétel: ϕ ( A) = 0. A W ( s ) átviteli

függvényben szereplő determináns és adjungált mátrix a LeverrierFaddajeva képlettel is meghatározható. Leverrier-Faddajeva képlet: Jelölés: det( sI − A) := s n − q1 s n −1 − adj ( sI − A) = s Algoritmus: R0 := I , n −1 Ri := ARi −1 I +s n −2 K− q s − q , R + K + sR + R n −1 n n −2 1 n −1 . ü ï 1 ï qi := Trace Ri ý (i = 1, , n; Rn = 0). i ï Ri := Ri − qi I ï þ Átviteli függvény mátrix: s n −1CB + s n −2 CR1 B + + sCRn −2 B + CRn −1 B . W ( s) = s n − q1 s n −1 − − qn −1 s − qn A képletben Trace a mátrix nyomát (a főátlóban lévő elemek összegét) jelöli. K K K Többváltozós rendszer zérushelyei: u1 y1 uj yi ur ym W1 j Wij Wmj Dinamikus rendszerek 33 Egy SISO rendszer si zérushelyei ott vannak, ahol a (SISO esetben skalár) átviteli függvény számlálója nullává válik, ami ekvivalens azzal, hogy W ( si ) = 0 és Y ( si ) = 0 . Ez a felismerés lehetőséget ad az átviteli

függvény zérus helyének általánosítására MIMO rendszer esetén, ugyanis az állapotegyenlet Laplacetranszformáltjának rendezése után: é sI − A − B ù é X ( s )ù é0ù Y (s) = 0 Þ ê = . D úû êëU ( s ) úû êë0úû ë C Innen következik, hogy az si zérushelynek ki kell elégítenie a rank ésI − ê ë C A − Bù D ú û < min( n + m, n + r ) feltételt, ahol rank jelöli a mátrix rangját. Ha ezen túlmenően m = r , azaz a bemenetek és a kimenetek száma megegyezik, akkor a mátrix kvadratikus, és a rangfeltétel helyettesíthető egy determináns-feltétellel: æ sI − A − B ö det çç ÷ = 0. D ÷ø è C Ha s0 egy ilyen zérushely, akkor ∃ x 0 ∈ R n , u0 ∈ R r , hogy x (0) = x 0 és u(t ) = u0 e s0t esetén x (t ) = x 0 e s0t , y ( t ) ≡ 0. Ekkor ugyanis megoldató az é s0 I − ê ë C homogén egyenlet, és az A − B ùæ x 0 ö x 0 , u0 , s0 D úçç ÷÷ ûè u 0 ø æ0ö ÷÷ è0ø = çç értékek mellett

kereshető az x (t ) állapottrajektória x 0 kezdeti feltétel és u0 e s0t bemenőjel mellett: x = Ax + Bu0 e s0t , x ( 0) = x 0 . Laplace-transzformálva és felhasználva, hogy egyenletnek, kapjuk hogy x 0 , u0 megoldása a homogén 34 Lantos: Szabályozástechnika gyakorlatok sX − x 0 = AX + B ( sI − A) X = u0 s − s0 ( sI − A) x 0 s − s0 Þ ( sI − A) X = x + B s −u s + s −1s Þ X = s −x s Þ x(t) = x e Þ {( s0 I − A) x 0 − Bu0 } 0 0 0 0 0 0 Þ s0t 0 y (t ) = Cx 0 e s0t + Du0 e s0t = {Cx 0 + Du0 }e s0t ≡ 0. Koordinátatranszformáció hatása: A lineáris rendszer végtelen sokféleképpen jellemezhető állapotegyenlettel, hiszen állapotváltozóin tetszőleges ~ x = Tx ( T nemzinguláris n × n méretű mátrix) koordinátatranszformációt hajthatunk végre. Mivel x = T −1 ~ x , ezért ~ dx~ dx ~ =T = T ( Ax + Bu) = TAT −1 ~ x + TBu =: A~ x + Bu, dt dt ~ ~ y = Cx + Du = CT −1 ~ x + Du =: Cx~ + Du, ahol ~ ~ ~ x = A~ x +

Bu, ~ ~ y = C~ x + Du , ~ ~ ~ ~ A = TAT −1 , B = TB, C = CT −1 , D = D. Az átviteli függvény, apólusok és zérusok invarianciája koordinátatranszformációra: 1 Ismert, hogy ( AB) −1 = B −1 A −1 , det( AB) = det( A) det( B) és det( A−1 ) = , ezért det( A) az invarianciák algebrai átalakításokkal beláthatók: CT −1 ( sI − TAT −1 ) −1 TB + D = CT −1 {T ( sI − A)T −1 }−1 TB + D = CT −1T ( si − A) −1 T −1TB + D = = C ( sI − A) −1 B + D, det( sI − TAT −1 ) = det{T ( sI − A)T −1 } = det( T ) det( sI − A) det( T −1 ) = det( sI − A), æ sI rank çç è − TAT −1 CT æ éT = rank ç ê ç 0 èë − TB ö −1 D ÷ ÷ ø æ T ( sI = rank çç è 0ù é sI − A − B ù éT −1 I úû êë C D úê ûë 0 − A)T −1 CT −1 − TB ö D ÷ ÷ ø = æ sI − A − B ö 0ù ö÷ ÷. ú ÷ = rank ç ç C D ÷ø I ûø è Dinamikus rendszerek 35 II.4 Diszkrétidejű nemlineáris rendszerek L L

Feltesszük, hogy a diszkrétidejű rendszert a T = { , t −2 , t −1 , t 0 , t1 , t 2 } időpontokban figyelhetjük meg. Mivel [ti , ti +1 ) ∩ T csak a ti időpontot tartalmazza, így u[ti ,ti +1 ) = u(t i ) , ezért a következő állapotegyenletet kapjuk: x (t i +1 ) = ϕ (t i +1 , ti , x ( ti ), u( ti )), y (ti ) = g ( ti , x ( ti ), u( ti )). Az állapotegyenletet növekvő t irányában rekurzívan megoldhatjuk, a megoldás az állapottrajektória. II.5 Diszkrétidejű időben változó lineáris rendszerek L Ha a diszkrétidejű időben változó lineáris rendszert a T = { , t −2 , t −1 , t 0 , t1 , t 2 időpontokban figyelhetjük meg, akkor ti ≤ t k esetén x (t k ) = ϕ (t k , ti , x (t i ), u[ ti ,tk ) ) = Φ ( t k , t i ) x ( ti ) + Θ ( t k , t i )u[ ti ,tk ) . L} Speciálisan t k , ti +1 esetén x (t i +1 ) = Φ ( ti +1 , ti ) x (ti ) + Θ (t i +1 , t i )u( ti ), y (ti ) = C ( ti ) x( ti ) + D ( ti )u( ti ), ahonnan következik x(t i + 2 ) = Φ (t i + 2 , t

i +1 )Φ ( ti +1 , ti ) x (ti ) + Φ (ti +2 , ti +1 )Θ (t i +1 , ti )u( ti ) + Θ ( ti + 2 , ti +1 )u(ti +1 ), x (ti +3 ) = Φ (t i +3 , ti +2 )Φ ( ti +2 , ti +1 )Φ ( ti +1 , ti ) x ( ti ) + Φ (ti +3 , ti + 2 )Φ (ti + 2 , ti +1 )Θ ( ti +1 , ti )u(ti ) + + Φ ( ti +3 , ti +2 )Θ ( ti +2 , ti +1 )u( ti +1 ) + Θ (ti + 3 , ti +2 )u (ti + 2 ). Látható, hogy az előretartó rekurzív összefüggéshez célszerű bevezetni a Φ (t k , ti ) = Φ (t k , t k −1 )Φ (t k −1 , t k − 2 ) Φ (ti +1 , ti ), Φ ( ti , ti ) = I jelöléseket (az utóbbi a konzisztencia feltétel megfelelője), amellyel az állapotegyenlet megoldása zárt alakban is megadható. L Az állapotegyenlet megoldása: x (t k ) = Φ (t k , t i ) x ( t i ) + Mi mondható azonban tk < ti åΦ (t , t tk −1 t j =ti k j +1 )Θ ( t j +1 , t j )u (t j ). esetén? x (ti ) = Φ (ti , ti −1 ) x ( ti −1 ) + Θ (ti , ti −1 )u(ti −1 ), ahonnan Speciálisan ha x (ti −1 ) = Φ −1 ( ti , ti −1 )

x ( ti ) − Φ −1 ( ti , ti −1 )Θ (ti , ti −1 )u( ti −1 ) . Reverzibilis rendszer: t k = t i −1 esetén ∃ Φ −1 ( ti , ti −1 ) kifejezhető 36 Lantos: Szabályozástechnika gyakorlatok Þ trajektória visszafelé is folytatható < t : Φ ( t , t ) = Φ ( t , t ) = {Φ ( t , t )Φ ( t , t ) LΦ ( t , t )} Þ Φ (t , t ) = Φ ( t , t ) LΦ (t , t )Φ (t , t ). ∃ Φ −1 ( ti +1 , ti ) tk −1 i k i i −1 −1 i k k i k +1 i −1 −1 k i −1 i −1 i −2 i−2 k +1 −1 i −1 k i −1 Vegyük eszre, hogy míg folytonosidejű rendszerek esetén az állapottrajektoria lokálisan mindkét irányban meghatározható, mert ez a differenciálegyenletek tulajdonságából közvetlenül következik, addig diszkrétidejű rendszerek esetén az állapottrajektória csökkenő idő irányában csak reverzibilis rendszereknél határozható meg, ezért az elméleti vizsgálatoknál (pl. irányíthatóság, megfigyelhetőség) oly fontos

Φ (ti , t k )Φ (t k , ti ) = I (csoport) tulajdonság diszkrét időben csak reverzibilis rendszereknél áll fenn. II.6 Diszkrétidejű időinvariáns lineáris rendszerek Diszkrétidejű időinvariáns (autonóm) lineáris rendszer esetén az eltolási tulajdonság miatt csak T = { ,-2T,-T,0T,T,2T, } megengedett, T a mintavételi idõ. Bevezetve az A = Φ (ti +1 , ti ) és B = Θ (t i+1 , ti ) jelöléseket, az állapotegyenlet következő lesz: x ([i + 1]T ) = Ax(iT ) + Bu(iT ), y (iT ) = Cx (iT ) + Du(iT ). L L Az állapotegyenlet megoldása: x ( kT ) = Ak −i x (iT ) + åA k −1 k −( j +1) Bu( jT ). j =i A rendszer reverzibilis, ha ∃ A−1 , ami ekvivalens azzal, hogy z i = 0 nem sajátértéke az A mátrixnak. A diszkrétidejű átviteli függvényt Z-transzformációval kapjuk nulla kezdeti feltétel esetén: zX ( z ) = AX ( z ) + BU ( z ) X ( z ) = ( zI − A) −1U ( z ) Þ −1 Þ Y ( z ) = CX ( z ) + DU ( z ) = {C ( zI − A) B + D}U ( z ).

Diszkrétidejű átviteli függvény: D ( z ) = C ( zI − A) −1 B + D. Algebrai hasonlóság: A folytonosidejű x = Ax + Bu, y = Cx + Du, W ( s) = C ( sI − A) −1 B + D rendszer az átviteli függvények hasolósága miatt algebrailag hasonló a diszkrétidejű Dinamikus rendszerek 37 xi +1 = Axi + Bui , y i = Cxi + Dui , D ( z ) = C ( zI − A) −1 B + D rendszerhez, ezért a diszkrétidejű rendszer sajátértékeit, pólusait és MIMO zérusait ugyanolyan algebrai feltételekből lehet meghatározni, mint a folytonosidejű esetben (csak z áll s helyett). A koordinátatranszformáció hatása is hasonlóan vehető figyelembe. A stabilitási tartomány azonban diszkrét időben az egységkör belseje lesz. Stabilitás: Tekintsük Ak Z-transzformáltját: Z { Ak } = I + Az −1 + Az −2 + Z { Ak } = L = ( I − Az −1 −1 ) = z ( zI − A) −1 z adj( zI − A) é β ij ù =ê . ú det( zI − A) ëϕ ( z ) û n×n Þ Tekintsük az utóbbi mátrix egy

elemét: r bi , − ri bi , −1 β (z) β ( z) { } = = + + m1 mr ri ϕ ( z ) ( z − z1 ) z − zi (z − zr ) i =1 ( z − z i ) Alkalmazzuk az inverz Z-transzformált képletét és a reziduum tételt a kifejezés egy általános tagjára: 1 Z { f n } =: F ( z ) fn = F ( z ) z n −1dz, 2πj Cò L å L Þ 0 F (z) = åc (z − z ) , ∞ n n i n=−m c −1 =: Res zi 1 d m−1 = lim m −1 {( z − zi ) m F ( z )}, ( m − 1)! z zi dz ò F ( z )dz = 2πj å Res z i F ( z ), C 1 z n −1 f n , k ( z − zi ) c −1 = = Ugyanis ha d k −1 n −1 1 1 z = ( n − 1) k −1 ( k − 1)! dz ( k − 1)! L(n − 1 − k + 1)z ( n − 1) ( n − k ) n −k zi 0, ha ( k − 1)! z i < 1. L z i < 1 , akkor ∃ σ i > 0 , hogy következik, hogy z i = e −σ i Þz n i n −1− k +1 = zi = e −σ in , amiből 38 Lantos: Szabályozástechnika gyakorlatok n k e −σ i n e σ ik ~ n k e −σ i n 0 exponenciálisan. ( k − 1)! Innnen következik,

hogy An 0 exponenciálisan, ami biztosítja a diszkrétidejű időinvariáns rendszer stabilitását, mert ekkor a kezdeti feltételek hatása lecseng, és korlátos bemenet hatására a kimenet korlátos lesz. A diszkrétidejű rendszer stabil, ha az A mátrix z i sajátértékeire, azaz c −1 ≤ a D( z ) diszkrétidejű átviteli függvény z i pólusaira teljesül z i < 1