Mathematics | Higher education » Gulacsi Tamás - Általános szummációs tételek

Általános szummá iós módszerek Szakdolgozat Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 2004. már ius 16 Általános szummá iós módszerek Tartalomjegyzék 1. Bevezetés, alapfogalmak i 1.ii 1.iii 1. 1 Bevezetés . 1 ω, 2 a sorozatok tere . Végtelen mátrixok . 3 . 3 . 5 . 5 iii.1 c0 − c0 mátrix-transzformá ió, mint általános lineáris leképezés 1.iii2 Mátrix-transzformá iók  tetsz®leges sorozatterek között 1.iv Tipikus szummá iós problémák . 1.iv1 A sorozattereket érint® néhány tipikus probléma [Ru 81℄ ℓ2 leképezés [Ru 81℄ . 1.v Érdekesség: ℓ2 − 1. . 5 . 6 2. Egyszer¶bb sorozatterek és duálisaik [Wil78℄ 2.i ℓp , ℓ∗p (p≥1) . 7 ii 2.iii 2.iv 2.v 2.vi ℓ∞ ,

ℓ∗∞ c, c∗ . c0 , c∗0 . 2. . 9 . 10 3. Az általam kidolgozott módszer i 3.ii El®készületek i 4.ii 4.iii 4.iv 4.v 4.vi 4.vii 4.viii 4.ix 4.x 4.xi i i 12 A módszer helyességének igazolása . 13 15 Abel-szummá ió . Riemann-szummá ió Toeplitz eredménye Poisson-szummá ió . c − c (C, α) ii 15 15 mátrixokra . 17 . 18 Egyszer¶, de általános szummá ió [DS88℄ . 18 . 19 Nörlundszummá ió . 20 Hölder-szummá ió . 21 Euler-szummá ió . 21 Borel mátrix . 22 Fourier-sorok által inspirált eljárások [Har49℄ .

22 Cesàro 23 A módszerem általánosítása 5. 1 5. 11 12 5. Általánosítások 5. 10 . 4. A módszer alkalmazásai 4. 9 . ∗ . bv, bv ∗ s, s . 3. 8 . 23 A 4.12 lemma néhány realizá iója 24 Egy messzemen® általánosítás . 25 Hivatkozások 26 A. Alapfogalmak, jelölések: 27 2004. már ius 16 Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 1. oldal Kivonat A szummá iós módszerek lényege, hogy sor(ozat)hoz másik sor(ozato)t rendeljünk úgy, hogy a konvergen iát (ha volt) ne rontsuk el, de esetleg nem konvergens sor(ozat)okat is konvergensbe képezzünk. Ez utóbbiak a számunkra  érdekesek  ízelít®ül a módszerek sokféleségére álljon itt (C, 1), Riemann. P

an ϕn (t) alakú általános néhány nagyobb név: Abel, Cesàro Ezen dolgozatban bemutatok egy szummá iós módszert: ami ezen ré- gebbi és ismert szummá iós módszereket magában foglalja, s®t az összes mátrixon alapuló módszer felírható ilyen alakban. Igazolom a tétel egy általánosítását is, ami nem sz®leges sak a s sorozattéren lesz érvényes, hanem tet- (bizonyos feltételeknek eleget tev®) sorozattéren is. Természetesen ez nem a lehet® legáltalánosabb módszer, a dolgozat végén megemlítek egy sokkal messzebbre mutató általánosítást, melyre azonban szükséges és elegend® feltételek nem, példák állnak rendelkezésünkre. supán Általános szummá iós módszerek 1. Bevezetés, alapfogalmak 1.i Bevezetés A szummá iós módszerek lényege, hogy sor(ozat)hoz másik sor(ozat)ot rendeljünk úgy, hogy a konvergen iát (ha volt) ne rontsuk el, de esetleg nem konvergens sor(ozat)okat is konvergensbe képezzünk. Például

Euler a) ha b) Σ(−1)n−1 P∞ divergens sor összegének, mert P∞ n n n=0 (−1) , akkor 1 − x = 1 − n=0 (−1) P ∞ 1 1 n esetén F (t) := n=0 (−t) és F (1)= 2 . 1+t = x := |t|<1 1 2 -et rendelt a = x, A probléma magával az analízissel egyid®s. Kezdetben nem tudták pontosan deniálni a sorösszeget, így Cau hy el®tt gyakran hasonló ad ho módszerekkel próbálták megfogni a határértéket. P [[Gyö71℄℄ Adott A mátrix esetén ha egy Σxn sorra nézve az sn := nk=0 xk részP letösszegek t = A(s) transzformált sorozata (tn = ∞ k=0 A(n, k)·xn ) létezik és Cau hy-konvergens, akkor a Σxn sort az A (szummá iós) eljárásra nézve szummábilis sornak (röviden A-szummábilisnak) nevezzük. P Egy A eljárás permanens, ha A(s) = s. 1.1 Dení ió [Gam℄ Érdemes leszögezni, hogy a szummá iós módszerek nagy többségét nem supán azon absztrakt élból találták ki, hogy minden divergens sorhoz találjunk összeget, hanem hogy

bizonyos, éppen felmerült konkrét problémát megoldjanak. P∞ n Íme két példa: az f (z) = n=0 fn z hatványsor konvergáljon a 0 egy környezetében. f (z) sor MittagLeer kiinduló töröttvonallal. sillagja az a Df kiterjesztését. Ekkor Df Az z=0-ból Df -re való tartomány, melynek pontjaiba a sor folytatható ekkor összefügg® tartomány, jelölje F (z) az f (z) függvény ∞ X fn z n lim δ− +0 n=0 Γ(1+nδ) z∈Df -re és megegyezik F (z)-vel. A másik példa: Fejér tétele  bármely pontonként folytonos φ(x) 1 gezhet® a következ® aritmetikai középpel: 2 {φ(x+0) + φ(x−0)}. létezik minden függvény Fourier-sora össze- Ezen dolgozatban nem foglalkozom velük, de a szummá iós módszerek igen kiterjedt köre Σu sorra alkalmazott  n  X k s = lim 1− uk n n− ∞ foglalkozik improprius integrálokkal. Például a aritmetikai közép módszerét k=0 az R∞ a f (x) dx (a>0) formulát kapjuk 2004. már ius 16

integrál összegzésére alkalmazva az s = lim t− ∞ ([Mad80℄). Z t a 1− x f (x) dx t Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 1. oldal Általános szummá iós módszerek 1.ii ω , a sorozatok tere [℄Jelölje ω := {x : N − K} a számsorozatok vektorterét. Ezen a téren értelmezhetünk egy topológiát: legyen ez a leggyengébb olyan topológia, melyre a Pn : ω − K, Pn (x) := xn (koordináta) függvények folytonosak. Jelölje ezt a topológiát τω Fré het-tér: olyan lokálisan konvex vektortér, mely teljesen metrizálható (pszeudonormálható), azaz létezik rajta olyan pszeudonorma, hogy az általa generált topológiával a tér teljes és a topológia megegyezik a tér eredeti topológiájával. Legyen (H, τH ) topologikus vektortér. Egy (X, τX ) lokálisan konvex Fré het-teret FH-térnek mondnunk, ha X (algebrai) altere H -nak és τX ≥ τH ↾X , azaz az X − H természetes beágyazás folytonos. FK-tér:

FH-tér H=ω -val  azaz egy olyan sorozattér, mely lokálisan konvex Fré het-tér, és a koordinátafüggvények folytonosak. 1.2 Dení ió Mivel a τω topológia megegyezik a P := {pn : x 7 |xn |∈R+ } (ω, τω ) Fré het-tér. félnorma salád által generált lokálisan konvex vektortopológiával, ezért [[Wil84, 4.22℄℄ Legyen X egy Fré het-tér, Y egy FH-tér és f : X − Y lineáris leképezés. Ha f : X − H folytonos, akkor f : X − Y is folytonos 1.1 Lemma Bizonyítás. Megmutatjuk, hogy f gráfja zárt: f : X − (H, τH ) folytonos, így gráfja zárt; az f : X − (Y, τH ↾Y ) megszorítás gráfja is zárt. Tehát f zárt (X, τX )×(Y, τH ↾Y )-ban, így (X, τX )×(Y, τY )-ban is, hiszen τY ≥ τH ↾Y miatt ezen utóbbi szorzattérnek sak több zárt halmaza van. A Fré het-terekre vonatkozó folytonos [Wil78, 5-3-1℄) zárt gráf tétel (Fré het-terek közti zárt gráfú lineáris függvény QED f : X − Y folytonos. szerint

tehát [[Wil84, 4.24℄℄ Legyenek (X, τX ), (Y, τY ) FH-terek (ugyanazon H -ra), X⊂Y Akkor ≥ τY ↾X és pontosan akkor egyenl®k, ha X zárt részhalmaza Y -nak. 1.2 Állítás τX Bizonyítás. zárt Y -ban, Az 1.1 lemmát alkalmazva az akkor a Megfordítva, ha sorozatterek τX ≥ τY ↾X . miatt τX . beágyazásra kapjuk, hogy Ha τY ↾X topológiával FH tér lesz, ami az egyértelm¶ség τY ↾X = τX , X teljes, akkor zárt és részhalmaza Y -nak. A dolgozatban el®forduló sorozatterek teret teljessé tev®) X − Y ω -nak algebrai értelemben vett alterei, valamilyen X QED (a normával. Az 12 állítás szerint az indukált normatopológia egyértelm¶, ezek a (FK-terek is!) topológiai alterei ω -nak. Jelölje φ := {x∈ω : x a véges sak véges sok helyen nemnulla} = sp{δ n : n∈N} ⊂ ω (nite) sorozatok vektorterét  ez altere lesz minden, a következ®kben el®forduló sorozat- térnek. 2004. már ius 16 Készítette:

Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 2. oldal Általános szummá iós módszerek 1.iii Végtelen mátrixok N×N − K függvényt. Vigyük át a mátrix szorzás szabályát A mátrixot az x sorozattal mint oszlopvektorral szorozzuk: Ax P∞ legyen az a sorozat, melynek m-edik tagja n=0 A(m, n)·xn ha értelmes. Jelölje D(A) := {x∈ω : Ax értelmes}  a mátrixszorzás szabályaiból könnyen belátható, hogy ez a halmaz vektortér. Jelöljük szintén A-val az A : D(A) − s, x 7 Ax lineáris leképezést. Könnyen belátható, hogy minden A végtelen mátrixra {0} ∪ φ ⊂ D(A). Sejtés, hogy ez a Végtelen mátrixon értsünk egy végtelen mátrixok esetére is. Az legb®vebb halmaz, mely minden mátrix  értelmezési tartományában benne van. A szummá iós módszerekkel el®ször Cesàro, Borel és mások foglalkoztak a századfordulón. O Toeplitz (1881-1940), az ünnepelt német matematikus volt az, aki 1911-ben alkalmazta a lineáris

terek elméletét a sorozatterek közti mátrix transzformá iók kezelésére. Toeplitz meghatározta mindazon A = (ank ) (n, k = 1, 2 . ) végtelen mátrixokat, melyek a sorozatteret önmagába képezik, a konvergens sorozatok határértékét meg®rizve. feltételek könnyen adódnak a Bana hSteinhaus tételt alkalmazva. c Ezen  Toeplitz (Természetesen Toeplitz még nem ismerhette ezt az 1920-as évekbeli tételt, így a tétel nemtriviális részéhez klasszikus analízist használt, kifejlesztve egy némiképp komplikált redu tio ad absurdum érvelést. Mindenesetre bizonyítása nagyon inspiráló és érdekes, az olvasó megtalálja [Har49℄-ben.) Silvermann kiegészítette Toeplitz tételét: karakterizálta azon mátrixokat, melyek a c sorozat- teret önmagukba képezik, nem feltétlenül ®rizve meg a konvergens sorozatok határértékét. Ezen SilvermannToeplitz tétel (4.6) tétel tehát éppen [c, c]-t írja le Látni fogjuk, hogy a Bana

hSteinhaus tétel és hasonló eredmények különösen alkalmasak a mátrix transzformá iók és a szummá iós módszerek problémáinak kezelésére. 1.iii1 c0 − c0 mátrix-transzformá ió, mint általános lineáris leképezés Hogy miért érdekesek a mátrix transzformá iók, miért nem nem általános lineáris transzformá iókkal foglalkozunk? A válasz az, hogy sok esetben sorozattéren az általános lineáris transzformá iók megadhatóak mátrixszal is. Példaként tekintsük c0 -t, a nullsorozatok terét és legyen A = (amn ) (m, n∈N). [℄Jelölje c0 := {x∈ω : ∃ lim x = 0} a konvergens nullsorozatok Bana h-terét a := supn∈N |xn | (x∈c0 ) supnormával. 1.3 Dení ió kxkc0 P m− ∞ [℄Legyen amn −−−−−− 0 ∀n∈N és tegyük fel, hogy M = supm |amn | < ∞ (az összegzés n-re történik). Akkor A korlátos lineáris operátort deniált c0 -ról önmagába és kAk =M . 1.3 Állítás Bizonyítás. P m− ∞ x∈c0

esetén Ax ∈ c0 , ugyanis Am (x) := ∞ n=0 amn xn −−−−−− 0 Σamn xn sor abszolút konvergens minden m-re és ∀N ≥0-ra [Mad80℄ szerint. Tehát az |Am (x)| ≤ N X |amn xn | + n=0 ε>0-hoz N, A : c0 − c0 . létezik elég nagy mutattuk, hogy 2004. már ius 16 ∞ X |amn xn | ≤ kxkc0 · maxn≥N +1 |xn | < ε |amn | + max |xn |·M n=0 n=N +1 mellyel N X és PN Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens a feltevés n=0 n≥N +1 |amn | is teljesüljön. Így meg- 3. oldal Általános szummá iós módszerek A P P A(λx) = ( amn λxn )m∈N = λ( amn xn )m∈N = λA(x). X X kA(x)k = sup amn xn ≤ kxkc0 sup |amn | = M · kxkc0 ∀x∈c0 nyilván lineáris: m Tehát kAk ≤M , A m korlátos. A másik irányhoz legyen hogy P Ekkor n>p x∈c0 |arn | < és r=r(ε) ε 2 . Legyen kxkc0 =1, Ebb®l következik, hogy olyan, hogy P |arn | > M − 2ε , így  sgn a , 0≤n≤p rn

xn := 0, n>p így P |arn | < ∞ miatt ∃p=p(ε) kA(x)k = sup |Am (x)| ≥ |Ar (x)| > M −ε kxkc0 m n o M = sup kA(x)k : 06 = x∈c = kAk. 0 kxk QED c0 Igazolható a megfordítás is, tehát hogy minden c0 − c0 korlátos lineáris operátor el®áll mátrix alakban: [℄Legyen A∈B(c0 , c0 ) (korlátos lineáris operátor c0 -ból c0 -ba). Akkor A meghatároz egy (amn ) mátrixot, melyre X (Ax)m = amn xn ∀x∈c0 és X m− ∞ kAk = sup |amn | < ∞ valamint amn −−−−−− 0 (∀n∈N) 1.4 Állítás m Bizonyítás. Minden x∈c0 sorozat el®áll x= e0 = (1, 0, . ), e1 = (0, 1, 0 ) ) P xn en alakban, ahol (en ) egy bázis c0 -ban (például P A linearitása és folytonossága miatt Ax = xn Aen , így |xm |≤ kxkc0 -t használva kapjuk, hogy P (Ax)m = xn (Aen )m (m∈N) azaz X Am (x) := amn xn , ahol amn = (Aen )m m− ∞ Ax∈c0 miatt Aen ∈c0 , így amn −−−−−− 0 (∀n∈N). P Már sak kAk = supm |amn |-t

kell megmutatni, amihez az el®z® állítás alapján elegend®, ha P |amn | ≤ H (∀m∈N)-t igazoljuk valamely H -ra. Mivel |Am (x)| ≤ kA(x)k ≤ kAk · kxkc , azért Am korlátos (nyilván lineáris) funk ionál c0 0 ∗ on. Kaptunk tehát egy (Am )∈c0 funk ionál-sorozatot, melyre limm Am (x)=0 c0 -on A Bana h Steinhaus tétel szerint a normák (kAm k)m∈N sorozata korlátos, azaz ∃H>0 : kAm k ≤H ∀m∈N. P QED Ugyanakkor kAm k = |amn |, amivel a bizonyítást befejeztük. x∈c0 esetén Hasonló módszerekkel majdnem minden X, Y A ∈ (c0 , c0 ), (c0 , c), (c0 , ℓ1 ), (c, c0 ), (c, c), sorozattérre megmutatható, hogy minde B(X, Y ) operátor megadható mátrixként. Néhány ilyen pár: (c, ℓ1 ), (ℓp , c0 ), (ℓp , c), (ℓp , ℓ1 ), (ℓp , ℓs ), ahol 1 ≤ p, s < ∞. ∗ Láthatóan ℓ∞ kivételt képez  ez azért van, mert ℓ∞ nem minden alakban. Látni fogjuk, hogy ℓ∞ izomorf bfa(N)-val, ami nem sorozattér 2004. már ius 16

Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens eleme írható fel P an xn 4. oldal Általános szummá iós módszerek Mátrix-transzformá iók  tetsz®leges sorozatterek között 1.iii2 Jó volna, ha a sorozatterek közti mátrix-transzformá iók szépek (folytonosak) lennének. Nos, a következ®kben igazoljuk, hogy FK-terek között ez teljesül. [℄Jelölje R(A) := {Ax : x∈D(A)} az A leképezés képterét. Legyenek most (X, τ ) és (Y, η) sorozatterek, és jelölje [X, Y ] := {A végtelen mátrix : X⊂D(A), R(A)⊂Y } az X, Y terek közt képez® mátrixok halmazát. 1.4 Dení ió (X, τX ), (Y, τY ) FK-terek. Kérdés: D(A)⊃X , R(A)⊂Y (azaz [X, Y ]-t) ? Legyenek adva amelyekre lehet-e jellemezni azokat az A mátrixokat, [[Wil84, 4.23℄℄ Legyen X egy Fré het-tér, Y pedig egy FK-tér és f : X − Y lineáris leképezés. Ha Pn ◦f : X − K; x 7 (f (x))n folytonos minden n-re, akkor f : X − Y folytonos. 1.5 Lemma

Bizonyítás. ω leképezés f : X − Az FK-tér dení iójából következik, hogy a feltétel ekvivalens azzal, hogy az QED folytonos. Ebb®l 11 alapján következik az állítás [[Wil84, 4.28℄℄ A∈[X, Y ] =⇒ A : X − Y folytonos, azaz FK-terek közt minden mátrix-leképezés folytonos. 1.6 Tétel Bizonyítás. A lemma szerint elegend® azt belátni, hogy minden n-re folytonos X − K. PN PN Most (Ax)m = limN − ∞ n=0 amn xn és minden x 7 n=0 amn xn az x 7 (Ax)n leképezés leképezés folytonos, mivel koordináták véges lineáris kombiná iója. Az (Ax)m [Wil78, 9-3-7℄) limeszfüggvény folytonosság következik a (lokálisan konvex Fré het terekre vonatkozó Bana hSteinhaus tételb®l. QED 1.iv Tipikus szummá iós problémák 1.iv1 A sorozattereket érint® néhány tipikus probléma [Ru 81℄ 1. Az azonosság problémája: 2. Abel-típusú tételek: 3. Tauber-típusú tételek: 4. Mátrix leképezés probléma: adott S, T

sorozatterek esetén mely végtelen mátrixok képezik S et T -be? Spe iális problémák is érdekesek lehetnek  például megtalálni az összes diagonális mátrixot, ami S -et T -be képezi. 5. Topológia hozzárendelése: adott S sorozattérnek találjuk meg más karakterizá ióit. adott sorozatterek esetén mikor tartalmazza egyik tér a másikat? adott S, T, U sorozatterekre igazoljunk Struktúra probléma: jelleg¶ tételt. mi módon lehetne vektortopológiát rendelni a sorozatterek egy gy¶j- teményéhez vagy egy meghatározott 6. S∩T ⊂ U soportjukhoz úgy, hogy egy kit¶zött élt elérjünk? igazoljuk bizonyos struktúrák létezését és ennek következményeit topo- logikus sorozattereken. Például határozzuk meg a tér duálisát vagy éppen a véges sorozatok lezártját. 7. Geometriai problémák: például milyen feltételek mellett lesz a tér reexív vagy tartalmaz egy zárt alteret mely izomorf egy adott térrel? 2004. már ius 16

Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 5. oldal Általános szummá iós módszerek 1.v Érdekesség: ℓ2 − ℓ2 leképezés [Ru 81℄ Ebben a fejezetben Crone eredményét ismertetem az ℓ2 − ℓ2 módszerek karakterizá iójával kap- solatban. 1.7 Lemma [℄ Egy A végtelen mátrix ℓ2 -t ℓ2 -re képezi pontosan akkor, ha  A(i, j), i≤n, j≤n sup k[A]n k < ∞, ahol [A]n (i, j) = 0, n különben Ez esetben kAk = supn k[A]n k és limn [A]n x = Ax (x∈ℓ2 ). Bizonyítás. Az els® és az utolsó állítás a keznek, hogy limn [A]n ek = Aek (∀k∈N) Bana hSteinhaus supn k[A]n k < ∞. k[A]n xk = [A]n x[n] ≤ A(x[n] ) feltéve hogy A második állítás abból következik, hogy 1.8 Állítás tételb®l és abból a tényb®l követ- QED . [Crone℄ Egy A végtelen mátrix pontosan akkor képezi ℓ2 -t ℓ2 -be, ha (i) ∃(A∗ A)m (∀m∈N), 1 (ii) C := supm supi {(A∗ A)m (i, i)} 2m < ∞ és

ekkor C= kAk. Bizonyítás. ⇒: Ha A ℓ2 -t ℓ2 -be képezi, akkor A∗ is ugyanezt létezik és ℓ2 -t ℓ2 -be képezi. Ennek minden diagonális elemére m teszi, tehát m (A∗ A)m (i, i) = Ei ((A∗ A)m ei ) ≤ kA∗ k · kAk ahol Ei ⇐: az i ∀m∈N-re (A∗ A)m 2m = kAk Tehát C ≤ kAk. n-re [(A∗ A)2 ]n − ([A∗ A]n )2 pozitív és szemidenit, hiszen Hermite és a diagonális dimenziós egységmátrix. Minden nemnegatív. Tehát [(A∗ A)2 ]n ≥ ([A∗ A]n )2 = k[A∗ A]n k2 , Egy n×n-es hermitikus iterálva h h (A∗ A)2 i n h ≥ k[A∗ A]n k2 , (h∈N) (1) mátrix nyoma megegyezik a mátrix sajátértékeinek összegével, azaz egy B m×m-es (és nemnegatív diagonálisú) mátrixra azt kapjuk, hogy kBk = B legnagyobb sajátértéke ≤ m· max B(i, i) i Ezen meggyelés és (1) egyenl®tlenség alapján k[A∗ A]n k ≤ h-ra fennáll, A ℓ2 -t ℓ2 -be képezi. Mivel ez minden alapján h i h (A∗ A)2 2004. már ius 16

2−h n −h ≤ n2 kapjuk, hogy  nh i o2−h h −h · max (A∗ A)2 (i, i) ≤ n2 ·C 2 i ∗ k[A A]n k ≤ C n 2 minden Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens n-re, tehát az 1.7 lemma QED 6. oldal Általános szummá iós módszerek 2. Egyszer¶bb sorozatterek és duálisaik [Wil78℄ Ezen fejezetben a [Wil78℄ könyvben leírt néhány általános, sorozatterekre vonatkozó segédtétel szerepel, melyeknek fontos szerepe lesz tételem (3.5) általánosításában (53) A most következ® 2.2 tétel tekinthet® az Abel-tétel általánosításának  melyre tételünk igazolásához szükségünk lesz  és jól rámutat arra, miért lesz szükségünk a sorozatterek topologikus duális tereire is. [℄Legyen most S egy sorozattér (altere ω -nak). T A, B ⊂ S -re (A − B) := M (A, B) = a∈A a−1 B = {r : rs∈B ∀s∈A}. Azt mondjuk, hogy S topologikus sorozattérben s∈ω -nek AK-ja van, ha 2.1 Dení ió s[n] ∈ S

Pn (∀n∈N) és lim s[n] = s n ahol s := s· k=0 δ az a sorozat, amely i≤n-re megegyezik ω -el, utána viszont 0. Egy S topologikus sorozattérnek AK-ja van, vagy S AK-tér, ha ∀s∈ω -nek AK-ja van. S térnek AD-je van, vagy AD-tér, ha φ s¶r¶ S -ben. [n] k A rövidítések eredete: Abs hnitts-Konvergenz Abs hnitts-Di ht (kezd®szelet-konvergen ia) illetve (kezd®szelet-s¶r¶). [ Zeller és Wilansky℄ K-térnek nevezünk egy (S, τ ) párt, ahol S egy sorozattér, τ pedig egy S -en értelmezett lineáris topológia, melyre nézve s 7 sn folytonos ∀n∈N. Ha ez a topológia teljes metrikus (nem feltétlenül lokálisan konvex), akkor a párt FK-térnek nevezzük. Ha τ Bana h-tér topológia, akkor a párt BK-térnek nevezzük. 2.2 Dení ió [℄Egy K-tér pontosan akkor AK, ha az δ n : n∈N koordináta-vektorok S -nek S hauderbázisát alkotják, azaz ∀s∈ω el®áll ∞ X s= sn δ n (2) 2.1 Állítás n=0 alakban. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy

S AK-tér. Ekkor a sor konvergens S -en, ugyanis s[k] = (∀k∈N). Pk n=0 sn δ n δ n : n∈N koordináta-vektorok az S sorozattér S hauder-bázisát. Ekkor P∞ PN n n [N ] feltevés szerint s = ami ∞ n=0 an δ = limN −∞ s n=0 an δ = limN − Megfordítva, alkossák a egy s∈ω sorozatra a QED épp az igazolandó állítás. 2.2 Tétel [[Ru 81℄℄ Ha X egy FK-tér AK-val, akkor ∀f ∈X ∗ (folytonos lineáris funk ionálra X- en) (f (δ n )) ∈ (X − s), és ez az összefüggés izomorzmus X ∗ -ról (X − X∗ ∼ = (X − 2004. már ius 16 s)-be, azaz s) Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 7. oldal Általános szummá iós módszerek Bizonyítás. f ∈X ∗ folytonossága miatt x∈X -re f (x) = ∞ X xn f (δ n ) n=0 n (f (δ )) ∈ (X − s) dení ió szerint, és a hozzárendelés nyilván izomorf. P A szürjektivitás ellen®rzéséhez legyen u∈(X − s), ∀n∈N-re fn (x) := nk=0

sk uk , így fn ∈X ∗ (2) alapján. Tehát fn − f pontonként X -en, szerint f folytonos. és tehát a (teljes metrikus terekre vonatkozó) Bana hSteinhaus tétel QED Igaz az Abel-tétel általánosítása: ◦Köv. [℄Legyen az X egy FK-tér, akkor adott y sorozat esetén a Σxn yn sor pontosan akkor konvergens ∀x∈X mellett, ha y∈X ∗ . 2.3 A következ® állítást az el®z®ek alapján igazolom, és szintén a tételem általánosításához szükséges. [℄ Legyen X sorozattér AK-val és legyen Y egy másik sorozattér, melyre létezik 2.4 Állítás j j : X − Y izometrikus izomora (X ∗ ∼ = Y ). ∗ Ekkor f ∈X -ra kxyk = kf kX ∗ , ahol y = j(f ). ∗ Bizonyítás. X kxyk = sup sorozattér AK-val, így (2) érvényes, következésképpen ( ∞ X xn yn : x∈X, kxkX ≤1 n=0 ) = sup ( ∞ X y = j(f )=(f (δ n ))n∈N -re ) xn f (δ n ) : x∈X, kxkX ≤1 n=0 = = sup {|f (x)| : x∈X, kxkX ≤1} = kf kX ∗ (3) QED Most pedig

lássunk néhány sorozatteret és duálisát  ezekre azért van szükség, hogy ne s − sak s szummá iós módszereket tudjunk felírni (6) alakban. 2.i ℓp , ℓ∗p (p≥1) ℓp = {x : kxkp < ∞}, 2.5 Állítás ahol 1 P p p kxkp := ( ∞ n=0 |xn | ) [[Wil78, 2-3-5℄℄ ℓ∗1 ∼ = ℓ∞ Bizonyítás. x = xk δ k ∈ ℓ1 (azaz ℓ1 AK) P f ∈ℓ∞ f (x) = yk xk alakú, akkor y∈ℓ∞ ‚ ‚ P (|yk | = |f (δ k )| ≤ kf k · ‚δ k ‚1 = kf k). Ugyanakkor |f (x)| ≤ kyk∞ · |xk |, így kf k ≤ kyk∞ , ∗ k kf k = kyk∞ . Megmutattuk, hogy az ℓ1 ∋f 7 {f (δ )}∈ℓ leképezés izometria P Belátjuk, hogy szürjektív : Legyen y∈ℓ∞ , f (x) = yn xn , ekkor f ∈ℓ∗1 , hiszen P |f (x)| ≤ kxk1 · |yn |, {f (δ n )} = y . 2.6 Állítás 2004. már ius 16 P és ha tehát QED [[Wil78, 2-3-6℄℄ p>1-re ℓ∗p ∼ = ℓq ( p1 + 1q = 1). Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 8. oldal Általános

szummá iós módszerek P Bizonyítás. Legyen f (x) = yk xk , yk = f (δ k ) =⇒ y∈ℓq , ugyanis y6=0 esetén rögzített m-re ∃i<m : yi 6=0;  q ! p1 ! q1 m m  |yk | , k≤m X X u·yk q q u := |yk | xk := így f (x) = |yk | ≤ kf k 0, x>m k=0 k=0 kxk =1. Tehát kf k ≥ kykq A Hölder-egyenl®tlenség |f (x)| ≤ kykq · kxkp -t ad, azaz kf k ≤ kykq , így az ℓ∗p ∋f 7 f (δ k )∈ℓq leképezés izometria. P P Szürjektív is: y∈ℓq -ra legyen f (x) = yn xn , ekkor |f (x)| ≤ kxkp · |yn |, {f (δ n )} = y . QED hiszen 2.ii ℓ∞ , ℓ∗∞ a korlátos sorozatok tere a supnormával. Jelölje bfa(N) a korlátos, végesen additív (µ(∅)=0, µ(S∪T ) = µ(S)+µ(T ), S∩T =∅) komplex érték¶, N-en értelmezett halmazfüggvények terét; a norma: kµk := sup ( n X |µ(Ei )| : N = i=0 2.7 Állítás legyen µ(S) := f (χS ) (χS az S karakterisztikus függvénye) kµk ≤ kf k, ugyanis tekintsük n∈Ek . Ekkor kxk∞ =1 és ∞ X

|µ(Ei )| = i=0 ahol  ekkor µ végesen (χS +χT = χS∪T ha T ∩S=∅) és korlátos. S®t ahol Ei , Ek ∩El =∅ (k6=l) i=0 ) [[Wil78, 2-3-15℄℄ ℓ∗∞ ∼ = bfa(N) Bizonyítás. f ∈ℓ∗∞ -ra additív n [ y := P∞ i=0 ∞ X az N egy partí ióját xni µ(Ei ) = f i=0 ∞ X (N = ∪ Ei ) és legyen xn := sgn µ(Ek ) ∗ xni χEi i=0 xni χEi , 1: kyk ≤1. ϕ : f − µ leképezés szürjektív: Belátjuk, hogy a legyen ! 1 ≤ kf k · kyk ≤ kf k m0 a 0-1 sorozatok által feszített altér ℓ∞ -ben (az egyszer¶ sorozatok tere  sak véges sok különböz® értéket vesznek fel). P∞ ∗ µ∈bfa(N)-re legyen f (x) := i=0 xi µ(Ei ) ahol xi ∈Ei  ekkor f ∈m0 és kf k ≤ kµk, hiszen P kxk∞ ≤1 =⇒ |f (x)| ≤ |xi |·|µ(Ei )| ≤ kµk. ∗ Mivel m0 =ℓ∞ , ezért f -et kiterjeszthetjük ℓ∞ -re és írhatunk f ∈ℓ∞ -t  a µ-nek megfelel® f -et R akár x dµ alakban is írhatjuk. Nyilván f (χS )=µ(S),

azaz ϕ(f )=µ Láttuk, hogy kµk = kf k, N ∗ QED tehát az ℓ∞ − bfa(N) leképezés ekvivalen ia. 2.iii c, c∗ c a konvergens sorozatok tere a supnormával 2.8 Állítás [℄c∗ ∼ = ℓ1 Bizonyítás. x = (lim x)1 + P (xk − lim x)δ k , ℓ1 ∋y 7 f ∈c∗ , T : c∗ ∋f 7 y∈ℓ1 , 2004. már ius 16 (c⊂ℓ∞ ). így a leképezés: f (x) := y1 lim x + yk+1 X yk+1 xk X := f (δ k ), y1 := f (1)− f (δ k ) Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 9. oldal Általános szummá iós módszerek Kell: T : c∗ − ℓ1 lineáris leképezés szürjektív és izometrikus. Szürjektivitást adja az inverz P P kT (f )k1 = |f (1) − f (δ k )| + |f (δ k )| ≤ kf k = sup{|f (x)| : x∈c, kxk = sup |xn | ≤ 1} Ezen leképezés; triviális módon. A megfordítás: El®állítás szerint a linearitás miatt f (x) = (lim x)f (1) + egy lim x = (1 − f (δ k )) |xk − lim x| = 1 sorozattal (kxkc =1) |f (x)| ≤ kT (f

)k1 -et P xn := (1 − f (δ k )) + εn , ahol ε∈c0 , kεk∞ =1. P sorozat például P (xk − lim x)f (δ k ) =⇒ spe iálisan kapunk. Ilyen QED 2.iv c0 , c∗0 a konvergens nullsorozatok tere a supnormával (c0 ⊂c⊂ℓ∞ ). [[Wil78, 2-3-4℄℄ c∗0 ∼ = ℓ1 2.9 Állítás P Bizonyítás. [Wil78℄ Legyen x∈c0 , ekkor x = xk δ k (azaz c0 AK-tér), hiszen P m− ∞ k x− m = sup{|xn | : n>m} −−−−−− 0. k=0 xk δ ∞ P ∗ Tehát f ∈c0 -re f (x) = yk xk , ahol yk =f (δ k )  megmutatjuk, hogy y∈ℓ1 : legyen m rögzített,  m m sgn y , n≤m X X n xn := így |yn | = yn xn = f (x) ≤ kf k 0, n>m n=0 n=0 P P hiszen kxk∞ =1. Tehát kf k ≥ kyk1 Ugyanakkor kxk∞ ≤1 =⇒ |f (x)| = | yn xn | ≤ |yn |, azaz kf k = kyk1 . Megmutattuk, hogy a c∗0 ∋f 7 f (δ k )∈ℓ1 leképezés izometria  emellett ráképezés is: P P QED y∈ℓ1 esetén f (x) = yn xn =⇒ f ∈c∗0 , hiszen |f (x)| ≤ kxk∞ · |yn | és (f (δ k

))k∈N =y . A sorok és sorozatok megfeleltethet®k egymásnak, a következ® módon: jelölje σ : ω − Pn −1 x ( n∈N )  ez lineáris bijek ió a (σ y) := y −y ( n∈N , y := 0 ) inverzzel. 0 n n n−1 k=0 k ω; (σx)n := 2.v bv, bv ∗ def P∞ bv = {(xn )∈ω : n=0 |xn+1 −xn | konvergens} a korlátos változású sorozatok tere. Ezen a téren P∞ P∞ |x − x | félnorma, kxk := |x0 | + n=0 |xn+1 −xn | norma: háromszög-egyenl®tlenség, n+1 n n=0 kxk =0 ⇐⇒ x=0 is triviális. −1 bv Bana h-tér, ugyanis x∈ω korlátos változású ⇐⇒ σ x∈ℓ1 és (az x0 := 0 megállapodás −1 −1 mellett) nyilván kxkbv = σ x 1 , azaz σ (bv) = ℓ1 , másképpen bv = σ(ℓ1 ). Itt bv vektortér izomorf az ℓ1 vektortérre, σ izomorzmus közöttük, így az kxk := kσxk (x∈bv) egyenl®séggel deniált k·k : bv − R+ függvény norma bv-n, amellyel (bv, k·k) Bana h-tér. homogenitás következik az abszolutérték tulajdonságaiból;

[℄x∈bv =⇒ ∃ limn−∞ xn , azaz bv ⊂ c. A lim : ω − K lineáris funk ionált bv-re megszorítva folytonos lineáris funk ionált kapunk. 2.10 Lemma Bizonyítás. Belátjuk, hogy |xm − xn | = m−1 X k=0 Cau hy: ! xk+1 −xk − n−1 X l=0 xl+1 −xl ! ≤ m−1 X |xk+1 −xk | − k=0 n−1 X |xl+1 −xl | l=0 = |sm−1 − sn−1 | < ε 2004. már ius 16 Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 10. oldal Általános szummá iós módszerek Hiszen sn := Pn k=0 |xk+1 −xk | Cau hy-sorozatot alkot. Az állítás második fele következik abból, hogy | lim(x)| ≤ |x0 | + (lim(x) := limn− ∞ xn ). 2.11 Állítás P∞ k=0 |xk+1 −xk | = kxkbv QED P  > >> > [℄x := | lim x| + ∞ n=0 |xn+1 −xn | norma, mely ekvivalens k·kbv -vel (k·k ∼ · ). Bizonyítás. Az abszolutérték tulajdonságaiból következik a homogenitás és a háromszög-egyenP∞  l®tlenség;

x=0 =⇒ x∈c0 és n=0 |xn+1 −xn |=0 ⇐⇒ x konstans sorozat, aminek limesze | limn−∞ xn |=0. 1 2  kxk ∼ x ⇐⇒def ∃c1 , c2 >0 : c1 · kxk ≤ x ≤ c2 · kxk P∞ P 1: lim(x) = x0 + (xk+1 −xk ) =⇒ x0 = lim(x) − ∞ k=0 (xk+1 −xk ), így P∞ k=0 P∞  kxkbv = |x0 | + k=0 |xk+1 −xk | ≤ kxkbv + k=0 |xk+1 −xk | ≤ 2 x, azaz c1 = 12 P  ∞ 2: | lim(x)| ≤ kxkbv gyelembevételével x ≤ kxkbv + k=0 |xk+1 −xk | ≤ 2 kxkbv , jó. 2.12 Állítás [℄bv∗ ∼ = bs, ahol bs rok tere. Bizonyítás. Diri hlet tétele: azaz c2 =2 QED P = {(ak )∈ω : supn | nk=0 ak |<∞} a korlátos részletösszeg¶ so- (bn ) korlátos változású nullsorozat és a Σan sor szeletei korlátos sorozatot alkotnak, akkor a Σan bn sor is konvergens. P∞ T −1 : bs∋y 7 f ∈bv∗ , f (x) := n=1 yn (xn − lim x)  a Diri hlet-tétel szerint konvergens, mert xn korlátos változású, yn pedig korlátos

szelet¶ sort alkot. Tehát a függvény jóldeniált ∗ k Innen T : bv ∋f 7 y∈bs, yk := f (δ ) lineáris, szürjektív, hiszen tetsz®leges y∈bs-hez f := P∞ QED T −1 (y), erre T (f ) = T (T −1 (y)) = f (δ k ) = n=0 yn (δnk − lim δ k ) = yk . ha Jelölje bv0 a korlátos változású nullsorozatokat  bv0 ⊂bv altér, s®t 2.13 Állítás Bizonyítás. [℄bv0 = ℓ1 Az eddigiek fényében triviális: tekintjsük a bv∋y 7 x∈ℓ1 , xn := yn+1 −yn , x0 := 0 leképezést. A másik irány: az (kykbv = kxk1 ) a denÍ iókból 2.14 Pn xn (y0 := 0) képlet adja az inverz következik az x0 := 0 konven ióval. yn+1 := ◦Köv. [℄bv = ℓ1 ⊕1 hiszen 2.vi k=0 bv0 1 kodimenziós altere leképezést. Az izometria QED bv-nek. s, s∗ Pn := {a∈ω : ( k=0 ak )n∈N ∈ c} a konvergens sorok terét  ez Bana h-tér a supnormával: P −1 s = σ (c) = {a∈ω : Σa∈c}, így s Bana h-tér a kxk s := kΣxkc = supn | nk=0 xk | normával, és s∼ = c.

Jelölje s 2.15 Állítás 2004. már ius 16 [℄ ∗ s ∼ = bv. Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 11. oldal Általános szummá iós módszerek Bizonyítás. Legyen lemma biztosítja az 2.16 Állítás Bizonyítás. P∞ T : bv − s∗ ; y 7 (f : x 7 n=0 xn yn ), itt f lineáris f folytonosságát és a T lineáris leképezés normatartását. [℄ℓ1 , s x∈ [Wil84, 59. oldal℄ 3. esetén QED terek AK-terek. y−y [n] 1 P∞ = x−x[n] s-re tér. y∈ℓ1 funk ionál, a 3.2 k=n+1 s = supm n− ∞ |yk | −−−−−− 0, Pm k=n+1 tehát ℓ1 n− ∞ xk −−−−−− 0, tehát s AK- QED AK-tér. Az általam kidolgozott módszer Ebben a fejezetben igazolom tételem s − s alakját. 3.i El®készületek Az elkövetkez®kben X, Y legyenek sorozatterek. Y függvénysorozat egyenletesen korlátos változású, 3.1 Dení ió [℄Egy (fn )n∈N , fn : X − ha (∃C>0)(∀x∈X)

kfn (x)kbv < C . [℄ Legyen a∈ s, b∈bv, ekkor ab∈ s (a sorozatot mint a : N − K; n 7 an függvényt Pn kezelve), azaz Σan bn konvergens. Emellett az An := k=0 ak (n∈N) jelöléssel 3.1 Lemma lim(ab) = ∞ X ak b k = k=0 Bizonyítás. Az ∞ X Ak (bk+1 −bk ) + lim(Σa) · lim(b) (4) k=0 Abel-átrendezés szerint n n X X ak b k = Ak (bk+1 −bk ) + An bn+1 k=0 (5) k=0 a összegezhet® sorozat, részletösszegeinek (An ) sorozata korlátos, tehát b∈bv miatt a ΣAk (bk+1 −bk ) sor (abszolút) konvergens is. (4) következik bv⊂c felhasználásával (5)-b®l 3.2 Lemma QED [℄ Legyen b∈bv rögzített és tekintsük a ψ: s − K, ψ(x) := ∞ X bn xn n=0 lineáris funk ionált. Ez folytonos (ψ∈ s∗ ) és kψk = kbkbv . Bizonyítás. Jelölje sn := ( kψk = sup Pn Abel-átrendezés szerint kapjuk, hogy kψk ≤ kbkbv . Az 2004. már ius 16 k=0 ∞ X xk , ekkor xn bn : kxk s ≤1 n=0 Pn k=0 ) = sup xk bk = sn ·bn+1 + (

Pn−1 k=0 lim n− ∞ n X k=0 xk bk : kxk s ≤1 ) sk (bk −bk+1 ), tehát |sk |≤1-et felhasználva Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 12. oldal Általános szummá iós módszerek bk+1 −bk ∈K-hez ∃εk ∈C : bk+1 −bk = |bk+1 −bk |·εk , továbbá legyen lim(b) = := (ε1 , ε2 , . , εn , ε0 , ε0 , ) ∈ c, x(n) c =1, így y (n) := σ −1 x(n) -re y (n) s =1 A másik irány: (n) | lim(b)|·ε0 . x Erre a sorozatra ψ(y (n) ) = n X |bk+1 −bk | + ε0 · k=0 ∞ X (bk+1 −bk ) + lim(x(n) )· lim(b), következésképpen k=n+1 ∞ X  b bv lim ψ(y (n) ) = |bk+1 −bk | + 0 + ε0 · lim(b) =  n− ∞ k=0 QED [℄Egy ζ : X − K lineáris funk ionált szummá iós funk ionálnak nevezünk, ha s ⊂ Dom ζ ⊂ ω . ∞ X ζ szummá iós funk ionál reguláris, ha ζ↾ s = Σ s . x ∈ Dom ζ s-re jelölje xn := ζ(x). 3.2 Dení ió ζ n=0 Legyen T t0 ∈T ϕ(t) := {ϕn (t)}n∈N

topologikus tér, (n∈N) és jelölje 3.3 Állítás rögzített, [℄ Az At (a) := ∞ X Ṫ := T {t0 }, ϕn : Ṫ − K an ϕn (t) függvények egy sorozata (a∈ s, t∈Ṫ ) (6) n=0 egyenl®séggel deniált funk ionál pontosan akkor létezik (a szumma véges) adott t∈Ṫ mellett minden a∈ s sorozatra, ha ϕ(t) ∈ bv. Bizonyítás. ⇒: Legyen t∈Ṫ rögzített, a feltevés szerint minden a∈ s-re létezik At (a)<∞, így Pn Pn [n] [n] spe iálisan az a := a· k=0 δ k sorozatra is. Jelölje fn := k=0 ak ϕk (t) (azaz f = a ·ϕ(t)). ∗ Ekkor nyilván az {fn }n∈N ⊂ s rendszer pontonként korlátos ( s felett), így az egyenletes kor- látosság tétele szerint egyenletesen is korlátos: ∞ > sup kfn k = sup sup n∈N n X ak ϕk (t) = sup n∈N kak s ≤1 k=0 ∞ X an ϕn (t) = kAt (a)k = kak s ≤1 n=0 3.2 = kϕ(t)kbv ⇐⇒ ϕ(t)∈bv ⇐: A 2.15 állítás szerint ∗ s ∼ = bv, így ϕ(t)∈bv, tehát a 3.1 lemma alapján At

(a) < ∞. QED ◦Megjegyzés. [℄Bár úgy t¶nhet, a fenti bizonyítás mégsem használta ki a s, bv terek spe iális tulajdonságait  mint azt az általánosítás (5.3) is mutatja, az állítás következik az általánosabb 22 tételb®l. 3.4 2004. már ius 16 Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 13. oldal Általános szummá iós módszerek 3.ii A módszer helyességének igazolása [℄A ϕ függvénysorozatot szummá iós sorozatnak nevezzük egy a∈ω sorozatra ∞ X nézve, ha ∃At (a) < ∞ és ∃ limt−t0 At (a) ∈ K. Ezt a határértéket an -vel jelöljük (azaz Aϕ 3.3 Dení ió n=0 . P∞ ϕ szummá iós sorozat reguláris ha limt−t0 At (a) = n=0 an (azaz limt0 At = Σ s-n). kapunk egy ζ : ω − K lineáris funk ionált) [℄ Annak szükséges és elegend® feltétele, hogy az (6) egyenlettel deniált {At }t−t0 (általánosított) funk ionál-sorozat A limesze folytonos és lineáris funk ionál

legyen a következ®: 3.5 Tétel (i) supt∈Ṫ kϕ(t)kbv < ∞, azaz ϕ egyenletesen korlátos változású Ṫ -n, (ii) ϕn -ek folytonosak t0 -ban ∀n∈N-re. Ha azt szeretnénk, hogy A(a)=Σa (a∈ s) teljesüljön, akkor (ii) a következ®képp módosul: (ii) (∀n∈N)(limt−t0 ϕn (t) = 1). Bizonyítás. Bana h-Steinhaus tétel A (a) supṪ kAt k < ∞, (b) ∃M ⊂ Azaz s totális rendszer (i) ⇐⇒ (a) (hM i= s), melyre At − A pontonként az M -en. a 3.2 lemma alapján; Belátjuk, hogy az ez elég, mert szerint a limesz létezéséhez szükséges és elegend®, hogy M := {a[n] : a∈ s} hM i (supnormában) (∀ε>0)(∃U ∈τ (t0 ))(∀t∈U̇) : s¶r¶ n X nite sorozatok halmazán s-ben. Tehát rögzített ak ϕk (t) − k=0 azaz a (b) pontosan akkor teljesül, ha Ha most A↾ s = Σ-t szeretnénk n X pontonként  a∈M -re ak ϕk (t0 ) = k=0 ∀n∈N-re ϕn t− t At −−−−−0 A n X ak (ϕk (t)−ϕk (t0 )) < ε

k=0 folytonos t0 -ban. (permanen ia), akkor (∀n∈N)(limt− t0 ϕn (t) = 1) a megfelel® QED feltétel. Az alkalmazásokhoz fogalmazzuk át a tételt At (σ −1 b) = c − c leképezésekre: b∈c-re ∞ X N X (bn+1 −bn )ϕn (t) = lim [bn (ϕn−1 (t)−ϕn (t))] − b0 ϕ0 (t) + bN +1 ϕN (t) = N− ∞ n=1 n=0 = lim(b) lim(ϕ(t)) − b0 ϕ0 (t) − ∞ X bn ·(σ −1 ϕ(t))n n=1 Tehát Bt (b) := ∞ X bn ψn (t) = lim(b) 3.6 Tétel ψn (t) − At (σ −1 b) (7) n n=0 alakú limesz-kiterjesztéseknél X (ϕ(t) := σψ(t)-t használva, így ϕ0 ≡0) ψ -re a szükséges feltételek: [℄ Annak szükséges és elegend® feltétele, hogy a Bt (b) := ∞ X bn ψn (t) n=1 egyenl®séggel deniált {Bt }t−t0 (általánosított) funk ionál-sorozat B limesze folytonos és lineáris funk ionál legyen a következ®k: 2004. már ius 16 Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 14. oldal Általános szummá iós módszerek

(i) supt∈Ṫ kψ(t)k1 < ∞, azaz a (ψ(t))n∈N sorozat egyenletesen ℓ1 -beli Ṫ -n, Pn (ii) k=0 ψk -nak folytonosnak kell lennie t0 -ban ∀n∈N-re  ez teljesül például, ha ψn folytonos t0 -ban ∀n∈N-re. Ha azt szertnénk, hogy B(b)= lim b (b∈c) teljesüljön, akkor (ii) a következ®képp módosul:
Pn (ii) (∀n∈N) limt−t0 k=0 ψk (t) = 1 és Bizonyítás. Alkalmazzuk a 35 tételt σ −1 b-re: az (7) átrendezést használva látható, hogy kσψkbv = Pn kψk1 , továbbá hogy k=0 ψn (t)-t kell ϕn (t) helyére helyettesítenünk. Az átrendezésb®l az is látható, hogy a permanen ia feltétele: ∞ X lim At (σ −1 b) = lim (σ −1 b)n (σψ(t))n = 0 t− t0 t− t0 n=0 4. QED A módszer alkalmazásai A következ®kben bemutatok néhány ismertebb szummá iós módszert. Mivel majdnem minden ilyen eljárást valamilyen probléma megoldása hívott életre, ezért nagyon sok, lényegesen különböz® módszer létezik Hardy (a kisebb

eltérés¶ekr®l nem is beszélve). Igen részletekbe men® összefoglalást írt (lásd [Har49℄) Divergent Series ímmel. A kés®bbi eredményekr®l jó összefoglalás olvasható [Mad70℄-ban. Többek között az egyes módszerek ekvivalen iáját, er®sségét, a módszer salád a paramétert®l való függését is lemezte ebben a könyvben. 4.i Abel-szummá ió Legyen T határol (lásd 1. ábra) és jelölje Ṫ := T 0 a komplex sík egységkörén belül olyan tartomány, melyet a t0 := (1, 0) pontból szögtér 1. ábra Az Abel-szummá ió tartománya 4.1 Tétel [Abel℄ Ha Σan konvergens, akkor limz−t0 z∈Ṫ ∞ X n=0 an z n = ∞ X an n=0 P∞ P∞ Bizonyítás. ϕn (z) := z n (z∈T ), ekkor kϕ(z)kbv = 1 + n=0 |z n+1 −z n | = 1 + |z−1|· n=0 |z n | = |1−z| 1−|z| , így a T -t jellemz® α, δ > 0-hoz ∃K(α, δ)∈R+ : supz∈Ṫ kϕ(z)kbv = K(α, δ) < ∞, azaz a 3.5 QED tétel alapján ϕ reguláris szummá iós sorozat (ϕn

nyilván folytonos a t0 -ban). 2004. már ius 16 Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 15. oldal Általános szummá iós módszerek Két spe iális eset: (λn ) nemnegatív monoton növ® divergens sorozatra jelölje Σan juk, hogy az sor (A, λ)-szummábilis, ha ∃ limx−0 f (x) f (x) := P∞  és ezt a an e−λn x . Azt mondszámot az Σan sor (A, λ)n=0 összegének nevezzük. −λn z Komplex síkon legyen (an ) olyan sorozat, melyre Σan e konvergens a {z : ℜz>0} félsíkban. P∞ −λn z Jelölje f (z) := . Ha ∃ lim{f (z) : z − 0, |ℑz| ≤ ℜz· tan α szögtérben} (0<α< π2 ), n=0 an e akkor ezt a számot az Σan sor [Har49℄ Az Abel-összeget (A, λ, α)-összegének nevezzük (valós eset) gyakran Poisson-szummá iónak is nevezik, ugyanis Pois- son használta Fourier sorok összegzésére. Ráadásul Euleren keresztül egészen Leibnizig visszakövethet® ez a módszert 4.ii Riemann-szummá

ió Legyen az f : R − R függvény értelmezve az ∆t f (x) := az f téket függvény x pont egy környezetében, és t∈R szám. Jelölje f (x+t) − f (x−t) 2t szimmetrikus dieren iáját az x pontban. Az f˙(x) := limt−0 ∆t f (x) határér- szimmetrikus deriváltnak nevezzük. A következ® állítás szerint az elnevezés jogos: [℄Ha az f függvény dieren iálható az x pontban, akkor létezik a szimmetrikus deriváltja, és f (x) = fˇ(x). 4.2 Állítás ′ (x) Dh f (x) := f (x+h)−f az f függvény dieren iáját az x pontban. f : R − R t f (y)−f (x) ′ dieren iálható x-ben ⇐⇒ ∃ limy − =: f (x) ⇐⇒ ∃ lim D f (x) . x y−x h− 0 h 1 ′ ′ QED · (D f (x) + D f (x)) Ha tehát ∃f (x), úgy ∆t f (x) = miatt ∃f˙(x) = f (x). t −t 2 Bizonyítás. Jelölje [℄ Tetsz®leges G(x) 2-szer szimmetrikusan dieren iálható (folytonos) függvényre 4.3 Állítás G̈(x) = lim h− 0 Bizonyítás. ∆h ∆h G(x) =

G(x+2h)−G(x) 2h G(x+h) − 2G(x) + G(x−h) h2 − 2h G(x)−G(x+2h) −2h = 4h1 2 ·(G(x+2h)−2G(x)+G(x−2h)) QED ∆2h G(x) := G(x+h)−2G(x)+G(x−h) a G függvény Riemann-dieren iáját. h2 P∞ Legyen c(x) := c (x) egy ( nem feltétlenül konvergens) trigonometrikus sor, melynek n=0 n inx együtthatói korlátosak. Jelölje cn (x) := an cos x + bn sin x = cn e . Integráljuk kétszer a sort formálisan x szerint  kapunk egy mindenütt konvergens, folytonos  ∞  ∞ X an bn x2 X cn inx F (x) := − 2 cos nx + 2 sin nx = c0 + e n n 2 (in)2 n=1 n=1 Jelölje Fourier-sort. Ez biztosan kétszeresen szimmetrikusan dieren iálható, a következ® tétel szerint jogosan nevezzük az így kapott F̈ (x0 ) sort az eredeti sor Riemann-összegének. A 4.3 állítás alapján !2 h h i(x+h) ix i(x−h) 4 sin sin e − 2e + e 2 2 ∆2h eix = = eix · = eix · , így h h2 h2 2   2 2 ∞ ∞ X X sin nt sin nh cn (x) · ∆22h F (x) = c0 + cn einx · =⇒ F̈ (x) = lim

nh nt t− 0 n=1 n=1 2004. már ius 16 Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 16. oldal Általános szummá iós módszerek Legyen tése T := [−1, 1], t0 := 0, Ṫ := T 0 . A következ® tétel szerint a fent leírt eljárás kiterjesz- Σ-nak. 4.4 Tétel [Riemann℄ Ha Σan konvergens, akkor  2 X ∞ ∞ X sin nt lim an = an nt t− 0 n=1 n=1
sin nt 2 nt Bizonyítás. ϕn (t) := kϕ(t)kbv = sin t t 2 + (most n=1, 2 . ), ekkor 2  2 ∞  X sin((n+1)t) sin nt − ≤ (n+1)t nt n=1 sin t ≤ t ϕn nyilván folytonos 2  ∞  1 X 1 1 t− 0 + 2· + 2 −−−−− C < ∞ t n=1 (n+1)2 n QED t0 -ban. S®t ezen állításnak egy kis általánosítása is igaz: 4.5 Állítás [℄Ha Σan konvergens, akkor ∞ X lim an t− 0 n=1 bármely k>1 számra. Bizonyítás. kϕ(t)kbv Ugyanúgy sin t = t k ϕn (t) :=
sin nt k nt  sin nt nt k = ∞ X an n=0 (n = 1, 2, . ), ekkor k  k ∞  X sin (n+1)t

sin nt + − ≤ (n + 1)t nt n=1 sin t ≤ t k  ∞  1 X 1 1 t− 0 + k· + k −−−−− C < ∞ t n=1 (n + 1)k n QED Ezen állítás alapján bevezethetjük az (R, k)-szummábilisnek mondunk, ha (R,k) an := s a Σan sor (R, k)-összege. sort P (R, k) k -adrend¶ Riemann-szummá iót: egy Σan
k P∞ ∃ limt−0 n=1 an sinntnt =: s. Ebben az esetben 4.iii Toeplitz eredménye c − c mátrixokra Egy A mátrix összegz®, ha ∀x∈c-re Ax∈c; permanens, ha ∀x∈c sorozatra Ax = lim x. Mi a feltétele, hogy egy mátrix összegz®, ill. permanens legyen? Toeplitz 1911-ben szügséges és elegend® feltételt adott arra, hogy egy legyen, azaz megválaszolta a kérdést A : c − c A-eljárás permanens leképezésekre: [SilvermanToeplitz, [Har49℄, [DS88℄℄ Egy A = [am,n ]m,n∈N mátrixszal adott operátor P c-b®l c-be képez (x∈c-re Ax := ( n am,n xn )m∈N ∈ c) pontosan akkor, ha teljesülnek a következ®k: P (i) supm n |am,n | < ∞,

azaz a mátrix sorai egyenletesen ℓ1 -beliek, 4.6 Tétel 2004. már ius 16 Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 17. oldal Általános szummá iós módszerek (ii) ∃ limm−∞ am,n =: γn (∀n∈N), azaz a mátrix oszlopai c-beliek, P (iii) ∃ limm−∞ n am,n =: γ P γn abszolút konvergens és y := Ax-re Ekkor P P P lim yn = γ·(lim xn ) + γn (xn − lim xn ) = (lim x)·(γ− n γn ) + n γn xn T permanens ⇐⇒ γn =0 (∀n∈N) és γ=1. Fogalmazzuk át a tételt s − s leképezésre (a σ leképezést használva ekvivalens állítást kapunk)! [℄Egy B = [bm,n ]m,n∈N mátrixszal adott operátor s-b®l s-be képez P (y∈ s-re By := ( n bm,n yn )m∈N ∈ s) pontosan akkor, ha teljesülnek a következ®k: P (i) supm n |bm,n −bm,n+1 | < ∞, azaz a mátrix sorai bv-beliek, 4.7 Állítás (ii) ∃ limm−∞ (bm,n −bm,n+1 ) =: γn (∀n∈N), azaz a mátrix oszlopai c-beliek (iii) ∃ limm−∞ (bm,0 −

limn−∞ bm,n ) =: γ P Ekkor γn abszolút konvergens és z := Ay -ra P P P lim zn = γ·s + γn (sn −s) = s·(γ− n γn ) + n γn sn P ahol sn := nk=0 yn , s := lim sn . P P Pn PN PN Bizonyítás. yn = xn+1 −xn , xn = nk=0 yk alapján N n=0 am,n k=0 yk = k=0 yk n=k am,n , P∞ QED azaz bm,n = k=n am,k és így am,n = bm,n −bm,n+1 . ◦Megjegyzés. [℄Az el®z® állítást átírhatjuk a 35 állításnak jobban megfelel® alakba is: T := N∪{∞}, t0 := ∞, ϕn (m) := bn,m , így B = [ϕn (m)]m,n∈N mátrixszal adott operátor s-b®l P s-be képez (y∈ s-re By := ( n yn ϕn (m)))m∈N ∈ s) pontosan akkor, ha teljesülnek a következ®k: P (i) supm n |ϕn (m)−ϕn+1 (m)| < ∞ ( ⇐⇒ supm kϕ(m)kbv < ∞) 4.8 (ii) ∃ limm−∞ (ϕn (m)−ϕn+1 (m)) =: γn (∀n∈N) (⇐ ∃ limm−∞ ϕn (m) (∀n∈N)), P (iii) ∃ limm−∞ n (ϕn (m)−ϕn+1 (m)) = limm−∞ (ϕ0 (m) − limn ϕn (m)) =: γ (⇐ ϕ(m)∈bv miatt (∀m∈N)(∃ limn−∞ ϕn

(m))) Ez már következik a 3.5 tételb®l A következ® néhány szummá iós módszer mindegyike felírható alsó háromszögmátrix alakban, így t0 := ∞, T := N∪{∞}. 4.iv Poisson-szummá ió X n 1X an := lim ak Poisson n− ∞ n k=1 ha létezik   1 , n≤t n A 3.5 tétel segítségével belátjuk, hogy ez egy reguláris szummá iós funk ionál: ϕn (t) = 0, n>t Pt P∞ 1 1 1 (most n = 1, 2, . ) korlátos változású, kϕ(t)kbv = 1 + n=1 n+1 − n ≤ 1 + n=1 n2 < ∞. 2004. már ius 16 Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 18. oldal Általános szummá iós módszerek Ez megegyezik a (C, 1)-szummával.  APoisson 1 0 1 2  . . = . 1 m . 1 2 . 0 . . . . . . 1 m . . . . .  . . 1 m . . . 0 . . . .          4.v Egyszer¶, de általános szummá ió [DS88℄ Legyen (pn )n∈N ⊂ R+ nemnegatív sorozat és jelölje az Pn Pn := k=0 n

yn := 1 X · pk xk Pn pk . Adott x sorozatra mikor lesz k=0 egyenl®séggel deniált leképezés kiterjesztése Alkalmazzuk a 3.5 tételt sup kϕ(t)kbv = sup t∈Ṫ t∈Ṫ Σ-nak?   pk , k≤t T := N∪{∞}, t0 := ∞, ϕk (t) := Pt 0, k>t ( 1 · Pt |p0 | + t X !) |pk+1 − pk | k=0 < ∞ ⇐⇒ szereposztással. Ekkor lim Pt = ∞ t− ∞ ((∀k∈N) ∃ limt− t0 ϕk (t)) is nyilván teljesül, hiszen a p sorozat nemnegativitása pk (Pn )n∈N monoton növ® sorozatot alkot, így limt−t0 ϕk (t) = limt−∞ P = 0. t Ha pn =1 (∀n∈N), akkor épp a Cesàro (C, 1)-szummá iót kapjuk. A másik feltétel miatt  A= p0  Pp00 P  1  .  .   p0  Pm  . . .  0 p1 P1 . . . p1 Pm . . . 0 . . . . . . . pm Pm . . . 0 . . . .          4.vi Cesàro (C, α) Jelölje β C0β := 1, Cm := 4.9 Állítás m+β−1 m [℄Adott x∈
s = 1 m! ·β(β+1) · · · (β+m−1)

sorozatra az yn := egyenl®ség (sk := Bizonyítás. Pk i=0 1 Cnα+1 ∞ X α Cn−k sk k=0 xi ) permanens összegzést deniál minden α>0-ra. Alkalmazzuk a 3.5 tételt 2004. már ius 16 (m>0-ra). Ekkor T := N∪{∞}, t0 := ∞,  α t−k  Cα+1 , k≤t ϕk (t) := Ct 0, t>k Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 19. oldal Általános szummá iós módszerek α Pt Cα −Ct−k Ctα kϕ(t)kbv = C α+1 + k=0 t−k−1 , itt α+1 C t t Pt P α−1 1 = = k=0 (t−k)! ·α(α+1) · · · (α+t−k−2)·(α+t−k−1 − (t−k)) = tk=0 Ct−k szereposztással. Ekkor Pt k=0 Ctα α α Ct−k−1 − Ct−k Tehát supt∈Ṫ kϕ(t)kbv = supt∈Ṫ limt−t0 ϕn (t) = limm−∞ reguláris (C, 1)-szummá A tokra (permanens). 2Ctα Ctα+1 n α Cm−n o = limm−∞ α+1 Cm QED t+1 = supt∈Ṫ 2 α+t =2 α(α+1)···(α+m−n−1) m! (m−n)! · α(α+1)···(α+m−1) = 1, tehát a módszer iót

el®ször D. Bernoulli használta 1771-ben periodikusan osz illáló soroza- (Leibniz spe iális sorozatokra már 1713-ban használta). 1880, 1882-ben Frobeniusnál és Hölder- nél is felfedezhetjük, 1890-ben Cesàro publikált ezen eljárás általánosításáról. [Har49℄  A(C,α) 1  C1α  C α+1  1α  C2  C α+1  2 = .  .  α  Cm  α+1  Cm 1 C1α+1 C1α C2α+1 . . . α Cm−1 P Cr 1 C2α+1 . . . . 1 . . 0 0 α+1 Cm . . . . . . . . Pm             s r s+r+1 , amib®l következik, hogy n=0 Cm−n Cn = Cm n |amn | = m− ∞ 1 −−−−−− Γ(r+1) -t felhasználva következik, hogy rögzített n-re amn = 1 ∀m. Innen mm2 m− ∞ amn −−−−−− 0. Tehát (C, r) mátrixa Mivel s>r esetén n 0 α+1 Cm . . . . . . Könnyen belátható, hogy  0 Toeplitz tulajdonságú, ha Cnr = s−r X (−1)k k=0 Cnr -et negatív r-re
Pn p k=0 ak  2 An−2 − · ·

· , ahol An := így deniálhatjuk P r≥0.   s−r s Cn−k k r= − p, s=0 szereposztással Cn−p = An − −1 azaz Cn = An −An−1 = an . is: p 1
An−1 + 4.vii Nörlundszummá ió [Wil84, 32. oldal℄ Legyen p∈ω(C), p1 := 0 és jelölje lesz az yn := Pn := Pn k=0 pk . Feltehet®, hogy Pn 6=0. Mikor n 1 X pn−k xk Pn k=0 egyenl®séggel deniált leképezés kiterjesztése  ANörlund = p0  Pp10 P  1  .  .   pm  Pm  . . . Σ-nak?  0 p0 P1 . . . pm−1 Pm . . . 0 . . . . . . . p0 Pm . . . 0 . . . .          [℄Az ANörlund = (N, p) Nörlund-mátrix pontosan akkor konzervatív (kiterjesztése Σ-nak), ha teljesülnek a következ®k: P (i) (∃M >0)(∀n∈N) nk=0 |pn−k − pn−k+1 | ≤ M |Pn |, 4.10 Állítás 2004. már ius 16 Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 20. oldal Általános szummá iós módszerek (ii) ∃ limn−∞

pn Pn =: λ. A módszer pontosan akkor reguláris (permanens), ha (i),(ii) mellett λ=0 is teljesül. Bizonyítás. Alkalmazzuk a 3.5 tételt szereposztással. Ekkor sup kϕ(t)kbv = sup t∈Ṫ ϕn t∈Ṫ folytonos t0 -ban ( T := N∪{∞}, t0 := ∞,   pt−k , k≤t Pt ϕk (t) := 0, k>t 1 · Pt ⇐⇒ ∃ limt−t0 |pt | + t X !) |pt−k − pt−k+1 | k=0 < ∞ ⇐⇒ (i) pt−n Pt . Ugyanakkor   pt−n−1 pt−n−1 Pt−1 pt t− t ϕn+1 (t) = −−−−−0 ϕn (t0 )·(1−λ) = · = ϕn (t−1)· 1 − Pt Pt−1 Pt Pt ϕ0 (t) = Azaz pt Pt =1− Pt−1 Pt alapján ϕn+1 (t0 ) = ϕn (t0 )·(1−λ) = ϕ0 (t0 )·(1−λ)k+1 = λ(1−λ)k+1 ∃ limt−t0 ϕn (t) ⇐⇒ ∃ limt−t0 ϕ0 (t) = limn−∞ Ppnn = λ. (N, p) Nörlund-szummá ió pontosan akkor reguláris (permanens), Következésképpen Tehát az A Nörlund mátrixok könnyen manipulálhatóak a P∞ n hatványsor segítségével, ahol P (z) := n=0 Pn z . P∞ p(z) :=

n=0 λ = 0. QED pn z n = (1−z)P (z) formális ha p(z) = (1−z)−1 , ekkor p=1, (N, p) = (C, 1). Ha α∈N, akkor p(z) := (1−z)−α =
P n+α
n n+α−1 n −α−1 z mellett P (z) = p(z) = n 1−z = (1−z) n z , tehát (N, p) = (C, α). Pt α+1 α α Ha α∈R, úgy kihasználva, hogy látható, hogy pk := Ck esetén éppen egy k=1 Ct−k = Ct Legyen például P Nörlund-szummá iót kapunk. 4.viii Hölder-szummá ió P Pn 1 Hn0 := nk=0 ak , Hnr+1 := n+1 H r és azt mondjuk, hogy ha ∃ limn−∞ Hnk =: A, P k=0 k akkor a Σan sor (H, k)-szummábilis és (H,k) an := A. Szokás (H, 0)-t a Cau hy-féle konvergen iának tekinteni. Nyilván (H, 1) = (C, 1) 1 Pn r Hnr+1 = n+1 m=0 Hm , ez a rekurziós lépés azon H alsó háromszög-mátrix alkalmazását Σan sorra jelenti, amelyre   1 , j≤i H(i, j) := i 0, különben Mivel Hn0 = mátrix. Pn k=0 ak ,  (1≤i, j ) azaz 0 1 2   . H = . 1 m  1 2 . . . ezért ez

másik mátrixot jelent:  1   A = 1 . . . 2004. már ius 16 1 0 1 A a . . . . . 1 m 0 . . . .          supa 1-esekb®l álló alsó háromszög-  0 . 0 . 1 m  . .    Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 21. oldal Általános szummá iós módszerek (H, 0) megfelel az A mátrix által megadott szummá iós módszernek, (H, k) pedig a H k A mátrix indukálta módszernek. Mivel mind az A-szummá ió, mind a H -szummá ió reguláris, ezért a (H, k)-szummá ió is az. Tehát 4.ix Euler-szummá ió P∞ Σan sor (E, 1)-szummábilis, ha ∃s := n=0 s.
pk := nk -val épp egy Nörlund-szummá bn 2n+1 < ∞, ahol bn := iót kapunk, tehát Pn k=0 n k
ak . Ekkor P (E,1) an := (E, 1) is reguláris (permanens) szum- má ió.  AEuler 1 2 1 4 1 8 . . .  0          =  .  .   .  .   1  2m+1  . . . 1

4 2 8 . . . 0 1 8 0 . . . . . . . . . . . . ( ) m 2 2m+1 m 2m+1 . . . . ( ) m m−2 2m+1 . . . . m 2m+1 . . 1 2m+1 0 . . . .                   4.x Borel mátrix Tekintsük a következ® Toeplitz-mátrixot: ϕk (t) := k ak (t) = e−t · tk! (k∈N, t>0). Ez megegyezik a k e−t · tk! által (6) formában megadott szummá ióval. Alkalmazzuk most Toeplitz tételét (4.6) az ABorel R+ sorú és N oszlopú mátrixra (megtehetjük  akár az eredeti bizonyítás szerint, akár az itt leírt a 3.5 tételre való visszavezetés szerint), t− ∞ ak (t) −−−−− 0, P |ak (t)| = P ak (t) = 1, ekkor ak (t) ≥ 0, azaz minden feltétel teljesül, a Borel-mátrix reguláris. 4.xi Fourier-sorok által inspirált eljárások [Har49℄ sn (θ) := Pn k=0 cos kθ = tm (θ) := tm (x, θ) := sin (n+ 21 )θ 2 sin θ2 X cm,n Dn (θ) X cn (x)Dn (θ) = Dn (θ) alapján (C, 1)-összege

X tm (θ) = (C,1) Abel-összege X  2 sin 12 (m+1)θ 1 · 2(m+1) sin 12 θ tm (r, θ) = Abel Mindkét sorösszeg nemnegatív, m−∞ esetén 0-hoz tart egyenletesen tartalmazó zárt részintervallumán. 1 − r2 2(1−2r cos θ + r2 ) (−π, π) minden 0-t nem √ Γ(m+1)· π 1 2m+1 · Γ(m+ 12 ) ·(1 + cos θ)m , itt  m(m−1) 2m! 1 m (1 + cos θ)m = 21−m · (n!) + cos θ + cos 2θ + · · · . Innen kapjuk 2 · 2 m+1 (m+1)(m+2)   P m(m−1) m Poussin dení ióját: an = limm−∞ a0 + m+1 a1 + (m+1)(m+2) a2 + · · · , így P∞ (m!)2 tm = k=0 (m−k)!·(m+k)! · sk . Hasonló tulajdonságokkal bír tm (θ) :=  2004. már ius 16 Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens de la Vallée 22. oldal Általános szummá iós módszerek Azaz ϕn (m) := (m!)2 (m−n)!·(m+n)! dení ióval (6) alakú felírását kaptuk a de la ValléePoussin-szummá iónak, ez reguláris a 3.5 tétel alapján: sup kϕ(t)k = sup

m∈N∪{∞} t∈Ṫ ( ) m−1 X m(m−1) · · · (m−n+1) (m!)2 m(m−1) · · · (m−n) + − m!·m! n=0 (m + 1) · · · (m + n) (m + 1) · · · (m + n + 1)   1,2 m ≤ sup 1+ =2 m+1 m∈N∪{∞} m(m−1)···(m−n+1) m(m−1)···(m−n) − (m+1)···(m+n+1) (m+1)···(m+n)   n Pm−1 2n+1 1 m ≤ m+1 n=0 m+1 · m+1 ahol 1: 2: Ugyanakkor  1  1  1  =  .   1  m(m−1)···(m−n+1)·(2n+1) (m+1)(m+2)···(m+n+1) m(m−1)···(m−n+1) (m+1)···(m+n) n m ≤ (2n+1)· (m+1) n; =1  0 1 2 2 3 0 2 12 0 . m m+1 . . . . . . 5. = ∃ limm−∞ ϕn (m) = limm−∞ Ade la ValléePoussin Ṫ := N, t0 := {∞}, m(m−1) (m+1)(m+2) . . . . m(m−1)···(m−m+1) (m+1)(m+2)···(m+m) 0 . . . .            Általánosítások 5.i A módszerem általánosítása A következ®kben belátjuk, hogy a 3.5 tételben nem sok szerepe van a konkrét sorozattérnek nek), egy S

T ( s- bizonyos feltételek mellett általánosíthatunk. ∗ természetesen továbbra is az sorozattérrel, akkor ezt a T S tér topologikus duálisát jelöli, de ha ez izometrikusan izomorf S ∗ -al jelöljük. Tehát S ∗ elemeit folytonos lineáris sorozatteret is funk ionálként és sorozatként is tekinthetjük. 5.1 Állítás [℄ Legyen S sorozattér AK-tér, T topologikus tér, t0 ∈T rögzített, Ṫ := T {t0 }. Az At (a) := ∞ X an ϕn (t) (a∈ω , t∈Ṫ ) (8) n=0 egyenl®séggel deniált funk ionál pontosan akkor létezik (a szumma véges) adott t∈Ṫ mellett minden a∈ω sorozatra, ha ϕ(t) ∈ S ∗  azaz a ϕ(t) sorozat eleme az S ∗ térrel izometrikusan izomorf sorozattérnek. Bizonyítás. 5.2 Lemma Bizonyítás. QED Az állítás következik a 2.2 tételb®l [℄ ∃c, C > 0 : ∀t∈Ṫ c· kϕ(t)kS ∗ ≤ kAt k ≤ C· kϕ(t)kS ∗ . A 2.4 állítás alapján P∞ kAt k = sup {| n=0 an ϕn (t)| : a∈ω, kakS ≤1} =

kϕ(t)kS ∗ QED [℄ Annak szükséges és elegend® feltétele, hogy az (8) egyenlettel deniált {At }t−t0 (általánosított) funk ionál-sorozat A limesze folytonos és lineáris funk ionál legyen a következ®k: 5.3 Tétel 2004. már ius 16 Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 23. oldal Általános szummá iós módszerek (i) supt∈Ṫ kϕ(t)kS ∗ < ∞, azaz ϕ egyenletesen S ∗ -korlátos Ṫ -n, (ii) ϕn -ek folytonosak t0 -ban ∀n∈N-re. Ha azt szeretnénk, hogy A(a)=Σa (a∈ω ) teljesüljön, akkor (ii) a következ®képp módosul: (ii) (∀n∈N)(limt−t0 ϕn (t) = 1). Bizonyítás. A Bana h-Steinhaus tétel (a) supṪ kAt k < ∞, (b) ∃M ⊂S Azaz totális rendszer (i) ⇐⇒ (a) (hM i=S ), melyre At − A pontonként az M -en. az 5.2 lemma alapján; Belátjuk, hogy az elég, mert szerint szükséges és elegend®, hogy t− t At −−−−−0 A pontonként (feltettük, hogy S AK-tér). Tehát

rögzített a∈M -re M := {a[n] : a∈ω} hM i k·kS -ban s¶r¶ S-ben n X (∀ε>0)(∃U ∈τ (t0 ))(∀t∈U̇) : nite sorozatok halmazán ak ϕk (t) − k=0 azaz (b) pontosan akkor teljesül, ha Ha most A↾S = Σ-t szeretnénk n X ak ϕk (t0 ) = k=0 ∀n∈N-re ϕn n X ak (ϕk (t)−ϕk (t0 )) < ε k=0 t0 -ban. (∀n∈N)(limt−t0 ϕn (t) = 1) folytonos (permanen ia), akkor feltétel. 5.i1  ez a megfelel® QED A 4.12 lemma néhány realizá iója Lássuk tehát néhány realizá ióját az 5.2 lemmának: mivel kAt k = sup t∈Ṫ ezért elegend® 5.4 Állítás ( ∞ X an ϕn (t) : a∈ω, kakS ≤1 n=0 P∞ PN | n=0 an ϕn (t)| = limN −∞ n=0 an ϕn (t) ) -t be sülni kϕ(t)kS ∗ -al. [5.2 lemma ℓ1 -re℄ kAt k = kϕ(t)kℓ∞ (At : ℓ1 − K) Bizonyítás. A fels® be slés: PN PN PN N− ∞ n=0 an ϕn (t) ≤ n=0 |an |·|ϕn (t)| ≤ (supn |ϕn (t)|)· n=0 |an | −−−−−− kϕ(t)k∞ · kak1 . Másik irányhoz

legyen ε>0, Hε := {n∈N : |ϕn (t) − kϕ(t)k|∞ < ε}, Hε [m] a Hε egy m elem¶   1 , n∈H [m] ε (ε,m) részhalmaza és legyen an := m 0, különben P∞ (ε,m) (ε,m) Ekkor (an )∈ℓ1 , a(ε,m) 1 = 1 és ϕn (t) − kϕ(t)k∞ < ε, ha m elég nagy. n=0 an QED ε − 0, m − ∞. 5.5 Állítás Bizonyítás. ∞ X [5.2 lemma PN n=0 bv-re℄ an ϕn (t) = an ϕn (t) ≤ lim |a0 |· N− ∞ n=0 kAt k = kϕ(t)kbs (At : bv − K) PN n=0 N X n=0 a0 ϕn (t) + ϕn (t) + N X PN n=0 n=0 Pn |ϕn (t)| · k=1 (ak −ak−1 )·bn így n X |ak −ak−1 | ≤ k=1 ≤ |a0 |· kϕ(t)kbs + kakbv · kϕ(t)kbs 2004. már ius 16 Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 24. oldal Általános szummá iós módszerek ε>0, H ε := {n∈N : |ϕn (t) − kσ(ϕ(t))k∞ | < ε}, Hε [m] a Hε egy m elem¶  1 , n∈H [m]
[m] ε (ε,m) (ε,m) (ε,m) részhalmaza és legyen an . := m és legyen am+1 − am+2

:= 1 − a(ε,m) 0, különben bv P∞ (ε,m) (ε,m) Ekkor (an ϕn (t) − kϕ(t)kbs < ε, ha m elég nagy. )∈bv, a(ε,m) bv = 1 és n=0 an Másik irányhoz legyen QED ε − 0, m − ∞. [5.2 lemma ℓ2 -re℄ kAt k = kϕ(t)kℓ2 (At : ℓ2 − K) 5.6 Állítás P Bizonyítás. | ∞ n=0 an ϕn (t)| ≤ kakℓ2 · ϕ(t) ℓ2 a Cau hy-Bunyakovszkij-S hwartz egyenl®t- lenség szerint. A másik irányhoz legyen kϕ(t)k2ℓ2 = kakℓ2 · kϕ(t)kℓ2 . an := ϕn (t), ekkor (an )∈ℓ2 , kakℓ2 = kϕ(t)kℓ2 és P∞ | n=0 an ϕn (t)| = 5.7 Állítás [5.2 lemma ℓp -re℄ kAt k = kϕ(t)kℓq (At : ℓp − K, 1p + 1q = 1, 1<p<∞) Bizonyítás. Hölder-egyenl®tlenség szerint | A A másik irányhoz legyen Ekkor kakℓp =1 és P∞ n=0 an ϕn (t)| ≤ kakℓp · kϕ(t)kℓq .  q |ϕ (t)|  n 1 , k≤m Pm u q p an := ahol u := ( k=0 |ϕk (t)| ) . 0, k>m P∞ | n=0 an ϕn (t)| ≥ kϕ(t)kℓq . QED QED [5.2 lemma c-re℄ kAt k =

kϕ(t)k1 (At : c − K) 5.8 Állítás P P∞ Bizonyítás. | ∞ n=0 an ϕn (t)| ≤ (supn∈N |an |)· n=0 |ϕn (t)| = kakq c · kϕ(t)k1 . A másik irányhoz legyen an := sgn ϕn (t) P∞ n=0 an ϕn (t) = n=0 |ϕn (t)| = kϕk1 . (K=R) vagy an := P∞ ϕn (t) ϕn (t) (K=C), ekkor kakc =1, QED 5.ii Egy messzemen® általánosítás Legyen X egy tér, µ egy ezen értelmezett mérték és tekintsük a következ® Af (x) := Z A : F − F operátort: A (x, y) ·f (y) dµ(y) X Ezen operátort altere, melyet szummá iós eljárásnak mondjuk, ha van az értelmezési tartománynak olyan A helyben hagy. Természetes kérdés, hogy ha adott egy ilyen szummá iós eljárás, akkor azt meddig lehet kiterjeszteni? F : L2 − L2 Fourier-operátor, Af (x) := ahol az integrált Z ∞ −∞ Cau hy-f®értékben 1 ·f (x) dy x−y értjük. Igazolható, hogy ha integrál Cau hy-f®értékben létezik, s®t 2004. már ius 16 Hilbert-transzformá ió f ∈ Lip (α)

(0<α<1), akkor ezen Af = f . Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 25. oldal Általános szummá iós módszerek Hivatkozások [DS88℄ Nelson Dunford and Ja ob T. S hwartz, Linear Operators, Wiley Classi s Library Edition, vol. 1, John Wiley & Sons, 1988 [Gam℄ R. V Gamkrelidze (ed), [Gyö71℄ Pál László György, [Har49℄ G. H Hardy, , EMS, vol. 13 Ortogonális függvénysorok, Divergent series, [Mad70℄ Ivor J. Maddox, [Mad80℄ Analysis i., ELTE Tankönyvkiadó Budapest, 1971. Oxford University Press, 1949. Elements of Fun tional Analysis, Innite Matri es of Operators, Le Cambridge University Press, 1970. ture Notes in Mathemati s, vol. 786, Springer- Verlag, 1980. [Ru 81℄ William H. Ru kle, Sequen e spa es, Resear h notes in Mathemati s, vol. 41, Pitman Publishing Limited, London, 1981, C16411. [Wil78℄ Albert Wilansky, Modern Methods in Topologi al Ve tor Spa es, M Graw-Hill, 1978, C16204.

[Wil84℄ , Summability through fun tional analysis, North-Holland mathemati s studies, vol. 85, North-Holland  Amsterdam, 1984, C16683 2004. már ius 16 Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 26. oldal Általános szummá iós módszerek A. Alapfogalmak, jelölések: K := R v. C, R+ = {x∈R : x≥0}, R+ := R+ {0} X K feletti vektortér (vektortér) az alaptér N a természetes számok halmaza, 0 számmal kezd®d®en; Az összegzések 0-al kezd®dnek és az indexbeli változóra történnek  kivéve ha ki van írva. ω(X) := F(N, X) az X vektortér feletti sorozatok vektortere  a dolgozatban számsorozatokkal foglalkozunk, így X=K, ω := ω(K). a, b, x, y általában sorozatot jelöl, mint függvény  de x(n) helyett xn -et írunk supn := limn∈N xn . n supn∈N , lim x := o 1 P∞ ℓp := x∈ω : kxkp := ( n=0 |xn |p ) p < ∞ Bana h-tér ℓ∞ := {x∈ω : kxk∞ := supn |xn | < ∞} a korlátos sorozatok Bana h-tere c :=

{x∈ω : ∃ lim x} a konvergens sorozatok Bana h-tere (a supnormával) c0 := {x∈c : lim x = 0} a konvergens nullsorozatok Bana h-tere a supnormával Pn Pn s := {x∈c : ( k=0 xk )n∈N ∈ c} a konvergens sorok tere a kxk s := supn | k=0 xk | normával P∞ bv := {(xn )∈ω(X) : n=0 |xn+1 −xn | konvergens} a korlátos változású sorozatok tere az P∞ kxkbv = |x0 | + n=0 |xn+1 −xn |-normával bv0 := bv ∩ c0 a korlátos változású nullsorozatok tere a k·kbv -normával Pn bs := {a∈ω : supn | k=0 ak |<∞} a korlátos részletösszeg¶ sorok tere bfa(N)(X) legyen a korlátos, végesen additív, komplex érték¶, X -en értelmezett halmazfüggPn ∗n vények tere a kµk := sup { i=0 |µ(Ei )| : X = ∪ i=0 Ei } normával. δ n az a sorozat, mely mindenütt 0, kivéve az n helyen, ahol 1 (δkn = δnk Krone ker-szimbólum). Általában a sorozatot kis latin bet¶ jelöli, alul indexelve a sorozat elemei. A mátrix elemei általában 2004. már ius 16 aik -k, de

ugyanezt jelöli A(i, k) is. Készítette: Gulá si Tamás Témavezet®: Czá h László do ens 27. oldal