Physics | Higher education » Giber-Sólyom - Fizika mérnököknek I-II.

✁ ✂ ✄☎✆✝ ✞✟✠✡☛ ☞✌✍☞✎☞✏✑ ✎✒✓✔✕ ✁ ✂ ✖✗✘✙✡✚ ✛✠✜ ✟☛ ☞✌✍☞✎☞✏✑ ✒✢✣✤✓✥✎✤✦ ✁ ✂ ✧✡★☛✟✠✙☎ ✩✟☛✪✘✗ ✫✥✬✭✮✑✬✬✒✏✫✦✏✯✕✓✰✥ ✱✛ ✚✲☛✪✳✴☎ ✵☎✪☎✴✳ ✳✘✳✶✷✳☎✸ ✹✺✻✹✼✹✽✾ ✼✿❀❁❂❀✻❃ ✽❄❅❆❇❅❈❅❉❊ ❁❊❋❍■ ❏❑❑❑▲ ✦ ✁✂✄☎✆✝✞ ✟✠✆✡✂☛✞ ☞✆ ✌✂✡✁✂✆✍✌✝ ✁✎✟✍✏✑✞ ☎✌✑☎✝☎✟ ✝✝☛ ✟✞✆☛✎✬✒✞ ☎✌✑☎✝☎✟ ✵☎✆✡✄✓☞✟✞ ☎✌✑☎✝☎✟ ✌✍✦✎✓ ✁☞✏☎✆ ✔✕✞✆☛✎✬✂ ✙✂ ✖✗✘✚✛✜✢ ✣✢✚✢✜✛ ✛✤✛✥✧✛✢★ ✩✪ ✫✭✮✯✰✱ ✲✳✴✴✴✶ ✷ ✸✹ ✺✰✻✼✽✾✮✼✮ ✼✮✿✼✮✻❀✮✾✾✮❁ ❂ ✹✿✪ ❃✭❄❅✿

❆✰❇✽✱❈ ✹✿✪ ❉❊✻❋✽❀ ✷❇✯✿✰✱❈ ✹✿✪ ✽❍✱✰❇❋✭ ■✰✱✾✻❊ ❂ ❲✮✿❳✰❇❨ ✹✿✪ ❆✽✱❅❩✽✺✭✼✱ ✮✼✮✻✭❇ ❂ ✹✿✪ ❲✮✿❳❵✮ ❛✮❳✯✽✻❇✮ ✲❜❝❞❡❢ ❣❤✐❥❦ ❧♠♥❦♦❡♣q✶ ❂ ✹✿✪ ❉✾✰✱✾ ❃✰❄✽✿ ✲❜❝❞❡❢ ❣❤✐❥❦ ❧♠♥❦♦❡♣q✶ s❃ts✉s❛✈ ✉✷✇①✇t❲ ❛②❅❳❋❅✼❅❀✭ ✭✮✯❊❈ ✳✴✴✴✪ ❏❑▲❑▼◆ ❖P◗❘❙▼❙▼❘❚▼ ❯❱❯❯✪ ❏❑▲❑▼◆ ❬P❭❪◆❫❴◗ ❯❱❯❯✪ ❏❑▲❑▼◆ rP❭❪◆❫❴◗ ❏❑▲❑▼◆ rP❭❪◆❫❴◗ ✦ ✁✂✄☎✆✝✞ ✟✠✆✡✂☛✞ ☞✆ ✌✂✡✁✂✆✍✌✝ ✁✎✟✍✏✑✞ ☎✌✑☎✝☎✟ ✝✝☛ ✟✞✆☛✎✬✒✞ ☎✌✑☎✝☎✟ ✵☎✆✡✄✓☞✟✞ ☎✌✑☎✝☎✟ ✌✍✦✎✓

✁☞✏☎✆ ✔✕✞✆☛✎✬✂ ✙✂ ✖✗✘✚✛✜✢ ✣✢✚✢✜✛ ✛✤✛✥✧✛✢★ ✩✪ ✫✭✮✯✰✱✲ ✳✴✴✴✪ ✶✷✸✶✹✶✺✻ ✹✼✽✾✿✽✸❀ ❁❂❃❄❅❃❆❃❇❈ ❉❈❊❋❍ ■❏❏❏❑ ✰ ✁✂✄✂☎✆ ✄✝✞✟✠✞✁✡✟☛✞✄ ✡✝✑☞ ✟✆✝✌✍✎✍✄ ✂✞ ✂✌☛✑✁✂✏✄✂✒ ✓ ✔✕✰ ✖✂✗☎☛✎✏✂✄✄✘✌✙☎✍✞✁✆ ✟✝✗ ✌☛✟✍✞✚✝ ✛✜ ✢✣✤✥ ✦✧★✩✪✤✫ ✣✢✦✫✬✭✪✣✫✪✦✮ ✯✱✲ ✳✴✵✴✱ ✶✷✸✱✹✷ ✢✺✻✢✫✢✼✧ ✫★✽✪✭ ✯✱✲ ✾✿✱❀❁❂✷❃ ✶✷✸✱✹✷ ✢✺✻✢✫✢✼✧ ✫★✽✪✭ ❄✜★✦✼★✧✣★✺ ✤✜✢✭✦✢✤✜✫✢✫✫✢❅ ❆✗❇ ❈✆❉✂✗ ❊✍✞✙✎ ❋ ❆✗❇ ❈✆❉✂✗ ❊✍✞✙✎ ❆✗❇ ☞✑✁✙☎ ✓✞✌✗✍✎ ❆✗❇

❍✙■✎✍✞✁✆ ❏✍✎✏✑☞ ❑▲▼▼▼◆ ❖✔P ▼◗❘ ❙❚❯ ◗❚❘ ▼ ✛ ✦✧★✩✪✤❱✭✫ ❲✢✣✢✣❅ ✝ ✔✕✰ ✖✖❍ ✌☛✟✍✞✚✝ ✕✂ ✚✂✑✂✞✄ ✝ ❳❨❩❬❭❩❪❩❫❴ ❵❴❛❜❝ ✙✞✌✙✏✍✎✍❉✝✞❇ ❞✂✑✂✑❡✎ ✡✂✏✂✄❡✒ ❢✂✗✂✎✎ ❊✍✞✙✎ ❣❤✽✻✐ ★✜✬✽✬✤❥✫❦❅❧♠❧♠❧ ♥❱✭✢✫❅ ✓♦♣ q❱✣✩✪✽✻✤✜✪✼❅ ▲❘❯❯ ✓ ✟✠✞✁✡ r❆ ❑❚❇✟✆✝✌✍✎✍✞✝✟◆ ✂✑❡✟☛✎✏s✄❡✚✂t ✎✏✂✗✟✂✎✏✄❡✚✂ ☛✎ ✟✆✡✆✄✂✑✂✏❡✚✂ ✝ ✓ r❆✉✄ ✟☛✎✏s✄✂✄✄✂✒ ✾✈✇✯ ✾❃✵①✴②✴❂ ③✴④⑤✿⑥②⑦①④①⑧⑨✹✷❁✱②⑩ ③❶② ✟ ✁✂✄☎✆✝✞✠ ✡☛✝☞✄✌✠ ✍✝ ✎✄☞✂✄✝✏✑✞✁✂✒✓✏✔✕✠

✖✑✕✆✞✆✓ ✍✝ ✄ ✌✥✔✕✗ ✝☞✆✘☞✙✠ ✌✥✝☞✥✔✠✌ ✛ ✚✜✢✣✢✤✚✦✧★✩ ✄ ✡✖✪✫✠✆✓✆✔✝ ✆✑✕✬✞✞✓☛✌✥✂✍✝✠ ✝☞✆✘☞✙✂✍✝ ✌✆✘✆✞✍✭✆✔ ✄ ✮✠☞✠✌✄ ✡✍✘✔✥✌✥✌✔✆✌ ✯✪✯✯✰ ✞✄✔✌✥✔✕✗ ✱✲✪✌✠✄✂✏✝✏✔✄✌ ✞✏✓✒✑✄✞✏✝✏✞✰ ✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵✵ ✿✳✴✶✷✸ ✹✺✴✻✼✽✽✾ ❀❁❂❃❄❅❁❆❇❈❇❉❁❊ ❋✺ ❁❍❁❊❁❆❉❁ ❊■❏ ❑✺✴✽❋✳■✶▲✺ ▼✺✽✺▲✻■◆✴✽◆ ❋✺ ❖■✳✺P◗❘❙✹ ❘✺✳✼◆ ▼✻❚✹✸ ❅◗❯❱❲❯❱ ❖✺■✽▲✺■✻✸ ▼✺✻✼✽P✸ ❳❱❨❩ ❅■✺ ❉✺✶▲✽■❬✶▲✺ ❭✽■❪✺❬■❏❫❏ ❴✴❋✼❵✺❬❏ ✴✽❋ ❋✺

❇✺✽■❛◗❜✴❏▲❛ ❀❛❑❝ ❅❝ ▼■❚✺ ❚✺❋✼✽✷❏ ❬■✶▲ ❑❞ ❋■✺ ◆❛❬❬❡❞◆■◆✺ ▼✺✽✺▲✻■◆✴✽◆ ❄✷❏❛❚✺✸ ❳❱❱❱ EL!SZÓ AZ ELS! KIADÁSHOZ A kötet, amelyet az Olvasó kezében tart az okleveles mérnökképzés nemzetközi normáknak megfelel! háromszemeszteres fizika alapkurzusa els! két szemeszterének anyagát tartalmazza a világ egyetemein nem fizika f!szakos hallgatóknak "University Physics" címen tartott el!adások színvonalán. A kötet a szerz!k szándéka szerint önálló tanulásra is alkalmas. A könyv tematikája felöleli a mérnökök számára alapvet!en fontos tárgyköröket, a m"szaki fizika ismeretanyagát. Az Olvasó bizonyára felfigyel arra, hogy néhány "szokásos" fejezet (így pl. a hidrodinamika alapjai, a kontinuumok mechanikája, a folyadékok és gázok elektromos vezetésének problémái, a geometriai optika,

a hangtan és a magfizika alapjai) hiányzik a könyvb!l; ezekkel kapcsolatban a gimnáziumok szakosított fizika tankönyveire (melyek anyagát ismertnek tételezzük fel) és az el!szó után feltüntetett ajánlott irodalomra utalunk. A tematika különben megfelel a Budapesti M"szaki Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai-, valamint Vegyészmérnöki Karán jelenleg már el!írt és remélhet!leg a többi karon is rövidesen elfogadott tematikának. Az anyag tárgyalása során a fizikai gondolkodás alapvet! menetét követjük és arra törekedtünk, hogy az egyes diszciplinák tárgyalásakor kitekintsünk az adott diszciplinának a többi fizikai tudományágban való alkalmazásaira is. Ez a tárgyalásmód megköveteli, hogy az els! fejezetben, ha elemi módon is, de megismerkedjünk a m"szaki fizika általános, több diszciplinában is használt alapfogalmaival, alaptörvényeivel. A könyvben a mérnök számára szükséges általános ismereteken

túlmen!en minden fejezetben nagy súlyt helyeztünk az anyagtudományt megalapozó mikrofizikai ismertetésére; ilyen értelemben el!készíti a harmadik szemeszter tárgyát képez! szilárdtestfizikát. Az anyag tárgyalása során használt matematikai apparátus mind az olvasó, mind a szakmai közvélemény szíves megértését tételezi fel: át kell hidalnunk a párhuzamosan futó matematika el!adásokon már megismert, és az egyes diszciplinák egzakt tárgyalásához minimálisan szükséges matematikai apparátus közötti (id!ben átmeneti) hézagokat. Ugyanakkor nem engedhettük meg azt sem, hogy a tárgyalt anyag és a szaktárgyak, illetve szakirodalom között az olvasó számára áthidalhatatlan legyen a szakadék. Az olvasót segítheti a világon mindenhol forgatott matematikai zsebkönyv (BronstejnSzemengyajev, ld. idézett irodalom) II használata. Az egyetemet éppen elkezd! olvasót segíti a levezetések részletezett leírása és a levezetésekhez

lábjegyzetekben közölt matematikai magyarázatok. A könyv egyes fejezeteibe példákat is beiktattunk. A példák nem a példamegoldó készség fejlesztését, hanem az elmélet jobb megértését szolgálják Igyekeztünk reális feladatokat kidolgozni; azt kívántuk szolgálni, hogy a számszer"ség kapcsán bizonyos nagyságrendi és m"szaki érzék is kialakuljon. Az alkalmazott m"szaki fizika, mint minden alaptudomány az emberiség legnehezebb id!szakaiban is közkincs volt és bizton remélhetjük: marad is! Az alapés célkutatások eredményei a nemzetközi folyóiratokban általában titkolódzás nélkül megjelennek; ezen a szinten az egész világ m"szaki ötletkincse hozzáférhet!. A szerz!kre nagy felel!sség nehezedett: arra kellett törekednünk, hogy az Olvasó törés nélkül kapcsolódhasson a szaktárgyakhoz és a szakirodalomhoz egyaránt. Ezt segíti a nemzetközileg is használt nomenklatúra és ezért kell az Olvasó türelmét

kérnünk, hogy sokszor "nehéz" részletek sem voltak elkerülhet!ek. Ha a fentebb elmondottakat a szerz!knek a sok szükséges kompromisszum ellenére sikerült e könyvben megvalósítani, akkor azt bátran ajánlhatjuk a gyakorló mérnökök számára is. Szerz!k köszönetüket fejezik ki a Budapesti M"szaki Egyetem Fizikai Intézete, ezen belül is kiemelten az Atomfizika Tanszék dolgozóinak számos értékes diszkusszióért, hasznos észrevételeikért. Különös köszönettel tartozunk dr Péczeli Imre, dr. Kocsányi László és Sczigel Gábor kollégáknak a 7 fejezettel, dr Hárs Györgynek (az angol nyelv" képpzés el!adójának) a 6. és 7 fejezettel kapcsolatos tanácsaikért, valamint dr. Pavlyák Ferencnek és Vargáné dr Josepovits Katalinnak a könyvben megjelent példák kidolgozásáért és Perczelné Vajasdi Irmának a kézirat gondos átnézéséért. Szerz!k hálásak a könyv lektorainak és fejezetlektorainak gondos és fáradtságos

munkájukért; a könyv lektorai hatalmas munkát végeztek, segítségük nélkül a könyv tartalmilag is szegényebb lenne. E helyen szeretnénk megköszönni Dr. Geszti Tamás professzor 4 fejezethez adott tanácsait; a részletekre vonatkozó megjegyzéseit a könyv végleges szövegében messzemen!en figyelembevettük. A 8 fejezettel kapcsolatos észrevételeikért köszönet illeti Dr Hraskó Péter és Dr Orosz László tanár urakat is Szerz!k hálásak Podmaniczky András kollégának a hullámcsoport matematikai leírásával kapcsolatos konzultációkért. Külön köszönet illeti a M"vel!dési és Közoktatási Minisztériumot, a Budapesti M"szaki Egyetem Rektorát, a Természet- és Társadalomtudományi Kar dékánját, a Fizikai Intézet igazgatóját, az Atomfizika Tanszék vezet!jét a könyv tankönyvként való megjelenéséhez adott kiemelked! támogatásukért. III Szerz!k köszönetüket fejezik ki a szép rajzokért dr. Bársony Istvánnénak, a

gépelési munkáért Pákh Albertnénak, a m"szaki szerkesztésben való részvételéért Zvolenszky Mártának és a könyv gondos kiadásáért a M"egyetemi Kiadónak. Budapest, #993/94 telén Dr. Giber János egyetemi tanár a Budapesti M"szaki Egyetem Atomfizika Tanszékén IV EL!SZÓ A MÁSODIK KIADÁSHOZ A Fizika Mérnököknek I-II. tankönyv els! kiadásának példányai rövid id! alatt elfogytak; tények igazolják, hogy a könyvet (amely az els! hazai magyar nyelven megjelent m"szaki fels!fokú oktatást szolgáló tankönyv) a BME hallgatóin, oktatóin kívül jelent!s számban vásárolták és használták a Miskolci Egyetem, a Veszprémi Egyetem, a Gábor Dénes F!iskola és más intézmények hallgatói és oktatói. Igen sok példány kelt el a K+F területen praktizálók körében is Az els! kiadás sikere ösztönözte a Budapesti M"szaki Egyetem (BME) Természettudományi Karát, annak Fizikai Intézetét, hogy a BME egységes

fizikai oktatás szolgálatában bár késlekedve, de kezdeményezze a második kiadást. Örömmel tölt el bennünket a fentebb kiemelt fels!oktatási intézmények írásbeli megkeresése, miszerint a tankönyvet hivatalosan ajánlják saját hallgatóiknak és oktatóiknak. Szerz!k remélik, hogy ehhez miel!bb a többi m"szaki fels!oktatási intézmény is csatlakozik. A második kiadás CD-n jelenik meg, a M"egyetemi Kiadó jóvoltából igen kedvez! áron, korrigált és kib!vített kiadásban, különböz! indíttatású és célú példatár-mellékletekkel. A mellékelt példatárak egyel!re kisérleti jelleg"ek, szerz!iket és copyrightjukat a CD els! bels! oldala tünteti fel. A Kiadó szándéka (mely a szerz!k egyetértésével is találkozik), hogy a további kiadásokban az egyes Intézmények saját példatárainak is helyet ad; konkrét megállapodás született pl. erre vonatkozóan a Miskolci Egyetem Fizika Tanszékével. Mint a könyv

szénior-szerz!jének külön öröm, hogy a könyv új, fiatal társszerz!vel b!vült; a fiatalított szerz!i gárda, és a m"szaki fels!oktatás minden érdekelt intézményével tervezett további együttm"ködés biztosíték arra, hogy a könyv hosszabb távon az egész m"szaki fels!oktatásban is betöltse feladatát. A tankönyv szerz!i végül kifejezést adnak azon reményüknek, hogy az Oktatási Minisztérium illetékesei a közeljöv!ben egy nyomtatott kiadást is támogatni fognak. Az els! kiadás el!szavában mondottakat itt nem ismételjük meg: a cél, a tárgyalási módszer kiállta a gyakorlat próbáját. Az ott közölt köszönetnyilvánításokat e helyen megismételve e helyen a 2. kiadásban végzett V munkájukért kiemelt köszönettel tartozunk dr.Hárs György egyetemi docens úrnak, aki a szerz!k sajnálatára társszerz!ként ugyan nem, de az átdolgozás terén mindvégig nagy segítséget nyújtott; vonatkozik ez els!sorban a 6.

fejezet megújított tartalmára. A tárgymutató ez alkalommal teljesen Perczelné Vajasdy Irma tudományos munkatárs munkája. Szerz!k köszönetüket fejezik ki Härtlein Károly és Bene Róbert tanár uraknak számos ábra (a CD adta lehet!ségeket kihasználva sokszor színes kivitel" ábra) megalkotásáért. Köszönet illeti Csorbai Hajnalka m"szaki fizikust az ábrák CD kompatibilis beszkennelésében vállalt áldozatkész munkájáért. Köszönjük Thury Etelka fáradtságát a 7. fejezet szép gépeléséért Most is számíthattunk dr Bársony Istvánné segítségére és tanácsaira. Szerz!k külön is kiemelt köszönetet mondanak Zvolenszky Márta munkatársunknak, aki az egész anyag szerkeszt!i újragépelését és a többszöri javítással járó idegtép! határid!s munkákat magára vállalta és csodálatos min!ségben véghez vitte. Budapest, #999. !szén Dr. Giber János egyetemi tanár a Budapesti M"szaki Egyetem Atomfizika Tanszékén

VI ÚTMUTATÓ A KÖNYVET TANKÖNYVKÉNT HASZNÁLÓK SZÁMÁRA A könyv #999. !szi 2, javított, b!vített és különböz! példatárakkal kiegészített kiadása CD és az OM remélhet! segítségével 2000-ben könyvalakban is megjelenik. A könyv az okleveles mérnökképzés nemzetközileg standardnak elfogadott fejezeteit tartalmazza. A könyv a Budapesti M!szaki és Gazdaságtudományi Egyetem kötelez!, a Miskolci Egyetemen, a Veszprémi Egyetemen és a Gábor Dénes F"iskolán ezen intézmények által hivatalosan ajánlott tankönyv. Szerz"k remélik, hogy utóbbiakhoz rövidesen az Ország összes m!szaki fels"oktatási intézménye is csatlakozik. Az egyes karok tantervi struktúrája és igényei szerint azonban más és más lehet az ismeretek súlyozása. A könyv a tapasztalatok szerint a BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar által elvárt ismereteket teljes egészében tartalmazza. A Vegyészmérnöki Karokon az 5. fejezet (termodinamika) a

szokások szerint a fizikai kémiában kerül ismertetésre. A Gépészmérnöki Karokon a 2 fejezet egyes részeit a Mechanika c. tárgyban oktatják Valószín"leg elhagyhatóak e karon az általános hullámtan egyes fejezetei (pl. a 733 és a 734 pont), helyette célszer" bizonyos geometriai optikai és akusztikai ismereteket beiktatni. A könyv terjedelme (anyagi okok miatt) kisebb a külföldi egyetemek hasonló (idézett) tankönyveinek terjedelménél. Természetesen a könyvben (melyet végzett mérnökök is használnak) számos olyan fejezetpont van, amelyik a kezd! hallgatók egy része számára csak tájékoztató jelleg", esetleg nem tartozik szorosan a kezd!k számára ajánlott tananyaghoz. Ezeket a fejezet pontokat utóbbiak címében (a decimál-szám után) külön #-gal jelöltük. Az Olvasó figyelmébe ajánljuk, hogy az alapvet! fizikai állandók pontos értékeit (a relatív hibahatárok feltüntetésével) a Függelék végén közöljük,

míg a VII könyv szövegében általában közelít! értékek szerepelnek; az állandók mindenkori bevezetésekor mindazonáltal a pontos értékeket is közöljük, a hibahatárok feltüntetése nélkül. A szerz!k remélik, hogy az Olvasónak, Hallgatóinknak a könyv tanulmányozása sok szellemi örömöt is jelent majd. Sikert kívánnak a Szerz!k VIII IDÉZETT ÉS AJÁNLOTT IRODALOM I.N Bronstejn KA Szemegyajev: Matematikai Zsebkönyv, M"szaki Könyvkiadó, #974. (idézve: Bronstejn) Obádovics Szarka: Fels!bb matematikai összefoglaló m"szakiaknak. M"szaki Tankönyvkiadó, #973. Budó Ágoston: Kísérleti Fizika I., Tankönyvkiadó, #98# (idézve: Budó I) Budó Ágoston: Kísérleti Fizika II., Tankönyvkiadó, #97# (idézve: Budó II) Budó Ágoston Mátrai Tibor: (idézve: Budó III.) Kísérleti Fizika III., Tankönyvkiadó, #977 Budó Ágoston: Mechanika, Tankönyvkiadó, #972. (idézve: Budó: Mechanika) Fodor György:

Mértékegység–lexikon. M"szaki Könyvkiadó, #990 Gerthsen Kneser Vogel: Physik. Ein Lehrbuch zum Gebrauch neben Vorlesungen. #6Auflage, Springer, #992 ISBN 3-540-5##96-2 Holics László (Szerk.): Fizika I–II kötet, M"szaki Könyvkiadó, #986 Marx György: Kvantummechanika. M"szaki Könyvkiadó, #97# Simonyi Károly: A fizika kultúrtörténete. Gondolat Kiadó, #986 Simonyi Károly: Villamosságtan. Akadémiai Kiadó, #983 P.W Atkins: Fizikai Kémia I-II-III Tankönyvkiadó, Budapest, #992 Deák P., Giber J, Kocsányi L: M"szaki Fizika III/#. és III/2 (Az anyagtudomány alapjai) két kötetben. M"egyetemi Kiadó, #993 (sz 0500# és 05002). E könyvben számos adattáblázat és hivatkozás található (Idézve: Szilárdtestfizika.) M. Alonso, EJ Finn: Physik Addison–Wesley Publ Comp, Bonn, München, #988. IX A. Hudson és R Nelson: University Physics Saunders College Publishing (New York, San Francisco, London, Tokyo), #990, 2. kiadás A.

Hudson és R Nelson: Útban a modern fizikához (Fenti könyv magyar kiadása) LSI Oktatóközpont, a mikroelektronika alkalmazásának kultúrájáért alapítvány, Budapest, #994. R. Resnick, D Halliday, KS Krane: Physics I-II John Wiley & Sons, IncNY, Toronto etc. 4 kiadás, #992 O.Kubaschewski, CB Alcock: Mellurgical thermochemistry, 5 kiadás, Pergamon Press, Oxford, N.Y, #983 (idézve: Kubaschewski) Richter Péter (szerk.): Bevezetés a modern optikába I-IV M"egyetemi Kiadó, #998. TARTALOMJEGYZÉK EL!SZÓ AZ ELS! KIADÁSHOZ .I EL!SZÓ A MÁSODIK KIADÁSHOZ.IV ÚTMUTATÓ A KÖNYVET TANKÖNYVKÉNT HASZNÁLÓK SZÁMÁRA.VI IDÉZETT ÉS AJÁNLOTT IRODALOM.VIII TARTALOMJEGYZÉK .IX ". A M#SZAKI FIZIKA ALAPJAI " 1.1 A FIZIKAI MEGISMERÉS ÚTJA 1 1.11 A fizikai fogalmak (mennyiségek) 2 1.12 A fizikai rendszer, környezet és ezek kölcsönhatásai 8 1.13 A fontosabb fizikai modellek 10 1.14 A fizikai törvények, axiómák A fizikai törvények

érvényességi köre; az (ún Bohr–féle) korreszpondencia elv . 11 1.2 NÉHÁNY FIZIKAI RENDSZER JELLEMZÉSE 13 1.21 Kis szabadsági fokú (mechanikai) tömegpont rendszerek 13 1.22 Sokrészecske rendszerek (Statisztikus fizikai illetve termodinamikai módszerekkel leírható tömegpontrendszerek.) 15 1.23 Kvantummechanikai rendszerek, mikrorészecskék 21 1.24 Lineáris rendszerek Szuperpozició 26 1.3 MEGMARADÁSI TÖRVÉNYEK ÉS SZIMMETRIÁK 28 1.31 Impulzusmegmaradás 29 1.32 Impulzusmomentum megmaradás 33 1.33 Az energiamegmaradás törvénye 33 1.34 A mérlegegyenletek 35 1.4 A FIZIKA ÉS A KÉMIA NÉHÁNY ELVÉR!L 37 2. A TÖMEGPONT ÉS A PONTRENDSZER MECHANIKÁJA 65 2.1 A TÖMEGPONT KINEMATIKÁJA 66 2.11 A sebesség 66 2.12 A gyorsulás 70 2.13 A szögsebesség és a szöggyorsulás 71 2.14 Sebesség és gyorsulás általános kifejezése inercia-rendszerben Néhány speciális eset 75 2.141 Az általános kifejezések 75 2.142 Speciális eset: az egyenletes

körmozgás 76 2.143 Az általános kör- ill térgörbe menti mozgás esete 79 2.144 Speciális eset: csillapítatlan lineáris harmonikus rezg"mozgás 80 2.15 Néhány kinematikai feladat 82 2.2 VONATKOZTATÁSI RENDSZEREK 86 2.21 Vonatkoztatási és koordinátarendszerek 86 2.22 Inerciarendszerek 87 2.23 A Galilei–féle relativitási elv 88 2.24 Az Einstein–féle relativitási elv 94 2.241 Az egyidej#ség relativitása 95 XI 2.242 A Lorentz–transzformáció 97 2.243 Az Einstein–féle sebességösszeadási törvény 98 2.244 Négyesvektorok Az intervallum Az intervallum invarianciája Sajátid" és sajáttávolság 100 2.245 Id"dilatáció 103 2.246 Az ikerparadoxon 106 2.247 A mozgásirányba es" méretek hosszkontrakciója (rövidülése) 85 2.3 DINAMIKA 89 2.31 A tömegpont dinamikája A Newton–axiómák 90 2.311 A (nem relativisztikus) impulzus és az impulzusmegmaradás törvénye 90 2.312 A relativisztikus impulzus és megmaradása

92 2.313 Az er", mint a mechanikai kölcsönhatás mértéke Newton II axiómája 94 2.314 Newton III axiómája A hatás–ellenhatás ("akció-reakció") törvénye 98 2.315 Newton IV axiómája Az egyidej#leg fellép" er"k összegzési törvénye 99 2.32 A Newton–féle általános gravitációs törvény 101 2.33 A tömegpont dinamikája gyorsuló vonatkoztatási rendszerekben Tehetetlenségi er!k Súly és súlytalanság. Gravitáló és tehetetlen tömeg 106 2.331 Súly és súlytalanság A szabadon es" vonatkoztatási rendszer inerciarendszer 114 2.332 A Föld forgásának hatása a nehézségi gyorsulásra (g!) A gravitáló (“súlyos”) és a tehetetlen tömeg egyenl"sége. 116 2.34 Er!törvények 120 2.35 Az er!terekr!l általában Térer!sség 124 2.36 Munka és teljesítmény 131 2.37 Pontrendszerek dinamikája 139 2.371 Az impulzustétel tömegpontrendszerre A tömegközéppont tétele 140 2.372 A pontrendszer

impulzusmegmaradásának törvénye 143 2.373 Az impulzusmomentum, az er"momentum, az impulzusmomentum tétel és az impulzusmomentum– megmaradás tétele tömegpontrendszerre és tömegpontra . 143 2.374 Az er"-, a forgatónyomaték- az impulzus- és az impulzusmomentum vektorok összegzése pontrendszerekre. 147 Az er"pár és forgatónyomatéka. 149 2.4 MEREV TESTEK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSÁNAK ALAPJAI 150 2.41 A merev testek kinematikai leírása 150 2.42 A merev testek mozgásának dinamikai leírása 153 2.43 Merev testek egyensúlya 156 2.44 A tehetetlenségi nyomaték Merev testek tehetetlenségi nyomatéka Molekulák egyszer" modellje és tehetetlenségi nyomatékának számítása. 157 2.45 A merev test haladó ill forgó mozgására vonatkozó megfelel! mennyiségek összefoglalása167 2.5 AZ ENERGIA 167 2.51 A kinetikus (mozgási) energia és a munkatétel Forgó testek kinetikus energiája 169 2.52 A konzervatív er!tér fogalma és

jellemz!i A potenciális (helyzeti) energia A potenciál 172 2.521 A konzervatív er"tér fogalma A potenciális energia Konzervatív er"terek jellemz"i 173 2.522 A potenciál 184 2.53 A mechanikai energia megmaradásának tétele "Potenciáldiagramok" 187 2.54 Nem konzervatív er!terek 194 2.55 A bels! energia Kötési energia, kötött állapot 195 2.6 A MUNKA, A KINETIKUS ENERGIA ÉS AZ ENERGIA-MEGMARADÁS A RELATIVITÁSELMÉLETBEN. TÖMEG–ENERGIA EKVIVALENCIA, TÖMEGDEFEKTUS 199 2.61 A munka relativisztikus kifejezése 199 2.62 A kinetikus és teljes energia relativisztikus kifejezése 201 2.7 ÜTKÖZÉSEK 208 2.71 Alapfogalmak Az ütközések osztályozása 208 2.72 Tökéletesen rugalmas nem relativisztikus ütközések 210 2.721 Egyenes ütközések 210 2.722 Ferde ütközések 213 2.73 Tökéletesen rugalmatlan nem relativisztikus ütközések 217 2.74 Nem relativisztikus, nem tökéletesen rugalmatlan (valódi) ütközések 217 2.75 A

relativisztikus impulzus és megmaradása 219 XII 2.76 Rugalmas relativisztikus ütközések 224 2.77 Tökéletesen rugalmatlan relativisztikus ütközések 227 2.8 NÉHÁNY FONTOS MECHANIKAI TÖRVÉNY ÖSSZEFOGLALÁSA 230 3. KINETIKUS GÁZELMÉLET 234 3.1 ÁTLAGÉRTÉK KISZÁMÍTÁSA 235 3.2 ALAPFOGALMAK 236 3.3 A KINETIKUS GÁZELMÉLET ALAPFELTEVÉSEI A NYOMÁS ÉS AZ ABSZOLÚT H!MÉRSÉKLET MIKROFIZIKAI ÉRTELMEZÉSE. 241 3.31 A P nyomás és mikrofizikai értelmezése 242 3.32 A T abszolút h!mérséklet mikrofizikai értelmezése 244 3.4 BAROMETRIKUS FORMULA, BOLTZMANN FAKTOR 248 3.5 MOLEKULÁRIS ÜTKÖZÉSEK KLASSZIKUS KÖZELÍTÉSBEN 250 3.62 A diffúzió 260 3.63 Az Einstein-féle bolyongási probléma és az abból leszármaztatott Fick II egyenlet 264 3.64 H!vezetés gázokban 267 (Energia transzport ütközések útján). 267 3.65 Bels! súrlódás Gázok viszkozitása 270 (Impulzustranszport ütközések révén.) 270 4.1 N DARAB MEGKÜLÖNBÖZTETHET# RÉSZECSKE

LEGVALÓSZÍN$BB TÉRBELI ELOSZLÁSA278 4.21 Az energia szerinti eloszlás általános jellemzése Az egyensúlyi állapotot jellemz! MaxwellBoltzmann eloszlás 289 4.22 Egy rendszer a W = wmax valószín"ség" egyensúlyi állapotától eltér! valószín"ség" állapotok magára hagyott (elszigetelt) rendszerben megfordíthatatlanul a W legvalószín"bb állapot felé rendez!dnek át. 300 4.3 A TERMODINAMIKAI VALÓSZÍN$SÉG ÉS AZ ENTRÓPIA KAPCSOLATA 305 4.5 A SOKRÉSZECSKERENDSZEREK TIPIKUS ENERGIANÍVÓI ÉS EZEK GERJESZTETTSÉGE . 309 4.51 Gázok energianívórendszere 310 4.52 Szilárdtestek rezgési energianívói 311 4.53 Az energianívók gerjesztettsége gázok esetén 311 4.6 A MAXWELL–BOLTZMANN SEBESSÉG-ELOSZLÁS, A SEBESSÉGELOSZLÁSTÓL FÜGG! ÁTLAGÉRTÉKEK. 314 4.61 A sebesség irányát is figyelembevev! Maxwell–Boltzmann sebességeloszlás, f(v), ideális gázokban. 314 4.62 Egyes, a sebesség irányától is függ! fizikai

mennyiségek átlagértéke 318 4.63 Átlagképzés a sebesség abszolút értékét!l függ! Maxwell-Boltzmann sebesség eloszlás esetében. 322 4.64 Az ekvipartíció tétele 325 4.65 Gázok és szilárd testek fajlagos és moláris h!kapacitásának számítása bels!energiájukból, ill. entalpiájukból 327 4.71 A szilárdtestek konfigurációs entrópiája 334 4.72 Elegyedési entrópia 336 4.721 Ideális elegykristályok elegyedési entrópiája 336 4.722 Ideális egyatomos gázok elegyedési entrópiája 338 4.8 KVANTUMSTATISZTIKÁK ÉS ELOSZLÁSI FÜGGVÉNYEK 340 4.81 A BoseEinstein eloszlás 343 4.82 A BoseEinstein statisztika alkalmazása ideális gázra 347 4.83 A Fermi–Dirac eloszlás ideális Fermi elektrongázban 351 4.84 Az eloszlási függvények összehasonlítása 353 5. A M!SZAKI ÉS KÉMIAI TERMODINAMIKA ALAPJAI 356 XIII 5.1 A TERMODINAMIKAI RENDSZEREK ÁLLAPOTÁNAK, ÁLLAPOTVÁLTOZÁSÁNAK JELLEMZÉSE . 360 5.11 Extenzív állapotjelz!k Az

egyszer" termodinamikai rendszer definíciója Fajlagos mennyiségek. Homogén, illetve heterogén rendszerek, fázisok 362 5.12 Intenzív állapotjelz!k A termodinamika 0 f!tétele 364 5.13 Az ideális, illetve reális gáz állapotegyenletei 367 5.14 Állapotváltozások, mint folyamatok Állapot-függvények ("X) megváltozásának számítása kváziegyensúlyi folyamatokkal. 370 5.15 Az állapotfüggvények ill útfüggvények általános tulajdonságai, matematikai jellemzése 357 5.2 A TERMODINAMIKA I F!TÉTELE 362 5.21 A termodinamika I f!tételének különböz! alakjai Az egyensúlyi Gibbs–egyenlet 362 5.22 Az intenzív és extenzív állapotjelz!k kapcsolata A T, P és µ i (i=1,2,,K) termodinamikai definíciója. Integrális függvénykapcsolatok 368 5.23 A Gibbs-Duhem reláció 372 5.24 Ideális gáz kváziegyensúlyi állapotváltozásai A kváziegyensúlyi állapotváltozások térfogati munkája és h!cseréje. 373 5.241 Ideális gáz kváziegyensúlyi

izoterm állapotváltozása Az izotermák egyenlete 373 5.242 Az adiabaták egyenlete Az ideális gáz adiabatikus DQ=0 munkája 374 5.3 A TERMODINAMIKA II F!TÉTELE (A) 359 (A REÁLIS FOLYAMATOK EGYIRÁNYÚSÁGA. A ZÁRT RENDSZEREK ENTRÓPIAVÁLTOZÁSÁNAK SZÁMÍTÁSA.) 359 5.31 Ideális gáz izoterm térfogati munkája és h!cseréje Reális és kváziegyensúlyi folyamatok összehasonlítása . 360 5.32 Az elszigetelt (magára hagyott) rendszerben lefolyó (reális, valódi spontán) folyamatok egyirányúsága. A II f!tétel kvantitatív alakja 364 5.4 A TERMODINAMIKA II F!TÉTELE (B) (A H!CSERÉVEL JÁRÓ MUNKATERMEL! KÖRFOLYAMATOK HATÁSFOKA. A II F!TÉTEL M$SZAKI MEGFOGALMAZÁSA) 372 5.41 A kváziegyensúlyi direkt Carnot–körfolyamat* . 372 5.42 A redukált h!mennyiségek és az entrópia függvény 423 Bármely kváziegyensúlyi körfolyamat végtelen számú infinitezimális Carnot-körfolyamatra bontható423 5.43 A h"t!gépet modellez! fordított

Carnot-körfolyamat és hatásfoka H!szivattyú 425 5.44 A CarnotClausius–tétel 427 5.45 A Carnot–ciklus # hatásfokfüggvénye alkalmas egy abszolút termodinamikai h!mérsékletskála definiálására . 433 5.46 A termodinamika II f!tételének különböz!, tapasztalatokon nyugvó megfogalmazásai 434 5.5 NYÍLT TERMODINAMIKAI RENDSZEREK LEÍRÁSA 436 5.51 Az egyensúly feltétele, illetve a spontán folyamatok iránya nyilt rendszerekre 436 5.52 Az egykomponens" rendszer két fázisának egyen-súlyát megfogalmazó Clausius-Clapeyron egyenlet. 444 5.53 Kémiai reakciók egyensúlya Fémek oxidációjának egyensúlya 451 6. ELEKTROMÁGNESSÉGTAN 459 6.1 ELEKTROSZTATIKA 459 6.11 Az elektromos töltés 459 6.12 A Coulomb–törvény 467 6.13 Az elektrosztatikus er!tér 470 6.131 Az E elektromos térer"sség Szuperpozíció 470 6.132 A töltés elhelyezkedése, a térer"sség vezet"kön Vezet"k 477 elektromos térben. 477 6.14 Az elektromos

er!tér munkája az elektrosztatikában Az elektromos feszültség Az elektrosztatikus er!tér konzervatív (az elektrosztatika II. törvénye) Az elektromos potenciál 490 6.15 Az elektromos dipólus 507 6.16 Elektromos tér szigetel! anyagokban (elektromos polarizáció) 513 6.161 Alapfogalmak (kondenzátor kapacitás, relatív permittivitás) 513 XIV 6.162 A dielektrikum fogalma A polarizáció– és a elektromos eltolás vektora A Gauss–tétel (az elektrosztatika I. törvénye ill a IV Maxwell törvény) 521 6.163 Az elektromos polarizáció mikrofizikai megközelítése A ClausiusMosottiDebye egyenlet 528 6.17 A kondenzátorban tárolt energia Az elektrosztatikus tér energiája 535 6.18 Az elektromos térjellemz!kre vonatkozó határfeltételek és ezek néhány jellegzetes alkalmazása . 538 6.2 STACIONÁRIUS (EGYEN–) ÁRAMOK, EZEK MÁGNESES TERE A MÁGNESES TÉR ER!HATÁSA VEZET!KRE . 545 6.21 Stacionárius (egyen-) áramok áramkörökben 545 6.22 Mágneses

alapjelenségek és alapkísérletek, az áram mágneses tere 561 6.23 A Lorentz–féle er!törvény A mágneses tér er!hatása árammal átjárt vezet!kre 567 6.231 A Lorentz féle er"törvény 567 6.232 Mágneses tér er"hatása árammal átjárt vezet"re 570 6.233 Áramkeretre (áramvezet" hurokra, köráramra) ható forgatónyomaték B mágneses térben Az elektromágneses momentum definiciója. 572 6.24 Áramok mágneses tere A gerjesztési (vagy Amp%re-) törvény (Maxwell I törvényének speciális esete). A gerjesztési törvény általános alakja: a Biot-Savart törvény 576 6.25 Mágneses dipólusok 592 A mágneses tér leírása mágneses tulajdonságú közegben. A mikrofizikai leírás alapjai 592 6.251 Mágneses dipólusok; alapfogalmak 592 6.252 A mágneses tér leírása mágneses (tulajdonságú) közegben 594 6.253 A mágneses anyagok csoportosítása Mikrofizikai alapok 601 6.26 Inhomogén mágneses közeg Határfeltételek 614 6.261

A mágneses térjellemz"kre vonatkozó határfeltételek és törési törvényük a mágneses anyagok határfelületein. 616 6.262 A gerjesztési törvény inhomogén permeabilitású közeg esetén 619 6.27 A Hall–effektus 623 6.3 AZ ELEKTROMÁGNESES INDUKCIÓ 627 ID!BEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TEREK. 627 6.31 A Faraday–féle indukciós törvény (Maxwell II) 627 6.32 Kölcsönös– és önindukció Induktivitás 639 6.33 Az RL áramkörök Az induktivitás, mint áramköri elem Energia tárolás mágneses térben 647 6.34 LC, LCR áramkörök Néhány átvezet! gondolat a rezgéstanba: elektromos-mechanikai analógiák. 653 6.35 Az elektromágneses indukció és az elektromágnesség néhány alkalmazásának fizikai alapjai655 6.4 AZ ELTOLÁSI ÁRAMMAL KIEGÉSZÍTETT GERJESZTÉSI TÖRVÉNY (MAXWELL I TÖRVÉNYE) 666 A Maxwell egyenletek rendszere. 666 6.5 HARMONIKUSAN VÁLTAKOZÓ ÁRAMOK (ALAPFOGALMAK) 672 6.6 A MAXWELL–EGYENLETEK TELJES RENDSZERE 681 7.

ÁLTALÁNOS REZGÉS– ÉS HULLÁMTAN 685 7.1 REZGÉSEK 685 7.11 Csillapítatlan, egyszer" harmonikus rezgések 686 7.111 Az egyszer# harmonikus rezg"mozgás kinematikája és kapcsolata az egyenletes körmozgással 686 7.112 Az egyszer# harmonikus rezg"mozgás dinamikája 690 7.113 A harmonikus rezg"mozgást leíró differenciálegyenlet és megoldásai 691 7.114 Az egyszer#, csillapítatlan harmonikus rezg"mozgásban tárolt összenergia 697 7.115 Az egyszer#, csillapítatlan, harmonikus rezg"mozgással analóg mozgások, fizikai folyamatok 699 7.12 Összetett rezgések 704 7.121 Azonos irányú, egyforma frekvenciával rendelkez" rezgések összetevése Komplex számítási módszer forgó komplex vektorokkal. 704 7.122 A spektrum fogalma Lebegés, amplitúdómoduláció 710 7.123 Periodikus jelalakok, mint összetett harmonikus rezgések 717 7.124 Egymásra mer"leges harmonikus komponensekb"l összetett rezgések 721 7.13

Csillapított harmonikus rezg!mozgás 725 7.14 Kényszerrezgések Rezonancia 729 7.2 A HULLÁMMOZGÁS LEÍRÁSÁNAK ALAPFOGALMAI 734 XV 7.21 A deformációmentes haladás 735 7.22 A harmonikus síkhullám leírása 737 7.23 A harmonikus gömbhullám A síkhullám, mint közelítés 741 7.24 Harmonikus hullámok komplex írásmódja 742 7.3 A HULLÁMEGYENLET 743 7.31 A hullámegyenlet általános levezetése 744 7.32 Példák rugalmas hullám kialakulására 746 7.321 Végén rögzített, feszített húron terjed" hullám 746 7.322 Nyomáshullámok (hanghullámok) gázoszlopban 748 7.33 Az elektromágneses hullámok egyenlete és terjedése homogén, izotróp és szabad töltéseket nem tartalmazó térben. 754 7.331 A távíróegyenlet 755 7.332 Elektromágneses hullámterjedés szigetel"kben (dielektrikumokban) Maxwell-reláció 757 7.333 Transzverzalitás 760 7.34 A fény polarizációja 762 7.35 A komplex anyagjellemz!k (komplex törésmutató, komplex

permittivitás és komplex hullámszám). Az ún "homogén hullámegyenlet" 767 7.36 A dielektromos veszteség 771 7.4 ENERGIATERJEDÉS SÍKHULLÁMOKBAN 774 7.41 Általános megfontolások Az intenzitás fogalma 774 7.42 Elektromágneses energia terjedése tökéletes szigetel!kben 775 7.43 Fényabszorpció LambertBeer–törvény 777 7.5 HULLÁMOK SZUPERPOZICIÓJA HULLÁMCSOPORT ÉS CSOPORTSEBESSÉG 777 7.51 Két azonos irányba terjed! különböz! frekvenciájú síkhullám összetevése 778 7.52 Hullámcsoport létrehozása harmonikus síkhullámok szuperpozíciójával 780 7.53 A hullámcsoport tulajdonságai A csoportsebesség 781 7.54 A hullámcsoport alakja és az abból levonható következtetések 793 7.55 A csoport– és fázissebesség kapcsolata diszperziós közegben A Rayleigh–összefüggés 795 7.56 Hullámcsomag és mikrorészecske formális összerendelése 797 7.6 INTERFERENCIA, ÁLLÓHULLÁMOK 800 7.61 Hullámok interferenciája 801 7.62 A

fény interferenciaképességét (koherenciáját) korlátozó okok 803 7.621 A koherencia fogalma és mér"száma 803 7.622 Vonalkiszélesedés 805 7.63 Koherens fényhullámok interferenciája 807 7.631 Koherens hullámok létrehozása 807 7.632 Két koherens hullám interferenciája 808 7.633 Hogyan m#ködik a Michelson interferométer? 810 7.64 Állóhullámok 812 7.7 A HULLÁMOK ELHAJLÁSA, A FÉNYDIFFRAKCIÓ ALAPESETEI 816 7.71 Huygens-Fresnel-elv 817 7.72 Fényelhajlás egyetlen résen 818 7.72 Optikai rácson való fényelhajlás 823 7.74 A Youngféle kétréses kísérlet 827 7.75 Röntgensugarak és elektronok elhajlása kristályrácsok felületi– és tömbi atomjain 830 7.8 DOPPLER-EFFEKTUS 831 8. A KVANTUMMECHANIKA ALAPJAI 84" BEVEZETÉS . 841 8.1 A FIZIKAI MENNYISÉGEK KVANTÁLT JELLEGE 842 8.11 A h!mérsékleti sugárzás 843 8.12 Küls! fényelektromos effektus Einstein értelmezése (fotonok) 854 8.13 Szilárdtestek kvantált rezgései

Szilárdtestek moláris h!kapacitása 859 8.14 Az atomi nívók és az elektron impulzusmomentumának kvantáltsága (a hidrogén atom vonalas színképe) . 862 XVI 8.2 AZ ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK KORPUSZKULÁRIS ILLETVE A MIKRORÉSZECSKÉK HULLÁMSAJÁTSÁGAI. 870 8.21 A Compton–effektus és leírása a fény korpuszkuláris modelljével 870 8.22 Az anyag hullámsajátságai 875 8.221 A fény kvantumjai, a fotonok 875 8.222 A részecskékb"l álló anyag hullámsajátságai 876 8.223 Az elektronokra (mikrorészecskékre) felírható diszperziós reláció 881 8.23 A hullámfüggvény (állapotfüggvény) a mikrorészecske teljes leírását adja 882 8.3 A KVANTUMMECHANIKAI ÁLLAPOTLEÍRÁS 887 8.31 Az id!függ! Schrödinger–egyenlet (A kvantummechanikai állapotegyenlet) 887 8.32 Az id!független (stacionárius) Schrödinger–egyenlet 891 8.33 A kvantummechanikai kontinuitási egyenlet A $%állapotfüggvény valószín"ségi értelmezése Az

állapotfüggvény normálása. 893 8.34 A Schrödinger–egyenlet megoldásainak tulajdonságai A kötött állapot sajátértékegyenletének megoldása. Reguláris függvények 898 8.35# Az Ehrenfest–tétel (kvalitatív magyarázat) 904 8.4 A KVANTÁLT FIZIKAI MENNYISÉGEK LEIRÁSA OPERÁTOROKKAL 906 8.41 A fizikai mennyiségek leírására használható operátorok tulajdonságai 910 8.42 Hogyan kell a fizikai mennyiségek operátorát meghatároznunk? Az impulzus, a hely, az impulzusmomentum és az energia operátora. 915 Az energia operátora . 915 Az impulzusmomentum operátora . 917 8.43 A fizikai mennyiségek mérése 917 8.44 A Heisenberg-féle felcserélési és határozatlansági relációk 921 8.45 Az impulzusmomentum és az elektronspin 926 Az impulzusmomentum (pályamomentum) sajátértékei . 926 Az elektronspin . 928 8.5 NÉHÁNY KVANTUMMECHANIKAI FELADAT STACIONÁRIUS SCHRÖDINGER– EGYENLETÉNEK MEGOLDÁSA. 929 8.51 Szabad részecske 929 8.52 A fémek

Sommerfeld–modellje: potenciálkádba zárt szabad elektronok diszkrét energia értékei . 930 8.53 A lineáris harmonikus oszcillátor energiája (közelít! megoldás) 939 8.54# A hidrogénatom Schrödinger–egyenletének megoldása Az atombeli elektron teljes impulzusmomentuma. 941 8.55 Többelektronos rendszerek A Pauli–elv 948 8.56 Az alagúteffektus 951 8.6 A SCHRÖDINGER–EGYENLET ÖSSZEFOGLALÓ ISMERTETÉSE 956 1. A M!SZAKI FIZIKA ALAPJAI Az els! fejezet célja, hogy az egyes fizikai diszciplinák tárgyalása el!tt megismertessen a modern m"szaki fizika gondolkodásmódjával, általánosnak tekinthet! alapjaival, a több diszciplinában is használatos alapfogalmakkal. Megismerjük ennek során a fizikai megismerés fogalmi és gondolkodásbeli alapjait, a fizikai fogalmak (mennyiségek) kialakulását és a jelenleg törvényes SI mértékrendszer (System International d Unités) alapjait. A következ!kben az egyes fizikai rendszerek jellemz!ivel, a

rendszerszemlélet" fizikai gondolkodás elemeivel foglalkozunk. Végül megismerkedünk a fizika legáltalánosabb, az egyes diszciplináktól független alaptörvényeivel; itt kerül sor pl. az ún lineáris rendszerek tulajdonságai, a megmaradási törvények és az ún. kontinuitási egyenletek alapgondolatainak tárgyalására Ezek el!zetes megismerése lehet!vé teszi, hogy az egyes fizikai diszciplinák tárgyalása során kitekinthessünk az adott diszciplina különböz! fizikai rendszerekre való alkalmazására is. 1.1 A FIZIKAI MEGISMERÉS ÚTJA A fizika csak megfigyelhet!, mérhet!, reprodukálható jelenségek, tulajdonságok vizsgálatával foglalkozik. A fizikai megismerési folyamat els! lépése a megfigyelés. Ehhez rendszerezett megfigyelések sorozatára van szükség, továbbá arra, hogy egyértelm" kísérleti feltételeket teremtsünk és e feltételek megváltoztatásával megváltoztassuk a jelenség lefolyását, vagyis kísérleteket

végezzünk. Minthogy a megfigyelések els! szakaszában a jelenség számára lényeges feltételeket még nem ismerjük, az els! kísérletek tapogatódzó jelleg"ek, de támaszkodnak már megismert fizikai tapasztalatainkra. Egyes esetekben egyáltalán nem áll módunkban a megfigyelt jelenség lefolyásába beavatkozni, tehát nem kísérletezhetünk. A számítógépek megjelenése e téren is forradalmi változást hozott, mert lehet!vé tette az ún. szimulációt, amelynek során a valóságban kísérletileg hozzáférhetetlen paraméterek megváltoztatásának hatása is tanulmányozható. 2 A megfigyelt jelenség fizikai leírása szempontjából lényeges elemeket megismerve absztrakció útján elvonatkoztatunk a leírás szempontjából lényegtelen, vagy els! közelítésben nélkülözhet! részletekt!l. A megfigyelés tárgyát képez! fizikai rendszert elhatároljuk a környezetét!l, és megalkotjuk a fizikai jelenség absztrakt (idealizált) fizikai

modelljét. A szabadesés modellje pl egy állandó er! hatása alatt álló, adott tömeg" tömegpont mozgása; ugyanakkor eltekintünk pl. a szabadon es! test színét!l, alakjától és els! közelítésben a leveg! ellenállásától is. Kísérletünk során igyekszünk az idealizációnak megfelel! körülményeket minél jobban megközelíteni. A fenti példát véve: a szabadesést kisméret" és relatíve nagy tömeg" gömb alakú test leveg!ben (vagy ha lehetséges, légüres térben) való leejtésével vizsgáljuk. A modell iterációs (ismétléses) közelítéssel való megalkotásával párhuzamosan ki kell választanunk, illetve meg kell alkotnunk a jelenség leírására alkalmas fizikai mennyiségeket (pl. a szabadesésnél maradva a tömeget, az esési utat, az id!t stb) és meg kell határoznunk (esetleg az ismertekb!l ki kell választanunk) a vizsgálat tárgyát képez! fizikai rendszerre érvényes fizikai törvényszer!ségeket. Ennek során

általában úgy járunk el, hogy a vizsgált rendszert, jelenséget, folyamatot besoroljuk a már kidolgozott fizikai diszciplinák (mechanika, statisztikus fizika, elektromágnességtan, általános hullámtan, kvantummechanika, szilárdtestfizika, felületfizika stb.) valamelyikébe, esetleg (!!) rájövünk, hogy a leírásra új diszciplinát kell alkotnunk vagy a meglev!t általánosítanunk. A kísérleti eredményekre vonatkozó összefüggéseket legtöbbször matematikai alakban fogalmazzuk meg. Gyakran kerül sor arra, hogy a jelenség leírására alkalmas törvényszer"séget nem találván egy adott diszciplinán belül els! közelítésként a kísérleti adatokból alkotott empirikus vagy félempirikus összefüggést alkotunk. Ezzel azonban feladatunk még nem fejez!dött be. Új eredményünket további kísérletekel ellen!riznünk kell. Ennek során a matematikai alakban megfogalmazott törvényszer"ségeket újabb kísérletekkel vetjük egybe, a

megállapított törvényszer"ségekb!l (rendszerint szintén matematikai módszerekkel) következtetéseket vonunk le és azokat újra kísérletekkel ellen!rizzük. Amennyiben elméletünk az ellen!rzés próbáját kiállja, azt megalapozottnak tekinthetjük. Hátra van azonban még az új elmélet, illetve törvényszer!ség érvényességi körének megállapítása, és a már ismert elméletekhez való illeszkedésének vizsgálata. 1.11 A fizikai fogalmak (mennyiségek) A fizikai leírás csak megfelel! fizikai fogalmak segítségével lehetséges. A fizikai fogalmak a mennyiségi viszonyok leírása céljából valamennyien (mérhet!) fizikai mennyiségek. A fizikai mennyiségek definiálásához a következ!k szükségesek: a.) mérési utasítás vagy egzakt matematikai kapcsolat közvetlenül mérhet! mennyiségekkel; b.) a mennyiség jellegének meghatározása. 3 A mérési utasítás a következ!ket kell, hogy tartalmazza: #. A használandó mér!eszköz

leírását és alkalmazási utasítását; 2. A fizikai mennyiség mértékegységét és skáláját. A skála megadásához az egységen kívül meg kell adni a skála null-pontját, a skálaérték el!jelét és a skála egyenletes (lineáris) vagy ett!l eltér! (pl. négyzetes) voltát. A skála egysége általában önkényes, általában nullpontja is, de a természet néhány esetben kitüntet bizonyos nullpontválasztást (ld. pl az abszolút h!mérséklet nullapontját). A fizikai mennyiségeket jellegük szerint skalár, vektor stb. mennyiségekre csoportosítjuk A fizikai mennyiségek akkor tekinthet!k vektoroknak,* ha azoknak: a) nagyságuk és irányuk van, és b) alkalmazható rájuk a vektori összegzés szabálya. Utóbbi a fizikai mennyiségeknél nem magától értet!d!. Például az, hogy az er! vektormennyiség, feltételezi az er!k független összegezését, azaz, hogy pl. egy er! jelenléte nem befolyásolja a másik er! nagyságát és irányát. Alapvet!en

minden fizikai mennyiségnek saját mértékegysége lehetne. Azonban a különböz! fizikai mennyiségek mérési utasításai lehet!séget adnak egyszer"sítésekre: a sebességet pl. távolság- és id!méréssel határozhatjuk meg, ezért mértékegységét a távolság és az id! mértékegységéb!l származtathatjuk. A fizikai mennyiségek általában nem definiálhatók önmagukban, pl. az id! csak az állandó periódusú mozgással együtt definiálható. A leírás egyszer"sítése érdekében tehát szükség van ún. alapmennyiségekre, melyeket bizonyos értelemben axiomatikusan definiálunk és mértékegységüket egy rendszerint önkényesen választott etalonnal való összehasonlító méréssel határozzuk meg. Az alapmennyiségek és ezek számának megválasztása önkényes, célszer" bennük nemzetközileg megállapodni. Az els! nemzetközi alapmennyiségekben a francia forradalom idején állapodtak meg; ezek összessége és az egységüket

(etalonjukat) definiáló ún. mértékrendszer azóta sokat változott. A ma érvényes és államközi egyezmények, nemzeti jogszabályok alapján kötelez! mértékrendszer az ún. "Nemzetközi mértékegység rendszer" (SI – Système International d Unités). Az alapmennyiségek mértékegységéb!l a többi fizikai mennyiség mértékegysége leszármaztatható. Itt jegyezzük meg, hogy elvi különbség van egy fizikai mennyiség "mértékegysége" és "dimenziója" között. A sebesség dimenziója pl az út és id! dimenzió hányadosa; a dimenzió független a választott mértékrendszert!l. A mértékegység viszont m egységrendszer függ!, a sebességre pl. az SI-ben Mivel mi a továbbiakban csak az s SI rendszert használjuk, az egyszer"ség kedvéért (nem elfelejtve a fentebb mondottakat) mi általában csak a mértékegységet adjuk meg. Az SI alapmennyiségeit az #.# Táblázat foglalja össze * A vektormennyiségeket nemcsak a

fenti módon definiálhatjuk, hanem transzformációs szabályaik segítségével is. E szerint egy mennyiség akkor vektor, ha nagysága és iránya van és az egyik koordinátarendszerr!l egy másikra áttérve úgy transzformálódik, mint a helyvektor. A vektorok egyértelm" definiálásához (az ún. kötött vektoroknál, ilyen pl az er!) nagyságukon és irányukon kívül meg kell adnunk azok támadáspontját (kezd!pontját) is. 4 #.# Táblázat Az SI alapegységei Alapmennyiség hosszúság Jele l, , s Mértékegysége Az SI szabványosítás éve méter, m #983. tömeg m kilogramm, kg #889. id! t másodperc, s #969. elektromos áramer!sség I, i amper, A #948. termodinamikai h!mérséklet T kelvin, K #967. anyagmennyiség n mol #97#. fényer!sség I! kandela, cd #979. Az alapmennyiségek, etalonok és skálák egzakt ismertetése meghaladja lehet!ségeinket; a pontos ismeretek kötetnyire terjed! szöveget igényelnek és így ezek

vonatkozásában a nemzetközi szabványokra kell utalnunk. Az id", mint fizikai mennyiség önmagában nem definiálható; meghatározása azon az axiomatikus feltételen alapul, hogy a természetben létezik (legalább egy) olyan # frekvenciája) periodikus mozgást végz! test, amelynek T periódusideje (ill. f = T id!ben állandó érték. (Az egymás után bekövetkez! id!tartamok összehasonlítása ugyanis csak állandó periódusidej" periodikus mozgások révén lehetséges.) Az id!axióma ellen!rzése (mint minden axiómáé) csak kísérletesen lehetséges és ezt ismereteink szerint minden emberi kultúra az id!k kezdete óta igyekezett el is végezni. A legutóbbi id!kig (#899-ig) ilyen mozgásnak tekintették a Föld tengelykörüli forgását: az id! egységének a Nap két egymás utáni delelése között eltelt id!tartamok évi középértékét vették # középnap = 24 h = #440 min = 86 400 s ("asztronómiai id!skála"). Mivel pontosabb

mérések szerint a Föld forgása nem egyenletes, kvarc, majd "atom"-órákat szerkesztettek. #969-ben az id! mértékegységének definíciója megváltozott: Az id! SI egysége a másodperc; jele: s. Egy másodperc a #33Cs izotópja meghatározott elektronállapotai közötti elektronátmenetnek megfelel! elektromágneses sugárzás periódusidejének 9 #92 63# 770-szerese. (A definícióban szerepl! átmenet a #33Cs izotóp 2S˝ alapállapotának az F=4, MF=0 és az F=3, MF=0 megjelölés" – küls! tér által nem perturbált – hiperfinom szintjei közötti átmenet.) 5 A hosszúság SI mértékegysége a méter, jele m. A méter egységét az #983-ban érvénybe lépett szabványok úgy adják meg, hogy a fény vákuumbeli sebességét a c = 2,99792458·#08 m/s meghatározott értékként definiálták. # m az a távolság, amit a fény vákuumban 3,33564095#98#52·#0-9 s (" #/2,99792458·#08s) alatt tesz meg. A méter egységének meghatározása

tehát frekvencia mérésen és a fénysebesség állandóságán (pontosabban invariáns voltán) alapul. A fénysebesség értéke #983-ig két (önkényesen definiált) egységb!l, a másodpercb!l és a méterb!l volt származtatva. Az id!mérés pontossága nagyságrendekkel meghaladta a hosszúságmérés pontosságát, tehát a fénysebesség ilyen származtatásának az volt az eredménye, hogy értékét csak a hosszúságmérés pontosságával lehetett meghatározni. Bay Zoltán az Egyesült Államokban dolgozva javasolta, hogy a fény sebességének értékét az akkori id!k legpontosabb mérései alapján 299792458 ms–# értékben rögzítsék (így ugyanis a hosszúságegység számértéke nem változott meg) és a hosszúságegységet az id!egység fenti értéke alapján frekvencia mérésre vezessék vissza A tömeg, mint fizikai mennyiség meghatározása Newton óta* állandó gondok forrása. Az alapvet! gond, hogy az F = mta mozgásegyenletben szerepl! ún

tehetetlen és a pl mérlegeléskor mért ún gravitáló tömeg azonossága és egyenl!sége nem magától értet!d!. El!ször (#908) Eötvös Loránd igazolta, hogy a kétféle tömeg igen nagy pontossággal egyenl!. Újabb (#96#) mérések szerint az mt/mgrav arány eltérése az egységt!l # #0–##. Ez az eredmény elegend! alap arra, hogy egy önkényes (a franciaországi Sèvres-ben !rzött) etalonnal való összehasonlító mérlegeléssel a tömeget és annak egységét, az # kg-ot definiáljuk. Megjegyezzük, hogy érik az id! az atomfizikai méréseken alapuló tömegstandard bevezetésére. Ehhez legalább a mai tömegmérés pontosságával ismernünk kellene egy makroszkópikus, mérlegelhet! tömegben az atomok számát. A tömegegység atomi mennyiségekkel való rögzítése két okból lenne kívánatos: a) az ilyen standardhoz mindenki hozzáférhetne és nem lenne kitéve az etalon tömeg valószín"síthet! károsodásának; b) az atomok és molekulák tömege

egymással két nagyságrenddel pontosabban hasonlítható össze, mint ahogy az a szokásos tömegmérésnél (mérlegelésnél) lehetséges. A bevezetés akadálya, hogy egy makroszkópikus test atomjainak száma még nem határozható meg olyan pontossággal sem, mint amilyennel mérlegelésnél a tömegek. Az anyagmennyiség SI egysége a mól; a mennyíség jele: n. Egy mól annak a rendszernek az anyagmennyisége, amely NA = 6,022#367·#023 darab * Newton a tömeget m=V·$ képlettel definiálta, ahol V a térfogat és $ a s"r"ség; mivel a s"r"séget is ezzel az egyenlettel definiálta, ez a definíció circulus vitiosushoz vezet. Ma általában úgy járnak el, hogy a tömeget az anyagmennyiséggel veszik arányosnak: azonos szerkezet" testek esetében kétszer akkora anyagmennyiség kétszer akkora tömeget is jelent. 6 elemi egységet (atomot, molekulát, elektront) tartalmaz. Az NA az ún Avogadro állandó, ld. részletesebben a 32 pontot Az

SI tehát az anyagmennyiség definícióját elválasztotta a tömeg definíciójától. Ennek egyéb okok (ld. el!z! lábjegyzetet) mellett a mól használatának el!nyös volta adott értelmet: # mol anyagban ugyanis az anyagi min!ségt!l függetlenül mindig ugyanannyi részecske található; ugyanakkor # g anyagban a részecskék száma az anyagi min!ségt!l függ. Az elektromos áramer"sség Az elektromos áramer!sség a vezet!k mágneses kölcsönhatása segítségével definiálható. SI egysége az amper; jele A # A az az áramer!sség, amelynek hatására két párhuzamos, egymástól # m távolságra lev! igen hosszú és vékony merev vezet! # m hosszúságú darabjai között vákuumban 2·#0–7 N er! lép fel (#948). Az így definiált áramer!sség-egységet Aabs (abszolút ampernek) is nevezik. #908 és #948 között a következ! definíció volt érvényben: # Aint (# internacionális amper) annak az áramnak az er!ssége, amely az ezüstnitrát (AgNO3) vizes

oldatából # s alatt #,##8 mg ezüstöt választ ki. (#A = #,000#5 Aint) A h"mérséklet definíciója feltételezi egy (vagy több) anyag adott X fizikai tulajdonságának a h!mérséklettel való egyértelm" X(T) kapcsolatát (ld. 32 pontot) Az SI-standard a termodinamikai Carnot-ciklus (ld. 545 pont) anyagi min!ségt!l független (“abszolút”) hatásfokát tekinti ezen tulajdonságnak. A standard h!mérséklet a termodinamikai h"mérséklet; egysége a kelvin (K), amely a víz hármaspontja (önkényesen, de célszer"en rögzített) termodinamikai h!mérsékletének #/273,#6-od része. (A víz hármaspontja, ld 525 pont, P=6## Pa, és T=273,#6 K); jele T A termodinamikai h!mérséklet skálája, megegyezik a Celsius empirikus skálával: #oC h!mérsékletkülönbség egyenl! # K h!mérsékletkülönbséggel. A skála nullpontja természetes nullpont: 0K = –273,#5 oC. Mivel a termodinamikai h!mérséklet és a h!mérsékleti skála megegyezik az

ideális-gáz skálával a termodinamikai h!mérséklet primér (hitelesít!) eszköze az ideális-gáz h"mér". A fényer"sség (I! ), egysége a kandela (cd). # cd a fényer!ssége annak a %=540 nm (540·#0#2 Hz frekvenciájú) monokromatikus fényt kibocsátó fényforrásnak, amelynek sugárer!ssége #/683 W/sr. (A sr a steradián jele, ld alább) Fotometriai egység (Nem azonos a 7. pontban tárgyalt fényintenzitással, azzal bonyolult, könyvünkben nem tárgyalt kapcsolatban áll; ezzel kapcsolatban az alkalmazott optikai irodalomra utalunk. Az SI kiegészít! egységei a sík- illetve térszög, mértékegységei: a radián és a szteradián. A síkszög (pl. &( )) Geometriából átvett fogalom A síkszög a síkon egymást metsz! két egyenes által bezárt síkrész. Nagyságát az SI-ben ívmértékben (egysége: a radián, jele: rad) fejezzük ki. A radiánban mért szög, a szög csúcsa köré írt tetszés szerinti r sugarú körb!l a

szögszárakkal kimetszett *s ív és a kör sugarának hányadosa *s (#.#) ) [radián] = r 7 A kör mérete közömbös: minden kör hasonló egy másik körhöz. A 360°-os teljes 2+r szögnek r = 2+ radián felel meg. A radián puszta szám és a szögmérés módszerére utal, így sin (#,5 rad) és sin #,5 ugyanazt jelenti. Elfogadott a szög fokban (jele o) való kifejezése. Egysége a teljes szög 360-ad része. A térszöget (,), a síkszög háromdimenziós megfelel!jét a térszög csúcsa köré írt r sugarú gömbb!l a térszög csúcsából húzott általános kúp alkotóival kimetszett *A felület nagyságának és a gömbsugár négyzetének hányadosával definiáljuk: *A , [szteradián] = 2 r (#.2) 4r2+ sr = 4+ sr tartozik. r2 Meg kell ugyanakkor jegyezni, hogy az , pontos megadásához meg kell adni a kimetszett felület alakját is. (Gondoljunk arra, hogy ugyanakkora felülete nemcsak az ábrán rajzolt gömbkör alakú, hanem pl. egy délkör mentén

elhelyezked! keskeny hurka alakú alakzatnak is lehet.) (ld. ## ábra) A szteradián jele: sr A teljes gömbfelülethez A r O #.# ábra A térszög definíciójához A fizika leszármaztatott mennyiségei. Mivel egy új fizikai mennyiség mérési utasítása a már definiált mennyiségeken alapul, az új mennyiség dimenziója és mértékegysége a már definiált mennyiségek dimenzióiból, illetve egységeib!l a mérési utasítás alapján származtatható. Így pl. az er! az SI-ben nem alapmennyiség Az er! mértékegysége (a newton, jele N) a tömeg és a gyorsulás egységéb!l származtatható: [F] = [m]·[a] 8 # N= # kg m s2 1.12 A fizikai rendszer, környezet és ezek kölcsönhatásai A tájékozódó kísérletek, meggondolások után els! feladatunk, hogy definiáljuk a fizikai megfigyelés tárgyát. A fizikai megfigyelés tárgyát rendszernek nevezzük (jelölése: R) és (sokszor csak gondolatilag) zárt felülettel (ún. határolófelülettel)

elhatároljuk a környezett!l (jelölés: K). A fizikai rendszeren meghatározott fizikai elemek (atomok, molekulák, elektronok, iontörzsek, er!terek, kontinuumok, makroszkópikus testek stb.) összességét értjük, melyek a rendszeren belül egymással illetve a küls! környezettel kölcsönhatásban állnak. Azok a fizikai elemek, amelyek nem tartoznak a rendszerhez, de a rendszer és a környezet közötti kölcsönhatásban számításba veend!ek, alkotják a rendszer környezetét (jele K). K R (a) K K R (b) RI RII (c) jellel a . kölcsönhatást jelöltük); a) zárt R; b) nyitott R, definiált kölcsönhatásra nyitott határfelülettel és K környezettel; c) zárt R, egymás között definiált kölcsönhatásban lév! R , R alrendszerrel. (A | | | vonal adott szigetelés" határoló felületet jelent.) #.2 ábra Rendszer, környezet, határolófelület különböz! esetekben ( I II 9 A vizsgált rendszert bels! határoló felületekkel ún.

alrendszerekre (RI, RII, ) is felbonthatjuk. A rendszerek, alrendszerek lehatárolása önkényes és azt a vizsgálat célszer"ségi szempontjai határozzák meg. Például egy mozgó dugattyúval elhatárolt gáz kiterjedésének vizsgálatakor célszer" határolófelületként a mozgó dugattyút választani: a határoló felület ilyenkor pl. nem határol állandó térfogatot A rendszer és környezete ill. az egyes alrendszerek egymásra hatását kölcsönhatásnak nevezzük Az adott rendszer és környezete közötti lehetséges kölcsönhatásokat ebben a fejezetben csak áttekintjük, a részletekbe a megfelel! fejezetekben fogunk majd elmélyedni. A rendszer és környezete között lehetséges kölcsönhatások egy lehetséges csoportosítása (a teljesség igénye nélkül) a következ!: Mechanikai kölcsönhatások. a rendszer egészének a környezethez képesti, illetve alrendszereinek egymáshoz képesti helyzetét és (vagy) mozgásállapotát

változtatják meg: a környezet ezek során az egész rendszeren kontakter! vagy általában er!tér útján mechanikai munkát végez. A térfogati munka a mechanikai kölcsönhatás speciális fajtája. Az elektromos ill. elektromágneses kölcsönhatás töltött részecskék és elektromágneses terek olyan kölcsönhatása, amelynek során töltéselmozdulással, töltéscserével a rendszerben (vagy a rendszer által) munkát végzünk. H!cserével, mint folyamattal járó (sokszor termikusnak nevezett) kölcsönhatások. A rendszer és a környezet közötti anyagmennyiség cserével járó kölcsönhatások. A felület nagyságát, alakját megváltoztató kölcsönhatások. A környezet hatását rendszerint megpróbáljuk a rendszer jellemz!ivel kifejezni. A környezetet sokszor célszer" olyan nagynak választani, hogy jellemz! paramétereinek (pl. h!mérsékletének) a rendszerrel való kölcsönhatás (pl h!csere esetén) során bekövetkez! változása

elhanyagolható legyen; utóbbi tulajdonságokkal rendelkeznek pl. az ún h!tartályok (ld 5 fejezet) A különböz! rendszertulajdonságok, jelenségek, folyamatok tárgyalásánál mindig meg kell adnunk, hogy adott esetben milyen kölcsönhatásokat veszünk figyelembe, és melyeket zárunk ki. Utóbbi alapján a rendszereket a következ!képpen csoportosítjuk: Elszigetelt rendszer (alrendszer) az a termodinamikai sokrészecske rendszer, amelyben a környezetével minden kölcsönhatást kizárunk. Így pl kizárjuk a mechanikai, termikus, az anyagmennyiség cserével (változással), kémiai munkával járó kölcsönhatásokat. Az elszigetelt rendszer és környezete között nincs impulzus-, impulzusmomentum- és töltéscsere, nincs energia- és anyagátvitel, és nincs h!átadás sem (DQ=0); a rendszerre nem hat küls! er!. Elszigetelt termodinamikai rendszer bels! energiája állandó (dU=0). Mechanikailag zárt rendszer esetében a rendszerre nem hatnak küls! er!k,

kizárjuk az impulzus-, impulzusmomentum- és mechanikai energiaátvitelt. Kizárjuk a térfogati munka lehet!ségét is. A mechanikailag zárt rendszer esetén megengedhet! #0 viszont a termikus kölcsönhatás és (pl. porózus membránon át) az anyagcsere, anyagátvitel. Adiabatikus rendszer esetén nincs termikus kölcsönhatás, tehát (pl. h!szigetel! fallal) kizárjuk a rendszer termikus kölcsönhatását, a h!cserét (Q=0, DQ=0). Megengedhet! viszont ilyen rendszerben az adiabatikus térfogati munka. A fogalmat kizárólag termodinamikai rendszereknél használjuk. Nyílt rendszernek nevezzük azt a termodinamikai rendszert, melyre nézve megengedjük a térfogati munkavégzést, h!cserét és (komponensenként) az anyagmennyiség megváltozását. A nyílt rendszer speciális esetében megengedjük a kémiai reakciót: itt a komponensek anyagmennyiségének megváltozása nem tetszésszerinti, a komponensek változása ilyenkor csak a stöchiometriai számokkal arányos

lehet. A továbbiakban levezetéseinkhez mindig megadjuk, hogy azok milyen rendszerre vonatkoznak; ennek során a rendszerek fenti csoportosítását alkalmazzuk! 1.13 A fontosabb fizikai modellek A modellalkotás a fizikai megismerés lényeges eleme: célja a vizsgált fizikai rendszer lehet! legegyszer"bb, a vizsgált tulajdonságot, jelenséget, folyamatot elfogadható pontossággal leíró törvényszer"ségek megállapítása. A valóságos, sokszor igen bonyolult jelenségek esetén a lényeges sajátságokra koncentrálunk, azaz absztrahálunk, modellt alkotunk. Az anyagi pont, tömegpont egy, pusztán m tömegével jellemzett geometriai pont (mely tehát nem rendelkezik bels! szerkezettel). Egy vizsgált test akkor jellemezhet! tömegpontként, ha az adott leírás szempontjából alakja lényegtelen (pl. forgásától eltekinthetünk), kiterjedése, mérete pedig elhanyagolható a vizsgált fizikai rendszerben lév! testek közötti távolságokhoz képest ill.

amikor a test helyzetének mérési hibája nagy annak méretéhez képest. (Például a bolygók mozgása a naprendszerben, ún. ideális gázok atomjai, molekulái, makroszkópikus testek helyettesítése tömegközéppontjukba képzelt tömegponttal stb.) Ideális gáz. Olyan (a valóságban csak néhány gázra, pl H2, He stb mérsékelten kis nyomáson érvényes) gázmodell, melyre érvényes a PV = NkBT állapotegyenlet, és melyet mikrofizikailag tömegpontokból álló, egymással csak ütközésekben kölcsönható rendszernek tekintünk. A merev test bármely két, tetsz!legesen kiválasztott pontjának egymástól való távolsága állandó; másszóval mozgása során sem méretei, sem alakja nem változnak. Sokszor olyan, egymáshoz képest rögzített pontokból álló tömegpontrendszernek tekinthet!, melynek bels! szerkezetét!l eltekintünk. A merev testek mindig nem elhanyagolható kiterjedés"ek. ## Tökéletesen rugalmas egy test, amelynek a

kölcsönhatásban az alakja megváltozik és eredeti alakját, a létrehozó küls! hatást kell!en lassan megszüntetve (különben a test rezgésbe jön!) visszanyeri. Tökéletesen rugalmatlan az a test, amelynek alakját egy (bármilyen kis) er!hatás képes megváltoztatni, és amely a küls! hatás megszüntetése után alakját nem változtatja meg. Harmonikus oszcillátor az olyan rezg! rendszer, amelynek rezgései harmonikusak, azaz sin ill. cos függvénnyel, illetve ezek lineárkombinációjával leírhatóak Az egydimenziós harmonikus oszcillátort lineáris harmonikus oszcillátornak nevezzük. Ilyen modellel írható le pl. egy rugóra függesztett tömegpont, a H/H molekula rezgése. Az elektromágneses sugárzás forrása, a sugárzási tér, energia szempontjából ugyancsak leírható harmonikus oszcillátorokkal. Modelljelleg"ek pl. a súrlódó er!t!l, súrlódó munkától, ellenállástól való eltekintés sokszor alkalmazott feltételezései is. Ideális

áramköri elemek. Az ideális kondenzátor ellenállása végtelen (A valóságos kondenzátort egy párhuzamosan kapcsolt kondenzátorral és ellenállással írunk le). Az ideális tekercs (induktivitás) olyan absztrahált tekercs, melynek ohmos ellenállása nulla. (Egy valódi tekercsét egy sorbakapcsolt tekerccsel és ohmos ellenállással írunk le.) Számos más modellre az egyes fejezetekben térünk ki. 1.14 A fizikai törvények, axiómák A fizikai törvények érvényességi köre; az (ún. Bohr–féle) korreszpondencia elv A fizikai mennyiségekre vonatkozó összefüggéseket, egyenleteket fizikai törvényeknek, tételeknek nevezzük. A fizikai törvények megalkotása nem mindig történik közvetlen kísérletek alapján. A tudománytörténet ilyen, ún. axiomatikus törvényekként tartja számon többek között a Newton–axiómákat (ld. 23# pont) a termodinamika I, II f!tételét, a Maxwell– egyenletek rendszerét (ld. 64 pont) és a Heisenberg–féle

felcserélési relációkat (ld 8.44 pont) Ezekben az esetekben a felgy"lt óriási kísérleti ismeretanyag ismeretében a megsejtett törvényt axiómaként fogalmazták meg. Az axióma az általános tapasztalatok alapján az elmélet élére állított olyan képlet, tétel, amely sok esetben közvetlenül nem ellen!rizhet!. Az axiómát a bel!le levezetett kvantitatív következmények, képletek #2 kísérletekkel való széleskör" ellen!rzése igazolja. Az axiómákat minden új ismeret felmerülése esetén újra és újra ellen!rizni kell. Az ismételten felmerült kételyekre, az újra ellen!rzésre jó példa az energiamegmaradási tétel ellen!rzése a 01bomlás felfedezésekor (ld. #3 pontot) A fizikai törvények érvényességi határai, a korreszpondencia elve. A valóság megismerése hosszú és fáradságos folyamat. Mér!eszközeink fogyatékosságai következtében ismereteink sohasem terjedhetnek ki a fizikai valóság minden részletére Ez azt is

jelenti, hogy legpontosabb elméleteink is csak a valóság egy megközelítését képesek biztosítani. Mindig voltak és valószín"leg mindig lesznek olyan jelenségek, amelyeket vagy még nem ismerünk, vagy ha ismerjük is !ket, akkor sem vagyunk még képesek azokat teljesen leírni. Fizikai elméleteink tehát mindig korlátozott érvény"ek. Ezért elméleteink érvényességi határainak ismerete mindig nagyon fontos Ha egy olyan jelenséggel találkozunk, amely jelenlegi elméleteinkkel nem írható le, akkor elméleteink módosítására, esetleg új elmélet kidolgozására van szükség. Kétféle okból kerülhet sor egy új elmélet kidolgozására: vagy olyan jelenséget ismerünk meg, amely semmiképpen nem illeszkedik be eddigi elméleteinkbe (pl. az elektromágneses jelenségek pusztán mechanikai modellekkel nem voltak leírhatóak, ezért szükség volt az elektromágnesség elméletének kidolgozására), vagy pedig egy már ismert elmélet

hatáskörébe tartozónak vélt jelenségr!l derül ki, hogy eddigi elméletünkkel lehetetlen leírni (ez volt a helyzet a relativitáselmélet esetében). Az új elmélet segít pontosabban definiálni régebbi elméleteink érvényességi körét.* Egy új elmélet kidolgozása során mindig szem el!tt kell tartanunk meglev!, érvényes elméleteink eredményeit. Abban az esetben, amikor az új elmélet kidolgozására azért van szükségünk, mert a régi elmélet nem ír le helyesen egyes jelenségeket (de a régi elmélet sok jelenséget elegend! pontossággal leír), olyan elmélet kidolgozására van szükség, amely megfelel! feltételek teljesülése esetén visszaadja a régebbi elméletünkben érvényes és a tapasztalattal megegyez! törvényszer"ségeket. Ez az ún. korrespondencia elve Példaként említhetjük erre az esetre például, hogy a relativisztikus mechanika törvényei kis v sebességeknél (v « c, ahol c a vákuumbeli fénysebesség) átmennek a

klasszikus, Newton–féle mechanika egyenleteibe (ld. pl 2242, 23#2 és 262 pontokat); ugyanígy: a mikrorészecskékre vonatkozó kvantummechanika törvényei bizonyos feltételek teljesülése esetén átmennek a klasszikus fizika törvényeibe (ld. 8.23 és 835 pontokat); pl ha az elektronok közelít!leg állandó er!térben mozognak (Ehrenfest–tétel, ld. 835 pont, pl az elektronsugárcs!ben mozgó elektronok esete) a kvantummechanikai leírás helyett a klasszikus leírást alkalmazhatjuk. Az a tény, hogy a nagyobb érvényességi kör" elmélet magában foglalja a kisebb érvényességi kör"t, gyakorlati jelent!ség". Ez teszi lehet!vé a mérnök számára, hogy * Egyes esetekben azonban el!fordulhat, hogy a régebbi elmélet érvénytelennek bizonyul. Például gondoljunk az ún. "h!anyag elmélet" esetére #3 megfelel! közelítéseket alkalmazzon és ha az adott feltételek gondos mérlegelés alapján lehet!vé teszik az egyszer"bb

elmélettel dolgozzon. 1.2 NÉHÁNY FIZIKAI RENDSZER JELLEMZÉSE 1.21 Kis szabadsági fokú (mechanikai) tömegpont rendszerek Ide soroljuk a mechanikai mozgásegyenletekkel leírható, környezetével kölcsönhatásban lev! anyagi tömegpont és az egymással és a környezettel kölcsönhatásban lev! N számú (diszkrét) tömegpontból álló tömegpontrendszerek mozgásának problémakörét. Bizonyos általánosítással minden test diszkrét tömegpontrendszernek tekinthet!; ez a felfogás a merev testekkel kapcsolatban bevált, más kiterjedt testekre az folytonossági- (kontinuum-) elmélet* bizonyult alkalmasabbnak. A kölcsönhatásokat er!kkel írjuk le. Az egyetlen tömegpontra csak küls! er!k hatnak. A tömegpont rendszerre ható er!ket küls! er!kre és a rendszer pontjai között ható bels! er!kre osztjuk. A bels! er!kre (mivel ezek természetével, törvényszer"ségeivel a mechanika nem foglalkozik) külön axiómaként feltételezzük, hogy azok

centrálisak, azaz azok a tömegpontokat összeköt! egyetlen kitüntetett irány, az !ket összeköt! egyenes irányába esnek; Newton III törvényéb!l következik, hogy egy i és j tömegpont közötti bels! er!k semlegesítik egymást (Fij = – Fji). Ezzel a különfeltevéssel a tömegpontrendszerek a Newton-féle d2 r i (t) (K) = Fi + mi ai = mi dt2 N 2 Fij (#.3) j=# j3i * A kontinuumok mechanikájával könyvünkben az el!szóban jelzett okok miatt nem foglalkozunk. #4 mozgásegyenletekkel, illetve ezek integráljaival a rendszerek mechanikájának minden összefüggése (legalábbis elvben) meghatározható.* (Az (#.3) egyenletben az i= #, 2 (K) j N a tömegpontrendszer megjelölésére szolgál, az Fi a küls!, az Fij a bels! er!ket jelenti; az összegzésben szerepl! i 3 j kitétel arra utal, hogy a tömegpont saját magára nem fejt ki er!t. A (#.3) egyenlet egy lineáris, másodrend" differenciálegyenlet Diferenciáegyenletek azok az egyenletek,

amelyekben egy, vagy több ismeretlen, meghatározandó függvény közönséges, vagy ún parciális differenciálhányadosai szerepelnek. A differenciálegyenletek megoldása ezen függvények meghatározását jelenti. Másodrendû az az egyenlet, amelyben szereplõ legmagasabb derivált a második derivált. az egyenlet lineáris, ha mind az ismeretlen, mind deriváltjai els! hatványon szerepelnek (ld. #24 pontot) Ha egy N darab részecskéb!l álló rendszer kényszerer!kt!l (ld. alább) mentes, akkor viselkedését N darab független vektoriális (illetve 3N skaláris) másodrend" differenciálegyenlet írja le. A rendszert jellemz! független egyenletek számát, a rendszer mechanikai szabadsági fokának (jele: fM) nevezzük, azaz ilyenkor fM = 3N (#.4a) Ha a rendszerben a tömegpont(ok) mozgását kényszerfeltételek (illetve az ezeket a mozgásegyenletekben helyettesít! kényszerer!k) korlátozzák, akkor fM = 3N – k (#.4b) ahol k a kényszerfeltételek száma.

Például ha egy tömegpont mozgását egy kör menti mozgásra korlátozzuk, akkor a kényszer geometriai és a megfelel! kényszert leíró egyenlet a kör x2 + y2 = r2 egyenlete és a z = áll. egyenlet, így fM = 3–2 = #. Hasonló geometriai kényszer, pl ha a tömegpont(ok) mozgását egyetlen síkra korlátozzuk. A merev testet felfoghatjuk bels! kényszerfeltételekkel korlátozott tömegpontrendszernek: a kényszerfeltételek itt el!írják, hogy az ilyen testben bármely két, tetsz!legesen kiválasztott pont egymástól mért távolsága állandó. Az (#.3) típusú másodrend" differenciálegyenlet egyértelm" megoldása csak két kezdeti feltétel (pl. a t=0-hoz tartozó ro helykoordináta és a vo kezdeti sebesség) megadása mellett lehetséges. Ez azt jelenti, hogy pl egy N darab részecskéb!l álló rendszert 3N vektoregyenlet és 2·3·N = 6N kezdeti feltétel ír le egyértelm"en. A mechanikai rendszer teljes jellemzése az össztömeg (m= 2mi), a

tömegközéppont, az impulzusmomentum és a rendszer mechanikai energiájának megadásával történik (ld. az el!z! lábjegyzetet) * A mechanika 3 (az (#.3)-ból levezethet!) alaptételen nyugszik: a tömegközéppont tétel, az impulzusmomentum- és az energia megmaradási tétel (“energia-tétel”). Ezekkel a 237, illetve 253 pontokban foglalkozunk. 15 Az (1.3) típusú másodrend! differenciálegyenlet egyértelm! megoldása csak két kezdeti feltétel (pl. a t=0-hoz tartozó ro helykoordináta és a vo kezdeti sebesség) megadása mellett lehetséges. Ez azt jelenti, hogy pl egy N darab részecskéb"l álló rendszert 3N vektoregyenlet és 2·3·N = 6N kezdeti feltétel ír le egyértelm!en. A mechanikai rendszer teljes jellemzése az össztömeg (m=!mi), a tömegközéppont, az impulzusmomentum és a rendszer mechanikai energiájának megadásával történik (ld. az el"z" lábjegyzetet) 1.22 Sokrészecske rendszerek (Statisztikus fizikai illetve

termodinamikai módszerekkel leírható tömegpontrendszerek.) Ilyen, számunkra igen fontos rendszerek az anyagi (gáz-, szilárd- stb. halmazállapotú) makroszkópikus testek bels! szerkezetét alkotó atom-, molekula-, ion-, elektron-sokrészecske rendszerek. Rögzítsünk egy makroszkopikus testhez egy vele együtt mozgó (és forgó) koordinátarendszert, amelynek origója a test tömegközéppontjában van! Válasszuk a potenciális energia nullpontját úgy, hogy a vizsgált test potenciális energiája nulla legyen! Így egy makroszkópikus test energiája szétválasztható a makroszkópikus test tömegközéppontjának (mozgási és potenciális) energiájára azaz a test EM mechanikai energiájára és a test ún. bels! energiájára (U): Etest = EM + U (1.5) Ezt a szétválasztást végrehajtva a továbbiakban csak testek bels! szerkezetét alkotó sokrészecske halmazzal, az energia vonatkozásában pedig csak az ún. bels! energiával foglalkozhatunk. A rendszer bels!

energiája magában foglalja a makroszkópikusan nyugvó rendszert alkotó részecskék véletlenszer! (random) haladó- (transzlációs-) mozgásának, forgásának (ezek csak gázfázisban léphetnek fel), a részecskék egyensúlyi helyzetük körüli rezgésének (szilárd és folyadékfázis esetén), a részecskék bels" rezgéseinek (pl. egy molekulán belüli atomok egyensúlyi helyzetükhöz viszonyított rezgéseinek) kinetikus ill. potenciális energiáját A bels" energia ezen járulékait szokták termikus energiának is nevezni; ezek a bels" energiajárulékok csak T > 0 K h"mérsékleten lépnek fel; alább ismertetett okok miatt, ha csak külön nem jelezzük, bels! energián a termikus energiát értjük. A termikus energiának (és ezzel természetesen a bels" energiának) elvileg része (járuléka) még a részecskék elektronrendszerének gerjesztési energiája; az elektronok gerjesztéséhez szükséges energiák azonban olyan nagyok,

hogy azokat termikus energiával (pl. a rendszereken belüli molekuláris ütközésekkel) nem lehet gerjeszteni így ez a járulék jó közelítéssel állandónak tekinthet"; a gerjesztéshez fotonok, nagyenergiájú részecskékkel való ütköztetés vagy a mérnöki gyakorlaton kívül es" igen magas h"mérséklet szükséges. Mivel a sokrészecskerendszerek leírásában csak az "U bels! 16 energia változások játszanak szerepet, és ez az állandónak tekinthet" járulék a különbségképzéskor kiesik, a mérnöki gyakorlatban nem kell vele számolnunk.) A bels" energia része az u.n zéruspontenergia (azaz a sokrészecskerendszer energiája T=0K-en) is; ezt alapállapoti energiának is nevezik. Ide soroljuk el!ször is a magenergiát (a magbeli kötési energiát, valamint a magbeli kinetikus és potenciális energiát); a magenergia sok nagyságrenddel nagyobb, mint a többi energiajárulék, ezért szintén állandónak

tekinthet", és így a "U különbség képzésekor szintén kiesik. Ide tartozik másodszor a kémiai kötési energia és harmadszor a kvantummechanikai okokra visszavezethet" rezgési zéruspontenergia. Ezen utóbbiak jelentik a különbséget két különböz" kémiai anyagfajta zérusnívója (alapállapota) között. Ezek csak kémiai átalakulásokban változnak Bár a klasszikus sokrészecske rendszerek (és kváziklasszikus közelítésben általában a sokrészecske rendszerek) a mechanika törvényeit követik (tömegpont rendszerekként kezelhet"k), a mechanika törvényeinek alkalmazása már elvi jelent"ség! gyakorlati okokból sem lehetséges: nem határozhatók ugyanis meg a kezdeti feltételek (kezdeti helyzet, sebesség, impulzus stb.), és ha ezeket (pl egy komputerszimuláció során) fel is vennénk, a 1025–1028 nagyságrendben mozgó mozgásegyenletrendszer megoldása még a leggyorsabb számítógépekkel is #1032 évig tartana;

a világegyetem jelenleg becsült életkora mintegy 1,2·1010 év! Természetesen ez a számítógépek ma még nem reális fejl"désével változhat. $ A sokrészecske rendszerek leírására a statisztikus módszerek* adnak lehet!séget. Mérjük meg egy adott térfogatban lev" makroszkópikus gázrendszer nyomását az id" függvényében* (ld. az 13a ábrát): a mérés (a mérési hibán belül) id"ben állandó P nyomásértéket mutat. P 5 -5 10 Pa 10 Pa t ".3 ábra A nyomás makroszkópikus id!beli állandósága (a ábra) mögött mikroszkópikus ingadozások, egyensúlyi fluktuációk állnak (b ábra) * A makroszkópikus sokrészecske rendszerek akkor írhatók le statisztikus fizikai ill. termodinamikai módszerekkel, ha minden alrendszerük elegend"en sok részecskét tartalmaz ahhoz, hogy a matematikai statisztika módszereit alkalmazhassuk, másszóval ha az alrendszereket id"t"l független (egyensúlyi) makroszkópikus

paraméterekkel (pl. a P nyomással, a T h"mérséklettel, U bels" energiával) jellemezhetjük. Ehhez nagyságrendben n > 1015 részecske/cm3 részecskes!r!ség szükséges * Az id"beli egyensúly általában térbeli egyensúlyt is jelent, hiszen a térbeli különbségek kiegyenlít"dése id"beli változást is okozna. Ez alól kivételt jelent, ha a térbeli kiegyenlít"dést küls" er"tér akadályozza (pl. a gravitációs er"tér hatása a légkör magasság függvényében való s!r!ségeloszlásra, ld. 34 pontot) 17 Ha a mért nyomásérték a rendszer minden pontján id"ben állandó , azt mondjuk, hogy az adott rendszer adott esetben mechanikai egyensúlyban van. Hasonlóképpen hasonló feltételekkel beszélhetünk termikus egyensúlyról a T h"mérséklet esetében, ill. a koncentráció egyensúlyról A rendszer P nyomása, T h"mérséklete, V térfogata és anyagmennyisége (koncentrációja) a rendszer

makroszkópikusan közvetlenül mérhet" paramétere. Az ilyen paramétereket makroparamétereknek nevezzük. Az egyensúlyi rendszerek (közvetlenül mérhet!) makroparamétereit állapotjelz!knek nevezik, mert azok együttese egyértelm!en meghatározza a rendszer egyensúlyi állapotát. Nem–egyensúlyi makroszkópikus rendszerekben is mérhet! nyomás, h"mérséklet stb., tehát ezekben is megmérhet" a makroparaméterek értéke, de az az id"ben változik; a makroparaméter ilyenkor nem állapotjelz!. Az egyensúlyi rendszerek állapotjelz"inek makroszkópikus id!beli állandósága mögött azonban a rendszert alkotó részecskék egyedi mikrofizikai jellemz!inek (mikrofizikai paramétereinek; pl. impulzusának, sebességének, helyzetének, energiájának) állandó id!beli változása, a részecskék folyamatos kölcsönhatása (pl. ütközések sorozata) rejlik. E mikrofizikai jellemz"k pillanatnyi értékei azonban az id"ben (statisztikus

törvényeket követve) kiátlagolódnak; akkor beszélünk egyensúlyi állapotról, ha ez az átlag id!ben állandó. Egy adott makroparaméter pillanatnyi értékét a rendszer részecskéire adott pillanatban jellemz" mikrofizikai paraméterek halmaza határozza meg. Bizonyos körülmények között a makroparaméter pillanatnyi értéke közvetlenül is megfigyelhet" a rendszerek ún. egyensúlyi fluktuációiban Ha ugyanis a rendszer részecskes!r!sége olyan kicsiny, hogy a rendszerre a statisztikus törvények nem, vagy csak nagy hibával érvényesek, akkor a makroparaméterek (pl. a rendszer P nyomása) id"ben ingadozó értéket mutatnak: a makroparaméter értéke egy adott érték körül id"ben ingadozik (ld. 1.3b ábrát); a jelenségben a mikrofizikai paraméterek értékének fent jelzett állandó változása tükröz"dik. Egyensúlyi rendszerekben a makroparamétert az !t meghatározó mikrofizikai paraméterek id!ben állandó

átlagértéke határozza meg. A mikrofizikai paraméterek az egyensúlyra jellemz" kiátlagolódásának tényét éppen az igazolja, hogy léteznek egyensúlyi rendszerek és az "ket jellemz" (id"független) állapotjelz"k. Fentiek ismeretében egy rendszer egyensúlyi állapota más szavakkal is leírható: egyensúlyi rendszerben bármely makroparaméter pillanatnyi értéke id!független. Ezek alapján az állapotjelz! fogalmát pontosabban is definiálhatjuk: Az egyensúlyi sokrészecske rendszer közvetlenül mérhet! makroparaméterei a rendszer állapotára jellemz! id!független átlagértékek és így azokat állapotjelz!knek tekinthetjük és nevezzük. Ugyancsak fentiek ismeretében megadható két igen fontos fizikai fogalom definíciója is: 18 Egy adott rendszer, a rendszert egyértelm#en jellemz! makroparaméterek összességével* meghatározott állapotát makroállapotnak nevezzük. Egy adott rendszer adott és más állapotoktól

elvileg megkülönböztethet! pillanatnyi állapotát, melyet a jellemz! mikrofizikai paraméterek adott értékeinek összességével jellemezhetünk, a rendszer mikroállapotának nevezzük. A rendszer mikroállapotai pillanatról pillanatra változnak, egymásba (a makroállapotot esetleg változatlanul hagyva) átalakulnak. A rendszert alkotó részecskék egyedi jellemz"inek számos eltér" halmaza (mikroállapota) valósíthat meg azonos átlagértéket, azaz vezethet a makroparaméterek ugyanazon értékéhez. Tehát: Egy adott makroállapotot számos eltér! mikroállapot is megvalósíthat. Egy adott makroállapotot megvalósító mikroállapotok száma jellemz! az adott makroállapotra: mivel egy általánosan elfogadott feltevés szerint minden az adott feltételekkel összefér" mikroállapot egyformán valószín!, egy makroállapot valószín"sége annál nagyobb, minél több mikroállapot valósítja azt meg. A sokrészecske rendszerek ilyen

alapokon történ" leírásával két önálló tudományág ("diszciplina") foglalkozik: a termodinamika és a statisztikus fizika. $ A termodinamika a sokrészecskerendszerek fenomenológikus (nem mikrofizikai) leírásával foglalkozik; a klasszikus termodinamika csak egyensúlyi rendszerekkel, az egyensúlyi állapot leírásával, meghatározásával és egyensúlyi állapotok sorozatán átmen" folyamatokkal (az u.n kváziegyensúlyi folyamatokkal) foglalkozik. A termodinamika az egyensúlyi rendszereket állapotjelz"kkel és az ezekkel egyértelm!en meghatározott termodinamikai függvényekkel (állapotfüggvényekkel) jellemzi. A termodinamikai összefüggések az anyag szerkezetét"l függetlenek; az egyes anyagcsoportokat állapotegyenletekkel jellemzi. A termodinamika tárgyalása négy axiomatikus, tapasztalatból absztrahált f"tételb"l indul ki. Ezekb"l, az állapotegyenletekb"l és néhány kísérleti adat (pl a

h"kapacitások h"mérsékletfüggésének) felhasználásával minden összefüggése levezethet". Ezek közül kiemelend"k az egyensúly kritériumok, melyekkel az egyensúlyi állapotok, az egyensúlyi állapotok paraméterei külön egyensúlyi kísérletek nélkül is meghatározhatóak. A termodinamika a kváziegyensúlyi folyamatok absztrakciója segítségével a valódi folyamatok (állapotváltozások, kémiai reakciók) bizonyos jellemz"it is képes megadni, de ezek mechanizmusáról, sebességér"l nem tájékoztat. A legfontosabb, hogy képes meghatározni a spontán, önmaguktól lefolyó folyamatok irányát. * Pontosabban az ún. betöltési számok adott sorozatával (ld 4 fejezet) 19 Az állapotjelz" fogalmát fentebb definiáltuk. A termodinamika az állapotjelz"ket extenzív és intenzív állapotjelz"kre osztja. Az extenzív állapotjelz!k az alrendszerekre additívek; pl. egy rendszer U bels" energiája az

alrendszerek bels" energiájának összege: UR = UI + UII + ., ahol R a teljes rendszerre, az I, II stb az alrendszerekre utaló indexek. Az intenzív állapotjelz!k nem additívek; pl egy rendszer nyomása, h"mérséklete nem egyenl" az alrendszerek nyomásának, h"mérsékletének összegével. Ha a rendszer állapotát egy, az állapotjelz"k által kifeszített (általában sokdimenziós) koordinátarendszerben ábrázoljuk, akkor az állapotjelz!k által kifeszített koordinátarendszert állapottérnek nevezzük. Az állapottérben a rendszer egy adott egyensúlyi állapotát az állapottér egy pontja adja meg. Például ha egy rendszerre jellemz" állapotjelz"k a T h"mérséklet, P nyomás, V térfogat és az N részecskeszám (egykomponens! rendszer), akkor az állapottér 4 dimenziós, ha a rendszer K komponens!, akkor 3+K dimenziós, mivel a független változók: T, P, V, N1.NK A termodinamikai rendszerekben általában többfajta

(kémiailag különböz") részecske található: különböz" elemek atomjai, molekulák, ionok, elektronok stb. Ezek a rendszer komponensei. A többkomponens! rendszer összetétele a részecskék számával (Nössz = N1 + N2 + . + NK, ahol K a komponensek száma) ill koncentrációjával (ennek több lehetséges megadási módjával a 3.2 pont foglalkozik) jellemezhet!. A termodinamikai rendszer lehet homogén ill. heterogén Homogén rendszerben csak egyetlen, heterogén rendszerben több ún. fázis létezik Háromfázisú például a víz–jég–vízg"z rendszer. (A fázis pontos definíciójával az 511 pontban foglalkozunk.) Egy adott egyensúlyi rendszer állapotának jellemzéséhez szükséges és elégséges, független állapotjelz"k számát (az ún. termodinamikai szabadsági fokot, jele fTD) az ún. Gibbs–féle fázisszabály (ld 525 pont) adja meg: fTD = K – F + 2 (1.6) ahol K a rendszer komponenseinek, F pedig fázisainak száma, ehhez jön

pl. P és T (összesen 2.) Például (ld 525 pontot) egy víz–g"z rendszer esetében K=1, F=2, tehát fTD = 1–2+2 = 1; következ"leg egy kétfázisú, egy komponens! rendszerben a rendszer egyértelm! jellemzéséhez egyetlen állapotjelz" szükséges és elégséges: vagy a T vagy a P; ezek egyikének megadása a másikat egyértelm!en meghatározza! Ha a rendszert az állapottér egy adott (1) pontjából egy másik (2) pontjába visszük, akkor megváltoztatjuk a rendszer állapotát: állapotváltozásról beszélünk. Az állapotváltozás folyamat. Erre a folyamatra jellemz! a folyamat során a rendszer által az állapottérben leírt pálya; az állapottérbeli megtett pályát a továbbiakban a folyamat útjának nevezzük. Az állapotjelz!kkel egyértelm#en meghatározott többváltozós termodinamikai mennyiségeket állapotfüggvényeknek nevezzük. 20 Mivel az állapotfüggvények kizárólag a rendszer állapotára jellemz"ek, és függetlenek

attól, hogyan jutott a rendszer az adott állapotba, ezek megváltozása útfüggetlen; megváltozásuk a vég (2) és a kezdeti (1) állapotbeli értékük különbsége. Körfolyamatban (tehát olyan folyamatban, amelynek kezd" és végállapota azonos, ilyen pl. a szimbólikusan (1) % (2) % (1)-el leírt folyamat), bármely úton történ" megváltozásuk nulla. Például "U (körfolyamatban) = 0 A termodinamika megadja a (kényszerekkel nem akadályozott) nem egyensúlyi rendszerekben (küls" beavatkozás nélkül) mindig meginduló spontán folyamatok irányát is. Nem–egyensúlyi rendszerekben az intenzív paraméterek értékei a rendszerben helyr"l helyre eltér"ek. Tapasztalati tény, hogy ha pl két alrendszer között h"mérséklet különbség áll fenn, és az alrendszerek nem h"szigeteltek, akkor a rendszerben olyan folyamatok indulnak meg, amelyek a h!mérséklet kiegyenlítésére törekednek. Hasonló a helyzet

nyomáskülönbség esetén is: amennyiben a nyomáskiegyenlít"dést semmi sem akadályozza, akkor az alrendszerek nyomása egyenlít"dik ki. Az önkéntes folyamatok akkor állnak le, ha a h!mérsékletek, nyomások kiegyenlít!dnek, azaz, ha beáll az egyensúlyi állapot. Egyensúlyi rendszerekben a P, T értékek a rendszer minden elemi alrendszerében egyenl!ek. A nem egyensúlyi rendszerekben spontán folyamatok indulnak meg, amelyek a nyomás, h!mérséklet, általában az intenzív állapotjelz!k kiegyenlítésére törekednek. Ha egy vezet" anyagból álló rendszerben elektromos töltések vannak és elektromos potenciál–különbség áll fent, akkor a rendszerben töltésáramlás indul meg, miközben (ha a potenciál–különbséget mesterségesen, kívülr"l fent nem tartjuk) az elektromos potenciál kiegyenlít!dik. Hasonló a helyzet, ha a rendszerben adott komponensre koncentrációkülönbség áll fent. Például egy tömény vizes

cukoroldatot és tiszta vizet érintkezésbe hozva, a cukor koncentráció kiegyenlít"dik. Látni fogjuk, hogy egzakt tárgyalásban a megfelel" kiegyenlít"d" intenzív paraméter az elektromos potenciál analógiájára az ún. kémiai potenciál A rendszerben fennálló kémiai potenciál– különbség részecske (anyagmennyiség) áramot indít meg. Ha tehát a rendszer alrendszereiben az intenzív állapotjelz!k értéke eltér, akkor a rendszerben spontán folyamatok indulnak meg. Ezen folyamatok térben az intenzív állapotjelz!k csökken! értékeinek irányába makroszkópikus kiegyenlít! áramot indítanak meg, mely az egyensúly elérésekor (az intenzív paraméterek értékei kiegyenlít!désekor) megsz#nik. $ A statisztikus fizika (4. fejezet) a makroállapotok és az "ket megvalósító mikroállapotok, valamint a mikrofizikai paraméterek és az állapotjelz"k ill. állapotfüggvények kapcsolatával foglalkozik A statisztikus

fizikában a rendszerek egyértelm! jellemzéséhez szükséges és elégséges független paraméterek számát az ún. statisztikus vagy molekuláris szabadsági fokot (jele fSF) a teljes energia energiajárulékainak, pontosabban a teljes energia kifejezésben négyzeten szerepl" független koordináták száma adja meg. 21 Például egyatomos gázra, amelyben csak transzlációs mozgás van, csak transzlációs kinetikus energia lép fel; a transzlációs kinetikus energia egy részecskére jutó átlagértéke 1 2 2 2 <ekin,tr> = m <vx + vy + vz > (1.7)* 2 úgyhogy a fentiek szerint a molekuláris szabadsági fok fSF = 3. A statisztikus fizika az egyensúlybeállító folyamatokat és azok irányát is értelmezni tudja: miután igazolja, hogy az egyensúlyi ill. az ahhoz igen közel álló makroállapotok a legvalószín!bbek, az önkéntes folyamatok irányát a legvalószín!bb makroállapot kialakulása irányában jelöli meg. 1.23 Kvantummechanikai

rendszerek, mikrorészecskék $ Maxwell már 1859-ben felhívta a figyelmet arra, hogy a két- vagy többatomos gázok kísérleti és elméletileg számított moláris h!kapacitása közötti jelent!s eltérés* a klasszikus fizika talaján nem értelmezhet"; 1871-ben ismételten rámutatott ennek elvi jelent"ségére és felhívott a probléma újszer! tanulmányozására. A klasszikus fizika a molekulák mozgási, forgási és bels" rezgési energiáját folytonosnak tekintette, a molekulák pl. a h"mozgás energiájából tetszés szerinti kis energiaadagokat felvehettek. A fent jelzett különbség (mint a kvantumelmélet kialakulása után világossá vált) abból ered, hogy a molekulák energianívói nem folytonosak, hanem diszkrétek, egymástól véges "E energiaközökkel elválasztottak; ezek az energiaközök a rezgési nívóknál olyan nagyok, hogy normál h"mérsékleten a rezgések nem tudnak energiát felvenni: a rezgési energiákból

ered" fajh" tehát kísérletileg nem jelentkezik. A newtoni, maxwelli ún. klasszikus fizikában a fizikai mennyiségek értékkészlete folytonos: a sebesség, az impulzus, az energia bármely értéket felvehet, az értékek megváltozása tetszésszerinti kicsiny lehet. Planck (1900) kimutatta, hogy a testek ún. h!mérsékleti sugárzása során kisugárzott energia frekvenciafüggése csak azon feltevéssel értelmezhet", hogy elvetjük a testek által kisugárzott, illetve elnyelt elektromágneses hullámokban terjed" energia a * Az energia más formái is négyzetes járulékokból állnak. Például a forgási kinetikus energia kifejezése 1 &2 stb. (Ld a 251 pontot) A transzlációs kinetikus energiára felírt kifejezés a 2 2 2 2 (1.8) v 2 = vx + v y + v z összefüggésen alapszik. Mivel gyakran el" fog fordulni, a kezd" olvasó figyelmét felhívjuk, hogy ez a v2 = (ivx + jvy + kvz)2 kifejezéssel azonos, ahol i, j, k a derékszög!

koordinátarendszer egységvektorai. A négyzetre emelés során az egységvektorok vegyes skaláris szorzatait tartalmazó tagok nullát adnak, mert pl. i ( j-re stb * Például egy kétatomos ideális gáz kísérletileg mért moláris h"kapacitása állandó térfogatot feltételezve Cm,V # 20,47 Jmol–1 K–1, a klasszikus fizika alapján számított elméleti érték viszont 29,10 Jmol–1 K–1. 22 klasszikus fizikában természetesnek tekintett folytonosságát. Hasonló eredményre jutott Einstein a fotoelektromos effektus értelmezése (1905) során: ha az elegend"en nagy frekvenciájú fény hatására a fémekb"l kilép" elektronok a fényb"l folytonosan vehetnének fel energiát, akkor a kilép" elektronok kinetikus energiája arányos lenne a besugárzó fény intenzitásával; a kísérletek viszont azt mutatták, hogy bizonyos küszöbfrekvencia alatt a fémb"l nem lépnek ki elektronok, a felett viszont a kilép" elektronok

kinetikus energiája a fénynek nem az intenzitásával, hanem frekvenciájával arányos. Folytonos energiakészlettel nem értelmezhet" az atomok ill molekulák vonalas szinképe és további jelenségek egész sora. A fent jelzett problémákon a fizikát Planck (majd Planck eredményeinek általánosításával Einstein) segítette át. Bebizonyították, hogy a nehézségek legy!zése érdekében el kell vetni az energia folytonos értékkészletére vonatkozó klasszikus feltételt és tudomásul kell venni, hogy az energia értékkészlete ebben az esetben diszkrét, kvantált. Az elektromágneses sugárzás energiája tehát nem változhat folytonosan, hanem csak meghatározott energiaadagokban, vagyis kvantált. A fény energiakvantumai a fotonok és a fényben az energia ) = h* (1.9) energiaadagokban (kvantumokban) terjed; a képletben a h # 6,63·10–34 Js, az ún. Planck–állandó és * a fény frekvenciája. Az atomi elektronok, a fémek vezet! elektronjai és

általában adott térfogatba bezárt atomi részecskék energiái (energianívói) szintén kvantáltak: az energiák csak bizonyos E = Eo, E1, E2, ., Ei (1.10) diszkrét energiaértékeket vehetnek fel. A fenti eredményt kés"bb a kvantumfizika általánosította: a tények birtokában kimondta, hogy nemcsak az energia, hanem más fizikai mennyiségek értékkészletének egy része, vagy egésze kvantált. Kivételt képez a helykoordináta, és az id"; az er"mentes térben mozgó ún szabadelektronok impulzusa, kinetikus energiája is folytonos. $ Már a középiskolai anyagból ismeretes, hogy az atomok vonalas szinképének értelmezéséhez az atomi energianívók kvantáltságának feltételezése nem volt elegend". Az ismert En – Em = h*nm (1.11) Bohr–féle frekvenciafeltétel mellett külön feltevésként ki kellett mondani, hogy az atomi elektron csak meghatározott energiájú pályákon tartózkodhat, és az atomi elektron pályái stabilak,

másszóval stacionáriusak (tehát az elektron a meghatározott energiájú pályákon tartózkodva nem sugároz) . 23 $ A fent ismertetett problémák megoldása (mint azt el"ször egyrészt Planck (1900) és Einstein (1905), másrészt Heisenberg (1925, 1926) illetve Schrödinger (1925) megmutatták) nem lehetséges a klasszikus (newtoni, maxwelli) fizika keretein belül, ezért e jelenségek leírására új elméletet kellett kidolgozni; ez az új elmélet a kvantumfizika, illetve annak részeként a kvantummechanika. A kvantumfizika érvényességi köre szélesebb, mint a klasszikus (newtoni ill. maxwelli) fizikáé; el"bbi az utóbbit, mintegy határesetként magában foglalja. A korreszpondencia elvnek megfelel"en bizonyos feltételek esetén* a kvantummechanika törvényei helyett a klasszikus newtoni fizika törvényei használhatóak. A kvantumfizika törvényeit "követ!" részecskéket mikrorészecskéknek nevezzük. A kvantumfizika tehát

a mikrorészecskék jellemzésére, mozgásának leírására kidolgozott általános elmélet. $ A hullámmechanika a mikrorészecskéket ill. pontosabban azok állapotát egy +(r,t) állapotfüggvénnyel, azok állapotváltozását, mozgását az ún. Schrödinger egyenlettel írja le. Az elmélet onnan kapta nevét, hogy a hullámmechanikában az állapotfüggvények egyszer!bb esetekben síkhullám alakúak, más esetekben síkhullámok lineáris szuperpozíciói (+ = c1+1 + c2+2.cn+n) Schrödinger a mikrorészecskék állapotfüggvényeinek hullámfüggvény alakban történ" kifejezését de Broglie egy elvont elméleti munkájára alapozta, melyben de Broglie részecskék mozgását optikai analógiákkal írta le; ennek során alapvet" munkájában (1923) axiómaként kimondta, hogy egy p = mv impulzusú (mikro-) részecskéhez egy h h ,Br = p = mv (1.12)* hullámhossz rendelhet", ahol h a fentiekben megismert Planck–állandó; a ,Br-rel jelölt

hullámhosszat a mikrorészecskéhez rendelhet" de Broglie hullámhossznak nevezzük. Davisson és Germer 1927-ben kísérletileg is igazolta, hogy a mikrorészecskék hullámsajátsá-gokkal rendelkeznek: nikkel egykristályt elektronokkal bombázva meglep"dve tapasztalták, hogy a kristályrácsról visszaver"d" elektronok a fotolemezen a fényelhajlás jelenségéhez hasonló elhajlási interferenciaképet adtak. Hasonló kísérleti eredményekre jutottak más kutatók, amikor az elektronok * Például ha a vizsgált test, illetve rendszer tömege elég nagy, részletesebben ld. a 823 pontot * Az Einstein–féle speciális relativitáselméletben egy m nyugalmi tömeg! és p impulzusú részecske energiájára az E2 = m2c4 + p2c2 összefüggés érvényes (ld. 262 pontot), ahol c -2,997·108 m/s a fény vákuumbeli sebessége A fotonokra mf=0, azaz fenti egyenletb"l E=pfc. Felhasználva a foton (19) E=h* energia kifejezését h* = pfc, amib"l h* h =

(1.13) pf = c , v.ö (112)-vel! 24 helyett protonokkal, neutronokkal, atomokkal (pl. He), illetve kistömeg! molekulákkal (pl H2) ismételték meg a kísérletet. Hogy e tudománytörténeti jelent"ség! kísérletet és annak értelmezésében felmerül" problémákat megérthessük, gondoljuk végig a következ" gondolatkísérletet.* $ L"jjünk egy elektronágyúból elektronokat két résen át egy detektorerny"re (ld. 14 ábrát) A detektorerny" lehet például egy fényképez"lemez, amely az elektronok becsapódása következtében megfeketedik. A feketedés mértéke a becsapódó elektronok számával arányos, azért a feketedés mérésével (amely az el"hívott fényképez"lemezen átbocsátott fény intenzitáscsökkenéséb"l számolható) a becsapódó elektronok száma meghatározható. A klasszikus fizika állítása szerint a lemezen a két nyílásnak megfelel" helyen két elmosódott szél! fekete foltot

kellene találnunk. Azok az elektronok érvel a klasszikus mechanika amelyek az egyik résen mentek át, a rés mögötti erny"darabra csapódnak be, vagyis egy fekete folt lesz a réssel szemben. (Mivel egyes elektronok a rés szélér"l elpattanhatnak, a folt széle nem lesz éles.) A másik résnél ugyanez történik, tehát két foltot kapunk a fotolemezen. Csakhogy a várakozásokkal szemben a fotolemezen diffrakciós interferenciakép alakul ki (ld. 773 pontot). Az elektronok a kísérlet során tehát nem úgy viselkednek, mint a pontszer" részecskék, hanem úgy, mint a hullámok! Hogy az elektronok bizonyos kísérleti feltételek mellett hullámsajátságokat mutatnak, azt egyéb kísérletek is bizonyítják. A fenti kísérleten túl talán elég utalnunk pl. a ma már elterjedt elektronmikroszkópokra (Knoll és Ruska, 1931), vagy pl a modern integrált áramkör gyártásban alkalmazott ún. elektronlitográfiára Az elhajlási képek itt pl az

elektronmikroszkóp optikai felbontása, optikai képletek alapján számíthatóak, ha azokba a hullámhossz helyére ,Br értékét írjuk. Intenzitás elektronágyú Intenzitás elektronágyú rések (a) detektor rések detektor (b) ".4 ábra A kétréses interferenciakísérlet elektronokkal a) klasszikus kép: a detektorerny!n két elmosódott foltnak megfelel! intenzitáseloszlás alakul ki; b) a kísérleti tény: az erny!n diffrakciós interferenciakép alakul ki * A kísérletet a valóságban úgy hajtják végre, hogy az elektronokat kristályos szilárd testre irányítják. A kristályos test kristályrácsa megfelel" energiájú elektronok esetében ugyanúgy viselkedik, mint egy pl. résekb"l álló optikai rács a fényelhajlási kísérletek során. 25 $ Egy TV-képcs"ben (vagy egy egyszer! katódsugárcs"ben) az elektronoknak az eltérít" lemezek közötti mozgását leírva más tapasztalatokhoz jutunk; ilyenkor az

elektronokat adott er"térben mozgó klasszikus (negatív töltés!) tömegpontoknak tekinthetjük és rájuk a newtoni mozgásegyenleteket alkalmazhatjuk. $ Az elektron a tapasztalatok szerint tehát a kísérleti feltételekt!l függ!en hol hullámsajátságokat, hol pedig klasszikus részecskesajátságokat mutat és ennek megfelel"en jellemzése ill. mozgásának leírása eltér" leírásmódot követel meg Egyetlen (,Br) hullámhosszhoz azonban csak egy térben, pl. az x–irányban végtelen kiterjedés! síkhullám rendelhet". Egydimenziós esetben egy adott "x térrészre korlátozott elektron olyan hullámcsoporttal (hullámcsomaggal, ld. pl 718 ábrát) írható le, amely több, pl ",Br hullámhossz intervallumba es" síkhullámok szuperpozíciójából állítható el". Ez a hullámcsoport az elektron helyét csak "x helyhatározatlansággal és impulzusát csak egy "px impulzushatározatlansággal adja meg: a

mikrorészecske klasszikus paraméterekkel nem jellemezhet! egyértelm#en. A hullámmechanikában éppen ezért a mikrorészecskéket nem klasszikus fizikai mennyiségekkel, hanem a mikrorészecskéket egyértelm#en jellemz! és leíró +(r,t) állapotfüggvénnyel jellemezzük. A Schrödinger–egyenlet adott esetre való id!független (stacionárius) megoldásával a + és stacionárius Eo, E1, ., En energianívók egyaránt meghatározhatóak. A stacionárius energianívókra pontos értékeket kapunk. Abból, hogy az elektront leíró + függvény hullámfüggvény azonban nem következik, hogy az elektron a klasszikus fizikai értelemben vett hullám:* pusztán annyi következik, hogy az elektron tulajdonságai ill. mozgása a + állapotfüggvénnyel és a Schrödinger egyenlettel leírhatóak. Az elektron tehát egy klasszikus jellemz"kkel (mint pl. pontos helyvektor, impulzusvektor) nem jellemezhet" mikrorészecske, és mozgása a klasszikus mechanikával nem írható

le. $ A kvantummechanika alapjaival a 8. fejezetben foglalkozunk, de az energia kvantáltságát és a mikrorészecskék állapotának jellemzésére a +(r,t) állapotfüggvényt már a statisztikus fizikában (4.9 pont) és az optikában (7 fejezet) is felhasználjuk A jelen összefoglaló ismertetés oka éppen az, hogy (ahogy az El"szóban jeleztük) a legfontosabb eredményekhez e fejezetekben a legegyszer!bb úton jussunk el. Ennek érdekében többször használjuk az ún. kváziklasszikus eljárást: a részecskéket klasszikus részecskékként kezeljük, de mintegy heurisztikusan felruházzuk "ket a mikrorészecskék bizonyos tulajdonságaival; pl. feltételezzük, hogy energiájuk kvantált, azaz a megengedett energiák diszkrét értéksorozatot alkotnak. Ugyancsak ismertként kezeljük a továbbiakban az e fejezetben megindokolt képleteket is. * Például a hullám osztható, az elektron oszthatatlan. 26 1.24 Lineáris rendszerek Szuperpozició Ha az R

fizikai rendszer környezetével kölcsönhatásba lép, azt mondhatjuk, hogy egy G "gerjesztéssel" hatunk rá (ld. 15 ábra) A rendszer a G gerjesztésre egy V "válasszal" reagál. 1. Példa Ha egy kifeszítetlen rugóra egy tömeget akasztunk, a rugó megnyúlik Itt az F gravitációs er" a gerjesztés (G) és a rugó megnyúlása a válasz (V). 2. Példa Egy ellenállásra feszültséget kapcsolunk, rajta áram halad át Ilyenkor G a rákapcsolt feszültség, és V az átfolyó áram. G V R ".5 ábra Az R rendszer egy G gerjesztésre V válasszal reagál Általános esetben a G-re adott V függhet a rendszer el!életét!l, vagyis korábbi G gerjesztésekt!l, vagy más, párhuzamosan fellép! kölcsönhatástól is. Egyes esetekben a V és G között függvénykapcsolat van V = f(G) (1.14) Vizsgáljunk egy olyan fizikai rendszert, amelyre két azonos fajtájú különböz" G1 és G2 gerjesztés hat. Ha a gerjesztések külön hatnak a V1

= f(G1) (1.15a) V2 = f(G2) (1.15b) válaszokat adja a rendszer. A rendszer (test vagy közeg) lineáris ha együttesen ható G1, G2 gerjesztések esetén bármely c1, c2 számra a G = c1G1 + c2G2 gerjesztésre adott V1+2 válasz V1+2 = f(G) = c1V1 + c2V2 (1.15c) 27 (azaz, ha a két hatást függetlenül összegezhetjük). Azt, hogy két vagy több hatást függetlenül összegezhetünk szuperpozíciónak nevezzük A középiskolában megismert szuperpozíció, vagyis a hatások függetlenségének elve tehát a lineáris rendszerek tulajdonságai. A lineáris rendszereket lineáris egyenletek, differenciálegyenletek írják le. Lineáris egy egyenlet, ha mind az ismeretlen függvény, mind pedig minden, az egyenletben szerepl" minden rend! differenciálhányadosa els" hatványon szerepel. A lineáris egyenletek tulajdonsága, hogy megoldásaik lineárkombinációja is megoldás: ha x1 és x2 megoldások, akkor c1x1, c2x2 és c1x1 + c2x2 is az. Pl a csillapítatlan

harmonikus rezg"mozgás d2x(t) = – 2 x(t) dt2 egyenlete egy ún lineáris másodrend" közönséges differenciálegyenlet. Behelyettesítéssel meggy"z"dhetünk róla, hogy az x1(t) = A cos (t + .0), illetve az x2(t) = A sin (t + 0) valamint az x = x1(t) + x2(t) függvény egyaránt megoldás. Ez az oka annak, hogy igen bonyolult rezgések is el"állíthatóak egyszer! rezgések lineárkombinációjaként. I I I Im Um U (a) (b) U U (c) ".6 ábra Néhány elektronikus eszköz I-U karakterisztikája a) ideális ellenállás, b) egy alagútdióda és c) egy félvezet! egyenirányitó dióda I-U karakterisztikái. Igen fontos tapasztalat, hogy a fizika legfontosabb törvényei (így a Newtonegyenletek, a Maxwell-egyeletek, vagy akár a kvantummechanika Schrödinger egyenlete) mind lineáris törvények, így azok általában sokkal könnyebben megoldhatóak, mint a nem lineáris egyenletek. 28 Lineáris pl. az U = RI Ohm-törvény is, amely

akkor érvényes, ha a benne szerepl" R ellenállás nagysága független a rajta áthaladó I áramer"sségt"l (ld. 16a ábrát) Ezt szokás úgy is kifejezni, hogy az ellenállás lineáris áramköri elem (eszköz). A valódi (nem idealizált) fizikai rendszerek azonban általában nem linearisak. A kis G gerjesztésekre lineárisnak tekinthet" eszközök, jelenségek nagy G gerjesztésekre általában nem adnak lineáris választ. Pl egy izzólámpa ohmos ellenállása függ a rajta átfolyó áramtól, I-V karakterisztikája nem lineáris. Nem lineáris egy alagútdióda, vagy egy egyenirányító félvezet" dióda I-U karakterisztikája sem (1.6b és c ábra) De pl. a dielektrikumok polarizációja is nagy térer"sségeknél már nem lineárisan függ a térer"sségt"l (ld. 6162 pontot) A nemlineáris rendszereket leíró egyenletek sem lineárisak és rendszerint csak numerikusan oldhatóak meg. A modern technikában a nemlinearitást

sokszor el"nyünkre használjuk fel Így pl a polarizáció el"bb említett nemlinearitását új optikai eszközök (frekvenciasokszorozók) készítésére használják fel. Ugyanakkor érdemes megjegyezni, hogy a nemlineáris rendszerek kis gerjesztésekre sokszor lineárisaknak tekinthet"ek. Az e könyvben tárgyaltak során ha csak külön nem jelezzük a vizsgált rendszereket lineárisnak tekintjük. 1.3 MEGMARADÁSI TÖRVÉNYEK ÉS SZIMMETRIÁK A megmaradási tételek azt fejezik ki, hogy bizonyos körülmények között a fizikai rendszerre jellemz! egyes fizikai mennyiségek értéke idöben állandó; azt a rendszeren belül lezajló fizikai folyamatok nem képesek megváltoztatni. A megmaradási törvények közül egyeseket más alapvet" fizikai törvényszer!ségekb"l kiindulva bebizonyíthatunk. Ez a helyzet például a mechanikai energia megmaradását kifejez" megmaradási törvénnyel, amely a Newton II axiómából levezethet".

Az energiamegmaradás általános törvénye azonban nem ilyen, az a kísérleti tapasztalatok ezreib"l elvonatkoztatott és az általunk jelenleg ismert összes jelenségre és az általunk még nem ismert jelenségekre egyaránt érvényesnek tekintett törvényszer!ség; bármilyen sérülése fizikai világképünk alapjait rengetné meg. 29 Amikor pl. a /-bomlás* vizsgálata során az energia egy ellen"rizhet" része "elt!nt", Pauli az energiamegmaradási elv meg"rzése érdekében felvetette, hogy a hiányzó energiát talán egy ismeretlen és addig kimutathatatlan részecske viszi el. Ez 1927-ben történt, de az ismeretlen részecskét, a neutrinót csak 1956-ban mutatta ki Reines és Cowan. E gondolatmenetnek megfelel"en pl. az impulzusmegmaradást mi az igen nagyszámú ütközési kísérletek tapasztalataiból származtatjuk, bár az egyetlen tömegpontra vonatkozó impulzusmegmaradást a Newton I. axióma tartalmazza; a

tömegpontrendszerekre vonatkozó impulzusmegmaradási tétel a Newton–axiómákból szintén levezethet" Az impulzusmomentum–megmaradás tétele alapvet"en kísérleti tapasztalat. A tömegpont rendszerekre érvényes impulzusmomentum megmaradás csak külön feltétellel (a részecskék közötti er"k centrális jellegének feltételezésével) vezethet" le a Newton axiomákból. Megjegyezzük, hogy az impulzusmegmaradási tétel és a mechanikai energiamegmaradás tétele a nem relativisztikus mechanikában egymástól függetlenek, míg a relativisztikus mechanikában ez a két megmaradási tétel összefügg. Az alábbiakban ismertetett megmaradási tételeken kívül más, a m!szaki fizikában is fontos, általánosan érvényes megmaradási tételek ismeretesek, mint pl. az elektromos töltés megmaradása és a barionok megmaradásának* törvénye. Az alkalmazásban ritkábban el"forduló megmaradási tételek még többek között a leptonok

megmaradása, az izotóp spin–megmaradás, a ritkaság megmaradása, az antirészecske szimmetria, a paritás megmaradása stb. 1.31 Impulzusmegmaradás A testek impulzusa* a klasszikus mechanikai definíció szerint tömegük és sebességük szorzata: p = m·v (1.16) Mivel a sebesség vektormennyiség, az impulzus is vektor. Egy tömegpontrendszer ered" impulzusa a pontrendszert alkotó részecskék impulzusainak vektori összege: * A /-bomlás az atommag egy olyan bomlása, amelyben egy elektron (vagy pozitron) kibocsátásával jut alacsonyabb energiájú állapotba. A /0bomlás során a mag tömegszáma nem változik, rendszáma eggyel növekszik (pozitron kibocsátás esetén csökken). * Barionok többek között a protonok, neutronok (barionszámuk +1) és antirészecskéik (barionszámuk –1). * Az impulzus magyar szabvány szerinti megnevezése: mozgásmennyiség. A középiskolában az impulzust lendületnek, illetve mozgásmennyiségnek nevezik. A magyar nyelv!

fizikai szakirodalomban azonban meghonosodott az "impulzus" elnevezés, ezért mi a továbbiakban ezt használjuk. 30 p = ! pi = ! mivi ,i = 1,2,.,N (1.17) i i ahol N a pontrendszert alkotó tömegpontok száma. A mechanika alapjául szolgáló Newton-axiómák közül az els" éppen azt posztulálja, hogy egy kölcsönhatásmentes test impulzusa id"ben állandó. Az impulzusmegmaradást kimondó törvényt tehát egy test esetén a következ"képpen fogalmazhatjuk meg: Ha az egy testre ható er!k ered!je nulla, akkor a test impulzusa állandó. Egy több (pl. N tömegpontból) testb"l álló, küls! kölcsönhatásoktól mentes tömegpontrendszerre az impulzusmegmaradás törvénye (ld. még 2371 pontot) a következ"képpen fogalmazható meg: Ha egy fizikai rendszerre ható küls! er!k ered!je nulla, akkor az illet! fizikai rendszer ered! impulzusa állandó: ! mivi = konst. i = 1.N (1.17a) azaz dp dt = 0 (1.17b) Például két

különböz" tömeg! tömegpont bármilyen (rugalmas, rugalmatlan, ezeken belül centrális vagy ferde) nem relativisztikus* ütközése esetében az impulzusmegmaradás tétele a p + p = p~ + p~ (1.18a) 1 2 1 2 m1v1 + m2v2 = m1v~1 + m2v~2 (1.18b) egyenlettel fejezhet" ki, ahol a hullámvonal az ütközés utáni sebességeket jelzi. Láthatóan az ütközések során nem a sebesség, hanem az impulzus marad meg. Az impulzusmegmaradás törvényének els" kísérleti igazolását Huygens végezte el golyók ütközésének tanulmányozásával (1.7a ábra) Óriási mennyiség! kísérleti anyag gy!lt össze az elemi részecskék köd– illetve héliumkamrában történ" ütközési kísérletei révén is (ld. 17c ábrát); ezek, többek között az impulzusmegmaradás törvényének alkalmazásával számos új elemi részecske felfedezéséhez vezettek. A kísérletekb!l levonható általános következtetések a következ!ek: 1.) A kölcsönhatás

folyamatában az impulzus megmarad, de (jól látható, ha m11m2) a sebesség nem (sebességre nincs megmaradási tétel). * Relativisztikus esetben (1.17b) továbbra is fennáll, de a p 1 mv, hanem az ún relativisztikus impulzus (ld. 2312 pontot) 31 2.) Vannak olyan elemi részecske ütközések, ahol a korpuszkuláris tömeg sugárzássá alakul, de az impulzus akkor is megmarad Példa erre az e+ + e– % 22 egyenlettel leírt ún pozitron. annihiláció (A 2 a gamma foton, az e+ a pozitron és e– az elektron jele.) Ekkor p + + p – = p2 e e ahol (ld. az (112) lábjegyzetét) E p2 = 2 c 3.) Az impulzusra érvényes megmaradási törvény miatt az ütközési folyamatot célszer!bb a sebességek helyett az impulzusokkal jellemezni. Ezt "teszi" a természet is, amikor a mikrorészecskéket jellemz" + hullámfüggvény a "x térbeli lokalizáció mellett éppen a "px impulzus határozatlanságot kódolja (ld. 823 pontot) 4.) Az impulzusmegmaradási

törvény lehet"vé teszi számunkra, hogy a kölcsönhatás részleteinek (F er"re vonatkozó er"törvény, annak dt id"tartama) nélkül, a kölcsönhatás el"tti állapot ismeretében, közvetlenül meghatározhassuk a kölcsönhatás utáni állapotot. 5.) Látni fogjuk, hogy maga a kölcsönhatást jellemz" mennyiség, az er" is F = dp dt az impulzus id"beli változási sebességével van kapcsolatban. 6.) Impulzus olyan mikrorészecskékre (pl fotonra) is értelmezhet", melynek nyugalmi tömege zérus (ld. 123 pontot, az (112) lábjegyzetét) Az impulzusmegmaradás törvénye mint az alábbiakban tárgyalt alapvet" megmaradási tételek általában teljesen alapvet" és minden kölcsönhatásra igaz: a természetben lezajló jelenségek és a laboratóriumokban végzett kísérletek során soha nem tapasztalták annak megsértését. 32 A vA vAn A’ vAt B vA A” vAt B’ vB’ (a) (b) pA pB (c) pA (d)

".7 ábra a) Két egyenl! tömeg# billiárdgolyó centrális ferde ütközése Az egyszeres, kétszeres vessz!k a golyók különböz! id!pontokbeli állapotát jelölik. b) A B golyó átveszi az A-tól az ütközési normális irányú vAn sebességet, míg az A sebessége ütközés után vAt lesz. (Az n ill t alsó index a normális ill tangenciális irányú komponenseket jelzi) Tökéletesen súrlódásmentes és rugalmas ütközés esetén az ütközés utáni impulzusok (sebességek) nem relativisztikus esetben mindig 90°-os szöget zárnak be egymással. A valóságban a súrlódás miatt ez a szög ennél kisebb (ld a) ábra) Az A proton ütközése a cseppfolyós hidrogénben eredetileg nyugalomban lev! B protonnal d) A két proton ütközésének sematikus rajza (Az A proton második ütközése el!tti pályáját kissé eltúlozva ábrázoltuk) Az ütközés utáni impulzusok láthatóan mer!legesek egymásra. A megmaradási törvények mélyen gyökereznek a tér

és id" tulajdonságaiban. Így az impulzusmegmaradás törvénye a tér homogenitásával függ össze, annak következménye A tér homogenitása azt jelenti, hogy egy térben lev" zárt rendszernek, mint egésznek térbeli eltolása a rendszer mechanikai tulajdonságait nem változtatja meg, vagyis a mechanikai jelenségek a homogén tér minden pontján azonosan folynak le. Ez egzaktul igazolható a mechanika ún Lagrange-féle mozgásegyenleteivel 33 1.32 Impulzusmomentum megmaradás Az impulzusmomentum* (jele: L) a helyvektor és az impulzusvektor vektoriális szorzata: L = r 34p (1.19) Az impulzusmomentum id"beli megváltozását a rendszerre ható küls" er"k forgatónyomatékának vektoriális ered"je (MF) okozza (ld. 2373 pontot): dL (K) M M dt = F = (1.20) ennek megfelel"en: Ha egy fizikai rendszerre ható er!k forgatónyomatékainak ered!je nulla, akkor a rendszer impulzusmomentuma id!ben állandó. Ez az impulzusmomentum

megmaradás törvénye. Az impulzusmomentum megmaradása az elméleti mechanika ún. Lagrange-egyenletei alapján a tér izotrópiájának a következménye. A tér izotrópiája azt jelenti, hogy zárt rendszer mechanikai tulajdonságai nem változnak meg, ha a rendszert, mint egészet tetsz"leges módon elforgatjuk az izotróp térben. 1.33 Az energiamegmaradás törvénye A középiskolában tanult meghatározás szerint az energia a testek (mi úgy mondanánk: fizikai rendszerek) munkavégz! képessége. Ez a definíció annyiban fejezi ki a lényeget, hogy zárt rendszerek munkát kizárólag energiájuk csökkenésével végezhetnek. Ugyanakkor a rendszer teljes energiájának munkává alakítása általában nem lehetséges (ld. 5 fejezet) Ezt figyelembevéve a középiskolai definíciót lényegében mi is elfogadhatjuk. Az energiamegmaradás elvét el"ször a mechanikai energia esetére ismerték fel. A Newton-egyenletek segítségével bebizonyítható, hogy

súrlódás ill. közegellenállás hiányában egy tetsz"leges számú, ugyancsak súrlódás ill. közegellenállás nélküli részrendszerb"l (pl. tömegpontokból) álló zárt mechanikai rendszer teljes mechanikai energiája (ami a nem relativisztikus mechanikában egyszer!en a kinetikus és potenciális energia összege) megmarad. Ha ezek a feltételek nem állnak fenn, akkor a * A magyar szabvány szerinti neve: perdület. A magyar nyelv! fizikai szakirodalomban azonban meghonosodott az "impulzusmomentum" kifejezés, ezért mi a továbbiakban ezt használjuk. 34 mechanikai energia egy része (a Newton–egyenletekkel nem tárgyalható módon) elvész: termikus energiává alakul át. A klasszikus mechanika energiamegmaradási törvénye (2.53 pont) az Eössz = Ekin + Epot 54állandó (1.21) alakba írható, ahol 1 p2 Ekin = mv2 = 2 2m (1.22) a mozgási (kinetikus) energia és az Epot a rendszerben fellép" kölcsönhatásoktól függ"

potenciális (helyzeti) energia. A mechanikai mozgások számára a súrlódás, közegellenállás, bels" súrlódás következtében elvesz" energia a vizsgált rendszer U bels! energiáját növeli. Err"l az energiáról a termodinamika ad számot. A bels! energia növekedést is figyelembe véve az energiamegmaradás tétele a tapasztalat szerint a súrlódó mozgásokra is érvényes. Egyéb energiafajtákat is felfedeztek. Például az elektromágneses térben tárolt energia az el"bbiekt"l független más energiafajta Az energiamegmaradás elve azonban az elektromágneses jelenségekre is érvényes. Bebizonyítható, hogy a mechanikai energiamegmaradás az id! homogenitásának következménye. (Ez azt jelenti, hogy egy tetsz"leges fizikai folyamat lezajlása független attól, hogy a folyamat mikor zajlik le.) Az energiamegmaradás tehát mélyen, az id" tulajdonságaiban gyökerez" alaptörvény A relativisztikus mechanika (ld. 262

pont) szerint egy test teljes energiája és tömege között az mc2 (1.23) E= v2 1– 2 c kapcsolat áll fenn, ahol E a test energiája, m a test ("nyugalmi") tömege, c a fény vákuumbeli sebessége és v a test sebessége adott koordinátarendszerben. Ha a test nyugvó helyzetben van (v=0), akkor az E = mc2 (1.24) híres (Einsteinr"l elnevezett tömeg–energia ekvivalencia) képlethez jutunk: a nyugvó test tömege meghatározza a test energiáját és fordítva. Ez azt is jelenti, hogy: a) pl ha a test egy tömegpontrendszer, és pl. melegítéssel növeljük bels" energiáját, akkor a rendszer energiája n" és ezáltal megnövekszik a rendszer tömege is: "m = "E/c2; b.) másrészt egy tetsz"leges zárt fizikai rendszerben a súrlódás következtében "elveszett" energia a relativitáselmélet szerint a rendszer tömegét növeli; c.) ha egy testet a Föld gravitációs er"terében felemelünk, akkor a Föld–test

rendszer együttes tömege a potenciális energia megváltozás egyenértékével megn"; ugyanakkor külön–külön nem n" meg sem a Föld, sem a test (nyugalmi) tömege (ld. 262 pontot) Alapvet! jelent!ség# az energiamegmaradás termodinamikai kifejezése (a termodinamika I. f"tétele), amely a sokrészecske rendszerek (ld 122 pont) U bels" 35 energiájának, mint a rendszer állapotjelz"jének megváltozására felírt alapvet" tapasztalati törvény; matematikai alakja a bels" energia differenciális megváltozása esetére dU = DQ + DWtérf + ! DWi (1.25) i Szavakban: egy nagy szabadsági fokú rendszer bels" energiája csak kétféle módon változhat: h"közléssel (DQ) ill. a munkavégzés különböz" típusai (DWtérf, azaz térfogati munka és más típusú, pl elektromos munka, felület nagyságot változtató munka, mágneses stb. munkavégzés, ! DWi ) útján i Az U bels" energia állapotfüggvény, a

h"közlés ill. munkavégzés viszont útfügg", ezt jelzi a megváltozás eltér" jelölése: a dU megváltozás teljes differenciál, 7 o dU = 0, ld. 522 pontot A DQ ill DW jelölés az elemi munkát ill h"cserét jelöli 6 A dU jelölés igen kis különbséget (két állapot közötti különbséget) jelöl, a DW ill. DQ sohasem állapotok közötti különbség jele, hiszen W és Q nem állapotfüggvények, mert az állapotváltozás módjától is függenek. A dU járulékainak DW és DQ tagra való szétválasztása alapvet" okokra vezethet" vissza: bár a h"közléssel ill. munkával átadott energia kvantitatíve egyenérték! (mindkett"t Joule–ban fejezzük ki), és a rendszeren belül járulékaik megkülönböztethetetlenek, DW és DQ min"ségileg különböz"ek. Például egy h"er"gépben a rendszerrel közölt h" nem alakítható át teljes egészében munkává, a munka viszont mindig tetszés szerint

alakítható át termikus energiává ill. a rendszer h"cseréjévé A munka irányított mozgás eredménye, a h"csere "rendezetlen" energia átadása. 1.34 A mérlegegyenletek Képzeljünk el egy modern autógyárat, ahol egyrészt autókat termelnek, másrészt a kész autókat raktározzák, kiszállítják, és ahol a modern "újrahasznosítási" rendszer szerint roncsautók beszállítása és bontása is folyik. Vizsgáljuk most a telep autóforgalmát! Ennek kifejezésére könnyen érthet" mérlegegyenletet írunk fel dx =Q+I dt (1.26)* azaz az új és a roncs gépkocsik összes x számának id"egység alatti megváltozása az id"egységre es" termelésb"l (az ún. "forrásból") származó és az elbontással (ez az ún “nyel"”) id"egység alatti elt!n" autók Q számának és a határfelületeken ki–be áramló * A hasonlat kissé sántit, mert az autók száma nem változhat

folytonosan, csak egységenként. 36 I autóáram algebrai összege. Az egyenletben a kiáramló és a nyel"ben elt!n" mennyiségeket negatívnak, a beáramló és forrásból keletkez" mennyiségeket pozitívnak vesszük. Az ilyen típusú egyenletek a fizikában is gyakoriak: felírhatóak pl. folyadékok, elektromos töltések áramlására is. Az ilyen egyenleteket integrális mérlegegyenleteknek nevezzük Fontos alesete a (1.26) típusú egyenleteknek, amikor a mérlegegyenletben az x helyére írt, vizsgált fizikai mennyiség megmaradó mennyiség: tehát az adott mennyiségre (a vizsgált térrészben) sem forrás, sem nyel" nem m!ködik, vagyis Q=0. Ekkor (az I-t el"jeles mennyiségnek tekintve) dx =I dt (1.27) Pl. a töltésmegmaradás egyenletében x egy adott térfogatban található töltés és I az illet" térfogatba befolyó, ill. onnan kifolyó áramok algebrai összege Ha a mérlegegyenletet infinitezimális (dV) térfogatra írjuk

fel, akkor az x mennyiség kifejezhet" e mennyiség 8 s!r!ségével is: x=7 6 8dV dx = 8dV; (1.28) v Az integrálást a rendszer határfelülete által bezárt térfogatra kell elvégezni. Hasonlóan az integrális mérlegegyenletben lev" egyéb mennyiségek is kifejezhet"ek lokális jellemz"vel, így az I is felírható I=– 7 o JdA 6 (1.29) A alakban, ahol J az ún. árams!r!ségvektor és az integrálás az A határfelületre történik Ekkor a mérlegegyenlet a d o J dA 6 6 8 dV = – 7 dt 7 A v illetve d 7 o J dA + dt 7 6 6 8 dV = 0 A (1.27a) v alakba írható. Az ilyen egyenleteket differenciális mérlegegyenleteknek, idegen szóval kontinuitási egyenleteknek nevezzük. Az elektromos töltésre (q) vonatkozó integrális és differenciális mérlegegyenletek (ahol i-vel az elektromos áramot, J-vel az árams!r!ség vektort jelöltük): d o JdA = 0 7 7 8dV + 6 dt 6 V i(t) + dq(t) =0 dt illetve div J + 98 =0 9t (1.30) 37 Az (1.30)

egyenlet az elektromos töltés megmaradását fejezi ki Kontinuitási egyenlettel tanulmányainkban mi az elektromos töltésmegmaradás tárgyalása során (6.21 pont), illetve a kvantummechanikában (ahol az állapotfüggvényre írható fel kontinuitási egyenlet, ld. 833 pontot) fogunk találkozni Az ilyen jelleg! egyenletek alapvet" jelent"ség!ek a technikában és az elméleti fizikában is: az egyes diszciplinák tárgyalását rendszerint a megfelel" mérlegegyenlet felírásával kezdik. 1.4 A fizika és a kémia néhány elvérõl Alábbiakban néhány, a m!szaki-fizikai gonolkodást segít" elvr"l közlünk néhány gondolatot. Az “elvek” sokszor az axiómák használhatóbb megfogalmazásai, melyek részletesebb számítások nélkül iránymutatást adnak a jelenségek lefolyásáról, vagy a változások irányáról. Több esetben az “elvek” matematikailag igen egzakt módon megfogalmazott megállapítások, melyek az axiómákból

kiinduló levezetéseknél általános esetekben egyszer!bb, problémamegoldást tesznek lehet"vé. Számos elv több diszciplinára is kiterjed" érvény!. $ A Le Chatelier- (Le Chatelier-Braun)- elv (Le Chatelier, 1884). Ha egy (sokrészecske) rendszer stabil egyensúlyban van, akkor az egyensúly megbontását el!idéz! küls! hatásokra a rendszerben olyan változások indulnak meg, amelyek e küls! hatások következményeit csökkenteni igyekeznek, ezek hatására az egyensúly úgy tolódik el (olyan új egyensúly áll be), hogy a küls! befolyás hatása legyengül*: “a rendszer ellenáll egyensúlya megváltoztatásának” A Le Chatelier elv a természetben ( a fizika, a kémia, a biológia, stb rendszereire) érvényes általános tapasztalati elv, mely a termodinamika II. f"tételéb"l levezethet"; annak következménye, hogy a valódi egyensúlyt adott rendszerben meghatározó függvénynek valódi egyensúlyban széls" értéke van. A Le

Chatelier-elv számos speciális elv általánosítása. Ilyenek pl a Gausstól (1829-b"l) származó legkisebb kényszer elve (ez egy u.n differenciál elv, mely a kényszerer"knek alávetett tömegpontrendszer mozgását határozza meg), az elektromágneses indukcióra érvényes Lenz törvény (az indukált áram a vezet"ben mindig olyan irányú, hogy az általa keltett mágneses tér csökkenti az indukált áramot létrehozó mágneses fluxusváltozást). Ide sorolhatjuk az állapotjelz!k (nem spontán) * Az egyensúlyt meghatározó paraméterek megváltozása küls" hatással ugyan kikényszeríthet", rákényszeríthet" a rendszerre, de az így beálló új egyensúly a küls" hatást mindenképpen gyengíti. 38 megváltoztatásának a kémiai, termodinamikai egyensúlyok eltolódására kifejtett hatását is. $ Utóbbira néhány példát ismertetünk. $ A h"mérséklet emelése a kémiai reakciók, állapotváltozások

egyensúlyát az endoterm (h" elnyelésével járó) folyamat irányába tolja el, ugyanakkor a h"mérséklet csökkentése az exoterm folyamat-iránynak kedvez. Pl az NO + O2 : % 2 NO2 "H = – 57 kJ/mol kémiai reakció esetében a Le Chatelier elv szerint a h"mérséklet küls" hatással történ" emelése a : irányának (az endoterm iránynak, az egyensúly NO felé való eltolódásának) kedvez: a h"elnyelés a küls" h"mérséklet növelés (h"kezelés) hatását csökkenteni igyekszik. Az “igyekszik” azt jelenti, hogy pl a h"mérséklet növelése küls" hatásra ugyan rákényszeríthet" a rendszerre, de az ennek hatására (endoterm irányba) bekövetkez" egyensúly eltolódás olyan irányú, hogy az új egyensúlyban (a mikroszkópikusan két irányban egyidejüleg folyó folyamatban) kevesebb h" termel"dik, több h" nyel"dik el. Ha a Le-Chatelier elv nem érvényesülne a

bruttó folyamat öngerjeszt" lenne és megfutna. $ A nyomás növelése minden egyensúlyt a téfogatcsökkenéssel járó irányba tol el. A szilárd testek olvadáspontja általában emelkedik a nyomás növelésével, mert az olvadás általában térfogatnövekedéssel jár; de pl. a jég olvadáspontja csökken a nyomás növelésével, mert a jég olvadása térfogatcsökkenéssel jár. (Ezért tudunk korcsolyázni: a korcsolya nyomására a jég olvadáspontja csökken, tehát a korcsolya nyomása hatására (ha nincs nagyon hideg) megolvad és csúszik. $ A Le Chatelier elv megadja egy *AA + BB : % *CC + DD reakció egyensúlyának eltolódásának irányát abban az esetben is, ha valamelyik résztvev" anyag koncentrációját tudatosan (a stöchiometriai viszonyokhoz képest) megnöveljük vagy csökkentjük. Ha pl a C anyagból felesleget alkalmazunk, az a reakció egyensúlyát balra tolja el. $ A Le Chatelier elv hangsúlyozzuk az egyensúlyi rendszer

“védekez"” egyensúlyeltolódásának csak az irányát (a változás el!jelét) adja meg (méghozzá részletes számítások nélkül), de az új egyensúly paramétereit nem; azokat az egyensúlyt megszabó törvények határozzák meg. $ Az általános elvek közé tartoznak a termodinamikai rendszerekre érvényes egyensúlyi elvek, melyek mind azon, a statisztikus fizikából származtatható, de lényegében tapasztalati elven alapulnak, hogy a valódi egyensúlyban a rendszer entrópiája maximális. Ezen elvb"l következik más és más mellékfeltételek mellett az energia minimum elve, az izobár potenciál (szabadentalpia) minimum elve stb. 39 Ezekkel ekvivalens elv a legkisebb (potenciális) energia elve. E szerint minden test az adott feltételek között mimimális potenciális energiájú állapotát igyekszik felvenni. Ezen elvet ismerhetjük fel pl a gravitációs térben es" test, vagy a gerjesztetlen atomban alapállapotban lev"

elektronrendszer esetében. $ A virtuális munka elve, a mechanika legáltalánosabb egyensúlyi elve, mely a Newton-féle axiómákból nem következik és így új posztulátumnak tekinthet". “Egy mechanikai rendszer akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha a rendszer bármely virtuális elmozdulásánál a szabader!k összes munkája zérus (vagy negatív).” (Bernoulli, 1717.) A rendszer ;r virtuális elmozdulásai olyanok, amelyeket a kényszerfeltételek (alátámasztás, felfüggesztés, stb.) megengednek; a kényszerfeltételeket d’Alembert nyomán kényszerer"kkel (Fk) írhatjuk le: a virtuális elmozdulások mindig mer"legesek a kényszerer"kre, így utóbbiak munkája Fk;r = 0. A virtuális elmozdulások munkája ezért a jól ismert szabader"kre korlátozódik; ez adja a virtuális munka elve jelent"ségét: alkalmazásánál az általában nem ismert vagy csak nehézkesen meghatározható kényszerer"ket nem kell figyelembevenni.

A virtuális munka elvét elemi, egyszer! formájában a kétkarú emel" egyensúlyi feltételének megfogalmazásában el"ször már Archimedes is alkalmazta : rögzített tengely körül forgatható merev test akkor van egyensúlyban, ha a rá ható szabad er"k forgatónyomatékainak vektori összege zérus. (“Emel"-törvény”, Archimedes, i.e 287-212) Egy másik ismert alkalmazás az egyensúly stabilitásának meghatározása: ha a merev testet egyensúlyi helyzetéb"l kissé kimozdítjuk, az új helyzetben a merev testre ható ered" er" és ered" forgatónyomaték már nem zérus; ha utóbbiak hatására a test spontán visszatér eredeti egyensúlyi helyzetébe, stabilis egyensúlyról beszélünk. A virtuális munka elve tömegpontrendszerekre, tehát 1.21 pont értelmében minden mechanikai rendszerre érvényes. A kényszerer"k bevezetésével ugyanis minden tömegpontrendszer olyan szabad pontrendszernek tekinthet",

amelyben a kényszerer"k szabader"ként hatnak. $ Végül megemlítjük, hogy fentiekhez hasonló “elvek” alapvet"en leegyszer!sítik igen bonyolult problémák általános alakú megoldását. Ilyenek az elméleti mechanikát megalapozó mechanikai elvek. Ezzel kapcsolatban pl Budó: Mechanika, idm!re utalunk. Igen érdekes olvasmány Feynman tanulmánya a “legkisebb hatás elvér"l”, ezzel kapcsolatban Feynman Mai Fizika 6. kötetére hívjuk fel az olvasó figyelmét Itt az “elveknek” egy másik aspektusát ismerhetjük meg: az “elvek” sokszor igen széleskör! analógiákat fogalmaznak meg. (Láttuk ezt a Le Chatelier elvnél is) Így pl a legkisebb hatás elve kapcsolatot létesít a klasszikus mechanika és a geometriai optika (Fermatelv) között; az ezen alapuló gondolatmenet vezetett a de Broglie féle hipotézishez (1924), mely mint az 1.23 pontban említettük, végül is a kvantummechanikához vezet" egyik útnak bizonyult. 40

2. A TÖMEGPONT ÉS A PONTRENDSZER MECHANIKÁJA A mechanika feladata a természetben létez! legegyszer"bb mozgásfajta, a testek elmozdulásában, forgásában, alakváltozásaiban megnyilvánuló ún. mechanikai mozgás, valamint a makroszkópikus testek egyensúlyi állapotára vonatkozó törvényszer"ségek vizsgálata. A mechanika, az egyik legrégebben m"velt fizikai tudományág, igen sokféle módon osztható fel részterületekre. A vizsgálati módszer alapján pl megkülönböztetjük a kinematikát és a dinamikát. A kinematika feladata a mechanikai mozgások leírása, míg a dinamika a mechanikai mozgásállapot* megváltozásának okát és törvényszer"ségeit kutatja. A dinamika a test mozgásállapot-megváltozásának okát a test és környezete kölcsönhatásának, er!hatásának tulajdonítja. A mechanikai leírás szempontjából közömbös a kölcsönhatás természete: a kölcsönhatások tetsz!leges természet"ek (mechanikai,

elektromos, mágneses stb.) lehetnek; az egyes kölcsönhatásokat az ezekre érvényes er!törvények írják le. A kinematikát és a dinamikát tovább is osztályozhatjuk: a makroszkópikus testek, részecskék esetére a fény vákuumbeli sebességénél sokkal kisebb sebességek esetén a klasszikus mechanikát, a fénysebességhez közeli sebességek esetén a (klasszikus) relativisztikus mechanikát, míg a mikrorészecskék mozgásának leírására a (klasszikus, ill. relativisztikus) kvantummechanikát használjuk Az #.#3 pontban megismerkedtünk a fizikai rendszerek néhány lehetséges modelljével. A mechanikát a vizsgált fizikai rendszerre használt modellek alapján is osztályozhatjuk, ennek megfelel!en van tömegpont mechanika, amely a tömegpont, ill. tömegpont rendszer mechanikai mozgásával foglalkozik, van merev testek mechanikája, és van kontinuum mechanika, amelyet a rugalmas közegek, folyadékok stb. leírására használunk stb A mechanikát a

szokásoknak megfelel!en mi is a tömegpont mechanikájával alapozzuk meg, könyvünk célkit"zésének megfelel!en ezen belül kiemelten foglalkozunk a tömegpont rendszerek mechanikájával. Makroszkópikusan a mérnöki gyakorlatban nem nagyon találkozunk ilyen rendszerekkel, de a mikrofizikai * A mozgásállapot a szakkönyvekben általában nem definiált mechanikai fogalom. Tömegpont mozgásállapota alatt a tömegpont adott sebességgel jellemzett állapotát értjük, melynek megváltozásához (a mozgásállapot megváltozásához) kölcsönhatás, er! szükséges. 4# rendszerek klasszikus közelítésben sok esetben modellezhet!k tömegpont rendszerekkel. Ugyanígy, bár a mikrorészecskék mechanikai mozgásának egzakt leírását csak a kvantummechanika adja meg, sok esetben kielégít!en pontos gyakorlati számításokat végezhetünk ún. félklasszikus modellek alapján is, amelyben a mikrorészecskéket klasszikus tömegpont-rendszernek tekintjük, de

azokat bizonyos kvantummechanikai tulajdonságokkal is felruházzuk. Végül a merev testeket is felfoghatjuk kötött tömegpont rendszereknek. A mechanika tanulmányozását a tömegpont kinematikájának tanulmányozásával kezdjük (2.# pont) Ezután (a 22 pontban) a vonatkoztatási rendszerekkel foglalkozunk, különös tekintettel az Einstein–féle relativitási elv következményeire. A 2.3 pontban a tömegpont, a tömegpont rendszerek, a 24 pontban a merev testek dinamikáját tárgyaljuk. A 2.5 pont az energiáról, a konzervatív er!tér, a potenciál fogalmáról és leírási módjáról szól. Itt foglalkozunk a kés!bbiek szempontjából is fontos ún potenciáldiagramokkal is A pontot a bels! energia tárgyalásával zárjuk A 2.6 pontban a relativisztikus energia problémakörét vizsgáljuk és eljutunk a tömeg-energia ekvivalencia E=mc3 híres képletéhez. A 2.7 pontban az ütközések témakörét vizsgáljuk speciális és általános esetekben, egészen a

relativisztikus ütközések témaköréig. Az ütközésekkel kapcsolatban vezetjük be a relativisztikus impulzust. 2.1 A TÖMEGPONT KINEMATIKÁJA A tömegpont kinematikájának feladata a tömegpont mechanikai mozgásának leírása. Mechanikai mozgást akkor végez egy test, ha helyzetét környezetéhez képest megváltoztatja. A klasszikus fizika szerint* a tömegpont mechanikai mozgása valamilyen pályát (egy ún. trajektóriát) jelöl ki a térben Ezt a pályát matematikailag az r = r(t) * A mikrorészecskékre érvényes kvantummechanika szerint a pálya klasszikus fogalma nem alkalmazható az atomi méretekben változó potenciálú térben mozgó részecskékre (a potenciál definícióját ld. 2522) Ha azonban egy mikrorészecske csak makroszkópikus tartományokban változó potenciálú térben mozog (ez a helyzet pl. a televízió képcsövében mozgó elektronok esetén), akkor a klasszikus pálya fogalom használható marad. Részletesebben ld a 834 pontot

42 vektor–skalár függvény írja le, amely általános esetben tetszés szerinti térgörbe. A pálya jellemz! adata a görbe íve mentén mért ívhossz. Egyirányú mozgás esetén az ívhossz azonos a megtett úttal* 2.11 A sebesség A tömegpont mozgásának gyorsaságát, – vagyis azt, hogy mennyi id! alatt jut el a pálya egyik pontjából a pálya másik pontjába – a fizikában a sebesség fogalmával írjuk le. A pálya mentén !t id! alatt megtett távolságot, utat !s-sel jelölve, a tömegpont átlagsebességét a !s (2.#) v= !t hányadossal definiálhatjuk. Nevét annak köszönheti, hogy csak a mozgás átlagos (integrális) leírását adja meg: a tömegpont ugyanazt az utat ugyanannyi id! alatt is különböz! módokon teheti meg; pályája egyes szakaszain gyorsabban, vagy lassabban mozoghat, s!t egy-egy id!re meg is állhat, csak az a lényeg, hogy az adott !s utat összességében !t id! alatt tegye meg. A mozgás pontosabb leírását kapjuk, ha a megteend!

!s utat !s#, !s2, ., !s4, részekre bontjuk föl, és a pont mozgását az egyes !si távolságokra számolt vi=(!si/!ti) átlagsebességekkel írjuk le. Az így kiválasztott !si szakaszon is haladhat azonban változó sebességgel a tömegpont, ezért a leírás további pontosítása érdekében a !si utat is részekre kell felbontanunk, vagyis az eredeti !s utat a !s -knél kisebb !s szakaszokra kell osztanunk. Mivel akármilyen i j kis !si szakaszokat is választunk, a mozgás leírása mindig valamekkora (egyre csökken! mérték") pontatlanságot tartalmaz, a fenti eljárást vég nélkül folytathatjuk. Határesetben, ha a megtett szakaszok hossza (és ezzel együtt a megtételükhöz szükséges id! is) a nullához tart, a !s/!t hányados véges marad. Mivel a mozgó test két egymásutáni helyzetének a mozgáspályája mentén mért távolsága a két megfigyelési pillanat függvénye (s = s(t)), célszer" a !si távolságok helyett a !ti intervallumokat

csökkenteni. A !si/!ti ún. differenciahányados * Az út egzakt definiciója a következ! vonalintegrál !s ! = s= r2 # " dr r# (g) (Lásd. 236 pontot) 43 !si s(t+!t) – s(t)* &+ lim ) !t !t ( !ti$0 i % !t$0 vi = lim (2.2) határértéke tehát megadja a pillanatnyi sebesség (vagy egyszer"en csak sebesség) ds nagyságát. A továbbiakban az i-indexet elhagyjuk és a (22) képletbeli határértékét dt -vel, illetve s· -al jelöljük. Így a sebességet a ds dt (2.2a) vi = s· (2.2b) vi = illetve ds · dt , ill. s az út id! szerinti els! differenciálhányadosa, és megadja a sebesség pillanatnyi nagyságát. alakban írjuk fel. A (22) kifejezésekben A (2.2a) szerinti differenciálhányados azonban nem tükrözi a sebesség vektorjellegét, vagyis azt a tényt, hogy a sebesség akkor is változik, ha nagysága állandó, de iránya változik; másszóval ugyanakkora nagyságú sebesség esetén különböz! pályákon haladva különböz!

térbeli helyekre juthatunk el. A (2#) szerinti átlagsebesség ennek leírására nem is használható, (2.2a) azonban könnyen általánosítható a mozgásirány figyelembevételével. 2.# ábra Síkgörbén mozgó tömegpont A 2.# ábrán egy síkbeli pályán (síkgörbén) mozgó tömegpont két egymás utáni helyzetét tüntettük fel. A tömegpont !t id! alatt az r=r(t) pontból az r=r(t+!t) pontba jut el. Az ezalatt megtett !s, (ív) hossza az út, ami skalármennyiség, míg a !r=r-r =r+(-r) a test elmozdulásvektora. Az elmozdulásvektor iránya a pályagörbe r és r közötti szel!jének egyenesébe esik. Az elmozdulás és az út láthatóan nem esik egybe, nagyságuk különböz!. Az ábrán feltüntettünk néhány, különböz! nagyságú !t id!különbséghez tartozó helyzetet (s, s", s), helyvektort (r, r, r) és elmozdulást 44 (!r, !r, !r). A !t id!különbség csökkentésével azonban !r és !s hossza egyre jobban közeledik egymáshoz, míg !r egyre

inkább érint!* irányúvá válik. Belátható, hogy !t minden határon túli csökkentésével a !r/!t hányados nagysága a (2.2a)-val definiált v sebesség nagyságához, iránya pedig a görbe érint!jének irányához tart. Az így értelmezett dr !r v = = lim (2.3) dt !t$0 !t határértéket a mozgás (pillanatnyi) sebességének nevezzük. A v pillanatnyi sebesség a sebesség irányára és nagyságára jellemz! vektormennyiség. A sebesség vektormennyiség, tehát megváltozhat úgy is, ha csak iránya változik ds meg, nagysága pedig nem. A (pillanatnyi) sebesség nagysága definiciószer"en a dt (2.2a) kifejezés, iránya pedig (ld Bronstejn, idm") mint fentebb már jeleztük a pálya r(t) pontjához húzott érint! irányával egyezik meg. Ez könnyen belátható: az r(t) helyvektor az s úton keresztül az id!nek közvetett függvénye, azaz r = r(s(t)) E közvetett függvényt az id! szerint differenciálva v= dr dr ds dt = ds dt = é(t)v (2.4) dr a

pálya r(t) pontjához húzott érint! egységvektor; egységvektor ds |dr| hiszen a !t $ 0 határérték esetén |dr| = ds és így ds = #. A sebesség nagysága, ds -vel, azaz láthatóan (ld. 22 ábrát) az út–id! függvény számértéke pedig a dt érint!jének iránytangensével egyezik meg.* (A differenciahányados viszont a szel! tg - iránytangense.) ahol az é(t) + * Az érint! definiciója: (ld. 2# ábrát): ha bármely szel!sorozatnak (!r, !r, !r), miközben az r, r, r pontok minden határon túl megközelítik a P pontot ugyanaz a P ponton átmen! egyenes a határhelyzete, akkor ezt az egyenest az r(t) görbe P pontbeli érint!jének nevezzük. * tg - = lim f(x+h) – f(x) = f (x) é h$0 h Pl. y=x2 esetén az x=3 ponthoz húzott érint! f (x = 3) = lim h$0 (3+h)2 – 32 32 + 6h + h2 –32 6h + h2 lim = lim = lim (6 + h) = 6 h h h$0 h$0 h h$0 45 2.2 ábra A sebesség az út – id! függvény érint!jének iránytangense* A (2.2) és (23) definíciók

alapján a sebesség SI egysége: m . A gyakorlati életben s használatos még a km/h (kilométer per óra) is. A matematikában a dr szimbólum az id! szerinti differenciálási m"velet szimbódt luma. A fizikában a differenciálási m"velet szimbóluma két igen kicsiny változás (pl. az r ill. t mennyiség esetében a dr ill dt változás) hányadosát is jelentheti Ebben az értelemben a dr ill. dt mennyiségeket az r ill t mennyiség differenciáljainak nevezzük. (A differenciál fogalmát a matematika egzaktan értelmezi; ennek részleteibe nem mehetünk bele) Ez a felfogás lehet!vé teszi, hogy bizonyos pontosan meghatározott matematikai feltételek mellett (melyek az itt tárgyalt elemi fizikai jelenségekre általában teljesülnek) a differenciálokkal, mint önálló mennyiségekkel bizonyos formális matematikai m"veleteket végezzünk, pl. átszorozzunk, osszunk stb 2.12 A gyorsulás A sebesség maga is id!függ! mennyiség; értelmes tehát a

sebesség megváltozásának gyorsaságáról beszélni. A 2##-ben alkalmazott gondolatmenetet követve bevezethetjük az átlagos- ill. pillanatnyi gyorsulást, a sebesség megváltozásának átlagos– illetve pillanatnyi sebességét: !v ; !t (2.5) v(t+!t) – v(t) dv = dt !t !t$0 (2.6) a= a = lim 46 m A gyorsulás SI egysége: 2 . Tekintettel arra, hogy a sebesség maga is egy differenciáls hányados, (2.6) így is írható: dv d2r ! a = = 2 = r̈ (2.6a) dt dt ahol a felül két pont az id! szerinti második differenciálhányados szokásos rövidített írásmódja. Tehát a gyorsulás a sebesség id! szerinti els!- és a helyvektor id! szerinti második differenciálhányadosa. A gyorsulás iránya és nagysága határozza meg a sebesség megváltozásának irányát és nagyságát. Síkmozgások esetén a gyorsulásvektor iránya mindíg a pálya síkjában van és abba az irányba mutat amerre a pálya elhajlik (ld. 23 ábra) 2. 3 ábra A sebesség és a gyorsulás

iránya a) általános síkbeli mozgás, b) a matematikai inga esetén Általános térbeli mozgás esetén a pálya elegend!en kicsiny szakasza jó közelítéssel egy síkon, az ún. simulósíkon fekszik és ezen a síkon az ún simulókör kerületének kis szakaszával helyettesíthet! (ld. 2#3 pontot) A tömegpont gyorsulásvektora szintén ebben a síkban van és a pálya elhajlásának irányába mutat. (Ld részletesebben 2#43 pontot). 2.13 A szögsebesség és a szöggyorsulás A görbevonalú mozgást végz! tömegpont mozgását a sebességen és gyorsuláson kívül más fizikai mennyiségekkel, a szögsebességgel és a szöggyorsulással is leírhatjuk. A középiskolában már megismerkedtünk a szögsebesség fogalmával és kiszámításának módjával. Megtanultuk, hogy a szögsebesség és szöggyorsulás a körmoz- 47 gással kapcsolatos feladatokban a mozgás leírására sokkal kényelmesebben használható, mint a sebesség és a gyorsulás. A

szögsebesség a szögelfordulás sebessége, ezért (2.3)-mal analóg módon definiálhatjuk. A középiskolában azt tanultuk, hogy a szögsebesség skalár, így .= d/ dt (2.7) Hasonlóképpen a szöggyorsulás a szögsebesség változási sebessége, tehát 0= d. dt (2.8) A szögsebességet ill. szöggyorsulást azonban nemcsak a körmozgás és nemcsak síkbeli, hanem általános térbeli mozgás leírására is használhatjuk, mert a térbeli pálya elegend!en kicsiny szakasza jó közelítéssel egy síkon az ún. simulósíkon fekszik és ezen a síkon egy kör, az ún simulókör kerületének egy kis szakaszával közelíthet!: tehát egy általános térbeli mozgás úgy is felfogható, mint egy pillanatonként változó síkú és különböz! sugarú körpályákon való mozgás egymásutánja.* A simulókör sugarát, az ún. görbületi sugarat úgy kapjuk meg, hogy a simulósíkban a görbe két egymáshoz közeli pontja által határolt ív hosszát elosztjuk a

két pontba húzható érint!k közötti szöggel (ld. 24a ábra), és képezzük a differenciahányados határértékét: R= !s ds = lim d- !t$0 !- Az ábráról (2.4b ábra) az is látható, hogy körpálya esetén a görbületi sugár a kör sugarával egyezik meg. 2.4 ábra a) a görbületi sugár definíciója, b) kör esetén a görbületi sugár megegyezik a kör sugarával 1 A szögsebesség fogalmával kapcsolatban a középiskolai tananyag egy fontos kérdést nyitva hagy: a szögsebességhez nemcsak a (2.7) szerinti nagysága, hanem egy * A simulósík és simulókör fogalmát a differenciálgeometria definiálja. Ld pl Pachné–Frey: Vektor és tenzoranalízis. M"szaki Könyvkiadó, #970, #27 és #54 old 48 irány az elfordulás iránya is hozzátartozik; ez a tény azt sugallja, hogy a szögsebesség vektorként (. .) is értelmezhet! Mint tudjuk, egy fizikai mennyiség vektor voltához három alapvet! dolog szükséges: nagysága és iránya legyen, és

a vektorösszeadás szabályai szerint összegz!djön. A szögsebesség az els! két feltételnek eleget tesz. A harmadik feltétel teljesülésének bizonyítására használjuk fel azt a matematikai tételt, hogy ha egy mennyiség egy vektormennyiségb!l számmal való osztással, szorzással illetve határértékképzéssel vezethet! le, akkor az a mennyiség vektormennyiség. Ha tehát az infinitezimális !/ d/ / szögsebesség szögelfordulás vektor, akkor (2.7)-b!l kiindulva definiálható az = dt vektor. Látszólag ez nem sokat segít rajtunk, a / szög ugyanis nem vektormennyiség, s!t a véges (nem infinitezimális) !/ szögelfordulás sem vektor! Ennek szemléltetésére végezzünk el egy kísérletet! Képzeljünk el egy, a 2.5a ábra szerint az xy síkon fekv! gyufásdobozt. A 25b ábrán el!ször az y, majd az x tengely körül 902-kal elforgatott doboz rajza, míg a 2.5c ábrán az el!ször az x és utána az y tengely körül 902-kal elforgatott doboz rajza

látható. A két egymás utáni 902-os forgatás ered!je függ a forgatások sorrendjét!l Ha a véges szögelfordulás vektormennyiség lenne, akkor ez nem fordulhatna el!. 2.5 ábra A nem infinitezimális szögelfordulás nem vektor! Az alábbiakban megmutatjuk, hogy az infinitezimálisan kicsiny d/ / szögelfordulás megfelel! definicióval viszont vektor! r Forgassuk az r helyvektor irányába es! er + r egységvektort a 2.6 ábrán látható módon !/ nagyságú szöggel! Látható az ábrából, hogy a !/,radiánban közel egyenl! a |!er| -el és így elég kis szögek esetén d/,= |der| Mivel der iránya az er irányától függ, d/ / egyértelm" definiciójához megállapodásszer"en úgy jutunk, hogy a !/, /, (ill., d/ / ) szögelfordulásvektort a következ!képpen definiáljuk (ld. 26 ábrát): 49 2.6 ábra Az elemi szögelfordulásvektor !/ / = er 3 !er (2.9) vagyis az infinitezimális szögelfordulás vektora mer!leges az elforgatás síkjára. E

definíció alapján a szögsebesség vektor definíciója: e 3 !er d/ / !/ / !e . . = + lim = lim r = lim er 3 r = er 3 er dt !t$0 !t !t$0 !t !t !t$0 (2.#0a) Tehát d/ / (2.#0b) . = = er 3 e·r dt rad . A szögsebesség vektor iránya (2#0a) szerint az A szögsebesség SI egysége: s ( e 3 e· ) síkra mer!leges. r r A szögsebesség vektor megváltozásának sebessége a szöggyorsulás vektor: d. . d2/ = 0= dt dt2 (2.""a) (2.#0b)-t felhasználva . . . . 0 = er 3 er + er 3, er = er 3, er (2.""b) rad A szöggyorsulás SI egysége: 2 . s A 0 szöggyorsulás iránya d. . irányával egyezik meg, tehát síkmozgás (körmozgás) esetén, ahol e és e· egy síkban lévén . iránya állandó, 0 is irányába mutat r r 50 A tömegpontnak azonban nem kell okvetlenül kering! (pl. kör– stb) mozgást végeznie ahhoz, hogy valamely rajta kívül es! pontra* vonatkoztatott szögsebessége, szöggyorsulása legyen: minden általános görbevonalú pályán

mozgó test mozgása leírható a pálya mentén esetleg folyamatosan változó .-val ill 0-val, hiszen mint mondottuk a pálya minden végtelenül kicsi görbült szakaszához rendelhet! egy simulókör. Pl az egyenesvonalú mozgást végz! tömegpont szögsebessége nem feltétlen nulla! Ha az origót az egyenesvonalú pályán kívül választjuk, akkor .40, mivel er iránya változik (ld. 27 ábra) 2.7 ábra Az egyenesvonalú mozgást végz! tömegpontnak lehet nem nulla szögsebessége A tömegpont v sebessége és a gyorsulása minden esetben kifejezhet! az így értelmezett szögsebességgel ill. szöggyorsulással E kifejezéseket a 2#4 pontban vezetjük be. 2.14 Sebesség és gyorsulás általános kifejezése inerciarendszerben Néhány speciális eset 2.#4# Az általános kifejezések 1 Az r(t) vektort az r(t) = r(t)er = r5er (2.#2a) alakban felvéve a sebességre és gyorsulásra az alábbi képleteket kapjuk: v(t) = a(t) = d . . (rer) = rer + rer dt dv(t) d . .

. ) = r̈e + 2 r er + rër = (r e + re r r r dt dt * Tömegpont esetén ugyanis nem beszélhetünk forgómozgásról. (2.#2b) (2.#2c) 5# 1 Ezeket a képleteket az . szögsebesség (2#0b) és a 0 szöggyorsulás (2##b) kifejezéseinek felhasználásával is felírhatjuk. (2#0b) szerint . = e 3 e· r r Jobbról vektoriálisan szorozva er-rel és a háromtényez!s vektorszorzatban a kifejtési tételt* felhasználva: .,3 er = (er 3 e·r) 3 er = – er 3,6er 3 e·r7,= e·r(erer) – er(e·rer) Mivel er és e·r egymásra mer!legesek, azaz ere·r = 0, valamint mivel erer = #, ,,,. ,,,. 3 er = e·r (2.#3) Ebb!l ër = d . 3 er) = · 3 er + 3 e·r dt(. = 0 3 er + .,3 (, .,3 er) (2.#4) A (2.#3) ill (2#4) egyenleteket a (2##2) egyenletekbe behelyettesítve (figyelembevéve, hogy az r szorzótényez! a vektoriális szorzatokba bevihet! és er-hez kapcsolható) r = rer (2."5a) v = r· er + . 3 rer = r· er + 3 r (2."5b) a = r̈er + 2r· (. . 3 er) + 0 3 r + 3,( .

3 r) = = r̈er + 2(. . 3 r· er) + 0 3 r + 3 ( . 3 r) (2.#5c) A (2.#5b) kifejezésb!l r· er -t kifejezve az r· e = v – (. . 3 r) r kifejezést kapjuk. Ezt (2#5c)-be behelyettesítve a = r̈er + 2(. . 3 v) + 3 ( . 3 r) + 0 3 r 1 (2."5d) A (2.#5) képletek tetsz!leges térbeli mozgást végz! tömegpont viselkedését leírják, és speciális esetként minden típusú mozgás leírását is lehet!vé teszik. * a 3 (b 3 c) = b(a · c) – c(a · b) Ill. a 3,(b 3 c) = – (b 3 c) 3 a 52 A (2.#5) képletek tetsz!leges térbeli mozgást végz! tömegpont viselkedését leírják A mozgásokat célszer"en az alábbi hierarchia szerint osztályozhatjuk: Általános a = r̈ = f(t) Egyenletesen gyorsuló a = r̈ = a0 = áll. Egyenletes a = 0, v = r· = v0 = áll. Körmozgások (síkmozgás) Általános 0 = 0 (t) (r = ál.) r x v = áll. (. . iránya áll) Egyenletesen gyorsuló 0 = .· = 00 = áll Egyenletes 0 = 0, . = 0 = áll Általános ld. 7

fejezet Harmonikus r(t) = A sin (.t + /0) Egyenesvonalú Rezg!mozgás r(t) = A ej(.t + /0) 2.#42 Speciális eset: az egyenletes körmozgás A körmozgás definíciószer"en síkmozgás. Válasszuk a koordinátarendszer origóját a kör középpontjába! A mozgás pályája egy kör, és . szögsebesség mer!leges a kör síkjára. (Ugyanis e és e· egyaránt a kör síkjában fekszik, a 28 ábra szerint viszont r r . = er 3 e·r mer!leges erre a síkra) Mivel a pont szöggyorsulása a d .-val párhuzamos, körmozgás esetén 0 iránya is állandó. 2.8 ábra A körmozgás síkmozgás (Az e·r a vektorszorzat képzéskor szabadon eltolható a O origóba.) 53 1 Alkalmazzuk a (2.#5) általános összefüggéseket körmozgásra Körmozgás ese- tén r· = 0, hiszen r = áll, ahol r + |r| a körpálya sugara. Ekkor (2#5b)-b!l v = .,3 r (2."6a) A v nagysága a vektoriális szorzat abszolút értékével egyezik meg. A Lagrange-féle azonosságot* alkalmazva

és figyelembevéve, hogy r 8 .-ra: (. .,3 r) ( .,3 r) = 2r2 = 2r2 Így |v| = v2 = v2 alapján v = .,· r (2."6b) Egyenletes körmozgásra (. .=áll, 0=0, r=áll, r·=0 és így r̈=0) a (2#5c) a következ! alakra egyszer"södik a = .,3 ( .,3 r) (2.#7a) amelyre a kett!s vektorszorzat kifejtési tételét* alkalmazva a gyorsulás a = .,3 ( .,3 r) = (r · ) – r(, .,· ., ) (2.#7b) alakú lesz. Mivel r 8 -ra, ezek skalárszorzata nulla és így acp + a = –r. .2 (2.#7c) ahol az acp jelöléssel azt jeleztük, hogy az egyenletes körmozgás gyorsulása a kör középpontja felé mutat, "centripetális". v2 A (2.#6b) szerint 2 = r2 , ezt felhasználva az egyenletes körmozgás gyorsulása v2 r v2 (2."8a) acp = –r. .2 = –r r2 = – r |r| nagysága pedig (Huygens, #690): acp = v2 2 r =. r * (2."8b) (a 3 b)(c 3 d) = (a·c)(b·d) – (b·c)(a·d) .,3 r)( .,3 r) = ( .· .)(r·r) – (r· .)( .·r) = 2r2 – (r .)2 , és mivel r 8 -ra, Esetünkre

alkalmazva (. .= 0 r·. * a 3 (b3c) = b(a·c) – c(a·b); a kett!s vektorszorzat b-vel és c-vel koplanáris vektor. 54 A szögsebesség ebben a koordinátarendszerben akár skalárnak is tekinthet!. Ha . -t skalárnak tekintjük és a tömegpont szögsebessége állandó (egyenletes körmozgás), a ponthoz húzott helyvektor / szögelfordulása az id!vel arányos, azaz / = .t + /o A teljes 29 szögelforduláshoz szükséges id!t keringési id!nek nevezzük és T-vel jelöljük. A keringési id! reciproka # := (2."9a) T a fordulatszám (melyet frekvenciának is nevezünk). A szögsebesség abszolút értéke ezekkel a mennyiségekkel az 29 = 29: = 29n (2."9b) .= T alakban fejezhet! ki, (ahol az n a fordulatszám jele). Figyeljünk fel arra, hogy bár az egyenletes körmozgásnál .=áll és így |v|=áll, de v iránya állandóan változó. Az elmondottakat a 2.9 ábrán szemléltetjük: 2.9 ábra Az egyenletes körmozgás gyorsulásának geometriai interpretálása

55 Vizsgáljuk meg most azt az esetet, amikor koordinátarendszerünk origóját a kör középpontján átmen!, a kör síkjára mer!leges egyenesen, de a kör síkján kívül választjuk meg (ld. 2#0 ábrát) 2.#0 ábra Körpályán mozgó tömegpont, ha az origó nem a körpálya síkjában és középpontjában van Ilyenkor is fennáll (ld. (2#6a)-t), hogy v = .,3 r de itt r az új origóválasztásnak megfelel! helyvektor. A vektorszorzat nagysága v = .r sin / ahol a / az (. .,r) szög Mivel r = r sin / v = .r ahol r a kör sugara. A |v| tehát természetesen azonos azzal a v értékkel (ld (2#6b)), amelyet akkor kapunk, ha az origót a körpálya középpontjában választjuk. Utóbbi eredményre jutunk akkor is, ha pl. a gyorsulás a (2#7a) egyenletét az új origó-választással írjuk fel. Fejtsük ki az 3( .3r) kett!s vektorszorzatot: a = .,3,( .3r) = (r· .) – r( .· .) ahol azonban ne felejtsük el, hogy r ebben az esetben a 2.#0 ábrán látható helyvektor Az

ábrából láthatóan P = r cos /, ami miatt .·r = r cos / = ·P is fennáll. Alakítsuk át a gyorsulás fenti kifejezését ennek figyelembevételével a = . · P – r2 56 Ha most figyelembe vesszük, hogy (ld. 2#0 ábrát), hogy és P kolineáris vektorok (egy egyenesen egyirányba mutatnak), így .·P = 2P (az egységvektort áthelyeztük), továbbá, hogy r = P+r acp = .2·P – 2r = –2(r–P) = –2r Igazoltuk tehát, hogy a 2.9 ábrán látható origóválasztással az acp értéke azonos a (2.#8) alatti eredménnyel 2.#43 Az általános kör- ill térgörbe menti mozgás esete Könnyen belátható, hogy ha a körmozgás nem egyenletes, hanem egyenletesen gyorsuló vagy általános körmozgás, akkor az a gyorsulás nem mutat a kör középpontjába. Ehhez elegend! egy pillantást vetnünk a 29 ábrára: ilyenkor v2 4 v#-el Az ilyen a gyorsulás mindig felbontható egy normális és egy tangenciális komponensre. A normális irányú v2 r an = –. .2r = – r |r|

(2.20) komponenst a sebesség nagysága és a pálya görbülete határozza meg és azonos a már megismert (2.#8a) centripetális gyorsulással A tangenciális komponens at = dv v dt |v| (2.2#) alakú. 1 Az ered! gyorsulás nagysága a= 2 2 at + an (2.22) iránya pedig a t érint! egységvektor irányával olyan (a,t) szöget zár be, amelyre nézve a cos(a,t) = t (Huygens). a Általános térgörbe mentén való mozgás esetén a 2.#2 pont végén és a 2#3 pontban leírt eljárást alkalmazhatjuk: a térgörbe kis szakaszaihoz simulósíkot húzunk és e síkban a térgörbe kis szakaszaihoz simulókört illesztünk. A fenti képletek ilyenkor is érvényesek, csak a kör r sugara helyére az R görbületi sugár irandó 57 2.#44 Speciális eset: csillapítatlan lineáris harmonikus rezg!mozgás* Az olyan egyenesvonalú mozgást, ahol a test egy adott ponttól való távolsága (kitérése) az id! színuszos (koszinuszos) függvényével arányos lineáris harmonikus

rezg!mozgásnak nevezzük. (Ez a definiciója!) Az ilyen mozgásokra jellemz!, hogy a mozgás gyorsulásának nagysága mindig arányos, iránya pedig ellentett a kitéréssel. Ha a mozgás egyenesét választjuk X tengelynek, akkor a lineáris harmonikus rezg!mozgás kitérése pl. az x(t) = A cos (.t + /o) (2.23) egyenlettel írható le. A mozgás vx sebessége vx = x· = –A. sin(t + /o) (2.24) A mozgás ax gyorsulása ax = v· x = ẍ = –A.2 cos(t + /o) = –2x (2.25) A (.t + /o) kifejezést fázisnak, a /o-t a t=0 id!ponthoz tartozó kezd!fázisnak nevezzük. Már régen felismerték, hogy az egyenletes körmozgást végz! test vetülete harmonikus rezg!mozgást végez. A 2## ábrán A sugarú, szögsebesség", /o = 0 kezd!helyzet" egyenletes körmozgást és annak y tengelyre vett vetületét ábrázoltuk az id! függvényében: 2.## ábra Az egyenletes körmozgás vetülete harmonikus rezg!mozgást végez * A rezg!mozgás általános eseteivel és komplex

függvényekkel való leírásukkal a 7.# pontban foglalkozunk. 58 A harmonikus rezg!mozgás általános eseteinek leírásával a 7.# pontban foglalkozunk. A (lineáris) csillapítatlan harmonikus rezg!mozgást végz! testet (lineáris) harmonikus oszcillátornak nevezzük. Az ilyen oszcillátor egyéb aspektusaival a következ! pontokban fogunk foglalkozni: 1,mozgásegyenletével a 2.34 pontban (2#00b) 1, energiájával és a rá vonatkozó mechanikai energiamegmaradási tétellel a 2.53 pontban (2.205) 2.#45 Az egyenesvonalú- és a körmozgásra összefüggéseket a 2.# táblázatban foglaltuk össze vonatkozó kinematikai 2.# Táblázat A tömegpont egyenesvonalú mozgása körmozgása út (s) szög (/) elmozdulás (dr) dr* sebesség &v = dt ) % ( szögelfordulás (d/ /) d/ /* szögsebesség &. = dt ) % ( dv d2r* gyorsulás &a = dt = 2 ) dt ( % d. . d2/* ) szöggyorsulás &0 = = dt dt2 ( % 2.15 Néhány kinematikai feladat A kinematika, mint

láttuk, három vektorfüggvény, azaz r = r (t) , r· = v(t) , ··r = a(t) illetve az ezeknek megfelel! 9 skalárfüggvény között egyértelm" kapcsolatot állapít meg. Bármelyikat ismerjük, a másik kett! matematikai úton meghatározható A konkrét számításokat többnyire a skalárfüggvényekkel (a vektor-komponensekkel) végezzük el. 59 1,Egyenesvonalú mozgások 1 Ha ismerjük a tömegpont r(t) pályáját és a pont sebességét, illetve gyorsulását keressük. Az ilyen típusú feladat differenciálással oldható meg: v(r,t) = dr dt dv d2r = dt dt2 a(r,t) = ". Példa Legyenek egy térben mozgó pont helyvektorának komponensei a következ!k. x(t) = 3·t2 [m], y(t) = 0, z(t) = 2 – 8 t2 [m]. Ekkor a pont sebességvektora vx(t) = 6t ms–# vy(t) = 0 vz(t) = – #6t ms–# ay(t) = 0 az(t) = – #6 ms–2 A gyorsulásvektora: ax(t) = 6 ms–2 A helyvektor id!függésének ismeretében meghatározhatjuk a pont pályáját. A z(t)

függvényb!l t2-et x-el kifejezve: z=2– 8x 3 Vagyis a pont pályája egy az x–z síkban fekv! egyenes. 1 Ha a tömegpont v(r,t) sebesség-id! függvénye adott és a pont gyorsulását, illetve pályáját keressük. A pálya meghatározása bonyolultabb az el!z! feladatnál és általános esetben egy els!rend" differenciálegyenlet megoldását követeli meg. A megoldandó egyenlet: dr = v(r,t) dt (itt v(r,t) ismert) (I) amely egy közönséges els!rend" differenciálegyenlet. Egy differenciálegyenlet megoldásán azoknak a függvényeknek a megadását értjük, amely függvények a differenciálegyenletet kielégítik. Ilyen függvény általában végtelen sok van Az (I) egyenletet pl. minden olyan r(t) függvény kielégíti, amelyre r(t) = r’(t) + c, ahol r’(t) kielégíti az (I) egyenletet és c egy tetsz!leges állandó vektor. A valóságban végbemen! mozgást a c állandó konkrét értéke határozza meg. Ha az id!mérés kezd!pontját oly módon

választjuk, hogy r(0)=0 legyen, akkor c a tömegpont kiindulási helyzetének helyvektora: r0+r(t=0)=c. Az (I) egyenlet tehát csak az 60 r(0) = r0 u.n kezdeti feltétel megadásával oldható meg egyértelm"en Ha a v(r,t) függvény csak az id! függvénye, akkor az (I) egyenlet egyszer"en integrálással oldható meg: t # r(t) = ; v(t’)dt’ + r0 " 0 A gyorsulás meghatározásához a v(r,t) függvényt kell differenciálni: a= dv dt 2. Példa A mellékelt ábrán az x tengely mentén mozgó test sebessége látható az id! függvényében. Határozzuk meg a gyorsulást az A és D id!pontban! Mikor lesz zérus a gyorsulás? Határozzuk meg a B és D id!pontok között megtett utat! Segédábra a 2. példához A gyorsulást meghatározhatjuk a sebesség id! szerinti deriváltjával, azaz grafikusan a sebesség-id! függvény meredekségével. Az A id!pillanatban a 5,5 ms–# görbéhez húzott egyenes meredeksége: – #,2 s . Tehát t=0,4s id!pillanatban a

test gyorsulása – 4,6 ms–2 . A negatív el!jel jelzi, hogy a test lassul m Hasonlóan a D pontban 4,4 s id!pillanatban a gyorsulás #,6 2 (a test gyorsul). s A gyorsulás zérus, ha a görbéhez húzott érint! párhuzamos az id! tengellyel, azaz a sebesség-id! grafikonnak minimuma (vagy maximuma) van. Ez a 3,4 s id!pillanatban következik be. 6# A megtett utat a sebesség id! függvény id! szerinti integrálja, grafikusan az adott id!pontok közé es! sebesség-id! függvény alatti terület adja meg. Esetünkben a 2s és 4,4s között eltelt id! alatt megtett út jó közelítéssel: #,5 m m m m m · 0,4 s + #,2 0,4s + # 0,4s + # 0,4s+ #,2 0,4 s + s s s s s m + #,5 0,4s = 2,9 m s A kinematikai feladatok harmadik, egyben legfontosabb csoportjában a tömegpont gyorsulása az adott az id! függvényében. Ennek a feladatcsoportnak kiemelked! fontosságát az er! és a gyorsulás között fennálló kapcsolat adja (ld. 23#3pont) A mozgást leíró differenciálegyenlet egy

u.n közönséges másodrend" differenciálegyenlet: d2r = a(r,v,t) dt2 (II) amely ekvivalens a következ! két els!rend" differenciálegyenlettel: dv = a(r,v,t) dt dr dt = v(r,t) Mivel utóbbi differenciálegyenletek mindegyikének megoldásában fellép egy tetsz!legesen megválasztható állandó, ezért a (II) egyenlet megoldásában két tetsz!leges állandó (két kezdeti érték) szerepel: r(0) = r0 v(0) = v0 m gyorsulással 5 s2 másodpercen keresztül mozog. Határozzuk meg az útját és a végsebességét! 3. Példa Egy test álló helyzetb!l indulva állandó 4 A test egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgást végez. Vegyük fel a koordinátarendszerünket úgy, hogy a mozgás az x tengely mentén történjen! Ekkor az a, v és r vektoroknak is csak x komponense lesz. A gyorsulás ismeretében a sebesség integrálással határozható meg: t # v(t) = ; a(t’) dt’ + v0 = at + v0 " 0 62 A kezdeti feltételek szerint v0 = 0. A t = 5 s id!pontban

a sebesség: 20 m/s További integrálással kapjuk a t id! alatt megtett utat: t t a # # x(t) = ; v(t’)dt’ + x0 = ; (at’ + v0 ) dt’ + x0 = t2 + v0t + x0 2 " " 0 0 A kezdeti feltételek szerint v0=0 és x0=0. Az 5 másodperc alatt megtett út: x(t) = a 2 t = 50 m 2 4. Példa Egy szabadon es! test esetén a=g Ekkor a megoldandó differenciálegyenlet: d2 r dt2 = g = áll. Ez az alábbi két egyenlettel ekvivalens: dv =g dt és dr = v(r,t) dt Az els!t integrálva: t # v(t) = ; g t dt = g t + v0 " 0 A második egyenletbe behelyettesítve és integrálva: r(t) = #t & ;" %0 * g ( g t + v0 ) dt) + r0 = 2 t2 + v0 t + r0 ( (III) 5. Példa A ferde hajítás esetén a (III)-ban szerepl! állandókat ismerjük. Ha pl a koordinátarendszerünk x és y tengelye vízszintes, z tengelye pedig függ!legesen felfelé mutat, és az origójából indítjuk a testet az x-z síkban az x tengellyel /,szöget bezáró irányban, azaz 63 v0 = (v0 cos/, 0,

v0 sin/), r0 = 0 akkor (III)-ból x(t) = v0 cos/ . t y(t) = 0 g z(t) = – t2 + v0 sin/,· t 2 6. Példa Egy autó #0 percen kereszt"l 7 ms–# sebességgel halad, majd 5 percen át #7 ms–# sebességgel. Határozzuk meg a teljes útra számított átlagsebességet! Az átlagsebesség a teljes megtett út és az út megtételére fordított id! hányadosa, azaz s s# + s2 v# t# + v2 t2 = #0,3 ms–# <v>= = t +t = t +t t # 2 # 2 1 A körmozgás Azok a mozgások a körmozgások, amelyek során a pont helyvektorának a nagysága nem, iránya pedig úgy változik, hogy a szögsebesség vektor iránya nem változik. A körmozgás síkmozgás. A pont szögsebessége ill szöggyorsulása a (2.#0b) ill (2##b) képletek alapján a körpálya síkjára mer!leges vektor. A körmozgásnál r· = 0, tehát ··r = 0 (is) (ld 28 ábrát). 7. Példa A (2#5)-be behelyettesítve az r· = 0, ··r = 0 kifejezéseket r(t) = r · er(t) v(t) = . 3 r a(t) = . 3 ( . 3 r) + 0 3 r 64 A

gyorsulás els! tagja mer!leges a sebességre (. . 3 r) és az -ra Iránya a kör középpontja felé mutat. Második tagja 0-ra és r-re mer!leges, tehát ± v irányú 0 irányától (tehát d. . irányától) függ!en A mozgást síkbeli Descartesféle koordinátarendszerben leírva: x(t) = r cos .t y(t) = r sin .t vx(t) = – r . sin t vy(t) = r . cos t ax(t) = – r .2 cos t ay(t) = – r .2 sin t |v| = 2 2 vx + vy = r. 65 2.2 VONATKOZTATÁSI RENDSZEREK 2.21 Vonatkoztatási és koordinátarendszerek A fizikai testek és jelenségek térbeli helyzetét mindig más fizikai testekhez képest határozzuk meg. A helymeghatározásunk tehát objektív de relatív Azt a fizikai rendszert, amelyhez képest a vizsgált rendszerünk helyzetét megadjuk, vonatkoztatási rendszernek nevezzük (pl. az állócsillagokhoz rögzített vonatkoztatási rendszer, a laboratóriumhoz rögzített vonatkoztatási rendszer, a forgó Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszer stb.) A

vonatkoztatási rendszer megválasztását gyakorlati szempontok motiválják. Leggyakrabban a laboratóriumunkhoz, illetve a Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszert használjuk. A térbeli helyzet mellett az id!beli helyzet meghatározására is szükség van a fizikai jelenségek leírásához. Vonatkoztatási rendszerünket tehát (legalábbis képzeletben) órákkal is el kell látnunk Általában úgy járunk el, hogy vonatkoztatási rendszerünkhöz egy koordinátarendszert illesztünk és vizsgált rendszerünk viselkedését ezen koordinátarendszerhez képest adjuk meg. El is szoktunk tekinteni vonatkoztatási rendszerünk fizikai tulajdonságaitól és a hozzárendelt koordinátarendszert és órákat tekintjük vonatkoztatási rendszernek. Ez pongyola szóhasználat (hiszen egy vonatkoztatási rendszerhez különböz! koordinátarendszereket is rendelhetünk), a szakirodalomban mégis rendkívül elterjedt. A kés!bbiekben mi is használni fogjuk a

"vonatkoztatási rendszer" kifejezés helyett a "koordinátarendszer" kifejezést. Nem szabad azonban megfeledkeznünk arról, hogy ezt mintegy gyorsírásnak kell tekintenünk és mindig egy vonatkoztatási rendszerhez rögzített koordinátarendszerre és órák rendszerére kell gondolnunk. 2.22 Inerciarendszerek A jelenségek leírása szempontjából alapkérdés volt léteznek-e kitüntetett (abszolút) vonatkoztatási rendszerek. Kezdetben a Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszert ilyennek gondolták. Galilei mondta ki els!nek, hogy az álló (Földhöz rögzített) és az egyenes vonalú egyenletes mozgást végz! vonatkoztatási rendszerek a természet leírása szempontjából ekvivalensek. Newton érdeme, hogy kimondta: ") létezik olyan vonatkoztatási rendszer, ez az ún inerciarendszer, amelyben egy, a környezett!l származó kölcsönhatásoktól szigetelt magára hagyott pontszer" test sebessége (általánosabban fogalmazva:

impulzusa - ld. 2.3 pontban) állandó 2) Newton utasítást ad arra nézve, hogy miként lehet eldönteni egy vonatkoztatási rendszerr!l, hogy inerciarendszer–e: ezen utasítás szerint meg kell vizsgálni, hogy teljesíti–e a ma Newton els! axiómájának nevezett axiómát : 66 Kölcsönhatásoktól mentes (elszigetelt) rendszer (test, tömegpont stb.) impulzusa inerciarendszerben állandó (Newton I. axiómája)* Egyetlen tömegpontra ez azt jelenti, hogy p = mv = állandó. Tapasztalat szerint inerciarendszer pl. az állócsillagokhoz rögzített vonatkoztatási rendszer. Bizonyos esetekben (ha a vizsgált jelenség szempontjából a Föld forgásától eltekinthetünk) jó közelítéssel a Földhöz viszonyított vonatkoztatási rendszer is tekinthet! inerciarendszernek. Egy megfelel! inerciarendszer kiválasztása mindig alapos megfontolást igényel. Az inerciarendszerekre egy (Galilei ld. 223 pont majd Einstein ld 224 pont munkássága nyomán megfogalmazott)

fontos tétel vonatkozik: ha egy K vonatkoztatási rendszer inerciarendszer, akkor minden hozzá képest egyenesvonalú egyenletes mozgást végz! vonatkoztatási rendszer szintén inerciarendszer. Ez a tétel az inerciarendszer fenti definíciójából következik Azok a vonatkoztatási rendszerek, amelyek egy inerciarendszerhez képest gyorsulnak, általában nem inerciarendszerek. Egy kivétel van csak: a homogén gravitációs térben szabadon es! vonatkoztatási rendszerek szintén inerciarendszerek (Einstein, "9"6; ld. a 222 pontot) 2.23 A Galilei–féle relativitási elv Az inerciarendszerek egyenérték#ségét (két egymáshoz képest egyenesvonalú egyenletes mozgást végz! vonatkoztatási rendszerben lefolyó mechanikai folyamatokra) el!ször Galilei posztulálta. Tekintsünk két egymáshoz képest állandó vo állandó sebességgel mozgó derékszög# koordinátarendszert, K és K-t! (ld. 2"2 ábra!) Írjuk le mindkét inerciarendszerben egy P tömegpont

mozgását. A P pont helyzetét K-ban, illetve K-ben megadó r, illetve r vektorok között az alábbi kapcsolat van: r = ro + r (2.26) ahol ro = vot + ro(0) a K koordinátarendszer O origójának K-beli koordinátája. Ha a P pont v sebességgel mozog K-ben, ahol * Ezen rövid meghatározásból már következik az axióma közismertebb alakja: inerciarendszerben a test megtartja relatív nyugalmi vagy egyenesvonalú egyenletes mozgási állapotát. 67 2.#2 ábra A Galilei–transzformáció (E pontban feltesszük, hogy mind K, mind K derékszög" koordinátarendszer. Általános esetben a koordinátatengelyek nem párhuzamosak, de K iránya nem változhat K-hoz képest: a K nem forog K –hoz képest, azaz,!=0. Továbbá felteszük, hogy r· = v = konstans) o v = dr dt o (2.27) ahol dt a dr elmozduláshoz tartozó, K-ben mért id!, akkor a P pont K –beli v sebességét a v= dr dro dr dt = dt + dt (2.28)* képlet adja meg. Itt dt a K-ban a dr távolság

megtételéhez tartozó id! Természetesnek t"nik (és ezt Galilei posztulátumként el is fogadta), hogy dt = dt (2.29a) Amennyiben a két rendszer óráit összehangoljuk, ebb!l t = t (2.29b) is következik; azaz az egyik inerciarendszerr!l a másikra áttérve az id!t nem kell transzformálni. A (226) és (229) képletek az ún Galilei–transzformáció képletei* * A Galilei–transzformáció speciális esete (! !=0, r·o=konst) a 2.33 pontban ismertetett általános koordinátatranszformációnak. 68 A Galilei–transzformációt a mechanika törvényeire alkalmazva kit#nik, hogy bár ugyanazon test sebessége a két (K ill. K) koordinátarendszerben különböz!, de a sebesség megváltozása mindkét rendszerben ugyanakkora. Ennek következtében a két rendszerben pl. ütközéskor fellép! impulzusváltozások is egyenl!ek, és azonos alakúak a dinamika newtoni axiómái és az ezekb!l levezetett tételek is. A mozgásegyenletben szerepl! mennyiségek és a

közöttük lév! összefüggések mindkét vonatkoztatási rendszerben ugyanazok. Ilyen jelleg# megfontolásokból következik az ún. Galilei-féle relativitási elv: A mechanikai törvények alakja és a mechanikai jelenségek lefolyása minden inerciarendszerben azonos. Vagyis: mivel minden inerciarendszerben minden mechanikai jelenség azonosan, azonos törvények szerint zajlik, nincs mód rá, hogy inerciarendszerünkb!l való kitekintés nélkül inerciarendszerünket más inerciarendszert!l megkülönböztessük. Abból a Galilei-féle posztulátumból, hogy K és K között az id!t nem kell transzformálni adódik a Galilei-féle sebességtranszformáció, amit sokszor egyszer#en "Galilei-féle sebességösszeadási törvényként" is emlegetnek. Ha ugyanis (229a) dr dr és így (2.28)-ban helyére v írható: dt=dt, akkor a (2.27)-ben v = dt dt v = dro dr dt + dt = vo + v (2.30) amely a Galilei-féle sebességösszeadási* törvény matematikailag megfogalmazott

alakja. Szavakban Ha egy test K-höz képest v sebességgel mozog, akkor K-hoz képest v=v+vo sebességgel kell mozognia, ahol vo K sebessége K-hoz képest. Az alábbiakban el!ször két példán ("., 2 példa) bemutatjuk a Galilei sebességösszeadási transzformáció alkalmazását Ezt követ!en a 3 példában megmutatjuk a Galilei-transzformáció korlátait. Kísérletet teszünk ugyanis arra, hogy a Galilei-transzformációt (illetve annak következményét a Galilei-féle sebességösszeadási törvényt) a fény különböz! vonatkoztatási rendszerbeli terjedési sebességének kiszámítására alkalmazzuk. A kísérleti tények azonban ez esetben ellentmondanak a Galilei-féle sebességösszeadás törvényének. ". Példa Vizsgáljuk meg egy hajó mozgását állóvízben (pl egy tavon), illetve egy folyón! Legyen a hajó sebessége állóvízben vh = 6 km/h, és legyen a folyó sebessége vf = 3 km/h. Vizsgáljuk a hajó mozgását tavon és folyón (utóbbin

hosszában és keresztben) két, egymástól "s = 30 km-re fekv! város (A és B) között (ld. a 2"3 ábrát)! * A fenti levezetésb!l látható, hogy ez nem "összeadás", hanem transzformáció: azt adja meg, miként lehet az egyik vonatkoztatási rendszerbeli leírásról a másikra áttérni. 69 # A tavon a hajó a két város közötti "s utat oda–vissza "ttó = 2"s vh = "0 óra $%&3") id! alatt teszi meg (ld. 2"3a ábra) 2.#3 ábra A Galilei-féle sebességösszeadási törvény szemléltetése a) hajó mozgása állóvízben, b) hajó mozgása folyón hosszában, c) hajó mozgása folyón keresztben # Ha a két város a folyó egyazon partján helyezkedik el, akkor a folyó hosszában kell a hajónak mozognia (2."3b ábra), a (230) képlet szerint lefelé a hajó és a folyó sebessége összeadódik, felfelé a hajó sebességéb!l kivonódik a folyó sebessége. Így az oda–vissza úthoz tartozó összes

id!: "tfolyó hosszában = "tle + "tfel = "s "s vh + vf + vh – vf = "3,3 óra ("tfolyó hosszában fenti képletét átalakítva (alábbiakban a 3. egyenl!ségjel után a 2 nevez!ben vh-t kiemelve és felhasználva a (2.3") egyenletet) "tfolyó hosszában = = "s "s(vh – vf) + "s(vh + vf) "s + = = (vh + vf)(vh – vf) vh + vf vh – vf 2 "svh 2 "s 2 2 = v h (vh – vf ) eredményt kapjuk. " "– 2 vf 2 vh = "ttó 2 = "3,3 óra vf "– 2 vh (2.32) 70 # Ha pedig a két város a folyó két, éppen szemben lev! partján helyezkedik el, akkor a hajónak a folyón keresztben kell mozognia (2."3c ábra) Ekkor a hajónak ahhoz, hogy az ered! sebesség a folyó partjára mer!leges legyen, a víz folyásához képest felfelé kell mozognia. A hajó sebességének a folyó partjával párhuzamos komponense eszerint a folyó sebességével egyenl! nagyságú kell hogy

legyen, vagyis (ld. 2"3c ábra) vh sin )(*(vf ami e példa számértékeivel ) = 30°-ot ad; a hajó folyóra mer!leges vR ered! sebessége pedig vR = vh cos) = 5.2 km/h Ha "s most a folyó szélessége, akkor az oda–vissza úthoz tartozó id!: "tfolyó keresztben = 2 "t = 2 "s = "",5 óra vR A vR sebesség a Pitagorasz-tétel alapján is kifejezhet!: 2 vR = 2 vh – 2 vf = vh "– vf 2 vh ezért a (2.33) második egyenl!ségében vR-t vh-val, majd utóbbit a (23") egyenlettel kifejezve: "tfolyó keresztben = 2"s 2"s = vR vh · "– 2 vf 2 vh = "ttó 2 "– = "",5 óra (2.33) vf 2 vh Láthatóan ha nem tudnánk, hogy a hajó álló vagy mozgó közegben haladte, a megmért eltér! "t utazási id!kb!l erre következtetni tudnánk. 2. Példa Vizsgáljuk meg a hang terjedését a hangforráshoz képest álló ill mozgó leveg!ben! A kísérletet úgy hajtjuk végre, hogy a

hangforrást, egy hangvisszaver! felületet és a forrás mellé helyezett detektort egy nyitott járm#re rögzítjük, és ez a járm# áll, illetve mozog a leveg!höz képest. Mivel csak a relatív sebességek számítanak, a leveg! sebességének nagysága a hangforráséhoz képest megegyezik a járm# talajhoz képesti sebességével. Jelöljük a leveg! relatív sebességnek nagyságát v -lel! Legyen a hangsebesség álló közegben (leveg!ben) vh = 330 m/s és a hangforrás és a visszaver! felület távolsága "s = 20 m. (Ez analóg az " Példa A–B távolságával.) Számítani és mérni a 2"s = 40 m oda–vissza (forrás– tükör–detektor) távolság megtételéhez szükséges id!t fogjuk, és ezt "t futási id!nek nevezzük. A számításokat 7" Analógia az #. példával : hang + hajó leveg! + víz alapján az ". példa képleteivel végezzük Legyen a leveg! sebessége v , amely álló leveg! (+ tó) esetén v = 0, mozgó leveg!

(+ folyó) esetén pedig v = "0 m/s. A számítási és a számítást igazoló kísérleti eredmények a következ!k: "tálló leveg! = 0,"2"2"2 s "tmozgó leveg!ben = 0,"2"324 s ,( a leveg! mozgásával párhuzamosan "tmozgó leveg!ben , = 0,"2"268 s a leveg! mozgására mer!legesen A 2. példából az " példa végén mondottakkal azonos következtetésre juthatunk, vagyis járm#vünk leveg!höz képesti sebességét a futási id!kb!l kiszámíthatjuk. 3. Példa Az alábbi kísérletet a tényleges kivitelhez képest egyszer#sítve ismertetjük. Rögzítsünk egy lézert, egy tükröt és egy detektort a Nap körül vF = 28800 m/s átlagos sebességgel haladó mozgást végz! Földhöz. Bocsássunk ki fényt egy a Föld haladási irányába ill. arra mer!legesen elhelyezett tükörre és mérjük meg a fénykibocsátás és a visszavert fénysugár beérkezése közötti id!t! Tételezzük fel, hogy a fény (a hanghoz

hasonlóan) valamely közegben terjed! hullám! Analógia a 2. példával: hang + fény leveg! + feltételezett terjedési közeg ahol a feltételezett közeg feltételezett mozgását (relatív sebességét) most a Föld (a 2. példához viszonyított analógiával: járm#) mozgása (sebessége) határozná meg. A valóságban ezt a kísérletet Michelson ("88") ill. kés!bb módosított formában Michelson és Morley ("887) egy, a Földhöz rögzített interferométeren (ld. 763 pont) végezték. Az " ill 2 példához hasonló kísérletek alapján az interferométerben a Föld mozgásirányába és arra mer!legesen mozgó fénysugarakra jól mérhet! futási id! ill. fénysebesség változást vártak. A meglep! eredmény: a kísérlet számos variációja 72 negatív eredményt adott! A fény megmért futási ideje, ill. az ebb!l számolt fénysebesség függetlennek adódott a feltételezett terjedési közeghez viszonyított mozgástól.

Tudománytörténeti érdekesség, hogy a Michelson kísérletek és azok kortársi értelmezései tulajdonképpen a fény feltételezett terjedési közegének, az abszolút nyugalomban lev! éter (melyet egy abszolút vonatkoztatási rendszernek szántak) létének igazolására irányultak. Mivel ilyen közeg léte (hiszen a fény sebességét nem befolyásolta) nem nyert igazolást, Einstein az éter létezését (és vele egy abszolút vonatkoztatási rendszer létének fikcióját) elvetette; Einstein a XX. század tudósainak módszerét alkalmazta: amit elvileg nem lehet kimérni, az a fizika számára nincs. Éter tehát nincs, a fény vákuumban korpuszkuláris közeg nélkül, (az önfenntartó elektromágneses er!tér révén (ld. 732 pont)), terjed. A fent ismertetett kísérletek ill. számos modern variációjuk, pl az egymás körül kering! ún. kett!s csillagokból érkez! fény sebességének mérési eredményei alapján mondta ki Einstein a speciális

relativitáselmélet alapvet! axiómáját ("905): A fény vákuumbeli sebessége minden inerciarendszerben és a vonatkoztatási rendszerbeni terjedési iránytól függetlenül ugyanakkora, azaz invariáns. Teljesen világos, hogy ez ellentmond a Galilei–féle sebességösszeadási törvénynek és ennek következtében kimondhatjuk, hogy a fénysebességre nem érvényesek a Galilei–féle transzformációs képletek! Lorentz munkássága (H.A Lorentz, "904) nyomán ekkor már ismert volt az a tény, hogy a Maxwell-egyenletek (az elektromágnességtan alaptörvényei) koordinátatranszformációja nem a Galilei-transzformáció, hanem a Lorent-transzformáció. A fénysebesség az elektromágnességtan alapegyenleteiben megjelen! (ld. 732 pont) természeti állandó. Einstein felismerte, hogy a természet egységes és ugyanakkor a kísérleti tényeknek megfelel! leírásához új, a vákuumbeli fénysebesség invarianciáját is magában foglaló, relativitási elvet

kell megfogalmazni és az inerciarendszerek közötti koordináta-transzformációra a fizika minden diszciplinájában a Lorentz–transzformációt kell alkalmazni. 2.24 Az Einstein–féle relativitási elv Einstein az el!z! pontban ismertetett gondolatmenet alapján általánosítással új relativitási elvet fogalmazott meg, melyet ma egyszer#en relativitási elvnek (esetleg Einstein-féle relativitási elvnek nevezünk). Ennek egy lehetséges megfogalmazása: 73 A fizikai törvények alakja, a fizikai jelenségek lefolyása és a természeti állandók* értéke minden inerciarendszerben azonos. Egyetlen inerciarendszer sem különböztethet! meg (a rendszerb!l való kitekintés nélkül) más inerciarendszerekt!l. Fenti megfogalmazás tulajdonképpen két posztulátumot tartalmaz: (i) Minden fizikai törvény alakja minden inerciarendszerben azonos. (ii) A természeti állandók értéke nem változik, ha az egyik inerciarendszerbeli leírásról egy másik

inerciarendszerbeli leírásra térünk át. Ez az áttérés egy speciális koordinátatranszformációval, az ún. Lorentz-transzformációval történik (ld alább) Ez a transzformáció tehát a természeti állandók értékét nem változtatja meg, azok értéke invariáns. A speciális relativitáselmélet ezen két posztulátum következményein alapszik. F#zzünk némi kiegészítést a fent (ii)-ként jelzett posztulátumhoz, melyet sok könyv csak a fénysebesség invarianciájaként aposztrofál! A relativitás elvével kerülnénk ellentmondásba, ha az invariancia nem terjedne ki minden természeti állandóra. Ha ugyanis például a gravitációs állandó vagy az elektrontöltés értéke két inerciarendszerben különbözhetne, akkor a két inerciarendszert belülr!l, a gravitációs állandó, illetve az elektrontöltés megmérésével meg tudnánk különböztetni. Ez ellentmondana kísérleti tapasztalatainknak, tehát ezt nem engedhetjük meg Nyilván ugyanez a

helyzet a többi természeti állandóval is. Ezek számértéke tehát minden inerciarendszerben azonos. 2.241 Az egyidej!ség relativitása Képzeljük el a következ! gondolatkísérletet (Einstein, "9"6) (2."4 ábra) Egy hosszú vasúti töltés mellett a talajhoz rögzített K vonatkoztatási rendszerben áll egy M-mel jelölt megfigyel!. A sínen egy gyorsvonat robog el vo = konst sebességgel, benne pontosan a vonat közepén egy másik, M-vel jelölt megfigyel!. Az ! vonatkoztatási rendszerét, a robogó vonatot jelöljük K-vel. A vonat végein becsap két villám, mégpedig úgy, hogy a két becsapódás felvillanása az M megfigyel!t egyidej#leg és éppen akkor éri el, amikor ! az M megfigyel!vel egy vonalba kerül. Tehát a fényfelvillanások az M megfigyel!t is egyidej#leg érik el. Kérdezzük meg mindkét megfigyel!t arról, vajon a két villám egyidej"leg csapott-e le a vonat két végén? * A fizikai összefüggésekben megjelen! kimérhet!

konstansokat természeti állandóknak nevezzük. (Így a c vákuumbeli fénysebességen kívül természeti állandó pl. a - gravitációs állandó, a h Planck– állandó, az elektron töltése, a kB Boltzmann–állandó, ugyanakkor láthatóan (ld. 223 pont) nem természeti állandó a hang terjedési sebessége.) 74 2.#4 ábra: Az Einstein–féle vonatkísérlet Az M megfigyel! a következ!t mondja: A két villám felvillanását egyidej#leg észleltem. Mivel a fény terjedési sebessége iránytól függetlenül ugyanakkora (c) és a felvillanásokat a vonat középpontjában egyidej#leg észleltem, a két felvillanás fénye ugyanakkora utat tett meg, vagyis a két villám egyidej"leg csapott le. Az M megfigyel! viszont így érvel: A két villám felvillanását egyidej#leg észleltem. A fény terjedési sebessége iránytól függetlenül ugyanakkora (c) A felvillanásoknak el!bb kellett megtörténnie miel!tt a fényük elért volna engem, azaz akkor, amikor

a vonat (A) eleje még közelebb volt hozzám, mint a vonat (B) vége, ezért a vonat elejér!l érkez! fénynek kisebb utat kellett megtennie, mint a vonat végér!l érkez! fénynek. Vagyis (mivel a felvillanásokat egyidej#leg észleltem) a vonat végén a villámnak el!bb kellett becsapnia, mint a vonat elején. A két villámcsapás tehát nem volt egyidej". Objektíve vajon melyik megfigyel!nek van igaza? Képzeljük magunkat különkülön mindkét megfigyel! helyébe és kövessük a logikáját. Be kell látnunk, hogy ha következetesen elfogadjuk a relativitás elvét:* mindkett!nek igaza van: a K rendszerben a két villám egyidej"leg, a K rendszerben pedig nem egyidej"leg csapott be! Szeretnénk hangsúlyozni, hogy az események egyidej"ségének relativitása nem szubjektív, a megfigyel!t!l függ! valami, hanem objektív, a vonatkoztatási rendszerekt!l függ! valóság, amit a kísérletek ezrei támasztanak alá. Az "egyidej#ség" tehát

nem egy magától értet!d! fogalom, ha a két esemény nem ugyanazon a helyen történik. Az egyidej#ség definíciója: * Ha a fénysebesség nem lenne invariáns, akkor a vonat végér!l induló fény M–hez viszonyított sebessége nagyobb, a vonat elejér!l indulóé kisebb lenne és a két esemény (a becsapódás) mindkét rendszerben egyidej# lenne. 75 Egyazon K inerciarendszerben lév! két különböz! térbeli pontban lezajló esemény akkor egyidej", ha a két helyen lév! két, a K–ban összehangolt óra a két esemény bekövetkezésekor ugyanazt az id!pontot mutatja. Ha pl. egy K koordinátarendszerben két esemény egyidej# ("t =0) akkor K-ban nem egyidej# (ld. (237)) 2.242 A Lorentz–transzformáció Az Einstein-féle speciális relativitáselméletben a K és K inerciarendszerben, a mozgó tárgyak leírására szolgáló helyvektorokat ill. az id!ket nem a (226), ill (229) Galilei–féle transzformációs szabály, hanem egy sokkal bonyolultabb,

az ún. Lorentz– transzformáció köti össze. (A Lorentz transzformáció egyenleteinek levezetését az F.5 Függelékben ismertetjük) A Lorentz–transzformáció egyenletei egyszerüsített feltételek* mellett az x, t és x, t koordinátákra a következ!ek: x= x + vot 2 (2.34a) , (2.34b) vo "– 2 c t= vo x + t c2 2 vo "– 2 c ahol x és t a K rendszerben, x és t a K rendszerben mért hely- és id!koordináták, vo pedig a K vonatkoztatási rendszer K-hoz képesti x irányú sebessége. A (234) egyenletek legf!bb eltérése a Galilei-transzformáció (226) és (229) egyenleteit!l az, hogy a K-r!l K-ra való áttérés során az id!t is transzformálnunk kell, vagyis a K és K rendszerekbeli órák járása nem szinkronizálható össze (ld. még alább)! # A kifejezések szimmetrikusak, tehát (felhasználva, hogy a K-höz képest a K (–vo) sebességgel mozog) az is fennáll, hogy v – c2o x + t x–vot t = (2.35a,b) x = 2 2 vo vo "– 2 "–

2 c c * E szerint feltesszük, hogy a K és K derékszög# koordinátarendszerek tengelyei párhuzamosak és v0 x irányú. 76 Miután a Lorentz-transzformáció x és t-re (ill. x és t-re) lineáris, a (234) egyenleteket alkalmazhatjuk az x és t koordináták Dx = x –x ill Dt = t –t különbségeire 2 2 " " is: "x = "x + vo "t 2 "t = vo "– 2 c # vo "x + "t c2 2 (2.36a,b) vo "– 2 c Analóg módon (2.35)-b!l levezethet! "x ill "t értéke is # Ha vo << c, akkor a (2.34) képletek átmennek a Galilei–transzformáció képleteibe, hiszen ekkor 2 vo "– 2=" c ill. vo .(0 c2 # A Lorentz-transzformáció az egyidej"ség 2.24" pontban tárgyalt relativitását magában foglalja: Legyenek a K-ben "x távolságban történ! események egyidej#ek, azaz legyen "t=0. Akkor (236a,b)-b!l v0 "x c2 "x ill. "t = "x = 2 2 vo vo "– 2 "– 2 c c

azaz v0 (2.37) "t = c2 "x / 0 és így, ami K-ben egyidej#, nem lehet egyidej# K-ban! 2.243 Az Einstein–féle sebességösszeadási törvény # Vizsgáljuk azt az egyszer# esetet, amelyben K ill K derékszög# koordinátarendszer tengelyei párhuzamosak és K K-hoz képest vett relatív vo sebessége x irányú. Mozogjon K-ben egy tömegpont ugyancsak az x tengely mentén v sebességgel! A sebességek el!jele akkor pozitív, ha a sebesség iránya a +x irány. A Galilei-transzformáció szerint v = vo + v (2.38) 77 azaz a K-ban mérhet! v sebesség a K rendszer K-hoz viszonyított vo sebességének és a K-ben mérhet! v sebességek összege. A Lorentz–transzformáció alapján ett!l eltér! eredményt kapunk: egy K-ben v sebességgel (v = "x/"t) mozgó test K-beli v = "x/"t sebessége (2.36) alapján: "x + vo "t v + v "x "x + vo "t = = = o v= v vvo "t vo "x o "x + "t " + + " 2 2 c c2 c

"t (2.39)* Vagyis a K-ban mérhet! v sebesség nem a K-ben mérhet! v sebesség és a K rendszer K-hoz viszonyított vo sebességének összege, mint a Galilei-transzformáció esetében volt. Erre számíthattunk is, hiszen a (2.39) képletnek a fénysebesség vonatkoztatási rendszert!l való függetlenségét is vissza kell adni. Bármekkora vo 0 c ill v 0 c-t veszünk, v-re nem kaphatunk a c-nél nagyobb értéket: semmilyen test (ill. hatás) nem mozoghat gyorsabban a vákuumbeli c-nél. Valóban, ha v = c (azaz a fény sebességét K-ben c-nek mérjük), akkor (2.39)-b!l adódóan v sebességét v= vo + c vo + c = ·c=c v c c + vo " + o2 c szerint K-ban is c-nek mérjük. Ugyanerre az eredményre jutunk, ha vo is egyenl! cvel: v= c + c 2c c2 = 2 = c " + c2 illetve v= # c + v c + v = c=c cv c + v "+ 2 c Hasonló módon levezethet! a sebességösszeadási törvény v = "x -re is (ld. 4 ("t példát). # Természetesen felírható a

sebesség–transzformáció általános irányú sebességek esetén is. Ekkor a sebességösszeadási képletet a sebesség komponenseire kell felírni. A vo irányba es! komponensekre a Lorentz-féle sebesség-transzformáció, az arra mer!leges komponensekre a Galilei-féle sebesség-transzformáció érvényes. * Ha fennáll, hogy v << c és v << c, tehát kis sebességek esetére a (2.39) sebesség–transzformáció o átmegy a (2.30) Galilei–féle sebesség-transzformációba 78 4. Példa Két sugárhajtású repül!gép sebessége a talajhoz képest u = 600 ms–" és v = 300 ms–". Egy egyenes mentén a.) egy irányban b.) egymással szemben haladnak. Mekkorának méri az els! gép sebességét a második gép pilótája? Megoldás: Legyen a talajhoz rögzített K koordinátarendszerben az els! gép sebessége +x irányú u = 600 ms–". A második géphez rögzített K koordinátarendszer a nyugvó K rendszerhez képest szintén x

irányban mozog, a.) esetben vo = 300 ms–" ill. b) esetben vo = –300 ms–" sebességgel Ebben a K rendszerben kell meghatároznunk az els! gép u sebességét. A Lorentztranszformáció felhasználásával a sebességösszeadási törvény: u = u – vo uv " – c2o Az adatokat behelyettesítve: a.) u = 600 – 300 = 300,0000000006 ms–" ",8·"05 " – 9·"0"6 b.) u = 600 + 300 = 899,9999999982 ms–" ",8·"05 " + 9·"0"6 2.244 #Négyesvektorok Az intervallum Az intervallum invarianciája Sajátid" és sajáttávolság Tekintsünk egy fényfelvillanást! A fényfelvillanás történjen a K vonatkoztatási rendszerben az r pontban a t id!pillanatban. A K vonatkoztatási rendszerben ugyanaz az esemény az r pontban és a t id!pillanatban történik. Az r,t és r,t adatok között a Lorentz-transzformáció teremt kapcsolatot. A fényfelvillanást (ill bármely eseményt) tehát minden

vonatkoztatási rendszerben négy szám: a három térbeli koordináta és létrejöttének ideje jellemzi, és ezek mindegyikét transzformálnunk kell, ha egy másik vonatkoztatási rendszerre térünk át. Ezzel szemben a newtoni mechanikában csak a három térbeli koordinátát kell transzformálnunk, ha az id!mérés kezd!pillanata a vonatkoztatási rendszerekben ugyanaz, az id!koordináta minden vonatkoztatási rendszerben ugyanaz az érték. 79 Azt mondhatjuk tehát, hogy a relativitáselméletben egy esemény bekövetkezését négy koordináta: r és t jellemzi, azaz a vonatkoztatási rendszerhez rendelt koordinátarendszernek nem három, hanem négy független koordinátatengelye van: az x,y,z és t tengelyek; ez tehát egy négydimenziós koordinátarendszer. A háromdimenziós esetben az r vektorról koordinátarendszert!l függetlenül is beszélhetünk, bár konkrét számításokban általában valamilyen koordinátarendszert használunk. Ez azért van így, mert

nem relativisztikusan bármely térbeli vektor iránya és nagysága független a választott koordinátarendszert!l. Mivel ismerjük az r vektor transzformációs szabályát, bármely koordinátarendszerben felírt koordinátákból kiszámíthatjuk a bármely más koordinátarendszerben érvényes koordinátáit. Ez az (r,t) számnégyes esetén is így van: csak ekkor az érvényes transzformációs képletek a Lorentz-transzformáció képletei. Ezért az adott koordinátarendszerben az r és t koordinátákkal megadott mennyiségr!l is beszélhetünk koordinátarendszert!l függetlenül. A valamely esemény pontos leírásához szükséges, a Lorentz–transzformáció szerint transzformálódó 1 2 (r,t) = (x,y,z,t) mennyiséget négyesvektornak nevezzük. A newtoni-mechanikában használt "közönséges" háromdimenziós vektorok esetén az egyik koordinátarendszerr!l a másikra áttérve a vektornak általános esetben minden koordinátája megváltozik. Van azonban

egy olyan koordinátáiból kiszámítható jellemz!je, amely invariáns, tehát értéke minden koordinátarendszerben ugyanakkora, ez pedig a vektor hossza! Ennek négyzetére pl. fennáll, hogy r2 = r2 (2.40a) azaz (ha a vektor kezd!pontja az origóba esik) x2 + y2 + z2 = x2 + y2 + z2 (2.40b) Az alábbiakban belátjuk, hogy a négyesvektorhoz is hozzárendelhet! ilyen invariáns mennyiség. Ennek neve intervallum, és négyzete: s2 = x2 + y2 + z2 – c2t2 (2.4") Ha a háromdimenziós r vektor kezd!pontja nem az origó, hanem valamely r" pont, végpontja pedig az r2 pont, az r vektor ekkor két vektor különbsége r = r2 – r" , és ekkor az r2 = "x2 + "y2 + "z2 (2.42) adja meg a vektor hosszát. Hasonlóan a két négyesvektor különbségével megadott 1 = 1" – 12 négyesvektorhoz az intervallum négyzete (amit most ("s)2-el jelölünk): 80 ("s)2 = ("x)2 + ("y)2 + ("z)2 – c2("t)2 (2.43a) Az

intervallum négyzet invarianciájának bizonyítása egyszer# a Lorentz transzformáció felhasználásával. # Legyen K és K két párhuzamos tengelyekkel rendelkez! koordinátarendszert tartalmazó inerciarendszer! K mozogjon az x || x tengely mentén! Ekkor (ld. 2242 pontot) "y = "y és "z = "z # Írjuk fel a Lorentz–transzformáció képleteit a "x valamint "t koordináta különbségekre: "x = "x + vo "t 2 (ld. (236)) vo "– 2 c "t = vo "x + "t c2 2 (ld. (237)) vo "– 2 c # Fejezzük ki (2.43)-at ezekkel a mennyiségekkel és vegyük figyelembe, hogy "y = "y és "z = "z! "s2 = "x2 + "y2 + "z2 – c2"t2 = ("y2 + "z2) + ("x2 – c2"t2) = vo 2 5 2 "x+"t8 c "x+v "t o 7 8 – c2 4 = ("y2 + "z2) + 5 2 2 4 " – vo7 4 " – vo 7 2 c 6 c2 6 3 3 2 "s2 = ("y2 + "z2) + vo 828 5 2 – c2 5

("x+v "t) "x + "t 7 7= 4 4 2 o 66 3c2 vo 3 "– 2 c " 5v2o ; 8> 2vo 2 2 2 4 "x2 + : 2 = ("y2 + "z2) + "x "t + "t27= 2 "x +2vo"x"t + vo"t – c 4 2 c 3c 6< vo 9 "– 2 c " # Összevonások, "x2 ill. –c2"t2 kiemelése és egyszer#sítés után "s2 = ("y2 + "z2) + ("x2 – c2"t2) = "x2 + "y2 + "z2 – c2"t2 (2.43b) Látható, hogy valóban (2.43a)-val azonos alakú kifejezést kaptunk, vagyis a "s2 valóban invariáns, tehát ugyanazon két négyesvektor közötti intervallum minden koordinátarendszerben ill. koordinátarendszerb!l "nézve" ugyanakkora 8" # Mivel "r = ("x,"y,"z) és "t két tetsz!leges esemény koordinátáinak különbsége, ezek relatív nagyságáról általánosságban semmit sem mondhatunk: a "s2tel jelölt mennyiség lehet pozitív, nulla, vagy negatív

is. Ha "r2 > c2"t2, akkor térszer! intervallumról beszélünk. Ennek négyzete: "s2 = "r2 – c2"t2 > 0 (2.44) Ebben az esetben négyzetgyököt vonhatunk és "s az ún. sajáttávolság Ha "r2 = c2"t2, akkor az intervallum nulla (fényszer!), ha pedig "r2 < c2"t2, akkor az intervallum id!szer#. Az id"szer! intervallumot nem a "s2-el, hanem a c2("?)2 = –("s)2 = c2("t)2 – ("r)2 > 0 (2.45) kifejezéssel célszer# megadni. "? neve: sajátid" Ez az elnevezés onnan származik, hogy ha két esemény valamely koordinátarendszerben ugyanazon a helyen, de különböz! id!pontokban történik, akkor ebben a koordinátarendszerben "r = 0 és ekkor c2("?)2 = c2("t)2, vagyis "? = "t. A sajátid!t tehát egy koordinátarendszerben, egyetlen (ott nyugvó) órával mérjük. A (245)-b!l látható, hogy ez a sajátid! bármely más koordinátarendszerb!l is

kiszámítható, mivel a sajátid! négyzete, ("?)2, is invariáns. 2.245 Id"dilatáció Vajon egyformán jár-e két azonos szerkezet# óra K-ban és K-ben, ha K a K-hoz képest vo = konst. sebességgel mozog? E probléma megválaszolásához a két rendszer id!skáláját (az óraütések közötti id!tartamot) kell összehasonlítanunk. Hasonlítsuk össze a K-ban nyugvó óra ütésközeit a K-ben nyugvó azonos szerkezet# óra ütésközeivel. (Az órák szerkezete egyébként közömbös; azért választottunk mégis azonos szerkezet# órákat, hogy e kérdéssel ne kelljen foglalkozni.) Az id!dilatáció képletét pl. a Lorentz–transzformáció (234) egyenleteib!l lehet meghatározni. Ha egy K-ben nyugvó órát vizsgálunk, annak egymás utáni ütései Kben ugyanazon a helyen (azaz "x = 0) és "t nagyságú egymás utáni id!közökben történnek. A K vonatkoztatási rendszerben ezek az egymást közvetlenül követ! óraütések különböz! x(t) =

x(0) + "t·v helyeken és a "t-t!l különböz" "t id"közökben történnek. A (234) egyenleteket x, t, x és t helyett a "x, "t, "x és "t különbségekre felírva a "x + vo"t (ld. 236) "x = 2 vo "– 2 c "t = vo + c2 "x "t 2 vo "– 2 c (ld. 237) 82 egyenleteket nyerjük. A fentiek szerint "x = 0, tehát a (237) egyenletb!l: "t = "t 2 (2.46) vo "– 2 c Az (2.46) képletb!l is látható ("t > "t), hogy az óra járása abban a vonatkoztatási rendszerben a leggyorsabb (az id!tartam ott a legkisebb), amelyben az óra nyugalomban van. Esetünkben ez a K rendszer A nyugvó óra az adott vonatkoztatási rendszer "? sajátidejét méri, tehát a (2.46)-beli "t azonos "?-al Az id!dilatáció értéke független a vo irányától. A gondolatmenet a relativitási elvnek megfelel!en természetesen megfordítható: K-b!l nézve a K-beli órák

járnak lassabban! Az (2.46) képlettel leírt jelenséget, miszerint K-ból nézve a K-ben (K-b!l nézve a K-ban) nyugvó órák lassabban járnak, id"dilatációnak nevezik. A K-vel együtt mozgó, abban nyugvó B óra nem azért jár lassabban, mert a mozgás során "deformálódik" és így nem a pontos id!t méri, hanem azért, mert az óra saját vonatkoztatási rendszerének (esetünkben K) id!skálája különbözik a K vonatkoztatási rendszer id!skálájától. Érdekes látszólagos paradoxon, hogy átülve a K vonatkoztatási rendszerbe onnan nézve a K-beli "A" óra jár lassabban! A relativitási elvnek megfelel!en a helyzet tehát szimmetrikus: minden vonatkoztatási rendszerben az ott nyugvó megfigyel! a többi (hozzá képest állandó relatív sebességgel mozgó) vonatkoztatási rendszerbeli ott nyugvó órák járását lassabbnak találja, mint a saját vonatkoztatási rendszerében található (a saját rendszerben nyugvó) órákét. Ez

azt jelenti, hogy minden vonatkoztatási rendszernek saját id!skálája van, ami nem egyezik meg feltétlen más vonatkoztatási rendszerek id!skálájával. Nem létezik abszolút id!skála! Ha valaki azt a kérdést teszi fel, hogy az órák valóban lassabban járnak a K-ben mint K-ban, akkor azt kell válaszoljuk, hogy egy K-beli megfigyel! számára a K-beli órák valóban lassabban járnak. Hogy ez nem szubjektív, tehát a megfigyel!t!l függ!, hanem objektív (csak a vonatkoztatási rendszert!l függ!) dolog, azt az is mutatja, hogy bármely K" vonatkoztatási rendszerben nyugvó megfigyel! ki tudja számítani, hogy a hozzá képest konstans sebességgel mozgó K rendszerbeli órák két ütése között milyen id!közt mér a K-beli megfigyel!. A relativisztikus effektusok, így az id!dilatáció is csak nagy sebességek esetén válnak észlelhet!vé: ha vo << c, akkor "t . "t 83 5. Példa A Föld fels! légkörében a kozmikus sugárzás

következtében számos nagyenergiájú elemi részecske keletkezik, melyek közel fénysebességgel száguldanak a Föld felé és jelent!s számban el is érik azt. Mivel az ilyen elemi részecskék igen rövid (saját id!tartamban mért) élettartamúak (azaz köznapi nyelven: minden küls! hatás nélkül igen rövid id! alatt elbomlanak), nem relativisztikus számítások szerint annak ellenére sem érhetnék el a Föld felszínét, hogy közel fénysebességgel haladnak. Gondoljuk át azonban a jelenséget relativisztikusan a Föld vonatkoztatási rendszeréb!l nézve; e vonatkoztatási rendszerb!l nézve ezen mikrorészecskék bels! órája lassabban jár, mint a saját (vele együttmozgó) koordinátarendszerükben és így a Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszerben az együttmozgó rendszerbeli élettartamuknál hosszabb ideig élnek és ezért lejuthatnak a Föld felszínére. A példát számszer#en a 6. példánál a 2247 pontban dolgozzuk ki Összefoglalva: Egy

adott óra járását abban a koordinátarendszerben mérjük leggyorsabbnak (ütésközeit legrövidebbnek), ahol az óra nyugszik. 2.246 Az ikerparadoxon A relativitáselmélet megértését sok, a hétköznapi gondolkodás (az ún. "józan ész") számára érthetetlennek t#n! látszólagos paradoxon nehezíti. Ezek közül az egyik legismertebb az ún ikerparadoxon Képzeljük el, hogy János és Péter két iker. János egy gyors, a Földhöz viszonyítva állandó sebesség# #rhajóval elutazik egy t!lünk 4 fényévnyire lév! csillaghoz, majd hazatér. Eközben testvére Péter a Földön marad # Írjuk le az eseményeket Péter koordinátarendszeréb!l. Ha az #rhajó sebessége vo = 0,98 c akkor a Földt!l az illet! csillagig az #rhajó a Föld koordinátarendszerében mérve 4 = 4,08 év alatt jut el. Az #rhajó órái (tehát János "biológiai órája" is) ennél "t = 0,98 kisebb id!tartamot mutatnak; az id!dilatáció (2.46) képletéb!l az

#rhajó óráján eltelt id!tartamra a 2 "? (János) = "t · vo " – 2 = 0,8" év c 84 adódik,* ahol "t a Földön mért (4,08 év) id!tartam. János az illet! csillag kutatásával egy évig foglalkozik, majd ugyancsak vo=0,98 c sebességgel visszatér a Földre. A visszaúton is 0,8" évet öregszik, tehát összesen 0,8" + " + 0,8" = 2,62 évet öregszik.* Ezalatt Földön maradt testvére 4,38 + " + 4,08 = 9,"6 évvel lesz öregebb! # Ha most ugyanezt János szemszögéb!l (pontosabban: koordinátarendszeréb!l) írjuk le, akihez képest Péter mozog vo=0,98 c nagyságú sebességgel az utazások ideje alatt, akkor (hibásan) a következ!képpen okoskodhatnánk: A Jánossal együttmozgó rendszerben az odaúton 0,8" év telt el. Az id!dilatáció miatt a Földön János rendszeréb!l nézve csak 2 "? (Péter) = 0,8" vo " – 2 = 0,"6 év c telik el. Ugyanennyi id! telik el János

rendszeréb!l nézve a Földön a visszaút alatt. Ezért János azt várja, hogy Péter csak 0,"6 + " + 0,"6 = ",32 évvel lesz öregebb.Tehát Péter szerint János visszaérkezése után János lesz fiatalabb 9,"6–",32=7,83 évvel, míg János szerint Péter lesz a fiatalabb 2,62–",32=",30 évvel! Mindkett! nem lehet igaz! # Ha a kísérletet a valóságban elvégeznénk* azt találnánk, hogy Péter számolása a helyes és okoskodásunk téves; az utazás után János és Péter nem egykorúak, hanem János fiatalabb, mint Péter. * Az id!dilatáció képletéb!l most az #rhajóval együttmozgó vonatkoztatási rendszerbeli id!t kellett kifejeznünk, mivel az álló rendszerbeli id!t ismerjük. * A Föld és a csillagbeli id! ugyanakkora, mivel jó közelítéssel a Föld és az illet! csillag relatív sebessége vo=0! * Hasonló kísérletet két rendkívül pontos, összehangolt atomóra segítségével valóban elvégeztek. Az egyik

órát egy repül!gépen néhány óra hosszat utaztatták. Visszaérkezés után a mozgatott óra valóban késett az álló órához képest. Az id!eltérés azonban ilyen sebességek esetén olyan kicsi, hogy ezt csak atomórákkal lehetett kimutatni. 85 Mi ennek az aszimetriának az oka és hol tévedtünk? Az id!dilatáció képlete adja meg két inerciarendszer id!skálájának az eltérését. De János nem tartózkodik mindvégig inerciarendszerben! Mikor elindul, átlép egy távolodó inerciarendszerbe, majd a csillaghoz érkezésekor egy Földhöz képest álló másik inerciarendszerbe, visszatérésekor egy Föld felé haladó harmadik inerciarendszerbe, majd végül a Föld rendszerébe. Mindezen "átszállások" során elfelejti átállítani az óráját az illet! inerciarendszerek "id!szabványának" megfelel! id!pontra, így számításai során elveszít (nem vesz figyelembe) 7,83–",30=6,53 évet. Péter ezalatt ugyanazon

inerciarendszerben maradt. Tehát a két testvér helyzete nem szimmetrikus, nem paradoxon tehát, hogy nem egyid!sek találkozásuk után. 2.247 A mozgásirányba es! méretek hosszkontrakciója (rövidülése) ! Fektessünk hosszában egymás mellé két egyenl! hosszúságú rudat. Mérjük meg hosszukat egy olyan koordinátarendszerben, amelyben (ahonnan nézve) a rudak nyugszanak. A melléjük helyezett méterskálán mindkét rúd hossza -nek adódik A relativitási elv szerint bármely a ruddal együttmozgó koordinátarendszerben (ahol a rúd áll) bármelyik rudat hosszúságúnak mérjük. Helyezzük most el az így megmért rudak közül az egyiket a K és a másikat egy K (a K-hoz képest vo állandó sebességgel mozgó) koordinátarendszerben úgy, hogy mindegyik rúd a saját koordinátarendszerében nyugodjon! A két koordinátarendszer x tengelye essen egybe és a K vo relatív sebessége legyen +x irányú! ! Mérjük most meg K-ból a K-hoz képest +x irányú vo

állandó sebességgel mozgó K-ben az x tengely mentén nyugvó rúd hosszát! A mérést K-ban végezzük, tehát a K-beli rúd hosszát a K-ban nyugvó, az x tengely mentén elhelyezett méterskálához viszonyítva határozzuk meg. A mérés során olvassuk le a K-ban egyidej"leg a K-beli rúd kezdetének és végének helyzetét a K-beli méterskálához képest abban a pillanatban, amikor a rúd kezdete éppen a K-beli méterskála kezd!pontján van. Azt találjuk, hogy a K-beli rúd vége K-ból nézve "x < -nél található, ahol 2 #$"x = vo #– 2 c %&47) Az értéket mértük K-ban a K-ban nyugvó rúdon. Tehát a mozgó rúd K-ból mért hossza rövidebb, mint ugyanazon rúdé, ha nyugalomban van. Ezt a jelenséget Lorentz– kontrakciónak (rövidülésnek) nevezzük. Értelmetlen feltenni a kérdést, hogy a rúd "valóban" összehúzódott-e? Itt ugyanis nem a rúd "tömörödésér!l" van szó, hanem arról, hogy a K-ban

és K-ben a hosszskála (miként az id!skála is) eltér!. Természetesen megfordítva, a K-ban nyugvó, ott hosszúságú rud hosszát K-b!l mérve (ahonnan nézve most a K-beli rúd mozog) ugyancsak -nek mérjük. A mozgó 86 rúd rövidülése bármelyik olyan koordinátarendszerb!l nézve, amelyhez képest ugyanakkora nagyságú vo állandó sebességgel mozog azonos, és a rövidülés értéke – $. ! Vezessük le a hosszkontrakció fent el!rebocsátott (2.47) képletét! Nyugodjon egy (K-ben mérve) l hosszúságú rúd a K vonatkoztatási rendszer x tengelye mentén. Mozogjon a K rendszer a K rendszerhez képest x irányban vo sebességgel A K-beli mérés során a rúd hossza legyen "x. A mérés pillanatában a rúd két vége egyidej#leg van a 0 illetve "x pontokban ("t=0). Ezt a "x-et a K-beli adatokkal a Lorentz-transzformáció kapcsolja össze: + vo"t "x = (2.48) 2 vo #– 2 c mivel "x = l a rúd hossza K-ben. Mivel a fentiek

szerint "t=0 a Lorentztranszformáció második vo + "t c2 "t = 0 = (2.49) 2 vo #– 2 c egyenletéb!l "t-t kifejezve és behelyettesítve "x = 2 * v)# – 2o, ( c + 2 2 vo #– 2 c = vo #– 2 c (2.50) A hosszkontrakció K és K-re szimmetrikus, tehát egy K-ban nyugvó hosszúságú rudat K–b!l mérve a (2.50) egyenlet a következ!képpen alakul 2 "x = vo #– 2= c (2.5") tehát a rövidülés ( < ) így mérve is azonos nagyságú. ! Összefoglalva: Ha egy adott rúd hosszát egy vele együttmozgó K koordinátarendszerben (amelyben a rúd nyugszik) hosszúságúnak mérjük, akkor ugyanazon rudat bármely, K-hoz képest v0 állandó sebességgel mozgó K interciarendszerben nek, -nél rövidebbnek mérjük. 87 6. Példa Maradjunk az el!z!, 5 példa eseténél Legyen a vizsgált mikrorészecske egy .-mezon, másnéven müon A müonhoz rögzített (a müonnal együttmozgó) koordinátarendszerb!l nézve (mérve) a müon

keletkezési helyét!l a Föld felszínéig mért (a müon közel állandó sebességének irányába mért) távolság a hosszkontrakció miatt lerövidül és így müon (a saját vonatkoztatási rendszerében mért kis élettartama – sajátid! – alatt) mégis elérheti a Föld felszínét. Ellen!rizzük ezt számítással! A müon (mü–mezon) átlagos nyugalmi élettartama "/ = 2,6·#0–6 s és közel fénysebességgel (v = 0,99944·c ms–#) mozog.* Keletkezzen a müon pl. 23000 m magasságban. Elérhetik-e a müonok a Föld felszínét? ! Próbaképpen számítsuk ki a Földre kerülés esélyét nem relativisztikusan. A közel fénysebességgel mozgó müonok élettartamuk alatt átlagosan s = 0,99944 · "/ = 778,8 m utat tesznek meg. Nem relativisztikus számítással tehát azt találtuk, hogy a müon nem érheti el a Földet. ! Vizsgáljuk meg a problémát relativisztikusan! ! A Föld koordinátarendszeréb!l nézve a megteend! távolság 23.000 m

Ugyaninnen nézve a müon élettartama most nem azonos a sajátid!ben mért élettartammal, hiszen a müon a Földr!l nézve vo = 0,99944·c [ms–#] sebességgel mozog és így a Földhöz rögzített rendszerben mérhet! élettartama az id!dilatáció miatt "t = "t 2 vo = #– 2 c "/ 2 vo = 7,8 · #0–5 sec #– 2 c Ez alatt az id! alatt a müon s = 0,99944 c "/ 2 = 23.064 m vo #– 2 c utat tenne meg. Láthatóan a müon mégis elérheti a Föld felszínét! * A mikrorészecskék esetében közvetlenül általában a részecskék összenergiáját mérik pl. nagyenergiájú ütközésekkel. Az energiából a sebesség (ld 26 pont (22#9) képlet) kiszámítható 88 ! A müon koordinátarendszeréb!l nézve a müon élettartama azonos a sajátid!–élettartammal, tehát "/ = 2,6·#0–6 s. Ugyaninnen nézve viszont a Földig terjed! távolság a hosszkontrakció miatt nem 23.000 m, hanem csak 2 = v0 # – c2 = 769,6 m Ezt a távolságot a

müon t = 0,99944 · c = 2,59·#0–6 s id! alatt teszi meg. Láthatóan a müon e koordinátarendszerb!l nézve is elérheti a Föld felszínét! Láthatóan a hosszkontrakció és az id!dilatáció szimmetrikusak. A müonnal együttmozgó koordinátarendszerb!l hosszkontrakcióval, a földi koordinátarendszerb!l id!dilatációval kell számolnunk. Az eredmény azonos sebességeknél ugyanaz: a müon a megadott távolságból eléri a Földet. 7. Példa Vizsgáljunk egy rudat és egy dobozt, melyek x irányú mérete a testekkel együttmozgó koordinátarendszerben legyen rúd = #0 m, doboz = = # m. Mozogjon a rúd a dobozhoz képest vo = 0,995 c sebességgel! Vizsgáljuk most e tárgyak x menti hosszát egy olyan K koordinátarendszerb!l, ahonnan nézve a rúd mozog és a doboz áll (2.#5a ábra)! Ekkor a mozgó rúd hosszát a rövidülés miatt # m-nek (0,999 m), az itt nyugvó doboz hosszát # m-nek mérjük. A rúd ebben a K koordinátarendszerben belefér a dobozba, azaz van

olyan id!pont, amikor a rúd mindkét vége egyidej#leg a dobozon belül van. Vizsgáljuk most ugyanezt a mozgó rúd K koordinátarendszeréb!l (2.#5b ábra). Ekkor a rúd hossza #0 m és a (–vo) sebességgel mozgó doboz pusztán 0,# m. A rúd, áthatol a dobozon, nem fér bele, tehát nincs olyan id!pont, amikor a rúd mindkét vége egyidej#leg a dobozon belül van. 89 2."5 ábra Látszólagos paradoxon a hosszkontrakció során; a.) a rúd mozog és a doboz áll; b) a rúd áll és a doboz vele szemben állandó sebességgel mozog. Az egyidej#ségeket azonos jelekkel bejelöltük Ezen látszólagos ellentmondás magyarázata abban rejlik, hogy az a két K– ban egyidej# esemény: a) a rúd baloldali vége a doboz baloldali lapjával egybeesik és b) hogy a jobboldalakkal ugyanez történik, – a K-b!l nézve már nem egyidej"ek; ott ugyanis amikor a b) esemény bekövetkezik, akkor a rúd baloldali vége még nem érte el a doboz baloldali végét ill. amikor

az a) esemény következik be a rúd jobboldali vége már áthaladt a doboz jobboldali szélén. 2.3 DINAMIKA A dinamika, a mozgásállapot megváltozásának okát és törvényszer"ségeit vizsgálja. A dinamika (a newtoni megalapozás óta*) a mozgásállapot megváltozásának okát a test és környezete (pl. egy vagy több másik test, er!tér) kölcsönhatásának, ún. er!hatásnak tulajdonítja Könyvünkben el!ször a tömegpontok kölcsönhatásával, majd különböz! er!törvényekkel, végül a tömegpontrendszerek (ill. merev) testek dinamikájával foglalkozunk A relativisztikus dinamikával az egyes pontokhoz f"zött kiegészítések, a relativisztikus energia fogalommal a fejezet végén külön pontok foglalkoznak. * Bár ez a felfogás ma magától értet!d!nek t"nik, Newton el!tt, dönt!en az arisztotelészi természetfilozófiában magát a mozgás fenntartását (nem a mozgásállapot megváltozását) tulajdonították az er!nek. (Lásd

Simonyi: A fizika kultúrtörténete, id m") 90 Tárgyalásunkat általában (kivéve a 2.33 pontot) inerciarendszerekre korlátozzuk A tömegpont dinamikájával gyorsuló vonatkoztatási rendszerekben külön (a 2.33 pont) foglalkozik. 2.31 A tömegpont dinamikája A Newton–axiómák 2.3"" A (nem relativisztikus) impulzus és az impulzusmegmaradás törvénye ! A tömegpont impulzusának (másnéven lendület, mozgásmennyiség)* azt a p vektort nevezzük, amely a tömegpont tömegének és sebességének szorzata: p = mv (2.52) Ha a rendszer N tömegpontból áll, akkor az impulzusvektor a rendszert alkotó valamennyi tömegpont impulzusának vektori összege (ld. 237 pontot) N N i=# i=# p = 0 pi = 0 mivi (2.53)* Az impulzus vektormennyiség. SI egysége: kg·m/s ! Az impulzusmegmaradás törvénye a zárt fizikai rendszerekre érvényes fizikai alaptörvény: Zárt (a környezetével való kölcsönhatásoktól mentes) rendszer (össz-) impulzusa

az id!ben nem változik. A rendszert alkotó testek impulzusainak vektoriális ered!je megmarad Az impulzusmegmaradás törvénye az impulzusvektor komponenseire is érvényes. Az impulzusmegmaradás egyetlen tömegpont esetén azonos az els! Newton– axiómával, két és több tömegpont (tömegpontrendszer) esetén pedig a Newton törvényekb!l levezethet!. * Az impulzus magyar szabvány szerinti megnevezése: mozgásmennyiség. A magyar nyelv" fizikai szakirodalomban azonban meghonosodott az "impulzus" elnevezés. Mi a továbbiakban az impulzus elnevezést használjuk. * Mint a 2.37 pontban látni fogjuk 1 p kifejezhet! a tömegközéppont sebességével is (ld (2#36)) i 1 pi = mvc alakban is, ahol m = 0 mi és vc a tömegközéppont sebessége. i (2.53a) 9# Az impulzus megmaradási törvénye akkor is alkalmazható, ha nem tudjuk kvantitatívan meghatározni a kölcsönhatás lefolyását, ha valamely fizikai tudományágban (pl. a termodinamikában vagy a

kvantummechanikában) nem rendelkezünk newtoni típusú mozgásegyenlettel, illetve, ha a (mint pl. az ún többtestprobléma* esetén) a newtoni mozgásegyenletek szimultán rendszerét nem tudjuk egzakt módon megoldani. Az impulzusmegmaradás törvényét Huygens a testek rugalmas ütközéseinek tanulmányozásából vezette le, de a törvény sokkal általánosabb érvény": rugalmatlan ütközésekre, s!t (a relativisztikus impulzus megfelel! értelmezésével, ld. 23#2 pontot) a relativisztikus sebesség" ütközésekre is érvényes. Az impulzusmegmaradás törvénye nem korlátozódik a tömegpontok mechanikai kontakt kölcsönhatásaira (ütközéseire); az impulzus értelmezhet! pl. elektromágneses térre, elektromágneses hullámokra, mikrorészecskékre, s!t olyan mikrorészecskékre is (ld. 8 fejezet), amelyeknek nincs (nyugalmi) tömege, pl a fénykvantumokra (a fotonokra) is és így kimondható, hogy: Az összimpulzus a testek tetsz!leges

kölcsönhatására is megmaradó mennyiség. Mi az impulzusmegmaradás tételét ezért nem a Newton–egyenletekb!l vezetjük le, hanem axiómaként a dinamika alaptörvényének tekintjük és a Newton–egyenleteket is ebb!l származtatjuk. Ennek során követjük Huygens és Newton gondolatmenetét: Huygens az impulzusmegmaradás tételét a rugalmas ütközések tanulmányozása során szerzett kísérleti tapasztalataiból vezette le, Newton pedig az er! fogalmát eredetileg nem a Newton II. törvény F = ma alakjában definiálta, hanem a F= d(mv) dp = dt dt egyenlettel (ld. 23#3 pontot) ! Az impulzusmegmaradás tételének tömegpontrendszerre érvényes kvantitatív kifejezése. Zárt, küls! kölcsönhatásoktól mentes* tömegpontrendszerre 0 mivi = konst., i=#,2,, N (2.54) i azaz d(0 mi vi ) =0 dt (2.55) * Az ún. többtestprobléma speciális esete pl az N számú, csak egymás gravitációs hatása alatt álló tömegpont mozgásának problémája. E probléma

zárt alakban csak N=2 esetre oldható meg A híres háromtestproblémánál, amelynél (mivel 3·3 koordináta és 3·3 sebességkomponens miatt szükséges #8 integrál közül csak #0-et tudunk meghatározni) már közelít! módszereket kell alkalmazni. * Az ütközések során fellép! er!k ilyen rendszernél ún. bels! er!k (ld 237 pontot), melyek a tömegpont rendszer impulzustételében és az impulzusmegmaradás tételben kiesnek. 92 Két különböz! tömeg" test (pl. tömegpont) ütközésének folyamatára az impulzusmegmaradás tétele m#v# + m2v2 = m#~ v# + m2~ v2 (2.56) ahol a hullámvonallal az ütközés utáni állapotot jelöljük. Láthatjuk, hogy az ütközések esetén nem a "sebességek maradnak meg", hanem az impulzusok; ez nemcsak az ütközésekre, hanem minden kölcsönhatásra is fennáll. Csak ha a tömegek egyenl!ek, akkor áll fenn, hogy ~ ~ (2.57) v# + v2 = v# + v2 Az impulzusmegmaradás tétele minden rugalmas és nem rugalmas

ütközésre és általában minden kölcsönhatás esetére érvényes. Az impulzusmegmaradás törvényének az impulzusvektor komponenseire is fenn kell állnia. Abban az esetben, ha egy rendszerre ható er!k ered!je nem nulla, de az er!vektornak van olyan komponense, amelynek értéke nulla, akkor az impulzus nem marad meg, de az impulzusvektor megfelel! komponense igen. Fentebb már jeleztük, hogy az impulzusmegmaradási tétel nagy el!nye, hogy felírásához nem kell ismerni a kölcsönhatás típusát, a kölcsönhatás idejét és a kölcsönhatás mechanizmusát. A kölcsönhatás során fellép! impulzusváltozás önmagában tehát nem jellemz! a kölcsönhatás lefolyására, ezért a kölcsönhatás jellemzésére más fizikai mennyiségeket is be kell vezetnünk. dp 2 0 és a 2.3#3 dt dp pontban látni fogjuk, hogy a kölcsönhatás mértékéül éppen a dt impulzusváltozási sebességet célszer" választani. A kölcsönhatás során (tehát amikor a rendszer

nem zárt) 2.3"2 A relativisztikus impulzus és megmaradása* A relativitáselméletben a kísérletek szerint éppúgy érvényes az impulzusmegmaradás, mint a nem relativisztikus mechanikában. Ha azonban az impulzust a p = mv képlettel definiálnánk akkor az impulzusmegmaradás teljesülése függene a választott koordinátarendszert!l! Ez egyszer"en belátható, ha pl. olyan ütközést vizsgálunk, amely során két test a K vonatkoztatási rendszerben az x-tengely mentén mozog egymással szemben 0 nagyságú összimpulzussal: pR = m#v# – m2v2 = 0 * Elméleti megfontolásból is ezt várnánk: mivel az impulzus megmaradása a nem relativisztikus mechanikában alaptörvény, a korreszpondencia elv értelmében ennek a relativisztikus mechanikában is fent kell állnia. A relativisztikus impulzussal részletesebben foglalkozunk a 275pontban 93 Térjünk át egy olyan, a K-hoz képest vo sebességgel mozgó K vonatkoztatási rendszerre, amelynek x-tengelye

egybeesik K x-tengelyével! Ha a klasszikus fizikai impulzus kifejezése helyes lenne, akkor e vonatkoztatási rendszer váltás után K-ben a két test ered! impulzusának egyenl!nek kellene lennie pR = (m# – m2)vo -lal (Galilei transzformáció). Ezzel szemben a két test K-beli sebességét a (239) "sebességösszeadási törvény" alapján kiszámítva az ered! impulzus ett!l különbözik: vo + v# vo – v2 pR = m# + m2 v#vo v2vo #+ 2 #+ 2 c c Miután az impulzusmegmaradás törvénye a relativisztikus esetben is fenn kell álljon, az impulzus definícióját módosítanunk kell. A 27 pontban adott levezetés alapján belátható, hogy egy tetsz!leges K vonatkoztatási rendszerben a relativisztikus impulzus definíciója: p (relativisztikus) = mv v2 #– 2 c (2.58) (2.58) egyenlettel definiált impulzussal az impulzusmegmaradás törvénye relativisztikusan is teljesül. A képletben az adott test v sebessége szerepel abban a koordináta rendszerben, ahol a test

mozgását vizsgáljuk. Vegyük észre, hogy a (2.58) definíció a (246) transzformáció alapján átírható p (relativisztikus) = m dr d/ (2.59)* alakba, ahol / a testtel együttmozgó vonatkoztatási rendszer ideje, azaz saját–ideje, míg t az id! abban a koordinátarendszerben, ahol (ahonnan nézve) a test mozgását vizsgáljuk. * A könnyebb memorizálás érdekében vegyük észre, hogy nem relativisztikus esetben p = m dr . dt Relativisztikusan dr dr = · d/ dt # v2 #– 2 c (2.59a) 94 A régebbi tankönyvekben (egyes szerz!knél napjainkban is) a (2.58) egyenletet úgy interpretálták, hogy a sebesség növelésével a mozgó test tömege megn!. E szerint a felfogás szerint az impulzus klasszikus p = mv képlete relativisztikusan is érvényes, csak m helyett az mRel = m #– u2 (2.60) c2 kifejezést kell használni, ahol mRel az ún. "relativisztikus tömeg" Ennek a szemléletmódnak köszönhet!, hogy a (2.58) egyenletben megjelen! m tömeget

sokan ma is nyugalmi tömegnek nevezik (régebbi jelölése: mo). A (2.60) összefüggést azért szokták használni, mert vele egyes esetekben a klasszikus fizikai képletekhez hasonló összefüggéseket (pl. p = mRelv) lehet felírni, illetve id!nként egyszer"bb alakú kifejezésekre (pl. E = mRel ·c2, ld 262 pontot) vezet Ez azonban csak látszólagos egyszer"sítés, mivel más relativisztikus egyenletek nem írhatóak fel a klasszikus egyenletekhez hasonló alakban. Például relativisztikusan az F er! nem egyenl! mRel·a-val és a relativisztikus kinetikus energia sem # m v2. További félreértésekre vezethet az az állítás, hogy a "tömeg n! a sebességgel", hiszen egy 2 Rel együttmozgó vonatkoztatási rendszerben ilyen "tömegnövekedés" nem tapasztalható. (Jelen könyv szerz!i is találkoztak pl. olyan téves "elméletekkel", amelyekben a "tömegnövekedést" a testre részecskék formájában "ráragadó"

energia okozza.) A (258) nevez!jében megjelen! négyzetgyök a sebesség meghatározásában jelenik meg, vagyis a tér- és id!koordináták transzformációjának következménye, nem pedig a tömeg transzformációja! Az ún. elemi részecskék (pl elektron, proton, foton stb) egyik legfontosabb jellemz!je nyugalmi tömegük, ezért sem célszer" úgy tekinteni (2.58)-at mint a tömeg transzformációját Mi ebben a könyvben a relativitáselmélettel mélyebben foglalkozó irodalommal egyez!en tömegen mindig a (2.58)-ban megjelen! m-et értjük 2.3"3 Az er!, mint a mechanikai kölcsönhatás mértéke Newton II axiómája A kölcsönhatások, ezen belül a mechanikai kölcsönhatás fogalmával már az #.#2 pontban megismerkedtünk: egy rendszer és környezete között fellép! mechanikai kölcsönhatás megváltoztatja a rendszer (pl. tömegpont, test stb) er!térbeli helyzetét és (vagy) mozgásállapotát, impulzusát. Vegyük észre, hogy e fogalmi definíció

mögött a Huygens és Newton által felismert inerciatörvény áll, amely szerint a mozgás állapot és nem folyamat, nem fenntartásához, hanem megváltoztatásához van szükség kölcsönhatásra. Kölcsönhatás el!tt ill. után a mechanikai rendszer adott mozgásállapotban van, ami egyértelm"en jellemezhet! pl. a rendszer impulzusával Ha pl egyrészr!l két acélgolyó (#-es rendszer), másrészr!l két gumilabda (2-es rendszer) ütközés el!tti impulzusai egy vonatkoztatási rendszerben azonosak, akkor az egyes testek ütközés hatására történ! impulzusváltozásai (azok nagysága) szintén azonosak lesznek. A kölcsönhatás a mozgásállapot megváltozásának okozója; a kölcsönhatást leíró fizikai mennyiség tehát a mozgásállapot megváltozási folyamatát, sebességét kell, hogy jellemezze, mégpedig úgy, hogy a kölcsönhatást jellemz! fizikai mennyiség a test ill. környezete anyagi tulajdonságainak egyértelm" függvénye kell, hogy

legyen. 95 Annak, hogy ütközéskor az ütköz! test mozgásállapota, impulzusa megváltozik (ill. hogy pl. rugalmas ütközéskor a vele ütköz! – vele kölcsönható – másik test ugyanakkora nagyságú impulzusváltozást szenved), oka van és ez az ok a testek kölcsönhatása. Két azonos tömeg", állandó sebességgel egymással szemben haladó rugalmas tömegpont ütközésekor pl. mindkét test deformálódik, relatív sebességük zérus lesz, majd a deformáció megsz"nésével a két test impulzust cserél és egyenletes sebességgel eltávolodik egymástól. Nagysebesség" fényképezéssel pl egy teniszlabda esetében láthatóvá is tehet! ez a folyamat, mely id!ben játszódik le; a kölcsönhatási folyamat az impulzusváltozás sebességével jellemezhet!. Ha a rendszer kölcsönhatás el!tti és utáni állapotát a rendszer impulzusával jellemezzük, akkor a kölcsönhatást az impulzusváltozás sebességével, az impulzus id!egységre

es! megváltozásával célszer# jellemezni, melyet er!nek nevezzük. Bár fent a kölcsönhatás speciális esetéb!l (az ütközésekb!l) indulunk ki, az er! ezen definíciója szempontjából közömbös, hogy a kölcsönhatás "közvetlen", vagy pl. er!terek által közvetített. A kölcsönhatást tehát nem az ennek hatására fellép! impulzusváltozás, hanem az impulzusváltozás sebessége dp (2.6#) p· # dt jellemzi. Ez a választás összhangban van természetes er!–érzetünkkel is: a kölcsönhatást akkor tekintjük er!sebbnek, ha az azonos id! alatt létrehozott impulzusváltozás nagyobb. A (26#) kifejezés az impulzus id! szerinti differenciálhányadosa; mivel a kölcsönhatás id!tartama mindig nullától eltér!, véges érték, ez a differenciálhányados mindig értelmezett. Tekintsünk egy két alrendszerb!l álló mechanikailag zárt rendszert. A rendszert alkotó R# és R2 alrendszerek egymással kölcsönhatva megváltoztatják impulzusukat, de a

zárt rendszer összimpulzusa az impulzusmegmaradás törvénye értelmében nem változik, tehát: p# + p2 = p = áll. (2.62) A (2.62) összefüggést az id! szerint differenciálva: p· + p· = 0 (2.63) 2 # Mivel a vizsgált rendszer zárt, ezért bármelyik alrendszere a másik alrendszer környezete. Vizsgáljuk az R# alrendszer viselkedését és tekintsük az R2 alrendszert az R# alrendszer k környezetének. Az R# rendszer impulzusváltozását a "2"-es rendszer hatásának tulajdoníthatjuk; (2.63)-t átrendezve: p· = – p· ( # – p· ) (2.64) # 2 k (2.64) baloldalán az R# rendszer impulzusváltozási sebessége áll, jobboldala pedig a környezet hatása mértékének tekinthet!. 96 . A (–pk) kifejezést a környezet (speciális esetben egy "2"-es test) által az """-es rendszerre (testre) kifejtett er!nek nevezzük és F"k-val jelöljük* . F"k # –pk (2.65a) és a környezet (speciális esetben egy

"2"-es test) és az """-es rendszer kölcsönhatását jellemz! fizikai mennyiségnek tekintjük. Ezzel a jelöléssel a (2.64) egyenlet . p# = F#k (2.65b) alakba írható, a kölcsönhatást tehát az """-essel jelölt test paramétereivel: az impulzusváltozás sebességével ill. a testre ható er!vel sikerült leírnunk A (265b) egyenletben az indexeket elhagyva dp 2.66) F= dt A (2.65) egyenlet Newton II axiómájának matematikai megfogalmazása Szavakban: Valamely rendszer impulzusa csak a rá ható küls! er! hatására változik meg. A rendszer létrejöv! impulzusváltozásának sebessége egyenl! a rendszerre ható er!vel. Tömegpontra ez a tömegpont impulzustétele és a Newton II. axióma általános alakja. Az impulzus (2.52) alatti definícióját (266)-ba helyettesítve és feltételezve, hogy a rendszer tömege id!ben állandó:* d *dv(mv) = m) dt , = F dt ( + (2.67) tehát megkapjuk Newton II. axiómájának

középiskolában megismert alakját: ma = F (2.68) Ez az er! definíciójának egy másik megfogalmazása. Szavakban: * E jelölésmód egy lehetséges megállapodás, amelyhez a könyvben következetesen ragaszkodunk: az er! els! indexe jelöli azt a rendszert, amelyre a második indexszel jelölt rendszer er!hatást fejt ki. Például az F2# er! az #-es rendszer által a 2-esre kifejtett er!t jelöli. * A gyorsuló rakéták tömege pl. folyamatosan változik, mert a rakéta tömegének egy részét (az üzemanyagot) hátrafelé kilöveli. 97 A kölcsönhatás mértéke, az er! arányos a kölcsönhatás következtében fellép! gyorsulással. Az arányossági tényez! a rendszer (tehetetlen*) tömege. Az er! SI egysége: a newton, jele N. # N az az er!, amelynek hatására egy # kg tömeg" test # m s–2 gyorsulással mozog. Tehát az alapegységekkel kifejezve #N = # kg m s–2. ! A II. Newton axióma relativisztikus alakja Valamely fénysebességhez közeli (v 3 c)

sebességgel mozgó testre ható er! és a test impulzusváltozási sebessége között a (2.66) egyenlettel analóg F= dp dt (2.69) egyenlet áll fenn, melyben azonban (ld. (259a)) t az abban az inerciarendszerben mért id!, melyben a test impulzusváltozását vizsgáljuk, a p impulzus pedig a (2.58) egyenlettel rögzített relativisztikus impulzus Kiírva: egy m tömeg# tömegpont mozgásegyenlete egy K inerciarendszerben: F= d* dt ) ) ( v2, # – c2 , + mv (2.70)* Láthatóan, ha v << c, akkor visszakapjuk Newton II. axiómájának nem relativisztikus alakját. A relativisztikus mozgásegyenlet (2.70) alakját az Einstein–féle relativitási elv értelmében minden inerciarendszerben érvényesnek tekintjük. Egy K inerciarendszerben ugyanezen tömegpont mozgásegyenlete tehát a következ! alakot ölti: d F = dt *) ) ( mv - v2, # – 2, c + (2.70a) A K és a K rendszereket a (2.34) ill (236) és (237) Lorentz–transzformáció köti össze: ezek

segítségével a (2.70) mozgásegyenlet komponensekre felírt alakját ki tudjuk fejezni a K-ben érvényes vessz!s mennyiségekkel (tehát a t, v , v , v mennyiségekkel). Ha az így kapott egyenleteket x y z összevetjük a (2.70a) komponensekre felírt egyenletével, összefüggést kapunk az F és az F * A súlyos (gravitáló) és tehetetlen tömeg kérdésér!l ld. a 2332 pontot * Tehát mint látjuk valóban F 2 mRel ·a 98 komponensei között;* ezek az összefüggések az er! transzformációs képletei. (Részletesebben lásd pl Gombás–Kisdi: Bevezetés az elméleti fizikába. # kötet, Akadémiai Kiadó, Budapest, #97#, 324 oldal) ! Az er! (2.66) szerinti kifejezése tehát általánosabb, mint a (268) szerinti F = ma, mivel utóbbi csak a klasszikus mechanikára érvényes kifejezés. Newton eredeti munkáiban az er!t a (2.69) egyenlettel definiálta ! A (2.68) –beli II Newton–axióma ill annak több egyidej#leg ható er! esetére felírt (2.77) alakja a

klasszikus fizika ún mozgásegyenlete Fel kell hívnunk a figyelmet arra, hogy a mozgásegyenlet nem azonosság, hanem egyenl!ség: konkrét alkalmazásánál az F helyére mindig az adott kölcsönhatás er!törvényét (ld. 234 pontot) kell beírni; a mozgásegyenlet ekkor mindig a konkrét kölcsönhatási típusra jellemz! konkrét formát ölt. ! A kölcsönhatás nem csak testek közvetlen érintkezése során (ún. kontakt kölcsönhatás), hanem egy (egy vagy több másik test által létrehozott) er!térrel való kölcsönhatás révén is létrejöhet (ld. 236 pontot) 2.3"4 Newton III axiómája A hatás–ellenhatás ("akció-reakció") törvénye Továbbra is két rendszer kölcsönhatásánál maradva az el!z! pontban elmondottakat megfogalmazhatjuk úgy is, hogy a "2"-es rendszert vizsgáljuk és az "#"-es rendszert tekintjük a "2"-es rendszer környezetének. Ekkor az "#"-es rendszernek, mint környezetnek a

"2"-esre való hatását az " F2k = –p·# (2.7#) er! fejezi ki. Figyelembevéve, hogy a "környezet" megnevezést (265)-ben a "2"-es, (2.7#)-ben az "#"-es rendszerre használjuk, ezekben az egyenletekben az indexjelölést e szerint alkalmazva az F = –p· (2.72) #2 2 F2# = –p·# (2.73) egyenleteket kapjuk. Az er! els! indexe arra a rendszerre vonatkozik, amelyre az er! hat, a második pedig arra, amelyik az er!t kifejti: például az F#2 a "2"-es rendszer által az "#"-es rendszerre kifejtett er!. * Például v F v + Fzvz) c2 ( y y Fx = Fx + v # + 2 vx c 99 (2.72) és (273)-t (263)-ba helyettesítve az F#2 + F2# = 0 (2.74) F#2 = –F2# (2.75) egyenletet, vagy átrendezve az egyenletet kapjuk. Ez Newton III axiómája két rendszer esetére felírva Általánosítva, szavakkal kifejezve: Ha egy rendszerre a környezete (speciális esetben egy testre egy másik test) F er!vel hat, akkor a rendszer

által a környezetre kifejtett er! ezzel azonos nagyságú, de ellentétes irányú. (Newton III axiómája) Két megjegyzés kívánkozik ide: a.) A kölcsönhatáskor a testek között fellép! er!k (az "er!" ill "ellener!") mindig párosával lépnek fel, de a pár tagjai mindig különböz! testekre (F#2 az #-esre, F2# a 2-esre) hatnak. b.) Az er! és az ellener! a az általunk tárgyalt rendszerek esetében azonnal és egyidej#leg lép fel. 2.3"5 Newton IV axiómája Az egyidej#leg fellép! er!k összegzési törvénye Newton I. és II axiómáját mi két test kölcsönhatásával vezettük be Kérdés: több rendszer kölcsönhatása esetén miként kell az egyidej"leg fellép! kölcsönhatásokat számbavenni. A kísérleti tapasztalatok azt mutatják, hogy egy olyan test (jelöljük "#"gyel) impulzusváltozása, amely egyidej"leg ütközik két másik (mondjuk "2"-es és "3"as) testtel, úgy számítható ki,

hogy a "2"-es és "3"-as testekt!l egyidej"leg származó impulzusváltozásokat vektoriálisan összegezzük: "p#,2+3 = "p#,2 + "p#,3 Osszuk el mindkét oldat "t-vel; "t 4 0 határátmenettel a "2"-es és "3"-as testt!l származó er!hatás ered!jére az F#,2+3 = F#,2 + F#,3 (2.76) összefüggést kapjuk. A testre ható er!k vektoriálisan, egymástól függetlenül összegz!dnek, másszóval: szuperponálódnak. Ez Newton IV axiómája Látszólag ez az állításunk egyenes matematikai következménye annak, hogy az er!t (2.65b) ill (266) szerint a testek impulzusváltozási sebességével definiáltuk: az impulzus vektor, ezért id! szerinti differenciálhányadosa is vektor. Ebb!l azonban nem következik automatikusan, hogy a két er! együttes hatására bekövetkez! impulzusváltozási sebesség felfogható úgy, mint két, független kölcsönhatásban megjelen! impulzusváltozási sebesség összege! A

(2.76) egyenlet fennállása kizárólag kísérleti úton igazolható, vagy cáfolható. Elképzelhet! lenne az is, hogy ez nem teljesül, #00 például azért, mert a "3"-as test megjelenése módosíthatná az "#"-es és "2"-es testek között fellép! kölcsönhatást; a kísérletek azonban (2.76)-ot támasztják alá A Newton I. és II törvénye akkor teljesül, ha egy testre nézve az összes er!hatást figyelembe vesszük, tehát pl. a (268) II Newton törvényt több er! együttes és egyidej# hatása esetére a 0 Fi = ma (2.77) i alakban kell felírnunk, melyhez természetesen utasítást kell mellékelnünk az er!k összegezésére; ez utóbbi pedig nem más, mint Newton IV. törvénye A (277) a Newton II., IV egyesített törvénye A (2.77)-ben az összes* er! vektorális összege szerepel. Az egyenletet szokták a dinamika alapegyenletének nevezni. ". Példa Egy #0 kg tömeg" test csúszik egy 30o-os lejt!n Mozgás közben

20 N súrlódási er! fékezi. Mennyi lesz a gyorsulása? Inerciarendszerb!l nézve a testre az ábrán látható er!k hatnak. A lejt!vel párhuzamos er!komponensekre felírva a mozgásegyenletet: mg sin 5$– Fs = ma ebb!l a gyorsulás: a= mg sin 5 – Fs = 3 ms–2 m Segédábra az ". példához Segédábra a 2. példához * Az “összes er!” inerciarendszerben az összes kölcsönhatási (valódi) er!t jelenti. Ha a (277)-t gyorsuló koordináta rendszerben kívánjuk alkalmazni az inercia rendszerben ható er!khöz hozzá kell adni az u.n tehetetlenségi er!ket is #0# 2. Példa Az ábrán látható elrendezésben 60 kg tömeg" testet 200 N er! húzza 30 o-os szögben. A csúszási súrlódási együttható = 0,2 Határozzuk meg a test gyorsulását! A testre ható er!ket felbontjuk függ!leges és vízszintes irányú komponensekre és felírjuk a mozgásegyeneletet: F · cos 5 – Fs = ma Fny + F sin 5 – mg = 0 E két egyenletb!l az Fs = Fny · .

összefüggés segítségével kapjuk a gyorsulásra: a= F cos 5 + . F sin$5 – mg = #,22 ms–2 m Segédábra a 3. példához Segédábra a 4. példához 3. Példa Egy hosszúságú m tömeg" matematikai inga kitérése egy adott pillanatban 5, a sebessége v. Határozzuk meg ebben a pillanatban az m tömegpont érint! irányú gyorsulását és a fonalat feszít! er!t! Az ábrán feltüntettük az m tömegpontra ható er!ket. A mozgásegyenletet bontsuk fel egy sugár irányú és egy érint! irányú komponensre: mg sin 5 = maé K – mg cos 5$= macp Az els! egyenletb!l kapjuk a test érint! irányú gyorsulását: aé = g sin 5 A második egyenletb!l (felhasználva az acp = megkapjuk a fonalat feszít! er!t: K = mg cos 5 + m v2 r v2 T összefüggést) #02 4. Példa Az ábrán látható kiskocsit milyen gyorsulással kell mozgatni ahhoz, hogy az m tömeg" kocka ne essen le? A tapadási súrlódási együttható a kocsi és a kocka közöt .0 A

mozgásegyenletet vízszintes és függ!leges irányú komponensre bontjuk: Fny = ma Fs – mg = 0 Ha még felhasználjuk, hogy Fs 6 Fny · .0, a kocsi gyorsulására az g a7 eredményt kapjuk. m0 2.32 A Newton–féle általános gravitációs törvény Az F=ma newtoni mozgásegyenlet, mint említettük, egyenl!ség és nem azonosság. F helyére az adott kölcsönhatásra vagy azok meghatározott összességére jellemz! er!törvényeket (ld. 234 pontot) téve, a mozgásegyenlet az adott kölcsönhatási osztályra jellemz! konkrét formát ölt. A tömegek között ható ún. gravitációs kölcsönhatás er!törvényét Newton fedezte fel #665-ben. Eredeti gondolatmenete a következ! (az alábbiakban a két kölcsönható testet az "#" és "2" indexekkel jelöljük): ! A fáról lees! alma mindig a Földre, s!t mindig a Föld középpontja felé esik. Következtetés: a Föld centrális er!hatással vonzza az almát. Ez a vonzás a hegyek tetején ugyanúgy

hat, mint a tengerszinten. Következtetés: az er!hatás nagy távolságokon is hat. ! Tételezzük fel, hogy egy alma szabadesését és a Hold pályán tartását (s!t a Nap és bolygók kölcsönhatását is) lényegében ugyanazon er! (nevezzük meg: gravitációs er!, jele Fg) okozza. Ez az Fg = f(m#,m2,r,.) er! (pl. az alma és a Föld, ill a Föld és a Hold) két test kölcsönhatása esetén függjön a két test m# ill. m2 tömegét!l, a köztük lév! r távolságtól és esetleg még más mennyiségekt!l. Legyen ez az er! centrális er!: a két tömegpont között ható er! a két pontot összeköt! egyenes irányba esik. Tételezzük fel továbbá, hogy az er!k (függetlenül) szuperponálódnak, tehát, hogy egy harmadik, m3 tömeg jelenléte nem befolyásolja a másik két tömeg közötti er!hatást. #03 ! A kölcsönhatási (akció–reakció) törvény (Newton III.) miatt F#2 = –F2# ! Nemcsak az alma, hanem minden más anyagi min!ség" test egyenl!

gyorsulással végzi a Föld felszínén (tehát azonos – földsugárnyi – távolságra a Föld középpontjától) a szabadesést. Az er! tehát arányos m2 –vel és független az anyagi min!ségt!l: Fg 8 m2 (2.78a) ! De akkor az F#2 = –F2#-b!l következik, hogy az er! arányos kell hogy legyen m#gyel is. Tehát az er! arányos m" –gyel is: Fg 8 m#·m2 (2.78b) ! Newton el!tt is ismert volt (Huygens, #690), hogy egy test körpályán való tartásához Fcp = macp centripetális er! szükséges, azaz (2.#8a) a testnek v2 r acp = –92r = – r |r| centripetális gyorsulása kell, hogy legyen. A test akkor mozog körpályán, ha a rá ható er!k ered!je ezt az acp gyorsulást biztosítja. Vizsgáljuk pl. a Hold keringését a Föld körül A fellép! egyetlen er! a gravitációs er!. A Hold szögsebessége: 2: 9H = TH ahol TH a Hold keringési ideje. A centripetális gyorulás értéke a Holdra (ld. (2#8b)) 2 acp = 9H·rHF = 4p2 –3 –2 2 rHF 3 2,73·#0 m s TH ahol

rHF a Föld és a Hold tömegközéppontjának távolsága; másrészt a Föld-felszínén mérhet! gravitációs gyorsulás: g(r = rF) = 9,8# ms–2 Newton felismerte, hogy a Föld felszínén mérhet! gravitációs gyorsulás és a Hold pályája mentén, a (2.#8)-al számolható centripetális gyorsulás aránya megegyezik az rHF Hold–Föld távolság és az rF Föld–sugár arányának négyzetével: 2 rHF 2 rF 3 3600 és g 9,8# 3 = 3593 3 3600 aH,cp 2,73·#0–3 Tehát a gyorsulás, és így a gravitációs er! a kölcsönható testek távolságának négyzetével fordítottan arányos: # (2.78c) Fg ~ 2 r #04 ! Mindebb!l következik, hogy Fg ~ m# m2 r2 (2.78d) Az arányossági tényez! a gravitációs állandó, jele ;*. Tehát a gravitációs er! nagyságát megadó képlet az Fg = ; m# m2 2 r#2 (2.79) alakba írható. A ; els! pontos meghatározása Cavendish kísérletével (két tömeg közvetlen er!hatásának mérésével* ) történt #798-ban. Mai

legpontosabb értéke az SI rendszerben ; = 6,6725985·#0–## N m2 kg–2 (vagy m3 kg–# s–2 ) ! A gravitációs törvény vektoriális alakja F2# = –; m#m2 r#2 2 r#2 |r#2| (2.80)* ahol F2# az #-es tömegpont által a 2-es tömegpontra gyakorolt er! és r#2 = r2–r#, azaz az # pontból a 2-be mutató vektor. Mivel az F2# er! a tömegek között mindig vonzóer!, a vektoriális alakú egyenletben szükséges a minusz el!jel kitétele. Lásd még a 2.34 pontot Newton maga a következ!képpen járt el: térfogat és s"r"ség adatok alapján megbecsülte a Föld tömegét és ennek ismeretében a Föld felszínén (r=rF) szabadones! testekre felírt Fg = ; mFm 2 < mg rF (2.8#a) egyenletb!l a mért g gyorsulás segítségével meghatározta a 2 rF ;= g mF (2.8#b) gravitációs állandót. A Newton-féle eljárás adott pontosságig elfogadható, de elvben csak közelítés. Az északi sark kivételével a mért g a = szélességi fok függvénye; más

tényez!kt!l is függ, ld. a 2332 pontot * A szabvány (az általunk használt ; helyett) G jelölést ír el!; ugyanakkor G-vel más fontos mennyiséget is jelölnek. * A kísérleti elrendezés igen hasonló a Coulomb által #785-ben használt elrendezéshez (ld. a 6#2 pontot). A ; Cavandish által mért értéke 6,75·#0–## N m2 kg–2 * Lásd még a (2.94a) és (294b) képleteket #05 ! A ; gravitációs állandó egzakt mérése csak (a Cavendish-elven m"köd!) laboratóriumi mérésekre vezethet! vissza. Mivel (ld alább) a fellép! er!hatás kicsiny, a kell! pontosságú méréshez nagytömeg" (tehát elkerülhetetlenül nagy méret") testeket kell használni. Az ezzel fellép! problémát, miszerint a (280a) ill (28#) egyenletek csak tömegpontokra alkalmazhatók az a függetlenül igazolható tétel hidalja át, hogy egy állandó s#r#ség# adott tömeg# gömb a tömegvonzás szempontjából úgy hat, mintha egész tömege középpontjában lenne

koncentrálva. A ; meghatározására elvileg nem használhatók kozmikus rendszerek (mint pl. a Föld-Nap rendszer), mert maguk az égitestek tömegei csak azzal a feltevéssel határozhatóak meg, hogy ismerjük ; értékét. ! A gravitációs kölcsönhatás igen gyenge; a két elektron közötti Coulomb–kölcsönhatást #-nek véve az ugyanezen két elektron közötti gravitációs kölcsönhatás er!ssége #0-42, ezért a mikrorészecskék világában a gravitációs kölcsönhatástól eltekinthetünk. ". Példa a) Két 45 kg-os, egymástól 20 cm-re lév! ólomtömb között * 45 -2 Fg = 6,67·#0–## )0.2, = 3,38·#0–6 N ( + gravitációs er! hat. A Föld vonzóereje egy 45 kg-os ólomtömbre 45·5,976·#024 Fg = 6,67·#0–## (6,378·#06)2 N = 44# N b) Két egymástól r távolságra lev! elektron közötti elektrosztatikus FC Coulomb–er! és az Fg gravitációs er! hányadosa: FC k·e2 9·#09(#,6·#0–#9)2 42 = = Fg g·m2 6,67·#0–##(9,#·#0–3#)2 = 4,#6·#0 2.

Példa Határozzuk meg a Föld mF tömegét a Föld felszinén mérhet! g nehézségi gyorsulás ismeretében! Fg = mg ill. Fg = ; m mF 2 rF Ezek kombinálásával g 2 9,80 · (6,37 · #06 )2 mF = rF < = 5,96 · #024 kg 6,67 ·#0–## ; (A Föld tömegének pontosabb meghatározása m"holdak segítségével ;, és a m"hold tömegének és keringési idejének ismeretében történhet. Ld a 2.33# pontban ismertetett 6 példát) 106 2.33 A tömegpont dinamikája gyorsuló vonatkoztatási rendszerekben Tehetetlenségi er!k Súly és súlytalanság Gravitáló és tehetetlen tömeg. A 2.23 ill a 2242 pontokban megismerkedtünk a nem relativisztikus Galilei– féle és a relativisztikus Lorentz–transzformációval. Az alábbiakban a nemrelativisztikus esetre korlátozva megvizsgáljuk, hogyan kell módosítani a fizikai leírást, ha nem inerciarendszerben kell leírnunk a mozgásokat és er!hatásokat. Legyen K egy inerciarendszer és K egy hozzá képest

gyorsuló vonatkoztatási rendszer, tehát nem inerciarendszer (2.16 ábra) 2.16 ábra A P pontbeli tömegpont mozgásának leírása a K inerciarendszerben és egy ehhez képest gyorsuló és forgó K nem inerciarendszerben. (E pontban feltesszük, hogy mind K, mind K derékszög! koordinátarendszer, de a K és K tengelyei lehetnek nem párhuzamosak is. A K tengelyeinek iránya K-hoz képest folyamatosan változhat) Ekkor egy K-beli P pont K rendszerbeli helyvektorát az r = ro + r (2.82) alakban írhatjuk fel, ahol ro K origójának helyvektora, r pedig a P pont K-beli helyvektora: r = xi + yj + zk (2.82a) ! Nem relativisztikus esetben (dt = dt) a sebességek transzformációja innen differenciálással kapható meg dr dr dr (2.83) v= = o+ dt dt dt 107 ! A differenciálást r (2.82a) alakjára alkalmazva (szorzat differenciálási szabálya!): dr $ di dj dk dx dy dz v = (2.83a) dt = #"x dt + y dt + z dt &% + dt i + dt j + dt k A (2.83a) jobboldalának els!

(zárójeles) kifejezése a K-beli egységvektorok megváltozási sebessége K-ból nézve, további tagja pedig K-ben mért sebességet adják meg; jelöljük utóbbit dy dz dr dx ( i + j + k dt dt dt dt (2.83b) ! Ha a két vonatkoztatási rendszer egymáshoz képest egyenesvonalú mozgást végez, akkor az i, j, k vektorok változási sebessége nulla, ezért dr dr dt = dt = v (2.84)* ! Ha azonban K még ) szögsebességgel forog is K-hoz képest, akkor a P pont K-höz viszonyított (2.84) sebességéhez K-ban a K forgásából származó sebesség is hozzáadódik. Ha a P pont együtt forog K-vel, akkor forgásából származó sebessége K-ban () ) * r), ezért dr dr = + () ) * r) dt dt ! (2.85) A K-beli teljes sebesség értéke tehát: v= dr dro dr = + + () ) * r) dt dt dt (2.86) ! A (2.85) r helyett bármely más A vektorra is érvényes, hiszen a P ponton bármely O origójú A vektor végpontját érthetjük: tehát bármely A vektornak a Krendszerb!l és a K-hoz

képest )-val forgó K rendszerb!l tekintett id!beli változása között a dA dA = + () )+* A) (2.87a) dt dt összefüggés áll fent. , Alkalmazzuk ezt az összefüggést most A = )-ra d) ) d) ) d) ) = + ) *)= dt dt dt (2.87b) * Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a 2.23 pontbeli Galilei–transzformációnál kizártuk a K forgását, így dr dr ott = -vel! dt dt 108 vagyis A K-t jellemz! ) szögsebességvektor id!beli változási sebessége (tehát a szöggyorsulás ) mindkét rendszerben ugyanaz. ! A K-beli gyorsulás (2.86)-ból: a= d2r d2ro d $dr dt2 = dt2 + dt #" dt + ) * r& = % d d2r dv d) ) dr d2r = dt2o + dt (v + ) * r) = dt2o + dt + dt r + ) dt (2.88) alakúnak adódik. [Az () )+* r)-t szorzatként differenciáljuk.] Mivel a (2.88) egyenlet utolsó egyenl!ségjele után a keretezett 2 és 4 tagok vegyes jelentés"ek (azaz K-beli vektorok differenciálása K-ban), ezeket átalakítjuk A 2. tagot (287a) szerint átalakítva a: dv dv dt = dt + )

* v = a + )+ v kifejezést nyerjük, ahol a a K-beli gyorsulás. A 4. tagot átalakítva (a dr dt helyére (2.85)-öt beírva): dr dr )+* )+* r) = )+ v + )+ () )+* r) dt = )+* dt + )++.) Az átalakításokat a (2.88)-ba beírva a K-beli gyorsulás ) * v) + - r + ) v + ) +.) )+* r) a = ao + a + () d2ro ) , dr , d) , az a = és a = jelöléseket, ezek rendre: ao 2 dt dt dt origójának gyorsulása K-hoz képest, a a pont gyorsulása K-ben, - pedig K koordinátarendszer szöggyorsulása. Összevonva: , ahol bevezettük az ao = a = ao + a + 2() ) * v) + - r + ) () ) * r) (2.89) ! Egy gyorsuló vonatkoztatási rendszerben tehát a Newton–törvények nyilvánvalóan nem igazak: egy magára hagyott test pl. K-ben gyorsulni fog és ahhoz, hogy mozgásállapotát megtartsa, er!t kell kifejteni rá, hiszen [a (2.89)-b!l a-t kifejezve, mmel végigszorozva és (ma) helyére a Newton II egyenletb!l F-et írva] ma = F – mao – 2m() ) * v) – m- r – m) ) * () ) * r) (2.90)

109 Ezt az egyenletet úgy értelmezhetjük, hogy egy gyorsuló vonatkoztatási rendszerben a más testekkel való kölcsönhatásból származó F er" mellett fellépnek az Ft = –mao (DAlembert er!) (2.90a) FCo = –2m() ) * v) (Coriolis–erõ) (2.90b) Fcf = –m() ) * () ) * r)) (centrifugális er!) (2.90c) FEu = –m- * r (Euler–er!) (2.90d) er!k. Mivel ezek nem valamely más testtel való kölcsönhatás, hanem K gyorsulásának következtében lépnek fel, szigorú értelemben nem is nevezhetjük !ket er!nek Ezek az ún. tehetetlenségi er!k Fteh, tehát nem valódi, hanem fiktív er!k Ez a megkülönböztetés azonban a gyorsuló vonatkoztatási rendszerben lev! megfigyel! számára lényegtelen, számára a tehetetlenségi er!k épp olyan valóságosak, mint a valódi er!k. Gondoljunk pl arra az er!re, amelyet érzünk, amikor egy kanyarodó buszon utazunk! ! A tehetetlenségi er!k bevezetésével egy test mozgásegyenletét tetsz!leges gyorsuló

vonatkoztatási rendszerben az ma = F + Fteh (2.9") alakban írhatjuk fel, ahol az F a más testekkel való kölcsönhatásokból adódó "valódi" er!. Az inerciarendszert ebb!l a szempontból éppen az választja ki, hogy benne nincsenek tehetetlenségi er!k. Gyakorlati tanács: Ha egy tetszés szerinti gyorsuló koordináta rendszerben fel kell írnunk a (2.90) ill (291) mozgásegyenletet, akkor a jobboldalra el!ször írjuk fel az inerciarendszerben ható, valódi kölcsönhatást jelent! er!ket (F ill. / Fi) és ehhez (a i megfelel! el!jellel) adjuk hozzá az adott gyorsuló vonatkoztatási rendszerben ható tehetetlenségi er!ket. ! A tehetetlenségi er!k (ld. a (290) egyenleteket) mind a testek tömegével (térfogatával) arányosak, azaz hatásukra minden test ugyanakkora gyorsulással mozog. Azt szokás mondani, hogy a tehetetlenségi er!k térfogati er"k Hasonlóan térfogati er! pl. a gravitációs er! is Ennek következtében egy homogén

gravitációs térben (g gyorsulással) szabadon es! vonatkoztatási rendszerre alkalmazva a (2.90) kifejezést, a fellép! Fteh=–mao=–mg tehetetlenségi er! (2.90)-ben éppen semlegesíti a , F = Fg = mg gravitációs er!t. Vagyis egy szabadon es! vonatkoztatási rendszerben magára hagyott testre ható er!k ered!je nulla, tehát a test megtartja mozgásállapotát. Tehát a homogén gravitációs térben szabadon es! vonatkoztatási rendszer inerciarendszer! 110 Oldjunk meg néhány feladatot inercia– és gyorsuló rendszerb!l. ". Példa Végezzük el a példához tartozó ábrán jelölt a), ill b) kísérleteket és írjuk le megfigyeléseinket a földhöz rögzített K, ill. az ahhoz képest egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló K koordinátarendszerben elhelyezked! megfigyel! szempontjából (ld. ábrát) 2.17 ábra Segédábra az 1 példához Az a) esetben helyezzünk a kocsi vízszintes lapjára egy golyót; a b) esetben rögzítsük a golyót egy, a kocsihoz

rögzytett, összenyomásra hitelesített dinamométerrel. Mozgassuk a kocsit (a K koordináta rendszert) a K koordináta rendszerhez kiépes a0 egyenesvonalú egyenletes gyorsulással. a) eset. A K-beli megfigyel": A golyó a K-beli koordinátarendszerbven B pontban nyugalomban van és marad, tehát rá ható er!k ered!je zérus. A kocsi A pontja közeledik a golyó felé. A K-beli megfigyel": A golyóra a K-beli koordinátarendszerben –ma0 er! hat. b) eset. A golyót a kocsin a dinamométer nyugalomban tartja A a0 K-hoz képesti gyorsulás során a dinamométer rugója összenyomódik és F=ma0 er!t jelez. A K-beli megfigyel": a golyó jobbra gyorsul, mert az összenyomott dinamométer jobbra irányuló ma0 er!t gyakorol rá; a golyó gyorsulása a0 = F / m. Tehát a K-beli mozgásegyenlet F= ma0 A K-beli megfigyel": a golyó a kocsiról nézve nyugalomban van, de észleli, hogy a rugó ma0 er!t gyakorol a golyóra. Mivel K-b!l a golyó nyugalomban van, ezt a

K-beli megfigyel! úgy értelmezi, hogy a rugó által kifejtett er!n kívül K-ben egy ezt ellensúlyozó –ma0 er! is hat. Tehát a Kbeli mozgásegyenlet ma0 – ma0= ma= 0 111 ahol az a a K-beli gyorsulás, amit a K-beli fenti mozgásegyenlet felhasználásával F – ma0 = ma = 0 vagy F + Fteh = ma = 0 alakba írhatunk. 2. Példa A kocsira er!sített állványon matematikai inga lóg Milyen irányú a fonál, ha a kocsi 4 m/s2 gyorsulással mozog. Segédábra a 2. Példához A tömegponttal együttmozgó gyorsuló vonatkoztatási rendszerben a kölcsönhatásból származó nehézségi er!n (mg) és fonáler!n (F) kívül hat a –ma tehetetlenségi er!. Így a mozgásegyenletet a függ!leges és vízszintes komponensre felírva kapjuk a következ! két egyenletet: F · cos 0 – mg = 0 F · sin 0 – mg = 0 a Ebb!l tg 0 = . Amiból adódik, hogy a fonál a függ!legessel 21,8o-ot zár be g 3. Példa Mennyivel csúszik el a járm" lapos rakfelületén elhelyezett

láda, ha a járm" egyenletesen gyorsulva t=4,8 s alatt éri el állandó vo=54 km/h sebességét? A láda és a rakfelület között a nyugalmi és csúszási súrlódási együttható egyaránt 1=0,3. Az egyszer"ség kedvéért használjuk a g 2 10 m s–1 értéket. 112 Megoldás: A láda mozgását a járm"höz rögzített koordinátarendszerben írjuk le. A ládára ható tehetetlenségi és súrlódási er!k ered!je a gyorsuló mozgás alatt: Fo = –mao + 1mg Fo vo m = –ao + mg. Mivel ao = t , így t id! alatt a láda elcsúszása a rakfelülethez képest: A láda gyorsulása a járm"höz képest a= v t 1gt2 at2 s1 = 2 = – 2o + 2 A láda sebessége t id! elteltével a rakfelülethez képest: v = at = –aot + 1gt = –vo + 1gt Ett!l kezdve a járm" már nem gyorsul, a ládára csupán a 1mg súrlódási er! vo v = mg -t id! alatt hat. Ezért a rakfelülethez képesti v sebességét t1 = – mg veszíti el. A t1 id! alatt a rakfelülethez

viszonyítva 2 2 1gt1 1 vo 1 s2 = – = – + v t – 1gt2 utat tesz meg. Így a teljes út o 2 2 1g 2 2 1 $ vo s = s1 + s2 = – # – vot& = –1,5 m 2 "1g % (Tehát a láda "hátrafelé csúszik".) 4. Példa Mennyivel kell megdönteni a vasúti pályát ahhoz, hogy az r sugarú kanyarban v sebességgel mozgó vonat ne terhelje oldalirányban a síneket? Modellezzük a vonatot egy, a tömegközéppontjában lév! m tömeg" tömegponttal! (Ennek jogosságát a pontrendszerek tárgyalásánál (ld.237pontot) látjuk majd be.) a) Földhöz rögzített rendszerben (ld. az a) ábrát) A vonatra ható er!k: az Fg gravitációs er! és a pályára kifejtett nyomóer! reakcióereje: Fny. A vonat vízszintes síkban r sugarú körpályán mozog v sebességgel. Ehhez az kell, hogy a rá ható er!k ered!je a kör középpontja felé mutasson és nagysága mv2/r legyen.* Tehát az egyes komponensekre: * Ezt pongyolán úgy szokás megfogalmazni, hogy "az er!k

ered!je biztosítja a körpályán tartáshoz szükséges centripetális er"t". A valóságban centripetális er! nem létezik: pl egy kötélen függesztett és körbe forgatott tömegre csak a kötél– és a gravitációs er! hat. A centripetális kifejezés a konkrét er!k ered!jének, illetve az ered! er! egyik komponensének irányát és nagyságát jelöli! (Ugyanakkor: a centrifugális er! (ld. 290c) a tehetetlenségi er!k egy konkrét fajtája!) 113 –mg + Fny · cos 0 = 0 Fny sin 0 = mv2/r ahonnan a nyomóer!t kiküszöbölve a pálya hajlásszögére az mv2 mg tg 0 = r egyenletet kapjuk. Egyszer"sítve és átrendezve: v2 tg 0 = rg b) A pálya középpontjához rögzített origójú, a vonattal együtt forgó vonatkoztatási rendszerben (b.) ábra) a vasúti kocsi r távolságban áll az origótól A rá ható er!k: a Fg gravitáció er!, Fny és a forgó rendszerben fellép! Fcf centrifugális er!, amely kifelé mutat és amelynek nagysága: v2 Fcf = m

· |) ) * () ) * r)| = mr)2 = m r Segédábra a 4. Példához Az egyes komponensekre felírva a forgó rendszerbeli egyensúly egyenleteit: –mg + Fny cos 0 = 0 v2 Fny sin 0 – m r = 0 114 5. Példa Függ!leges tengely körül ) szögsebességgel forgó korong mellett a nyugvó talajon m tömeg" test nyugszik. A testet a korong tengelyére húzott gy"r"vel fonál köti össze. A gy"r"ben a tengely könnyen forog, és így a fonál nem csavarodik a tengelyre. A fonálba iktatott er!mér! er!t nem jelez Hogyan magyarázza ezt a) a koronghoz rögzített (együtt forgó) koordinátarendszerhez (ld. a példához tartozó ábrát); b) a nyugvó talajhoz rögzített koordinátarendszerhez képest nyugalomban lév! megfigyel!? Megoldás: a.) Az együttforgó megfigyel" (ld az ábrát) azt észleli, hogy a test a rendszerhez képest ) szögsebességgel kering. A testnek a rendszerhez viszonyított relatív sebessége érint! irányú vrel = r·) ). Az

együttforgó megfigyel! szerint a testre tehetetlenségi er!k (a kifelé mutató mr) )2 sugárirányú 2 centrifugális, és a sugárirányú befelé mutató 2mv) ) = 2mr) ) Coriolis er!*) hatnak (ld. (290b)) Segédábra a 5. Példához E két er! ered!je a befelé mutató FR = –2mr)2 + mr)2 = –mr)2 nagyságú ered! er!. Ez az er! szolgáltatja a test körpályán tartásához szükséges "centripetális" er!t. A testre a fonál révén már nem kell er!t kifejteni b.) A küls! (szilárd talajon álló) megfigyel! azt látja, hogy a test hozzá és a talajhoz képest is nyugalomban van: a testre ható er!k egyensúlyt tartanak, a testre a fonál révén nem kell er!t kifejteni. *F Co = –2m ( )+* v ) 115 2.33" Súly és súlytalanság A szabadon es! vonatkoztatási rendszer inerciarendszer A testek közötti gravitációs kölcsönhatás legszembet"n!bb következménye a testek súlya* . Ahhoz, hogy egy testet a Földfelszín fölött adott

magasságban tartsunk, a testet valamire fel kell függesztenünk, illetve valamivel alá kell támasztanunk. Fogadjuk el a testek súlyára a következ" definíciót: Az az er!, amellyel a test az alátámasztási felületet nyomja, vagy a felfüggesztési pontot húzza, a test súlya. A testek súlya tehát nem azonos az adott testek és a Föld között fellép! Fg gravitációs vonzóer!vel! Ennek megfelel!en, ha egy test nincs sem alátámasztva, sem pedig felfüggesztve, hanem szabadon esik, akkor súlya sincs: a test súlytalan. Ennek az állításnak kísérleti szemléltetése például az, hogy két nehéz könyv közé egy papírlapot rakunk és azt megpróbáljuk kihúzni. Amíg a könyvek az asztalon nyugszanak, ez egy nehéz feladat Ha azonban a könyveket szabadon ejtjük, a papírlap könnyedén kihúzható, mivel nem nyomja a felette lev! könyv, hiszen az súlytalan. Legyen FR egy vízszintes nyugvó vagy gyorsuló síkkal alátámasztott m tömeg" testre

ható er!k ered!je (ha a Föld forgásának hatásától és egyéb Földön fellép" er"kt"l pl. a leveg"beli felhajtóer"t"l most eltekintünk!): FR = Fg + Fk ahol a k index a kényszerer!re utal. A test G súlya (amivel a test az alátámasztást nyomja) éppen a kényszerer! reakcióereje G = –Fk (2.92a) azaz FR = Fg – G ill. ebb!l kifejezve: G = Fg – FR (2.92b) Ha egy m tömeg" test a Föld felszínén nyugalomban van, akkor FR = 0 (azaz a testre ható er!k ered!je / Fi = 0). Ilyenkor, és csak ilyenkor i G = Fg = mg (2.93a) * A "súly" szóval a köznyelv nem az általunk használt fogalmat, hanem a mérlegelésnél használt tömegeket ("súlyokat ") jelöli. 116 Ha az alátámasztás a gyorsulással a g-vel párhuzamosan és g irányába gyorsul, akkor FR = m·a. Ekkor, (292) alapján a Föld felszíne közelében a K (pl a Földhöz rögzített) koordinátarendszerb!l nézve: G = Fg – ma 2 m.g – ma =

m(g–a) (2.93b) Ha a = g–vel a test súlytalan. Ehhez hasonló eset áll fenn egy rakétában, ha a hajtóm" kikapcsol; ekkor a rakéta szabadon esik (pl. kering a Föld körül) Ha a iránya g-vel párhuzamos, de vele ellentétes, akkor a K koordinátarendszerb!l nézve G = m(g + a) (2.93c) ! A Föld körül kering! mesterséges holdak és a kikapcsolt hajtóm"v" "rhajók folyamatosan szabadon esnek, ezért súlytalanok. Ugyanígy súlytalanok benne az "rhajósok is, akik szintén szabadon esnek a Föld felé Az "rhajók azért nem "esnek le", mert sebességüknek van a Föld felszínével párhuzamos, megfelel! nagyságú komponense is. Ha a Föld gravitációs vonzása nem hatna, az "rhajók egyenesvonalú egyenletes mozgást végeznének és távolodnának a (jó közelítéssel gömb alakú) Földt!l. A gravitációs vonzás következtében sebességük iránya (és általában nagysága is) megváltozik: esnek a Föld felé. Ha a

vízszintes irányú sebességkomponens értéke megfelel!, akkor a gravitációs kölcsönhatás nélküli esetben tapasztalható távolodás és a gravitációs tér hatása következtében fellép! közeledés eredményeként az "rhajó (ellipszis–, vagy körpályán) "körülesi" a Földet. 6. Példa A Föld körüli körpályán mozgáshoz szükséges sebesség egyszer"en kiszámítható: Az "rhajóra egyedül a Föld vonzóereje hat, ez tartja körpályán, tehát az általa létrehozott gyorsulás megegyezik az |acp| = v2/r centripetális gyorsulással: Fg = |acp| m ahová a (2.79) er!törvényb!l Fg-t és az acp értékét (218b) behelyettesítve, az m tömeggel egyszer"sítve: 3· mF v2 , 2 = rF rF ha (r 2 rF) ahonnan v= m 3+ r F = 7905 m/s F Ezt a sebességet els" kozmikus sebességnek hívják. Az ekkora, vagy ennél nagyobb sebesség" test nem esik le a Földre, hanem körülötte kering. (A második kozmikus sebesség azt az

indító sebességet adja meg, amely ahhoz szükséges, hogy az m tömeg" test elhagyja a Föld térségét; ehhez a testet parabola-pályára kell juttatni. A második kozmikus sebesség 2·v 4 11,2 km s–1.) 117 7. Példa Határozzuk meg a Föld mF tömegét a Föld felszine felett h=240 km magasságban kering! m"hold mért (és így ismert) T=88,9 perc keringési idejéb!l! Megoldás: A m"hold a Föld középpontjától r = rF + h 4+ 6370 + 230 = 6600 km távolságban kering. A keringést fenttartó centripetális er! a gravitációs er!: 2 m m $25 3 F2 = m)2 r = mr # & r "T% Ebb!l mF = 4·9,869 452 3 ·r 4 (6,6 · 106)3 4 5,55 · 1024 kg 2 6,67 ·10–11 ·(5534)2 3T 2.332 A Föld forgásának hatása a nehézségi gyorsulásra (g6) A gravitáló (“súlyos”) és a tehetetlen tömeg egyenl!sége. ! Nyugodjon egy m tömeg" test a Föld felszinén a 6-edik szélességi körön. Írjuk le a test viselkedését a Földdel együtt forgó

vonatkoztatási rendszerb!l nézve, amelyben mi is tartózkodunk és amelyben a test nyugalomban van. A Föld felszínén a 6-dik szélességi körön (ld. 218 ábra) nyugvó testre hat egy Fcf centrifugális er!, amely a Föld forgástengelyére mer!legesen kifelé mutat. Hat rá továbbá a Föld Fg gravitációs vonzóereje és a talaj FN nyomóereje, amely az el!z! pontbeli definíció alapján a test G súlyának minusz egyszerese. A három er! ered!je nulla, mivel a test ebben a rendszerben nem gyorsul, tehát: G = Fcf + Fg (2.94a) g6 = acf + g90o (2.94b) illetve 118 2.18 ábra A forgó Föld felszinén lev" m tömegre ható er"k (A 7 szöget eltúlzottan nagyra rajzoltuk, ld. szöveg) A (2.18) ábrából láthatóan a test G súlya és az ennek megfelel! tényleges g6 nehézségi gyorsulás (a sarkok* kivételével, ahol az acf = r) )2 gyorsulás zérus) általában nem mutat a Föld középpontja felé és általában g6+8 g90 ; ez azt jelenti, hogy egy 6 8

90o szélességi fokon az általunk figyelembeveend!, képleteinkben egyszer"en g-vel jelölt nehézségi gyorsulás nem egyenl! a gravitációs gyorsulással, hanem (ld. ábrát, mivel r = rF cos6) mg6 4 mg90o – macf cos 6 = mg90o – m)2 rF cos2 6 egyenletb!l m-el történ! végigosztással: g6 4 g90o – )2 rF cos2 6+ ++++++(2.95a) Ennek értéke 6+= 45 o , ) = 2 5 / 86164 s–1 és rF =6,378·106 m esetén, mivel g90o = 9,83221 ms–2 (2.95b) g(6=45o) = 9,81526 ms–2 . Megjegyzés : Nem szabványosan ma is beszélünk a g normálértékér!l (melyben 1901-ben, az akkor alapegységként tekintett er!egységnek az etalon tömegre való visszavezetéshez állapodtak meg), mely gn=9,80665 ms–2 innen ered a közhasználatú g 4 9,81 cm s–2 érték*. * Az egyenlít!n mindkét er!, tehát g6 is a Föld középpontja felé mutat, de értéke itt sem egyenl! g90o -al. * A Föld lapultsága miatt a mért értéke a 45. szélességi fokon 9,80629, az egyenlít!n pedig (ahol

6=0o): 9,78049. Budapesten a mért érték 9,80852 ms–2 119 ! Közelít! számításoknál, a Föld felszinéhez közel lezajló jelenségeknél általában nehézségi er!r!l beszélünk és elfogadjuk Newton (2.81a) szerinti közelítését és a testre ható Fg gravitációs er!t közel azonosnak vesszük az Fg nehézségi er!vel, tehát Fg = 3 mF m 2 rF 4 mg = Fg (2.96) vel, ahol a g értékeként vagy a gn normálértéket vagy egy közelít! g = 9,81 ms–2 értéket használunk és közelít!leg egyszer"en nehézségi er!r!l beszélünk Fg jelöléssel. ! A g értéke természetesen függ a tengerszint feletti h magasságtól is; a függés els! közelítésben a (2.80) ill (294a) gravitációs törvény alapján számítható, ha abba r = rF + h értéket helyettesítünk. ! Függ a g lokális tényez!kt!l is; ilyenek pl. a talajrétegek s"r"ség változásai Ezek rendszerint kis változások; mérési módszerükre rövid utalást talál az olvasó a

következ! oldalakon, az Eötvös–ingával kapcsolatban. ! Már Newton felismerte, hogy a Newton II (2.68) mozgástörvényben (F = ma) és a (2.79) gravitációs törvényben szerepl! m tömeg nem szükségszer#en azonos fizikai mennyiségek (ezért pl. Newton a (279)-ben szerepl! tömeget gravitációs töltésnek nevezte és Q-val jelölte): A Newton II törvényben bevezetett m a testek gyorsulással szembeni tehetetlenségének mértéke; nevezzük tehetetlen tömegnek és jelöljük mt-vel. A statikus tömegméréskor (mérlegeléskor) az m1 g = m2 g egyenletben szerepl! tömegek viszont nem gyorsulnak, ilyenkor nem egy er!vel szembeni tehetetlenséget mérünk. Nevezzük az ily módon meghatározott tömeget gravitáló (“súlyos”) tömegnek és jelöljük mg-vel. Az mt és mg arányára azonos anyag esetén el!ször Newton végzett méréseket (egy ingával), de ezek e fontos kérdés eldöntésére nem voltak elég pontosak. Eötvös Loránd volt az aki felismerte, hogy

a kérdés eldöntésére kihasználható az a tény, hogy egy test súlya a Földön az Fg gravitációs és az Fcf centrifugális er! ered!je és ezekb!l az els! az mg gravitáló, a második pedig az mt tehetetlen tömeggel arányos. Alkalmazzuk a 2.18 ábrán bejelölt ABC ,-re a szinusz-tételt: sin7 sin7 Fcf = = Fg sin (5 – (6++ 7)) sin (6 + 7) 120 és helyettesítsük be az Fcf és Fg értékét* 3 2 2 Fcf sin7 mt rF ) cos6 mt rF ) cos6 = = = g90o Fg sin (6 + 7) mg 3 mF mg Összpontosítsuk figyelmünket a 2. és 4 egyenl!ségre Utóbbiban az mt/mg utáni tényez! adott+6 szélességi fokon állandó, tehát mt sin7 · konst = mg sin (6 + 7) ahol a jobboldalon a 7+a test súlyának, a nehézségi er!nek az irányára jellemz! szög (ld. 218 ábrát), mely egy konstans tényez!t!l eltekintve csak az mt/mg hányadostól függ. Eötvös* egy igen érzékeny torziós ingát alkotott (“Eötvös-inga”), mellyel különböz! anyagi min!ség", minta-párok sorozatára

(1890) megállapította, hogy a különböz! anyagú testek súlyának iránya a m"szer ismert érzékenységi határán belül azonos. A sorozatot kiértékelve kimondhatta, hogy pl mt(Pt) mt(Cu) mt(i) = = mg(Pt) mg(Cu) mg(i) (ahol az i tetszés szerinti anyagfajtát jelöl), s!t a méréskombinációk és a készülék érzékenysége alapján 1908-ban közölhette, hogy bármely anyagra mt(i) = 1 ± 2,5 · 10–9 mg(i) (2.97) Szavakban: Bármely test tehetelen, ill. gravitáló tömege egyenl!: a gravitáló (“súlyos”) és a tehetetlen tömeg ekvivalens. Einstein erre az állításra építette fel az 1910-es években általános relativitás, illetve a gravitáció ennek megfelel! elméletét. Mivel ezáltal (297) eredmény jelent!sége alapvet!vé vált, Eötvös mérését azóta (egyre jobb készülékekkel) folytonosan pontosítják. Így pl Renner János Budapesten 1935-ben, majd Dicke 1961-ben 1 ± 3 · 10–11-et,1972-ben Braginsky 1 ± 10–11 – 1 ± 10–12-t

mértek. * 2 rF 1 mg mF 1 Fg = 3 = mg g90o ill. = = 2 Fg 3 mg mF mg g90o rF * Eötvös Loránd ingájával a hazai alkalmazott fizikának is egyik úttörúje volt. Mivel a nehézségi er! iránya lokális perturbációkra (föld alatti üreg, olaj, vasérc) is érzékeny Eötvös ingáját széles körben geológiai, olaj-kutatásokra is használják. 1896-ban ingájáért a Párizsi Világkiállításon aranyérmet kapott. 121 A súlyos és tehetetlen tömeg ekvivalenciája az általános relativitás elmélet elismerése óta alapvet" természeti törvénynek tekinthet". Einstein általános relativitás elméletének kidolgozásakor abból indult ki, hogy elvileg nem lehet különbséget tenni egy gravitációs térben nyugvó és egy, ezzel ekvivalens gyorsuló K vonatkoztatási rendszer között. 2.34 Er!törvények A 2.313 pontban jeleztük, hogy a mozgásegyenletek konkrét esetre történ! megoldásához meg kell határoznunk a testre ható er! matematikai

kifejezését, az ún. er"törvényt. Meg kell tehát határoznunk az F = F(r,r·,t) vektorfüggvény explicit alakját. E pontban el!ször olyan er!törvényekkel foglalkozunk, amelynél az er! nem függ a sebességt!l ill. id!t!l, majd néhány sebességt!l függ! er!r!l is említést teszünk ! A (2.68) newtoni mozgásegyenlet megoldásához ismernünk kell a testre ható er! er!törvényét. Az mm r (2.98a) F21 = –3 12 2 · 12 r12 r12 gravitációs er!törvényt már ismerjük. A képletben az F21 az m1 tömegpont által az m2-re kifejtett gravitáció (Fg) er!t jelenti; az r12 az "1" pontból a "2" pontba mutató vektor, r12 = r2–r1 (ld. a 219 ábrát) A (2.98a)-ban szerepl! negatív el!jel fizikailag azt fejezi ki, hogy a két test közötti gravitációs er! mindig vonzóer!. ! Hasonló alakú az elektrosztatikai Coulomb–törvény (ld. 612 pontot) is, amelynek vákuumban felírt kifejezése F21 = 1 q1q2 r12 · 95:o r212 r12 (2.99a) alakú,

ahol az :o+a vákuum permittivitása. Az F21 a q1 töltés által a q2-re kifejtett er!t jelöli és r12 = r2–r1 (ld. a 220 ábrát) A (299a)-ban a pozitív el!jel biztosítja, hogy azonos el!jel" elektromos töltésekre az F21 taszító er" (ld. a 220a ábrát), különböz! el!jel" töltésekre viszont vonzó er" legyen (ld. a 220b ábrát) Mind a gravitációs, mind pedig a Coulomb-er! ún. centrális er!k: az er! mindig a két pontszer" testet képzeletben összeköt! tengely irányában hat. A "centrális" elnevezés arra utal, hogy ha egy kiszemelt pontszer" töltést!l (tömegt!l) a kör- 122 nyezetében lév! többi töltésre (tömegre) ható er!ket felrajzoljuk, azok mindegyike a kiszemelt töltést a többi töltéssel összeköt! vektorok hatásvonalába esik. 2.19 ábra A gravitációs er" vektor 220 ábra Az elektrosztatikus Coulomb er" vektor ábrája O origó választással a) azonos, b) ábrája O origó

választással különböz" el"jel! töltések esetén 2.21 ábra A gravitációs er" az m1 222 ábra Az elektrosztatikus Coulomb–er" tömegpont origónak választva (az "1" töltést origónak választva) a) azonos ill. b) különböz" el"jel! töltések esetén 123 2.23 ábra A rugalmas er" Két test között fellép! centrális er! esetén megállapodás szerint az origót önkényesen az "1"-es tömegpont ill. ponttöltés helyén vesszük fel; ilyenkor az er!hatások sugárirányúak (radiálisak). A gravitációs ill elektrosztatikus Coulomb–er!k ilymódon szokásos vektorábráját a 2.21 ill a 222a,b ábrák mutatják Ekkor a (298b) ill (2.99b) egyenletek (r1 = 0 és r2 = r és r2–r1 = r átírás miatt) F = –3 m1 m2 r r2 |r| (2.98b) illetve F= 1 q1q2 r 45:o r2 |r| (2.99b) alakot öltenek, ahol r az "1"-b!l "2"-be irányuló vektor és F az "1" test által a "2"

testre kifejtett er!. ! Más jelleg" er!törvény a rugalmas testekben ébred! er!ket, illetve feszültségeket megadó Hooke-törvény. A tapasztalat szerint egy megfeszített rugó* által kifejtett ún. rugalmas er! a rugó feszítetlen (laza) x = xo = 0 hosszától számított* ,x = x megnyúlással (ld. 223) ábrát) egyenesen arányos és ellentett irányú F = –Dx (2."00a) A (2.96)-ot szokták lineáris er!törvénynek nevezni: a kitérés arányos a rugalmas er!vel (ld. még 2521 pont 3 példáját) A D skalár arányossági tényez! neve direkciós állandó.* A (2.100) kifejezés ebben a formájában csak az ún arányossági határon belül maradó, kell!en kis megnyúlásokra érvényes. A formula akkor is * Pontosabban egy csavarrugóról kellene beszélnünk. * Másszóval a koordinátarendszer kezd!pontját a laza állapotú rugó végpontjában vesszük fel. * Az MSZ 4900 szerint neve "rugómerevség", és jele C. 124 érvényes, ha a rugó

mindkét vége (pl. rugóval összekötött mozgó testek esetében) mozog. Írjuk fel egy, csak a rugalmas er! hatása alatt álló m tömeg" tömegpontra a mozgásegyenletet; vagyis hanyagoljuk el a rugó tömegét és vizsgáljuk a mozgást gravitációmentes térben, vagy helyezzük a rendszert súrlódásmentesen egy sík lapra: mẍ = – Dx (2.100b) Fejezzük ki (2.100b)-ból a gyorsulást és végezzük el az )( D m (2.100c) helyettesítést, ahol m a rezg!mozgást végz! tömegpont tömege. Az így kapott gyorsulás kifejezésben a lineáris harmonikus rezg!mozgás (225) gyorsulási képletére ismerünk. A (2.100b) egyenlet tehát egy lineáris harmonikus rezg!mozgás mozgásegyenlete; ld. még a 71 pontot Ha a Hooke–törvényt nem egy rugó, hanem egy homogén izotróp egyenes rúd alakú rugalmas test rugalmas megváltozására alkalmazzuk, akkor a Hooke–törvény ,x szerint egy ilyen test nyújtásakor (a rugalmas deformáció határán belül) az : = xo

relatív megnyúlás arányos a megnyúlás irányába es!, az irányra mer!leges síkon F keletkez! ; ( rugalmas feszültséggel. Egy rúd alakú minta esetén A F ,x = E , y A xo azaz ; = Ey :+ +++++(2.101) ahol Ey a nyújtással kapcsolatos rugalmassági állandó, melynek külön neve is van: $ [er!] az Ey-t Young–modulusznak nevezik. A ; a nyomás #[felület]& dimenziójú rugalmas % " N feszültség; SI egysége: 2 . m A nyújtás során a nyújtás irányára mer!legesen mindig fellép az ún. harántöszszehúzódás is Ennek jellemzésére vezették be az ún. Poisson–féle számot; részletekre vonatkozóan az ajánlott irodalomra utalunk. A testeknek azonban az egyszer" nyújtástól különböz!, egyéb alakváltozásai is vannak (pl. hajlítás, csavarás, nyírás), így a feszültség és deformáció kapcsolatának jellemzésére egyéb anyagi állandókat is be kell vezetnünk. A kristályos szilárdtestek rugalmas viselkedését általános

esetben 21 rugalmassági állandó írja le. Ezekkel a bonyolult esetekkel könyvünkben nem foglalkozunk, és szintén az ajánlott irodalomra utalunk. ! Egy súrlódásos közegben kis sebességgel mozgó testre ható közegellenállási er"t a Stokes–törvény adja meg: 125 F <+–v Az arányossági tényez! értéke függ a test alakjától. Például egy gömb alakú testre a Stokes–törvény F = –65=rv (2."02) alakú, ahol = a közeg viszkozitása, és r a gömb sugara. A Stokes–törvénynek megfelel! er! a súrlódási er!k osztályába tartozik és láthatóan a test sebességével arányos Itt hívjuk fel a figyelmet arra, hogy hasonló összefüggés áll fent az E elektromos térer!sség és az elektromos áramban mozgó töltéshordozók sebessége között pl. fémekben (ld. 391 pont): E ( >J = >(e·n·vdrift) (2.103) ahol J az elektromos árams"r"ség, > a fajlagos ellenállás, e az elemi töltés, n a

részecskes"r"ség és vdrift az ún. driftsebesség (ld a 391 pontot) A súrlódási er!k egyéb típusai nem a sebességgel arányosak, nem lineárisak. ! A csúszási súrlódási er! pl. Fsúrl = –1 Fny v |v| (2."04a) alakú, ahol v a vizsgált test relatív sebessége a vele súrlódó másik testhez képest, 1 a csúszási súrlódási együttható és Fny a két felületet összenyomó er!. A súrlódási er! tehát láthatóan nem függ a sebesség nagyságától, csak annak irányától ! A tapadási súrlódási er!. Ha két érintkez!, egymáshoz képest nyugalomban lév! felületet el akarunk mozdítani egymáshoz képest, le kell gy!znünk a közöttük ható súrlódási er!t. Ez az er! az Fsúrl ? 1tFny (2.104b) alakban írható fel. Az itt fellép! 1t együttható a tapadási súrlódási együttható Értéke általában nagyobb, mint a csúszási súrlódási együtthatóé. Ez az er! csak akkor lép fel, ha a két felületet el akarjuk

csúsztatni egymáson egy felület mentén ható küls! er! alkalmazásával. Amíg ez a küls! er! kisebb, mint 1tFny, addig a fellép! súrlódási er! egyenl! a küls! er!vel. ! A leveg!ben, folyadékokban nagy sebességgel mozgó, repül! testekre közelít!leg az ún. négyzetes ellenállási (közegellenállási) törvény érvényes, mely 1 F = konst. qA >v2 2 (2."05) alakú; a kifejezésben qA a test ún. homlokfelülete, v a test közeghez viszonyított relatív sebessége és > a közeg (pl leveg!) s"r"sége 126 2.35 Az er!terekr!l általában Térer!sség A 2.313 pont végén említettük, hogy két test, rendszer kölcsönhatását akkor is értelmezhetjük, hogyha azok nem kerülnek egymással közvetlen érintkezésbe (kontaktusba), de köztük er! hat. Ilyenkor pl elektrosztatikus, gravitációs vagy elektromágneses kölcsönhatásról beszélünk és azt mondjuk, hogy a kölcsönhatás a rendszerek által létrehozott er!tér

közvetítésével történik. ! Tekintsük például el!ször az elektrosztatikus er"teret! Induljunk ki a (2.95b)ben vákuumra felírt Coulomb törvényb!l! F21 = 1 q1q2 r 45:o r2 r (2.106) ahol F21 az 1-es töltés er!hatása 2-es töltésre és ahol r a q1-b!l q2-be húzott vektor és r = |r|. Átrendezve a (2.106) egyenletet a F21(r) = q1 r q 45:or2 r 2 (2.106a) egyenlethez jutunk. A (2106a) egyenlet a tér minden egyes r pontjához megadja a q2 töltésre ható er! vektorát. Az egyenlet jobboldalán, a q2 el!tt álló E(r) ( q1 r 45:or2 r (2."07) tényez!t (elektromos) térer!sségnek, térer!sségvektornak nevezzük. A (2107) a q1 töltés által létrehozott elektrosztatikus (er")teret határozza meg. Az elektromos térer"sség definíciószer!en egyenl" a tér adott r pontjába helyezett q töltésre ható er" és a q hányadosával: E(r) = F(r) q (2."08) Az E(r) vektormennyiség iránya megegyezés szerint megegyezik a

pozitív töltésekre ható er" irányával, számértéke pedig egyenl! az egységnyi (1 C) töltésre ható er! értékével. Hangsúlyoznunk kell, hogy az elektromos térer!sség nem er!, dimenziója V [er!] és SI egysége: , azaz volt per méter: [E] = m [töltés] 1 A·s 1 V N =1 =1 m A·s m C (2.108a) 127 ! Gravitációs er"térre a gravitációs térer!sségvektor kifejezése Eg(r) ( m r Fg(r) = –3 r21 r m (2."09) azaz a gravitációs térer!sség definíciószer"en az r pontban m próbatömegre ható er! és az m tömeg hányadosával egyenl!. A (2109) az m1 tömeg által meghatározott gravitációs (er!-)teret határozza meg. A gravitációs térer"sség iránya az adott r pontban a próbatömegre ható gravitációs er! irányával egyezik meg, számértéke N pedig egyenl! az egységnyi tömegre ható gravitációs er! értékével. SI egysége: 1 kg , dimenziója pedig [er!] , (2.109a) [Eg] = [tömeg] azaz megegyezik a gyorsulás

dimenziójával. A gravitációs er!tért!l különböz! a (földi) nehézségi er!tér, mely a Föld forgásából ered! centrifugális er!t is magábafoglaló* F=mg er!törvény miatt Eg = g (2.""0) (Ezen er!tér térer!ssége tehát egyenl! a g gravitációs gyorsulással. S g számos tényez! (szélességi fok, tengerszint feletti magasság, lokális tényez!k) függvénye, ezeket a 2.332 pontban részletesen tárgyaltuk Mivel mindezen tényez!k csak |g| harmadik értékes jegyében jelentenek változásokat, a Föld felszinéhez közeli tömegeket tartalmazó problémákban a gravitációs er!t (er!teret), illetve a nehézségi er!t (er!teret) els! közelítésben nem különböztetjük meg és az Fg 4 Fg 4 mg kifejezést használjuk, ahol g-nek vagy a normálértékével vagy egy közelít! g = 9,81 ms–2 értékkel számolunk és nehézségi er!térr!l beszélünk. Az er!tér (mez!) fogalmát és a kölcsönhatások (er!hatások) ezzel való leírását Faraday

vezette be (1840 körül) a fizikai leírás eszköztárába, mégpedig az elektromos kölcsönhatások leírására. Alapvet! gondolata szerint, ha egy elektromos töltés" (A) test környezetének valamely pontjára egy kis q0 töltés" pontszer" “próbatestet” (B) helyezünk, a (B) próbatestre meghatározott F = q0E er! hat. Az er!tér felfogás szerint az (A) test (vagy több ilyen test) a környez! térben bizonyos változásokat okoz, elektromos teret (mez!t) kelt, amely a próbatest jelenlétét!l függetlenül jelen van; a B (próba-) testre ez a mez! hat: az (A) és (B) test közötti kölcsönhatást ez a mez! közvetiti (mez!hatás, térhatás); az (A) test által a B helyén lev! (B) testre gyakorolt er! közvetlen oka az, hogy az A helyen lev! (A) test által keltett térer!sség a B helyen zérustól különbözik. Az er!tér hatása un közelhatás Az er!tér ezen fogalmát kés!bb értelemszer"en átvitték a mágneses, elektromágneses és

gravitációs terekre is. * A nehézségi er!tér gravitációs er!térrel való (2.81a) kapcsolata, mint ott jeleztük, csak közelít! érvény". 128 Az er!tér fogalom bevezetése el!tt a távolhatás (action at a distance) fogalmát használták, mellyel régebben az akkor nem kontakt kölcsönhatásnak nevezett er!hatásokat (így a gravitációs er!hatásokat is) leírták. Eközben feltételezték, hogy a kölcsönhatás fellépéséhez (függetlenül a kölcsönható testek távolságától) nincs szükség id!re, a hatás (valamilyen hipotetikus közegben, éterben, stb.) végtelen nagy sebességgel terjed. (Ezt tételezte fel Newton is a gravitáció elméletében) Ma már tudjuk, hogy a kontakter"k is visszavezethet"k az atomok között fellép! elektromos és mager!kre, ill. az ezeknek megfelel! er"terekkel való kölcsönhatásokra Az er!tér szemlélet (a közelhatás) helyességének fényes bizonyitéka volt az elektromágneses hullámok

kísérleti felfedezése (Hertz, 1887) és terjedési sebességük (a fénysebesség) kés!bbi megmérése. Bár gravitációs hullámokat még nem mutattak ki, az Einstein-féle gravitáció elmélet (mely az általános relativitás elméletének része) kielégiti a relativitás axiómáit és automatikusan kielégiti a tehetetlen és gravitáló tömeg ekvivalenciáját is (ld. 2332 pontot) Az er!tér bevezetése tehát nem öncélú játék. Az er!terek létez! (anyagi) testek A tovaterjed! tereknek pl. impulzusa is van Bár az er!térelméletek (a speciális relativitás elméletet kielégítve) számolnak az er!hatások terjedési sebességével, a kozmikus távolságok kivételével ezzel napi feladatainkban nem kell számolnunk. ! Általánosítva: Ha a tér minden r pontjához egy F(r) er!vektor rendelhet!, akkor er!térr!l beszélünk. Az ismert er!terek: a gravitációs-, az elektromos- és a mágneses er!tér. Ezek az er!terek az E(r) térer!sséggel jellemezhet!ek. Egy

er!térben minden r helyvektorhoz egy E térer!sségvektort rendelünk. Az olyan teret, amelyben az r vektorváltozó minden értékéhez egy vektormennyiséget rendelünk, vektortérnek (vektormez!nek) nevezzük. Az er!terek tehát vektorterek Ha az E(r) térer!sség a térben változik (tehát változik E(r) iránya és/vagy nagysága), azaz változik az E(r)-t jellemz! er!vonalak iránya, ill. s"r"sége akkor az er!teret inhomogénnek nevezzük. Egyébként az er!tér homogén ! Az er!tereket az er!vonalak felrajzolásával szemléltetjük. Az er!vonalakat úgy ábrázoljuk, hogy egy próbatöltést képzeletben (elvben végtelen lassan) mindig az adott helyen ható er! irányában mozgatjuk el infinitezimális lépésekben és a mozgás pályáját lerajzoljuk; az er"vonalak tehát a tér minden pontjában az ott uralkodó térer"sség irányába mutatnak. Minthogy minden pontban egyértelm" az er! iránya, így két er"vonal nem metszheti egymást.

Néhány tipikus er!tér er!vonalképét mutatja a 2.24 ábra 129 2.24 ábra a) Egy M tömeg! gömb gravitációs er"tere (a Föld gravitációs terének modellje); b.) a Föld felület egy kis részén, a földfelület közelében a gravitációs er"teret homogénnek tekinthetjük; c.) egy q > 0 töltés! és d) egy q < 0 töltés! ponttöltés (inhomogén) er"tere; e.) egy pozitív és egy negatív töltés együttes er"tere; f.) homogén és g) egy speciális inhomogén elektromos tér er"vonalai 130 Megállapodunk abban, hogy bár a tér minden pontján áthúzható er!vonal, mi csak véges számú er!vonalat rajzolunk meg (ill. gondolunk el); mégpedig annyit, hogy az er!vonalak s#r#sége (a rájuk mer!leges egységnyi felületen* áthaladó er!vonalak száma) arányos legyen az ottani térer!sség nagyságával. A néhány meghúzott er!vonallal jelezzük az er!vonalak (általában pontról–pontra változó) irányát és (általában

ugyancsak változó) s"r"ségét: az er!vonalak bevezetése úgyis csak a leírás szemléletessé tételét szolgálja. Az er!vonalak adott pontbeli irányát (irányítottságát), mint jeleztük, a próbatestre a tér adott pontjában ható er" (térer"sség) iránya szabja meg. Mivel csak egyféle gravitációs töltés létezik, ezért a gravitációs er!vonalak mindig az er!tér centruma felé (ld. pl a 224a ábrát) haladnak Az elektromos töltés esetében kétféle: pozitív ill negatív töltés is van. Ilyen esetekben az er!vonalak irányítottságát megállapodás alapján a pozitív töltésekre ható er! iránya jelöli ki (ld. 224c,d ábrát) Az er!vonalak s"r"sége (a tér minden pontján az ekvipotenciális felületekre mer!leges felületegységen áthaladó er!vonalak száma) megállapodás szerint egyenl! a térer"sséggel. A gyakorlatban a felületegységen ténylegesen meghúzott er!vonalak száma ezen megállapodástól adott

arányossági faktorral eltérhet. Az elektrosztatikus, ill. gravitációs er"tér er!vonalai mindig töltésekb!l, ill tömegekb!l indulnak és töltéseken (tömegeken) vagy a végtelenben végz!dnek, ezen er!tereknek tehát van forrása, ill. nyel!je Ezen er!terekre az is jellemz!, hogy er"vonalaik sohasem záródnak önmagukba: azt mondjuk, ezek az er!terek örvénymentes terek. A forrásosság és az örvénymentesség matematikailag egzaktan kezelhet! tértulajdonság (ld. F2 ill F3 Függeléket) Jellegzetes, ett"l eltér" jelleg" pl. egy áramvezet! mágneses tere Ez a tér nem forrásos, mert önálló mágneses töltések nincsenek (ld. 622 pontot) Mivel er!vonalai önmagukban záródnak a tér örvényes. Örvénytér az elektromágneses indukció által keltett tér is. Konzervatív és nem konzervatív er"tereket ismerünk. El!bbiekben az er!tér ellenében végzett munka független az úttól és így a konzervatív er!terekben definiálható

potenciális energia, ill potenciál. A konzervatív er!terek mindig örvénymentesek (ld. 614 pontot)! * Az ún. nívófelületen vagy ekvipotenciális felületen (ld 614 pontot) 131 2.36 Munka és teljesítmény Amikor egy testet felemelünk, vagy gyorsítunk, a köznapi szóhasználat szerint "munkát végzünk". Ennek a köznapi elnevezésnek a fizikai megfelel!je a munka fizikai fogalma. Az ember az egyszer" gépek sorát hozta létre abból a célból, hogy inkább hosszabb úton, de kisebb er!vel végezhessen el egy munkát". A fizika szerint mechanikai munkavégzés akkor történik, ha egy test a reá ható er!(k) hatására elmozdul vagy deformálódik. ! A munkavégzés szempontjából az er!nek csak az elmozdulás irányába es! (pályamenti) komponense számít. Abban a speciális esetben, amikor az er! mer!leges az elmozdulásra, az er! munkája nulla. Amikor egy testre állandó F er! s úton folyamatosan, az elmozdulás irányában hat, a

munka egyenl! az er! és az út szorzatával: W = F·"s (2.111) Általánosítsuk (2.111)-et egy egyenes pályaszakaszra, melyre egyenes lévén "s = | "r |# (ahol "r az elmozdulásvektor)# és tételezzük fel, hogy egy testre ezen a szakaszon állandó nagyságú és irányú, az elmozdulással (F, "r) szöget bezáró F nagyságú és irányú er! hat. Ekkor az F er! munkája definíció szerint W = F·"r = F·"r cos (F,"r) = Fs "s (2.112) Szavakban: a munka egyenl! az er! és az elmozdulás skaláris szorzatával (Poncelet, 1829). Másszóval a munkavégzés szempontjából az er!nek csak az elmozdulás irányába es! Fs komponense számít. ! Változó nagyságú és irányú F(r) er!, illetve görbevonalú mozgást végz! test esetén úgy járhatunk el, hogy az er!hatás alatt álló test pályáját olyan kis szakaszokra osztjuk, amelyeken az er! nagysága és iránya jó közelítéssel állandó és a pálya adott nagyságú

szakasza jól közelíthet! egy egyenes szakasszal. A teljes mozgás során végzett munkát az egyes kis szakaszokon végzett munkák összegével közelíthetjük. Ha a pályagörbét pl. N darab "s1, "s2, , "si, , "sN szakaszra osztjuk, az F er! munkáját a N W = lim % "r$0 i=1 F(r)i "ri (2.113a) képlet adja meg, ahol F(r)i az i-dik görbeszakaszon ható átlagos er!(ld.225ábrát) Ezt az összegzést a "r $ 0 esetre az er! út szerinti 132 r2 W= & F(r)dr (2.113b) r1 (g) ún. határozott (vonalmenti-) integráljának nevezzük A (g) jelzés arra utal, hogy általános esetben a (2.113b) integrált a mozgás konkrét pályájára, tehát egy adott görbe mentén kell kiszámítani. A munka el!jeles skalár mennyiség; el!jelét az általános definícióban a skalárszorzat el!jele, azaz a munkát végz! er! és az elmozdulás relatív iránya szabja meg. Jelöljük az F er! és a dr elmozdulás közötti legkisebb szöget (#

" = (F, dr)–rel, akkor a munka: ! Pozitív, ha (F, dr) < 90° ! Negatív, ha 90° < (F, dr) < 180° ! Nulla, ha (F, dr) = 90° 2.25 ábra 2.26 ábra o Az a fontos speciális eset (ld. alább), amikor ( " = (F,dr) szög 180 -os kétféleképpen is felfogható: a) mondhatjuk, hogy az F er! ilyen esetben végzett munkája negatív; b) de beszélhetünk a –F er! pozitív munkájáról vagy az F er! ellenében végzett (pozitív) munkáról (ld. (2117), ill a 4 példát) Az utolsó eset, amikor ( " = (F,dr) = 90°, tipikus az ún. geometriai kényszerek miatt fellép! kényszerer!kre. Ezért az ilyen kényszerer!k (pl egy alátámasztási er!) munkája mindig nulla érték". 133 Mivel* dr = é·ds (ld. 211 pontot) és F·é·ds = F ds cos (F,é) = Fs(s)ds, az (2.113b) integrált SB W= & Fs(s)ds (2.113c) SA alakban is írhatjuk, ahol Fs az s ívhosszon ható er! pillanatnyi el!jeles (!) vetületét jelöli. Ez utóbbi (2113c) határozott

integrál mint az egy egyszer"sített esetben a 2.26 ábrából szemléletesen is látható az Fs(s) görbe alatti területet adja meg Ennek alapján a munkának szemléletes jelentést adhatunk: ha az Fs-t el!jelhelyesen ábrázoljuk a pályán megtett út függvényében, akkor a munka az Fs(s) görbe alatti területtel egyenl!. Általánosítva az utóbbi megállapításokat, a (2.113b) vonalintegrált numerikus számítások során gyakran célszer" úgy kiszámítani, hogy a skaláris szorzatot derékszög" koordinátákban fejtjük ki: r2 2 r1 (g) 1 (g) W= & F(r)dr = & (Fxdx + Fydy + Fzdz) = x2 y2 z2 = & Fx(x,y,z)·dx + & Fy(x,y,z)·dy + & Fz(x,y,z)·dz x1 (g) y1 (g) (2.114) z1 (g) és így a végzett munka az Fx–x, Fy–y, Fz–z görbe alatti területek összegeként adódik. A (2.114) felírásában teljesen általánosan feltételeztük, hogy az er!vektor minden komponense mindhárom koordinátától függ. Az

integrálok alatti (g) index arra utal, hogy az x, y és z koordináták nem függetlenek, hanem a g görbe által meghatározott módon függenek egymástól. Ezt úgy vehetjük figyelembe, hogy x, y és z helyett a g görbe paraméteres egyenletét használjuk: x = x(t) y = y(t) z = z(t) ahol t a görbe leírásához használt paraméter. 1. Példa Mekkora munkát végzünk a rugó er! ellenében, miközben a rugó megnyúlását 10 cm-r!l 20 cm-re növeljük? (A rugóállandó k = 20 N/m) * Ahol az é a pálya adott pontban vett érint! egységvektora. 134 A rugóer! ellenében F= –kx er!t fejtünk ki. A végzett munka: 0,2 2 ,kx / W = ) kxdx = + . * 2 & 0,1 0,2 = 0,3 J 0,1 2. Példa Egy, az xy síkban mozgó tömegpontra F = x2y2 i + xy2 j er! hat (ha az x és y értéket méterben helyettesítjük be, az er! mértékegysége N.) Határozzuk meg ezen er! által végzett munkát, miközben a tömegpont egyenes úton a (0,1) koordinátájú A pontból a (1,1)

koordinátájú B pontban jut! Az F er! által végzett munka: A A 1 1 B B 0 0 3 6 52 5 ,x / 1 2 W = ) F dr = ) 1 x2y2i + xy2 j4 1 dxi + dyj4 = ) x2y2dx 6 = +3. =3 J 30 3 & & &0 6 y=1 * - 3. Példa Egyszer" példaként határozzuk meg a nehézségi er! munkáját miközben az m tömeg" test egy r sugarú negyed köríven az A pontból B-be jut, az ábra szerint. Segédábra a 3. példához (Koordinátarendszerünket úgy vettük fel, hogy az x–z sík vízszintes.) Az F er!nek csak y irányú komponense van, ezért a végzett munka: B r 7/2 7/2 dy W = ) F(r) dr = – ) mg·dy = ) mg dy = ) mg r cos( d( = mg·r d( & & & & A 0 0 0 135 4. Példa Essen le egy m tömeg" test az Fg = mg nehézségi er! hatására z magasságból. Ekkor a nehézségi er!tér W = mgz ( 8 0 ) pozitív munkát végez. Ha viszont megfordítva a nehézségi er! ellenében a testet a földr!l z magasságba visszük, akkor a nehézségi er! a

testen W = – mgz ( 9 0 ) negatív munkát végez. Utóbbit vizsgálhatjuk a testet emel! er! (pl. izomer!) szempontjából is: az emel! er! munkája (az emelési munka) is pozitív. Itt említjük meg, hogy abban a hétköznapi esetben, amikor pl. kezünkben egy m tömeg" testet a Föld felszinéhz képest állandó magasságban tartva viszünk, akkor fizikai értelemben nem történik munkavégzés sem az er!tér, sem izomer!nk szempontjából. (Ilyenkor szervezetünk az izomtónus fenntartásához igényel energiát, ett!l fáradhatunk el.) Ha a testre több er! hat, akkor egy pontszer" testre ható er!k ered!jének munkája egyenl! az egyes er!k munkájának összegével. Mint említettük, a munkát általános esetben megadó integrált adott (g) pályagörbére kell kiszámítani: az er! munkája általában különböz! pályákon különböz!, tehát útfüggvény. Megjegyzés: A munka kifejezés integrandusza az infinitezimális (tetszés szerinti kicsiny)

elmozdulás során végzett infinitezimális munka. Ezt DW = F(r)dr –el jelöljük.A DW azt jelzi, hogy a munka általában útfüggvény és általában DW : W2–W1 Vannak azonban er!típusok, amelyek munkája csak a kezd! és végállapottól függ. Az olyan er!ket, amelyek munkája csak a kezd!- és végállapottól függ, konzervatív er!knek (az !ket jellemz! er!teret konzervatív er!térnek) nevezzük (ld. részletesebben a 252 pontot) ! A munka fogalmából közvetlenül leszármaztatható egy másik fizikai menynyiség, a teljesítmény. Jele: P A teljesítmény azt fejezi ki, hogy egy adott folyamat során adott er! bizonyos W munkát mekkora t id! alatt végez el. A teljesítmény tehát a W , munkavégzés gyorsaságának mértéke. Beszélhetünk átlagos teljesítményr!l: P = t míg a 136 P= dW dt (2.115a) differenciálhányadost a munkavégzés (pillanatnyi) teljesítményének nevezzük. Figyelembevéve W definícióját, a teljesítmény állandó

nagyságú er!re P= dW dr dt = F(r) dt = F(r)v (2115b) vagyis az er! és a sebesség skaláris szorzatával számolható ki. ! A munka el!jeles skaláris mennyiség. SI egysége a joule (kiejtése: dzsúl), jele J, mértékegysége: 1J = 1 N·m. 1 J az a munka, amelyet 1 N er! 1 m úton végez A teljesítmény SI egysége* a watt, jele W, mértékegysége 1 W = 1 J·s–1. Szokásos még az 1000 W = 1 kW (a kilowatt) ill. 106 W = 1 MW (megawatt) stb egység használata is. Az elektromos áram teljesítményét (ld 621 pontot) elektromos egységekben is kifejezhetjük: 1 [W] = 1 [VA]. Használatos a munkaegység teljesítményegységb!l visszaszármaztatott egysége, a Ws (wattszekundum):* 1 W·s = 1 J (2.116) ! Fontos megjegyzés: ha az F er! munkája W, akkor a (–F) er! munkáját az "er! ellenében végzett" munkának nevezzük (ld. még 252 pont) Valamely F er! ellenében általunk végzett munkát a r2 F dr W(–F) = – & (2.117) r1 kifejezés adja meg.

Foglaljuk össze a 2.34 pontban felsorolt er!törvények esetére az adott er!k ellenében végzett munka kiszámítási módját . ! A gravitációs er! ellenében sugárirányú elmozdulás során végzett munka: ha egy m tömeg" testet egy M tömeg" test gravitációs vonzóereje ellenében az M-t!l r1 * A W, watt, a teljesítmény-egység jele. Nem keverend! a munka, mint fizikai mennyiség W jelével Ha a formailag azonos jelölés félreértésre ad okot, tegyük a W, watt, jelét szögletes zárójelbe! A technikában még el!forduló (ma már nem törvényes) teljesítményegység a lóer!, jele LE, angolul HP. 1 LE = 736 W = 0,736 kW. * Az elektromos munkát (ld. 614 és 621 pontokat) elektromos egységekkel is kifejezhetjük: 1 J = 1 W·s = 1 V·As (2.116a) 137 távolságban lév! pontból r2 távolságba mozgatunk, akkor az er! ellenében végzett munka a gravitációs er!törvény vektoriális alakjának (2.98a) felhasználásával r2 r2 r r1 r1 r1 2

m ·m 2 m1m2 r5 F(r)dr = – ; 1 2 2 dr = W(–F) = – & & 10–; r2 r 43 dr = & r r 2 , m ·m / ,1 1/ ,1 1/ = –+; 1 2. = –;m1m2 + – = ;m1m2 + – r r r -r * *r1 r2 2 1- (2.118)* 1 Az el!jel azt fejezi ki, hogy pl. a testek egymástól való eltávolításához (r2 > r1) az er!tér ellenében nekünk kell a testeken munkát végeznünk (a munka el!jele ilyenkor pozitív). ! A Coulomb-er! (2.95b) ellenében sugárirányú elmozdulás során végzett munka hasonló gondolatmenettel (szintén radiális elmozdulásra!): r r r2 2 2 q1q2 q1q2 r F(r)dr k dr = – k W(–F) = – = – & & & 2 r2 dr = r r r1 r1 r1 r ,q q / 2 ,1 1/ ,1 1/ = k+ 1r 2. = kq1q2 + – = –kq1q2 + – - r1 * *r1 r2r2 r1- (2.119) A képletben az el!jel azt fejezi ki, hogy pl. azonos el!jel" elektromos töltések esetén (e töltések taszítják egymást) az er!tér ellenében a rendszeren (általunk) végzett munka akkor pozitív, ha a töltéseket

közelítettük (r2 < r1!). ! A rugalmas er! ellenében végzett munka: Ahhoz, hogy egy testet rugalmas er! ellenében egyensúlyi helyzetét!l x távolságra kitérítsünk (a (2.96) rugalmas er! ellenében) x x x ,x2/ 1 2 (2.120) Dxdx = D W(–F) = – & (–Dx)dx = + 2 . = 2 Dx & * -0 0 0 munkát kell végeznünk. Megjegyzés: A fent tárgyalt gravitációs-, Coulomb- és rugalmas er! konzervatívak (ld. részletesebben a 252 pontot) Az ilyen er!kre (er!terekre) érvényes hogy az er!térbeli helyzet megváltoztatására fordított munkavégzés független a munkavégzés során befutott pályától, úttól és csak a * Mint a 2.52 pontban látni fogjuk a munka kizárólag az r és r távolságoktól függ és független az r 1 2 1 és r2 irányától, tehát nem egyirányú r1 és r2 esetén is számolhatnánk úgy, mintha az elmozdulás sugárirányú lenne. A második egyenl!ség után felhasználtuk, hogy sugárirányú elmozdulás esetén r || dr-rel, azaz rdr

= rdr 138 kezd! és végállapot függvénye. Ezekben az esetekben az r1 a kezd! állapot, r2 a végállapot helyvektorát jelöli, és a határozott integrál (g)-t!l független érték Ilyen esetekben az integrálási utat tetszés szerint választhatjuk meg. Konzervatív er!k esetében az er! ellenében végzett munkának különleges jelent!sége van: ilyenkor a (2.116), (2117) ill (2118) kifejezések az adott er! ellenében a helyzet (állapot) megváltoztatására fordított munkát írják le és ez ilyenkor az er! ellenében 1 $ 2 között végzett munka egyenl! a végállapot és kezdeti állapot közötti potenciális energia változással ("Epot = E2–E1). Részletesebben ld a 2.521 pontot d) A térfogati munka: A gázok viselkedésének leírása során gyakran használjuk a nyomás fogalmát (ld. 331 pont) Ha egy A nagyságú felületre Fny nyomóer! hat, akkor a nyomást a F P = ny (2.121)* A egyenlettel definiáljuk. A nyomás skalármennyiség, mindig

pozitív (vagy nulla), SI N egysége a pascal, jele Pa. 1 Pa = 1 2 Valamely gáz nyomása is (2121) alapján értelm mezhet!. Ha a gázba egy A felület" oldallapú kockát helyezünk, akkor a gáz a kocka mindegyik oldallapjára Fny = PA nagyságú nyomóer!t gyakorol. 2.27 ábra A térfogati munka levezetéséhez Az A felület" dugattyú x# kezdeti helyzetb!l az x2 véghelyzetbe mozdul el, miközben a Pext küls! nyomás a PR rendszer nyomás ellenében a rendszeren munkát végez Ha egy egyik végén dugattyúval ellátott edényben lév! P nyomású gáz térfogata V2–V1 = "V-vel megn!, akkor a gáz (a dugattyú révén) munkát végez. Ennek értéke: * A nyomás szabvány szerinti jele a p. Mi elhelyett most és a továbbiakban a magyar nyelv" fizikaikémiai szakirodalomban megszokott P jelölést használjuk 139 "V !"# W = P · A · "x = P"V (2.122a) Ennek a munkának mínusz egyszeresét, tehát egyensúlyban a küls! és

bels! nyomás egyenl!sége esetén a küls! (Pext) nyomás munkáját (vagy ha úgy jobban tetszik, a gáz nyomása ellenében végzett munkát, ld. 227 ábra) térfogati munkának nevezzük (ld még az 5.#4 és 52 pontokat) Wtérf = –Pext "V (2.122b) illetve a megfelel! –Pext·dV differenciális alakot integrálva V2 Wtérf = – & Pext dV (2.122c) V1 A küls! nyomás munkája megállapodás szerint akkor pozitív, ha V2–V1="V<0, azaz ha a gázt a dugattyúval összenyomjuk, azaz a rendszeren munkát végzünk. (A V2 mindig a munkavégzés utáni állapotot jelöli.) A (2#22c) el!jele e megállapodás következménye. e.) A csúszási súrlódási er! ellenében végzett munka (súrlódási munka) Csúsztassunk el egy testet vízszintes síkon és tételezzük fel, hogy az elmozdulás során a súrlódási er! állandó és az elmozdulás egyenesvonalú pályán történik! A súrlódási er! ellenében végzett munkát súrlódási munkának nevezzük.

Nagysága, mivel az s elmozdulás és a v sebesség egyirányúak, vagyis v·s = vs v5 2 Wsúrl. = – (Fsúrl · s) = –1–<Fny · v4 · s = <Fny·s 3 0 (2.123) Látható, hogy a súrlódási munka mindig pozitív vagy nulla. Ha a súrlódási er! nagysága nem állandó a mozgás során, a test pályája felbontható olyan kis elmozdulások egymásutánjára, amelyek során a súrlódási er! állandónak tekinthet!. Hasonlóképpen járhatunk el nem egyenesvonalú (akár zárt görbén való) mozgatás során is. Zárt rendszerben a súrlódási munka a test bels! energiáját növeli (ld. 254 ill 2.55 pontot) 140 2.37 Pontrendszerek dinamikája* Egy N tömegpontból álló pontrendszer i-dik tömegpontjára ható er!ket célszer"en két csoportra osztjuk: a pontrendszer többi tömegpontjától az i-dik pontra ható bels! er!kre és a környezet által az i-dik pontra ható küls! er!k ered!jére (ld. 228 ábra) (K) (Az i–dik pontra ható küls! er!k

ered!jét a továbbiakban Fi –val jelöljük.) Külön feltevéssel bármely két tömegpont között ható er!t centrálisnak tekintünk (ld. 234 pontot). 2.28 ábra A tömegpontrendszer sémája A pontrendszerben ható bels! er!k centrálisak, azaz a pontokat összeköt! egyenesek mentén hatnak. Az F1i (= –Fi1) az i-dik pontból az "#" pontra ható er!. A teljes tömegpontrendszerre ható teljes er! (a bels! és küls! er!k ered!je): N F= N % % Fij + i=1 j=1 j:i N % (K) Fi (2.124) i=1 ahol az els! tag a bels! er!k ered!je (a bels! összeg ebb!l az i-dik pontra ható bels! er!k ered!je), a második tag pedig a küls! er!k ered!je. Az els! tag bels! összegzése alatt álló j:i feltétel realizálja, hogy a pont saját magára nem gyakorol er!t: Fii = 0, azaz j=i index" tagok nem szerepelnek az összegzésben. A II. Newton–axiómát a pontrendszer i-dik tömegpontjának mozgásegyenleteként az * Klasszikus, nem relativisztikus tárgyalás. Végig

feltételezzük, hogy az itt tárgyalt tömegpontrendszerek m = =# mi tömege állandó érték A 237 pontban, ha azt külön nem jelezzük, ún szabad pontrendszerekkel foglalkozunk (ld. köv oldal) 141 N miai = % Fij + Fi (K) (2.124a) j=1 j:i alakban írhatjuk fel. Megkülönböztethetünk szabad és kötött pontrendszereket. A kötött pontrendszerek pontjainak helykoordinátái között valamilyen geometriai, vagy er!hatáson alapuló kapcsolat van, azaz bels! (geometriai–, ill. dinamikai) kényszerfeltételek, kényszerek (ld. 121 pontot és a 24 fejezet bevezet!jét) állnak fent. Kötött pontrendszerként kezelhet!ek a merev testek is (ld 24 pont) A 2.37 pontban szabad pontrendszereket tárgyalunk A 2374 pontban mind a szabad, mind a kötött pontrendszerekre kitérünk, míg a 2.4 pontban csak merev testekkel foglalkozunk. 2.37" Az impulzustétel tömegpontrendszerre A tömegközéppont tétele ! Az impulzustétel két tömegpont esetén d(p1+p2) (K) (K) =

F1 + F2 + (F12+F21) dt (2.125) ahol a Newton III. axiómából következ!en F12 + F21 = 0 ! N tömegpontot tartalmazó rendszer esetén, Newton III. axiómájából következ!en Fij = –Fji (2.126) így az N tömegpontot tartalmazó rendszerre a bels! er!k ered!je N N % % Fij = 0 (2.127)* i=1 j=1 j:i míg a rendszerre ható küls! er!k ered!je N % Fi = FR (K) (K) i=1 Ezzel: * Kifejtve: F + F + F + . + F + F + F + + F + F + + F 12 13 14 21 23 24 N1 N2 (N–1),N (2.128) 142 d N p dt % i N (K) % Fi = + i=1 a rendszerre ható küls! er!k ered!je i=1 a rendszer teljes impulzusának változási sebessége (2.129) 0 a rendszerre ható bels! er!k ered!je A (2.129) egyenlet a pontrendszer impulzustétele: Egy tömegpontrendszer ered! (teljes) impulzusának id! szerinti differenciálhányadosa egyenl! a rendszerre ható összes küls! er! ered!jével. ! A (2.129) másképpen is kifejthet! d N (K) mivi = FR % dt (2.129a) d2 N (K) m r = FR dt2 % i i (2.129b)

i=1 vagy i=1 A (2.129b) kifejezést m-mel szorozva és osztva: m N 1 d2 N (K) (K) m r = F = F % % i R 2 i i m dt i=1 (2.130) i=1 Vezessük be a következ! jelölést: N % miri rc = 1 N i=1 miri = N % m i=1 % mi (2.131) i=1 Az rc-t a rendszer tömegközéppontja helyvektorának, a c pontot pedig tömegközéppontnak nevezzük. * A (2.131)-t!t (2131)-be behelyettesítve: d2r (K) m dt2c = FR (2.132) * A c index az angol "center of mass" - tömegközéppont rövidítése. Az r -t helytelenül "súlypontnak" c is nevezik. 143 tehát formailag Newton II. axiómáját kaptuk vissza A (2132) egyenlet a pontrendszer tömegközéppont tétele A tömegközéppont tétele szavakban: Egy mechanikai rendszer tömegközéppontja úgy mozog, mintha a rendszer teljes tömege ott összpontosulna, és erre a pontra a küls! er!k ered!je hatna. A rendszer bels! er!i a tömegközéppont mozgását és a rendszer impulzusát nem befolyásolják (az er!k

összegzésénél kiesnek). (A fenti tétel következménye hogy a tömegpont modell alkalmazható kiterjedt testekre, melyeket tömegközéppontjukkal jellemezhetünk) ! Az i-edik tömegpont helyvektorát felírhatjuk a tömegközéppont rc helyvektora és a tömegközéppontból kiinduló ri vektorok összegeként is, azaz ri = rc + ri (2.133a) vi = vc + vi (2.133b) ill. ezt differenciálva ! Vezessük be a . vc = rc , . ac = rc (2.134a,b) illetve . mvc = pc = mrc (2.135) jelöléseket. A (2.130) és (2135) figyelembevételével a pontrendszer teljes impulzusára N 1 . pc = mvc = mrc = m m % i=1 N . miri = % m r. = % p N i i i=1 i (2.136) i=1 kifejezés adódik. Ennek segítségével egy pontrendszer impulzustétele a (2.129) helyett . (K) pc = FR alakban is felírható. (2.137) 144 2.372 A pontrendszer impulzusmegmaradásának törvénye Ha a rendszerre ható küls! er!k ered!je nulla, akkor (2.137)-b!l . . pc = % p i = 0 (2.138a) ill. (2134a) ill

(2135) jelöléseket használva mvc = pc = áll. (2.138b) Szavakban: Ha a pontrendszerre ható küls! er!k ered!je nulla (zárt rendszer), akkor a rendszer teljes (össz-) impulzusa állandó, azaz a tömegközéppont egyenesvonalú egyenletes mozgást végez vagy relatív nyugalomban van. A rendszert alkotó tömegpontok bels! kölcsönhatásai következtében az egyes pontok impulzusai megváltozhatnak, de az ered! impulzusváltozás nulla. (K) Ha küls! er!k FR K ered!je nem nulla, a rendszer összimpulzusának, FR-ra (K) mer!leges síkba es! komponense akkor is megmarad. Következ!leg: ha az FR : 0, de (K) az FR valamely komponensének(einek) értéke nulla, akkor az impulzusmegmaradás tétele erre az impulzus–komponensre érvényes. 2.373 Az impulzusmomentum, az er!momentum, az impulzusmomentum tétel és az impulzusmomentum–megmaradás tétele* tömegpontrendszerre és tömegpontra Tapasztalati tény, hogy Egy nyugvó tömegközéppontú pontrendszer akkor sincs

feltétlenül egyen(K) súlyban, ha a rá ható küls! er!k ered!je zérus. A % Fi = 0 feltételnek eleget tev! küls! er!k a pontrendszert ugyanis (mint alább elméletileg is igazoljuk) forgathatják. Ha külön feltevésként feltesszük, hogy a bels! er!k centrálisak (azaz az er!k a tömegpontokat összeköt! egyenesek irányába hatnak, ld. 228 ábra), akkor a pontrendszerre felírt (2124) Newton II egyenletekb!l ez a tapasztalat elméletileg is igazolható. * Az itt szerepl! mennyiségek magyar szabvány szerinti elnevezései sorrendben: perdület, er!nyomaték, perdülettétel, perdület megmaradás-tétel. Mi a magyar fizikai szakirodalomban meghonosodott fenti címbeli elnevezések mellett maradunk. 145 ! Az i-edik tömegpont impulzusmomentum tétele. impulzusmomentuma, er!momentuma és A (2.124a) egyenletet balról vektoriálisan ri-vel megszorozva a N (K) ri > p· i = ri > miai = ri > % Fij + ri > Fi (2.139) j=1 j:i egyenletet kapjuk. (2139)

baloldalát ai definíciója alapján az . ri > mi ri . alakban írhatjuk fel. Ez azonban nem más, mint az ri > mi ri id! szerinti differenciálhányadosa: d . . . . . (2.140)* dt (ri > miri) = ri > miri + ri > mi ri = ri > mi ri . . hiszen ri > mi ri nulla.* Tehát (2.139) a (2140) figyelembevételével: N d (K) (ri > pi) = % (ri > Fij) + (ri > Fi ) dt (2.141) j=1 j:i ahol felhasználtuk a pi = mi r·i összefüggést és a vektoriális szorzat disztributivitását. Az Li = ri > pi = ri > mvi (2.142) kifejezést az i-dik tömegpont adott vonatkoztatási pontra vonatkozó impulzusmomentumának (impulzusnyomatékának, perdületének) nevezzük, míg K (K) MF,i = ri > Fi (2.143) az i-dik tömegpontra ható küls! er!k ered!jének az adott vonatkoztatási pontra vonatkozó er!momentuma, másszóval forgatónyomatéka*. Az er!-, ill. forgatónyomaték SI egysége a N·m * Egy vektoriális szorzatot úgy deriválunk, mint a skaláris

szorzatot csak a szorzójelek helyett mindig a vektoriális szorzás jele írandó. * Két párhuzamos vektor vektoriális szorzata mindig nulla. * Az O vonatkoztatási pont (amelyre a nyomatékokat vonatkoztatjuk, azaz az r vektorok kezd!i pontja) az inerciarendszer bármely nyugvó pontja lehet. Kimutatható, hogy az impulzusmomentumra vonatkozó tételek akkor is érvényesek, ha vonatkoztatási pontként a pontrendszer (akárhogyan mozgó) tömegközéppontját választjuk. 146 Fejezzük ki a (2.142) és (2143) fogalmakkal a (2141) egyenletet (de vegyük figyelembe, hogy centrális er!knél a (2.141) jobboldalának els! tagja zérus): dLi " · (K) ( ) dt = Li = MF,i (2.144) A kapott egyenlet az i-k tömegpont impulzusmomentum tétele. Szavakkal kifejezve: Egy tömegpont impulzusmomentumának változási sebessége (id! szerinti differenciálhányadosa) egyenl! a tömegpontra ható er!k forgatónyomatékainak ered!jével. ! A pontrendszer impulzusmomentum tétele.

ered! impulzusmomentuma er!momentuma és A (2.141)-et az összes tömegpontra felösszegezve, a (2142) és a (2143) jelölésekkel: N N d 21 N 54 (K) L = (r > F ) + M (2.145a) % % % % F,i i i ij dt 1 4 i 0 i=1 3 i j=1 j:i =0 egyenletet kapjuk. A jobboldal els! tagja az er!k centrális volta miatt (mint említettük) nulla Vagyis d 2N 5 N (K) L (2.145b) % i4 = % MF,i dt 1 0i=1 3 i=1 Vezessük be a pontrendszer O vonatkoztatási pontra vonatkoztatott ered! impulzusmomentumát N N i=1 i=1 % Li = % ri > pi " = L (2.146) és reá ható küls! er!k ered! er!momentumát, másszóval forgatónyomatékát az N (K) (K) % MF,i " = MF ? M (2.147) i=1 jelöléssel. Akkor* (2.145b)–t felírhatjuk d (K) L = MF ) = M dt ( * Az összegzés kivitelezésére vonatkozó szabályokat ld. a 2374 pontban (2.148) 147 alakban is. A (2145b) ill (2148) egyenletek a pontrendszer impulzusmomentum tételét fogalmazzák meg: Egy tömegpontrendszer teljes (ered!)

impulzusmomentumának id! szerinti differenciálhányadosa egyenl! a rendszerre ható küls! er!k forgatónyomatékainak ered!jével. ! Pontrendszer impulzusmomentum-megmaradási tétele. Mechanikailag zárt rendszerre, vagyis ha a rendszerre nem hat küls! er!, illetve ha a küls! er!k forgatónyomatékának ered!je nulla, azaz ha 2 N (K)5 M = 0, azaz 1 % ri > Fi 4 = 0 1 4 0 i=1 3 akkor (2.148) szerint, (2146) figyelembevételével 2 N 5 1 % r > p 4 = állandó, i i 1 4 0 i=1 3 vagyis L = állandó (2.149) (2.150) A (2.149)-ben és (2150)–ben kifejezett tétel a tömegpontrendszer impulzusmegmaradásának tétele: ha a rendszerre nem hatnak küls! er!k (zárt rendszer) vagy ha a küls! er!k forgatónyomatékainak ered!je zérus, akkor a rendszer impulzusmomentuma állandó. Másszóval: a rendszerek teljes impulzusmomentuma kizárólag bels! er!k hatására nem változhat meg. Akárcsak az impulzus esetében, ha az ered! forgatónyomaték nem nulla, de adott

komponensének(einek) értéke nulla, akkor az impulzusmomentum–megmaradási tétele csak ezen impulzusmomentum komponensekre érvényes. ! Az impulzusmomentum, az er!momentum, az impulzusmomentum tétel és az impulzusmomentum megmaradási tétel egyetlen tömegpontra is értelmezett ill. érvényes. (A forgómozgás egyetlen tömegpontnál természetesen nincs értelmezve) Az impulzusmomentumot és az er!momentumot egy tömegpontra már definiáltuk [(2.142) és (2143)] A (2.#49) impulzusmomentum megmaradási tétel pl egyetlen tömegpont esetén azt jelenti, hogy: ha r > F = 0, akkor r > v = állandó (2.151)* Centrális er!knél (azaz r párhuzamos F–fel, tehát r > F = 0), a tömegpontra automatikusan teljesül az impulzusmomentum megmaradási tétel. Az r > v nem más, mint * A (2.150)-b!l r >#mv = állandó következik, de alapfeltevéseink szerint m = konst 148 a sebesség momentuma. Az r > v vektorszorzat szoros kapcsolatban áll az r(t) vektor

által súrolt területtel (ld. 229 ábrát, gondoljunk a vektorszorzat geometriai jelentésére): 2.29 ábra A területi sebesség meghatározásához A kétszeresen vonalkázott terület "r $ 0 esetén azonos az r(t) pályavektor által súrolt területtel "A 1 6 "r6 1 dAsúrolt = lim = lim 6r > 6 = r > v 2 dt "t "t 6 2 "t$0 "t$0 6 (2.152) Centrális er!kre mindig fennáll az impulzusmomentum megmaradási tétel, így r > v állandó, tehát a tömegpont pályája síkgörbe és az r(t) helyvektor egyenl! id!közök alatt egyenl! nagyságú területeket súrol. Ez a tétel nem más, mint Kepler második törvénye. 2.374 Az er!-, a forgatónyomaték- az impulzus- és az impulzusmomentum vektorok összegzése pontrendszerekre A 2.37 pontban szabad pontrendszerekre, a következ! 24 pontban merev testekre számos esetben jelöltük a címbeli vektorok összegzését. Most néhány esetre megadjuk ezen vektorok általánosan érvényes

összegzési utasításait. A merev test néhány fontos, speciális problémájával a 2.42 ponthoz csatolt példák kapcsán ismerkedünk meg. ! Ha nem akarjuk vizsgálni, hogy van-e az összegzett er!- ill. impulzusvektoroknak nyomatéka is, akkor az összegzéskor az er!- ill impulzusvektorok 149 mind hatásvonalukban, mind ezekkel párhuzamosan tetszés szerint eltolhatóak egy tetsz!leges pontba és ebben a pontban vektoriálisan összegezhet!k. ! Egyetlen anyagi pont esetén, ha a testre több er! hat, akkor a testre ható er!k ered!jének kiszámítása nem jelent gondot, hiszen az er!k egyetlen pontban támadnak, az er!ket az összegzéshez nem kell eltolni. ! Több vektor (pl. több er!) esetén az összegzés általános esetben úgy végezhet! el, hogy el!ször két vektor ered!jét számoljuk ki, majd ennek egy harmadik er!vel alkotott ered!jét határozzuk meg stb. Könny" belátni, hogy a fenti összegzés bármely tömegpontrendszer (több er!- ill.

impulzusvektor) esetére mind az egy síkba es!, mind a különböz! térbeli helyzet" er! ill. impulzusvektorokra elvégezhet! ! Tömegpontrendszer esetén célszer" a tömegpont impulzusvektorait ill. a tömegpontrendszerre ható küls! er!ket közvetlenül a tömegközéppontba eltolni és ott össszegezni. Könnyen belátható, hogy bármely véletlen sorrendben való összegzés azonos eredményre vezet, mint a tömegközéppontba eltolt vektorok e pontban való összegzése, hiszen pl. m v + m2v2 + . + mivi m = mvc = mr·c p1 + p2 + . + pi = 1 1 m ! Szabad pontrendszerek esetén mind a tömegpontok helyzete, mind impulzusuk, mind a tömegpontokra ható er!k id!ben változhatnak. A 237 pontban megadott definíciók tehát egy adott id!pontban érvényesek; így id!ben változó lesz a tömegpontrendszer ered! impulzusa és id!ben változó az er!k összege is. ! Más a helyzet a nyomatékok vektori összegzésével. Minden nyomatékvektor értéke függ attól a

vonatkoztatási ponttól, amelyre vonatkoztatjuk. Vonatkoztatási pontként egy inerciarendszer bármely, az inerciarendszerben nyugvó pontját választhatjuk. Ha vonatkoztatási pontként a tömegpontrendszer tömegközéppontját választjuk, akkor ez a vonatkoztatási pont (akárhogyan) mozoghat is*. A nyomatékvektorok számításánál (mivel azok függenek a vonatkoztatási pont helyzetét!l) az er!- és impulzusvektorok csak hatásvonalukban tolhatók el,* ún. kötött vektorok. A nyomatékvektorokat minden tömegpontra egyenként kell kiszámítani és a vonatkoztatási pontban összegezni Ha a nyomatékvektorokat egy síkbeli er!rendszerre összegeztük, akkor a nyomatékvektorok a vonatkoztatási pontban a síkra mer!legesek és egyetlen hatásvonalra f"zhet!k fel: összegzésük tehát egyszer". Ha a tömegpontrendszerre térbeli er!k hatnak, akkor általános esetben a nyomaték- * Természetesen adott id!pontban elvileg bármely (akár álló, akár nyugvó

stb.) pontot választhatjuk vonatkoztatási pontnak, de csak a fentiekben ismertetett választások mellett lehet mozgásegyenletet vagy megmaradási tételt felírni. * Az er!- ill. impulzusvektor nyomatékvektorai csak az er!, impulzus karjától függenek Ezen vektorok hatásvonalukban való eltolása adott vonatkoztatási pont esetén ezt ill természetesen a vektorszorzat értékét és irányát sem változtatják meg. A hatásvonallal párhuzamos eltolás tilos, hiszen ekkor megváltozna a vektorszorzat. 150 vektorok a vonatkoztatási pontbeli kezd!ponttal, de különböz! térbeli irányítottságúak; a páronkénti összegzés itt sem okoz gondot. A nyomatékvektorokat tehát mindig egy adott vonatkoztatási pontra vonatkoznak, függenek a vonatkoztatási ponttól. ! Az egy adott pontra vonatkoztatott nyomatékok általános esetben id!ben változhatnak, még id!ben nem változó küls! er!k esetén is, mert a vonatkoztatási pont pontrendszerhez viszonyított helyzete

id!ben változhat. ! Az er!pár és forgatónyomatéka Az er!pár két, pl. P1 ill P2 pontban ható egyenl! nagyságú és különböz!, de párhuzamos hatásvonalú, és ellentétes irányú F(P1) ill –F(P2) er!b!l áll (ld 230 ábra) Az er!pár tetsz!leges pontra vonatkozó forgatónyomatéka a két er! adott pontra vonatkozó nyomatékainak vektori összege MF = r1 > F + r2 > (–F) = r1 > F – r2 > F = (r1–r2) > F = l > F (2.153) ahol l ? r1–r2. Láthatóan az er!pár forgatónyomatéka független a vonatkoztatási pont helyzetét!l és iránya a jobbcsavarnak megfelel! irányítottságával mer!leges az er!pár síkjára. 2.30 ábra Er!pár és forgatónyomatéka a) a vonatkoztatási pont az er!k hatásvonalára mer!leges egyenesen van; b) a vonatkoztatási pont nem esik rá erre az egyenesre Az er!pár és forgatónyomatéka szabad pontrendszerre és merev testre (ld. köv pont) is értelmezhet!. Mindazonáltal egy szabad pontrendszer esetén a

helyettesít! er!pár az id!ben változhat. Mivel az er!pár forgatónyomatéka független a vonatkoztatási ponttól, az er!pár MF forgatónyomatéka önmagával párhuzamosan tetszés szerint eltolható (ún. szabad) vektor Merev testeknél az er!pár forgatónyomatékának kezd!pontja a test bármely pontjába elhelyezhet! 151 2.4 MEREV TESTEK KINEMATIKAI ÉS DINAMIKAI LEÍRÁSÁNAK ALAPJAI A merev testek kötött pontrendszerek,* amelyek tetszés szerinti két pontjának távolsága állandó. Tekintsük a pontrendszer két, i-edik és j-edik pontját Ezekre tehát fennáll a 2 (xi – xj)2 + (yi – yj)2 + (zi – zj)2 = dij = áll. (2.154) bels! geometriai kényszerfeltétel. A merev test helyzetét 3 nem egy egyenesbe es! pontja, azaz 9 skaláradat egyértelm"en meghatározza. Mivel a 3 pontra három (2154) típusú bels! kényszerfeltétel áll fent, a merev test helyzetét 9 – 3 = 6 független paraméter már egyértelm"en meghatározza: a szabadon mozgó

merev test mechanikai szabadsági foka tehát 6. Ennek megfelel!en a merev test küls! kényszerekt!l mentes szabad mozgását tehát 6 skalárfüggvény határozza meg. A merev test bármilyen kényszermozgásánál a szabadsági fokok száma fM < 6 (ld.241) pontot 2.41 A merev testek kinematikai leírása A merev testek kinematikai leírása azon az általánosan igazolható (ld. Budó: Mechanika, id. irodalom) tételen nyugszik, hogy a merev test általános mozgása mindig felbontható elemi transzlációs ill. rotációs (forgó) mozgások sorozatára A transzlációs mozgás során a merev test minden pontja egymással párhuzamos pályákon azonos sebességgel mozog: a merev test transzlációs mozgása egyetlen pontjának (célszer"en tömegközéppontjának,* ld. (2131)) mozgásával jellemezhet! Ez a mozgás tetsz!leges térgörbén történhet. * Míg a 2.37 pontban, ha külön nem említettük szabad pontrendszerekkel, addig a 24 pontban kizárólag kötött

pontrendszerekkel foglalkozunk. Itt is fenntartjuk a 237 pont klasszikus fizikai tárgyalását és azt, hogy az itt tárgyalt tömegpontrendszer m = % mi tömege állandó. A 2374 pontban i tárgyalt er!-, impulzus vektorok, nyomatékvektorok összegzési szabályai a merev testekre is érvényesek. * Itt jegyezzük meg, hogy egy merev test tömegközéppontja eshet a testen kívülre is. 152 A forgó mozgás (rotáció) során minden id!pillanatban található egy olyan térbeli egyenes, az ún. pillanatnyi forgástengely, amely körül a test pontjai (a forgástengelyre mer!leges síkokban) körmozgást végeznek. A forgástengelynek nem kell a merev testen átmennie. Speciális, de igen gyakori eset, amikor a forgástengely rögzített, pontjai helyzetüket változatlanul megtartják, a merev test többi pontjának pályái pedig a forgástengelyre mer!leges síkokban fekv! körívek. Általános mozgás esetében a forgástengely iránya az id!vel folyamatosan változik: az

elemi rotációk sorozata ilyenkor az id!ben változó ún. pillanatnyi forgástengely mentén történik A forgómozgást a test adott forgástengelyre vonatkozó @ szögsebességével ill. A szöggyorsulásával jellemezzük. Kinematikai szempontból a merev test legáltalánosabb mozgása szabad mozgás, mikor is a test helyzetét meghatározó független koordináták száma fM=6. Ennél kisebb szabadsági fokú kényszermozgás a gördülés, amikor pl. egy golyó, kerék, vagy henger megadott felületen mozog; ekkor fM=5, mert a 6 szabadsági fok közül most a felületre mer!leges irányú transzláció nem megengedett. A gördülés speciális határesete a csúszás; a közbens! eseteket gördüléses szúszásnak nevezzük. Fontos lesz számunkra (ld. e fejezet 7 példáját) a két egymással mereven összekötött tömegpontból álló rendszer, mely a kétatomos molekula ún súlyzómodellje, mely csak a két tömegpontot összeköt! tengelyre mer!leges két tengely

körül foroghat és három irányba transzlálhat. Erre fM = 6 – 1 = 5 Ha egy merev test egy meghatározott O pontját rögzítjük és a test összes többi pontja a nyugvó O pont, mint forgáscentrum köré írt gömbfelületeken mozoghat a test pont körüli forgó-, vagy pörgetty# mozgásáról beszélünk. Az ilyen mozgásnál az fM=3. Egyetlen szabadsági foka (fM=1) van az olyan merev testnek, amely csak egyenesvonalú transzlációt végezhet, vagy amelynek két pontja van rögzítve. Egy szabadsági foka van a csavaranyában mozgó csavarnak is. A továbbiakban csak a merev testek síkmozgásával foglalkozunk, amelyre az jellemz!, hogy a test minden pontja egy meghatározott síkkal párhuzamosan mozog. Ekkor forgómozgás esetén a forgástengely iránya a meghatározott síkra mindig mer!leges. 153 A merev testek általánosabb, térbeli mozgásának részletes tárgyalásával terjedelmi okok miatt nem foglalkozunk, de utalunk arra, hogy ez a tárgyalás

megtalálható Budó Ágoston: Mechanika cím! könyvének "A merev test általános dinamikája" c. fejezetében. A merev test legáltalánosabb mozgásánál a merev test tetsz"leges P pontjának sebessége: v = v0 + (! ! " r) 2.42 A merev testek mozgásának dinamikai leírása A merev testek mozgásának dinamikai leírásánál abból indulhatunk ki, hogy a merev test kötött pontrendszer és érvényes rá # a pontrendszerekre felírt impulzus (ill. impulzusmegmaradási) tétel és # a pontrendszerekre érvényes impulzusmomentum (ill. impulzusmomentum– megmaradási) tétel Egy bármilyen módon mozgó merev testre az ered" küls" er" a tömegközéppont transzlációs mozgását határozza meg. A megfelel" mozgásegyenlet: N (K) $ Fi = mr̈c (2.155) i=1 Az ered" forgatónyomaték és a forgás % szöggyorsulása közötti kapcsolat pedig: K $ Mi = &%% (2.156) i=1 ahol & a forgási tehetetlenség mértéke, az

ún. tehetetlenségi nyomaték (ld 244 pontot). 1. Példa Er!k ered!jének meghatározása, ha a támadásvonalak egy síkban vannak és nem párhuzamosak. A merev test P1 és P2 pontjaiban támadó F1 és F2 er"k támadáspontjait a P metszéspontba helyezzük (F1 , F2) és megszerkesztjük ezek F ered"jét. Ennek az ered" er"nek a támadáspontja az F támadásvonalának bármely pontjában lehet. 154 Segédábra az ". Példához 2. Példa Két párhuzamos, azonos irányú er! ered!jének meghatározása F1 és F2 er"k támadáspontja P1 és P2 pontokban van. Ezeket a pontokat az egyszer!ség kedvéért úgy vettük fel, hogy a két pontot összeköt" egyenes mer"leges legyen az er"k támadásvonalára. (Ezt megtehettük, hiszen az er"k támadásvonaluk mentén eltolhatók.) Vegyünk fel két egymást kompenzáló F és –F er"t, melyek támadásvonala P1 P2 egyenesre esik, majd ezeket hozzáadjuk az F1, illetve F2

er"khöz. Az így kapott F1 és F2 ered" er"k már egymást metsz" er"k. Így a feladatot visszavezettük az 1 példára Az F1 és F2 er"k hatásvonalának P metszéspontjában megszerkesztjük az F ered" er"t, mely egyben az eredeti F1 és F2 er" ered"je is. Megjegyezzük, hogy hasonlóan járunk el két párhuzamos, ellentétes irányú (de nem egyenl" nagyságú) er" ered"jének meghatározásakor. Segédábra az 2. Példához 155 3. Példa Két párhuzamos, ellentétes irányú, egyenl! nagyságú er! ered!je zérus. Hatásukra a tömegközéppont nem gyorsul Egyetlen er"vel nem helyettesíthet", hiszen egyetlen er" a tömegközéppontot mindenképpen gyorsítja. Az ilyen két er"t er"párnak nevezik Az er"pár által létrehozott szöggyorsulás minden tengelyre nézve nullától különböz". Az er"pár forgatónyomatéka: |M| = |F| · d ahol d a két er"

hatásvonalának távolsága. 4. Példa Egy könny# kivitel# Derrick-daru elforgatható, merev rakodógémb"l, oszlopból és a szükséges merevít" kötelekb"l áll. Elrendezését a 4. segédábra mutatja Milyen er" hat az oszlop aljára az ábrán látható terhelési esetben? A daru könny! kivitelének megemlítésével arra utaltunk, hogy elhanyagolhatjuk a rakodógémre, az oszlopra és a feszít"kötelekre ható nehézségi er"t. Ha a rakodógémet, oszlopot és a feszít"kötelet egymáshoz viszonyítva merev rendszernek tekintjük erre a rendszerre három er" hat. Ezek a T er", a teherre ható 600·9,8 N nagyságú er", végül az oszlop lábára ható er", melyet F1 és F2 összetev"kre bontottunk. Az er"k x irányú összetev"inek összege zérus, ezt a következ" egyenlettel fejezzük ki: T cos 45o – F2 = 0. Ugyanez érvényes az Y irányú összetev"kre: – T sin 45o – 600·9,8 + F1 =

0. Segédábra a 4. példához Az egyensúlyban lev! rakodó vizsgálata alapján meghatározhatjuk az ismeretlen er!ket. 156 A forgás feltételének vizsgálatához alkalmas tengelyt kell választanunk. Az oszlop fels" végén átmen", az ábra síkjára mer"leges tengelyre a két ismeretlen er", T és F1 forgatónyomatéka zérus. Ezeknek az er"knek a hatásvonala ui. metszi ezt a tengelyt A többi er"re 12 F2 – 8 (sin 60o) · 600 · 9,8 = 0. Egyenleteink megoldása a következ" eredményekre vezet: F2 = 3400 N, F1 = 9280 N, T = 4800 N. Az oszlop lábára ható er" a fentiek alapján tehát 9900 N, iránya az x tengely negatív irányával 70o szöget zár be. Az ehhez hasonló, oszlopokkal kapcsolatos problémák esetében mindig feltételezzük, hogy az oszlop a talajon áll, nincs a földbe beásva, sem merev alaplemezre szerelve. Ha az oszlop alapozásához az utóbbi módszerek valamelyikét használnánk, olyan er"k is

ébrednének, melyek forgatónyomatékot is fejtenek ki az oszlop aljára. 2.43 Merev testek egyensúlya Egy tetsz"leges mechanikai rendszerr"l akkor mondjuk, hogy egyensúlyban van, ha az adott vonatkoztatási rendszerben valamely to id"pontban nyugalomban van és ezt az állapotot tartósan megtartja. Az egyensúly egyik feltétele, hogy a testre ható er"k ered"je nulla legyen, ekkor ugyanis egy eredetileg nyugvó test tömegközéppontja nem fog gyorsulni. Ez azonban csak szükséges, de nem elégséges feltétel Ha ugyanis a testre ható er"k hatásvonala nem megy át a test tömegközéppontján, akkor ezek az er"k forgatónyomatékot fejtenek ki a testre. Amennyiben ezen forgatónyomatékok ered"je nem nulla a (2.156) egyenlet szerint a test szöggyorsulása sem lesz nulla, tehát a test elfordul, vagyis nincs egyensúlyban. Ezek szerint a merev test egyensúlyának feltételei 1) a testre ható er"k ered"je nulla: N $ F(K) i

=0 (2.157) i=1 2) a testre ható forgatónyomatékok ered"je is nulla: K $ Mi = 0 (2.158) i=1 A merev test egyensúlya lehet stabil (például egy gravitációs térben talpára állított kúp esetében), vagy instabil (például ugyanez a kúp a csúcsára állítva). Az egyensúlyi 157 helyzet akkor stabil, ha a testet onnan kissé kimozdítva majd magára hagyva olyan er"hatások lépnek fel, amelyek az egyensúlyi helyzet visszaállítását okozzák.* Instabil az egyensúlyi helyzet, ha a testet bel"le kitérítve a fellép" er"hatások az egyensúlyi helyzett"l távolítják a testet. Az egyensúly közömbös, ha a test a kimozdítás után is egyensúlyi helyzetbe kerül A gravitációs térben nyugvó testek egyensúlyának stabilitását kvantitatíve az állásszilárdság fogalmával írhatjuk le. Az állásszilárdságnak többféle mértéke van: geometriailag azzal a szöggel jellemezhet", amellyel a testet egyensúlyi

helyzetéb"l ki kell mozdítani ahhoz, hogy már ne térjen vissza egyensúlyi helyzetébe; energetikai szempontból pedig az ugyanilyen kimozdításhoz szükséges küls" energiabefektetéssel. A stabil egyensúly mindig legalábbis lokális energiaminimumnak felel meg. 2.44 A tehetetlenségi nyomaték. Merev testek tehetetlenségi nyomatéka Molekulák egyszer! modellje és tehetetlenségi nyomatékának számítása # Tekintsünk egy r sugarú körpályán mozgó m tömeg! egyetlen tömegpontot, amit a tömegpont pillanatnyi elmozdulásának irányába mutató állandó nagyságú er" is gyorsít! A (2.144)–b"l (az i és K indexet elhagyva), a (2142) felhasználásával: d (r mv) = MF dt " (2.159) A pont szögsebessége és sebessége közötti kapcsolatot megadó (2.16a) képlet alapján: d (r m(! r)) = MF (2.160) dt " !" A háromtényez"s vektorszorzat kifejtési tételét* alkalmazva és figyelembevéve, hogy !( ! r-re (tehát ! ·

r = 0): d d (m!r2 – mr(! !r)) = dt(mr2!) = MF dt ! hiszen mr(! !r) = 0, mert !(r Bevezetve a * A test a visszaállás során az egyensúlyi helyzete körül rezgéseket végezhet. * a " (b " c) = b(a · c) – c(a · b) (2.161) 158 & = mr2 (2.162) az ún. tehetetlenségi nyomatékot, a (2161) átírható d !) = MF dt (&)! azaz amennyiben &id"független, a &)% % = MF, (2.163) alakba, ahol kihasználtuk azt a tényt, hogy m és |r| = állandó. A (2."63) analógiába hozható Newton II axiómájával: a v sebesség és az a gyorsulás helyett az ! szögsebességet és % szöggyorsulást, az F er" helyett az MF forgatónyomatékot és az m tömeg helyett a & tehetetlenségi nyomatékot használjuk. A & tehetetlenségi nyomaték az adott forgástengelyre vonatkozóan a forgási tehetetlenség mértéke, ahogy az m tömeg az er"hatással szembeni tehetetlenség mértéke volt. # Pontrendszerek esetén a pontrendszert

alkotó tömegpontok tehetetlenségi nyomatékát egy adott (rögzített, vagy szabad) tengelyre vonatkoztatjuk. A teljes pontrendszer adott tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát a pontrendszert alkotó tömegpontok ugyanezen tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékainak öszszege adja meg: N 2 & = $ miri (2.164a) i=1 ahol ri az i–edik tömegpont távolsága az adott rögzített vagy ún. szabad (ld alább) forgástengelyt"l. Szabad pontrendszerre természetesen & pillanatról pillanatra változhat és szabad tengely esetén a rendszer jellemz"it"l függ"en változhat a forgástengely is. Éppen ezért a & tehetetlenségi nyomaték bevezetésének a merev testeknél van jelent!sége. Egy adott rögzített tengely körül forgó merev test tehetetlenségi nyomatékát (2.164a)-hoz hasonlóan kaphatjuk meg Ha a merev test egymástól rögzített távolságra lev" tömegpontokból áll, akkor (2.164a) közvetlenül

alkalmazható # Ha ellenben a tömegeloszlását folytonosnak vesszük, akkor képzeletben fel kell osztanunk, a merev testet kis dVi térfogatú és a forgástengelyt"l mért ri távolságú elemekre, amelyek tömege dmi. Ekkor & közelít" képlete: 2 2 & = $ dmiri = $ r(ri)dViri i i 159 Az egyes dmi tömegekhez tartozó dVi térfogatot minden határon túl csökkentve határesetben a &=+ * r(r) · r2dV (2.164b) képletet kapjuk. A ,(r) a test s!r!sége # Fontos speciális eset pl egy kétatomos molekula adott tengely körüli forgásának esete, ha a molekulát a két atomból, mint tömegpontból felépített merev súlyzómodell (ld. 234 ábrát) modellezünk Az ilyen alakzat tehetetlenségi nyomatékát (2.164a) képlet alapján 2 2 & = m1 · r1 + m2 · r2 (2.164c) &R = &1 + &2 (2.164d) a (2.164c)-vel számolhatjuk, azaz Ha az összetett rendszer pl. két kiterjedt testb"l (pl két különálló, közös tengely körül

forgó golyóból) áll, akkor a (2.164d)-be pl a 22 Táblázatból vett tömegközéppontjukon átmen" szimmetriatengelyük körüli forgáshoz tartozó &-kat a Steiner tétellel (ld.(2169)) a közös forgástengelyre át kell számolni (Ez a Steiner tétellel akkor használható, ha a két test szimmetriatengelye a közös forgástenellyel párhuzamos.) 5. Példa Tömör, egyenletes s!r!ség!, m tömeg!, R sugarú és hosszúságú, a tömegközéppontján átmen", fed" és alaplapjára mer"leges tengelyre er"sített henger tehetetlenségi nyomatékának meghatározása. 2.3" ábra Segédábra az " példához 160 Bontsuk fel a hengert infinitizimálisan kis vastagságú, a forgástengellyel egybees" tengely! csövekre. Egy ilyen r sugarú teljes cs! tehetetlenségi nyomatéka d&(r,dr) = ,·2-rdr· ·r2 = 2r3-,dr A teljes henger tehetetlenségi nyomatéka a csövek tehetetlenségi nyomatékának összege: R &(R) . $

/&(r,dr) r=o Határátmenetben R 3 &(R) = + * 2-r ,(r)dr · o Ha a henger s!r!sége állandó, akkor , az integráljel alól kiemelhet": R 3 4 &(R) = 2-, + * r dr = 2 ,R o Mivel a henger térfogata V = R2- és tömege m = ,V = ,R2- , ezért a henger tehetetlenségi nyomatéka az adott tengelyre vonatkozóan 1 & = mR2 2 Néhány egyéb test &-ját ld. a 22 Táblázatban 161 2.2 Táblázat Néhány homogén test tehetetlenségi nyomatéka a tömegközéppontjukon átmen! (alább megadott) tengelyre vonatkozólag; m a test tömege. Test & Tengely Körhenger Szimmetriatengely (sugár R, magasság h) Erre mer"leges tengely 1 mR2 2 1 1 2 mR + mh2 4 12 Üres körhenger (küls" és bels" sugarak R1,R2, magasság h) Szimmetriatengely 1 2 2 m (R1-R2) 2 Derékszög! egyenes hasáb (élhosszúság a,b,c,) A c éllel párhuzamos 1 m (a2+b2) tengely 12 Kocka (élhosszúság a) Bármelyik súlyponttengely 1 2 ma 6 Gömb (sugár R)

Bármelyik súlyponttengely 2 mR2 5 Gömbhéj (igen vékony, sugár R) Bármelyik súlyponttengely 2 mR2 3 Ellipszoid (tengelyhosszúságok 2a,2b,2c) A c tengely 1 m (a2 + b2) 5 Egyenes körkúp (alapkör sugara R, magasság h) Szimmetriatengely 3 mR2 10 # A & definíciójában nagyon fontos volt az a kitétel, hogy a & tehetetlenségi nyomaték mindig az adott tengelyre vonatkozik! Miután pedig végtelen sok különböz" tengely képzelhet" el, egy merev testre végtelen számú tehetetlenségi nyomaték adható meg. Szerencsére: három tehetetlenségi nyomaték elegend" ahhoz, hogy a &-t bármely tengelyre kiszámíthassuk. # Egy merev test forgása történhet egy tetszés szerint választott rögzített ("csapágyazott") tengely körül. Ennek igen fontos speciális esete, ha a rögzített tengely a merev test tömegközéppontján halad át. # Léteznek azonban olyan forgástengelyek is, amelyek közül a test a tengely

rögzítése nélkül is foroghat állandó szögsebességgel. Ilyenkor a test szabad tengely körüli forgásáról beszülünk. Szabad tengely az, amelyre vonatkozóan a kényszerer!k és ezek nyomatékai nullák. 162 A tömegközépponton átmen" azon tengelyeket, amelyekre a vonatkozó tehetetlenségi nyomatéknak a tengely irányát kijelöl" szögek függvényében lokális széls" értéke van, f! tehetetlenségi tengelyeknek, az ezekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékokat pedig f! tehetetlenségi nyomatékoknak nevezzük. Általános esetben 3 f" tehetetlenségi tengelyt találunk. Egyes testek (pl. homogén gömb vagy kocka) minden, tömegközépponton átmen" tengelyre vett tehetetlenségi nyomatéka egyenl". Ilyen testekre az els" f" tehetetlenségi tengelyt rögzítve, a másik kett" erre és egymásra mer"leges Határozzuk meg néhány egyszer! esetre, hogy milyen feltételek esetén lesz a merev test egy adott

forgástengelye szabad tengely! Ennek érdekében tekintsük ezt a tengelyt rögzített tengelynek és vizsgáljuk a merev test e rögzített tengely körüli forgását. Megállapítjuk, hogy a tengely rögzítéseinél ("csapágyainál") milyen kényszerer"k és forgatónyomatékok lépnek fel. Ezután megkeressük azokat a feltételeket, amelyek fennállása esetén a kényszerer"k és nyomatékaik eltünnek. Az ilyen feltételeknek eleget tev" tengelyek közül a merev test nyilván valóban szabadon foroghat akkor is, ha a csapágyakat eltávolítjuk. Ezek a tengelyek tehát a szabad tengelyek. # Ha ismerjük a merev test három f! tehetetlenségi tengelyre vonatkozó f! tehetetlenségi nyomatékát, ezekb!l a test bármely más, a tömegközépponton átmen! tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát is meg tudjuk határozni a következ" (itt nem bizonyított) összefüggés szerint: &0%12&1 cos2 03&2 cos2 %3&2 cos2 1

(2.165) ahol 04%41 a forgástengelynek az "1", "2" és "3" f" tehetetlenségi tengelyekkel bezárt szöge és &54&64&7 a f" tehetetlenségi nyomatékok. # A nem tömegközépponton átmen! tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékok meghatározásához az ún. Steiner–tétel nyújt segítséget: egy merev test tetsz!leges O ponton átmen! tengelyre vonatkozó & tehetetlenségi nyomatéka egyenl! az S tömegközépponton átmen!, az el!z!vel párhuzamos tengelyre vonatkozó &S tehetetlenségi nyomatéknak és m·s2–nek az összegével, ahol m a test tömege és s a két tengely egymástól mért távolsága: &2&S + m·s2 A Steiner–tétel egyszer#en belátható a 2.32 ábra alapján (2.166) 163 2.32 ábra A Steiner–tétel levezetéséhez Legyen a két párhuzamos, az O és az S ponton átmen" tengely az xy síkra mer"leges és az S tömegközépponton átmen" tengelyt válasszuk a

koordinátarendszer z tengelyével egybees"nek. Ekkor a 232 ábra jelöléseinek megfelel"en a tömegközépponti koordinátarendszerbeli helyvektort itt rS–sel, az O kezd"pontú koordinátarendszerbelit r–rel, a megfelel" tehetetlenségi nyomatékokat pedig &S-sel ill &-val jelölve 2 &S = + * rSdm = + * (x2 + y2)(dm) &=+ * r2(dm) = + * [(x–s)2 + y2](dm) &s = + * (x2 + y2)(dm) + s2 + * (dm) – 2s + * x (dm) (2.167) Az utolsó tag zérus, hiszen nem más, mint a tömegközéppont x koordinátájának állandószorosa. A (2131) szerint a tömegközéppont koordinátájának x komponense: 1 N x c = $ mi x i m i=1 ami folytonos tömegeloszlás esetén xc = 1 + x dm m* (2.168) Ez pedig jelen esetben zérus, mivel választásunk szerint S a z tengelyen van. Tehát (2.167)–ból (2168) figyelembevételével következik a (2169) Steiner–tétel: &2&S + m·s2 (2.169) 164 6. Példa Határozzuk meg egy (els"

közelítésben merevnek tekintett) kétatomos molekula szabad tengelyeinek helyét. Legyen az egyik atom tömege m, a másiké M! Szimmetria okokból nyilvánvaló, hogy egy szabad tengely vagy egybeesik a molekula tengelyével, vagy arra mer"leges. Vegyünk fel egy, a molekula tengelyére mer"leges tengelyt (ld. 233 ábra), és vizsgáljuk a molekula forgását e tengely körül! Az m illetve M tömeg! atom xm ill. xM sugarú körpályán tartásához Fm = m xm !2 FM = M xM !2 nagyságú, a forgástengely felé mutató er" kell. Miután az ábra szerint xM = d–xm: FM = M(d–xm)!2 2.33 ábra Segédábra a 2 példához Ha az xm tengelyt úgy választjuk meg, hogy az ellentétes irányú Fm és FM er"k egyenl"ek legyenek, akkor a forgástengelyre nem hat er", vagyis a megfelel" tengely szabad tengely lesz. Vagyis a szabad tengelyek távolsága az m tömeg! atomtól az Fm = FM m xm !2 = M(d–xm)!2 egyenletekb"l: xm = M d m+M 165 ami

éppen a tömegközéppontot adja. A kétatomos molekula szabad tengelyei tehát a tömegközépponton átmen" és a molekula tengelyére mer"leges tengelyek. Ezenkívül a molekula tengelye maga is ilyen szabad tengely lesz, hiszen az atomok forgása során erre a tengelyre sem hat er". 7. Példa Forogjon egy azonos atomokból álló kétatomos molekula a két atomot összeköt" szakasz felez" mer"legese, mint tengely körül. Számítsuk ki a rendszer tömegközéppontra vonatkoztatott ered" tehetetlenségi nyomatékát, ha a pontszer!nek tekintett két atom tömege m, és a köztük lév" távolság x. Megoldás: A 2.34 ábra jelöléseit használva az ered! tehetetlenségi nyomaték (&R) a következ": x2 1 x2 :x=2 :x=2 &R = &1 + &2 = m 92< + m 92< = m 4 + m 4 = 2 mx2 8 ; 8 ; 2.34 ábra Segédábra a 3 példához Számszer#en egy O–O azaz O2 molekulára: az oxigénatom tömege m = 2,6·10–26 kg, az

oxigénatomok távolsága rezgési alapállapotban x = 1,21·10–10 m. Következ"leg &O2 . 1,90·10–46 kg m2 Összehasonlításul a spektroszkópiai 2 –46 1,94·10 kg m , ld. 45 pontot! adatokból számolt érték Megjegyzés: A példában az atomok kötését merevnek tekintettük. A valóságban a rotációt a két atom egymáshoz viszonyított rezgése (ld.253pontot) befolyásolja: az összenergia növekedésével a két atom átlagos távolsága (itt : x) n"! 166 8. Példa Az r sugarú, m tömeg! henger vízszintes, érdes hasábon fekszik A > súrlódási tényez" 0,1. A hasábot a henger tengelyére mer"leges irányban vízszintes a gyorsulással mozgatjuk. Határozzuk meg a nagyságát úgy, hogy a henger a hasábon még éppen ne csússzék meg. Megoldás: Az ábrán látható hengerre ható er"k alapján a henger mozgásegyenletei a bejelölt koordinátarendszerben (Fny = nyomóer"; Fs = súrlódási er"): m m d2x = Fs

dt2 d2y = Fny – mg = 0 dt2 d2@ ? 2 = Fs · r dt Segédábra az 5. példához A merev test mozgásegyenletének alkalmazása A súrlódás határesetében: Fs = >Fny = >mg. Ha nincs megcsúszás, akkor az A pont tangenciális, vízszintes irányú gyorsulása éppen a hasáb a gyorsulásával egyenl": d2x d2@ + =a dt2 dt2 m d2x d2x = >g 2 = Fs = >mg A dt2 dt 1 Mivel ? = mr24az Fs -t kifejezve: 2 1 2 d2@ d2@ mr = 2>g 2 = >mg A r 2 dt dt2 167 A kiszámított fenti értékeket ( x )-ba behelyettesítve: a= d2x d2@ m 2 +r 2 = >g + 2>g = 3>g = 0,3 g = 3,943 2 dt dt s 9. Példa Mer"leges falszögletbe támasztott rúd elcsúszását a rúd alsó végéhez és a falhoz kötött, a talajon fekv" vízszintes fonál akadályozza meg. A rúd a függ"leges fallal 31o-os szöget zár be. A fal és a talaj tökéletesen síma (ld. az a) ábrát) A rúd súlya 200 N Mekkora er" feszíti a fonalat, és mekkora er"vel nyomja a rúd a

talajt, illetve a falat? (g=10 m/s2/ Segédábra a 6. példához Megoldás: A ható er"k (ld. a b) ábrát): F1 = a rúdra a talaj által kifejtett er"; F2 = a fal által a rúdra kifejtett er"; F3 = Ff = a fonál által a rúdra kifejtett er"; F4 = G = a rúdra ható nehézségi er". Az egyensúly feltételei 4 4 $ FiY = 0; $ Mi = 0; i=1 i=1 i=1 Ezek közül: Ezekkel: 4 $ Fix = 0; F1x = 0; F2x = 0; F3x = –Ff; F4x = 0; F1y = F1; F2y = 0; F3y = 0; F4y = –G; $ F1x = F2 – Ff = 0 $ F1y = F1 – G = 0 A rúd talajjal érintkez" pontjára a forgatónyomatékok: d $ M = M2 + M4 = F2d cos 0 – G sin 0 = 0 2 168 Az egyensúly feltételeit tartalmazó három egyenletb"l: F1 = G és F2 = Ff = G tg 0 2 Így F1 = Ftalaj = 200 N, Ffonal = Ffal = 60 N 10. Példa Két R sugarú m tömeg! gömb helyezkedik el egy súlytalannak tekinthet" merev rúd két végén. A gömbök középpontjai 2r távolságra vannak egymástól.

Határozzuk meg a két gömb tehetetlenségi nyomatékát a rúd felez"pontjain átmen", arra mer"leges forgástengelyre vonatkozóan. Megoldás: Bármelyik gömb tehetetlenségi nyomatéka a súlypontján átmen" forgástengelyre nézve: 2 ?s = mR2 5 A Steiner tételt felhasználva a súlyponton átmen" tengelyt"l r távolságra lév" forgástengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték bármelyik gömbre 2 ? = mR2 + mr2 5 A két gömb együttes tehetetlenségi nyomatéka tehát = :4 ? = 2? = 95 R2 + 2r2 < m ; 8 169 2.45 A merev test haladó ill forgó mozgására vonatkozó megfelel" mennyiségek összefoglalása 2.3 Táblázat Merev test Haladó (transzlációs) mozgás Forgó mozgás rögzített tengely körül koordináta (r) szög (@) elmozdulás (dr) szögelfordulás (d@ @) dr= : sebesség 9v = dt < ; 8 d@ @= : szögsebesség 9! = < dt ; 8 dv d2r= : gyorsulás 9a = dt = 2 < dt ; 8 d! != : szöggyorsulás 9% = <

dt ; 8 er" (F) forgatónyomaték* (MF) tömeg (m) tehetetlenségi nyomaték* (&) mozgásegyenlet:* mozgásegyenlet: $ (K) Fi = mr̈c kinetikus energia: 1 Ek = mv2 2 $ Mi = &%% kinetikus energia* (ld. 251 pont): 1 2 Ek = &! 2 ! impulzus (p) impulzusmomentum (L)* impulzustétel impulzusmomentum–tétel* impulzusmegmaradási tétel impulzusmomentum-megmaradás tétel* Megjegyzés: A *-gal jelölt mennyiségek és tételek egy tömegpontra is értelmezhet"k; Pl. az MF mennyiség ilyenkor a tömegpontra ható er" vonatkoztatási pontra megadott nyomatéka, amit ez esetben célszer!bb er"momentumnak nevezni. (Természetesen egy tömegpont forgómozgást nem végezhet, ezért a vonatkoztatási pont nem lehet azonos magával a tömegponttal.) 170 2.5 AZ ENERGIA # Ha egy tömegponton vagy merev testen egy er" munkát végez, két határeset lehetséges: a) a munkavégzés kizárólag a test sebességének megváltoztatására

fordítódik; b) a munkavégzés kizárólag a test er"térbeli helyzetének megváltoztatására fordítódik. E két határeset közötti általános esetben a testnek a munkavégzés hatására mind er"térbeli helyzete, mind sebességének nagysága megváltozik; gondoljunk egy szabadon es" vagy egy rezg" mozgást végz" testre. Kimutatható (ld. 251 pontot), hogy ha egy er" munkája kizárólag a test sebességét (nevezzük: sebességállapotát) változtatja meg, akkor függetlenül a két sebességállapot közötti mozgás gyorsulásától (pl. attól, hogy a két sebességállapot közötti átmenet állandó vagy változó gyorsulással, állandó vagy változó er" hatására megy végbe) és a megtett úttól a befektetett munka egy, a sebességállapotra jellemz! fizikai mennyiség (a kinetikus energia) megváltoztatására fordítódik. Tapasztalati tény, hogy vannak olyan er!terek, amelyekben az er" által végzett az

er!térbeli helyzet megváltoztatására fordított munka független a munkavégzés során befutott pályától, úttól és kizárólag a kezdeti és véghelyzet függvénye. Az ilyen er"tereket konzervatív er!térnek* nevezzük. Az er!tér ellenében az er!térbeli helyzet megváltoztatására végzett munka a konzervatív er!terekben az er!térbeli helyzetre jellemz! fizikai mennyiség (a potenciális energia) megváltozására fordítódik (ld. 2.52 pontot) Utóbbi esetben igaz tehát, hogy az adott munkavégzés nagysága megegyezik egyegy, a test vég- és kezdeti helyzetére (állapotára) (a sebesség- ill. er"térbeli helyzetre (állapotra)) jellemz" mennyiség különbségével. Ezen jellemz"k csak a test sebességállapotától ill pillanatnyi helyzetét"l függenek, tehát útfüggetlen állapotjelz"k Beláthatjuk (ld. alább), hogy mindkét utóbbi mennyiség az energia egy-egy válfaja # Az energia középiskolában megismert

definíciója igen közel áll e mennyiség köznapi fogalmához: Az energia a rendszerek (testek) munkavégz!képessége.* * A nem konzervatív er"terekr"l ill. er"kr"l ld a 254 pontot! * A definíció bizonyos mértékig pontatlan: 1.) az energiaváltozás adja meg a munkavégzést; 2) a fizikai rendszerek bels" energiája (ld. 122 pontot és a 255 pontot) (mint azt a termodinamika II.f"tétele kimondja) nem alakítható át teljes egészében munkává (ld 5 fejezetet, az ott tárgyalt pontosításokkal). 171 A kinetikus (mozgási) ill. a csak konzervatív er"térben értelmezhet" a potenciális (helyzeti) energia egyaránt a rendszer (test) valamilyen állapotára (a sebesség- ill. helyzetbeli állapotra) jellemz" állapotjelz"nek tekinthet". Konzervatív er"térben (ha a testre csak konzervatív er"k hatnak) az egész test (ld. 2.53 pont) kinetikus és potenciális energiájának összege (melyet az egész test

mechanikai energiájának nevezünk) állandó, azaz a mechanikai energia megmarad. Ez a kísérleti tény a konzervatív er"tér jellemz"ivel a mechanika egyenleteib"l le is vezethet" (2.53 pont) Az energia más típusaival, pl. a bels" energiával (255 pont), az elektromágneses energiával (ld. 617 ill 633 pontokat) külön pontokban foglalkozunk Az energiával relativisztikus tárgyalásban a 26 pontban foglalkozunk Nem konzervatív er"terekre a potenciális energia nem értelmezhet", a mechanikai energia megmaradása nem érvényes (ld. 254 pont) 2.5# A kinetikus (mozgási) energia és a munkatétel Forgó testek kinetikus energiája # Induljunk ki a második Newton-egyenlet tömegpontra felírt (2.68) alakjából: . m·r = F . Skalárisan beszorozva r-al: . . mrr = F·r (2.170a) :1 . = Vegyük észre, hogy a (2.170a) baloldala az 92 mr2< mennyiség id" szerinti ; 8 differenciálhányadosával egyenl" (összetett függvény

differenciálhányadosa!): d :1 . 2= 1 d . 1 . mr < = m · (r2) = m·2r·r dt 2 dt982 ; 2 (2.170b) és helyettesítsük eredményünket a (2.170a) baloldalába Integráljuk az így átalakított (2.170a) egyenlet mindkét oldalát az id" szerint! t t . : d :1 . == + * Frdt * 98dt982 mr2<;<;dt = + o (2.171a) o A (2.171a) jobboldali integrált változócserével számolhatjuk ki A differenciál hányados definíciója alapján, a dr = rdt összefüggés felhasználásával 172 r(t) t . + * Fdr = W * F·r·dt = + (2.171b) ro o hiszen a jobboldalban az F er! W = B Fdr munkájára ismerhetünk (ld. (2113b)) A (2.171) baloldalán az integrálás elvégzése után kapott /Ekin C 1 .2 1 1 .2 1 2(t) – mv2(0) mr mr mv (t) – (0) = 2 2 2 2 (2.171c) kifejezés a tömegpont mozgási- vagy kinetikus energiája megváltozása, mely az er" tömegponton végzett gyorsító munkájának következménye, eredménye. / . Definiálhatjuk a v = r sebességgel

mozgó tömegpont kinetikus energiáját is: Ekin C 1 .2 1 mr = mv2 2 2 (2.172) A kiintegrált (2.171b) kifejezést a (2171c) felhasználásával felírva a tömegpontra vonatkozó munkatételt kapjuk: /Ekin = W (2.173) amely szavakban a következ"képpen fogalmazható meg: A tömegpont kinetikus energiájának megváltozását a reá ható er!k ered!jének munkája okozza. (Ez a tömegpontra vonatkozó munkatétel.) # Pontrendszer esetén az i-edik tömegpontra felírt (2.124a) egyenletb"l kell kiindulnunk: N d2r (K) i=1,2,.,N m dt2i = $ Fij + Fi j=1 jDi Ezt az egyenletet skalárisan megszorozva r·i-tal és i-re összegezve: N N N N (K) . . . $ mirir̈i = $ $ Fijri + $ Fi ri i=1 i=1 jD1 (2.174) i=1 Kiintegrálás után a (2.171a) analógiájára a (2174) baloldalán a pontrendszer teljes kinetikus energiájának megváltozása áll: /Ekin C 1 N 1 N 2 2 mivi (0) m v (t) – $ $ i i 2 2 i=1 i=1 (2.175) 173 A (2.174) jobboldalának els" tagja a

bels" er"k munkáinak összege,* míg a második tag a küls" er"k összmunkája, tehát (2.174) az alábbi alakot ölti: /Ekin = Wbels" + Wküls" (2.176) Ez a pontrendszerekre vonatkozó munkatétel: A pontrendszer mozgási energiájának megváltozása egyenl! a küls! és bels! er!k munkájának összegével. Pontrendszerekre a kinetikus energia definíciószer#en: Ekin C 1 N 2 mv 2 $ i i (2.177) i=1 mely két tag összegére bontható (ld. (2178)): az i-edik tömegpont helyvektorát felírhatjuk a tömegközéppont rc helyvektora és a tömegközépponthoz képest elfoglalt helyzetét megadó ri vektorok összegeként: ri = rc + ri (2.178a) vi = vc + vi (2.178b) Id" szerint differenciálva ahol vi az i–edik tömegpontnak a tömegközépponthoz viszonyított sebessége; ezzel N N N N N i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 2 2 2Ekin = $ mivi = $ mi(vc+vi)2 = $ mivc + $ mi(vi)2 + $ mi 2vcvi A legutolsó összeg: N :N = $ mi2vcvi = 9 $ mivi<

2vc = 0 8i=1 ; i=1 N d N m r· , ez pedig nem más, mint a tömegközéppont helymivel $ mivi = dt $ i i i=1 i=1 vektorának sebessége a tömegközéppontba helyezett origójú vonatkoztatási rendszerben, ami nulla. Tehát 1 2 1 N 2 Ekin = mvc + $ mivi (2.177a) 2 2 i=1 N ahol m = $ mi. i=1 * A belsõ erõk munkája az energia kifejezésben nem nulla! 174 Vagyis a pontrendszer mozgási energiája (nem relativisztikusan) a rendszer, mint egész mozgási energiájának és a bels!, tömegközépponthoz rögzített vonatkoztatási rendszerbeli mozgásokhoz tartozó kinetikus energiáinak összege. # Tegyük fel, hogy egy pontrendszer minden pontja egy adott tengely körül ! szögsebességgel forog. A rendszer mozgási energiája: Ekin = 1 N 2 mivi $ 2 i=1 2 2 ahol mindegyik vi = vi -es tag a (2.16b) összefüggés alapján (ri !)2 –tel helyettesíthet": 1 N 1:N 2 2= Ekin = $ miri !2 = 9 $ miri < !2 2 2 8i=1 ; i=1 ahol az ri most az i–k tömegpont tengelyt!l

mért távolságát jelenti. Ez pedig a tehetetlenségi nyomaték (2.164a) definíció egyenlete alapján az 1 2 Ekin = &! 2 ! (2.179) alakba írható, ahol & a rendszernek adott tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka. 1. Példa Írjuk fel egy kétatomos molekula Erot forgási kinetikus energiáját általános esetre! Megoldás: A 2.44 szakasz 2 példában megmutattuk, hogy kétatomos (pontszer! atomokból álló) molekula egy gáztérben az u.n szabad forgástengely körül foroghat ! szögsebességgel. Ezt az általános irányú szögsebességvektort felbonthatjuk (megadhatjuk) az ilyen rendszerre lehetséges két, egymásra mer"leges, tömegközépponton átmen" f"tengelyekkel párhuzamos !1 és ! 2 összetev"kre, azaz ! = !1 + !2 Felhasználva a modellre a 3. példában kiszámolt ?R tehetetlenségi nyomatékot, a (2.179) egyenlet alapján 1 Erot,kin = ?R (! !1 + ! 2)2 2 (Itt felhasználtuk, hogy a két f"tengelyre a ?R beláthatóan

azonos.) Mivel (felhasználva, hogy !1 ( ! 2 -re). 175 2 2 2 2 !1 !2 = !1 + !2 (! !1 + ! 2)2 = !1 + !2 + 2! következik, hogy 1 2 2 Erot,kin = ?R ( !1 + !2) 2 (2.179a) Ha a gázban lev" molekulák halmazára alkalmazzuk a (2.179a) kifejezést, 2 !1 # 2 2 2 ill. !2 helyett E !1 F ill E !2 F irandó Megjegyzések: 1.) A kinetikus energia SI egysége: a joule, 1 J = 1 N·m = 1 W·s A kinetikus energia definiciójából következ"en mindig pozitív, skalár mennyiség 2.) A kinetikus energia fenti definíciója egyenérték! a kinetikus energiának a mozgó test munkavégz"képességével kapcsolatos elemi definíciójával: egy m tömeg! és v sebesség! test (a munkatétel alapján) addig képes munkavégzésre, amíg teljesen le nem fékez"dik; az ennek során végzett teljes munka éppen egyenl" a test Ekin kinetikus energiájával. 3.) Az Ekin kinetikus energia nem konzervatív er"k esetén is definiálható 4.) A relativisztikus mozgás

kinetikus energiájáról ld a 262 pontot 2.52 A konzervatív er"tér fogalma és jellemz"i. A potenciális (helyzeti) energia. A potenciál 2.52" A konzervatív er!tér fogalma A potenciális energia Konzervatív er!terek jellemz!i Az olyan tulajdonságú er!tereket, amelyekben egy, az er!tér hatása alatt álló testen általunk (az er!tér ellenében) végzett munka útfüggetlen és csak a test kezdeti- és véghelyzetét!l függ, konzervatív er!térnek nevezzük. Könnyen belátható, hogy egy tetsz"leges ro vonatkoztatási pontot lerögzítve, az ilyen er"teret a tér minden r helyvektorú pontjában jellemezhetjük azzal az er"tér által a testre kifejtett er" ellenében végzett munkával, amit akkor végzünk, ha egy eredetileg ro-ban nyugvó nyugalomban lév" meghatározott tömeg! pontszer! testet az r helyvektorú pontba mozgatunk. A mozgatás során végzett munka nemcsak az általunk kifejtett er", hanem az er"tér

által a testre gyakorolt F er" segítségével is kifejezhet". Ha ugyanis a testet egyenletes sebességgel mozgatjuk, akkor a reá ható ered" er" a Newton–axiómák miatt nulla, így mozgás során az általunk kifejtett er" és az er"tért"l származó er" mindig egyenl" 176 nagyságú és ellentétes irányú. Ilyen esetben az általunk végzett munka szinoním fogalmaként az "er"tér ellenében" végzett munkáról szoktunk beszélni. A konzervatív er"tér által a testre kifejtett F er" ellenében végzett munka r Epot(r) = W(–F) = – + * F dr (2.180) ro Az Epot(r) el!jeles skalár mennyiséget a test ro pontra vonatkoztatott potenciális energiájának nevezzük (SI egysége a joule) amikor is Epot(ro) = 0 (2.180a) Egy tömegpontrendszer potenciális energiájának meghatározásához mind a küls" er"térbeli, mind pedig a pontrendszert alkotó tömegpontok által létrehozott

er"térbeli potenciális energiát ki kell számítanunk. Newton IV axiómája szerint a pontrendszer bármely kiválasztott tömegpontjára a többi tömegponttól ható ered" er" pontpárok er"hatásainak ered"je lesz. Ha két tömegpont er"tér közvetítésével hat kölcsön, akkor bármelyikük tekinthet" a tér forrásának; a potenciális energiát er"tér útján kölcsönható pontpárra is (2.180) alapján kell meghatároznunk, de ezt a potenciális energiát ez esetben két pontból álló rendszer potenciális energiájának kell tekinteni. Egy tömegpont tömegpontrendszerbeli teljes potenciális energiáját az illet" tömegpontot tartalmazó pontpárok ugyanarra az ro vonatkoztatási pontra vett potenciális energiáinak összege adja meg. Az i-dik tömegpontot kiválasztva a többi tömegpontot tekintjük a pontrendszer elemei között fellép" er"tér forrásának. Ehhez adódik hozzá egy esetleges küls"

er"tért"l származó er". A (2180)-ben szerepl" er" N ekkor F = N (K) $ Fij + $ Fi j=1 iDj és így az i-dik tömegpont ro-ra vonatkoztatott i=1 potenciális energiája: r (K) Epot,i(r) = – + : $ Fij + Fi = dr < G 9j=1 ; * 8 iDj N (2.181a) ro ami átírható az (b) (K) Epot,i(r) = –(Wi + Wi ) (2.181b) alakba, ahol a b ill. K fels" index a bels" ill küls" er"k munkáját jelenti az ro pont és az r pont között. 177 A teljes pontrendszer potenciális energiájának kiszámításakor a (2.181a) összegzést valamennyi i=1,2,.N pontra ki kell terjeszteni, de ennek során minden pontpárt csak egyszer szabad figyelembe venni (tehát a els" er"k munkáinak összegét osztani kell kett"vel; ellenkez" esetben pl. az 1 és 2 pont esetében a kölcsönhatást akkor is figyelembe vennénk, amikor az 1. pont potenciális energiáját számítjuk, és akkor is, amikor a 2. pontét) Ennek megfelel"en

eljárva egy teljes tömegpontrendszer ro-ra vonatkoztatott Epot,tpr(r) potenciális energiája: r N (K) 1 N N Epot,tpr(r) = – + J2 $ $ Fij + $ Fi M dr GI *H i=1 j=1 iDj i=1 L K (2.182a) ro ami nem más, mint = :1 Epot,tpr C – 92 W(b) + W(K)< ; 8 1 N (b) (K) Epot,i(r) = – 2 $ Wi + WI (2.182b) i=1 Vagyis kölcsönható pontrendszer esetén még küls" er"tér mentes esetben is beszélhetünk a rendszer potenciális energiájáról. # A potenciális energia kiszámítása során a munkavégzés el!jelét az szabja meg, hogy milyen az er" és az elmozdulás relatív iránya (ld. 235 pont) A potenciális energia esetében akkor maradunk azzal a termodinamikában bevezetett konvencióval összhangban amely szerint egy rendszeren általunk végzett munka pozitív, ha az a rendszer energiáját növeli ha a rendszer potenciális energiáját az er!tér által kifejtett er! ellenében végzett munkával definiáljuk. Az er!tér által kifejtett er"

munkája viszont akkor pozitív, ha a test az er" irányába mozdul el (ilyenkor potenciális energiája csökken) és negatív, ha a test az általunk kifejtett er! hatása alatt az er!tér által kifejtett er! irányával ellentétesen mozdul el (ekkor viszont a rendszer potenciális energiája n"). Ez indokolja a (2."80)–(2"82) egyenletekben szerepl! negatív el!jelet! 178 2. Példa Mekkora a Föld – Hold rendszer gravitációs potenciális energiája? A Föld – Hold átlagos távolságot vegyük r = 3,82 ·108 m-nek. Megoldás: a) Arra a kérdésre adunk választ, hogy mekkora a Hold potenciális energiája a Föld gravitációs terében, ha vonatkoztatási pontnak a Hold potenciálját a végtelenben vesszük nullának. Ekkor egyszer!en alkalmazzuk a (2.185b) képletet: Epot (Hold) = – ! 24 22 mF mH –11 5,98·10 ·7,36·10 = – 6,67·10 = – 7,68·1028 J 8 r 3,82·10 Megoldás: b) Úgy is meg lehet ezt az energiát határozni, hogy

kiszámoljuk a Föld energiáját a Hold terében és ehhez hozzáadjuk a Hold energiáját a Föld terében, majd az eredményt elosztjuk kett"vel (mert ebben a (2.182a) szerinti számolásban mindkét égitestet kétszer vettük figyelembe!) Így tehát Epot (F–H) = – m F m H mF mH 1 $ mF mH ! + ! = – ! & # r r % r 2 " Az a) és b) megoldás azonos eredményre vezet. ( Egy próbatöltést (próbatömeget) az er!vonalak mentén mozgatva a testen munkát végzünk, illetve a térrel munkát végeztetünk attól függ"en, hogy a töltést (tömeget) milyen irányban mozgatjuk. Ha egy ponttöltés (tömegpont) által keltett er!teret vizsgálunk, megállapíthatjuk, hogy ebben az er!vonalak mindig töltésb!l (tömegb!l) indulnak és töltésben (tömegben) vagy a végtelenben végz!dnek. Minden mozgást felbonthatunk ugyanis az er"vonalakkal párhuzamos, illetve azokra mer"leges összetev"kre, és a munkavégzéshez csak az er!vonalakkal

párhuzamos komponensek járulnak hozzá. Minthogy a ponttöltés er!terében a térer!sség csak az er"tér centrumának választott ponttöltés nagyságától és az attól való távolságtól függ, zárt görbén mozogva pontosan ugyanannyit kell távolodnunk kiindulási helyünkt"l, mint amennyit közeledünk hozzá; a távolodáskor illetve közeledéskor végzett munka nagysága azonos, el"jele pedig ellentétes,* tehát konzervatív er!térben a zárt görbén végzett teljes munka nulla (ld. 235 ábrát) Azt felhasználva beláthatjuk, hogy egy rögzített kiindulási és végállapot között végzett munka nagysága ilyen er!térben független attól az úttól, amelyen egyik állapotból a másikba jutunk. Ha ugyanis a kiindulási és végállapot között két kü- * Hiszen az F·dr kifejezés el"jele megváltozik, ha dr el"jele változik. 179 lönböz" utat veszünk fel, az egyik irányának megfordításával egy zárt görbét

kapunk, melyen a végzett munka nulla. A munkavégzés nagysága viszont független az út irányítottságától (ld. el"z" lábjegyzetet) Vagyis az els" úton odafelé ugyanakkora munkát végeztünk tér ellenében, mint amennyit a tér végez a második úton visszafelé haladva. 2.35 ábra Konzervatív er!térben bármely zárt görbén (a bejelölt utakon a nyíl az út irányát jelenti) végzett munka nulla. Legyen E az elektromos térer!sség és a bejelölt (")–(2)–(3)–(4)–(") úton vigyünk körbe egy pozitív töltést. Az ábra belsejébe egy másik utat is bejelöltünk és megmutattuk, hogy pl. egy ellipszis alakú út hogyan bontható F-re mer!leges és párhuzamos szakaszokra. A fentieket matematikailag úgy fogalmazhatjuk meg, hogy egy ponttöltés terében egy tetsz!leges* zárt g görbére * o E(r) dr = 0 ) (2."83) g ahol az integráljelre írt kör a g görbe zártságára utal és E az er"tér térer"sségének

vektora. Azon er!tereket, amelyekben bármely zárt görbére nézve * o E dr = 0 ) g konzervatív er!tereknek nevezzük. Ez a megfogalmazás ekvivalens a 2.5 pont bevezet"jében megadottal A (2"83) egyenlettel kifejezett ismérv a konzervatív er!terek alaptulajdonsága. Az ilyen és csak az ilyen tulajdonságú er!terekre definiálható potenciális energia ill. (ld a * Azaz: ha csak egy olyan (g) görbe is húzható az er"térben, amelyikre (2.183) feltétel nem teljesül, az er"tér nem konzervatív! 180 2.522 pontot) potenciál Megfordítva az er"terek konzervatívak, ha rájuk nézve definiálható potenciális energia ill. potenciál, azaz ha az er"tér "potenciálos" ( Ezzel szemben pl. azokban az er"terekben, amelyekben az er"vonalak önmagukba záródnak (ilyenek pl az árammal átjárt vezet" B indukcióvektorának er"vonalai), a (2183) nem áll fenn: egy zárt er"vonalon végighaladva a végzett munka

nem nulla, hiszen F és dr relatív iránya a mozgás során nem változik (ld. 236a ábrát) 2.36 ábra a) Olyan er!tér, amelyben az er!vonalak koncentrikus körök A nyilak az er! ill. az elmozdulás irányát mutatják Egy testet az ilyen er!térben az er!vonalak mentén mozgatva egy teljes kör megtétele után a teljes munka nem nulla, mivel a teljes munka az ilyenkor mindig azonos el!jel# F·dr elemi munkák összege; ez pozitív vagy negatív aszerint, hogy a zárt er!vonalak mentén a test az er! irányával megegyez!, vagy azzal ellentétes irányban mozog. b) Nem konzervatívak a párhuzamos er!vonalakkal jellemezhet! inhomogén er!terek sem. Az ilyen tulajdonságú er!tér nem konzervatív. Ahhoz azonban, hogy egy er"tér ne legyen konzervatív, nem szükséges, hogy er"vonalai önmagukba záródjanak (ld. 2.36b ábrát) A nem konzervatív er"terekr"l és er"kr"l a 2.54 pontban szólunk ( A potenciális energia skálájának nullpontja

(vonatkoztatási pontja) önkényesen választható, adható meg; ha azonban megválasztottuk, választásunkat egy számításon belül következetesen kell alkalmaznunk. Az önkényes választhatóság azon alapul, hogy mindig csak energiaváltozások mérhet!k, ezekre vonatkozóan viszont 181 fennáll,* hogy r2 Epot,2 – Epot,1 = – * ) F dr = – r1 r1 0 ,– / * * F dr – F dr ) ) , / r(vonatk.) + r(vonatk.) r2 (2.184) Ha tehát két pontra ismerjük azok vonatkoztatási pontra vonatkozó Epot,1, ill Epot,2 potenciális energiáját, ezen adatokból mindig kiszámítható a két pont közötti 1Epot = Epot,2 – Epot,1 potenciális energiakülönbség is. A potenciális energia vonatkoztatási pontját (ahol a potenciális energia nulla) te1 hát tetsz!legesen választhatjuk meg. Az 2 -t"l függ" er"k esetén a vonatkoztatási ponr tot nem célszer! a teret létrehozó Q ponttöltés ill. M tömegpont helyén felvett r=0 pontba helyezni, mivel ebben az

esetben minden pontban végtelen érték! potenciális energiát kapnánk.* Az elektrosztatikus és gravitációs er!tereknél a vonatkoztatási pontot gyakran* a tér forrásától végtelen távoli pontba helyezzük. Ilymódon a gravitációs er!térre (ld. (2142) egyenletet) r - Mm r0 ,–! r2 r / dr . + * 2 ) Epot(r) = – (1.185a) r(vonatk.)=3 az er" konzervatív jellege miatt (ld. 234 pontot) felvehetünk egy olyan utat, amelyen r || dr-el, azaz r dr = r dr, és így: r * 2 ) Epot(r) = r Mm Mm - Mm0 ! 2 dr = – ,! r / = – ! r r . + (2."85b) 3 r(vonatk.)=3 alakúnak adódik. * Bármely határozott integrálra fennáll, hogy r2 r1 r2 r(vonatk.) * * * * * ) F dr ) F dr + ) F dr = – ) F dr = ) F dr + r 1 r(vonatk.) r(vonatk.) r(vonatk.) r r2 1 r * Ekkor pl. (2185) – -! Mm0 = –! Mm + ! Mm r r + r .o , azaz végtelen érték! lenne. r=o * "Gyakran", mert pl. egy töltött végtelen huzal, vagy egy kondenzátor kiszámításánál ez nem

lenne megvalósítható, vagy nem lenne célszer! (ld. 614 pontot) potenciáljának 182 Ugyanez ponttöltés elektrosztatikus er!terében (vákuumban) r Epot(r) = – 1 Qq - 1 Qq 0 , / dr = 2 r 445o r +445o . * 2 ) (2."86) r(vonatk.)=3 3. Példa Határozzuk meg egy test gravitációs térb"l származó potenciális energiáját a Föld felszínének közelében! A vonatkoztatási pont legyen a végtelenben! Egy kis h magasságra emelve egy testet, potenciális energiája a 1Epot = Epot(R+h) – Epot(R) értékkel n" meg, ahol R a Föld sugarát jelöli. Mivel h << R, a 1Epot a potenciális energia megváltozása közelít"leg a dE 1Epot 6 drpot 77 ·h R kifejezéssel egyenl". A (2185b)-b"l, mindkét oldal differenciálásával dEpot dr =! R Mm R2 Így $!Mm 1Epot 8 # 2 &·h " R % (2.187) De a !M/R2 ugyancsak közelít"leg (ld. 281a) éppen a gravitációs gyorsulás értéke a Földfelszínen. Ezt g-vel jelölve

végeredményül a 1Epot 8 mgh (2.188) ismer"s képletet kapjuk. ( Megfordítva: a potenciális energiából az er!térben ható er! kiszámítható. Induljunk ki az r * ) Epot = – F(r) dr (ld.(2180)) r(vonatk.) definícióból! Ha F csak egy koordináta függvénye ("egydimenziós" eset), akkor x Epot = – * F(x) dx ) x(vonatk.) (2.189a) 183 Ilyen esetben az F er" mindkét oldal differenciálásával dE F(x) = – dxpot (2."89b) azaz konzervatív er"tér esetében az adott pontban ható er" egyenl" a potenciális energia adott helyen vett differenciálhányadosának (–1)-szeresével. (Ilyen esetet tárgyalunk a 240 ábrával kapcsolatos szövegben) Ha a probléma háromdimenziós, tehát az er" az x, y, z koordináta függvénye, akkor az er" egyes komponenseinek meghatározásához a potenciális energia deriváltját komponensenként kell meghatároznunk; a megfelel" Fx, Fy, Fz er"komponensek a

megfelel" deriváltak (–1)-szeresei: Fx = – 9Epot , 9x Fy = – 9Epot , 9y Fz = – 9Epot 9z (2.190a) 9 9 9 , , jellel azt jelöltük, hogy miközben x, y, z szerint külön-külön derivá9x 9y 9z lunk, a másik két koordináta konstans.) (A Ezt a mérnöki gyakorlatban szokásos módon a három koordinátatengely irányába mutató i, j és k vektorokkal az 9E 9E 0 - 9E F(r) = – ,i pot + j pot + k pot/ 9y 9z . + 9x (2.190b) alakban is felírhatjuk (ld. Függelék) A szögletes zárójelen belüli kifejezésnek külön jelölése is van: grad Epot és a potenciális energia gradiensének nevezzük. Vagyis: F(r) = –grad Epot (2."9") 4. Példa Egy er"térben az F = k r típusú centrális er" hat, ahol k egy állandó, melynek negatív értéke vonzást, pozitív értéke taszítást jelent. Határozzuk meg a potenciális energiát! Hogyan érdemes megválasztani a vonatkoztatási pontot? (Az F = –kr eset a (2100a) lineáris

er"törvény esete) Megoldás: A potenciális energia az er"vel kifejezve: r * F(r)dr Epot = – ) ro ahol ro a vonatkoztatási pontot jelenti. Így egy általános r helyen: r 1 2 1 $ 1 * k r dr = #– k r2 + k ro& = – k r2 + C Epot = –) 2 2 2 % " ro 184 ahol a C integrációs állandó meghatározható e vonatkoztatási pont megválasztásával. Ha például r0 = 0-ban van a vonatkoztatási pont, akkor itt Epot=0, és C=0. Így 1 Epot = – kr2 (2.192) 2 5. Példa Számítsuk ki, hogy mennyi egy q1 = 10–5 C töltést"l 0,5 m-re lév" q2 = 10–4 C töltés! testnek a helyzeti energiája a q1 töltés elektromos terében! Megoldás: Vegyük fel a koordinátarendszerünk x tengelyét a két töltést összeköt" egyenes mentén és a vonatkoztatási pontot a végtelenben. A (2186) szerint 0,5 1 q1q2 Epot = – * 2 445 x2 dx = 9·109·10–9 ·2 = 18 J. 0 ) 3 6. Példa Mennyi a Föld felszínét"l h = 10000 km magasságban lév"

1 tonnás m!hold gravitációs helyzeti energiája a.) a végtelenhez, b.) a Föld felszínéhez képest? Megoldás: A Föld sugara R 8 6370 km, tömege M 8 5,97·1024 kg és jelöljük a m!hold tömegét m-mel ! a.) R+h - Mm0 Epot = ,– ! r /. + 3 b.) = –! Mm 5,97·1024·103 10 –11 6 –6,67·10 R+h (6370+10000)·103 6 –2,43·10 J R+h Mm Mm Mm h - Mm0 Epot = ,– ! r / =–! +! = !: 8 R+h R R(R+h) .R + 5,97·1024·103 8 6,67·10–11 · 6370·103(6370+10000)·103 6 +3,81·103 J Megyjegyzés: A mechanikai problémáknál a potenciális energiával való számítások a célravezet"ek. Az elektrosztatikában a potenciál alkalmazása kedvez"bb (ld alább) 185 2.522 A potenciál A (2.185) ill (2186) kifejezések szerint a potenciális energia az m tömeg! ill q töltés! testen (az er", er"tér ellenében) végzett munkával egyenl"; mind az m, mind a q ezekben az egyenletekben szorzótényez"ként szerepel. Válasszuk szét tehát az

er"térre és az er"térbe helyezett testre jellemz" mennyiségeket! Epot(r) = m ;(r) (gravitációs er"térre) és Epot(r) = q ;(r) (elektromos er"térre). Az így bevezetett mennyiség a potenciál. Részletesebben kifejtve: A tér egy r pontjában az er!térbeli potenciál számértéke egyenl! azzal a munkával, amit egy egységnyi tömeg# testen (egységnyi töltésen) végzünk az er!tér térer!ssége ellenében, ha azt az önkényesen választott vonatkoztatási pontból* az r pontba visszük. Azaz, képlettel kifejezve, a vonatkoztatási pontot a végtelenben választva r ;:= – * ) E dr +3 (2."93) Például egy ponttöltés elektromos potenciáljára: r r r Q 1 -Q0 1 1 Q ;=– * ) E dr = – 445 * ) r2 dr = 445 ,+ r /. = 445 r o o o 3 +3 +3 A gravitációs potenciál esetében az Eg(r) (2.109) képlet felhasználásával analóg járunk el. Az eredményeket egy tömegpont ill ponttöltés gravitációs- ill elektrosztatikus terére

összefoglalva: Potenciál dimenziója SI egysége gravitációs tér M ;(r) = –g r [;] = [munka] [tömeg] J kg elektromos tér 1 Q ;(r) = 44eo r [munka] [töltés] $ J Ws VAs V, #C = = = V& As As % " ill. [;] = (2.194a,b) (2.195a,b) * Itt is érvényes (ld. 2521 pont), hogy célszer!ségb"l, pl a (2194a,b) esetében legyen r(vonatk.) = 3 De pl egy egyenletesen töltött végtelen lemeznél nem a végtelenbe helyezzük a vonatkoztatási pontot (ld. 614 pontot) 186 Természetesen a potenciálra is vonatkoznak a potenciális energiára mondottak: ha ismerjük két pont adott vonatkoztatási pontra vonatkoztatott potenciálját, akkor mindig kiszámítható a két pont közötti potenciálkülönbség is. A potenciális energiánál leírtak szerint a ; potenciál ismeretében kiszámítható az er!tér térer!ssége. Ha a ; potenciál csak az x-t"l függ: Ex = – d; dx (2."96) Ha a ; potenciál r függvénye, akkor a térer"sség egyes

komponenseit (a potenciális energiánál mondottaknak analógiájára) a következ" kifejezések adják: Ex = – 9; 9; 9; , Ey = – , Ez = – 9y 9z 9x (2.197a) A (2.190b)-vel illetve (2191)-el analóg kifejezések 9;0 - 9; 9; +j +k / E(r) = – ,i 9y 9z . 9x + E(r) = –grad ; (2.197b) (2."98) 7. Példa Ábrázoljuk a potenciálfüggvényt a Föld, illetve egy hidrogén atommag esetében a távolság függvényében! Az ábrázolandó tartomány kezd"djön a Föld esetében a Föld felszínén, a hidrogén atommag (proton) esetében válasszunk olyan tartományt, amelyik tartalmazza az alapállapotbeli pályasugarat (ao 6 5,29·10–11 m, ld. Függeléket) 187 ;[J/kg] -5 107 ; <r = > ? ! @ MF r -2 108 -3 108 -4 108 ;[J/C] 10000 50000 r(km) 250 200 ; <r = > 150 1 q @ 4450 r 100 50 1 1021 1 10-11 5 10-11 9 10-11 r(m) 2.37 ábra Potenciál a Föld gravitációs terében (a), illetve egy hidrogén atomban (b) A feladat

megoldásához használjuk fel a (2.194a,b) képleteket Behelyettesítve a fenti egyenletekbe a számadatokat (MFöld = 5,97·1024 kg, RFöld = 6370 km, q = e = 1,6·10–19 C) a 2.37 ábrán látható görbéket kapjuk 8. Példa A Föld belsejében a potenciál menete más Milyen a potenciál menete a Föld belsejében? Ha a Földet egy homogén gömbnek tételezzük fel, akkor egy, a Föld belsejében a Föld középpontjától r távolságban lév" pontban csak annak az anyagmennyiségnek a gravitációs hatása jelenik meg, ami egy r sugarú gömbön belül van. Így ;(r) = – ! 4r34 1 M(r) = –!:A · · , ha r < RFöld 3 r r ahol A=4 MFöld 3 3 RFöld 4 188 és így ;(r) = –! MFöld 3 RFöld · r2, ha r < RFöld (2.199) 2.53 A mechanikai energia megmaradásának tétele "Potenciáldiagramok" ( Egy tömegpont esetére (ld. 2171a,b): r(t ) t 2 2 d $1 · 2& dt = * F dr * mr # ) ) dt "2 % (ld. (2171a,b)) r(t1) t1 1 ·2 2 mr

kinetikus energia (2.171c) megváltozása áll, míg (2.171a,b) jobboldala az er!tér (!) (2.171a,b) baloldalán az r1 = r(t1) és r2 = r(t2) pontok közötti W12 munkavégzését adja meg. Konzervatív er"térben ez a munkavégzés a potenciális energia segítségével is felírható; mivel a potenciális energia az er!tér ellenében végzett munkával (ld. (2"80)) egyenl!, a (2"7"a,b) jobboldalán viszont az er!tér munkája áll, az el!jel figyelembevételével: W12 = –[Epot(r2) – Epot(r1)] (2.200)* (2.171a,b) pedig az 1 1 mv2(t2) – mv2(t1) = –Epot(r2) + Epot(r1) 2 2 alakba írható, ahonnan v1=v(t1), v2=v(t2) jelöléssel, átrendezéssel a 1 1 2 2 mv mv + E (r ) = 1 2 + Epot(r2) 1 pot 2 2 (2.20") egyenletet kapjuk. Szavakban: Konzervatív er!térben a tömegpont kinetikus és potenciális energiájának összege állandó. Ez a mechanikai energiamegmaradásának törvénye * A negatív el"jel a W = –1E pot miatt lép fel, mivel

itt W az er"tér munkáját jelenti! 189 9. Példa Ejtsünk le egy testet a Földön h << R magasságból (ahol R a Föld sugarát jelöli)! Mekkora sebességgel csapódik be a Földbe, ha a légellenállást és a Föld forgását elhanyagoljuk? A test esése során a testb"l és a Földb"l álló rendszerre küls" hatások nem hatnak, ezért a rendszer energiája állandó. Mivel a nehézségi er"tér konzervatív, a test esése során potenciális energiája kinetikus energiává alakul át, miközben összenergiája állandó. A testnek h magasságban csak potenciális energiája van; ennek értéke (ha a vonatkoztatási pontot a Föld felszínén választjuk): E = Epot(h) = mgh Ha x távolságot már esett, akkor potenciális és kinetikus energiája egyaránt van 1 Epot(x) = mg(h–x) Ekin(x) = mv2 2 Mivel a h magasságban kezd"sebessége nulla volt és g gyorsulással x-et esett 1 v = 2gx (hiszen v = gt és x = gt2), vagyis 2 1 Ekin = m ·

2g · x = mgx 2 így Epot + Ekin = mg(h–x) + mgx = mgh és ez valóban megegyezik a kezdeti potenciális energiájával. A földreérkezéskor csak kinetikus energiája van v = 2gh ami szintén egyenl" a kezdeti potenciális energiájával: 1 Ekin = mv2 = mgh 2 ( Tömegpontrendszerre az energiamegmaradás elve hasonló gondolatmenettel írható fel, de a kinetikus energiára a (2.177), a potenciális energiára a (2182a) kifejezéseket kell használnunk. Ilyen értelmezéssel: Ekin,2 + Epot(r2) = Ekin,1 + Epot(r1) ahol (2.202a) 190 (b) (K) Epot = Epot + Epot = – ( W(b) + W(K)) (2.202b)* A pontrendszerek esetében tehát mind a bels! (b), mind a küls! (K) er!k W(b) ill. W(K) munkája is ad energiajárulékot. A pontrendszerek mechanikai energiamegmaradási tétele természetesen felírható (b) (K) Ekin + Epot + Epot = állandó (2.203) alakban is. Ha a bels" er"k konzervatívak, de a küls" er"k nem, akkor a megfelel" kifejezés (K) (b)

Ekin + Epot = – W = állandó (2.204) ( A mechanikai energiamegmaradásának törvénye lehet!séget ad számunkra a mechanikai rendszer viselkedésének potenciális–energia diagramokkal való szemléltetésére. A potenciális–energia diagramokat (elterjedt szakzsargonban: potenciál–diagram) a mikrofizikában is kiterjedten alkalmazzák, ezért ezek használatának megismerése számunkra fontos. Vizsgáljunk meg pl. egy rugóra er"sített m tömeg! testet gravitációmentes térben (ld. 238 ábra) és hanyagoljuk el a rugó tömegét Ha a testet xo egyensúlyi helyzetéb"l x = A-val kitérítjük, harmonikus rezgésbe kezd. A rezgés során kinetikus és potenciális energiájának összege állandó. A 252 pont 3 példájában levezettük, de a középiskolából is tudjuk, hogy egy x=0 pont körül harmonikusan rezg" test potenciális energiája (ld. (2192)): 1 Epot = 2 Dx2 * W(b) = 1 B W(b) i 2 i 191 2.38 ábra Rugóra er!sített rezg! tömegpont

Tanulmányozzuk ezen harmonikus rezg"mozgást potenciáldiagrammon (2.39 ábra)! 2.39 ábra A harmonikus rezg!mozgást végz! tömegpont (harmonikus oszcillátor) potenciáldiagramja. Az Eössz összenergia, valamint Ep potenciális és Ek kinetikus energiák értéke x=0, x=A ill. x=x" helyen x=0 Ep = 0 x=A Ep = Eössz x = x1 Ep C 0 Ekin = Eössz Ekin = 0 Ekin C 0 F=0 F= – 9Epot 9x = –DA x=A F=– 9Epot 9x x=x 1 192 A 2.39 ábra értelmezése: A test (pl tömegpont ill egy kiterjedt test tömegközéppontja) az x tengelyen mozog, x tengely irányú er" hatása alatt A potenciális energiát az x tengelyt"l a potenciális energiafüggvény görbéjéig húzott nyíllal ábrázolhatjuk. A nyíl iránya adja meg az energia el"jelét, ami az ábrán mindenütt pozitív (illetve az origóban nulla). A rendszer teljes energiáját az Eössz magasságában az x tengellyel párhuzamos egyenes jelöli ki. Mivel a rezgés során a potenciális és

kinetikus energiák összege állandó, a kinetikus energiát úgy ábrázolhatjuk, hogy a potenciális energia függvényt"l a teljes energiáig is rajzolunk egy nyilat. Az x1 pontban ez a nyíl is pozitív irányú, azaz a kinetikus energia is pozitív. Az amplitúdónak megfelel" x=A pontban a potenciális energiafüggvény metszi az összenergia egyenesét. A metszéspontban a teljes energia potenciális energia, vagyis a kinetikus energia nulla. A test nem juthat egyensúlyi helyzetét"l távolabbi pontba, mert ott kinetikus energiája negatív lenne, ez pedig lehetetlen. (2.189b) szerint az er" a potenciális energia gradiensének mínusz egyszerese Esetünkben dE (ld. (2189b)) F = – pot dx A tömegpont Eössz energia esetén a 2.39 ábrán körökkel jelzett bal- ill jobboldali fordulópont között rezeg. A potenciális energia adott pontbeli differenciálhányadosa az érint" iránytangense. Ez a baloldali fordulópontban negatív, az x tengely

mentén ható er" tehát a pozitív x tengely irányába mutat (és az x tengely mentén hat). Mivel az er" a potenciális energia hely szerinti deriváltjának (gradiensének) (–1)-szerese (ld. (2189b)), az er" a potenciális energia függvény minimumának megfelel" x értéknél, illetve inflexiós pontjaiban nulla.* Ezek szerint, ha valamely tömegpont a fent felsorolt helyeken tartózkodik, akkor rá nem hat er", vagyis ha az illet" helyen a tömegpont nyugalomban volt, akkor (küls" hatások nélkül) nyugalomban is marad, azaz egyensúlyban van. Ha az egyensúlyi helyzetéb"l kissé kimozdítjuk, akkor ( potenciálminimum esetén olyan er" fog rá hatni, ami az egyensúlyi helyzet felé fogja elmozdítani, tehát ez a tömegpont stabil egyensúlyi helyzete (ez látható az ábrán); ( potenciálmaximum esetén a test a rá ható er" hatására az egyensúlyi helyzetét"l távolodni fog, vagyis ez egy instabil egyensúlyi

helyzet; ( inflexiós pont esetén közvetlenül a kimozdítás után fellép" er" iránya a kimozdítás irányától függ. A testre ható er" iránya viszont mindíg a potenciális energia csökkenésének irányába mutat, így a létrejöv" mozgás a testet mindenképpen el fogja távolítani az egyensúly helyét"l. * Ugyanez lenne a helyzet egy esetleges maximumnál vagy inflexiós ponton. 193 "0. Példa Egy harmonikusan rezg" test kitérése és sebessége az id" függvényében (ld. 2144 pontot, ezesetben x(t) szinuszos függvényét használva) x(t) = A sin (Dt +:Eo) v(t) = AD cos (Dt + Eo) A kinetikus és potenciális energia összege: 1 1 1 1 Eössz = Dx2 + mv2 = DA2 sin2 (Dt + Eo) + m A2D2 cos2 (Dt + Eo) 2 2 2 2 (2.205a) Mivel (2.100b) D D= m 1 1 D Eössz = DA2 sin2(Dt + Eo) + mA2 cos2(Dt + Eo) = 2 2 m 1 1 = DA2 [sin2(Dt + Eo) + cos2(Dt + Eo)] = 2 DA2 2 valóban állandó. Az D-val felírva: 1 Eössz = mD2A2 2 (2.205b) A

potenciális–energia diagram (általánosan elfogadott de nem egzakt elnevezéssel potenciáldiagram; a továbbiakban mi is átvesszük ez utóbbi elnevezést) a fizikában a kölcsönható rendszerek energiaviszonyainak szemléltetésére igen elterjedt, ezért “olvasásának” egyszer! “szabályaira” e helyen mi is kitérünk. Tekintsünk a harmonikus rezg"mozgás 2.39 ábrán ábrázolt potenciáldiagramjánál bonyolultabb esetet: a 2.40/a ábrán egy kétatomos molekula atomjainak egyensúlyi helyzet körüli rezg"mozgása potenciál–diagramját ábrázoltuk, önkényes, de célszer!en választott E0 = 0 energia nullponttal: mivel a potenciális energiának mindig csak a változása mérhet", az energia nullpont megválasztása tetsz"leges, de mint jeleztük, vannak célszer!ségi szempontok; esetünkben a célszer! megválasztásra alábbiakban még visszatérünk. A kétatomos molekula atomjainak rezg"mozgása természetesen érvényes a

mechanikai energia megmaradás, tehát Eössz = Ekin + Epot (I) Ebb"l Ekin = Eössz – Epot = (Eössz –E0 ) – (Epot –E0) (II) 194 ahol az Ekin definiciójából következ"en mindig pozitív (vagy nulla) érték!. 2.40 ábra Egy kétatomos molekula rezgésének potenciális energia (“potenciál”) diagramja. Az Epot potenciális-, Ekin kinetikus- és Eössz az összenergia értékei három különböz! (a, b, c) energianullpont választásnál. Jelölés: a pozitív érték# mennyiségeket felfelé, a negatív értéküeket lefelé irányuló nyilakkal jelöltük. A kinetikus energia értéke a diagram bármely xi pontjában könnyen leolvasható, mint az Eössz és az Epot (xi) távolsága; az Ekin (xi)-t tehát az E0 választástól függetlenül megkapjuk, ha az Epot (xi)-t"l kiindulva az Eössz = adott konst. vonalig húzott távolságot megmérjük. Ennek értéke és pozitív el"jele a (II) egyenlet szerint és a 2.40 a,b,c ábrán jól

láthatóan független a E0 = 0 energianullpont megválasztásától A potenciális energiát bármely xi pontban úgy kapjuk meg, hogy az E0 = 0 egyenletb"l az adott Epot (xi) pontig függ"leges egyenest húzunk. A (kétatomos) molekula atomjai közötti kötés nem merev, inkább egy rugóhoz hasonlít: mikor a molekulák ütköznek, vagy más módon gerjeszt"dnek, az atomok egymáshoz képest egy r0 = x0 (ld. 240 ábrát) egyensúlyi helyzet körül rezgésbe jönnek, mivel az atomok közötti távolság csökkenésekor taszitóer!k, növekedésekor 195 pedig vonzóer"k lépnek fel. Az egyensúlyi helyzetben (x0-nál) az ered" er" potenciális energiája minimális. A rendszer kis amplitudóknál a harmonikus oszcillátorral modellezhet" (ld. 239 ábra), melyben a rugalmas er" arányos az egyensúlyi helyzett"l mért (x – x0), távolsággal, azaz F = – D (x – x0) és így a Epot (x) függvény kvadratikus (parabola alakú) és

a rezgések amplitudója (a potenciálvölgy fordulópontjai között) növekv" Eössz energiával egyre n". Belátható azonban, hogy a harmonikus oszcillátor nem megfelel" modellje a (kétatomos) molekulának: a tapasztalat ugyanis azt mutatja, hogy ha a rezgési összenergia (Eössz) n", akkor az Eössz az adott molekulára jellemz" jól definiált értékénél a molekula ketté szakad, disszociál. Ezt tükrözi a 240 ábra szerinti, egy anharmonikus oszcillátort leíró potenciáldiagram: látható (2.40a ábra), hogy az Epot minimumától (pontosabban a kissé e felett lev" kvantummechanikai zérus pontenergiától, ld. 8 fejezet) számított Eössz = Edissz energiánál a rezgés disszociációba, szétszakadásba megy át: az atomok a potenciálvölgybeli kötött állapotból kiszabadulnak és szabaddá válnak! Ha az E0 energianullpontnak most célszer#en a legalacsonyabb energiájú szabad állapotot választjuk, egyszer#en jellemezhetjük a

szabad és a kötött állapotot: ha a rendszer összenergiája ilyen választással pozitív (Eössz > 0), akkor a rendszer szabad állapotban van, hiszen Ekin energiája bármely x értéknél pozitív, tehát az atomok tetsz"leges helyre eljuthatnak. Ha viszont a rendszer összenergiája negatív, akkor az Ekin csak a potenciálvölgyben lesz pozitív: az atomok által (klasszikusan, ld. 8 fejezet) elérhet" térrész a potenciálvölgyre korlátozódik. (A 240a ábrán látható, hogy a potenciálvölgyön kívül formálisan negatív Ekin értéket kapnánk.) ( Tipikus szabad, illetve kötött állapotot mutatunk be a 2.41a és b ábrán A 2.41 ábrán egy H atom terében mozgó elektron potenciális energia–diagramját láthatjuk. A potenciális energia nulla szintjének a legalacsonyabb energiájú szabad állapot energiáját választjuk. Ha az elektron összenergiája pozitív (241a ábra), akkor kinetikus energiája mindenütt pozitív, vagyis a részecske

szabad, tetsz"leges helyre eljuthat. Ha azonban összenergiája negatív (241b ábra) akkor a részecske az Eössz egyenes és a potenciális energia görbe metszéspontjainak megfelel" x tengelyen lév" tartományból nem tud kilépni,mert ezen tartományon kívül kinetikus energiájának negatívnak kellene lennie, ez pedig az Ekin definiciójából következ"en lehetetlen, azaz kötött állapotban van. 196 2.4" ábra Szabad (a) és kötött (b) elektronállapot a H atommag terében (Jelölés: a pozitív értékeket felfelé, a negatív értékeket lefelé irányuló nyilak jelölik.) 2.54 Nem konzervatív er!terek* ( Egy er!tér akkor nem konzervatív, ha van legalább egy olyan zárt (g) görbe, amelyre (2."83) nem teljesül, azaz * o E(r) dr C 0 ) (2.206) (g) Az olyan er"tereket, amelyekben van olyan zárt görbe, amelyen egy testet "körbevíve" a végzett munka nem nulla, örvényes er!tereknek nevezzük. Az örvényes

er"terekben is lehetnek ugyan zárt görbék, amelyeken egy "töltést" körbevíve a végzett munka nulla, de vannak olyan zárt görbék is, amelyekre ez nem teljesül. ( Ennek megfelel"en az olyan er!terek amelyekben az er!vonalak önmagukban záródnak, sohasem konzervatív er!terek. * A konzervatív er"tér által kifejtett er"t rövidítve szokás konzervatív er"nek is nevezni. Ugyanakkor pl. a súrlódó er" stb esetében nem beszélhetünk er"térr"l; ilyenkor a helyes szóhasználat: "nem konzervatív er!". 197 ( A (2.183) általában akkor sem teljesülhet, ha az er!tér térer!ssége, illetve az er"térbe helyezett testekre ható er" függ az id"t"l, vagy az er"térben mozgó test sebességét"l. Az els" esetben az er", illetve a térer"sség megváltozása általában kizárja azt, hogy (2183) teljesüljön, hiszen pl egy er"vonal mentén egyik irányban, majd

ugyanakkora úton visszafelé mozgatott testen végzett ered" munka általában nem nulla. A második esetben pedig egy nem állandó sebességgel, egy zárt görbén körbevitt testen végzett munka nagysága a test v(t) sebesség–függvényét"l is függ; utóbbira jó példa a mozgó vezet"vel létrehozott indukált elektromos térer"sség (ld. 6.32 pont) Más szavakkal: ezekben az esetekben a rendszer munkája nemcsak a test kezdeti és véghelyzetét"l függ. ( A nem konzervatív er!k különleges csoportját alkotják a súrlódási, bels! súrlódási, közegellenállási er!k. Az ezen er!k ellenében végzett (el!jeles) munka egy zárt rendszer bels! energiáját (ld. 122 és 255 pontokat) (mindig) növeli Az ilyen er"k ellenében végzett (el"jeles) munka (ld. 236 pont) mindig pozitív; mivel a munka ilyen esetben nem alakul más munkává, csak a rendszer bels" energiáját növelheti. Az ilyen er"ket ezért szokták

disszipatív er!knek is nevezni Hasonlóan nem konzervatív a termodinamikai rendszereken végzett (el!jeles) munka (ilyen pl. a rendszeren végzett el"jeles térfogati munka; ld 236 pont) és a rendszer (el!jeles) h!cseréje (pl. amikor a rendszert egy másik testtel termikus kölcsönhatásba hozzuk); ezek szintén a rendszer bels" energiáját növelik ill (el"jeles mennyiségekr"l lévén szó) csökkentik. ( Ha egy zárt görbe menti munka nem nulla, akkor a testet ilyen görbe mentén tetsz"legesen sokszor körbemozgatva korlátlanul lehetne munkát termelni anélkül, hogy e munkavégzés energiafedezetét valahonnan biztosítanánk; azaz nem teljesülne az energiamegmaradás elve. Hogy utóbbi teljesüljön, ezt a termelt (el"jeles) munkát valamilyen más munkafajtának, energiaforrásnak kell fedeznie ill. (ha a rendszer végzi a munkát) a munkának más típusú munkává vagy a rendszer bels" energiájává kell átalakulnia. 2.55 A

bels! energia. Kötési energia, kötött állapot Egy makroszkópikus sokrészecske rendszer E teljes energiája szétválasztható (ld. 1.22 pontot) a rendszer, mint egész EM mechanikai energiájára és a rendszer U bels! energiájára. E = EM + U (2.207) A rendszer EM mechanikai energiája a rendszer tömegközéppontja kinetikus és potenciális energiájának és a rendszer, mint egész forgási kinetikus energiájának összege. 198 A rendszer bels! energiája magában foglalja a makroszkópikusan nyugvó rendszert alkotó részecskék haladó (transzlációs-) mozgásának, forgásának (ezek csak gázfázisban léphetnek fel), a részecskék egyensúlyi helyzetük körüli rezgésének (szilárd és folyadékfázis esetén), a részecskék bels! rezgéseinek (pl. egy molekulán belüli atomok egyensúlyi helyzetükhöz viszonyított rezgéseinek) kinetikus ill. potenciális energiáját. A bels! energia ezen járulékait szokták termikus energiának is nevezni Ezek a

bels! energiajárulékok az alábbiakban ismertetett okok miatt csak T > 0 K h!mérsékleten lépnek fel. Ha csak külön nem jelezzük, bels! energián a termikus energiát értjük.* Az U bels! energia mikrofizikailag tehát szintén kinetikus- és potenciális energiajárulékokra osztható. Ha egy olyan (mechanikai szempontból zárt) sokrészecske rendszert vizsgálunk, amelyben a részecskék potenciális energiáját elhanyagoljuk, és kölcsönhatásukat kizárólag az egymással való ütközésre korlátozzuk, az egyatomos részecskékb!l álló ideális gáz modelljéhez (ld. az 113 pontot) jutunk Ilyen rendszerben nem túl magas h!fokon csak a részecskék transzlációs kinetikus energiájával kell számolnunk. A többatomos ideális gázokban már egyéb energiatagok, a molekulák forgási– (rotációs) kinetikus és a molekulákat alkotó atomok egymáshoz viszonyított rezgéseinek rezgési– (kinetikus és potenciális) energiája is fellépnek, bár utóbbiak

csak magasabb h!mérsékleten gerjeszt!dnek (ld. 4 fejezet 45 pontot) [A bels! energia termikus energiából származó részét (helytelenül) "szokták" "h!energiának" is nevezni; ez a mintegy 150 éve elévült és hibás "h!anyag" (flogiszton-) elmélet szóhasználati hagyatéka. A korszer" fizikában a h! a bels! energia megváltozását eredményez! energiaátadási folyamat (ld. 122 pontot és alább) egy válfaja; a h! mindig h!átadáshoz (h!közléshez) kapcsolódik. A bels! energia nem bontható fel h!- és munka járulékra.] A testtel EM mechanikai energiát csak munkavégzéssel (munkával) lehet közölni. A test bels! energiáját viszont mind munkavégzéssel (munkával), mind h!közléssel * A termikus energiának (és ezzel természetesen a bels! energiának) elvileg része (járuléka) még a részecskék elektronrendszerének gerjesztési energiája; az elektronok gerjesztéséhez szükséges energiák azonban olyan nagyok,

hogy azokat termikus energiával (pl. a rendszereken belüli molekuláris ütközésekkel) nem lehet gerjeszteni így ez a járulék jó közelítéssel állandónak tekinthet!; a gerjesztéshez fotonok, nagyenergiájú részecskékkel való ütköztetés vagy a mérnöki gyakorlaton kívül es! igen magas h!mérséklet szükséges. Mivel a sokrészecskerendszerek leírásában csak az !U bels! energia változások játszanak szerepet, és ez az állandónak tekinthet! járulék a különbségképzéskor kiesik, a mérnöki gyakorlatban nem kell vele számolnunk.) A bels! energia része az u.n zéruspontenergia (azaz a sokrészecskerendszer energiája T=0K-en) is; ezt alapállapoti energiának is nevezik. Ide soroljuk el!ször is a magenergiát (a magbeli kötési energiát, valamint a magbeli kinetikus és potenciális energiát); a magenergia sok nagyságrenddel nagyobb, mint a többi energiajárulék, ezért szintén állandónak tekinthet!, és így a !U különbség képzésekor

szintén kiesik. Ide tartozik másodszor a kémiai kötési energia és harmadszor a kvantummechanikai okokra visszavezethet! rezgési zéruspontenergia. Ezek az utóbbiak jelentik a különbséget két különböz! kémiai anyagfajta zérusnívója (alapállapota) között. Ezek csak kémiai átalakulásokban változnak. 199 meg lehet változtatni; a DQ h!közlés és a DW munka* ennek során el!jeles mennyiségek: az el!jel pozitív, ha a rendszerrel hõt közlünk vagy a rendszeren munkát végzünk és negatív, ha a rendszer h!t ad le ill. munkát végez (ld az 133 pontot és az 5. fejezetet) A DQ elemi h!közlés és a DW elemi munkavégzés tehát a rendszer állapotváltozásához vezet! folyamatokhoz kapcsolódnak és értékük az állapotváltozás (állapottérbeli) útjától függenek: nem állapot-, hanem útfüggvények. Ezért a DQ ill DW értékét sohasem lehet az állapotváltozás vég- és kezdeti állapota különbségéb!l kiszámítani; a számítást a

konkrét (állapottérbeli) útra kell elvégezni! Ezt jelezzük azzal, hogy dQ és dW helyett DQ –t és DW –t írunk, míg pl. az állapottérbeli úttól független infinitezimális bels!energia változást dU –val jelöljük. " Fentebb említettük, hogy a bels! energia magában foglalja a kötési energiákat is. Korlátozzuk magunkat most a kémiai kötési energiára Vizsgáljuk a problémát egy egyszer" eseten a H + H # H2 reakción, melynek során (ún. alapállapotban lév!) atomos hidrogénb!l molekuláris hidrogén keletkezik. A szabad atomok stb. összenergiája mindig nagyobb, mint az egyesülésük után létrejöv! rendszeré (pl. molekuláé) Az energiakülönbség a kötés létrejöttekor kötési energiaként felszabadul. Példánk esetében a 2 darab szabad H atom alapállapotú energiája 436 KJ/mól-al nagyobb mint az alapállapotú H2 molekuláé. A felszabadult kötési energia az Einstein–féle E = mc2 tömeg–energia ekvivalencia szerint

(ld. 26 pontot) tömegdefektusként is megjelenik: a kötött rendszer tömege mindig kisebb, mint a szabad részecskék tömegének összege. Erre a következ! pontban konkrét példa kapcsán is visszatérünk. Mint a 2.53 pontban említettük, az energia nullpontját a legalacsonyabb szabad állapot energiájánál célszer" felvenni. Ez azt jelenti, hogy az összes kötött állapot energiáját negatívnak tekintjük. Példánkra visszatérve a szabad H-atomok alapállapoti energiáját vesszük nullának, így az alapállapotú H2 molekula energiája - 436 KJ/mol. Azt az energiát, amely ahhoz szükséges, hogy " mol molekulában a molekulákat szabad atomokra szakítsa fel kötési energiának nevezzük. A kötési energia (!E) tehát megállapodás szerint pozitív érték. * A DQ ill. DW elemi h!közlést ill munkavégzést jelent 200 2.6 A MUNKA, A KINETIKUS ENERGIA ÉS AZ ENERGIA-MEGMARADÁS A RELATIVITÁSELMÉLETBEN. TÖMEG–ENERGIA EKVIVALENCIA,

TÖMEGDEFEKTUS 2.61 A munka relativisztikus kifejezése Az F er! által végzett munkát relativisztikusan is (2.103b) alapján számolhatjuk ki: r2 W= % $ F dr r1 ahol F az er! vonatkoztatási rendszert!l függ! (2.70) alatti kifejezése (2.208a) Az egyszer"ség kedvéért tekintsünk egy egydimenziós mozgást! Mozogjon egy pontszer" test az x tengely mentén és legyen a testre ható er! is x irányú! Ebben az esetben x2 W= % $ F dx (2.208b) x1 ahol a dx differenciált (ld. 211 pont) a differenciálhányados definíciója alapján a v sebesség segítségével is felírhatjuk: dx = dx dt = v dt dt (2.209) Ezt a (2.208b)-be helyettesítve: t2 W= % $ F v dt (2.210) t1 Az F er! helyébe behelyettesíthetjük az impulzusváltozás sebességét: t 2 dp W= % $ dt v dt (2.211) t1 A p relativisztikus impulzus mv kifejezését (ld. (258)) felhasználva 1–v2/c2 t 2 d ( mv + W= % $ v · dt 1–v2/c2* dt & ) t 1 (2.212) 201 ahol t az ahhoz a

rendszerhez tartozó id!, amelyben a test mozgását vizsgáljuk. Beláthatjuk, hogy a (2.212)-ben az integráljel alatt szerepl! v d ( mv + dt & 1–v2/c2*) kifejezés tulajdonképpen az mc2 (2.212a) v2 1 – c2 differenciálhányadosa. Ehhez el!ször differenciáljuk a (2.212a)-t és az eredményt vessük össze a (2212) integranduszával! Végezzük el el!ször a (2.212a) differenciálását d( dt & 1 mc2 d ( v2+ + = – – 2 * = * 2 v2 2+3/2 dt& c ) v ( * 1 – c2 1 – c2 * ) ) & mc2 · ( 2v·v+ – 2 * = mvv 3/2 & c ) 3/2 ( v2+ ( v2+ 1 – c2 * 1 – c2 * ) ) & & mc2 1 =– 2 (2.212b) majd végezzük el a (2.212) integranduszában kijelölt m"veleteket: d v dt ( = v v2 1 – c2 & mv ( =v· & + *= v2* 1 – c2 ) d(mv) dt d + mv dt v2 1 – c2 1 ++ * = 3/2 ( v2+ * 1 – c2 * ) )) & (–2v·v+ 2 * v· & c ) ( mv· – 1 + mv v2 2 1 – c2 & 2 ( v + ( mc21 – c2 * + mv2+ · · 2 mv v mv ) + = v·v·

& *= + = v( 3/2 3/2 2 v 2 2 1– 2 2( v + * c2 (1 – v +* c 1 – c2 * c c2 ) & & ) ) ) & & . = v·v mc2 3/2 ( v2+ c2 1 – c2 * ) & = . mvv 3/2 ( v2+ 1 – c2 * ) & (2.212c) Összevetve a (2.212b) és a (2212c) egyenleteket láthatjuk, hogy a (2212a)-val kapcsolatos állításunk igaz és így a (2212) ekvivalens 202 t2 d( dt t1 & W=% $ mc2 + dt v2* 1 – c2 * ) (2.2"3) a (2.213) egyenlettel 2.62 A kinetikus és teljes energia relativisztikus kifejezése " A klasszikus mechanika szerint egy testre ható er! a testen munkát végezve egyik lehet!ségként (ld. 25 bevezet!jét) a test kinetikus energiáját változtatja meg A korrespondencia elve (ld. az 114 pontot) szerint ennek így kell lennie a relativitáselméletben is Tehát (2213)-nak egyenl!nek kell lennie a relativisztikus kinetikus energia megváltozásával (munkatétel, ld. (2173)) Legyen t1=0 és t2=t! Az integrálás elvégzése után: 1 1 ( + !Ekin = W

= mc2 – * 2 2 2 2 1–v (0)/c ) & 1–v (t)/c (2.214) Ha a vizsgált test a t=0 id!pillanatban nyugalomban volt (tehát v(0)=0), akkor 1 ( + Ekin = mc2 – 1* 2 2 & 1–v (t)/c ) (2.2"5) A (2.215) a kinetikus energia relativisztikus kifejezése Kis sebességekre ez valóban visszaadja a klasszikus fizikai képletet. Ha v << c, akkor* 1 v2 ( v2+– ½ , 1 + c2 1 – c2 * 2 ) & ezért v << c-re: 1 v2+ + 1 (( Ekin , mc2 · 1 + 2 2 * – 1 = mv2 c ) ) 2 && ". Példa A test kinetikus energiáját ismerve a (2214) ill (2215) képlet alapján kiszámíthatjuk a test sebességét. Számítsuk ki egy U feszültséggel felgyorsított elektron kinetikus energiáját és számítsuk ki (2.215) alapján az elektron sebességét és a klasszikus me( 1 2eU+ 2 * a vkl sebességet. Az eredméchanika alapján eU = mevkl , vkl = 2 me ) & nyeket a 2.4 táblázatban foglaltuk össze 2 * Legyen x - v2 -el. Ezzel c 1 1 , 1 + x (ld. Bronstejn, id

m") 2 1–x 203 2.4 Táblázat: Elektron kinetikus energiája és sebessége a speciális relativitáselmélet (v) és a klasszikus fizika (vkl) szerint. A fénysebességnél nagyobb értékeket (*) jelzi U [kV] ill. Ekin [keV]* 1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 v vkl [108 m/s] [108 m/s] 0,188 0,264 0,416 0,584 0,815 1,24 1,64 2,08 2,59 2,82 0,188 0,265 0,419 0,593 0,839 1,33 1,88 2,65 4,19 (*) 5,92 (*) vkl–v v [%] 0,15 0,29 0,73 1,44 2,83 6,71 12,37 21,42 38,32 52,44 Megjegyzés: a relativitáselmélet alapján számított sebesség abban a rendszerben mért (v) sebesség, ahol az elektront gyorsították. " A kinetikus energia (2.215) képletében megjelenik egy sebességfüggetlen, mc2 nagyságú tag. Ez a nyugvó testnek megfelel! energiatag az ún nyugalmi energia: Ekin = mc2 – Enyug 1–v2/c2 (2.2"6) A nyugalmi energia tehát Enyug = mc2 (2.2"7) A (2.2"6) ill (22"7) képlet szerint tehát egy m tömeg# nyugvó testnek pusztán

tömegéb!l származóan is van mc2 nagyságú energiája. Ez a tömeg-energia ekvivalencia elve. A tömeg-energia ekvivalencia elv következménye: Ha egy nyugvó test (rendszer) energiáját !E-vel megnöveljük, (nyugalmi) tömege !E/c2-tel megn!. * 1 keV = 1,6·10–16 J 204 A rendszer nyugalmi energiájában bentfoglaltatik a rendszert alkotó testek, részecskék, elemi részecskék kötési energiával (ld. 255 pont) csökkentett össztömege és a rendszer teljes bels! energiája. A relativitáselméletben a rendszer bels! energiájának (pl. súrlódás, rugalmatlan ütközés következtében bekövetkez!) növekedése a rendszer (nyugalmi) tömegét növeli. Ha egy rendszert felmelegítünk, akkor n! bels! energiája és így (nyugalmi) tömege is. " A test teljes* energiáját tehát a relativitáselméletben kinetikus energiájának és nyugalmi energiájának összege adja meg: E = Ekin + Enyug (2.218) azaz (2.216)-ból E= mc2 1–v2/c2 (2.2"9)

Emeljük (2.219) mindkét oldalát négyzetre! m2c4 E2 = 1–v2/c2 (2.220) Szorozzuk meg (2.58) négyzetét c2-tel: m2v2c2 p2c2 = 1–v2/c2 (2.221) és az így kapott (2.221) képletet vonjuk ki (2220)-ból! m2c2c2 m2v2c2 m2c2(c2–v2) m2c4(1–v2/c2) E2–p2c2 = 1–v2/c2 – = = = m2c4 1–v2/c2 1–v2/c2 (1–v2/c2) Tehát a relativisztikus dinamika szerint egy test teljes energiája, relativisztikus impulzusa és (nyugalmi) tömege között az E2 – p2c2 = m2c4 (2.222) összefüggés áll fenn. " Egyes részecskék nyugalmi tömege azonban nulla. Ilyen részecske például az elektromágneses tér energiakvantuma, az ún. foton Mint azt a (2219)-b!l láthatjuk, az m=0 és E.0 összefüggés csak akkor állhat fenn, ha v=c, ekkor ugyanis a (2219) 0/0 alakú határozatlan kifejezéssé válik, amelynek értéke tetsz!leges lehet. Vagyis nulla tömeg" részecskék csak fénysebességgel mozogva létezhetnek. Ilyenkor az impulzust a (2.222) képlet alapján kaphatjuk

meg: * E tárgyalás során a test, mint rendszer nincs (küls!) er!térben, így a rendszer, mint egész Epot potenciális energiájával itt nem számolunk. 205 E = pc (2.223) A / frekvenciájú fény fotonjának energiája E=h/, ahol h , 6,67·10–34 Js, az ún. Planck-állandó. A foton impulzusa ezzel (2223) alapján p= E h/ h c = c =0 (2.224) ahol 0 a fény hullámhossza. A foton impulzus létezésének egyik következménye például a Nap ún. sugárnyomása, melynek egyik következményeként a Nap által kisugárzott fény hatására az üstökösök csóvája általában a Nappal ellentétes irányba mutat. " Mint (a 2.312 pont végén) mondtuk, egy rendszer tömege nem függ a rendszer sebességét!l. Ha ugyanannak a rendszernek különböz! vonatkoztatási rendszerekben meghatározzuk az energiáját és impulzusát, akkor (2.222) szerint vonatkoztatási rendszert!l függetlenül ugyanazt a tömeget kapjuk, azaz a rendszer tömege invariáns.* Ha egy

összetett rendszert vizsgálunk, akkor meghatározhatjuk a rendszert alkotó egyes alrendszerek (testek, részecskék,.) energiáját, impulzusát, illetve tömegét is Ebben az esetben az alrendszerek tömege is invariánsnak adódik Az alrendszerek tömegeinek összege azonban csak akkor egyenl! a rendszer tömegével, ha az alrendszerek között nincs kölcsönhatás, továbbá az alrendszerek a rendszerhez képest nem mozognak. Ellenkez! esetben a rendszer tömege kisebb vagy nagyobb, mint az alrendszerei tömegének az összege, attól függ!en, hogy a kölcsönhatásból származó potenciális energia vagy a relatív mozgásból ered! kinetikus energia dominál. Ha pl a vizsgált rendszer egy tartályba zárt gáz, akkor a gázt alkotó részecskék kinetikus és a köztük lev! kölcsönhatásnak megfelel! potenciális energia is hozzájárul a bels! energiájához, a rendszer tömegét ezáltal megváltoztatja. Végs!kig egyszer#sítve a helyzetet: ha van egy darab, egy

tartályban pattogó részecskénk, akkor, bár a részecskék tömege minden vonatkoztatási rendszerben ugyanaz vagyis független a részecske sebességét!l , a tartályból és a részecskéb!l álló rendszer tömege már függeni fog a részecske tartályhoz viszonyított sebességét!l! " Ha a vizsgált rendszer összimpulzusa nulla, tehát a test nyugalomban van, akkor (2.222)-b!l visszakapjuk a tömeg–energia ekvivalencia (2217) képletét Vizsgáljunk meg néhány példát a tömeg–energia ekvivalenciája témaköréb!l! 2 * A (p,E) négyesvektor komponensei (p ,p ,p , E+ és hossza E2 – p2 = m2c2 (ld. 2222) Az energia c & x y z c) tehát a (p,E) négyesvektor egyik komponense, az mc2 viszont egyenl! ezen négyesvektor hosszával, ami invariáns. 206 2. Példa Az elektron (nyugalmi) tömege me = 9,1093897·10–31 kg Mekkora az elektron nyugalmi energiája (“nyugalmi tömege energia egységekben kifejezve”) ? E = mc2 = 8,187240858·10–14 [J] = =

8,187240858·10–14 · 6,2418·1018 [eV] = = 0,511 [MeV]. 3. Példa Ha két részecske kötött állapotba kerül (közöttük kötés jön létre), a kötés létrejötte mindig az Eköt kötési energia felszabadulásával jár (ld. 2.55 pont) Ez (2217) szerint azt jelenti, hogy a kötött állapotú rendszer tömege kisebb, mint alkotórészei tömegének a kötés létrejötte el!tti összege. Például a 2-es tömegszámú hidrogénizotóp, a deutérium (2H) tömege kisebb mint a deutérium kialakulásához vezet! 1 H + n # 2H reakcióban szerepl! hidrogénatom és neutron tömegének összege: m(#H) = 1,00814 u m(n) = 1,00898 u összesen: m(2H) = 2,01712 u = 2,01474 u a különbség (a tömegdefektus): 0,00238 u 1 atomi tömegegység (jele u) = 1,6605402·10–27 kg, ami (2.217) alapján 932,6554682 MeV energiával ekvivalens. A 1H + n # 2H reakció során a tömegdefektus ekvivalenseként a reakcióban , 2,22 MeV energia szabadul fel Észlelhet!-e ez a tömegdefektus

egy Aston-típusú kett!s fókuszálású mágnes tömegspektrométerben? Az Aston-típusú tömegspektrométerek töm megfelbontása: , 104. Példánkban m , 2u, tehát az ilyen típusú tömeg!m spektrométer a deuterium esetében !m , 2·10–4 u tömegdefektust is tudna mutatni; a példában szerepl! érték ennél tízszer nagyobb, tehát minden további nélkül kimutatható. 4. Példa Mekkora a tömegdefektus a 1 H2(gáz) + O2(gáz) = H2O (gáz) 2 kémiai reakcióban 298 °C-on, ha a reakcióban 241,58 kJ h! szabadul fel minden mólnyi mennyiség" H2O keletkezésekor? 207 Tehát pl. 2 kg H2 gáz és 16 kg O2 gáz reakciójakor (melynek során 18 kg H2O keletkezik és 2,42·108 J energia szabadul fel. Ennek az energiának !E 2,42·108 !m = 2 , 9·1016 = 2,7·10–9 kg c tömegdefektus felel meg. Ez közelít!leg 10–10-szerese a keletkez! 10 kg víznek Ezt a változást még a legjobb analitikai mérlegekkel sem lehet kimutatni 5. Példa Minden energiatermel! folyamat

a fizikai rendszer viszszamaradó alkotóelemeinek tömegét csökkenti Adatok szerint egy 20 megatonna TNT-vel ekvivalens robbanóerej" hidrogénbomba felrobbanásakor 0,93 kg tömeg “alakul át energiává". Pontosabb megfogalmazásban: a robbanás után visszamaradó szilárd és gáznem" anyagok és a kisugárzott energia együttes tömege ugyan nem változott, de változott a szilárd, illetve gáznem" halmazállapotban lév! összetev!k össztömege; az "elveszett tömeg" sugárzási energiává alakul át. Mekkora energia ekvivalens a 0,93 kg tömegdefektussal? E = mc2 , 8,36·1016 J , 8,36·104 TJ A TJ a tera–joule jele; 1 TJ = 1012 J. Összehasonlításképpen egy er!s földrengés alkalmával, mely a Richter–skála szerint 7-es er!sség", 1015 J energia szabadul fel. 6. Példa 1 kg 0 °C-os O2 gázt 1000 °C-ra melegítünk Mennyi a melegítés hatására bekövetkez! tömeg változás? (1000 g O2 = 31,25 mol O2) Az oxigén gáz bels!

energiájának megváltozása (ld. 474 pontot): 5 1000 f m R!T , · 8,31·1000 = 6,5·105 J !U = SF 2 32 2 M Ez az energia növekedés megfelel: !U 6,5·105 !m = 2 , 9·1016 = 7,2·10–12 kg = 7,2·10–9 g c tömegnövekedésnek. Ez a tömegnövekedés ekkora össztömeg mellett nem mutatható ki a legpontosabb mérlegekkel sem. 208 2.7 ÜTKÖZÉSEK A dinamika tanulmányozását az ütközések során megszerzett ismeretek felhasználásával kezdtük. Az ütközések vizsgálatával jöttünk rá, hogy az impulzus, és nem a sebesség az, aminek megváltozása jellemz! a testek kölcsönhatásának a jellemzésére. Az impulzussal vezettük be az er! fogalmát. Nem foglalkoztunk ott azonban részletesen az ütközések leírásával. Ennek két oka volt Egyfel!l az ütközések részletes leírásához szükségünk van a mechanikai energia képleteire, illetve megmaradásának elvére, másfel!l nem csak a newtoni fizika szerinti, hanem a relativisztikus ütközésekkel is

szeretnénk foglalkozni. 2.71 Alapfogalmak Az ütközések osztályozása A klasszikus mechanikában ütközésr!l akkor beszélünk, ha két vagy több, egymáshoz képest mozgó szilárd test mozgása során közvetlenül érintkezésbe* jut egymással. Azonban akkor is beszélhetünk ütközésr!l, ha a testek nem közvetlen érintkezéssel, hanem valamilyen er!tér közvetítésével hatnak kölcsön. Ekkor a testek, mikrorészecskék, ütközése helyett ilyenkor általában szórásról, illetve szóródásról beszélünk. Az ütközési folyamat (a felép! er!hatások, alakváltozások, stb.) részletes leírása igen bonyolult és általában nem is megoldott probléma. Azt mindenesetre tudjuk, hogy inerciarendszerben, amennyiben az ütközés során küls! er!k hatásától eltekinthetünk (akár azért, mert nincsenek küls! er!k, akár azért, mert az ütközés során fellép! er!k a küls! er!khöz képest olyan nagyok, hogy a küls! er!hatásoktól eltekinthetünk), az

ütköz! tesetek teljes impulzusa megmarad (2.54) ! pi = ! mi vi = konst (2.225) Ekkor a második Newton egyenletb!l kiindulva az ütközésben résztvev! testek bármelyikének impulzusváltozása (a másik test által) ráható F er!nek az ütközési folyamatra jellemz! " ütközési id!tartamra vett integrálásával kapható meg: * A valóságban (mikrofizikailag nézve) közvetlen (kontakt) érintkezés nincs is: ilyenkor is a testet alkotó atomok hatnak kölcsön er!terük közvetítésével. 209 " mv # mvo = $p = & Fdt % o (2.226) A (2.226) jobboldalán a középiskolából ismert er!lökés szerepel*. Az ütközéseket kinematikai, illetve dinamikai (és energetikai) szempontból osztályozhatjuk: () Kinematikai szempontból az ütközés centrális, ha a testek érintkezése közben az érintkezési felület normálisának (ez az un. ütközési normális) iránya mindkét test tömegközéppontján átmegy. Nyilvánvalóan két homogén gömb

ütközése mindig centrális (ld 242 ábra). az ütközés egyenes, ha közvetlenül az ütközés el!tt két test sebességvektora egy egyenesbe esik, ellenkez! esetben az ütközés ferde; az ütközés szimmetrikus, ha az ütközés el!tti és utáni impulzusok egy adott tengelyre szimmetrikusak. 2.42 ábra Homogén gömbök ütközése mindig centrális Az ábrán az n az ütközési normális * Az angolszász irodalomban az impulzust ‘momentum’-nak, az er!lökést ‘impulse’ nak nevezik. 2"0 ) () Dinamikai szempontból az ütközés tökéletesen rugalmas, ha az ütköz! testek összes kinetikus energiája az ütközés el!tt és után megegyezik. Tökéletesen rugalmas ütközés a valóságban nem létezik, így valódi ütközések leírására ez az idealizált határeset akkor alkalmas, ha az ütközés során fellép! energiaveszteségekt!l eltekinthetünk; az ütközés tökéletesen rugalmatlan, ha az ütközés után az ütköz! részecskék

ütközési normálisának irányába es! sebességkomponensei egyenl!ek; tehát az ütköz! részecskék az ütközési normális irányában nem válnak szét.* Ebben az esetben a mozgási energiák egy része általában bels! energiává alakul, és pl. az ütköz! testek felmelegedésében nyilvánulhat meg; a valóságos ütközések során a fenti két feltétel általában nem teljesül: sem az összes kinetikus energia nem marad meg, sem a részecskék ütközés utáni, az ütközési normális irányába es! sebességkomponensei nem egyenl!ek. E fejezetben az egyszer#ség kedvéért csak pontszer!nek tekinthet" testek, ill. forgást nem végz" homogén golyók ütközéseivel foglalkozunk. E megszorítással az alább tárgyaltak alkalmazhatók mikrorészecskék, atomok és egyszer#bb molekulák ütközésére is. 2.72 Tökéletesen rugalmas nem relativisztikus ütközések 2.721 Egyenes ütközések Vizsgáljuk meg két, tökéletesen síma vízszintes

felületen mozgó, tökéletesen rugalmas gömb alakú test egyenes ütközését nem relativisztikus közelítésben (2.43 ábra)! Legyen az ütköz! két test tömege m" és m2, sebességük az ütközés el!tt v" és v2, ütközés után v" és v2 ! A fentiek szerint mind az impulzusmegmaradás, mind az energiamegmaradás tétele teljesül: , , p" + p2 = p" + p2 (2.227a) * Ez a bonyolultnak t#n! megfogalmazás arra utal, hogy az ütközéskor a testek nem szükségszer#en “ragadnak össze”, azaz az ütközési normálisra mer!leges irányokban egymáshoz képest elmozdulhatnak. 2"" " 2 " 2 " ,2 " ,2 m v + m v = m v 2 " " 2 2 2 2 " " + 2 m2 v 2 (2.227b) 2.43 ábra Két, tökéletesen síma, vízszintes felületen mozgó, tökéletesen rugalmas gömb alakú test egyenes ütközése: a) ütközés el!tt, b) ütközés után Mivel az ütközés egyenes, felvehetünk egy koordinátarendszert úgy,

hogy az ütköz! testek impulzusa az x tengely egyenesére essen. Ekkor a (2227) egyenleteket vektorok helyett elegend! felírni a vektorok el!jeles hosszával és az x index feltüntetése is felesleges, így: , , m" v" + m2 v2 = m" v" + m2 v2 (2.228a) " " " 2 2 ,2 " ,2 + v + v = v m m m " 2 2 " 2 2 2 " " 2 m2 v 2 (2.228b) Az egyenletrendszert megoldva, erre a speciális esetre az ütközés utáni sebességek az ütközés el!ttiekkel kifejezhet!ek: 2m2 , m " - m2 v" + v2 v" = m " + m2 m " + m2 , v2 = 2m" m " + m2 v" + m 2 - m" m " + m2 v" (2. 229a) (2. 229b) Alábbiakban lássunk néhány példát két golyó egyenes ütközésére. #. Példa Tételezzük fel, hogy v" = vo és v2 = 0 A kiinduló képletek az impulzus- ill. az energia megmaradás kifejezése: , , m" vo = m"v" + m2v2 (2. 230a) " 2 " ,2 " ,2 + v = v v m m m o

" " 2 " 2 2 2 2 (2. 230b) A (2.230a)-t és a (2230b)-t átrendezve 2"2 , , m" (vo - v") = m2 v2 illetve 2 ,2 ,2 m" (vo - v" ) = m2 v2 (I) , egyenleteket kapjuk. A (2230a) átalakított alakját mindkét oldalon v2 -vel szorozva ,2 , , m" (vo - v") v2 = m2 v2 (II) majd (II)-b!l (I)-t kivonva 2 , , ,2 m" (vo - v") v2 - m" (vo - v" ) = 0 , , , , (vo - v") v2 - (vo – v" ) (vo + v" ) = 0 , , , (vo - v" ) (v2 - vo - v" ) = 0 , A (vo - v") nem lehet nulla (u.i ekkor (")-es és (2)-es golyó nem ütközne), tehát fenn kell állnia, hogy , , v2 - vo - v" = 0 azaz , , v2 = vo + v" Ezt visszahelyettesítve (2.230a)-ba , , m" vo = m"v" + m2 (vo + v") , , m" vo = m"v" + m2 vo + m2 v" , (m" - m2 ) vo = (m" + m2 )v" azaz m " - m2 m " + m2 , vo = v" Ha a tömegek azonosak: , m" = m2 * v" = 0

akkor az (")-es golyó ütközés után megáll és mivel ekkor (III)-ból (III) 2"3 , v2 = vo a (2)-es golyó pedig vo sebességgel továbbmegy. 2. Példa Azonos tömeg#, egymással szemben mozgó (v" + 0 és v2 , 0) tökéletesen rugalmas golyók ütközésekor a (2.229) egyenletekb!l: , v" = v2 , v2 = v" vagyis a golyók az ütközésben sebességet cserélnek. Speciálisan, ha a (2)-es golyó áll, akkor az ütközés után az (")-es golyó fog állni. 3. Példa Egy v sebességgel mozgó m tömeg# golyó egy álló (v2=0) M tömeg# golyóval tökéletesen rugalmasan ütközik. Ekkor az ütközés után a (2.229a,b) egyenletekb!l , m-M v" = m + M v" (2.23"a) 2m , v2 = m + M v" (2.23"b) Látható, hogy ha M > m, az m tömeg# golyó v-nél kisebb sebességgel visszapattan az M tömeg#r!l. 4. Példa Ütközés fallal Ez az ütközés a fenti (223"a) eredmény alapján az M * - határesetel írható le: ekkor az m

tömeg# részecske ugyanakkora sebességgel pattan vissza a falról, mint amekkorával beleütközött: , v" = - v" (ld.(223"a)) 2.722 Ferde ütközések A ferde ütközések leírása visszavezethet! az egyenes ütközésekére, ha a sebességeket az n ütközési normális irányába es! (vn) és az erre mer!leges tangenciális vt komponensekre bontjuk. A sebességek normális irányú komponensei (2229a,b) alapján számolhatóak, míg az érint!leges komponensek változatlanok maradnak: m " - m2 2 m" , + v"n = m" + m2 v"n m" + m2 v2n (2.232a) 2"4 , v2n = 2 m" m2 – m" v"n + v m " + m2 m" + m" 2n , v"t = v"t ; , v2t = v2t (2.232b) (2.232c) Így a (2.23") összefüggések a 4 ismeretlen (v"n, v2n, v"t, v2t) meghatározására éppen 4 egyenletet adnak. 2.44 ábra Azonos tömeg" testek centrális ferde ütközése olyan inerciarendszerben, ahol az egyik test

nyugalomban van. 5. Példa Ferde ütközés azonos tömegekkel (ld 244 ábrát, az m"=m2, és v2 = 0 feltételezéssel). , , mv"x = mv"x + mv2x , , 0 = mv"y + mv2y " " / ,2 2 ,2 1 " / ,2 ,2 1 2 mv"x = 2 m .v"x + v"y 0 + 2 m v2x + v2y 0 A (2.233) egyenletet m-mel végigosztva és négyzetre emelve 2 , , ,2 ,2 v"x = v"x + v2x + 2 v"x v2x , , ,2 ,2 0 = v"y + v2y + 2 v"y v2y majd ezeket összeadva: (2.233a) (2.233b) (2.234) 2"5 2 , , ,2 ,2 ,2 ,2 , , v"x = /.v"x + v"y 10 + / v2x + v2y 10 + 2 /v"x v2x + v"y v2y 10 /" 1 Osszuk végig (2.234) -et 22 m3 -el 0 . 2 ,2 ,2 ,2 ,2 v"x = /.v"x + v"y 10 + / v2x + v2y 10 és az utóbbi két egyenletet egymásból kivonva: , , , , 0 = 2 /.v"x v2x + v"y v2y 10 Áttérve vektoriális alakra, a zárójelben lév! kifejezés egy v" · v2 = 0 , ( v" · v2 cos 4 = 0 ) skaláris szorzat derékszög#

koordinátarendszerbeli kifejezésének (ld. Bronstejn id.m#) felel meg, ahol a két vektor mer!leges Tehát a testek ütközés utáni sebességei egymásra mer!legesek. 6. Példa Lássuk be most egy másik gondolatmenet alapján is, hogy egyenl! tömeg# rugalmas testek centrális ferde ütközései során az ütközés utáni impulzusok mindig mer!legesek egymásra (ld. 245 ábra) 2.45 ábra Azonos tömegü testek centrális ferde ütközése Az impulzusháromszög. A probléma leegyszer#sítése érdekében válasszunk egy olyan inerciarendszert, amelyben a (2)-jel# részecske az ütközés el!tt nyugalomban van. A (2227a,b) egyenletek ebben az esetben a , , p" = p" + p2 * 2 ,2 ,2 v" = v" + v2 , , v" = v" + v2 (2.235a) (2.235b) alakra egyszer#södnek. Az ütközés el!tti, illetve utáni sebességvektorok által alkotott háromszögre (ld. 245 ábra) ezek szerint érvényes a Pitagorasztétel, vagyis a háromszög derékszög# Ezzel állításunkat

igazoltuk! 2"6 7. Példa Részecske tökéletesen rugalmas ferde ütközése fallal (ld 258 ábra): v"n " v"t" v" 5 5 v" v"t" v"n " 2.46 ábra Részecske tökéletesen rugalmas ütközése (nagytömeg") fallal Tökéletesen merev fallal való tökéletesen rugalmas ütközése során a részecske mozgási energiája el!ször rugalmas bels! energiává alakul át. Az ütközés második fázisában ez a rugalmas energia alakul vissza a test mozgási energiájává. Feltételezve, hogy a fal tökéletesen sima (tehát ha fallal párhuzamos er!komponens nem lép fel), a test sebességének fallal párhuzamos v"t (tangenciális) komponense változatlan marad az ütközés folyamán: v"t = v"t . Az ábrán látható és az ütközés el!tt, valamint utáni sebességkomponensekb!l álló háromszögek egybevágóak, mert derékszög#ek és két oldaluk megegyezik (v" = v" és v"t = v"t ).

Tehát az ábrán bejelölt két szög egyenl!, vagyis a becsapódási szög egyenl! a visszapattanási szöggel. 2"7 2.73 Tökéletesen rugalmatlan nem relativisztikus ütközések A tökéletesen rugalmatlan ütközéseknél az ütköz! testek kinetikus energiája nem marad meg. Ekkor tehát csak az impulzus megmaradását kifejez! , , m" v" + m2 v2 = m" · v" + m2 · v2 (2.236) egyenletet írhatjuk fel. A feladat csak azért oldható meg, mert az energiamegmaradást kifejez! egyenlet helyett más egyenleteket írhatunk fel, így a rugalmatlan ütközés definiciójának megfelel!en, az ütközés utáni sebességek ütközési normálisra mer!leges komponenseinek egyenl!ségét, illetve az erre mer!leges (tangenciális) sebességkomponensek változatlanságát (2.237c) megadó , , v"n = v2n , v"t = v"t , v2t = v2t (2.237a) (2.237b) Tekintsünk ismét centrális és egyenes ütközéseket! Ekkor minden sebesség mer!leges az

ütközési normálisra, azaz mivel nincs tangenciális komponens, (2.237a) szerint a két test ütközés után ugyanakkora sebességgel mozog. Az ütközés utáni sebesség ekkor (mivel tehát v" = v"n stb.), (2236)-ból: , , v" = v2 = m" m2 + v " m " + m2 m" + m2 v2 A tökéletesen rugalmatlan ütközés megfordításának tekinthetjük egy test szétrobbanását két részre. Ekkor a testben pl kémiai formában tárolt bels! energia szabadul fel, az ”löki szét” a test részeit. Ugyanígy tárgyalható a részecskék elbomlása nem relativisztikus sebességgel mozgó más részecskékre, vagy (klasszikus közelítésben) akár az atomok elektronkibocsátása is; ezen utóbbi esetben a szükséges energiát valamilyen küls! forrásnak (pl. az atom fényelnyelésének) kell biztosítania 2.74 Nem relativisztikus, nem tökéletesen rugalmatlan (valódi) ütközések Mind mondtuk, tökéletesen rugalmas ütközések a valóságban nem

léteznek, miután az ütközések során valamekkora nagyságú kinetikus energia mindig más energiafajtává alakul át. Egy ilyen valódi ütközés elméleti leírására e helyen nem 2"8 vállalkozhatunk, azt csak empirikus alapon jellemezhetjük. A valódi ütközéseknél az ütközés folyamán a testek el!ször összenyomódnak mindaddig, míg a normális irányú ütközés el!tti v2n – v"n relatív sebesség zérus nem lesz. Ezután a relatív sebesség iránya megváltozik. A folyamat végén a nem tökéletesen rugalmasság miatt a , , v"n – v2n relatív sebesség nagysága kisebb, mint a v2n – v"n volt. Ezért a valódi ütközések jellemzésére célszer#en az ütközés utáni és el!tti relatív sebességek arányát, az , , v"n – v2n 6=v "n (2. 238) – v2n az ún. ütközési együtthatót (számot) vezetjük be A fentiek szerint ideális rugalmas ütközésnél: 6=" ideális rugalmatlan ütközésnél: 6=0 A

mérések szerint például acélgolyóknál 6 = 0,6, elefántcsontgolyóknál 6=0,9. Az egyenes ütközések minden (!) fajtáját, tehát a rugalmas és a rugalmatlan ütközéseket, az egyirányú és a szembe ütközéseket, az azonos tömeg# és különböz! tömeg# testek ütközéseit egyaránt a (2.228a,b) egyenletekb!l álló egyenletrendszer írja le. Ezen egyenletrendszer megoldásából az ütközés utáni sebességek: (" + 6) m2 , m" – 6m2 v" + v v" = m " + m" 2 m " + m2 (2.239a) m2 – 6m" , (" + 6) m" v2 = v" + v m " + m2 m " + m" 2 (2.239b) 8. Példa Egy m# tömeg" részecske nem tökéletesen rugalmas egyenes , $ (mer!leges) ütközése sík fallal. Ekkor az m2 $ = mfal = - és v2 = vfal = vfal = 0. , Látható, hogy (2.239a)-ból következ!en: v" = – 6 v" Tehát például egy az acéllapra rál!tt acélgolyó kb fele akkora sebességgel pattan vissza Ilyen módon

keménységpróbák végezhet!ek. (Tökéletesen rugalmas ütközésnél viszont , 6 = ", így esetünkben is v" = – v" ld. (223"a) egyenletet) 2"9 2.75 A relativisztikus impulzus és megmaradása Mivel az impulzus megmaradása nem relativisztikus esetben tapasztalatokon alapuló alaptörvény, érvényessége a relativisztikus esetre is fenn kell álljon, egyébként szembe kerülnénk a korreszpondencia elvével. Vizsgáljuk meg, hogyan lehet az impulzust a relativisztikus esetre úgy definiálni, hogy az impulzusmegmaradás törvénye is érvényes legyen és a nem relativisztikus határesetben a megszokott definíciót kapjuk vissza! ( El!ször is vizsgáljuk meg, teljesül-e a klasszikus p = mv impulzus megmaradása relativisztikus mozgást végz! testek esetében! Vizsgáljuk a kérdést két A és B labda tökéletesen rugalmasnak tekintett ütközési folyamatára! Tekintsünk az (egyszer#ség kedvéért) két derékszög#, egymáshoz képest

x tengelyük mentén vo állandó sebességgel egymással szemben mozgó K és K-vel jelölt koordinátarendszert (2.47a ábra) Kényelmi okokból legyenek ezek origói az y irányban egymástól 2 távolságban. Legyen mindkét koordinátarendszerben egy-egy megfigyel! (M és M), akik az impulzusmegmaradást tanulmányozzák tökéletesen rugalmas centrális, egyenes ütközések segítségével. Mindkét megfigyel! hajítson el egy-egy tökéletesen rugalmas azonos (m) tömeg" labdát (pl. a K-beli az A labdát, a K-beli pedig a B labdát) úgy, hogy a labdák távolság megtétele után ütközzenek, majd az ütközés után visszapattanó saját labdájukat az eldobók kapják is el.* Legyen az elhajítás v sebességének nagysága a saját koordinátarendszerben mérve mindkét labda esetén ugyanakkora. Jelöljük az ütközés utáni sebességeket egy hullámvonallal, az ütközés el!ttieket hullámvonal nélkül, pl. legyen a B labda K-beli (onnan nézett) sebességének

y-komponense ütközés el!tt v , és ütközés után ~ v , . A sebességeket és sebességkomponenBy By seket a 2. 47b,c ábra alatt tüntettük fel ( A 2. 47b,c ábrából láthatóan az eldobástól az elkapásig az A labda K-ban 2$yA = 2 utat tesz meg v (K-ban mért) sebességgel; a B labda K-ben (ld. 247c ábrát), 2 $y , = 2 utat tesz meg v (K-ben mért) sebességgel: mivel az y ill y tengeB lyek mer!legesek a vonatkoztatási rendszerek relatív mozgásirányára az y koordináták egyenl!ek: * Az egyidej#ség kérdése itt nem jelent problémát: mindkét megfigyel!nek úgy kell a labdát eldobni, hogy a két egymással szemben mozgó koordinátarendszer relatív mozgását figyelembe véve találkozzanak. Mivel a másik rendszerben eldobott labda által megteend! távolság nem egyenl!, a saját rendszerben eldobott labda által megteend! távolsággal (ld. 247b,c ábrákat), az eldobás pillanata nem lesz egyidej#. 220 2 $yA = 2 $yB, = 2 (2.240a) $yA = $yA, = $yB,

= $yB = (2.240b) 2.47 ábra A relativisztikus impulzus levezetéséhez a) a koordinátarendszerek felvétele; b) elmozdulások és sebességek a K rendszerben; c) elmozdulások és sebességek a K rendszerben (Az ábra x-y síkja a papír síkja; a z tengely arra mer!leges lenne; tehát az ábra felülnézet) 22" ( Nézzük el!ször a labdák mozgását a saját vonatkoztatási rendszerükben nyugvó megfigyel"k* szemével! K-ból nézve az A labda eldobása és elkapása ugyanazon az x helyen történik; az eldobás és elkapás között K-ban mért id" tehát az M megfigyel" által mért sajátid": 2 $TA = (2.24"a)* u ahol u az y irányú sebesség (ld. 247b és c ábrát) A K-b!l nézve a B labda eldobása és elkapása ugyanazon x helyen történik; az ezek között K-ben mért id! tehát az M megfigyel! által mért sajátid! (az M megfigyel" sajátideje): 2 $TB = u (2.24"b) ( Nézzük most mindkét labdát az azt eldobó

megfigyel!höz képest relative mozgó másik koordinátarendszerb!l! K-ban a B labda eldobása, ütközése és elkapása már nem ugyanazon x helyen történik; ekkor az eldobás és elkapás közötti K-ban mért $tB id! az id!dilatáció (2.46) képlete szerint: $tB = $TB 2 (2.242a) vo "– 2 c Hasonlóan az A labda eldobása és elkapása között K-ben eltelt id!: $tA = $TA v2 " – c2 (2.242b) * A M megfigyel! a K-beli x helyen áll, onnan dobja el és ott kapja el a labdát. A M megfigyel! pedig a K-beli x helyen áll. * A megfigyel! sajátidejét most T-vel ill. T-vel jelöljük Az erre a célra eddig használt " jelölést alább a labdákkal együttmozgó koordinátarendszerbeli sajátid! jelölésére használjuk fel. 222 ( Ha a fent leírt ütközési folyamatra fel akarjuk írni az impulzusmegmaradás törvényét, akkor azt K-ból vagy K-b!l nézve egyaránt megtehetjük. Írjuk fel az impulzusmegmaradást K-ból nézve! Ehhez az azonos

tömegek mellett ismernünk kell a vAy, ~ vAy, vBy és ~ vBy sebességeket is K-ból nézve. Ezek (az u-t most nem el!jeles mennyiségként tekintve), (ld. 247b ábrát): vAy = 2$yA 2 = =u $TA $TA (2.243a) ~ vAy = –u 2$yB 2$yB vBy = – =– $TB $tB (2.243b) 2 2 2 vo "– 2=– u· c 2 vo " – 2 = –u c 2 vo "– 2 c (2.243c) 2 vo "– 2 c ~ vBy = +u (2.243d) A negatív el!jel azért lép fel, mert a B labda –y irányban mozog. A két A ill. B azonos m tömeg# labda impulzusváltozásának (az ütközés utáni impulzusból levonva az ütközés el!tti impulzust) y komponensei (csak ezek változnak!) $pAy = (–mu) – mu = –2 mu (2.244a) 2 $pBy = 2 mu "– vo 2 c (2.244b) Ezért $pAy + $pBy 7 0 (2.244c) A (2.244c)-b"l látható, hogy relativisztikusan a p = mv impulzus nem marad meg! Hasonló eredményre jutunk, ha az ütközést K-ben vizsgáljuk. Mint el!rebocsájtottuk, a fentiekb!l nem azt a következtetést kell

levonnunk, hogy az impulzusmegmaradás relativisztikusan nem teljesül, hanem azt, hogy az impulzus relativisztikusan nem mv ! 223 Fenti levezetésb!l láthatjuk, hogy fenti "kudarcunk" oka az, hogy a vBy ill. ~ vBy 2 vo " – 2 szorzót, míg a vAy ill. ~ vAy vo-tól sebesség (és így $pBy is) tartalmazza a c független. (K-b!l nézve ez éppen fordítva lenne) ( A fenti sikertelen próbálkozás után küszöböljük* ki relativisztikus impulzus helyes kifejezése reményében) a (a megmaradó 2 vo "– 2 c tényez!t a sebességb!l. A vBy = 2$yB $tB sebességkomponens helyett (melyet az M megfigyel! sajátidejét felhasználva vezettünk le [ld. (2243c) egyenletet]) próbálkozzunk a B labdával együtt mozgó óra által mutatott $" sajátid"vel! Definiáljunk ehhez K-ben egy V , “sebességet” B By (tudatosan nagy V-t használva megkülönböztetésül): 2$yB, 2$yB, , VBy = = · $"B $t , B " u² "– c = u

(2.245a) u² " – c² A (2.245a) egyenletben felhasználtuk a (246) képletet és figyelembe vettük, hogy a B labda saját együttmozgó koordináta rendszere K-ben u y-irányú sebességgel mozog (a B labda y irányú sebessége K-ben u!). Ez a VBy sebesség mindkét vonatkoztatási rendszerünk (ill. a hozzájuk rögzített megfigyel!k) számára ugyanakkora, hiszen a (2.245a) kifejezésben sajátid! szerepel, ez pedig mindkét rendszerb!l nézve ugyanakkora és $y = $y , . Következ!leg B , =V = VBy By u u² " – c² B (2.245b) * Talán nem kell figyelmeztetni az olvasót, hogy a relativisztikus impulzust most nem levezetjük, hanem heurisztikusan származtatjuk. Meg kell azonban mondani, hogy ez a fizikai lényegen nem változtat: a relativisztikus impulzust úgy definiáljuk, hogy a megmaradási törvény teljesüljön. Az eljárást ezen pont bevezet!jében indokoltuk! 224 Ugyanez vonatkozik az A labdára is, azaz VAy = 2$yA $tA " "– u =

2 vo u² " – c² c² , = VAy (2.245c) ( Az impulzus y komponensét a py = mVy = mu (2.246) u² " – c² képlettel értelmezve az impulzus változások összege pl. a K rendszerben: $pAy + $pBy = – 2 mu =0 u² " – c² 2 mu + u² " – c² (2.247a) Hasonlóképpen K-ben $pAy + $pBy = 0 (2.247b) A (2.246) képlettel értelmezett y irányú impulzuskomponens tehát megmarad ( Definiáljuk tehát a (2.246) felhasználásával a relativisztikus impulzust! Általános irányú v sebesség# mozgásokra a (2.246) egyenlet a prelativisztikus = mv (2.248) v² " – c² alakban általánosítható (ahol v a mozgó test sebessége bármelyik megfigyel! koordinátarendszeréb!l nézve) és prelativisztikus minden komponensére is értelemszer#en felírható. A (2.248) egyenlettel definiált impulzussal az impulzusmegmaradás törvénye relativisztikusan is teljesül. A (2.248a) képletben nem a K és K vonatkoztatási rendszer relatív

sebessége, hanem a mozgó test adott vonatkoztatási rendszerbeli v sebessége szerepel! Vegyük észre, hogy (2.248) definíció átírható a prelativisztikus = m dr d" (2.249) alakba, ahol d" a testtel együttmozgó vonatkoztatási rendszerbeli id!, azaz a sajátid!, míg t az id! abban a rendszerben, ahol (ahonnan nézve) a test mozgását vizsgáljuk. 225 Fontossága miatt itt szó szerint megismételjük a 2.3#2 szakaszban mondottakat a nyugalmi tömeggel és a relativisztikus impulzussal kapcsolatban! A (2.249) nevez!jében megjelen! négyzetgyök a sebesség meghatározásában jelenik meg, vagyis a tér- és id!koordináták transzformációjának következménye, nem pedig a tömeg transzformációja! 2.76 Rugalmas relativisztikus ütközések Térjünk át fentiek alkalmazásával az ütközések relativisztikus leírására! Legel!ször bemutatjuk, hogy a relativitáselmélet a newtoni mechanikától lényegesen különböz! eredményre vezet; ezek

ismeretében pl. egy ködkamra felvételr!l azonnal megmondhatjuk mely ütközések történtek fényhez közeli sebességgel mozgó részecskék között. A rugalmas ütközések relativisztikus leírása során (akárcsak a newtoni fizika szerinti esetben), az impulzus és az energia megmaradásából indulunk ki: , , p" + p2 = p" + p2 (2.250a)* , , E" + E2 = E" + E2 (2.250b)* Vizsgáljuk az egyszer#ség kedvéért egy olyan részecskeütközést, amelynek során egy, az x tengely mentén relativisztikusan mozgó (2) részecske egy vele azonos tömeg# álló (") részecskével ütközik, és az ütközés után mindkét részecske impulzusa ugyanakkora szöget zár be az x tengellyel (ld. 248 ábra)! 2. 48 ábra Szimmetrikus relativisztikus rugalmas ütközés a) a testek impulzusa ütközés el!tt, illetve után; b) az impulzusvektorokból készíthet! háromszög * Ahol p a relativisztikus impulzus, E pedig a test teljes energiája (ld.(2222)) 226

, , Ez szimmetrikus ütközés azonos tömeg# részecskék között, azaz p" = p2 -vel! Az impulzusmegmaradás következtében mindkét részecske ütközés utáni impulzusai x komponensének összege megegyezik az eredetileg mozgó ”"” jel# részecske ütközés el!tti impulzusával: , p" = 2p" cos 5 (2.25"a) , p2 = 2p2 cos 5 (2.25"b) Az relativisztikus energiamegmaradás elve szerint az ütköz! testek teljes összenergiája marad meg a rugalmas ütközések során. A klasszikus fizikában potenciális energia mentes esetben a teljes energia a részecske kinetikus energiája. A relativitáselmélet szerint viszont a nyugvó testeknek is van mc2 nagyságú nyugalmi energiájuk. Az alábbiakban a teljes energiát a newtoni mechanikában megszokott felíráshoz hasonlóan úgy írjuk fel, hogy a teljes energiát a kinetikus, illetve tömeghez tartozó nyugalmi energia összegének vesszük* (ld. 22"8), azaz ( Ekin + mc2 ) + mc2 = 2Ekin + 2m2c2

(2. 252)* Innen Ekin = 2Ekin (2.253) A kezdeti p impulzus (2.222) alapján a teljes energiával is kifejezhet!: p= " ( E2 – m2 c4) c (2.254) amit (2.253) behelyettesítésével p= " c2 Ekin + 2Ekin 8 mc2 (2.255) A p impulzus is kifejezhet! a részecskék ütközés utáni kinetikus energiái és nyugalmi energiáik összegeként. Az impulzusmegmaradást esetünkben kifejez! (2.297) egyenlet szerint (2254)-et felhasználva: * Ennek célszer#sége a végeredményb!l derül majd ki. * E kin," = Ekin,2 227 " p= 2 2 Ekin /Ekin1 2 2 3 + 28 mc2 2 · cos 5 . 0 2 Ekin + 2 mc Ekin = 2 (2.256) ahonnan négyzetreemelés és átrendezés után a szög koszinuszát kifejezve: cos 5 = Ekin + 2 mc2 Ekin + 4 mc2 (2.257) Kis sebesség# részecskék ütközése során, tehát a newtoni mechanika szerinti határesetben a kinetikus energia sokkal kisebb, mint a nyugalmi energia: Ekin 9 " 2 2 mv2 ,, mc (2.258) " 2 (2. 259) Ekkor tehát cos 5 =

vagyis 5 = 45o, tehát a két részecske impulzusai (illetve sebességei) közötti 25 szög éppen 90o. Ez pedig az ütközések newton mechanika szerinti leírásából már ismert eredmény! Láthatjuk, hogy nem relativisztikus határesetben most is visszakaptuk a newtoni mechanika eredményét. Ha azonban az ütköz! részecskék a fénysebességhez közeli sebességgel mozognak, akkor a kinetikus energia már nem hanyagolható el a nyugalmi energia mellett, így a (2.260) szerinti 5 szög már kisebb lesz, mint 45o Elegend! tehát egy szimmetrikus rugalmas ütközés során a két részecske pályájának ütközés után egymással bezárt szögét megvizsgálnunk (pl. egy ködkamrával, ld "7 ábrát) ahhoz, hogy eldönthessük relatisztikus, vagy nem relativisztikus ütközéssel állunk e szemben. Extrém relativisztikus határesetben a szög tetsz!legesen kicsi lehet. 228 2.77 Tökéletesen rugalmatlan relativisztikus ütközések A relativitáselméletet az is

megkülönbözteti a newtoni mechanikától, hogy benne az energiamegmaradás egyaránt teljesül mind a rugalmas, mind pedig a rugalmatlan ütközésekben. A rugalmatlan ütközések során bels! energiává átalakuló energia ugyanis az ütközésben résztvev! testek tömegét növeli meg. Ezt a tömegnövekedést figyelembe véve a rugalmatlan ütközések leírása során is felhasználhatjuk mind az impulzus, mind az energia megmaradását. A rugalmatlan ütközésre érvényes összefüggések tehát (2.25")-nak megfelel!en: , , p" + p2 = p" + p2 , , (Ekin," + m"c2) + (Ekin,2 + m2 c2 ) = (Ekin," + m"c2) + (Ekin,2 + m2 c2 ) (2.260) ahol az energiamegmaradás kifejezésében ismét felbontottuk a teljes energiát kinetikus, illetve potenciális energiák összegére. Ezekb!l a képletekb!l látható, hogy rugalmatlan ütközések során az ütközés következtében a testek tömege megváltozik. Az egyszer#ség kedvéért vegyünk egy

tökéletesen rugalmatlan ütközést! Ütközzön egy m" tömeg# test egy m2 tömeg# testtel tökéletesen rugalmatlanul! Az ütközés során a testek összetapadnak. Miután az ütközés az ütköz! két testb!l egy új test keletkezik (2.26") jobb oldalán csak egy tag jelenik meg, amelyikban az új tömeg szerepel Ez a tömeg a klasszikus fizika szerint a részecskét tömegeinek összege, a relativitáselmélet szerint viszont nagyobb annál. Az ütközés utáni mennyiségeket ezért index nélkül csak egy fels! vessz!vel jelölve ekkor a (2.26") egyenletekb!l a , p" = p " (Ekin," + m"c2) + (Ekin,2 + m2 c2 ) = Ekin + mc2 (2.26"a) (2.26"b) egyenleteket kapjuk. A levezetés most akkor lesz egyszer#bb, ha a teljes energiát nem bontjuk fel, vagyis (2.26") helyett a E" + m2c2 = E (2.262) összefüggést használjuk. (Miután a ”2” jel# test az ütközés el!tt állt, teljes energiája egyenl! a nyugalmi energiával.)

Az mc2 szorzatot (2222) szerint az E összenergiával és a p impulzussal kifejezve, majd E és p-t az ütközés el!tti mennyiségekkel kifejezve egyszer# átrendezés után: 229 2 2 2 2 2 2 m2c4 = E2– p2c2 = (E + m2c4) 2 – p" = E2 – p" + m2c4 + 2E2 m2c4 (2.263) A (2.264) utolsó egyenl!ségjele után lev! kifejezés els! tagja (2222) szerint éppen m" c2 . Ha a harmadik tagban megjelen! E" energiát most felbontjuk a kinetikus és nyugalmi energiák összegére, akkor 2 2 2 2 2 m2c4 = m"c4 + m2c4 + 2(Ekin,"m2c4 + 2m" m2c4) (2.264) m2c4 = (m" + m2)2c4 + 2Ekin," m2c2) (2.265) ahonnan Láthatjuk tehát, hogy az eredeti testek (részecskék) összeolvadása során létrejött test tömege valóban nagyobb, mint az ütköz! részecskék tömegeinek összege! A nem relativisztikus határesetben Ekin," sokkal kisebb, mint bármelyik mc2, így a klasszikus határesetben m2= (m" + m2 )2 (2.266a) m = m" + m2

(2.266b) ahonnan látható, hogy klasszikusan a tökéletesen rugalmatlan ütközés során létrejött test tömege megegyezik az eredeti testek tömegei összegével. A részecskék bomlása a tökéletesen rugalmatlan ütközés megfordításával írható le. Például a 967me tömeg# K mezon nev# elemi részecske "0–8 s alatt egy 237me tömeg# pozitív töltés# és egy 264me tömeg# semleges pionra bomlik el: K+ * :+ + :o Ebben a folyamatban a bomlás során létrejött részecskék tömege kisebb, mint az elbomló K mezon tömege volt: a ”hiányzó” tömeg a pionok mozgási energiájává alakult át. A részecskegyorsítókat részecskék keltésére is használják. Például ha egy hidrogént tartalmazó céltárgyat protonokkal bombázunk*; a proton-proton ütközés során az ütköz! részecskék kinetikus energiájának rovására egy proton-antiproton pár keletkezik, így végeredményben négy részecskét kapunk. * ld. O Chamberlain, E Segr$, C Wiegand,

TYpsilantis, Physical Review "00, 947 ("955) 230 9. Példa Két elektron ütközésekor létrejöhet a e–(gyors) + e–(nyugvó) * e+ + 3 e– reakció, ahol e+ egy pozitron. Legalább mekkora energiával kell, hogy rendelkezzen a gyors elektron, hogy a fenti reakció lejátszódhasson? Megoldás: Ha az ütközés után mind a négy részecske nyugszik, a nyugalmi tömegeknek megfelel! teljes energia: 4 · mc2 = 2,044 MeV Ezzel az energiával kell, hogy megegyezzen az ütközés el!tti gyors és nyugvó elektron teljes energiája. A 2,044 MeV energiából levonva a nyugvó elektron 0,5"" MeV energiáját, látható, hogy a gyors elektronnak legalább ",533 MeV energiájú kell, hogy legyen, másszóval a gyors elektron kinetikus m energiájának nagyobbnak kell lennie mint ",022 MeV. Ez 2,82 · "08 s sebességnek felel meg. 23" 2.8 NÉHÁNY FONTOS MECHANIKAI TÖRVÉNY ÖSSZEFOGLALÁSA Tömegpontra Pontrendszerre Megjegyzés

Impulzustétel p· = ! F dpc · (K) = p = F ! c i dt <miri " = <miri <miri m rc ; i d2r m 2 =!F dt d2rc (K) mi 2 = ! Fi dt ! i (K) p·c = ! p·i = ! Fi i i <mivi " = <mivi <mivi m pc = mr·c = ! mi·ri = ! pi vc ; i p·c = ! p·i Impulzusmegmaradás tétele Ha ! F = 0, p· = 0 p = konst. (K) Ha ! Fi r̈c = 0 =0 dpc =0 dt vc = konst., pc = konst Impulzusmomentum tétele d(r =)mr· ) = r =) ma = dt = r =)p· = (K) (K) N d dt ! ( ri = pi) =! ri =p· i= MF,i = ri = Fi i i=" =! (K) ri = Fi (K) =! MF,i = ri = ! Fij = 0 j i = r = F = MF (K) = MF dL (K) $ = MF = MF dt dL d N dt = dt ! Li = i=" N (K) Li = ri = pi, (K) = ! MF,i = MF i=" L=r=p L= N N i=" i=" ! Li = ! ri = pi 232 Tömegpontra Pontrendszerre Megjegyzés Impulzusmomentum megmaradás tétele K Ha r = mr̈ = r = F = MF = 0 Ha ! MF,i = 0 (K) (K) MF,i = ri = Fi i akkor: akkor: · L = 0 azaz L = áll. · · L = ! Li = 0 i

mr = r̈ = 0 * r = v = áll. azaz N N i=" i=" L= ! Li = ! ri = pi =áll. Kintetikai energia vagy munkatétel r2 " 2 " 2 mv – mv % F dr = 2 "= 2 2 $Ekin = W(K) + W(b) (!) r " = W",2 $Ekin = W d /" · 1 · mr·· r· = 22 mr23 = F·r dt . 0 dr = r·dt Ekin,(pontrendszer) = N " 2 = ! mivi 2 i=" Az er!k munkája: r2 W(b) N N = % ! ! Fijdri r" i=" j=" i7j t d /" mr·21dt = 3 & dt 22 0 % . o r2 N r" i=" r(t) = % Fdr ro (K) W(K) = % ! Fi dri 233 Tömegpontra Pontrendszerre Megjegyzés A mechanikai energia megmaradási tétele* " EM = mv2 + Epot = áll. 2 Ekin,2 + Epot(r2) = Ekin,"+ Epot(r") " 2 mv2 + Epot(r2) = 2 " 2 = mv" + Epot(r") 2 Epot (tömegpontr.) = t2 d /" · 21 % dt 2.2 mr 30 dt = b = Epot = (K) + Epot = –(Wb + W(K)) (b) (K) Ekin+Epot+Epot = áll.* N Ekin (pontr.) = ! i=" " 2 mivi 2 r % Epot =

– F dr r(vonatk) ahol F (tömegpontr.) = t" N " 2 " 2 = mv2 – 2 mv" 2 = ! ! i=" j=" i7j r2(t2) N N Fij + (K) ! Fi i=" – %Fdr = r"(t") =pot(r2)–Epot(r") * Csak konzervatív er!térben ill. er!kre igaz * Ha a bels! er!k konzervatívak, de a küls! er!k nem, akkor (b) Ekin + Epot = W(K) (ld. (2204)) 234 3. KINETIKUS GÁZELMÉLET A kinetikus gázelmélet bizonyos feltételeket (ld. 33 pont) kielégít! sokrészecskerendszerek egyszer" statisztikus leírásával foglalkozik. Az elméletet Maxwell és Boltzmann alapozták meg a XIX. század második harmadában Az kinetikus gázelmélet gyakorlati jelent!ségét növeli, hogy az nemcsak a mérsékelten kisnyomású ideális gázokra, hanem (a tapasztalat szerint) a vezetési elektronok rendszere bizonyos tulajdonságainak leírására is alkalmazhatóak! Az alábbiakban a kinetikus elmélet segítségével, egyszer" következtetésekkel eljutunk a

nyomás, az abszolút h!mérséklet fogalmához; az elektromos vezetés, a mozgékonyság, a diffúziós koefficiens, a h!vezetési tényez! és a bels! súrlódás mikrofizikai értelmezéséhez is. A statisztikus módszereket, az átlagértékek használatát az a kísérleti tény teszi lehet!vé, hogy bár a makroszkópikus sokrészecskerendszer részecskéi (pl. folytonos ütközések révén) folytonos és igen bonyolult kölcsönhatásban vannak egymással a folyamatos kölcsönhatások révén a folyamatosan változó mikrofizikai jellemz!k értéke a statisztikus törvényeket követve kiátlagolódik és ez az átlag az egyensúlyi rendszerekben meghatározza a makroszkópikus paraméterek mérhet! értékét. A kiátlagolódás tényét igazolja, hogy léteznek egyensúlyi rendszerek és ezekben pl. id!ben és térben állandó P nyomás, ill. T h!mérséklet mérhet!* A statisztikus módszerek alkalmazása esetén a mikrofizikai paraméterek valamely átlagértékével

számolunk. A mérhet! makroparamétereket ezen átlagértékkel fejezzük ki. ". Példa Hogy a módszer lényegébe már a részletes tárgyalás el!tt némi bepillantást nyerjünk, alábbiakban bemutatjuk a nyomásra és az abszolút h!mérsékletre vonatkozó összefüggéseket: * (A térbeli állandóság az id!belivel általában összefügg, hiszen a térbeli különbségek kiegyenlít!dése id!beli változással jár. Ez nem mindig van így: pl a térbeli nyomáskülönbséget egy küls! er!tér (pl. a gravitáció) állandó jelleggel fenttarthatja (ld barometrikus formula, 34 pont) 235 mérhet! makrofizikai P mennyiség P= #N m ! v2 " 3V r < v2 > mikrofizikai (részecske) jellemz! átlagértéke ahol N a részecskeszám a V térfogatban, < v2 > a részecske sebessége négyzetének átlagértéke és mr egy részecske tömege. # ! #kin, tr " = mr ! v2 " 2 ahol ! #kin,tr " a részecskék átlagos transzlációs kinetikus

energiája. Utóbbit P fenti képletébe behelyettesítve: P= 2N !# " 3 V kin,tr 2 PV = N ! #kin,tr " 3 P V 2N 2 = ! # " = PV = N !# " = RT kin,tr m n 3n 3 A kin,tr ahol n az anyagmennyiség mólban kifejezve (mólszám), Vm a moláris térfogat és NA az Avogadro állandó és R az egyetemes gázállandó. R 2 ! #kin,tr " = T = kBT NA 3 ahol kB a Boltzmann állandó. 2# m ! v2 " = kBT 32 r A P és a T mérhet!sége igazolja, hogy létezik ! v2 " ! $ kB % #,38 · #0–23 JK–# ; R % 8,3#45 JK–# mol–# ; NA % 6,022 · #023& * Hogyan kell kiszámítani a mikrofizikai jellemz!k átlagértékét? 236 3.1 ÁTLAGÉRTÉK KISZÁMÍTÁSA Diszkrét értékkészlet# fizikai mennyiségekre Legyen X egy ilyen fizikai mennyíség (Pl. egy elektron energiája szilárdtestben)! Ha az Ntot összrészecskeszámú rendszerben Ni részecske rendelkezik az X fizikai mennyiség i-dik lehetséges Xi értékével: X#, X2 . Xi ) ( Ni = Ntot = N N#, N2 .

Ni, akkor ( Ni Xi ( Ni Xi i !X"= ( Ni = i (3.#) N i Folytonos értékkészlet# fizikai mennyiségekre (pl.: X = v2) a teljes értéktartományt olyan kis intervallumokra osztjuk, amelyeken belül X konstansnak tekinthet!. Az intervallumokat indexeljük Pl: 2 2 ( vi Ni ( vi ) Ni ) i i ! v2 " = N = (3.2) N ahol ( ) Ni = N (3.2a) i Az értéktartományt határértékben infinitezimálisan kicsinyre választva: , 2 +vi dN * 2 !v "= N (3.3) Figyelem: ! v2 " - ! v " 2 és 2 2 2 v2 = (ivx + jvy + kvz)2 = vx + vy + vz (3.4) 237 3.2 ALAPFOGALMAK Az anyagmennyiség SI egysége a mól, jele mol*. A mennyiség jele: n # mol annak a rendszernek az anyagmennyisége, amely annyi elemi egységet (részecskét) tartalmaz, mint ahány atom van 0,0#2 kg (tehát #2 g) #2C-ben. Az elemi egységek (részecskék) száma és az anyag mólokban mért mennyisége között NA az Avogadro–állandó teremt kapcsolatot, amely minden anyagra azonos.

elemi egységek (részecskék) száma N = = 6,022#367·#023 mol–# (3.5) NA = n anyagmennyiség n mol-ban tehát n·NA darab részecske van (szokásos még az #000 mol = # kmol egység). A mól használata azért el!nyös, mert # mol anyagban az anyagi min!ségt!l függetlenül mindig ugyanannyi részecske található; ugyanakkor az # g anyagban lev! részecskék száma az anyagi min!ségt!l függ. Moláris tömeg: #mol anyagmennyiség tömege kg –ban kifejezve M= m , n [M] = kg mol (3.6) Mivel egy mol kémiailag homogén anyag tömege egyenl! grammmokban(!) kifejezett Ar (ld. alább) relatív atom- (molekula-) tömegével (ezt régebben: gramm atomsúlynak nevezték) kg kg g M = Ar ·#0–3 = A = A (3.7) r r mol kmol mol E definícióból következik, hogy az anyagmennyiség a tömegb!l a n= m m 0 mol 3 = , g · g = mol2 M Ar /. 1 ( 3.6a) képlettel számítható ki. Pl 2 g H2 % # mol molekuláris hidrogén Atomi tömegállandó (mu). A #2C izotóp # atomja nyugalmi

tömegének az #/#2ed része *Az anyagmennyiség jele n, ami nem keverend! össze a részecskes"r"séggel. Régebben az n a mólszám jele volt; az n mólszám helyett az SI el!írásai szerint n mol anyagmennyiségr!l beszélünk. 238 mu = (m#2C) = #,6605402 · #0–27 kg #2 (3.8) Az atomi tömegállandó régebbi elnevezése és jele atomi tömegegység (u). Relatív atomtömeg, (Ar,i ), (régebbi elnevezés: atomsúly). Azt adja meg, hogy az i molekula, illetve atom, ill. izotóp mi tömege hányszorosa a #2C izotóp tömege #/#2-ed részének (dimenzió nélküli szám): mi Ar,i = #/#2 m(#2C) (3.9) A H-atom relatív móltömege jó közelítéssel: #. a H2-molekuláé 2 (A relatív molekulatömeg a molekulát alkotó atomok relatív atomtömegének összege.) Moláris térfogat (móltérfogat) (Vm) az egy mol anyag, vagyis NA db részecske által elfoglalt térfogat, ahol m index a "mól"-ra utal. Ideális gázok esetében normálállapotban [0 oC

h!mérsékleten és #05 Pa (pontos érték) nyomáson*] értéke az anyagi min!ségt!l függetlenül 22,7##· #0–3 m³/mol.* Vm = 3 3 V 0cm 3 0m 3 = 227## /mol2 = 0,0227## /mol2 n 1 1 . . (3."0) ahol V = m/4 és 4 az illet! anyag s"r"sége [kg/m³]-ben kifejezve, és n az anyagmennyiség mólokban. Megengedett és szokásosabb a móltérfogat cm3/mol-okban való kifejezése. Móltört (xi). Azt adja meg, hogy az i-edik típusú részecskék anyagmennyisége (ni) hogyan aránylik a rendszer teljes anyagmennyiségéhez (nössz). ni ni = n (3."") xi = össz ( n i i Láthatóan ( xi = #. Az xi·#00 mólszázalékot ad meg i Anyagmennyiség-koncentráció (ci). Megadja, hogy # dm3 térfogatú térrészben hány mól i-edik típusú anyag van. SI egysége a mol/m3; a kémiában elterjedtebb a ni 0mol 3 ci = V /dm32 1 . (3.#2) * A IUPAC döntése értelmében nem #0#325 Pa-on (ld. Függelék), hanem kereken #05 Pa-on Ennek megfelel!en a #0#325 Pa–nak

megfelel! 227## cm3 /mol, azaz 0,0227## m3/mol. 224#3 cm3 /mol helyett a Vm standard érték 239 A T abszolút h!mérséklet bevezetése A h!mérséklet a testek, rendszerek termikus állapotát mér!, a termikus energiával arányos fizikai mennyiség. A 0 f!tételben megfogalmazott tapasztalat szerint ha két különböz! h!mérséklet# testet termikus kölcsön hatásba hozunk, azok közös h!mérsékletet vesznek fel: a melegebb test lehül, a hidegebb felmelegszik, a folyamat során termikus egyensúlyi állapot áll be, mely tovább nem változik, közös egyensúlyi h!mérséklet áll be. Ha egy elegend!en nagy (nagy h!kapacitású, ld. alább) testet egy kis (kis h!kapacitású) testtel hozunk kapcsolatba, úgy a nagy h!kapacitású test h!mérsékletváltozását elhanyagolhatjuk és a kis h!kapacitású test h!mérséklete jó közelítéssel a nagy h!kapacitású test h!mérsékletére áll be. A kis h!kapacitású testet így h!mér!nek, használhatjuk, ha valamelyik

fizikai jellemz!je (térfogata, kiterjedése, elektromos ellenállása, stb) jól mérhet!en, reprodukálhatóan és egyértelm"en változik a termikus kölcsönhatás során. Jelöljük ezt a fizikai jellemz!t X-el és a h!mérsékletet T-vel! Az ezek egyértelm" kapcsolatát megadó összefüggés X = X(T) (3.#3) Ha ez a kapcsolat anyagi min!ségt!l független, akkor u.n abszolút h!mérsékletet definiálhatunk. A “h!mérséklet”, mint fizikai mennyiség definiciójához ezzel megvan a mér!eszközünk (a h!mér!) és a mérési utasítás: hozzuk termikus egyensúlyba az ismeretlen h!mérséklet" testet a h!mér!vel és határozzuk meg X értékéb!l T-t. A teljes definicióhoz hiányzik még a skála és a nullpont megválasztása. Az un empirikus skálák közül néhánynak a jellemz!it az alábbiakban foglaljuk össze: Megnevezés Celsius skála o C, t oC Fahrenheit skála Nullpont Skála A víz olvadáspontja t#00: víz forráspontja #05 Pao normál

állapotban 0 C on. A skála egyenletes, t#00 és to (#05 Pa-on) között száz osztás A víz forráspontja és A víz olvadáspontja 32 5 F (#0 Pa-on) olvadáspontja közötti intervallum egyenletesen 2#2 felé osztva o o F Réaumur skála A víz forráspontja és A víz olvadáspontja 0 5 R (#0 Pa-on)) olvadáspontja közötti intervallum egyenletesen 80 felé osztva o o R X oC = 0,8x oR = (#,8 x + 32 ) oF 240 A h!mérséklet definicója csak akkor egyértelm", ha megállapodunk a h!mér! anyagának min!ségében és ennek felhasználandó X tulajdonságában. Az SI-standard a termodinamikai Carnot-ciklus (ld. 545 pont) anyagi min!ségt!l független (“abszolút”) hatásfokát tekinti ezen tulajdonságnak. A standard h!mérséklet a termodinamikai h!mérséklet; egysége a kelvin (K), amely a víz hármaspontja (önkényesen, de célszer"en rögzített) termodinamikai h!mérsékletének #/273,#6-od része. (A víz hármaspontja, ld 525 pont, P=6## Pa, és

T=273,#6 K); jele T A termodinamikai h!mérséklet skálája, megegyezik a Celsius empirikus skálával: #oC h!mérsékletkülönbség egyenl! # K h!mérsékletkülönbséggel. A skála nullpontja természetes nullpont: 0K=–273,#5 oC. Az ideális gázok állapotegyenletén alapuló ideális gázskálát kidolgozójáról Lord Kelvinr!l Kelvin-skálának nevezték. Mivel a termodinamikai h!mérséklet és a h!mérsékleti skála megegyezik az ideális-gáz skálával a termodinamikai h!mérséklet primér (hitelesít!) eszköze az ideális-gáz h!mér!. A gázskálában a h!mérséklet mérésére szolgáló fizikai mennyiség az ideális (tökéletes) gáz (PVm) értéke, melyet legegyszer"bb választásként a T definiciójaként a T h!mérséklettel arányosnak veszünk: (PVm)id = RT (3.#4) Az R neve moláris (egyetemes) gázállandó. Mivel az ideális gáz egy absztrakció, a (PVm) anyagtól független, tehát abszolút, így az ideális gázskála is abszolút (anyagi

min!ségt!l független) skála. Alapvet! jelent!ség", hogy az (ideális) gázskála (és így a SI standard termodinamikai h!mérséklet) nullapontja természetes nullpont. Gay-Lussac (#802) kimérte, hogy az ideális gázok 5 h!tágulási- és 6 feszülési együtthatója azonos érték # 5 = 6 = 273,#5 . (Ezt az értéket a SI rendszer egyszer"en posztulálta, így ez a SIben az egyre nagyobb pontosságú mérésekt!l független definiált értéknek tekintend!) Gay-Lussac méréseib!l következik, hogy 0 K = – 273,#5 oC (3."5) o 0 C = 273,#5 A gáz térfogatát tehát t oC-on, P=konst. izobár körülmények között illetve P nyomását t oC-on V=konst,izochor körülmények között Vt = [V0 (#+ 5t)]P (3.#6) Pt = [P0 (#+ 6t)]V (3.#7) kifejezések adják meg. Az egyesített gáztörvény ebb!l egyszer"en levezethet! Válasszunk egy P0, V0, T0 kiinduló állapotú gázrendszert és vigyük két lépésben egy 24# P, V, T állapotjelz!kkel

jellemzett állapotba. El!ször melegítsük fel a V0 térfogatú ideális gázt P0 nyomáson t oC-ra; ekkor az új térfogat (Vx): Vx = [V0 (#+ 5t)]P 0 majd komprimáljuk t = konst mellett a kívánt P nyomásra, ekkor a Boyle-Mariotte törvényb!l (PV = konst (m,T)): [ PV = P0 Vx]t ami a Vx fenti kifejezését behelyettesítve PV = P0 V0 (# + 5t) (3.#8) alakot ölt. Vezessük be a T kelvin h!mérsékletet: T = 273,#5 + t ! #+5t=#+ # 273,#5 + t T · t = 7 273,#5 273,#5 T0 (3."9) (ahol T0 a 0 oC-nak megfelel! kelvin érték). Legyen kiinduló állapotunk a normál állapot (P0 = #05 Pa, T0 = 273,#5 K). A (3#8) egyenletet ilyen esetre # mol gázra felírva PVm= P0 Vm,0 T T0 ill. PVm P0 Vm,0 T = T0 (3.20a,b)* az egyesített gáztörvény # mol ideális gázra felírt alakjához jutunk, ahol Vm,0 a normál álapotú ideális gáz móltérfogata. A P0, T0 az SI-ben a normál állapotra rögzített érték, a Vm,0 (ld. “Alapfogalmak”) pedig m3 Vm,0 = 0,0227## 8

0,0000085 mol mért érték. Ezen értékeket behelyettesítve az ideális gáz (R moláris gázállandóval # mól gázra felírt) állapotegyenletének ismert alakjához jutunk: PVm #05 · 0,0227## =R= = 8,3#4479 273,#5 T ill. PVm = RT * Adott m tömegre felírva: PV = konst mT (3.20c) 242 (Az R értéke a 4. tizedes értékt!l kezdve (a Vm,0 mért értéke miatt) a különböz! táblázatokban fentiekt!l eltér! is lehet). A Gay-Lussac törvényeket ábrázolva (ld. 3#/a,b ábra) látható a fentiekb!l matematikailag is következ! tény, hogy a Kelvin féle gázskálának T = 0 K = – 273,#5 oC h!mérsékletnél természetes nullpontja van ! V P P0 V0 -273,#5 -273,#5 t(°C) t(°C) (b) (a) PVm RT ideális (tökéletes) gáz “#” reá lis gáz “2” reál is g áz T=const. P P=0 (c) 3.# ábra A Gay-Lussac törvény (a,b) A (PVm)T ábrázolása ideális és reális gázokra (c) A 3.#c ábrából látható, hogy az “ideális gáz” helyett P 9 0–ra való

extrapolációval reális gázokat is alkalmazhatunk “h!mér! anyagnak”; a reális gázokra (PV) = f(P), PVm = A + B·P + C·P2 . mely P 9 0 extrapolációval az ideális gázra jellemz! PVm = RT értéket adja. Az #990-ben elfogadott SI standard egyik alappontnak a víz normál állapotban mért olvadáspontja helyett a víz hármaspontját (ld. 525 pont) választja, melynek értéke 273,#6 K (6##,73 Pa nyomás mellett). Az új standard egyszer"en reprodukálható h!mérsékleti alappontokat hitelesített az ideális gázh!mér!vel és megadta az adott alappontok mérési eszközét (pl. termoelem, pirometer, stb) is Ilyen alappont pl. a cseppfolyós O2 forráspontja # atm-án (90,#9 K) vagy pl az Au dermedéspontja (#336,#6 K). 243 3.3 A kinetikus gázelmélet alapfeltevései A nyomás és az abszolút h!mérséklet mikrofizikai értelmezése. A kinetikus gázelmélet alapfeltevései az alábbiak: #.) A rendszer elemei tökéletesen rugalmas tömegpontok 2.) A

rendszert alkotó tömegpontok kizárólag ütközéseik során hatnak kölcsön 3.) A részecskék mozgása egymástól független és véletlenszer" Ha nincs küls! er!tér, akkor mivel ilyenkor nincs kitüntetett irány, a 3. feltevésb!l következik, hogy a rendszert alkotó részecskék minden mozgási iránya egyformán valószín"; ilyenkor a sebességkomponensek átlagai egyenl!ek, azaz 2 2 2 <vx> = <vy> = <vz > és <vx> = <vy> = <vz> 2 2 2 2 2 2 (3.2#a) 2 <v > = < vx > + < vy > + < vz > = < vx + vy + vz > (3.2#b) # 2 2 < vx > = 3 < v > (3.2#c) illetve pl. az x irányú sebességkomponens esetén a részecskék felének sebessége vx > 0, felének pedig vx ! 0. E plauzibilis feltevést használjuk fel az egyensúlyi nyomás (ld. 33# pont), illetve a gázokban lefolyó diffúzió (ld 362 pont), illetve h!vezetés (ld. 364 pont) tárgyalásakor A barométer formula

levezetésénél (ld. 34 pont) ugyanakkor a gravitációs tér, az elektromos vezetés kinetikai tárgyalásánál (ld. 36# pont) a küls! elektromos tér hatását figyelembe kell vennünk. 4.) A részecskék száma a vizsgált V térfogatban elegend!en nagy, hogy statisztikus módszereket alkalmazhassunk. Az #.) – 4) feltételeket a mérsékelten* kisnyomású ideális gázok vagy ilyennek tekinthet! rendszerek (pl. a vezetési elektronok rendszere) elégitik ki * A “mérsékelten” kis nyomást azért kell kikötnünk, mert igen kis nyomású gázokban a részecskék egymás közti ütközései már elhanyagolhatóak a “fallal” történ! ütközések mellett. (pl #0–5mbar nyomáson a közepes szabad úthossz már # m körüli érték, ld. 35 pontot) 244 3.31 A P nyomás és mikrofizikai értelmezése A gázok nyomása a molekuláris ütközések eredménye: a gázt alkotó atomok, molekulák az edény nagytömeg" falával tökéletesen rugalmasan ütközve

annak impulzust adnak át. E helyen a nyomást a kinetikus gázelmélet alapfeltevéseib!l vezetjük le és megadjuk a nyomás mikrofizikai kifejezését. Ennek során elhanyagoljuk a gravitációs tér hatását. A gáz P nyomása* tehát a gázrendszert alkotó részecskék összességének fallal való ütközései során a falnak id!egység alatt átadott teljes impulzus ()ptot) átlagával fejezhet! ki. )ptot > < )t <F> = (3.22) P= A A Legyen a gázrendszer részecskes"r"sége n = N , ahol N a V térfogatban lév! V részecskék száma. )pr=p’r pr A pr p’r x vx)t (a) x pr fal (b) 3.2 ábra A nyomás mikrofizikai értelmezéséhez Az (b) ábra egy részecske fallal való ütközésének impulzusdiagramját ábrázolja. Vegyük fel a falat egy derékszög" koordinátarendszer x tengelyére mer!legesen és jelöljünk ki a falon egy A felületet (3.2 ábra) Az egy részecske által a nagytömeg" falnak átadott impulzus (ld. 32b

ábrát) )pr = mrvx – (–mrvx) = 2 mrvx * Mint már említettük a nyomás szabványos jele p; könyvünkben ett!l a fizikai-kémiai aspektusok miatt eltérünk és a nyomást P-vel jelöljük. 245 A falnak )t id! alatt azok a részecskék adnak át impulzust, amelyek )t id! alatt elérik a falat. A falat egy adott )t id! alatt azon részecskék érik el, amelyek az A felülett!l nincsenek messzebbre, mint vx )t és amelyekre vx " 0. E részecskék száma # N = (vx )t · A) n 2 !"# V n= N V (3,23a,b) (Az #/2 abból adódik, hogy vx " 0 sebesség" részecskék száma a vx sebességüek fele, ld. a 33 pont bevezet!jében) Az A felületnek a vx " 0 sebesség" részecskék által átadott )ptot teljes impulzus tehát 2 3 0# 30 /! 2 = mr )t A v · n (3.24) (v A) n v 2 m )ptot = /! )t 2 x r x x 1 .2 1. 2 2 A statisztikus módszert alkalmazva vx helyett ! vx" -el számolva, a P nyomás < P= )ptot > )t # 2 2 N v = n m m v = ! ! "

" r r x A 3 V (3.25) kifejezését kapjuk. Definiáljuk az egy részecskére jutó átlagos kinetikus energiát # < #kin,tr " = mr ! v2 " 2 (3.26) A (3.26) egyenletet a (325) kifejezéssel összevetve a P nyomást az átlagos < #kin,tr " kinetikus energiával is kifejezhetjük: 2 N (3.27a) P = V < #kin,tr " 3 ill. 2 (3.27b) PV = N < #kin,tr " 3 3.32 A T abszolút h!mérséklet mikrofizikai értelmezése Az abszolút h!mérséklet makroszkópikus állapotjelz!, mely egyensúlyi rendszerekben (és azok bármely alrendszerében) térben és id!ben adott állandó érték. Másszóval létezik olyan egyensúlyi rendszerek egészére jellemz! h!mérséklet, mely a 246 rendszer egymással termikus kölcsönhatásba hozott alrendszerei (ha azt szigetelés nem gátolja) között kiegyenlít!dik, azaz értéke az egész rendszerre térben és id!ben azonos és állandó. A h!mérséklet mikrofizikai jellemz!kkel való értelmezéséhez tehát

olyan mikrofizikai mennyiséget kell találni, amely a T h!mérséklettel egyértelm# kapcsolatba hozható és így (fentiek szerint) termikus egyensúlyban átlagértéke az egész rendszerre azonos, állandó értéket vesz fel. Lássuk be, hogy ezen feltételeket az egy részecskére es! átlagos transzlációs energia (< #kin,tr ") kielégíti. Ehhez fel kell írnunk az < #kin,tr "egyértelm" kapcsolatát a T h!mérséklettel. Az ideális gázra ezt könnyen megtehetjük! Induljunk ki PV (3.27b) egyenletben felírt alakjából 2 PV = N < #kin,tr " 3 (ld. (327b)) illetve 2 PVm = NA < #kin,tr " 3 (3.27c) Használjuk fel most az ideális gáz # mólra felírt állapotegyenletét PVm = RT (ld. (3#4)) Tegyük egyenl!vé az utóbbi két egyenlet jobb oldalait: 2 3 NA < #kin,tr " = RT (3.28a) 2 R <# "= T = kBT 3 kin,tr NA (3.28b) illetve Kifejtve 2 # · m ! v2 " = kBT 3 2 r (3.29a) # 3 m ! v2 " = kBT 2 r 2

(3.29b) illetve Láthatóan ! #kin,tr " egyértelm" kapcsolatban van az ideális gázzal definiált abszolút h!mérséklettel. Az 545 pontban a termodinamikai abszolút h!mérséklet fogalmának megismerésével kapcsolatban majd belátjuk, hogy a T abszolút h!mérséklet nemcsak ideális gázra, hanem tetszés szerinti anyagra is egyértelm"en és azonosan értelmezhet!. Fenti gondolatmenethez kapcsolódva elemi közelítésben belátható az u.n ekvipartició tétel. (Ennek egzakt tárgyalására a 464 pontban visszatérünk) 247 A (3.26)-ban az átlagos transzlációs kinetikus energia a (32#) kifejezés szerint felbontható # # 3 # 2 2 2 ! #kin,tr " = mr ! vx " + 2 mr ! vy " + 2 mr ! vz " = 2 kBT (3.30) 2 három transzlációs energiajárulékra, melyek az (3.2#a) egyenlet szerint egymással egyenl!ek; következ!leg (3.30) alapján kimondható, hogy az # ! #kin,tr " minden járulékára kBT energia esik. 2 Mivel az #.22 pontban

adott definició szerint a statisztikus fizikai (molekuláris) szabadsági fok (fSF) egyenl! az adott rendszer energiajárulékainak számával, fentiek alapján kimondható, hogy a sokrészecske rendszerek transzlációs, molekuláris (fSF) szabad# sági foka 3 és mindegyikre kBT energiajárulék esik. 2 Többatomos molekulájú gázrendszerek esetén a (3.30) transzlációs járulék mellett a molekulák forgási-kinetikus és a molekulákat alkotó atomok (egymáshoz viszonyított) rezgéseib!l adódó (potenciális és kinetikus) rezgési energiajárulékok is fellépnek. Mivel a molekulák transzlációs–, forgási–, és rezgési energiajárulékai # között is egyensúly áll be, utóbbiakra is fennáll, hogy minden járuléktagra kBT 2 energia jut; kimondható tehát, hogy általában minden molekuláris szabadsági fokra # 2 kBT energiajárulék esik. Például kétatomos ideális gáz esetén a molekula transzlációs energiajáruléka # 2 2 ? 3 < 2 ! #kin,tr

" = mr ;! vx " + ! vy " + ! vz " > = 2 kBT 2 = : (ld. (330)) A forgási-kinetikus energiajárulék (2.#79a) a két atomot összeköt! tengelyre mer!leges mindkét tengelyre # 2 2 ! #rot " = @ (< A# > + < A2 >) 2 fSF = 2 (3.3#)* míg a két atomot összeköt! tengely irányába es! rezgések (potenciális és kinetikus energiája harmonikus rezgés esetén (ld. 2205): * A két atomos molekula egy kis “súlyzóhoz” hasonlít; a két atomot összeköt! tengely körüli @-ja, ezért az ahhoz tartozó forgási kinetikus energia is elhanyagolható. 248 # # ! #vibr " = D ! l2 " + 2 m ! v2 " 2 fSF = 2 (3.32) A molekulák fentebb felsorolt mozgásainak (h!fokfügg!) energiajárulékai mind a gáz U(T) bels! energiájának (ld. 255) járulékai (ld 464, ill 465 pontokat) Az U bels! energia h!fokfügg! részét (mely T=0 K-en zérus) termikus energiának nevezik (ld. 255 pont) A kBT szorzat szobah!mérsékleti értékét

érdemes megjegyeznünk, mivel ez az érték a mikroelektronikai technológiák és sok más gyakorlati alkalmazás szempontjából fontos. T = 300 K h!mérsékleten kBT % 4,#342·#0–2# J % 0,0258 eV (3.33) (Másképpen is célszer" megjegyezni: a kBT = # eV energiának kb. #0000 K h!mérséklet felel meg) ". Példa Határozzuk meg egy szobah!mérséklet", N2 molekulákból álló gázrendszerben a molekulák átlagos sebességét. Vegyük a szobah!mérsékletet 300 K-nek. 3 # m<v2> = <#kin,tr > = kBT 2 2 Ebb!l 3 kBT <v2> = vT = m Az N2 molekula tömege (mivel a N2 moláris tömege (ld. (36)) 28·#0–3 kg/mol m= 28·#0–3 –26 NA % 4,6·#0 kg A keresett átlagos (termikus) sebesség vT % 520 m/s 2. Példa Mekkora nagyságrendileg egy atomreaktorból származó ún "termikus (energiájú) neutronnyaláb" energiája? A termikus neutronnyalábban a neutronok energiája a szobah!mérséklet" termikus energia nagyságrendjébe esik;

az egy részecskére jutó termikus energia nagyságrendje kBT, tehát % 2,5·#0–2 eV/részecske. 249 3.4 Barometrikus formula, Boltzmann faktor Vizsgáljuk meg, hogy egy homogén nehézségi er!térben nyugvó, azonos részecskékb!l álló gázban hogyan változik a gáz nyomása illetve s"r"sége valamilyen alapnívótól (pl. a Föld felszínét!l) számított h magassággal, ha a gáz h!mérsékletét és a g nehézségi gyorsulást állandónak vesszük (ld. 33 ábra) A keresett összefüggés az ún. barometrikus formula Szemeljünk ki h magasságban egy infinitezimálisan vékony dh vastagságú, A felület" réteget. Jelöljük a h magasságban a gáznyomást P-vel (ill P(h)–val), a h+dh magassághoz tartozót P+dP-vel (ill. P(h+dh)–val) és a h=0-hoz tartozót Po-val! A vékony gázréteg anyags"r"ségét jelöljük 4(h)-val (ill. 4-val); a gáz s"r"sége természetesen a magasság függvénye, h=0-nál 4 értékét jelöljük

4o-val. Mivel a kiszemelt vékony gázréteg nyugalomban van, a rá ható er!k megfelel! komponenseinek összege egyenl! nullával. Vizsgáljuk a nehézségi er!vel párhuzamos komponenseket (mivel a P nyomás csak a h magasságtól függ, vízszintes irányban nincs nyomáskülönbség) és tekintsük a nehézségi gyorsulás irányát negatívnak. A vékony gázrétegre ható er!k (ld. 33 ábrát) összege tehát zérus: P(h+dh)·A dh mg h P(h)·A A h=0 3.3 ábra Er!ábra a barometrikus formula levezetéséhez Az ábra a sraffozott rétegre ható er!ket ábrázolja T = T(h) = konstans esetre. A szövegbeli levezetésnél az er!k pozitív irányát felfelé választottuk. P(h)·A – 4(h)·A·g·dh – P(h+dh)·A = 0 (3.34) A differenciálhányados definíciója alapján, ha dh infinitezimálisan kicsiny érték P(h) – P(h+dh) = – dP dh dh (3.35) 250 Ezt a (3.34) egyenletbe visszahelyettesítve és átrendezve <dP? g·4(h)·A·dh = – ;dh > dh·A : = (3.36)

amib!l dP dP g·4(h) = – dh B9 dh = – g·4(h) (3.37a,b) A (3.20) BoyleMariotte törvényb!l* 4o P(h) Po = B9 4(h) = P P(h) 4(h) 4o o (3.38a,b) és így a (3.37b) ill a (338b) egyenleteket összevetve 4o dP = – g · 4 (h) = – g dh Po P (3.39) alakot kapjuk. Figyelembevéve, hogy dP ! P (3.40) 4 g , d ln P = – o , dh * Po * (3.4#) d ln P = az átrendezett (3.39)-et integrálva 4og ln P = – P h + konst. o (3.42) * A Boyle-Mariotte törvény alapján dh·A térfogatú, adott kémiai összetétel" gázra esetünkben (mivel a T-t a magasság függvényében állandónak vettük): PoVo P(h)V(h) = m(h)·konst.·T m(h=o)·konst·T azaz: P(h) Po = 4(h) 4o 25# 4og – P h o P(h) = ekonst e (3.43) Ha h = 0, ekonst = Po 4og – h P(h) = Poe Po (3.44) (3.39)-t alkalmazva 4og – h 4(h) = 4o e Po (3.45) adódik. A (344) és (345) képletet barometrikus formulának nevezik Térjünk át a mikrofizikai jellemz!kre! 4(h) = n(h)·mr ill. 4o = nomr (3.46a,b)

ahol n ill. no a részecskes"r"ség(!) h ill h=0 magasságban, mr pedig egy részecske (pl. atom, molekula) tömege Figyelembevéve, hogy PVm = RT = NA kBT, írhatjuk, hogy NA 4ChD P(h) = V (h) kBT = n(h)·kBT = k T mr B m (3.47) illetve 4o Po = no kBT = m kBT , r 4o mr Po = kBT (3.48a,b) Az (3.44) egyenletbe P(h) és Po (347) (348a)-beli n(h)·kBT ill no·kBT kifejezést, 4o/Po helyébe (3.48b) kifejezést írva –m ·g·h/kBT n(h) = noe r (3.49) egyenletet kapjuk. Az egyenlet megadja a részecsekes#r#ség változását a magassággal. Ez a baromatrikus formula mikrofizikai kifejezése Az exponenciális függvény kitev!jének számlálójában az mr tömeg" molekula #pot gravitációs potenciális energiája áll: –# /k T n(h) = noe pot B (3.50) 252 A (3.49 és a 350) kifejezés megadja, hogyan változik egy gázoszlopban a részecskes"r"ség a magassággal. Látható, hogy mivel a részecskék potenciális energiája a magassággal n!, azaz az

exponenciális kifejezés értéke csökken, a részecskes"r"ség a magassággal exponenciálisan csökken. A h magasságbeli és a Földfelszínen mérhet! részecske s"r"ségek, illetve a megfelel! (azonos térfogatban mért) részecskeszámok hányadosai: n(h) N(h) –#pot/kBT no = No = e (3.5#) A képlet jobb oldalán szerepl! tényez! az ún. Boltzmann-faktor A (3.5#) kifejezés speciális esete a statisztikus fizikában (ld 42# pont) levezethet!: Ni – )#ij/kBT = e , )#ij = #i – #j > 0 (3.52) Nj összefüggésnek, ahol az általánosítás abban áll, hogy a (3.52) exponensébe az #i ill #j részecskék teljes energiájának különbsége irandó.* 3.5 Molekuláris ütközések klasszikus közelítésben A gázok atomjai ill. molekulái állandóan és véletlenszer"en ütköznek egymással Az egy molekula által két ütközés között átlagosan megtett utat átlagos szabad úthossznak nevezzük és l̄-lel jelöljük. Két egymást követ!

ütközés között eltelt E átlagos ütközési id! alatt a <v> átlagos sebesség"* molekula éppen az átlagos szabad úthossznyi távolságot tesz meg: * A 4.2# pontban látni fogjuk, hogy a (352) kifejezés két (pl i-re illetve j-re felírt) Ni = Nössz –#i/kBT e F (3.53) kifejezés hányadosa, ahol F a rendszerre jellemz! (állandó) kifejezés, az ún. állapotösszeg * !Gv " a sebesség abszolút értékének átlaga. Pontos értelmezését ld a 463 pontban Szemben a sebesség !Gv "Gátlagával ennek értéke nem nulla. 253 l̄ = E !Gv " (3.54)* Ütközési számnak nevezzük és Z-vel jelöljük az id!egység alatt történt ütközések (átlagos) számát ["(ütközés)/id!"]: Z= # E (3.55) Az l̄ átlagos szabad úthossz mikrofizikai kifejezését egy egyszer#sített gondolatkísérlet alapján határozhatjuk meg. Tételezzük fel, hogy kiválasztunk egy molekulát, atomot, vagy pl. fémek esetében egy vezetési

elektront és nyomon követjük a mozgását, a többi részecskét pedig állónak tekintjük; tételezzük fel azt is, hogy a kiszemelt mozgó részecske egy adott l̄ távolságon éppen ! v " átlagos sebességgel mozog. Szilárdtestekben (pl fémekben) ez elfogadható, gázokban rossz közelítés; eredményeink ennek ellenére egy #/ 2 szorzótényez!t!l eltekintve gázokban is helyesek lesznek. Feltételezzük továbbá, hogy kiszemelt részecskénk számára a többi részecske mindegyike egy H nagyságú felületet jelent, amelybe az beleütközhet (azaz feltételezzük, hogy az álló részecskék egy adott irányban nem takarják egymást). A H felület általános elnevezése: ütközési hatáskeresztmetszet. A gázok kinetikus gázelméletb!l számított ütközési keresztmetszetét gázkinetikai hatáskeresztmetszetnek nevezik. SI egysége a m2 (Ilyen számított értékekre nézve ld e pont # Példáját és 3.6pont 6példáját) Ha az ütköz! gázrészecskéket

r sugarú gömböknek tekintjük,* akkor két részecske akkor ütközik, ha középpontjaik távolsága I 2r, azaz ha a kiszemelt részecskénk középpontja a részecske mozgásirányából nézve a 3.4a ábrán látható bevonalkázott kör területen belülre esik. Innen H = J(2r)2 = 4r2J GGGGGGGG(3.56) Vegyünk fel a gázban egy, a kiszemelt molekulánk ütközések közötti aktuális sebességével párhuzamos tengely" hengert a 3.4b ábra szerint, melynek alaplapja A felület"! Ha kiszemelt részecskénk a 3.4b ábrán bejelölt A alapú hengerben, az ábrán látható módon < v > átlagos sebességgel mozog, számára az adott hengerben lev! részecskék mindegyike H nagyságú felületet fed le. Tegyük fel, hogy a részecske l̄ távolságon (tehát egy A·l̄ térfogaton belül) fog biztosan ütközni; ez modellünk esetében akkor igaz, ha az A alapú és l̄ hosszúságú hasábban található többi részecske H nagyságú felületei az A felületet

teljesen lefedik, azaz (a részecskes"r"séget n-nel jelölve), ha: A = (a hengerbeli molekulák száma)·H = A·l̄·nH (3.57) * A képletben szerepl! mennyiségek csak a gázkinetikai alapfeltevéseket teljesít! rendszerekre (ld.33pont) értelmezhet!ek; folyadékok, szilárd testek atomjaira, ionjaira, stb nem! * Ezt a modellt szokás merev–golyó ("hard–sphere") modellnek nevezni. Természetesen a nem gömbalakú részecskék hatáskeresztmetszete ett!l eltér!, és a részecske alakjától függ! érték lesz. A H csak a legegyszer"bb esetekben számítható ki geometriai módszerekkel. 254 2 2 H=(2r) J=4r J r r r <v> n A $̄=)t·<v> “#” (a) (b) 3.4 ábra a) A H az ütközési keresztmetszet klasszikus definíciója; a rajzon H az "#" részecskére vonatkozó H-t jelenti. b) Az l̄ átlagos szabadúthossz meghatározása klasszikus közelítésben. A-val elosztva mindkét oldalt, átrendezés után: l̄ = # nH

(3.58) A pontosabb számításban figyelembe vesszük, hogy egyrészt a többi molekula is mozog, másrészt, hogy a molekulák hatáskeresztmetszetei át is lapolódhatnak, de a részecskék kölcsönös vonzásával még mindig nem számolunk. E pontosabb számítás eredményeként az l̄ átlagos szabad úthossz kifejezése (3.58) helyett: l̄ = # 2·n·H (3.59) A (3.59)-et felhasználva E-t ill Z-t kifejezhetjük H-val A E átlagos ütközési id! kifejezése: l̄ E=<v>= # 2 n< v >H (3.60) a Z ütközési szám kifejezése pedig: # <v> Z= = = 2 n< v >H E l̄ (3.6") lesz. ". Példa Számítsuk ki 20 °C-os hélium gáz esetén egy He atom ütközési (H) hatáskeresztmetszetét, ha a gáz nyomása. 255 a.) P# = #05 Pa, melynél az átlagos szabad úthossz a P·$ l = #3,6·#0–3 (cm torr) empirikus formula alapján #,8#·#0–7 m. b.) P2 = #,33·#0–7 Pa, melynél az átlagos szabad úthossz a fenti empirikus formula alapján:

#,36·#05 m. (A Pa K9 torr átszámításra használjuk fel az F#0 Függeléket!) Megoldás: Keressük a megoldást a (3.59) képlet alapján! a.) A részecskes"r"ség: Így n# = #05 # N P# = = #,38 ·#0–23·293 = 2,473·#025 m% V kBT H= # # = = #,58·#0–#9 m2 2·n2 $ l# 2·2,473·#025·#,8#·#0–7 b.) A részecskes"r"ség: n2 = Így H= #,33·#0–7 # N P2 = = #,38·#0–23·293 = 3,29·#0#3 3 m V kBT # # = = #,58·#0–#9 m2 #3 5 2·n2 $ l2 2·3,28·#0 ·#,36·#0 Vessük össze eredményünket a fentiekben (ld. 34 ábrát) az egyszer" golyómodellb!l klasszikusan adódó H = (2r)2 J = 4r2 J értékkel, amely (figyelembe véve, hogy a He kovalens atomsugara táblázatok alapján 0,93·#0–#0 m) #,#·#0–#9 m2 -nek adódik. A valóságban azonban sem a molekulák, sem az atomok nem merev golyócskák, és az ütközések sem kontakt folyamatok, hanem a részecskék er!terei ütköznek. Ilyenkor szórás-ról beszélünk. Ilyenkor a

hatáskeresztmetszetet is másképpen kell értelmeznünk. A hatáskeresztmetszet valamely szóró atomnak, illetve molekulának a rajta szóródó részecskékre kifejtett hatását leíró fizikai mennyiség. Ha a szóró részecskére (szórócentrumra) folyamatosan esnek be részecskék, amelyek rajta szóródnak, akkor az id!egységenként bekövetkez! szóródások Z száma arányos lesz a bees! részecskék L fluxusával (vagyis a mozgásirányra mer!leges, egységnyi nagyságú felületen az id!egység alatt áthaladó részecskék számával): Z = HML (3.62) Az arányossági tényez! az ütközési vagy szórási hatáskeresztmetszet. (A hatáskeresztmetszet magfizikai egysége a barn; # barn = #0–28 m2.) 256 A szóródás után adott irányba es! dF térszögbe az id!egység alatt szórt részecskék dZ(F,dF) száma: < dH ? dZ(F,dF) = ; >·L·dF :dF= (3.63) A dH/dF arányossági tényez! a differenciális hatáskeresztmetszet. Hasonló módon értelmezhet! az

energia szerinti differenciális hatáskeresztmetszet is: ez arra jellemz!, hogy hány szórt részecske energiája esik egy E+dE energiaintervallumba: <dH? dZ(E,dE) = ; >·L·dE :dE= (3.64) Az integrális hatáskeresztmetszet az összes lehetséges irányba és dF térszögbe történ! szórás differenciális hatáskeresztmetszeteinek összege: < dH ? H=, * ;:dF>=dF F (3.65) Ha több különböz! szóródási mechanizmus is létezik, használatos még a teljes hatáskeresztmetszet is; ez az összes létez! kölcsönhatás integrális hatáskeresztmetszetének összege. 3.6 Transzportfolyamatok nem egyensúlyi rendszerekben Mint az #.22 pontban megbeszéltük, ha egy rendszer minden (statisztikailag még kezelhet!, elvben ennek megfelel!en tetszés szerinti kicsiny) alrendszerében az intenzív állapotjelz!k értéke azonos, a rendszer egyensúlyban van: például ha a rendszer minden alrendszerének h!mérséklete megegyezik, a rendszer termikus egyensúlyban van.

257 Ha a rendszerben egy adott pillanatban h!mérséklet eltérések vannak, akkor nincs egyensúly (és ha ennek a szigetelés nem szab gátat), bels! energia-áramlás indul meg, mely addig tart, míg a h!mérsékletek ki nem egyenlít!dnek, illetve amíg az egyensúly be nem áll. Hasonlóan ha egy vezet!ben az elektromos potenciál változik helyr!l helyre, akkor elektromos áram indul meg. Ha a részecskes"r"ség* (a koncentráció) változik helyr!l helyre, akkor részecskeáram, diffúzió lép fel. Általánosítva: az egyensúly helyreállítására mindig megindul valamely fizikai mennyiség áramlása, transzportja. Másszóval: az egyensúly helyreállítására transzportfolyamatok indulnak meg. 3.61 A ! fajlagos vezetés mikrofizikai kifejezése Képzeljünk el egy sokrészecske rendszert, amelyben els! közelítésben szabadon mozgó q töltés" részecskék (pl. gázban ionizált atomok vagy molekulák, fémek esetében elektronok) mozognak. A

töltést el!jeles mennyiségként kezeljük, pl elektronokra q " 0 Ha a részecskékre nem hat küls! elektromos tér, akkor azok a köztük lezajló ütközések során rendezetlen mozgást végeznek. Ennek következtében a részecskék elmozdulásának (megfelel!en hosszú id!re vett) átlaga nulla. Ha a rendszerre egy E küls! elektromos er!tér hat, akkor a küls! tér hatása miatt az E-vel párhuzamos irányú elmozdulások valószínübbek lesznek, ezért az elmozdulások átlaga már nem lesz nulla: a rendezetlen h!mozgásra (melynek elegend!en hosszú id!re vett átlaga most is nulla) egy E-vel párhuzamos rendezett mozgás szuperponálódik (melynek irányát qE iránya határozza meg) és elegend!en hosszú id! alatt* egy " #s $ = vdrift · t átlagos irányított elmozduláshoz vezet. A kifejezésben fellép! v driftsebesség * definiciószer"en a q töltés" részecskék drift rendezett mozgásának átlagsebessége. * Pontosabban: "a

komponensek kémiai potenciálja változik helyr!l helyre", ld. 5#2 pontot * t << % kis id!tartamot választva ez nem feltétlenül teljesül. A részecskék többségének ered! elmozdulása viszont mindaddig egyirányú lesz, amíg a t id!tartamot a % átlagos ütközési id! nagyságrendjébe nem csökkentjük, azaz amíg az elmozdulásukat az E térer!sség iránya határozza meg. * drift angol szó, sodródást, vándorlást jelent. 258 & Határozzuk meg a q töltés" részecskék rendezett áramlásából adódó, jellemz! J árams!r!séget! Vezessük le el!ször a (3.66) Ohm törvényb!l kiindulva a (367) differenciális Ohm-törvényt, majd fejezzük ki a J-t mikrofizikai mennyiséggel: U=RI (3.66) V(=)(·A( ,A/ , C / Ha az E térer!sség V/m( és a J árams"r"ség vektor +m2. = +sm2 homogén, akkor * - az Ohm törvényt hosszúságú és A keresztmetszet" vezet!re átírva és felhasználva az R = 0 A , U = E · és I = J · A

összefüggéseket, ahol 0 a fajlagos ellenállás, ! pedig a fajlagos vezetés (utóbbi régebbi elnevezése fajlagos vezet!képesség.): E·l=0 J= A ·J·A E =!E 0 (3.67) Ez az u.n differenciális Ohm-törvény Fejezzük ki J -t mikrofizikai paraméterekkel: J = n q vdrift (3.68a) ,A/ , C / , # / ,m/ , A / +m2. = +m2 s = +m3 · [ C ] · + s = +m2 * - * - - - (3.68b) & Határozzuk most meg a vdrift mikrofizikai kifejezését a 3.5 pont (“Molekuláris ütközések”) fogalmaival! a) Legegyszer!bb közelítésként tételezzük fel, hogy minden részecske pontosan egy adott, % átlagos ütközési id! eltelte után ütközik egy másikkal; az ütközések között (tehát % id!tartamon át) a részecske a küls! E tér hatására a= qE m (3.69) gyorsulással mozog. (A q itt és a továbbiakban is a részecskék töltésének megfelel! el!jeles mennyiség.) Végsebessége a % id!tartam végén: q% v=a%= m E (3.70) 259 Tételezzük fel továbbá, hogy az

ütközés következtében a részecske elveszti teljes sebességét! (Az ütközés után el!lr!l kezd!dik a gyorsuló szakasz.) Ilyen feltételekkel a részecske E irányú sebességének átlagos értékére* a következ! egyenlet írható fel (fentiek szerint a v(t = 0) = 0 feltétellel): # 2 a% # q% s 2 = E v = vdrift = = 2 m % % (3.7#) ahol az a·% helyére behelyettesítettük a (3.70) kifejezést b) A valóságban a részecskék nem minden ütközésben veszítik el teljes sebességüket és nem mindig pontosan % alatt ütköznek. (A % ütközési id! helyett igazából a %r ún. relaxációs id!t kellene használnunk*) & Az itt matematikai és fizikai nehézségük miatt mell!zött részletes számítások azt mutatják, hogy az els! közelítésbeli elhanyagolások a (3.7#) kifejezésben egy #/2es szorzótényez!t eredményeznek A vdrift driftsebesség a pontosabb kifejezése pedig (3.7#) helyett: vdrift = Az E el!tt álló q%r m E (3.72) q%r m tényez!t

mozgékonyságnak nevezzük és 1-vel jelöljük, azaz q %r 1= m (3.73) ahol q el!jeles mennyiség és el!jele meghatározza 1 el!jelét. Tehát ebben a közelítésben vdrift arányos az E térer!sséggel: * A v = s átlagsebesség képletébe állandó gyorsulás esetén s = v t + # at2 irandó, ebb!l o t 2 vot + v= # 2 at 2 # = vo + at t 2 Ha vo=0, akkor a (3.7#) kifejezést kapjuk * A pontos számításnál azt is figyelembe kell venni, hogy egy ütközés után minden részecske más v o kezd!sebességgel indul és más és más t ideig gyorsul. A (37#) átlagsebesség helyett a valóságos átlagsebesség a tényleges sebességek átlagolásával kapható meg. A feladat az ún Boltzmann– transzportegyenlettel oldható meg, ahol figyelembe veszik a szóródó részecskék f(v,r,t) sebességeloszlásának valószín"ségi-s"r"ség függvényét is. A Boltzmann-féle transzportegyenletben is használhatjuk az ún. relaxációs id! közelítést (Az f(v)

függvényre nézve ld a 46# pontot) 260 vdrift = 1 E (3.74) A mozgékonyság SI egysége 2 ,m V m / [ 1] = +s : = m V·s.* (3.74a) A továbbiakban ezekkel a képletekkel számolunk, de némi pontatlansággal %r helyett a % (3.60)-beli kifejezését használjuk; ennek "kényelmi" okok mellett mélyebb oka is van: a %r kiszámítása a kvantummechanika feladata és a számítások numerikusan a mai napig is csak nagyságrendi értékeket szolgáltatnak. A továbbiakban %r helyére ezért mindig ismét %-t írunk. & Összevetve a J (3.68a), és a vdrift (372) és a 1 (373) kifejezéseit J-re a nq2 % E J = nq1 E = m (3.75) összefüggéseket kapjuk. Összevetve ezt a differenciális Ohm-törvénnyel a ! fajlagos vezetés mikrofizikai kifejezését kapjuk: n q2 % !=qn1= m (3.76) Természetesen % értékét kifejezhetjük a 3.5 pontban található kifejezésekkel is Ismételten jelezzük, hogy q itt el!jeles mennyiségként kezelend!, tehát pl. elektronokra q

" 0. Mivel ! kifejezésben q2 szerepel, a ! természetesen pozitív menynyiségként adódik & Félvezet!k esetében (ld. még a 62# pontot), ahol kétféle töltéshordozó (elektronok és lyukak) van jelen a fajlagos vezetés az elektronok és lyukak járulékainak összege: ! = e (ne 1e + nh 1h) (3.77) Félvezet!k esetében a töltéshordozók mozgékonysága két-három nagyságrenddel nagyobb, mint fémekben, de mivel a töltéshordozók koncentrációja hat-hét nagyságrenddel kisebb, így a félvezet!k rosszabbul vezetik az áramot. A félvezet!k esetében a h!mérséklet növekedésével csökken a relaxációs id! és a 1 mozgékonyság, azonban a töltéshordozók koncentrációja sokkal nagyobb mértékben növekszik (részletesebben ld. a Szilárdtestfizikában) Így végeredményben a félvezet!k ellenállása csökken a h!mérséklet növekedésével & A fémek ellenállása a h!mérséklettel n!, és a % relaxációs id! pedig csökken. 26# ".

Példa Az ezüst fajlagos vezetése szobah!mérsékleten 6,#7·#07 )–#·m–#, a szabad elektronok koncentrációja 5,8·#028 m–3. Határozzuk meg az ezüstben az elektronok mozgékonyságának nagyságát! Megoldás: Elektronokra q = –e, így a (3.76) összefüggésb!l 6,#7·#07 m2 ! – – –3 1 = en = #,6·#0–#9·5,8·#028 = – 6,65·#0 V·s (3.78) 2. Példa Intrinsic szilíciumban szobah!mérsékleten a töltéshordozó koncentráció #,45·#0#6 m–3. Az elektronok mozgékonysága – #,5·#0–# m˛/V·s és a lyukak mozgékonysága 4,75·#0–2 m2/V·s. Mennyi az intrinsic szilícium fajlagos vezet!képessége szobah!mérsékleten? Megoldás: (3.77) összefüggés szerint ! = #,6·#0–#9·#,45·#0#6 (#,5·#0–# + 0,475·#0–#) = 4,58·#0–4 )–#·m–# (A kísérleti érték 4,3·#0–4 )–#·m–#.) 3.62 A diffúzió & A diffúzió általános leírása. Mint az #22 pontban vázlatosan jeleztük (és az 5.#2 pontban majd pontosabban is megmutatjuk) egy

többkomponens" rendszer nincs egyensúlyban, ha bármelyik i=#,2,.,K komponensének részecskes"r"sége, illetve koncentrációja a rendszer egyes részeiben eltér, különbözik. Egy elszigetelt és magárahagyott rendszerben ilyenkor spontán anyag- (azaz részecske-) áram indul meg, amely az egyensúly beállását, az i=#,2,.,K komponensek koncentrációjának kiegyenlít!dését eredményezi; a koncentráció-különbségek hatására, azok kiegyenlít#dését eredményez# anyagáramlási folyamatot diffúziónak nevezzük. A diffúzió makroszkópikusan addig tart, amíg valamennyi komponens koncentrációja, részecskes"r"sége kiegyenlít!dött. Ha a koncentrációkülönbségek egy felvett derékszög" koordinátarendszerben csak x irányban lépnek fel (tehát a probléma 262 dn differenciálhányadx dn dos. Ha feltesszük, hogy a koncentráció +x irányban csökken, akkor dx < 0. egydimenziós) a koncentráció változás mértéke

adott x helyen a Szorítkozzunk olyan rendszerre, amelyben a vizsgált komponens n részecskes"r"sége (koncentrációja) csak x irányban változzik és +x irányban csökken, azaz n = n(x) dn negatív. A diffúziós folyamatot általános esetben leíró empirikus egyenletek a dx Fick I. és II egyenletek (#855) A Fick I egyenlet ideális oldatokra érvényes egydimenziós alakja és Jn = – D dn dx (3.79) & Mivel a diffúziós árams"r"ség általában nemcsak a részecskes"r"ség változásától (különbségét!l), hanem a részecskék környezetükkel való kölcsönhatásától is függ, pontos megfogalmazásban a részecskes"r"ség (koncentráció) helyére az ezt a kölcsönhatást is figyelembevev! kémiai potenciált (ld. az #22 ill 5#2 pontokat) kell helyettesítenünk. Különösen érvényes ez a folyadék- és szilárd-fázisú oldatokban való diffúzióra. Ha (3.86)-ban n helyébe az i -dik komponens 1i kémiai

potenciálját helyettesítjük és áttérünk a térbeli (3 dimenziós) koncentrációváltozásra, akkor (3.86) egzakt alakja 21i grad ci Ji = – Li grad 1i = – Li 2ci (3.79a)* ahol i = #,2,.,K, és a grad 1i a 1i ún gradiense (ld F# Függelék) Ha csak egy komponens kémiai potenciálja változik, akkor (3.86a) csak egy egyenletet jelent & A gázdiffúzió gázkinetikai leírása, a D diffúziós koefficiens gázkinetikai értelmezése. A h!mozgás következtében rendszerünkben a részecskék állandóan ütköznek egymással és minden irányban mozognak. Mivel s"r"ségük (koncentrációjuk) nem homogén, több olyan részecske lesz, amely a nagyobb koncentrációjú helyr!l a kisebb koncentrációjú hely irányába mozog, mint amennyi a kisebb koncentrációjú helyr!l mozog a nagyobb koncentrációjú hely irányába, így egy ered# részecskeáram jön létre a kisebb koncentráció irányába. Mivel a koncentráció * Részletesebben ld.

Giber-Gyulai: Diffúzió és implantáció szilárdtestekben, idm" A (379a) dimenzióviszonyai: 2 J / , mol / , mol *cm2.s- = * cm.Js molcm- 263 (feltételezésünk szerint) csak x irányban változik, a diffúziós áram is csak x irányba fog folyni (ld. 35 ábrát) n ered! (diffúziós) n(x x3!¯ n4 x 5 3 x ) részecskeáram x+¯! x dn dn !, n4x 5, n4 x 5 6 ! dx dx 3.5 ábra A gázdiffúzió mikrofizikai értelmezéséhez Szemeljünk ki egy tetsz!leges x koordinátájú pontot és fektessünk át rajta egy, az x tengelyre mer!leges felületet! A % átlagos ütközési id! alatt azok a részecskék haladnak át ezen a felületen, amelyek az ¯ átlagos szabad úthossznál közelebb vannak hozzá (3.5 ábra) A diffúziós áramot a pozitív, illetve a negatív x tengely irányában haladó részecskeáramok különbsége adja. Az x ponttól balra ¯ átlagos (!)* távolságban lev! felületr!l a pozitív x tengely irányába az ottani koncentrációnak megfelel!

részecskék #/6-a mozog.* Így az x helyen lev! felületen +x irányba áthaladó részecskeáram s"r"sége: # J+ = · n(x – ¯ ) · < v > 6 ,részecskék/ ,részecskék m részecskék/ · = + m2·s . = + m3 s m2·s .* - * (3.80)* (380a) * Az átlagos érték egy konkrét érték; az átlagos értékek használata biztosítja, hogy (3.80) képlet minden olyan, az x ponttól balra lev! részecske +x arányú áramát leírja, amely <v> átlagos részecske sebesség esetén % id! alatt az x ponton átfektetett síkon áthalad. Ugyanez vonatkozik értelemszer"en a (38#) egyenletre is. * A kinetikus gázelmélet alapfeltevéseib!l (ld.33pont bevezet!jét) kiindulva az x, y, z irányok egyenérték"ek és pl. az x irányú sebességkomponens esetén az x irányban mozgó részecskék fele vx > 0, fele vx < 0 irányban mozog. Következ!leg pl +x irányban az összes részecskék #/6-a mozog * Figyelem! Az n(x ± l̄) kifejezés nem szorzat, a

zárójelben lev! kifejezés azt jelenti, hogy n értéke pl. az (x + l̄) helyen! 264 Hasonlóan a jobbról balra mozgó, az adott (az x ponttól jobbra ¯ átlagos távolságban lév!) felületen áthaladó részecskék árams"r"sége # J– = · n(x + ¯ ) · < v > 6 (3.8#) A diffúziós részecskeárams"r"ség (esetünkben a balról jobbra haladó ered# részecskeárams"r"ség) # Jn = < v > (n(x – ¯ ) – n(x + ¯ )) 6 (3.82) A differenciálszámításból tudjuk, hogy kis ¯ értékekre* :dn= n(x ± ¯ ) 7 n(x) ± 9dx< · ¯ 8 ; (3.83) Ezért dn = : dn =/ # ,: Jn = < v > +9n(x) – dx ¯ < – 9n(x) + dx ¯ <. 6 ;*8 ; 8 # dn Jn = – < v > ¯ 3 dx (3.84) A D= < v >¯ 3 (3.85a)* mennyiséget diffúziós koefficiensnek nevezzük: D nem állandó, hiszen pl. a h!mérséklet függvénye, s!t koncentrációfüggése is lehet. A diffúziós koefficiens bevezetésével a (3.84) egyenletet a Jn = –D

dn dx (3.86) alakban írhatjuk fel, melyben a Fick I. egyenletre ismerhetünk Mivel esetünkben dn dx < 0, a Jn láthatóan +x irányú. * l̄ “kicsi” volta az jelenti, hogy az l̄ távolságon a koncentráció is kicsit változik. * Pontosabb, statisztikus fizikai számításokkal ett!l kissé eltér! kifejezés adódik, mely szerint D= > < v > l̄ 8 (3.85b) 265 A (3.85b) képletet(!) a mozgékonyság (373) képletével elosztva, és felhasználva 8kBT miszerint < v > = , (ld. a (460) képletet), valamint, hogy ¯ = <v>% (ld >m (3.54), megkaphatjuk az ún Einstein-összefüggést: D kBT = q 1 (3.87) Láthatóan D/1 csak a h!mérséklett!l függ ( 1 és q mindig azonos el!jel"ek!) Bár a (3.87) egyenlethez gázkinetikai úton jutottunk, az sokkal szélesebb körben érvényes (ld. 3, 4 Példákat) 3. Példa Intrinsic szilíciumban szobah!mérsékleten az elektronok mozgékonysága 0,#5 m2/V·s. Határozzuk meg az elektronok diffúziós

koefficiensét. Megoldás: Az Einstein összefüggésb!l (3.87): kBT #,38·#0–23·300 D = q 1 = #,6·#0–#9 0,#5 = 3,9·#0–3 m2/s 4. Példa ##00 °C-on a foszfor diffúziós koefficiense szilíciumban 3·#0–#7 m2/s. Határozzuk meg ezen a h!mérsékleten a foszfor ionok mozgékonyságát! Megoldás: Az Einstein összefüggés szerint: 1= m2 Dq 3·#0–#7·#,6·#0–#9 = #,38·#0–23·#373 = 2,5·#0–#6 V·s kBT 3.63 Az Einstein-féle bolyongási probléma és az abból leszármaztatott Fick II. egyenlet A 3.62 pontoban, mint jeleztük, egy gázrendszerben lefolyó diffúziót modelleztünk Vizsgáljuk meg most a szilárdtestbeli diffúzió problémáját egy egyszer" modellen. A szilárdtest diffúzió problémáját az ún. Einstein-féle bolyongási probléma megoldásával is megközelíthetjük. Az egyszer"ség kedvéért korlátozzuk magunkat egy egydimenziós bolyongási problémára, amelyben a rendszer részecskéi csak ?x irányban mozdulhatnak el.

266 Tartózkodjon a részecske t id!pontban az x helyen. A h!mozgás következtében % id! alatt a részecske véletlenszer"en az x ponttól balra vagy jobbra mozdul el, majd ütközik és megáll. Újabb % id! eltelte után ugyanilyen módon balra vagy jobbra újra elmozdulhat stb. Modellezzük az ugrás–ütközés folyamatokat olymódon, hogy a részecske csak az x tengely diszkrét, egymástól l távolságra lév! helyére mozdulhat el: azaz a részecske minden elmozduláskor csak diszkrét l nagyságú elmozdulást végezhet. Tételezzük fel el!ször, hogy az összes részecske azonos és a részecskék mozgása véletlenszer", azaz mindkét (?x) irányú mozgás egyformán valószín". Ez azt jelenti, hogy a rendszer homogén és a diffúzió hajtóereje, a részecskes"r"ség gradiense nulla és id!független. A részecskéknek ezt a véletlenszer" mozgását hívjuk bolyongásnak. Határozzuk meg, hogy t id# leforgása alatt egy vizsgált

részecske (nulla részecskes"r"ség gradiens esetén) milyen távolságra juthat el az origótól! Ha a jobbra, illetve balra ugrás valószín"sége egyenl!, akkor %-hoz képest elegend!en hosszú id! alatt átlagosan ugyanannyi jobbra, mint balraugrás történik, az átlagos elmozdulás tehát nulla: <s>=0 (3.88) A tapasztalat szerint viszont a vizsgált részecske elegend!en hosszú id! alatt elegend!en messze kerülhet kiindulási helyét!l! Az, hogy az elegend!en hosszú id!re vett átlagos elmozdulás <s> @ 0 és az, hogy a részecske számos elemi l elmozdulás hatására az x(t) helyr!l elegend!en hosszú id! alatt pl. egy s = kl (ahol k = 0,#,2,3,) távolságban lév! helyre kerül, nincs ellentmondásban. Az egyensúlyi helyzett!l való eltávolodás ! = <s2> szórása* ugyanis azt az < s > átlagérték körüli távolságintervallumot adja meg, amelyben a részecske nagy valószín"sggel megtalálható. Ha ez elég nagy,

akkor a részecske nagy valószín"séggel elég messzire kerülhet kiindulási pontjától. Vizsgáljuk most meg a bolyongási problémát ilyen feltételek mellett a valószín"ségszámítás módszereivel! & Jelöljük W(s,#t)-vel annak valószín"ségét, hogy a megfigyelt részecske a t id!pillanatban elfoglalt helyér!l indulva #t id! múlva attól s távolságban, vagyis az x ? s koordinátájú pontban lesz található: tehát pl. valamely az x pont körüli #V = #x * A ! szórás lényegében azt adja meg, hogy az észlelt értékek az átlagtól mennyire térnek el. Képlettel: !2 = < s 2 > – < s > 2 Lásd Bronstejn idézett m" Valószín"ségszámítás c. fejezetét 267 "egydimenziós térfogatban" található N(x,t) = n(x,t) #V darab,* t id!pontban induló részecske közül a t+#t id!pillanatban, a kiindulási helyt!l s távolságra lev! pontba N(x ? s,t+#t) = N(x,t) W(s,#t) (3.89) számú részecske jut el. A

(389) egyenlet mindkét oldalát #V-vel átosztva, azaz áttérve az n(x,t) egydimenziós részecskes"r"ségekre (3.89)-b!l: n(x ? s,t+#t) = n(x,t) W(s,#t) (3.90) & Az x pont környezetében lév! részecskék száma #t id! alatt megváltozik. Egyfel!l az x pont környezetében lév! részecskék onnan elmozdulnak, másfel!l az x ponttól eltér! helykoordinátájú pontokból részecskék juthatnak az x pontba. Számítsuk ki az x pont környezetében ennek következtében bekövetkez# #n részecskes!r!ség változást, ha a rendszerben részecskes!r!ség gradiens van, azaz n = n(x,t)! Az x pont környezetéb!l kilép# részecskék közül az x ponttól s távolságra es! pontot #t id! alatt, a t+#t id!pontig #ns,kilép!(x,t + #t)#V = n(x,t) W(s,#t)#V (3.9#a) darab részecske éri el, ugyanakkor az x ponttól pontosan s távolságra lev!k közül #ns,belép!(x,t + #t)#V = n(x?s,t) W(s,#t)#V (3.9#b) darab lép be az x pont adott környezetébe. A levezetés

egyszer"sítése érdekében a továbbiakban s-sel az x ponttól való el#jeles távolságot jelöljük, azaz legyen s = 0, ? l, ?2 l, ?3 l, tehát a ?s helyére a továbbiakban (–s)-t írhatunk. Az x pont #V = # egységnyi(!) környezetében lév! részecskék számának #t id! alatti megváltozását az összes lehetséges s értékre való összegzéssel kaphatjuk meg: #n(x,t + #t) = A [#ns,belép!(x,t + #t) – #ns,kilép!(x,t + #t)] (3.92) minden s-re Az n(x,t) részecskes"r"ség #t id! alatti megváltozása tehát (3.9#a) és (39#b) behelyettesítésével #n(x,t + #t) = A [n(x–s,t)W(s,#t) – n(x,t)W(s,#t)] minden s-re * ahol n(x,t) a részecskék s"r"sége. (3.93) 268 & A differenciálhányados definíciója alapján elegend!en kicsi #t intervallum esetén jó közelítéssel a (3.93) baloldala a #n(x,t + #t) = n(x,t + #t) – n(x,t) = 2n #t 2t (3.94) alakba írható. Másfel!l, ha l elegend!en kicsi, akkor nem követünk el

nagy hibát, ha x-et folytonosnak tekintjük. Ha x folytonos és s elég kicsi, akkor* 2Bn s2 2n s+ 2· n(x–s,t) = n(x,t) – 2x 2 2x (3.95) A (3.95) kifejezés jobboldalának harmadik tagja n(x,t) másodrend!en kicsi megváltozása. Miután azonban az els#rend!en kicsi második tag az összegzés során 0-t fog adni, kénytelenek vagyunk a másodrend"en kis tagot is figyelembe venni. A (3.93) egyenlet, (394) és (395) felhasználásával: 2n #t = 2t A minden s-re FD E DC ID 2n 2Bn s2/ , s + 2 . W(s,#t) – n(x,t) W(s,#t)H +n(x,t) – 2x 2x 2 DG * (3.96) Bontsuk fel a zárójeleket! Ekkor mindegyik tag egy külön szumma lesz, és az els! és utolsó tag kiejti egymást. Az s-t!l nem függ! szorzótényez!k kiemelése után 2n 2n #t = – 2t 2x A minden s-re 2Bn # s W(s,#t) + 2 2 2x A s2 W(s,#t) minden s-re (3.97) A (3.97) jobboldalának els! tagjában szerepl! összeg az <s> átlagérték, tehát az átlagos el!jeles elmozdulás; a második tagban megjelen!

összeg pedig az < s2 > átlagérték, amely az elmozdulás négyzetének átlagértéke. Az els!, < s >, tag: A minden s-re s W(s,#t) = A |s| W(|s|,#t) + A –|s| W(–|s|,#t) s>0 s<0 (3.98) * A (3.94) jobboldalán lev! n(x–s,t) függvényt s=0 körül x szerint Taylor-sorba fejtve (ld Bronstejn idézett m"). 269 egyenl! nullával, mivel W(–s,#t) = W(s,#t) (3.99)* Kis átrendezés után a (3.97)-t a következ!képpen írhatjuk: 2n < s2 > 2Bn = 2t 2#t 2x2 (3."00) Ha a képlet jobboldalán a derivált együtthatóját D-vel jelöljük: < s2 > 2#t (3."0") 2Bn 2n =D 2 dx 2t (3.#02) D= a (3.#00) egyenlet azonos az empirikus Fick II. egyenlettel, ahol a D a diffúziós koefficiens A (3#0#)-b!l adódó < s2 > = 2D#t (3."03) egyenlet nagyon fontos a mérnöki gyakorlatban. A (3#03) egyenletben D a diffúziós koefficiens és < s2 > az az átlagos távolság, ahová a részecskék a szilárdtestben a

diffúzió során eljutnak (ld. 5 példát) 5. Példa Szilíciumban az oxigén diffúziós koefficiense ##00 °C-on #0–#4 m2/s. 2 órás ##00 °C-os h!kezelés során átlagosan milyen mélyre diffundál be az oxigén a szilíciumba? Megoldás: (3.#03) összefüggés alapján: < s2 > = 2D#t = 2·#0–#4·3600·2 = #,2·#0–5 m A < s2 > kísérletileg is meghatározható, ha megmérjük a szilíciumban az oxigén koncentrációját a behatolási mélység függvényében. * W(s,#t) ugyanis annak a valószín"sége, hogy egy részecske #t id! alatt s távolságra, vagyis az x ? s koordinátájú pontok valamelyikébe juthasson el, és feltételeztük, hogy a részecskék ?x irányú mozgása egyformán valószín". Ha a rendszerben nem csak részecskes"r"ség gradiens van, hanem a részecskékre küls! er!tér is hat, akkor W(s,#t) J W(–s,#t) és így a (3.98) által kifejezett <s> sem egyenl! nullával; ez egy további tagot jelent a (3#00)

egyenletben. 270 3.64 H!vezetés gázokban (Energia transzport ütközések útján). A h!vezetésnél (tehát amikor a makroszkópikus anyagáramlást, a molekulák rendezett mozgását kizárjuk) az energia a melegebb helyr!l a hidegebb helyre úgy terjed, hogy a molakulák rendezetlen h!mozgásuk energiájának egy részét ütközések útján a szomszédos részecskéknek adják át. A h!mérséklet különbség (h!mérséklet gradiens) hatására meginduló bels! energia áramlást a Fourier h!vezetési törvény írja le, mely szerint a h!árams"r"ség (a felületegységen egységnyi id! alatt átlép! bels! energia) egyenesen arányos a h!mérséklet gradienssel és az arányossági tényez!, mely az anyagi min!ségre jellemz!, a K h!vezetési együttható* : Ju = –K grad T (3.#04) , J / , J / ,K/ , W / +m2·s. = +m·s·K · +m = +m·K - * - - * * Ez a fenomenológikus összefüggés analóg a töltéstranszportra megismert differenciális Ohm törvénnyel

és az anyagtranszportra vonatkozó Fick I. törvénnyel (ld (3.67) ill (386) összefüggések) A negatív el!jel arra utal, hogy az energiaátadás makroszkópikusan a h!mérsékletcsökkenés irányába folyik le. Szabadon mozgó részecskékb!l álló rendszer (gáz, fémek vezetési elektronjai) h!vezet!képességének meghatározására alkalmazhatjuk a klasszikus kinetikus gázelmélet közelítéseit. Egy f = # statisztikus fizikai szabadsági fokú gázmolekula f átlagos termikus energiája kBT. Tehát a magasabb h!mérséklet" tartományokban a 2 gázrészecskék nagyobb kinetikus energiával rendelkeznek és ezt a többlet energiát ütközések révén adják át az alacsonyabb h!mérséklet" tartományokban kisebb kinetikus energiával mozgó részecskéknek. A diffúzió esetéhez hasonlóan egydimenzióban tárgyaljuk a folyamatot, azaz tételezzük fel, hogy a h!mérsékletkülönbség a felvett derékszög" koordinátarendszerben csak x irányban lép

fel. Tételezzük fel továbbá, hogy a h!mérséklet +x dT < 0. irányban csökken, azaz dx Válasszunk ki egy tetsz!leges x koordinátájú pontot és fektessünk át rajta egy x tengelyre mer!leges síkot. Az x ponttól balra ¯ átlagos szabad úthossznyi távolságban * Szokták K-val is jelölni. 27# f k T (x–¯ ).,míg az x pontról jobbra ¯ 2 B f távolságban lév! molekulák átlagos kinetikus energiája kT (x+¯ ). A molekulák 2 # s"r"sége állandó, minden x pontban n. Mivel a molekulák része mozog +x irányban, 6 az x pontban elhelyezked! és az x tengelyre mer!leges felületen +x irányban a részecskék által szállított átlagos kinetikus energia árams"r"sége lév! molekulák átlagos kinetikus energiája: f # Ju+ = n<v> kBT (x–¯ ) 2 6 (3.#05) Hasonlóan a –x irányban mozgó részecskék által szállított átlagos energia: # f Ju– = n <v> kBT (x+¯ ) 6 2 (3.#06) Az ered! energia árams"r"ség az

x pontban # f Ju = Ju+ – Ju– = n<v> kB[T(x–¯ ) – T(x+¯ )] 6 2 dT = : A differenciálszámítás szabályait felhasználva 9T(x ? ) ¯ 7 T(x) ? ¯ dx <; 8 dT = : dT =/ # f ,: Ju = n<v> kB+9T(x) – dx ¯ < – 9T(x) + dx ¯ <. 6 2 *8 ; 8 ;# dT Ju = – n<v>f kB ¯ 6 dx (3.#07) Ezt összevetve a (3.#04) összefüggéssel, a h!vezetési együtthatóra adódik: # K = n<v>f kB ¯ 6 (3.#08) Megjegyezzük még, hogy h! terjedhet nemcsak h!vezetéssel, hanem h!szállítással* , és h!sugárzással is. A h!szállításnál (ellentétben a h!vezetéssel) az energiatranszport a részecskék áramlása (rendezett, irányított mozgása) révén jön létre, az energiát a részecskék szállítják és nem ütközések révén adódik át. H!sugárzás útján energia jut át az egyik testr!l a másikra anélkül, hogy a testek közti anyagi közeg észrevehet!en felmelegedne, s!t akkor is, ha testek között nincs is semmilyen közeg. A

h!sugárzással a 8.## pontban még foglalkozunk A gázok (ha bennük az áramlást megakadályozzuk), a folyadékok egy része és a vízk!, az olajhártya rossz h!vezet!k, a fémek pedig jól vezetik a h!t. Tájékoztatásul * Angolul: heat transport; szokásos még áramlásos h!vezetésnek is nevezni. 272 néhány anyag h!vezetési tényez!je: vörösréz 394, szénacél 50, saválló acél 25 (tehát relatíve rossz h!vezet!), vízk! 0,42,4, olajhártya 0,#; folyadékok 0,l-0,7; leveg!, vízg!z 0,02-0,055; gázok 0,06-0,#6 W/m·K. Megemlítjük, hogy a mérnöki gyakorlatban fontos témakör a konvektív (áramlásos) h!átadás*. Jól ismert tény, hogy egy forró test gyorsabban hül le, ha azt pl áramló leveg!vel, vagy h"t!folyatékkal h"tjük. Általában egy faltól eltávozó vagy egy falhoz áramló h!átadás h!áramát az u.n Newton-féle lehülési törvény fejezi ki: JQ (h!átadáskor) = – L (Th"t!közeg – Tfal ) W/ , J ahol JQ a

h"t!közeg és a fal közötti h!árams"r"ség +m2s = m2. , az L pedig egy * , W / vezetés jelleg" h!átadási tényez! +m2·K. (angol nevén: heat transfer coefficient) A * h!átadás esetében az u.n határréteg modell szerint a falról a h! egy, a falnál kialakuló hidrodinamikai határrétegen (egy a falhoz képest nem áramló filmen) keresztül h!vezetéssel jut a h"t!közegbe; másszóval a határréteg az összes “h!átadási ellenállást” magában foglalja, itt alakul ki a h!átadást meghatározó h!áramsebesség. Az elmélet szerint L= K M (3.#09a) ahol K a határréteg h!vezetési tényez!je (ld.(3#04)), a MN pedig a h!tani határréteg szélessége. Ha egy d vastagságú, K h!vezetési tényez!j" szilárd fal által elválasztott két közeg között h!átvitel megy végbe, akkor a h!nek a falon és a fal két oldalán elhelyezked! határrétegen kell áthatolnia. E folyamat tehát kétoldali h!átadásból és a falon történ!

h!vezetésb!l áll, amit együtt h!átbocsátásnak nevezünk. A ‘k’-val jelölt tényez! értékét # # d # = + + k L# K L2 (3.##0) fejezi ki; mivel a (3.##0)-ben lev! összes mennyiség vezetés jelleg", a két határréteg és a d vastagságú fal tehát sorbakapcsolt h!ellenállásként foghatók fel. A h!átadási tényez! értéke sok paramétert!l függ. Tipikus értéke leveg! és acél között L = 5–50 [Wm–2 K–#], víz és acél között L = 500–5000 [Wm–2 K–#]! * A félreértések elkerülésére, ez egészen más témakör, mint a fentebb említett az áramlásos, konvektív h!vezetés. 273 3.65 Bels! súrlódás Gázok viszkozitása (Impulzustranszport ütközések révén.) Ha gázok (vagy folyadékok) réteges (lamináris) áramlásánál az áramlás sebessége az áramlásra mer!leges irányban változik (azaz ebben az irányban az áramló közeg rétegei egymáshoz képest különböz! sebességgel mozognak (egymáshoz képest

elmozdulnak), akkor a rétegek között (gázok/folyadékok belsejében) a tapasztalat szerint súrlódás jelleg" er!k hatnak, melyek legy!zésére, egy stacionárius áramlás fenttartására a rendszeren folyamatosan munkát kell végezni. E jelenséget (fenti okokból) bels! súrlódásnak nevezzük. & Stacionárius ( +x) irányú áramlás esetén a bels! súrlódási (nyíró-)er!t a Newtonféle súrlódási törvény szerint a F=–OA dux (y) dy (3.###) kifejezés írja le, ahol az arányossági tényez! az O bels! súrlódási együttható vagy viszkozitás. A (+x) irányú áramlási sebességet ux-el jelöltük; az ux az áramlásra mer!leges y irányban változik, tehát ux = ux (y); ‘A’ pedig az elmozduló rétegek egy adott felülete. Az F/A feszültség tehát arányos az ux áramlási sebesség áramlási irányra mer#leges gradiensével. A negatív el!jel arra utal, hogy réteges áramlásnál, két kiszemelt, szomszédos, különböz! áramlási

sebesség" rétegre a nyíróer! dux egymással ellentétes irányú és azok relatív sebességét csökkenti. Ha dy -t pozitívnak vesszük (az y irányba es! réteg a nagyobb sebesség"), akkor a nyíróer! utóbbit fékezi (– el!jel!), a kisebb sebesség"t pedig gyorsítja. & A (3.###) által leírt, réteges áramlásnál fellép! bels! súrlódás pl létrejöhet egy nem túl nagy átmér!j" cs!ben történ! áramlásnál, ahol az áramlási sebesség egy adott kritikus értéket (amely felett az áramlás rétegessége megsz"nik, az áramlás “turbulenssé” válik) nem lép túl; létrejöhet ilyen feltételek esetén akkor is, ha álló gázban (vagy folyadékban) két, egymással párhuzamosan elhelyezett szilárd felületet egymáshoz képest elmozdítunk (ekkor (3.###) az elmozdításhoz szükséges er!t adja meg); és létrejöhet pl. akkor is, ha egy cs!ben álló gázban (vagy folyadékban) pl egy, a cs! átmér!jéhez képest kis

átmér!j" fémfolyót mozgatunk. Az említett esetekben a közeg a szilárd (pl. fém) felületen adherál (a közegnek a fémnek felületével érintkez! rétege nem mozdul el), míg a következ! rétegek áramlási sebessége a bels! súrlódás miatt y irányban folyamatosan változik. A bels! súrlódás azonban fellép más, kevésbé definiált körülmények között (pl. turbulens áramlásnál, egy oldószerb!l álló hidratált (szolvatált) burokkal rendelkez! 274 ion elektrolitban való pl. diffúziós mozgásánál, vagy anyag- (részecske-) transzport esetén is, csak akkor a jelenség bonyolultabb annál, mint amit a (3.###) leír A bels! súrlódás (vagy ahhoz hasonló jelenség) szilárd testek alakváltozása esetén is fellép. & A viszkozitás mérésére a (3.###) elvi lehet!séget ad, melynek során az er! és az áramlási sebességgradiens lennének a mérend! mennyiségek. A gyakorlatban e célra olyan összefüggéseket használnak, melyek

(3.###)-b!l levezethet!ek, de a sebességgradiens helyett pontosabban mérhet! mennyiségek (pl. folyadék esetén a kapillárisban történ! átfolyási id!, gázok esetében. az un rotációs viszkoziméterekben egy forgatott henger által egy másik (nem forgatott) hengernek átadott forgatónyomaték) meghatározásán alapulnak. A mérési módszerek leírása túllép tárgykörünkön. Az O viszkozitás* SI mértékegysége / , Nm / , –2 / , +m2 m s–#. = +Nm s + kg m–# s–# * * * (Régebbi egysége a poise; # poise=#0–# kg m–#s–#) A folyadékok dinamikai viszkozításának nagyságrendje #0–3 SI egység, a gázoké #0–5egység, az amorf szilárd testeké (pl. a szuroké) #0#0 egység & Ezen fenomenológiai tárgyalás után – a h!vezetés leírásánál (ld. 364pont) is használt gázkinetikai modellt használva –, meg kívánjuk világítani a bels! surlódás mechanizmusát. El!re kell bocsájtanunk, hogy ilyen megközelítésben csak mérsékelten

kis nyomású gázok bels# súrlódásának mechanizmusával foglalkozhatunk. (A folyadékok és szilárd testek bels! surlódása egész más mechanizmusú, aktiválást igényl! folyamat, mely az üres rácshelyek mozgásával kapcsolatos, ld. a Szilárdtestfizikában.) Tekintsünk egy réteges áramlási modellrendszert (ld. 36 ábrát) Válasszunk ki az áramló gázban két egymással érintkez! lapos hasábot (réteget), melyeknek magassága egyenként legyen ¯ , azaz a közepes szabad uthossz , * Pontosabb nevén O dinamikai viszkozitás. Használatos még a P= O 0 kinematikai vizskozitás (ahol 0 a s"r"ség). A kinematikai SI mértékegysége [m2 s–# ] ; utóbbi régebben használt egysége a stokes (St) volt. # stokes = #0–4 m2 s–# 275 alapterületük pedig legyen A. A két hasáb érintkezési sikjában a gáz áramlási dux sebessége legyen u, a fels! hasáb fels! lapjának sikjában ux + ¯ dy , az alsó hasáb dux dux alsó lapjának sikjában

pedig ux – ¯ dy . A dy sebességgradiens el!jelét vegyük pozitivnak (3.6 ábra) A du x dy y, ux 6 ! n du x dy ux ! ux 3 ! ! du x dy 3.6 Modellrendszer a viszkozitás mikrofizikai meghatározására (A n részecskes"r"ség az egész rendszerben állandó.) A fentiekb!l azt a következtetést kell levonnunk, hogy minden súrlódó réteg magával igyekszik vinni a szomszédos réteget is, ez a kisebb áramlási sebesség" réteg hátráltatja a nagyobb áramlási sebesség" réteg elmozdulását. Ez ugy valósul meg, hogy az áramlás irányára mer!legesen molekulák lépnek át egyik rétegb!l a másikba, és impulzusukat átadják a másik rétegnek. Az impulzusárams"r"ség nyirófeszültségként jelentkezik, mely az érintkez! felületek mentén hat. Így a (3.###)-el definiált Newton-törvényt a JP impulzusárams"r"séggel a nyirófeszültségre is felirhatjuk: < JP (teljes) > = dux(y) F = – O dy A (3.###a) –2

,kg m # / ,kg m s / + s m 2 s. = + m 2 - * * & Az alsó hasábból az ux áramlási sebesség" felületre mer!legesen felfelé érkez! átlagos impulzusárams"r"ség dux (y)= : # < " JP (fel) $ = n " v $ mr 9 u – ¯ 6 dy ; 8 A fels! hasábból függ!legesen lefelé érkez! átlagos impulzusárams"r"ség dux (y)= : # < " JP (le) $ = – n " v $ mr 9 u + ¯ 6 dy ; 8 276 Az ux sebesség" rétegbe érkez! átlagos teljes impulzusárams"r"ség " JP (teljes) $ = " JP (fel) $ + " JP (le) $ azaz " JP (teljes) $ = – n ·" v $ · mr dux (y) 2 ¯ 6 dy (3.##2) Az impulzusárams"r"ség áramlás ered!je tehát lefelé (–y irányba) mutat: a fels!, nagyobb impulzusú réteg az áramlás irányával párhuzamos impulzust ad le a középs! (ux áramlási sebesség") rétegnek; másszóval a nagyobb áramlási sebesség" réteg molekulái magukkal ragadják a kisebb

sebesség" réteg molekuláit, miközben az el!bbi réteg sebessége csökken, és fordítva. Közben n! a rendezetlen h!mozgás energiája: az áramlás irányított mozgásának energiája részben termikus bels! energiává alakul: az áramlás a vizskozitás nagyságától függ! h!fejl!déssel jár. & Vessük össze (3.##2) eredményünket a (3###a) képlettel; láthatjuk, hogy # O = · n ·" v $ · mr ¯ 3 (3.""3) A (3.##3)-ba a " v $ (460) képletét, a ¯ helyébe (359) kifejezést, utóbbiba a merev golyó modell ! = (2r)2 > = d2> ütközési keresztmetszetét helyettesítve: O= 2 m kBT 3 >3/2 d2 (3.##4) Figyeljünk fel arra, hogy a (3.##4) kifejezés nem tartalmazza a gáz részecseks"r"ségét (ill. n mr = 0 s"r"ségét), azaz O független a nyomástól; viszont a h!mérséklettel h!mérséklettel!) T-szerint n!. (A folyadékok viszkozitása csökken a A gázok viszkozitása ma az egyik legpontosabban

számítható jellemz!. Ennek az a gyakorlati jelent!sége, hogy a (3.##4) képletb!l számíthatóak a legpontosabb d gázkinetikai molekulaátmér!k. 6. Példa 0 oC-n és # atm nyomáson a hidrogén dinamikai viszkozitása 8,4#·#0–6 N · s · m–2. Számítsuk ki a d gázkinetikus molekula átmér!t! d= 2 m kBT = 3 >3/2 O 2 (3,35·#0–27 · #,38·#0–23 ·273)#/2 = 2,25 ·#0–#0 m 3 >3/2 · 8,4#·#0–6 (A kovalens átmér! 0,74·#0–#0 m) 277 4. A STATISZTIKUS FIZIKA ALAPJAI Mérjük meg egy makroszkópikus rendszer valamely makroszkópikusan közvetlenül mérhet! ún. makroparaméterét,* pl. P nyomását (T h!mérsékletét, koncentrációját stb) az id! függvényében P P 5 "0 Pa -5 "0 Pa (a) t (b) t 4.1 ábra a) Az egyensúlyban lév! gázrendszer nyomása id!ben állandó; b) a makroszkópikus id!beli állandóság mögött mikrofizikai, az egyensúly körüli ingadozások, fluktuációk állnak, melyek kis nyomások (ábránk

esetében 10–5 Pa) esetén megfigyelhet!ek és a pillanatnyi nyomás (amely nem egyensúlyi makroparaméter) egyensúlyi érték körüli ingadozásában #P& jelentkeznek. A relatív ingadozás " % értéke 105 Pa-nál 2·10–10, 10–5 Pa !P$ mellett 2·10–5 nagyságrend" Ha egy rendszert jellemz! minden makroparaméter id!ben jó közelítéssel állandó, azaz ha a makroparaméterek értéke minden pillanatban megegyezik átlagértékükkel*, akkor a rendszer egyensúlyban, egyensúlyi állapotban van. A P nyomás esetére ezt az állapotot a 4."a ábrán ábrázoltuk Az egyensúlyi állapotban mért makroparaméterek a rendszer adott (makroszkópikusan id!független) állapotára, az egyensúlyi állapotra jellemz!k, tehát állapotjelz!k A makroparaméterek értéke a rendszer nem egyensúlyi állapotában is mérhet!, de ilyenkor az id!ben pillanatról–pillanatra változik (ld. 4"b ábrát); a nem egyensúlyi makroparaméterek nem állapotjelz!k. A

makroszkópikus egyensúlyi rendszerek állapotjelz!inek id!beli makroszkópikus állandósága mögött a rendszert alkotó részecskék egyedi, mikrofizikai jellemz!inek * Ezen és néhány továbbiakban használt, itt újra nem értelmezett fogalmat az ".22 pontban már definiáltuk, és az 5." pont bevezet!jében mégegyszer összefoglaljuk * Az átlagértékek kiszámításának elemeivel a 3." pontban már megismerkedtünk A statisztikus fizikai átlagképzés néhány fontos esetével a 4.62 és a 463 pont foglalkozik 278 (sebesség, impulzus, energia stb.) folytonos id!beli változása, a részecskék állandó kölcsönhatása (pl. ütközései) rejlik Egyensúlyi rendszerekben az egyedi mikrofizikai jellemz!k id!beli átlaga id!független és egyensúlyban ez az átlag határozza meg bármely makroszkópikusan mérhet! fizikai mennyiség mérhet! értékét. Így pl a rendszer részecskéinek vT = <v2> termikus sebessége (ld. 463 pontban)

határozza meg egy mr tömeg# részecskékb!l álló (ideális) gázrendszer nyomását ill. h!mérsékletét (ld 33" ill 3.32 pontot) Az id!t!l független átlag kialakulása éppen azt igazolja, hogy vannak egyensúlyi rendszerek és ezekre definiálhatók állapotjelz!k. Nem-egyensúlyi makroszkópikus rendszerekben a makroparaméterek id!függvények, a mért átlagértékek a mérési id!pont függvényei. ( A statisztikus fizikai rendszerek jellemzésére az R rendszer jellemz!in kívül mindig meg kell adnunk a rendszer energiájára és részecskeszámára vonatkozó u.n mellékfeltételeket, valamint a makroállapot és a mikroállapot definicióját; ezeket a megfelel! pontokban (ld. a 4" ill 42 pontokat) adjuk meg ( A statisztikus fizika önálló diszciplina, amely a makroállapotok és az !ket megvalósító mikroállapotok, valamint a mikrofizikai paraméterek és az állapotjelz!k ill. állapotfüggvények kapcsolatával foglalkozik Különösen fontos, hogy

a statisztikus fizika választ tud adni a magára hagyott nem–egyensúlyi rendszerekben maguktól végbemen! folyamatok egyirányúságára (megfordíthatatlanságára, irreverzibilitására) is. Mi a statisztikus fizika egyszer#sített eszközeivel els!sorban a gyakorlatilag alkalmazható eredményekhez vezet! porblémákat tárgyaljuk. A statisztikus fizika egzakt részletes tárgyalását pl. a Landau-Lifsitz: Elméleti Fizika sorozat (Tankönyvkiadó "974-"975) V. és IX kötetében találhatjuk meg ( Célunknak megfelel!en a következ!kben tehát olyan tárgyalásmódot alkalmazunk amely a klasszikus- és a kvantumstatisztikák gyakorlatilag fontos eredményeihez egyaránt elvezet. A tárgyalás során: ( Minden részecskét klasszikus részecskeként kezelünk, ugyanakkor feltételezzük, hogy az atomok, molekulák termikus energiája (annak transzlációs-, forgási-, rezgési energiajáruléka) kvantált, azaz a lehetséges energiaértékek nem folytonosak és

csak meghatározott (a rendszerre jellemz!) diszkrét értékeket vehetnek fel: Eo, E", E2,.,Ej,,Ei energianívó sorozatot alkotnak A folytonos fizikai mennyiségek (pl. a részecskék sebessége) teljes értéktar( tományát indexelt értékintervallumokra, tartományokra: cellákra osztjuk (ld. a 3" pontot és a 4.6 pontot; utóbbiban pl a részecskék sebességének teljes értéktartományát tartományokra osztjuk). 279 ( Figyelembe vesszük, hogy bizonyos részecskék elvileg megkülönböztethetetlenek (ld. 472, 472" és 48 pontokat) mások elvileg megkülönböztethet!ek (ld. 4", 42, 43, 44, 45, 46, 47" pontokat) E két fogalom pontosítására a 48 pont bevezet!jében visszatérünk. 4.1 N darab megkülönböztethet! részecske legvalószín"bb térbeli eloszlása ( El!ször, mint a 4. fejezet bevezet!jében jeleztük, megadjuk az általunk vizsgálandó R rendszert jellemz! mellékfeltételeket: a.) legyen a részecskék száma

(összrészecskeszám) N állandó; b.) és legyen az egyenl! térfogatú C", C2, , Ci, , CK-val jelölt térfogatcellák száma K A 4." pontban tárgyalásunkat egyfajta molekulákból (atomokból) álló ideális gázra korlátozzuk. Az elemi példáktól eltekintve feltételezzük, hogy Ci >> Ni (ld. alább) és Ni mindig elegend!en nagy ahhoz, hogy a statisztikus módszereket alkalmazhassuk. ( A térbeli eloszlásnál egy adott rendszer egy adott makroállapotát úgy definiáljuk, hogy megadjuk az egyes C", C2, ., Ci, , CK cellákban tartózkodó részecskék N", N2, ., Ni, , NK számát, másszóval megadjuk a C" C2 C3 . Ci CK N" N2 N3 . Ni NK táblázatot, ahol az Ni-k az egyes cellák betöltési számai. Az N", N2, , Ni, , NK K számsorozatot szokás {Ni}i=" jellel jelölni és az adott rendszer makroeloszlásának nevezni. Természetesen ) Ni = N Egy adott rendszernek számos, az adott mellékfeltételekkel összefér!

makroállapota lehetséges:. Például az N=6, K=2 egyszer# példánál maradva az összes, a mellékfeltételekkel összefér! makroállapot (cella - részecskeszám) könnyen felírható: 6–0, 5–", 4–2, 3–3, 2–4, "–5, 0–6 280 Az ilyen rendszernek a térbeli eloszlás szempontjából tehát 7 makroállapota lehetséges. Bonyolultabb (valóságoshoz közelálló) rendszereknél a lehetséges makroállapotok számát gyakorlatilag nem lehetséges megadni: erre nincs matematikai módszer. Mint látni fogjuk erre nincs is szükségünk. ( A mikroállapotot úgy definiáljuk, hogy az összes egyedi részecskét hozzárendeljük az egyes Ci cellákhoz. Egy mikroállapot megadásához tehát meg kell adnunk, hogy az egyes egyedi részecskék melyik cellában vannak, de a cellán belül a részecskék elhelyezkedésével nem foglalkozunk Megkülönböztethet! részecskék esetén konkrétan: ( Egyes egyedi részecskék két különböz! cella közötti

felcserélése különböz! mikroállapotot jelent. ( Egy cellán (egy Ci-n) belüli felcserélés nem jelent új mikroállapotot. Például N = 2, K = 2 esetében egy makroállapoton belül különböz! mikroállapotot jelent az A B illetve a B A mikroeloszlás, viszont az ett!l eltér! makroállapotot megvalósító alábbi AB BA mikroeloszlások nem valósítanak meg különböz! mikroállapotokat! ( Adott R lehetséges makroállapotai számának megadására mint fentebb jeleztük nincs matematikai módszer, de megadható egy adott makroállapotot megvalósító mikroállapotok w száma és megadható egy adott R összes makroállapotához tartozó mikroállapotok száma (*w) is. ". Példa Legyen N = 4, konkrétan pl: A, B, C, D, és legyen a cellák száma 2 (C" és C2). Ebben az esetben tehát a V térfogatú teret két " V" = V2 = V térfogatú cellára osztjuk. Vizsgáljuk meg, hányféleképpen 2 lehet megvalósítani egy olyan

makroállapotot, amikor mindkét térrészben azonos számú részecske található, azaz táblázatosan C" C2 N" = 2 N2 = 2 28" Másszóval azt kérdezzük, hogy az adott makroállapot hányféle különböz! mikroállapottal valósítható meg? A megoldást a 4." Táblázat mutatja; ilyen egyszer# esetben ez részleteiben is követhet!: 4.1 Táblázat C" : AB AC AD BC BD CD C2 : CD BD BC AD AC AB Mivel megállapodtunk, hogy azonos részecskék cellán belüli felcserélése nem jelent új mikroállapotot, a C" cellában pl. BC mellett CB -t már nem kell figyelembe vennünk. Az adott makroállapot tehát összesen 6-féleképpen valósítható meg: az adott makroállapotban összesen hat mikroállapot lehetséges. ( Az ". példához hasonló probléma általános megoldását a kombinatorika ismétléses permutációnak nevezi. Ennek segítségével megadható egy adott makroállapotot megvalósító mikroállapotok száma (w):

w= N! N"!N2!N3!.NK! w= 4! 4.32" 2!2! = 2."2" = 6 (4.")* Az ". példánál maradva adódik. A w értéket (amely megadja, hogy egy adott makroállapot hány mikroállapottal valósítható meg) az adott makroállapot termodinamikai valószín"ségének nevezzük. ( Bár a mellékfeltételekkel összefér! összes makroállapotot és azok számát sok részecske és cella esetén analitikus formában nem tudjuk megadni, kiszámíthatjuk az adott mellékfeltételekkel jellemzett rendszer összes makroállapotához tartozó összes mikroállapotok számát, melyet )w-vel jelölünk. Egyszer# példánknál (N=4, K=2) maradva a )w értékét a 4.2 Táblázat szerint számíthatjuk ki * Definíció szerint 0! = ". A (4") kifejezés tükrözi a részecskék fentebb definiált megkülönböztethet!ségét: az N!-al az összes részecskét permutáljuk, tehát sorba rakjuk, majd N"!Ni!-al kizárjuk az egy-egy cellán belüli

permutációt, hiszen megállapodtunk, hogy egy cellán belül pl. AB és BA ugyanazt a mikroállapotot valósítja meg. 282 Részecske Elhelyezzük az ". részecskét (A-t) A 2. részecskét (B-t) A hoz párosítjuk C" cella A az C2 cella 4.2 Táblázat Megjegyzés kétféleképpen helyezhetjük el A B A AB B A négyféleképpen helyezhetjük el AB A 3. (C) részecskét kétféleképpen párosíthatjuk a fenti eloszlás bármelyikével, ez összesen 8-féle párosítást jelent. A 4. (D) részecskét ugyancsak – mind a 8 utóbbi esettel – kétféleképpen, tehát "6-féleképpen párosíthatjuk. Általánosítva a példa kapcsán felismerhet! szabályt: N megkülönböztethet! részecske és K cella esetén egy adott rendszer összes mikroállapotainak számát a ++++)w = KN (4.4) kifejezés adja meg. Példánk esetén )w = 24 = "6. Figyeljünk fel arra, hogy egy adott rendszerre, melyet adott számú cellával és adott N

összrészecskeszámmal jellemzünk, az összes lehetséges mikroállapotok száma ()w) a rendszerre jellemz! érték (hiszen mind K, mind N az R rendszer jellemz!i). 2. Példa Az " példabeli rendszerben (amit N=4, K=2 jellemzett) nem csak a 2-2 eloszlással jellemzett makroállapot lehetséges. Egy lehetséges másik makroállapot pl. C" C2 N" = 4 N2 = 0 Ebben az esetben az összes részecske az egyik térfélben helyezkedik el. Ennek termodinamikai valószín#sége w= 4! =" 4! 283 3. Példa Legyen N= 6, K= 2 A lehetséges makroállapotok és ezek w értékei a következ!ek: eloszlás w 6–0 5–" 4–2 3–3 2–4 "–5 0–6 6! =" 6!0! 6! =6 5!"! 6! = "5 4!2! 6! = 20 3!3! 6! = "5 2!4! 6! =6 "!5! 6! =" 0!6! Tehát a )w = KN képlet szerint összesen 64 lehetséges mikroállapot van, ami valóban egyenl! )w="+6+"5+20+"5+6+" = 64-gyel. kedvez! esetek száma & # ( Egy adott

makroállapot valószín"ségét " összes lehetséges esetek száma% a $ ! P= az adott makroállapothoz tartozó mikroállapotok száma " =w (4.5) az adott rendszer összes mikroállapotainak száma )w kifejezés adja meg. Az " Példa esetén ennek értéke P=6 " "6 Mivel a )w egy adott rendszer minden makroállapota valószín#ségének kiszámításánál fellép és ugyanaz a szám, a különböz! makroállapotok valószín#ségének összehasonlításánál, arányának képzésénél kiesik. Ezért a továbbiakban az adott makroállapot valószín#ségét az !t megvalósító mikroállapotok w számával, az adott makroállapot termodinamikai valószín"ségével jellemezzük. A termodinamikai valószín#ség láthatóan nem "valódi" valószín#ség, mivel értéke nem 0 és " közé esik. 4. Példa Mi a valószín#sége annak, hogy az összes részecske (pl a terem összes molekulája) az adott térfogat (a terem) egyik

felében gy#lik össze? 27 Legyen N = 3,"0 . 27 3·"0 ! w= =" 27 3·"0 !0! 3·"027 )w = KN = 2 284 P=w –9,"026 " " = " 3·"027 - "0 )w 2 (*) Az alábbi 4.3 Táblázat olyan eloszlások P értékeit mutatja (különböz! N összrészecskeszám esetén), amelyekben az N részecske mindegyike egy gáztartály ugyanazon felében helyezkedik el: 4.3 Táblázat N w P(N,0) " " 0,5 2 " 0,25 "0 " "03 " ."0 "06 " ."0 " ."0 27 3·"0 –4 0,00098 = 9,8,"0 –30" –3,"05 –9,"026 5. Példa Mi a valószín#sége, hogy a terem két részében egyenl!en 27 oszlanak meg a részecskék? N = 3 ·"0 27 26 –"4 (3,"0 )! P= 27 27 , "0–9,"0 = 3.65,"0 (".5,"0 )!("5,"0 )! Az 5. példa eredménye kis szám, de összevetve a 4 példával látható, hogy 27 az egyenletes

eloszlás valószín#sége mintegy "0 nagyságrenddel nagyobb, mint annak a valószín#sége, hogy az összes részecske az adott térfogat egyik felében gy#ljön össze! A nagy számok faktoriálisait az ún. Stirling–formulával lehet kiszámítani Ennek alakja: "& # ln N! . "N + 2% ln N – N $ ! * Számoljuk ki )w értékét logaritmus számolással, majd keressük vissza a logaritmust: 27 ) = 3,"027+,+log 2 = 3,0,30"0,"027 = 0,903,"027; 26 num log(0,903,"027) = "09,"0 log(23,"0 (4.6) 285 Az "/2-es tagot általában elhanyagolhatjuk*, ezért a Stirling-formula szokásos felírása: ln N! . N ln N-N = N(ln N–") (4.7) 27 A 4.4 Táblázat a w ill P értékeit mutatja, N = "000 és N = 3,"0 részecske esetén kétcellás eloszlásra. Jelöljük a két cellában lév! részecskék számát N" ill N2-vel Vezessük be az N" = /N ill. N–N" = N2 = ("–/)N jelöléseket A 44

táblázatból látható, hogy az / = 0,5–nek megfelel! egyenletes eloszlás a legvalószín#bb.* N="000 )w=2"000= ="030",0 N=3,"027 )w=23,"027 ="09,03,"026 4.4 Táblázat lg P /=N"/N 0," 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0," 323 498 608 670 690 670 9,75,"026 "40 2"6 264 29" 300 29" 4,24,"026 -370 -"95 - 84 - 23 - 2,7 - 23 -",","027 -"60 - 84,8 - 36,9 - 9,98 - ",20 - 9,98 -4,80,"026 0,2 ",50,"027 6,52,"026 -5,78,"026 -2,5","026 0,3 0,4 0,5* 0,6 ",83,"027 2,02,"027 2,08,,"027 7,96,"026 8,77,"026 9,03,,"026 8,77,"026 -2,47,"026 -6,04,"025 -30,94 -",07,"026 -2,62,"025 -"3,44 -6,04,"025 -2,62,"025 ln w lg w 27 2,02,"0 ln P Az 5. példa és a 44 Táblázat adatait (43), (45) ill (44) alapján a következ! formulákkal számíthatjuk ki: N! ln w =

ln (4.8) (N"!)(N–N")! ill. ln P = ln w w = ln N = ln w – N,ln 2 )w 2 (4.9) (4.8)-at a (46) Stirling–formulával kifejtve ln w = ln N! – ln N"! – ln(N–N")! = = 1#N + 0! " "& ln N – N3 – 1#N" + & ln N" + N"3 – 2$ 2$ 2 2 0! * Az "/2-es tag csak a faktoriálist tartalmazó függvények maximumának kiszámításánál lényeges. * A 0,5-nél fellép! igen éles maximum oka tulajdonképpen az, hogy a (4."0) kifejezés 2 tagjának értéke itt nulla. Fontos megjegyzés: a 4.4 Táblázatban az / értékeket csak egy-, két stb tizedenként vettük fel Az /=0,5 értékhez igen közeles! eloszlásokat vizsgálva látnánk, hogy ezek termodinamikai valószín#ségei közel esnek az egyenletes eloszlást jelent! /=0,5 eloszlás w értékeihez (ld. 6 Példát) 286 – 1#N–N" + 0! "& ln (N–N") + (N–N")3 = 2$ 2 = N ln N – N" ln N" – N ln(N–N") + N"

ln(N–N") + + = N ln " " " ln N – ln N" – ln(N–N") = 2 2 2 N" " N N – N" ln + ln N–N" 2 N"(N–N") N–N" Legyen N" = /N, akkor utolsó eredményünkb!l ln w = N ln " " " / – /N ln + ln "–/ "–/ 2 /("–/)N (4."0) Az 5. példa eredménye a (4"0) képlet alapján /=0,5 behelyettesítéssel: ln w = N ln 2 – 0,5N ln " + " " " " ln = N ln 2 + ln 4 – ln N = 2 0,25N 2 2 = (N + ") ln 2 – " ln N 2 (4."0a) azaz ln w = 3·"027 · 0,693 + " ln 3·"027 = 2,08·"027 + 0,693 – 3",63 2 (4.9)-b!l, a (4"0a) felhasználásával ln P = ln w – N ln 2 = (N+") ln 2 – " " ln N – N ln 2 = ln 2 – ln N 2 2 amib!l P= azaz 2 N P = 3,65·"0–"4 Így számítottuk ki az 5. példa eredményét A fenti levezetés kis számokra (pl az ", 2., 3 példák esetére)

nem érvényes 6. Példa A 44 Táblázatból következ! kép finomítása céljából vizsgáljunk meg egy, az egyenletest!l kissé eltér! térbeli eloszlást és számítsuk ki, milyen arányban áll utóbbi termodinamikai valószín#sége az egyenletes eloszláséhoz képest? Legyen ismét N = 3·"027. A vizsgált eloszlás legyen olyan, hogy az egyik térrészben ",5·"027 – N, a másikban ",5·"027 + N részecske legyen. N arányt 4-val, az egyenletes eloszVálasszunk N = "0"3 értéket. Jelöjük a N lás termodinamikai valószín#ségét W-vel, az egyenletes eloszlástól kissé eltér! eloszlásét pedig w4-val. Ekkor: 287 /= ",5·"027 – N = 0,5 – 4 3·"027 " – / = 0,5 + 4 = 0,5(" + 24), ln("–/) . ln 0,5 + 24 0,5–4 / = = " – 44, ln(" – 44) . –44 "–/ 0,5+4 /("–/) = (0,5 – 4)(0,5 + 4) = 0,25 – 45 = 0,25(" – 44²) ln[/("–/)N] = ln 0,25 – 445+ ln N

= ln ln w4 = N ln 2 – 2N4 + 2N4 – 4N45 – ln W = N ln 2 – N – 445 4 " N ln + 242 2 4 " N ln 2 4 # " 2& ln w4 – ln W = 2("–2N)45 = 2"N2 – % N2 N$ ! Következ!leg, mivel N = "0"3 w4 3 1 # " 2& = exp 62"N² – % (N)²7 = 0,875 N$ W 2 0 ! Látható, hogy a közel egyenletes eloszlások mikroállapotainak száma alig kevesebb, mint a pontosan egyenletes eloszlást megvalósító mikroállapotoké. A fenti levezetésben a következ! közelít! összefüggéseket használtuk fel: ln (" + x) . x, ha x << " ln (" – x) . –x, ha x << " ( Mivel az egyenleteshez közeli térbeli eloszlások valószín#sége sok nagyságrenddel nagyobb, mint a többi eloszlásé, ha a rendszert magára hagyjuk, makroszkópikusan és az id! függvényében gyakorlatilag csak ezek az eloszlások valósulnak meg: az egyenletes térbeli eloszlás és az ahhoz közeli eloszlások a rendszer egyensúlyi

állapotát valósítják meg. Ugyanakkor a lehetséges makroállapotok között számos makroállapot nem egyensúlyi állapotot reprezentál. Például az a makroállapot, amelyben a zárt rendszer összes molekulája egy tartály (terem) egyik felében tartózkodik, nyilvánvalóan nem egyensúlyi állapot: ha magára hagyjuk, akkor a gáz kiterjed és egyensúlyi állapotban az egész tartályt egyenletesen betölti. 288 ( A fentiekben láthattuk, hogy a térbeli eloszlásnál az egyenletes betöltés valószín#sége a legnagyobb, azaz a termodinamikai valószín#ségnek az egyenletes eloszlásnál széls!–értéke van. Igazoljuk ezt analitikusan is! (Emlékeztet!ül: / = N"/N.) Rendezzük át (4."0) egyenletet ln w = 1–N ln("–/) – /N ln / + /N ln ("–/) – 0 " ln /("–/)N3 2 2 és differenciáljuk / szerint /N d ln w d[ ] N " N–2/N / = = – – N ln –N– = 2 N/("–/) d/ d/ "–/ "–/ "–/ = N –

N ln " "–2/ / –N– = 2 /("–/) "–/ = –N ln " "–2/ / – "–/ 2 /("–/) A széls!érték helyén a differenciálhányados nulla: –N ln " "–2/ / – =0 "–/ 2 /("–/) (4."") A (4."") tetszésszerinti N mellett csak akkor teljesül, ha a baloldal mindkét tagja zérus A (4"") els! tagja nulla, ha N" =" N-N" azaz N" " = N 2 (4."2) Ezt behelyettesítve a (4."")–be, belátható, hogy ekkor (4"") második tagja is nulla Tehát az N"=N/2 helyen az ln w-nek, vagyis a w-nek széls!érték helye van. Belátható, hogy (4"")-nek csak ez az egy megoldása van.* A második derivált ekkor kisebb, mint nulla, vagyis (4.8) ill (4"")-nek és w-nek az N"=N/2 helyen maximuma van. Mivel pedig (49) valószín"ség nevez!je egy puszta szám, számlálója pedig w, ezért a P valószín"ségnek is

maximuma van az N"=N/2 helyen. ( Más rendszerek (pl. részecskék energia szerinti eloszlásának) vizsgálatánál látni fogjuk, hogy ott is van egyensúlyt jellemz! eloszlás, ez azonban nem az egyenletes, hanem mint azt a 4.21 pontban látni fogjuk, a részecskék energiájától exponenciálisan függ! * Ha pl. N > N/2, akkor (4"") mindkét tagja azonos el!jel# Ugyanez igaz, ha N < N/2 Tehát az " " egyedüli lehet!ség arra, hogy (4."") nullát adjon, ha mindkét tagja nulla 289 4.2 Megkülönböztethet! részecskék energia eloszlása egyensúlyi állapotban (Maxwell-Boltzmann eloszlás) és a nemegyensúlyi eloszlások egyirányú átrendez!dése magára hagyott, elszigetelt rendszerekben. A 4.2 pontban az energia szerinti eloszlást az egyik legegyszer#bben kezelhet! modellrendszeren, egy egyszer#, azonos atomokat tartalmazó szilárdtest modelljén tárgyaljuk; a tárgyalási módszer és az eredmények csak a modellhez

kötött szigorú feltevések teljesülése esetén érvényesek. A modellrendszerre érvényes alapfeltevések a következ!k: ( A rendszert alkotó részecskék energianívói diszkrétek. A kvantummechanika szerint (ld. 8 fejezetet) ez a feltevés minden olyan rendszerre teljesül, amelyekben a részecskék mozgása meghatározott térfogatra korlátozódik, és az energianívók távolsága annál nagyobb, minél kisebb e térfogat. A szilárd testeket felépít! atomok stb. szinte helyhez kötöttek: tipikusan egyensúlyi helyzetük körül rezgéseket végeznek, egy atomra mintegy "0–23 cm3 mozgási térfogat jut. Gázoknál valemennyi atom az egész edénytérfogatban mozoghat. Ezért a szilárdtestekben relatíve nagyok a (rezgési-) energianívók közei, viszonylag kevés energianívó elérhet!; következ!leg a kristálybeli atomok száma sokkal nagyobb, mint az elérhet! rezgési nívók száma (ld. 4.5 pontot) A gázok s#r# (transzlációs- és rotációs-)

energianívói esetében a helyzet fordított (ld. 45 pontot) ( A rendszer részecskéi elvileg (ld. 48 pontot) megkülönböztethet!ek Ez az energiaeloszlás szempontjából modellünkben teljesül: a helyhezkötöttség miatt két különböz! mikroeloszlást jelent, ha egyszer az A rácspontban ül! atomnak van 8i , a B rácspontban ül!nek pedig 8j energiája vagy fordítva. A mikroeloszlások megszámolásánál (a w képletében) számításba vett energiacserék a rácshelyek között történnek és nem atomokat cserélünk ki egymás között. (Azonos atomok nem különböztethet!k meg egymás között.) Gázok esetében valamennyi molekula ugyanabban a térfogatban van és így ezek megkülönböztetlensége miatt nem jelent új mikroállapotot ha bármelyik részecske van az 8i és egy másik 8j állapotban vagy fordítva. Ezért modellünk nem vihet! át minden további nélkül gázrendszerek energiaeloszlásának meghatározására. Látni fogjuk (ld. 482 pont), hogy a 42

pont bizonyos elemei mégis alkalmazhatók gázokra. Modellünk tehát általánosabb, mint a feltételek azt sejtetnék ( Feltételezzük, hogy minden gyakorlatilag számbajöv! (ld. 45 pontot) teljesen vagy részlegesen betöltött energianívót igen sok részecske népesít be. Ezt a statisztikus módszerek alkalmazhatóságán kívül a Stirling formula (mely csak nagy Ni betöltési számok esetén igaz) elkerülhetetlen alkalmazása is megköveteli. Az el!bbi 290 feltétellel kapcsolatban mondottak alapján világos, hogy tárgyalási módszerünkkel ez is csak “szilárdtest-modellünkre” teljesül. ( Az egész rendszer jellemzésénél megadjuk, hogy az elszigetelt, mellékfeltételként pedig megadjuk a rendszer E = U összenergiáját és N összrészecske számát. Implicite feltételezzük, hogy a rendszer adott V térfogatban helyezkedik el és a részecskes#r#ség akkora, hogy a rendszer minden vizsgált alrendszerére alkalmazható a matematikai statisztika.

Fenti feltételek szigorúan csak a konfigurációs entrópia (4.7" pont) kiszámítására és a csak azonos atomokat tartalmazó szilárdtestek rezgési energia szerinti eloszlásának vizsgálatára alkalmazhatóak. A 4.2 pontban eredményül kapott Maxwell–Bolzmann eloszlás ennek ellenére kiemelt jelent!ség#, mert a számunkra fontos kvantumstatisztikák az ún. Maxwell– Boltzmann határesetben (ld. 484 pont) átmennek a Maxwell–Boltzmann eloszlásba Ez érvényes az ideális gázokat egzaktul leíró Bose–Einstein statisztikára is (ld 4.82 pont); ezért vezethetjük le a 46 pontban a Maxwell–Boltzmann sebességeloszlást a Maxwell–Boltzmann eloszlásra támaszkodva. 4.21 Az energia szerinti eloszlás általános jellemzése. Az egyensúlyi állapotot jellemz! Maxwell-Boltzmann eloszlás Feltételezzük, hogy a rendszer elszigetelt;* esetünkben ez azt jelenti, hogy mind az összrészecskeszám, mind pedig az összenergia állandó: N = áll. és E =

állandó (és mindkett! konkrét érték). Ezek az energiaeloszlás mellékfeltételei Legyen a részecskék energianívó rendszere az egyszer#ség kedvéért egyenl!köz#: az n-edik energiaszint energiája legyen En = Eo + n 89+ ahol 8 két szomszédos energianívó különbsége és az energianívó rendszerre azonos érték, n pedig 0,",2,3,. (Ez az egyszer#sítés a lényeg megértése szempontjából el!nyös. Kés!bbiekben ezt a feltevést egyszer#en elvethetjük: az alábbi eredmények bizonyíthatóan nem egyenl!köz# energianívó rendszerre is igazak – a bizonyítást mell!zzük.) Alábbiakban végtelen számú Ei, i=",2. : energianívót tételezzünk fel; a végtelen számú energianívó és véges N összrészecske szám nem ellentmondás: a magasabb nívók betöltöttsége, mint látni fogjuk legtöbbször nulla ( A vizsgált elszigetelt rendszert jellemz! mellékfeltételek a következ!ek: * Definíciót ld. az ""2 pontban! 29"

Nössz = N = * Ni = konst ; N – Ni = 0 (4."3a,b) i i Eössz = E = * Ni Ei = konst ; E – Ni Ei = 0 (4."4a,b) i i ahol Ni az Ei állapot betöltési száma. (A betöltési számok N", N2 Ni sorozatát szokás egyetlen {Ni} szimbólummal is jelölni.) ( A rendszer egy adott makroállapotát az E", E2 Ei N", N2 Ni (4."5) táblázat konkrét kitöltésével adjuk meg (definiáljuk). Az egyes Ni-k közül számos lehet nulla érték#, hiszen az energiaszintek számát nem, de az összenergiát maximáltuk. Itt is érvényes, hogy egy adott rendszernek számos, az adott rendszert jellemz! mellékfeltételekkel összefér! makroállapota lehet. ( Egy adott makroállapot számos mikroállapottal valósítható meg. A mikroállapot megadásához minden egyes (megkülönböztethet!) részecskére meg kell adni, hogy milyen energianívón helyezkedik el. Két különböz! energianívón lev! részecske felcserélése eltér! (új)

mikroállapotot jelent; két azonos nívón lev! részecske felcserélése nem vezet eltér! (új) mikroállapothoz. ( Az energiaeloszlás egy adott makroállapotát számos mikroállapottal valósíthatjuk meg. Az egy adott makroállapotot megvalósító mikroállapotok w= N! N! = N" !N2 !.Ni ! : <Ni ! (4."6)* i=" számát itt is a termodinamikai valószín"ség adja meg. ( A *w értékre most nem érvényes a (4.4) képlet A *w szám értékét az adott rendszerhez tartozó makroállapotok w értékeit megadó eloszlási görbe (4.3 ábra) alatti (az ábrán vonalkázott) terület számértéke adja meg. (ld e pont végén) Egyszer# esetekre (amikor minden elemi módon számítható) mutat példákat a következ! oldali 4.2 ábra * A (4."6) képlet tükrözi a részecskék megkülönböztethet!ségének fenti esetünkre érvényes definícióját: a különböz! energianívókon lév! részecskék megkülönböztethet!ek, az azonos energianívókon

lev!k egymás között nem; ezért a permutációból az azonos energianívókon lev!k egymás közti permutációját az Ni! tényez!kkel kizárjuk! A kifejezés ebben a formájában csak akkor helyes, ha az energianívókon elhelyezhet! részecskék száma nem korlátozott. A kifejezés korlátozott számú állapotot tartalmazó energiaszintekre érvényes alakját ld. a 48" pont (4"03) egyenlete adja meg. 292 Vizsgáljuk meg w és *w értékeit nagyobb rendszerekre (ld. 45 Táblázatot) is! Néhány energiaeloszlás termodinamikai valószín"sége N=20 darab részecske és E = 208 összenergia esetén 4.5 Táblázat E0 E" E2 E3 E4 E5 E6 E7 . E20 w N0 N" N2 N3 N4 N5 N6 N7 . N20 "0 6 " " " " 0 0 0 9,3","08 "5 0 " " " " " 0 0 ",86,"06 "0 0 "0 0 0 0 0 0 0 ",85,"05 "9 0 0 0 0 0 0 0 " 20 0 "0 9 20 4 6 0 3 2 0

2 2 0 " " 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 " 59==·>?9 2,33·"09 )w . *+.+"0"0 Látható, hogy a *w ilyen esetben közel egyenl! néhány a wmax közeli makroállapot w értékével (ld. 43 ábrát is) * Ha valamennyi, a megadott mellékfeltételekkel összeegyeztethet! makroeloszlás w értékeit kiszámítanánk és összeadnánk. B rendszer A rendszer (Nössz.=3, Eössz=48 ) (Nössz=3, Eössz=58 ) C rendszer (Nössz.=4, Eössz=48 ) " 2 3 4 " 2 3 4 5 " 2 3 4 5 makroállapotok makroállapotok makroállapotok E E E E5=58 E5=58 E4=48 E4=48 E4=48 E3=38 E3=38 E3=38 E2=28 E2=28 E2=28 E"= 8 E"= 8 E"= 8 E0=0 E0=0 E0=0 Az adott makroállapotot megvalósító mikroállapotok száma (w) A rendszert megvalósító összes mikroállapot száma ()w) 3 3 6 3 ) w="5 293 E5=58 3 6 6 3 3 4 "2 6 "2 " ) w=2" ) w=35 4.2 ábra Mikrorészecskék elosztása egyenlõközû, diszkrét

energia szinteken A w értéke láthatóan jobban nõ Nössz , mint Eössz növekedésével 294 ( A maximális termodinamikai valószín#séghez tartozó eloszlás: a MaxwellBoltzmann eloszlás meghatározása. Vizsgáljunk egy N összrészecskeszámú és E összenergiájú zárt rendszert és határozzuk meg ezen rendszer azon makroállapotát, amely a legtöbb mikroállapottal valósítható meg, azaz amelynek termodinamikai valószín#sége maximális. Jelöljük ezt a wmax termodinamikai valószín"séget W-vel! Feladatunk tehát azon N", N2, ., Ni , betöltési számok meghatározása, amelyek a (4."6) képletbeli w= N! N" !N2 !.Ni ! (ld. (4"6) kifejezést maximalizálják. A megoldandó probléma lényegében egy sokváltozós, w(N", N2, ., Ni, ) függvény maximumának meghatározása, azzal nehezítve, hogy ennek során ki kell elégítenünk az összrészecskeszámra és az összenergiára (4."3b) ill (4"4b)-ben adott két

mellékfeltételt is. Egy differenciálható egyváltozós függvény a független változó olyan értékénél veszi fel széls!értékét, ahol differenciálhányadosa zérus. A széls!érték akkor maximum, ha a függvény második deriváltja negatív. Egy differenciálható többváltozós függvény ott veheti fel széls!értékét, ahol az összes változója szerinti parciális deriváltak nullák.* Ha ugyanis valamelyik parciális derivált nem volna nulla, akkor a többi változót konstans értéken tartva és az adott változó értékét változtatva, a függvény értéke n!ne vagy csökkenne, tehát nem lehetnénk a széls!érték helyén. Esetünkben két problémát kell megoldanunk: egyrészt a w függvény nem folytonos, tehát nem is differenciálható, másrészt még ha a függvény differenciálható is lenne, (mivel a (4."3b) és a (4"4b)-beli két mellékfeltétel a független változók számát * Az általunk alábbiakban vizsgált függvény

ebben az esetben fel is veszi széls!értékét. A többváltozós függvények parciális deriváltjainak értelmezésére itt Bronstejn id. m# megfelel! fejezetére utalunk. A parciális derivált fogalmával részletesen foglalkozunk az 5"5 pontban Röviden: pl. egy f = * Ni = N"+N2+N3+.+Ni többváltozós függvény pl i @ * N parciális deriváltján az @ N3 i i N3 változó szerinti deriváltját értjük, miközben a többi változót a parciális deriválás során konstansnak tekintjük. (Pl @ N3 @ = " és az összes többi (konstans) tag deriváltja zérus.) * Ni = @ N3 @ N3 i 295 kett!vel csökkenti), a széls!érték számítás során kett!vel több egyenletet kapnánk, mint ahány független változónk van. Az els! problémát úgy kerüljük ki, hogy az N-eket (és így w-t is) folytonosan változó mennyiségeknek tekintjük, és w maximuma helyett természetes alapú logaritmusának a maximumát keressük: mivel a logaritmus függvény monoton,

ln w maximumhelye egybeesik w maximumhelyével. A folytonos N értékekre való áttérés azért nem okoz problémát, mert a maximum közelében a betöltési számok nagyok, így törtrészük elhanyagolható. Írjuk fel a vizsgálandó (4"6) függvény természetes alapú logaritmusát a (4.7) Stirling formula alkalmazásával ln w = ln N! – A ln N"! + ln N2 ! . B : ln w = (N ln N–N) – * ( Ni ln Ni – Ni) (4."7) i=" A második problémát pedig az ún. Lagrange–multiplikátoros módszerrel oldjuk fel, azaz azzal, hogy a széls!érték számítása során két új változót, ún. Lagrange– multiplikátorokat vezetünk be, amelyek értékét szintén meghatározzuk. A Lagrange – multiplikátoros eljárást követve a (4."7)-beli ln w-hez adjuk hozzá kés!bb meghatározandó konstanssokkal (/-val ill. C-val) szorozva a két (4"3b) és (4"4b) mellékfeltételt. Az így kapott függvény maximuma az adott mellékfeltételek mellett

megegyezik w ill. ln w maximumával Képezzük az így kapott : : # & # & f(N",.,Ni,) = ln w + /"N – * Ni% + C"U – NiEi% " % " % ! $ ! $ i=" i=" (4."8) függvény valamennyi (N" N2 . Ni) változója szerinti parciális deriváltját és vegyük figyelembe, hogy a széls! érték helyén valamennyi parciális derivált nulla!. Az Nj változó szerinti derviált pl.: : : # # &3 & @f @ 16 = ln w + C"U – * NiEi% + /"N – Ni%7 = @Nj @Nj 6 " " %7 % 0 ! ! $ i=" $2 i=" 1 # & : : #: & # &3 @+6(N·ln N–N) – " * (Ni ln Ni – Ni)% + C"U – (NiEi)% + /"N – Ni%7 6 " % " % " %7 !i=" $ ! i=" $2 i=" 0 ! $ = =0 @Nj (4."9) 296 A deriválás során felhasználtuk, hogy N, U, illetve Ni (ha iDj ) nem függenek Nj t!l, ezért pl. @(N ln N – N ) = 0, @Nj illetve @ – : *ENi ln Ni i=" @Nj – Ni) = – @ENj ln Nj –

Nj) " = –"· ln Nj – Nj + " = – ln Nj – " + " Nj @Nj Felhasználva, hogy az adott mellékfeltételek mellett @f @ ln w = , @Nj @ ln Nj a deriválás elvégzése után a j-edik energiaszinten lev! részecskék számára a @+ln w = –ln Nj – " + " – CEj – / = 0 @Nj egyenletet kapjuk. Átrendezve ln Nj = –CEj – / Mindkét oldal exponenciálisát képezve Nj = e–/ , e–CEj (4.20a) Hasonló kifejezést kapunk bármely Ni szerinti parciális deriváltra, tehát FCEi Ni = eF/ · e i = ",2,.,: (4.20b) ( Utolsó lépésként meg kell határoznunk az / ill. C konstansok értékét ( Az / értékét az N = * Ni mellékfeltételb!l határozhatjuk meg, ha az Ni-k helyére behelyettesítjük a (4."9) függvényeket: : : N = * Ni = * –CEi (e–/,e ) = e–/ –CEi * e i=" i=" i=" : amib!l e–/ = : * N = G e–CEi N ( 4.2"a) i=" ahol az GH : i=" kifejezést

állapotösszegnek nevezzük. –CEi * e (4.2") 297 ( A C értéke (a.barometrikus formula levezetésével összevetve) C= " kBT (4.22) ( A (4.2"a)-t és (422)-t (420b)-be helyettesítve, az eloszlás végleges –Ei N Ni = e kBT G i = ",2,.,: +++++(4.23) alakban adódik, amelyb!l minden Ei-hez meghatározható (adott N összrészecskeszám és adott U összenergia mellett) a hozzátartozó Ni betöltési szám. Az ilyen eloszlást MaxwellBoltzmann eloszlásnak nevezzük. Vegyük észre, hogy bár a (4.23) levezetése során a statisztikus fizika axiómáinak megfelel!en minden mikroállapotot ugyanakkora valószín#ség#nek tekintettünk (akárcsak a térbeli eloszlás vizsgálata során), az energiaeloszlásnál nem a térbeli eloszlás vizsgálatánál megtalált egyenletes részecskeeloszlás adódott a legvalószín"bbnek (erre már utaltunk a 4.3 pont végén) A rendszer maximális termodinamikai valószín#séggel megvalósuló

makroállapotának betöltési számai exponenciálisan csökkennek az állapot energiájával. ( Két Ei , ill. Ej energiájú állapot betöltési számainak aránya Eij Ni – kBT Nj = e Ei – Ej I 0 (4.24) (4.24)-beli exponenciális kifejezés neve Boltzmann–faktor Speciális esetre a (4.24) kifejezést már felírtuk a 34 pontban, és megjegyeztük, hogy ez molekuláris rendszerek energia szerinti eloszlására általános érvény# (ld. (352)) A (4.24) egyenletet szóban fogalmazhatjuk úgy is, hogy a Boltzmann–faktor megadja azon részecskék számának Ni/Nj arányát, melyek energiájának különbsége Eij Ei a részecskék adott i-dik állapotbeli teljes energiája(ld. 464 pont) Ez a teljes energia általános esetben járulékokból áll, pl. Ei = Etr + Erot + Evibr. + A (4.23) ill (424) kifejezések tehát az egyes járulékokra is felírhatóak (felirandók), ha az egyes szabadsági fokok egymással egyensúlyban vannak. Természetesen ugyanez vonatkozik a

(4.2") G állapotösszegre is: itt is azokat a járulékokat kell figyelembe venni, amelyeket az Ei-ben figyelembe veszünk. 298 A Boltzmann–faktor néhány alkalmazására a 4.5 pontban találunk példákat ( : A (4.23)-beli {Ni}i=" eloszlásokat (4"7)-be helyettesítve most már megad- hatjuk szilárdtest-modellünkre ln W, valószín"ség maximális értékét: ill. W értékét, azaz a termodinamikai : ln W = (N ln N–N) – * (Ni ln Ni – Ni) = i=" : = (N ln N–N) – * Ni ln Ni + i=" : : i=" i=" * Ni = N ln N – Ni ln Ni ahol a 3. egyenl!ségjel után figyelembe vettük hogy )Ni = N-nel Helyettesítsük be Ni helyébe a (4.23) MaxwellBoltzmann eloszlásból adódó értéket! : ln W = N ln N – * i=0 : = N ln N – * i=0 –E # –Ei & " N k Ti #N k T&% " G e B ln "G e B %% = $$ ! ! – Ei # & " N kBT # N Ei &% "ln – k T%% = "Ge B $$ ! G ! –Ei & # N : N N

": kBT% ln "* e % + = N ln N – G G !i=0 $ G i=0 # E –Ei & " i k T% " k Te B % ! B $ A jobboldal második tagjában megjelen! összeg éppen G9+azzal tehát egyszer#síthetünk, továbbá a kBT tényez! független Ej -t!l ezért : –Ei & # % N N : " k BT ln W= N ln N – N ln + Ei e % = * " G G+kBT i=0 ! $ –Ei & # % N : " k BT = N ln N – N lnN + N lnG + * "Ei e % G+kBT i=0 ! $ " kBT Eössz kifejezésre ismerünk (helyettesítsük be (4."4a)-ban az Ni helyére (4.23)-at!); vegyük figyelembe, hogy az Eössz a rendszer teljes U bels! energiáját jelenti, így Az utolsó tagban az ln W = N ln G + U kBT ahol U az N részecskéb!l álló rendszer (egyensúlyi) bels! energiája. (4.25) 299 ( A 4.2 pont bevezet!jére hivatkozva részletekbe nem bocsátkozva megjegyezzük, hogy pl. az ideális gázokra a BoseEinstein statisztikát alkalmazva, (ld. 482 pont (4""6a) egyenletet) az # G & U ln W = N

"ln + "% + k T N ! $ B (4.26) azaz, a (4.25)-t!l eltér! kifejezés érvényes A (426)-ban szerepl! G állapotösszeg az ideális gázra is azonos a (4.2") definicióval (ld 482 pontot) ( Ábrázoljuk egy adott rendszer lehetséges makroállapotaihoz tartozó termodinamikai valószín#ségeket a W = wmax értékb!l kiindulva (4.3 ábra) w W=wmax egyensúlyi Boltzmann eloszlás Fr Jr lehetséges makróállapotok a Boltzmann eloszláshoz közel es! w-jü ill. nem egyensúlyi nem egyensúlyi makróállapotok 4.3 ábra Adott rendszer lehetséges makroállapotainak termodinamikai valószín"sége a r elemi transzpoziciók (ld.még 422 pontot) számának függvényében A 4.3 ábrán minden makroállapothoz megadtuk az állapot w termodinamikai valószín#ségét, így az egyensúlyi (Maxwell-Boltzmann) eloszlás wmax =W értékét is. Az ábrán w-t, mint ± r függvényét ábrázoltuk Az ‘r’ egy adott {Ni} betöltési számsorozattal jellemzett

makroállapotot, egy másik (az el!bbit!l eltér! {Ni}-vel jellemezhet!, kissé eltér! w termodinamikai 300 valószín#ség#) makroállapotba viv! elemi részecskeátrendez!désre (az energianívók közötti izoenergetikus elemi transzpoziciók számára) jellemz! paraméter*. A 4.3 ábra szerinti görbe matematikailag egy w = We –Kr 2 (4.27) egyenlettel írható le, mely tulajdonképpen egy Gauss-féle normális hibaeloszlási görbe (ld. Bronstejn idm#) egyenlete, mely a két oldala felé szimetrikus és a maximumnál dw=0: a Gauss-görbe maximuma éppen a W=wmax termodinamikai valószín#ség# Boltzmann-eloszlásnak felel meg. Az (4.27) egyenletet integrálva a görbe alatti terület +: 2 N W M e–Kr = W L O K (4.28) –: az energiaeloszlásra a *w értékét adja meg. A (4.27) egyenletet és a 43 ábrát elemezve megállapíthatjuk, hogy ( Az adott mellékfeltételek mellett, bár a Boltzmann–eloszlás (ill. az ennek megfelel! makroállapot) a legvalószín#bb,

a W–nél kisebb w valószín#séggel jelen vannak más makroeloszlások is. ( Ha a rendszer elegend!en sok részecskéb!l áll, akkor a maximum körüli tartományban a Boltzmann–eloszlástól "kissé" eltér! eloszlásoknak is csaknem ugyanannyi a valószín#sége, mint a Boltzmann–eloszlásnak. ( Ezen tartományon kívül elegend!en sok részecske esetén az eloszláskép megváltozásánál az egyensúlytól er!sen eltér! eloszlások valószín#sége sokkal gyorsabban csökken, mint az egyensúlyhoz közeli eloszlásoké (ld. 43 ábrát) ( Az adott rendszer legvalószín#bb (w = wmax = W) – Boltzmann-eloszlással jellemezhet! – makroállapota makroszkópikusan megfelel a rendszer (adott mellékfeltételek mellett beálló) egyensúlyi állapotának. A 4.3 ábrabeli görbe tulajdonságaiból (figyelembevéve a 422 pont tapasztalatait is) következ!en tehát: * Az ilyen átrendez!désekr!l egy egyszer# példa kapcsán a 4.22 pontban részletesebben is

olvashatunk. 30" A Boltzmann–eloszlás közvetlen környezetében az energiacserék statisztikus játéka következtében ugyan a makroállapotok állandóan váltogatják egymást, ezt a rendszer makroszkópikus paramétereinek értékén nem észleljük. (Más a helyzet, ha a részecskék száma kicsiny. Ekkor aránylag kevés részecske átrendez!dése is már lényegesen megváltoztathatja az eloszlás képét. A Gauss–görbe kis részecskeszám mellett kevésbé meredek és így a Boltzmann–eloszlástól eltér! eloszlások relatíve nagyobb valószín#séggel fordulnak el! és az ún. egyensúlyi ingadozási jelenségekben megfigyelhet!kké is válnak.) Ha viszont az energiacserék következtében egy adott pillanatban el! is áll egy, a Boltzmann–eloszlástól lényegesen eltér! (kis valószín#ség#) makroeloszlás, az a következ! pillanatban már ismét maximális valószín#ség# Boltzmann- (vagy ahhoz közelálló) eloszláshoz közeledik. Másrészt

viszont ha egy elszigetelt, magárahagyott rendszer a Boltzmann–eloszlású (vagy ahhoz közelálló) állapotban van, akkor makroszkópikusan figyelve meg is marad ebben a matematikailag w = W = wmax (4.29a) ++++dw = 0 (4.29b) kifejezésekkel jellemzett állapotában. Az egyensúlyi állapot kritériumait (ld. "22 pontot) figyelembevéve mindezek alapján megállapíthatjuk, hogy a legvalószín#bb, W = wmax valószín#ség# Bolzmann–eloszlással jellemezhet! makroállapota makroszkópikusan megfelel a rendszer (adott mellékfeltételek mellett beálló) egyensúlyi állapotának. 4.22 Egy rendszer a W = wmax valószín"ség" egyensúlyi állapotától eltér! valószín"ség" állapotok magára hagyott (elszigetelt) rendszerben megfordíthatatlanul a W legvalószín"bb állapot felé rendez!dnek át. Az el!z! pont végén láthattuk, hogy a maximális W termodinamikai valószín#ség# (és az ezekhez közeles! valószín#ség#) makroállapotok

egyértelm#en jellemzik a rendszer adott mellékfeltételek (ld. (4"3) és (4"4)) mellett beálló egyensúlyi állapotát. A W–b!l kiszámíthatóak az energiaeloszlástól függ! egyensúlyi makroszkópikus paraméterek, azaz az állapotjelz!k értékei. 302 Az alábbiakban viszont belátjuk, hogy a maximális termodinamikai valószín!ség! makroállapottól eltér" termodinamikai valószín!ség! makroállapotok elszigetelt, magára hagyott rendszerben a véletlen folyamatok során mindig a legvalószín!bb állapot felé rendez"dnek át. Másszóval azt állítjuk, hogy a magára hagyott rendszer spontán folyamatai makroszkópikusan nem megfordíthatóak, irreverzibilisek. A legvalószín!bb állapottól eltér" makroállapotban lev" elszigetelt, magukra hagyott rendszerek az energianívók közötti elemi átrendez"dési folyamatokkal (az ún. elemi transzpozíciók sorozatával) a legvalószín!bb (egyensúlyi) állapot felé

rendez"dnek át. Nézzünk el"ször két példát! 1. Példa Vizsgáljunk meg el"ször egy N = #000 részecskéb"l álló diszkrét, egyenletes energianívó-sorozatú, megkülönböztethet" részecskékb"l álló zárt rendszert, melyre Eössz = áll., és a szomszédos energianívók távolsága !" #.# Tartózkodjon kiindulásként a rendszer minden részecskéje egyetlen energianívón, mégpedig az i-ediken (4.4a ábra)! Ennek a lehet" legkisebb a termodinamikai valószín!sége, mivel w= #000! =# 0!0!.#000!0! #.2 Véletlenszer! mozgások következtében kerüljön most # részecske pl az Ei+# = Ei + ! energianívóra. Ekkor (mivel Eössz = áll) természetesen egy másik részecskének az Ei–# = Ei – ! energiaszintre kell kerülnie (4.4b ábra) Ennek termodinamikai valószín!sége w= #000·999·998 ! #000×999 #000! = = # #06 0! 0!.#! 998! #! 0! 0! #! 998! #! 0! 0! 0! #! #! 0! 0! #.3 Kerüljön át az Ei nívóról újabb #-#

részecske az Ei + ! ill Ei - ! nívóra (4.4c ábra) Ekkor: w= #000! #000·999·998·997·996! = # 2,5·#0## 2! 996! 2! 2! 996! 2! #.4 Újabb részecskepár áthelyez"désével (44d ábra) w= #000! #6 3!994!3! # 2,7·#0 303 Ei$! Ei Ei%! (a) Ei$! Ei Ei%! (b) Ei$! Ei Ei%! (c) Ei$! Ei Ei%! (d) 4.4 ábra Nem egyensúlyi energiaeloszlás spontán átrendez!dése (Bár az ábrán csak "0 részecskét tüntettünk fel, a 2. Példa kapcsán pl gondoljunk el "000 ábrázolt részecskét.) 2. Példa A reális részecskerendszerek # cm3-e (#0-6 m3-e) mintegy #0#9 részecskét tartalmaz.* A példabeli átrendez"dések során ilyen részecskeszámnál a termodinamikai valószín!ség: 2.# w=# #0#9! #9 #9 38 2.2 w= #!(#0#9-2)!#! = #0 !(#0 -#)! # #0 #0#9(#0#9-#)(#0#9-2)(#0#9-3) #0#9! = = 2,5·#075 2.3 w= #9 2!2! 2!(#0 -4)!2! A fenti példákban a részecskéket mi rendeztük át (gondolatkísérletben) az energiaszintek között. A valóságban az átrendez"dés a

rendszerben lefolyó véletlen mikrofizikai folyamatok következménye: ezek során a részecskék energiája n" ill. csökken, a részecskék az egyik energiaszintr"l a másikra kerülnek, a véletlen folyamatok az energiaszintek közötti elemi részecskeátrendez!dések, elemi transzpozíciók sorozatából állnak. Mivel minden átrendez"dés új betöltési számokhoz vezet, minden átrendez!dés a rendszert egy–egy új, más valószín#ség# makroállapotba viszi át: a rendszer makroállapotai egymásba alakulnak át. * A konkrét számérték gázrendszerre tipikus (a pontosabb érték: normál körülmények között 2,7·#0#9); szilárdtest esetében ez néhányszor #022 atom/cm3. 304 A részecskék más energiaszintekre kerülése ezekben a véletlen folyamatokban természetesen elvben két irányban is végbemehet. A fent vizsgált esetekben az eredetileg egy energiaszinten lev" részecskék kerülnek át más nívókra. Ez az átrendez"dés

egy rohamosan növekv" termodinamikai valószín!séget ad Lehetséges az ellenkez" irányú folyamat is, amelyben a különböz" energiaszinteken található részecskék ugyanarra az energiaszintre mennek át; ez a folyamat a termodinamikai valószín!ség csökkenésével jár együtt, de a maximális valószín!ség! állapottól távol es" rendszerekben nagyságrendekkel kisebb valószín!ség!: a 2. példa 22 pontjában pl. azt láttuk, hogy az els" két részecske átkerülése egy energiaszinttel magasabbra, illetve alacsonyabbra ##06 féleképpen mehet végbe; ezzel szemben a fordított folyamat csak egyféleképpen*, vagyis az egyensúlyi állapot kialakulására vezet! folyamat (a példarendszer esetében) egymilliószor nagyobb valószín#ség#, mint az ellenkez! irányú! A példákban megmutatott módon egy elszigetelt, magárahagyott rendszer pusztán a véletlen folyamatok (a részecskék közötti ütközések ill. energiacserék statisztikus

játéka) következtében folytonosan növekv! termodinamikai valószín#ség# makroállapotokba megy át mindaddig, amíg a rendszer olyan állapotba jut, amely a Boltzmann–eloszláshoz legalábbis rendkívül közelálló. Azt mondhatjuk tehát, hogy: Elszigetelt (magárahagyott), az egyensúlyi (maximális valószín!ség!) makroállapottól távoles" állapotban lev" rendszerekben a maximális valószín!ség! (vagy az ahhoz közelálló) makroállapot(–ok) felé vezet" egyirányú spontán irreverzibilis átrendez"dés indul meg, amelyben a w termodinamikai valószín!ség &w megváltozása &w > 0 (4.30)* azaz ilyen rendszerekben a termodinamikai valószín!ség csak n"het. A &w > 0 sokkal–sokkal valószín!bb, mint a &w < 0. Számos tapasztalat igazolja, hogy az elszigetelt rendszerekben az önként (spontán) végbemen" folyamatok mindig csak egy irányba folynak le. Így például: #.) H! önmagától mindig csak

magasabb h"mérséklet! testr"l alacsonyabb h"mérséklet!re megy át, de sohasem fordítva. 2.) Minden mechanikai munkavégzéskor súrlódási veszteségek lépnek fel, azaz a rendezett mozgást jelent" munka egy része mindig (rendezetlen) termikus (bels") energiává alakul át, de ez a termikus energia önmagától sohasem alakulhat vissza munkává. * A 4.4 elvi ábrából #000 részecske esetén az a) állapotból a b) állapotba menve az els" áthelyezend" részecskét #000-féleképpen, a másodikat 999-féleképpen (tehát a kett"t ##06 féleképpen) választhatom ki. A b) állapotból az a) állapotba menve az Ei+! nívón lév" részecskét (az Ei-be való átmenet céljából) csak egyféleképpen választhatom ki; hasonló a helyzet az Ei–! nívón lév" részecskével is. * A &w jelölés használata dw helyett arra utal, hogy ez a megváltozás nem differenciál. 305 3.) Ha elektromos áram halad át egy

vezet"n, az elektromos energia ugyancsak termikus energiává alakul át és ez a folyamat sem megy végbe fordított irányban. 4.) Önként végbemen! kémiai reakciók adott körülmények között mindig csak egy meghatározott irányba folynak le. 5.) A diffúziós folyamatokban a komponensek kémiai potenciáljai kiegyenlít"dnek A természetes (spontán) folyamatok tehát egyirányúak és megfordíthatatlanok, irreverzibilisek. (Ez azonban nem jelenti azt, hogy e folyamatok lejátszódása után a rendszert egyáltalában nem lehet kiindulási állapotába visszajuttatni: az ilyen megfordításhoz azonban minden esetben küls" munkát kell végeznünk a rendszeren vagy/és h"t kell közölnünk a rendszerrel.) 4.3 A TERMODINAMIKAI VALÓSZÍN!SÉG ÉS AZ ENTRÓPIA KAPCSOLATA. Az entrópiát a termodinamikában a termodinamika f"tételeib"l kiindulva Clausius axiomatikusan vezette be (#865-ben) a következ" meghatározással (ld. az (5.68)

egyenletet) ) dS ( ,DQ/ =+ T . * -e (egyensúly) ,DQ/ >+ T . * -r (folyamat) (4.3#a) (4.3#b) Az entrópia extenzív (additív) állapotjelz" (ld. az #22 és az 5## pontot); SI mértékegysége: J/K; jele S. Az entrópiának a termodinamikában (ld 5 fejezet) központi szerepe van: az 5.32 pontban többek között megmutatjuk, hogy egy elszigetelt (és állandó anyagtartalmú) rendszer entrópiája a rendszer egyensúlyi állapotában maximális: dS = 0 (4.3#c) nem egyensúlyi állapotában (reális folyamatban) viszont n" dS > 0 (4.3#d) és ezzel (4.3#b ill d) megszabja a rendszerben spontánul lezajló folyamatok irányát Boltzmann volt az els", aki (#887-ben) felfigyelt arra, hogy a termodinamikába akkor már bevezetett S entrópia állapotfüggvény és w tulajdonságai milyen rendkívüli módon hasonlóak: S w 306 Egyensúlyban, elszigetelt (adiabatikus és állandó anyagtartalmú) rendszerre Nemegyensúlyi állapotban (elszigetelt,

magára hagyott rendszerben) olyan (spontán) folyamatok zajlanak le, amelyek Kapcsolat egy két alrendszerb"l álló egyensúlyi rendszer alrendszerei és a teljes rendszerre vonatkozó értékek között maximális dS=0 (4.3#c) értékét növelik dS > 0 (4.3#d) S = S# + S2 maximális w=W &w=0 (4.29) értékét növelik &w > 0 (4.30) W=W W * # 2 Ugyanakkor belátható, hogy S és W nagyon hasonló sajátságaik ellenére közvetlenül nem feleltethet! meg egymásnak, mert S additív, W pedig nem az. Ez a probléma azonban egyszer!en feloldható, ha S-et W (pl. természetes alapú) logaritmusával hozzuk kapcsolatba, hiszen ln W = ln W# + ln W2 Minthogy azonban ln W-nek nincs mértékegysége (puszta szám), S-nek pedig van, az S és W közötti kapcsolatot egy mértékegységgel rendelkez" arányossági tényez" bevezetésével adhatjuk csak meg. Így az S entrópia és a W termodinamikai valószín#ség kapcsolatát az (4.32)* S 0 kB ln W alakba

írhatjuk; az összefüggést Boltzmann-egyenletnek nevezzük. (Ez az egyenlet díszíti Boltzmann sírkövét.) Történetileg itt jelent meg el"ször a –23 kB = #,380658#21#0 J K (4.33) az ún. Boltzmann–állandó A (4.32)-höz kapcsolódó fontos tétel a termodinamika III f"tétele, mely lehet"vé teszi az entrópia abszolút értékének bizonyos esetekben való meghatározását (ld. 44 pontot). A (4.32) differenciális alakja: dS 2 kB d ln W (4.32a) * Az alrendszerek termodinamikai valószín!ségei, mint független valószín!ségek összeszorzódnak. * Az entrópia az egyetlen állapotfüggvény, amelynek abszolút értéke is meghatározható (ld. 44 pontot). A (4.32) egyenlet alapján az S entrópia kifejezése visszavezethet" a ln W megfelel" (425) ill (426a) kifejezéseire. 307 ahol a dlnW a rendszer két egyensúlyi állapota között az egyensúlyi termodinamikai valószín!ség logaritmusának megváltozása. 4.4 A TERMODINAMIKA

III F"TÉTELE A termodinamika III. f"tételét kondenzált anyagokra statisztikus-fizikai és kvantumelméleti meggondolások, illetve a szilárdtestek h"kapacitására vonatkozó kvantumelméleti eredmények (Einstein, #907) ismerete alapján Planck fogalmazta meg #9#2-ben, Nernstnek kondenzált rendszerekben, alacsony-h"mérsékleten bekövetkez" kémiai reakciókon nyert kísérleti tapasztalataiból levont következtetéseib"l (a ma Nernst–tétele néven ismert törvényszer!ségb"l) kiindulva. Nernst eredményeit (#906) mai nyelven így fogalmazhatjuk meg: Kondenzált (folyadék és szilárd test) rendszerek kémiai reakcióinak entrópiaváltozására fennáll, hogy 3S = 0 T40 Planck #9#2-ben a III. f"tételt egykomponens# kondenzált anyagokra fogalmazta meg: lim S = 0 vagy So = 0 (4.34) T40 azaz egykomponens# kondenzált anyagok entrópiája T = 0 K-en zérus (Planck-féle posztulátum.) A (4.34) Planck posztulátum mai szemmel nem

tekinthet" önálló f"tételnek, mert levezethet" az entrópia statisztikus fizikai értelmezéséb"l és a kvantumelméletb"l. Tiszta, egykomponens! szilárdtestek valamennyi atomja, molekulája T=0 K-en a legalacsonyabb kvantumállapotban van és azt jelenti, hogy a termodinamikai valószín!ség ilyen anyagra w=#, (azaz ez a makroállapot csak egyetlen mikroállapottal valósítható meg). A (432) egyenletb"l (melyet ebben a formájában el"ször Planck írt fel) következ"leg tehát ilyen anyagokra S0=0, tehát a statisztikus fizika pusztán elméleti meggondolásokkal (4.34) posztulátummal azonos eredményre jut. Ha ezt a statisztikus meggondolást következetesen véghez visszük, akkor nyilvánvalóvá válik, hogy a posztulátum nem érvényes gázokra, folyadékokra (ezek nincsenek a legalacsonyabb kvantumállapotban, tehát rájuk w5#), elegyekre), s"t 308 szigorúan véve izotópok elegyére sem (elegyeknél egy pozitív

keveredési entrópia lép fel, ld. 472 pontot) Nem érvényes kristályhibákat, orientációs hibákat tartalmazó kristályokra sem (ezeknél egy pozitív konfigurációs entrópia lép fel, ld. 47# pontot) Következ"leg: A Planck posztulátum (a III. f"tétel) csak egykomponens!, tiszta, hibátlan és azonosan orientált részecskéket tartalmazó (tehát egykristályos) kristályokra érvényes; ezek entrópiája T=0 K-en zérus. Természetesen ezek a korlátozások csak szigorúan elméletleg korlátozzák a Planck-féle posztulátum érvényét. A mérések és számítások egyaránt azt mutatják, hogy a valóságos rendszerekre jellemz! So 5 0 értékek gyakorlati esetekben pl. szobah!mérsékleten az entrópia tényleges értékéhez képest elhanyagolhatóan kicsik. Bár ma sokan a III. f"tétel alatt a Planck-féle posztulátumot értik, az általánosabb érvény! Nernst-féle f"tétel* eredeti megállapításai az el"bbinél csöppet sem kisebb

jelent"ség!ek. Nernst azóta meger"sített kísérleti tapsztalatai szerint ugyanis a T=0 közelében (sokszor még 50-#00 K-en is!) a kondenzált fázisok sok tulajdonságának (így az U, H, G, A állapotfüggvények (ld. 5 fejezet), a h"kapacitások, a h"tágulási együttható és az elektromos vezet"képesség) h"mérséklet függése megsz!nik, s"t a h"kapacitások értékére érvényesek a lim CP = 0 , T4 0 lim CV = 0 (4.35) T4 0 * A Nernst–tétel szilárd testekre a posztulátumból levezethet". A tétel, mint az eredeti Planck posztulátum is, azonban általánosabban, kondenzált rendszerekre (tehát folyadékra is) érvényes. 309 határfeltételek is*. Ezen egyenletb"l fontos tétel, a harmadfajú perpetuum mobile lehetetlensége adódik: Nem létezik olyan folyamat, amely véges h"mérsékletr"l az abszolút nulla fok h"mérsékletre vezetne. Az abszolút nulla fok elérhetetlen DQ = 0, ha T 4 0

(tehát nemcsak T=0-nál) h"elvétellel a T=0 közelében dT nem lehet a h"mérsékletet csökkenteni. (Ez nem jelenti azt, hogy az abszolút nulla h"mérsékletet ne lehetne tetsz"legesen megközelíteni!) Mivel C = E gondolatmenetb"l következik, hogy T = 0 K közelében az izoterma és az adiabata egybeesik, hiszen T40 esetén Q=0, ami az adiabata definiciója. Az abszolút nulla fok elérhetetlensége a Carnot ciklusból (ld. 54#pontot) is következik: a 0 K eléréséhez egy T 6 0 K h"mérséklet! h"tartályra lenne szükség. A III. f"tétel kitüntetett szerepet biztosít az entrópiának: lehet!vé teszi az entrópiák abszolút értékének megadását, mivel az S0=0 értékb"l kiindulva a fajh"k h"mérsékletfüggésének ismeretében az entrópia függvény abszolút értéke tetszés szerinti h"mérsékletre megadható (5.32 pont); ezek számos anyagra, megtalálhatóak 0 a termodinamikai táblázatokban pl. 298

oC-ra un standard entrópia adatok (S298) formájában (ld. pl Deák, Giber, Kocsányi: M!szaki Fizika III idm! és Kubasevszkíj - Alcock, id.m!) Az I és II f"tételben csak 3S, az entrópia megváltozása szerepel és ugyanez vonatkozik minden más állapotfüggvényre: így a termodinamikában az entrópián kívül minden állapotfüggvénynek csak a megváltozása adott; abszolút értékük nem határozható meg! * Kísérleti tapasztalat pl., hogy ,7G/ = lim ,7H/ = 0 7T 7T T4 0 * -P T4 0 * -P lim (4.36) azaz, hogy T 4 0 közelítésben a G(T) illetve H(T) függvények iránytangense zérus: a függvények közös, vizszintes érint"vel futnak be a T=0 pontba. Ez a posztulatumból levezethet" Mivel G0H–TS, T=0-nál H=G és mivel ,7G/ = – S és ez T 4 0 közelítésben zérus következik fenti állításunk. * 7T -P ,7Hm/ + 7T . = CP,m (ld 478b egyenletet), következ"leg adódik pl a (435) egyenlet * -P 3#0 A III. f!tétel alapvet! jelent!ség# a

kémiai reakciók abszolút egyensúlyi állandóinak kiszámítása szempontjából. Az entrópiák abszolút értékeinek ismerete lehet"vé teszi az egyensúlyi állandók és azok h"fokfüggésének tisztán elméleti kiszámítását, kizárólag a reakcióh"k és fajh"k h"mérsékletfüggésének kisérleti adataira támaszkodva*. 4.5 A SOKRÉSZECSKERENDSZEREK TIPIKUS ENERGIANÍVÓI ÉS EZEK GERJESZTETTSÉGE A címben jelzett témakör egzakt tárgyalása elmélyült (a 8. fejezeten messze túlmen") kvantummechanikai és spektroszkópiai ismereteket igényelne; így e témakörben csak néhány tény és adat közlésére korlátozódunk Megtehetjük ezt azért is, mert a mérnök feladatkörét"l e témakör elméleti megközelítése távol esik: ha adatokra van szüksége, azokat az itt ismertetett tájékoztató jelleg! tárgyalás alapján megfelel" kézikönyvekben megtalálhatja ill. elméleti szakemberek számára problémáját

megfogalmazhatja. 4.5# Gázok energianívórendszere A gázok bels" energiája (ld. 255 pont) transzlációs, rotációs (forgási), rezgési (vibrációs) és elektrongerjesztési járulékokból áll. Az elektronok gerjesztési energiájának (az elektronenergia–nívók közeinek) nagyságrendje #0–#8 J # 6 eV, a gerjesztés tehát csak magas h"mérsékleten következik be; e járulékkal itt nem foglalkozunk. A gázok transzlációs energianívósorozata olyan finoman kvantált, hogy energiája folytonosnak tekinthet". Spektroszkópiailag mérhet"ek a (tiszta) rotációs energianívó– közök (ezek a távoli infravörös tartományba esnek), ennél nagyobbak a rezgési nívó– közök (a közeli infravörös tartományban mérhet"ek). Ebb"l következik, hogy ha a rezgési nívók gerjesztve vannak, akkor a rotációs nívók is gerjesztve vannak: spektroszkópiailag tehát közvetlenül csak vagy a tiszta rotációs nívó–közök, vagy az

egyidej!leg gerjesztett vibrációs–rotációs nívók közei észlelhet"ek. Alábbiakban mi csak az elméletileg viszonylag könnyen kezelhet" transzlációs, tiszta rotációs és tiszta vibrációs nívók energiájával foglalkozunk. K(T ) 2 * A III. f"tétel nélkül csak a K egyensúlyi állandók ln aránya lenne meghatározható, és így K(T#) pl. K(T2) meghatározásához K(T#)-t kísérleti mérésekb"l ismernünk kell (ld 553 pontot) 3## 8 Egy adott a,b és c oldalhosszúságú hasáb alakú térfogatba bezárt gázrészecskék esetében a transzlációs energia kifejezése h2 ,n2 k2 l2 / = = !tr !kin 8m +a2 + b2 + c2. * (4.37)* ahol h a Planck–állandó, n, k és l = 0, #, 2. egész, egymással kombinálandó ún kvantumszámok, m egy gázrészecske tömege és a·b·c = V a gázrészecskék részére rendelkezésre álló térfogat. Ekkor az (n = #, k = l= 0) kvantumszámokkal jellemzett h2 # . Ha a = #0–3 m, akkor a legalacsonyabb

transzlációs nívó energiája !tr,# = 8m a2 energianívó pl. hélium gázra (mHe # 0,67·#0–26 kg) !tr,# # 8·#0–36 J # 5·#0–#7 eV, ami 300 K h"mérsékleten ##0#5 nagyságrenddel kisebb a kBT termikus energiánál. Ugyanez az érték O2 molekulára (m # 5,3·#0–26 kg) #·#0–36 J # 0,6·#0–#7 eV. O2 A transzlációs energianívók nem egyenl"köz!ek, az energia növekedésével az energiaközök n"nek. 8 A rotációs energia spektroszkópiai kifejezése lineáris alakú molekulára h2 !rot = 2 J (J+#) 89 :; (4.38) ahol ; a molekula tehetetlenségi nyomatéka (ld. 244 pont ill az abban az O2 molekulára ismertetett 3. számú példa) és J a megfelel" rotációs kvantumszám, mely J = 0,#,2,. értékeket vehet fel Az energiaközök itt sem egyenl"k, hanem a magasabb energiák felé közel négyzetesen n"nek. Az energianívók értékei pl. O2 molekulára (ahol ; = #,94·#0–46 kg·m˛) pl a J = #0 értékénél # 3,#5·#0–2# J #

2·#0–2 eV, J = ## értéknél # 3,75·#0–2# J. A két energianívó távolsága # 6 · # 0 – 2 2 J . Ugyanezen értékek J=#00 esetében 2,86·#0–#9 J # #,7 eV és az energiaköz J = #00 és J = #0# között # 5,8·#0–2# J. A rezgési energianívókra, ha a rezgés harmonikus,* a megfelel" energia kifejezés (ld. 853 pont): #/ , !vibr = h< +n + 2. , n = 0,#,2, * (4.39) * Ezen kifejezést az egydimenziós potenciálkádra elektronokra korlátozva a 8.52 pontban levezetjük Ugyanott értelmezzük a kvantumszámokat. * A spektroszkópiában a harmonikus közelítés nem kielégít", de a (4.39)-el az energiaközök nagyságrendjét közelít"leg meg tudjuk becsülni. Ha a harmonikus közelítés nem teljesül (azaz a potenciális energia nem kvadratikus), a rezgési energiák sem egyenl"köz!ek. 3#2 ahol < a megfelel" rezgési (normál) frekvencia és n a rezgési kvantumszám. Láthatóan a rezgési nívók egyenl"köz!ek, az energia

növekedésével nem változnak. A rezgési energiák nívóközeinek nagyságrendje #0–20 J, tehát tized elektronvolt nagyságrend!. 4.52 Szilárdtestek rezgési energianívói Egy ezüstkristályban az alapállapot és az els" rezgési nívó között az energia–nívók különbsége 2,97·#0–2# J # #,85·#0–2 eV, azaz a kBT termikus energiával azonos nagyságrend!. 4.53 Az energianívók gerjesztettsége gázok esetén A számunkra fontos adat: mekkora az egyes energianívó típusokban az összes gerjesztett részecske aránya az alapállapotban lev"khöz. Ezt az adatot a 465 pontban felhasználjuk a kísérleti moláris h"kapacitások értelmezésénél. 8 Viszonylag egyszer# számítással általános képlethez (a (4.40) kifejezéshez) juthatunk a következ" gondolatmenettel: Egyetlen gerjesztett nívón Ni (gerj) = N –!i/kBT e = darab részecske helyezkedik el; a képletben szerepl" = a termikus állapotösszeg. Az összes

gerjesztett nívón > Ni = gerjesztett nívók –!o/kBT/ N –!i/kBT N, –e + > e . = (= – #) = *összes nívó - = részecske van; itt az utolsó egyenl"ségnél figyelembevettük, hogy az alapállapotban a termikus energia: !o = 0. Az (egyetlen) alapállapotban lev" részecskék száma (mivel !o = 0) No (alapáll.) = N –!o/kBT N e = = = 3#3 Következ!leg: # ? No > Ni (gerjesztett) = = – # (4.40) i=# A kit!zött feladat megoldásához tehát ismernünk kell = értékét az egyes nívó– típusokra. A feladatot az alábbiakban részleteiben csak a rotációs nívókra oldjuk meg, a transzlációs nívók esetében becslésre szorítkozunk, a rezgési nívókra pedig csak táblázatot közlünk. 8 A gázrendszerekben a transzlációs nívók energiaközei (ld. fentebb) a rendelkezésre álló térfogat és a részecskék tömegének függvényeként #0–40 J @ #0–34 J nagyságrend!ek, sok nagyságrenddel kisebbek, mint a termikus energia 300

K-en. Számítások nélkül is belátható, hogy a transzlációs energianívók benépesítésének nincs akadálya. A betölthet" nívók száma V = #0–6 m3 esetén #030 nagyságrend!. Mivel e térfogatban normál nyomáson mintegy 2,7·#0#9 gázmolekula van, átlagban csak minden #0##edik nívón található egyetlen molekula 8 A rotációs nívók esetében az állapotösszeg (lineáris alakú molekulákra) 89A:;kBT =rot = sh2 (4.4#) alakú, ahol az s a gázmolekulák ún. szimmetria száma, ; pedig azok tehetetlenségi nyomatéka. Az s értékét úgy határozhatjuk meg, hogy megszámoljuk, hogy hány különféle elfordítással hozható a molekula önmagával fedésbe. (Például HCl, HCN, N2O: s=#; CO2, H2O, SO2, O2 : s=2; NH3, AsH3: s=3; BF3 : s=6; CH4, C6H6 : s=#2) A fentiek alapján a spektroszkópiailag meghatározott ;–k figyelembevételével a rotáció gerjesztettsége 300 K–en: s= Q= Nrot (gerj) Nalap = HCl O2 CO2 # 2.59·#0–47 2 #,94·#0–46 2

7,0#·#0–46 #8,3 7#,# 260 azaz pl. 300 K–en O2 esetében 7#,#–szer több molekula van gerjesztve, mint alapállapotban stb., tehát szobah"mérsékleten a molekula anyagi min"ségét"l függ"en a molekulák túlnyomó többsége gerjesztett állapotban van (esetünkben # csak #,4 % nincs gerjesztve, hiszen · #00 # #,4 ). 7# 3#4 A benépesített rotációs nívók száma (szemben a #030 transzlációs nívóval) mintegy Ha tehát köbcentiméterenként #0#9 nagyságrend! molekulával számolunk és a fentiek szerint ezeket mind gerjesztettnek vesszük, akkor ellentétben a transzlációs nívókkal minden nívón igen sok gerjesztett részecske helyezkedik el. #04. 8 A gázok rezgési nívóinak gerjesztettségére csak a végeredményt közöljük: HCl Nvibr(gerj) Nvibr(alap) = 3·#0–9 O2 #,2·#0–5 CO2 CO2 CO2 (deformációs rezgés) (szimm. nyújtási rezgés) (antiszimm. nyújtási rezgés) 0,078 #,4·#0–3 9,6·#0–6

Láthatóan az O2 molekulák esetében minden 80.000 molekulából egy van gerjesztve Mivel a gerjesztési nívók távolsága relatíve nagy, a normál körülmények között betöltésre számbajöv" energianívók száma csekély. Ennek következtében a kis gerjesztettség ellenére nagy az egyes rezgési energianívók benépesülése. 8 (A szilárdtestekben egy molekularácsban a rácsrezgési energianívók közei egy nagyságrenddel kisebbek az egyes molekulák rezgési nívókülönbségéhez képest, így már igen alacsony h"mérsékleten minden kristálybeli atom rezgése gerjesztve van. A kristálybeli atomok száma sokkal nagyobb, mint az elérhet" rezgési nívók száma, így minden nívót igen sok gerjesztett atom népesít be. Többek között ezért lehet ezen rendszerre a MaxwellBoltzmann eloszlást alkalmazni.) 4.6 A MAXWELL–BOLTZMANN SEBESSÉGELOSZLÁS, A SEBESSÉGELOSZLÁSTÓL FÜGG" ÁTLAGÉRTÉKEK 4.6# A sebesség irányát is

figyelembevev$ Maxwell– Boltzmann sebességeloszlás, f(v), ideális gázokban Definiáljunk egy, a sebességvektor vx , vy , vz , sebességkomponenseivel kifeszí3 tett sebességteret. Osszuk fel ezt a sebességteret egyenl" d3v = dvx dvy dvz "térfogatú" sebesség–cellákra. Legyen ez a sebesség-cella térfogat olyan (elvben minden határon túl csökkenthet"en, tehát infinitezimálisan) kicsiny, amelyben a v sebesség jó közelítéssel állandónak vehet" (4.5 ábra) 315 vz 3 d v!dxdydz v vy vx 4.5 ábra Sebességtér, sebességcellák A sebességeloszlás megadásához meghatározandó a dN(v, d3v) N (4.42) kifejezés az N összrészecskeszám azon dN(v, d3v) hányada, amelyhez tartozó részecskék v(vx, vy, vz) sebességvektora a v végpontja körüli d3v sebességcellába esik. " A problémát el!ször diszkrét transzlációs kinetikus energiákra felírt MaxwellBoltzmann eloszlás felírásával közelítjük, mely csak

pontosan adott, diszkrét sebesség! részecskékre igaz: – 2 mvj 2kBT N Nj = e # (4.43) amelyb"l Nj/N azon részecskék összrészecskeszámhoz viszonyított hányada, amelyek pontosan vj sebességgel mozognak. E diszkrét esetre – #=$ e 2 1 mvi /kBT 2 , 2 2 2 v2 = vx + vy + vz (4.44) i " Mivel a gázrészecskék sebessége folytonos, a feladat pontosabban a dN(v, d3v)/N részecske hányad, azaz a 316 1 N – 2 mv2 /kBT 3 dN (v,d v) = e dv # 3 (4.45) kifejezés meghatározása. A kifejezés tükrözi, hogy a dN arányos a Boltzmannfaktorral és a d3v cellatérfogattal A folytonos esetre +( +( +( #! & % & % & % – e 1 2 2 2 m (vx + vy + vz ) / kBT 2 dvx dvy dvz = –( –( –( +( = & e % – 1 2 m vx /kBT 2 +( dvx · & e % – –( 1 2 m vy /kBT 2 +( 1 2 – m v /kBT dvy · & e 2 z dvz % –( –( (4.46) A három integrál tényez" azonos érték!, így 3 T .2 3 2/kBT . +2/kB - = * m , )

m , + #= * ) (4.47)* Tehát a (4.45) szerint: 3 2 – + m . dN(v,d3v) = N* - 0e )2/kBT, mv2 2kBT 3 d v (4.49) A benne szerepl" * A fenti integrál tipus határozott integrálja ismert (ld. Bronstejn idmû)! A következõképpen integrálunk páros függvényekre: ( +( () dx = 2 · () dx % % –( (4.48a) 0 és ( / –a x dx = 2 , ha a 1 0 2 e 2a % 2 2 (4.48b) 0 Esetünkben a = m és így 2 kBT +( 1 2 e– 2 m vx /kBT dvx = % –( 2 /2kBT m (4.48c) 317 3/2 + m . f(v) 3 * )2/kBT, – 0e mv2 2kBT (4.50) kifejezést a sebesség irányától (is) függ! MaxwellBoltzmann sebességeloszlás valószín"ségi s"r"ségfüggvényének (röviden: irányfügg! MaxwellBoltzmann sebességeloszlási függvénynek) nevezzük, mely függvény valószín!ségi változója az iránytól függ" sebesség. " Az f(v)·d3v szorzat annak a valószín"ségét adja meg, hogy egy adott részecske sebessége a v körüli d3v nagyságú

"sebességtérfogatba" esik. Ezért a (450) kifejezésbeli f(v) ennek a valószín!ségnek a s!r!sége, egy ún. valószín"ségi s"r"ség függvény*. Végül: a dN(v, d3v) = N f(v)·d3v kifejezés azt adja meg, hogy N részecskéb"l hány részecske sebessége esik a d3v "sebességtérfogatba". A (449)nek megfelel" dN(v, d3v) = N·f(v)d3v (4.5#) kifejezés tehát a keresett MaxwellBoltzmann sebességeloszlási törvény amely megadja, hogy N részecskéb!l hány részecske sebessége esik a d3v "sebesség térfogatba". A sebesség x komponenséhez tartozó eloszlási függvény x komponense m 2 + m .1/2 – 2kBT vx f(vx) = * - e )2/kBT, (4.52) alakú. Értelemszer!en hasonló az y és z komponens-eloszlási függvények alakja is Az f(vx) függvényt két h"mérsékleten, állandó vy és vz mellett a 4.6 ábra mutatja A (4.52) függvény a valószín!ségszámításból (ld Bronstejn id m!) jól ismert Gauss– görbe

(az ún. normális hibaeloszlási görbe) hibagörbe, melynek vx=0-nál maximuma van (ld. a 46 ábrát) * Analógiaként gondoljunk arra, hogy az n részecskes!r!ség (n = N , ahol N az egységnyi térfogatba V es" részecskék száma) és a V térfogat szorzata n·V = N, a részecskék számát adja meg. 318 f(vx) 510-3[s/m] Valószín!ségi s!r!ség 1,6 298K 1,4 1,2 1,0 0,8 500K 0,6 0,4 0,2 0,0 41500 41000 4500 0 1000 500 1500 vx[m/s] 4.6 ábra A sebesség irányától (is) függ! MaxwellBoltzmann sebességeloszlás valószín"ségi s"r"ségfüggvénye* állandó vy és vz komponensek mellett oxigén molekulára 1/2 1 + m . Az f(vx) görbe maximumának értéke * -vel - , vagyis a maximum értéke )2/kBT, T kBT . Mivel arányos. Az f(vx) görbe szórása (ld Bronstejn, idm!) esetünkben 6 = m 6 a görbe félérték-szélességére jellemz", a görbe félérték-szélessége tehát a T -vel egyenesen, az m -el pedig fordítva arányos. Ez

azt jelenti, hogy azonos tömeg! gázok esetében a 4.6 ábrán ábrázolt görbe magasabb h"mérsékletnél egyre laposabb, alacsony h"mérsékleteknél pedig élesebb maximumot mutat. Ugyanakkor azonos h"mérséklet esetén a görbe a nagyobb tömeg! részecskék esetén mutat élesebb maximumot. Minél magasabb a h"mérséklet, annál több viszonylag nagysebesség! részecskét tartalmaz a rendszer. Látható, hogy ha csak a vx sebességirányt nézzük, leggyakoribb a zérus sebesség és 2 a nagyobb sebességek valószín!sége (ld. (450)) a vx-tel exponenciálisan csökken * A görbe területe az f(v ) dv integrál, tehát a v sebesség valószín!ségi változóra vonatkoztatott x % x x valószín!ség; a teljes sebességintervallumot figyelembe véve ennek 1-et kell adnia. Valóban: a görbe alatti terület értéke 1; ezért az ilyen görbék normáltságáról szokás beszélni. 319 4.62 Egyes, a sebesség irányától is függ! fizikai

mennyiségek átlagértéke Ismétlésként, folytonos értékkészlet" fizikai mennyiségek átlagértéke, a (3.2), ill (3.3) általánosításaként: XdN XdN Xi 8Ni % % 9 = 7X1=$ $8Ni dN i N % (4.53) Egy X(v) függvény átlagértékének kiszámításához helyettesítsük (a 4.53) kifejezésbeli dN értékének helyére a dN (v, d3v) = N f(v) d3v (ld. (451)) kifejezést! Ezzel: X(v) dN (v, d3v) NX(v) f(v)d3v % % 7 X (v) 1 = = = N N (4.54) Az N állandó-t emeljük ki az integrálból és egyszerüsítsünk vele! :( :( :( :( :( :( v (4.55) <X (v) > = % % % X(v)f(v)d = % % % X(v) f(v) dvxdvydvz 3 4( 4( 4( 4( 4( 4( ahol 0e m 2 v 2kBT 2 1 3/2 + m . f(v) 3 * )2/kBT, – (ld. (450)) #.Példa: Igazoljuk, hogy 2 2 2 7 vx 1 = 7 vy 1 = 7 vz 1 = 3 7 v 1 Megoldás: :( :( :( – v2 e < v2 > = C % % % 4( 4( 4( m v2 2kBT dvxdvydvz (4.56) 320 3/2 + m . C=* )2/kBT, ahol 2 2 2 2 v = vx + vy = vz Mivel :( :( :( – 2 2. + 2 <

v > = C % % % )vx + vy + vz , e 2 m 2kBT +v2 + v2 + v2. ) x y z, dvx dvy dvz = 4( 4( 4( 2 m vx :( :( :( 2 m vy 2 m vz – – – 2 kBT 2 kBT 2 kBT 2 2 2. + ·e ·e ·dvx dvy dvz = < v > = C % % % )vx + vy + vz , e 2 4( 4( 4( :( :( :( 2 m vx 2 m vy 2 m vz 2 m vx 2 m vy 2 m vz – – – v2 e 2 kBT·e 2 kBT· e 2 kBT·dv dv dv + = C x y z % % % x 4( 4( 4( :( :( :( – – – 2 kBT 2 kBT 2 kBT 2 + C % % % vy e ·e ·e ·dvx dvy dvz + 4( 4( 4( 2 m vx :( :( :( 2 m vy 2 m vz – – – v2 e 2 kBT·e 2 kBT· e 2 kBT·dv dv dv + C x y z % % % z 4( 4( 4( Szabály : f(x) g(y) dx dy = f(x) dx g(y) dy %% % % Foglalkozzunk a fenti els", ( vx )-es :( 2 m vx :( 2 m vy :( 2 m vz – – – 2 kBT 2 kBT 2 kBT 2 dvx · % e dvy · % e dvz C % vx e 4( 4( 4( 321 taggal, ahol: :( 2 m vy 2 m vz :( – e 2 kBT dv = y % 2/ kBT és m 4( – e 2 kBT dv = z % 2/ kBT m 4( és ennek szorzata kiemelhet". Mivel C· = 2 –2k T

< % vx e dvx ;4( 2 m vx :( 2 <v > = m 2/ kBT m 2/kBT 2/kBT = m B 2 2 m vy :( 2 m vz :( – – 2 kBT 2 v2 e 2 kBTdv v dv + e + y % z z % y 4( 2 4( 2 2 < v > = < vx > + < vy > + < vz > Mivel azonban a fenti integrálok azonosak, így: 2 < vx 2 > = < vy 2 > = < vz 3/2 / +2kBT. >= 2 * m , ) Az utóbbi két összefüggésb"l következ"en tehát: 2 2 2 < vx <v > >= 3 , 2 < vy 2 <v > >= 3 , < 2 vz <v > >= 3 azaz állításunkat igazoltuk. 2. Példa: Igazoljuk, hogy küls" er"tér jelenléte nélkül < vx > = < vy > = < vz > = 0 (4.57) Ez az eredmény várható, mert nincs kitüntetett irány. Egzakt igazolás v = vx i + vy j + vz k 2 2 2 2 v = vx + vy + vz @ ? > 322 2 m vy 2 m vx :( :( :( 2 m vz –2k T – – 2 kBT 2 kBT B + . ·e ·e ·dvx dvy dvz = <v>=C % % % )vx i + vy j + vz k, e 4( 4( 4( :(

:( :( 2 m vx 2 m vy 2 m vz 2 m vx 2 m vy 2 m vz 2 m vx 2 m vy 2 m vz – – – 2 kBT 2 kBT 2 kBT i = C % % % vx e ·e ·e dvx dvy dvz + 4( 4( 4( :( :( :( – – – 2 kBT 2 kBT 2 kBT + j C % % % vy e ·e ·e dvx dvy dvz + 4( 4( 4( :( :( :( – – – 2 kBT 2 kBT 2 kBT k ·e ·e dvx dvy dvz + + C % % % vz e 4( 4( 4( " Mivel az integrálok értéke azonos, elég a < vx > -r"l kimutatnunk, hogy értéke nulla. A < vy > és a < vz > ugyanilyen, csak vx helyére vy illetve vz kerül. 2 m vx :( :( :( 2 m vy 2 m vz – – – v e 2 kBT ·e 2 kBT· e 2 kBT dv dv dv < vx > = C x y z % % % x 4( 4( 4( A vx szerinti integrálásnál az összes többi változót tartalmazó tényez" kiemelhet", mivel konstans szorzónak min"sül. Szabály: f(x) g(y) dx dy = f(x) dx g(y) dy %% % % :( 2 m vx 2 m vy 2 m vz :( :( – – – 2 kBT 2 kBT 2 kBT < v x > = C % vx e dvx · % e dvy · e dvz % 4( Ahol 4(

4( 323 :( 2 m vy :( – e 2 kBT dv = y % – e 2 kBT dv = z % 2/ kBT és m 4( 2 m vz 2/ kBT m 4( és így 2 m vx :( 7 vx 1 = C – 2 kBT 2/ kBT dvx · % vx e m 4( + m . Mivel C = * )2/kBT, 3/2 , így 2 m vx :( – 2 kBT m dvx v e x 2/kBT % 7 vx 1 = 4( Jelöljük az integrandust f(vx)-el. Az integrandus láthatóan páratlan függvény, azaz f(–vx)= –f(vx). A függvény grafikonja az origóra szimmetrikus: : f(vx) 4 vx 4.7 ábra Ábra a 2 példához Így az integrál (–(, () tartományban szimmetria okokból nulla lesz, ami a bizonyítandó állítás volt. 3. Példa A Gauss-függvény szimmetriájából következik, hogy a v sebességvektor átlagértéke zérus:* +( :( :( <v> = % % v f(v)dvxdvydvz = 0 % –( 4( 4( Az integrál értéke zérus, mert (–v) A v-vel (azaz páratlan függvény) és így v (0-tól (-ig) vett ill. (–(-t"l 0-ig) vett integráljainak abszolút értéke egyenl"ek, de ellentétes el"jel!ek. *

7v2 1=< iv x jvy + kvz >; mivel az összegek átlaga egyenl" az átlagok összegével a <v1!B-ból következikC hogy < vx21=0, < vy21= 0 és <vz21=0. + 324 4.63 Átlagképzés a sebesség abszolút értékét!l függ! Maxwell-Boltzmann sebesség eloszlás esetében. Ilyenkor az átlagképzés az :( <X> 3 % X(v) f(v)dv (4.58) 0 egyenlet szerint történik, ahol 3/2 + m . f(v) = 4/ v f(v) = 4/ * )2/kBT, 2 2 2 – mv /2kBT ve (4.59) a sebesség abszolút értékét!l függ! Maxwell–Boltzmann féle sebességeloszlási függvény (pontosabban a sebességeloszlási függvény valószín"ségi s"r"ség– függvénye. 510-2 [s/m] 2,5 2,0 298K 1,5 1,0 500K 0,5 0,0 0 v [m/s] 500 1000 1500 2000 (a) valószín!ségi s!r!ség (f(v)) valószín!ségi s!r!ség (f(v)) A 4.8a ábrán a sebesség abszolút értékét"l függ" f(v) függvényt mutatjuk be A h"mérséklet növekedésével f(v) maximumának értéke

csökken és a görbe maximuma a nagyobb sebességek irányába tolódik el. [s/m] v [m/s] vmax 2 <v > <v> (b) 4.8 a) ábra A sebesség abszolút értékét!l függ! sebességeloszlás valószín"ségi s"r"ség-függvénye oxigénmolekulára. A görbék alatti terület egységnyi (ld. a 46 ábrához f"zött lábjegyzetet) A b) ábrarészen berajzoltuk a < v >, < v2 > és vmax helyzetét. Számítsunk ki néhány, a sebesség irányától nem függ" átlagértéket! 325 Példák: " A (4.59) sebességeloszlás–függvény felhasználásával a sebesség abszolút értékének átlaga (4.58) ill (459) szerint: ( 3/2 + m . <v>= % v0f(v)dv = 4/*)2/kBT-, 1 +2kBT.2 - ! * 2 ) m , 8kBT /m (4.60) o ( 2 1 3 –ax Felhasználtuk hogy dx = x e % 2a² (Bronstejn id. m!) 0 " Az átlagos négyzetes sebesség, vagy termikus sebesség (vT): = ( @ 1/2 2 vT = <v2 > = < % v f(v)dv? ;0 > = 3kBT m

(4.61) Levezetés: ( 2 <v > = % v f(v) dv 2 (4.62a) 0 (4.59) felhasználásával: ( + m .3/2 4 – mv²/2kBT <v2> = 4/ * v e dv )2/kBT, % B Az integrál kiszámítására használjuk fel az ( 2 xn e–ax dx = 1·3·5(n–1) / , n+1 n+2 % 2 0 a2 2 ha n páros + m . integrált (ld. Bronstejn id m!)! Ezzel, mivel a = *2k T) B , ( 2 v4 e–mv /2kBT dv = % o 1·3 / + m .5/2 23 *2k T) B , (4.62b) 326 így 3/2 + m . 7v 1=4/* )2/kBT, 2 " · 3·2 kBT 3kBT 1·3· / = = m m .5/2 2 m + 23 *k T) B , (4.62c) A legvalószín"bb sebesség vmax = 2kBT m (4.63) Levezetés: Ez definíciószer!en az a sebesség, amellyel a legtöbb részecske rendelkezik. Értéke f(v) maximumából számítható, azaz: df (v) = 0, ha v = vmax. dv (4.64a) (pontosabban a maximális valószín!ség! sebesség). Ez (459) felhasználásával: 2 2 2 –mv /2kBT –mv /2kBT d + 2 –mv /kBT. ve = 2ve + v2 ·2v(–2m/kBT)·e =0 ) , dv (4.64b) –mv2/2kBT Mivel 2e A 0

semmilyen v-re, azzal az egyenletetet egyszer!síthetjük. Így a (v=vmax) esetére következik, hogy 3 vmax – (m/2kBT) vmax = 0 ahonnan vmax -t kifejezve (4.63) adódik 4.64 Az ekvipartíció tétele " Alkalmazzuk az átlagszámítás leírt módozatát az egyatomos ideális gáz egy részecskéjére jutó <Dtr,kin > átlagos transzlációs kinetikus energia kiszámítására. Mivel e mennyiség csak a sebesség abszolút értékét"l függ, a számításnál az f(v) (4.59) és az átlagképzés (458) alatti kifejezését használjuk! ( ( 2 3/2 1 2 v2·4/ +* m .- · v2e–mv /2kBT dv m · <Dkin,tr> = D (v)f(v)dv = % % kin 2 )2/kBT, B B (4.65) 327 Ismerjük fel, hogy az integrál éppen egyenl" 7 v2 1 (4.62c) kifejezésével, tehát 1 1 3kBT 3 <Dkin,tr> = m 7v21= m · = kBT 2 2 m 2 (4.66) Mivel az egy részecskére jutó átlagos transzlációs kinetikus energia : 1 3 1 2 2 2 <Dkin,tr> = m<v2> = 2 m<vx + vy + vz > =

2 k T 2 B (4.67) alakba is felírható és felhasználva, hogy 4.62 pontbeli 1 példában közölt levezetés alapján fennáll, hogy 1 2 2 2 <vx> = <vy> = <vz > = <v2> 3 (ld. (456)) a (4.67)-t tehát úgy is értelmezhetjük, hogy a transzlációs kinetikus energia kifejezés minden (esetünkben 3) tagjára (járulékára) #/2 kBT nagyságú átlagos energia jut. " Mivel az egyatomos ideális gáz bels" energiájának csak transzlációs kinetikus energiája van, a (4.67) ennek teljes energiáját is megadja " Kétatomos ideális gáz esetén a (4.67)-el azonos 1 2 2 2 <Dkin> = m<vx + vy + vz >; 2 fSF=3 (4.68a) 3 <Dkin,tr> = kBT 2 (4.68b) transzlációs kinetikus energiajárulékon kívül figyelembe kell* venni a két atomot összeköt" tengelyre és az erre és az egymásra is mer"leges tengelyek körüli forgás kinetikus energiája járulékait (lásd a 2.51 pont-ban a (2179a) képletet; a két atomot

összeköt" tengely körüli forgás kinetikus energiája elhanyagolható ("súlyzó-modell")) 2 2 1 <Drot2> = 2 E +) <F1 1 + 7 F2> ., ; <Drot> 3 kBT fSF=2 (4.69a) (4.69b) * A 4.65 pontban majd felhívjuk a figyelmet arra, hogy az itt tárgyalt gondolatmenet a klasszikus fizikán alapul, ahol az energia folytonos (nem kvantált) értékkészlet!. Az energia nívók azonban kvantáltak (ld. 45 pontot) és így számolni kell ezek aktuális gerjesztettségével (453 pont) is: szobah"mérsékleten a rezgési nívók gerjesztettsége elhanyagolható. 328 valamint a két atomot összeköt" tengely irányában* fellép" (közelít"leg) rugalmas er"nek megfelel"(2.205) rezgési energiajárulékokat is; ha a rezgés harmonikus 1 <Dvibr> = D< 2 2 1 > + m<v2>; 2 fSF=2 <Dvibr> = kBT (4.70a) (4.70b) ahol a jobboldal els" tagja a rezgés potenciális-, második tagja a kinetikus energia–

járulékának kifejezése; az a két atom közötti távolság eltérése az egyensúlyi értékt"l. Ha a két atom az egyensúlyi távolságra van egymástól ( =0), akkor a rezgés potenciális energiája (ld. 253 pontot) nulla Statisztikus (másnéven molekuláris) szabadsági fokon a sokrészecske-rendszer teljes energia kifejezésében négyzeten szerepl! független koordináták számát értjük és fSF-el jelöljük. Boltzmann a ((4.66)-(467)) egyenletek levezetésének gondolatmenetét követve azt is kimutatta, hogy egyensúlyban minden statisztikus szabadsági fokra 1/2 kBT, tehát a kinetikus energia szabadsági fokára es!vel egyenl!, T-vel arányos energiajárulék jut. A ((468)-(470)) egyenletekben feltüntettük a kétatomos molekulák esetén az egyes energiatípusok fSF szabadsági fokát is. Mindezt figyelembe véve és általánosítva kimondhatjuk (a 3.32 pontban már megismert) ekvipartíció tételt: A sokrészecske rendszer minden molekuláris szabadsági

fokára # k T termikus energia jut. 2 B Ez az ekvipartíció tétel egy lehetséges megfogalmazása. * Kétatomos molekulánál az ún. deformációs rezgésekkel nem kell számolnunk 329 4.65 Gázok és szilárd testek fajlagos és moláris h!kapacitásának számítása bels!energiájukból, ill. entalpiájukból " Az állandó nyomáson, illetve állandó térfogaton mért fajlagos h!kapacitást (fajh!t) középiskolai tanulmányainkból ismerjük. Ezeket a Q = cV · m · 8T, V=állandó (4.71) Q = cP · m · 8T, P=állandó (4.72) illetve a összefüggésekkel definiáltuk; fenti egyenleteket differenciális alakra átrendezve: cV = 1 +GQ. m*) GT -, ill. V=áll. cP = 1 +GQ. m*) GT -, (4.73a,b)* P=áll. A fajh! mértékegysége: –1 –1 =1 J @ = <kg K ? = ; J kg K @> > ; (4.73c) A fajlagos h"kapacitás (fajh"k) helyett sokszor célszer!bb a moláris h!kapacitással (mólh"vel), vagyis az 1 mol anyag fajlagos h"kapacitásával

számolni (jele: Cm): Cm,V = M cV = M +GQ. m *) GT -, ill. Cm,P = M cP (4.74a,b) V=áll. ahol M az ún. moláris tömeg [kg/mol] A moláris h"kapacitás mértékegysége: –1 –1@ = kg 1 J @ = <mól kg K ? = < J mol K ? > > ; ; (4.74c) Az állandó térfogaton mért fajlagos ill. moláris h!kapacitás (fajh" ill mólh") a bels! energiával is kifejezhet! a termodinamika I. f"tételéb"l (ld 133 ill 52 pont): 8 +GQ. * A +GQ. = (és értelemszer!en a következ" hasonló) kifejezések ún. parciális deriváltak ) GT ,V=áll ) GT ,V Azt fejezik ki, hogy a többváltozós, pl. Q=Q(T,V) függvény megváltozását pl V=állandó feltétel mellett vizsgáljuk. Lásd 515 pontot 330 dU = DQ + DWtérf. ahol DWtérf. = –PdV (dU)V=áll. = (DQ) V mivel (DWtérf)V = (–PdV)V = 0 (4.75) (4.76)* Ezért cV = 1 +GU. m*) GT -, +GUm. Cm,V = * ) GT , V ill. V ahol M a moláris tömeg és Um a bels" energia moláris értéke:

(4.77ab) U n , ahol n az anyagmennyiség mólokban. Az állandó nyomáson vett fajlagos, ill. moláris h!kapacitásokat cP = 1 +GH. m *) GT -, +GHm . Cm,P = * ) GT , P ill. P (4.78a,b) definiálja, ahol H az ún. entalpia függvény (A H és a (478) értelmezésével kapcsolatban az 5.21 pont (523) képletére utalunk) " Az ideális gáz bels! energiája. Az egyatomos gáz atomjainak szabadsági foka f=3, tehát az atomok átlagos termikus energiája 3/2 kBT, vagyis az egyatomos, N atomot tartalmazó ideális gáz bels" energiája 3 U = NkBT 2 (egyatomos) (4.79) A kétatomos ideális gáz szabadsági foka a rezgési járulék figyelembevétele nélkül f=5, vagyis a bels" energia ebben az esetben: 5 U = NkBT 2 (kétatomos) (4.80) Ha ehhez a rezgési szabadsági foknak megfelel" energiajárulékokat is figyelembe vesszük, akkor f=7 és 7 U = NkBT 2 (kétatomos gáz rezgési járulékkal) (4.81) (A kétatomos ideális gáz esetében azért

választottuk ketté a rezgési járulékot nem tartalmazó, illetve azt is tartalmazó esetet, mert az alábbiakban a kisérletekkel összevetve (ld. 46 táblázat) vizsgálat tárgyává tesszük az ekvipartíció tételének érvényességi körét.) * Az egyenletek felírásakor feltételeztük, hogy csak térfogati munka (Wtérf. )van Az viszont V = állandó esetén nulla. 331 " Az ideális gáz moláris h!kapacitása: +GUm. Cm,V = * ) GT , (ld.(477b) V = áll alapján számítható: A (4.77b) egyenletet a (479–481) egyenl"ségekkel összevetve megkapjuk az egyilletve kétatomos ideális gázok moláris h"kapacitásának az ekvipartíció tételéb"l számított értékét: 3 3 Cm,V (1 atom) = NAkB = R 2 2 (4.82) 5 5 Cm,V (2 atom, merev rúd) = 2 NAkB = 2 R (4.83) 7 7 Cm,V (2 atom, rezgés) = NAkB = 2 R 2 (4.84) Vessük össze ezen elméleti értékeket a kisérletiekkel: 4.6 táblázat Az állandó térfogaton mért moláris h!kapacitás

elméleti és kísérleti értékei egy-, két- és háromatomos gázmolekulák esetén szobah!mérsékleten Cm,V [J·mol-1·K-1] Kísérleti Elméleti 1. Elméleti 2. 1 atomos 2 atomos 3 atomos Megjegyzés 12,39 12,47 20,47 20,79 24,95 24,94 12,47 29,10 49,88 Ar, H2, H2O a rezgési szabadsági fokok nélkül a rezgési szabadsági fokokkal együtt A 4.6 táblázat els" és második sorának jó egyezése szembeötl" Ugyanakkor a rezgési szabadsági fok figyelembevételével számított elméleti érték már er"sen eltér a kisérleti eredményekt"l. A 453 pontban láttuk ennek az eltérésnek az okát: az ún klasszikus fizika szerint a 3. sorbeli eredmények helyesek; de a klasszikus fizika a mikrorészecskék világában – mint ezt már többször hangsúlyoztuk – csak nagy el"vigyázattal alkalmazható. A 46 táblázat harmadik sorának a kísérleti eredményekt"l való eltérése annak jele, hogy a klasszikus fizika ekvipartíció

tétele korlátozások nélkül nem érvényes: nem használható például gázokban a rezgési 332 szabadsági fokokra es" termikus energia meghatározására, ezen csak az energiák kvantáltságának és gerjesztettségének figyelembevétele segít. * " A szilárdtestek moláris h!kapacitását szintén kiszámíthatjuk az ekvipartíció tételével. Modellezzük a szilárdtestet a rácspontokon ül" azonos tömeg! és rugalmas állandójú klasszikus harmonikus oszcillátorok (ld. 2114 és 71 pont) rendszerével Minden egyes atom három irányban végezhet rezgéseket, így molekuláris szabadsági foka száma: 3·2 = 6 (minden rezgési irányra kett" esik, ld. a (470) képleteket) Egy 1 atomra így 6 · kBT = 3 kBT átlagos termikus energia jut. Egy mólnyi anyagra tehát 2 Um = 3 NA kBT, vagyis a modellb"l a szilárdtestek moláris h"kapacitására +GUm. - = 3NA·kB = 3R = 24,942 [J/(mol·K)] Cm,V = * ) GT , (4.85) érték adódik,

mégpedig minden szilárdtestre azonos, h"mérséklett"l független érték (ld. a 49 ábra szaggatott görbéjét) A szilárd testekre vonatkozó elméleti számítások általában Cm,V értékekre vezetnek, a mért értékek pedig Cm,P-re, de szilárdtesteknél szobah"mérséklet körül Cm,V H Cm,P. 4.7 táblázat Szilárdtestek fajlagos- és moláris h!kapacitása kísérleti és elméleti értékeinek összevetése 298,#5 K-en Elem Al Au Ag Fe K Li Ni Pt Si Zn Fajlagos h"kapacitás [J/(kg·K)] 900,205 129,797 234,474 464,757 741,099 3307,73 439,635 133,984 678,294 383,111 Moláris h"kapacitás (Cm,P ) [J/(mol·K)] 24,289 25,566 25,292 25,955 28,978 22,952 25,811 26,139 19,051 25,044 %-os eltérés az ekvipartícióból adódó értékt"l -2,62 +2,5 +1,40 +4,06 +16,18 -7,98 +3,48 +4,80 -23,61 +0,41 * A 4.53 pontban meghatároztuk a gázok rezgési és forgási energiáinak gerjesztettségét; megállapítottuk, hogy a rezgési energiák

gerjesztettsége szobah"mérsékleten igen kicsiny Következ"leg ezek járulékai a kísérleti értékekben nem jelennek meg! 333 A 4.7 táblázatban különböz" szilárdtestek h"kapacitásaira vonatkozó mérési eredményeket mutatunk be. Ezek alapján ellen"rizhetjük elméletünk helyességét Láthatjuk, hogy fentebbi egyszer! becslés sok esetben jó közelítéssel teljesül. Ugyanakkor nem elhanyagolható eltéréseket is találunk (pl. K, Si), ami arra utal, hogy bizonyos tényez"ket nem vettünk figyelembe. Az az állításunk például, hogy a szilárdtestek moláris h"kapacitása nem függ h"mérséklett"l, a valóságban nem igaz. Ennek illusztrálására a 4.9 ábrán feltüntettük a szilícium moláris h"kapacitásának h"mérsékletfüggését. A kvantumeffektusok figyelembevételével szilárdtestek moláris h"kapacitásának egy jobb közelítését Einstein adta meg. Minden egyes atomi rezg"

rendszer (atomi oszcillátor) I frekvenciáját azonosnak feltételezve, az alábbi eredményt kapta (részletesebben ld. 813 pontban): T0 = 2 +T0. –T0/T < – T · <1–e Cm,V = 3R* - e )T, ; @ ? ? > –2 , ahol T0 = hI kB (4.86) (A szilárdtestfizikában további közelítésekkel is megismerkedünk majd.) Cm,P [J/mol·K] 25 20 10 100 200 300 T (K) 4.9 ábra Szilícium moláris h!kapacitásának h!mérsékletfüggése A szilárdtestek moláris ill. fajlagos h!kapacitása tehát szemben az ekvipartíció tételének állításával – nem független a h!mérséklett!l, hanem az abszolút h!mérséklet nullához tartásával szintén nullához tart. "Magas" h!mérsékleten viszont megközelíti (s!t a reális anyagoknál fellép! anharmonicitás* miatt túl is lépi (ld. 49 ábrát)) a klasszikus fizikából adódó h!mérsékletfüggetlen, (4.85)-szerinti értéket * Ekkor a potenciális energia nem kvadratikus. 334 4.7 A KONFIGURÁCIÓS ÉS AZ

ELEGYEDÉSI ENTRÓPIA A 4.51 pontban megmutattuk, hogyan értelmezzük az egyensúlyi h!cserével kapcsolatos entrópiaváltozásokat. Entrópia (ill entrópiaváltozás) rendelhet! azonban olyan állapotokhoz (ill. állapotváltozásokhoz) is, amelyeknek megváltozása nem jár szükségszer"en h!átadással: ilyen entrópiajárulék pl. az ún konfigurációs entrópia, de ilyen, az ideális elegyképz!déssel járó entrópiaváltozás, az ún. elegyedési entrópia is. 4.71 A szilárdtestek konfigurációs entrópiája A kristályok olyan szilárd testek, amelyekben az atomok, atomcsoportok, molekulák a térben periodikusan, meghatározott rend szerint helyezkednek el. Az ideális kristályban az atomok periódikus rendjét semmi sem zavarja meg. Ezzel szemben a reális kristályokban (még egyensúlyi viszonyok között is) egyes helyeken hiányoznak az atomok: azok a felületre, esetleg rácspontok közti helyekre vándorolnak. Az üres atomhelyeket vakanciáknak

nevezzük. A vakanciák megjelenése többletenergiával jár, a vakanciák (bizonyos koncentrációkig) mégis spontán folyamatban keletkeznek. E jelenség látszólag ellene szól annak a jól ismert elvnek, hogy a (zárt) rendszerek egyensúlyban az energiaminimumra (pontosabban szabadenergia minimumra, ld. 55 pontot) törekednek. Az ellentmondás azonban csak látszólagos: az alábbiakban megmutatjuk, hogy a szilárdtestek entrópiája, tehát w termodinamikai valószín"sége nagyobb, ha a vakanciák jelen vannak. Az 55 pontban megmutatjuk, hogy a rendszerek egyensúlyát állandó nyomáson és h!mérsékleten a G = H – TS szabadentalpia függvény dGP,T = 0 minimuma ill. állandó térfogaton és h!mérsékleten az A = U – TS szabadenergia függvény dAV,T = 0 minimuma határozza meg. Ha a vakanciák megjelenése pozitív entrópia többletet okoz, akkor az láthatóan mind G, mind A értékét csökkenti, tehát a vakanciák megjelenése nincs ellentétben a

termodinamikai egyensúlyi kritériumokkal, – csak az adott feltételek között az egyensúlynak nem az energia minimum, hanem a szabadentalpia vagy a szabadenergia minimuma a korrekt feltétele. Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a vakanciák megjelenése mindig entrópia többletet (ún. konfigurációs entrópiát) okoz A "konfigurációs" jelz!t "kf" indexszel jelöljük. Az alábbiakban egy egyszer", azonos atomokat tartalmazó kristályos szilárdtest modell konfigurációs entrópiáját határozzuk meg. Ennek során a Maxwell–Bolzmann statisztikát alkalmazhatjuk, mert e problémára teljesülnek a 4.2 bevezet!jében leírt feltételek. 335 A kristály adott térfogatában legyen N darab azonos részecske és m darab üres rácspont (vakancia). Ezek a rendelkezésükre álló (N+m) helyet wkf = (N+m)! N!m! (4.87) féleképpen foglalhatják el, mert a részecskék (pontosabban a rácspontok) egymás közötti és a vakanciák (pontosabban az

üres rácspontok) egymás közötti felcserélése nem jelent új elrendez!dést (ezek egymás között megkülönböztethetetlenek). A (4.87) képlet tetsz!leges N és m-re igaz, vagyis nem egyensúlyi esetben is Ha (4.87)-be az egyensúlyi vakancia koncentrációnak megfelel! egyensúlyi m értéket helyettesítünk be, akkor wkf is egyensúlyi érték lesz, tehát megkapjuk Wkf értékét. Az ehhez tartozó Skf konfigurációs entrópiajárulék: Skf = kB ln Wkf = kB [ln(N+m)! – ln N! – ln m!] (4.88a)* A Stirling–formulát alkalmazva: Skf = kB[(N+m) ln (N+m) – N ln N – m ln m] = N m & # = –kB"N ln N+m + m ln % N+m $ ! (4.88b) Mivel az a logaritmusok után álló hányadosok valódi törtek, a logaritmusok negatívak, az Skf pedig mindig pozitív. A vakanciák növekv! száma tehát mindig növeli a szilárdtest konfigurációs entrópiáját. Az egyensúlyi vakancia koncentrációt a következ!képpen számíthatjuk. (Itt egy egyszer" képb!l (ld. a

Szilárdtestfizikában) indulunk ki A vakanciák egyensúlyi m számának arányát az összes rácspont (N+m) számához viszonyítva az –Ev / kBT m = e (4.89) N+m * Az S tulajdonképpen a vakanciák nélküli állapothoz való többlet, tehát tulajdonképpen dS . Az S kf kf kf jelölés mégis korrekt: a vakancia nélküli esetben w=1, ln w=0 és így a vakancia nélküli állapotban Skf=0. Félreértések elkerülése végett: csak a konfigurációs entrópia járulék nulla Ezzel még nem állíthatjuk, hogy a vakanciamentes kristály teljes entrópiája nulla. Ez csak T=0 K-en, és akkor is csak meghatározott feltételek mellett teljesülne (ld. IIIf!tétel, 44 pont) 336 Boltzmann faktor (ld. (424) adja meg, ahol Ev az atom felületre vitelének, azaz a vakancia létrehozásának az energiája. Amennyiben m << N, akkor –Ev / kBT m =e N (4.90) Az olvadáspont környékén (pl. T 1000 K-en) a kBT értéke 0,0861 eV Tipikus E v 1 eV-tal számolva

(m/(N+m)9,04(10-6. Szobah!mérsékleten (T=300K) az m/(N+m) 1,59(10-17. Ha egy magas h!mérsékletról (pl. az olvadáspont közeléb!l) az anyagot hirtelen h"tjük le szobah!mérsékletre, a benne lev! vakanciák nem tudnak a felületre jutni, "befagynak". Ez azt jelenti, hogy a szobah!mérséklet" kristályban annyi vakancia marad, amennyi a magas h!mérséklethez tartozó egyensúlyi értéknek felel meg; így egy nemegyensúlyi állapot jön létre. Az új, a szobah!mérsékletnek megfelel! egyensúlyi állapot beállására vezet! folyamatok (diffúzió) relaxációs ideje szobah!mérsékleten több év is lehet E problémával részletesebben foglalkozunk a szilárdtestfizikában. 4.72 Elegyedési entrópia Alábbiakban megvizsgáljuk, hogy i=#,2,.,K különböz! atomfajta térbeli elegyedése miképpen növeli meg a rendszer entrópiáját abban az egyszer" esetben, ha az elegyedés nem jár bels! energia (entalpia) változással, azaz az elegy

ideális. Ilyenkor az entrópiaváltozás csak az elegyedés következménye. Ilyen határeset pl a kristályos szilárdtestben két izotóp elegyedése, de ilyen két (a és b) atomfajtából álló ideális gáz elegyedése is. Az ideális elegyrendszer és az egykomponens" (tiszta) rendszerek entrópiájának elegyedésb!l származó különbségét )Smixt-tel (dSmixttel) jelöljük és elegyedési entrópiának nevezzük. 4.72" Ideális elegykristályok elegyedési entrópiája A kétkomponens", a és b atomfajtából álló ideális kristályos elegy elegyedési folyamatát (kristályról lévén szó) az a és a b tiszta kommponensek konfigurációs entrópiaváltozásának foghatjuk fel*, tehát a )Smixt (a, b) = Skonf (a, b) * Lásd az el!z! lábjegyzetet! (4.91) 337 kifejezés definiálja. A (4.87) és (488a) analógiájaként )Smixt = kB ln Wkf = kB ln (Na+Nb)! Na!Nb! (4.92) Megfelel! átalakításokkal, a (4.7) Stirling–formulát alkalmazva )Smixt

= kB ln Wkf = kB[(Na+Nb) ln (Na+Nb) – Na – Nb] – – kB[Na ln Na – Na] – kB[Nb ln Nb – Nb] = Nb / Na , – Nb ln N +N = kB+– Na ln N +N .= * a ba b (4.93)* = kB[– Na ln xa – Nb ln xb] Több komponensre általánosítva )Smixt = –kB K 0 Ni ln xi (4.94) i=1 N Bevezetve az ni = N i anyagmennyiségeket (mólszámokat), az elegyedési entrópia A K )Smixt = –kB NA 0 ni ln xi = –R i=1 K 0 ni ln xi (4.95) i=1 kifejezéséhez jutunk; az összanyagmennyiséggel, n-el, végigosztva a moláris elegyedési entrópia K )Sm,mixt = –R 0 xi ln xi i=1 kifejezéséhez jutunk. * Az x móltört definíció (ld. 32 pontot) szerint x = ni = Ni i i 1n i 12Ni (4.96) 338 4.722 Ideális egyatomos gázok elegyedési entrópiája* Vizsgáljuk a problémát el!ször ismét két, pl. a és b komponensre (410 ábra) A 4.10a ábra mutatja a két egykomponens" rendszert elegyedés el!tt, a 410b ábra elegyedés után. Jelöljük a teljes rendszer entrópiáját

elegyedés el!tt S1-gyel, (S1 = Sa + Sb),elegyedés után S2-vel, ekkor az elegyedési entrópia )Smixt = S2 – S1 (4.97) Írjuk fel el!ször S1-et, majd S2-t. Használjuk fel ehhez az S (432) kifejezését, melybe ln W (4.26) ill (4116b) kifejezését helyettesítjük: a Va T Sa b Vb T Sb (a) a,b Va3Va4V T Sa3Sb3)S(mixt) (b) 4.#0 ábra Az elegyedési entrópia levezetéséhez: a) elegyedés el!tt, b) elegyedés után # 5 & U S = kBN "ln N + 1% + , ! $ T ahol figyelembevesszük (ld. 482 pont, (4116a) egyenletét), hogy az egyatomos ideális esetében 5 = 5tr és, hogy 5 a részecskék rendelkezésére álló V térfogattal arányos: 3/2 #26mkBT& % V = konst. V 5=" ! h² $ (ld. (4117)) Figyelembe vesszük továbbá, hogy mivel ideális gáz elegyedésér!l van szó, elegyedéskor a T h!mérséklet nem változik. Ezzel S1 = kBNa · ln 5a Ua 5 U + T + kBNb · ln b + Tb + kB (Na + Nb) Na Nb * A tárgyalásnál figyelembevesszük, hogy az ideális gázra a

Bose-Einstein statisztika speciális, Einstein által kidolgozott változata érvényes (ld. 822pontot) 339 Figyelembevéve, hogy (4.26b) szerint 5a = AVa és 5b = BVb alakú (ahol A és B a két gáz paramétereit magukba foglaló konstansok), írhatjuk, hogy AV U BVb Ub S1 = kBNa · ln N a + a + kBNb · ln T T + T + kB (Na + Nb) a (4.97a) Az elegyedés esetünkben azt jelenti, hogy a részecskéknek az egész térfogat rendelkezésre áll, azaz 5a = A(Va+Vb) ill. 5b = B(Va+Vb) Ideális elegyr!l lévén szó, a részecskék között elegyedés után sem lép fel kölcsönhatás, a bels! energiák nem változnak meg. Tehát: S2 = kBNa · ln A(Va+Vb) Ua B(Va+Vb) Ub + + k N · ln + T + kB (Na + Nb) B b Na T Nb (4.98) Az elegyedési entrópiaváltozás tehát )Smixt = S2 – S1 = kBNa ln (Va+Vb) + kBNb ln (Va+Vb) – – kBNa ln Va – kBNb ln Vb 7 0 (4.99) Ha az elegyedés során a nyomás és (mint eddig is feltételeztük) a h!mérséklet állandó, akkor Na Nb Na+Nb = = V Va

Vb ahol V = Va + Vb , N / N , )Smixt = –kB+Na ln Na + Nb ln Nb. = * = –kBNa ln xa – kBNb ln xb (4.100) Több komponensre általánosítva )Smixt = –kB K 0 Ni ln xi (4.101) i=1 N N Bevezetve az anyagmennyiségeket, azaz az na = N a és nb = b értékeket, az NA A elegyedési entrópia gázokra érvényes kifejezései két komponens esetén )Smixt = –kBNAna ln xa – kBNAnb ln xb = = –Rna ln xa – Rnb ln xb és K komponensre általánosítva )Smixt = –R K 0 ni ln xi (4.101a) i=1 alakot öltenek. (4101a)-t az összanyagmennyiséggel osztva a moláris elegyedési entrópia 340 )Sm,mixt = –R K 0 xi ln xi (4.102) i=1 (4.96)-tal azonos kifejezéséhez jutunk 8 Összefoglalva a 4.7# és 472 pontokat: Láthatóan (4.94) és (4101) illetve (496) és (4102) kifejezések teljesen azonos alakúak. Abból, hogy a gáz és kristályos rendszerekre ugyanazon képletek érvényesek, joggal vonhatjuk le azt a kísérleti tényekkel is egyez! (bár egyáltalán

nem magától értet!d!) következtetést, hogy ezen kifejezések a reális gázok és a folyadék halmazállapotú rendszerek elegyedésére egyaránt érvényesek, azaz tetszés szerinti számú komponens elegyedése hasonló alakú kifejezésre, az elegyedési entrópia kifejezésére vezet, méghozzá függetlenül a rendszer halmazállapotától (rendezettségét!l) 4.8 KVANTUMSTATISZTIKÁK ÉS ELOSZLÁSI FÜGGVÉNYEK A 4.1–48 pontokban ha csak külön megjegyzést nem tettünk a mikrorészecskéket legalábbis elvileg megkülönböztethet!eknek vettük Ez az elvi megkülönböztethet!ség nem feltétlenül jelentette azt, hogy az egyes részecskéket valójában is megkülönböztettük. Például az egy cellába került, vagy az egy adott energianívón lév! részecskéket már nem különböztettük meg. (Emiatt jelentek meg az Ni! -ok a w nevez!jében.) Foglalkozzunk most olyan részecskerendszerekkel, amelyek elvileg sem megkülönböztethet! (azaz

megkülönböztethetetlen) részecskékb!l állnak! Az elvileg nem megkülönböztethet! részecskék esetén pl. két részecske két cella ill két energinaívó közötti felcserélése nem jelent új mikroállapotot. 8 Az elmondottak szemléltetésére közöljük a 4.11 ábrát Tekintsünk két részecske eloszlását két cellában ill energianívón A 4.##a ábrán ábrázolt esetben legyen a két részecske cseréje két cella ill két energianívó között megkülönböztethet!, azaz legyenek a részecskék "megkülönböztethet!ek": jelöljük ezért a két részecskét A ill. B-vel A 411a ábra ezen rendszer lehetséges mikroállapotait mutatja. A rendszernek 3 lehetséges makroállapota van: a második és a harmadik mikroállapot azonos makroállapotot reprezentál. 341 8 A 4.##b ábrán azt az esetet ábrázoltuk, amikor a két részecske elvileg megkülönböztethetetlen A rendszernek ekkor is 3 makroállapota van, de minden makroállapot egyenként

csak egy mikroállapottal valósítható meg. Természetesen ez egy igen egyszer" példa. “2” “1” AB A w4 2! 41 2! w41 w4 2! 42 1!1! w41 B A B “2” “1” w41 AB w41 1w44 1w43 (a) (b) 4.## ábra Megkülönböztethet! (a) és megkülönböztethetetlen (b) részecskék lehetséges makro ill. mikroállapotai Még egyszer hangsúlyoznunk kell, hogy a részecskék megkülönböztethet!ségének kérdése elvi jelleg". Nem arról van szó, hogy mi emberek a rendelkezésünkre álló eszközökkel tudunk–e különbséget tenni, hanem arról, hogy létezik–e objektíve ilyen különbség. Ha igen, akkor megkülönböztethet! részecskékkel van dolgunk, függetlenül attól, hogy meg kívánjuk–e !ket különböztetni, vagy sem. A mikrorészecskék (ld. 123 pontot és a 8 fejezetet) mindig megkülönböztethetetlenek A mikrorészecskék a kvantummechanika törvényeinek vannak alávetve. Az ilyen részecskékb!l álló rendszerekben egy adott 9p

energiájú állapothoz általában több mikrorészecske (ún. degenerált, elfajult) állapot tartozik, melyeknek azonban azonos az energiája (ld. 852 pontot) Legyen az 9p energianívóhoz tartozó degenerált állapotok száma gp , az ezen az energianívón található elvileg megkülönböztethetetlen részecskék száma pedig Np (ld. a 48 Táblázatot) Ha az elvileg megkülönböztethetetlen részecskék eloszlásának termodinamikai valószín#ségét keressük, akkor (éppen ezek megkülönböztethetetlensége miatt) nem kérdezhetjük meg, hogy hányféleképpen lehet ezeket sorrendbe állítani, azaz permutálni. A 42 pontban követett eljárást tehát eleve kizárhatjuk A konkrét statisztikai számítás lehet!sége a megkülönböztethetetlen részecskerendszer jellegét!l függ (ld. 481 ill 483 pontokat) 4.8 Táblázat 342 Megkülönböztethetetlen részecskék eloszlása degenerált energianívókon. Egy 9p energianívón gp darab degenerált állapot* lehetséges

(az 9p energianívó gp –szeresen degenerált) és ezen gp számú állapotban aktuálisan Np darab részecske található. 9: Energianívó Elfajult állapotok száma g1 az adott energianívóra) A részecskék száma az N1 adott energianívón)) ) ))2 92 9; . 9p g2 g3 . gp N2 N3 . Np Ez a "cellák" száma. A FermiDirac statisztikában ez azonos a betöltött állapotok számával A 4.#–46 pontokban a megkülönböztethet! részecskéket (a Maxwell–Boltzmann statisztikában) úgy osztottuk szét az egyes diszkrét energianívókon, hogy a különböz! E1, E2, ., Ei energianívókra N1, N2, , Ni darab részecskét helyeztünk; az egy nívóra elhelyezhet! részecskék száma, (betöltési szám) elvileg nem (csak az összrészecskeszám által) volt korlátozva. A (megkülönböztethetetlen) mikrorészecskék esetében ez csak a bozonokra érvényes; fermionokra viszont nem, ezeknél ugyanis alkalmazni kell a Pauli–elvet (ld. alább) A nem

megkülönböztethet! részecskéket két f! csoportba sorolják: – a bozonok és 8 – a fermionok 8 csoportjára. A bozonok (másképpen Bose–mikrorészecskék) olyan mikrorészecskék, amelyekb!l egy állapotban elvileg akárhány tartózkodhaté tehát a bozonokra nem érvényes az alábbiakban ismertetett Pauli elv. A bozonoknak saját impulzusmomentuh egész (0,1,2,) számú többszöröse lehet ma, spinje van, amelynek értéke csak 26 Bozonok pl. az <-részecskék, a 6-mezonok; ezen bozonokra érvényes a részecskeszám megmaradását kifejez! Nössz = konst. mellékfeltétel Bozonok a fénykvantumok (fotonok; ld. 812 pont), a rácsrezgések elemi gerjesztéseit leíró fononok, a kollektív mágneses rendszer elemi gerjesztéseit jellemz! * Az itt szerepl! állapotfogalmat majd a 8. fejezetben definiáljuk pontosan Most a mikrorészecskék állapotát leíró hullámfüggvényt értjük az "állapot" kifejezésen (err!l röviden az 1.23 pontban beszéltünk;

részletesebben ld. 83 pontot) 343 magnonok is. A fononokkal, magnonokkal a szilárdtestfizikában ismerkedünk majd meg. Ezekre a Bose–részecskékre nem érvényes az Nössz = konst mellékfeltétel Einstein a BoseEinstein statisztikát ideális gázokra is alkalmazta (ld. 482 pont); az ideális gáz részecskéit Einstein spin nélküli bozonokként kezelte, melyekre fennáll az Nössz = konst. feltétel A bozonok energia szerinti eloszlását megadó statisztikát BoseEinstein statisztikának nevezzük. A fermionok (Fermi–mikrorészecskék) olyan mikrorészecskék, amelyekb!l egy h állapotban maximum egy tartózkodhat. Ez a Pauli-elv*. A fermionok spinje ! = 26 1 egységekben csak > páratlan számú többszöröse lehet. A rájuk érvényes 2 statisztikában egy cella vagy üres, vagy egyszeresen betöltött. Fermionok pl a szilárdtestek (kollektív – vezetési) elektronjai, az ún. lyukak, (másnéven defektelektronok, ld. a Szilárdtestfizikában), a pozitronok

stb A fermionok eloszlása az ún. FermiDirac statisztikát követi A megkülönböztethetetlen részecskéj", kvantált energianívókkal rendelkez! rendszerekre érvényes statisztikákat kvantumstatisztikának nevezik. 4.81 A BoseEinstein eloszlás Didaktikai okokból induljunk ki a MaxwellBoltzmann eloszlásnál (ld. 42 pont) követett gondolatmenetb!l, de vegyük figyelembe a bozonok, mint mikrorészecskék fentebb ismertetett speciális sajátságait* : * ld. 855 pontot Az egyszer"ség kedvéért itt nem foglalkozunk most a spin következtében fellép! degeneráltsággal, amelynek eredményeképpen egy adott állapotban pl. két ellentétes spin" elektron tartózkodhat; ha ezt figyelembe vennénk, akkor a Pauli–elvet úgy kell fogalmazni, hogy cellánként maximum 2 elektron tartózkodhat és ilyenkor az elektronok száma a betöltött cellák számának kétszerese. * Megjegyezzük, hogy a 4.2 pontban a MaxwellBoltzmann eloszlás levezetésénél

feltételeztük, hogy minden 9i energiához akárhány állapot tartozhat. Ha ehelyett az egy energához tartozó állapotok számát korlátozzuk, akkor (4.23) helyett –9P/kBT NP N –9P /kBT (= e–< e ) (4.103) = e gP 5 illetve a megfelel! állapotösszeg –9P/kBT 5 = 0 gP e (A fenti kifejezésekben a gi-t szokták az adott energiájú állapotok statisztikus súlyának is nevezni.) 344 8 A bozonok egymás között megkülönböztethetetlenek. 8 Megkülönböztethetetlenek egymás között az adott, 9p energiájú bozonok gp számú degenerált állapotai, tehát az ezeket reprezentáló gp számú cella is. 8 Vannak olyan bozonok, amelyekre nem érvényes a részecskemegmaradás; mi e könyvben ezek közül csak a fotonokkal találkozunk. Más bozon részecskékre mint fentebb említettük fennáll a részecskemegmaradás. Erre az esetre példa az ideális gáz (A BoseEinstein statisztika ideális gázra való alkalmazásával a 4.82 pontban foglalkozunk) A fenti

sajátságok figyelembevétele céljából járjunk el a következ!képpen: 1 2 1 3 2 4 3 5 4 . gp 5.válaszfal 4.#2 ábra A cellák és válaszfalak adott 9p energianívón (pl 5 cella, 4 válaszfal, általában gp cella, gp–1 válaszfal) 8 A cellákat reprezentáljuk gondolatilag a cellákat elválasztó válaszfalakkal (ld. 4.12 ábrát); a gp számú cella (gp1) számú válaszfallal reprezentálható Mivel a cellák egymás között megkülönböztethetetlenek, tekintsük a válaszfalakat is egymás között megkülönböztethetetleneknek. (Ezt, mint fentebb jeleztük, figyelembe kell vennünk az alábbiakban elvégzend! permutációk során.) 8 A részecskék megkülönböztethet!ek a válaszfalaktól. 8 Azt, hogy bizonyos bozonokra nem érvényes a részecskemegmaradás, a fotonok példáján utólag (ld. (4110) fogjuk figyelembevenni Ez az eljárás lehet!vé teszi, hogy a MaxwellBoltzmann eloszlás gondolatmenetével analóg eljárásból indulhassunk ki. A

rendszer (ld. 48 Táblázatot) 91, 929p energiaszinttel, és az egyes energiaszinteken elhelyezked! N1, N2Np darab megkülönböztethetetlen részecskével és (gp –1) darab megkülönböztethetetlen válaszfallal modellezhet!. Az 9p energianívóhoz tartozó termodinamikai valószín"séget [Np + (gp –1)] elem összes olyan ismétléses permutációja adja meg, amelyekben az Np , ill. (gp –1) elem saját körében nem különböztethet! meg, de megkülönböztethet!k egymástól a részecskék és a válaszfalak: [N +(g –1)]! (4.104) wp = p p Np !(gp–1)! 345 A teljes termodinamikai valószín"séget az összes p=0,1,2,.,? energianívóra ilyen alakú valószín"ségek szorzata adja meg (az 9p nívón megvalósuló minden eloszlással minden más nívó minden eloszlásait kombinálni kell): ? (N +g -1)! w = w1(w2(w3(@@@(wp = A N p!(g p-1)! p p p=0 (4.105)* Az így kapott w értéket az adott N1, N2, ., Np betöltési számsorozathoz (eloszláshoz)

tartozó termodinamikai valószín#ségnek nevezzük. Ha ezekután, felhasználva az Nössz – 0 Np = 0 (4.106) p Eössz – 0 Np 9p = 0 (4.107) p összefüggéseket, a MaxwellBoltzmann eloszlás tárgyalásánál alkalmazotthoz hasonló Lagrange–multiplikátoros módszerrel megkeressük w maximumát és a maximumhoz tartozó eloszlási függvényt, (a részletes levezetést mell!zve) az egyensúlyi eloszlás diszkrét energiaértékekre* és a részecske megmaradásának alávetett Bose-részecskékre 1 N fBE = g p = <3B29 p p e –1 (4.#08) érvényes BoseEinstein eloszlási függvényhez jutunk, ahol (a levezetést, amely gondolatmenetében hasonló a (4.21a)–hoz vezet! levezetéshez, mell!zve): C <=–k T (4.109) B a részecskeszám állandóságának feltételezésével fellép! Lagrange–multiplikátor (C a részecske kémiai potenciálja* ) és 1 B= kBT az összenergia állandóságának figyelembevételekor fellép! Lagrange–multiplikátor. 8 A fotonok

esetében figyelembe veendõ, hogy a fotonokra nem érvényes a részecskemegmaradás (tehát a (4.106) egyenlet), azaz a részecskeszám állandóságának feltételezésével fellép! < Lagrange–multiplikátor értéke nulla * A nagy D jel azt jelenti, hogy az utána való kifejezés p=1,2.? index" tényez!k szorzata * Kvázifolytonos engergiaskála esetében a (4.108) a (4112) alaköt ölti * Ld. 122 és f!leg az 512 és 551 pontokat 346 <=0 (4110) Ennek figyelembevételével a (4.108) egyenlet a N 1 fBE = g p = 9 /k T p e p B –1 (4.###) alakot ölti, melyet (a nem megmaradó Bose–részecskék esetére érvényes) Bose Einstein–féle eloszlási függvénynek neveznek. Használatos a BoseEinstein eloszlási függvény kvázifolytonos energiaskálára értelmezett alakja is. Pl a (4108)-nek megfelel!, ilyen esetre érvényes képlet a 1 fBE(9) = 9/k T (4.##2) e B –1 kifejezés.* A (4.112) egyenlet fotonokra, figyelembevéve, hogy fotonokra 9 = hE (ld az

(19) egyenletet ill. a 811 pontot) 1 fBE(hE) = hE/k T (4.##3) e B –1 alakot ölti. * Ehhez be kell vezetnünk a Z(9) állapots"r"séget (ez kerül g helyére, ld. 811 pontot); ezzel p g242Z(9Fd9 (4.112a) ahol Z(9)d92az 9 és az 9+d9 energia közötti állapotok száma. Az N (ez kerül Np helyére) kifejezhet!, mint N 42Z(9Ff(9)d9 ahol N az 9 és az 9+d9 energiaintervallumban lév! részecskék száma. (4.112b) 347 4.82 A BoseEinstein statisztika alkalmazása ideális gázra* A 4.6 pontban az ideális gáz MaxwellBoltzmann sebességeloszlásának, valamint az ekvipartíció tételének levezetésekor a MaxwellBoltzmann–eloszlásból indultunk ki. Ezen eljárás (mint már a 42 pont bevezet!jében jeleztük) nem magától értet!d!, hiszen az ideális gáz–rendszer nem teljesíti ezen eloszlás levezetéséhez szükséges alapfeltevéseket: 8 Az ideális gáz statisztikus problémája az egyszer" szilárdtestét!l alapvet!en különbözik. Míg a

szilárdtest mindegyik atomja helyhez kötött annyiban, hogy egyensúlyi helyzete körül csak igen kis térfogatban végezhet rezgéseket, addig a gáz minden molekulájának transzlációs mozgásához az egész makroszkópikus térfogat rendelkezésére áll. Ennek az a következménye, hogy a kristály energianívóinak távolságai (4.52 pont) aránylag igen nagyok, a gázmolekulákéi viszont (ld 451 és 4.53 pontok) rendkívül kicsinyek Képzeljünk el egy ideális gázt 1 cm élhosszúságú kockába bezárva. Ekkor ha pl héliumgázt veszünk (ld 451 pont), a (transzlációs) nívók távolsága )9i 2G(10–19 eV 8·10–38 J, vagyis szobah!mérsékleten kereken 17 nagyságrenddel kisebb kBT-nél. Minthogy 300 K-en 1 cm3 térfogatban pl atmoszférikus nyomáson 2,7(1019 gázmolekula van, nyilvánvaló (ld. 453 pontot), hogy az ezen a h!mérsékleten a betölthet! energianívók (1030) száma sok nagyságrenddel nagyobb, mint a gázatomok száma, amelyek ezekre a nívókra

eloszlanak. Ebb!l következik, hogy az ideális gáz esetében az energiaeloszlásra nem lehet közvetlenül alkalmazni a 4.2 pontban használt módszert, amelynek az a feltevés képezte az alapját (ld. 42 pont bevezet! bekezdését), hogy minden gyakorlatilag tekintetbejöv! nívót elegend!en sok részecske népesít be ahhoz, hogy a nagy számok törvényét és a Stirling–formulát alkalmazzuk. 8 A másik alapvet! különbség a szilárdtesthez képest, hogy a térfogat, amely a gázmolekulák rendelkezésére áll, közös valamennyi számára. A kristálynál a helyhezkötöttség miatt két különböz! eloszlást jelentett, ha egyszer az A rácspontban ül! atomnak volt 9i, a B pontban ül!nek pedig 9j energiája, másodszor viszont fordítva az A pontban lev!nek 9j és a B pontban lev!nek 9i. A mikroállapotok megszámolásánál számításba vett energiacserék tulajdonképpen a rácshelyek között történtek, és nem atomokat cseréltünk ki egymás között. (Az

utóbbi nem adott volna újabb eloszlást, mert azonos atomok nem különböztethet!k meg egymástól). A gáznál viszont valamennyi molekula ugyanabban a térfogatban van, tehát a molekuláknak megkülönböztethetetlensége miatt az energiacsere két molekula között nem jelent új * E pontban Schay Géza gondolatmenetét követjük (Erdey-Grúz TiborSchay Géza: Elméleti Fizikai Kémia I. kötet, Tankönyvkiadó, 1962) 348 eloszlást: ha bármelyik molekula van az 9i és bármelyik másik az 9j energiaállapotban, ez csak egyetlenegy eloszlás. Az ideális gáz statisztikáját ennek a két szempontnak a figyelembevételével a BoseEinstein statisztikából kiindulva Einstein vezette le. 8 Induljunk ki a 4.81 pontban megismert BoseEinstein eloszlásfüggvény Np 1 gp = < B9p e e –1 (ld. (4108)) alakjából. Azért ebb!l az alakból, mert ideális gázokra érvényes a részecskemegmaradás, tehát < 7 0 8 Az ideális gáz molekulái megkülönböztethetetlenek

és minden állapotban tetszésszerinti a részecskék száma; ezen tény megfelel a BoseEinstein statisztika alapfeltevéseinek. 8 Ideális gázokra ugyanakkor nem teljesül az, a BoseEinstein statisztika általunk alkalmazott levezetésénél kikötött feltétel, hogy minden gyakorlatilag számbajöv! energianívót elegend!en sok részecske népesítsen be; elegend!en sok ahhoz, hogy ezekre a nagy számok törvényét és a Stirling–formulát alkalmazhassuk. 8 Avégb!l, hogy ezen problémát feloldjuk, foglaljunk össze sok, egymáshoz igen közelálló energianívót egy-egy ún. energiasávba Az energiasávok H9p szélességei legyenek tetsz!legesek, de az egész gerjesztési energiaszélességhez viszonyítva mégis elég kicsinyek ahhoz, hogy az egész energiasáv gyakorlatilag egyetlen 9p értékhez tartozónak legyen tekinthet! és sok egyéni nívót tartalmazzon; a számadatok szerint ez a két, látszólag ellentétes követelmény megfér egymással. A sávba tartozó

állapotok száma legyen gp. Ha a sávba tartozó gp-k száma elég nagy, akkor azoknak a gázmolekuláknak Np száma, amelyeknek az energiája a sávba esik (annak ellenére, hogy az egyes egyéni nívók benépesítése igen gyér), elég nagy az eljárás alkalmazására, bár még ekkor is fennáll, hogy Np (sáv) << gp (sáv). Ekkor (4108) analógiájára 1 Np(az energiasávban) = gp (az energiasávban) < B9p e e –1 (4.114a) Ha a gáz nyomása kicsiny (ideális gázról lévén szó, nem is engedhetünk meg nagy nyomásokat), azaz a molekulák száma nem túl nagy, és a h!mérséklet nem túl alacsony (vagyis a molekulák nem zsúfolódnak túlnyomó többségükben a legalsó energiasávba), akkor a mondottak szerint Np(sáv)/gp(sáv) kis szám, vagyis (4.114a) 349 nevez!jében a jobboldalon az 1 elhanyagolható az exponenciális mellett.* Így tehát gyakorlatilag teljesen kielégít! közelítés, ha a (4.114a) helyett Np (az energiasávban) I< –B9i =e e

gp (az energiasávban) (4.##4) kifejezést írjuk. Másfel!l tekintettel a sáv keskeny voltára, a sávot alkotó nívók mindegyikét átlagban egyformán benépesítettnek vehetjük, ami azt jelenti, hogy egyegy különálló nívóra Np-nek gp–ed része (amit az egyes különálló nívókra jellemz! átlagmolekula-számnak tekintünk) jut. Ha most az energia–sávbeosztást – miután azzal, hogy a Stirling-féle közelítés használatára módot nyújtott, célját kimerítette – elejtjük, vagyis az egyes különálló nívókat jellemz! átlag molekulaszámokra térünk át, akkor nem kell mást tennünk, mint (4.0)-ben Np-t az egyes nívók átlagos betöltési számának* tekinteni; jelöljük N (sáv) ) = <Np> -al. Ekkor: ezt p gp (sáv) <Np>= e–<2e–B9i (4.115) ami szemmel láthatóan analóg a 4.2 pontban követett gondolatmenet alapján levezetett (4.#9) képlettel; lényeges különbség azonban, hogy most az Np-k már nem igen nagy egész,

hanem az átlagolásnak megfelel!en kicsiny törtszámok. Behelyettesítve (e–<) (4.21a) szerinti értékét és megtartva az 5 állapotösszeg (4.21) definícióját a (423) Boltzmann–féle exponenciális eloszláshoz jutunk Np = N –B9p e 5 N 1 ahol (mint tudjuk) 5 = 0 e–B9p és B = k T . B i=1 Eredményünk tehát igazolja azon eljárásunkat, hogy az ideális gázra a 4.6 pontban a Boltzmann–eloszlást alkalmaztuk 8 Bár a legvalószín"bb elsozlás esetén ideális gázokra alkalmazhatónak bizonyult a Maxwell-Boltzmann eloszlás és 5 valamint <2és B2definiciója sem változott, a w ill. W termodinamikai valószín"ség ideális gázra már eltér a szilárdtest modellünkre meghatározott (4.25) kifejezést!l (– mint arra már a (426) képlet során utaltunk) A w * Ha ugyanis N /g kis szám, akkor a jobboldal is az, tehát a nevez!ben lév! szám nagy kell, hogy p p legyen, ami mellett az 1 elhanyagolható! * Szem el!tt kell tartanunk, hogy a

statisztikus betöltési számok mindig igen sok megfigyelés átlagértékeit jelentik, míg egyetlen megfigyelés számára minden mikroállapot egyformán valószín". 350 ill. W meghatározásánál ugyanis a (4105) kifejezésb!l kell kiindulnunk; minthogy azonban a sávokat úgy választottuk, hogy Ni és gi is nagy számok legyenek, a (4.105) kifejezésnek mind a számlálójában, mind a nevez!jében elhanyagolhatjuk az 1-est és (Ni és gi elég nagy számok lévén) alkalmazhatjuk a Stirling formulát. Írjuk fel (4105)t a Stirling formulával mindjárt wmax = W-re (tehát a (4108) eloszlásra): ln W = 0 (Np + gp) ln (Np + gp) – 0 Np ln Np – 0 gp ln gp Átrendezve: ln W = 0 Np ln (Np + gp) – 0 Np ln Np + 0 gp ln (Np + gp) – 0 gp ln gp Kiemelve és átlakítva. ln W = 0 Np ln (N + gp) (Np + gp) + 0 gp ln p = gp Np N & g & # # = 0 Np ln "1 + p % + 0 gp ln "1 + p% gp $ N ! ! p$ (4.116a) közbens! eredményre jutunk. N Mivel g p kis szám, a

második tagban alkalmazhatjuk a ln (1+x)x, ha x JJ 1 p közelítést; ezzel a második tag 0Np = N alakra egyszer"södik. A (4.108) egyenletet átrendezve g e<2+ B9i = Np + 1 p adódik, melyet logaritmizálva a (4.116a) egyenlet els! tagjába helyettesíthetünk Így a (4.116a) egyenlet ln W = 0 Np (< + B 9p) + N alakot nyeri. Behelyettesítve az < esetünkben változatlan (421) kifejezését és beírva 1 B= kBT értékét a # 5 & U ln W = N " ln N + 1% + ! $ kBT (4.##6b) végeredményhez jutunk, melyet (4.26) egyenletként már el!re bocsátottunk A szilárdtest modellünkre érvényes (4.25) kifejezéshez képesti eltéréseket (ln 5 helyett 5 ln N és egy N többlettag) kvalitative könnyen értelmezhetjük, ha felírjuk és értelmezzük az állapotösszeg kvantumszámokkal (ld. (437)) kifejezett értékét egy 351 egyatomos ideális gázra; ez természetesen egyenérték" az 5 (4.21)-ben az energiákkal felírt kifejezésével. 8 A 4.21

pontban már utaltunk rá, hogy a 5 (421) alatti kifejezésében az Ei összenergia járulékokra bontható. Egy egyatomos ideális gáz esetén Ei = 9tr, melyre nézve ismerjük annak kvantumszámokra felírt alakját, a (4.37)-es kifejezést: h2 #n2 k2 2 & " % 9tr = 8mr !a2 + b2 + c2$ (ld.(437)) Az 5= ? –BEi 0 e (ld. (421)) i=1 egyenletbe Ei helyére 9tr-t helyettesítve: 5 = 5 tr = 0 n , h2 #n2 k2 2& / 0 0 exp +* – 8m kBT "!a2 + b2 + c2%$ .r k h kifejezéshez jutunk. Mivel a kifejezés n, k ill -t!l függ! exponenciális tényez!i egymástól függetlenek, és a transzlációs energianívók nagy s"r"sége miatt közel egyenl!ek és az összegzés helyett integrálhatunk. Pl a n kvantumszámtól függ! exponenciális tényez!t ezért így írhatjuk: ? 1/2 h2 #26mkT& & L exp #"– % n2% dn = " 2 K k T a 8m ! h2 $ $ ! r B ·a 0 Ugyanilyen alakú a k és -t!l függ! tényez! is. Figyelembevéve, hogy abc=V,

felírhatjuk a 5 tr kvantumszámoktól függ! alakját 3/2 #26mkBT& % 5 tr = " ! h2 $ ) V = konst. · V (4.##7) Láthatóan az 5 tr ~ V-vel, tehát a gázrészecskék rendelkezésére álló térfogattal. Mivel 5-ra megtartottuk a szilárdtestmodellre kapott (4.21) kifejezést és e V modellben minden részecskére térfogat jut, a Maxwell-Boltzmann eloszlást gázra N alkalmazva, a (4.21) szerint 5 az N-ed részére csökken: ez az oka annak, hogy (4.116b) egyenletben 5/N került A (4116b) egyenletben a m"veleteket elvégezve Nln 5–N(lnN–1) kifejezést kapunk, ahol a –N(lnN–1) a Stirling formula szerint N!-al való osztásnak felel meg: ezzel vesszük figyelembe, hogy az N gázatom nem megkülönböztethet!. 352 4.83 A Fermi–Dirac eloszlás ideális Fermi elektrongázban A Pauli–elv miatt (a spin degeneráltság figyelembevétele nélkül) az 9p energianívón lev! Np részecske mindegyike a gp lehetséges közül más-más állapotba kerül.* Az 9p

energianívóhoz tartozó wp termodinamikai valószín"séget tehát úgy számíthatjuk ki, hogy meghatározzuk hányféleképpen osztható fel a gp számú állapot az Np betöltött és a (gp–Np) üres állapot (cella) között: wp = gp! Np!(gp–Np)! (4.118) A nevez! azt fejezi ki, hogy az Np számú betöltött állapot egymás közötti ill. a (gp–Np) üres állapot egymásközti cseréje nem jelent új mikroeloszlást. Az összes p=0,1,2,.,? energianívóra a termodinamikai valószín"séget a (4116) kifejezés p-szerinti szorzata (az 9p nívón megvalósuló minden eloszlással minden más nívó eloszlásait kombinálva) w = w1(w2(@@@(wp = A p gp! Np!(gp–Np)! (4.119)* adja meg. A termodinamikai valószín"ség W maximumát adott Eössz=áll. és Nössz=áll mellékfeltételek mellett a Lagrange–multiplikátoros módszerrel megkeresve, diszkrét energiaértékekre ehhez 1 N fFD = g p = e<2eB9p + 1 p (4.#20) eloszlási függvény tartozik. Az

< és B multiplikátorokat meghatározva C <=–k T B (4.120a) ahol C az egy részecskére (!) jutó kémiai potenciál, amit az 5.51 pont végén, az (5.128) egyenletben C-vel jelöltünk Mint kés!bbiekben belátjuk (ld az 551 pontban), fermionokra (4.120b)* 2C2429 F B= 1 kBT (4.120c) * A N ill. g értékének az E és N mellékfeltételekkel is össze kell férnie! p p össz össz * A nagy D jelentésére nézve ld. a (4105)-höz f"zött lábjegyzetet! * Az 9 Fermi-energia az a legmagasabb energianívó, amelyik T=0 K-en még teljesen be van töltve, F a felette lev!k pedig üresek. T > 0 K-en az eloszlás 9F-re szimmetrikus (ld 484 pontot): az 9F felett ugyanannyi állapot van betöltve, mint amennyi alatta üres. Mint azt az 551 pontban megmutatjuk, az 9F Fermi energia ugyanolyan tulajdonságokkal rendelkezik, mint a kémiai potenciál, azaz egyensúlyi rendszerben minden alrendszerre egyenl!, azonos érték. 353 A (4.120)–ban a (4112) analógiájára

(ld a (4112)-höz f"zött lábjegyzetet) kvázifolytonos energiaskálára áttérve a (4.120) egyenletet 1 fFD(9) = M9I9 ) / k T e F B +1 (4.#2#) alakba írhatjuk. A (4."2") kifejezést Fermi–Dirac féle egyensúlyi eloszlási függvénynek nevezzük Az f(9) eloszlási függvénnyel az elektronrendszer összenergiája ? E=2L K Z(9) f(9) 92d9 o ahol Z(9) az állapotok s"r"sége, azaz az 9, 9+d9 energiasávba es! rendelkezésre álló energiaállapotok száma. (A 2-es szorzóval azt vesszük figyelembe, hogy az elektronok lehetséges spin–értékei miatt egy adott energiaállapotban 2 elektron helyezkedhet el.) A Z(9)·f(9) d9 azt adja meg, hogy az 9, 9+d9 energiasáv állapotaiban mekkora az elektronokkal betöltött állapotok száma. A betöltött állapotok összelektronszámát tehát ? N=2L K Z(9) f(9) d9 o kifejezés adja meg.* 4.84 Az eloszlási függvények összehasonlítása 8 Diszkutáljuk el!ször a (4.121) Fermi–Dirac 1 fFD(9) = (9I9 )

/ k T e F B +1 (ld. (4121)) eloszlási függvényt. Az 9F Fermi-energia értéke különböz! fémekre 2–6 eV (szobah!mérséklet körül közelít!en h!fokfüggetlen; ld Szilárdtestfizika) energiaértékek közé esik. Látható, hogy T=0 esetében a fFD(9) értéke attól függ, hogy 92milyen nagyságú 9F-hez képest. 9<9F esetén T N 0 esetében a nevez!ben lév! exponenciális tag kitev!je MI2?F-hez tart, maga az exponenciális tag pedig eI?2 = 0-hoz, így a nevez! 1– hez tart. Ha 92> 9F , T N 0 esetében a nevez!ben lév! exponenciális tag kitev!je és az exponenciális tag M32?F-hez, az fFD(9) értéke pedig 0-hoz tart. Így 8 * Az el!z! oldali lábjegyzetet kissé pontosíthatjuk. Az ún intrinsic félvezet!kben a Z(9) függvény értéke a Fermi-energia környékén nulla, ezért ilyen anyagokban T=0 K-en nincsenek elektronok a Fermi energia környékén. 354 RP 1, ha 9 < 9F fFD(9) = Q OP 0, ha 92> 9F ha T N 0 (4.122) 8 Ha T > 0, akkor mivel

egyfel!l a h!mozgásból származó gerjesztési energia kBT, másfel!l fermiont csak üres állapotba lehet gerjeszteni (hiszen egy állapotban csak egy fermion lehet*), nagy valószín"séggel csak az 9F Fermi–energia kBT környezetében lev! állapotok gerjeszt!dnek, és a bel!lük kikerül! részecskék a Fermi–energia fölötti üres állapotokba kerülnek, azaz az 9F–re szimmetrikus eloszlást nyerünk. f = Bose-Einstein (T4áll.) Np gp Maxwell-Boltzman (T4áll.) T1 1 T40K Fermi-Dirac T2ST1 9f 9, energia 4.#3 ábra A FermiDirac, a BoseEinstein és MaxwellBoltzmann eloszlási függvények kvalitatív menete az 9 energia függvényében T = 0 K és T > 0 K esetén 8 Fentiek jól láthatók a 4.13 kvalitatív ábrán isA 413 ábrán együtt ábrázoltuk a MaxwellBoltzmann: N –B9 fMB = g p = e–< e p p (ld. (4103)) 1 N fBE = g p = B9 p e p–1 (ld. (4111)) BoseEinstein: és a Fermi-Dirac: N 1 fFD = g p = (ld. (4118)) p e< eB9p + 1 eloszlási

függvényeket mindegyiket az állapotok degeneráltságának figyelembevételével. * A spin degeneráltsággal itt nem számolunk! (Lásd a 4.81 pont bevezet!jéhez tartozó lábjegyzetet!) 355 8 A MaxwellBoltzmann eloszlásnál a betöltési számok növekv! energiával exponenciálisan csökkennek. Azonos degeneráció esetén fennáll, hogy minél nagyobb egy szint energiája, annál kevésbé népesül be. Az eloszlás meredekségét az 5 állapotösszeg határozza meg. Minél nagyobb az 5 értéke, annál több eshet!sége van egy részecskének arra, hogy több kvantummal gerjesztett energiára tegyen szert. Az 5 akkor nagy, ha az energiaszintek s"r"n követik egymást, er!sen degeneráltak, a h!mérséklet pedig nagy. 8 A BoseEinstein és a FermiDirac eloszlás Np << gp esetében átmegy a MaxwellBoltzmann eloszlásba (MaxwellBoltzmann határeset), hiszen ilyenkor a (–1) illetve (+1) a nevez!ben elhanyagolható. Ez az eset valósul meg pl. a

BoseEinstein statisztika esetében az ideális gáz esetében (ld. 482 pont) és a félvezet! anyagok vezetési és valenciasávjában, ahol nagy állapots"r"ség mellett (normál h!mérséklet mellett) kevés az ezen sávokban lév! elektronok ill. lyukak száma 356 5. A M!SZAKI ÉS KÉMIAI TERMODINAMIKA ALAPJAI A termodinamika sokrészecskerendszerek fenomenológikus (nem mikrofizikai) leírásával foglalkozik. Tárgyalásunk során mi csak az ún klasszikus termodinamikával (továbbiakban röviden: termodinamikával) foglalkozunk* ! A (klasszikus) termodinamika tárgya. A klasszikus termodinamika tárgyalása során mi csak egyensúlyi (vagy az egyensúlyt minden határon túl megközelít!) állapotokkal és csak egyensúlyi állapotok sorozatán átmen! folyamatokkal fogunk foglalkozni. Mivel az állapotjelz!k és állapotfüggvények értékei a rendszert alkotó részecskék mikrofizikai tulajdonságaiból adott feltételek mellett kialakult id!független

átlagértékek (ld. 4 fejezetet), a termodinamika csak az ilyen statisztikai átlagértékek kialakulásához elegend! számú részecskét tartalmazó rendszerek (sokrészecskerendszerek), alrendszerek leírásával foglalkozik. A termodinamika képes megadni egy egyensúlyi rendszer jellemzéséhez szükséges és elégséges állapotjelz!k számát (fázisszabály) és képes anyagszerkezett!l és anyagi min!ségt!l független összefüggések felállítására az állapotjelz!k, illetve állapotfüggvények és azok megváltozása között. Képes (az I. f!tétel alapján) meghatározni a folyamatok, kémiai, illetve fázisváltozási reakciók energia, h! és munkamérlegét. Az állapotváltozások során a rendszer állapota spontán, önként (küls! munkavégzés és h!csere nélkül) vagy küls! munkavégzés ill. h!csere hatására megváltozik Ha egy rendszer állapota önként nem változik meg, akkor (hacsak az állapotváltozást pl. szigetelés vagy más (ún.

kinetikai-) gát nem akadályozza) a rendszer egyensúlyi állapotban van. (Az állapot akkor sem változik, ha a rendszerrel pl folyamatosan közlünk és el is vonunk energiát, tehát, ha a rendszer ún. stacionárius állapotban van; a stacionárius állapotokkal azonban mi nem foglalkozunk.) Az állapotváltozás mindig folyamat. A termodinamikai állapotváltozások a valóságban sohasem ideális (ún egyensúlyi, kvázisztatikus), hanem mindig ún reális (valódi) folyamatok, mindig véges sebességûek és fenntartásukhoz termodinamikai hajtóerõ szükséges: pl. hõcseréhez hõmérsékletkülönbség, térfogati munkához nyo- * Az ezen bevezet!ben használt fogalmakat már az ".22 pontban azokat el!rebocsátva is definiáltuk. 357 máskülönbség, kémiai vagy anyagátviteli munkához koncentráció- (pontosabban kémiai potenciál-) különbség. A valódi folyamatok addig tartanak, amíg ezek a különbségek ki nem egyenlítõdnek, amíg be nem áll a

rendszer makroszkópikus egyensúlya, amikoris a rendszerben eltünnek a "T hõmérséklet-, a "P nyomás-, illetve a "#i kémiai potenciál különbségek, azaz amíg a rendszerben a hõmérséklet, a nyomás, ill. a koncentráció sem a hely-, sem az idõ függvényében* nem változik. Másszóval: ha a rendszer egyensúlyi állapotban van, azaz amikor az intenzív paraméterek az alrendszerekre (ill. a rendszerre és a környezetére) azonosak, és így "T, "P, "#i nullával egyenl!ek, (makroszkópikus) folyamatok nem mennek végbe. Mivel a termodinamikai függvények csak egyensúlyi állapotban vannak definiálva ugyanakkor a (valódi) folyamatok fentiek szerint nem egyensúlyi állapotok sorozatán át folynak le* , az állapotváltozási folyamatok számításához a termodinamika bevezeti a kváziegyensúlyi folyamatok fogalmát. Csökkentsük gondolatban a valódi folyamathoz (pl. h!cseréhez) szükséges hajtóer!t ( pl a környezet és a

rendszer közötti "T = Tkörnyezet – Trh!mérsékletkülönbséget ) határértékben nullára; ezzel fenntartjuk a folyamat véghezviteléhez szükséges hajtóer!t, de azt tetszés szerinti kis értékre csökkentve, tetszés szerint megközelíthetjük a rendszer egyensúlyi állapotát (hiszen ebben az esetben "T $ 0, ill. Tkörnyezet = TR) Az ilyen kváziegyensúlyi folyamat olyan úton "folyik le", amely egyensúlyi állapotok sorozata. Másszóval a kváziegyensúlyi folyamat jó közelítéssel azonosnak vehet! egy (a valóságban nem létez!) egyensúlyi állapotváltozással tehát, egyensúlyi állapotok sorozatával. A kváziegyensúlyi folyamatok (ld 5"4 pontot) egyensúlyi adatokból számíthatóak. A termodinamika képes meghatározni a folyamatok hajtóer!it (az ún. termodinamikai er!ket), a folyamat végbemenetelének lehet!ségét, és a spontán folyamatok irányát, (de e folyamatok sebességét már nem: a hajtóer!kkel szemben

fellép! ellenállásokat, azok nagyságát (az ún. kinetikai gátokat) nem képes leírni) Tehát kiszámíthatjuk, hogy egy folyamat az adott körülmények között elvileg végbemehet-e, vagy a körülmények milyen megváltozásával kényszeríthet! ki. E célra a II. f!tétel alapján olyan állapotfüggvényeket definiálunk, melyek megváltozásából a spontán reakciók irányára, illetve egyensúlyára lehet következtetni. Ilyen elszigetelt rendszerben az entrópia. (ahol a spontán reakció irányát az entrópia növekedése, az egyensúlyt maximuma adja: "S % 0) és ilyen nyilt rendszerekben a szabadentalpia (ahol a spontán folyamatok irányát G csökkenése, az egyensúlyt minimuma adja: "G & 0). Amennyiben valamely konkrét esetben egy feltételezett folyamat "S, illetve "G el!jele alapján nem lehetséges, úgy az adott körülmények között annak megvalósítására minden kísérlet eleve sikertelenségre van ítélve. Kiszámíthatjuk

a * Az id!beli állandóság általában együttjár a hely függvényében való állandósággal: a térbeli inhomogenitás kiegyenlít!dése id!beli változással is jár. A térbeli inhomogenitást azonban küls! er!tér (pl. gravitáció er!tér) is fenttarthatja: ekkor az id!ben állandó is lehet * Hiszen, mint fentebb említettük, valóságos folyamatokhoz a rendszerben fennálló h!mérséklet-, nyomás- (stb.) különbségekre van szükség 358 magára hagyott rendszer egyensúlyának paramétereit, pl. megadható az egyensúlyi nyomás, illetve h!mérséklet. ! A termodinamika nem foglalkozik a rendszerek szerkezetével, az állapotfüggvények mikrofizikai paraméterekt!l való függésével: a rendszereket a kísérletileg közvetlenül vagy közvetve mért makroszkópikus állapotfüggvényekkel jellemzi. Nem foglalkozik az állapotváltozások, folyamatok sebességével és mechanizmusával sem; csak a spontán folyamatok irányát, termodinamikai lehet!ségét

vizsgálja. A termodinamika teljesít!képessége azt mutatja, hogy az a tény, hogy a termodinamika elvonatkoztat a rendszer szerkezetét!l, a folyamatok mechanizmusától stb., a nyilvánvaló hátrányok mellett a termodinamika dönt!en fontos el!nye is: a termodinamika összefüggései függetlenek a szerkezeti és mechanizmus ismeretekt!l, ilyen adatok nem szükségesek a termodinamika alkalmazásához. Ennek következtében egyaránt alkalmazhatók a kémiai reakciók, az er!gépek, a biológiai, a csillagászat stb. területén is. Mint a fentiekb!l látható, a múlt században megalapozott klasszikus termodinamika csak a termodinamikai rendszerek egyensúlyi állapotait ill. a kváziegyensúlyi (régi szóhasználattal reverzibilis) folyamatait tárgyalja, érvényességi köre csak ezekre terjed ki, és így nem képes a valódi (irreverzibilis) folyamatok id!beli lefolyásának, sebességének értelmezésére; a termodinamikából nem, vagy alig kapunk információt a

rendszerek szerkezetére, a folyamatok mechanizmusára. Ez a termodinamika, mint diszciplina árnyoldala. ! Onsager ("93") kezdeményezésére Onsager, Prigogine, de Groot, Meixner, Gyarmati István, Oláh Károly és mások tudományos eredményei alapján az utóbbi évtizedekben létrejött a valódi folyamatok széles körére (így a termikus-, elektromos-, mágneses-, transzport folyamatokra és kémiai reakciókra egyaránt) érvényes ún. irreverzibilis termodinamika. E munkájukért Onsager ("968-ban) és Prigogine ("977ben) Nobel–díjban részesültek Az irreverzibilis termodinamika abból a meggondolásból indul ki, hogy a folyamatok sebessége a folyamatra jellemz! ún. termodinamikai er!vel* els! közelítésben lineárisan arányos (ez az ún. Onsager-féle lineáris törvény) A termodinamikai er! (a folyamatokat hajtó er!) a nem egyensúlyi rendszerekben fennálló h!mérséklet-, nyomás-, kémiai potenciálkülönbségekkel arányos és ezek

rendszerbeli kiegyenlít!dése felé hat. Az irreverzibilis termodinamika módszere magasszint# matematikai apparátust használ és központi mennyisége a valódi folyamatokban mindig növekv! entrópia id!egységre es! növekedése (az ún. entrópia-produkció, vagy másszóval a valódi folyamatok entrópia termelésének sebessége). * A termodinamikai er!k fogalma nem azonos a Newton-féle er!vel; ezért ezeket szokták általánosított er!knek is nevezni. 359 Bár az irreverzibilis termodinamika igen fontos új, ma is fejl!d!ben lév! tudományág, de, els!sorban a hozzá szükséges nagy matematikai apparátus miatt tárgyalásunk szintjén nem ismertethet!. Az érdekl!d!k számára ajánlani tudjuk Erdey– Grúz Tibor alapfokú összefoglalóját (Erdey–Grúz Tibor: A fizikai–kémia alapjai, M#szaki Könyvkiadó, "972. IX/E fejezetét) ill Gyarmati István kis monográfiáját (Gyarmati: Nemegyensúlyi termodinamika, M#szaki Könyvkiadó, "976.) !

Miután megismertük a termodinamika tárgyát, összefoglalhatjuk a termodinamika alapvet! feladatait. A termodinamika feladata, hogy ") Meghatározza egy adott egyensúlyi rendszer jellemzéséhez szükséges és elégséges állapotjelz!ket. 2) Anyagszerkezett!l és anyagmin!ségt!l független általános kapcsolatot teremtsen a különböz! állapotjelz!k és állapotfüggvények (termodinamikai függvények) és azok megváltozása között, ezúton arra is lehet!séget teremtve, hogy a közvetlenül mérhet! makroszkopikus paraméterekb!l a közvetlenül nem mérhet! (de a leírás szempontjából célszer#en bevezetend!) makroszkopikus paraméterek kiszámíthatók legyenek.* A közvetlenül mérhet! makroszkópikus paraméterek, pl. a h!mérséklet, a nyomás, a (moláris) térfogat, a s#r#ség és a koncentráció (pl. móltörtben) 3) Ezen összefüggések alapján a f!tételekb!l kiindulva meghatározza: 3.") A magukra hagyott rendszerek egyensúlyának

feltételeit (Ennek során az ún. nulladik és II f!tételre támaszkodik (Pl állandó P és T mellett egyensúlyban a "G szabadentalpiaváltozás nulla ("G = 0). E feltétellel konkrét esetre megadható az egyensúlyi nyomás és h!mérséklet.) 3.2) A magukra hagyott nem egyensúlyi rendszerekben lefolyó folyamatok irányát (Ennek során a tapasztalatok általánosításával és absztrakciójával felállított nulladik és II f!tételre támaszkodik: kimondja, hogy a valódi spontán folyamatok mindig a h!mérséklet, nyomás stb. kiegyen– lít!dése irányába, az elszigetelt rendszerben a rendszer növekv! S entrópiájának irányába (entrópia maximum elve, dS > 0), nyitott rendszerben (állandó P és T mellett) pedig a G szabadentalpia csökkenése irányába (dG< 0) tartanak.) 4.) A m"szaki termodinamika azonos elméleti alapokra és módszerekre támaszkodik, de speciálisan a termodinamikai rendszerek energiaváltozásaival, energiacseréjével

foglalkozik abból a célból, hogy megállapítsa, hogy a rendszerek milyen módokon és hatásfokkal képesek munkát végezni. * Bár sok ilyen összefüggést bemutatunk, ezek szisztematikus tárgyalásával eltérnénk gondolatmenetünkt!l. Az összefüggések egy részét az F5 Függelékben ismertetjük 360 ! Végül tekintsünk bele a termodinamika módszereibe. ! A klasszikus termodinamika a kísérleti tapasztalatokat (általánosítva és absztrahálva) négy (a 0., I, II, III) f!tételben összegzi Ezekb!l, mint axiómákból néhány kísérleti adat, az állapotegyenletek és pl. a h!kapacitások h!mérsékletfüggésének felhasználásával minden összefüggése levezethet!. ! A termodinamika a rendszereket egyensúlyi állapotjelz!kkel és állapottfüggvényekkel jellemzi. Ezen termodinamikai függvények és megváltozásaik között anyagi min!ség- és szerkezet-független összefüggéseket vezet le. A III f!tétel segítségével bizonyos

rendszerekre az entrópia abszolút értéke is meghatározható; a többi állapotfüggvény esetében csak a megváltozások számíthatóak. ! A termodinamika a kváziegyensúlyi folyamat absztrakciójának bevezetésével képes egyensúlyi adatokból bármely folyamatra (tehát bármely valódi, reális folyamatra is) kiszámítani az állapotfüggvények adott vég- és kezd!pont közötti ("X=Xvég – Xkezd) megváltozását. ! A termodinamika bizonyos állapotfüggvények (a hozzájuk konjugált egyes változók állandóan tartása melletti) megváltozásából képes az adott feltételek mellett lehetséges folyamatok, reakciók végbementeli lehet!ségének megitélésére, ezek lefolyási irányának és egyensúlyi paramétereinek meghatározására. (Pl a szabadentalpia függvény "GT,P & 0 összefüggés alapján állandó h!mérséklet és nyomás melletti folyamatok egyensúlyának egyenl!ség és a spontán folyamatok, reakciók irányának

csökkenés meghatározására. ! Az állapotváltozást jellemz! állapotfüggvény változások (állapotfüggvény jellegüknél fogva) a valódi folyamatokra azonosak az azt helyettesít! kváziegyensúlyi (egyensúlyi) folyamatokra számított változásokkal. Például egy reális folyamat "S entrópiaváltozása azonos az azt helyettesít! kváziegyensúlyi folyamat "S entrópiaváltozásával. ! A termodinamikát jól kiegészíti, a termodinamika megértését el!segíti a statisztikus fizika (4. fejezet), hiszen e diszciplina éppen azokat a feladatokat tudja megoldani, amelyekre a termodinamika nem vállalkozott: mikrofizikai adatokból meg tudja határozni az állapotfüggvények értékeit, a statisztikai törvények alapján értelmezni és származtatni tudja a II. f!tételt, azaz a spontán valódi folyamatok egyirányúságát. ! Ez a fejezet egy alapfokú bevezet! a termodinamikába. A tárgyalás során ezt mint annyiszor, most is hangsúlyoznunk kell

nem törekedhetünk, ezért nem is törekszünk a termodinamika tudományának átfogó és aprólékosan részletekbe men! tárgyalására, hiszen az egyrészt nyilvánvalóan meghaladná tankönyvünk terjedelmét és célját, másrészt egy gyakorló mérnök számára ez egyébként is általában 36" szükségtelen. Mondandónkat úgy építettük fel, hogy egzakt, egyértelm#en körülhatárolt módon, szisztematikusan, de egyúttal a leggyorsabb úton eljuthassunk a gyakorlati szempontból általunk legfontosabbnak ítélt összefüggésekig. Gondolatmenetünkben építünk a középiskolai "h!tanban" megismert összefüggésekre és fogalmakra. 5." A TERMODINAMIKAI RENDSZEREK ÁLLAPOTÁNAK, ÁLLAPOTVÁLTOZÁSÁNAK JELLEMZÉSE Sokrészecskerendszerekre a rendszert jellemz! mikrofizikai mennyiségek értéke kiátlagolódik. Az átlagértékek egyértelm# kapcsolatba hozhatók közvetlenül mérhet! makroparaméterekkel (pl. T,P) és így a rendszerek

makroparaméterekkel jellemezhet!ek Egy rendszer adott állapotán a rendszer egyértelm# jellemzéséhez szükséges és elégséges (ld. 525 pont) makroparaméterek adott összességét értjük Egy rendszer egyensúlyi állapotában a mikrofizikai mennyiségek átlagértéke, azaz a makroparaméterek id!ben állandóak; a rendszer egyensúlyi állapotán olyan makroállapotot értünk, amely makroszkópikusan id!ben állandó. A rendszer egyensúlyi állapotában a makroparaméterek a rendszer állapotát jellemz! állapotjelz!k. Állapotjelz!ként általában közvetlenül mérhet!, egyensúlyi makroparamétert választunk; ilyenek a T h!mérséklet, a P nyomás, a koncentráció (tipikusan az ni anyagmennyiséggel vagy az xi móltörttel jellemezve). Elméleti célra sokszor célszer# a rendszerek állapotjelz!iül (sokszor közvetlenül meg nem határozható) extenzív mennyiségeket is választani; ilyen pl. a V, ni (i = "K), U illetve a V, ni (i = "K), S állapotjelz!

csoport, ahol a i=" K a komponensek számát jelzi. Nem-egyensúlyi makroszkópikus rendszerekben is mérhet! nyomás, h!mérséklet stb., tehát ezekben is megmérhet! a makroparaméterek értéke, de az az id!ben változik; a makroparaméter ilyenkor nem állapotjelz!. Minden, a rendszer termodinamikai állapotától függ! makroszkopikus mennyiség az állapotjelz!k egyértelm# függvénye. Ezeket a függvényeket állapotfüggvényeknek nevezzük. Az állapotfüggvények általában nem mérhet!ek közvetlenül, azonban a termodinamika által kidolgozott összefüggések révén közvetlenül mérhet! mennyiségekb!l kiszámíthatóak. Tipikus állapotfüggvények az U bels! energia [J] (ld.255 pontot), a H entalpia [J] (ld52"), az S entrópia [J/K] (ld 43 ill 532 pont), a G szabadentalpia és az A szabadenergia (ld. 55" pontot) Az adott rendszer állapotjelz!i által kifeszített koordinátarendszert állapottérnek nevezzük. A legegyszer#bb állapottér a (P, V,

T) állapottér A legtöbb egyszer# termodinamikai rendszer általánosan a (P, V, T, n", n2, n3.nK) állapottérrel 362 jellemezhet!, ahol az n", n2, ni.nK az egyes komponensek anyagmennyisége; az anyagmennyiség helyett a rendszert a komponensek részecskeszámával, móltörtjével vagy koncentrációjával* is jellemezhetjük. Bár az állapottér paramétereiként célszer# közvetlenül mérhet! állapotjelz!ket használni, bizonyos problémák leírásánál mint fentebb említettük vehetjük ezek helyett az állapotjelz!k vagy állapotjelz!knek tekintett állapotfüggvények olyan halmazát, amely az adott rendszert egyértelm#en jellemzi. Egy adott rendszer egyensúlyi állapotának egyértelm# jellemzéséhez szükséges és elégséges paramétereinek számát a Gibbs-féle fázistörvény (ld 525 pontot) határozza meg. Az adott rendszerre (pl. ideális gázra) megfelel!en választott állapottér (egyensúlyi!) állapotjelz!it összekapcsoló egyenletet

állapotegyenletnek nevezzük. Adott rendszerre a rá felírt állapotegyenletet a rendszer (egyensúlyi) állapotjelz!i (az állapotegyenlet pontosságán belül) mindig kielégítik. Fordítva ez nem igaz: az állapottér nem minden pontja felel meg adott rendszer esetén egy egyensúlyi állapotnak. Állapotváltozáskor az állapottérben az adott állapotváltozásra jellemz! megtett pályát az állapotváltozás útjának nevezzük. * A termodinamikában a koncentrációt a többkomponens# rendszerek esetében legtöbbször az ún. móltörttel (jele xi, i=".K) fejezzük ki A móltört (32 pont) N n xi ( K i (+( K i ) (ni* ) (Ni) i=" i=" mindig egynél kisebb szám, melyre fennáll, hogy )xi = ". Az xi,"00 értéket szokták mól-százaléknak N is nevezni. Az ni [mol] az anyagmennyiség jele; ni = i Szokásos koncentráció egység még a NA mol ci . 30 mólkoncentráció -dm / 363 5."" Extenzív állapotjelz#k Az egyszer$

termodinamikai rendszer definíciója. Fajlagos mennyiségek Homogén, illetve heterogén rendszerek, fázisok. Az egyszer#ség kedvéért tekintsünk egy olyan elszigetelt sokrészecskerendszert, amely két, önmagában is igen sok részecskét tartalmazó alrendszerb!l áll! Az ilyen rendszer V térfogata makroszkópikus paraméter, amely nyilvánvalóan az alrendszerek, két alrendszer esetén ezek V" és V2 térfogatának összege. Egy termodinamikai rendszerben általában többfajta részecske található: különböz! elemek atomjai, molekulák, ionok, elektronok, stb. A rendszerben az egymástól függetlenül* létez! anyagfajtákat a rendszer komponenseinek nevezzük. Ha a rendszer K komponensb!l áll, a rendszert alkotó különböz! komponensek N",N2.NiNK részecskeszámai az alrendszerekben található mikrorészecskék számának összegei. Két alrendszer esetén: N" = N"" + N"2 N2 = N2" + N22 . . . NK = NK" + NK2 ahol az els!

index a komponenst, a második az alrendszert jelzi. A részecskeszámok helyett a rendszer komponenseinek anyagmennyiségével (mólszámával), ni (i=",2,.,K) is jellemezhet! A továbbiakban mi általában az ni–vel való leírást alkalmazzuk. Ugyancsak használható a komponensek móltörtje is (ld 32 pont) Ugyanez mondható el a rendszer energiájáról, entrópiájáról is. Azokat az állapotjelz!ket, amelyek értéke egy összetett rendszer egészére a rendszert alkotó alrendszerekre jellemz! értékek összege, azaz amelyek additívek, extenzív állapotjelz!knek nevezzük. Nagyon fontos tapasztalat, hogy igen sok valódi rendszer viselkedése egyensúlyi állapotában egyértelm"en jellemezhet! a V,N",N2,.,NK, és U (5."a) * A komponensek száma nem mindig egyezik meg a rendszerben lév! összes anyagfajta számával. Egy vizes NaCl oldat kétkomponens# annak ellenére, hogy benne Na+, Cl- és H2O fordul el!. A Na+ és Clionok száma ugyanis a NaCl =

Na+ + Cl- reakcióegyenlet miatt nem független! 364 illetve a* V,N",N2,.,NK és S (5."b) állapotjelz!kkel, ahol U a rendszer bels! energiája (ld. 255 pontot), S pedig az entrópia (ld. 43 pontot) Azokat a fizikai rendszereket, amelyek egyértelm#en jellemezhet!ek a V", N", N2 ,.,NK és U (vagy S) extenzív állapotjelz!kkel, egyszer" termodinamikai rendszereknek (rövidítve ETR–nek) nevezzük.* A termodinamika általános volta itt is megnyilvánul: az U(S,V,N,.) függvény függvényalakjának konkrét ismerete nem szükséges ahhoz, hogy az egyes termodinamikai mennyiségek között általános kapcsolatokat írhassunk fel. Ha az alrendszerek (pl. az (") és a (2) alrendszer) egymással egyensúlyban vannak, akkor V",N"",N2",.,NK",U", illetve V2,N"2,N22,,NK2,U2 értéke id!ben is állandó. Ellenkez! esetben a rendszerben olyan folyamatok indulnak meg, amelyek az egyensúlyi állapot beállására vezetnek.

Az extenzív mennyiségekbõl fajlagos vagy moláris mennyiségeket származtathatunk. A fajlagos mennyiségek két extenzív állapotjelz! hányadosából adódnak A fajlagos mennyiségekre nem áll fent az extenzív mennyiségekre jellemz! additivitás; tehát a fajlagos ill. moláris mennyiségek nem extenzívek Ilyen fajlagos mennyiség pl a fajlagos térfogat, a móltérfogat, a s#r#ség, a részecskes#r#ség stb. A moláris mennyiségek " mol anyagra vonatkoznak; jelük Xm, ahol a kis m alsó index utal a mennyiség moláris jellegére. Moláris mennyiségek pl az V Vm = [m3 /mol]), Um [J/mol], Gm [J/mol], Sm [J/K.mol] stb (szögletes zárójelbe a n mennyiségek mértékegységeit tettük). Az X extenzív mennyiségekkel való kapcsolatot X U az Xm = , pl. Um = stb típusú kifejezések adják meg n n A fajlagos mennyiségek igen fontosak a heterogén termodinamikai rendszerek leírásában.Segítségükkel definiálható a fázis fogalma: * A továbbiakban látni fogjuk,

hogy az U és S mennyiségek közül bármelyik használható. * Másszóval: az egyszer# termodinamikai rendszer egyensúlyi állapotának jellemzésére a felsorolt (vagy a helyettük bevezetett) állapotjelz!k halmaza szükséges és elegend!. (Ld 522 pontot) Az egyszer# termodinamikai rendszerek tehát csak töltetlen, mágneses momentummal nem rendelkez! részecskéket tartalmazhatnak, makroszkopikus tartományban homogénnek kell lenniük és olyan méret#eknek, hogy a rájuk ható felületi hatások is elhanyagolhatóak legyenek (tehát pl. a felületi feszültség miatti energiaváltozásokat is elhanyagolhatjuk). Az is szükséges továbbá, hogy rájuk küls! er!terek (elektromos, mágneses vagy gravitációs) ne hassanak. Vannak bonyolultabb rendszerek, ahol további extenzív állapotjelz!k (pl. a q elektromos töltés, az anyag A felülete stb) bevezetése is szükséges. Némely esetben célszer" az itt említettek helyett más extenzív állapotfüggvények vagy az

intenzív állapotjelz!k (ld. 5"2 pontot) bevezetése (ld az 5"2 pont erre vonatkozó megjegyzését) 365 A termodinamikai rendszer olyan, egymással egyensúlyban álló alrendszereit, amelyeknek legalább egy fajlagos mennyisége a két alrendszer határán (a határoló felületre, az ún. fázishatárokra mer!legesen) ugrásszer"en változik, a rendszer fázisainak nevezzük A legegyszer#bb példa erre pl. az egyensúlyban lév! jég és víz fázis, ahol a határfelületen a s#r#ség változik ugrásszer#en. Külön fázist képeznek általában a különböz! anyagmódosulatok (pl. 12(32(4 Fe stb) is Homogén rendszerek azok a rendszerek, amelyek tulajdonságai helyt!l függetlenek. Homogén rendszerekben csak egy fázis van Homogén rendszer például a folyékony halmazállapotú víz. Bizonyos feltételek mellett a rendszerek homogenitása megsz#nhet (a rendszer heterogénné válik) és ugyanannak a komponensnek különböz! fázisai jöhetnek létre.

Például télen a tavak felületén egy szilárd halmazállapotú fázis: jég jelenik meg Azok a folyamatok, amelyekben állandó kémiai összetétel mellett új fázisok jelennek meg, vagy t#nnek el, illetve a meglev! fázishatárok megváltoznak, a fázisátalakulások. Fázisátalakulás pl az olvadás, a párolgás, de a ferromágneses ill ferroelektromos fázisok megjelenése is A fázisátalakulásokat két csoportra osztjuk: els!fajúnak nevezzük azokat a fázisátalakulásokat, amikor a rendszer úgy vesz fel ill. ad le h!t, hogy a fázisátalakulás során a rendszer h!mérséklete nem változik (ilyen pl. az olvadás, a párolgás, a szublimáció, kristályosodás, módosulatok egymásba alakulása, stb.) A h!mérséklet megváltozása nélkül felvett (leadott) h! az állapotváltozásra jellemz! és sokszor látens h!nek nevezzük; a "látens" jelz!vel arra utalunk, hogy a h!csere ez esetben nem jár h!mérsékletváltozással. Az összes többi

fázisátalakulás másodfajú. 5."2 Intenzív állapotjelz#k A termodinamika 0 f#tétele Az eddigiek során, az 5."" pontban felsoroltakon kív#l másfajta, (ún intenzív) makroszkópikus állapotjelz!kkel is találkoztunk, nevezetesen a P nyomással és a T h!mérséklettel és a #i kémiai potenciállal. Bár ezek a mennyiségek egy absztrakt, elméleti termodinamikában a fentiek szerint nem szükségesek egy egyszer# termodinamikai rendszer leírásához, a gyakorlatban igen gyakran használjuk !ket, mivel jelent!sen leegyszer#sítik a termodinamikai egyensúlyi állapotok leírását. ! Ha egy két alrendszerb!l álló zárt rendszer alrendszerei között egy energiaáramlást lehet!vé tev! fal van és a rendszer egyensúlyban van, a két alrendszer h!mérséklete megegyezik: T" = T2, s!t ezek megegyeznek az általuk alkotott teljes rendszer Te egyensúlyi h!mérsékletével is (T" = T2 = Te). Ez axiómaként tekinthet!, hiszen éppen ezt használtuk

fel a h!mérséklet definiálása során (ld. a 32 pontot) Az állítás származtatható a termodinamika II. f!tételéb!l is: a dS = 0 egyensúlyi feltételb!l és az egyensúlyi h!mérséklet termodinamikai definíciójából (ld. (53") egyensúlyban lév! rendszerekre az állítás következik. 366 ! Hasonlóképpen, ha a két alrendszer között egy elmozdítható fal (dugattyú) található, akkor egyensúlyban ennek a falnak mindkét oldalára a részecskeütközések következtében átlagosan ugyanakkora er! hat, hiszen ellenkez! esetben a fal nem lehetne egyensúlyban. Vagyis egyensúlyban a két alrendszer nyomásainak is meg kell egyezniük, és ezek egyúttal megegyeznek a teljes rendszerbeli egyensúlyi nyomással is, tehát P" = P2 = Pe. ! Ha pedig pl. két, egy (vagy több komponensre) a részecskeáramlást lehet!vé tev! szigeteléssel elválasztott alrendszerben egy (vagy több) adott komponens koncentrációja eltér, közöttük anyagáram indul

meg, (az ered! anyagáram iránya a nagyobb koncentrációjú alrendszerb!l a kisebb koncentrációjú felé irányul), mely az egyensúly elérésekor kiegyenlít!dik. Egzakt leírásban a koncentrációk helyett általában a #i kémiai potenciálokat kell bevezetni: lehetséges olyan rendszer, ahol az alrendszerek közös komponenseinek koncentrációi az egyes alrendszerekben azonosak, mégis van anyagáram.* Az anyagárams#r#ség általános esetben ugyanis nem a koncentráció gradienssel, hanem a kémiai potenciál gradiensével van kapcsolatban: a részecskék makroszkópikus ered! árams#r#sége arra irányul, ahol kisebb azok kémiai potenciálja. A makroszkópikus folyamat az összes olyan komponens kémiai potenciáljának kiegyenlít!déséig folyik, amelyikre a szigetelés átjárható, azaz amíg minden ilyen komponensre nem állnak fenn a #"" = #"2 = #"3 . #2" = #22 = #23 . 5 5 5 #K" = # K2 = # K3 . egyenl!ségek. A #i az i-dik komponens

kémiai potenciálja (Az els! index az i=",2,.,K-dik komponensre, a második (a fázisra) vonatkozik) A kémiai potenciálok kiegyenlít!dése tehát az alrendszerek között (az aktuális komponensekre) az anyagmennyiségek transzportjával jár, és ennek során változik az alrendszerek bels! energiája is. A kémiai potenciál egy lehetséges definícióját ezért a dU = ) #idni i = ",2.K (5.2a) i alapján a 8<U; #i = 7 : 6<ni9V,S,n j=i egyenlet adja, ahol V a teljes rendszer térfogata. i = ",2.K (5.2b) * Például, ha a nem közös komponensekkel (pl. a különböz! oldószerekkel) a kölcsönhatások az egyes alrendszerekben különböz!ek. 367 Valamely egy-, vagy többkomponens# rendszer adott komponensének #i kémiai potenciálja* az a fizikai mennyiség, amely állandó V és S mellett megadja a rendszer bels! energiájának megváltozását, ha az illet! komponens anyagmennyisége dni-vel megváltozik (miközben a többi komponens

anyagmennyisége állandó marad). A kémiai potenciál SI egysége: J/mol, tehát a kémiai potenciált a továbbiakban moláris mennyiségként* definiáljuk. Ha ett!l eltérünk, akkor arra mindig utalunk ! Összefoglalva tehát azt mondhatjuk, hogy Azokat az állapotjelz!ket, amelyek értéke egy egyensúlyban lév! összetett rendszer minden alrendszerében azonos kell, hogy legyen (feltételezve, hogy a rendszerben az alrendszerek közötti szigetelés a megfelel! kiegyenlít!dést lehet!vé teszi), intenzív állapotjelz!knek nevezzük. Ilyen intenzív állapotjelz!k pl. a T, a P és a #i (i = ",2K) kémiai potenciálok. Az intenzív állapotjelz!k nem additívak* A fenti definícióban két nagyon fontos kitétel van. Ezek közül az els! az, hogy a rendszer egyensúlyban van. Amennyiben a vizsgált rendszer nemegyensúlyi állapotban van, akkor az intenzív állapotjelz!k értéke helyr!l helyre különbözhet, s!t az is el!fordulhat, hogy ezek egyáltalán nincsenek

értelmezve! Amennyiben a rendszer alrendszerei elég nagyok (elég sok részecskét tartalmaznak) ahhoz, hogy a statisztikus ingadozások elhanyagolhatóak legyenek, és ezek az alrendszerek lokálisan az egyensúlyhoz közeli állapotban vannak, úgy az intenzív állapotjelz!k minden alrendszerben értelmezhet!ek, de az egész nemegyensúlyi rendszerre nem adhatóak meg egy értékkel, csak eloszlásukkal. Ez az eset pl egy f#tött szobában, ahol a h!mérséklet a hely függvényében változik: a f#t!test közelében magasabb, az ablakoknál alacsonyabb. Ha pedig ezen feltételek valamelyike nem teljesül, vagyis az alrendszerek vagy túl kicsik, vagy pedig távol vannak az egyensúlyi állapottól, akkor az intenzív állapotjelz!k nem értelmezhet!ek. Például egy darab molekulának a "h!mérsékletér!l" nem beszélhetünk, és hasonlóképpen nem beszélhetünk h!mérsékletr!l egy azonos nagyságú és irányú sebességgel mozgó részecskékb!l álló

részecskesugár esetén sem. * Ld. az "22 pontot, részletesebben pedig az 522 pontot, és az (5"02) definíciót is A kémiai potenciálokat minden egyes rendszerben (alrendszerben, fázisban), minden komponensre egy 8 <U ; #i (i=",2.K) adatsorral kell megadni Fizika könyvekben elterjedtebb a #i = 7 : 6<Ni9V,S,N j=i részecskeszámra vonatkozó definíció. Mi itt és a továbbiakban általában a kémiai, fizikai kémiai igényeknek jobban megfelel!, anyagmennyiségre vonatkozó moláris definíciót használjuk. Kivételt képez a >F Fermi energia (5."28) definiciója * Ha pl. az egyik szoba h!mérséklete T és a másiké T > T , akkor a két szobát összenyitva az " 2 " egybenyitott helyiség h!mérséklete nem T" + T2. 368 Ugyancsak fontos feltétel az, hogy az alrendszerek közötti szigetelés átjárható legyen az intenzív állapotjelz!nek megfelel! fizikai mennyiség transzportja* számára. Ellenkez! esetben az

intenzív állapotjelz!k az egyes alrendszerekben nem feltétlenül azonos érték#ek. Így pl a h!mérsékletek kiegyenlít!dése csak akkor mehet végbe, ha a szigetelés a bels! energia áramlását lehet!vé teszi, hasonlóképpen a nyomás kiegyenlít!dése csak a mechanikai kölcsönhatásokat lehet!vé tev! szigetelés (pl. egy elmozdulásra képes dugattyú, membrán stb), a komponens-koncentrációk kiegyenlít!dése pedig csak a megfelel! komponenst(-eket) (esetleg szelektíven) átenged! fal, membrán esetében mehet végbe. Ha az alrendszerek közötti szigetelést jellegét megváltoztatjuk, akkor a rendszer állapota nem-egyensúlyivá válhat. Legyen pl egy, a h!t jól vezet! és pillanatnyilag rögzített dugattyúval elválasztott edény két felében különböz! h!mérséklet# és nyomású gáz! Ha a rendszert magára hagyjuk, akkor a két térfélben lev! gázok h!mérséklete kiegyenlít!dik és beáll egy termikus egyensúlyi állapot; az alrendszerek nyomása

ugyanakkor nem tud kiegyenlít!dni: a két alrendszer nincs mechanikai egyensúlyban. Ha a dugattyú rögzítését feloldjuk, ez az egyensúlyi állapot megsz#nik és hosszabb-rövidebb id! múlva egy új egyensúlyi állapot alakul ki, amelyben már nem csak a h!mérsékletek, de a nyomások is egyenl!ek lesznek. Az új egyensúlyi h!mérsékletek ugyanakkor esetleg már mások lesznek, mint a dugattyú rögzített állapotában voltak. Szeretnénk még egyszer hangsúlyozni, hogy az extenzív állapotjelz!k megadása egyértelm#en meghatározza a termodinamikai rendszerek egyensúlyi állapotát, ezért az intenzív állapotjelz!k bevezetésére szigorúan elméleti szempontból nincs szükség. (Az összes intenzív állapotjelz! kifejezhet! ugyanis az extenzív állapotjelz!k parciális deriváltjaival, ld. 522 pont) A termodinamika tanulmányozása során azonban a gyakorlatban sok mindent sokkal egyszer#bben érthetünk meg, illetve számíthatunk ki az intenzív állapotjelz!k

segítségével, mint ha csupán az extenzív mennyiségeket használnánk. Így pl. az intenzív állapotjelz!kkel kifejezett egyensúlyi feltételeket szubjektíve is jobban érezzük az extenzív állapotjelz!kkel kifejezett egyensúlyi feltételeknél. Éppen ezért a P,T, #i-kkel (ill. a nem egyszer# termodinamikai rendszernél további intenzív állapotjelz!kkel, pl. a ? elektromos potenciál, 4 felületi feszültség stb) kifejezett egyensúlyi feltételeket természetes egyensúlyi feltételeknek nevezzük. Azt, hogy a termodinamikai egyensúly szükséges feltétele az alábbi * állapotjelz! jele T P #i megfelel! fizikai U p n anyagmennyiség mennyiség (bels! energia) (impulzus) Megjegyzés: Egy adott fizikai mennyiség transzportjának árams#r#ségét a 3.9 pontban definiáltuk 369 T" = T2 = T3 = . (5.3a) P" = P2 = P3 = . (5.3b) #i" = #i2 = #i3 = . . . . (5.3c) (i = ",2.K) egyenletek teljesülése, a termodinamika nulladik f!tételének

nevezzük. (Az (5.3a,b) egyenlet indexei és az (53c) második indexei az ",2,3 fázisra (alrendszerre) vonatkoznak). 5."3 Az ideális, illetve reális gáz állapotegyenletei Az el!z! pontban említettük, hogy a konkrét számításokhoz szükséges az állapotjelz!k közötti konkrét kapcsolatot kifejez! függvényalak ismerete. Egyszer#bb rendszereknél (pl gázok, egyszer# folyadékok) ez általában az állapotegyenlet, amely három intenzív állapotjelz! függvénykapcsolatát írja le konkrét rendszer egyensúlyi állapotára. ! Az ideális gáz állapotegyenlete n mol anyagmennyiséget, ill. N részecskét tartalmazó gázra a PV = NkBT = N N k T = n RT NA A B (5.4a) ill. " mol gázra a PVm = NAkBT = RT (5.4b) egyenlet, mely egyúttal az ideális gázt definiáló egyenlet (ld. még a 32 pontot) is Az (5.4) függvénykapcsolat egy P, V, T független változó hármassal kifeszített koordinátarendszerben (állapottérben) egyensúlyi

állapotfelületekkel ábrázolható (5" ábra). 370 5." ábra Ideális gáz f(P,V,T) állapotterek adott tartományának (PV)T izoterm, (PT)V izoszter és (TV)P izobár állapotfelületei. Az (5.4) egyenlet szerint az ideális gáz leírására két független változó szükséges, a harmadik ezekt!l függ. Az 5" ábrán ábrázolt térbeli állapotfelületnek, a koordinátasíkokkal párhuzamos metszetei külön nevet kaptak Így a (P,V)T metszeteket izotermáknak, a (T,V)P metszeteket izobároknak, végül a (P,T)V-t izosztéráknak, vagy izochor metszeteknek nevezzük. A P,V,T azon függvénykapcsolatait, amelyek h!szigetelt (DQ=0) gázrendszerre érvényesek, adiabatáknak nevezzük. A zárójelek mellett feltüntetett alsó indexek az állandóan tartott (izo-) paramétert jelölik. Az izoterm, izobár stb. állapotváltozásokról ld az 524 pontot ! Az ideális gázra fennáll, hogy U bels! energiája csak a rendszer T h!mérsékletének függvénye, azaz U

(ideális gáz) = U(T) (dU)T = 0 , ("U)T = 0 (5.5a)* (5.5b)* A (5.5b) egyenleteket az " N " " U = fSF N kBT = fSF 2 N NA kBT = fSF 2 n RT 2 A (ld.(479)) alapján egyszer#en beláthatjuk. * Ebb!l a számunkra egy kés!bb fontos, csak az ideális gázra érvényes 8<U; = 0 6<V9T (5.5c) egyenlet is következik. Az (55) egyenletek nyitott folyamatokra (ld 5"4 pontot), tehát nemcsak körfolyamatokra is érvényesek. 37" ! A reális gázokra csak anyagi min!ségt!l függ! állapotegyenlet írható fel; jelenleg több mint "50-féle ilyen állapotegyenletet ismertet az irodalom, ezek túlnyomó többsége empirikus. A legismertebb, de nem túlságosan pontos a van der Waals által "87"-ben javasolt egyenlet, amely " mol gázra: a; 8 7P + 2 :( Vm–b) = RT Vm9 6 (5.6)* Az egyenlet kvalitatíve egyszer#en indokolható: a reális gázok molekulái nem tekinthet!ek pontszer#nek; a molekulák kiterjedése miatt a mozgásuk

szempontjából számításba vehet! térfogat tehát kisebb Vm-nél, mondjuk (Vm–b). A b állandó van der "6@r3 Waals szerint b = 3 NA tehát a gömbalakúnak vett molekulák össztérfogatának RT négyszerese.* Ha csak ezt a korrekciót vennénk figyelembe, a nyomás P = Vm–b lenne. A nyomás azonban a reális gázoknál a molekulák között fellép!, a részecskes#r#séggel arányosan növekv! pár- kölcsönhatás, miatt ennél kisebb. E 8 a; kölcsönhatást van der Waals egy 7– 2 : taggal* vette figyelembe, ahol ‘a’ egy 6 Vm9 arányossági tényez!: P= RT a (Vm–b) V2m azaz (P + a 2 ) (Vm–b) = RT Vm Az 5." táblázat néhány reális gáz a,b állandóit tartalmazza A van der Waals egyenlet pontatlansága ellenére tájékozódási célra igen hasznos, mert az egyensúly körül folyadékállapotra is alkalmazható. * n mol gáz esetén az (5.6) helyett az állapotegyenlet alakja: 2 8P + n a2 ; (V – nb) = n RT 6 V9 (5.6a) * Az ütközési

hatáskereszmetszetnél figyelembe veend! sugár 2r (ld. a 35pontot) * Ha a gázrészecskék között kölcsönhatás van (ett!l a 3.3" pontban eltekintettünk), akkor a fal közvetlen közelében a fal felé mozgó részecskékre ható kölcsönhatából fakadó er! egyoldalú, csökkenti e részecskék sebességét, ezáltal impulzusát és így a falra ható nyomást. Az egy részecskére ható N " kölcsönhatás egyenesen arányos az részecskes#r#séggel (tehát A ). Mivel a fal felé tartó részecskék V V " " száma is A (ld.33"pontot), a kölcsönhatásból származó nyomáscsökkenés A 2 V V 372 5." táblázat Különböz! anyagok van der Waals állandói (ld (56) képlet) Név Ammónia Argon Széndioxid Széndiszulfid Szénmonoxid Széntetraklorid Klór Helium Hidrogén Neon Nitrogénmonoxid Nitrogén Oxigén Kéndioxid Víz Képlet NH3 Ar CO2 CS2 CO CCl4 Cl2 He H2 Ne NO N2 O2 SO2 H2O a Pa· m6 ·"03 mol2 422 "35,5 366

""25 "47 2000 634 3,46 24,5 2" "46 "37 "38 686 554 b m3 ·"0–6 mol 37," 32,0 42,86 72,6 39,5 "28," 54,2 23,8 26,5 "6,7 28,9 38,7 3",86 56,8 30,5 5."4 Állapotváltozások, mint folyamatok Állapotfüggvények (" "X) megváltozásának számítása kváziegyensúlyi folyamatokkal. Ha az egyensúlyi rendszert a megfelel!en választott állapottér valamely tetsz!leges (") egyensúlyi pontjából egy tetsz!leges (2) egyensúlyi pontba visszük, akkor megváltoztatjuk a rendszer állapotát: állapotváltozás történik. Állapotváltozást csak állapotváltozási folyamat(-ok) (termodinamikai folyamat(ok)) eredményezhetnek. Ennek során (a feltételekt!l függ!en) a rendszer és környezete (vagy két alrendszer) között (el!jeles) munkavégzés (W, DW) és/vagy h!csere (Q, DQ) és/vagy anyagmennyiség transzport ("n, Bn) kell, hogy történjen. A W, DW, Q, DQ és az anyagmennyiség

megváltozása, el!jeles mennyiségek. Az el!jelre vonatkozó megállapodás a következ!: pozitív a rendszerrel közölt h!, a rendszeren végzett munka, a rendszer anyagmennyiség-tartalmát növel! anyagtranszport; negatív a rendszer által leadott h!, a rendszer által végzett munka és a rendszer anyagmennyiségét csökkent! anyagtranszport. A munkavégzés a h!csere, az anyagtranszport útfügg! fizikai mennyiségek (útfüggvények). Ez azt jelenti, hogy a W, DW, Q, DQ illetve a "n, Bn értéke (és el!jele) nemcsak a kezdeti és végállapot, hanem az (állapottérbeli) út függvénye. 373 Pl. eltér! a kváziegyensúlyi térfogati munka értéke a (P",T",V") és (P2,T2,V2) pontok között izoterm illetve adiabatikus, majd izochor folyamat esetében, de eltér! a térfogati munka, ha reális, illetve kváziegyensúlyi (egyensúlyi) úton (folyamatban) végezzük (ld. alább, ld az 53 ábrát és ld az 53" pontot) Az útfüggvények tehát nem

állapotfüggvények, megváltozásuk nem fejezhet! ki a végállapot és a kezdeti állapot valamilyen különbségével; emiatt a DW elemi munka és a DQ elemi h!csere felírásában a D jel (a ‘d’ helyett) azt jelzi, hogy e függvények elemi megváltozása nem teljes differenciál (ld. 5"5 pontot) ! Az állapotváltozás megváltoztatja az állapotfüggvények értékét, de az állapotfüggvények infinitezimális megváltozása dX teljes differenciál független az úttól. ! Valódi (reális) termodinamikai folyamat (tehát a reális állapotváltozás is) csak a folyamatot létrehozó termodinamikai hajtóer!re jellemz! intenzív makroparaméterek véges különbségének hatására zajlik le. Például térfogati munkavégzéshez, ld. 236 pontot (pl a súrlódási és dugattyú gyorsítási munka miatt) " a rendszer Pe = P egyensúlyi nyomása és a Pext küls! nyomás között véges különbségnek kell lennie. (Emlékeztet!ül, ld 236 pont, a térfogati

munka képletében általános esetben mindig a küls! nyomás szerepel: DWtérf = –Pext dV.) Hasonlóképpen h! közléshez véges "T = Text–T h!mérsékletkülönbség, részecske transzporthoz véges "#i kémiai potenciálkülönbség szükséges. Reális, valódi folyamatok, állapotváltozások mindig csak véges "T, "P, "#i stb. különbségek hatására zajlanak le ! Kváziegyensúlyi állapotváltozás (folyamat). Ha azonban "T, "P, "#i nem nulla, hanem tetsz!legesen kicsiny, akkor a folyamatok (ha lassan is) lezajlanak. Mivel a kicsinél mindig van még nullától eltér! még kisebb, a folyamat jellemz!je, hogy " "T $ 0, Text $ Te = T = TR "P $(0, Pext $ Pe = P = PR (5.7b) "#i($(0, #i(ext) $ #i (5.7c) " (5.7a) Mivel a Text-tel tetszés szerint megközelíthetjük T-t stb., az ilyen folyamatok a rendszer egyensúlyi intenzív állapotjelz!ivel (T = TR-el ill. P = PR-el) is leírhatóak; az ilyen

folyamatokat külön névvel illetjük: kváziegyensúlyi állapotváltozásoknak, folyamatoknak (s!t sokszor pongyola szóhasználattal "egyensúlyi állapotváltozásoknak") nevezzük !ket. A fentiekben és kés!bb is, az e alsó indexszel a 374 rendszer kváziegyensúlyi (egyensúlyi) nyomására, h!mérsékletére utaltunk.* Az olyan környezetet, amely a rendszerrel azonos (vagy attól csak infinitezimálisan eltér!) h!mérséklet# és a h!csere során h!mérséklete (nagy h!kapacitása miatt) állandó marad, h!tartálynak nevezzük. #. Példa A kváziegyensúlyi térfogati munka (58) Írjuk fel az 5.2 ábrán ábrázolt folyamatban a küls! (ext-tel jelzett) nyomás rendszeren végzett munkáját: Wtérf = –Pext · A·(x2–x") = –Pext · A·"x = –Pext·"V (5.8a) Ha Pext nem állandó, akkor D Pext dV Wtérf = – C (5.8b) A kifejezés infinitezimális alakja DWtérf = –Pext dV (5.8c) 5.2 ábra A térfogati munka levezetéséhez Az A

felület# dugattyú x" kezdeti helyzetb!l az x2 véghelyzetbe mozdul, miközben a Pext küls! nyomás a PR rendszer nyomás ellenében a rendszeren munkát végez. Figyeljünk fel a negatív el!jelre: ha a küls! er! a rendszeren végez munkát, akkor "V < 0 ("x < 0), azaz a térfogatváltozás negatív. A rendszeren végzett munka megállapodás szerint pozitív kell, hogy legyen, ezért a kifejezés elé negatív el!jelet kell írni! A "xA = "V a térfogati munkavégzés során bekövetkez! "V térfogatváltozás. Ha a küls! és a rendszer közötti (Pext – P = "P) nyomáskülönbséget tetszés szerinti kicsinyre választjuk, akkor Pext tart P–hez és ilyenkor a Wtérf kifejezésébe a rendszer P állapotjelz!- * Az e indexet mindig kitesszük, ha az egyensúlyi állapotra vagy a kváziegyensúlyi folyamatra félreértések elkerülése végett utalnunk kell. 375 je, írható; ezzel eleget tettünk a kváziegyensúlyi folyamat

esetünkre el!írt (5.7b) kritériumának; így a munkavégzés kváziegyensúlyi kifejezéséhez jutunk: D PdV Wtérf = – C (5.8d) g ahol az integrál az állapottérben kijelölt g görbe menti vonalintegrál; a Wtérf útfüggvény; Infinitezimális alakban: DWtérf = –PdV (5.8e) A DWtérf a differenciális térfogatváltozáshoz tartozó elemi térfogati munka jele, és sohasem állítható el! a vég- és kezdeti állapot különbségéb!l: a térfogati munka nem konzervatív! 2. Példa A kváziegyensúlyi h!csere A h!csere (melegítés, h#tés) kváziegyensúlyi lefolytatása céljából h!tartályok sorozatát használjuk, melyek Text h!mérséklete a h!csere folyamán végig közel egyenl! (E) a rendszer (melegítés, h#tés közben folytonosan változó) pillanatnyi, aktuális TR=T h!mérsékletével. Ez azt jelenti, hogy a kváziegyensúlyi h!csere során folytonosan biztosítanunk kell, hogy Text E T legyen! Vagyis egy (képzeletbeli, számításokhoz szükséges

fiktiv) kváziegyensúlyi h!csere folyamatban, P=állandó mellett (DQ)e = cP mdT (5.9a) ill. (m-t és cP-t h!fokfüggetlennek véve) T" (Q)e = mcP D C dT = mcP (T2 – T") T2 (5.9b) ahol a folyamat során mindig fennáll, hogy T=Text. ! Az állapotfüggvények állapotváltozások során történ! megváltozása (állapotfüggvény jellegük miatt, ld. 5"5 pontot) csak a vég- és kezdeti állapot függvénye ("X=Xvég – Xkezdet). A "X értéke tehát útfüggetlen kell, hogy legyen A (Xvég – Xkezdet) megváltozás csak folyamatok (h!csere, munka) eredménye lehet, a "X értékének kiszámításához tehát ki kell számítani az (") $ (2) állapotváltozási folyamathoz szükséges útfügg! munkát és/vagy h!cserét. 376 Ennek során láthatóan három problémát kell megoldanunk: a) a cél eléréséhez szükséges folyamatok számításait valamilyen állapottérbeli út mentén kell elvégezni, az ehhez szükséges

függvények (pl. ? = ? (P,T,V)) azonban csak egyensúlyi állapotokban állnak rendelkezésünkre; b) a reálisan lefolyó folyamatok azonban nem egyensúlyi pontok sorozatán át folynak le: azokhoz véges "T, "P, "#i különbségek kellenek. A problémát az 53 ábrán érzékeltettük c) Sokszor (ld pl 532 vagy az 5.5 pontokat) azt is szükséges tudnunk, hogy mekkora egy állapotfüggvény megváltozása egy reális folyamatban. 5.3 ábra Reális izoterm expanzió (lépcs!s a–görbe), kompresszió (lépcs!s b–görbe); ugyanez fiktív kváziegyensúlyi folyamatban (c–görbék). Az (a) ill. (b) görbén a lépcs!k a reális folyamathoz szükséges véges nyomásváltozásokhoz tartoznak, természetesen tetszésszerinti finomításuk a (c) görbét közelíti. (Reális folyamatot szabatosan nem lehet grafikusan ábrázolni, hiszen pl. az állapottérben nem lehet Pext értékeit bejelölni. Az ábra kizárólag didaktikai célokat szolgál.) Mindhárom

problémát megoldhatjuk, ha : A számítást egy fiktív, képzeletbeli úton, kváziegyensúlyi folyamatban, egyensúlyi állapotok sorozatán át végezzük. mert A kváziegyensúlyi folyamatban kapott "X (dX) állapotfüggvény változás (adott vég- és kezdeti állapot esetén) azonos bármely más (pl. tetszés szerinti valódi reális) uton, folyamatban bekövetkez! állapotfüggvényváltozással, hiszen az állapotfüggvények megváltozása útfüggetlen (ld. 3 Példát) 377 3. Példa A 4 fejezetb!l (43") is ismert (de az 532 pontban err!l még részletesebben beszélünk), hogy az entrópia változás $DQ dS ! # T & " %e (5."0a) ( ( definíciószer#en a kváziegyensúlyi h!csere és a h!cseréhez tartozó Te = TR = T egyensúlyi h!mérséklet függvénye, ahol TR a rendszer egyensúlyi h!mérsékletére utal. Számítsuk ki (S értékét egy h!közlési folyamatra el!ször kváziegyensúlyi folyamatban. Használjuk fel a 2 Példa

gondolatmenetét! Mivel (DQ)e = TdSe és (DQ)e számítását (5.9) -ben elvégeztük TdSe = dT (DQ)e = cPm T T T2 T2 (S = cPm * ) dlnT = cPm ln T" T" (5."0b) (5."0c) Azonos vég- és kezdeti állapot között bármely folyamat entrópiaváltozása ugyanakkora, hiszen az S állapotfüggvény. Ha (S értékét fenti módon, kváziegyensúlyi folyamatra kiszámoltuk, ez a (S érték bármely (azonos vég és kezdeti állapot között lefolyó reális folyamatra is azonos lenne). Ez a gondolatmenet minden állapotfüggvényre érvényes és értelemszer#en átvihet!. + Az állapotváltozásokat külínbíz! módokon csoportosíthatjuk. Megkülönböztethetünk: + Körfolyamatokat ill. nyitott* folyamatokat Körfolyamatban a rendszert egy adott kezd!pontból valamilyen úton ismét a kezd!pontba visszük. Másszóval: körfolyamatnak az olyan folyamatokat nevezzük; melyeknél a rendszer mindenkori állapotát ábrázoló pont az állapottérben zárt görbét

ír le. Nyitott folyamatok azok, amelyek nem körfolyamatok (ilyen pl. egy izoterm expanzió). + Valódi (reális) és kváziegyensúlyi folyamatokat (ld. alább) + Izoterm, izobár, adiabatikus stb. folyamatokat * Nem tévesztend! össze a "nyílt" folyamatokkal, ld. 55 pont 378 5.15 Az állapotfüggvények ill útfüggvények általános tulajdonságai, matematikai jellemzése E pontban egzakt matematikai leírást adunk az eddig f!leg fizikai szempontból megismert állapot- és útfüggvények általános tulajdonságairól. + Az állapotfüggvény az egyensúlyi állapotjelz!k egyértelm" függvénye; másszóval az állapotfüggvény a rendszer adott egyensúlyi állapotára jellemz!. Az állapotfüggvény megváltozása csak a rendszer vég- és kezdeti állapotától függ, és független az (állapottérbeli egyensúlyi vagy akár nem egyensúlyi állapotok sorozatán áthaladó) úttól. Az állapotfüggvény általános jele: X Fenti definíció a

matematika nyelvén azonos azzal az alábbi (I), (II), (III) egymással ekvivalens állítással, miszerint (I) Az állapotfüggvény infinitezimális megváltozása teljes differenciál, (II) Az állapotfüggvény (g) görbementi vonalintegráljának értéke független a (g) út megválasztásától és csakis a kezdeti- és végállapottól függ. (Teljes differenciál görbementi integrálja útfüggetlen.) (III) Az állapotfüggvény megváltozása körfolyamatban zérus, azaz bármilyen görbe mentén vett körintegrálja zérus. + Mint tudjuk, (ld. 2"" pontot) egy egyváltozós z(t) függvény differenciális megváltozása, differenciálja dz = dz dt , dt vagyis a függvény differenciálhányadosának és a független változó differenciáljának szorzata. Értelemszer#en egy n változós f(x", x2, x3 xn) függvény teljes differenciálja (jele: df) $ ,f $ ,f $ ,f df = # & dx" + # & dx2 + . + # & dxn ",x2% ",xn%

",x"% (5.""a) azaz az összes független változója szerinti parciális differenciálhányadosa és a független változó differenciálja szorzatának összege: tehát minden változója szerinti differenciális megváltozása. 379 Pl. egy kétváltozós, X(T,P) függvény teljes (T és P szerinti) megváltozását kis változásokra a következ! gondolatmenettel kapjuk meg. Alakítsuk át a megváltozás (X(T,P) = X(T+(T, P+(P) – X(T,P) kifejezésé úgy, hogy annak jobboldalához adjuk hozzá és vonjuk is le az X(T,P+(P) kifejezést; ekkor ---- (X(T,P) = X(T+(T, P+(P) – X(T,P+(P) + X(T,P+(P) – X(T,P) Szorozzuk és osszuk a jobboldal els! két tagját (T-vel, második két tagját pedig (Pvel. Ismerjük fel, hogy az így átalakított kifejezés jobb oldalának els! két tagja X-nek (állandó P mellett vett) T-szerinti, második két tagja X-nek (állandó T mellett vett) Pszerinti megváltozását adja a (T,P+(P) ill. (a második tagban) (T,P)

állapottérbeli pontban; ezt jelöljük a függ!leges vonal után. Tehát közelít!leg fennáll, hogy: $,X / $,X / (T + # & / (P (X(T,P) . # & / " ,P %T/ " ,T %P/ /T,P+(P /T,P Infinitezimális megváltozásokra áttérve, (( 0 d), ez a $,X / $,X / dX(T,P) = # & / dT + # & / dP ,T " %P/ " ,P %T/ /T,P+dP /T,P alakot ölti. Ha dP infinitezimálisan kicsiny, akkor az, hogy egy függvényt a (T,P) vagy (T,P+dP) helyen differenciálunk, elhanyagolható, mivel az eltérés másodrend#en kicsi. Ekkor azt mondhatjuk, hogy X függvény teljes infinitezimális megváltozását a P,T állapotbeli ponton vizsgálva (ezt ki se írjuk már) $,X $,X dX = # & dT + # & dP " ,P %T " ,T %P (5."") ,X kifejezés adja. A $ ,T kifejezést az X, T-szerinti (állandó P mellett vett) parciális " %P $,X differenciálhányadosának* nevezzük. Értelemszer# a # & elnevezése is. " ,P %T * $,X = lim X(T+(T,P) – x(T,P) ; v.ö

(22)-vel! (1 " ,T %P (T0o 380 A parciális differenciálhányadosokat az általunk tárgyalt esetekben megfelel! figyelemmel differenciálok hányadosaként kezelhetjük*. Az (5."") kifejezést az X(T,P) függvény teljes differenciáljának nevezzük Vizsgáljuk meg egy f(x, y) kétváltozós függvény $ ,f $ ,f df = # & dx + # & dy ,x " % ",y% teljes differenciáljának néhány tulajdonságát. Az f(x,y) függvény parciális deriváltjai maguk is x és y függvényei*, ezért a fenti df teljes differenciál a df = M(x, y) dx + N(x, y) dy (5."2a) alakba is írható, ahol M= ,f ,f és N = ,y ,x (5."2b) A (5."2b)-b!l látható, hogy ,M ,2f = ,y ,ydx * és dz = ,N ,2f = ,x ,x,y (5."2c) ,z ,z dx + dy ,y ,x y x Ha z = konst.: ,z $,z " ,x%y (,x)z + ",y%x (,y)z 0=$ ,z $ ,x $ ,z " ,x%y " ,y%z + " ,y%x 0=$ vagy ,y " ,z%x -el , a Mindkét oldalt megszorozva $ $ ,z $ ,x $,y =

" " ,x%y " ,y%z ",z%x (5."0) Ez a kapcsolat a parciális differenciálhányadosok között három, egymással egyértelm# kapcsolatban álló állapotfüggvény (állapotjelz!) esetén. * Pl.: f = 3x2y2 + x ; ,f = 6xy2 + " ; ,x ,f = 6 x2y + " ,y 38" Mivel a differenciálások sorrendje minden folytonosan differenciálható függvényre felcserélhet! ,2f ,2f = ,y,x ,x,y (5."3a) ezért, ha az (5."2a) teljes differenciál (most tudjuk, hogy az), akkor ,M ,N = ,y ,x (5."3b) Fentiek minden további nélkül átvihet!k pl. egy f(x, y, z) háromváltozós függvényre. Egy Mdx + Ndy + Ldz kifejezés akkor teljes differenciálja egy f(x, y, z) függvénynek, ha ,M ,N = ,y ,x ,M ,L = ,z ,x és és ,N ,L = ,z ,y (5."4) Az olvasóra bízzuk, hogy írja fel az f(x, y, z) háromváltozós függvény teljes differenciálját és az M, N és L parciális differenciálhányadosok deriválásával igazolja (5."4)-t

1. Példa Vizsgáljuk meg, hogy a 2 P2TdT + 2T2PdP kifejezés teljes differenciál-e! Esetünkben M = 2P2T ill. N = 2T2P Mivel ,M = 4 PT ,P ill. ,N = 4 PT ,T azaz egyenl!ek, a kifejezés teljes differenciál. Differenciálással meggy!z!dhetünk arról, hogy a vizsgálat tárgyává tett differenciál éppen a X(P,T)=P2T2 függvény teljes differenciálja. 2. Példa Vizsgáljuk meg, hogy a PTdT + TPdP kifejezés teljes differenciál-e, és ha igen mely függvénnyé. Mivel 382 ,(PT) ,(TP) 2 ,T ,P nincs ilyen függvény. 3. Példa A vizsgálat tárgya legyen az x sin y dx – (x2 + y2 ) dy kifejezés. E kifejezés nem teljes differenciál, mivel x cosy 2 – 2x + Bár az állapotfüggvény fizikai definiciója (melyet az 5."5 pont elején megismételtünk) trivialitásnak t#nik, most, hogy pontosítottuk ismereteinket a teljes differenciál fogalmáról igazolni kívánjuk, hogy a fizikai definició ekvivalens a következ! matematikai állítással: Állítás: Ha

egy egyérték" többváltozós függvénynek van teljes differenciálja, akkor a teljes differenciál (g) görmenti vonalintegrálja független a (g) görbe alakjától és csak a kezdeti és végállapot függvénye. (Az ilyen függvény fizikai értelemben állapotfüggvény) Másszóval igazolandó, hogy annak szükséges és elégséges feltétele, hogy a vonalmenti integrál csak az integrálási határok függvénye legyen az, hogy az integrálandó differenciálalak egy egyérték" többváltozós függvény teljes differenciálja legyen. Ezt egy kétváltozós függvény esetére megfogalmazva egy dQ = Mdx + Ndy differenciálalak vonalmenti integrálja akkor és csakis akkor függ csupán a (g) görbementi út végpontjaitól, ha minden pontjában teljesül, hogy ,M ,N = ,y ,x azaz ha dQ teljes differenciál. 383 Igazolás: Igazoljuk a fenti állítást kétváltozós egyérték# függvényre. Egy (g) görbementi vonalintegrál kiszámításához a 2.35 pontban a

görbe paraméteres egyenletrendszerét használtuk. Ehhez felhasználtuk azt a tényt, hogy egy pl. x, y derékszög# koordináta rendszerben egy (g) görbe mentén a x és az y nem függetlenek, hanem pl. x=x(t), ill y=y(t) alakban egy t paraméter függvényei (ld 54a ábrát). 5.4 ábra Segédábra (ld szöveg) Vizsgáljunk meg egy P–T koordináta rendszerben egy tetszés szerinti egyérték# görbét A és B végpontokkal. Határozzuk meg a vonalmenti integrál értékét a görbe paraméteres egyenletére*, tehát határozzuk meg a tB dT dP9 * 6 3 5 f (t) dt + g(t) dt 8 dt 7 ) 4 tA vonalmenti integrál* értékét. A probléma megoldása egyszer#, ha f(t) dT + g(t) dP = dX azaz teljes differenciál. Ekkor ugyanis tB tB dT dP 9 * dX * 6 3 5 f (t) dt + g(t) dt 8 dt = 3 dt dt 7 ) ) 4 tA tA ami az integrál definiciója szerint * Ilyen feladatot már elvégeztünk a 2.35 pontban (5."5) 384 tB * 3 dX = X(tB) – X (tA) = X(B) – X(A) ( = (XAB ) tA (5."6) vagyis

a (XAB megváltozás (ha dX teljes differenciál) csak a kezd! és a végpont megválasztásától függ, tehát X(T,P) állapotfüggvény. Ekkor egy tetsz!leges (g") és (g2) görbével megadott (ld. 54b ábrát) [A 0 B 0 A] körfolyamatot elvégezve X teljes megváltozása nulla lesz (g") (g2) (XA0B0A = [X(B) – X(A)] + [X(A) – X(B)] = 0 Az [A 0 B 0 A] megváltozás tulajdonképpen egy körintegrállal számítható, tehát (g") (g2) 6$,X 9 $,X * (XA0B0A = * o 5# & dT + # & dP8 = ) o dX = 0 ) ,T ,P " %P " %T 7 (g) 4 (5.17) (g) A * o dX = 0 azonosság egyúttal az állapotfüggvény definíciójaként is felfogható. ) (g) + Az útfüggvények. Ha a (X függ a g görbe megválasztásától, akkor X(T,P) nem lesz állapotfüggvény, illetve X(T,P) körintegrálja nem lesz nulla. Ez érvényes pl a h!cserére, illetve a munkavégzésre: a DQ (ill. DW) nem tekinthet! egy Q (ill W) függvény teljes differenciáljának, ezért jelöljük az

elemi h!cserét ill. munkát dQ ill. dW helyett DQ ill DW-vel AB 385 5.2 A TERMODINAMIKA I F!TÉTELE 5.21 A termodinamika I f"tételének különböz" alakjai. Az egyensúlyi Gibbs–egyenlet A termodinamika I. f!tételének (I axióma) integrális alakja adott rendszerre (U = Q + : Wi (5."8a) i alakú, ahol (U a bels! energia megváltozása;* Q a rendszer (alrendszer) el!jelesh!cseréje; Wi pedig a rendszeren végzett i-edik el!jeles munkafajta*. A Q + W" + W2 + . mennyiségek additívek, egységesen munka mértékegység# mennyiségek, melyek azonban nem állapotfüggvények: valamennyi egy-egy energiaátadási folyamattal kapcsolatos útfüggvény (nem állapotfüggvény). Éppen ezért infinitezimális, elemi állapotváltozásra az I. f!tételt így írjuk: dU = DQ + : DWi (5."8b) i ahol a DQ, illetve DW, mint említettük, az el!jeles elemi h!közlés, illetve munkavégzés, mint útfüggvények jelölése. Az els! f!tétel tehát azt mondja

ki, hogy a rendszer bels! energiáját vagy h!közléssel, vagy munkavégzéssel (mindenképpen csak folyamat útján) változtathatjuk meg. Az (5"8) képletb!l láthatóan, bár a jobboldalon útfüggvények állnak, az útfüggvények összege egy állapotfüggvény, (az U) megváltozását eredményezi: ha egyszer egy rendszerrel bármilyen megkülönböztetett folyamatban energiát közöltünk, az eredmény egységesen (és a rendszeren belül már felbonthatatlanul, megkülönböztethetetlenül) a termikus energia megváltozásában jelentkezik; "utólag" lehetetlen azonosítanunk, hogy egy dU járulék milyen transzportból származott. Másszóval ahhoz, hogy egy rendszert adott kezdeti állapotból adott végállapotba vigyünk, ugyanakkora energiaközlést kell végeznünk, függetlenül attól, hogy az energiát h!, vagy munka formájában közöltük, és attól is, hogy a rendszert az álla- * Pontosabban (U = (U , azaz a termikus rész megváltozása.

Bár U = U + U , a (U képzés során th o th az Uo (egy tetszés szerinti vonatkoztatási pont) kiesik (ld. 255 pontot) A termodinamika 0, I és II f!tételében mindig csak az állapotfüggvények megváltozása szerepel. * Megismételve: A Q, DQ ill. W, DW pozitív, ha növeli a rendszer energiáját (tehát a rendszerrel közölt h!, illetve a rendszeren végzett munka), negatív, ha csökkenti (ilyen a rendszer által leadott h!, illetve a rendszer által végzett munka). Ld 5"4 pontot 386 potváltozás során milyen úton (milyen közbüls! állapotokon át) vezettük (Joule, "843). Az eredmény számos kísérlet összegzésének eredménye, amelyet a tudománytörténet a "munka h!egyenértéke" témakörként emleget; ilyen kísérletek voltak még Rumford híres ágyúfúrási kísérlete ("798), és J.R Mayer ("842) fajh!mérési kísérletei Az els! f!tétel tapasztalati törvény, mely lényegében az energiamegmaradás törvényét

fejezi ki termodinamikai rendszerekre; ugyanakkor ennél sokkal többet mond. A f!tétel (5#8), ill (5#9) alakjai mindig, nemegyensúlyi esetben is, érvényesek. Az I. f!tételt különleges jelent!sége miatt kiemelve a munkafajták közül a DWtérf munkát szokás így is felírni: dU = DWtérf + DQ + : DWi (5.18c) i mely olyan esetekben, amikor a h!csere mellett csak térfogati munkavégzés van a dU = DWtérf + DQ (5.18d) alakra egyszer#södik. Nyitott adiabatikus (DQ=0, azaz nincs h!közlés) folyamatok esetére (5."8d) a dU (adiabatikus) = DWtérf (5."8e) alakot ölt. o dU = 0, bármely körfolyamatra Mivel U állapotfüggvény, azaz * ) (U (körfolyamat) = Q + :Wi = 0 (5."9)* Ezt, az állapotfüggvény definíciójából következ! tényt az I. f!tétel segítségével a kísérleti tapasztalattal is igazolhatjuk. Vezessünk egy rendszert az (") és (2) állapota között valamilyen úton (5.4b ábra), majd egy ett!l különböz! úton vissza a

(2)-b!l az (") állapotba, azaz végezzünk egy körfolyamatot. Az oda és visszavezet! utak abban különböznek, hogy mindegyiken más Q és W értéke, miközben összegük nagysága azonosan |(U| = |U2–U"|. Ha az "oda" úton más lenne az energiaváltozás nagysága, mint a "vissza" úton, egy körfolyamat alatt energia termel!dne vagy tünne el. Az ilyen körfolyamatot ismételgetve tetszés szerinti energiát termelhetnénk, vagyis megvalósulhatna az els!fajta örökmozgó (perpetuum mobile). Az els!fajta örökmozgó (minden alapot nélkülöz!) megvalósíthatósága azt jelentené, hogy létezik * Megjegyzés: a (U = 0 eset akkor is fennáll, ha a rendszerbe folytonosan energiát transzportálunk és ugyanakkor azt el is vonjuk; ilyen pl. egy termosztát állandó energiájú állapota, ahol a h#lési h!veszteséget pl. elektromos f#téssel éppen kiegyenlítjük Ezek a rendszerek az ún stacionárius rendszerek. 387 olyan munkavégz!

gép, amely egyenérték# energia felhasználás nélkül munkát termelne. Ez egyértelm#en ellentmondana az I f!tételnek + Ha a rendszer egyensúlyban van, akkor az I. f!tétel egyszer" termodinamikai rendszerre a (5.20) dU = –PdV + TdSe + : ;idni i alakot ölti. Az egyenletet egyensúlyi Gibbs–egyenletnek nevezzük és csak egyensúlyi (kváziegyensúlyi) állapotváltozásokra igaz. Vegyük észre, hogy a jobboldalon minden tag egy intenzív állapotjelz! és egy extenzív mennyiség szorzata. Az " tag kváziegyensúlyi térfogati munka (ld. 5"4 pont " példa), a második a 4 fejezetben (4.29b) ill (43")-el bevezetett $DQ dSe = # T & (ld. (43")) " %e kifejezésb!l adódik; a harmadik, eddig ismeretlen tag az anyagátviteli ill. kémiai munka kifejezése. Az anyagátviteli ill kémiai munka az anyagtranszporthoz kapcsolódó energiaközlés: egyenl! a kváziegyensúlyi dni anyagmennyiségváltozással létrehozott bels! energia

változással; szintén el!jeles mennyiség. Az (5.20) általános alakja: dU = –PdV + TdSe + : ;idni + <dqi + =dA + . (5.20a) i ahol < az elektromos potenciál, qi az elektromos töltés, = a felületi feszültség, A a rendszer felülete. A 4 tag az (el!jeles) elektromos munka, az 5 tag az (el!jeles) felületi munka stb. A kifejezés 3, 4, 5 stb munkát kifejez! tagjait a térfogati munkától való megkülönböztetésül “egyéb munkának” nevezzük és az (5."8c) egyenletben a : DWi összeggel vettük figyelembe. i Ha csak térfogati munka van, (5.20) a dU = –PdV + TdSe (5.20b) alakot ölti. Ha DQ = TdS=0, azaz nincs h!csere és az anyatartalom is állandó, akkor dU = – PdV (5.20c) + Annak, hogy a bels! energiaváltozást okozó energiatranszportban az I. f!tétel elvi, min!ségi megkülönböztetést tesz a h!csere és a munkavégzés között, alapvet! okai vannak, melyekkel a termodinamika II. f!tétele foglalkozik (ld 532 és 54 pontot). Bár a DQ és

a DW egymásba átszámíthatóak, mégis lényeges elvi különbség áll fent közöttük. A lényeget tekintve: a) mindig lefolytathatóak olyan kváziegyensúlyi folyamatok, amelyekben a munka teljes egészében termikus energiává vagy h!cserévé alakítható át; b.) a h!cserében közölt h! ugyanakkor általában, teljes 388 egészében nem*, csak er!s megszorításokkal és akkor is csak rossz hatásfokkal alakítható munkává. Ennek lényegi oka statisztikus fizikai meggondolások alapján megfogalmazható és érthet!: a termikus energia ill. a h!csere esetében rendezetlen energiáról van szó és annak valószín"sége, hogy ez a rendezetlen mozgás önmagától spontán (küls! kompenzációk nélkül) irányítást kapjon, rendezetté váljon (ami egy munkavégzésre képes irányított er! megjelenését okozná), csekély. + Az I. f!tétel felírása az entalpiával Az entalpia h!mérséklett!l való függése. Vezessük be Gibbs nyomán az energia

dimenziójú H ! U + PV (5.21)* függvényt! Ezt a függvényt a termodinamikában entalpiának hívják. A H függvény állapotfüggvény és így van teljes differenciálja. Képezzük ezen függvény teljes differenciálját! dH = dU + PdV + VdP (5.22) Összevetve ezt az I. f!tétel (520b) szerinti dU = –PdV + TdSe egyensúlyi alakjával (melyben feltételeztük, hogy csak térfogati munka van, de egyéb (hasznos) munka nincs) dH = TdSe + VdP (5.22a) összefüggést nyerjük. Az egyenlet egyensúlyi feltételekre érvényes és igen el!nyös akkor, ha a h!átadáson kívül csak a térfogati munka jön tekintetbe. Az (5.22) egyenlet, miként a (520) egyenlet is, az I f!tétel egyensúlyi esetre felírt alakja. Az (520) akkor kedvez!bb, amikor V és T a független változók, míg az (522) egyenlet akkor, amikor P és T a független változók. Ha P=állandó, akkor (5.22)-b!l (dH)P = dU + PdV (5.23a) (dH)P = (TdSe)P = (DQ)P (5.23b) ill. (522a)-ból * Tudniillik

speciális esetben, pl. az ideális gáz kváziegyensúlyi expanziójával ennek nyitott folyamatban nincs akadálya. * Az U nemegyensúlyi állapotban is a rendszer bels! energiája, H ellenben csak egyensúlyi állapotban értelmezhet!, mivel P a rendszer nyomása és az állapot a küls! nyomásnak is függvénye. Egyensúlyban PR = Pext. 389 illetve véges változásokra ((H)P = QP (5.23c) A gyakorlatban a folyamatok, kémiai reakciók általában nyitott edényben, állandó nyomás mellett, hasznos munkavégzés nélkül, de térfogati munka mellett mennek végbe. Mivel az entalpia változás a térfogati munkát magába foglalja (ld (523a)), az állandó nyomások mellett lefolyó folyamatok látens h!je (pl. olvadásh!je, párolgásh!je, stb.) ill a kémia reakciók reakcióh!je egyenl! a ((H)P entalpiaváltozással Mivel H=H(P,T), teljes differenciálja $,H $,H dH = # & dP + # & dT " ,T % P " ,P %T azaz P=áll. mellett (felhasználva a (478)

kifejezést) $,H dHm = # m& dT = Cm,P dT " ,T %P (5.24a) Az (5.24a) egyenletet a h!kapacitás h!mérsékletfüggésének ismeretében* integrálva kiszámíthatjuk a (moláris) entalpia T2 Hm2 = Hm" + * ) Cm,P (T) dT, (egy anyagra, fázisváltozás nélkül) (5.24b) T" változását a h!mérséklettel (állandó nyomáson). 1. Példa Határozzuk meg " mol víz energiaváltozását a párolgási folyamatban t = "20 °C-on. A megoldáshoz a vízg!ztáblázatokat kell felhasználni. Az erre az esetre érvényes összefüggést az (52") integrális alakból kapjuk: (H = H2–H" = (U2+P2V2) – (U"+P"V") = (U + ((PV) Megoldás. A táblázatokból megállapítjuk, hogy t="20 °C-on a telített vízg!z nyomása ",9854·"05 Pa, a víz illetve a g!z fajlagos térfogata ",0603·"0–3 m3/kg illetve 0,89"4 m3/kg, és az entalpia megváltozása 2,705·"03 – 0,504·"03 = 2,20"·"03

kJ/kg. * A h!fokfüggést adott halmazállapotú, adott anyagfajtára a táblázatok hatványsorok formájában, P egyszer# hatványainak függvényében közlik. A hatványsorok tagonként integrálhatóak 390 Ennélfogva az egyenletnek megfelel!en (Um = (Hm – ((PVm) = (Hm – P>(V2–V")m = = "8,0"6 6 5 –3 "03 [ 2,20"·"0 – ",9854·"0 (0,89"4–",0603·"0 )] = = 3,647·"04 J/mol = 36,47 kJ/mol A (5.25a) egyenlet kiterjeszthet! az állandó nyomáson lefolyó állapotváltozások, ill. kémiai reakciók látensh!je, ill a kémiai reakcióh!je h!mérsékletfüggésének kiszámítására is. Mivel ezek a h!k (ld (523c)) az állapotváltozás, reakció folyamán történ! (H entalpia változások ((H = Hvég – Hkezdet = H2 – H"), fennáll, hogy $, ((H) $,H2 $,H" # & =# & –# & = CP,2 – CP," = (CP " ,T %P " ,T %P " ,T %P ahol a (CP a folyamat (reakció)

végbemenetele során a rendszerben végbemen! h!kapacitás változás. Integrálva (a (CP(T) függvény ismeretében) T2 (H (T2) = (H(T") + * ) (CP (T) dT (5.25) T" megkaphatjuk a látensh!, a reakcióh! h!mérsékletfüggését is (állandó nyomáson). + Ha dH (5.22) képletébe az egyszer# termodinamikai rendszer Gibbs egyenletéb!l a dU (5.20) szerinti értékét helyettesítjük a K dH = TdSe + VdP + : ;i dni (5.26) i=" alakot nyerjük. + Az I. f!tétel fenti alakjaiban DQ-n ill az egyensúlyi (kváziegyensúlyi) rendszerekben ezzel ekvivalens TdSe-n hangsúlyozottan csak a rendszer (alrendszer) a környezettel ill. egy másik alrendszerrel való h!cseréjét értjük Nem szabad azonban figyelmen kívül hagynunk, hogy: reális folyamatokban a rendszerek bels! súrlódása, a "dugattyú" súrlódása, felütközéskor a "dugattyú" kinetikus energiája (annak energia egyenértéke) is okoz a rendszeren belüli energiaváltozást. Az

ilyen rendszeren belüli energiaváltozásokat a termodinamikában nem számítjuk be sem a h!cserébe, sem a küls! munkavégzésbe; ezek ugyanis a folyamatok reális (nem egyensúlyi) lefolyásához kapcsolódnak; az ezekhez kapcsolódó rendszeren belüli energiaváltozások nem a rendszer és a környezet közötti h!csere, munkavégzés eredményei, hanem a rendszeren belül képz!dnek. Bels! energia egyenértéküket ahol ez szükséges TdS alakban vesszük figyelembe, és TdSb-vel jelöljük, ahol a b alsó index a bels! képz!désre utal. 39" Vannak olyan kváziegyensúlyi folyamatok is, melyek még ideálisan viselked! komponensek esetén is (a rendszeren belül fellép!) entrópiaváltozással járnak. Ilyen pl. az ideális elegyek képz!dése, amely (ld 472 pontot) dSmixt a rendszeren belüli entrópia termeléssel illetve TdSmixt egyenérték# bels! energiaváltozással járnak. Ezt és hasonló bels! folyamatokat sem számítjuk be a DQ, illetve a DW

értékébe, hanem általánosan szintén TdSb-vel jelöljük. Elszigetelt rendszereknél mindezeket automatikusan figyelembe a Qreális < Qe ill. a Wreális > We relációkkal vesszük (ld. 53" pontot) Nem elszigetelt, azaz nyílt állapotváltozásoknál ez nem lehetséges, ilyenkor ugyanis a vizsgált rendszert (alrendszert) nem kezeljük a környezetével (a másik alrendszerrel) együtt elszigetelt rendszerként és így nem is lehet szigetelt (adiabatikus stb.) Ilyenkor az I f!tétel megfelel! alakját ki kell egészítenünk a fentieket együttesen figyelembevev! TdSb taggal (ld. 55 pontot) 5.22 Az intenzív és extenzív állapotjelz"k kapcsolata. A T, P és µi (i=1,2,,K) termodinamikai definíciója. Integrális függvénykapcsolatok Nézzük meg, hogy milyen matematikai kapcsolat van a tapasztalati úton felállított (5.20) képlet és azon 5"" pontbeli állításunk között, hogy egy egyszer# termodinamikai rendszer viselkedését az U=U(S,V,n)

függvény teljesen meghatározza! Tekintsünk egy n mol anyagmennyiséget tartalmazó egykomponens" ideális gázt! Ha a gázban egy olyan kváziegyensúlyi folyamat megy végbe, amelynek során állapotjelz!i megváltoznak, akkor a bels! energia megváltozását ezen állapotjelz!k megváltozásával fejezhetjük ki! + Az egyszer#ség kedvéért el!ször csak a rendszer térfogatát és entrópiáját változtassuk meg (ld. 55 ábra), és az n anyagmennyiséget vegyük állandónak! 392 5.5 ábra Állapotváltozások az S–V diagramon Az "A" pontból vigyük rendszerünket a "B" pontba a "I"-essel jelölt úton. Mivel a bels! energia állapotfüggvény, megváltozását csak a kezd! és végállapot határozza meg; az, hogy az állapottérben milyen úton jutottunk el a kezd! állapotból a végállapotba, nem játszik semmilyen szerepet. Tehát U változása az "I"-es úton megegyezik U megváltozásával a "II" ill. a

"III" úton A "III"-as út els! szakaszán a rendszernek csak a térfogata, a második szakaszán csak az entrópiája változik meg; az anyagmennyiséget (n) vegyük (mint megállapodtunk) egyel!re állandónak. (U = (UC–UA) + (UB–UC) = = [U(S" ,V2,n)–U(S",V" ,n)] + [U(S2,V2,n)–U(S",V2,n)] Infinitezimálisan kis állapotváltozásra UB = UA + dU S2 = S" + dS V2 = V" + dV dU = [U(S",V"+dV,n)–U(S",V",n)] + [U(S"+dS,V"+dV,n)–U(S",V"+dV,n)] ami a parciális differenciálhányados definíciója értelmében (ld. 5"5 pontot) a $,U $,U dU = # & dV + # & dS ,V " ,S %V,n " %S,n (5.27a) 393 alakba írható. Az U infinitezimális megváltozása matematikailag teljes differenciál* Az (5.29a) egyenlet kváziegyensúlyi folyamatra (egyensúly esetén) érvényes + Ha az egyszer# termodinamikai rendszer összes extenzív állapotjelz!jének megváltozását megengedjük

(tehát esetünkben (5.29a)–hoz képest az n anyagmennyiség megváltozását is), akkor (5.27a) helyett a bels! energia kváziegyensúlyi folyamatra történ! teljes megváltozását matematikailag a K $,U $,U $,U dU = # & dV + # & dS + : # & " ,S %V,n ",V%S,n i=" ",ni %S,V,n dni (5.27b) j2i egyenlet írja le. A bels! energia A és B pont közötti megváltozását a B UB – UA = * ) dU A integrális alakban is felírhatjuk. A felírásban az integráljel szimbolikusan jelzi a három független változó szerint végzett vonal menti integrálást, míg "A" és "B"-vel az integrálási határokat jeleztük. Az integrálás útja mentén az (529) jobboldalán minden tagnál csak egy-egy változó változik. Egy körfolyamatban a bels! energia, megváltozása, mint (5.#9) kapcsán jeleztük, nulla (ld. 55 ábrát is, mivel a rendszert ilyenkor pl A pontból újra A-ba visszük (pl I, majd II úton). Ezt szimbolikusan a o dU = 0

* (5.28) ) körintegrállal írhatjuk le. + Összevetve a kísérleti tapasztalatokat axiómaként összegz! (5.20) egyensúlyi Gibbs egyenletet a matematikai úton nyert (5.27b)-vel, a matematikai leírás csak akkor felel meg a kísérleti tapasztalatoknak, ha a benne szerepl! parciális differenciálhányadosokat a megfelel! intenzív mennyiségekkel azonosítjuk. Az (527b) egyenlet els! két tagja egyensúly esetén a T h!mérsékletnek, illetve a P nyomás mínusz egyszeresének felel meg: $,U Te ! # & " ,S %V,n (5.29)* * Az (5.27) egyenletek gyakorlati számításokban nagyon fontosak Lehet!vé teszi, hogy ha egy állapotfüggvény egy rendszer "A" és "B" állapotai közötti átmenethez tartozó megváltozását akarjuk kiszámítani, akkor a valódi állapotváltozási görbe helyett az 5.5 ábrán feltüntetett "III" úthoz hasonlóan egyidej#leg csak egy-egy paramétert változtatva "egyenes szakaszokon" haladva juthassunk

el "A"-ból "B"-be. * Az 5.45 pontban igazoljuk, hogy az így bevezetett T azonos az SI-beli termodinamikai abszolút h!mérséklettel (ld. 32 pontot) 394 $,U –P ! # & ",V%S,n (5.30) Miután az (5.27b) kifejezés minden egyes tagja valamilyen energiaközlésnek felel meg (az els! tag a h!közlésnek, a második a mechanikai munkavégzésnek), az utolsó K $,U dni : #",n &% i S,V,n i=" j2i alakú tagnak is energiaközlést kell megadnia, mégpedig a rendszer részecskeszám változásához tartozó bels! energia megváltozását. Az (529) és (530) analógiájára az utolsó tagban összegzett parciális differenciálhányadosok tehát szintén intenzív mennyiségeket határoznak meg, jelöljük ezt ;i-vel: $,U ;i ! # & ",ni%S,V,n i = ", 2, . K (5.31)* j2i A ;i mennyiségeket az i-dik komponens kémiai potenciáljának nevezzük. Az (5.29)–(53") kifejezések rendre a h!mérséklet, a nyomás, illetve a

kémiai potenciál termodinamikai definíciói. Az (531) kifejezés egy másik, (használatosabb) alakját az (5102) adja meg! + Sokszor használjuk a termodinamikai állapotfüggvényének integrális alakját. Ilyen pl. a bels! energia K U= TS – PV + : ;i ni (5.32) i=" alakja. Az ilyen képletek kiemelked! jelent!sége miatt az (532) egyenlet példáján megmutatjuk ezek származtatását. Az 5."" pontból (ill tapasztalatból) tudjuk, hogy az U bels! energia a S, V, ni egyértelm# függvénye, tehát U= U (S, V, ni ) Mivel, ha egy rendszer V térfogatát, N részecskeszámát egyszerre két-, háromszorosra, stb. emeljük, akkor bels! energiája is két-, háromszorosra, stb n!; U matematikailag egy ún. (többváltozós) els!fokú homogén függvény A homogén * A kémiai potenciál ezen definícióját az (5.2b) egyenletben már ismertettük Az (53") definíció helyett használatosabb az (5."02) definíció 395 függvényekre érvényes

Euler tétele (ld. alább két vékony vonal között, 3 változóra felírva); az Euler tételt a fenti háromváltozós függvényre alkalmazva a következ!ket kapjuk: K $,U $,U U (S, V, ni ) = # & S + # & V + : " ,S %V,n ",V%S,n i=" $ ,U # & ", ni%S,V,n ni (5.33) j2i Ha most figyelembe vesszük az (5.29), (530) ill (53") egyenleteket, – ezeket (5.33)-ba behelyettesítve eredményül az (532) egyenletet kapjuk Definició: ha egy háromváltozós f(x", x2, x3) függvény olyan különleges tulajdonságú, hogy ha minden változóját egy tetsz!leges ? valós számmal megszorozzuk, akkor a függvény értéke ?n-szeresre n!, azaz ha f(?x", ?x2, ?x3) = ?n f(x", x2, x3) (x) akkor ez az f(x", x2, x3) függvény u.n n-ed fokú homogén függvény Euler tétele n-ed fokú 3 változós függvényekre (a tételt Euler tetsz!legesen sok változós esetre vezette le): ,f nf (x", x2, x3) = : $ ·xi ",xi% i

Differenciáljuk (x) mindkét oldalát ? szerint! Akkor a baloldal (a közvetett függvények differenciálási szabályát alkalmazva és a változók indexét általánosan j-vel jelölve) 3 , f (?x , ?x , ?x ) , (?xj) , f (?x", ?x2, ?x3) " 2 3 = : · ,? , ?xj ,? j=" = 3 , f (?x , ?x , ?x ) " 2 3 xj , ?xj j=" : A (x) egyenlet jobboldalának ?-szerinti differenciálhányadosa n ?n–" f (x", x2, x3 ) Miután a két oldal egyenl! n ?n–" · f (x", x2, x3 ) = 3 , f (?x , ?x , ?x ) " 2 3 xj , ?xj j=" : Mivel ? tetsz!leges (az (x) egyenlet minden valós ? számra igaz), válasszuk ?-t "-nek, n f (x", x2, x3 ) = 3 , f (x , x , x ) " 2 3 : j=" , xj xj = 3 ,f : ,x xj j j=" Ezzel Euler tételét erre az esetre igazoltuk. Mivel az U bels! energia egy els!fokú homogén függvény (tehát esetében n="), a végeredmény valóban azonos (5.32) egyenlettel 396 Az (5.32) egyenletet egyszer#en

(ahol kell a szorzat differenciáljának számítási szabályát* alkalmazva) felírhatjuk differenciális alakban K K i=" i=" dU = TdS + SdT – PdV – VdP + : ;i dni + : ni d;i (5.34) Értelemszer#en származtathatjuk pl. a H (ld (52")) ill G (ld (592)) stb integrális kifejezését is és azokat azonos szabályok szerint írhatjuk differenciális alakba. 5.23 A Gibbs-Duhem reláció Határozzuk meg az U bels! energia (5.27) integrális kifejezéséb!l kiindulva a bels! energia teljes megváltozását (teljes differenciálját)! K K i=" i=" dU = TdS + SdT – PdV – VdP + : ;i dni + : ni d;i (ld. (534)) Vessük össze az (5.20) és (534) egyenleteket A kísérleti Gibbs–egyenlet (520) és a matematikailag kapott (5.34) baloldalán egyaránt a bels! energia megváltozása áll, ezért a jobboldalaknak is meg kell egyezniük. (534) jobboldalán viszont kétszer annyi tag áll, mint (5.20)-ban és az ott szerepl! összes tag is megjelenik

Mivel a kísérleti (5.20) képlet írja le a fizikai valóságot, a két összefüggés jobboldala csak akkor lehet egyenl!, ha az (5.34)-ben megjelen!, de az (520)-ban nem szerepl! extra tagok összege nulla: K SdT – VdP + : ni d;i = 0 (5.35) i=" Ez az ún. Gibbs-Duhem reláció, amelynek jelent!sége, hogy kifejezi: a K+2 darab intenzív állapotjelz! (P,T,;",.,;K) megváltozása közül csak K+" darab független Ezt felhasználjuk az 5.25 pontban Egy egykomponens" egyszer" termodinamikai rendszerre a kémiai potenciál megváltozása kifejezhet! a h!mérséklet és a nyomás megváltozásával: SdT – VdP + nd; = 0 (5.36) (ez az egy komponens# rendszerekre felírt Gibbs–Duhem egyenlet), illetve * ((AB) = (AB)vég.ó áll – (AB)kezdeti áll = (A+(A)(B+(B)–(AB) = B((A)+A((B)+(A(B A differenciál az els!rendben kicsiny megváltozásokat tartalmazza. Ezért a (A(B másodrend#en kicsiny tagot elhanyagolhatjuk. Határátmenetben a ( helyett d-t

kell írnunk 397 –SdT + VdP = ndµ (5.37) (A ;i ill. ; definíciója szerint moláris mennyiség; az (535), (537) egyenletekben minden tag energiadimenziójú; ni az (egykomponens# rendszernél n) a rendszer anyagmennyisége.) 5.24 Ideális gáz kváziegyensúlyi állapotváltozásai A kváziegyensúlyi állapotváltozások térfogati munkája és h"cseréje + Határozzuk meg az alábbiakban az ideális gázra a rendszeren végzett (el!jeles) munkát, illetve a rendszerrel közölt (el!jeles) h!t néhány gyakran el!forduló állapotváltozás esetében! Az m moláris indexeket az egyszer#ség kedvéért nem írjuk ki! A képletekben a P,T értéke az egyensúlyi (kváziegyensúlyi) rendszer nyomása ill. h!mérséklete (ld. 5"4 pontot, ahol ezeket TR-rel ill PR-rel jelöltük) 5.241 Ideális gáz kváziegyensúlyi izoterm állapotváltozása Az izotermák egyenlete Az izoterm kváziegyensúlyi térfogati munka n mol ideális gázra: V2 V2 V" V"

Wtérf = – * ) ) PdV = – * V2 V2 nRT dV * · dV = –nRT = –nRT * ) V ) d ln V = V V P = –nRT ln V2 = nRT ln 2 P" " V" V" (5.38)* P V (A levezetésben felhasználtuk, hogy állandó h!mérsékleten V2 = P" és azt, hogy 2 " nRT egyensúlyban a térfogati munka Pext küls! nyomása egyenl! a gáz P = V nyomásával) * dV d ln V " , = tehát d ln V = V V dV 398 5.6 ábra Izotermikus (a), izochor (b), izobár (c) és adiabatikus (d) állapotváltozások (vastag vonalak). Az ezek során végzett munkát srafozott területekkel tüntettük fel P–V állapotfelületen. Ez a kifejezés általános érvény#, ha V2-n a végállapot és V"-en a kezdeti állapot térfogatát értjük. Ha V2 > V", akkor Wtérf < 0, azaz a rendszer végez munkát (tágulás, expanzió), V2 < V" esetén Wtérf > 0, azaz a rendszeren végzünk munkát (összenyomódás, kompresszió). Mivel (ld. 5"3 pontot) az ideális gázra

(UT = 0, az ideális gáz kváziegyensúlyi izoterm állapotváltozására fennáll, hogy Wtérf = (–Q) (5.39) Így az (5.38) egyenlet egyúttal (–Q)e értékét is megadja V Wtérf = –nRT ln V vég = – Q (5.40) kezdet Az izoterma egyenlete (ld. 56 ábrát) PV = állandó (T=áll. mellett) (5.4") 5.242 Az adiabaták egyenlete Az ideális gáz adiabatikus DQ=0 munkája + A DQ=0 feltétel mellett (ha a térfogati munkán kívül nincs egyéb munka) az I. f!tétel szerint " mól ideális gázra 399 dUm = – PdV = Wtérf (5.42) RT Vm és (4.77) szerint dUm = Cm,VdT (a V m indexét csak a levezetés végén írjuk újra ki!), a (4.77) és az (5.42) összevetéséb!l Mivel kváziegyensúlyi folyamatban " mól ideális gázra P = Cm,V dT = – Cm,V RT dV V (5.43) dV dT =–R V T Cm,Vd ln T = – Rd ln V (5.44) Integrálva Tkezd és Tvég ill. Vkezd és Vvég között (mivel Cm,V nem függ V-t!l* ) T R V ln T vég = ln Vkezd kezd Cm,V vég (5.45)

Vegyük figyelembe, hogy ideális gázra (5.46)* Cm,P – Cm,V = R * A (4.77) szerint C m,V = $,Um és mivel az ideális gáz energiája csak a h!mérséklett!l függ, (5.5c) " ,T %V ,U szerint $ ! 0, a vegyes parciális deriváltak egyenl!sége miatt (5."5 pont) ",V%T ,2Um ,Cm,V ,2Um !0 = = ,V ,V,T ,T,V a Cm,V nem függ a térfogattól! * Az I. f!tétel dU = DQ – PdV alakját átrendezve: DQ = dU + PdV Mivel az U teljes változásában megjelenik mind a h!mérsékletváltozás, mind pedig a térfogatváltozás miatti tag, dU helyére T és V szerinti teljes differenciálját írva ,U ,U (5.47) DQ = $ dT + $ dV + PdV. " ,T %V ",V%T P=áll. feltétel mellett dT-vel osztva, (felhasználva a moláris h!kapacitások 465 pontbeli definícióegyenleteit és az U moláris m jelzést egyszer#ség kedvéért elhagyva) 9 6 ,U $DQ = C = Cm,V +5$ + P8 m,P " dT %P 4",V%T 7 $,V # & " ,T %P egyenletet kapjuk. Figyelembevéve az (55c) és a

PVm=RT ideális gázra vonatkozó egyenleteket $,U # & =0 " ,V %T és $,V R # & =P " ,T %P (5.48)-ból ideális gázra valóban az (546) egyenletet kapjuk (5.48) 400 Vezessük be a C @ ! C m,P (5.47) m,V egyenlettel a @ h!kapacitásviszonyt*. Az (5.46) ill (547) egyenleteket figyelembevéve R @–"=C m,V (5.49) és így (5.45)-b!l következik hogy @–" Tvég $Vkezd Tkezd = #" Vvég &% T V ln T vég = (@–") ln Vkezd , kezd vég (5.50a) azaz az adiabata mentén (ha DQ = 0) R/Cm,V TV(@–") = TV = állandó (5.50b) Helyettesítsük be az (5.50a) második egyenletébe (m"=m2 feltétellel) T2/T" helyére az egyesített gáztörvényt,* eredményül a $Vkezd@ Pvég #V & = P " vég % kezd * A @ az f (5.51) SF (alábbiakban egyszer#en f) molekuláris szabadsági fokkal is felírható f +2 @ = SF fSF 5 . Az ideális gáz moláris bels! energiája ugyanis (ld 465 pontot) 3 f f ,U Um = RT, amib!l (ld.

(477) egyenletet) Cm,V = $ m = R De (546) szerint Cm,P = R + Cm,V 2 " ,T % 2 pl. egyatomos ideális gázra @ = V f Cm,P f+2 és így Cm,P = R + R , így =@A . 2 f Cm,V * @ @–" T2 P2V2 $V" V V = = = $ "- · 2 T" P"V" "V2% "V2%- V" Egyszer#sítsünk a 2. és 4 egyenl!ségben V2 /V"-el, átjelöléssel P2 ( Pvég = = P" Pkezd az (5.5")-t kapjuk @ $Vkezd " Vvég % 40" illetve a PV@ = konst = K (5.51a) egyenleteket nyerjük. Az (550b) illetve (55"a) egyenleteket az adiabaták egyenleteinek nevezzük. + Az adiabatikus (el!jeles) kváziegyensúlyi térfogati munka kifejezését " mól ideális gázra vezetjük le. Induljunk ki e célból az (542) illetve (543) egyenletekb!l: Vvég Vvég * Wtérf (DQ=0) = – * 3 PdV = 3 Cm,V dT ) ) Vkezd (5.52) Vkezd Ha Cm,V-t els! közelítésben h!fokfüggetlennek vesszük vagy az átlagértékkel számolunk, akkor az integrálást elvégezve Wtérf =

Cm,V (Tvég – Tkezd) (5.53) Az (5.53) egyenletet az 56/d ábrával összevetve, megállapíthatjuk, hogy az adiabatikus expanzió (Tvég B Tkezd) során a gázh!mérséklet csökkenése arányos a rendszer által végzett térfogati munkával: a gáz lehül; adiabatikus kompressziókor pedig a gáz h!mérséklete a befektetett munkával arányosan n!, a gáz felmelegszik. Az expanziós és kompressziós munka azonos h!mérséklethatárok esetén ellentétes el!jel# és az abszolút értékük egyenl!*. (Megjegyezzük, hogy bár a fenti adiabatikus állapotváltozás során a térfogat változik, a Cm,V ennek során (mint fentebb egy lábjegyzetben igazoltuk) nem változik!) + Hasonló módon megkaphatjuk az izochor ill. izobár állapotváltozások (ld 56 ábra) megfelel! kifejezéseit is. Ezekre nézve a középiskolai anyagra utalunk (ld Holics: Fizika, id. m# megfelel! fejezetét) 5.25 Az egyensúlyi termodinamikai rendszerek szabadsági fokának meghatározása. A Gibbsféle

fázistörvény Az ". fejezet "2 pontjában többféle szabadsági fok definícióval ismerkedtünk meg. Közöttük az fTD termodinamikai szabadsági fok fogalmát is definiáltuk, de ott nem foglalkozhattunk vele részletesen. Az fM illetve fSF szabadsági fok analógiájára az fTD definíciója a következ!: * Ez az egyenl!ség azonos kompressziós, illetve expanziós arányok esetén már nem áll fent. Ennek igazolását az (5.52) és (55") alapján az olvasóra bízzuk 402 Egy egyensúlyi termodinamikai rendszerben a független intenzív állapotjelz!k számát a rendszer termodinamikai szabadsági fokának nevezzük. Egy adott ",2,.i,,K komponens#, ",2,, j,F fázisú egyensúlyi rendszer független intenzív állapotjelz!inek* számát (tehát az fTD értéket) úgy kapjuk meg, hogy a többfázisú, többkomponens# rendszert leíró összes intenzív állapotjelz! számából levonjuk a