Mathematics | Higher education » Gáspár Sándor - Összefüggőségek vizsgálata extrémérték modellekben

sszefggsgek vizsglata extrmrtk modellekben Szakdolgozat Ksztette: Gspr Sndor alkalmazott matematikus szak Tmavezet: Dr. Zemplni Andrs egyetemi docens Valsznsgelmleti s Statisztika Tanszk ETVS LORND TUDOMNYEGYETEM TERMSZETTUDOMNYI KAR 2002 Tartalomjegyzk Bevezets 3 1. Klasszikus extrmrtk modellezs 5 2. Stacionrius sorozatok extrmumai 9 3. Az extremlis index 3.1 Az extrem lis index de ncija, tulajdons gai 3.2 Az extrem lis index rtelmezse 3.3 Az extrem lis index becslsi mdszerei 3.31 A blokk mdszer 3.32 A futam mdszer 3.33 Maxima mdszerek 3.4 Az extrem lis index becslseinek tulajdons gai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 20 22 22 24 25 28 4. ltalnos tott extrmrtk eloszls illesztse stacionrius sorozat maximumaira 31 4.1 A klasszikus mdszer 4.2 Extrem

lis indexet haszn l mdszerek 4.3 Vletlentses mdszerek 4.31 Eloszl s illesztse adott extrem lis index mellett 4.32 Kvantilis becslsek 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 33 34 34 35 4.33 Maximum likelihood mdszer 36 5. Alkalmazsok 38 Fggelk 49 Irodalomjegyzk 56 2 Bevezets A dolgozat stacion rius sorozatok extrmrtk elmletvel foglalkozik. Az extrmrtk elmlet bizonyos meg gyelsek kiemelkeden nagy vagy ppen kicsi rtkeinek modellezsvel foglalkozik. A mindennapokban gyakran fordulnak el ilyen problm k tbbek kztt biztost si, meteorolgiai, hidrolgiai alkalmaz sokn l Gyakran van szksg olyan extrmumok modellezsre, mint pld ul kiemelked biztost si k rsszegek, nagy csapadkmennyisg, magas vzszint. Egy foly esetn gazdas gi szempontbl is lnyegi krds, hogy mi az a magas vzszint, amit tlagosan T vente egyszer halad meg, gy milyen magasra mretezzk a vdg takat.

Az extrmrtk modellezs klasszikus fejezeteiben az a feltevsnk, hogy fggetlen, azonos eloszl sbl sz rmaz meg gyelsek llnak rendelkezsnkre. A gyakorlatban viszont azok a folyamatok, amelyekre extrmrtk modelleket alkalmazunk gyakran nem tekinthetk fggetlen meg gyels-sorozatnak, pld ul mert ers idbeni sszefggsg gyelhet meg. Ez az extrmumok viselkedse szempontj bl azt jelentheti, hogy az extrm rtkek csoportokban, egym s ut n gyelhetek meg, egy extrm meg gyels ut n m s kiugr rtket is tapasztalunk. Ez a rvid t v, lok lis sszefggsg jelensge Alkalmaz sokban a hossz t v sszefggsg hat s t az extrmumokra gyakran elhanyagolhatnak tekintik Pld nkn l maradva, egy foly esetben az egym st kvet napi vzszintrtkek nem egym stl fggetlenl alakulnak s bizonyos magas vzszintrtkeket ugyancsak magas rtkek kvetnek rvid idn bell. gy a mint nkban nagy lesz a lok lis sszefggsg Ugyanakkor pld ul egy h rom hnap 3 mlva trtn extrm

meg gyels felteheten m r nem hozhat sszefggsbe a kor bbi kiemelked rtkkel. A dolgozat els fejezetben tmren sszefoglaljuk a klasszikus extrmrtk elmlet f eredmnyeit. L tni fogjuk, hogy karakteriz cis ttelek segtsgvel egyrtelmen meghat rozhatjuk fggetlen, azonos eloszl s valsznsgi v ltozk maximum nak hat reloszl s t A m sodik fejezetben a klasszikus eredmnyeket ltal nostjuk stacion rius sorozatokra. Bel tjuk, hogy bizonyos szigor felttelek fenntart s val a stacion rius sorozatok extrmumai ugyanolyan mdon viselkednek, mint a fggetlen esetben. A kvetkez rszben a stacion rius sorozatok extrmrtk elmletnek kulcsfontoss g paramtert az extrem lis indexet vezetjk be. Segtsgvel  valamivel enyhbb felttelek teljeslse esetn  a klasszikus extrmrtk modellezs eredmnyei alkalmazhatk sszefgg sorozatokra. Lnyeges krds teh t az extrem lis index statisztikai becslse. L tjuk majd, hogy a becslsek meghat roz sa jabb problm kat vet

fel. Kt alapvet mdszer ltezik, de ezeken kvl ismertetnk m s becslsi elj r sokat s megvizsg ljuk a klasszikus becslsek nh ny tulajdons g t is. Az extrmumok csoportkpz tulajdons ga ezekben a fejezetekben jut szerephez A negyedik fejezetben gyakorlati alkalmaz sokra trnk t, az extrem lis index haszn lat t mutatjuk be extrmrtk eloszl s illesztsre. j mdszert ismertetnk extrmrtk eloszl s kvantiliseinek meghat roz s ra. Vgl a lert mdszerek alkalmaz s t konkrt adatsor elemzsvel prezent ljuk. 4 1. fejezet Klasszikus extrmrtk modellezs Ebben a fejezetben sszefoglaljuk a klasszikus extrmrtk elmlet azon fbb tteleit, amelyek megfelelit azut n stacion rius sorozatok extrmumaira alkalmazzuk. A bizonyt sokn l segtsgl hvjuk majd ezen eredmnyeket is, mindamellett gyelemmel ksrjk a ktfle elmlet hasonls gait ill. klnbsgeit is A klasszikus extrmrtk elmletrl bvebben 1]-ben olvashatunk A fejezetben X1  X2 : : :  Xn fggetlen,

azonos F eloszl sfggvnnyel rendelkez valsznsgi v ltozk sorozat t jelli. A minta maximumaira az Mn = max(X1 : : :  Xn) jellst alkalmazzuk. Klnbz normaliz l konstansok segtsgvel a P (c;n 1(Mn ; dn)  x) (1.1) valsznsgek hat rrtkt n ! 1 esetn s a cn > 0, dn 2 R sorozatok ltezst szeretnnk vizsg lni. ((11)-et szok s P (Mn  un) alakba is rni, ahol un = un(x) = cnx + dn.) A kvetkezkben megvizsg ljuk, hogy az F eloszl sfggvnyre adott mely felttelek biztostj k az P (Mn  un), n ! 1 hat rrtk ltezst, megfelel un norm l s esetn? 5 1. Ttel (Poisson-approxim ci) Adott  2 0 1] s (un) vals szmsorozat esetn a kvetkezk ekvivalensek: (1.2) nF (un) !  P (Mn  un) ! e; : (1.3) n P Megjegyzs. Az elnevezst a kvetkez indokolja Az Nn = IfXi >ung mennyii=1 sg binomi lis eloszl s (n F (un)) paramterekkel. Poisson hat reloszl s td tele alapj n: Nn ! Poi( ) akkor s csak akkor, ha ENn = nF (un) !  , amely ppen (1.2) Tov bb P

(Mn  un) = P (Nn = 0) ! expf; g adja (1.3)-t A kvetkezkben azt vizsg ljuk, hogy milyen eloszl sok lphetnek fel a maximumok hat reloszl saknt. Ehhez elszr is bevezetjk a max-stabilis eloszls fogalm t. 1. Den ci (Max-stabilis eloszl s, Max-stable) Azt mondjuk, hogy az X valsz n sgi vltoz (ill. a hozz taroz F eloszls) max-stabilis eloszl s, ha lteznek olyan cn > 0 s dn 2 R konstansok, hogy Mn =d cnX +dn, n  2 esetn, ahol Mn = max(X1 : : :  Xn) s X X1 : : :  Xn fggetlen azonos eloszlsak. 2. Ttel A max-stabilis eloszlsok csaldja s a fggetlen azonos eloszls vltozk normalizlt maximumainak lehetsges hatreloszlsaknt fellp eloszlsok csaldja egybeesik. Bizony ts. (v zlat) A bizonyt s azon mlik, hogy lteznek olyan cn cnk > 0 s dn dnk 2 R konstansok, amelyekkel  k lim F n(cnx + dn) = H k (x) x 2 R n!1 lim F nk (cnk x + dnk ) = H (x) x 2 R : n!1 A fenti normaliz l konstansokra vonatkoz ttelekbl kvetkezik, hogy ekkor F max

stabilis. 6 A kvetkez ttel a klasszikus extrmrtk elmlet alapttele. 3. Ttel (Fisher-Tippett ttel, maximumok hat reloszl sa) Legyen (Xn ) fggetlen, azonos eloszls valsz n sgi vltozk sorozata. Ha lteznek cn > 0 s dn 2 R normalizl konstansok valamint egy nem-elfajul H eloszlsfggvny, amelyre c;n 1(Mn ; dn) !d H akkor H a kvetkez eloszlst pusok egyikbe tartozik: 1. Frchet eloszls: (x) = ( ( 0 x  0 exp f;x; g  x > 0 exp f;(;x) g  x < 0 1 x  0 3. Gumbel eloszls: (x) = exp f;e;x g  ;1 < x < 1 2. Weibull eloszls:  (x) = A fenti eloszl sokat standard extrmrtk eloszls oknak nevezzk. E h rom eloszl st kzsen az gynevezett ltalnos tott extrmrtk eloszlsok csal dj val reprezent lhatjuk: ( expf;(1 + x);1= g ,ha 6= 0 H (x) = (1.4) expf; expf;xgg ,ha = 0 ahol 1 + x > 0: Bevezetve a eltol s s sk la paramtereket, az ltal nostott extrmrtk eloszl sokat a kvetkez alakban rhatjuk le: "    ;1= # x ; H

(x) = exp ; 1 +  (1.5) + ahol fxg+ = max(0 x), s -t alak paramternek nevezzk. A tov bbiakban ezen eloszl scsal dra GEV(   ) jellssel hivatkozunk. Ezek ut n felmerlhet az a krds, hogy adott H extrmrtk eloszl s mellett mely F eloszl s esetn tart az Mn maximum H -hoz? 7 2. Den ci (Max-vonz startom ny, Maximum domain of attraction) Azt mondjuk, hogy az X valsz n sgi vltoz (ill. a hozz tartoz eloszls vagy eloszlsfggvny) a H extrmrtk eloszls max-vonzstartomnyba d tartozik, ha lteznek olyan cn > 0, dn 2 R konstansok, hogy c;n 1 (Mn ; dn) ! H. Jel.: X 2 MDA(H ) (F 2 MDA(H )) 4. Ttel (MDA(H ) karakteriz cija) Az F eloszls a H extrmrtk eloszls max-vonzstartomnyba tartozik a cn > 0 dn 2 R normalizl konstansokkal akkor s csak akkor, ha lim nF (cnx + dn) = ; ln H (x) x 2 R : n!1 H (x) = 0 esetben a hatrrtk 1. 8 (1.6) 2. fejezet Stacionrius sorozatok extrmumai A gyakorlatban azok a folyamatok, amelyek extrmumai rdekesek

sz munkra, ltal ban nem tekinthetk fggetlen meg gyelseknek. A fggetlen, azonos eloszl s sorozat termszetes ltal nost sa az (ersen) stacionrius sorozat. A stacion rius sorozatok sszefggsgi szerkezett ltal noss gban lerni nehz, csak bizonyos felttelek bevezetsvel lehet. 3. Den ci (Ersen stacin rius sorozat) Azt mondjuk, hogy az X1  X2  : : :  Xn : : : valsz n sgi vltozk sorozata (ersen) stacion rius, ha minden vges dimenzis eloszlsa eltolsinvarins, azaz (Xt1  : : :  Xtm ) =d (Xt1 +h : : :  Xtm +h) minden t1 < : : : < tm indexre s h egszre. Azt mondjuk, hogy (X~n) az (Xn)-hez tartoz fggetlen sorozat, ha ugyanolyan margin lis eloszl ssal rendelkezik, mint (Xn) s fggetlen. A tov bbiakban X1 : : :  Xn jelljn egy stacion rius sorozatbl vett meg gyelssorozatot F (x) := P (X1  x) eloszl sfggvnnyel. Mn := max(X1 : : :  Xn) legyen a minta maximuma Fn(x) := P (Mn  x) eloszl sfggvnnyel. 9 (X~n) legyen a hozz tartoz

fggetlen sorozat s M~ n := max(X~1  : : :  X~n) az els n v ltoz maximuma. Re lisnak tn felttel az extrmumok szempontj bl az, hogy rvid t von egym s ut n tbb kiugr rtket is meg gyelhetnk. Ezzel szemben egy ksbbi extrm meg gyels bekvetkezsnek valsznsgt m r nem befoly solja a kor bbi esemny. Az egym stl t vol lv extrm meg gyelsek fggetlensgt jelenti a kvetkez felttel. Felttel. (D(un) felttel) Brmely p, q s n egszek esetn, amelyekre 1  i1 < : : : < ip < j1 < : : : < jq  n valamint j1 ; ip  l teljesl, fennll a kvetkez: P  max X i2A1 A2 i       un ; P max X  un P max X  un  i2A i i2A i 1 2 ahol A1 = fi1  : : :  ipg A2 = fj1  : : :  jq g s l = ln = o(n). nl nl  ! 0, midn n ! 1 s Ezen s hasonl felttelek vizsg lat val bvebben Leadbetter, Lindgren s Rootzn 3] foglalkozik. A D(un) felttelbl kvetkezik pld ul, hogy P (Mn  un) = P k (Mbn=kc  un) + o(1) (2.1) konstans k-ra,

vagy kn = o(n) esetn. (bxc jelli x egsz rszt) A kvetkez ttel a stacion rius sorozatok maximumainak lehetsges hat reloszl s rl szl. 5. Ttel Legyen X1 : : :  Xn ersen stacionrius sorozat Mn maximummal Tegyk fel, hogy lteznek olyan cn > 0 s dn 2 R konstansok, hogy c;n 1 (Mn ; dn) !d G, valamely G eloszlsra. Ha az (un) = (cnx + dn) sorozat kielg ti a D(un) felttelt minden vals x esetn, akkor G extrm rtk eloszls. 10 Bizony ts. Az 1 De nci valamint az 2 s 3 Ttel alapj n tudjuk, hogy G extrmrtk eloszl s akkor s csak akkor, ha max-stabilis. (21)-bl kvetkezik, hogy P (Mnk  cnx + dn) = P k (Mn  cnx + dn) + o(1) ! Gk (x) b rmely k  1 egsz esetn, G-nek minden x folytonoss gi pontj ban. M srszt: P (Mnk  cnk x + dnk ) ! G(x): Eloszl stpusokra vonatkoz ttelekbl (l sd 1]) kvetkezik, hogy lteznek olyan c~k > 0 s d~k 2 R konstansok, hogy cnk = c~ s lim dnk ; dn = d~  lim k k n!1 cn n!1 cn s a fggetlen azonos G eloszl s Y1 : : : 

Yk v ltozkra max(Y1 : : :  Yk ) =d c~k Y1 + d~k d Megjegyzs. Az elz ttelbl nem kvetkezik, hogy ha c;n 1 (Mn ; dn) ! G d s c;n 1(M~ n ; dn) ! H , akkor G = H . Amint ksbb l tni fogjuk G gyakran H  alak, ahol  2 (0 1]. L that, hogy ha ltezik hat reloszl s, akkor az csakis max-stabilit s eloszl s lehet. Ezut n a P (Mn  un) valsznsgek hat rrtknek ltezshez elgsges felttelt szeretnnk, olyan (un) kszbrtk sorozatok esetn, amelyekre fenn ll: nF (un) !    2 0 1): Ehhez bevezetjk a kvetkez felttelt. Felttel. (D0(un) felttel) lim lim sup n k!1 n!1 bX n=kc j =2 P (X1 > un Xj > un) = 0 11 Ez a felttel a stacion rius sorozatok azon tulajdons g t jellemzi, hogy az extrmumok nem egym s ut n, csoportokba kpzdve jelentkeznek. Ezek ut n kimondhatjuk az 1. Ttel analogonj t: 6. Ttel Tegyk fel, hogy az (Xn) stacionrius sorozat s az (un) kszbrtk sorozat kielg ti a D(un) s D0 (un) feltteleket, tovbb legyen  2 0 1) Ekkor a

kvetkezk ekvivalensek: lim nF (un) =  lim P (Mn  un) = e; : n!1 (2.2) (2.3) n!1 Bizony ts. (Itt csak az elgsgessg bizonyt s t kzljk a D(un) s D0 (un) felttelek haszn lat nak szemlltetsre. A szksgessg bizonyt sa hasonlkppen trtnik) Ha l  1, akkor fenn ll: l X i=1 P (Xi > un) ;  P (Ml > un)  Az Xn stacionarit s bl: l X X 1i<j l i=1 X 1i<j l l X i=1 P (Xi > un Xj > un) P (Xi > un): (2.4) P (Xi > un) = lF (un) P (Xi > un Xj > un)  l l X j =2 P (X1 > un Xj > un): Ezt sszevetve (2.4)-el l = bn=kc-re s rgztett k-ra, als s fels becslst kaphatunk P (Mbn=kc  un)-re: 1 ; bn=kcF (un)  P (Mbn=kc  un)  1 ; bn=kcF (un) + bn=kc 12 bX n=kc j =2 P (X1 > un Xj > un): A ttel felttelbl kvetkezik, hogy bn=kcF (un) ! =k (n ! 1), valamint D0(un) miatt teljesl: lim supbn=kc bX n=kc n!1 j =2 P (X1 > un Xj > un) = o(1=k) k ! 1: gy a kvetkez becssekhez jutunk:  + o(1=k):

inf P ( M  u )  lim sup P ( M  u )  1 ; 1 ; k  lim b n=k c n b n=k c n n!1 k n!1 Ebbl (2.1) alapj n kapjuk:  k  1 ; k  lim inf P (Mn  un) n!1 k   lim sup P (Mn  un)  1 ; k + o(1=k) : n!1 Majd k-val vgtelenhez tartva: lim P (Mn  un) = e; : n!1 Most kimondhatjuk az Mn maximumok hat reloszl s rl szl ttelt. 7. Ttel (Stacion rius sorozat maximum nak hat reloszl sa) Legyen (Xn ) egy stacionrius sorozat F eloszlsfggvnnyel, melyre F 2 MDA(H ) valamely H extrmrtk eloszlsra, azaz lteznek olyan cn > 0 s dn 2 R konstansok, hogy lim nF (cnx + dn) = ; ln H (x) x 2 R : n!1 (2.5) Tovbb tegyk fel, hogy az (un) = (cnx + dn) sorozatok kielg tik a D(un) s D0(un) feltteleket minden x 2 R esetn. Ekkor (25) ekvivalens a kvetkezkkel: c;n 1(Mn ; dn) !d H c;n 1(M~ n ; dn) !d H: 13 (2.6) (2.7) Bizony ts. (25) s (27) ekvivalenci ja kvetkezik a fggetlen sorozatok maximumairl szl 4 Ttelbl (25) s (26) a 6 Ttel alapj n ekvivalens A fentiek

alapj n teh t l that, hogy a D(un) s D0(un) feltteleknek eleget tev stacion rius folyamat valamint a hozz tartoz fggetlen sorozat maximumai hasonlan viselkednek. A ttelbl az is vil gos, hogy a cn s dn sorozatokat ugyanannak v laszthatjuk mindkt sorozat esetn. Mindezt persze a meglehetsen szigor D(un) s D0(un) felttelek biztostj k, amelyek teljeslsnek ellenrzse nehz feladat. 1. Plda Tegyk fel, hogyp Y1 Y2 : : :  Yn fggetlen, azonos eloszl s val- sznsgi v ltozk sorozata F eloszl sfggvnnyel, valamely F eloszl sfggvnyre. De ni ljuk az (Xn) sorozatot a kvetkezkppen: Xn = max(Yn Yn+1) n 2 N : Ekkor (Xn) stacion rius sorozat F margin lis eloszl ssal. A konstrukcibl az is vil gos, hogy (Xn) maximumai p rokban jelentkeznek, egym st kvet meg gyelsek. Tegyk fel most, hogy (un) " xF (xF az F eloszl s fels vgpontja), valamint (un)-re fenn ll (2.2) Ekkor F (un) ! 1 s   p nP (Y1 > un) = n 1 ; F (un) = nFp(un) !  : 1 + F (un) 2

gy az 1. Ttel alapj n P (Mn  un) = P (max(Y1 : : :  Yn Yn+1)  un) = P (max(Y1 : : :  Yn)  un)F (un) ! e;=2  n ! 1: A D(un) felttel termszetesen igaz, hiszen ha l  2, akkor Yi-k fggetlensge miatt nl = 0 v laszt s lehetsges. Minthogy P(Mn  un) ! e;=2 , ezrt a D0(un) felttel nem teljeslhet. Valban, mivel X1 s Xj fggetlen 14 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 0 20 40 60 80 (a) Standard exponencilis fggetlen tozk realizcii 100 n Y 0 20 40 vl- (b) Az ( n ) = max( realizcija X 60 80 n n+1 ) Y Y 100 folyamat 2.1 bra Az Xn folyamat extrmumai prosval jelentkeznek j  2-re, ezrt: n bX n=kc j =2 P (X1 > un Xj > un) = nP (X1 > un X2 > un) + n(bn=kc ; 2)P 2(X1 > un) = nP (max(Y1 Y2) > un max(Y2 Y3) > un) +  2 =k + o(1) = nP (Y2 > un vagy Y1 > un Y3 > un) +  2 =k + o(1) n ! 1: Valamint: nP (Y2 > un vagy Y1 > un Y3 > un) nP (Y1 > un) ! =2: Ebbl kvetkezik, hogy D0(un) nem llhat

fenn. Az (Xn) sorozatnak klaszter kpzsi tulajdons ga van, az extrmumok p ros val jelentkeznek (2.1 bra) 15 3. fejezet Az extremlis index Az elz fejezetben l ttuk, hogy csak meglehetsen szigor felttelek biztostj k azt, hogy egy stacion rius sorozat maximumai ugyangy viselkedjenek, mint a hozz tartoz fggetlen sorozat. Az extrem lis index olyan mennyisg, amely egy stacion rius sorozat sszefggsgi struktr ja s extrem lis viselkedse kzti kapcsolatot karakteriz lja. 3.1 Az extremlis index dencija, tulajdonsgai 4. Den ci (Extrem lis index) Legyen (Xn) egy ersen stacionrius sorozat s  egy nem-negat v szm. Tegyk fel, hogy brmely  > 0-hoz ltezik olyan (un) sorozat, hogy lim nF (un) =  lim P (Mn  un) = e; : n!1 n!1 (3.1) (3.2) Ekkor a  szmot az (Xn) sorozat extrem lis indexnek nevezzk. Megjegyzs. 1) A de nci fggetlen az (un) sorozat v laszt s tl Pontosabban, ha (Xn) extrem lis indexe  > 0, akkor b rmely (un) vals sorozat s 16

 2 0 1] esetn (3.1), (32) s P (M~ n  un) ! expf; g ekvivalensek, l sd Leadbetter 2]. Kvetkezskppen ha F 2 MDA(H ) valamely H extrmrtk eloszl sra s M~ n a hozz tartoz fggetlen sorozat maximuma, akkor c;n 1(M~ n ; dn) !d H () c;n 1 (Mn ; dn) !d H  (3.3) alkalmas cn > 0 s dn normaliz l konstansokkal. 2.) Mivel egy extrmrtk eloszl s max-stabilis, ezrt H  ugyanolyan tpus eloszl s, mint H , azaz lteznek olyan c > 0 s d 2 R konstansok, hogy H  (x) = H (cx + d). L that, hogy ha egy stacion rius sorozatnak ltezik extrem lis indexe, akkor a klasszikus extrmrtk elmlet megfelel eredmnyei knnyen tltethetk az sszefgg esetre. 2. Plda Az 1 Pld ban megmutattuk, hogy az (Xn) sorozatra fenn ll P (Mn  un) ! e;=2 . Teh t az (Xn) sorozat extrem lis indexe  = 1=2 A de nci kapcs n felvetdhetnek a kvetkez krdsek: Hogyan rtelmezhet az extremlis index? vagy Milyen rtkeket vehet fel az extremlis index? Minden ersen stacionrius sorozatnak

ltezik extremlis indexe? Ez utbbi krdsre a v lasz nem ! 3. Plda Tegyk fel, hogy (Xn) fggetlen, F eloszl s valsznsgi v ltozk sorozata, tov bb F 2 MDA() s cn legyen a maximumot normaliz l konstans Legyen A olyan pozitv valsznsgi v ltoz, amely fggetlen (Xn)-tl. Ekkor P (c;n 1 max(AX1  : : :  AXn)  x) = P (c;n 1Mn  A;1 x) = EP (c;n 1Mn  A;1 x j A) ! E exp ;x; A  x > 0: Az A v ltoz alkalmas megv laszt sa mellett az (AXn) folyamat maximuma nem lehet Fr#chet eloszl s, ezrt nem ltezik hat reloszl sa. 17 Megjegyzs. Stacion rius sorozatok szles krre igaz, hogy lteznek olyan 0  0  00  1 vals sz mok, amelyekkel e;   lim inf P (Mn  un)  lim sup P (Mn  un)  e;    > 0 n!1 00 0 n!1 tetszleges un sorozatra, mely kielgti (3.1)-et Ennek bizonyt sa megtal lhat Leadbetter, Lindgren s Rootzen 3]-ban 1. ll ts  2 0 1] Bizony ts. Minthogy az e; kifejezs valsznsg hat rrtkeknt ll el ezrt e;  1. Mivel  > 0

ezrt  szksgkppen nemnegatv M srszt: P (Mn  un) = 1 ; P n  ! fXi > ung  1 ; nF (un): i=1 Itt a baloldal ugyancsak e; -hoz tar, mg a jobboldal 1 ;  -hoz. gy e;  1 ;  minden  > 0 esetn, ami csak gy lehet, ha   1. Az extrem lis index de ncij bl az 1. s 6 Ttelekbl egyszeren kvetkezik a kvetkez kt llt s: 2. ll ts Ha (Xn) fggetlen, azonos eloszls valsz n sgi vltozk sorozata, akkor  = 1 3. ll ts Ha (Xn) ersen stacionrius sorozat, valamint (un) a vals szmoknak olyan sorozata, amely kielg ti (31)-et, valamint a D(un) s D0 (un) feltteleket, akkor  = 1. A fenti llt sokbl kvetkezik, hogy ha egy stacion rius sorozat extrem lis indexe 1, abbl nem kvetkezik, hogy fggetlen sorozat. L ttuk, hogy ha egy stacion rius sorozatra  > 0, akkor a fggetlen esethez hasonlan ltal nostott extrmrtk eloszl s lp fel a maximumok hat reloszl saknt. Most vizsg ljuk meg, hogy  = 0 esetn mit mondhatunk a hat reloszl sokrl. 18 8.

Ttel Legyen (Xn) ersen stacionrius sorozat, mely extremlis indexe  = 0. Jellje M~ n a hozztartoz fggetlen sorozat maximumt Ekkor tetszleges (vn ) szmsorozat esetn (a) Ha lim inf P (M~ n  vn) > 0, akkor P (Mn  vn) ! 1 n!1 (b) Ha lim sup P (Mn  vn) < 1, akkor P (M~ n  vn) ! 0. n!1 Bizony ts. Mivel  = 0, azrt az extrem lis index de ncij bl kvetkezik, hogy 8  > 0 esetn P (Mn  un) ! 1, midn n ! 1, ahol un olyan, hogy nF (un) !  . Ha lim inf P (M~ n  vn) =  > 0 s  olyan, hogy e; < , akkor n!1 mivel P (M~ n  un) ! e; , azrt szksgkppen vn > un minden elegenden nagy n esetn. gy lim inf P (Mn  vn)  nlim P (Mn  un) = 1 n!1 !1 ami ppen (a). Most tegyk fel, hogy lim sup P (Mn  vn) < 1. Akkor mivel P (Mn  un) ! 1, n!1 azrt vn < un, 8  > 0-ra, elegenden nagy n esetn. Kvetkezskppen: lim sup P (M~ n  vn)  lim P (M~ n  un) = e; : n!1 n!1 Ebbl  -val a vgtelenhez tartva kapjuk ttelnk (b) rszt.

Megjegyzs. A fenti ttelbl kvetkezik, hogy ha egy stacion rius sorozat extrem lis indexe  = 0, akkor Mn-nek s M~ n -nak nem ltezhet egyszerre hat reloszl sa. A  = 0 elfajult esettel bvebben 3] foglalkozik Az extrem lis index jelentsgt szemllteti a kvetkez plda: 4. Plda Tegyk fel, hogy olyan g tat kell ltestennk egy foly mell, amely 95%-os biztons ggal vd az elkvetkezend 100 vben. Tov bb ttelezzk fel, hogy az ves maxim lis vzszint 99,9% s 99,95%-hoz tartz percentilise 10m ill. 11m Ha az ves maximumokat homogn, azonos eloszl snak felttelezzk, akkor a g tnak 11m magasnak kell lenni (0 9995100 0 95). Mg ha a folyamat stacion rius sorozat pld ul  = 0:5 extrem lis indexszel, akkor a g tat elegend 10m magasra pteni (0 99950 0 95). 19 3.2 Az extremlis index rtelmez se %sszefgg folyamatoknak csoportkpz tulajdons ga van, az extrm rtkek nem egym stl fggetlenl, hanem klaszterekbe rendezdve jelentkeznek. Hsing, Hsler s Leadbetter

4] megmutatta, hogy bizonyos kever felttelek teljeslse esetn a meghalad sok folyamata Nn() = 1 X i=1 "i=n()IfXi>ung sszetett Poisson-folyamathoz tart N () = 1 X i=1 i ";i () midn nF (un) !  > 0. Itt "x(A) = ( 1 ha x 2 A 0 ha x 62 A, A 2 A -algebra Az N () h tterben lv homogn Poisson-folyamat paramtere  , pontjai a ;i-k. A i-k (i = 1 2 : : : )  n klaszter mretek  egym stl s a homogn Poisson-folyamattl fggetlen valsznsgi v ltozk j := P ( i = j ) eloszl ssal (j = 1 2 : : : ). A meghalad sok v rhat sz ma: EN (0 1] = E = E = 1 X i";i (0 1] i=1 1 X ";i (0 1]E i=1 E i: i (3.4) &ltal nos feltevsek mellett fenn ll a kvetkez: j = nlim  (n) !1 j = nlim P !1  r X i=1 IfXi>un g = j 20 r X i=1 ! IfXi >ung > 0  j 2 N : Itt r = r(n) olyan, hogy r(n) ! 1 s r(n)=n ! 0. A folyamat szintmeghalad sait r hossz blokkokra osztva gyeljk, gy klntnk el csoportokat Tov bbi

felttelek teljeslse esetn (l sd Smith 5]): lim n!1 1 X j =1 jj (n) = 1 X j =1 jj = E 1: (3.5) Ezrt (3.4) s (35) alapj n kapjuk a kvetkezt:  = nlim nF (un) = nlim ENn(0 1] = nlim E !1 !1 !1 = EN (0 1] = E 1 : n X i=1 IfXi >ung Ezt trendezve  = (E 1);1 , vagyis az extrem lis index reciproka a hat rrtkknt fellp sszetett Poisson-folyamat klasztermret-v rhat rtknek. A meghalad sok folyamat nak hat rrtkeknt sszetett Poisson-folyamatot kaptunk, extrm rtkek egy csoportja jn ltre vletlen idpontokban. Ha ezt sszevetjk az 1 Ttellel s az azt kvet megjegyzssel, akkor l thatjuk, hogy ott ppen a fggetlensg biztostotta azt, hogy a meghalad sok folyamata homogn Poisson-folyamathoz tartson. Az extrem lis index egy stacion rius sorozat szintmeghalad sainak csoportkpz tulajdons g t reprezent lja, fggetlen esetben a  = 1 extrem lis index megfelel ennek az rtelmezsnek. Gyakorlati alkalmaz sokban sz mos folyamat esetn tal lkozhatunk

csoportkpz tulajdons ggal Pld ul egy foly rvizei nagyobb hull mokban, tbb napig tart magas vzszintrtkekkel jelentkeznek. 21 3.3 Az extremlis index becsl si mdszerei Az extrem lis index becslsnek alapvet megkzeltse az elz rszben t rgyalt klaszter-kpzsi tulajdons gon alapszik. Elszr de ni ljunk valamilyen mdon csoportokat, majd sz moljuk meg a csoporton belli szintmeghalad sokat Ezut n az tlagos csoport-elemsz m reciprok val becsljk -t 3.31 A blokk mdszer Az extrem lis index de ncij bl kiindulva P (Mn  un) P  (M~ n  un) = F n(un) az ltal, hogy nF (un) !  > 0, ahol M~ n a stacion rius sorozattal megegyez margin lis eloszl ssal rendelkez fggetlen sorozat. gy ln P (Mn  un) = : lim n!1 n ln F (un) Minthogy az F (un) s P (Mn  un) mennyisgek ismeretlenek, ezrt ezeket kell becslni. Az F (un) farokeloszl s tapasztalati becslse: n N = 1X n n i=1 IfXi >ung  ahol teh t N az un szint feletti meg gyelsek sz ma. P (Mn  un) becslse

nem kzenfekv A 2 fejezetben emltettk, hogy a D(un) felttelbl kvetkezik, hogy P (Mn  un) P k (Mbn=kc  un) (3.6) alkalmas k konstans, vagy k = o(n) mellett. Ez adja az tletet a blokk mdszerhez. Az egyszersg kedvrt tegyk fel, hogy n = rk, ahol r = r(n) ! 1 s k = k(n) ! 1 egsz sz mok. M skppen legyen r = bn=kc Azaz osszuk fel az X1  : : :  Xn mint t k darab r hossz blokkra: X1 : : :  Xr  : : :  X(k;1)r+1 : : :  Xkr 22 Minden egyes blokknak sz moljuk ki a maximum t: Mr(i) = max(X(i;1)r+1  : : :  Xir )  i = 1 : : :  k: gy (3.6) a kvetkez kzeltst adja:  P (Mn  un) = P 1max M  un ik r  (i) k 1X k i=1 IfMr(i) ung  !k P k (Mr  un)  = 1 ; Kk k  ahol K jellje azon blokkok sz m t, amelyekben legal bb egy rtk meghaladja az un szintet. Az elzekbl kapjuk a kvetkez becslst: ; K=k) = 1 ln(1 ; K=k) : ^1 = nk ln(1 ln(1 ; N=n) r ln(1 ; N=n) A Taylor-sorfejtsbl add kzelts a 1 K=k ^ = ^2 = K N r N=n 1 Ez a becsls

megfelel annak az rtelmezsnek, hogy az extrem lis index a folyamat extrmumainak klaszter-kpzsi tulajdons g t reprezent lja. A blokk mdszerben klasztereket de ni ltunk gy, hogy a mint t flosztottuk r hossz blokkokra. Azt mondjuk, hogy egy klaszter ltrejtt az i ; ik blokkban, ha az (i) Mr > un = r  j =1 X(i;1)r+j > un esemny bekvetkezik. A klaszter elemsz ma a meghalad sok sz ma a blokkban Ezek az esemnyek karakteriz lj k (Xn) extrem lis viselkedst, ha r = r(n)-et o(n) sebessggel nveljk. A mdszer nehzsge, hogy a becsls fgg r s un rtktl, gy a becsls kulcsfontoss g krdse: Adott n mellett hogyan vlasszuk meg az r s un paramtereket? Rszleges v laszok tal lhatk a szakirodalomban, l sd pld ul 6]. 23 3.32 A futam mdszer OBrien 7] bebizonytotta, hogy bizonyos felttelek mellett fenn ll a kvetkez: P (Mn  un) = (F (un))nP (M2sun j X1>un ) + o(1) = exp f;nP (X1 > un M2s  un)g + o(1) az ltal, hogy nF (un) !  , ahol M2s =

max(X2 : : :  Xs), s s-re klnbz felttelek llnak fenn, tbbek kztt s = s(n) ! 1 s s=n ! 0. Ugyanakkor az extrem lis index de ncija alapj n: P (Mn  un) = expf; g + o(1): gy a fenti egyenlsgekbl: lim  (s(n) un) = nlim P (M2s n!1 n !1  un j X1 > un) =  : Ezzel  feltteles valsznsgknt rtelmezhet. M2s akkor lehet kisebb un-nl, ha X1 az utols elem az un szintet meghalad rtkek csoportj ban. Ha a nagy rtkek csoportokban fordulnak el, akkor lesznek hosszabb szakaszok is a csoportok kztt, amelyekben kis rtkek vannak. A becsls ilyen futamok megsz ml l s n alapszik: Pn;r Pn;r I I A in i =1 = i=1 Ain  ^3 = Pn i=1 IfXi >un g N ahol Ain = fXi > un Xi+1  un : : :  Xi+r  ung: Vagyis legal bb r egym s ut ni meg gyelst keresnk az un szint alatt, amelyek kt klasztert hat rolnak. Ez ltal jabb de ncij t adtuk a csoportoknak Kt rvizes csoportot klnbznek tekintnk, ha legal bb r darab un alatti meg gyels v lasztja el ket. A

klaszter mrete, pedig egy ilyen csoportban az un szintet meghalad rtkek sz ma A futam-becsls a blokk mdszerhez hasonlan az un s rn paramterek megv laszt s tl fgg. 24 3.33 Maxima mdszerek A maxima mdszerekkel val becsls az extrem lis index (3.2) alatti karakteriz cij n alapszik Azt haszn lja ki, hogy az extrem lis index sszefggst ad egy stacion rius sorozat maximumainak s az ugyanolyan margin lis eloszl s fggetlen v ltozk maximumainak extrmrtk eloszl sa kztt. Amint az extrem lis index bevezetsnl l ttuk, ha X1  X2 : : :  Xn valsznsgi v ltozk egy stacion rius sorozata  extrem lis indexszel, akkor n ! 1 esetn: Fn(un) ! G(x) = fH (x)g  (3.7) ahol un megfelel sorozat s H (x) az (Xn)-hez tartoz fggetlen sorozat maximum nak hat reloszl sa: GEV(   ). Ebbl kvetkezik, hogy G(x) is ltal nostott extrmrtk eloszl s, GEV(      ) a kvetkez paramterekkel:  = + ( ; 1)  =  s  = : (3.8) A G(x) s H (x) eloszl sokat az

eredeti stacion rius sorozat s a hozz tartoz fggetlen sorozat maximumaibl becslhetjk. Ezut n a kt eloszl s megfelel sszehasonlt sbl a  paramterre kaphatunk becslst. &ltal nostott extrmrtk eloszl s illesztst stacion rius sorozat maximumaira kvetkezkppen vgezhetjk. A klasszikus extrmrtk elmletben megszokott mdszerekhez hasonlan a mint t r hossz blokkokra osztva az egyes blokkok maximumait vizsg ljuk. Jellje Mr(i) (i = 1 : : :  k) az i-ik blokk maximum t, ahol k = bn=rc. Ekkor a D(un) felttel s (37) alapj n elegend nagy r mellett az Mr(i) rtkek extrmrtk eloszl sbl vett fggetlen meg gyelseknek tekinthetk. Ezeket GEV(      ) eloszl ssal modellezzk, amihez az eloszl s paramtereit becsljk A paramterbecslsekre sz mos mdszer ismert. Ancona-Navarette s Tawn 8] alapj n az eredeti stacion rius sorozattal megegyez margin lis eloszl s fggetlen sorozatot gy kaphatunk, hogy 25 a meg gyelsek indexeit vletlentjk, vagyis

vletlenszeren megkeverjk a mint t. Ez az j sorozat gy viselkedik, mint a stacion rius sorozathoz tartoz fggetlen sorozat approxim cija Most kt klnbz mdszert ismertetnk a  paramter becslsre az gy konstru lt fggetlen sorozat felhaszn l s val. Eloszlsok sszehasonl tsn alapul mdszer Jellje M~ r(i) (i = 1 : : :  k) a konstru lt fggetlen sorozat r hossz blokkjainak maximumait. Ezeket fggetlen, ltal nostott extrmrtk eloszl sbl vett meg gyelseknek tekintjk, azaz GEV(   ) eloszl ssal modellezzk. Ha az extrem lis index , akkor az eredeti sszefgg sorozat Mr(i) (i = 1 : : :  k) maximumait GEV(      ) eloszl ssal modellezzk, ahol a     s  paramtereket (3.8) adja Gomes 9] javaslat ra a -ra gy adhatunk becslst, hogy a fggetlen minta s az eredeti sorozat maximumaira illesztett ltal nostott extrmrtk eloszl s paramtereinek becslseit, (^ ^  ^)-t s ( ^  ^  ^ )-t vetjk ssze s a (3.8) sszefggs segtsgvel kifejezzk

-t Ehhez elszr a paramtert becsljk, mely h romflekppen trtnhet. A (38) sszefggs alapj n az eltol s s sk la paramterekbl a paramterek becslsnek megkerlsvel ~ = ^ ; ^ : ^ ; ^ Minthogy =  , ezrt kln-kln a kt maximum-sorozatbl becslve -t jabb becslst kaphatunk r ~ = ^ ill. ~ = ^ Elmletileg a h rom rtk megegyezik, de a gyakorlatban a becslsek eltrnek. Az extrem lis index becslse ezut n   ;1=~ ^4 = ^ : ^ Az elj r s lnyege teh t, hogy kln-kln becsljk meg a ktfle GEV paramtervektort, majd a kztk lv megfelel sszefggs kihaszn l s val kvetkeztetnk -ra. 26 Maximum likelihood mdszer A maximum likelihood mdszer esetna fentiekkel szemben a (    ) paramtervektort egyszerre becsljk. E ngy paramter egyrtelmen meghat rozza Mr s M~ r eloszl s nak sszes paramtert, hiszen GEV(      ) = GEV( + ( ; 1)   ) = GEV(    ): Ezek szerint az sszefgg sorozat maximumainak extrmrtk eloszl s t gy is

kezelhetjk, mint egy ngyparamteres GEV(    ) eloszl scsal d. A paramterek egyttes becslshez az (1) (k) ~ (1) ~ r(k) M  : : :  M  M  : : :  M (3.9) r r r {z }| {z } | GEV(  ) GEV(   ) mint t vesszk alapul s fggetlen, de nem azonos eloszl s GEV valsznsgi v ltozknak tekintjk a fenti margin lis eloszl sokkal. Az egyttes vektor nem fggetlen, de Ancona-Navarette s Tawn 8] alapj n ez a hat s elhanyagolhat a gyakorlatban. A paramterek, gy  maximum likelihood becslshez (3.9) likelihood-fggvnyt maximaliz lva jutunk el A maxima mdszerek elnye, hogy a becsls csak egyetlen paramtertl, az r-tl fgg s nincs szksg szintek de ni l s ra. Ugyanakkor r-t megfelelen kell megv lasztani ahhoz, hogy a klnbz maximumok fggetlennek tekinthetek legyenek, s emellett elegend sok meg gyelsnk legyen az eloszl sillesztshez. Mivel a fenti elj r sok vletlentst alkalmaznak, ezrt a becslseket gy rdemes vgezni, hogy minden egyes r rtk mellett

tbbszr keverjk t a sorozatot, majd minden lpsben sz moljuk ki -t. A becslsek tapasztalati eloszl s t tekintve, empirikusan becslhetjk -t az tlaggal vagy medi nnal, a szr s gyelembevtelvel kon dencia intervallum konstru lhat. Az r rtk megv laszt s hoz a klnbz hib k gyelembevtelvel juthatunk el. Ilyen pld ul a becslsek szr sa vagy az alakparamter h rom klnbz becslsnek az eltrse. A kvetkez fejezetben azonban l tni fogjuk, hogy az extrem lis index gyakorlati alkalmaz s n l pld ul extrmrtk eloszl s illesztsre, az r paramter megv laszt sa m r nem lesz krds. 27 3.4 Az extremlis index becsl seinek tulajdonsgai Ebben a rszben az extrem lis index blokk s futam mdszerrel trtn becslsnek hat reloszl s rl s konzisztenci j rl lesz sz. Ezek ltezshez klnbz felttelekre lesz szksgnk, ezrt vezessk be a kvetkez jellseket Tov bbra is X1  : : :  Xn jelljn egy stacion rius sorozatbl vett meg gyels-sorozatot, Mn pedig az els

n mintaelem maximum t. Ezen kvl a becslsi mdszereknl bevezetett jellsekkel: M2r = max(X2 : : :  Xr ) Mr(i) = max(X(i;1)r+1  : : :  Xir ) s Ain = fXi > un Xi+1  un : : :  Xi+r  ung: Az un sorozatrl feltesszk, hogy nP (X1 > un) = nF (un) ! 1 valamint a becslsekben szerepl r paramterrl, hogy r = rn = o(n). Az itt lertak alapja az extrem lis index ktfle megkzeltse: P (Mr > u) B (r u) = rP (X1 > u) ill. R(r u) = P (M2r  u j X1 > u) Amint l ttuk, ezen rtelmezsekbl kaphatunk -ra becslst. Az extrem lis index n elem mint bl blokk mdszerrel trtn becslst ^nB -vel, a futam mdszerrel trtn becslst ^nR -el jelljk. De ni ljuk 1  m  n esetn az F1m(u) = IfXi >ug : m  i < n -algebr t s legyen (k) := (k u) = sup jP (B j A) ; P (B )j  ahol a szuprmum az sszes olyan A 2 F1m(u), B 2 Fm+k1(u) halmazokon rtend, amelyekre P (A)P (B ) > 0 s m > 1. 28 9. Ttel Tegyk fel, hogy n ! 1 esetn P (Mr > un)

!  nB := B (rn un) = rP (X > u ) 1 (3.10) n tovbb r = rn s r = 1, valamint k = bn=rc esetn n := k X i=1 (1 ; i=k)fP (Mr(i+1) > un j Mr(1) > un) ; P (Mr(1) > un)g = o(nF (un)): (3.11) Ekkor ^nB !  1 valsz n sggel, midn n ! 1. n P n P Megjegyzs. Mivel jn j  (1 + (i ; 1)r))  (i), ezrt (311) teljesi=r i=1 lshez elegend, ha n X i=1 (i un) = o(nF (un)) (3.12) 10. Ttel Tegyk fel, hogy n ! 1 esetn nR := R(rn un) = P (M2r  un j X1 > un) !  (3.13) tovbb r = rn s r = 1 esetn n := n X i=1 (1 ; i=n)fP (Ai+1n j A1n) ; P (A1n)g = o(nF (un)): (3.14) Ekkor ^nR !  1 valsz n sggel, midn n ! 1. Megjegyzs. Mivel jn j  teljesl. n P i=r (1 + i ; r), ezrt (3.14) fenn ll, ha (312) 29 Ezek ut n ^nB s ^nR hat reloszl s nak meghat roz s hoz vezetnk be feltteleket. Ehhez szksgnk lesz a kvetkez jellsekre Yi := IAin ; nR IfXi >ung Zi := IfMr(i) >ung ; nB ir X j =(i;1)r+1 IfXj >ung L that,

hogy EYi = EZi = 0, s D2Yi = nR (1 ; nR )F (un). 11. Ttel Tegyk fel, hogy  < 1, a 10Ttel felttelei fennllnak s Ha (D2 Pn sup (krn un) ! 0 (k ! 1): n (3.15) Y1) ! R2 , midn n ! 1 s rn2 = o(nF (un)), akkor q   d ;  nF (un) ^nR ; nR ;! N 0 R2 (1 ; ) : (3.16) i=1 Yi )=(nD 2 12. Ttel Tegyk fel, hogy a 9Ttel felttelei s (315) teljeslnek Tovbb P rn4 = o(nF (un)) s (D2 ni=1 Zi)=(nF (un)) ! B2 , midn n ! 1. Ekkor q   d nF (un) ^nB ; nB ;! N ;0 B2  : (3.17) Megjegyzs. Ha (nR ; ) = o(nF (un )) ill (nB ; ) = o(nF (un)), akkor (3.16)-ban ill (317)-ben nR ill nB helyett  rhat A 11 s 12 Ttelek alkalmaz s val kon dencia intervallum konstru lhat -ra, amelyhez R2 -re ill. B2 -re kell becslst adni Ez meglehetsen nehz feladat, eredmnyek a szakirodalomban mg nem tal lhatak. A fenti ttelek bizonyt sai megtal lhatak Weissman, Novak 10]-ben. Itt utal st tal lhatunk arra is, hogy az extrem lis index becslseinek fenti tulajdons gai alapj n

a futam mdszer tnik megbzhatbbnak. A becslsek szr s t s torzt s t gyelembe vve ugyancsak a futam mdszert prefer lj k Smith, Weissman 6]-ban. 30 4. fejezet ltalnos tott extrmrtk eloszls illesztse stacionrius sorozat maximumaira A 5. Ttel alapj n tudjuk, hogy egy stacion rius sorozat maximumainak lehetsges hat reloszl saknt ltal nostott extrmrtk eloszl s (GEV): "  G(x) = exp ; 1 +   x;    ;1= # +  (4.1) lphet fel, ahol fxg+ = max(0 x),  > 0, s  ,  ,  az eltol s, sk la s alak paramterek. A stacion rius sorozat extrmumait ezen eloszl scsal dbl sz rmaz eloszl ssal szeretnnk modellezni. 4.1 A klasszikus mdszer Amint az extrem lis index maxima mdszerrel val becslsnl rtuk, klasszikus mdszerrel knnyen becslhetjk stacion rius sorozat maximumainak eloszl s t. A meg gyels-sorozatot r hossz blokkokra osztva az egyes blokkok maximumait fggetlen, extrmrtk eloszl sbl sz rmaz meg gyelseknek tekintjk. Ezut n erre

az j mint ra illesztnk ltal nostott extrmrtk 31 eloszl st. Ebben az esetben a klasszikus extrmrtk elmletben megszokott mdszerek alkalmazhatk. Az eloszl s illeszkedst a modellbl sz mtott kvantilisek ill. valsznsgek s azok empirikus megfelelinek sszehasonlt s val vizsg lhatjuk Az illeszkedst pld ul az n PP-plot s QQ-plot segtsgvel kvethetjk nyomon. (Bvebben l sd pld ul 1], 11]) Minthogy gyakran idsorok maximumait vizsg ljuk, ezrt clszer a blokkok mrett gy megv lasztani, hogy valamilyen idperidusnak feleljen meg. Hidrolgiai alkalmaz sokban pld ul gyakran az ves maximumokat vizsg lj k. A GEV(   ) eloszl s paramtereinek tbbfle becslse ismeretes Tbbek kztt a maximum-likelihoood becsls, amikor a minta egyttes srsgfggvnyt maximaliz ljuk s a h rom paramtert egyszerre becsljk. Az egyik leggyakrabban felvetd krds, hogy mi az a szint, amit tlagosan T vente halad meg a folyamat? Ha ves maximumokat vizsg lunk, akkor ezt

a r juk illesztett GEV eloszl sbl m r knnyedn meghat rozhatjuk. Ha megbecsljk azon 0  p  1-hez tartoz qp kvantilist, amelyre P (Mn  qp) = 1 ; p  akkor qp-t tlagosan 1=p vente haladja meg a folyamat. qp-t (41)-bl kifejezve kapjuk: 8 h i <  ;  1 ; f; log(1 ; p)g;  qp = :  ;  logf; log(1 ; p)g  ha = 6 0  ha = 0: (4.2) A GEV eloszl s > 0 esetn alulrl, < 0 esetn fellrl korl tos, gy a vgpontra azonnal kapjuk: xG = ;  :  (4.3) Ha az ltal nostott extrmrtk eloszl s paramtereinek maximum likelihood becslse ( ^  ^  ^ ), akkor a fenti mennyisgek maximum likelihood becslst gy kapjuk, hogy a (4.2) ill (43) kpletekbe behelyettestjk a paramterek becslseit. 32 Bevezetve az yp = ; log(1 ; p) jellst a kvantilisek s a vgpont maximum likelihood becslseire kapjuk teh t: 8 h i < ^ ; ^ 1 ; yp;^ ^ q^p = : ^ ; ^ log yp x^G = ^ ; ^^ :   ha = 6 0  ha = 0 Az (log yp q^p) pontokat koordin ta-rendszerben br zolva a

klnbz visszatrsi idkhz tartoz szinteket szemlltethetjk. L that, hogy a klasszikus mdszer nem haszn lja ki a folyamat sszefggsgi szerkezett, gy pld ul az extrem lis indexet sem. A klasszikus extrmrtk elmlet s gyakorlati alkalmaz sai sszefoglalva megtal lhatk pld ul 11]-ben. 4.2 Extremlis indexet hasznl mdszerek Az itt lert mdszerek esetben a stacion rius sorozat sszefggsgi struktr ja s az extrem lis index jut fszerephez. %sszefgg sorozat maximumainak eloszl s t alapveten ktfle megkzeltsbl hat rozhatjuk meg Az egyik megkzelts, ha ismerjk a stacion rius sorozat margin lis eloszl s t. Ekkor a karakteriz cis ttelek segtsgvel meghat rozhatjuk, hogy fggetlen esetben milyen H extrmrtk eloszl shoz tart a maximum eloszl sa. Ha ismerjk az extrem lis indexet, akkor H -bl meghat rozhatjuk az sszefgg folyamat maximum nak hat reloszl s t, hiszen tudjuk, hogy ez H  -al lesz egyenl. A m sik megkzelts esetn m r ismertnek

ttelezzk fel a stacion rius sorozathoz tartoz fggetlen sorozat maximumainak hat reloszl s t. gy az elzhz hasonlan ebbl m r tudjuk az eredeti folyamat maximum nak hat reloszl s t is. A gyakorlatban ritk n ismert egy stacion rius sorozat margin lis eloszl sa, gy a kvetkez rszben a m sodik megkzeltsre mutatunk alkalmaz sokat. 33 4.3 V letlent ses mdszerek A vletlentses mdszerek alapj ul a maxima mdszereknl lertak szolg lnak. Egy stacion rius sorozathoz tartoz fggetlen sorozatot konstru lunk gy, hogy az eredeti sorozatot vletlenszeren megkeverjk. Az sszefgg sorozattal val kapcsolatot pedig az extrem lis index biztostja. Amint emltettk, gyakran az ves maximumok vizsg lata az rdekes, ezrt a tov bbiakban egy stacion rius folyamat ves maximumainak eloszl s t szeretnnk meghat rozni. 4.31 Eloszls illesztse adott extremlis index mellett Ha a stacion rius sorozat extrem lis indext elzetesen megbecsltk, akkor az ves maximumokra val

extrmrtk eloszl s illesztst a kvetkezkppen vgezhetjk. 1. Vletlentssel konstru ljunk egy a stacion rius sorozathoz tartoz fggetlen sorozatot, 2. Becsljk meg a kapott fggetlen sorozat ves maximumaira illesztett extrmrtk eloszl s paramtereit ;! GEV(   ), 3. Hat rozzuk meg (38) alapj n az eredeti ves maximumok GEV(      ) eloszl s nak paramtereit.  A fenti lpseket tbbszri vletlents mellett elvgezve 4. A stacion rius sorozat ves maximumaira illesztett extrmrtk eloszl s paramtereit az egyes lpsekben kapott becslsek tlag val kzelthetjk. L ttuk, hogy az extrem lis index pontos rtknek meghat roz sa nehz, ezrt klnbz, re lisnak tn  rtkek mellett aj nlatos a becslseket elvgezni. Majd rdemes megvizsg lni a  paramterre val rzkenysget, vagyis az eloszl s illeszkedsnek js g t az egyes  rtkek mellett. 34 A fenti mdszer elnye, hogy az extrem lis indexen keresztl kihaszn lja az eredeti folyamat sszefggsgi

szerkezett, mely ersen befoly solhatja az extrm rtkek elfordul s t. A klasszikus esetben csup n az ves maximumokat vizsg ljuk s elvesztjk a mgtte lv eredeti folyamat bizonyos jellemzit, gy a kiemelked rtkek csoportkpz tulajdons g t. Megjegyzs. A lert mdszer mellkeredmnye egy stacion rius sorozat maximumaira illesztett extrmrtk eloszl s alak paramternek ( -nek) j becslsi mdszere L ttuk, hogy ez megegyezik a hozz tartoz fggetlen sorozat maximumaira illesztett extrmrtk eloszl s alak paramtervel. gy ha a vletlentssel kapott fggetlen sorozatbl becsljk az alak paramtert, akkor a tbbszri vletlents mellett kapott becslsekbl empirikusan kzelthetjk -t pld ul az tlaggal, vagy m s statisztikai jellemzvel. 4.32 Kvantilis becslsek Stacion rius sorozat maximumainak kvantilis becslsei vletlentses mdszerrel az elzekre plnek. 1. Vletlentssel konstru ljunk egy a stacion rius sorozathoz tartoz fggetlen sorozatot, 2. Becsljk

meg a kapott fggetlen sorozat ves maximumaira illesztett extrmrtk eloszl s paramtereit ;! GEV(   ), 3. Az extrem lis index segtsgvel hat rozzuk meg az eredeti ves maximumok extrmrtk eloszl s nak paramtereit, 4. Hat rozzuk meg az gy kapott GEV(      ) eloszl s kv nt kvantiliseit, ill vgpontj t  Vgezzk el a fenti lpseket tbbszri vletlents mellett, vgl 5. Az egyes lpsekben kapott becslsek tapasztalati eloszl s t tekintve a becslsek tlag val kzeltsk a kvantiliseket, a szr st gyelembe vve pedig kon dencia intervallumot konstru lhatunk. 35 Megjegyzs. Ha a fggetlen sorozat maximumaira illesztett GEV(   ) extrmrtk eloszl s vgpontja xH = ; = , akkor a  extrem lis index folyamat maximumaira illesztett GEV(      ) vgpontja (3.8) alapj n xG = ;   = + ;    ;1 ;  = ;  vagyis nem fgg az extrem lis indextl. Teh t az extrem lis index ill az sszefggsg az eloszl s vgpontj t nem befoly solja, viszont a gyakorlatban

rdekes magas rtkek meghalad si valsznsgeit igen. gy a vletlentses mdszer m sik mellkeredmnyeknt j mdszert kaptunk extrmrtk eloszl s vgpontj nak becslsre a fent lert mdon. Az extrem lis index becslsnek nehzsgei miatt rdemes a  klnbz rtkei mellett kisz molni a kvantilis becslseket, s megvizsg lni az extrem lis indexre val rzkenysgt. Erre a kvetkez fejezetben l thatunk pld t, ahol a fenti mdszerek alkalmaz s t kvethetjk nyomon. 4.33 Maximum likelihood mdszer A maximum likelihood mdszernl ugyancsak a sorozat vletlentsvel konstru lt fggetlen minta maximumait haszn ljuk. Az alaptlet a maxima mdszereknl lert maximum likelihood becsls Vagyis vegyk az (Mr(1)  : : :  Mr(k)  M~ r(1)  : : :  M~ r(k) ) (4.4) | {z GEV(  ) }| {z GEV(   ) } vektort, mely elemeit fggetlen, de nem azonos eloszl snak tekintnk. Egyttes eloszl sukat a (    ) ngyes egyrtelmen meghat rozza Ezrt felrhat (44) egyttes

srsgfggvnye, s a ngy paramtert maximum likelihood mdszerrel becslhetjk Bizonyos regularit si felttelek teljeslse esetn pro le likelihood mdszerrel (l sd. pld ul 11]) kon dencia intervallum konstru lhat az egyes paramterekre, gy -ra Kvantilisek a becslt paramterekbl sz molhatk. A mdszer elnye, hogy nincs szksg az extrem lis index elzetes becslsre, azt egyidejleg becsljk a m sik h rom paramterrel. Ez ltal nincs 36 szksg szintek de ni l s ra s az r rtk meghat roz s ra. Az r paramter valj ban az a blokkmret amilyen hossz blokkok maximumainak szeretnnk az eloszl s t meghat rozni. Mivel ezekre a blokkmaximumokra illesztnk extrmrtk eloszl st, s kzben becsljk -t is, ezrt ebben a  becslsben benne van r, azonban nincs szksg egy ltal nosabb  rtk meghat roz s ra, mely m r nem fgg tle. Az extrem lis indexet teh t a stacion rius sorozatok maximum nak hat reloszl saknt fellp extrmrtk eloszl s paramtereknt kezeljk, gy a

tbbi paramterrel egytt becslhetjk. A mdszer jellegzetessge a vletlentssel konstru lt sorozattl val fggs. Klnbz vletlentssel kapott fggetlen maximumok klnbz becslseket eredmnyeznek Ezrt rdemes tbbszri tkevers mellett elvgezni a ngy paramter becslst s empirikusan kzelteni a paramtereket. Tov bb krdses, hogy hogyan kapcsoljuk ssze az egyes lpsekben kapott esetleges kon dencia hat rokat s a vletlentseket. Tov bbi krdst vet fel, hogy az alkalmazott mdszerrel konstru lt fggetlen sorozat mennyire jl viselkedik, mint a stacion rius sorozathoz tartoz fggetlen sorozat. Egy alternatva lehet a stacion rius sorozat megritkt s val kapott j sorozat, mint fggetlen s azonos margin lis eloszl s sorozat konstru l sa. Az elzekben bemutatott vletlentses mdszerek alkalmaz s t a kvetkez fejezetben mutatjuk be. 37 5. fejezet Alkalmazsok 400 200 Vízszint 600 −200 200 0 400 Vízszint 600 800 800 Ebben a fejezetben az

eddig lert becslsi mdszereket konkrt pld ra alkalmazva vizsg ljuk. A Tisza foly V s rosnamnynl mrt vz ll s-adatsor t elemezzk, mely 1901-tl 2000-ig llt rendelkezsnkre s a napi maximumokat tartalmazza. Az ves maximumok sorozata, ill az utbbi h rom v napi maximumai az 5.1 br n l thatak 1900 1920 1940 1960 1980 2000 0 Évek 200 400 600 800 1000 Napok 5.1 bra A Tisza foly Vsrosnamnynl mrt ves maximumai 1901-t l 2000-ig, s az 1998-2000 vek napi maximumai 38 Mivel egy foly egym st kvet napi vzszintrtkei sszefggenek, ezrt az adatsort nem fggetlen meg gyels-sorozatnak, hanem stacion rius sorozatnak tekintettk. A folyamat zikai termszetnl fogva szezon lis ciklus gyelhet meg az adatokban, a trend viszont elhanyagolhat. Vizsg lataink azt mutatt k, hogy pld ul az extrem lis index becslst nem befoly solta jelentsen a ciklus jelenlte, s minthogy sz munkra az eredeti adatsor extrmumai a lnyegesek, ezrt a szezon lis komponenst

nem t voltottuk el. Clunk bizonyos visszatrsi idkhz tartoz vzszintek meghat roz sa, s ltal nostott extrmrtk eloszl s illesztse a vzszint-adatsor ves maximumaira. Ehhez az elz fejezetekben ismertetett mdszereket alkalmazzuk s sszevetjk a hagyom nyos elj r sokkal. A klnbz sz mt sok elvgzshez az R programcsomagot haszn ltuk Elsdleges vizsg lataink a folyamat sszefggsgi struktr j nak feltrkpezsre ir nyultak. Az sszefggsg az extrm rtkekben is jelentkezik, tipikusak a tbb napig tart magas vzszinttel jelentkez rvizek. Ezrt elszr az extrmumok csoportkpz tulajdons g t vizsg ltuk Az extrem lis index becslsi mdszereinl klasztereket de ni ltunk. A blokk mdszer esetn a sorozatot r hossz blokkokra osztva akkor jn ltre egy klaszter, ha egy blokkban legal bb egy meg gyels meghaladja az u szintet. A klaszter elemsz ma a meghalad sok sz ma a blokkban A futam mdszernl a klasztereket legal bb r darab u szint alatti meg gyels v lasztja el

egym stl, a klaszterek elemsz ma pedig a meghalad sok sz ma kt futam kztt. Ezeket a klaszter-de ncikat kvetve elemeztk az extrmumok csoportkpz tulajdons g t. A 100 ves adatsor klasztereinek elemsz mai u = 750 s r = 180 mellett az 5.2 br n l thatak Ezen r rtk mellett legfeljebb 200 klaszter fordulhat el, ezeket az id fggvnyben br zoltuk. L that, hogy a blokk mdszer klaszterei elfordulnak a futam mdszer klaszterei kztt is, de az egym shoz kzeli klaszterek ott sszeaddnak a futamoknak megfelelen. %sszessgben azt mondhatjuk, hogy a folyamat extrmumaira nagymrtkben jellemz a csoportkpz tulajdons g. 39 15 2 5 10 Meghaladások száma a futamok közt 8 6 4 Meghaladások száma a blokkokban 10 20 12 50 100 150 200 50 Klaszterek 100 150 200 Klaszterek (a) Blokkokkal denilt klaszterek (b) Futamokkal denilt klaszterek 5.2 bra A Tisza foly Vsrosnamnynl mrt napi maximumainak klaszter-elemszmai u = 750 s r=180 mellett A

folyamat sszefggsgi szerkezetnek megismersben tov bbi feladatunk az extrem lis indexnek meghat roz sa volt. Elszr a blokk s futam mdszerekkel val becslseket vizsg ltuk. A hi nyz adatok elhagy sa ut n 35885 meg gyelssel dolgozhattunk. A becslsek r paramterre vonatkoz felttelek miatt r-t 30-tl 730-ig v ltoztattuk. A blokk s futam mdszerek u paramtert gy kell megv lasztani, hogy a folyamat margin lis eloszl s nak vgpontj hoz tartson. A 100 ves adatsor maximuma 923 cm, s mindssze 15 rtk volt 850 cm-nl magasabb, azok 5 blokkban fordultak el. Ezen meggondol sokbl u-t 250 cm-tl 850 cm-ig v ltoztattuk. Ilyen paramterek mellett sz moltuk ki a blokk mdszerrel kapott ktfle becslst, valamint a futam mdszerrel kapott becslst A blokk mdszerbl kapott logaritmust tartalmaz becslst ^1 , a Taylorsorfejtsbl add becslst ^2 , mg a futam mdszerrel kapott becslst ^3 jelli. A klnbz r s u rtkekhez tartoz becslseket az 53 bra szemllteti Az br

n a vzszintes tengelyen r, a fggleges tengelyen u rtkeinek 40 0.35 800 800 0.4 0.30 700 700 0.25 0.3 600 0.20 u u 600 500 500 0.2 400 0.15 0.10 400 0.1 0.05 300 300 0.00 100 200 300 400 500 600 700 100 r 200 300 400 500 600 700 r (a) Blokk mdszer (b) Futam mdszer 5.3 bra Az extremlis index becslsei klnbz r s u rtkek mellett fggvnyben a klnbz becslsek l thatk. (Az bra a blokk mdszerrel kapott ^2 s a futam mdszerrel kapott ^3 becslseket tartalmazza.) A megfelel becslst gy kell kiolvasni, hogy r s u rtkt nvelve, ezek fggvnyben nzzk  rtkt. Az extrem lis index becslseinl emltettk, hogy az r s u paramterek megv laszt sa meglehetsen nehz. A gyakorlatban, azonban bizonyos szint s blokkmret felett a becslsek meglehetsen stabilnak tnnek. Ezt t masztja al az 54 bra, ahol klnbz u rtkek mellet r fggvnyben br zoltuk ^2 s ^3 rtkeit. (l sd tov bb Fggelk) Alacsony u szint s r rtk v

laszt sa esetn ^1 nem rtelmezhet, mert a logaritmus argumentum ban 0 ll. Ennek oka az, hogy minden egyes blokkban legal bb egy meg gyels tllpi az u szintet Azonban mivel a becslst u ill. r rtkt nvelve kell meghat rozni, ez nem jelent problm t A gra konokrl is leolvashat, hogy az u s r paramterek nvelsvel az extrem lis index becslsei hogyan v ltoznak. Azt tapasztaltuk, hogy a becslseket nem befoly solja jelentsen az r paramter megv laszt sa, a paramterekre vonatkoz felttelek szem eltt tart s val knnyen meghat rozhat az extrem lis index rtke. Az is l that, hogy mind a blokk, mind a futam 41 u=630 u=750 100 200 300 400 500 600 700 0.25 Teta 100 200 300 400 500 600 700 100 200 300 400 500 600 700 r r u=810 u=850 u=810 u=850 100 200 300 400 500 600 700 100 200 300 400 500 600 700 r 0.25 Teta 0.15 0.05 Teta 0.05 0.15 0.3 0.1 0.1 0.2 Teta 0.3 0.25 0.4 0.4 0.35 r 0.35 r 0.2 Teta 0.15 0.05 Teta 0.05 0.1 100 200 300 400

500 600 700 0.15 0.3 0.2 Teta 0.3 0.1 0.2 Teta 0.25 0.4 0.4 0.35 u=750 0.35 u=630 100 200 300 400 500 600 700 r 100 200 300 400 500 600 700 r (a) Blokk mdszer r (b) Futam mdszer 5.4 bra Az extremlis index becslsei klnbz u rtkek mellett r fggvnyben mdszer ugyanazt a becslst adja -ra. A blokk mdszerrel kapott ktfle becslst s a futam mdszerrel kapott becslst, klnbz u s r rtkek mellett az 5.1 t bl zat mutatja A fenti vizsg latok eredmnyekppen arra kvetkeztethetnk, hogy a Tisza foly v s rosnamnyi szakasz n mrt napi maximum vz ll sok folyamat nak extrem lis indexre  = 0:33 elfogadhat becsls. Az extrem lis index rtelmezse szerint ez azt is jelenti, hogy az igen magas szinteknl jelentkez extrmumok tlagosan h rmas csoportokban jelentkeznek. u=810 r=90 r=250 r=500 r=690 ^1 0.312 0.302 0.296 0.333 ^2 0.306 0.286 0.265 0.286 ^3 0.286 0.265 0.265 0.245 u=850 r=90 r=250 r=500 r=690 ^1 0.336 0.341 0.349 0.350 ^2 0.333

0.333 0.333 0.333 ^3 0.333 0.333 0.333 0.333 5.1 t bl zat Az extremlis index becslsei a blokk s futam mdszerekkel 42 400 500 0.30 Teta 0.10 0.05 100 200 200 300 r 400 500 100 200 400 500 100 200 300 300 400 500 400 500 r Átlagos négyzetes eltérés Átlagos négyzetes eltérés 100 300 r 0.00 001 002 003 004 005 006 007 Átlagos négyzetes eltérés 0.00 001 002 003 004 005 006 007 r 0.00 300 400 r 500 0.00 001 002 003 004 005 006 007 200 0.15 0.20 0.25 0.30 0.25 0.20 0.15 Teta 100 0.00 0.05 0.10 0.15 0.00 0.05 0.10 Teta 0.20 0.25 0.30 100 200 300 r 5.5 bra Az extremlis index becslsei s azok tlagos ngyzetes eltrsei maxima mdszerekkel az r paramter fggvnyben Ezek ut n az extrem lis index maxima mdszerrel val becslst vizsg ltuk. Az r paramter rtkt 30-tl 550-ig v ltoztattuk, s minden esetben 50-szer vgeztk el a vletlentst. Ezut n a kapott becslsek tlag val kzeltettk -t A klnbz r hossz

blokkokra illesztett extrmrtk eloszl s alakparamtert a maxima mdszereknl lertak szerint h romflekppen becsltk, majd azokbl sz mtottuk az extrem lis indexet. A kt eloszl s eltol s s sk laparamterbl sz molt alakparamtert haszn l becsls ^4 , az eredeti folyamat blokkmaximumainak alakparamtervel sz mtott becsls ^5 , a fggetlen sorozat maximumainak alakparamterbl kapott becsls ^6 . A becslseket s azok tlagos ngyzetes eltrseit r fggvnyben az 5.5 bra mutatja. A h rom klnbz becslsbl add extrem lis index-becslst s z rjelben azok tlagos ngyzetes eltrst klnbz r rtkek mellett az 5.2 t bl zat tartalmazza 43 ^4 ^5 ^6 r=100 0.170 (00067) 0126 (00110) 0124 (00223) r=300 0.219 (00143) 0159 (00199) 0100 (00354) r=550 0.262 (00245) 0198 (00377) 0155 (00657) 5.2 t bl zat Az extremlis index becslsei maxima mdszerekkel Tudjuk, hogy a maxima mdszerek elnye, hogy a becsls nem fgg az u szint megv laszt s tl. Azonban l that, hogy a

becsls nagymrtkben fgg az r paramter megv laszt s tl, valamint l tjuk, hogy a h romfle becsls meglehetsen eltr egym stl. A becslsek tlagos ngyzetes eltrse az r paramterrel n. %sszessgben pedig azt tapasztaltuk, hogy a maxima mdszerrel kapott extrem lis index-becslsek kisebbek, mint a hagyom nyos mdszerekkel kapott eredmnyek. Ancona-Navarette s Tawn 8] szerint ennek a sorozat nem-stacionarit sa lehet az egyik oka, ami a mi esetnkben a szezon lis komponens jelenlte miatt fordulhat el. Az extrem lis index maximum likelihood mdszerrel trtn becslsre itt nem trnk ki, ennek majd extrmrtk eloszl s illesztsnl lesz jelentsge. Az extrem lis index becslse ut n ltal nostott extrmrtk eloszl st illesztettnk az ves maximumok 100 ves adatsor ra. A negyedik fejezetben ismertetett vletlentses elj r sokat alkalmaztuk. Az adott extrem lis indexet haszn l mdszernl -t 0.05 s 03 kztt v ltoztatva vizsg ltuk az eloszl s illeszkedst s a kvantilisek

rzkenysgt az extrem lis indexre. A fggetlen maximumok GEV paramtereit 1000 vletlentst elvgezve becsltk. Minden egyes lpsben maximum likelihood mdszerrel becsltk a ( , , ) paramtervektort, majd az extrem lis index segtsgvel hat roztuk meg az sszefgg maximumok GEV paramtereit. Az egyes lpsekben kapott paramterbecslsek tapasztalati eloszl sa a vletlentst tekintve norm lisnak mondhat (l sd Fggelk 6.3 bra), ezrt azok tlag val kzeltettk a paramtereket. A vletlentst alkalmaz kvantilis becslsi mdszert szintn 1000 vletlents mellett, a fenti  rtkek mellett alkalmaztuk. Az egyes lpsekben kapott kvantilisek tapasztalati 44 900 0.000 840 860 880 Kvantilis 0.002 0.001 f(z) 0.003 920 200 400 600 800 1000 0.95 0.96 0.98 0.99 1.00 50 880 890 900 100 150 200 250 300 Valószínüség 0 870 100 éves visszatérési szint z 0.97 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 884 Extremális index 886 888 890 892 894

100 éves visszatérési szint 5.6 bra Vletlentses mdszerrel kapott ltalnostott extrmrtk eloszls illeszkedse s klnbz kvantilisek eloszl sa norm lisnak ttelezhet fel, kon dencia intervallumot a szr sbl sz moltunk. Az 56 bra a vletlentses mdszerrel kapott klnbz eredmnyeket mutatja A bal fels br n a  = 0:2 extrem lis index melletti extrmrtk eloszl s (folytonos) s a klasszikus mdszerrel becslt extrmrtk eloszl s (szaggatott) illeszkedse l that. Mellette a klnbz valsznsgekhez tartoz kvantilisek s kon dencia hat raik vannak feltntetve ugyancsak  = 0:2 esetn. A kvetkez gra kon a 99%-os kvantiliseket br zolja az extrem lis index fggvnyben, vgl a vletlentsek sor n kapott 99%-os kvantilisek hisztogramja l that 0.2 extrem lis index mellett 45 A kapott extrmrtk eloszl sokat vizsg lva a fenti  rtkek fggvnyben, a legjobb illeszkedst 0.2 krli rtkekre kaptuk, amely megfelel a maxima mdszereknl kapott extrem lis

index-becslsnek A kvantilisek becslsnek jellegzetessge, hogy a 100 ves visszatrsi idhz tartoz rtk krli kon dencia intervallum a legszkebb. Ennek magyar zata az, hogy a vletlents sor n kapott fggetlen sorozat ves maximumai kzt mindig szerepel a teljes adatsor maximuma, ami adott esetben ppen a 100 ves maximum. gy az egyes vletlentsekkel kapott fggetlen GEV eloszl sok ezen kvantilisei krl lesz a legkisebb a szr s. Ennek oka teh t a vletlentssel konstru lt fggetlen sorozat jellegzetessge, ezrt clszer lehet m s becsls a fggetlen maximumok margin lis eloszl s ra. A kvantilisek rzkenysgt vizsg lva az extrem lis indexre, nagy eltrsek nem tapasztalhatk a re lisan elfordulhat  rtkek esetn, de ezek gyelembe vtele mindenkppen szksges. A kvantilisek eloszl sa norm lisnak mondhat (5.6 bra), gy az egyes lpsekben kapott rtkek tlag t vettk %sszessgben azt mondhatjuk, hogy a fenti elj r st alkalmazva olyan modellt illesztettnk az ves

maximumokra, amelybl sz mtott kvantilisek kisebbek, mint a klasszikus mdszerrel kapott rtkek. A klnbz visszatrsi idkhz tartoz vzszinteket m s mdszerekbl kapott eredmnyekkel egybevetve a dolgozat vgn prezent ljuk Vgl a vletlentses elj r sokn l ismertetett maximum likelihood mdszert alkalmaztuk az ves maximumok eloszl s nak meghat roz s ra. Mivel itt egyszerre becsljk a (    ) paramtervektort, ezrt az extrem lis index maximum likelihood becslst is megkapjuk az adott r esetn. Azonban mivel a  paramtert ppen az adott r nagys g blokkmaximumok eloszl s nak illesztsre szeretnnk felhaszn lni, ezrt nincs szksg annak az r-tl fggetlen becslsre. A ngy paramter becslshez 1000-szer vgeztk el a vletlentst, majd az egyes lpsekben kapott becslsek tlag t vettk. A vletlentsek sor n kapott paramterek s kvantilisek tapasztalati eloszl sa nem mondhat szimmetrikusnak (l sd Fggelk 6.4 bra), ezrt a medinnal val kzeltst is megvizsg

ltuk Azt tapasztaltuk azonban, hogy az tlagbl kapott rtkek jobban illeszkedtek az empirikus rtkekre. 46 Probability Plot 1.0 0.8 0.6 0.2 0.0 0.0000 400 600 800 1000 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 z Empirical Quantile Plot Return Level Plot 1.0 600 400 200 200 400 600 Return Level 800 800 200 Empirical 0.4 Model 0.0020 0.0010 f(z) 0.0030 Density Plot 200 400 600 800 1 e−01 Model 1 e+01 1 e+03 Return Period 5.7 bra Extrmrtk eloszls illeszkedse s a visszatrsi grbe, a (   ) paramtervektor egyttes becslsb l A kvantilisek kon dencia hat rait az egyes lpsekben kapott rtkek szr s bl sz moltuk. A kapott extrmrtk eloszl s illeszkedse a v s rosnamnyi ves maximumokra s a visszatrsi grbe az 57 br n l that A ngy paramter becslt rtke: ^ = 761:05, ^ = 93:82, ^ = ;0:526 s ^ = 0:3096. A  paramter rtke kzelten megegyezik a blokk s futam mdszereknl kapott extrem lis index-becslssel. A ngy paramterbl sz

mtott h rom extrmrtk eloszl s-paramter kzel megegyezik a klasszikus mdszerrel becslt h rom paramterrel, a kvantilisek kztt kis eltrseket tal ltunk. A klasszikus mdszerrel becslt extrmrtk eloszl s illeszkedse 47 cm 20 v 50 v 100 v 200 v 500 v 840 (6.20) 872 (450) 890 (290) 903 (200) 916 (370) 867 (32.1) 894 (278) 907 (269) 917 (274) 925 (292) 868 (21.6) 895 (210) 909 (222) 918 (241) 926 (267) XG 949 (19.6) 940 (38.9) 940 (34.9) q1 q2 q3 5.3 t bl zat A klnbz visszatrsi id khz tartoz vzszintek becslsei a Fggelk 6.6 br j n l that Az 65 br n -nak egy adott vletlents melletti pro le-likelihood becslse l that, valamint a paramterek tlag bl ill. medi nj bl kapott eloszl sok illeszkedse az ves maximumok hisztogramj ra A  = 0:2 extrem lis indexszel vletlentssel kapott kvantilisek (q1), az elz maximum likelihood mdszerrel (q2 ), valamint a klasszikus mdszerrel becslt kvantilisek (q3 ) s azok 95%-os kon dencia hat rai az 5.3 t bl

zatban tal lhatk A kvantilisek a megfelel visszatrsi idk fggvnyben vannak feltntetve, ezen kvl az eloszl sok vgpontja szerepel a t bl zatban. Ha sszevetjk a kapott modelleket, l thatjuk, hogy a ngyparamteres maximum likelihood mdszerrel kapott modell jl illeszkedik az empirikus adatokra s hasonl eredmnyt ad, mint a klasszikus mdszer. Az adott extrem lis indexet haszn l vletlentses modell alacsonyabb visszatrsi szinteket eredmnyez, azonban kevsb jl illeszkedik az adatokra %sszefoglalva a dolgozatban bemutatott modellek alkalmaz s t meg llapthatjuk, hogy az sszefggsgek vizsg lata extrmrtk modellekben sszetett feladat. Rgtn az extrem lis index becslsnl jabb problm kkal tal lhatjuk szemben magunkat. Ezen tlmenen azonban tal n a gyakorlat szempontj bl legfontosabb krds az extrem lis index alkalmaz sa, haszn lata extrmrtk eloszl s illesztsre, kvantilisek meghat roz s ra. Errl a tm rl meglehetsen kevs szl a szakirodalomban. A

dolgozatunkban bemutatott j modellek fejlesztse, azok tov bbi vizsg latai, valamint jabbak kidolgoz sa tov bbi feladataink kz tartoznak. 48 F ggelk A Fggelkben azokat az br kat sorakoztattuk fel, melyek a dolgozat terjedelmnl fogva kimaradtak az elz fejezetbl. 49 200 300 0.14 Teta 0.04 200 100 200 300 0.15 Teta 0 100 200 300 0 100 200 550 570 590 0 100 200 300 Teta 0 100 200 0.10 Teta Teta 300 300 0 100 200 r 610 630 650 670 300 100 200 300 Teta 0 100 200 0.12 Teta 0.10 0 300 0 100 200 r r 690 710 730 750 0 100 200 300 Teta 0.18 Teta Teta 300 0 100 200 300 0 100 200 r r 770 790 810 830 200 300 100 200 300 Teta 0 r 100 200 r 6.1 bra 300 0.36 0.28 Teta 0 300 0.41 r 0.34 r r 300 0.28 r 0.16 024 r 200 300 0.22 r 0.20 r 0.20 r 200 300 0.20 530 0.10 020 r 0.10 020 r 200 300 0.05 0.04 0 Teta 100 100 r 0.22 0 0.14 Teta Teta 0.04 200 0.14 100

0 r 0.30 0 300 510 Teta 100 200 490 0.14 022 0 100 470 0.10 100 0.14 0 450 0.24 100 0.04 300 r 0.04 Teta Teta 100 r 0.10 020 0 Teta Teta 0 r 0.05 015 0 Teta 0.02 010 300 430 r 0.22 030 Teta Teta 200 410 0.14 100 0.14 0 Teta 390 0.02 010 370 0 100 200 300 r Az extremlis index becslse blokk mdszerrel klnbz u rtkek mellett az r paramter fggvnyben 50 300 300 100 Teta 0.08 200 200 300 Teta 0 100 200 300 0 100 200 530 550 570 590 300 Teta 0.02 0 100 200 300 0 100 200 300 0 100 200 r 610 630 650 670 100 200 300 Teta 0.06 Teta 0 0.06 Teta 0.04 300 0 100 200 300 0 100 200 r r 690 710 730 750 Teta Teta 0.10 Teta 300 0 100 200 300 0 100 200 300 0 100 200 r 770 790 810 830 200 300 100 200 300 Teta Teta 0 0 r 100 200 r 6.2 bra 300 300 0.325 0350 r 0.23 027 r 0.26 r r 300 0.14 022 r 0.20 r 200 300 0.16 r 0.16 r 0.14 r

200 300 0.05 Teta Teta 0.02 200 300 0.15 r 0.12 r 0.12 r 0.08 100 100 0.02 010 Teta 0 0.00 008 0.00 008 Teta 200 Teta 0 0 r 0.08 100 300 510 0.18 024 0 200 490 0.18 100 100 470 0.12 100 0.00 0 450 0.18 Teta 300 r 0.18 0 Teta 200 r 0.05 015 0 Teta 100 100 r 0.02 Teta 0 Teta 0 0.00 006 Teta 200 430 r 0.08 100 0.00 Teta 0 410 0.00 006 0.06 390 0.00 Teta 370 0 100 200 300 r Az extremlis index becslse futam mdszerrel klnbz u rtkek mellett az r paramter fggvnyben 51 Skála paraméter 0 0 50 50 100 100 150 150 200 200 250 Eltolás paraméter 560 580 600 620 640 660 80 120 140 160 180 100 éves visszatérési szint 0 0 50 50 100 150 100 150 200 250 300 Alak paraméter 100 −0.50 −0.40 −0.30 884 6.3 bra 886 888 890 892 894 1000 vletlents sorn kapott GEV(     )-paramterek hisztogramjai 0.2 extremlis index mellett, s az ezekb l szmolt

99%-os kvantilisek tapasztalati eloszlsa 52 Skála paraméter 0 0 50 50 100 100 150 200 200 250 300 Eltolás paraméter 700 720 740 760 780 800 820 60 80 120 140 160 Extremális index 0 0 100 100 200 200 300 300 400 400 Alak paraméter 100 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 0.2 6.4 bra 0.3 0.4 0.5 0.6 1000 vletlents sorn kapott GEV(   )-paramterek hisztogramjai 53 −1200 −1202 −1206 −1204 Profile Log−likelihood −1198 −1196 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Extremal Index (a) Az extremlis index prole likelihood becslse egy adott vletlen ts mellett az ves maximumok esetn f(z) 0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 Density Plot 200 400 600 800 1000 z (b) 1000 vletlen tsb l becslt eloszls illeszkedse a paramterek tlagbl szmolva (folytonos) ill. a medinokbl kapott paramterekkel (szaggatott) 6.5 bra A ngyparamteres maximum likelihood mdszer eredmnyei 54

Probability Plot 1.0 0.8 0.6 0.2 0.0 0.0000 400 600 800 1000 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 z Empirical Quantile Plot Return Level Plot 1.0 600 400 200 200 400 600 Return Level 800 800 200 Empirical 0.4 Model 0.0020 0.0010 f(z) 0.0030 Density Plot 200 400 600 800 1 e−01 Model 1 e+01 1 e+03 Return Period 6.6 bra Extrmrtk eloszls illeszkedse s a visszatrsi grbe a klasszikus becslsi eljrsok eredmnyeknt 55 Irodalomjegyzk 1] Embrechts, P., Klppelberg, C, Mikosch, T: )Modelling Extremal Events for Insurance and Finance*, Springer (1997). 2] Leadbetter M.R: )Extremes and Local Dependence of Stationary Sequences*, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw Gebiete 65, 291-306 (1983) 3] Leadbetter, M.R, Lindgren, G, Rootzn, H: )Extremes and Related Properties of Random Sequences and Processes*, Springer, New York, (1983). 4] Hsing, T., Hsler, J, Leadbetter, MR: )On the Exceedance Point Process for a Stationary Sequence*, Prob.Theory and

Related Fields 78, 97-112, (1988) 5] Smith, R.L: )A counterexample concerning the extremal index*, Adv.ApplProbab 20, 680-683 (1988) 6] Smith, R.L, Weissman, I: )Estimating the Extremal Index*, J.RStatistSocB 56(3), 515-528 (1994) 7] OBrien, G.L: )Extreme Values for Stationary and Markov Sequences*, Ann.Probab 15, 281-291, (1987) 8] Ancona-Navarette, M.A, Tawn, JA: )A Comparison of Methods for Estimating the Extremal Index*, Extremes 3(1), 5-38, (2000). 56 9] Gomes, M.I: )On the estimation of parameters of rare events in environmental time series*, Statistics for the Environment 2: Water Related Issues (V. Barnett, KF Turkman) John Wiley&Sons, 225-241, (1993) 10] Weissman, I., Novak SYu: )On Blocks and Runs Estimators of the Extremal Index*, J.StatistPlanning Inference 66, 281-288, (1998) 11] Coles, S.: )An Introduction to Statistical Modelling of Extreme Values*, Springer, London (2001). 57