Physics | Flexibility » Rugalmassági modulus meghatározása Michelson interfenométer segítségével

5.SZ LABORGYAKORLAT RUGALMASSÁGI MODULUS MEGHATÁROZÁSA INTERFEROMÉTER SEGÍTSÉGÉVEL MICHELSON 1. Bevezető 2. Alapfogalmak 2.1 A fény hullámtermészete 2.2 A hullámfüggvény 2.3 A fényinterferencia 2.4 A fény koherenciája 3. A jelenség általános leírása 4. Michelson Interferométer 4.1 Michelson Interferométer felépítése 4.1 Michelson típusú interferencia komparátorok 5. Feladatok 5.1 Rugalmassági modulus meghatározása 5.2 Interferencia komparátor 6. Melléklet: Befalazott tartó deformációs állapotának meghatározása 1 l. Bevezető A hullámoptika összefüggéseivel leírható interferencia mint jelenség már régóta ismert. Méréstechnikai alkalmazása szintén komoly hagyományokkal rendelkezik, mint mérési módszer számtalan olyan helyen nyert alkalmazást, ahol a mérendő méretek a fény hullámhosszával vethetők össze. A modern fizika eredményeként született lézer fényforrások újabb lehetőséget kínálnak az

interferometria fejlődéséhez. A következőkben az interferometria jelenségének hullámoptikai leírása és egy Michelson interferométer és az azon megvalósítható mérés lehetősége kerül ismertetésre. 2. Alapfogalmak 2.1 A fény hullámtermészete A hullámoptika körében azokat a fényjelenséget vizsgáljuk, amelyek csak a fény hullámtermészetével értelmezhetők. Ennek megfelelően a fényt hullámnak, általában periodikus hullámnak fogjuk fel, melyben egy vagy több fizikai mennyiség időben és térben periodikusan változik. A hullámoptikába tartozó jelenségek nagy részének magyarázatához alkalmazhatók az általános hullámtan fogalmai, törvényszerűségei. 2.2 A hullámfüggvény A legegyszerűbb fényhullám, egy homogén, izotróp és állandó közegben az x irányban haladó monokromatikus síkhullám egyenletével írható le. ⎡ ⎛ ⎤ x⎞ Ψ = A sin⎢ω⎜ t − ⎟ + α ⎥ ⎣ ⎝ c⎠ ⎦ 5.1 Az (1) egyenletben az egyes

jelölések értelmezése: Ψ - az optikai hullámfüggvény A - a fényhullám amplitúdója ω - a körfrekvencia t - az idő x - a helykoordináta α - a fázisállandó c - a terjedési vagy fázissebesség 1 Homogén és izotróp közegben érvényes, hogy c = νλ 5.2 Vákuumban c = νλ ahol n l, l’ - a rezgésszám vagy frekvencia (független a közegtől), a hullámhossz A közeg vákuumra vonatkozó törésmutatójára érvényes, hogy n= c λ = c λ 5.3 Érvényes továbbá, hogy: ω = 2πν 5.4 Ezek után az (1) a (2), (3) és a (4) segítségével a következő alakra hozható: ⎡ ⎛ ⎤ nx ⎞ Ψ = A sin⎢2π⎜ νt − ⎟ + α⎥ λ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ 5.5 melyben az nx szorzatot optikai úthossznak nevezzük. Két vagy több fényhullám együtt haladásakor vagy találkozásakor a fényhullámok szuperpozíciójának elve alapján olyan hullám jön létre, amelynek hullámfüggvénye az egyes hullámfüggvények ősszege. Ψ = Ψ1 +

Ψ2 5.6 A fény intenzitása, ahogy az egy általános hullám esetében is igaz, arányos az amplitúdó négyzetévei. I ≈ A2 2.3 5.7 A fényinterferencia A fény hullámtermészete létezésének bizonyítására az interferencia jelensége jó példát szolgáltat. Az általános hullámtan összefüggései alapján várható, hogy fényinterferencia két egyenlő frekvenciájú fényhullám találkozásakor és a fényintenzitásoknak maximuma, illetve minimuma van azokon a helyeken, amelyeken a két hullám közötti fáziskülönbség a p-nek páros illetve páratlan számú többszöröse. Tehát maximuma van, ha δ = 0, ± 2π, ± 4 π,. 5.8 2 és minimuma van, ha δ = ± π, ± 3 π,. 5.9 2.4 A fény koherenciája A tapasztalat azt mutatja, hogy két közönséges fényforrás hullámai vagy ugyanazon fényforrás két különböző helyéről kiinduló fényhullámok nem interferálnak, ellentétben a víz vagy hanghullámokkal. Ennek magyarázata, hogy a

fényforrás gerjesztett atomjaiban az egyes spontán fénykibocsátási aktusok egymástól teljesen függetlenek és igen rövid időtartamúak Δt ≈ 10 −8 + 10 −9 s , úgyhogy egy atom egy elemi aktus során hullámvonulatot bocsát ki, amelynek hosszúságát (1 ≈ cΔt ) koherencia hosszúságnak nevezzük. Mivel az egymást rendszertelenül és gyorsan követő hullámvonulatok kőzőn a fáziskülönbség rendszertelenül és oly gyorsan változik, hogy a viszonylag hosszú megfigyelési idő alatt állandó fáziskülönbségről nem lehet szó. ( ) Megállapítható tehát, hogy az interferencia megfigyelésének egyik feltétele a fényhullámok koherenciája. 3. A jelenség általános leírása A további vizsgálódás céljából tegyük fel, hogy tetszőleges X és Y fénypontokból kiinduló a frekvenciájú hullámok egy C pontban találkoznának, miután n1 és n 2 abszolút törésmutatójú közegben s1 illetve s 2 utat tettek meg. Ha e két hullámot

síkhullámnak tekintjük, akkor a C pontban a szuperpozíció elve alapján írható: Ψ = Ψ1 + Ψ2 5.10 Felhasználva a hullámfüggvény (5) alakját: ⎡ ⎛ ⎤ ns ⎞ Ψ1 = A 1 sin⎢2π⎜ νt − 1 1 ⎟ + α1 ⎥ λ ⎠ ⎣ ⎝ ⎦ 5.11 ⎡ ⎛ ⎤ n s ⎞ Ψ2 = A 2 sin⎢2π⎜ νt − 2 2 ⎟ + α 2 ⎥ λ ⎠ ⎣ ⎝ ⎦ 5.12 Behelyettesítve: ⎡ ⎛ n s ⎞⎤ Ψ = A1 sin ⎢2π ⎜νt − 1 1 ⎟⎥ cos α 1 + λ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎡ ⎛ n s ⎞⎤ + A 1 cos ⎢2π⎜ νt − 1 1 ⎟⎥ sin α1 + λ ⎠⎦ ⎣ ⎝ 3 ⎡ ⎛ n s ⎞⎤ + A 2 sin⎢2π⎜ νt − 2 2 ⎟⎥ cos α 2 + λ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎡ ⎛ n s ⎞⎤ + A 2 cos ⎢2π⎜ νt − 2 2 ⎟⎥ sin α 2 λ ⎠⎦ ⎣ ⎝ 5.13 a megfelelő trigonometriai átalakítások után: [ ( ) ( )] sin(α )] + Ψ = sin[2πνt ] A 1 cos α1* + A 2 cos α 2 + [ ( ) cos[2πνt ] A 1 sin α1* + A 2 5.14 * 2 ahol n1s1 − α1 λ n s α *2 = 2π 2 2 − α 2 λ ns α1* = 2π 1 1 − α1 λ n s α *2 =

2π 2 2 − α 2 λ Könnyen belátható, hogy: α 1* = 2π és 5.15 5.16 5.17 5.18 α 1* = α 1 5.19 α *2 = α 2 5.20 Ezek alapján a (14) átírható a következő alakra: [ ] Ψ = sin[2πνt ] A 1 cos α1* + A 2 cos α 2 + [ + cos[2πνt ] A 1 sin α + A 2 sin α * 1 * 2 ] 5.21 Legyen Ψ = sin[2πνt ]A cos α + cos[2πνt ] A sin α vagy másképpen Ψ = A[sin[2πνt ]cos α + cos[2πνt ] sin α 5.22 5.23 Ekkor megállapítható, hogy ha Ψ = A 1 cos α1* + A 2 cos α 2 = A cos α 5.24 Ψ = A 1 sin α1* + A 2 sin α 2 = A sin α 5.25 Ψ = A sin(2πνt + α ) 5.26 és akkor A (24) és (25) négyzetre emeléséből, összeadásából és egyszerűsítéséből: ( ) A 2 = A 12 + 2A 1A 2 cos α1* − α 2 + A 22 5.27 A (15) és (16) alapján 4 α1* − α 2 = 2π n1s1 − n 2 s 2 − (α1 − α1 ) λ 5.28 tehát ⎛ n s − n2s2 ⎞ A 2 = A 12 + A 22 + 2A 1A 2 cos ⎜ 2π 1 1 − (α1 − α 1 )⎟ 5.29 λ ⎝ ⎠ Mivel A 2 , A 12 és A 22

amplitúdó négyzetek arányosak az I , I1 és I2 fényintenzitásokkal, írható, hogy: I = I1 + I2 + 2 I1 + I2 cos ξ 5.30 ahol ξ = 2π n1s1 − n 2 s 2 − (α1 − α1 ) λ 5.31 a fáziskülönbség. Számunkra az interferencia létrejötte szempontjából a 2 I1 + I2 cos ξ 5.32 interferencia tag érdekes. Ha a pontszerű X és Y fényforrások inkoherensek, akkor a kizárólag a α1 − α 2 két fényforrásra jellemző fázisállandók különbsége rendezetlenül és igen gyorsan változik, így a cos x -nek és ezzel együtt az interferenciatagnak a megfigyelési időre vonatkozó átlag értéke nulla. Tehát inkoherens fényforrások esetén az interferencia nem figyelhető meg. Két koherens fényforrás esetén a két fázis állandó azonossága miatt: α1 − α1 = 0 5.33 így a x fáziskülönbség időben állandó. n1s1 − n 2 s 2 Δ − 2π λ λ Δ = n1s1 − n2 s 2 ξ = 2π ahol 5.34 5.35 az optikai úthosszkülönbség. Két koherens

fénysugár interferenciája fényminimumot eredményez. fénymaximumot illetve 5 4. A Michelson interferométer 4.1 A Michelson interferométer felépítés Egy egyszerű Michelson-féle interferométer látható az 5.1 ábrán 3 2 1 4 5 6 5.1: ábra Egy egyszerű Michelson féle interferométer vázlata Az (1) jelzésű hullám a (6) nyalábosztón osztódik. Az egyik rész (2) továbbhalad a (3) mozgatható tükör felé; a másik (4) pedig az (5) referencia tükör irányába. A tükrökről reflektálódó hullámok a (6) nyalábosztón ismét egyesülve interferenciát hoznak étre. A 5.2 ábrán egy a rugalmassági modulus szűkségen elrendezés vázlatát láthatjuk. meghatározásához 6 F 6 5 1 2 3 4 5.2 ábra Elrendezés a rugalmassági modulus meghatározásához Az (1) jelzésű koherens fényforrásból kilépő fényt a (2) jelzésű optikai rendszer a mérés céljaira alkalmas síkhullámokká alakítja. A (3) jelzésű osztótükör (esetleg

osztóprizma) a hullámokat osztva, egy részét a (6) jelű rugalmassági modulusérték meghatározására kijelölt rúdra szerelt tükörre (5) irányítja. E tükrökről visszaverődő hullámok az osztóelem túloldalán újra egyesülve interferencia jelenséget hoznak létre, mely megfelelő eszközzel (kamera, fényképezőgép) rögzíthető. Ha a (6) jelű rudat, megy anyaga rugalmassági modulusának meghatározása a cél, F jelű erőterhelés éri, az deformálódik, lehajlik, s vele együtt fordul a rászerelt (5) jelű tükör is. Ennek következtében a nyalábosztó elem (3) túloldalán újra egyesülő hullámok egymáshoz képesti szöge módosul úgy, hogy ez arányos a lehajlás szögével. Mivel a lehajlás szöge, ami az interferencia csíkokból meghatározható, függ a keresett rugalmassági modulustól, illetve az erőterheléstől, így a rugalmassági modulus könnyen meghatározható. 4.2 A Michelson típusú interferencia-komparátorok Az

interferencia komparátorokat elsősorban a méréstechnikai célokra szolgáló mérőhasábok hitelesítésére fejlesztették ki. Felépítésűket tekintve Michelson interferométerek, melyeknek általában a fényforrásuk spektrál lámpa, melynek vonalas színképéből monokromatikus hullámokat interferenciaszűrők vagy monokromátor segítségével választanak ki. A referenciatükör mellett-a másik tükör szerepét egy üveghasábra feltapasztott mérőhasáb látja el. Mivel a mérőhasáb hossza a fény hullámhosszának nem egész számú többszöröse, ezért az üveghasábról illetve a mérőhasábról reflektálódó 7 hullámok a referenciatükörről visszaverődővel nem azonos fázisban találkoznak, így az interferenciacsíkok egymáshoz képest fáziseltolódásban vannak. A különböző hullámhosszakon mért fáziseltolódásokból illetve a mérőhasáb névleges méretéből következtetni tudnak a mérőhasáb pontos méretére. 5. Feladatok 5.1

Rugalmassági modulus meghatározása 5.1 Tanulmányozza rendelkezésre álló interferometrikus elrendezést 5.2 Rajzolja le a vázlatát! 5.3 Határozza meg a videó rendszer nagyítását! 5.4 A vizsgálat tárgyát képező szelvényt egy tartónak tekintve, statikai és szilárdságtani megfontolások alapján írja fel a szelvényre felszerelt tűkör szögelfordulásának változását a Vezesse le a valóságos terhelés függvényében! 5.5 interferenciacsíkok és a terhelés nagysága közötti kapcsolatot leíró összefüggést! 5.6 Az interferometrikus összeállítás üzembe helyezése után mérje meg a valóságos interferenciacsíkok sűrűségének változását a terhelés függvényében! 5.7 Az 5.4 és 5:5 pontban levezetett összefüggések illetve az 5.6 pontban mért adatok segítségével határozza meg az E rugalmassági modulus értékét! 5.8 Határozza meg a mérési bizonytalanságot! 6. Interferencia komparátor 1. Ismerkedje meg

komparátorral! az Ascania típusú Interferencia 2. Hozzon létre síktükör segítségével interferencia jelenséget! 3. Mérje meg a gyakorlatvezető által kijelölt üveglemez két felületet közötti szöget! 8 Befalazott tartó deformációs állapotának meghatározása Antal Ákos antala@eik.bmehu Ha egy külső erő vagy erőpár munkát végez egy tartón, akkor ezt a W munkát a külső erők munkájának nevezzük. Ez a munka a tartóban U belső energia formájában tárolódik Ha a rugalmas tartót Fn erőkből és Mk nyomatékú erőpárokból álló egyensúlyi erőrendszer terheli, akkor a test deformálódik, tehát az erők támadáspontja elmozdul, a nyomatékok síkjai elfordulnak. Ha az Fi erő elmozdulás vektora és ennek az erő irányába eső összetevője fi , akkor az erő munkája 1 Wi = Fi fi . 2 Hasonlóan az Mj nyomatékú erőpár munkája 1 W j = Mj ϕi . 2 Az így meghatározható munkák szuperpozíciójával az egész – a tartót

terhelő – erőrendszer munkája n k i=1 j=1 1X 1X W = Fi fi + Mj ϕi . 2 2 A fenti összefüggés természetesen csak akkor érvényes, ha a testre ható külső erőrendszer a terhelés folyamán egyensúlyi rendszert alkot. Ez statikailag határozott tartók esetén érvényesül, s ilyenkor a reakcióerők támadáspontjainak nincs elmozdulása, tehát azok külső munkája nullával egyenlő. Ha az i-edik erő nagyságát dFi -vel megváltoztatjuk, akkor a külső erők munkája megváltozik és a dFi erőt tartalmazó rendszer munkája W+ ∂W dFi ∂Fi lesz. Ha a terheletlen tartóra csak a dFi erőt visszük fel, akkor annak munkája 1 dFi dfi 2 lesz. A tartóra ható terhelések munkája W és a dFi erő munkája pedig fi dFi . Mivel ezen erő támadáspontjának elmozdulása fi , így W + fi dFi = W + ∂W dFi . ∂Fi Ebből felírható a Castigliano tétel, mely szerint ∂W , ∂Fi fi = illetve hasonló gondolatmenet alapján ∂W . ∂Mj ϕj = Tekintsük

a következő statikailag határozott koncentrált erővel terhelt befalazott tartót. A tartóra ható külső erők munkája x F l M0 1. ábra A befalazott tartó modellje 1 W = 2IE Zl M 2 (x) dx. 0 Alkalmazva a fentebb levezetett Castigliano tételt  ∂W ϕ= ∂M0  M0 =0 1 = IE Zl M (x) 0 ahol M (x) = M0 + F0 x, és ∂M (x) = 1. ∂M0 Behelyettesítve és a műveleteket elvégezve   l l ϕ= M0 + F0 . IE 2 2 ∂M (x) dx, ∂M0 Ha M0 = 0, akkor F l2 . 2IE Ha a tartó téglalap keresztmetszetű, akkor a vízszintes tengelyére vett inerϕ= y b x t u a 2. ábra A tartó keresztmetszete ciájára érvényes Z Ix = 2 Za y dA = Zb dx 0 y 2 dy = 0 A Steiner tétel alapján Ix = Iu − At2 , tehát Ix = 3 ab3 . 12 ab3 . 3