Physics | Hydrodynamics » Szigorlati tételek Hidraulika tantárgyból

Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Szigorlati tételek Hidraulika tantárgyból 1. Ismertesse a víz fizikai tulajdonságait, azok nyomás és hőmérséklet függését, a molekuláris erőhatások számítását, valamint a folyadékok viszkozitását. Folyadékok fizikai tulajdonságai A folyadék általános jellemzése során a folyadék alatt olyan anyagot értünk, amely csekély ellenállást tanúsít az alakváltozást létrehozó erőkkel szemben, a rendelkezésére álló teret a határoló felületek szerint (edény, tartály alakjához igazodva) kitölti, de térfogatát nagy nyomásváltozások is csak kis mértékben befolyásolják. Szerkezete, más anyagokhoz hasonlóan molekuláris, amelyben az anyagot alkotó részecskék a teret nem töltik ki folytonosan. A gyakorlati hidraulikai feladatok során a valóságos folyadékokat, a teret hézag nélkül kitöltő, folytonos közegként tekintjük. Ideális folyadéknak tekintjük azt a

folyadékot, melyben akármelyik kis rész tulajdonsága megegyezik az egész folyadék tulajdonságával. Az ideális folyadék homogén, izotróp (a tulajdonságok minden irányban azonosak), összenyomhatatlan és tökéletesen viszkózus (a molekulák közötti erőátadás az egymás mellett való elcsúszáskor zérus). Valós folyadéknak tekintjük azt a folyadékot, mely nem homogén, izotróp, egészen kicsit összenyomható, nem tökéletesen viszkózus. A víz halmazállapotai A +4 oC alatti hőmérsékleten további lehűléskor a víz sűrűsége ismét csökken, így állóvizek esetén a fagyás a felszínen kezdődik, a képződött jég sűrűsége a vízénél kisebb tehát úszik a felszínen. Légköri nyomáson a víz fagyáspontja 0 oC, forráspontja 100 oC A nyomás változásával - azzal megegyező irányban - a forráspont jelentősen elmozdul. Ez ad magyarázatot pl.: a kavitáció jelenségére és a Papin fazék (kukta) használatára A víz természetes

körülmények között mindig tartalmaz valamennyi oldott állapotú levegőt. Nyomás csökkenéskor a levegő egy része vízpárával együtt kiválik Alacsony nyomáson a víz gőzzé átalakulása, a kavitáció, természetes - és esetenként káros - folyamat. Szobahőmérsékleten ( 20oC ) a telített gőznyomás értéke Pg = 2,4 kPa. A sűrűség Homogén folyadékok esetében a sűrűség és a térfogatsúly azonos fogalmat takar, és ezért erre a sűrűség elnevezést használjuk. A homogén folyadék sűrűségének a tömeg és térfogat hányadosát, tehát a térfogategységben foglalt tömeget nevezzük, az alábbiak szerint: ρ= m  kg    V  m3  A folyadék sűrűsége a hőmérséklet és a nyomás változtatásával módosítható. Értéke desztillált víz esetén T= 4 oC hőmérsékleten 101,3 kPa nyomáson 1000 kg/m3. A természetben található és a használati vizek sűrűsége is összetételük és fizikai állapotuk szerint ettől

az értéktől jelentősen eltérhet. Tekintettel azonban arra, hogy ez az eltérés felszíni és felszín közeli természetes vizek, valamint a szokásos nyomásviszonyok (0-20 kPa) mellett szállított zárt csővezetéki édesvizek esetében csekély, a víz sűrűségét 1000 kg/m3 értékűnek -1- Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév vesszük. A sűrűség változása nyomás hatására A nyomásnövekedés hatására a folyadék összenyomódik, térfogata ∆V értékkel csökken. Értéke ∆V = V2 - V1 (előjeles mennyiség ! ) A kísérlet során a két állapot közötti tömegegyenlőség alapján felírható: ρ1 ⋅ V1 = ρ 2 ⋅ (V1 + ∆V ) ρ 2 = ρ1 ⋅ V1 = ρ1 ⋅ V1 + ∆V bevezetve az ε = 1 ∆V 1+ V1 ∆V 1 fajlagos térfogatváltozást a ρ 2 = ρ1 ⋅ alakot kapjuk. V1 1+ ε A kísérletek és tapasztalatok szerint a nyomásváltozás és a hatására létrejövő fajlagos térfogatváltozás között lineáris a

kapcsolat, a nyomásnövekedés térfogat csökkenést eredményez, tehát fordított arányosság. ∆P = - E ∙ ε amelyből ε=- ∆P , amit behelyettesítve a korábban kapott összefüggésbe E 1 alakot kapjuk, amely a nyomásváltozás és a hatására létrejövő ∆P 1− E sűrűségváltozás között teremt kapcsolatot. ρ 2 = ρ1 ⋅ Az E - térfogati rugalmassági együttható, értéke kismértékben nyomásfüggő, meglehetősen nagy nyomásváltozás szükséges kismértékű fajlagos térfogatváltozás létrehozásához, értéke 050 Mpa nyomáson 2 ⋅ 10 9 Pa. -2- Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A sűrűség változása hőmérsékletváltozás hatására A folyadékok sűrűsége hőmérsékletváltozás hatására is változik. Az ábra szerint a hőmérsékletváltozás értéke ∆T = T2 - T1 a hatására létrejövő térfogatváltozás ∆V = V2 - V1 Tapasztalatok és mérési eredmények szerint az ε fajlagos

térfogatváltozás és a ∆T hőmérsékletváltozás közötti kapcsolat lineáris, és a +4 oC fölötti tartományban megegyező irányú. 1 ε = α ∙ ∆T azaz ∆T = ⋅ ε α  1  1  az α térfogati hőtágulási együttható mértékegysége   ,    K   °C  Értéke 277 (K) , +4 oC esetén 0, alatta negatív, felette pozitív előjelű, az alábbi ábra szerint: -3- Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Meghatározására, légköri nyomáson jó közelítéssel használható még az alábbi összefüggés: α = ( - 4,8 + 1,22 ∙ T - 0,0044 ∙ T2 ) ∙ 10-5 (1/ oC) A hőtágulási együttható kismértékben a nyomással is változik, értéke 18°C-on 2,4∙10-4 1/°C. A hőmérséklet -és nyomásváltozás együttes hatásának leírására használt eljárásban először nyomásváltozást, majd az így megváltozott állapotban hőmérsékletváltozást "idézünk elő". A kezdeti állapotot

jelölje ρ P1T1 , a megváltozott állapotot ρ P2 T2 , a 1 alakot behelyettesítve a következő összefüggésbe ∆P 1− E 1 az alábbi végeredményt kapjuk: = ρ P2T1 ⋅ 1 + α ⋅ ∆T 1 1 = ρ P1T1 ⋅ ⋅ ∆P 1 + α ⋅ ∆T 1− E ρP T = ρP T ⋅ 2 1 ρP T 2 2 ρP T 2 2 1 1 Belső súrlódás, viszkozitás A valóságos folyadékok áramlása során az egymás mellett sebességkülönbséggel elhaladó vízrétegek között kölcsönhatás keletkezik, amelyet csúsztató feszültséggel jellemzünk. A csúsztató feszültség mértéke - lamináris áramlásnál - a sebesség gradienssel (a sebességnek az áramlás irányára merőlegesen mért, egységnyi hosszon számított változásával) egyenesen arányos. Az arányossági tényező, a folyadékra jellemző dinamikai viszkozitás Jele η (éta), mértékegysége (Pa∙s), az alábbi ábra és összefüggés szerinti értelmezésben. A sebesség gradiens értelmezése τ =η ⋅ ∆v ∆n N ⋅s m 

 N   2 = 2 ⋅ s⋅m m m A dinamikai viszkozitás és a sűrűség hányadosa a kinematikai viszkozitás: ν= -4-  m2  η  mkg m 3   2 2 ⋅  azaz   ρ  s ⋅ m kg   s  Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Mértékegységéből a kinematikai viszkozitás felületi sebesség jellegű mennyiség. A viszkozitás a folyadék hőmérsékletétől függően jelentősen változhat, értékei az alábbi összefüggéssel határozhatók meg: ηT = η 273 8,2 − 0,086 ⋅ T + 0,00022 ⋅ T 2 ahol η 273 = 1,8 ∙ 10-3 (P∙ s) és a hőmérséklet K-ben helyettesítendő. Molekuláris erőhatások, a folyadékok felületi feszültsége Felületi feszültség A folytonossági szemlélet mellett a folyadékfelszínnel kapcsolatos jelenségek nem magyarázhatók meg, mivel azok elsősorban a molekuláris szerkezet következményei. A tapasztalat szerint létezik felületi erő, amely a folyadékfelszín

síkjában hat. A vízfelszínre helyezett borotvapenge szélénél pl. a felszín kismértékben meggörbül, a felszín hártyaként viselkedik és így megjelenik a felszíni erő függőleges irányú vetülete, amely a súlyerővel egyensúlyt tart. A felületi feszültség tehát a folyadékfelszín (kb. 30 molekula sornyi) síkjában keletkezik, értéke a felszínben fekvő hosszegységnyi vonalra vonatkozik és arra merőleges. Nagysága a folyadékfelszín bármely helyén azonos és a kiválasztott iránytól független. A folyadékfelszín l (m) hosszúságú szakaszán keletkező erő felületi erő K = k · l (N), ahol k (N/m) a felületi feszültség, értéke 20oC-os víz esetén 0,0722 N/m, a hőmérséklet változásával jelentősen változik az alábbi összefüggés szerint. k = ( 760-1,4 ∙ T - 0,0032 ∙ T2) ∙ 10-4 (N/m), ahol a hőmérséklet oC-ban helyettesítendő. A folyadékok felszíni rétegének viselkedését a felületi feszültséggel

magyarázhatjuk. Kísérletekkel bizonyítható, hogy az azonos folyadékrészecskék között kohéziós erő, a folyadék és más anyagok között pedig adhéziós (összetartó) erő hat. Például, ha két tiszta üveglemezre vizet helyezünk, majd azokat összeillesztve egymáshoz nyomjuk, hogy a vízréteg hézagmentes legyen, az ismételt szétválasztáshoz - a kohézió legyőzéséhez- jelentős erő szükséges. Ugyanakkor mindkét lemez felülete vizes marad, tehát az adhéziós erő víz és -5- Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév üveg esetében a kohéziót is meghaladja. Ez a magyarázata a folyadékfelszín alakulásának a határoló fal mentén. Kapillaritás A kapillaritás a folyadéknak az a tulajdonsága, hogy kis belső átmérőjű csövekben vagy egymáshoz közel eső felületek között a felületi feszültség hatására a folyadékfelszín megemelkedik, ill. lesüllyed Víz esetében a K kohéziós erőt (a találkozási

vonalak szögfelezőjében) meghaladó A adhézió miatt az R eredő a falon kívülre mutat, így az erre merőleges érintőjű csatlakozási vonallal a vízfelszín felülről homorú alakot mutat. Higany esetén a K kohézió nagyobb értéke következtében az eredő a falon kívülre mutat, a vízfelszín pedig felülről domború. A felületi feszültséggel és a görbült folyadékfelület által ennek következtében kifejtett erővel magyarázható a kapilláris emelés jelensége is. A vízzel illetve higannyal telt edénybe helyezett vékony üvegcsövekben a víznél megemelkedik, a higanynál lesüllyed a felszín, a felületi feszültségből származó, a görbület irányába mutató erő hatására. -6- Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A kapilláris emelés magasságának meghatározásához az emelő (süllyesztő) erőt az üvegcső felületére értelmezett pg görbületi nyomással helyettesítjük. A felemelt vízoszlop

súlyerejének és a görbületi nyomásból az üvegcső keresztmetszetében fellépő erő egyenlőségéből felírható egyenlet szerint: d 2 ⋅ π ⋅ pg d 2 ⋅ π ⋅ h0 ⋅ ρ ⋅ g = 4 4 pg = h0 ⋅ ρ ⋅ g amelyből a görbületi nyomás értéke Gömbfelület esetén a pg görbületi nyomás értéke figyelembe véve az r = R∙cos α és d R = ⋅ cos α összefüggéseket, a felületi feszültséggel kifejezhető: 2 k ⋅ 4 ⋅ cos α pg = alakban, amelyet az előző összefüggésbe helyettesítve a d k ⋅ 4 ⋅ cos α hK = eredményt kapjuk. d ⋅ρ⋅g Az illeszkedési szög értéke víznél: higanynál: α ≈ 0° cos α = 1 α ≈ 180° cos α = −1 A d (mm) átmérőjű üvegcsőben történő kapilláris emelés mértéke T= 20 oC víz esetén α = 0, azaz cosα=1 feltételezésével kifejezhető az alábbi közelítő összefüggéssel is: 30 (mm) d Higany estén a kapilláris süllyedést a következő közelítő képlettel határozhatjuk meg: hk ≅

hk ≅ 10 (mm) d -7- Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév 2. Ismertesse az abszolút és relatív nyugalomban lévő folyadék belső feszültségi állapotait, a hidrosztatika Euler-féle alapegyenletét, az Euler és a Pascal-törvény együttes alkalmazását (egyenes vonalú, görbe vonalú, forgó, függőlegesen gyorsuló mozgások). Nyugvó folyadéktér amikor a folyadékrészek földi koordinátarendszerben abszolút nyugalom, mozdulatlanok ­ relatív vagy viszonylagos nyugalom, amikor a folyadékrészek a tartóedény falához rögzített koordinátarendszerben mozdulatlanok, és maga az edény végezhet egyenes vonalú egyenletes sebességű vagy gyorsuló (lassuló) mozgást, illetve saját vagy egy külső tengely körüli forgást. Abszolút nyugalom esetén a szomszédos részek közötti sebességkülönbség dv = 0, tehát az η∙dv/dr szorzat értéke is nulla, azaz a η ≠ 0 viszkozitású valóságos folyadékok is ideálisként

viselkednek. Tehát az ideális folyadékokra levezetett törvényszerűségek a hidrosztatikában a valóságos folyadékokra is érvényesek. A feszültségek: ­ Húzófeszültség (elhanyagolhatóan kicsi) ­ Nyomófeszültség (a hidrosztatikus nyomás – jelentős nagyságú) ­ Nyíró, vagy csúsztató feszültség (nincs, a folyadék abszolút gördülékeny) ­ Csavarófeszültség (nincs) ­ A hidrosztatika első alaptétele A nyugvó folyadék a határoló edény falára csak merőleges hatást gyakorol, mivel dv/dr = 0, tehát τ = η∙dv/dr is egyenlő nullával. Azaz nincs a határoló felület síkjába eső feszültség és erőhatás. A hidrosztatika második alaptétele A nyugvó folyadék bármely belső pontjában a nyomás minden irányban hat és azonos nagyságú. (A folyadék belsejében gömbi feszültségi állapot uralkodik) Vegyünk fel egy tetszőleges helyzetű, az A ponton átmenő síkot. Az 210ábra szerint a sík és a koordináta tengelyekkel

meghatározott síkok a nyugvó folyadéktérből egy elemi z tetraédert vágnak ki. Py, Ty Px, Tx A Pn, Tn x Pz, Tz y -8- Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A gömbi feszültségi állapot bizonyítása Eltávolítva a tetraéderen kívüli folyadékrészeket és hatásukat a tetraéder oldallapjaira ható nyomásokkal, illetve az ebből származó erőkkel helyettesítve írjuk fel a tetraéder egyensúlyát. A tetraéder oldalélei: ∆x, ∆y, ∆z hosszúságúak A külső oldallapokra ható felületi erők: Px, Py, Pz, Pn A tömegerő (súlyerő): T és tengelyirányú összetevői: Tx, Ty, Tz Az egyensúly feltétele: Px - Pn ∙ cos αnx + Tx ∙ ρ ∙ V = 0 Py - Pn ∙ cos αny + Ty ∙ ρ ∙ V = 0 Pz - Pn ∙ cos αnz + Tz ∙ ρ ∙ V = 0 ahol V a tetraéder térfogata Felírásához határozzuk meg az egyes koordinátasíkokba eső oldallapok területét. Az x normálisú, tehát az x tengelyre merőleges, azaz az y-z tengelyekkel

meghatározott oldallap sík az A ponton átmenő oldallap vetületeként kifejezve: ∆y ⋅ ∆x amiből Fx = Fn ⋅ cos α nx = 2 1 V = 6 ⋅ ∆x ⋅ ∆y ⋅ ∆z Kifejezve az x irányú külső erőt Px = Pn ⋅ cos α nx − Tx ⋅ ρ ⋅ V majd az x tengelyre merőleges oldallap átlagos hidrosztatikus nyomását px = Px Pn ⋅ cos α nx − Tx ⋅ ρ ⋅ V Pn ⋅ cos α nx = − = Fx Fn ⋅ cos α nx Fn ⋅ cos α nx px = Pn ∆x − Tx ⋅ ρ ⋅ Fn 3 Tx ⋅ ρ ⋅ ∆x ⋅ ∆y ⋅ ∆y ⋅ ∆z 2 ∆z 6 = Az elemi tetraéder méreteit csökkentve határátmenet után a pontbeli nyomás x tengely irányú értékére P  P p x = lim  n − Tx ⋅ ρ ⋅ ∆z  = n = Pn adódik, amelyből következően ∆x 0 F  n  Fn Px = Py = Pz = Pn, tehát a pontbeli nyomások iránytól függetlenül azonosak. (Hidrosztatika második alaptétel) A pontbeli nyomás értéke A nyomás felületegységre jutó erő, a folyadéktér belső pontjaiban a hely

függvénye, kifejezhető az adott pontra mutató helyvektorral, vagy a pont koordinátáival, az alábbi módokon: p = p(r) = p(x,y,z) A nyomásból származó tetszőleges felületre ható nyomóerő p x = ∫ p(r )dF ahol dF az elemi felület nagyságával megegyező, arra merőleges vektor F -9- Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Az Euler-tétel a nyomás nagyságának meghatározására szolgál, mely kapcsolatot termet a: a tömegerő (gravitációs, vagy tehetetlenségi erők) a nyomás a pont víztérben elfoglalt helyzete a folyadék sűrűsége között. A hidrosztatika Euler-féle alapegyenlete Az Euler-tétel abszolút nyugalomban levő folyadékra alkalmazott általános alakja: p+ρ⋅g⋅z =C Vegyük a nyugvó folyadéktér egy elemi nagyságú henger alakú darabját. dr p + dp df dr p T r + dr r Az Euler-féle alapegyenlet értelmezése A felületi hatások (nyomások): p és p+dp Tömegerő: T Az egyensúly feltétele tengely

(dr) irányban a külső (felületi) és belső (tömeg) erők egyensúlya A felületi erők: p df - (p + dp) df = - dp df A tömegerő: ρ T dr df azaz ρ T dr df - dp df = 0 a nyomásváltozás vektoriális alakban: dp = ρ ∙ T ∙ dr dp dp 1 1 és T = alakot, = gradρ amiből megkapjuk a T = ⋅ behelyettesítve a dr dr ρ ρ ⋅ gradp míg a nyomásváltozás skaláris alakban: amiből - 10 - dp = ρ (Tx dx + Ty dy + Tz dz) Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév 1 dp ⋅ ρ dx 1 dp Ty = ⋅ ρ dy 1 dp Tz = ⋅ ρ dz Tx = Tehát ha a nyugalomban levő, ρ sűrűségű folyadék egységnyi tömegére T tömegerő hat, a folyadéktér két, dr távolságú pontja között a nyomásváltozás dp, a ρT és dr vektorok skaláris szorzataként kapható. Tömegerők: súlyerő g = 9,81 m/s2 tehetetlenségi erő: a =m/s2 gyorsulás a = n r ω2 forgás (keringés) r sugarú görbe vonalú pályán a= n ⋅ v2 értékű kifelé mutató tehetetlenségi erő,

ahol n a tehetetlenségi erő r egységvektora. Fogalmak: a folyadékfelszín merőleges a ható erők eredőjére ( lásd ideális folyadék, csúsztató feszültség = 0 és sebesség gradiens = 0 ) Ekvipotenciális felület: azon pontok összessége, ahol a nyomás azonos. Az abszolút nyugalomban az eredeti koordináta rendszerben értelmezve Tx = 0, Tz = 0, és Ty = - g tehát dp = ρ ∙ ( 0 + 0 - g ∙ dz) az integrálást elvégezve a p = -ρ ∙ g ∙ z + C alakot kapjuk. amiből a z = konstans (vízszintes) síkokban a nyomás értéke állandó, tehát ezek ekvipotenciális felületek. Térbeli koordináta rendszerben: z y Tz Tx Ty x - 11 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Tx = 0 Ty = 0 Tz = g dp = ρ ⋅ (Tx ⋅ dx + Ty ⋅ dy + Tz ⋅ dz ) dp = ρ ⋅ (0dx + 0dy + gdz ) g ⋅ z ∫ gdz = − 1 P = −ρ ⋅ g ⋅ z A nyugalomban levő folyadéktér belső pontjának (P) nyomása és a pontnak a viszonyító sík feletti

távolságával képzett szorzata egy konstans P = −ρ ⋅ g ⋅ z + C P+ρ⋅g⋅z =C A belső pont nyomása és a ρ ⋅ g ⋅ z szorzat a térben mindig és mindenhol konstans Ha a folyadékra a külső P0 légnyomás hat, akkor bármely belső pontban a nyomás: z+h=m p = p0 p0 + ρ ⋅ g ⋅ m = C p = p 0 + ρ ⋅ g ⋅ m − ρ ⋅ g ⋅ z = p 0 + ρ ⋅ g ⋅ (m − z ) = p 0 + ρ ⋅ g ⋅ h z P0 P0 P0 Z0 h Z1 Px Px Px Zx z x Tehát a nyugvó folyadéktér felszín alatt h mélységű pontjában tapasztalható abszolút nyomás a felszínre ható po nyomásból és a mélységtől és sűrűségtől függő ∙ h ρ ∙ g túlnyomásból tevődik össze. pabsz = po + pt a túlnyomás nyomómagasságban kifejezve pt = ρ ∙ g ∙ h / ρ ∙ g = h (m) Pascal törvénye: a nyugalomban levő folyadéktérre ható külső erők hatása (nyomás) a folyadéktérben veszteségmentesen terjed és érvényesül. Abszolút nyugalomban levő folyadékban az Euler-féle

hidrosztatikai alapegyenlet: p = p0 + ρ ⋅ g ⋅ h Mivel az egyenletben gyengítetlenül szerepel a külső légköri nyomás ezért: - 12 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév p = p 0 + ∆p p 0 + ∆p = p 0 + ρ ⋅ g ⋅ h h= ∆p ρ⋅g Tehát az azonos nyomású felületek párhuzamosak a folyadék felszínével, ekvipotenciális felületek. Tengely körüli forgás Forgó tartály Z R m H Zo Y Zo X Relatív nyugalom értelmezése Az ábrán bemutatott, Z tengely körül ω szögsebességgel megforgatott tartályban a Z tengely vonalában Zo, pereménél (X=Y=R helyen) Zo + H vízmélység alakul ki. A relatív nyugalomként értelmezett mozgásban lévő víztestre ható tömegerők: Tz = - g Tx = x · ω2 Ty = y ·ω2 Behelyettesítve a hidrosztatika Euler-féle alapegyenletének skaláris alakjába: dp = ρ · (x · ω2 · dx + y · ω2 · dy – g · dz) az integrálás elvégzése után p ( x, y , z ) = ρ ⋅ x2 ⋅ω 2 ρ ⋅ y2

⋅ω 2 + − ρ ⋅ g ⋅ z + C alakot kapjuk. 2 2 A C integrálási állandó meghatározásához ismert nyomású pontot választunk: x = 0; y = 0; z = Zo helyen p(0,0,Zo) = po tehát  p  po = 0 + 0 - ρ · g · Zo + C , amiből C =  o + Z o  ⋅ ρ ⋅ g visszahelyettesítve, ρ⋅g  a forgó tartályban kialakuló nyomások jellemzésére az alábbi alakot kapjuk: - 13 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév p ( x, y , z ) = ρ ⋅ x2 ⋅ω 2 2 + ρ ⋅ y2 ⋅ω 2 2  p  − ρ ⋅ g ⋅ z +  o + Z o  ⋅ ρ ⋅ g ρ⋅g  Egyenes vonalú mozgás y a x β g z A vízszintes pályán gyorsulva mozgó rendszer minden pontjára a nehézségi erőn kívül még a gyorsulással arányos erő is hat. A relatív nyugalomként értelmezett mozgásban lévő víztestre ható tömegerők: Tz = -g z Tx = ax Ty = 0 Behelyettesítve a hidrosztatika Euler-féle alapegyenletének skaláris alakjába: dp = ρ ·

(ax · dx + 0 · dy - gz · dz) az integrálás elvégzése után p( x, y, z ) = ρ ⋅ (ax − gz ) + C alakot kapjuk,melyből egyenletrendezés után a z=− a x g alakot kapjuk. Ez az egyenlet a folyadék felszínének egyenlete, melyből látszik, hogy az ekvipotenciális felületek dőlt síkok lesznek. Ezt a dőlésszöget az  a   g β = arctg  − egyenlettel határozzuk meg. Függőleges gyorsulás (a sebességgel) A hidrosztatika alapegyenlete szerint: - 14 - dp = ρTz dz Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Az egységnyi tömegre ható erő tengely menti vetületei: TX = 0 TY = 0 TZ = a ⋅ g p = ∫ ρ ⋅ a ⋅ g dz = ρ ⋅ a ⋅ g ⋅ z + C 3. Ismertesse a folyadék hatását határoló felületekre Folyadéknyomás ábrázolása, összetett felületek nyomásábráinak szerkesztése, nyomóerők meghatározása vízépítési szerkezetek erőtani méretezéséhez. A folyadékokba merült felületekre a

folyadék nyomást gyakorol. A nyomás vektorként ábrázolható, melynek jellemzői: - az iránya, amely merőleges a felületre - az értelme, amely a felület felé mutat a folyadék belsejéből - a nagysága, amely a mélységgel egyenesen arányos - a léptéke, „minden vektor olyan hosszú, mint amilyen mélységben levő ponthoz rajzoljuk”, tehát h( m) = ρ ⋅ g ⋅ h ( Pa) Általános helyzetű, körülhatárolt sík felületre ható nyomóerő meghatározása x α y0 yS hS P h S lS dP y l0 dF y l z Az ábrán vázolt módon, a vízszintben elhelyezett x,y tengelyű, derékszögű koordináta rendszer y tengelyére fektessünk ferde helyzetű, a vízszinttel α szöget bezáró síkot. A síkon lehatárolt általános alakú felületdarab súlypontját S-sel, a felületdarabra ható folyadéknyomások eredőjét P-vel jelöltük. A h mélységű dF elemi felületdarabra ható erő dP = p · dF = h · ρ · g · dF értelmezhető. A sík helyzetéből adódó

összefüggés továbbá a h = l· sin α - 15 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév P = ∫ dP = ∫ p ⋅ dF = ∫ h ⋅ ρ ⋅ g ⋅ dF F F F Elvégezve a sík helyzetéből adódó behelyettesítést és kiemelve a konstans tagokat P = ρ ⋅ g ⋅ sin α ⋅ ∫ l ⋅ dF F ahol az y tengelyre vett statikai nyomaték, S = ∫ l ⋅ dF = l ⋅ F felület ismert alakja jelenik meg. y s F A felületdarabra ható teljes erő tehát A P = ρ ⋅ g ⋅ sin α ⋅ l ⋅ F formából a súlyponti mélység hS = l S ⋅ F behelyettesítéssel a s P = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ F alakot kapjuk, majd p = ρ ⋅ g ⋅ h súlyponti nyomás felismerése s s S után a végeredmény P = p ⋅F s azaz a körülhatárolt általános helyzetű sík felületre ható folyadéknyomásból származó eredő erő értéke, a súlyponti nyomás és s felületnagyság szorzataként számítható. Fontos ugyanakkor, hogy az eredő támadáspontja nem szükségképpen a súlyponttal

esik egybe, hanem vízszintestől eltérő helyzetű síkok esetében a súlypont esésvonalában, attól lejjebb található. (Esésvonal, a felület legnagyobb lejtésű vonala) A távolságot a súlypont és a támadáspont között excentricitásnak (külpontosság) nevezzük és az alábbi módon határozható meg. Tekintsük a dP elemi erőket párhuzamos, a síkra merőleges erőrendszernek. Az erőrendszer nyomatéka az y tengelyre, dM y = l ⋅ dP = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ l ⋅ dF = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ sin α ⋅ l 2 ⋅ dF A nyomaték a teljes felületdarabra = ∫ dM =ρ ⋅ g ⋅ sin α ⋅ ∫ l 2 ⋅ dF , y F F 2 melyben az ismert I = ∫ l ⋅ dF alakot (másodrendű, vagy tehetetlenségi nyomaték) találjuk. y F Hasonlóképpen előállítva az eredő nyomatékát M M y y = P ⋅ l 0 = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ F ⋅ l 0 = ρ ⋅ g ⋅ sin α ⋅ l 0 ⋅ S y S az egyenlet az alábbi módon írható fel ρ ⋅ g ⋅ sin α ⋅ I = ρ ⋅ g ⋅ sin α ⋅ l 0 ⋅ S y

melyből az egyszerűsítések után az y l0 = Iy Sy Az ábra szerinti e = l0 − l S tovább pontosítható, az alábbiak szerint I y = I 0 + l S2 ⋅ F tehát l 0 = e = l0 − l S = I 0 + l S2 ⋅ F I = l S + 0 és a végeredmény lS ⋅ F lS ⋅ F I0 S y Tehát az y tengelyre merőleges excentricitás a felületdarab y-nal párhuzamos súlyponti - 16 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév tengelyére számított másodrendű nyomaték és az y tengelyre számított elsőrendű nyomaték hányadosaként állítható elő. A folyadéknyomás ábrázolása A folyadéknyomás ismert tulajdonságai alapján, és mert rendelkezik a vektormennyiség szükséges jellemzőivel, iránya, irányultsága és nagysága van, vektorként szemléletesen és hasznosan ábrázolható. Az ábrázolási szabályok betartása jelentősen megkönnyítik az alkalmazást és segítenek a hibák elkerülésében. A nyomás lépték: mind méretarányos, mind

„szabadkézi” alakhelyes ábrázolás esetén a javasolt érték 1 ábrázolási hosszegység = 1·ρ·g Pa nyomásértékkel. Ebből következően egy pontbeli nyomást reprezentáló vektor hossza megegyezik az adott pont mélységével. A vektor a folyadéktér felől a nyomott felület felé mutat és merőleges arra, vagy görbe felületek esetén annak pontbeli érintőjére. h P h/2 e b h/3 a hS = h , a nyomástest eredő erejének támadáspontja. 2 F = h⋅b h h2 P = pS ⋅ F = ρ ⋅ g ⋅ ⋅ h ⋅ b = ⋅ ρ ⋅ g ⋅b 2 2 - 17 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév b ⋅ h3 I b ⋅ h3 ⋅ 2 h e = 0 = 12 = = h 12 ⋅ h ⋅ b ⋅ h 6 Sy h⋅b⋅ 2 tehát a körülhatárolt felületre ható folyadéknyomás eredő ereje a felülethez rajzolt nyomástest „térfogataként” is számolható, és a helye a test nyomásirányú súlyvonala. Sík felületek Az ábrán bemutatott rézsű felülethez megrajzoltuk az eredő

nyomásábrát, azaz a pontbeli nyomásokat jelképező vektorokat, az R jelű eredő nyomóerőt, melynek értéke 1 m s hosszúságú rézsű szeletre a korábban körülhatárolt sík felületre ismertetett módon számítható R= h h2 ⋅ ρ ⋅ g ⋅ 1 ⋅ h ⋅ (r 2 + 1) = ⋅ ρ ⋅ g ⋅ 1 ⋅ (r 2 + 1) 2 2 Előállítva az 1m hosszú szelet minden pontjához illesztett nyomásvektorokból képződő nyomástest „térfogatát” azonos eredményre jutunk. h ⋅ ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ (r 2 + 1 ) h2 ⋅1 = ⋅ ρ ⋅ g ⋅ 1 ⋅ (r 2 + 1 ) = R 2 2 Az eljárás jól használható a sík felületekkel határolt testekre ható nyomóerők számítására. R h h* (r2 + 1) h*rg h*r Görbe felületek esetén a feladatot bonyolultabbá változtatja az a tény, hogy az egyes felületelemekre ható nyomóerők nem párhuzamosak Válasszunk az előzőhöz hasonlóan koordináta rendszert, helyezzük el a folyadékban az F jelű, általános helyzetű, görbe felületet. Képezzük a

felület általános alakú elemi dF - 18 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév darabjának vetületeit a következő módon: az y-z síkban y normálissal dFx az x-z síkban y normálissal dFy az x-y síkban y normálissal dFz Jelöljük az említett elemi felületdarabra ható nyomóerőt dP-vel és ennek az egyes koordináta tengelyekkel bezárt szögeit a bemutatott módon x – tengely α Px = α y – tengely α Py = β z – tengely α Pz = γ x dF z h s h s y z dP dF x dF y dF F z Felírhatók az elemi felületdarab vetületei dFx = dF ⋅ cos α dFz = dF ⋅ cos γ dFy = dF ⋅ cos β dP = p ⋅ dF és P = Px 2 + Py 2 + Pz 2 valamint ebből dPx = p ⋅ dF ⋅ cos α = ρ ⋅ g ⋅ z ⋅ dFx dPy = p ⋅ dF ⋅ cos β = ρ ⋅ g ⋅ z ⋅ dFy dPz = p ⋅ dF ⋅ cos γ = ρ ⋅ g ⋅ z ⋅ dFz és a nyomóerő tengely irányú összetevői Px = ρ ⋅ g ⋅ ∫ z ⋅ dFx = ρ ⋅ g ⋅ S y Fx Py = ρ ⋅ g ⋅ ∫ z ⋅ dFy = ρ

⋅ g ⋅ S x Fy Pz = ρ ⋅ g ⋅ ∫ z ⋅ dFz = ρ ⋅ g ⋅ W Fz - 19 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév ahol W az eredeti felület és annak vízszint síkjában képzett merőleges vetülete közötti, függőleges alkotókkal kimetszett test térfogatával egyezik meg. Az eredményül kapott Pz mennyiség, erő, a fenti testben foglalt folyadéktest súlya, hatásvonala a folyadéktest függőleges súlyvonala. Mindezek után a nyomóerő tengelyirányú összetevői P = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅F x S x P = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅F y S y Pz = ρ ⋅ g ⋅ W A vízszintes és függőleges komponens ábrák előállítása és használata Görbe felületek (hengeres gát, szegmens gát) esetén, a sík felületeknél ismertetett ábrázolás és „térfogatszámítás” mivel a nyomástest „vektor sűrűsége” a vektorok eltérő irányai miatt nem azonos, közvetlenül nem használható az eredő erő meghatározásra. Az eredő vízszintes

(horizontális) komponens ábrája és komponens ereje Állítsuk elő a folyadéknyomás hatása alatt álló szerkezet függőleges síkon, vízszintes vetítővonalakkal képzett vetületét. A vetület síkban ábrázolva egyenes függőleges szakaszt képez. A szakasz valamennyi pontjához illesztve az adott pontban tapasztalható vízszintes irányú folyadéknyomást jelképező vektort, kapjuk az említett vízszintes komponens ábrát. Az ábra vektorsűrűsége homogén, vízszintes, eredő helye a vízszintes súlyvonal nagysága, a nyomásábra test „térfogata”. Az eredő függőleges (vertikális) komponens ábrája és komponens ereje Állítsuk elő a folyadéknyomás hatása alatt álló szerkezet vízszint síkjában, függőleges vetítővonalakkal képzett vetületét. A vetület síkban ábrázolva egyenes, vízszintes szakaszt képez. A szakasz valamennyi pontjához illesztve az oda vetített pontban tapasztalható függőleges irányú folyadéknyomást

jelképező vektort, kapjuk az említett függőleges komponens ábrát. Az ábra vektorsűrűsége homogén, függőleges, eredő helye a függőleges súlyvonal nagysága, a nyomásábra test „térfogata”. Az így meghatározott két, merőleges összetevőből Pythagoras tétellel az azok metszéspontján áthaladó az eredőhöz és a tangens szögfüggvény alkalmazásával annak irányszögéhez jutunk. Az eljárásra negyedkör formájú hengeres gát 1 m hosszúságú szeletét választva, az alábbi ábrán mutatunk be mintát. V R H h*ρg h*ρg - 20 - H = h /2 * ρ g 1 2 h h*ρg 2 2 R= H +V αR = arctg (V/H) V = h *(1-π/4) ρ g 1 2 Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Az eredőábrát a megoldás során a már említett okok miatt nem használjuk, a nyomásábra szerkesztés szabályainak szemléletes megjelenítése miatt állítottuk elő. Ferde síkra ható eredő erő számítása Görbe felületre ható eredő erő

számítása (félgömb) - 21 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Görbe felületre ható eredő erő számítása (negyedgömb) Összetett sík felületre ható eredő erő számítása - 22 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Nyomásábrák szerkesztési szabályai: - a nyomásábrákat mindig a felületnek és egy olyan függőleges síknak metszésvonalán ábrázoljuk, amelynek normálisa a felület alkotója (kontúrvonala). - az eredő nyomásábrát minden egyes felületre külön meg kell szerkeszteni (felületelemnek nevezzük a két töréspont közötti metszésvonal szakaszt); az elemi erők irányát a felületre merőleges sraffozás, értelmét a víztömegből a felület felé mutató nyilazás szemlélteti. A megoszló nyomás hatását helyettesítő R eredő erő a nyomásábra súlypontján halad keresztül. - a vízszintes összetevő nyomásábrák (H) szerkesztésénél a vízbe merült

felület metszésvonalát vetítjük függőleges síkba, és erre szerkesztjük meg a nyomásábrát. - függőleges összetevő nyomásábra (V) szerkesztésekor a felülettől a vízfelszín vonaláig, vagy annak meghosszabbításáig készítjük el a megoszló terhelési ábrát: - sík felületelemnél: a felület minden pontjából a felületet terhelő vízfelszínig, vagy annak meghosszabbításáig függőlegesen felfelé húzzuk be a nyomómagasságokat. Az ábra határvonala lehet a felület metszésvonala; a vízfelszín, vagy annak meghosszabbítása; a felületelem két végpontjából a felszínig függőlegesen húzott egyenes. - görbe felületelemnél: a felületet fel kell bontani felületelemekre, és itt az összetett sík felületeken jelentkező töréspontoknak a függőleges érintők érintési pontjai felelnek meg. A nyomóerő nagysága eredő nyomásábrából csak sík felületek esetében határozható meg, görbe felület esetében az ábra csak

szemléltet, de területe nem egyezik meg a nyomóerő nagyságával. Egy felületet terhelő nyomóerő nagysága a vonatkozó nyomásábra alapján: F = ρ ⋅ g ⋅T Víz esetében a nehézségi gyorsulást 10 m/s2 -nek felvéve: [ ]  kg  m F = 10 3  3  ⋅ 10 2  ⋅ T m 2 = m  s   kg ⋅ m   2  N   kN  F = 10 4 ⋅ T  s  = 10 4 T   = 10T   m m  m    tehát általános alakban: F = 10 ⋅ T ⋅ B[kN ] - 23 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév ahol: - F a vízbe merült felületre ható nyomóerő ( értelemszerűen R, H, vagy V) [kN] - T az eredő vagy összetevő nyomásábra területe [m2] - B a felület metszésvonalra merőleges szélessége [m] A nyomóerő hatásvonala áthalad a nyomásábra súlypontján. A nyomóerő iránya a felületre merőleges. A nyomóerő értelme a folyadéktestből a felület felé mutat. 4. Ismertesse a

felhajtóerő számítását, az úszó testek egyensúlyának vizsgálatát Felhajtóerő A görbe felületekre ható folyadéknyomásból keletkező erők meghatározásánál már ismertetett eljárás szerint a felszín alatt teljesen bemerült szabálytalan alakú testre ható eredő erőt keressük. Az x és y normálisú vetületekből számítható, azaz Px és Py erők az eredőben nem szerepelnek, mivel két azonos nagyságú és hatásvonalú, de ellentétes irányú összetevőből képződnek. Az ábra szerinti értelmezésben a testet körüljáró függőleges érintő érintési pontjaival kijelölhető választó görbe alatti és feletti testrészeken a vízfelszínben kijelölt dFz elemi felületdarabot körüljáró függőleges vetítő vonalak a dF’ és dF’’ felső, illetve alsó elemi felszíneket metszik ki. A felszín darabokra ható dP’ és dP’’ erők függőleges vetületei dPz = ρ ⋅ g ⋅ z ⋅dF ⋅ cos(dP , z ) = ρ ⋅ g ⋅ z ⋅dFz -

24 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév dPz = ρ ⋅ g ⋅ z ⋅dF ⋅ cos(dP " , z ) = ρ ⋅ g ⋅ z ⋅dFz ahol cos(dP , z ) a felület elemekre ható erők z tengellyel bezárt szögének koszinuszát fejezi ki. Az azonos hatásvonalú, ellentétes értelmű erők eredője dPz = ρ ⋅ g ⋅ ( z ⋅dFz − z ⋅dFz ) Az ábra szerint, a korábban leírtakkal megegyezően a z’·dFz’ és z’’·dFz’’ a felső és alsó elemi felületek feletti V’ és V’’ térfogatokat jelenti és V’’-V’=V a testen belüli térfogat. Integrálás után Pz = ρ ⋅ g ⋅ (V −V ) = ρ ⋅ g ⋅ V azaz a bemerült testtel megegyező méretű víztest súlyerejét kapjuk, ugyanakkor a az eljárás egyértelműen utal a felhajtóerő folyadéknyomás eredetére. A hidraulikai gyakorlatban az úszás egyenlő a lebegéssel. A lebegés feltétele, mivel a bemerült testre ható vízszintes irányú erők a korábbiak szerint egyensúlyban

vannak, a felhajtóerő (P) és súlyerő (G) egyenlősége. A súlyerő a gravitációból ered, míg a felhajtóerő a folyadéknyomásokból keletkező eredő erő elnevezése, és mindig függőlegesen felfelé mutató irányú. Teljes felhajtóerő: ha a F folyadék a test teljes felületét körülöleli, F f = Vtest ⋅ ρ víz ⋅ g ↑ A felhajtóerő hatásvonala az un. folyadékkiszorítási középponton megy keresztül ( a test által kiszorított folyadék-test súlypontja). V F h1 Részleges felhajtóerő: ha a test a fenékhez részben vízzáróan csatlakozik A1 h2 F = V ⋅ρ ⋅ g = A1 ⋅ h1 ⋅ ρ ⋅ g h F " = V "⋅ρ ⋅ g = A2 ⋅ h2 ⋅ ρ ⋅ g A F” F Nincs felhajtóerő: ha a test a fenékhez teljesen vízzáróan csatlakozik h V - 25 - ↓ ↑ Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév F = A⋅h⋅ ρ ⋅ g ↓ A szilárd testre ható, víznyomásból származó erő hatásvonala a szilárd test fölötti

folyadéktest súlypontján halad keresztül. Lebegő ill. úszó testek egyensúlya Az első, homogén tömegeloszlású esetben, a test (S) és a kiszorított víztest (D) tömegközéppontja egybe esik, a lebegés feltétele a testsűrűség és a folyadéksűrűség azonossága. A ható erők közös támadáspontja és hatásvonala miatt a test bármely helyzetben és mélységben közömbös egyensúlyi állapotban mozdulatlan marad, feltéve, hogy a test és a folyadék összenyomhatatlan, vagy nyomás hatására sűrűségük azonos mértékben változik. A valóságban ez elég ritka eset, az eltérésnek életfontosságú jelentősége van pl. a mélytengeri navigációban és a könnyűbúvárkodásban. Továbbra is lebegést feltételezve, azaz P=G, de inhomogén tömegeloszlás esetén azokban a helyzetekben, amikor a felhajtóerő támadáspontja a súlypont felett helyezkedik el, bizonyos mértékű kibillenés után is visszatérítő nyomaték keletkezik, tehát

stabil egyensúlyi akkor állhat elő, ha S súlypont a D alatt van. Amikor a súlypont felül helyezkedik el, és (S) (D) pontokat összekötő egyenes az úszástengely éppen függőleges, a test a legkisebb oldalirányú hatásra elbillen és a megjelenő nyomaték hatására átfordul stabil helyzetbe. Tehát a szilárd test a folyadékban: - lesüllyed (a fenékig merül), ha ρ test > ρ víz - 26 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév - lebeg (a felszín alá merül, de nem süllyed a fenékig) ρ test = ρ víz - úszik (a test egy része a felszín fölött marad) ρ test < ρ víz A felszínen úszó testre oldalirányból ható erők egyensúlyban vannak, a felhajtóerő a bemerült térfogatnak (és egyúttal az egész úszó test térfogatával is megegyező) megfelelő víz súlyával egyezik meg. Azonban a lebegő testtel ellentétben biztosítva lehet felborulás ellen akkor is, ha a test súlypontja a kiszorított térfogat

súlypontja fölött van. Az úszó test kibillenésekor ugyanis a kiszorított térfogat nagysága megmarad, de a súlypontjának a test súlypontjához viszonyított relatív helyzete megváltozhat. 5. Ismertesse a mozgó folyadék Euler-féle hidrodinamikai alapegyenletét, a NavierStokes egyenletek értelmezését, a folyadékmozgások osztályozását Ha a folyadékok áramlástani vizsgálatai során csak a részecskék mozgásának puszta leírására szorítkozunk, és nem foglalkozunk az áramlás okaival, akkor a hidrokinematika módszereit alkalmazzuk. Ha a folyadékmozgás kinematikai leírása mellett a mozgás okát is vizsgáljuk, valamint, hogy ezek az okok hogyan függenek össze a folyadék mozgásának paramétereivel, akkor a hidrodinamika módszereit alkalmazzuk. A folyadékmozgások osztályozásához szükséges alapfogalmak: -áramlási vonal: egyetlen kiválasztott folyadékrészecske meghatározott idő alatt leírt valóságos pályája (annyi áramlási

vonal van, ahány részecske) -áramvonal: adott időpillanathoz és különböző folyadékrészecskékhez tartozó vonal, melynek minden pontjában a részecskék sebességvektorai az érintők -nyomvonal: az áramlási tér egy pontján áthaladó részecskék alkotta vonal -áramcső: a folyadéktérben tetszőlegesen felvett zárt görbén egy adott pillanatban áthaladó áramvonalak által körülzárt térfogat -folyadéksugár: az áramcsőben lévő folyadéktérfogat -nedvesített keresztszelvény (A): az áramvonalakra merőlegesen kifeszített felület (párhuzamos áramvonalak esetében egy sík felület) -folyadékhozam (Q): a nedvesített keresztmetszeten időegység alatt áthaladó folyadéktérfogat A folyadékmozgások kinematikai osztályozása: a) a sebesség időbeni változása alapján: - permanens áramlás: a folyadéktér tetszőleges pontján áthaladó különböző folyadékrészecskék sebessége időben állandó (az áramvonal és az áramlási vonal

egybeesik) - nem-permanens áramlás: a folyadéktér tetszőleges pontján áthaladó különböző folyadékrészecskék sebessége időben változó A permanencia időbeni változékonyságot kifejező fogalom. Vízrészecskékre értelmezve kimondható, hogy azok lüktető, időben állandóan változó sebességű és irányú mozgása következtében mozgásuk nem nevezhető permanensnek. Amennyiben a sebességingadozások rövid időre számított átlagai egyenlők, a mozgást mégis permanensnek tekinthetjük és csak az átlagok jellegzetes változása esetén beszélünk nempermanens mozgásról. - 27 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév - - b) a sebesség térbeli, áramvonal menti változása alapján: egyenletes áramlás: az áramvonal mentén a sebesség nem változik változó áramlás fokozatosan változó: a sebesség az áramvonal mentén fokozatosan változik hirtelen változó: a sebesség az áramvonal mentén egy helyen

ugrásszerűen változik c) az áramcső elhatároltsága szerint szilárd határolású áramcső: pl. csővezetékek, kétfázisú szivárgás szilárd és légnemű közeggel határolt áramcső pl. szabadfelszínű vízmozgás, háromfázisú szivárgás légnemű közeggel határolt áramcső pl. szabad vízsugár A folyadékmozgások dinamikai osztályozása: - lamináris (réteges) áramlás: Alacsony sebességű vízmozgások esetében a nyomvonal jól kialakul, az áramlás szálas, réteges, az egyes rétegek nem keverednek egymással. - turbulens (forogva haladó) áramlás: A sebesség növelésével a vízszálak az áramlás során gomolyogni kezdenek, egymással keverednek Igen fontos annak eldöntése, hogy az áramlás melyik osztályba tartozik, mivel a fellépő veszteség nagyságát ez jelentős mértékben befolyásolja Reynolds kísérleteivel állapította meg a kétféle mozgás elhatárolására alkalmas módszert, az un. Reynolds-féle számot Csővezetéki

vízmozgásaink esetében: vK ⋅ d 4⋅Q Q⋅d (1/1 – dimenzió nélküli) ahol = ν A ⋅ν d ⋅ π ⋅ν vK középsebesség (m/s) d csőátmérő (m) ν kinematikai viszkozitás (1,2 ∙ 10-6 m2/s) A határszám: Re = 2320. A kétféle áramlás határa nem éles, ha Re > 2320 , azaz 2320 feletti a szám, akkor a tartomány már nem lamináris, inkább átmenetinek nevezhető a turbulencia fokozatosan fejlődik ki, 50 – 100.000 feletti Re esetén beszélhetünk tisztán turbulens mozgásról. A nyíltfelszínű vízfolyásaink esetében: Re = re = vK d - 28 - vK ⋅ R = vK ⋅ d (1/1 – dimenzió nélküli) 4 ⋅ν ν középsebesség (m/s) csőátmérő (m) = ahol Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév ν kinematikai viszkozitás (1,2 ∙ 10-6 m2/s) terület   ker ület   A nedvesített hidraulikus sugár  R = = P nedvesített  A határszám re = 580. R A kétfajta Reynolds-szám közötti összefüggés: re =

Re . Nyíltfelszínű vízfolyásaink 4 döntően turbulens mozgásúak. A hidrodinamika Euler-féle alapegyenlete A súrlódásmentes közeg áramlásának dinamikai alapegyenletét Leonard Euler svájci matematikus és fizikus építette fel, a korábbi fizikai kutatások eredményeinek összefoglalásaként. Az Euler egyenlet lényegében Newton F=m∙a alakú második törvényének felírása az ideális folyadék áramlására, ahol: F a testre (esetünkben a közegre) ható erők eredője; m a test (az ellenőrző térfogatban lévő közeg) tömege; a a test (számunkra a rendszer)gyorsulása. [Az Euler-féle hidrosztatikai egyenlet levezetésében az elemi folyadékhenger egységnyi tömegére ható tömegerő az f térerősség volt. A levezetés menete nem változik, ha az elemi henger a gyorsulással halad (vagyis a folyadék áramlik), de ekkor az f térerősséget még az egységtömegre ható - a tehetetlenségi térerősséggel kell kiegészíteni, hogy a hengerre

ható összes erő figyelembe legyen véve. Így megkapjuk az alapegyenletet: ( ) dp = ρ ⋅ f − a ⋅ d r Ebben az egyenletben a gyorsulás a sebességvektor t idő szerinti teljes deriváltja.] Az Euler egyenlet felírásának első lépéseként, az egyenlet bal oldalának meghatározása érdekében, megvizsgáljuk egy tetszőleges alakú ellenőrző térfogatra ható erőket. Térfogatinak nevezzük azokat az erőket, melyek a rendszer minden tömegelemére hatnak, nagyságuk egyenesen arányos az elem tömegével és az adott pontbeli térerősség nagyságával. Iránya természetesen megegyezik a térerősség vektor irányával. Legegyszerűbb példa erre a gravitációs erőtér. dFf ρ dV z dA dFt y x - 29 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Ellenőrző térfogatra ható erők A rendszer egy adott, elemi térfogatú részére ható dFt úgynevezett elemi térfogati erő az alábbi módon határozható meg: dFt = ρ ⋅ g ⋅ dV

ahol: ρ az elemi rendszer sűrűsége; g az adott pontbeli térerősség vektor; dV az adott elemi rendszer térfogata. Az egész rendszerre ható térfogati erők eredője pedig az Ft = ∫ ρ ⋅ g ⋅ dV (V ) térfogati integrállal lesz egyenlő. A rendszerhatáron a környezettől átadódó erőket felületi erőknek nevezzük. Ilyen ideális közeg esetén a nyomásból származó erő. Egy felületelemre ható dFf felületi erő nagysága egyenesen arányos a felületelem, valamint a rendszer, illetve a környezet közti nyomáskülönbség nagyságával. Iránya ellentétes a felületelem vektorának irányával (mivel az mindig a rendszerből kifelé mutat), azaz: dF f = − p ⋅ dA ahol: p a rendszerhatáron lévő nyomáskülönbség; dA a felületelem felületi vektora. Az egész rendszerre ható felületi erők eredője pedig az: F f = − ∫ p ⋅ dA ( A) felületi integrállal határozható meg. Mivel az ideális közegre súrlódási erő nem hat, a

rendszerre ható erő eredője az alábbi módon írható fel: F= ∫ ρ ⋅ g ⋅ dV − ∫ p ⋅ dA (V ) ( A) A további vizsgálataink érdekében az egyenletet alakítsuk át a Gauss–Osztrogradszkij tétel felhasználásával: F=  1  ∫ ρ ⋅ g ⋅ dV − ∫ grad pdV = ∫  g − ρ gradp  ρdV (V ) (V ) (V ) Következő lépésként a newtoni egyenlet jobb oldalának részletes leírásához vegyük elő a korábbi tanulmányainkból ismert, a tömeg és a sűrűség közötti - 30 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév m= ∫ ρdV (V ) kapcsolatot, illetve az áramló közeg gyorsulásának a=  c2 ∂c(r ;τ ) + grad  ∂τ  2   − c × rotc  egyenletét. Ezek alapján felírható, hogy:  ∂c(r ;τ )  c2  grad +  ∫ ∂τ  2 (V )     − c × rotc  ρdV   A átalakított egyenletek alapján az eredeti newtoni egyenlet az m⋅a = 

∂c(r ;τ )  c2   1 ∫  g − ρ gradp  ρdV = (V∫)  ∂τ + grad  2 (V )      − c × rotc  ρdV   alakot vesz fel. Mivel vizsgálatunkat tetszőleges térfogatú rendszerre végeztük el, az egyenlőség a benne szereplő integrandus egyenlőségét is jelenti, azaz:  c2 ∂c(r ;τ ) + grad  ∂τ  2   − c × rotc ρ  Ez az Euler egyenlet, ami az áramlástan egyik alapegyenlete. g− 1 gradp = Összenyomhatatlan közeg esetén az alábbi módon írhatjuk fel (ekkor a bal oldal második tagja változik meg):  c2 ∂c(r ;τ ) + grad  ∂τ  2   − c × rotc ρ  Maga az Euler egyenlet a köznapi műszaki gyakorlatban bár alakilag egyszerű nem alkalmazható. Ennek oka a benne szereplő matematikai műveletek konkrét esetre történő megoldásának bonyolultsága. De, a későbbiekben a Bernoulli-egyenlet felírásánál az Euler-egyenletet fogjuk használni.

g − grad p = A Navier-Stokes-féle egyenlet Az állandó sűrűség és viszkozitás esetén érvényes mozgásegyenlet a Navier-Stokes-féle egyenlet, amelyet Navier 1827-ben, majd Stokes 1845-ben vezetett le:  ∂ 2vx ∂ 2vx ∂ 2vx  ∂v x ∂v x ∂v x ∂v x 1 ∂p  + vx + vy + vz = gx − + ν  2 + + ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂y 2 ∂z 2   ∂x  ∂ 2v y ∂ 2v y ∂ 2v y  ∂v y ∂v y ∂v y ∂v y 1 ∂p  + vx + vy + vz = gy − +ν  2 + + 2 2   ∂x y z ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂y ∂ ∂    ∂ 2v ∂ 2vz ∂ 2vz  1 ∂p ∂v z ∂v ∂v ∂v  + vx z + v y z + vz z = g z − + ν  2z + + 2 2  x y z ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z ∂ ∂ ∂   - 31 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A négy ismeretlen ( v x ,v y ,v z és p) meghatározásához szükséges negyedik egyenlet a folytonosság egyenlete, amely ρ = állandó. esetén a ∂v x ∂v y ∂v z + + =0

∂x ∂y ∂z alakban írható fel. Vektoriális írásmódban a Navier-Stokes-féle egyenlet: 1 dv ∂ v v2 = + grad − v × rot v = g − grad p + ν ∆v 2 dt ∂t ρ látható, hogy a Navier-Stokes-egyenlet a jobb oldal utolsó tagjával a ν ∆v taggal különbözik a súrlódásmentes esetre levezetett Euler-egyenlettől (összefüggés). A súrlódás hatását kifejező tagban szereplő ∆v felbontható: ∆v = grad divv − rot rot v . Miután divv = 0 írható: dv 1 = g − grad p −ν rot rot v . ρ dt Az egyenlet jól mutatja az áramlás örvényessége és a súrlódás közötti kapcsolatot. Potenciálos áramlás (rot v = 0) , sőt állandó örvényességű áramlás esetén a súrlódásnak nincs szerepe, a Navier-Stokes-egyenlet az Euler-egyenletbe megy át. - 32 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév 6. Ismertesse a folyadékmozgás Bernoulli-féle alapegyenletét ideális és valóságos folyadékokra, az áramvonal,

áramlási vonal fogalmát, a tétel geometriai értelmezését, a nyomás-és energiavonal előállítását, jelentéstartalmát. Az impulzustétel hidraulikai alkalmazásai, görbe tengelyű csövek, vízmozgás ütőerejének meghatározása. A hidrodinamika alaptétele a Bernoulli-féle általános energiaegyenlet, mely összefüggést teremt a folyadékrészecskék mechanikai és fizikai paraméterei között, megfelelő átalakításokkal az Euler-féle hidrodinamikai alapegyenletből vezethető le. Bernoulli felhasználta a kinetikai energia tételét, mely szerint valamely anyagi pontrendszer kinetikai energiájának megváltozása egyenlő a rendszerre ható összes erő dv munkájával. Ez Newton második axiómája szerint: F = m ⋅ a = m ⋅ dt Egy áramcső két pontja adatainak felhasználásával a kinetikai energia megváltozása egyenlő a külső erők munkájával: ρ⋅g g ⋅V ⋅ v 22 − v12 = ρ ⋅ g ⋅ V ⋅ (z1 − z 2 ) + P1 ⋅ V − P2 ⋅ V 2 P1

v12 P2 v 22 z1 + + = z2 + + ρ ⋅ g 2⋅ g ρ ⋅ g 2⋅ g Permanens áramlás esetében az egyenlet azt fejezi ki, hogy áramvonal mentén a folyadékrészecske geodéziai magassága, sebessége, és nyomása csak egymás rovására változhat. A Bernoulli-egyenlet tagjai hosszúság dimenziójúak, de valójában az egységsúlyú víztestre vonatkoztatott fajlagos energiatartalmat jelentik. A hosszúságdimenzió következtében az egyes tagok mint jellegzetes magasságok értelmezhetők. -z geodéziai magasság [m] -p P ρ⋅g nyomásmagasság   kg   s2 ⋅ m kg ⋅ m 3 ⋅ s 2 = 2 = m    kg ⋅ m s ⋅ m ⋅ kg ⋅ m   m 3 s 2   m2 2 2 2   2 m ⋅s v -v sebességmagasság = m s = 2 2g s ⋅m   m 2   s Fontos azonban, hogy míg a Bernoulli-egyenlet tagjai közül a geodéziai és a sebességmagasság a folyadékrészecske saját belső fajlagos energiatartalmát jelenti, addig a - 33 - Szigorlati

tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév nyomásmagasság a környező víztér részecskéinek helyzeti energiájából és esetleg más eszközzel (pl. dugattyú nyomásával) ráadott energiából származó „kölcsönzött” fajlagos energia. Egy V térfogatú víztest teljes E0 energiatartalmát valamilyen alapsíkra vonatkoztatva tehát csak a geodéziai és a sebességmagasság integrálásával lehet helyesen megkapni:  v2   ⋅ ρ ⋅ g dV E 0 = ∫∫∫  z + ⋅ g 2  V  A víz összenyomhatatlansága miatt a nyomási energiát el lehet hanyagolni. A Bernoulli-egyenlet ideális folyadékok esetében Az ideális folyadékok esetében az energiamagasságok összege az áramvonal bármely pontján mérve állandó, vagyis a háromféle energiamagasság összege egy alapsík fölött konstans magasságú, un. energiaszintet határoz meg P v2 + = állandó ρ ⋅ g 2⋅ g Az egyenlet általános alakja: z+ Az egyenlőségsoros alak: z1 +

P1 v2 P v2 + 1 = z2 + 2 + 2 ρ ⋅ g 2⋅ g ρ ⋅ g 2⋅ g Energetikai értelemben a folyadékrészecske összes energiatartalma két részből tevődik össze: P - helyzeti vagy potenciális energia z+ ρ⋅g - mozgási vagy kinetikai energia v2 2⋅ g Ideális folyadékoknál tehát egy áramvonal mentén az energiatartalom állandó: E1 = E2 energiavonal v12 2g v 22 2g nyomásvonal p2 ρ⋅g p1 ρ⋅g áramvonal z1 - 34 - z2 Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A Bernoulli-egyenlet valóságos folyadékok esetében Viszkózus folyadékok áramlásakor a súrlódás a befektetett energia egy részét felemészti, hővé, hanggá alakul át, és távozik a rendszerből. Így az áramlás számára elvész Ennek következtében a folyadékrészecske energiatartalma az áramvonal mentén folyamatosan csökken, azaz E1 > E2 Az energiatartalmak különbsége is értelmezhető magasságként, ezt veszteségmagasságnak nevezzük. hv = E1 – E2

Az egyenlőségsoros egyenletbe behelyettesítve: z1 + p1 v2 p v2 + 1 = z 2 + 2 + 2 + hV ρ ⋅ g 2⋅ g ρ ⋅ g 2⋅ g Ez a Bernoulli-egyenlet viszkózus folyadékokra értelmezett alakja. v12 2g p1 ρ⋅g z1 hv energiavonal nyomásvonal áramvonal v 22 2g p2 ρ⋅g z2 A nevezetes vonalak értelmezése: - energiavonal: egyetlen áramvonal pontjaihoz tartozó teljes energiamagasságokat köti össze, mindig az áramlás irányába lejt. Jellemzője a hidraulikus sugár, vagyis az energiatartalom egységnyi áramvonal-hosszra - 35 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév vonatkoztatott csökkenése: p1 v12 p2 v 22 z1 + + − z2 + + E1 − E 2 ρ ⋅ g 2⋅ g ρ ⋅ g 2 ⋅ g hV I= = = s s s Pontbeli hidraulikus esés: az össz-energiatartalom változás áramvonalhossz szerinti negatív dE differenciálhányadosa: I = − ds - piezometrikus vagy nyomásvonal: egyetlen áramvonal pontjaihoz tartozó nyomómagasságokat köti össze. Lejtése

pozitív és negatív is lehet Jellemzője a piezometrikus esés, vagyis a potenciális energiatartalom egységnyi áramvonalhosszra vonatkoztatott csökkenése p p z1 + 1 − z 2 + 2 ρ⋅g ρ⋅g IP = s Pontbeli piezometrikus esés: a potenciális energiatartalom változás áramvonalhossz  p   d  z + ρ ⋅ g   szerinti negatív differenciálhányadosa: I P = − ds Ha a nyomásvonal emelkedik (negatív esés), akkor a behelyettesítés után a  p   d  z + ρ ⋅ g   kifejezés pozitívra, nyomásvonal süllyedés esetén (pozitív esés) IP = − ds negatívra adódik. A Bernoulli-tételt vonaláramlásokra (csővezeték, csatorna) alkalmazva, a benne szereplő hidrosztatikai paramétereket a cső tengelyére vonatkoztatjuk és a középsebességet használjuk: z1 + p1 v2 p v2 + α ⋅ K 1 = z 2 + 2 + α ⋅ K 2 + hV 2⋅ g 2⋅ g ρ⋅g ρ⋅g ahol α a sebesség-diszperziós vagy Coriolis-féle tényező, értéke: - lamináris

áramlás esetén: α l = 2 - turbulens áramlás esetén: α t = 1 -áramlási vonal: egyetlen kiválasztott folyadékrészecske meghatározott idő alatt leírt valóságos pályája (annyi áramlási vonal van, ahány részecske) -áramvonal: adott időpillanathoz és különböző folyadékrészecskékhez tartozó vonal, melynek minden pontjában a részecskék sebességvektorai az érintők -nyomvonal: az áramlási tér egy pontján áthaladó részecskék alkotta vonal -áramcső: a folyadéktérben tetszőlegesen felvett zárt görbén egy adott pillanatban áthaladó áramvonalak által körülzárt térfogat -folyadéksugár: az áramcsőben lévő folyadéktérfogat - 36 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Az impulzustétel Newton II axiómájából kell kiindulni, amely szerint a tömeg mozgásmennyiségének idő szerinti változása egyenlő a tömegre ható erőkkel. Egy folyadékrészre kétfajta erő hathat: a tömegre ható

térerősség (a hidraulikában ez gyakorlatilag csak a nehézségi erő), és a felületen ható erő (nyomás, súrlódás). Ez utóbbinak súrlódásmentes esetben csak felületre merőleges komponense van, a nyomásból származó erő. Írjuk fel ismét a mozgásmennyiség időbeni változás és a folyadékrészre ható erők kapcsolatát kifejező egyenletet: d ρ vdV = ∫ ρ g dV − ∫ pd A , dt V∫(t ) V (t ) A( t ) Az impulzus tétel megfelelő matematikai átalakítások után stacionárius áramlásra a következő alakban írható fel: ∫ v ρ (vd A) = ∫ ρ g dV − ∫ pd A − R A V A Azért szerepel az R az impulzustétel fenti alakjában, mert a mérnöki gyakorlatban legtöbbször a szilárd testekre ható erőkre vagyunk kíváncsiak. Az R vektor előtti negatív előjelre azért van szükség, mert az impulzustételben a szilárd testről a folyadékra ható erőt kell szerepeltetni. (Az R alkalmazására természetesen csak akkor kerül sor, ha a

szilárd test az ellenőrző felületen belül van és nem rekesztjük ki az ellenőrző felület egy elemével.) Ha valóságos, súrlódásos közegekre alkalmazzuk az impulzustételt, és az ellenőrző felületen a folyadékra ható, súrlódásból származó erőket meg tudjuk határozni, akkor ezek eredőjét - S vektort - az impulzustétel vagy összefüggéssel megadott kifejezésének jobb oldalához kell adnunk. Felírható az impulzustétel legáltalánosabb alakja, amelynek jobb oldalán az ellenőrző felületben lévő folyadékra ható erőket összegezzük és egyenlővé tesszük ugyanezen folyadék mozgásmennyiségének az egyenlet bal oldalán kifejezett egységnyi időre eső megváltozásával: ∂ (ρ v )dV + ∫ v ρ (vd A) = ∫ ρ g dV − ∫ pd A − R + S ∂t V∫ A V A Vízmozgás ütőerejének meghatározása A csővezetékekben hirtelen zárás következtében keletkező nyomásemelkedés, a „kosütés” - 37 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA

tantárgyból 2004/2005 tanév a⋅v képlettel lehet közelítőleg meghatározni, ahol v az eredeti üzemi g középsebesség, a a nyomáshullám terjedési sebessége, amely a rugalmas cső EC és a folyadék 1 1 Ef rugalmassági modulusától függ: a = ⋅ , 1 1 d ρ + ⋅ E f EC s nagyságát a ha = ahol d a csőátmérő, ρ a folyadék sűrűsége, E f = 20 ⋅ 10 3 N / m 2 EC = 21 ⋅ 10 6 N / m 2 7. Ismertesse a turbulens folyadékáramlásokat nyílt mederben és csővezetékben Sebesség, csúsztató feszültségek eloszlása, a lamináris hártya. Az ellenállási tényező meghatározása, veszteségek számítása csővezetékekben. Lamináris és turbulens áramlás csőben A múlt század végén Reynolds végezte el először a következő kísérletet. A sima üvegből Szines tinta készült kifolyócső belsejébe egy másik, vékonyabb csövön keresztül festett folyadékot (piros tinta) vezetett. Kis sebességnél a Fõ áramlás megfestett folyadékszál a

cső közepén áramolva egyben haladt. Az áramlást ilyen esetben lamináris áramlás lamináris, réteges áramlásnak nevezzük. A fő áramlás sebességét növelve a megfestett folyadékszál a kaotikus mozgások szines tinta miatt (turbulens ingadozások) összekeveredett a környező folyadékkal. A fő áramlás sebességét növelve a sebesség ingadozások egyre Fõ áramlás nagyobbak. Egy egy pontban a sebesség iránya és nagysága is változik. Az áramlás kavargó, turbulens áramlás örvényes lesz, ezt turbulens áramlásnak nevezzük. Mint látjuk, az áramlási formák két csoportba - lamináris és turbulens - oszthatók. A lamináris áramlás viszonylag egyszerűen számítható, a turbulens tartományban azonban bonyolultabb a helyzet. Bár a keveredő vagy turbulens áramlás fontosabb törvényszerűségeit kísérleti, tapasztalati adatok alapján régóta ismerjük, és sikeresen alkalmazzák a műszaki gyakorlatban, a kérdés elméleti megalapozása,

azaz ismereteink bővülési lehetőségének biztosítása csak a legújabb időben sikerült. Az alapvető elméleti vizsgálatok Prandtl és Kármán nevéhez fűződnek Egyenes csőben turbulens áramlás esetén a helyi sebességek sugárirányú eloszlása szempontjából háromféle réteget különböztetünk meg. A cső falával közvetlenül érintkező, igen vékony rétegben az áramlás mindig lamináris, hiszen a csőfal által jelentett kinematikai kényszer miatt a fal közelében nem lehetséges számottevő sebességkomponens a falra merőleges irányban, még pillanatnyi ingadozás formájában sem. Így a helyi sebesség a faltól távolodva négyzetesen növekszik Ennek a rétegnek a vastagsága igen kicsiny, így elméleti vizsgálatok során is megelégszünk a sebesség - 38 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév négyzetes változása helyett lineáris változások feltételezésével. Ennek megfelelően a csúsztatófeszültséget

ebben a rétegben állandó értékűnek tekintjük A lamináris fali réteget egy ugyancsak vékony turbulens réteg követi, amelyben a helyi sebességek átlagértéke csak a faltól mért távolság függvénye, azaz a cső átmérőjétől független. A függvény logaritmikus jellegű A cső középső keresztmetszetében kialakuló turbulens áramlásban a folyadékrészecskék haladásirányú átlagsebessége a faltól mért távolság és a cső sugarának hányadosától függ. Az ábra a helyi sebességeknek a sugár menti eloszlását mutatja kör keresztmetszetű csövekben, különböző Reynolds számok esetében, Nikuradse mérései alapján. Az egyes görbékhez tartozó Reynolds számok: 0 - Re <2300 (lamináris áramlás) 1 - Re =4000 2 - Re =10500 3 - Re =1110000 4 - Re =3240000 Az ábrából látható, hogy nagyobb Reynolds számoknál a cső keresztmetszetében a sebesség egyenletesebb eloszlású. Tisztán lamináris áramlás esetében a folyadékban

keletkező –és az anyag viszkozitásából származó- csúsztatófeszültségek a faltól a cső közepe felé haladva lineárisan csökkenek. Turbulens áramlás esetén a folyadék részecskék között keletkező csúsztatófeszültségek két részből tevődnek össze: a viszkozitásból adódó, un. Newton-féle csúsztatófeszültségeken - 39 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév kívül az impulzuscseréből adódó nyírófeszültségek is jelentkeznek. A csőfallal érintkező, vékony lamináris alaprétegben csak a Newton-féle csúsztatófeszültségek jönnek létre. A második rétegben ezek a csúsztatófeszültségek csökkenek, de az impulzuscseréből adódók növekednek. Úgy találták, hogy az eredő csúsztatófeszültség jó közelítéssel ebben a rétegben is állandó, s azonosnak tekinthető a fal melletti értékekkel. A harmadik, belső rétegben impulzuscseréből adódó Reynolds-féle csúsztatófeszültség mellett

a viszkozitásból adódó Newton-féle csúsztatófeszültség elhanyagolható. A csúsztatófeszültségek eredőjének értékét, illetve az áramlási veszteségek meghatározásához szükséges, λ csősúrlódási tényezőnk az értékét elméleti és kísérleti kutatómunkák eredményei alapján állapíthatjuk meg. Mint már említettük a turbulens áramlás elméleti megalapozása Reynolds nevéhez fűződik. A Navier-Stokes egyenletek felhasználásával a turbulens áramlásra is érvényes mozgásegyenleteket vezetett le. A turbulens áramlás mozgásegyenleteinek megoldása ma még csak néhány egyszerű esetre ismert. A legnagyobb nehézséget az jelenti, hogy az impulzuscseréből származó feszültségekről ma még nem sokat tudunk. Jelenleg csak a sík fal mentén és a csövekben kialakuló turbulens áramlásra találunk megoldásokat. E megoldások bizonyos hipotézisekre épülnek, amelyeket azonban az érvényességi tartományukon belül, kísérleti

eredmények kielégítően igazolnak. Turbulens áramlásban egyes folyadéktömegek egy ideig együtt haladnak, majd felbomlanak, a részecskéi egyik rétegből a másikba kerülnek, s új együtt haladó folyadéktömegek alakulnak ki. Tekintsünk egy folyadékelemet, mely a faltól y távolságban halad, s a sebessége u. Az áramlás iránya merőleges, a pillanatnyi sebességingadozásból adódó uj sebességkomponense következtében y irányban elmozdulva l út megtétele után a faltól y+l távolságra haladórétegbe kerül. Eredeti sebességét megtartva értékkel kisebb sebességgel rendelkezik, mint az új környezetben lévő részecskék, vagyis y+l helyen ui nagyságú pillanatnyi sebességingadozás okoz a haladási irányú sebesség érdekében. - 40 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A folytonosság törvényére gondolva belátható, hogy ez csak úgy állhat fenn, ha ezzel az ui sebességgel arányos y irányú sebességgel

távozik a rétegből más folyadékelem, azaz az uj sebességingadozásdu u j = α ⋅ u i = α ⋅ l ⋅ dy du komponens is arányos az l ⋅ szorzattal. dy ahol κ állandó érték. Ezt a feltevést sík fal és cső fal közelében kialakuló turbulens áramlásnál a kísérleti eredmények jól igazolták. A csőben turbulens áramlások esetén kialakuló sebességeloszlásokra ugyancsak Prandtl és Kármán állapítottak meg összefüggéseket. Elméleti kutatásaik Nikuradse kísérleti kutatásainak eredményeivel együtt alkotják a hidraulikában ma használatos összefüggés ek alapjait. Hidraulikailag sima csövek súrlódási tényezője: Lamináris áramlásnál a csősúrlódási tényező a Reynolds szám reciprokának homogén lineáris függvénye, így értéke egyszerűen számítható. Turbulens áramlásnál λ a Reynolds számnak bonyolultabb függvényeként adódik, meghatározása körülményesebb, mint lamináris áramlásnál. A meghatározásnál

különbséget kell tennünk hidraulikailag sima és érdes cső között. Hidraulikailag sima az a cső, melynek folyadékkal érintkező felületén a legnagyobb helyi kiemelkedések sem állnak ki a cső fala közvetlen közelében kialakuló lamináris fali rétegéből, azaz ha k < δ (ahol k a csőfal kiszögeléseinek a csőfalra merőleges mérete, δ a fali réteg vastagsága). A lamináris alapréteg így a cső falának egyenetlenségeit teljesen befedi, és a csőben kialakuló áramlás olyan, mintha a folyadékkal érintkező felület tökéletesen sima lenne. δ2 δ1 A lamináris fali réteg vastagsága a Reynolds-féle számtól függ, így ugyanaz a cső különböző sebességeknél, vagy különböző viszkozitású folyadékoknál (azaz különböző Reynolds számoknál) lehet hidraulikailag sima és érdes is. Az előzőekből még azt a következtetést is levonhatjuk, hogy adott lamináris alapréteg vastagságánál különböző felületi

egyenetlenségekkel rendelkező (finoman és kevésbé finoman megmunkált felületű) csövek áramlási veszteségek szempontjából azonosan simának tekinthetők, ha az egyenetlenségeik kisebbek a lamináris alapréteg vastagságánál. Tehát adott folyadékmennyiség szállítására szolgáló csővezeték belső felületének finomításával bizonyos határon túl már nem csökkenthetjük az áramlási veszteségeket. - 41 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A veszteségek mértékében jelentős hatása van a fali érdességeket esetleg eltakaró lamináris hártyának. 30 ⋅ d Vastagságára a δ = Re⋅ λ összefüggés vezethető le. A csőfal fizikai érdessége ∆ és a lamináris hártya vastagságának viszonya szerint, ha a mozgás hidraulikailag sima, a veszteség a turbulens magon belüli δ2 > 10∆ súrlódásból jön létre 1/10∆ < δ < 10∆ a mozgás átmeneti δ1 < 1/10∆ a mozgás hidraulikailag érdes, a

veszteség a fali súrlódásból keletkezik Hidraulikailag sima csöveknél tehát a csősúrlódási tényező értéke csak a Reynolds számtól függ. Hidraulikailag nem sima csövek esetén a lamináris határréteg vastagsága befolyásolja a kialakuló sebességkép és ezzel párhuzamosan a csősúrlódási tényező értékét. Nikuradse mérésekkel igazolta a parabolikus sebességprofil és ezen keresztül az átlagos és maximális sebesség viszonyának torzulását. v 2 ⋅ n2 = v max (n + 1) ⋅ (2 ⋅ n + 1) - 42 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Laminális határréteg vastagságának számítására Prandtl az alábbi összefüggést javasolja: Ennek felhasználásával kibővíthetők a hidraulikailag sima csövek ellenállás-tényezőjének számítására szolgáló összefüggések sora, mégpedig: Hidraulikailag érdes cső ( ) esetén Nikuradze a 1 d = 2 ⋅ lg + 1,14 k λ ) míg átmeneti tartományban (  0,27 ⋅ ∆ 1

2,51  = −2 ⋅ log +  Re⋅ λ  λ  d alakú összefüggést javasolja. A csősúrlódási tényező értékét érdesfalú, kör keresztmetszetű csövek esetén Nikuradse kísérleti eredményei alapján készített diagramból határozhatjuk meg. - 43 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Az ábrán feltüntettük a hidraulikailag sima falú csövekre elméleti úton nyert összefüggések görbéit is. A lamináris áramlásra érvényes összefüggést az 1 jelű, a turbulens áramlásra érvényes összefüggést a 2 jelű szaggatott vonal jelzi. Ha a diagrammban egy-egy meghatározott relatív érdességű cső súrlódási tényezőjének görbéjét vizsgáljuk, a görbének három szakaszát különböztetjük meg k A csőfal minőségének jellemzésére a diagramban a relatív érdesség értékének r reciprokát tüntették fel. Ahol, k a csőfal kiszögeléseinek csőfalra merőleges mérete, r a cső sugara. A k

értéke a az anyag minőségétől, a megmunkálás módjától, és a csőfal korrodáltságának mértékétől függ. Az alábbi táblázat ad tájékoztatást a gyakorlatban előforduló k értékekről. öntöttvas, új 0,5-1 mm öntöttvas, rozsdás 1,-1,5 mm öntöttvas, korrodált 1-3 mm acél, húzott, új 0,03-0,05 mm acél, húzott, rozsdás 0,1-1 mm acél, hengerelt, finom 0,01 mm acél, hengerelt, durva 0,08-0,15 mm acél, hengerelt, rozsdás öntöttvas v. acél bitumenbevonattal 0,2-0,4 mm 0,006-0,06 mm beton, simítva 0,-0,8 mm beton, durván 1-3 mm deszka 1-2,5 mm zúzott kő 8-15 mm Az első szakaszban a λ értékek a sima csövekre elméletileg is meghatározott értékű 64 görbék szerint változnak. Lamináris áramlásnál (Re = 2320 értékig) a λ = , turbulens Re áramlásnál a Blaussius összefüggése szerint. Ezen szakaszon a csőfalnál kialakuló lamináris alapréteg vastagsága lényegesen nagyobb, mint a csőfal helyi

egyenetlenségei. A különböző érdességű csövek között a relatíve simábbak nagyobb Reynolds számig tekinthetőek hidraulikailag simának. Az a Reynolds szám, amelynél a görbék kezdenek eltérni a sima csőre érvényes λ értéktől jó közelítéssel - 44 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév r k Ebből megállapítható, hogy adott áramlás viszonyok (adott Re szám) esetén mi az optimális érdesség, azaz mekkora az a relatív érdesség, melyet tovább csökkenteni már nem érdemes, mivel a csősúrlódási tényező az adott Reynolds számhoz tartozó, sima csőre érvényes értéknél kisebb nem lehet: k 200 ≅ r Re r A második szakaszban a λ értékek a sima csőre érvényes értékeknél nagyobbak, s az k értékétől és a Reynolds számtól egyaránt függenek. Ezen a szakaszon a lamináris alapréteg vastagsága közel azonos a csőfal helyi egyenetlenségeivel. A harmadik szakaszban λ értéke csak a relatív

érdességtől függ, a Reynolds szám függvényében állandó értékű. Ezen szakaszban a helyi egyenetlenségek nagyobbak a lamináris alapréteg vastagságánál. r Az egyes görbéknél ez a szakasz durva közelítéssel a Re ≅ 2000 ⋅ Reynolds szám k értéknél kezdődik. Re ≅ 200 ⋅ 1,0 LAMINÁRIS TURBULENS d/∆ 0,8 ÁTMENETI TARTOMÁNY log 100 λ 120 0,6 0,4 NÉGYZETES 30 TARTOMÁNY 60 ColebrookWhite λ= 64/ Re HagenPoiseuille Blasius sima csövek 252 504 1014 0,2 4,0 3,0 5,0 6,0 log Re Az ellenállási tényező meghatározási eljárásait a különböző mozgások és érdességi viszonyok eseteire Turbulens mozgások Átmeneti tartomány Tiszta négyzetes Hidraulikailag érdes Lamináris Hidraulikailag sima Frenkel mozgás Prandtl-Nikuradse Blasius 0 ,8 λ= 64 Re λ= 0,3164 Re 0,25 Konakov  0,27∆  6,81  = −2 log +   d Re λ    1 1  λ=  2  d     1,74 + 2 log 2∆   - 45 -

Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév λ= 1 (1,8 ⋅ log Re− 1,5)2 Colebrook – White  0,27 ∆ 2,51 = −2 log + λ Re λ  d 1 Nikuradse λ = 0,0032 + 0,221    Re 0,237 Valóságos csővezetékekben és csőhálózatokban, a súrlódási veszteség mellett a helyi veszteségek elhanyagolhatóan alacsony értékűek. A gyártók termékeik érdességi jellemzőinek megadásakor 5 – 10% helyi veszteséget is beépítenek a értékekbe, ebből következően gyakorlati csővezetéki számítási feladatokban a helyi veszteséggel rendszerint nem számolunk. Tekintettel továbbá az üzemi nyomás, túlnyomás (2 – 5) kPa ≈ (20 – 50) m energiaszint nagyságrendjére, és a szokásos (0,3 – 2,0) m/s sebességtartomány közepének ≈ 0,05 m mozgási energia értékére az energia egyenletben a mozgási energiát, mint energia összetevőt is elhanyagolhatjuk. Mindezekből az un „hosszú csővezeték”-ként

történő számítás esetén az energiaegyenlet alakja tehát α ⋅v α ⋅ v2 p p Z i + i + i i = Z i +1 + i +1 + i +1 i +1 + hv i −i +1 helyett ρ⋅g ρ⋅g 2⋅ g 2⋅ g 2 p p l v Z i + i = Z i +1 + i +1 + λi −i +1 ⋅ i −i +1 ⋅ i −i +1 ρ⋅g ρ⋅g d i −i +1 2 g 2 alakra egyszerűsödik. Helyi veszteségek számítása A hv veszteségmagasság értékét a hosszmenti veszteségeken kívül a helyi veszteségek is növelik. Ezek szintén a sebességmagassággal arányosak. hV = ζ ⋅ v2 2g Megállapodás szerint a helyi veszteségeket a veszteségi helyet követő sebességmagasságra vonatkoztatjuk, kivéve a csővezetékből való kilépést és a csőelágazást. Helyi veszteségeket csővezetékeknél az alábbi körülmények idézhetnek elő: Keresztmetszet-változások hV = Hirtelen szelvénybővület hV = Kilépés csőből (v1 − v2 )2 2g (v1 − v2 )2 2g 2  v2 v2  A = ζ ⋅ 2 =  2 − 1 ⋅ 2 2 g  A1  2g v12 v 22

=ζ ⋅ = 1,0 ⋅ 2g 2g itt v1 a veszteséghely előtti sebesség Fokozatos szelvénybővület (diffúzor) hV = δ ⋅ (v1 − v2 )2  1 ahol δ = ϕ ⋅ k , és ϕ = f (α ) , és k = f  ; α   d1  2 Fliegner-képlet: - 46 -  v2 A hV = sin α ⋅  2 − 1 ⋅ 2  2g  A1 2g v2 =ζ ⋅ 2 =δ 2g 2  v2 A ⋅  2 − 1 ⋅ 2  2g  A1 Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A  v 22 hV = ζ ⋅ 2g Hirtelen szelvényszűkület ζ = f  2   A1  2 Wechmann szerint: ζ = A   0,0765  1 +  − 1 ahol 2 µ µ  Belépés csőbe µ = f  2   A1  2 ( v1 − v 2 ) = hV v 22 =ζ ⋅ 2g 2g éles határ esetében csapott határ esetében lekerekített határ esetében ζ = 0,5 ζ = 0,25 ζ = 0,06-0,1 leszűkített éles határ esetében (Weissbach)   A ζ =  2 − 1   µ ⋅ A1 2 µ ≅

0,6 tartályba benyúló cső esetében függ a benyúlás mértékétől és a kiképzéstől ζ = 0,56 − 3,0 ζ = 0,5 + 0,3 ⋅ cos α + 0,2 ⋅ cos 2 α a kiágazás szöget zár be a tartály falával Fokozatos szelvényszűkület (konfúzor) hV = c ⋅ (v2 − v1 )2 2g 2   v2 A λ = ζ ⋅ 1 = c ⋅ 1 − 1 − 1 ⋅ A2 2g   8 ⋅ sin  α  2 c grafikonról Irányváltozások Az irányváltozások helyén leválások, diszkontinuumos, inhomogén, forgókkal teli áramlási terek keletkeznek, melyek leszűkítik az áramlási keresztmetszetet. A helyi energiaveszteséget az irányváltáskor kialakuló csavaráramlás is fokozza. Könyökcsövek a helyi veszteség értékét az α irányeltérítési szög, a d csőátmérő, valamint a csőérdesség és a Reynolds-szám függvényében kell vizsgálni (valamennyi tényezőt együttesen nem tudjuk figyelembe venni) - Weissbach; d = 10 – 25 mm-nél ζ = 0,946 ⋅ sin 2 α 2

+ 2,047 ⋅ sin 4 α 2 (nem utal a csőérdességre) - többszögű könyökcsövek alkalmazásával kisebb veszteségeket lehet elérni, de az ellenállási tényezőt kísérletekkel kell meghatározni. Ívcsövek a veszteségtényező a jellemző adatok függvénye a Hinds-képlet ζ α ° = ζ 90° ⋅ α° 90°   ζ = f α ; R d ∆ Re;  d ahol ζ 90° értéke táblázatból megállapítható - 47 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév ζ ÍV = a Lorenz-képlet α  d 2R  ⋅ + ⋅π ⋅ λ  π R d  megjelenik a felületérdesség Cső szétágazás A rendszerre felírható két Bernoulli-egyenletből számítható a veszteség, mely eltérő egymástól: hV 1− 2 v12 = ζ 1− 2 ⋅ 2g hV 1−3 = ζ 1−3 ⋅ - 48 - 2 1 v 2g  d Q ∆  ahol ζ 1− 2 = f  α 1 ; 2 ; 1 ; ; Re  d Q d ahol ζ 1−3 1 2     d Q ∆ = f  α 2 ; 3 ; 1 ; ; Re  d1

Q3 d   Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Cső összetorkollás A rendszerre felírható két Bernoulli-egyenletből számítható a veszteség, mely eltérő egymástól:  ∆  hV 1−3 = ζ 1−3 ⋅ v32 2g ahol ζ 1−3 = f  α 1 ; 3 ; 1 ; ; Re  d Q d hV 2−3 = ζ 2−3 ⋅ v32 2g ahol ζ 2 −3 d Q 1 3     d Q ∆ = f  α 1 ; 3 ; 2 ; ; Re  d 2 Q3 d   Csőszerelvények A csőszerelvények megzavarják az áramképet, diszkontinuumos tereket hozank létre és ezátal energiaveszteséget okoznak. Tolózár hV = ζ ⋅ v2 2g ahol   x d ζ = f  Re; d ;  táblázatból lineáris interpolálással, ahol x a zártság mértéke Pillangózár a zárótest alakjától függő ζ0 táblázatból interpolálással meghatározható Csőcsap a veszteségtényező a zárásszög függvényében határozható meg táblázatból interpolálással Kettős hengeres

csőzáró a veszteségtényező a zárásszög függvényében határozható meg táblázatból interpolálással Csőcsap a veszteségtényező meghatározható táblázatból interpolálással Gömbcsap a veszteségtényező meghatározható táblázatból interpolálással Szelepek - 49 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév a veszteségtényező meghatározható táblázatból interpolálással egyenes ülésű, mely törést okoz a fő áramvonalban ζ = 3-5 ferde ülésű, mely nem okoz törést az áramvonalban ζ = 1-2   A ζ = 1,537 ⋅ − 1 A1   kúpos ülésű, a csőtengellyel párhuzamosan áll 2 Visszacsapó szelep a veszteségtényező meghatározható táblázatból interpolálással Lábszelep a veszteségtényező meghatározható táblázatból interpolálással 8. Ismertesse a csővezetékek hidraulikai jellemzőinek számítási alapeseteit, a helyi-és hosszmenti veszteségek viszonya szerint eltérő

számítási módszereket. Mutassa be a méretezési alapfeladatokat egy magányos csőszálon. A hidraulikailag rövid csővezeték fogalma A nyomás alatti csővezetékeknél fellépő helyi veszteség részben hosszmenti, részben helyi veszteségekből tevődik össze. Amennyiben az összes veszteségen belül a helyi veszteségek számottevő, hidraulikailag rövid csővezetékről beszélünk. Ilyenkor a veszteség számításánál valamennyi veszteséget figyelembe kell venni. Rövid csővezetéknél a nyomómagasság és a sebességmagasság egyaránt számottevő, így a csővezetékre két jellegzetes vonal, az energiavonal, és a nyomásvonal szerkeszthető fel. Tipikusan rövid csővezeték pl. az ivóvízkezelő műtárgyakat összekötő vezetékszakasz, a szivornya, és a szivattyúk szívócsövei. A hidraulikailag rövid csővezeték jellemzőinek meghatározása A csővezetékek hidraulikai méretezésénél alkalmazzuk az alábbi összefüggéseket: - a

Bernoulli-tétel z1 + p1 v2 p v2 + 1 = z2 + 2 + 2 ρ ⋅ g 2⋅ g ρ ⋅ g 2⋅ g - a folytonossági tétel Q= ∫ v ⋅ dA vagyis a változó sebességeloszlásnál a vízhozam a ( A) sebességnek a nedvesített keresztszelvényre vonatkoztatott felületmenti integráljával egyenlő 2 - a Darcy – Weissbach összefüggés 64 l v K hv = ⋅ ⋅ Re d 2 ⋅ g A Bernoulli-tételben szereplő energiatartalmakat a határfeltételi szintekre, ill. keresztmetszetekre kell felírni. A hasonlító sík, célszerűen az alsó határfelületi szint A számításokat mindig permanens áramlás feltételezésével végezzük. Ha a mozgást fenntartó - 50 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév piezometrikus nyomáskülönbséget szabad felszínű víztároló hozza létre, akkor ezt a feltételt a vízszint állandósága biztosítja. A nyomás alatti tartályok esetében emellett még a víztér feletti nyomás változatlanságát is el kell érni (pl.

szelepek elhelyezésével a víztér alján, illetve a légtér tetején) 1, Magasságkülönbség számítása Ismert geometriai adatokkal jellemzett csővezetékben adott Q vízhozam szállításhoz szükséges ΔH piezometrikus, vagy Δh geodéziai magasságkülönbség meghatározása. ∆H = Q2 2g n k  1 ζ l 1 1  ⋅  2 − 2 + ∑ i2 + ∑ λi ⋅ i ⋅ 2  d i Ai  AA i =1 Ai i =1  AB általános esetben  p   p  p − pB ∆p = ∆h + ∆H =  h A + A  −  hB + B  = (h A − hB ) + A ρ⋅g  ρ⋅g ρ⋅g ρ⋅g  Az egyenlet jobb oldalán a λi súrlódási tényező a sebesség ismeretében számítható, vagy grafikonról leolvasható: Re i = vi ⋅ d i ν = ∆i di 4⋅Q d i ⋅ π ⋅ν λi 2, Vízhozam számítása Ismert geometriai adatokkal jellemzett csővezetékben adott ΔH piezometrikus, vagy Δh geodéziai magasságkülönbség mellett Q vízhozam meghatározása. A feladat

megoldása csak közelítő eljárással lehetséges, mivel a λ tényező a Reynolds számon keresztül az előre ismeretlen Q vízhozam törtkitevőjű hatványfüggvénye. Fokozatos közelítéssel (számítási eljárás): A méretezési alapegyenletből kifejezzük a vízhozamot: 1 Q = 2 g ⋅ ∆H ⋅ 1 AB 2 − n 1 AA 2 ζi k l 1 + ∑ 2 + ∑ λi ⋅ i ⋅ 2 d i Ai i =1 Ai i =1 ahol λi = f(Q) A közelítés lépései: - λ1 értékének közelítő felvétele (0,02-0,03) - a λ1 értékével a vízhozam kiszámítása Q1 - a Q1 értéknek megfelelő λ1 kiszámítása - a λ1 és a λ1 középértékével újabb vízhozamszámítás Q2 A közelítést addig folytatjuk, míg a két utoljára számított vízhozam között maximum 3%-ra csökken az eltérés. Grafikus közelítéssel: A különböző Qi vízhozamokat behelyettesítve számítjuk a ponthoz tartozó ΔHi értékeket, és az összetartozó pontpárokat derékszögű koordináta-rendszerben

ábrázoljuk. A görbe segítségével megállapítható az adott ΔH értékhez tartozó Q vízhozam. 3, Csőátmérő számítása - 51 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Adott hosszúságú és érdességű csőszakasz adott piezometrikus, vagy geodéziai magasságkülönbség mellett milyen átmérővel képes elszállítani az adott Q vízhozamot. A feladat megoldása csak közelítő eljárással lehetséges, mivel a λ tényező a Reynolds számon keresztül az egyelőre ismeretlen d csőátmérő törtkitevőjű hatványfüggvénye. A fokozatos közelítés itt körülményes eljárás, mivel a csőátmérő az alapegyenletből explicit alakban nem fejezhető ki. Ajánlott módszer a grafikus közelítés, azonban így csak egyetlen átmérőt lehet meghatározni. Tehát ha több átmérőből áll a vezetékszakasz, akkor a keresetten kívül valamennyi átmérőnek ismertnek kell lennie. Grafikus közelítési eljárás lépései: Az

alapegyenletet egyetlen csőátmérőre egyszerűsítjük: ∆H = Q2 2g  1 1 16  n 1  ⋅  2 − 2 + 4 2 ⋅  ∑ ζ i + λ ⋅  d  d π  i =1 AA  AB d 2π ahol AB vagy AA az adott esettől függően zérus, vagy 4 Az egyenletbe legalább három di értéket behelyettesítve kiszámítjuk a hozzájuk tartozó Δhi értékeket, és koordináta rendszerben ábrázoljuk. A kialakult görbéről a keresett érték leolvasható A gyakorlatban a kereskedelemben kapható szabványos csőátmérőket használjuk úgy, hogy a kapott eredményhez legközelebb eső nagyobb csőátmérőt választjuk, és utólagosan ellenőrizzük erre a méretre is hidraulikailag a vezetékszakaszt. 9. Ismertesse a hidraulikailag hosszú csővezeték fogalmát, méretezési alapeseteit, a nyomásvonal szerkesztését, használatát, a közelítő számításokhoz használt tényezők származtatását és alkalmazásait, valamint az egyenletesen megoszló és a szakaszos

vízkivétellel terhelt csővezetékek hidraulikai jellemzőinek meghatározási módszereit. Amennyiben az összes veszteségen belül a helyi veszteségek elhanyagolhatóak, hidraulikailag hosszú csővezetékről beszélünk. Hosszú csővezeték esetében az energia-, és a piezometrikus vonal gyakorlatilag összeolvad, és nyomásvonalnak nevezik. Tipikusan hosszú csővezeték pl a vízellátó rendszer távvezetéke. Az elemi csőszál kifejezés esetünkben olyan csőszakaszt jelöl, melyen belül az átmérő, anyag és vízhozam azonos értékű. Feladat típus ADOTT Nyomások és/vagy Valamennyi geometriai jellemző szintek számítása egyes szintek és nyomások vízhozam, érdesség Vízhozam számítás Valamennyi geometriai jellemző szintek, nyomások és érdesség Csőméretezés hosszak, szintek, nyomások, vízhozam és érdesség - 52 - MEGHATÁROZANDÓ Kijelölt szelvény nyomása vagy szintje Vízhozam (sebesség) csőátmérő Szigorlati tételek

HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév 4 Q3-4 3 Q3 Q2-3 Q0-1 1 2 Q1-2 Q2 Csővezetéki számítások értelmezése Nyomások és/vagy szintek számítása Az ábrán bemutatott rendszerre értelmezve feladat a Z4 vízszint meghatározása, adott „3” jelű szelvény ismeretében. Adottak: Z3, P3, P4=P0, L3-4, d3-4, ∆3-4 és Q3-4 értékei, keresett a feladat kijelölése szerint Z4 a Bernoulli-féle energia egyenletet a 3-4 pontok közötti szakaszra felírva, a hosszú csővezetékekről elmondottak szerint. Z3 + p3 p = Z 4 + 4 + hv 3− 4 ρ⋅g ρ⋅g és v2 16 ⋅ Q 2 = 4 2 2g d ⋅ π ⋅ 2g felhasználásával kapjuk p3 − p 4 16 ⋅ Q3− 4 ⋅ L3− 4 − λ 3− 4 ⋅ 5 ρ⋅g d 3− 4 ⋅ π 2 ⋅ 2 g 2 Z4 = Z3 + melyben a Colebrook – White összefüggés alkalmazásával ∆, Q, d ismeretében λ3-4 meghatározható   0,27 ⋅ ∆ 3− 4 2,51  = −2 ⋅ log⋅  +   d 3− 4 λ 3− 4 Re λ 3− 4 3− 4   az

összefüggés fokozatos közelítéssel oldható meg, kezdőértéknek λK= 0,025 felvételével, 1 - 53 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév majd a 1 λi +1 = fokozatos közelítést alkalmazva, 2      − 2 ⋅ log⋅  0,27 ⋅ ∆ 3− 4 + 2,51    d 3− 4  Re 3− 4 λi     λi − λi +1 ≤ ∆% ⋅ λi feltétel teljesül, ahol ∆% a közelítés hibája 3% mindaddig, amíg Vízhozam számítás A már használt rendszerre értelmezve feladat a Q3-4 vízhozam meghatározása, adott „3” és „4” jelű szelvények ismeretében. Adottak: Z3, Z4, P3, P4=P0, L3-4, d3-4 és ∆3-4 értékei, keresett a feladat kijelölése szerint Q3-4. A Bernoulli-féle energia egyenletet 3-4 pontok közötti szakaszra, hosszú csővezetékként értelmezve, ismét felírva Z3 + p3 p = Z 4 + 4 + hv 3− 4 ρ⋅g ρ⋅g célszerű átrendezésként választva a p − p4 16 ⋅ Q3− 4 ⋅ L3− 4 Z3 − Z4 +

3 = λ 3− 4 ⋅ 5 ρ⋅g d 3− 4 ⋅ π 2 ⋅ 2 g 2 Z3 − Z4 + alakot, majd a p3 − p 4 = ∆H 3− 4 potenciális energia jelölést bevezetve a ρ⋅g ∆H 3− 4 = λ3− 4 ⋅ 16 ⋅ Q3− 4 ⋅ L3− 4 2 összefüggés bal oldalán a Q vízhozam 5 d 3− 4 ⋅ π 2 ⋅ 2 g átvezetéséhez rendelkezésre álló potenciális energiakülönbség, jobb oldalán a súrlódásra történő felhasználása látható. Az egyenletben azonban két ismeretlen mennyiség, Q és λ=f(Q) található. A fokozatos közelítésre felhasználva λ kevéssé változó voltát, valamint a ∆H ≈ K∙Q2 kapcsolatot, a d 2 ⋅π vezetékszakaszra 1 m/s-os kezdő sebességet beállítva, QK ≈ ⋅ 1 kezdőérték felvétele 4 után az eljárás: Qi +1 ∆H = Qi ⋅ ∆H i 16 ⋅ Qi ⋅ L 2 ahol ∆H i = λi ⋅ d ⋅ π 2 ⋅ 2g 5 és ∆H a rendelkezésre álló potenciális energia különbség. Az eljárást mindaddig folytatni kell, amíg a ∆H − ∆H i ≤ ∆% ⋅ ∆H

pontossági feltétel teljesül. Csőméretezés A már használt rendszerre értelmezve feladat a d3-4 csőátmérő meghatározása, adott „3” és „4” jelű szelvények ismeretében. Adottak: Z3, Z4, P3, P4=P0, L3-4, Q3-4 és ∆3-4 értékei, keresett a feladat kijelölése szerint d3-4. A Bernoulli-féle energia egyenletet 3-4 pontok közötti szakaszra, hosszú csővezetékként - 54 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév értelmezve felírva p3 p célszerű átrendezések után és a potenciális = Z 4 + 4 + hv 3− 4 ρ⋅g ρ⋅g energia jelölést bevezetve a következő alakot kapjuk Z3 + ∆H 3− 4 = λ3− 4 ⋅ 16 ⋅ Q3− 4 ⋅ L3− 4 2 d 3− 4 ⋅ π 2 ⋅ 2 g 5 Az egyenletben itt is két ismeretlen mennyiség d és λ=f(d) található. A fokozatos d 2π közelítéshez ismét beállítva az 1 m/s-os kezdősebességet, a Q = v ⋅ A = v ⋅ 4 4⋅Q összefüggésből dK = kezdőérték felvétele után az eljárás: 1⋅ π d

i +1 ∆H i = di ⋅ 5 ∆H 16 ⋅ Qi ⋅ L 2 ahol ∆H i = λi ⋅ d ⋅ π 2 ⋅ 2g 5 és ∆H a rendelkezésre álló potenciális energia különbség. Az eljárást mindaddig folytatni kell, amíg a ∆H − ∆H i ≤ ∆% ⋅ ∆H pontossági feltétel teljesül. Piezometrikus vagy nyomásvonal: egyetlen áramvonal pontjaihoz tartozó nyomómagasságokat köti össze. Lejtése pozitív és negatív is lehet Jellemzője a piezometrikus esés, vagyis a potenciális energiatartalom egységnyi áramvonalhosszra vonatkoztatott csökkenése p p z1 + 1 − z 2 + 2 ρ⋅g ρ⋅g IP = s A nyomásvonalat egy hasonlító síktól felfelé mérve, minden pontban fel kell venni a geodéziai és a nyomómagasságokat, majd a nyomómagasságok végpontjait össze kell kötni. - 55 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A piezometrikus vonal szerkesztésére két lehetőség van: - egy vízszintes hasonlító síktól függőlegesen felfelé mérve az

áramvonal minden pontjában sorra felrakjuk a geodéziai és a nyomómagasságokat, majd a nyomómagasságok végpontjait összekötjük. - az előzőleg megszerkesztett energiavonalból minden pontban függőlegesen lefelé mérve levonjuk a vizsgált szelvény sebességmagasságát A valóságban a helyi veszteségnél mindkét vonal átmenete nem ugrásszerű, hanem fokozatos. Az átmeneti szakaszon a vonalak tényleges lefolyása nem ismert, ezért ezek felett megszakítjuk a vonalat Egyenletes fajlagos vízelvétellel terhelt csővezetékszakasz hidraulikai jellemzőinek meghatározása Az un. felhasított cső vizsgálata a kis intenzitású, szabályozott vízkiadagolású öntözési módszerek (csepegtető öntözés) hidraulikai jellemzőinek gyors, könnyen kezelhető megoldása. Az ábra szerinti értelmezésben L hosszúságú csőszakaszon a belépő Qbe és kilépő Qki vízhozamok különbségét Qf a hossz mentén egyenletesen vesszük ki. - 56 - Szigorlati

tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Q be Q ki x L Q x*q Qf Q be Qx Q ki l P h vx hv P be Px P ki l Megoszló vízelvétellel terhelt csőszakasz hidraulikai jellemzői Qbe = Qki − Q f Az alkalmazott összefüggések: Qf = L ⋅ q q= Qf ahol q (m3/s/m) fajlagos vízelvétel L A szakaszon belül, annak kezdetétől x távolságra kijelölt helyen: Q x = Qbe − x ⋅ q hv S ⋅ L ⋅ Q 2 = = S ⋅ Q 2 -ből L L Az energiavonal átlagos lejtése I= Az energiavonal helyi érintője: Qf   dh 2 I x = v = s ⋅ Qx = S ⋅  Qbe − ⋅ x  dx L   2 2 Qf   dx szakaszhosszon dhv = S ⋅  Qbe − ⋅ x  dx , majd integrálás után a teljes L szakaszon L   1 2  2 hv = L ⋅ S ⋅  Qki + Q f ⋅ Qki + Q f  , melyben a Qm egyenértékű vízhozamot bevezetve 3   1 2 2 Qm = Qki + Q ⋅ Qki + Q f a szakasz veszteségre hv = L ⋅ S ⋅ Qm adódik. 3 1 2 1 L3 ⋅ S ⋅ q 2 2 hv = L ⋅ S ⋅ Q f = L

⋅ S ⋅ Qbe = 3 3 3 valamint a kezdeti x hosszúságú szakaszon kialakuló veszteség pl.: Qki = 0 esetén 1  2 2 hv x = x ⋅ S ⋅  Qki x + Q f x ⋅ Qki x + Q f x  3   amelyből: Qki x = Qbe − x ⋅ q Qf x = x ⋅ q - 57 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Szakaszosan koncentrált vízkivétellel terhelt csővezeték Az öntöző berendezések kialakításában gyakori az azonos szakaszhosszakból és azonos geometriai kialakítású vízkivételi helyekből felépített csővezeték. (öntöző szárnyvezeték) P0 P1 Q 0-1 Pi P i-1 Q (i-1)-i q i-1 q1 L Q i-(i+1) qi L n*L Pn P i+1 q i+1 Q (n-1)-n Q n-(n+1) = 0 qn L P P0 Q Q 0-1 q1 P1 q i-1 Q (i-1)-i Q i-(i+1) qi P i-1 Pi hv (i-1) -i q i+1 P i+1 hv i-(-i+1) l Koncentrált vízelvételekkel terhelt csőszakasz hidraulikai jellemzői A működés leírása az ábra szerinti értelmezésben az egyszerűsített veszteség számítási eljárással az

alábbi lépések szerint történik: A csomópontok nyomása Pi +1 = Pi + hv i − (i +1) Szakasz veszteség hv i −( i +1) = K ⋅ Qi −( i +1) Szakasz vízszállítása Qi − (i +1) = Q(i −1) − i + qi 2 Csomóponti vízkiadás ahol A a csomóponti vízkiadó szerelvény qi = A ⋅ Pi (szórófej) geometriai kialakításától függő állandó A tervezéskor további határfeltételek veendők figyelembe, pl.: az n-dik csomópont után a n csővezeték zárt, Q0 −1 = ∑ qi , továbbá, hogy a vízkiadagolás területi egyenetlenségének korlátja i =1 van q1 − q n ≤ ∆% ⋅ q n 10. Ismertesse az elágazó csőhálózatok méretezésének – egyenletes fajlagos veszteség elve szerinti – módszerét, valamint a körvezetékes csőhálózatok hidraulikai jellemzőinek számítását a Cross-eljárás alkalmazásával, a fa struktúrára bontás és a vízhozam-veszteség kapcsolat linearizálásán alapuló eljárás alkalmazását hálózatméretezésre.

Csőhálózatok számítása A valóságos csővezetékek szolgáljanak bármely célt, elemi csőszálak együttműködő - 58 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév rendszeréből épülnek fel. Az együttműködés kölcsönös egymásra hatást is jelent, tehát működésmódjukat is összefüggéseiben, hálózatként kell vizsgálni. A hálózat tehát elemi csőszakaszokból, tároló(k)ból, szivattyú(k)ból, kut(ak)ból összetett térbeli rendszer. Ág elemi csőszakasz, állandó d, Q, ∆ Csomópont három, vagy több ág találkozása, vagy ág jellemzők (d, Q, ∆) változása Gyűrű ágak mentén haladva a kiindulási pont elérhető Jellemző helyszínrajzi elrendezések: elágazó - fa struktúrájú, általában a legkisebb fajlagos csőhosszal, olcsón megoldható vízellátás, egyszerű hidraulika, jól átlátható működés, alacsony szintű üzembiztonság, esetleges vízminőségi és üzemzavari problémák körvezetékes,

magas fajlagos csőhossz, drága, bonyolult hidraulika és nehezen átlátható működésmód, magas fokú üzembiztonság, pangó ágak nem jellemzőek vegyes elrendezés, általában elágazóból egyes ágvégek, illetve csomópontok összekötésével kialakított hálózat, a fenti jellemzők mindegyike elmondható róla elágazó körvezeték vegyes, összekapcsolt Jellemző üzemállapot: az a működésmód, amelyben ha valamennyi a hálózattal szemben támasztott feltétel teljesül, akkor azok minden más működésmódban is teljesülni fognak. Jellemző hely: az a csomópont amelyben ha valamennyi a csomóponttal szemben támasztott követelmény teljesül, akkor minden más csomópontban is teljesülni fognak. Alkalmazható összefüggések: Darcy-Weissbach-féle veszteségképlet: ΔH = λ ⋅ l ⋅ 16 ⋅ Q 2 , d5 ⋅ π2 ⋅ 2 ⋅ g - 59 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Q= d5 ⋅π2 ⋅2⋅ g λ ⋅ l ⋅ 16 A csősúrlódási

együttható, a λ a Colebrook-White képlet szerint:  0,27 ⋅ ∆ 2,51 = −2 ⋅ lg + λ Re⋅ λ  d A lamináris vízmozgásra érvényes Poiseuille képlet: 1    π ⋅ρ ⋅ g ⋅d4 Q= ⋅ ∆H és a 128 ⋅ l ⋅ µ Hazen–Williams képlet Q= 0 ,2784 ⋅ c ⋅ d 2, 63 ⋅ ΔH ΔH 0, 46 ⋅ l 0,54 ahol az ismert jelölések mellett, ν - a viszkozitás c – a simasági tényező a következő táblázat szerinti értékekkel vehető figyelembe c csőanyag és állapot 140 130 120 110 100 95 60-80 különösen sima és azbesztcement sima csőanyagok és cementsimítás, új állapotú öntöttvas szárított fa, hegesztett acél csövek mázas agyag, új, szegecselt acél régi öntöttvas régi szegecselt acél régi csövek általában A csőhálózatokban szokásos jellemző üzemállapotbeli 0,4 – 1,6 – 2,0 m/s sebességtartományból következő vátlag= 1 m/s közepes sebesség és T=13 oC -ból hőmérsékletből következő µ=1,206 ·

10-6 m2/s kinematikai viszkozitás feltételezésével érdes csövek esetén jól használható az egyszerűsített veszteségszámítási módszer. Elágazó csőhálózatok számítása A számítási hálózat méretének csökkentése érdekében alkalmazható eljárások: Csomópontra koncentrált ág menti fogyasztások alkalmazása esetén a csőszakasz menti vízkivételek összegét 50-50 %-ban megosztva a szakasz két végcsomópontjához rendeljük. - 60 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Ezzel a csőszakasz egy számítási szakaszként (ág) kezelhető. Az alkalmazás feltétele, hogy a szakasz menti vízkivételek összege (Qf,) ne haladja meg a szakasz végén kilépő hozam (Qki) Q 20%-át, azaz ki ≥ 5 , valamint a d=5 cm és az annál kisebb átmérőjű ágak elhanyagolása. Qf A tervezés során ismert és adatként meghatározható mennyiségek: Az ismert víztermelési (beszerzési) helyből, esetleg más hálózati részekre

csatlakozási pontból és a szintén ismert vízfelhasználási helyekből, valamint a megoldás elágazó alapelvéből következően adott a hálózat helyszínrajza, az egyes szakaszok hossz-méretei (li) és a csomópontok magasságai (Zi). Hasonlóképpen előre tudható az alkalmazandó csőanyag és annak érdességi adata (∆i). Ismerjük továbbá a beszerzési hely energiaviszonyait,(Eo) és a fogyasztók igényeiből következő szolgáltatási energia szinteket (Ei) és vízhozam igényeket (qi) is. Ismeretlenek az egyes ág vízszállítások (Qi – i+1) az ágak átmérői (di – i+1) ágak veszteségei (∆Hi – i+1) és az ebből következő csomóponti energiaszintek és nyomások A hálózatszámításokban a szakasz veszteség meghatározáson túl leggyakrabban alkalmazott összefüggés a Kirchoff I. törvénye néven ismert un csomóponti egyenlet, amely egy csomópontra értelmezve a térfogati folytonosságot fejezi ki. n ∑ Qi = 0 i =1 ahol n a

csomóponthoz kapcsolódó ágak száma, Q az egyes ágakon érkező előjelhelyes vízhozam. Körhálózati ismeretlenek és egyenletek: Jellemző ismeretlen mennyiség ág vízszállítások ágak veszteségei Ismeretlenek száma w=k-1 w=k-1 Alkalmazható egyenlet Kirchoff-I. Darcy-Weissbach Egyenletek száma k-1 k-1 Az ág vízszállítások meghatározása A lineáris egyenletrendszer megoldása helyett javasolható az egyes ágak visszafejtése az áramlási iránnyal szemben Kirchoff I. törvény alkalmazásaival, az alábbi példa szerint: Csomópontok száma: Ágak száma: k=8 w=k–1=7 - 61 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév q4 q3 4 Q3-4 3 0 q0 q5 q1 Q3-5 1 Q0-1 5 q6 q2 Q2-6 6 2 q7 Q2-7 7 Elágazó hálózat Adottak: csomóponti vízelvételek és hozzáadások: q0, q1, q2, q3, q4, q5, q6, q7 Ismeretlenek: ág vízszállítások Q0-1, Q1-3, Q3-4, Q3-5, Q1-2, Q2-6, Q2-7 csőszakaszok átmérői: d0-1, d1-3, d3-4, d3-5, d1-2,

d2-6, d2-7 A megoldás első lépéseként Kirchoff-I. törvényét alkalmazva a végcsomópontokból kiindulva meghatározható az egyes ágak vízszállítása: Elágazó hálózat számítása Csomópont száma 4 5 3 6 7 2 1 0 Egyenlet Q3-4-q4 = 0 Q3-5-q5 = 0 Q1-3-q3-Q3-4-Q3-5 = 0 Q2-6-q6 = 0 Q2-7-q7 = 0 Q1-2-q2-Q2-6-Q2-7 = 0 Q0-1-q1-Q1-2-Q1-3 = 0 q0-Q0-1 = 0 Eredmény Q3-4 = q4 Q3-5 = q5 Q1-3= q3+Q3-4+Q3-5 Q2-6 = q6 Q2-7 = q7 Q1-2= q2+Q2-6+Q2-7 Q0-1= q1+Q1-2+Q1-3 azonosság Egyenletek száma 1 2 3 4 5 6 7 Az utolsó, k-adik számú egyenlet a csomóponti vízelvételek, illetve hozzáadások ismert volta miatt azonosság lesz. - 62 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Következő lépésben az ág átmérők meghatározásához szükségesek az ágakra jutó veszteségek értékei. Az előzőekben tárgyalt jellemző helyként válasszuk a 4 számú végcsomópontot. A betáplálási hely és a 4 csomópont közötti útra rendelkezésre álló,

∆E0-4 energia felemésztésére a gyártott korlátos számú csőátmérőt is figyelembe véve, több átmérő kombinációval használható fel. Azaz több, hidraulikai értelemben korrekt lehetséges megoldást kaphatunk Egyik alkalmazható megoldási elvként javasoljuk, az un. „egyenletes fajlagos veszteség” elvét. Az eljárás szerint az átmérők meghatározásával a fajlagos veszteséget (∆E/l) közel egyenletesre, és így az energiavonalat közel egyenesre tervezzük. az útvonal teljes hossza L0−4 = l 0−1 + l1−3 + l3−4 ∆E0 − 4 a számított fajlagos veszteség, melyből az első 0-1 szakaszra L0 − 4 jutó rendelkezésre álló veszteség ∆H 0−1 = l 0−1 ⋅ ε 0− 4 ( ’-vel jelöljük a számított értékeket, melyek a gyártott csőátmérők választása következtében majd módosulni fognak) Alkalmazva az egyszerűsített veszteségszámításnál megismert eljárást képezzük ε 0−4 = S 0−1 = ∆H 0−1 veszteség

tényező értékét l ⋅ Q2 0 −1 0 −1 A gyártott csőátmérők és anyagok adatait közlő táblázatból választunk a számított veszteségtényezőnél éppen kisebb veszteségtényezőjű csövet (átmérőt) S (d ) A szakasz vesztesége ennek megfelelően ∆H 0−1= S (d ) ⋅ l 0−1 ⋅ Q02−1 értékű és várhatóan ∆H 0 −1 -nél kisebb lesz. Ebből következően módosítani szükséges a további ε1− 4 fajlagos veszteséget is. E1 = E0 − ∆H 0 −1 és ε1− 4 = E1 − E4 majd az eljárás az előzőekhez hasonlóan L1− 4 folytatódik. Az utolsó, 3-4 szakaszon közbenső átmérő váltást kell beiktatni, az E4 fogyasztói energiaszint pontos eléréséhez, ellenkező esetben kisebb energia felesleg keletkezik. Körhálózatok vizsgálata A csomóponti folytonosságot kifejező Kirchoff-I. törvény mellett a körhálózat sajátosságaiból újabb alapösszefüggés származtatható. Az ismert meghatározás szerint a csőszakaszokból

alkotott körön végighaladva és a kiindulási csomópontba visszatérve az elindulási nyomást tapasztaljuk. Ez egyben azt is jelenti, hogy a bejárt csőszakaszok veszteségeinek előjelhelyes összege zérussal egyenlő. Az un. hurok-törvény, Kirchoff-II törvénye szerint tehát n 2 ∑ K i,j Qi,j = 0 ahol i és j a kört alkotó ágak kezdő és végcsomópontjai i,j =1 Körhálózatok esetén a tervezés az elágazókénál bonyolultabb folyamat, közvetlen csőátmérő eredmény többnyire nem származtatható. A több lépésből álló folyamatot számítógépi szoftverek segítik, a fokozatos közelítés során számos mérlegelési pontban nem nélkülözhető a hálózatok hidraulikai működésének ismerete. Az alábbiakban bemutatott - 63 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév eljárás a hálózat szimuláció elterjedt módszere. Az elemi csőszál vizsgálata Az alábbi ábrán értelmezett jelölések szerint felírható az

i-edik csőszakasz vesztesége Li Qj Q kezdő i j k C2 Hj Hk C4 2 4 1 C1 4 9 6 C6 1 5 6 3 7 2 3 8 C5 5 C3 :Körhálózatok vizsgálata ∆H i = H i, k − H i, j Qi = Ai ⋅ vi Veszteség összefüggésként használjuk a már bemutatott 0 ,2784 ⋅ c ⋅ d 2, 63 ⋅ ΔH ΔH 0, 46 ⋅ l 0,54 Hazen – Williams képletet, melyet az i-edik csőszakaszra értelmezve és bevezetve K* „linearizált” veszteségi paramétert Q= Ki = * 0 ,2784 ⋅ ci ⋅ d i2, 63 ΔH i0, 46 ⋅ li0,54 a szakasz vízszállítás – szakasz veszteség kapcsolat az alábbi alakot ölti Qi = K * ⋅ ∆H i (a továbbiakban a jelet elhagyjuk) Az i-edik csőszakasz kezdő, belépési és kilépési vízhozamaira Qi ,k = K i ⋅ ∆H i = K i ⋅ (H i ,k − H i , j ) Qi , j = − K i ⋅ ∆H i = − K i ⋅ (H i ,k − H i , j ) összefüggések adódnak, melyek a következő, csőszál karakterisztikus mátrix elnevezésű, alakban írhatók fel - 64 - Szigorlati tételek

HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Qi ,k    = Ki Qi , j  a szerkezetben  1 − 1  H i ,k  ⋅  ⋅ − 1 1   H i , j  Qi, k  Qi =   alakot elemi csomóponti vízhozam vektornak, Q , i j    1 − 1 Ki = Ki ⋅   alakot elemi karakterisztika mátrixnak, − 1 1  H i, k  Hi =   alakot pedig elemi csomóponti nyomásvektornak nevezzük.  H i, j  A fenti ábrán bemutatott egyszerű hálózatot leíró teljes rendszer egyenleteit az 5 jelű csomóponton mutatjuk be. A csomóponti egyenlet szerint ∑ Qi. j = C j i ahol i, a j-edik csomópontba beérkező ágak számait jelöli. A példa 5 jelű csomópontjára felírt csomóponti egyenlet C5 = Q8,5 + Q5,5 + Q7,5 Az ág vízhozamok meghatározásához írjuk fel Az 5 jelű csőszál karakterisztikus mátrixa Q5,5   1 − 1  H 5    = K5 ⋅   ⋅ − 1 1   H 2  Q5, 2 

Az 7 jelű csőszál karakterisztikus mátrixa Q7 , 4   1 − 1  H 4    = K7 ⋅   ⋅ − 1 1   H 5  Q7 ,5  Az 8 jelű csőszál karakterisztikus mátrixa Q8,5   1 − 1  H 3    = K8 ⋅   ⋅ − 1 1   H 5  Q8,5  Az elrendezésekből kifejthetők az 5 csomóponti egyenletben szereplő ág vízhozamok Q5,5 = K 5 ⋅ (H 5 − H 2 ) Q7 ,5 = K 7 ⋅ (− H 4 − H 5 ) Q8,5 = K 8 ⋅ (− H 3 − H 5 ) Elvégezve a beszorzásokat és a visszahelyettesítést − K 5 ⋅ H 2 − K 8 ⋅ H 3 − K 7 ⋅ H 4 + K 5 ⋅ H 5 + K 7 ⋅ H 5 + K 8 ⋅ H 5 = C5 amelyet célszerűen átrendezve megjelenik a teljes hálózatot leíró mátrix 5. sora − K 5 ⋅ H 2 − K 8 ⋅ H 3 − K 7 ⋅ H 4 + (K 5 + K 7 + K 8 ) ⋅ H 5 = C 5 A minden csőszakaszra, azaz a teljes hálózatra hasonló módon felírva kapjuk a hálózat leíró egyenletrendszert - 65 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA

tantárgyból 2004/2005 tanév 0 0 0  − K1 − K2  K1 + K 2   K1 + K 3 +  −K 0  − K3 − K4 − K5 1   H1   C1   + K 4 + K5   H  C   K 2 + K3 +  −K 0   2  2 − K3 − K6 − K8 2   H 3  C3   + K 6 + K8 *   =    K K + + H C 4 6  0 − K4 − K6 − K7 − K9   4   4    H  C   + K7 + K9   5  5  K K + + 5 7   H 6  C6   0 K K K 0 − − − 5 8 7   + K8   0 0 0 − K9 − K 9   0 A hálózati karakterisztika mátrix négyzetes, sorai és oszlopai a csomópontok számával egyeznek meg. A mátrix algoritmizálható előállításához elkészítettük és az alábbi táblázatban bemutatjuk a hálózat un. kapcsolati táblázatát, amely a csőszakaszok kezdő és végpontjait tartalmazza. A minta hálózat kapcsolati táblázata Csőszakasz i 1 2 3 4 5 6

7 8 9 Kezdőcsomópont k 1 1 2 2 2 3 4 3 4 Végcsomópont j 2 3 3 4 5 4 5 5 6 A hálózati karakterisztika mátrixot előállításakor egy 0 elemekből álló mátrix k,k és j,j pozícióihoz Ki-t, k,j és j,k pozícióihoz –Ki-t adunk. pl.: K5 veszteségi paraméter a mátrix 2,2 és 5,5 pozícióiban pozitív, 2,5 és 5,2 pozícióiban pedig negatív előjellel szerepel. Az így felépített lineáris egyenletrendszer megoldása a csomóponti nyomásokat szolgáltatja, melyekből az ágveszteségek és ág vízhozamok közvetlenül előállíthatók. Az eljárás bemutatásának kezdetén K* veszteségi paraméter bevezetésekor ∆Hi értékeire szükség volt. Az akkor becsléssel megállapított ágveszteségek miatt a módszer iterációs úton vezet eredményre. Az eljárás valamennyi fizikai rendszer elem (tároló és más kötött nyomású pont, szivattyú, kút, szűrő, szabad kifolyás, visszacsapó szelep vízhozam – veszteség egyenletének megadásával

alkalmas azok modellezésére. - 66 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Példaként bemutatjuk a hálózatot leíró egyenletrendszert ismert H3 nyomásérték esetén. Jól látható, hogy az ismeretlenek csökkenésével az egyenletek száma is csökken.  K1 + K 2   −K 1   0   0    0    0 − K1 K1 + K3 + 0 − K4 0 − K5 0 0 0 0 + K 4 + K5 0 1 0   0   H1   C1 + K 2 * H 3  − K4 − K5   H  C + K * H  3 3  2  2 0 0 0      H3   H 3   K 4 + K6 + * = − K7 − K9   H   C + K 6  4    4  + K 7 + K9     H5 C5 + K8  K5 + K 7 +      0 − K7 H C H 0 * +     6  6 6    + K8  0 − K9 − K9  0 0 - 67 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév 11. Ismertesse a szabadfelszínű vízmozgások fogalmát,

osztályozását, a permanens vízmozgások alapegyenletének származtatását és alakjait prizmatikus meder, valamint egyenletes vízmozgás esetén. Nyíltfelszínű vízmozgások fogalma A nyílt, szabad felszínű természetes és mesterséges medrek esetében a szabad felszínből következően a légnyomás a felszín és a folyadéktér minden pontján érvényesül és a gyakorlati vizsgálatok során figyelmen kívül hagyható, ugyanis a vízfolyás mentén állandó. Hasonlóképpen ismert, hogy a víztestben a nyomáseloszlás hidrosztatikus, a mélységgel egyenesen arányos, a nyomásvonal egyértelműen a vízfelszín, valamint vizsgálati tartományban a víz összenyomhatatlan. Nyíltfelszínű vízmozgás esetén a vízfelszín és a sodorvonalon átfektetett függőleges alkotójú hengerfelületnek a metszetét felszíngörbének nevezik. A felszíngörbe alakját sok körülmény határozza meg: a meder geometriai és hidraulikai jellemzői, a meder falának

érdessége, a vízmozgás áramló vagy rohanó jellege, a mederbe épített létesítmények, a keresztszelvények vízfolyásmenti változása. Nyíltfelszínű vízmozgások osztályozása Elsőként a keresztszelvény alak és más hidraulikai jellemzők (mélység, szelvényterület, középsebesség) hely szerinti változásai alapján történik az elkülönítés. A mozgásirány mentén változatlan jellemzőkkel leírható esetet egyenletesnek, míg a kismértékben változó jellemzőkkel leírható esetet fokozatosan változó vízmozgásnak nevezzük. Az előbbi meglehetősen ritka, természetes medrek változó keresztszelvény alakja, illetve mesterséges medrek vízmozgást befolyásoló műtárgyai miatt. Egyszerű alkalmazhatósága miatt mégis gyakran használt közelítés. A második, fokozatosan változónak nevezett eset a jellemző vízmozgási állapotforma mind természetes mind mesterséges medrekben. Elkülönítjük a hirtelen változó kifejezéssel

jellemezhető, többnyire műtárgyak környezetében kialakuló állapotokat, amikor a jellemzők változása rövid szakaszon jelentős mértékű. Az idő szerinti változások vizsgálata során az időben változatlan jellemzőkkel leírható esetet permanens (stacionárius) illetve a változót nem permanens (instacionárius) elnevezéssel jelöljük. Nyílt felszínű vízmozgások osztályozása EGYENLETES FOKOZATOSAN VÁLTOZÓ HIRTELEN VÁLTOZÓ - 68 - PERMANENS mesterséges meder, hosszú mederszakasz, kisvizes periódus természetes meder, vagy műtárgyakkal befolyásolt mederszakaszok, kisvizes periódus műtárgyak pl.: bukók, zsilipek környezete NEM PERMANENS mesterséges meder, hosszú mederszakasz, árhullám levonulása természetes meder, vagy műtárgyakkal befolyásolt mederszakaszokon levonuló árhullám hirtelen műtárgyzárás vagy nyitás következtében kialakuló lökéshullám, leszívás Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005

tanév A permanens egyenletes vízmozgás vizsgálata A permanens egyenletes vízmozgás főbb jellemzői: állandó vízhozam (Q), állandó nedvesített keresztszelvény (A) állandó hidraulikus esés (I), mely a mederfenék esésével egyenlő állandó érdesség (n) Tapasztalatok szerint mind a természetes mind a mesterséges medrek, amennyiben prizmatikusak (ha a keresztszelvények az áramlás mentén egyformák), vályúszerűnek tekinthetők, permanens állapotban állandó középsebességet és szelvényterületet mutatnak. Nem tapasztalhatóak jelentős hely és idő szerinti sebesség és szelvényváltozások. Az ebből adódó következtetés szerint egy vizsgálati szakaszon felszabaduló helyzeti energia (helyzeti energia csökkenés) tehát teljes mértékben a súrlódási munkára fordítódik. 1 2 I=I 0=I e I=I 0=h/L vk G K A A 1m h I G L 1m Permanens egyenletes vízmozgás vizsgálata Az ábra szerinti értelmezésben az L szakaszt bejáró egységnyi

hosszúságú víztest felszabaduló helyzeti energiája ( a G súlyerő h hosszon kifejtett munkája) egyenlő a szakaszon súrlódásra fordítódó munkával A ⋅ (1m) ⋅ ρ ⋅ g ⋅ h a ⋅ v k ⋅ K ⋅ L ahol a a víztest és a mederfal közötti súrlódási energia átadódási 2 tényező Az így felállított A ⋅ (1m) ⋅ ρ ⋅ g ⋅ h = a ⋅ v k ⋅ K ⋅ L 2 vk = A =R K h =I L a A h ⋅ ⋅ K L ρ⋅g egyenletből célszerű átrendezések után a a Chezy-képlet (1769) ismert alakját kapjuk, melyben hidraulikus sugár a szelvény alaki jellemzője mederlejtés, amely ebben az esetben vízfelszín és energiavonal lejtés is - 69 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév a = c sebességi tényező, amely tapasztalati úton meghatározott értékei révén ρ⋅g a víztest turbulenciája miatt bekövetkező belső (víz és víz közötti) súrlódások hatását is megtestesíti A mértékegységeket áttekintve 1 2 2 m m m m =

⋅ ⋅ s s m m  12 m egyenlet adódik, tehát c   s     képzetes mértékegység   keletkezik. A hidraulikai méretezéshez a permanens egyenletes vízmozgás dinamikai törvényszerűségét kifejező Chezy-képlet v = c ⋅ R ⋅ I , valamint a Q = v ⋅ A folytonossági egyenlet szükséges. E két képletből lehet a méretezés alapképletét megkapni: ( ) Q = A⋅c ⋅ R ⋅ I Az A ⋅ c ⋅ R = K fajlagos vízszállítóképességet bevezetve kapjuk a Q = K ⋅ I alakot. - 70 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév 12. Ismertesse a permanens fokozatosan változó vízmozgás felszíngörbéinek típusait, szerkesztését és számítási módszereit (parabolával történő közelítés, Bernoulli-egyenlet alkalmazása, egyenletes szelvény fajlagos energiacsökkenés szakaszhosszainak meghatározása). Ha a mederben valamilyen vízszintszabályzó műtárgy (duzzasztógát, fenéklépcső) beépítésével

megzavarják a normális vízmozgást, akkor a mederben a műtárgy helyén hirtelen-, fölötte fokozatosan változó-, röviddel alatta pedig továbbra is – az eredeti állapotnak megfelelően – egyenletes vízmozgás alakul ki. A permanens fokozatosan változó vízmozgásoknak kinematikailag két fő megjelenési formája van: - - fokozatosan lassuló: a vízmozgás középsebessége az áramlás mentén fokozatosan csökken. Mivel a vízmozgás permanens (Q = állandó), a nedvesített szelvényterület az áramlás mentén állandóan növekszik. Az ilyen vízmozgás felszíngörbéjét duzzasztási görbének nevezik fokozatosan gyorsuló: a vízmozgás középsebessége az áramlási vonal mentén fokozatosan növekszik. Mivel a vízmozgás permanens (Q = állandó), a nedvesített szelvényterület az áramlás mentén állandóan csökken. Az ilyen vízmozgás felszíngörbéjét süllyedési görbének nevezik A mérnöki gyakorlatban a hidraulikai számítás célja

rendszerint a felszíngörbék meghatározása, megvizsgálni, hogy a vízszintszabályozó műtárgyak fajtájától és a mederfenék esésétől függően milyen lesz a felszíngörbék alakja és helyzete, ezek ugyanis nagymértékben függnek a mederfenék esésének jellegétől és mértékétől. A felszíngörbék típusainak és helyzetüknek elemzéséhez a medret prizmatikusnak kell feltételezni. Az itt kialakuló fokozatosan változó vízmozgás differenciálegyenlete: Q2 dh A2 ⋅ c 2 ⋅ R 2 = dl α ⋅Q2 ⋅ B 1− g ⋅ A3 I− A felszíngörbék alakjának és helyzetének elemzéséhez az egyenletet át kell alakítani a következők figyelembevételével: α ⋅Q2 ⋅ B Q = K0 ⋅ I K = A⋅c ⋅ R DK = g ⋅ A3 Ennek megfelelően a differenciálegyenlet az alábbi alakra hozható: K 02 1− 2 dh K =I⋅ dl 1 − DK ahol DK – a vízmozgás kinematikai sajátosságát meghatározó paraméter, mely kritikus vízmozgásnál az egységgel egyenlő, áramló

állapotnál kisebb, rohanó állapotnál nagyobb az egységnél. K – a szelvény fajlagos vízszállító képességi tényezője, mely permanens egyenletes vízmozgás esetén K 0 = A0 ⋅ c0 ⋅ R0 , ahol a 0 index a h0 normális vízmélységhez tartozó hidraulikai jellemzőkre utal. - 71 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév PERMANENS, FOKOZATOSAN VÁLTOZÓ FELSZÍNGÖRBÉK ALAPTÍPUSAI normál és kritikus mélység fölött h > hN és h > hkr dh/dx > 0 - 72 - normál és kritikus mélység között hkr > h > hN (S2) vagy hN ≥ h ≥ hkr (C2, M2, H2) dh/dx ≤ 0 normál és kritikus mélység alatt h < hN és h < hkr dh/dx > 0 Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Az un. egyenletes vízmozgás megközelítésmód gyakran a valóságos viszonyok durva leírását jelenti, pontossága különösen természetes medrek és műtárgyakkal (hídnyílások, bukók, zsilipek) befolyásolt

vízfolyásszakaszokon nem elegendő. A permanens fokozatosan változó állapotok vizsgálatának két egyszerű eljárását mutatjuk be. Energia egyenleten alapuló eljárás Az előzőekben értelmezett permanens mozgásra felírt energiaegyenlet segítségével az általában ismert alsó és ezért a feladat megoldása sorrendje szerint kezdő, "1" jelű szelvény adataiból kiindulva határozzuk meg a ∆x távolságban elhelyezkedő, felső "2" jelű szelvény Z2 vízszintjének helyzetét, majd az eljárás ismétlésével, a vízmozgás iránnyal ellentétesen, felfelé haladunk tovább. A ∆x távolságon belül jelentős mederméret és lejtésváltozás nem engedhető meg, ezért a számítási szakaszok hosszát a mederviszonyok figyelembe vételével kell megállapítani. P0 P0 v12 v 22 Z1 + + α1 ⋅ − dhv = Z 2 + +α2 ⋅ ρ⋅g ρ⋅g 2⋅ g 2⋅ g v Q egyenletben elvégezve a v = , valamint α1 = α2 = 1 helyettesítést és az áramlási A

vonalat a vízfelszínen értelmezve a Q2 Q2 alakot kapjuk (itt az F a szelvényterületet jelöli) Z1 + 2 − dhv = Z 2 + 2 F1 ⋅ 2 g F2 ⋅ 2 g v Permanens fokozatosan változó vízmozgás jellemzőinek értelmezése A veszteség meghatározásához a szakasz energiavonal lejtést egyenletesnek feltételezve, és azt a kezdő - és végszelvények középértékével számolva  Q2 Q2 Q2 1   ⋅ ∆x dhv = 2 2 2 ⋅ ∆x = ⋅  2 2 + 2 2 2  F1 ⋅ c1 ⋅ R1 F2 ⋅ c 2 ⋅ R2  Fk ⋅ c k ⋅ Rk alakot kapjuk - 73 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A K 1 = F12 ⋅ c12 ⋅ R1 valamint K 2 = F22 ⋅ c 22 ⋅ R2 egyszerűsítés után behelyettesítve és átrendezve, valamint a célul kitűzött, a vízmozgás szerinti felső szelvény vízszintjét kifejezve Q2  1 1  Q 2 ⋅ ∆x  1 1   Z 2 = Z1 + ⋅  2 + 2  ⋅  2 − 2  + 2 g  F1 2 F2   K1 K 2  végeredményt kapjuk. Az egyenlet

megoldásához fokozatos közelítéssel juthatunk, mivel az ismeretlen Z2 vízszint a jobboldalon szereplő F2 és K2 tagokban is szerepel. A közelítés módszeréhez javasolható a 1 Z 2 = ⋅ (Z 1 + I 0 ⋅ ∆x + I 1 ⋅ ∆x ) kezdőérték felvétele 2 Az eljárás meglehetősen számításigényes, különösen változó, természetes medrekben, ahol a ∆x szakaszhossz rövid (mederváltozások szerint változó) értékekkel vehető fel. Szelvény fajlagos energia lépcső módszer Kizárólag mesterséges, prizmatikus medrekben alkalmazható egyszerűsített, közelítést kiküszöbölő változat az un. szelvény fajlagos energia lépcső módszer Az eljárást a fenti ábra szerinti jelölésekre hivatkozva mutatjuk be. v2 A felső szelvény fajlagos energiája E 2 = h2 + 2 és a két szelvény közötti fenéklejtésből 2⋅ g számított I 0 ⋅ ∆x = ∆m fenékmagasság különbség összege egyenlő az alsó szelvény fajlagos v12 és az energiavonal átlagos

lejtéséből a korábban már ismertetett 2⋅ g módon számított veszteség dhv összegével. E 2 + ∆m = E1 + dhv E 2 − E1 = dhv − ∆m ahol a már ismert módon  Q2 Q2 Q2 1  1  Q2  1  ⋅ ∆x =  ⋅ ∆x dhv = 2 2 2 ⋅ ∆x = ⋅  2 2 + 2 2 ⋅  + 2  F1 ⋅ c1 ⋅ R1 F2 ⋅ c 2 ⋅ R2  2  K 1 K 2  Fk ⋅ c k ⋅ Rk energia E1 = h1 + és ∆m = I 0 ⋅ ∆x behelyettesítés után E − E = Q2 2 1 2  1 1   ⋅ ∆x − I 0 ⋅ ∆x ⋅  +  K1 K 2  az egyenlet rendezésével és ∆x szakaszhossz kifejezésével az alábbi eredményre jutunk: E 2 − E1 ∆x = 2 Q  1 1   − I0 ⋅  + 2  K 1 K 2  Az összefüggés alkalmazásával az alsó, ismert szelvény adataiból kiindulva, majd a következő felső szelvényben kialakuló vízmélység h1 felvételével, annak E1 energiaszintje számítható és távolsága közvetlenül kifejezhető. - 74 - Szigorlati tételek

HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Duzzasztási illetve leszívási görbék akkor állnak elő, ha a természetes leszívási állapotú mederbe valamilyen duzzasztást létrehozó művet építenek be, illetve a meder vizét valahol megcsapolják. Tájékoztató jelleggel az eredetileg egyenes vonalú felszín duzzasztás révén létrejövő alakját parabolának szokás nevezni. Itt a duzzasztás szelvényében vízszintesnek tételezzük fel a felszínt, tehát az eredeti felszínhez érintőlegesen csatlakozó, a duzzasztás szelvényében vízszintes kezdőérintőjű parabolát szerkesztünk 2 ⋅ ∆z Ha az eredeti esés I0 volt a duzzasztás l = távolságig érvényesül a parabola I0 szerkesztési szabályai szerint. Δz I0 l= I=0 Δz 2 ⋅ ∆z I0 - 75 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév 13. Ismertesse a Chezy-képlet származtatását, a sebességi tényező meghatározási módszereit, az összefüggés alkalmazásait nyílt

medrek jellemzőinek számítására (vízszállító képesség, határlejtés, mederméretezés). A Chezy-képlet származtatása Az energia-megmaradás törvényét, ha csak a folyadék mozgásával foglalkozunk, a Navier-Stokes egyenlet fejezi ki, amely a tehetetlenségi, a nehézségi és a súrlódó erő egyensúlyát foglalja egyenletbe, úgy, hogy az ún. disszipációs tagja a víz jellegéből adódóan elhanyagolható, valamint figyelembe véve a víz összenyomhatatlanságát: ∂v 1 + (ν∇ )ν = P − grad p + ν∇ 2ν ∂t Q ahol ∂v az időbeli gyorsulásokat, ∂t (ν∇ )ν az örvényességet és a helyi gyorsulásokat, P a ható erőt (nehézségi erő) grad p a nyomásváltozásokat, ν∇ 2ν a viszkózus folyadék súrlódását kifejező tag. Ebből származtatható az áramvonalakra, illetve potenciálos mozgás esetében az egész áramlási térre a Bernoulli-egyenlet, ill. az áramló folyadékok két keresztmetszete közötti energiaegyenlet: 2 2 2 v1

p1 v2 p2 1 ∂v α1 ⋅ + + Z1 = α 2 ⋅ + + Z 2 + hv + ∫ dr 2⋅ g ρ ⋅ g 2⋅ g ρ ⋅ g g 1 ∂t Az egyenlet átrendezésével kapott alak jobb oldalán a hv a két vizsgált szelvény közötti súrlódásra fordított energiaveszteség, az integrálos tag pedig a gyorsulásra fordított energiaveszteség az alapszint feletti z magasságban: 2 2 2  v v   p − p2  1 ∂v α1 ⋅ 1 − α 2 ⋅ 2  +  1  + ( Z 1 − Z 2 ) = hv + ∫ dr  2⋅ g 2 ⋅ g   ρ ⋅ g  g 1 ∂t  1 ∂v Figyelembe véve, hogy a ⋅ ∫ dr nempermanens tag elhanyagolható nagyságú, az g ∂t egyenlet a két szelvény közötti veszteséget adja, mely analóg a Darcy-Weissbach-féle veszteségképlettel. Mivel a szabadfelszínű medreknél a d átmérőnek nincs közvetlen értelme, e helyett a d 2π A d hidraulikus sugarat kell használni: R = = 4 = , tehát a veszteségképletben a d = 4R, K dπ 4 így bármely keresztszelvényű egyenletes áramlásra

érvényes veszteségképlet a következő: 8⋅ g hv L v2 , amelyből a sebesség: v = . ⋅ R⋅ hv = λ ⋅ ⋅ λ L 4⋅ R 2⋅ g Antoine de Chezy ebből az összefüggésből alakította ki a máig is használt képletét: v = c⋅ R⋅I A c sebességi tényezőre számos képlet terjedt el, legáltalánosabb a Strickler-Manning-féle 1 1 képlet: c = ⋅ R 6 , ahol az n a Manning-féle mederérdességi tényező. n - 76 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A sebességi tényező A földmedrű csatornák sebessége és ez által vízszállító képessége számos tényező függvénye. Mind a tervezés szakaszában, mind a már működő csatornák vízszállító képességének meghatározásakor nagy jelentőségű a sebességi tényező értéke. A sebességi tényezőt befolyásoló fontosabb hatások: - a mederanyag és hordalék szemcsemérete - a keresztszelvény alakja és szabálytalanságai - a vízmozgás rendezettsége - a

rézsűhajlás - sebesség - a vízinövényzet alakja, sűrűsége, nagysága A fenti hatásokat figyelembe vevő, a mederfal menti és a víztesten belüli súrlódásokat kifejező sebességi tényező meghatározására számos kísérlet történt, melyek nyílt medrekre vonatkozóan a gyakorlatban legelterjedtebb Strickler-Manning-féle módszer. 1 1 1 c= ⋅ R 6 = k M ⋅ R 6 ahol nM nM - érdességi tényező illetve ennek a reciproka k M simasági tényező 1 2 1 6 1 3 1 m 1 m = ⋅m = ⋅ m6 Mértékegységekre felírva: s s s 1 m3 2 1 A Chezy-képletbe a simasági formát visszahelyettesítve kapjuk a v k = k M ⋅ R 3 ⋅ I 2 illetve 2 1 a Q = v k ⋅ A folytonossági feltétel behelyettesítésével a Q = A ⋅ k M ⋅ R 3 ⋅ I 2 eredményt. A műszaki gyakorlat a sebességi tényező számítás más alakjait is használja, így pl.:  12 ⋅ R   , ahol ke - érdességi határ magassága (m) Colebrook-White-féle alak: c = 18 ⋅ log  ke 

valamint a Darcy-Weisbach-féle alak: c = 8⋅ g , ahol f- határ érdességi tényező, (m/s) f - 77 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A Chezy-képlet alkalmazásai Nyílt medrek permanens egyenletes állapotainak számítása során a gyakorlat három alapfeladatot különít el Feladat típus Adott adatok Meghatározandó értékek Mederhidraulikai jellemzők Valamennyi medergeometriai Vízszállító képesség (hidraulikus sugár, sebességi jellemző (méretek és lejtés) számítás tényező, középsebesség és Simaság vízhozam) Egyes medergeometriai jellemzők Meder méretek (vízmélység, fenékszélesség) Meder méretezés (lejtés, rézsűhajlás) Simaság Mederhidraulikai jellemzők Vízhozam Meder méretek (vízmélység, fenékszélesség) Határlejtés számítás Vízhozam, határsebesség Mederhidraulikai jellemzők Határlejtés A vízszállító képesség számítása Egy létező felmért, vagy tervezési fázisban

elképzelt medergeometria szerinti meder és vízszint, valamint annak állapota alapján meghatározott simaság függvényében kialakuló vízhozam számítását jelenti. A szelvényt az ábrán bemutatott módon mederrészekre bontjuk és a részvízhozamokat határozzuk meg. I – mederrész számítása Szelvényterület: ρ1 ⋅ (Z 0 − Z 1 )2 ρ 2 ⋅ (Z 0 − Z 1 )2 ρ 2 ⋅ (Z 0 − Z 2 )2 AI = b1 ⋅ (Z 0 − Z 1 ) + + − 2 2 2 Nedvesített kerület: 2 2 2 K I = b1 + (Z 0 − Z 1 ) ⋅  ρ1 + 1 + ρ 2 + 1  − (Z 0 − Z 2 ) ⋅ ρ 2 + 1   ( - 78 - ) ( ) ( ) Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Az un. nedvesített kerület (K) számításakor a víztest és a meder érintkezési vonalának hosszát határozzuk meg, és nem minősül kerületnek a víz és víz érintkezési vonala. A Hidraulikus sugár: RI = I KI Szelvény(rész) átlagos simasága: 2 2 k1 ⋅  b1 + (Z 0 − Z 1 ) ⋅ ρ1 + 1  + k 2 ⋅ (Z

2 − Z 1 ) ⋅ ρ 2 + 1   kI = 2 2 b1 + (Z 0 − Z 1 ) ⋅ ρ1 + 1 + (Z 2 − Z 1 ) ⋅ ρ 2 + 1 ( ( ) ) ( ( ) ) 1 Sebességi tényező: c I = k I ⋅ RI6 Szelvény középsebesség: Vízhozam: v KI = c I ⋅ R I ⋅ I QI = v KI ⋅ AI II – mederrész számítása Szelvényterület: AII = b2 ⋅ (Z 0 − Z 2 ) + Nedvesített kerület: K II = b2 + (Z 0 − Z 2 ) ⋅ Hidraulikus sugár: RII = ρ 3 ⋅ (Z 0 − Z 2 )2 (ρ 2 2 3 ) +1 AII K II Sebességi tényező (szelvény(rész) simaság itt homogén): Szelvény középsebesség: Vízhozam: c II = k II ⋅ R 1 6 II v KII = c II ⋅ RII ⋅ I QII = v KII ⋅ AII A teljes szelvény vízszállítása: Qteljes = QI + QII Természetesen vízszállító képesség szempontjából a teljes szelvényterületet nem vehetjük figyelembe, a partélek (depónia, töltés) korona szintje alatt medermérettől (kockázattól) függően 0,3 – 1,0 m biztonságot tartunk. Mederméretezés A tervezési feladat során

árvízszámítási előzményekből adott a mértékadó vízhozam (Q), talajmechanikai szakvéleményből a rézsűhajlás (ρ), a völgy vagy átlagos tereplejtés (I) és meghatározandók a meder jellemző méretei, a vízmélység (h), fenékszélesség (b). Az előző számítási sorból jól látható, hogy még egyszerű trapéz szelvényalak esetén sem fejezhetők ki közvetlenül a keresett paraméterek. A szakirodalomban számos eljárás ismert, segédábrák és táblázatosan összefoglalt vízszállítási tényezők a különböző szelvény alakokra és méretekre. Az alábbiakban egy rugalmas, jól algoritmizálható, zsebszámológéppel vagy táblázat kezelő szoftverrel könnyen megvalósítható eljárást ajánlunk. Felvéve h1 és b1 kezdőértékeit, úgy, hogy a becsült középsebesség 0,5 – 1,0 m/s h tartományban legyen, és ha más feltétel nem határozza meg, ≅ 1 , majd az eljárást az alábbi b ábra szerint folytatható le: - 79 -

Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév h i és b i alapján Ai, K i, R i, ci, vk i és Q i meghatár ozása Igen /Q - Qi/<= ∆% *Q a ker esett ér tékek: h = h i és b = bi Nem b i+1 = b i és h i+1 = h i* Q/Q i A meghatározott vízmélység eredményt a meder mélység kialakításakor a biztonsággal itt is növelni szükséges. Határlejtés számítás Földmedrek jellemzője, hogy a mederben kialakuló áramlási sebesség nem növelhető a mederanyagot alkotó talaj szerkezetétől és szemcseméretétől (fizikai talajféleség) függő határsebesség fölé, mert a szemcsék elragadása, kimosások, medererózió következik be. A földmedrű csatornákban kialakuló sebességnek két határérték között kell lennie. A sebesség nem haladhatja meg a kimosást előidéző értéket, és nem csökkenhet a feliszapolódás szempontjából veszélyes érték alá. A határlejtés tehát a mederanyagra elsodrás szempontjából megengedhető

legnagyobb sebesség (vH) kialakulásához tartozó lejtés, (IH) meghatározását jelenti, az alábbi módon: Q amelyből egyszerű trapéz szelvényre AH = vH AH = b ⋅ h + ρ ⋅ h 2 következtében h1, 2 = − b ± b 2 + 4 ⋅ ρ ⋅ AH pozitív gyöke a keresett vízmélység eredmény, mely után 2⋅ ρ KH, RH, cH számíthatóak. 2 v I H = 2H adja azt a lejtés értéket, amelynél éppen kialakul a talajtípusra c H ⋅ RH megengedett határsebesség. - 80 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév 14. Ismertesse az áramló és rohanó vízmozgások jellemzését, a szelvény fajlagos energia mélység szerinti változását, a Froude-szám származását, a jellemző kritikus értékek meghatározási módszereit derékszögű négyszög, háromszög és trapéz szelvényalakokra. A szelvény fajlagos energiáját kifejező E 0 = h + α ⋅ v2 2⋅ g egyenletbe behelyettesítve a α ⋅Q2 Q összefüggést, kapjuk a következő alakot: E 0 =

h + A 2 ⋅ g ⋅ A2 Ez az összefüggés a vízfolyása három jellemző hidraulikai mennyisége között teremt kapcsolatot. A szelvény fajlagos energiájának a vízmélység szerinti változását állandó vízhozam és áramló vízmozgás mellett vizsgálva, az energia alapfogalmai szerint: α ⋅Q2 E 0 = E POT + E KIN = h + 2 ⋅ g ⋅ A2 v= ahol az E POT = h a szelvény fajlagos potenciális, míg az E KIN = α ⋅ v2 a szelvény fajlagos 2⋅ g kinetikai energiáját jelenti. Az összetartozó értékeket koordináta rendszerben ábrázolva kapjuk a fajlagos energia E – h , vagy más néven Braun – görbét. A szelvény fajlagos potenciális energiájának a grafikonon egy, az origón átmenő 45°-os egyenes, a kinetikai energiának egy hiperbola felel meg. A szelvény fajlagos energiája e két energia összegéből tevődik össze, amit egy olyan görbe jellemez, amely aszimptotikusan közeledik az abszcissza tengelyhez és a potenciális energia egyeneséhez. A

fajlagos energiának van egy minimuma, amelyhez egy meghatározott vízmélység tartozik. A vízfolyásnak azt a mélységét, amely mellett adott vízhozamnál a szelvény fajlagos energiája a minimális értéket éri el, kritikus vízmélységnek nevezik. - 81 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A kritikus állapothoz tartozó sebességet kritikus sebességnek (vkr) és a vízhozamot kritikus vízhozamnak (Qkr) nevezik. A szelvény fajlagos energiájának vízmélység szerinti változását jellemző görbe elemzéséből megállapítható, hogy a nyíltfelszínű permanens vízmozgásoknak három különböző állapotát lehet megkülönböztetni: - rohanó vízmozgás, amelynél a vízmélység kisebb a kritikus mélységnél: h < hkr. Jellemzője, hogy a 0 < h < hkr vízmélységek tartományában a mélység növekedésével a szelvény fajlagos energiája fokozatosan csökken az EMIN értékig. - áramló vízmozgás, amelynél a

vízmélység nagyobb a kritikus mélységnél: h> hkr. Jellemzője, hogy a hkr < h vízmélységek tartományában a vízmélység növekedésével a szelvény fajlagos energiája az EMIN értéktől növekszik. - kritikus vízmozgás, melynél a vízmélység azonos a kritikus mélységgel: h = hkr. A grafikonról az is megállapítható, hogy egy adott Q vízhozam, azonos fajlagos energiatartalom mellett (E1 = E2) kétféle vízmélységgel (h1 ill. h2) is lefolyhat a mederben Az egyik vízmozgás esetében (h2) a vízmozgás áramló, a másik mélységnél (h1) a vízmozgás rohanó. Az összefüggés, amellyel meghatározható a kritikus mélység az alábbi módon vezethető le: dE 0 Az energiaminimum jellemzője: = 0 . A fajlagos energiát meghatározó egyenlet, és a dh dE 0 α ⋅Q2 ⋅ B közvettet differenciálás szabálya felhasználásával: = 1− dh g ⋅ A3 dE 0 A kritikus vízmélységnél az E0 = f(a) energia függvénynek minimuma van, és így a dh ezen

kritikus mélységhez tartozó kritikus szelvényjellemzőknél zérus: 3 dE 0 AKR α ⋅ Q 2 ⋅ BKR α ⋅Q2 = 1− másképpen = 0 = 3 dh BKR g g ⋅ AKR ahol az AKR és a BKR a megfelelő vízmélységhez tartozó kritikus hidraulikai jellemzők α ⋅ Q 2 ⋅ BKR A = DK összefüggés egy , a vízmozgás dinamikai sajátosságát jellemző 3 g ⋅ AKR A paramétert ad. Az összefüggés a v középsebesség és az = h átlagos vízmélység B α ⋅ v2 bevezetésével átrendezhető: DK = = α ⋅ Fr , vagyis a Froude-szám egy speciális esetét g ⋅h kapjuk. A Froude-szám segítségével lehet elkülöníteni az áramló és rohanó vízmozgást dE 0 α ⋅ Q 2 ⋅ BKR = 1− = 1 − DK = 0 3 dh g ⋅ AKR Vagyis ha: DK = 1, a vízmozgás kritikus (DK = DKKR) DK < 1, a vízmozgás áramló, és DK > 1, a vízmozgás rohanó (Megjegyzendő: a rohanó vízmozgásnál nagy sebesség tartozik kis vízmélységhez, míg áramló vízmélységnél kis sebesség a nagy

vízmélységhez.) - 82 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Hidraulikai számítások esetében előfordul, hogy a kritikus mederjellemzőket kell számítani. A Froude-szám levezetéséből ismert összefüggés alapján ezek a paraméterek meghatározhatók: α ⋅Q2 A3 = f ( h) illetve f (hKR ) = B g Gyakorlatilag az adott szelvényben különböző h mélységekhez tartozó nedvesített területet és kerületet kell számolni, és az adatok alapjá megszerkeszteni egy függvénygörbét. h hKR A3 = f ( h) B A3 B α ⋅Q2 g A h koordinátákhoz fel kell rakni a számított A3 abszcissza értékeket. Ezután az B α ⋅Q2 értékű pontot, aminek az ordináta értéke adja g meg a keresett hKR értéket, melynek ismeretében a további hidraulikai jellemzők számíthatók. Az egyenletből látható, hogy a kritikus mélység nem függ sem a mederfenék esésétől, sem annak érdességétől, csupán a vízhozamtól és a meder alkjától.

Analitikusan lehet a következő szelvényalakokhoz lehet meghatározni a kritikus jellemzőket: abszcissza tengelyen kell megkeresni a - - Q q2 3 derékszögű négyszög: q = ill. A = B⋅h hKR = B g trapézszelvény (bevezetve a ρ-rézsűhajlást és a b-fenékszélességet): 3 3 BKR = b + 2 ⋅ ρ ⋅ hKR ⋅ (b + ρ ⋅ hKR ) α ⋅ Q 2 hKR = 2 AKR = b ⋅ hKR + ρ ⋅ hKR g b + 2 ⋅ ρ ⋅ hKR háromszögszelvény: 2  ρ ⋅ hKR  2   A = 2⋅ K = 2 ⋅ ρ 2 +1 B = 2 ⋅ ρ 2 + hKR  2  ( ) ( ) - 83 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév 15. Ismertesse a szelvény energiaviszonyainak vizsgálatát a Braun és a Kochgörbék előállítását, használatukat különböző mozgásállapotok összetartozó vízmélységeinek meghatározására, küszöb feletti vízmozgás számítására. A szelvény energiája Valamely vízfolyás A nedvesített keresztszelvényén időegység alatt átfolyó Q vízhozamának

valamely 0-0 hasonlító síkra vonatkoztatott ET – a vízfolyás teljes  α ⋅ v2  p . energiatartalma az energiaegyenlet alapján: ET = Q ⋅ ρ ⋅ g ⋅  z + + ρ ⋅ g 2 ⋅ g   A választott nedvesített keresztszelvényen egységnyi idő alatt átfolyó víztömeg energiáját egységnyi súlyra és egy meghatározott tetszőleges hasonlító síkra vonatkoztatva az α ⋅ v2 p Ef – a vízfolyás fajlagos energiájának nevezzük: E f = z + ahol α a szelvény + ρ ⋅ g 2⋅ g kinetikus energia diszperziós tényezője. (Coriolis-féle tényező) A fokozatosan változó mozgásnál – a feltételezések szerint – a hidrodinamikai nyomások a hidrosztatikus törvények szerint oszlanak el, ezért a felszín alatt h mélységben található A p pont nyomása p = h ⋅ ρ ⋅ g és ebből a = h , valamint a mederfenék szintjére, mint 0’-0’ ρ⋅g viszonyító síkra áttérve az a = z + h − h helyettesítésekkel az E0 - szelvény

fajlagos energia α ⋅ v2 α ⋅Q2 tartalma az: E 0 = h + összefüggéssel írható fel. = h+ 2 2⋅ g 2 ⋅ g ⋅ ( A(h )) - 84 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A szelvény fajlagos energiája permanens mozgás estén a vízfolyás mentén lefelé haladva  dE f  mindig csökken  < 0  , mivel a vízmozgás tulajdonképpen ennek az energiának a  dx  rovására történik. A szelvény fajlagos energiája egyenletének figyelembe vételével a hossz-menti változását vizsgálva: dE 0 dh α dv 2 dh α ⋅ Q 2  ∂A B ⋅ dh  = + ⋅ = − ⋅ +  alakot kapjuk, amelyben a jobb oldal dx dx 2 ⋅ g dx dx g ⋅ A 3  ∂x dx  az alapegyenlet levezetéséből átvéve dh α ⋅ Q 2  ∂A B ⋅ dh  Q2 ahol i- a vízfelszín lejtése, míg a − ⋅ + =i− 2 2 dx g ⋅ A 3  ∂x dx  A ⋅c ⋅ R Q2 = I e tag az energiavonal adott pontbeli lejtése A2 ⋅ c 2 ⋅ R dE 0 v2 Ie tehát a =i− 2 =

i − I e azaz a vízfelszín és az energiavonal párhuzamos, dx c ⋅R egyenletes vízmozgásról beszélünk. dE 0 Ha a szelvény fajlagos energia csökken a mozgás hossza mentén, azaz 〈 0 valamint dx dE 0 ebből adódóan i < Ie akkor leszívásról, míg ha a fajlagos energia növekszik, tehát 〉0 dx esetben Ie < i pedig duzzasztásról beszélünk. A kérdés megvilágítható a fajlagos vízszállítóképesség, más néven vízhozammetódus Q segítségével is. Képezve a K 0 = fajlagos vízszállítóképességi jellemzőt és az aktuális If szelvény adatokból számítható K = A ⋅ c ⋅ R értéket, valamint a Chezy-képlet értelmében dhV Q2 v2 Q2 Q2 figyelembe véve, hogy: és i = 2 , ebből a szelvény = Ie = 2 = = dx K c ⋅ R A2 ⋅ c 2 ⋅ R K 2  K2  dE 0  I  = i ⋅ 1 − e  = i ⋅ 1 − 02  módon is. fajlagos energia hossz-menti változása kifejezhető: dx i    K  Ebben az esetben: dE0 K = K0 azaz = 0 az

egyenletes vízmozgási állapotot, dx dE 0 K < K0 azaz 〈 0 a leszívást, míg dx dE 0 K0 < K azaz 〉 0 a duzzasztást jellemzi. dx Egyenletes mozgásnál a nehézségi erő munkája teljes egészében a hidraulikai ellenállások legyőzésére fordítódik, így bármely szelvényben a szelvény fajlagos energiája állandó marad. Duzzasztás következtében a víz nagyobb szelvénnyel ill. kisebb sebességgel áramlik, a hidraulikai ellenállások legyőzésére már nem szükséges a nehézségi erő munkája, a lejjebb fekvő szelvényekben a szelvény fajlagos energiája állandóan növekszik. - 85 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A szelvény fajlagos energia vízmélység szerinti változását (Q = const.) állandó vízhozamnál elvégezve, külön a potenciális Epot és kinetikai Ekin energia összetevők változásait ábrázolva, majd az azonos mélységhez tartozó értékeket összeadva kapható az alábbi, Braun-görbének

nevezett grafikon. 2,5 Q = 2 m 3/s b= 2 m h kr it = 0,47 m E min = 0,70 m E = 0,87 m h 1 = 0,3 m h 2 = 0,8 m Vízmélység (m) 2,0 1,5 helyzeti ener gia mozgási ener gia 1,0 h2 szelvény ener gia 0,5 h kr it h1 Szelvény fajlagos ener gia (m) 0,0 0 0,5 E min E 1 1,5 2 2,5 A szelvény fajlagos energiának minimuma van, amely az adott Q = állandó vízhozam levezethetőségének legalacsonyabb energiaszintjét mutatja. Látható továbbá az is, hogy a Q vízhozam Emin < E energiaszinttel két vízmélységgel, h1 < h2 is mozoghat a mederben. Ekkor h1 < hkr a rohanó, hkr < h2 az áramló vízmozgási állapothoz tartozó vízmélységek. Az Emin energiaszint a kritikus vízmozgási állapothoz tartozik. Rögzítve a szelvény fajlagos energia E értékét, a szelvényben lefolyó víz mélysége és vízhozama közötti kapcsolat felírható. Q2 Az E = h + alakból kifejezve a vízhozamot, Q = A(h ) ⋅ 2 ⋅ g ⋅ (E − h ) -t kapjuk, 2 ⋅ g ⋅ A2

figyelemmel a szelvényterület mélységfüggőségére. Derékszögű négyszög szelvényben Q alkalmazva a A = b ⋅ h összefüggést, a vízhozam Q = b ⋅ h ⋅ 2 ⋅ g ⋅ (E − h ) , valamint a q = a b hidraulikai fajlagos vízhozam (a szelvény egységnyi széles sávjában haladó vízhozam) segítségével a q = h ⋅ 2 ⋅ g ⋅ (E − h ) egyenlet kapható, amivel koordináta rendszerben ábrázolható görbe állítható elő. Ezt a görbét a szelvény fajlagos energiájának Q – h görbéjének, vagy megalkotójáról Koch – görbének nevezik. A görbe bármely pontja egy olyan összetartozó vízhozam – vízmélység értékpárt határoz meg, amely az E0 = állandó energiatartalom mellett fordul elő. - 86 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Az egyenletből látható, hogy a vízhozam két esetben lesz zérus; ha a vízmélység zérus, vagy ha a középsebesség zérus. Ez esetben E0 = h A polinomok szabálya szerint a két

vízmélység között a Q vízhozamnak egy maximuma kell legyen. A szélsőérték (maximális vízhozam) helyének meghatározásához használható az ismert dQ módszert, miszerint ott az érintő a vízmélység tengellyel párhuzamos, tehát =0 dh Az összetett függvény deriválási szabálya szerint:   1 1 dQ h  = 2 ⋅ g ⋅ 2 ⋅ E − 3⋅ h = 0 = 2 ⋅ g ⋅  (E − h ) 2 − ⋅ 1  2 (E − h ) 2  dh  2⋅ E − h   3 2 ez abban az esetben lehetséges, ha 2 ⋅ E − 3 ⋅ h = 0 , tehát h = ⋅ E illetve E = ⋅ h . 3 2 2,5 Vízmélység, szelvény fajlagos ener gia 2,0 (m) E= 2 m h kr it = 1,36 m q max = 4,82 m 3/s*m h2 q= h1 = h2 = 1,5 3,54 m 3/s*m 0,7 m 1,8 m h kr it 1,0 h1 0,5 Fajlagos vízhozam (m 3/s*m) 0,0 0 2 q 4 q max 6 8 10 Visszahelyettesítve a szelvény fajlagos energia összefüggésébe, a szélsőérték (Qmax) mélységére vonatkozóan az aktuális, éppen mozgó fajlagos vízhozam (q < Qmax )

segítségével a Q2 3 Q2 1 Q2 3 egyenletet rendezve . ⋅ h = = ⋅h = h + h 2 2 2 ⋅ g ⋅ A2 2 ⋅ g ⋅ b2 ⋅ h2 g ⋅ b2 A kritikus vízmélység meghatározásánál tárgyalt összefüggés ismeretében: h3 = q2 q2 , amelyből a kritikus mélység: hkr = 3 . g g - 87 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A Koch – görbe gyakorlati alkalmazása A Koch – görbe felhasználható műtárgyak közvetlen környezetében kialakuló vízszintek meghatározására. Legegyszerűbb eset a fenékküszöb energiaviszonyainak számítása, amihez feltételezni kell, hogy a vizsgált szakaszon energiaveszteség nincs ill. elhanyagolható Az elemzéshez két feltétel rögzítése szükséges: a) Az egyes vizsgálatokat egy-egy rögzített vízhozam vagy vízmélység értékeire kell elvégezni b) Az adott mederszakaszra természetesen érvényes a Chezy-képlet, ami azt jelenti, hogy a szelvény q0 vízhozama és h0 vízmélysége egymás függvénye,

és minden q0 vagy h0 értékhez más-más E0 energiatartalom tartozik. A Chezy-képlet segítségével ki kell számítani egy vízhozamhoz a szelvény fajlagos energiatartalmát a meder fenékszintjére vonatkoztatva: v02 v0 = c ⋅ R ⋅ I E 0 = h0 + 2⋅ g Bevezetve a q fajlagos vízhozamot, E0 energiatartalmat állandónak, h vízmélységet változónak tételezve fel: q2 E 0 = h0 + ill. q = h0 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ (E 0 − h0 ) 2 ⋅ g ⋅ h2 A számítás további alapgondolata, hogy a fenékküszöb rövid szakaszán keletkező csekély mértékű energiaveszteséget el lehet hanyagolni, vagyis a küszöb előtti E0 energiatartalom azonos a küszöb szelvényében lévő ugyanazon alapszintre vonatkoztatott energiatartalommal: E 0 = k + E1 A fenékküszöbhöz érkező q0 vízhozamnak a küszöb fölött is át kell folynia, ezért az E1 energiatartalomra szerkesztett Koch – görbének csak az ezen q0 vízhozamhoz tartozó q0 – h1 értékpárja lesz érvényes. Mivel a

kiindulási q0 vízhozam ismert, a küszöb feletti h1 vízmélységet úgy kapjuk, hogy az áramló mozgás görbéjéről a q0 vízhozamot rávetítjük a rohanó mozgás görbéjére, így kimetszve a küszöb feletti keresett h1 mélységet. - 88 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév 16. Ismertesse a vízugrás típusait, energiaviszonyainak vizsgálatát derékszögű négyszög szelvényű mederben, a támaszerő függvény előállítását, alkalmazását az összetartozó vízmélységek meghatározására. A vízugrás olyan sajátos hidraulikai jelenség, amely mellett a rohanó vízmozgás áramlóba megy át, miközben a vízmélység átlépi a kritikus mélység hkr értékét. Ezt a jelenséget tehát mindig a vízmélységek hirtelen megnövekedése és egyidejűleg a sebesség hirtelen lecsökkenése jellemzi. Vízugrás általában valamely vízépítési műtárgy közvetlen közelében, annak hatásaként jön létre. A vízugrásnak

több fajtája ismert - 89 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A vízugrásban két zónát lehet megkülönböztetni: az alul elhelyezkedő, előre haladó, nagyobb sebességű mozgás szétterülő zónáját, amely a függőleges síkban bővülést mutat, és a felszíni zónát, amely az előbbi sugáron fekszik fel, azaz forog, és amely sok levegőt elnyelő vízhengerhez hasonlít. Sebességeloszlás jellege a fedőhengeres szabad vízugrásban Az áramlás jellegének megfelelően a vízugrás egyes keresztmetszeteiben uralkodó sebességeloszlás erősen változó. A fedőhengerben az alapáramlással ellentétes, visszafelé irányuló áramlás van. A fedőhenger jelenléte nagy energiaveszteséggel jár, az alsó szétterülő zónában pedig nagy erodáló képességű sebességek uralkodnak. A vízugrás szétterülő sugara a haladó mozgásnak olyan különleges esete, amely törvényszerűségeiben eltér a fokozatosan változó

vízmozgástól. Az áramvonalak görbülete és egymással bezárt szögük nagy, ezért a hidrodinamikus nyomások eloszlása nem tekinthető hidrosztatikusnak. A fedőhengeres szakaszon a fokozatosan növekvő mélységű szétterülő zóna és a fedőhenger között intenzív a folyadékcsere. Az elején kilépés, a kritikus mélység után belépés jellemző. A levegőnek a felszíni zónában való jelenléte megszünteti a folyadéktér folytonosságát és az diszkontinus lesz. A vízugrás támaszerő függvénye A vízugrás kezdeti szelvényében a vízmélység h1, a végső szelvényében h2, a kettő között van a vízugrás L hossza, a vízugrás magassága pedig a = h2 – h1. Mivel egy adott h1 mélységhez adott h2 vízmélység tartozhat, ezeket összetartozó vízmélységeknek nevezik. A vízugrás belső erőtani viszonyait az elmozdulásmentes állapotot jellemző impulzus erők és a hidrosztatikus nyomások egyensúlyából lehet levezetni (totális

impulzus egyenlőség – a két szelvény hatásai egymás ellenében irányulnak). - 90 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A mozgásmennyiség impulzustörvénye szerint a mozgásmennyiség időegységre eső változásának bármely irányra számított vetülete egyenlő a külső erőknek ugyanazon irányra vonatkozó vetületével. I 1 + P1 = I 2 + P2 A mozgásmennyiségnek az áramlás irányába eső időegységre vonatkoztatott megváltozása, vagyis az eredő impulzus erő: I 2 − I 1 = P2 − P1 = ρ ⋅ α 2 ⋅ v 22 ⋅ A2 − ρ ⋅ α 1 ⋅ v12 ⋅ A1 = ρ ⋅ α ⋅ Q ⋅ (v 2 − v1 ) ahol az α1 és α2 a kezdeti és a végső szelvényekre vonatkoztatott elemi impulzusok keresztmetszeti eloszlásának diszperziós tényezője; oka a keresztmetszetmenti sebességváltozás. A mozgásmennyiség megváltozását okozó erőhatások: a vízugrástest kezdeti és záró szelvényében hatóP1 és P2 hidrodinamikai nyomóerők, a

folyadéktest G súlyával azonos P0 felületi erő, valamint a vízugrástest külső felületén, a fenéken ható T súrlódási erő. (Az i = 0 fenékesés miatt a G vízszintes vetülete zérus, a T súrlódási erő pedig elhanyagolhatóan kicsi a totális impulzuserőkhöz képest. Ezért G≈P0, és így a két keresztmetszetben ható hidrodinamikai nyomóerők különbsége: P1 − P2 = ρ ⋅ g ⋅ hs1 ⋅ A1 − ρ ⋅ g ⋅ hs 2 ⋅ A2 = ρ ⋅ g ⋅ (s1 ⋅ A1 − hs 2 ⋅ A2 ) ahol hs a megfelelő szelvény súlypontjának a vízszinttől mért mélysége. Mivel a két mennyiségnek egyenlőnek kell lennie, és feltételezve, hogy α1=α2=α=1,0: ρ ⋅ Q ⋅ (v 2 − v1 ) = ρ ⋅ g ⋅ (hs1 ⋅ A1 − hs 2 ⋅ A2 ) Q2 Q2 = ρ ⋅ g ⋅ hs 2 ⋅ A2 + g ⋅ A1 g ⋅ A2 ahol az egyenlet két oldalán a szelvényekben uralkodó totális impulzus erők összege szerepel, amely két részből áll: - a hidrodinamikai nyomásból: ρ ⋅ g ⋅ hs ⋅ A és ρ ⋅ g ⋅ hs1

⋅ A1 + - az impulzusból származó erőkből: ρ ⋅ Q ⋅ v = ρ ⋅Q2 g⋅A E két erő összegét a hidraulikában támaszerőnek nevezik A két vizsgált szelvényben uralkodó támaszerők értéke egymással egyenlő, ami természetes, hiszen ellenkező esetben nem is lehetne egy adott helyen kialakult „stabil” vízugrásról beszélni. ρ ⋅Q2 A támaszerő függvény: S (h ) = ρ ⋅ g ⋅ hs ⋅ A + összefüggését vizsgálva jellemezni A lehet annak vízmélység szerinti változását. Megállapítható, hogy ha: h0 akkor S ( h) ∞ h∞ akkor S ( h) ∞ Az S(h) görbének tulajdonképpen két aszimptótája van, melyek közül az egyik a vízszintes tengely, a másik pedig egy parabola egyik ága. dS A támaszerő függvény minimumának helyét a = 0 feltételből lehet megállapítani: dh  Q 2 dA d ( A ⋅ hs )  dS  = ρ ⋅ g ⋅  ⋅ + dh dh   g ⋅ A dh Mivel dA  A dh  = B , valamint d ( A ⋅ hs ) = A dh + d   , a

másodrendűen kicsi tagot el lehet dh  2  hanyagolni:  Q2 • B  d ( A ⋅ hs ) dS  = 0 , ami a = A ⋅ ρ ⋅ g ⋅ 1 − ≅ A . Ezekből következik: dh dh g ⋅ A 3   - 91 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév 1− Q2 • B = 0 esetén lehetséges. Az Smin ezen értékéhez tartozó kritikus szelvényjellemzőket g ⋅ A3 Q 2 Bkr ⋅ = 0 . Ebből az következik, hogy a támaszerő minimális g Akr3 értéke a kritikus mélységnél áll elő. kr index-szel jelölve: 1 − A vízugrás összetartozó mélységei szabályos medrek esetén 1, derékszögű négyszög szelvényű meder: Az A = B ⋅ h hs = 0,5 ⋅ h ρ ⋅ g = 0 és B = 1 feltételezésekkel felírva a támaszerők azonosságát, amely egy szimmetrikus másodfokú egyenletté alakítható: h2 h2 Q2 Q2 + 1 = + 2 2 g ⋅ h2 g ⋅ h1 2 1 1 ⋅  −   h2 h1  2 (h1 − h2 ) ⋅ (h1 + h2 ) = 2 ⋅ Q ⋅ h1 − h2 h2 ⋅ h1 g h12 −

h22 Q 2 = 2 g 2 ⋅Q2 =0 g ahol Q most az 1 fm szélességre vonatkozó vízhozam. Az egyenlet mindkét h értékre másodfokú, belőlük a vízugrás összetartozó mélységei kifejezhetők: h1 ⋅ h22 + h2 ⋅ h12 − 2 2 ⋅ Q 2 h1 h  h2 =  1  + − 2 g ⋅ h1 2 2 2 ⋅ Q 2 h2  h2  h1 =   + − 2 g ⋅ h2  2 - 92 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév 17. Ismertesse a kis-és nagyméretű nyíláson kifolyó vízhozamok, a zsiliptábla alatti átfolyás számítási módszereit, az oldalnyíláson kilépő vízsugár-pálya alakjának számítását, a mérőbukók, mérőcsatornák típusait és számításukat. Kifolyás kisméretű nyíláson keresztül Vízzel tötltött edény oldalán vagy fenekén a vízfelszín alatt H mélységben a felszínhez képest kis méretű, ill. kis magasságú nyílás van, amelyen keresztül a H magaságú vízoszlop nyomására folyik ki a víz. Közvetlenül a nyílás

szelvényében az áramvonalak még összetartók és csak egy bizonyos távolságban, a 2-2 szelvényben válnak közelítőleg párhuzamossá. Ugyancsak párhuzamosak az áramvonalak a vízfelszín 1-1 szelvényében. Erre a két szelvényre felírható a Bernoulli-egyenlet, melyhez alapsíkul a 2-2 szelvény közepén átmenő x-x síkot kell P P v2 v2 választani: H + 0 + 1 = 0 + 0 + 2 + hv1− 2 , ahol a v1 a vízfelszín közepes ρ ⋅ g 2⋅ g ρ ⋅ g 2⋅ g süllyedési sebessége, P0 a légköri nyomás (ami nemcsak a vízfelszínen, hanem a szabad sugárban is uralkodik), hv1-2 a fajlagos energiaveszteség, amelyet a vízrészecskék főként a nyílás ellenállása következtében szenvednek. Ez a veszteség a sebesség négyzetével arányos és szokás szerint egy veszteségtényező és egy sebességmagasság szorzataként határozható  v2  v2 1 . Az egyenlet v2-re megoldva: v 2 = ⋅ 2 ⋅ g ⋅  H + 1  . Mivel 2⋅ g  2⋅ g 1+ ξ  1 az

edény keresztmetszete a nyíláséhoz képest nagy v1≈0, így v 2 = ⋅ 2⋅ g ⋅ H . 1+ ξ 1 Az értéket sebességtényezőnek nevezik, jel: φ értéke 0,950,99 között változik, 1−ξ meg: hv1− 2 = ξ ⋅ tehát a v 2 = ϕ ⋅ 2 ⋅ g ⋅ H ≅ 2 ⋅ g ⋅ H , ami szerint a kifolyó víz sebessége csaknem akkora, mintha H magasságból szabadon esett volna. A 2-2 szelvény a nyílás keresztmetszetéhez képest szűkebb, össze van húzódva, ezt nevezik kontrahált szelvénynek. Ha a kifolyó nyílás területe A2 a kontrahált szelvényé AC = Ψ ⋅ A2 , ahol Ψ a kontrakciós (összehúzódási) tényező A nyíláson kifolyó vízhozam: Q = AC ⋅ v = Ψ ⋅ A2 ⋅ ϕ ⋅ 2 ⋅ g ⋅ H = µ ⋅ A2 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ H ahol µ = Ψ ⋅ ϕ az un. vízhozamtényező, melynek értéke függ a nyílás alakjától, és értékei a H nyomómagasság függvényében táblázatban találhatóak. Az utánpótlás nélküli teljes kiürülési idő a levezetés nélkül: 2 ⋅

A1 2 ⋅ A1 ⋅ H 2 ⋅V ⋅ H = = T= µ ⋅ A2 ⋅ 2 ⋅ g µ ⋅ A2 ⋅ 2 ⋅ g ⋅ H QMAX ahol V az edény térfogata, és Qmax a nyíláson átfolyt maximális vízhozam a leürítés kezdetekor (μ = állandó) - 93 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Kifolyás nagyméretű nyíláson keresztül Ha a nyílás az edény fenekén van és nem túlságosan nagy az edény szélességéhez és mélységéhez képest, a számítás hasonló a kisméretű nyíláséhoz, azzal a különbséggel, hogy a vízutánpótlás v1 sebessége már nem hanyagolható el. Amennyiben a nyílás magassági mérete az edény oldalán jelentős, a h1 vízborítás 10%-ánál nagyobb, figyelembe kell venni, hogy a kiömlőnyílás különböző mélységben levő sávjaiban a víz kiömlési sebessége különböző. Első esetben tételezzük fel, hogy nincs kontrahálódás, nincs kilépési veszteség. Ekkor a h mélységben levő dh vastagságú x = x(h) szélességű

sávon:  v2  dQ = x(h) ⋅ 2 ⋅ g  h + 1  dh 2⋅ g   (A tartály keresztmetszetét ∞-nek véve a v1 = 0) h2 A nyíláson kifolyó teljes vízhozam: Q = ∫ µ ⋅ x(h) ⋅ 2 ⋅ g ⋅ h dh h1 Téglalap alakú nyílás esetében, vagyis ha x(h) = b = állandó: h2 h2 Q = µ ⋅b∫ h1  3  h 2  3 2  3  2 ⋅ g ⋅ h dh = µ ⋅ b ⋅ 2 ⋅ g   = ⋅ µ ⋅ b ⋅ 2 ⋅ g  h2 2 − h1 2  3   3    2  h1 Ha a vízfelszín nem tekinthető ∞-nek, és vízutánpótlás nincs, a vízfelszín v1 = Q A1 sebességgel süllyed. Ennek alapján a nyíláson átfolyó vízhozam: 3 3  2 2  2   2 v v 2 1 2  −  h1 +   Q = µ ⋅ b ⋅ 2 ⋅ g ⋅  h2 +  3 2 ⋅ g  2 ⋅ g      Szabadon kifolyó vékony sugár pályája x A hajítás kezdőpontjában felvett koordináta rendszer y tengelye lefelé mutat, az x tengely pedig a hajítás y

kezdőpontjában a sebességvektorra illeszkedik, így a pálya egyenletrendszere: t2 x = v ⋅t és x= g⋅ 2 t – idő; g – nehézségi gyorsulás A t kiküszöbölésével parabola explicit x egyenlete kapható meg, ennek metszéspontja bárhol a felülettel meghatározható. y - 94 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Zsiliptábla alatti kifolyás A zsiliptábla alatti kifolyásnak igen sok változata van. A zsiliptábla alól kifutó vízsugár kezdetben kontrahálódik, majd attól függően, hogy az alvíz hogyan befolyásolja, halad tovább. Szabad kifolyás során a tábla alatt rohanó állapot alakul ki, az alvíz energiaviszonyai a felvízre nem hatnak vissza, így a vízhozam alakulásában nincs szerepük A tábla kiemelésével kapott a magasság az átfolyás legkisebb, un. kontrahált szelvénye hC Az energiaegyenletből kiinduló levezetés eredményeként kapott egyszerűsített vízhozam összefüggés: Q = µ ⋅ a ⋅ b ⋅ 2 ⋅

g ⋅ E0 − h µ = Ψ ⋅ϕ E0 = H + v2 2⋅ g Az alulról befolyásolás egy az elsősorban alvízi vízmélységtől és a kontrahált szelvényben kialakuló mélységtől függő hZ helyettesítő mélységgel vehető figyelembe: Q = µ ⋅ a ⋅ b ⋅ 2 ⋅ g ⋅ E 0 − hZ M M  hZ = ha2 + M ⋅  E 0 −  + 4  4  h − hc M = 4 ⋅ µ 2 ⋅ a2 ⋅ a ha ⋅ hc A kontrahált mélység fokozatos közelítéssel történő meghatározására az ismert Koch – Q görbe egyenlet alkalmas: = ϕ ⋅ hC ⋅ 2 ⋅ g ⋅ (E 0 − hC ) alakban. b A szükséges utófenék hossz becsléséhez a kontrahált szelvény és a fedőhengeres szakasz kezdő mélysége közötti duzzasztási szakaszra a Mosonyi-féle összefüggés használható: 13 13 4  4  3 1 ⋅  h1 3 − hC 3  − ⋅  h 3 − hC 3  LD = 2 2  1  13 ⋅ q   4 ⋅ n M ⋅ g  nM – a Manning-féle érdességi tényező - 95 - Szigorlati tételek

HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Poncelet Venturi csatorna Parshall - csatorna - 96 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév 1. VIZHOZAM- ill ÁTBUKÁSI TÉNYEZŐK, SZABAD ÁTBUKÁS 1.1 Éles szélű bukók 1.11 Oldalkontrakció nélkül 2 H Rehbock: µ = m = 0 .407 + 0 053 3 M Bazin: ha 2 0 .003     H  µ = m =  0 .405 +  1 + 0 .55     H + M 3 H   2 H <6 M    ha b < 2 m , M < 113 . m é s H < 1.24 m 1.12 Oldalkontrakcióval: Hégly: 2 2 B − b   2 0 .0027   b  H   . − 0 .03 + µ = m =  0 .405 + 1 0 55        B  H + M   H B  3   1.2 Hidraulikus profilú bukók 1 .79  x  z Gátalak: = 0 .477   Hm  Hm  Pavlovszkij:  2 H  µ = m = 0 .49 0 785 + 0 25  3 Hm    2 H  µ = m = 0 .49 0 88 + 012 .  3 Hm   Knapp: Hm 0.75Hm 0.125Hm H ha

< 0 .8 Hm H ≥ 0 .8 Hm ha  H  2 µ = m = 0 .5217 0 9674 − 0 015  m  0  3 0  M  0.3Hm 0 .9742      32 és  H  2 µ = m = 0 .38491 +  H  3  m 1.3 Lekerekített koronájú bukók 3 .3219 log m0 0 .3849 H Rézsűs hátú: Rehbock: µ = 0 .312 + 0 09 H H2  + 0 .3 − 0 01 5 −   M R ha M > R > 0 .02 m   é s H < R 6 − R 20R   M + 3R  Függőleges hátú: Kramer:  R 1.015 H  µ = 1.02 − + 0 .04  + 019 .  + 0 0223  R  H  M + 2 .08  R M H 2 ha M > R R M 2R  H   2R  −0 .05 1.4 Éles szélű körbukók: itt b = 2Rπ, Lazzari : µ = 0 544  - 97 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév 18. Ismertesse a sík-és süllyesztett utófenék méretezési módszerét (gáttestről lebukó, valamint zsiliptábla alatt átfolyó vízhozam, szabad fedőhengeres

vízugrás, utófenék hossz-ill. süllyesztés mértékének számítása) - 98 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév 19. Ismertesse a szemcsés közegben lejátszódó kétfázisú vízmozgások törvényszerűségeit, Darcy-törvényét, kutak, kútcsoportok, galériák, partiszűrésű kutak számítási módszereit, valamint a gáttest alatti szivárgás hozamának, vizet szállító csatornák veszteségének, lecsapoló hálózatok vízhozamának számítását. A szivárgó mozgással kapcsolatos feladatok megoldásának jelentősége a vizet szállító földcsatornák vízvesztesége, gáttesten átszivárgó vízhozam számításában, vízbeszerző létesítmények, kutak, kútcsoportok, galériák vízadó képességének, az alagcsövezés jellemzőinek meghatározásában fogalmazható meg. A viszkózus folyadék szemcsés talajokban lezajló potenciálos áramlása, a szivárgó vízmozgás felsorolt gyakorlati feladatainak megoldására a

Darcy-törvény alkalmas. Talajvíztér jellemzői: Kétfázisú áramlási tér Mozgást meghatározó erők a gravitáció és a súrlódás Homogén szivárgási tér, szemcsés üledék Izotróp tulajdonságok Rétegvíztérben az előbbiekhez a rétegnyomás, mint mozgást meghatározó hatás társul. Fontosabb tulajdonságok: D50% - jellemző szemátmérő D10% = Dm (Hazen – féle mértékadó szemátmérő D Egyenlőtlenségi együttható U = 60% D10% V − Vtömör ∗ 100% V Hézagtérfogat n% = Hézagtényező Hézagtérfogat Szilárdtérfogat Víztartalom w% = Folyási határ Plasztikus határ Plasztikus index F% P% Pi = F – P Gnedves − G száraz ∗ 100% G száraz A talaj vízgazdálkodási tulajdonságok jellemzői (VK, HOV, DV), valamint a higroszkóposság (Hy). Vízmozgást befolyásoló erők Aktív erőként a gravitáció említendő, mely jellemző tömegerő (az anyag tömegegységére hat) G = m ⋅ g = V ⋅ ρ ⋅ g ahol V a térfogat és ρ a

sűrűség. A passzív erő a tehetetlenségi erő, a gravitációhoz hasonlóan tömegerő, tehát tömegnek és egy gyorsulásnak/lassulásnak a szorzata, és ellentétes értelmű a kiváltó sebességváltozással. dv T = −m ⋅ a = −m dt - 99 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A belső súrlódás a viszkózus folyadék áramlásakor fellépő fékező felületi erő, amely az egymás mellett haladó vízrészek relatív elmozdulását gátolja. Iránya az áramlás irányával megegyező, értelme azzal ellentétes. A valóságos folyadékmolekulák dipólusok, a molekulában a pozitív és negatív töltések aszimmetriája miatt két pólus keletkezik. A molekulák ennek megfelelően rendeződnek, egymásra elektrosztatikus vonzást gyakorolnak és az egymáshoz viszonyított elmozdulást gátolni igyekeznek (Newton-féle folyadék). A kapilláris erő a folyadék molekuláris szerkezetéből következő felületi feszültséggel

összefüggésben a talajt alkotó szemcsék közötti hézagokban, járatokban jelenik meg. Szemcsék felületén fellépő erők Mivel a folyadékot határoló fal, esetünkben a talajszemcséket alkotó molekulák is elektrosztatikus tulajdonságokat mutatnak, a közeli vízmolekulákkal alkotott kölcsönhatásuk egyfajta többletsúrlódást, tapadást eredményez, amely a távolsággal fordítottan arányos. A Darcy-féle kísérlet Darcy tapasztalati úton jutott el a hidraulikának egyik legáltalánosabban ismert és leggyakrabban alkalmazott összefüggéséhez, melyet homokszűrők mért szivárgási ellenállás értékeiből alkotott és publikált 1856-ban. Lényege, hogy a szivárgási sebesség - a Q ∆h Q d L vízhozamok és a teljes keresztmetszeti felületnek a hányadosa és az esés, azaz a mozgást létrehozó vízszint különbségnek és a szivárgási úthossznak a hányadosa között egyenes arányosság mérhető. d 2 ⋅π Q ∆h ahol és A = v = =

k⋅I I= 4 A L A k arányossági tényező, az ún. szivárgási tényező vagy vízáteresztő képességi együttható, DARCY vizsgálata szerint független a sebességtől és az eséstől, az áramlási tér (szemszerkezet) és a folyadéktulajdonságok által meghatározott. Q v A tényleges sebesség veff = veff = A⋅n n - 100 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A Darcy-törvény alkalmazhatósága jól lehatárolható, jellemzője, hogy a mozgást akadályozó erők mindegyike elhanyagolható a súrlódáshoz viszonyítva. Ez elsősorban a felületi erők és a kapilláris tartomány kizárását jelenti és sebességi, valamint szemcseméret értelemben alsó határnak tekinthető. Felső sebesség és szemcseméret határként a turbulencia megjelenése értelmezhető, ahol a veszteség-sebesség kapcsolat már eltér a lineáristól. A gyakorlatban megoldandó szivárgási feladatok többsége ebbe a lamináris szivárgási típusba

sorolható. Határok Alsó határ: a felületi hatások dominánssá válása (d ≅ 0,5 µ ) v ⋅ d10% Felső határ: turbulencia jelentkezése Re <= 1 – 5 Re = ν (A turbulens tartományban v = 12 ⋅ D10% ⋅I ) A Darcy-féle kísérletben permanens állapot állt elő, az eredmények mégis jól használhatóak a jellemzően nem permanens szivárgási jelenségek leírására, tekintettel a lassú állapotváltozásokból következően a mozgásegyenletben kis értékű tehetetlenségi tagra. Kétdimenziós áramlás (szivárgás) jellemzése, a függőleges falakkal határolt földtest szivárgási vizsgálata Pl. talajvíztér megcsapolása galériával Dupuit-féle feltételezés: a sebesség egy függőleges mentén azonos értékű, az áramvonalak egymással párhuzamosak, a be és kilépési felületek az áramvonalra merőlegesek. 0 , 622 Talajvíztér vizsgálata A fajlagos vízhozam dy dx Az integrálást elvégezve x = 0 és y = H1 esetén q = F ⋅v = y ⋅ k

⋅ IF = y ⋅ k ⋅ Vízfelszín egyenlete q 2 y = H1 + 2 ⋅ ⋅ x k Behelyettesítve x = L és y = H2 értékeket 2 2 H 2 − H1 q=k⋅ 2⋅ L 0 , 54 Rétegvíztér vizsgálata q = F ⋅v = y ⋅ k ⋅ IP = m⋅ k ⋅ dy dx Nyomásvonal egyenlete L q y = H1 + ⋅ ⋅ x m k q = k ⋅m⋅ H 2 − H1 L - 101 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Teljes talajvízkút vízadóképessége Vízellátási célú, tartós vízkitermelésre létesített, az első vízzáró rétegen álló és a nyugalmi tv. szintig szűrőzött kútból kitermelhető hozam meghatározása során alkalmazzuk a már említett Dupuit-féle közelítéseket. Az ábrán bemutatott módon létesített kútban a megépítés után kialakul a nyugalmi talajvízszint (H), amely a tartós vízkitermelés hatására a leszívással (s) csökken és h értéken stabilizálódik. A kút körüli, homogén k szivárgási tényezőjű talajtérben minden irányból (körszimmetrikusan)

megindul a kút felé áramlás. Permanens állapotban a Dupuit-féle feltételezés szerint a kúttól x távolságban elhelyezkedő A = 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ π felületű hengerpalást dy dy minden pontján azonos k ⋅ sebesség alakul ki. v = k ⋅ I = k ⋅ és Q = A⋅v dx dx Behelyettesítés, a változók szétválasztása és integrálás után: dy Q = 2 ⋅π ⋅ k ⋅ x ⋅ y ⋅ dx dx Q⋅ = 2 ⋅ π ⋅ k ⋅ y ⋅ dy x , amelyből a vízhozam kifejezhető. Q ⋅ ln( x ) = π ⋅ k ⋅ y 2 + C Q= π ⋅ k ⋅ y2 + C ln ( x ) A vízhozam számításához az integrálási állandó és az (x,y) értékpár ismeretére van szükség. Az ábrán felismerhető a leszívási tölcsér metszetének két ismert pontja Közvetlenül a kút mellett x = r helyen y = h, továbbá ahol a leszívás belesimul a nyugalmi talajvízszintbe x = R helyen y = H. Felhasználva az értékeket: egyenleteket kapjuk. Q ⋅ ln (R ) = π ⋅ k ⋅ H 2 + C és Q ⋅ ln(r ) = π ⋅ k ⋅ h 2 + C A

két egyenletet egymásból kivonva és átrendezve jutunk a végeredményre. Q ⋅ ln (R ) − Q ⋅ ln (r ) = π ⋅ k ⋅ H 2 − π ⋅ k ⋅ h 2 Q= - 102 - π ⋅ k ⋅ (H 2 − h 2 ) R ln  r Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév A fenti, Dupuit-féle levezetés a gyakorlatban csak a vízhozam számítására használható, mivel a kút vízfelszín és a hozzászivárgás felszíngörbéje nem csatlakozhat közvetlenül egymáshoz. A felszíngörbe a kútvízszint felett metsz ki, bekövetkezik az un vízszálszakadás jelensége, szabad kiszivárgási felület is létrejön. Ebből következően a leszívási tölcsér metszet (depressziós görbe) meghatározásában is hiba keletkezik. A Dupuit-féle összefüggés alkalmazását a tartósan kitermelhető vízhozam meghatározására, mint jellemző eljárást, az alábbiakban bemutatjuk. A módszer a Dupuit-féle kútvízállás-vízhozam összefüggés alkalmazása az adott

szemszerkezet szerint megengedhető kritikus sebesség figyelembe vételével. A kritikus szivárgási sebesség ebben az értelmezésben a réteg vázszerkezetét megbontó, rétegroskadást, hidraulikus talajtörést előidéző sebességet jelent. Meghatározására Sichardt 1928-ban adott egyszerű, a gyakorlatban elterjedt összefüggést. k m v krit = k −  15  s Ennél a sebességnél a szemszerkezetet alkotó finomabb, a nagyobb szemcsék közötti hézagokon átjutni képes szemcsék már megindulnak, de a réteg vázszerkezete nem bomlik meg. Fentiek alapján a kútban kialakítható leszívásnak és ezzel a kitermelhető vízhozamnak határt szab a kútpalást vonalában megengedhető sebesség. Az ebből következő Qbe π ⋅ k ⋅ H 2 − h2 k vbe = ≤ v krit = sebesség egyenlet, illetve = 2 ⋅ r ⋅π ⋅ h 15 R ln  ⋅ 2 ⋅ r ⋅ π ⋅ h r ( Qbe = π ⋅ k ⋅ (H 2 − h 2 ) ) ≤ Qkrit = k ⋅ 2 ⋅ r ⋅π ⋅ h 15

vízhozam egyenlet. R ln  r Alkalmazzuk továbbá a kút R távolhatásának (leszívási tölcsér sugara) meghatározására Sichardt összefüggését: R = 3000 ⋅ s ⋅ k Az összefüggések grafikus megoldását a következő ábrán mutatjuk be. Az üzemszerűen kitermelhető vízhozam (Qtartós) az így kapott érték mintegy 75 – 80%-a. Teljes talajvízkút hidraulikai jellemzői a kútvízállás (h) függvényében Kútvízállás (m) 16 H = 15 m k = 10-4 m/s r = 0,1 m vkr= 0,000667 m/s Qkr=Qbe = 4,61 l/s) Qtartós = 3,46 l/s htartós = 12,28 m Qkr 14 ht =12,28 m 12 hkr =11 m 10 Qbe vbe 8 vkr 6 4 2 Qt = 3,46 l/s) Qkr = 4,61 l/s) 0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 Vízhozam (l/s) - Belépési sebesség (x 0,001 m/s) - 103 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Teljes rétegvízkút vízadóképessége A kút a vízzáró réteggel fedett m vastagságú vízadó rétegben szűrőzött, az

előzőekben bemutatott feltételezésekkel élve a kúttól x távolságban elhelyezkedő A = 2 ⋅ x ⋅ π ⋅ m felületű dy dy hengerpalást minden pontján azonos k ⋅ sebesség alakul ki: v = k ⋅ I = k ⋅ és Q = A ⋅ v dx dx Behelyettesítés, a változók szétválasztása és integrálás után: dx dy Q⋅ = 2 ⋅ π ⋅ k ⋅ m ⋅ dy Q = 2 ⋅π ⋅ k ⋅ x ⋅ m ⋅ Q ⋅ ln ( x ) = 2 ⋅ π ⋅ k ⋅ m ⋅ y + C x dx alakot kapjuk, amelyből a vízhozam kifejezhető. Az ábrán felismerhető a leszívási tölcsér metszetének két ismert pontja. Közvetlenül a kút mellett x = r helyen y = h, továbbá ahol a leszívás belesimul a nyugalmi talajvízszintbe x = R helyen y = H. Felhasználva az értékeket: és Q ⋅ ln (R ) = 2 ⋅ π ⋅ m ⋅ k ⋅ H + C Q ⋅ ln (r ) = 2 ⋅ π ⋅ m ⋅ k ⋅ h + C A két egyenletet egymásból kivonva, majd átrendezés után jutunk a végeredményre. Q ⋅ ln (R ) − Q ⋅ ln (r ) = 2 ⋅ π ⋅ m ⋅ k ⋅ H − 2 ⋅ π

⋅ m ⋅ k ⋅ h 2 ⋅ π ⋅ m ⋅ k ⋅ (H − h ) Q= R ln  r A kútban kialakítható leszívásnak és ezzel a kitermelhető vízhozamnak itt is határt szab a kútpalást vonalában megengedhető sebesség. Ebből következik a Qbe 2 ⋅ π ⋅ m ⋅ k ⋅ (H − h ) k sebesség egyenlet, illetve vbe = ≤ v krit = = 2 ⋅ r ⋅π ⋅ m 15 R ln  ⋅ 2 ⋅ r ⋅ π ⋅ m r 2 ⋅ π ⋅ m ⋅ k ⋅ (H − h ) k ≤ Qkrit = ⋅ 2 ⋅ r ⋅π ⋅ m vízhozam egyenlet. 15 R ln  r Az összefüggések grafikus megoldását a következő ábrán mutatjuk be. Az üzemszerűen kitermelhető vízhozam (Qtartós) az így kapott érték mintegy 75 – 80%-a. Qbe = Teljes talajvízkút hidraulikai jellemzői a kútvízállás (h) függvényében Kútvízállás (m) 16 H = 15 m m=5m v1 = 4 m Qkr 14 12 k = 10-4 m/s r = 0,15 m vkr= 0,000667 m/s Qkr=Qbe = 3,14 l/s hkr = 7,71 m Qtartós = 2,36 l/s htartós = 9,78 m vkr 10 ht =9,78 m 8 hkr

=7,71 m 6 Qbe vbe 4 2 Qt = 2,36 l/s) Qkr = 3,14 l/s) 0 0,0 - 104 - 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 Vízhozam (l/s) - Belépési sebesség (x 0,001 m/s) 6,0 7,0 8,0 Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Vízgyűjtő galéria vízhozama Vízgyűjtő galériánál, tekintettel annak hosszú voltára, sík áramlást kell feltételezni. A galéria esetében is a Dupuit-féle feltevésből kell kiindulni a vízhozam közelítő számításánál. Az alapegyenlet az egy oldalon beömlő q fajlagos vízhozamra: dz q = A⋅v = z ⋅k ⋅ dx A változókat szétválasztva és integrálva: z2 q ⋅ dx = k ⋅ z ⋅ dz qx = k ⋅ +C 2 Az ábrán felismerhető a leszívási tölcsér metszetének két ismert pontja. Közvetlenül a kút mellett x = 0 helyen y = h, továbbá ahol a leszívás belesimul a nyugalmi talajvízszintbe x = R helyen y = H. Felhasználva az értékeket: H2 q⋅R = k ⋅ +C 2 y2 0=k⋅ +C 2 A két egyenletet egymásból kivonva kapható meg a

galéria egy oldalon befolyó fajlagos k vízhozam képlete: q= ⋅ (H 2 − y 2 ) 2⋅ R A galéria hosszúságát L-lel jelölve a kétoldali teljes befolyó vízhozam: L⋅k Q= ⋅ (H 2 − y 2 ) R - 105 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Földmedrű csatornák szivárgási vesztesége Földmedrű csatornák a vízáteresztő talajtesten keresztül kapcsolatban vannak a környező talajvizekkel. A kialakuló ex –és infiltráció a mind a szállított vízkészlet vesztése, mind a vízhozam terhelés növekedése miatt jelentős kérdés. Az alábbiakban az MI-10 165/1:1989 műszaki irányelv alapján bemutatjuk az exfiltráció számítását. A szivárgási veszteség időben változó folyamat, jellemzően a csatorna új állapotától kezdődően a kolmatáció hatására csökken, majd néhány év után állandósul. Az alábbi eljárás ezt a lecsökkent értéket adja meg, az alábbi ábrán bemutatott jelölések szerinti

értelmezésben. C⋅ h⋅K ⋅L Qsz = 1000 Qsz: szivárgási veszteség m3/s H: a vízmélység, m K: nedvesített kerület, m L: csatorna szakasz hossza, km C: arányossági tényező Amennyiben a csatorna szelvényében többfajta talajtípus is van, a C értékét súlyozott középértékként kell számítani. Ha a csatorna szelvényének egy része a talajvízszint alá kerül, az összefüggés alkalmazásánál csak a közepes talajvízszint feletti szelvényterület adataival kell számolni. A C arányossági tényező értéke talaj minőség, szemszerkezet függő Rézsűs gáttestben kialakuló szivárgás vizsgálata A homogén gáttest vízzáró alaprétegen helyezkedik el, a szivárgás felszíngörbéjét helyettesítő egyenlete, Casagrande eljárása szerint: 2 y 2 + y0 ahol y0 a rézsűlábat és a vízvonalat összekötő sugár ( R ) és annak x= 2 ⋅ y0 vízszintes vetülete (d) közötti különbség: y 0 = h2 + d 2 − d A mentett oldali kilépés

jellemzőit meghatározó értékek y0 ∆A és valamint C1 = l1 = A ⋅ sin α A + ∆A = A + ∆A 1 − cos α C1 értékei az α függvényében: 2 α C1 - 106 - 20° 0,4 30° 0,37 60° 0,32 L = d − l1 90° 0,26 Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév Az átszivárgó hozam fajlagos, hosszegységre jutó értékének meghatározására Kozeny adott kiegészítő összefüggést: h + h1 q = 0,455 ⋅ 2 k ⋅ h1 L h2 = 6 m h=7m ρ1 = 3 ρ2 =2 Rézsüs gáttestben kialakuló szivárgás vizsgálata k=6m d = 28,4 m h1 = 1,67 m m = 18 m q = 8,34 l/s/km 8 7 6 5 4 3 2 1 0 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 -5 - 107 - Szigorlati tételek HIDRAULIKA tantárgyból 2004/2005 tanév 20. Ismertesse a görgetett és lebegtetett hordalék fogalmát, a hordalékmozgást meghatározó tényezőket. A hordalékmozgató erő, kritikus sebesség, hordalékhozam - 108 -