Mathematics | Discrete mathematics » A vektoranalízis alapjai

Vektoranalízis Alapjai 2007. Tartalomjegyzék 1 Felületek 1.1 1.2 1.3 Felületek megadása . 2 Felületi görbék, érint®vektorok, vektormez®k . 5 Érint®leképezés . 10 2 Dieren iálformák felületeken 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Alternáló multilineáris leképezések . Dieren iálformák . Függvények küls® derivátja . Dieren iálformák lokális leírása koordinátázás segítségével . Formák "visszahúzása" . Küls® deriválás . Gradiens, rotá ió, divergen ia . Gradiens, rotá ió, divergen ia kap solata a küls® deriválással. 3 Integrálás felületeken 3.1 3.2 3.3 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 14 15 15 17 18 19 19 21 Vonalintegrál .

22 Integrálás R3 2-dimenziós felületén . 22 Stokes-tétel és következményei . 23 1 FELÜLETEK 2 1. Felületek 1.1 Felületek megadása Felületek megadása paraméterezéssel A legegyszer¶bb, mindenki által jól ismert 2-dimenziós felület nem más, mint a sík (R2), vagy ennek valamilyen nyílt részhalmaza. Ennek a "felületnek" minden pontját le tudjuk írni 2 koordinátával. Természetesen ismerünk további felületeket is, mint például a gömbfelületet, hengerfelületet, tóruszt, stb. Ezek is 2-dimenziós felületek, de ezeket mint a 3-dimenziós tér részhalmazaiként ábrázolhatjuk. Ebben a térben egy pont leírásához 3 koordinátára van szükségünk. Igaziból a felület pontjainak leírásához azonban ezekben a példákban is elegend® 2 koordinátát használni. Persze ekkor a két koordinátán túl szükségünk van egy leképezésre is, amelyik megmondja, hogy a két koordinátához

(paraméterhez) tartozó felüleleti pont igazából hol is van a térben. Ezt a leképezést paraméterezésnek, inverzét pedig koordinátázásnak nevezzük. Ilyenkor azt is mondjuk, hogy megadtuk az M felület egy térképét A térképekt®l megköveteljük, hogy bijektív leképezések legyenek (azaz ne fordulhasson el® az, hogy egy "város" ugyanazon a térképlapon kétszer szerepeljen.) ϕ x3 P t2 M x2 t1 x1 1. ábra Egy U tartományon paraméterezett felületdarab Az 1.1 ábrán a paramétereket t1-gyel és t2-vel jelöltük, és ϕ jelöli azt a leképezést, amelyik meghatározza, hogy a térben hol van a (t1, t2) paramétereknek megfelel® P pont. Van olyan felület, amelyik nem írható le egy térkép segítségével. Ilyenkor több térképet is alkalmazhatunk úgy, hogy ezek együtt az egész felületet lefedjék. Az ilyen térképeknek a rendszerét atlasznak nevezzük. Az atlasz különböz® "lapjain" tehát térképek vannak. Ha egy

területr®l több térkép is van az atlaszunkban, akkor megkívánjuk azt is, hogy az egyikr®l a másikra való áttérés sima legyen, azaz az áttérés legyen dieren iálható leképezés. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a térképek egymáshoz jól kap solódnak, azaz kompatibilisek. Felületek Draft  2007 3 Természetesen nem sak 2-dimenziós felületeket vizsgálhatunk, hanem általánosságban beszélhetünk k-dimenziós felületekr®l, ahol k = 1, 2, 3, . Egy k-dimenziós felület annyiban tér el a 2-dimenziós modellünkt®l, hogy k-dimenziós térképeket használunk. Itt egy pont leírásához nem kett®, hanem k darab paraméterre van szükségünk. A paraméterezéshez tartozó leképezés pedig megmondja, hogy a k darab paraméterhez tartozó felüleleti pont hol helyezkedik el a térben. Így kapjuk a k-dimenziós térképet, ezekb®l pedig a k-dimenziós atlaszt. Spe iálisan az 1-dimenziós felületeket görbéknek, 2-dimenziós felületeket egyszer¶en

felületeknek, a 3-dimenziós felületeket testeknek, és az n-dimenziós térben az n − 1 dimenziós felületeket hiperfelületeknek is nevezzük. Példák 1. Közönséges savarvonal: Legyen a paraméterezés megadva a ϕ : R R3 leképezéssel, ahol ϕ(t) := (a os t, a sin t, bt). A ϕ parametrizá ió segítségével el®álló görbe  azaz 1-dimenziós felület  a közönséges savarvonal. -6 -4 -2 0 -1 2 -0,5 4 0 0,5 6 -1 2. Körvonal: Legyen U1 := (0, 2π), U2 := (−π, π), és ϕ1(t) = ϕ2(t) = ( os t, sin t) képlettel megadva. Ekkor az {(U1, ϕ1), (U2, ϕ2) egy parametrizá iója az R2 origó középpontú egységkörének. 3. Hengerfelület: Legyen U1 := (0, 2π) × R, U2 := (−π, π) × R, és ϕ1(t, s) = ϕ2(t, s) = ( os t, sin t, s) képlettel megadva. Ekkor az {(U1, ϕ1), (U2, ϕ2) egy (végtelenbe nyúló) 2-dimenziós hengerfelület parametrizá iója. 4. Gömbfelület: h i h i π π Legyen a paraméterezés az U = − 2 , 2 × 0, 2π tartományon

a ϕ(t1, t2) = ( os t1 sin t2, os t1 os t2, sin t1) képlettel megadva. Ekkor a paraméterezett 2dimenziós felület az origó középpontú egységsugarú gömbfelület. -0,5 0 0,5 1 1 x2 (cos t, sin t) t x1 Felületek 5. Draft  2007 4 Tórusz: Legyen a paraméterezés a ϕ(t1, t2) = (a + os t1) os t2, (a + os t1) sin t2, sin t1) képlettel megadva. Ekkor a paraméterezett 2dimenziós felület az origó középpontú tórusz. 6. Gömbtest: A paraméterezés tartománya az h π πi h i U = − , × 0, 2π ×[0, 1] 2 2 és a paraméterezés: ϕ(t1, t2) = (t3 os t1 sin t2, t3 os t1 os t2, t3 sin t1) képlettel megadva. Ekkor a paraméterezett 2dimenziós felület az origó középpontú egységsugarú gömbtest. Felületek megadása impli it formában Felületeket nem sak paraméterezés, hanem egyenletek segítségével is megadhatunk. Jól ismert például, hogy azon (x1, x2) koordinátájú pontok halmaza R2-ben, melyekre az x21 + x22 = 1 teljesül, az origó

középpontú egységkört alkotják. Úgy is fogalmazhatunk, hogy ez a kör az F(x1, x2) = x21 + x22 − 1 képlettel megadott függvény zérushelye Nem ismert tehát itt expli ite az x1 és x2 koordináták paraméterezése, azaz nin s kifejezve az x1 és x2, sak a rájuk vonatkozó öszzefüggés (egyenlet) adott. Általában, ha valamilyen M felületet egyenletek segítségével akarunk felírni, akkor megadunk valamilyen F : Rn Rm függvényt úgy, hogy az M felület Rn-ben az F zérushelyeként legyen meghatározva: M := {x ∈ Rn | F(x) = 0}, (1) azaz pontosan azok az x ∈ Rn pontok tartoznak az M-hez, amelyekre az F(x) = 0 teljesül. Ebben az esetben, akár sak fentebb a kör példájában, nin senek expli ite kifejezve az xi koordináták valamilyen paraméterezés segítségével, hanem az (1) összefüggés határozza meg az M pontjait. Ezért ekkor azt mondjuk, hogy az M felületet impli it formában adtuk meg. Az impli itfüggvény-tétel segítségével belátható a

következ® tétel: Felületek Draft  2007 5 Tétel. 1 Legyen F : Rn Rmfolytonosan dieren iálható függvény. Ha teljesül,  i ∂F hogy bármely x ∈ M esetén a mátrix rangja n−k, akkor az (1) egyenlettel ∂xj x deniált M halmaz egy k-dimenziós felület. Példák. 1. Legyen F : R2 R az F(x, y) := x2 + y2 − 1 képlettel megadott függvény Ekkor az S1 := {(x, y) ∈ R2 | F(x, y) = 0} az R2 origó középpontú egységköre. 2. Legyen F : R3 R az F(x, y, z) := x2 +y2 −1 Az M := {(x, y, z) ∈ R3 | F(x, y, z) = 0} a (végtelenbe nyúló) hengerfelület impli it alakja. 3. Legyen F : R3 R az F(x, y, z) := x2 + y2 + z2 − 1 Az S2 := {(x, y, z) ∈ R3 | F(x, y, z) = 0} az egység sugarú gömbfelület. 1.2 Felületi görbék, érint®vektorok, vektormez®k Ha a tér egy M felületén mozog egy P pont, akkor ennek a pontnak a mozgása során a sebessége nem lehet tetsz®leges irányú. Mindenki számára világos például, hogy ha a pontunk R3-ban az M =

[x1, x2] koordináta síkban valamilyen γ görbe mentén mozog, akkor a sebességvektora a mozgás során ebbe a síkba mutat, azaz x3 irányú komponense zérus. x3 P = γt0 x2 v = γ̇t0 x1 2. ábra Mozgás egy síkgörbe mentén Amennyiben az M felület "görbült", akkor is hasonló a helyezet, azaz a felületen mozgó pont sebességvektor nem lehet tesz®leges irányú. A lehetséges irányok meghatározásához vizsgáljuk meg a felületi görbéket Az M felület egy felületi görbéjének nevezzük a γ : (a, b) Rn görbét, amelyre igaz, hogy minden pontja M-hez tartozik, azaz minden t ∈ (a, b) esetén γ(t) ∈ M. Felületek Draft  2007 6 Megjegyzés. Legyen (U, φ) a p ∈ M pont környezetének a parametrizálása, ahol a p pontnak megfelel® paraméter az x0 = (x10, ., xk0) Ekkor minden 1 ≤ i ≤ k index esetén a γi : (−ǫ, ǫ) M, ahol γi(t) = φ(x0 + tei) = φ(x10 . xi0 + t xk0) (2) egy-egy, a p pontra illeszked® felületi görbét

határoz meg. Ezeket a felületi görbéket a p-re illeszked® paramétervonalaknak nevezzük. Példa: A 2. oldal 11 ábráján a P pontra illeszked® paramétervonalakat (piros) szaggatott vonalak jelzik, illetve a 3 oldalon a henger, gömb és tórusz felületeken a piros görbék a felületek egy-egy pontjára illeszked® paramétervonalait szemléltetik. Dení ió 1 A parametrizált felületi görbék deriváltjaiként el®álló vektorokat a felület érint®vektorainak nevezzük. Egy rögzített p ∈ M pont összes érint®vektora alkotja az M felület p-beli érint®terét, amit TpM-mel jelölünk A TpM terek uniójaként el®álló teret TM-mel jelöljük. Ha tehát γ : (−ε, ε) M egy parametrizált felületi görbe, ahol a 0 paraméternek megfelel® pont a p ∈ M felületi pont, azaz γ(t0) = p, akkor a vp = d dt γ(t) t=0 egy p-beli érint®vektort határoz meg. Természetesen nem szükséges, hogy a görbe a (−ε, ε) intervallumon legyen deniálva, és az

sem szükséges, hogy a felületi pontnak a 0 paraméterérték feleljen meg: ha γ : (a, b) M egy felületi görbe, akkor d a vγ(t0 ) := dt γ(t) a t0 paraméterérték¶ γ(t0) felületi pontban egy érint®vektor. t=t0 Különös jelent®ség¶ek a (2) formulával deniált paramétervonalak deriváltjai, azaz a paramétervonalérint®k. Ezeket a paramétervonalérint®ket a φ parametrizá ió megfelel® par iális deriváltjaként számíthatjuk ki, hiszen d dt γi(t) = t=0 d dt φ(x0 + tei) = t=0 ∂φ (x0). ∂xi Felületek Példa Draft  2007 7 : A hengerfelület. Tekintsük a 3. oldalon példaként adott hengerfelületet, ahol a paraméterezést a ϕ(t1, t2) = ( os t1, sin t1, t2) leképezés adja. Az els® típusú paramétervonalakat (ahol t1 változik de t2 konstans) piros körök, míg a második típusú paramétervonalakat (t2 változik és t1 konstans) kék egyenesek jelzik. A paramétervonalérint® vektorokat piros illetve kék nyilak ábrázolják

annak megfelel®en, hogy melyik típusú paramétervonalnak az érint®vektoráról van szó A paramétervonalérint®k jelent®ségét az adja, hogy a bel®lük képzett ∂φ ∂φ (x0), ., k (x0) 1 ∂x ∂x ⊂ TpM vektorrendszer egy bázis a TpM érint®térben, azaz minden p-beli érint®vektor egyértelm¶en kikombinálható ezek segítségével. Ennek igazolásához tekintsünk egy tetsz®leges γ : (ǫ, ǫ) M felületi görbét, aminek az egyszer¶ség kedvéért a 0 paraméterhez tartozó pontja éppen a p ∈ M, és vizsgáljuk meg, hogy a γ(0) kifejezhet®-e a paramétervonalérint®k segítségével. −1 Mivel φ◦φ az identikus leképezés, azaz ∀ q esetén φ◦φ−1(q) = q, így minden tre γ(t) = φ◦φ−1 ◦γ(t). A t paraméter szerint deriválva a kifejezést és alkalmazva a lán szabályt: γ(0) = d dt (φ ◦ φ−1 ◦ γ)(t) = t=0 n n X X dγi ∂φ i ∂φ (x ) (0) = v (x0) 0 i i ∂x dt ∂x i=1 i=1 ahol tehát a vi konstans

együtthatók a φ−1 ◦ γ paramétertartományba es® görbe i-edik komponensfüggvényének 0-ban vett deriváltjaként határozhatók meg. Tehát TpM-b®l tetsz®leges érint®vektor el®állítható a paramétervonalérint®k lineáris kombiná iójaként és az együtthatók egyértelm¶en meghatározottak. Így ezen vektorrendszer egy lineárisan független generátorrendszer, azaz bázis TpMben. Felületek Draft  2007 8 Példa : Tekintsük a φ(t1, t2) := ( os t1, sin t1, t2) parametrizá ióval megadott hengerfelületet. Egy (t1, t2) paraméterekhez tartozó p = φ(t1, t2) pontban az érint®tér a ∂φ = (− sin t1, os t1, 0), v1 = ∂t1 ∂φ = (0, 0, 1) v2 = ∂t2 v2 v1 p TpM vektorok által generált tér. Konkrétan:  például a (t1, t2) = (0, 0) paramétereknek megfelel® p = (1, 0, 0) felületi pontban v1 = (0, 1, 0) és v2 = (0, 0, 1), és így p pontban az érint®tér:  TpM = (0, a, b) | a, b ∈ R ; (3)  a (t1, t2) = (π/2, 5) paramétereknek

megfelel® p ^ = (0, 1, 5) felületi pontban v1 = (−1, 0, 0) és v2 = (0, 0, 1), és így az érint®tér  Tp^ M = (a, 0, b) | a, b ∈ R . (4) A (3) és (4) összehasonlításából látható, hogy p-ben és p ^ -ben vett érint®terek különböznek. Dení ió 2 Az M felületen adott X leképezést (felületi) vektormez®nek nevezünk, ha az X egy olyan dieren iálható leképezés, melyre minden p ∈ M esetén az Xp a p pont fölötti érint®tér egy vektora: Xp ∈ TpM. Az M vektormez®inek halmazát X(M)-mel jelöljük. Legyen (U, φ) egy parametrizá iója az M felületnek. Ekkor minden x ∈ U paraméterhez tartozó p pontban a paramétervonalérint®k a TpM érint®tér egy bázisát adják Így az Xp ∈ TpM vektorhoz is egyértelm¶en léteznek olyan X1(x), ., Xk(x) együtthatók, melyekkel az Xp vektor kikombinálható Természetesen ezen együtthatók értéke pontról pontra változhat, azaz az együtthatók így az U-n értelmezett függvények. Tehát az X

vektormez® a paraméterezés tartományán felírható, mint X = X1 ∂φ ∂φ + . + Xk k 1 ∂x ∂x Felületek Draft  2007 9 Egy vektormez® pontosan akkor dieren iálható, ha a parametrizá ióra vonatkozó Xi együtthatófüggvényei dieren iálhatóak. Egy konkrét x0 ∈ U paraméterhez tartozó p-ben a vektormez® értékét úgy kell meghatározni, hogy az együtthatók és a vektorok értékét meghatározzuk az x0 helyen, majd vesszük ezek megfelel® kombiná ióját. Példa. A φ(t, s) = ( os t, sin t, s) paraméterezéssel megadott hengerpaláston az X = se os 2t ∂φ ∂φ + s2 os t ∂t ∂s egy vektormez®. A (0, 3) paraméterértékeknek megfelel® p = (1, 0, 3) pontban az Xp vektor: Xp = 5e Megjegyzés : os 0 ∂φ ∂t +32 os 0 (0,3) ∂φ ∂s = 5(0, 1, 0)p + 9(0, 0, 1)p = (0, 5, 9)p (0,3) az alsó indexben a "p" szerepeltetése azt jelzi, hogy a vektor a p pontbeli érint®térnek az eleme. Felületek Draft  2007 10

1.3 Érint®leképezés Legyen M és N két felület. Ha f : M N egy dieren iálható leképezés a két felület között, akkor segítségével az érint®terek között bevezethet® egy un. érint®leképezés vagy derivált leképezés, amit f∗ -gal jelölünk. Ez az f∗ leképezés az M vektoraihoz rendel N-beli vektorokat f M −−− N f ∗ TM −−− TN és a következ®képpen deniált: ha vp egy olyan érint®vektor, mely a γ : (−ǫ, ǫ) M görbe deriváltjaként áll el® (azaz γ(0) = p és γ(0) = vp), akkor f∗ (vp) = d f(γ(t)), dt t=0 vagyis a γ görbét átvisszük az f leképezés segítségével az N felületre, (így az N egy felületi görbéjét kapjuk) és deriváljuk a p-nek megfelel® paraméterérték¶ helyen. f∗ p vp γt f (p) f (γt ) M f∗ vp 3. ábra Felületi vektor képe Megjegyzés. Legyen (U, φ) egy parametrizálása a k-dimenziós M felületnek a p ∈ M pont egy környezetében. Ekkor az U ⊂ Rk maga is tekinthet®

egy k-dimenziós felületnek, és φ : U M egy leképezés a két felület között. Legyen a p-nek megfelel® paraméter az x0. Ha ei,x0 -lal jelöljük az x0-ra illeszked® U-beli t (x0 + tei) "felületi" görbe érint®jét (azaz az Rk kanonikus bázis ei vektorának x0-beli reprezentánsát), akkor a φ érint®leképezésénél ezen vektornak éppen az i-edik paramétervonalérint® felel meg: ∂φ d φ∗ (ei,x0 ) = dt φ(x0 + tei) = i (x0) t=0 ∂x 2 DIFFERENCIÁLFORMÁK FELÜLETEKEN 11 2. Dieren iálformák felületeken 2.1 Alternáló multilineáris leképezések Dení ió 3 Legyen V egy k-dimenziós valós vektortér. Egy ω leképezét alternáló l-lineáris leképezésnek nevezünk, ha ω:V · · × V} −− R | × ·{z l leképezés multilineáris (azaz minden vátozójában lineáris), és l ≥ 2 esetén ha az argumentumában szerepl® két vektorát fel seréljük, akkor az értéke a (−1)szeresére változik: ω(v1, ., vi, vj, , vl) = (−1)

ω(v1, , vj, vi, , vl) Az V -n alternáló l-lineáris leképezések halmazát Λl(V)-vel jelöljük. Alternáló multilineáris leképezések tulajdonságai. 1. Az alternáló tulajdonságból tüstént következik, hogy ha az ω argumentumában ugyanaz a v vektor kétszer szerepel, akkor ω(., v, v, ) = 0 2. Az linearitás és az alternáló tulajdonség miatt igaz, hogy ha az ω ∈ Λl(V) egyik argumentumában olyan vektor szerepel, ami a többi lineáris kombiná iójaként el®áll, akkor az ω értéke ezen vektorokban 0. Ennek igazolásához tegyük fel, hogy például v1 = α2v2 + . + αkvk Ekkor ωp(v1, v2, ., vk) = ωp(α2v2 + + αkvk, v2, , vk) 1. = α2 ωp(v2, v2, ., vk) + + αk ωp(vk, v2, , vk) = 0 3. A 2 pont következményeként adódik, hogy ha l > k, akkor Λl(V) = 0, azaz ha ω ∈ Λl(V), akkor bármely v1, ., vl ∈ V esetén ωp(v1, , vl) = 0 Ennek magyarázata az, hogy ha V egy k-dimenziós vektortér, ahol l > k, akkor az ω argumentumában

szerepl® vektorok lineárisan függ®k. A 2 pont miatt ekkor ω(v1, ., vl) = 0 Dieren iálformák felületeken: Draft  2003 12 A Λl(V) mint vektortér A Λl(V) térben bevezetünk egy összeadást és egy skalárral való szorzást a következ®képpen: ha ω, η ∈ Λl(V) és λ ∈ R, akkor deniálhatjuk a λ ω illetve ω + η leképezéseket az alábbi módon: (λ ω)(v1, ., vl) := λ ω(v1, , vl) (ω + η)(v1, ., vl) := ω(v1, , vl) + η(v1, , vl) Az így bevezetett λ ω és ω +η ugyan sak multilineáris és alternáló, így eleme a Λl(V)nek. Állítás 2 A fentebb bevezetett összeadásra illetve skalárral való szorzásra nézve a Λ(V) vektorteret alkot. A k dimenziós
V vektortér alternáló l-lineáris leképezéseinek (azaz Λl(V)-nek) a dimenziója kl Az állítás els® részének igazolásához le kell ellen®rizni, hogy a bevezetett összeadás illetve skalárral való szorzás rendelkezik-e a vektorterekben megkívánt megfelel®

tulajdonságokkal. Ennek igazolása nagyon egyszer¶ számolást igényel, amit az olvasóra hagyunk Vizsgáljuk meg inkább a Λl(V) tér dimenzióját Ehhez meg kell adni egy bázist a Λl(V) vektortérben. Legyen {e1, , ek} egy bázisa V -nek Minden 1 ≤ i1, ., il ≤ l-re deniáljuk a ∆i1 il leképezést a következ® módon: ha v1, , vl ∈ V , akkor vi11 vi21 . vil1 vi12 vi22 . vil2 ∆i1 .il (v1, , vl) := . . . . . vi1l vi2l . vill A ∆i1 .il tehát a következ® módon deniált: a vektoroknak az {e1, , ek} bázisra vonatkozó együtthatóit beírjuk egy k × l típusú mátrixba úgy, hogy a j-edik oszlopba a vj együtthatói kerüljenek, és tekintjük az i1, i2, . il sorok által meghatározott l × l-es aldeterminánst. Ekkor a következ® tulajdonságok igazak: 1. ∆i1 il egy l-lineáris alternáló leképezés V -n, azaz ∆i1 il ∈ Λl(V) 2. A {∆i1 il | 1 ≤ i1 < i2 < < il ≤ k} bázis Λl(V)-ben, azaz minden ω ∈ Λl(V) egyértelm¶en

felírható X ω= ωi1 .il ∆i1 il 1≤i1 <.<il ≤k alakban alkalmasan választott ωi1 .il ∈ R skalárok segítségével Dieren iálformák felületeken: Draft  2003 13 Az el®z® állításból adódik, hogy Λk(V) dimenziója 1, és így minden ω ∈ Λk(V) esetén létezik olyan λω ∈ R, hogy ω = λω ∆1.k Következmény. Alternáló multilineáris leképezések ékszorzata Legyen ω ∈ Λl(M) és η ∈ Λm(M) Ekkor legyen az ω∧ η a következ® módon deniálva: ω∧ η : V · · × V} −− R, | × ·{z l+m ahol v1, ., vl+m ∈ V esetén ω∧ η(v1, ., vl+m) := 1 X (−1)ε(σ)ω(vσ(1), ., vσ(l)) η(vσ(l+1), , vσ(l+m)) l!m! σ A formulában a σ az {1, ., l + m} indexek egy permutá ióját, az ε(σ) pedig azt a számot jelenti, ahány serével tudjuk elérni a σ permutá ióból az elemek természetes sorendjét. (A (−1)ε(σ) értéke nem függ a serék realizá iójától, sak σ-tól) Az így kapott ω∧ η szintén

multilineáris és alternáló, azaz ω∧ η ∈ Λl+m(M). Példák 1. Ha ω, η ∈ Λ1(M), akkor ω∧ η ∈ Λ2(M) Ennek az alternáló bilineáris leképezésnek az értéke a v1, v2 ∈ V vektorokban: ω∧ η(v1, v2) = ω(v1)η(v2) − ω(v2)η(v1) = ω(v1) ω(v2) . η(v1) η(v2) 2. Ha ω, η, µ ∈ Λ1(M), akkor ω∧ η∧ µ ∈ Λ3(M) Ennek az alternáló trilineáris leképezésnek az értéke a v1, v2, v3 ∈ V vektorokban: ω∧ η∧ µ(v1, v2, v3) = ω(v1) ω(v2) ω(v3) η(v1) η(v2) η(v3) . µ(v1) µ(v2) µ(v3) 3. Ha ω1, ωl ∈ Λ1(M), akkor ω1∧ ∧ ωl ∈ Λl(M), és ω1∧ .∧ ωl(v1, , vl) = ω1(v1) ω1(v2) ω2(v1) ω2(v2) . . . . ωl(v1) ωl(v2) · · · ω1(vl) · · · ω2(vl) . . . . · · · ωl(vl) Dieren iálformák felületeken: Draft  2003 2.2 Dieren iálformák Dení ió 4 Legyen az M egy k-dimenziós felület. Az M-en értelmezett ω differen iálható leképezést egy l-ed fokú dieren iálformának (röviden l-formának)

nevezzük, ha minden p ∈ M esetén az ωp : TpM × · · · × TpM −− R | {z } l leképezés alternáló és l-lineáris. Az l-formák halmazát Λl(M)-mel jelöljük Megegyezés szerint Λ0(M) az M-en értelmezet valós érték¶ dieren iálható függvények halmazát jelöli Megjegyzés. Egy l-forma ω tekinthet® úgy, mint egy leképezés, ami l darab X1,,Xl vektormez®höz rendel egy M-en értelmezett valós érték¶ függvényt: X1, ., Xl −− ω(X1, , Xl) Ennek a függvénynek úgy számoljuk ki az értékét egy p ∈ M pontban, hogy mindegyik objektumnak (forma és vektormez®) a p-beli értékét vesszük:
ω(X1, ., Xl) p:= ωp(X1,p, , Xl,p) Dieren iálformák tulajdonságai. Legyen ω ∈ Λl(M) egy l-forma. Mivel minden rögzített p ∈ M pontban az ωp egy alternáló l-lineáris leképezés, ezek 11. oldalon leírt tulajdonságaiból következnek az alábbiak: 1. Ha az ω argumentumában ugyanaz az X vektormez® kétszer szerepel, akkor ω(., X, X, ) = 0

2. Ha az egyik argumentumában olyan vektormez® szerepel, amelyik a többi függvénylineáris kombiná iójaként el®áll, akkor értéke ezen vektorokmez®kön zérus 3. Ha l > k, akkor Λl(M) = 0, azaz ha ω ∈ Λl(M), akkor bármely X1, , Xl ∈ (M) esetén ω(X1, ., Xl) = 0 14 Dieren iálformák felületeken: Draft  2003 2.3 Függvények küls® derivátja Legyen f : M R egy dieren iálható függvény, és deniáljuk a df leképezést: X ∈ X(M) −− df(X), ahol a df(X) értékét egy p ∈ M pontban az f függvény Xp ∈ TpM irányú iránymenti deriváltja adja meg: f(γ(t)) − f(γ(0)) , t0 t df(X)p := Xp(f) = lim ahol γ(t) felületi görbe az Xp vektor egy integrálgörbéje, azaz γ(0) = p, γ(0) = Xp. Könnyen belátható, hogy ha tekintünk egy (U, φ) paraméterezést a p pont körül, és az Xp paramétervonalérint®kre vonatkozó koordinátái az X1p,., Xkp számok, akkor df(X)p = k X i=1 Xip ∂(f ◦ φ) (x0), ∂xi ahol az x0 a p-nek

megfelel® paraméter. Ebb®l a formulából jól látszódik, hogy df dieren iálható és minden p pont esetén a dfp : TpM R egy lineáris leképezés. Így a df egy 1-forma az M felületen: df ∈ Λ1(M). Dení ió 5 A df 1-formát az f : M R függvény küls® deriváltjának nevezzük. Ha az (U, φ) egy parametrizá iója M-nek, jelöljük (V, x)-szel az általa meghatározott térképet: V = φ(U), x := φ−1. Az x az a leképezés, amelyik egy p ∈ M ponthoz hozzárendeli a pont koordinátáit. Mivel minden pontnak k darab koordinátája van, így az x függvénynek k darab komponensfüggvénye van: x = (x1, ., xk) Minden i-re az xi olyan dieren iálható függvény, ami felületi ponthoz számot rendel. Így tekinthet® a küls® deriváltja, és azt kapjuk, hogy Megjegyzés. dxi(X)p = Xip, azaz a dxi megmutatja, hogy az X vektormez®nek a p pontban mi az i-edik paramétervonalérint®kre vonatkozó koordinátája. 15 Dieren iálformák felületeken: Draft 

2003 16 2.4 Dieren iálformák lokális leírása koordinátázás segítségével Legyen M egy k-dimenziós felület, és az (U, φ) egy koordinátázása az M-nek. Ekkor bármely x ∈ U paraméterhez tartozó p = φ(x) pont esetén a p-beni TpM érint®tér egy ∂ω ∂ω bázisát adja a paramétervonalérint®k { ∂x 1 x, ., ∂x1 x} rendszere Minden 1 ≤ i1, , il ≤ l-re tekintjük a dxi1 ∧ .∧ dxil l-formát Ez minden p ∈ M és v1, , vl ∈ TpM esetén dxip1 ∧ .∧ dxipl (v1, , vl) := vi11 vi21 . vil1 vi12 vi22 . vil2 . . . . . . vi1l vi2l . vill , ∂ω ∂ω ahol (v1j, ., vlj) jelöli a vj vektor { ∂x 1 x, ., ∂x1 x} bázisra vonatkozó koordinátáit Tehát a leképezés értékét l darab vektoron úgy kell kiszámítani, hogy a vektoroknak a paramétervonalérint®kre vonatkozó koordinátáit beírjuk egy k × l típusú mátrixba úgy, hogy a j-edik oszlopba a vj együtthatói kerüljenek, és tekintjük az i1, i2, . il sorok által

meghatározott l × l-es aldeterminánst. Ekkor 1. a dxi1 ∧ ∧ dxil egy l-forma az M felületen, azaz dxi1 ∧ ∧ dxil ∈ Λl(M) 2. Minden x ∈ U-hoz tartozó p ∈ M pontban a {dxip1 ∧ .∧ dxipl | 1 ≤ i1 < i2 < < il ≤ k} (5) bázis Λl(TpM)-ben, azaz minden ωp ∈ Λl(M) egyértelm¶en felírható X ωp = ωi1 .il ,p dxip1 ∧ ∧ dxipl 1≤i1 <.<il ≤k alakban alkalmasan választott ωi1 .il ,p ∈ R együtthatók segítségével 3. Ha ω ∈ Λ(M) és (U, φ) egy térkép, akkor az el®z® pontban leírtak alapján minden p ∈ M pont esetén, ahol p benne van az M parametrizá iója által leírt tartományában, az ωp kikombinálható a (5) bázis segítségével. Természetesen az együttható pontról pontra változhat. Így azt kapjuk, hogy az ω felírható a dxi1 ∧ .∧ dxil formák kombiná iójaként: X ω= ωi1 .il dxi1 ∧ ∧ dxil 1≤i1 <.<il ≤k ahol az ωi1 .il együtthatók U-n deniált függvények 4. Az el®z® pont

egy spe iális esete, ha ω ∈ Λk(M), ahol k az M felület dimenziója Mivel lokálisan a k-formák terét a dx1∧ .∧ dxk generálja, így ω-hoz egyértelm¶en létezik egy f : U R függvény, hogy ω = fdx1∧ .∧ dxk Dieren iálformák felületeken: Draft  2003 17 5. Az 1-formák Λ1(M) terében bázis a {dx1, , dxk} Egy f : M R függvény df ∈ Λ1(M) küls® deriváltjának a bázisel®állítása: df = k X ∂(f ◦ x−1) ∂xi i=1 (6) dxi. 2.5 Formák "visszahúzása" Legyen M és N két felület. Ha f : M N egy dieren iálható leképezés, akkor értelmezhet® egy f∗ : Λ(N) Λ(M) leképezés M f −−− N f∗ Λ(M) ←−−− Λ(N) a következ® módon: ha ω ∈ Λl(N), akkor f∗ ω ∈ Λl(M), és az értékét a következ® szabály szerint számoljuk ki: f∗ ω(v1, .vl) = ω(f∗ v1, , f∗vl) Példa. 1. Legyen M egy k-dimenziós felület, (U, φ) egy parametrizá iója Ekkor, ha ω ∈ P Λl(M), és lokálisan ω =

ωi1 .il dxi1 ∧ ∧ dxil , akkor φ∗ ω ∈ Λl(U): X φ∗ ω = ωi1 .il ∆i1 il , 1≤i1 <.<il ≤k ahol {∆i1 .il | 1 ≤ i1 < < il ≤ k} az Rk l-formáinak kanonikus bázisa P 2. Legyen M egy k-dimenziós felület Rn-ben Ha ω = ωi1 .ik dxi1 ∧ ∧ dxik egy k-forma az Rn-ben, akkor tekinthet® úgy is, mint M-nek egy k-formája. Ha φ egy parametrizá iója M-nek, akkor  ∂φ ∂φ  X φ∗ ω(e1, ., ek) = ω(φ∗ e1, , φ∗ek) = ω , ., = ωi1 .ik Ja (φ)i1 ik ∂x1 ∂xk i .i 1 k ahol φji jelöli a φ = (φ1, ., φn) függvény j-edik komponensének i-edik változó szerinti par iális deriváltját, és Ja (φ)i1 .ik := φi11 . φik1 . . . . φi1k . φikk . Dieren iálformák felületeken: Draft  2003 Ennek alapán: φ∗ ω = X i1 .ik 18  ωi1 .ik Ja (φ)i1 ik ∆12k (7) 3. Legyen M egy k-dimenziós felület, (U1, φ1) és (U2, φ2) két parametrizá iója M φ1 φ2 φ1 φ −1 2 U1 U2 Ekkor az ω-ának a két

paramétertartományra visszahúzottja a φ∗1ω = ω1 ∆12.k, φ∗2ω = ω2 ∆12.k, ahol ω1 és az ω2 az U1 illetve U2 paramétertartományon a megfelel® együtthatófüggvény. A χ = φ1 ◦ φ−1 2 tekinthet® egy paramétertranszformá iónak a két paramétertartomány között. Az együtthatófüggények transzformá iós törvénye az el®z® pont alapján:
1 ω2 = det ∂χ ω ∂x 2.6 Küls® deriválás Tétel. 3 Egyértelm¶en létezik olyan d : Λ(M) Λ(M) operátor, melyre teljesülnek a k®vetkez® tulajdonságok: 1. 2. d : Λl(M) Λl+1(M), 3. d(ω∧ η) = dω∧ η + (−1)lω∧ dη, 4. d2 = d ◦ d = 0, 5. d : Λ0(M) Λ1(M) d(ω + η) = dω + dη, küls® deriválással. minden ω, η ∈ Λl(M)-re, minden ω ∈ Λl(M) és η ∈ Λm(M)-re, megegyezik a függvényekre már korábban bevezetett Dieren iálformák felületeken: Draft  2003 19 Legyen ω ∈ Λl(M), és vizsgáljuk meg, hogy hogyan lehet dω-t értelmezni. Ehhez P

tegyük fel, hogy egy (V, x) térkép használatával ω = ωi1 .il dxi1 ∧ ∧ dxil Ekkor X dω = d(ωi1 .il dxi1 ∧ ∧ dxil ) = (dωi1 .il dxi1 ∧ ∧ dxil ) X X ∂ωi .i 1 l = dωi1 .il ∧ dxi1 ∧ ∧ dxil = dxj∧ dxi1 ∧ .∧ dxil j ∂x számítás mutataja, hogy hogyan kell a dω értékét megválasztani. Spe iális esetek: 1. Ha M egy 2-dimenziós felület, ω ∈ Λ1(M) és ω = ω1dx1 +ω2dx2 a lokális felírás segítségével. Ekkor dω ∈ Λ2(M):   ∂ω2 ∂ω1 dω = dx1∧ dx2 − ∂x1 ∂x2 2. Ha M egy 3-dimenziós felület, ω ∈ Λ1(M) és ω = ω1dx1 + ω2dx2 + ω3dx3 a lokális felírás segítségével, akkor dω ∈ Λ2(M):       ∂ω2 ∂ω1 ∂ω3 ∂ω1 ∂ω3 ∂ω2 1 1 2 3 − dx ∧ dx + − dx ∧ dx + − dx2∧ dx3 dω = ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x3 3. Ha M egy 3-dimenziós felület, ω ∈ Λ2(M) és ω = ω12 dx1∧ dx2 + ω23 dx2∧ dx3 + ω31 dx3∧ dx1, akkor dω ∈ Λ3(M): dω =   ∂ω12 ∂ω23 ∂ω31 + +

dx1∧ dx2∧ dx3 ∂x3 ∂x1 ∂x2 2.7 Gradiens, rotá ió, divergen ia Legyen V ⊂ R3 egy nyílt halmaz, f : V R, illetve g : V R3 dieren iálható függvények. A g függvényt interpretálhatjuk vektormez®ként is, ahol a vektormez® három komponensét a g = (g1, g2, g3) három komponense deniálja. Ekkor grad f : V R3, rot g : V R3, div g : V R, grad f = (∂1f, ∂2f, ∂3f), rot g = (∂2g3 − ∂3g2, ∂3g1 − ∂1g3, ∂1g2 − ∂2g1), div g = ∂1g1 + ∂2g2 + ∂3g3. Egy g : V R3 vektormez® poten iálfüggvényének nevezzük az f : V R függvényt, ha közöttük a g = grad f összefüggés áll fenn. A vektormez® örvénymentes nek nevezzük, ha tetsz®leges zárt görbére vett integrálja zérus. A g vektormez®t forrásmentes nek nevezzük, ha minden pontban div g = 0 Dieren iálformák felületeken: Draft  2003 20 2.8 Gradiens, rotá ió, divergen ia kap solata a küls® deriválással A küls® deriválás kap solatba hozható a

vektoranalízis alapvet® fogalmaival, a gradienssel, rotá ióval és a divergen iával. Az egyszer¶ség kedvéért vizsgáljuk R3-at R3ban az 1-formák, a 2-formák és a vektormez®k egyaránt 3-3 függvénnyel, a 3-formák pedig egy függvénnyel írhatók le a kanonikus bázisra vonatkozóan. Így tekinthetjük a következ® bijektív megfeleltetéseket: Λ1(R3) 1. 2. X(R3) ⇐⇒ ⇐⇒ Λ2(R3) λ1dx + λ2dy + λ3dz ← λ1e1 + λ2e2 + λ3e3 ← λ1dy∧ dz + λ2dz∧ dx + λ3dx∧ dy illetve Λ0(R3) λ Ennek alapján azt kapjuk, hogy 3. ⇐⇒ Λ3(R3) ← λdx∧ dy∧ dz - ha f : V R függvény, akkor df = f1dx + f2dy + f3dz, és grad f nem más, mint a df-nek 2. által megfelel® vektormez® - ha g : V R3 dieren iálható függvény, azaz egy vektormez® V -n, akkor 1. szerint neki megfelel® forma a g1dx+g2dy+g3dz Ennek vesszük a küls® deriváltját, majd az így kapott 2-formának 2. szerint megfelel® vektormez®t, akkor éppen a rot g-hez jutunk. - ha

g : V R3 vektormez®nek 2. szerint megfelel® 2-formának tekintjük a küls® deriváltját, majd az így kapott 3-formának 3. szerint megfelel® függvényt, akkor éppen a div g-hez jutunk. 3 INTEGRÁLÁS FELÜLETEKEN 21 3. Integrálás felületeken Ebben a pontban értelmezzük a dieren iál k-formák k-dimenziós felületekre vonatkozó integrálját. Dení ió. 1. A felületeken történ® integrálásnak tekintsük a legegyszer¶bb esetét, ahol a kdimenziós M felület nem más, mint Ik = [0, 1] × × [0, 1], és a "parametrizá ió" az identikus leképezés. Legyen ω ∈ Λk(Ik) egy k-forma az Ik-n, ahol ω = λ(x) dx1∧ .∧ dxk Ekkor Z Z Z 1 k ω= λ dx ∧ .∧ dx := λ(x)dx Ik Ik Ik 2. Legyen M egy olyan k-dimenziós felület, melynek φ : Ik M egy parametrizá iója (az ilyet k-dimenziós ellának nevezzük), és ω ∈ Λk(M) Ekkor φ∗ ω ∈ Λk(Ik), és legyen Z Z φ∗ ω, ω := Ik M ahol a jobboldalon szerepl® integrál

kiszámítására az 1. pontban bevezetett deníiót használjuk 3. Legyen M egy olyan k-dimenziós felület, és φi : Ik Mi egy olyan felbontása k-dimenziós ellákra, hogy a φj ◦ φ−1 i Ja obi mátrixainak determinánsa pozitív. k Ekkor ω ∈ Λ (M) esetén legyen Z X Z ω := ω, M i Mi ahol a jobboldalon szerepl® integrál kiszámítására az 1. pontban bevezetett deníiót használjuk Megjegyzés. 1. A dení ióból látható, hogy sak olyan fokú dieren iálformát lehet integrálni, amekkora a felület dimenziója. 2. Legyen M egy k-dimenziós felület Rn-ben, φ : I M egy parametrizá iója Ha P ω= ωi1 .ik dxi1 ∧ ∧ dxik egy k-forma az Rn-ben, akkor (7) formula felhasználásával Z Z X ω= ωi1 .ik Ja (φ)i1 ik (8) M I i .i 1 k Integrálás felületeken: Draft  2003 22 3. Az így deniált integrál független a parametrizá iótól, mivel a paraméter transzformá ióból adódó extra tagját az integrál kiszámításakor kompenzálja a

differen iálforma paraméter transzformá ióból adódó extra tagja (A függvények esetén az utóbbi tag nem lép fel és ezért nin s értelme függvény felületeken való integrálásának.) 3.1 Vonalintegrál Legyen γ : [a, b] Rn egy M görbe (azaz egy 1-dimenziós felület) parametrizá iója, R Rb és legyen ω = f1dx1 + . + fndxn A dení ió szerint M ω = a γ∗ ω Számítsuk ki a γ∗ ω-t, ami egy 1-forma az [a, b]-n. A γ komponenseit γ1, , γn-nel jelölve azt kapjuk a (7) formula felhasználásával, hogy γ∗ ωt = (f1(γt) · γ 1t + . + fn(γt) · γ n t ) dt Ennek alapján kapjuk, hogy Z Zb
ω= f1(γt) · γ 1t + . + fn(γt) · γ n t dt M a Meg kell jegyeznünk, hogy a klasszikus elméletben f : V R3 típusú függvényt, esetleg vektormez®t kell egy parametrizált γ görbe mentén integrálni. Ilyenkor az f = (f1, f2, f3) függvénynek illetve vektormez®nek megfeleltetjük a 20. oldalon leírtaknak megfelel®en a fenti ω 1-formát, és

azt integráljuk: Z f= γ ZbX n fi(γt) · γ it dt a i=1 Zb = hf(γt), γ ti dt a ahol h , i az Rn standard bels®szorzatát jelöli. 3.2 Integrálás R3 2-dimenziós felületén Legyen M egy 2-dimenziós felület R3-ban, φ : I2 M egy parametrizá iója és ω = f1dx2∧ dx3 + f2dx3∧ dx1 + f3dx1∧ dx2. Ekkor φ∗ ω = f1◦φ · Ja (φ)23 + f2◦φ · Ja (φ)31 + f3◦φ · Ja (φ)12 = f1◦φ φ21 φ32 + f2◦φ φ21 φ32 φ31 φ12 + f3◦φ φ31 φ12 φ11 φ22 φ11 φ22 Integrálás felületeken: Draft  2003 23 Ha bevezetjük a felület normálvektorát a n := ∂1φ × ∂2φ vektoriális szorzattal deniálva, akkor az adódik az n = (n1, n2, n3) koordinátáira, hogy n1 = φ21 φ32 , φ21 φ32 n2 = φ11 φ32 , φ11 φ32 φ11 φ22 . φ11 φ22 n3 = Így φ∗ ω a φ∗ ω = hf ◦ φ, ni alakba írható, és az ω integrálja: Z Z ω = hf ◦ φ, ni M I2 Ha egy f : V R3 típusú függvényt, vagy vektormez®t akarunk integrálni, akkor az f-et

az (f1, f2, f3) komponensei segítségével mint egy 2-formát interpretáljuk és azt a fenti formula felhasználásával integráljuk: Z Z f = hf ◦ φ, ni M I2 3.3 Stokes-tétel és következményei A Stokes-tétel a matematikai analízis egyik alapvet® tétele, amely a Newton-Leibnizformulát is spe iális esetként tartalmazza. A Newton-Leibniz-formula alapján minden folytonosan dieren iálható f : [a, b] R függvény esetén Zb f ′ = f(b) − f(a), a azaz az f ′ integrálja kifejezhet® az f-nek az [a, b] intervallum határain felvett értékeivel. Az általánosításhoz be kell vezetni a ella, illetve a ellákból felépített felület határának fogalmát. Tekintsük a legegyszer¶bb k + 1 ellát, azaz az Ik+1-t, ahol Ik+1 = [0, 1] × . × [0, 1], | {z } k+1 és parametrizá iója az identikus leképezés. Ennek határa 2(k + 1) darab k- ellából áll Nevezetesen minden 2 ≤ r ≤ k + 1-re deniáljuk a Ikr,1 el®lapot a 1 2 r k+1 ⌣ ⌣ ⌣ ⌣ (x1,

., xk) −− (1 − xr, x1, , 1 , , xk ) parametrizá ióval, és Ikr,0 hátlapot a (x1, ., xk) 1 2 r k+1 ⌣ ⌣ ⌣ ⌣ −− ( xr, x1, ., 0, , xk ) Integrálás felületeken: Draft  2003 24 1 2 k+1 ⌣ ⌣ ⌣ parametrizá ióval. Az r = 0 esetben az el®lapot a (x1, , xk) −− ( 0 , 1 − x1, , xk ) parametrizá ióval, és az óval tekintjük. 1 2 k+1 ⌣ ⌣ ⌣ hátlapot a (x1, ., xk) −− ( 0 , 1 − x1, , xk ) parametrizá i- Ik1,0 Dení ió 6 . 1. Az Ik+1 ella határának a fenti k-dimenziós ellák nevezzük: ∂Ik együttesét (lán ot) ∂Ik := {Ikr,s | 1 ≤ r ≤ k + 1, s = 0, 1}. 2. Ha M egy k + 1 dimenziós ella, aminek φ : Ik+1 M egy parametrizá iója, akkor ∂M := φ(∂Ik+1), azaz ∂M := {φ(Ikr,s) | 1 ≤ r ≤ k + 1, s = 0, 1}. φ M I k n k R R Tétel. 4 (Stokes-tétel) Legyen M egy k-dimenziós felület mely felbontható végessok ellára és legyen ω egy k − 1 forma M-en Ekkor Z dω = M Z (9) ω. ∂M

Következmények Vonalintegrálokra vonatkozó Newton-Leibniz-formula : Tétel. 5 Legyen V ⊂ Rn, A, B ∈ V , és φ : [a, b] Rn az A = φ(a) kezd®pontot B = φ(b)-vel összeköt® dieren iálható út Ha F : V R folytonosan dieren iálható leképezés és F ′ = f, akkor Z φ f = F(B) − F(A) (10) Integrálás felületeken: Draft  2003 25 A tétel igazolásához felhasználjuk, hogy az F ′ = f egyenlet jelentése (∂1F, ., ∂nF) = (f1, ., fn), és így az f vektormez®nek megfelel® 1-forma éppen a dF A (9) felhasználásával Z Z Z (9) f = dF = F = F(φ(b)) − F(φ(a)) = F(B) − F(A). φ φ ∂φ B φ A a 0 b n R R A (10) formulából kiolvasható, hogy ebben az esetben - az integrál nem függ az A és B pontokat összeköt® úttól, - az integrál értéke zárt görbe mentén zérus. Green-formula : Tétel. 6 Legyen f = (f1, f2) : V R2 dieren iálható függvény, egy 2- ella, melynek határa a γ görbe. Ekkor Z (∂1f2 − ∂2f1) =

M Z φ : I2 M f γ Tekintsük ugyanis az f vektormez®nek megfelel® ω = f1dx + f2dy 1-formát a V -n. Ekkor dω = (∂1f2 − ∂2f1)dx∧ dy Így Z Z Z Z (9) f= ω= dω = (∂1f2 − ∂2f1). γ Klasszikus Stokes-tétel Tétel. 7 Legyen ∂M M M : f = (f1, f2, f3) : V R3, és M Z Z rot f = f. M ∂M egy 2- ella V -ben. Ekkor Integrálás felületeken: Draft  2003 26 Az f vektormez®nek megfelel® 1-forma az ω = f1dx + f2dy + f3dz, és a rot f-nek pedig a dω felel meg. Így (9) felhasználásával adódik az állítás Gauss-Osztrogradszkij tétel Tétel. 8 Legyen : f = (f1, f2, f3) : V R3, és M Z Z div f = f. M egy V -beli 3- ella. Ekkor ∂M Az f-nek megfeleltetve az ω = f1dy∧ dz + f2dz∧ dx + f1dx∧ dy 2-formát, a div f éppen a dω-nak megfelel® 3-forma. A (9) formulából adódik a tétel Felhasznált irodalom: [1℄ Alexits György, kiadó, Budapest, Feny® István: Matematika Vegyészek számára, Tankönyv- Ve tor Analysis,

Springer-Verlag, [2℄ Klaus Jäni h, [3℄ Pál Jen®, S hipp Feren , Simon Péter: mányegyetem, Kézirat, Analízis II., Eötvös Loránd Tudo-