Electromagnetic theory | Higher education » Digitális jelek feldolgozása

 JELEK FELDOLGOZASA  1. FEJEZET DIGITALIS 2 1. Fejezet Digitalis jelek feldolgozasa 1.1 DFT - diszkret Fourier transzformacio A digitalis szamtogepek elterjedese a Fourier transzformacion alapulo eljarasok csodalatos viragzasat eredmenyezte. A digitalis szamtogepek azonban csak diszkret ertekekkel kepesek dolgozni, ezert az un diszkret Fourier transzformacio lehet}osegei reszletesebb vizsgalatot igenyelnek. Ha egy folyamatos, savlimitalt jelb}ol N szamu mintat veszunk, akkor e mintak alapjan vegrehajtott Fourier transzformacio (az altalanos kepletnek id}oben diszkret ertekekre valo atalaktasaval) az alabbi lesz: V (k ) = ahol NX ;1 v(nT )e;jknT = 2 NT n=0 A fenti keplet burkoltan, de hatarozottan arra utal, hogy a transzformacio a jelet N mintankent periodikusnak tekinti. Erre a felhasznalasok bizonyos fajtainal erdemes ugyelni. A diszkret transzformacioval kapcsolatban joggal vet}odik fel az a

kerdes, hogy N meresi eredmenyb}ol hany kulonboz}o k spektrumvonalat lehet 1 1.1 A bra: A valos es kepzetes spektrumvonalak alakja meghatarozni. Ha feltesszuk, hogy k = rN + k0 es r =egesz, akkor NX ;1 v(nT )e;j(rN +k0)nT = v(nT )e;jk0nT n=0 n=0  ;jTNr  e 1 vagyis a spektrum N ertekenkent teljesen megismetl}odik.- Tovabbmenve: a 1.1 abra mutatja, hogyan alakulhatnak a mintaveteli torvenyt gyelembe veve a valos es kepzetes spektrumvonalak Jol lathato, hogy mind a szinuszos mind a koszinuszos komponenesek egy-egy szakaszon belul ketszer fordulnak el}o ugyanakkora ertekkel. Termeszetesen a komponensek paros, illetve paratlan termeszetenek megfelel}o el}ojellel Igy azt allthatjuk, hogy N adatbol valojaban csak N=2 fuggetlen spektrumvonal meghatarozasara van mod. (A diszkret transzformacio ezen tulajdonsaga igen jol latszik a DSPLAY program hasznalatanal.) A diszkret Fourier transzformacio - a keplet

atrendezesevel - ertelmezhet}o matrix m}uveletkent is, az alabbiak szerint ! = exp(j 2=N )]: 10 v 1 0 V 1 01 1 1 ::: 1 CC BB v01 CC BB V01 CC BB 1 N ; 1) ; 2 ; ( ! ! : : : ! BB V CC BB 1 !;2 CC BBB v2 CCC !;. 4 : : : !;2(N ;1) C BB .2 CC = BB CA B@ . CA . . . @ . A @ 2 ; ( N ; 1) ; 2( N ; 1) ; ( N ; 1) 1 ! ! ::: ! vN ;1 VN ;1 V (k ) = NX ;1 1.2 FFT - FAST FOURIER TRANSFORMATION 3 E rdemes eszrevenni, hogy N = 4 eseten a transzformacio igen egyszer}uen vegezhet}o el: erdemi szorzasi m}uvelet nelkul juthatunk el az eredmenyhez: 01 1 1 B 1 ;j ;1 B B @ 1 ;1 1 1 j ;1 1 1 j C C ;1 CA ;j Azt is felfedezhetjuk, hogy egy olyan mintavett jelsorozatnak, amelynek csak a kezd}o erteke nem zerus - vagyis egyetlen Dirac delta fuggvenyb}ol all, - a diszkret Fourier transzformaljanak minden komponense azonos ertek}u. A Fourier oda| es visszatranszformacio termeszetszer}uleg osszefugg egymassal. Az alabbiakban a ket eljaras egymast kovet}o

elvegzesevel visszakaphatjuk az eredeti vn szamsort Figyeljunk arra, hogy az oda- es visszatranszformacio soran csak egy 1=N faktor hjan kapjuk vissza kiindulo ertekeinket Vk = NX ;1 n=0 NX ;1 !;nk vn  NX ;1 NX ;1 NX ;1 NX ;1 l) !nk Vk = N1 !nk !;lk vl = N1 vl !k(n;l) = v0n ((nn = vn = N1 6= l) k=0 k=0 l=0 l=0 k=0 !  (n;l)N 1 ; ! j 2 =N !=e  1 ; !n;l = 0: 1.2 FFT - Fast Fourier Transformation A Fourier transzformacio igen fontos eszkoz jelek vizsgalataban, meresi eredmenyek ertekeleseben, stb. Nem kell tehat kulonosebben csodalkoznunk azon, hogy rengeteg munkat fordtottak a transzformacio reszleteinek alapos kidolgozasara. A digitalis szamtogepek, valamint a digitalis merestechnika elterjedese ujabb lokest adott a Fourier transzformacio alkalmazasanak. A digitalis szamtogepek azonban lenyeguket tekintve nagyon lomha, lusta rendszerek, mivel az aritmetikai m}uveleteket mindig logikai alapm}uveletekre vezetik

vissza Kulunosen vontatottak a szorzasok vegzeseben. A Fourier transzformacio pedig igen sok szorzast igenyel: a matrix koncepciobol elegge nyilvanvaloan kovetkezik, hogy N szam transzformaciojahoz N 2 szorzas szukseges. Egy  JELEK FELDOLGOZASA  1. FEJEZET DIGITALIS 4 1OOO meresi pontot tartalmazo adatsor DFT-je tehat egymillio szorzast igenyel, ami a jelenlegi (atlagos) gepsebessegek mellett tobb/sok masodperces m}uveleti id}ot igenyel. (Az osszeadasok idejet nem szokas kulon beszamtani, mivel ennek id}oigenye a szorzasnak legfeljebb tizede.) A Fourier transzformacio szamtasi idejet az 1965-ben Cooley es Tukey (CT) amerikai matematikusok altal kidolgozott algoritmus csokkentette radikalisan. 1978-ban pedig Winograd lepett el}o egy uj eljarassal Nezzuk csak az alabbi osszehasonlto tablat: szorzas/pont osszeadas/pont DFT (1OOO  1OOO) 8OOO 4OOO CT-FFT (1O24  1O24) 4O 6O Winograd (1OO8  1OO8) 6 91 A CT {

Fast Fourier Transmormation alapgondolata elegge kezenfekv}o: N pont DFT-je N 2 szorzast igenyel. Ha az adatokat ket egyforma reszre bontjuk, akkor a ket resz kulon-kulon transzformacioja 2(N=2)2 szorzasba kerul. Ha a ket transzformacio reszeredmenyei konnyen osszekombinalhatok, akkor erdemes ezt az utat valasztani. Az is nyilvanvalo, hogy N {et celszer}u 2 egesz kitev}oj}u hatvanyanak valasztani, hogy a szorzas{sporolas jotetemenyeb}ol tobbszorosen reszesedhessunk. A 1.2 abran az eredeti v adatsorbol a parosakat es paratlanokat szetvalogatva g es h adatsorokhoz juthatunk A DFT kepletenek mindket adatsorra valo alkalmazasaval arra az eredmenyre jutunk, hogy a G es H reszspektrumok osszekombinalasahoz csak !k {nal torten}o szorzas kell, tehat viszonylag olcson "usszuk meg" azt, hogy a ket reszre bontassal m}uveleteket sporoltunk. n) n = 0 1 : : : N=2 ; 1 v(n) (n = 0 1 : : :  N ; 1) ) hg((nn))

== vv(2 (2n + 1) 0 1 : : : N=2 ; 1 N=X 2;1 N=X 2;1 NX ;1 Vk = vn!;nk = gn!;2nk + hn!(2n+1)k n=0 n=0 n=0 !N2 = !N=2 N=X 2;1 N=2;1 ;nk + ! ;k X h ! ;nk = G + ! k H Vk = gn!N= n N=2 k N k N 2 n=0 n=0 k = 0 1 : : : N ; 1 k = 0 1 : : : N=2 ; 1 Ha k > N=2 ; 1-nel, akkor k ; N=2-vel helyettesthet}o, gy vegul Vk = Gk;N=2 + !N;k Hk;N=2 N=2  k  N ; 1  + !;k+N=2H 0  k  N=2 ; 1 : Vk+N=2 = Gk N k 1.2 FFT - FAST FOURIER TRANSFORMATION 5 6  JELEK FELDOLGOZASA  1. FEJEZET DIGITALIS 1.2 A bra: Az adatsor szetvalasztasa paros es paratlan sorokra A 1.3 abran az el}obbi elv alkalmazasat abrazoljuk grakusan Az abra a./ reszen feltuntettuk a kiindulo adatokat, ket csoportba szetvalogatva Az el}obb targyalt algoritmus szerint a V spektrumkomponenseket ugy kapjuk meg, ha ket-ket adaton az un. lepkem}uveletet vegezzuk el (A lepke" az abra e./ reszen lathato: az A es B mennyisegeket alaktja at a megadott modon) |

Termeszetesen meggondolasunk negy, illetve ket adatra is ervenyes (lasd a b./ abra fels}o es also resze) Az abra gyelmes vizsgalata arra a megallaptasra vezet, hogy a teljes transzformaciohoz (N=2) log2 N lepkem}uvelet szuksegeltetik (kettes alapu logaritmus). Ha eszrevesszuk, hogy a lepkem}uvelet tulajdonkeppen csak egyetlen | de komplex | szorzast tartalmaz, akkor az N log2 N osszefugges a teljes FFT szorzas-igenyet adja meg. N =1O24 eseten egymillio szorzas helyett csak 1OOOO szorzast kell elvegezni, vagyis a DFT-hez kepest az FFT csak szazadannyi gepid}ot hasznal. Vegyuk eszre, hogy az FFT alkalmazasanal a bemen}o adatok nem sorrendben kovetik egymast, hanem furcsa modon meg vannak "keverve". A kiindulo adatok megfelel}o sorrendbe alltasa is igenyel nemi gepid}ot. Ennek elvegzesehez is talaltak ugyes eljarast. Figyelmes matemetikusok eszrevettek, hogyha 256 bemen}o adattal dolgoznak, akkor pl a 158-ik adat

helyere a 21-ik adat kerul. Ez az egy-egy ertelm}u lekepezes az un it-reverzalas" nev}u algoritmuson alapul, mely lenyegeben a biteknek a felez}o tengely koruli elforgatasabol all (l. 14 abra) Felezesi elven nagyon sokfajta FFT algoritmus letezik. A ??c abra szerinti eljaras nagy erdeme, hogy a szamtasok soran nem igenyel kulon ta- 1.3 A bra: Az FFT algoritmus reszei N = 8 eseten 1.2 FFT - FAST FOURIER TRANSFORMATION 7 8  JELEK FELDOLGOZASA  1. FEJEZET DIGITALIS TR = A(IP)*UR-B(IP)UI : IT=A(IP)UI+B(IP)UR A(IP)=A(I)-TR : B(IP)=B(I)-IT : A(I)=A(I)+TR : B(I)=B(I)+IT NEXT I TR=UR*WR-UIWI : UI=URWI+UIWR : UR=TR NEXT J NEXT L 1.4 A bra: A bit-reverzalas m}uvelet rolohelyet: a bemen}o adatok helyere rodhatnak a reszeredmenyek, illetve a vegeredmeny. | A 13d abra szerinti algoritmus viszont nem igenyli a kezd}o adatok kevereset, de a lepkem}uvelete osszetettebb, stb. Befezezesul megadjuk az FFT-nek egy program listajat,

BASIC nyelven. - Az A tombben a valos, a B tombben a kepzetes reszeket taroljuk. - A program ket reszb}ol all: az els}o reszben az adatok keverese" tortenik, a masodik resz az igazi transzformacio. DIM A(256), B(256) NP=256 : ND=NP/2 : M=8 ( 2 REM KEVERES J=1 FOR I=1 TO NP-1 IF I<J THEN TR=A(I) : IT=B(I) : A(I)=A(J) : B(I)=B(J) : A(J)=TR : B(J)=IT K=ND 440 IF K<J THEN J=J-K : K=INT(K/2) : GOTO 440 J=J+K NEXT I REM TRANSZFORMACIO LE=1 FOR L=1 TO M LD=LE : LE=LE+LE UR=1 : UI=0 : AN=3.1415926/LD WR=COS(AN) : WI=-SIN(AN) FOR J=1 TO LD FOR I=J TO NP STEP LE IP=I+LD M = log NP ) A program begepelesi hibamentessege konnyen ellen}orizhet}o: valasszunk egy tetsz}oleges bemen}o adatsort, transzformaljuk, a valos es kepzetes reszeket egyarant osszuk el N -nel, fordtsuk meg a kepzetes reszek el}ojelet, hasznaljuk megegyszer ugyanezt a programot es eredmenyul az eredeti adatsorhoz kell jutnunk. Az FFT bels}o szerkezetenek megertese sok esetben

vezethet szamtastechnikai el}onyhoz, vagyis kisebb futasi id}ohoz. Ha peldaul azonos meret}u szakaszokat kell egymas utan folyamatosan transzformalni, akkor jobban jarunk, ha ket adatsort toltunk be a transzformacio indtasakor, az egyiket a valos, amasikat a kepzetes reszbe. A transzformacio linearis volta miatt ugyanis a ket reszspektrum az ered}ob}ol es annak konjugaltjabol egy gyors/olcso m}uvelettel megkaphato: v1 (n) () V1(k) v2 (n) () V2(k) V (k) = V1 (k) + jV2(k) V (k) = V1 (k) ; jV2 (k) V2 (k) = 21 V (N ; k) ; V (k)] V1(k) = 12 V (N ; k) + V (k)] 1.3 Az FFT gyakorlati alkalmazasa Az FFT igen hatekony szamtasi algoritmusa kovetkezteben szinte univerzalis eljarassa valt. Igyekeznek mindenfajta feladatot ugy megfogalmazni, hogy az FFT-re visszavezethet}o legyen. Tipikus pelda a konvolucio lehet: ritkan vegzik ezt kozvetlenul, az eredeti integral-formula alapjan. Inkabb a frekvenciatartomanyu szorzast es az

inverz Fourier transzformacio utjat valasztjak.  1.3 AZ FFT GYAKORLATI ALKALMAZASA 9 10  JELEK FELDOLGOZASA  1. FEJEZET DIGITALIS Az FFT, vagy annak valamely modostott valtozatanak alkalmazasanal bizonyos tipikus kerdesek szoktak felmerulni. Ezek kozott a legels}o a szukseges gepid}o mennyisege Gondoljuk vegig, hogy milyen modszerek allnak rendelkezesre a szamtasok gyorstasahoz:  gyorsabb szamtogep, nagyobb orajel frekvenciaval!  aritmetikai processzor hasznalata, esetleg gyors szorzo aramkorok al    kalmazasa! lehet}oleg mindent szamtsunk ki el}ore, es un. look-up table {b}ol vegyuk el}o a szukseges adatokat! ne szamoljunk felesleges pontossaggal, | ha az AD konverter felbontokepessege csak 8 bit, ne hasznaljunk 4O bites szamabrazolast! keressunk minel hatekonyabb algoritmusokat, hasznaljuk ki az az algoritmusok melyen rejl}o lehet}osegeket hasznaljunk specialis elemeket, un. DSP (digital

signal processor) chipeket, amelyeket kifejezetten ilyen celokra terveztek es gy igen gyorsak Ezek tulajdonkeppen specialis komputerek, nagyon gyors taroloval, parhuzamos m}uveleti egysegekkel, a szamtastechnika korszer}u megoldasainak arzenaljaval felszerelve. A felsorolt javaslatok megvalostasanak zome els}osorban penzkerdes. Aki gazdagabb, gyorsabban transzformal. A gyakorlati alkalmazasok masik fontos temakore ahhoz a tenyhez kot}odik, hogy a DFT/FFT a transzformalt szakaszt periodikusan ismetl}od}onek tekinti. Ennek kovetkezteben a kezdeti es befejez}o ugrasok" olyan nagyfrekvencias komponensek forrasai, amelyek vegeredmenyben a kapott spektrum meghamistasat, eltorztasat okozzak. Ezert elterjedt gyakorlat szerint a mintavett adatok transzformalando szakaszat egy un ablakfuggvennyel megszorozzak es a transzformaciot csak ezutan hajtjak vegre Ezek az ablakfuggvenyek altalaban olyanok, hogy a

szakaszhatarokon ertekuk zerus Igy ugyanis kikuszobolhet}ok az emltett nagyfrekvencias zavarok. - Az ablakfuggveny lete azonban ujabb torztas kiindulopontja. Nagyon erdekes kerdes, hogyan kell tehat ezeket ez ablakfuggvenyeket megvalasztani. Az 1.5 abra a legrosszabb ablakfuggveny, a negyszogimpulzus esetet mutatja be (vagyis semmifele adatkorrekciot sem vegzunk) 1.5 A bra: A DFT energiaspektrum alakja negyszogimpulzus ablakfuggveny eseten  1.3 AZ FFT GYAKORLATI ALKALMAZASA  NE GYSZOG 1  BARTLETT (HA ROMSZOG) 1 ; 2jnj=(N ; 1) HAMMING 0:54 + 0:46 cos( N2n ;1 ) HANNING 0:5 + 0:5 cos( N2n ;1 ) BLACKMAN 4n 0:42 + 0:5 cos( N2n ;1 ) + 0:08 cos( N ;1 ) 11 4/N 22 % 8/N 4% 8/N 1% 8/N 2.6 % 12/N 0.1 % jnj < N 2; 1 1.6 A bra: Kulonboz}o ablakfuggvenyek hatasa a frekvenciatatomanyban | Az abra bal oldalan azt kovethetjuk nyomon, mikent jelolunk ki egy T szelesseg}u ablakkal egy szakaszt a v(t) jelb}ol. Ez a

v(t) szinuszos, frekvenciaspektrumakent ket vonalat varunk A transzformalt jelsorozat a bemen}ojelnek egy negyszogjellel, valamint periodikus delta-fuggvenysorozattal torten}o szorzasabol all el}o, | az id}otartomanybeli szorzasoknak frekvenciatartomanybeli konvoluciok felelnek meg. | A DFT elvegzese az adatok periodikus kiterjeszteset jelenti, mintha T id}onkent megismetl}odnenek a minta diszkret ertekei. Az abra jobb oldalan a frekvenciatartomanyban latjuk ugyanezt. Felt}un}o, hogy az eredetileg vonalas V (!) az ablakjel hatasara kiszelesedik es a vegeredmenyul kaphato spektrum is viseli az ablakfuggveny emleket. A spektrum a DFT kovetkezteben csak vonalas lehet! Ablakfuggvenykent olyan jelalakokat valasztanak, amelyek a kezd}o es befejez}o szakaszokat csak igen kis sullyal veszik gyelembe. Ezek az ablakfuggvenyek szamos szempont alapjan ertekelhet}ok Az alabbi tablazatban (16 abra) feltuntettuk a f}ohullam

szelesseget, valamint az un. hullamossagot Ez utobbi az els}o mellekhullam es a f}ohullam amplitudojanak hanyadosa. (E fogalmak elegge trivialisak, ha a sin(x)=x fuggveny alakjara gondolunk.) 12  JELEK FELDOLGOZASA  1. FEJEZET DIGITALIS 1.4 Egyeb eljarasok, modszerek Az FFT ismertetett valtozata mellett mas hatekony algoritmusok is leteznek, amelyek spektrumok szamtasat, vagy ezzel kozel ekvivalens ertek}u m}uveletek vegrehajtasat segtik. Leteznek peldaul un. gyors konvolucios eljarasok, amelyeket els}osorban gyors jeldetektalasi (jelfelismeresi) feladvanyoknal hasznalnak. Alapgondolatuk: a szorzasok szamanak csokkentese, a feladat megoldasanak erdekeben az osszeadasok szamanak aran. Egy ilyen eljaras az un Strassen algoritmus Az otlet szinte kezenfekv}o: ket komplex szam szorzatat a trivialis negy szorzas es ket osszeadas helyett harom szorzassal es harom osszeadassal is elvegezhetjuk

(Az (a ; b)d szorzatot csak egyszer kell kiszamtani). Konvencionalisan: e + jf = (a + jb)(c + jd) =) e = ac ; bd f = ad + bc: Strassen : e = (a ; b)d + a(c ; d) f = (a ; b)d + b(c + d): A Strassen algoritmust els}osorban az un. cirkularis konvolucio szamtasara hasznaljak (Ez vegeredmenyben a konvolvalando jeleket periodikusnak tekinti.) A konvoluciot harom szakaszra bontjak, egy el}oosszeadasra, szorzasra es utoosszeadasra Elegge meghokkent}o modon, egy 8  8-as cikrularis konvoluciot a trivialis 64 helyett 17 szorzassal is el lehet vegezni. - Az el}obbi komplex szorzas az algoritmus szerint tehat gy nez ki: 0 10 1 c ; d 0 0CB1 0 C a e = c ;d a = 1 0 1 B 0 1 1 @ 00 c +0 d d0 A @ 00 ;11 A b f d c b A Winograd fele gyors Fourier transzformacio hasonlo meggondolasokbol indult. Ennel az eljarasnal a reszekre bontas primszamok, illetve ezek hatvanyai szerint tortenik. Peldakeppen bemutatjuk az 5 pontos Winograd

transzformaciot ($ = 2=5): 1 0 0 V0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 B B0 0 0 : : : CC BB V1 CC BB 1 1 1 1 0 ;1 CC BB 0 B1 0 CC B 0 0 B 2 BB V2 CC = BB 1 1 ;1 1 1 0 CC B . CC  B@ V CA B@ 1 1 ;1 ;1 ;1 0 CA BB . CC B3 B@ 3 A B4 V4 1 1 1 ;1 0 1 B5  O 1.5 WAVELET TRANSZFORMACI 01 1 1 1 B 0 1 1 1 B B B B  BB 00 11 ;;11 ;11 B @0 1 0 0 1 13 14  JELEK FELDOLGOZASA  1. FEJEZET DIGITALIS 1 0v 1 1 C C B v01 C B C C 1 C CB C ;1 CCC BB@ vv23 CCA ;1 A v4 0 0 ;1 1 0 B0 = 1 B1 = 0:5(cos $ + cos 2$) ; 1 B2 = 0:5(cos $ ; cos 2$) B3 = j sin $ B4 = j (; sin $ + sin 2$) B5 = j (sin $ + sin 2$): Bar a modszer az igenyelt szorzasok szamanak szempontjabol nagyon hatekony, programozasa nehezkes, memoria-helyfoglalasa nagyobb, mint a CT eljaras eseten lenne. Azt sem feledhetjuk, hogy a bonyolult indexeles, a gyakori kereses a memoriaban nem a sebessegnovekedes iranyaba hat Itt emltjuk meg roviden, hogy letezik egy un. Walsh transzformacio is, amelyet valaha a Fourier

transzformacio komoly konkurensenek tartottak. A Walsh fuggvenyek az ortogonalis fuggvenyrendszerek koze tartoznak, ketertek}uek, el}oalltasukra egy rekurzios formula szolgal. A sin es cos fuggvenyek mintajara cal es sal fuggvenyekr}ol beszelhetunk. Jellegukr}ol nemi tajekoztatast a ?? abrarol kaphatunk (A vilagos es sotet reszek a ketertek}u Walsh fuggvenyek mintajara valtoznak.) A Walsh fuggvenyek tehat alkalmasak periodikus jelek komponensekre bontasara. Valaha el}onyuket az jelentette, hogy e fuggvenyeket egyszer}u digitalis aramkorokkel relatve konnyen el}o lehetett alltani. Ketertek}u voltukbol kovetkezik, hogy a szorzas helyett csak oszeadni, kivonni kellett Igy tehat megvalosthato volt a jelfeldolgozas nagy alma: az on-line (valos idej}u) spektrum el}oalltas. Sajnos, az orombe nemi urom is vegyult, mert a Walsh fuggvenyekre a konvolucio csak modostott formaban ervenyes. Az is

hatranyos, hogy a ermeszet" lenyegeben nem ismeri ezeket a fuggvenyeket, gy szemleletes, vagy hasznos voltuk ugyancsak kerdeses. | Ezek ellenere vannak bizonyos szakteruletek, amelyek alltjak, hogy jelfelismeresi problemaikhoz a Walsh spektrumok igen jol hasznalhatok. 1.5 Wavelet transzformacio A jelfeldolgozas soran el}ofordulo jeleknek eddig vagy az amplitudo{id}o vagy az amplitudo{frekvencia lerasat hasznaltuk. Azaz egy adott jelsorozatrol 1.7 A bra: A Walsh-bazis els}o nehany fuggvenye pl. tudtuk, hogy mikor mekkora a mert mennyiseg amplitudoja, de a jellemz}o frekvenciak vizsgalatahoz at kellett ternunk Fourier transzformacioval a frekvencia-terbe. A frekvencia-terbeli leras pontosan megadta a jelsorozatot letrehozo sin es cos fuggvenyek amplitudo es fazisertekeit, de semmit nem mondott a jellemz}o frekvenciak id}obeli valtozasairol. Ahogy azt a ??. fejezetben lattuk, egy rovid, Dirac-delta

jelleg}u impulzus Fourier-transzformaltja nagyon sok, kb. ugyanolyan amplitudoju szinusz es koszinuszhullambol all. Ezek fazisai pontosan" ugy vannak bealltva, hogy az impulzus el}ott es utan a hullamok kioltjak egymast. Az impulzust ezek a fazisok ugratjak ki a megfelel}o id}opontban: a Fourier-terben nem lehet kozvetlenul megmondani az impulzus el}ofordulasi idejet. A wavelet transzformacio segtsegevel a jelek id}obeli (vagy terbeli) es a frekvenciatartomanybeli analzise egyszerre hajthato vegre. A wavelet transzformacioval a jelek analzise es szintezise hatekonyan vegezhet}o el: segtsegevel egy eles valtozas a frekvenciaspektrumban annak el}ofordulasi idejevel egyutt, egyszerre hatarozhato meg. A walvelet transzformalt a rogztett, a csak id}o vagy a csak frekvencia kep kozotti" leras. A wavelet gy a frekvencia-id}o skot (ez hasonlt a zikaban hasznalt fazisterhez) &f  &t meret}u

cellakra bontja. Tulajdonkeppen a  O 1.5 WAVELET TRANSZFORMACI 15 16  JELEK FELDOLGOZASA  1. FEJEZET DIGITALIS Ido Δt amplitudo bazis Δf Walsh bazis 0 20 40 60 80 100120 Wavelet csomag bazis 0 3 2 1 0 3 2 1 0 1 2 Fazister 3 F r e k v e n c i a Haar bazis (t,f) 0 20 40 60 80 100120 0 20 40 60 80 100120 helyi szinusz bazis Fourier bazis 0 20 40 60 80 100120 0 3 2 1 0 1 2 3 2 szokasos id}o- es frekvenciatartomanybeli abrazolas is egy-egy specialis ilyen felbontaskent foghato fel, amikor a cella egyik iranyban vegtelen kiterjedes}u (pontosabban lefedi a teljes meggyelt spektrumtartomanyt ill. az egesz meggyelesi id}ot). Termeszetesen a fazisskon vegtelen szamu felbontassal kserletezhetunk. A waveleteket ezek kozul az emeli ki, hogy mikozben frekvenciajuk viszonylag jol meghatarozott, ekozben id}obeli (terbeli) helyzetuk is korlatozott. Ez a ket feltetel { a hatarozatlansagi relaciohoz

hasonloan { nem elegthet}o ki tetsz}oleges pontossaggal egyszerre: a waveleteket osztalyozhatjuk ezen parameterek szerint is. A jeleket un. ortogonalis bazisfuggvenyek szerint fejthetjuk ki Ha ezek a Dirac-delta fuggvenyek, akkot a szokasos amplitudo{id}o lerashoz jutunk, ha ezek a sin es cos fuggvenyek, akkor ez a Fourier leras. Az 19 abran e ket leras mellett mas lehetseges wavelet bazisok nehany alapfuggvenyet tuntettuk fel. A wavelet transzformaciok alapstrukturaja rekurzv sz}uresekb}ol es (az FFT egyik lepesenel is megismert) paros-paratlan tagok szetvalogatasabol 3 1.8 A bra: Egy adott jelre jellemz}o teruletek a frekvencia-id}o skon 1 0 Jel 0 20 40 60 80 100120 0 20 40 60 80 100120 1.9 A bra: Kulonboz}o, jelek lerasara hasznalhato bazisfuggvenyek alakja Az abrakon a 0 1 2 3 jellel jelolve a (0 128) id}ointervallumban valaszthato fuggvenyek kulonboz}o tagjai lathatoak: az

amplitudo bazis a szokasos amplitudo{id}o lerast jelenti (ennek bazisfuggvenyei a Dirac-deltak). A Haar bazis az un. Haar fuggvenyekb}ol, a Walsh bazis a 13 oldalon emltett Walsh fuggvenyekb}ol all. A wavelet csomag bazis a 151 fejezetben targyalt DAUB4 fuggvenyeket hasznalja, a helyi szinusz bazis alapja egy adott frekvenciaju, de id}oben Gauss-fuggvennyel korlatozott idej}u szinuszjel csomag. A Fourier bazist kulonboz}o amplitudoju szinusz- es koszinuszfuggvenyek alkotjak.  O 1.5 WAVELET TRANSZFORMACI 17 all. A waveletek viszonylag alacsony (az FFT-vel osszemerhet}o) szamtasi kapacitast igenyelnek. A diszkret wavelet transzformacio (DWT) az FFThez hasonloan egy olyan gyors, linearis szorzasi m}uvelet, amely a 2N meret}u bemen}o vektort (adatsort) egy ugyanilyen meret}u kimeneti vektorba transzformal at (FFT eseten ezzel a 1.1 fejezetben foglalkoztunk) Ezert mind az FFT, mind a DWT egy forgatasnak foghato fel

az amplitudo{id}o domenbol a frekvencia{id}o terbe, es mindkett}o egy-egy matrix segtsegevel is megadhato. 1.51 A Daubechies waveletek A kovetkez}okben a DWT egyik fajtajaval, a Daubechies altal felfedezett DAUB4 wavelettel foglalkozunk. A transzformacio egy lepeset a kovetkez}o matrix denialja (a nem jelzett elemek erteke 0): 2 66 cc03 66 66 66 . D4 = 6 66 . 66 66 64 c2 c1 3 77 77 77 77 77 c3 777 ;c0 777 c1 5 ;c2 c1 c2 c3 ;c2 c1 ;c0 c0 c1 c2 c3 c3 ;c2 c1 ;c0 . . c0 c1 c2 c3 ;c2 c1 c3 c0 ;c0 c3 Ez a D4 matrix az x (bemen}o) adatokbol alltja el}o az y = D4x (kimen}o) wavelet vektort. A D4 hatasa a bemen}o adatokra a specialis elrendezes miatt ket FIR sz}ur}o hatasakent is is elkepzelhet}o. A fenti DAUB4 waveletet lathato modon ket ilyen transzformacio alkotja: a paratlan sorokban a c0 : : :  c3 egyutthatok, mint egy simtast" (integralast) vegz}o FIR sz}ur}o m}ukodnek, mg a paros sorokban a c3  ;c2 c1 ;c0

egyutthatok a derivalashoz hasonloan durvtjak" az adatokat, meghozza ugy, hogy elegend}oen" sima bemen}o jelre a kimenetuk zerus (ezt a ket m}uveletet kvadratura tukor sz}ur}oknek is nevezik). Koveteljuk meg, hogy a matrix inverze annak transzponaltja legyen, valamint azt, hogy konstans es linearis jelekre a paros sorok vegeredmenye elt}unjon: ez ekkor a negy c-t egyertelm}uen megadja: p p c0 = (1 + p3)=4p2 c2 = (3 ; 3)=4 2 p p c1 = (3 + p3)=4p2 c3 = (1 ; 3)=4 2 18  JELEK FELDOLGOZASA  1. FEJEZET DIGITALIS A DAUB4-hez hasonloan a csalad tobbi tagja is megkaphato, ha a hat, nyolc stb. tagot veszunk, es megkoveteljuk, hogy masod-, harmad- stb foku a bemen}o jelre a paros sorok eredmenye nulla legyen. A DAUB6 peldaul a kovetkez}o c-kb}ol all: p q p p c0 = (1 + 10 + 5 + 2 10)=16 2 q p p p c2 = (10 ; 2 10 + 2 5 + 2 10)=16 2 q p p p c4 = (5 + 10 ; 3 5 + 2 10)=16 2 q p p p c1 = (5 + 10 + 3 5 + 2 10)=16 q p p c3 = (10 ; 2 10 ;

2 5 + 2 10)=16 p q p p c5 = (1 + 10 ; 5 + 2 10)=16 1.52 A Diszkret Wavelet Transzformacio A Diszkret Wavelet Transzformacio (DWT) az el}oz}oekben megismert wavelet matrix egymas utani hierarchikus alkalmazasat jelenti: el}oszor a teljes N hosszusagu adatsorra alkalmazzuk, ezutan a simtott" adatokat kivesszuk, es ezt az N=2 adatsort szorozzuk be a matrixszal, majd a simtott-simtott" adatokkal ismeteljuk meg a m}uveletet, s.t Az eljarast egeszen addig folytatjuk, amg csak ket komponens nem marad: 2 3 2y 3 2s 3 2 3 2S 3 2S 3 66 DS11 77 66 y12 77 66 d11 77 66 ss12 77 66 S12 77 66 S12 66 S 77 66 y 77 66 s 77 66 s 77 s.  .t 66 S3 77 ;! 66 D1 6 27 66 3 77 66 2 77 66 3 77 6 7 66 D 66 y4 77 66 d2 77 66 s4 77 matrix 666 D2 777 sorbarakas 66 S4 77 66 D2 7 6 66 y5 77 66 s3 77 66 s5 77 ;! 66 S3 77 ;! 6 D1 7 66 1 7 6 66 D3 77 66 y6 77 66 d3 77 66 s6 77 66 D2 77 66 D2 66 S4 77 66 y7 77 66 s4 77 66 s7 77 66 D3 77 66 D3 66 77 66 y 77 66 d 77 66 77 7

6 66 D4 D D s 66 4 77 66 4 77 66 8 77 matrix 66 4 77 sorbarakas 66 8 77 66 d1 d 66 1 77 66 d1 77 66 y9 77 ;! 66 s5 77 ;! 66 d1 77 66 d2 66 d2 77 66 d2 77 66 y10 77 66 d5 77 66 d2 77 66 66 d3 77 66 d3 77 66 y11 77 66 s6 77 66 d3 77 66 d3 7 6 66 d4 77 66 y12 77 66 d6 77 66 d4 77 66 d4 77 66 d4 66 d 77 66 y 77 66 s 77 66 d 77 66 d5 77 66 d5 5 5 13 7 66 77 66 77 66 77 66 77 7 6 66 d6 d 7 6 d d 66 6 77 66 y14 77 66 d7 77 66 6 77 64 d6 75 64 d 5 7 4 d7 5 4 y15 5 4 s8 5 4 d7 5 7 d8 d8 d8 d8 y16 d8  O 1.5 WAVELET TRANSZFORMACI 19 20  JELEK FELDOLGOZASA  1. FEJEZET DIGITALIS 0.8 i=1 i=10 i=50 i=150 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 Wavelet bazis 0 100 200 300 400 500 1.10 A bra: A DAUB4 wavelet Lathatoan a transzormacio 2n pont eseten ket S -el es a D, D, d stb. wavelet egyutthatok sokasagaval er veget. Mivel az egesz eljaras ortogonalis transzformaciok sorozata, az DWT maga is ortogonalis linearis m}uvelet Az inverze egyszer}uen az egesz eljaras

megfordtasabol all (termeszetesen a wavelet matrix helyett annak transzponaltjat (inverzet) kell hasznalni). Az inverz DWT segtsegevel kirajzoltathatjuk a DAUB4 waveleteket is. Az 1.10 abran a DAUB4 wavelet i = 1 10 50 es 150 komponense lathato N = 512 pont eseten. Meggyelhet}o, hogy i novekedesevel a fuggveny egyre inkabb egy keskeny intervallumra koncentralodik, ugy, ahogy ezt a transzformacio hierarchikus feleptese alapjan varjuk. A DAUB4 eseteben a wavelet folytonos, de nehany pontban a jobboldali derivalja nem letezik! A DWT segtsegevel a fazisteret hierarchikusan eptjuk fel, egymas utan duplazva a frekvenciat es felezve a pontok szamat (azaz duplazva a pontokra es}o id}ointervallumok szamat). A 111 abran lathato modon az alacsony frekvenciak erteket viszonylag pontosan tudjuk, de el}ofordulasuk idejet nem nagyon ismerjuk. A magas frekvenciaju komponensek erteke rosszul (pontatlanul) ismert, de

helyuket jol ismerjuk A DWT-t a Fourier-transzformaciohoz hasonloan n dimenzioban is elve- 1.11 A bra: A fazister felosztasa a DWT-vel gezhetjuk: ilyenkor egyszer}uen az 1: 2: : : :  n: dimenzio szerint sorban elvegzunk egy egydimenzios DWT-t. 1.53 Wavelet kozeltesek A DWT transzformacioval most mar megkserelhetjuk vegrehajtani a fejezet elejen emltett fazister vizsgalatot. A 112 abran nehany exponencialis lefutsu, kulonboz}o amplitudoju impulzust transzformalunk a wavelet terbe. Figyejuk meg, hogy a fazisterben az egyes impulzusok kornyeken szeles (pontosabban magas) frekvenciaspektrum jelenik meg! Ha a wavelet komponensek kozul csupan az 512=32 legnagyobbat hagyjuk meg (szurke sav), akkor ezek alapjan majdnem tokeletesen megkaphatjuk az eredeti jelet. Ezzel az eljaras segtsegevel (ugyan vesztesegesen de) tomorthetjuk a jelet. Termeszetesen itt nem csak az amplitudot, hanem az adott wavelet

pozciojat is el kell tarolnunk: gy a fenti impulzusokat 1=16-od reszere tomortetuk. Bebizonythato, hogy az osszes ortonormalt bazis kozul a wavelet segtsegevel erhet}o el a Shannon entropia szerint mert legrovidebb lerasa az adatoknak es a modellnek egyszerre. A wavelet raadasul rosszul tomorti a jelhez kevert veletlen zajt: ennek eredmenyekeppen a csak a jelent}os wavelet komponensekb}ol visszaalltott jel eseten megjavtottuk a jel/zaj viszonyt is!  ASOK  1.6 TOMORITESI ELJAR 21 1.12 A bra: Impulzusok DAUB4 wavelet transzformacioja A visszaalltott jel csak a szurkevel jelolt komponenseket hasznalja. A wavelet komponensek nagysag szerint csokken}o sorrendbe vannak rendezve! 22  JELEK FELDOLGOZASA  1. FEJEZET DIGITALIS 1.13 A bra: A wavelet tomortes altalaban nagyon jol alkalmazhato kepek eseten. Szemunk kulonosen erzekeny az elekre, a wavelet transzformalt pedig pontosan ezeket a

valtozasokat tudja jol lerni, gy elegend}o kevesebb parameter rogztese. A 113 abran egy kep es annak wavelet transzformaltja lathato az els}o DAUB4 lepes utan. A transzformalt kepben a bal fels}o kep az x ; y iranyu simtas utan letrejott kep, mellete van a csak vzszintes iranyu, alatta a fugg}olegese, a jobb also kepen pedig a mindket iranyu durvtas" eredmenye. A DAUB4 lepeseket a DWT-nek megfelel}oen folytathatjuk, de erdemes megnezni az egy lepesben simtott kepb}ol visszaalltott kepet a 1.14 abran A visszaalltott kep mellett lathato az eredeti es rekonstrualt kep kulonbsege is (a kulonbseg kevesebb, mint a maximalis amplitudo 1%-a). Figyeljuk meg, hogy a kulonbseg az elek mellett a legnagyobb! 1.6 Tomortesi eljarasok Az elektronikus eszkozokkel letrehozott adatok (programok, kepek, allomanyok) kozul sok tartalmaz reszben ismetl}od}o szakaszokat, reszeket. Ezek 1.14 A bra:

 ASOK  1.6 TOMORITESI ELJAR 23 1.15 A bra: Pelda a szotar feleptesere az LZW eljarasban: a szotar a szaggatott vonal feletti harom a, b, c karakterrel lett inicializalva az adatok altalaban kulonboz}o tomortesi algoritmusokkal (pl. a kozismert pkzip vagy arj) eredeti m eretuk toredekere zsugorthatok. Igy csokkent}o az adatok atvitelehez szukseges id}o, redukalhato a tarolasahoz szukseges hely. Az eljarasok kozul megkulonboztetunk veszteseg nelkuli es veszteseges eljarasokat (ez utobbiak ugyan jobban tomortenek, de az eredeti jelek tokeletes visszaalltasa itt nem lehetseges). A vesztesegmentes tomort}o eljarasok kozul legegyszer}ubb a futasi hossz kod. Ilyenkor pl a 127 alatti karakterek jelzik, hogy hanyszor kell az utanuk jov}o karaktert megismetelni, a 128 feletti karakterek pedig a 128 feletti ertekkel megadott szamu, egymas utan jov}o (kulonboz}o) karaktert jeleznek (hasonlo

eljarast hasznalnak a faxokban is). Az eljaras ugyan egyszer}u, de nem mindig hatasos: pl. egy ABABAB szoveg eseten nem ismeri fel az ismetl}od}o mintat. Ilyen esetekre az un Lempel-Ziv-Welch eljaras tekinthet}o a modszer egyfajta kiterjesztesenek: ekkor folyamatosan egy szotar epul fel sorban, dinamikusan a kodolando adatokbol. Minden egyes bejov}o adat (pl byte) a korabbi adatokkal egyutt egy uj szot hoz letre. Ezt a szotar elemeivel osszehasonltjuk, es a maximalis egyezes}u szotarelem az uj adattal egyutt egy ujabb szotarelemet hoz letre. Nezzuk a kovetkez}o peldat! A szotarat a 1.15 abran lathatjuk, a kodolas pedig a 1.16 abran kovethet}o nyomon A bejov}o adatok balrol jobbra kerulnek vizsgalatra Az els}o karakter a a Mivel nincs hoszabb egyez}o szo a szotarban, ezert a ab szo bekerul a szotarba, 4-es koddal. A tomortett kodot a maximalis egyezes}u szotarelem pozcioja adja, a kimenetre csak az gy

megadott szotar{kod kerul. 24  JELEK FELDOLGOZASA  1. FEJEZET DIGITALIS 1.16 A bra: Az LZW kodok el}oalltasa 1.17 A bra: Az LZW kodok dekodolasa A szotar a meretet tipikusan 212 -216 szora valasztjak. Amikor a szotar megtelik, akkor akkor azt letorlik (pl. byte meret eseten csak az els}o 256 szo marad meg), majd ujra indul az algoritmus. A dekodolashoz a bejov}o kodok alapjan fel kell ujra epteni a szotarat. Ez (a kodolashoz hasonloan) folyamatosan elvegezhet}o, azaz az eljarassal az adatokat folyamatosan tomorthetjuk ill. allthatjuk vissza Tobb, adatfolyamban is hasznalt program is (pl gzip, compress) reszben ezen az algoritmuson alapul. Peldank dekodolasat lathatjuk a 1.17 abran Minden kod rekurzvan helyettest}odik a prex kodjaval (szotarelem kodja) es a kovet}o karakterrel A vegeredmeny az eredeti adatfolyam. Az eljaras hardware segtsegevel is konnyen megvalosthato (gy valos idej}u

diszk tomortes hozhato letre!). Bizonyos esetekben, amikor a bejov}o jelek eloszlasa el}ozetesen pontosan  ASOK  1.6 TOMORITESI ELJAR 25 26  JELEK FELDOLGOZASA  1. FEJEZET DIGITALIS 1.18 A bra: A Human-kodolas rendezesi lepesei 1.19 A bra: A Human-kodolas kodolasi lepesei ismert, a fenti algoritmusoknal esetlegesen jobban tomort}o un. Human-kodolast is hasznalhatunk Ennek lenyege a 119 abran lathato: az eljaras az egyes jeleket (pl. karakterek) el}ofordulasuk valoszn}usegeben sorbarendezi Ezek utan a ket legkisebb valoszn}useg}u jelet helyettesti egy olyan uj jellel, amelynek valoszn}usege a ket jel valoszn}usegenek osszege. Ezutan ujra rendez, majd megismetli az egesz folyamatot egeszen addig, amg csak ket jel nem marad. A kodolashoz megfordul a rendezesi folyamat: pl. a nagyobb valoszn}useg}u jelhez rendeljuk a 0-t, mg az 1-et a kisebbhez Ezek utan visszalepunk egyet a rendezesben,

es ujra 0-t runk a nagyobb, 1-et a kisebb jel kodja utan (prex kodolas). A visszalepeseket addig ismeteljuk, amg minden elemi jelhez hozza nem rendelunk egy kodot (l 119 abra) Az eljaras eredmenyekent a gyakran el}ofordulo jelek kodolasa mindossze nehany bittel tortenik, mg ekozben a nagyon ritka jelek akar 10-14 bites kodot is hasznalhatnak. E rdekes meggyelni, hogy az gy el}oallo kod egyertelm}uen dekodolhato, nem szukseges megjelolni az egyes kodok hatarait. Kerdes: Mekkora a peldaban szerepl}o karaktersorozat es annak Human kodolasanak Shannon-entropiaja? Az eljaras ugyan jol tud tomorteni, de hatranya, hogy a bejov}o jelek eloszlasat ismerni kell (azaz folyamatos on-line tomortest nem tudnk vegezni vele). Ezen ugy segtenek, hogy megvizsgaljak sok, hasonlo jel eloszlasat es ezek alapjan feleptenek egy statikus kodtablat (ennek hasznalata gyorsabb, mivel nem kell elvegezni a

rendez}o-kodolo lepeseket). Statikus kodtabla eseten raadasul nem kell esetr}ol-esetre rogzteni (vagy a kommunikacios vonalon atkuldeni) a kodtablat. A veszteseges kodolasokra peldat lattunk a wavelet transzformacio soran. A korszer}u keptomortesi eljarasok hasonlo technikakat alkalmaznak, itt most az egyik leggyakrabban hasznalt JPEG baseline coding eljarast nezzuk meg: A JPEG kodolast hosszu kutatomunka es kserletezes el}ozte meg. Az kodolasi eljaras 8 bitre korlatozza a be es kimen}o adatok pontossagat A kepet el}oszor 8  8 pixel meret}u negyzetekre bontjak, eltoljak az egyenszintet a skala kozepere, majd diszkret koszinusz transzformacioval (DCT) transzformaljak es 11 bit pontossaggal kvantaljak. A DCT a bejov}o 8  8-es matrixot a kovekez}okeppen transzformalja: A DCT komponenseket a 8  8-as negyzet sarkabol cikk-cakk mintaban haladva egydimenzios sorozatta alaktjak (l. 120 abra) Mivel

gy a DCT transzformalt novekv}o frekvenciaju komponensei egymas melle kerulnek, a homogen, egyszn}u feluletek sok egymas utani 0-at tartalmaznak, ezert az AC komponenseket futasi hossz koddal tomortik. A DC egyutthatok viszonylag lassan valtoznak, ezert ezeknel csak a korabbi ertekekhez viszonytott elterest adjak meg (delta kodolas). A szabvany megad el}ore rogztett Human-kodokat is a kromacitas es luminancia szninformaciok egyszer}u, de hatekony kodolasara is (de sajat Human-kodtablat is lehet hasznalni). A JPEG vesztesegenek merteke allthato: nagyobb pontossaghoz nagyobb lemeret tartozik Mivel az eljaras jol alkalmazkodik a gyakran el}ofordulo sima feluletekhez, ezert pl. egy 1 : 25 aranyban osszenyomott JPEG kep altalaban meg elvezhet}o min}oseg}u. Az eljaras a 8  8 pixelekbol allo negyzetek miatt lokalisan adaptv, azaz kepes alkalmazkodni az elekhez is: itt ugyan tobb DCT komponenst kell

meg}orizni, de altalaban viszonylag keves ilyen (8  8-as) blokk akad egy kepen.  ASOK  1.6 TOMORITESI ELJAR 1.20 A bra: A DCT komponensek sorbarendezese 27 28  JELEK FELDOLGOZASA  1. FEJEZET DIGITALIS 30  2. FEJEZET JELEK VIZSGALATA ZAJ JELENLETEBEN 2. Fejezet Jelek vizsgalata zaj jelenleteben 2.1 A zajok jellemz}oi A merestechnika egyik legfontosabb celja: kuzdelem a mindig, mindenutt jelenlev}o zaj ellen. A zajok altalaban nem kvant, de az altalunk eppen vizsgalt mennyiseget befolyasolo termeszeti folyamatok eredmenyei, gy konnyen atlathato, hogy sokfajta zaj letezhet. (A zajok sohasem szuntethet}ok meg, szemben a zavarokkal. A zavarok ember-keltette jelek, pl fenycsovek m}ukodeset}ol szarmaznak Megszuntetesuk, csokkentesuk csak elvben lehetseges, a valosagban sokszor lehetetlen.) A zajok csak valoszn}usegi adatokkal jellemezhet}ok, e jellemz}ok maguk is valoszn}usegi valtozok Ket gyakran hasznalt

fogalmat a 2.1 abra alapjan ertelmezunk: feher zajrol akkor beszelunk, ha a zaj energia/teljestmenyspektruma egy adott frekvenciatartomanyban allando ertek}u. | Gauss zajnak azt nevezzuk, amikor a zaj pillanatnyi amplitudo eloszlasa a Gauss fele valoszn}usegeloszlast koveti. E ket dolog nem szuksegkeppen jar egyutt, de a valosagos zajok, | pontosabban a matematikai modszerekkel targyalhato zajok | tobbsege ilyen. (Gyakran beszelunk un random zajrol is. Itt a pillanatnyi amplitudo eloszlasa egyenletes, allando ertek}u. A DSPLAY program a Gauss es random zajok eloszlasat konnyen szemleltethet}ove teszi. Zajok eseteben a szokasosan mert mennyisegek (atlagertek, effektvertek, csucsertek) kozul tulajdonkeppen csak az effektverteknek van ertelme. Ha egy nagysagu egyenaramu jelre egy szorasu Gauss eloszlasu zaj szuperponalodik, akkor e jel teljestmenye: Z1 teljes{tmeny = ( + x)2 G(x)dx = 2 + 2 = P= +

P : ;1 29 2.1 A bra: A Gauss-zaj es a feherzaj (Ezt az osszefuggest csak bizonyos valoszn}usegszamtasi ismeretek birtokaban lehet atlatni, ertelmezni. ) Ez azt jelenti, hogy | a varakozasnak megfelel}oen | a jel teljestmenye az egyen- es valtakozoteljestmenyek osszege. Az azonban nagyon erdekes es ertekes eredmeny, hogy a zaj effektv ertekenek meresekent kapott mennyiseg (teljestmeny) a szorasnegyzettel egyezik meg = 0 eseten. Igy tehat egy meglehet}osen osszetett valoszn}usegi adatot viszonylag hetkoznapi m}uszerrel, vagyis un. valodi effektvertek mer}ovel kozvetlenul merhetunk Ha ismerjuk az n0 erteket, vagyis az egy Hz savszelessegre juto zajteljestmeny nagysagat, akkor a B savszelesseg}u feher zaj teljestmenye az alabbi osszefuggesb}ol szamolhato: Pzaj = n0 B : 2.2 Integralo voltmer}o Regota hasznalatos merestechnikai fogas, hogy zajos egyenfeszultseg}u jelet  onosen

erezhet}o, hogy gy ugy mernek, hogy bizonyos ideig integraljak. Oszt az ingadozasok csokkennek, a zaj kiatlagolodik". Az integralasbol adodo zajcsokkenes merteket viszonylag egyszer}uen meghatarozhatjuk. A T idej}u integralas sulyfuggvenyet a 2.2 abra alapjan allthatjuk el}o Ha egy delta fuggvenyt T ideig integralunk, akkor T szelesseg}u impulzust  2.3 KVAZIPERIODIKUS JELEK MERESE ZAJ JELENLETEBEN 31 32  2. FEJEZET JELEK VIZSGALATA ZAJ JELENLETEBEN " " " jel zaj jel zaj jel 2.3 A bra: Meresek megismetlesenek hatasa a zaj S=N viszonyra 2.2 A bra: Az integralo voltmer}o m}ukodesi elve kapunk, az id}oszak vegen ugyanis az integralas megsz}unik. Teermeszetesen az integralt erteket egy alkalmas szamlalo, vagy egyeb eszkoz megorzheti. Az integralassl nyert impulzus teljestmenyspektrumat Fourier transzformacioval allthatjuk el}o. A spektrum zome" az f = 1=T tartomanyba

esik, a tovabbi szakaszok elhanyagolhatok. Ha a bemen}o zaj B savszelesseg}u es P teljestmeny}u volt, akkor a kimeneti zaj: Pzaj = 2 ki 2 be : = n0 Beff BT Lathatjuk, hogy BT ertek ugyes megvalasztasaval a kimeneti zajt a bemeneti zaj toredekere csokkenthetjuk. E rdekessegkent megemltjuk, hogy az integralo voltmer}ok integralasi idejet altalaban a halozati feszultseg periodusidejenek egeszszamu tobbszorosere valasztjak, hogy az ebb}ol a zavarforrasbol szarmazo hibat a lehetseges minimum kozeleben tartsak. 2.3 Kvaziperiodikus jelek merese zaj jelenleteben A zajok integralassal/osszegezessel valo eliminalasanak technikaja periodikus, vagy periodikussa tett jelek eseten is jo eredmenyekre vezet. Periodikus- # # # 1 meres v(i) =p 2 Nv(i) =p N 2 N meres = p1 N javulas sa ugy tehetunk jeleket, hogy egy-egy triggerjel hatasara lezajlo folyamatok eredmenyet osszegezzuk. Ez az eljaras igen

gyakori pl a neuroziologiaban, a geozikai meresek egy csoportjaban, stb. Az integralas csak akkor hatekony, ha igen nagy pontossaggal ismerjuk a periodusid}ot es a fazishelyzetet, vagy a merend}o es osszegezend}o folyamatot ismert jelekkel mi magunk valtjuk ki. Az integralas/osszegzes megvalostasahoz a 2.3 abra vazlata szerint id}okozonkent k-szor mintakat veszunk a merend}o folyamatbol, es ezt N -szer megismeteljuk, | a mert jeleket pedig "csatornankent" osszegezzuk. A mintaveteli folyamatokat indtojelek kedemenyezik, - ezeknek termeszetsen nem kell periodikusaknak lenniuk, ha ezek az indtojelek egyuttal a merend}o folyamatot is azonos modon triggerelik. Az eljaras ertekelesere leginkabb a jel/zaj viszony vizsgalata alkalmas. Az osszegezes a hasznos jel amplitudojat N -szeresere noveli, ugyancsak N-szeresere novekszik a zajokbol szarmazo szorasnegyzet is. Ered}okent azt kapjuk, hogy a jel/zaj

javulas merteke N negyzetgyokevel aranyos. (Ismetelten utalnunk kell bizonyos valoszn}usegszamtasi ismeretekre) A modszer hatekonysaganak illusztralasara a 2.4 abrara utalunk Az abra fels}o reszen az agybol valamilyen (pl. akusztikus) inger hatasara kivaltott jelet mutatunk, amelyet egy idegsejtbe bedugott kicsike elektrodaval detektalunk. Ez a jel kiertekelhetetlenul zajosnak latszik 64 atlagolas utan az abra also reszen -azonban jol lathato a tenyleges hullamforma, mely mar tovabbi osszegezessel sem valtozik lenyegesen. - Sikerult tehat olyan folyamatot egyertelm}uen rogzteni, amelyiknel a zaj merteke az egyedi esemenyek amplitudojanal lenyegesen nagyobb. Az osszegezesi eljaras a frekvenciatartomanyban is ertelmezhet}o. Ezert  ANAK  2.4 ISMERT JELALAK AMPLITUDOJ MERESE 33 34  2. FEJEZET JELEK VIZSGALATA ZAJ JELENLETEBEN 2.4 A bra: A jel/zaj viszony javulasa N = 64 atlagolas utan

hatarozzuk meg N szamu, egymast T id}okozzel kovet}o delta fuggvenyb}ol allo jel frekvenciaspektrumat: NX ;1 ;j!TN ;j!TN j!TN=2 ;j!T=2 e;j!T = N e(e;j!TN;;11) = N1 11;;ee;j!T eej!TN=2 ee;j!T=2 = V (!) = N1 2.5 A bra: A fes}ussz}ur}o frekvenci- 26 A bra: Negyszogjel kiemelese akarakterisztikaja fes}ussz}ur}ovel n=0 fNT ) : =) jV (f )j = N1 sin( = 1 j 2 sin(!NT=2) N j 2 sin(!T=2) sin(fT ) A frekvenciakarakterisztikak alakjat a 2.5 abran lathatjuk Az abra nagyon erdekes: azt mutatja, hogy a mintak szamanak novelesevel a karakterisztika egyre inkabb fes}uszer}u" lesz, vagyis csak olyan periodikus jelek tudnak rajta atjutni, amelyek komponensei eppen a karakterisztika fogaival" egyeznek meg. A 26 abra ennek a tenynek egy specialis alkalmazasat mutatja Itt egy 200 Hz-es negyszogjel es egy 2001 Hz-es szinuszhullam egy szakasza lathato. 16000 osszegezes utan csak a negyszogjel marad A fesus sz}ur}o fogainak savszelessege

ez esetben kb. 001 Hz ! alulatereszt}o halozaton halad keresztul (l. 27 abra Vizsgaljuk meg kvalitatven, hogyan valtozik az idealis alulatereszt}o kimeneten a jelnek es a zajnak a ngysaga. Az abra jobb oldalan az latszik, hogy H savszelessegenek novelesevel a kimeneten eszlelhet}o jel amplitudoja egy hatarig novekszik, majd gyakorlatilag allando ertek}u marad. A kimeneten eszlelhet}o zaj H savszelessegenek novelesevel aranyosan n}o Sejthet}o, hogy letezik egy optimum, amikor a jel mar eleg nagy, de a zaj meg mersekeltt, vagyis a jel/zaj a legnagyobb ertek}u. A jel/zaj fogalom igen fontos, szamos szakma hasznalja 2.4 Ismert jelalak amplitudojanak merese A kerdest altalanosabban is fogalmazhatjuk. Ha ismerjuk a bemen}ojel alakjat, hogyan kell a halozat frekvenciakarakterisztikajat megvalasztani, hogy a kimeneten megjelen}o jel maximumabol a lehet}o legnagyobb biztonsaggal kovetkeztethessunk a bemen}ojel

amplitudojara? Egy t szelesseg}u negyszogimpulzus amplitudojat kivanjuk igen szeles savu feherzaj kornyezeteben megmerni. Mind a zaj, mind a jel egy H idealis Keressuk az alabbi osszefugges maximumat h(t) fuggvenyeben (S=N = Signal/Noise ratio = jel/zaj viszony):  ANAK  2.4 ISMERT JELALAK AMPLITUDOJ MERESE 35 36  2. FEJEZET JELEK VIZSGALATA ZAJ JELENLETEBEN 2.7 A bra: Az illesztett sz}ur}o elve 2.8 A bra: Illesztett sz}ur}o optimuma idealis es RC alulatereszt}o sz}ur}o eseten R 1 v( )h(t ; )d ]2 S =  ;1 R 1 h20( )d N n0 ;1 Alaposabb - itt nem reszletezett - matematikai elemzes szerint maximalis erteket akkor kapunk, ha h(t) = v(t0 ; t), vagyis optimalis halozatvalasztas csak a bemen}ojel ismereteben lehetseges. (Az esetleg nekunk uzen}o kis{ zold{emberkek jeleit tehat semmikeppen sem tudjuk | legalabbis kezdetben | optimalis korulmenyek kozott detektalni.) Ha a halozat a jelhez ilyeten modon

alkalmazkodik, akkor un. illesztett-sz}ur}os jeldetektalasrol beszelunk Termeszetesen a halozat frekvenciakarakterisztikaja is pontosan meghatarozhato a h(t) = v(t0 ; t) feltetelb}ol. Illesztett sz}ur}ot LRC elemekb}ol nem minden bemen}o jelalakhoz lehet keszteni, peldanak okaert az exponencialis lefutasu triggerjel tukrozott valtozata zikailag lehetetlen halozatot tetelez fel. Termeszetesen digitalis sz}ur}ovel ez is megkozelthet}o, tetsz}oleges pontossaggal. Arra a kerdesre, hogy mennyire erdemes az illesztett sz}ur}os optimumra torekedni, a 2.8 abrarol kaphatunk nemi informaciot Ha egy szelesseg}u impulzust kulonboz}o B savszelesseg}u alulatereszt}on kuldunk keresztul, akkor a jel/zaj az idealis esethez kepest termeszetesen rosszabb lesz. A romlas mer- teket az abrarol olvashatjuk le. Az is lathato, hogy az idealis alulatereszt}o sz}ur}o sokkal kevesbe erzekeny az impulzus szelessegere. Az illesztett

sz}ur}o fogalmahoz masfajta gondolkodassal is eljuthatunk (2.9 abra). Tetelezzuk fel, hogy a bemen}ojel ket Dirac-deltabol all, amelyek egymashoz kepesti amplitudoaranyat ismerjuk Keressuk azt a halozatot, amely a ket jelet | zaj jelenleteben | ugy kombinalja, hogy egyetlen meresb}ol minel pontosabb adatot kapjunk a bemen}ojel amplitudojara, A-ra. @ S S = (A + A  )2 = A2 (1 +  )2 N n20 (1 +  )2 n20 1 +  2 @ N )  = (n + nT )2 = n2 + 2nnT +  2n2T A halozatkent valasszunk egy nagyon egyszer}u digitalis (FIR) sz}ur}ot, amelynek egyetlen parametere ( ) ismeretlen. A jel/zaj-ra felrt osszefugges szels}oertek helyenek keresese a  = osszefuggesre vezet. (Az osszefugges levezetesenel felhasznaltuk azt a tenyt, hogy a kell}okeppen kesleltetett zajjelek szorzatanak atlagerteke zerus.) A halozat sulyfuggvenye tehat a bemen}ojel tukorkepe lesz, - amint azt az el}obbi, altalanosabb meggondolasbol is lattuk. 2.5

Wiener sz}ures A 1.6 fejezetben lattuk, hogy a dekonvolucio segtsegevel egy H (!) halozat torztasat egy K (!) = 1=H (!) korrekcios halozattal kompenzalhatjuk a frekvenciaterben. A modszer alkalmazasanak mindenkeppen korlatot szab- } ES 2.5 WIENER SZUR 37 38  2. FEJEZET JELEK VIZSGALATA ZAJ JELENLETEBEN 2.11 A bra: A kep Fouriertranszformaltja (az egyenszint a kep kozepere van eltolva) 2.10 A bra: Zajos eredeti kep 2.9 A bra: Ket Dirac-deltabol allo jel amplitudomeresenek optimalizalasa illesztett sz}ur}ovel nak a zajok. E rdemes tehat megvizsgalni, hogy zaj jelenleteben hogyan lehet meghatarozni az optimalis sz}ur}ot. Legyen Vki(!) = Vbe(!)H (!), es merjuk a zajos vz (t) = vki + z(t) jelet, ahol z(t) a meres soran megjelen}o zajt rja le. Az optimalis K (!) sz}ur}o az lesz, amelyik eseten a mert Vz (!)-t megsz}urve, majd ezt dekonvolvalva a H (!)-val az gy kapott V a legjobban kozelt Vbe-hez. Azaz V (!) =

Vz (!)K (!)=H (!) R 1 eseten ;1 j V (!) ; Vbe(!) j2 d! minimalis. Behelyettestve V (!)-t kap- juk, hogy: Z1 ;1 j (Vki(!) + Z (!))K (!)=H (!) ; Vki(!)=H (!) j2 d! Mivel a zaj es a jel korrelalatlan, ezert keresztszorzatuk elt}unik. Ekkor a keplet Z1 j H (!) j;2 (j Vki(!) j2j 1 ; K (!) j2 + j Z (!) j2j K (!) j2)d! ;1 alaku lesz. Ez nyilvanvaloan csak akkor lesz minimalis, ha K (!) minden ! ertekenel minimalis. Derivalva K (!) szerint megtalalhatjuk a minimumot K (!) =j Vki(!) j2 =(j Vki(!) j2 + j Z (!) j2) Ez lesz az optimalis Wiener sz}ur}o alakja. A sz}ur}o ugy m}ukodik, hogy ahol Vki(!) sokkal nagyobb, mint Z (!), ott 1 koruli erteket vesz fel, ahol pedig a zaj teljestmenye sokkal nagyobb ott pedig kb. a jel/zaj viszony negyzetevel csokkenti a Vki ertekeit. Figyeljuk meg, hogy a Wiener sz}ur}o nem tartalmazza a rendszer sulyfuggvenyet, csak a zaj es a jel teljestmenyspektrumat. Az optimalis sz}ur}ohoz ezert meg kell hatarozni a

zaj teljestmenyspektrumat is (nem feher-zajunk is lehet!). A legegyszer}ubb esetben ezt egy Z (!) = konstans helyettestessel vegezhetjuk el. Nagyobb pontossagot mar a Z (!) durva megbecsulesevel is konnyen elerhetunk, ui. a Wiener-sz}ur}o masodrendben tartalmazza Vki-t es Z -t. 2.6 F}okomponens analzis Alkossanak meresi adataink minden id}opillanatban egy n dimenzios vektort. Tekintsuk X kifejteset egy i ortonormalis (azaz ij = ij ) bazis szerint: X= n X i=1 yi i = )Y } 2.6 FOKOMPONENS ANALIZIS 39 40  2. FEJEZET JELEK VIZSGALATA ZAJ JELENLETEBEN = = n X i=m+1 n X i=m+1 Ti E f(X ; E X])(X ; E X])T gi Ti +X i Az itt szerepl}o +X az adatok un. kovariancia matrixa Bebizonythato, hogy i-re az optimalis valasztas a +X i = ii 2.12 A bra: Az alkalmazott Wiener-213 A bra: A sz}urt es visszaalaktott kep sz}ur}o , ahol ) = 1 : : : n] es Y = y1 : : : yn ]T . Az ortonormalitas miatt igaz lesz, hogy yi = iX. Lathato,

hogy Y egyszer}uen X egy elforgatottja lesz A f}okomponens analzisben i-t tulajdonsagnak nevezzuk, egy ilyen tulajdonsag erteket az adatokon a yi komponensek merik. Tegyuk fel, hogy ki szeretnenk valasztani m(< n) olyan -t, amelyik X-et legjobban kozelti. Ehhez Y nem hasznalt tagjait (el}ore meghatarozando) bi konstansokkal helyettestjuk: ^ (m) = X m X i=1 yi i + n X i=m+1 bii Minimalizalni akarjuk a 2 elteres-negyzetet, ekkor (az itt szerepl}o E () a varhato erteket adja meg): 2 = E fkX ; X^ (m)kg n n X X (yi ; bi )(yj ; bj )Ti j g = Ef i=m+1 j =m+1 = n X i=m+1 E f(yi ; bi )2g A minimumhoz derivalnunk kell 2-t bi szerint. Innen kapjuk, hogy bi = E fyig. Ezt visszarhatjuk 2 -be: 2 = n X i=m+1 E f(yi ; E yi ])2g , azaz a i a i sajatertekhez tartozo sajatvektor. Igy 2 = n X i=m+1 i Azt az eredmenyt kaptuk tehat, hogy a (a 2 kozeltes ertelemben) a legjobb linearis reprezentaciot akkor kapjuk, ha a

kovariancia matrix sajatvektorai szerinti ortogonalis transzformaciot valasztjuk. Itt celszer}u a sajatvektorokat monoton csokken}o sorba rendezni (azaz az i index szerint i j , ha i > j . Az eljaras neve is innen ered: ha csak az m(< n) f}o" komponenst valasztjuk ki, akkor az elteres az eredeti adatoktol minimalis lesz. A 2.14 abran ez az analzist lathatjuk ket dimenzioban A 1 es 2 sajatvektorok az eloszlas f}o tengelyeit alkotjak, mikozben a 1 es 2 sajatertekek megmondjak a 1 es 2 tengelyek menten az eloszlas varianciajat. Mivel yi = Ti X, ezert y1 es y2 lesznek X vetuletei a a 1 es 2 tengelyekre. A yi tulajdonsagok tobb szempontbok is vonzoak: pl. ha toroljuk az yi tulajdonsagot, akkor a kozeltes hibaja i-vel n}o meg. Ez lehet}oseget biztost az adatok veszteseges tomortesere is: amennyiben csak a legnagyobb m sajatkomponenst es az arra vett vetuleteket taroljuk, akkor a visszaalltas soran az

atlagos elteres erteke Pni=m+1 i lesz. Ha ez sokkal kisebb, mint Pmi=1 i, es m sokkal kisebb, mint n, akkor jelent}os tomortest erhetunk gy el. Tovabbi jo tulajdonsag az eljarasnak, hogy az egyes tulajdonsagok egymastol fuggetlenek, azaz az yi-k egymas kozotti korrelacioja 0. A f}okomponens analzis az adatok entropiajara is szels}oerteket biztost: bebizonythato, hogy az osszes linearis transzformacio kozul ez minimalizalja az adott transzformacio Y tereben mert entropiamaximumot (minimax viselkedes). E rdekessegkent megjegyezzuk, hogy stacionarius id}osorok eseten a f}okomponens analzis yi tulajdonsag-fuggvenyei ej! t alakuak lesznek, azaz ekkor i } 2.6 FOKOMPONENS ANALIZIS 41 2.14 A bra: Pelda ket dimenzioban a f}okomponens analzisre visszakapjuk a Fourier-transzformaciot! Ez talan nem is annyira meglep}o, ha visszagondolunk, hogy a Fourier-transzformaciot 2 minimalizalassal is bevezethetjuk. A

f}okomponens analzis hatranyai kozott emlthetjuk, hogy nem mindig (zikailag) ertelmes a +X matrix szamolasakor levonni az E X] atlagerteket. Termeszetesen ezt elhagyhatjuk, hiszen +X helyett barmilyen (nem szingularis) szimmetrikus matrixot vehetunk, de ekkor a korabban emltett minimalizacios tulajdonsag nem lesz igaz. A masik hatrany, hogy az eljaras csak linearis tulajdonsagokat kepes megtalalni, pl. egy adott skban korvet lero adatoknal nem talalja meg (legfeljebb kozelti) az adott vnek megfelel}o egydimenzios teret. Ezt a hatranyt az adatok normalizalasakor ki is hasznalhatjuk: pl az xi adatokat kxk szerint normalva a f}okomponens analzis rendben vegrehajthato, mg a zi = xi= Pnj=1 xj normalast hasznalva ezt nem tehetjuk meg, mivel +X szingularis lesz