Mathematics | Higher education » Andai Attila - Tételgyűjtemény a Tomita-Takesaki elméletéből

Tetelgy}ujtemeny a Tomita-Takesaki elmeleteb}ol Andai Attila Az itt szerepl}o tetelekhez szukseges fogalmak es bizonytasok megtalalhatok a V. S Sunder: An invitation to von Neumann algebras konyvben. Ez tanulasi segedanyag, melyben el}ofordulhatnak hibak! Tomita-Takesaki elmelet 1 Tomita-Takesaki elmelet 1. Bevezetes Legyen S; T  L(H), ekkor a kovetkez}ok teljesulnek: (1) ha S  T , akkor T 0  S ; (2) minden n 2 N, n > 0 termeszetes szamra S  S 00 = S (2n) es S 0 = S (2n 1); (3) ha S onadjungalt, akkor S 0 is onadjungalt; (4) az S 0 gyengen zart reszalgebraja L(H)-nak es IdH 2 S 0. Legyen M nem degeneralt onadjungalt reszalgebraja L(H)-nak. Ekkor a kovetkez}ok ekvivalensek: (1) M = M 00 ; (2) M gyengen zart; (3) M er}osen zart. Legyen A egysegelemes C -algebra. Minden a 2 A elem felrhato negy uniter operator konvex kombinaciojakent. Legyen x 2 L(H) es M Neumann-algebra L(H)-ban. Az x operator pontosan akkor eleme M

-nek, ha minden u 2 M 0 uniter operatorra uxu = x teljesul. Legyen M Neumann-algebra es x 2 M . (1) Ha x = ujxj polar felbontasa x-nek, akkor u; jxj 2 M . (2) Ha x normalis, akkor minden F  Sp(x) Borel-halmazra 1F (x) 2 M . A H onadjungalt operatorainak minden uniform korlatos monoton altalanostott sorozata gyengen konvergens. Legyen M Neumann-algebra es e; f 2 P (M ). Ekkor a kovetkez}o alltasok ekvivalensek: (1) exf = 0 minden x 2 M elemre; (2) c(e)c(f ) = 0, ahol c(e) az e projektor centralis fedese: c(e) = ^ff 2 P (M ) Z (M ) j e  f g: 2 V. S Sunder: An invitation to von Neumann Algebras Ha e es f nem nulla projekciok az M Neumann-faktorban, akkor letezik olyan u 2 M nem nulla parcialis izometria, hogy uu  e es uu  f . 2. Murray-Neumann osztalyozasa a faktoroknak Legyenek (Mi )i2N es (Ni )i2N az M Neumann-faktorba befoglalt (aliated to M ) zart alterek. A  relacio P (M )-en megszamlalhatoan additv az alabbi ertelemben: ha

Mn  Nn minden n 2 N eseten valamint minden m; n 2 N, m 6= n szamra Mm ? Mn es Nm ? Nn, akkor M n2N Mn  M n2N Nn : Legyenek M; N az M Neumann-faktorba befoglalt zart alterek. Ha M  N es N  M, akkor M  N . Legyenek M es N az M Neumann-faktorba befoglalt zart alterek. Ekkor vagy M  N vagy N  M. Legyenek M; N az M Neumann-faktorba befoglalt zart alterek, ahol az M elemei a H szeparabilis Hilbert-ter linearis operatorai. Ha M  N es N veges, akkor M is veges, vagyis ha letezik vegetlen M akkor H vegtelen dimenzios. Legyen M a H szeparabilis Hilbert-ter linearis operatoraibol allo Neumannfaktor es M; N az M -be foglalt olyan zart alterek, hogy N 6= f0g. Ekkor letezik M-nek olyan paronkent ortogonalis (Ni )i2I alterrendszere es olyan R linearis altere M-nek, hogy (1) minden i 2 I eseten Ni es R az M -be foglalt linearis alterek, (2) ! M= M i2I Ni  R; (3) minden i 2 I indexre Ni  N , (4) R  N es R  N . Ha ebben a felbontasban az I

indexhalmaz vegtelen, akkor letezik olyan felbontas is, ahol R = f0g. Tovabba az I indexhalmaz szamossaga ([M=N ]) fuggetlen a felbontastol. Tomita-Takesaki elmelet 3 Legyen M a H szeparabilis Hilbert-ter operatoraibol allo Neumann-faktor es M az M -be foglalt olyan zart alter, hogy M 6= f0g. (1) A M alter pontosan akkor vegtelen, ha M felrhato M = B  M B?
alakban, ahol M  B  (M B?). (2) Ha N az M -be foglalt zart alter es M vegtelen, akkor N  M. Legyen M a H szeparabilis Hilbert-ter linearis operatoraibol allo Neumannfaktor es M; N ; B az M -be foglalt olyan zart alterek, hogy B  MN es M ? N . Ekkor letezik M = M1  M2  M3; N = N1  N2  N3; B = M2  N2  B0 felbontasa az altereknek az alabbi tulajdonsagokkal: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) B0; Mi ; Ni; i 2 f1; 2; 3g eseten az M -be foglalt linearis alterek; M2 = M B; M3 = M B?; N2 = N B; M3 = N B?;
M1 = M M2  M3 ?;
N1 = N N2  N3 ?; B0 = f + A j  2 Dom Ag;

ahol az A olyan M -be foglalt zart operator, hogy: Dom A = M1 ; Ran A = N1; ker A = f0g; M1  N1  B0: Legyen M a H szeparabilis Hilbert-ter linearis operatoraibol allo Neumannfaktor es M; N ; B az M -be foglalt olyan zart alterek, hogy B  MN es M ? N . Ekkor vagy B  M vagy (M  N ) B?  N : Legyen M a H szeparabilis Hilbert-ter linearis operatoraibol allo Neumannfaktor es M; N az M -be foglalt olyan veges zart alterek, hogy M ? N . Ekkor M  N is veges. Legyen M a H szeparabilis Hilbert-ter linearis operatoraibol allo Neumannfaktor es M; N az M -be foglalt alterek, ekkor 
 M + N N ?  M: V. S Sunder: An invitation to von Neumann Algebras 4 Legyen M a H szeparabilis Hilbert-ter linearis operatoraibol allo Neumannfaktor es M; N ; B az M -be foglalt zart alterek. Ha M es N veges, akkor M + N is veges. Ha M II-tpusu Neumann-faktor, melynek elemei a H szeparabilis Hilbert-ter linearis operatorai, akkor letezik M -be

foglalt veges, nem zerus altereknek olyan (Ni )i2N sorozata, hogy minden n 2 N szamra [Nn=Nn+1]  2 teljesul. Legyen M a H szeparabilis Hilbert-ter linearis operatoraibol allo Neumannfaktor es M; N ; B M -be foglalt veges, nem zerus linearis alterek. Ekkor  B   M   B   B    B   M
N  N < M +1
M +1 ; ha M ? B akkor M  B  M  B M  B  N + N  N < N + N + 2: teljesul. Legyen M a H szeparabilis Hilbert-ter linearis operatoraibol allo II tpusu Neumann-faktor es M; B M -be foglalt veges, nem zerus linearis alterek es (Ni )i2N az M alapsorozata (fundamental sequence for M ). Ekkor 8n 2 N : M Nn 6= 0; M lim N = 1; n n!1 hMi Nn i h lim 2 R+; n!1 B Nn teljesul. Legyen M Neumann-faktor, ekkor letezik D : P (M ) ! [0; 1] dimenziofuggveny az alabbi tulajdonsagokkal: (1) legyen M; N 2 P (M ) pontosan akkor M  N , ha D(M) = D(N ), (2) legyen M; N 2 P (M ) es M ? N , ekkor D(M  N ) = D(M) + D(N ), (3) a M 2 P (M

) alter pontosan akkor veges, ha D(M) < 1. Tomita-Takesaki elmelet 5 A D dimenziofuggveny valos pozitv szamszorzo erejeig egyertelm}u. Legyen M Neumann-faktor es D a P (M )-en ertelmezett dimenziofuggveny. Ekkor (1) az M; N 2 P (M ) alterekre M  N akkor es csak akkor teljesul, ha D(M)  D(N ), (2) a D fuggveny megszamlalhatoan additv az alabbi ertelemben: ha (Mi)i2N paronkent ortogonalis M -be foglalt zart linearis alterek, akkor D M n2N ! X Mn = n2N D(Mn ) teljesul. Legyen M Neumann-faktor, mely a H szeparabilis Hilbert-ter operatoraibol all, D a P (M ) feletti dimenziofuggveny es
:= fD(M) j M M -be foglalt alterg; ! := D(H): Ekkor (1) (2) (3)
 [0; !]; ha ; 2
es < ; akkor 2
; X X ha 8i 2 N : i 2
es i  !; akkor i2
i2N i2N teljesul. Legyen M Neumann-faktor, mely a H szeparabilis Hilbert-ter operatoraibol all, D a P (M ) feletti dimenziofuggveny es
:= fD(M) j M M -be van foglalvag: Ekkor
az

alabbi halmazok kozul pontosan eggyel azonosthato: (In) (I1) (II1) (II 1) (III ) f0; a; 2a; : : : ; nag; a 2 R+; n 2 N; fna j n 2 Ng; a 2 R+; [0; !]; ! 2 R+; [0; 1]; f0; 1g: 6 V. S Sunder: An invitation to von Neumann Algebras 3. A Tomita-Takesaki elmelet Legyen M a H szeparabilis Hilbert-ter operatorainak Neumann-algebraja es  olyan normalis pozitv linearis funkcional M -en, azaz  2 M;+, hogy  h}u funkcional. Ekkor letezik egy (H ;  ;  ) harmas, ahol (1) H Hilbert-ter, (2)  : M ! L(H ) *-algebra homomor zmus, (3)  2 H es H =  (M )  , (4) minden x 2 M eseten (x) = h (x)  ;  i: Ha a (H ;  ;  ) harmas szinten rendelkezik a fenti tulajdonsagokkal akkor egyertelm}uen letezik egy w : H ! H uniter operator, hogy w  =  es minden x 2 M elemre  (x) = w (x)w . Tovabba az M  altali kepe szinten Neumannalgebra,  normatarto es -gyenge homeomor zmus M es  (M ) kozott Legyen M a H szeparabilis

Hilbert-ter operatorainak Neumann-algebraja es ciklikus szeparalo vektora M -nek. Legyenek S0 : M ! H F0 : M 0 ! H S0(x ) := x ; S0(x ) := x konjugalt linearis operatorok. Az S0; F0 operatorok s}ur}un de nialt lezarhato operatorok. Lezarasuk legyen S; F , ekkor S = F  = F0 es F = S  = S0 : Legyen1 M a H szeparabilis Hilbert-ter operatorainak Neumann-algebraja es S = J
2 polarfelbontasa az S operatornak. Ekkor (1) a J onadjungalt, antiuniter operator es
pozitv onadjungalt invertalhato operator, 1 (2) az F = J
2 teljesul es ez az F operator polarfelbontasa, tovabba
= FS es
1 = SF , (3) a J
J =
1 teljesul, tovabba ha f az R+0-on ertelmezett merhet}o fuggveny, akkor Jf (
)J = f(
1); specialisan J
itJ =
it 8t 2 R: Legyen1 M a H szeparabilis Hilbert-ter operatorainak Neumann-algebraja, es S = J
2 polarfelbontasa az S operatornak. Ekkor (1) minden t 2 R eseten
itM
it = M , (2) a JMJ = M 0 teljesul.

Tomita-Takesaki elmelet 7 Legyen M a H szeparabilis Hilbert-ter operatorainak Neumann-algebraja es  normalis h}u pozitv linearis funkcional M -en. Legyen (H ;  ; ) a GNS harmas Ekkor  ciklikus es szeparalo vektora  (M )-nek. Legyenek S; F ; J es
 a szokasos operatorok. Ekkor (1) az  2 Dom(S) Dom(F ) teljesul es S  = F  =  , (2) az  2 Dom(
) teljesul es
  = J  = , (3) legyen minden t 2 R eseten
x 7!  1
it (x)
 it ; t : M ! M ekkor (t )t2R -gyengen folytonos egyparameteres -automor zmusa M nek, (4) az alabbi egyenlet teljesul:
 t (x)  =
it (x)! ; (5) az alabbi feltetelek ekvivalensek: (a)  nyomszer}u; (b) S antiuniter; (c) S = J = F; (d)
 = IdH ; (e) t(x) = x; 8x 2 M; 8t 2 R eseten. Legyen  suly az M Neumann-algebran es D := fx 2 M+ j (x) < 1g; N := fx 2 M j (x x) < 1g; M := (X n i=1 x yi i ) j n 2 N; 8i 2 f1; 2; : : : ng xi ; yi 2 N : Ekkor az alabbiak

teljesulnek: (1) A D orokl}od}oen pozitv kup (hereditary positive cone), vagyis (a) (b) ha x; y 2 D ;  2 R+0; akkor; x + y 2 D ; ha x 2 D ; z 2 M+ ; z  x akkor z 2 D: (2) Az N baloldali ideal M -ben. (3) Az M onadjungalt reszalgebraja M -nek, nem szuksegszer}uen egysegelemes es nem szuksegszer}uen zart akarmelyik operatortopologiaban. (4) Az D = M+ = M M+ teljesul, es M minden eleme el}oallthato negy D -beli elem linearis kombinaciojakent. (5) Ha x; z 2 N es y 2 M , akkor x yz 2 M. (6) Egyertelm}uen letezik olyan  linearis funkcional M-n, hogy  jM;+ = . 8 V. S Sunder: An invitation to von Neumann Algebras Legyen  suly az M Neumann-algebran, ekkor az alabbi feltetelek ekvivalensek: (1) a  normalis, (2) letezik olyan monoton nov}o ( i )i2I altalanostott sorozat M;+-ban, hogy minden x 2 M+ eseten lim (x) = (x); i;I i (3) letezik olyan ( i )i2J csalad M;+ -ban, hogy minden x 2 M+ elemre (x) = X i2J i

(x); (4) a  -gyengen alulrol felig folytonos, vagyis ha xi ; x 2 M+ es lim xi = x; i;I  gyengen akkor (x)  lim inf i;I (xi ). Legyens  h}u, normalis, felig veges suly az M Neumann-algebran, valamint D ; N; M a -hez asszocialt alterek. Szinten  jelolje az M-re kiterjesztett linearis funkcionalt. Ekkor letezik egy (H;  ;  ) harmas, ahol (1) H Hilbert-ter, (2)  : M ! L(H ) *-algebra homomor zmus, (3)  : N ! H olyan linearis lekepezes, hogy minden x; y 2 N es z 2 M eseten h (x);  (y)i = (y x);  (z) (x) = (zx); valamint (N ) s}ur}u H -ben. Ha a (H ;  ;  ) harmas szinten rendelkezik a fenti tulajdonsagokkal akkor egyertelm}uen letezik egy w : H ! H uniter operator, hogy minden x 2 N eseten w(x) =  (x) es minden z 2 M elemre  (z) = w (z)w . Tovabba  normatarto es -gyenge homeomor zmus M es  (M ) kozott. Legyen  h}u, normalis, felig veges suly az M Neumann-algebran, D; N ;

M a -hez asszocialt alterek es (H;  ;  ) a GNS-harmas. Mivel  izomor zmus azonostsuk M -et a  (M ) terrel es tegyuk fel, hogy M  L(H ) es  (x) = x. Legyen U = (N N ), ha 1 =  (x1 ) es 2 = (x2 ), akkor legyen 12 := (x1 x2 ) es 1] := (x1 ): Ekkor (1) az U involutv, asszociatv algebra, Tomita-Takesaki elmelet 9 (2) az U skalarszorzatos ter a kovetkez}o tulajdonsagokkal: (a) (b) h;  i = h; ]  i; 8; ;  2 U 8 2 U :  7!  lekepezes folytonos linearis operator U-n, (3) legyen U2 := (X n i=1 ) i ; i j n 2 N; 8i 2 f1; 2n : : : ; ng : i ; i 2 U ; ekkor a U2 s}ur}u U terben, (4) legyen H az U ter teljestese; az S0 : U ! U  7! ] konjugalt linearis operator kiterjeszthet}o zart operatorra a H terben. Legyen M = L(U ) az U altalanostott Hilbert-algebra baloldali Neumannalgebraja. Ekkor letezik egy J onadjungalt antiuniter operator es egy
pozitv onadjungalt operator

H-ban, azaz U teljesteseben, hogy (1) az S = J
21 es F = J
21 el}oalltas az S; F operatorok polarfelbontasa, (2) a J
J =
1 teljesul, valamint minden R+0-n ertelmezett f merhet}o fuggvenyre Jf (
)J = f(
1 ); (3) a JMJ = M 0 teljesul es minden t 2 R eseten
it M
it = M: Legyen M Neumann-algebra es  2 M;+ olyan funkcional mely teljesti a KMSfeltetelt az ( t )t2R -gyengen folytonos egyparameteres *-automor zmus csoportra nezve. Ekkor minden t 2 R eseten   t =  teljesul Legyen  egy rogztett h}u, normalis, pozitv funkcional az M Neumann-algebran es ( t )t2R olyan -gyengen folytonos egyparameteres *-automor zmus csoportja M nek, hogy minden t 2 R eseten   t = . Azonostsuk M -et a  (M ) terrel es tegyuk fel, hogy letezik olyan 2 H vektor mely ciklikus. szeparalo es minden x 2 M eseten (x) = hx ; xi: Ekkor letezik (ut)t2R er}osen folytonos egyparameteres csoportja az uniter operatoroknak, hogy minden x 2 M es t 2

R eseten utx = t(x) : 10 V. S Sunder: An invitation to von Neumann Algebras Legyen H az (ut)t2R egyparameteres uniter csoport generatora, vagyis u(t) = eitH es BH := Spanff (H )x j x 2 M; f 2 C01g: (1) Ha t = t , akkor ut =
it es H = log
. (2) Minden R-en ertelmezett folytonos g fuggvenyre BHlog(
) a lenyeges magja (core for) g(Hlog
)-operatornak, vagyis

graph g(Hlog
)jBHlog(
) halmaz s}ur}u a graph g(Hlog
) halmazban a norma topologia szerint. (3) A BHlog(
)  M teljesul. (4) Ha t = t akkor a BHlog(
) alter invarians az S operatorra. (5) Ha  2 BHlog(
) es  2 Dom(S ), akkor minden z 2 C elemre h
z ; ] i = h;
1 z] i; valamint az f :C !C z 7! h
z ; ]i fuggveny analitikus. Legyen  h}u, normalis, pozitv linearis funkcional az M Neumann-algebran es ( t)t2R -gyengen folytonos egyparameteres automor zmus csoportja M -nek. Ekkor az alabbi feltetelek ekvivalensek: (1) Minden t 2 R eseten t = t. (2) A  funkcional teljesti a

KMS-feltetelt az ( t)t2R egyparameteres csoportra nezve. Legyen  h}u, normalis, pozitv linearis funkcional az M Neumann-algebran, ekkor   t = : Legyen  h}u, normalis, pozitv linearis funkcional az M Neumann-algebran es legyen M  := fx 2 M j 8t 2 R : t (x) = xg a xpont algebra. Tetsz}oleges x 2 M elem eseten x 2 M  pontosan akkor teljesul, ha minden y 2 M elemre (xy) = (yx). Specialisan M   Z (M ) Legyen  h}u, normalis, felig veges suly az M Neumann-algebran es ( t)t2R -gyengen folytonos egyparameteres automor zmus csoportja M -nek. Ekkor az alabbi feltetelek ekvivalensek: (1) Minden t 2 R eseten t = t. (2) A  funkcional teljesti a KMS-feltetelt az ( t)t2R egyparameteres csoportra nezve. Tomita-Takesaki elmelet 11 Legyen  h}u, normalis, felig veges suly az M Neumann-algebran es ( t )t2R es legyen x 2 M . Ekkor a kovetkez}o feltetelek ekvivalensek: (1) Az x 2 M  teljesul. (2) Minden y 2 M eseten (xy) = (yx)

es az xM  M ; Mx  M feltetelek teljesulnek. Legyen  h}u, normalis, pozitv linearis funkcional az M Neumann-algerban. A 2 M;+ funkcionalra az alabbi ket alltas ekvivalens: (1) Letezik olyan h 2 M+ , hogy = (h:). (2) Letezik olyan c 2 R+, hogy  c es minden t 2 R eseten  t = . Legyen  h}u, normalis, felig veges suly az M Neumann-algebran. Legyen olyan normalis, felig veges suly M -en, hogy minden t 2 R parameterre  t = . Ekkor egyertelm}uen letezik olyan H pozitv, onadjungalt, M  -be foglalt operator, hogy ha (1) minden " 2 R+ eseten H" := H (Id +"H ) 1 , (2) minden x 2 M eseten
1 1 (H" :) (x) := (H"2 xH"2 ); (3) es (H:) a f(H" ) j " 2 R+g altlanostott sorozat " ! 0 hatarerteke, ahol a sorozat "1 > "2 ) (H"1 :)  (H"2 :) szerint van rendezve, akkor = (H:): A H Radon-Nikodym s}ur}usegi operator. Legyen M0 Neumann-reszalgebraja az M

Neumann-algebranak es E : M ! M0 egysegnyi normaju, normalis projekcio. Ekkor (1) az E  0 teljesul, vagyis ha x 2 M+ , akkor Ex 2 M0;+, (2) ha x 2 M , a0 ; b0 2 M0, akkor E (a0 xb0 ) = a0 (Ex)b0 ; (3) minden x 2 M eseten (Ex) (Ex)  E (x x): 12 V. S Sunder: An invitation to von Neumann Algebras Legyen M0 Neumann-reszalgebraja az M Neumann-algebranak es  h}u normalis allapot M -en. Ekkor a kovetkez}o alltasok ekvivalensek: (1) letezik -vel kompatibilis E : M ! M0 felteteles varhatoertek, (2) minden t 2 R eseten t(M0 )  M0 , (3) legyen 0 := jM0 es legyen 0 M0 -nak a 0-ra vonatkozo modularis automor zmus csoportja, ekkor minden t 2 R es x0 2 M0 eseten t(x0 ) = t0 (x0 ): 4. Connes osztalyozasa a III faktoroknak Ha  es h}u, normalis, felig veges sulyok az M Neumann-algebran, akkor letezik olyan  : R ! U (M ) t 7! ut er}osen folyton fuggveny, hogy (1) minden x 2 M es t 2 R eseten t (x) = uttut ; (2) minden s; t 2 R

eseten ut+s = utt (us): Az M Neumann-algebrara a kovetkez}o alltasok ekvivalensek. (1) Az M felig veges. (2) Letezik olyan  h}u, normalis, felig veges suly M -en, hogy a (t )t2R egyparameteres automor zmuscsoport bels}o (the ow (t )t2R is inner). (3) Minden  h}u, normalis, felig veges M feletti funkcional eseten a (t )t2R egyparameteres automor zmuscsoport bels}o. Legyenek ; olyan h}u, normalis, felig veges sulyok az M Neumann-algebran, hogy minden t 2 R elemre  t = : Ekkor minden x 2 M es t 2 R elemre t (x) = H it t (x)H it ; ahol H a Radon-Nikodym s}ur}usegi operator. Tomita-Takesaki elmelet 13 Legyen M Neumann-algebra, G lokalisan kompakt, kommutatv, masodik megszamlalhatosagi axiomanak eleget tev}o topologikus csoport es : G ! Aut(M ) pontonkent -gyengen folytonos homomor zmus. Legyen M (G) a G feletti veges, regularis komplex mertekek tere es L (M ) a -gyengen folytonos M feletti linearis operatorok

halmaza. A : M (G) ! L (M )  7! () := Z t d(t) lekepezes algebra homomor zmus es k ()k  kk: Legyen G lokalisan kompakt, masodik megszamlalhatosagi axiomanak eleget tev}o kommutatv topologikus csoport dualissal es C^(G) := ff 2 L1(G) j F (f ) 2 C0(G)g: Ekkor az alabbiak teljesulnek. (1) Ha K  U  halmazok kozul K kompakt es U nylt, akkor letezik olyan f 2 C^ (G) fuggveny, hogy 1K  F (f )  1U : (2) Ha K  kompakt halmaz es " 2 R+, akkor letezik olyan k 2 C^ (G), hogy F (f )jK = 1 es kkk1 < 1 + ": (3) Ha f 2 L1(G) es " 2 R+, akkor letezik olyan k 2 C^ (G), hogy kf k  f k1 < "; specialisan C^ (G) s}ur}u L1 (G)-ben az k
k1 norma szerint. Legyen G lokalisan kompakt, kommutatv, masodik megszamlalhatosagi axiomanak eleget tev}o topologikus csoport dualis csoporttal. Ha S  L1(G) akkor legyen S ? := f 2 j 8f 2 S : (F (f ))( ) = 0g az S halmaz annihilatora. (1) Ha E  zart halmaz, akkor a I0(E ) := ff 2 L1

(G) j F (f ) eltunik E egy kornyezeteng halmaz ideal L1(G)-ben es E = I0(E )?. (2) Ha I zart ideal L1 (G)-ben es ha f 2 L1 (G) olyan fuggveny, hogy F (f ) eltunik I ? egy kornyezeten, akkor f 2 I . 14 V. S Sunder: An invitation to von Neumann Algebras Legyen M Neumann-algebra, G lokalisan kompakt, kommutatv, masodik megszamlalhatosagi axiomanak eleget tev}o topologikus csoport dualis csoporttal es : G ! Aut(M ) pontonkent -gyengen folytonos homomor zmus. Legyen x 2 M , E  zart halmaz es (a) (b) (c) Sp( ) := ff 2 L1(G) j (f ) = 0g? Arveson-spektrum, Sp (x) := ff 2 L1(G) j (f )x = 0g?; M ( ; E ) := fx 2 M j Sp (x)  E g: Ekkor a kovetkez}ok teljesulnek. (1) Az spektrumokra a Sp( ) = f 2 j (f ) = 0 ) (F (f ))( ) = 0g; Sp( )(x) = f 2 j (f )x = 0 ) (F (f ))( ) = 0g (a) (b) egyenl}osegek teljesulnek. (2) Az x 2 M ( ; E ) pontosan akkor teljesul ha minden olyan f fuggvenyre, melyre F (f ) eltunik E egy kornyezeten (f )x = M ( ; E ) -gyenge

zart altere M -nek. (3) A Sp (x) = ; akkor es csak akkor, ha x = 0. (4) A Sp (x) = f0g pontosan akkor teljesul, ha minden t 2 G eseten es x 6= 0. 2 L1(G) 0, vagyis t (x) = x Legyen M Neumann-algebra, G lokalisan kompakt, kommutatv, masodik megszamlalhatosagi axiomanak eleget tev}o topologikus csoport dualis csoporttal es : G ! Aut(M ) pontonkent -gyengen folytonos homomor zmus. Legyen x 2 M , E  zart halmaz es f 2 L1 (G). Ekkor az alabbiak teljesulnek: (1) (2) (3) (4) (5) Sp (x ) = Sp (x); 8t 2 G : t(M ( ; E )) = M ( ; E ); Sp ( (f )x)  Sp (x) spt(F (f )); 2 Sp( ) , M ( ; V ) 6= f0g; 8V kornyezetere -nak; ha B -gyengen totalis reszhalmaza M -nek, akkor Sp( (6) 0 1 [ ) = @ Sp (y)A ; y2B ha  2 M (G) es F () a Sp (x) egy kornyezeten eltunik, akkor ()x = 0: Az spt(f ) a fuggveny tartojat jeloli, vagyis spt(f ) := f 1 (C n f0g): Tomita-Takesaki elmelet 15 Legyen M Neumann-algebra, G lokalisan kompakt, kommutatv, masodik

megszamlalhatosagi axiomanak eleget tev}o topologikus csoport dualis csoporttal es : G ! Aut(M ) pontonkent -gyengen folytonos homomor zmus. Legyenek E1 es E2 zart alterei -nak es E := E1 + E2. Ha x1 2 M ( ; E1 ) es x2 2 M ( ; E2 ), akkor x 2 M ( ; E ). Legyen a G csoport hatasa az M Neumann-algebran, azaz az M Neumannalgebra, G lokalisan kompakt, kommutatv, masodik megszamlalhatosagi axiomanak eleget tev}o topologikus csoport dualis csoporttal es : G ! Aut(M ) pontonkent -gyengen folytonos homomor zmus. Legyen e; e1 ; e2 2 P (M ) es E  zart halmaz. Jelolje Me az eMe Neumann-algebrat es legyen e : G  Me ! Me (g; exe) 7! eg (exe) = e( g (x))e csoporthatas az Me algebran. Ekkor az alabbiak teljesulnek (1) E rvenyes az Me ( e ; E ) = M ( ; E ) Me osszefugges. (2) Ha e1  e2 , akkor Sp( e1 )  Sp( e2 ). (3) Ha  2 M (G), x 2 M es a; b 2 M , akkor ()(axb) = a( ()x)b: (4) Ha x 2 M es a; b 2 M invertalhato operatorok M -ban, akkor Sp

(axb) = Sp (x): Legyen a G csoport hatasa az M Neumann-algebran, ekkor ( ) = fSp( e ) j 0 6= e 2 P (Z (M ))g; ahol ( ) = fSp( e ) j 0 6= e 2 P (M )g a Connes-spektrum. Ha M Neumann-faktor, akkor ( ) = Sp( ) Legyen a G csoport hatasa az M Neumann-algebran, x 2 M , a dualis csoport, es (Vj )j2J nylt fedese M -nek. Ha x 6= 0, akkor letezik olyan f 2 C^ , hogy (f )x 6= 0 es spt(F (f ))  Vj valamilyen j 2 J eseten. Legyen a G csoport hatasa az M Neumann-algebran es e1; e2 2 M nemnulla, M -ben ekvivalens projekciok. Ekkor ( e1 ) = ( e2 ): V. S Sunder: An invitation to von Neumann Algebras 16 Legyen es a G olyan csoporthatasa az M Neumann-algebran, hogy es kuls}o ekvivalensek (outer equivalent), vagyis letezik olyan t : G ! U (M ) g 7! ug er}osen folytonos fuggveny, hogy minden g; h 2 G es x 2 M eseten ugh = ug g (uh ) es g (x) = ug g (x)ug ; jelolese  . Ekkor letezik olyan hatasa G-nek az M~ = M M2 (C ) Neumannalgebran, hogy g (x e11) = g (x)

e11 es g (x e22) = g (x) e22 minden g 2 G es x 2 M eseten. Legyen a G csoport hatasa az M Neumann-algebran. Ekkor a kovetkez}ok teljesulnek: (1) (2) (3) ( ) + Sp( ) = Sp( ); ( ) zart reszcsoportja -nak; ha kuls}o ekvivalnes csoporthatas -val akkor, ( ) = ( ): Legyen M Neumann-algebra es  h}u, normalis, felig veges suly M -en. Legyen (M ) = ( ), ekkor (M ) valamelyike a kovetkez}o halmazoknak (0) () (1) (M ) = f1g; (M ) = fn j n 2 Ng;  2]0; 1[; (M ) = [0; 1]: Ha M felig veges, akkor (M ) = f1g. Legyen a G csoport hatasa az M III-tpusu faktoron. Ekkor ( ) = fSp( ) j  g: Legyen M Neumann-faktor es  h}u, normalis, felig veges suly M -en es az R csoport olyan hatasa M -en, hogy   . Ekkor egyertelm}uen letezik olyan h}u, normalis, felig veges suly M -en, hogy minden t 2 R eseten t = t teljesul. Tomita-Takesaki elmelet 17 Ha M Neumann-faktor, akkor (M ) = fSp( ) j  h}u, normalis, felig veges suly M -eng: Legyen  h}u,

normalis, felig veges suly az M Neumann-algebran, ekkor Sp( ) = Sp(
)]0; 1[; ahol R dualis csoportjat R+ -gal azonostottuk. Ha M Neumann-faktor, akkor   (M ) = R+ fSp(
) j  h}u, normalis felig veges suly M -eng : Az M Neumann-faktorra a kovetkez}ok ekvivalensek: (1) az M felig veges, (2) legyen S (M ) := fSp(
) j  h}u, normalis, felig veges suly M -eng; ekkor S (M ) = f1g, (3) az 0 6= S (M ) teljesul. Legyen  h}u, normalis, felig veges suly az M Neumann-faktoron. Ha 0 6= e 2 P (M  ), akkor legyen e = jMe;+ . Ekkor (1) a e h}u, normalis, felig veges suly Me -n, (2) az n o (M ) = R+ Sp(
e ) j 0 6= e 2 P (Z (M  )) ; specialisan, ha M  Neumann-faktor, akkor (M ) = R+ Sp(
 ): Legyen M Neumann-faktor es  h}u, normalis, felig veges suly M -en. Ekkor S (M ) = fSp(
e ) j 0 6= e 2 P (Z (M  ))g teljesul. V. S Sunder: An invitation to von Neumann Algebras 18 Ha M Neumann-faktor, akkor   (M ) = R+ fSp(
e ) j 0 6=

e 2 P (M  )g ; S (M ) = fSp(
e ) j 0 6= e 2 P (M  )g (1) (2) teljesul. 5. Kereszt-szorzat, (Crossed-products) Legyen G megszamlalhato, diszkret csoport, H szeparabilis Hilbert-ter, M  L(H) Neumann-algebra es a G csoport hatasa az M Neumann-algebran. Legyen minden t 2 G eseten Ht := H es H~ := M t2G Ht : Ha  2 H es t 2 G, akkor legyen ~t az a H~ -beli elem, hogy ~t : G ! H s 7! t;s: Ha x~ 2 L(H~ ), akkor minden s; t 2 G eseten letezik egyertelm}uen x~(s; t) korlatos operator H-n, melyre minden ;  2 H eseten hx~(s; t); i = hx~~t ; ~si teljesul. Legyen n M~ := x~ 2 L(H~ ) 8s; t 2 G : x~(s; t) 2 M; x~(s; t) = t 1 (~x(st az M G-vel vett -szerinti kereszt-szorzata, mas jelolessel M Neumann-algebra L(H~ )-ban. o 1 ; eG )) G. Ekkor M~ Legyen H szeparabilis Hilbert-ter, M  L(H) Neumann-algebra, es M~ az M Neumann-algebranak a G megszamlalhato diszkret csoporttal vett -hatas szerinti kereszt-szorzata. Legyen  : M ! M~ x 7! (x) :

((x))(s; t) := s;t t 1 (x) 8s; t 2 G;  : G ! L(H~ ) u ! 7 (u) : ((u))(s; t) := s;ut IdH 8s; t 2 G: Ekkor minden u 2 G es x 2 M eseten (u)(x)(u) = ( u (x)) Tomita-Takesaki elmelet 19 teljesul. Tovabba, ha x~ 2 M~ , akkor (1) x~ 2  (M )0 , 8y 2 M; 8t 2 G : x~(t; eG )y = t 1 (y)~x(t; eG ); (2) x~ 2 (G)0 , 8t; u 2 G : x~(utu 1; eG ) = u(~x(t; eG )); teljesul. Legyen H szeparabilis Hilbert-ter, M  L(H) Neumann-algebra, es M~ az M Neumann-algebranak a G megszamlalhato diszkret csoporttal vett -hatas szerinti kereszt-szorzata. Az hatas pontosan akkor szabad, ha M~  (M )0 =  (Z (M )): Legyen (X; B; ) szeparabilis, -veges mertekter, es T ennek egy automor zmusa, vagyis (1) ha E 2 B, akkor T (E ); T 1 (E ) 2 B (T bimerhet}o), (2) ha E 2 B, akkor (E ) = 0 pontosan akkor teljesul, ha (T 1 (E )) = 0. Legyen M = L1(X; B; ) es T a T altal indukalt T : M ! M f 7! T (f ) = f  T 1 automor zmus. Az T hatas pontosan akkor szabad, ha minden E 2 B,

(E ) > 0 eseten letezik F 2 B, hogy F  E , (F ) > 0 es F T (F ) = ;. Legyen H szeparabilis Hilbert-ter, M  L(H) Neumann-algebra, es M~ az M Neumann-algebranak a G megszamlalhato diszkret csoporttal vett szabad hatas szerinti kereszt-szorzata. Ekkor minden t 2 G elemre t (Z (M )) = Z (M ): Legyen Z az hatas megszortasa Z (M )-re. Ekkor az alabbiak ekvivalensek: (1) az M G Neumann-faktor, (2) az Z ergodikus hatasa G-nek Z (M )-en, vagyis (Z (M )) Z = C
IdH : Legyen  automor zmusa az M Neumann-faktornak, ekkor a kovetkez}o feltetelek ekvivalensek: (1) a  hatas szabad, (2) a  automor zmus kuls}o, vagyis nincs olyan u 2 U (M ) elem, hogy minden x 2 M eseten (x) = uxu teljesul. 20 V. S Sunder: An invitation to von Neumann Algebras Legyen (M; G; ) diszkret dinamikai rendszer, azaz (1) az M  L(H) Neumann-algebra, ahol H szeparabilis Hilbert-ter, (2) a G megszamlalhato, diszktret csoport, (3) a G csoport hatasa az M Neumann-algebran.

Legyen M~ := M G es  h}u, normalis, felig veges suly M -en, ekkor a ~ : M~ ! C x~ 7! (~x(eG ; eG )) funkcional h}u, normalis, felig veges suly M~ -en. Legyen M  L(H) Neumann-algebra es  h}u, normalis, felig veges suly M en. Legyen M standard -hez kepest (M is standard with respect to ), vagyis a (H ;  ; ) GNS-harmasra H = H es  (x) = x teljesul minden x 2 M elemre. Ha (xi )i2I olyan altalanostott sorozat N -ben, hogy sup kxi k < 1; lim xi = x; lim (xi ) = ; i;I i;I i;I -er}osen akkor x 2 N es  = (x). Legyen (G; M; ) diszkret dinamikai rendszer, M  L(H) olyan Neumannalgebra es  olyan h}u, normalis, felig veges suly M -en, hogy M standard -hez kepest. Jelolje N~ az N~ alteret es M~ az M G kereszt-szorzatot Ekkor x~ 2 N~ pontosan akkor teljesul, ha minden s 2 G elemre x~(s; eG ) 2 N es X s2G k(~x(s; eG ))k2 < 1: Legyen H~ := l2(G; H) es ~ : N~ ! H~ x~ 7! ~(~x) : 8s 2 G : ~(~x)(s) := (~x(s; eG )): ~ ~)-nek.

Ekkor (H~ ; IdM~ ; ~) GNS-harmasa (M; Legyen (G; M; ) diszkret dinamikai rendszer, M  L(H) olyan felig veges Neumann-algebra es  olyan h}u, normalis, felig veges nyom M -en, hogy M standard -hez kepest. Jelolje M~ az M G kereszt-szorzatot es legyen  egy h}u, normalis, felig veges nyom M -en. Ekkor az alabbiak teljesulnek (1) Egyertelm}uen letezik egy H pozitv, onadjungalt, M -be foglalt, invertalhato operator, hogy  = (H; :): (2) A H operator Z (M )-be foglalt. 1 (3) Az (N N ) a lenyeges magja H 2 -nek. (4) Ha x; y 2 N N , akkor  (y x) = hH 12 (x); H 21 (y)i: Tomita-Takesaki elmelet 21 Legyen (G; M; ) diszkret dinamikai rendszer, M  L(H) olyan felig veges Neumann-algebra es  olyan h}u, normalis, felig veges nyom M -en, hogy M standard -hez kepest. Minden t 2 G eseten legyen Ht az a Z (M )-be foglalt pozitv, onadjungalt invertalhato operator, melyre   t = (Ht ; :). Legyen x~ 2 M~ , ekkor a kovetkez}o

teljesulnek. (1) Az x~ 2 N~  pontosan akkor teljesul, ha minden t 2 G eseten x~(t; eG ) 2 N t es X k t (~x(t; eG ))k2 < 1: t2G (2) Az x~ 2 N~ N~  ponotsan akkor teljesul, ha 8t 2 G : x~(t; eG ) 2 N N t es  X 12 2 2 k(~x(t; eG ))k + kHt (~x(t; eG ))k < 1: t2G Legyen (G; M; ) diszkret dinamikai rendszer, M  L(H) olyan felig veges Neumann-algebra es  olyan h}u, normalis, felig veges nyom M -en, hogy M standard -hez kepest. Minden t 2 G eseten legyen Ht az a Z (M )-be foglalt pozitv, onadjungalt invertalhato operator, melyre   t = (Ht ; :). A
~ modularis operator ekkor M
~ = Ht : t2G ( Dom(
~) = ~ 2 H~ 8t 2 G : ~(t) 2 Dom(Ht ) es es minden ~ 2 Dom(
~) elemre minden t 2 G eseten (
~~)(t) = Ht ~(t) X t2G ) kHt ~(t)k2 < 1 teljesul. Legyen (G; M; ) diszkret dinamikai rendszer, M  L(H) olyan felig veges Neumann-algebra es  olyan h}u, normalis, felig veges nyom M -en, hogy M standard -hez kepest. Ekkor 

(M )  M~ ~; es Z (M~ ~)   (Z (M )): Legyen (G; M; ) diszkret dinamikai rendszer, M  L(H) olyan felig veges Neumann-algebra es  olyan h}u, normalis, felig veges nyom M -en, hogy M standard -hez kepest. Legyen 0 6= e 2 P (Z (M )), e~ := (e), Ke = ~(N~ M~ e~) es p~e = pKe (1) Legyen x~ 2 M~ , az x~ 2 M~ e~ pontosan akkor teljesul ha minden s 2 G elemre x~(s; eG ) = s 1 (e)ex~(s; eG ): 22 V. S Sunder: An invitation to von Neumann Algebras (2) Minden t 2 R parameterre (3) Az osszefugges teljesul. t~(M~ e~) = M~ e~: p~e = M s2G s 1 (e)e
Legyen (G; M; ) diszkret dinamikai rendszer, M  L(H) olyan felig veges Neumann-algebra es  olyan h}u, normalis, felig veges nyom M -en, hogy M standard -hez kepest. Legyen 0 6= e 2 P (Z (M )) es
~ :=
~ Ekkor ~ pe~ p~e
~ 
~ es
~e~ azonosthato az t2GHt operator Ke -re vett megszortasaval. Legyen szabad, ergodikus hatasa a G megszamlalhato diszkret csoportnak az M felig veges

Neumann-algebran. Ekkor minden  2 R+0 szamra a kovetkez}ok ekvivalensek. (1) Az  2 S (M G) teljesul. (2) Minden " 2 R+ szamhoz letezik olyan 0 6= e 2 P (M (Z )) projekcio, hogy 9t 2 G; 90 6= f 2 P (Z (M )) : f t(f )  e; es Sp(Ht f jRan(f ))  [ ";  + "]: Legyen M felig veges Neumann-faktor mely a  h}u, normalis, felig veges nyom altal van lenyegeben egyertelm}uen meghatarozva. Legyen  olyan automor zmusa M -nek, hogy valamilyen  2]0; 1[ szamra    =  . Ekkor az alabbiak teljesulnek (1) A  automor zmus szabad. (2) Legyen a Z hatasa M -en a n := n formulava de nialva. Ekkor M~ egy III tpusu faktor. Legyen G megszamlalhato, diszkret csoport es H = l2(G), melynek (t)t2G egy ortonormalt bazisa t (s) = t;s . Minden t 2 G eseten legyen t a baloldali hatas (t )(s) = (t 1 s). Ekkor M = ft j t 2 Gg00 a csoport Neumann-algebra, melynek jele W (G). Ekkor a kovetkez}ok teljesulnek (1) Ahhoz, hogy W  (G) Neumann-faktor

legyen szukseges es elegseges feltetel az, hogy minden eG 6= t 2 G eseten a fsts 1 j s 2 Gg konjugalt osztaly ne legyen veges. (2) Ha a vegtelen konjugaltosztaly feltetel teljesul, akkor W  (G) II1 tpusu faktor, vagy G = feGg. Tomita-Takesaki elmelet 23 Legyen H szeparabilis Hilbert-ter es minden n 2 N szamra Hn = H, valamint H := M n2N Hn: Ha x 2 L(H ), akkor x = (x(m; n))n;m2N es x(m; n) 2 L(H). Ha M  L(H) Neumann-algebra, akkor legyen M := fx 2 L(H ) j 8m; n 2 N x(m; n) 2 M g: Ekkor M Neumann-algebra es az alabbiak teljesulnek. (1) Ha M II1 tpusu faktor, akkor M II1 tpusu Neumann-faktor. (2) Ha M^  L(H^ ) II1 tpusu Neumann-faktor, akkor letezik egy M  L(H) II1 tpusu Neumann-faktor es egy u : H ! H^ uniter operator, hogy   = M^ . uMu Legyen X0 = f1; 2; : : : ; N g veges halmaz es 0 valoszn}usegi mertek X0-on. Legyen minden j 2 X0 eseten pj := 0 (fj g), X := X0N es F a X feletti szorzat -algebra a 

= n2N 0 szorzat mertekkel. Az X0 minden  permutaciojara es minden k 2 N szamra legyen  !(m) ha m 6= k T;k : X ! X ! 7! T;k (!) : (T;k !)(m) = (!(k)) ha m = k: Legyen G a fT;k j k 2 N;  2 CN g halmaz altal generalt csoport, ahol CN az X0 ciklikus permutacioinak a halmazat jeloli. Ekkor G szabadon es ergodikusan hat az (X; F ; ) mertekteren Legyen n r(G) :=  2 R+0 8" 2 R+; 8E 2 F : (E ) > 0 ) 9T 2 G; 9F 2 F ; o 8! 2 F : (F ) > 0; F [ T (F )  E; dd T (!)  < " a hanyados halmaz (ratio set). Legyen
(G) a  pi pj i; j 2 X0  halmaz altal generalt multiplikatv csoport a R+0 halmazban. Ekkor r(G) a
(G) halmaz lezartja. Legyen  2]0; 1[, X0 = f1; 2g es p(f1g) = 1 +1  ; p(f2g) = 1 +  : 24 Ekkor teljesul. V. S Sunder: An invitation to von Neumann Algebras r(G) = f0g [ fn j n 2 Zg Legyen 1 ; 2 2 R+, X0 = f1; 2; 3g, valamint p(f1g) = 1 + 1 +  ; p(f2g) = 1 + 1+  ; p(f3g) = 1 + 2+  : 1 2 1 2 1 2 log  Ha log

12 2= Q, akkor r(G) = [0; 1]. Legyen  h}u, normalis, felig veges nyom az M felig veges Neumann-algebran. Legyen A egy maximalis kommutatv Neumann-reszalgebraja M -nek. Ha letezik E:M !A egy normaju projekcio, akkor  jA+ felig veges es   E =  . Legyen G megszamlalhato csoport es : t 7! Tt szabad ergodikus hatasa G-nek az (X; F ; ) szeparabilis -veges mertekteren. Legyen t 7! t az indukalt hatasa G-nek az M = L1(X; F ; ) Neumann-algebran. Ekkor az M~ = M G Neumannfaktor es a kovetkez}ok teljesulnek (1) Az M~ pontosan akkor III tpusu Neumann-algebra, ha nem letezik olyan  -veges, pozitv, -vel ekvivalens mertek, hogy minden t 2 G eseten   Tt =  . (2) Tegyuk fel, hogy letezik  -veges, pozitv, -vel ekvivalens G-invarians mertek. Ekkor (a) Az M~ I tpusu , az (X; F ; ) mertekter tartalmaz atomot, (b) Az M~ II tpusu , az (X; F ; ) mertekter nem tartlamaz atomot, (c) Az M~ veges tpusu faktor ,  veges

mertek. Ha a G megszamlalhato csoport ergodikusan hat az (X; F ; ) szeparabilis, veges mertekteren es ha a G0 := ft 2 G j   t = g 6= G csoport szinten ergodikusan hat az (X; F ; ) teren, akkor nincs olyan  -veges, pozitv mertek X -en, mely G-invarians es ekvivalens -vel. Ha a G megszamlalhato csoport ergodikusan es szabadon hat az (X; F ; ) szeparabilis, -veges mertekteren, valamint a G altal indukalt hatas az M = L1(X; F ; ) teren es M~ = M G eseten M~ Neumann-faktor, akkor (1) az M~ pontosan akkor III0 tpusu, ha r(G) = f0; 1g, (2) az M~ pontosan akkor III tpusu, ha r(G) = f0g [ fn j n 2 Ng, (3) az M~ pontosan akkor III1 tpusu, ha r(G) = [0; 1]. Tomita-Takesaki elmelet 25 Legyen G megszamlalhato csoport, mely ergodikusan es szabadon hat az (X; F ; ) szeparabilis, -veges mertekteren. Ekkor a kovetkez}o ekvivalensek (1) Letezik olyan  -veges -vel ekvivalens mertek, melyre minden t 2 G eseten   t = 

teljesul. (2) Az r(G) = f1g osszefugges teljesul. Legyen H szeparabilis Hilbert-ter, M  L(H) Neumann-algebra,  h}u, normalis, felig veges suly az M -en es az R-hatasa a  (M )-en:
t 7! : R 7! L  (M ) t: 8x 2 (M ) : t (x) =
it x
 it: Ekkor a ( (M ); R; ) uniter modon el}oalltott (unitarily implemented) dinamikai rendszer, mely izomorf a (M; R; ) dinamikai rendszerrel. Minden (M; G; ) dinamikai rendszer izomorf egy uniter modon el}oalltott dinamikai rendszerrel. Legyen H szerparabilis Hilbert-ter, M  L(H) Neumann-algebra, G lokalisan kompakt, masodik megszamlalhatosagi axiomanak eleget tev}o topologikus csoport, (M; G; ) folytonos dinamikai rendszer es  : G ! L(L2 (G)) t 7! t : (t f )(s) = f (t 1 s) a G csoport bal-regularis abrazolasa L2(G)-n valamint ~ : G ! L(H~ ) t 7! (t) : ((t)~)(s) = ~(t 1 s) a G csoport er}osen folytonos abrazolasa a H~ = L2(G; H) Hilbert-teren. (1) Ekkor a  : M ! L(H~ ) x 7!  (x) : (

(x)~)(s) = s 1 (x)~(s) lekepezes *-izomor zmus. (2) Minden t 2 G es x 2 M elemre ( t (x)) = (t)(x)(t) teljesul. (3) Legyen M legyen M~ 0 := (X n i=1 G := ( (M ) [ (G))00 a folytonos kereszt-szorzat, jele M~ , es  (xi )(ti ) ) n 2 N; 8i 2 f1; 2; : : : ; ng : xi 2 M; ti 2 G : 26 V. S Sunder: An invitation to von Neumann Algebras Ekkor M~ 0 onadjungalt reszalgebraja M~ -nek es M~ 0 s}ur}u M~ -ben -gyenge topologia szerint. (4) Ha (M1 ; G; 1 ) es (M2 ; G; 2 ) a  : M1 ! M2 lekepezes altal izomorf dinamikai rendszerek, akkor letezik egy ~ : M1 1 G ! M2 2G izomor zmus, melyre minden t 2 G es x 2 M eseten ~( 1 (x)) =  2 ((x)) es ~ ( (t)) =  (t) teljesul. Legyen M  L(H) Neumann-algebra, ahol H szeparabilis Hilbert-ter es (M; G; ) az u : G ! L(H) t 7! ut uniter abrazolassal el}oalltott folytonos dinamikai rendszer. Minden s 2 G es ~ 2 L2(G; H) = H~ eseten az (w~)(s) := us~(s) formula egy w uniter operatort de nial H~ -n,

melyre w w = x 1 es w(s)w = us s teljesul, ahol H~ a H L2 (G) terrel volt azonostva. Legyen G lokalisan kompakt, masodik megszamlalhatosagi axiomanak eleget tev}o kommutatv topologikus csoport, topologikus dualis csoporttal. Minden 2 eseten jelolje  a ( )(t) := ht; i 1 (t) uniter operatort L2(G) teren. Ekkor 7!  er}osen folytonos uniter abrazolasa -nak az L2(G)-teren. Legyen H szeparabilis Hilbert-ter, M  L(H) Neumannalgebra, (M; G; ) folytonos dinamikai rendszer es H~ = L2 (G; H) Ekkor minden 2 es t 2 G eseten  ( )(t) ( ) = ht; i 1 (t); es f ( ) j 2 g   (M )0 teljesul. Tovabba letezik egy ~ hatasa -nak az M~ Neumann-algebran melyre minden x~ 2 M~ eseten ~ (~x) =  ( )~x ( ) teljesul. Legyen H szeparabilis Hilbert-ter, G lokalisan kompakt, masodik megszamlalhatosagi axiomanak eleget tev}o kommutatv topologikus csoport, topologikus Tomita-Takesaki elmelet 27 dualis csoporttal, (M1 ; G; 1 ) es (M2 ; G; 2

) a  : M1 ! M2 lekepezes altal izomorf folytonos dinamikai rendszerek es ~ : M~ 1 ! M~ 2 a -b}ol szarmaztatott izomor zmus. Ekkor minden 2 elemre ~  ~1 = ~2  ~ teljesul, vagyis (M1 1 G)  ~ 1 = (M2 2 G) ~2 : Legyen H szeparabilis Hilbert-ter, G lokalisan kompakt, masodik megszamlalhatosagi axiomanak eleget tev}o kommutatv topologikus csoport, topologikus dualis csoporttal, (M; G; ) folytonos dinamikai rendszer. Felhasznalva az (1) (2) (3) (4) H~ = H L2 (G) = L2(G; H); H~ = H~ L2 ( ) = H L2 (G) L2 ( ) = L2(G  ; H); M~ = M G  L(H~ ); M~ = M~ ~  L(H~ ) izomor zmusokat es azonostasokat M~ = M L(L2 (G)) teljesul. Legyen M teljesen vegtelen (properly in nite) Neumann-algebra es H szeparabilis Hilbert-ter, ekkor M L(H) = M teljesul. Legyen hatasa a G lokalisan kompakt, masodik megszamlalhatosagi axiomanak eleget tev}o, kommutatv topologikus csoportnak az M teljesen vegtelen Neumannalgebran. Jelolje ~ a dualis hatast, vagyis

a dualis topologikus csoport hatasat az M~ folytonos kereszt-szorzaton. Legyen M~ := (M ekkor teljesul. G) ~ ; M = M~ V. S Sunder: An invitation to von Neumann Algebras 28 Ha a G lokalisan kompakt csoportnak es ket kuls}o ekvivalens hatasa az M  L(H) Neumann-algebran, ahol H szeparabilis Hilbert-ter, akkor G = M M G teljesul. Az M  L(H) Neumann-algebran, ahol H szeparabilis Hilbert-ter legyen  es ket h}u, normalis es felig veges suly. Ekkor M   R = M  R teljesul. Legyen M  L(H) Neumann-algebra a H szeparabilis Hilbert-teren es  olyan h}u, normalis, felig veges suly M -en, hogy M standard -hez kepest. Legyen olyan hatasa a G lokalisan kompakt, masodik megszamlalhatosagi axiomanak eleget tev}o, kommutatv topologikus csoprotnak, hogy minden t 2 G eseten  t= teljesul. Ekkor letezik olyan ~ h}u, normalis, felig veges suly az M~ folytonos keresztszorzaton, hogy a H~ = L2(G; H) Hilbert-ter azonosthato a

H~-terrel oly modon, hogy (1) a ~ = IdM~ osszefugges ervenyes, (2) a 1 Dom(
2 ) = ~ n~  2 H~ 8t 2 G : 1 ~(t) 2 Dom(
2 );  Z G 1 o k
2 ~(t)k2 dt < 1 1 teljesul es minden ~ 2 Dom(
~2 ) vektorra es t 2 G csoportelemre 1 1 (
2~ ~)(t) =
2 ~(t); (3) a ~ dualis suly invarians az ~ dualis hatassal szemben, vagyis minden 2 eseten M~ -en teljesul az ~  ~ = ~ osszefugges. Legyen M teljesen vegtelen Neumann-algebra, ekkor letezik N teljesen vegtelen, felig veges Neumann-algebra es az R csoportnak olyan  hatasa az N algebran, hogy M = N  R Tomita-Takesaki elmelet 29 teljesul. Letezik olyan  h}u, normalis, felig veges nyom N -en, hogy minden t 2 R szamra   t = e t : Tovabba ha M Neumann-faktor, pontosan akkor III1 tpusu, ha N II1 tpusu Neumann-faktor. Ha M III tpusu Neumann-faktor, ahol 0 <  < 1, akkor letezik N II1 tpusu Neumann-faktor es 1 automor zmusa N -nek, hogy   1 = ; ahol  a

lenyegeben egyertelm}u h}u, normalis, h}u, felig veges nyom N -en, es az n := n1 de ncioval elve M = N Z teljesul