Mathematics | Higher education » DE Feladatok matematikából I

Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából I. Debrecen, 2003. Vegyes feladatok 1. Bizonyı́tsuk be következő egyenlőtlenségeket: √ 2ab ≤ ab (a > 0, b > 0); (a) a+b q a2 +b2 ≥ a+b ; (b) 2 2 ¯a b ¯ (c) ¯ b + a ¯ ≥ 2; √ √ (d) a2 + b2 − c2 + d2 ≤ |a − c| + |b − d|. 2. Bizonyı́tsuk be teljes indukcióval: n(n + 1) ; 2 n(n + 1)(2n + 1) ; (b) 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = 6 ¸2 · n(n + 1) 3 3 3 3 ; (c) 1 + 2 + 3 + · · · + n = 2 (a) 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n + 1)(n + 2) ; 3 (e) 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1; 1 n 1 1 + + . = ; (f) 1·2 2·3 n · (n + 1) n+1 1 1 1 n + + . (g) = ; 1·3 3·5 (2n − 1) · (2n + 1) 2n + 1 (d) 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n(n + 1) = (h) 2 · 21 + 3 · 22 + 4 · 23 + · · · + n · 2n−1 = (n − 1)2n . 3. Bizonyı́tsuk be, hogy minden természetes n számra és h > −1 számra teljesül az alábbi, úgynevezett Bernoulli egyenlőtlenség: (1 +

h)n ≥ 1 + nh. 2 4. Legyen a > 0 és b ≥ 0 Igazoljuk a binomiális tétel felhasználása nélkül, hogy tetszőleges n természetes számra (a + b)n ≥ an + nan−1 b. 5. Mutassuk meg, hogy µ ¶ n! n . ahol = k!(n − k)! k µ n+1 k+1 ¶ µ ¶ µ ¶ n n = + , k k+1 6. Bizonyı́tsuk be a binomiális tételt: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ n n n n−1 n n n n n−1 (a + b) = a + a b + . ab + b , 0 1 n−1 n ahol n tetszőleges természetes szám. A fenti egyenlőség tömörebb formája: n µ ¶ X n n−k k n a b (a + b) = k k=0 . 7. Igazoljuk, hogy bármely x, y valós számokra: |x + y| ≤ |x| + |y|. 8. Mutassuk meg, hogy bármely a1 , a2 , , an valós számokra |a1 + · · · + an | ≤ |a1 | + · · · + |an |. 9. Mutassuk meg, hogy ha x1 , x2 , , xn pozitı́v valós számok és x1 x2 xn = 1, akkor x1 + x2 + · · · + xn ≥ n teljesül, és az egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha x1 = x2 = . , xn = 1 10. Bizonyı́tsuk

be, hogy ha x1 , x2 , , xn pozitı́v valós számok, akkor x1 x2 xn + + ··· + ≥ n. x2 x3 x1 11. Bizonyı́tsuk be, hogy ha x1 , x2 , , xn pozitı́v valós számok, akkor teljesül a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség: √ x1 + x2 + · · · + xn ≥ n x1 x 2 . x n n Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha x1 = x2 = · · · = xn . 12. Mutassuk meg, hogy n 1 1 1 < 1 + + + ··· + n < n. 2 2 3 2 −1 3 Halmazok 13. Igazoljuk, hogy ha A B = B A, akkor A = B 14. Igazoljuk, hogy bárhogyan választva az A, B, C és D halmazokat, fennáll a következő összefüggés: (A B) (C D) = [A (B ∪ C)] ∪ [(A ∩ D) B] 15. Állapı́tsuk meg, hogy a következő összefüggések közül melyek igazak tetszőleges A, B, és C halazokra. (a) A ∪ (B C) = (A ∪ B) C; (b) A ∩ B ∩ C = A ∩ B ∩ (B ∪ C); £ ¡ ¢¤ (c) A A B̄ ∪ B = A ∪ B. 16. Legyen A = {n ∈ N | n páros}, B = {n ∈ N |

n < 4}, C = {n ∈ N | n > 2} Állapı́tsuk meg, mik lesznek az X = [A (B ∩ C)] ∪ [(A B) C] halmaz elemei. 17. Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: (a) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B̄); (b) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C); (c) (A ∪ B) ∩ (B ∪ Ā) ∩ (A ∪ B̄). 18. Vizsgáljuk meg, hogy milyen kapcsolat áll fenn az A és B halmazok között, ha teljesül az A ∩ B = A egyenlőség. 19. Állapı́tsuk meg, milyen esetben állhat fenn az A ∪ B = Ā egyenlőség 20. Vizsgáljuk meg, hogy milyen kapcsolat áll fenn az A és B halmazok között, ha teljesül az A ∪ B = A egyenlőség. 21. Vizsgáljuk meg, milyen A és B kapcsolata, ha A ∪ B = A ∩ B teljesül 22. Milyen kapcsolat áll fenn az A és B halmazok között, ha az A ∪ (B ∩ Ā) = B igaz? 23. Vizsgáljuk meg, hogy milyen esetben teljesül az (A ∪ B) B = A egyenlőség 24. Mutassuk meg, hogy tetszőleges A és B esetén [A (A ∩ B)] ∪ B = A ∪ B

25. Vizsgáljuk meg, hogy tetszőleges A, B és C halmazok eleget tesznek-e a következő összefüggésnek: A ∪ B ∪ C = A ∪ [B (A ∩ B)] ∪ [C (A ∩ C)] . 26. Legyen A = {1, 2}, B = {1, 2, 3} Írjuk fel az (A × B) ∩ (B × A) halmazok elemeit. és az (A × B) (B × A) 4 27. Legyen A = {(x, y) ∈ R × R | y = ax + b} és B = {(x, y) ∈ R × R | y = cx + d} Mit mondhatunk az a, b, c, és d paraméterekről, ha tudjuk, hogy (a) A B = A; (c) A B = ∅; (b) A ∩ B = {(0, 0)}; (d) {(1, 0), (0, 1)} ⊂ A ∩ B. 28. Ábrázoljuk a Z × R és R × Z halmazokat a koordinátası́kon 29. Lássuk be, hogy tetszőleges A, B és C halmazokra (a) (b) (c) (d) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C); A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C); (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C); (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C). 30. Igazoljuk, hogy tetszőleges A és B1 , B2 , Bn halmazokra A ∩ (B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bn ) = A ∪ (B1 ∩ B2 ∩ · ·

· ∩ Bn ) = n [ (A ∩ Bi ); i=1 n (A ∪ Bi ). i=1 31. Igazoljuk, hogy ha A1 , A2 , tetszőleges, végtelen halmazsorozat, akkor ∞ [ Ai = i=1 ∞ Āi i=1 és ∞ i=1 Ai = ∞ [ Āi . i=1 32. Tekintsük a következő leképezéseket: F : N N, n 2n; H : R R, x x2 ; G : Q Q, x 2x; L : N N, n n2 . Állapı́tsuk meg közülük melyik injektı́v, szürjektı́v, ill. bijektı́v 33. Legyen A és B, véges halmaz Mit mondhatunk A és B elemeinek a számáról, ha tudjuk, hogy létezik olyan F : A B leképzés, amely: (a) injektı́v; (b) szürjektı́v; (c) bijektı́v. 34. Legyen A egy n elemű halmaz Igazoljuk, hogy az A részhalmazainak száma 2n 35. Legyen A1 , A2 megszámlálható számosságú halmazok végtelen sorozata Igazoljuk, hogy ezek egyesı́tése is megszámlálható halmaz 36. Mutassuk meg, hogy a számegyenes [0, 1] intervalluma és a [0, 2] intervalluma egyenlő számosságú. 37.

Igazoljuk, hogy ha A 6= ∅, akkor A összes részhalmazainak halmaza nem ekvivalens A-val. 5 Függvények és halmazok 38. Rajzoljuk fel a következő fügvények grafikonjait (x ∈ R): a) f (x) = x3 − 3x + 2; x2 − 1 c) f (x) = 2 ; x +1 e) f (x) = | sin x|; b) f (x) = |x2 − 4x + 3|; d) f (x) = 2|x−1|+x ; f) f (x) = 2| log2 x| ; √ h) f (x) = |x| | cos x|−1 . |x| g) f (x) = |x| x ; 39. Ábrázoljuk a következő fügvényeket:  x < −1  0, ha f1 (x) = 2−x , ha −1 ≤ x < 2  1, ha x≥2 ½ −2x 2 , ha x < 0 f3 (x) = |x|−x 2 , ha x ≥ 0  x<0 cos x, ha ha 0 ≤ x < 3 x, f2 (x) =  2, ha 3≤x   sin πx, ha 0.5 ≤ x < 1 f4 (x) = −x + 1, ha 0 ≤ x < 0.5  x2 , ha −1 < x < 0 40. Határozzuk meg a következő fügvények értelmezési tartományát R-en: a) f (x) = p r b) f (x) = −(x − 5)2 ; x2 − 4 ; 4x + 5 c) f (x) = log2 (x2 − 9); d) f (x) = arc sin[lg(x/10)]; e) f

(x) = arc sin(log2 x); r 1 f) f (x) = log (3x − 8); 4 5x − 2 ; − 5x + 6 x3 − 4x2 + x − 1 ; h) f (x) = x3 − x 1 i) f (x) = ln ; ln(1 − x) + 1 j) f (x) = lg sin x; g) f (x) = x2 k) f (x) = 10arc sin x ; 41. Legyen S a koordinátası́k pontjainak a halmaza, F : S S pedig az a leképzés, amely bármely x ∈ S-hez ennek origó középpontú, pozitı́v irányban π/2 szögű elforgatottját rendeli. Legyen G : S az a leképezés, amely bármely x ∈ S-nek az x pont Y tengely irányú, egységnyi eltolásával keletkező képét rendeli. Mi lesz ekkor a G ◦ F és az F ◦ G ? 42. Legyenek F : A B, és G : B C adott leképezések Igazoljuk, hogy a) ha F és G injektı́v, akkor a G ◦ F is injektı́v; b) ha F és G szürjektı́v, akkor a G ◦ F is szürjektı́v; c) ha F és G bijektı́v, akkor a G ◦ F is bijektı́v ! 6 43. Legyenek F : A B és G : B C adott leképezések Vizsgáljuk meg, lehetséges-e, hogy a) F

és G valamelyike nem injektı́v, de G ◦ F injektı́v; b) F és G valamelyike nem szürjektı́v, de G ◦ F szürjektı́v; c) F és G valamelyike nem bijektı́v, de G ◦ F bijektı́v . 44. Legyenek A ⊂ R és B ⊂ R tetszőleges számhalmazok Igazoljuk, hogy a) inf{−x : x ∈ A} = − sup A; b) sup{−x : x ∈ A} = −inf A; c) sup{x + y : x ∈ A, y ∈ B} = sup A + sup B; d) inf{x + y : x ∈ A, y ∈ B} = inf A + inf B; e) ha minden a ∈ A és b ∈ B elemre 0 < a és 0 < b, akkor inf{xy : x ∈ A, y ∈ B} = inf A inf B; sup{xy : x ∈ A, y ∈ B} = sup A sup B. 45. Határozzuk meg az alábbi számhalmazok alsó és felső határát, valamint a torlódási pontjait: ¾ ½ 1 ; n∈N ; c) {x ∈ Q : −1 < x < 1} ; a) n ¾ ¾ ½ ½ (−1)n 1 n ; n∈N ; + (−1) ; n ∈ N . b) d) n n 46. A H1 és H2 halmaz torlódási pontjainak a halmazát jelöljük H10 -vel illetve H20 -vel. Igazoljuk, hogy ekkor (H1 ∪ H2 )0 = H10 ∪ H20 47.

Igazoljuk, hogy H ⊂ R akkor és csak akkor zárt, ha H 0 ⊂ H ! 48. Igazoljuk, hogy a) tetszőleges sok nyı́lt halmaz uniója is nyı́lt; b) véges sok nyı́lt halmaz metszete is nyı́lt. 49. Adjunk példát nyı́lt halmazok olyan rendszerére, melynek metszete zárt ! 50. Igazoljuk, hogy a) tetszőlegesen sok zárt halmaz metszete is zárt. b) véges sok zárt halmaz uniója is zárt. 51. Adjunk példát zárt halmazok olyan rendszerére, melynek uniója nyı́lt ! 7 Komplex számok 52. Mennyi az alábbi komplex számok valós és képzetes része? −7 + 3i, 8 + 0i, 0 + 3i, −41, 5i, 0, 7, −i + 1 53. Számı́tsuk ki a következő összegeket! 2 + 3, 2i + 3i, (5 + 4i) + (7 + 3i), (3 − i) + (3 + i), (2 + i) − 4i + (3 + 3i) 54. Végezzük el a következő szorzásokat! 4 · 2, 4 · (−i), (−i) · (−i), (3 − 2i) · i, (3 − 2i) · (3 + 2i), (5 + 7i) · (1 − i), (1 + i)3 55. Mennyi i0 , i1 , i2 , i3 , i4 ? Mennyi i100 ,

i101 , i102 , i103 , i104 ? Mennyi i4k , i4k+1 , i4k+2 , i4k+3 ? (k egész szám) 56. Konjugáljuk az alábbi komplex számokat! 0, −3, i, −2i, 1 + i, −7 − 3i 57. Számı́tsuk ki a következő hányadosokat! 3+2i 8 6+3i 4 , 4i , 3+2i , 3−2i , 2−7i , −4+i 2 −2i i 58. Állapı́tsuk meg, hogy milyen komplex számokra igaz a) z = z b) z = i · z c) z = 1 z d) z = 5 · z. 59. Ábrázoljuk a következő komplex számokat a komplex számsı́kon! 1 + i, 1, 0, i, −2i, −1, −i, −1, 3 + 2i, 3 − 2i 60. Hol helyezkednek el az alábbi halmazok a komplex számsı́kon? A = {z : Im(z) > 1}, B = {z : Re(z) ≤ 0}, A ∩ B, A ∪ B, B − A 61. Határozzuk meg a következő komplex számok abszolút értékét! 1 1 0, 1, i, −i, 77 + 77i, √ + √ i, −1 − i, −7i 2 2 µ ¶ ³u´ u 1 1 = és = . 62. Bizonyı́tsuk be, hogy z z v v ¯ ¯ ¯1¯ 1 |u| ¯¯ u ¯¯ ¯ ¯ = ¯ ¯! 63. Bizonyı́tsuk be, hogy ¯ ¯ = és z |z| |v| v 64.

Írjuk át az alábbi komplex számokat trigonometrikus alakba! √ √ i 3 3 1 i, − 2, i, 0, −i, −3, 1 − i, 1 + i, − + 2 2 2 2 8 65. Legyen u = 2 · (cos 17◦ + i sin 17◦ ), v = 5 · (cos 41◦ + i sin 41◦ ) Mennyi u · v, u/v, u2 , u3 , u−1 , u−2 , (u · v)10 ? 66. Tudjuk, hogy (cos α+i sin α)3 = (cos 3α+i sin 3α) Használjuk fel ezt az összefüggést cos 3α és sin 3α kiszámı́tására! 67. Legyen u = 64 · (cos 38◦ + i sin 38◦ ) Számı́tsuk ki u második, harmadik és negyedik gyökeit! 68. Ábrázoljuk a komplex számsı́kon 1-nek az összes n-edik gyökeit n = 2, 3, 4 és 5-re! Milyen alakzatokat feszı́tenek ki az egységgyökök, mint csúcspontok? 69. Oldjuk meg a következő egyenleteket a komplex számok körében! (2 + 3i) · z − 4i = 0, 2 · i · z 2 + 2 · i · z + 1 = 0, (3 + 2i)z 2 − 4z + (2 − i) = 0. 70. Legyenek az an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 egyenlet együtthatói

(vagyis az an , an−1 , an−2 , . , a1 , a0 ) valósak Tegyük fel, hogy a z komplex szám megoldása (gyöke) a fenti egyenletnek. Mutassuk meg, hogy ekkor z is megoldás! 71. Ábrázoljuk a komplex számsı́kon a következő halmazokat! ¾ ½ ¾ ½ ¯ ¯ ¯1¯ 1 >2 A = {z : |z| ≤ 1}, B = z : ¯¯ ¯¯ ≤ 1 , C = z : z |z − i| 72. A komplex számok nevezetes tulajdonsága, hogy körükben az an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 egyenletnek mindig létezik megoldása. Írjunk fel olyan x-et és a konjugáltját x-t tartalmazó egyenletet, amelynek nem létezik megoldása (gyöke)! 73. Odjuk meg a z · z + z − (10 + i) = 0 egyenletet! 74. Oldjuk meg az x200 − x100 + 1 = 0 egyenletet! 75. Jelöljünk egy komplex számot z-vel, z-nek a képzetes tengelyre tükrözött képét pedig u-val. Milyen kapcsolat van z és u között? 76. Legyen z = a + bi Fejezzük ki u = b + ai-t z és z segı́tségével! 77. Oldjuk meg az

x2 + 2x + 10 = 0 egyenletet! Számı́tsuk ki a két gyök szorzatát és összegét, majd hasonlı́tsuk össze az eredményt az együtthatókkal! Mit figyelhetünk meg (és miért)? 78. Legyen ε1 és ε2 1-nek az n-edik gyökei közül kettő Igaz-e, hogy ε1 · ε2 is valamilyen n-edik gyöke 1-nek? És ε1 /ε2 ? Lehet-e ez igaz ε1 + ε2 vagy ε1 − ε2 -re? 79. Legyenek u0 , u1 , u2 , , un−1 egy adott z komplex szám n-edik gyökei Bizonyı́tsuk be, hogy u0 + u1 + u2 + · · · + un−1 = 0. 80. Legyen εk valamelyik k-adik, illetve εm valamelyik m-edik gyöke 1-nek Hányadik gyökei εk · εm és εk /εm 1-nek? 9 Sorozatok konvergenciája 81. Állapı́tsuk meg, hogy az alábbi sorozatok közül melyek konvergensek, melyek divergensek an = (−1)n , b n = 2n , en = log2 (n2 + n), cn = (0, 3)n , fn = 2n + 1 , 7n − 3 dn = 8 sin(7, 2n◦ ), gn = sin(2πn2 ), n = 1, 2, 3, 4 . 82. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat

monotonı́tás és korlátosság szempontjából Határozzuk meg a sorozatok határértékét is. (a) an = 1 + 2 + ··· + n ; (n + 1)(n + 10) (b) an = 1 + 2 + ··· + n n − ; n+4 2 (c) an = 5n+1 . n! 83. Vizsgáljuk meg, hogy hányadik tagtól kezdve esnek a sorozat elemei a határérték 10−2 sugarú környezetébe: n+2 (−1)n ; . (a) an = (b) an = 1 − 3n − 8 n 84. Határozzuk meg a követketkező sorozatok határértékét, amennyiben az létezik √ 3 4n2 + 3n ; (a) an = n+2 √ (b) an = n2 + 1 − n; √ √ (c) an = n2 + n − n2 + 1; √ √ √ √ n+ 3n+ 4n+ 5n √ (d) an = ; 5n + 1 √ √ 2n2 + 2n + 3 − 2n2 + 6n + 5 √ ; (e) an = √ 3n2 + 5n + 1 − 3n2 + 7n − 1 ¶5 µ n−3 ; (f) an = n−5 µ 2 ¶n2 +5 n +2 (g) an = ; n2 + 3 1 1 + 21 + 41 + · · · + 2n−1 1 ; 1 + 31 + 91 + · · · + 3n−1 ¢¡ ¢ ¡ ¢ ¡ (i) an = (1 + 1) 1 + 21 1 + 31 . 1 + n1 ; (h) an = (j) an = 10n + 102 . 5n + 2n + 105 10 85. Mennyi a

következő sorozatok határértéke? µ ¶ µ ¶ 2 + 8n 2 + 8n 2 + 8n 2 + 8n an = ; bn = log10 ; cn = + log10 ; 3 + 9n 3 + 9n 3 + 9n 3 + 9n n3 + 7n + 49n2 2n4 − n3 + 3n2 − n + 23 dn = ; e = ; n 231a − 1 + 13n2 n5 − 2n4 − n + 3n2 √ n+1 logn2 ( n + 3) 2 n log3 (n2 + n + 1) ; gn = ; hn = n−3 ; fn = log3 n logn (n2 + n) 2 n n = 1, 2, 3, 4, 5 . ¡ 8n+3 ¢ = 2. Egy adott ε > 0 számhoz határozzunk meg egy ¯ ¯ 8m+3 − 2¯ < ε, ha m > N . olyan N természetes számot, melyre ¯ 4m−23 86. Tudjuk, hogy lim n∞ 4n−23 87. Tudjuk, hogy lim (log2 (n2 + n + 4)) = +∞ Egy adott tetszőleges nagy K számhoz n∞ határozzunk meg egy olyan N természetes számot, hogy log(n2 + n + 4) > K, ha n > N. 88. Tegyük fel, hogy an +∞ Maximum hány torlódási pontja lehet ennek a sorozatnak? 89. Tegyük fel hogy an +∞, bn 0 Lehetséges-e, hogy an bn 0, an bn −1, 2, 3, an bn ∞, an bn −∞? 90. Tegyük fel, hogy an 1/2

Képezzük a b1 = a1 , b2 = a1 a2 , b3 = a1 a2 a3 , b4 = a1 a2 a3 a4 , . sorozatot. Bizonyı́tsuk be, hogy bn 0 91. Bizonyı́tsuk be, hogy ha an a, és an > 0 bármely n ∈ N -re, akkor ¢n ¡ 92. Tudjuk, hogy lim 1 + n1 = e ≈ 2, 71 n∞ ¢ ¢ ¡ ¡ √ 1 n 1 n = e . Mennyi lim 1 + kn ? Mutassuk meg, hogy lim 1 + 2n n∞ √ √ an a. n∞ 93. Tegyük fel, hogy an +∞ Bizonyı́tsuk be, hogy log2 an +∞ 94. Tegyük fel, hogy an 13 Legyen bn = an+1 − an Bizonyı́tsuk be, hogy lim bn = 0 n∞ 95. Tegyük fel, hogy egy sorozatnak végtelen sok pozitı́v, és végtelen sok negatı́v eleme van. Lehet-e ez a sorozat konvergens? 96. Legyen a1 = q, a2 = q + q 2 , a3 = q + q 2 + q 3 , Milyen q esetén konvergens ez a sorozat? 97. Legyen a1 = 1, a2 = 1 + 1/2, a3 = 1 + 1/2 + 1/3, a4 = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4, Mutassuk meg, hogy an ∞. (Segı́tség: mennyi 1 2k +1 + 1 2k +2 + ··· + 1 ?) 2k+1 11 1 , a2 = 98. Legyen a1 = 1·2 sorozat

konvergens. 1 1·2 1 + 2·3 , a3 = 99. Legyen a1 = 1, a2 = 1 + sorozat konvergens. 1 , 22 1 1·2 1 1 + 2·3 + 3·4 , . Bizonyı́tsuk be, hogy az an a3 = 1 + 1 22 + 1 ,. 32 . Bizonyı́tsuk be, hogy az an 100. Számı́tsuk ki a lim sn határértéket, ahol n∞ 1 1 1 + + ··· + ; 1·3 3·5 (2n − 1)(2n + 1) 1 1 1 (b) sn = + + · · · + ; 3 8 n(n + 2) 1 1 1 . (c) sn = + + · · · + 2 6 n(n + 1) (a) sn = 101. Tegyük fel, hogy az an sorozat konvergens Mutassuk meg, hogy tetszőleges ε > 0hoz létezik olyan N , hogy |an − am | < ε, ha n > N és m > N 102. Fordı́tsuk meg az előző Tegyük fel, hogy tetszőleges ε > 0-hoz létezik olyan N , hogy |an − am | < ε, ha n > N . Bizonyı́tsuk be, hogy an konvergens 12 Sorok konvergenciája 103. Számı́tsuk ki a következő végtelen sorok összegét: (a) ∞ X k=0 1 52k+1 ; (b) ∞ X 1 + (−1)k 10k k=0 ; ¶ ∞ µ X 2 1 − . 5k 5k+1 k=0 (c) 104.

Konvergensek-e a következő sorok: (a) (d) ∞ X 1 ; 2k k=1 (b) ∞ X k=1 ∞ X 1 ; ln k k=2 (g) ∞ X 1 √ ; k k=1 (j) ∞ X k−1 . k3 + 1 k=1 (e) 1 ; 2k − 1 ∞ X k−1 k=1 (h) k! 1 1 1 1 + + + + .; 2 5 8 11 (c) ; ∞ X 2k − 1 (f) k=1 ∞ X 1 (−1)k √ ; k k=1 (2k)! ; ∞ X k+1 ; k(k + 2) k=1 (i) 105. A következő feladatokban alkalmazzuk a hányados-, illetve gyökkritériumot (a) ∞ X k=1 (d) 2k−1 ; (3k + 4)5k ∞ X (2k)! k=1 kk ; ∞ X (b) k 100 −2k 2 ; (c) k=1 (e) k!21−k ; k=1 ¶k ∞ µ X k+1 3k k=1 ∞ X . 106. Számı́tsuk ki a következő hatványsorok konvergenciasugarát: (a) ∞ X k=1 k kx ; (b) ∞ X k=0 k+1 k 3 x ; (c) ∞ X x2k . (2k)! k=0 13 Függvények határértéke 5 2−x 107. Az f (x) = először az függvény az x = 2 helyen nincs értelmezve. Közelı́tsük meg a 2-t n 1 sorozattal, majd az x(2) n = 2+ n+1 n sorozattal, és határozzuk meg a

megfelelő függvényértékek sorozatának határértékét. Értelmezzük az eredményt. x(1) n = 1+ 108. Határozzuk meg a következő határértékeket: √ 2− x−1 ; (b) lim x5 x2 − 25 x2 − 2x − 3 ; (a) lim 2 x3 x − 5x + 6 (c) x2 − x ; x0 x3 + x2 + x lim (d) (f) x2 + 3x − 1 ; x∞ 2x2 − x + 1 lim √ (i) lim x∞ (k) lim (h) x∞ ´ x2 + 5x − x ; ex2 + 5 − x √ ; x±∞ x3 − 2x + 2 (q) lim x±∞ 1 e 1 − x + ex4 √ ; + 3 2x2 − 51 x4 ¶1+2x x+2 ; (u) lim x∞ x−1 ¶ x23 µ x3 ; (w) lim x∞ x3 − 1 ¶ 3 2 − ; 1 − x2 1 − x3 lim √ x∞ x∞ x √ (m) lim ; 3 x∞ x + x3 + 1 ! à r 4x3 + 3x2 ; (o) lim x − x∞ 4x − 3 (s) lim lim x1 1 − x2 √ ; x− 2−x x ; x2 + 1 · µ (j) lim x 1 + 4x2 ; 1−x ³√ x1 µ a2 − x2 ; (e) lim 3 x(−a) x + a3 (g) lim √ 1 a+ 1 x 1 − a ¶¸ ; √ 4 x3 + x − x (l) lim √ √ ; x∞ x2 + 1 − x √ 3 x2 + 1 ; (n) lim √ √ x∞ 3 2x2 + 4

x2 + x 1− √ 4 x5 + 6x2 + 3 − x2 ; (p) lim √ x∞ 3 x5 + 4x − 7 + 2x2 x3 − 5x + 1 ; x−∞ 1 + x2 − 2x3 (r) lim 2x5 + x4 − 2x + 1 ; (t) lim x−∞ x2 − x3 − 3x + 2 µ µ (v) lim x∞ 2x + 3 1 + 2x ¶x+2 ; (z) lim (1 + 3 tg x) ctg x . x0 14 109. Igazoljuk, hogy fennállnak a következő összefüggések: 1 (a) lim (1 + y) y = e; y0 √ (b) lim x 1 + 3x = e3 ; x0 loga (1 + x) = loga e, a > 0, a 6= 1; x0 x n (d) lim (1 + ax) x = ena , a > 0, n ∈ N . (c) lim x0 110. Döntsük el, monotonok-e a következő függvények: (a) f (x) = 1 − x2 x < 1; 1 (b) f (x) = x 6= −1; x+1 x − 2 < x < 2; (c) f (x) = 4 − x2 (d) f (x) = |1 − x2 | x > 1; ¯ ¯ ¯ sin x ¯ ¯ x 6= kπ, k ∈ Z; (e) f (x) = ¯¯ | sin x| ¯ (f) f (x) = 1 − sin 4x 0 ≤ x ≤ π/2. 111. Lehetséges-e, hogy nem folytonos függvények összege, illetve szorzata folytonos? 112. Bizonyı́tsuk be, hogy minden páratlan fokú, valós

együtthatós egyenletnek van valós gyöke. 113. Vizsgáljuk meg, hogy viselkednek a következő függvények szakadási helyeik környezetében és a végtelenben: 3 (x − 2)2 ; (b) f (x) = 2 ; (a) f (x) = x−1 x − 5x + 6 x−1 x2 − 9 ; ; (c) f (x) = 2 (d) f (x) = 2 x −x x (x − 3)3 1 1 (e) f (x) = 3 x+1 ; (f) f (x) = arc tg ; x   2  ha x ≤ 0 1 − x , − 1 x2 , ha x ≤ 2 2 (g) f (x) = (h) f (x) = (1 − x) , ha 0 < x ≤ 2 2   x,  ha x > 2; 4 − x, ha x > 2. 114. Állapı́tsuk meg, hogy vannak-e olyan pontok, melyben az ( 4 − x2 , ha x racionális f (x) = 4 + x2 , ha x irracionális függvény folytonos. 15 Egyváltozós függvények deriváltja 115. Számı́tsuk ki az f (x) = 1/x2 függvény deriváltját x = 2-ben, azaz határozzuk meg 1/x2 − 1/22 határértéket. a lim x2 x−2 116. Bizonyı́tsuk be, hogy az f (x) = |x| függvény nem differenciálható x = 0-ban Ehhez |xn | |xn | −

|0| = sorozat nem meg kell adnunk egy olyan xn 0 sorozatot, hogy az xn − 0 xn konvergens. 117. Ábrázoljuk az   0 f (x) =   2 x   0 ha x < 0 és a g(x) = ha x ≥ 0   ha x < 0 x ha x ≥ 0 függvényeket. Differenciálható-e f és g x = 0-ban? 118. Deriváljuk a következő függvényeket: √ 2+ x √ ; h(x) = 2− x k(x) = sin x3 ; x2 − x ; f (x) = 5 i(x) = sin 2x; 4 g(x) = x + 2 ; 2x j(x) = 2 sin x cos x; `(x) = sin(cos x); m(x) = ln(sin x); ¡ √ ¢3 p(x) = tg x2 + cos x ; o(x) = x tg x ; n(x) = xx ; q(x) = tg x/ cos x. 119. Adjuk meg a következő függvények deriváltját: √ ¶ µ 2x + 1 cos x sin(2x)2 ; g(x) = ln ; f (x) = ln sin x x3 + (3x − 1)2 h(x) = xcos x ; i(x) = x2 + (sin x)sin x ; 2 j(x) = (ln 2x)3x ; k(x) = (3x2 ) 2 `(x) = lg{5x3 + 3x2 − sin (2 − x)}; m(x) = √ 3 x−4 ³³p 7 ; 3 ´ ´√ x−4 6 (x − 4) x . 120. Határozzuk meg az (a) y = arcsin x; (b) y = arc tg x;

(c) y = arc ctg x; (d) y = arccos x. függvény deriváltját. 16 121. Deriválhatók-e az alábbi függvények? Ha igen, mennyi a differenciálhányadosuk? f (x) = |x3 |; h(x) = | ln x3 |; g(x) = | ln x|; i(x) = |x − 2| · |x − 3|. 122. Létezik-e a deriváltja az f (x) =   0 ha x ≤ 0   −1 ex ha x > 0 függvénynek az x = 0 pontban? 123. Legyen f egy páros, g pedig egy páratlan függvény, azaz teljesüljön f (x) = f (−x) és g(x) = −g(−x). Mit mondhatunk ekkor f és g deriváltjáról? 124. Tekintsük az f (x) = −x3 + 2x2 − x függvényt Hol vannak f helyi szélsőértékei? Adjuk meg azokat az intervallumokat, ahol f monoton növekvő, illetve monoton csökkenő. 125. Legyen f (x) = x2 Lagrange tétele szerint létezik egy olyan z ∈ (1, 2) szám, hogy 22 − 12 = 3 = f 0 (z). Keressük meg z-t 2−1 126. Ha f differenciálható x0 -ban, és f -nek ott helyi szélső értéke

van, akkor f 0 (x0 ) = 0 Adjunk meg egy olyan konkrét függvényt, hogy f 0 (x0 ) = 0, de f -nek nincs helyi szélsőértéke x0 -ban. 127. Határozzuk meg a következő függvények magasabbrendű deriváltjait: (a) f (x) = 8x4 + 4x5 + 3x2 + 5 f (5) (x) = 2 f (2) (x) = (b) f (x) = e−x (c) f (x) = ex cos x f (3) (x) = (d) f (x) = x2 ln x f (2) (x) = (e) f (x) = arc tg x f (3) (x) = 128. Vizsgáljuk meg a következő függvényeket, van-e szélsőértékük, s ha van, milyen Határozzuk meg azokat az intervallumokat, amelyekben a függvény monoton. (a) f (x) = x4 − x2 ; x2 − 1 (c) f (x) = 2 ; x +1 √ (e) f (x) = x 1 − x2 ; (b) f (x) = x2 x ; −1 (d) f (x) = sin x + cos x; (f ) f (x) = −x ln x. 17 129. A következő függvényeknél vizsgáljuk meg, hogy a függvény görbéje mely intervallumban konvex, illetve konkáv Határozzuk meg a függvény inflexiós pontjának koordinátáit is. (a) f (x) = x3 − 3x2

− 9x + 9; (c) h(x) = (b) g(x) = (x − 2)2 − 5; ¶2 µ x+1 ; (d) i(x) = 1 + x−2 4x ; +1 x2 x2 + ln x; 2 1 (g) `(x) = (ex − e−x ); 2 (e) j(x) = (f ) k(x) = arc tg x; (h) m(x) = x(ln x)−1 . 130. Vizsgáljuk meg a következő függvényeket (Határozzuk meg a gyököket, határértékeket, azokat az intervallumokat, ahol monoton növekvő, illetve csökkenő, konvex illetve konkáv, végül ábrázoljuk a függvényt.) (a) f1 (x) = 8(x3 − 9x); (b) f2 (x) = (x − 1)2 (x + 3)2 ; x2 ; x2 − 2x + 1 x ; (e) f5 (x) = (x − 1)ex sin x (g) f7 (x) = 2 − cos x (c) f3 (x) = (d) f4 (x) = 1 + x3 ; x2 (f ) f6 (x) = sin 2x + 2 cos x; 0 < x < 2π. 131. L’Hospital szabály alkalmazásával határozzuk meg az alábbi határértékeket: (a) (d) (g) (j) 1 − cos kx ; lim x0 1 − cos mx tg x − x ; lim x0 x − sin x ¡ ¢ ln x2 ; lim x2 x − 2 lim 2x ln x; x+0 x (b) lim ; x∞ ln(x + 1) ln x ; (e) lim ln x x1 a −x arc tg x ; (h)

lim x0 x (k) lim xsin x ; x+0 ³ (m) (p) (s) 1 lim (sin x) x ; x+0 sin x ; x0 x x ; lim x∞ 5x − 1/x2 lim (n) (q) (t) lim x2 e x0 1´ x2 ; e2x − 1 ; x0 sin x tg x lim ; x0 tg 5x lim e2x − 1 ; (c) lim x0 sin x tg x (f ) limπ ; x 2 tg 5x 7x − 5x ; (i) lim x+0 x2 (l) lim 2x ctg 3x; x0 (o) (r) (u) 3x2 − 2x − 1 ; x1 5x2 − x − 4 9x + 7 + 1/x2 ; lim x∞ 7x − 3 cos x − 1 . lim x0 x2 lim 132. Határozuk meg az y = cos x függvény Maclaurin-sorát, valamint az x = π helyen a Taylor sorát. 133. Legyen g(x) = 6x6 − 25x5 + 8x4 − 9x3 + 4x2 + 1 Írjuk fel a függvény x = 2 helyhez tartozó Taylor-formuláját, azaz alakı́tsuk át a függvényt úgy, hogy benne csak az (x − 2) hatványai szerepeljenek. 18 134. Határozzuk meg az y = ex függvény Maclaurin-sorát, valamint az x = 1 helyen a Taylor-sorát. 135. Bizonyı́tsuk be az alábbi egyenlőtlenségeket (a) loga x < (x − 1) loga e x x+1 −ax (c) (ax + 1)e

<1 (b) (d) ln(1 + x) > 1+x > e2x 1−x ha x > 1 a > 1; ha x > 0; ha a > 0, x > 0; ha 0 < x < 1. 136. A K = 1 cm kerületű téglalapok közül melyiknek a legnagyobb a területe? 137. Az 1 m2 területű téglalapok közül melyiknek a legkisebb a kerülete? 138. Az r = 2m sugarú körbe ı́rható téglalapok közül melyiknek a legnagyobb a területe? És a kerülete? 139. Lineáris approximáció: Egy deriválható f függvényt egy adott x0 pontban közelı́thetjük az őt érintő y(x) egyenessel, melynek egyenlete: y(x) − f (x0 ) = (x − x0 )f 0 (x0 ) ⇔ y(x) = f 0 (x0 )x + (f (x0 ) − f 0 (x0 )x0 ). Kalkulátorral számı́tsuk ki ennek a közelı́tésnek a hibáját a következő esetben: f (x) = sin x; x0 = π/6, x0 = π/6 + 1, x0 = π/6 + 0, 1 x0 = π/6 + 0, 01, x0 = π/6 + 0, 001. Hány tizedesjegy pontossággal teljesül az y(x) − f (x) ≈ 0 közelı́tő egyenlőség a

különböző x értékek esetén? 19 Többváltozós függvények 140. Ábrázolja a koordinátası́kon a H halmazt, ha (a) H = {x ∈ R2 | kxk ≥ 1}; (b) H = {x ∈ R2 | kx − (1, 1)k > 2}; (c) H = {(x, y) | x ≤ 2, x + 2y ≥ 3, 2x − y ≤ 1, 3x + 4y ≥ 12}. 141. Határozza meg a következő függvények értelmezési tartományát: (a) f (x, y) = ln xy; q 2 2 (b) f (x, y) = 1 − xa2 − yb2 ; p (c) f (x, y) = sin π(x2 + y 2 ); p (d) f (x, y, z) = R2 − x2 − y 2 − z 2 + √ 1 . x2 +y 2 +z 2 −r2 142. Határozza meg, milyen alakzatot alkotnak az f (x, y) = z0 egyenlet megoldásai, ha (a) f (x, y) = x2 + y 2 , z0 = 25; (b) f (x, y) = cos π(x + y), z0 = 1; (c) f (x, y) = tg π4 xy, z0 = 1; (d) f (x, y) = sin π(x2 + y 2 ), z0 = 0. 143. Létezik-e határértéke az {xn } sorozatnak ? Ha igen, határozzuk meg ´ ³ 2 1 n −n (a) xn = n3 +1 , 2 , n! ; ¢n ¢ ¡¡ 2n ; (b) xn = 1 + n1 , sinn n , n+1 ¢ ¡ (c) xn = sin πn, n, n12 .

144. Léteznek-e a következő függvényhatárértékek ? Ha igen, határozzuk meg x2 + 2xy + y 2 ; (x,y)(2,−2) x2 − y 2 sin xy ; (b) lim (x,y)(3,0) y 1 ; (c) lim (x,y)(1,1) x − y x + xy − y . (d) lim (x,y)(0,0) x + xy + y (a) lim 20 145. Folytonosak-e az alábbi, az egész R2 -n értelmezett függvények? (a) f (x, y) = x2 − y; (b) f (x, y) = sin xy; ( 1 , x2 +y 2 (c) f (x, y) = ha (x, y) 6= (0, 0) ha (x, y) = (0, 0). 0, 146. Számı́tsuk ki a következő függvények parciális deriváltjait, majd hozzuk őket egyszerűbb alakra (a) f (x, y) = x2 − 2xy + y 2 − x + 1; (b) f (x, y) = (x3 − 2x2 y + y 2 )7 ; (c) f (x, y) = xy cos x2 y 2 ; 2 +y 2 −1 (d) f (x, y) = ex ; (e) f (x, y) = (2x + y)2x−y . 147. Számı́tsuk ki a következő függvények másodrendű parciális deriváltjait (a) f (x, y) = x3 − 3x2 y + xy 2 + y 3 ; (b) f (x, y) = x−y ; x+y (c) f (x, y) = sin cos y; (d) f (x, y) = 1 . x2 +y 2 148.

Vizsgáljuk meg a következő kétváltozós függvényeket, állapı́tsuk meg, van-e szélsőértékük, s ha igen, akkor hol, és ezek mekkorák (a) f (x, y) = x2 + 2y 2 − x − 2y − 1; (b) f (x, y) = x2 y − 3xy + 2y 4 ; (c) f (x, y) = 20 x + 50 y + xy; −(x2 −2xy+2y 2 ) (d) f (x, y) = e 149. Folytonosak-e (0, 0)-ban ( 2 2 x y , x2 +y 2 (a) f (x, y) = 0, ( xy 2 2, (b) f (x, y) = x +y 0, . illetve (1, 1)-ben a következő függvények ? ha (x, y) 6= (0, 0) ha (x, y) = (0, 0); ha (x, y) 6= (0, 0) ha (x, y) = (0, 0). 150. Mutassuk meg, hogy az alábbi függvény parciális differenciálhányadosai az origóban nem folytonosak, ott a függvény mégis differenciálható. ( 1 ha (x, y) 6= (0, 0) (x2 + y 2 ) sin x2 +y 2, f (x, y) = 0, ha (x, y) = (0, 0)