Mathematics | Mathematical analysis » Andai Attila - Tételgyűjtemény a harmonikus analízis elemeiből

Tetelgy}ujtemeny a harmonikus analzis elemeib}ol Andai Attila Az itt szerepl}o tetelekhez szukseges fogalmak es bizonytasok megtalalhatok a Kristof Janos: Az analzis elemei IV. jegyzetben Ez tanulasi segedanyag, melyben el}ofordulhatnak hibak! Kristof Janos: Az analzis elemei IV. 1 XVII. A harmonikus analzis elemei 1. Csoportabrazolasok Ha G csoport es V uniter abrazolasa G-nek a H Hilbert-terben, akkor V algebrai es geometriai irreducibilitasa ekvivalens. Ha G kommutatv csoport, akkor minden irreducibilis uniter abrazolasa egy dimenzios. Ha G csoport es V irreducibilis uniter abrazolasa G-nek a H Hilbert-terben, akkor minden nemnulla x 2 H vektor ciklikus vektor. Ha G csoport es V uniter abrazolasa G-nek a H Hilbert-terben, akkor V felbonthato ciklikus uniter reszabrazolasok osszegere. Ha G csoport es V veges dimenzios uniter abrazolasa G-nek a H Hilbert-terben, akkor V felbonthato irreducibilis

uniter reszabrazolasok osszegere. Minden G csoporthoz letezik olyan  kardinalis szam, hogy a G minden ciklikus uniter abrazolasanak Hilbert-dimenzioja kisebb-egyenl}o -nal. 2. Topologikus csoportok es folytonos abrazolasok Legyen G csoport. Ha T csoport-topologia G felett es B az e-nek kornyezetbazisa, akkor B-re teljesulnek a kovetkez}ok: (1) Minden U 2 B halmazhoz letezik olyan V 2 B, hogy V V  U . (2) Minden U 2 B halmazhoz letezik olyan V 2 B, hogy V 1  U . (3) Minden U 2 B halmazhoz es s 2 G elemhez letezik olyan V 2 B, hogy sV s 1  U . Megfordtva, ha B olyan racs, amelynek minden eleme e-t tartalmazo reszhalmaz G-ben es teljesulnek ra a fenti tulajdonsagok, akkor letezik egyetlen olyan G feletti T csoporttopologia, hogy B a e kornyezetbazisa T szerint. Minden topologikus csoport regularis topologikus ter. 2 XVII. A harmonikus analzis elemei Ha G topologikus csoport, akkor az alabbiak ekvivalensek: (1) A G topologikus

ter T2 ter. (2) A G topologikus ter T1 ter. (3) A G topologikus ter T0 ter. Ha G topologikus csoport, akkor az alabbiak ekvivalensek: (1) A G topologikus ter M1 ter. (2) Az e-nek letezik megszamlalhato kornyezetbazisa. (3) Letezik olyan G feletti d balinvarians (illetve jobbinvarians) felmetrika, hogy Td egyenl}o a G topologiajaval, es minden r > 0 szamra a Br (e; d) gomb szimmetrikus halmaz. (4) A G topologikus ter felmetrizalhato. Ha G topologikus csoport, akkor az alabbiak ekvivalensek: (1) A G topologikus ter M1 es T0 ter. T (2) Az e-nek van olyan B kornyezetbazisa, hogy feg = U 2B U . (3) Letezik olyan G feletti d balinvarians (illetve jobbinvarians) metrika, hogy Td egyenl}o a G topologiajaval, es minden r > 0 szamra a Br (e; d) gomb szimmetrikus halmaz. (4) A G topologikus ter metrizalhato. Szeparalt topologikus csoport minden lokalisan kompakt reszcsoportja zart. Lokalisan kompakt csoport zart reszcsoportjai

megegyeznek a lokalisan kompakt reszcsoportjaival. A G topologikus csoport minden nylt reszcsoportja zart. Specialisan, ha G osszefugg}o topologikus csoport, akkor G az egyetlen nylt reszcsoport G-ben. Legyen G0 a G topologikus csoport neutralis elemenek osszefugg}o komponense. Ekkor G0 zart invarians reszcsoport G-ben. Legyen V olyan kornyezete a G topologikus csoport neutralis elemenek, hogy T 1 ( 1 ) V = V . Ekkor V = n2N  V (n) halmaz nylt reszcsoport G-ben Ha G olyan lokalisan kompakt csoport, hogy G osszefugg}o komponenseinek halmaza megszamlalhato, akkor G -kompakt. Legyenek G1 es G2 topologikus csoportok, es f : G1 ! G2 folytonos, vegtelenben eltun}o fuggveny. Ekkor e2 minden V2 kornyezetehez letezik e1 -nek olyan V1 Kristof Janos: Az analzis elemei IV. 3 kornyezete, hogy minden sa; sb 2 G1 elemre, ha sb 2 saV1 vagy sb 2 V1sa akkor f (sb ) 2 f (sa )V2 es f (sb ) 2 V2f (sa ). A G=H : G ! G=H kanonikus szurjekcio nylt.

Legyen G topologikus csoport es H reszcsoportja G-nek. A kovetkez}o alltasok ekvivalensek. (1) A H zart reszcsoport G-ben. (2) A G=H T2 ter. (3) A G=H T1 ter. (4) A G=H T0 ter. Legyen G topologikus csoport es H reszcsoportja G-nek. Ekkor G=H tranzitv folytonos topologikus abrazolasa G-nek a G=H topologikus terben. Ha G lokalisan kompakt csoport es H zart reszhalmaza G-nek, akkor a G=H topologikus ter lokalisan kompakt es parakompakt. Legyen tranzitv folytonos topologikus abrazolasa G topologikus csoportnak az X topologikus terben. Ha G -kompakt, tovabba X T2 ter, es X nem all el}o megszamlalhato sok sehol sem s}ur}u halmaz uniojakent, akkor: (1) Minden x 2 X pontra a  x : G=Gx ! X folytonos bijekcio homeomor zmus. (2) Minden x 2 X pontra a G=Gx es topologikus abrazolasok topologikusan ekvivalensek. (3) Az X ter -kompakt es lokalisan kompakt. Legyen tranzitv abrazolasa a G csoportnak az X nemures halmazban. Ekkor minden G

feletti csoport-topologiahoz egyertelm}uen letezik olyan X feletti topologia, hogy minden x 2 X pontra a  x : G=Gx ! X bijekcio homeomor zmus. Ha adott G-n egy csoport-topologia es X -t ellatjuk ezzel a topologiaval, akkor folytonos topologikus abrazolas. Legyen G topologikus csoport es V uniter abrazolasa G-nek a H Hilbert-terben. A kovetkez}o alltasok ekvivalensek. (1) A V folytonos uniter abrazolas. (2) Minden x 2 H vektorra a G ! H ; s 7! V (s)x fuggveny folytonos. (3) Minden x; y 2 H vektorra a G ! C ; s 7! hV (s)x; yi fuggveny folytonos. (4) Letezik olyan D  H , hogy minden x; y 2 D vektorra a hV (
)x; yi : G ! C matrixelem-fuggveny e-ben folytonos, es D linearis burka s}ur}u H -ban. (5) Minden x 2 H vektorra a hV (
)x; yi : G ! C matrixelem-fuggveny e-ben folytonos. 4 XVII. A harmonikus analzis elemei Ha G csoport, s 2 G es minden j 2 N szamhoz letezik olyan k 2 N es t 2 G, hogy sjk = tst 1 , akkor s 2 GF . 3. Folytonos

fuggvenyek lokalisan kompakt ter felett Legyenek T es T 0 topologikus terek, F normalt ter es f : T  T 0 ! F folytonos fuggveny. Minden K 0  T 0 kvazikompakt halmazhoz, t0 2 T ponthoz, es " > 0 valos szamhoz letezik a t0-nak olyan U kornyezete T -ban, hogy: 0 ) f (t0 ; t0 )jj  ": sup jj f ( t; t 0 0 (t;t )2U K Legyen T topologikus ter, F norm alt ter, f 2 C (T ; F ) es (gi )i2I olyan veges P rendszer C (T ; R)-ben, hogy jjf jj  i2I gi es minden i 2 I eseten gi  0. Ekkor van olyan (fi )i2I rendszer C (T ; F )-ben, hogy minden i 2 I -re jjfi jj  gi es f = P i2I fi . Ha f valos (pozitv) fuggveny akkor az (fi )i2I rendszer megvalaszthato ugy, hogy minden tagja valos (pozitv) legyen. Legyen T lokalisan kompakt ter, es f; g 2 C0(T ; C ) olyan fuggvenyek, hogy jf j  jgj. Ekkor letezik olyan (n)n2N sorozat C0(T ; C )-ben, hogy minden n 2 N szamra jnj  1 es supp(n)  [f 6= 0] es limn!1(gn) = f a T -n egyenletesen. Legyen T

lokalisan kompakt ter, F normalt ter, es f 2 C0(T ; F ). Minden " > 0 valos szamhoz letezik olyan (i )i2I veges rendszer C0(T )-ben, es olyan (zi )i2I rendszer F -ben, hogy minden i 2 I eseten supp(i)  supp(f ), es minden t 2 T pontra X jjf (t) i (t)zi jj < ": i2I Legyenek T es T 0 lokalisan kompakt terek. Ha f 2 C0(T  T 0 ; K ), es K  T , K 0  T 0 olyan kompakt halmazok, hogy supp(f )  K  K 0, akkor minden " > 0 valos szamhoz letezik olyan g 2 C0(T ; K ) C0(T 0 ; K ), hogy supp(g)  K  K 0 , es minden (t; t0 ) 2 T  T 0 pontra jf (t; t0 ) g(t; t0 )j < ": Legyen T lokalisan kompakt ter es R olyan ekvivalenciarelacio T felett, hogy a T=R topologikus ter T2 , es a  : T ! T=R kanonikus szurjekcio nylt lekepzes. Ha T=R parakompakt, akkor letezik olyan f : T ! R+ folytonos fuggveny, hogy: (1) Minden  2 T=R pontra  [f > 0] 6= ;. (2) Minden K  T=R kompakt halmazra a  1 (K ) supp(f ) halmaz kompakt T -ben.

Kristof Janos: Az analzis elemei IV. 5 Ha T megszamlalhato bazisu lokalisan kompakt ter, akkor a C (T ; K ) fuggvenyter a kompakt konvergencia topologiajaval ellatva szeparabilis metrizalhato lokalisan konvex ter. 4. Komplex Radon-mertekek Ha T lokalisan kompakt ter, akkor egy  : C0(T ; C ) ! C linearis funkcional pontosan akkor Radon-mertek T felett, ha minden C0(T ; C )-ben halad So (n )n2N sorozatra teljesul az, hogy ha (n)n2N egyenletesen konvergal 0-hoz es n2N supp(n) relatv kompakt halmaz, akkor teljesul a limn!1 (n ) = 0 egyenl}oseg. Legyenek T es T 0 lokalisan kompakt terek g 2 C (T ; C ), es  : T ! T 0 olyan folytonos fuggveny, hogy minden K 0  T 0 kompakt halmazra  1 (K 0 )  T kompakt halmaz. Ekkor minden 0 2 C0(T ; C ) fuggvenyre g(0  ) 2 C0(T ; C ), es minden  2 M(T ; C ) Radon mertekre a (g) : C0(T ; C ) ! C 0 7! (g(0  )) lekepzes Radon-mertek T 0 felett. Ha T lokalisan kompakt ter es 

: C0(T ; C ) ! C olyan linearis funkcional, hogy minden  2 C0(T )+ fuggvenyre () 2 R+, akkor  pozitv Radon-mertek T felett. Legyen T lokalisan kompakt ter es 0 : C0(T )+ ! R+ fuggveny. Akkor es csak akkor letezik olyan T feletti  pozitv Radon-mertek, hogy 0  , ha 0 additv. Legyen T lokalisan kompakt ter es  2 M(T ; R). Letezik egyetlen olyan + pozitv Radon-mertek T felett, hogy minden  2 C0(T )+ fuggvenyre +() = sup () 2C0 (T )+  teljesul. Tovabba ekkor a  := +  funkcional szinten pozitv Radon-mertek T felett, es  = +  . Ha T lokalisan kompakt ter, akkor a  : C0(T ; C ) ! C linearis funkcional pontosan akkor Radon-mertek T felett, ha  el}oall T feletti pozitv Radon-mertekek komplex linearis kombinaciojakent. 6 XVII. A harmonikus analzis elemei Legyen T lokalisan kompakt ter es  2 M(T ; C ). Letezik egyetlen olyan jj pozitv Radon-mertek T felett, hogy minden  2 C0(T )+ fuggvenyre

jj() = sup j()j: 2C0 (T ;C ) jj Ha T lokalisan kompakt ter es  2 M(T ; C ), akkor minden  2 C0(T ; C ) fuggvenyre jj(jj) = sup j()j: 2C0 (T ;C ) jj1 Legyen T lokalisan kompakt ter, g 2 C (T ; C ), es  2 M(T ; C ). Ekkor a kovetkez}o teljesul jgj = jgj
jj: Ha T lokalisan kompakt ter,  2 M(T ; C ) es (Ui )i2I olyan halmazrendszer TS ben, hogy minden i 2 I indexre Ui nylt -nullhalmaz, akkor i2I Ui is nylt nullhalmaz. Ha T lokalisan kompakt ter es  2 M(T ; C ), akkor letezik lyan tartalmazas tekinteteben legnagyobb nylt halmaz T -ben, amely -nullhalmaz. Legyen T lokalisan kompakt ter es  2 M(T ; C ). Ha  2 C0(T ; C ) olyan fuggveny, hogy supp()  [ = 0], akkor () = 0. Ha T lokalisan kompakt ter, f; g 2 C (T; C ), es  2 M(T; C ), akkor g = f ekvivalens azzal, hogy supp()  [f = g]. Legyen T lokalisan kompakt ter, F normalt ter K felett, es  2 M(T ; K ). Minden C0(T ; K )-beli (i)i2I es F -beli (zi )i2I veges

rendszerre fennall X i2I (i )zi  jj
X i2I izi : Legyen T lokalisan kompakt ter, F Banach-ter K felett, es  2 M(T ; K ). Letezik egyetlen olyan Z Z : C0(T ; F ) ! F f 7! f d T Kristof Janos: Az analzis elemei IV. 7 K -line aris operator, hogy R (1) Minden  2 C0(T; K ) fuggvenyre es z 2 F vektorra T z d = ()z. (2) Minden f 2 C0(T ; F ) fuggvenyre Z T f d  jj
jjf jj: Legyen T lokalisan kompakt ter, F es G Banach-ter K felett, es u 2 L(F; G). Ha  2 M(T ; K ) es f 2 C0(T ; F ) akkor Z u  f d = u T Z T  f d : Legyenek T es T 0 lokalisan kompakt terek g 2 C (T ; K ), es  : T ! T 0 olyan folytonos fuggveny, hogy minden K 0  T 0 kompakt halmazra  1(K 0 )  T kompakt halmaz. Ha F Banach-ter K felett, es  2 M(T ; K ), akkor minden f 2 C0(T 0 ; F ) fuggvenyre Z Z f d((g)) = (f  )g d: 0 T T Legyen T lokalisan kompakt ter, F Banach-ter K felett, es  2 M(T ; K ) kompakt tartoju Radon-mertek. Ha ; 2

C0(T ; K ) olyan fuggvenyek, hogy supp()  [ = 1] es supp()  [ = 1], akkor minden f : T ! F folytonos fuggvenyre Z Z f d = f d: T T Legyenek X; Y; Z topologikus terek, Y lokalisan kompakt es p : X  Y ! Z folytonos fuggveny. Legyen F Banach-ter K felett es f 2 C (Z ; F ) olyan fuggveny, hogy minden x0 2 X pontnak letezik olyan V kornyezete, hogy az [ x2V p(x;
) 1 (supp(f )) halmaz relatv kompakt Y -ban. Ekkor (1) minden x 2 X pontra f (p(x;
)) 2 C0(Y ; F ), es (2) minden  2 M(Y ; K ) Radon-mertekre az X!F x 7! Z Y f (p(x; y)) d(y ) parameteres integralfuggveny folytonos. XVII. A harmonikus analzis elemei 8 Legyen X topologikus ter, Y lokalisan kompakt ter es F Banach-ter K felett. Ha f : X  Y ! F folytonos fuggveny es az X minden pontjanak letezik olyan V kornyezete, hogy a prY [(V  Y ) supp(f )] halmaz relatv kompakt Y -ban, akkor minden x 2 X pontra f (x;
) 2 C0(Y ; F ), es minden  2 M(Y ; K ) Radon-mertekre

az Z X ! F x 7! f (x; y) d(y) Y parameteres integralfuggveny folytonos. Ha T es T 0 lokalisan kompakt terek, ; 0 2 M(T  T 0 ; C ), es minden  2 C0(T ; C ) es 0 2 C0(T 0 ; C ) fuggvenyre ( 0) = 0 ( 0 ), akkor  = 0 . Legyenek T es T 0 lokalisan kompakt terek. Minden  2 M(T ; C ) es 0 2 M(T 0 ; C ) Radon-mertekhez egyertelm}uen letezik olyan  0 2 M(T  T 0 ; C ), hogy minden  2 C0(T ; C ) es 0 2 C0(T 0 ; C ) fuggvenyre ( 0 )( 0 ) = ()
0 (0 ): Ha  es 0 valos (pozitv) Radon-mertek, akkor  0 is valos (pozitv) Radonmertek. Ha F Banach-ter K felett, es f 2 C0(T  T 0 ; F ), akkor minden t 2 T , t0 2 T 0 pontra f (t;
) 2 C0(T 0 ; F ) es f (
; t0 ) 2 C0(T ; F ), es minden  2 M(T ; K ), 0 2 M(T 0 ; K ) Radon-mertekre a Z T !F t 7! T0 ! F t0 7! T Z f (t; t0 ) d0 (t0 ) 0 T f (t; t0 ) d0 (t) fuggvenyek folytonosak, kompakt tartojuak, es Z T T 0 f d(  0 ) = Z Z T  T0 f (t; t0 ) d0 (t0 ) d(t) =

Z Z T0 T  f (t; t0 ) d(t) d0 (t0 ): 5. Haar-mertek lokalisan kompakt csoport felett Legyen tranzitv topologikus abrazolasa a G csoportnak az X lokalisan kompakt terben. Ekkor minden f 2 C0(X ) fuggvenyhez es g 2 C0+(X ) fuggvenyhez letezik olyan (ci )i2I veges rendszer R+-ban es olyan (si )i2I rendszer G-ben, hogy f X i2I ci g  (si 1 ): Kristof Janos: Az analzis elemei IV. 9 Legyen tranzitv topologikus abrazolasa a G csoportnak az X lokalisan kompakt terben. Ha  nem nulla pozitv topologikusan -kvaziinvarians Radonmertek X felett, akkor supp() = X es egyertelm}uen letezik olyan  : G  X ! R+ fuggveny, hogy minden s 2 G elemre a (s;
) : X ! R+ fuggveny folytonos es (s) = (s 1 ;
), tovabba erre a  fuggvenyre teljesul az, hogy s1 ; s2 2 G es x 2 X eseten (eG ; x) = 1; (s1 s2; x) = (s1 ; (s2 )(x))
(s2 ; x): Ha  baloldali vagy jobboldali Haar-mertek a G lokalisan kompakt csoport felett, akkor

supp() = G. Legyen G topologikus csoport es folytonos topologikus abrazolasa G-nek az X lokalisan kompakt terben. Ha F Banach-ter, f 2 C0(X ; F ) es  Radon-mertek X felett, akkor a Z G ! F s 7! f ( (s)x) d(x) X fuggveny folytonos. Ha folytonos topologikus abrazolasa a G topologikus csoportnak az X lokalisan kompakt terban es  nem nulla pozitv relatv -invarians Radon-mertek X felett, akkor a  multiplikatora folytonos G ! R+ csoport-mor zmus. Ha G lokalisan kompakt csoport, F Banach-ter, es  Radon-mertek G felett, akkor minden f 2 C0(G; F ) fuggvenyre a G!F s 7! G!F s 7! Z ZG G f (ss0 ) d(s0 ) f (s0 s) d(s0 ) fuggvenyek folytonosak. Legyen tranzitv topologikus abrazolasa a G csoportnak az X lokalisan kompakt terben,  tetsz}oleges topologikusan -kvaziinvarians pozitv nem nulla Radon-mertek X felett, es F Hilbert-ter. Jelolje  a  Radon-mertek multiplikatorat (1) A h
;
i : C0(X ; F )  C0(X ; F ) ! C (f; g) 7!

(hf; giF ) XVII. A harmonikus analzis elemei 10 lekepezes skalarszorzas a C0(X ; F ) fuggvenyter felett, ahol f; g 2 C0(X ; F ) eseten hf; giF jeloli az X !C x 7! hf (x); g(x)iF folytonos kompakt tartoju fuggvenyt. (2) Minden s 2 G elemre a V0( ;;F ) (s) : C (X ; F ) ! C (X ; F ) 0 0 p f 7! (s 1 ;
)f  (s 1 ) lekepezes olyan linearis bijekcio, amely megtartja a h
;
i skalarszorzast, es a V0( ;;F ) : G ! GL(C0(X ; F )) s 7! V0( ;;F )(s) lekepezes csoport-mor zmus, vagyis V0( ;;F ) linearis abrazolasa G-nek a C0(X ; F ) vektorterben. (3) Jelolje V ( ;;F ) a V0( ;;F ) abrazolas teljesteset es legyen L2F (X; ) a h
;
i skalarszorzassal ellatott C0(X ; F ) prehilbert-ter teljes burka. Ha G topologikus csoport, a topologikus abrazolas folytonos, es a  : G  X ! R+ fuggveny a szorzattopologi szerint folytonos, akkor V ( ;;F ) folytonos uniter abrazolasa G-nek a L2F (X; ) Hilbert-terben. (4) Ha F 6= f0g es a

topologikus abrazolas injektv, akkor a V ( ;;F ) uniter abrazolas is injektv. Minden lokalisan kompakt csoport felett letezik baloldali Haar-mertek, es lokalisan kompakt csoport felett barmely ket baloldali Haar-mertek aranyos egymassal. Legyen G lokalisan kompakt csoport. Letezik egyentlen olyan
G : G ! R+ fuggveny, hogy minden G feletti baloldali Haar-mertekre es minden s 2 G eseten G (s) =
G(s) : Ez a
G fuggveny folytonos csoport-mor zmus G es R+ kozott. Legyen G olyan lokalisan kompakt csoport, hogy letezik e-nek olyan W kompakt kornyezete, hogy minden s 2 G eseten sWs 1  W: Ekkor G unimodularis. Kristof Janos: Az analzis elemei IV. 11 Minden diszkret, kompakt vagy kommutatv lokalisan kompakt csoport unimodularis. Legyen G lokalisan kompakt csoport es  2 Aut(G). Ekkor van egyetlen olyan modG () > 0 valos szam, hogy minden G feletti baloldali Haar-mertekre 1 ( ) = modG () : Legyenek N es H lokalisan

kompakt csoportok,  : H ! Aut(N ) csoportmor zmus, es tegyuk fel, hogy a H N !N (h; n) 7! h (n) lekepezes folytonos. Tekintsuk az N  H topologikus feldirekt szorzatot; ekkor N  H lokalisan kompakt csoport. (1) Letezik egyetlen olyan  : H ! R+ fuggveny, hogy minden N feletti N baloldali Haar-mertekre es h 2 H eseten h( N ) =  (h) 1 N teljesul. Ez a folytonos  : H ! R+ fuggveny folytonos csoport-mor zmus (2) Legyen N , H baloldali Haar-mertek N , H felett. Ekkor a N ( 1 H ) mertek baloldali Haar-mertek N  H felett. (3) Fennall az
N  H =
N ( 1
H ) egyenl}oseg. (4) Ha N , H jobboldali Haar-mertek N , H felett, akkor N H jobboldali Haar-mertek N  H felett. 6. Lokalisan kompakt csoport mertekalgebraja Legyen G lokalisan kompakt csoport es baloldali Haar-mertek G felett. (1) Minden  2 C0(G; C ) fuggvenyre  2 C0(G; C ) es supp( ) = (supp()) 1 . Minden ; 2 C0(G; C ) fuggvenyre   2 C0(G; C ) es supp(  ) 

supp()
supp( ). (2) A C0(G; C ) komplex vektorter a C0(G; C )  C0(G; C ) ! C0(G; C ) (; ) 7!   XVII. A harmonikus analzis elemei 12 szorzassal, a  7!  C0(G; C ) ! C0(G; C ) involucioval, es a jj
jj ;1 : C0(G; C ) ! R+  7! (jj) normaval ellatva normalt *-algebra. (3) Minden s 2 G es ; 2 C0(G; C ) eseten (  )  G(s) = (  G(s))  ; (  )  G(s) =   (  G (s)): Legyen G lokalisan kompakt csoport, baloldali Haar-mertek G felett, es ertelmezzuk a j : C0(G; C ) ! Mb(G; C )  7! 
lekepezest. Ekkor (Im(j ); j ) par teljes burka a jj
jj ;1 normaval ellatott C0(G; C ) fuggvenyternek, ahol Im(j ) az Im(j )  Mb(G; C ) linearis alter merteknorma szerinti lezartjat jeloli. Legyen G lokalisan kompakt csoport. Minden  2 C0(G; C ) fuggvenyhez letezik olyan 2 C0(G), 0   1 fuggveny, hogy minden " > 0 valos szamhoz letezik eG -nek olyan W kornyezete, hogy minden s 2 W es t 2 G pontra j(s 1 t) (t)j  "

(t); j(ts) (t)j  " (t) teljesul. Ha G lokalisan kompakt csoport es baloldali Haar-mertek G felett, akkor a G  C0(G; C ) ! C0(G; C ) lekepezes folytonos a T  Tjj
jj topologiajat. ;1 es Tjj
jj (s; ) 7!   G(s 1 ) ;1 topologiak szerint, ahol T jeloli a G Legyen G lokalisan kompakt csoport es baloldali Haar-mertek G felett. Legyen B tetsz}oleges kornyezetbazisa e-enk, es a B halmazt rendezzuk a  relacioval. Legyen (W )W 2B olyan rendszer C0(G)+ -ban, hogy minden W 2 B halmazra supp(W )  W es (W ) = 1. Ekkor a (W )W 2B altalanostott sorozat Kristof Janos: Az analzis elemei IV. 13 approximatv egyseg az C0(G; C ) normalt algebraban, tehat minden  2 C0(G; C ) fuggvenyre  = W; limB(  W ) = W; limB(W  ) teljesul a Tjj
jj ;1 topologia szerint. Lokalisan kompakt csoport mertekalgebraja approximatv egyseges Banach *algebra. Legyen G lokalisan kompakt csoport es baloldali Haar-mertek G felett. A kovetkez}o

alltasok ekvivalensek. (1) A G csoport kommutatv. (2) A C0(G; C )-ben a  konvolucios szorzas kommutatv. (3) Az L1C (G; ) Banach *-algebra kommutatv. Legyen G lokalisan kompakt csoport es baloldali Haar-mertek G felett. Legyen B tetsz}oleges kornyezetbazisa eG -nek, es a B halmazt rendezzuk a  relacioval. Legyen (W )W 2B olyan rendszer C0(G)+ -ban, hogy minden W 2 B halmazra supp(W )  W es (W ) = 1. Ha F Banach-ter es f 2 C (G; F ), akkor f (eG ) = W; limB Z G W d d : Legyen G lokalisan kompakt csoport es baloldali Haar-mertek G felett. A kovetkez}o alltasok ekvivalensek. (1) A G csoport diszkret. (2) A C0(G; C )-ben letezik neutralis elem a  konvolucios szorzas szerint. (3) Az L1C (G; ) Banach *-algebra egysegelemes. Legyen G lokalisan kompakt csoport es V folytonos uniter abrazolasa G-nek a H Hilbert-terben. Ha baloldali Haar-mertek G felett, akkor letezik egyetlen olyan V : C0(G; C ) ! L(H ) lekepezes, amelyre

teljesul az, hogy minden  2 C0(G; C ) fuggvenyre es  2 H vektorra Z hV (); i = hV (s); i(s) d (s): G Ez a V lekepezes folytonos nemelfajult abrazolasa C0(G; C ) normalt *-algebranak a H Hilbert-terben. Minden s 2 G es  2 C0(G; C ) elemre V (s)  V () = V (  G(s 1 )) XVII. A harmonikus analzis elemei 14 teljesul. Legyen G lokalisan kompakt csoport, es baloldali Haar-mertek G felett. Ekkor ; 2 C0(G; C ) eseten  = Z G (t)
 G(t 1 ) d (t): Legyen G lokalisan kompakt csoport es baloldali Haar-mertek G felett. Ha  : L1C (G; ) ! L(H ) nemelfajult abrazolasa az L1C (G; ) Banach *-algebranak a H Hilbert-terben, akkor letezik, egyetlen olyan, V folytonos uniter abrazolasa G-nek a H Hilbert-terben, amelyre  = V^ teljesul. Legyen G lokalisan kompakt csoport es baloldali Haar-mertek G felett. Ha U es V folytonos uniter abrazolasai G-nek, akkor C (U ; V ) = C (U ; V ) = C (U^ ; V^ ): Legyen G lokalisan kompakt csoport.

Ha U es V folytonos uniter abrazolasai G-nek, akkor U es V pontosan akkor uniter ekvivalensek ha U^ es V^ abrazolasok uniter ekvivalensek. Ha V folytonos uniter abrazolasa G-nek, akkor V pontosan akkor irreducibilis (illetve ciklikus), ha V^ abrazolas irreducibilis (illetve ciklikus). Legyen G lokalisan kompakt csoport, baloldali Haar-mertek G felett, es jelolje V a V ( G; ;C ) baloldali regularis abrazolast. (1) Minden ; 2 C0(G; C ) fuggvenyre V ()( ) =   teljesul. (2) Minden  2 M(G; C ) es 2 C0(G; C ) elemre legyen  :G!C t 7! Z G (s 1 t) d(s): Ekkor  2 M(G; C ) es 2 C0(G; C ) eseten   : G ! C folytonos fuggveny, es ha  2 L(G), akkor minden 0 2 C0(G; C ) fuggvenyre hV^ ()( ); 0 i = Z G (  )
0 d teljesul, ahol h
;
i jeloli a skalarszorzas L2C (G; )-ban. Kristof Janos: Az analzis elemei IV. 15 Ha G lokalisan kompakt csoport es baloldali Haar-mertek G felett, akkor az ) Banach *-algebranak letezik

h}u abrazolasa. C L1 (G; Ha G lokalisan kompakt csoport, akkor minden s; t 2 G, s 6= t ponthoz letezik G-nek olyan V irreducibilis uniter abrazolasa, hogy V (s) 6= V (t). Ha G lokalisan kompakt csoport, akkor G^ szetvalaszt G felett. Legyen G lokalisan kompakt csoport, valoszn}usegi Radon-mertek a baloldali Haar-mertek G felett, es 
 L1C (G; )0 ; L1C (G; ) K (L1C (G; )) topologiaval ellatott K (L1C (G; )) kompakt ter felett. Minden  2 L1C (G; ) eseten legyen Y v = (f ()f )f 2K(L1C(G; )) 2 Hf ; f 2K (L1C(G; )) tovabba ertelmezzuk a  HL1C(G; ) = v j  2 L1C (G; ) halmazt. (1) A HL1C(G; ) linearis altere a Y f 2K (L1C(G; )) Hf linearis szorzatternek, es minden x; y 2 HL1C(G; ) elemre a K (L1C (G; )) ! C f 7! hx(f ); y(f )iHf lekepezes folytonos, es minden  2 L1C (G; ) es x 2 HL1C(G; ) vektorra
f ()(x(f )) f 2K(L1C(G; )) 2 HL1C(G; ): (2) A jj
jj : HL1C(G; ) ! R+ x 7! sZ K (L1C(G; )) jjx(f )jj2Hf d(f )

lekepezes Hilbert-felnorma a HL1C(G; ) komplex vektorter felett. Jelolje H a HL1C(G; )= ker(jj
jj) prehilbert-ter teljes burkat, es minden x 2 HL1C(G; ) elemre legyen x az x ekvivalencia-osztalya HL1C(G; )= ker(jj
jj )-ben. XVII. A harmonikus analzis elemei 16 (3) Az fv j  2 C0(G; C )g halmaz s}ur}u linearis alter a H Hilbert-terben. (4) Az Z Vf d(f ) 1 K (LC(G; )) uniter abrazolas tere egyenl}o H -vel, es minden x; y 2 fv j  2 C0(G; C )g vektorra a K (L1C (G; ))  G ! C (f; s) 7! Vf (s)x(f ); y(f ) Hf fuggveny folytonos a szorzattopologia szerint, es minden s 2 G eseten fennall a ! D Z K (L1C(G; )) Vf d(f ) (s)x ; y E  = Z K (L1C(G; )) Vf (s)x(f ); y (f ) Hf d(f ) egyenl}oseg, ahol h
;
i jeloli a H feletti skalarszorzast. Ha G megszamlalhato bazisu lokalisan kompakt csoport es baloldali Haarmertek G felett, akkor az L1C (G; ) Banach *-algebra szeparabilis. Legyen G megszamlalhato bazisu

lokalisan kompakt csoport, baloldali Haarmertek G felett, es V ciklikus folytonos uniter abrazolasa G-nek. A K (L1C (G; )) kompakt konvex halmaz felett ekkor letezik olyan  valoszn}usegi Radon-mertek, amely az
Ext K (L1C (G; )) halmazon koncentralt es V uniter ekvivalens Z K (L1C(G; )) Vf d(f ) abrazolassal. 7. Kompakt csoportok folytonos uniter abrazolasai Legyen G lokalisan kompakt csoport es baloldali Haar-mertek G felett. A G topologikus ter pontosan akkor kompakt, ha folytonos a sup-normaban, vagyis letezik olyan C  0 valos szam, hogy minden  2 C0(G; C ) fuggvenyre j ()j  C jjjjG: Kristof Janos: Az analzis elemei IV. 17 Ha G kompakt csoport, Haar-mertek G felett, es  nemtrivialis folytonos uniter karaktere G-nek, akkor: Z  d = 0: G Ha G kompakt csoport, es a G folytonos uniter karaktereinek olyan halmaza, amely a pontonkent ertelmezett szorzassal csoport es szetvalaszt G felett, akkor egyenl}o a G folytonos

uniter karaktereinek halmazaval. Legyen (Gi )i2I kompakt csoportok olyan rendszere, hogy minden i 2 I Qindexre a Gi feletti folytonos uniter karakterek halmaza szetvalaszt Gi felett. A i2I Gi topologikus szorzatcsoport minden  folytonos uniter karakterehez egyertelm}uen letezik olyan (i )i2I rendszer, hogy minden i 2 I indexre i folytonos uniter karaktere Gi -nek, es az fi 2 I j i 6= 1g Q halmaz veges, es minden (si )i2I 2 i2I Gi elemre ((si )i2I ) = Y i2I i (si ) teljesul. Legyen G kompakt csoport es V olyan linearis abrazolasa G-nek a H Hilbertterben, hogy G  H ! H (s; ) 7! V (s) valtozoiban folytonos fuggveny. Ekkor letezik a H vektorter felett olyan Hilbertnorma, amely ekvivalens a H normajaval, es amelyre nezve V folytonos uniter abrazolasa G-nek. Legyen G kompakt csoport, es normalt Haar-mertek G felett. (1) Ha V1, V2 folytonos uniter abrazolasa G-nek a H1 , H2 Hilbert-terben, es a V1 es V2 abrazolasok diszjunktak

(vagyis C (V1; V2 ) = f0g), akkor minden 1 ; 1 2 H1, 2; 2 2 H2 vektorra: Z G hV1 (s)1 ; 1 ihV2 (s)2 ; 2i d (s) = 0: (2) Ha V irreducibilis folytonos uniter abrazolasa G-nek a H Hilbert-terben, akkor H veges dimenzios, es minden 1; 1 2 H1 , 2; 2 2 H2 vektorra: Z hV (s)1 ; 1ihV (s)2 ; 2i d (s) = dim(1 H ) h1; 2 ih1 ; 2i: G 18 XVII. A harmonikus analzis elemei Ha V1 es V2 uniter inekvivalens irreducibilis folytonos uniter abrazolasai a G kompakt csoportnak, akkor V1 es V2 diszjunktak (vagyis C (V1; V2) = f0g). Legyen G kompakt csoport. Ha V1 es V2 uniter ekvivalens folytonos uniter abrazolasai G-nek, akkor GV1 (G) = GV2 (G). Ha V1 es V2 diszjunkt folytonos uniter abrazolasai G-nek, akkor GV1 ? GV2 a h
;
i skalarszorzas szerint, barmely G feletti Haar-mertekre. Legyen G kompakt csoport es  G^ olyan reszhalmaz, hogy a G trivialis uniter karaktere eleme -nak, es minden U 2 abrazolasra U 2 , tovabba minden U1; U2 2

abrazol ashoz letezik olyan (Vi )i2I veges rendszer -ban, hogy U1  U2 L uniter ekvivalens i2I Vi -vel. A kovetkez}o alltasok ekvivalensek (1) A Lszetvalaszt G felett. (2) A LU 2 GU (G) alter s}ur}u C (G; C )-ben a sup-norma szerint. (3) A U 2 GU (G) alter s}ur}u az L2C (G; ) Hilbert-terben, ahol Haar-mertek G felett. (4) = G^ . Legyen G kompakt csoport es normalt Haar-mertek G felett. Ha minden U 2 G^ elemre (U;i )i2dim(U ) ortonormalt bazis az U abrazolasi tereben, akkor a  p
 dim(U )hU (
)U;i ; U;j i i;j2dim(U ) U 2G^ rendszer ortonormalt bazis az L2C (G; ) Hilbert-terben. Legyen G kompakt csoport es jelolje V a V ( G; ;C ) baloldali regularis abrazolast, ahol a normalt Haar-mertek G felett. Minden U 2 G^ elemre, es az U abrazolas HU terenek minden  6= 0 elemere legyen GU; (G) = fhU (
); i j  2 HU g: (1) Ha U 2 G^ es  2 HU elemre GU; (G)  G invarians altere a V abrazolasnak, es ha  6= 0, akkor dim(GU; (G)) =

dim(U ): (2) Ha U 2 G^ es  2 HU n f0g, akkor a V jGU; (G) reszabrazolas uniter ekvivalens U -val. (3) A M ^ U dim(U ) U 2G^ Hilbert-osszeg uniter ekvivalens V -vel. Kristof Janos: Az analzis elemei IV. 19 Ha G veges diszkret csoport, akkor G^ veges halmaz, es teljesul a jGj = X (dim(U ))2 U 2G^ egyenl}oseg. Ha G kommutatv is, akkor jGj = jG^ j Legyen G kompakt csoport es G a normalt Haar-mertek G felett. (1) Ha U1; U2 uniter inekvivalens veges dimenzios folytonos uniter abrazolasai G-nek, akkor eU1  G eU2 = 0: (2) Ha U veges dimenzios folytonos uniter abrazolasa G-nek, akkor eU = eU , es eU centralis elem az L1C (G; G ) algebraban, vagyis eU kommutal az L1C (G; G ) minden elemevel. (3) Ha U irreducibilis folytonos uniter abrazolasa G-nek, akkor eU  G eU = eU : Az (eU )U 2G^ rendszer ortogonalis projektor-rendszer az L1C (G; G ) *-algebraban. (4) Ha U irreducibilis folytonos uniter abrazolasa G-nek, akkor minden  2

GU (G) fuggvenyre eU  G  =   G eU =  teljesul. Legyen G kompakt csoport es V folytonos uniter abrazolasa G-nek a H Hilbertterben. Egyertelm}uen letezik kardinalis szamoknak olyan (mU )U 2G^ rendszere, hogy a M ^ U mU U 2G^ Hilbert-osszeg uniter ekvivalens V -vel. 8. Kommutatv lokalisan kompakt csoportok folytonos uniter abrazolasai Legyen G kommutatv lokalisan kompakt csoport es Egyertelm}uen letezik olyan
 : G^ ! X L1C (G; ) Haar-mertek G felett. 20 XVII. A harmonikus analzis elemei lekepezes, hogy minden  2 G^ folytonos uniter karakterre es  2 C0(G; C ) fuggvenyre Z ( ())() =  d G
teljesul. Ez a lekepezes bijekcio G^ es X L1C (G; ) kozott, es fennall az

X L1C (G; ) = Xsa L1C (G; ) egyenl}oseg. a Ha G kommutatv lokalisan kompakt csoport es Haar-mertek G felett, akkor  
] : C0 X L1C (G; ) ; C ! C0(G^ ; C ) lekepezes *-izomor zmus, es az f 7! f  G F = ]  GL1C(G; ) : L1C (G; ) !

C0(G^ ; C ) lekepezes olyan injektv *-algebra mor zmus, hogy minden  2 C0(G; C ) fuggvenyre es  2 G^ elemre Z (F ())() =  d G ^ C )-ben. teljesul, es Im(FG ) sup-normaban s}ur}u *-reszalgebra C0(G; Ha G kommutatv lokalisan kompakt csoport, akkor a G^ feletti Gelfand-topologia egyenl}o a kompakt konvergencia topologiajaval. Ha G kommutatv lokalisan kompakt csoport, akkor G^ a pontonkent ertelmezett szorzassal es a Gelfand-topologiaval ellatva kommutatv lokalisan kompakt csoport. Legyen G kommutatv lokalisan kompakt csoport es Haar-mertek G felett. Ha V folytonos uniter abrazolasa G-nek a H Hilbert-terben, akkor letezik egyetlen olyan P : C0(G^ ; C ) ! L(H ) nemelfajult abrazolas, hogy P  F = V^ teljesul. Megfordtva, ha P : C0(G^ ; C ) ! L(H ) nemelfajult abrazolas, akkor egyertelm}uen letezik G-nek olyan V folytonos uniter abrazolasa, amelyre P  F = V^ Kristof Janos: Az analzis elemei IV. 21 teljesul. Ha

T lokalisan kompakt ter, H Hilbert-ter, es p : B0(T ) ! L(H ) projektor ertek}u -ortoadditv fuggveny, akkor [ E 2R Im(p(E )) !? = 2C0 (T ;C ) ker  Z T  dp = 2C0 (T ;C ) ker Z  T  dp : Legyen G kommutatv lokalisan kompakt csoport es Haar-mertek G felett. Ha V folytonos uniter abrazolasa G-nek a H Hilbert-terben, akkor letezik egyetlen olyan p : B0(G^ ) ! L(H ) nemelfajult projektor-ertek}u -ortoadditv fuggveny, hogy minden  2 L1C (G; ) elemre Z V^ () = F () dp teljesul. Megfordtva, ha G^ p : B0(G^ ) ! L(H ) nemelfajult projektor-ertek}u -ortoadditv fuggveny, akkor letezik G-nek egyetlen olyan V folytonos uniter abrazolasa, hogy minden  2 L1C (G; ) elemre V^ () = Z G^ F () dp teljesul. 9. Radon-mertekek faktorizacioja lokalisan kompakt csoporton Legyen G lokalisan kompakt csoport, H zart reszcsoport G-ben,  Radon-mertek H felett, es F Banach-ter. Ha f : G ! F olyan folytonos

fuggveny, amelyre minden K  G kompakt halmaz eseten (KH ) supp(f ) kompakt G-ben, akkor teljesulnek a kovetkez}ok: (1) Minden s 2 G pontra (f  G(s))jH 2 C0(H ; F ): XVII. A harmonikus analzis elemei 22 (2) Az (3) f : G ! F fuggveny folytonos. s 7! Z H (f  G(s))jH d [f 6= 0]  (supp(f ))H: (4) Ha a  Radon-mertek H kvaziinvarians, akkor minden (s; t) 2 G  H parra f (st) = f (s). Legyen G lokalisan kompakt csoport, H zart reszcsoport G-ben, es H baloldali Haar-mertek H felett. (1) Ha F Banach-ter K felett, g 2 C (G=H ; F ) es  2 C0(G; K ), akkor ((g  G=H ))[ = [g: (2) Ha F Banach-ter es f 2 C (G; F ) olyan fuggveny, hogy minden K  G kompakt halmazra (KH ) supp(f ) kompakt halmaz, akkor minden t 2 H es s 2 G elemre (f  G (t))[ =
H (t)f [ ; (f  G (t))[ = f [  G=H (s): (3) Minden K 0  G=H kompakt halmazhoz letezik olyan  2 C (G)+, hogy K 0  [[ = 1]. Legyen G lokalisan kompakt csoport, H zart reszcsoport G-ben, H baloldali

Haar-mertek H felett, es F Banach-ter. Ekkor a C0(G; F ) ! C0(G=H ; F ) f 7! f [ lekepezes szurjekcio. Ha G lokalisan kompakt csoport es H zart reszcsoport G-ben, es H baloldali Haar-mertek H felett, akkor letezik egyetlen olyan M(G=H ; C ) ! M(G; C )  7! ] linearis operator, hogy minden  2 M(G=H ; C ) mertekre es  2 C0(G; C ) fuggvenyre ] () = ([ ) teljesul. Ez a linearis operator injektv Kristof Janos: Az analzis elemei IV. 23 Legyen G lokalisan kompakt csoport, H zart reszcsoport G-ben, H baloldali Haar-mertek H felett, es  2 M(G; C ). A kovetkez}o alltasok ekvivalensek (1) Letezik olyan  2 M(G=H ; C ), hogy  = ] . (2) Minden t 2 H elemre G (t) =
H (t). (3) Minden ; 2 C0(G; C ) fuggvenyre

 ( [  G=H ) =  ([  G=H ) : (4) Minden  2 C0(G; C ) fuggvenyre, ha [ = 0, akkor () = 0. Legyen G lokalisan kompakt csoport, H zart reszcsoport G-ben, H baloldali Haar-mertek H felett, es  2 M(G; C

). Ha  faktorizalhato H szerint, es s 2 G, 2 C (G=H ; C ), akkor G (s) es (  G=H ) is faktorizalhato H szerint, es ( G(s))= H = G=H (s)(= H ); ((  G=H ))= H = (= H ): teljesul. Legyen G lokalisan kompakt csoport, H zart reszcsoport G-ben, G, H baloldali Haar-mertek G, H felett, es h 2 C (G; C ). A h G mertek pontosan akkor faktorizalhato H szerint, ha minden (s; t) 2 G  H parra: H (t) h(s): h(st) =

(t) G Legyen G lokalisan kompakt csoport, H zart reszcsoport G-ben, H baloldali Haar-mertek H felett, es  2 M(G; C ). Ha  faktorizalhato H szerint, es letezik olyan K  G kompakt halmaz, hogy supp()  KH , akkor = H kompakt tartoju mertek, es minden 2 C0(G=H ; C ) fuggvenyre, G=H (K )  [ = 1] eseten (= H ) = = H teljesul. Ha G lokalisan kompakt csoprot es H zart reszcsoport G-ben, akkor letezik olyan  : G ! R+ folytonos fuggveny, hogy minden s 2 G, t 2 H pontra H (t) (s) (st) =

(t) G teljesul. 24 XVII. A

harmonikus analzis elemei Legyen G lokalisan kompakt csoprot, H zart reszcsoportja G-nek, es G , H baloldali Haar-mertek G, H felett. Ha  : G ! R+ olyan folytonos fuggveny, hogy minden s 2 G, t 2 H pontra H (t) (s); (st) =

(t) G akkor a  G mertek faktorizalhato H szerint, es a ( G )= H faktormertek olyan nem nulla pozitv Radon-mertek G felett, amelyhez letezik olyan  : G  (G=H ) ! R+ folytonos fuggveny, hogy minden s 2 G elemre ( G=H (s))(( G )= H ) = (s 1 ;
)(( G )= H ) teljesul (tehat (( G )= H ) topologikusan G=H -kvaziinvarians). Legyen folytonos topologikus abrazolasa a G lokalisan kompakt csoportnak az X lokalisan kompakt terben. Ha G -kompakt es tranzitv, akkor letezik X felett olyan  nem nulla pozitv topologikusan -kvaziinvarians Radon-mertek, amelynek multiplikatora a G  X szorzatteren folytonos. 10. Indukalt uniter abrazolasok Ha G lokalisan kompakt csoport, H  G zart reszcsoport es U uniter

abrazolasa H -nak az F Hilbert-terben, akkor H U  C (G; F ) olyan linearis alter, hogy minden s 2 G elemre es f 2 H U fuggvenyre f  G(s 1 ) 2 H U : Legyen G lokalisan kompakt csoport, H  G zart reszcsoport es U uniter abrazolasa H -nak az F Hilbert-terben. Ha G, H baloldali Haar-mertek G, H felett, akkor minden f; g 2 H U fuggvenyre a hf; giF : G ! C s 7! hf (s); g(s)i fuggveny folytonos, es az hf; giF G mertek faktorizalhato H szerint, es az (hf; giF G)= H faktormertek kompakt tartoju. Kristof Janos: Az analzis elemei IV. 25 Legyen G lokalisan kompakt csoport, H  G zart reszcsoport, U uniter abrazolasa H -nak az F Hilbert-terben, es G, H baloldali Haar-mertek G, H felett. Ekkor a h
;
i G; H : HU  HU !C (f; g) 7! Z  G=H
1G=H d hf; giF G = H  lekepezes olyan skalarszorzas a H U vektorter felett, hogy minden s 2 G elemre es f; g 2 H U fuggvenyre hV U (s)f; V U (s)gi G; H = hf; gi G; H : Legyen G

lokalisan kompakt csoport, H  G zart reszcsoport es U uniter abrazolasa H -nak az F Hilbert-terben. Ha G, H baloldali Haar-mertek G, H felett, akkor a V U; G; H indukalt uniter abrazolas folytonos. Legyen G lokalisan kompakt csoport, H  G zart reszcsoport es U folytonos uniter abrazolasa H -nak az F Hilbert-terben. Legyen H baloldali Haar-mertek H felett,  2 C0(G; C ) es z 2 F . Ekkor minden s 2 G elemre a H!F t 7! s 
H (t)
G(t)  1 (st)(U (t)z) fuggveny folytonos kompakt tartoju, es a  H z :G ! F s 7! s  Z H
H (t)
G(t)  1 (st)(U (t)z) d H (t) fuggveny eleme H U -nak. Legyen G lokalisan kompakt csoport, H  G zart reszcsoport es U folytonos uniter abrazolasa H -nak az F Hilbert-terben. Ha H baloldali Haar-mertek H felett, akkor az  (  H z)(eG )  2 C0(G; C ); z 2 F g halmaz linearis burka s}ur}u F -ben. Legyen G lokalisan kompakt csoport, H  G zart reszcsoport es U folytonos uniter abrazolasa H

-nak az F Hilbert-terben. Ekkor az u : HU ! F f 7! f (eG ) 26 XVII. A harmonikus analzis elemei lekepezes olyan linearis operator, amelynek ertekkeszlete s}ur}u F -ben. Legyen G lokalisan kompakt csoport, H  G zart reszcsoport es U1 , U2 folytonos uniter abrazolasa H -nak az F1 , F2 Hilbert-terben. Legyen G , H baloldali Haarmertek G, H felett Ha u 2 C (U1; U2 ), akkor letezik olyan Tu 2 C (V U1 ; G; H ; V U2; G; H ); hogy minden f 2 H U1 fuggvenyre u  f 2 H U2 teljesul. Tovabba a C (U1; U2) ! C (V U1 ; G; H ; V U2 ; G; H u 7! Tu ) lekepezes injektv linearis operator. Legyen G lokalisan kompakt csoport es V folytonos uniter abrazolasa G-nek a H Hilbert-terben. Ha H  G olyan zart reszcsoport, es U olyan folytonos uniter abrazolasa H -nak az F Hilbert-terben, es G , H olyan baloldali Haar-mertek G, H felett, hogy V uniter ekvivalens V U; G; H -val, akkor letezik olyan D  H s}ur}u V -invarians linearis alter,

es letezik olyan w : D ! F linearis operator, hogy Im(w) s}ur}u altere F -nek, es minden t 2 H elemre U (t)  w = w  s !
H (t)
V (t)j : D
G (t) Legyen G lokalisan kompakt csoport, H  G zart reszcsoport es U uniter abrazolasa H -nak. Minden 2 C (G=H ; C ) es f 2 H U fuggvenyre (  G=H )f 2 H U , es a P U ( ) : H U ! H U f 7! (  G=H )f lekepezes linearis operator. Tovabba, a P U : C (G=H ; C ) ! L(H U ) 7! P U ( ) lekepezes olyan egysegelem tarto algebra mor zmus a C (G=H ; C ) fuggvenyalgebra es az L(H U ) operatoralgebra kozott, amelyre s 2 G es 2 C (G=H ; C ) eseten: V U (s)  P U ( )  V U (s) 1 = P U (  1 G=H (s) ): Legyen G lokalisan kompakt csoport, H  G zart reszcsoport es U uniter abrazolasa H -nak az F Hilbert-terben. Legyen G, H baloldali Haar-mertek G, H felett. Ha 2 C b(G=H ; C ), akkor a P U ( ) : HU ! HU Kristof Janos: Az analzis elemei IV. linearis operator folytonos a h
;
i G; egyertelm}uen

letezik olyan P U; G; H H 27 Mackey-fele skalarszorzas szerint. Tovabba : C b(G=H ; C ) ! L(H U; G ; H ) lekepezes, amelyre teljesul, hogy minden 2 C b(G=H ; C ) fuggvenyre P U; G; H ( ) a h
;
i G; H Mackey-fele skalarszorzas szerint folytonos linearis kiterjesztese P U ( )nek. A P U; G; H lekepezes egysegelem-tarto abrazolasa C b(G=H ; C ) kommutatv C -algebranak a H U; G; H Hilbert-terben, es minden s 2 G, 2 C b(G=H ; C ) eseten fennall a V U; G; H (s)  P U; G; H ( )  V U; G; H (s) 1 = P U; G; H (  G=H (s) 1 ) imprimittivitas egyenl}oseg. A P U; G; H abrazolas lesz}uktese C0(G=H ; C )-re nemelfajult, vagyis az [ Im(P U; G; H ( )) 2C0 (G=H ;C ) halmaz linearis burka s}ur}u a H U; G ; H Hilbert-terben. Legyen G lokalisan kompakt csoport, H  G zart reszcsoport, G , H baloldali Haar-mertek G, H felett, es U uniter abrazolasa H -nak az F Hilbert-terben. Ha 2 C b(G=H ; C ) es ( n )n2N olyan sorozat C0(G=H ; C )-ben,

amely lokalisan egyenletesen konvergal -hez es egyenletesen korlatos, akkor P U; pontonkent a H U; G ; H G; H U; G ; H ( n ) ( ) = nlim !1 P Hilbert-teren. Legyen G lokalisan kompakt csoport es V folytonos uniter abrazolasa G-nek a H Hilbert-terben. Ha H  G zart reszcsoport, es U olyan uniter abrazolasa H nak, es G, H olyan baloldali Haar-mertek G, H felett, hogy V uniter ekvivalens V U; G; H -val, akkor letezik olyan P : C b(G=H ; C ) ! L(H ) egysegelem-tarto abrazolas, hogy minden s 2 G es 2 C b(G=H ; C ) elemre V (s)  P ( )  V (s) 1 = P (  G=H (s) 1 ) teljesul, es a P lesz}uktese C0(G=H ; C )-re nemelfajult abrazolas. Legyen G lokalisan kompakt csoport, H  G zart reszcsoport, U uniter abrazolasa H -nak az F Hilbert-terben, es G, H baloldali Haar-mertek G, H felett. Tegyuk fel, hogy M  H U olyan linearis alter, amely minden s 2 G es XVII. A harmonikus analzis elemei 28 2 C0(G=H ; C ) elemre invarians a V U

(s) es P U ( ) linearis operatorokra nezve, tovabba az ff (eG ) j f 2 M g halmaz s}ur}u linearis alter az F Hilbert-terben. Ekkor M s}ur}u a H U; G ; terben. H Hilbert- Legyen G lokalisan kompakt csoport, V folytonos uniter abrazolasa G-nek a H Hilbert-terben, es H  G zart reszcsoport. Legyen P : C0(G=H ; C ) ! L(H ) olyan linearis operator, amely folytonos, ha C0(G=H ; C ) felett a sup-normat, es L(H ) felett az operatornormat vesszuk normkent. Legyen G , H baloldali Haarmertek G, H felett Ha ;  2 H , akkor minden f 2 C0(G  G; C ) fuggvenyre a E D
[ G!C s 7! P (f (
; s)) V (s);  fuggveny kompakt tartoju es folytonos, tovabba a ; : C0(G  G; C ) ! C f 7! Z D G
E P (f (
; s))[ V (s);  d G(s) lekepezes olyan Radon-mertek G  G felett, hogy minden ; fuggvenyre ; ( ) = hP ([ )V G ( ); i: 2 C0(G; C ) Legyen G lokalisan kompakt csoport es V folytonos uniter abrazolasa G-nek a H Hilbert-terben. Ha H  G

olyan zart reszcsoport, amelyhez letezik olyan P : C0(G=H ; C ) ! L(H ) sup-normaban folytonos nemelfajult abrazolas, hogy minden s 2 G es C0(G=H ; C ) elemre V (s)  P ( )  V (s) 1 = P (  2 G=H (s) 1 ) teljesul, akkor letezik olyan U folytonos uniter abrazolasa H -nak, hogy minden G, H feletti G, H baloldali Haar-mertekre V uniter ekvivalens a V U; G; H -val. Legyen G lokalisan kompakt csoport, H zart reszcsoportja G-nek, es V folytonos uniter abrazolasa G-nek a H Hilbert-terben. A kovetkez}o alltasok ekvivalensek (1) Letezik H -nak olyan U folytonos uniter abrazolasa es letezik olyan G, H feletti G , H baloldali Haar-mertek, hogy V uniter ekvivalens V U; G; H val. Kristof Janos: Az analzis elemei IV. 29 (2) Letezik olyan P : C b(G=H ; C ) ! L(H ) egysegelem-tarto abrazolas, hogy minden s 2 G es 2 C b(G=H ; C ) elemre V (s)  P ( )  V (s) 1 = P (  G=H (s) 1 ) teljesul, es a P lesz}uktese C0(G=H ; C )-re

nemelfajult abrazolas. (3) Letezik olyan P : C0(G=H ; C ) ! L(H ) nemelfajult abrazolas, hogy minden s 2 G es 2 C0(G=H ; C ) elemre V (s)  P ( )  V (s) 1 = P (  G=H (s) 1 ) teljesul. (4) Letezik olyan P : C0(G=H ; C ) ! L(H ) sup-normaban folytonos nemelfajult abrazolas, hogy minden s 2 G es 2 C0(G=H ; C ) elemre V (s)  P ( )  V (s) 1 = P (  1 G=H (s) ) teljesul. Legyen G lokalisan kompakt csoport, H  G zart reszcsoport, es U uniter abrazolasa H -nak az F Hilbert-terben. Legyen j tetsz}oleges jobbinverze a G=H : G ! G=H kanonikus szurjekcionak, vagyis j : G=H ! G olyan fuggveny, hogy G=H  j = IdG=H : Legyen  : G ! R+ olyan folytonos fuggveny, hogy minden s 2 G, t 2 H eseten H (t) (s) (st) =

(t) G teljesul. (1) Minden s 2 G elemre j (G=H (s)) 1 s 2 H , es minden x 2 G=H pontra j (x) 1 sj (
1 G=H (s ))(x) 2 H: (2) Minden f 2 H U fuggvenyhez egyertelm}uen letezik olyan f : G=H !F 30 XVII. A harmonikus

analzis elemei fuggveny, hogy minden s 2 G elemre p f (G=H (s)) = frac1 (s)U (j (G=H (s)) 1 s)f (s) teljesul. Tovabba, ha de ncio szerint H U;j; = f j f 2 H U g; akkor H U;j; olyan linearis altere az F (G=H ; F ) fuggvenyternek, amelyre a H U ! H U;j; f 7! f lekepezes linearis bijekcio. Ha : G=H ! F , akkor 2 H U;j; ekvivalens f azzal, hogy kompakt tartoju es a G!F
s 7! U s 1 j (G=H (s)) (G=H (s)) fuggveny folytonos. Ha ;  2 H U;j; , akkor h ; iF 2 C0(G=H ; C ) teljesul Specialisan, ha 2 H U;j; , akkor jj jjF 2 C0(G=H ; R); azonban a H U;j; fuggvenyter elemei altalaban nem folytonos fuggvenyek. (3) Jelolje V U;j; a G csoportnak azt a linearis abrazolasat a H U;j; fuggvenyterben, amelyet a H U ! H U;j; f 7! f linearis bijekcio a V U indukalt linearis abrazolassal osszekot. Ha 2 H U;j; , akkor s 2 G es x 2 G=H eseten q 
 (V U;j; (s) )(x) = (s 1 ; x)U j (x) 1 sj ( G=H (s 1 ))(x)
( G=H (s 1

))(x) ; ahol  : G  (G=H ) ! R+ az a folytonos fuggveny, amelyre s; s0 2 G eseten  (s; G=H (s0 )) = (ss0 )=(s0 ): (4) Ha U folytonos uniter abrazolasa H -nak es j : G=H ! G folytonos jobbinverze G=H -nak, akkor H U;j; = C0(G=H ; F ): Legyen G lokalisan kompakt csoport, H  G zart reszcsoport, es U uniter abrazolasa H -nak az F Hilbert-terben. Legyen j tetsz}oleges jobbinverze a G=H : G ! G=H Kristof Janos: Az analzis elemei IV. 31 kanonikus szurjekcionak. Legyen  : G ! R+ olyan folytonos fuggveny, hogy minden s 2 G, t 2 H eseten H (t) (s); (st) =

(t) G tovabba legyen G , H baloldali Haar-mertek G, H felett. Jelolje  a ( G )= H faktormerteket G=H felett, es legyen  : G  (G=H ) ! R+ az a folytonos fuggveny, amelyre s; s0 2 G eseten  (s; G=H (s0 )) = (ss0 )=(s0 ) teljesul. Tudjuk, hogy  olyan nem nulla pozitv topologikusan G=H -kvaziinvarians mertek G=H felett, hogy minden s 2 G elemre ( G=H (s))() =

 (s 1 ;
) teljesul. (1) A h
;
i : H U;j;  H U;j; ! C ( ; ) 7! (h ; iF ) lekepezes olyan skalarszorzas a H U;j; vektorter felett, amelyet minden s 2 G elemre a V U;j; (s) 2 GL(H U;j; ) operator megtart, ahol H U;j; az el}oz}o alltas 2. pontjaban ertelmezett fuggvenyter A H U ! H U;j; f 7! f linearis bijekcio megtartja a H U feletti h
;
i G; H Mackey-fele skalarszorzast es a most ertelmezett h
;
i skalarszorzast. (2) Jelolje H U;j;; G ; H a H U;j; prehilbert-ter teljes burkat, jelolje V U;j;; G; H a V U;j; linearis abrazolas teljesteset. Ekkor letezik egyetlen olyan H U; G; H ! H U;j;; G; H uniter operator, amely kiterjesztese a H U ! H U;j; f 7! f lekepezesnek, es osszekoti a V U; G; H es V U;j;; G; H uniter abrazolasokat. (3) Ha U folytonos uniter abrazolasa H -nak es j : G=H ! G folytonos jobbinverze G=H -nak, akkor H U;j;; G; H = L2F (G=H; ): XVII. A harmonikus analzis elemei 11.

A Mackey-fele reprezentacios tetel 32 Ha G lokalisan kompakt csoport es N  G zart kommutatv invarians reszcsoport, akkor a G  N^ ! N^ (s; ) 7! s lekepezes folytonos, vagyis a G csoport bels}o abrazolasa N^ -ben folytonos topologikus abrazolas. Ha N megszamlalhato bazisu kommutatv lokalisan kompakt csoport, akkor N^ megszamlalhato bazisu lokalisan kompakt ter. Legyen abrazolasa a G csoportnak az X halmazban, es minden E  X halmaz eseteben alkalmazzuk a G
E = f (s)x j s 2 G; x 2 E g jelolest. Ha D  X olyan halmaz, amely az X minden -palyajat eppen egy pontban metszi, akkor minden E  D halmazra es a D reszhalmazainak barmely (En)n2N sorozatara teljesulnek a G
(DnE ) = X n(G
E ); G
En = (G
En) n2N n2N egyenl}osegek. Legyen G -kompakt lokalisan kompakt csoport es olyan folytonos topologikus abrazolasa G-nek az X megszamlalhato bazisu lokalisan kompakt terben, hogy letezik olyan D  X -kompakt

halmaz, amely az X minden -palyajat eppen egy pontban metszi. Ha H 6= f0g Hilbert-ter es p : B(X ) ! L(H ) olyan projektor-ertek}u -ortoadditv fuggveny, hogy p(X ) = IdH es minden E 2 B(X ) -invarians halmazra p(E ) = 0 vagy p(E ) = IdH , akkor egyertelm}uen letezik olyan !  X -palya, amelyre p(!) = IdH teljesul. Legyen G lokalisan kompakt csoport, N  G zart kommutatv invarians reszcsoport, es jelolje a G csoport bels}o abrazolasat N^ -ben. Ha N Haar-mertek N felett, akkor minden s 2 G es 2 C0(N ; C ) eseten
F N ( )  (s) 1 = mod(IntG (s)jN )
1

F N  (IntG(s 1 )jN ) : Kristof Janos: Az analzis elemei IV. 33 Legyen G megszamlalhato bazisu lokalisan kompakt csoport es N  G zart kommutatv invarians reszcsoport. Jelolje a G csoport bels}o abrazolasat N^ -ben, es tegyuk fel, hogy: (1) az N^ minden -palyaja lokalisan kompakt halmaz; (2) letezik N^ -nek olyan -kompakt reszhalmaza, amely az N^ minden

-palyajat eppen egy pontban metszi. Ekkor a G minden V irreducibilis folytonos uniter abrazolasahoz letezik olyan  2 N^ es letezik a Gx stabilitas-csoportnak olyan U irreducibilis folytonos uniter abrazolasa, hogy barmely G (illetve Gx ) feletti G (illetve Gx ) baloldali Haarmertekre V uniter ekvivalens a G csoport (U; G ; Gx ) harmas altal indukalt uniter abrazolasaval, es minden n 2 N elemre U (n) = (n) IdF , ahol F az U abrazolas tere. Legyen G lokalisan kompakt csoport, N  G zart kommutatv invarians reszcsoport, es H  G olyan zart reszcsoport, hogy N
H = G es N H = feG g. Minden  2 N^ fuggvenyre legyen H = fh 2 H j h = g; ez zart reszcsoportja H -nak. Tegyuk fel, hogy G megszamlalhato bazisu es a G csoport N^ -ben megvalosulo bels}o abrazolasara teljesulnek a Mackey-fele reprezentacios tetelben megfogalmazott 1. es 2 feltetelek Ekkor a G minden V irreducibilis folytonos uniter abrazolasahoz letezik

olyan  2 N^ es a H lokalisan kompakt csoportnak letezik olyan U irreducibilis folytonos uniter abrazolasa egy F Hilbert-terben, hogy ha G (illetve  ) baloldali Haar-mertekek G (illetve N
H ) felett es U  : N
H ! U (F ) nh 7! (n)U (h); akkor a G csoport (U  ; G;  ) harmas altal indukalt uniter abrazolasa uniter ekvivalens V -vel