Mathematics | Probability theory » Feltételes valószínűség

V. tétel FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG Fogalma Ha az A és B a H eseménytér két eseménye, és P(B) 0, akkor a P( A  B) P(AB)= (3.12) P( B) hányadost az A eseménynek a B eseményre vonatkoztatott feltételes valószínűségének nevezzük. Szorzási szabály 3.6 tétel Ha A és B a H eseménytér két eseménye és P(B)0, akkor együttes bekövetkezésük valószínűsége megegyezik az A esemény B eseményre vonatkozó feltételes valószínűségének és a B esemény valószínűségének szorzatával, azaz P(AB) = P(AB)P(B), P(B)0 (3.13) Ha az A és B szerepet cserél és P(A)0, akkor a P( A  B) P(BA)= alapján P( A) P(AB) = P(BA)P(A) (3.14) Teljes valószínűség tétele 3.8 tétel Ha a H eseménytér B 1 , B 2 , ., B n eseményei teljes eseményrendszert alkotnak és P(B k )>0 (k= 1, 2,, n), Akkor bármely a H-hoz tartozó A esemény valószínűsége: n P(A) =  P( A B k )P(Bk ) (3.15) k 1 Bizonyítás: Az, hogy a B (k= 1, 2,,n)

események teljes rendszert alkotnak, azt jelenti, hogy egymást páronként kizárják és összegük a biztos esemény. Az A tetszőleges esemény előállítható egymást kizáró események összegeként az alábbi módon: A = AH = A(B 1 B 2 B n )= = (AB 1 )(AB 2 )(AB n ), és ezért n P(A) =  P( A  B k 1 k ) Alkalmazva a (3.13) képletet (a valószínűségek szorzási szabályát) az egyes P(AB k ) valószínűségekre, a bizonyítandó állítást kapjuk. Bayes-tétel 3.9 tétel Ha a H eseménytér B 1 , B 2 ,, B n eseményei teljes eseményrendszert alkotnak és P(B k )>0 (k = 1,2,, n), akkor bármely, a H-hoz tartozó, pozitív valószínűségű A eseményre igaz, hogy P( A / Bk ) P( Bk ) (k = 1, 2, ., n) (3.16) P(B k A) = n  P ( A / Bi ) P ( Bi ) i 1 Bizonyítás: A valószínűségek szorzási szabálya értelmében a (3.13) és (314) összefüggéseket alkalmazva kapjuk, hogy P(B k A)P(A) = P(AB k )P(B k ).

Innen pedig P( A / Bk ) P( Bk ) . P(B k A) = P ( A) A teljes valószínűség tétel szerint azonban n P(A) =  P( A / B ) P( B ) i 1 i i amit az előző tört nevezőjébe helyettesítve a bizonyítandó tételhez jutunk. Események függetlensége Legyen az A és B a H eseménytér két eseménye. Az A és B eseményeket egymástól függetlennek nevezzük, ha P(AB) = P(A)P(B) (3.18) azaz akkor, ha A és B együttes bekövetkezésének valószínűsége az A és a B események valószínűségének szorzatával egyenlő. 3.10 tétel Ha az A és B események függetlenek, akkor az A és B , A és B, A és B események is függetlenek. Többszörös és ismételt kísérletek Akkor beszélünk független kísérletről, ha ugyanolyan körülmények között egy kísérletet többször megismétlünk, és az egyes kísérletek kimenetele egyáltalán nincs befolyása a többire. Ha egy kísérletet ugyanolyan körülmények között többször megismételünk

(ismételt kísérletek), akkor a megismételt kísérletek kimenetelei nem befolyásolják egymást. Ugyancsak független kísérletről beszélünk akkor is, ha több kísérletet végzünk egyszerre (többszörös kísérletek) és az egyes kísérletek kimenetelei nincsenek egymásra semmiféle befolyással. Tekintsünk n számú kísérletet. Ha az első kísérletnél az A 1 esemény előfordulásának valószínűsége P(A 1 ), a második kísérletnél A 2 esemény előfordulásának valószínűsége P(A 2 ) stb., az n-edik kísérletnél az A n esemény előfordulásának valószínűsége P(A n ), és annak a valószínűsége, hogy az elsőnél A 1 , a másodiknál A 2 stb., az n-ediknél az A n esemény következik be, egyenlő az egyes valószínűségek szorzatával, azaz P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )P(A 2 )P(A n ) (3.20) Minden A 1 , A 2 , A n esetén, akkor a kísérleteket független kísérleteknek nevezzük. 3.11 tétel Annak a valószínűsége, hogy

függetlenül megismételt kísérletek n hosszúságú sorozatában az A esemény pontosan k-szor következik be, Pk = pkqn-k, (3.21) ahol p = P(A), és q = 1-p = P( A )