Mathematics | Discrete mathematics » A mintavétel

IV. tétel MINTAVÉTEL Klasszikus képlet: kedvező esetek száma P(A) = lehetséges esetek száma A klasszikus képlet széles körű alkalmazási lehetőségei tárulnak fel az ún. mintavételes feladatokban. Egy halmazból találomra kihúzott elemek összességét véletlen mintának nevezzük. A „találomra” történő húzáson egy olyan eljárást értünk, amelynek során minden minta kiválasztása egyforma valószínűséggel történik. Azt az eljárást, amelynek eredményeképpen a véletlen mintát kapjuk, véletlen mintavételnek nevezzük. Két alapvető típusát különböztetjük meg, a visszatevéses és a visszatevés nélküli mintavételt. 1. visszatevéses mintavétel Tegyük fel, hogy egy N elemű halmazban, pl. egy N golyót tartalmazó urnában M fekete és N-M piros golyó van. Húzzunk ki egymás után találomra n számú golyót úgy, hogy a kihúzott golyót, miután a színét feljegyeztük, visszadobjuk az urnába. Határozzuk meg annak a

valószínűségét, hogy egy ilyen n húzásból álló sorozatban a fekete golyók száma k ( a többi n-k pedig nyilvánvalóan piros). Jelöljük a szóban forgó eseményt, hogy ti. az n golyó között k fekete van, A k -val Képzeljük el ezután, hogy az n húzás eredményének mindegyikét egy-egy lapra jegyezzük fel. Előbb azonban az n lap közül kiválasztunk k számút. Ezeken jelezzük, hogy a húzás eredménye fekete, pl egy-egy f betűvel Nyilvánvaló, hogy a többi n-k lapra a piros golyó húzásának eredményét jegyezhetjük fel, pl. egy-egy p betűvel A fekete golyók számára kiválasztott k lapra a fekete golyók húzását Mk -féleképpen, a többi n-k helyre a piros golyók húzását (N-M)n-k -féleképpen lehet feljegyezni. Így azokat a lehetőségeknek a száma, amikor a kiválasztott k lapra fekete, a többi n-k lapra pedig piros van feljegyezve: Mk(N-M)n-k n Vegyük ezután figyelembe, hogy a k lap kiválasztása   -féle módon

történhet, és bárhogy k  is jelöljük ki a k lapot, a feladatnak megfelelő eredmény mindig Mk (N-M)n-k -féleképpen valósulhat meg. Így az A k esemény n k   M (N-M)n-k 3.3 k  módon jöhet létre. (3.4) Az összes elemi esemény száma Nn A (3.3)-ból és a (34)-ből most már kiszámíthatjuk az A k esemény valószínűségét Annak a valószínűsége tehát, hogy az n kihúzott golyó között pontosan k darab fekete golyó k nk  n  M k ( N  M ) n  k N  n  M   N  M       van: P ( Ak )     (3.5) Nn  k  N   N  k  (Itt azt tettük fel, hogy mindegyik n elemű visszatevéses minta kiválasztása egyformán M N M valószínű.)Vezessük be a p  és a q  (p +q=1) N N jelöléseket, ahol p egy fekete golyó, illetve q egy piros golyó húzásának valószínűsége. Ekkor n (3.5) a következő alakban írható: P ( Ak )  

 p k q n  k (k=0, 1, 2, n) (36) k  A P(A k ) helyett sokszor csak a P k szimbólumot használjuk. A (3.6) összefüggést Bernoulli-féle képletnek nevezzük A P valószínűségeket az n és p gyakrabban előforduló értékeire táblázat táblázat tartalmazza. 2. Mintavétel visszatevés nélkül Tekintsünk ismét egy N elemű halmazt, pl. egy N golyót tartalmazó urnát, amelyben M fekete és N-M piros golyó van. Vegyünk ki most is találomra n számú golyót az urnából, de úgy hogy egyetlen golyó sem kerülhet többször kiválasztásra. Ezt kétféle módon valósíthatjuk meg Az egyik szerint az n golyót egyszerre emeljük ki az urnából, a másik szerint a golyókat egymás után húzzuk ki, de egyiket sem tesszük vissza a húzás után. Mindkét eljárást visszatevés nélküli mintavételnek nevezik.Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy az n golyó között a fekete golyók száma k ( a többi n-k pedig nyilvánvalóan piros)!

Jelöljük a szóban forgó eseményt A k -val. Mivel a fent említett módszerek elvileg különböznek egymástól, vizsgáljuk mindkét esetet. Az első szerint az n golyó kivétele egyszerre történik. Ekkor az elemi események száma N   (3.7) n  A kérdezett A k esemény akkor következik be, ha az n golyó között k számú fekete és n-k N  M  M   számú piros golyó van. A k számú feketét   , az n-k számú pirosat  n  k  k  - féleképpen lehet kiválasztani, így az A k esemény összesen  M  N  M     (3.8) módon valósulhat meg  k  n  k  A keresett valószínűség, figyelembe véve az (3.7)-et és (38)-at:  M  N  M      k  n  k  k=0, 1, .n n min (M, N-M) (3.9) P ( Ak )  N   n  A P(A k ) helyett a P k szimbólum is használatos. (Itt az tettük fel, hogy

minden n elemű visszatevés nélküli minta kiválasztása egyformán valószínű.) Belátható, hogy ugyanezt a valószínűséget kapjuk akkor is, ha az n golyó kivétele egymás utáni húzásokkal történik, visszatevés nélküli. Ekkor egy elemi esemény nem más, mint n golyó egy meghatározott sorrendben való kiválasztása. Az elemi események száma így N N ( N  1).( N  n  1)     n! n  A kérdezett A k eseményt alkotó elemi események számára meghatározásakor vegyük figyelembe, hogy a k számú fekete golyó adott k helyre M(M-1) .(M-k+1) az n-k számú piros golyó pedig a fennmaradó n-k helyre (N-M)(N-M-1).(N-M-(n-k)+1) különböző módon helyezhető el Mivel M  M ( M  1).( M  k  1)   k! k  és N M n  k ! továbbá, mint belátható, a k számú n  k  N  M N  M  1.N  M  (n  k )  1   n

  - féleképpen választhatjuk meg, így az A k esemény valószínűsége: k   n  M   N  M   M  N  M    k! n  k !    k  k   n  k  k  n  k     P Ak   N N    n! n  n  fekete golyó helyét Ez pedig megegyezik a (3.9) képlettel Ha az M és az N értéke nagy az n-hez képest, akkor a P k értékek a gyakorlat számára kielégítő pontossággal közelíthetők a visszatevéses mintavételnél megismert M  N  M       k nk  k   n  k   n  M   N  M  valószínűségértékekkel, azaz (3.10)       k  N   N  N    n 